Apostila de geometria plana e espacial completíssima new by Aury de Sa Leite

Geometria Euclidiana Plana e Espacial Curso de Graduação de Licenciatura em Matemática Unesp – Guaratinguetá - 2005 Prof. Dr. Aury de Sá Leite

Geometria Euclidiana Plana e Espacial – Prof. Dr. Aury de Sá Leite - UNESP

Conteúdo: Parte I Introdução Construtiva à Geometria Plana Euclidiana Parte II Estudo comparado de Geometria Euclidiana Plana e Espacial Axiomática

Sumário Parte I

Observação Importante ................................................................. 3 Introdução ......................................................................................... 4 Sobre este Curso de Geometria Euclidiana................................... 5 Capítulo 1 .......................................................................................... 7 A Geometria Euclidiana - Introdução............................................ 7 Capítulo 2 ........................................................................................ 13 Construções Geométricas com Régua e Compasso .................... 13 Capítulo 3 ........................................................................................ 39 Formulário de Geometria Euclidiana Plana 1 ............................ 39 Capítulo 4 ........................................................................................ 57 Mapas Conceituais ......................................................................... 57 Capítulo 5 ........................................................................................ 68 Formulário de Geometria Euclidiana Plana 2 ............................ 68 Capítulo 6........................................................................................88 Formulário de Geometria Euclidiana Espacial ........................ 89 Parte II Estudo comparado de Geometria Euclidiana Plana e Espacial Axiomática.....................................................................106

Teorias Axiomรกticas e Provas de Teoremas..............................107

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Observação Importante O material aqui apresentado é ainda um rascunho e pode conter erros que serão corrigidos, pelo professor, durante as aulas. Assistir às aulas e delas participar ativamente, fazendo perguntas e dando sugestões é, portanto, essencial para a aprendizagem e fixação do conteúdo aqui veiculado, que além de complexo é bastante vasto. A criação de oportunidades de aprendizagem em Geometria Euclidiana prevê não somente a necessidade de profundo conhecimento desta ciência, mas a capacidade de bem aplicá-la justificando raciocínio, resolvendo problemas, provando teoremas, sem perda de sua contextualização pedagógica. Estas três dimensões do estudo e aplicação da Geometria Euclidiana, bem como a interligação pedagógica, estão contempladas neste trabalho. Unesp/Guaratinguetá, março de 2005. Aury de Sá Leite

Introdução

Sobre este Curso de Geometria Euclidiana Destinado ao 3º ano do Curso de Graduação de Licenciatura em Matemática do Campus de Guaratinguetá da UNESP, este é um curso bastante abrangente e atualizado de Geometria Euclidiana. É um curso de duração anual que está divido em duas partes bastante distintas a serem desenvolvidas com a duração de um semestre cada. A primeira parte deste curso contém “uma” Geometria que poderia e deveria ser praticada nas escolas do Ensino Fundamental, e que poderia ser denominada Introdução Construtiva ou Intuitiva à Geometria Plana Euclidiana. Ela será veiculada inicialmente através de uma breve contextualização histórica bastante didática, porém crítica, da axiomatização proposta por Euclides (Capítulo 1). Em seguida, o estudante terá acesso a formulários bastante completos envolvendo as Construções Geométricas (Capítulo 2), a Geometria Plana (Capítulos 3 e 5) e a Geometria Espacial Posicional e Métrica (respectivamente capítulos 6 e 7) estudadas através de suas definições e propriedades notáveis. Estes formulários contêm ainda indicações (metodológicas, pedagógicas e didáticas) para sua utilização em sala de aula, bem como, justificativas dos raciocínios em Geometria – uma visão lógica do Pensamento Geométrico aplicável à Resolução de Problemas. O capítulo 4 apresentará o conceito de Mapas Conceituais devido a Novak e inspirados na teoria da Aprendizagem Significativa de Ausubel. Os mapas conceituais serão utilizados para a elaboração de Planos de Aula de Geometria sugerindo a adoção de estratégias alternativas de abordagem e seqüenciação de conceitos. A segunda parte do curso, que poderia ser denominada Estudo Comparado de Geometria Euclidiana Plana e Espacial Axiomática, apresenta-a como o próprio nome indica, através do estudo comparativo, dos distintos e interessantes conjuntos de axiomas propostos por vários autores: Hilbert, Pogorelov, Birkhoff, Tarski e Paul Bernays, além do conveniente conjunto de axiomas formulado e proposto pelo SMSG – School Mathematic Study Group, que é no qual nos proporemos finalmente fixar, com vistas às provas de nossos Teoremas tanto da Geometria Euclidiana Plana como da Geometria Euclidiana Espacial Posicional e Métrica. Apenas a título de curiosidade, deve-se mencionar que as fontes utilizadas para a elaboração da segunda parte deste texto, não foram fontes indiretas, meras citações ou retalhos de informações, mas textos (livros e artigos científicos) de autoria de cada um dos proponentes das teorias axiomáticas que

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levam seus nomes. Todos estes textos estão em inglês, sendo que alguns deles foram traduzidos a partir dos originais (em alemão ou russo). Cabe citar aqui, também como curiosidade, que o livro de Hilbert (Grundlagen der Geometrie/Foundations of Geometry) foi traduzido para o inglês por Paul Bernays, ele também um dos que propuseram um interessante conjunto de axiomas para a Geometria Euclidiana Plana. As duas partes do texto, bastante distintas, mas complementares, têm o objetivo final de levar os estudante a distinguirem o que seja “raciocinar e justificar propriedades e raciocínios da Geometria Euclidiana” e o que seja “provar Teoremas na Geometria Axiomática Euclidiana”. Na primeira metade do curso ele será levado: (i) a raciocinar e justificar propriedades e raciocínios com base no material (quatro formulários) que veicula aquilo que foi denominado Introdução Ingênua à Geometria Plana Euclidiana; (ii) será levado a provar alguns poucos Teoremas utilizando a Indução Finita Matemática e a Dissecção, sendo que (iii) a resolução de problemas, sem o auxílio dos formulários, será a forma de verificação da sua aprendizagem. Na segunda parte do curso, será quando se passará a provar os Teoremas (Princípios, Lemas, Teoremas, Teoremas Recíprocos, Corolários) por diversos métodos: Modus Ponens, Reductio ad Absurdum, envolvendo implicações, bi-implicações e provas de existência e unicidade. Ao final do curso, a distinção entre justificar raciocínios e provar em Geometria Plana e Geometria Espacial Euclidiana deverá estar bastante clara para os estudantes. Além destas formas de pedagógicas de abordagem, duas outras frentes de estudo e pesquisa nos permitirão mapear de forma bastante atualizada e completar o panorama da Geometria Euclidiana, a partir do investimento de algum tempo de trabalho, e de estudo, nas denominadas Geometrias NãoEuclidianas e na Geometria das Transformações. Monografias sobre estes assuntos deverão ser apresentadas pelos participantes do curso como trabalhos escolares necessários à sua conclusão. Para auxiliá-los nesta pesquisas, os apêndices, alocados no final deste texto, contém respectivamente os seguintes assuntos: Apêndice A - “A Geometria de Transformações”; Apêndice B - “As Geometria Não-Euclidianas” e Apêndice C - “Teorias Axiomáticas e Provas de Teoremas”.

Capítulo 1

A Geometria Euclidiana - Introdução Este Capítulo corresponde à aula a ser apresentada em sala através de slides no MS – Power Point, por isto, cada um dos tópicos vem numerado como sendo um slide.

Slide 0 – Título

A Geometria Euclidiana UNESP – Guaratinguetá Curso de Licenciatura em Matemática Prof. Dr. Aury de Sá Leite

Slide 1 - A Geometria Antes de Euclides

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Há referência ao estudo e aplicação da geometria entre os babilônios já por volta de 2000 AC. Os egípcios, apesar de não serem tão inventivos como os babilônios, dominavam e aplicavam conceitos bastante importantes de geometria em seu dia-a-dia e nas suas construções.

•

Os gregos, antes de Pitágoras e antes de Euclides  entre eles Tales de Mileto , têm a seu crédito a verificação de muitas propriedades geométricas, tais como:

– – –

“O círculo é bissecado pelo seu diâmetro”.

–

“Um ângulo inscrito em um semi-círculo é um ângulo reto”. (Veja na figura ao lado: o ângulo central mede o dobro do ângulo inscrito no círculo)

“Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais”. “Dois triângulos são coincidentes se eles possuem dois ângulos e um lado correspondentes iguais (leia-se: congruentes)” (casos LAL e LAAo).

Slide 2 – Pré-Requisito 1 – Postulados e Axiomas Para Aristóteles (384 ou 383 – 322 a.C.):  postulados seriam menos óbvios e não deveriam pressupor o consentimento implícito daqueles que estudam o assunto, pois se referem somente ao assunto em discussão.

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axiomas (ou noções comuns) devem ser convincentes por elas mesmas - verdades comuns e básicas a qualquer estudos que se pretenda fazer.

Modernamente:  os matemáticos não vêem vantagem em estabelecer qualquer diferença entre o que sejam os postulados e os axiomas, preferindo utilizar o nome axioma na elaboração de suas teorias, denominadas teorias axiomáticas, por este fato .

Slide 3 – Pré-Requisito 2 – Os Elementos de Euclides 

Os “Elementos” de Euclides (Euclides de Alexandria - ?? a.C. - 365 a.C.) estão divididos em 13 livros ou 13 capítulos, dos quais os seis primeiros (de I a VI) são sobre Geometria Plana elementar, os três seguintes (VII a IX) sobre teoria dos números, o Livro X sobre os Incomensuráveis e os três últimos versam principalmente sobre Geometria do Espacial.



Não há uma introdução ou preâmbulo, e o primeiro livro começa abruptamente com uma lista de vinte e três definições. A deficiência, aqui, é que algumas definições não definem, pois não há um conjunto prévio de elementos nãodefinidos em termos dos quais os outros sejam definidos.

Slide 4 – Geometria Euclidiana – Noções Comuns •

Noções Comuns:

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1ª - Coisas que são iguais a uma mesma coisa, são também iguais entre si.

•

2ª - Se iguais são somados a iguais, os totais são iguais.

•

3ª - Se iguais são subtraídos de iguais, os restos são iguais.

•

4ª - Coisas que coincidem uma com as outras, são iguais umas ás outras.

•

5ª - O todo é maior que a parte.

Slide 5 – Geometria Euclidiana – Definições •

Hoje em dia, o ponto, a reta e o plano são tomados como conceitos primitivos, conceitos não definidos, mas Euclides os “definiu” ou, pelo menos, tentou: – Um ponto é aquilo que não tem parte. – Uma reta é um comprimento sem largura. – Uma superfície é aquilo que tem apenas comprimento e largura.

•

Outras definições pecam pela circularidade lógica: – As extremidades de uma reta são pontos (segmento de reta).

9 – Uma linha reta é uma linha em que os pontos são distribuídos regularmente sobre ela. – As extremidades de uma superfície são linhas (finitude do plano?). •

Euclides utiliza conceitos não definidos nas suas definições. Por exemplo, o conceito de “inclinação" é utilizado sem o seu prévio estabelecimento na definição de ângulo plano que é dada por : – Um ângulo plano é a inclinação de duas retas de um plano, uma com relação à outra, que se encontram e não jazem sobre uma mesma reta.

Slide 6 – Geometria Euclidiana – Postulados ou Axiomas Para o desenvolvimento do que se encontra nos “Elementos”, Euclides postulava que: • • • • •

1º - Pode-se traçar uma reta de qualquer ponto a qualquer ponto. 2º - Pode-se prolongar uma reta finita continuamente em uma linha reta. 3º - Pode-se descrever um círculo com qualquer centro e qualquer raio. 4º - Todos os ângulos retos são iguais. 5º - Se uma reta que corta duas retas faz com elas ângulos interiores, de um mesmo lado, menores que dois ângulos retos, estas duas retas, se prolongadas indefinidamente, se encontram do lado em que os ângulos são menores que dois ângulos retos.

Slide 7 – Geometria Euclidiana – O 5º Postulado de Euclides •

Alguns filósofos gregos e, posteriormente, muitos matemáticos tentaram provar que o 5o postulado de Euclides era derivados dos anteriores. Século 1 a.C. Posidônio 410-485 DC Proclo 1201-1274 Nasiraddin 1616-1703 John Wallis 1667-1733 Girolamo Saccheri 1728-1777 Johann Henrich Lambert 1752-1833 Legendre

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Postulado de Playfair(*): “Dados uma reta e um ponto não pertencente a ela, existe uma, e somente uma reta, que passando por este ponto, é paralela à reta dada” ( )

* Playfair, J. “Elements of Geometry: Containing the First Six Books of Euclid, with a Supplement on the Circle and the Geometry of Solids to which are added Elements of Plane and Spherical Trigonometry”. New York: W. E. Dean, 1853

Slide 8 – Geometria Euclidiana – A Régua e o compasso •

• •

Na Geometria Grega, antes de Euclides, admitia-se somente o uso das réguas sem escala e dos compassos cuja abertura das hastes não podia ser fixada – era um compasso de hastes pendentes. Este tipo de compasso não podia ser utilizado para transportar medidas, como atualmente se admite, com relação aos compassos de hastes fixáveis. Euclides passa a adotar nas suas construções o compasso com hastes que poderiam ser eventualmente fixadas e que poderiam, desta forma, manter a medida do raio de uma circunferência, permitindo traçá-la sem problemas tantas vezes quanto necessário. Isto foi introduzido por Euclides no seu Postulado 3: “Para qualquer ponto O e qualquer ponto A distinto de O, existe uma circunferência de centro O e raio OA”.

Slide 9 – Geometria antes de Euclides – Construções •

Exemplo: Dado um ponto A  B, e uma Circunferência C de centro B e raio r, C(B,r), pode-se traçar uma nova circunferência esta circunferência C’(A,r) congruente à anterior utilizando-se somente uma régua não graduada e um compasso de hastes não-fixável (hastes pendentes). Construções Auxiliares: 1 – Traçar o círculo C(B,BA) e C(A,AB). 2 – C(B,AB)  C(A,AB) = {C, D}, isto é: as circunferências C(B, AB) e C(A,AB) se interceptam em dois pontos: C e D 3 – Construir o ABC, eqüilátero. 4 – C(B, r)  C(A,AB) = {E}. 5 – Traçar C(C,CE). 6 – C(C,CE)  C(B,BA) = {P}. 7 – |AP| = r pois: 7.1- PCB  ECA pelo caso LLL 7.2- PCB - ACB = ECA - ACB, logo: PCB =  ECA. 7.3.- CP  CE e AC  BC, então: pelo caso LAL, APC  BEC, o que implica em: |AP| = |BE| = r.

11 Slides 10/11/12 – Geometria Euclidiana – Construções [1], [2] e [3] •

O Postulado 3 da Geometria Euclidiana permite o uso do compasso com hastes imobilizáveis e, com isto, pode-se utilizar um dado raio pré-fixado nas construções geométricas euclidianas. Note que este não é o caso das construções vistas nesta página que poderiam muito bem ter sido conseguidas com o compasso de hastes pendentes.

Possíveis Enunciados do Problema

Construção devida a Euclides

Construção Moderna

Enunciado: Construir um triângulo equilátero dado o lado AB.

Enunciado 1: Bissecar um ângulo ABC dado. Enunciado 2: Dividir um ângulo em duas partes congruentes(de igual medida) dado o ângulo ABC.

Enunciado 1: Bissecar um segmento de reta

AB dado. Enunciado 2: Dividir um segmento de reta em duas partes congruentes. Enunciado 3: Traçar a reta bissetriz de um segmento AB dado. Enunciado 4: Obter o ponto médio de um segmento AB dado.

 CD bisseca o segmento AB.  A reta que passa por C e D  M é o ponto médio de AB. é a mediatriz de AB.

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Slide 13 – Outras Axiomatizações da Geometria •

Uma boa proposta de axiomatização da Geometria Plana que pode ser adotada no Ensino Médio, com resultados bastante surpreendentes, é a formulada por David Hilbert (1862-1943), no ano de 1902, que alguns autores denominam Geometria Sintética. Ela contém apenas axiomas da Geometria Plana.

•

O SMSG – School Mathematics Study Group conhecido como o “Grupo da Matemática Moderna” (de 1958 até 1977) apresentou uma interessante axiomatização para a Geometria Plana, tratada ali, como uma Geometria de Coordenadas ou uma Geometria Axial. É a mais completa delas por envolver axiomas sobre a geometria plana e a espacial, tanto uma como outra recebendo o tratamento métrico.

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Outra abordagem axiomática, mas claramente divergente da proposta da geometria euclidiana, por introduzir o conceito de medida, foi aquela proposta em 1932 por George David Birkhoff. Os axiomas da geometria de Hilbert e as da geometria de Birkhoff quando associados adequadamente, podem servir de base para um estudo interessante da geometria plana que inclui a trigonometria no círculo.

•

Uma proposta de axiomatização apropriada ao Ensino Médio é a de Helen R. Pearson e James R. Smart, in: “Geometry”, livro de 1971, editado por Ginn and Company.

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Há ainda as Geometrias Finitas Axiomáticas (com uma quantidade finita de pontos, como a Geometria dos Três Pontos) que permitem a criação de modelos muito interessantes (e surpreendentes) que permitem uma profunda reflexão sobre o que seja a tarefa de se tentar a axiomatização da Geometria Euclidiana.

Capítulo 2

Construções Geométricas com Régua e Compasso 

Objetivos Gerais:

[1G] Expor as possibilidades e impossibilidades de construções geométricas com régua e compasso. [2G] Levar os estudantes a compreenderem a Geometria Euclidiana a partir das construções geométricas sugeridas pelo próprio Euclides. 

Objetivos Específicos:

[1E] Estudar, passo a passo, as construções geométricas com régua e compasso. [2E] Tomar contacto com métodos distintos de representação de cada um dos passos das construções geométricas com régua e compasso.

Leitura 1.- A Geometria Antes de Euclides Há referência ao estudo e aplicação da geometria entre os babilônios já por volta de 2000 AC. Os egípcios, apesar de não serem tão inventivos como os babilônios, dominavam e aplicavam conceitos bastante importantes de geometria em seu dia-a-dia e nas suas construções. Os gregos, antes de Pitágoras e antes de Euclides  entre eles Tales de Mileto , têm a seu crédito a verificação de muitas propriedades geométricas, tais como:  “O círculo é bissecado pelo seu diâmetro”. 

“Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais”.



“Dois triângulos são iguais (congruentes) se eles possuem dois ângulos e um lado correspondentes iguais (congruentes)” (casos LAL e LAAo).



“Um ângulo inscrito em um semi-círculo é um ângulo reto” (veja na figura ao lado: o ângulo inscrito mede a metade do ângulo central).

2.- A Geometria Euclidiana Euclides (Euclides de Alexandria - ?? a.C. - 365 a.C.) escreveu Os Elementos por volta de 300 A.C., uma obra genial dividida em 13 seções, denominadas “Livros”, que incluem conceitos, teoremas e construções geométricas, teorias sobre proporcionalidade, teoria dos números, e um tipo de geometria algébrica. Os 13 “Livros” componentes dos Elementos de Euclides são os seguintes:

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Assunto

Definições, Postulados e Noções Comuns, Congruência de Triângulos, Teoria das Paralelas, Áreas, Teorema de Pitágoras.

Álgebra Geométrica.

III

O Círculo.

Construção dos Polígonos Regulares.

Teoria da Proporcionalidade.

Semelhança de Figuras.

VII

Teoria dos Números.

VIII

Teoria dos Números.

Teoria dos Irracionais.

Geometria Espacial (dos Sólidos)

XII

Áreas e Volumes – Método da Exaustão.

XIII

Construção dos Cinco Sólidos Regulares de Platão.

3.- Mais de 2000 anos de Geometria Euclidiana Em resumo, podemos dizer que os “Elementos” de Euclides estão divididos em 13 livros ou 13 capítulos, dos quais os seis primeiros (de I a VI) são sobre Geometria Plana elementar, os três seguintes (VII a IX) são sobre teoria dos números, o Livro X sobre os Incomensuráveis e os três últimos versam principalmente sobre Geometria do Espacial. Os Elementos não possuem uma introdução ou preâmbulo, e o primeiro livro começa abruptamente com uma lista de vinte e três definições. A deficiência, desta obra, é que algumas definições não definem, pois não há um conjunto prévio de elementos não-definidos em termos dos quais os outros sejam definidos. Através desta obra, que influenciou o pensamento científico por mais de 2000 anos e cujos reflexos permanece até nossos dias, Euclides expõe, de uma forma que modernamente não se pode denominar definitiva1, aquela que é denominada Geometria “Euclidiana”. Nesta obra ele sugere que a construção de figuras geométricas deva ser feita unicamente com o uso de uma régua não graduada e um compasso com hastes fixáveis – um compasso que pode ser utilizado para transportar medidas de um para outro local do plano. Na página 10 o leitor poderá ver alguns exemplos das construções como elas figuram nos “Elementos” e como elas são realizadas de forma mais simplificada. Comentário: Se você não entendeu a forma de resolver os problemas apresentados na página 10, não se preocupe. A seguir será mostrado como resolver uma série de problemas clássicos de 1

Vide: “Foundations of Geometry”, by David Hilbert, La Salle: Open Court Publishing Company, 2nd English ed translatedfrom the 10th German ed, 1987.

15 construção geométricas, passo a passo. E, nesta mesma linha serão propostos alguns problemas, para você tentar resolver.

4.- As Construções Geométricas antes de Euclides Na Geometria Grega, antes de Euclides, admitia-se somente o uso das réguas sem escala e dos compassos cuja abertura das hastes não podia ser fixada – estes eram os compassos de hastes pendentes. Este tipo de compasso não podia ser utilizado para transportar medidas, como atualmente se admite, com relação aos compassos de hastes fixáveis. Euclides passa a adotar nas suas construções o compasso com hastes que poderiam ser eventualmente fixadas e que poderiam, desta forma, manter a medida do raio de uma circunferência, permitindo traçá-la sem problemas tantas vezes quanto necessário. Isto foi introduzido por Euclides no seu Postulado 3: “Para qualquer ponto O e qualquer ponto A distinto de O existe uma circunferência de centro O e raio OA”.

Veja um exemplo de construção geométrica pré-euclidiana na página 9.

5.- Construções Geométricas Impossíveis com Régua e Compasso É bom que se acrescente que algo muito interessante ocorre com as construções geométricas com régua e compasso como proposta por Euclides, muitas delas até muito complexas são possíveis, no entanto, algumas construções até bastante simples são impossíveis, como por exemplo: 1) A trissecção de um ângulo dado, ou seja, dividir um ângulo dado em três outros ângulos exatamente da mesma medida (três ângulos congruentes entre si); 2) A quadratura do círculo, isto é, a construção de um quadrado que tenha exatamente a mesma área de um círculo dado; 3) A duplicação do cubo, isto é, a construção de um cubo que possua o dobro do volume de um cubo dado como básico.

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Construções geométricas – 1º Método Problemas Resolvidos Passo a Passo e Problemas Propostos Problema Resolvido No 1 (Enunciados Prováveis): [Enunciado 1.1] Obter o ponto médio do segmento XY, dado. [Enunciado 1.2] Construir um segmento bissetor, perpendicular a um segmento dado XY. [Enunciado 1.3.] Construir a mediatriz de XY, um segmento de reta dado. 1. Comece com o segmento de reta XY.

1. Coloque a ponta seca do compasso no ponto X. 2. Ajuste compasso para uma abertura (um raio) que seja não muito maior que a metade de XY.

3. Desenhe dois arcos como mostrado ao lado. 4. Não mude a abertura (o raio) do compasso. 5. Coloque a ponta seca do compasso no ponto Y. Desenhe dois arcos que interceptem os arcos anteriormente traçados.

6. Rotule (ou nomeie) estes dois pontos de interseção como sendo A e B.

Y B

7. Usando a régua, desenhe a linha AB. A

8. Nomeie como M o ponto criado pela interseção do segmento de reta XY com a linha auxiliar AB. 9.

M é o ponto médio de XY e AB é perpendicular ao segmento XY, logo a reta que passa por A e por B é a mediatriz do segmento XY.

M B

Problema Resolvido No 2: Dado um ponto P pertencente a uma reta r, construir uma reta que, passando por P, seja perpendicular a r. 1. Comece com a reta r que contém o ponto P.

r P

2. Coloque o compasso no ponto P. 3. Usando uma abertura qualquer (uma abertura arbitrária) desenhe arcos que interceptem a linha r em dois pontos.

r X

4. Nomeie estes dois pontos como X e Y. 5. Coloque a ponta seca do compasso no ponto X. 6. Ajuste a abertura do compasso para um valor não maior que a metade de XY.

r X

7. Desenhe um arco como mostrado ao lado. 8. Sem modificar aquela abertura adotada em (6.) coloque o compasso no ponto Y.

9. Desenhe um arco interceptando o arco anteriormente traçado.

r X

10. Nomeie o ponto de intercessão dos arcos como A. 11. Com a régua trace a linha AP. A

12. A reta AP é perpendicular à linha r.

r X

Problema Proposto 1:

Traçar uma semi-reta s perpendicular à extremidade de um dado segmento de reta de origem A que passa por B.

