60 Jogos Para O pensamento Geométrico - 1a Parte by Aury de Sa Leite

Coleção: Jogos Para o Pensamento Lógico-Matemático

Volume 3 de 4 – PARTE A – JOGOS de #01 a #20

60 Jogos Para o Pensamento Geométrico Aury de Sá Leite Edição Preliminar/Draft

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Desta Mesma Coleção: Volume 1: Jogos Para o Pensamento Lógico; Volume 2: Jogos Para o Pensamento Aritmético; Volume 4: Jogos Para o Pensamento Algébrico.

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no ite 0.9. – ‘Elaboração do Material’

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PROLEGÔMENOS Construção do Pensamento Geométrico na Pré-Escola e nas Escolas de Ensino Fundamental e Médio O ensino/aprendizagem da Geometria Euclidiana Plana e Espacial é um problema não somente didático – relativo à criação e oferta das oportunidades de aprendizagem aos estudantes –, mas também pedagógico, naquilo que se refere ao que ensinar e em que ordem, isto sem falar nas interligações/conexões e hierarquizações dos conceitos. Não iremos discutir aqui as diversas propostas pedagógicas encontráveis na literatura, sendo que este livro trata tão somente a criação de várias oportunidades de aprendizagem através da proposta de 60 Jogos Para o Pensamento Geométrico Euclidiano. No tocante à ordem de apresentação dos jogos pelos educadores aos seus alunos, o autor não faz sugestões, mas conta com o com a sensibilidade dos educadores mergulhados no difícil desafio de fazer com que seus alunos aprendam Geometria.

0.1.- A Construção do Pensamento Geométrico Euclidiano Propor oportunidades de aprendizagem para seus alunos, que levem efetivamente à Construção do Pensamento Geométrico Euclidiano tem sido um grande desafio para os educadores, não somente pela quantidade de conceitos envolvidos, mas pela dificuldade de torná-los claros e conexos para aqueles que aprendem, bem como, aplicáveis de forma efetiva à resolução de problemas. O estudo da Geometria Euclidiana seja através do método hipotético-dedutivo, seja intuitivamente através de um formulário tomado como “dicionário da linguagem geométrica” objetivando a resolução de problemas, exige do professor grande habilidade pedagógica que envolve o conhecimento sobre: (1) O que expor; (2) Em que seqüência expor o conteúdo escolhido; (3) Como expor cada um destes conteúdos; (4) Como interligar ou conectar de forma significativa os diversos conceitos; (5) Como avaliar a aprendizagem daquilo que foi exposto.

0.2.- A Aprendizagem da Geometria no Ensino Fundamental O conteúdo da Geometria Euclidiana deveria ser abordado com maior ênfase na disciplina de Matemática ministrada nas 7ª e 8ª séries do Ensino Fundamental e retomada na 2ª série do Ensino Médio − apesar de indicações de que se devesse fazê-lo ao longo de todas as séries de escolarização. A Geometria Euclidiana é uma linguagem formal, uma das mais sofisticadas e bem organizadas entre aquelas geradas pelo ser humano, praticamente a primeira ciência estabelecida a partir de um conjunto de axiomas. Apesar disto, ela se vê hoje apresentada, na maioria absoluta das escolas, como um amontoado de informações sem nenhuma conexão e praticamente sem a possibilidade de aplicação na vida escolar (como no estudo das Ciências, como a Física ou a Química) ou mesmo, minimamente, na vida prática. Um dos sinais que caracterizam de forma contundente o problema é o que geralmente ocorre com os professores do Ensino Médio que, para poderem apresentar a Geometria de Posição e a Geometria Métrica Espacial, necessitam apresentar antes, toda a Geometria Plana. Ocorre que a maioria dos alunos, agora na 2ª série do Ensino Médio, nunca a estudou antes e, mesmo os que o fizeram, não fixaram seus conceitos mais básicos, apresentando um conhecimento extremamente lacunar e desconexo.

0.3.- Uma Visão Profunda do que seja a Geometria Euclidiana Antes de mais nada vamos o que significam neste contexto as palavras que utilizaremos a seguir para estabelecer o que seja a Geometria Euclidiana: ‘sistema’ e ‘axioma’. Sistema: Um conjunto de elementos, concretos ou abstratos, intelectualmente organizados, formado por ideias logicamente solidárias, consideradas nas suas relações a partir de um conjunto de regras ou leis que o fundamentam permitindo fornecer explicações para uma grande quantidade de fatos. Axioma: Proposição que se admite como verdadeira porque dela se podem deduzir as proposições de uma teoria ou de um sistema lógico ou matemático. Premissa considerada necessariamente evidente e verdadeira, fundamento de uma demonstração, porém ela mesma indemonstrável, originada, segundo a tradição racionalista, de princípios inatos da consciência ou, segundo os empiristas, de generalizações da observação empírica. O princípio aristotélico da contradição: "nada pode ser e não ser simultaneamente" é um exemplo do que é considerado desde a Antiguidade um axioma fundamental da lógica dual (lógica com apenas dois valores verdade: V e F).

0.3.1- A Geometria Euclidiana Vista como um Sistema Fechado A Geometria Euclidiana é um Sistema Lógico Fechado (Sistema Logicamente Autocontido), isto é, é uma convenção teórica em que, a partir dos conceitos primitivos (ponto, reta, plano e espaço) se estabelece um conjunto de axiomas2 que permitirão: propor definições, observar as propriedades mais notáveis e demonstrar dos Teoremas. Para provar estes Teoremas normalmente não se recorre somente aos axiomas, às definições e propriedades, mas se utiliza como ferramental os conceitos da Lógica Matemática, ideias da Trigonometria e da Álgebra, recorrendo-se muitas vezes às Construções Geométricas, em particular àquelas conseguidas com Régua e Compasso. As construções geométricas com régua e compasso e com o uso dos transferidores, é normalmente denominada geometria experimental por envolver materiais concretos para a verificação das propriedades geométricas. Esta seria uma das formas imprescindíveis de se apresentar e estudar os diversos entes geométricos, suas propriedades imediatas e as propriedades construtivas ou aquelas definidas a partir daqueles materiais concretos logicamente estruturados. Em resumo, a Geometria Euclidiana é um imenso Sistema de Conhecimentos baseado numa Estrutura Axiomática e Experimental. Criada de forma artificial pelo espírito humano, curiosamente os elementos e propriedades da Geometria Euclidiana estão em correspondência com o espaço físico que nos cerca, e que, por isto, precisa ser profundamente justificada através da Lógica Matemática, da Trigonometria, da Álgebra e através de Construções com Régua e Compasso e com o uso de Transferidores.

0.3.2.- A Natureza Artificial dos Conceitos da Geometria Euclidiana Na primeira metade do século XIX, quando do surgimento das Geometrias Não-Euclidianas – a Geometria de Lobatchewski e a Geometria de Riemann –, os filósofos se confrontam com as seguintes questões: •

A Geometria Euclidiana é um reflexo da realidade que nos cerca?

•

Sabendo-se que o espaço físico não tem uma estrutura euclidiana, ele teria uma estrutura não-euclidiana?

•

O que melhor se adaptaria ao espaço físico: os axiomas/teoremas de Euclides ou os axiomas/Teoremas de uma das geometrias não-euclidianas?

Há Várias propostas de axiomatização da Geometria Plana e Espacial sugeridas por: Hilbert,

As respostas a estas questões foram dadas por Jules-Henri Poincaré (1854-1912), matemático, físico e filósofo francês, respostas estas das quais podemos destacar os seguintes tópicos: •

Os axiomas geométricos são convenções, não são fatos experimentais.

•

Os axiomas geométricos podem permanecer rigorosamente verdadeiros mesmo que as leis experimentais que determinariam a sua adoção sejam apenas aproximativas.

•

A nossa escolha sobre qual das teorias geométricas deva ser confrontada com fatos experimentais, é livre e deve ser guiada somente pela necessidade de se evitar contradições.

•

Os axiomas das geometrias – de Euclides, de Lobatchewski ou de Riemann – nada mais são que ‘definições’ mascaradas, o que não ocorre com os axiomas da aritmética

•

“Bem, essa interrogação não tem nenhum sentido [...]. Uma geometria não pode ser mais verdadeira que outra: ela só pode ser apenas mais cômoda", (in) Giovanni Reale e Dario Antiseri - História da Filosofia.

0.3.3.- A Geometria Euclidiana é Uma Convenção Os axiomas, as propriedades e os teoremas da Geometria Euclidiana estabelecidos há mais de dois mil anos (300 anos antes de Cristo), são genuínas criações do espírito humano que permitem elaboradas construções intelectuais, mas que não têm nenhuma correspondência exata no espaço físico que nos circunda. A Geometria Euclidiana é uma convenção, um campo específico do conhecimento humano, amplo e complexo em que os conceitos, definições e propriedades estão logicamente interligados e espalhados por uma rede conceitual muito complexa. Apesar desta rede se apresentar com uma forte coesão interna, tem-se que buscar externamente, seja na Trigonometria, seja na Álgebra e principalmente na Lógica Matemática, recursos para a demonstração de seus teoremas.

0.3.4.- A Geometria Euclidiana: Uma Linguagem Particular e Específica Em alguns países a Geometria Euclidiana é ensinada como uma disciplina independente da Matemática. No Brasil, há trinta ou quarenta anos atrás se fazia uma distinção entre o ensino das Construções Geométricas com régua e Compasso que ficava a cargo da disciplina ‘Desenho Geométrico’ e a Geometrias Métrica e Posicional que ficava a cargo, como ainda hoje, da disciplina ‘Matemática’. O que se perdeu, e que é muito grave, foi o conteúdo do Desenho Geométrico.

A Geometria Euclidiana por ser totalmente uma construção do pensamento humano baseada em ideias arbitrárias, torna-se pedagogicamente uma linguagem a ser aprendida dentro de um contexto particular, a escola. Sabe-se que a aprendizagem de uma linguagem deve se dar através da compreensão de um vocabulário e da sua gramática – um sistema de regras implícita da linguagem vista como um mecanismo de geração de sentenças válidas nesta linguagem a partir do vocabulário. No caso da Geometria, a aprendizagem da linguagem deve se dar através de um conjunto de conceitos – que deveríamos reunir em um dicionário – definidos a partir dos conceitos intuitivos ou não definidos (ponto, reta, plano e espaço), bem como de uma ‘gramática’ que neste caso são construtos lógicos como os axiomas, as definições e propriedades, que permitirão a prova dos teoremas. No caso das linguagens, os dicionários e as gramáticas são suficientes para a compreensão das construções lingüísticas, já no caso da Geometria, o dicionário teria que um dicionário com recursos de navegação hipertextual , ou seja, os conceitos fariam parte de uma Teia Conceitual bastante complexa, em que os elementos se correlacionam de muitas maneiras até mesmo inesperadas.

Neste livro iremos pensar a Teia Conceitual da Geometria Euclidiana como sendo um dicionário com recursos exaustivos de hipertextualidade.

0.4.- As Geometrias Não-Euclidianas É importantíssimo notar que o tratamento dado neste livro à Geometria é particular, ou seja, trata da Geometria denominada Euclidiana, no entanto, existem “outras geometrias”, aquelas denominadas Geometrias Não-Euclidianas como a de Lobatchewski (Geometria Hiperbólica) - que fora pressentida por Gauss, a Geometria de Riemann (Geometria Elíptica) e a de Bolyai (Geometria Absoluta). As Geometrias Não-Euclidianas normalmente se prestam à modelagem de fenômenos físicos que ultrapassam o nível de conhecimento apresentado no Ensino Fundamentais e Médio.

0.5.- Sobre Este Livro Este livro se dedica a apresentar a Construção do Pensamento Geométrico Euclidiano através de experimentação ou mais exatamente através de Jogos Para o Pensamento, introduzindo subjacentemente técnicas e idéias que nos conduzem a diversas formas de se repensar o “ensino” da Geometria Euclidiana, sem, contudo ditar regras.

JGEOM#01– JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 01

O Baralho das Figuras Geométricas Planas e Sólidas A nomenclatura das figuras geométricas, sejam elas planas ou tridimensionais, praticamente são parte necessária do vocabulário escolar: quadrado, retângulo, pentágono, hexágono, círculo, circunferência, cubo, cilindro, esfera, etc, e mais, são palavras necessárias, no dia-a-dia, para nomear os objetos que nos cercam. Por isto o autor sugere que a aprendizagem da Geometria se iniciar pela identificação, pelos nomes, tanto das figuras geométricas planas como das tridimensionais. Um baralho aqui sugerido pode dar conta desta tarefa.

1.1.- Figuras Geométricas: Planas e Tridimensionais Parece-nos que há uma ordenação pedagógica clara e muito tradicional no ensino da Geometria – pelo menos é aquela adotada pela maioria dos autores de livros didáticos –, que apresentaremos sob a forma de um rápido resumo: 1. Geometria Plana Posicional e Métrica – Ensinada ao longo de todo o Ensino Fundamental de forma desconexa e bastante descontinuada em termos de sequência: •

Introduzidos os conceitos intuitivos de ponto, reta, plano e espaço tridimensional, vem a seguir os conceitos de ângulos com suas classificações e propriedades, os conceitos de pares de retas paralelas, incidentes e transversais – e às vezes, mas nem sempre, o conceito de retas reversas –, suas propriedades e a demonstração de um ou outro teorema; o conceito de medidas lineares e suas transformações.

•

Os polígonos são introduzidos estudando-se

os triângulos, suas

propriedades e as classificações quanto aos lados e quanto aos ângulos a partir do que são demonstrados alguns teoremas; e ainda os quadriláteros, pentágonos, hexágonos regulares, sendo que é também introduzida a nomenclatura dos demais polígonos quanto ao número de lados e são discutidas algumas propriedades quanto às diagonais. Aqui o conceito de métrica parte das medidas de ângulos (graus, grados e radianos), passando pelas transformações de medidas lineares para se chegar ao cálculo de áreas e às transformações destas unidades de medida.

2. Geometria Espacial Posicional – Ensinada a partir do 2º ano do Ensino Médio a duras penas tanto para o professor como para o aluno, que não vêem a hora daquela ‘chatice terminar’ (sic). •

Os conceitos de pares de retas são retomados, alguns teoremas são provados; o conceito de pares de planos e suas propriedades e ângulos planos formados por dois, três ou mais planos, conjuntos de retas e de planos, sendo que teoremas podem ser provados.

3. Geometria Espacial Métrica – Os sólidos geométricos são estudados e o cálculo de seus volumes e áreas são estudados a partir do 2º ou 3º ano do Ensino Médio a duras penas tanto para o professor como para o aluno, pois este último não reteve praticamente nada do que foi ensinado antes ao longo de sua escolarização.

1.1.1.- Como, Quando e de que Forma Iniciar O Ensino da Geometria Uma discussão pedagógica que persegue os educadores quando pretendem introduzir os conceitos de geometria logo no início da escolarização como, por exemplo, no Ensino Básico (principalmente durante os 3 anos iniciais de escolarização, que envolvem crianças de 6, 7 até 8 ou 9 anos de idade): o que e como deve ser ensinada esta disciplina para que as crianças passem a aprender prazerosamente e consigam reter o máximo de informações. Os conhecimentos de Geometria serão praticamente exigidos não somente no dia-a-dia delas, mas mais à frente como embasamento para a aprendizagem de várias outras disciplinas práticas, teóricas e/ou e científicas. Muitos educadores vêm sugerindo que o ensino da Geometria deve partir dos sólidos geométricos, os seguidores de Maria Montessori aí incluídos. Do material Montessoriano consta uma família de sólidos geométricos – mostrada abaixo – que a partir de algum instante da aprendizagem devem ser identificados pelos seus nomes, sendo que em seguida os componentes geométricos que limitam aqueles sólidos devam também ser identificados nominalmente.

O leitor poderá ver que o material é bastante limitado e dele constam sólidos cujo enquadramento geométrico nos parece bastante estranho: como um ‘ovo’ e um ‘elipsóide’, sendo que no conjunto poderiam ser acrescentadas: as pirâmides com base triangular, pentagonal e hexagonal; um cone com base elíptica; prismas com base retangular, com bases pentagonais e hexagonais. No comércio existem famílias bastante completas de sólidos geométricos, normalmente em acrílico transparente, que permitem a introdução de líquidos coloridos para se dar ênfase às suas diagonais, possíveis secções, etc. Uma proposta que o autor faz é da introdução metódica da nomenclatura das figuras geométricas planas e tridimensionais através da utilização de um conjunto de cartas de um baralho cujo módulo básico é apresentado a seguir.

1.2.- O Baralho: Módulo Básico O módulo básico das cartas deste baralho é mostrado na figura abaixo. As cartas deste baralho medem 10 cm de altura por 6,5 cm de largura, dividido em três regiões:

XXXXXXX

10 cm

xxxxxxxxxxxx yyyyyyy 6,5 cm •

Uma região intermediária com uma figura geométrica colorida;

•

Uma região superior com o nome genérico daqueles tipos de figura: triângulos; quadriláteros; pentágonos; hexágonos; Sólidos Geométricos, Poliedros de Platão, etc.

•

Uma região inferior com o nome específico daquela figura: triângulo equilátero, ..., triângulo retângulo, ...; quadrado, retângulo, ...; pentágono regular, pentágono qualquer, ...; cubo, prisma, ...; tetraedro, hexaedro, ..., etc.

1.3.- As Figuras Geométricas Planas com a Nomenclatura Basicamente há dois tipos de cartas neste baralho, o que nos permite dividi-las pedagogicamente em duas famílias: (1) As cartas de identificação imagem/nomenclatura – nas quais as figuras geométricas são aquelas mais comuns; (2) As cartas de identificação nomenclatura/propriedade notável – como as dos triângulos classificados quanto à medida dos ângulos ou quanto à medida dos lados; as dos trapézios quanto às medidas dos lados ou dos ângulos.

1.3.1.- Cartas de identificação imagem/nomenclatura A seguir mostramos a família básica dos baralhos contendo algumas figuras geométricas planas e sua nomenclatura. Cabe ao educador a partir de sua visão pedagógica e em função da idade de seus alunos escolher no conjunto destas cartas de baralho um subconjunto de cartas que inclua aquelas mais significativas, naquele momento da aprendizagem. Um destes subconjuntos pedagogicamente convenientes a uma primeira abordagem deveria incluir as cartas de 1 até 7, por exemplo, incluindo-se aí, depois de bem retidos os nomes destas 7 primeiras figuras, as cartas de número 10, 12, 14, 15 e 16. A partir disto as demais cartas do baralho poderão ser introduzidas no subconjunto a partir das necessidades emergentes.

Triângulos

Quadriláteros

triângulo qualquer

quadrado

retângulo

paralelogramo

[1]

[2]

[3]

[4]

Quadriláteros

losango

pipa

trapézio qualquer

quadrilátero qualquer convexo

[5]

[6]

[7]

[8]

Quadriláteros

Polígonos

quadrilátero qualquer côncavo

pentágono regular

pentágono qualquer

hexágono regular

[9]

[10]

[11]

[12]

Polígonos

hexágono qualquer

octógono regular

octógono qualquer

[13]

[14]

[15]

Círculos

Circunferências

Elipses

círculo = interior + fronteira

circunferência = fronteira do círculo

elipse

[16]

[17]

[18]

1.3.2.- Cartas de identificação nomenclatura/propriedade notável Os triângulos e os trapézios, devido às suas possibilidades de classificação seja quanto à medida dos lados, seja quanto à medida dos ângulos, permite com que se acrescentem mais 9 cartas ao baralho. Estas cartas podem ser estudadas em separado até que se dominem bem seus nomenclatura/propriedades notáveis, podendo depois disto serem incorporadas ao conjunto básico.

1.3.2.1.- Triângulos Classificados Quanto à Medida dos Lados Triângulos

Triângulos

triângulo equilátero

triângulo isósceles

triângulo escaleno

1.3.2.2.- Triângulos Classificados Quanto à Medida dos Ângulos Ao classificarmos triângulos quanto aos ângulos é preciso ressaltar o seguinte: todos eles possuem sempre dois ângulos agudos, sendo que será justamente o terceiro ângulo que servirá para classificá-lo. Triângulos 2 ângulos agudos 1 ângulo reto

triângulo retângulo

Triângulos 3 ângulos agudos

triângulo acutângulo

Triângulos 2 ângulos agudos 1 ângulo obtuso

triângulo obtusângulo

1.3.2.3.- Trapézios Classificados Quanto à Medida dos Lados/Ângulos Quadriláteros

Quadriláteros

trapézio isósceles

trapézio escaleno

trapézio retângulo

1.4.- As Figuras Geométricas Planas sem a Nomenclatura Além do baralho com a nomenclatura das figuras planas, os educadores irão dispor ainda de um baralho contendo a mesma quantidade de cartas que correspondem exatamente às cartas anteriores, somente que desprovida da nomenclatura. Depois de aprendidos os nomes destas figuras, estas novas cartas poderão ser utilizadas para verificar se as crianças aprenderam corretamente os nomes das diversas figuras planas.

Triângulos

Quadriláteros

Polígonos

Triângulos

Triângulos 2 ângulos agudos 1 ângulo reto

Polígonos

Triângulos

3 ângulos agudos

2 ângulos agudos 1 ângulo obtuso

Quadriláteros

1.5.- As Famílias de Sólidos Geométricos A família de figuras Geométricas Espaciais denominadas Sólidos Geométricos é apresentada a seguir, aproveitando-se para introduzir as curvas/superfícies planas produzidas quando um plano intercepta o cone – as cônicas. Sólidos Geométricos

Sólidos Geométricos

cubo

cilindro

esfera

cone

Sólidos Geométricos

prisma de base triangular

prisma de base retangular

prisma de base quadrada

Sólidos Geométricos

prisma de base pentagonal

prisma de base hexagonal

Sólidos Geométricos

pirâmide de base triangular

pirâmide de base quadrada

pirâmide de base pentagonal

pirâmide de base hexagonal

No JGEOM#14 o professor interessado encontrará algumas indicações técnicas que permitirão desenhar os sólidos geométricos com relativa facilidade.

1.5.1.- Como são Obtidas as Cônicas Um plano que atravesse um cone pode fazê-lo das seguintes maneiras: não-paralelo ou paralelo ao eixo de revolução. Estas seções geram as curvas/superfícies cônicas nas interseções da superfície do cone com os planos cortantes. Abaixo mostramos as superfícies cônicas e as curvas que limitam estas superfícies.

elipse

parábola

hipérbole

Cônicas

elipse

parábola

hipérbole

Cônicas

1.6.- Os Poliedros de Regulares Para estudarmos os Poliedros Regulares precisamos recorrer aos conceitos de Poliedros Côncavos e de Poliedros Convexos, bem como ao Teorema de Eüler e à definição dos Poliedros de Platão, como se verá a seguir.

1.6.1.- Poliedros Côncavos e Convexos Os poliedros podem ser classificados como convexos ou côncavos. Um sólido geométrico limitado por n polígonos convexos, n ≥ 4, tais que: [1] dois destes polígonos nunca estarão no mesmo plano; [2] cada lado de cada um destes polígonos é comum a dois polígonos no máximo e [3] o plano de cada polígono deixa todos os demais polígonos num outro semi-espaço, é denominado Poliedro Convexo. A reunião destes polígonos (as faces) é denominada superfície do poliedro. Exemplos e Contra-exemplos:

Poliedro Convexo

Poliedro Côncavo

1.6.2.- Teorema de Eüler Sendo V o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces de um poliedro convexo, sempre valerá a relação:

V+F=A+2 Exemplos:

F=6 V=8 A = 12

F=8 V = 12 A = 18

F=4 V=4 A=6

1.6.3.- Os Poliedros de Platão Chamamos Poliedro de Platão aos poliedros tais que todas as suas faces têm o mesmo número de arestas, todos os ângulos poliédricos possuem o mesmo número de arestas e para eles valem o Teorema de Eüler. Exemplos e Contra-exemplos: (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Os poliedros (1), (2) e (3) são poliedros de Platão, já os poliedros (4), (5) e (6) não são.

Teorema: Há cinco e somente cinco tipos de poliedros de Platão.

1.6.4.- Poliedros Regulares Um poliedro convexo é regular quando, e somente quando: [1] suas faces são polígonos regulares e congruentes entre si; [2] seus ângulos poliédricos são todos congruentes. Notar: Um Poliedro Regular é um Poliedro de Platão, mas nem todo Poliedro de Platão precisa ser um Poliedro Regular. Os poliedros de Regulares são sólidos geométricos especiais, ou seja precisam ser Poliedros de Platão, mas devem possuir: todas as faces congruentes e os todos os ângulos congruentes. Por exemplo, o cubo, que pode ser considerado um prisma, neste grupo de sólidos passa a ser

classificado como sendo um hexaedro. A nomenclatura destes 5 sólidos geométricos – e só existem estes cinco – pode ser relembradas pelo mnemônico; THODI. Os poliedros regulares são cinco:

Tetraedro Hexaedro

Octaedro

Dodecaedro Icosaedro

A seguir são apresentadas as cartas de baralho com os Poliedros Regulares as suas respectivas planificações. Poliedros de Platão

Poliedros de Platão

Tetraedro regular

planificação do tetraedro regular

hexaedro regular

planificação do hexaedro regular

Poliedros de Platão

Octaedro regular

planificação do octaedro regular

dodecaedro regular

planificação do dodecaedro regular

Poliedros de Platão

Icosaedro regular

planificação do icosaedro regular

1.7.- Aos Educadores As cartas de baralho mostradas neste JGEOM#01 devem ser utilizadas com muito cuidado e ao longo dos diversos anos de escolarização. Há crianças que identificam algumas das figuras e sólidos geométricos, mas a maioria delas tem dificuldade de aprendizagem com relação a este conteúdo devido à abstração: são imagens que devem ser identificadas por seus nomes nem sempre claros ou evidentes para elas.

JGEOM#02– JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 02

Os ‘Pattern-Blocks’ ou ‘Blocos-Padrão’ Propomos aqui trabalhar com os Planiblocos-Padrão que são uma versão mais barata dos Blocos-Padrão (Pattern-Blocks), que são normalmente encontrados no comércio, feitos de madeira ou plástico, sendo que no primeiro caso são sólidos e no segundo caso, são ocos. Impressos em papel sulfite, plastificados e em seguida recortados, os planiblocos permitem realizar os mesmos jogos pedagógicos propostos para os BlocosPadrão originais.

2.1.- Os Seis Blocos-Padrão e os Planiblocos-Padrão A seguir são mostradas as seis peças do tradicional manipulativo pedagógico que os educadores americanos denominam ‘Pattern-Blocks’, nome este que poderia ser traduzido como ‘Blocos-Padrão’ ou ‘Blocos Padronizados’. Estas peças são elaboradas em madeira e normalmente têm a espessura de 0,5 cm.

2.2.- A Quantidade Ideal de Blocos-Padrão A seguir o leitor encontrará uma indicação da quantidade ideal de cada uma destas peças, com a finalidade que haja sempre um número disponível de peças que possibilitem a realização dos Jogo Para Pensamento Geométrico que serão a seguir sugeridos. A quantidade de blocos não é padronizada, sendo que num conjunto de 250 peças – que é, no caso, um conjunto bastante grande – , devem ser encontradas: • 25 hexágonos – blocos da cor amarela; • 25 quadrados – blocos da cor laranja; • 50 triângulos equiláteros – blocos da cor verde; • 50 trapézios – blocos na cor vermelha; • 50 losangos – blocos na cor azul;

• 50 triângulos isósceles obtusângulos – blocos na cor creme. Propomos aqui que o leitor adquira este material concreto no comércio, em casas especializadas em materiais pedagógicos. É claro que podemos imprimir e plastificar este material, como será mostrado a seguir, no entanto haverá uma desvantagem: o material adquirido no comércio tem pelo menos 0,5 cm de espessura, enquanto nós iremos trabalhar com figuras planas, o que dificultará a justaposição das peças particularmente quando se trabalha com crianças pequenas.

2.3.- Criando os Planiblocos-Padrão Neste JGEOM nós iremos propor a criação dos Planiblocos-Padrão em substituição aos Blocos-Padrão confeccionados em madeira, que são mostrados a seguir.

2.3.1.- Recortando o Hexágono Amarelo Um hexágono é dito regular se, e somente se, for um polígono plano fechado que possui os seis lados congruentes9 e os seis ângulos internos, também congruentes – cada um deles medindo 120º. A figura a seguir nos mostra um hexágono regular as suas nove diagonais. Três delas, as que passam pelo centro da figura, foram desenhadas em vermelho, e as diagonais que não passam pelo centro, no total de seis, foram desenhadas em azul.

Congruentes: coincidente ou correspondente em características, em propriedades, medidas etc

Os planiblocos apresentados acima são, na verdade, somente alguns dos possíveis recortes que podem ser obtidos a partir do hexágono amarelo. Cada uma destes recortes recebe uma cor padronizada distinta, a saber: vermelho, laranja, azul, verde e creme.

2.3.2.- Um Jogo Para O Pensamento Geométrico Este é um jogo bastante simples, mas básico para que se possa compreender como as peças dos Planiblocos-Padrão se encaixam uma às outras formando um novo hexágono congruente10 ao o hexágono amarelo. Usando várias das peças amarelas como suporte, solicitar aos participantes que formem todas as possíveis ‘coberturas’ daquela peça utilizando as demais cinco peças restantes. Veja a seguir algumas das possibilidades de cobertura do hexágono amarelo.

2.4.- Quatro Jogos Para O Pensamento Lógico As peças do ‘Pattern-Blocks’ são plenamente encaixáveis podendo formar aquilo que denominaremos montagens planas. Podemos utilizar várias vezes cada uma de todas estas seis peças para realizar estas montagens.

2.4.1.- O Jogo das Cópias O reconhecimento de que as peças dos Blocos-Padrão se encaixam de forma bastante perfeita formando hexágonos, será básica para que possamos construir ‘montagens’ bastante complexas realizadas com aquelas peças. As montagens assim realizadas poderão ser copiadas em 10

Conforme o Dicionário Houaiss, congruente significa: “coincidente ou correspondente em características, em propriedades etc.; conforme, concordante, harmônico idêntico ou correspondente na constituição, forma ou estrutura”. Particularmente no estudo da Geometria, ‘congruente’ significa: aquilo que tem a mesma medida que o outro.

seguida por vários participantes do Jogo das Cópias. Neste jogo há um ‘gerente’ que realiza as montagens e os participantes que devem tentar reproduzi-las. • O ‘gerente’ do jogo faz, sem que os demais participantes possam ver, uma montagem com as peças dos Blocos-Padrão sobre um anteparo rígido;. • O ‘gerente’ mostra durante um período de tempo julgado suficiente para que os participantes possam memorizar a montagem ali apresentada; • O gerente, de forma que os participantes do jogo possam a montagem e a esconde solicitando que os participantes realizem as montagens de memória; • Vence quem primeiro terminar a montagem, desde que a mesma esteja correta. Veja a seguir alguns dos exemplos das montagens planas a serem montadas e exibidas pelo ‘gerente’ no jogo das cópias.

Recomenda-se, quando os participantes forem ainda pequenos, que as montagens fiquem expostas, para que eles possam copiá-las, até que seja oportuno propor a eles, que realizem as montagens de memória.

2.4.2.- O Jogo das Sequências Este é um jogo de Lógica em que se exigirá a complementação faixas, cujos exemplos são mostrados a seguir. Estas faixas devem apresentar-se com uma ‘sequência de colocação das peças’ bem visível, ou seja, elas devem possuir uma ‘lei de formação bastante clara’ do seqüenciamento das peças que a compõe.

• Num espírito um pouco distinto do jogo anterior, um gerente deve criar sequências de peças como aquelas dos exemplos mostrados acima; • As montagens devem ficar expostas e os participantes devem dar continuidade à sequência até que um novo ciclo (uma montagem exatamente igual à anterior) seja realizado; • Vence aquele que primeiro terminar a sequência das pelas de forma correta.

2.4.3.- O Jogo das Simetrias Este é um jogo em que participantes devem montar uma figura simétrica àquela que a eles foi apresentada. Veja os exemplos a seguir. Eixo de Simetria MODELO

Cópia Simétrica

Eixo de Simetria MODELO

Cópia Simétrica

É usual que no lugar do eixo de simetria se utilize um espelho plano (colocado perpendicularmente ao plano da montagem e voltado para ela) para refletir a figura, podendo-se assim conferir a figura dada como solução com a sua imagem refletida no espelho.

2.4.4.- O Jogo da Nomenclatura O educador deverá verificar a conveniência (quando, como e com que quantidade de detalhes) se deverá introduzir a nomenclatura dos diversos elementos componentes dos BlocosPadrão:

Paralelogramos: retângulos e losango

Triângulos: equilátero e isósceles

Trapézio: trapézio isósceles

Hexágono: hexágono regular O jogo Consiste no reconhecimento das diversas peças do O educador deve aproveitar a oportunidade para discutir cada um destes conceitos e dar exemplos de outros tipos de figuras planas, completando o quadro acima com a classificação: dos triângulos, dos trapézios, e das figuras geométricas quanto à quantidade de lados e quanto a regularidade ou não.

JGEOM#03– JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 03

Propondo Novos Conjuntos de ‘Blocos-Padrão’ A decomposição do pentágono, do hexágono e do octógono regulares a partir de segmentos de reta escolhidos sobre as suas diagonais nos permitirá pensar sobre a possibilidade da criação de novos conjuntos de Blocos-Padrão (Pettern-Blocks). Algumas tarefas bastante interessantes, propostas sob a forma de Jogos Para o Pensamento, são deixadas para os leitores.

