Sapientia 152: «Cálculo II. Grados en Ingeniería Eléctrica, Ingeniería Mecánica, Ingeniería Química»

Portada

Colección

CÁLCULO II

GRADOS EN INGENIERÍA ELÉCTRICA, INGENIERÍA MECÁNICA, INGENIERÍA QUÍMICA E INGENIERÍA EN TECNOLOGÍAS INDUSTRIALES

Cristina Chiralt Monleón

Alejandro Miralles Montolío

Departamento De matemáticas

Código de asignatura: EE1007, EM1007, EQ1007, ET1007

Crèdits

Edita: Publicacions de la Universitat Jaume I. Servei de Comunicació i Publicacions Campus del Riu Sec. Edifici Rectorat i Serveis Centrals. 12071 Castelló de la Plana http://www.tenda.uji.es e-mail: publicacions@uji.es

Colección Sapientia 152 www.sapientia.uji.es Primera edición, 2019

ISBN: 978-84-17429-33-1

DOI: http://dx.doi.org/10.6035/Sapientia152

Publicacions de la Universitat Jaume I es miembro de la une, lo que garantiza la difusión y comercialización de sus publicaciones a nivel nacional e internacional. www.une.es.

Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional (CC BY-SA 4.0) https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0

Este libro, de contenido científico, ha estado evaluado por personas expertas externas a la Universi tat Jaume I, mediante el método denominado revisión por iguales, doble ciego.

ÍNDICE GENERAL

1. Introducción a las ecuaciones diferenciales

1.1. Introducción 13

1.2. Definiciones básicas y clasificación de las ecuaciones diferenciales

16

1.3. Soluciones de una edo 18

1.4. El problema de valor inicial

23

1.5. Existencia y unicidad de soluciones 25

1.6. Proyecto para el capítulo 1. Cálculo de la envolvente de una familia

2. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Aplicaciones

2.1. Introducción

27

29

29

2.2. Ecuaciones de variables separables 31

2.3. Ecuaciones diferenciales exactas y factor integrante

35

2.4. Ecuaciones lineales 47

2.5. Ecuaciones homogéneas

49

2.6. Aplicaciones de las edo de primer orden 54

2.6.1. Mecánica Newtoniana. Caída de cuerpos con resistencia del aire

60

54 2.6.2. Problemas de mezclas en un tanque 57 2.6.3. Trayectorias ortogonales

2.7. Proyecto para el capítulo 2. Aplicaciones a problemas de enfriamiento

3. Ecuaciones lineales de segundo orden y de orden superior

67

3.1. Introducción 67

3.2. Ecuaciones lineales de segundo orden

3.2.1. Ecuaciones lineales homogéneas

69 3.2.2. Ecuaciones lineales no homogéneas

3.3. Aplicaciones de las edo lineales de segundo orden. Vibraciones mecánicas

3.4. EDO lineales de orden

3.5. La transformada de Laplace

103

3.5.1. Tabla y propiedades de la Transformada de Laplace 103 3.5.2. Transformada inversa de Laplace: definición y propiedades

108 3.5.3. Resolución de problemas de valor inicial 111 3.5.4. Transformada de Laplace de funciones especiales

114

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3.6. Proyecto para el capítulo 3. Ecuaciones de Cauchy-Euler

121

3.7. Anexos 125

3.7.1. Método de reducción del orden

125

3.7.2. Sistema fundamental de soluciones. Raíces complejas 127

3.7.3. Vibraciones forzadas

130

3.7.4. Existencia de la transformada de Laplace 131

4. Introducción a los sistemas de ecuaciones diferenciales

4.1. Introducción

135

135

4.2. El operador diferencial. Sistemas de edo lineales 136

4.2.1. El operador diferencial

136

4.2.2. Sistemas de dos ecuaciones diferenciales lineales y dos incógnitas 137

4.2.3. Sistemas de n ecuaciones diferenciales lineales y n incógnitas

142

4.3. Conversión de una edo lineal de orden n a un sistema de primer orden 145

4.4. Aplicaciones de sistemas de edo a mezclas en depósitos interconectados

146

4.5. Proyecto para el capítulo 4. Aplicaciones de sistemas a circuitos eléctricos y sistemas masa-resorte 150 4.5.1. Circuitos eléctricos

150 4.5.2. Sistemas masa-resorte acoplados 150

5. Introducción a las Ecuaciones en Derivadas Parciales

5.1. Introducción

153

153

5.2. Teoría básica 154

5.3. Resolución de algunas edp sencillas

155

5.4. Clasificación 157

6. Ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden

6.1. Introducción

6.2. Series de Fourier

159

159

159 6.2.1. Resultados básicos 160 6.2.2. Series de Fourier en el intervalo [0; �]

161 6.2.3. Series de Fourier en el intervalo [0; L] 164 6.2.4. Convergencia y linealidad de la serie de Fourier

166

6.3. Método de separaci on de variables 169

6.4. Ecuación de ondas

171

6.5. Ecuación del calor 177

6.6. Condiciones de frontera distintas

182

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Ortogonalidad

serie de Fourier

sistema

coeficientes

II. Grados en ingeniería eléctrica, ingeniería mecánica, ingeniería química e ingeniería en tecnologías industriales

Cristina Chiralt Monleón y Alejandro Miralles Montolío

Cristina Chiralt Monleón

978-84-17429-33-1

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Cálculo II. Grados en ingeniería eléctrica, ingeniería mecánica, ingeniería química e ingeniería en tenologías industriales

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Pr´ologo

Estelibrovadirigidoalalumnadodelaasignatura C´alculoII queseestudia enelprimercursodelosgradosenIngenier´ıaMec´anica,Ingenier´ıaEl´ectrica, Ingenier´ıaQu´ımicaeIngenier´ıaenTecnolog´ıasIndustriales.

Alolargodellibroestudiaremoslosm´etodoshabitualesderesoluci´onde ecuacionesdiferencialesycomplementaremosestecontenidomostrandodiversasaplicacionesqueestosm´etodostienenenfen´omenosrealesdelaf´ısicayla ingenier´ıa.

Ellibroest´adivididoenseistemas:introducci´onalasecuacionesdiferenciales,ecuacionesdiferencialesdeprimerorden,ecuacioneslinealesdesegundo ordenydeordensuperior,sistemasdeecuacionesdiferencialeslineales,introducci´onalasecuacionesenderivadasparcialesyecuacionesenderivadas parcialesdesegundoordenlineales.Cadatemaest´aestructuradoenseccionescondiversosejemplosparapoderseguirsindificultadellibroy,alfinal decadasecci´on,hayunaselecci´ondeproblemasycuestionesjuntoconsus soluciones.Alfinaldealgunostemassepuedeencontrartambi´enunproyecto paraprofundizarenlamateria.

LosautoresqueremosagradecerlaayudabrindadaporBeatrizCamposen laelaboraci´ondeestelibro.

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Introducci´onalasecuaciones diferenciales

1.1.Introducci´on

Cuandotratamosdedescribirunsistemaofen´omenorealquepuedeser f´ısico,sociol´ogicooinclusoecon´omico,apareceelconceptodeecuaci´ondiferencial.Estet´erminohacereferenciaaunaecuaci´onenlaquelainc´ognitaes unafunci´onyenlaqueaparecenlasderivadasdetalfunci´on.Recordemos queladerivadadeunafunci´onmidelarapidezconquelafunci´onvar´ıa,es decir,mideelcrecimientodetalfunci´on.Esl´ogico,portanto,queaparezcan estetipodeecuacionesaltratardemodelizarmatem´aticamentemuch´ısimos problemasquesurgendeestosfen´omenos.

Enestasecci´on,introduciremosalgunosejemplosb´asicosparaentender matem´aticamentequ´eesunaecuaci´ondiferencialydespu´es,veremosalgunos ejemplosdeestasecuacionesenalgunosfen´omenosreales.

 Ejemplo1.1. Encuentratodaslasfunciones y (x)quecumplanque y  =3x. Soluci´on. ´ Esteesunejemplodeecuaci´ondiferencialyaquelainc´ognitaes unafunci´ondevariableindependiente x yvariabledependiente y yaparecela derivada y  detalfunci´on.Enestecaso,solucionarestaecuaci´ondiferenciales sencillo.Bastaconcalcularunaintegralindefinidasencillayobtenemos:

paratodo C ∈ R 

 Ejemplo1.2. Encuentraunafunci´on y (x)quecumplaque y  = y Soluci´on. Sirecordamoscursosanterioresdec´alculo,esf´acilobteneruna funci´onquecumplelapropiedaddeserigualasuderivadaentodossuspuntos: y (x)= ex .¿Sabr´ıasencontrarotrosejemplosdefuncionescumpliendoesta ecuaci´on?

 Ejemplo1.3. Encuentratodaslasfuncionesdedosvariables u(x,t)cumpliendoque:

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Soluci´on. Bastaconintegrarconrespectoa x paraencontrartodaslassolucionesdeestaecuaci´on:

u(x,t)=  6xt3 dx =3x 2 t3 + f (t)

donde f (t)escualquierfunci´onderivablequedependa´unicamentedelavariable t. 

Veamosahoradosejemplosdeecuacionesdiferencialesquesurgendefen´omenosreales.

 Ejemplo1.4 (Desintegraci´onradiactiva). Unfen´omenocuyadescripci´ondalugaraunaecuaci´ondiferencialmuysencillaeseldeladesintegraci´on deunelementoradiactivo.Larapidezconlaqueunasustanciaradiactiva sedesintegraesproporcionalalacantidadpresentededichasustancia.Esto conducealaecuaci´on:

dA dt = kA,k> 0

dondenuestrainc´ognita A(t)representalacantidaddesustanciapresenteen uninstante t y k esunaconstantedeproporcionalidadquedependedela sustancia.

Comopodremosestudiarm´asadelante,lasoluci´ondeestaecuaci´onviene dadapor:

A(t)= Ce kt , siendo C cualquierconstantepositiva.Laconstante C puedeobtenersesise conocelacantidaddesustanciaenuninstantedado;porejemplo,siparael instante t =0hab´ıaunacantidadinicial A0 desustancia,entonces:

A0 = Ce k 0 = C,

portanto:

A(t)= A0 e kt

Efectivamente,tenerlasoluci´ondelaecuaci´onnospermiteconocerlacantidaddesustanciapresentequehabr´aencadainstante t 

 Ejemplo1.5 (Cuerpoenca´ıdalibre). Consideremosuncuerpoque,desdeunaciertaaltura,caebajolaacci´ondelafuerzadelagravedad,ignorando otrasfuerzasderozamientocomoladebidaalaresistenciadelaire.Eneste caso,tenemosdoscantidadesquevancambiandoconeltiempo:suposici´on h(t)ysuvelocidad v (t).

Paramodelizarestefen´omeno,aplicamoslasegundaLeydeNewton,llegandoalaecuaci´on:

m d2 h dt2 = mg, donde m eslamasadelobjeto, h essualturasobreelsuelo, d2 h/dt2 essu aceleraci´on, g eslaconstantegravitacionaly mg eslafuerzadebidaala gravedad.

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Queremosdeterminarcu´alessuposici´onencadainstanteysutipode movimiento.Dividiendolaecuaci´onpor m eintegrandoestaecuaci´onrespecto de t obtenemos: dh dt = gt + C1 eintegrandodenuevo: h(t)= g t2 2 + C1 t + C2

Lasconstantesdeintegraci´on C1 y C2 puedendeterminarsesiseconocen laalturayvelocidadinicialesdelobjeto.Supongamosque´estasson h0 y v0 , respectivamente.Sustituyendoestosvaloresenlasecuacionesanteriorespara t =0, seobtiene: h(0)= h0 = g 02 2 + C1 0+ C2 , luego C2 = h0 , dh(0) dt = v0 = g 0+ C

Portanto,

Problemasycuestionesdelasecci´on1.1

1. Resuelvelassiguientesecuacionesdiferenciales:

(a) y  =cos(3x) e2

. (b) y  = x ln x (Soluci´on. (a) y = 1 3 sen(3x) 1 2

C ,(b) y

Escribelaecuaci´ondiferencialasociadaalossiguientesfen´omenosreales, escribiendounpar´ametroencasonecesario:

(a) Latasadecambiodeunapoblaci´on P conrespectoaltiempo t es proporcionalalara´ızcuadradade P

(b) Laaceleraci´ondeuncocheesexactamenteigualaladiferenciaentre 30 km/h ylavelocidad v (t)delautom´ovil.

(c) Latasadecambioconrespectoaltiempo t deln´umero P depersonasquehancontra´ıdociertaenfermedadcontagiosaesproporcional alproductodeln´umerodequienesest´anenfermasyeln´umerode lasquenoloest´anenunaciudadcuyapoblaci´onesfijaeiguala 5000personas.

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1.2.Definicionesb´asicasyclasificaci´ondelas ecuacionesdiferenciales

Demaneraintuitiva,unaecuaci´ondiferencialesaquellaqueinvolucrauna funci´onjuntoconsusderivadasylavariableovariablesdelaquedepende:  Definici´on1.1. Una ecuaci´ondiferencial esunaecuaci´onquerelaciona unafunci´ondesconocida(lavariabledependiente),lasvariablesdelasque depende(variablesindependientes)ysusderivadasrespectodeestasvariables independientes.

Enlasecuacionesdiferencialespuedenaparecerciertost´erminosconstantes,relacionadosconelproblema,querecibenelnombrede par´ametros.Las constantes k , m y g delosproblemasanterioresser´ıanejemplosdepar´ametros.

Lasecuacionesdiferencialessedividenendosgrandesgrupos:

Lasecuacionesdiferencialesordinarias(EDO).Sonaquellasen lasquelafunci´oninc´ognitadependedeunasolavariableindependiente, y = y (x).

Lasecuacionesenderivadasparciales(EDP).Sonaquellasenlas quelafunci´oninc´ognitadependedevariasvariables;portanto,relacionanlafunci´on,susvariablesylasderivadasparcialesdedichafunci´on.

Notaci´on. Alolargodeestelibro,lasderivadasdeunafunci´ondeuna variablesedenotar´anconlanotaci´ondeLeibnitz dy/dx, d2 y/dx2 ,etc.ola notaci´onprima y  ,y  ,etc.Paralasderivadasparciales,seutilizar´atambi´enla notaci´ondesub´ındice ux ,utt ,etc.

 Ejemplo1.6. IndicasilassiguientesecuacionesdiferencialessonEDOo EDP:

(a) y (x)talque dy dx +3y =cos x 2. (b) y (x)talque y  = ky +4. (c) y (x)talque y 2 +4xy y

=0.

(d) u(x,y )talque ∂u ∂y = ∂u ∂x .

(e) u(x,t)talque uxx =2u

3

Soluci´on. Lasecuacionesdiferenciales(a),(b)y(c)sonEDOmientrasque lasecuacionesdadasen(d)y(e)sonEDP.LaEDO(b)tieneadem´asun par´ametro. 

Lasecuacionesdiferencialestambi´enpuedenclasificarseseg´unsuordenysu linealidad.

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 Definici´on1.2. Sellama orden deunaecuaci´ondiferencialalmayororden delasderivadasqueapareceenlaecuaci´on.

 Definici´on1.3. Unaecuaci´ondiferenciales lineal sisepuedeexpresarde laforma:

an (x)y (n) + an 1 y (n 1) + ··· + a1 (x)y  + a0 (x)y = g (x),

donde a0 (x),a1 (x), ··· ,an (x),g (x)sonfuncionesquedependens´olodelavariable x e y (k ) denotaaladerivada k ´esimadelafunci´on y (x).Encasocontrario sedicequelaecuaci´ondiferenciales nolineal.

 Nota1.1. Lalinealidaddelaecuaci´ondiferencials´oloseexigepara y y susderivadas.

Dentrodelasecuacionesdiferencialeslinealesdistinguimos:

Ecuacionesdiferencialeslinealescon coeficientesconstantes,cuando todosloscoeficientes ai (x)sonconstantesparatodo i =1, ··· ,n.

Ecuacionesdiferencialeslinealescon coeficientesvariables sialg´un coeficiente ai (x)esunafunci´onquedependede x (noesconstante).

 Ejemplo1.7. ClasificalassiguientesEDOseg´unsuorden,sisonlinealeso noy,encasoafirmativo,indicandosisondecoeficientesconstantesovariables.

(a) y

3y  + y =0.

(b) d2 y dx2 +3 dy dx =4ex (c) x3 y

y

+3xy

+5y

x

Soluci´on. Lasecuacionesdiferenciales(a)y(b)sonEDOdesegundoorden linealesconcoeficientesconstantes.Laecuaci´on(c)esunaEDOdetercerorden linealconcoeficientesvariables.

SiunaEDOdeorden n puedeexpresarsedemaneraqueladerivadadeorden n aparezcadespejada,estaexpresi´onrecibeelnombre formanormal dela EDO.

 Nota1.2. Sialexpresarlaecuaci´ondiferencialenformanormalaparecen cocientes,hayquetenerencuentaquelasexpresionesobtenidassonv´alidas donde´estasexistan.

Ejemplo1.8. EscribeenformanormallaEDO:

Soluci´on. Despejamosladerivadam´asaltayobtenemossuformanormal: yy

3y

C.Chiralt/A.Miralles

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+

.Enestecaso, y =0noes soluci´ondelaEDOdada.

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1. Clasificalassiguientesecuacionesdiferenciales,indicandosisetratande EDOoEDP,suorden,sisonlinealesonoy,encasoafirmativo,indicando sisondecoeficientesconstantesovariables:

(a)

(b) d

(c)

(Soluci´on. Lasecuaciones(a)y(b)sonEDOdesegundoordennolineales.Laecuaci´on(c)esunaEDPdesegundoordenlinealdecoeficientes variables).

2. EscribeenformanormallassiguientesEDO:

(a) d

(b)

(Soluci´on. (a)

3. (a)EscribeunaEDOdeorden3,linealyconcoeficientesvariables. (b)EscribeunaEDPdeorden2,nolinealyconcoeficientesconstantes.

1.3.SolucionesdeunaEDO

ResolverunaEDOeshallarunafunci´on y (x)quesatisfagalaecuaci´on.

 Definici´on1.4. Sellama soluci´on deunaecuaci´ondiferencialordinariaen unintervalo I aunafunci´on φ(x)definidaen I que,sustituidaenlaecuaci´on juntoconsusderivadas,verificalaecuaci´onendichointervalo.

 Ejemplo1.9. Comprobemosquelafunci´on φ(x)= e4x essoluci´ondela EDOdeprimerorden y  =4y enelintervalo I =] −∞, +∞[.

Soluci´on. Derivando φ(x)= e4x respectode x, seobtiene φ (x)=4e4x Sustituyendoenlaecuaci´on,vemosque´estaseverificaparatodo x

I :

 Ejemplo1.10. Comprobemosquelafunci´on φ(x)= x2 1 x essoluci´onde laEDOdesegundoorden

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 Ejemplo1.12. Laecuaci´ondiferencial(y

+1=0notienesoluci´onreal yaqueesimposiblequelasumadeesasdoscantidadessea0.

Unasoluci´ondeunaEDOenlaquelavariabledependienteseexpresa s´oloenfunci´ondelavariableindependienteyconstantes,recibeelnombrede soluci´onexpl´ıcita.Enotraspalabras,diremosquelasoluci´onesexpl´ıcitasi setratadeunaexpresi´onenlaquelavariabledependienteest´a“despejada” enlaforma y = y (x).Diremosquelasoluci´ondelaEDOesuna soluci´on impl´ıcita sisetratadeunaexpresi´ondelaforma g (x,y )=0,esdecir,sila variabledependientenoest´a“despejada”.

 Ejemplo1.13. Fij´emonosenque x2 + y 2 =9esunafunci´onimpl´ıcita. Comprobemosqueesunasoluci´onimpl´ıcitadelaEDO y  = x y . Soluci´on. Derivandolarelaci´on x2 + y 2 =9,tenemos: 2x +2yy  =0, dedondeseobtiene,despejando,laecuaci´ondiferencial. 

 Nota1.3. Enelcasodeobtenersolucionesimpl´ıcitasdelaforma g (x,y )= 0,esnecesarioelusodelteoremadelafunci´onimpl´ıcitaparacomprobarque laexpresi´ondefinea y comofunci´onde x.

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 Ejemplo1.14. Veamosque y 2 x3 +8=0essoluci´onimpl´ıcitadela ecuaci´ondiferencial y  = 3x2 2y en]2, +∞[. Soluci´on. Derivandolaexpresi´on y 2 x3 +8=0respectodelavariable x se tiene2yy  3x2 =0, dedondedespejamos y  : y  = 3x2 2y yobtenemoselresultadodeseado.Enestecaso,apartirdelasoluci´onimpl´ıcita podemosobtenerdossolucionesexpl´ıcitasdelaEDO: y1 = √x3 8e y2 = √x3 8.Observemosqueestasfuncionesest´anbiendefinidasparatodo x ∈ [2, +∞[.

 Definici´on1.5. Lagr´aficadeunasoluci´ondeunaecuaci´ondiferencialse denomina curvaintegral delaecuaci´ondiferencial.

Clasificaci´ondelassoluciones

Comoyahemosvistoenlosprimerosejemplosdelcap´ıtulo,elc´alculointegraltrataderesolverEDOsencillasdeltipo y  = f (x)cuyasoluci´onviene dadaporlaintegralindefinida y =  f (x)dx yenlaque,comobiensabemos, apareceunaconstantearbitraria.

 Ejemplo1.15. ConsideramoslassiguientesEDO:

LaEDOdeprimerorden y  = ex .Integrando,obtenemoslasoluci´on y = ex + C1

LaEDOdesegundoorden y  = ex .Integrandoseobtiene y  = ex + C1 y volviendoaintegrarseobtienelasoluci´on y = ex + C1 x + C2 Esobvioquepodemoscontinuaresteprocesoy,laEDO y (n) = ex tendr´a unasoluci´onenlaqueaparecer´an n constantesarbitrarias. 

 Nota1.4. Engeneral,unaEDOquetienesoluci´on,notieneunasino infinitas.Adem´as,enlamayorpartedeloscasos,silaEDOesdeprimer orden,lasoluci´oncontendr´aunaconstantearbitraria;siesdesegundoorden, contendr´adosconstantesarbitrariasyengeneral,siesdeorden n,lasoluci´on contendr´a n constantesarbitrarias.Alconjuntodetodasesassolucionessele llamafamilia n param´etricadesolucionesdelaEDO. 

 Ejemplo1.16. Lanotaanteriorsecumpleenunamplion´umerodecasos. A´unas´ı,nosecumplesiempre.Considera,porejemplo,laecuaci´on(y  )2 + y 2 = 0,quetienela´unicasoluci´on y ≡ 0(funci´onid´enticamentenula).

ClasificamoslassolucionesdeunaEDOdelaformasiguiente:

Familia n param´etricadesoluciones: eslasoluci´ondelaecuaci´on diferencialquecontiene n constantesarbitrarias.

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Soluci´onparticular: esunasoluci´ondelaecuaci´ondiferencialquese obtienedandovaloresnum´ericosatodaslasconstantesdelafamilia n param´etricadesoluciones.

Soluci´onsingular: esunasoluci´ondelaecuaci´ondiferencialquenocontieneconstantesarbitrariasynoest´acontenidaenlafamilian-param´etricadesoluciones.Estetipodesolucionesnoexistesiempre.Silohace, setratadeunafunci´ondenominada curvaenvolvente delafamilia decurvasintegralesdefinidaporlafamilia n param´etricadesoluciones.Paraprofundizarenestacuesti´on,consultalasecci´on1.6deeste cap´ıtulo.

Soluci´ongeneral deunaecuaci´ondiferencialordinariadeorden n: eslaquecontienetodaslassolucionesdelaecuaci´on.Est´aformada porlafamilia n param´etricadesolucionesm´aslasposiblessoluciones singularesquetengalaecuaci´on.

Resolverunaecuaci´ondiferencialconsisteenhallarsusoluci´ongeneral.En elcasodelasecuacionesdiferencialeslinealesnoexistensolucionessingulares;portanto,lasoluci´ongeneralcoincideconlafamilia n param´etricade soluciones.

 Ejemplo1.17. Estudiemoslosdistintostiposdesolucionesqueadmitela ecuaci´ondiferencial y  = √y .

Comoveremosenelcap´ıtulosiguiente,lafamilia1-param´etricadesolucionesdeestaEDOvienedadapor: √y = 1 2 (x + C ).

y´estasest´andefinidasenelintervalo I =[ C, +∞[. Dandovaloresa C ,obtenemossolucionesparticulares.Porejemplo,para C =0 obtenemoslasoluci´onparticular √y = x 2 queest´adefinidaen I =[0, +∞[.

soluciónparticular

Figura1.1: Gr´aficasdelafamilia1-param´etricadesoluciones.

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Esobvioquelafunci´on y =0tambi´enessoluci´ondeestaEDO.Sinembargo,estasoluci´onnopertenecealafamilia1-param´etricaquehemosobtenido, as´ıquesetratadeunasoluci´onsingulardelaEDO.

Portanto,lasoluci´ongeneraldeestaEDOvienedadapor:

1. Compruebasilassiguientesfuncionessonsoluciones(expl´ıcitasoimpl´ıcitas)delaEDOdadaenelintervaloindicado:

(a) Lafunci´on φ(x)= e3x soluci´onde y  3y =0en I =] −∞, +∞ [.

(b) Lafunci´on y = x4 16 soluci´onde y  = x√y en I =] −∞, +∞ [.

(c) Lafunci´on φ(x)= ex soluci´onde y  =4y en I =] −∞, ∞[.

(d) Lafunci´on φ(x)=cos(5x)soluci´onde y  +25y =0.

(e) Lafunci´on x + y + exy =0soluci´onde(1+ xexy )y  +1+ yexy =0. (f) Lafunci´on x2 2y 2 =3soluci´onde x 2yy  =0 (Soluci´on. (a)S´ı,(b)S´ı,(c)No,(d)S´ı,(e)S´ı,(f)S´ı).

2. Determinatodoslosvaloresde r paralosque φ(x)= erx essoluci´onde laEDO25y  =36y (Soluci´on. r = ±6/5).

3. (a) Determinasilarelaci´on y 3ln(y +4)= x2 + C, essoluci´onimpl´ıcita delaEDO dy dx = 2x(y +4) y +1 . (b) Compruebaque y = 4esunasoluci´ondeestaEDO.¿Qu´etipode soluci´ones?

(c) Determinaelvalorde C paraquelasoluci´on y (x)cumplaque y (1)= 3. (Soluci´on. (a)S´ı.(b)Soluci´onsingular.(c) C = 4).

4. Laexpresi´on y (x)= 1 C 3x defineunafamilia1-param´etricadesolucionesdelaecuaci´ondiferencial y  =3y 2

(a) ¿Hayalg´unvalorde C paraelcuallafunci´on y (x)cumplaque y (0)=0?

(b) ¿Existealgunasoluci´on y (x)delaEDOparalacual y (0)=0? (Soluci´on. (a)No.(b)S´ı,lafunci´on y (x)=0).

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5.Dadalaecuaci´ondiferencial3(y

)4 + y 2 =0,

(a)¿Existealgunafamilia2-param´etricadesolucionesdedichaecuaci´on?

(b)¿Tienealgunasoluci´on?

(Soluci´on. (a)No.(b)S´ı,lafunci´on y (x)=0).

1.4.Elproblemadevalorinicial

Unproblemadevalorinicialconsisteenresolverunaecuaci´ondiferencial juntoconunacondici´onquenosindicaelvalor y0 quehadetomarlavariable dependienteparaundeterminadovalor x0 delavariableindependiente.

 Definici´on1.6. Un problemadevalorinicial (o problemadeCauchy ) paraunaEDOdeprimerordenesunproblemadelaforma:

dy dx = f (x,y ), y (x0 )= y0 .

Lacondici´onadicional y (x0 )= y0 recibeelnombrede condici´oninicial

Estanospermitecalcularlaconstantequeapareceenlafamilia1-param´etrica, obteniendolasoluci´onparticularquenosinteresa.

 Ejemplo1.18. Resolvamoselproblemadevalorinicial: y  = y , y (0)=3

Soluci´on. Lafamilia1 param´etricadesolucionesdelaEDO y  = y vienedadapor y = Cex enelintervalo I =] −∞, +∞[ Buscamoslasoluci´on particularcuyacurvaintegralpasaporelpunto(0, 3)(verfigura1.2). Unavezhalladalafamilia y = Cex , sustituimoslacondici´oninicial:

3= Ce0 obteniendoelcorrespondientevalorde C ,queresultaser C =3.Portanto,la soluci´onparticularbuscadaes y =3 ex 

soluciónpara

Figura1.2: Soluci´ondelproblemadevalorinicial.

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Engeneral,sitenemosunaecuaci´ondiferencialdeorden n, necesitaremos n condicionesdelaforma y (x0 )= y0 ,y  (x0 )= y1 , ··· ,y (n 1) (x0 )= yn 1 , para poderdeterminarlas n constantesarbitrariasdelafamilia n param´etricay obteneras´ıunasoluci´onparticular,donde y (k ) denotaladerivada k ´esimade lafunci´on y

 Definici´on1.7. Un problemadevalorinicial deunaecuaci´ondiferencial deorden n:

F �x,y,y  ,...,y (n)  =0 consisteenencontrarunasoluci´onenunintervalo I deformaqueparaun cierto x0 ∈ I sesatisfaganlascondicionesiniciales: y (x0 )= y

,y

(x0 )= y1 ,...,y (n 1) (x0 )= yn 1 , donde y0 ,y1 ,...,yn 1 sonvaloresdados.

 Ejemplo1.19. Demostremosquelafunci´on φ(x)=sen x cos x essoluci´on delproblemadevalorinicial:

y =0,y

Soluci´on. Tenemosque:

Portanto, φ(x)essoluci´ondelaEDO.Adem´as:

Verificaque

Compruebaquelafunci´on

(x)=

sen(4

)essoluci´ondelproblemade valorinicial:

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1.5.Existenciayunicidaddesoluciones

Cuandoconsideramosunproblemadevalorinicial,aparecendoscuestiones fundamentales:

¿Existesoluci´onalproblema?

Encasodeexistirsoluci´on,¿´estaes´unica?

Estoequivaleapreguntarsesidetodalafamiliadecurvasintegralesexiste algunaquepaseporelpuntodefinidoporlacondici´oninicialysi´estaesla ´unicaquepasaporesepunto.

 Ejemplo1.20. Elproblemadevalorinicial: y  √y =0,y (0)=0, tienedossoluciones.

Soluci´on. Esteproblemaadmitelasoluci´onparticular y = x2 4 ylasoluci´on singular y =0,esdecir,haydoscurvasintegralespasandopor(0, 0)(ver ejemplo1.17). 

Paraasegurarlaexistenciaylaunicidaddesoluci´onaunproblemadevalor inicialdeprimerorden,establecemoselsiguienteresultado:

 Teorema1.1 (Existenciayunicidaddesoluci´on). Consideraelproblemadevalorinicial: dy dx = f (x,y ),y (x0 )= y0

Si f y ∂f ∂y sonfuncionescontinuasenunrect´anguloquecontienealpunto(x0 ,y0 )ensuinterior,entoncesexisteuna´unicafunci´on φ(x)quees soluci´ondelproblemaenunintervalo I quecontienealpunto x0

Cabedestacarquelaexistenciayunicidaddelasoluci´onseaseguras´olo enunintervalo I ,quepuedesermuypeque˜no,quecontienea x0 (verfigura 1.3).

d

Figura1.3: Intervalodeexistenciadelasoluci´ondelproblemadevalorinicial.

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Poderasegurarlaexistenciaylaunicidaddeunasoluci´onnoimplicaque seamoscapacesdehallarla.Sinembargo,conocerestehechonospermitir´a,al menos,aproximarnosalasoluci´onconm´etodosnum´ericosorealizarestudios cualitativos.

 Ejemplo1.21. Comprobemosqueelproblemadelejemplo1.20nosatisface lascondicionesdelteoremaanterior.

Soluci´on. Hemosvistoquelasoluci´ongeneraldeestaecuaci´onestabaformada porunafamilia1-param´etricadesolucionesyunasoluci´onsingular y =0 Si dibujamoslascurvasintegrales,vemosqueporelpunto(0, 0)pasandoscurvas soluci´on,portanto,nohayunicidad.Veamosque,efectivamente,noseverifica elteoremadeexistenciayunicidadpara(x0 ,y0 )=(0, 0):

y  = √y, esdecir, f (x,y )= √y = y 1/2 , yderivando: ∂f ∂y = 1 2√y .

Lasfunciones f y ∂f ∂y soncontinuasenelsemiplano y> 0, peronoson continuasenunrect´anguloquecontengaa(0, 0). Encambio,s´ıquepodr´ıamosasegurarqueparatodo(x0 ,y0 )con y0 > 0, existeunintervalocentradoen x0 enelqueelproblemadadotienesoluci´on ´unica. 

 Ejemplo1.22. Dadoelproblemadevalorinicial:

y  = y,y (0)=3, ¿existesoluci´on´unica?

Soluci´on. Tenemosque f (x,y )= y y ∂f ∂y =1sonfuncionescontinuasen R2 , portanto,soncontinuasenunrect´anguloalrededorde(0, 3).Podemos asegurarqueexisteunintervaloquecontienea x0 =0dondeexistesoluci´ony es´unica(dehecho,vimosquetalsoluci´onera y =3ex ). 

Problemasycuestionesdelasecci´on1.5

1. Determinasiseverificaelteoremadeexistenciayunicidaddesoluci´on enlossiguientesproblemasdevalorinicial:

(a) y  = x2 xy 3 ,y (1)=6.

(b) y  = x2 √y,y (0)=0.

(c) y  = x2 √y,y (1)=1. (d) y  = x2 + y 2 xy,y (0)=2.

(e) y  = 2x y 1 ,y (1)=0.

(f) (y  )2 + y 2 +1=0,y (0)=0.

(Soluci´on. (a)S´ı.(b)No.(c)S´ı.(d)S´ı.(e)S´ı.(f)No).

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Consideraelproblemadevalorinicial:

(a) Demuestraquelasfunciones

)=2e y

(

)=2cos x satisfacen laEDOenelintervalo[0

(b) Compruebaquenosecumplenlaship´otesisdelteoremadeexistenciayunicidaddesoluci´on.

Comoyahemoscomentadoenlasecci´on1.3,cuandounaEDOtieneunasoluci´onsingular,estaresultaserlacurvaenvolventedelafamilia n param´etrica desoluciones.

 Definici´on1.8. Sellama envolvente deunafamiliadecurvasauna curvaqueestangenteatodalafamiliaydemaneraqueencadapuntode laenvolventeexisteun´unicomiembrodelafamiliatangenteaella.

 Ejemplo1.23. Lasoluci´onsingular y =0delejemplo1.17,esunaenvolventedelafamilia1-param´etricadesoluciones,yaqueestangenteatodaslas curvasyencadapuntodelaenvolventeexisteun´unicomiembrodelafamilia tangenteaella(verfigura1.1).

 Teorema1.2 (Condici´onsuficientedeexistenciadelaenvolvente). Supongamosque f (x,y,C )esunafunci´ondosvecesdiferenciabledefinida enunconjuntodevalores x,y,C .Siparaesteconjuntodevaloressetiene que:

ysetieneque:

entonceslafamiliadecurvas

ecuacionesparam´etricasvienendadaspor(1.1).

Ejemplo1.24. Calculemoslaenvolventedelafamilia(

tecnologías

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1.6.Proyectoparaelcap´ıtulo1.C´alculodela envolventedeunafamilia

±2, obtenemosdosenvolventesdeestafamiliadecircunferencias,cuyasgr´aficasse muestranenlafigura1.4.

Familia1-param´etricadecircunferenciasysusenvolventes.

Calculemoslaenvolventedelafamilia y = Cx2 +1. Soluci´on. Derivando y = Cx2 +1respectode C tenemos x2 =0,ysustituyendoenlaecuaci´ondelafamilia,setieneque y =0+1;portanto, y =1.Pero podemosobservarquenosetratadeunaenvolventedelafamiliadecurvas, sinodeunadeellas,correspondientealvalor C =0

Porotraparte,sidibujamoslasgr´aficasdeestafamiliadepar´abolasyde y =1, vemosque,efectivamente,nosetratadeunaenvolvente,puesencada puntodeellanohayunmiembrodelafamiliatangenteaellayadem´as,enel punto(0, 1)haym´asdeunmiembrodelafamiliatangenteaella(verfigura 1.5).

Familia1-param´etricadepar´abolas.

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Ecuacionesdiferencialesde primerorden.Aplicaciones

2.1.Introducci´on

Enestetemanoscentraremosenlaresoluci´ondeEDOdeprimerordeny nuestrosobjetivossonlossiguientes:

DistinguirsiunaEDOdeprimerordenpuederesolverseporalgunode losm´etodosquevamosaestudiaryaplicarelm´etododeresoluci´onde esem´etodo.

Modelizaryresolverproblemasprovenientesdefen´omenosrealesdonde aparecenEDOdeprimerorden.

Estudiaremosalgunosdelosm´etodosm´ashabitualesytambi´enveremos lamodelizaci´onyresoluci´ondeproblemasrealesdondesurgenestetipode ecuaciones.EntrelostiposdeEDOdeprimerorden,estudiaremosyresolveremosecuacionesdevariablesseparables,ecuacionesexactasyecuaciones queresultanserexactasmedianteelc´alculodeunfactorintegrante,as´ıcomo tambi´enecuacioneslinealesyecuacioneshomog´eneas.Entrelasaplicaciones, veremosc´omoestasecuacionesaparecenenlamodelizaci´ondeproblemasde enfriamiento,problemasdemec´anicanewtoniana,problemasdemezclasenun dep´ositoyenproblemasdelc´alculodelconjuntodetrayectoriasortogonalesa unconjuntodecurvas.

UnaEDOdeprimerordenpuedepresentarsededistintasformas:

Formageneral: Esaquellaenlaquelavariableindependiente,lavariabledependienteysusderivadasest´anrelacionadaseigualadasa0. Anal´ıticamente:

Formanormal: Talcomovimosenelcap´ıtulo1,aqu´ıladerivadade mayorordenest´adespejada:

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Formadiferencial: DiremosqueunaEDOest´aexpresadaennotaci´on diferencialsiesdelaforma:

M (x,y )dx + N (x,y )dy =0.