Solução: Prolongar o segmento de reta de origem A, que passa por B, obtendo a reta r. A reta r é uma reta auxiliar que faz com que o Problema Proposto recaia no Problema Resolvido No 2. Obter o ponto X, sendo AX  AB (AX congruente a AB) . Centrando o compasso em X e depois em B, obter o ponto C. Traçar a semi-reta s com origem em A, passando por C.

C r X

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Problema Resolvido No 3:

Dado R, um ponto externo à reta r, construir uma reta, que passando por R seja perpendicular a r.

1. Comece com a reta r e o ponto R, não pertencente à reta r.

2. Coloque a ponta seca do compasso no ponto R. 3. Usando um raio arbitrário (abertura qualquer do compasso) desenhe arcos que interceptem a reta r em dois pontos.

r Y

4. Rotule estes dois pontos encontrados como X e Y. 5. Coloque o compasso no ponto X. 6. Ajuste o compasso com um raio não maior que a metade da distancia XY.

r Y

7. Desenhe um arco como mostrado na figura ao lado. 8. Sem mudar o raio do compasso, coloque a ponta seca no ponto Y.

9. Desenhe um arco interceptando o arco anteriormente desenhado.

r Y

X B

10. Rotule esta interseção (um ponto) como B. 11. Com a régua, desenhe a reta RB. 12. A reta RB será perpendicular à reta r.

r Y

X B

Problema Proposto No 2: Traçar uma reta s perpendicular a uma segmento de reta dado AB que passa por um ponto P tal que a distância de P ao segmento é bem maior que a medida do próprio segmento. Sugestão: adotar a reta r, uma reta suporte do segmento AB, recaindo mo problema

r A

Problema Resolvido No 4 (Enunciados Prováveis): [Enunciado 4.1] Construir o segmento de reta bissetor de um ângulo RPQ dado. [Enunciado 4.2] Construir a reta bissetriz de um ângulo dado. 1. Seja P o vértice do ângulo de lados PQ e PR. Q

2. Centrando o compasso no ponto P , desenhar um arco que intercepte os dois lados do ângulo dado. 3. Rotule os pontos de interseção como Q e R. P

4. Centrando o compasso no ponto Q desenhar um arco no interior do ângulo dado.

5. Sem modificar a abertura do compasso, centrar o compasso no ponto R e desenhar outro arco no interior do ângulo dado cruzando o arco anteriormente traçado.

6. Rotule a interseção como W. P

7. Utilizando um régua não graduada desenhar a semireta PW.

Q W

8. PW é a semi-reta que bisseca o ângulo dado. 9. A reta bissetriz do QPR é a reta r

Problema Proposto No 3:

Sugestão: Este é um problema bastante fácil, pois trata-se primeiramente de dividir o ângulo dado em Dividir um ângulo dado em 4 parte duas partes congruentes (de mesma medida) para em com a mesma medida, ou seja, dividir o seguida dividir estes dois ângulos em outros dois, ângulo em quatro partes congruentes totalizando assim quatro ângulos congruentes obtidos entre si. a partir do ângulo dado.

Problema Proposto No 4:

Sugestão: Traçar uma perpendicular a uma reta Construir um ângulo de 45o, a partir dada e em seguida bissecar o ângulo reto assim de um ângulo reto.. obtido.

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Problema Resolvido No 5: Construa um ângulo congruente a um ângulo dado. 1. Para desenhar um ângulo congruente a um dado ângulo A, comece desenhando uma semi-reta de origem D.

A D

2. Coloque a ponta seca do compasso (o centro) no ponto A e desenhe um arco que passe pelos dois lados do ângulo dado. 3. Sem modificar a abertura do compasso, coloque a ponta seca do compasso no ponto D e desenhe um arco exatamente igual ao anterior. 4. Rotule os pontos de interseção como B, C e D como mostrado na figura..

B A D

5. Adote, no compasso, uma abertura equivalente ao segmento que une os pontos B e C. 6. Coloque o compasso no ponto E e desenhe um arco desenhado anteriormente.

C F B A

7. Rotule a interseção como F. D

4. Use a régua não graduada para traçar a semi reta DF. C

8. Conclui-se que: EDF BAC

F B A D

Problema Resolvido No 6: Dado um ponto P não pertencente à reta r, traçar por P uma reta paralela a r.

1. Seja um ponto P não pertencente à reta r.

2. Desenhe uma reta arbitrária s, com qualquer inclinação, que passando pelo ponto P, intercepte a reta r. 3. Chame a interseção de Q. 4. A tarefa agora é construir um ângulo cujo vértice seja P, congruente ao ângulo formado pela interseção de r com s.

s P

5. Centre o compasso em Q e desenhe um arco interceptando as duas retas. 6. Sem modificar o raio do compasso, centre-o no ponto P e desenhe outro arco igual ao anteriormente traçado..

s P

7. Adote a abertura do compasso como sendo a distância entre as interseções determinadas pelo primeiro arco traçado.

s P

8. Agora, centre o compasso no ponto onde o segundo arco intercepta r e marque o ponto R.

R r

9. Trace a reta PR paralela à reta r.

s P R Q

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Problema Resolvido No 7 (Enunciados Prováveis): [Enunciado 7.1] Construir um triângulo equilátero dado um segmento de reta representando um de seus lados. [Enunciado 7.2] Construir um ângulo de 60º.

1. 1. Comece com o segmento AB. A

2. Centrando o compasso no ponto A, com abertura AB, traçar um arco como mostrado na figura.

3. Mantendo a mesma abertura, centrar o compasso em B e traçar um segundo arco.

4. Nomeie o ponto de interseção destes dois arcos como sendo C.

5. Desenhar os segmentos de reta AC e BC. 6. O Triângulo ABC (ABC) é equilátero. 7. A partir do Teorema da Soma dos Ângulos Internos de um Triângulo Qualquer (Si= 180o) e utilizando o teorema que afirma: “Num triângulo qualquer, ao maior ângulo se opõe o Ângulo de maior medida”, pode-se concluir que cada um dos ângulos do triângulo equilátero mede 60.

Problema Resolvido No 8: Dividir um segmento de reta em n partes iguais, ou seja, em n segmentos de igual medida. 1. Comece com o segmento a ser dividido. 2. Seja, neste exemplo, dividi-lo em cinco segmentos congruentes entre si. 3. Desenhe um segmento de reta a partir de A, formando, com a reta dada, um ângulo agudo. 4. Use o compasso com uma abertura arbitrária, mas conveniente, para dividir o segmento auxiliar para criar uma escala com cinco espaços de mesmo tamanho. 5. Rotule o último ponto como C.

6. Você deverá, agora, desenhar dois arcos com raios distintos a saber: um arco centrado no ponto A, com raio BC e um segundo arco com centro B e raio AC. 7. Rotule esta interseção como D.

8. Note que ACBD é um paralelogramo. D

9. Use o compasso para construir, ao longo do segmento DB, uma escala usando o mesmo raio que foi usado para dividir o segmento AC. A

10. Use a régua não graduada para ligar os pontos do segmento AC aos pontos correspondentes do segmento DB.

11. Os segmentos assim traços serão paralelos. 12. Estes segmentos paralelos irão dividir o segmento dado, AB, em segmentos congruentes.

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Problema Resolvido No 9: Dados: uma circunferência, seu centro C e um ponto P externo a ela, construir as retas, que passando pelo ponto P, sejam tangentes à circunferência. 1. Comece com a circunferência centrada no ponto C e o ponto P, exterior à circunferência.

2. Desenhar o segmento de reta CP. Obter o ponto M, médio do segmento CP. (Vide Problema Resolvido No 1) P

C M

3. Centrando o compasso no ponto M, desenhe a circunferência que passa por C e P. 4. A circunferência irá interceptar a outra nos pontos R e S.

R P

C M

5. Os pontos R and S são os pontos de tangência. Trace as retas PR e PS tangentes à circunferência centrada no ponto C.

R P

Problema Proposto No 5:

Sugestão:

Dados: uma circunferência, seu Unir C a P. Nomear o ponto de interseção do centro C e um ponto P externo a ela, segmento CP com a circunferência dada, como T. T é traçar a circunferência centrada em P, que tangencie circunferência dada, o ponto de tangência das duas circunferências. PT é o marcando antes o ponto de tangência raio da outra circunferência. destas circunferências.

Problema Resolvido No 10: Obter o centro de uma circunferência quando ele não é dado.

1. Comece com a circunferência (sem a marcação do centro)

2. Desenhe a corda AB.

3. Construa a mediatriz (bissetriz e perpendicular) da corda AB.

4. Sejam C e D os pontos de interseção da mediatriz anteriormente traçada e a circunferência dada. (Veja o Problema Proposto No 1)

C D

5. A corda CD é o diâmetro da circunferência. Obtenha o ponto P, médio do segmento CD. (Veja o Problema Proposto No 1) 6. O ponto P é o centro da circunferência dada. C

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Problema Resolvido No 11: Dados três pontos não colineares

construa a circunferência

que passe por estes três pontos. A

1. Comece com os pontos A, B e C.

2. Desenhe os segmentos de reta AB e BC.

3. Construa as mediatrizes ( retas bissetoras e perpendiculares) aos segmentos AB e BC.

4. Seja P a interseção destas bissetrizes. B

4. Centrar o compasso no ponto P, e desenhe a circunferência passando por A, B e C.

Problema Resolvido No 12 (Enunciados Prováveis): [Enunciado 12.1] Inscrever um triângulo dados numa circunferência. [Enunciado 12.2] Circunscrever uma circunferência a um triângulo dado. 1. Comece com um triângulo qualquer ABC.

B A

2. Traçar as mediatrizes de quaisquer dois lados do triângulo ABC. 3.

O encontro destas mediatrizes produz o centro da circunferência que passará pelos três vértices do triângulo dado.

B A

Problema Resolvido No 13: Inscrever uma circunferência num triângulo dado. 1. Comece com um triângulo ABC.

A C

2. Construa as bissetrizes de dois quaisquer dos ângulos internos deste triângulo. (Vide Problema Proposto No 4.)

3. Seja I a interseção das duas bissetrizes dos ângulos escolhidos.

I A C

3. Construa a reta que, passando por I, é perpendicular a um dos lados do triângulo dado. Seja T o ponto de interseção desta reta com o lado escolhido (no nosso caso AB).

B T

I A C

4. Centre o compasso no ponto I, e desenhe utilizando como raio o segmento de reta IT, a circunferência. Ela irá tangenciar os três lados do triângulo dado.

B T

I A C

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Construções Geométricas – 2º Método Problemas Resolvidos usando Símbolos Gráficos que mostram os Passos das Construções Geométricas: A seguir serão apresentadas algumas construções geométricas passo a passo, segundo uma outra de forma de construção, em que se fará uso dos seguintes símbolos: Centro para a ponta seca do compasso de um arco ou circunferência; Direção para o traçado de linhas, círculos ou arcos; Ponto demarcado; Ponto especial e/ou escolhido arbitrariamente (veja problema 15).

Problema Resolvido No 14: Como bissecar um dado ângulo? Como dividir um ângulo em duas 1.-

4.-

partes exatamente da mesma medida? 2.-

5.-

3.-

6.-

Para maiores detalhes sobre esta técnica, vide: http://www.zef-damen.myweb.nl/Constructions/Constructions_en.htm

29 Problema Resolvido No15: Como construir uma linha perpendicular a um segmento bissecando-o? 1.-

2.-

4.-

5.-

3.-

Problema Resolvido No 16: Como construir uma linha perpendicular a um segmento dado 1.-

passando por um ponto fora dele? 2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

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Problema Resolvido No 17: Como construir uma linha perpendicular a um segmento dado passando por um ponto qualquer pertencente a este segmento?

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

Problema Resolvido No 18: Como construir os diâmetros horizontal e vertical de uma circunferência dada?

1.-

2.-

3.-

4.-

5.- Vide antes, o Problema 14 6.-

Problema Resolvido No 19: Como construir um hexágono equilátero inscrito num círculo dado? 1.-

2.- Vide antes, o Problema 16

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

11.-

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Problema Resolvido No 20: Como construir um triângulo equilátero dado o lado? 1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

Problema Resolvido No 21: Como construir um triângulo equilátero inscrito numa circunferência dada? 1.- Vide antes, problema 17

2.-

4.-

5.-

3.-

33 Problema Resolvido No 22: Como construir um hexรกgono regular dado um de seus lados? 1.- Vide antes, problema 18

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

11.-

12.-

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Problema Resolvido No 23: Como construir um pentágono regular? 1.- Vide antes, problema 16

2.-

4.-

5.-

7.-

8.-

9.-

10.-

11.-

12.-

13.-

14.-

Nota:

3.-

6.-

Esta maneira de construir um pentágono (há outros modos de fazê-lo) pode ser usada também para construir um decágono regular (um polígono regular com dez lados).

Problema extra: Como construir um heptágono regular dado um de seus lados? Consultar os sites: http://www.zef-damen.myweb.nl/Constructions/Constructions_en.htm http://www.zef-damen.myweb.nl/Constructions/Constructions_en.htm

Um heptágono não pode ser estritamente construído com régua e compasso. Uma forma prática de construí-lo é fazê-lo em uma folha quadriculada através das coordenadas de seus vértices.

Para que você possa obter diferente posições dos vértices a tabela ao lado deve ter seus valores alterados, da seguinte forma: 1. Para que o heptágono aponte para a esquerda, multiplique todos os valores da tabela por -1; 2. Para que o heptágono aponte para a cima, troque os valores de x por y e viceversa; 3. Para que o heptágono aponte para baixo, multiplique todos os valores da tabela obtida em (2) por -1. Nota: Os valores da tabela assumem que o raio da circunferência circunscrita ao heptágono vale 1.0000. Para se obter heptágono de diferentes tamanhos basta multiplicar os valores tabelados pelo valor do raio desejado para a circunferência.e.

Aqui estão as coordenadas dos 7 vétices X 1.0000 0.6235 –0.2225 –0.9010 –0.9010 –0.2225 0.6235

Y 0.0000 0.7818 0.9749 0.4339 –0.4339 –0.9749 –0.7818

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Apêndice Veja a seguir como construir um quadrado e um retângulo, dados os lados. Construindo quadrados Quer-se desenhar um quadrado de lado AB, dado. 1º Passo: Trace uma reta e sobre ela marque o segmento de reta AB.

2º Passo: Trace uma perpendicular em A.

3º Passo: Centro em A, com a abertura do compasso igual à medida AB, marque o ponto D sobre a reta perpendicular anteriormente traçada.

4º Passo: Centro em B, mantida a mesma abertura no compasso, trace um arco AX.

5º Passo: Em seguida, com abertura do compasso igual ao lado AB, centro em D, corte o arco AX em C.

6º Passo: Una os pontos A, B, C e D.

Construindo retângulos Vamos desenhar um retângulo de lados AB cm e AD. 1º Passo: Desenhe uma reta e sobre ela marque o segmento de reta de AB, dado.

2º Passo: Trace uma perpendicular em A.

3º Passo: Centro em A, com a abertura do compasso igual à medida de AD, marque o ponto D, na perpendicular.

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4º Passo: Centro em D, abertura do compasso igual ao lado AB, trace um arco.

5º Passo: Em seguida, com abertura do compasso igual ao lado AD, centro em B, corte o arco em C.

6º Passo: Una os pontos A, B, C e D.

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Capítulo 3

Formulário de Geometria Euclidiana Plana 1 Introdução A Construção do Pensamento Geométrico Euclidiano tem sido um grande desafio para os educadores, não somente pela quantidade de conceitos envolvidos, mas pela dificuldade de torná-los claros e conexos para os estudantes, bem como, aplicáveis à resolução de problemas. O estudo da Geometria Euclidiana seja através do método hipotético-dedutivo, seja através de um formulário tomado como “dicionário” da “linguagem geométrica” objetivando a resolução de problemas, exige do professor grande habilidade pedagógica que envolve o conhecimento sobre: (1) o que expor – que conteúdos apresentar aos estudantes, (2) em que seqüência expor os conteúdos selecionado, (3) como expor e tornar significativos cada um destes conteúdos, (4) como avaliar a aprendizagem daquilo que foi exposto.

A Geometria Plana Euclidiana Há fortes recomendações de cunho pedagógico no sentido de que se deveria apresentar as idéias geométricas euclidianas ao longo de todas as séries do Ensino Básico. No entanto, apesar da obrigatoriedade de que o conteúdo da Geometria Euclidiana deva ser abordado nas seguintes séries: 7ª e 8ª séries do Ensino Fundamental (Geometria Plana) e retomada na 2ª série do Ensino Médio (Geometria Espacial) incorporada à disciplina de Matemática. A prática tem mostrado, no entanto, que muito pouco se ensina de Geometria e que os alunos muito pouco aprendem desta ciência. Um dos sinais que melhor caracterizam o problema, e o faz de forma contundente, é o que geralmente ocorre com os professores do Ensino Médio, que, para poderem apresentar a Geometria de Posição e a Geometria Métrica Espacial, necessitam apresentar antes toda a Geometria Plana, pois a maioria dos alunos, agora na 2ª série do Ensino Médio, nunca a estudaram antes e, mesmo os que o fizeram, não fixaram os seus conceitos mais básicos, apresentando um conhecimento extremamente lacunar e desconexo. Os professores de Física, que necessitando de conceitos elementares da Geometria não o encontram com facilidade no repertório de maioria dos estudantes do Ensino Médio, o que dificulta enormemente a tarefa de fazê-los compreender os fenômenos e a interpretação das leis inerentes à sua disciplina. As construções geométricas utilizando régua e compasso (vide capítulo anterior) ou a geometria experimental, normalmente apresentada em Laboratórios ou Oficinas de Geometria  que

40 envolve a utilização de materiais concretos (dobraduras, pantógrafo, construções com canudos de refresco e palitos de sorvete, planificações de sólidos geométricos etc) , são formas bastante interessantes de se apresentar e estudar a Geometria Euclidiana, frisando e empregando os seus conceitos imediatos, definidos ou construtivos. No entanto, o que maioria dos professores alega para não colocar em prática estas idéias, é a “falta de tempo” ou a necessidade de preparar um material muito amplo para um efeito lento demais quando se leva em conta o tempo disponível para “ensinar” Geometria na 7ª e 8ª séries do Ensino Fundamental, ou até mais, esta é uma tarefa do professor de Desenho. Estes problemas  a falta de tempo, talvez a falta de conhecimento sólido e pedagogicamente bem embasado por parte dos professores e a aprendizagem lacunar ou insuficiente por parte dos estudantes que chegam ao Ensino Médio nos fizeram repensar o ensino da Geometria. Num primeiro momento, a Geometria vai (e deve sempre) ser repensada como sendo uma linguagem, que é o que ela realmente é. A partir disto, teremos que eleger um vocabulário mínimo a ser exigido do estudante, a partir do qual se possam criar oportunidades de aprendizagem genuinamente instigantes ou pelo menos motivadoras, primeiramente através da justificação de raciocínios e a seguir através da resolução de problemas. Assim, a criação de um formulário dos principais conceitos e propriedades da Geometria Euclidiana Plana e Espacial, baseados no vocabulário desta ciência passou a ser a meta mais urgente de nossa proposta pedagógica. O resultado da primeira fase do nosso projeto (vocabulário destinado ao alunado da 7ª série) será apresentado a seguir, nele, a Geometria Euclidiana destinada a este nível de escolaridade pode ser acessada de diversas maneiras: i. Através de um vocabulário – os títulos e subtítulos de cada um dos tópicos; ii. Através das ilustrações bastante detalhadas, geralmente acompanhadas de textos explicativos; iii. Através da sugestão de alguns exercícios bastante concretos envolvendo alguns tópicos teóricos que apresentem dificuldade; iv. Uma série de Sugestões Metodológicas. Os formulários destinados aos alunos da 8ª série do Ensino Fundamental e aos alunos do 2º ano do Ensino Médio, serão apresentadas nos capítulos 5 e 6 a seguir. O desenvolvimento axiomático da Geometria Euclidiana e a prova de uma série de Teoremas relevantes, focando-se em particular, os diversos métodos e formas de se provar teoremas numa Teoria Axiomática serão vistos na segunda parte deste trabalho.

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GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 1 0.- Estrutura de uma Teoria Axiomática Axiomas (Postulados)

Conceitos Primitivos

Definições

Teoremas

 Modernamente dá-se preferência ao nome Axioma no lugar de Postulado.  Axiomas são afirmações iniciais aceitas sem demonstração (ou princípios não demonstráveis), aceitos incondicionalmente como verdadeiros, e sobre os quais irá se fundamentar uma Teoria. Uma Teoria assim construída será denominada Teoria Axiomática. TEOREMA: Hipótese: P

demonstração

Tese: Q

Métodos Usuais de Demonstração de Teoremas: (1) Métodos diretos: (1.1)Hipotético-dedutivo (Regra de Inferência Modus Ponens: PQ; Se P é verdadeira, então Q é verdadeira.) (1.2.)Método Indutivo (Princípio da Indução Finita ou Indução Matemática) (2) Método indireto: por Redução ao Absurdo (Regra de inferência Reductio ad Absurdum: PQ; Se Q acarreta PP, então Q é verdadeira. Negar Q, a Tese, e obter a negação da Hipótese P, P, obtendo-se “PP” que é uma contradição).

1.- Noções Básicas da Geometria Euclidiana

(Euclides de Alexandria ? a.C. 325 a.C.)

plano se expandefundamentais em todos os sentidos  OOs elementos (ou conceitos primitivos) de uma teoria não possuem definição. 

O ponto, a reta, o plano e o espaço (E) são os entes fundamentais ou conceitos primitivos da Geometria.

Representações do ponto, da reta e do plano:

A r



1 2

Notar que:  O ponto é adimensional.  O ponto pode ser caracterizado como sendo a intersecção de duas retas. A intersecção de duas retas determina um ponto.  A reta é infinita nos dois sentidos.  A reta, o plano e o espaço são conjuntos com infinitos pontos.  O plano tem infinitas retas e o espaço infnitos planos.  Nem a reta, nem o plano têm espessura.  O plano se expande em todas os sentidos.  O espaço se expande em todas as direções. Notação usual para os entes geométricos: (1) o ponto – notado com letras latinas maiúsculas: A,B,C,..., P,Q,... (2) a reta – notado com letras latinas minúsculas: a,b,c,..., r,s,t,... (3) o plano – notado com letras gregas minúsculas: ,,,,... (4) os semi-planos opostos de um mesmo plano: 1 2 =  e 1 2 =  3

(5) o espaço – notado pela letra E ( Espaço Euclidiano = R )

42 2.- Examinando Alguns Axiomas da Geometria Euclidiana 2.1.- Axioma da Existência  Existe a reta e nela ou fora dela existem infinitos pontos. 

Existe o plano e nele (ou fora dele) existem infinitos pontos.

2.2.- Axioma da Determinação  A palavra “determina” deve ser entendida como uma substituta para o seguinte conceito: “estabelece a existência de uma e somente uma entidade geométrica”. Dois pontos distintos determinam uma reta.

Três pontos não colineares determinam um plano. 

 A

A B

barbante

2.3.- Axioma da Inclusão  Uma reta estará contida num plano (ou pertence a um plano) quando possur dois de seus pontos, distintos, pertencentes a este plano.  A

( A  B, A, B, r = AB )  r 

Usando este postulado e o postulado da determinação de planos poderemos demonstrar que:  Uma reta e um ponto fora dela determinam um plano.  Duas retas concorrentes detrminam um plano.  Duas retas paralelas distintas determinam um plano.

2.4.- Axioma da Separação  Um ponto pertencente a uma reta a separa em duas semi-retas distintas.  Uma reta pertencente a um plano o separa em dois semiplanos distintos.

2.5.- Axioma das Paralelas (Conhecido como V Postulado de Euclides)  Por um ponto fora de uma reta passa uma e somente uma reta paralela à reta dada.

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3.- Retas, Semi-retas e Segmentos de Reta – Pontos e Segmentos Colineares Notação:



A e B são pontos da reta r (Ar e Br), então: [1] r = AB [2] AB [3] AB

[5] OA e OB

[4] BA

 [1] r é a reta que passa por A e B

 [2] o segmento de reta AB  [3] a semi-reta com origem A, passando por B  [4] a semi-reta com origem B, passando por A  a reta r está contida no plano : r    [5] semi-retas opostas (veja figura ao lado) – o ponto O é a origem destas duas semi-retas.

3.1.- Pontos Colineares e Segmentos Colineares 

Os pontos A, B e C pertencem a uma mesma reta r A



Os pontos A, B e C são colineares



A reta suporte dos pontos A, B e C é a reta r



O ponto B está entre os pontos A e C: [ABC] = [CBA]



os segmentos AB , BC e AC estão contidos numa mesma reta r: AB  r , BC  r e AC  r



Os segmentos AB , BC e AC são colineares, porque estão contidos numa mesma reta r



A reta r é a reta suporte de AB , BC e AC

3.2.- Segmentos Consecutivos e Segmentos Adjacentes

B A

  

C A

P A

Os segmentos AB e BC são consecutivos, mas não são colineares Os segmentos MN e NP são consecutivos e são colineares Os segmentos MP e PN são consecutivos e são colineares

3.3.- Segmentos Colineares Consecutivos adjacentes Para que dois segmentos colineares e consecutivos sejam adjacentes é necesário que eles possuam um único ponto em comum: Os segmentos MN e NP são colineares e consecutivos e ainda MN  NP = { N }, logo



MN e NP são segmentos adjacentes 

Por outro lado, MP  PN = PN = NP , mesmo ocorrendo que MP e PN sejam colineares e consecutivos, eles não são adjacentes.