3.1.- Decompondo o Pentágono, o Hexágono e o Octógono Vamos propor a seguir que procedamos à decomposição das seguintes três figuras geométricas planas regulares11: o pentágono, o hexágono e o octógono, utilizando segmentos retirados de suas diagonais para formar novas figuras geométricas planas fechadas.

3.2.- O Pentágono Regular e suas Possíveis Decomposições O mesmo que fizemos com o hexágono regular no JGEOM#02, a sua decomposição em função das diagonais, será feito a seguir com o pentágono. Por outro lado, vamos tentar novos tipos de decomposições denominadas ‘côncavas’, como será mostrado mais adiante.

3.2.1.- Um jogo Para o Pensamento Cabe ao leitor tentar, nas figuras da página a seguir, que figura no CD-R que acompanha este livro, escolher as possíveis decomposições do pentágono regular em função de suas cinco diagonais, bem como escolher as peças mais interessantes a serem tomadas como ‘Blocos-Padrão’. O leitor verá logo a seguir uma série de sugestões para estas decomposições.

Polígonos Regulares: são figuras geométricas planas fechadas cujos lados têm a mesma medida (são congruentes) e os ângulos têm a mesma medida (são congruentes).

3.2.2.- Sugerindo Algumas Novas Decomposições A seguir vamos mostrar as possíveis decomposições de uma figura geométrica regular plana que classificaremos como convexas e côncavas. Mas antes vamos introduzir os conceitos e/ou definições de figuras geométricas planas fechadas, bem como os de figuras geométricas planas convexas e côncavas

•

Poligonais abertas e Fechadas Planas Abertas e Fechadas As figuras geométricas a seguir apresentam duas poligonais, uma aberta e outra fechada. As

poligonais fechadas são denominadas polígonos. No caso, o polígono (com o interior em amarelo) é um quadrilátero.

A B

A D

Para a leitura das definições expressas de forma simbólica dadas logo abaixo de cada uma das seguintes figuras geométricas, deve-se utilizar a seguinte legenda:

Legenda: ∀ - para todo ∈ - ... pertence a ...

•

⇒ - se ... então ... ⊄ - não está contido em ...

∃ - existe pelo menos um ⊂ - ... está contido em ...

Figuras Geométricas Planas Convexas Sejam dados: α um plano, A e B pontos do plano α, AB o segmento de reta de extremidades A e

B. R é uma Região Plana Convexa se, e somente se: A região R está contida no Plano α e se para qualquer A e B pertencentes a α tem-se que o segmento de reta AB está contido em R.

B A

R é uma Região Plana Convexa ⇔ R ⊂ α ∧ ∀A ∈ R e ∀B ∈ R ⇒ AB ⊂ R .

•

Figuras Geométricas Planas Côncavas Sejam dados: α um plano, A e B pontos do plano α, AB o segmento de reta de extremidades A e

B. R é uma Região Plana Côncava se, e somente se: A região R está contida no Plano α e se para qualquer A e B pertencentes a α tem-se que o segmento de reta AB não está contido em R.

B A

R é uma Região Plana Côncava se, e somente se: R ⊂ α , ∃A ∈ R e ∃B ∈ R ⇒ AB ⊄ R

3.2.2.1.- Decomposições do Pentágono em Figuras Convexas

3.2.2.2.- Decomposições do Pentágono em Figuras Côncavas

3.3.- O Hexágono Regular e suas Possíveis Decomposições Vamos a seguir mostrar um estudo em que tentaremos gerar as peças do ‘Pattern-Blocks’ a partir de um hexágono regular e do traçado de todas as suas 9 diagonais.

Veja nas figuras a seguir, como são conseguidos os seis ‘blocos padrão’ (vide JARIT#02) quando se levam em conta as figuras extraídas do hexágono aproveitando-se o traçado de suas diagonais.

3.4.- Recompondo o Hexágono Regular com os Blocos Veja agora como ‘recompor’ o hexágono utilizando os blocos-padrão. Note ainda que as cinco primeira das recomposições do hexágono a seguir apresentadas, puderam ser feitas com apenas um único tipo de bloco, enquanto a última delas, a sexta, exigiu o uso de blocos de formas distintas, sem o que, a recomposição seria impossível.

3.5.- Um Jogo Para o Pensamento É evidente que muitas outras possíveis recomposições do hexágono podem ser tentadas utilizando-se certas misturas de peças. Cabe ao leitor, a partir de alguns dos exemplos que damos a seguir, tentar outras e verificar quais são todas elas. Este é um bom Jogo Para o Pensamento Geométrico.

3.6.- Um Jogo Para o Pensamento Deve ter ficado evidente para o leitor que ocorre algo de muito curioso com relação às peças que foram recortadas do hexágono básico, elas não correspondem a todas as possibilidades de se seccionar (recortar) um hexágono tomando-se como base as suas diagonais. E a seguir apresentamos ao leitor uma folha com vários desenhos do hexágono regular e suas nove diagonais, desafiando-o a encontrar mais algumas possibilidades da obtenção de novas figuras. A folha pode ser encontrada no CD-R que acompanha o livro e que pode ser impressa.

‘

3.6.1.- As Decomposições Convexas Sugeridas pelo Autor Confira a seguir as novas figuras côncavas que o autor encontrou. Será que existem outras figuras possíveis, além destas dez aqui apresentadas?

Triângulos

Retângulo

Losango

Hexágono

Pipas

3.6.2.- As Decomposições Côncavos As figuras da página a seguir (lei o item 3.4. acima) se destinam à geração de decomposições côncavas, o que deve ser realizado pelo leitor.

3.7.- O Octógono Regular e suas Possíveis Decomposições O desafio da decomposição em figuras convexas e côncavas do octógono é deixado como um Jogo Para o Pensamento Geométrico para o leitor. No entanto, o autor a seguir dá alguns exemplos de decomposições convexas e côncavas.

O octógono regular é apresentado a seguir sob a forma de um desafio a ser encarado pelos leitores. O autor não irá sugerir nenhuma solução. Algumas sugestões são dadas para estimular o leitor a pensar novas soluções.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

As figuras em azul dos exemplos acima sugerem alguns tipos possíveis de classificação geométrica, tais como:

Convexas: de [1] até [4]

Côncavas: de [5] até[8]

Simétricas: [1], [2], [5], [7] e [8]

Assimétricas: [3], [4] e [6]

3.8.- Uma Nova Idéia Uma forma bastante interessante de realizar estas decomposições seja dos pentágonos, hexágonos ou octógonos é fazê-lo com o uso de figuras geométricas bastante grandes que possam plastificadas e depois recortadas com uma tesoura. No caso de se utilizar o material emborrachado EVA, recorta-los com um estilete guiado por uma régua de metal – preferencialmente às réguas de plástico ou madeira. No CD-R que acompanha este livro há páginas no tamanho A4 – cada uma delas com uma dos três pentágonos em cores distintas –, que podem ser impressas para serem em seguida recortadas. Mostradas abaixo numa escala bem menor:

3.9.- Sobre o JGEOM#14 O JGEOM#14 que figura nesta parte A deste livro faz um aprofundamento no estudo do pentágono, hexágono, heptágono e octógono, não somente no que toca à decomposição destes polígonos em triângulos e a recomposição dos mesmos, bem como discute e mostra passo-a-passo a forma de construí-los com régua e compasso. O leitor poderá encontrar muitas informações interessantes neste outro JGEOM.

JGEOM#04 – JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 04

O Jogo da Composição de Figuras Nos Jogos anteriores (JGEOM#02 e JGEOM#03) as diversas peças das decomposições do pentágono, do hexágono ou do octógono, poderiam ser utilizadas tantas vezes quanto necessário, isto é, de forma repetitiva, para a obtenção das novas composições. No caso do atual JGEOM, o módulo é bastante simples – com duas, três quatro ou mais peças únicas que se destinarão à criação de novas figuras, peças estas que não podem ser repetidas, mas isto sempre estará limitado pela quantidade de peças daquele único módulo.

4.1.- Um Primeiro Módulo de Trabalho A seguir iremos mostrar um módulo para jogos de criação de novas figuras, o que somente é limitado pela criatividade do jogador. O módulo deve ser recortado, para em seguida, com apenas as suas três partes permitir a criação de novas e até mesmo inesperadas composições geométricas.

4.1.1.- Construindo o Nosso Módulo e Jogando com Ele O módulo que pode ser impresso a partir de um arquivo que o leitor encontrará no CD-R, devendo ser plastificado e recortado possui as seguintes características: •

Ele é um retângulo com 5 cm de altura por 10 cm de base;

•

Cortar o retângulo segundo os segmentos de reta AM1 e M2D, obtendo dois triângulos e um paralelogramo.

•

Jogue livremente com duas ou três das peças tentando formar, por justaposição exata – as medidas dos lados a serem juntados devem sempre ter o mesmo comprimento, devem ser congruentes – as figuras geométrica possíveis, classificando cada uma delas, quanto a serem figuras geométricas reconhecíveis pelo nome: triângulo, quadrado, retângulo, etc, e ainda se são ou não figuras convexas ou côncavas.

4.1.2.- Analisando Algumas da Figuras Formadas A seguir são mostradas algumas das figuras possíveis de serem formadas com duas das peças do nosso módulo básico.

quadrado

trapézio equilátero

triângulo isósceles

trapézio retângulo

pentágono côncavo

Algumas das figuras possíveis de serem formadas com três das peças do nosso módulo básico.

trapézio equilátero

paralelogramo

triângulo retângulo isósceles

4.1.3.- Adotando um Módulo Monocromático O leitor irá encontrar no CD-R do livro um módulo exatamente igual ao anterior somente que com uma única cor – monocromático – com o qual poderá realizar novamente o jogo anterior.

4.2.- Um Novo Módulo de Trabalho A seguir é mostrado um novo módulo e algumas das possíveis construções que podem ser elaboradas com as suas duas peças. A medida deste módulo mede 5cm × 5cm.

triângulo retângulo escaleno

trapézio equilátero

quadrilátero convexo

paralelogramo

pentágonos côncavos

4.3.- Um Jogo Para o Pensamento A partir do módulo anterior iremos obter um outro módulo semelhante ao primeiro somente que simétrico àquele, como mostrado na figura a seguir.

Para distinguir um módulo do outro iremos colorir as duas peças deste novo módulo com cores distintas das cores do primeiro módulo, e junta-lo como se fosse um único módulo com quatro partes.

A seguir são mostradas algumas das composições bem como as suas respectivas simetrias.

4.3.1.- Adotando Módulos Simétricos Monocromáticos As quatro peças deste módulo são simétricas duas s as duas. De alguma forma isto poderá dificultar a construção das figuras mostradas acima. Recorte os módulos (recorrendo ao CD-R deste livro), embaralhe as quatro peças e tente montar as figuras anteriormente mostradas.

4.3.2.- Outras Figuras As figuras a seguir foram construídas com os módulos monocromáticos, sem a necessidade de se buscar, ou não, as suas simétricas. Algumas delas são repetições das figuras apresentadas acima, mas outras são distintas. Confira.

Se você sentiu dificuldade em obter as figuras acima utilizando os módulos simétricos monocromáticos, veja as mesmas figuras construídas com os módulos simétricos coloridos.

4.4.- Algumas Sugestões de Outros Módulos No CD-R que acompanha este livro há sugestões de outros módulos que permitirão ao leitor realizar as suas próprias construções.

O leitor poderá ainda usar de forma conjugada vários tipos de módulos, o que irá, de alguma forma, dificultar o trabalho a ser realizado. Um trabalho de composição de figuras bastante interessante será proposto com os Triângulos Construtores de Maria Montessori (vide JGEOM#11).

4.5.- Nota Importante O jogo da Justaposição de Figuras se torna muitíssimo interessante quando os participantes jogam contra o relógio. Neste caso cada jogador forma suas figuras e as desenha numa folha de papel A4. No caso de crianças pequenas as figuras podem ser desenhadas utilizando-se os próprios recortes plastificados como gabarito para os desenhos. Prevendo isto as páginas com os módulos que acompanham este livro, e que devem ser impressas a partir do CD-R, depois de plastificadas e recortadas, apresentam-se com todos os módulos multiplicados por três. Crianças treinadas com alguns tipos de módulos básicos podem ser desafiadas a jogarem com um dos seis módulos do item 4.4. acima.

JGEOM#05 – JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 05

O Jogo Cooperativo das Composições Falaremos aqui sobre os jogos cooperativos e sobre o papel do colaborador visando fazer uma distinção nos papéis por eles exercidos. O leitor encontrará neste JGEOM três jogos cooperativos envolvendo composições geométricas.

5.1.- Sobre Cooperadores e Colaboradores Podemos entender que uma cooperativa é uma sociedade, uma empresa ou coligação constituída por pessoas que objetivam desempenhar determinadas atividades em igualdade de condições – tais como deveres e direitos –, visando a obtenção de benefícios comuns. Se por um lado, se espera que os cooperados desempenhem papéis – realizem tarefas e assumem obrigações – mais ou menos equivalentes dentro daquele grupo, por outro lado, um outro tipo de cooperado pode ser chamado para fazer parte temporária daquela cooperativa: um colaborador, de quem se espera algum grau de especialização – habilidade ou conhecimento específico – que venha a trabalhar em benefício do grupo.

5.1.1.- Sobre os Jogos Cooperativos e Colaborativos Um Jogo Cooperativo é aquele em que um grupo de jogadores deve formar uma coligação em que eles passam a ser considerados agentes de uma mesma categoria que precisam entrar em consenso sobre o processo de decisão, objetivando a obtenção de resultados positivos em um jogo. No caso de jogos cooperativos não há vencedores individuais, mas todo o grupo se beneficia do resultado conseguido. A maioria absoluta dos jogos são jogos competitivos, por outro lado, são pouquíssimos os jogos cooperativos, pois eles exigem que os participantes coordenem os seus esforços para a obtenção do sucesso.

5.1.2.- As Tarefas dos Cooperadores e Colaboradores No caso de nossa coleção de livros Jogos Para o Pensamento Lógico-Matemático, até o momento, a quase absoluta maioria dos jogos eram jogos competitivos, sendo que os demais – mas apenas alguns deles – eram jogos solitários, onde podem haver colaboradores eventuais – pessoas que nos observam jogando e dão palpites. O que ocorre no caso dos jogos cooperativos – no caso particular dos jogos destes livros – é que, grupos de crianças, adolescentes, adultos e/ou pessoas da

terceira idade passam a interagir com os mesmos objetivos, seja para aprender a jogar, jogar e/ou a modificar e adaptar as regras dos jogos. Como consequência, podemos apontar que estes tipos de jogos, indiretamente, acabam por estimular: •

A leitura e interpretação, absolutamente necessárias para a aprendizagem das Regras dos Jogos.

•

As reuniões colaborativas em que aqueles que sabem, ensinam os que não sabem (os que sabem ler e interpretar ensinam aqueles que não sabem ler ou não conseguem interpretar as regras dos jogos).

5.2.- Um Primeiro Jogo Cooperativo Este é o módulo básico de uma letra ‘T’ que ao ser recortado em papel cartão bicolorido – frente de uma cor, verso de outra cor – ou cartão monocolorido – frente e verso de uma mesma cor – de acordo com os modelos mostrados logo abaixo servirão de base para um nosso primeiro jogo cooperativo. Uma alternativa aos recortes em papelão ou papel cartão são os modelos em escala maior podem ser impressos a partir do CD-R que acompanha este livro, recortados e plastificados, para somente então serem recortados. A seguir são mostradas a letra ‘T’ e algumas das possíveis maneiras de recortá-la. Na primeira linha estão as peças mais simples – que possivelmente facilitarão a montagem do quebra cabeça –, na segunda linha estão as peças mais complexas. Cabe ao educador (aplicador/gerente) escolher os modelos mais adequados às idades dos jogadores. Nada impede que figuras da primeira e segunda linha sejam escolhidas indiferentemente, o que propiciará a oportunidade de se oferecer várias partidas deste jogo de forma a apresentarem dificuldade crescente.

FIGURAS SIMPLES:

FIGURAS COMPLEXAS:

Apenas três destes oito modelos devem ser escolhidos e recortados em papelão ou cartolina de uma mesma cor, e apenas um deles, o módulo básico – aquela que não é recortado – deve ter a cor diferente dos modelos recortados. No tocante à cor de cada uma das letras ‘T’ a serem recortadas cabe ao educador escolher de acordo com a sua experiência (se trabalha com crianças pequenas ou adultos) se elas terão uma face de cada cor (por exemplo: amarela de um lado e branca do outro) ou se de uma única cor, tanto na frente como no verso.

5.2.1.- Regras do Jogo e Sugestões O jogo basicamente consiste no seguinte: (1) Este é um jogo para 4 jogadores; (2) Escolher uma quantidade letras ‘T’ recortadas menor que a quantidade de jogadores – no caso de 4 jogadores, 3 figuras ‘T’ recortadas; (3) Embaralhar sobre o tampo de uma mesa os diversos pedaços recortados; (4) Solicitar que os jogadores montem ‘o’ quebra cabeças; (5) Observar as discussões do grupo e não interferir no processo; (6) Depois de algum tempo diga ao grupo que eles devem formar 3 figuras iguais; (7) No caso de extrema dificuldade do grupo chegar a algum resultado, o perfil da letra "T poderá ser fornecido como uma alternativa final.

5.2.1.1.- Sugestões O que se sugere a seguir são experimentações que podem ser levadas a efeito por educadores interessados em saber/verificar como os jogadores agem frente ao desafio de um jogo cooperativo: •

Cabe ao educador – aqui denominado aplicador ou gerente do jogo – escolher pular a etapa (5) das regras acima, sendo que no caso de crianças pequenas deve-se avisar que ‘são 3 letras ‘T’ que devem ser formadas’.

•

Outra forma mais simples de se apresentar este jogo – e isto no caso de crianças muito pequenas ou idosos que apresentem mais dificuldade – é o de se adotar cores distintas para cada uma das letras a serem recortadas. Neste caso, as etapas (5) e (6) descritas acima, são dispensáveis.

•

A escolha de quais dos modelos recortados devem ser utilizados também dependerá do aplicador/gerente do jogo. A escolha poderá recair sobre peças simples ou das mais complexas, ou um misto delas.

•

O aplicador/gerente do jogo deve manter um mapa com todas as oito peças desenhadas em verdadeira grandeza para poder selecionar quais das peças pertencem a cada uma destas oito figuras – no CD-R o leitor irá encontrar este mapa separado em duas partes: ‘Mapa 1 – Figuras Simples’ e ‘Mapa 2 – Figuras Complexas’.

5.3.- Um Segundo Jogo Cooperativo com Uso de Envelopes O estudo desta forma de trabalho, o cooperativo, pode ainda ser levado a efeito através de um jogo extremamente interessante, e bem mais fácil do que o anterior, que consiste no seguinte: (1) Este é um jogo para até 4 participantes; (2) Recortar quadrados de cartolina de uma mesma cor embaralhá-los e os colocar de forma aleatória em tantos envelopes quanto são os participantes do jogo. (3) Distribuí-los aos participantes e aguardar que eles tomem decisões sobre o como montar o quebra cabeça. (4) O uso de envelopes torna o jogo, pelo menor inicialmente, um jogo aparentemente individual, o que na verdade não é. (5) O educador só deve abordar esta nova forma de jogar após ter experienciado muito bem a forma de jogar do nosso primeiro jogo – o dos recortes da letra ‘T’, assim, podendo tomar decisões ou sugerir idéias que tornem o jogo uma experiência interessante para si e para os jogadores. O educador deverá agir como um animador. FIGURAS SIMPLES:

FIGURAS COMPLEXAS:

O educador, como no caso anterior irá estar de posse de um mapa com as figuras para que possa remontá-las e criar novas estruturas de jogos através de distintas distribuições de peças nos envelopes.

5.4.- Mais Jogos deste Tipo Os educadores mais atentos ou mais interessados poderão criar seus próprios jogos recorrendo a figuras como o retângulo, o triângulo, o losango, o pentágono, o hexágono etc, propondo as suas próprias maneiras de recortar estas figuras. Há mais jogos envolvendo quadrados que podem ser utilizados em jogos cooperativos no JGEO#19.

JGEOM#06 – JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 06

Estudando Simetrias e os seus Eixos de Simetria As figuras simétricas são exatamente as mesmas amenos da posição, isto é, elas se contrapõem uma à outra, havendo correspondência exata de tamanho, de forma e que estejam dispostas cada uma delas em lados opostos com relação a um plano, linha reta ou ponto. Neste JGEOM iremos estudar em detalhes a simetria relativa a uma linha reta denomina eixo de simetria.

6.1.- Sobre Simetrias e Eixos de Simetria Se você pode refletir ou ‘girar’uma figura plana – geométrica ou não – através de uma linha e a figura ficar inalterada, então a figura tem um eixo de simetria ou é dita uma figura simétrica por reflexão em torno de um eixo; mas a simetria pode se dar através de um ponto, neste caso temos uma figura simétrica com relação a um ponto. Cave observar que: O eixo de simetria divide uma

figura em duas metades espelhadas, isto é, como se fossem um objeto e a sua imagem num espelho; já o ponto de simetria vai nos fornecer uma figura duplamente invertida – confira!.

Nas figuras geométricas a seguir, as linhas tracejadas abaixo são os eixos de simetria. Enquanto o pentágono tem apenas um eixo de simetria o quadrado possui 4 eixos de simetria, já o triângulo tem 3 eixos de simetria:

Em geometria, o eixo de simetria é uma linha que divide uma figura em duas partes idênticas e simétricas. Vejamos abaixo os eixos de simetria de algumas letras do tipo bastão:

AH X 6.2.- Simetrias Com Relação a um Ponto ou um Plano Podemos ainda ter outros tipos de simetria, sejam elas com relação a um ponto ou com relação a um plano, como as vistas nas figuras mostradas a seguir.

6.3.- Jogos Para o Pensamento A seguir iremos apresentar alguns Jogos Para o Pensamento envolvendo simetrias e seus eixos de simetria. Usaremos como ‘espelho’ para refletir estas figuras e confirmar os seus eixos de simetria – uma tira de papelão sobre a qual colaremos um tira de ‘silver’. O ‘silver’ uma fita plastificada

prateada que reflete as imagens como um espelho. Você pode adquirir rolos desta fita adesiva em lojas que vendem material escolar, de construção ou de artesanato.

6.3.1.- Jogo Para o Pensamento Geométrico – Simetrias 1 Este é o nosso primeiro Jogo Para o Pensamento Geométrico envolvendo o uso de espelho para se buscar os eixos de simetria de diversas figuras simples e compostas.

A primeira folha apresentada acima (colorida) deve ser impressa (vide o CD-R que acompanha o livro) e a seguir plastificada. A segunda folha a ser impressa sem as cores apresenta exatamente 4 reproduções idênticas à primeira folha, com desenhos em cinza e preto, para que os jogadores tracem com o auxílio de uma régua transparente os eixos de simetria. Cada uma destas reproduções deve ser dada a cada um dos jogadores.

6.3.1.1.- Algumas Sugestões •

Para jogadores adultos deve-se primeiramente solicitar que tracem os eixos de simetria da primeira porção de figuras (as que estão acima da primeira metade da folha colorida) para somente então entregar a eles os ‘espelhos’.

•

As figuras da parte inferior da folha (desenhos compostos por várias figuras geométricas) devem ser estudadas quanto à simetria e seus eixos de simetria numa segunda etapa deste Jogo Para o Pensamento.

•

O uso de espelhos de vidro não é recomendado, no entanto pequenos retângulos de espelho de vidro poderão ser utilizados por adultos, desde que as bordas dos espelhos sejam laminadas (lixadas).

6.3.2.- Jogo Para o Pensamento Geométrico – Simetrias 2 Esta é outra folha, agora com letras do tipo bastão, para que sejam encontrados os eixos de simetria. A idéia é a mesma do Jogo Para o Pensamento anterior: obter os eixos de simetria.

ABCDE FGHIJK LMNOP QRSTUV WXYZ

Como no jogo anterior a primeira folha apresentada acima deve ser impressa (vide o CD-R que acompanha o livro) e a seguir plastificada. A segunda folha também deve ser impressa e cada uma das 4 reproduções deve ser distribuída uma para cada jogador para que tracem eixos de simetria..

6.3.3.- Jogo Para o Pensamento Geométrico – Simetrias 3 Tente ler as duas frases a seguir. Não conseguiu? Então faça a leitura delas através de um espelho: aproxime este página de um espelho e leia.

Sabe-se que Leonardo da Vinci tomava nota de suas idéias usando este tipo de escrita. Você seria capaz de escrever a frase: “OI TUDO BEM COM VOCÊ?”, para em seguida conferi-la através de um espelho?

OI, TUDO BEM COM VOCÊ?

JGEOM#07 – JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 07

Um Tabuleiro, Peças Coloridas e Simetrias Propomos aqui, trabalhar com pequenas fichas circulares de plástico e dois tipos de tabuleiro. O objetivo dos jogos é o de alocá-las sobre os tabuleiros formando disposições simétrica ou assimétrica. A quantidade de fichas a serem alocadas é obtida através do lançamento de um ou dois dados hexagonais, de acordo com o tamanho dos tabuleiros: com 3 × 3 ou com 4 × 4 quadrículas.

7.1.- As Peças Básicas do Jogo O material básico tabuleiro de 3 × 3 quadrículas, peças circulares de plástico que caibam nas quadrículas e um ‘espelho’ feito com fita adesiva ‘silver’ (fita metalizada) colada sobre papel cartonado. Alternativamente pode-se adotar ainda um tabuleiro com 4 × 4 quadrículas para jogos mais complexos.

O jogo básico com estes tabuleiros consiste em se tentar distribuir peças circulares num tabuleiro e encontrar os eixos de simetria, que podem ser apenas um ou no máximo quatro. Há casos em que o jogo consiste da criação de disposições de ficha que não apresentem nenhum eixo de simetria.

7.2.- Distribuição das Peças Coloridas e os Eixos de Simetria Existem três formas de distribuição de peças em um tabuleiro: (a) Preenchimento parcial com peças de uma mesma cor; (b) Preenchimento parcial com peças de cores distintas;

7.2.1.- Preenchimento Parcial com Peças de uma Mesma Cor A seguir iremos dar alguns exemplos de preenchimento parcial de um tabuleiro com peças de uma única cor. As seguintes disposições de peças sobre o tabuleiro se constituem em simetrias com um, dois ou até três eixos de simetria. O primeiro tabuleiro possui apenas 1 eixo de simetria, o segundo tem apenas 2 eixos e o terceiro tem 4 eixos de simetria. Recomenda-se utilizar o ‘espelho’ de ‘silver’12 para conferir as simetrias.

7.2.1.1.- Um Jogo Para o Pensamento Um jogo para o Pensamento que propomos aqui é o seguinte: Nos tabuleiros 3 × 3 abaixo, distribuir peças de uma mesma cor de forma que a disposição das mesmas peças tenha sucessivamente 1, 2 e 4 eixos de simetria:

Vide o JGEOM#06 como fazer o espelho de silver com base numa cartolina ou papel cartão.

7.2.2.- Preenchimento Parcial com Peças de Cores Distintas A simetria, quando se utilizam cores distintas deve ser verificada também com relação às cores. Veja que no primeiro caso das figuras mostradas a seguir, quando usando somente fichas vermelhas teremos 4 eixos de simetria, enquanto ao utilizarmos duas cores distintas, os eixos passarão a ser apenas 2, ou tão somente 1.

A seguir iremos mostrar mais um caso em que a mudança de cor de uma das peças afeta as possibilidades de se traçar eixos de simetria no tabuleiro.

7.2.2.1.- Mais um Jogo Para o Pensamento Nos tabuleiros 3 × 3 abaixo, distribuir peças de duas cores distintas de forma que a disposição das mesmas peças tenha sucessivamente 1, 2 e 4 eixos de simetria:

7.3.- Um Primeiro Jogo Para o Pensamento Este é um jogo é um jogo para dois jogadores em que se deve utilizar o tabuleiro com 3 × 3 quadrículas e um dado hexagonal.

7.3.1.- As Regras do Jogo 1. As fichas dos jogadores devem ser de cores distintas; 2. Dever-se combinar com antecedência a quantidades de rodadas que haverá no jogo; 3. O primeiro jogador deve lançar um dado hexagonal; 4. O valor obtido corresponderá à quantidade de fichas que deverão ser alocadas no tabuleiro; 5. O jogador deve alocar as suas fichas de forma que haja pelo menos um eixo de simetria na disposição das fichas; 6. A quantidade de eixos simétricos obtidos deve ser contada, correspondendo cada eixo a um ponto a ser anotado para aquele jogador; 7. O jogador adversário deve conferir os eixos de simetria usando o espelho de ‘silver’; 8. Anotados os pontos do primeiro jogador, o segundo jogador deverá lançar o dado e dar continuidade ao jogo; 9. O jogo termina quando a última rodada combinada terminar (vide acima: a regra 2); 10. Vence o jogador que fez mais pontos.

7.3.2.- Observações •

Quando o número obtido no lançamento do dado for ímpar, acabará ficando claro para os jogadores que, uma das fichas deverá ser colocada na quadrícula central do tabuleiro, sob pena de não se conseguir 4 eixos de simetria.

•

Pode-se combinar ainda que o jogo envolva fichas de duas cores distintas para cada um dos jogadores, sendo que quando o número obtido no dado for par, deve-se adotar a metade das fichas com uma cor e a outra metade com a outra cor; se a quantidade obtida no dado for ímpar, uma das cores, indiferentemente, deve possuir uma ficha a mais.

•

No caso de jogos envolvendo duas cores de fichas, a simetria deve se dar também com relação às cores.

7.4.- Um Segundo Jogo Para o Pensamento Este é um outro jogo para dois jogadores em que se deve utilizar o tabuleiro com 4 × 4 quadrículas e dois dados hexagonais. As regras do jogo são praticamente iguais à do jogo anterior, sendo que os valores relativos às quantidades de fichas será o obtido no lançamento de dois dados hexagonais.

7.4.1.- As Regras do Jogo 1. As fichas dos jogadores devem ser de cores distintas; 2. Dever-se combinar com antecedência a quantidades de rodadas que haverá no jogo; 3. O primeiro jogador deve lançar dois dados hexagonais; 4. O valor obtido corresponderá à quantidade de fichas que deverão ser alocadas no tabuleiro; 5. O jogador deve alocar as suas fichas de forma que haja pelo menos um eixo de simetria na disposição das fichas; 6. A quantidade de eixos simétricos obtidos deve ser contada, correspondendo cada eixo a um ponto a ser anotado para aquele jogador; 7. O jogador adversário deve conferir os eixos de simetria usando o espelho de ‘silver’; 8. Anotados os pontos do primeiro jogador, o segundo jogador deverá lançar o dado e dar continuidade ao jogo; 9. O jogo termina quando a última rodada combinada terminar (vide acima: a regra 2); 10. Vence o jogador que fez mais pontos.

7.3.2.- Observações •

Se o número obtido no lançamento dos dados for ímpar, será praticamente impossível obterse 4 eixos de simetria pois este tabuleiro não possui uma quadrícula central.

•

Os jogadores podem ainda combinar que, no caso da obtenção de um valor ímpar no lançamento dos dados, deve-se adotar o primeiro número par uma unidade menor que o valor obtido.

•

No caso de jogos envolvendo duas cores de fichas, a simetria deve se dar também com relação às cores.

JGEOM#08 – JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 08

Cartões Conceituais Geométricos Os cartões que serão a seguir apresentados são baseados em conceitos pertencentes à geometria. Estes cartões diferem dos cartões destinados à ‘formação de conceitos’ e daqueles destinados à ‘descoberta de conceitos’ através de jogos indutivos. Os cartões Conceitos-Geométricos se destinam à formação de grupos de cartões cujas instâncias sejam equivalentes, ou seja, eles permitem a elaboração de agrupamentos de cartões baseados em atributos não idênticos, mas apenas logicamente equivalentes.

8.1.- Escolhendo 30 Cartões Entre os 180 Possíveis O conjunto de Cartões com Conceitos Geométricos difere dos cartões destinados à ‘formação de conceitos’ estudados no livro “40 Jogos Para o Pensamento Lógico”, tais como: os de Heidbreder (JLOGC#35) e daqueles destinados à ‘descoberta de conceitos’ através de Jogos Indutivos, bem como os cartões de Bruner, Goodnow e Austin (JLOG#36) e os cartões QuantidadePosição-Cores (JLOGC#37). Os com Cartões Conceitos Geométricos se destinam à formação de grupos de instâncias equivalentes, ou seja, eles permitem agrupamentos de cartões baseados em atributos não idênticos, mas apenas similares13 ou logicamente equivalentes. Outro detalhe interessante sobre este novo conjunto de cartões é que ele não precisa se constituir como elementos um micromundo – um universo lógico fechado contendo todas as possibilidades de combinações dos atributos –, mas deve ser apenas um subconjunto de cartões escolhidos aleatoriamente num determinado micromundo, neste caso, um conjunto de cartões com atributos geométricos. Adiante o leitor poderá constatar que escolhemos apenas 30 cartões dos 180 possíveis naquele micromundo, mesmo porque trabalhar num micromundo com 180 cartões conceituais seria bastante complexo e fugiria das nossas intenções. No entanto, nada impede que o leitor interessado possa encontrar aplicações lógicas para este universo contendo 180 cartões.