Comorecordar´asdecursosanterioresdec´alculo,eldiferencialdeunafunci´on y = f (x)vienedadopor dy = f  (x)dx eindicaelincremento dy delavariable dependiente y alconsiderarunincremento dx delavariable x.Operandola ecuaci´on,obtendremos: N (x,y )dy = M (x,y )dx −→ dy dx = M (x,y ) N (x,y ) −→ y  = M (x,y ) N (x,y ) ,

yllamando f (x,y )= M (x,y ) N (x,y ) ,obtenemoslaEDO y  = f (x,y )enformanormal.

An´alogamente,apartirdeunaEDOdelaforma y  = f (x,y )yutilizando lanotaci´ondeLeibnitz,obtenemos: dy dx = f (x,y ) −→ dy = f (x,y )dx −→ f (x,y )dx dy =0, as´ıquepodemospasardelaformanormalalaformadiferencialyviceversa.

 Ejemplo2.1. EscribelaEDO3yy  =2x + y enformadiferencial. Soluci´on. Utilizandolanotaci´ondeLeibnitz,obtenemos:

3y dy dx =2x + y −→ 3ydy =(2x + y )dx, obteniendofinalmente(2x + y )dx 3ydy =0.

 Ejemplo2.2. EscribelaEDO(x cos y )dx +(x2 y )dy =0enforma general. Soluci´on. Despejando,obtenemos:

dy dx = cos y x x2 y y,portanto, y  cos y x x2 y =0

Problemasycuestionesdelasecci´on2.1

1. EscribelaEDO(8x 2y 2 )y  = e3x enformadiferencial.

2. EscribelaEDO(x2 y 2 )dx +(x + y )dy =0enformanormal.

3. EscribelaEDO ydx + dy =0enformageneral.

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2.2.Ecuacionesdevariablesseparables

 Definici´on2.1. Unaecuaci´ondiferencialdelaforma: dy dx = f (x,y ),

esuna ecuaci´onseparableodevariablesseparables si f (x,y )sepuede expresarcomoelproductodeunafunci´onde x porunafunci´onde y ,estoes: dy dx = g (x)h(y ). (2.1)

Resoluci´ondeecuacionesdevariablesseparables

Silaecuaci´ondiferencialpresentalaforma(2.1),separamoslasvariables x e y ,aisl´andolasenmiembrosopuestosdelaecuaci´on.Si h(y ) =0,obtenemos: 1 h(y ) dy = g (x)dx

eintegrandoenambaspartesdelaigualdad,tendremos:

1 h(y ) dy =  g (x)dx (2.2) obteniendoas´ılafamilia1 param´etricadesolucionesenformaimpl´ıcita: H (y )= G(x)+ C.

Si h(y )=0estambi´ensoluci´ondelaEDO,laa˜nadiremosalafamilia 1 param´etricaparaobtenerlasoluci´ongeneraldelaecuaci´ondiferencial,a menosqueyaest´eincluidaenella.

 Nota2.1. Alcalcularlasintegralesen(2.2),noesnecesarioelusodedos constantesyaque,siescribi´eramosalgodeltipo H (y )+ C1 = G(x)+ C2 , podr´ıamosreemplazarlaconstante C2 C1 por C .Normalmente,laconstante suelecolocarseenelt´erminodelavariableindependiente(enestecaso,la x).

 Nota2.2. SilaEDOsepresentaenformadiferencial:

M (x,y )

+

)dy =0, podemospasarlaasuformanormalparacomprobarsiesdevariablesseparablestalcomohemosindicadoantes.Tambi´enpodemoscomprobarlodirectamente.Enestecaso,laecuaci´onser´adevariablesseparablessisepuede escribirdelaforma:

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y,portanto,laecuaci´onquedadelaforma:

g (x) dx + h(y ) dy =0

Acontinuaci´on,separamoslasvariables:

g (x)dx = h(y )dy eintegramos,obteniendolasoluci´onimpl´ıcitadelaEDOaligualqueenel casoanterior.

 Nota2.3. Enelprocesoderesoluci´onsepuedenperdersolucionescon lasmanipulacionesalgebraicasy,enestecaso,hayquea˜nadirlasalfinalpara obtenerlasoluci´ongeneral.

 Ejemplo2.3. Compruebasilassiguientesecuacionesdiferencialessono nodevariablesseparables:

(a) dy dx =4x3 x3 y 2 .

(b) dy dx = 5x 7xy y 2 +1 (c) y  =4+3xy.

(d) cos xey dx +(x2 +3) dy =0. Soluci´on.

(a) Estaecuaci´onlapodemosreescribircomo:

dy dx = x3 (4 y 2 ), luego,s´ıesunaecuaci´ondevariablesseparables.

(b) Estaecuaci´onlapodemosreescribircomo:

dy dx = x(5 7y ) y 2 +1 ; portanto,elt´erminodeladerechasepuedeescribircomoelproducto deunafunci´onde x porunafunci´onde y :

dy dx = x 5 7y y 2 +1 , luego,s´ıesunaecuaci´ondevariablesseparables.

(c) Enlaecuaci´on:

y  =4+3xy nopodemossepararlaexpresi´on4+3xy comoproductodeunafunci´on de x porunade y ;portanto,noesunaecuaci´ondevariablesseparables.

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Estaecuaci´onesdelaforma:

luego,s´ıesunaecuaci´onseparable.

Ejemplo2.4. ResuelvelaEDOdevariablesseparables:

dx = 2x +3 y 5 . Soluci´on. Separandolasvariables,tenemos:

eintegrandoamboslados,

obtenemoslasoluci´ongeneralimpl´ıcita:

Siqueremosdespejar y paraobtenersolucionesexpl´ıcitas,denotando C = 6C1 ,obtenemoslassoluciones:

Ejemplo2.5. Resuelveelproblemadevalorinicialdadopor y  = y 3 3x +7 conlacondici´oninicial y ( 2)=1. Soluci´on. Tendremosque:

dx =

(2.4)

Observemosquelafunci´on y =3essoluci´ondelaEDO.Si y =3,integrando ambosmiembrosde(2.4),setieneque:

(2.5)

Parasimplificarlaexpresi´onyeliminarloslogaritmos,pasamosel1/3como exponenteenellogaritmodeladerecha.Despu´es,aplicamoslafunci´onexponencialenambosmiembrosyobtenemos:

Comolaexponencialyellogaritmoneperianosonunafunci´oninversadela otra,obtenemos:

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tecnologías

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donde C = eC1 puedetomarcualquiervalorrealpositivo.Aleliminarlos valoresabsolutos,obtenemoslasoluci´on: y 3= C (3x +7)1/3 paratodo C =0.Por´ultimo,comoyahemoscomentadoalprincipio,lafunci´on y =3quesalejustamentedeconsiderarelcaso C =0tambi´enesunasoluci´on delaEDO.Portanto,lasoluci´ongenerales: y 3= C (3x +7)1/3 −→ y =3+ C 3 √3x +7 paratodo C ∈ R.Paraencontrarlasoluci´onparticularquecumple y ( 2)=1, sustituimosyobtenemos1=3+ C 3 √1,porloque C = 2y,portanto,la soluci´onparticularpedidaser´a: y =3 2 3 √3x +7. 

Problemasycuestionesdelasecci´on2.2

1. CompruebasilassiguientesEDOsondevariablesseparablesono:

(a) y  =1+ x + y (b) y  = x +1+ y + xy (c) 2xydx +(3y 3 cos y )dy =0

(Soluci´on. (a)No.(b)Factorizandoelt´erminodeladerecha,seobserva ques´ı.(c)S´ı).

2. Obt´enlasoluci´ongeneraldelassiguientesEDOdevariablesseparables:

(a) 3x2 dx (x3 +1)ydy =0.

(b) e y sen xdx + y cos xdy =0. (c) y  = x+xy 2 (x2 +1)8

(Soluci´on. (a) y 2 /2=ln(x3 +1)+ C ,(b) ey (y 1)=ln | cos x| + C , (c) y =tan  1 14(x2 +1)7  + C ).

3. Resuelveelsiguienteproblemadevalorinicial:

dy dx = y (4x2 +4) x ,y (1)=1.

(Soluci´on. y = x4 e2x2 1 ).

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2.3.Ecuacionesdiferencialesexactasyfactor integrante

Consideraelconjuntodecircunferenciascentradasenelorigendecoordenadas,quevienedadoporlaexpresi´on: x 2 + y 2 = C donde C ≥ 0.Sicalculamoseldiferencialenambosladosdelaigualdad, obtendremoslaEDO 2xdx +2ydy =0 cuyasoluci´ongeneralser´a,obviamente,elconjuntodefuncionesimpl´ıcitas dadoinicialmente.

¿Qu´eocurresiintentamosrealizarelprocesoalainversa?Esdecir,consideramos,amododeejemplo,laEDOdadapor:

y 3 dx +3xy 2 dy =0.

NospreguntamossiesaEDOpuedeprovenirdecalcularlosdiferencialesde unaexpresi´ondeltipo F (x,y )= C comolaanteriorparaunadeterminada funci´on F (x,y ).Entalcaso,deber´acumplirseque ∂F ∂x = y 3 y ∂F ∂y =3xy 2 . Trasunpeque˜notanteoobienporintegraci´on,observamosquelafunci´on F (x,y )= xy 3 cumpleestaslascondiciones.Portanto,laEDOprocedede diferenciarenambosmiembroslaexpresi´on: xy 3 = C y,portanto,´estaeslasoluci´ongeneraldelaecuaci´on.

Engeneral,apartirdeunafamiliadecurvasdelaforma F (x,y )= C , sepuedegenerarunaEDOdeprimerordenhallandoeldiferencialenambos ladosdelaecuaci´oncomohemoshechoenelejemploanterior: dF (x,y )=0, esdecir,

dx + ∂F ∂y dy =0

Enestasecci´ontrataremosderesolverecuacionesdiferencialesutilizando elprocesoinverso,esdecir,apartirdeunaEDOdelaforma:

M (x,y )dx + N (x,y )dy =0,

estudiaremossielt´erminodelaizquierdacorrespondealdiferencialtotalde algunafunci´ondedosvariables F (x,y ).

 Definici´on2.2. UnaEDOdeprimerorden:

M (x,y )dx + N (x,y )dy =0 (2.6)

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sedicequees exacta enunaregi´onde R2 (consideraremosqueunaregi´ones obientodo R2 obienunrect´angulosinbordesen R2 )siexisteunafunci´on F (x,y )talqueque:

∂F

∂x (x,y )= M (x,y )y ∂F ∂y (x,y )= N (x,y ) entodoslospuntos(x,y )delaregi´on.

Elsiguienteresultadonosdaunacondici´onnecesariaysuficientepara sabercu´andounaEDOesexacta.Sudemostraci´onnosproporciona,adem´as, unm´etodoparaobtenerlasoluci´ongeneral F (x,y )= C

 Teorema2.1. Si M (x,y )y N (x,y )sondosfuncionescontinuascon derivadasparcialescontinuasenunaregi´onde R2 ,entonceslaEDO M (x,y )dx + N (x,y )dy =0

esexactasiys´olosisecumple:

∂M ∂y (x,y )= ∂N ∂x (x,y )paratodo(x,y )delaregi´on (2.7)

Demostraci´on.(=⇒)Silaecuaci´on M (x,y )dx + N (x,y )dy =0esexacta, entoncesexisteunafunci´on F (x,y )talque:

∂F ∂x (x,y )= M (x,y )y ∂F ∂y (x,y )= N (x,y )

Portanto, ∂ 2 F ∂y∂x (x,y )= ∂M (x,y ) ∂y y ∂ 2 F ∂x∂y (x,y )= ∂N (x,y ) ∂x

Sabemosque,bajolascondicionesdelenunciado,lasderivadascruzadas segundasde F (x,y )soniguales,as´ıque:

∂M (x,y ) ∂y = ∂N (x,y ) ∂x

(⇐=)Consideramoslaecuaci´on M (x,y )dx + N (x,y )dy =0.Sisecumple(2.7), veamosqueexisteunafunci´on F (x,y )verificandolascondiciones:

∂F ∂x (x,y )= M (x,y )y ∂F ∂y (x,y )= N (x,y )

Si ∂F ∂x (x,y )= M (x,y ), entonces: F (x,y )=  M (x,y )dx = G(x,y )+ ϕ(y ) (2.8)

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donde G(x,y )esunaprimitivade M (x,y )respectode x.Ahora,derivamos parcialmenterespectode y laexpresi´onobtenidapara F ylaigualamosa N (x,y

Parapodercalcular ϕ(y ),esnecesarioquelaexpresi´ondeladerechas´olo dependade y y,enesecaso,podremosintegrarconrespectoa y yobtener ϕ(y )que,sustituidaen(2.8),nosdar´alaexpresi´onde F (x,y )

Paraverquelaexpresi´on(2.9)s´olodependede y ,comprobamosquesu derivadaparcialconrespectode

ResumenpararesolverEDOexactas

ComprobamossilaEDO(2.6)esexacta.

Lasoluci´ongeneraldelaEDOvienedadaporlaexpresi´onimpl´ıcita:

(x,y )= C,

donde F (x,y )seobtienesiguiendolospasosvistosenlademostraci´ondel teorema2.1ydonde C esunaconstantearbitraria.Sepuedecomprobar, aplicandolovistosobrecurvasenvolventeseneltemaanterior,quelas EDOexactascarecendesolucionessingulares.

ResuelvelasiguienteEDO:

diferenciales:

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y

= N =2x 2 y 1 y (2.11)

Integramosunadelasdosexpresiones,porejemplolaexpresi´on(2.10),y obtenemos:

F (x,y )=  (ex +2xy 2 ) dx = ex + x 2 y 2 + ϕ(y )

donde ϕ(y )esunafunci´onques´olodependede y .Derivamosahoraconrespecto a y yobtenemos:

x 2 y + ϕ  (y )

Igualamosestaexpresi´onylaexpresi´on(2.11)ysetieneque: 2x 2 y + ϕ  (y )=2x 2 y 1 y

yobtenemosque ϕ (y )= 1 y ,as´ıque:

ϕ(y )=  1 y dy = ln |y |, obteniendoque F (x,y )= x2 y 2 ln |y |.Portanto,lasoluci´ongeneraldela EDOenformaimpl´ıcitavendr´adadapor: ex + x 2 y 2 ln |y | = C. 

 Nota2.4. Enelc´alculode ϕ(y )tomamos0comoconstantedeintegraci´on, obteniendouna´unicaprimitiva.Sinembargo,noexistep´erdidadesoluciones enlasolugi´ongeneral F (x,y )= C paratodo C yaquesiaparecencualesquiera constantes C1 y C2 alaizquierdayaladerechadelaigualdadrespectivamente, ´estaspuedepasarsealaderechayredefinir C = C2 C1

 Ejemplo2.7. Resuelveelsiguienteproblemadevalorinicial:

y (0)=0

Soluci´on. PasamoslaEDOanotaci´ondiferencial:

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as´ıquelaEDOesexacta.Sabemosquelasoluci´ondelaEDOvendr´adada por F (x,y )= C ,donde F cumple:

= M = y ex (2.12) y

= N = x +cos y. (2.13)

Integramos,porejemplo,laecuaci´on(2.13),yobtenemos: F (x,y )=  (x +cos y ) dy = xy +sen y + ψ (x)

donde ψ (x)esunafunci´onques´olodependede x.Derivamosahoraconrespectoa x yobtenemos: ∂F ∂x = y + ψ  (x)

Igualamosestaexpresi´onylaexpresi´on(2.12)ysetieneque: y + ψ  (x)= y ex yobtenemosque ψ  (x)= ex ,as´ıque: ψ (x)=  ex dx = ex obteniendoque F (x,y )= xy +sen y ex y,portanto,lasoluci´ongeneralde laEDOenformaimpl´ıcitavendr´adadapor: xy +sen y ex = C.

Paraencontrarlasoluci´onparticular,sustituimoslacondici´on y (0)=0para hallar C :0+0 e0 = C ,obteniendo C = 1y,portanto,lasoluci´onparticular ser´a:

xy +sen y ex = 1. 

Factoresintegrantes

Dadaunaecuaci´ondiferencialdelaforma:

M (x,y )dx + N (x,y )dy =0 (2.14) quenoesexacta,avecesesposibleencontrarunafunci´on µ(x,y )talqueal multiplicarlaporlaecuaci´ondiferencial,´estaseconviertaenexacta.Esdecir,

µ(x,y )M (x,y )dx + µ(x,y )N (x,y )dy =0 esunaecuaci´ondiferencialexacta.

Ejemplo2.8. ConsideralaEDO

(y cos x +2xy 2 )dx +(2sen x +3x 2 y )dy =0

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(a) Compruebaquenoesexacta.

(b) CompruebaquealmultiplicarlaEDOanteriorporlafunci´on µ = y ,la nuevaEDOs´ıesexacta.

Soluci´on. Tenemosque:

∂M

∂y =cos x +4xy y ∂N ∂x =2cos x +6xy

as´ıquelaEDOnoesexacta.Almultiplicarlaecuaci´onpor µ = y ,quedar´a: (y 2 cos x +2xy 3 )dx +(2y sen x +3x 2 y 2 )dy =0

ComprobamossiestaEDOesexactacalculandolasderivadasparcialescorrespondientes:

∂ ∂y (y 2 cos x +2xy 3 )=2y cos x +6xy 2 y ∂ ∂x (2y sen x +3x 2 y 2 )=2y cos x +6xy 2 porloqueambascoincideny,portanto,s´ıesexacta. 

 Definici´on2.3. Diremosqueunafunci´on µ(x,y )esun factorintegrante paralaEDO: M (x,y )dx + N (x,y )dy =0 sialmultiplicarlaecuaci´onpor µ(x,y )seconvierteenexacta.

 Nota2.5. Losfactoresintegrantespuedendepender´unicamentedeuna delasdosvariablesqueintervienenenlaEDO.Tantolaecuaci´onoriginal comolanuevaEDOdespu´esdemultiplicarporelfactorintegrante,tienen esencialmentelasmismassoluciones.A´unas´ı,avecesesposibleganaroperder soluciones.

 Ejemplo2.9. Compruebaque µ(x,y )= xy 2 esunfactorintegrantedela EDO:

(2y 6x)dx +(3x 4x 2 y 1 )dy =0 (2.15) yresu´elvela. Soluci´on. Almultiplicar(2.15)por xy 2 obtenemos:

(2xy 3 6x 2 y 2 )dx +(3x 2 y 2 4x3 y )dy =0, (2.16)

quesecompruebaf´acilmenteques´ıesexacta.Lasoluci´ondelaecuaci´on(2.16) ser´a F (x,y )= C, siendo F (x,y )unafunci´oncumpliendo:

∂F

∂x =2xy 3 6x 2 y 2 (2.17) y

∂F

∂y =3x 2 y 2 4x3 y. (2.18)

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Integrando(2.17)respectode x setieneque:

F

x,y )=  (2xy 3 6x

y

)

= x 2 y 3 2x3 y 2 +

Derivandoestaexpresi´onrespectode y ,tenemosque:

x 2 y 2 4x3 y + ϕ

Igualamosestaecuaci´onylaecuaci´on(2.18):

(y ).

(y )

2 y 2 4x

(y

y

)=3x 2 y 2 4x3 y, despejamos

yobtenemosunaprimitiva ϕ(y )=0.Portanto,

F (x,y )= x 2 y 3 2x3 y 2

ylasoluci´ongeneraldelaecuaci´ondiferencial(2.16)es:

Almultiplicarlaecuaci´on(2.15)por

sehaobtenido y ≡ 0(lafunci´on id´enticamentenula)comosoluci´onde(2.16).Sinembargo,´estanoessoluci´on delaEDOoriginal(2.15).

C´alculodealgunosfactoresintegrantes

Enelapartadoanteriorhemosvistoque µ(x,y )esunfactorintegrantede laEDO M (x,y )dx + N (x,y )dy =0si µMdx + µNdy =0esexacta.Utilizando elteorema2.7,tendremosque:

yusandolaregladederivaci´ondeunproducto,obtenemos:

esdecir:

Engeneral,esdif´ıcilobtener

algunoscasosesposiblehacerlo.

Factorintegrantedelaforma

.Entonces,comoladerivada conrespectoa y delfactor

unfactorintegranteques´olodependade

ser´aiguala0,laecuaci´on(2.19)quedar´a:

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Portanto,

Silaexpresi´ondeladerechas´olodependede x ysepuedeintegrar, entonceselfactorintegrantevienedadopor:

Factorintegrantedelaforma µ(y ). An´alogamentealcasoanterior, sibuscamosunfactorintegranteques´olodependade y, comoladerivada de µ conrespectoa x ser´a0,laecuaci´on(2.19)quedar´a:

Portanto:

Silaexpresi´ondeladerechas´olodependede y ysepuedeintegrar, entonceselfactorintegrantevienedadopor:

Resumenparaencontrarfactoresquesondelaforma µ(x) o µ(y )

SiconsideramoslaEDO M (x,y )dx + N (x,y )dy =0yqueremoscomprobar siesexactaoreducibleaexactamedianteelusodeunfactorintegrante, procederemosdelasiguientemanera:

Primero,calculamos ∂M ∂y y ∂N ∂x .Acontinuaci´on,tenemosdoscasos:

(a) Si ∂M ∂y = ∂N ∂x , laecuaci´onesexacta,procedemoscomoenelteorema2.7 yelproblemaquedaresuelto.

(b) Si ∂M ∂y = ∂N ∂x , laecuaci´onnoesexactaybuscamosunfactorintegrante deunadelasformasanteriorestanteandolaexpresi´on ∂M ∂y ∂N ∂x .Si encontramosunfactorintegrante,semultiplicatodalaEDOpordicho factory,puestoquelaecuaci´onobtenidaesexacta,seresuelveutilizando elteorema2.7.Finalmente,secompruebasialmultiplicarporelfactor integranteaparecensolucionesextra˜nasosepierdensoluciones.

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 Ejemplo2.10. ResuelvelaEDO(3xy y 2 )dx + x(x y )dy =0. Soluci´on. Escribimoslaecuaci´ondesarrollandoelsegundofactor: (3xy y 2 )dx +(x 2 xy )dy =0

yobservamosque: ∂ ∂y (3xy y 2 )=3x 2y y ∂ ∂x (x 2 xy )=2x y, as´ıquelasdosparcialessondistintasy,portanto,laEDOnoesexacta. Trataremosdeencontrarunfactorintegrantequedepende´unicamentede x o de y .Tanteamoslaexpresi´on ∂M ∂y ∂N ∂x : ∂M ∂y ∂N ∂x = x y yesevidentequesidividimosentreelfactor N = x(x y ),elresultado depender´a´unicamentede x.As´ı, ∂M ∂y ∂N ∂x N = x y x(x y ) = 1 x

as´ıque: µ(x)= e 1 x dx = e ln x = x esunfactorintegrantedelaEDO.Portanto,almultiplicarlaEDOpor µ,la ecuaci´ondiferencialresultante: (3x 2 y xy 2 )dx +(x3 x 2 y )dy =0 s´ıqueser´aexacta.Sabemosquelasoluci´ondelaEDOvendr´adadapor F (x,y )= C, donde F cumple:

∂F ∂x = M =3x 2 y xy 2 (2.20) y ∂F ∂y = N = x3 x 2 y. (2.21)

Integramos,porejemplo,laecuaci´on(2.21),yobtenemos:

F (x,y )=  (x3 x 2 y ) dy = x3 y x2 y 2 2 + ψ (x) donde ψ (x)esunafunci´onques´olodependede x.Derivamosconrespectoa x yobtenemos:

∂x =3x 2 y xy 2 + ψ  (x).

Igualamosestaexpresi´onylaexpresi´on(2.20)ysetieneque:

3x 2 y xy 2 +

(x)=3x 2 y xy 2

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ytenemosque ψ  (x)=0,as´ıqueunaprimitivaser´a ψ (x)=0,obteniendo que F (x,y )= x3 y x2 y 2 2 y,portanto,lasoluci´ongeneraldelaEDOenforma impl´ıcitavendr´adadapor: x3 y x2 y 2 2 = C.   Ejemplo2.11. Resuelveelproblemadevalorinicialdadopor: 2xyex2 dx +(4ex2 +15y )dy =0e y (0)=1 Soluci´on. ResolvemosenprimerlugarlaEDO.Observemosque:

∂M ∂y =2xex2 y ∂N ∂x =8xex2

as´ıquelasdosparcialessondistintasylaEDOnoesexacta.Parabuscarun factorintegrante,tanteamoslaexpresi´on:

∂M ∂y ∂N ∂x = 6xex2 quealdividirpor M depender´a,´unicamente,delavariable y .Dehecho, ∂M ∂y

M = 6xex2 2xyex2 = 3 y y,portanto,unfactorintegranteparalaEDOser´a: µ(y )= e

Portanto,laEDOoriginalmultiplicadapor µ: 2xy

esunaEDOexacta.Sabemosquelasoluci´ondelaEDOvendr´adadapor F (x,y )= C, donde F cumple:

∂F

(2.22) y

(2.23) Integramos,porejemplo,laecuaci´on(2.22),yobtenemos:

F (x,y )=

donde ϕ(y )esunafunci´onques´olodependede y .Derivamosahoraconrespecto alavariable y yobtenemos:

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Igualamosestaexpresi´onylaexpresi´on(2.23)ysetieneque:

4y 3 ex2 + ϕ  (y )=4y 3 ex2 +15y 4 yobtenemosque ϕ (y )=15y 4 ,as´ıque:

ϕ(y )=  15y 4 dy =3y 5

obteniendoque F (x,y )= y 4 ex2 +3y 5 y,portanto,lasoluci´ongeneraldela EDOenformaimpl´ıcitavendr´adadapor:

y 4 ex2 +3y 5 = C.

Paraencontrarlasoluci´onparticularquecumpleque y (0)=1,sustituimosen lasoluci´ongeneral,obteniendo1e0 +3 · 1= C ,as´ıque C =4,obteniendola soluci´onparticularenformaimpl´ıcita:

4 ex2 +3y 5 =4 

Factorintegrantedelaforma µ(x,y )= xa y b Sielfactorintegrante esunproductodeunapotenciade x porunapotenciade y delaforma µ(x,y )= xa y b con a,b n´umerosreales,podemosdeterminarlodela siguientemanera:

(1) MultiplicamoslaEDOporelfactorintegrante:

(2) Hacemoslasparcialescorrespondientesylasigualamos:

(3) Igualamosloscoeficientesdelosmonomiosdecadamiembrodela igualdadyobtenemoselvalorde a,b

Ejemplo2.12. ResuelvelaEDO:

sabiendoquetieneunfactorintegrantedelaforma

Soluci´on. MultiplicamoslaEDOpor

=

yobtenemos:

y,portanto,

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Hacemoslasparcialescorrespondientesylasigualamos:

∂M

∂y =12bxa y b 1 +5(b +1)xa+1 y b

∂N

∂x =6(a +1)xa y b 1 +3(a +2)xa+1 y b e,igualandoloscoeficientesdecadamonomio,obtenemos:12b =6(a +1)y 5(b +1)=3(a +2).Despejandolaprimeraecuaci´on,obtenemosque a =2b 1 y,sustituyendoenlaotra,setieneque5(b +1)=3(2b 1+2) ⇒ 5b +5= 6b +3 ⇒ b =2y,portanto, a =3.Elfactorintegrantevendr´adadopor µ = x3 y 2 

Problemasycuestionesdelasecci´on2.3

1. IndicasilassiguientesEDOsonexactas.Encasoafirmativo,resu´elvelas.

(a) (3x2 +10xy )dx +5x2 dy =0. (b) (1+ x2 y )dx +(1+ xy 2 )dy =0. (c) (1+ln x + y 2 cos x)dx +2y sen xdy =0.

(Soluci´on. (a)S´ıesexacta.Lasoluci´ones x3 +5x2 y = C .(b)Noes exacta.(c)S´ıesexacta.Lasoluci´ones x ln x + y 2 sen x = C ).

2. CompruebaquelassiguientesEDOnosonexactas.Buscaunfactor integrantedelaforma µ(x)o µ(y )yresu´elvelas.

(a) (3xy + y 2 )dx +(x2 + xy )dy =0. (b) y 6 cos xdx +(4y 5 sen x +3y 4 )dy =0. (c) (5x2 y 2 +12y 3 )dx +(2yx3 +12y 2 x)dy =0. (Soluci´on. (a) µ = x ylasoluci´ones yx3 + x2 y 2 2 = C .(b) µ = 1 y 2 yla soluci´ones y 3 + y 4 sen x = C .(c) µ = x2 ylasoluci´ones y 2 x5 +4x3 y 3 = C ).

3. ConsideralaEDO: x 2 y 3 dx + x(1+ y 2 )dy =0

(a) CompruebaquelaEDOnoesexacta.

(b) Compruebaque µ(x,y )= 1 xy 3 esunfactorintegranteparalaEDO yresu´elvela.

(Soluci´on. (a)Lasparcialessondistintas.(b) x2 2 1 2y 2 +ln y = C ).

4. ConsideralaEDO:

(3y 3 12xy 4 )dx +(4xy 2 15x 2 y 3 )dy =0

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(a) CompruebaquelaEDOnoesexacta.

EncuentraunfactorintegrantedelaEDOdelaforma

y b . (Soluci´on.

dadopor

5. ConsideralaEDO:

(a) Encuentraelvalordelospar´ametros

y β paraquelaEDOsea exacta.

(b) ResuelvelaEDOparaesosvaloresde

y β (Soluci´on. (a)

=6y

=1.(b)Lasoluci´ones2

6. Encuentratodaslasfunciones f

y +ln(

)paraquelaEDO:

2 + y )= C ).

Enestasecci´onveremosquelasEDOlinealesdeprimerordenquefueron definidasenelprimercap´ıtulopuedenresolversedeformasencillayaque puedenconvertirseenexactasconfactorintegrante.

 Definici´on2.4. Una EDOlinealdeprimerorden esunaecuaci´onde laforma:

1 (x)y  + a0 (x)y = b(x),

donde a1 (x),a0 (x)y b(x)sonfuncionesques´olodependende x.

 Nota2.6. Si a1 (x) =0enunintervalodeterminado,podemosdividirpor a1 (x)enlaecuaci´onanterioryobtenemosunaEDOdelaforma:

(

y

(

), (2.24)

donde P (x)y Q(x)sonfuncionesde x.SipasamosestaEDOaformadiferencial,tendremos:

(

)

+ dy =0. (2.25)

M´etododeresoluci´on. ¿C´omoresolvemosunaEDOlineal?

Si P (x) ≡ 0laecuaci´on y  = Q(x)seresuelvedeformainmediatamedianteintegraci´on.

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Enotrocaso,fij´emonosquelasparcialesdelaEDOvienendadaspor:

as´ıque,comohemosvistoenlasecci´onanterior,unfactorintegrante vendr´adadoporlaexpresi´on:

(2.26)

Unavezconocidoelfactorintegrante,resolvemoslaEDOmultiplicando porelfactoryresolviendolaEDOexactacorrespondiente:

(2.27)

 Nota2.7. Unaformadesimplificarlaresoluci´ondeestasecuacionesconsisteenlaobservaci´ondequelaEDO(2.27)esexactay,portanto,lasparciales correspondientesdebenseriguales.Estonosllevaaque

portanto,laecuaci´onquedar´a:

esdecir, d

Integrandorespectode

:

Portanto,lasoluci´ongenerales:

(2.28)

donde µ(

)vienedadopor(2.26).

 Nota2.8. Laconstante C queapareceen(2.28)sedebealaintegral indefinida.Remarcamosestaconstanteenlaexpresi´onanteriorparaevitarla p´erdidadesoluciones.

Ejemplo2.13. Encuentralasoluci´ongeneraldelaEDO

Soluci´on. EsunaEDOlinealytendremosque

factorintegranteparalaEDO.Portanto,observandolospasosanteriores, tendremosque:

Ejemplo2.14. Resuelveelproblemadevalorinicialdadopor:

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Soluci´on. LaEDOeslineal.Laescribimosenformacan´onica: y  + 1 x y =sen x ytendremosque µ(x)= e 1 x dx = eln x = x esunfactorintegranteparalaEDO. Portanto,observandolospasosanteriores,tendremosque: y = 1 x

= 1 x ( x cos x +sen x + C ) y,portanto,lasoluci´ongeneraldelaEDOvienedadapor: y = cos x + sen x x + C x Sustituyendolacondici´oninicial y (π )=1,obtenemos1= cos π +0+ C π y, portanto, C =0ylasoluci´onparticulares: y = cos x + sen x x  Problemasycuestionesdelasecci´on2.4

x sen xdx + C

1. Hallalasoluci´ongeneraldelassiguientesecuacionesdiferenciales:

(a) 4y  +6y =0 (b) x2 y  +2y =0. (c) xy  + y = x2 +1 (d) xy  4y = x5 ex (Soluci´on. (a) y = Ce 3 2 x ,(b) y = Ce 2 x ,(c) y =1+ x

3 + C x , d) y = x4 (ex + C )).

2. Resuelveelproblemadevalorinicial: x

y

=ln x,y (1)=2 (Soluci´on. y =

2.5.Ecuacioneshomog´eneas

Expresionesdedosvariablesdelaforma xa y b

Elgradodelasexpresionesdedosvariablesdelaforma xa y b con a,b ∈ R, vienedadoporlasumadelosdosexponentes: a + b.Porejemplo,laexpresi´on x3 y

tienegrado7ylaexpresi´on

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+2=

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 Definici´on2.5. Diremosquelacombinaci´onlinealdeexpresionesdeltipo xa y b esunafunci´onhomog´eneasicadaunadelasexpresionesqueloforman tienenelmismogrado.Algradocom´unselellamagradodehomogeneidad.

 Ejemplo2.15. Indicasilassiguientesexpresionessonfuncioneshomog´eneas ono:

(1)Elpolinomio f (x,y )=2x4 3x3 y + x2 y 2 y 4 s´ıqueesunafunci´onhomog´eneacuyogradodehomogeneidades4.

(2)Elpolinomio f (x,y )= x2 y 2 +1noesunafunci´onhomog´eneayaqueel primert´erminotienegrado4mientrasquelaconstante1tienegrado0.

(3)Lafunci´on f (x,y )= 3 √xy +4 3 √yx s´ıqueesunafunci´onhomog´eneayaque todoslost´erminostienengrado 1 3 +1= 4 3 .

Funcionesdedosvariableshomog´eneas

 Definici´on2.6. Diremosqueunafunci´ondedosvariables f (x,y )eshomog´eneasiexisteunn´umeroreal α talque f (tx,ty )= tα f (x,y )paratodos losvaloresde x,y enquelafunci´onest´edefinidaytodo t> 0.Aln´umero α seledenominagradodehomogeneidaddelafunci´on.

 Ejemplo2.16. Indicasilassiguientesfuncionessononohomog´enease indicasugradodehomogeneidad:

(1) Lafunci´on f (x,y )= x3 y cos

Tendremosque: f (tx,ty )=(tx)3 ty cos

2x y 3

+2

2tx ty 3tx +2

= t4 x3 y cos

t(2x y ) t(3x +2y )

= t4 f (x,y )

as´ıquelafunci´oneshomog´eneacongradodehomogeneidad α =4.

f (x,y )=arctan

(tx,ty )=arctan

t0 f (x,y ) as´ıquelafunci´oneshomog´eneacongradodehomogeneidad

=0.

 Nota2.9. Unacombinaci´onlinealdeexpresionesdeltipo xa y b quees homog´eneaseg´unladefinici´on2.5,tambi´eneshomog´eneaseg´unladefinici´on 2.6.Compru´ebaloconalgunosejemplos.

 Definici´on2.7. UnaEDOdelaforma:

x,y )

+ N (x,y )dy =0 (2.29) sedicequees homog´enea si M (x,y )y N (x,y )sonfuncioneshomog´eneasdel mismogrado.

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 Nota2.10. An´alogamente,secompruebaf´acilmentequeunaEDOdela forma y  = f (x,y )eshomog´eneasilafunci´on f (x,y )eshomog´eneadegrado0.

 Ejemplo2.17. Compruebasilassiguientesecuacionessonhomog´eneas:

(a) (x2 4y 2 )dx + y 2 dy =0.

(b) y  = 2x + y x y

(c) xdx +(3y 1)dy =0. Soluci´on.

(a) Laecuaci´ondiferencial(x2 4y 2 )dx + y 2 dy =0eshomog´eneayaque ambasfuncionessonhomog´eneasdegrado2.

(b) Laecuaci´ondiferencial y  = 2x + y x y eshomog´eneayaque:

f (tx,ty )= 2tx + ty tx ty = t(2x + y ) t(x y ) = f (x,y ),

as´ıque f (x,y )eshomog´eneadegrado0.

(c) Lafunci´on x eshomog´eneadegrado1perolafunci´on3y 1noes homog´eneayaque3y tienegrado1pero 1tienegrado0.Portanto,la EDOnoeshomog´enea.

M´etododeresoluci´on. SiunaEDOdeprimerordenresultaserhomog´enea,puedetransformarseenunaEDOdevariablesseparablesutilizando unodelossiguientescambiosdevariable:

(1) Cambio y = ux. Hacemoselcambio:

(x,y ) → (x,u)dadopor y = ux.

Entalcaso,tendremos dy = udx + xdu.Despu´esderealizarelcambio,la EDOenlaforma(2.29)puededividirseentre xm , donde m eselgradode homogeneidadde M y N. Laecuaci´onseconvierteenunaecuaci´onde variablesseparablesdevariableindependiente x yvariabledependiente u(x).Por´ultimo,deshacemoselcambioparahallar y (x).

(2) Cambio x = vy . Hacemoselcambio:

(x,y ) → (v,y )dadopor x = vy.

Entalcaso,tendremos dx = vdy + ydv yserazonadeformaan´alogaal casoanterior.

