60 jogos para o pensamento lógico vol 1 parte c by Aury de Sa Leite

JLOGC: VOL 1- Parte C

Primeira Edição Coleção: Jogos Para o Pensamento Lógico-Matemático

1C: Volume 1 – Parte C – JOGOS de #41 a #60

60 Jogos Para o Pensamento Lógico

Aury de Sá Leite 1ª Edição

Desta Mesma Coleção:

Obra sob a licença Creative Commons Volume 2: 60 Jogos Para o Pensamento Aritmético Volume 3: 60 Jogos Para o Pensamento Geométricos Volume 4: 60 Jogos Para o Pensamento Algébrico

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Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#41 - Aury de Sá Leite

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JLOGC#41 - JOGOS PARA O PENSAMENTO LÓGICO Nº 41 O Jogo da Velha - Variações Experimentais O Jogo da Velha ou Tic-Tac-Toe (como conhecido nos EEUU) é um jogo para dois oponentes que devem dispor suas peças numa matriz com 3 × 3 posições, intentando colocar três de suas peças em linha. Neste JLOGC iremos apresentar três novas e interessantes ideia: (1ª) propomos a adoção de matrizes quadradas ou retangulares mais amplas do que a matriz 3×3 mantendo-se para as anotações nos tabuleiros os símbolos tradicionais ‘X’ e ‘O’ ; (2ª) a adoção de símbolos distintos dos símbolos tradicionalmente adotados; (3ª ) um jogo num tabuleiro 4×4 utilizando cartões lógicos distintos entre si, com símbolos contendo 4 atributos. A experimentação e a aquisição de conhecimentos a partir destas novas maneiras de jogar são exatamente o objetivo destes Jogos Para o Pensamento com estes tabuleiros e símbolos diferentes dos usuais.

4.1.- O Jogo da Velha ou o Tic-Tac-Toe O leitor encontrará um estudo bastante amplo sobre O Jogo da Velha ou Tic-Tac-Toe no JLOGC#15 –‘Estudando o Jogo da Velha e Jogos Semelhantes’. O leitor deve ler os seguintes itens daquele JLOGC com atenção antes de se lançar nos experimentos propostos a seguir:

15.1.- Revisitando um Antigo Jogo 15.1.1.- Jogando o Jogo da Velha (Tic-Tac-Toe ou Nought and Croces) 15.1.2.- Exemplos de Jogadas 15.1.2.1.- Um Empate no Jogo da Velha 15.1.2.2.- Uma Vitória no Jogo da Velha

15.2.- Estudando Estratégias Favoráveis

41.2.- Alterando os Tabuleiros e as Regras do Jogo da Velha O Jogo da Velha ou o Tic-Tac-Toe (como conhecido nos EEUU) é um jogo para dois oponentes que devem dispor suas peças numa matriz com 3 × 3 posições, intentando colocar três de suas peças em linha.

Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#41 - Aury de Sá Leite

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Neste JLOGC iremos, de alguma forma propor as seguintes modificações nas regras tradicionalmente adotadas quando jogamos o Jogo da Velha, criando novas possibilidades de experimentações lógico-matemáticas das mais interessantes. Vejamos quais são estas ideias: 1. Proporemos a adoção de matrizes quadradas ou retangulares mais amplas partindo-se da tradicional tabela 3×3 até 5×5, passando por todas as possibilidades (3×3; 3×4 ou 4×3; 3×5 ou 5×3; 4×4; 4×5 ou 5×4 e 5×5), mantendo-se símbolos tradicionais ‘X’ e ‘O’ para realizar as anotações nestes tabuleiros os. Abaixo são mostradas a menor possibilidade de construção deste tipo de tabuleiro e a maior delas: 1

1 2

2. Proporemos não semente o ‘três em linha’, mas o ‘quatro em linha’ e até mesmo o ‘cinco em linha’ com a finalidade de experimentações nos maiores tabuleiros ( 4×4;,4×5,5×4 e 5×5). 3. Proporemos adotar um conjunto de 10 símbolos geométricos constituídos por 5, 4, 3, 2 segmentos de reta, ou ainda 1 ou nenhum segmento de reta, desenhados sobre cartões quadrados. Estes cartões devem ser alocados num tabuleiro 4×4 com o objetivo de se conseguir o alinhamento de quatro segmentos de reta. Abaixo mostramos os cartões e o tabuleiro.

Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#41 - Aury de Sá Leite

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4. Proporemos a adoção de cartões lógicos com 4 atributos distintos entre si, que dará a vitória àquele dos dois jogadores que conseguir com a sua última jogada alinhar 4 cartões com um mesmo atributo lógico. Abaixo mostramos os desenhos a serem colocados sobre os cartões e o tabuleiro, que é o mesmo que o do item anterior.

41.3.- O Jogo da Velha em Novos Tabuleiros M x N Para que possamos melhor visualizar as novas matrizes quadradas ou retangulares com as quais vamos realizar nossos experimentos e aquisição de conhecimento vamos propor uma nova modalidade de representação para estas matrizes, ou seja, vamos propor um novo tipo de tabuleiro. Iremos adotar um desenho distinto do tradicional que consiste numa malha formada por duas linhas horizontais e duas linhas verticais passando a adotar matrizes cujas posições sejam demarcadas por círculos, como mostramos a seguir.

É fácil verificar que as duas atrizes 3 x 3 apresentadas acima são equivalentes, no entanto, a maneira de localizar cada uma das posições matriciais deve ser codificada para uma melhor localização das diversas posições nos tabuleiros mais complexos que serão apresentados a seguir:

Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#41 - Aury de Sá Leite

pág. 41.4 1

6 2

9 3

Posições Pares Ordenados

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(3,1)

(3,2)

(3,3)

O leitor deve notar que cada posição do tabuleiro com círculos deve ser entendido como sendo um par ordenado (x,y) , onde x corresponde à linha e o y corresponde à coluna onde se encontra o círculo.

41.3.1.- O Modelo os Tabuleiros Derivados do Tabuleiro 3×3 Vamos propor que os demais tabuleiros (matrizes quadradas ou retangulares) sejam retirados de um tabuleiro máximo com 5 x 5 círculos. O numero de linha ou de colunas nunca devem ser inferiores a 3, pois o jogo continua a exigir que coloquemos três de nossas peças em linha, para vencermos o jogo. Abaixo apresentamos os possíveis tabuleiros derivados do tabuleiro 5 x 5 cujas medidas são estabelecidas como sendo: m × n, onde m representa a quantidade de linhas e n a quantidade de colunas: 1. 5 x 5 1 1 2

3 4 5

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pรกg. 41.5

2. 5 x 4 ou 4 x 5

1 1

3. 5 x 3 ou 3 x 5

1 2

1 3

4x4 1 1 2

3 4

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5. 4 x 3 ou 3 x 4

6. 3 x 3 1

1 2

41.3.2.- Jogos Para o Pensamento Com Tabuleiros M X N Os Jogos Para o Pensamento Lógico a seguir sugeridos têm cunho experimental. São Jogos para dois jogadores que devem ter como objetivo, ao jogar com qualquer um dos nove tabuleiros acima apresentados, alinhar três de suas peças em linha.

41.3.2.1.- Algumas Regras a Serem Combinadas antes do Jogo Várias regras podem ser estabelecidas, ou acordadas entre os jogadores, antes do início de cada partida: a) As três peças em linha do jogador devem estar exatamente em sequência; b) As três peças em linha do jogador podem estar alternadas, como mostramos no tabuleiro a seguir, como exemplo. Observação: o primeiro a colocar suas peças foi o ‘O' e, a sequência

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de jogadas foi as seguinte: O em (1,1); X em (2,2); O em (1,2); X em (1,3) destinado a evitar o três em linha do O; O em (3,1); X em (3,3); O em (4,1) formando o três em linha.

Três em linha

c) Podemos modificar a regra do ‘três em linha’ passando-a para o ‘quatro em linha’, desde que escolhamos os tabuleiros adequados para isto: o tabuleiro 5 x 5, o tabuleiro 5 x 4, o tabuleiro 4 x 5 ou o tabuleiro 4 x 4. Justifique o porquê da inconveniência de adotarmos os outros tabuleiros. d) Podemos adotar a regra do cinco em linha quando jogando com o tabuleiro 5 x 5. e) Podemos modificar a quantidade de jogadas a que terá direito cada jogador: passando-a de uma jogada para duas jogadas, a cada vez. Será que funciona?

41.3.2.2.- Jogando Através das Coordenadas Neste tipo de Jogo Para o Pensamento há a necessidade de três participantes: dois jogadores e um anotador do jogo. 1) O anotador deve escolher de comum acordo com os jogadores: a. O tipo de tabuleiro; b. Se é válido o ‘três em linha’ ou o ‘quatro em linha’. c. Se é válido somente os elementos em linha, desde que em sequência, ou se vale os elementos em linha, mas alternados. 2) Os jogadores escolhem o símbolo com que vão jogar: X ou O; 3) O anotador mantém a vista dos jogadores o tabuleiro e deve anotar alternadamente as jogadas de cada jogador;

Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#41 - Aury de Sá Leite

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4) Os jogadores devem se referir a cada jogada mencionando o seu símbolo e as coordenadas do círculo escolhido ( “X em (m,n)” ou “O em (p,q)”, por exemplo) para que o anotador coloque o símbolo no tabuleiro na posição desejada pelo jogador.

41.4.- O Jogo da Velha com Novos Símbolos Os cartões distintos entre si com símbolos geométricos compostos por segmentos de retas são mostrados abaixo juntamente com o Tabuleiro com 16 posições.

O tabuleiro tem linhas tracejadas mostrando as possibilidades de alinhamento de um dos segmentos de reta desenhados em cada um dos cartões. Para o preenchimento do tabuleiro deve ser utilizado o seguinte conjunto de 16 cartões:

4 segmentos

3 segmentos

1 segmento

0 segmentos

Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#41 - Aury de Sá Leite

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41.4.1.- Jogos Para o Pensamento Com os Novos Símbolos Os jogos a seguir devem ser encarados como experimentais e são praticamente preparatórios para o Jogo Com Cartões com Atributos Lógicos.

41.4.1.1.- Jogo Solitário Neste jogo solitário o jogador deve tentar montar o tabuleiro de forma que em nenhuma das colunas, linhas ou diagonais, nenhum dos quatro cartões possam ter os seus segmentos alinhados segundo uma linha, coluna ou diagonal.

41.4.1.2.- Jogo com Dois Jogadores As regras deste jogo são as seguintes: •

Os 16 cartões devem estar dispostas com as faces voltadas para cima no tampo de uma mesa.

•

Os jogadores se alternam escolhendo qualquer um dos cartões que estejam sobre a mesa e o alocam no tabuleiro;

•

Os jogadores devem evitar que o seu opositor consiga o ‘quatro em linha’ – obter um segmento contínuo que atravesse uma linha, uma coluna ou uma diagonal – , ao mesmo tempo que tentam conseguir, com a sua jogada o seu próprio ‘quatro em linha’.

41.4.1.3.- Jogo Com Mais de 16 Cartões As regras acima devem ser mantidas e deve-se adotar mais do que 16 cartões. Propõe-se que os 32 cartões sejam bem embaralhados e que se escolham 18, 20 ou até mesmo 24 cartões.

41.5.- O Jogo da Velha com Cartões Lógicos com 4 Atributos Os dezesseis cartões mostrados abaixo têm os seguintes atributos: •

Cores = duas: vermelho ou amarelo;

•

Formas = duas: círculo ou quadrado;

•

Bordas = duas: simples ou dupla;

•

Segmentos de Reta = três casos: zero, um ou dois.

Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#41 - Aury de Sá Leite

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Abaixo vemos um conjunto de 24 cartões dividido em dois subconjuntos: aqueles cartões que não possuem segmentos de reta e queles que apresentam um ou dois segmentos de retas. Este segundo subconjunto tem 16 elementos, que é exatamente o conjunto de cartões que iremos utilizar, pelo menos nos Primeiro jogos Para o Pensamento.

41.5.1.- Jogos Para o Pensamento com os Cartões Lógicos Os jogos a seguir devem ser encarados como experimentais e por isto

devem ser

experimentados muitas vezes como jogo solitário para somente então poder ser jogado em duplas.

41.5.1.1.- Jogo Solitário O jogo solitário consiste em montar o tabuleiro de forma que em nenhuma das colunas, linhas ou diagonais, nenhum dos quatro cartões possuam um mesmo dos quatro atributos, ou seja, neste jogo deve-se evitar o ‘quatro em linha’. Inicialmente podemos adotar o conjunto dos 16 cartões com 1 e 2 segmentos de reta:

Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#41 - Aury de Sá Leite

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Outra alternativa é a descartar os cartões com 2 segmentos de reta, substituindo-os por aqueles sem nenhum segmento de reta, e em seguida repetir o jogo solitário.

41.5.1.2.- Jogo com Dois Jogadores Os 16 cartões (‘zero + 1 segmentos’ ou ‘1 + 2 segmentos’) devem estar dispostas com as faces voltadas para cima no tampo de uma mesa. Os jogadores se alternam escolhendo qualquer um dos cartões que estejam sobre a mesa e o alocam no tabuleiro, evitando a formação do ‘quatro em linha’ pelo seu oponente e tentando ele mesmo conseguir o ‘seu’ ‘quatro em linha’ ao jogar na sua vez. Uma variação deste jogo para dois jogadores é a adoção de16 cartões de forma aleatória, ou seja, deve-se embaralhar o conjunto de 24 cartões e escolher aleatoriamente 16 dentre estes 24 cartões.

41.6.- Conclusão Muitas pessoas ficam receosas de fazer experiências no campo do raciocínio lógico-matemático imaginando que os fatos devam ser sempre os esperados e que os resultados devam ser únicos. Não ocorre isto com este tipo de pensamento, muitas descobertas da lógica e da matemática surgiram através de métodos exaustivos envolvendo tentativas e erros. Por outro lado, nas ciências, provar que algo dá certo ou é possível é tão importante como se obter a prova de que algo não dá certo ou é impossível. Por isto estes tipos de Jogos Para o Pensamento Lógico acima propostos são uma notável oportunidade de se simular a busca experimental no campo das ciências, ou mais especificamente no campo do raciocínio lógico-matemático.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#42 - Aury de Sá Leite

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JLOGC#42 - JOGOS PARA O PENSAMENTO LÓGICO Nº 42 Jogo dos Nove, Onze ou Treze Buracos Este é mais um Jogo Para o Pensamento Lógico muito semelhante ao Jogo da Velha. No entanto, trata-se de um jogo em que cada jogador se utiliza apenas de três fichas: (a) que devem ser dispostas uma a uma no tabuleiro – evitando-se que o oponente consiga o ‘três em linha’ e (b) os jogadores, um a cada vez, passam a movimentar uma de suas peças na tentativa de fazer o ‘três em linha’.

42.1.- Os Marcadores e o Tabuleiro Com Nove Buracos Esta é uma variante do jogo da velha, mas com uma maior dinâmica do que aquele jogo. Tal qual o Jogo da Velha, este é um jogo para dois jogadores. Em inglês este jogo é denominado ‘Nine Holes’, ou seja, ‘Nove Buracos’, pois originalmente as posições são nove pequenos orifícios localizados numa placa de metal, plástico ou madeira, em que se devem colocar seis pequenos pinos três destes pinos de uma mesma cor e três de outra cor.

O jogo tradicionalmente é jogado em tabuleiros com nove orifícios, mas no nosso caso, iremos utilizar um esquema formado por nove círculos localizados nos cruzamentos das linhas horizontais e verticais, conforme o mostrado abaixo. Ao invés de pinos, no caso do tabuleiro com nove círculos cada jogador deve utilizar 3 marcadores de uma mesma cor. Veja que poderão ser utilizados como marcadores, até com grande vantagem, tampas de garrafas pet, três de uma mesma cor para cada jogador.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#42 - Aury de Sá Leite

pág. 42.2

42.2.- REGRAS DO JOGO 1. Cada Jogador deve estar de posse de três marcadores de uma mesma cor, sendo que os três marcadores de um deles deverá se apresentar com uma cor diferente daqueles do seu oponente; 2. O objetivo é o de colocar três marcadores de um mesmo jogador (marcadores de uma mesma cor) em linha, como normalmente se faz no Jogo da Velha (Tic-Tac-Toe); 3. O primeiro jogador coloca uma de suas peças em qualquer ponto vazio do tabuleiro; 4. O segundo jogador coloca uma de suas peças em qualquer outro ponto vazio do tabuleiro; 5. Eles devem se revezar até que cada jogador tenha colocado todos os três marcadores no tabuleiro de jogo. 6. Estrategicamente falando, os dois jogadores devem impedir que o outro possa colocar os seus três marcadores em linha; 7. Depois disso, os jogadores se revezam movendo apenas um de seus marcadores para qualquer dos círculos vazios no tabuleiro; 8. Cada jogador tenta fazer uma linha de três marcadores de uma mesma cor, sempre tentando bloquear o outro jogador, impedindo-o de fazer uma linha de três; 9. O vencedor é o primeiro jogador a fazer uma fila de três marcadores; 10. Se nenhum dos dois jogadores conseguirem fazer a fila com seus marcadores; de comum acordo eles podem declarar o jogo empatado; 11. Deve-se acrescentar que cada jogador é obrigado a mover seu marcador quando na sua vez de jogar, ou seja, ele não pode deixar de movimentar um dos seus marcadores.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#42 - Aury de Sá Leite

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42.3.- Propondo Novas Regras A regra de número 7 pode ser modificada com o objetivo de dificultar o jogo, como mostramos a seguir.

42.3.1.- Nova Regra: 7. Depois disso, os jogadores se revezam movendo seus marcadores um de cada vez para um dos círculos vazios imediatamente próximos à

posição do marcador a ser

movimentado;

42.3.2.- Outra Nova Regra: 7. Depois disso, os jogadores se revezam movendo seus marcadores um de cada vez para um dos círculos vazios diferentes dos imediatamente próximos à posição do marcador a ser movimentado;

42.4.- Propondo Outros Tipos de Tabuleiro O Jogo dos Três em Linha jogado nos tabuleiros a seguir apresentados – o tabuleiro com 11 Círculos e o Tabuleiro com 13 Círculos – deve seguir as mesmas regras anteriores. O leitor irá perceber que as jogadas nestes outros dois tabuleiros: (a) Irá exigir uma estratégia diferente da utilizada no jogo anterior, requerendo muito mais atenção dos jogadores. (b) Deve-se acrescentar que, no caso destes novos tabuleiros, somente será considerado um ‘três em linha’ se os três marcadores formarem exatamente numa sequência ininterrupta.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#42 - Aury de Sá Leite

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42.5.- Conclusão O leitor deve tomar estes dois novos tabuleiros como totalmente voltados à exploração de novas regras experimentais. Novos tabuleiros podem ser propostos, novas regras devem ser tentadas. O leitor que ainda não leu o JLOGC anterior, intitulado: JLOGC#41 - O Jogo da Velha - Variações Experimentais, deve fazê-lo, com o intuito de conseguir se inspirar na exploração destes dois novos tabuleiros.

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JLOGC#43 - JOGOS PARA O PENSAMENTO LÓGICO Nº 43 CARTÕES COM UMA COROA CIRCULAR SEGMENTADA Os Cartões com uma Coroa Circular Segmentada em 4 partes, que deverá ser colorida com 5 cores tomado-as 4 a 4, tem a sua quantidade calculada a partir das Permutações Circulares com 4 elementos distintos, utilizando-se a fórmula 5 × PC4. Uma característica interessante dos Jogos Para o Pensamento Lógico com estes cartões é que eles exigem muita observação e cuidado devido a disposição dos elementos num cartão quadrado que pode ser visto indiferentemente de quatro modos a partir de sua possibilidade de rotação em torno do seu centro.

43.1.- O Módulo Básico A figura apresentada a seguir desenhada sobre um cartão é denominada coroa circular enquanto o outro cartão apresenta a mesma coroa circular segmentada em 4 porções simétricas que deverão ser coloridas cada uma, alternadamente, com uma das cinco cores escolhidas: amarelo,azul, vermelho, verde e branco, sem repetição.

O módulo básico tem as seguintes características: a) São quadrados medindo 6,5 cm de lado; b) Apresentam uma coroa circular segmentada em 4 regiões exatamente congruentes.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#43 - Aury de Sá Leite

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43.2.- Quantidade de Cartões com 4 Cores Distintas A quantidade de cartões com 4 cores distintas é dado pelo seguinte cálculo combinatório: a Permutação Circular de 4 elementos: PC4 = (4 – 1)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6. Supondo que as quatro cores deste primeiro conjunto de cartões sejam: azul (az), branco (bc), vermelho (vm) e amarelo (am), teremos as seguintes 6 possibilidades de distribuição destas cores: [1] [2] [3] [4] [5] [6]

az bc vm am az bc am vm az vm bc am az vm am bc az am vm bc az am bc vm

43.2.1.- As 4 Posições Possíveis de Um Mesmo Cartão O desenho abaixo mostra um mesmo cartão nas suas quatro posições distintas possíveis, sendo que a quinta posição corresponderá à posição inicial. Note que adotamos o sentido horário e o ângulo de 90º para conseguir cada uma das posições seguintes deste mesmo cartão:

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#43 - Aury de Sá Leite

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56.3.- Quantidade de Cartões com 5 Cores Distintas Supondo que as cinco cores dos novos conjuntos de cartões sejam: azul (az), branco (bc), vermelho (vm), amarelo (am) e verde (vd), poderemos utilizar a seguinte estratégia para gerar os 30 cartões distintos entre si: tomar como básica o conjunto anterior de cartões (6 cartões nas cores az, bc, vm e am) e substituir sistematicamente neste conjunto de 6 cartões cada uma das cores pela cor verde, como mostraremos a seguir.

43.3.1.- Conjunto Básico: Este é o conjunto com as 4 cores básicas como mostrado anteriormente. A partir deste conjunto de cartões iremos gerar os demais quatro conjuntos de cartões adotando uma quinta cor: verde (vd). O Total de cartões é dado pela fórmula: 5 × PC4 = 5 × (4-1)! = 5 × 6 = 30 ( cinco vezes a Permutação circular com 4 elementos é igual a 30).

43.3.2.- Substituindo no Conjunto Básico a cor azul por verde

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#43 - Aury de Sá Leite

43.3.3.- Substituindo no Conjunto Básico a Cor Branca por Verde

43.3.4.- Substituindo no Conjunto Básico a Cor Vermelha por Verde

43.3.5.- Substituindo no Conjunto Básico a Cor Amarela por Verde

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60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#43 - Aury de Sá Leite

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43.4.- Jogos Para o Pensamento Lógico O conjunto total de cartões distintos entre si é igual a 30 como mostramos anteriormente. Para que possamos propor os Jogos Para o Pensamento Lógico estes 30 cartões devem ser impressos duas vezes perfazendo 60 cartões iguais dois a dois. No CD-R que acompanha o livro o leitor encontrará o conjunto de 30 cartões distintos a serem impressos em folhas do tamanho A4 em duplicata, perfazendo os 60 cartões. Em seguida as folhas de papel A4 devem ser plastificadas e os cartões recortados. Os jogos a seguir utilizam os 60 cartões distintos dois a dois.

43.4.1.- O Jogo dos Subconjuntos de Cartões Este é um jogo solitário em que o jogador deve embaralhar muito bem os 60 cartões: dividindo os cartões em dois montes e rodando um dos montes de cartões num ângulo de 90º, embaralhando os novamente os cartões. Repetir este processo diversas vezes; Agora o jogador deve separar os 60 cartões nos cinco grupos (subconjuntos) de acordo com as quatro cores que eles apresentam.

43.4.2.- Os Jogos dos Cartões Idênticos Nestes jogos deverão ser utilizados novamente os 60 cartões duplicados.

43.4.2.1.- O jogo Solitário da Identidade entre Cartões Este é um jogo individual, ou seja, um jogo solitário . •

Dispor os 60 cartões aos pares.

•

Este conjunto de cartões apresenta-se com alguma dificuldade de emparelhamento devido as características acima já discutidas, por isto, aconselha-se que o jogo solitário deva ser conferido por um supervisor juntamente com o jogador.

43.4.2.2.- Jogo do Casamento dos Cartões Podem participar de 2 a 4 jogadores. •

Embaralhar muito bem os 60 cartões: dividir os cartões em dois montes e rodar um dos montes num ângulo de 90º, embaralhando em seguida os cartões. Repetir este processo diversas vezes.

•

Distribuir dez cartas para cada jogador e guardar as restantes num monte de cartões (‘morto’) com as faces viradas para baixo;

•

Os jogadores podem combinar a quantidade máxima de rodadas que pretendem jogar, sendo que isto não é obrigatório, mas é recomendável;

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#43 - Aury de Sá Leite

•

Pág. 43.6

Cada jogador pode fazer os pares encontrados nestas dez cartas baixando-os à sua frente de modo que o(s) seu(s) adversário(s) possa(m) verificar se o(s) par(es) está (estão) correto(s);

•

Para cada par baixado os jogadores devem comprar um cartão no ‘morto’ e caso forme um novo par deve comparar mais um cartão do morto;

•

Depois de formados todos os pares iniciais, o jogo realmente começa: O primeiro a jogar compra um cartão do monte, ou então compra ‘todos’ as cartões que foram descartados e estão sobre a mesa, devendo descartar em seguida um de seus cartões sendo que deve descartas dois cartões caso baixe mais um par de cartões; Note que para cada par de cartões baixados deve haver o descarte de um cartão qualquer;

•

O jogo termina quando um dos jogadores tiver descartado o seu último cartão; Os jogadores devem contar 2 pontos para cada par formado e subtrair um ponto para cada cartão que reste em sua mão; Um dos jogadores deve se encarregar de marcar os pontos ganhos (positivos), e as pontuações correspondentes a zero ou aos pontos negativos.

•

Terminadas as rodadas combinadas deve-se computar a quantidade de pontos conseguidas por cada um dos jogadores, o vencedor é aquele com maior número de pontos positivos.

43.5.- Conclusão Os educadores mais interessados, ou mais criativos, podem tentar melhorar as regras anteriores ou mesmo criar novos jogos com outras regras.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#44 - Aury de Sá Leite

pág. 44.1

JLOGC#44 - JOGOS PARA O PENSAMENTO LÓGICO Nº 44 BARALHOS COM FIGURAS ENCAIXÁVEIS Os Baralhos com Figuras Encaixáveis, como o próprio nome diz são destinados á formação de pares cujas figuras de um dos baralhos deve ‘idealmente’ se encaixar no outro. Há ainda a possibilidade de se buscar entre os baralhos aqueles que são topologicamente equivalentes, ou seja, o jogo em que se buscam a equivalência entre semicírculos e os retângulos constantes das figuras que estão nas faces dos baralhos.

44.1.- Os Quatro Módulos Básicos Abaixo estão os quatro módulos básicos que darão origem a todos os demais baralhos do nosso jogo de encaixe de imagens: os baralhos com recortes semicirculares e os baralhos com recortes quadrangulares. Tanto para aqueles com semicírculos quanto aqueles com retângulos, há dois tipos de cartões quanto aos desenhos coloridos: os côncavos e os convexos.

côncavo

convexo

côncavo

convexo

Os diversos baralhos a serem criados irão diferir: a) Pela quantidade de recortes: três, dois ou um semicírculos ou três, dois ou um retângulos; b) Pela substituição da cor cinza que aparece nos modelos básicos pelas cores: vermelho, azul ou amarelo.

44.2.- Os Baralhos Vermelhos Com Recortes Semicirculares As cores a serem escolhidas para colorir as regiões cinza que aparecem nos módulos básicos como se afirmou acima podem ser vermelho, azul ou amarelo. O conjunto de 28 (vinte e oito) baralhos a seguir mostrado está na cor vermelha. O conjunto total de baralhos nas três cores escolhidas irá ter 84 (oitenta e quatro) elementos.

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44.2.1.- Com três recortes semicirculares

44.2.2.- Com dois recortes semicirculares

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44.2.3.- Com um recorte semicircular

44.3.- Os Baralhos Com Recortes Retangulares 44.3.1.- Com três recortes retangulares

pág. 44.3

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44.3.2.- Com dois recortes retangulares

44.3.4.- Com um recorte retangular

pรกg. 44.4

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#44 - Aury de Sá Leite

pág. 44.5

44.4.- Jogos Para o Pensamento Lógico Como viemos fazendo ao longo deste livro, regras são sugeridas para alguns Jogos Para o Pensamento Lógico, sendo que sempre esperamos que os leitores mais interessados modifiquem estas regras ou até mais, criem suas próprias regras.

44.4.1.- Um Jogo Solitário Este é um jogo do tipo solitário. O jogo mais evidente a ser jogado com estas 84 cartas é o da busca de figuras que se encaixem, ou seja, o baralho deve ser jogado de acordo com as regras do baralho comum em que as cartas devem ser casadas com suas complementares: não somente em termos de encaixe, mas de cores, formando pares.

44.4.2.- Um Jogo Intuitivo de Exploração dos Atributos Um jogo inicial, bastante interessante, é o de que se destine o conjunto das 84 cartas do baralho à exploração intuitiva, ou seja, através de uma exploração que vise a descoberta do que esteja subjacente aos 84 baralhos, seja quanto a um dado atributo: cor, formas, etc. Neste caso, o conjunto de 84 cartas deve ser entregue bem embaralhado, a um ou mais jogadores, de forma que ele(s) as agrupe de acordo com um dos atributos que venham a descobrir.

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pág. 44.6

44.4.3.- O Jogo da Equivalência entre Semicírculos e Retângulos Este jogo consiste em se encontrar os baralhos que sejam equivalentes topológicos1 em termos da quantidade de semicírculos ou retângulos como mostrado nos exemplos da figura abaixo, por exemplo:

44.4.4.- Outro tipo de Jogo O casamento das cartas pode ser jogado com dois, três ou até quatro parceiros, de acordo regras que sejam a de um jogo de baralhos comuns em que se distribuem as cartas deixando de lado um

Topologia: Parte da matemática na qual se investigam as propriedades das configurações que permanecem invariantes nas transformações biunívocas e bicontínuas, como por exemplo: um triângulo é topologicamente equivalente a um círculo, a um quadrado ou qualquer outra figura geométrica plana fechada simples.

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pรกg. 44.7

morto para que as cartas sejam compradas e no caso de haverem cartas na mesa que elas todas sejam comparadas.

44.5.- Conclusรฃo Os leitores e os educadores interessados podem modificar as regras acima ou mesmo criar novos Jogos Para o Pensamento usando este baralho.

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JLOGC#45 - JOGOS PARA O PENSAMENTO LÓGICO Nº 45 DOMINÓS RETANGULARES COM TRIÂNGULOS COLORIDOS Os Dominós Retangulares com Triângulos Coloridos deve ser visto como um dominó propriamente dito, somente que, devido à quantidade de peças e a forma de selecionálas, se apresenta com possibilidades de jogadas inesperadas a cada rodada. Não é possível, como nos dominós comuns ‘contar’ as peças e tentar saber qual delas podem estar de posse do oponente. Um fato por demais interessante é que este Micromundo não se apresenta completo há muitos outros cartões que poderiam ser gerados, no entanto esta não é a nossa preocupação central, pois a quantidade de cartões bicromáticos gerados, num total de 150, dão suporte aos Jogos Para o Pensamento propostos neste JLOGC. Há ainda mais 4 cartões Monocromáticos, que normalmente não são arrolados entre aqueles destinados aos jogos.

45.1.- Um Novo Tipo de Jogo de Dominós O dominó comum, aquele em que as peças apresentam-se com valores de zero até seis combinados dois a dois com repetições tem a quantidade limitada a 28 peças. A pequena quantidade de peças permite que jogadores mais experientes possam tecer hipóteses até mesmo bastante precisas sobre as peças que possam estar nas mãos de seus oponentes, permitindo-lhes traçar estratégias que levem a dificultar as jogadas dos seus oponentes.

Por outro lado, os Dominós Retangulares com Triângulos Coloridos permitem uma nova forma de jogar dominós, seja em função da quantidade de peças, seja em função da diversidade dos atributos: quatro cores distintas (am, az, vm, vd) que podem ser alocadas em uma das oito regiões em que estão divididos os retângulos desenhados nos cartões. Graças à grande quantidade de cartões que podem ser

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gerados – um cento –, indica-se que todos os cartões sejam embaralhados e que seja escolhida uma quantidade de cartões para se jogar com eles, como por exemplo, um mínimo de 28 (como a quantidade dos dominós comuns). A escolha destes cartões deve ser aleatória a cada vez, fazendo com que cada rodada não envolva sempre os mesmos cartões.

45.2.- O Módulo Básico O módulo básico do Dominó Retangular com Triângulos Coloridos é um retângulo medindo 5 cm por 3 cm, dividido em 8 triângulos exatamente congruentes (congruente = com as mesmas medidas), conforme a figura mostrada abaixo.

5 cm

3 cm

45.2.- Colorindo os Cartões Vamos utilizar para colorir estes oito triângulos as seguintes quatro cores: amarelo (am), azul (az), vermelho (vm) e verde (vd), usando-se os seguintes critérios: a) Quatro dos cartões devem ser monocromáticos, ou seja, os oito triângulos destes cartões devem ser coloridos com uma única das cores escolhidas; b) Os demais cartões devem receber as quatro cores escolhidas duas a duas; c) A quantidade de triângulos a serem coloridos por cada uma destas duas cores será: ‘n’ triângulos versus ‘8–n’ triângulos, com n = 4 ou n = 2; d) A escolha destes ‘n’ por ‘8–n’ triângulos deverá ser feita de modo a distribuir as cores, de forma simétrica, quase-simétrica e mesmo assimétrica. e) Mesmo gerando 150 cartões distintos entre si com a distribuição de duas cores escolhidas dentre quatro cores distintas em 4x4 ou 6x2 triângulos, muitos outros poderia ser gerados, como por exemplo, os cartões com 5 x 3 ou 7 x 1 triângulos, e além destes outros poderiam ainda ser considerados, mas foram tal como os cartões simétricos entre si. Isto, de alguma forma comprova que este Micromundo é incompleto.

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f) Não são considerados entre os 150 cartões, os 4 cartões monocromáticos, geralmente não incluídos entre aqueles a serem utilizados nos Jogos Para o Pensamento – o Dominó do Casamento de Padrões.

45.3.- Cartões Monocromáticos Nestes cartões os oito triângulos que dividem o retângulo devem ser coloridos totalmente por uma das cores: amarelo (am), azul (az), vermelho (vm) ou verde (vd).

45.4.- Esquemas da Distribuições de Cores em 4x4 Triângulos Vamos mostrar a seguir vários os esquemas de distribuição das quatro cores tomadas duas a duas pelos 8 triângulos do módulo básico, para imediatamente em seguida mostrar os cartões gerados a partir daqueles esquemas. Estes esquemas permitirão a geração de 6 cartões distintos entre si. As quatro cores escolhidas devem ser distribuídas duas a duas de forma simétrica ou quasesimétrica sobre o cartão módulo. A escolha da quantidade de triângulos a serem coloridos respectivamente com estas duas cores serão as seguintes: 4 + 4 ou 6 + 2. O leitor mais exigente poderá ainda tentar acrescentar ao conjunto deste cartões aqueles modelados segundo as seguintes composições de quantidade de triângulos bicoloridos: 5 + 3 e 7+1, completando assim todas as possibilidades de colorimento envolvendo 4 cores tomada duas a duas. O leitor mais atento irá perceber que não serão exploradas todas as possibilidades de se colorir estes cartões com as quatro cores escolhidas, duas a duas. As possibilidades de coloração dos cartões que a seguir mostramos, repetimos, não compreendem todas as possibilidades de fazê-lo.

45.4.1.- Cartões Bicolores do Tipo 4x4 com Interligação de Cores Os esquemas modelos: #1, #2, #3 e #4, mostrados abaixo estão ligados pela seguinte característica: as duas cores escolhidas ocupam de forma interligada 4 dos triângulos – 4 dos oito

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triângulos que figuram no Módulo Básico. Cada um destes modelos esquemáticos permitirá gerar seis cartões distintos, ou seja, iremos gerar aqui 24 cartões distintos entre si.

Modelo #1.bicolor

Modelo #2.bicolor

Modelo #3.bicolor

45.4.1.1.- Cartões Bicolores do tipo 4 x 4: Modelo #1.bicolor

Modelo #1.bicolor

45.4.1.2.- Cartões Bicolores do tipo 4 x 4: Modelo #2.bicolor

Modelo #2.bicolor

Modelo #4.bicolor

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45.4.1.3.- Cartões Bicolores do tipo 4 x 4: Modelo #3.bicolor

Modelo #3.bicolor

45.4.1.4.- Cartões Bicolores do tipo 4 x 4: Modelo #4.bicolor

Modelo #4.bicolor

45.4.2.- Cartões Bicolores do Tipo 4x4 sem Interligação de Cores

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Os esquemas modelos: #5, #6, #7 e #8, mostrados abaixo estão ligados pela seguinte característica: as duas cores escolhidas ocuparão de forma alternada 4 dos triângulos dos oito triângulos que figuram no Módulo Básico. Cada um destes modelos esquemáticos permitem gerar seis cartões distintos, ou seja, iremos gerar aqui mais 24 cartões distintos entre si. Confira abaixo a simetria e a quase-simetria na distribuição de cores nos cartões que foram agrupados como sendo cartões Modelo #5 e Modelo #6 (ambos simétricos) e o Modelo #7 (semisimétrico):

Modelo #5

Modelo #6

Modelo #7

45.4.2.1.- Cartões Bicolores do tipo 4 x 4: Modelo #5

Modelo #5

45.4.2.2.- Cartões Bicolores do tipo 4 x 4: Modelo #6

Modelo #6

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45.4.2.3.- Cartões Bicolores do tipo 4 x 4: Modelo #7

Modelo #7

45.5.- Esquemas da Distribuições de Cores em 6x2 Triângulos As quatro cores escolhidas continuarão a ser distribuídas duas a duas de forma simétrica, semisimétrica, e mesmo de forma assimétrica, sobre o cartão módulo, somente que agora haverá dois triângulos simétricos ou não com uma mesma cor e os demais com a outra cor.

Modelo#8

Modelo#9

Modelo#13

Modelo#10

Modelo#14

Modelo#11

Modelo#14

Modelo #12

Modelo#16

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45.6.- Sobre a Geração dos Cartões 6X2 Cores Ao gerarmos os cartões 6x2 teremos que escolher as seguintes formas de distribuição de cores: a) (x,y) ≡ (6,2) que significa: a cor x é distribuída em 6 triângulos enquanto a cor y é distribuída em 2 triângulos; b) (y,x)

(6,2) que significa: a cor é distribuída em 6 triângulos enquanto a cor x é

distribuída em 2 triângulos. c) Confira no exemplo a seguir que: (am,az) ≡ (6,2) é diferente de (az,am) ≡ (6,2)

(am,az) ≡ (6,2)

(am,az) ≡ (2,6)

45.6.1.- Cartões Bicolores do tipo 6 x 2: Modelo #8.(x,y) e 8.(y,x)

Modelos #8

Modelo #8.(x,y) ≡ (6,2)

Modelo #8.(y,x) ≡ (6,2)

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45.6.2.- Cartões Bicolores do tipo 6 x 2: Modelo #9.(x,y) e #9.(y,x)

Modelo #9

Modelo #9.(x,y) ≡ (6,2)

Modelo #9.(y,x) ≡ (6,2)

45.6.3.- Cartões Bicolores do tipo 6 x 2: Modelo #10

Modelo#10

Modelo#10.(x,y) ≡ (6,2)

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Modelo#10.(y,x) ≡ (6,2)

45.6.4.- Cartões Bicolores do tipo 6 x 2: Modelo #11

Modelo #11

Modelo #11.(x,y) ≡ (6,2)

Modelo #11.(y,x) ≡ (6,2)

45.6.5.- Cartões Bicolores do tipo 6 x 2: Modelo #12

Modelo #12

Pág. 45.10

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Modelo #12.(x,y) ≡ (6,2)

Modelo #12.(y,x) ≡ (6,2)

45.6.6.- Cartões Bicolores do tipo 6 x 2: Modelo #13

Modelo #13

Modelo #13.(x,y) ≡ (6,2)

Modelo #13.(y,x) ≡ (6,2)

Pág. 45.11

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45.6.7.- Cartões Bicolores do tipo 6 x 2: Modelo #14

Modelo#14

Modelo #14.(x,y) ≡ (6,2)

Modelo #14.(y,x) ≡ (6,2)

45.6.8.- Cartões Bicolores do tipo 6 x 2: Modelo #15

Modelo #15

Modelo #15.(x,y) ≡ (6,2)

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Modelo #15.(y,x) ≡ (6,2)

45.6.9.- Cartões Bicolores do tipo 6 x 2: Modelo #16

Modelo #16

Modelo #16.(x,y) ≡ (6,2)

Modelo #16.(y,x) ≡ (6,2)

45.7.- Alguns Esquemas de Cores Para 5x3 e 7x1 Triângulos

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#45 - Aury de Sá Leite

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45.8.- Quantos são os Cartões Bicromáticos Temos até aqui uma quantidade de 150 (cento e cinquenta) cartões bicromáticos mais 4 cartões monocromáticos. O leitor pode pensar, e com razão, que outros modelos de cartões bicromáticos simétricos, semi-simétricos ou assimétricos poderiam ser gerados dos tipos 4×4 ou 6×2 – isto é videntemente bastante provável. E mais, teríamos ainda a possibilidade de gerar cartões dos tipos 5×3 ou 7×1. Mas estas possibilidades que visariam completar este Micromundo, criaria um conjunto de cartões muito vasto, de difícil gerenciamento. Nos parece que com os 150 cartões gerados até aqui, temos uma quantidade de cartões mais do que suficiente para o Jogo Para o Pensamento do tipo Jogo de Dominós de Casamento de padrões, proposto a seguir. Como já mencionado, uma das maiores vantagens do Dominós Retangulares com Triângulos Coloridos não é somente a sua diversidade e a quantidade dos mesmos, mas exatamente a impossibilidade de se ‘contar’ as peças como se comprovará facilmente durante os jogos.

45.9.- Jogo Para o Pensamento Lógico 45.9.1.- Jogos Exploratórios

45.9.1.1.- Organizar os cartões segundo os modelos esquemáticos Distribuir os cartões segundo os 16 Modelos, utilizando o Mapa de Distribuição de Cores apresentado abaixo. Verificar que os modelos que vão do #8 até o #16 têm duas formas de distribuição de cores: (x,y) e (y,x).

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#45 - Aury de Sá Leite

Modelo #1.bicolor

Modelo #2.bicolor

Modelo #5

Modelo#8

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Modelo #6

Modelo#9

Modelo#13

Modelo #3.bicolor

Modelo#10

Modelo#14

Modelo #4.bicolor

Modelo #7

Modelo#11

Modelo#14

Modelo #12

Modelo#16

45.9.1.2.- Outras Formas de Organização os Cartões O aplicador pode sugerir aos jogadores outros tipos de seleção e organização dos cartões, tais como: a) Cartões do tipo 4×4 ou 6×2; b) Pelos Modelos: de #1 até o #7; c) Os cartões internamente simétricos; d) Os cartões internamente assimétricos; e) Os pares de cartões simétricos entre si: de #8 até #16.