8.1.1.- Grupamentos Conceituais - Descobertas e Formação A seguir vamos dar um exemplo de como, em um universo conceitual amplo, no caso aqui apresentado, o da Geometria Euclidiana Plana, poderemos descobrir relações de semelhança ou similaridade (não necessariamente, relações de identidade) entre elementos diversos que nos serão apresentados numa tabela de dupla entrada. Vamos primeiramente examinar a seguinte tabela de dupla entrada onde cada um dos elementos nela apresentados deve ser referido por sua posição na tabela, segundo a linha e a coluna 13

Similar: que tem a mesma natureza ou aparência; semelhante, mas não idêntico.

em que se encontre. De acordo com isto, podemos estabelecer a correspondência entre as figuras e suas posições na tabela, posições estas mostradas ao lado da mesma.

1-A

1-B

1-C

2-A

2-B

2-C

3-A

3-B

3-C

Antes mesmo de analisarmos os atributos das figuras acima, vamos mostrar na tabela a seguir algumas formas de agrupá-las, ficando a cargo do leitor as justificativas, que devem ser dadas de maneira informal: Grupo

Figuras

Justificativas Informais

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]

1-A, 2-C, 3-B 1-A, 2-B, 3-B 1-A, 1-B, 2-B, 2-C, 3-A, 3-B 1-C, 2-A, 3-C 1-B, 2-C, 3-A 2-C, 3-A Todas

Figuras com interior cinza Figuras arredondadas Figuras fechadas Figuras abertas Figuras com interior branco Figuras com 4 lados (quadriláteros) Figuras geométricas planas

As justificativas informais dadas na tabela acima, poderiam ser substituídas por justificativas envolvendo os conceitos da Geometria Plana Euclidiana. Assim, na tabela temos: • Figuras geométricas planas abertas (1-C, 2-A e 3-C) e figuras geométricas planas

fechadas (todas as demais); • Figuras geométricas planas que contém os seus interiores (1-A, 2-C e 3-B) e as

figuras que exibem apenas os seus contornos (a sua fronteira); • Figuras desenhadas com segmentos de reta e desenhadas com linhas curvas;

8.1.2.- Analisando um Subconjunto de Cartões Analise detidamente o conjunto de cartões mostrado a seguir, composto por 30 cartões que apresentam figuras geométricas com características gráficas bastante distintas. Este conjunto de cartões nos permitirá jogar vários jogos que envolvem e exige, de forma marcante, a discriminação.

8.2.- Propondo um Primeiro Jogo para o Pensamento Escolha uma característica comum a algumas das figuras constantes dos cartões acima apresentados e os agrupe segundo esta característica. Veja dois exemplos possíveis de agrupamento dos cartões a seguir: (1.a) figuras pequenas e (1.b) figuras grandes; (2.a) quadriláteros e (2.b) não quadriláteros.

(1.a)

(2.a)

(1.b) (2.b)

8.3.- Propondo um Outro Jogo para o Pensamento Quais são e quantas são as possibilidades distintas de se agrupar estes cartões?

Para que você possa levar esta tarefa avante com sucesso, e preciso que antes de qualquer coisa você verifique quais são os atributos (qualidades ou propriedades) envolvidos no desenho de cada uma das figuras geométricas que aparecem nos cartões. No entanto, se a sua curiosidade for maior do que seu empenho em encontrar todos estes atributos, passe para os itens a seguir, onde fazemos uma análise detida dos cartões e propomos a utilização de etiquetas conceituais para facilitar a sua tarefa.

8.4.- Analisando Detidamente os 30 Cartões Veja que os cartões apresentados acima envolvem algumas figuras geométricas planas, que foram desenhadas levando-se em conta os seguintes atributos (qualidades ou propriedades): 1. Formas: quadrados, retângulos, triângulos, trapézios e circunferências; 2. Desenhos feitos com dois tipos de linha: grossas ou finas; 3. Interiores: em branco ou em duas tonalidades de cinza (uma mais clara e uma mais escura); 4. Sinais particulares ou não: pequenos círculos em branco ou em preto, colocados no centro das formas, ou nenhum destes dois, ou seja, a ausência de sinais; 5. Tamanhos: grande ou pequeno. Para combinarmos todas as formas possíveis todos os atributos – no nosso caso atual 5 atributos –, teríamos o seguinte:

5 formas × 2 tipos de linhas × 3 cores de interiores × 3 (2 sinais + ausência de sinal) × 2 tamanhos =

= 180 cartões distintos entre si

No entanto, diferentemente lógicos apresentados no livro “40 Jogos Para o Pensamento Lógico”, os cartões deste jogo não foram estruturados para formarem um conjunto completo, ou seja, formarem um micromundo, em que os cartões apresentam-se com todas as suas possibilidades. Os 30 cartões acima apresentados não foram modelados para cobrir todas as possibilidades de combinação (instâncias) possíveis de serem obtidas com a combinação dos diversos atributos. Assim é que, 30 cartões foram escolhidos de forma aleatória entre as diversas possibilidades, pois os jogos que iremos propor aqui não exigirão o uso de todos os 180 cartões que seriam possíveis ao combinarmos todos estes 5 tipos de atributos.. A nossa ‘família’ de cartões será formada apenas por 30 destes 180 cartões.

8.5.- Algumas Etiquetas Conceituais Básicas As etiquetas as seguir apresentam alguns dos atributos a serem utilizados para o agrupamento dos cartões acima apresentados. As etiquetas verdes apresentam uma sentença afirmativa enquanto as etiquetas amarelas apresentam-se com a sentença negativa a ela correspondente. Traços Finos

Traços Grossos

Grande

Pequeno

Com um Círculo no Centro

Sem Círculo no Centro

Com Um Círculo Branco no Centro

Sem Círculo Branco no Centro

Com Um Círculo Preto no Centro

Sem Círculo Branco no Centro

Interior Branco (vazio)

Interior Cinza (preenchido)

Note que o atributo das figuras no tocante a possuírem um interior na cor cinza, apresenta dois outros atributos possíveis: a cor cinza pode ser clara ou escura. Assim, como se trata de qualidades que não têm em correspondência uma negação, estas ficha estão na cor azul.

Interior cinza claro

Interior cinza escuro

16.4.- Propondo Etiquetas Conceituais Complexas O conjunto dos 30 cartões apresentados acima, mostra algumas figuras geométricas (quadrados, retângulos, triângulos, trapézios e circunferências), que eventualmente poderão ser agrupadas segundo propriedades que ultrapassam a simples classificação envolvendo a forma de cada uma delas. Para citar alguns exemplos: o quadrado, o retângulo e o trapézio são quadriláteros; a circunferência e o triângulo são não quadriláteros; o quadrado e o retângulo possuem os lados dois a dois paralelos; o triângulo (no nosso caso um triângulo equilátero) e o quadrado têm todos os lados respectivamente congruentes; terem apenas dois lados congruentes ou terem pelo menos dois lados congruentes; e, o que é ainda menos intuitivo: o quadrado pode ser classificado como sendo, também, um retângulo (mas nem todo retângulo será sempre um quadrado). A partir desta constatação, verificamos que poderemos tentar agrupar as figuras dos nossos 30 cartões segundo as seguintes características: • Serem ou não quadriláteros; • Terem dois lados congruentes ou dois lados não congruentes; • Terem todos os lados congruentes ou não; • Terem os lados paralelos dois a dois ou não; • Serem figuras geométricas planas (que envolveria todos os cartões – formando um

conjunto Universo) ou figuras geométricas não planas (neste caso este seria um conjunto vazio); Outras possibilidades de classificação para os nossos 30 cartões são sugeridas nas etiquetas a seguir, que denominaremos etiquetas conceituais complexas, que trazem a cor laranja ou salmão, para distingui-las das etiquetas conceituais básicas anteriores, àquelas que são apresentadas nas cores: verde, amarela ou azul claro. Retângulo

Não Retângulo

Circunferência

Não Circunferência

Figura Geométrica Plana

Figura Geométrica Não Plana

Círculo

Não Círculo

Triângulo

Não Triângulo

Paralelogramo

Não Paralelogramo

Trapézio

Não Trapézio

Quadrilátero

Não Quadrilátero

Lados Paralelos dois a dois

Lados Não Paralelos dois a dois

Dois Lados Congruentes

Dois Lados Não Congruentes

Dois Lados Congruentes

Apenas Dois Lados Congruentes

Todos os Lados Congruentes

Nenhum dos Lados Congruentes

Figura Geométrica Plana

Figura Geométrica Não Plana

Todos estes conceitos envolvem definições e aprendizagens muitas vezes complexas, e devem ser exaustivamente testados e utilizados com bastante critério antes de poderem ser utilizados nos jogos propostos a seguir.

8.5.- Jogando Com Tabelas de Dupla Entrada A tabela de dupla entrada abaixo foi preenchida com algumas figuras do nosso conjunto de cartões. Estude-a quanto à similaridade das figuras. A 1 2 3 4 5

Agrupando as figura segundo as similaridades (Similar: que tem a mesma natureza ou aparência; semelhante, mas não idêntico) podemos obter como exemplos os seguintes resultados: [1] Quadrilátero: A-2; B-3; B-4; C-5; D-3; E-3; E-5; [2] Círculo Central: A-4; A-5; B-1; B-5; C-3; D-1; E-3; E-4. [3] Pequeno: A-1; A-3; A-5; B-1; D-2; D-3; E-2; E-5. No CD-R que acompanha este livro o leitor irá encontrar além das fichas com as 30 figuras prontas para serem impressas, as fichas de conceitos, e ainda, várias figuras que podem ser impressas e que permitirão a montagem de uma tabela de dupla entrada com até 25 quadrículas como a mostrada abaixo: [1] Topo da tabela

E 5

[2] Lateral da Tabela

[3] Linhas com as 5 Quadrículas: a serem impressa até 5 vezes

Veja a seguir como ficará a nossa tabela depois da colagem sobre uma cartolina, que pode ser plastificada:

1 2 3 4 5

8.6.- Conclusão Na figura a seguir o leitor poderá conferir todas as etiquetas conceituais: Traços Finos

Traços Grossos

Grande

Pequeno

Com um Círculo no Centro

Sem Círculo no Centro

Com Um Círculo Branco no Centro

Sem Círculo Branco no Centro

Com Um Círculo Preto no Centro

Sem Círculo Branco no Centro

Interior Branco (vazio)

Interior Cinza (preenchido)

Interior cinza claro

Interior cinza escuro

Retângulo

Não Retângulo

Circunferência

Não Circunferência

Figura Geométrica Plana

Figura Geométrica Não Plana

Círculo

Não Círculo

Triângulo

Não Triângulo

Paralelogramo

Não Paralelogramo

Trapézio

Não Trapézio

Quadrilátero

Não Quadrilátero

Lados Paralelos dois a dois

Lados Não Paralelos dois a dois

Dois Lados Congruentes

Dois Lados Não Congruentes

Dois Lados Congruentes

Apenas Dois Lados Congruentes

Todos os Lados Congruentes

Nenhum dos Lados Congruentes

Figura Geométrica Plana

Figura Geométrica Não Plana

JGEOM#9– JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 9

Estudando as Planificações do Prisma, Cubo e Tetraedro As planificações do prisma de base retangular, do cubo e do tetraedro são apresentadas como um estudo experimental. Estes três Jogos Para o Pensamento Geométrico preparam os estudantes para a compreensão de todas as possíveis planificações de um prisma de base triangular regular, apresentada no final deste JGEOM.

9.1.- O Mundo em que Vivemos Nós vivemos em um mundo tridimensional povoado por figuras tridimensionais. No entanto, o percurso pedagógico normalmente adotado para se “ensinar” Geometria, se inicia com a introdução dos conceitos e propriedades das figuras geométricas planas, passando pelos conceitos da Geometria Espacial Posicional para, somente então, se chegar aos conceitos da Geometria Espacial Métrica. Para alguns educadores o caminho inverso poderia ser o melhor como já mencionamos anteriormente. O estudo dos Sólidos Geométricos acaba por nos levar para o estudo de suas planificações como já vimos em pelos menos dois JGEOM anteriores. Assim, nada mais oportuno do que fazermos um estudo envolvendo as planificações de um prisma e do cubo (hexaedro regular). É isto que faremos a seguir

9.2.- Estudando a Planificação de um Prisma Um prisma de base retangular tem vértices, arestas e faces. Segundo a forma de pensar que estamos adotando neste livro – que é a de estudar as figuras geométricas planas e sólidas em conjunto, conforme propusemos no JGEOM#01 – deveríamos primeiramente estudar as suas seis faces (vide figura a seguir), e a partir das mesmas estudar as arestas e em seguida os vértices.

9.2.1.- Propondo um Jogo Para o Pensamento geométrico O experimento – um Jogo Para o Pensamento Geométrico – proposto a seguir se destina a mostrar aos estudantes que a planificação de um sólido geométrico pode não ser única, havendo várias possibilidades de fazê-lo. De cada uma das planificações que podem ser obtidas, algumas são mais perceptíveis que outras, mas todas servem para ‘vestir’ aquele sólido geométrico.

9.2.1.1.- O Material para o experimento O material listado a seguir se destina a um grupo de no máximo 4 participantes, devendo ser multiplicado para atender a quantos grupos puderem ser formados na sua sala de aulas.

1. Tomar um bloco de madeira sem farpas cuja medida ideal seria: 10 cm de altura por 2 cm de profundidade e 5cm de largura.

10 cm

2 cm 5 cm

2. Folhas de papel cartonado com gramatura 180 g/m2; 3. Régua e lápis ou caneta; 4. Uma tesoura escolar; 5. Fita adesiva 6. Folhas de jornal. Para as Crianças Pequenas:

Para os Jovens e Adultos:

7. Um pote de tinta guache numa das cores: 7. Régua e lápis ou caneta; vermelho, preto, azul escuro ou uma cor que 8. Além da fita adesiva pode-se utilizar não seja clara; ainda um parelho de cola quente; 8. Um copinho descartável – daqueles utilizados para servir cafezinho; 9. Um pincel ou 2 ou 3 cotonetes; 10. Um pouco de água em uma garrafinha plástica;

9.2.1.2.- Sobre os Blocos de Madeira Encomende os blocos de madeira em uma marcenaria, dê preferência a que todos tenham as mesmas medidas. Serão necessários 10 blocos numa sala de 40 alunos, sendo um bloco para cada equipe de 4 alunos. Observação: se os blocos de madeira forem distintos uns dos outros poderá ficar difícil discutir com a sala de aula os diversos resultados obtidos, pois as planificações parecerão todas distintas entre si.

9.2.1.3.- As Atividades em Sala de Aula 1. Fornecer o material ao grupo de estudantes. O jornal se destina a forrar a mesa ou carteiras escolares. 2. Estudar o prisma, perguntando aos participantes da experiência:

2.1. Quantas são as faces do sólido geométrico? 2.2. Há faces iguais (congruentes)? 2.3. Quantas são estas faces congruentes? 2.4. Colocar o sólido apoiado sobre uma das faces e classificá-las quanto a serem: base inferior e base superior, faces laterais e face frontal e posterior. 2.5. Reposicionar o sólido apoiando-o em outra face distinta daquela que inicialmente foi escolhida, verificando quais serão as bases e as faces, mencionando que a classificação das é relativa à posição do sólido geométrico.

Para as Crianças Pequenas:

3. Preparar a tinta guache nos copinhos. As crianças devem pintar completamente uma das faces do bloco de madeira (o sólido geométrico), usando o pincel ou os cotonetes. 4. Utilizando a face pintada do sólido, carimbar o papel sulfite, sem sobrepor os “desenhos” de cada face. Isto deve ser repetido com cada uma das 6 faces do sólido. 5. Esperar o guache resultante da carimbagem secar e solicitar que os participantes do grupo contornem os desenhos carimbados usando a régua e o lápis ou a caneta, verificando se os contornos realmente coincidem com cada uma das faces do sólido.

10 cm 2 faces: 1 frontal e uma posterior

2 faces laterais

2 cm 5 cm

2 bases

Para os Jovens e Adultos:

3. No caso de jovens e adultos não se recomenda o uso do guache. 4. Posicionar o prisma sobre o papel cartonado e contornar com o lápis ou a caneta cada uma das 6 faces;

5. Verificar se os contornos realmente coincidem com cada uma das faces do sólido; Para todos:

6. Recortar com a tesoura escolar cada uma das faces; 7. Solicitar que os participantes armem, usando a fita adesiva uma possível forma de “vestir” aquele sólido – uma possível planificação para aquele sólido. 8. Veja a seguir algumas das planificações possíveis:

9. Será que estas são as únicas planificações possíveis? 10. Comparar as diversas planificações conseguidas pelos diversos grupos de alunos tentando eleger aquela que é mais simples e mais fácil de ser compreendida como a planificação daquele sólido. 11. Para os jovens e adultos estender esta experiência para a montagem das planificações usando a cola quente. Sugere-se que apenas os vértices sejam inicialmente colados uma gota da cola. Se necessário distribuir mais cola pelas arestas.

9.2.1.4.- Recomendações de Ordem Pedagógica 1. Aproveitar o prisma de madeira e o conceito intuitivo do que sejam faces e bases, para introduzir também de forma intuitiva os conceitos de arestas e de vértices. 2. Contar o número de vértices e de arestas, bem como o número total de faces do sólido utilizado nesta experiência. Utilizar os prismas do conjunto “Sólidos de Madeira” – prismas de base pentagonal e de base hexagonal – para contar as faces, arestas e vértices de cada um deles. Fazer o mesmo com as pirâmides. 3. Trabalhar com o recorte das faces do sólido geométrico utilizado na experiência para montar todas as possíveis planificações para o mesmo. 4. Fornecer aos participantes de cada um dos grupos um material pré-cortado, ou a ser recortado, contendo separadamente as faces de um outro sólido: ora um prisma, ora uma pirâmide com bases: triangular, quadrada, pentagonal e hexagonal. Este material deverá permitir a montagem, uma por vez, da planificação destes prismas e destas

pirâmides. Realçar que estas montagens são representações dos sólidos porque iguais a um “sólido” de madeira ou de metal, por exemplo. 5. Fornecer aos participantes de cada um dos grupos um material pré-cortado, ou a ser recortado, contendo separadamente as faces e as bases: de um cilindro e de um cone. Este material deverá permitir montagem, uma por vez, da planificação destes sólidos geométricos. 6. Fornecer material impresso com as planificações padronizadas dos prismas e pirâmides – estas planificações apresentam-se com “abas” para colagem o que dificulta a formação das imagens mentais simplificada das planificações dos sólidos geométricos. Muitas crianças ao se depararem com as abas para colagem deixam de entender o processo de planificação. 7.

Retomar o estudo dos Sólidos Geométricos de madeira nomeando o prisma onde as seis faces são quadrados, como sendo um cubo. Mostrar que os “dadinhos” usados para jogar têm a forma de um cubo.

9.3.- Estudando a Planificação de um Cubo Um cubo é um prisma denominado regular. Um prisma é dito regular quando suas faces são polígonos regulares. Um polígono é regular quando todos os seus lados têm a mesma medida (têm a mesma medida = são congruentes) e todos os seus ângulos internos têm a mesma medida (os ângulos são congruentes). O cubo tem seis faces. As faces de um cubo são quadrados exatamente congruentes.

9.3.1.- O Material para o experimento 1. Folhas de papel sulfite; 2. Computador para imprimir as folhas de experimentação (folha avulsa) que constam do CD-R que acompanha o livro; 3. Blocos de madeira medindo 1cm × 1cm× 1cm = 1cm3 que podem ser buscados no Material Dourado de Montessori ou entre as Barrinhas de Cuisenaire (o bloco de madeira natural, não colorido) correspondente à unidade nestes materiais – um para cada participante. 4. Tesoura escolar

9.3.2.- A preparação do Material Tirar cópias xerográficas ou imprimir a folha avulsa encontrável no CD-R deste livro que contém as planificações do cubo e as “não-planificações” em verdadeira grandeza onde os

quadrados medem 1cm × 1 cm, o que permitirá, quando recortarmos estas figuras, ‘vestir’ o perfeitamente cubo de 1 cm de aresta. Nome:__________________________ Nº ____ Data ___/___/______ Tarefa: Analise cada um dos desenhos abaixo e diga: Quais são aqueles que representa planificações do cubo de 1cm × 1cm× 1cm = 1cm3.

Observação: Deve-se prever o uso de duas páginas deste mesmo material para cada

participante. Pois uma desta folhas deverá ser recortada no final da atividade.

9.3.3.- As Atividades em Sala de Aula 1. Distribuir duas folhas mimeografadas ou xerocopiadas, duas para cada participante. 2. Solicitar que eles verifiquem quais dos desenhos correspondem à planificação de um cubo. 3. Distribuir um bloco unitário do Material Dourado ou das Barrinhas de Cuisenaire para cada um dos participantes para que, utilizando este cubinho faça uma avaliação visual – comparando o cubo e as planificações, visando conferir suas respostas. Se isto não ocorrer espontaneamente, sugerir que eles “rolem” os cubinhos sobre as planificações até descobrirem as planificações erradas. 4. Utilizar a segunda folha e as tesouras escolares para que as planificações possam ser recortadas para então tentar ‘envolver’ os cubinhos de madeira descobrindo as planificações corretas.

5. Verificar com os participantes quais as planificações erradas e quais as corretas, mas que dificilmente seriam identificadas por eles como corretas.

9.3.4.- Retomando o Estudo da Planificação do Cubo Uma outra folha avulsa pode ser utilizada com vários e novos desenhos de planificações e ‘não planificações’ do cubo é apresentada a seguir, em que as planificações são proporcionalmente menores que as dimensões do cubo de 1 cm de aresta. Neste caso uma folha auxiliar quadriculada deve ser fornecida para ser recortada com a finalidade de separar-se as planificações das ‘nãoplanificações’. Nome do)a) Aluno(a) _____________________________________________ Nº _____ Assinale as planificações possíveis para o Cubo (Hexaedro)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k)

(l)

(m)

(n)

(o)

(p)

(q)

(r)

(s)

(t)

Anote aqui as letras correspondentes à planificações do hexaedro:

 Observação: A folha avulsa anterior apresentava 16 figuras desenhadas ema verdadeira grandeza –

onde os quadrados mediam 1 cm de lado –, enquanto esta nova folha avulsa apresenta 25 figuras, agora em tamanho reduzido. A folha quadriculada apresentada a seguir, onde cada quadrícula mede 1cm × 1cm, a ser utilizada para recortes pelos alunos. Esta folha de medida A4 apresenta 6 conjuntos de quadrículas que podem ser fornecidas de duas em duas para os alunos.

Folha de Recortes

Observação: Cópias impressas de todas as 3 folhas avulsas são encontráveis no CD-R deste livro.

9.4.- Estudando a Planificação do Tetraedro O material a seguir deve ser fornecido aos estudantes para que eles estudem as planificações do tetraedro. Eles devem tentar obter todas as possíveis planificações utilizando uma fita adesiva para justapor as 4 faces do tetraedro planificado. A FOLHA A SEGUIR Apresenta-se com 20 triângulos que o que é suficiente para montar as únicas 3 possíveis formas de se planificar o tetraedro:

Tetraedro Regular: as faces são 4 triângulos equiláteros. Recorte os triângulos e monte todas as planificações possíveis para o Tetraedro.

9.5.- As Planificações do Prisma de Base Triangular Regular Os estudos das planificações dos sólidos geométricos anteriores: Prisma de Base Retangular, Cubo e Tetraedro nos permitirá introduzir de forma bem natural o difícil estudo das planificações possíveis de um prisma cuja base é um triângulo equilátero e as laterais são retângulos.

As possíveis planificações do prisma de base triangular são nove. Quatro delas são praticamente imediatas, as outras cinco são mais complexas.

Estas são as quatro planificações mais obvias:

Estas outras cinco planificações são bastante complexas:

A folha avulsa para o estudo das possíveis planificações do Prisma de Base Triangular deverá conter exatamente as 9 planificações. O professor não deve dar a conhecer aos alunos que existem estas 9 planificações. Finalmente, quando o tempo destinado à tarefa tiver se encerrado o professor deve analisar as respostas com os alunos. Planificações de um Prisma de Base Triangular Assinale as possíveis planificações do prisma de base triangular:

Recorte e utilize as figuras geométricas abaixo para verificar cada uma das planiificações acima:

JGEOM#10 – JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 10

Desenhando Figuras Geométricas no Papel Isométrico Vamos estudar aqui alguns papéis geométricos especiais e entre eles o que mais nos interessa: aquele conhecido especificamente como ‘papel isométrico’, apesar de que praticamente todos os papéis que iremos utilizar neste JGEOM também sejam isométricos – papéis com algum tipo de grade cujas medidas ou dimensões são constantes. Vamos mostrar através de diversos exmplos o uso do ‘papel isométrico’ e sugerir também através de exemplos o uso de outros papéis com vários outros tipos de grades.

10.1.- Sobre os Papéis Especiais para Desenho Há uma série de tipos de papéis padronizados destinados a desenhos comuns, desenhos técnicos e esboços. Para a maioria das pessoas eles são denominados simplesmente como: ‘papéis especiais’, ‘papéis-gabarito para desenho técnico’ quando na língua portuguesa, já no inglês: ‘isomeytric papaers’ ou ‘grid papaers’. Alguns destes papéis podem ser encontrados nas papelarias,

no entanto é na Internet que poderemos iremos encontrar uma variedade inespera destes tipos de papéis. Há vários sites na Internet que possibilitam: 1. Imprimir diretamente estes tipos de papéis especiais; 2. Copiar a figura correspondete a estes papéis para serem posteriormente colados em documentos; 3. Criar online uma grande variedade de papéis especiais, e isto de acordo com as necessidades ou desejos do usuário – podendo-se dimensioná-los, escolher as cores e a espessura das linhas da grade, o espaçamento entre as linhas, a dimensão do papel (papel carta, papel A4, e outras medidas escolhidas pelo usuário) e assim por diante. 4. Um endereço da Internet onde o leitor poderá encontrar um ‘serviço’ bastante completo e gratuito em inglês, é o seguinte: http://incompetech.com/graphpaper.

10.1.1.- Os Papéis Especiais Mais Comuns Todos aqueles com algum grau de escolarida já utilizaram alguns tipos de papéis ‘gradeados’ geralmente referidos como sendo ‘papéis especiais’. Três deles entre os mais comuns são apresentados a seguir. Estes papéis são exemplos de espaços gráficos isométricos, ou seja, neles

as medidas entre as linhas da grade são constantes; o papel quadriculado, o papel cartesiano e o papel triangularizado. Papel Quadriculado

Papel Cartesiano

Papel Triangularizado

10.1.2.- Três tipos de Papéis ‘Isométricos’ Como se mencionou acima, a palavra ‘isométrico’ significa simplesmente algo cujas medidas ou dimensões são constantes. No entanto, quando nos referimos a papéis especiais para

desenho e/ou esboços, são tratados especificamente pelo nome “papéis isométricos” os seguintes tipos de papéis ‘isométricos’ abaixo apresentados: Com Pontos

Com Círculos

Gradeado

O papel gráfico isométrico tem três conjuntos de pontos distribuídos sobre linhas paralelas himaginárias que representam o comprimento, a largura e a altura, no caso específico em que estas linhas são traçadas, notaremos a formação uma grade de triângulos isósces e em alguns tipos destes papéis podem ocorrer triângulos equiláteros. Tecnicamente o papel gráfico isométrico é utilizado na criação de desenhos que representam objetos geométricos tridimensionais, facilitando o desenho criação destes objetosao permitir que se mantenha a isometria de suas dimensões.

14.1.3.- Papéis Geométricos Especiais Mencionamos a existência de muitos tipos de papeis especiais destinados a dsenhnos e esboços. A seguir damos seis amostras de alguns destes papéis, que poderão eventualmente ter

aplicações pedagógicas: eles podem servir como base para desenhos, pinturas com lápis de cor, guache, etc.

10.1.4.- Papéis Gradeados Não Isométricos Um exemplo bastante comum de papel não isométrico que é utilizado na engenharia e que pode ser utilizado também no curso colegial, é o papel logarítmico com uma escala bi-logaritmica ou mono-

logaritmica, que permite a anamorfose do gráfico da função logaritmica – que é um processo que permite a transformação de uma função logaritmica em uma função linear. Ao lado, mostramos apenas uma parte deste tipo de papel.

10.2.- Desenhando no Papel Isométrico Desenhar sobre um papel isométrico requer alguma perícia, no entano através de exemplos dados a seguir o leitor irá perceber quão fácil é fazê-lo.

10.2.1.- Para Começar: Escolha Um Desenho Bastante Simples Escolhemos como nosso primeiro desenho nos papéis isométricos a figura abaixo compostas por dois cubos amarelos justapostos. É um desenho relativamente fácil e serve basicamente para o nosso ‘treinamento’ inicial:

O papel isométrico permitirá desenhar esta figura em perspectiva14. Nos três primeiros desenho utilizamos um papel isométrico com ponto (em inglês: isometric dot paper) e no segundo, adotamos um papel isometico gradeado ( em ing lês: isometric grid paper). Os desenhos a seguir mostram a nossa figura em três tempos: •

No 1º tempo: a figura é desenhada como se fosse transparente;

•

No 2º tempo: a figura aparece colorida como com a mesma perspectiva da figura

original; •

No terceiro tempo: a figura aparece em uma outra perspectiva.

•

1º tempo

2º tempo

3º tempo

1º tempo

2º tempo

3º tempo

Perspectiva: técnica de representação tridimensional que possibilita a ilusão de espessura e profundidade das figuras.

10.2.1.1.- Uma Nova Perspectiva e um Fenômeno inesperado

Veja que temos agora uma nova pespectiva do objeto (uma nova forma de ‘olhar’ para o objeto): desenhado no papel isométrico marcado por pequenos círculos, iremos notar que as arestas dos quadrados visto de cima medem duas unidades do papel isométrico enquanto as arestas que se referem à altura mede apenas uma unidade. Verifique se estas mudanças de perpectiva ocorrem devido à forma com que os pontos são distribuídos no papel Isométrco ou é meramente devido ao posicionamento que o desenhista escolheu para desenhar no papel o primeiro segemento que irá orientar o direcionamento dos demais pontos.

10.2.2.- Um Desenho e Várias Perspectivas Escolhemos agora uma figura um pouco mais complecada formada por quatro cubos.:

Usando os três modelos de pepel isométrico fizamos questão de desenhar a figura acima em três pperspectinas diferentes entre si.

10.2.2.1.- Jogo Para o Pensamento Geométrico Analise cada um dos desenhos feitos nos três modelos de papel isométrico e tente reproduzir as mesmas outras duas posições que não foram desenhadas para cada um dos desenhos mostrados acima. Se você não deseja desenhar neste livro use os papéis especiais que vêm no CD-R que acompanha este livo. Imprima uma folha de cada tipo de papel e aproveite para tentar desennhar as três perspecivas mostradas cima, em cada um dos tipos de papel.

10.2.2.2.- Um Desenho ‘Quase-Igual’ ao Modelo Original Finalmente vamos apresentar o desenho na mesma perspectiva que o modelo anteriormente apresentado:

Entre o modelo e o desenho há pequenas diferenças de proporção. Um desenhista experiente conseguiria encontrar uma forma mais proporcional de apresentar o desenho no papel isométrico. Um recurso que poderia ser tentado e que me parece bastante adequado seria ‘deformar o papel isométicos’ adaptando-o ao modelo original. Mas isto nem sempre dá certo.

10.2.2.2.- Mais um Jogo Para o Pensamento Geométrico Os as figuras e os desenhos abaixo devem servir de base para que o leitor desenhe outras pespectivas do mesmo objeto utilizando os três tipos de papel isométricos aqui estudados: com pontos, pequenos círculos e gradeado.

10.2.2.3.- Mais Figuras Para Serem Desenhadas A seguir apresentamos uma série de modelos que podem ser desenhados pelo leitor nos papéis isométicos. Deve-se estudar bem os desenhos e as suas pespecivas, tentando reproduzí-la da melhor forma prossível, no entano nada impede que se tentem colocá-los em novas perspecivas. Este não é um ‘jogo’ obrigatório’, o leitor poderá escolher apenas um dos modelos, só para citar um exemplo.

10.3.- Papéis Geométricos e Desenhos Decorativos Os papéis geométricos isométricos mostrados no item 14.1.3. acima, se prestam de forma bastante específica como suporte para a criação de desenhos decorativos, como mostraremos através dos exemplos a seguir. As figuras coloridas a seguir simulam o uso de lápis-cera para o colorimento, sendo que o colorido apenas serve para mostrar a sequência deste colorimento das malhas.

10.4.- Comentários Finais Os educadores criativos certamente encontrarão muitas outras formas de utilizar estes papéis especiais. Espero que o que aparece neste JGEOM#10 seja suficientemente estimulante para levar até os educadores e finalmente às crianças um pouco destas idéias.

JGEOM#11– JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 11

Como Desenhar os Sólidos Geométricos O desenho dos sólidos geométricos básicos tais como prismas (incluído aí os cubos), pirâmides, cones, cilindros e esfera, exigem algum treinamento e alguma atenção para certos pequenos detalhes que são de suma importância para que se obtenha um desenho de aspecto próximo do real. Seja através da escolhas da perspectiva, da proporcionalidade, de linhas contínuas para os elementos visíveis, linhas tracejadas para os elementos não visíveis e, linhas do tipo traço e ponto, para representar a altura (no caso das pirâmides e cones).

11.1.- Desenhando um Cubo – 1º Método Este método de se desenhar um cubo é o mais fácil e por isto tradicionalmente ensinado às crianças pequenas. Modelo:

1ª Observação: A sequência dos desenhos vai da esquerda para a direita e de cima para baixo. As linhas em vermelho servem para indicar sequencialmente cada um dos passos seguintes do desenho. Note que a cada passo as linhas em vermelho passam a ser pretas e novas linhas em vermelho são acrescentadas. 2ª Observação: A flecha em vermelho mostra o ponto de cruzamento dos dois quadrados – um pouco abaixo do ponto médio do lado vertical direito do primeiro quadrado desenhado (ponto na cor preta).