Ejemplo2.18. ResuelvelaEDO(x2 + y 2 )dx +(x2 xy )dy =0

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Soluci´on. Setratadeunaecuaci´onhomog´enea,yaque M y N sonpolinomios homog´eneosdegrado2.Portanto,hacemoselcambio y = ux, con dy = udx + xdu, obteniendo:

(x 2 + x 2 u 2 )dx +(x 2 xux)(udx + xdu)=0, dedondesetieneque:

(x 2 + x 2 u 2 + x 2 u x 2 u 2 )dx +(x3 x3 u)du =0 Simplificando,

x 2 (1+ u)dx + x3 (1 u)du =0 ycomoelgradodehomogeneidades2,dividimostodalaecuaci´onpor x2 y quedar´a:

(1+ u)dx + x(1 u)du =0, dedondededucimosque:

dx x = u 1 u +1 du ⇒ dx x = 1 2 u +1  du, queesunaEDOdevariablesseparables.Integrando,obtenemos: u 2ln |u +1| =ln x + C1 ydeshaciendoelcambio u = y/x,obtenemos: y x 2ln    y x +1   =ln x + C1

Siqueremossimplificarlaexpresi´on,aplicamosexponencialesenamboslados delaecuaci´onyobtenemos:

Eliminamoselvalorabsolutoycambiamos

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Hacemoselcambio y = ux ynosquedar´a y  = u + xu ,as´ıque: udx + xdu dx = √x2 u2 x2 + ux x = √1 u2 + u.

Simplificando,obtenemos: du √1 u2 = dx x

eintegrando, arcsen u =ln x + C

dedonde u =sen(ln x + C )y,despejando u = y/x,obtenemos: y = x sen(ln x + C )

 Ejemplo2.20. ResuelvelaEDO2x3 ydx +(x4 + y 4 )dy =0

Soluci´on. Tanteando,vemosquesimplificalosc´alculoselcambio x = vy Tendremosque dx = vdy + ydv ysustituyendoenlaecuaci´on:

v 3 y 3 y (vdy + ydv )+(v 4 y 4 + y 4 )dy =0 quesimplificandoqueda(3v 4 +1)

4 dy +2v 3 y 5 dv =0.Simplificando,

3

y 4 y 5 dy obteniendoque:

v 4 +1| + C1 =ln |y |.

Eliminandologaritmosyvaloresabsolutosobtenemos:

Indicasilassiguientesfuncionessononohomog´eneas:

IndicasilassiguientesEDOsonhomog´eneas.Encasoafirmativo,resu´elvelas:

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(c) (x2 +1)dx + y 2 dy =0. (d) (x2 y 2 )dx + xydy =0.

(Soluci´on: (a)Noeshomog´enea.(b)S´ıeshomog´enea.Sirealizamos elcambio y = ux,obtenemos u2 +2u 3= Cx 2 quesesimplificay, deshaciendoelcambio,lasoluci´ongeneraldelaEDOes y 2 +2yx 3x2 = C o,simplificando,(y +3x)(y x)= C .(c)Noeshomog´enea.(d)S´ıes homog´enea.Sirealizamoselcambio y = ux,obtenemos xe y 2 2x2 = C ).

3. Resuelveelsiguienteproblemadevalorinicial: 2(x +2y )dx +(y x)dy =0conlacondici´on y (1)=0

(Soluci´on: Haciendoelcambio y = ux,obtenemos (1+u)2 (2+u)3 = Cx que sesimplificay,deshaciendoelcambio,lasoluci´ongeneraldelaEDOes (x + y )2 = C (2x + y )3 ).

2.6.Aplicacionesdelasecuacionesdiferencialesdeprimerorden

Comoyahemoscomentadoenlaintroducci´ondeestetema,vamosaver diversasaplicacionesquetienenlasEDOdeprimerorden.

2.6.1.Mec´anicaNewtoniana.Ca´ıdadecuerposconresistenciadelaire

Lamec´anicacl´asica(newtoniana)estudiaelmovimientodeobjetosordinarios.SabemosdesdeGalileoqueloscuerposqueselanzanalavezenausencia derozamiento,caenalamismavelocidad.Silohacenadistintasvelocidades, esacausadelrozamientodebidoalaresistenciadelaire.

Sitiramosunobjetodemasa m desdeunaalturadeterminada x0 aunavelocidadinicial v0 ,paradeterminarsuvelocidad v (t)enelinstante t,lasegunda LeydeNewtonnosaseguraque:

= ma ⇒ m dv dt = mg Fr ,

donde g denotalagravedad, Fr lafuerzaderozamientodebidaalaresistencia delaireydondelaaceleraci´ondelobjeto,comoesbiensabido,es dv dt .Si,por ejemplo,lafuerzaderozamientoesproporcionalalavelocidaddelobjeto, obtendremosunaecuaci´ondelaforma:

m dv dt = mg kv

donde k esunaconstantepositivadenominadacoeficientedearrastre.Lacondici´on v (0)= v0 nosdeterminar´alasoluci´onparticulardenuestroproblema paraobtener v (t).Siqueremos,adem´as,conocerladistanciarecorridaporel objeto,bastar´aintegrar v (t)paraobtener x(t)ydeterminarlasoluci´onparticularcorrespondienteutilizando x(0)= x0

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 Ejemplo2.21. Tiramosunobjetodemasa10 kg conunimpulsoinicialde 3 m/s desdeunaalturade1000metros.Laresistenciadelaireesproporcional alavelocidaddelobjeto,elcoeficientedearrastrevienedadopor k =7 kg/s ylagravedadvienedadapor g =9.8 m/s2 .

(a) Calculalavelocidaddelobjeto v (t)encualquierinstante t antesdealcanzarelsuelo.

(b) ¿Enqu´emomentoelobjetollegaalsuelo?

Soluci´on. Talcomohemoscomentado,sobreelobjetoact´uandosfuerzas: unafuerzaconstantedebidaalaacci´ondelagravedad,dirigidaverticalmente haciaabajoydem´odulo F1 = mg, yunafuerzacorrespondientealaresistencia delaire,contrariaalmovimientoyproporcionalalavelocidaddelobjeto,

F2 = kv (t)= k dx dt ,siendo x(t)ladistanciarecorridaporelobjetoensu ca´ıdaenuninstante t. Consideramoscomoejedecoordenadasunejeverticaly laposici´oninicial x(0)=0comoaquellaenlaqueselanzaelobjeto.Tomamos comodirecci´onpositivalaqueest´aorientadahaciaabajo(verfigura2.1).

Figura2.1:Fuerzasqueact´uanenlaca´ıdadeunobjeto.

(a)Como m dv dt = mg kv ,obtendremos:

conlacondici´oninicial

bi´enlineal.Pararesolverlacomolineal,laEDOquedadelaforma

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(b)Paracalcularladistanciarecorrida

),integramos v (

as´ıque x(

)=14

x(0)=0.Por tanto,0=15.

Otraposibilidadparaobtenerdirectamente

(t)escalcularlaintegralentre0 y t (ytenerencuentaque

Parasaberenqu´emomentollegaelobjetoalsuelo,resolvemoslaecuaci´on x(t)=1000,esdecir,14

71=1000.Unaposibilidadpara resolverestaecuaci´onser´ıautilizarunm´etodonum´ericodeaproximaci´onde solucionesdeunaecuaci´on.Sinembargo,podemosdespreciarelt´ermino e 0 7t sicomprobamosque t tieneunvalorsuficientementegrande.Entalcaso,quedar´a14t 15 71=1000,dedonde t =72 55 s. Paraestevalorde t,obviamente laexponencials´ıesdespreciable,as´ıquetomamosesevaloraproximadocomo soluci´onalproblema.

 Ejemplo2.22. Unhombrecontrajedeastronautaconunamasatotalde 90 kg setiraenparaca´ıdassobrelasuperficiedeMartedesdeunaalturade 2500 m.Lafuerzadebidaalaresistenciadelaireesproporcionalalavelocidad delparacaidista,concoeficientedearrastre k1 =10 kg/s cuandoelparaca´ıdas est´acerradoy k2 =50 kg/s cuandoelparaca´ıdasest´aabierto.Elparaca´ıdasse abrejusto30 s despu´esdequesetireelhombre.¿Cu´andollegar´aalasuperficie elparacaidista?(Nota:LagravedaddeMartees g =3 71 m/s2 .)

Soluci´on. Elparacaidistallegaalsueloconelparaca´ıdasabierto(¡esperemos!).Portanto,debemosaveriguaraqu´ealturaseencontrar´aenelmomento enqueseabreelparaca´ıdasyaqu´evelocidadva.Paraello,estudiamosel problemaendospartes:

1. Antesdeabrirelparaca´ıdas. Enesecaso,tenemosque m =90 kg y k1 =10 kg/s.TeniendoencuentaeldatodelagravedaddeMarte, laEDOquenosdar´asuvelocidad v1 (t)enestetrayectovienedadapor 90v  1 =90 3.71 10v1 ,queeslinealdeprimerorden.Susoluci´ongeneral es:

v1 (t)=33.39+ Ce 1/9t y,teniendoencuentaquenohayimpulsoinicial,tendremosque v1 (0)= 0,as´ıque0=33 39+ C y,portanto, C = 33 39yobtenemosque:

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t

v

33.39s 33 39 1/9 e 1/9

(

=

t

t

v1 (t)=33.39 33.39e 1/9t .Paracalcularladistanciarecorrida x1 (t)en estetrayecto, x1 (t)= x1 (t) x1 (0)=

33.39 33.39e 1/9s ds =

=33.39t +300.51e 1/9t 300.51.

Portanto,despu´esde30 s elparacaidistaharecorrido x1 (30)=711 91 m yllevaunavelocidadde v1 (30)=32 2 m/s

2. Despu´esdeabrirelparaca´ıdas. Unavezseabreelparaca´ıdas,queremoscalcular v2 (t)y x2

)peropartimosdelasituaci´on x2 (0)=711 91 m y v2 (0)=32

m/s

k2 =50 kg/s,as´ıque laEDOquerigelanuevavelocidades90v  =90 · 3.71 50v cuya soluci´ongenerales v (t)=6

678+ Ce 5/9t .Como v2 (0)=32.2 m/s, tendremosque32 2=6 678+ C ,as´ıque C =25 522y,portanto, v2 (t)=6 678 25 522e 5/

t

.Integrando,obtenemos: x2 (t)=

(0)+

91+

=6

6 678 25 522e 5/9s ds = 711.91+ 6.678

Paradeterminarcuandollegar´aalasuperficiemarciana,calculamoselinstante t talque x

(

)=2500,esdecir,6

+665 97=2500.Despreciandolaexponencial,tendremos6 678

+665 97=2500,esdecir, t =274 64 s 

2.6.2.Problemasdemezclasenuntanque

Enestasecci´ontrabajaremosproblemasdemezclasenlosqueunasustancia(soluto)sedisuelveenotrasustancia(solvente)paraobtenerunamezcla homog´eneaenuntanque.Denotaremospor x(t)alacantidaddesolutopresenteeneltanqueenelinstante t.LaEDOquemodelizalavelocidadalaque elsoluto x(t)var´ıaeneltanquevienedadapor:

donde v

eslavelocidaddeentradadelsolutoy v

essuvelocidaddesalida. Paracalcular v

,tendremosencuentaque:

denotalavelocidaddeentradadelamezcla(desolutoysolvente) y ce eslaconcentraci´ondeentradadelsolutoconrespectoatodalamezcla. An´alogamente,

donde v

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solvente)y cs eslaconcentraci´ondesalidadelsoluto.Tengamosencuenta quelaconcentraci´ondesalidaenelinstante t coincidir´aconlaconcentraci´on c(t)dentrodeltanqueenelinstante t.Esobvioque c(t)= x(t)/vol (t)donde x(t)eslacantidaddesolutoenelinstante t y vol (t)eselvolumentotalenel tanqueenelinstante t

Figura2.2:Mezclaenuntanque.

 Ejemplo2.23. Untanquecontieneinicialmente500l.deaguaconsal.La cantidadinicialdesalesde8kg.Eneltanqueentraaguaconsalaraz´onde 4l/mconunaconcentraci´ondesalde0.2kg/l.Lamezclasalealexteriora raz´onde4l/m.

(a) Calculalacantidaddesal x(t)eneldep´ositoencualquierinstante t

(b) ¿Cu´andolaconcentraci´ondesalser´ade0 1kg/l?

Soluci´on. Ennuestrocaso,elsolutoeslasalyelsolventeeselagua.La mezclaeslasalmuera(aguaconsal).Sea x(t)lacantidaddesal(enkg)en eltanqueenuninstante t.Tendremosqueelvolumenencualquierinstante t dentrodeltanquevendr´adadopor vol (t)=500yaquecadaminutoentrany salenlosmismoslitrosdeaguaconsal.Portanto,laconcentraci´onencualquier instante t vendr´adadapor

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Fij´emonosquesi t →∞,tendremosque x(t) → 100,esdecir,lacantidad desaleneltanqueser´aexactamenteel20%deltotal,talcomomarcala concentraci´ondeentrada.

Laconcentraci´ondesal c(t)vendr´adadapor:

(t)= x(t

vol (t) = 100 92e 0 008

500

as´ıque c(t)=0.1cuando: 100 92e 0 008t 500 =0 1 ⇒ 100 92e 0 008t =50

dedondeobtenemosque t =76 22min.



Ejemplo2.24. Untanquecontiene600litrosdecervezaconun3%de alcohol.Seintroduceeneltanque,aunavelocidadde8l/min,cervezaque contieneun7%dealcohol.Lamezcla,conservadahomog´eneamentemediante agitaci´on,saledeltanqueaunavelocidadde6l/min.

(a) Encuentralacantidad x(t)dealcoholeneltanqueenuninstante t.

(b) ¿Enqu´einstantelacervezatendr´aexactamenteun4%dealcoholenel tanque?

Soluci´on. (a)Ahora,elsolutoser´aelalcoholylamezclatotalser´alacerveza. Llamamos x(t)alacantidaddealcoholeneltanqueenuninstante t.Fij´emonos que,comocadaminutoentran8litrosdecervezaysalen10,elvolumenen elinstante t vendr´adadopor vol (t)=600+2t.Laconcentraci´ondeentrada vienedadapor ce =7%= 7 100 =0 07ylaconcentraci´ondesalidavendr´adada por cs = x(t) 600+2t .Portanto,

dt

esdecir,

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dedondesetieneque x(t)=0.14(300+ t)+ C (300+ t) 3 . Como x(0)=18, sustituimosyobtenemosque18=42+ C 300 3 ,as´ıque C = 24 3003 y, portanto, x(t)=0 14(300+ t) 24  300 300+ t 3 (b)Paravercuando c(t)=4%=0 04,tendremosque: x(t) 600+2t =0 04 ⇒ x(t)=0 08(300+ t) ⇒

0 14(300+ t) 24  300 300+ t 3 =0 08(300+ t) ⇒

0.14 24 3003 (300+ t)4 =0.08 ⇒ t =22.37 min. 

2.6.3.Trayectoriasortogonales

 Definici´on2.8. Dosrectassedicequesonortogonalescuandoestasson perpendiculares.Doscurvassedicequeintersectanortogonalmente(oqueson ortogonales)enunpuntocuandosusrespectivasrectastangentesenesepunto sonortogonales.

 Nota2.11. Silapendientedeunarectaes m,cualquierrectaperpendicular tendr´aporpendiente 1/m

 Definici´on2.9. Elconjuntodetrayectoriasortogonalesaunafamiliade curvasdelaforma:

F (x,y )= C

con C unaconstantearbitraria,vienedadoporotrafamiliadecurvasdela forma G(x,y )= C deformaquetodaslascurvasdeunafamiliaintersectan ortogonalmenteatodaslascurvasdelaotrafamilia.

Elc´alculodeestafamiliaapareceenelestudiodemapasmeteorol´ogicos, as´ıcomoenelestudiodecamposel´ectricosymagn´eticos.

M´etododeresoluci´on. Consideremoslafamiliadecurvas F (x,y )= C

Derivandoimpl´ıcitamenteestaecuaci´onobtenemoslaEDO:

Apartirdeestaecuaci´ondiferencialpodemosobtenerlapendientedecada curva:

Lapendienteparaunacurvaqueseaortogonales

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Estosignificaquelascurvasortogonalesalafamiliadadasatisfacenlaecuaci´on diferencial: ∂F ∂y dx ∂F ∂x dy =0 (2.30)

Enresumen,

(1) Enformadiferencial. Dadalafamilia F (x,y )= C ,derivamosimpl´ıcitamenteyllegamosa:

M (x,y )dx + N (x,y )dy =0.

Planteamoslaecuaci´ondiferencial: N (x,y )dx M (x,y )dy =0

cuyasoluci´on G(x,y )= C eselconjuntodetrayectoriasortogonalesala familia F (x,y )= C .

(2) Enformanormal. Dadalafamilia F (x,y )= C ,derivamosimpl´ıcitamenteyllegamosa: y  = f (x,y ).

Planteamoslaecuaci´ondiferencial: y  = 1/f (x,y )

cuyasoluci´on G(x,y )= C eselconjuntodetrayectoriasortogonalesala familia F (x,y )= C

 Ejemplo2.25. Dadalafamiliadecurvas x2 + y 2 = C, calculasufamilia detrayectoriasortogonales.

Soluci´on. Veremosquelafamiliadetrayectoriasortogonalesresultaserla familiaderectasquepasanporelorigen.Alderivar x2 + y 2 = C obtenemos:

2xdx +2ydy =0.

Entonces,lafamiliadetrayectoriasortogonalessatisfacelaecuaci´on: 2ydx 2xdy =0

Resolvemosestaecuaci´ondevariablesseparables:

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esdecir: y = Cx,C =0

Como y =0tambi´enessoluci´on,laa˜nadimosylafamiliadetrayectorias ortogonaleses: y = Cx, paratodo C ∈ R, querepresentalafamiliaderectasquepasanporelorigen(verFigura2.3).

Figura2.3:Familiasdecurvasortogonales.



 Ejemplo2.26. Encuentralafamiliadetrayectoriasortogonalesalafamilia decurvasdadapor y = Cex x 1.

Soluci´on. Aislamoslaconstantedelafamilia,reescribiendolafamiliade curvasenlaforma(y + x +1)e x = C .Derivandoobtenemos:

(e x (y + x +1)e x )dx + e x dy =0, dedondeoperandoydividiendolaecuaci´onentre e x =0,obtenemos: (y + x)dx + dy =0.

Paraencontrarlafamiliadetrayectoriasortogonales,deberemosresolverla EDO dx +(x + y )dy =0o,an´alogamente,enformanormal,apartirdela familia y  = x + y ,deber´ıamosresolverlaEDO:

 = 1

y

NosquedamosconlaformadiferencialycomprobamossilaEDOesexacta:

as´ıquelaEDOnoesexactaperopodemostratardeencontrarunfactor integrante.Dehecho,

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as´ıque µ = e  1dy = ey esunfactorintegrantedelaEDO.Portanto, ey dx +(x + y )ey dy =0 esunaEDOexactaysabemosqueexiste F (x,y )talque:

= ey y ∂F

=(x + y )ey

Integrando,porejemplo,conrespectoa x,obtenemosque:

F (x,y )=  ey dx = xey + ϕ(y ) dedondeobtenemos:

xey +

(y ) eigualando,obtenemos:

ϕ  (y )= yey ⇒

(y )=  yey dy =(y 1)ey dondela´ultimaintegralseresuelveporpartes.Portanto, F (x,y )= xey +(y 1)ey =(

ortogonalesvendr´adadapor:

Problemasycuestionesdelasecci´on4.4

Problemasdemec´anicanewtoniana

1. Tiramosunobjetode5kgenMartesiguiendounatrayectoriatotalmenteverticaldesdeunanavea250metrosdealturadelsueloconun impulsoinicialde1 m/s.Sabemosquelafuerzaderozamientodelairees proporcionalalavelocidadylaconstantederozamientoes k =10 kg/s. SilagravedaddeMartees g =3 71 m/s2 ,respondealassiguientes cuestiones:

(a) ¿Cu´alessuvelocidadenelinstante t

(b) ¿Enqu´emomentoelobjetollevaunavelocidadde1.5m/s? (c) ¿Enqu´emomentoelobjetollevaunavelocidadde4m/s?

(d) ¿Enqu´emomentollegar´aalsuelo?

(Soluci´on. (a)

.(c)Elobjeto nopuedesobrepasarlavelocidadde1

=135

).

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2. Tiramosunobjetode6kg.enlaLunasiguiendounatrayectoriatotalmenteverticaldesdeunanavea800metrosdealturadelsuelosin impulsoinicial.Sabemosquelafuerzaderozamientodelaireesproporcionalal cuadradodelavelocidad ylaconstantederozamientoes k =1 kg/s.SisuponemosquelagravedaddelaLunaes g =1 5 m/s2 , calcula v (t)y x(t)encualquierinstante t

(Soluci´on. v (t)=3 6 1+et y x(t)=6ln  et +1 2  3t).

Problemasdemezclasenundep´osito

3. Unlagotieneunvolumende600 km3 yenundeterminadomomento (t =0),laconcentraci´ondecontaminantesdellagoesde0.1%.Elflujode entradaydesalidadellagoserealizan,ambos,araz´onde180 km3 /a˜no ylaconcentraci´ondecontaminantesenelflujodeentradaesde0 02%. Sielaguasemezclaperfectamenteconloscontaminantesenellago, ¿Cu´antotiempopasar´aparaquelaconcentraci´ondecontaminantesse reduzcaa0.04%?

(Soluci´on. Setendr´aque x(t)=0

12+0

62a˜nos).

48e 0

t a˜nosy c(t)= x(t)/600=0 04%cuando t =4

4. Enuntanquemuygrandecon2000l.deaguapuraentraaguaconsal araz´onde14l/mconunaconcentraci´ondesalde0 6Kg/l.Lamezcla salealexterioraraz´onde12l/m.

(a) Calculalacantidaddesal x(t)eneldep´ositoencualquierinstante t.

(b) ¿Cu´andolaconcentraci´ondesalser´ade0 5kg/l.?

(Soluci´on. (a) x(t)=1 2(1000+ t) 1200 � 1000 1000+t 6 .(b) t =291 71 m).

5. Untanquecontiene1000litrosdecervezaconun4%dealcohol.Se introduceeneltanque,aunavelocidadde4l/min,cervezaquecontiene un6%dealcohol.Lamezcla,conservadahomog´eneamentemediante agitaci´on,saledeltanqueaunavelocidadde5l/min.

(a) Encuentralacantidad x(t)dealcoholeneltanqueencualquier instante t.

(b) ¿Enqu´einstantelacervezatendr´aexactamenteun5%dealcohol eneltanque?

(c) ¿Enqu´einstantesequedar´aeltanquevac´ıo?

(Soluci´on. (a) x(t)=0 06(1000 t) 20 � 1000 t 1000 5 .(b) t =159 1 m. (c) t =1000 m).

Problemasdetrayectoriasortogonales

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Encuentraelconjuntodetrayectoriasortogonalesalafamiliadecurvas dadapor y = C/x

(Soluci´on.

2 y

Encuentraelconjuntodetrayectoriasortogonalesalafamiliadecurvas dadapor y = Cx

(Soluci´on.

2 +4y

Encuentraelconjuntodetrayectoriasortogonalesalafamiliadecurvas dadapor x2 y 2 = Cx (Soluci´on. y (3x

aproblemasdeenfriamiento

LeydeNewtondeenfriamientoycalentamiento. Deacuerdocon laLeydeNewton,lavelocidadconlaquelatemperaturadeuncuerpovar´ıa esproporcionalaladiferenciaentrelatemperaturadelcuerpoyladelmedio quelorodea.Llamando T (t)alatemperaturadelcuerpoenelinstante t y A alatemperaturadelmedioquelorodea,tendremosque:

dT dt = k (A T ), donde k> 0eslaconstantedeproporcionalidadquesedenominaconstante detransferenciadecalor.

 Ejemplo2.27. Unpastelseretiradelhornoaunatemperaturade200 o C Cincominutosdespu´es,sutemperaturaesde120 o C .Silatemperaturaambienteesde24 o C ,¿cu´alser´alatemperaturadelpastel T (t)encualquier instante t apartirdelmomentoenqueseretiradelhorno?¿Cu´andosehabr´a enfriadoelpastelhastaalcanzar25 o C ?

Soluci´on. Tendremosque A =24 o C .LaLeydeNewtonnosdaque:

dT dt = k (24 T ),

donde k est´apordeterminarylacondici´oniniciales T (0)=200 o C .La ecuaci´onesdevariablesseparablesytambi´enlineal.Pararesolverlacomo EDOlineal,tendremos:

=

Grados

ingeniería eléctrica, ingeniería mecánica, ingeniería química

ingeniería

tecnologías

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Como T (0)=200,obtenemos24+ C =200y,portanto, C =176.Laotra condici´ondelenunciadonosdaque T (5)=120,as´ıque24+176e 5k =120, dedonde e 5k =96/176y,portanto, 5k =ln(96/176),dedondeobtenemos: k = 1 5 ln(96/176)=0.121227

as´ıque T (t)=24+176e 0 121227t Parasaberenqu´emomentoalcanzar´auna temperaturade25 o C ,resolvemoslaecuaci´on25=24+176e 0 121227t ,dedonde obtenemos: t = ln((25 24)/176) 0 121227 =42.6513minutos. Problemasdeenfriamiento

1. Latemperaturadeunatazadecaf´eacabadadeserviresde100o C .Un minutodespu´essehaenfriadoa90o C .Silahabitaci´onest´aa20o C ,¿en qu´emomentolatemperaturadelcaf´eser´ade50o C ? (Soluci´on. Siexpresamoseltiempo t enminutos,tendremosque T (t)= 20+80e 0 1335t y T (t)=50cuando t =7 35 min).

2. Seencuentrauncad´averalas13h enunahabitaci´onqueest´aa25o C Enesemomento,latemperaturadelcad´averesde31o C yalas15h la temperaturadelcad´averesde27o C .Teniendoencuentaquelapersona ten´ıaunatemperaturade37o C cuandofalleci´o,¿aqu´ehoramuri´o? (Soluci´on. Siexpresamoseltiempo t enhoras,tendremosque T (t)= 25+6e 0 5493t y T (t)=50cuando t = 2.6 h,esdecir,muri´osobrelas 10:24).

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TEMA3

Ecuacioneslinealesdesegundo ordenydeordensuperior

LasEDOlinealesdeordendoso,engeneral,decualquierorden,surgen almodelizarmuchosproblemasdeingenier´ıa:muellesel´asticos,ca´ıdadecuerpos,flujodecorrientesel´ectricas,etc.Tambi´enresultandegranutilidadpara aproximarsolucionesdeecuacionesnolineales.

Losobjetivosdeestetemaser´an:

Ecuacioneslinealesdeorden n ≥ 2homog´eneas.

Ecuacioneslinealesnohomog´eneasysolucionesparticularesporelm´etododecoeficientesindeterminadosyporvariaci´ondepar´ametros.

Aplicacionesdelasecuacioneslinealesdeorden2.

TransformadadeLaplaceysusaplicacionesalaresoluci´ondeecuaciones diferenciales.

3.1.Introducci´on

ParaintroducirEDOlinealesdeordendos,consideremosunp´endulosimple queconstadeunamasa m suspendidaporuncabledelongitud l ymasa despreciable,demodoqueelcablesemantienesiemprerectoylamasaqueda libreoscilandoenunplanovertical.

Lamodelizaci´ondelmovimientodelp´endulonosllevaaunaecuaci´onde segundoordenquenoeslineal:

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dondeel´anguloqueformaelcableconlaverticalencadainstante t vienedado porlafunci´on α(t)(verfigura3.1).

Figura3.1:Fuerzasqueintervienenenelp´endulosimple.

Paraoscilacionespeque˜nasdelp´endulo,lassolucionesdeterminadasapartirde(3.1)ser´anunabuenaaproximaci´ondelassolucionesreales.

Veamosquelasfunciones α(t)=cos(ωt)y α(t)=sen(ωt)sonsoluciones delaEDOparaunaconstante ω adecuada.Sustituyendo α(t)=cos(ωt)en (3.1)tenemos: ω 2 cos(ωt)+ g l cos(ωt)=0, esdecir,  g l ω 2  cos(ωt)=0.

Escogiendo ω 2 = g l ,tendremosque α1 (t)=cos  g l t esunasoluci´onde (3.1).An´alogamente, α2 (t)=sen  g l t estambi´ensoluci´onde(3.1).Dado que(3.1)esunaecuaci´onlineal,esf´acilverquecualquiercombinaci´ondela forma:

α(t)= C1 cos  g l t + C2 sen  g l t (3.2) tambi´enessoluci´ondelaEDO,con C1 y C2 constantesarbitrarias.Como veremosenelteorema3.3,todasoluci´ondelaecuaci´on(3.1)ser´adelaforma (3.2).

Conociendoeldesplazamientoinicial α(0)ylavelocidadangularinicial α (0)esposibledeterminarelvalordelasconstantes C1 y C2 .Obtenemos as´ılassolucionesparticularesquedescribenelmovimientoparacadaparde condicionesiniciales.

 Nota3.1. Comoelperiododecos(ωt)ysen(ωt)es 2π ω , entonceselperiodo deoscilaci´ondelp´endulovendr´adadopor:

l g Elmovimientodescritoenlaecuaci´on(3.2)sedenomina movimiento arm´onicosimple

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3.2.Ecuacioneslinealesdesegundoorden

Una EDOlinealdeorden2,talcomovimosenelTema1,vendr´adada porunaexpresi´ondeltipo:

(x)y

b(x), (3.3) dondeloscoeficientes a2 (x),a1 (x),a0 (x)y b(x)sonfuncionesquepuedenser constantesovariables.

Recordemostambi´enquesi b(x) ≡ 0,sedicequelaecuaci´ones homog´enea ysi b(x) =0, diremosquelaecuaci´ones nohomog´enea yelt´ermino b(x)se denomina t´erminonohomog´eneo o t´erminoindependiente. Estudiaremosestasecuacionesenunintervalodondeloscoeficientessean funcionescontinuas.Suponiendoadem´asque a2 (x) =0endichointervalo, dividiendopor a2 (x)podemosexpresarlaecuaci´on(3.3)ensuformacan´onica: y

+ p(x)y

+ q (x)y = g (x), (3.4)

con p(x),q (x)y g (x)cont´ınuas.Bajoestascondiciones,unproblemadevalor inicialparaestaEDOtienesoluci´ony,adem´as,es´unica:

 Teorema3.1. Sean p(x),q (x),g (x)funcionescontinuasenalg´unintervalo]a,b[quecontienealpunto x0 .Entonces,paracualquierelecci´onde losvalores y0 ,y1 existeuna´unicasoluci´ondelproblemadevalorinicial: y

+ p(x)y

+ q (x)y = g (x), sujetoa y (x0 )= y0 ,y  (x0 )= y1 .

 Ejemplo3.1. Determinaelmayorintervaloparaelcualpodemosasegurar queexisteuna´unicasoluci´ondelproblemadevalorinicialsiguiente:

+ 4 x 5 y

+

xy =ln x,y (2)=3

(1)= 5

Soluci´on.Lafunci´on p(x)= 4 x 5 escontinuaen R −{5},q (x)= √x es continuaen[0, +∞[y g (x)=ln x escontinuaen]0, +∞[.Portanto,elmayor intervaloabiertoquecontienea x0 =2ydondelastresfuncionessoncontinuas alavezes]0, 5[ 

3.2.1.Ecuacioneslinealeshomog´eneas

 Definici´on3.1. Laecuaci´on(3.4)dadapor:

+

(

+

(

g (

tieneasociadasu ecuaci´onhomog´enea dadapor:

+

(

y =0 (3.5)

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)son solucionesdelaEDO y

cumplalascondicionesiniciales

Soluci´on.Tendremosque y (x)= C1 e2

cos(3x)+ C2 e2x sen(3x), tambi´enes soluci´ondedichaecuaci´on.Buscaremos C1 y C2 adecuadasparaqueseverifiquenlascondicionesinicialesdadas.Paraello,calculamos y  (x): y  (x)= C1 (2e 2x cos(3x) 3e 2x sen(3x))+ C2 (2e 2x sen(3x)+3e 2x cos(3x)) ysustituimoslascondicionesdadas:

y (0)= C1 =2 y  (0)=2C1 +3C2 = 5 → C2 = 3

Portanto,lasoluci´ondelproblemadevaloriniciales: y (x)=2e 2x cos(3x) 3e 2x sen(3x). 

Ejemplo3.3. Siconsideramoslaecuaci´onhomog´enea:

=0

(3.9)

lasfunciones y1 (x)= e

e y2 (

)= e

sondossolucionesdeestaEDO.Por elteoremaanterior,sabemosquetodacombinaci´onlinealdelaforma C1 ex + C2 e x tambi´enessoluci´on.Veamosquetodaslassolucionessondeestaforma. Paraello,consideramos φ(x)unasoluci´oncualquierade(3.9)ytomamosun valorfijo x0

R.Siexisten C1 y C

constantesquecumplan:

(3.10)

tendremosquelasdossoluciones φ(x)y C1 ex + C2 e x satisfacenambaslas mismascondicionesinicialesen x0 .ElTeorema3.1nosaseguraquelasoluci´on delaEDOexisteyes´unica,as´ıquenecesariamente:

φ(x)= C1 e

C2 e

paratodo x ∈ R y,portanto,cualquiersoluci´ondelaEDOest´aincluidaen estacombinaci´onlineal.

Paraqueexistan C1 y C2 verificandoelsistema(3.10),´estetienequeser unsistemacompatibledeterminadoy,porelteoremadeRouch´e-Frobenius, sabemosquelacondici´onquedebecumplirsees:

Enelejemploanterior,hemosvistoquetodaslassolucionesdelaEDOse pod´ıanexpresarcomocombinaci´onlinealdedossolucionesparticulares y1 e y2 .Engeneral,estapropiedadsecumpleparaEDOlinealesdesegundoorden si y1 e y2 satisfacenlacondici´ondeldeterminantequehemosvisto,talcomo vemosenelsiguienteteorema:

 Teorema3.3. Sean y

(

)e

)solucionesenunintervalo]a,b[dela EDO:

(3.11)

)funcionescont´ınuasen]a,b[. Sienalg´unpunto x0 de]a,b[ sesatisface:

con p(x)y q (

(3.12) entonces,todaslassolucionesde(3.11)seexpresandelaforma:

(3.13) con C1 y C2 constantes.

Lacombinaci´onlinealdadapor(3.13)esla soluci´ongeneral delaEDO (3.11).

 Definici´on3.2. Decimosque {y1 (x),y2 (x)} esun conjuntoosistema fundamentaldesoluciones de(3.11)si y1 (x)e y2 (x)sondossoluciones verificandoelteoremaanterior.

 Definici´on3.3. Dadasdosfuncionesderivables

wronskiano

Porelteorema3.3,unaparejadesoluciones

(3.11)enunintervalo]

cumpleque

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 Ejemplo3.4. Lasfunciones y

(

)=cos(3x)e y2 (x)=sen(3x)sonsolucionesdelaEDO y

+9

=0enelintervalo] −∞, +

[. Calculalasoluci´on generaldedichaEDO.

Soluci´on.Calculamossuwronskiano:

W [y1 ,y

cos(3

)sen(3

=0paratodo x ∈ R,

as´ıque {sen(3x), cos(3x)} esunconjuntofundamentaldesolucionesylasoluci´ongeneraldelaEDOes:

y (x)= C1 cos(3x)+ C2 sen(3x). 

Elsiguienteresultadomuestraqueelwronskianodedosfuncionesquesean solucionesdeunaEDOlinealdesegundoordendebeanularseentodoslos puntosoenninguno:

 Teorema3.4. Si y1 (x)e y2 (x)sonsolucionesdelaEDOlineal: y

p(

+ q (x)y =0 enelintervalo]a,b[,entoncessuwronskiano, W [y1 ,y2 ](x)obienesid´enticamentenuloobiennoseanulaenning´unpuntode]a,b[

 Definici´on3.4. Dosfunciones y1 (x)e y2 (x)sedicequeson linealmente dependientes enunintervalo]a,b[siexistenunpardeconstantes C1 ,C2 ∈ R quenoseanulansimult´aneamente,talesque:

C1 y1 (x)+ C2 y2 (x)=0, ∀x ∈ (a,b). Diremosquelasfunciones y1 e y2 son linealmenteindependientes en]a,b[ sinosonlinealmentedependientes,esdecir,siparacualquierpardeconstantes C1 ,C2 ∈ R,existealg´un x0

]a,b[dondeseverifica:

=0.

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Portanto,paracomprobarsidossolucionesformanunsistemafundamental desoluciones,bastar´aconcomprobarsielwronskianoesnuloono.Estoes, adem´as,equivalenteaquelasdossolucionesseanlinealmenteindependientes.



Ejemplo3.5. Determinasilasfunciones y

linealmentedependientesoindependientes.

Soluci´on.Calculamoselwronskianode

as´ıque,porelresultadoanterior,sabemosquelasdossolucionessonlinealmenteindependientes.

C´alculodeunsistemafundamentaldesolucionesparaEDOhomog´eneasconcoeficientesconstantes

VeamoscomocalcularunsistemafundamentaldesolucionesdeunaEDO desegundoordenhomog´eneaconcoeficientesconstantes:

(3.14)

Elteorema3.1garantizaque(3.14)tienesolucionesdefinidasentodoelconjunto R yaquelasconstantessonfuncionescont´ınuasen R.Parabuscarun conjuntofundamentaldesolucionesyobtenerlasoluci´ongeneraldelaEDO, consideraremosfuncionesdelaforma y (x)= e

,siendo r unaconstantea determinar.Paraaveriguarelvalorde r ,derivamos:

ysustituyendoen(3.14)obtenemos:

ar

Como erx =0paracualquiervalorde r yde x,obtenemos:

ar

(3.15)

Portanto, erx ser´asoluci´onde(3.15)si r satisfacelaecuaci´on(3.15).

 Definici´on3.5. Laecuaci´on(3.15)sedenomina ecuaci´oncaracter´ıstica (o auxiliar)delaEDO(3.14).Elpolinomio p(r )= ar 2 + br + c sellama polinomiocaracter´ıstico delaEDO.