45.9.2.- Jogo Dominós Aleatoriamente Escolhidos no Conjunto Total O primeiro passo deste jogo consiste no seguinte: Os cartões que participarão do jogo devem ser selecionados aleatoriamente, de acordo com os seguintes passos:

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#45 - Aury de Sá Leite

Pág. 45.16

1. Separe aleatoriamente, do conjunto total de 150 cartões, uma quantidade aproximada entre 40 e 60 cartões – de acordo com a quantidade de jogadores e as quantidades a serem distribuídas e reservadas para o morto; 2. Embaralhe sobre o tampo da mesa estes cartões com suas faces voltadas para baixo; 3. Distribuir de 6 a 10 destes cartões para cada jogador; 4. Separe 10 cartões dentre os restantes e reserve-os com as faces voltadas para baixo como ‘morto’ (cartões destinados à compra, quando necessário); 5. Devolva os cartões restantes ao conjunto de cartões. Estes cartões não participarão do jogo; 6. Deve-se jogar o dominó segundo as regras padrão para o jogo dos dominós comuns – veja as regras do Jogos de Dominós Comum item abaixo; 7. No caso em que o jogo fique ‘trancado’ os cartões remanescentes de cada jogador devem ser contados – 1 ponto para cada um dos cartões 4×4 e 2 pontos para cada um dos cartões 6×2 – sendo ganhador o jogador com a menor quantidade de pontos; 8. O Jogador cujos cartões se esgotarem desde que não haja mais cartões a serem comprados na mesa ou no morto, venceu a partida.

45.9.3.- Jogo do Dominó Comum Dados Iniciais: • • • •

Jogadores de 2 até 4. Peças - 28 peças com lados variando de 0 a 6. Distribuição – 5 ou 6 peças para cada participante. Objetivo – vence aquele que fizer a maior quantidade de pontos.

•

Definições:

1. Passar a vez - quando o jogador não tem nenhuma peça que encaixe em qualquer das extremidades. 2. Comparar peças do morto – enquanto restarem peças no morto, o jogador deve comprar uma peça sempre que ocorrer 3. Jogo trancado - quando nenhum jogador possui alguma peça que encaixe em qualquer extremidade. 4. Trancar o jogo - quando um jogador joga uma peça que cause o trancamento do jogo, impossibilitando que qualquer dos outros jogadores possam jogar.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#45 - Aury de Sá Leite

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5. Bater o jogo - quando um dos jogadores consegue ficar sem peças na mão, não tendo mais peças para comprar, nem na mesa nem no morto. 6. O Jogo:

7. As peças são "embaralhadas" na mesa com suas faces voltadas para baixo, e cada jogador pega 5 ou 6 peças para jogar. 8. O jogador que começa a partida é o que tem a peça 6-6, caso ninguém tenha esta peça, deve-se começar a partida com um peça dupla que seja a mais alta de posse dos jogadores, a saber 5-5, 4-4, etc. 9. Ele inicia a partida colocando esta peça no centro da mesa. A partir daí, joga-se no sentido anti-horário. 10. Cada jogador deve tentar encaixar alguma peça suanas peças que estão na extremidade do jogo, uma por vez. 11. Quando um jogador consegue encaixar uma peça, ele compra uma peça no morto tenta encaixá-la, mesmo que não consiga encaixá-la passa a vez é passada para o próximo jogador. 12. Quando terminar o morto, caso o jogador não tenha nenhuma peça que encaixe em qualquer lado, ele deve passar a vez, sem jogar peça nenhuma. 13. A partida pode terminar em duas circunstâncias: a. Quando um jogador consegue bater o jogo, b. Quando o jogo fica trancado para todos os jogadores. Contagem Pode-se jogar uma ou mais partidas, sendo que o jogo termina quando um dos jogadores atinge uma quantidade que deve ser previamente combinada, como por exemplo, 50 pontos. Os jogadores podem ainda estabelecer valores inferiores a 50. Valor em pontos O valor em pontos de cada peça corresponde à soma dos valores das duas pontas da peça. Dessa forma, a peça 0-0 vale 0 pontos, a peça 3-4 vale 7 pontos, a peça 6-6 vale 12 pontos e assim por diante.

45.10.- Comentários Finais O leitor mais interessado pode estabelecer novas regras tal como, por exemplo, o casamento dos padrões devam ser feitos somente pelas laterais mais estreita do retângulo ou somente pelas laterais mais amplas. Outra regra a ser também tentada é a da alternância dos casamentos: lado mais estreito + lado mais largo + lado mais estreito e assim por diante.

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JLOGC#46 - JOGOS PARA O PENSAMENTO LÓGICO Nº 46

Jogo dos Retângulos em Três Níveis Este é mais um Jogo Para o Pensamento Lógico: um baralho em que as figura desenhadas nas cartas representam três retângulos coloridos em que se podem distinguir três níveis (simulados) de profundidade, ou seja, os retângulos aparentam estar sobrepostos, sendo que cada um deles, de forma combinada, pode ocupar o primeiro, o segundo ou terceiro níveis de profundidade.

46.1.- O Módulo Básico O módulo que dá origem às cartas do baralho é mostrado abaixo com os três retângulos desenhados apenas em seus contornos e, ao lado, com os três retângulos preenchidos em branco.

46.2.- As Seis Variantes Possíveis Quanto à Profundidade O módulo acima mostrado foi desenvolvido objetivando que fosse possível mostrar as possíveis combinações dos três retângulos quanto à profundidade relativa entre eles: frente, intermédio e fundo, como mostram estas seis cartas de baralho a seguir:

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46.3.- As Variantes Possíveis Quanto às Profundidades e Cores As cores dos retângulos serão as cores primárias: azul = az, amarelo = am e vermelho = vm, sendo que os retângulos, de acordo com o tamanho de suas alturas (pequena, média e grande) recebem uma numeração conforme é mostrada abaixo:

1 2

Desta forma há duas variáveis a serem consideradas quando utilizamos estas cartas: os valores numéricos ordenados pela posição relativa de cada um dos retângulos e as cores.

46.3.1.- Codificação: ‘Profundidades + Cores’ Note que cada cartão pode ser individualizado (caracterizado de forma unívoca) quando associamos os valores numéricos, referentes aos tamanhos de suas alturas, às profundidades relativas dos retângulos e suas cores, sempre na ordem: Grande, Médio e Pequeno. Para isto adotaremos a seguinte notação sintética envolvendo duas ternas ordenadas ligada pelo sinal de ‘+’ como mostrado a seguir: (Frente, Intermédio, Fundo) + (Grande, Médio, Pequeno) = = (número1, número2, número3) + (cor1, cor2, cor3)

46.3.2.- Codificação: Exemplos Exemplo #1: A Notação ‘(3,1,2) + (vm,az,am)’ significará o seguinte: Profundidade = (pequeno, grande, médio) Cores = (Grande = vm, Médio = azul, Pequeno = amarelo), que corresponderá à seguinte carta do baralho:

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2 3

(3,1,2) + (vm,am,az)

Exemplo #2: A Notação ‘(2,1,3) + (am,az,vm)’ corresponderá à seguinte carta do baralho:

2 3

46.4.- As 36 Cartas distintas do Baralho São 36 as cartas deste baralho, distintas entre si, no tocante aos dois atributos: profundidades relativas dos retângulos e as combinações possíveis das três cores. Vamos mostrá-las a seguir ordenadas por modelos baseados nas cores fixadas, variando as profundidades relativas.

46.4.1.- Modelo #01 – (Az, Vm, Am)

(1, 2, 3)

(1, 3, 2)

(2, 1, 3)

(2, 3, 1)

(3, 1, 2)

(3, 2,1)

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46.3.2.- Modelo #02 – (Az, Am, Vm)

(1, 2, 3)

(1, 3, 2)

(2, 1, 3)

(2, 3, 1)

(3, 1, 2)

(3, 2,1)

(3, 1, 2)

(3, 2,1)

46.3.3.- Modelo #03 – (Am, Az, Vm)

(1, 2, 3)

(1, 3, 2)

(2, 1, 3)

(2, 3, 1)

46.3.4.- Modelo #04 – (Am, Vm, Az)

(1, 2, 3)

(1, 3, 2)

(2, 1, 3)

(2, 3, 1)

(3, 1, 2)

(3, 2,1)

46.3.5.- Modelo #05 – (Vm, Az, Am)

(1, 2, 3)

(1, 3, 2)

(2, 1, 3)

(2, 3, 1)

(3, 1, 2)

(3, 2,1)

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46.3.6.- Modelo #06 – (Vm, Am, Az)

(1, 2, 3)

(1, 3, 2)

(2, 1, 3)

(2, 3, 1)

(3, 1, 2)

(3, 2,1)

46.4.- A Quantidade Necessária de Cartas do Baralhos = 72 As 36 cartas de baralho compostas pelos modelos de 1 a 6 são encontradas no CD-R que acompanha este livro. Devemos imprimir duas vezes os modelos de cartas desde o 1 até o 6 que perfazem 72 cartas, plastificar as folhas A4 e em seguida recortar cuidadosamente estas cartas.

46.5.- Jogos Para o Pensamento Este conjunto de cartas de 36 cartas ou 72 cartas baralho, quando duplicadas, permitirão a realização de interessantes Jogos Para o Pensamento Lógico.

46.5.1.- Jogos Livres O Jogo Livre, Livre de Regras ou Sem Regras, é aquele em que o jogador deve organizar os elementos do jogo, no caso atual, cartas de baralho, tentando estabelecer as suas peculiaridades, como coincidências, atributos comuns, etc. O aplicador ou administrador deste tipo de jogo deve adotar uma atitude neutra, procurando interferir minimamente com as atitudes ou formas de pensar do jogador, ou seja: deve assumir o papel de mero observador. O Jogo Livre pode ser também denominado Jogo Exploratório Livre de Regras, que apesar de ser um nome mais extenso é mais explícito quanto ao significado precípuo deste tipo de jogo. Um dos jogos livres deve ser realizado usando o conjunto das 36 cartas do baralho, distintas entre si. •

As cartas devem ser examinadas pelo jogador sob a supervisão de um administrador que já conheça o baralho.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#46 - Aury de Sá Leite

•

pág.

O administrador, sem interferir diretamente, deve dialogar com o jogador tentando obter informações sobre o jogador está observando, bem como o porquê de ele ter adotado este ou aquele critério de identificação, separação ou agrupamento das cartas.

Outro jogo livre consiste em se adotar o baralho duplicado com 72 cartas, propondo-se o mesmo que foi feito no jogo livre anterior. O administrador deve observar o que o jogador proporá como forma de organizar logicamente as cartas do baralho.

46.5.2.- Jogos das Cores e Profundidades Utilizando a numeração dos retângulos (1, 2 ou 3) o administrador deve propor tarefas ao(s) jogador(es), tais como as constantes dos seguintes sugestões: 1. Selecionar as cartas cujo retângulo de número n fixado, n = 1, 2 ou 3 é de uma cor x fixada, x = az, vm ou am. 2. Selecionar as cartas cujos retângulos de número m e n, m = 1, 2 ou 3 e n = 1, 2 ou 3, com m ≠ n, e com as cores x ou y, x = az, vm ou am e y = az, vm ou am, podendo ocorrer x = y ou então x ≠ y. 3. Outras tarefas semelhantes, mas com algumas variações devem ser pensadas pelo administrador, a partir destas sugestões.

46.5.3.- Jogos Com o uso de Códigos Numéricos e de Cores Neste jogo iremos adotar uma série de cartões em que constam o código numérico e outros em que aparecem os códigos das cores, conforme o que foi sugerido no item 42.3.2 acima. As medidas destes cartões é 4 cm × 10 cm. A figura abaixo mostra o cartão com a metade das medidas reais. O leitor encontrará o conjunto de cartões em sua verdadeira grandeza no CD-R que acompanha o livro. Os cartões devem ser impressos, plastificados e recortados.

(m,n,p)

4 cm

10 cm

Os dois conjuntos de cartões são mostrados a seguir com 50% do tamanho real:

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#46 - Aury de Sá Leite

pág.

(az,vm,am) (az,am,vm) (am,az,vm) (am,vm,az) (vm,am,az) (vm,az,am)

(1,2,3)

(1,3,2)

(2,1,3)

(2,3,1)

(3,1,2)

(3,2,1)

46.5.3.1.- Jogo #01 O administrador deve embaralhar os cartões cor marrom claro e distribuir um deles para o jogador (ou um de cada um deles para até 4 dos jogadores). A tarefa consistirá em agrupar as cartas do baralho segundo as cores, na ordem: (Grande, Médio e Pequeno) conforme o código estudado até aqui.

46.5.3.2.- Jogo #02 O administrador deve embaralhar os cartões cor verde claro e distribuir um deles para o jogador (ou um de cada um deles para até 4 dos jogadores). A tarefa consistirá em agrupar as cartas do baralho segundo as profundidades do retângulos numerados como 1, 2 e 3, de acordo com: (Frente, Intermédio e Fundo).

46.5.3.2.- Jogo #03 O administrador deve embaralhar separadamente os cartões cor marrom claro e os cartões cor verde claro, e distribuir um de cada um deles para o jogador (ou um de cada um deles para até 4 dos jogadores). A tarefa consistirá em localizar a única carta que satisfaz às duas condições simultaneamente.

46.5.4.- O Jogo do Dominó das Diferenças Nos JLOGCs anteriores nós introduzimos os Jogos do Dominó das Diferenças. O leitor interessado está convidado a buscar nos JLOGCs anteriores informações sobre este tipo de jogo e criar suas próprias soluções para a empregabilidade destes cartões.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#46 - Aury de Sá Leite

pág.

46.6.- Conclusão Este é um jogo bastante difícil que requer muita atenção ao ser jogado por envolver códigos que precisam ser bastante compreendidos. O leitor irá notar que de propósito escolhemos numerar os cartões quanto à medida das alturas dos retângulos usando o número 1 para o retângulo mais alto, o 2 para o retângulo cuja altura média e 3 para o retângulo cuja altura é a menor das três. Este fato pode causar algum tipo de confusão, pois: •

O maior valor numérico corresponderá ao retângulo cuja altura é a de menor comprimento

•

Ao menor dos valores numéricos corresponderá ao retângulo cuja altura é a de maior valor quanto ao comprimento.

O autor sente muito se isto virá a causar alguma confusão, o que ele espera, afirmando que este é o problema dos códigos, que nem sempre podem ou devem ser intuitivos. O que é o caso aqui.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#47 - Aury de Sá Leite

pág. 47.1

JLOGC#47 – JOGOS PARA O PENSAMENTO LÓGICO Nº 47 UMA FAMÍLIA DE CARTÕES LÓGICOS COM SEIS ATRIBUTOS O conjunto de cartões que iremos estudar neste JLOGC é bastante complexo, ele possui 6 distintos atributos bastante interessantes o que nos permite gerar 216 cartões com desenhos distintos entre si.

47.1.- Criando um Conjunto de Cartões Lógicos com 6 Atributos Quando jogamos livremente com os Blocos Lógicos (Blocos Atributos) nós percebemos, de forma quase que imediata, sejam no tocante ao modelo tradicional com suas 48 peças ou com 60 peças, no caso do modelo ampliado pela inserção do hexágono, que os elementos deste conjunto têm apenas 4 atributos: formas (cinco), cores (três), tamanhos (dois) espessuras (duas), que são facilmente identificáveis. Quando multiplicamos estes valores 5 × 3 × 2 × 2 obtemos 60 como resultado que corresponderá à quantidade de blocos distintos componentes do Micromundo ‘Blocos Lógicos’. Neste JLOGC iremos apresentar um conjunto de cartões que contenham o maior número possível de atributos, e mais, que estes atributos não sejam facilmente identificáveis. A partir disto, escolhemos não somente cores para colorir a moldura como para colorir as figuras constantes dos cartões, adotando ainda uma composição dos desenhos de círculos misturados com quadrados e dos limites internos da moldura, como elementos dificultadores da identificação e discriminação dos atributos destes cartões.

47.1.1.- Dando Um Nome a Estes Cartões A escolha do nome para esta família de cartões deveria realçar a qualidade de termos neles 6 atributos, por isto escolhemos: Cartões Multiatributos.

47.2.- Os Módulos Básicos dos Cartões e os 6 Atributos Abaixo estão os 8 módulos básicos de nossos cartões com 6 atributos, ainda sem as cores.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#47 - Aury de Sá Leite

pág. 47.2

47.2.1.- Os 6 Atributos Os atributos destes cartões lógicos são os seguintes: 1. A Figura central tem 2 possibilidades: círculo ou quadrado; 2. A Cor da Figura Central tem 3 possibilidades: amarelo, vermelho ou azul 3. As Figuras Circundantes tem 2 possibilidades: círculos ou quadrados; 4. Tipo do Quadro Interno 2 possibilidades: contínuo ou tracejado 5. As Cores das Figuras circundantes tem 3 possibilidades: amarelo, azul ou vermelho 6. A Cor da Moldura tem 3 possibilidades: cinza, granulado, hachurado Para calcularmos o total de cartões distintos batará multiplicar os atributos, como mostrado aqui:

2 × 3 × 2 × 2 × 3 × 3 = 216

47.3.- O Conjunto com 144 Cartões Nós vamos mostrar a seguir a família dos 216 cartões gerados por todas as combinações possíveis dos atributos. Em cada um dos 4 conjunto de 54 cartões (agrupados 9 a 9, ou seja, em cada conjunto de 54 cartões temos 6 grupos contendo 9 cartões, veja que: 6 × 9 = 54) nós escolhemos três atributos a serem alterados: as cores (amarelo, azul e vermelho) e os quadrados ou círculos circundantes (as linhas contínuas ou tracejadas). Em cada um dos 6 grupos de 54 cartões o que foi modificado foram ora os quadrados ou círculos centrais (cinza, granulado ou hachurado) ora os quadrados ou círculos circundantes. Confira a seguir.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#47 - Aury de Sá Leite

pág. 47.3

47.3.1.- Figuras Central e Circundantes: Círculos = 54 Cartões

47.3.2.- Quadrado Central e Círculos Circundantes: 54 Cartões

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#47 - Aury de Sá Leite

pág. 47.4

47.3.3.- Círculo Central e Quadrados Circundantes: 54 Cartões

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#47 - Aury de Sá Leite

pág. 47.5

47.3.4.- Figuras Central e Circundantes: Quadrados = 54 Cartões

46.4.- Tabelas de Anotações dos Atributos A tabela apresentada a seguir permitira num primeiro momento para identificar os cartões quanto aos atributos. TABELA DE ANOTAÇÕES Cartão

Figura Central

Cor

Figuras no entorno

Cor

Moldura

Quadro

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#47 - Aury de Sá Leite

pág. 47.6

Veja a seguir um exemplo do uso da Tabela de Anotações, aproveitando pra analisar a codificação utilizada: TABELA DE ANOTAÇÕES Cartão

Figura Central

Cor

Figuras no entorno

Cor

Moldura

Quadro

circunfer

circunf

tracejado

circunfer

quadrado

contínua

granul

quadrado

contínua

hachur

47.4.- São Necessários mais Cartões? A quantidade de cartões (216), poderá ainda ser multiplicado por 2, por 3 ou até por 4 (respectivamente 432, 648 e 864, se escolhermos colorir internamente o quadrado emoldurado pela linha tracejada ou contínua com as cores amarelo, azul ou vermelho, mantendo-os na cor braca. Veja abaixo:

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#47 - Aury de Sá Leite

pág. 47.7

47.5.- Conclusão Estes cartões com 6 (ou 7) atributos, quantidades estas que de alguma forma, pelo menos inicialmente, pareceria excessiva pode ser aplicado em praticamente todos os jogos aprendidos até aqui com os demais cartões lógicos que estão neste livro de Jogos Para o Pensamento Lógico, tais como: jogos livres, jogos de discriminação, dominó das diferenças, cartões topologicamente equivalentes, etc. No entanto, dada à dificuldade de constatação de todas as propriedades conferidas por este conjunto de atributos deve-se utilizar estes cartões com jogadores mais acostumados ao trabalho com os cartões lógicos mais simples. Apontamos em particular, os Blocos Lógicos ou Blocos Atributos, como sendo justamente os mais indicados para a introdução neste universo composto pelos mais diversos Micromundos apresentados neste livro dos Jogos Para o Pensamento Lógico, pelo fato de que este último material ser absolutamente concreto e ter as características qualitativas facilmente detectáveis.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#48 - Aury de Sá Leite

48.1

JLOGC#48 - JOGOS PARA O PENSAMENTO LÓGICO Nº 48 CARTÕES CÍRCULO-NÚMEROS-TRIÂNGULOS-CORESOs Cartões Círculo-Números-Triângulos-Cores são cartões lógicos que possuem oito regiões: 4 segmentos circulares – que irão receber os quantificadores 1, 2, 3 ou 4 – e quatro pedaços ou partes de triângulos – que irão receber as cores: am, az, vm ou vd. Através de 6 Produtos Cartesianos, poderemos calcular em cada um deles 24 cartões, totalizando 6 × 24 = 144 cartões distintos entre si.

48.1.- O Módulo Básico O Módulo Básico para este conjunto de cartões tem as seguintes características: a) Um quadrado medindo 6,5 cm de lado, com 8 regiões determinadas por dois segmentos de reta (diagonais do quadrado) e um círculo, como mostrado na figura: \

6,5 cm

b) Apresenta 4 regiões que são parte de 4 triângulos (segmentos de triângulos – regiões que vão desde a borda do cartão até a borda do círculo – na figura: na cor cinza) que receberão, de forma combinada, uma das quatro cores: amarelo (am), azul (az), vermelho (vm) ou verde (vd).

c) Apresenta 4 regiões (setores circulares) determinadas pelo círculo central e as diagonais do quadrado;

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#48 - Aury de Sá Leite

48.2

d) As quatro regiões circulares irão receber os quantificadores (numerais1 de 1 até 4), sob a forma de conjuntos de pequenos círculos:

e) Um cartão poderá ser referido por um ‘Triângulo-Número&Cor’, ou seja: pelo qualificador ou atributo: quantidade de 1 a 4 (área cinza escuro) e pela cor az, am, vm ou vd (área cinza claro) que figurem num mesmo triângulo

48.1.1.- O Módulo Básico com as Permutações dos Quantificadores Os quantificadores com 1, 2, 3 ou 4 círculos pretos serão distribuídos nas 4 regiões circulares de acordo com o seguinte cálculo: Permutação Circular de 4 elementos, ou seja, PC4 = (4 – 1)! = 3! = 6. O leitor deve atentar para o seguinte: todos os cartões com os quantificadores devem ser visualizados de forma a terem o quantificador ‘1’ sempre no topo, bem como estas distribuições de quantificadores poderão ser computadas no sentido horário (H) ou no sentido anti-horário (Anti-H) conforme os códigos que são mostrados abaixo de cada módulo na figura a seguir. \

H-1,2,3,4 Anti-H-1,4,3,2 \

H-1,2,4,3 Anti-H-1,3,4,2 \

H-1,3,2,4 Anti-H-1,4,2,3

H-1,3,4,2 Anti-H-1,2,4,3

H-1,4,2,3 Anti-H-1,3,2,4 \

H-1,4,3,2 Anti-H-1,2,3,4

Entender por número: quantidade; numeral: símbolo indicativo da quantidade, que representa ou indica um número.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#48 - Aury de Sá Leite

48.3

48.1.2.- O Módulo Básico com as Permutações das Cores As cores am, az, vd e vm são distribuídas nas 4 regiões (segmentos triangulares) de acordo com a Permutação Circular de 4 elementos. Abaixo de cada um dos cartões figuram as cores computadas no sentido H e, abaixo delas, as computadas no sentido Anti-H. Cabe alertar os leitores para o seguinte: apesar da cor ‘amarela’ ter sido escolhida para figurar sempre no topo dos cartões abaixo presentados, a forma de visualização destes cartões irá sempre necessitar que coloquemos o quantificador ‘1’ no topo do cartão. \

H-am,az,vm,vd Anti-H-am,vd,vm,az \

H-am,vm,az,vd Anti-H-am,vd,az,vm

H-am,az,vd,vm Anti-H-am,vm,vd,az \

H-am,vm,vd,az Anti-H-am,az,vd,vm

H-am,vd,az,vm Anti-H-am,vm,az,vd \

H-am,vd,vm,az Anti-H-am,az,vm,vd

48.2.- O Conjunto de Simetrias dos Quantificadores & das Cores Uma estratégia para se verificar a simetria entre dois cartões é visualizar os cartões com o quantificador 1 no topo, comparando os quantificadores e as cores quanto à simetria. Os esquemas abaixo mostram os cartões, dois a dois simétricos – o que realçado por ligações – tanto com relação aos quantificadores, como com relação às cores. Deve-se atentar ainda pela posição dos cartões: aqueles com quantificadores, classificados de acordo com a coluna que sempre irão ocupar num produto cartesiano, e aqueles cartões coloridos, classificados de acordo com o que denominamos ‘escolha’. O nome ‘escolha’ foi justamente adotado porque cada uma destas escolhas farão parte das linhas nos produtos cartesianos (vide um exemplo mais à frente) quando deverão ser adotadas, a cada momento, com uma rotação de 90º, no sentido anti-horário, relativo às suas cores.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#48 - Aury de Sá Leite

48.4

48.2.1.- Cartões Simétricos Círculo-Quantificadores 1ª Coluna \

2ª Coluna \

3ª Coluna \

4ª Coluna \

5ª Coluna \

6ª Coluna \

48.2.2.- Cartões Simétricos Triângulos-Cores Para facilitar a escolha dos cartões Triângulos-Cores em exata correspondência aos cartões Cículos-Quantificadores vamos estabelecer os seguintes pares que estão em correspondência biunívoca: 1 ↔ am; 2 ↔ az; 3 ↔ vm e 3 ↔ vd. 1ª Escolha \

2ª Escolha \

3ª Escolha \

4ª Escolha \

5ª Escolha \

6ª Escolha \

48.2.3.- Estudando as Rotações dos Cartões Triângulos-Cores Aqui iremos realizar um estudo bastante interessante das diversas ‘Escolhas’ dos Cartões Triângulos-Cores: •

Primeiramente construiremos uma tabela que mostre os cartões Triângulos-Cores numa sequência de rotações num ângulo de 90o no sentido anti-horário.

•

Em seguida iremos propor um Jogo Para o Pensamento onde utilizaremos cada uma destas escolhas com a finalidade de obter todas as suas simetrias.

•

Iremos em seguida, comprar as figuras da tabela com as figuras obtidas no Jogo Para o Pensamento.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#48 - Aury de Sá Leite

48.5

48.2.3.1.- As Rotações de 90o dos Triângulos-Cores A tabela a seguir mostra, na primeira linha, as seis possibilidades de uma Permutação Circular com 4 cores distintas (PC4 = (4-1)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6). As demais linhas apresentam coluna a coluna, de cima para baixo, cada uma das ‘escolhas’ dos cartões Triângulos-Cores com suas rotações de 90o no sentido anti-horário. Pode-se ver nesta tabela que agora temos 24 cartões Triângulos-Cores todos distintos entre si (isto, se consideramos que cada um destes cartões é estático como se fossem fotografias), que é o resultado de uma Permutação Simples de 4 elementos: P4= 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

1ª Escolha

2ª Escolha \

3ª Escolha

4ª Escolha

5ª Escolha

6ª Escolha

4a Linha

3a Linha

2a Linha

1a Linha

As colunas e as linhas da tabela são referenciadas pelo seguinte par ordenado: (linha, coluna). Veja os exemplos a segui: \

(1) Cujos Códigos são os seguintes:

(2) (1) (4a,2a);

(2) (3a,3a);

(3) (3) (5a,4a).

48.2.3.2.- Cada um dos Cartões Triângulos-Cores e Suas Simetrias

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#48 - Aury de Sá Leite

48.6

48.2.3.2.1.- Elementos da Primeira Linha e suas Simetrias Os desenhos a seguir mostram as escolhas dos elementos da primeira linha e suas respectivas simetrias com relação aos eixo dos X e eixo dos Y. (1a,6a) \

(1a,1a)

(3a,6a)

(1a,3a)

(1a,4a)

(3a,5a )

(1a,2a)

(3a,4a)

(3a,2a )

(1a,4a)

(1a,5a)

(3a,4a)

(1a,1a)

(3a,5a)

(3a,3a)

(1a,3a)

(3a,1a)

(1 ,2 )

(1 ,5 )

(3a,2a)

(1a,6a)

(3a,6a)

(3a,1a)

48.2.3.2.2.- Elementos da Segunda Linha e suas Simetrias (4a,6a) \

(2a,1a) \

(4a,1a)

(2a,6a)

(4a,5a)

(2a,2a)

(4a,4a)

(2a,3a)

(4a,2a)

(2a,5a)

(4a,3a)

(2a,4a)

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#48 - Aury de Sá Leite

(4a,3a)

(2a,4a)

48.7

(4a,2a)

(2a,5a)

(4a,1a)

(2a,6a)

(4a,4a)

(2a,3a)

(4a,5a)

(2a,2a)

(4a,6a)

(2a,1a)

48.3.- Gerando Todos os Cartões Usando Produtos Cartesianos Esta classificação – a partir da simetria quantificadores/cores –

irá nos permitir o

estabelecimento da estratégia de geração dos cartões. Escolheremos um dos Cartões Triângulos-Cores para realizar composições com os 6 cartões Círculos-Quantificadores (estes demarcarão as colunas), sendo que, cada um dos cartões Triângulos-Cores deverá ser girado de 90º graus a cada vez (para compor as linhas) em 6 Produtos Cartesianos, gerando cada um destes produtos, 24 cartões distintos entre si, sobre os quais daremos um exemplo a seguir.

Esta estratégia nos permitirá gerar 144 cartões completamente distintos entre si.

Para a geração deste Cartões Triângulos-Cores-Círculo-Números iremos adotar a seguinte estratégia:

1. Vamos fixar na primeira linha um dos cartões coloridos; 2. Vamos combinar a cada vez, usando este mesmo modelo de cartão colorido com toda a sequência padrão de quantificadores; 3. Vamos girar de 90º, no sentido anti-horário, o cartão colorido deixando fixo o círculo com os quantificadores, de forma a manter sempre no topo o quantificador ‘1’; 4. Vamos voltar ao passo 2 acima; 5. Veja a seguir a tabela representativa das ações propostas acima, como sendo uma tabela de produto cartesiano:

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48.8

X \

A tabela acima representa o seguinte produto cartesiano:

Produto Cartesiano: 4 rotações de 90º no sentido anti-horário do Cartão Triângulos-Cores H-am,az,vm,vd X 6 rotações de 90º no sentido horário do Cartão de Quantificadores H-1,2,3,4.

Na geração dos cartões mostradas a seguir – a geração de todos os 144 cartões, agrupados em 6 conjuntos com 24 elementos cada – não vamos fazê-lo através da construção tabular do Produtos Cartesianos, apenas indicaremos o Cartão Triângulos-Cores realçando que há a necessidade de rotacioná-lo, seguido dos 6 Cartões Círculo-Quantificadores, estes sim, bastante importantes, por indicarem as colunas deste Produto Cartesiano. A pergunta que deixamos para o leitor: Todos estes 144 cartões são distintos entre si?

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48.9

48.3.1.- Cores H-am,az,vm,vd + Todas as sequências de Quantificadores \

1ª Escolha

48.3.2.- Cores H-am,az,vd,vm + Todas as sequências de Quantificadores \

2ª Escolha

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48.1

48.3.3.- Cores H-am,vd,az,vm + Todas as sequências de Quantificadores \

3ª Escolha

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48.1

48.3.4.- Cores H-am,vm,az,vd + Todas as sequências de Quantificadores \

4ª Escolha

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48.1

48.3.5.- Cores H-am,vm,vd,az + Todas as sequências de Quantificadores \

5ª Escolha

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#48 - Aury de Sá Leite

48.1

48.3.6.- Cores H-am,vd,vm,az + Todas as sequências de Quantificadores \

6ª Escolha

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#48 - Aury de Sá Leite

48.1 \

48.4.- Jogos Para o Pensamento Lógico – Jogos Exploratórios Estes cartões denominados Cartões Triângulos-Cores-Círculo-Números como pode ser conferido acima, é formado por 6 grupos de 24 cartões, ou seja, são 6 × 24 = 144 cartões. Os Jogos Para o Pensamento Lógico que iremos propor a seguir, trazem uma diferença essencial com relação aos jogos propostos para os cartões lógicos até aqui apresentados, com os quais ocorria que os atributos eram facilmente discriminados. Temos que considerar que, para facilitar a constatação dos atributos destes cartões (Cartões Triângulos-Cores-Círculo-Números) deve-se levar em conta a sugestão de se posicionar o quantificador ‘1’ sempre no topo dos cartões, o que irá facilitar muitíssimo a identificação de cada um destes 144 cartões.

48.4.1.- Jogos Exploratórios ou da Descoberta de Atributos Num primeiro contacto com os Cartões Triângulos-Cores-Círculo-Números, um Jogo Livre de Regras envolvendo os 144 cartões dificilmente será de alguma valia, por isto os jogos introdutórios sugeridos a seguir são todos eles Baseados em Regras. Com o tempo e a familiarização de alguns atributos deste 144 cartões talvez um Jogo Solitário Livre de Regras permitira a um jogador, se é que ele se disponha a realizá-lo, permitirá uma exploração bastante rica que envolverá novas descobertas.

48.4.1.1.- Cartões Escolhidos Através de Triângulos-Números&&Cor Este é um Jogo Para o Pensamento em que o conceito de ‘Triângulos-Números&Cores' é introduzido. Abaixo mostramos num módulo básico as possíveis posições destes tipos de triângulos:

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#48 - Aury de Sá Leite

48.1

48.4.1.1.1.- Regras do Jogo 1. Este é um Jogo Para o Pensamento que deve envolver um único jogador e um observador e/ou aplicador. 2. O observador/aplicador toma todos os todos os 144 Cartões Triângulos-Cores-CírculoNúmeros, embaralha-os e os espalha com as faces voltadas para cima sobre o tampo de uma mesa. 3. O observador/aplicador escolhe um número de 1 a 4 e uma das cores az,am,vm ou vd. 4. O jogador deve selecionar os cartões em que figurem num mesmo triângulo o número e a cor que estejam juntas num mesmo e único Triângulo-Número&Cor. Uma pergunta interessante que fica aqui para os observadores/aplicadores é a seguinte: quantos são dos 144 Cartões Triângulos-Cores-Círculo-Números aqueles que satisfazem condição ‘TriânguloNúmero&Cor’ 48.4.1.1.2.- Exemplos Vamos supor que queiramos selecionar os Cartões ‘Triângulo-3&vd’. Confira no exemplo abaixo alguns destes Cartões ‘Triângulos-3&vd’: \

Fica aqui a pergunta: quantos dos 144 Cartões Triângulos-Cores-Círculo-Números que satisfazem à condição (atributo) ‘Triângulos-3&vd’.

48.4.1.2.- Cartões Escolhidos Através da Cores Opostas Este é um Jogo Para o Pensamento em que o conceito de ‘Cores Opostas’ deverá ser introduzido. Abaixo mostramos num módulo básico as possíveis posições destes tipos de oposições:

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#48 - Aury de Sá Leite

48.1

48.4.1.2.1.- Regras do Jogo 1. Este é um Jogo Para o Pensamento que deve envolver um único jogador e um observador e/ou aplicador. 2. O observador/aplicador toma todos os todos os 144 Cartões Triângulos-Cores-CírculoNúmeros, os embaralha e os espalha com as faces voltadas para cima sobre o tampo de uma mesa. 3. O observador/aplicador escolhe as duas cores que devem se opor nos cartões. 4. O jogador deve selecionar os cartões em que satisfaçam à condição estabelecida pelo observador/aplicador. 48.4.1.2.1.- Exemplo O observador/aplicador escolhe, por exemplo, as seguintes cores opostas: ‘vd oposta a am’. A solução será dada por dois conjuntos de 24 cartões cada um, num total de 48 cartões, ou seja todos os cartões contidos no item ‘3.2.- Cores H-am,az,vd,vm

+ Todas as sequências de

Quantificadores’ e no item ‘3.4.- Cores H-am,vm,vd,az + Todas as sequências de Quantificadores’ , cujos cartões ‘Triângulos-Cores’ são respectivamente os seguintes: \

Observe que:

• Se as cores opostas são o vd e o am, então também estarão opostas as cores vm e az. • Se as cores opostas são o vd e o am: tanto o am estará ao lado ou do az ou do vm como o vd estará ao lado do vm ou az.

• Escolhidos todos os 48 cartões que satisfaçam a uma condição de cores opostas, o observador/aplicador poderá pedir que sejam separados, por exemplo, todos os cartões que satisfaça uma das duas condições ‘Triângulo-1&am ou Triângulo-3&vd’. O educador deve mostrar, caso seja adequado, que podemos tomar em separado cada um destes conjuntos de cartões, sendo que a resposta corresponderá à união destes dois subconjuntos de cartões.

• Dentro da mesma ideia acima, o observador/aplicador poderá solicitar que sejam

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#48 - Aury de Sá Leite

48.1

selecionados dentre os 48 cartões aqueles do tipo: ‘Triângulo-1&vd e Triângulo-3&vd’ mostrando que as duas condições devem ser satisfeitas ao mesmo tempo. Se o jogador separar em um conjunto os cartões que atendam à primeira condição e em outro conjunto os cartões que atendem à segunda condição, ele terá que selecionar os cartões que atendam às duas condições simultaneamente, isto é, terá que efetuar uma operação de intersecção entre os dois conjuntos de catões.

48.4.1.3.- Cartões Descobertos Através de Códigos Simplificados Nos códigos a seguir só serão considerados o sentido horário tanto para os Cartões CírculoQuantificadores como para os Cartões Triângulos-Cores (por isto não será necessário indicá-lo, como fazíamos, com a letra ‘H’). Em função destas novas diretrizes este tipo de código será denominado Código Simplificado. O cartão deve ser visualizado como tendo o quantificador ‘1’ no topo e o código deve separar em dois grupos as informações sobre o cartão: primeiramente o valor dos quatro quantificadores e em seguida o código das cores – partindo sempre da cor correspondente ao quantificador ‘1’ –, ambos os grupos devem ter seus elementos listados no sentido horário. \

1,2,3,4,az,vm,vd,am \

1,3,2,4,az,vd,vm,am

1,3,4,2,am,vd,az,vm \

1,4,3,2,az,vd,am,vm

1,2,4,3,az,vm,am,vd \

1,3,2,4,vd,az,am,vm

48.4.1.4.- Cartões do Tipo Triângulos-Números-Cores 48.4.1.5.- Cartões Simétricos Aqui os Códigos Simplificados dos Cartões Círculo-Números-Triângulos-Cores vai se justificar pois poderemos verificar a simetria dos cartões através dos códigos a eles referentes.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#48 - Aury de Sá Leite

48.1

\ \

1,2,3,4,az,vm,vd,am

1,4,3,2,az,am,vd,vm

Para verificarmos uma simetria entre dois cartões devemos desconsiderar as informações sobre cada um dos primeiros elementos tanto no que diz respeito aos quantificadores como às cores – veja na figura acima – e passarmos a verificar a relação entre as partes restantes referentes aos quantificadores e às cores: ‘2,3,4’ ↔ ‘4,3,2’ e ‘vm,vd,am’ ↔ ‘am,vd,vm’.

48.5.- Jogos Mais Complexos Para o Pensamento Lógico Não que os jogos anteriores já não sejam bastante complexos, mas os jogos a seguir, comparativamente são mais complexos. Por isto recomendamos ao aplicador que aplique os jogos anteriores até ter esgotado todas as possibilidades, para somente então, iniciar o trabalho com os jogos apresentados a seguir.

48.5.1.- Jogo Escolha Unívoca de Um Cartão Este é um jogo destinado a apontar de forma unívoca qual será o cartão que deverá ser escolhido. Esta determinação será apontadas a partir do lançamento de dois dados de cores distintas, por duas vezes, com a finalidade de estabelecer a cada vez, primeiro para os quantificadores e em segundo lugar, para as cores, o seguinte: •

O tipo de se sentido da distribuição dos quantificadores: H ou Anti-H;

•

A sequência da distribuição dos quantificadores;

•

O tipo de se sentido da distribuição dos quantificadores: H ou Anti-H;

•

A sequência da distribuição das cores.

Regras do Jogo: 1. Este é um jogo para no mínimo dois jogadores e um supervisor, responsável por validar as jogadas; 2. Utilizar dois dados de cores distintos. No caso aqui relatado iremos utilizar um dado amarelo e e um dado vermelho, o que fica evidenciado pelas cores adotados na tabela a seguir apresentada:

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#48 - Aury de Sá Leite

48.1

Sentido da Rotação Valor

Sentido

Anti-H

Distribuição dos Quantificadores Valor

Sequência

1,2,3,4

1,2,4,3

1,3,2,4

1,3,4,2

1,4,2,3

1,4,3,2

Sentido da Rotação Valor

Sentido

Anti-H

Distribuição das Cores Valor

Sequência am,az,vm,vd am,az,vd,vm am,vm,az,vd am,vm,vd,az am,vd,az,vm am,vd,vm,az

3. Cada um dos jogadores devem lançar sucessivamente por duas vezes, os dois dados ao mesmo tempo, utilizando a tabela acima para conferir as qualificações do cartão (distribuição de quantificadores versus distribuição de cores) a ser escolhido no conjunto dos 36 Cartões Triângulos-Cores-Círculo-Números: 4. O superior deve acompanhar e validar a jogada de cada um dos jogadores anotando, quando necessário, os erros e acertos de cada um. 5. No caso de uma competição, deve-se combinar com antecedência quantas serão as rodadas e cada um dos resultados (acero ou erro) devem ser contabilizados pelo supervisor.

48.5.2.- Escolha de Um Cartão Específico Num Conjunto de Cartões Este é uma variante do jogo anterior em que uma sequência de quantificadores ou então uma sequência de cores determina a escolha de um conjunto de cartões. Na verdade, esta é uma estratégia eu pode ser adotada inicialmente, quando os jogadores enfrentam este Jogo Para o Pensamento Lógico pela primeira vez: •

Lançados pela primeira vez os dois dados, deve-se verificar o sentido de rotação e a sequência dos quantificadores; Seja por exemplo que obtivemos um número ímpar no dado amarelo: o sentido será

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#48 - Aury de Sá Leite

48.2

o sentido horário; Suponhamos que o dado vermelho apresenta o número 3, ou seja, a sequência dos valores será: 1,3,2,4, tomada no sentido H. •

O jogador deverá então escolher todos os cartões que apresentem esta sequência no sentido horário: \

Observe que todos os cartões devem ser visualizados a partir de que se coloque o quantificador sempre no topo. •

Lançam-se os dados pela segunda vez, quando então iremos verificar qual a sequência das cores. Seja por exemplo que o número no dado amarelo seja par, então o sentido será antihorário; Seja por exemplo, que o número obtido no dado vermelho seja ‘5’, ou seja, a sequência de cores deverá ser: am,vd,az,vm, tomada no sentido Anti-H; Logo o cartão que satisfaz univocamente a estas condições será: \

48.5.3.- O Dominó das Diferenças: Uma Diferença = Uma ‘Troca’ O Jogo é um tipo de Dominó das das Diferenças, que aqui será denominado, com mais propriedade: Dominó das Trocas, isto porquê nós nos defrontaremos com um tipo de desafio nunca enfrentado antes naquele tipo de jogo. •

Encontrar cartões Triângulos-Cores-Círculo-Números que possuam ‘uma diferença’ com relação a outro cartão, envolve os quantificadores (1,2,3 ou4) ou envolvendo as cores (am,az,vm e vd) resultará em uma ‘troca’ de um por outro dos quantificadores ou de uma por outra cor. Em outras palavras, devido a especificidade destes cartões, passaremos a contar uma troca – entre dois quantificadores ou duas cores – como sendo uma diferença.