3ª Observação: Diferentemente do desenho acima mostrado que intitulamos Modelo, o nosso desenho do cubo deve levar em conta as linhas visíveis bem como as linhas não visíveis, como mostramos na sequência a seguir e no desenho final colorido.

4ª Observação: O desenho final aparece abaixo, podendo ser pintado e, além de ser ‘colocado’ sobre um anteparo, pode-se simular a projeção de uma sombra, o que vai conferir uma melhor visão da perspectiva do cubo em questão.

5ª Observação: Note que o anteparo sobre o qual está assentado o sólido geométrico deve ser um paralelogramo cujos lados apresentem-se aproximadamente com a mesma perspectiva da base do referido sólido. 6ª Observação: O cubo é um sólido geométrico regular (todos os ângulos, bem como as faces – quadrados – são congruentes entre si) pode ser classificado pela quantidade de faces como sendo um hexaedro15.

11.2.- Desenhando um Cubo – 2º Método Este modelo de desenho para o cubo apresenta uma sequência de passos que exige uma técnica mais apurada do que a acima apresentada. Observe por que. 1ª Observação: No primeiro passo temos que desenhar um paralelogramo simulando um quadrado em perspectiva.

hexaedro: (i) do grego: ‘hex(a)- = seis’; (ii) héx = seis + do grego: hédra, hédras - elemento de composição = ‘base’, ‘face’. Usados, por exemplo, em: (I) hexacampeão, hexadecágono, (ii) poliedro, poliédrico, decaedro.

2ª Observação: No segundo passo deve-se ter em conta que os três segmentos em vermelho devem ter exatamente a mesma medida da base do paralelogramo – as medidas são mostradas com setas azuis.

11.2.1.- O Cubo é um Prisma Regular Denominado Hexaedro Antes de prossegui, vamos assumir o seguinte: o cubo é também um prisma, somente que todas as suas faces são quadrados. O cubo é um prisma regular, o segundo na hierarquia dos poliedros regulares que são: o tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro, icosaedro, que possuem respectivamente como faces:

4 triângulos equiláteros, 6 quadrados, 8 triângulos

equiláteros, 12 pentágonos regulares, e 20 triângulos equiláteros, como mostrados na figura abaixo.

. Para facilitar a memorização dos nomes destes cinco sólidos geométricos denominados Poliedros de Platão Regulares podemos guardar o seguinte mnemônico: THODI. Só existem cinco

Poliedros de Platão Regulares.

11.3.- Desenhando o Prisma de Base Quadrada Para desenhar o prisma de base quadrada e o prisma de base retangular utilizando o 1º método do desenho do cubo

Modelo:

1ª Observação: Os passos a seguir sugerido para o desenho do cubo.

mostrados são exatamente aqueles do primeiro modelo

2ª Observação: O ponto preto alocado no lado direito do primeiro retângulo servirá de referência para a escolha do ponto de cruzamento entre as faces anterior e posterior do prisma – o ponto vermelho se destina ao desenho do prisma de base quadrada. 3ª Observação: O ponto verde servirá de referência para desenhar o prisma de base retangular. A distância entre estes pontos (setas vermelha ou verde) é que definirá se a base do prisma será quadrada ou retangular.

4ª Observação: Como no desenho do cubo, a pintura e a projeção de uma sobra irá melhor simular a perspectiva do sólido geométrico em questão.

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5ª Observação: A nossa escolha pelo primeiro modelo de construção do cubo para aplicarmos aos prismas em geral é devido à seguinte facilidade: os três desenhos: o cubo, o prisma de base quadrada e o prisma de base retangular (que figura no próximo item) são todos prismas sendo que estes dois últimos são os prismas ‘propriamente ditos’. Assim sendo estes desenhos podem ser feitos seguindo-se exatamente os mesmos passos daquele 1º Modelo, bastando apenas variar as distâncias entre os em preto e o ponto em vermelho, vistos no segundo passo da sequência de desenhos que: (a) devem ser mantidos mais próximos, para se desenhar o prisma de base quadrada e (b) devem ser mantidos mais distantes, para desenhar o de base retangular. Confira isto nos desenhos deste e do item seguinte.

11.4.- Desenhando o Prisma de Base Retangular Modelo:

Observação Única: Já sabemos os passos para desenhar o cubo (que é um prisma regular), bem como o prisma propriamente dito de base quadrada, achamos que por isto poderemos reduzir o desenho do prisma de base retangular a apenas três passos, como mostramos abaixo.

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11.5.- Desenhando Prismas de Bases Pentagonal e Hexagonal Os prismas de base pentagonal e de base hexagonal seguem os mesmos princípios utilizados para desenhar os prismas em geral. O cuidado reside na escolha da perspectiva adequada de suas bases. Confira a seguir.

1ª Observação: O desenho do prisma de base pentagonal pode ser feito de dus maneiras bem distintas onde são visíveis: (i) apenas duas de suas faces (ii) ou três de suas faces. A meu ver o desenho proposto em (ii) é mais interessante do que o proposto a (i).

2ª Observação: O desenho do prisma de base hexagonal somente deve levar em conta que a aresta posterior do hexágono que representa a base (seja ela inferior ou superior) deve ter uma medida um pouco superior à da aresta a ela oposta: confira no desenho acima – a medida da seta vermelha é um pouco superior à da seta azul.

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11.6.- Desenhando a Pirâmide de Base Quadrada Modelo:

1ª Observação: O desenho de uma pirâmide de base quadrada é bastante fácil. Deve-se desenhar a base da pirâmide – um quadrado em perspectiva, isto é, como se este quadrado fosse um paralelogramo – prevendo-se que dois lados serão visíveis e dois não serão. Deve-se ainda marcar com alguma precisão do centro da base (vide o ponto na cor azul).

2ª Observação: Deve-se levantar, a partir do ponto em azul, um segmento do tipo traço e ponto, perpendicular à base. A distância entre os pontos azul e vermelho será a altura da pirâmide. 3ª Observação: Agora basta desenhar as arestas laterais da pirâmide, usando uma linha tracejada para a aresta não visível e linhas contínuas para as arestas visíveis.

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11.7.- Sobre a Geração de Cilindros, Cones e Esferas Estes são três dos desenhos mais fáceis de fazer quando comparados aos desenhos dos sólidos geométricos anteriores. O cilindro, o cone e a esfera são denominados sólidos de revolução – rotação, volta ou giro completos, de uma curva ou objeto em torno de um eixo. A geração de cilindros, de cones ou de esferas é obtida através, respectivamente, da rotação, em torno de um eixo, das seguintes figuras geométricas planas: um retângulo, um triângulo retângulo ou de um semicírculo, como mostrado nas figuras abaixo.

11.7.1.- Desenhando o Cilindro Desenhar o cilindro exige apenas que comecemos a desenhar a sua base superior – uma elipse para simular uma circunferência em perspectiva; a seguir desenhamos as laterais e, logo depois, duas semicircunferências: uma com linha contínua – na porção visível do sólido –, e uma semicircunferência para completar a elipse com linha tracejada, na porção não visível do sólido.

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Podemos ainda, apenas como um “acréscimo luxuoso (sic)”, desenhar a altura do sólido com uma linha do tipo traço e ponto.

11.7.2.- Desenhando o Cone Desenhar o cone exige uma maior atenção do que

o desenhar do cilindro. Primeiro

desenhamos a base – uma elipse que simula uma circunferência em perspectiva – destacando a parte visível e a parte não visível da mesma. Em seguida desenhamos uma linha traço e ponto a partir do centro da base, esta será a altura do cone. Em seguida desenhamos segmentos que irão delimitar visualmente a parte visível do cone.

11.7.3.- Desenhando a Esfera O desenho da esfera apesar de parecer facílimo não o é. O segredo de enxergarmos no desenho, uma esfera e não simplesmente um círculo exige a adoção de alguns truques para simular a ‘esfericidade’ deste sólido geométrico.

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A simulação da esfericidade pode ser conseguida, como mostrado no desenho acima, através de: (i) o desenho do raio e de linhas que indiquem a esfericidade; (ii) na forma de ‘pintar’ – e sombrear o círculo; (iii) desenhando um círculo máximo na horizontal; (iv) desenhando dois círculos máximos, um na horizontal e outro na vertical; (v) desenhando a sobra projetada pela esfera.

11.8.- Observações Finais O leitor interessado em saber mais sobre o desenho de sólidos geométricos deve ler com atenção as observações seguintes: 1ª Observação: O leitor interessado irá encontrar no JGEOM#01 deste volume um estudo bastante

detalhado sobre os Cinco Poliedros Regulares de Platão, onde estaremos respondendo, entre muitas outras perguntas, as seguintes: 1. O que são os poliedros regulares? 2. O que são os poliedros côncavos e o que são os convexos? 3. Para que serve a fórmula de Eüler? 4. Como planificá-los? 2ª Observação: Os sólidos geométricos podem ser retos ou oblíquos (inclinados), como mostram as duas figuras abaixo. Para isto basta observar o seguinte:

1. Nos sólidos que possuem bases superior e inferior, desenhá-las de forma desencontrada, o que resultará em arestas laterais com uma angulação bem definida (vide em vermelho na figura)

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2. Nos sólidos que possuem uma única base, desenhar o segmento correspondente à altura com uma pequena inclinação.

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JGEOM#12 – JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 12

Composições de Perfis Geométricos com 17 Triângulos São 17 triângulos de diversos formatos que permitirão através de manipulação a composição de diversos perfis geométricos, bem como a criação de desenhos complexos através de sobreposição. O desafio maior está na obtenção de todas as possibilidades de composições destes perfis, bem como as criações de figuras caleidoscópicas16 .

12.1.- Um Jogo Com Diversos Triângulos Retângulos Os três quadrados apresentados abaixo – em vermelho, azul e amarelo –, cujas arestas medem 6cm, são os módulos a partir dos quais, depois de plastificados e recortados, iremos obter conjuntos de triângulos de diversos formatos, com os quais, através de manipulação, devem-se obter composições de perfis geométricos distintos uns dos outros.

12.2.- O Conjunto de Triângulos Vermelhos No CD-R que acompanha este livro o leitor irá encontrar uma página no tamanho A4 com quadrados do mesmo modelo mostrado abaixo com a medida de 6cm × 6cm. O quadrado deve ser impresso, plastificado e recortado segundo as linhas que dividem o quadrado.

Caleidoscópio ou calidoscópio: artefato óptico que consiste num pequeno tubo cilíndrico no fundo do qual há pequenos pedaços coloridos de vidro ou de outro material, cuja imagem é refletida por espelhos dispostos ao longo do tubo, de modo que, quando se movimenta o tubo ou esses pedaços, formam-se imagens coloridas múltiplas, em arranjos simétricos (Dicionário Houaiss).

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12.2.1.- Nomenclatura – Triângulos Retângulos

hipotenusa

Triângulo retângulo isósceles: Um ângulo reto e dois lados congruentes (os catetos) cateto

11.2.2.- Analisando as Propriedades Aceitáveis dos Perfis Geométricos As soluções dadas a seguir são apenas sugestões. Cabe ao leitor assumir este jogo como, o que ele realmente é, um Jogos Para o Pensamento Geométrico, e deixar que sua imaginação se encarregue de criar as figuras. Há, antes de iniciarmos nosso Jogo Para O Pensamento, algumas questões a serem abordadas em que se analisam as propriedades aceitáveis dos perfis das figuras a serem construídas: 1. Vamos construir os nossos perfis com 2, 3 ou com todos os 4 triângulos?

2. Estamos interessados somente nos perfis ou nas formas de dispor os triângulos dentro de um mesmo perfil, como mostramos a seguir?

3. Devem ser aceitos os perfis que sejam simétricos a um dado perfil?

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4. O casamento dos lados dos triângulos deve ser feito cateto a cateto ou então hipotenusa com hipotenusa ou não?

5. Devem ser aceitos perfis em que a justaposição dos triângulos se dêem apenas pelos vértices?

12.2.3.- Alguns dos Perfis Geométricos Os perfis geométricos apresentados a seguir foram todos construídos por justaposição exata dos lados (catetos com catetos e hipotenusas com hipotenusas), tendo-se aceitado que os perfis possam ser construídos com disposições distintas dos triângulos.

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Os perfis das figuras a seguir foram obtidos por simetria a algumas das figuras anteriormente construídas. Analise o problema

Os perfis mostrados a seguir não possibilitam a existência de outro perfil com pequenas modificações na posição dos triângulos:

12.2.4.- Um Problema com Solução em Aberto (Open-ended-Problem) A construção de todos os perfis geométricos admitindo-se que aceitemos todas as precondições analisadas no item 10.2.2., além de acrescentarmos outras que nos venham a ocorrer, como por exemplo: a adoção de triângulos coloridos, transformará o nosso Jogo Para o Pensamento Geométrico num ‘open-ended-problem’ ou seja, um problema aberto ou ainda, um problema com solução em aberto, ou um problema multisolução. O problema irá se tornar ainda mais complexo se ampliarmos nossas pesquisa incluindo aí os triângulos obtidos a partir dos módulos azul e amarelo mostrado no item 10.1. acima.

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12.3.- O Conjunto de Triângulos Azuis e Amarelos No caso do módulo azul, que possui apenas dois triângulos retângulos isósceles, o que limitaria muito as possibilidades de ‘jogar’ com eles, iremos adotar dois módulos, conseguindo assim, 4 triângulos congruentes. No caso do módulo amarelo basta apenas um para obtermos 4 triângulos retângulos escalenos (triângulo com os três lados não congruentes).

Podemos montar os mesmos perfis anteriormente conseguidos com os triângulos vermelhos, usando os 4 triângulos azuis, no entanto, cada uma destas novas figuras estará na razão de 2::1, ou seja, as figuras construídas com 4 triângulos azuis terão o dobro da área das figuras construídas com 4 triângulos vermelhos.

Para que um perfil com 4 triângulos azuis tenha a mesma área que um perfil construído com os triângulos vermelhos, precisaremos de 8 destes triângulos, como mostrado na figura a seguir.

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Já com relação aos triângulos amarelos os perfis a serem conseguidos são distintos de todos os perfis conseguidos com os triângulos vermelhos e azuis.

12.4.- Sobrepondo Triângulos Vermelhos, Azuis e Amarelos Podemos também comparar os triângulos amarelos, azuis e vermelhos, justapondo-os e tentando entender a relação entre eles.

Podemos ainda aproveitar estas sobreposições para formar novas figuras, como as apresentadas a seguir:

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A primeira figura é aquilo que nós afirmamos na introdução: uma figura caleidoscópica em função da simetria, a segunda figura poderia servir para compor uma faixa decorativa.

12.5.- Acrescentando Alguns Novos Triângulos A família de cinco novos triângulos mostrada abaixo – 4 triângulos equiláteros e um triângulo isósceles – deverá ser incluída no conjunto de triângulos vermelhos, azuis e amarelos, para permitir a criação de novos Jogos Para o Pensamento Geométricos, através da criação de novos perfis ou de composições geométricas através de sobreposições. A figura abaixo mostra os triângulos com suas cores originais (vários tons de verde) e com suas verdadeiras grandezas, isto é, são mostrados com suas medidas exatas.

A seguir iremos mostrar a criação de 5 novos triângulos cujos lados têm as medidas baseadas nos módulos quadrados.

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12.5.1.- Os 4 Triângulos Equiláteros Os 4 triângulos eqüiláteros serão criados com base nas medidas dos lados dos seguintes triângulos: •

Triângulo Verde: lados medindo o mesmo que o lado do módulo quadrado:

•

Triângulo Verde-Pálido: Lados medindo o mesmo que a metade do lado do módulo quadrado:

•

Triângulo Verde-escuro: Lados medindo o mesmo que diagonal do módulo quadrado:

•

Triângulo Verde-Claro: Lados medindo o mesmo que metade da diagonal do módulo quadrado:

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12.5.2.- O Triângulo Isósceles Dos cinco novos triângulos, um deles é isósceles não retângulo, isto é, é obtusângulo. Este triângulo foi construído sobre o lado do triângulo verde claro, conforme pode ser visto na figura a seguir:

12.6.- Recomendações O conjunto com todos os triângulos perfaz um total de: 17 triângulos, a saber: 4 triângulos vermelhos; 4 triângulos azuis; 4 triângulos amarelos; e 5 triângulos verdes. Estes triângulos podem e devem ser utilizados pelo leitor para as composições de perfis geométricos e composições por sobreposição, nem como para a criação de seus Jogos Para o Pensamento Geométrico. Para que isto seja realizado de maneira bastante ampla, o leitor pode utilizar vários conjuntos destes 17 triângulos.

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JGEOM#13 – JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 13

Os Triângulos Construtores de Montessori: Estudo Crítico A ideia dos ‘Triângulos Construtores’ é mais uma brilhante idéia de Maria Montessori para a aprendizagem da Geometria ou da Psicogeometria, de acordo com a denominação dada por ela. Em seis caixas de diversos formatos ela disponibilizou triângulos que permitirão construir várias outras figuras geométricas planas: o quadrado, o retângulo, o paralelogramo, o losango, o trapézio e o hexágono. Discutimos ainda o erro conceitual da adoção das tarjas de conexão, propondo trocá-las pelas tarjas delimitadoras das figuras – as suas fronteiras.

13.1.- Os triângulos Construtores de Maria Montessori Os “Triângulos Construtores de Montessori” são apresentados sob a forma de conjuntos de triângulos dos mais diversos, distribuídos criteriosamente em cinco caixas de madeira com tampa. Uma destas caixas é triangular, duas retangulares e duas hexagonais que servem de gabarito para algumas das construções que visam à obtenção de algumas figuras geométricas planas, a saber: quadrados, retângulos, paralelogramos, losangos, hexágonos. Este material visa não somente as construções daquelas figuras, mas o estudo das propriedades inerentes às mesmas. A ideia central deste material é demonstrar que se as figuras geométricas planas citadas acima podem ser compostas por triângulos, conseqüentemente poderão também ser decompostas em triângulos, conceito este que nos facilitará a dedução das fórmulas que permitem calcular a área de maioria das figuras geométricas planas (vide JGEOM#13) a partir do cálculo da área de um retângulo.

13.1.1.- Sobre as Tarjas Pretas Usadas como Conectores Um fato curioso sobre este tipo de manipulativos – os Triângulos Construtores de Montessori – é que a maioria destes triângulos trazem tarjas pretas que pretendem indicar os lados

comuns para cada uma das construções geométricas possíveis ou pretendidas por aquela educadora. Só para citar um exemplo do uso das tarjas pretas como conectores, os triângulos eqüiláteros podem trazer um, dois e até os três lados tarjados em preto.

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Forçosamente estes triângulos, se tomados respectivamente nas quantidades de duas, quatro ou de seis unidades, levarão as crianças às seguintes construções:um losango, um triângulo equilátero e um hexágono.

13.2.- Examinando o Conteúdo das Seis Caixas de Triângulos Das seis caixas retangulares apenas a segunda não traz os triângulos com tarja preta, como será mostrado a seguir, e última delas traz 12 triângulos exatamente iguais para que a criança possa executar com eles construções livre e também algumas construções bastante complexas como se verá.

13.2.1.- Caixa #01 - A Primeira Caixa Retangular O leitor deve observar o cuidado com que cada uma das peças foi elaborada em termos de medida, pois algumas delas se mostram proporcionais enquanto outras mostram lados com as mesmas medidas.

13.2.2.- Caixa #02 - A Segunda Caixa Retangular Nesta segunda caixa todos os triângulos têm a cor azul e nenhum deles possui a tarja preta nas bordas. O leitor atento verá com facilidade que

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13.2.3.- Caixa #03 - A Caixa Triangular

13.2.4.- Caixa #04 - A Caixa Hexagonal Grande

13.2.5.- Caixa #05 - A Caixa Hexagonal Pequena

13.2.6.- Caixa #06 - A Caixa dos Triângulos Azuis Além dos triângulos construtores apresentados até aqui, há ainda, um outro conjunto de triângulos denominados Triângulos Azuis. O módulo básico, um triângulo azul, é retângulo isósceles com os ângulos agudos valendo 30º e 60º, cujas medidas poderiam ser: 15 cm × 8,5 cm.

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O conjunto dos triângulos construtores azuis é composto por 12 elementos, que permitem construções bastante criativas como as mostradas a seguir.

Uma idéia é incrementar o conjunto dos triângulos azuis, adotando um outro conjunto com 24 triângulos exatamente do mesmo tamanho dos triângulos azuis, sendo a metade destes triângulos na cor amarela e a outra metade na cor vermelha.

Abaixo podemos ver que várias figuras foram acrescentadas ao conjunto das figuras anteriores, o que foi permitido pela utilização destes duas novas cores de triângulos:

120

121

13.3.- Um Erro Conceitual Nos Triângulos de Montessori Os Triângulos Construtores de Montessori trazem em sua concepção um erro conceitual, sobre o qual não tenho nenhuma dúvida: ao utilizar as tarjas pretas para indicar os lados das figuras a serem ‘conectados’. Seria preferível em termos pedagógicos ou até mesmo em termos teóricos geométricos, utilizar as tarjas pretas para realçar a fronteira daquela figura geométrica, ou seja, realçar o contorno das figuras, sendo que a cor colorida chapada deveria representar o interior da figura.

Veja a seguir a proposta que fazemos com relação ao uso das tarjas pretas: ao invés de se realçar as conexões, nós iremos realçar o contorno das figuras a serem formadas. De acordo com o que propomos, os ‘nossos’ triângulos construtores mostrados no item 11.1.1. devem ter duas, uma ou nenhuma tarja preta:

Veja abaixo um losango, um triângulo equilátero e um hexágono construídos com os triângulos mostrados acima:

122

O que valeria ao leitor compará-las com as figuras geométricas obtidas no item 11.1.1 e meditar sobre a conveniência ou não de se realçar os contornos e não as conexões.

13.4.- Um Estudo Crítico: Como Melhor Alocar as Tarjas Pretas O leitor irá encontrar a seguir um estudo comparativo entre os Triângulos Construtores de Montessori contidos nas caixas originais e aqueles sugeridos pelo autor. Para facilitar a comparação, o leitor encontrará numa moldura imitando madeira os triângulos construtores originais, e as nossas sugestões livres sobre a página do livro.

13.4.1.- Caixa #01 - A Primeira Caixa Retangular e os Novos Modelos

123

13.2.2.- Caixa #02 - A Segunda Caixa Retangular e os Novos Modelos As figuras desta caixa n達o ser達o mostradas, pois as mesmas n達o foram modificadas na nova vers達o dada pelo autor.

13.4.3.- Caixa #03 - A Caixa Triangular

13.4.4.- Caixa #04 - A Caixa Hexagonal Grande e os Novos Modelos

124

13.4.5.- Caixa #05 - A Caixa Hexagonal Pequena e os Novos Modelos

13.5.- Tarjas de Conexão Versus Tarjas de Delimitação As nossas ideias sobre estas duas formas de representação – tarjas de conexão versus tarjas de delimitação – para as composições de figuras geométricas utilizando-se triângulos são as seguintes: •

A primeira delas é mais abstrata que a segunda, enquanto uma realça a forma de justapor os triângulos e realçar nas figuras a presença ‘contínua’ dos mesmos, a segunda mostra que a figura geométrica, depois de montada, pode ser decomposta em triângulos.

•

A diferença entre estas formas de representação (tarjas) é sutil, mas eu não consigo imaginar uma figura geométrica com tarjas pretas em seu interior!

•

Na verdade estes dez conjuntos de Triângulos Construtores, seis destes conjuntos, originais exatamente como propostos por Montessori e quatro deles modificados pelo autor, podem ser utilizados sem problema, dependendo da concepção e/ou das pretensões do educador;

125

•

Uma ausência notável nestes conjuntos de figuras geométricas é das pipas (mostrada abaixo nas duas formas de representação das tarjas), uma importante figura geométrica, modernamente introduzida no conjunto dos quadriláteros. Na figura, a primeira das pipas mostra tarjas de conexão enquanto a segunda mostra as tarjas de delimitação.

•

Uma outra ausência entre os triângulos construtores de Montessori dizem respeito àqueles triângulos em que se pode decompor o pentágono.

Note que com estes triângulos podem-se trabalhar os conceitos de congruência e semelhança de triângulos.

•

Uma outra figura geométrica ausente, e isto sempre ocorre em praticamente todos os estudos que envolvam os polígono é o heptágono regular. Seja porque os métodos para a construção desta figura é um ‘mistério’ ou seja porque a medida em graus dos ângulos internos do heptágono não é um número inteiro ou racional.

13.6.- Composição/Decomposição de Figuras com Triângulos O que deve ter ficado claro até aqui é que todas as figuras geométricas planas, sejam elas quais forem, podem ser decompostas/recompostas usando-se triângulos. Os jogos JGEOM#04 e JGEOM#05, bem como o estudo dos Triângulos Construtores de Montessori, que trabalham com a composição de perfis geométricos ou com a construção de figuras geométricas notáveis através da justaposição dos lados congruentes permitiu que o autor pudesse propor aqui os seus próprios

triângulos construtores.

13.6.1.- Escolhendo os Nossos Triângulos Construtores A seguir são mostrados os nossos três triângulos construtores.

126

•

O triângulo vermelho: um triângulo eqüilátero e conseqüentemente um triângulo eqüiângulo e logo um triângulo acutângulo.

•

O triângulo amarelo: um triângulo retângulo isósceles.

•

O triângulo azul: um triângulo obtusângulo escaleno.

Entre as muitas possibilidades de escolha de nossos triângulos construtores escolhemos, depois de meditar sobre o assunto, três delas, de tal modo que pelo menos um dos lados de cada um destes triângulos tenha a mesma medida que a do outro (confira na figura a seguir) onde fazemos algumas composições com estes triângulos, montando quadriláteros.

quadrado

triângulo

losango

paralelogramos

deltóide

Trapézio

hexágono

127

Com nossos três triângulos construtores podemos ainda construir alguns quadriláteros quaisquer (irregulares), no entanto, para construirmos a pipa precisaríamos de um outro triângulo além daqueles três já escolhidos. Assim, escolhemos um novo triângulo isóscele (verde) cuja base mede o mesmo que o lado do triângulo eqüilátero (vermelho) e assim pudemos montar a nossa pipa.

Finalmente, escolhidos os nossos Quatro Triângulos Construtores podemos apresentar alguns (?) de nossos quadriláteros não-regulares. Um interessante jogo para o pensamento é o seguinte: há a possibilidade de se obter mais alguns outros quadriláteros não-regulares utilizando os Nossos Quatro Triângulos Construtores. A resposta é: “Sim”.

No jogo a seguir (JGEOM#14) iremos estudar a decomposição de polígonos regulares em triângulos. Iremos estudar a decomposição do pentágono, hexágono, heptágono e octógono.

128

13.7.- Conclusão O leitor poderá tentar construir seu próprio conjunto de triângulos construtores partindo de um conjunto de figuras geométricas pré-estabelecidas que ao serem decompostas permitam novas recomposições, além daquelas inicialmente estabelecidas.

129

JGEOM#14 – JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 14

Medindo Ângulos e Decompondo Polígonos Regulares Os Triângulos Construtores de Montessori - seis conjuntos contendo triângulos coloridos de diversas formas e tamanhos – se constituem num ‘tipo de jogo exploratório’ que permite a composição de figuras geométricas planas usando triângulos. No entanto, quatro figuras geométricas são ali deixadas de fora: as pipas, os pentágonos, os heptágonos e os octógonos. Vamos estudar aqui o ‘pentágono+ diagonais’ em termos de construção com régua e compasso e a sua decomposição em triângulos, para em seguida, estender este estudo envolvendoos hexágonos, os heptágonos e os ocotógonos. O leitor devecondiderar que este JGEOM#14 é uma retomada com algum apronfundamento do que foi visto no JGEO#03.

14.1.- Introdução Quando estudamos os Triângulos Construtores de Maria Montessori pudemos notar que o a figura geométrcia plana denominada ‘pipa’ (em inglês: ‘kite’) que foi recentemente acrescentado à familia dos quadriláteros não foi incluído entre as figuras ali construídas com triângulos, o que se justifica, pois este quadrilátero passou a ser estudado na ‘família’ dos quadriláteros muito recentemente. Por outro lado, uma outra figura geométrica plana, muito rica quando se fala em decomposição em triângulos, e que foi esquecida por Montessori, foi o pentágono regular, e isto sem falar no heptágono regular.

14.2.- Transferidores e a Medição de Ângulos Aqui vamos abrodar um assunto quase sempre negligenciado em nossas escolas. O uso do transferidor para realizar a medição de ângulos. É bom que se observe que: a operação é denominada medição e o resultado medida.

14.2.1.- Graus, Radianos e Grados No caso dos ângulos geométricos planos, uma das unidade adotadas para medí-los é o grau, sendo que mais tarde, quando estudarmos Trigonometria, iremos constatar que os ângulos passarão a ser referidos em radianos (rad), onde 180º ≅ π rad, podemos tirar daí que: 0º ≅ 0 rad Os

30º ≅ valores

π 4

acima

π rad

tabelados

45º ≅

π 4

π rad

correspondem

60º ≅ aos

π 3

π rad

denominados

90º ≅

π 2

ângulos

π rad notáveis

trigonométricos. Mais à frente neste livro, a Trigonometria será estudada com mais profundidade.

130

Outra unidade de medida de ângulos, mas pouco usada, é o grado (gr), sendo que: 360º ≅ 400 gr.

Normalmente os transfridores são moldados em poliestireno cristal (transparente), havendo basicamente dois tipos de transferidores quanto aos valores para as medições de ângulos: o de 180º e o de 360º, sendo que há variações notáveisdos transferidores de um mesmo tipo quanto ao projeto, como mostraremos a seguir.

14.2.2.- Modelo de 180º Com Uma Escala no Sentido Horário Este primeiro transferidor mostrado aqui é um contra-exemplo do que deva ser um transferidor ideal para uso nas salas de aula. Ele só possui uma escala no sentido horário (movinto no sentido contrário aos ponteiros de um relógio). Se um ângulo tiver que ser medido no sentido anti-horário (movimento no sentido dos ponteiros de um relógio) o seu usuário terá que usar o verso do transferidor.

14.2.3.- Modelos Com 180º Com Duas Escalas: Horária e Anti-horária Muitos são os modelos de transferidores de 180º. Abaixo mostramos alguns destes modelos adquiridos pelo autor em algumas papelarias, com destaque para suas qualidades e defeitos. •

O Modelo a seguir tem um pequeno segmento (apontado pela seta em vermelho) para indicar o vétice do ângulo a ser medido.

131

•

O Modelo a seguir de transferidos de 180º é bastante interesante na medida em que ele destaca de forma explícita os ângulos de 45º e de 135º, medidas estas muiuto utilizadas no estudo da Trigonometria no Círculo Trigonométrico. Além disti, houve o cuidado de se marca o vétice do ângulo também de forma bastante explícita: usando um sinanal com a forma de um ‘T’ para fazê-lo, o que não deixa dúvida sobre a posição exata do vétice e pelo menos de uma das laterais do ângulo a ser medido. O fato do ângulo de 90º ocupar a mesma posição nas escalas, seja no sentido horário como no anti-horário, ele foi destacado e marcado uma única vez com uma fonte maior do que aquela utilizada para marcar os demais valores na duas escalas.

•

O Modelo a seguir é muito interessante na medida em que o vértice do ângulo pode ser marcado ou então visualizado através de um orifício. O estranho fica por conta de uma curvatura não usual (marcadas com as flexas azuis) que nunca é encontrada nos outros transferidores.

132

14.2.4.- Modelos Com 360º Com Duas Escalas Os transferidores denominados pelos americanos como ‘full protractor’, que numa tradução livre para o português seria, ‘tansferidor completo’ ou transferidor amplo’, que mais adequadamente poderiam ser denominados ‘transferidores de uma volta’, são mostrados a seguir. •

Este primeiro transferidor tem duas escalas completas de 0º até 360º – uma no sentido horário e a outra no sentido anti-horário, com destaque para a marcação do ângulo de 90º e na escala interna, a marcação 0º ≡ 360º, indica a coincidência destes dois valores angulares, fato este que não é repetido na escala externa, mas que deveria sê-lo.

•

Gostaria de entender a inteção do projetista deste segundo transferidor ao seccionar de forma tão estranha a escala interna do mesmo. Pode-se pensar que esta escala quadripartida se destinaria a medir ângulos entre duas retas que se inteceptem, mas isto é muito específico, e o usuário deste trasnferidor teria que praticamente adivinha esta possibilidade.

14.2.5.- Mais Algumas Ideias Sobre os Transferidores •

Se você utilizar a ferramenta de buscas Google.com e digitar: ‘transferidor para imprimir’, (ou então em inglês ‘print a protractor’ ou ‘printable protractor’) você encontrará vários modelos de transferidores prontos para serem impressos. Você pode imprimí-lo em acetato para impressoras jato de tinta ou laser e distribuí-los para seus alunos para uso durante a aula.

•

Na Internet, além dos modelos aqui mostrados, encontraremos uma grande variedades de modelos de transferidores. Recomendamos que o modelo de transferidor abaixo seja aquele a ser impresso em acetato, e distribuído para os alunos

133

•

Podemos melhorar o desempenho de um transferior acrescentando-lha um braço móvel (impresso ou desenhado sobre acrílico transparente) que nos permitirá vizualizar medidas de ângulos, sem a necessidade de traçar os seus lados. O transferidor apropriado a esta tarefa é o fabricado pela BIC que trans um orifício exatamente na posção do vértice do ângulo.

