INSTITUTO TECNOLOGICO DE CIUDAD VALLES UNIDAD 7.- FUNCIONES CONCEPTO DE FUNCION: UNA FUNCION ES UNA REGLA QUE PRODUCE UNA CORRESPONDENCIA ENTRE LOS ELEMENTOS DE DOS CONJUNTOS TAL QUE, A CADA ELEMENTO DEL PRIMER CONJUNTO LE CORRESPONDE UN ELEMENTO Y SOLO UNO DEL SEGUNDO. EJEMPLO: PARA CALCULAR EL AREA DE UN CUADRADO QUE MIDE POR LADO “X”, USAMOS LA FORMULA = AQUÍ LA REGLA O FUNCION ES: ELEVAR AL CUADRADO LA MEDIDA “X” QUE TIENE EL CUADRADO POR LADO.
X
X (metros) A (metros cuadrados)
1 1
2 4
3 9
4 16
EN UNA FUNCION ENCONTRAMOS DOS VARIABLES (POR EL MOMENTO, PERO EN OTROS CURSOS SE MANEJARAN MAS DE DOS) Y CONSTANTES. SE LE LLAMA VARIABLE INDEPENDIENTE, A LA VARIABLE QUE DEBEMOS CONOCER PRIMERO, EN ESTE CASO LA MEDIDA POR LADO DEL CUADRADO QUE LLAMAMOS “X” (SI NO CONOCEMOS EL VALOR DE “X” NO PODREMOS CALCULAR EL AREA DEL CUADRADO). A LOS VALORES DE “X” SE LES LLAMA DOMINIO DE LA FUNCION Y SE REPRESENTA POR UN INTERVALO (0 , ∝), COMO PARA QUE EXISTA UN CUADRADO SU MEDIDA POR LADO NO PUEDE SER CERO NI NEGATIVA, ENTONCES “X” DEBE SER > 0 (QUE SE LEE, “X” MAYOR QUE CERO).
1
SE LE LLAMA VARIABLE DEPENDIENTE A LA VARIABLE QUE SE DEFINE AL USAR LOS VALORES DE LA OTRA, EN ESTE CASO EL AREA “A”. A LOS VALORES OBTENIDOS DE “A” SE LES LLAMA CONTRADOMINIO Y TAMBIEN SE REPRESENTAN EN FORMA GENERAL CON UN INTERVALO (0 , ∝) = ( ) SE LEE QUE EL AREA ESTA EN FUNCION O DEPENDE DE “X”
=
FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCION. 1.- ESCRITA SE DA INFORMACION EN FORMA DE TEXTO QUE INDICA COMO ES LA RELACION ENTRE LAS DOS VARIABLES. EJEMPLO: EL AREA DE UN CUADRADO SE OBTIENE AL ELEVAR AL CUADRADO LA MEDIDA DE SU LADO. 2.-ALGEBRAICA = 3.- NUMERICA (TABLA DE VALORES) X (metros) A (metros cuadrados)
1 1
2 4
4.- GRAFICA (VISUAL) A
9
4 1 X 1
2
3
2
3 9
4 16
EJEMPLO DE UNA FUNCION REAL: 1.- TEXTO. UN PERIODICO DE LA LOCALIDAD, COBRA EN ANUNCION CLASIFICADOS A $ 1.50 POR PALABRA. 2.- ENTONCES LA FORMULA SERIA: SI LLAMAMOS: “C” (VARIABLE DEPENDIENTE) AL COSTO TOTAL DEL ANUNCIO “X” (VARIABLE INDEPENDIENTE) AL NUMERO TOTAL DE PALABRAS Y 1.50 = CONSTANTE (COSTO FIJO POR PALABRA)
LA FUNCION QUEDARIA ASI: = 1.50 3.- SI ELABORAMOS UNA TABLA DANDOLE VALORES A “X”LOS CUALES DEBEN SER ENTEROS Y (0 , ∝) MAYORES QUE UNO “X” “C”
1 1.50
2 3.00
3 4.50
4 6.00
5 7.50
6 9.00
7 8 10.50 12
9 13.5
10 15
4.- FINALMENTE, GRAFICAMOS LA FUNCION UTILIZANDO LOS DATOS DE LA TABLA.