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48.2

Das doze figuras a seguir, seis indicam possibilidades de trocas entre quantificadores e seis indicam a possibilidade de troca entre as cores, a partir de um dado cartão escolhido anteriormente. \

1ª Coluna 1,2,3,4

1,2,3,4

1,2,4,3

1,4,2,3

1,3,2,4

1,3,4,2

1,4,3,2

2ª Coluna 1,2,4,3

1,2,3,4

1,2,4,3

1,4,2,3

1,3,2,4

1,3,4,2

1,4,3,2

3ª Coluna 1,4,2,3

1,2,3,4

1,2,4,3

1,4,2,3

1,3,2,4

1,3,4,2

1,4,3,2

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48.2

4ª Coluna 1,3,2,4

1,2,3,4

1,2,4,3

1,4,2,3

1,3,2,4

1,3,4,2

1,4,3,2

5ª Coluna 1,3,4.2

1,2,3,4

1,2,4,3

1,4,2,3

1,3,2,4

1,3,4,2

1,4,3,2

6ª Coluna 1,4,3,2

1,2,3,4

1,2,4,3

1,4,2,3

1,3,2,4

1,3,4,2

1,4,3,2

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48.2

1ª Escolha am,az,vm,vd

am,az,vm,vd

am,az,vd,vm

am,vd,az,vm

am,vm,az,vd

am,vm,vd,az

am,vd,vm,az

2ª Escolha am,az,vd,vm

am,az,vm,vd

am,az,vd,vm

am,vd,az,vm

am,vm,az,vd

am,vm,vd,az

am,vd,vm,az

3ª Escolha am,vm,az,vd

am,az,vm,vd

am,az,vd,vm

am,vd,az,vm

am,vm,vd,az

am,vd,vm,az

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48.2

4ª Escolha am,vd,az,vm

am,az,vm,vd

am,az,vd,vm

am,vd,az,vm

am,vm,vd,az

am,vd,vm,az

5ª Escolha am,vm,vd,az

am,az,vm,vd

am,az,vd,vm

am,vd,az,vm

am,vm,vd,az

am,vd,vm,az

6ª Escolha am,vd,vm,az

am,az,vm,vd

am,az,vd,vm

am,vd,az,vm

am,vm,vd,az

am,vd,vm,az

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48.2

48.5.3.1.- Jogos Solitários: O Dominó das Trocas Simples Este é um jogo solitários cujas regras são as seguintes: 1. Imprima as seis tabelas acima para servirem, pelo menos inicialmente como guias; 2. Primeiramente jogue o Dominó das Trocas em que estas trocas podem se dar indiferentemente quanto aos quantificadores ou quanto às cores; 48.5.3.2.- Jogos Solitários: O Dominó das Trocas Alternadas 1. Dominado o tipo de jogo anterior, jogue agora o Dominó das Trocas alternadas; 2. Aqui para para se passar de um para outro cartão deve-se alternar a escolha das trocas: se a troca anterior foi de cor a troca seguinte deve ser de quantificador e vice-versa. 3. No início do jogo quando o primeiro jogador dispõe sobre a mesa um cartão, o segundo jogador colocará o cartão seguinte escolhendo indiferentemente a troca que deseja fazer de quantificador ou de cartão a partir do terceiro cartão deve-se observar rigorosamente a alternância cor x quantificador ou quantificador x cor. 48.5.3.3.- O Dominó das Trocas Simples ou Alternadas Os dois jogos anteriores se prestam ao treinamento para os jogos Dominó das Trocas que envolvam dois ou mais parceiros. As regras são as mesmas dos dois jogos anteriores, acrescentando-se que: antes de iniciar o jogo os jogadores devem combinar se as trocas deverão ser ‘simples’ ou ‘alternadas’. No caso de dúvida sobre alguma das trocas os jogadores deverão consultar as tabelas constantes do item 48.5.3. acima.

48.5.4.- O Dominó das Diferenças: Duas Diferenças = Duas ‘Trocas’ Novamente os Jogos anteriores servirão de base para o jogo das trocas que aqui se irá propor. Vamos considerar três possibilidades: 1ª.- De um cartão para outro deverão haver duas trocas uma de cor e outra de quantificador; 2ª.- De um cartão para outro deverão haver duas trocas uma de cor; 3ª.- De um cartão para outro deverão haver duas trocas de quantificador. Nota importante: As regras destes jogos de duas trocas são as mesmas dos três jogos acima sugeridos, devendo os leitores discutirem os problemas encontrados de maneira cooperativa ou colaborativamente solicitando a ação de um parceiro mais competente (por exemplo o aplicador ou observador – deve ser consultado).

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48.2

48.6. - Conclusão Este é um conjunto de 144 cartões com peculiaridades bastante interessantes. O leitor deve estudar em detalhes todas as figuras e tabelas constantes deste JLOGC para somente então iniciar os jogos.

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49.1

JLOGC#49 - JOGOS PARA O PENSAMENTO LÓGICO Nº 49 OS CARTÕES HEXÁGONOS OU TRAPÉZIOS CORES-NÚMEROS Este é mais um Jogo Para o Pensamento Lógico em que cartões quadrados, medindo 5,5 cm de lado, apresentam um conjunto de figuras hexagonais ou trapezoidais, em que alternadamente os três dos seis espaços são coloridos e três deles apresentam quantificadores de 1 até 3. O centro destes cartões, também um pequeno hexágono pode ser branco ou acinzentado, formando assim duas famílias distintas de cartões.

49.1.- Módulos Básicos Os cartões serão quadrados, medindo 5,5 cm de lado, apresentando uma composição de figuras hexagonais (código: hxg) ou trapezoidais (código: trp), em que os três dos seis espaços serão alternadamente coloridos nas cores am, az e vm e três deles apresentarão quantificadores sob a forma de 1, 2 ou 3 pequenos círculos pintados de preto:

•

•• / •••.

Módulo #1.hxg,bc

Módulo #2.trp,bc

Módulo #1.hxg,cz

Módulo #2.trp,cz

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49.2

Os centros destes cartões serão nos dois modelos um hexágono que poderá ser branco código: bc) ou cinza (código:cz), permitido formar duas famílias distintas de cartões para cada módulo: #1.hxg,bc e #1.hxg.bc; #2.trp,bc e #2.trp,cz.

49.1.1.- Os Módulos #1 e #2: Cores e Quantificadores O leitor deve ficar atento para o seguinte: o desenho em que iremos distribuir alternadamente tanto a cores (am, az e vm) quanto os quantificadores (‘1’, ‘2’ ou ‘3’ círculos na cor preta), por estarem dentro de uma moldura quadrada (que são os limites do cartão), permitem uma distribuição de cores calculada por uma Permutação Simples de 3 elementos, P3 = 3! = 6. Por outro lado, se fôssemos calcular simplesmente como sendo uma Permutação Circular – isto é, sem considerar a inclusão da figira num quadrado (as bordas do cartão – obteríamos apenas: PC3 = (3-1)! = 2! = 2 × 1 = 2. •

As Permutações Circulares seriam apenas duas produzindo figuras distintas entre si, a saber:

•

Já no Caso das Permutações Simples, levando-se em conta as bordas do cartão quadrado, teríamos seis alternativas distintas entre si, a saber:

Cores com rotação no sentido horário

•

Cores com rotação no sentido anti-horário

Os quantificadores são o 1, o 2 e o 3 representados aqui por conjuntos de 1, 2 ou 3 pequenos círculos na cor preta:

•

••

•••.

De mesmo modo que o cálculo anterior,

através do cálculo da Permutação Simples de 3 elementos, , iremos ter seis possibilidades distintas entre si para cada um dos modelo #1 ou #2

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Quantificadores no sentido anti-horário

49.3 Quantificadores no sentido horário

49.1.2.- Módulos #1 ou #2: Associando Cores e Quantificadores O leitor deve notar que nas figuras acima as cores são apresentadas primeiramente no sentido H (horário) e em seguida no sentido Anti-H (anti-horário), sendo que no caso dos quantificadores esta ordem se inverte: Anti-H e H. Esta escolha sugere que o casamento das cores com os quantificadores devam se dar uma num sentido inverso da outra, ou seja: •

Cores no sentido horário devem ser casadas com quantificadores no sentido anti-horário.

•

Cores no sentido anti-horário devem ser casadas com quantificadores no sentido horário.

•

Desta forma o modelo de tabela a seguir apresentada (em que iremos fazer um produto cartesiano cores × quantificadores, deverá ter a seguinte disposição: ××

Quantificadores sentido Anti-H

Cores sentido H

Cores no sentido Anti-H

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49.4

49.1.3.- A Tabela com os 36 Cartões Cores-Números #1.a Combinado as disposições de cores e dos quantificadores nos cartões #1.hxg, observando a diferença de sentidos H e Anti-H ou anti-H e H, entre as cores e os quantificadores, obteremos 36 cartões distintos entre si, que são mostrados na tabela a seguir. Estes cartões, a partir disto, receberão o nome Hexágonos-Números-Cores.

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49.5

49.3.- Módulo #01.hxg ou #01.trp: Cores e Quantificadores Todos os 64 cartões #1.hxg e

#1.trp distintos entre si, serão gerados por dois produtos

cartesiano envolvendo a distribuição dos seguintes elementos contendo as cores e os quantificadores na tabela mostrada no item 49.2.1., mostrada anteriormente.

49.3.1.- O Conjunto com os 36 Cartões Cores-Números #1.hxg.bc Os 36 cartões Hexágonos-Números-Cores gerados pelo produto cartesiano mostrado na tabela acima é novamente mostrado abaixo. Estes cartões recebem o código:#01.a.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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49.6

49.3.2.- O Conjunto dos 36 Cartões Cores-Números #01.hxg.cz Tomando os 36 cartões #01.a, para obtermos o conjunto dos 36 cartões #01.b distintos entre si, bastando colorirmos o centro dos mesmos com a cor cinza, como mostrado abaixo.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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49.7

49.4.- Módulo #02.trp,bc ou #02.trp,cz: Cores e Quantificadores A geração dos cartões #2.a #2.b serão gerados por um produto cartesiano envolvendo a distribuição dos seguintes elementos contendo as cores e os quantificadores na tabela mostrada no item 49.2.1., mostrada anteriormente.

49.4.1.- O Conjunto dos 36 Cartões Cores-Números #02.hxg.bc Combinado as disposições de cores e dos quantificadores, obteremos 36 cartões distintos entre si, que são mostrados a seguir.

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49.8

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

49.4.2.- O Conjunto dos 36 Cartões Cores-Números #02.trp,cz

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49.9

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

49.4.3.- Observações Sobre os Atributos Para sabermos a quantidade total de cartões Hexagonais / Trapezoidais gerados pelo princípios que adotamos até aqui bastaria fazer o cálculo: Modelo #1.hxg,bc ↔32 + Modelo #1.hxg,cz↔32 +Modelo #2.trp,bc ↔ 32 e Modelo #2.trp, cz ↔ 32 que resultaria 144 cartões distintos entre si. Outra forma de fazer este cálculo é a partir do verificação da quantidade de atributos, que deverão se multiplicados entre si:: •

Sequenciamento dos valores numéricos: 6 possibilidades

•

Sequenciamento das cores: 6 possibilidades.

•

Modelos: dois, modelo #1 e modelo #2

•

Cores do hexágono central: branco ou cinza Quantidade de cartões: 6 × 6 × 2 × 2 = 144

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49.1

49.5.- Codificação dos Cartões Cada um dos 144 cartões pode ser referido univocamente por um código:

Valor 1

Cor 3

Cor 1

Cor 3

Cor 1

Valor 3

Valor 2

Valor 3

Valor 2

Cor 2

Módulo #1.hxg,bc

Módulo #2.trp,bc

Valor 1

Cor 3

Cor 1

Cor 3

Cor 1

Valor 3

Valor 2

Valor 3

Valor 2

Cor 2

Módulo #1.hxg,cz

Módulo #2.trp,cz

A codificação se dará no sentido horário (mostrado nas figuras acima), a partir do quantificador ‘1’ ↔

que deverá figurar no topo – este quantificador deverá ocupar, como em um relógio, a

posição das 12 horas.

49.5.1.- A Tabela de Codificação dos Cartões Abaixo mostramos a tabela dos Cartões Hexagonais / Trapezoidais Cores – Números Tabela de Codificação dos Cartões Hexagonais / Trapezoidais Nº +

formato

Cor do Centro

1º valor

#1.hxg

Branco: bc

#2.trp

Cinza: cz

Sempre escolher o Quantificador ‘1’

1ª cor

2º valor

2ª cor

3º valor

3ª cor

am,az ou vm 1, 2 ou 3 am,az ou vm 1, 2 ou 3 am,az ou vm

Código sob a forma de N-upla ordenada: #n.formato,cor do centro,1, cor1, quant2, cor2, quant3, cor 3 Atenção: adotar o sentido horário na geração da n-upla representativa do código acima

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49.1

49.5.2.- Exemplos da Codificação 1. Se desejarmos codificar os cartões abaixo:

2. Primeiramente deve-se posicionar o quantificador ‘1’ no topo da figura:

3. A partir deste posicionamento, deve-se escrever o código – no sentido horário partindo sempre do ‘1’, e acordo com a Tabela de Codificação dos Cartões Hexagonais / Trapezoidais, apresentada anteriormente:

#1.hxg,bc1, vm,2, az, 3, vm

#1.hxg,cz,1,am,2,az,3, vm

#2.trp, cz,1,vm,3,az,2, am

#2.trp,bc,1,vm,2,az,23 am

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49.1

49.6.- Jogos Para o Pensamento Lógico Não é aconselhável a utilização de todos os 144 cartões ao mesmo tempo.

49.6.1.- Jogos Livres – Jogos de Discriminação e Ordenação Como foi aconselhado acima, deve-se limitar a quantidade de cartões nos jogos iniciais. Note que os jogos sugeridos a seguir devem ser distribuídos ao longo de um perído mais ou menos longo, como por exemplo dois ou três meses, intercalado com outros jogos, principalmente aqueles que envolvam outros tipos de cartões.

1. O Educador ou aplicador dos jogos deve utilizar em separado, primeiramente os 36 cartões #1.hxg,bc em seguida com os 36 cartões #1.hxg,cz, para somente então juntar todos estes dois conjuntos de cartões em um grupo de 72 cartões. 2. O mesmo deve ser feito agora com os cartões os 36 cartões #2.trp,bc em seguida com os 36 cartões #2.trp,cz, para somente então juntar estes dois conjuntos de cartões. 3. O uso cruzado destes cartões também pode ser tentado nos Jogos Livres: a. #1.hxg,cz versus #2.trp,cz; b. #1.hxg,bc versus #2.trp,bc; c. #1.hxg,cz versus #2.trp,bc; d. #1.hxg,bz versus #2.trp,cz.

49.6.2.- Jogos Estruturados Como Jogo Estruturado, vamos sugerir o seguinte: no jogo a seguir o educador/aplicador deve lançar mão de alguns dos 144 cartões Hexagonais / Trapezoidais Números-Cores e da Tabela de Codificação. Regras do Jogo: 1. O aplicador deve imprimir a tabela de Codificação dos Cartões Hexagonais / Trapezoidais; 2. O aplicador deve pré-selecionar 20 cartões dentre os 144 Cartões Hexagonais / Trapezoidais, de maneira a mais diversificada possível;

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49.1

3. O aplicador deve entregar ao jogador a Tabela de Classificação e um dos cartões por ele préselecionados solicitado que o jogador o codifique, de preferência escrevendo este código ao lado do cartão; 4. Isto deve ser repetido mais algumas vezes até que fique bem estabelecido que: o jogador entendeu a forma de codificar os cartões mais diversos; 5. O educador deve recolher todos os 20 cartões pré-selecionados, espalhá-los sobre o tampo de uma mesa com as faces voltadas para cima; 6. O aplicador deve agora escrever num pedaço de papel um código referente a um dos cartões espalhados sobre a mesa e o jogador, sem organizar os mesmos com o quantificador ‘1’ alocado no topo dos mesmos deve tentar encontrá-lo. 7. O aplicador contará ainda com a possibilidade de escrever um código que não corresponda a nenhum dos cartões expostos sobre o tampo da mesma. Neste caso se o jogador mostrar dificuldade o aplicador poderá sugerir que ele rearranje os cartões de uma maneira mais adequada, ou seja, com o quantificador ‘1’ no topo dos cartões; 8. Este mesmo desafio pode ser repetido agora para 30 ou até meso para 40 cartões.

49.6.3.- Jogo do Produto Cartesiano Cores-Quantifiicadores O educador pode calcular vários produtos cartesianos utilizando os cartões coloridos versus cartões quantificados. Para estabelecer os elementos de um produto cartesiano a ser calulado, o aplicador deve distribuir na tabela mostrada abaixo de acordo com as regiões ali nomeadas desde 2 cartões coloridos versus 1 cartão quantificado, até preeencher a tabela com 6 cartões coloridos versus 6 cartões quantificados. na desde alocados em tabelas de dupla entrada dos tipos: 2 × 1, 2 × 2, 2 × 3, 3 × 3, 2 × 4, 3 × 4, etc até as tabelas 6 × 6, envolvendo elementos buscados nos grupos de cartões cores (Cartãoes Coloridos) e cartões números (Cartões Quantificados).

Veja abaixo a tabela de dupla entrada em tamanho reduzido, esta tabela em verdadeira grandeza pode ser vista no item 49.2.2.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#49 - Aury de Sá Leite

Colocar aqui os cartões coloridos

Colocar aqui os cartões quantificados

49.1

Veja abaixo os Cartãoes Coloridos e os Cartões Quantificados a serem alocados na tabela de dupla entrada:

O leitor pode ver a seguir quatro exemplos de possíveis produtos cartesianos ‘padronizados’ que obrigatoriamente envolvem cartões coloridos versus cartões quantificados todos do mesmo formato, ou seja, envolvem cartões hexagonais coloridos versus cartões hexagonais quantitativos ou então cartões trapezoidais coloridos versus cartões trapezoidais quantitativos::

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Produto Cartesiano 1linha x 2 colunas

Produto Cartesiano 2 linhas x 4 colunas

49.1

Produto Cartesiano 3 linhas x 3 colunas

Produto Cartesiano 2 linhas x 5 colunas

O leitor deve observar que podemos ter ainda um caso de produto cartesiano ‘não padronizado’, ou seja, nesta operação ocorre o problema de confronto entre as formas e os quantificadores, isto é, envolvem cartões hexagonais coloridos versus cartões trapezoidais quantitativos ou então cartões trapezoidais coloridos versus cartões hexagonais quantitativos. Este tipo de confronto deve ser resolvido da seguinte forma: deve-se adotar o formato do cartão colorido e apenas a disposição dos quantificadores existentes no cartão quantificado.

Veja dois exemplos a seguir:

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#49 - Aury de Sá Leite

49.1

Note que em todos os seis exemplos acima o produtos cartesianos pode se dar entre cartões coloridos versus cartões quantitativos ou entre cartões quantitativos versus cartões coloridos, isto é: as linhas podem conter cartões coloridos equanto as colunas podem conter cartões quantitativos, ou vice-versa.

49.6.4.- Jogos do Produto Cartesiano e a Teoria dos Grupos Vamos estudar a seguir uma nova forma de efetuar o produto cartesiano, somente que agora, considerando a introdução de um novo subconjunto de cartões quantitativos cujo hexágono central passa a apresentar a cor cinza:

Assim o novo conjunto de cartões coloridos ou quantitaficados passa a ser o seguinte:

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#49 - Aury de Sá Leite

49.1

Com o acréscimo destes 12 cartões iremos ter a oportunidade de introduzir o conceito de grupo aditivo e grupo multiplicativo a ser aplicado no caso de Produtos Cartesianos Especiais.

49.6.4.1.- Uma Introdução à Teoria dos Grupos Definição: Seja a transformação (operação) binária‘•’. Um grupo de transformações sobre o conjunto X é a coleção G de transformações bijetoras produzidas por • sobre X satisfazendo as seguintes condições: (i)

Se a e b∈G, então a•b∈G;

(ii)

Existe e∈G atal eu e•c = c•e = c para todo c∈G ( e é o elelemnto neutro);

(iii) Se a∈G, então a-1∈G, tal que a•a-1 = a-1•a = e (a-1 é o eleemento oposto ou inverso de a) . Observações: 1. Se a aplicação • é a adição, o grupo (G, •) é aditivo e se a aplicação • é a multiplicação, o grupo (G, •) é multiplicativo. 2. Se a estrutura de grupo (G, •) é comutativa, o grupo é comutativo ou grupo abeliano. As tabelas das Operações Binárias:

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49.1

Seja adotar • como uma adição não usual: ⊕. Compare agora as tabelas com os elementos do conjunto X = {0, 1} ≅ {branco, cinza} sobre a operação binária ⊕ interna em X:

⊕

branco cinza

branco branco cinza cinza

cinza

Notar que: Se a =1 então o oposto de a é a-1 = 0 e ainda, e = 0 . Seja adotar • como uma multiplicação não usual ⊗. Compare agora as tabelas com os elementos do conjunto X = {0, 1} ≅ {branco,cinza} sobre operação binária ⊗ interna a X.

⊗

branco

cinza

branco branco branco cinza

branco

cinza

Notar que: Se a =1 então o inverso de a é a-1 = 0 e ainda, e = 0 .

Dois exemplos de Produtos Cartesianos Especiais com as operações não usuais ⊕ e ⊗: Produto Cartesiano com a dição não usual ⊕:

Produto Cartesiano com a multiplicação não usual ⊗:

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#49 - Aury de Sá Leite

49.1

49.6.5.- Jogo do Dominó de Uma Troca Exemplos e Sugestões Os jogos de dominó a seguir sugeridos 1. Jogos do Dominó de Uma Troca de Cor: Utilizando-se apenas os cartões Hexágonos CoresNúmeros ou então Trapéazios Cores-Números jogar o Doominó de uma troca de cor. Veja um exemplo de uma sequência de dominós onde houve uma troca de cor de um cartão para outro:

↓ Início ↓

Troca da ↓ cor do centro↓

2. Jogos do Dominó de Uma Troca de Quantificadores: Utilizando-se apenas os cartões Hexágonos Cores-Números ou então Trapézios Cores-Números propor aos jogadores manter as cores trocando entre si dois dos quantificdores. 3. Jogos do Dominó de Uma Troca Qualquer: Utilizando-se todos os cartões Hexágonos e Trapézios Cores-Números propor aos jogadores o jogo do dominó, fixando a cada partida deste

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#49 - Aury de Sá Leite

49.2

jogo a troca apenas um dos atributos entre si, sejam quantificdores, cores ou formas (hexágono versus trapézio).

4. Jogos do Dominó de Trocas Alternadas: Utilizando-se todos os cartões Hexágonos e Trapézios Cores-Números propor aos jogadores o jogo do dominó, em que cada cartão a ser acrescentado ao jogo deve trazer algum tipo de troca, ou seja, deve ter trocada duas das cores entre si, ter trocados dois dos quantificadores entre si ou a troca da forma.

5. Jogos do Dominó de Duas Trocas Simultâneas de Quantificadores e Cores, Quantficadores e Formas ou de Cores e Formas: Utilizando-se todos os cartões Hexágonos Cores-Números e Trapézios Cores-Números propor aos jogadores manter um os atributos (cor, quantificador ou então forma) trocando entre si simultaneamente os dois dos quantificadores (se as cores forem mantidas, fazer uma troca de quantificador e uma de forma; se os quantificadores forem mantidos, fazer uma troca de cor e uma de forma; se a forma for mantida, fazer uma troca de quantificador e de cor).

49.7.- Conclusões Este conjunto de cartões possui 144 cartões básicos e mais outros 12 cartões que foram acrscentados (vide item 49.6.4.) com a finalidade de se introduzir o Produto Cartesiano Especial em que se consideram as operações não usuais ⊕ e ⊗ em que o conjunto {0,1} ≅ {branco, cinza} é tomado como sendo primeiramente um grupo aditivo e em seguida como um grupo mutiplicativo. O Jogo de Dominó das Trocas é exemplificado apenas uma vez e muitos jogos deste tipo são sugeridos oportunizando aos leitores testar suas habilidades e criatividade. Sugerimos que estes jogos sugeridos no item 49.6.5. sejam estudados pelo menos por duas pessoas que devem trocar opiniões. As pessoas que estudaram estes jogos devem tentar ainda sugerir novos tipos de Jogo de Dominós das Trocas.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#50 - Aury de Sá Leite

pág. 50.1

JLOGC#50 - JOGOS PARA O PENSAMENTO LÓGICO Nº 50 CARTÕES HEXÁGONO-TRIÂNGULOS CORES-NÚMEROS Os Cartões Hexágono-Triângulos-Cores-Números são cartões lógicos cujo suporte é um hexágono. Estes cartões possuem quatro regiões: um triângulo equilátero e três triângulos obtusângulos Os triângulos obtusângulos receberão uma de três das seguintes cores: am, az, vm. O triângulo equilátero receberá a cor cinza e um círculo que tem o objetivo de realçar a posição do cartão em suas possíveis maneiras de ser rotacionado. Há ainda um outra possibilidade, o triângulo equilátero, que além do círculo, pode apresentar-se ainda com mais 2 e 3 quantificadores – círculos – visando ‘numerar’ os vértices do triângulo equilátero.

50.1.- Estabelecendo e Estudando os Módulos dos Cartões A figura abaixo apresenta o Módulo Hexagonal Básico a partir do qual vamos gerar os Cartões Hexágonos-Triângulos-Cores-Números. Este módulo é dividido em quatro regiões triangulares (um triângulo equilátero e três triângulos obtusângulos) como mostrado a seguir:

A seguir mostramos as duas possibilidades de utilização do Módulo Hexagonal Básico: a) O cartão hexagonal denominado: Cartão 1-Círculo, que possui o triângulo equilátero pintado na cor cinza provido de um único círculo branco tomado aqui como um marcador vetorial (indica a direção do cartão ao ser rotacionado):

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#50 - Aury de Sá Leite

•

pág. 50.2

Note que estes módulos hexagonais assinalados com círculos brancos podem ser rotacionados. Esta rotação é verificável pela posição que o círculo branco venha a ocupar, ou que os conjuntos círculos 1, 2 ou 3 estejam dispostos no triângulo equilátero. Girando no sentido horário o Cartão 1-Círculo de 120º

b) O cartão hexagonal, com o triângulo equilátero também pintado na cor cinza, provido dos quantificadores 1, 2 e 3 círculos (Cartões estes que serão denominados: Cartão 1-2-3-Círculos ou então 1-3-2-Círculos. •

Note que a leitura dos quantificadores é feita no sentido horário a partir do círculo unitário), como mostrados abaixo:

Cartão 1-2-3-Círculos

Cartão 1-3-2-Círculos

Girando o Cartão 1-2-3-Círculos de 120º no sentido anti-horário

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#50 - Aury de Sá Leite

pág. 50.3

Girando de 120º no sentido anti-horário o Cartão 1-3-2-Círculos

50.1.1.- Sobre as Possibilidades de Colorimento dos Cartões Um-Círculo As cores escolhidas para o colorimento dos triângulos obtusângulos do cartão hexagonal são as cores primárias: am, az, vm. A distribuição destas cores deverá ser feita cor-a-cor em cada um dos triângulos obtusângulos. Há duas possibilidades de fazer esta distribuição:

50.1.1.1.- Primeira Possibilidade de Colorimento dos Cartões Hexagonais Aqui iremos gerar apenas dois cartões distintos entre si se considerarmos somente a sequência de cores: confira a sequência de distribuição das cores, o que pode ser controlado pelo círculo unitário, conforme indicado abaixo, a partir da cor amarela seja no sentido horário ou anti horário. Note que, mesmo sendo apenas dois cartões distintos nós poderíamos obter seis possibilidades de posicionamento mediante giros a cada vez de 120º no sentido horário Primeira Maneira: Confira a sequência das cores respectivamente no sentido horário (ou no sentido anti-horário) a partir da cor amarela: am → az → vm (ou am → vm → az).

Segunda Maneira: Confira a sequência das cores respectivamente no sentido horário (ou no sentido anti-horário) a partir da cor amarela: am → vm → az (ou am → az → vm).

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#50 - Aury de Sá Leite

pág. 50.4

É importante notar que apesar das figuras acima mostrarem seis possibilidades, nós temos apenas os dois mesmos cartões distintos que apenas foram rotacionados de 120º a cada vez.

50.1.1.1.- A Segunda Possibilidade de Colorimento dos Cartões Hexagonais Aqui iremos gerar seis cartões distintos entre si, a partir da adoção do seguinte procedimento: vamos fixar o triângulo equilátero com o círculo sempre posicionado para cima e iremos distribuir as três cores de todas as maneiras possíveis nos triângulos obtusângulos, como mostraremos abaixo: Primeira Maneira: Confira a sequência das cores no sentido anti-horário a partir da cor amarela: am → az → vm ou am → vm → az.

Segunda Maneira: Confira a sequência das cores no sentido anti-horário a partir da cor amarela: vm → az → am ou vm → am → az.

Terceira Maneira: Confira a sequência das cores no sentido anti-horário a partir da cor amarela: az → vm → am ou az → am → vm.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#50 - Aury de Sá Leite

pág. 50.5

50.2.- As Permutações Circulares e as Permutações Simples Se a distribuição das três cores for calculada, como sendo o que realmente é, uma Permutação Circular de 3 elementos obtemos: PC3 = (3 – 1)! = 2! = 2.

Giros sucessivos de 120º

Por outro lado, se a ideia for calcular a Permutações Simples de 3 elementos iremos obter o seguinte: P3 = 3! = 3 × 2 ×1 = 6. A figura abaixo nos mostra 6 hexágonos. Os três primeiros deles são uma mesma figura em que apenas as cores foram rotacionadas sucessivamente de 120o, duas vezes. O mesmo ocorre com os três últimos hexágonos: representam uma mesma figura que foi rotacionada de 120o, três vezes. Note o leitor que aqui o círculo sempre é mostrado na mesma posição, indicando que o triângulo central em cinza permanece num posição fixa (somente as cores são rotacionadas). O leitor deve conferir a sequência das cores em cada um dos 6 hexágonos:

•

Na primeira linha: no sentido horário a partir do amarelo: am → az → vm

•

Na segunda linha: no sentido horário a partir do amarelo: am → vm → az

Giros de 120º (só das cores)

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#50 - Aury de Sá Leite

pág. 50.6

OBSERVAÇÂO IMPORTANTE: Note que ao fixarmos o elemento central do cartão hexagonal (fixarmos o triângulo equilátero) nós pudemos através da rotação das cores criar 6 cartões distintos entre si. Em resumo: Se cada um dos hexágonos for olhado considerando-se que é um mesmo, apenas rotacionados de 120o, teremos apenas dois hexágonos distintos. Por outro lado se fixarmos o triângulo equilátero e rotacionarmos apenas as cores de 60º obteremos 6 hexágonos distintos sendo 3 deles com uma mesma sequência de cores (am, az, vm) e três deles com outra sequência de cores (am, vm, az), sequências estas tomadas no sentido horário a partir da cor amarela.

50.2.1.- Os Dois Cartões Básicos Coloridos Há duas e apenas duas maneiras de colorir os Cartões Básicos que são mostradas abaixo de acordo com a sequência decores a partir da cor amarela no sentido horário:

am → az → vm

am → vm → az

50.2.2.- Os Dois Cartões Básicos Coloridos Rotacionados de 120º Há seis maneiras de apresentar os dois Cartões Básicos Coloridos mediante a rotação de 120º a cada vez: Rotacionando o Cartão Básico Colorido de 120º cuja sequência é: am → az → vm

Rotacionando o Cartão Básico Colorido de 120º cuja sequência é: am → vm → az

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pág. 50.7

50.3.- Gerando os Cartões Hexágonos-Triângulos-Cores Vamos agora adotar uma heurística baseada nos estudos que fizemos até aqui, com a finalidade de gerar todos os cartões Hexágonos-Triângulos-Cores acoplando os cartões 1-2-3-Círculos e os Cartões Coloridos.

A heurística que adotaremos é: tomar cada em todas as suas possíveis rotações de 120º os Cartões 1-2-3-Círculos e 1-3-2-Círculos e cada Cartão Básico Colorido, e realizar o seguinte produto cartesiano: [Cartões 1-2-3-Círculos ∪ Cartões 1-3-2-Círculos] X Conjunto dos Cartões Básicos Coloridos.

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pág. 50.8

O que o leitor deverá observar na repetição da figura anterior, a seguir, é que: 1. Os cartões resultantes do produto cartesiano foram rotacionados de forma serem posicionados com o quantificador ‘1’ no topo – confira; 2. Os cartões das três primeiras linhas receberam cores nos seus entornos indicando aqueles que são idênticos entre si – verifique.

O leitor deve verificar quais são os cartões idênticos alocados nas três últimas linhas. Assim, nós mostramos na figura abaixo os cartões 12 cartões distintos entre si destinados aos Jogos Para o Pensamento.

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pág. 50.9

50.4.- Jogos Para o Pensamento Lógico A seguir iremos apresentar alguns Jogos Para o Pensamento Lógico com os Cartões Hexágonos-Triângulos-Cores. Estes jogos são preparatórios para o que iremos estudar no JLOGC: os Cartões Triângulos-Cores-Círculos-Números, que são mais complexos do que os cartões hexagonais aqui apesentados.

50.4.1.- Jogo dos Cartões Idênticos Este é um jogo para um observador e dois jogadores que devem trabalhar em conjunto: 1. O observador deve tomar três séries dos 12 cartões distintos entre si, embaralhar, e solicitar que o(s) jogador(es) separem os cartões idênticos; 2. O observador não deve interferir na forma de escolha das estratégias de busca destes cartões; 3. Em caso de muita dificuldade no desempenho da tarefa, mas somente neste caso, o observador deve sugerir que os cartões devam ser visualizados com o quantificador ‘1 círculo’ na parte superior.

50.4.2.- Cartões Simétricos Deste jogo devem participar um observador e um jogador. 1. Este jogo somente deve ser proposto após o o jogo anterior, ou seja, após o jogador ter passado pela experiência de identificação dos cartões idênticos e poder separar dali os cartões distintos entre si; 2. O observador deve tomar os 12 cartões distintos entre si e colocá-los, com as faces viradas para cima sobre o tampo de uma mesa, 3. Solicitar que o jogador observe a figura a seguir que deverá ser impressa, plastificada e recortada:

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#50 - Aury de Sá Leite

pág. 50.10

4. Caso necessário explicar o que seja a simetria em torno de um eixo. No caso de haver maior interesse pelo assunto ir para o JGEOM#06 – Estudando Simetrias e os seus Eixos de Simetria. 5. O observador deve escolher um dos cartões, colocando o quantificador ‘1’ no topo, solicitando ao jogador que forme um par de cartões simétricos, usando o cartão que contém o eixo de simetria (vide abaixo). Veja um exemplo a seguir:

6. O Observador deve repetir a escolha de cartões até que o jogador consiga formar os doze pares simétricos. 7. Mostrar que as simetrias podem se dar de forma recíproca trocando-se de lado os cartões como em:

8. Outros tipos de simetria (distinto da anterior em que o quantificador ‘1’ ficava no topo do hexágono) podem ser tentados, a partir da proposta do observador, como em:

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pág. 50.11

50.5.- Comentários Finais O leitor poderá com estes 12 cartões tentar, como foi proposto no JPLOGC#49, estudar os Jogos do Dominó de uma Troca envolvendo as cores ou então os quantificadores e o Dominó de Duas Trocas envolvendo simultaneamente cores e quantificadores. Note que agora a quantidade de cartões distintos é muito menor que a quantidade de cartões do JLOGC#49, sendo necessário duplicar ou triplicar o conjunto destes 12 Cartões distintos entre si para tornar estes jogos mais interessantes.

pag. 51.1

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JLOGC#51 - JOGOS PARA O PENSAMENTO LÓGICO Nº 51 CARTÕES QUADRADOS COM TRIÂNGULOS BIPARTIDOS Este é mais um conjunto de cartões codificados numericamente que devem ser jogados como sendo dominós. Mesmo com o uso apenas das três cores primárias – am, az e vm – os cálculos para o colorimento dos cartões demandou um esforço notável e uma estratégia bastante interessante que deve ser estudada pelo leitor mais interessado. Os Jogos Para o Pensamento Lógico envolvendo estes cartões exigem muita atenção dos jogadores devido à intrincada disposição das cores. Em muitos dos Jogos deve-se recorrer à codificação para conferir as jogadas.

51.1.- Propondo o Módulo Básico Vamos estudar neste JLOGC cartões quadrados medindo 4,5 cm por 4,5 cm, com listras diagonais a serem coloridas, ou seja, quadrados que apresentam 4 listras na diagonal, formando 8 triângulos:

Módulo Básico #1

Módulo Básico #2

•

Módulo #1: cartões quadrado com listras diagonais formando 45º com a aresta da base;

•

Módulo #2: cartões quadrado com listras diagonais formando 135º com a aresta da base.

51.2.- Colorindo e Codificando os Triângulos A seguir vamos, passo-a-passo, mostrar o colorimento dos triângulos que compõem o Módulo Básico: 1. Vamos utilizar três cores distintas (amarelo, azul, vermelho) distribuídas, duas a duas, nos triângulos que compõem o Módulo Básico – que são denominados Triângulos Bicolores –, de acordo com o que mostramos na figura abaixo:

pag. 51.2

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α β 2. O leitor deve observar que os índices dos triângulos são os mesmos quando eles apresentam as mesmas cores na porção maior (um trapézio) e na porção menor (um triângulo), isto é, os índices são os mesmos quando os triângulos em termos de cores, forem simétricos um com relação ao outro. 3. O leitor deve verificar o seguinte fato: os triângulos da linha ‘α’ são simétricos aos triângulos da linha ‘β’ com relação a um eixo vertical imaginário. Veja dois exemplos:

4. Os Triângulos Bicolores serão utilizados alternadamente na sequência: αβαβ ou βαβα no preenchimento dos Módulos Básicos #1 e #2. Confira a sequência de triângulos mostrando a linha a que pertence, isto é, no primeiro cartão: T1 ∈ α, T2 ∈ β , T3 ∈ α, T4 ∈ β e no segundo cartão: T1 ∈ β, T2 ∈ α, T3 ∈ β, T4 ∈ α.

Módulo #1

Módulo #2

T1 ∈ α, T2 ∈ β, T3 ∈ α, T4 ∈ β

T1 ∈ β, T2 ∈ α, T3 ∈ β, T4 ∈ α

pag. 51.3

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5. Temos 6 triângulos coloridos a serem distribuídos 4 a 4 no Módulo Básico #1. Este cálculo A 6,4 6× 5× 4× 3 = 15 . é dado por: C6,4 = = P4 4 × 3 × 2 ×1 6. Sabemos então, que há 15 conjuntos formados por 4 triângulos cada um, a serem distribuídos nos nosso Módulo Básico #1. Os triângulos são escolhidos de acordo com a sequência numérica dos seus índices de forma crescente: 1234, 1235, 1236, 1245, 1246, ..., 3456. Confira na tabela abaixo:

Tabela de Distribuição dos Triângulos Bicoloridos T1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

α β 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

7. A quantidade de formas de distribuirmos cada um destes 15 conjuntos de 4 triângulos deve ser calculada por: PC4 = 3! = 3 × 2 × 1 = 6. 8. O total destes 15 cartões (Módulo Básico #1) compostos por 4 triângulos coloridos distintos entre si é dado por:

pag. 51.4

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C6,4 × PC4 =

A 6,4 P4

× PC4 =

6× 5× 4×3 × 3 × 2 × 1 = 15 × 6 = 90 . 4 × 3 × 2 ×1

9. Desta forma, se considerarmos a soma da quantidade de todos os Cartões Básicos #1 com a quantidade de Cartões Básicos #2, teremos um conjunto de 180 cartões distintos entre si, a menos dos cartões simétricos dois a dois. 10. A simetria dois a dois destes 180 cartões permite que estabeleçamos uma partição destes em dois grupos de cartões topologicamente equivalentes, contendo 90 cartões cada.

51.3.- Técnicas Para a Geração dos Cartões As maneiras de gerar os cartões são duas. A primeira diz respeito ao Módulo Básico #1 e a segunda diz respeito ao Módulo Básico #2. O primeiro Passo será a codificação das quatro regiões de cada um destes Módulos, como mostrado abaixo:

A B

O Módulo #1 e as Regiões ABCD

O Módulo #2 e as Regiões EFGH

51.3.1.- A Geração dos Cartões Utilizando-se o Módulo Básico #1 O esquema acima estabelece, no Módulo Básico #1, quatro regiões A, B, C e D, onde deverão ser alocados quatro a quatro os triângulos bicolores criteriosamente selecionados no conjunto de triângulos {T1, T2, T3, T4, T5, T6}, cuja notação simplificada será: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Para a escolha do conjunto de triângulos a ser adotado a cada passo, para o preenchimento do esquema ABCD, devemos recorrer, linha por linha, à Tabela da Distribuição dos Triângulos Bicoloridos, mostrada acima. O conjunto dos triângulos a serem escolhidos deverá ser buscado em cada uma das 15 linhas da Tabela, considerados apenas os valores constantes das celas em branco, desprezando-se os valores alocados nas celas da cor cinza.

pag. 51.5

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51.3.2.- A Geração dos Cartões do Módulo Básico #2 O cartão com o esquema EFGH corresponderá exatamente ao cartão ABCD refletido no eixo vertical. Como mostramos no exemplo a seguir. A figura abaixo nos mostra que os cartões cujos códigos são: ABCD = 1234 e EFGH = 1432 são simétricos com relação a um eixo vertical:

ABCD = 1234

EFGH = 1432

Note que a numeração dos triângulos (1234 e 1432) continua presa às cores, no entanto, cada um deles é simétrico ao outro.

51.3.1.- Analisando a Linha 1 da Tabela de Distribuição •

Vamos tomar a linha 1 da tabela de 1.

•

O conjunto de triângulos a serem utilizados será: {T1, T2, T3, T4} ou numa notação mais simplificada: {1, 2, 3, 4}.

•

Os valores do conjunto {1, 2, 3, 4} (veja figura abaixo com os triângulos) deverão servir para a obtenção de todas as permutações simples com estes 4 elementos, a saber: 1234, 1243, 1324, 1342, 1423 e 1432, distribuição esta que estará em correspondência biunívoca com as regiões ABCD do Módulo Básico. T1

α β Os triângulos 1, 2, 3 e 4

pag. 51.6

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51.3.1.- Os Triângulos Coloridos nas Regiões ABCD e EFGH Escolhidos os triângulos coloridos que serão distribuídos no cartão, o primeiro cartão a ser alocado é o de menor valor dentre os triângulos escolhidos e deve ser alocado na região ‘A’. Os demais valores, em ordem crescente, devem ser distribuídos no sentido horário. •

O primeiro dos cartões assim obtido será: ABCD = 1234.