+ •

Para uso em sala de aula pelos professores há, nas papelarias, transferidores em tamanho grande prórios para serem utilizados nas lousas, geralmente feitos de madeira.

•

Desconheço a existência dos transferidores cujas medidas sejam dadas em graus e radianos, ou então somente em radianos, mas o leitor poderá imprimir a seguinte figura em acetato e ter assim o seu transferidor graus x radianos.

134

Tabela de Correspondência Graus x Radianos

14.3.- Os Esquadros de 30º/60º e de 45º/45º Basicamente, há dois tipos de esquadros que permitem trabalhar com as construções geométricas denomianadas Cosntruções com Régua e Compasso, o que na verdade também inclui entre as réguas que podem ser utilizadas os esquadros de 30º/ 60º e o de 45º/45º (referido apenas como esquadro de 45º), mostrados a seguir.

Os dois esquadros têm a forma de triângulos retângulos (um dos ângulos dos vétices mede 90º), sendo que a medida dos outros dois vétices é que conferem os nomes a estes esquadros: esquadro de 30º/ 60º e esquadro de 45º.

135

14.4.- Os Compassos Dentro da concepção construtivista/construcionista poderíamos sugerir a construção de um compasso rudimentar usando um canudinho de refresco e um percevejo latonado.

Também se pode construir compasssos com palitos de sorvete – a serem utilizados da mesma forma que o dispositivo anterior feito com canudo de refresco – cujos orifícios podem ser feitos por uma ponta metálica pré-aquecida.

14.5.- Um Rápido Estudo Sobre os Polígonos Os polígonos podem ser classificados segundo várias de suas propriedades: 1.

Quanto à convexidade ou concavidade;

Quanto ao número de lados;

Quanto à regularidade.

14.5.1.- Polígonos Côncavos e Conevxos Um polígono é convexo, se e somente se, dados dois pontos distintos quaisquer em seu interior todos os pontos do segmento de reta que os une estão contidos inteiramente no interior do polígono.

C A

Quadrilátero Convexo

Quadrilátero Côncavo

136

Os exemplos acima mostram dois quadriláteros: α - um convexo (em amarelo) e o outro β côncavo (em verde). Note que o segmento AC tem todos os seus pontos no interior da figura β, mas isto é contrariado pelo segmento AB que tem alguns de seus pontos não pertencentes ao interior da figura β, e só isto nos basta para mostrar que o polígono β é côncavo. •

Observe que:

Todos os triângulos são sempre figuras geométricas planas convexas;

O quadrado, o retângulo, o círculo, isto somente para dar alguns exemplos, são figuras geométricas planas convexas.

14.5.2.- Classificando os Polígonos Quanto ao Número de Lados A tabela a seguir mostra a nomenclatura dos polígonos quano ao número de lados . No de lados 3

Triângulo / Trilátero

No de lados 12

Dodecágono

Quadrângulo/Quadrilátero

Tridecágono

Pentágono

Tetradecágono

Hexágono

Pentadecágono

Heptágono

Hexadecágono

Octógono

Heptadecágono

Eneágono

Octodecágono

Decágono

Eneadecágono

Undecágono

Icoságono

Nome

14.5.3.- Sobre os Polígonos Regulares Um polígono convexo é regular se, e somente se, ele é equiângulo (tem todos os ângulos internos congruentes) e equilátero (tem todos os lados congruentes entre si). Vejamos alguns exemplos e contra-exemplos de políg9nos quanto à reguaridade: •

O triângulo equilátero é automaticamente equiângulo e equilátero;

•

O quadrado é também equlátero e eqiângulo;

137

•

Há polígonos equiângulos que não são equiláteros: o retângulo (mas note que o quadrado é por sua vez, um retângulos, mas nem todo retângulo é quadrado).

•

Há polígonos equiláteros que não são equiângulos: o losango(note que pela definição, o quadrado é um losango), alguns tipos de paralelogramo (há paralelogramos equiláteros).

•

Nas figuras os ângulos agudos são azuis, os ângulos retos são vermelhos e os ângulos obtudos são verdes.

•

Vamos estudar aqui, especificamente, três polígonos: o pentágono, o heptágono e o Hexágonos, todos desenhados de forma a serem regulares.

14.5.4.- Sobre a Medida de um Ângulo Interno de um Polígono Regular Para deduzirmos a fórmula que permite o cálculo da soma dos ângulos internos de um polígono qualquer temos que assumir como pré-requitos: (1) as propriedades dos ângulos formados por duas retas paralelas contadas por uma reta transversdal e (2) ainda sem a demonstração, o seguinte teorema que afirma: “Num triângulo qualquer a soma dos ângulos internos vale 180º, isto o é: S i 3 = 180 ”.

Assumindo como conhecidos os dois pré-requitos anteriores, iremos deduzir a fórmula que permite calcular soma dos ângulos internos de um polígono. A partir desta fórmula poderemos então calcular a medida de cada um dos ângulos internos de um polígono regular. A tabela a seguir mostra os passos da dedução que leva à fórmula:

S in = 180 o × ( n − 2)

No de Lados

...

No de Triângulos

1=3–2

2=4–2

3=5–2

...

n–2

Soma dos ângulos

S i3 = 180 o

Si 4 = 180 o × 2

Si5 = 180 o × 3

...

S in = 180 o × (n − 2)

Internos

138

14.5.5.- Sobre a Medida de um Ângulo Externo de Polígonos Regulares A fórmula da Soma dos Ângulos Externos de um Polígono Convexo é dedutível a partir da Fórmula da Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo, como mostrado a seguir: •

Para todo polígono convexo tem-se sempre î + ê = 180º conforme mostrado na figura abaixo, de onde podemos tirar que: S in + S en = 180 o × n

•

Já foi mostrado que S i 3 = 180 0 × (n − 2) ;

•

o o o o o Assim, temos: 180 ( n − 2) + S en = 180 n ou seja, 180 n − 360 + S en = 180 n de onde,

finalmente:

S en = 360 o .

16.1.- Cabe ainda observar o seguinte: •

Um dos ângulos externos de um polígono regular de n lados pode ser obtido pela fórmula:

eˆ n = •

360 o n

o Como iˆn + eˆn = 180 , um ângulo interno de um polígono regular de n lados é dado por:

iˆn = 180 o − eˆn . 14.5.6.- Sobre Quantidade de Diagonais de um Polígono Qualquer O cálculo de dn – a quantidade total de diagonais de um polígono qualquer – é obtido por indução a partir da relação quantitativa entre: n e dvn, onde

•

n é o número de lados do polígono;

•

dvn é o número de diagonais que partem de cada vértice;

•

dn é a quantidade total de diagonais do polígono.

139

n = 3 e dvn = 0

•

n = 4 e dvn = 1

n = 5 e dvn = 2

n = 6 e dvn = 3

Note que, indutivamente pode estabelecer ainda se que: n = 7 e dvn = 7 – 3 n = 8 e dvn = 8 – 3 n = 9 e dvn = 9 – 3 ... e assim por diante.

•

A partir destas constatações, podemos deduzir que: dvn = n – 3.

•

Assim, fica fácil estabelecer que o total de diagonais de um polígino convexo será calulado pela quantidade de lados pela seguinte fórmula:

dn =

n(n - 3) 2

•

Pergunta-se: Porquê dividir o numerador ‘n(n – 3 )’ por 2?

•

A resposta é a seguinte: Ao calcularmos as diagonais que parte de cada um dos vértice estaremos envolvendo naquela contagem cada uma das duas diagonais duas vezes. Uma mesma diagonal é computada quando sai de um vértice e, é novamente compoutada, conmo tgendo saído do outro vértice. Ora todas as diagonais foram computadas duas avezes, logo, nada mais lógico do que dividir o numerador da fórmula por dois.

14.5.7.- Sobre as Construções de Polígonos com Régua e Compasso As ‘construções geométricas com régua e compasso’ apesar de serem uma das idéias mais interessantes e poderosas da Geometria Plana, foi, infelizmente completamente esquecida pelos formuladores dos conteúdos escolares seja tanto no Ensino Fundamental como no Ensino Médio. Para a construção dos polígonos regulares, como se verá a seguir, o uso de régua, e particularmente do compasso é imprescindível.

140

Só para mencionar as consequências de se negligenciar a aprendizagem da Geometria em todos os seus aspectos, podemos citar que há alunos que saem do Ensino Médio sem saber utilizar o compasso e até mesmo o transferidor. E isto, sem contar que muitos deles não sabem nem mesmo usar a régua graduada para medir objetos, passando a considerar o valor ‘1cm’ como sendo o ponto inicial para se realizar a medição.

14.6.- Um Estudo Detalhado do Pentágono Regular Cálculo da medida dos ângulos internos do Pentágono Regular:

S i5 = 180 0 × (5 − 2) = 540 o

⇒

i5 =

Cálculo da quantidade de diagonais do Pentágono: d 5 =

540 0 = 108 o 5

5(5 - 3) 5 × 2 =5 = 2 2

A figura ‘ABCDE’ abaixo é um pentágono regular: • os cinco lados são congruentes • os ângulos internos são congruentes - todos valem 108º. • são cinco as diagonais do pentágono • med(∠ ∠ ACB) = 36o • med(∠ ∠BAF) = 72o • ∆ABC ~ ∆EFD (∆ ∆ABC e ∆EFD: triângulos semelhantes) E

14.6.1.- Construindo o Pentágono Regular Na construção do pentágono mostrado a seguir o ponto de partida é o da escolha da medida do lado que se deseja.

141

Construção do Pentágono Regular a Partir da Medida do Lado [1] Escolher a medida do lado AB do pentágono:

[2] Traçar as duas circunferências com raio de igual medida do lado escolhido com centros respectivamente em A e B. Marcar o ponto M intersecção das duas circunferências:

B A

[3] Traçar a circunferência centrada em M com a mesma medida de AB :

[4] Traçar as três linhas auxiliares: r, s e t (em azul): r s

[5] Traçar dois dos outros lados do Pentágono AC e BC (em vermelho):

[6] Usar o compasso com abertura igual ao segmento AB centrado em C e E para marcar o ponto D: r D

t E

A A

M M

142

14.6.2.- Tipos de Triângulos na Decomposição do Pentágono O nosso desafio a seguir será o de verificar quais os tipos de triângulos podem ser destacados tendo como limites os lados e as diagonais do pentágono.

Para facilitar o raciocínio iremos destacar um a um os triângulos e suas possíveis posições relativas na estutura lados/diagonais do pentágono – os triângulos ocupando posições distintas uma das outras relativamente ao pentágoo mantido sempre numa mesma posição fixa – , adotando uma

cor padronizada para cada tipo destes triângulos e alocando-os segundo o sentido anti-horário.

14.6.2.1. – Os Triângulos Amarelos

14.6.2.2. – Os Triângulos Vermelhos

14.6.2.3. – Os Triângulos Azuis

143

14.6.2.4. – Os Triângulos Verde-Claros

14.6.2.5.- Triângulos Verde-Escuros

14.6.3.- ‘Pentágono + Diagonais’ e a Alocação dos Triângulos O leitor deve ter percebido que, mantido fixo o pentágono, foi possível a obtenção de cinco ou até mesmo de dez possíveis posições distintas para cada tipo ou cor de triângulo. Note que a heurística que adotamos para a obtenção das diferentes formas de alocação de um mesmo tipo (ou cor) de triângulo na estrutura ‘pentágono + diagonais’ está preso à escolha dos vértices de forma sequencial e no sentido anti-horário (ou horário). A figura a seguir ilustra a aplicação da heurística no caso dos triângulos verde-escuros, em que o ciclo se completa a cada cinco posições assumidas, voltando a repetir-se. Este fenômeno caracteriza o que é denominado em Álgebra Moderna: Grupo Cíclico. Início

Final

Reinício

...

144

14.6.4.- Um Jogo Para o Pensamento: Recompondo o Pentágono O leitor deve agora, utilizando os triângulos coloridos – que podem ser impressos a partir dos arquivos constantes do CD-R que acompnha este livro, e que deve, ser plastificados e em seguida recotados – tentar recompor o pentágono de todas as formas possíveis. Para estimular os leitores, abaixo mostramos seis exemplos destas possíveis recomposições: três delas simétricas e três delas assimétricas. Confira.

14.6.5.- Sugestões Os leitores mais interessados podem ainda se propor a resolver os seguintes problemas: 1. Quais são as recomposições do pentágono que podem ser feitas usando triângulos com somente: uma cor, duas cores, três cores, etc... 2. Quais as recomposições do pentágono que contém a maior quatidade de peças triangulares. 3. Quais as recomposições do pentágono que contém a menor quatidade de peças triangulares. 4. Quais as recomposições do pentágono que podem ser feitas utilizando-se a figura auxiliar que é um pequeno pentágono na cor marrom:

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5. Quais as recomposições em que usando o pentágono marrom central, podem ser feitas usando triângulos com somente: uma cor, duas cores, três cores, etc...

14.7.- Estudo detalhado do Hexágono Regular Cálculo da medida dos ângulos internos do Hexágono Regular:

S i6 = 180 0 × (6 − 2) = 720 o

⇒

Cálculo da quantidade de diagonais do hexágono: d 6 =

Utilize

figura

lado

para

aconferir a quantidade de diagonais do Hexágono. Para facilitar a contagem das diagonais

marque

cada

uma

delas

utilizando cores distintas, com pequenos traços próximos aos seus vétices de partida e de chegada (veja dois exemplos na própria figura): A figura ‘ABCDEF’ abaixo é um hexágono regular:

i6 =

720 0 = 120 o 6

6(6 - 3) 6 × 3 = =9. 2 2

146

• • • • • • • •

Os seis lados são congruentes Os ângulos internos são congruentes - todos valem 120º. São nove as diagonais do hexágono med(∠ABC) = 120o med(∠ACB) = 30o med(∠AOB) = 60o Diga porquê o triângulo ∆ABO é eqüilátero. Verifique que a área do ∆ABO ≅ área do ∆AEF.

14.7.1.- Construindo o Hexágono Regular O hexágono regular tem uma proporiedade que torna a sua construção bastante fácil: a medida do raio da circunferência que o cirscuncreve é igual à medida do lado.

Construção do Hexágono Regular a Partir da Medida do Lado

[1] Escolha a medida do raio (ou a medida do lado, o que dá no msmo).

[2] Trace a circunferência e marque o ponto A (inicial do traçado do hexágono):

[3] Com a ponta seca do compasso trace uma circunferência centrada em A e marque o ponto B:

[4] O mesmo efeito pode ser conseguido apenas com a marcação de um arco da circunferência: A

[5] Trace o lado AB do hexágono:

[6] Com a ponta seaca no ponto B e abertura do compasso igual ao raio trace o arco de circunferência emarque o ponto C: A

147

[7] Trace o lado BC do hexágono: A

[8] Com a ponta seca em C, obtenha o ponto D e o lado CD: A

[9] Repita o processo até completar o traçado do Hexágono: A

14.7.2.- Tipos de Triângulos na Decomposição do Hexágono 14.7.2.1. – Os Triângulos Amarelos

14.7.2.2. – Os Triângulos Verdes

148

14.7.2.3. – Os Triângulos Vermelhos

14.7.2.4. – Os Triângulos Marrons

14.7.2.5. – Os Triângulos Azul-claros

14.7.2.6. – Os Triângulos Laranja

149

14.7.2.6. – Os Triângulos Azuis

14.7.2.6. – Os Triângulos Azul-escuros

14.7.3.- Jogos Para O Pensamento: Quadrados, Losangos e Pipas Usando a mesma heurística adotada para desenhar os triângulos tanto nas estruturas ‘pentágonos + diagonais’ (vide item 14.6.3.acima) como nas dos ‘hexágonos + diagonais’ o leitor é convidado a resolver os seguintes Jogos Para o Pensamento Geométrico. Por motivos obvios, adotamos a nomenclatura ‘minimal’ e ‘maximal’ para nos referiremos respectivamente às figuras de tamanho mínimo e àquelas de tamanho máximo que podem ser desenhadas em uma estrutura do tipo ‘hexágonos + diagonais’ apresentadas a seguir.

14.7.3.1.- Desenhando Retângulos Maximais e Minimais A seguir duas malhas do tipo ‘hexágono + diagonais’ são apresentadas para a alocação todos os retângulos, primeiramente os maximais (que são três) e em seguida os mininais (que são seis). Retângulos Maximais e Retângulos Minimais

150

14.7.3.2.- Desenhando Losangos Maximais e Minimais Desenhe nas malhas a seguir losangos maximais (que são três) e os losangos minimais (que são seis). Losangos Maximais e Losangos Minimais

14.7.3.3.- Desenhando Pipas Minimais e Maximais Desenhe nas malhas a seguir desenhar todas as pipas minimais (que são seis) e todas as pipas maximais (que também são seis). Pipas Minimais

151

Pipas Maximais

14.7.3.4.- Desenhando Quadriláteros Côncavos Desenhe nas malhas a seguir quadriláteros côncavos (que são seis). Quadriláteros Côncavos

14.7.3.5.- Desenhando Alguns Pentágonos e Hexágonos O leitor pode conferir abaixo algumas construções de pentágonos e hexágonos côncavos. No próximo item, outros exemplos de polígonos são mostrados.

152

14.7.3.6.- Desenhando Pentágonos, Hexágonos, Heptágonos e Octógonos Como um Jogo Para o Pensamento Geométrico propomos aos leitores exercer a sua criatividade buscando criar de todas as fomas possíveis e imagináveis de polígonos convexos ou côncavos com 5, 6, 7, 8 lados.

153

14.7.3.6.- Desenhando Eneágonos, Decágonos e outros Poliedros A seguir mostramos os desenhos de diversos polígonos desenhados sobre a estrutura hexágono + diagonais. O leitor estrá livre para criar polígonos dos mais complexos e possivelmente interessantes, pois alguns lembram figuras de pássaros, só para mencionar um exemplo.

Soluções dos Jogos Para o Pensamento propostos em 14.7.3. 1.- Retângulos maximais e minimais:

154

2.- Losangos maximais e minimais:

3.- Pipas minimais e maximais:

5.- Quadriláteros côncavos:

14.8.- Estudo Detalhado do Heptágono Regular Cálculo da medida dos ângulos internos do Heptágono Regular:

S i6 = 180 0 × (7 − 2) = 900 0

⇒

i7 =

Cálculo da quantidade de diagonais do Heptágono: d 7 =

900 0 ≅ 128,57 0 7

7(7 - 3) 7 × 4 = = 14 . 2 2

155

A figura ‘PQRSTUV’ abaixo é um heptágono regular:

R S •

Os sete lados são quase-congruentes

•

Os ângulos internos são quase-congruentes - todos valem aproximadamente128,57º

•

São quatorze as diagonais do heptágono

•

De cada um dos vértices partem 4 diagonais.

•

Multiplicando-se a quantidade de vértices pela quantidade de diagonais obtem-se: 4×7 = 28.

•

Como cada diagonal que parte de cada vétice é a mesma que parte de um dos outros vértices, temos que dividir a quantidade 28 por 2, obtendo 14 diagonais.

14.8.1.- O Heptágono não é Construtível com Régua e Compasso, mas... Ao contrário das construções do triângulo equilátero, do quadrado, do pentágono regular e do hexágono regular, o heptágono regular não é construtível no sentido de que não podemos fazê-lo com régua e compasso, sendo que a sua construção só poderá se dar de forma aproximada. Por outro lado, dependendo da aplicação, esta construção pode ser tomada como bastante satisfatória: o que teremos é um heptágono ‘quase-regular’. Em 1796, Gauus com apenas 19 anos, resolveu um famoso problema da geometria: o que propunha uma maneira de se construir um polígono regular de 17 lados. A prova é algébrica, e relaciona a construtibilidade de polígonos regulares com a equação xn – 1 = 0 cujas raízes seriema os vértices do polígono inscrito numa circunferência.

156

Construção do Heptágono ‘Quase-Regular’ [1] Escolha o valor do raio da circunferência traçando-a. Marque o centro O e desenhe o diâmetro AB:

[2] Com raio medindo AO, e centro A, trace a circunferência desenhando a mediatriz do segmento AO:

A O

[5] Com centro em P e raio PM trace uma circunferência, obtendo o ponto Q:

[7] Com raio PQ e centro Q, trace a circunferência e obtenha o ponto R e trace o lado QR.

[8] trace a circunferência de raio PQ centrada em R, obtenha o ponto S e trace o lado RS:

[9] Repita o processo para obter os pontos seguinte: T, U e V heptágono ‘quase-regular’: P

P U

[6] PQ é o primeiro dos lados do heptágno:

[4] MP corresponderá à medida aproximada do lado do heptágono:

[3] marque como sendo M o ponto médio do segmento AO:

157

14.8.2.- Estudo Detalhado do Octógono Regular Cálculo da medida dos ângulos internos do Octógono Regular:

S i86 = 180 0 × (8 − 2) = 1080 0

⇒

Cálculo da quantidade de diagonais do Octógono: d 8 =

i7 =

1080 0 ≅ 135 0 8

8(8 - 3) 8 × 5 = = 20 . 2 2

A figura geométrica abaixo é um octógono regular:

•

Os oito lados são congruentes

•

Os ângulos internos são congruentes - todos valem 135º

•

São vinte as diagonais do ocotógono

•

De cada um dos vértices partem 5 diagonais.

•

Multiplicando-se a quantidade de vértices pela quantidade de diagonais obtem-se: 8×5 = 40.

•

Como cada diagonal que parte de cada vétice é a mesma que parte de um dos outros vértices, temos que dividir a quantidade 20por 2, obtendo 20 diagonais.

14.8.3.- Construindo o Octógono Regular A construção do octógono regular é muito fácil, mas depende de conceitos geométicos básicos construtíveis com régua e compasso, como: mediatriz de um segmengo e bissetriz de um ângulo

158

Construção do Octógono Regular

[1] Traçar um diâmetro AB da circunferência em qualquer posição:

[2] Traçar a mediatriz do diâmetro anteriormente desenhado: G

[3] Traçar a bisetriz dos ângulos ∠AOC e ∠AOG

[6] Este é o octógono regular ABCDEFGH: H

[5] Este é o octógono inscrio na Circunferência de centro O:

[4] Utilizar traçar os lados do octógono:

14.9.- Polígonos Regulares: Quantas Diagonais pelo Centro? Um problema interessante sobre os ‘polígonos regulares + diagonais’ é o seguinte:

Queremos obter uma fórmula que permita calcular nos polígonos regulares a quantidade de diagonais que passam pelo centro dos mesmos. Podemos fazer isto por isto por indução:

159

1. Devemos desenhar um triângulo equilátero, um quadrado, um pentágono

regular e um hexágono regular, todos eles como sendo um conjunto ‘polígono + diagonais’ 2. Em seguida devemos verificar em quais deles há diagonais se cruzando no

centro.

n=3

n=4

n=5

n=6

3. Somente os polígonos regulares, onde o número de lados (n) é um número par,

possuem algumas de suas diagonais se cruzando no centro. 4. Há que considerar que existem poligonos não regulares em que algumas

diagonais se cruzam no seu centro? A resposta é sim e cabe ao leitor pensar sobre isto com relação aos seguintes quadroláteros: a. retângulos b. losangos c. paralelogramos 5.

Por simples inspeção das figuras acima podemos concluir que o número de diagonais que passam pelo centro de um polígono regular de n lados poderá ser calculada pela fórmula:

d centro

 0 se n for um número ímpar = n  2 se n for um número par

14.10.- Conclusão O pentágono e o hexágono vistos anteriormente como ‘pentágono + diagonais’ e ‘hexágono + diagonais’ se prestaram a alguns tipos de Jogos Para o Pensamento Geométrico, a saber: 1. O jogo da busca dos tipos de triângulos na decomposição do conjunto ‘poligono + diagonais’; 2. O jogo da elaboração de figuras poligonais sustentáveis pela malha composta pelo polígono e suas diagonais.

160

No entanto, no tocante aos conjuntos ‘heptágono + diagonais’ e ao ‘octógono + diagonais’, o primeiro em função da construção aproximada e o segundo em função da complexidade do conjunto ‘octógono + diagonais’ não foram explorados em termos dos Jogos Para o Pensamento mencionados acima.. O leitores podem tentar explorar o octógono em relação aos conjunto ‘octógono + diagonais’ sendo no entanto alertado para a complexidade dos jogos. No entanto vamos propor uma simplificação do problema:uttilizar o desenho das diagonais que partam alternativamente de um vétice sim e um vétice não do octógono regular. Como mostrado abaixo.

Mas também podemos aceitar o desafio de trabalhar como o conjunto ‘octógono + diagonais’ cuja malha é mostrada abaixo. Mas isto fica a cargo do leitor...

161

O leitor encontrará no CD-R que acompnha o livro, folhas no tamnha A4 com um conjunto de malhas do tipo ‘octógono + diagonais’ para tentar as suas criações. Desenhando nas malhas ‘Octogono + Diagonais’

162

JGEOM#15– JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 15

Os Tangrans: Algumas Peças para Formar Milhares de Figuras Um dos tangrans mais conhecido é aquele com sete peças cuja criação é atribuída aos chineses. As sete peças do tangram podem ser rearranjas permitindo formar figuras que se ‘assemelham’ a animais, pessoas, embarcações, etc. No entanto, há muitos outros tipos de jogos como este, que também poderíamos denominar, devido à similaridade com o jogo chinês: tangrans. Neste JGEOM deixamos um pouco de lado a idéia de formar figuras com as peças dos diversos tipos de tangrans, para focar os aspectos matemáticos e/ou geométricos envolvidos no projeto dos diagramas de cada um dos tangrans.

15.1.- Os Diversos Tipos de Tangram Enquanto a maioria dos quebra cabeças tradicionais propõem que, com um conjunto de peças, se monte uma única e mesma figura, a ‘magia’ daqueles quebra-cabeças que podem ser agrupados sob o nome de ‘tangram’ reside exatamente na proposta de que com apenas algumas peças – figuras geométricas planas – se possam montar milhares de figuras. O dicionário American Heritage Dictionary17 define assim o tangram: Tangram: Um quebra-cabeça chinês que consiste de um quadrado

decomposto em 5 triângulos, um quadrado e um paralelogramo, a serem rearranjados em diferentes figuras [Possivelmente uma tradução parcial do chinês: ‘táng tú’ – táng, Tang, uma dinastia chinesa + tú, figura, diagrama.] – Tradução do inglês adaptada para o português.

Curiosamente, muitos educadores buscam através do uso do tangram atingir objetivos ditos pedagógicos ou psicopedagógicos. A mim parece que o tangram é apenas um jogo dos mais interessantes, um passatempo, que exige uma boa dose de observação, e quando mal aplicado como costuma ser, acaba por aborrecer aqueles que não possuem uma elevadíssima dose de paciência, a verdadeira ‘paciência chinesa’.

tan·gram (t²ng“gr…m) n. Games. A Chinese puzzle consisting of a square cut into five triangles, a square, and a rhomboid, to be reassembled into different figures. [Perhaps partial translation of Chinese táng tú : táng, Tang, a Chinese dynasty + tú, picture, diagram.] - (in) The American Heritage Dictionary 17

163

No entanto, como este jogo encanta os educadores que o indicam como sendo ótimo como auxiliar na aprendizagem da matemática – sendo que eu nunca conseguir atinar o porquê –, nós estamos aqui a estudá-lo e a outros modelos de tangram. Talvez a partir do estudo dos diversos tipos de tangram existentes e daqueles que nós mesmos poderemos criar, possamos compreende finalmente fascínio que este tipo de quebra cabeças pode exercer sobre as pessoas. No nosso estudo, o desafio não será apenas criar figuras pré-existentes ou originais – moldadas como se fossem sombras a serem reproduzidas com as peças do tangram.

O que

pretendemos é estabelecer modos matemáticos de construir estes tangrans, bem como criar nossos próprios tangrans e buscar, nós mesmos, montar as figuras possíveis, o que passaria a ser então um verdadeiro Jogo Para o Pensamento Geométrico.

15.2.- O Tangram Chinês ou Tangram ‘Tradicional’ O tangram tradicional é aquele ao qual se atribui uma origem chinesa, obtido a partir da decomposição de um quadrado em 7 peças – 5 triângulos, um quadrado e um paralelogramo conforme a figura mostrada a seguir.

A decomposição deste quadrado obedece a regras bem estabelecidas, ou seja, as figuras são construídas a partir dos pontos médios dos segmentos, pontos médios estes, marcados com pontos vermelhos no primeiro dos exemplos a seguir. Exemplo 1:

Exemplo2:

164

Já no segundo exemplo, propusemos construir as peças do tangram num papel quadriculado (com cada uma das quadrículas medindo 1 cm x 1cm). Parece-nos, que para crianças em idade escolar este método parece ser bastante viável além de estimular o Pensamento Geométrico, como mostraremos seguir.

15.2.1.- Construindo o Tangram: vários desafios interessantes Vamos propor aqui várias formas pedagógicas (ou psicopedagógicas) de levar para as salas de aula a construção do tangram tradicional. Cabe ao professor escolher um destes verdadeiros Jogos Para o Pensamento Geométrico de acordo com o nível de aprendizagem em matemática de seus alunos, ou seja, cabe ao professor adequar um ou mais destes Jogos ao nível de entendimento matemático de seus alunos.

15.2.1.1.- Jogo Para o Pensamento Geométrico #1 Fornecer para cada aluno um modelo do tangram e uma malha quadriculadas com 12 x 12 quadrículas onde se marcam os pontos de união ou intersecção dos segmentos a serem desenhados. O desenho abaixo, em verdadeira grandeza poderá ser encontrado no CD-R que acompanha o livro.

MODELO

15.2.1.2.- Jogo Para o Pensamento Geométrico #2 Fornecer para cada aluno um modelo do tangram uma malha com 12 x 12 quadrículas, para que ele estudando o modelo, desenhe os segmentos de reta sobre a malha, obtendo assim, o seu tangram.

MODELO

165

15.2.1.3.- Jogo Para o Pensamento Geométrico #3 Fornecer para cada aluno uma malha quadriculadas com 12 x 12 quadrículas onde estão marcadas as coordenadas dos pontos sobre os eixos de 0 até 12, bem como o conjunto das coordenadas dos vértices de cada segmento de reta para que ele os desenhe sobre a malha. 12 11 10 Coordenas dos Segmentos de Reta: 1. de (00) até (12,12) 2. de (0,12) até (9,3)

9 8 7 6

3. de (9,3) até (9,9)

4. de(6,0) até (12,6)

5. de (6,0) até (3,3)

3 2 1 0

0 1 2

3 4 5

6 7 8 9 10 11 12

15.2.1.4.- Jogo Para o Pensamento Geométrico #4 Fornecer para cada aluno uma malha quadriculadas com 12 x 12 quadrículas, sem as coordenadas dos eixos – ele é que deve marcá-las se julgar conveniente, após estudar as coordenadas dos segmentos de reta fornecidos ao lado a malha.

Coordenas dos Segmentos de Reta: 1. de (00) até (12,12) 2. de (0,12) até (9,3) 3. de (9,3) até (9,9) 4. de(6,0) até (12,6) 5. de (6,0) até (3,3)

15.2.2.- Construindo o Tangram: vários outros desafios As construções do tangram tradicional sobre uma malha com 12 x 12 quadrículas é bem mais fácil do que construí-lo sobre uma malha com 10 x 10 quadrículas. Veja a seguir o porquê, comparando estas duas construções.

166

15.2.2.1.- Jogo Para o Pensamento Geométrico #5 Fornecer para cada aluno um modelo do tangram e uma malha quadriculadas com 10 x 10 quadrículas onde se marcam os pontos de união ou intersecção dos segmentos a serem desenhados. O desenho abaixo, em verdadeira grandeza poderá ser encontrado no CD-R que acompanha o livro.

MODELO

15.2.2.2.- Jogo Para o Pensamento Geométrico #.6 Fornecer para cada aluno um modelo do tangram uma malha com 10 x 10 quadrículas, para que ele estudando o modelo, desenhe os segmentos de reta sobre a malha, obtendo assim, o seu tangram.

MODELO

167

15.2.2.3.- Jogo Para o Pensamento Geométrico #13.7 Fornecer para cada aluno uma malha quadriculadas com 10 x 10 quadrículas onde estão marcadas as coordenadas dos pontos sobre os eixos de 0 até 10, bem como o conjunto das coordenadas dos vértices de cada segmento de reta para que ele os desenhe sobre a malha.

10 9 Coordenas dos Segmentos de Reta:

1. de ( 0,0) até (10,10)

2. de ( 0,10) até ( 7.5,7.5)

3. de (7.5,2.5) até (7.5,7.5)

4. de(2.5,0) até (2.5,2.5) 5. de ( 5,0) até (10,5)

4 3 2 1 0

9 10

15.2.2.4.- Jogo Para o Pensamento Geométrico #4 Fornecer para cada aluno uma malha quadriculadas com 12 x 12 quadrículas, sem as coordenadas dos eixos – ele é que deve marcá-las se julgar conveniente, após estudar as coordenadas dos segmentos de reta fornecidos ao lado a malha.

Coordenas dos Segmentos de Reta: 1. de ( 0,0) até (10,10) 2. de ( 0,10) até ( 7.5,7.5) 3. de (7.5,2.5) até (7.5,7.5) 4. de(2.5,0) até (2.5,2.5) 5. de ( 5,0) até (10,5)

15.2.3.- Sete Peças e Mil Figuras Há duas formas de se utilizar as sete peças do tangram tradicional, (a) Copiar as figuras a partir dos diagramas em que as peças são mostradas; (b) Montar as figuras a partir das sobras de cada uma das figuras.