Lasra´ıcesdelpolinomiocaracter´ısticoson:

=

r

b

y,dependiendodelosvaloresdeestasra´ıces,construimoselsistemafundamentaldesolucionesdelasiguientemanera:

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1. Ra´ıcesrealesydistintas

Si r1 = r2 sonra´ıcesrealesdistintas,unsistemafundamentaldesolucionesde(3.14)vienedadopor:

ylasoluci´ongeneraldelaEDO(3.14)vienedadapor:

Veamosquelassolucionessonlinealmenteindependientes:

Ejemplo3.6. Encuentralasoluci´ongeneraldelaEDO

Soluci´on.Laecuaci´oncaracter´ısticaasociadaaestaecuaci´ones

fundamentaldesolucioneses:

ylasoluci´ongenerales:

2. Ra´ıcesrealesrepetidas

sonra´ıcesrealesrepetidas,unsistemafundamentalde solucionesde(3.14)vienedadopor:

r1 =

ylasoluci´ongeneraldelaEDO(3.14)vienedadapor:

Lasoluci´on

ducci´ondelorden,quepuedeestudiarseenelanexo3.7.1.Comprobamos quelassoluciones

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Soluci´on.Laecuaci´oncaracter´ısticaasociadaaestaecuaci´ones r 2 +6r +9=0, cuyasoluci´ones r = 3conordendemultiplicidad2.Portanto,elsistema fundamentaldesolucioneses: {

ylasoluci´ongenerales: y

3. Ra´ıcescomplejasconjugadas

Siunpolinomiodesegundogradoconcoeficientesrealestienera´ıces complejas,entonceslasra´ıcessonnecesariamentecomplejasconjugadas, esdecir,sondelaforma

.Silaecuaci´on caracter´ısticatienedossolucionesdeestaforma,unsistemafundamental desolucionesvendr´adadopor:

{e

cos(

sen(

)}

ylasoluci´ongeneraldelaEDO(3.14)vienedadapor:

y (x)= C

cos(

)+ C

e

sen(βx)

 Nota3.2. Pararazonarporqu´elassolucionesanterioressonunconjuntofundamentaldesoluciones,esnecesariotrabajarconexponenciales complejas.Paraprofundizarenesto,verelanexo3.7.2.

 Ejemplo3.8. ResuelvelaEDO y

+2y

+5y =0

Soluci´on.Laecuaci´oncaracter´ısticaasociadaaestaecuaci´ones r 2 + 2r +5=0, cuyasra´ıcesson r1 = 1+2i y

2 = 1 2i.Portanto,el conjuntofundamentaldesolucioneses:

ylasoluci´ongenerales:



 Nota3.3. Hemosvistocomocalcularlasoluci´ongeneraldeunaEDO linealhomog´eneadeordendosconcoeficientesconstantes.OtrasEDO cuyoscoeficientessonvariablestambi´enpuedenresolverse.Porejemplo, lasdenominadasecuacionesdeCauchy-Euler,quesondelaforma:

donde a,b,c sonconstantes.EstasEDOpuedenestudiarseenlasecci´on 3.6.

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ingeniería

1. Demuestraquelasfunciones

sonlinealmenteindependientes.

2. Demuestraquelasfunciones

sonlinealmenteindependientes.

3. Demuestralasfunciones

sonlinealmenteindependientes.

4. EncuentraunaEDOcuyoconjuntofundamentaldesolucionessea {

(Soluci´on.

5. ResuelvelassiguientesEDO: (a) 3

(b) 9

(c) y

(d)

(Soluci´on.

(b)

(c)

(d)

Encuentralasoluci´onparticulardelproblema

lascondicionesiniciales

3.2.2.Ecuacioneslinealesnohomog´eneas

Enestasecci´onconsideraremoslasEDOdeltipo:

tecnologías

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para C1 ,C2

R essoluci´ondelaEDO:

Lapruebadeesteteoremaessencillayladejamoscomoejerciciopara ellector.  Ejemplo3.9. Sabiendoquelafunci´on y1 (x)= x 3 2 9 essoluci´onde laEDO:

yquelafunci´on y2 (

encuentraunasoluci´ondelaEDO:

Soluci´on. Denotando g1 (

)

)=

)= e

).LassolucionesdelasEDOquenosdan

,elt´erminoindependiente delaEDOes4g1 (

son y1 (x)= x 3

5 .Porelprincipiodesuperposici´on,la soluci´onbuscadaes:

(x)=4

)=

(

5

(

)= 4

Soluci´ongeneraldeunaEDOlinealnohomog´enea

Utilizandoelprincipiodesuperposici´on,podemosobtenerlasoluci´on generaldeunaEDOlinealnohomog´enea:  Teorema3.7. Si

)esunasoluci´onparticulardelaEDOno homog´enea:

(3.16) ylasfunciones y1 (

)sondossolucioneslinealmenteindependientesdela ecuaci´onhomog´eneaasociada:

entonces,lasoluci´ongeneralde(3.16)vienedadapor:

Demostraci´on.Si

(

ci´on,setieneque

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Como {y1 (x),y2 (x)} esunconjuntofundamentaldeestaecuaci´onhomog´eneaasociada,secumplequelasoluci´on φ(x) yp (x)escombinaci´on linealde y1 (x)e y2 (x).Portanto,existenconstantes C1 y C2 talesque:

φ(x) yp (x)= C1 y1 (x)+ C2 y2 (x) dedondededucimosquelasoluci´ones:

φ(x)= yp (x)+ C1 y1 (x)+ C2 y2 (x). 

Elteorema3.7nosotorgaunprocedimientopararesolverEDOlineales nohomog´eneasquesepuederesumirdelasiguientemanera:

• Hallamoslasoluci´ongeneraldelaecuaci´onhomog´eneaasociada: yh (x)= C1 y1 (x)+ C2 y2 (x).

• Buscamosunasoluci´onparticular yp (x)delaEDOcompleta(es decir,laEDOnohomog´enea).

• Lasoluci´ongeneraldelaEDOcompletaeslasumadelasdos solucionesanteriores:

y (x)= yh (x)+ yp (x).

 Ejemplo3.10. Encuentralasoluci´ongeneraldelaEDO y  y = 2 x2 , sabiendoque y

(

)=

esunasoluci´onparticulardelamisma.

Soluci´on. Busquemoslasoluci´ongeneraldelaecuaci´onhomog´eneaasociada y  y =0. Suecuaci´onauxiliares r 2 1=0ysusra´ıcesson r =1 y r = 1 Portanto,lasoluci´ongeneraldelaEDOhomog´eneaasociada es:

yh (x)= C1 ex + C2 e x ylasoluci´ongeneraldelaEDOcompletaser´a:

y (x)= C1 ex + C

C´alculodeunasoluci´onparticular

e x + x



Acontinuaci´on,damosdosm´etodosquenospermitenencontraruna soluci´onparticulardeunaEDOlinealnohomog´eneadesegundoorden:

• elm´etododeloscoeficientesindeterminados.

• elm´etododevariaci´ondelospar´ametros.

Enlasecci´on6.7veremosuntercerm´etodoparaencontrarsoluciones particularesdeEDOlinealesdesegundoordenbasadoenlatransformada deLaplace.

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1.M´etododeloscoeficientesindeterminados

Estem´etodosirves´olopararesolverecuacioneslinealesconcoeficientes constantes: ay

+ by

+ cy = g (x) (3.17) conelt´ermino g (x)correspondienteaunafunci´onpolin´omica,exponencial,seno,cosenoounacombinaci´onlinealde´estas.

Paraencontrarsolucionesparticulares,supondremoslaformaquedeber´a tenernuestrasoluci´on yp (x)bas´andonosenlafunci´on g (x).Lafunci´on yp (x)tendr´aciertoscoeficientessinespecificarquedeberemosdeterminar.Paradeterminarlos,sustituiremos yp (x)enlaEDO.Laimposibilidaddedeterminarlosindicar´aquelasoluci´onpropuestanoesv´aliday debemos,portanto,modificarlasuposici´oninicial.

Elm´etodoeslimitadoalasEDOquehemoscomentadoarribapero,en casodepoderaplicarlo,sueleserunm´etodomuyefectivo.

AlobservarlaEDO(3.17),tenemoslossiguientescasosenfunci´onde g (x):

Caso1. g (x) esunpolinomiodegrado n.

Si g (x)= an

+ +

+

0 ,con ai

R,seproponecomosoluci´onparticularunpolinomiodelmismogradoalquelemultiplicamoselt´ermino xh :

(x)=(An xn + + A1 + A0 ) xh

siendo An ,An 1 ,...,A1 ,A0 coeficientespordeterminar.Elt´ermino xh se a˜nadesi0esunadelassolucionesdelaecuaci´oncaracter´ıstica,siendo h suordendemultiplicidad.

 Ejemplo3.11. ConsideralaEDO

(a) Encuentralasoluci´ongeneraldelaEDOhomog´eneaasociada.

(b) Encuentraunasoluci´onparticularutilizandoelm´etododecoeficientesindeterminados.

(c) Encuentralasoluci´ongeneraldelaEDOcompleta.

Soluci´on.(a)LaEDOhomog´eneaasociadaes y

(x)= C

e

+4y

+3y =0y,su ecuaci´oncaracter´ısticaser´a r 2 +4r +3=0,cuyasra´ıcesson r = 3y r = 1.Lasoluci´ongeneraldelaEDOhomog´eneaser´a,portanto,

+ C2 e

(b)Paraencontrarunasoluci´onparticular,fij´emonosenque g (x)=5x 2 esunpolinomiodegrado1,as´ıquelasoluci´onparticularser´adelaforma

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yp (x)= Ax + B .Como0noesra´ızdelaecuaci´oncaracter´ıstica,no aparecer´aelt´ermino xh .Paradeterminarelvalorde A y B ,sustituimos yp (x)enlaEDOcompleta.Como y

(

)= A e y

(x)=0,tendremosque: y

p +4y

0+4A +3(Ax + B )=5x 2 y,portanto,

3Ax +4A +3B =5x 2 as´ıque,identificandoloscoeficientesdelpolinomiodelaizquierdaydel polinomiodeladerechatendremosque:

3A =5y4A +3B = 2 −→ A = 5 3 y B = 26 9

Lasoluci´onparticularser´a yp (x)= 5 3 x 26 9 (c)Lasoluci´ongeneraldelaEDOcompletaser´a:

y (x)= C1 e x + C2 e 3x + 5 3 x 26 9 

 Ejemplo3.12. Prop´onqu´eformadebetenerlasoluci´onparticular delaEDO y

+2y  8y =2x2 +3,utilizandoelm´etododecoeficientes indeterminados.

Soluci´on. Elt´erminonohomog´eneo g (x)esunpolinomiodegrado2 ylasra´ıcesdelpolinomiocaracter´ısticodelaEDOhomog´eneaasociada son r1 =2y r2 = 4.Como0noesra´ız,lasoluci´onparticularser´aun polinomiodegradodosdelaforma:

yp (x)= Ax2 + Bx + C. 

 Ejemplo3.13. Prop´onqu´eformadebetenerlasoluci´onparticular delaEDO y

5y

=5x2 + x,utilizandoelm´etododecoeficientes indeterminados.

Soluci´on. Elt´erminonohomog´eneo g (x)esunpolinomiodegrado2y lasra´ıcesdelpolinomiocaracter´ısticodelaEDOhomog´eneaasociadason r1 =0y r2 =5.Como0esra´ızsimple(multiplicidaduno),lasoluci´on particularser´aunpolinomiodegradodospor x1 ,esdecir,delaforma:

yp (x)=(Ax2 + Bx + C )x = Ax3 + Bx2 + Cx. 

Notemosqueelpolinomioqueproponemosescompletoaunqueelt´ermino nohomog´eneo g (x)nolosea.

Sielt´erminoindependiente g (x)esunaconstante,deberemosconsiderarlocomounpolinomiodegrado0yaplicaremoslamismat´ecnica. Esdecir,lasoluci´onparticularser´aunaconstante A (otropolinomiode grado0)salvoenelcasoenque0seara´ızdelpolinomiocaracter´ıstico, encuyocasodeberemosmultiplicarporelfactor xh donde h indicar´ael ordendemultiplicidaddelara´ız0.

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 Ejemplo3.14. ResuelvelaEDO y  +3y  =4. Soluci´on. Lasra´ıcesdelaecuaci´oncaracter´ıstica r 2 +3r =0son0y 3.Como0essoluci´onsimple,lasoluci´onparticulartendr´alaforma yp (x)= Ax y,sustituyendoenlaEDO,obtenemosque A = 4 3 y,por tanto,lasoluci´ongeneraldelaEDOser´a:

y (x)= C1 + C2 e 3x + 4 3 x. 

CasoII. g (x) esproductode eαx porunpolinomiodegrado n.

Si g (x)= eαx (an xn + + a1 x + a0 ),con ai ∈ R,seproponecomosoluci´onparticularelproductodelamismaexponencialporunpolinomio delmismogradoalquelemultiplicamoselt´ermino xh :

yp (x)= eαx (An xn + + A1 + A0 ) xh

siendo An ,An 1 ,...,A1 ,A0 coeficientespordeterminar.Elt´ermino xh se a˜nadesi α esunadelassolucionesdelaecuaci´oncaracter´ıstica,siendo h suordendemultiplicidad.

yp (x)= eαx (An xn + ... + A1 + A0 ) xh .

con An ,An 1 ,...,A1 ,A0 adeterminar.

 Nota3.4. Cuando α =0,estamosenlasituaci´ondelcasoI.

 Ejemplo3.15. ResuelvelaEDO y  2y  + y = e2x (2x +1).

Soluci´on. Laecuaci´oncaracter´ısticadelaEDOhomog´eneaasociadaes r 2 2r +1=0,cuyasra´ızes r =1,soluci´ondoble.Portanto,lasoluci´on delaEDOhomog´eneaser´a:

yh (x)= C1 ex + C2 xex

Elt´erminonohomog´eneo g (x)eselproductodeunaexponencialcon α =2yunpolinomiodegrado1.Como2noessoluci´ondelpolinomiocaracter´ıstico,noapareceelt´ermino xh enlasoluci´onparticular, quedandoenlaforma:

concoeficientes A y

pordeterminar.Tendremosque:

as´ıquesustituyendoenlaEDOcompleta,como:

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obtendremos,

e 2x (4Ax +4B

2

(2

B

A)+ e

(Ax + B )= e 2x (2x +1) Reordenamoslost´erminosyobtenemos:

e 2x ((4A 4A + A)x +4B +4A 4B 2A + B )= e 2x (2x +1) → e 2x (Ax +2A + B )= e 2x (2x +1) y,portanto,identificandoloscoeficientes,obtenemos:

A =2y2A + B =1 −→ B = 3 Lasoluci´onparticularser´a yp (x)= e2x (2x 3)ylasoluci´ongeneralde laEDOcompletavendr´adadapor: y (

)=

x + e 2x (2x

 Ejemplo3.16. Prop´onqu´eformadebetenerlasoluci´onparticular delaEDO y

5y  +6y = xe3x ,utilizandoelm´etododecoeficientes indeterminados. Soluci´on. Elt´erminonohomog´eneo g (x)esunaexponencialcon α =3 porunpolinomiodegrado1.Lasra´ıcesdelpolinomiocaracter´ısticode laEDOhomog´eneaasociadason r1 =2y r2 =3.Como3esra´ızsimple (multiplicidaduno),lasoluci´onparticularser´a e3x porunpolinomiode gradounoporelt´ermino x1 ,esdecir,lasoluci´onparticulartendr´ala forma: yp (x)= e3x (Ax + B )x = e3x (Ax2 + Bx). 

 Ejemplo3.17. Prop´onqu´eformadebetenerlasoluci´onparticular delaEDO y  8y  +16y = e4x ,utilizandoelm´etododecoeficientes indeterminados.

Soluci´on. Elt´erminonohomog´eneo g (x)esunaexponencialcon α =4. Paraaplicarelm´etododecoeficientesindeterminados,tengamosencuentaqueestafunci´onesunaexponencialporlaconstante1,esdecir,un polinomiodegrado0.Elpolinomiocaracter´ısticodelaEDOhomog´enea asociadatieneunara´ızdobledadapor r =4,as´ıquelasoluci´onparticularser´a e4x porunpolinomiodegrado0(unaconstante)porelt´ermino x2 ,esdecir,lasoluci´onparticulartendr´alaforma:

CasoIII.Elt´erminonohomog´eneoesunproductodeuna exponencialyunacombinaci´ondecosenoysenodelmismo ´angulomultiplicadosporpolinomios.

Si g (x)= e

(Pn (x)cos(βx)+ Qm (x)sen(βx)),con Pn (x)unpolinomio degrado n y Qm (x)unpolinomiodegrado m,entonces,seproponecomo soluci´onparticularunafunci´ondelmismotipo:

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yp (x)= eαx (PN (x)cos(βx)+ QN (x)sen(βx)) xh

con PN (x)y QN (x)polinomiosdegrado N =m´ax{n,m} yconcoeficientesadeterminarparacadaunodeellos.Elt´ermino xh sea˜nadesi α ± βi essoluci´ondelaecuaci´oncaracter´ıstica,siendo h suordende multiplicidad.Siaparece,porejemplo,laparejadesolucionessimples conjugadas α ± βi,multiplicaremosporelfactor x1 .

 Nota3.5. Cuando β =0,estecasocorrespondealcasoII.Ysi α = β =0,seobtieneelcasoI.

 Ejemplo3.18. ResuelvelaEDO y  4y  +3y =cos(9x).

Soluci´on. Laecuaci´oncaracter´ısticadelaEDOhomog´eneaasociadaes r 2 4r +3=0,cuyasra´ıcesson r1 =1y r2 =3.Portanto,lasoluci´on delaEDOhomog´eneaser´a:

yh (x)= C1 ex + C2 e3x .

Enelt´erminonohomog´eneo g (x)aparece´unicamentelafunci´oncos(9x). Alnoaparecerexponencial,tendremosque α =0.Setieneque β =9,el polinomio Pn (x)=0yelpolinomio Qn (x)=1,esdecir,ambospolinomiossondegrado0.Como ±9i noessoluci´ondelpolinomiocaracter´ıstico,noaparecer´aelt´ermino xh .Teniendoencuentatodoesto,tendremos que N =0ylasoluci´onparticularvendr´adadapor:

yp (x)= A cos(9x)+ B sen(9x) concoeficientes A y B pordeterminar.Tendremosque: y  p (x)= 9A sen(9x)+9B cos(9x), y  p (x)= 81A cos(9x) 81B sen(9x), as´ıque,sustituyendoenlaEDOcompleta,como:

p 4y

obtendremos,

81A cos(9x) 81B sen(9x)

p +3yp =cos(9x)

9A sen(9x)+9B cos(9x))+

A cos(9x)+ B sen(9x))=cos(9x).

Reordenamoslost´erminosyobtenemos:

81A 36B +3A)cos(9

B +36A

B )sen(9x)=cos(9

B +36A)sen(9x)=cos(9

A

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Lasoluci´onparticularser´a: yp (x)= 13 1230 cos(9x) 6 1230 sen(9x) ylasoluci´ongeneraldelaEDOcompletavendr´adadapor: y (x)= C1 ex + C2 e3x 13 1230 cos(9x) 6 1230 sen(9x).   Ejemplo3.19. Prop´onqu´eformadebetenerlasoluci´onparticular delaEDO: y  +2y  15y = ex (x 2 cos(2x) x sen(2x)), utilizandoelm´etododecoeficientesindeterminados.

Soluci´on. Elt´erminonohomog´eneo g (x)esunaexponencialcon α =1 porunacombinaci´ondesenoycosenocon β =2porpolinomiosdegrados2y1.Lasra´ıcesdelpolinomiocaracter´ısticodelaEDOhomog´enea asociadason r1 =3y r2 = 5.Como α ± βi =1 ± 2i noesra´ız,la soluci´onparticularnotendr´aelt´ermino xh .Teniendoencuentaquelos polinomiosquedebenaparecerdebentenerambosgrado2(yaqueesel m´aximoentre1y2),lasoluci´onparticularvendr´adadapor:

yp (x)= ex �(Ax2 + Bx + C )cos(2x)+(Cx2 + Dx + E )sen(2x) .   Ejemplo3.20. Prop´onqu´eformadebetenerlasoluci´onparticular delaEDO:

y  2y  +2y = ex x sen(x) utilizandoelm´etododecoeficientesindeterminados.

Soluci´on. Elt´erminonohomog´eneo g (x)tieneexponencialcon α =1 porunpolinomiodegrado1porunsenocon β =1.Lasra´ıcesdel polinomiocaracter´ısticodelaEDOhomog´eneaasociadason r =1 ± i Como α ± βi =1 ± i esra´ızdelpolinomiocaracter´ısticoconmultiplicidad 1,lasoluci´onparticulartendr´aelt´ermino x1 .Teniendoencuentaque debenaparecerlost´erminossenoycosenoporpolinomiosdegrado1,la soluci´onparticularvendr´adadapor:

CasoIV.Elt´erminonohomog´eneoesunasumadeloscasos anteriores.

Estecasoesunaconsecuenciadelprincipiodesuperposici´onquevimos enelteorema3.6.Lapropuestadesoluci´onparticularvendr´adadapor lasumadecadaunadelaspropuestas.

Ejemplo3.21.

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Soluci´on. Laecuaci´oncaracter´ısticadelaEDOhomog´eneaasociadaes r 2 + r =0,cuyasra´ıcesson r

=0y

= 1.Portanto,lasoluci´onde laEDOhomog´eneaser´a:

Enelt´erminonohomog´eneo g (x)apareceunasumadedosfunciones,un polinomiodegrado1yunaexponencial.Estudiamoscadafunci´onseparadamente:como0essoluci´ondelpolinomiocaracter´ıstico,lasoluci´on particularreferidaalpolinomioser´aunpolinomiodegrado1por x1 .La soluci´onparticularreferidaalaexponencialser´alamismaexponencial porunaconstante.Enlapartereferidaalaexponencialnoaparecer´ael factor xh yaque1noessoluci´ondelpolinomiocaracter´ıstico.Lasoluci´on particularvendr´adadapor:

y

Portanto,

(

)=(

y

y,sustituyendoenlaEDOcompleta:

(

Bx)+

)=2A + Ce

dedondededucimosque2

4y,portanto, A =

ylasoluci´ongeneraldelaEDOcompletaes:

 Ejemplo3.22. Prop´onqu´eformadebetenerlasoluci´onparticular delaEDO y

4y

),utilizandoelm´etodode coeficientesindeterminados. Soluci´on. Elt´erminonohomog´eneo g (x)eslasumadeunpolinomio, unaexponencialyunpolinomioporuncoseno.Lasra´ıcesdelpolinomio caracter´ısticodelaEDOhomog´eneaasociadason r1 =2y r2 = 2. Teniendoestoencuenta,s´oloafectar´aalsegundosumando,laexponencial,enlaquedeberemosmultiplicarporelt´ermino x1 .Enelresto noaparecer´aelt´ermino xh .Portanto,lasoluci´onparticularser´adela forma: yp (x)= Ax

)sen(2

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2.M´etododevariaci´ondelospar´ametros

ConsideremosdenuevolaEDOlinealnohomog´eneadeordendos:

(3.18)

delaqueconocemosunsistemafundamentaldesolucionesdelaEDO homog´eneaasociada: {y1 (x),y2 (x)}.Comoyavimos,lasoluci´ongeneral delaEDOhomog´eneavienedadapor:

El m´etododevariaci´ondepar´ametros (tambi´endenominadode variaci´ondelasconstantes)consisteenbuscarunasoluci´onparticular delaecuaci´onnohomog´eneareemplazandolasconstantes C1 y C2 por dosfunciones v1 (

(3.19)

)y v2 (x),necesitamosalmenosdos ecuacionesquelascontengan.Unadeestasecuacioneslaobtenemosal sustituirlasoluci´onparticular yp (

Paradeterminarlasfunciones v1 (

)ysusderivadasenlaecuaci´ondiferencial(3.18).

Calculamoslaprimeraderivadayreordenamossust´erminos:

(3.20)

Parasimplificarc´alculosyevitarderivadasdesegundoordende v1 y v2 quecomplicansuresoluci´on,imponemoslacondici´on:

(3.21)

quenosproporcionaunaprimeraecuaci´onparaobtener v1 y v2 .Conesta condici´on,laecuaci´on(3.20)queda,

Derivandodenuevo:

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yobtenemoslasegundaecuaci´onquebuscamos,

Siexisten v1 y v2

yp ser´asoluci´on particulardelaecuaci´onnohomog´enea.Portanto,tenemosqueresolver elsiguientesistemaparalasinc´ognitas

queenformamatricialsepuedeescribir:

Porelm´etododeCramertenemosque:

Notemosqueelsistemas´ıtienesoluci´on,pueselt´erminoqueapareceen eldenominadoreselwronskianode

y1 e y2 constituyenunconjuntofundamentaldesolucionesdelahomog´enea. Integrandolasexpresionesanterioresobtenemos:

Sustituyendoenlaexpresi´on(3.19)llegamosalasoluci´onparticular

 Nota3.6. Cuandointegramosparahallar v1 y v2 ,podemostomar lasconstantesdeintegraci´oncomocero,yaquealmultiplicarpor y1 e y2 obtendr´ıamost´erminosqueyaest´anrepresentadosenlasoluci´ongeneral delaEDOhomog´enea.

 Nota3.7. Elm´etododevariaci´ondelospar´ametrosodelasconstantesesm´asgeneralqueelm´etododeloscoeficientesindeterminados porquesepuedeaplicartambi´enaecuacioneslinealesconcoeficientes variablesyparacualquieraquesealaformadelt´erminonohomog´eneo g (x).Sinembargo,ladificultadenlaresoluci´ondeciertasintegralesnos llevaautilizarelm´etododecoeficientesindeterminadosenmuchosde loscasosenquepodemosaplicarlo.

 Ejemplo3.23. ResuelvelaEDO

Soluci´on.Laecuaci´oncaracter´ısticadelaEDOhomog´eneaasociadaes

cuyassolucionesson

Portanto, {

x,

esun conjuntofundamentaldesolucionesdelaEDOhomog´eneaysusoluci´on generalser´a:

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fundamentaldesolucionesdelaEDOhomog´eneaysusoluci´ongeneral ser´a:

laforma:

ResolvemoselsistemaaplicandolaregladeCramer.Denotandopor W alwronskianodelasfunciones

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tecnologías

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(a) g (x)=cos(2x). (b) g (x)=2e 4x (c) g (x)=50x cos x (d) g (x)=25ex +36xe 2x (e) g (x)=tan x. (f) g (x)=289xex sen x 34ex cos x. (Soluci´on. (a) yp (x)= 4 50 sen(2x) 3 50 cos(2x), (b) yp (x)= 2 5 e 4x , (c) yp (x)=( 10x +1)cos x +(5x +7)sen x, (d) yp (x)= e 2x ( 12x +8)+ ex ( 25 4 x 25 16 ), (e)Nofuncionaelm´etododecoeficientesindeterminados. (f) yp (x)= ex (( 17x +68)sen x 68x cos x)

2. ResuelvelasiguienteEDO: y  +2y  + y = e x . (Soluci´on. y (x)= C1 e x + C2 xe x + 1 2 x 2 e x )

3. Encuentralasoluci´ongeneraldelasEDOsiguientesutilizandoel m´etododevariaci´ondepar´ametrosparahallarunasoluci´onparticular: (a) y

+2y

(b) y

+ y =

(Soluci´on. (a) y (

)= C

1+ln

), (b) y (

)

3.3.AplicacionesdelasEDOlinealesde segundoorden.Vibracionesmec´anicas

Muchosproblemasenqueaparecenvibracionesmec´anicasoelflujode corrientesel´ectricassemodelizanconunaEDOdesegundoorden.En estasecci´on,estudiaremosproblemasdevibracionesmec´anicasquepuedenaparecerenlamodelizaci´ondelaamortiguaci´ondeuncoche,en lavibraci´ondeunpuentedebidoalvientoyaltr´aficooinclusoenla vibraci´ondelasalasdeunavi´ondebidoalosmotoresyalviento. Paraestudiarestasvibracionessetomacomomodelounsistemamasaresorte,consistenteenunaespiralsuspendidadeunsoporter´ıgidocon

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unamasasujetaalextremo.Paraanalizarestesistemaseaplica laLey deHooke yla segundaLeydeNewton.LaLeydeHookeestablecequeel resorteejerceunafuerzaderestituci´onopuestaaladirecci´ondelalargamientodelresorteconunamagnituddirectamenteproporcionalalvalor delalargamiento.Esdecir, F = ks, donde s eselalargamientoy k esuna constantequedependedelascondicionesf´ısicas.Parahallar k ,tengamos encuentaquesisuspendemosunamasa m delmuelley´esteexperimenta unalargamiento l hastaalcanzarlaposici´ondeequilibrio,aplicandola LeydeHooke,yteniendoencuentaqueelpesoylafuerzaderestituci´on sondeigualmagnitudperoconsentidocontrario,obtendremos mg = kl ypodemosdespejar k

Consideramosunejeverticalpararepresentareldesplazamientodela masa.Tomamos x =0comoposici´ondeequilibrioyconsideramos x> 0 cuandolamasaseencuentrepordebajodedichaposici´ony x< 0cuando seencuentreporencima(verfigura3.2).

Figura3.2:Sistemamasa-resorte.

Sobrelamasa m puedenactuarlassiguientesfuerzas:

• Gravedad: F1 = mg dirigidahaciaabajo.

• Fuerzaderestituci´on: F2 = k (x + l ), proporcionalalalargamientodelresorteydesentidoopuestoalmovimiento.Como mg = kl (altomar x =0),podemosexpresarlafuerzaderestituci´oncomo F2 = kx mg .

• Fuerzadeamortiguaci´on: F3 = b dx dt ,donde b> 0eslaconstantedeamortiguaci´ondadaenunidadesdemasa/tiempo.Unejemplo deestafuerzaser´ıalaresistenciadelaireolafricci´ondebidaaun amortiguador.Suponemosnormalmentequelafuerzadeamortiguaci´onesproporcionalalamagnituddelavelocidaddelamasa, peroensentidoopuestoaldesplazamiento.

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• Fuerzasexternas: F4 = f (t),laresultantedetodaslasfuerzasexternasqueact´uensobrelamasa.Unejemploser´ıalafuerzaejercida sobreunautom´ovilocasionadaporlosbachesdelacarretera.

AplicandolasegundaLeydeNewton,tendremosque:

m d2 x dt2 = mg kx mg b dx dt + f (t),

obteni´endoselaEDOlinealdesegundoorden:

m d2 x dt2 + b dx dt + kx = f (t). (3.23)

Enfunci´ondelvalorde b,obtendremos:

• Sistemanoamortiguado. Si b =0.

• Sistemaamortiguado. Si b =0.

Yenfunci´ondelvalorde f (t),obtendremos:

• Movimientolibre. Si f (t)=0.

• Movimientoforzado. Si f (t) =0.

Acontinuaci´on,estudiamoscadaunodeloscasosposiblessalvoelcaso delmovimientoforzado.Estecasoyelfen´omenoconocidocomoresonanciapuedeestudiarseenelanexo3.7.3.Todosloscasosqueanalizamos sonigualmentev´alidosparaelcasoenelquetrabajamosconcircuitos el´ectricosyaqueseobtieneelmismotipodeEDO.

1.Movimientolibrenoamortiguado

Enestecaso,laecuaci´on(3.23)sereducea:

Dividiendopor m, seobtiene:

donde

ter´ısticavienedadapor

soluci´ongenerales:

Utilizandoalgunoscambiostrigonom´etricos,obtenemosque:

(3.24)

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donde:

A = C 2 1 + C 2 2 y φ =arctan C1 C2 Estetipodemovimientosedenomina movimientoarm´onicosimple. Laconstante A representala amplituddelmovimiento y φ sedenomina ´angulodefase.Elmovimientoesperi´odicoconperiodo P = 2π ω yfrecuencianatural ω 2π

 Nota3.8. Observemosquelaamplitudyel´angulodefasedependen de C1 y C2 y,portanto,delascondicionesiniciales,esdecir,delaposici´on ydelavelocidadinicialenelproblema.Sinembargo,elperiodoyla frecuencias´olodependende ω, esdecir,de k yde m.

2.Movimientolibreamortiguado

Enelcasoenqueaparezcafricci´onoamortiguaci´ony,enausenciade fuerzasexternas,laecuaci´on(3.23)queda:

dt2 + b dx

d2

kx =0

Lasra´ıcesdelpolinomiocaracter´ısticovienendadaspor:

r = b 2m ±

b2 4mk 2m . (3.25) y,dependiendodeldiscriminante,obtenemosdistintasposibilidades:

2.1. Movimientosubamortiguado(uoscilatorio). Sepresentacuando: b2 < 4mk, loquesignificaquelaamortiguaci´onespeque˜na.Denotando:

α = b 2m y

=

4mk b2 2m , lasoluci´ongeneralvendr´adadaporlaexpresi´on:

sen(

Dedondeobtenemos:

C

Elfactorexponencialse denomina factordeamortiguaci´on yelfactorconlafunci´onseno sedenomina factorsenoidal,queeselqueexplicaelmovimiento oscilatorio.

donde A = 

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 Nota3.9. Elfactorsenoidalexplicaporqu´eelsistemasellamasubamortiguado,yaquenohaysuficienteamortiguaci´onparaprevenirque ´esteoscile(verfigura3.3).Detodasformas,como b y m sonconstantes positivas,setieneque α< 0yelfactordeamortiguaci´on eαt tiendea0 cuando t tiendea+∞.Como |x(t)|≤ Aeαt | sen(βt + φ)|≤ Aeαt puesto quelafunci´onsenoseencuentraentre 1y1,tendremosque x(t) → 0 cuando t →∞ Puestoqueestefactorsenoidalvar´ıaentre 1y1ytieneperiodo 2π β , se tienequelasoluci´onvariaentre Ae

y Ae

Figura3.3:Movimientolibresubamortiguado.

2.2. Movimientocr´ıticamenteamortiguado. Sepresentacuando b2 =4mk. Enestecaso,laecuaci´oncaracter´ısticatienelara´ız doble:

b 2m ylasoluci´ongeneralvienedadaporlaexpresi´on:

Laoscilaci´ondadaporelt´erminosenoidaldelcasoanteriornoaparece.Sinembargo,

aligualqueenelcasoanterior.Adem´as,

as´ıque,sintenerencuentalasoluci´ontrivial(

C

=0),se deducequeladerivadaseanulaalosumoenpunto,conloque

t> 0

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y,portanto,nooscila.Cualitativamentetenemostresposibilidades demovimientodependiendodelascondicionesiniciales(verfigura 3.4).

Figura3.4:Movimientocr´ıticamenteamortiguado.

Enelcaso(a )lamasa m nopasaporlaposici´ondeequilibrionialcanzaundesplazamientoextremorelativopara t> 0.Simplemente seaproximaalequilibriomon´otonamentecuando t tiendea+∞.

Enelcaso(b )lamasa m nopasaporlaposici´ondeequilibrio para t> 0, perosudesplazamientoalcanzaunextremo´unicopara t = t1 > 0.Despu´es,lamasatiendemon´otonamentealaposici´on deequilibrocuando t tiendea+∞

Enelcaso(c )lamasapasaporsuposici´ondeequilibriounavez, en t = t2 > 0;luegoalcanzasudesplazamientoextremoen t = t3 , tendiendoalequilibriodeformamon´otonacuando t tiendea+∞

Estemovimientosellamacr´ıticamenteamortiguadoporque b se encuentraenunvalorl´ımite.Sidisminuyesedevalor,aparecer´ıala oscilaci´ondelcasoanterior.

2.3. Movimientosobremortiguado. Sepresentacuando b2 > 4mk. Enestecaso,elpolinomiocaracter´ısticotendr´adosra´ıcesreales distintasynegativas r1 y r2 ylasoluci´ongeneralser´a:

quecumplir´atambi´enquel´ım

Adem´as,

conloqueunasoluci´onnotrivialpuedeteneralosumounm´aximo ounm´ınimolocalpara

igualaldescritoenelcasoanterior.

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3.Vibracionesforzadas

Comoyahemoscomentado,elestudiodelasvibracionesdeunsistema masa-resortecuandoseaplicaunafuerzaexterna f (t)seestudiaenel anexo3.7.3.

 Ejemplo3.25. Enelestudiodeunresortevibratorioconamortiguaci´onsellegaaunproblemadevalorinicialdelaforma:

mx  (t)+ bx

(t)+ kx(t)=0,x(0)= x0 ,x  (0)= v0 siendo x(t)eldesplazamientomedidoapartirdelaposici´ondeequilibrio enuninstante t ydonde: m =masasujetaalsistema, b =constantedeamortiguaci´on, k =constantedelresorte, x0 =desplazamientoinicial, v0 =velocidadinicial.

Determinemoslaecuaci´ondelmovimientodeestesistemacuando m =36 kg, b =12kg/sg, k =37kg/sg2 ,x0 =70cmy v0 =10cm/sg.Hallael desplazamientoalcabode10segundos.

Soluci´on. Buscamoslasoluci´ondelaecuaci´ondiferencial:

36x  +12x  +37x =0 concondicionesiniciales x(0)=70y x (0)=10 Laecuaci´onauxiliar asociadaes:

36r 2 +12r +37=0 cuyasra´ıcesson r = 1 6 ± i. Portanto,lasoluci´ongenerales:

x(t)= C1 e 1 6 t cos t + C2 e 1 6 t sen t.

Sustituyendo x(0)=70, tenemosque70= C1 Parasustituirlaotra condici´oninicialdebemosderivar x(t):

x  (t)= 1 6 C1 e 1 6 t cos t C1 e 1 6 t sen t 1 6 C2 e 1 6 t sen t + C2 e 1 6 t cos t;

sustituyendoahora x (0)=10, setiene:

10= 1 6 C1 +C2 , dedonde C2 = 65 3

ylasoluci´ondelproblemadevaloriniciales: x(t)=70e 1 6 t cos t + 65 3 e 1 6 t sen t.

Alcabode10segundos,eldesplazamientoser´a: x(10)=70e 5 3 cos10+ 65 3 e 5 3 sen10

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13.32cm. 

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1. IndicasilassiguientesEDOmodelizanmovimientossubamortiguados,cr´ıticamenteamortiguadososobreamortiguados.

(a) y

+4y

+3y =0.