•

Tomando-se todas a Permutações simples que se podem obter com os elementos do conjunto {1, 2, 3, 4}, e ordenando-as em ordem crescente: iremos obter a codificação de nossos seis cartões possíveis de serem construídos: ABCD = 1234, ABCD = 1243, ABCD = 1324, ABCD = 1342, ABCD =1423 e ABCD =1432 (confira isto no item 47.4.1. a seguir).

A partir dos cartões ABCD: ABCD = 1234, ABCD = 1243, ABCD = 1324, ABCD = 1342, ABCD =1423 e ABCD =1432 podemos criar os cartões EFGH, mediante a reflexão de cada um destes cartões em torno de um eixo vertical: EFGH= 1432, EFGH = 1342, EFGH = 1423, EFGH = 1243, EFGD = 1324, EFGH = 1234.

51.3.2.- Analisando a Linha 9 da Tabela de Distribuição •

Vejamos um exemplo utilizando a linha 9 da tabela: 9. •

O conjunto de triângulos a serem utilizados será: {T1, T3, T5, T6} ou numa notação mais simplificada: {1, 3, 5, 6}. T1

α β Os triângulos 1, 3, 5 e 6 •

Permutando-se os elementos deste conjunto, e com estes resultados compondo números a serem ordenados em ordem crescente, obteremos: 1356, 1365, 1536, 1563, 1635, 1653.

pag. 51.7

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•

Isto nos permitirá obter a codificação de nossos seis cartões Modelo #1 possíveis de serem construídos conforme o item 47.4.9., a seguir: ABCD = 1356, ABCD = 1365, ABCD = 1536, ABCD = 1563, ABCD = 1635 e ABCD = 1653.

•

Pela reflexão dos catões ABCD iremos obter os cartões EFGH, que serão os seguintes: EFGH = 1365, EFGH = 1563, EFGH = 1635, EFGH = 1365, EFGH = 1536, EFGH = 1356.

51.4.- A Geração de Todos os 180 Cartões Cada uma das linhas da Tabela de Distribuição nos fornecerá os triângulos a serem distribuídos no Módulo Básico segundo as regiões ABCD. Deve-se agora, estabelecer todas as Permutações Simples destes 4 elementos, compondo-se com estes valores números que deverão ser ordenados em ordem crescente. Isto nos permitirá obter 15 × 6 = 90 cartões distintos entre si no Módulo Básico #1, os cartões EFGH serão gerados pela simples reflexão dos cartões ABCD em torno de um eixo vertical, como veremos a seguir.

51.3.1.- Cartões Gerados pelos Triângulos 1, 2, 3 e 4 (linha 01) T1

α β

ABCD = 1234

ABCD = 1243

ABCD = 1324

pag. 51.8

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EFGH= 1432

EFGH = 1342

EFGH = 1423

ABCD = 1342

ABCD = 1423

ABCD = 1432

EFGH = 1243

EFGD = 1324

EFGH = 1234

51.3.2.- Cartões Gerados pelos Triângulos 1, 2, 3 e 5 (linha 02) T1

α β

ABCD = 1235

ABCD = 1253

ABCD = 1325

pag. 51.9

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EFGH = 1532

EFGH = 1352

ABCD = 1352

ABCD = 1523

EFGH = 1253

EFGH = 1523

ABCD = 1532

EFGH = 1325

EFGH = 1235

51.3.3.- Cartões Gerados pelos Triângulos 1, 2, 3 e 6 (linha 03) T1

α β

ABCD = 1236

ABCD = 1263

ABCD = 1326

pag. 51.10

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EFGH = 1632

ABCD = 1362

EFGH = 1263

EFGH = 1362

EFGH = 1632

ABCD = 1623

ABCD = 1632

EFGH = 1326

EFGH = 1236

47.3.4.- Cartões Gerados pelos Triângulos 1, 3, 4 e 5 (linha 04)

ABCD = 1345

ABCD = 1354

ABCD = 1435

pag. 51.11

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EFGH = 1543

EFGH = 1453

ABCD = 1453

ABCD = 1534

EFGH = 1354

EFGH = 1435

EFGH = 1534

ABCD = 1543

EFGH = 1345

51.3.5.- Cartões Gerados pelos Triângulos 1, 2, 4 e 6 (linha 05)

ABCD = 1246

ABCD = 1264

ABCD = 1426

pag. 51.12

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EFGH = 1642

EFGH = 1462

ABCD = 1462

ABCD = 1624

EFGH = 1264

EFGH = 1426

EFGH = 1624

ABCD = 1642

EFGH = 1246

51.3.6.- Cartões Gerados pelos Triângulos 1, 2, 5 e 6 (linha 06)

ABCD = 1256

ABCD = 1265

ABCD = 1526

pag. 51.13

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#51 - Aury de Sá Leite

EFGH = 1652

EFGH = 1562

ABCD = 1562

ABCD = 1625

EFGH = 1265

EFGH = 1526

EFGH = 1625

ABCD = 1652

EFGH = 1256

51.3.7.- Cartões Gerados pelos Triângulos 1, 3, 4 e 5 (linha 07)

ABCD = 1345

ABCD = 1354

ABCD = 1435

pag. 51.14

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#51 - Aury de Sá Leite

EFGH = 1543

EFGH = 1453

ABCD = 1453

ABCD = 1534

EFGH = 1353

EFGH = 1435

EFGH = 1534

ABCD = 1543

EFGH = 1354

51.3.8.- Cartões Gerados pelos Triângulos 1, 3, 4 e 6; (linha 08)

ABCD = 1346

ABCD = 1364

ABCD = 1436

pag. 51.15

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#51 - Aury de Sá Leite

EFGH = 1643

EFGH = 1463

EFGH = 1634

ABCD = 1463

ABCD = 1634

ABCD = 1643

EFGH = 1364

EFGH = 1436

EFGH = 1346

51.3.9.- Cartões Gerados pelos Triângulos 1, 3, 5 e 6 (linha 09)

ABCD = 1356

ABCD = 1365

ABCD = 1536

pag. 51.16

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#51 - Aury de Sá Leite

EFGH = 1653

EFGH = 1563

ABCD = 1563

ABCD = 1635

EFGH = 1365

EFGH = 1536

EFGH = 1346

ABCD = 1653

EFGH = 1356

51.3.10.- Cartões Gerados pelos Triângulos 1, 4, 5 e 6 (linha 10)

ABCD = 1456

ABCD = 1465

ABCD = 1546

pag. 51.17

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#51 - Aury de Sá Leite

EFGH = 1654

EFGH = 1564

EFGH = 1645

ABCD = 1564

ABCD = 1645

ABCD = 1654

EFGH = 1465

EFGH = 1546

EFGH = 1456

51.3.11.- Cartões Gerados pelos Triângulos 2, 3, 4 e 5 (linha 11)

ABCD = 2345

ABCD = 2354

ABCD = 2435

pag. 51.18

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#51 - Aury de Sá Leite

EFGH = 2543

ABCD = 2453

EFGH = 2453

ABCD = 2534

EFGH = 2354

EFGH = 2435

EFGH = 2534

ABCD = 2543

EFGH = 2354

51.3.12.- Cartões Gerados pelos Triângulos 2, 3, 4 e 6 (linha 12)

ABCD = 2346

ABCD = 2364

ABCD = 2436

pag. 51.19

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#51 - Aury de Sá Leite

EFGH = 2643

EFGH = 2463

EFGH = 2634

ABCD = 2463

ABCD = 2634

ABCD = 2643

EFG = 2364

EFGH = 2436

EFGH = 2346

51.3.13.- Cartões Gerados pelos Triângulos 2, 3, 5 e 6 (linha 13)

ABCD = 2356

ABCD = 2365

ABCD = 2536

pag. 51.20

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#51 - Aury de Sá Leite

EFGH = 2653

EFGH = 2563

EFGH = 2635

ABCD = 2563

ABCD = 2635

ABCD = 2653

EFGH = 2365

EFGH = 2536

EFGH = 2365

51.3.14- Cartões Gerados pelos Triângulos 2, 4, 5 e 6 (linha 14)

ABCD = 2456

ABCD = 2465

ABCD = 2546

pag. 51.21

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#51 - Aury de Sá Leite

EFGH = 2654

EFGH = 2564

ABCD = 2564

ABCD = 2645

EFGH = 2465

EFGH = 2546

EFGH = 2645

ABCD = 2654

EFGH = 2456

51.3.15.- Cartões Gerados pelos Triângulos 3, 4, 5 e 6 (linha 15)

ABCD = 3456

ABCD = 3465

ABCD = 3546

pag. 51.22

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#51 - Aury de Sá Leite

EFGH = 3654

ABCD = 3564

EFGH = 3465

EFGH = 3564

ABCD = 3645

EFGH = 3546

EFGH = 3654

ABCD = 3654

EFGH = 3465

51.4.- Jogos Para o Pensamento Lógico Os Cartões Quadrado-Triângulos com Listras Coloridas Possuem códigos cuja notação é ABCD = mnpq, onde ABCD são as regiões triangulares do Módulo Básico e mnpq são quatro valores numéricos distintos buscados no conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}, tal que há uma correspondência biunívoca entre estes elementos: A ↔ m, B ↔ n, C ↔ p, D ↔ q, conforme pode ser visto na Tabela de Codificação dos Cartões Quadrados com Triângulos Bicoloridos, acima.

51.4.1.- Usando a Tabela de Codificação dos Cartões No tocante à tabela mostrada a seguir – Tabela de Codificação dos Cartões Quadrados com Triângulos Bicoloridos – o aplicador deve expor e explicar em detalhes aos jogadores, mostrando na prática, como ela funciona. Para isto o aplicador deve utilizar vários cartões estabelecendo o seguinte:

pag. 51.23

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#51 - Aury de Sá Leite

•

Deve-se procurar o triângulo T1 no cartão dado, caso ele não exista, procurar o triângulo T2, caso não existam os triângulos T1 ou o T2, procurar o triângulo T3.

•

Deve-se posicionar o cartão de forma que: o triângulo cujo índice é o de menor valor fique com a sua base voltada para cima, ou seja, fique no topo do cartão.

•

Confira os exemplos a seguir a partir da visualização da tabela:

Cartões Quadrados com Triângulos Bicoloridos

Tabela de Codificação

D C

F G

C ABCD = TmTnTpTq Onde:

A D

EFGH= TrTsTtTu

m, n, p, q e r, s, t, u são valores distintos pertencentes ao conjunto

{1, 2, 3, 4, 5, 6} estabelecendo-se as seguintes correspondências biunívocas: A↔m

B↔n

C↔ p

D ↔ q sendo que o mín{m, n, p, q} = m

E↔r

F↔s

G↔t

H ↔ u sendo que o mín{r, s, t, u} = r

ABCD = 4513

ABCD = 1345

pag. 51.24

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#51 - Aury de Sá Leite

ABCD = 3524

ABCD = 2435

ABCD = 6543

ABCD = 3654

51.4.2.- Jogo da Codificação dos Cartões 51.4.2.1.- Regras do Jogo de Codificação #1 1. Este jogo se destina a um aplicador e um jogador; 2. O aplicador deve fornecer ao jogador a Tabela de Codificação dos Cartões; 3. O aplicador deve estudar em conjunto com o jogador a forma de codificar estes cartões; 4. O aplicador deverá tomar três cartões tais que A ↔ 1, A ↔ 2 e A ↔ 3, ou seja, os triângulos bicoloridos de menor valor encontrado naqueles cartões sejam respectivamente 1, 2 e 3. Veja que a escolha destes triângulos deve se dar da seguinte forma: (a)

No caso em que A ↔ 1 deve-se recorrer a um dos cartões constantes do item 47.3.1. até o item 47.3.10.;

(b)

No caso em que A ↔ 2 deve-se recorrer a um dos cartões constantes do item 47.3.11. até o item 47.3.14;

(c)

No caso em que A ↔ 3 deve-se recorrer a um dos cartões constantes do item 47.3.15.

5. O jogador, utilizando a Tabela de Codificação deverá escrever os códigos de cada um destes cartões que é do tipo ABCD = mnpq ou EFGH = rstu.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#51 - Aury de Sá Leite

pag. 51.25

51.4.2.2.- Regras do Jogo de Codificação #2 1. O plicador deve embaralhar bem estes 180 cartões; 2. Este jogo pode envolver os 180 cartões, um aplicador e vários jogadores, no mínimo 2 e no máximo 6 (sendo esta última, a quantidade ideal de jogadores, pois cada um receberá 30 cartões); 3. O aplicador deve distribuir todos os 180 cartões aos participantes e em seguida escrever em uma folha de papel ou lousa de 4 a 6 códigos distintos de cartões (como: ABCD = mnpq ou EFGH = rstu ) que seja visível para todos os jogadores; 4. Cada jogador deve procurar entre os cartões por ele recebidos os cartões que correspondam aos códigos. Normalmente, esta busca deve ser feita contra o relógio; 5. O aplicador deve marcar separadamente para cada jogador um ponto para cada cartão encontrado; 6. Os jogadores que deixarem de descobrir o cartão que conste dos que foram propostos pelo aplicador terão marcado para si um ponto negativo; 7. Mantendo os mesmos cartões distribuídos inicialmente para cada um dos jogadores, o aplicador deve propor uma nova lista de cartões a serem buscados; 8. O Jogo pode ser repetido várias vezes.

51.4.2.- Jogos do Dominó O Jogo Para o Pensamento Lógico – o Jogo de Dominós – deve ser tentado com apenas um pequeno grupo de cartões e, deve inicialmente, ser realizado como um jogo solitário ou individual. Você pode jogar auxiliado por um parceiro mais competente, alguém que já aprendeu o suficiente sobre o jogo de dominós com estes cartões para auxiliar.

51.4.2.1.- Jogo de Dominós Número 1 Este Jogo Para o Pensamento consiste em que se tomem inicialmente apenas 12 cartões. Sem perda de generalidade tomemos o conjunto de Cartões Modelo #1 Gerados pelos Triângulos Coloridos 1, 2, 3 e 4, mostrados abaixo.

pag. 51.26

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#51 - Aury de Sá Leite

ABCD = 1234

ABCD = 1342

ABCD = 1243

ABCD = 1423

ABCD = 1324

ABCD = 1432

Veja uma das soluções possíveis do Jogo Solitário de Dominó usando os Cartões #1 Gerado pelos Triângulos Coloridos 1, 2, 3 e 4.

51.4.2.2.- Jogo de Dominós Número 2 Neste novo Jogo de Dominós Solitário deve-se tomar os 24 cartões. do conjunto de Cartões Modelo #1 e #2 Gerados pelos Triângulos Coloridos 1, 2, 3 e 4, mostrados abaixo.

ABCD = 1234

ABCD = 1342

ABCD = 1243

ABCD = 1423

ABCD = 1324

ABCD = 1432

EFGH= 1432

EFGH = 1243

EFGH = 1342

EFGD = 1324

EFGH = 1423

EFGH = 1234

pag. 51.27

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#51 - Aury de Sá Leite

Veja uma das soluções possíveis do Jogo Solitário de Dominó usando os Cartões #1 e #2 Gerado pelos Triângulos Coloridos 1, 2, 3 e 4. \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

51.4.2.3.- Jogo de Dominós Número 3 Este jogo irá utilizar o mesmo conjunto de Cartões Modelo #1 e #2 Gerados pelos Triângulos Coloridos 1, 2, 3 e 4 mostrado no Jogo anterior. Embaralhe os Cartões e tente obter uma outra solução distinta da anterior (Jogo de Dominós Número 2).

51.4.3.- Formando Quadrados Este Jogo Para o Pensamento Lógico é um Jogo do Tipo Solitário que consiste em se tomar todos os 180 cartões com Triângulos Bipartidos e que se tente formar um quadrado com o máximo de simetrias em cada uma destas figuras. ABCD = 1563

ABCD = 3254

ABCD =5132

ABCD =6435

ABCD = 5362

EFGH = 1425

EFGH= 6324

ABCD = 56

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#51 - Aury de Sá Leite

pag. 51.28

Pergunta-se: é possível a obtenção de um quadrado totalmente simétrico?

51.5.- Conclusões Estes 180 cartões denominados Cartões Quadrados com Triângulos Bipartidos pode ser melhor estudado pelos leitores, que a partir disto são convidados a criar seus próprios jogos.

60 Jogos Para o Pensamento L贸gico - JLOGC#51 - Aury de S谩 Leite

pag. 51.29

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#52 - Aury de Sá Leite

pág. 52.1

JLOGC#52 - JOGOS PARA O PENSAMENTO LÓGICO Nº 52 Cartões Quadrados com Triângulos Tripartidos Monocromáticos Este é um conjunto de cartões em que o suporte quadrado é dividido pelas diagonais em quatro triângulos, todos eles tripartidos apresentando 12 segmentos de faixas, que receberão as cores amarelo, azul ou vermelho, Cada cartão receberá apenas uma vez em apenas um dos segmentos de faixa. Aqui as propostas de Jogos Para o Pensamento serão baseadas em casamentos padrões, bem como na construções de arranjos em que prevaleça a simetria entre os desenhos e as cores.

52.1.- Módulos Básicos São dois os Módulos Básicos formados por triângulos tripartidos determinados pelas diagonais do quadrado (um cartão medindo 5cm × 5cm): •

Módulo #1.a cartões quadrado com listras diagonais formando 45º com a aresta da base: Módulo #1.e apresenta uma região cinza à esquerda; Módulo #1.d apresenta uma região cinza à direita.

•

Módulo #2.a cartões quadrado com listras diagonais formando 135º com a aresta da base; Módulo #2.e apresenta uma região cinza à esquerda; Módulo #2.d, apresenta uma região cinza à direita. \

135º

45º #1.e ou #1.d

#2.e ou #2.d

Módulo #1.e

Módulo #2.e

Módulo #1.d

Módulo #2.d

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#52 - Aury de Sá Leite

pág. 52.2

52.2.- Sobre a Forma de Colorização dos Cartões Cada uma dos 12 segmentos de faixas dos Cartões Quadrado com Triângulos Tripartidos irão receber uma das seguintes cores: amarelo (am), azul (az) ou vermelho (vm). A maneira com que cada cor será distribuída nos cartões será mostrada a seguir através de ‘mapas de distribuição das cores’.

5.2.1.- Mapas da Distribuição das Cores nos Módulos #1 e #2 Iremos mostrar primeiramente a Tabela de Codificação dos Cartões Monocromáticos #1 e #2. A seguir mostraremos as maneiras com que uma das cores: am, az ou vm, serão distribuídas nos Cartões Monocromáticos 1.e, 1.d, 2.e no 2.d, são mostradas a seguir sobre na forma de mapas. TABELA DE CODIFICAÇÃ DOS CARTÕES #1 E #2 MONOCROMÁTICOS

NO #1: 45º

Triângulo Cinza

Cor da Faixa

Tamanho da Faixa

Posição da Faixa

e ou d

az, vm ou am

g, m, p

⊥, // ou ∅

#2: 135º Código sob a forma de N-upla ordenada: #n.triângulo cinza, cor, tamanho,posição

52.2.1.1.- Mapa da Distribuição de uma Cor nos Cartões #1.e Abaixo mostramos o mapa de distribuição de cores (am, az ou vm) dos cartões #1.e onde o triângulo cinza se encontra do lado convencionado como esquerdo (e) no cartão e o ângulo formado por cada faixas relativamente à base do cartão mede 45º.

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#1.e,cor,m,⊥

1.e,cor,g,⊥

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1.e,cor,p,//

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#52 - Aury de Sá Leite

pág. 52.3

52.2.1.2.- Mapa da Distribuição de uma Cor nos Cartões #1.d Abaixo mostramos o mapa de distribuição de cores (am, az ou vm) dos cartões #1.d onde o triângulo cinza se encontra do lado convencionado como direito (d) no cartão e o ângulo formado por cada faixas relativamente à base do cartão mede 45º.

#1.d,cor,p,⊥

#1.d,cor,m,⊥

1.d,cor,g,⊥

#1.d,cor,∅

#1.d,cor,g,//

#1.d,cor,m,∅

#1.d,cor,m,//

1.d,cor,p,//

#1.d,cor,p,∅

52.2.1.3.- Mapa da Distribuição de uma Cor nos Cartões #2.e Abaixo mostramos o mapa de distribuição de cores (am, az ou vm) dos cartões #2.e onde o triângulo cinza se encontra do lado convencionado como esquerdo (e) no cartão e o ângulo formado por cada faixas relativamente à base do cartão mede 135º.

#2.e,cor,g,⊥

#2.e,cor,m,⊥

#2.d,cor,p,⊥

#2.e,cor,g,∅

#2.e,cor,g,//

#2.e,cor,m,∅

#2.e,cor,m,//

#2.e,cor,p,∅

#2.e,cor,p,//

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#52 - Aury de Sá Leite

pág. 52.4

52.2.1.4.- Mapa da Distribuição de uma Cor nos Cartões #2.d Abaixo mostramos o mapa de distribuição de cores (am, az ou vm) dos cartões #2.d onde o triângulo cinza se encontra do lado convencionado como esquerdo (e) no cartão e o ângulo formado por cada faixas relativamente à base do cartão mede 135º

#2.d,cor,g,⊥

#2.d,cor,m,⊥

#2.d,cor,p,⊥

#2.e,cor,g,∅

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#2.d,cor,m,//

#2.d,cor,p,//

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52.3.- Gerando os Cartões Monocromáticos #1.e e #2.d 52.3.1.- Os 27 Cartões Monocromáticos #1.e

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#1.e,am,m,⊥

1.e,am,g,⊥

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60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#52 - Aury de Sá Leite

#1.e,az,∅

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pág. 52.5

#1.e,az,m,∅

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52.3.2.- Os 27 Cartões Monocromáticos #1.d

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#1.d,am,m,⊥

#1.d,am,g,⊥

#1.d,am,∅

1.d,az,p,⊥

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#1.d,am,m,// 1.d,am,p,//

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60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#52 - Aury de Sá Leite

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pág. 52.6

#1.d,az,p,∅

1.d,vm,g,⊥ 1.d,vm,p,//

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52.4.- Gerando os Cartões Monocromáticos #2.e e #2.d 52.4.1.- Os 27 Cartões Monocromáticos #2.e

#2.e,am,g,⊥

#2.e,am,m,⊥

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60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#52 - Aury de Sá Leite

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pág. 52.7

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52.4.2.- Os 27 Cartões Monocromáticos #2.e

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60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#52 - Aury de Sá Leite

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pág. 52.8

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52.5.- Jogos Para o Pensamento Lógico O conjunto de Cartões Quadrado com Triâgulos Tripartidos Monocromáticos tem um total de 108 elementos: 54 cartões do tipo ‘e’ (com triângulo cinza à esquerda) e 54 cartões do tipo ‘d’ (com triângulo cinza à direita).

52.5.1.- Jogos Livres Solitários Este é um jogo para um jogador e um observador. 1. Embaralhe os 54 cartões do tipo #1.e e os entregue ao jogador;

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#52 - Aury de Sá Leite

pág. 52.9

2. Acompanhe a forma em que o jogador agrupa os cartões segundo as características (atributos) dos mesmos; 3. Em caso de necessidade absoluta, o aplicador poderá interferir auxiliando o jogador mediante o estudos da Tabela de Classificação dos Cartões. 4. Observação: em casos específicos e segundo o critério do aplicador este jogo pode envolver dois jogadores que deverão trabalhar de forma cooperativa.

52.5.2.- Jogos de Descriminação Com Regras 52.5.2.1.- Separar os Cartões de Acordo Com Um Atributo Deste jogo podem participar dois, quatro ou, no máximo, seis jogadores – note que o número 108 é divisível por cada um destes três valores. No caso de dois participantes distribuir 54 dos cartões embaralhados para cada jogador; no caso de 4 jogadores distribuir 27 cartões e no caso de 6 jogadores, 18. O importante é o seguinte: a Tabela de Codificação dos Cartões #1 e #2 Monocromáticos não deve ainda ser de conhecimentos dos jogadores. 1. A quantidade de rodadas deste jogo devem ser combinadas previamente com os jogadores ( de 3 a 10 – de acordo com a expertise ou competências do grupo de jogadores); 2. O aplicador deve embaralhar muito bem os 108 cartões distribuindo todos eles entre os jogadores de acordo com o que foi indicado acima; 3. O aplicador deverá escolher, em cada uma das rodadas, um dos atributos de acordo com os a seguir apresentados, que são: •

Cores das faixas: am,az ou vm ;

•

Tamanhos das faixas: g, m ou p;

•

Posição das faixas: perpendicular (⊥) ou paralela (//) a um dos lados do triângulo cinza; ou ainda, nenhuma destas duas posições (∅).

4. O aplicador deve estabelecer que o primeiro jogador a selecionar todos os cartões e dizer: “Acabei!”, interromperá, assim, o jogo – todos os outros (ou o outro) jogador(es) deve(m) cessar imediatamente o processo de separação dos seus cartões; 5. O aplicador deve proceder à contagem dos pontos: quantidade de cartões separados corretamente − (quantidade de cartões separados incorretamente + quantidade de cartões corretos, mas não separados durante o jogo).

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#52 - Aury de Sá Leite

pág. 52.10

6. Vence a partida o jogador que ao final da quantidade de rodadas combinadas logo no início do jogo (de 3 a 10) fizer o maior número de pontos.

52.5.2.2.- Separar os Cartões de Acordo Com Dois ou até Três Atributo 1. O jogo anterior deve ser repetido outras vezes somente que agora o aplicador irá associar dois dos atributos citador na regra 3 acima, chegando depois de várias escolhas, chegar a três atributos; 2. Note que o aplicador poderá agora associar dois atributos como: cores e tamanho das faixas; cores e posição da faixa com relação ao triângulo cinza; tamanho e posição da faixa com relação ao triângulo cinza; 3. As regras que dizem respeito à escolha da quantidade de rodadas, o critério de parada do jogo, bem como a da contagem dos pontos, continuam as mesmas previstas no jogo anterior.

52.5.2.3.- Aprender a Codificar os Cartões a Partir da Tabela de Atributos 1.

O aplicador deve distribuir uma Tabela de Codificação dos Cartões #1 e #2 Monocromáticos explicado a sua forma de utilização tomando diversos cartões como exemplo, até que todos os jogadores entendam como fazê-lo;

TABELA DE CODIFICAÇÃ DOS CARTÕES #1 E #2 MONOCROMÁTICOS

NO #1: 45º

Triângulo Cinza

Cor da Faixa

Tamanho da Faixa

Posição da Faixa

e ou d

az, vm ou am

g, m, p

⊥, // ou ∅

#2: 135º Código sob a forma de N-upla ordenada: #n.triângulo cinza, cor, tamanho,posição

2. Os jogadores devem estar munidos de lápis ou caneta e papel (pelo menos a metade de uma folha do tamanho A4) para anotações; 3. O aplicador mostra um cartão e solicita que os jogadores anotem o código do mesmo; 4. Se necessário, deve-se utilizar um anteparo para que um jogador não veja o que o(s) outro(s) escreveram;

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#52 - Aury de Sá Leite

pág. 52.11

5. O aplicador deve corrigir os códigos, atribuindo um ponto para cada código escrito corretamente; 6. Vence o jogador que fizer mais pontos.

52.5.2.4.- Codificar os Cartões Sem utilização da Tabela de Atributos O Jogo anterior, mantidas as mesma regras, pode ser repetido outras vezes, mas agora sem o uso da tabela de Codificação.

52.5.2.5.- Selecionando Cartões a Partir de Mapas de Distribuição de Cores 1. Este é um jogo para um aplicador e um jogador; 2. No caso de mais jogadores, cada um deles deverá receber um conjunto com os 27 cartões e o mapa; 3. Embaralhar os 108 cartões e 27 deles para o jogador; 4. Apresentar impresso um Mapa de Distribuição de Cores ‘vazio’ que tenha somente os códigos dos cartões de um dado tipo, como por exemplo, o tipo 1.e, sem nele constar a cor am, az ou vm;

#1.e,cor,p,⊥

#1.e,cor,m,⊥

1.e,cor,g,⊥

#1.e,cor,∅

#1.e,cor,g,//

#1.e,cor,m,∅

#1.e,cor,m,//

1.e,cor,p,//

#1.e,cor,p,∅

5. O jogador deverá empilhar os cartões a ele entregues de acordo com os códigos, fica claro aqui que, por serem os 27 cartões extraídos dos 108 cartões previamente embaralhados, muitos cartões não irão se enquadrar no mapa acima. 6. O aplicador deve fazer quatro destes mapas a saber: para cartões do tipo #1.e, #1.d, #2e e #2.d, deixando-os disponíveis; 7. O mais interessante neste jogo é o diálogo entre o aplicador e o jogador, que verá justificar o porque de suas escolhas de alocação de cada um dos cartões.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#52 - Aury de Sá Leite

pág. 52.12

52.5.2.- Verificando os Eixos de Simetria em Desenhos Temos aqui um verdadeiro Jogo Livre de Regras muito estimulante que pode produzir desenhos muito interessantes, como mostramos abaixo. Os desenhos que utilizam de forma totalmente livre os 108 cartões Cartões Quadrado com Triângulos Tripartidos Monocromáticos podem nos reservar surpresas bastante interessantes no tocante à simetria ou não destes desenhos, que eventualmente podem apresentar-se com 1, 2 ou mais eixos de simetria.

Uma tarefa bastante interessante deixada para o leitor será a de tentar reproduzir os desenhos acima verificando se alguns deles é impossível com os 108 cartões.

52.5.3.- Jogo do Dominó das Diferenças A seguir vamos dar um exemplo de uma partida de dominó de uma diferença:

6 1

5 7

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#52 - Aury de Sá Leite

pág. 52.13

Confira a seguir cada uma das Jogadas: 1 → 2: #1.e,am,m,⊥ → #1.e,am,p,⊥ 2 → 3: #1.e,am,p,⊥ → #1.e,am,g,⊥ 3 → 4: #1.e,am,g,⊥ → #1.e,az,g,⊥ 4 → 5: #1.e,az,g,⊥ → #1.d,az,g,⊥ 5 → 6: #1.d,az,g,⊥ → #1.d,az,g,// 6 → 7: #1.d,az,g,// → #1.d,vm,g,// 7 → 8: #1.d,vm,g,// → #1.e,vm,g,// 8 → 9: #1.e,vm,g,// → #1.e,vm,m,// 9 → 10 → #1.d,vm,m,// → #2.e,vm,m,// 10→ →11 → #2.e,vm,m,// → #2.d,vm,m,⊥ 11→ →12 → #2.d,vm,m,⊥ → #2.e,vm,g,⊥ •

O que deve ser combinado antes de se iniciar o jogo é quanto ao sequenciamento ou não dos tamanhos das faixas (g, m e p) e de acordo com o seguinte ciclo:

•

No exemplo dado acima de uma partida do Dominó de Uma Diferença nós resolvemos adotar o ciclo de sequenciamentos dos tamanhos das faixas e mostramos nos três primeiros cartões um dos sequenciamentos possíveis de acordo com o ciclo proposto acima: m → p → g. Confira.

•

Observe que quanto aos demais atributos não existe nenhum tipo necessário de sequenciamento.

52.6.- Conclusões Estes 108 Cartões Quadrado com Triângulos Tripartidos Monocromáticos podem ser utilizados em jogos que o próprio leitor poderá criar à medida que ele possa compreender a partir dos Jogos Para o Pensamento Lógico até aqui sugeridos pelo autor. Por exemplo, um jogo que exatamente pode ser pensado e jogado pelo leitor é o Dominó das Duas Diferenças. Ainda se pode pensar sobre os cartões simetricamente equivalentes criando-se um jogo a partir desta particularidade – a simetria –, como por exemplo: #1.e,am,m,⊥ ↔ #2.d,am,m,⊥,

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#52 - Aury de Sá Leite

pág. 52.14

Veja os catões simetricamente equivalentes acima listados:

#1.e,am,m,⊥ ↔ #2.d,am,m,⊥ Veja outros catões simetricamente equivalentes:

#1.d,vm,g,// ↔ #2.e,vm,g,//

#1.d,az,g,∅ ↔ #2.e,az,g,∅

#2.d,vm,p,⊥ ↔ #1.e,vm,p,⊥

Poder-se-ia pensar aqui num jogo do tipo ‘Mico’ ou Resta Um, usando estes pares de cartões, em que eles devam ser casados em termos de simetria. O conjunto de cartões deve apresentar-se com diversos pares de cartões simétricos (no mínimo 10 pares – 20 cartões, no caso de 4 jogadores), sendo que deve-se acrescentar a este conjunto mais um cartão que não tenha o seu correspondente simétrico (10 pares + um cartões qualquer). O jogo é como o jogo de baralhos em que após a distribuição das ‘cartas’ os jogadores formam os pares e os baixam sobre a mesa, em seguida, o primeiro jogador deve comprar do jogador seguinte – sem ver a face dos cartões –, um cartão dentre aqueles apresentados por este. Perde o jogo quem ficar, no final, com o cartão desemparelhado – o ‘Mico’ ou o ‘Resta Um’.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#53 - Aury de Sá Leite

pág. 53.1

JLOGC#53 - JOGOS PARA O PENSAMENTO LÓGICO Nº 53 O 3-Minós-b + 4-Minós-b Com Quatro Cores Neste JLOGC iremos apresentar os 3-Minós e os 4-Minós com 4 cores. Adotaremos inicialmente, uma codificação numérica que irá de forma bastante prática facilitar a forma de coloração dos triângulos nos 3-Minós – Módulo #3.1, bem como dos triângulos e quadrados nos dois módulos distintos dos 4-Minós, respectivamente Módulos #4.1 e #4.2.

53.1.- Os Módulos Básicos Os módulos do jogo ‘3-Minós + 4-Minós’ com quatro cores são os seguintes: a) O módulo dos 3-Minós que tem para código: ‘#3.1-b’ é um triângulo equilátero com 5 cm de lado, dividido em triângulos obtusângulo; b) O módulo dos 4-Minós que têm os seguintes códigos: ‘#4.1-b’ e ‘#4.2-b’ são respectivamente um quadrado com 5 cm de lado dividido em 4 triângulos e um quadrado com 5 cm de lado dividido em 4 quadrados. Deve-se observar que o código #m.n-b deve ser entendido da seguinte forma: m = quantidade de divisões, n = 1 quando as divisões forem triângulos e n = 2 quando as divisões forem quadrados, a letra b significa que o centro das figuras – um círculo – é branco.

Módulo #3.1-b

Módulo #4.1-b

Módulo #4.2-b

Chamamos a atenção do leitor para a presença, nestes módulos, de um círculo cujo interior será mantido na cor branca. Esta escolha tem a finalidade de diferenciar estes dominós, os ‘3-Minós-b + 4Minós-b’ com quatro cores do ‘3-Minós-p + 4-Minós-p’ com três cores, que será apresentado no próximo JLOGC onde os módulos são praticamente os mesmos, mas com os círculos centrais

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#53 - Aury de Sá Leite

pág. 53.2

inteiramente pintados de preto, por isto a letra p (preto) adicionada ao código ao invés da letra b (brancos).

53.1.1.- Colorindo os Módulos Básicos Abaixo mostramos alguns exemplos dos módulos coloridos usando as cores: azul (az), vermelho (vm), amarelo (am) e verde (vd). O que teremos que estudar em detalhe é como colorir o Módulo #3.1 de modo a utilizar as 4 cores em apenas três das regiões triangulares.

Módulos #3.1-b

Módulo #4.1-b

Módulo #4.2-b

53.2.- Numerando as Regiões Que Receberão as Quatro Cores A figura abaixo mostra uma das possibilidades de numeração das regiões que receberão as quatro cores (azul, vermelho, amarelo e verde). No entanto esta numeração terá que ser modificada segundo critérios que mostraremos a seguir.

2 1

3 4

53.2.1.- As Possibilidades de Numeração dos Módulos Temos que calcular todas as possibilidades de colorimento dos diversos módulos a fim de que as cores sejam distribuídas de forma a criar um código de numeração que permita a distribuição das cores gerando somente cartões distintos entre si.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#53 - Aury de Sá Leite

pág. 53.3

53.2.1.1.- Calculando Todas as Possibilidades de Numeração do Módulo #3.1-c No caso dos módulos triangulares as 4 cores serão distribuídas em apenas 3 regiões de acordo com uma Combinação das 4 cores tomadas 3 a 3, cujo cálculo é o seguinte: C4,3 =

4 × 3× 2 = 4 . Os 3 × 2 ×1

resultados da C4,3 são as seguintes ternas não ordenadas: {1,2,3}; {1,2,4}, {1,3,4} e {2,3,4}. A partir das ternas não ordenadas: {1,2,3}; {1,2,4}, {1,3,4} e {2,3,4} é que irmos calcular as possibilidades de distribuir cada um destes conjuntos numéricos nos 3-Minós. O cálculo é o seguinte: uma permutação Circular de 3 elementos: PC3 = (3-1)! = 2! = 2 × 1 = 2. Mostramos no próximo item todas as oito possibilidades colorimento dos triângulos do módulo básico #3.1 obtida pelo produto C4,3 × PC3 = 4 × 2 = 8.

53.2.1.2.- Cálculo da Possibilidades de Numeração dos Módulos #4.1-b e #4.2-b No caso dos módulos quadrados as cores serão distribuídas de através da uma Permutação Circular de 4 elementos: PC4 = (4-1)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6, o que será mostrado mais à frente.

53.2.1.- Os 3-Minós-b Numerados

2 4

123 e 132

4 3

134 e 143

4 2

124 e 142

3 4

4 3

234 e 243

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#53 - Aury de Sá Leite

pág. 53.4

53.2.2.- Os 3-Minós-b Coloridos Estabelecemos aqui a seguinte correspondência ‘números × cores’: 1 ↔ az , 2 ↔ vm, 3 ↔ am e 4 ↔ vd, e mostramos como calcular e gerar os 3-Minós coloridos.,onde PC{a,b,c} = {(a,b,c),(a,c,b)} representam o conjunto das permutações circulares de 3 elementos {a,b,c}.

PC{1,2,3} = {(1,2,3),(1,3,2)}

↔ PC{az,vm,am}={(az,vm,am),(az,am,vm)}

PC{1,2,4} = {(1,2,4),(1,4,2)}

↔ PC{az,vm,vd}={(az,vm,vd),(az,vd,vm)}

PC{1,3,4} = {(1,3,4),(1,4,3)}

↔ PC{az,am,vd}={(az,am,vd),(az,vd,am)}

PC{2,3,4} = {(2,3,4),(2,4,3)}

↔ PC{vm,am,vd}={(vm,am,vd),(az,vd,am)}

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#53 - Aury de Sá Leite

pág. 53.5

53.2.3.- Os 4-Minós-b Numerados A quantidade de 4-Minós de cada tipo #4.1-b ou #4.2-b é dada pelo seguinte cálculo: PC4= (4-1)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6. Os resultados da PC4 são as seguintes quadras ordenadas: (1,2,3,4), (1,2,4,3), (1,3,2,4), (1,3,4,2), (1,4,2,3).

53.2.3.1.- 4-Minós Módulo #4.1-c

2 1

2 3

1234 e 1243

4 2

1324 e 1342

1423 e 1432 53.2.3.2.- 4-Minós Módulo #4.2-b

1234 e 1243

1324 e 1342

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#53 - Aury de Sá Leite

pág. 53.6

1423 e 1432 53.2.4.- Os 4-Minós Coloridos #4.1-b e #4.2-b Os 4-Minós coloridos serão obtidos através das seguintes correspondências biunívocas (número × cores):

1 ↔ az; 2 ↔ vm; 3 ↔ am e 4 ↔ vd.

53.2.4.1.- Os 4-Minós Coloridos #4.1-b

1234 e 1243

1324 e 1342

1423 e 1432 53.2.4.2.- Os 4-Minós Coloridos #4.2-b

1234 e 1243

1324 e 1342

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#53 - Aury de Sá Leite

pág. 53.7

1423 e 1432 53.4.- Jogos Para o Pensamento com o 3-Minós-b + 4-Minós-b Os cartões 3-Minós-b (8 cartões distintos) e os cartões 4-Minós-b Modelo #4.1.b (6 cartões distintos) e Modelo #4.2-b (6 cartões distintos) são conjuntos destinados praticamente aos Jogos dos Dominos de casamento de padrões (casamento de cores). O que propomos, pelo menos num primeiro instante, é que os jogadores dupliquem estes cartões obtendo respectivamente 16, 12 e 12 cartões, isto fará com que a maioria dos jogos a seguir proposto se tornem muito mais fáceis.

53.4.1.- Dominó de Casamento de Padrões com o 3-Minós-c O exemplo a seguir nos mostra que facilmente podemos acoplar os 3-Minós-b através do casamento de cores, como mostrado a seguir:

+ + +

...

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#53 - Aury de Sá Leite

pág. 53.8

53.4.2.- O 4-Minós-b #4.1-b: o Dominó de Casamento de Padrões

+ ... 53.4.3.- O 4-Minós-b #4.2-b: o Dominó de Casamento de Padrões

+ .. . 53.4.4.- Casamentoentre os 3-Minós-b e os 4-Minós-b #4.1-b Não há maneiras de casar os cartões 4-Minós-b #4.1-b com os cartões #4.2-b, mas o jogo mais apropriado de casamentos de cartões usando dois destes 3 tipos de cartões, se dará entre os 3-Minós-b e os 4-Minós-b #4.1-b, como mostrado a seguir.

+ + + ... ...

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#53 - Aury de Sá Leite

pág. 53.9

53.4.5.- Jogos Experimentais 53.4.5.1.- Quadrados com os 4-Minós-b Cujas Cores dos Lados se Casam Este jogo se torna mais fácel se duplicarmos os 6 cartões do tipo 4-Minós-b #4.1-b, e #4.2-b. Confira a seguir nos dois exemplos a seguir se utilizamos somente os 6 cartões distintos entre si ou se utilizamos o conjunto com 12 cartões advindo da duplicação daqueles 6 cartões.

53.4.5.2.- Hexágonos os 3-Minós-b Cujas Cores dos Lados se Casam A figura a seguir mostra o contorno de um hexágono a ser preenchido com os cartões do tipo 3Mínós. Repito aqui que se duplicarmos estes carões, obtendo 16 deles, o nosso trabalho de formar um hexágono com casamentos de padrões adequados, se tornará mais fácil. O interessante seria tentar faer isto com apenas os 8 cartões exatamente distintos entre si.

53.5.- Comentários Finais Os cartões estudados neste JLOGC foram um micromundo muito interessante em que os cartões, apesar de terem muitos detalhes coincidentes como a medidas dos lados e as cores , não

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#53 - Aury de Sá Leite

pág. 53.10

apresentam uma conexão mediante o casamento direto doslados e de cores, mas podem ser conectados de alguma forma não prevista, apenas pelas cores, como mostramos a seguir:

Estude as conexões mostradas no exemplo acima e verifique, que apesar de não serem conexões usuais quando se trata de casamento de padrões: igualdade entre as medida dos lados + igualdade das cores, em particular neste conjuto de cartões 3-Minós-b + 4-Minós-b com Quatro Cores,

nos permite estabelecr uma interligação entre os diversos cartões deste micromundo.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#54 - Aury de Sá Leite

pág. 54.1

JLOGC#54 - JOGOS PARA O PENSAMENTO LÓGICO Nº 54 O 3-MINÓS-P + 4-MINÓS-P COM TRÊS CORES Neste JLOGC vamos estudar os mesmos tipos de dominós – o 3-Minós + 4-Minós – somente que agora adotando apenas três cores para o colorimento dos mesmos. Realçamos que a numeração em substituição às respectivas cores será um forte elemento na orientação na aplicação das cores dos dominós. A quantidade de cartões distintos que poderão ser criados é somente um pouco maior do que aqueles criados no JLOGC anterior (num total de 20 cartões distintos ‘b’ versus 26 cartões distintos ‘p’ - veja que houve um aumento relativo de 30% na quantidade de cartões).