168

15.2.4.- Exibindo algumas Coleções de Figuras A seguir iremos mostrar diversos tipos de figuras que podem ser ‘criadas’ com as sete peças do tangram Chinês.

15.2.3.1.- Gatos, Coelhos e Cães

169

15.2.3.2.- Pรกssaros e Peixes

15.2.3.3.- Animais Selvagens

170

15.2.3.4.- Objetos e Pessoas

15.2.3.5.- Figuras Geométricas Planas As peças do tangram tradicional se prestam para, não somente formar os tipos de figuras mostradas acima, mas para compor figuras geométricas planas: quadrado, paralelogramo, triângulo, retângulo, trapézio equilátero e trapézio retângulo.

171

Quadrado

Retângulo

Paralelogramo

Trapézio Isósceles

Triângulo Isósceles

Trapézio Retângulo

15.2.3.6.- Preenchendo sombras com as 7 peças do Tangram A maneira de se criar as figuras mostrada acima é uma das formas de se jogar livremente com as peças do tangram chinês, outra forma de fazê-lo, é mostrar as sobras das figuras e propor um quebra cabeças onde se deve tentar preenchê-las com as 7 peças do jogo.

172

Com o tempo e com a prática este último tipo de desafio pode se mostrar até mesmo fácil, no entanto logo de início, principalmente quando jogamos com crianças pequenas, as figuras em peto devem ser utilizadas como se fossem ‘moldes’ onde se encaixariam as sete peças do tangram, recobrindo-as exatamente.

15.3.- O Tangram Circular Um dos tangrans mais interessantes que conheço, justamente porque com ele se consegue formar figuras belíssimas como será mostrado adiante, este é o tangram circular. Ele é composto por nove peças mostradas abaixo:

15.3.1.- A Construção do Tangram Mais importante do que recortar o tangram circular e tentar formar ‘figuras’ com estas 9 peças, será o processo de construção do tangram a partir dos dados mostrados a seguir, pois além do uso de um compasso e um transferidor, muitas outras idéias geométricas estarão presentes e poderão ser discutidas em sala de aula. A elaboração do desenho do tangram circular – a sua construção – envolve os seguintes elementos:

173

a) Uma circunferência cujo raio meça uma unidade a ser escolhida como padrão – como, por exemplo, 7 cm –, a ser dividida em 4 setores circulares com angulação de 90º cada um: 90º

b) Um anel circular cujo raio da circunferência externa meça 3 das unidades escolhidas como padrão, ou seja, 21 cm, e a circunferência interna meça uma unidade padrão, 7 cm, de onde iremos obter 5 setores anulares, 3 com angulação de 90º e 2 com angulação de 45º:

45º

90º

c) Desta forma, o tangram a ser recortado – que consta do CD-R que acompanha o livro, nas medidas acima citadas –, é o seguinte:

7 cm

21 cm

174

15.3.2.- Algumas Figuras Elaboradas com o Tangram Circular Ao contrário do tangram tradicional (o quadrado decomposto em 7 peças) as figuras formadas com o uso das 9 peças do tangram circular não exigem uma interpretação acurada para sabermos o que elas representam. Os resultados são magníficos quando analisados do ponto de vista gráfico.

175

15.4.- Construção do Tangram Oval – Passo-a-Passo A construção do tangram oval envolve o uso de um compasso escolar, e isto é uma grande oportunidade para se falar da circunferência e do circulo bem como de suas propriedades.

1) Desenhar uma circunferência de raio 6 cm, 2) Desenhar um segmento AC prolongando-o traçando os seus diâmetros formando conforme mostrado na figura; fazer o ângulos de 90º: mesmo com relação a BC :

B V

D V

3) Tomar um compasso abrindo-o sobre o 4) Centrar o compasso em C com raio igual a segmento AB . Com esta abertura e com CE , traçar o arco de circunferência que liga centro em A, traçar um arco de E a F: circunferência até o prolongamento do segmento AC . Tomar como centro o ponto B e repetir o mesmo até encontrar o prolongamento do segmento de AB :

F C

B V

D V

B V

176

Usando o mesmo raio CE encontrado 6) Usando de novo o raio CE , com centro em acima, com centro em D, determinar sobre o G, traçar arco de circunferência que determinará sobre AB os pontos H e I: segmento DO o ponto G:

E E

F C C

A A

B V

B V G

D V

7) Traçar os seguintes segmentos: GH e GI :

8) Prolongar o segmento OC até atingir o arco de circunferência que passa por E e por F:

D V

B V

D V

Além das propriedades da circunferência e do círculo deve-se aproveitar esta oportunidade para falar da nomenclatura de suas partes, tais como: raio, arco de circunferência, setor circular, segmento circular, retificação de curvas (vide a combinação do segmento de circunferência EF que combinam perfeitamente com os segmentos de circunferência AE e BF). Pode-se ainda introduzir, em turmas mais avançadas, os conceitos da divisão do círculo em setores medidos em graus, radianos e grados, inclusive, utilizando-se para isto, o uso de uma calculado científica comum, para mostrar as possibilidades de transformação entre medidas realizadas nestes tipos de unidades de medidas dadas.

177

15.4.1.- Construção do Tangram Oval - Resumo O professor poderá encontrar no CD-R que acompanha o livro a seguinte folha de instruções que poderá utilizar com seus alunos, para que eles mesmos desenhem o seu tangram oval:

Construção e Recorte do Tangram Oval

F C

B V

D V

1) Desenhar uma circunferência de raio 6 cm, traçando os seus diâmetros formando ângulos de 90º; 2) Desenhar um segmento AC prolongando-o conforme mostrado na figura; fazer o mesmo com relação a BC ; 3) Tomar um compasso abrindo-o sobre o segmento AB . Com esta abertura e com centro em A, traçar um arco de circunferência até o prolongamento do segmento AC . Tomar como centro o ponto B e repetir o mesmo até encontrar o prolongamento do segmento de AB ; 4) Centrar o compasso em C com raio igual a CE , traçar o arco de circunferência que liga E a F; 5) Usando o mesmo raio CE encontrado acima, com centro em D, determinar sobre o segmento DO o ponto G; 6) Usando de novo o raio CE , com centro em G, traçar arco de circunferência que determinará sobre AB os pontos H e I; 7) Traçar os seguintes segmentos: GH e GI ; 8) Prolongar o segmento OC até atingir o arco de circunferência que passa por E e por F. 9) Recortar a figura de acordo com as cores (vide acima) que demarcam as 10 peças do tangram oval.

178

15.5.- O Tangram Octogonal O Tangram Octogonal é mais um tipo de tangram que poderá facilmente ser construído e utilizado nas salas de aulas pelos próprios alunos a partir de instruções do educador. Abaixo mostramos o tangram pronto para ser recortado e, imediatamente a seguir, apresentamos as instruções que os alunos poderão utilizar para elaborar o desenho de seu próprio Tangram Octogonal. G H

B C

15.5.1.- As Instruções Para a Criação das Peças do Tangram Octogonal A meu ver, a obtenção das oito peças geométricas do tangram através de um processo de ‘fabricação’ e ‘recorte’ é onde reside a parte mais importante de todo o processo, ideia que vem sendo discutida desde o início neste JGEOM. A elaboração do tangram de acordo com as instruções dadas a seguir, contém importantes noções de geometria aplicadas na prática, e por isto a sua importância, muito maior do que a futura montagem das figuras que se possam ‘inventar’ com estas peças. O educador deve deixar praticamente todas as decisões por conta dos seus alunos que poderão trabalhar individualmente ou, o que seria mais adequado, em pequenos grupos com apenas dois alunos, para que eles possam comparar e trocar ideias. As instruções a seguir exigem várias tomadas de decisão por parte dos alunos, o que permitirá a obtenção primeiramente de peças em tamanhos diferentes a partir da escolha do tamanho do raio da circunferência (de 7 a 9 cm o que corresponderá a diâmetros entre 14 cm e 18

179

cm, respectivamente – confira no desenho alocado logo após o conjunto de instruções). Se algum aluno perguntar se ele pode traçar uma circunferência com 8 cm de raio, aproveite a chance e discuta com todos os alunos o significado matemático das seguintes afirmativas: “O raio da

circunferência pode ter medidas escolhidas desde 7 cm até 9 cm” e “O raio da circunferência pode ter medidas escolhidas entre 7 cm e 9 cm”, aproveitando para comentar isto simbolicamente: 7cm ≤ raio ≤ 9cm

e 7cm < raio <9cm

INSTRUÇÕES PASSO-A-PASSO PARA A CRIAÇÃO DO TANGRAM OCTOGONAL G H

B C

1. Traçar uma circunferência cujo raio pode ter uma medida escolhida desde 7 cm até 9 cm (diâmetros respectivamente variando de 14 cm até no máximo 18 cm); 2. Dividir esta circunferência em oito partes iguais (vide JGEOM#14); 3. Marcar as divisões no sentido horário ou anti-horário a partir de qualquer um dos pontos divisores da circunferência; G H

G H

B C

G H

180

Nota: para unir os pontos use linhas tracejadas

ou linhas auxiliares bem finas e de preferência a lápis. 4. Unir o por A ao ponto F; 5. Unir o ponto C ao ponto F; 6. A partir do ponto A prolongar uma reta na direção do ponto D até atingir a reta CF ; G H

G H

B C

G H

B C

7. A partir do ponto C prolongar uma reta na direção do ponto H até atingir a reta AF ; 8. A partir do ponto B prolongar uma reta na direção do ponto F atingir o cruzamento das

duas linhas traçadas anteriormente (vide passos 6 e 7); 9. A partir do ponto D prolongar uma reta na direção do ponto G atingir a reta CF . 10. Recorte o hexágono e, em seguida, com muito cuidado, recorte uma a uma, as figuras contidas no hexágono.

Mas vai aqui um alerta para os educadores: se a construção das peças do tangram foram guiadas verbalmente pelo professor ou através do uso das instruções impressas, as montagens ou composições de figuras não devem guiada, é uma tarefa que deve ser deixada à iniciativa e à criatividade dos alunos. As peças deste tangram, por serem simétricas, deve facilitar bastante a

181

montagem de figuras até muito interessantes. Caberá ao professor sugerir objetos e animais tais como: barcos, peixes, pássaros, dando conhecimento aos demais alunos da classe, dos resultados obtidos individualmente ou pelos grupos, mesmo que as figuras conseguidas não sejam das mais interessantes.

15.5.2.- Algumas figuras Criadas Pelo Autor O autor se permitiu criar as suas próprias ‘figuras’ somente para mostrar que as composições com as 8 peças do tangram octogonal são possíveis. Ele acredita que os alunos e o próprio leitor poderão fazer melhor do ele, pois as figuras a seguir podem muito bem ser melhoradas, e muito.

182

15.6.- Usando Papel Quadriculado Para Criar os Tangrans No CD-R que acompanha este livro o leitor irá encontrar uma página do tipo A4 que pode ser impressa. Ela é apresentada com um quadriculado com linhas em branco e fundo lilás claro, apropriado para servir de suporte para a criação de vários tipos de tangrans.

15.6.1.- Modelos de Tangram Desenhados Sobre o Papel Quadriculado A seguir vamos mostrar alguns exemplos de tangrans que podem ser desenhados sobre o papel quadriculado. Uma das vantagens dos tangrans desenhados sobre o papel quadriculado é que os desenhos de suas peças podem ser transmitidas pelo educador aos seus alunos através das coordenadas cartesianas de seus vértices – quando os tangrans devam ser desenhados e utilizado em sala de aula.

15.6.1.1.- O Tangram em Forma de Coração Apesar de parecer à primeira vista, um desenho difícil de ser conseguido, ele fica muito facilitado se fizermos uso do papel quadriculado invertido.

Utilizando o papel quadriculado invertido nós apresentamos o desenho do Tangram em forma de coração em três tipos de escala: 1. O desenho está para cada quadrícula assim como 1 está para 1, ou seja, o desenho utiliza cada uma das quadrículas como uma unidade de área. Matematicamente isto poderá ser escrito como:

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desenho 1 = =1 quadrícula 1

2. O desenho está para cada quadrícula assim como 2 está para 1, ou seja, o desenho utiliza cada quatro quadrículas como uma unidade de área. Matematicamente isto significa que este novo desenho tem o dobro da área relativamente à área do desenho menor, ou seja: desenho 2 = =2 quadrícula 1

Escala 1:1

Escala 2:1

3. O desenho está para cada quadrícula assim como 3 está para 1, ou seja, o desenho utiliza cada nove quadrículas como uma unidade de área. Matematicamente isto significa que este novo desenho tem uma área: que vale o triplo do desenho cuja escala é 1:1 e uma vez e meia a área do desenho cuja escala é 2:1. desenho 3 = =3 quadrícula 1

Escala 3:1

184

15.6.1.2.- Tangrans Circulares Desenhados Sobre O Papel Quadriculado No item 14.3. estudamos o Tangram Circular propriamente dito – que é mostrado na figura abaixo –, em que todas as peças foram obtidas de dois círculos concêntricos.

O Tangram circular que aqui vamos estudar, será desenhado inteiramente desenhados sobre um papel quadriculado invertido na escala 3:1. Nós apresentamos a seguir, três desenhos de Tangrans Circulares, onde se podem observar pequenas mudanças de um para outro.

Escala 3:1

15.6.1.3.- Tangram Retangular O modelo de tangram retangular mostrado abaixo é bastante popular e seu desenho é tradicionalmente aquele divulgado em livros e em sites da Internet.

Escala 2:1

185

Apesar de possuir 7 peças, ele é bastante limitado quando se trata de ‘formar figuras’ com suas peças. Por isto, propusemos mais dois modelos de tangrans baseados neste modelo tradicional, que podem ser vistos logo abaixo. Dentro do espírito de nossa proposta de trabalho, aquela da criação de Jogos Para o Pensamento Geométrico, sugerimos que o leitor analise os dois outros modelos de tangram, crie seus próprios modelos e tente formar suas figuras.

Escala 2:1

Estes três tangrans são mostrados na escala 2:1 – proporção esta existente entre cada figura e o papel quadriculado que os suporta.

15.6.1.4.- Mais Três Tangrans Retangulares Sem realizar estudos detalhados vamos acrescentar à nossa coleção de tangrans, mais quatro tangrans retangulares. Cabe ao leitor redesenhá-los em escalas mais adequadas e criar com eles a elaboração de suas próprias figuras.

Escala 2:1

186

Escala 2:1

187

15.6.2.- O Papel Quadriculado Invertido e o Desenho de Tangrans Não existem limites para a criação de tangrans, dos mais diversos, quando utilizamos o papel quadriculado, seja ele invertido ou não, por isto vamos aqui estabelecer algumas regras que possibilitem um o jogo da elaboração de figuras sem entraves: •

O jogador não deve ser obrigado a jogar com todas as peças do tangram, pois o uso obrigatório de todas as peças podem limitar a criatividade;

•

O leitor poderá criar os seus próprios tangrans, observando que não se deve desenhar uma quantidade muito repetida de peças, ou seja, somente muitos triângulos retângulos , ou muitos trapézios, etc. Isto só seria admitido se estas peças fossem de formar e tamanhos distintos.

•

O leitor deve ser lembrado que em muitos dos nossos JGEOM anteriores nós pudemos montar quebra-cabeças com peças repetidas, como no JGEOM#02 – Pattern Blocks ou Blocos Padrão; JGEOM#03 – Propondo Novos Conjuntos de Blocos Padrão; e isto somente para citar alguns deles. Assim não será o caso de elaborarmos nossos novos tangrans com uma repetição de peças idênticas.

15.7.- Usando Papel Triangulado Para Criar os Tangrans O tangram triangular deve ser criado sobre uma folha de papel especial – normalmente do tamanho A4 – formada por uma malha de triângulos equiláteros como a mostrada a seguir. No CDR que acompanha o livro o leitor irá encontrar esta folha de papel no formato A4 para ser impressa.

15.7.1.- O Tangram Triangular O nosso primeiro modelo de tangram triangular poderá ser construído com 8 peças, em que duas destas peças são triângulos, três são trapézios equiláteros, duas são losangos e uma é um pentágono. A ideia é a mesma dos demais tangrans: formar figuras ‘semelhantes’ a pessoas, animais, objetos, etc. Este tipo de ‘trabalho’ iremos deixar para os leitores. O tangram mostrado a seguir apresenta-se com as peças coloridas para facilitar os recortes, no entanto deve-se observar

188

que seria mais interessante do ponto de vista do jogo de composição de figuras, que todas as peças fossem da mesma cor.

15.7.1.1.- Jogos Para o Pensamento com o Tangram Triangular Muitos são os Jogos Para o Pensamento Geométrico que podem ser feitos com as peças do tangram triangular: •

Imprima os dois triângulos abaixo (ambos com peças em branco) plastifique-os, recorte as peças e proponha a crianças pequenas verificar quais peças grandes x pequenas, possuem as mesma formas.

•

Se considerarmos que o triângulo verde claro vale 1 unidade de área, calcular a área das demais peças do tangram triangular.

•

Pode-se fazer um estudo de área dos polígonos, ao considerarmos cada triângulo componente da malha como tendo, por medida 1/4 unidade de área. Neste caso, o pequeno triângulo verde então conterá 4 triângulos da malha triangular, como cada

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um deles mede ¼ de unidade de área, podemos afirmar que o triângulo verde mede 1 unidades de área. •

A partir deste cálculo inicial, podemos calcular a área das demais peças do tangram triangular ordenando-as pelo valor de suas áreas, seja de forma crescente ou decrescente.

•

Verificar quais as peças que podem ser recortadas para dar origem a outras das peças do tangram.

•

Veja na figura abaixo que as peças do tangrans foram desenhadas primeiramente na proporção entre a área da peça e o triângulo da malha de 1:1, ou seja: área da peça 1 = =1 área do triângulo básico 1

•

O desenho a seguir mostra as mesmas peças, agora desenhadas na proporção 4:1, ou seja, uma peça (por exemplo a vermelha) cuja área no desenho acima vale 5 unidades, na figura abaixo, mantendo-se o mesmo critério (cada triângulo valendo 1 unidade de área) passará a ter 4 vezes mais unidades de área, ou seja: área da peça 4 = =4 área do triângulo básico 1

190

15.7.2.- Um Tangram Retangular Desenhado na Malha Triangular Pode-se utilizar o papel triangular para se desenhar com mais segurança as linha em diagonal presentes no desenho das peças de um tangram.

15.8.- Criar Um Novo Tangram e Formular Novas Regras A partir do objetivo proposto neste JGEOM sobre os tangrans: que o mais importante aqui não é a composição de figuras que se assemelhem a ‘algo’, tais como animais, gente ou objetos, mas as ideias matemáticas e ou geométricas embutidas na construção do próprio tangram. Todos os tangrans que analisamos até aqui, tradicionalmente têm suas peças retiradas de uma dada figura geométrica, que ao ser decomposta, gera as peças com as quais devemos tentar montar as figuras nas quais reconheçamos algum objeto, perfis de pessoas, animais, etc. É fácil reconhecermos que mudança notável no conceito tradicional do que deva ser um ‘tangram’, é fazê-lo utilizando 3 figuras geométricas – no nosso caso 3 hexágonos. Cada um destes hexágonos irá apresentar a indicação dos recortes das peças, através de diagramas distintos. Se acrescentarmos a isto uma regra que diz: você pode utilizar a quantidade de peças que você achar necessária para dar forma às suas figuras, a coisa se transforma numa heresia, a ser ‘punida’ com as mais duras críticas. Quanto a isto ser uma heresia ou apenas um contrassenso, o autor sente muito. No entanto, o leitor deve considerar que esta série de livros tem como proposta básica a criação dos Jogos Para o Pensamento – sejam eles lógicos, aritméticos, geométricos ou algébricos. Concordando com isto, o autor afirma a seu favor que ele está apenas exercendo o direito de pensar sobre o pensamento

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envolvido nos jogos tradicionais, criando novas formas de recriá-los, focando exatamente a forma de repensar criativamente estes jogos.

15.8.1.- O Nosso Tangram Com 18 Peças Aqui temos o nosso tangram com 18 peças, criado ao se recortar, de acordo com os diagramas mostrados nas figuras abaixo, três hexágonos. Por que adotar três figuras geométricas para elaborar as peças deste tangram: é aí começa a originalidade do nosso projeto, que irá se prolongar pelo seguinte: não há obrigatoriedade de se utilizar todas as peças nas composição das figuras. Assim poderemos classificar as nossas figuras a partir da quantidade de peças utilizadas para compô-la: 3, 4, 5, 6, ..., 18.

15.8.2.- Compondo Figuras Com as 18 Peças ou com Uma Parte Delas O leitor encontrará no CD-R que acompanha este livro as figuras acima em verdadeira grandeza, prontas para serem impressas, plastificadas e em seguida recortadas. Quanto à tarefa da composição de figuras que se assemelhem a pessoas, animais, objetos, etc, ela é deixada para o leitor, que como Arquimedes, deve procurar suas próprias soluções. E olhe que buscar soluções para o Stomachion deve ter sido extremamente difícil, além de cansativa.

15.9.- Vamos Formular Novas Regras e Criar Novos Jogos O autor não aceita que os jogos Para o Pensamento Lógico Matemático (Jogos Lógicos, Aritméticos, Geométricos e Algébricos) devam ter projetos rígidos - serem regidas por regras imutáveis e limitadas, se prenderem a desenhos padronizados e terem formatos imutáveis. A nossa proposta tem sido fornecer opções de mudanças até mesmo drásticas não somente com relação às regras mas sobretudo quanto ao design dos mesmos, deixando muito sobre o pensar para os nossos leitores. Assim, estaremos aprendendo a ‘pensar sobre o pensar’ um dos objetivos mais caros a Psicologia Cognitivista.

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Dentro destes princípios eu acredito que com este JGEOM#15 chegamos ao ápice de nossa proposta para este conjunto de quatro livros. Espero que o leitor concorde comigo e comece a inventar não somente novas regras para os jogos até aqui apresentados, mas que crie suas próprias alternativas, adotando o hábito de inventar seus jogos e a divulgá-los.

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JGEOM#16– JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 16

Stomachion: Um Tangram Criado Por Arquimedes Um dos tangrans mais pesquisado pelos matemáticos tem sido o Stomachion, um tangram criado por Arquimedes. Apesar de ser repeto de propriedades matemáticas, ele não se presta à elaboração de figuras que se assemelhem a pessoas, objetos, etc.

16.1.- Um Tangram Criado por Arquimedes A nossa proposta de criar nossos próprios tangrans e elaborar as ‘figuras’ com todas ou apenas algumas daquelas peças, não é de todo original, pois Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.) se dispôs a assumir a ‘tarefa’ de criar o seu próprio tangram, o Stomachion, Ostomachion ou Loculus Archimedius (Caixa de Arquimedes).

Tarefa de Arquimedes incluiu não somente a decomposição de um quadrado em 14 peças como mostramos abaixo, mas também a de criar exemplos de algumas figuras que pudessem ser compostas com elas, o que comparado aos tangrans estudados anteriormente no JGEOM#14, é muito mais difícil.

Mas tem mais, o problema maior com este tangram não reside na quantidade de peças, o maior problema é que, obrigatoriamente, todas as 14 peças devem ser utilizadas para compor cada uma das figuras. Mais à frente, o leitor encontrará detalhes sobre o Stomachion, bem como a

sugestão de vários Jogos Para o Pensamento Geométrico evolvendo as suas 14 as peças.

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16.1.2.- Arquimedes, o Cientista Grego Possivelmente o Stomachion seja tão antigo quanto, ou até mais antigo do que o quebracabeças que denominamos Tangram Chinês ou Tangram Tradicional (vide item 13.2. do JGEOM#13), Arquimedes foi um cientista de origem grega, destacou-se por estudos nas áreas de Geometria e Física, sendo lembrado, senão pelo princípio que leva seu nome o “Princípio de Arquimedes”: ‘Um corpo sólido desloca uma quantidade de líquido igual em volume à porção deste sólido que esteja nele mergulhada’, mas já nos primeiros anos de escolarização, quando é citado numa história que possivelmente seja apenas uma lenda: que ao ser encarregado de verificar se o volume de ouro entregue a um ourives para fabricar uma coroa para um rei, estava totalmente presente no objeto, ou seja: o ourives utilizou exatamente todo o ouro a ele enviado ou, tendo misturado ao ouro outro tipo de metal não precioso ele reteve a parte do ouro que ultrapassava o peso do material originalmente a ele entregue. Pensando numa solução para o problema a ele proposto pelo rei, certo dia ao mergulhar seu corpo em uma banheira cheia de água notou que uma porção do líquido havia sido jogada para fora. Afirmam que foi daí que ele formulou o princípio que leva o seu nome, permitindo-lhe confirmar que a quantidade de ouro usado no fabrico da coroa, era exatamente igual ao entregue ao ourives. Conta-se ainda, que entusiasmado pela descoberta ele saiu nu pelas ruas de Siracusa gritando ‘EUREKA18’ que significa ‘ Achei’, ‘Descobri’.

16.1.3.- Stomachion o Nome e o Jogo Não propomos aqui a solução para o significado da palavra ‘Stomachion’ mas uma hipótese até interessante: não é de todo impossível que esta palavra grega tenha dado origem na língua inglesa a ‘stomach’ e, na língua portuguesa, à palavra ‘estômago’. E agora a título de piada nós poderíamos muito bem, afirmar tano em inglês como em português que: ‘They had no stomach for play Stomachion’, ou seja, ‘Eles não têm estômago para jogar o Stomachion’, o que nos pareceria muito pertinente em se tratando de um quebra-cabeças que exige muito pensamento para se chegar a conclusões que nem sempre mostram um bom equilíbrio no seu custo-benefício, este é um caso de muito trabalho por muito pouco rendimento.

Eureka (in) American Heritage Dictionary: greek heur¶ka, I have found! Supposedly exclaimed by Archimedes upon discovering how to measure the volume of an irregular solid and thereby determine the purity of a gold object. Em tradução livre para o português: do grego heur¶ka,, Eu encontrei! Supostamente exclamado por Arquimedes ao descobrir como medir o volume de sólidos irregulares e, através disto, determinar a pureza de um objeto de ouro.

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Modelo Padrão do Tangran Stomachion de Archimedes Todos os jogos neste JGEOM são baseados neste modelo padrão, a não ser quando citado explicitamente que estaremos utilizando um outro tipo de padrão para a distribuição das peças do Stomachion.

16.2.- Stomachion: Jogos Para o Pensamento Geométrico No Stomachion praticamente todas as peças são irregulares, conforme poderemos conferir no desenho abaixo, onde encontraremos: 1 pentágono, 2 quadriláteros e 11 triângulos, sendo todos eles triângulos escalenos – com os três lados com medidas diferentes entre si – e somente dois deles são triângulos retângulos.

Curiosamente apenas quatro destas peças são congruentes duas-a-duas: as duas na cor amarela e as duas na cor azul, marcadas numa das figuras acima, sendo que as restantes dez figuras são completamente diferentes entre si. .

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16.2.1.- As 536 Maneiras de Permutar as Peças do Stomachion O Modelo Padrão do Stomachion, normalmente é apresentado como tendo para suporte um quadrado de 12 x 12 quadrículas, sendo que suas peças geométricas são desenhadas de forma que seus vértices coincidam com os cruzamentos das linhas das quadrículas. Adotando-se um papel quadriculado com quadrículas que meçam 1cm de lado iremos obter uma área de 144 cm2.

A disposição das peças do Modelo Padrão do Stomachion mostrado acima não é a única. Em 2003 Bill Cutler19, usando um software computacional apropriado, encontrou 536 possibilidades de distribuir (permutar), de maneiras distintas, as peças do Stomachion no quadrado com 12 x 12 quadrículas, e isto ao se eliminar as distribuições obtidas através de rotações e reflexões das distribuições até ali conseguidas. No site do Wolfram Math Resources20 o leitor interessado irá encontrar estas 536 formas de recompor ao Caixa de Arquimedes. Abaixo mostramos duas destas 536 possibilidades, chamando a atenção para o seguinte: no primeiro exemplo a remontagem pode ser conseguida diretamente através do desenho dos segmentos de reta sobre uma grade de 12 por 12 quadrículas através do uso das coordenadas dos pontos que foram destacados em vermelho; já no segundo caso a remontagem tem que ser cuidadosamente observada para que se possa obtê-la usando as peças do Stomachion. 19

William H. Cutler (Bill Cutler) é um americano analista de sistemas computacionais versado em matemática. Weisstein, Eric W. "Stomachion." From Wolfram MathWorld : http://mathworld.wolfram.com/Stomachion.html

197

16.3.- Outros Jogos Para o Pensamento Geométrico Diferentemente do que normalmente se costuma propor com relação a um tangram, aqui nós não buscaremos somente compor figuras, mas sim, como propusemos anteriormente, explorar algumas qualidades matemáticas do Stomachion. E assim mesmo, as figuras que proporemos criar são: as várias formas de realocar as formas do Stomachion dentro do quadrado de 12 x12 quadrículas analisando os possíveis eixos de simetria e a redisposição das peças de maneiras simétricas àquelas anteriormente apresentadas, a partir da utilização destes eixos; sobre a composição de outros tipos de figuras iremos tentar a partir do conceito de área a composição de figuras geométricas planas tais como: triângulo; paralelogramo; trapézios isósceles, escaleno e retângulo; losango, incluído aí evidentemente, o quadrado. Além disto, é possível a composição de alguns polígonos irregulares tais como: quadriláteros, pentágonos e o hexágonos, o que não nos interessa diretamente, pelo menos aqui.

16.3.1.- Montar uma Elefante com as Peças do Stomachion Esta é a figura mais popular que pode ser montada com as 14 peças do Stomachion. Ela aparece sempre com destaque, na maioria dos textos que falam sobre este tangram criado por Arquimedes.

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•

Vá até o CD-R que acompanha este livro e encontre o Stomachion na pasta ‘JGEOM#16” – você pode escolher o modelo quadriculado ou o modelo sem o quadriculado -em tamanho grande, cada um deles ocupa quase toda uma página do tamanho A4;

•

Escolhido o modelo você deve plastificá-lo e recortá-lo, em seguida;

•

Tente montar o elefante de acordo com a figura acima.

Comentários:

1. Você irá notar que a figura apresentada acima, transpira certa elegância que, normalmente quando se joga pela primeira vez com o Stomachion é difícil de ser conseguida. Imagine agora se a sua tarefa não fosse ‘copiar’ a figura, mas simplesmente: ‘Montar um elefante utilizando as 14 peças do Stomachion’? 2. Acredito que sempre é possível criar depois de alguns minutos de tentativas e erros, montar pássaros, navios, etc., usando as peças da maioria dos tangrans até aqui apresentados, mas com o Stomachion isto é uma tarefa semelhante a montar aqueles quebra cabeças com 2.000 peças, por exemplo. É muito difícil fazer surgir uma figura elegante, sem reentrâncias, totalmente convincente.

16.3.2.- Calcular a Área de Cada Uma das Peças do Stomachion O nosso primeiro Jogo Para o Pensamento Geométrico consistiu em copiar o famoso elefante montado com as peças do Stomachion, mas vamos propor aqui uma tarefa bem mais simples e interessante porque exige o conhecimento do conceito de cálculo das áreas de figuras geométricas planas. A tarefa será: Calcular a área de cada uma das peças do Stomachion. Para facilitar isto, utilize o Stomachion desenhado sobre um papel quadriculado.

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Cálculo das Áreas das Peças do Stomachion

Peça Nº

Valor da área

7 8

10 7

9 10

11 12

13 14

1. Imprima o Stomachion quadriculado que está no CD-R que acompanha este livro; 2. Numere o desenho do Stomachion de acordo com a figura acima; 3. Calcule a área do papel quadriculado que suporta o conjunto de peças do Stomachion; 4. Calcule e anote na ‘tabela’ acima cada uma das áreas obtidas, de acordo com a numeração; 5. Calcule a soma de todas as áreas de todas as peças e confira com o dado obtido no item ‘1.’.

5 cm2

RESULTADOS:

6 cm2

10 cm2 8 cm2

Confira

valor

das

áreas

9 cm

encontradas por você confrontando os ao lado: 4 cm2

1 cm2

11 cm2 12 cm

3 cm2

valores com aqueles anotadas na figura

5 cm

9 cm

7 cm2

2 cm2

200

16.3.3.- Criar Novos Tangrans com as Peças do Stomachion Um Jogo Para o Pensamento Geométrico bastante interessante é aquele em que juntamos algumas peças do Stomachion com a intenção de transformá-las em uma só peça, passando a ter novos tangrans cujas quantidades de peças se reduzam a 13, 12, 11, 10, 9, 8 e até no mínimo 7 peças. Veja alguns exemplos dos novos tangrans com 13 peças

Imprima tantas folhas do tamanho A4 – como a mostrada ao lado que se encontra no CDR deste livro –, quanto julgar necessário, que contém diversos desenhos do Stomachion e tente encontrar a maior quantidade possível de novos tangrans com peças em quantidades decrescentes a partir de 13 até chegar a 7. Novos Tangrans a Partir das Peças do Stomachion

201

16.3.4.- Montar um Triângulo com as 14 Peças (Nível Médio) Vá até o CD-R que acompanha este livro e imprima o Stomachion sem quadrículas, plastifique-o, recorte suas peças e, em seguida, monte o triângulo abaixo.

•

De acordo com o Stomachion quadriculado a área deste retângulo seria 144 cm2.

•

Montada a figura, diga quais devem ser as medida da base e da altura deste triângulo.