(b) y

+4y

+4y =0. (c) y

+4y

+5y =0. (Soluci´on. (a)sobreamortiguado,(b)cr´ıticamenteamortiguado, (c)subamortiguado).

2. Lasiguienteecuaci´ondiferencialmodelizaunaoscilaci´onlinealde unsistemamasa-resorte:

Enausenciadefuerzasexternasyteniendoencuentaqueenel instanteinicialdesplazamoslamasa3m.pordebajodelaposici´on deequilibrioylasoltamossinimpulsoinicial,¿cu´alser´alaposici´on delamasaalcabode1segundo? (Soluci´on. x(t)=3

(sen

)y

(1)=1 52m).

3. Lasuspensi´ondeunautom´ovilsepuedemodelizarcomounmuelle quevibraconamortiguamientodebidoalosamortiguadores.Esto llevaalaecuaci´on:

donde m eslamasadelautom´ovil, b eslaconstantedeamortiguamientodelosamortiguadores, k eslaconstantedelmuelley x(t)es eldesplazamientoverticaldelautom´ovileneltiempo t.Silamasa delautom´ovilesde1000kgylaconstantedelmuellees3000kg/sg2 , determinadelvalorm´ınimodelaconstantedeamortiguamiento b (enkg/sg)queproporcionar´aunviajelibredeoscilaciones.Sireemplazamoslosmuellesporotrosquetienenunaconstante k doble quelaanterior,¿c´omovar´ıaestevalorm´ınimode b? (Soluci´on. b =2000√3, √2b).

3.4.EDOlinealesdeorden n

Lateor´ıaparalasEDOlinealesdecualquierordenesunageneralizaci´on delateor´ıavistaparaelcasodeecuacionesdesegundoorden.Comoya explicamoseneltema1,unaEDOlinealdeorden n esaquellaquese puedeexpresardelaforma:

a

Si b(x)=0sedicelaEDOeshomog´enea.

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Si an (x) ≡ 0enelintervalo]a,b[,podemosdividirpor an (x)yexpresar laecuaci´onenformacan´onica: y (n) + pn 1 (x)y (n 1) + + p1 (x)y  + p0 (x)y = g (x) (3.27)

Elsiguienteteoremaresumelascondicionesbajolascualesunproblema devalorinicialformadoporunaEDOlinealdeorden n con n condiciones iniciales,tienesoluci´onyes´unica:

 Teorema3.8. Si pn 1 (x),...,p0 (x),g (x)sonfuncionescont´ınuas enalg´unintervalo]a,b[quecontienealpunto x0 , entonceselproblemadevalorinicial:

+

conlascondicionesiniciales:

(

(

)=

=

(

, tieneuna´unicasoluci´oneneseintervaloparacualquierelecci´onde losvalores y0 ,y1 ,...,y

Deformaan´alogaalasEDOlinealesdesegundoorden,tambi´enaparece elwronskianocuandotrabajamosenEDOlinealesdeorden n:  Definici´on3.6. El wronskiano delasfuncionesderivables:

vienedadoporlaexpresi´on:

Elsiguienteteoremanosproporcionalaexpresi´onparalasoluci´ongeneral

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con C1 ,...,Cn constantesarbitrarias.

 Nota3.10. Aligualqueenelcaso n =2,silasfunciones y1 ,...,yn sonsolucionesdeunaEDOlinealdeorden n en]a,b[,entoncessuwronskianonoseanulaen]a,b[oesid´enticamentenuloen]a,b[ Lacondici´on W [y1 ,...,yn ](x) =0nosaseguraquelasfunciones y1 (x),...,yn (x)son linealmenteindependientesen]a,b[ Elconjunto {y1 ,y2 , ··· ,yn } sedenomina conjuntoosistemafundamentaldesoluciones

AligualqueenlasEDOlinealesdeorden2,lasoluci´ongeneraldeuna EDOlinealdeorden n seobtienecomosumadelasoluci´ongeneraldela EDOhomog´eneaasociadayunasoluci´onparticulardelaEDOcompleta.

 Teorema3.10. Si yp (x)unasoluci´onparticulardelaEDOcompleta: y (n) + p

(

(

(

... +

(

)y

(

)+ p0 (x)y = g (

delaecuaci´onhomog´eneaasociada,entonceslasoluci´ongeneralde

donde C1 , ,C

sonconstantesarbitrarias.

Sepuedegeneralizarlaresoluci´ondeEDOlinealesdesegundoorden homog´eneasconcoeficientesconstantesalcasodeorden n.Igualmente, puedeextenderseelc´alculodesolucionesparticularesporelm´etodode coeficientesindeterminados(s´oloparaEDOconcoeficientesconstantes) yporelm´etododevariaci´ondepar´ametros(este´ultimov´alidotambi´enparaEDOconcoeficientesvariables).Enestetemaestudiaremos ´unicamentelassolucionesdeEDOhomog´eneasydaremoselm´etodode coeficientesindeterminadosparaelc´alculodesolucionesparticulares.

EDOhomog´eneasconcoeficientesconstantes

LaEDOlinealdeorden

homog´eneaconcoeficientesconstantes:

polinomiocaracter´ıstico

=0

yla ecuaci´oncaracter´ıstica(oauxiliar) vienedadapor:

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Paraconstruirunconjuntofundamentaldesoluciones,calcularemoslas ra´ıcesdelpolinomiocaracter´ısticoytendremosencuentalassiguientes posibilidades:

1. Paracadara´ızreal r demultiplicidad1,lafunci´on erx essoluci´on delaEDOyformar´apartedelsistemafundamentaldesoluciones de(3.28).

2. Paracadara´ızreal r demultiplicidad m ≥ 2,lasfunciones:

e

sonsolucionesdelaEDOlinealmenteindependientesyformar´an partedelsistemafundamentaldesolucionesde(3.28).

3. Paracadara´ızcompleja

± iβ demultiplicidad1,lasfunciones e

cos(

)y

sen(

)sonsolucionesdelaEDOlinealmenteindependientesyformar´anpartedelsistemafundamentaldesolucionesde(3.28).

4. Paracadara´ızcompleja

e

iβ demultiplicidad m ≥ 2,lasfunciones:

sonsolucionesdelaEDOlinealmenteindependientesyformar´an partedelsistemafundamentaldesolucionesde(3.28).

Todaslasfuncionesqueaparecenenloscuatrocasossonlinealmente independientesentreellasyestonospermitir´aobtenerunsistemafundamentaldesoluciones.Lasoluci´ongeneralvendr´adadaporcualquier combinaci´onlinealde´estas.

linealeshomog´eneas:

mecánica, ingeniería química

ISBN:

ingeniería

tecnologías

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(b) Laecuaci´oncaracter´ısticavienedadapor r 3 +6r 2 +13r +10=0, cuyasra´ıcesson r = 2 ± i y r = 2,as´ıque {e 2x ,e 2x cos x, e 2x sen x} esunsistemafundamentaldesolucionesylasoluci´on generales:

y (x)= C1 e 2x + C2 e 2x cos x + C3 e 2x sen x.

(c) Laecuaci´oncaracter´ısticavienedadapor r 4 r 3 3r 2 +5r 2=0, cuyasra´ıcesson r1 = 2conordendemultiplicidad1y r2 =1 conordendemultiplicidad3 Portanto, {e 2x ,ex ,xex ,x2 ex } esun sistemafundamentaldesolucionesylasoluci´ongenerales:

y (x)= C1 e 2x + C2 ex + C3 xex + C4 x 2 ex .

(d) Laecuaci´oncaracter´ısticavienedadapor r 4 +12r 3 +62r 2 +156r + 169=0,esdecir,(r 2 +6r +13)2 =0, cuyasra´ıcesson r = 3 ± 2i conordendemultiplicidad2.Portanto, {e 3x cos(2

,e

sen(2

)

esunsistemafundamentaldesolucionesylasoluci´ongenerales:

EDOnohomog´eneas.Elm´etododecoeficientesindeterminados

Estudiaremosaqu´ı´unicamenteelm´etododecoeficientesindeterminados paraelc´alculodeunasoluci´onparticularenelcasoenquelaEDOtenga coeficientesconstantes.Elm´etodoseguir´asiendov´alido,aligualqueen lasEDOdesegundoorden,siemprequeelt´erminonohomog´eneosea unafunci´onpolin´omica,exponencial,seno,cosenoosumafinitade´estas.

 Nota3.11. Lapropuestaparasoluci´onparticularvendr´adadapor lamismaquevimosenelcasodelasEDOlinealesdeorden2seg´unlos casos1,2y3.LadiferenciaconrespectoalasEDOdeorden2esque elfactor xh queaparec´ıaencadaunodeesoscasos,podr´ıatenergrado mayoroiguala2.

 Ejemplo3.27. Resolvamoslaecuaci´ondiferencial:

Soluci´on. Lasra´ıcesdelpolinomiocaracter´ısticoasociadoalaEDO homog´eneason

soluci´ondelaEDOhomog´eneavendr´adadapor:

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Elt´erminonohomog´eneoes g (x)= x2 2x.Como0noessoluci´on delpolinomiocaracter´ıstico,noaparecer´aelt´ermino xh yunasoluci´on particulartendr´alaforma: y

Bx + C ), con A,B y C coeficientesindeterminados.Como:

ylasderivadasvienendadaspor:

tendremosalsustituirenlaEDO: 0+3 2A

Igualandocoeficientes,obtenemosque

Portanto,

ylasoluci´ongeneraldelaEDOcompletaes:

Resuelvelasecuacionesdiferenciales:

(a) y

(b) y

(c) y

(Soluci´on.

(b)

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3.5.LatransformadadeLaplace

La transformadadeLaplace (TL)permiteresolverproblemasdevalorinicialcuandolasEDOsonlinealesconcoeficientesconstantes.Su estudiosurgedemaneranaturalenelcontextodeloscircuitosel´ectricos dondeaparecenfuncionesconciertasdiscontinuidadesconlasquelos m´etodosestudiadosnosepuedenaplicar.LatransformadadeLaplace tienem´ultiplesaplicacionesenelcontroldeprocesoseningenier´ıa:controldelatemperaturayhumedaddeedificios,controldeuncocheoun avi´onparaquesedesplacendemaneraexactaydeformasegura,enla industria,enloscontrolesdeprocesosdemanufactura,ensat´elites,etc. ElprocesopararesolverunaEDOconsisteenaplicarlatransformadade LaplaceaunaEDOlinealquelatransformar´aenunaecuaci´onalgebraica quepodremosmanipulardemanerasencilla.ElusodelallamadatransformadainversadeLaplacenosdar´alasoluci´onparticularquebuscamos. Nuestrosobjetivosenestasecci´onser´an:

• HallarlaTLdedeterminadasfuncionesaplicandosudefinici´ony establecerunatabladeTL.

• CalcularlaTLylatransformadainversaapartirdetablasdelas transformadasdefuncioneselementalesypropiedadesdelatransformada.

• ResolverEDOlinealesconcondicionesinicialesconlaTL.

• Aplicaci´ondelaTLaEDOlinealesqueinvolucranla funci´onescal´on yla funci´ondeltadeDirac

3.5.1.TablaypropiedadesdelaTransformadade Laplace

 Definici´on3.7. LatransformadadeLaplacedelafunci´on f (t)viene dadaporlafunci´on:

F (s)= 

0 f (t)e st dt entodoslosvalores s dondelaintegralimpropiaconverge.LatransformadadeLaplacedelafunci´on f (t)sedenotapor L[f (t)]osimplemente F (s).

 Nota3.12. NotodaslasfuncionesadmitentransformadadeLaplace, perolasfuncionesconlasquetrabajamosnormalmentes´ılohacen.Para profundizarenlaexistenciadelaTL,puedeconsultarseelanexo3.7.4.

Veamosc´omocalcularlatransformadadeLaplacedefuncionessencillas.

 Ejemplo3.28. CalculalatransformadadeLaplacedelafunci´on f (t)=1.

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Soluci´on. Aplicandoladefinici´on,

 Nota3.13. Laintegralimpropiaanterioresconvergentes´olosi s> 0. Enotrocaso,laintegralnoexiste.Engeneral,eldominiodeunaTL (valoresdondelatransformadaexiste)esunconjuntodelaforma s>a paraalg´unn´umero

 Ejemplo3.29. CalculalatransformadadeLaplacedelafunci´on f (t)= eat paraunaconstante a distintadecero.

Soluci´on. Aplicandoladefinici´ondelatransformadadeLaplace,

Si s a> 0,entonces

t →∞.Portanto: L e

=l´ım

+

a para s>a. 

 Ejemplo3.30. CalculalatransformadadeLaplacedelafunci´on f (t)= t

Soluci´on. Calculamossutransformada: L [t]= 

te st dt = e st  t s 1



=l´ım

 e st (1+ st) s2  + 1 s2

Podemoscalcularell´ımiteaplicandolaregladeL’Hˆopitalylaintegral esconvergentesiempreque s> 0.Portanto, L [t]= 1 s2 paratodo s> 0. 

 Ejemplo3.31. CalculalatransformadadeLaplacedelafunci´on f (t)=sen(bt),donde b esunn´umerorealdistintodecero.

Soluci´on. Calculamossutransformadaintegrandoporpartesdosveces:

[sen(bt)]=

)+

Calculamosell´ımiteaplicandolaregladel’Hˆopitalycomprobamosque da0para s> 0.Portanto:

bt)]=

paratodo

Enlatablasiguienteaparecenlastransformadasdealgunasfunciones elementalesquepuedencalcularseaplicandoladefinici´on.

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at t

sen(

eat sen(bt

at cos(bt

,s>a

PropiedadesdelatransformadadeLaplace

LaspropiedadesdelatransformadadeLaplacepermitenelc´alculode maneram´assencilla.Estaspropiedadessebasan,principalmente,enla definici´ondelatransformadaconlaintegralimpropia.Entodaslaspropiedadesquevamosaestudiar,supondremosquelasfuncionesqueaparecencumplenlascondicionesqueserequierenparaqueexistalaTL.

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ingeniería

ingeniería

tecnologías

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P2)Propiedaddelatraslaci´on. Si L [f ]= F (s)existepara s>α, entonces:

L e at f  = F (s a)para s>α + a.

 Ejemplo3.33. Estonospermite,porejemplo,determinarlatransformada L [eat sen(bt)]delatablaanteriorutilizando´unicamentelatransformadadelafunci´onsen(bt).

Soluci´on. Como L [sen(bt)]= F (s)= b s2 + b2 paratodo s> 0,utilizandolapropiedaddetraslaci´onde F (s)obtenemos:

L e at sen(bt)

= F (s a)= b (s a)2 + b2 paratodo s>a. 

P3)TransformadadeLaplacedeladerivada. Si L [f ]= F (s)existe parapara s>α,entonces: L [f

]= sL [f ] f (0)para s>α.

 Ejemplo3.34. Calcularemos L [cos t]conociendolatransformadade lafunci´onsen t.

Soluci´on. Si f (t)=sen t,entonces f  (t)=cos t,as´ıque:

s

[cos t

paratodo s> 0

Esteresultadopuedegeneralizarseaderivadasdemayororden:

P4)TransformadadeLaplacedederivadasdeordenmayor. Si L [f ]=

Utilizaremosestapropiedadenlaresoluci´ondeproblemasdevalorinicial mediantelatransformadadeLaplaceenlasecci´on3.5.3.

Ejemplo3.35. CalculalatransformadadeLaplacedeladerivadade

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P5)DerivadadelatransformadadeLaplace. Si L [f ]= F (s)existe para s>α,entonces:

L [tn f (t)]=( 1)n dn F (s) dsn paratodo s>α.  Ejemplo3.36. Calcula L [t sen bt]. Soluci´on. Sabemosque:

L [sen bt]= F (s)= b s2 + b2 paratodo s> 0, as´ıquederivando F (s),tenemos: dF ds = 2bs (b2 + s2 )2 .

Portanto,aplicandoladerivadadelatransformada,obtenemos: L [t sen bt]= dF ds = 2bs (b2 + s2 )2 paratodo s> 0 

Problemasycuestionesdelasecci´on3.5.1

1. Calcula,aplicandoladefinici´on,latransformadadeLaplacedelas siguientesfunciones,indicandoparaqu´evaloresde s existen:

(a) L [f (t)]donde f (t)=  2 si 0 <t< 3 3t 1 sit ≥ 3. (b) L [f (t)]donde f (t)=    1 si 0 <t< 1 3 si 1 ≤ t< 5 tsit ≥ 5 (Soluci´on. (a) e 5s (s +1) s2 + 4e s s 1 s , s> 0, (b) 2 s + e 3s (6s +3) s2 , s> 0).

2. Deducelaf´ormulade L [tn ],siendo n ∈ N.Sugerencia:calculalas transformadas L [t2 ], L [t3 ]yapartirdeellasdeducelaf´ormula general. (Soluci´on. n! sn+1 , s> 0).

3. Calcula:

L [2te 2t cos3t]. (Soluci´on. 2s2 +8s 10 (s2 +4s +13)2 ).

• L [(1+ e t )2 ]. (Soluci´on. 1 s + 2 s +1 + 1 s +2 ).

• L [t sen t sen(4t)]. (Soluci´on. 8(3s4 +34s2 225) (s4 +34s2 +225)2 ).

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L [cos

L

L

(Soluci´on.

1

sen(

L [4t2 3+sen

• L [e4t sen(

• Calcula L [t

e

(Soluci´on.

5 4

(Soluci´on. 5

(Soluci´on.

+ 6

7

+

).

+2

(Soluci´on. 1 1+(s 4)2 ).

(Soluci´on. 2 (

3 s + 6

).

2 +1)(

2 +9) ).

Escribeladerivadadeorden5delafunci´on f (t),esdecir,

Sabiendoque

Sabiendoquecosh

(Soluci´on.

Enestasecci´onveremoselproblemainversoalc´alculodelatransformadadeLaplace,esdecir,estudiaremosc´omoencontrarlafunci´on f (t) conociendosutransformada

(

).Estoresultaimprescindibleenlaresoluci´ondeEDOlinealesconcoeficientesconstantes,talcomoveremos enlasecci´on3.5.3.

transformadainversadeLaplace deunafunci´on

Definici´on3.8.

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(d) F (s)= 7s 1 s3 7s 6

Soluci´on. Paracalcular L 1 [F (s)]consultamoslatabladelatransformadayobtenemos:

(a) L 1  2 s3  = L 1

2! s3

(b) L 1  3 s2 +9  = L 1

= t2 .

3 s2 +32  =sen(3t).

(c) Puestoqueeldenominadornotienera´ıcesreales,podemosescribirlo comosumadecuadradosenlaforma(s 1)2 +22 .Tendremos,por tanto,que L 1  s 1 s2 2s +5  = L 1  s 1 (s 1)2 +22  = et cos(2t).

(d) Comoeldenominadoradmitera´ıcesreales,enprimerlugar,tenemos queencontrarladescomposici´onenfraccionessimplesde F (s)= 7s 1 s3 7s 6 .Como

+1)(s +2)(s 3),estonoslleva aladescomposici´on: 7s 1 s

7

6=(

6 = A

+1 + B s +2 + C s 3

donde A, B y C sonconstantesadeterminar.Reducimosacom´un denominadorelt´erminodeladerechaeigualamoslosnumeradores:

s 1=

(s +1)(s +2).

Asignandovaloresa s (porejemplo,losvaloresdelasra´ıces),obtenemosunsistematrivialcuyasoluci´ones A =2, B = 3y C =1. Otraopci´onparaencontrarestosvaloresesigualandoloscoeficientesdelospolinomiosqueaparecenenambost´erminos.Portanto,

simplificarsuc´alculo.

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 Ejemplo3.38. Calcula L 1  3 2s3 + 7 1+ s2 .

Soluci´on. Aplicamoslapropiedaddelalinealidad, L 1  3 2s3 + 7 1+ s2  = 3 2 L 1  1 s3  +7L 1  1 1+ s2  = 3t2 4 +7sen t.  P2)Transformadadelaintegral. Si L [f (t)]= F (s),entonces: L  t 0 f (u) du = F (s) s , (3.31) o,enformaequivalente, L 1  F (s) s  =  t 0 f (u) du. (3.32)

 Ejemplo3.39. Calcula L

Soluci´on.

Portanto,

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Laresoluci´ondeproblemasdevalorinicialcuyainc´ognitaes y (t)utilizandolatansformadadeLaplacesebasaenaplicarlatransformada sobretodalaecuaci´on,obteniendounanuevainc´ognita Y (s).Haciendo manipulacionesalgebraicas,podemosdespejar Y (s)y,conelusodela transformadainversa,recuperamoslafunci´onoriginal y (t),obteniendo lasoluci´ondelproblema.VeremosejemplosenlosquelasEDOsonlinealesdecoeficientesconstantesylost´erminosindependientespueden serfuncionescont´ınuasodiscont´ınuas.Sinembargo,puedeaplicarseesta t´ecnicaaalgunasEDOlinealesconcoeficientesvariables,asistemasde EDOeinclusoaEDP.

Soluci´on. TomandolatransformadadeLaplaceenambosmiembrosde laecuaci´onyporlapropiedaddelinealidad,obtenemos:

Denotamospor

rivada,sabemosque:

Sustituyendolascondicionesiniciales,obtenemos:

s 2 Y

(3.33) Despejando Y (s)de(3.33),resulta:

Portanto,

ysetieneque y (t)= t eslasoluci´ondelproblemadevalorinicial. 

 Nota3.14. Enelprocesoanteriorhemosdeterminado y (t)utilizando latransformadainversadelafunci´on Y (s)=1/s2 .Pero y (t)= t noesla ´unicacuyatransformadainversade1 /s2 .Otroejemplodetransformada inversade1/s2 ser´ıalafunci´on:

Estoesdebidoaquelatransformadaesunaintegralylasintegralesno cambiansimodificamoslosvaloresdeunafunci´onenpuntosaislados.La diferenciaentre y (t)y g (t)esque y (t)escontinuaen[0, +∞[mientras que g (t)noloes.Siemprequepodamos,tomaremossolucionesquesean cont´ınuas.Adem´as,paracadafunci´on F (s),existecomom´aximouna ´unicatransformadainversa f (t)queseacont´ınua.

M´etododeresoluci´on

Comoyahemosindicado,pararesolverunproblemadevalorinicial seguimoslossiguientespasos:

(1) TomamoslatransformadadeLaplacedeambosmiembrosdela ecuaci´on.

(2) AplicamoslaspropiedadesdelatransformadaylascondicionesinicialesparaobtenerlatransformadadeLaplacedelasoluci´on,y luegodespejamoslatransformadadeestaecuaci´on.

(3) Determinamoslatransformadainversadelasoluci´onbuscandoen latablaoutilizandounm´etodoapropiadoencombinaci´onconla tabla.

Ejemplo3.41. Resuelveelproblemadevalorinicial:

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Soluci´on. Aplicamoslatransformadaenambosmiembrosdelaigualdad:

Utilizandolalinealidadde

tenemos:

L

Si L [y ]= Y (s),sabemosque:

L

L

8

(3.34)

2

12

Sustituyendoestasexpresionesen(3.34)ydespejando Y (s),resulta:

s

Quedaporcalcularlatransformadainversadelafunci´on Y (s).Teniendo encuentaqueladescomposici´onenfraccionessimplesdelcocientede polinomioses:

2s2 +10s (s2 2s +5)(s +1) = 1 s +1 + 3s +5 s2 2s +5 , obtenemos,utilizandolatablaparacadaunodeellos,quelasoluci´ondel problemadevaloriniciales: y (t)= L 1 [Y (s)]=3e t cos2t +4e t sen2t e t . 

 Nota3.15. ObservamosqueutilizandolatransformadadeLaplace sepuedereemplazar“diferenciaci´onconrespectoa t”con“multiplicaci´on por s”,convirtiendounaecuaci´ondiferencialenunaecuaci´onalgebraica.

Problemasycuestionesdelasecci´on3.5.3

1. Resuelveelproblemadevalorinicial y  2y =2t +1, y (0)=1. (Soluci´on. t 1+2e2t )

2. Resuelveelproblemadevalorinicial

(0)=2.

Resuelveelproblemadevalorinicial

(0)=0

Encuentralafunci´on y

(0)=2,

(0)=5.

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5. DadalaEDO y

+9y = g (t), (a) Hallalasoluci´ongeneralcuando g (t)=0. (b) Resuelveelproblemadevalorinicialcuando g (t)= e 3t que cumple y (0)=0, y  (0)=0. (c) Hallalasoluci´ongeneraldelaecuaci´oncompleta. (Soluci´on. (a) y (t)= C1 e 3t + C2 te 3t ,(b) y (t)= 1 2 t2 e 3t ,(c) y (t)= C1 e 3t + C2 te 3t + 1 2 t2 e 3t )

+6y

3.5.4.TransformadadeLaplacedefuncionesespeciales

Enestasecci´onestudiaremosfuncionesespecialescondiscontinuidades queaparecenenciertosproblemasdeingenier´ıa:

• funci´onescal´onodeHeaviside,

• funci´ondeltadeDirac.

Funci´onescal´onunitario(ofunci´ondeHeaviside)

Dado a ≥ 0,sedefinela funci´onescal´onunitario u(t a)(tambi´en denominadafunci´ondeHeaviside)como:

u(t a)=  0si0 ≤ t<a 1si t ≥ a.

Figura3.5: Funci´ondeHeavisideen t = a

Siqueremosmodificarelsaltoquetieneestafunci´onen t = a,multiplicamosporunaconstante M :

Mu(t a)=  0si0 ≤ t<a M si t ≥ a. (3.35)

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Muchasfuncionesdiscontinuaspuedenexpresarseent´erminosdefuncionesescal´onunitario,loquenospermitesimplificarelc´alculodesu transformadadeLaplace.  Ejemplo3.42. Escribelafunci´onatrozos:

f (t)=  2si0 ≤ t<π 5si t ≥ π. ent´erminosdelafunci´onescal´on. Soluci´on. Tendremosque: f (t)=2+  0si0 ≤ t<π 3si t ≥ π. y,portanto, f (t)=2+3u(t π ). 

Introducimosahoralallamadapropiedaddedesplazamiento.Estapropiedaddescribeelefectosobrelatransformadainversacuandomultiplicamosunafunci´onpor e as .Estosdesplazamientossurgen,porejemplo, cuandohaytiemposderetrasoenlaalimentaci´ondeenerg´ıaasistemas el´ectricos(laalimentaci´onocurreeneltiempo t = a> 0).Elfactor e as sedenomina factorderetardo.

P3)Propiedaddedesplazamiento. Si F (s)= L [f (t)]existepara s>α,entonces:

L [u(t a) f (t a)]= e as F (s)paratodo s>a + α (3.36) obien,ent´erminosdelatransformadainversa,

L 1 e as F (s) = u(t a) f (t a) (3.37)  Ejemplo3.43. Calcula L 1  e 6s

. Soluci´on. Tendremosque:

L 1  e 6

donde F (s)= 1 s2

.Como: L 1 [F (

2 +9

F (

)]= u(t 6)f (t 6).

t)= f (t), obtenemos: L 1

Paraseguirconlatablaquehicimosalprincipiodelasecci´on,calculamos latransformadadeLaplacedelafunci´onescal´on.

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Soluci´on. Unaposibilidadesutilizardirectamenteladefinici´ondela transformadadeLaplace.Sinembargo,ahorraremosc´alculosexpresando f (t)ent´erminosdefuncionesescal´onunitarioyaplicandodespu´esla f´ormula(3.38).Analizamoselcomportamientodelafunci´on:

• Lafunci´on f (t)esiguala3hastaque t alcanzaelvalor2.

• Cuando t llegaa t =2daunsaltoal 1.Estesaltode 4unidades sepuedeexpresarcomo 4 u(t 2)yaque u(t 2)vale0hastaque t alcanzaelvalor2,despu´esdelcualtieneelvalor 1.

• En t =5lafunci´on f (t)saltade 1a7,esdecir,daunsaltode8 unidades.Estosepuedeexpresarcomo8 u(t 5).

Portanto,

(t)=3 4 u(t 2)+8 u(t 5)

TomandolatransformadadeLaplaceyaplicandolaf´ormula(3.38),obtenemos:

L

f ]=3

Veamosahoraunejemplodecomoresolverunproblemadevalorinicial dondeaparecenfuncionesescal´on.

 Ejemplo3.46. ResuelvelaEDO:

conlascondicionesiniciales

(0)=3.

Soluci´on. Aplicamoslatransformadaenambosmiembrosdelaigualdad:

Sustituyendoestasexpresionesen(3.39)ydespejando

)=

Sialdespejar Y (s),quedaunaparteconunaexponencialquedependade s yotrapartesinexponencial,convienedejarseparadasambas expresionesparacalcularlatransformadainversa.Denotando:

1 (s)=

calcularemoscadaunadesustransformadasinversas.Puestoque s2 4s +8notienera´ıcesreales,tendremos: y1 (t)= L 1 [Y1 (s)]= L 1  s 1

tendremosque:

2 (t

2 4s +8  = L 1  s 2+1 (s 2)2 +22  = L 1 

(

s 2)2 +22  + 1 2 L 1  2 (s 2)2 +22  =

2

2t cos(2t)+ 1 2 e 2t sen(2t)

Paracalcular y2 (t)= L 1 [Y2 (s)],utilizaremoslapropiedaddedesplazamiento.Denotandopor:

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Lafunci´ondeltadeDirac

Enciertosfen´omenoscomopuedenserlossistemasmec´anicos,circuitos el´ectricosydeflexi´ondevigas,aparecenfuncionesquetienenunvalor muygrandeenunintervalodetiempomuycorto.Porejemplo,elgolpe deunmartilloejerceunafuerzarelativamentegrandeduranteunintervalodetiemporelativamentecorto,yunacargapesadaconcentradaen unpuntodeunavigasuspendidaejerceunafuerzagrandesobreuna peque˜nasecci´ondelaviga.Unapelotapuedelanzarsehaciaarribacon ungolpeviolentodadoconalg´untipodepalo.SiestudiamoslaEDO quemodelizaunsistemamec´anicosometidoaunafuerzadeestascaracter´ısticas,podremosconocerlarespuestadelsistemaantedichafuerza. Paratratarconestasfuerzas,seutilizalallamadafunci´ondeltadeDirac.

(t)secaracterizapor lasdospropiedadessiguientes:

Definici´on3.9. Lafunci´on deltadeDirac

(t)cont´ınua.

Desplazandoelargumentode

)tenemosque

(t a)=0si t

(3.41)

a y

(3.42) paracualquierfunci´on f (t)cont´ınua. Calculamosacontinuaci´onsutransformadadeLaplace.

 Ejemplo3.47. CalculalatransformadadeLaplacedelafunci´on δ (t a)con a ≥ 0. Soluci´on. Utilizandola(3.42)para f (t)= e st yteniendoencuenta que δ (t a)=0para

a,tendremosquepara a ≥ 0:

a ≥ 0,

Pararesolverproblemasdevalorinicialdondeaparecelafunci´ondeltade Dirac,seprocededemaneraan´alogaalcasoenqueaparecenfunciones escal´on.

Ejemplo3.48. ResuelvelaEDO:

mecánica, ingeniería química

ingeniería

ingeniería

tecnologías

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Soluci´on.

Sustituyendoestasexpresionesen(3.43)ydespejando

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4. Resuelveelproblemadevalorinicial

conlascondicionesiniciales

(0)=1, y

(0)=0.Escribelasoluci´on comounafunci´onatrozos. (Soluci´on.

t

5. Lacorriente I (t)deuncircuitoRLCenserieest´aregidoporel problemadevalorinicial:

siendo f (t)=

Determinalacorrienteenfunci´ondeltiempo. (Soluci´on.

6. Unamasasujetaaunresortesesueltadelreposo1m.pordebajo delaposici´ondeequilibriodelsistemamasa-resorteyempiezaavibrar.Despu´esde π/2segundos,lamasaesgolpeadaporunmartillo queejerceunimpulsosobrelamasa.Elsistemaest´aregidoporel problemadevalorinicial:

Calculaeldesplazamiento

)conrespectoalequilibrioenelinstante t yexplicaqu´elesucedealamasadespu´esdesergolpeada. (Soluci´on. x

UnaclaseespecialdeecuacioneslinealesdesegundoordenconcoeficientesvariablesquesabemosresolversonlasecuacionesdeCauchy-Euler, quesonaquellasquepuedenescribirsedelaforma:

donde a,b y c sonconstantes.Estetipodeecuacionesseresuelvenhaciendoelcambio

quetransformalaecuaci´on(3.44)enunaecuaci´on concoeficientesconstantes.Tambi´enpuedenresolversesuponiendoque

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nesdeCauchy-Euler

lasoluci´onesdelaforma y (x)= xr , loqueconduceaunaecuaci´on auxiliaren r. Veamosambosm´etodos. M´etodo1. Hacemoselcambiodevariables: (x,y ) −→ (t,y )

definidopor x = et > 0.Tendremosque dx dt = et yporlaregladela cadena: dy dt = dy dx dx dt = dy dx e t .

Despejamos: dy dx = e t dy dt yvolvemosaderivar,aplicandodenuevolaregladelacadena: d2 y dt2 = d dt  dy dt  = d dt e t dy dx  = e t dy dx + e t d2 y dx2 dx dt = = e t dy dx + e 2t d2 y dx2 = dy dt + e 2t d2 y dx2

ydespejamos: d2 y dx2 = e 2t d2 y dt2 e 2t dy dt .

Sustituyendo dy dx y d2 y dx2 enlaecuaci´on(3.44),llegamosalaecuaci´on linealdecoeficientesconstantes:

a d2 y dt2 +(b a) dy dt + cy = g (e t ). (3.45)

Estaecuaci´onyasepuederesolverporlosm´etodosconocidosobteniendo y (t) Posteriormente,deshacemoselcambioparatener y (x).

Sinosinteresansolucionespara x< 0, hacemoselcambiodevariable x = ξ yresolvemoslaecuaci´onpara ξ> 0.

M´etodo2. Enprimerlugar,resolvemoslaecuaci´onhomog´eneaasociada:

,x> 0

Consideramossolucionesdelaforma y = xr ,con r adeterminar.Al sustituirobtenemos:

ypodemossacarfactorcom´un

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Puestoque xr > 0, paraqueseverifiquelaecuaci´onsetendr´aquecumplir:

ar (r 1)+ br + c =0 (3.46)

Laecuaci´on(3.46)esunaecuaci´onauxiliardelaecuaci´ondeCauchyEuler,llamada ecuaci´onindicial.

Veamosqu´esolucionesobtenemosenfunci´ondelasra´ıcesdelaecuaci´on indicial:

1. Silasra´ıcesson r1 y r2 ,realesydistintas,entoncesdossoluciones linealmenteindependientesson y1 (x)= xr1 e y2 (x)= xr2 .Portanto, lasoluci´ondeestaecuaci´onhomog´eneaes:

yh (x)= C1 xr1 + C2 xr2

2. Silaecuaci´onauxiliartieneunara´ızdoble r ,entoncesunasoluci´on es y1 (x)= xr .Medianteelm´etododereducci´ondeorden(veranexo 3.7.1),obtenemosunasegundasoluci´onlinealmenteindependiente dadapor y2 (x)= xr ln x.Enestecaso,lasoluci´ondelaecuaci´on homog´eneaser´a:

yh (x)= C1 x + C2 xr ln x.

3. Silasra´ıcessoncomplejasconjugadas, r = α ± βi,lasoluci´ondela ecuaci´onhomog´eneaes:

yh (x)= C

cos(

ln x)+ C2 x

sen(β ln x),x> 0

Para x< 0, hacemoselcambiodevariable x = ξ yresolvemosla ecuaci´onpara ξ> 0.

Lasoluci´onparticularsepuedecalcularporelm´etododevariaci´onde par´ametros.

 Ejemplo3.49. ResuelvelaEDOdeCauchy-Eulerdadapor:

en]0, +∞[mediantelosdosm´etodosestudiados.

Soluci´on.1)Paraestaecuaci´on,setieneque a =1, b =2, c = 2.Por tanto,elcambio x =

,nosllevaalaecuaci´ondecoeficientesconstantes dadapor(3.45):

Suecuaci´onauxiliares r 2 +

2=0,conra´ıces r1 =1y r2 = 2 Luego lasoluci´ongeneraldelapartehomog´eneaes:

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Parahallarlasoluci´onparticular,aplicamoselm´etododeloscoeficientes indeterminados,suponiendoque´estaesdelaforma: yp (t)= th Aet siendo h elordendemultiplicidadde1enlaecuaci´onauxiliar;eneste caso h =1.Portanto:

yp (t)= tAet ,y  p (t)= Aet + Atet ,y  p (t)=2Aet + Atet ysustituyendoenlaecuaci´ondiferencial,obtenemosque3A =1,es decir, A =1/3.Portanto: yp (t)= 1 3 tet ylasoluci´ongenerales: y (t)= C1 e t + C2 e 2t + 1 3 tet

Deshaciendoelcambioinicial x =

obtenemos:

1

0

2)Paraaplicarelsegundom´etodo,suponemosquelassolucionessonde laforma xr Derivandoysustituyendollegamostambi´enalaecuaci´on auxiliar r (r 1)+2r 2=0conra´ıces r1 =1y r2 = 2, obteniendola soluci´ongeneraldelapartehomog´enea:

Parahallarlasoluci´onparticulartenemosqueaplicarelm´etododevariaci´ondepar´ametros.Paraello,escribimoslaecuaci´onenformacan´onica:

Conestem´etodo,tomamoslasoluci´onparticulardelaforma:

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3.7.Anexos

3.7.1.M´etododereducci´ondelorden

SitrabajamosconunaEDOlinealhomog´eneadesegundoorden,elm´etododereducci´ondelordennospermiteobtenerunasegundasoluci´ona partirdeunasoluci´onconocida.

Sea f (x)unasoluci´onconocidadelaecuaci´on:

(3.47)

Estem´etodoconsisteensuponerquelaotrasoluci´onesdelaforma:

Sustituyendoestaexpresi´onenlaecuaci´on,´estasereduceaunaecuaci´on deprimerordenseparableenlavariable w = v  .Unavezobtenida v  (x), seintegrayseobtiene v (x)as´ı:

(x

Sibuscamosunconjuntofundamentaldesoluciones,elegiremoslasconstantesdeintegraci´ondemodoque f (

)y

 Ejemplo3.50. Lafunci´on f (

2y  +

(

)seanlinealmenteindependientes.

y

=0.Encuentraunasegundasoluci´onlinealmenteindependiente.