54.1.- Os Módulos Básicos do 3-Minós-p e do 4-Minós-p Os módulos do jogo ‘3-Minós-p + 4-Minós-p’ com três cores são praticamente os mesmos do JLOG anterior com apenas um diferencial: os círculos centrais dos módulos deixam de ser uma circunferência com o interior branco, para passarem a ser circunferências com a borda e o centro em preto (p). O leitor deve notar que os códigos adotados no JLOGC são também mantidos.

Módulo #3.1-p

Módulo #4.1-p

Módulo #4.2-p

54.2.- Numerando as Regiões Que Receberão as Três Cores Os módulos deverão ser coloridos usando as cores: azul (az), vermelho (vm) e amarelo (am). A figura abaixo mostra as regiões que receberão as três cores (azul, vermelho e amarelo) sendo que a região que recebeu o número 4 nos módulos quadrados deverá receber a repetição de uma das três cores.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#54 - Aury de Sá Leite

pág. 54.2 2

1 1

2 4 3

As regiões numeradas como 4 irão receber a repetição de uma das três cores (az, vm ou am), fato este que cria a necessidade de repetir as cores também no Módulo #3.1-p, o que será mostrado a seguir, primeiramente através da numeração e em seguida agraves das cores.

54.2.1.- Os 3-Minós Numerados Conforme foi dito acima, a numeração acima adotada para os 3-Minós-p, não é suficiente para expressar todas as possibilidades das distribuições destas 3 cores com uma ou duas repetições de uma mesma cor, por isto mostramos abaixo todas as possibilidades de numeração dos triângulos.

2 2

3 3

1 1

3 3

1 1

2 2

54.2.1.1.- Os Oito 3-Minós-p Coloridos Estabelecemos aqui a seguinte correspondência 'números×cores’: 1 ↔ az , 2 ↔ vm e 3 ↔ am.

O critério para a criação destes outros seis 3-Minós-p é o da repetição de uma das cores. Para conferir isto, veja que cada 3-Minó-p foi basicamente a criação de peças com duas cores e a escolha de uma segunda cor distinta da anterior, ou seja:

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#54 - Aury de Sá Leite

pág. 54.3

•

Dois triângulos azuis e o terceiro ora vermelho, ora amarelo;

•

Dois triângulos vermelhos e o terceiro ora azul, ora amarelo;

•

Dois triângulos amarelos e o terceiro ora azul, ora vermelho;

Confira na figura abaixo se o critério foi corretamente aplicado:

54.2.2.- Os 4-Minós-p Numerados A numeração dos 4-Minós-p #4.1-p e #4.2-p é mostrada abaixo em todas as suas possibilidades. O cálculo da quantidade de possibilidades é dada por PC4 = (4-1)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6, no entanto, iremos mostrar que, esta numeração irá produzir 4-Minós-p idênticos dois a dois (realçados na cor verde), sendo que os 3 dominós que figuram a seguir são os exatamente aqueles distintos entre si. Dominós idênticos dois a dois:

2 1

3 4

2 1

Dominós distintos entre si:

2 1

2 3

3 4

2 3

2 4

4 1

3 2

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#54 - Aury de Sá Leite

pág. 54.4

Dominós idênticos dois a dois:

Dominós distintos entre si:

54.2.2.1.- Dominós Coloridos usando-se a cor az para colorir a região 4 Dominós idênticos dois a dois:

Dominós distintos entre si:

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#54 - Aury de Sá Leite

pág. 54.5

Dominós idênticos dois a dois:

Dominós distintos entre si:

54.3.- Todos os Dezoito 4-Minós-p Coloridos A região ‘4’ nos seis 4-Minós-p mostrados acima deverá ser colorida a cada vez usando-se uma das três cores, conforme mostrado a seguir. Seja adotar: região 4 ↔ az

Seja adotar: região 4 ↔ vm

Seja adotar: região 4 ↔ am

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#54 - Aury de Sá Leite

54.4.- O Total de 3-Minós-p e de 4-Minós p 54.4.1.- Os Oito 3-Minós-p

54.4.2.- Os Nove 4-Minós-p Modelo #4.1-p

54.4.3.- Os Nove 4-Minós-p Modelo #4.2-p

pág. 54.6

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#54 - Aury de Sá Leite

pág. 54.7

54.5.- Jogos Para o Pensamento Fica claro que este conjunto de cartões, o 3-Minós-p + 4-Minós-p, será bastante apropriado para que joguemos, também com eles, os jogos sugeridos para os para os cartões 3-Minós-b + 4Minós-b, visando estabelecer comparações entre o primeiro o segundo conjunto de cartões, verificando se cada um daqueles jogos propostos o JLOGC anterior se torna mais fácil ou mais difícil. Além disto, poderemos trabalhar com 46 cartõe, resultado da junção dos 20 cartões 3-Minós-p + 4-Minós-p com os 26 cartões 3-Minós-p + 4-Minós-p, retomando os jogos sugeridos no JLOGC anterior. Oleitor mais interessado poderá a partir destas experiências aqui sugeridas recriar algumas das regras dos jogos sugeridos ou mesmo criar novas regras, bem como tentar criar seus próprios jogos, distintos dos jogos até aqui sugridos.

54.6.- Conclusão O carater experimental do eu se propôs no item acima vai de encontro à ideia deste nosso trabalho: o da possibilidade de Jogar e aprender com os Jogos Para o Pensamento LógicoMatemáticos. Mãos à obra, caro leitor.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#55 - Aury de Sá Leite

55.1

JLOGC#55 - JOGOS PARA O PENSAMENTO LÓGICO Nº 55 CARTÕES COM RELEVO #1 CARTÕES COM TRÊS FIGURAS GEOMÉTRICAS Este é mais um Jogo Para o Pensamento Lógico em que cartões quadrados, medindo 4,2 cm de lado, apresentam conjuntos de figuras – três quadrados ou três círculos – em que se podem distinguir estas figuras (quadrados ou círculos), não somente pelas cores, mas pela sobreposição virtual de uma destas figuras com relação às duas outras sendo este um diferencial com relação aos cartões lógicos estudados anteriormente. Outro diferencial é que estes cartões irão se constituir num Micromundo que é um subconjunto do Micromundo constituído pelo conjunto dos cartões Modelo #2 que estudaremos no próximo JLOGC.

55.1.- Sobre os Modelos Básicos #1, #2 e #3 O nosso objetivo nestes três JLOGCs (#42, #43 e #44) é a geração três grandes conjuntos de cartões que se constituirão em Micromundos integrados de alguma forma bastante ampla e diversificada. A integração entre estes Micromundos não é trivial, ou seja, ela não observável de maneira imediata, sendo que ela se apresenta propositalmente com algumas complexidades até bastante notáveis. Estes três Micromundos recebem os nomes: Cartões-Relevo com Três Figuras (Modelo #1); Cartões-Relevo com Quatro Figuras (Modelo #2) e Cartões-Relevo com Cinco Figuras (modelo #3).

55.1.1.- Sobre a Codificação dos Cartões-Relevo Os Modelos Básicos dos Cartões-Relevo com Três, Quatro ou Cinco Figuras são mostrados a seguir. Eles são cartões quadrados medindo 4,2 cm de lado, cujos desenhos correspondem a um conjunto de quadrados (código: Q) ou de círculos (código C), dispostos de maneira bastante característica, ou seja, na diagonal (código: D) ou na horizontal (código: H) do cartão. A ideia é eu cada um dos modelos de cartão (#1, #2 ou #3) podem ser referenciado por um código, códigos estes que se mostrarão muito úteis quando dos Jogos Para o Pensamento Lógico a serem propostos mais à frente. Os códigos apresentados abaixo para cada um dos modelos de cartões é ainda parcial, devendo ser ampliado para conter mais algumas informações diferenciais destes modelos de cartões.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#55 - Aury de Sá Leite

55.2

55.1.2.- Os Cartões-Relevo com Três Figuras ou Modelo #1 Como foi afirmado, os Cartões-Relevo com Três Figuras (Modelo #1) Modelo #1, irão receber ainda mais alguns códigos, a saber: sobre eles estarem desenhados em cartões com fundo branco (código: b) ou hachurado (código: h); sobre a cor da figura central (az, vm ou am) e sobre a cor da figura que aparentemente está em relevo no desenho dos três quadrados ou dos três círculos (az, vm ou am).

TABELA DE CODIFICAÇÃO DOS CARTÕES #1 No

Formas

Posições

Quadrado: Q Diagonal: #1

Círculo:

Cores do Fundo

Figura central

D Fundo Branco:

b az, vm, ou am Horizontal: H Fundo Hachurado: h

Código sob a forma de N-upla ordenada:

Figura em relevo az, vm, ou am

#1.FormaPosiçãoFundo,Central,Relevo

Modelo #1.QDb

Modelo #1.QHb

Modelo #1.CDb

Modelo #1.CHb

Modelo #1.QDh

Modelo #1.QHh

Modelo #1.QDh

Modelo #1.QHh

55.1.3.- Os Cartões-Relevo com Quatro Figuras ou Modelo #2 Os Modelos Básicos dos Cartões-Relevo com Quatro Figuras serão estudados no JLOGC#43, a seguir. Eles são cartões quadrados medindo 5 cm de lado cujos desenhos correspondem a um conjunto de 3 quadrados e um retângulo ou de 3 círculos e uma elipse, dispostos de maneira bastante

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#55 - Aury de Sá Leite

55.3

característica. O leitor mais atento irá perceber que os desenhos dos cartões de #2 correspondem aos desenhos dos cartões #1, mediante o acréscimo de um retângulo ou de uma elipse.

Tabela de Codificação dos Cartões #2 No

Formas

Quadrado: Q Círculo: C

Posições

Cores do Fundo

Diagonal: D Horizontal: H

Fundo Branco: b Fundo Hachurado: h

Figura central

Figura em relevo

Nível figura cinza

az, vm, ou am

az, vm, am ou Ø

1, 2 ou 3

Código sob a forma de N-upla ordenada: #2.FormaPosiçãoFundo,central,relevo,nível

O leitor deve atentar para o seguinte: quando não se puder indicar qual das figuras estará em relevo, o símbolo ‘∅’ será utilizado, fato este que será estudado no JLOGC#45, a seguir.

Modelo #2.QDb

Modelo #2.QHb

Modelo #2.CDb

Modelo #2.CHb

Modelo #2.QDh

Modelo #2.QHh

Modelo #2.CDh

Modelo #2.CHh

55.1.3.- Os Cartões-Relevo com Cinco Figuras ou Modelo #3 Os Modelos básicos dos Cartões Com Sobreposição de Peças #3 são mostrados abaixo. Eles são cartões quadrados medindo 5 cm de lado cujo desenho na face corresponde a um conjunto de 5 quadrados ou de 5 círculos, dispostos de maneira bastante característica, como mostrado abaixo:

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Modelo Básico #3QH

Modelo Básico #3QD

55.4

Modelo Básico #3CH

Modelo Básico #3CD

55.2.- Estudado os Cartões Modelo #1 Além dos atributos (qualidades) tais como Q ou C, D ou H, e b ou h, mostradas acima, vamos acrescentar outras duas novas qualidades: as cores – azul, amarela e vermelha – e a posição relativa dos desenhos nos cartões: um desenho destacado (em relevo), simulando que ele está no primeiro plano com relação aos outros dois.

55.2.1.- Os Cartões #1 Quanto ao Relevo de Uma das Figuras Uma característica notável dos desenhos que aparecem nos Cartões #1, é que a cada momento um dos quadrados ou círculos é trazido virtualmente ‘para frente’ dos demais, ou seja, aparece sobreposto às duas outras figuras como se estivesse em relevo, como mostram as seguintes figuras.

Modelos #1.QDb #1.QDh com as sobreposições de um dos quadrados

Modelos #1.QHb e #1.QHh com as sobreposições de um dos quadrados

Modelos #1.CDb e #1.CDh com as sobreposições de um dos círculos

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55.5

Modelos #1.CHb e #1.CHh com as sobreposições de um dos círculos

552.2.- As Características dos Cartões #1 Quanto às Cores Escolhemos 3 cores distintas entre si para colorir as figuras desenhadas nas faces dos cartões, quadrados ou círculos, a saber: azul, amarelo e vermelho, sendo que estas cores serão distribuídas através de uma permutação parcial, calculada da seguinte forma: 3×

P3 3 × 2 ×1 =3× = 9. 2 2

55.2.3.- O Conjunto de Todos os Cartões #1 A quantidade de cartões que podem ser gerados com os cartões #1 com fundo branco é de exatamente 36 cartões distintos. No entanto, eles podem ser duplicados, mediante a adoção de uma nova cor para o fundo – hachurado –, quando então obteremos 72 cartões dos cartões. No CD-R que acompanha o livro o leitor irá encontrar um arquivo que permitirá imprimir todos estes cartões.

55.2.4.- Os 72 Cartões #01 55.2.4.1.- Modelo #1.QD: 9 cartões duplicados uma vez = 18 cartões

Modelo #1.QDb

Modelo #1.QHh

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55.6

Note que o primeiro e o terceiro dos cartões do Modelo #1.Q e #1.C são idênticos quando sem as cores, mas quando eles forem coloridos, esta identidade desaparecerá. Veja um exemplo que mostra isto, ou seja, o terceiro cartão do grupo ao ser girado de 180o, quando ainda não recebeu as cores, mantém a mesma estrutura que aparece no primeiro dos cartões, mas quando ele recebe as cores, o primeiro e o terceiro dos cartões do grupo passam a ser distintos. Cartões idênticos

Cartões distintos

55.2.4.2.- Modelo #1.QH: 9 cartões duplicados uma vez = 18 cartões

Modelo #1.QHb

Modelo #1.QHh

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55.7

55.2.4.3.- Modelo #1.CD: 9 cartões duplicados uma vez = 18 cartões

Modelo #1.CDB

Modelo #1.CHA

55.2.4.4.- Modelo #1.CH: 9 cartões duplicados uma vez = 18 cartões

Modelo #1.CHB

Modelo #1.CHA

55.2.5.- Sobre o Código Completo de Cada Cartão #1 Os cartões #1 podem ser classificados de maneira unívoca através do seguinte código que contém mais cinco informações além do número que caracteriza o Modelo do cartão (#1), a saber:

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55.8

2. Formas: Q (quadrado) ou C (círculo); 3. Posições: D diagonal) ou H (horizontal; 4. Cores do fundo: branco (b) ou hachurado preto (h). 5. Cor da figura central no desenho: az (azul), am (amarela) ou vm (vermelha); 6. Cor da figura em relevo no desenho: az (azul), am (amarela) ou vm (vermelha). Abaixo apresentamos sob a forma de uma tabela as propriedades (atributos) acima estabelecidas. Esta tabela deverá ser impressa e ser utilizada pelos jogadores até que a memorizem.

TABELA DE CODIFICAÇÃO DOS CARTÕES #1 No

Formas Quadrado: Q

Círculo:

Posições Diagonal:

Cores do Fundo

Figura central

D Fundo Branco:

b az, vm, ou am Horizontal: H Fundo Hachurado: h

Código sob a forma de N-upla ordenada:

az, vm, ou am

#1.FormaPosiçãoFundo,Central,Relevo

55.2.5.1.- Alguns Exemplos de codificação dos Cartões #1.Q e #1.C

#1.QDb,vm,az

Figura em relevo

#1.QDb,vm,vm

#1.QDb,vm,am

#1.QDh,az,vm

#1.QDh,az,az

#1.QDh,az,am

#1.QHh,am,az

#1.QHb,am,am

#1.Qb,am,vm

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55.9

#1.CDb,vm,vm

#1.CDh,vm,az

#1.CHh,am,am

#1.CHh,vm,vm

#1.CDb,az,az

#1.CDh,am,az

55.3.- Jogos Para o Pensamento com os Cartões #1 O leitor que não tenha acompanhando desde o início o texto deste livro (‘Jogos Lógicos Para o Pensamento Lógico-Matemático’) poderá se dirigir ao JLOGC#01 onde irá encontrar muitas ideias que permitirão criar seus próprios jogos. No entanto, nós iremos sugerir alguns Jogos Para o Pensamento bastante simples, a seguir.

55.3.1.- Jogos Livres: Jogo da Descoberta de Atributos Estes jogos livres sem regras devem ser observados pelo educador, mas sem a sua interferência direta. Em alguns casos o educador poder dar pistas, sem tentar influenciar o ‘jogador’. a) Jogo Livre #01: Jogar com todos os 72 (com fundo branco e fundo cinza) Este é o jogo a ser realizado com os 72 cartões #1, que deverão ser entregues ao ‘jogador’ bem embaralhados. Espera-se que pelo menor o jogador consiga separá-los pela cor dos fundos: branco ou hachurado (cinza). Mas é bem provável que outros atributos possam ser conseguidas pelos jogadores mais habilidosos. No entanto se nada for descoberto, os jogos a seguir devem ser propostos pelo educador, orientando o processo, sem no entanto dirigi-lo. b) Jogo Livre #02: Jogar com os 36 cartões de fundo branco. Tomar os cartões de fundo branco e tentar separá-los em dois grupos, a saber, deve-se esperar que o ‘jogador’ consiga distinguir os cartões #1.Q dos cartões 1.C., separando-os em dois conjuntos – esta é uma partição no conjunto dos cartões de fundo branco.

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55.10

c) Jogo Livre #03: Jogo da Correspondência Biunívoca Jogar com os cartões #1.Q_b e #1.C_b, ou então com #1.Q_a e #1.C_a, buscando aquele que sejam correspondentes, apesar das formas dos desenhos (quadrados ou círculos) que possuam as cores e a figura sobreposta em uma correspondência biunívoca1. Neste caso será permitido ao educador explicar o que é uma correspondência biunívoca entre elementos de dois conjuntos distintos que mantenham algum tipo de semelhança, de um para outro, entre os seus elementos. Exemplo com os cartões #1.Q-b e #1.C-b:

#1.QHb,am,am

Exemplo com os cartões #1.Q-a e #1.C-a:

#1.QDh,az,vm

d) Jogo Livre #04: Jogar com todos os 72 cartões Jogar com todos os 72 cartões, buscando aqueles que sejam correspondentes, independente do fundo, mas que conservem as mesmas posições: D ou H e as cores da figura central e da figura em relevo. Exemplo com os cartões #1.QD_,_,_ e #1.CD_,_,_:

correspondência biunívoca: diz-se da relação, ou da correspondência, entre dois conjuntos, em que cada elemento do primeiro conjunto corresponde a apenas um elemento do segundo, e vice-versa.

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#1QDh,az,am

#1QDb,az,am

55.11 #1CDh,az,am

#1CDb,az,am

Exemplo com os cartões #1.QH_,_,_ e #1.CH_,_,_:

#1QHh,az,am

#1QHb,az,am

#1CHh,az,am

#1CHb,az,am

Jogo Livre #05: Jogar com todos os 72 Cartões Jogar com todos os 72 cartões, buscando aqueles que sejam correspondentes, independente do fundo, da posição D ou H, mas que conservem a cor da figura central e a cor da figura em relevo. Os oito cartões abaixo satisfazem às condições acima. Todos os 8 cartões têm fundos b ou h, as figuras são Q ou C e as posições H ou D, somente conservando a cor central e a cor em relevo.

Cartões que só conservam a cor da figura central e a cor da figura em relevo e) Jogo Livre #06: Criar Seus Próprios Jogos Analise e escolha trabalhar com os atributos que figuram nos 36 ou 72 cartões: Q/C, D/H, b/a, cor central, cor em relevo, e solicitar que os cartões sejam selecionados só um ou mais atributos, ou pela negação de um ou mais atributos: 1. Cartões com a figura central de uma mesma cor (escolher apenas uma entre as cores: azul, vermelha ou amarela); 2. Cartões com a figura central de uma ou outra cor (escolher duas entre as cores: azul, vermelha ou amarela); 3. Repetir os jogos 1 e 2 trocando ‘figura central’ pode ‘fiura em relevo’; 4. Cartões com as figuras centrais e em relevo com a mesma cor; 5. Cartões do tipo D com centro e relevo iguais. 6. Cartões em que as figuras centrais e em relevo não coincidam;

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55.12

7. Cartões não D e não b; 8. Cartões não H, não b, e cuja figura centra não seja az; 9. Cartões cujas figuras centrais não sejam az nem am.

55.3.2.- O Jogo de Análise dos Atributos2 dos Cartões #1 Para jogadores mais velhos ou mais experientes, os jogos livres acima apresentados podem ser pulados, sendo que o educador deve distribuir todos os 72 cartões bem embaralhados e solicitar que o jogador faça uma análise dos cartões quanto aos atributos dos mesmos. Este deve ser uma ação interativa entre o educador e o jogador, onde se deve evitar ao máximo a intervenção do educador, sendo com que ele a faça apenas quando estritamente necessário.

55.3.3.- O Jogo: Dominó das Diferenças O Dominó das diferenças é um interessante jogo que exige dos jogadores um grau de atenção bastante alto. Normalmente, pode envolver de dois até quatro jogadores, muitas vezes exigindo a presença de um educador para validar ou não uma dada jogada quando surgem dúvidas sobre a validade da mesma. O dominó das diferenças como o próprio nome diz não é um dominó onde se pretende realizar casamentos de figuras ou valores idênticos, mesmo porquê isto seria impossível com cartões que são absolutamente distintos uns dos outros. O Dominó das Diferenças pode ser jogado a partir de ‘uma’ diferença até o total de atributos que existam nos elementos existentes daquele Micromundos. No nosso caso, com os Cartões com Sobreposição de Figuras #1 podemos jogar o Dominó das diferenças dede 1 até 5. A seguir vamos mostrar alguns exemplos de Jogos em que podemos estabelecer a quantidade de diferenças a serem levadas em conta para que sejam válidos os casamentos entre os cartões. O leitor irá observar que a sequencia de jogadas do dominó são numeradas de forma sequencial a partir de ‘1’ e as etapas, de um para outro cartão, são descritas através da codificação de cada um dos cartões , bem como as diferenças são realçadas em negrito colorido.

atributos: características, qualitativas ou quantitativas, que identifica um membro de um conjunto observado, no nosso caso: a cor do fundo de cada uma dos cartões; a sequência ou ordem de distribuição das cores; das três figuras, qual aparece sobreposta à demais..

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55.13

55.3.3.1.- Dominó de Uma Diferença No dominó de Uma Diferença, como nossos cartões possuem cinco atributos, o leitor deverá notar que para cada uma diferença existirão quatro atributos idênticos de um cartão para outro. Este tipo de contagem de diferenças e identidades são válidos para os demais jogos com duas diferenças/três identidades, três diferenças/duas identidades, quatro diferenças/uma identidade e cinco diferenças/nenhuma identidade. a) Jogo #01: Jogar com todos os 36 (escolher o fundo branco ou fundo hachurado) Vamos propor a escolha dos 36 cartões com fundo branco.

Análise das Etapas deste Jogo:

1/2

de QDb,vm,az para CDb,vm,az

2/3

de CDb,vm,az para CHb,vm,az

3/4

de CHb,vm,az para CHb,vm,vm

4/5

de CHb,vm,vm para QHb,vm,vm

5/6

de QHb,vm,vm para QHb,vm,am

6/7

de QHb,vm,am para CHb,vm,am

7/8

de CHb,vm,am para CHb,az,am

8/9

de CHb,az,am para QHb,az,am

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55.14

b) Jogo #02: Jogar com todos os 72 (com fundo branco e fundo hachurado) c) 1

4 14

Anรกlise das Etapas deste Jogo:

1/2

de QDb,vm,az para QDb,vm,vm

2/3

de QDb,vm,vm para CDb,vm,vm

3/4

de CDb,vm,vm para CDh,vm,vm

4/5

de CDh,vm,vm para CHh,vm,vm

5/6

de Chh,vm,vm para CDb,vm,vm

6/7

de CHb,vm,vm para CHb,vm,am

7/8

de CHb,vm,am para CHb,vm,az

8/ 9

de CHb,vm,az para CDb,vm,az

9 / 10

de CDb,vm,az para CDh,vm,az

10 /11

de CDh,vm,az para QDh,vm,az

11 / 12

de QDh,vm,az para QHh,vm,az

12 / 13

de QHh,vm,az para QHb,vm,az

13 / 14

de QHh,vm,az para QHb,az,az

14 / 15

de QHb,az,az para QHh,az,az

15 / 16

de QHh,az,az para QHh,az,vm

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55.15

55.3.3.2.- Dominó de Duas Diferenças

6 8

Análise das Etapas deste Jogo:

1/2

de QDb,vm,az para CDh,vm,az

2/3

de CDh,vm,az para CHb,vm,az

3/4

de CHb,vm,az para CDb,vm,vm

4/5

de CHb,vm,vm para QHb,vm,az

5/6

de QHb,vm,vm para QHh,vm,az

6/7

de QHh,vm,az para CHh,vm,am

7/8

de CHh,vm,am para QHb,vm,vm

8/ 9

de QHb,vm,vm para QHh,vm,az

9 / 10

de QHh,vm,az para CHh,am,az

10 /11

de CHh,am,az para CHb,am,am

11 /12

de CHb,am,am para CDb,am,vm

55.3.3.3.- Dominó de Três, Quatro e Cinco Diferenças ao Mesmo Tempo Para simplificar as nossas ideias, vamos juntar todas as possibilidades de se jogar o Dominó das diferenças com uma, duas, três, quatro e cinco diferenças numa única partida. A seguir vamos mostrar um exemplo de jogo em que se usa um dado hexaédrico (6 valores) para jogar a partida de Dominó das Diferenças, sendo que o número obtido no lançamento do dado serve de referência para a quantidade de diferenças a serem computadas naquela jogada. No caso do

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55.16

jogador obter o número 6, ele deve lançar novamente o dado até obter um dos valores válidos, desde 1 até 5.

6 8

Análise das Etapas deste Jogo:

1/2

de QDb,vm,vm para CDh,az,az – 5 diferenças

2/3

de CDh,az,az para CHb,vm,az – 3 diferenças

3/4

de CHb,vm,az para QDb,vm,vm – 3 diferenças

4/5

de QDb,vm,vm para QHb,vm,am – 2 diferenças

5/6

de QHb,vm,am para CDh,vm,az – 4 diferenças

6/7

de CDh,vm,az para CHh,vm,am – 2 diferenças

7/8

de CHh,vm,am para QDb,vm,vm – 4 diferenças

8/ 9

de QDb,vm,vm para QHb,vm,az – 2 diferenças

9 / 10

de QHb,vm,az para CDb,am,am – 4 diferenças

10 /11

de CDb,am,am para CHb,am,am – 1 diferença

11 /12

de CHb,am,am para QDh,vm,vm – 5 diferença

12 /13

de QDh,vm,vm para QHh,vm,am – 2 diferenças

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55.17

55.3.4.- O Jogo da Recomposição do Dominó das Diferenças O aplicador deve apresentar ao jogador uma sequência de códigos afirmando que é o resultado de um jogo de dominó que deve ser conferido pelo jogador quanto à validade da sequência.

55.3.4.1.- Recompondo o Jogo do Dominó do Item 55.3.3.1.a A sequência de códigos abaixo deve ser apresentada ao jogador para que ele refaça os passos de um jogo de dominó, que no caso é o do item 55.3.3.1.a, mostrado acima: QDb,vm,az

CHb,vm,az

CDb,vm,az

CHb,vm,am

CHb,vm,vm CHb,az,am

QHb,vm,vm

QHb,vm,am

QHb,az,am

55.3.4.2.- Recompondo o Jogo do Dominó do Item 55.3.3.1.b A sequência de códigos abaixo se refere ao Jogo de Dominó apresentado no do item 55.3.3.1.b, mostrado acima. O Jogador deve refazer a sequência usando os cartões conveniente e deve justificar passo a passo as escolhas dos cartões adequados. QDb,vm,az b,vm,vm CHb,vm,am

de QDb,vm,vm CHb,vm,az

QHh,vm,az

QHb,vm,az

CDh,vm,vm CDb,vm,az QHb,az,az

CHh,vm,vm

CDb,vm,vm

CDh,vm,az

QDh,vm,az

QHh,az,az

QHh,az,vm

55.3.4.3.- Recompondo os Jogos de Dominó dos Itens 55.3.3.2. e 55.3.3.3. Apresente a sequência de códigos contendo as jogadas que aparecem nos itens 55.3.3.2. e55.3.3.3., ambos acima, ao jogador, solicitando que ele não somente confira as jogadas mas diga quantas e quais as diferenças existentes a cada jogada. Sequência de Códigos do Jogo do Item 55.3.3.2.: QDb,vm,az

de CDh,vm,az QHb,vm,vm

de CHb,vm,az

QHh,vm,az

QHb,vm,az

CHh,am,az

QHh,vm,az

CHb,am,am

CHh,vm,am

CDb,am,vm

Jogo do item 55.3.3.3.: Sequência de Códigos do Jogo do Item 55.3.3.3.: O aplicador deve copiar apenas a sequência de códigos deste jogo (42.3.3.3.) sem mencionar a quantidade de mudanças e apresentá-la ao jogador. O jogador deve tomar os carões e encadeá-los como num jogo de dominó, citando a cada passagem de um para outro dos cartões quantas são as diferenças.

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1/2

de QDb,vm,vm para CDh,az,az

2/3

de CDh,az,az para CHb,vm,az

3/4

de CHb,vm,az para QDb,vm,vm

4/5

de QDb,vm,vm para QHb,vm,am

5/6

de QHb,vm,am para CDh,vm,az

6/7

de CDh,vm,az para CHh,vm,am

7/8

de CHh,vm,am para QDb,vm,vm

8/ 9

de QDb,vm,vm para QHb,vm,az

9 / 10

de QHb,vm,az para CDb,am,am

10 /11

de CDb,am,am para CHb,am,am

11 /12

de CHb,am,am para QDh,vm,vm

12 /13

de QDh,vm,vm para QHh,vm,am

55.18

55.4.- Jogo da Descoberta: A Formação de Conceitos Este é o Jogo da Descoberta de Atributos ou mais exatamente o Jogo da Formação de Conceito. Primeiramente vamos resgatar as informações e a tabela do item ‘42.2.5.- Sobre o Código Completo de Cada Cartão #1Q e #1C’. Este resgate serve para indicar exatamente os atributos que irão forma um conceito que deverá ser anotado por um gerente e que deve ser descoberto pelos jogadores

55.4.1.- Os ‘Conceitos’ e a Sua Tabela Os 72 cartões neste JLOGC são distintos e possuem 5 atributos, a saber: 1. Formas: Q (quadrado) ou C (círculo); 2. Posições: D (diagonal) ou H (horizontal; 3. Cores do fundo: branco (b) ou hachurado preto (h). 4. Cor da figura central no desenho: az (azul), am (amarela) ou vm (vermelha); 5. Cor da figura em relevo no desenho: az (azul), am (amarela) ou vm (vermelha).

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55.19

Abaixo apresentamos novamente a tabela com as ideias acima discriminadas. Esta tabela deverá ser impressa, plastificada e distribuída para cada um dos jogadores.

TABELA DE CODIFICAÇÃO DOS CARTÕES #1 No

Formas

Posições

Quadrado: Q Diagonal: #1

Círculo:

Cores do Fundo

Figura central

D Fundo Branco:

b az, vm, ou am Horizontal: H Fundo Hachurado: h

Código sob a forma de N-upla ordenada:

Figura em relevo az, vm, ou am

#1.FormaPosiçãoFundo,Central,Relevo

55.4.2.- Como se Joga Este é um jogo para pelo menos 4 jogadores que devem escolher entre eles um gerente (um supervisor, aplicador ou facilitador) – aquele que irá estabelecer exatamente o “conceito” a ser a ser descoberto e ‘inspirado’ numa parte do universo dos 72 cartões, os demais serão os jogadores propriamente ditos. 1. O grupo de conceitos a ser descoberto, deverá ser formado por um, dois, três, quatro ou até cinco daqueles predicados ou atributos contidos no ‘dicionário’ deste Micromundos, deverá ser escolhido pelo gerente e deverá ser mantido no mais completo sigilo – os jogadores só terão acesso a este conjunto após o final do jogo. 2.

Cada um dos conceitos deverá ser expresso sob a forma de uma sentença metalinguística , ou seja, incorporando além das palavras do dicionário do Micromundo, palavras da língua nativa dos jogadores – no caso português –, como mostrado nos exemplos a seguir: •

“Figura central amarela”

•

“Figura Central igual à figura em relevo”

•

“Cartões hachurados com círculos”

•

“Cartões com fundo branco, quadrados cuja figura central seja azul”

•

“Figura central distinta da figura em relevo”

55.4.3.- As Regras do Jogo Há duas formas de abordagem para este jogo, a primeira é recomenda para estudantes do Ensino fundamental a partir de 10/11 anos, o segundo, para crianças pequenas com idade inferior a 11 anos. No entanto, cabe ao gerente do jogo decidir o que fazer.

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55.20

No primeiro caso: o jogador nunca viu antes os cartões e nem conhece os atributos; No segundo caso: o jogador nunca viu antes os cartões, mas estudou, esquematizou e memorizou os atributos e pode reconhecer os termos da linguagem usual. Na verdade, o que ocorre com os jogadores que nada sabem sobre os cartões, nem sobre os atributos, é que: o jogar se constituirá num desafio apenas na primeira ou segunda rodada do jogo, a partir do que somente as proposições é que passarão a constituir o alvo precípuo de suas descobertas.

55.4.3.1.- Primeiro Caso: Jogando Com Estudantes do Ensino Fundamental Dito isto, vamos às regras do jogo destinado à Formação de Conceitos Baseado em Símbolos, que serão expostas passo a passo: Primeiro Passo: Anotada num pedaço de papel pelo gerente do jogo, a proposição lógica deverá ser guardada à vista dos jogadores, mas sem que eles possam vê-la; Segundo Passo: O gerente embaralha e distribui aleatoriamente os cartões (em quantidades aproximadamente iguais) entre os jogadores (lembrando que, além do gerente, deve haver pelo menos mais 3 outros jogadores); Terceiro Passo: Os jogadores, de forma ordenada, devem colocar um cartão sobre a mesa, com a face voltada para cima, e o gerente dirá: “SIM” se o cartão satisfizer a “proposição que estará escondida” e “NÃO”, caso contrário. Quarto Passo: Os cartões que satisfizerem à proposição lógica devem ser dispostos em uma linha reta, um ao lado do outro. Os cartões que não satisfazem à regra deverão ser também agrupados em linha ou dispostas de forma organizada sobre a mesa – na forma tabular, isto é, formando uma tabela –, veja um exemplo desta disposição dos cartões, a seguir. SIM

Não

Quinto Passo: O jogador que acha que descobriu a “sentença oculta” deve interromper os demais jogadores dizendo: “Eu sei!” (ou algo parecido) e deve dizer a sentença para o supervisor que aprovará ou não o que foi dito, ou orientará os jogadores sobre os erros. Se o jogador errou, ele sai do jogo, e passa suas cartas para os demais jogadores. Se houver dois ou

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55.21

mais jogadores que afirmam terem descoberto a regra, eles devem lançar um dado hexagonal e: aquele que obtiver o número mais alto é que será o primeiro a dizer a “sentença”. Sexto Passo: O jogador que conseguir validar a proposição lógica, que foi escrita pelo gerente, ganha o jogo, e passará a ser o gerente da próxima rodada. Sétimo Passo: Em caso de acerto, a regra que havia sido escrita pelo supervisor, deverá ser exibida aos demais jogadores para que eles a validem. Oitavo Passo: Caso nenhum dos jogadores acerte a sentença, ela deverá ser exibida, e o supervisor deve recomeçar o jogo (voltar ao Terceiro Passo).

55.4.3.2.- Segundo Caso: Jogando Com Crianças com menos de 11 anos Abaixo estão as regras do jogo preparatório para o Jogo Para o Pensamento Lógico da Descoberta de um Conceito através de pistas, a ser jogado com apenas um jogador e um aplicador, aqui denominado gerente do jogo. Primeiro Passo: O gerente do jogo seleciona apenas o conjunto dos 36 cartões com fundo brancos e os embaralha bem. Em seguida exibe os cartões um a um, explicando os atributos daquele cartão; Segundo passo: Agora, depois de bem resolvido o primeiro passo, o gerente do jogo mostra um dos cartões e pede ao jogador que cite todos os atributos existentes naquele cartão; Terceiro Passo: O gerente deve repetir o primeiro e segundo passos com os 36 cartões hachurados; Quarto Passo: O gerente deve espalhar da maneira o mais aleatória possível, sobre o tampo de uma mesa, os 72 cartões com as faces voltadas para cima; Quinto Passo: O gerente pede ao jogador que procure e recolha todos os cartões com o(s) atributo(s) por ele mencionado(s) – podem ser solicitados, com bastante cuidado, um, dois, três, quatro ou até cinco atributos, na medida em que o jogador mostre um aceitável desempenho naquela tarefa. Cabe ao gerente garantir ao jogador que na mesa não resta mais nenhum cartão com aquelas ‘qualidades’, quando isto ocorrer; Sexto Passo: creio que após estes passos o jogador estará pronto para jogar o jogo anterior, em que efetivamente deva se dar a descoberta de um conceito.

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55.22

55.4.4.- Exemplos A seguir iremos dar exemplos de Jogos Para o Pensamento Lógico da Formação de Conceitos a partir de pistas, a partir de um conceito anotado pelo gerente do jogo.

55.4.4.1.- Primeiro Exemplo Cabe ao gerente através de afirmações ou negações, indicar os cartões que satisfazem ao ‘conceito por ele anotado’, como por exemplo: ‘hachurado, amarelo no centro’. Vejamos os cartões que são aceitos e os que são rejeitados: Cartões Aceitos:

Cartões Rejeitados:

55.4.4.2.- Segundo Exemplo ‘centro azul, relevo em amarelo’ Cartões Aceitos:

Cartões Rejeitados:

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55.23

55.4.4.3.- Outros Exemplos a Serem Tentados Pelo Leitor Terceiro Exemplo: ‘centro vermelho, relevo em azul, diagonal’. Quarto Exemplo: ‘centro azul ou então centro vermelho’. Quinto exemplo: ‘ cartões hachurados’. Sexto exemplo: ‘Centro e relevo na mesma cor’

44.4.4.- Um Jogo Para o Pensamento a Partir de Experimentação Verificar dentre os seis exemplos acima qual é o mais difícil e qual o menos difícil no tocante à descoberta do conceito envolvido.

55.5.- Uma Nova Estrutura e Novo Código a Serem Estudadas Para os interessados na pesquisa de outras ideias a partir do que foi estudado até aqui, há uma nova alternativa de criação dos cartões com Sobreposição de Figuras #1. Este é o caso apresentado a seguir, em que se leva em conta a sobreposição de duas das três figuras, sobre a figura central.

Modelos #1.QDb #1.QDh com as sobreposições de dois dos quadrados

Modelos #1.QHb e #1.QHh com as sobreposições de dois dos quadrados

Modelos #1.CDb e #1.CDh com as sobreposições de dois dos círculos

Modelos #1.CHb e #1.CHh com as sobreposições de dois dos círculos

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55.24

Criado mais este tipo de cartão, podemos perguntar: que tipos de estratégias e qual a nova forma de codificá-los a partir do código que vínhamos utilizando até aqui? Deixamos para os leitores o estudo deste novo tipo de cartão a ser inserido no conjunto dos cartões Modelo #1, sugerindo apenas uma nova forma de codificação para os mesmos, de acordo com os exemplos dados a seguir.

#1.QDb,vm,az+am

#1.CDb,am,az+vm

#1.QDh,az,vm+am

#1.QHh,am,az+vm

#1.CDh,vm,am+az

#1.CHh,vm,az+am

Observar que nos dois últimos exemplos de codificação vistos acima, nós mostramos que poderemos utilizar indiferentemente: am+az ou az+am para indicar as duas figuras destacadas no primeiro plano. É evidente que a figura central será, a partir disto, a figura sobreposta pelas duas figuras não centrais.

55.6.- Comentários Finais O leitor deve estudar os cartões #1 detalhadamente, praticando todos os Jogos Para o Pensamento aqui sugeridos e possivelmente propor novos jogos criando estabelecendo novas regras. Por outro lado, todo o estudo sobre este tipo de cartões irá embasar o conhecimento necessário para a compreensão dos Jogos Para o Pensamento que irão associar estes três modelos de Cartões (#1, #2 e #3) mais à frente.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#56 - Aury de Sá Leite

pág. 56.1

JLOGC#56 - JOGOS PARA O PENSAMENTO LÓGICO Nº 45 CARTÕES-RELEVO #2 CARTÕES COM QUATRO FIGURAS GEOMÉTRCIAS Este novo modelo de cartão, os Cartões-Relevo com Quatro Figuras ou Cartões-Relevo Modelo #2 é derivado do Cartões-Relevo com Três Figuras ou Cartões-Relevo Modelo #1 que estudamos no JLOGC anterior. Estes novos cartões gerados a partir do Modelo #1 irão se constituir num novo Micromundo – Modelo #2 – mais amplo que irá conter o Micromundo menos amplo. Os Jogos Para o Pensamento Lógico propostos para o modelo anterior podem ser retomados, mediante pequenas adaptações nas suas regras, neste novo modelo.

56.1.- Um Micromundo Mais Amplo que Outro O nosso objetivo aqui é a geração um conjunto de cartões derivados dos Cartões-Relevo com Três Figuras – o Modelo #1 – com medida igual a estes: 4,2 cm x 4,2 cm, se constituindo num Micromundo mais amplo do que os cartões estudados no JLOGC anterior. Os desenhos dos cartões do Modelo #1 poderão ser relacionados por inclusão ou não inclusão relativamente aos desenhos dos cartões do Modelo #2. Na verdade o conjunto de cartões do Modelo #1 – que é um Micromundo – passará a constituir-se num subconjunto do conjunto de cartões Modelo #2 – que também é um Micromundo, somente que mais amplo do que o anterior. A integração entre estes Micromundo não é observável de maneira imediata, sendo que ela se apresenta propositalmente com alguma complexidade até bastante notável. O que se pode adiantar é que o código utilizado para os elementos do Micromundo gerado pelo Modelo #1 será estendido para codificar de forma bastante eficiente os elementos do Micromundo gerado pelo Modelo #2.

56.2.- Os Cartões Modelo #2 Os cartões Modelo #2 são basicamente os cartões do Modelo #1 com uma modificação, o simples acréscimo de um retângulo sobreposto aos desenhos dos três quadrados ou de uma elipse sobreposta aos desenhos dos três círculos. Os cartões gerados de acordo com o Modelo #2 no tocante à figura que aparecerá em relevo naquele cartão podem ter dois interessantes casos a considerar:

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#56 - Aury de Sá Leite

pág. 56.2

1. O retângulo e a elipse, que serão desenhadas no modelo #2, podem figurar em três níveis distintos como mostrado abaixo, sendo que cada nível receberá, ao ser codificado, um número: 1, 2 ou 3. Nível 1

Nível 2

Nível 3

2. Os quadrados e os círculos manterão os mesmos comportamentos dos cartões Modelo #1, havendo um caso de exceção – vide exemplo (a) abaixo – onde os três quadrados ou três círculos estiverem cobertos pelo quadrado ou pela elipse. Analise ainda os exemplos dados em (b) e (c).