C
X
3
11 16.5
… …
PRUEBA DE LA LINEA VERTICAL. SI TENEMOS UNA GRAFICA Y QUEREMOS SABER SI ESTA GRAFICA REPRESENTA A UNA FUNCION, BASTA CON TRAZAR EN CUALQUIER PUNTO DE LA GRAFICA UNA LINEA VERTICAL Y SI ESTA LINEA CORTA EN UN SOLO PUNTO LA GRAFICA NOS DAREMOS CUENTA QUE SI, ES UNA FUNCION Y QUE A CADA VALOR DE “X” LE CORRESPONDE UNO PARA “Y”.
SI, ES LA GRAFICA DE UNA FUNCION.
NO ES LA GRAFICA DE UNA FUNCION, LAS RECTAS VERTICALES CORTAN A LA GRAFICA EN DOS PUNTOS, ENTONCES A UN VALOR DE “X” LE CORRESPONDEN DOS PARA “Y” Y NO SE CUMPLE LA DEFINICION DE FUNCION.
4
GRAFICA DE UNA FUNCION POR TABULACION. ) = 2 + 3 ESTA ES UNA FUNCION QUE REPRESENTA UNA RECTA Y ENTONCES “X” QUE ES LA VARIABLE INDEPENDIENTE PODRA TOMAR CUALQUIER VALOR, POSITIVO, NEGATIVO, ENTERO O FRACCIONARIO. ESTO EN LA PRACTICA NO SUCEDERA SI LA FUNCION REPRESENTA UN INGRESO POR LA VENTA DE BOLETOS EN ALGUN EVENTO, ENTONCES “X” NO PODRA TOMAR VALORES NEGATIVOS, NI CERO Y TAMPOCO FRACCIONARIOS. VOLVIENDO AL PROBLEMA QUE NOS OCUPA CONSTRUIREMOS UNA TABLA DANDO VALORES A “X”. X Y
-4 -5
-3 -3
-2 -1
-1 1
0 3
1 5
2 7
3 9
4 11
AHORA GRAFICANDO LOS PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO Y UNIENDOLOS DE IZQUIERDA A DERECHA. Y
3
X
5
b)
= −√3 − 3
EL SIGNO MENOS ANTES DEL RADICAL NOS INDICA QUE LOS VALORES DE “Y” SERAN SIEMPRE NEGATIVOS Y ESTO A SU VEZ NOS DICE QUE LA GRAFICA ESTARA DESDE EL EJE DE LAS “X” HACIA ABAJO. (ESTA SERIA EL CONTRADOMINIO).
PARA ASIGNAR VALORES A “X” SE RESUELVE LA DESIGUALDAD 3 − 3 ≥ 0, LO QUE NOS CONDUCE A ≥ 1, ES DECIR QUE LOS VALORES DE “X” INICIAN DESDE X=1 Y PARA LA DERECHA Y ESTO SERIA EL DOMINIO.
CONSIDERANDO LO ANTERIOR CONSTRUIMOS UNA TABLA. X Y
1 0
2 -1.7
3 -2.4
4 -3
5 -3.5
+∞ −∞
AHORA GRAFICAMOS.
1 X
-Y QUE RESULTA SER LA RAMA NEGATIVA DE UNA PARABOLA HORIZONTAL DERECHA.
6
c)
= sin
AQUÍ COMO LA VARIABLE “X” ES EL ANGULO O ARGUMENTO DE UNA FUNCION TRIGONOMETRICA, ENTONCES LE ASIGNAREMOS A “X” VALORES POSITIVOS (POR COMODIDAD) EQUIVALENTES EN GRADOS Y EN RADIANES PARA OBTENER LA GRAFICA.
X X
0° 0
Y
0
30°
45°
60°
90°
180°
6 1 2
4 1
3 √3 2
2 1
0
√2
GRAFICANDO OBTENEMOS UN CICLO DE LA FUNCION
sin
1 270°
2 -1
7
360°
270° 3 2 −1
360° 2 0
DEG RAD