4.- Ponto Médio de um Segmento

M é ponto médio de AB  ( [AMB] e AM = MB ) A

Ou usando a Notação: A distância de A até B sendo dada simbolicamente por: d(A,M)

M é ponto médio de AB  ( d(AM) = d(AB) e d(AM) + d(MB)=d(AB) )  PROPRIEDADES DA DISTÂNCIA ENTRE PONTOS DO PLANO: [1] d(A,B)  0

[2] d(A,B) = 0  A  B (  - “coincide”)

[3] d(A,B) = d(B,A)

[4] d(A,B) + d(B,C)  d(A,C) (desigualdade triangular)

5.- Semi-planos Semi-planos e semi-espaços  O plano  foi dividido pela reta r

[1] r  

em dois semi-planos opostos (e

[2.a] 1  2 = 

[2.b] 1  2 = r r

 Se P  1 

Q P

2

distintos) 1 e 2.

1

e Q  2, pode-se

escrever: 1 = (r, P)

2=(r, Q)

 Notar que: Um plano separa o espaço (E) em dois semi-espaços.

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6.- Regiões Planas Convexas e Côncavas



R A

R é uma Região Plana Convexa se, e somente se:

R é uma Região Plana Côncava se, e somente se:

R  , A  R e B  R  AB  R

R  , A  R e B  R  AB  R

Notação:  - para todo  - ... pertence a ...

 - existe pelo menos um  - ... está contido em ...

 - se ... então ...  - não está contido em ...

7.- Ângulos r

Notação:



Ângulos Consecutivos: AOB e BOC AOC e BOC AOB e AOC



 ângulo  =  = AÔB = rÔs



ângulo  =  =  AOB



O é o vétice do ângulo 



As semi-retas OA e OB , de mesma origerm O, são os lados do ângulo 

Ângulos Adjacentes: AOB e BOC

O C

Não são Ângulos Adjacentes: AOC e BOC AOB e AOC

Nota: O ângulo é uma superfície limitada por duas semi-retas de mesma origem. 8.- Medida de ângulos – Graus B  

 A O C é denominado ângulo raso

    180o

Ângulo reto

Ângulo agudo

Ângulo obtuso

Medida = 90o

Medida < 90o

Medida > 90o

O ângulo de 360o é denominado ângulo de uma volta.

Nota: Um ângulo , tal que 0o    180º, é um ângulo convexo. Os ângulos , tal que 180º    360º é um ângulo côncavo. Justifique estas afirmações.

Medidas de ângulos em Radianos: Sendo:180 o   rad logo:

 rad  90 o 2

 rad  60 o 3

 rad  45 o 4

 rad  30 o 6

Medidas de ângulos em Grados:

Sendo: 360 = 400gr se torna bastante simples calcular os valores de1800, 90o, 60o, 45o e 300 através de regra de três simples. Tente fazê-lo e confira as suas respostas, abaixo. Respostas: 200gr, 100 gr; (400/6) gr = 200/3 gr  66,666... gr; 50 gr e 33,333...gr

9.- Adição de Ângulos

Se med(ˆ )  med(ˆ )  90o então  e  são ângulos complementares Se med(ˆ )  med(ˆ )  180o então  e  são ângulos suplementares Se med(ˆ )  med(ˆ )  270o então  e  são ângulos explementares Se med(ˆ )  med(ˆ )  360o então  e  são ângulos replementares

10.- Bissetriz de um Ângulo e Ângulos Opostos Pelo Vértice ( Ângulos OPV )     AOC  BOD e AOD  BOC

C C

 OC é a semi-reta bissetriz do ângulo AOB   AOC  BOC ( - “congruente a”)

    AOC e BOD são ângulos OPV  AOC  BOD     AOD e BOC são ângulos OPV  AOD  BOC

Nota: dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida.

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10.1.- Teorema dos ângulos O.P.V. – Comentários de cunho Pedagógico Teorema a ser Explanado/Explorado/Provado: Dois ângulos O.P.V. são Congruentes. Forma de Realizar a Explanação:



  s

Apresentar a figura ou desenho, passo a passo, explicando cada um de seus componentes (retas r e s, a intersecção no ponto O, os ângulos O.P.V.  e , o ângulo  um ângulo auxiliar). Mostar que:  +  = 180º (formam um ângulo raso) Mostrar que:  +  = 180º (também formam um ângulo raso) Montar o sistema de equações algébricas lineares:

    180o  o     180  e resolvê-lo ou por decodificação ou através de manipulações algébricas, constatando que  = , ou seja:   .

Um comentário importante: pode-se ser mais rigoroso no tocante ao que seja o ângulo e ao que seja a sua medida, adotando-se a seguinte notação: med(AOB) = , med(COD) =  e med(BOD) = , assim, a conclusão de que  =  nos levará à conclusão de que se med(AOB) = med(COD) então AOB  COD.

10.2.- Prova (Direta) do Teorema dos ângulos O.P.V. Teorema:

Dois ângulos O.P.V. são Congruentes.

Hipótese “AOB e COD são ângulos OPV”

 

Tese AOB) COD

Prova no formato de duas colunas: Proposição ou afirmação

Justificativa

1.- Sejam r e s duas retas que se interceptam num Definiçãoponto O 2.- Seja A, B, C e D pontos tais que: Ar, Br Axioma: Sobre uma reta jazem pelos menos dois pontos distintos. Cs e Ds 3.- AOB e COD são O.P.V e AOC e BOD Definição de ângulos O.P.V. são O.P.V 4.- Seja assumir que: med(AOB) =  e med(COD) =  e que med(BOD) =  e med(COA) = 

Correspondência entre um ângulo e sua medida

5.- AOB e BOD são suplementares

Formam par de ângulos lineares

6.- Logo  +  = 180º

Soma das medidas de ângulos suplementares

7.- COB e BOD são suplementares

Formam par de ângulos lineares

8.- Logo  +  = 180º

Soma dos ângulos suplementares em graus

9.- de (6) e (8) pode-se tirar que  =  de onde Regra da Substituição em Equações algébricas Lineares med(AOB) = med(COD)

Sistemas

10.- Se med(AOB) = med(COD) então Definição de congruência AOB  COD 11.- Usando-se o mesmo raciocínio pode-se Repetir os passos de (4) até(10) para AOC e provar que med(AOC) = med(BOD) BOD). então AOC  BOD C.Q.D.

Como Queríamos Demonstrar

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11.- Triângulos  Triângulo de vértices A, B e C: ABC

 Os lados a, b e c do ABC são opostos aos vértices A, B e C, respectivamente.  Ângulos internos: ,  e 



 Ângulos externos: ’, ’ e ’

’

c 

r B

 Semi perímetro do ABC: p 

’ 

’

a  + ’=  + ’=  + ’= 180o

 Perímetro do ABC: 2p = a + b + c abc 2

 Pode-se traçar uma reta suporte para cada um dos lados de um dado triângulo – na figura ao lado as retas r, s e t são suportes, respectivamente, dos lados a, b e c do ABC

12.- Classificação dos Triângulos Triângulos: Classificação quanto à m edida dos lados

escaleno

isósceles

equilátero

12.1.- Propriedades Notáveis dos Triângulos 

Os triângulos eqüiláteros têm os três lados com a mesma medida; o triângulo isósceles tem apenas dois lados com a mesma medida e o triângulo escaleno tem os três lados com medidas distintas (diferentes).



O triângulo eqüilátero é também denominado triângulo equiângulo (tem os três ângulos com a mesma medida) e o triângulo isósceles é também denominado isoângulo ( tem dois ângulos com a mesma medida).



O triângulo equilátero (tem três lados congruentes) é também considerado isósceles (tem dois lados congruentes).



Leia o Teorema: “Em todo triângulo, ao maior lado se opõe o maior ângulo”



e responda à seguinte pergunta: Pergunta: Em função do que você acabou de ler: o que ocorre nos triângulos isósceles?

Resposta: Nos triângulos isósceles, aos dois lados congruentes se opõe dois ângulos congruentes (veja figura acima).

50 Triângulos: Classificação quanto à medida dos ângulos hipotenusa catetos

triângulo retângulo

triângulo acutângulo

triângulo obtusângulo

Observar: 

Em todos os triângulos há sempre, pelo menos, dois ângulos agudos. Nos triângulos retângulos, dois ângulos são agudos e o terceiro deles é retângulo; no triângulo acutângulo os três ângulos são agudos e no triângulo obtusângulo um dos ângulos é obtuso, mas os outros dois são ângulos agudos.

13.- Casos de Congruência de Triângulos [1o] Escrever:

“LALALALLLLAAo” e pronunciar: lá-lá-lá-ele-ele-ele-a-aó

[2o] separar de três em três sílabas: LAL | ALA | LLL | LAAo    

LAL ALA LLL LAAo

– Lado, Ângulo, Lado (um ângulo entre dois lados) – Ângulo, Lado, Ângulo ( um lado e dois ângulos nas suas extremidades) – Lado, Lado, Lado – Lado, Ângulo, Ângulo Oposto

CUIDADO: A congruência entre dois triângulos deve ser verificada rigorosamente entre os lados e os ângulos de forma correspondente - lados e ângulos estes, que devem ser congruentes. Assim sendo: ABC  YXZ, mas o ABC não é congruente XYZ (diga porquê!). Como estabelecer a congruência dos triângulos MNP  QRS abaixo apresentados? Que tipos de movimentos devem ser realizados para levar cada um dos triângulos sobre o outro. Os movimentos são os mesmos? Q



10 cm

 A

13 cm

11 cm

10 cm S

Por que não existe o caso de

2

congruência LLA ? Observe os dois triângulos ao lado. Cada um deles possui dois lados medindo  1 e  2 e um mesmo

2



 1

1

ângulo . No entanto, nem por isto, eles são congruentes.

 Nota Importante: Casos Especiais de Congruência de Triângulos No caso de dois triângulos retângulos podemos afirmar que os mesmos são congruentes sempre que: (a) tenham os catetos correspondentemente congruentes; ou (b) tenham a hipotenusa e um dos catetos correspondentemente congruentes.

GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA E ESPACIAL

14.- Duas Retas Paralelas Cortadas por uma reta Transversal t

2ˆ

1ˆ

3ˆ

4ˆ 5ˆ 8ˆ

6ˆ

7ˆ Propriedades:

Ângulos Colaterais Internos: 3 e 6; 4 e 5 Ângulos Colaterais Externos: 1 e 8; 2 e 7 Ângulos Alternos Internos: 4 e 6; 3 e 5 Ângulos Alternos Externos: 1 e 7; 2 e 8 Ângulos Correspondentes: 1 e 8; 2 e 7; 3 e 7; 4 e 8 Ângulos OPV: 1 e 3; 2 e 4; 5 e 7; 6 e 8

 são congruentes os ângulos correspondentes e os alternos (internos ou externos)  são congruentes os ângulos OPV  são suplementares (somam 180o) os ângulos colaterais (internos ou externos)

15.- Dois Teoremas Importantes Sobre os Ângulos de um Triângulo Teorema: Num triângulo qualquer, a soma dos ângulos internos vale sempre 180º . Corolário:

Num triângulo qualquer, o ângulo externo tem medida igual à soma dos outros dois ângulo não adjacentes a ele.

 

 

S iˆ        180 o

 eˆ    

Prova do Teorema da Soma dos Ângulos Internos de um triângulo qualquer: Seja o triângulo de vértices ABC (ABC) qualquer, com lados opostos a cada um destes vértices, denominados a, b e c, respectivamente. Sejam ainda os ângulos ,  e , respectivamente ângulos internos dos vértices em A, B e C, conforme figura ao lado. Tracemos uma reta r paralela a um dos lados deste triângulo pelo vértice oposto a este lado escolhido. Segundo o Axioma V de Euclides, por um ponto fora de uma reta passa uma e somente uma reta paralela à reta dada. A seguir, sem perda de generalidade, suponhamos que o lado escolhido seja o lado b, é evidente que a reta r será traçada por B, sendo assim, paralela por construção, ao lado b do triângulo. B O teorema do Feixe de Paralelas cortado por uma  Transversal, nos permitirá transportar as medidas dos ângulos   e  para o vértice B, criando ângulo alternos internos  c a com o mesmo nome, conforme a figura ao lado. Assim, os ângulos ,  e , passam a formar no vértice B do   triângulo dado, um ângulo raso, ou seja:  +  +  =180º. A C.Q.D. b (C.Q.D. ou CQD: Como Queríamos Demonstrar) - do latim: Q.E.D. Quod Erat Demonstrandum)

52 Observar: O Teorema do Ângulo Externo (de um triângulo qualquer) poderá ser demonstrado fazendo-se uso do Teorema da Soma dos Ângulos Internos (de um triângulo qualquer) e é, exatamente por isto, que ele é denominado um Corolário deste Teorema. Um corolário é um Teorema conseqüente de outro.

Prova do Corolário (=Teorema Conseqüente) do Ângulo Externo de um triângulo qualquer: Sabe-se que Si = 180o. Assim, pela figura anterior temos também que o ângulo externo, ê, e o ângulo interno  ao triângulo,  são suplementares, isto é:  med(ê) + med( ) = 180o A partir disto, podemos montar e resolver o sistema de       180 o equações lineares seguinte   e =  + . o  e    180 C.Q.D.

B 

ê 



16.- Feixe de Retas Paralelas Cortadas por Transversais Teorema do Feixe de Paralelas de Tales: O teorema do feixe de retas paralelas cortadas por duas retas transversais, é também conhecido como Teorema de Tales, cujo enunciado é o seguinte: “Se duas retas são transversais de um feixe retas paralelas, então a razão de dois pares de segmentos correspondentes é igual.”

Exemplo numérico:

r 2 cm

3 cm

s 4 cm

AB DE  BC EF

AB BC  DE EF

6 cm

2 3  4 6

2 4  3 6

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17.- Semelhança de Triângulos X



A b

c y

z Z

CUIDADO:

ABC  ZYX

Se ABC  ZYX então: a b c   e ainda z y x 

Aˆ  Zˆ , Bˆ  Yˆ e Cˆ  Xˆ

os lados homólogos (correspondentes) são proporcionais e



os ângulos homólogos (correspondentes) são congruentes.

17.1.- Semelhança de Triângulos – Um Exemplo Notável B k=2

N 4cm

10cm 6cm

5cm

P 3cm

8cm

k=½

10 8 6 5 4 3 1    2  k1 ou ainda PMN ~ ABC e    k 2 5 4 3 10 8 6 2  A razão de semelhança do ABC para o PMN vale 2 (k1 = 2 indica que os lados do triângulo maior medem o dobro dos lados correspondentes do menor ), enquanto a razão de semelhança do PMN para o ABC vale ½ (k2 = ½ indica que os lados do triângulo menor medem a metade das medidas dos lados do triângulo maior). ABC ~ PMN e

54 18.- Cevianas de um Triângulo D e f in iç ã o : C e v ia n a é u m s e g m e n to d e r e ta q u e u n e u m d a d o v é r tic e d e u m tr iâ n g u lo a u m p o n to d o la d o (o u a u m p o n to d a r e ta s u p or te d o la d o ) o p o s to a e s te v é r tic e .

18.1.- As Cevianas de um Triângulo Altura

Mediana

A ha C

MC  MB AM mediana relativa ao vétive C

ha altura relativa ao lado a AH altura do triângulo relativa ao vértice A

Bissetriz do Ângulo Interno

Bissetriz do Ângulo Externo

18.2.- Propriedade das Bissetrizes Interna e Externa de Ângulos do Triângulo

A A b



 c

a b c  m n

com m  n  a

m b c  m n

com m - n  a

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18.3.- Relação de Stewart – Cálculo da medida de uma Ceviana do Triângulo As relações da Stewart permitem calcular as medidas das seguintes cevianas de triângulos quaisquer. a altura, a mediana, as bissetrizes dos ângulos internos e externos. Esta fórmula permite também, a dedução das fórmulas mostras no item anterior, item 18.2. Figura 1: A

Figura 2:

A X

b c

C B

m = CD

 Na fórmula (ou relação)de Stewart o segmento AD pode ser: a altura do triângulo, a mediana, a bissetriz do ângulo interno ou a bissetriz do ângulo externo (uma ceviana veja isto nas figuras 1 e 2): 2

b 2 c 2 AD   1 am an mn  Se adotarmos o segmento AD como sendo X poderemos escrever a relação de Stewart como sendo:

b 2 c2 X 2   1 am an mn

19.- Pontos Notáveis de um Triângulo Incentro – centro da circunferência inscritível no triângulo.  encontro das bissetrizes dos ângulos internos.

Ortocentro – também denominado centro órtico.  encontro das alturas.

Circuncentro – centro da circunferência circunscritível no triângulo.  encontro das mediatrizes. Baricentro – centro de gravidade (G) do triângulo.  encontro das medianas.

NOTA IMPORTANTE: Para se obter cada um dos pontos notáveis do triângulo basta que sejam traçadas apenas duas das linhas que os determina. Veja a seguir.

20.- Como Encontrar os Pontos notáveis de um triângulo 20.1.- O MAIS FÁCIL DE SE OBTER É O BARICENTRO 

O centro de gravidade (G) que é obtido traçando-se as medianas (lembar da palavra média) 



Para encontar G bastaria traçar apenas duas das medianas

O baricentro divide as medianas na proporção um para dois (divide na proporção x para 2x)

PROPRIEDADE: AG = 2.GM1 (se GM1 = x  AG = 2x) BG = 2.GM2 (se GM2 = y  BG = 2y) CG = 2.GM3 (se GM3 = z  CG = 2z)

M3 M2

G B M1

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20.2.- COMO OBTER O INCENTRO E O CIRCUNCENTRO AO MESMO TEMPO (1o Passo) Desenhar dois triângulos isósceles com alturas muito maiores que a medida da base. (2o Passo) Traçar as bissetrizes dos ângulos internos do 1o triângulo. (3o Passo) Traçar as mediatrizes dos lados do 2o triângulo. (4o Passo) Verificar qual dos cruzamentos pode ser o centro da circunferência inscritível e qual pode ser o centro da circunferência circunscritível.

Incentro

Circuncentro

Nota: a mediatriz do lado do triângulo é o segmento perpendicular a este lado e que passa pelo ponto médio do mesmo.

IMPORTANTÍSSIMO

 P1

 r  A

r M

M é o ponto médio da hipotenusa do triângulo retângulo (ABP1) M é o circuncentro do ABP pois: AM = MB = MP = r onde r é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. Esta é uma forma a ser adotada sempre que se quiser construir um triângulo retângulo(ABP2): “traça-se o diâmetro da circunferência (que será a hipotenusa) e escolhe-se qualquer ponto P (veja no exemplo os pontos P1 e P2) sobre uma das semicircunferências para ser o terceiro vértice do triângulo. Os triângulos ABP1 e ABP2 assim obtidos, são retângulos”.

20.3.- COMO OBTER O ORTOCENTRO B

H C H2

Os lados AB e AC (os catetos) e AH são alturas do triângulo retângulo. O ortocentro deste triângulo é o vértice A. Ortocentro do triângulo escaleno

No caso do triângulo escaleno o ortocentro é encontrado ao prolongar-se os segmentos correspondentes às alturas triângulo são AH1, BH2 e CH3

58 21. - Propriedade Notável do Ortocentro

A  M1

Na figura ao lado: 

Por construção: ZX // AB; ZY // BC e XY // AC

M3  C

B M2



Pode-se provar que: M1, M2 e M3 são pontos médios dos lados do XYZ

As alturas do ABC passam a se constituir mediatrizes do XYZ. Logo, o ortocentro do ABC passa a ser automaticamente o circuncentro do XYZ.

22.- Propriedades dos Pontos Notáveis de Triângulos Equiláteros  No triângulo equilátero o ortocentro, o circuncentro, o incentro e o baricentro coincidem.  R



 r

Consideraremos: r = raio da circunferência inscrita heq = altura do triângulo equilátero Fórmulas:

h eq 

 3 (Teorema de Pitágoras) 2

23.- Ex-Incentro Ex-incentro é o centro da cirtcunferência que tangencia externamente um lado do triângulo e tangencia o prolongamento dos outros dois lados. O ex-incentro é determinado pelas bissetrizes de dois ângulos externos e a bissetriz do outro ângulo interno.

R = 2r

R = raio da circunferência circunscrita

 = lado do triângulo equilátero h eq  3r (propriedade do baricentro)

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24.- Mapa Conceitual para os Pontos Notáveis dos Triângulos

Pontos Notáveis nos Triângulos produzem os

são pré-requisitos para

Intersecções de Linhas Notáveis

Linhas Notáveis nos Triângulos

Segmentos de reta

Semi-retas

Medianas

Bissetrizes

Medianas

Alturas

Mediatrizes

Bissetrizes

Circunferências: Circunscrita e Inscrita

Alturas

Mediatrizes

Baricentro

Propriedade: x, 2x; y, 2y e z, 2z 2z y

x 2x

2y z

Ortocentro

Circuncentro

Incentro

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Capítulo 4

Mapas Conceituais Propondo Formas de Organização Pedagógica e de Estruturação Didática dos Conhecimentos Escolares Aury de Sá Leite No caso da prática escolar, os Projetos Pedagógicos e os Programas de Curso (sílabo) parecem ser representações do conhecimento suficientemente boas para serem interpretadas por educadores e professores. No entanto, quando se exige que a representação de conhecimento não somente deva se dar em termos de nível de profundidade dos conceitos envolvidos, mas envolva também no processo de representação as habilidades intelectuais (e às vezes, as habilidades motoras) necessárias à comprovação da compreensão ou da assimilação daquele conhecimento por parte do estudante, há a necessidade da adoção de formas de representação mais especializadas. Vão ser analisar aqui três formas de representação do conhecimento: [1] as redes semânticas, [2] os mapas conceituais e ainda [3] os mapas de hierarquia de aprendizagem, alertando-se para o seguinte fato: aqui, vai-se utilizar a nomenclatura "mapa de hierarquia de aprendizagem" ao invés de "estrutura de aprendizagem" como aparece “traduzida” para o português em [Gagné 1970; 1974; 1976].

1.- Redes Semânticas Uma rede semântica apresenta-se sob a forma de um mapa cujas informações  palavras ou grupos de palavras  referentes a objetos, nomes, ações e atributos ou propriedades, normalmente alocados no interior de pequenos círculos ou caixas, são interligados por segmentos orientados, os conectores, cujas anotações permitem verificar o significado (a semântica) de um dado conceito.

62 Peixe não é

Aquático

Mamífero

é um

Baleia

tem

Óleo

é um

Filhote

Cetáceo

tem muito

tem pouco Valor Comercial

Figura 1- Um Exemplo de Rede Semântica

2.- Mapas Conceituais Os mapas conceituais [Ausubel, Novak & Hanesian 1979; Novak & Gowin 1984] são recursos indicados para o mapeamento ou para a representação de conhecimentos relativos aos conteúdos previstos ou estabelecidos em projetos educacionais e, portanto, ligados a propostas pedagógicas, cuja interpretação é deixada para os professores ou para os especialistas (humanos) em educação. Estes mapas constituem-se numa rede de nós, representando os conceitos ou objetos, conectados por arcos com rótulos descritores das relações entre pares de nós. 2.1.- Os Conceitos Subsunçores e os Organizadores Avançados Para melhor entender o que sejam os mapas conceituais propostos por Novak [Novak 1981] com base na Teoria da Aprendizagem Significativa de Ausubel, deve-se definir o que seja a subsunção e os organizadores avançados.  A palavra subsumir vem do latim, onde "sumere" significa: tomar, acolher, aceitar uma idéia como dependente de uma idéia geral; conceber um indivíduo como compreendido numa espécie. Assim é que a subsunção pode ser definida como sendo uma operação que se caracteriza por: classificar, incorporar ou incluir algo em uma categoria ou em um princípio mais geral. Na teoria da aprendizagem significativa de Ausubel [Moreira & Masini 1982] os conceitos subsunçores são conceitos mais gerais, e já estáveis, que figuram na estrutura cognitiva de um indivíduo e que se prestam à ancoragem (inclusão) de novos conceitos. Para que a ancoragem de novos conceitos seja assumida como uma aprendizagem significativa o indivíduo deve ter presentes em sua estrutura cognitiva os necessários conceitos subsunçores e possuí-los num nível adequado àquele processo.  Os organizadores avançados são conteúdos introdutórios caracterizados como claros e estáveis, relevantes e inclusivos do conteúdo que será oferecido à aprendizagem, e têm o

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objetivo de "revitalizar" os conceitos subsunçores em termos de aprofundamento e ampliação da abrangência. Ausubel define dois tipos de organizadores avançados, a saber: - expositivos: aqueles utilizados para a introdução de conteúdos completamente novos, onde se prestam a criar subsunçores relevantes na estrutura cognitiva do indivíduo que deve aprender; - comparativos: utilizados para aumentar a abrangência de conceitos subsunçores preexistentes na estrutura cognitiva ou para aumentar a discriminabilidade entre as idéias novas e as preexistentes. A Figura 2, a seguir, é auto-referente, pois mostra o mapa conceitual de um mapa conceitual. 2.2.- Um Exemplo de Mapa Conceitual inspirado na

Mapa Conceitual

Teoria da Aprendizagem Significativa de Ausubel a partir de

Estudos de J.D.Novak tem

tem

apresentam uma

Palavras de Ligação

Rótulos

depende do

Hierarquia

depende do

Contexto

visando formar

para os

partindo do

Conceitos

Proposições

Mais geral

localizado na

Parte superior do Mapa Conceitual

localizado na

Parte inferior do Mapa Conceitual

que formarão um que são

para o depende do

Regularidades percebidas em

Eventos

Diagrama Cognitivo destinado a facilitar a

Objetos

apresenta as

Aprendizagem que pode ser

identificados através de

Mecânica

Mais específico

Ligações entre os conceitos

que deveria ser preferencialmente

Significativa

feita por

Segmentos de reta

depende do

feita por

Segmentos de reta orientados

Figura 2- Um Exemplo de Mapa Conceitual

Ao se examinar a Figura 2, nota-se que a organização hierárquica dos conceitos, que vai do mais geral para o mais específico, é estabelecida pela posição dos mesmos no mapa - os conceitos mais includentes figuram na parte superior do mapa, enquanto os mais específicos figuram na parte inferior

64 do mapa. É assim que as ligações entre estes conceitos são feitas por segmentos de retas não orientados. No entanto, quando estas ligações fogem desta disposição hierárquica (de cima para baixo) utilizam-se, para ligar os conceitos, segmentos de retas orientados. Outra observação bastante pertinente: em alguns mapas conceituais podem ocorrer ligações laterais ou transversas, ou seja, ligações que envolvem conceitos de um mesmo nível, ou que relacionam conceitos que figuram em posições distantes exigindo, para uni-los, segmentos de retas que cruzem transversalmente o mapa. Observação importante: Em contextos muito amplos ou muito complexos, os mapas conceituais podem tornar-se de difícil elaboração, e ainda de difícil interpretação pelos educadores que queiram deles se utilizar.