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#56 - Aury de Sá Leite

pág. 56.3

(a) Retângulo ou Elipse no nível 1:

Neste caso, a sobreposição do retângulo mascara a possibilidade de termos um dos três quadrados em relevo. Sendo que nos dois casos a seguir, os quadrados que estejam em relevo são plenamente percebidos. (b) Retângulo ou elipse no nível 2:

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#56 - Aury de Sá Leite

pág. 56.4

562.2.- Analisando a Tabela de Atributos dos Cartões #2 A tabela de codificação dos cartões #2 vista a seguir, nos mostra que: as formas, as posições, as cores de fundo e a figura central mantêm as mesmas possibilidades de codificação que os cartões do Modelo #1, sendo que no caso da figura ‘retângulo’ ou ‘elipse’, que podem estar em três possíveis profundidades, sendo que: quando o retângulo ou a elipse estiverem no nível 1, para se indicar que não se consegue detectar qual quadrado ou círculo está em relevo, um novo atributo foi acrescentado aos códigos az, vm, am, o símbolo do conjunto vazio, ou seja, Ø.

Tabela de Codificação dos Cartões #2 No

Formas Quadrado: Q Círculo: C

Posições

Cores do Fundo

Diagonal: D Horizontal: H

Fundo Branco: b Fundo Hachurado: h

Figura central

Figura em relevo

Nível figura cinza

az, vm, ou am

az, vm, am ou Ø

1, 2 ou 3

Código sob a forma de N-upla ordenada: #2.FormaPosiçãoFundo,central,relevo,nível

O leitor atento deverá ter notado que na Tabela de Codificação dos cartões Modelo #2 as figuras: retângulo e elipse são referidas como sendo figuras da cor cinza. A adoção de mais cores para a coloração dos retângulos e elipses criaria a possibilidade de criação de cartões numa quantidade que ultrapassaria as nossas necessidades, pelo menos imediatas.

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pág. 56.5

56.2.3.- Calculando a Quantidade Total de Cartões #2 Utilizando a Tabela de Codificação dos Atributos dos Cartões #2 podemos calcular a quantidade total de cartões usando a fórmula QC (Quantidade T de Cartões): QTC = Formas× ×Posições× ×Cores do Fundo× ×Figura Central× × (Figura em relevo – 1)× ×Nível da figura cinza+24.

ou seja: QTC = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 2 = 144 + 24 = 168 onde: •

O cálculo: ‘Figura em relevo – 1 = 4 – 1’ corresponde à quantidade de figuras em relevo considerando-se que há um caso em que não há figura em relevo ( ∅ );

•

A quantidade ‘24’ corresponde aos cartões cujas figuras cinza estão no Nível 1.

56.2.4.- Vários Exemplos de Codificação de Cartões #2 Abaixo vamos mostrar alguns dos cartões Modelo #2 com as suas respectivas codificações que deverão ser estudadas em detalhe pelos leitores mais interessados.. A n-upla ordenada correspondente ao Código dos Atributos do cartão #2 deverá ser a seguinte:

#2.FormaPosiçãoFundo,central,relevo,figura cinza

#2.QDb,az,Ø,1

#2.QDb,az,az,2

#2.QDb,az,vm,2

#2.QDb,az,am,2

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pág. 56.6

#2.QDb,vm,vm,3

#2.QDb,vm,am,3

#2.QDb,vm,az,3

#2.QHb,vm,vm,3

#2.QHb,vm,Ø,3

#2.QHb,az,az,2

#2.QHh,az,az,3

#2.CHb,vm,az,3

#2.CHh,am,am,2

#2.QHh,az,az,3

#2.CHb,am,am,2

#2.CDh,vm,am,3

#2.QHh,vm,vm,3

#2.CDb,vm,Ø,1

#2.CDh,az,az,2

#2.QDh,vm,Ø,1

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56.3.- O Conjunto de Todos os Cartões Modelo #2 Vamos apresentar a seguir o conjunto completo dos cartões Modelo #2.

56.3.1.- Cartões Modelo #2 Com as Figuras Cinza no Nível 3 56.5.1.1.- Modelo #2.QD: 18 cartões

56.3.1.2.- Modelo #2.QH: 18 cartões

pág. 56.7

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56.3.1.3.- Modelo #2.CD: 18 cartões

56.3.1.4.- Modelo #2.CH: 18 cartões

pág. 56.8

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56.3.2.- Cartões Modelo #2 Com as Figuras Cinza no Nível 2 56.3.2.1.- Modelo #2.QD: 18 cartões

56.3.2.2.- Modelo #2.QH: 18 cartões

pág. 56.9

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56.3.2.3. - Modelo #2.CD: 18 cartões

56.3.2.4.- Modelo #2.CH: 18 cartões

pág. 56.10

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56.3.3.- Cartões Modelo #2 Com as Figuras Cinza no Nível 1

56.3.3.1.- Modelo #2.QD: 6 cartões

56.3.3.2.- Modelo #2.QH: 6 cartões

56.3.3.3.- Modelo #2.CD: 6 cartões

56.3.3.4.- Modelo #2.CH: 6 cartões

pág. 56.11

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pág. 56.12

56.3.3.5.- Sobre a Quantidade de Cartões A quantidade total de cartões é 168, sendo que podem ser divididos, por exemplo, da seguinte forma: 1. Cartões com fundo branco (b):

168 ÷ 2 = 84

2. Cartões de fundo hachurado (h): 168 ÷ 2 = 84 3. Cartões com figuras na Diagonal (D): 168 ÷ 2 = 84 4. Cartões com figuras na Horizontal (H): 168 ÷ 2 = 84 5. Cartões com a Figura Cinza no Nível 3: 168 – 72 – 24 = 72 6. Cartões com a Figura Cinza no Nível 2: 168 – 72 – 24 = 72 7. Cartões com a Figura Cinza no Nível 1: 24 Como Jogo Para o Pensamento Lógico, o leitor deverá conferir estes cálculos.

56.4.- Jogos Para o Pensamento Lógico Espera-se que tanto os aplicadores como os jogadores já tenham experimentado os jogos com os Cartões Com Sobreposição de Figuras Modelo #1, isto por que alguns dos Jogos Para o Pensamento a seguir podem envolver os cartões Modelo #1 e Modelo #2 conjuntamente. No entanto, os primeiros jogos a seguir sugeridos envolvem apenas o uso dos Cartões Com Sobreposição de Figuras Modelo #2.

56.4.1.- Jogos da Discriminação A palavra ‘discriminar’, como aqui será utilizada, pode assumir os seguintes significados: perceber diferenças; distinguir, discernir; colocar à parte por algum critério; especificar, classificar, listar; formar grupos à parte devido a alguma característica gráfica encontrável nos cartões. Nestes jogos iniciais deve-se utilizar a Tabela de Codificação dos Atributos dos Cartões #2. Tabela de Codificação dos Cartões #2 No

Formas Quadrado: Q Círculo: C

Posições

Cores do Fundo

Diagonal: D Horizontal: H

Fundo Branco: b Fundo Hachurado: h

Figura central

Figura em relevo

Nível figura cinza

az, vm, ou am

az, vm, am ou Ø

1, 2 ou 3

Código sob a forma de N-upla ordenada: #2.FormaPosiçãoFundo,central,relevo,nível

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pág. 56.13

56.4.1.1.- Regras do Jogo da Discriminação Número 1 1. A finalidade deste jogo é a de apresentar ao jogador a Tabela de Codificação dos Atributos dos Cartões #2; 2. O aplicador deve escolher dentre todos os 168 Cartões Com Sobreposição de Figuras #2 cinco ou mais dos cartões; 3. O aplicador deve explicar ao jogador como codificar cada um destes cartões com base na Tabela de Codificação; 4. Em seguida, o aplicador deve escolher alguns cartões que devem ser codificados pelo jogador: o jogador (usando a Tabela de Codificação) deve escrever o código de cada um dos cartões escolhidos.

56.4.1.2.- Regras do Jogo da Discriminação Número 2 1. O Jogo envolve o uso de todos os 168 Cartões Com Sobreposição de Figuras; 2. Apenas o aplicador deve utilizar a Tabela Codificação dos Atributos dos Cartões #2; 3. O aplicador, utilizando a tabela de Codificação, vai escolhendo a cada passo um dado código, não sendo obrigatório o uso sequente dos atributos, ou seja, ele pode escolher qualquer um dos seis atributos; 4. Partindo dos 168 cartões, o

jogador deve formar um conjunto daqueles cartões que

satisfaçam ao primeiro atributo apontado pelo aplicador; 5. Dentre este novo subconjunto de cartões, o jogador deve selecionar aqueles que satisfaçam ao segundo atributo apontado pelo aplicador; 6. O jogo continua, até o jogador chegar a um único cartão que satisfaça o código com os seis atributos apontados pelo aplicador; 7. Este jogo pode ser repetido várias vezes modificando-se a ordem das escolhas dos atributos.

56.4.1.2.1.- Primeiro exemplo de uma partida do Jogo da Discriminação Número 2 A seguir vamos dar um exemplo das escolhas de atributos destinadas à seleção final de um único cartão que satisfaça a todas as escolhas do aplicador: •

1º Atributo escolhido pelo aplicador: Fundo = b (branco) Resultado → Conjunto formado por 84 cartões com fundo branco Código: #2.FormaPosiçãob,central,relevo,nível

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•

2º Atributo escolhido pelo aplicador: Posição = D (diagonal) Resultado → Subconjunto formado por 42 cartões com figuras em Diagonal Código: #2.FormaDb, central,relevo,nível

•

3º Atributo escolhido pelo aplicador: Central = az (azul) Resultado → Subconjunto formado por 28 cartões com figura central azul Código: #2.FormaDb,az ,relevo,nível

•

4º Atributo escolhido pelo aplicador: Formas = Q (quadrados) Resultado → Subconjunto formado por 14 cartões com figuras quadradas Código: #2.QDb,az , relevo,nível

•

5º Atributo escolhido pelo aplicador: Nível da Figura Cinza = 3 Resultado → Subconjunto formado por 3 cartões com figuras cinza nível 3 Código: #2.QDb,az ,relevo,3

•

6º Atributo escolhido pelo aplicador: Relevo = vm (vermelho) Resultado → Subconjunto formado por 1 cartão figura em relevo vm Código: #2.QDb,az ,vm,3

pág. 56.14

Resultado:

56.4.1.2.2.- Segundo exemplo de outra partida do Jogo da Discriminação Número 2 A seguir vamos dar outro exemplo das escolhas de atributos – a partir da escolha do Nível 2 da Figura Cinza – destinadas à seleção final de um único cartão que satisfaça a todas as escolhas do aplicador:

•

1º Atributo escolhido pelo aplicador: Nível da Figura Cinza = 2 Resultado → Subconjunto formado por 72 cartões com figuras cinza no nível 2 Código: #2.FormaPosiçãoFundo,central,relevo,2

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pág. 56.15

•

2º Atributo escolhido pelo aplicador: Posição = H (horizontal) Resultado → Subconjunto formado por 36 cartões com figuras na horizontal Código: #2.FormaHFundo,central,relevo,2

•

3º Atributo escolhido pelo aplicador: Central = vm (vermelho) Resultado → Subconjunto formado por 18 cartões com figura central vermelha Código: #2.FormaHFundo,vm,relevo,2

•

4º Atributo escolhido pelo aplicador: Relevo: am (amarelo) Resultado → Subconjunto formado por 6 cartões com figuras em relevo amarela Código: #2.FormaHFundo,vm,am,2

•

5º Atributo escolhido pelo aplicador: Fundo: h (hachurado) Resultado → Subconjunto formado por 3 cartões com fundo hachurado Código: #2.FormaHh,vm,am,2

•

6º Atributo escolhido pelo aplicador: Fundo: forma Q (quadrado) Resultado → Subconjunto formado por 1 cartão com figuras quadradas Código: #2.QHh,vm,am,2 Resultado:

56.4.1.2.3.- Terceiro exemplo de início de uma partida do Jogo da Discriminação Número 2 A seguir vamos mostrar apenas a primeira escolha de atributo destinada à seleção final de um único cartão que satisfaça a todas as escolhas do aplicador: •

1º Atributo escolhido pelo aplicador: Nível da Figura Cinza = 1 Resultado → Subconjunto formado por 24 cartões com figuras cinza no nível 3 Código: #2.FormaPosiçãofundo,central,relevo,1

As demais escolhas devem ser realizadas pelo leitor notando que no caso da escolha de relevo ela deverá ser: ∅.

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pág. 56.16

56.4.1.3.- Regras do Jogo da Discriminação Número 3 1. O Jogo envolve o uso de todos os 168 Cartões Com Sobreposição de Figuras; 2. Tanto o aplicador como o jogador deve utilizar a Tabela de Codificação dos Atributos dos Cartões #2; 3. O Aplicador escolhe um dos atributos constantes da Tabela de Codificação, como por exemplo: D (diagonal); 4. O jogador deve separar todos os cartões cujo desenho esteja na diagonal; 5. Em seguida o aplicador escolhe outro dos atributos, como por exemplo: h (hachurado); 6. O jogador seleciona entre aqueles cartões já separados (D) aqueles em que o fundo é hachurado; 7. O aplicador deve continuar a selecionar novos atributos até esgotar todas as possibilidades de seleção naqueles subgrupos de cartões que irão se apresentando a cada passo com quantidades cada vez menores de elementos. 8. Este jogo pode ser repetido várias vezes modificando-se as escolhas dos atributos.

56.4.2.- Procurar um dos Cartões do Modelo #2 a Partir do Código Este é um Jogo Para o Pensamento em que o aplicador deve observar a estratégia utilizada pelo jogador.

56.4.2.1 - Regras do Jogo 1. Este jogo deve envolver os 168 cartões; 2. O aplicador deve estabelecer um código e escrevê-lo à vista do jogador; 3. O jogo consiste da busca do único cartão que satisfaça ao código.

56.4.2.- Jogo da Inclusão os Modelos #1 nos Modelos #2 O Jogo Para o Pensamento a seguir consiste em verificar se um cartão Modelo #1 está contido em cartões Modelo #2, o que poderá ser verificado pela igualdade dos códigos a menos do nível dos retângulos – no caso dos cartões com quadrados – e das elipses – nos casos dos cartões círculos. As Tabelas dos Modelo #1 e Modelo #2 foram acopladas para facilitar este tipo de comparação:

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#56 - Aury de Sá Leite

pág. 56.17

TABELA DE CODIFICAÇÃO DOS CARTÕES #1 No

Formas

Posições

Quadrado: Q Diagonal: #1

Círculo:

Cores do Fundo

D Fundo Branco:

Figura central

Figura em relevo

az, vm, ou am

Horizontal: H Fundo Hachurado: h

Código sob a forma de N-upla ordenada:

#1.FormaPosiçãoFundo,Central,Relevo

... está contido em ... #1.QDb,vm,az

#2.QDb,vm,az,2 #2.QDb,vm,az,3

... está contido em ... #1.QHh,vm,az

#2.QHh,vm,az,2 #2.QHh,vm,az,3

56.4.3.- Dominó das Diferenças O leitor deve se basear nos exemplos de Jogos do Dominó das Diferenças apresentados no JLOGC anterior e tentar elaborar os seus próprios exemplos anotando a sequência de códigos dos Cartões #2. Note que esta sequência de códigos pode ser utilizada por outros jogadores para reproduzir todas as jogadas anteriormente conseguidas.

56.4.1.- Jogo dos Cartões Topologicamente Equivalentes A Topologia é uma teoria matemática, denominada a ciência das deformações plásticas, em que se estudam as propriedades de um ente geométrico que não se altera por uma deformação contínua, como exemplo: o quadrado, o círculo, o retângulo são equivalente topológicos; o cubo, a esfera e os prismas ou pirâmides, são também equivalentes topológicos.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#56 - Aury de Sá Leite

pág. 56.18

Neste novo Jogo Para o Pensamento com os cartões Modelo #2 devem-se buscar os equivalentes topológicos, sabendo-se que os cartões topologicamente equivalentes são aqueles que mostram a mesma coleção de figuras numa mesma composição. Veja bem, aqui devemos abstrair as formas (quadrados e círculos são topologicamente equivalentes, tanto como as figuras em cinza: retângulos e elipses) e as direções (horizontal ou diagonal não modificam as composições conservando a equivalência topológica) as composições são as mesmas em termos topológicos. Note que os fundos, branco ou hachurado, não são considerados como sendo equivalentes topológicos. Analise os exemplos a seguir com os Cartões #1 e os cartões #2: Exemplo 1:

Exemplo 2:

Exemplo 3:

Exemplo 4:

56.2.- Sobre Uma Descoberta Acidental Ao intercalar com os três quadrados ou os três círculos do Modelo #1 com um retângulo ou uma elipse, nós obtivemos os cartões Modelo #2. De forma surpreendente, se percebeu mais tarde que os

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#56 - Aury de Sá Leite

pág. 56.19

cartões #2 poderiam possuir três níveis para alocação das figuras ao invés de dois níveis como no Modelo #1. Abaixo mostramos o caso extremo em que retângulo ou a elipse aprece numa forma de intercalação, antes não prevista.

Esta descoberta não foi incluída na criação de novos cartões, pois a quantidade de 168 cartões já se mostrou suficiente para as proposta de Jogos Para o Pensamento Lógico. No entanto, a partir desta descoberta, o leitor interessado poderá associar estes novos cartões a alguns dos 168 cartões do Modelo #2 e criar seus próprios jogos.

pág. 57.1

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#57 - Aury de Sá Leite

JLOGC#57 - JOGOS PARA O PENSAMENTO LÓGICO Nº 57 CARTÕES-RELEVO #3 CARTÕES COM CINCO FIGURAS GEOMÉTRCIAS Este é mais um Jogo Para o Pensamento Lógico em que cartões quadrados, medindo 4,2 cm × 4,2 cm, apresentam um conjunto de figuras – cinco quadrados no primeiro tipo de módulos e cinco círculos no segundo tipo de módulos – em que se podem destacar as peças (quadrados ou círculos), não somente pelas cores, mas pela sobreposição virtual de uma destas figuras. O mais notável é que estes cartões permitem a criação de um Micromundo com 600 cartões totalmente distintos entre si, mas que são indicados para uso em pequenos conjuntos em que se destaque um atributo pelo menos. Uma indicação, também importante, do uso destes cartões é a sua aplicação em jogos envolvendo duas, três, quatro ou mais pessoas em um trabalho cooperativo ou colaborativo.

57.1.- Os Módulos Básicos #3 Os dois Modelos básicos dos Cartões-Relevo com Cinco Figuras Geométricas, ou seja, o Modelo #3, são mostrados abaixo. Eles são cartões quadrados medindo 4,2 cm de lado cujo desenho na face corresponde a um conjunto de 5 quadrados (Q) ou de 5 círculos (C), dispostos de maneira bastante característica, como mostrado abaixo (na horizontal: H ou na diagonal : D)

Modelo Básico #3.QH

Modelo Básico #3.QD

Modelo Básico #3.CH

Modelo Básico #3.CD

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#57 - Aury de Sá Leite

pág. 57.2

57.1.1.- As Características dos Cartões Quanto aos Desenhos Uma característica notável dos desenhos que aparecem nos cartões, é que a cada momento um dos quadrados ou círculos é trazido para frente dos demais como mostram as seguintes figuras.

Modelos #3.QH com as sobreposições de um dos quadrados

Modelos #3.QD com as sobreposições de um dos quadrados

Modelos #3.CH com as sobreposições de um dos círculos

Modelos #3.CD com as sobreposições de um dos círculos

57.1.2.- Comentário Pertinente A classificação dos modelos #1 e #2 estudados nos dois JLOGCs anteriores quanto às figuras estarem na horizontal ou na diagonal é imediata. Também no caso do modelo #3, quando se trata daqueles com figuras quadradas, é bem fácil apontar os casos #3.QH ou #3.QD, no entanto, quando se trata da classificação quanto a serem #3.CH ou #3.CD é necessário que se analise o seguinte: •

No caso dos cartões com figuras quadradas, podemos desenha um quadrado auxiliar (em vermelho e com linhas tracejadas) que se mostrará exatamente na horizontal ou na diagonal, como pode ser visto a seguir:

pág. 57.3

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#57 - Aury de Sá Leite

#3.QH •

#3.QD

No caso dos cartões com figuras circulares, a utilização daqueles quadrados auxiliares nos mostrará o que entendemos quando utilizamos os códigos #3.CH ou #3.CD. Note que os vértices dos quadrados auxiliares coincidem com os centros das circunferências, realçando que o conjunto das cinco figuras está na posição H ou então na posição D.

#3.CH •

#3.CD

Como regra geral pode-se tomar que: a posição H ou D, no caso do conjunto de circunferências, depende do posicionamento distribuição horizontal ou vertical dos centros das circunferências externas. Confira isto nas figuras cima.

57.1.3.- As Características dos Cartões Quanto às Cores Escolhemos cinco cores distintas entre si para colorir as figuras desenhadas nas faces dos cartões, quadrados ou círculos, a saber: azul, amarelo, vermelho, verde e branco, sendo que estas cores serão distribuídas da seguinte forma: uma das cores deverá ser escolhida para a figura central e as quatro restantes serão distribuídas segundo uma Permutação Circular (PC4 = (4 – 1)! = 3! = 6) pelas figuras periféricas. Já sabemos que a sobreposição de quadrados ou círculos em cada um dos cartões se dará da seguinte maneira:

Modelos #3.QH com as sobreposições de um dos quadrados

pág. 57.4

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Os cartões abaixo mostram os esquemas da distribuição de cores para cada linha (que contem cada uma, os cinco cartões mostrados no desenho acima) que permitirão gerar subconjunto de 30 cartões, a cada vez.

e d

e c

e d

e b

d e

57.2.- Sobre o Conjunto de Todos os Cartões A quantidade de cartões que podem ser gerados com apenas um dos tipos de Cartões (#3.QH) já é algo bastante extravagante. Ocorre que: temos cartões que irão ostentar cada uma das cinco cores no centro, sendo que as 4 cores restantes a cada vez serão distribuídas nas figuras periféricas através de uma permutação circular com 4 elementos: PC(4) = 3! = 3 × 2 × 1 = 6. Somente aí já teremos 30 cartões. Estas 30 possibilidades deverão agora ser multiplicadas por 5, que é cada uma das figuras que passarão a figurar na frente da demais. Portanto teremos 150 cartões distintos entre si. Adicionando-se a estes 150 cartões do modelo #3.QH aos 150 outros cartões do modelo #3Q.D, teremos finalmente 300 cartões distintos. Há também que se considerar que os cartões #3.CH e #3.CD irão perfazer outros 300 cartões distintos, de onde o conjunto de todos os cartões que poderão ser gerados – o que poderá ser conferido a seguir –, irá perfazer um conjunto com 600 elementos distintos, mas que do ponto de vista topológico poderão ser colocados 2 a 2 em correspondência biunívoca conforme mostrado no esquema abaixo, em que se chama a atenção destas relações através de flechas em vermelho, azul ou preto, respectivamente da mais fortes ligação até a mais fracas delas em termos de identificação visual: #3.QH

#3.QD

#3.CH

#3.CD

pág. 57.5

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57.2.2.- O que Fazer com os 600 Cartões Pelo menos inicialmente, esta quantidade de cartões (600) deverá ser usada criteriosamente tomando-se apenas subconjuntos de cartões de acordo com os interesses e objetivos do aplicador. Por outro lado, em face do grande número de cartões podem-se propor com eles jogos cooperativos e até mesmo colaborativos envolvendo um grande número de jogadores. Mais adiante neste JLOGC#46, estes tipos de jogos (Jogos Cooperativos

Jogos Colaborativos) serão estudados

quanto à sua distinção. e serão propostos vários Jogos Para o Pensamento Lógico dentro destas especificações que envolverão no mínimo dois jogadores ou grandes grupos com quatro ou mais jogadores, isto sendo deixado a critério do aplicador/educador..

57.2.3- A Tabela de Codificação Na verdade, esta quantidade de cartões (600) deverá ser usada criteriosamente tomando-se apenas subconjuntos de cartões de acordo com os interesses e objetivos do aplicador. Por outro lado, em face do grande número de cartões pode-se propor com eles jogos cooperativo e até mesmo colaborativos. Este tipo de jogo serão estudados e propostos mais adiante neste JLOGC#46. A Tabela de Codificação dos Cartões-Relevo #3 é a seguinte:

Tabela de Codificação dos Cartões #3 No

Formas

Posições

Figura central

Figura em relevo

Quadrados: Q Círculos: C

Diagonal: D Horizontal: H

az, vm, am ou bc

Código sob a forma de N-upla ordenada: #3.FormasPosição,central,relevo

57.3.- OS 300 CARTÕES COM FIGURAS QUADRADAS No CD-R que acompanha o livro o leitor irá encontrar um arquivo que permitirá imprimir os diversos subconjuntos destes 300 cartões.

57.3.1.- Os 150 Cartões Modelo #3.QD Iremos mostrar a seguir o conjunto de todos os cartões #3.QH com cinco cores distintas, das quais um delas é escolhida para ser alocada na figura central.

pág. 57.6

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57.3.1.1.- Modelo #3.QH com Centro Vermelho: 30 cartões #3.QH,vm Vamos utilizar para cada elemento inicial de cada uma das seis linhas de cartões o seguinte esquema de distribuição de cores que deverá ser considerado para fins de leitura, sempre no sentido horário. a

e d

abcde

e c

e d

abdce

acbde

e b

acdbe

e d

adbce

d e

adcbe

De acordo com o esquema de distribuição de cores acima, estabelecemos para a geração dos primeiros 30 cartões mostrados abaixo (#3.QH com centro vermelho) a seguinte correspondência biunívoca: a ↔ amarelo; b ↔ azul; c ↔ verde; d ↔ branco; e ↔ vermelho. Pelo menos neste primeiro conjunto de 30 cartões o leitor deverá conferir a distribuição das cores segundo os dois esquemas: o da sobreposição de uma das figuras e o esquema da distribuição das cores segundo o código: a / b / c / d / e.

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57.3.1.2.- Modelo #3.QH com Centro Verde: 30 Cartões #3.QH,vd

pág. 57.7

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57.3.1.3.- Modelo #3.QH com Centro Azul: 30 Cartões #3.QH,az

57.3.1.4.- Modelo #3.QD com Centro Branco: 30 Cartões #3.QH,bc

pág. 57.8

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57.3.1.5.- Modelo #3.QH com Centro Amarelo: 30 Cartões #3.QH,am

pág. 57.9

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pág. 57.10

57.3.2.- Os 150 Cartões Modelo #3.QD São 150 cartões distintos entre si gerados a partir do Módulo Básico #3.QD com cinco cores distintas, sendo que cada uma delas deva ser alocada na figura do centro do cartão. Confira a seguir.

57.3.2.1.- Modelo #3.QD com Centro Vermelho: 30 cartões #3.QD,vm

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57.3.2.2.- Modelo #3.QD com Centro Verde: 30 Cartões #3.QD,vd

pág. 57.11

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57.3.2.3.- Modelo #3.QD com Centro Azul: 30 Cartões #3.QD,az

pág. 57.12

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57.3.2.4.- Modelo #3.QD com Centro Branco: 30 Cartões #3.QD,bc

57.3.2.5.- Modelo #3.QD com Centro Amarelo: 30 Cartões #3.QD,am

pág. 57.13

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pág. 57.14

57.4.- CARTÕES COM FIGURAS CIRCULARES Do mesmo modo que foram gerados os cartões #3.QH e #3.QD com cinco cores distintas, das quais um delas é escolhida para ser alocada na figura central, poderemos gerar os 150 cartões #3.CH e em seguida os 150 cartões #3.CD, como mostraremos a seguir.

57.4.1.- Os 150 Cartões Modelo #3.CH Iremos mostrar a seguir o conjunto com 150 cartões #3.CH com cinco cores distintas, das quais um delas é escolhida para ser alocada na figura central. O leitor deve reler o item 46.1.2. intitulado “Comentário Pertinente” para entender o porquê dos 300 cartões com círculos serem classificados como H e V (#3.CH e #3.CV), e isto é necessário

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pág. 57.15

devido à dificuldade de visualizar o que seja H e o que seja V quando se trabalha com estes tipos de cartões.

57.4.1.1.- Modelo #3.CH com Centro Vermelho: 30 cartões #3.CH,vm

57.4.1.2.- Modelo #3.CH com Centro Verde: 30 Cartões #3.CH,vd

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57.4.1.3.- Modelo #3.CH com Centro Azul: 30 Cartões #3.CH,az

pág. 57.16

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57.4.1.4.- Modelo #3.CD com Centro Branco: 30 Cartões #3.QH,bc

pág. 57.17

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pág. 57.18

57.4.1.5.- Modelo #3.CH com Centro Amarelo: 30 Cartões #3.CH,am

57.4.2.- Os 150 Cartões Modelo #3.CD São 150 cartões distintos entre si do Módulo Básico Modelo #3.CD com cinco cores distintas, sendo que cada uma delas deva ser alocada na figura do centro do cartão. Confira a seguir.

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57.4.2.1.- Modelo #3.CD cm Centro Vermelho: 30 cartões #3.CD,vm

57.4.2.2.- Modelo #3.CD com Centro Verde: 30 Cartões #3.CD,vd

pág. 57.19

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57.4.2.3.- Modelo #3.CD com Centro Azul: 30 Cartões #3.CD,az

pág. 57.20

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57.4.2.4.- Modelo #3.CD com Centro Branco: 30 Cartões #3.CD,bc

pág. 57.21

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pág. 57.22

57.4.2.5.- Modelo #3.CD com Centro Amarelo: 30 Cartões #3.CD,am

57.5.- Jogos Para o Pensamento Lógico A quantidade de Cartões-Relevo #3 é enorme – 600 cartões distintos –, quantidade esta, bem diferente do que até aqui foi visto com relação aos demais tipos de cartões estudados nos JLOGCs

pág. 57.23

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anteriores. Por isto é bastante válida a recomendação de escolhermos e utilizarmos subconjuntos destes 600 cartões cujos atributos sejam bem definidos e restritivos, ou seja, devemos trabalhar em um Micromundo amplo no qual escolheremos Micromundos limitados (sub-micromundos).

57.5.1.- Formação de Conjuntos a Partir de um Código Os jogos apresentados a seguir se destinam a um jogador e um aplicador. O Jogador, pelo menos inicialmente, deverá utilizar a Tabela de Codificação dos Cartões #3, mostrada abaixo:

Tabela de Codificação dos Cartões #3 No

Formas

Posições

Figura central

Figura em relevo

Quadrados: Q Círculos: C

Diagonal: D Horizontal: H

az, vm, am ou bc

Código sob a forma de N-upla ordenada: #3.FormasPosição,central,relevo

57.5.1.1.- Formação de Sequências a partir de Códigos e Escolha de um cartão Este é um Jogo destinado a um jogador e um aplicador 1. O aplicador deve escolher, sem perda de generalidade, qualquer um dos subconjuntos com 150 cartões a partir de um código como, por exemplo ‘#3.QD’. 2. Dentre estes cartões ele deve citar como exemplo o código de um cartão específico como, por exemplo: ‘#3.QD,az’. 3. Deve em seguida solicitar ao jogador que separe todos os cartões que satisfazem a este código. 4. Deve ainda solicitar que o jogador agora, separa o cartão: ’#3.QD,az,vm’. 5. Este jogo deve ser repetido várias vezes utilizando primeiramente o mesmo conjunto de 150 cartões, voltando ao passo 2, depois 3 e 4, devendo o aplicador escolher novos códigos. 6. Este jogo pode ser repetido escolhendo-se novos conjuntos completos de 150 cartões. Resposta das escolhas sugerida acima: #3.QD,az e #3.QD,az,vm.

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pág. 57.24

57.5.1.2.- Formação de Subconjuntos a partir de Códigos 1. O aplicador dede escolher, sem perda de generalidade, qualquer um dos subconjuntos com 300 cartões a partir do código, por exemplo: #3.Q’ ou ‘#3.C’. 2. Dentre estes cartões ele deve apontar o código de um cartão, como por exemplo: ‘#3.CH’, solicitando que o jogador separe todos os cartões que satisfazem este código. 3. Em seguida o aplicador deve sugerir que o jogador separe os cartões de códigos: ‘#3.CH,*’ onde ‘*’ deve ser substituído por am, az, vm, vd ou bc. 4. Este jogo deve ser repetido várias vezes utilizando primeiramente o mesmo conjunto de 300 cartões, e depois o outro conjunto completos de 300 cartões.

57.5.2.- Estudando a Inclusão Entre os Modelos #1, #2 e #3 Este é um Jogo Para o Pensamento Lógico que envolve os cartões Modelo #1, #2 e #3. O que desejamos verificar é o seguinte: qual desenho geométrico de um destes modelos de cartão estará ou não incluso no desenho do outro modelo.

57.5.2.1.- Grafo das Inclusões O leitor irá notar que alguns desenhos do modelo #1 estarão contidos tanto nos cartões do próprio modelo # 1, como em alguns desenhos do modelos #2 e em alguns dos desenhos do modelo #3.

pág. 57.25

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Modelo #1

Modelo #2

Modelo #3

57.5.2.2.- O Conjunto de Tabelas de Identificação dos Cartões #1, #2 e #3 Imprima o conjunto de Tabelas de Codificação conforme mostrado abaixo, para que os jogadores possam utilizá-lo nos jogos a seguir.

TABELA DE CODIFICAÇÃO DOS CARTÕES #1 No #1

Formas

Posições

Quadrado: Q Diagonal: Círculo:

Figura central

Figura em relevo

az, vm, ou am

Cores do Fundo

D Fundo Branco:

C Horizontal: H Fundo Hachurado: h

Código sob a forma de N-upla ordenada:

#1.FormaPosiçãoFundo,Central,Relevo

Tabela de Codificação dos Cartões #2 No

Formas

Posições

Cores do Fundo

Quadrado: Q

Diagonal: D

Fundo Branco:

Círculo:

Horizontal: H

Fundo Hachurado: h

Figura central

Figura em relevo

Nível figura cinza

az, vm, ou am

az, vm, am ou Ø

1, 2 ou 3

Código sob a forma de N-upla ordenada: #2.FormaPosiçãoFundo,central,relevo,nível

Tabela de Codificação dos Cartões #3 No

Formas

Posições

Figura central

Figura em relevo

Quadrados: Q Círculos: C

Diagonal: D Horizontal: H

az, vm, am ou bc

Código sob a forma de N-upla ordenada: #3.FormasPosição,central,relevo

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57.5.3.- Jogo do Baralho das Inclusões 57.5.3.1.- Jogo Solitário ou com vários Jogadores com os Cartões #1 Este é um jogo que se destina a treinamento para jogos mais complexos que veremos adiante. Dele podem participar de um até no máximo três jogadores – faça os cálculos e verifique que esta limitação é exigida pela quantidade de cartões #1, ou seja, se os 72 cartões forem distribuídos 20 para cada jogador teremos aí 60 conjuntos de 20 cartões, restando apenas 12, o que evidentemente não permitiria incluir neste jogo mais um jogador... As regras deste jogo são as seguintes: 1. O aplicador deve embaralhar muito bem o conjunto dos 72 cartões #1; 2. O aplicador deve distribuir aleatoriamente 10 cartões (de preferência com as faces voltadas para baixo) para cada jogador; 3. Cabe ao(s) jogador(es) verificar quantas inclusões entre aqueles 10 cartões #1 ele pode estabelecer;. É claro que, por ser uma distribuição aleatória de cartões cada jogador poderá estabelecer uma quantidade de inclusões distintas entre si. Pode haver caso de jogadores que não consigam realizar nenhuma inclusão? Justifique. 4. Voltar ao passo ‘1’ e juntar mais 10 cartões #1 aos cartões já distribuídos anteriormente; 5. Verificar quantas inclusões destes 20 cartões #1 foram estabelecidas por cada um dos jogadores. Pode ocorrer que se um jogador não tenha conseguido anteriormente nenhuma inclusão, consegui-las agora, em até maior quantidade que aqueles que anteriormente tinham conseguido uma grande quantidade de inclusões? Justifique. 6. Recolha os cartões, repita o jogo a partir do passo 1, mais vezes para testar o que é perguntado nos passos 3 e 5.

57.5.3.2.- Alguns Exemplos de Inclusão entre os Cartões Modelo #1

... está contido em ... #1.QDb,vm,az

#1.QDh,vm,az

pág. 57.27

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... NÃO está contido em ... #1.QHb,vm,az

#1.QDh,vm,az

... NÃO está contido em ... #1.QDh,vm,az

#1.QDb,vm,az

... está contido em ... #1.CHb,am,vm

#1.CHh,am,vm

... NÃO está contido em ... #1.CDb,am,vm

#1.CHh,am,vm

57.5.3.3.- Analisando alguns Casos de Inclusão e Não inclusão no Modelo #1

... está contido em ... #1.CHb,vm,vm #1.CHh,vm,vm Justificativa: Para verificar visualmente a inclusão, basta girar de 90º no sentido antihorário o cartão #1.CHb,vm,vm.

... NÃO está contido em ... #1.CHb,vm,vm #1.CHh,vm,am Justificativa: Para verificar visualmente a não-inclusão, basta verificar os códigos dos cartões: #1.CHb,vm,vm #1.CHh,vm,am, cuja figura em relevo não é a mesma nos dois cartões.

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pág. 57.28

... está contido em ... #1.CHb,vm,vm #1.CHh,vm,vm Justificativa: Para verificar visualmente a inclusão, basta girar de 180º no sentido horário (ou até mesmo no sentido anti-horário) o cartão #1.CHb,vm,vm.

57.5.3.4.- Jogo Solitário ou com Vários Jogadores com os Cartões #1 e #2 Este é um jogo que pode ser solitário ou envolver até três jogadores. 1. Tomar separadamente o conjunto de dos 72 Cartões #1 e dos 168 cartões #2 bem embaralhados; 2. Tomar aleatoriamente dois conjuntos de cartões sendo: 10 cartões #1 e 10 cartões #2; 3. Verificar quantas inclusões o(s) jogador(es) pode(m) estabelecer entre os 10 cartões #1 com relação aos 10 cartões #2; 4. Voltar ao passo ‘1’ e juntar aos cartões anteriormente selecionados mais 10 cartões #1 e 10 cartões #2; 5. Verificar quantas inclusões destes 20 cartões #1 o(s) jogador(es) pode estabelecer com relação os 20 cartões #2. 6. O aplicador deve ficar muito atento ao seguinte: 6.1. Todos os jogadores conseguem estabelecer a mesma quantidade de inclusões seja durante o passo 2: jogando com 20 cartões ou seja durante o passo 4: jogando com 40 cartões? 6.2. Há jogadores que em alguma etapa do jogo (no passo 2; jogando com 20 cartões ou no passo 4: jogando com 40 cartões) não conseguem realizar nenhuma inclusão de cartões #1 nos cartões #2 que ele recebeu? 6.3. Em qual dos passos será mais difícil que um jogador não estabeleça nenhuma inclusão (no passo 2: jogando com 20 cartões ou no passo 4: jogando com 40 cartões)? 6.3. Um jogador que não conseguiu uma boa quantidade de inclusões durante o passo 2 pode se sair melhor que os demais jogadores quando jogando no passo 4? 7. Com jogadores mais experientes ou de maior escolaridade o aplicador deve examinar o porquê de se pesquisar este tipo de variação nos resultados, analisando as respostas dadas pó estes jogadores.

pág. 57.29

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57.5.3.5.- Alguns Exemplos de Cartões Modelo #1 contidos no Modelo #2

...está contido em ... #1.CHb,vm,az #1.CHh,vm,az,3 Justificativa: Basta comparar os códigos #1.CHb,vm,az e #2.CHh,vm,az,3.

...NÃO está contido em ... #1.CHb,vm,az #2.CDb,vm,az,3 Justificativa: Basta comparar os códigos #1.CHb,vm,az e #2.CDb,vm,az,3.

...está contido em ... #1.CDb,vm,az #2.CDh,vm,az,3 Justificativa: Basta comparar os códigos #1.CDb,vm,az e #2.CDh,vm,az,3.

... NÃO está contido em ... #1.QDb,am,az #2.QDh,am,∅, 1 Justificativa: Basta comparar os códigos #1.QDb,am,az e #2.QDh,am,∅, 1 Confira a seguir os outros exemplos: .

...está contido em ...

...NÃO está contido em ...

pág. 57.30

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...NÃO está contido em ...

...está contido em ...

... NÃO está contido em ...

57.5.3.6.- Jogo Solitário ou com Vários Jogadores com os Cartões #1 e #3 Cabe ao leitor analisar os jogos anteriores e estabelecer aqui regras adequadas aos conjuntos de cartões #1 e #3

57.5.3.7- Alguns Exemplos de Cartões Modelo #1 contidos no Modelo #3

... está contido em ... #1.CHb,az,az

#3.CD,az, az

... NÃO está contido em ... #1.CHb,az,az

#3.CD,az, am

... está contido em ... #1.QHb,az,az

#3.QD,az,az

pág. 57.31

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... NÃO está contido em ... #1.QDb,az,am

#3.QD,az,am

... está contido em ... #1.QDb,am,am

#2.QHb,am,am

... está contido em ... #1.QDb,am,az

#2.QHb,am,az

Confira a seguir os outros exemplos:

... está contido em ...

... NÃO está contido em ...

... está contido em ...

pág. 57.32

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... NÃO está contido em ...

57.5.4.- Jogo da Identidade a Menos da Rotação de 45º Este é um Jogo Para o Pensamento Lógico em que a inclusão de um cartão #1 está contido em outro cartão #1, #2 ou #3 independente da rotação de 45º, ou seja os cartões de #1 irão satisfazer a inclusão independentemente de estarem nas posições H ou V. Mostramos a seguir alguns exemplos.

... está contido em ... #1.QHb,vm,az

#1.QDh,vm,az

... está contido em ... #1.QDb,vm,az

#1.QHh,vm,az

... está contido em ... #1.CHb,am,vm

#1.CHh,am,vm

... está contido em ... #1.CDb,am,vm

#1.CHh,am,vm

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pág. 57.33

57.5.5.- Jogo da Identidade a Menos da Rotação de 45º

57.5.6.- Jogo da Equivalência Topológica1 Os cartões abaixo, segundo cada uma das colunas, são topologicamente equivalentes, ou seja, não importa a posição (H ou V) ou forma do desenho (Q ou C) para que os consideremos equivalentes em termos de topologia.

A Topologia é uma área da Matemática que estuda as propriedades geométricas de um corpo, que não sejam alteradas por uma deformação contínua, ou seja, é o estudo das propriedades das figuras geométricas ou espaços abstratos, independentemente de configuração ou distância entre suas partes.