Soluci´on.Silanuevasoluci´ones

,entonces:

Sustituyendoenlaecuaci´ondiferencial:

ysimplificando:

Sea w = v  , entonces: w  =0, portanto, w (x)= C1

)= C1 y v (x)= C1 x + C2 , dedondetenemosquelasoluci´onbuscadaesdelaforma: y (x)=(C1 x + C2 ) ex

(

Puestoquelasoluci´onhadeserlinealmenteindependientecon f (x)= ex , tomamos C1 =0 As´ı,tomandoporejemplo C1 =1y C2 =0, una segundasoluci´onlinealmenteindependientepuedeser: y (x)= xex 

 Ejemplo3.51. Dadalafunci´on f (x)= x soluci´ondelaecuaci´on diferencial y

2

independiente.

v (x)a determinar.Entonces:

Soluci´on.Sea y

Sustituyendoenlaecuaci´ondiferencial:

ysimplificando:

Resolvemosahoraestaecuaci´ondeprimerorden.Separandolasvariables, tenemos:

integramosamboslados,

yaldespejar w obtenemos:

Portanto:

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dedondetendremos: v (x)= C  ex2 x2 dx.

Puestoqueestaintegralnosepuedehallarent´erminosdefunciones elementales,podemosexpresar y (x)ent´erminosdeunaintegraldefinida: y (x)= x  x 1

et2 t2 dt yaproximarlosvaloresde y (x)medianteunm´etodonum´erico.Otra opci´onser´ıaobtenerundesarrolloenseriesdepotenciasdelintegrando 

3.7.2.Sistemafundamentaldesoluciones.Ra´ıces complejas

Veamosquesilasra´ıcesdelaecuaci´oncaracter´ısticason r1 = α + iβ y r2 = α iβ ,con α,β ∈ R,entonces: {eαx cos(βx),eαx sen(βx)} esunsistemafundamentaldesolucionesdelaEDO. Siguiendoelrazonamientovistoparalasra´ıcesrealestenemoscomosoluciones er1 x y er2 x .Tomemos er1 x (tomando er2 x llegar´ıamosalasmismas conclusiones).Utilizandolaf´ormuladeEulersetiene: er1 x = e(α+iβ )x = eαx eiβx = eαx (cos(βx)+ i sen(βx)) yobtenemosunasoluci´oncompleja: z (x)= eαx cos(βx)+ ieαx sen(βx)

ApartirdeellaessencilloobtenerdossolucionesrealesdelaEDOteniendoencuentaellemasiguiente:

 Lema3.1. Si z (x)= u(x)+ iv (

)essoluci´ondelaecuaci´onhomog´enea: ay

=0 (3.48)

donde a,b,c

)sonsolucionesrealesdedichaecuaci´on. Demostraci´on. Si z (x)essoluci´on,entonces: az

Sustituimos

R

(

agrupamost´erminos:

eigualandolaparterealylaparteimaginariaa0

portanto,

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setiene:

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3.7.3.Vibracionesforzadas

Enestasecci´onestudiamoslasvibracionesdeunsistemamasa-resortecuandoseaplicaunafuerzaexterna f (t).Esdeparticularinter´eslarespuestadel sistemaaunt´erminodeforzamientoperi´odico.Tomemoscomoejemplouna funci´ondeforzamientocosenoidal:

m d2 x dt2 + b dx dt + kx = F0 cos(γt)

donde F0 y γ sonconstantesnonegativas.Dependiendodelasra´ıcesdelpolinomiocaracter´ıstico,obtenemosuntipodemovimiento.

1. Movimientosubamortiguado. Setieneque b2 < 4mk ylasoluci´on delaEDOhomog´eneaasociadapuedeescribirseenlaforma:

xh (t)= Ae b 2m t sen  √4mk b2 2m t + φ (3.49)

Hallemosahoraunasoluci´onparticularporelm´etododeloscoeficientesindeterminados.Como ±γi noesra´ızdelaecuaci´onauxiliar,esta soluci´onser´adelaforma:

xp (t)= A1 cos(γt)+ A2 sen(γt),

con A1 y A2 constantesadeterminar.Paraello,derivamosdosveces, x

(t)= γA1 sen(γt)+ γA2 cos(γt), x

(t)=

2 A1 cos(γt) γ 2 A2 sen(γt) ysustituimosenlaecuaci´ondiferencial, (k γ 2 m)(A

sen(γt)+ A2 cos(γt))= F0 cos(γt). Igualandot´erminos,llegamosaunsistemaconinc´ognitas A1 y A2 :

dedondeobtenemos:

(

Portanto,unasoluci´onparticularvienedadapor:

quepuedeescribirseenlaforma:

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Elprimersumandodeestaexpresi´onsedenomina t´erminotransitorio, representaunaoscilaci´onamortiguadays´olodependedelospar´ametros delsistemaydelascondicionesiniciales,quetiendenacerocuando t tiendea+∞, debidoalfactordeamortiguaci´on

Elsegundosumandoesel t´erminoestacionario,queresultaseruna funci´onsenoidalconfrecuenciaangular

Elt´erminoestacionarioseencuentradesfasadoconrespectoalafuerza externa

Amedidaqueelt´erminotransitoriovadesapareciendo,elmovimiento delsistemamasa-resortellegaaseresencialmenterepresentadoporel segundot´ermino

llamado factordeganancia,esloqueseganaenamplitud.  Nota3.16. Podemosobservarquesi b esmuypeque˜noyelvalor de γ espr´oximoa

,elmovimientoesligeramenteamortiguadoyla frecuenciaimpresa,

, escercanaalafrecuencianatural.Enestecaso, laamplitudesmuygrandeyseproduceelfen´omenoconocidocomo resonancia.

Ausenciadeamortiguaci´on. Laecuaci´onquedescribeelmovimiento es: m d2 x dt2 + kx = F0 cos(γt)

Lasoluci´ondelapartehomog´eneavienedadapor(3.24),obtenidaenel primercasoestudiado. Dependiendodesi γ essoluci´ononodelpolinomiocaracter´ısticoobtenemosdosposibilidadesparalasoluci´onparticular: Si γ =

=  k m ,unasoluci´onparticularvienedadapor:

F

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Si γ = ω, entonces:

xp (t)= A1 t cos(γt)+ A2 t sen(γt)

con A1 y A2 adeterminar.Aplicandoelm´etododecoeficientesindeterminados,llegamosa:

xp (t)= F0 2mω t sen(γt).

Enelsegundocaso,esdecir,si γ = ω, lasoluci´ongenerales:

x(t)= A sen(ωt + φ)+ F0 2mω t sen(γt).

Porelsegundosumando,vemosquelasoscilacionessevolver´ıaninfinitas, elsistemaseromper´ıaylaecuaci´ondejar´ıadeseraplicable.Laaplicaci´on deunafuerzaperi´odicadefrecuenciacercanaoigualalafrecuenciade lasoscilacioneslibresnoamortiguadaspuedecausarunserioproblema encualquiersistemamec´anicooscilatorio.

 Ejemplo3.52. Resuelveelproblemadevalorinicial:

d2 x dt2 + ω 2 x = F0 sen(γt),x(0)=0,x  (0)=0,

con F0 constante.

Soluci´on. Comohemosvisto,lasoluci´ondelaecuaci´onhomog´eneaes:

Unasoluci´onparticularpara

,calculadaporelm´etododeloscoeficientesindeterminados,resulta:

ylasoluci´ongeneralqueseobtienees:

Sustituyendolascondicionesinicialesobtenemos:

Lasoluci´ondelproblemadevaloriniciales:

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Aunqueestaecuaci´onnoest´adefinidapara

esinteresanteobservarel casol´ımitecuando

.Esteprocesol´ımiteesan´alogoasintonizar lafrecuenciadelafuerzaimpulsora,

,conlafrecuenciadelasoscilaciones libres,

.Para

definimoslasoluci´oncomounl´ımitequeresolvemos porlaregladeL’Hˆopital:

Observamosquecuando t tiendeainfinitolosdesplazamientossehacen grandesyseobtieneelfen´omenoderesonancia.

Problemasycuestionesdelasecci´on3.7.3

1. Unamasade0.5kgsesujetaaunresortesuspendidodeltecho;esto ocasionaqueelresorteseestire0 98malllegaralreposoenequilibrio. Enelinstante t =0,lamasasedesplaza1mhaciaabajo,ysesuelta; enelmismoinstanteseaplicaunafuerzaexterna f (t)=2cos(2t)N alsistema.Silaconstantedeamortiguaci´onesde1N.sg/m,determinaeldesplazamiento x(t)delamasaenuninstante t> 0cualquiera. Considera g =9.8m/sg2 . (Soluci´on. x(t)= e t � 7 13 cos(3t) 1 39 sen(3t)+ 6 13 cos(2t)+ 4 13 sen(2t) ).

2. Unafuerzade400Nestiraunresortede2m.Unamasade50kgsesujeta deunextremodelresorte,elcualpendeverticalmentedeunsoporte,y sesueltadesdelaposici´ondeequilibrioconunavelocidaddirigidahacia arribade10m/sg.Encuentralaecuaci´ondelmovimientoydeterminala amplitud,periodoyfrecuenciadelmovimientogenerado.¿Enqu´einstantepasaelcuerpoporlaposici´ondeequilibrio,endirecci´onhaciaabajo, porterceravez?

(Soluci´on. x(t)=5sen(2t); A =5; P =

= 1

;

;alcabode π s.)

3.7.4.ExistenciadelatransformadadeLaplace

Enlosejemplosquedimosparaelc´alculodelatransformadadeLaplace, vimosquelasintegralesexistenparalasfuncionesconsideradas.Estonoocurre contodaslasfunciones,porejemplo,para f (t)= 1 t o f (t)= e t2 laintegral impropianoconverge.Enestasecci´onveremosbajoqu´econdicionespodemos garantizarqueexistelatransformadadeLaplace.

 Definici´on3.10. Sedicequeunafunci´on f (t)es cont´ınuaatrozos en unintervalo [a,b] si f escont´ınuaentodopuntode[a,b]salvoposiblemente enunn´umerofinitodepuntosenlosque f (t)tienediscontinuidaddesalto,es decir,encadaunodeestospuntosexistenlosl´ımiteslateralesysondistintos (verFigura3.7).Unafunci´onsedicequees continuaatrozos en[0, +∞[si escontinuaatrozosentodo[0,b]para b> 0.

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Figura3.7: Funci´onatrozosen[a,b].

 Definici´on3.11. Sedicequeunafunci´on f (t)esde ordenexponencial α siexistenconstantespositivas M y T talesque:

paratodo t ≥ T. (3.51)

Porejemplo,lafunci´on f (t)=

esdeordenexponencial

=2siendo M =1(verFigura3.8)

Funci´ondeordenexponencial2.

 Teorema3.11. Si f (t)escontinuaatrozosen[0, +∞[yesdeorden exponencial α,entonces L [f (t)]existepara

Tenemosquedemostrarquelaintegral:

(3.52)

T secogedeformaquecumplaladesigualdad

f (t)|≤ Me

.Laprimera integralesunaintegralnoimpropiaqueexisteyaque f (t)y e

sonfunciones continuasatrozosenelintervalo[0,T ],paracualquier

fijo.

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f (t)es

(3.53)

y,comoobservamosen(3.53), laintegralimpropiadelafunci´onmayoresconvergentepara s>α,porel criteriodecomparaci´onpodemosafirmarquelaintegral:

Puestoque

s>α.Puestoquelasdosintegralesde(3.52)existenyson convergentes,latransformadadeLaplace L [f (t)]existepara s>α 

Nota3.17. Observemosquepodemostomar T =0enlaexpresi´on(3.51).

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Introducci´onalossistemasde ecuacionesdiferenciales

4.1.Introducci´on

Unsistemadeecuacionesdiferencialeslinealesesunconjuntodeecuacionesdiferencialesordinariasenlasqueaparecendosom´asfuncionesinc´ognitas,juntoconsusderivadasylavariableindependientedelaquedependen dichasfunciones.Normalmente,utilizaremos t paralavariableindependientey x(t),y (t),z (t)paralasfuncionesinc´ognita.Paramayorn´umerodeinc´ognitas, utilizaremos x1 (t),x2 (t), ··· ,xn (t).Noscentramosenelestudiodesistemasde primerorden,esdecir,aquellosenlosques´oloaparecenlasprimerasderivadasdelasfuncionesinc´ognitay,adem´as,trabajaremoss´oloconaquellosde coeficientesconstantes.

Haydiversosprocedimientospararesolversistemasdedosotresecuaciones. Aqu´ıutilizaremoselllamadooperadordiferencial D ,quepermitereducirel sistemadeEDOaunsistemadeecuacionesalgebraicas.

Existenotrosm´etodospararesolversistemasdedosotresecuacionesque notrataremosaqu´ı,comoporejemplo,elusodelatransformadadeLaplace sobrelasecuacionesdelsistemaparareducirlotambi´enaecuacionesalgebraicas.Parasistemasgrandesdeecuacionesdiferenciales,as´ıcomoparaan´alisis te´oricos,sonpreferiblesm´etodosmatriciales,quetampocotrataremosaqu´ı.

Nuestrosobjetivosenestetemaser´an:

Aprenderaconvertirunsistemadedosecuacionesallenguajedeloperadordiferencial.

Utilizarelm´etododeeliminaci´ondevariablesoCramerparareducirel sistemaaunaEDOlinealconcoeficientesconstantesyresolverlaaplicandolast´ecnicasaprendidaseneltemaanterior.

Obtenerlassolucionesdelrestodefuncionesinc´ognitasmanipulandolas ecuacionesdelsistema.

Resolveralgunosejemplosdesistemasdeordensuperior.

ConvertirunaEDOlinealdeorden n enunsistemadeprimerorden.

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Modelizaryresolverproblemasprovenientesdefen´omenosrealesdonde aparecensistemasdeprimerorden.

lineales

4.2.1.Eloperadordiferencial

El operadordiferencial D esunaaplicaci´onquetransformaunafunci´on ensuderivada.

 Ejemplo4.1. Laderivadadeunafunci´ondesconocida x(t)vendr´adada

por:

D (x)= dx dt obien D (x)= x  .

Silafunci´onesconocida,obtenemossimplementesuderivada.Porejemplo,

D (t3 sen(2t))=3t2 2cos(2t)

 Nota4.1. Podemosaplicareloperadordiferencial D m´ultiplesvecesy combinarloparacrearnuevosoperadores P (D )queresultanserexpresiones polin´omicasenfunci´onde D :

Eloperador D 2 denotar´aladerivadasegundadelaexpresi´oncorrespondiente.Porejemplo, D 2 (t4 )=12t2 o D 2 (x)= x  .

Engeneral,eloperador D n denotar´aladerivada n ´esima.Porejemplo, D 4 (e3t )=81e3

Porejemplo,eloperador P (D )=3D 2 5D +4aplicadoalafunci´on x(t)quedar´ıa: P (D )(

)=3

Cuandotrabajamosconunsistemadeecuacionesdiferenciales,podemos utilizarlanotaci´ondeloperadordiferencialparaexpresarlo,talcomohacemos enelsiguienteejemplo:

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 Nota4.2. Enelcasoenquetrabajemosconsistemaslinealesconcoeficientesconstantescomoelanterior,podremosreducirelsistemautilizando manipulacionesalgebraicasparaconseguirunaEDOlinealyresolverlaaplicandolosm´etodosaprendidoseneltemaanterior.Estehechosedebeaque, enestecaso,losoperadorespolin´omicosdelaforma P (D )conmutan.

 Definici´on4.2. Una soluci´on delsistema(4.1)esunaparejadefunciones x(t), y (t)quesatisfacen(4.1)enalg´unintervaloI.

Apartirdeahora,enelrestodelcap´ıtulo,trabajaremos´unicamentecon sistemasdeecuacionesdiferencialeslinealesdeprimerordenconcoeficientes constantes.

4.2.2.Sistemasdedosecuacionesdiferencialeslineales ydosinc´ognitas

Utilizaremosdosm´etodosderesoluci´ondesistemasalgebraicospararesolverunsistemadedosEDOcondosinc´ognitas:elm´etododereducci´ony laregladeCramer.Enamboscasos,reduciremoselproblemaaunaEDOde ordendosparahallarunadelasinc´ognitasydespejaremoslaotrautilizando lasecuacionesdelsistema.Consideramosunsistemacomoeldadoen(4.1) dondelos Pij (D )ser´anpolinomiosdeprimergradoenlavariable D ylas fj (t) ser´anfuncionesdelavariable t.Trataremosaestesistemacomosisetratara deunsistemadeecuacionesalgebraicas.

Resoluci´onporreducci´on. Aligualquesifueraunsistemaalgebraico, tratamosdereducirunadelasdosinc´ognitasenunadelasecuaciones.

Resoluci´onutilizandoelm´etododeCramer. Pararesolverelsistema utilizandolaregladeCramer,teniendoencuentaquetratamosalasEDO comoecuacionesalgebraicas,esf´acildeducirque:

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Unavezobtenemos

(t)apartir

Nota4.4. Debemostenerencuentaque,comoestamostrabajandocon operadoresdiferenciales,laresoluci´onporelm´etododeCramernoadmitela posibilidaddepasardividiendoeldeterminantequemultiplicaalasinc´ognitas.

Ejemplo4.3. Veamoscomoresolverelsiguientesistemaconlosdosm´etodospropuestos:

Pasamoslasinc´ognitas x,y alaizquierdaydejamoslost´erminosindependientesaladerecha:

y

y =17t

D 5)x 2y =5t 3x +(D 4)y =17t

Resoluci´onporreducci´on. Aligualquesifueraunsistemaalgebraico, tratamosdereducirla x enlasegundaecuaci´on.Paraello,multiplicamospor 3laprimeraecuaci´onypor D 5lasegunda:

D 5)x 6y =15t

D 5)x +(D 5)(D 4)y =(D 5)(17t)

Alsumarlasdosecuaciones,eliminamosla x,obteniendo:

D 5)(D 4) 6)y =(D 5)(17t)+15t queoperandoresulta:

D 2 9D +14)y =17 5 · 17t +15t

yvolviendoalaexpresi´onsinoperadordiferencial,obtenemos:

9y

+14y = 70t +17

queesunaEDOlinealnohomog´eneadeordendosquepodemosresolver.La ecuaci´onhomog´eneaasociadaes y

+14y =0,cuyopolinomiocaracter´ısticoes

9y

2 9r +14=0,consoluciones r1 =2,r2 =7,as´ıquelasoluci´on delaecuaci´onhomog´eneaser´a yh (t)= C1 e2t + C2 e7t

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Paraencontrarunasoluci´onparticular yp (t),fij´emonosenqueelt´ermino independientees b(t)= 70t +17yque r =0noessoluci´ondelpolinomio caracter´ıstico.Portanto, yp (t)= At + B .Como y  p = A e y

p =0,tendremos que:

0 9A +14(At + B )= 70t +17 ⇒ 14At +(14B 9A)= 70t +17, eidentificandocoeficientes,tendremosque A = 70/14= 5y B = 2,es decir, yp (t)= 5t 2ylasoluci´ongeneralser´a: y (t)= C1 e 2t + C2 e7t 5t 2 (4.6)

Parahallar x(t),despejamosdelasegundaecuaci´ondelsistema:

yutilizando(4.6),obtenemosque:

quesimplificandoqueda:

Resoluci´onutilizandolaRegladeCramer. Tendremosque:

(D 5)

y,portanto,

t

D 5)(D 4) 6)y =(

5)(17

y

70t +17 y,apartirdeaqu´ı,razonamoscomoenlaresoluci´onporreducci´on.

Teorema4.1 (Teoremadeexistenciayunicidad). Sielsistema contiene,alosumo,lasprimerasderivadasdelasinc´ognitas x(t),y

), podemosescribirloenlaforma:

Lasoluci´ongeneraldeunsistemadeEDOdebecontenerunn´umeroapropiadodeconstantesquevienedeterminadoporelteoremasiguiente:

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 Teorema4.2. Eln´umerodeconstantesarbitrariasenlasoluci´ongeneraldelsistemalinealesigualalordendelpolinomioen D queseobtiene de:

D )= P11 P22 (D ) P12 (D )P21 (D ), suponiendoque∆(D ) =0.

 Nota4.5. Podr´ıamosestartentadosderesolverelsistema,bienporreducci´on,bienutilizandolaregladeCrameryaplicarlasreglasantesexplicadasde formaindependienteacadaunadelasinc´ognitas x(t)e y (t).Estonoimplica ning´unproblemasalvoelhechodequeeln´umerototaldeconstantesquedebenapareceralfinaldebecumplirelteorema4.2.Portanto,sidenotamospor C1 ,C2 lasconstantesde x(t)ypor K1 ,K2 lasconstantesde y (t),aloptarpor estecaminodeberemosutilizarlasEDOdelsistemaparaencontrarlarelaci´on queexisteentre´estas.Enelejemplo4.4vemoslaformadehacerlo.

 Ejemplo4.4. Resuelveelsistema:

Enprimerlugar,escribimoselsistemautilizandolanotaci´onde operadores,

(4.10)

3 dandolugara:

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esesistemapor(D +7),ylasegundaecuaci´onpor 4.Luegosumamospara obtener:

�D 2 +4D 5

=0

x

+4x

5x =0 (4.15)

Casualmente,laecuaci´on(4.15)eslamismaquelaecuaci´on(4.12),excepto queaqu´ılafunci´oninc´ognitaes x(t).Portanto, x(t)= K1 e 5t + K2 e t . (4.16)

donde K1 y K2 representanlasconstantesarbitrarias,lascualesnosonnecesariamentelasmismasque C1 y C2 delaecuaci´on(4.14).Aplicandoel teorema4.2,sabemosqueelconjuntodesolucionesdelsistemadebetener exactamente2constantesarbitrarias,yaque´esteeselordendelpolinomio ∆(D )= D 2 +4D 5.Paradeterminarlasrelacionesentrelascuatroconstantes C1 , C2 , K1 y K2 ,sustituimoslasexpresionesde x(t)e y (t)dadasen(4.14) y(4.16)enunadelasecuacionesdelsistema(4.7),porejemplo,laprimera. Estodalugaralaecuaci´on:

5K1 e 5t + K2 e t =3K1 e 5t +3K2 e t 4C1 e 5t 4C2 e t ,

lacualsereducea:

(4C1 8K1 ) e 5t +(4C2 2K2 ) e t =0. (4.17)

Dadoque e 5t y et sonfuncioneslinealmenteindependientesencualquierintervalo,laecuaci´on(4.17)severificaparatodo t solamentesi:

Portanto,

4C1 8K1 =0y4C2 2K2 =0

K1 = C1 /2y K2 =2C2 .

Portanto,lasoluci´ongeneraldelsistema(4.7)estar´adadaporlasfunciones:

x(t)= 1 2 C1 e 5t +2C2 e t e y (t)= C1 e 5t + C2 e t (4.18)

Laopci´onpreferida,comoyahemosexplicadoantes,paraobtener x(t)a partirde y (t)consisteenutilizarelsistemaparaobtenerunaecuaci´onenla que x(t)vienedadaent´erminosde y (t)y y  (t).Enesteejemplo,despejando x(t)delasegundaecuaci´ondelsistema(4.7)obtenemos:

x(t)= 1 4 y  (t)+ 7 4 y (t).

Sustituyendo y (t),dadapor(4.14),resulta:

(t)= 1 4 ( 5C1 e 5t

1 2 C1 e 5

quecoincidecon(4.18).

C

C

e

(

t

C

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masenlosquetenemos,normalmente,

ecuacionesy n funcionesinc´ognitas, denotadaspor

istemade n ecuacionesdiferencialeslinealesdeprimer ordenconcoeficientesconstantesvienedadopor:

Un

donde,

eslavariableindependientey,

alm´etododescritoparadosecuacionesydosinc´ognitasyunasoluci´ondetal sistemaesunconjuntodefunciones

)quecumplentodas lasecuacionesdelsistemaenunintervalo

Soluci´on. Sumandolasdosprimerasecuaciones,obtenemoslaecuaci´on

=0quejuntoconlaterceraecuaci´onformanunsistemade dosecuacionescondosinc´ognitas:

conlaregla

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Estudiodelsistemaseg´un ∆(D )

Si∆(D ) =0,utilizamoslosm´etodosanteriormentedescritos(m´etodode reducci´onoRegladeCramer).Si∆(D )=0,sedicequeesun sistema degenerado.Comoocurrecuandoresolvemosunsistemadeecuacionesalgebraicas,unsistemadegeneradopuedenotenersoluci´on,otenerinfinitas soluciones.Siposeesoluciones,´estaspuedencontenercualquiern´umerode constantesarbitrarias.



Ejemplo4.6. Resuelveelsistema:

Soluci´on. Escribimoselsistemaent´erminosdeloperadordiferencial:

Dx +(D +1)

Dx +(D

Elsistemaesdegenerado,portanto,puedenotenersoluci´onotenerinfinitas soluciones.Enestecaso,restandoambasecuacionesllegamosaque et =0.Por tanto,estesistemanotienesoluci´on.

Ejemplo4.7. Compruebaqueelsistemasiguientetieneinfinitassoluciones linealmenteindependientes.

Soluci´on. Claramente,lasegundaecuaci´onsededucedelaprimeraderivando, as´ıques´olotenemosunaecuaci´onindependienteydosinc´ognitas,obteniendo infinitassoluciones.

Nota4.6. Esconveniente,portodoloexplicadoanteriormente,estudiarel n´umerodeconstantesdelsistemacuandocomencemosaresolverelproblema.

Escribelossiguientessistemasutilizandolanotaci´ondeoperadoresdiferenciales.

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tecnologías

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ingeniería química

(a)  x

+8t y

x +4y t

=

3x

+5y

7y

y +sen(t +1) (b)  2x

y

t 1 (Soluci´on. (a)(D 2)x 4y = t2 +8t,x +(D +3)y =sen(t +1) (b)(2D 2 3D )x +(D 2 7)y =0, (3D 2 +2D 1)x +(6D 7)y =3t 1).

2. Resuelvelossiguientessistemas: (a)  x

x y y

= y 4x (b)  x

+ y

+2x =0

y

(d) 

+ y

+ y = t2

x y =sen t (c) 

+ y

x +2y +5t

=1 (e) 

=3

+4y +17t (f)  (D 3)x +(D 1)y = t

D +1)x +(D +4)y =1 (g)

(h)

2 x + Dy =2

x + Dy =6 (Soluci´on.

(a) x(t)= 1 2 C1 e3t + 1 2 C2 e t , y (t)= C1 e3t + C2 e t (b) x(t)= C1 et 1 4 sen t + 1 4 cos t, y (t)= 3C1 et 1 4 sen t 3 4 cos t (c) x(t)= C1 cos t+C2 sen t, y (t)= 1 2 et 1 2 e t C1 +3C2 2 sen t 3C1 C2 2 cos t (d) x(t)= C1 cos t + C2 sen t +2t 1, y (t)= C1 sen t C2 cos t 2+ t2 . (e) x(t)= C1 e7t + C2 e2t + t +1, y (t)= C1 e7t 3 2 C2 e2t 5t 2. (f) x(t)= 5 4 C1 e11t 4 11 t 26 121 , y (t)= C1 e11t + 1 11 t + 45 121 (g) x(t)=sen t cos t, y (t)=sen t. (h) x(t)= C1 e2t + C2 e 2t +1, y (t)=2t 2C1

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tecnologías

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(Soluci´on.

(a)

(b)Cualesquieracumpliendo

(c)

(d)

n aunsistemadeprimerorden

Alllevaracaboelm´etododeeliminaci´onobtenemosdelsistemaunaecuaci´ondiferencialdeordenmayorperoquecontieneunasolavariableindependiente.Elprocesoinversotambi´enesposibleymuy´utilalresolverecuaciones diferenciales,sobretodoporm´etodosnum´ericos.Estoes,vamosareescribir unaecuaci´ondiferencialdeorden n comounsistemade n ecuacionesdiferencialesdeprimerorden.Enesteplanteamientosepuedenaplicarlasrobustas t´ecnicasdel´algebralineal.

Definici´on4.4. Siunsistemadeorden n seescribeenlaforma:

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Silaecuaci´on(4.20)tienecondicionesiniciales: y (t

entonceselsistema(4.22)tienelascondicionesiniciales: x1 (t

(

)= a

 Ejemplo4.8. Convierteelproblemadevalorinicial: y

(0)=3 enunsistemadeprimerorden. Soluci´on. Renombramoslafunci´oninc´ognitaysusderivadas, y

ydespejandodelaEDO y

tenemos:

Adem´aslascondicionesiniciales,conlasnuevasvariables,quedar´a x1 (0)=1, x2 (0)=3.Elsistemaqueda,

conlacondici´oninicial

Problemasdelasecci´on4.3

1. Convierteenunsistemacadaunadelassiguientesecuacionesdiferencialeslineales.

Alestudiarlasaplicacionesdelasecuacionesdiferencialesdeprimerordenvimosc´omomodelizar,medianteunaecuaci´ondiferencial,lavelocidadde cambiodeunasustanciadisueltaenunl´ıquidocontenidoenuntanque,enel

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Figura4.1:Tanquesinterconectados.

cualentrabaunfluidoconunaciertaconcentraci´ondedichasustanciaydonde lamezclaflu´ıahaciafueradeltanque.Recordemosquesi x(t)eslacantidad desustanciapresenteeneltanqueenelinstante t y dx dt eslarapidezconque x cambiarespectoaltiempo,laecuaci´ondiferencialquemodelizaesteproblema vienedadapor: dx

donde:

ve (cantidad/t)= velocidaddeentrada delfluido(vol/t) × concentraci´onal entrar(cantidad/vol )

vs (cantidad/t)= velocidaddesalida delfluido(vol/t) × concentraci´onal salir(cantidad/vol ) siendolaconcentraci´ondesalida,lacantidaddesustancia x(t)divididaporel volumentotaleneltanqueendichoinstante t.

Ahoraconsideraremosdosdep´ositosinterconectadosentres´ıyveremosque lasdosecuacionesquemodelizanelproblemaformanunsistemadeEDO.De formaan´aloga,sepuedenconsiderarm´asdedosdep´ositosinterconectados.  Ejemplo4.9. Consideremosdostanquesinterconectados,conteniendo1000 litrosdeaguacadaunodeellos(verfigura4.1).Ell´ıquidofluyedeltanqueA haciaeltanqueBaraz´onde20l/minydeBhaciaAaraz´onde10l/min. Adem´as,unasoluci´ondesalmueraconunaconcentraci´onde2kg/ldesal fluyehaciaeltanqueAaraz´onde20l/min,manteni´endosebienagitadoel l´ıquidocontenidoenelinteriordecadatanque.Lasoluci´ondiluidafluyehacia elexteriordelsistema,desdeeltanqueAaraz´onde10 l/min ydesdeeltanque Btambi´enaraz´onde10 l/min.SiinicialmenteeltanqueBs´olocontieneagua yeltanqueAcontiene40kg.desal,calculemoslaconcentraci´ondesalenel tanqueBalcabode10min.

Cálculo

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Soluci´on. Denotaremospor x(t)e y (t)alascantidadesdesustanciadelos dep´ositos A y B respectivamenteenelinstante t.Fij´emonosenqueelvolumen encadadep´ositoesconstanteeiguala1000 l. yaqueeneldep´osito A,entran 20+10 l. cadaminutoysalen10+20.An´alogamente,eneldep´ositoBentran 20 l. cadaminutoysalen10+10.TeniendoencuentalaEDOquemodeliza losproblemasenuntanque,obtendremos:

x =20 2+10 y 1000 20 x 1000 10 x 1000 , y  =20 · x 1000 10 · y 1000 10 · y 1000 yoperando,queda:

x =40+0 01y 0 03x, y  =0.02x 0.02y.

Pasandoloanotaci´onconeloperadordiferencial,quedar´a:

(D +0.03)x 0.01y =40, 0.02x +(D +0.02)y =0.

Delasegundaecuaci´ondeducimosque x =(50D +1)y ,as´ıque,sustituyendoenlaprimeraecuaci´on,obtendremosque(D +0 03)(50D +1)y 0 01y =40, as´ıque(50D 2 +2 5D +0 02)y =40y,dividiendoentre50,obtenemoslaEDO desegundoorden: y

+0 05y

+0 0004y =0 8

Lasoluci´ondelaEDOhomog´eneaser´a yh (t)= C1 e 0 01t + C2 e 0 04t yuna soluci´onparticularser´adelaforma yp (t)= A.Sustituyendo,obtenemosque 0.0004A =0.8,as´ıque A =2000,obteniendo: y (t)= C1 e 0 01t + C2 e 0 04t +2000 ycomo x =50y  + y ,tendremosque: x(t)=50( 0 01C1 e 0 01t 0 04C2 e 0 04t )+ C1 e 0 01t + C2 e 0 04t +2000 quesimplificandoqueda: x(t)= 1 2 C1 e 0 01t C2 e 0 04t +2000.

Laship´otesisdelproblemaindicanque x(0)=40e y (0)=0,obtendremos que:  1 2 C1 C2 +2000=0, C1 + C2 +2000=40. y,sumandolasdosecuacionesydespejando C1 ,obtenemosque C1 = 2640y C2 =640,as´ıque,finalmente,

x(t)= 1320e 0 01t 640e 0 04t +2000 y (t)= 2640e 0 01t +640e 0 04t +2000 y,portanto,lacantidaddesaleneldep´ositoBalcabode10 min. ser´ade y (10)=40 234 kg. desaly,portanto,laconcentraci´oneneseinstanteser´a aproximadamente40 234/1000=0 04. 

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Problemasdelasecci´on4.4

1. Consideremosdostanques, A y B ,conteniendo1000litrosdeaguacada unodeelloseinterconectados.Ell´ıquidofluyedeltanque A haciael tanque B araz´onde30l/minydeltanque B haciael A araz´onde10 l/min Unasoluci´ondesalmueraconunaconcentraci´onde2kg/ldesal fluyehaciaeltanque A araz´onde60l/min, manteni´endosebienagitado ell´ıquidocontenidoenelinteriordecadatanque.Lasoluci´ondiluida fluyehaciaelexteriordelsistema,desdeeltanque A araz´onde40l/min ydesde B araz´onde20l/min. Siinicialmenteeltanque A s´olocontiene aguayeltanque B contiene200kgdesal,calculaqu´ecantidaddesal habr´aencadatanquealcabode10min.

(Soluci´on. 879 213kgeneltanque A y280 732kgeneltanqueB)

2. Dostanques A y B ,cadaunodeellosconteniendo50litrosdeagua,se encuentraninterconectados.Ell´ıquidofluyedeltanque A haciaeltanque B araz´onde5l/min Unasoluci´ondesalmueraconunaconcentraci´onde 3kg/ldesalfluyehaciaeltanque A araz´onde5l/min, manteni´endose bienagitadoell´ıquidocontenidoenelinteriordecadatanque.Lasoluci´ondiluidafluyehaciaelexteriordelsistema,desdeeltanque B araz´on de4l/min Siinicialmentetantoeltanque A comoel B contienen50 kgdesal,determinaelsistemadeecuacionesdiferencialesquemodeliza esteproblema(peronoloresuelvas)ylascondicionesiniciales.

(Soluci´on. x (t)= 1 10 x +15,y  (t)= 1 10 x 4 50+t y, con x(0)=50, y (0)=50).

3. Dosdep´ositosinterconectadoscontienen2000ldeaguacontaminada cadaunodeellos.Elaguacontaminadaempiezaafluiraldep´ositoAa raz´onde90l/minconunaconcentraci´ondecontaminantesde2kg/l,el l´ıquidofluyedeldep´ositoAaldep´ositoBaraz´onde10l/min.Supongamosqueell´ıquidocontenidoenelinteriordecadadep´ositosemantiene bienagitado.Lasoluci´onfluyehaciaelexteriordelsistemadesdeAa raz´onde80l/minydesdeBaraz´onde10l/min.Inicialmente,Aconten´ıa 10kgdecontaminanteyBestabalimpiodecontaminantes.Calculala cantidaddecontaminantesquealcanzar´acadaunodelosdep´ositosalo largodeltiempoylaconcentraci´onenAalcabode2h.

(Soluci´on. x(t)=4000

e

, y (t)=4000+ 1995 4 e

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t/

e

ylaconcentraci´onenAalcabo de2 h esaproximadamentede1 99099kg.).

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4.5.Proyectoparaelcap´ıtulo4.Aplicaciones desistemasacircuitosel´ectricosysistemasmasa-resorte

4.5.1.Circuitosel´ectricos

Enestasecci´onconsideraremoscircuitoscompuestosporvariasmallas.Una malla consisteenuncaminocerradoenuncircuitoel´ectrico.Porejemplo,en lafigura4.2tenemosuncircuitoformadoportresmallas:(1) ABMNA,(2) BJKMB y(3) ABJKMNA.Lospuntosdondeseunendosom´asmallasse denominan nudos o puntosderamificaci´on.

Ladirecci´ondelflujodecorrientesedesignaarbitrariamente.Aplicaremos la LeydeKirchhoff delatensi´onytambi´enladelacorriente,queestablece queenunaredel´ectrica,lacorrientetotalquellegaaunnudoesigualala corrientetotalquesalede´el.

Figura4.2:Circuitoformadoportresmallas.

 Ejercicio4.1. Determinaelsistemadeecuacionesdiferencialesquemodelizaelcircuitodelafigura4.2si E esunafuerzaelectromotrizconstantede 30V, R1 esunaresistenciade10Ω, R2 esunaresistenciade20Ω, L1 esun inductorde0 02H, L2 esuninductorde0 04Heinicialmente,lascorrientes son0 Calculemosadem´as,lascorrientesencadainstante t

4.5.2.Sistemasmasa-resorteacoplados

Supongamosquetenemosunsistemamasa-resorteacopladoformadopor dosmasas m1 y m2 ytresresortesconconstantes k1 , k2 y k3 ,respectivamente (verfigura4.3).Inicialmente,desplazamoslasmasasponiendoelsistemaen movimiento.Veamoscu´alessonlasecuacionesquedescribenelmovimientode estesistema.