Teoria dos

Aritmética

Conj unt os

3 Operações Aritméticas (binárias) Fundamentais

Operações com Conjuntos

éa é uma 1

Adição

é a operação inversa da

conceito “Adição”

Conceitos Subsunçores do

Matemática

é uma

éa

Multiplicação é a operação inversa da

Subtração

é a operação inversa da

Divisão

Figura 3.- Mapa conceitual ausubeliano para o ensino da Adição.

3.- Mapas de Hierarquia de Aprendizagem Para Gagné [Gagné, Briggs & Wager 1992] a aprendizagem de qualquer nova capacidade requer a aprendizagem prévia de capacidades subordinadas que, de alguma forma, estejam envolvidas nesta nova capacidade. É assim que a aprendizagem de novas idéias ou de novos conceitos deve ser estruturada numa progressão de aprendizagens subordinadas, naquilo que se passa a denominar

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hierarquia de aprendizagem. Para planejar estas hierarquias de aprendizagem, Gagné sugere e utiliza mapas semelhantes aos mapas conceituais, onde:  Cada nó deve conter as informações e as ações envolvidas, bem como a indicação das capacidades e habilidades ou estratégias cognitivas específicas, necessárias para aquela aprendizagem e também os resultados esperados; tudo isto orientado pelos objetivos educacionais a serem atingidos;  Os nós não são ligados por palavras como nas redes semânticas ou nos mapas conceituais ausubelianos. Os nós contêm tópicos descritivos do que se oferece e do que se exige em termos daquela aprendizagem;  Cada par de nós que seja composto por “capacidade superior versus capacidade subordinada” deve ter uma relação de alta transferência “positiva” da capacidade inferior para a superior.

Efetuar adições através de dispositivo prático envolvendo duas ou mais parcelas com transporte de unidades

Efetuar adições através de dispositivo práticos envolvendo duas parcelas sem transporte de unidades

3 2

Efetuar mentalmente adições envolvendo pequenas quantidades

Reconhecer conjuntos disjuntos e realizar uniões e interseções

Reconhecer os numerais de 0 até 10000 Saber contar de 0 até 100 e reconhecer seus numerais

Reconhecer os numerais de 0 até 9. Saber escrever estes numerais

Aprender e utilizar a nomenclatura adequada. Compreender e aplicar as propriedades da adição.

Contar de um até dez e saber discriminar estas quantidades

Contruir seqüências lógicas utilizando materiais concretos

Classificar objetos concretos a partir de atributos notáveis

Operar e reconhecer as propriedades das operações com conjuntos

Formar conjuntos com materiais concretos a partir de uma dada propriedade

Qualificar, discriminar e agrupar objetos concretos a partir de seus atributos

Figura 4.- Mapa da Hierarquia de Aprendizagem da Adição de acordo com a teoria de aprendizagem de Gagné, onde se podem ver as ligações fracas e fortes.

4.- Comparando os Mapas de Ausubel e de Gagné Novak [Novak 1981] fez um estudo comparativo entre o modelo proposto por Ausubel e o proposto por Gagné, do planejamento de conhecimentos a serem oferecidos à aprendizagem. Ele destaca que, enquanto os mapas de hierarquia de aprendizagem prevêem o domínio de unidades mais

66 básicas e específicas, para então se caminhar para as mais gerais e inclusivas, Ausubel recomenda justamente o contrário. O mapa conceitual estilizado mostrado na Figura 5 realça através de setas os processos de diferenciação progressiva de conceitos que deve ser seguida da reconciliação integrativa, como são descritas a seguir, de acordo com a teoria da Aprendizagem Significativa de Ausubel:  A diferenciação progressiva (na Figura a 5, representada por setas desenhadas com linha contínua) é um aspecto do processo da aprendizagem significativa o qual propõe que a aprendizagem se dê a partir dos conceitos mais inclusivos (conceitos subsunçores), diferenciados em termos de detalhes e especificidade, progressivamente, caminhando para os conceitos mais específicos.  A reconciliação integrativa (na Figura 5, representada por setas desenhadas com linha tracejada) prevê que a cada passo da aprendizagem se refaça o caminho inverso da aprendizagem, buscando-se uma integração do novo conhecimento com o conhecimento mais inclusivo que o antecedeu.

[1] Hierarquia de conceitos

[2] Hierarquia de aprendizagem

[1] Modelo devido a Ausubel

[2] Modelo devido a Gagné

G-[1] Conceitos mais gerais

G-[2] Capacidades mais gerais

I-[1] Conceitos intermediários

I-[2] Capacidades subordinadas

Processo de reconciliação integrativa

C-[1] Conceitos específicos

C-[2] Capacidades específicas

Novos conceitos a serem aprendidos

Sentido(s) de percorrimento dos nós

Figura 5.- Comparação entre os modelos de representação hierárquica de conhecimentos.

A Figura 5, acima, mostra de forma comparativa os dois modelos de representação de conhecimento, o primeiro devido a Ausubel e o segundo devido a Gagné que, no modelo de representação de conhecimento dentro da práxis escolar poderão, ser propostos como excelentes representações do conhecimento Pedagógico e o conhecimento Didático, respectivamente.

Exercícios 1) Construa um mapa conceitual para o conceito “reta”. 2) Construir um mapa conceitual para o conceito “triângulo eqüilátero”. 3) Construir um mapa de hierarquia de aprendizagens para “triângulo eqüilátero”.

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4) Esboce um mapa conceitual para o conceito “triângulo” e verifique como o mapa construído anteriormente (“triângulo retângulo”) poderá ser “encaixado” neste mapa. 5) Construa um mapa de hierarquia de aprendizagens para “reta”. 6) Construa um mapa conceitual para o conceito “circunferência” que também abranja o conceito “círculo”. 7) Analise o mapa conceitual para quadriláteros que está na página 68 (item 10.8). 8) Construa um mapa de hierarquia de aprendizagens para os conceitos “área, volumes e capacidade”. 9) Construa um mapa conceitual para o conceito “Poliedros de Platão”. 10) Construa um mapa conceitual para o conceito “Trigonometria no triângulo”.

Capítulo 5

Formulário de Geometria Euclidiana Plana 2 Este é o segundo dos três formulários de Geometria Euclidiana a serem aqui apresentados. Ele é um formulário sobre geometria plana que completa o primeiro deles. Os assuntos aqui abordados se iniciam com o estudo dos polígonos e vai abranger o estudo das circunferências, posicional é métrico, este estudo se estende ao cálculo das áreas dos polígonos e do círculo. Os assuntos apresentados neste formulário se referem a assuntos a serem ministrados na 8ª série do Ensino Fundamental. O terceiro formulário será apresentado logo em seguida, no capítulo 6. Ele prevê o estudo da Geometria Espacial Posicional e Métrica.

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GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA 2 1.- Poligonais e Polígonos Poligonal aberta A não coincide com F

Poligonais fechadas

B Polígono entrelaçado

Polígono côncavo

Polígono Convexo

2.- Elementos Básicos de um Polígono B

   

1 A



2

   

O polígono ABCDE é convexo Os pontos A, B, C, D e E são seus vértices O polígono ABCDE é um pentágono (tem cinco lados) Os segmentos de reta AB, BC, CD, DE eEA (ouAE ) são os lados do polígono ABCDE  é o ângulo interno correpondente ao vértice A 1 e 2 são ângulos externos correpondentes ao vértice A 1 e 2 são conguentes (têm a mesma medida) pois são OPV Para um mesmo vértice A:  + x = 180o onde x = 1 ou x = 2

3.- Nomenclatura dos Polígonos de acordo com o número de lados No de lados 3

Triângulo / Trilátero

No de lados 12

Dodecágono

Quadrilátero

Tridecágono

Pentágono

Tetradecágono

Hexágono

Pentadecágono

Heptágono

Hexadecágono

Octógono

Heptadecágono

Eneágono

Octodecágono

Decágono

Eneadecágono

Undecágono

Icoságono

Nome

70 4.- Cálculo do Número de Diagonais de Polígonos Convexos Nas figuras a seguir:  n representa o número de lados ou de vértices de cada um dos polígonos convexos 

dvn representa o número de diagonais que partem de cada vértice daqueles polígonos

n = 3 e dv3= 0

n = 4 e dv4= 1

n = 5 e dv5= 2

n = 6 e dv6= 3

 note que se pode estabelecer indutivamente que: n= 7  dv7= 7  3;

n= 8  dv8= 8 3;

n= 9  dv9= 9 3 e assim por diante, de onde  pode-se concluir, baseado nesta indução, que:

dvn= n 3

Assim, fica fácil estabelecer que o total de diagonais de um polígono convexo será calculada pela fórmula:

dn 

n(n  3) 2

mas por que dividir tudo por “2” ?

A resposta é a seguinte: ao calcularmos as diagonais de cada um dos vértices estaremos envolvendo na contagem uma mesma diagonal duas vezes. Uma mesma diagonal é computada quando sai de um vértice e, é novamente computada, como tendo saído do outro vértice. Ora, todas elas foram contadas duas vezes, logo, nada mais natural que dividir o total, assim obtido, por dois.

5.- Soma das Medidas dos Ângulos Internos de Polígonos Convexos

No de Lados N de Triângulos Soma dos ângulos Internos o

3 1=3–2

4 2=4–2

5 3=5–2

Si 3  180o

Si4  180o  2

Si5  180o  3

Observação: Para os polígonos regulares, e somente para estes, um de seus ângulos internos poderá sempre ser obtido através da fórmula

... ... ...

n n–2

Sin  180o  (n  2)

ˆi  n

Si n n

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6.- Soma das Medidas dos Ângulos Externos de Polígonos Convexos A fórmula da Soma dos Ângulos Externos de um Polígono Convexo é dedutível a partir da Fórmula da Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo. o

Para todo polígono convexo tem-se sempre î + ê = 180o  S i n  S e n  180  n



mas já foi provado que S i n  180  ( n  2)

180 o ( n  2)  S en  180 o n ou seja:



Assim, temos:



180 o n  360 o  Se n  180 o n de onde, finalmente: Sen  360 o

 

360 o n o o Como ˆi n  eˆ n  180 , um ângulo interno de um polígono regular de n lados é dado por: ˆi n  180  eˆ n

Um ângulo externo de um polígono regular de n lados pode ser obtido pela fórmula: eˆ n 

7.- Polígonos Regulares Um polígono convexo é regular se, e somente se, ele é eqüiângulo (tem todos os ângulos internos congruentes) e eqüilátero (tem todos os lados congruentes entre si). Note que:

 

Há polígonos equiângulos que não são equiláteros: o retângulo Há polígonos equiláteros que não são equiângulos: o losango A

Exemplo 1: O hexágono regular Si6  180 0  (6  2)  720 o  i 6 

C O

720 0  120 o 6

Diga porquê o triângulo ABO é eqüilátero. Verifique que a área do ABO  área do ABC.

Exemplo 2:

O pentágono regular

S i 5  180 0  (5  2)  540 o  i 5 

540 0  108 o 5

Na figura ao lado verifique que: (a) med(ACB) = 36o (b) med(BAF) = 72o (c) ABC ~ EFD

F E

72 8.- Número de Diagonais que Passam pelo centro de Polígonos Regulares Observe as figuras a seguir:

 Somente os polígonos regulares, onde o número de lados (n) é um número par, possuem diagonais se cruzando no centro.  O número de diagonais que passam pelo centro é calculada pela fórmula

d centro

 0 se n for um número ímpar  n  2 se n for um número par

9.- Quadriláteros Notáveis – Diagrama de Venn-Eüler quadriláteros pipas

trapézios

paralelogramos

losangos

quadrados

retângulos

Do diagrama de Venn-Eüler acima, podem ser tiradas as seguintes conclusões: 

Todo quadrado é ao mesmo tempo um retângulo e um losango.



Nem todo losango é um quadrado, mas a recíproca desta afirmativa é verdadeira.



Nem todo retângulo é um quadrado, mas a recíproca é verdadeira.



Quadrados, retângulos e losangos, são paralelogramos, mas existem paralelogramos que não podem ser classificados nem como quadrados, nem como retângulos, nem como losangos.



Os trapézios e as pipas não são paralelogramos

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10.- Definindo os Quadriláteros Notáveis Paralelogramos:

Paralelogramo

Quadrado

Retângulo

Losango



Um quadrado tem os quatro lados congruentes e os quatro ângulos internos congruentes.



Um retângulo tem os ângulos internos congruentes (tem ângulos retos – medem 90º).



Um quadrado é um retângulo ( possui 4 ângulos internos retos).



O paralelogramo, o quadrado, o retângulo e o losango têm os lados paralelos dois a dois (são paralelogramos).



O paralelogramo e o losango não são considerados retângulos, mas o quadrado é considerado um retângulo.



Um losango tem os quatro lados congruentes, mas os ângulos internos não são precisam ser retos.



Um quadrado pode ser classificado como sendo um losango, mas os losangos nem sempre são quadrados.



Os ângulos opostos tanto nos paralelogramos como nos losangos são congruentes.



As pipas têm lados congruentes dois a dois e diagonais não congruentes, sendo que elas se cruzam segundo um ângulo reto, no ponto médio da diagonal menor e em qualquer ponto distinto do ponto médio da diagonal maior.

Não Paralelogramos:

Trapézio Isósceles Trapézio Retângulo Trapézio Escaleno

Pipa

Quadrilátero Qualquer

74 10.1.- Propriedades dos Quadriláteros Notáveis

Nome

As As diagonais Todos os Os lados As diagonais se são lados são são diagonais cruzam perpendiculare congruentes congruentes são no ponto s entre si dois a dois congruentes médio entre si

As Diagonais são bissetrizes dos ângulos internos

Todos os ângulos internos são congruentes

Os ângulos internos opostos são congruentes

Quadrado

SIM

(*)

SIM

(*)

Retângulo

NÃO

SIM

NÃO

SIM

(*)

Paralelogramo

NÃO

SIM

NÃO

SIM

NÃO

SIM

Losango

SIM

(*)

NÃO

SIM

NÃO

SIM

Trapézio

NÃO

Pipa

NÃO

SIM

NÃO

SIM

NÃO

O símbolo (*) representa “SIM” por ser, a propriedade citada, uma conseqüência da propriedade anterior. Por exemplo: se no quadrado todos os lados são congruentes, então eles podem ser considerados dois a dois congruentes.

Utilize as figuras ao lado para verificar cada uma das propriedades do quadro acima:

10.2.- Mapa Conceitual com os Quadriláteros Notáveis Uma forma bastante interessante de correlacionar os quadriláteros é fazê-lo através de um mapa conceitual (vide abaixo) ou através de um esquema hierárquico (vide página a seguir):

Quadriláteros são

são

quadriláteros convexos

podem ser

são

são são

trapézios não são

pipas

paralelogramos

são

não são

são

retângulos

losangos são

são podem ser

são

quadrados

podem ser

quadriláteros côncavos podem ser

quadriláteros quaisquer

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10.3.- Quadriláteros Notáveis - Distribuição em um Esquema Hierárquico

Quatro ângulos retos retângulo quadrilátero qualquer

Quatro ângulos retos e Quatro Lados Congruentes quadrado

paralelogramo losango trapézios

pipa

Quatro Lados Congruentes

trapézios Dois lados paralelos paralelogramo Lados opostos paralelos

11.- Teorema de Pitágoras – Demonstrações Geométricas Dado um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede “a” e os catetos medem “b” e “c”, então é válido o seguinte: a2 = b2 + c2

ou seja: “ Num triângulo retângulo qualquer, o quadrado

da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das

medidas dos catetos” (Teorema de Pitágoras).

[2] Transformar em uma única figura: Área= (b+c) b – (b–c) c = b2 + c2

[1] Área Total = b2 + c2

c b-c

c c

b+c [4] Área Final = a2

[3] Recortar e montar

 a



[5] Assim, de [1] e [4] podemos concluir que: a2 = b2 + c2

b+c

c a

b+c b

b+c

a a c

a2 = b2 + c2

77 11.1 Teorema de Pitágoras – Demonstrações Algébricas

b c

c a

Com base na figura ao lado, podemos escrever: ÁreaQuadradoMaior = ÁreaQuadradoMenor + 4ÁreaTriângulo

ou seja: (b + c)2 = a2 + 4 b

 b2 + 2bc + c2 = a2 + 2bc de onde, pela lei do cancelamento da adição, vem: b2 + c2 = a2 e pela propriedade simétrica da igualdade, pode-se escrever: a2 = b2 + c2

a a c

bc 2

11.2.- Triângulos Pitagóricos Triângulos Pitagóricos são triângulos retângulos cujos lados são número inteiros. Os mais conhecidos e utilizados são os seguintes:



o de lados 3,4 e 5 e os demais triângulos semelhantes a ele e com lados inteiros,

3

2

15 9

4 8

os de lados 5, 12 e 13 e 7, 24 e 25 e os demais triângulos semelhantes a eles e com lados inteiros.

Os babilônios obtinham os lados a (hipotenusa), b e c (catetos)dos triângulos pitagóricos utilizando o seguinte sistema de três equações:

a  p 2  q 2   b  2 pq c  p 2  q 2 

onde atribuíam valores inteiros para p e q.

Tente atribuir os seguintes valores para p e q, apresentados dados a seguir sob a forma de pares ordenados (p,q), nas equações do sistema acima para obter os valores de a, b e c: (2,1)  triângulo de lados (a,b,c) = (5,4,3) (3,2)  triângulo de lados (a,b,c) = (13,12,5) (4,3)  triângulo de lados (a,b,c) = (25,24,7) (4,1)  triângulo de lados (a,b,c) = (17,8,15)

11.3.- Aplicações do Teorema de Pitágoras 11.3.A.- Verificando a Natureza dos Triângulos Quaisquer C a

C b

b B

Se a2 = b2 + c2 o  é retângulo

Se a2 < b2 + c2 o  é acutângulo

Se a2 > b2 + c2 o  é obtusângulo

11.3.B.- Cálculo da Diagonal do Quadrado e da Altura do Triângulo Eqüilátero



 B



C 2



d 2   2   2  d 2  2 2  d   2



H 

2  2 2    h    h2  4 2 2  4 2   2 2 2 2 h   h   4 4 3 2  3 2 h   h eq  4 2 2

Decorar:

d  2 Medida da diagonal do quadrado

h eq 

 3 2

Medida da altura do triângulo equilátero

12.- Relações Métricas no Triângulo Retângulo A Na figura ao lado: a – hipotenusa b e c – catetos h – altura relativa ao vértice A m – projeção ortogonal de b sobre a n – projeção ortogonal de c sobre a

h m

H Relações Métricas no triângulo retângulo:

a 2  b2  c2

b 2  ma

c 2  na

h 2  mn

bc  ah

1 1 1  2  2 2 b c h

12.1.- Como Deduzir as Relações Métricas no Triângulo Retângulo (2o) Redesenhe os triângulos HBA e HAC na mesma posição que o ABC

(1 ) Verifique que: ABC ~ HBA ~ HAC

c 1

~ a

2 A

h 3

(3 ) Estabeleça as relações métricas a partir das proporções entre os lados dos triângulos

1 e 3:

a b   b 2  ma b m

1 e 2:

a c   c 2  na c n

2 e 3: 1 e 3:

h n   h 2  mn m h a c   ah  bc  bc  ah b h

Teorema de Pitágoras Adicionando estas duas relações, membro a membro, obtém-se: b 2  c 2  ma  na  b 2  c 2  a (m  n ) , mas m + n = a, logo:

b 2  c 2  a.a  a 2  b 2  c 2 1 1 1   . b2 c2 h 2 1 1 1 1 nm a 1 1 Veja: 2  2       2 ma na mna mna mn h b c É fácil provar a relação:

13.- Relações trigonométricas no Triângulo Retângulo C 

 B

sen  

cateto oposto a  b  hipotenusa a

cos  

cateto adjacente a  c  hipotenusa a

tg 

cateto oposto a α b  cateto adjacente a α c

OBSERVE QUE: sen  

cateto oposto a  c   cos  hipotenusa a

cos  

e que

cateto adjacente a  b   sen  hipotenusa a

14.- Cálculo do Seno, Cosseno e Tangente dos ângulos de 30o , 60o e 45o h eq 

30O



 3 2



sen 30 

h 60O

B H

cos 30 

2  1  cos 60 o  2

h eq 

 





2 

3  sen 60 o 2

d  2 45O

 2



45 B

 3



sen 45o 

  2



1 2



2  cos 45o 2

15.- Valores de Seno, Cosseno e Tangente de Ângulos Notáveis 00 função

300 

0 rad

cos

Lembrar que:

tg  =

600 

2 2 2

900

rad

3 3

rad

3 2



1 2

sen

rad

450



rad

3 2

1 2

0 

DECORAR ESTES VALORES

2  1,414

sen  cos 

2  0,707 2

3  1,732

3  0,866 2

3  0,577 3

16.- Como obter os Valores de Seno, Cosseno e Tangente para a Tabela Anterior  Obtenção dos 1o

valores de seno de 0o, 30o, 45o, 60o e 90o:

Escreva cinco traços de fração

2o Escreva os dígitos 0,1,2,3 e 4 nos numeradores

0 1 2 3 4

3o Divida tudo por 2

4o Indique a extração de raízes quadradas para todos os numeradores

0 1 2 3 4 2 2 2 2 2

5o Estes são os valores do seno de 0o, 30o, 45o, 60o e 90o respectivamente:

1 2 3 1 2 2 2

 Obtenção dos valores de cosseno de 0o, 30o, 45o, 60o e 90o: 1 2 3 3 2 1 1 ou seja: 1 0 Basta inverter a ordem dos valores obtidos para o seno: 0 2 2 2 2 2 2  Obtenção dos valores de tangente de 0o, 30o, 45o, 60o e 90o: Como o valor da tangente de um ângulo  é definido como sendo a divisão do seno de  pelo cosseno de , basta dividir os valores superiores de cada coluna da tabela pelo valor que está abaixo dele. No caso da divisão por zero, ela não representa um número, logo podemos afirmar que a tangente de 90o não existe.

1 Veja um exemplo desta divisão:

2 2



1 2   2 3

1 3



3 , as outras divisões são bem mais simples. 3

17.- Valores de Tangente no Círculo Trigonométrico

 Raio do círculo trigonométrico: R = 1 o

tg 120 =  3

t ( eixo das tangentes) o

tg 135 = -1 tg 60o=

(eixo dos senos) y

3 3

tg 150 =  o

tg 180 =

tg 90o não existe tg 45o= R = 1

120o

0 3 3

tg 210 =

135o 150o

tg 30o=

tg 225 = 1

tg 0o=

tg 240 =

180

x (eixo dos cossenos)

360o

Não existe o

330

210o

tg 270

tg 150o=

tg 300 =  3

315o

225

tg 135o=

240o

tg 315 = -1

300

3 3

tg 330 = 

tg 270o não existe

tg 360 =

tg 120o=

18.- Relações trigonométricas no Triângulo Qualquer  Teorema (ou Lei ) dos Cossenos



a2 = b2 + c2 – 2bc cos Aˆ 2

b = a + c – 2ac cos

Teorema (ou Lei) dos Senos

A a

ˆ B

ˆ sen A

c b

c2 = a2 + b2 – 2ab cos Cˆ



b ˆ sen B



c ˆ sen C

 2R

Considerando x  y como sendo os lados a, b ou c do , podemos escrever as

A C

seg B

seguintes fórmulas: lado x do   2R seno do  oposto ao lado x

lado y do  lado x do   seno do  oposto ao lado x seno do  oposto ao lado y C

19.- Relação de Stewart Figura 1:  Na fórmula (ou relação)de Stewart o segmento AD pode ser: a altura do triângulo, a mediana, a bissetriz do ângulo interno ou a bissetriz do ângulo externo (veja isto na figura 2):

 Se adotarmos o segmento AD como sendo X poderemos escrever a relação de Stewart como sendo:

Figura 2:

b 2 c 2 AD   1 am an mn

b2 c2 X 2   1 am an mn

b c C

n B

m = CD

20.- Circunferência e Círculo Circunferência (linha): é a borda da figura

Círculo (superfície): é o interior mais a borda

 P

 (O, R )

 C(O, R )

P R

O P

 (O, R )  {P   | d P ,O  R}

C(O, R )  {P   | d P ,O  R}

21.- Comprimento da Circunferência e Área do Círculo Comprimento da Circunferência:

C  2πr

Área do Círculo:

A  π r2

NOTA: O número  é um número irracional, isto é, tem infinitas casas decimais e nunca poderá ser representado sob a forma de uma fração com numerador e denominador inteiros. Assim sendo, conhecendo-se o seu valor aproximado com 12 dígitos (um dígito inteiro e onze casas decimais):   3,14159265359 poderemos adotar para a maioria dos cálculos o valor:   3,14 ou até   3,1416, salvo indicação em contrário, dada expressamente no problema a ser resolvido, tal como: “adotar  = 3”.