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pág. 57.34

57.6.- Jogos Envolvendo Grandes Grupos de Jogadores Já vem de algum tempo a influência das teorias de Piaget e de Vygotsky nas atividades e formas de aprendizagem levadas a efeito nas salas de aula. Da primeira destas teorias adotamos a ‘Entrevista Crítica’ da segunda adotamos o conceito de socioaprenzdizagem em que os alunos se agrupam para a realização de trabalhos sejam cooperativos, e no caso da realização de trabalhos colaborativos em que a presença de um parceiro mais competente – na verdade um consultor eventual, não autointerveniente , aquele que deve interferir apenas quando solicitado pelo grupo de trabalho. Existem diferenças entre estes tipos de trabalhos a serem realizados nas salas de aula: 1. A ‘Entrevista Crítica’ substituiu a ‘Entrevista Clínica’ que foi inicialmente adotada por Piaget e que envolvia apenas o uso de diálogos. Devido à dificuldade de interpretação da linguagem das crianças, Piaget adotou o que denominou ‘Entrevista Crítica’, passando ele a envolver nestas, o uso de objetos logicamente estruturados (materiais concretos e/ou jogos pedagógicos, e, em particular, os Micromundos) para neles se basearem os diálogos entre o ‘jogador’ e o entrevistador. 2. No trabalho cooperativo em sala de aula, os alunos devem trabalhar juntos em busca de um objetivo específico, único para todos, objetivo este que acaba por catalisar a energia dos membros do grupo e dirigi-la numa mesma direção, visando bem concluir uma tarefa dada por um educador ou professor. 3. No trabalho colaborativo os alunos trabalham separadamente podendo assumir, cada um deles, papéis diferentes, desde que de acordo com suas habilidades ou aptidões. Na divisão de trabalho as tarefas são geralmente feitas através de escolhas individuais. Espera-se que no trabalho colaborativo Entende-se o trabalho colaborativo como sendo um processo de interação e ajuda mútua sendo, no entanto, que se pode agregar ao grupo um parceiro mais competente, na verdade uma espécie de consultor, que em muitos casos é o próprio educador ou professor. Neste caso o parceiro mais competente deve agir como mero observador, somente interferindo em caso de vir a ser consultado, assim mesmo nunca oferecendo respostas completas, mas meras sugestões.

57.6.1.- Os 600 Cartões #3 Versus os Quebra-cabeças com 1000 Quebra-cabeças com 1000 peças são feitos em algum tipo papel cartonado e possuem as mais variadas imagens impressas, paisagens, reproduções de obras de artes famosas, veículos automotores, etc. A imagem é colada no papel e depois é cortada em uma prensa, onde lâminas definem o formato

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pág. 57.35

das peças: curvas fechadas simples totalmente amorfas, ou em formas mais ou menos padronizadas. Normalmente este tipo de jogo deve ser jogado por um único jogador, que pode até pedir auxílio a outras pessoas. No entanto, o grande objetivo é de que ele seja montado por uma única pessoa – é um jogo solitário. Já os 600 cartões #3 foram desenvolvidos para ser jogado por um grupo de pessoas de forma cooperativa. Pode ser que se possa trabalhar em grupos em que haja um ou mais colaboradores que exercem o papel de parceiro mais competente, isto é, exercem a função de consultores, além de permitir a inclusão de outros jogadores trabalhando de forma cooperativa, transformando assim, esta forma de jogar em um jogo misto: cooperativo em que se pode solicitar a colaboração de um jogador mais especializado (um parceiro mais competente).

57.6.2.- Jogando com os 600 Cartões #3 O leitor deve pensar, a partir das sugestões a seguir, estabelecer regras para o jogo com grandes grupos de pessoas (no mínimo 4 pessoas). Sugestões de jogos: 1. Jogo de descriminação: embaralhar e distribuir alguns cartões (possivelmente uns 20 cartões) para cada jogador e solicitar que eles analisem em grupo os tipos de atributos mais notáveis dos cartões: formas, cores, distribuição das cores, etc. 2. Formação de conjuntos segundo cada um dos atributos: estudar a Tabela de Codificação dos Cartões #3 e separar estes cartões em conjuntos de acordo com cada atributo. 3. Formação de subconjuntos a partir dos conjuntos já formados no passo 2: tomar os conjuntos formados e subdividi-los em subconjuntos cada vez mais refinados.

57.7.- Outros Modelos Possíveis de Pares de Cartões A seguir mostramos uma série de pares de Módulos Básicos que poderiam ser adotados com a finalidade de ampliar o conjunto já bastante expressivo de 600 cartões, caso fosse necessário.

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pág. 57.36

57.8.- Uma Escolha de Módulo Bastante Pertinente Se devermos escolher entre os pares de módulos mostrados acima com a finalidade de ampliar o conjunto de cartões de 600 para 900, eu escolheria o seguinte par de módulos, adotando a seguinte nomenclatura:

pág. 57.37

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Modelo Básico #4QH,vm

Modelo Básico #4QV,vm

Modelo Básico #3.QH,vm

Modelo Básico #3.QD,vm

A escolha deste conjunto de módulos nos parece bastante natural na medida em que os módulos #3.QH e #3.QD são praticamente os mesmos, a menos da ilusão de tridimensionalidades conferida às figuras cuja base são quadrados. Estas características facilitam muito a colocação dos cartões #3.QH e #3.QV, com estes novos modelos de cartões, os #4.QH e #4.QV, em correspondência biunívoca sem temos que apelar para a similaridade baseada em propriedades topológicas. Note que este tipo de correspondência biunívoca baseada em equivalência topológica tem que ocorrer exatamente entre os cartões #3.QH e #3.QV respectivamente com os cartões #3.CH e #3.CQV.

57.9.- Conclusão Este é sem dúvida um dos conjuntos de cartões dentre os até aqui mostrados ao longo dos JLOGCs mais complexo não somente em termos dos atributos, mas também da quantidade. Além disto, a conexão entre os cartões #1, #2 e # 3, permite repensar a interação entre os elementos de Micromundos diversos, logicamente interligados. Esperamos que tenhamos inspirado os leitores a trabalhar com este três conjuntos de cartões de forma bastante criativa, dando oportunidades de criação de novas regras para os jogos até aqui apresentados e para os que venham a ser criados por ele.

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JLOGC#58 - JOGOS PARA O PENSAMENTO LÓGICO Nº 58 POLIMINÓS, POLIQUADRADOS, POLICUBOS & POLIFIGURAS Em 1953 Solomon Wolf Golomb chamou a atenção para os Poliquadrados durante uma palestra no Clube de Matemática de Harvard, mas deu a eles o nome indevido de Poliminós (Polyominoes em inglês). Pelo que se sabe os Poliquadrados, até então denominados Poliminós, darão embasamento à criação dos Policubos. Neste JLOGC os leitores irão perceber que o nome Poliminós foi reservado, e com ábsoluta razão, aos 2-Minós, 3Minós, 4-Minós e assim por diante, objetos que se destinam aos Jogos de Dominó de Casamento de Padrões. Além disto iremos fazer neste JLOGC um estudo dos Poliquadrados focando em especial os Pentaquadrados. Um conceito bastante amplo é introduzido aqui como sugestão do autor: as Polifuguras Geométricas que passam a englobar todos os tipos de assemblagens de figuras geométricas planas sejam elas as mesmas figuras ou até mesmo a assemblagem de figuras distintas.

58.1.- Os Poliminós, os Poliquadrados e os Policubos Neste JLOGC iremos realizar um amplo estudo sobre os conjuntos de objetos denominados: 1. Poliminós 2. Poliquadrados 3. Policubos Este estudo vai nos mostrar que apesar de que os Poliminós e os Poliquadrados terem sido inadivertidamente confundidos, os dois tipos de objetos são totalmente distintos uns os outros, como iremos mostrar.

58.1.1.- Os Poliminós Segundo Salomon W. Golomb Solomon Wolf Golomb (nascido em 1932) professor de Engenharia e Matemática da Universidade do Sul da Califórnia que em 1953 estudou detalhadamente as figuras geométricas que foram denominadas por ele, inadvertidamente como sendo ‘Poliminós’. Os termos Poliminó e Pentaminó (do inglês: Polyomino e Pentomino) foram usados pela primeira vez por Solomon Golomb em uma palestra para o Clube de Matemática de Harvard em 1953 e um ano mais tarde, foram usados em um artigo no American Mathematical Monthly.

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Os nomes Poliminós/Pentaminós foram cunhados por Golomb para descrever indevidamente uma generalização dos dominós comuns, como mostrados abaixo:

Golomb definiu um poliminó como um conjunto de quadrados de tamanho igual, cada um deles unidos com pelo menos a um outro quadrado ao longo de um lado. Na verdade, esta é a definição de um Poliquadrado. A ordem de um Poliminó é o número de quadrados usados para compô-lo. Os poliminós de ordem cinco foi denominado por Goulombo como sendo Pentominós. A popularidade dos Pentaminós (na verdade, formas pentaquadradas que deveriam ser denominadas Pentaquadrados) é atribuído principalmente à Golomb amplamente estudados no livro “Polyominoes: Puzzles, Patterns, Problems and Packings (Poliminós: Quebra-cabeças, Padrões, Problemas e Embalagens) com primeira edição em 1965 e revisado e reeditado em 1994 pela Princeton University Press, e também à divulgação de Martin Gardner através de seus artigos mensais na revista Scientific American. Veja o que Goulomb denominou Pentaminós, os quais para nós são os Pentaquadrados:

Para facilitar a manipução das peças elas devem receber cores distintas. As cores mostradas acima não são cores necessariamente padronizadas.

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58.1.2.- Os Poliquadrados O leitor deve confrir as definições a seguir, que são idênticas, sendo que a definição dada por Goulomb não deveriam se refeir aos Poliminós como se verá mais à frente, e sim aos Poliquadrados. De acordo com Golomb: Um poliminó é uma figura geométrica plana formada por quadrados idênticos, conectados entre si de modo que pelo menos um dos lados de cada quadrado coincida com um dos lados de outro quadrado. De acordo com nossas opinião: Um poliquadrado é uma figura geométrica plana formada por quadrados idênticos, conectados entre si de modo que pelo menos um dos lados de cada quadrado coincida com um dos lados de outro quadrado.

58.1.1.1.- Uma Ocorrência Não Intencional dos Doze Pentaquadrados Num problema do tipo quebra-cabeça proposto em 1908 pelo inventor Inglês de quebracabeças, Henry Ernest Dudeney, em seu livro The Canterbury Puzzles and others Curious Problems, editado por E. P. Dutton and Company, New York: 1908, de forma não intecional e desapercebida, apareceram pela primeira vez os doze Pentaquadrados e um Quadriquadrado, todos ao mesmo tempo, numa aparição não intencional. O que deve ser realçado aqui, é que dado ao contexto – um livro com vários quebra-cabeças – as posibilidades teóricas que daí poderiam ter surgido não foram intuídas por Dudeney em 1908, o que foi descortinado por Golomb em 1953 numa de suas palestras e depois acrescentado num seu livro editado 1965. O problema de número 74 proposto no livro de Dudeney localizado nas páginas de 90/92 fazia referência através de um longo texto ao seguinte: Durante um desentendimento entre jogadores de xadrez, o tabuleirocomposto de pequenos quadrados de madeira colados pelas laterias foi quebrado produzindo o seguinte conjunto de peças quadradas de madeira que conseguiram manter coladas umas às outras:

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O leitor mais observador deve ter notado que das treze peças acima apresentadas, doze delas são formadas por cinco quadrados (Pentaquadrados) alternadamente pintados nas cores preto e branco e apenas uma delas é formada por quatro quadrados (Quadriquadrados). Solucionar o problema significa recompor o tabuleiro, e a solução dada no livro de Dudeney foi a seguinte:

Dudeney sugeria ainda que o problema reverso àquele apresentado, o de recortar um tabuleiro de xadrez em novos tipos de peças e tentar a sua remontagem, seria igualmente interessante.

58.1.3.- Os Veradadeiros Poliminós: Uma Ideia Teórica Pertinente O que quermos mostrar ou mesmo provar é que os Poliminós ou N-Minós, não guardam parentesco algum com os Poliquadrados, abrangedo outra categoria de objetos cuja finalidade é o jogo típico dos dominós tradicionais que se dá através do casamento dos padrões que aparecem nas faces nestes objetos, vide vários exemplos de jogos de dominós, entre os muitos modelos com diversos formatos geométricos, propostos por nós neste volume de Jogos Para o Pensamento Lógico, tais como:

1. JLOGC#02 - Dominós Quadrados 4-Cores e 5-Cores (4-Minós) Abaixo são dados dois exemplos de quadradminós. No primeiro exemplo o casamento de padrões fica evidente, casam-se as cores, mas no segundo exemplo no casamento dos padrões não se levam em conta as formas, mas tão somente as cores.

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2. JLOGC#11 - Dominós Pentagonais 5-Cores (5-Minós)

3. JLOGC#12 - O Dominó Octogonal com 4 Cores Intercaladas (8-Minós)

4. JLOGC#13 - Jogo dos Dominós 2 × 3 (2×3-Minós)

5. JLOGC#30 - Triângulos e Quadrados Rotadores (3-Minós e 4-Minós)

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6. JLOGC#31 - Hexágonos Rotadores (6-Minós)

58.1.4.- Usar o Nome ‘Poliquadrados’ ao Invés de ‘Poliminós’ O que se viu acima é que o nome Poliminós traz em si um erro conceitual em termos de pensamento geométrico. O nome Poliminós é dado a estes objetos por extensão ao nome dominó que seriam um tipo de Poliminós composto por dois quadrados. Acontece que o nome dominó é dado a um tipo de ‘Poliminó’ muito particular destinado a um jogo típico, em que a forma do objeto, quando se joga, não é levada em conta, mas sim a possibilidade de se poderem casar os padrões que aparecem gravados em cada metade destas peças. Um outro argumento ainda mais forte que justificaria o porque os denominados Poliminós por deveriam ser denominados Poliquadrados porque a extensão natural destes objetos geométricos são os Policubos: Um Policubo é uma figura geométrica tridimensional formada por cubos unitários idênticos, conectados entre si de modo que pelo menos uma face de cada cubo coincida com uma face de outro cubo. Logo, assim como temos os Policubos nada seria mais natural do que denominar os ‘Poliminós’ como Poliquadrados, o que geometricamente seria mais bem justificado, deixando-se o nome Poliminó para nomear o que aqui denominamos N-Minós, em que os valores N= 2, 3, 4, ... se refeririam à quantidade de casamentos de padrões possibilitados por cada uma das peças dos jogos que poderiam ser também denominados N-Dominó.

58.2.- Poliquadrados: dos Biquadrados até os Hexaquadrados Nos desenhos a seguir, como é usual, no caso da construção do Poliquadrados serão desprezadas as simetrias. As simetrias aparecem na cor cinza ao lado ou abaixo de cada um dos conjuntos de policubos. Um dos motivos para não se computarem as simetrias é que podemos

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consegui-las pela simples rotação de 180º das peças com relação ao plano, já que as peças podem ser utilizadas mostrando qualquer uma de suas duas faces. Existe um Biquadrado (normalmente denominado Dominó):

Existem dois Triquadrados (indevidamente denominados Triminós por Golomb):

Existem 4 Tetraquadrados (indevidamente denominados Tetraminós por Golomb):

Observar que: Contando com as simetrias teremos 7 elementos neste conjunto.

Existem 12 Pentaquadrados (indevidamente denominados Pentaminós por Golomb):

Observar que: A seguir mostramos seis figuras simetrizáveis dos Pentaquadrados, o leitor deve verificar quais as figuras simétricas a elas correspondentes, comparando as figuras acima (coloridas) e as figuras abaixo (em cinza):

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Observar ainda que: contando com as simetrias teremos 18 elementos neste conjunto.

58.3.- Os Policubos Se você deseja saber quatos são os Policuboa, consulte a tabela encontrada na Wikipedia (‘Polycubes are classified according to how many cubical cells they have.’, ou: ‘Os Policubos são classificados de acordo com a quantidade de células cúbicas que eles tenham’.) . Número n-policubo Nome dos - as reflexões são contadas n n-policubos como distintas (sequence A000162 in OEIS) 1 Monocubo

2 Dicubos

3 Tricubo

4 Tetracubo

5 Pentacubo

6 Hexacubo

166

7 Heptacubo

1023

8 Octocubo

6922

Estes e outros valores para n-cubos com n>8 podem ser encontrados na ‘On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® - OEIS® cujo endereço na Internet é: https://oeis.org/ . Assim como os Poliquadrados, os Policubos são figuras geométricas tridimensionais formadas por cubos unitários idênticos, conectados entre si de modo que pelo menos uma face de cada cubo coincidas com uma das faces de outro cubo. Note que o monocubo ou cubo unitário não é propriemante um policubo e que somente existe um dicubo.

58.3.1.- Os Dicubos Existe um único dicubo:

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58.3.2.- Os Tricubos Existem apenas 2 tricubos:

58.3.3.- Os Tetracubos Existem 8 tetracubos:

58.3.3.1.- Há 8 tetracubos constituídos por: (a) as versões sólidas dos 5 tetraminós – cubos unitários coincidindo com cada um dos quadrados unitários de cada peça do tetraminó;

(b) 3 outros sólidos englobando todas as demais possibilidades de acoplamento dos cubos unitário face a face.

58.3.4.- Os Pentacubos Existem 29 Pentacubos dividido em dois grupos. O primeiro dos grupos é formado por 12 Pentacubos derivados dos Pentaquadrados (em cores diversas) e mais 17 Pentacubos (nas cores cinza).

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58.3.4.1.- Há 29 Pentacubos constituídos por: (a) as versões sólidas dos 12 pentominós – cubos unitários coincidindo com cada um dos quadrados unitários de cada peça do pentaminó:

(b) 17 outros sólidos englobando todas as demais possibilidades de acoplamento dos cubos unitário face a face.

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58.3.5.- Os Hexacubos Há 166 Hexacubos distintos formandos por todas as possíveis disposições de seis cubos unitários colados face a face e alocados sobre um plano imaginário. Nós estudaremos aqui apenas 36 destes Hexacubos, denominados Hexacubos Planares, sendo que os demais 72 Hexacubos são não planares. Não estudaremos este segundo grupo de Hexacubos indicando aos leitores interessados em estudar todos os 166 Hexacubos os seguintes sites: http://www.gamepuzzles.com/hxnames.htm e http://www.bumblebeagle.org/polycubes/hexacubes/, ambos com textos em inglês. Nestes sites os 166 Hexacubos são codificados usando-se letras do alfabeto e adjetivos ou numerais.Abaixo nós exemplificamos este tipos de codificação para alguns dos Hexacubos Planares:

\ \

T Longo

z minúsculo Z maiúsculo X itálico

O que se observa é que a correspondência entre os 166 Hexaminós e suas notações não é tão natural, ou até mais, muitas desta correpondência são difíceis de serem estabelecidas. Confira nos site supracitados.

58.3.5.1.- Os Hexacubos Planares

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pรกg. 58.12

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58.4.- Jogos Para o Pensamento Lógico 58.4.1.- Jogando com o Tetraquadrados 58.4.1.1.- Os Tetraquadrados e os Diagramas Bidimensionais Tomar os cinco Tetraquadrados:

Tentar preencher os seguintes diagramas, ou tabuleiros, usando todas aquelas cinco peças:

(1)

(2)

(3)

(4)

58.4.1.2.- Soluções

(1)

(3)

(4)

Observação: O tabuleiro (2) não admite solução pois um dos Tetraquadrados não poderá ser alocado neste tabuleiro. Verifique que peça do Tetraquadrado é esta.

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58.4.1.3.- Jogos Desafio Outros tabuleiros são apresentados a seguir para que o leitor tente alocar os Tetraquadrados. Existe algum destes tabuleiros que não aceita todas as cinco peças do Tetraquadrados?

58.4.2.- Jogando com os Tetracubos 59.4.2.1.- Montando Um Sólido Geométrico: Métodos de Codificação Os Tetracubos podem ser assemblados1 de modo a gerar Sólidos Geométricos(construções tridimensionais). Há pelo menos duas maneiras de codificar estas assemblagens destinadas a nos orientar ou a documentar a construção de cada um destes Sólidos Geométricos. As formas de

codificação das assemblagens de um sólido geométricos será estabelecida

através das cores e/ou dos números que devemos associar a cada um dos Tetracubos:

5.4.2.2.- Montagem de um Prisma Através do Método de Policamadas Este Método prevê a exibição de cada uma das camadas constituintes do sólido Geométrico a ser montado, desde a camada inferior até a camada superior, uma por uma, como mostramos nos dois exemplos dados a seguir.

Assemblage: do francês, conjunto constituído de elementos ajustados uns aos outros.

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O leitor irá tomar contacto nos dois próximos JOLGCs com estes Métodos de Codificação de assemblagens envolvendo vários tipos de Policubos: desde cubos unitários, dicubos, tricubos, etc, até o Pentacubo incluídos aí o caso do Cubo SOMA.

Primeiro Exemplo – Um prisma 8 × 2 × 2:

2 unidades

2 unidades 8 unidades Unidade = cubo unitário

Segundo Exemplo – Um prisma 4 × 4 × 2:

2 unidades

4 unidades 4 unidades Unidade = cubo unitário

5.4.2.3.- Exemplo da Montagem de um Prisma Através Códigos Numéricos Este Método prevê que o código numérico que está associado a cada um dos Policubos deverá ser estendido cada um dos cubos unitários que venham a constituir cada camada do cubo. A distribuição de valores, além de irem de baixo para cima com relação a cada uma das camadas, deverá ir da frente de cada uma das camadas para as partes mais internas desta camada. Esta numeração, que pode ser aleatória, deve ser fixada antes da montagem de sólidos geométricos

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utilizando os Tetracubos. Esta numeração nos permitirá documentar a montagem destes sólidos, permitindo a reconstrução do mesmo se necessário.

Codificação Numérica do prisma 8 × 2 × 2 visto acima, no Primeiro Exemplo: Base

Topo

fundo

45566788

42226738

frente

41111778

42 556738

Codificação Numérica do prisma 4 × 4 × 2 visto acima, no Segundo Exemplo: Base

Topo

fundo

4488

4438

↑

6658

2223

↑

6753

frente

1111

7753

58.5.2.- Jogando com os Pentaquadrados e com os Pentacubos Aqui estão os 12 Pentaquadrados de acordo com a colorização escolhida pelo autor em duas versões: com e sem a divisão em quadrados unitários como mostrados a seguir. Os leitores podem escolher, de acordo com suas habilidades, qualquer um destes dois tipos de apresentação dos Pentaquadrados para resolver os Jogos Para o Pensamento Lógico que apresentaremos mais adiante.

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58.5.2.1.- Os Pentaquadrados e o Tabuleiro com 8 × 8 Quadrados Unitários No item 58.1.1.1. acima, nós relatamos que em um jogo devido ao inventor inglês de quebracabeças, Henry Ernest Dudeney, em 1908 ocorreu pela primeira vez a ocorrência dos Pentaquadrados. Neste jogo ele sugeria a utilização dos 12 Pentaquadrados e de um Tetraquadrado para que se completasse um tabuleiro padrão de xadrez. O Tabuleiro mede 8×8 quadrículas ou seja, tem 64 quadrículas:

Caso o leitor queira usar somente os 12 Pentaquadrados para preencher este mesmo tabuleiro deverá ocorrer o seguinte: haverá 4 quadrículas vagas no tabulertiro. Mostramos abaixo algumas destas possíveis ocorrência de quadrículas vagas:

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Um Exemplo e Duas Soluções Distintas: Para uma mesma disposição de quadículas vagas pode haver dezenas e até centenas de possíveis soluções. A seguir mostramos duas soluções distintas para uma mesma disposição de quadrículas vagas. Confira a seguir.

58.5.2.2.- Jogos Para o Pensamento Lógico com Tabuleiros 8 × 8 Imprima este cojunto de tabuleiros várias vezes e use lápis de cor para pintar os Pentaminós nos tabuleiros de forma que em cada um as soluções para um mesmo tipo de tabuleiro sejam disitintas uma das outras por pelo menos algumas das posições de seus Pentaquadrados.

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58.5.2.3.- O Jogo Para o Pensamento Lógico da Duplicação dos Pentaminós Este jogo consiste em se escolher um dos Pentaminós e com os Pentaminós restantes tentar reproduzi-lo com o dobro de suas anteriores dimensões. Vejamos dois exemplos:

Pentaquadrado escolhido:

Resultado:

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Pentaquadrado Escolhido:

Resultado:

Jogos Desafio Para o Pensamento Lógico 1. O leitor deve tentar duplicar cada um dos demais Pentaquadarados. Será possível duplicar todos os Pentaquadrados, sem nenhuma exceção? 2. A duplicação de um mesmo Pentaquadrado pode ser conseguida de forma distinta, ou seja, com a substituição de pelo menos um dos Pentaquadrados por outro? Verifique isto utlizando os dois exemplos anteriores.

58.5.2.4.- O Jogo Para o Pensamento Lógico da Triplicação dos Pentaminós O Jogo da Triplicação dos Pentaminós foi proposto por Raphael M. Robinson, professor de Matemática da Universidade da Califórnia e na mesma época Joseph B. Tucker, teve a mesma idéia após um discussão sobre poliminós apresentada por escrito por seus alunos. Este jogo consiste em se escolher um dos Pentaminós e com os Pentaminós restante tentar reproduzi-lo com o triplo de suas anteriores dimensões. Vejamos dois exemplos:

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Pergunta-se: Na triplicação de um Pentaquadrado sempre restam 3 Pentaquadrados? Entre os Pentaquadrados restantes sempre resta aquele que foi triplicado?

58.5.2.5.- O Jogo Para o Pensamento Lógico das Áreas de Quadriláteros O conjunto de todos os Pentaminos é constituído por 60 Quadrados Unitários. O notável sobre esta constatação é que o número 60 tem um conjunto de 10 divisores, a saber: D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 15, 30, 60} Isto nos permitirá propor vários modelos de retângulos com área valendo 60 unidades: 2 × 30; 3 × 20; 4 × 15; 5 × 12 e 6 × 10.

Quantidade de Soluçõesde Distintas de Acordo com as Áreas De acordo com o artigo da Wikipedia intitulado ‘Pentomino’ (em inglês) a quantidade de soluções possíveis excluindo as variações triviais obtida pela totaão e reflexões totais dos retângulos, incluido somente as rotações e reflexões dos pentaquadradospara cada uma destas áreas são as seguintes:

Retângulo com área 2 × 30

Neste retângulo apenas 6 dos 12 Pentaquadrados podem ser alocados, ou seja, não há aqui nenhuma solução possível. Veja a seguir os 6 Pentaquadrados que podem ser utilizados para preencher parcialmente a malha de 2 × 30 quadrículas unitárias.

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O problema de preenchimento da malha 2 × 30 pode ser resolvido se dulicarmos os seis Penntaquadrados mostrados acima.

Retângulo com área 3 × 20

O retângulo cuja área é dada por 3 × 20 tem somente 2 soluções.

Retângulo com área 4 × 15

O retângulo cuja área é dada por 4 × 15 tem 368 soluções.

Retângulo com área 5 × 12

O retângulo cuja área é dada por 4 × 15 tem 1010 soluções.

Retângulo com área 6 × 10 O retângulo cuja área é dada por 6 × 10 tem 2339 soluções de acordo com o que foi estabelecido em 1960 por Colin Brian and Jenifer Haselgrove.

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Sugestão A maneira mais simples de iniciar este tipo de Jogos Para o Pensamento Lógico – o preenchimento dos diversos tipos de Áreas de Quadriláteros com 60 quadrículas

usando os

Pentaquadrados – é começar do retângulo de área 6 × 3, pois este é o jogo com 2339 soluções. Não se recomenda o jogo no retângulo cujas medidas sejam 3 × 20 pois o mesmo tem unicamente 2 soluções.

58.5.3.- Jogando com os Hexacubos 58.5.3.1.- Desenhando os 35 Hexadraquados Este é um bom Jogo Para o Pensamento Lógico: Utilizando um papel quadriculado desenhar os Hexa-Poliquadrados ou Hexaquadrados que totalizam 35 formas distintas a menos das simetrias. Você encontrará a resposta a seguir, no entanto, mesmo que não tenha encontrado os 35 Hexaquadros continue tentando de vez em quando resolver este problema. Computadas as simetrias o conjunto de peças passa a ter 60 elementos. Estabeleça quais das 25 peças do conjunto dos 35 Hexaquadrados são aquelas que possuem uma peça simetrizável. Na tabela abaixo contendo os 35 Hexaquadros a menos das simetrias, os Hexaquadrados de cada uma das linha foi colorida por uma mesma cor a fim de facilitar a visualização e conferência das peças encontradas por você.

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58.5.3.2.- Comparando os 35 Hexaquadrados Zebrados Há dois casos de Hexaquadrados Zebrados: os Preto&Coloridos e os Preto&Brancos.

58.5.3.3.- Trabalhando 70 Hexaquadrados Zebrados Preto&Coloridos Os dois grupos de 35 Hexaquadrados abaixo (são 70 Hexaquadrados ao todo) são denominados Hexaquadrados Zebrados Preto&Coloridos. O que diferencia cada um destes 35 Hexadrados de um para outro dos conjuntos Preto&Colorido é a alternância entre as partes coloridas e as partes em preto. Confira isto nos desenhos a seguir.

Jogo Para o Pensamento Lógico: Jogo da Discriminação No caso deste Jogo Para o Pensamento Lógico deve-se embaralhar e distibuir os 70 Hexaquadrados para que o jogador os estude e os agrupe de acordo com algum tipo de critério estabelecido por ele.

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58.5.3.4.- Trabalhando 70 Hexaquadrados Zebrados Preto&Branco O mesmo que foi dito sobre os Hexaquadrados Zebrados Preto&Coloridos pode ser afirmado sobre os Hexaquadrados Preto&Brancos: o que diferencia cada um destes 35 Hexadrados de um para outro dos conjuntos Preto&Colorido é a alternância entre as partes coloridas e as partes em preto. Confira isto nos desenhos a seguir.

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O 1ยบ Conjunto de Hexaquadrados Zebrados Preto&Branco

\\\\\

O 2ยบ Conjunto de Hexaquadrados Zebrados Preto&Branco

pรกg. 58.26

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Jogo Para o Pensamento Lógico: Jogo da Igualdade de Quadrículas Dados os 70 Hexaquadrados o jogador deve buscar aqueles em que as quadículas pretas e a quadrículas brancas apareçam naquela peça em iguais quantidades, ou seja para 3 quadrículas pretas deve havr 3 quadrículas brancas.

Jogo Para o Pensamento Lógico: Jogo da Paridade de Quadrículas Dados os 70 Hexaquadrados o jogador deve buscar aqueles em que as quadículas pretas e as quadrículas brancas sejam números pares: 2 pretas versus 4 brancas ou 4 pretas versus 2 brancas.

Jogo Para o Pensamento Lógico: Jogo da Construção de Tabuleiros Deve-se levar em conta que os jogadores já passaram pelo Jogo da Discriminação utilizando os Hexaquadrados Zebrados Preto&Coloridos. Podemos propor agora o seguinte jogo solitário: 1. O jogador dee tentar construir tabuleiros do tipo tabuleiro do Jogo de Damas ou de Xadrez em que em todas as direções deve haver uma alternacia de quadrículas brancas e pretas. 2. O Jogador deve tentar construir com estes 70 Hexaquadrados tabuleiros quadrados ou retangulares desde: 3 × 3 e

3 ×4,

passando pelo tabuleiro

possíveis, até o tabuleiro exato dos jogos de Damas ou Xadrez que mede 8 × 8.

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Jogo Para o Pensamento Lógico: Jogo do Cálculo do Perímetro Tome um dos quaisquer conunto com os 36 Hexaquadrados e agrupe aquelas peças que possuam o mesmo perímetro. A seguir utilizamo os Hexaquadardos pra exemplificar a qantidade de unidades de cada um dos perímetros:

Perímetros:

14 unidades

12 unidades

10 unidades

O leitor deve notar que as áreas destas figuras acima têm exatamente 6 unidades de área, pois se tratam de Hexaquadrados.

Jogo Para o Pensamento Lógico: Jogo do Cálculo da Área e do Perímetro A seguir mostramos um conjunto bastante amplo de Poliquadrados de diversos tamanhos. Este Jogo Para o Pensamento consiste em classificar cada um destes Poliquadrados: •

Quanto ás áreas: se 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, ect uniddes de área (cada unidade é igual á área de um quadrardo unitário).

•

Quanto aos perímetros: se: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, etc unidades (cada unidade é igual a um lado do quadrado unitário).

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pág. 58.29

58.6.- O que está na Internet sobre as Polifiguras Geométricas O leitor encontrará a seguir sugestões para a busca de farto material que está disponibilizado na internet. 1. O leitor mais interessado deve procurar na Internet o que existe sobre Poliquadrados tomando o cuidado para fazê-lo usando o nome que se universalizou, apesar de ser conceitualmente errado: ‘poliminós’ em português ou, em inglês, ‘Polyominoes’. Já quanto aos Policubos este nome é universasl sendo que inglês a busca deve ser feita como ‘Polycubes’. 2. Quem estuiver ainda mais interessado por buscar na Internet outros tipos de composições utilizando as assemblagens de figuras geométricas planas – todos os nomes usados a seguir estão em inglês, pois muitos destes objetos não são encontrados quando se busca usando a língue portuguesa: •

Triângulos Isósceles: ‘Polyabolo’ – no sigular, ou ‘Polyaboloes’ – no plural:

•

Triângulos Equilátero: ‘Polyiamond’:

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•

Quadrados: ‘Polyominoes with holes’

NOTA: Os Poliquadrados com buraco (denominados errôneamente poliminós com ‘buracos’) só passam a existir a partir do Heptoquadrados (erroneamente

denominado

Heptominós

com

buracos).

São

Octoquadrados com buraco, já os Eneaquadrados ou Nonoquadrados não foram reproduzidos em sua totalidade no desenho acima. Os Eneaquadrados são 37. •

Quadrados: ‘ Polyplet’

•

Hexágonos: ‘Polyhex’

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58.7.- Sugestões do Autor: As Polifiguras Geométricas Iremos denominar Polifiguras Geométricas às diversas formas de assemblagem de figuras geométrica como: os quadrados (Poliquadrados) e outos tipos de assemblagens que envolvam triângulos, quadrados, hexágonos, octógonos, ou misturas destas figuras geométricas planas. As ideias que daremos aseguir podem ser útil para aqueles que queiram pesquisar sobre estas quatro nossas sugestões que são: 1. Os Poliquadrados-triângulos-I compostos por quadrados e triângulos isósceles (I); 2.

Os Poliquadrados-triângulos-E compostos por quadrados e triângulos equiláteros (E);

3. Os Polioctógonos-quadrados compostos por octógonos regulares e quadrados.; 4. Os Polihexaedros-quadrados-triângulos compostos por hexágnos, quadrados e triângulos equiláteros.

58.7.1.- Os Poliquadrados-triângulos-I Aqui estão apenas alguns exemplos daas Polifiguras Geométricas que podem ser obtidas pela composição de quadrados e triângulos isósceles:

O leitor atento irá verificar que muitas das Polifiguras Geométricas estudadas anteriormente podem estar incluídas nesta nova maneira de gerar as Polifiguras Geométricas.

58.7.1.1- Jogos Para o Pensamento Lógico com o Poliquadrado-triângulo-I Propomos a seguir quatro estudos (Jogos Para o Pensamento Lógico) que podem ser levados avante pelos leitores mais interessados: 1. Pode-se realizar pesquisas mapeando todas as possibilidades de composição quadradostriângulos-I utilizando quadrados e triângulos isósceles impressos, plastiificados e recortados ou fritos de material emborrrachado (EVA);

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2. Pode-se pesquisar novas composições para estas Polifiguras Geométricas utilizando quadrados e triângulos isósceles coloridos, ou seja, alguns quadrados com a cor vermelha e outros na cor amarela bem como dois triângulos isósceles vermelhos e amarelos, como mostramos a seguir:

58.6.1.2.- Os Poliquadrados-triângulos-E 3. Assim como os Poliquadrados-triângulos-I vistos acima, os Poliquadrados-triângulos-E geram composições bastante interessantes envolvendo quadrados e triângulos equiláteros. Confira abaixo as Polifiguras geométricas que criamos e acrescente novas suas Polifiguras, construindo-as utilizando quadrados e triângulos equiláteros impressos, plastificados e recortados ou feitos de material emborrrachado (EVA);

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58.6.1.3.- Os Polioctógonos-quadrados As construções de Polifiguras Geométricas envolvendo os octógonos e quadrados mostradas abaixo são apenas alguns exemplos das possibilidades.

O leitor poderá imprimir os diagramas abaixo e tentar desenhar seus próprios Polioctógonosquadrados a partir de alguma heurística ou estratégia logicamente bem estabelecidas.

58.6.1.4.- Os Polihexagonp-quadrado-triângulo As construções de Polifiguras Geométricas envolvendo os hexágonos, quadrados e triângulos equiláteros nos permitem composiçãoes bastante complexas e com múltiplas alternativas. O leitor mis atento irá verificar que

heurística escolhida oelo autoe foi a segguinte: (1) todos a Polifiguras

Geométricas abrangem pelo menos um hexágono; (2) há figuras que e apresenta com os hexágonos e triângulos, somente; (3) há figuras que e apresenta com os hexágonos e quadrados, somente; (4) há figuras que e apresenta com os hexágonos, quadrados e triângulos.

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Novamente sugerimos que o leitor imprima os diagramas abaixo e tente desenhar seus próprios Polihexa-quadra-tri a partir de alguma heurística ou estratégia logicamente bem estabelecida por ele.

58.7.- Jogos Para o Pensamento Lógico-Geométricos O universo das Polifiguras geométricas é bastante vasto e surpreendente e elas podem se prestar a uma série de novas ideias sobre Jogos Para o Pensamento Lógico e at´Geométricos, como por exemplo o seguinte.

58.7.1.- Baralhos do Tipo Polihexágono-quadrados 58.7.7.1.- Cartas de Baralho com um Hexágono e com de 0 a 4 Quadrados A seguir sugerirmos um jogo de baralho com os Polioctógonos-quadrados em que as as laterais das figuras coloridas são contadas como sendo o valor da carta. Veja o exemplo:

pág. 58.35

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1. Gerando as Polifiguras Geométricas na malha Polihexágono-quadrados:

2. Eis abaixo os cartões ou cartas do baralhos do jogo:

3. Na primeira linha da tabela mostrada a seguir, oa valores correspondem ao numéro de lados de cada figura somados – confira –; o segundo valor coresponde aos valores das arestas somadas evitando-se contar os lados em comum – confira –:

Total de Lados: Lados – Lados Comuns:

6 6

10 9

14 12

18 15

22 18

4. Para que se possa jogar um jogo de baralho do tipo em que embaralhadas e recebidas as cartas, deve-se imprimir o conjunto das 6 cartas várias vezes. A quantidade de cartas deverá possibilitar ainda a reserva de cartas naquilo que denominamos ‘morto’, para ser comprado quando da vontade do jogador da vez. a. A cada vez, vencerá o jogador que jogar a carta de maior valor; b. O jogo só termina quando não houver mais cartas no morto e um dos jogadores descartas a sua última carta;

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c. Terminado o jogo – quando um dos jogadores ficar sem cartas e não houver mais nehuma carta no morto – as cartas que estiverem ainda nas mãos dos jogdores deverão ter seus pontos contados e anotados para que sejam somados como pontos negativos no final das rodadas que contituiram a partida. d. O jogador vencedor da rodadada de partidas é o que perdeu menos pontos.

58.7.7.1.- Cartas de Baralho com dois Hexágono e com de 0 a 6 Quadrados Os cartões Polioctógonos-quadrados abaixo apresentados consiste de um ampliação dos cartões nteriormente criados, ampliando-se a figura a fim de que el passe a ter dois octógono e consequentemente mais dois quadrados.

As regras do Jogo Para o Pensamento Lógico anterior pode ser utilizada fazendo-se, se necessário, algumas pequenas adaptações. O único acréscimo neste conjunto de cartões diz respeito

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aos 4 baralhos cujas figuras estão em branco. Estas cartas podem ser utilizados como curingas cujo valor supera o valor de qualquer uma das cartas.

58.7.2.- Baralhos do Tipo Polioctógonos-quadrados-triângulos A seguir sugerirmos mais um jogo de baralho, agora com os Polioctógonos-quadradostriângulos. São 90 cartas de baralho distintamente separados em 6 conjuntos com 15 elementos cada, que podem ser utilizadas basicamente no Jogo Para o Pensamento Lógico segundo as regras do jogo estudado no item ‘58.7.7.1.- Cartas de Baralho com um Hexágono e com de 0 a 4 Quadrados’, no entanto, estes 6 conjuntos possuem atributos que devem ser considerados como fortes indutores para novas criações de Jogos Para o Pensamento Lógico, tais como: 1. Cartas, de um mesmo dos 6 conjutos com 15 elementos, cujas figuras sejam totalmente distintas entre si 2. Cartas, de um mesmo dos 6 conjutos com 15 elementos, cujas figuras sejam distintas entre si, apesar de guardarem alguma semelhança; 3. Cartas dos conjunto azul (de quadrados) que guardem a mesma estrutura (por exemplo: quantidade de elemetos e/ou posicionamente das figuras: quadrados × triângulos) com relação ao conjunto vermelho (de triângulos); 4. Cartas com figuras simétricas (normalmente encontradas num mesmo conjunro de 15 cartas); 5.

Cartas com figuras idênticas (encontráveis de um para outro, dos 6 conjunto de 15 cartas);

6. Cartas equivalentes, a menos das cores, que ocorrem quando da assemblagem das figuras que aparecem nos cartões azuis com as figuras dos cartões vermelhos ; 7. Cartas equivalentes a mesno das disposição de cores, nas composições que envolvem quadrados (cor azul) mais triângulos (cor vermelha) em que os octágonos ora são azuis, ora são vermelhos. Somente o que foi dito acima vai sugerir ao leitor a criação de uma gama interessante de jogos Para o Pensamento Lógico, a saber: 1. Jogos Livre para a descoberta de identiddes e semelhanças – em um dos conjuntos com 15 elelemntos; entre dois conjuntos de 15 elelemntos cada em eu as cores sejam distintas ou posicionadas de maneira distintas;;

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2. Jogos de inclusão dos cartões azuis ou vermelhos nos cartões ‘azuis & vermelhos (aqueles com o octógono azul)’ ou ‘vermelhos & azuis’ (aqueles com o octógono vermelho); 3. Jogos da descobetas de simetria entre cartões num mesmo conjunto de 15 cartas; 4. Jogos que compares o sentido de rotação virual produzida pelos posicionamentos dos triângulos, nos cartões bicoloridos (vermelho & azul ou azul & vermelho); 5. Jogos de contagem dos lados das figuras coloridas contados esomados como pertencentes a figuras individualizadas, ou então contados eliminando-se as contagens correspondente dos lados comuns; 6. Jogos de baralho com descarte, compra de cartas no morto e contagem de pontos negativos, conforme o sugerido em ‘58.7.7.1.- Cartas de Baralho com um Hexágono e com de 0 a 4 Quadrados’ o que já foi sugerido acima; 7. E muitos outros Jogos Para o Pensamento....

58.7.2.1.- Cartas com Octógonos e Quadrados Azuis

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58.7.2.2.- Cartas com Octógono e Quadrados Vermelhos

58.7.2.3.- Cartas com Octógono e Quadrados Azuis e Triângulos Vermelhos-AntiH Neste conjunto de 15 caerrtões os triângulos simulam um giro no sentido anti-horário.