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Figura4.3:Sistemamasa-resorteacoplado.

Sea x(t)eldesplazamientodelamasa m1 enuninstante t ysea y (t)el desplazamientodelamasa m2 enuninstante t. Veamosqu´efuerzasact´uan sobrecadamasadebidasalosresortesyrecordemoslasegundaLeydeNewton ylaLeydeHooke.

Sobre m1 act´uandosfuerzas,unafuerza F1 debidaalresortedeconstante k1 :

F1 = k1 x(t) yunafuerza F2 debidaalresortedeconstante k2 :

F2 = k2 (y (t) x(t))

Elsignoydirecci´onde F2 vienedeterminadoporelsignode y (t) x(t), esdecir,dependedequedichomuellehayasidoestiradoocontra´ıdo.

Sobrelamasa m2 act´uandosfuerzas,unafuerza F3 debidaalresortede constante k2 :

F3 = k2 (y (t) x(t)) yunafuerza F4 = k3 y (t), debidaalresortedeconstante k3 :

F4 = k3 y (t), ques´olodependedeldesplazamientodelamasa m2 .

AplicandolasegundaLeydeNewton,tenemos:

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siendo x0 e y0 losdesplazamientosinicialesdelasmasas m1 y m2 ,respectivamentey v0 y w0 lasvelocidadesinicialesqueselesimprimealasmasas m1 y m2 ,respectivamente,alsoltarlas.

 Ejercicio4.2. Supongamosquetenemoselsistemamasa-resortedela figura4.3donde k1 = k2 = k3 = k y m1 = m2 = m. Siinicialmentesedesplaza s´ololamasa m2 unadistancia d> 0, esdecir,hacialaderecha,determinalas ecuacionesdecadamovimiento.

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Introducci´onalasEcuaciones enDerivadasParciales

5.1.Introducci´on

Algunasdelasleyesquedescribenfen´omenosf´ısicosest´anrelacionadas conlasderivadasrespectodelespacioydeltiempo.Esporelloqueenmuchos camposdelaf´ısicaydelaingenier´ıaesimprescindibleelusode ecuaciones enderivadasparciales (EDP),Algunasdelas´areasenlasqueseutilizande formahabitualEDPson:ac´ustica,aerodin´amica,elasticidad,electrodin´amica,din´amicadefluidos,geof´ısica,transferenciadecalor,meteorolog´ıa,biolog´ıa,medicina,oceanograf´ıa,´optica,ingenier´ıadelpetr´oleo,f´ısicadelplasma omec´anicacu´antica,entreotros.

LasEDPcuyasaplicacionessonm´assignificativassonlasecuacioneslinealesdesegundoordenytodasellassepuedenclasificarenunodeestostres tipos:

Tipohiperb´olico: problemasquemodelizanfen´omenososcilatorioscomovibracionesdecuerda,membranasyoscilacioneselectromagn´eticas.

Tipoparab´olico: problemasquesepresentanalestudiarlosprocesos deconductividadt´ermicaydifusi´on.

Tipoel´ıptico: problemasqueaparecenalestudiarprocesosestacionarios,esdecir,procesosquenocambianconeltiempo.

Laecuaci´ondeondas,laecuaci´ondelcalorylaecuaci´ondeLaplaceson, respectivamente,prototiposdecadaunadeestastrescategor´ıas.Portanto,el estudiodeestastresecuacionesnosproporcionar´ainformaci´onacercadeEDP linealesdesegundoordenm´asgenerales.

Losobjetivosenestetemason:

Conocerlosconceptosb´asicosqueutilizaremosparaestudiarlasEDP. ClasificarlasEDPdesegundoorden.

Cristina Chiralt

Alejandro

5.2.Teor´ıab´asica

 Definici´on5.1. UnaEDPesunaecuaci´ondondelainc´ognitaesunafunci´on dedosom´asvariablesenlasqueaparecelafunci´on,susvariablesindependientesyalgunasdesusderivadasparcialesdecualquierorden.

Cuandotrabajemosconmagnitudesf´ısicas,utilizaremos x,y,z paradenotarvariablesindependientesespacialesy t paradenotarlavariableindependientetemporal.Lafunci´oninc´ognitaquebuscamosladenotaremosnormalmenteconlaletra u.Encasodetenerunn´umeroelevadodevariables independientes,lasdenotaremospor x1 ,x2 , ··· ,xn .

Parasimplificarlanotaci´on,utilizaremossub´ındicesparadenotarlasderivadasparciales.As´ı,porejemplo,sitrabajamosconlafunci´on u(x,t),llamaremos:

ut = ∂u ∂t ,ux = ∂u ∂x ,uxx = ∂ 2 u ∂x2 ,utx = ∂ 2 u ∂t∂x , etc.

Eneltema1estudiamosconceptosb´asicossobreEDP,comosonsuorden, linealidadyhomogeneidad.

 Ejemplo5.1. AlgunasEDPlinealesconocidassonlassiguientes:

Ecuaci´ondelcalorenunadimensi´on: ut = c2 uxx .

Ecuaci´ondelcalorendosdimensiones: ut = c2 (uxx + uyy ).

Ecuaci´onunidimensionaldeonda: utt = c2 uxx .

Ecuaci´ondeondasentresdimensiones: utt = c2 (uxx + uyy + uzz ).

Ecuaci´ondeltel´egrafo: utt = uxx + αut + βu

Ecuaci´ondeLaplacebidimensional: uxx + uyy =0.

Ecuaci´ondeLaplaceencoordenadaspolares: urr + 1 r ur + 1 r 2 uθθ =0.

Ecuaci´ondeltransporte(tr´afico): ut + f (u)ux =0.

 Definici´on5.2. Una soluci´on deunaEDPenunaregi´on R delespacio delasvariablesindependientesesunafunci´on u paralacu´alexistentodaslas derivadasparcialesqueaparecenenlaecuaci´onentodoslospuntosde R y quesatisfacelaecuaci´onentodosesospuntos.

ElconjuntodesolucionesdeunaEDPsuelesermuygrande.Porejemplo, funcionestandistintascomo:

u = x 2 y 2 ,u = ex cos y,u =ln(x 2 + y 2 ) sonsolucionesdelaecuaci´onbidimensionaldeLaplace:

∂

2 u

2 =0 comosepuedecomprobardeformasencilla.

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 Nota5.1. UnadiferenciaimportanteentrelassolucionesdeunaEDPy unaEDOesquelasoluci´ongeneraldeunaEDOsuelecontenerconstantes arbitrariasquedeterminanlassolucionesparticularesalsustituirestasconstantesporn´umerosconcretosmientrasquelasoluci´ongeneraldeunaEDP contienefuncionesarbitrarias.Porejemplo,dadalaEDP:

yuy = u, (5.1)

cuyafunci´oninc´ognitaes u(x,y ),esf´acilcomprobarqueunasoluci´onviene dadapor:

u(x,y )= yf (x), (5.2)

donde f (x)esunafunci´onarbitrariade x.As´ı,lasfunciones u1 (x,y )= x2 y o u2 (x,y )= y cos x sonsolucionesdelaEDP. 

SiunaEDOeslinealyhomog´enea,puedenobtenersesolucionesnuevasa partirdesolucionesconocidasaplicandoelllamado principiodesuperposici´on ParaunaEDPlinealyhomog´enealasituaci´onesmuyparecida:

 Teorema5.1 (Principiodesuperposici´on). Si u1 y u2 sonsoluciones cualesquieradeunaEDPlinealyhomog´eneaenalgunaregi´on R ,entonces:

u = C1 u1 + C2 u2 ,

donde C1 y C2 sonconstantescualesquiera,tambi´enesunasoluci´ondeesa ecuaci´onen R.

Enmuchoscasos,lasoluci´ongeneraldeunaEDPseusapocoyaquela soluci´oncorrespondienteaunproblemaf´ısicodadoseobtienemedianteeluso delascondicionesadicionalesquesurgendelproblema: condicionesiniciales y condicionesdefrontera dependiendodesiserefierenacondicionessobrela variabletemporalosobrelasvariablesespaciales:

Condicionesiniciales. Soncondicionesdelproblemaasociadasala variabletemporalcuando t =0.

Condicionesdecontornoodefrontera. Soncondicionesdelproblemarelativasalasvariablesespaciales.Normalmente,serefierena condicionesenquelafunci´on u asumevaloresdadosenlafronteradela regi´onconsiderada.

EnesteapartadoveremoscomoresolveralgunasEDPquepuedenreducirse aEDO.

Ejemplo5.2. Encuentraunasoluci´on

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u

u =0.

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Soluci´on. Puestoquenoest´apresenteningunaderivadaenlavariable y ,esta ecuaci´onpuederesolversecomo u

u =0paralacualhabr´ıamosobtenidola soluci´on u = Aex + Be x con A y B constantes.Enestecaso, A y B pueden serrealmentefuncionesde y ,luegolasoluci´onser´a:

u(x,y )= A(y ) ex + B (y ) e x confuncionesarbitrarias A(y )y B (y ).Siemprepodemoscomprobarqueel resultadoesv´alidoporderivaci´on.   Ejemplo5.3. Encuentralas u(x,y )cumpliendolaEDP uxy = ux Soluci´on. Haciendo ux = p,setiene py = p,dedonde: py p = 1=⇒ ln p = y + A1 (x)=⇒ p = A(x) e y y,porintegraci´onconrespectoa x, u(x,y )= � A(x) dx e y + g (y ),as´ıque denotando f (x)=  A(x) dx,lasoluci´onser´a: u(x,y )= f (x)e y + g (y ) para f (x)y g (y )funcionesarbitrarias. 

Problemasycuestionesdelasecci´on5.2

1. Compruebaquelassiguientesfuncionessonsolucionesdelaecuaci´onde Laplacebidimensional:

(a) u(x,y )= e y 2 sen  x 2  (b) u(x,y )= x3 3xy 2 (c) u(x,y )=arctan(x/y ).

2. Compruebaquelassiguientesfuncionessonsolucionesdelaecuaci´onde ondas utt = c2 uxx paraunvalorapropiadode c ydeterminaelvalorde c: (a) u(x,y )= x2 +4t2 . (b) u(x,y )=sen(6t)sen(2x).

3. Demuestraque u(x,y,z )=1/x2 + y 2 + z 2 essoluci´ondelaecuaci´on deLaplacetridimensional uxx + uyy + uzz =0.

4. Encuentralassoluciones u(x,y )delassiguientesEDP:

(a) ux =0. (b) uy =0. (c) uxx =0. (d) ux =2xyu

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(e) uxy = uy (realizaelcambio uy = p). (Soluci´on. (a) u(x,y )= f (y );(b)u(x,y )= g (x);(c) u(x,y )= xf (y )+ g (y );(d) u(x,y )= f (y )ex2 y ;(e) u(x,y )= f (y ) ex + g (x)).

5. Resuelveelproblema uy =cos x conlacondici´on u(x, 1)=0. (Soluci´on. u(x,y )=(y 1)cos x).

5.4.Clasificaci´on

Enestasecci´onnoscentramosenlaclasificaci´ondelasEDPdesegundo orden,quetienenmayorinter´esenelcampodelaingenier´ıaycuyassoluciones estudiaremosenelsiguientetema.UnaEDPdesegundoordenlinealtienela formageneral:

a ∂ 2 u ∂x2 + b ∂ 2 u ∂x∂y + c ∂ 2 u ∂y 2 + d ∂u ∂x + e ∂u ∂y + fu =0, (5.3)

donde a, b, c, d, e y f puedenserconstantesofuncionesde x e y .Lasvariables x,y puedencambiarseporlasvariables x,t.Estaformaseasemejaalaecuaci´on generaldelac´onica:

ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f =0, querepresentaunaelipse,unapar´abolaounahip´erbolaseg´un b2 4ac seanegativo,ceroopositivo,respectivamente.ParalasEDPdamosunaclasificaci´on semejante.

 Definici´on5.3. DiremosquelaEDP(5.3)es:

El´ıptica: si b2 4ac< 0.

Parab´olica: si b2 4ac =0.

Hiperb´olica: si b2 4ac> 0.

 Ejemplo5.4. (a)La ecuaci´ondeondas:

utt = c 2 uxx

esdetipohiperb´olicoyaque b2 4ac =4c2 > 0(noconfundirla c delaEDP general(5.3)conelpar´ametro c delaecuaci´ondeondas). (b)La ecuaci´ondeLaplace dedosvariables:

uxx + uyy =0 esdetipoel´ıpticoyaque b2 4ac = 4 < 0. (c)La ecuaci´ondelcalor:

ut = c 2 uxx

esdetipoparab´olicopuestoque b2 4ac =0.

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Ecuacionesenderivadas parcialesdesegundoorden

6.1.Introducci´on

EnestetemaestudiaremoslosprototiposdelasEDPdesegundoorden linealesqueintrodujimoseneltemaanterior: laecuaci´ondeondas (tipohiperb´olico), laecuaci´ondelcalor (tipoparab´olico)y laecuaci´onde Laplace (tipoel´ıptico).Paraello,introduciremosenprimerlugarlateor´ıa necesariadeseriesdeFourieryelm´etododeseparaci´ondevariablespararesolverEDP.Amododeap´endice,encontraremostambi´endiversosresultados paraprofundizarenelestudiodelasseriesdeFourier.

Nuestrosobjetivosser´an:

Tenerlosconocimientosb´asicosdeseriesdeFourier.

Conocerelm´etododeseparaci´ondevariablesyaplicarloalaresoluci´on delasEDPanteriores.

Resolverlaecuaci´ondeondasunidimensional(tipohiperb´olico).

Resolverlaecuaci´ondelcalorunidimensional(tipoparab´olico).

Resolverlaecuaci´ondeLaplacebidimensional(tipoel´ıptico).

6.2.SeriesdeFourier

Endiversosproblemasquesurgenenf´ısicaeingenier´ıa,aparecenfunciones peri´odicasquetrataremosderepresentarent´erminosdefuncionesperi´odicas simplesmedianteseriesdeFourier.

Enprimerlugar,recordaremosalgunascuestionesb´asicasdefunciones, seriesytrigonometr´ıa.

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6.2.1.Resultadosb´asicos

 Definici´on6.1. Diremosqueunafunci´on f (x)definidaenelintervalo [ L,L],con L> 0esuna:

(a) funci´onpar si f ( x)= f (x)paratodo x ∈ [ L,L], (b) funci´onimpar si f ( x)= f (x)paratodo x ∈ [ L,L].

 Definici´on6.2. Sedicequeunafunci´on f (x)es peri´odica siest´adefinida paratodo x realysiexisteunn´umero p> 0talque: f (x + p)= f (x).

A p selellama periodo de f (x).

Lagr´aficadeunafunci´onperi´odicaseobtieneporrepetici´onperi´odicade sugr´aficaencualquierintervalodelongitud p (verFigura6.1).

1

5 5 2

1

2 Figura6.1:Funci´onperi´odica.

 Ejemplo6.1. Lasfunciones f (x)=sen x y f (x)=cos x sonperi´odicas deperiodo p =2π .Normalmentenosreferimosalperiodocomoelmenor p quecumplelacondici´ondeladefinici´ondeperiodo.Sinembargo,tambi´en podemosconsiderarque p =4π esunperiododelasfuncionesanteriores. Ejemplosdefuncionesquenosonperi´odicasson f (x)= x2 , f (x)=ln x o f (x)= ex .Sinembargo,lafunci´ondefinidacomo f (x)= x2 enelintervalo

[ 1, 1]yrepetidadeformaperi´odicaesunafunci´onperi´odicaconperiodo p =2. 

 Definici´on6.3. Dadaunasucesi´ondefunciones(fn (x)),podemosconsiderarlasucesi´ondesumasdadapor:

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Y,as´ısucesivamente,paracualquier k ∈ N,consideramos:

Sk (x)= f

+ fk (x)= k 

=1 fn (x)

Paracada x podemoscalcular,siexiste,ell´ımitedelasucesi´on Sk (x),quese denotapor:

Estaexpresi´onsedenominaseriedefuncionesosimplemente serie.Unaserie sedicequeesconvergenteenelpunto x siloeslasucesi´ondesumasenese punto,esdecir,siexisteell´ımitedelassumasenesepunto.

 Ejemplo6.2. Laserie 

=1

esconvergenteentodo x ∈ R.Adem´as, estaseriecoincidecon ex

 Nota6.1. Enestetema,trabajaremosconseriesqueser´anconvergentes entodoslospuntosdondeest´endefinidas. 

Parasimplificaralgunosc´alculosdurantetodoeltema,recordamosalgunos resultadosb´asicosdetrigonometr´ıa:

 Nota6.2. Setieneque:

a) sen

b) cos

c) sen

d) cos

6.2.2.SeriesdeFourierenelintervalo [0,π

 Definici´on6.4. Acadafunci´on f (x)definidaenelintervalo[ π,π ]le podemosasociarunaseriedelaforma:

(6.1)

donde a

f´ormulas:

,a

,a

(6.2)

(6.3)

Alaserieseledenomina

f (

)enelintervalo[ π,π ]y alasconstantes,coeficientesdeFourier.Sueledenotarseas´ı:

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Alconjuntodefunciones: 1

(6.4)

seledenomina sistematrigonom´etrico.Todaslasfuncionesdeesteconjunto sonperi´odicasdeperiodo2

y,portanto,laseriedeFouriertambi´enloser´a.

 Nota6.3. Ladeducci´ondelasf´ormulasparaelc´alculodeloscoeficientes an y bn puedeestudiarseconmayorprofundidadenlasecci´on6.8.3delap´endice 6.8deestecap´ıtulo.

Funcionesimpares

 Proposici´on6.1. Si f (x)esunafunci´onimparenelintervalo[ π,π ], entoncessecumpleque an =0paratodo n ≥ 0ensuseriedeFouriery tendremosque:

Adem´as,loscoeficientes

puedencalcularseas´ı:

)

(6.5)

 Proposici´on6.2. Unafunci´on f (x)definidaenelintervalo[0,π ]puede extenderseaunafunci´onimparenelintervalo[ π,π ]definiendo f ( x)= f (x)paratodo

Delaproposici´on6.2,deducimosqueunafunci´on f (x)definidaenelintervalo [0,π ]puedeextenderseaunafunci´onimparen[ π,π ]yaestafunci´onpodemos asociarlelaseriedeFourierdelaproposici´on6.1:

conloscoeficientes bn dadosporlaexpresi´on(6.5).

 Ejemplo6.3. EscribelaseriedeFourierdelaextensi´onimpardelafunci´on f (x)=1enelintervalo[0,π ]. Soluci´on. Tendremosque:

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Funcionespares

 Proposici´on6.3. Si f (x)esunafunci´onparenelintervalo[ π,π ],se tieneque bn =0paratodo

f (

)

N ytendremosque:

cos(

Adem´as,loscoeficientes an puedencalcularseas´ı:

)

)cos(

)

(6.6)

 Proposici´on6.4. Unafunci´on f (x)definidaenelintervalo[0,π ]puede extenderseaunafunci´onparenelintervalo[ π,π ]definiendo f ( x)= f

Delaproposici´on6.4,deducimosqueunafunci´on f (x)definidaenelintervalo [0,π

]yaestafunci´onpodemos asociarlelaseriedeFourierdelaproposici´on6.3:

f

conloscoeficientes

Ejemplo6.4. EscribelaseriedeFourierdelaextensi´onpardelafunci´on

Soluci´on. Tendremosque:

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6.2.3.SeriesdeFourierenelintervalo [0,L]

Ahoraconsideramosfunciones f (x)definidasenunintervalo[0,L]para L> 0.Aligualqueocurreenelintervalo[0,π ],lafunci´on f (x)puedeexpresarse comosumadefuncionesperi´odicasm´assimples.

 Definici´on6.5. Acadafunci´on f (x)definidaenelintervalo[ L,L]le podemosasociarunaseriedelaforma:

(6.7)

donde a0 ,a1 ,a2 ,

f´ormulas:

(6.8)

(6.9)

)enelintervalo[ L,L]ya lasconstantes,coeficientesdeFourier.Sueledenotarseas´ı:

AlaserieseledenominaseriedeFourierde

 Nota6.4. Todaslasfuncionesdelconjunto:

(6.10) sonperi´odicasdeperiodo2

 Nota6.5. Ladeducci´ondelasf´ormulasparaelc´alculodeloscoeficientes an y bn enelcaso L =

Proposici´on6.5.

puedeestudiarseconmayorprofundidadenlasecci´on

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 Proposici´on6.6. Unafunci´on f (x)definidaenelintervalo[0,L]puede extenderseaunafunci´onimparenelintervalo[ L,L]definiendo f ( x)= f (x)paratodo L ≤ x< 0.

Porlaproposici´on6.6,deducimosqueunafunci´on f (x)definidaenelintervalo[0,L]puedeextenderseaunafunci´onimparen[ L,L]yaestafunci´on podemosasociarlelaseriedeFourierdelaproposici´on6.5:

conloscoeficientes bn dadosporlaexpresi´on(6.11).

Ejemplo6.5.

Soluci´on.

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 Proposici´on6.8. Unafunci´on f (x)definidaenelintervalo[0,L]puede extenderseaunafunci´onparenelintervalo[ L,L]definiendo f ( x)= f (x)paratodo L ≤ x< 0.

Porlaproposici´on6.8,deducimosqueunafunci´on f (x)definidaenelintervalo [0,L]puedeextenderseaunafunci´onparen[ L,L]yaestafunci´onpodemos asociarlelaseriedeFourierdelaproposici´on6.7:

conloscoeficientes an dadosporlaexpresi´on(6.12).  Ejemplo6.6. EscribelaseriedeFourierdelaextensi´onpardelafunci´on f (x)= x enelintervalo[0, 2].

Soluci´on. Como L =2,tendremosque:



donde:

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 Nota6.6. Enlosproblemasquetrataremosenestecap´ıtulo,consideraremosqueunafunci´oncoincideconsuseriedeFourierentodoslospuntosdel intervaloenqueseconsidere. 

ParaestudiarconmayorprofundidadlaconvergenciadelaseriedeFourier alafunci´on,puedeconsultarseelanexo6.8.1.

Linealidad

Elsiguienteresultadopermitesimplificarelc´alculodelaseriedeFourier deunafunci´onenmuchoscasos:

 Teorema6.1. SiexistenlasseriesdeFourierde f (x)y g (x)enun intervalo,entonces:

LoscoeficientesdeFourierde f (x)+ g (x)sonlasumadeloscoeficientesdeFourierde f (x)y g (x).

Si c ∈ R,loscoeficientesdeFourierde c · f (x)sonelproductode c porloscoeficientesdeFourierde f (x).

 Ejemplo6.7. EscribelaseriedeFourierdelaextensi´onimpardelafunci´on f (x)=4+5sen(3x)enelintervalo[0,π ].

Soluci´on. Aplicamoselteoremaanteriorpara f (x)=1y g (x)=sen(3x). Tendremosque,talcomohemosvistoenelejercicio6.3, 1=



2(1 (

sen(

sen(3x)+ 4

sen(5x)+ e,identificandocoeficientes,tendremosquesen(3

)as´ıque:

Nota6.7. Otraposibilidadparasolucionarelejercicio6.7escalculardirectamenteloscoeficientesdeFourierconlasf´ormulas(6.5)paralos b

.Para ello,necesitamoscalcularintegralesdeltipo:

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1. Demuestraquesiunafunci´on f (x)esperi´odicadeperiodo p,entonces tambi´enesperi´odicadeperiodo np paratodo n ∈ N.

2. Demuestraquesi f (x)y g (x)tienenperiodo p,entonceslafunci´on h(x)= af (x)+ bg (x)siendo a,b constantes,tambi´entieneperiodo p

3. Demuestralasf´ormulas(6.6)y(6.5)apartirdelasf´ormulas(6.2)y(6.3) respectivamente.

4. EncuentralaseriedeFourierdelaextensi´onpardelafunci´on f (x) definidaen[0,π ]dadapor: f (x)=  1 si 0 ≤ x<π/2 1 siπ/2 ≤ x ≤ π (Soluci´on. f (x) ∼ ∞  n=1

4( 1)n+1 (2n 1)π cos(nx)).

sen(

)).

5. (Ondadientedesierra). EncuentralaseriedeFourierdelafunci´on f (x)= x + π si π<x<π y f esperi´odicadeperiodo2π (Soluci´on. f (x) ∼ π + ∞  n=1

6. EncuentralaseriedeFourierdelasextensionesparesdelassiguientes funcionesenelintervalo[0,π ]:

(a) f (x)=  ksi 0 ≤ x<π/2

para k constante. (b) f (x)=3

(Soluci´on. (a) f (

(b)

)

7. EncuentralaseriedeFourierdelaextensi´onparydelaextensi´onimpar de

(Soluci´on.

f

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6.3.M´etododeseparaci´ondevariables

El m´etododeseparaci´ondevariables esunat´ecnicaquepermiteencontraralgunassoluciones u(x,y )deciertasEDP.Elm´etodoconsisteenbuscar solucionesqueseanproductodeunafunci´onde x porunafunci´onde y ,esdecir, queseandelaforma:

u(x,y )= F (x) G(y ),

siendo F (x)y G(y )funcionesdesconocidas.Lasderivadasparcialesvendr´an dadasporlasexpresiones:

ux = F

(x)G(y )o uy = F (x)G (y )

yladerivadasegunda uxx ,porejemplo,vendr´adadapor uxx = F  (x)G(y ).

CuandosustituimosenlaEDP,llegamosadosEDO,unaporcadacada unadelasvariables.Lasresolvemos,obteniendoexpresionespara F (x)y G(y ) y,portanto,para u(x,y ).Estem´etodoser´aimprescindiblepararesolverla ecuaci´ondeondas,ladelcaloryladeLaplace.

 Ejemplo6.8. Encuentrasoluciones u(x,y )delaEDP ux uy =0utilizando elm´etododeseparaci´ondevariables.

Soluci´on. Consideramossolucionesdelaforma u(x,y )= F (x)G(y ).Laecuaci´ondelenunciadosetraducir´aa F  (x)G(y )= F (x)G (y )quesetransforma en:

F  (x)

F (x) = G (y ) G(y )

Fij´emonosque,enestaigualdad,elt´erminodelaizquierdanodependedela variable y yelt´erminodeladerechanodependedelavariable x.La´unica posibilidadparaqueestoocurraesquelosdost´erminosseanigualauna constante k ,as´ıque:

F

(x) = G (y ) G(

(x)

Resolviendodemaneraindependiente,tendremosdosEDOdeprimerorden:

as´ıque:

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 Teorema6.2 (Principiodesuperposici´on). Si u1 ,u2 , ,un esun conjuntodesolucionesdeunaEDPlinealhomog´enea,entoncescualquier combinaci´onlinealdelaforma:

1 u1 + C

u2 +

+ C

u

donde C1 ,C2 ,...,Cn sonconstantesarbitrarias,tambi´enessoluci´ondela EDP.

 Nota6.8. Bajociertascondiciones,altomarseriesenvezdesumas,sesigue conservandoelprincipiodesuperposici´on.As´ı,si u1 ,u2 ,... esunasucesi´onde solucionesdeunaEDPlinealhomog´enea, C1 ,C2 ,... sonconstantesylaserie:

esconvergente,entonceslafunci´on u tambi´enser´asoluci´ondelaEDP.Enel restodelcap´ıtulosupondremosquesiemprepodemosconstruirunasoluci´on como´estaapartirdeunconjuntodesoluciones.

Problemasycuestionesdelasecci´on6.3

1. Hallasoluciones u(x,y )delasEDPsiguientesporelm´etododeseparaci´ondevariables:

(a) yux xuy =0. (b) ux yuy =0. (c) uxy u =0. (d) x2 uxy +3y 2 u =0. (Soluci´on. (a) u(x,y )= Cek/2(x2 +y 2 ) ,(b) u(x,y )= Cekx y k ,(c) u(x,y )= Cekx+y/k ,(d) u(x,y )= Ce k/x y

/k ).

2. IndicasienlassiguientesEDPsepuedeaplicarelm´etododeseparaci´on devariables.Encasoafirmativo,encuentralasEDOcorrespondientes (sinresolverlas):

(a) xu

+ ut =0. (b) tu

(c) [p(

(d) u

(e)

+

+(

(

(Soluci´on. (a) xF

kG =0,(b) F

kxF =0; G

kG =0,(d)Nosepuede aplicarelm´etodo,(e)

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6.4.Ecuaci´ondeondas

La ecuaci´ondeondas fueunodelosproblemasmatem´aticosm´asimportantesdemediadosdelsigloXVIIIyfueestudiadaporprimeravezpor D’Alamberten1746.Imaginemosunacuerdatensadadelongitud L enposici´onhorizontalquesefijaensusextremos(x =0y x = L),porejemplo,la cuerdadeunaguitarra.Hacemosvibrarlacuerdaenelinstante t =0desde unaposici´ondeterminadayconunimpulsodeterminado.Denotaremoscon u(x,t)ladeflexi´ondelacuerda,esdecir,eldesplazamientoverticalencualquierpuntodelacuerda0 ≤ x ≤ L enelinstante t ≥ 0.Bajociertossupuestos f´ısicos,laEDPquemodelizaesteproblemavienedadapor:

utt = c 2 uxx (6.13)

donde c esunn´umeroreal.Estaecuaci´onrecibeelnombrede ecuaci´onde ondasunidimensional.Comoyacomentamoseneltemaanterior,esuna EDPlinealhomog´eneadesegundoordenconcoeficientesconstantesdetipo hiperb´olico.Ala˜nadirunavariableespacial,podr´ıamosconsiderarlaecuaci´on deondasbidimensional,peroenestelibros´oloconsideraremoselcasounidimensional.

Dadoquelacuerdaest´afijaenlosextremos x =0y x = L,ennuestro problematendremosdoscondicionesdefronteradeltipo:

u(0,t)=0,u(L,t)=0paratodo t ≥ 0. (6.14)

Tendremostambi´endoscondicionesiniciales(en t =0):

Ladeflexi´oninicial: u(x, 0)= f (x)

Lavelocidadinicial: ut (x, 0)= g (x)

Portanto,elproblemaconsisteenencontrarunasoluci´ondelaecuaci´on (6.13)quesatisfagalascondicionesdefrontera(6.14)ylascondicionesiniciales anteriores:

(0,t)=

L,t)=0

(x, 0)= f (x); ut (x, 0)= g (x)(condicionesiniciales) (6.15)

Pararesolveresteproblemaprocedemospasoapasodelaformasiguiente:

Paso1. Aplicamoselm´etododeseparaci´ondevariablesalaecuaci´on (6.13).

Paso2. Alresolverelproblemaporseparaci´ondevariables,obtendremos solucionesdelaEDOenlavariable x quesatisfacenlascondicionesde frontera(6.14)ysedeterminanlassolucionesdelaEDOenlavariable t

Paso3. Lasoluci´ondelproblemaser´aunaseriequeresultadelasuma delassolucionesanteriores.Seusar´anlascondicionesinicialesyelc´alculo decoeficientesdeseriesdeFourierparallegaralasoluci´ondelproblema (6.15).

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Paso1.Separaci´ondevariables.DosEDO

Aplicamoselm´etododeseparaci´ondevariablesalaecuaci´ondeondas (6.13).Buscamossolucionesdelaforma:

(6.16)

Derivamos(6.16)yobtenemos,obviandolasvariablesindependientesparasimplificar:

SustituimosestasexpresionesenlaEDPyobtenemos:

y,pasandola G yla c

alaizquierdayla

aladerecha,obtenemos:

(6.17)

Comoyavimosenelejemplo6.8,podemosafirmarqueambosmiembrosde (6.17)sonconstantesyaqueelprimeronodependede x yelsegundono dependede t.Portanto,

DeestamaneraobtenemosdosEDO:

(6.18) y

(6.19) donde k es,porahora,unaconstantearbitraria. Paso2.Condicionesenlafrontera

Fij´emonosenquesi G ≡ 0,entonces

(x,t) ≡ 0,soluci´ontrivial,queno eslasoluci´ondelproblemasalvoquelascondicionesinicialesseantodas0. Consideramos,portanto,que G =0.Sedeterminar´anahoralassoluciones F y G de(6.18)y(6.19)demaneraque

FG satisfagalascondicionesde frontera(6.14):

(1) ResolvemosenprimerlugarlaEDO

que:

(0)=0(6.20)

)=0(6.21)

para

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• Si k =0:LaEDOqueda F

=0cuyasoluci´ongenerales F (x)= ax + b y,teniendoencuentalascondiciones(6.20)y(6.21),obtenemosque a = b =0.Portanto, F (x) ≡ 0,quenosllevadenuevoa lasoluci´ontrivial u(x,t) ≡ 0.

• Si k> 0:Podemosrenombrarlavariable k enformadecuadrado k = p2 ylaEDOquedar´a F

p2 F =0.Elpolinomiocaracter´ıstico delaEDOtienera´ıces p y p,as´ıquesusoluci´ongeneralser´a: F (x)= Aepx + Be px , donde A,B sonconstantesarbitrarias. Alaplicarlascondiciones(6.20)y(6.21),esf´acilcalcularque A = B =0yseobtiene F (x) ≡ 0,dandolasoluci´ontrivialdenuevo,al igualqueenelcasoanterior.

• Si k< 0:Podemosrenombrarlavariable k enformadelnegativode uncuadrado k = p2 ylaEDOquedar´a F

+ p2 F =0.Elpolinomio caracter´ısticodelaEDOtienera´ıcescomplejas pi y pi,as´ıquesu soluci´ongeneralser´a:

F (x)= A cos(px)+ B sen(px),A y B sonconstantesarbitrarias.

Alsustituirlacondici´on(6.20),tendremos:

F (0)=0 −→ A cos(0)+ B sen(0)=0 −→ A =0

Ycomo A =0, F (x)= B sen(px).Alsustituirlacondici´on(6.21), obtendremos:

F (L)=0 −→ B sen(pL)=0

Esnecesariotomar B =0yaquedeotromodo F (x) ≡ 0,conloque obtendr´ıamosotravezelcasotrivial.Enconsecuencia,sen(pL)=0. Portanto,utilizandolaNota6.2,obtenemosque:

pL = nπ,n ∈ Z (6.22)

Paracada n,obtenemosunvalorde p quepodemosrenombrary denominar pn .Nosquedamoss´oloconlos pn devaloresde n ≥ 1, obteniendo:

pn = nπ L

Tomando B =1,obtenemosparacada n ≥ 1unasoluci´onde F (x) quedenotaremospor Fn (x):

Fn (x)=sen(pn x) ,n =1, 2,... (6.23)

(2) Resolvemosahora G

c2 kG =0.Sinembargo,laconstante k est´a restringidaahoraalosvalores k = p2 n = (nπ/L)2 talcomohemos vistoenlaresoluci´onde F (x).Paracada n

c2 kG =0quedar´ade laforma G

+ c

p

G

G =0,cuyasoluci´ongeneralser´a:

Gn (t)= B

cos(cp

t)+ B

sen(cpn t), donde Bn y B

sonconstantesarbitrarias.

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Portanto,lasfunciones

G

)o,escritasenformadesarrollada,

(6.24) sonsolucionesdelaecuaci´ondeondas

que,adem´as,cumplenlas condicionesdefrontera

Paso3.Soluci´ondelproblemacompleto

Unasolasoluci´ondelaforma un (x,t)quehemosencontradoenelapartadoanteriornosatisface,engeneral,lascondicionesiniciales.Ahorabien, laecuaci´on(6.13)eslinealyhomog´eneaypodemosaplicarelprincipiode superposici´on(teorema6.2ynotaposterior).Tendremosqueunasoluci´onal problemacompletovendr´adadaporlaserie:

u(x,t)=



(x,t)=



(Bn cos(cpn t)+ B

n sen(cpn t))sen(pn x)(6.25)

paraunasconstantes Bn y B ∗ n determinadas.Paraobtenerlasoluci´ondel problemaquesatisfagalascondicionesiniciales,sustituiremosestascondiciones enlafunci´on u(x,t)ydeterminaremoselvalordelasconstantes Bn y B ∗ n :

Condici´oninicial u(x, 0)= f (x)(desplazamientoinicial): Sustituyendo t =0enlaexpresi´on(6.24),tenemos:

(x, 0)=



B

sen(p

x)= f (x) (6.26)

Portanto,lasconstantes Bn ser´anloscoeficientesdeFourierdelaextensi´onimparde f (x)enelintervalo[0,L]talcomovimosenlaproposici´on 6.5.Utilizamoslaf´ormula(6.11)yobtenemos:

Bn = 2 L  L 0 f (x)sen(pn x) dx,n =1, 2,... (6.27)

Condici´oninicial ut (x, 0)= g (x)(velocidadinicial): Derivandolaexpresi´on u(x,t)quehemosobtenidoen(6.25)respectode t obtenemos:

ut (x,t)=



B

sen(cp

t)+

B

cos(cp

t))sen(pn x)(6.28)

y,sustituyendo t =0enestaexpresi´onobtendremos:

(x, 0)=



sen(

)=

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Portanto,loscoeficientesdeFourierdelaextensi´onimparde g (x) vendr´andadospor: cp

B

2 L  L 0 g (x)sen(pn x) dx y,despejando B

n ,obtendremos: B

n = 2 cp

L  L

g (

)sen(p

) dx,n =1, 2,... (6.29)

Resumiendo,lasoluci´ondenuestroproblemavendr´adadaporlaexpresi´on: u(x,t)=



u

(x,t



y B

(

cos(cp

t)+ B

sen(cp

t))sen(p

x) , dondeloscoeficientes B

vienendadosporlasexpresiones:

 Nota6.9. Enelcaso k = p2 ,seobtienenb´asicamentelasmismassolucionespara F (x)cuandotomamos n ≤ 0exceptoporunsignomenosyaque sen( α)= sen

.Portanto,noesnecesarioincluirlasenlasoluci´on. 

Lassoluciones un (x,t)enlaecuaci´ondeondasytambi´enenlaecuaci´ondel calorydeLaplacequeveremosenlassiguientessecciones,sedenominan funcionescaracter´ısticas delaEDP.Losvalores pn sellaman valorescaracter´ısticos.