22.- Elementos do Círculo 

R  raio do círculo C(O; R) ou raio da circnferência  (O; R)

DE  diâmetro de C(O; R) ou de  (O; R)  2R

(

BC =arco de circunferência de extremidades B e C tomados sobre 

(

BAC = arco da circunferência λ, de extremos B e C, passando por A

M1 E M2

BC  uma corda da circunferência  ou do círculo C

M 1 M 2 = flecha correpondente à corda BC (M1 e M2 pontos médios)

23.- Partes do Círculo Trapézio circular



360o - 

Setor circular produzido pelo ângulo central 

Setor circular produzido pelo ângulo central 360o - 

Segmentos circulares

24.- O Raio e as retas Secante e Tangente ao Círculo  A

Figura 1: O raio é perpendicular ao ponto médio (M) de qualquer corda ( AB ) do círculo. A reta AB é uma reta secante à circunferência

t T R



O B

Figura 1

Figura 2: O raio é perpendicular a qualquer reta ( t ), tangente ao círculo, no ponto de tangência (T).

Figura 2

25.- Teorema Importante t1 T1 PT1  PT2



P ponto externo ao círculo



t1 e t2 retas tangentes ao círculo que passam por P



T1 e T2 pontos de tangência de t1 e t2 ao círculo



PT1O   PT2O – pelo caso especial: ambos são triângulos retângulos em T1 e T2, com OT1= OT2 = R (raio) e OP lado comum



Logo PT1  PT2

R O R T2 t2

26.- Ângulo Central A O vértice ( V ) do ângulo central (  ) coincide com o centro da circunferência: V  O O





PROPRIEDADE DO ÂNGULO CENTRAL :

( AB   o arco AB e o ângulo  têm a “mesma medida” B

27.- Ângulo Inscrito na Circunferência A O vértice ( V ) do ângulo inscrito (  ) pertence à circunferência: V  

(

PROPRIEDADE DO ÂNGULO CENTRAL :



AB  2  o arco AB tem o dobro da “medida” do ângulo  B

28.- Ângulo Central e Ângulo Inscrito A O ângulo central (  ) correspondente a um dado arco AB tem o dobro da medida de um ângulo inscrito à circunferência que também correponda ao mesmo arco. O



(



AB    2 

29.- Ângulo de segmento

T 

O ângulo de segmento (  ) correspondente a um dado arco AT tem metade do valor da medida daquele arco.

(

AT   = 2  ou   ½ 

O 

T é o ponto de tangência da reta t ao círculo

30.- Ângulo Excêntrico Interior (ou Interno) à Circunferência

B A

O ângulo excêntrico interno ou interior (  ) correspondente aos arcos AB e CD tem a seguinte medida 

=

(

( AB + CD ) / 2

O é o centro da circunferência

31.- Ângulo Excêntrico Exterior P O ângulo excêntrico exterior (  ) correspondente aos arcos

=

(

AB e CD ( com AB > CD) tem a seguinte medida

(

D A

(



(

( AB  CD ) / 2

O é o centro da circunferência

32.- Relações Métricas no Círculo P C

A P

D B

PA  PB  PC  PD

33.- Relações Métricas no Círculo (Casos Notáveis) PA  PB

PA  PB  PT

P A

B B T Vide o Teorema referente a esta propriedade num dos itens anteriores deste formulário.

34.- Cálculo de Distâncias 

Distância de um ponto externo qualquer a um círculo: A distância de um ponto externo a um círculo (  ) ou a uma circunferência ( C ) de centro O é dada por:

d P ,  d P,C  OP  R Distância entre dois círculos: A distância entre dois círculos 1 e 2 ou entre duas circunferências C1 e C2, respectivamente, com centros O1 e O2 e raios R1 e R2, é dada por: 

d 1 ,  d C1 ,C  O1O 2  (R 1  R 2 ) 2



d R O

1

2 R1 O1 d

R2 O2

35.- Quadrilátero Inscritível na Circunferência 

A condição necessária e suficiente para que um quadrilátero



seja circunscritível a uma circunferência é que os ângulos opostos sejam suplementares. 

    180 o

É evidente que a soma das amedidas dos outros dois ângulos



internos do quadrilátero, distintos de  e , também vale 180 .

36.- O Conceito de Área de um Retângulo Como poderemos calcular a área do seguinte retângulo cuja medida da base é 6 cm e a altura 3 cm?

Unidade de medida: 1cm  1cm = 1cm2

Há pelo menos três maneiras de fazê-lo: 1. Contar a quantidade de quadrículas que formam a superfície de figura: 18 quadrículas = 18  1cm2 = 18 cm2. 2. Verificar quantas quadrículas há em cada linha e multiplicá-la pela quantidade de linhas encontradas na figura: 6 quadrículas  3 = 6 cm2  3 = 18 cm2. 3. Verificar quantas quadrículas há em cada coluna e multiplicá-la pela quantidade de colunas encontradas na figura: 3 quadrículas  6 = 3 cm2  6 = 18 cm2.

3cm

6cm 



Analisando os cálculos feitos e as medidas dadas para a figura, poderíamos “sugerir” uma fórmula para calcular a área daquela figura: 6cm  3cm = 3 cm  6cm = 18 cm2. Por outro lado, poderíamos adotar como fórmula genérica (uma fórmula para cálculo de área que poderia ser aplicada a qualquer retângulo), a seguinte:

Área do retângulo = medida da base  medida da altura Isto, se a base e a altura do retângulo tiverem sido expressas na mesma unidade de medida.

37.- Cálculo da Área das Principais Figuras Geométricas Planas A área do quadrado, do paralelogramo, do triângulo, do losango e do trapézio podem ser baseadas no cálculo da área do retângulo. Isto, é o que vamos ver a seguir, para cada uma destas figuras geométricas:

37.1- Cálculo da Área do Quadrado



Já sabemos que um quadrado é um retângulo (veja isto neste formulário). Assim, para calcularmos a área do quadrado

[1] Quadrado:



podemos aplicar a mesma fórmula que se utiliza para calcular a área do retângulo:



Área do quadrado  base  altura       2

89 37.2.- Cálculo da Área do Paralelogramo [2] Paralelogramo:



A’

B’

h C

b   

Vamos supor que queiramos calcular a área do paralelogramo ABCD da figura acima, de “base b” (medida da base = b) e “altura h” (medida da altura = h). Na prática, podemos cortar o paralelogramo ABCD segundo o segmento B’C, obtendo assim o triângulo BB’C que é congruente ao triângulo DHA. Transportando o triângulo BB’C, conforme é mostrado na figura acima, vai-se obter o retângulo A’B’CD, de “base b” e “altura h”, cuja área é exatamente igual à área do paralelogramo ABCD.

Área do paralelogr amo  A paralelogramo  base  altura  bh

37.3.- Cálculo da Área do Triângulo [3] Triângulo:

A 1 h

h 1

C 

2 b

Para calcularmos a área de um triângulo qualquer basta inscrevê-lo num retângulo que tenha a mesma altura do triângulo dado, tomando a base do triângulo, como sendo a base do retângulo circunscrito a ele.



Observando a figura assim gerada, podemos verificar que ela passa a ser composta por quatro triângulo dois a dois congruentes (ou de mesma área). Assim sendo, ao calcularmos a área do retângulo de base b e altura h, estaremos calculando a área de dois triângulos congruentes ao triãngulo dado ( ABC ). Logo, poderemos calcular a área do retângulo e dividí-la por dois, para obtermos a área do triângulo inicial.

Área do triângulo  A  

base  altura bh  2 2

37.4.- As Diversas Fórmulas para Cálculo da Área do Triângulo

[1] Fórmula Padrão: onde b é a medida da base e h a altura

A 

bh 2

[2] Fórmula de Heirão: onde p é o semi-perímetro do triângulo

A   p(p  1)( p  b)(p  c)

B c

c C

Semi-perímetro: p

abc 2

[3] Fórmula do Ângulo Interno [4] Fórmula da Circunferência Inscrita onde r é o raio da circunferência inscrita no onde  é obrigatoriamente um ângulo entre triângulo dois lados conhecidos do triângulo B B a a A   p.r bc sen  c r c A  



[5] Fórmula da Circunferência Circunscrita onde R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo a c abc

A 

Observações Importantes:  Alturas de um mesmo triângulo retângulo:

 Alturas do triângulo esclano

37.5.- Propriedades Notáveis do Triângulo Equilátero

 = lado do triângulo

r = raio da circunferência inscrita no triângulo R

R = raio da circunferência circunscrita ao triângulo h = altura do triângulo equilátero =



R = 2r  como r =

R 2

e h=

 3 2

= 3r

= 3r vem: h =

3R 2

91 37.6.- Cálculo da Área do Losango 1 d

d 3 D

4 D



Para calcularmos a área de um losango qualquer basta inscrevê-lo num retângulo, tomando a diagona; maio do losango como como sendo a base, e a diagonal menor, como a altura do retângulo circunscrito a ele.



Observando a figura assim gerada, podemos verificar que ela passa ser composta por oito triângulo todos congruentes entre si (ou de mesma área). Assim sendo, ao calcularmos a área do retângulo de base D e altura d, estaremos calculando a área de dois losangos congruentes ao losango dado. Logo, poderemos calcular a área do retângulo, para em seguida dividí-la por dois, para obtermos a área do losango inicial.

Área do losango  A losango 

diagonal maior  diagonal menor D  d  2 2

37.7.- Cálculo da Área do Trapézio

[5] Trapézio: Figura 1:

Figura 2:

Na figura 1: Tomar M1 e M2 respectivamente os pontos médios dos lados não paralelos do trapézio. Na figura 2: Os triângulos cujos vértices são M1 e M2 devem ser recortados e “virados” para cima, formando um retângulo cuja altura é a mesma do trapezio dado, sendo que a sua base é a base média ( M 1 M 2 ) do trapézio.

Área do trapézio  A trapézio 

Base média Base maior  base menor B  b  =M 1 M 2 2 2

base maior  base menor Bb  altura  h 2 2

37.8.- Cálculo da Área do Trapézio – Outras Formas A seguir são mostradas outras maneiras de se calcular a área dos trapézios de maneira mais simples que a apresentada no item anterior (item 37.7).

b h

Área Trapézio 

1 1 (B  b)h B  b Área Paralelogramo  (B  b)  h   h 2 2 2 2 b 2

h 1

Área Trapézio  Área 1  Área  2 

Bh bh (B  b)h   2 2 2

b h

bh B

ÁreaTrapézio  Árearetângulo Área  bh 

Bb

(B b)h 2bh Bh- bh Bh  bh   2 2 2

93 37.8.- Cálculo de Área do Círculo, do Setor Circular e do Segmento Circular [6] Círculo

Coroa Circular:

Setor Circular

Segmento Circular

a=r 

b=r

r  Área do Círculo = r2



Área da Coroa Circular = R2  r2 = ( R2  r2)

 Área do Setor Circular (deve ser calculada através de uma regra de três): Se 360o (ou 2 rad) corresponde a r2 então o (ou  rad) corresponderá à Asetor circular

 Área do Segmento Circular:

ab senα r 2 senα ASegmento Circular = Asetor circular  A = Asetor circular  = Asetor circular  2 2

38.- Razão entre as Áreas de Triângulos baseada na Razão de Semelhança Triângulos semelhantes de razão de semelhança K, possuem áreas proporcionais a K2, veja: 9 6

4 5

Triângulo 2: 2 Área 2= 24 unidades de área É equivalente a 4 dos triângulos básicos (triângulo 1)

Triângulo 1: 1 Área 1 = 6 unidades de área Este é o triângulo básico

Triângulo 3: 3 Área 3 = 54 unidades de área É equivalente a 9 dos triângulos básicos (triângulo 1)

Razão de semelhança

entre as áreas dos triângulos

do 1 para o 2: K1,2 =

1 2

do 1 para o 3: K1,3 =

1 3

A 1 1  A 3 9

do 2 para o 2: K2,3 =

2 3

A 2 4  A 3 9

A 1 1  A 2 4

Capítulo 6

Formulário de Geometria Espacial Este é o terceiro e último dos quatro formulários de Geometria Euclidiana a serem analisados neste curso. Ele é um formulário sobre geometria espacial que completa os demais formulários. Os assuntos aqui abordados, que se iniciam com o estudo dos sólidos geométricos notáveis e o cálculo de suas superfícies e áreas, se refere à 2ª série do Ensino Médio.

GEOMETRIA EUCLIDIANA ESPACIAL 1.- Cálculo do Volume de Sólidos Geométricos Notáveis Os sólidos geométricos podem ser divididos, quanto à forma de cálculo dos seus



volumes, em três grandes famílias, a saber: (1a família) a dos prismas e cilindros; (2a família) a das pirâmides e cones; (3a família) a família das esferas.

1a Família de sólidos

Prismas com diversos tipos de base

triangular

quadrada

retangular

Fórmula para obtenção do Volume:

Cilindro

hexagonal

V  Área da Base  Altura  B  H

2a Família de sólidos

Pirâmides com diversos tipos de base

triangular

quadrada

retangular

hexagonal

Fórmula para obtenção do Volume:

3a Família de sólidos

Cone

V  1 BH 3

4 V  π R3 Volume: 3 Esferas:

Área da Superfície Esférica:

A  4 R 2



Sólidos Geométricos Regulares: Um sólido geométrico é regular quando, e somente quando, todas as faces do mesmo são polígonos regulares (um polígono equiângulo e equilátero).



Observação: Deve-se estudar aqui, comparativamente, as fórmulas para o cálculo do volume do hemisfério e a área, tanto da calota hemisférica, como do próprio hemisfério.

2.- Sólidos Geométricos Retos e Oblíquos

Princípio de Cavalieri ( princípio das cartas de baralho)

 Um maço de cartas de baralho conseva o volume original, mesmo que as cartas não estejam exatamente sobrepostas, ou seja, mesmo quando elas estão empilhadas diagonalmente ou de forma oblíqua.  Os sólidos geométricos mostrados no item número 1 do presente formulário ( item anterior a este) , são todos retos, com exceção, é claro, da esfera, enquanto os seguintes sólidos são oblíquos

Pirâmide Oblíqua

Cilindro Oblíquo

Cone Oblíquo

 Para calcular o volume destes sólidos oblíquos, segundo o Princípio de Cavalieri, vai-se utilizar as mesmas fórmulas utilizadas para se calcular o volume dos sólidos geométricos retos.

2.1.- Problema de Aplicação - Muito Importante – Resolver com cuidado! [PROBLEMA 1] Considere o cubo cuja medida das arestas é “a” (vide figura abaixo), completando a seguinte tabela com aquilo que está sendo pedido: diagonal da face

a a

a quantidade de arestas do cubo

a quantidade de faces do cubo

a quantidade de vértices do cubo

a área da face ou da base do cubo

AF =

e) a área da superfície lateral do cubo

AL =

AT =

a área da superfície total do cubo

g) o volume do cubo

Vcubo=

h) a medida da diagonal de uma face ou da base dface =

diagonal do cubo

a medida da diagonal do cubo

dcubo =

Nota: Os prismas de base retangular são também chamados hexaedros – tem seis faces quadrangulares, mas somente o cubo é um hexaedro regular.

97 2.2.- Problema de Aplicação - Muito Importante – Resolver com cuidado!

[PROBLEMA 2] Considere o prisma retro de base retangular (um prisma reto-

a área da base do prisma B= b) a área da superfície lateral do prisma AL =

retângulo) cujas medidas das

arestas da base são

a área da superfície total do prisma

d) o volume do prisma

respectivamente 3cm e 4cm e

AT =AL+2.B= Vprisma = B.H=

a medida da altura é 5cm ,

e) a medida da diagonal base do prisma d base =

complete seguinte tabela:

a medida da diagonal do prisma

d prisma =

Cálculos:

5 cm

3 cm

Face Frontal

Face Lateral

4 cm

3 cm

5 cm

4 cm

Base

Decomposição do sólido em figuras planas

3 cm

 O sólido geométrico acima apresentado é um paralelepípedo assim como, são paralelepípedos, o

prisma de base quadrada e o prisma de base retangular, sejam eles oblíquos ou retos.  O sólido geométrico acima apresentado é um prisma reto-retângulo porquê a sua base é um retângulo e além disto ele é um prisma reto. No entanto,osprismas retos com base triangular, pentagonal ou hexagonal, por exemplo, podem ser classificados como prismas retos, mas nunca como prismas retos-retângulo, por não terem a base retangular.

2.3.- Problema Teórico Importante ( Confira as Respostas)

[ PROBLEMA 3 ] Confira os dados da seguinte tabela baseando-se no prisma reto-retângulo abaixo:

a) d c a b

Área da Base

B=ab

b) Área Lateral

AL = 2ac + 2bc

AT = 2ac + 2ab +2bc= 2(ab+bc+ac)

Área Total

d) Volume

V = BH = (a  b)  c = abc

Diagonal da base

dB = a 2  b 2

Diagonal do Prisma dprisma = a 2  b 2  c 2

4.- Apótemas de Polígonos Regulares e Apótema da Pirâmide  O apótema de uma figura geométrica plana regular é o segmento que une o centro da figura ao ponto médio de cada um dos lados ( lado =  ) daquela figura.

h equilátero a3 =

 3

 A pirâmide tem dois apótemas: o apótema da base e o apótema da pirâmide. O conceio de apótema da pirâmide difere do conceito de apótema da figura geométrica plana regular. Veja na figura abaixo :

2  3 3 6



Altura da Pirâmide

 2

a4 = a4

R é o raio da circunferência circunscrita ao hexágono

OAB é equilátero    R

a6 = h equilátero  a6 A

 3 R 3  2 2

Apótema da Pirâmide Apótema da base

5.- Problema de Aplicação - Muito Importante – Resolver com cuidado! [Problema 4]: Considere o tetraedro regular a seguir, cuja medida das arestas é “a”, completando a seguinte tabela com aquilo que está sendo pedido:

V Radiografia do Triângulo interno à pirâmide

C H

M a

B B

M a

99 Respostas do Problema [4]: a)

a quantidade de arestas do tetraedro

a quantidade de faces do tetraedro

a quantidade de vértices do tetraedro

a área da face ou da base do tetraedro regular

AF =

a área da superfície lateral do tetraedro regular

AL =

a área da superfície total do tetraedro regular

AT =

g) a medida do apótema da base do tetraedro regular

Apótemabase =

h) a medida do apótema do tetraedro regular

Apótematetraedro =

a altura do tetraedro regular

o volume do tetraedro regular

Vtetraedro =

6.- Cilindro de revolução e Cone de revolução O cilindro e o cone são denominados, às vezes, sólidos de revolução pois são sólidos geométricos que podem ser gerados respectivamente pela rotação de um retângulo em torno de um eixo ou pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um dos seus catetos 2 2 g = R H

g=H

 Observe nas figuras acima que: g é a geratriz dos sólidos. No caso do cilindro uma aresta está sobre o eixo de rotação enquanto a outra aresta, a ela paralela, é a geratriz.  geratriz = segmento de reta que irá “desenhar” (gerar) a superfície do sólido. No cone, a geratriz é a hipotenusa do triângulo retângulo.

6.1- Cilindro – Cálculo de áreas e Volume

Área da Base: B= R2 Superfície Lateral do cilindro

g=H

A Lateral  2RH  2Rg A Total  2Rg  2R 2  2RH  2R 2

2R

Área da Base: B= R2

V  R 2 H  R 2g

6.2- Cone – Cálculo de áreas e Volume Vamos ter que deduzir a fórmula da área lateral do cone:

A Superfície Lateral do cone é constituída por um setor circular de ângulo 

 g

2R

 g

1 R 2 H V  BH  3 3 2R 360 o R   g g

2R Raio do Círculo

Comprimento do arco de circunferência

Área do Setor Circular 2

2g

g

2R

ALateral

A Lateral

2R  g 2   Rg 2g

7.- Secções do cilindro e do cone Há basicamente três tipos de seção conseguidas quando um plano intecepta um cone ou um cilindro retos: [1] Seção meridiana – contém o eixo de rotação da figura. [2] Secção transversal – quando feita por um plano paralelo à base do sólido. [3] Secção não meridiana – quando feita por um plano perpendicular à base do sólido fora do eixo de rotação.

Secção meridiana

Secção não meridiana

Secção Transversal

Notas Importantes:  Quando a secção meridiana de um cilindro resultar num quadrado e a de um cone resultar num triângulo equilátero, eles serão chamados respectivamente cilindro equilátero e cone equilátero.  Para alguns autores, as secções paralelas à base do cilindro e do cone é que devem ser consideradas como uma secção transversal daqueles sólidos.

101 8.- Troncos

Volume do tronco de cilindro:

V  Área da B 

H1  H 2 2

Volume do tronco de cone ou de pirâmide

V  Área da B  H 2  Área da b  H1 B = base maior

b = base menor

9.- Esfera

Área da Superfície Esférica:

O R

Hemisfério:

Esfera:

Secções da esfera:

4 V  π R3 3

Secção qualquer: Círculo qualquer Secção meridiana: Círculo máximo, sendo que a circunferência é um meridiano

A  4 R 2

V

2 π R3 3

Hemi-calota esférica

A  2 R 2

A área de um fuso esférico é obtido por regra de três: o ângulo  está para 360o (ou para 2 radianos) assim como a área do fuso ( A fuso ) está para a área da superfície esférica ( 4R2 ) 

O volume de uma cunha esférica é obtido por regra de três: o ângulo  está para 360o (ou para 2 radianos) assim como o volume da cunha esférica ( Vcunha ) está para o volume da esfera (



4 R 3 ) 3

 Observação Importante: Conversão de Medida de Volume em Medida de Capacidade 1 dm=10 cm 1 dm = 10 cm

1 litro

1  1dm  1dm  1dm  1dm 3

ou ainda: 1 dm = 10 cm

1  10m  10cm  10cm  1000cm 3

10.- Inscrição e Circunscrição de Sólidos Esfera inscrita num cubo

Cubo inscrito numa Esfera

dretângulo = a 3 dretângulo = 2Resfera

d=a 2

a R=½ a

A H

Secção meridiana 

g R r

Esfera inscrita num cone

AMB ~ ATO de onde: R HR  r g

C M

Esfera inscrita num TETRAEDRO REGULAR Tente utilizar a figura ao lado e a intersecção sugerida em linhas tracejadas bem grossas. Note que a secção inclui uma das arestas do tetraedro.

a 6 3 a 6 Raio da esfera inscrita = r = 12 a 6 Raio da esfera circuscrinscrita = R = 4 Altura do tetraedro = H =

R = H/2 Ou R=r

Esfera inscrita num cilindro

 A seguir serão estudados os ângulos diedros e triedros visando aprofundar o estudo sobre as propriedades dos poliedros.

103 11.- Diedros Um diedro é um conjunto, de infinitos pontos do espaço, delimitado por dois planos que se interceptam. Se o diedro for inteceptado por um plano a secção determinará um ângulo plano 



Na figura ao lado:



 Os planos  e  são as faces do diedro.  A reta r é a areasta do diedro.  A intersecção do plano  com o diedro



 

determinado pelos ângulos  e , irá determinar um ângulo plano: o ângulo .

11.1.- Medida de um Diedro As secções de um diedro podem ser [1] reta ou normal – o plano que secciona o diedro é perpendicular à aresta do diedro. [2] qualquer – o plano que secciona o diedro é oblíquo à aresta do diedro. r



r 

 



’

’ 



A medida do diedro é dada pela medida do ângulo plano de sua seccção reta: Se  = 90o o diedro é reto; se  < 90o o diedro é agudo e se  > 90o o diedro é obtuso

11.2.- Plano Bissetor de um Diedro ’



 Um plano será um plano bissetor de um diedro quando, e somente quando, passando pela aresta do diedro, o dividir em dois diedros de mesma medida.

med() = med (’)

11.3.- Triedros 

 



A figura ao lado mostra três semi-retas de mesma origem V, não coplanares. Cada uma das semi-retas são as arestas de um triedro, enquanto estas semi-retas, duas a duas, determinam planos. A região do espaço delimitada por estes três planos se denomina triedro. triângulo ABC é uma secção do triedro. Os ângulos AVB, CVB, AVC são os ângulos das faces do triedro. Um triedro possui três diedros.