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58.7.2.4.- Cartas com Octógono e Quadrados Azuis e Triângulos Vermelhos-H Neste conjunto de 15 caerrtões os triângulos simulam um giro no sentido horário.

58.7.2.5.- Cartas com Octógono e Triângulos Vermelhos e Quadrados Azuis

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58.7.2.6.- Cartas com Octógono e Triângulos Azuis e Quadrados Vermelhos

58.8.- Comentários Finais Estudamos até aqui e propusemos algumas ideia novas e novas pesquisas a serem levadas a efeito pelos leitores mais atento e interessdos em aprender sobre a aprenddizagem (professores de Matemática, educadores em geral, gestores de grupos de atividades para jovens ou idosos), que permitirão a todos eles: aplicadores, observadores e mesmos jogadores, uma imersão nas ideias fundamentais dos livros desta série intitulada ‘Jogos Para o Pensamento Lógico-Matemático’ – previsto para 4 volumes, sendo cada um desles divididos em 3 tomos, envolvendo estudos de Jogos Lógicos (Tomos 1, 2 e 3 – disponíveis), Jogos Aritméticos (1 tomo disponível e mai um em preparação), Jogos Geométricos (1 tomo disponível) e Jogos Algébricos (1 tomo disponível). As idéias fundamentais deste 12 tomos, dos quais 6 já estão disponíveis para leitura no site www.issuu.com ascessados através de uma busca pelo meu nome ‘Aury’, é a de proporcionar lazer e aprendizagem através de Jogos Para o Pensamento com regras que possam ser adaptadas ou recriadas pelos leitores mais interessados ou curiosas.

60 Jogos Para o Pensamento Lรณgico - JLOGC#58 - Aury de Sรก Leite

pรกg. 58.42

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JLOGC#59 - JOGOS PARA O PENSAMENTO LÓGICO Nº 59 DISSECÇÕES DE UM CUBO EM POLICUBOS SOMA Os Cubos Soma (em inglês: Soma Cubes) ou dissecção do cubo (cubo 33 ou cubo 3×3×3) em Policubos SOMA, se constituem na mais notável das muitas possibilidades de dissecção de um cubo composto pela reunião de 27 cubos unitários. Esta dissecção do cubo em Policubos SOMA, nos permite estudar em detalhes os fenômenos matemáticos – geométricos e numéricos – envolvidos neste tipo de dissecção de um cubo. No próximo JLOGC se estudará vários tipos de dissecção além da aqui estudada.

59.1.- Os Doze Policubos Os policubos são blocos constituídos de pequenos cubos unitários colados pelas faces. Estes blocos são obtidos por todas as maneiras possíveis de assemblagem de cubos unitários, cujas quantidades, neste exemplo, variam desde um até quatro. Os policubos (em inglês: polycubes) com de um até quatro cubos perfazem a quantidade de doze, como mostrado na figura a seguir.

Chamamos atenção para o seguinte fato: os Cubos SOMA (em inglês: SOMA Cubes) serão montados utilizando-se apenas sete destes blocos especialmente escolhidos entre os 12 policubos.

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O leitor irá notar que estas sete peças são as únicas que podem ser geradas de acordo com as condições: (a) três ou quatro cubos unitários, organizados através da ‘colagem’ de suas faces; (b) todos os policubos assim formados devem ser peças côncavas1.

59.1.1.- Os Policubos SOMA Os sete módulos selecionados entre os doze policubos inicialmente mostrados serão denominados Policubos SOMA. Os Policubos SOMA recebem números de acordo com a sua complexidade, sendo que alguns autores podem estabelecer numerações distintas da aqui mostrada.

Todos os Policubos SOMA são distintos entre si, sendo que dois deles são imagens tridimensionais simétricas uma com relação à outra. Na verdade esta propriedade é denominada Enantiomorfismo. Segundo o Dicionário Houaiss estes dois policubos apresentam forma idêntica quanto às partes componentes, mas com disposição simetricamente inversa em relação a um ponto, eixo ou plano. Podemos citar como exemplos de objetos enantiomórficos: um objeto bidimensional ou tridimensional e sua imagem num espelho, a perna esquerda em relação à perna direita. O policubos 5 e 6 são enantiomorfos, confira:

Uma figura é côncava quando é possível escolher dois pontos do interior da mesma de modo que o segmento de reta que os une passa por fora da figura.

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59.1.2.- Os Policubos SOMA Estabelecido que o Cubo SOMA é formado por sete Policubos SOMA, policubos estes, especialmente escolhidos entre os doze policubos com 1, 2, 3 ou 4 peças, vamos estudar como isto foi estabelecido. O matemático dinamarquês Piet Hein2 se deparou, durante uma aula de Mecânica Quântica ministrada por Werner Heisenberg3, com a ideia de que se poderia juntar estas sete peças – os sete primeiros policubos côncavos – para formar um cubo cujas dimensões seriam 3 × 3 × 3 cubos unitários, ou seja um cubo formado por 27 pequenos cubos idênticos. Piet Hein patenteou esta ideia em 1934, denominando estas peças como ‘SOMA Cubes’.

A figura acima nos mostra o cubo 3 × 3 × 3 onde se podem ver as faces visíveis e mais três projeções das faces não visíveis. A possibilidade de visualização das seis faces irá ser muito útil no caso de queremos saber como foi montado o Cubo Soma quando utilizamos os Policubos Soma com cores distintas. John Horton Conway e Michael Guy, dois matemáticos ingleses, mostraram em 1961 que existem 240 maneiras essencialmente diferentes de montar o cubo com as sete peças Soma, excluindo rotações e reflexões.

59.1.3.- A História dos Cubos SOMA Segundo Martin Gardner Martin Gardner relata num de seus livros: ‘The Colossal Book of Mathematics” (páginas 398399) que o matemático Piet Hein estava assistindo a uma aula de Mecânica Quântica ministrada por Werner Heisenberg quando lhe ocorreu a ideia dos Cubos SOMA. Consta que Heisenberg descrevia um espaço dividido em células cúbicas, tendo formulado a hipótese de ao se utilizar todas as 2

Pirt Hein (1905/1996) nasceu na Dinamarca tendo estudado no Instituto de Física Teórica da Universidade Técnica da Dinamarca que mais tarde receberia no nome de Instituto Niels Born. Notável pensador prolífico, cientista, matemático, inventor, projetista e escritor, coisas que motivaram a Universidade de Yale a lhe conceder o título de doutor honorário. 3 Werner Karl Heisenberg (1901/1976) foi um físico teórico alemão que recebeu o Prêmio Nobel de Física em 1932 pela criação da Mecânica Quântica, cujas aplicações levaram à descoberta, entre outras, das formas alotrópicas do hidrogênio.

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Pág. 59.4

formas ‘irregulares’ (côncavas) construídas por até quatro cubos de tamanhos iguais,unidos por suas faces, poder-se-ia montar um cubo maior, cujas dimensões seria 3 × 3 × 3 cubos. Neste mesmo livro Martin Gardner se estende sobre o assunto dos Soma Cubes até a página 408. Voltando àquela aula de Mecânica Quântica, os policubos com até 4 cubos são 12 conforme mostramos na figura anterior, no entanto, Heisenberg se referia a 7 daqueles policubos que são formas irregulares. Entendendo-se por forma irregular, neste contexto, os blocos policúbicos côncavos. Na figura acima repetimos a figura anterior onde apareciam os 12 policubos, sendo que os policubos regulares aparecem pintados em azul, enquanto os policubos irregulares continuam com a sua cor de madeira natural. Como se estabeleceu acima, estes policubos são os denominados Policubos SOMA.

59.1.4.- A Origem do Nome Cubos SOMA / SOMA Cubes Quanto ao nome SOMA alguns autores afirmam que ele foi tirado do livro “Admirável Mundo Novo” ("Brave new world") de Aldous Huxley, publicado pela primeira vez em 1932. No livro, o soma é uma droga calmante que causa forte dependência. Possivelmente o nome seja adequado ao conjunto destes sete policubos se pensarmos no possível efeito supostamente calmante ao se buscar dentre as 240 possibilidades de assemblagem destas peças, bem como o caráter viciante que Piet Hein deve ter atestado nas suas pesquisas posteriores, ao divulgar o jogo entre amigos ao longo dos anos.

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59.2.- Os Módulos Coloridos Não há a necessidade de que os módulos do Cubo SOMA sejam coloridos, sendo que normalmente eles são encontráveis em madeira natural. Ocorre que eu tomei contacto com eles, pela primeira vez, já coloridos de acordo com as cores mostradas abaixo, o que me fez estruturar todo o meu estudo sobre os Policubos SOMA / Cubos SOMA, adotando estas mesmas cores.

59.3.- Codificando as Assemblagens com os Policubos Soma Há um conjunto de cinco possíveis maneiras de codificar as assemblagens obtidas com os policubos SOMA destinadas a nos orientar ou a documentar a construção de cada um dos 240 Cubos SOMA que podem ser formados com a assemblagem dos Policubos SOMA. As formas de codificação das montagens de um Cubo SOMA podem ser estabelecidos através das cores e/ou dos números que estão associados a cada um dos Cubos SOMA: 1.- Montagem do Cubo Soma Bloco a Bloco; 2.- Exibição das Vistas Superior e Inferior do cubo; 3.- Exibição das quatro vistas laterais do cubo colorido formado obtidas através de seu giro no sentido horário em torno de um eixo imaginário; 4.- Exibição das três camadas constituintes do cubo – base, meio e topo; 5.- Usando o código numérico que está associado a cada um dos cubos Soma, atribuindo a cada um dos pequenos cubos que constituem cada camada do cubo maior o seu valor numérico dentro do Cubo SOMA a que pertença.

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59.3.1.- Montando o Cubo SOMA Bloco a Bloco As figuras abaixo mostram uma das 240 possíveis montagens do Cubo SOMA bloco a bloco, onde se destaca em tamanho reduzido acima, do lado direito, o policubo que está sendo utilizado.

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59.3.2.- Montando o Cubo a Partir das Vistas Superior e Inferior

59.3.3.- Montando o Cubo a Partir das Quatro Vistas Laterais

59.3.4.- Montando o Cubo a Partir da Visualização Por Camadas

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59.3.5.- Montando o Cubo a Partir do Códigos Numérico

Base

Meio

Topo

223

263

243

667

563

544

177

117

554

Código Numérico da Base 223 667 177

Código Numérico do Meio 263 563 117

Código Numérico do Topo 243 544 554

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59.4.- Jogos Para o Pensamento Lógico Com Solução Os exercícios propostos a seguir como Jogos Para o Pensamento Lógico, podem ser utilizados seja a partir da própria proposta, seja a partir das soluções dos mesmo.

59.4.1.- Montando Seu Primeiro Cubo a Partir das Camadas

? 59.4.1.1.- Solução

Confira camada por camada:

Topo

Meio

Base

342

331

361

442

661

567

422

557

577

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59.4.2.- Montando Seu Segundo Cubo a Partir do Código Numérico

Base

Meio

Topo

556

566

311

256

377

317

222

447

344

59.4.2.1- Solução

59.4.3.- Montando Seu Terceiro Cubo a Partir das Vistas Laterais

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59.4.3.1.- Solução

Topo

Meio

Base

115

455

774

415

466

762

333

736

222

59.5.- Uma Série de Novos Desafios Usando os Policubos Soma Os policubos SOMA além das composições dos cubos com 27 cubos unitáraios podem ainda ser utilizados para outras composições complexas como as mostradas a seguir, tais como: sofá, cama, serpente – que aparecem na figura abaixo.

Outras montagens, entre as muitas que podem ser encontradas em livros e também na Internet, são a seguir sugeridas: cadeira, arranha-céu, poço, pirâmide, túnel e muro.

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Ao contrário da montagem dos cubos que podem ser conseguidas de 240 meneiras distintas, estas novas mantagens são consideradas difíceis, pois não há um estudo rigoroso sobre a quantidade de possibilidades de assemblagens possíveis. No entanto, há como

codificá-las ainda em termos

numéricos e de representações coloridas, como mostraremos a seguir. Somente como exemplo, Martin Gardner em seu livro “The Colossal Book of Mathematics” exibe na página 402 uma assemblagem que apesar de ser possivel se considerarmos os cubos unitários individualmente, é impossivel de ser obtida com os Policubos SOMA:

59.5.2.- Codificação das Assemblagens Complexas A seguir vamos mostrar alguns tipos de codificação, inclusive a codificação numérica, de três das formas complexas acima: a cama, o sofá e a serpente.

59.5.2.1.- Constrindo uma Cama com os Cubos SOMA

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É bastante natural pensarmos que os valores numéricos devam ser distribuídos de acordo com a disposição dos cubos unitários na forma a ser construída. No caso da cama podemos estabelecer a seguinte disposição onde se podem ver a forma fatiada em camadas que partem dos fundos até a frente.

7 7

6 7

5 7

1 4

5 5

1 1

59.5.2.2.- Constrindo um Sofá com os Blocos SOMA O sofá construído com os blocos SOMA foi apresentado nas figuras abaixo de três maneiras disitintas, a construção em cores, a vista explodida, e os códigos numéridos em cores.

6 2

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Nesta codificação numérica a parte do sofá praticamente invisível esta tarjada em preto e fora do alinhamento das depais dimensões da explosão.

59.5.2.3.- Constrindo uma Serpente com os Blocos SOMA A serpente a seguir é mostrada apenas de duas maneira, a saber: a construção e a explosão de suas diversas camadas. Cabe ao leitor elaborar um esquema para a distrubuição dos códicos numéricos e distribuí-los no esquema.

Vista detalhada da montagem acima:

59.5.3.- Sobre as Várias Construções com os Cubos Soma As construções acima mostradas são algumas daquelas que podem ser construídas com os cubos SOMA. No entanto, como já afirmamos acima, estas construções diferentemente das 240 possibilidades de construções de cubos com as dimensões 3 × 3 × 3 cubos unitários, não foram tão profundamente estudadas e são meramente desafios lógico-geométricos, sem um interesse matemático como aquele mostrado com relação às diversas formas de codificação dos cubos cotendo 27 cubos unitários.

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De acordo com opinião do autor deste livro tanto a construção de outras figuras como a construção do cubo formado pelos cubos SOMA bicolores mostrado a seguir, devem ser considerados como meras curiosidades, sendo que se deve focar o estudo das construções com os cubos SOMA especificamente sobre os cubos contendo 3 × 3 × 3 cubos unitários tanto os coloridos como os monocromáticos (em madeira natural). As demais construções devem ser sugeridas, mas não tomadas como relevantes.

59.5.3.1.- Policubos Multicoloridos? Um alerta deve ser formulado com relação aos conjuntos de Blocos SOMA vendidos na Internet, ou em casas especializadas, cujos policubos (os blocos) têm cada um de seus cubos pintados de cores diferentes, ou seja, os blocos não se apresentam cada um com uma cor únicA. Falando em termos de facilitação do trabalho de codificação sejam visuais ou numéricas, estes blocos tornam esta tarefa muito difícil, senão impossível. Veja a ilustração de uma versão em que cubos unitários são muticores mesmo fazendo parte de um único bloco SOMA.

59.6.- Os Policubos Soma Bicolores Vamos mostrar a seguir dois tipos de Policubos SOMA bicolores (as cores serão madeira natural e preto, no primeiro caso e, no segundo caso, cinza e amarelo). No primeiro caso pode haver 14 cubos unitários pintados de preto e 13 cubos em madeira natural, ou vice-versa: 14 cubos unitários em madeira natural e 13 cubos pintados de preto, como será mostrado a seguir.

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59.6.1.- Um Primeiro Modelo de Policubos Bicolores (Preto e Branco) Os cubos bicolores que queremos montar são os seguintes:

O conjunto de policubos para esta montagem são especiais e devem ser um dos seguintes a seguir apresentados, em que o primeiro conjutos quando comparado ao segundo conjunto apresentamse com o efeito de positivo e negativo.

________________________________________________________________________________

É evidente que o leitor perceberá imediatamente o seguinte: a quantidade de 240 possibilidades de montagens de cubos usando os cubos SOMA coloridos ou monocromáticos fica bastante reduzida quando se utilizam os cubos SOMA bicolores, o que seria logicamente esperado. Mas uma pergunta pode persistir: qualquer dos dois conjuntos pode montar qualquer um daqueles cubos acima

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Pág. 59.17

apresentados, ou cada um destes conjuntos só consegue produzir especificamente cada um daqueles cubos.

59.6.2.- Um Segundo Modelo de Policubos Bicolores (Amarelo e Cinza) Os 6 policubos destinados a montar este novo Cubo Soma 3 × 3 × 3 Bicolor são os seguintes:

Um dos triedros laterais deste cubo é mostrado a seguir, sabendo-se antecipadamente que os demais triedros apresentam-se com desenhos distintos, como será mostrado mais à frente:

A figura a seguir mostra a sequência passo-a-passo da Montagem por Camadas do Cubo Soma Bicolor. Confira na legenda logo abaixo do desenho qual foi o Policubo a cadacrescentados a cada passo.

Policubo #5

Policubo #6

Policubo #4

Policubo #3

Policubo #2

Policubo #1

O leitor deverá ficar atento para a seguinte substituição de cores: a cada passo: o policubo é desenhado nas cores originais, no passo seguinte a cor cinza se transforma em verde escuro e a cor amarela em verde claro, para que então o novo policubo seja inserido com as suas cores originais.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#59 - Aury de Sá Leite

Pág. 59.18

A figura a seguir mostra em detalhes, nas cores originais cinza e amarelo, a montagem do Cubo Soma Bicolor.

Veja os desenhos que aparecem nas demais faces, quando giramos este cubo em torno de um eixo perpendicular ao plano da sua base:

‘’

O desenho a seguir nos mostra três vistas dos triedros laterais, obtidos pelas rotações: •

1 : rotação de 180º em torno do eixo vertical X

•

2 rotação de 180º em torno do eixo horizontal Y)

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#59 - Aury de Sá Leite

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x 1

1 2

Y 2

59.6.2.1.- Trocando as Cores dos Cubos Amarelo e Cinza por Cinza e Amarelo O leitor atento já deve ter verificado que dos 27 cubos que forma o conjunto dos Policubos Soma Bicolores Amarelo e Cinza, há 14 deles na cor cinza e 13 deles na cor amarela.

Por outro lado, podemos propor a inversão das cores, ou seja, trocar as cores amarelo por cinza e vice versa, com a finalidade de reezaminar a montagem do Cubo SOMA Bicolor quando adotamos esta nova disposi,ção de cores. Este não deixa de ser um ótimo Jogo Para o Pensamento Lógico.

59.7.- Conclusão A montagem dos Cubos SOMA – sejas eles, o tradicional com os Policubos SOMA pintados um de cada cor (vide item 59.2.) ou sejam aqueles com peças bicolores (vide item 59.6.) – é uma oportunidade para a estruturação do Pensamento Lógico-Matemático no que diz respeito ao Raciocínio Espacial Geométrico, o que se dá através das seguintes técnicas de montagem: (a) A partir do desenho da Montagem do Cubo Soma Bloco a Bloco (vide item 59.3.1.); (b) A partir do desenho das Vistas Superior e Inferior (vide itam 59.3.2.);

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#59 - Aury de Sá Leite

Pág. 59.20

(c) A partir do desenho das Quatro Vistas Laterais (vide item 59.3.3.); (d) A partir do desenho da Visualização por Camadas (vide item 59.3.4.).

Por outro lado, o conceito da adoção de um Código Numérico para o mapeamento da distribuição dos Policubos SOMA na montagem do Cubo SOMA cujos policubos são coloridos de forma a diferenciá-los uns dos outros (vide item 59.3.5.) cria a possibilidade de se associar à montagem destes cubos um forte componente lógico-matemático, muito valioso para a documentação de algumas das 240 possibilidades de montagem do Cubo 3 × 3 × 3.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#60 - Aury de Sá Leite

pág. 60.1

JLOGC#60 JOGOS PARA O PENSAMENTO LÓGICO Nº 60 CRIANDO NOVAS DISSECÇÕES PARA CUBOS 3X3X3 E 4X4X4 Vamos considerar aqui dois tipos de cubos: os cubos formados pela junção de 27 cubos unitários e os formados pela junção de 64 cubos unitários, propondo um método para dissecá-los em policubos dos mais diversos: o ‘Método para a Criação de Novas Dissecções dos Cubos 3×3×3 (ou cubos 4×4×4) utilizando a Estrutura em Camadas’ estudada no JLOGC anterior. Iremos ainda propor, como Jogos para o Pensamento Lógico, diversos conjuntos de com 6, 5, ou 4 policubos destinados à montagem dos cubos 3×3×3.

60.1.- Os Policubos SOMA e Muitas Outras Dissecções do Cubo O conjunto de policubos constituintes do Cubo SOMA contém um tricubo e seis quadricubos, ou seja, este é um conjunto com sete policubos (vide o JLOGC anterior), no entanto, poderíamos pensar em novos conjuntos de policubos originários de diversas outras maneiras de dissecar o cubo 3×3×3. Veremos a seguir algumas formas com mais diversas quantidades de policubos. Cada um destes conjuntos consiste no se denomina Dissecções do Cubo em Blocos Policubos.

60.2.- Método para a Criação de Novas Dissecções do Cubo 33 Parece imediato imaginar que podemos montar um cubo 3×3×3 utilizando várias composições distintas de conjuntos de policubos que permitem ser acoplados produzindo como resultado este cubo. Assim sendo, nós queremos criar os nossos próprios policubos que permitam montar com certeza absoluta os nossos cubos 3×3×3. O Método para a Criação de Novas Dissecções dos Cubos 3×3×3 consiste na adoção da estrutura ‘do cubo em camadas’ completamente sem as cores (vide: JLOGC #57, item 57.3.4.), para em seguida colorir os diversos policubos, passo a passo, diretamente sobre a estrutura.

60.3.- Um Primeiro Exemplo de Aplicação do Método A seguir vamos mostrar um caso bastante complexo da aplicação do Método para a Criação de Novas Dissecções dos Cubos 3×3×3.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#60 - Aury de Sá Leite

pág. 60.2

60.3.1.- 1º Passo – Usar a Estrutura por Camadas

60.3.2.- 2º Passo – Colorir a Estrutura de Camadas, Policubo a Policubo 60.3.2.1.- O Primeiro Policubo: vermelho

60.3.2.2.- O Segundo Policubo: verde

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#60 - Aury de Sá Leite

60.3.2.3.- O Terceiro Policubo: azul

60.3.2.4.- O Quarto Policubo: amarelo

60.3.2.5.- O Resultado Final – O Cubo Montado

pág. 60.3

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#60 - Aury de Sá Leite

pág. 60.4

60.3.2.6.- Um Comentário Pertinente O problema com esta nossa intenção é o seguinte: como ter certeza de que os policubos são adequados àquela construção. O método que apresentamos nos parece bastante preciso, a menos do seguinte: Haverá conjuntos de policubos que permitirão a montagem dos cubos 3×3×3 onde as peças serão facilmente acopladas por simples justaposição. Por outro lado, poderá haver casos em que a acoplagem dos policubos se torne bastante complexa, exigindo o encaixe das peças de forma muito bem pensada, como no exemplo acima, em que as peças devem ser acopladas segundo uma sequência apropriada.

60.4.- Um Segundo Exemplo de Aplicação do Método A seguir vamos mostrar um caso bastante interessante da aplicação do Método para a Criação de Novas Dissecções dos Cubos 3×3×3, por estabelecer que: a) O conjunto de policubos deverá ter 7 elementos; b) O conjunto de policubos deve ser constituído por: dois hexacubos, um pentacubo, um quadricubo, um tricubo, um dicubo e um cubo unitário.

60.4.1.- 1º Passo – Usar a Estrutura por Camadas

60.4.2.- 2º Passo – Colorir os Policubo usando a Estrutura de Camadas No caso desta dissecção iremos começar a colorir os policubos a partir dos hexacubos, até chegar ao cubo unitário. Acho que esta é uma boa estratégia, salvo melhor ideia do leitor.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#60 - Aury de Sá Leite

pág. 60.5

Como este é um caso bastante simples de criação pessoal de um conjunto de policubos, nós nos permitimos colorir todos s policubos de uma única vez, como mostrado abaixo. Cabe ao leitor conferir a validade da solução.

60.5.- Mais Três Soluções Para Este Segundo Exemplo O leitor mais atento irá verificar que este problema pode apresentar mais do que um conjunto de policubos distintos satisfazendo às condições propostas inicialmente. Sendo assim, apresentamos mais três possíveis soluções para o problema proposto. Nossas soluções estão ordenadas, em termos de montagem, de uma mais simples a uma das mais complexas.

60.5.1.- Solução Número 2

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pág. 60.6

60.5.2.- Solução Número 3

60.5.3.- Solução Número 4

60.6.- Um Terceiro Exemplo de Aplicação do Método Neste terceiro exemplo nós vamos criar policubos bastante complexos que exigirão mais trabalho na montagem do cubo 33.

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#60 - Aury de Sá Leite

pág. 60.7

60.6.1.- 1º Passo – Usar a Estrutura por Camadas

60.6.2.- 2º Passo – Colorir os Policubo usando a Estrutura de Camadas No caso desta dissecção iremos colorir os policubos um a um apresentando-os ao lado, na estrutura do cubo.

60.6.2.1.- O Primeiro Policubo: vermelho

560.6.2.2.- O Segundo Policubo : azul

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pág. 60.8

60.6.2.3.- O Terceiro Policubo: amarelo

60.6.2.4.- O Quarto Policubo: verde

60.7.- Jogos Para o Pensamento com Cubos 3x3x3 A seguir vamos propor vários conjuntos de policubos que permitirão reconstruir o cubo com 3×3×3 cubos unitários. Os diversos conjuntos apresentados a seguir são constituídos por 6, 5 ou 4 policubos. As soluções destes diversos ‘cubos’ são deixadas como Jogos Para o Pensamento para os leitores. Cabe ao leitor verificar ainda, quais dos conjuntos de policubos a seguir sugeridos, com 6, 5 ou 4 policubos, apresentam uma maior dificuldade de montagem.

60.7.1.- Cubos 3x3x3 Dissecados em Seis Policubos Aqui, nós chamamos a atenção para o seguinte: todos os conjuntos de policubos a seguir apresentados são experimentais, isto é, não se garante absolutamente que todos estes conjuntos sejam exatamente remontáveis sob a forma de um cubo de dimensões 3 × 3 × 3.

60 Jogos Para o Pensamento Lรณgico - JLOGC#60 - Aury de Sรก Leite

pรกg. 60.9

Fica aqui a sugestรฃo aos leitores: Assumam estes conjuntos de policubos como sendo Jogos Para o Pensamento Lรณgico.

60.7.1.1.- O Primeiro Conjunto de 6 Policubos

60.7.1.2.- O Segundo Conjunto de 6 Policubos

60.7.1.3.- O Terceiro Conjunto de 6 Policubos

60.7.1.4.- O Quarto Conjunto de 6 Policubos

60.7.1.5.- O Quinto Conjunto de 6 Policubos

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#60 - Aury de Sá Leite

pág. 60.10

60.7.2.- Cubos 3x3x3 Dissecados em Cinco Policubos As dissecções dos cubos a seguir apresentadas são constituídas, cada uma delas, por 5 policubos. As soluções devem ser buscadas pelos leitores como Jogos Para o Pensamento Lógico.

60.7.2.1.- O Primeiro Conjunto de 5 Policubos

60.7.2.2.- O Segundo Conjunto de 5 Policubos

60.7.2.3.- O Terceiro Conjunto de 5 Policubos

60.7.3.- Cubos 3x3x3 Dissecados em Quatro Policubos As dissecções dos cubos a seguir apresentadas são constituídas, cada uma delas, por 4 policubos. As soluções devem ser buscadas pelos leitores como Jogos Para o Pensamento Lógico.

60.7.3.1.- O Primeiro Conjunto de 4 Policubos

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pág. 60.11

60.7.3.2.- O Segundo Conjunto de 4 Policubos

Veja uma solução deste Jogo Para o Pensamento no item 58.3. acima.

60.7.3.3.- O Terceiro Conjunto de 4 Policubos

Veja uma solução deste Jogo Para o Pensamento no item 58.6. acima.

60.8.- Dissecções de Cubos 4x4x4 Pelo Método de Camadas Assim como propusemos gerar conjuntos de policubos através do Método de Camadas (vide item 58.2.) que permitiriam a assemblage de cubos do tipo 33, vamos mostrar a seguir a geração de um conjunto de policubos que permitam a assemblage de um cubo do tipo 43.

60.8.1.- Gerando um Conjunto de Policubos para um Cubo 4×4×4

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pág. 60.12

O conjunto de policubos mostrado a seguir foi gerado pelo Método de Camadas usando a estrutura acima mostrada. Vejamos primeiramente estes policubos:

Vejamos agora uma das possíveis assemblages do Cubo 4×4×4 formado por este conjunto de policubos:

Veja agora a Estrutura de Camadas do cubo acima apresentado:

60.9.- Dissecção de Cubos 33 e 43 Especiais e Autorais

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pág. 60.13

Há muitas outras formas de dissecar um cubo em policubos, seja ele formado por 27 ou por 64 cubos unitários, respectivamente 3×3×3 = 27 cubos unitários ou 4×4×4 = 64 cubos unitários. Iremos estudar a seguir algumas destas dissecções constituídas por conjuntos formados por 9, 6, 5 e até mesmo por 4 policubos. Ao contrário do Cubo SOMA em que todos os Policubos são distintos entre si, neste estudo – o dos casos de Dissecções Especiais e dos casos de Dissecções Autorais – admitem-se a existência de todos ou de alguns policubos idênticos. Os policubos idênticos serão diferenciados tão somente pela escolha de cores distintas.

60.10.- Sobre a Adequação dos Conjuntos de Policubos O leitor deve ficar atento para o seguinte: não basta apenas contar a quantidade de cubos unitários que formam um dado conjunto de blocos policúbicos, mas deve-se verificar se os conjuntos de blocos correspondem a uma real dissecção do cubo totalizando 3×3×3 cubos unitários, ou seja, 27 cubos unitários. O que pode ocorrer é que um conjunto de policubos criados por você de forma aleatória pode não montar de maneira alguma um cubo 3×3×3. A pergunta a ser feita sempre é: os blocos daquele conjunto de policubos contendo 27 cubos unitários realmente montam um cubo? O método sugerido no JLOGC anterior (JLOGC#58) é bastante seguro para a geração de conjuntos de policubos adequados à formação de cubos 33.

60.11.- Montando o Cubo 3X3X3 com Tipos Simples de Policubos As montagens de cubos com 27 cubos unitários, que serão mostradas a seguir, são resultados de diversas formas bastante simples de dissecção do cubo. Uma das características destas dissecções é que todos os policubos são planares. Os policubos planares são aqueles em que todos os cubos estão assentados sobre um mesmo plano, não havendo nenhum deles localizados a não ser no plano. Veja os exemplo a seguir em que mostramos policubos planares com 2, 3, 4 e 5 cubos unitários, e em seguida um exemplo com policubos não planares. Alguns Policubos Planares

Alguns Policubos Não-Planares

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60.11.1.- A Dissecção do Cubo em 9 Policubos V O bloco mostrado a seguir, formado por três cubos unitários, é normalmente denominado ‘Policubo V’.

Vamos propor a montagem de um cubo com 27 cubos unitários, utilizando 9 policubos V, como será mostrada a seguir. Estes nove blocos perfazem exatamente a quantidade necessária para completar o total de 27 cubos unitários que permitirão a assemblagem de um cubo cuja medida da aresta equivale à medida de 3 cubos unitários.

60.11.1.1. - Técnica das Camadas Para Montar o Cubo 33 com Policubos V

No site http://puzzlewillbeplayed.com/about.html o leitor encontrará ao buscar por ‘L Cube’ ao

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pág. 60.15

invés do nome1 ‘V Cube’ que seria o mais adequado, a informação de que este quebra-cabeça admite 111 soluções, ou seja, menos da metade das soluções dos Policubos SOMA.

60.11.2.- A Dissecção do Cubo em 7 Policubos Quadrados e 3 Unitários Vamos analisar um conjunto de blocos que tem por base o seguinte bloco (vamos denominá-lo quadribloco) a ser repetido até completar a quantidade necessária para a formação do cubo 3 × 3 × 3:

Quantos quadriblocos são necessários para se construir um cubo 3 × 3 × 3? Será necessária uma quantidade entre 6 quadriblocos e 7 quadriblocos, mas veja:

1. Como 6 quadriblocos = 6 × 4 = 24 < 27 se conclui: faltam 3 cubos unitários; 2. Como 7 quadriblocos = 7 × 4 = 28 > 27 se conclui: sobra 1 cubo unitário. A solução será adotar 6 quadriblocos e mais 3 cubos unitários:

O nome dado ‘V Policube’ (Policubo V) é mais adequado do que o ‘L Policube’ que aparece no site supracitado, pois a forma deste policubo está mais próximo da letra V do que da letra L.

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60.11.3.- A Dissecção do Cubo em 6 Policubos L e 1 Policubo V

Uma das soluções:

60.11.4.- A Dissecção do Cubo em 8 Policubos Diversos

pág. 60.16

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Uma das soluções:

60.12.- Montando o Cubo 3 x 3 x 3: Casos Especiais e Autorais Acima mostramos três dissecções muito simples do Cubo 3 × 3 ×3, as próximas dissecções podem ser consideradas notáveis. A primeira delas é a única não autoral, mas tem um registro que permite localizá-la no século XIX, as demais são dissecções autorais. Abaixo está a lista das dissecções do cubo que iremos estudar a seguir: •

Cubo Diabólico

•

Cubo de Mikusinski

•

Um dos Cubos de Steinhaus – Steinhaus é autor de várias dissecções do cubo

60.12.1.- O Cubo Diabólico No século XIX (cerca de 1890) apareceu à venda um quebra-cabeça denominado ‘Cubo Diabólico’ (em francês: ‘Cube Diabolique’) cuja origem estaria no livro “Puzzles Old and New” do Professor L. Hoffmann, publicado em Londres em 1893. Os policubos que compõem este jogo – todos eles policubos planares – serão, por uma questão de facilidade: a) Numerados de acordo com a quantidade dos cubos unitários; b) Coloridos com cores que foram escolhidas por nós. c)

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dicubo ‘2’

tricubo ‘3’

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quadricubo ‘4’

hexacubo ‘6’

pentacubo ‘5’

heptacubo ‘7’

60.12.2.- Cinco Montagens do Cubo Diabólico A seguir, nós iremos apontar seis soluções do Cubo Diabólico: (a) por Camadas e (b) através do código numérico (vide JLOGC anterior para melhor compreensão do que seja o Código Numérico).

60.12.2.1.- Primeira Solução do Cubo Diabólico: Por Camadas/Numérica

Topo 442 777 555

Meio 442 777 535

Base 666 766 336

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60.12.2.2.- Segunda Solução do Cubo Diabólico: Por Camadas/Numérica

Observe que nesta solução quando comparada à primeira solução somente foram movidas as peças 3 e 5.

Topo 442 777 553

Meio 442 777 533

Base 666 766 556

60.12.2.3.- Terceira, Quarta e Quinta Soluções Numéricas do Cubo Diabólico

Topo 777 443 666

Meio 777 443 663

Base 755 225 655

Topo 777 555 565

Meio 777 463 462

Base 763 463 462

Topo 777 666 344

Meio 777 366 344

Base 765 256 255

Sabe-se que ainda faltam 8 soluções para o Cubo Diabólico, que poderão ser buscadas e codificadas pelos leitores mais interessados. No caso de se querer ver exatamente estas soluções deve-

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pág. 60.20

se recorrer ao site citado no próximo item (59.4.1.4.) considerando-se que se deva transformar a notação numérica em numeração literal, conforme a nova correspondência entre os policubos e as letras de referência.

60.12.2.4.- Uma Sexta Soluções do Cubo Diabólico com Código Literal Os especialistas afirmam haver 13 soluções distintas para o Cubo Diabólico (veja em: http://puzzler.sourceforge.net/docs/polycubes.html#diabolical-cube, as 13 possibilidades calculadas através de um programa computacional desenvolvido por David J. Goodger). Neste site a notação das soluções adota outro tipo de correspondência simbólica: os policubos são referidos por letras que lembram os perfis daquelas disposições de cubos unitários. Veja a seguir a correspondência entre os policubos e as letras que a eles correspondem. Veja também, logo em seguida, a codificação de uma das 13 montagens do Cubo de acordo com a disposição dos policubos, camada a camada, com a nova notação..

dicubo ‘I’

tricubo ‘V’

quadricubo ‘O’

hexacubo ‘W’

Topo

pentacubo ‘U’

heptacubo ‘L’

Meio

Base

60.13.- Introduzindo Variações nos Policubos do Cubo Diabólico David J. Goodger, autor do site intitulado ‘Polycubes: Puzzles & Solutions’, sob o título ‘Nancy Sheldon's variations’, indica três possíveis variações do Cubo Diabólico, todas elas devidas a Nancy Sheldon, vide http://puzzler.sourceforge.net/docs/polycubes.html#diabolical-cube. As soluções estão disponíveis através de links que nos remetem a páginas com todas as possibilidades de

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montagem do cubo 3×3×3, codificadas por letras inspiradas nas formas dos policubos, como mostrado a seguir.

60.13.1.- Trocar Policubo ‘U’ pelo Policubo ‘P”: 146 Soluções

dicubo ‘I’

tricubo ‘V’

hexacubo ‘W’

quadricubo ‘O’

pentacubo ‘U’

dicubo ‘I’

tricubo ‘V’

heptacubo ‘L’

quadricubo ‘O’

hexacubo ‘W’

pentacubo ‘P’

heptacubo ‘L’

60.13.2.- Trocar Policubo ‘L’ pelo Policubo ‘T”: 16 Soluções

dicubo ‘I’

tricubo ‘V’

hexacubo ‘W’

quadricubo ‘O’

pentacubo ‘U’

heptacubo ‘L’

dicubo ‘I’

tricubo ‘V’

quadricubo ‘O’

hexacubo ‘W’

pentacubo ‘U’

heptacubo ‘T’

60.13.3.- Trocar Policubos ‘U’ pelo Policubo ‘P’ e o ‘L’ pelo ‘T’: 43 Soluções

dicubo ‘I’

tricubo ‘V’

hexacubo ‘W’

quadricubo ‘O’

pentacubo ‘U’

heptacubo ‘L’

dicubo ‘I’

tricubo ‘V’

hexacubo ‘W’

quadricubo ‘O’

pentacubo ‘P’

heptacubo ‘T’

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60.14.- O Cubo de Mikusinski Este conjunto de policubos foi proposto em 1936 por Jan Mikusinski, um matemático polonês. Este conjunto de policubos apresenta apenas duas soluções possíveis. Uma das soluções será apresentada a seguir, de duas maneiras: (a) através de um esquema que mostra os policubos pela ordem de acoplagem à figura central cujo número é ‘1’ e (b) através do cubo em camadas.

3 2 5 1 6

60.14.1.- Uma Solução do Cubo de Mikusinski

A título de Jogo Para o Pensamento, construa a tabela numérica para esta solução.

60.15.- Um dos Cubos de Steinhaus São atribuídas a Hugo Steinhaus muitas dissecções policúbicas do cubo, cotendo 27 cubos unitários. Uma destas dissecções (de 1999) é mostrada a seguir. Consta que esta dissecção tem somente duas soluções. Fato a ser verificado!

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pág. 60.23

O leitor pode comparar os policubos de Mikusinski e o de Steinhaus acima apresentado notará que cinco dos policubos são exatamente os mesmos, com exceção da peça numerada como 4 (Mikusinski) e a de número 5 (Steinhaus).

60.15.1.- Uma Solução do Cubo de Stenhaus Uma das ‘duas’ soluções do cubo de Steinhaus é dada a seguir, usando-se o método das camadas:

60.16.- Montando Cubos 4 X 4 X 4 Aproveitando as ideias até aqui examinadas, iremos mostrar a seguir três dissecções de cubos 4×4×4: um dissecção autoral – o Cubo de Bedlam –, um segundo cubo de nome reconhecível – o Cubo

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Tetris – e uma interessante dissecção, composta apenas pode dois tipos de policubos replicado várias vezes.

60.16.1.- O Cubo de Bedlam - Um cubo 4X4X4 O cubo Bedlam é uma dissecação do cubo criada pelo britânico Bruce Bedlam, especialista em jogos, em 1987. O quebra-cabeça é composto por treze peças policúbicas: doze pentacubos e um tetracubo. O objetivo do jogo é montar com estes treze policubos um cubo cuja aresta meça 4 x 4 x 4 cubos unitários. Apesar de haver 19.186 maneiras distintas de fazê-lo, excluindo rotações e reflexões, e apesar de ser o seguinte passo lógico a partir do Cubo Soma (240 maneiras de montar cubos com 3 x 3 x 3 cubos unitários), o cubo de Bedlam é muito mais difícil de ser resolvido mesmo havendo tantas possibilidades de solução. O leitor interessado encontrará no site da Amazon.com para aquisição o Cubo de Bedlan em material plástico.

Na Internet há um site em que podem ser encontradas instruções para a montagem do Cubo de Bedlam: http://puzzlesolving.weebly.com/how-to-solve-the-bedlam-cube-clear-simple-instructions.html

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pág. 60.25

60.16.2.- O Cubo Tetris O Cubo Tetris tem 9839 soluções. As peças policúbicas desta dissecção são apresentadas abaixo.

M O leitor pode procurar no seguinte site: http://www.scottkurowski.com/tetriscube/ não somente informações sobre o Cubo Tetris, mas ainda há outras informações detalhadas e técnicas de solução para os seguintes cubos 4×4×4: Big Brother Cube, Super IQ Cube, Steinhaus Cube.

60.16.3.- Um Cubo 4x4x4 com 10 Policubos: 7 de um tipo e 3 de outro Tipo Este tipo de dissecção de um cubo 4×4×4 em 10 policubos, sendo 7 deles de um mesmo tipo e 3 de outro tipo, é muito interessante . Os dois policubos são apresentados a seguir, o primeiro dele deve ser reproduzido 7 vezes e o segundo apenas 3 vezes:

60 Jogos Para o Pensamento Lógico - JLOGC#60 - Aury de Sá Leite

7 peças

pág. 60.26

3 peças

A montagem deste cubo é deixada para para o leitor que deverá realizar suas tentivas e anotar as soluções usando o seguinte Estrutura de Camadas que deve ser impresso várias vezes e descartado sempre que as coisas não derem certo, recorrendo-se a um novo desenho em branco. \

Para faciliatar a sua vida compre uma caixa de lápis de cor com grande variedade de cores . Em seguida pinte o seguinte mapa com os 10 blocos (apresentados em branco) um de cada cor , ou seja, pinte-os com cores distintas entre si, e use estas cores para preencher a Estrutura de Camadas.

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pág. 60.27

60.17.- Conclusões O leitor poderá criar os seus próprios conjuntos de policubos utilizando-se de blocos de madeira cúbicos unitários colando as suas faces. A cor poderá ser coseguida por tingimento deste blocos com anilina ou algum tipo de tinta especial que, se necessário, deverão ser cobertas por uma camada de verniz para que se evite o descoramento. No entanto uma medida mais econômica é utilizar como no item anterior a Estrutura de Camadas e os lápis de cor para criar suas própias dissecções ou para conferior os exemplos dados neste JLOGC. Bom trabalho.