 Nota6.10. Enlaresoluci´ondelproblemadelaecuaci´ondeondas,hemos utilizadounacondici´ondefronteradeltipo u(0,t)= u(L,t)peropodemos generalizarestacondici´on,obteniendocuatroposibilidades:

(a) u(0,t)= u(L,t)=0.

(b) u(0,t)= ux (L,t)=0.

(c) ux (0,t)= u(L,t)=0.

(d) ux (0,t)= ux (L,t)=0.

Dependiendodeltipodecondici´on,elpaso2puedevariarligeramente,cambiandolaformadelafunci´on F (x)ydelosvalores pn .Veremosestoenmayor profundidadconejemplosm´asconcretostantoenlaecuaci´ondeondascomo enlaecuaci´ondelcalorenlasecci´on6.6. 

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Chiralt Monleón y Alejandro Miralles Montolío

Resuelvelaecuaci´ondeondas

=9

, 2]cuyas

)=0yconlascondiciones

6.5.Ecuaci´ondelcalor

La ecuaci´ondelcalor describeladistribuci´ondelcalorenunaregi´on alolargodeltiempo.Imaginemosunavarilladelongitud L> 0enposici´on horizontalcuyatemperaturaesnulaensusextremos(x =0y x = L).Inicialmente,enelinstante t =0lavarillatieneunatemperaturadeterminadaen cadaposici´on0 ≤ x ≤ L.Denotaremospor u(x,t)latemperaturadelavarilla, esdecir,latemperaturaencualquierposici´ondelavarilla0 ≤ x ≤ L enel instante t ≥ 0.LaEDPquemodelizaesteproblemaseobtieneapartirdela LeydeFourierydelprincipiodeconservaci´ondelaenerg´ıayvienedadapor:

ut = c 2 uxx (6.30)

donde c esunn´umeroreal.Estaecuaci´onrecibeelnombrede ecuaci´ondel calorunidimensional.Comoyacomentamoseneltemaanterior,setratade unaEDPlinealhomog´eneadesegundoordenconcoeficientesconstantesdetipoparab´olico.Ala˜nadirvariablesespaciales,podr´ıamosconsiderarlaecuaci´on delcalorbidimensionalotridimensionalperoenestelibros´oloconsideraremos elcasounidimensional.

Dadoquelavarillatienetemperaturanulaenlosextremos x =0y x = L, tendremosdoscondicionesdefronteradeltipo:

t ≥ 0 (6.31) Tendremostambi´enunacondici´oninicialdadaporlatemperaturaen t =0:

(6.32)

Portanto,elproblemaconsisteenencontrarunasoluci´onde(6.30)que satisfagalascondicionesdefrontera(6.31)ylacondici´oninicial(6.32):

(6.33)

Pararesolveresteproblemaprocedemospasoapasodemaneramuysimilar alaecuaci´ondeondasdelasecci´onanterior:

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Paso1. Aplicamoselm´etododeseparaci´ondevariablesalaecuaci´on (6.30).

Paso2. Alresolverelproblemaporseparaci´ondevariables,obtendremos solucionesdelaEDOenlavariable x quesatisfacenlascondicionesde frontera(6.31)ysedeterminanlassolucionesdelaEDOenlavariable t

Paso3. Lasoluci´ondelproblemaser´aunaseriequeresultadelasumade lassolucionesanteriores.Seusar´alacondici´oninicial(6.32)yelc´alculo decoeficientesdeseriesdeFourierparallegaralasoluci´ondelproblema (6.33).

Paso1.Separaci´ondevariables.DosEDO

Aplicamoselm´etododeseparaci´ondevariablesalaecuaci´ondelcalor (6.30).Buscamossolucionesdelaforma:

(6.34)

Derivamos(6.34)yobtenemos,obviandolasvariablesindependientesparasimplificar:

SustituimosestasexpresionesenlaEDP,obteniendo:

ypasandola G yla c2 alaizquierdayla

aladerecha,obtenemos:

(6.35)

Comoyavimosenelejemplo6.8,podemosafirmarqueambosmiembrosde (6.35)sonconstantesyaqueelprimeronodependede x yelsegundono dependede t.Portanto,

(6.36)

(6.37) donde k es,porahora,unaconstantearbitraria.

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Paso2.Condicionesenlafrontera

Laprimeraparteserazonademaneraan´alogaqueenlaecuaci´ondeondas. La´unicaposibilidadparaobtenersolucionesnotrivialesesque G =0.Se determinar´anahoralassoluciones F y G de(6.36)y(6.37)demaneraque u = FG satisfagalascondicionesdefrontera(6.34):

u(0,t)= F (0)G(t)=0, u(L,t)= F (L)G(t)=0.

(1) Laresoluci´onde F  kF =0sehacedemaneraid´enticaacomolo hicimosenlaecuaci´ondeondas,obteniendosolucionesnotriviales´unicamentesi k = p2 n ,donde:

pn = nπ L paratodo n =1, 2,...

Ylassolucionespara F (x)vienendadaspor: Fn (x)=sen(pn x) ,n =1, 2,... (6.38)

(2) Resolvemosahora G c2 kG =0.Sinembargo,laconstante k est´a restringidaahoraalosvalores k = p2 n = (nπ/L)2 talcomohemos vistoenlaresoluci´onde F (x).Paracada n, G c2 kG =0quedar´a delaforma G + c2 p2 n G =0queesunaEDOlinealdeprimerorden cuyopolinomiocaracter´ısticoes r + c2 p2 n =0ycuya´unicara´ızsimplees r = c2 p2 n .Susoluci´onser´a,portanto, Gn (t)= Bn e c2 p2 n t , donde Bn esunaconstantearbitraria.

Portanto,lasfunciones un (x,t)= Fn (x)Gn (t)o,escritasenformadesarrollada, un (x,t)= Bn e c2 p2 n t sen(pn x) ,n =1, 2,... (6.39) sonsolucionesdelaecuaci´ondelcalor ut = c2 uxx queadem´ascumplenlas condicionesdefrontera u(0,t)= u(L,t)=0.

Paso3.Soluci´ondelproblemacompleto

Unasolasoluci´ondelaforma un (x,t)quehemosencontradoenelapartadoanteriornosatisface,engeneral,lascondicionesiniciales.Ahorabien, laecuaci´on(6.30)eslinealyhomog´eneaypodemosaplicarelprincipiode superposici´on(teorema6.2ynotaposterior).Tendremosqueunasoluci´onal problemacompletovendr´adadaporlaserie: u(x,t)=

sen(p

)(6.40)

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paraunasconstantes Bn determinadas.Paraobtenerlasoluci´ondelproblema quesatisfagalacondici´oninicial,sustituiremosestacondici´onenlafunci´on u(x,t)ydeterminaremoselvalordelasconstantes Bn .Comotalcondici´ones u(x, 0)= f (x)(temperaturainicial),sustituyendo t =0enlaexpresi´on(6.40), tenemos:

x,

f (x)

(6.41)

Portanto,lasconstantes Bn ser´anloscoeficientesdeFourierdelaextensi´on imparde f (x)enelintervalo[0,L]talcomovimosenlaproposici´on6.5. Utilizamoslaf´ormula(6.11)yobtenemos:

Bn = 2 L

)sen(

=1

2

(6.42)

Resumiendo,lasoluci´ondenuestroproblemavendr´adadaporlaexpresi´on:

x,t

dondeloscoeficientes

sen(

 Nota6.11. Aligualqueenlaecuaci´ondeondas,enelcaso k = p2 ,se obtienenb´asicamentelasmismassolucionespara F (x)cuandotomamos n ≤ 0, y k< 0exceptoporunsignomenosyaquesen( α)= sen α.Portanto,no esnecesarioincluirlasenlasoluci´on.

 Nota6.12. Tambi´enaligualqueenlaecuaci´ondeondas,enelejemplo quehemosdadodelaresoluci´ondelproblemadelaecuaci´ondelcalor,hemos utilizadounacondici´ondefronteradeltipo u(0,t)= u(L,t)peropodemos generalizarestacondici´on,obteniendocuatroposibilidades:

(a) u(0,t)= u(L,t)=0.

(b) u(0,t)= ux (L,t)=0.

(c) ux (0,t)= u(L,t)=0.

(d) ux (0,t)= ux (L,t)=0.

Enlaresoluci´onhemosconsideradolacondici´ona)pero,dependiendodeltipo decondici´on,elpaso2puedevariarligeramente,cambiandolaformadela funci´on F (x)ydelosvalores pn .Comoyaindicamosenlaecuaci´ondeondas, veremosestoenmayorprofundidadconejemplosm´asconcretosenlasecci´on 6.6. 

enelintervalo[0,π ] cuyascondicionesdefronterason u(0,t)=

Ejemplo6.10. Resuelvelaecuaci´ondelcalor ut =9

)=0ydondelacondici´on inicialvienedadapor

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Soluci´on. Aplicandoelprocesoanterior,teniendoencuentaque L =4,obtendremosquelasoluci´ondelproblemavienedadaporunaexpresi´ondeltipo:

donde

y,portanto,lasoluci´onser´a:

1. Resuelvelossiguientesproblemasdeecuaci´ondelcalor:

(a) ut =5 uxx enelintervalo[0,π ]conlascondicionesdefrontera u(0,t)= u(π,t)=0ycondici´oninicial u(x, 0)=3sen(2x).

(b) 3ut = uxx enelintervalo[0, 2]conlascondicionesdefrontera ux (0,t)= ux (2,t)=0ycondici´oninicial u(x, 0)=cos2 (2πx).

(Soluci´on. (a) u(x,t)=3e 20t sen(2x), (b) u(x,t)= 1 2 + 1 2 e 48π 2 t cos(4πx)).

2. Enuncia elproblemaconvaloresenlafronteraquedeterminalatemperaturaenunabarradecobrede1m.delongitud,si,originalmente, todalabarraseencuentraa18o Cyunodesusextremossecalientade modorepentinohasta60o Cysemantieneaesatemperatura,mientras queelotroextremoseconservaa24o C.(consideraque c2 =2) (Soluci´on. ut =2 uxx enelintervalo[0, 1]conlascondicionesdefrontera ycondici´oninicial u(x, 0)=18).

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6.6.Condicionesdefronteradistintas

Enestasecci´onestudiaremoslaecuaci´ondeondasylaecuaci´ondelcaloren elcasoenqueobtengamoscondicionesdefronteradistintasalasestudiadasen lasseccionesanteriores.Talcomoindicamosenlasnotas6.10y6.12,podemos cambiarlascondiciones u(0,t)= u(L,t)=0.Parapoderresolverelproblema demaneracompletaconotrascondiciones,necesitaremostrabajarconuna generalizaci´ondelasseriesdeFourier queexplicamosenelsiguiente teorema:

 Teorema6.3 (Generalizaci´ondelasseriesdeFourier).

Si pn = (2

(a) Para

1)

2L ,entonces:

)tenemosque:

(b) Para

AligualqueocurreconloscoeficientesdeFourier,losn´umeros

tambi´encumplenlacondici´ondelinealidad.

6.6.1.Ecuaci´ondelcalor

y b

Enlaecuaci´ondelcalor,lascondicionesanterioresserefer´ıanatener unatemperaturaconstanteynula.Sinembargo,podr´ıamosconsiderarelcasoenquetengamoslosextremosdelavarillaaislados,esdecir,quenohayaflujodecalorenlosextremosdelavarilla,loquesetraduceenque ux (0,t)= ux (L,t)=0.Laposibilidaddetenerunextremoaisladoyel otrocontemperaturaceronosdalasotrasdosopcionesenlascondicionesde frontera.

Pararesolverelproblemadelaecuaci´ondelcalorcambiandolascondiciones defronteraseprocededemaneraan´alogaalasecci´on6.5teniendoencuenta algunoscambiosqueseresumenenlasiguienteproposici´on:

 Proposici´on6.9.

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(c) Si ux (0,t)= u(L,t)=0 → F  (0)= F (L)=0.

(d) Si ux (0,t)= ux (L,t)=0 → F  (0)= F  (L)=0.

Estolleva,respectivamente,aque:

(a) Fn (x)=sen(pn x)donde pn = nπ L .Lasoluci´ongeneralvienedada por: u(x,t)= ∞  n=1 Bn e c2 p2 n t sen(pn x)

dondelos Bn sonloscoeficientesdeFourierdelaextensi´onimpar de f (x)enelintervalo[0,L]quevienendadosporlaf´ormula(6.11) paratodo n =1, 2,...

(b) Fn (x)=sen(pn x)donde pn = (2n 1)π 2L .Lasoluci´ongeneralviene dadapor:

u(x,t)= ∞  n=1 Bn e c2 p2 n t sen(pn x)

dondelos Bn sonloscoeficientes bn delapartadob)delteorema6.3 para f (x).

(c) Fn (x)=cos(pn x)donde pn = (2n 1)π 2L .Lasoluci´ongeneralviene dadapor:

u(x,t)= ∞  n=1 An e c2 p2 n t cos(pn x)

dondelos An sonloscoeficientes an delapartadoa)delteorema6.3 para f (x).

(d) Fn (x)=cos(pn x)donde pn = nπ L .Lasoluci´ongeneralvienedada por:

u(x,t)= A0 2 + ∞  n=1 An e c2 p2 n t cos(pn x)

dondelos An sonloscoeficientesdeFourierdelaextensi´onparde f (x)enelintervalo[0,L]quevienendadosporlaf´ormula(6.12)para todo n =0, 1, 2,...

 Nota6.13. Lanotaci´on An y Bn paraloscoeficientessehatomadoas´ı poridentificaci´onconloscoeficientes an y bn delasf´ormulasdeloscoeficientes delasseriesdeFourier.Entodosloscasosdelaproposici´on6.9,alresolver laEDO F  kF =0,las´unicassolucionesnotrivialesaparecenpara k< 0 salvoelcasod).Enesecaso,existeunasoluci´onpara k =0quevienedada por F (x)igualaunaconstante.Denotamosesaconstantepor A0 /2talcomo apareceenelapartadod)delaproposici´on6.9.

 Ejemplo6.11. Resuelveelproblema ut =2uxx conlascondicionesde frontera ux (0,t)= ux (1,t)=0ylacondici´oninicial u(x, 0)=2x +5cos(3πx).

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Soluci´on. Consideramos u(x,t)= F (x) G(t)yobtenemos FG

=2 F

G lo quenosda:

G

2 G = F

F = k cte.

ResolvemosenprimerlugarlaEDO F

kF =0.Si G ≡ 0,entonces, u(x,t) ≡ 0,soluci´ontrivial.Consideramos,portanto,que G =0.Enesecaso, tendremosque:

ux (0,t)=0 −→ F

ux (1,t)=0 −→ F

(0)G(t)=0 G=0 −→ F

(0)=0(6.43)

(1)G(t)=0 G=0 −→ F  (1)=0(6.44)

AhoradistinguimostrescasosparalaEDO F

kF =0:

=0cuyasoluci´ongenerales F (x)= ax + b y,teniendoencuentaque F

Si k =0:LaEDOqueda F

(1)=0,obtenemosque a =0y, portanto, F (x)= b unaconstantearbitraria.Estaconstanteaparecer´a enlasoluci´ondelproblemarenombradacomo A0 /2.

(0)= F

Si k> 0:Ocurrealgoan´alogoalcaso k =0.

Si k< 0:Podemosrenombrar k = p2 ylaEDOquedar´a F  + p2 F =0. Lasoluci´ongeneralser´a:

F (x)= A cos(px)+ B sen(px),A y B sonconstantesarbitrarias.

Parasustituirlascondiciones F  (0)= F  (1)=0,calculamos:

F  (x)= Ap sen(px)+ Bp cos(px) ytendremos:

F  (0)=0 −→−Ap sen(0)+ Bp cos(0)=0 p=0 −→ B =0.

Como B =0, F (x)= A cos(px).Alsustituirlacondici´on F  (1)=0, obtenemos:

Ap sen(p)=0 p=0 −→ A sen(p)=0

Esnecesariotomar A =0yaquedeotromodo F (x) ≡ 0,conloque obtendr´ıamosotravezelcasotrivial.Enconsecuencia,sen(p)=0.Por tanto,utilizandolanota6.2,obtenemosque: p = nπ,n ∈ Z −→ pn = nπ,n =1, 2,... (6.45)

Tomando B =1,obtenemosparacada n ≥ 1:

Fn (x)=cos(pn x) ,n =1, 2,... (6.46)

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ResolvemosahoralaEDO G

G =0cuyasoluci´ongenerales: G

+2p2

A

donde An esunaconstantearbitraria.Lasfunciones un (x,t)= Fn (x)Gn (t)= An e 2p

sen(p

Como u(x,

A0 2 +

A

)sonsolucionesdelaecuaci´ondelcalorqueadem´ascumplen lascondicionesdefrontera ux (0,t)= ux (1,t)=0.Lasoluci´ondelproblema completoser´a: u(x,t

u

2 +



A

e 2

p

Paraelc´alculodelasconstantes

posibilidadeselc´alculodeloscoeficientesdeFouriermediantelasf´ormulas:

y

Hayciertadificultadenelc´alculodelasegundaintegralyaqueesnecesario transformarelproductodecosenosparaevaluarla.Paraprofundizarenla resoluci´ondeestasintegrales,verlasecci´on6.8.2delap´endice6.8.

Lasegundaposibilidad,queeslaquedesarrollaremosaqu´ı,escalcular laseriedeFourierdelaextensi´onpardelafunci´on2x +cos(3πx)en[0, 1] utilizandolalinealidaddeloscoeficientestalcomoindicamosenelteorema 6.3.Haremos,porunaparte,laseriedeFourierdelaextensi´onpardela funci´on2x en[0, 1]y,porotra,ladelafunci´oncos(3πx).

SeriedeFourierdelaextensi´onparde

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SeriedeFourierdelaextensi´onparde 5cos(3πx) en [0, 1]: Lo hacemosporidentificaci´on.Tendremosque: A0 2 + A1 cos(πx)+ A2 cos(2πx)+ A3 cos(3πx)+ =5cos(3πx),

as´ıque A3 =5y An =0paratodo n ≥ 0, n =3. Portanto,lasoluci´onvendr´adadapor: u(x,t)= A0 2 + ∞  n=1 An e 2p

cos(pn x) .

donde A0 =2, A3 = 8 9

2 +5y An = 4(( 1)n 1) n

cos(

paratodo n ≥ 1, n =3.Al desarrollarlosprimerost´erminos,tendremos: u(x,t)=1 8 π 2 e 2

)+ 5 8 9

2  e 18πt cos(3πx)+ ··· 

Problemasycuestionesdelasecci´on6.6.1

1. Resuelveelproblema ut = uxx enelintervalo[0,π ],cuyascondiciones defronteravienendadaspor ux (0,t)= ux (π,t)=0ysuponiendoquela condici´oninicial u(x, 0)= f (x)vienedadapor:

(a) f (x)=  xsi 0 ≤ x<π/2

xsiπ/2 ≤ x ≤ π (b) f (x)= x2 (Soluci´on. (a) u(x,t)= π 4 8 π  1 4 e 4t cos(2x)+ 1 36 e 36t cos(6x)+ ..., (b) u(x,t)=4 ∞ n=1 ( 1)n n2 e nt cos(nx)).

2. Resuelveelproblema ut =4 uxx enelintervalo[0,π/2],cuyascondiciones defronteravienendadaspor ux (0,t)= u(π/2,t)=0ysuponiendoque lacondici´oniniciales u(x, 0)=2x 6cos x (Soluci´on.

6.6.2.Ecuaci´ondeondas

Demaneraan´alogaalaecuaci´ondelcalor,podemoscambiartambi´enlas condicionesdefronteraenlaecuaci´ondeondas.Seprocededemaneraan´aloga alasecci´on6.4teniendoencuentaalgunoscambiosqueseresumenenla siguienteproposici´on:

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 Proposici´on6.10. Consideramoslaecuaci´ondeondas utt = c2 uxx con lascondicionesiniciales u(x, 0)= f (x), ut (x, 0)= g (x).Supongamosque u(x,t)= F (x)G(t).Entonces:

(a) Si u(0,t)= u(L,t)=0 → F (0)= F (L)=0.

(b) Si u(0,t)= ux (L,t)=0 → F (0)= F  (L)=0.

(c) Si ux (0,t)= u(L,t)=0 → F  (0)= F (L)=0.

(d) Si ux (0,t)= ux (L,t)=0 → F  (0)= F  (L)=0.

Estolleva,respectivamente,aque:

(a) Fn (x)=sen(pn x)donde pn = nπ L .Lasoluci´ongeneralvienedada por:

u(x,t)= ∞  n=1 (Bn cos(cpn t)+ B ∗ n sen(cpn t))sen(pn x)

dondelos Bn y cpn B ∗ n sonloscoeficientesdeFourierdelaextensi´on imparde f (x)y g (x)respectivamenteenelintervalo[0,L]quevienen dadosporlaf´ormula(6.11)paratodo n =1, 2,...

(b) Fn (x)=sen(pn x)donde pn = (2n 1)π 2L .Lasoluci´ongeneralviene dadapor:

u(x,t)= ∞  n=1 (Bn cos(cpn t)+ B ∗ n sen(cpn t))sen(pn x)

dondelos Bn y cpn B ∗ n sonloscoeficientes bn delapartadob)del teorema6.3para f (x)y g (x)respectivamente.

(c) Fn (x)=cos(pn x)donde pn = (2n 1)π 2L .Lasoluci´ongeneralviene dadapor: u(x,t)= ∞  n=1 (An cos(cpn t)+ A∗ n sen(cpn t))cos(pn x)

dondelos An y cpn A∗ n sonloscoeficientes an delapartadoa)del teorema6.3para f (x)y g (x)respectivamente.

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n sen(cpn t))cos(pn x)

(d) Fn (x)=cos(pn x)donde pn = nπ L .Lasoluci´ongeneralvienedada por: u(x,t)= A0 2 + ∞  n=1 (An cos(cpn t)+ A

donde A0 , An y cpn A∗ n sonloscoeficientesdeFourierdelaextensi´on parde f (x)y g (x)respectivamenteenelintervalo[0,L]quevienen dadosporlaf´ormula(6.12)paratodo n =1, 2,...

 Nota6.14. Lanotaci´on An ,A∗ n o Bn ,B ∗ n paraloscoeficientessehatomado, aligualqueenelcasodelaecuaciondelcalor,poridentificaci´onconlos coeficientes an y bn delasf´ormulas(6.12)y(6.11)respectivamentedelas seriesdeFourier.Tambi´endeformaan´alogaalcasodelaecuaci´ondelcalor, entodosloscasosdelaproposici´on6.10,alresolverlaEDO F  kF =0,las ´unicassolucionesnotrivialesaparecenpara k< 0salvoelcasod).Enesecaso, existeunasoluci´onpara k =0quevienedadapor F (x)igualaunaconstante. Denotamosesaconstantepor A0 /2talcomoapareceenelapartadod)dela proposici´on6.10.

6.7.Ecuaci´ondeLaplace

Laecuaci´ondeLaplaceapareci´oporprimeravezenundocumentodeEuler sobrehidrodin´amicaen1752perofueLaplacequien,apartirde1782,estudi´o sussolucionesalinvestigarlaatracci´ongravitacionaldecuerposarbitrariosen elespacio.

Laecuaci´onbidimensionaldelcalorvienedadaporlaexpresi´on:

u

(

)

Sielflujodelcalores estacionario,esdecir,quenodependedeltiempo, entoncessuderivadaconrespectoaltiemposer´a0,esdecir, ut =0yobtenemos lallamada ecuaci´ondeLaplace bidimensional:

(6.47)

Elan´alogoentresdimensionesser´ıalaecuaci´ondeLaplacetridimensional:

(6.48)

aunqueelcasotridimensionalnolotrataremosenestelibro.Lasecuaciones deLaplace(6.47)y(6.48)tambi´ensepresentanotrosaspectosdelaf´ısica matem´aticacomopuedeserelpotencialelectrost´aticodecargasel´ectricas.La ecuaci´ondeLaplaceseconocetambi´encomo ecuaci´ondelpotencial y,como vimoseneltemaanterior,setratadeunaEDPlinealhomog´eneadesegundo ordenconcoeficientesconstantesdetipoel´ıptico.

Laecuaci´ondeLaplaceenunaregi´on R juntoconunacondici´onquese cumplasobretodoslospuntosdelafronterade R conformanloquesedenominaun problemaconvalorenlafrontera.Comolaecuaci´ondeLaplace

188Cálculo II. Grados en ingeniería eléctrica, ingeniería mecánica, ingeniería química e ingeniería en tecnologías industriales ISBN: 978-84-17429-33-1

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notienedependenciaconrespectoaltiempo,nohabr´acondicionesiniciales quedebansatisfacerse.Sinembargo,siquesonnecesariasalgunascondiciones quedebensatisfacerseenlafronteradelaregi´on R .Parasimplificar,consideraremossolamenteregiones R queseanrect´angulosyconsideraremosque u(x,y )tomavalorespreestablecidosenlafronteradelaregi´on.Losproblemas conestascaracter´ısticasrecibenelnombrede problemadeDirichlet,que tratamosacontinuaci´on.

ProblemadeDirichlet

Consideramoslaecuaci´ondeLaplace uxx + uyy =0enunrect´angulo R = [0,a] × [0,b](verfigura6.2).Suponemosquelatemperatura u(x,y )cumple quees f (x)enelladosuperiordelrect´anguloparaunaciertafunci´ondaday ceroenelrestodeladosqueconstituyenlafronterade R

Figura6.2:ProblemadeDirichletenelrect´angulo R.

Esdecir,consideramoslaecuaci´on:

uxx + uyy

(6.49) conlascondiciones:

u(0,y )=0paratodo0 ≤ y ≤ b (6.50)

u(x, 0)=0paratodo0 ≤ x ≤ a (6.51)

u(a,y )=0paratodo0 ≤ y ≤ b (6.52)

(x,b)= f (x)paratodo0 ≤ x ≤ a (6.53)

Pararesolveresteproblemaprocedemospasoapasodemaneramuysimilar alasecuacionesdeondasydelcalordelasseccionesanteriores:

Paso1. Aplicamoselm´etododeseparaci´ondevariablesalaecuaci´on (6.49).

Paso2. Alresolverelproblemaporseparaci´ondevariables,obtendremos solucionesdelaEDOenlavariable x quesatisfacenlascondicionesde fronteraizquierdayderechaysedeterminanlassolucionesdelaEDO enlavariable y a˜nadiendolacondici´ondefronterainferior.

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Paso3. Lasoluci´ondelproblemaser´aunaseriequeresultadelasuma delassolucionesanteriores.Seusar´alacondici´ondefronterasuperior paraelc´alculodecoeficientesdeseriesdeFourierparallegaralasoluci´on delproblema.

Paso1.Separaci´ondevariables.DosEDO

Aplicamoselm´etododeseparaci´ondevariables.Consideramos:

)= F (x)G(y ) en(6.49)yobtenemos F

G + FG

=0,dondesesobreentiendequelafunci´on F ahoradependedelavariable x ylafunci´on G dependedelavariable y .Esto nosllevaaque:

G

G

k

donde k esunaconstante,quenosllevaalasdosEDO F

kF =0y G

+ kG =0.

Paso2.Aplicaci´ondelascondicionesdefrontera

Si G ≡ 0,obtenemosque u ≡ 0,queesunasoluci´ontrivial.Enotrocaso G =0.

Resoluci´onde F (x): Apartirdelascondicionesenlafronteraizquierda yderecha,obtenemos:

u(0,y )=0 → F (0)G(y )=0 → F (0)=0 y

u(a,y )=0 → F (a)G(y )=0 → F (a)=0, as´ıquenosquedaunaEDOlineal F

+ kF =0conlascondiciones F (0)=0,F (a)=0.Demaneraan´alogaaloqueocurreenlaecuaci´on deondasylaecuaci´ondelcalor,loscasos k =0y k> 0dansoluciones triviales F =0y,portanto, u =0.As´ıqueconsideramos k< 0y, renombrando k = p2 ,obtenemosquelassolucionesdela F sondela forma:

F (x)= A cos(px)+ B sen(px)

Sustituimos F (0)= F (a)=0yobtenemosque A =0yquelos´unicos valoresv´alidosde p son pn = nπ/a demaneraan´alogaacomosehace enlaecuaci´ondeondasylaecuaci´ondelcalor.As´ı,para B =1,las solucionespara F (x)son:

Fn (x)=sen  nπ a x ,n =1, 2,...

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Resoluci´onde G(y ): Laecuaci´onpara G quedar´a G p2 n G =0para losvaloresde pn anteriores.Elpolinomiocaracter´ısticotienera´ıces pn y pn ,obteniendolasoluci´on:

Gn (y )= Cn epn y + Dn e pn y , paraconstantesarbitrarias Cn y Dn .Si F (x) ≡ 0,obtenemoslasoluci´on trivial u ≡ 0.Enotrocaso,aplicamoslacondici´ondefronteraenellado inferiorde R:

u(x, 0)=0 → F (x)G(0)=0 F (x)=0 → G(0)=0 as´ıque,enparticular,

Gn (0)=0 → Gn (0)= Cn + Dn =0 → D

C

As´ı,teniendoencuentaquelafunci´onsenohiperb´olicovienedadapor laexpresi´on: senh(α)= e

2 obtenemos:

Gn (y )= C

e

e

e

 =2C

senh  nπy a  .

n y,teniendoencuentalaexpresi´onobtenida para

Sireescribimos2Cn = C

),llegamosalasfuncionescaracter´ısticasdelproblema:

u

(x,y

Paso3.Soluci´ondelproblemacompleto

(6.54)

Lasfunciones un (x,y )satisfacenlascondicionesdefronteraenloslados izquierdo,derechoeinferior.Parallegaralasoluci´onquetambi´ensatisfaga lacondici´onenlafrontera u(x,b)= f (x)enelladosuperior,aplicamosel Principiodesuperposici´on(verteorema6.2ynotaposterior).Tendremosque unasoluci´onalproblemacompletovendr´adadaporlaserie:

u(x,y )= ∞  n=1 un (x,y )= ∞  n=1 C ∗ n sen  nπx a  senh  nπy a 

Apartirdeestaexpresi´onevaluadaen y = b ylacondici´on u(x,b)= f (x) obtenemos:

u(x,b)= f (x)=



=1 C ∗ n senh  nπb a  sen(pn x)

Eldesarrollodelaextensi´onimparde f (x)enelintervalo[0,a]es: f (x)=



=1 Bn sen(pn x)

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talcomovimosenlaproposici´on6.5.Identificandolasseriesysuscoeficientes, tendremosque: C

senh

nπb a

Utilizamoslaf´ormula(6.11)yobtenemos:

= B

Bn = 2 a  a 0 f (x)sen(pn x) dx,n =1, 2,... (6.55) y,portanto, Bn = C

n senh

2

f (x)sen

nπ a x

dx.

Tendremosentoncesquelasoluci´ondelproblemadeDirichletvienedadapor:

u(x,y )=

donde: C

=

n

C

n sen  nπ a x senh 

)sen

(6.56)

(6.57)

 Nota6.15. Bajociertascondiciones,siemprepodemosasegurarqueel problemadeDirichlettienesoluci´on.Unacondici´onsuficientees,porejemplo, que f , f  y f  seanfuncionescont´ınuasenelintervalo[0,a]. 

Problemasycuestionesdelasecci´on6.7.

1. ResuelveelproblemadeDirichlet uxx + uyy =0enelcuadrado R = [0, 2] × [0, 2]conlascondicionesdefrontera u(x, 2)=sen � 1 2 πx para todo0 ≤ x ≤ 2y u(x,y )=0enelrestodeladosdelcuadrado. (Soluci´on. u(x,y )= 1 senh

sen  1 2

senh  1 2 πy ).

ResuelveelproblemadeDirichletenelrect´angulo R =[0,a] × [0,b] conlascondicionesdefrontera u(0,y )= u(a,y )=0, u(x, 0)=0y u(x,b)= f (x)si:

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3. (Flujodecalorenunaplaca). Lascarasdeunaplacacuadrada delgadadelado24cm.est´anaisladasperfectamente.Elladosuperiordel cuadradosemantieneaunatemperaturade20

Cylosladosrestantes semantienena0

C.Encuentralatemperaturadeestadoestacionario u(x,y )delaplaca.

(x,y

Enestasecci´onestudiamosunacondici´onsuficienteparaquelaseriede Fourierde f (

)en[

paralosvalores an y b

dadospor(6.8)y(6.9)respectivamente.

 Teorema6.4. Si f (x)esunafunci´ondefinidaen[ L,L]yexisten lasderivadasporladerechayporlaizquierdaentodopuntodedicho intervalo,entonceslaseriedeFourierde f (x)esconvergente.Adem´as,

Si f (x)escont´ınuaen x,entonceslaseriedeFourier(6.1)y f (x) coinciden.

Si f (x)esdiscont´ınuaen x,entonceslaseriedeFourier(6.1)coincide conlamediaentrelosl´ımiteslateralesde f (x)enelpunto x.

6.8.2.Ortogonalidaddelsistematrigonom´etrico

 Nota6.16 (F´ormulastrigonom´etricas). Setieneque:

(a) cos(nx)cos(

sen(

sen(

ingeniería química

ingeniería

tecnologías

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nx,

ortogonal en[ π,π ](y,enconsecuencia,encualquierintervalodelongitud

,debidoalaperiodicidad).Estosignificaquelaintegraldelproductode

setiene:

m y n cualesquiera(incluyendo

= n)setiene:

Nota6.17. Lapruebadelaortogonalidaddelsistematrigonom´etricose basaenlatransformaci´ondelosproductosdentrodelasintegralesensumas comoseveenlasegundapartedelanota6.16.

tomanlosvalores a

c´alculos,consideraremos

π,pi].SuseriedeFourierviene dadapor:

f´ormulas:

Montolío

Alintegrar,elsegundomiembroqueda:

Aplicandolasf´ormulasdelanota6.16,obtenemosqueaparecer´ancuatrot´erminosencadasumandodelsegundomiembro.Ser´antodosceroexceptolaintegral

.Simplificando, obtenemos:

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Tablas

Enlassiguientesp´aginassepuedenencontrarunatabladeprimitivas,una tablaconlatransformadadeLaplacedediversasfunciones,unatablaconlas propiedadesm´asimportantesdelatransformadadeLaplaceyunatablacon relacionestrigonom´etricas.

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f (t)

(t) F(s) 1 1 s , s> 0 sen(bt) bt cos(bt) 2b3 (s2 + b2 )2

(s)

eat 1 s a , s>a t sen(bt) 2bs (s2 + b2 )2

tn , n =1, 2, n! sn+1 , s> 0 sen(bt)+ bt cos(bt) 2bs2 (s2 + b2 )2 eat tn , n =1, 2, n! (s a)n+1 , s>a t cos(bt) s2 b2 (s2 + b2 )2

eat ebt a b (s a)(s b) , s>max{a,b} sen(bt)cosh(bt) cos(bt)senh(bt) 4b3 s4 +4b4

at bebt (a b)s (s a)(s b) , s>max{a,b} sen(bt)senh)bt) 2b2 s s4 +4b4

√t √π 2s3/2 , s> 0

cosh(bt) cos(bt) 2b2 s s4 b4

senh(bt) sen(bt) 2b3 s4 b4 1 √t √π √s , s> 0

sen(bt) b s2 + b2 , s> 0

Funci´onescal´on: u(t a) e as s , s> 0 cos(bt) s s2 + b2 , s> 0 Funci´ondeltadeDirac: δ (t a) e as , s> 0

eat sen(bt) b (s a)2 + b2 , s>a eat cos(bt) s a (s a)2 + b2 , s>a

senh(bt) b s2 b2 , s>b cosh(bt) s s2 b2 , s>b

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PROPIEDADESDELATRANSFORMADA DELAPLACE

(1) Linealidad. Si a y b sonconstantes,entonces:

L [af (t)+ bg (t)]= aL [f (t)]+ bL [g (t)] paratodo s talquelastransformadasdeLaplacedelasfunciones f y g existanalavez.

(2) Propiedaddelatraslaci´on. SilatransformadadeLaplace L [f ]= F (s)existepara s>α,entonces:

L e at f (t) = F (s a)para s>α + a.

(3) TransformadadeLaplacedeladerivada. Si f (t)ysusderivadas soncont´ınuasen[0, +∞[ysontodasdeordenexponencial α,entonces, para s>α setiene:

L [f  ]= sL [f ] f (0)

L [f  ]= s 2 L [f ] sf (0) f  (0).

(4) TransformadadeLaplacedederivadasdeordenmayor. Si f (t)y susderivadassoncont´ınuasen[0, +∞[ysontodasdeordenexponencial α,entonces,para s>α setiene:

L f (n)  = sn L [f ] sn 1 f (0) sn 2 f  (0) f (n 1) (0).

(5) DerivadadelatransformadadeLaplace. Sea L [f ]= F (s)ysupongamosque f escontinuaatrozosen[0, +∞[ydeordenexponencial α.Entonces,para s>α setiene:

L [tn f (t)]=( 1)n dn F (s) dsn siendo F (s)= L [f (t)].

(6) Transformadadelaintegral. Si L [f (t)]= F (s),entonces: L  t 0 f (u) du = F (s) s , oenformaequivalente, L 1  F (s) s  =  t 0 f (u) du.

(7) Propiedaddedesplazamiento. Si F (s)= L [f (t)]existepara s>α, entonces: L [u(t a) f (t a)]= e as F (s) existepara s>a + α ysetiene: L 1 e as F (s) = u(t a) f (t a), siendo u(t a)lafunci´onescal´on(odeHeaviside).

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RELACIONESTRIGONOM

ETRICAS

sen(m + n)= sen m cos n +cos m sen n.

sen(m n)= sen m cos n cos m sen n.

cos(m + n)= cos m cos n sen m sen n.

cos(m n)= cos m cos n +sen m sen n.

sen(2m)=2sen m cos m.

cos(2m)= cos 2 m sen 2 m =1 2sen2 m =2cos2 m 1.

sen m cos n = 1 2 [sen(m + n)+sen(m n)]

cos m cos n = 1 2 [cos(m + n)+cos(m n)] .

sen m sen n = 1 2 [cos(m n) cos(m + n)]

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