Comentários:

1. Observando-se bem, o leitor poderá

ver que esta montagem é extremamente fácil se

compararmos o triângulo montado acima com a disposição padronizada das peças do Stomachion. Veja abaixo:

2. Será que fenômenos semelhantes ocorrem com relação às montagens das demais figuras geométricas propostas acima: paralelogramo; trapézios isósceles, escaleno e retângulo; losango, incluído aí evidentemente, o quadrado.

16.3.5.- Montar Seis Figuras Geométricas Notáveis Se tomarmos como base o modelo padrão do Stomachion, iremos notar que, com um ou dois cortes feitos com segmentos de reta que extravasem aquele modelo, poderemos montar as

202

seguintes figuras geométricas planas notáveis, além do triângulo retângulo já montado anteriormente: o paralelogramo, o triângulo isósceles, o trapézio isósceles, o trapézio retângulo, o losango. O Jogo Para o Pensamento Geométrico aqui sugerido, baseado nos resultados encontrados no item anterior (a montagem do triângulo), é o seguinte: Imprima e plastifique as seis figuras geométricas planas notáveis; •

Recorte-as de acordo com as cores;

•

Embaralhe e distribua todas as 17 peças;

•

Imprima o Modelo Padrão do Stomachion para servir de guia e solicite que os

jogadores montem com as peças as seguintes figuras geométricas planas notáveis, saber: o paralelogramo, o triângulo isósceles, o trapézio isóscele, o trapézio retângulo, o losango e triângulo retângulo.

16.3.5.1.- Veja como Cortar O Stomachion Padrão Veja os resultados de nossos cortes nas figuras coloridas abaixo:

Paralelogramo

Triângulo Isósceles

Trapézio isósceles

Trapézio retângulo

Losango

Triângulo retângulo

203

16.3.5.1.- Soluções

16.3.6.- Embaralhar as 14 Peças e Montar um Triângulo Este é um Jogo Para o Pensamento Geométrico bastante difícil para aqueles que desconhecem a estratégia bem como desconhecem os resultado encontrados no item acima. •

Vá até o CD-R que acompanha este livro e imprima o Stomachion quadriculado, plastifique-o, recorte suas peças;

•

Embaralhe as peças e solicite ao jogador que monte o triângulo cujas medidas sejam: base = 24 quadrículas e altura 12 quadrículas.

•

Para facilitar o seu trabalho desenhe uma moldura para receber as peças que irão compor o triângulo.

204

16.3.7.- - Embaralhar as Peças e Remontar o Stomachion Sabemos que há 536 formas de remontar o Stomachion a partir de suas 14 peças, assim sendo, o Jogo Para o Pensamento apresentado a seguir, é como no caso do Jogo anterior (item 15.3.5.2.) um problema com múltiplas soluções. •

Para facilitar o seu trabalho desenhe uma moldura medindo 12 por 12 quadrículas para receber as peças que irão compor o ‘novo’ Stomachion.

•

Embaralhe as peças e solicite ao jogador que monte o triângulo cujas medidas sejam: base = 12 quadrículas e altura = 12 quadrículas.

16.4.- Muito Mais Sobre o Stomachion O leitor que esteja interessado em montar figuras que se assemelhem a objetos, pessoas, animais etc. e conferir os resultados poderão se utilizar de uma ferramenta de busca na Internet (por exemplo o Google) e procurar pelas ‘figuras do Stomachion’.

205

JGEOM#17 – JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 17

Tecelagem Utilizando Tabuinhas Perfuradas Propomos aqui trabalhar com tecelagem utilizando produtos industrializados: o Eucatex® Perfurado e linhas coloridas de lã. Sobre os teres propõe-se que a costura seja feita de forma regular, isto é, com ‘desenhos’ repetitivos e bem organizados. Os tecidos regulares realizados sobre os teares permitirão a proposta de interessantes Jogos Para o Pensamento onde se deverá procurar ‘adivinhar’, a partir do traçado existente em uma das faces do tear, o traçado existente no verso do mesmo.

17.1.- Analisando o Vocabulário Como iremos falar de tecelagem seria bom que examinássemos em algum dicionário o significado das palavras relacionadas a esta arte: a Arte da Tecelagem. Para facilitar listamos abaixo algumas destas palavras retiradas de dois importantes dicionários da Língua Portuguesa.

17.1.1.- Dicionário Houaiss: •

Tecelagem: designação comum a qualquer cosedura.

•

Cosedura: ato ou efeito de coser; costura.

•

Tear: artefato ou máquina destinada ao fabrico de tecidos, malhas, tapetes etc.

•

Trama: o conjunto de fios que se cruzam no sentido transversal de um tecido.

•

Urdidura: conjunto de fios dispostos longitudinalmente no tear e pelos quais passa o fio da trama

•

Tecido: que se teceu; confeccionado com fios; urdido

17.1.2.- Dicionário Aurélio: •

Tecelagem: Trabalho ou indústria de tecelão.

•

Tecelão: aquele que tece pano ou trabalha em teares; tecedor.

•

Tear: Aparelho ou máquina destinada a produzir tecidos.

•

Trama: conjunto dos fios passados no sentido transversal do tear.

•

Urdidura: conjunto de fios dispostos no tear paralelamente ao seu comprimento, e por entre os quais passam os fios da trama.

•

Tecido: Produto artesanal ou industrial que resulta da tecelagem regular de fios de lã, seda, algodão, ou outra fibra natural, artificial ou sintética.

206

17.2.- Fabricando os Nossos Teares Os teres devem ser fabricados com Eucatex ® Perfurado onde as perfurações devem ser paralelas tanto na horizontal como na vertical. Por uma questão prática iremos produzir estes teres com duas e com três filas horizontais com 12 furos em cada fila, como as mostradas a seguir

17.2.1- Jogos Para o Pensamento A costura a ser realizada sobre os teares deve ser regular, isto é, os tecidos apresentados devem ser bem estruturados e repetitivos, ou seja, devem apresentar-se de forma bem organizada. Vamos a seguir apresentar vários “tecidos” e propor que se realizem alguns Jogos Para o Pensamento, onde se deverá procurar ‘adivinhar’, a partir do traçado existente em uma das faces do tear, o traçado existente no verso do mesmo.

17.2.1.1.- JPPG#1 - Jogo Para o Pensamento Geométrico #1 Suponha que as três tabuinhas apresentadas a seguir são transparente e desenhe sobre a figura o trajeto do barbante.

JPPG #1.1.

207

JPPG #1.2.

JPPG#1.3.

17.2.1.2.- JPPG#2 - Jogo Para o Pensamento Geométrico #2 Verifique se a trama a seguir está correta:

17.2.1.3.- JPPG#3 - Jogo Para o Pensamento Geométrico #3 Desenhe as soluções possíveis para o trajeto do fio da trama acima.

208

Solução: Há pelo menos duas soluções para este problema, veja a seguir. Para melhor

entender os desenhos faça um sombreado a lápis sobre as linhas que passam por traz do nosso tear.

9.2.1.4.- JPPG#4 - Jogo Para o Pensamento Geométrico #4 Suponha que as duas tabuinhas (com três filas de furos) apresentadas a seguir são transparentes e desenhe sobre a figura o trajeto do barbante.

JPPG#4.1.

209

JPPG#4.2.

17.3.- A Matemática do processo de tecelagem Nós podemos introduzir coordenadas que localizem os pontos de nossos dois teares – o com duas linhas e o com três linhas. Basta para isto pensarmos nos teares como sendo matrizes que contêm linhas e colunas que podem ser numeradas. Assim poderemos nos referir a um dos furos como sendo, por exemplo: furo(2,3) ou f(2,3) onde o primeiro elemento do par ordenado, o número 2 representa a linha, e o número 3, representa a coluna onde se encontra o furo, ou simbolicamente: furo(linha,coluna) – veja em verde o furo f(2,3). Para facilitar ainda mais, podemos adotar a notação flinha,coluna, que para o exemplo dado

Linha 1 Linha 2

 Coluna 12

 Coluna 11

 Coluna 10

 Coluna 9

 Coluna 8

 Coluna 7

 Coluna 6

 Coluna 5

 Coluna 4

 Coluna 3

 Coluna 2

 Coluna 1

ficaria: f2,3.

210

 Coluna 12

 Coluna 11

 Coluna 10

 Coluna 9

 Coluna 8

 Coluna 7

 Coluna 6

 Coluna 5

 Coluna 4

 Coluna 3

 Coluna 2

 Coluna 1

17.3.1.- Coordenadas para teares com duas filas de furos:

Linha 1 Linha 2

Veja que no desenho acima temos o seguinte: •

O f2,2 assinalado em amarelo;

•

O f2,6 marcado em vermelho

•

Em azul, o furo de coordenadas 1 e 10, ou seja, f1,10.

 Coluna 12

 Coluna 11

 Coluna 10

 Coluna 9

 Coluna 8

 Coluna 7

 Coluna 6

 Coluna 5

 Coluna 4

 Coluna 3

 Coluna 2

 Coluna 1

17.3.2.- Coordenadas para teares com três filas de furos:

Linha 1 Linha 2 Linha 3

Confira as coordenadas dos pontos coloridos da figura acima: amarelo: 1 e 3; marrom: 3 e 5 verde: 2 e 9; azul: 3 e 12.

17.3.2.1.- JPPG#5 - Jogo Para o Pensamento Geométrico #5 Tome um tear com 2 linhas e com 12 colunas e elabore a seguinte tecelagem cuja seqüência de coordenadas é dada a seguir:

JPPG#5.1. Verso: entra por de f1,1 + Frente: até f2,2 + Verso: até f1,3 + Frente: até f1,4 + Verso: até f2,5 + Frente: até f1,6 + Verso: até f1,7 + Repetir até finalizar.

211

Veja o resultado do JPPG#5.1 a seguir:

JPPG#5.2. Frente: (entra por) f2,1 + Verso: até f1,1 + Frente: até f2,2 + Verso: até f1,3 + Frente: até f2,4 + Verso: até f1,5 + Repetir até finalizar.

Veja o resultado do JPPG#5.2 a seguir:

17.3.2.2.- JPPG#6 - Jogo Para o Pensamento Geométrico #6 JPPG#6.1. Tome um tear com 3 linhas e com 12 colunas e elabore a seguinte tecelagem cuja seqüência de coordenadas é dada a seguir: Verso: (entra por) f3,1 + Frente: até f2,1 + Verso: até f1,1 + Frente: até f1,2 + Verso: até f2,2 + Frente: até f3,2 + Verso: até f3,3 + Frente: até f3,4 + Verso: até f2,4 + Frente: até f1,4 + Verso: até f1,5 + Frente: até f2,5 + Verso: até f3,5 + Frente: até f3,6 + Verso: até f3,7 + Repetir até finalizar.

Confira aqui o resultado do JPPG#6.1:

212

JPPG#6.2. Dê o conjunto inicial de coordenadas que permita elaborar o seguinte tecido:

Há pelo menos três soluções para o JPPG#6.2, confira-as a seguir:

Frente: f(1,1) + Verso: até f(2,1) + Frente: até f(3,2) + Verso: até f(3,1) + Frente: até f(2,2) + Verso: até f(1,2) + Frente: até f(1,3) + Repetir até finalizar.

Frente: f(1,1) + Verso: até f(2,2) + Frente: até f(3,1) + Verso: até f(3,2) + Frente: até f(2,1) + Verso: até f(1,2) + Frente: até f(1,3) + Repetir até finalizar.

Frente: f(1,1) + Verso: até f(3,1) + Frente: até f(2,2) + Verso: até f(2,1) + Frente: até f(3,2) + Verso: até f(1,2) + Frente: até f(1,3) + Repetir até finalizar.

17.3.2.3.- Sugestões Usando um tear com 3 linhas e 12 furos e os fios de lã reproduza primeiro o JPPG#6.1 e em seguida o JPPG#6.2 para então: a) Conferir as coordenadas do JPP#6.1. e propor um novo conjunto de coordenadas que mantenha o que foi tecido na frente, modificando o verso, se for possível;

213

b) Conferir as coordenadas do dos três resultados do JPPG#6.2 acima e buscar novas soluções que mantenham o que foi tecido na frente, modificando o verso, se for possível.

17.4.- Algumas Aplicações Notáveis da Tecelagem O trabalho com as tabuinhas de tecelagem pode ser notavelmente ampliado, como se verá pelas sugestões dadas a seguir: •

Pode-se utilizar tabuinhas mais amplas com, por exemplo, 10 por 10 furos, ou até maiores, permitindo a elaboração de tecidos simétricos;

•

Pode-se utilizar fios de lã de diversas cores em teares amplos como o sugerido acima medindo 10 por 10 ou até mais;

•

A perfuração das tabuinhas não precisa ter as colunas alinhadas verticalmente, sendo que apenas as linhas devem estar na horizontal, o que permitirá que tenhamos os furos em diagonal, como mostrado a seguir. Parece que existe um material perfurado da Eucatex®, ou talvez seja similar de um concorrente, com este tipo de perfuração:

•

Crianças e adultos privados de visão podem tirar proveitos bastante notáveis do uso das tabuinhas perfuradas;

•

As crianças e adultos privados de visão poderão utilizar ao invés de lã colorida, poderão utilizar fios de espessuras ou de texturas diferentes no caso de teares mais amplos.

214

JGEOM#18– JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 18

Sobre Caleb Gattegno e os Diversos Modelos de Geoplanos Caleb Gattegno foi um notável educador, matemático e linguista de origem egípcia, muito pouco conhecida e quase nunca associada uma de suas criações mais notável, o Geoplano. Também maioria dos educadores em matemática não sabe que foi graças a ele que o material denominado Barrinhas de Cuisenaire ficou conhecida mundialmente. Neste JGEOM iremos apresentar o Geoplano algumas de suas possibilidades, bem como alguns modelos destinados a diversas aplicações em Jogos Para o Pensamento Geométrico.

18.1.- Sobre Caleb Gattegno Caleb Gattegno (1911/1988) nasceu e passou a sua infância em Alexandria, no Egito, e viveu no Cairo – também uma cidade egípcia –, bem como em Londres e Nova York. Foi um notável educador, criando técnicas inovadoras, não somente no campo da Educação Matemática, mas no campo da linguística, tendo publicado trabalhos seminais na Teoria da Educação. Muito pouco conhecido, foi criador de um material concreto

extremamente importante para a

aprendizagem da Geometria: o Geoplano (em inglês: Geoboard ou Geoplan), além de ter sido o divulgador do material concreto criado por Émile-Georges Cuisenaire, as Barrinhas de Cuisenaire. Em 1937 doutorou-se em Matemática pela Universidade de Basel (Suíça); em 1948 obteve o título de Mestre em Educação pela Universidade de Londres (Inglaterra) e, finalmente em 1952, obteve o título de Doutor em Letras na área de Filosofia pela Universidade de Lille (França). Em 1952, lançou as bases para aquilo que se tornaria uma importantíssima Associação dos Professores de Matemática (veja em:

www.atm.org.uk/ the Association of Teachers of

Mathematics), que publica a revista Maths Teaching (http://www.atm.org.uk/journal/), que atualmente já ultrapassou 200 edições (em maio de 2012 estava no número 228). Ainda em 1952, participou da fundação - da Société Belge des Professeurs de Mathématique francófonos e de seu jornal Mathematica et Paedagogia. Foi um escritor prolífico e conferencista notável sendo que, entre 1944 e 1988, publicou cerca de 120 livros e 500 artigos científicos e ministrou palestras principalmente na Europa, na América do Norte, América do Sul, e no Japão. O que se vê após esta breve biografia, bastante resumida, é que Caleb Gattegno foi um importante cidadão do mundo. E apesar disto, poucos são os educadores que dão a ele a importância merecida e não sabem que foi ele o criador do Geoplano. Não sabem também que Gattegno foi o descobridor e divulgador do uso das Barrinhas de Cuisenaire, sendo que em 1954 fundou a ‘The

215

Cuisenaire Company’ (http://www.cuisenaire.co.uk/) na Inglaterra da qual foi diretor até1986, para produzir os manuais e os respectivos materiais baseados nas suas ideias e nas ideias de Cuisenaire.

18.2.- Construindo um Geoplano com 16 Pinos A seguir mostramos um geoplano (em inglês: ‘geoboard’ ou ‘geoplan’) com 16 pinos distribuídos numa formação quadrangular 4 × 4, e ao lado, uma forma de representação prática que iremos adotar nos exemplos dados neste JGEOM.

‘

Fácil de construir ele pode ser feito com uma base de madeira na qual são distribuídos de forma simétricas e equidistante 16 pinos (ou pequenos pregos) dispostos em 4 linhas e 4 colunas.

18.2.1.- Construindo Algumas Figuras Geométricas Planas Com bandas elásticas – destas utilizadas nos bancos para prender maços de notas de dinheiro – poderão ser elaborarados, por exemplo, quadrados em várias posições e tamanhos usando-se os pinos como suportes para os vértices, como mostrados nas figuras baixo.

Outras figuras geométricas planas, bem como algumas coposições destas figuras, também podem ser construídas como mostradas nos exemplos a seguir.

216 ‘

18.3.- Alguns Outros Modelos de Geoplano Praticamente não há limite para a quantidade de pinos num geoplano quadrado, mas isto está ligado à utilização que se pretenda dar a eles:

18.3.1.- O Geoplano com 25 Pinos O modelo mais comum, que praticamente é suficiente para algumas construções geométricas iniciais e para o estudo de suas propriedades é o geoplano com 5 x 5 pinos (25 pinos).

‘

217

•

O geoplano pode ser acompanhado de papéis especiais, impressos em folhas A4 ou em outros tamanhos, contendo vários desenhos do geoplano seguidos de espaços para anotações.

GEOPLANOS 5 X 5

FOLHA AVULSA Nº

Nome: ______________________________ Nº _______

______________________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________

10.3.2.- O Geoplano ‘10+1’ por ‘10+ 1’ Pinos Há geoplanos ainda com medida 10+1 x 10+1, ou seja, geoplanos com 11 x 11 pinos sendo que a linha a mais (notada como sendo +1) se destina a conter os eixos cartesianos. Estes geoplanos se destinam à introdução e prática do conceito de coordenadas cartesianas.

218

Nestes tipos de geoplanos as coordenadas cartesianas não precisam ficar limitadas aos números a sequências de números inteiros como ...-3, -2 , -1, 0, 1, 2, 3, ..., mas pode-se graduar os eixos de 0,5 em 0,5 unidades, por exemplo.

10.3.3.- O Geoplano ‘20+1’ por ‘20+ 1’ Pinos Para trabalhos mais complexos, como no caso de se querer estudar de forma concreta algumas ideias da Geometria Analítica, poderemos adotar geoplanos com 20+1 x 20+1 pinos, como os mostrados abaixo. Aqui novamente as unidades adotadas para a graduação dos eixos do X e do Y são números inteiros, mas nada impede de adotarmos uma variação de 0,5 em 0,5.

219

-8

-7

-6

-5

-4

-3 -2

-1

-10 -9 -8

-7 -6

-5

-4 -3

-2 -1

-10 -9

10.3.4.- Os Geoplano ‘Pentágono’, ‘Hexágono’, ‘Octógono’ ... Há modelos de geoplanos dedicados ao estudo de algumas figuras geométrica planas (regulares), como por exemplo, o pentágono, o hexágono e o octógono regulares. Este processo pode ser estendido para o decágono, o dodecágono, como mostraremos a seguir.

•

Para se construir um geoplano ‘pentágono’ devemos traçar o pentágono sobre o tabuleiro e destacar o seu centro. Em seguida pregar os 6 pinos, 5 nos vértices e um exatamente no centro do pentágono.

•

O Mesmo poderá ser feito com relação ao geoplano ‘hexágono’ e ao geoplano ‘octógono’, como mostrado abaixo.

220

•

Quanto às demais construções de geoplanos para o decágono, e dodecágono, a maneira de fazê-lo é mostrada abaixo.

221

10.3.5.- O Geoplano Trigonométrico O geoplano trigonométrico como o próprio nome diz, se destina ao estudo das funções trigonométricas. A distribuição dos pontos no círculo é feita de acordo com ângulos trigonométricos notáveis: 0 º, 30º, 45º, 60º, 90 º, etc., com uma particularidade, os ângulos de 45º, 135º, 225º e 335º são assinalados em vermelho. Os vários modelos de círculos trigonométricos que podem ser utilizados são mostrados abaixo. Cada um destes modelos foi pensado para que o educador possa escolher aquele que melhor se adapta à sua forma de expor os conceitos da trigonometria. Círculo trigonométrico simples:

•

R=1

•

Círculo trigonométrico com alguns valores dos ângulos notáveis em graus e radianos:

90º ≅

π 2

rad 60º ≅

π 4

rad 45º ≅

π 4

rad

30º ≅

π 6

rad

0º ≅ 0 rad

222

•

Círculo trigonométrico com os eixos das tangentes e cotangentes:

18.4. – Estudando Geometria nos Geoplanos Como se viu pode-se utilizar uma grande variedade de geoplanos para realizar, de forma concreta,um rico estudo envolvendo não somente as figuras geométricas, mas também as funções trigonométricas notáveis. Dentre aquilo que pode ser estudado com os geoplanos estão os seguintes fatos concretos:

Congruências

Medida de ângulos

Cálculo de perímetros

Cálculo de áreas

Simetrias

Translações

Rotações

Reflexões em torno de um eixo

Proporcionalidade

Escalas métricas

Estudo das coordenadas no plano cartesiano

Valores de seno, cosseno, tangente e cotangente de arco notáveis

223

Exemplificar o Teorema de Pick

Estudo das coordenadas polares

E muito mais ...

18.5. – Conclusão Os exemplos de geoplanos dados aqui não devem de forma alguma limitar a criatividade do educador. Acredito que muitas outras ideias podem ser desenvolvidas e aplicadas com sucesso nas salas de aula, Mais à frente na Parte B deste livro iremos propor uma série de exercícios envolvendo a utilização de diversos dos modelos de geoplanos aqui apresentados.

224

JGEOM#19 – JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 19

Remontar Quadrados Pré-Cortados ou A-Serem-Cortados Os Jogos aqui apresentados se baseiam em quadrados com 8cm ou 12cm de lado que podem ser escolhidos pelo educador de acordo com a conveniência do momento. Vários destes quadrados são pré-cortados segundo padrões bem estabelecidos, gerando a cada vez, peças dos mais variados formatos. Estas peças, componentes de cada um destes quadrados, deverão ser distribuídas embaralhadas ao jogador com a finalidade dele recompor aquele quadrado. Os jogos envolvem os conceitos de identidade, semelhança, congruência e correspondência biunívoca, entre outros. Além disso, outro Jogo Para o Pensamento Geométrico será apresentado, o ‘Recortar uma Figura e Montar Um Quadrado’, que como o próprio nome diz, consiste em fazer com que o jogador, seja solicitado a ‘cortar’ as figuras apresentadas (com uma só linha de corte), de modo a transformá-las, quando da recomposição, em um quadrado.

19.1.- Escolhendo o Tamanho do Módulo Quadriculado Os diversos jogos aqui apresentados foram desenvolvidos a partir de quadrados compostos por 4 x 4 quadrículas (16 quadriculas), cada uma delas medindo 2cm x 2cm ou então 3cm x 3cm, medidas estas que podem ser inicialmente escolhidas pelo educador de acordo com a sua conveniência: um material em tamanho reduzido ou em tamanho maior. Os módulos que irão gerar todos os jogos mostrados a seguir são os seguintes:

12 cm

8 cm

12 cm

Todo material referente aos jogos a serem aqui apresentados poderá ser reproduzido através de uma impressora jato de tinta colorida, plastificado e recortado em seguida, a partir dos arquivos constantes da pasta dos Jogo Para o Pensamento Geométrico intitulada JGEOM#19, constante do CD-R que acompanha este livro.

225

Apesar de muitos dos jogos envolverem os dois tamanhos de módulo (8cm x 8cm e 12 cm x 12cm), inicialmente o educador pode trabalhar apenas com um destes módulos, por exemplo, de acordo com os usuários: adultos ou crianças pequenas; crianças com necessidades especiais; idosos. Estes tipos de adequação podem e devem ser verificado pelo educador.

19.2.- Os 24 Quadrados Recortados: Amarelos e Verdes Este é o material a ser utilizados nos jogos que serão apresentados a seguir. Quadrados medindo 8cm e 12 cm, respectivamente: quadriculados ou amarelos e não-quadriculados ou verdes, devem ser recortados de acordo com os ‘modelos’ ou ‘moldes’ apresentados a seguir. A quantidade de quadrados a serem recortados é 24, sendo 12 no tamanho 8cm x 8cm e 12 no tamanho 12cm x 12cm. Como já se afirmou acima, o leitor encontrará no CD-R que acompanha este livro todos estes modelos, prontos para serem impresso, plastificados e em seguida recortados.

19.2.1.- Peças dos Quadrados Amarelos Os moldes apresentados a seguir deverão ser utilizados para recortar tanto os quadrados com 8 cm de lado como aqueles com 12 cm de lado. 1. Peças Quadriculadas (ou Amarelas) Básicas

2. Peças Quadriculadas (ou Amarelas) Auxiliares:

226

19.2.2.- Peças dos Quadrados Verdes 1. Peças Não-quadriculadas (ou Verdes) Básicas:

2. Peças Não-quadriculadas (ou Verdes) Auxiliares:

19.3.- Os Jogos Com as Peças dos Quadrados Estes são Jogos Para o Pensamento Geométrico a serem desenvolvidos, cada um deles em várias fases cuja dificuldade será crescente. As primeiras fases se destinam ao aquecimento ou ‘reconhecimento das propriedades do material’, sendo que as demais fases envolvem novos desafios, cada vez mais instigantes. Por isto, recomenda-se que cada fase seja esgotada em todas as suas possibilidades para somente então se passar à fase seguinte. Estes jogos podem ser jogados por uma criança ou um adulto contra o relógio ou no caso de duplicarmos este material, em jogos competitivos entre dois ou mais oponentes, ou ainda em jogos

cooperativos, em que as peças são distribuídas entre os jogadores, que mediante a troca de peças cada um deverá forma os seus pares (releia o JGEOM#05) ou resolver o problema proposto pelo educador. A duplicação, a triplicação, enfim a multiplicação do material permitirão ao educador criar novas regras para os jogos, a partir das regras sugeridas a seguir.

227

19.3.1.- Jogo da Identidade21 Dos jogos aqui apresentados este é o mais fácil, no entanto cabe ao educador escolher o tamanho dos quadrados a serem utilizados nas diversas fases do jogo: somente aquelas oriundas dos quadrados 8cm x 8cm ou somente aquelas pertencentes aos quadrados medindo 12cm x 12 cm.

1ª fase: Peças Amarelas Idênticas Distribuir as peças de quaisquer dois quadrados básicos da cor amarela (quadriculados), solicitando que cada uma das crianças separem as peças pela identidade (conjuntos de peças exatamente iguais em termos de medidas – mesmas formas e tamanhos).

2ª fase: Peças Amarelas Idênticas Assim que as crianças entenderem o jogo, o educador deve ir aumentando a quantidade de peças, adotando 3, 4, 5 ou todos os 6 seis quadrados da cor amarela, envolvendo agora duas ou mais crianças nos jogos da identidade (ou de identificação).

3ª Fase: Peças Amarelas e Verdes Tomar dois quadrados da cor amarela e seus correspondentes na cor verde e repetir, com grupos de duas ou mais crianças, o jogo da identidade. Há crianças que além da forma e tamanho irão considerar as cores, pois as peças podem ser idênticas quanto à forma e tamanho, mas as cores não são idênticas – isto se elas não perceberem também o quadriculado e a ausência dele. Chame atenção delas para estes detalhes, a distinção entre a identidade das figuras e a identidade das amarelo = quadriculados e verdes =

Não quadriculados.

Separando as peças quanto à

cor/quadriculados/não-quadriculados.

4ª fase: Usar Peças de Diversos Quadrados Assim que as crianças entenderem a 3ª fase do jogo, o educador deve ir aumentando a quantidade de peças, adotando 3, 4, 5 ou todos os 6 seis quadrados da cor amarela e seus respectivos correspondentes na cor verde.

Identidade: relação de igualdade válida para todos os valores das variáveis envolvidas; o aspecto coletivo de

um conjunto de características pelas quais algo é definitivamente reconhecível, ou conhecido.

228

19.3.2.- Jogo da Semelhança22 Este jogo tem três fases e pode envolver um ou dois jogadores. No caso de queremos utilizar todas as peças básicas tanto quadriculadas (amarelas) como não-quadriculadas (verdes). Em alguma das fases casos poderemos envolver neste jogo 3 ou até 4 jogadores.

1ª fase: Usar as Peças Quadriculadas Básicas e/ou as Peças Auxiliares O educador e/ou gerente do jogo deve fornecer embaralhadas as peças auxiliares ou básicas de dois quadrados amarelos e de 2 quadrados verdes a eles correspondentes – evoluindo dos quadrados com recortes mais simples para os quadrados com recortes mais complexos. De acordo com o grau de entendimento linguístico do jogador, ele deve ser orientado da seguinte forma:

“Existem peças grandes e pequenas com o mesmo formato, junte pares de peças que têm

•

os mesmos formatos (se equivalem ou são semelhantes)”. “Forme pares com as peças que sejam ‘iguais’ quanto ao formato independente dos

•

tamanhos”. •

“Forme pares com as peças que têm as medidas dos lados proporcionais”.

•

“Forme pares com as peças semelhantes”.

2ª fase: Usar peças de quaisquer quadrados amarelos e verdes O educador e/ou gerente do jogo deve fornecer embaralhadas as peças de dois quadrados amarelos quaisquer e de 2 quadrados verdes quaisquer. Este jogo deve ser planejado cuidadosamente pelo educador, de forma a haver casos em que as condições do jogo sejam totalmente satisfeitas, parcialmente satisfeitas ou nunca satisfeitas. Como na 1ª fase, o jogador deverá colocar as peças em correspondência biunívoca – cada peça amarela deve corresponder a uma peça verde, podendo, de acordo com os quadrados escolhidos ocorrer que algumas peças, ou mesmo nenhuma delas,

tenham uma peça a ela

correspondente. Bem, assim o educador poderá formular o seu pedido de forma diferente das acima:

“Forme conjuntos que contenham peças semelhantes e deixe em um único conjunto

•

aquelas peças sem correspondentes”.

Semelhança: (geometria) igualdade de formas independente do tamanho; quando as formas e tamanhos são

idênticas diz-se que a semelhança tem proporcionalidade 1 para 1, o que no caso aqui mostrado não há interesse.

229

Sugestão: Usar as peças de 6 ou mais quadrados, sendo 3 dos quadrados pequenos e 3 dos

quadrados grandes (3 amarelos e 3 verdes); utilizar se necessário 8 dos quadrados seguindo o mesmo critério para os quadrados grandes e pequeno

3ª fase: Usar Somente as Peças Não-quadriculadas Repetir os jogos utilizando somente as peças não quadriculadas (peças Verdes). Aqui os casos de identidade são ‘revelados’ como um caso particular de semelhança cuja proporcionalidade é de 1 para 1.

19.3.3.- Quebra-cabeças: Montando Quadrados Até este momento, em nenhum dos jogos se percebeu que as peças distribuídas corresponderiam a recortes bem organizados de quadrados, ora com 8 cm de lado, ora com 12 cm de lado. Assim, ficará bastante interessante propor que com conjuntos de figuras que formem um dois ou mais destes quadrado sejam utilizadas para recompor estes quadrados.

1ª fase: Montando cada um dos quadrados Este é um jogo de estratégia, em que as peças quadriculadas obviamente facilitam a montagem ou recomposição do quadrado: 1. Distribuir peças de um dos quadrados amarelos (peças quadriculadas) para que este quadrado seja recomposto. 2. Distribuir peças de um dos quadrados verdes, distinto daquele escolhido anteriormente, solicitando à criança que monte o quadrado. 3. Caso a criança não consiga montar o quadrado verde (não quadriculado) entregar a ela as peças do quadrado verde correspondente àquele. 4. Compare com a criança quais das duas montagens foi a mais difícil e pergunte ‘Por quê?’. 5. Este jogo poderá envolver a maioria ou até mesmo todos os quadrados amarelos e verdes.

2ª fase: Montando quadrados a partir das peças de 2 ou mais módulos 1. Utilizar dois quadrados amarelos cujas peças devem ser bem embaralhadas e solicitar que as crianças montem estes dois quadrados. 2. Aumentar gradativamente a quantidade de quadrados a serem montados, escolhendo conjuntos distintos de peças a cada vez, até envolver todos os 6 quadrados.

230

3. Repetir o mesmo para os quadrados verdes.

3ª fase: Montando Quadrados Amarelos e Verdes Na escolha dos quadrados da cor amarela e dos quadrados da cor verde pode envolver um quadrado amarelo e o seu correspondente verde, no entanto o jogo fica mais interessante quando isto não ocorreu. Assim a escolha dos quadrados amarelos e verdes nem sempre devem ser o mais diversificada

possível,

podendo

eventualmente

envolver

quadrados

cores

distintas

correspondentes, sem que isto se torne uma regra.

19.3.4.- Jogos Cooperativos No JGEOM#05 fala-se sobre os Jogos Cooperativos e Colaborativos, o material que já foi apresentado neste JGEOM#19 e que será mais à frente apresentado poderá servir de maneira ótima para implementar estes dois tipos de jogos. Releia o JGEOM#05 e utilize o material o material até aqui estudado para jogar aquele tipo de Jogo.