12.- Poliedros Os poliedros podem ser classificados como convexos ou côncavos. O sólido geométrico limitado por n polígonos convexos, n  4, tais que: [1] dois dele nunca estarão no mesmo plano; [2] cada lado de cada um destes polígonos é comum a dois polígonos no máximo; [3] o plano de cada polígono deixa os demais polígonos num mesmo sim-espaço, é denominado Poliedro Convexo. A reunião destes polígonos (as faces) é denominada superfície do poliedro.

Poliedro Convexo

Poliedro Côncavo

12.1.- Teorema de Eüler Sendo V o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces de um poliedro convexo, sempre valerá a relação:V + F = A + 2 Exemplos:

F=6 V=8 A = 12

F=4 V=4 A=6

F=8 V = 12 A = 18

Observar que: Se retirarmos de um poliedro convexo uma de suas faces ( por exemplo uma “tampa”) obteremos um poliedro aberto onde V + F = A + 1. Verifique. Teorema: A soma S das medidas dos ângulos das faces de um poliedro convexo que possui V

105 vértices é dada por S = (V – 2)  360º . 12.2.- Poliedro de Platão Definição: Chama-se poliedro de Platão aos poliedros tais que todas as suas faces têm o mesmo número de de arestas, todos os ângulos poliédricos possuem o mesmo úmeros de arestas e para eles valem o Teorema de Eüler. Exemplos e Contra-exemplos: (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Os poliedros (1), (2) e (3) são poliedros de Platão, já os poliedros (4), (5) e (6) não são.

Teorema: Há cinco e somente cinco poliedros de Platão. 12.3.- Poliedros Regulares Um poliedro convexo é regular quando, e somente quando: [1] suas faces são polígonos regulares e congruentes entre si; [2] seus ângulos poliédricos são todos congruentes.  Notar: Um Poliedro Regular é um Poliedro de Platão, mas nem todo Poliedro de Platão precisa ser um Poliedro Regular. 12.4.- Poliedros Regulares Os poliedros regulares são cinco:

Tetraedro Hexaedro

Octaedro

Dodecaedro Icosaedro

Nome

Tipo da F

Ang(V)

SAng(F)

Tetraedro

triângulos

180o

720º

Hexaedro

quadrados

270o

2160º

Octaedro

triângulos

240o

1440º

216

6480º

300

3600º

Dodecaedro I cosaedro

pentágonos triângulos

12 20

20 12

30 30

Legenda: Tipo da F – tipo do polígono regular das faces; F – quantidade de faces; V – quantidade de Vértices; A – quantidade de arestas; AV – Arestas que convergem para cada vértice; Ang(V) – medida do ângulo poliédrico formado em cada vértice; SAng(F) – Soma dos ângulos de todas as faces;

12.5.- Planificação dos Poliedros Regulares

Tetraedro

Hexaedro

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

107

12.6.- Poliedros Regulares - Valor do Ângulo do Vértice e Propriedades Notáveis

Tetraedro regular faces: triângulos equiláteros ângulos triédricos: medindo 180o Planificação do sólido

Hexaedro ou Cubo de aresta “a” Faces: quadrados Ângulos triédricos: medindo 360o

Planificação do Sólido

Octaedro Regular de aresta “a” Faces: Triângulos equiláteros Ângulos poliédricos: medindo 240o

Planificação do Sólido

A secção AECF é um quadrado de lado a

A secção BEDF é um quadrado de lado a

Dodecaedro Regular de aresta “a” Faces: Pentágonos equiláteros Ângulos triédricos: medindo 216 o Planificação do Sólido

A secção ABBC é um quadrado de lado a

Icosaedro Regular de aresta “a” Faces: Triângulos equiláteros Ângulos poliédricos: medindo 300o Planificação do Sólido

12.7.- Poliedros Regulares – Alguns Exercícios 12.7.1.- Planificações Possíveis

Há muitas formas de se apresentar as planificações dos poliedros de Platão. Um bom exercício é verificar quantas possíveis planificações distintas, a menos de simetrias, podem ser obtidas para cada um destes sólidos geométricos. As planificações mais comuns são as seguintes, mas existem muitas outras possibilidades:

[1] Quantas planificações possíveis distintas há para o tetraedro. [2] Tente verificar quantas planificações distintas possíveis há para o prisma reto de base triangular. [3] Só para estimular o seu pensamento: sabe-se que há 11 possíveis formas de planificar um Hexaedro, sem levar em conta as simetrias possíveis. Procure encontrar algumas delas.

109

 Respostas: São três as possíveis planificações do tetraedro; 9 as possíveis planificações do prisma reto regular de base triangular e 11 as possíveis planificações do Hexaedro.

12.7.2.- Planificações utilizando papéis especiais Sombrear nestes papéis especiais planificações dos poliedros de Regulares:

[1]

[2]

(Papéis-Tecelagem)

possíveis

[3]

 Observar: Não existe nenhum poliedro regular com faces hexagonais, use o papel especial [3] e mostre porquê. 12.7.3.- Questões F ou V As sentenças falsas estão assinaladas, as demais são verdadeiras. Justifique-as. O ponto não tem dimensão. O plano não tem relevo. Num plano existem infinitos pontos. Três pontos distintos determinam uma reta. (F) Dois Planos secantes têm em comum pelo menos uma reta. Por uma reta passam infinitos planos. Dois planos que têm uma única reta comum são secantes. Três pontos distintos não são colineares. (F)

A reta não tem espessura. Dois Panos secantes têm em comum uma reta Dois planos secantes têm em comum uma única reta. Fora de uma reta existem infinitos pontos. Todo plano contém pelo menos três pontos não colineares. Três pontos alinhados são coplanares. (F) Duas semi-retas são sempre opostas. (F)

Geometria Euclidiana Plana e Espacial Curso de Graduação de Licenciatura em Matemática Unesp – Guaratinguetá - 2005 Prof. Dr. Aury de Sá Leite

Parte II Conteúdo: Estudo comparado de Geometria Euclidiana Plana e Espacial Axiomática Esta é a segunda parte do curso de Geometria Euclidiana Plana e Espacial, denominada Estudo Comparado de Geometria Euclidiana Plana e Espacial Axiomática, onde serão estudados de forma comparativa os distintos e interessantes conjuntos de axiomas propostos por vários autores: Hilbert, Pogorelov, Birkhoff, Tarski e Paul Bernays, além do conveniente conjunto de axiomas formulado e proposto pelo SMSG – School Mathematic Study Group, que é no qual nos proporemos finalmente fixar, com vistas às provas de nossos Teoremas tanto da Geometria Euclidiana Plana como da Geometria Euclidiana Espacial Posicional e Métrica.

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Capítulo 7

Teorias Axiomáticas e Provas de Teoremas 7.1. Conceitos-Chave - Quadro Sinóptico Neste Apêndice são apresentados, de forma bastante organizada, os conceitos-chave que irão facilitar ao leitor a compreensão dos conteúdos a serem abordados nos demais capítulos. O quadro sinóptico a seguir poderá dar uma idéia da abrangência, bem como da organização, tentadas pelo autor. Apesar de nos parecer que a leitura e compreensão de todo o texto a seguir possam realmente ampliar em muito a compreensão do leitor sobre o que sejam as Teorias Axiomáticas e as Provas de Teoremas, o assunto não se esgota somente nisto, sendo que muito mais poderá ser encontrado pelo pelos mais interessados, seja em artigos científicos, seja livros textos ou seja na Internet. A numeração associada a cada um dos conceitos constantes do índice que servirá ainda como um quadro sinóptico dos assuntos tratados a seguir, é a mesma que lhes é atribuída no texto que o segue neste capítulo, visando facilitar consultas focadas especificamente em determinados conceitos.

7.2.- Quadro Sinóptico

Teorias Axiomáticas e Provas de Teoremas 1.- Linguagem Natural 2.- A Crise dos Fundamentos da Matemática 2.1.- Logicismo 2.2.- Intuicionismo 2.3.- Formalismo 2.4.- Teoremas de Gödel 3.- Lógica Matemática 4.- Linguagens Artificiais: as Formais e as Simbólicas 5.- Teorias 6.- Teorias Axiomáticas 6.1.-A Axiomatização da Aritmética - Giuseppe Peano 7.- Gramática de uma Linguagem 8.- Conceitos Não-definidos - Entes Primitivos 9.- Conceitos Definidos e Definições 10.- Axiomas 11.- Regras de Inferência 12.- Teoremas 12.1.- Teorema Recíproco 13.- Lemas 14.- Corolários 15.- Conjecturas 15.1.- Exemplos de Conjectura

16.- Princípios e Leis 17.- Métodos de Prova 17.1.- Métodos Diretos de Prova 17.1.1.- Prova sem o uso de palavras 17.1.2.- Prova por Dissecção (Dissecação) 17.1.3.- Método Hipotético-Dedutivo – Modus Ponens 17.1.4.- Método Hipotético-Dedutivo – Prova por Contraposição 17.2.- Método Indireto de Prova 17.2.1.- Prova por Redução ao Absurdo 17.3.- O que significam C.Q.D. ou Q.E.D. 17.4.- O que significa “Supor, sem perda de generalidade.” 18.- Indução Matemática Princípio de Indução Matemática – Versão 1: Princípio de Indução Matemática – Versão 2: Princípio de Indução Matemática – Versão 3: Contra-Exemplo Exemplos 19.- Bibliografia

1.- Linguagem Natural  



A linguagem é um sistema de signos que pode servir de meio de comunicação e que pode servir, também, de ferramenta básica para o pensamento. Um idioma é a língua falada por uma nação ou por um povo. Os idiomas são considerados linguagens naturais. As linguagens naturais são aquelas que surgem e se desenvolvem a partir de capacidades naturais de certas espécies, como as línguas humanas e as linguagens de alguns animais. Ao lado das linguagens naturais o homem vem criando as linguagens denominadas formais que são linguagens artificiais (ou abstratas). Podemos citar, como exemplo iniciais, as “linguagens” utilizadas na Teoria dos Conjuntos, na Álgebra, na Geometria, na Química, na Física, na Semiótica.

2.- A Crise dos Fundamentos da Matemática 

No final do século XIX e início do Século XX os matemáticos passaram a perceber que a Matemática se apresentava com muitos problemas com relação à sua fundamentação teórica. A denominada crise dos fundamentos se propagará por toda a matemática e irá exigir um posicionamento crítico profundo e um maior profissionalismo por parte dos matemáticos, fará surgir novas academias e sociedades matemáticas, e fará surgir uma série de jornais dedicados a esta ciência. Neste período se defrontam três grandes correntes do pensamento que “tentaram” dar à matemática uma sólida fundamentação: o Logicismo, o Intuicionismo e o Formalismo (vide a seguir). Apesar dos resultados teóricos notáveis conseguidos por estas correntes do Pensamento Filosófico Matemático, a crise dos fundamentos não pode ser resolvida. “O que se verificou é que o estabelecimento preciso destes fundamentos não impede o avanço das modernas pesquisas em Matemática, apesar de ainda haver alguns entre nós (matemáticos) que anseia por isto (o estabelecimento de sólida fundamentação para a Matemática)” [Snapper 1979].

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2.1.- Logicismo Logicismo: teoria segundo a qual a matemática seria uma parte da lógica, pois os seus teoremas poderiam ser derivados de conjuntos de axiomas puramente lógicos. Esta é uma concepção desenvolvida a partir de 1884 por Gottlob Frege (1848-1925) matemático e filósofo alemão, que retomada alguns anos mais tarde, por Bertrand Russell (1872-1970) e Alfred North Whitehead (1861-1947), resultou na publicação em 1910 da obra “Principia Mathematica” que pretendia deduzir as relações matemáticas das relações lógicas. 

A dificuldade da logicização completa da matemática foi pressentida já nos “Principia Mathematica” (1925) monumental obra de Whitehead e Russell, nos quais foram requeridas mais cem de páginas de símbolos, antes de se iniciar a mais simples das deduções. Os alicerces deste programa acabaram por afundar em 1931 quando Gödel provou, aquele que atualmente é conhecido como o Teorema da Incompletude de Gödel. Este teorema mostrou que a meta de permear e integrar matemática e lógica como uma única ciência era impossível.

2.2.- Intuicionismo Intuicionismo: concepção da filosofia da matemática, apresentada em 1908 por L. E. J. Brouwer (1881-1966), que vincula a existência de uma entidade matemática qualquer à possibilidade de sua gênese pela intuição humana, ou seja, teoria que afirma serem as entidades da Lógica Matemática livres criações do pensamento, independendo de origens empíricas, e sustentadas pela clareza que lhes confere seu caráter intuitivo. 

A formulação (intuicionista) da Teoria dos Conjuntos de Cantor deu ensejo a Bertrand Russel e outros matemáticos logicistas a encontrarem nesta formulação uma série de paradoxos (contradições) tidos por eles como erros e não como imperfeições ou impossibilidades matemáticas locais, que segundo os intuicionistas apenas comprovavam que a matemática clássica estaria necessitando de uma reformulação rigorosa a partir dos fundamentos.  Somente para citar um exemplo deste tipo de reformulação dos princípios pretendida pelos intuicionistas, dever-se-ia considerar que: o número zero não seria o primeiro número “natural”, mas sim, o número um, pois isto estaria mais próximo da intuição humana.

2.3.- Formalismo Formalismo: Concepção fundamental da lógica matemática, desenvolvida principalmente a partir dos trabalhos de David Hilbert (1862-1943), matemático alemão, que assegura a coerência dos sistemas pelo uso da linguagem simbólica e do método axiomático. 

É, praticamente, com David Hilbert que se inicia a tentativa de formalizar a matemática, ou seja, inicia-se um movimento em que se acreditava poder formular completamente a matemática e, de tal maneira consistente, que se poderiam ser apresentadas formalmente quaisquer proposições matemáticas e, que estas, poderiam ser provadas usando-se um pequeno número de símbolos com significados bem definidos. A axiomatização é o primeiro passo da formalização, sendo que a este primeiro passo devem seguir formas de se provar que a matemática assim criada é livre de contradições. Em 1931 Gödel mostrou que a formalização não pode ser considerada como uma técnica por meio da qual se possa obter uma matemática livre de contradições.

2.4.- Teoremas de Gödel 

Informalmente, o teorema da Incompletude de Gödel estabelece que toda formulação axiomática consistente da teoria dos números inclui obrigatoriamente proposições indecidíveis. Este é o Primeiro Teorema da Incompletude de Gödel e responde, de forma negativa, um problema



proposto por Hilbert: se a matemática é “completa”, ou seja, verificar se todas as proposições da Teoria dos Números poderiam ser provadas ou refutadas. O Segundo Teorema da Incompletude de Gödel estabelece que a Teoria dos Números é consistente, mas que isto não poderia ser provado utilizando-se os métodos da Lógica de Predicados (A Lógica de Primeira Ordem), ou colocado de forma mais ampla: para se provar que um qualquer sistema formal é consistente, usando recursos deste mesmo sistema, só será possível se este sistema for inconsistente. Por exemplo, Gerhard Gentzen mostrou que a consistência e a completude da aritmética podem ser provadas, se o Princípio de Indução Transfinita for utilizado. No entanto, esta abordagem não permite provar a consistência de toda a matemática.

3.- Lógica Matemática  



Pode-se entender por Lógica o estudo formal dos métodos, estrutura e validade das deduções e provas matemáticas. As pessoas, geralmente entendem por Lógica Matemática a Lógica de Primeira Ordem (a Lógica de Predicados), um conjunto formal de regras destinadas à formação de sentenças (sentenças matemáticas e/ou lógicas) usando os seguintes símbolos: (i) os conectivos, a saber:  (negação),  (implicação),  (equivalência),  (conjunção) e  (disjunção), (ii) juntamente com os quantificadores:  (universal) e  (existencial). Uma forma de lógica bastante simples é a Lógica Proposicional quando estudada através das tabelas verdade (V ou F) e a Lógica Boolena (1 ou 0). Uma generalização deste tipo de lógica se dá a partir da adoção de valores lógicos como verdadeiro, falso e indecidível (respectivamente adotados como sendo: 1, 0 e ½) a Lógica Tri-valorada. Um exemplo de lógica muito mais avançada seria a denominada Lógica Fuzzy (Lógica Nebulosa) que trata a verdade como uma quantidade contínua entre 0 e 1, considerando regiões onde nada se pode decidir com certeza, as regiões “fuzzy”. Pensada de forma mais abrangente, uma Lógica é qualquer conjunto de regras de formação sentenças (a sintaxe da lógica) junto com regras para a atribuição de valores-verdade a estas sentenças (a semântica da lógica). Uma Lógica, normalmente inclui: (i) um conjunto de tipos (também chamados classes), que pode ser até mesmo vazio, que representam os tipos diferentes de objetos que a teoria discute, como por exemplo, conjuntos, números ou conjuntos numéricos, (ii) um conjunto de símbolos, ou seja, as variáveis, os conectivos e os quantificadores.

4.- Linguagens Artificiais: as Formais e as Simbólicas 

As linguagens artificiais podem ser classificadas como Formais ou Simbólicas. Normalmente, as linguagens formais se destinam ao estudo ou estabelecimento de Teorias Hipotético-dedutivas ou de Teorias Axiomáticas. Note-se que, enquanto um sistema hipotético-dedutivo pode ser axiomático ou não-axiomático, as Linguagens Simbólicas podem ser aquelas, apenas e tão somente, destinadas às comunicações sociais, como por exemplo, a linguagens simbólicas dos surdos mudos ou a linguagem das propagandas na mídia.

5.- Teorias 



Teoria - conhecimento sistemático, fundamentado em observações empíricas e/ou fundamentada em postulados racionais, voltado para a formulação de leis e categorias gerais que permitam a ordenação, a classificação minuciosa e, eventualmente, a transformação dos fatos e das realidades da natureza (Dicionário Houaiss). Teoria - conjunto de conhecimentos não ingênuos que apresentam graus diversos de sistematização e credibilidade, e que se propõem explicar, elucidar, interpretar ou unificar um dado domínio de

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

fenômenos ou de acontecimentos que se oferecem à atividade prática (Enciclopédia Encarta Digital). Não se deve confundir uma teoria com o sistema ou a forma de sistematização que se escolheu para veiculá-la.

6.- Teorias Axiomáticas 



 

Uma Teoria é denominada Teoria Axiomática se possui um conjunto de axiomas (verdades aceitas a priori) dos quais podem ser derivadas outras verdades nesta Teoria e que formam juntamente com as definições um conjunto de verdades derivadas ou estabelecidas (axiomas, verdades derivadas dos axiomas e definições) que são utilizadas para provar os teoremas desta Teoria. Uma teoria axiomática (como uma das geometrias) é completa se cada sentença gramaticalmente (semanticamente e sintaticamente) bem-formada da teoria é capaz de ser provada como sendo verdadeira ou falsa. A ausência de contradição, isto é, a impossibilidade de provar que uma proposição e sua negação são ambas verdadeiras, em um Sistema Axiomático, é conhecida como consistência. Uma Teoria não pode ser confundida com o método escolhido para expô-la. Um sistema axiomático é uma estrutura formal que visa permitir a sistematização lógica das teorias em geral, enquanto uma teoria é um conjunto conexo de conhecimentos, sistematicamente fundamentados em observações empíricas e/ou fundamentada em postulados racionais voltados para a formulação de leis e categorias gerais.

6.1.-A Axiomatização da Aritmética - Giuseppe Peano 



Desde a antiguidade e entre os mais diversos povos, os números naturais são por excelência os números destinados à contagem. Historicamente o número zero, o “nada” apareceu muito depois, e o seu numeral  um círculo sem nada dentro ,deveria ter representado um continente sem nenhum conteúdo, nenhum elemento em seu interior – como um cercado em um campo, mas sem animais, ou uma cesta, sem nenhum pão, por exemplo. No entanto, como entidade matemática, o conjunto dos números naturais precisava ser formalizado e, assim foi que, Giuseppe Peano (Itália 1858/1932) elaborou a Teoria Axiomática dos Números Naturais  e em 1889 Peano publicou um pequeno livro em latim intitulado “Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita” [Kennedy 1975]. Neste texto, Peano menciona os estudos feitos por Boole, Schröder, Peirce, Jevons e MacColl, no campo da lógica e menciona os trabalhos de Dedekind publicado em 1888, reconhecidamente a primeira axiomatização da aritmética. No prefácio de seu livro, Peano introduz a notação lógica que irá utilizar no texto. A seguir serão mostradas as idéias de Peano neste primeiro trabalho [Peano 1958, pág 85], em que o conjunto dos números naturais tem para primeiro elemento a “unidade”, conceito que será modificado, mais tarde, em 1898 [Peano 1959, pág 216] fazendo com que o zero passasse a ser considerado como o menor dos elementos do conjunto dos números naturais. O símbolo N significa “número”. O símbolo 1 significa “unidade”. O símbolo a + 1 significa o sucessor de a, ou: a mais 1. O símbolo = significa “é igual a”

e em seguida enuncia os seus axiomas:

Axioma 1.-

1  N.

Axioma 2.-

Se a  N, a = a.

Axioma 3.-

Se a, b  N, a = b se, e somente se, b = a.

Axioma 4.-

Se a, b, c  N, a = b, b = c implica a = c.

Axioma 5.-

Se a = b e b  N, a  N.

Axioma 6.-

Se a  N, então a + 1  N.

Axioma 7.-

Se a, b  N, a = b se, e somente se, a + 1 = b + 1.

Axioma 8.-

Se a  N, a + 1  1.

Axioma 9.-

Se K é uma classe, 1  K, e se para x  N e x  K implicar que x + 1  K, então N  K.

Os axiomas são seguidos das seguintes definições: 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, ..., e alguns teoremas, como por exemplo: 2  N, 3  N etc. Ainda, como definição, ocorre a seguinte: Se a, b  N, a + (b + 1) = (a +b) + 1.

Cujo significado é: “se a e b são números então:

a + (b +1)

significa que (a + b) + 1 é o

sucessor de a + b”. Veja que isto permite escrever para qualquer a  N, que: a + 2 = (a + 1) + 1; a + 3 = (a + 2) + 1 = ( (a + 1) + 1) + 1 e assim por diante. Entre os teoremas enunciados e provados por Peano estão os seguintes: 1. Se a, b  N, a + b  N. 2. Se a, b, c  N, a = b se, e somente se, a + c = b + c. 3. Se a, b, c  N, a + (b + c) = (a + b) + c. 4. Se a  N, 1 + a = a + 1. 5. Se a, b  N, a + b = b + a. Peano define a multiplicação da seguinte forma: 1. a  N, a  1 = a 2. a, b  N, a  (b + 1) = (a  b) + 1

117 As idéias apresentadas no livro “Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita”, conhecido como: “Princípios de Aritmética”, modernamente são apresentados de formas diversas por diferentes autores. Adotaremos aqui uma formulação que nos parece bastante apropriada ao nível deste texto e do trabalho a ser aqui desenvolvido e que envolvem os seguintes conceitos e axiomas: (1) o número zero  cujo símbolo será adotado como 0; (2) a unidade  cujo símbolo será adotado como sendo 1; (3) o conceito de variável numérica ou número  usando-se para representá-los as letras: m, n e p; (4) o conceito de igualdade, cujo símbolo será “=”; (5) o conceito de adição; (6) o conceito de “sucessivo de” ou “sucessor de” simbolicamente expresso como: Suc(n) = n + 1; (7) o conceito de conjunto e o de pertinência de elemento a conjunto; (8) cinco axiomas (afirmações básicas, tomadas como verdadeiras): os Axiomas de Peano de açodo com a nossa formulação: 

1o) O zero é um número natural 2o) Todo número natural n tem um único sucessor: Suc(n) = n + 1 3o) Se Suc(m) = Suc(p) então m = p 4o) Para todo número natural n, Suc(n)  0 5o) Se M é um subconjunto de N (conjunto dos números naturais), tal que se 0 M e Suc(p)M sempre que pM, então M = N. 



