INSTITUTO TECNOLOGICO DE CIUDAD VALLES UNIDAD 6.- LA HIPERBOLA Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Elementos de la hipérbola: 1 Focos: Son los puntos fijos F y F'. 2 Eje principal o real: Es la recta que pasa por los focos. 3 Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'. 4 Centro: Es el punto de intersección de los ejes. 5 Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal. Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c. 6 Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'. 7 Distancia focal: Es el segmento
de longitud 2c.
8 Eje mayor: Es el segmento
de longitud 2a.
9 Eje menor: Es el segmento
de longitud 2b.
10 Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
11 Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones: 12 Relación entre los semiejes:
ECUACIONES DE LA HIPERBOLA
EJERCICIOS RESUELTOS Obténgase, sin aplicar formulas, las ecuaciones de las hipérbolas siguientes, dado: 1.- 2a = 3, f´(-2, 0), f(2, 0). Primer paso. De los datos dados determinar a, a 2, C, b y b2. 2a = 3 entonces a = 3/2 y a2 = (3/2)2 entonces a2 = 9/4 C=2 C2 = a2 + b 2 despejando b 2 b 2 = c2 – a 2 b2 = (2)2 – (3/2)2
b2 = 4 - 9/4 b2 = (16-9)/4 b2 = 7/4 Segundo paso: Sustituyendo en la ecuación de la hipérbola cuándo abre en el eje x, a 2 = 9/4. B2 = 7/4. X2/a 2 – y2/b2 =1 X2/9/4 – y2/7/4 = 1 Dividiendo c/termino 4x2/9 – 4y2/7o=1
2.- 2b = 4, f´(0,3), f(0,3) Primer paso. De los datos dados determinar a, a 2, c, b y b2. b2 = (2)2
2b = 4 b2 = 4
b = 4/2 b=2
c2 = a 2 + b 2 a 2 = c2 - b 2
c=3
a2 = (3)2 - 4 a2 = 9 – 4 a2 = 5 a=√5
Sustituyendo datos en la ecuación de la hipérbola cuando abre en el eje y Y2/a 2 – x2/b2 = 1 Y2/5 – x2/4=1
LA HIPERBOLA TODA ECUACION CON LAS VARIABLES “X”, “Y” ELEVADAS AL CUADRADO Y CON COEFICIENTES DE SIGNOS OPUESTOS REPRESENTA UNA HIPERBOLA.
EJEMPLOS: )
−
=4
) 12
−4
− 72 + 16 + 44 = 0
) 16
−9
+ 64 + 54 + 127 = 0
)
−3
−2 −6 +7 = 0
FORMAS GENERALES: (
)
−
(
)
= 1 ECUACION DE LA HIPERBOLA HORIZONTAL
b
C
a
0
(
)
−
(
)
= −1 ECUACION DE LA HIPERBOLA VERTICAL
0
)
−
=4
−
=
−
= 1 HIPERBOLA HORIZONTAL
PRIMERO DIVIDIMOS TODO ENTRE 4
(0,0) CENTRO EN EL ORIGEN =4 ,
= ±2
=4
,
= ±2
) 12 12
−4
− 72 + 16 + 44 = 0
− 72 − 4
+ 16 = −44
12(
− 6 ) − 4(
12(
− 6 + 9) − 4(
− 4 ) = −44
(
)
)
−
−
(
(
)
)
=
FACTORIZAR LOS COEFICIENTES DE
− 4 + 4) = −44 + 108 − 16
12( − 3) − 4( − 2) = 48 (
AGRUPAR TERMINOS EN “X” Y EN “Y”
COMPLETAR T.C.P.
SE FACTORIZO
SE DIVIDE TODO ENTRE 48
= 1 SE REDUCE
POR LA FORMA QUE TOMO LA ECUACION, ES UNA HIPERBOLA HORIZONTAL. (3,2) =4
= ±2 ,
= 12
0
= ±√12 = ±2√3 = ±3.46
) 16 16
−9
+ 64 + 54 + 127 = 0
+ 64 − 9
+ 54 = −127
16(
+ 4 ) − 9(
16(
+ 4 + 4) − 9(
− 6 ) = −127 − 6 + 9) = −127 + 64 − 81
16( + 2) − 9( − 3) = −144 16( + 2) 9( − 3) −144 − = 144 144 144 (
)
−
(
(−2,3)
)
= −1 POR LA FORMA, ES HIPERBOLA VERTICAL. =9 ,
= ±3
= 16 ,
= ±4
y
x
)
−3
−2 −6 +7 = 0
− 2 + 1 − 3(
+ 2 + 1 = −7 + 1 − 3
( − 1) − 3( + 1) = −9 ( − 1) 3( + 1) −9 − = 9 9 9 (
)
−
(
(1, −1)
)
= −1 ES UNA HIPERBOLA VERTICAL =9
= ±3
=3
= ±√3 ≈ ±1.73
Y
X