19.4.- Peças Coloridas Desenhadas sobre Quadrados Quadriculados O leitor deve ler atentamente todos os itens do texto abaixo, antes de começar a examinar os quadrados coloridos que iremos mostrar nos itens 19.4.1. e 19.4.2.: •

As peças dos quadrados apresentados a seguir tanto no item 19.4.1., como no item seguinte, 19.4.2, foram criadas em cima da uma malha quadricula de 4 por 4 quadrículas (16 quadrículas), suportadas por quadrados com 12 cm de lado, o que faz com que cada quadrícula meça exatamente 3cm x 3cm.

•

A proposta de se criarem as peças destes quebra-cabeças sobre uma malha quadriculada é muito oportuna, pois o leitor usando a sua imaginação, poderá a partir das ideias dadas aqui, criar outros tipos de peças para elaborar os seus próprios jogos. Nada impede ainda que o leitor mais ousado se proponha utilizar malhas com 25, 36 ou até com maior número de quadrículas, desde que o suporte para estas malhas sejam quadrados o que lhe permitirá criar peças mais complexas, por poderem se apresentar com maior quantidade de recortes.

•

As sugestões que damos a seguir (item 19.4.1.), em que as peças podem ou não ser distintas entre si, serão seguidas no item 19.4.2., por quadrados cujas peças componentes serão todas congruentes entre si.

231

•

Em todos os quadrados a seguir, as cores apresentadas em cada um destes peças servem apenas para mostrar como os recortes dos quadrados podem ser feitos. No caso de não se querer o colorido, podemos imprimir o verso dos quadrados em tons de cinza, bastando para isto imprimir no verso da folha A4 onde estão os desenhos coloridos uma veladura cinza, que o leitor encontrará junto com as figuras coloridas no CD-R que acompanha este livro. O verso das figuras, depois de plastificadas e recortadas poderá ser utilizado como peças desprovidas das cores que estão na face das mesmas.

19.4.1.- Quadrados Peças Congruente misturadas às Não Congruentes Como se afirmou no texto acima os quadrados que serão a seguir apresentados possuem peças congruentes e peças não congruentes. Confira!

Quadrado com 2 peças

congruentes: as amarelas

congruentes: as lilases

congruentes: as amarelas

Quadrado com 2 peças

Quadrado com peças congruentes 2 a 2: as amarelas e as verdes

Quadrado com 5 peças congruentes: somente a azul não o é

congruentes: as lilases

232

19.4.1.1.- Como Jogar Nos jogos a seguir cada um dos quadrados deverá ter as suas peças distribuídas de forma embaralhada sendo que o jogador deverá tentar dispor estas peças formando o quadrado – remontar o quadrado. Em caso de dificuldade em algumas das recomposições, mas somente nestes casos, pode-se lançar mão de um tabuleiro como o mostrado a seguir, para que nele possam ser distribuídas as peças.

1ª fase: Montar cada um dos quadrados utilizando o tabuleiro se necessário 1. Distribuir as peças de um dos quadrados, de preferência aquele que parecer mais fácil segundo o critério do educador, para que a criança tente recompor aquele quadrado. 2. Ir distribuindo um-a-um os quadrados para que sejam recompostos. 3. Em caso de dificuldade, sugerir ao jogador o uso do tabuleiro acima apresentado.

2ª Fase: Remontar os quadrados de diversas maneiras 1. O educador deve aceitar que os quadrados sejam remontados de maneira distinta daquelas constantes da tabela mostrada abaixo, que servirá de base para uma montagem básica (padronizada). Note que esta tabela servirá apenas como orientação para aqueles que sentirem extrema dificuldade em uma primeira montagem dos quadrados, ou seja, nos casos mais complexos, como aquelas duas últimas que figuram na segunda linha à direita, na tabela.

233

Tabela: Sugestões Básicas de Montagens dos Quadrados

• •

Notar que outros tipos de montagens poderão ser aceitos, a saber: Para um mesmo quadrado, se considerando a mudança da posição das cores como uma nova composição. Montagens utilizando as peças de dois ou mais quadrados, com suas peças trocadas, ou seja, adotando novas configurações depara as montagem.

2. Veja que há quadrados que admitem formas distintas de composição conforme mostramos a seguir para dois destes quadrados. 1º exemplo:

2º exemplo:

Poderá haver outras formas de recomposição se considerarmos a posição das peças de acordo com as cores, o que não será possível se utilizarmos o verso das peças se eles

forem impressos com uma veladura cinza – verifique!

234

3ª Fase: Um Jogo Para o Pensamento Geométrico 1. Embaralhar as peças de dois quadrados quaisquer e com base na tabela mostrada acima tentar recompor os quadrados utilizando algumas das peças de um dos quadrados para remontar o outro. 2. Embaralhas as peças de 3 ou mais dos quadrados e tentar remontar os quadrados utilizando as peças dos mesmos de forma distinta das montagens padronizadas que são mostradas na tabela acima.

19.4.1.2.- Um ótimo Desafio Dos quadrados abaixo o primeiro tem 2 peças congruentes entre si e o segundo tem quatro peças duas-a-duas congruentes. Estes são um tipo de jogo preparatório para os jogos que vêm a seguir, aqueles em todas as 4 peças são congruentes.

O educador deve imprimir (vide CD-R que acompanha o livro) plastificar e em seguida recortar as peças, de acordo com a cores e verificar se seus alunos conseguem montá-lo sem problemas. O cerne do raciocínio que leva à solução é a noção de as laterais do quadrado são perpendiculares entre si.

19.4.2.- Quadrados com Todas as Peças Congruentes entre Si Todos 13 jogos de recomposição de quadrados a seguir possuem todas as suas quatro peças congruentes entre si. Eles foram desenhados sobre uma malha quadriculada, mas as linhas foram apagadas, o que de certa forma praticamente dificulta a remontagem da maioria destes quadrados. No entanto o autor concorda que foi exatamente este o seu propósito ao ‘apagar’ a malha que suporta dos desenhos. A medida dos quadrados continua a mesma: 12 cm de lado. •

Estas 4 quatro primeiras figuras mostram quadrados cujas montagens são muito mais fáceis que as outras seis seguintes, por isto elas devem ser descartadas, o que ficará a cargo do educador.

235

•

As 9 figuras a seguir apresentam dificuldades de recomposição relativamente maiores que as 4 anteriores mostradas acima, e mesmo entre elas há algumas composições mais difíceis do que outras. O Educador interessado em pesquisas poderia se encarregar de organizar a hierarquizar das figuras segundo o nível de dificuldade.

•

O Jogo de Remontagem dos Quadrados pode ser proposto de forma a envolver as peças de um, de dois ou mais quadrados, quando o jogador deve buscar separar as peças e remontar os quadrados.

236

No CD-R que acompanha o livro estes 13 desenhos estão disponíveis em verdadeira grandeza. O leitor deve imprimi-los, plastificá-los e depois recortá-los com muito cuidado.

19.4.2.1.- Problemas-Desafio do tipo ‘Monte um Quadrado’ Para Educadores Nos 4 problemas-desafio, de #1 a #4, propostos para os educadores, ocorrem as seguintes coisas: •

Nenhum deles possui resposta.

•

As peças dos dois primeiros problemas-desafio (# 1 e #2) são congruentes 4 a 4;

•

Com relação às peças do problema-desafio #3, 4 peças são congruentes entre si e uma delas não o é. A ideia continua a mesma: use-as para montar um quadrado;

•

O problema-desafio #4 propõe como estratégia, o cálculo das áreas das 6 figuras (geométricas naturalmente utilizando-se uma régua para efetuar a medição). Em seguida, a partir da totalização destas áreas (o número deverá ser arredondado, caso não resulte um número inteiro). A partir deste dado, desenhar um retângulo para nele dispor as peças com mais facilidade.

•

Nada impede, no entanto, que o problema-desafio #4 seja reolvido pelo método de tentativas e erros

237

Problema-Desafio #1 do tipo ‘Monte um Quadrado’ (Para o Educador)

Problema-Desafio #2 do tipo ‘Monte um Quadrado’ (Para o Educador)

Problema-Desafio #3 do tipo ‘Monte um Quadrado’ (Para o Educador)

Problema-Desafio #4 do tipo ‘Monte um Retângulo’ (Para o Educador) Montar um retângulo com as 7 figuras apresentadas a seguir. Tática sugerida: Calcular a área das figuras e desenhar o retângulo

conveniente para alocá-las. As peças a seguir apresentadas devem ser mensuradas de acordo com a malha quadriculada, considerando-se que cada quadrícula vale uma unidade de medida de área e suas laterais valem uma unidade de medida de comprimento. No CD-R que acompanha o livro, cada

238

quadrícula mede 1 cm de lado, ou seja, ali elas figuram em suas verdadeiras grandezas.

Problema-Desafio #5 do tipo ‘Monte um Quadrado’ (Para o Educador) Montar um quadrado com as 12 figuras abaixo.

Solução:

239

19.5.- Recortar Uma Figura e Montar um Quadrado Aqui está um jogo dos mais interessantes em que o jogador é solicitado a ‘cortar’ as figuras apresentadas (com uma só linha de corte) para transformá-la em um quadrado. O quadrado de onde sairão todas as nossas figuras assumem ao longo do jogo três formas distintas, a saber:

1. Uma malha com fundo branco, contendo 16 quadrículas delimitada por linhas na cor preta, 2. Uma malha com fundo cinza, contendo 16 quadrículas delimitada por linhas na cor branca; 3. Um quadrado com fundo cinza sem nenhum delimitador (não terá nem mesmo o desenho dos lados).

19.5.1.- Nossos Dois primeiros Exemplos As duas figuras abaixo são dois dos exemplos de montagens de um quadrado que previamente foi dividido em duas partes não necessariamente idênticas. O leitor deve observar cada uma destas figuras e tentar separar estas duas partes de forma que elas recomponham o quadrado de onde elas foram tiradas.

Figura [1]

Figura [2]

Veja a seguir o raciocínio para a solução dos nossos dois problemas.

240

Solução Para a Figura [1]:

Solução Para a Figura [2]:

19.5.2.- Usando uma Máscara Acrílica Para melhorar a Percepção A máscara apresentada a seguir – a ser impressa sobre um filme acrílico próprio para impressoras jato de tintas – permite-nos, na maioria das vezes, aumentar nossa percepção ao permitir-nos visualizar a conformação da figura, facilitando a escolha do local onde ela deve ser cortada.

241

Aproveitaremos as figuras dos dois exemplos dados acima para utilizarmos a máscara de acrílico transparente sobre eles.

Uma técnica que muitos jogadores desenvolverão naturalmente, diz repeito à contagem das quadrículas. O nosso quadrado original quando ‘quadriculado’ possui a medida de 4 x 4 quadrícula, o que resulta num total de 16 quadrículas. Nos dois casos anteriores isto vai facilitar muito o nosso trabalho.

19.5.3.- Recorte a Figura e Monte um Quadrado #1, #2 e #3 As três pranchas com os Jogos Para o Pensamento Geométrico do tipo ‘Recorte a Figura e Monte um Quadrado’ numeradas como: #1, #2 e #3, apresentam cada uma dez figuras. Além disto uma quarta prancha com a visualização das figuras das figuras quadriculadas pode ser utilizada como facilitadora para as soluções mais difíceis, ou para uma primeira abordagem do jogo.

242

Recorte a Figura e Monte um Quadrado #1

Recorte a Figura e Monte um Quadrado #2

Da Série: Jogos Para o Pensamento Geométrico

As dez figuras abaixo são remontagens feitas com duas partes (não necessariamente idênticas) resultantes da decomposição de um mesmo quadrado. O leitor deve observar cada uma destas figuras e tentar separar estas duas partes com uma única linha de corte, de forma que elas recomponham o quadrado original, de onde elas foram tiradas.

Recorte a Figura e Monte um Quadrado #3 Da Série: Jogos Para o Pensamento Geométrico

Tabela de Visualização das Quadrículas Recorte a Figura e Monte um Quadrado #1

Recorte a Figura e Monte um Quadrado #2

Recorte a Figura e Monte um Quadrado #3

243

19.5.4.- Recorte a Figura Quadriculada e Monte um Quadrado #1, #2 e #3 As três pranchas com os Jogos Para o Pensamento Geométrico do tipo ‘Recorte a Figura

Quadriculada e Monte um Quadrado’ numeradas como: #1, #2 e #3 são mostradas a seguir. Recorte a Figura Quadriculada e Monte um Quadrado #1

Recorte a Figura Quadriculadas e Monte um Quadrado #2

Da Série: Jogos Para o Pensamento Geométrico

Recorte a Figura Quadriculada e Monte um Quadrado #3 Da Série: Jogos Para o Pensamento Geométrico

244

As pranchas acima apresentam as mesmas e exatamente nas mesmas posições, as figuras das pranchas anteriores a elas correspondentes, que ao contrário daquelas figuras apresentadas no item acima, já vêm com as quadrículas, o que visa facilitar o raciocínio. Elas são indicadas para quando trabalharmos com crianças pequenas ou com dificuldades para o entendimento do jogo.

19.5.4.1.- Metodologia para o Uso das Figuras Quadriculadas Caso o educador opte por adotar as pranchas com as figuras quadriculadas, deve-se iniciar com a prancha #1 com as figuras quadriculadas e assim que a criança entenda bem o objetivo do jogo deve-se passar para a prancha #1 cujas figuras são apresentadas sem as quadrículas. Caso o educador ache conveniente e necessário, estas alternâncias ‘com quadrículas/sem quadrículas’ pode ou não ser repetida para as pranchas #2 e #3.

19.5.5.- Construa suas Próprias figuras No CD-R que acompanha o livro o leitor/educador encontrará uma página no formato A4 com um conjunto de malhas já na cor cinza que permitirão a ele a elaboração de suas próprias figuras para os Jogos Para o Pensamento Geométrico do tipo ‘Recorte a Figura e Monte um Quadrado’. Ele pode recortar as figuras e colá-las sobre uma cartolina.

19.5.6.- Recorte a Figura e Monte um Quadrado #4 Um jogo bastante interessante é o seguinte: Tenta desenhar e recortar, utilizando as malhas acima, estas seis figuras que parecem bem difíceis num primeiro momento, conforme mostradas abaixo. As soluções aparecem logo a seguir onde mostramos apenas a linha de corte. Procure não olhar as soluções sem antes tentar resolver os problemas.

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Recorte a Figura e Monte um Quadrado #4 Da Série: Jogos Para o Pensamento Geométrico

As sete figuras abaixo são remontagens feitas com duas partes (não necessariamente idênticas) resultantes da decomposição de um mesmo quadrado. O leitor deve observar cada uma destas figuras e tentar separar estas duas partes com uma única linha de corte, de forma que elas recomponham o quadrado original, de onde elas foram tiradas.

19.5.5.2.- Soluções de 19.5.5.1.

246

Se você não percebeu ainda aí vai: As quatro primeiras figuras são duas-a-duas

exatamente as mesmas a menos de uma rotação; as três últimas figuras são distintas entre si.

19.5.7.- Recorte uma das Figuras e Monte um Quadrado #5 Gosto deste problema porque ele reúne as duas ideias que abordamos neste JGEOM que foram a montagem de Quadrados a partir de figuras pré-cortadas e a montagem de quadrados que exigem que a figura apresentada seja estrategicamente cortada por uma única linha de corte para que se possa montar o quadrado. Este é um belo Jogo para os Pensamentos Lógico e Geométrico. O leitor será desafiado a montar um quadrado, utilizando estas 5 figuras congruentes, sendo que uma, e apenas uma delas, deve ser convenientemente cortada para que ele possa completar a sua tarefa.

A Solução é apresentada a seguir.

Acredito que aqui, tanto como no Problema-Desafio Para Educadores que recebeu o

número #4, o cálculo das áreas (total das áreas dos triângulos e a área do quadrado suporte para estes triângulos) deverá ajudar na solução do problema. É bem possível que, mesmo leitores experientes, só venham a resolver este problema após o uso desta estratégia.

247

JGEOM#20 – JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº20

Quebra Cabeças do Tipo Dissecar e Montar Estes são quebra-cabeças de um tipo muitíssimo diferentes dos tangrans apresentados no JGEOM#14 e JGEOM#15. Os tangrans têm por objetivo a composição de figuras mais ou menos semelhantes a objetos, pessoas etc. Neste novo tipo de quebra-cabeça, uma figura ao ser dissecada deverá permitir a montagem exata de outra figura, como no caso de uma cruz que dissecada, deve poder ser remontada como um retângulo ou um quadrado, por exemplo.

20.1.- Introdução Estes são um tipo de quebra-cabeças que na língua inglesa se chama ‘Dissection Puzzle23’, expressão que não possui uma tradução correspondente para o português. Nós vamos denominá-los quebra-cabeças do tipo ‘Dissecar e monta’. Recorrendo à definição em inglês que está no rodapé desta página, podemos reescrevê-la, agora em portugues: “O quebra-cabeça do tipo dissecar e montar: é um quebra-cabeça em que,

se fazendo um número finito de cortes num dado objeto ele deve ser convertido em outro ou em outros. Os cortes estão muitas vezes, mas nem sempre, restrito a linhas retas. Por vezes, um quebra-cabeças é dado já com as peças pré-cortadas para ser remontado formando duas ou mais formas previamente estabelecidas”. Nestes quebra-cabeças está envolvido um conceito geométrico muito importante, a

dissecção. O que estamos denominando dissecar e montar é um método bastante utilizado quando se deseja provar a validade das fórmulas para o cálculo de áreas de diversas figuras geométricas. Normalmente, é a partir do estabelecimento axiomático da fórmula da área do retângulo que pode calcular as áreas de maioria das figuras geométricas notáveis (este assunto será abordado na Parte B deste Volume que é denominado: ‘60 Jogos Para o Pensamento Geométrico’).

20.2. – Disseque uma Cruz e Monte um Retângulo Este é um quebra-cabeça do tipo ‘dissecar e montar’ dos mais simples e será o nosso primeiro exemplo. A cruz apresentada a seguir é denominada cruz grega.

Dissection Puzzle is a puzzle in which one object is to be converted to another by making a finite number of cuts and reassembling it. The cuts are often, but not always, restricted to straight lines. Sometimes, a given puzzle is precut and is to be re-assembled into two or more given shapes.

248

20.2.1.- Um Primeiro Jogo Para o Pensamento Geométrico Queremos recortar esta cruz de tal forma que as peças assim conseguidas permitam a construção de um retângulo de área equivalente à área da cruz.

•

Vamos primeiramente propor que o quadrado central da cruz seja dividido em 4 quadrados menores, como na figura a seguir. ‘

•

Para destacar melhor as peças que queremos ver recortadas vamos colori-las duas-a-duas: duas verdes e duas na cor laranja.

249

•

Note que agora podemos recortar na cruz, 4 figuras geométricas planas com áreas exatamente iguais entre si.

•

No entanto como precisaremos usar duas destas peças diretamente e o verso das outras duas para formarmos o retângulo, o melhor será manter o quebra-cabeça na cor branca, tanto na frente como no verso, para que possamos utilizar a frente ou o verso das peças indiferentemente.

•

Retomada a cor: branca, vamos considerar que cada uma das peças tenha 5 unidades de área cada uma, o que nos daria uma área total de 20 unidades de área. \\\\\

•

Veja duas das peças alocadas no quadriculado, depois livres, e em seguida o retângulo já montado. E aproveite para verificar que as peças são posicionadas duas-a-duas da mesma forma, de duas delas são utilizadas as faces e de duas outras iremos utilizar o verso. utilizadas

250

20.2.2. – Um segundo Jogo Para o Pensamento Geométrico Com as peças já recortadas da cruz grega, permitam a construção de um quadrado cuja área seja maior do que a área da cruz, deixando no centro do quadrado um espaço livre com a área equivalente a 5 quadrículas.

•

A solução para este problema nos leva a um cálculo de área. A cruz tem 20 unidades de área

(20 quadrículas)

e mais 5 unidades correspondentes ao espaço vazio, a ser

localizada obviamente no centro do quadrado. Temos assim, um quadrado com 25 unidades de área.

•

Veja a seguir como o problema pode ser resolvido.

Por outro lado a construção de um quadrado de área equivalente à área da cruz nos parece impossível enquanto tentado de maneira direta usando este tipo de dissecção da cruz.

20.2.2.1.- Repensando Este Segundo Quebra-Cabeça Uma ideia bastante interessante, e complementar à ideia anterior, seria a de se acrescentar mais uma peça ao conjunto das quatro peças anteriores, ao solicitar que o jogador a montasse um quadrado. Esta forma de apresentar o quebra-cabeça eliminaria o raciocínio envolvido para se entender o que seria o espaço vazio existente na forma anterior de se aprestar o problema.

251

Vejamos a seguir outra proposta de dissecção para a cruz grega.

20.3.- Disseque uma Cruz e Monte um Quadrado Vamos estudar o problema: O quadrado a ser gerado deve ter a uma área equivalente à

área dos cinco quadrados que formam a cruz grega. •

Vamos admitir sem perda de generalidades que a nossa cruz grega a partir de agora, não mais vai ter sua área baseada na área de 20 quadriculados.

•

Vamos supor simplesmente que área total da nossa cruz grega vale 5 unidades, considerando-se assim, que cada um dos 5 quadrados que formam a cruz tenham apenas uma unidade de medida linear para os lados. Assim sendo, tanto a cruz como o quadrado devem ter exatamente 5 unidades de área cada um deles.

1 unidade

Área da Cruz: 5 unidades de superfície

•

Sabendo-se que a área de um quadrado é dada por Aquadrado = l , teremos ao igualar a área da cruz à área do quadrado, onde 2

l é a medida linear do lado do quadrado:

5 = l de onde podemos tirar que: l = 5 .

252

•

Podemos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo amarelo mostrado na figura:

2 2 + 11 = 5

1 2

•

A área deste triângulo é igual à área do quadrado de lado l = 5 . Calcule.

•

Vamos recortar o triângulo amarelo de forma a obter um trapézio e num pequeno triângulo, que ao ser remontado produzirá o nosso quadrado de lado l = 5 :

•

Vamos repetir este processo de dissecção para todos os quadrados que compõem a cruz, e perguntar: Com estas 10 peças o problema poderá ser resolvido?

•

Primeiramente, vamos conferir as nossas peças obtidas pela dissecção da cruz:

253

5 quadrados decompostos:

•

E aqui está um dos resultados:

•

Você conseguirá outras formas de montar o quadrado?

20.3.1.- A Cruz, o Quadrado e Outras Figuras Além da Cruz e do quadrado, nós podemos tentar montar outras figuras com estes 10 recortes. A seguir sugerimos algumas destas possíveis montagens, e suas respectivas soluções.

254

20.3.1.1.- Soluções

•

Você é capaz de encontrar outras soluções além destas? E montar outras figuras diferentes destas?

20.4.- Um Quebra-Cabeça Derivado do Anterior Utilizando ainda

os conceitos de dissecção e montagem vamos propor um conhecido

quebra-cabeça que apesar de não apresentar a versatilidade do anterior, nele é baseado.

•

Ao analisarmos a figura do problema anterior (item 20.3.) o que vemos é que poderemos propor outra forma de dissecção, como mostrada abaixo, onde ao invés de obtermos 10 peças, iremos trabalhar agora com apenas 6 peças:

•

Na verdade, o que estaremos propondo, independente do que foi afirmado acima, é o seguinte: vamos trabalhar inicialmente com 5 triângulos retângulos congruentes entre si, em que a medida da altura deverá ser o dobro da medida da base.

•

Apenas um destes triângulos deverá ser seccionado, tomando-se como base o ponto médio do cateto maior para se obter deste modo, um trapézio e um pequeno triângulo:

255

[1]

[2]

[3]

•

Visto deste modo, e não baseado na figura do quebra-cabeça anterior, o problema a ser proposto com estas 6 peças é bastante difícil de ser levado a uma solução:

Formar um quadrado com estas 6 peças. •

Veja as soluções possíveis:

•

No caso do jogador não conseguir montar o quebra-cabeça proponha o seguinte método de resolução: Calcular a área total das 6 figuras e traçar um quadrado para

conter as peças. •

Verifique se há outras figuras possíveis de serem formadas com estas 6 peças ou com parte delas. Veja alguns exemplos de novas montagens: o Com duas peças:

o Com três peças:

256

o Com quatro peças:

o Com seis peças:

o Você consegue obter outras formas geométricas identificáveis como estas

aqui mostradas?

20.4.- Todas as Peças Distintas Para Montar: Cruz x Quadrado Nós queremos decompor a cruz grega, utilizando cortes em linha reta ou de segmentos de reta, de tal forma que possamos remontar as suas partes formando um quadrado cuja área seja exatamente congruente à área da cruz. No entanto, ao contrário dos problemas anteriores: queremos

que as peças da dissecção sejam totalmente distintas uma das outras. •

Em primeiro lugar, temos que determinar qual seria este quadrado. Sabemos pelos cálculos anteriores que o quadrado terá a mesma área da cruz grega, desde que: a medida do lado deste quadrado deve ser l = 5 .

257

•

Agora, pelo método de tentativa-e-erro vamos tentar bem enquadrar o quadrado e a cruz: 5

•

Na figura a seguir o leitor irá notar que oferecemos uma prova por dissecção de que as áreas são exatamente as mesmas, tanto a da cruz como a do quadrado. Note que os triângulos hachurados24 que pertenciam à cruz foram transferidos (em verde escuro) para completarem o quadrado.

•

Somente recortar a cruz, separando a porção amarela das porções verdes, não bastaria para termos um quebra-cabeça com todas as peças distintas entre si.

Hachuras: Raios que, em desenho ou gravura, produzem o efeito de sombra ou meio-tom.

258

•

Veja que poderíamos recortar a parte amarela utilizando um corte transversal que criasse duas porções simétricas amarelas (analise as duas primeiras figuras do conjunto apresentado a seguir), no entanto, o mais interessante seria utilizar cortes em que as porções amarelas fossem o mais assimétricas possível para satisfazer à exigência do problema proposto – aquele de secções distintas (veja a última das figuras).

•

As figuras a seguir constam de 6 peças: 4 triângulos e outras duas peças congruente ou não.

•

Nada impede, que conservados os 4 triângulos, cortemos a parte restante formando 4 ou 5 peças. Desta forma poderíamos ainda formar a cruz e o quadrado, mas sem as peças não congruentes.

•

Veja a seguir uma sugestão de corte que produz quatro peças distintas (coloridas: verde-claro, amarela; azul e laranja) que permitirão formar o quadrado, mas que não servem para formar a cruz ..., ou seja, nosso problema não foi resolvido ainda.

259

•

Nas figuras a seguir você pode sugerir os seus cortes, com o objetivo de se obter figuras:

20.4.1.- Buscando Uma Melhor Solução para o Problema A figura a seguir mostra uma das formas de se seccionar a cruz grega que possibilita a construção de um quadrado a partir destas 4 peças totalmente distintas: uma amarela, uma verde, uma vermelha e uma azul. 5

Abra a pasta deste jogo no CD-R e imprima esta figura da cruz e monte o quadrado.

260

20.4.2.- As Áreas São Congruentes: Uma Prova Na figura a seguir as figuras geométricas hachuradas foram recortadas da cruz para podermos montar o quadrado. Esta é uma maneira de provamos, por dissecção, que a cruz grega e o quadrado têm exatamente as mesmas áreas.

20.5.- Quebra-Cabeças com Recortes Surpreendentes Há certos tipos de dissecção que torna a remontagem extremamente difícil, isto por que as peças não se encaixam da maneira esperada ou aparecem em posições estranhas ou não usuais.

20.5.1.- O Quebra-Cabeça do Misterioso Hexágono Côncavo Este é um quebra-cabeça tradicional em que as peças pré-cortadas são embaralhadas (três triângulos retângulos isósceles, um trapézio e um hexágono côncavo – coloridos respectivamente nas cores: amarelo, laranja e verde) são distribuídas ao jogador com a solicitação de que ele monte uma cruz. É um Jogo difícil, pois a posição da peça laranja na elaboração da cruz ocupa uma posição não usual, como se vê na montagem.

261

. Como estamos interessados, não nos quebra-cabeças como tal, mas naquilo que eles têm de geométrico ou matemático, mostramos abaixo a forma de se conseguir desenhar e obter as peças de forma utilizando um papel quadriculado. Confira as medidas, e veja que o trapézio (a figura em verde) poderia ser uma ou duas unidades mais curta ou mais longa, permanecendo ainda um trapézio.

O leitor há de convir que se o trapézio fosse transformado num triângulo congruente aos demais, possivelmente o problema se tornasse mais simples. É o caso de testar para comprovar ou rejeitar a hipótese.

262

20.5.2.- Peças Idênticas Para Montar: Cruz x Quadrado Este é mais um dos Quebra-Cabeças com Recortes Surpreendentes. O fato curioso fica por conta dos seguintes fatos:

•

As quatro peças do quebra-cabeça são idênticas, isto é, são congruentes;

•

A maneira que teremos que dispor estas peças (seja para formar a cruz grega, ou então, seja para formar o quadrado) é que são completamente inesperadas.

•

Veja o traçado das linhas auxiliares e o traçado da peça que deverá ser repetida 4 vezes:

263

Serão 4 peças idênticas a esta •

Aqui estão as 4 peças do jogo:

•

Aqui estão a cruz grega e o quadrado formados com as 4 peças.

•

Note que a posição das peças que formam o quadrado são alocadas de forma bastante mais inesperadas do que aquelas que formam a cruz grega.

20.5.3.- O Quebra-Cabeça dos Semicírculos Desencontrados Tão difícil ou até mais difícil é o quebra-cabeças apresentado a seguir onde os semicírculos em amarelo aparecem desencontrados na montagem do quadrado.

264

No desenho sobre o papel quadriculado o raio dos semicírculos são exatamente os mesmos, no entanto a medida ali adotada não coincidiu necessariamente com as intersecções das quadriculas.

Outras variantes deste quebra-cabeça é aquele em que ao invés de adotarmos semicírculos, nós os substituímos por retângulos, por triângulos, por hexágonos, etc.

265

20.5.3.1.- Outras Formar de desenhar este Quebra-Cabeça Nos modelos de quebra-cabeça acima utilizamos dois semicírculos, dois retângulos que podem formar um quadrado, dois triângulos e dois trapézios, que podem formar um hexágono regular, mas nada impede que passemos a usar figuras distintas nos desenhos (projetos) destes quebra-cabeças, como mostramos abaixo.

20.6.- Para Você Pensar Um Pouco Mais #01 Este é um jogo para dois jogadores.

•

A seguir o leitor encontrará dois desenhos diferentes onde um quadrado foi inserido em uma malha quadriculada: (1) com a orientação dada ao quadriculado; (2) em diagonal e (3) uma malha quadriculada simples.

•

Os jogadores devem escolher um mesmo modelo de quadrado (1), (2), ou então (3);

•

Cada jogador deverá recortar o quadrado – sem que o oponente possa ver – de formas diversas com cortes segundo as linhas da malha ou em retas apoiadas nas intersecções das linhas da malha;

•

A quantidade de peças recortadas não pode passar de sete;

266

•

Em seguida cada um dos jogadores deve ser desafiado a remontar o quadrado cujas peças foram recortadas pelo seu oponente.

‘

•

Veja algumas sugestões de recortes de difícil remontagem:

•

Você seria capaz de recortar este quadrado de forma que ele possa ser remontado como um retângulo, ou mais, que ele possa ser remontado como uma cruz grega ou não?

•

Você seria capaz de recortar este quadrado de forma que ele possa ser remontado como um retângulo, ou mais, que ele possa ser remontado como uma cruz grega ou não?

267

20.7.- Para Você Pensar Um Pouco Mais #02 Dentro daquela ideia de criar quebra-cabeças com de peças recortadas de forma surpreendente ou não usual, propomos o quebra-cabeça da letra T.

•

Este é um jogo para dois jogadores. E,

•

Cada jogador deverá recortar a letra T – sem que o oponente possa ver – de formas diversas com cortes segundo as linhas da malha ou em retas apoiadas nas intersecção da das linhas da malha.

•

A quantidade de peças recortadas não pode passar de cinco;

•

Em seguida cada um dos jogadores deve ser desafiado a remontar a letra T cujas peças foram recortadas pelo seu oponente

•

Veja algumas sugestões de recortes.

•

Confira a escolha das cores para cada tipo de peça, em que procuramos colorir as peças congruentes com cores exatamente iguais. Já as peças coloridas com vários tons de verde são aquelas que parecem ser as mais difíceis de serem alocadas na formação da letra T..

268

•

Serie bom que o leitor verificasse se a afirmativa quanto à existência de peças mais difíceis de serem encaixadas é mesmo válida, e isto, como sendo mais um Jogo Para o Pensamento Geométrico.

•

O leitor interessado deveria procurar criar as novas maneiras de recortar a letra T.

20.8.- Para Você Pensar Um Pouco Mais #03 O papel especial apresentado abaixo é denominado axonométrico, ele torna muito fácil a criação do desenho das peças serem recortadas em um quebra cabeças.

Abaixo apresentamos, meramente como exemplos, três quebra-cabeças recortados sobre o papel axonométrico. ‘’

[1]

[2]

[3]

As maneiras de propor a montagem dos quadrados pode ser uma das seguintes, a ser escolhida pelo educador:

269

•

Montar os quebra-cabeças, um de cada vez;

•

Embaralhar as peças de dois dos quebra cabeças: [1] e [2]; [1] e [3]; [2] e [3], tentar montar os dois quadrados;

•

Embaralhar as peças dos três quebra cabeças e tentar montar os três quadrados.

•

Utilizar o papel axonométrico para criar novos quebra-cabeças.

20.9.- Concluindo A dissecção é um método de prova aceito em Geometria. Normalmente ela leva em conta as áreas ou a congruência das figuras dissecadas e remontadas para se conseguir a obtenção de novas formas, como será visto no caso do cálculo de áreas na Parte B deste volume.