Desta forma, fica estabelecido de maneira única, sem que possa haver ambigüidades ou contradições, o que seja o conjunto dos números naturais: N = {0, 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1, ......, n, Suc(n), Suc(n) + 1, ...} que, na medida em que venhamos a reconhecer a correspondência entre os numerais hindu-arábicos e estas adições, como por exemplo: 1 + 1 = 2 , 1 + 1 + 1 = 3; 1 + 1+ 1 + 1 = 4 e assim por diante, poderá ser reescrito como: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10, 11, ...}. Nota Importante: A partir dos Axiomas de Peano normalmente, se pode propor “uma” Aritmética, onde alguns outros novos axiomas associados aos axiomas de Peano irão estabelecer as operações aritméticas e as suas propriedades. Veja a seguir uma destas possíveis “propostas”. Tente explicar cada um daqueles 10 axiomas e verificar se este conjunto de axiomas é suficiente para “suportar” tudo o que necessitamos em uma “Aritmética envolvendo Números Naturais”. Os axiomas deste sistema (Aritmética de Peano) utilizam os seguintes símbolos: (i) ‘0’ para representar o ‘número zero’ e ‘x’ e ‘y’ para representar um número natural qualquer (uma variável); (ii) ‘s(x)’ para representar o ‘sucessor do número natural x’; (iii) ‘+’ para representar a ‘adição‘; (iv) ’’ para representar a ‘multiplicação’; (v) ‘<’ para representar ‘menor do que’ e (vi) ‘=‘ para representar a igualdade; (vii) ‘(x)’ representa uma ‘propriedade ’ da ‘variável x’. Neste sistema 1 = s(0), 2 = s(s(0)), 3 = s(s(s0))) e assim por diante. Axiomas: 1. (x) (s(x) = x + 1) 2. (x) (s(x) = 0) 3. (x, y) (s(x) = s(y)  x = y)

4. (x) (x + 0 = x) 5. (x, y) (x + s(y) = s(x + y) ) 6. (x) (x  0 = 0) 7. (x, y) (x  s(y) = x  y + x) 8. (x) (x < 0) 9. (x, y) (x < s(y)  (x < y)  (x = y) ) 10. (0)  ( x ((x)  (s(x)) )  x ( (x) )

7.- Gramática de uma Linguagem  



 

Uma Linguagem Formal é constituída por um Alfabeto e uma Gramática. O Alfabeto de uma Linguagem Formal, normalmente, é constituído pelos seguintes tipos de símbolos: (i) constantes (números, formas planas ou espaciais, imagens); (ii) variáveis (símbolos algébricos, formas planas ou espaciais, imagens); (iii) conectivos; (iv) quantificadores; (iv) descritores; (v) grafos enfim, signos diversos, criados para facilitar a comunicação naquele contexto. A Gramática de uma Linguagem Formal deve prever: (i) a forma de construção correta de suas fórmulas (cadeias de símbolos ou sentenças), uma sintaxe e (ii) uma forma de separar as fórmulas quanto a terem, ou não, sentido naquela linguagem, aquilo que se denomina semântica da linguagem. As Sentenças (fórmulas) de uma Linguagem seja ela Natural ou Formal podem ser construídas corretamente (sintaticamente corretas) sem ter um significado naquela linguagem (semanticamente consistentes). As sentenças: “O aluno José é estudioso” e “O automóvel Ford é estudioso” são sintaticamente corretas, mas a segunda delas falha quanto ao significado, ela é ambígua, ou seja, falha no que diz respeito à semântica. A Linguagem pode ter um Dicionário onde estejam reunidas as cadeias de símbolos ou os conceitos que necessitem de definição. A semântica de uma Linguagem pode ser uma semântica atribuída por valoração, isto é, o significado das sentenças é dado através de valores, como por exemplo: verdadeiro ou falso; verdadeiro, falso ou indecidível; valores atribuíveis através de escalas percentuais baseadas nos números de 0 a 100; etc, possuindo tabelas-verdade que estabeleçam a forma de se atribuir os valores às sentenças básicas geradoras das demais sentenças bem-formada na Linguagem.

8.- Conceitos Não-definidos - Entes Primitivos 

Os entes primitivos de uma teoria (também denominados conceitos primitivos, objetos não definidos, conceitos não definidos) são conceitos oriundos da Linguagem Natural ou simbólicos tomados como básicos para o entendimento da Linguagem Artificial (Formal ou Simbólica) em que será expressa uma dada Teoria. Normalmente, o significado de cada um dos conceitos nãodefinidos será dado pelos axiomas.

9.- Conceitos Definidos e Definições 

A aprendizagem de conceitos pode se dar basicamente por duas vias: através de um processo construtivo baseado na intuição denominado formação de conceito, ou por um processo denominado aprendizagem de conceitos através de definição, que envolve a compreensão de significados - pelo menos a compreensão de uma linguagem natural ou simbólica. Assim, podemos antever a existência de pelo menos dois tipos de conceitos: os formados pelo indivíduo a partir de suas próprias experiências, com uso de sua intuição, conceitos estes, que poderiam ser denominados conceitos intuitivos, e os conceitos definidos, que eventualmente poderiam ser chamados, como Vygotsky propôs, “conceitos científicos".

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  

Para Gagné a aprendizagem verbal é uma das formas primeiras e mais comuns para a transmissão de conhecimento. Ela permite estabelecer e precisar rótulos (imagens mentais, símbolos, signos ou até mesmo uma palavra ou um conjuntos de palavras) que serão utilizados na comunicação diária e funcionam como veículos para o pensamento. As teorias cognitivistas apontam os conceitos como sendo unidades básicas do conhecimento, ou seja, rótulos (“lables”) ou receptáculo ("conteiner") de significados básicos. Ainda para Gagné, as informações verbais dizem respeito ao "saber o que". Nomes, fatos, princípios e generalizações são os tipos de unidades classificáveis como informações verbais. Os verbos que podem ser listados como ações ligadas à informação verbal são, em ordem alfabética: alegar; afirmar; declamar; declarar; dizer; especificar; explicar; expressar; manifestar; narrar; proclamar; propor; recitar; relatar; situar. Além das informações verbais há as informações simbólicas, sonoras, tácteis, olfativas e gustativas, mas normalmente todos estes tipos de informações têm uma linguagem como base, para o estabelecimento dos rótulos. A definição é uma operação lingüística que busca a determinação clara e precisa de um conceito ou um objeto. Para Aristóteles, uma definição é aquilo que aponta a natureza essencial de alguma coisa, determinando desta maneira suas semelhanças e diferenças com relação a outras realidades. No escopo de uma Teoria, uma definição é um enunciado ou sentença que visa dar sentido ou significado a símbolos, palavras ou locuções (locução é um conjunto de palavras que equivalem a um só vocábulo, por terem significado conjunto próprio e função gramatical única) indicando suas características genéricas e específicas, suas finalidades, sua inclusão num determinado campo do conhecimento.

10.- Axiomas 



Os axiomas, que necessariamente são fórmulas-bem-formadas (fbfs) de uma linguagem formal, são assumidos a priori, como tautologias – fórmulas válidas – desta linguagem. O antigo conceito de que axiomas são verdades auto-evidentes ou intuitivas, vem sendo substituída modernamente, pelo conceito de que não há a necessidade de compreendê-los direta ou imediatamente, mas apenas através de seus efeitos, pois muitos axiomas são altamente contra-intuitivos. Os axiomas de uma linguagem formal devem ser tais que se possa derivar a partir deles e com o uso de pelo menos uma regra de inferência, outras tautologias (sentenças o fórmulas verdadeiras), ou provar com o uso destes mesmos recursos, os teoremas desta linguagem. Um conjunto de axiomas é completo na medida em que seja impossível acrescentar um novo axioma ao seu conjunto de axiomas sem que ocorra os dois fatos: (i) o axioma acrescentado é dependente dos demais, isto é, ele pode ser derivado logicamente dos demais axiomas; (ii) o novo axioma exige a inclusão de um novo elemento entre os conceitos primitivos da Teoria. Um conjunto de axiomas é consistente se, entre aqueles axiomas não existem axiomas que se contradizem, e se for impossível utilizar estes axiomas para prova um teorema e para refutá-lo ao mesmo tempo. Para Gödel um conjunto de sentenças é logicamente consistente (nenhuma contradição pode ser deduzida das sentenças) se e somente se as sentenças tiverem um modelo, isto é, se e somente se há um “universo” em que elas são todas verdadeiras.

11.- Regras de Inferência 



Há Duas regras de Inferência Lógica básicas, sendo que a mais utilizada é a Modus Ponens: vide, a seguir, no item 17.- Métodos de Prova - Método Hipotético-Dedutivo, um resumo teórico e um exemplo do uso desta regra quando aplicada para provar Teoremas da Matemática. A Regra de Inferência denominada Regra da Substituição, apesar de parecer mais simples do que a Modus Ponens, por exigir “apenas(!)” substituições nos axiomas, é bastante complexa. A aplicação

desta regra de inferência exige que a proposição a ser provada seja substituída de forma plena nos axiomas em que ela porventura venha a se “encaixar” e que todos os axiomas que receberam as substituições sejam envolvidos no processo de prova daquela proposição. A Regra de Inferência Lógica dae Substituição é bastante utilizada em Provas Automáticas (via Sistemas Computacionais Dedicados) de Teoremas da Lógica.

12.- Teoremas 



Teorema é uma afirmação que pode ser demonstrada como verdadeira através de argumentações e operações matematicamente aceitáveis. Em geral um teorema é o enunciado de algum princípio geral que faz parte de uma teoria. O processo que visa mostrar que o Teorema é verdadeiro se denomina prova. Philip J. Davis e Reuben Hersh, em seu livro “A Experiência Matemática” [Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1985 – pág. 46-47], afirma que cerca de 200.000 teoremas da matemática são publicados anualmente.

12.1.- Teorema Recíproco

13.- Lemas 

Um teorema mais simples ou imediato usado em conjunto com outros teoremas do mesmo tipo ou teoremas já provados para provar teoremas de elevada complexidade.

14.- Corolários 

É um novo Teorema que pode ser provado utilizando-se algo já provado num Teorema anterior ou, em outras palavras, uma proposição que deriva, em um encadeamento dedutivo, de uma asserção precedente, produzindo um acréscimo de conhecimento por meio da explicitação de aspectos que, no enunciado anterior, se mantinham latentes ou obscuros.

15.- Conjecturas 

Conjectura é uma proposição que é consistente de fato, mas que não se pode provar que seja verdadeira ou falsa. Conjectura é um sinônimo para hipótese.

15.1.- Exemplos de Conjectura: 

Falar sobre a conjectura de Goldbach:

 Hipótese do Contínuo – esta é uma proposta feita originalmente por George Cantor de que não existe nenhum conjunto infinito cuja cardinalidade se situa entre a cardinalidade 0 lida “aleph zero” (o menor dos valores transfinitos, que corresponde à quantidade de elementos, seja do conjunto dos números naturais, dos conjunto dos números inteiros ou do conjunto dos números racionais) e a cardinalidade do conjunto dos números reais 1  c , onde o c é denominado “contínuo”). Simbolicamente, a hipótese do continuo pode ser enunciada como:  k, 0 < k < 1 , ou seja:  k, 0 < k < c.

121

16.- Princípios e Leis  Emprega-se a palavra princípio para se referir a uma proposição elementar e fundamental que serve de base a uma ordem de conhecimentos; lei de caráter geral com papel fundamental no desenvolvimento de uma teoria e da qual outras leis podem ser derivadas; proposição lógica fundamental sobre a qual se apóia o raciocínio. Normalmente usada com relação a axiomas, teoremas etc.  Lei, expressão definidora das relações constantes que existem entre os fenômenos naturais, como, p.ex., o enunciado de uma propriedade física verificada de maneira precisa; regra ou relação constante entre fenômenos; manifestação exterior de fenômenos complexos; conjunto de regras e princípios que norteiam a elaboração e o modo de proceder em (pintura, literatura, música).

17.- Métodos de Prova  Um método de prova envolve a utilização de rigorosos argumentos lógicos e matemáticos que demonstrem inequivocamente a verdade de uma dada proposição. Uma proposição matemática que possa ser provada é denominada Teorema. Há dois tipos básicos de Métodos de Prova: (i) os métodos diretos (o sem uso de palavras; o por dissecção e o hiptético-dedutivo) e pelo menos um indireto (o por redução ao absurdo).

17.1.- Métodos Diretos de Prova 17.1.1.- Prova sem o uso de palavras  É um Método de Prova que, baseado em elementos visuais, envolve apenas a necessidade de comentário, dispensando os argumentos lógico-matemáticos.  Veja o exemplo a seguir, onde os números pentagonais (figura 1) são mostrados como tendo uma relação aritmética (figura 2) com os números triangulares (figura 1) Números triangulares

Números quadrados

Números pentagonais

Figura 2 Figura 1: Números Triangulares, números quadrados e números pentagonais  Os números triangulares, quadrados e pentagonais são mostrados na figura 1. A figura 2 mostra que a diferença entre um n-ésimo número pentagonal e n, é igual a três vezes (n-1) números

triangulares. De fato, apesar da figura mostrar um caso particular em que n = 5, o fato é que, a partir daí, pode-se facilmente generalizar a propriedade.

17.1.2.- Prova por Dissecção (Dissecação) 

Dissecar é decompor os elementos ou a estrutura de algo, para melhor compreendê-lo ou torná-lo compreensível. Um teorema que é comumente provado por dissecção (ou dissecação) é o Teorema de Pitágoras.

17.1.3.- Métodos Hipotético-Dedutivo – Modus Ponens Prova baseada unicamente em rigorosos argumentos lógicos e matemáticos justificados através de uma linguagem natural envolvendo os elementos não definidos, os axiomas e as eventuais definições de uma teoria. Normalmente,neste caso, é utilizada a regra de inferência lógica conhecida como Modus Ponens: Seja A  B uma fórmula da Lógica Proposicional, então a seguinte regra é, A, A  B válida: , que significa, “se A e A  B são válidas, então B é válida”. B Assim, a regra de inferência lógica Modus Ponens, pode ser reescrita, no nosso caso da prova de Teoremas (na Lógica Matemática), como sendo:

Hipótese:

PROVA: Mostra-se que a hipótese é verdadeira,

Tese:

isto é, “Se P é verdade então Q será verdade”.

17.1.4.- Método Hipotético-Dedutivo – Prova por Contraposição  



Este método leva em conta a seguinte equivalência da Lógica proposicional: (p  q)  (q  p). Dado um Teorema da forma "p implica q" podemos colocá-lo na forma contrapositiva: "q não implica p" ou seja: “a negação de q implica a negação de p”. Não se deve confundir este tipo de prova com a prova por contradição. Em resumo, os passos por provar um teorema através de contraposição são os seguintes : 1. Escreva a declaração na forma: “p implica q” ou (p  q); 2. Escreva a contrapositiva da declaração inicial: “não q não implica p” ou (q  p). 3. Prove a contraposição de forma direta. 4. Conclua que o teorema é verdadeiro, baseado na equivalência: (pq)(qp). Exemplo: (p  q): p  “Se n2 é um número inteiro par” então q  “n é um número par”. Prova: [1] Vamos negar que n seja um número par: q  “n é um número ímpar” ou q  “n não é um número par”. [2] A contraposição da afirmativa é: q  “Se n é um número inteiro ímpar”, então p  “n2 é um número ímpar” ou p  “n2 não é um número par”. [3] Se n é um número inteiro ímpar então n = 2x + 1, x Z (q é verdadeira). [4] Vamos calcular o quadrado de n: n2 = (2x + 1)2 = 4 x 2 + 4 x + 1 = 2(2x 2 + 2x) + 1. [5] Fazendo (2x 2 + 2x) = y , y Z iremos obter: n2 = 2(2x 2 + 2x) + 1 = 2y + 1 é um número ímpar (p é verdadeira). [6] O teorema está provado.

123

17.2.- Método Indireto de Prova: 17.2.1.- Prova por Redução ao Absurdo 



Um método de prova que se inicia por estabelecer uma afirmativa contrária àquilo que se pretende prova. Esta afirmativa deve levar a uma contradição. Assim o objeto da prova, antes negado e constatado como falso, agora deve ser assumido como verdadeiro. O Método de Prova de Teoremas por Redução ao Absurdo é baseado na seguinte tautologia da Lógica Predicativa: quer-se provar que: P  Q então usa-se (Q  (P  P))  Q , veja a seguir:

Teorema: Se P então Q.

Hipótese: P é verdade; Assumir Q como verdade por hipótese; Tese: Q é verdade.

Se Q acarreta uma contradição, isto é, P P passam a ocorrer, então Q é falsa, e pela Lei do Terceiro Excluído da Lógica Predicativa tem-se: Q é verdadeira.

17.3.- O que significam C.Q.D. ou Q.E.D. 

Q.E.D. (às vezes escrito QED) é a abreviatura da expressão Latina "quod erat demonstrandum" ("como queríamos demonstrar") que em português corresponde a C.Q.D. (às vezes escrito como CQD), normalmente é colocado no final de uma demonstração matemática para indicar que ela foi completada. Um pequeno retângulo ou um pequeno quadrado preenchido ou normalmente podem ser utilizados, com a mesma finalidade, em textos impressos.

vazio

17.4.- O que significa “Supor, sem perda de generalidade que ...” 

Ao provarmos um teorema podemos estabelecer hipóteses onde a variável envolvida é apenas uma das muitas que poderiam escolhidas. Na verdade o que se vai provar para aquela variável é válido para todas as demais, por extensão, e isto torna conveniente a menção de “Seja supor sem perda de generalidade, que: <hipótese envolvendo apenas uma das variáveis>.

18.- Indução Matemática 

Muitos teoremas, fórmulas e propriedades que sejam verdadeiras para os números naturais ou para alguma variável que possa assumir valores em N (conjunto dos números naturais) podem ser provadas utilizando-se o método da Indução Finita Matemática ou o Princípio da Indução Matemática:

Princípio de Indução Matemática – Versão 1: 

Se P(0) é verdadeira e se para algum nN, P(n+1) é verdadeira sempre que P(n) for verdadeira, então, P(n) é verdadeira para todo número inteiro N.

Princípio de Indução Matemática – Versão 2: 

Se P(k) é verdadeira e se para algum nN, n  k, P(n+1) é verdadeira sempre que P(n) for verdadeira, então, P(n) é verdadeira para todo número inteiro n, n  k.

Princípio de Indução Matemática – Versão 3: 

Se P(0) é verdadeira, e se para algum nN, P(n+1) é verdadeira sempre que P(0), P(1), P(2), ..., P(n) forem verdadeiras, então, P(n) é verdadeira para todo número inteiro n, n  k.

Contra-Exemplo: Dada a relação: ............................... mostre que apesar de P(0), P(1), . ... serem verdadeiras, esta (PROVIDENCIAR) relação não é verdadeira.

Exemplos: n (n  1)(2n  1) 6 [2] Prove que n!  3n para n = 7, 8, 9, ... [3] Prove que 2n  n2 para n = 4, 5, 6, ... [1] Prove que 12 + 22 + 32 + ... + n2 =

Providenciar as provas destas expressões

125

GEOMETRY STANDARDS

What Geometry Students Are Expected to Know and Be Able to Do Sacramento City Unified School District The geometry skills and concepts developed in this discipline are useful to all students. Aside from learning these skills and concepts, students will develop their ability to construct formal, logical arguments and proofs in geometric settings and problems.

1.0

Students demonstrate understanding by identifying and giving examples of undefined terms, axioms, theorems, and inductive and deductive reasoning.

2.0

Students write geometric proofs, including proofs by contradiction.

3.0

Students construct and judge the validity of a logical argument and give counterexamples to disprove a statement.

4.0

Students prove basic theorems involving congruence and similarity.

5.0

Students prove that triangles are congruent or similar, and they are able to use the concept of corresponding parts of congruent triangles.

6.0

Students know and are able to use the triangle inequality theorem.

7.0

Students prove and use theorems involving the properties of parallel lines cut by a transversal, the properties of quadrilaterals, and the properties of circles.

8.0

Students know, derive, and solve problems involving the perimeter, circumference, area, volume, lateral area, and surface area of common geometric figures.

9.0

Students compute the volumes and surface areas of prisms, pyramids, cylinders, cones, and spheres; and students commit to memory the formulas for prisms, pyramids, and cylinders.

10.0 Students compute areas of polygons, including rectangles, scalene triangles, equilateral triangles, rhombi, parallelograms, and trapezoids. 11.0 Students determine how changes in dimensions affect the perimeter, area, and volume of common geometric figures and solids. 12.0 Students find and use measures of sides and of interior and exterior angles of triangles and polygons to classify figures and solve problems. 13.0 Students prove relationships between angles in polygons by using properties of complementary, supplementary, vertical, and exterior angles. 14.0 Students prove the Pythagorean theorem. 15.0 Students use the Pythagorean theorem to determine distance and find missing lengths of sides of right triangles. 16.0 Students perform basic constructions with a straightedge and compass, such as angle bisectors, perpendicular bisectors, and the line parallel to a given line through a point off the line. 17.0 Students prove theorems by using coordinate geometry, including the midpoint of a line segment, the distance formula, and various forms of equations of lines and circles. 18.0 Students know the definitions of the basic trigonometric functions defined by the angles of a right triangle. They also know and are able to use elementary relationships between them. 19.0 Students use trigonometric functions to solve for an unknown length of a side of a right triangle, given an angle and a length of a side. 20.0 Students know and are able to use angle and side relationships in problems with special right triangles, such as 30°, 60°, and 90° triangles and 45°, 45°, and 90° triangles. 21.0 Students prove and solve problems regarding relationships among chords, secants, tangents, inscribed angles, and inscribed and circumscribed polygons of circles. 22.0

Students know the effect of rigid motions on figures in the coordinate plane and space, including rotations, translations, and reflection.

127

Capítulo 8 Conjuntos de Axiomas para a Geometria Euclidiana

[1] Axiomas do SMSG para a Geometria Plana e Espacial Uma Proposta de Axiomatização para a Geometria de Coordenadas destinada ao Ensino Básico de acordo com o SMSG O SMSG - School Mathematics Study Group - foi um empreendimento financiado pelo Governo Americano dirigido por Edward G. Begle (1914-1978), que criou e implementou um currículo escolar de Matemática desde 1958 até 1977, que se tornou amplamente conhecido como "a matemática moderna".

Termos indefinidos: Ponto, Reta, Plano e Espaço. Axiomas Axioma 1: Dado quaisquer dois ponto distinto, há uma única reta que exatamente os contém.

Axioma 2: Axioma da Distância A todo par de pontos distintos pode-se associar um único número positivo. Este número é chamado distância entre estes dois pontos.

Axioma 3: Axioma da Reta Real Os pontos de uma reta podem ser colocados em uma correspondência com os números reais de tal forma que: 1. a cada um dos pontos da reta corresponda um único número real. 2. a cada um dos números reais corresponde um único ponto da reta. 3. a distância entre dois pontos distintos desta reta é o valor absoluto da diferença entre os números reais correspondentes a estes pontos.

Axioma 4: Axioma da Escolha do Sentido da Reta Real Dados dois pontos distintos P e Q de uma reta real, pode-se estabelecer um sistema de coordenadas no qual pode-se escolher a coordenada de P como sendo zero e a coordenada de Q como sendo um número positivo.

Axioma 5: a. Todo plano contém, pelo menos, três pontos de não-colineares. b. O espaço contém, pelo menos, quatro pontos de não-coplanares.

Axioma 6: Dados dois pontos distintos de um plano qualquer, a reta que os contém estará contida neste plano.

Axioma 7: Três pontos distintos pertencem a pelo menos um plano e, quaisquer três pontos nãocolineares determinam um único plano.

Axioma 8: Se dois planos de interceptam, então aquela interseção é uma reta.

Axioma 9: Axioma da Separação plano Dada uma reta contida num plano, os pontos do plano que não pertencem à reta formam dois conjuntos de pontos tais que: 1. cada um destes conjuntos de pontos é convexo. 2. se P está pertence a um dos conjuntos e Q pertence ao outro, então segmento PQ intercepta aquela reta.

Axioma 10: Axioma da Separação do Espaço Os pontos do espaço que não pertencem a um dado plano formam dois conjuntos de pontos tais que: 1. cada dos conjuntos de pontos é convexo. 2. se P está pertence a um dos conjuntos e Q pertence ao outro, então PQ intercepta aquele plano.

Axioma 11: Axioma da Medida de ângulo A todo ângulo corresponde um número real entre 0 e 180, que é a sua medida.

Axioma 12: Axioma da Construção de um Ângulo Seja AB um raio com extremidade A, situado na borda de um semiplano H. Para todo r entre 0 e 180 há exatamente um raio AP, com P em H tal m(PAB) = r.

Axioma 13: Axioma de Adição de ângulos Se D é um ponto no interior de BAC, então m(BAC) = m(BAD) + m(DAC).

Axioma 14: Axioma de suplemento de um ângulo Se dois ângulos formam um par linear, então eles são suplementares.

Axioma 15: Axioma LAL Seja uma correspondência um-a-um de lados e ângulos, entre dois triângulos (ou entre um triângulo e si mesmo). Se dois lados do primeiro triângulo formam um ângulo que é

129 congruente às partes correspondentes àquelas no segundo triângulo, então esta correspondência é uma congruência.

Axioma 16: Axioma das Paralelas Por um determinado ponto externo a uma reta qualquer há no máximo uma outra reta paralela àquela.

Axioma 17: Para toda região poligonal, existe um único número real positivo que é a área desta região.

Axioma 18: Se dois triângulos são congruentes, então as regiões triangulares têm a mesma área.

Axioma 19: Suponha que a região R é a união de duas regiões R1 e R2. Se R1 e R2 cruzam no máximo em um número finito de segmentos e pontos, então a área de R é a soma das áreas de R1 e R2.

Axioma 20: A área de um retângulo é o produto da medida de sua base pela medida de sua altura.

Axioma 21: O volume de um paralelepípedo retângulo é igual ao produto do comprimento de sua altura e a área de sua base.

Axioma 22: O Princípio de Cavalieri Dado dois sólidos e um plano. Se, para todos os planos que interceptam os sólidos e são paralelos ao plano dado, as duas interseções corresponderem a regiões que têm a mesma área, então os dois sólidos têm o mesmo volume.

Fontes: 1. “Geometry”, School Mathematics Study Group, Yale University Press 2. “Roads to Geometry”, E. Wallace & S. West, Prentice-Hall (Sect 2.6 & App. D)

[2] AXIOMAS PARA UMA GEOMETRIA A SER ESTUDADA NO ENSINO MÉDIO Estes axiomas são do livro: “Geometry” de Helen R. Pearson e James R. Smart, edited by Ginn and Company a Xerox Corporation, 1971. Traduzido e adaptado para o português. 1. Existe o espaço e ele contém dois pontos distintos pelo menos. 2. Se dois pontos são distintos, então há uma única reta que os contém. 3. Toda reta é um conjunto de pontos e contém dois pontos distintos pelo menos. 4. Nenhuma reta contém todos os pontos do espaço. 5. Se um ponto está em uma linha e outro ponto não está naquela linha, então os dois pontos são distintos. 6. Se três pontos são distintos e não-colineares, então há um único plano que os contém. 7. Todo plano é um conjunto de pontos e contém, pelo menos, três pontos não-colineares distintos. 8. Nenhum plano contém todos os pontos do espaço. 9. Se dois planos distintos se interceptam, então a interseção deles é uma reta. 10. Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um mesmo plano, então todos os pontos desta reta pertencem àquele plano. 11. Existe uma correspondência que associa a cada par arbitrariamente escolhido de pontos distintos um único número real. 12. Existe uma correspondência um-a-um entre números reais e os pontos em uma reta, tal que se pode associar os números 0 e 1 aos pontos O e U, respectivamente. A medida da distância entre quaisquer dois pontos da reta, agora denominada reta real, é o valor absoluto da diferença entre os números correspondentes a cada um deles. 13. Se P e Q são pontos distintos de uma reta L e p e q são números reais distintos, então há um único sistema de coordenadas para L que permite associar a P a coordenada p, e a Q a coordenada q. 14. Qualquer reta de um plano separa os pontos do plano que não são pontos daquela reta em dois conjuntos tais que: 1. cada um dos dois conjuntos é um conjunto convexo, e 2. todo segmento, que une um ponto de um dos conjuntos a um ponto do outro, intercepta aquela reta. 15. Qualquer plano separa os pontos do espaço que não estão no plano em dois conjunto tais que: 1. cada um dos dois conjuntos é um conjunto convexo, e 2. todo segmento que une um ponto de um conjunto a um ponto do outro, intercepta o plano.

131 16. Existe uma correspondência que associa exatamente a cada ângulo do espaço um número real n tal 0 < n < 180. 17. Para todo ponto O e todo semiplano fechado cuja borda contém O, há uma correspondência um-a-um entre o número real n, onde 0 < n < 180, sobre o conjunto de todos os raios no semi-plano fechado que tem o ponto O como origem destes raios. 18. Para qualquer ângulo ABC (ABC) existe um único sistema de raios-coordenados onde BA sendo tomado como raio-zero passa a ser tal que para qualquer ponto X pertencente ao lado C de BA , o raio BX corresponde a um real número n, 0º < n < 180º. 19. Se I é o interior do ABC; se é R o conjunto de todos os pontos pertencentes aos raios localizados entre BA e BC ; se H é o conjunto de pontos interiores da região formada pelos semiplanos (AB,C)  (BC,A), e S é o conjunto formado pelos pontos de todos os segmentos que unem um ponto qualquer de BA {C} a um ponto qualquer de BC {B}, então I = R = H = S. 20. Se para uma correspondência um-a-um entre vértices de um triângulo e vértices de outro (não necessariamente distinto do primeiro), dois lados e o ângulo por eles formado, de um dos triângulos, são congruentes aos lados e o ângulo por eles formados, correspondentes do outro triângulo, então os dois triângulos são congruentes. 21. Se uma correspondência um-a-um entre vértices de um triângulo e vértices de outro (não necessariamente distinto do primeiro), dois ângulos e o lado incluído entre eles de um triângulo são congruentes aos correspondentes dois ângulos e o lado incluído entre eles, do outro triângulo, então os dois triângulos são congruentes. 22. Se uma correspondência um-a-um entre vértices de um triângulo e vértices de outro (não necessariamente distinto do primeiro), os três lados de um triângulo são congruentes aos três lados correspondentes do outro triângulo, então os dois triângulos são congruentes. 23. Se um ponto não está em uma determinada reta, então não há mais do que uma reta contendo este ponto e paralela àquela reta. 24. Existe uma correspondência que ao associar o número 1 a uma dada região poligonal arbitrariamente escolhida (uma unidade arbitrária de medida de superfície – unidade de área), permitirá associar a cada região poligonal um único número real positivo. 25. Se a região poligonal R é a união de duas regiões poligonais R1 e R2, cujos interiores não se interceptam, então relativamente a, uma determinada unidade de medida de superfície (área), a medida da área de R é a soma das medidas das áreas de R1 e R2. 26. A medida da área de uma região quadrada é igual ao quadrado da medida do comprimento de seu lado. 27.

Se dois triângulos são congruentes, então as regiões triangulares determinados pelos triângulos têm a mesma área.

28. Existe uma correspondência que ao associar o número 1 com um sólido geométrico arbitrariamente escolhido, permitirá a associação de um único número real positivo a todo outro sólido geométrico. 29. Se o sólido poliédrico S é a união de dois sólidos poliédricos S1 e S2, cujos interiores não se interceptam, então a medida do volume de S é a soma dos volumes de S1 e S2. 30. Se um sólido poliédrico cujas fronteiras se constituem num paralelepípedo retangular tem B como medida da área de sua base, h como medida de sua altura, e V como medida de seu volume, então V = Bh.

31. Dados dois sólidos geométricos S1 e S2 e um plano R, se todo plano paralelo a R que intercepta S1 ou S2, também intercepta o outro sólido, e se as interseções são regiões com igual área, então os volumes de S1 e S2 são iguais. 32. Se dois sólidos poliédricos são congruentes, eles têm volumes iguais.

133

Capítulo 9 Provando Teoremas da Geometria Euclidiana Aury de Sá Leite Objetivos Gerais:

[1G] Estudar de forma resumida o que sejam as Teorias Axiomáticas. [2G] Fazer uma leitura sistemática e crítica dos Axiomas da Geometria Euclidiana propostos pelo SMSG - School Mathematics Study Group nas décadas de 60/70. [3G] Utilizar os Axiomas do SMSG para provar, como modelos deste processo, alguns teoremas básicos da Geometria Euclidiana. 

Objetivos Específicos:

[1E] Levar o estudante à compreensão do que sejam as Teorias Axiomáticas através da compreensão dos papéis desempenhados: (i) pelas Linguagens Natural e Linguagens Artificiais Simbólicas ou Formais; (ii) pelos entes primitivos, axiomas e definições; (iii) sintaxe e semântica das linguagens; (iv) Lemas, Teoremas e Corolários; (v) métodos de prova de teoremas. [2E] Levar o estudante à compreensão do que seja completude e consistência de uma Teoria Axiomática. [3E] Discutir e com os estudantes o conjunto de Axiomas pára a Geometria Euclidiana estabelecidos pelo SMSG, analisando a linguagem e o sentido e as limitações de cada um deles. [4E] Provar alguns Teoremas da Geometria Euclidiana pelos diversos Métodos de Prova. 

Material Necessário:

[1M] Folhas Avulsas contendo os texto: “Uma Proposta de Axiomatização para a Geometria de Coordenadas destinada ao Ensino Básico de acordo com o SMSG” [2M] Folhas soltas de papel sulfite A4 [3M] lápís e borracha

Geometria EuclidiAna Axiomática – Folhas Avulsas 14 Série: Provando Teoremas na Geometria Euclidiana - Nº 1

Exemplos de Prova de Teoremas 1.1.- Prova Direta de um Teorema baseada em axiomas: Provar o seguinte Teorema: Um plano contém pelo menos 4 pontos.

Comentário: Uma maneira muito prática que pode ser adotada para provar os teoremas em Geometria é o método denominado: um desenho e a tabela com duas colunas: o desenho deve ir sendo elaborado ao longo do processo de prova, na primeira coluna da tabela devem ser anotados os raciocínios levados a efeito e, na segunda coluna, devem ser anotadas as justificativas.

Raciocínios 1.- Todo plano contém pelo menos três pontos distintos, não colineares. 

Justificativa Axioma ____

Axioma ____

A reta r é paralela à reta AB passando por C.

5.- A reta obtida no passo 4 (r) tem sobre ela um outro ponto. 

AB  BC , AB  CA e, BC  CA

4.- Dado um ponto (C) não pertencente a uma reta das retas ( AB ) existe uma única reta (r) paralela à reta escolhida, passando por este ponto. 

Estas retas são exatamente AB , BC e CA .

3.- Nenhuma desta três retas são paralelas, uma com relação a qualquer das outras duas. 

Sejam um plano e os pontos A, B e C pertencentes a .

2.- Estes três pontos determinam, dois a dois, três retas distintas. 

Axioma ____

Seja D este ponto sobre a reta r, isto nos dá: r = CD .

6.- O ponto (D) obtido no passo 5 é o quarto ponto pertencente ao plano dado ().

Axioma ____

135

1.2.- Prova Direta de um Teorema 1.2.1- Prova baseada na hipótese, propriedades e definições: Provar o seguinte Teorema: Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

Hipótese: AB  AC Tese: B  C

Raciocínios

Justificativa

1.- AB  AC

Assumido como hipótese

2.- AC  AB

Propriedade simétrica da relação de congruência

3.- BC  BC

Propriedade reflexiva da relação de congruência

4.- ABC  ACB através da

Axioma ____

correspondência: A  A , BC e CB

5.- A  A , B  C e C  B

Definição: Se dois triângulos são congruentes, então seus ângulos correspondentes são congruentes

6.- B  C

Tese

7.- C.Q.D. (Q.E.D.)

Como Queríamos Demonstrar (“Quod Erat Demonstrandum”)

1.2.2- Prova baseada na hipótese, linhas auxiliares, propriedades e definições: Provar o seguinte Teorema: Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

A Hipótese: AB  AC Tese: B  C

Raciocínios 0.- AB  AC

Justificativa Assumido como hipótese (veja acima)

1.- Seja M o ponto médio do segmento Definição: Um segmento de reta tem um único ponto médio que o divide em dois segmentos de reta BC , tal que BM  MC congruentes. 2.- Seja desenhar o segmento de reta: AM (linha auxiliar)

Dados dois pontos distintos, há uma única reta passando por eles.

3.- AB  AC

Dado

4.- AM  AM

Propriedade reflexiva da relação de congruência: Qualquer segmento de reta é congruente a si mesmo.

5.- ABC  ACB

Axioma da congruência de triângulos: LLL

6.- A  A , B  C e C  B

Elementos correspondentes, de triângulos congruentes, são congruentes.

7.- B  C

Tese

8.- C.Q.D. (Q.E.D.)

137

1.3.- Teoria: Uma Regra de Inferência Lógica – Modus Ponens A Prova Direta de um Teorema é baseada numa regra de inferência bastante conhecido da Lógica Formal denominada Modus Ponens. Esta regra de inferência pode ser escrita como: Seja A  B uma fórmula da Lógica Proposicional, então a seguinte regra é, válida:

A, A  B , que B

significa, “se A e A  B são válidas, então B é válida”.

Assim, a regra de inferência lógica Modus Ponens, pode ser reescrita, no nosso caso da prova de Teoremas (na Lógica Matemática), como sendo:

Teorema: Se P então Q.

Hipótese: P , Tese Q.

Se P é verdade então Q é verdade.

1.4.- Teoria: Prova de Teoremas pelo Método de Redução ao Absurdo O Método de Redução ao Absurdo é baseado na seguinte tautologia da Lógica Predicativa: (Q  (P  P))  Q , ou seja: Quer-se provar que: P  Q então usa-se (Q  (P  P))  Q .

Teorema: Se P então Q.

Hipótese: P é verdade, Assumir Q como verdade; Tese: Q é verdade.

Se Q acarreta uma contradição, isto é, P P passam a ocorrer, então Q é falsa, e pela Lei do Terceiro Excluído da Lógica Predicativa tem-se: Q é verdadeira.

1.5.- Prova Indireta de um Teorema Provar o seguinte Teorema: Se uma reta é paralela a cada uma de duas outras retas quaisquer, então estas duas retas são paralelas entre si.

D K

Hipótese: AB // CD , e AB // EF . Tese:

CD // EF

Raciocínios

Justificativa

1.- Sejam AB , CD e EF distintas, tais que. AB // CD , e AB // EF .

Assumido como hipótese

2.- Assumir que: ( CD // EF ), ou seja, CD  EF

Contradizer a Tese, assumindo que são verdadeiras: CD // EF ou CD  EF

3.- Se CD  EF , CD intercepta EF em algum ponto. Seja K este ponto.

Conseqüência das afirmativas feitas em 1 e 2

4.- Há duas retas paralelas a AB pelo ponto K, e Isto é uma contradição.

Contradiz o Axioma das Paralelas

5.- Logo CD // EF .

Se uma hipótese acarreta uma contradição, então a negação desta hipótese é verdadeira

139

1.6.- Provas de Dois Teoremas dadas por Euclides 1.6.1.- Proposição 5 do Livro I dos “Elementos” de Euclides Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

C Hipótese: AB  AC Tese: B  C

 Veja a seguir o roteiro de prova do teorema numa versão moderna e dê as suas justificativas.

Raciocínios 1.- Construir os triângulos FAC e GAB de tal forma que FAC  GAB ( BF  CG) 2.- FBC  GBC 3.- FBC  GBC 4.- med(FCA)  med(FCB)  med(ACB) 5.- med(GBA)  med(GBC)  med(ABC) 6.- med(ABC)  med(B)  med(ACB)  med(C) 7.- B  C

Justificativa Caso de LAL congruência

1.6.2.- Proposição 6 do Livro I dos “Elementos” de Euclides Se em um triângulo, dois ângulos são iguais (têm a mesma medida ou são congruentes) entre si, os lados opostos a cada um destes ângulos também são iguais (têm a mesma medida ou são congruentes).

Figura: A D

Prova : 

Hipótese: Seja ABC um triângulo tal que os ângulos ABC e ACB são iguais (congruentes).



Tese: O lado AB é igual (congruente) ao lado AC.



Seja negar a Tese: O lado AB é diferente do lado AC.



Se o lado AB é diferente do lado AC, um deles é maior que o outro. Seja tomar, sem perda de generalidade, que AB seja o maior dos lados.



Seja tomar, sobre o lado AB, BD de mesma medida que o lado AC, o menor dos lados.



Seja traçar o segmento CD.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Se DB é igual a AC (por construção) e, BC é um lado comum aos dois triângulos, tem-se que: os lado DB é igual a AC e o lado BC é igual a CB, mas o ângulo DBC é igual ao ângulo ACB.



Deste modo a base DC é igual à base AB, e o triângulo DBC é igual ao triângulo ABC, ou seja, o triângulo menor é igual (congruente) ao triângulo maior o que, é um absurdo.



Logo AB não é desigual a AC, sendo então, correto afirmar que: AB é igual a AC.

141

2.- Provando Teoremas a Partir de Fórmulas Algébricas Teorema Existem cinco, e somente cinco, classes de poliedros de Platão Poliedros de Platão: THODI - Tetraedro, Hexaedro, Octaedro, Dodecaedro e Icosaedro Fórmulas: (1) A 

nF 2

(2) A 

mV 2

(3) Fórmula de Eüler: V  A  F  2  F  V  A  2

n = número de arestas em face; m = quantidade de arestas que partem de cada vértice A = quantidade de arestas; F = quantidade de faces; V = quantidade de vértice

Prova: 

De (1) F 

2A 2A 2A 2A A  2 que dividida e de (2) V  substituídos em (3): m n n m

por A resulta:

2 2 2 1 1 1 1 1   . e que dividida agora por 2:   n m A n 2 m A



Note que sempre se tem n  3 e m  3 (JUSTIFICAR!)



Seja tomar a equação:

1 1 1 1    e testá-la para todos os valores possíveis de n e m n 2 m A

tais que n  3 e m  3 : a) m = n = 3  A = 6  F = 4 = V (Tetraedro) b) m = 4 e n = 3 c) m = 5 e n = 3 d) m = 3 e n = 4 e) m = 3 e n = 5 f) m = n = 4 NÃO TEM SOLUÇÃO !

Verifique porque não se deve continuar testando valores.

Bibliografia [Ausubel, Novak & Hanesian 1979] Ausubel, David P., Novak, J.D. & Hanesian, H. Educational Psychology : A Cognitive View. New York, Holt, Rinehart and Winston, 1979, 2nd Ed. [Gagné 1970] Gagné, Robert M. The conditions of Learning. London, Holt, Rinehart and Winston, Inc, 1970, 2nd. ed. [Gagné 1974] Gagné, Robert M. & Briggs, Leslie J. Principles of Instructional Design. New York, Holt, Rinehart and Winston, Inc, 1974. [Gagné 1976] Gagné, Robert M. Como se Realiza a Aprendizagem. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1976. [Gagné, Briggs & Wager 1992] Gagné, Robert M., Briggs, Leslie J. Wager, Walter W. Principles of Instructional Design. Fort Worth, Harcourt Brace & Company, 1992. [Kennedy 1975] Kennedy, Hubert C. (Ed.) Selected Works of Giuseppe Peano. Edited and translated by Hubert C. Kennedy. University of Toronto Press, 1975. [Moreira & Masini 1982] Moreira, Marcos A. & Masini, Elcie E. Salzano. Aprendizagem Significativa: A Teoria de David Ausubel. São Paulo, Editora Moraes Ltda, 1982. [Novak & Gowin 1984] Novak, Joseph D. & Gowin, D.B. Learning How To Learn. New York, Cambridge University Press, 1984. [Novak 1981] Novak, Joseph D. Uma Teoria de Educação. São Paulo, Pioneira, 1981. [Peano 1957] Peano, Giuseppe. Opere scelte di Giuseppe Peano. Vol. 1. Ed. U. Cassina. Cremonese, Rome,1957. [Peano 1958] Peano, Giuseppe. Opere scelte di Giuseppe Peano. Vol. 2. Ed. U. Cassina. Cremonese, Rome, 1958. [Peano 1959] Peano, Giuseppe. Opere scelte di Giuseppe Peano. Vol. 3. Ed. U. Cassina. Cremonese, Rome, 1959. [Snapper 1979] Snapper, Ernest. “The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism and Formalism”. Mathematics Magazine, 52, Sept, p. 207-216

143

Apêndice A Geometria EuclidiAna Axiomática – Folha Avulsa 1

Teoremas - Áreas DE Figuras Planas Trabalho Individual com Entrega Pessoal e Intransferível na data agendada: [1] Provar os Teoremas relativos às áreas dos Polígonos Convexos Notáveis e do Triângulo (todas as Fórmulas). [2] Apresentar métodos que permitam obter a Área do Círculo (há várias maneiras, como por exemplo métodos denominados da exaustão). Data para a entrega do Trabalho: ____/___________/____

1- Quadriláteros notáveis

Quatro ângulos retos retângulo quadrilátero qualquer

Quatro ângulos retos e Quatro Lados Congruentes quadrado

paralelogramo losango trapézios

pipa

Quatro Lados Congruentes

trapézios Dois lados paralelos paralelogramo Lados opostos paralelos

2- Área de Figuras (Regiões) Planas 2.2.1.- Axiomas do SMSG - School Mathematics Study Group

Axioma 20: A área de um retângulo é o produto da medida de sua base pela medida de sua altura.

Axioma 17: Para toda região poligonal, existe um único número real positivo que é a área desta região.

Axioma 18: Se dois triângulos são congruentes, então as regiões triangulares têm a mesma área.

Axioma 19: Suponha que a região R é a união de duas regiões R1 e R2. Se R1 e R2 cruzam no máximo em um número finito de segmentos e pontos, então a área de R é a soma das áreas de R1 e R2.

2.2.2.- AXIOMAS PARA UMA GEOMETRIA A SER ESTUDADA NO ENSINO MÉDIO in: “Geometry” de Helen R. Pearson e James R. Smart, Ginn and Company a Xerox Corporation, 1971

Axioma 24: Existe uma correspondência que ao associar o número 1 a uma dada região poligonal arbitrariamente escolhida (uma unidade arbitrária de medida de superfície – unidade de área), permitirá associar a cada região poligonal um único número real positivo.

Axioma 25: Se a região poligonal R é a união de duas regiões poligonais R1 e R2, cujos interiores não se interceptam, então relativamente a, uma determinada unidade de medida de superfície (área), a medida da área de R é a soma das medidas das áreas de R1 e R2.

Axioma 26: A medida da área de uma região quadrada é igual ao quadrado da medida do comprimento de seu lado.

Axioma 27: Se dois triângulos são congruentes, então as regiões triangulares determinados pelos triângulos têm a mesma área.

145

3.- Um Teorema Básico – A Área do Paralelogramo Axioma (SMSG): A área de um retângulo é o produto da medida de sua base pela medida de sua altura.

Área do paralelogramo

Área do trapézio.

Área do trapézio. Área do Losango Área do triângulo. Área da pipa Área do quadrado



 

Os teoremas relativos ao cálculo de áreas das principais figuras planas (quadriláteros e triângulos) são provados a partir do Axioma da Área do Retângulo e do axioma que garante que a área, de triângulos congruentes, é a mesma. Estes teoremas podem ser provados pelo Método da Dissecção (recortar e remontar as figuras de forma conveniente). Dissecar é decompor os elementos ou a estrutura de algo, para melhor compreendê-lo ou torná-lo compreensível.

Provar o seguinte Teorema Pelo Método da Dissecção: A área de um paralelogramo qualquer é dada pelo produto do comprimento de sua base pelo comprimento de sua altura.

Prova: C

B h

h D

Hipótese: É dado um paralelogramo cuja base é AD e a altura BE. Seja considerar, sem perda de generalidade, que méd(AD) = b e med(BE) = h.

TESE: ÁreaParalelogramoABCD = bh.

Este Teorema é provado ao se mostrar que o ABE  DCF. (Áreas dos triângulos congruentes são iguais – Vide axioma). Por Dissecção e Reconstrução da figura dada, tem-se que:

ÁreaParalelogramoABCD = ÁreaRetânguloBCFE. (por construção) Como ÁreaRetânguloBCFE = bh, então ÁreaParalelogramoABCD = bh.

4.- Áreas de Figuras Planas Notáveis – Idéias Gerais Como poderemos calcular a área do seguinte retângulo cuja medida da base é 6 cm e a altura 3 cm? Unidade de medida: 1cm  1cm = 1cm2

3 cm 6cm



Área do retângulo = medida da base medida da altura Isto se a base e a altura do retângulo tiverem sido expressas na mesma unidade

As áreas do quadrado, do paralelogramo, do triângulo, do losango e do trapézio podem ser baseadas no cálculo da área do retângulo. Isto é, o que vamos ver a seguir, para cada uma destas figuras geométricas: [1] Quadrado:

Já sabemos que um quadrado é um retângulo.



Assim, para calcularmos a área do quadrado



podemos aplicar a mesma fórmula que se utiliza para calcular a área do retângulo:



Área do quadrado  base  altura      

147

[2] Paralelogramo: A



A’

B’

h C

 Vamos supor que queiramos calcular a área do paralelogramo ABCD da figura acima, de “base b” (medida da base = b) e “altura h” (medida da altura = h).  Na prática, podemos cortar o paralelogramo ABCD segundo o segmento B’C, obtendo assim o triângulo BB’C que é congruente ao triângulo DHA.  Transportando o triângulo BB’C, conforme é mostrado na figura acima, vai-se obter o retângulo A’B’CD, de “base b” e “altura h”, cuja área é exatamente igual à área do paralelogramo ABCD.

Área do paralelogr amo  Aparalelogr amo  base  altura  bh

[3] Triângulo:

A 1

h 1

C 

2 b

Para calcularmos a área de um triângulo qualquer basta inscrevê-lo num retângulo que tenha a mesma altura do triângulo dado, tomando a base do triângulo como sendo a base do retângulo circunscrito a ele.



Observando a figura assim gerada, podemos verificar que ela passa a ser composta por quatro triângulos congruentes dois a dois (ou de mesma área). Assim sendo, ao calcularmos a área do retângulo de base b e altura h, estaremos calculando a área de dois triângulos congruentes ao triângulo dado (ABC). Logo, poderemos calcular a área do retângulo e dividí-la por dois, para obtermos a área do triângulo inicial.

Área do tr iângulo  AΔ 

base  altura bh  2 2

OBSERVAÇÃO: As diversas Fórmulas para o Cálculo da Área de Triângulos [1] Fórmula Padrão: onde b é a m edida da base e h a altura

A 

bh 2

[2] Fórm ula de Heirão: onde p é o semi-perímetro do triângulo

A 

B c

bc sen  2

Semi-Perímetro:

A   p .r



c A

[5] Fórm ula da Circunferência Circunscrita onde R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo

p

abc 2

[4] Fórm ula da Circunferência Inscrita onde r é o raio da circunferência inscrita no triângulo B

A 

[3] Fórm ula do Ângulo Interno onde  é obrigatoriam ente um ângulo entre dois lados conhecidos do triângulo B

A 

p ( p  1)( p  b )( p  c )

a r C b

Observações Im portantes: 

Alturas de um mesmo Triângulo Retângulo:

abc 4R

 Alturas do Triângulo Escaleno.

Sugestão Metodológica: Para calcular a área de triângulos eqüiláteros é bom sempre levar em conta suas propriedades notáveis:

 = lado do triângulo R

r = raio da circunferência inscrita no triângulo R = raio da circunferência circunscrita ao triângulo



h = altura do triângulo eqüilátero = R = 2r  como r =

 3 = 3r 2

R 3R  3 e h= = 3r vem: h = 2 2 2

149

[4] Losango: 1 d

d 3

D 

Para calcularmos a área de um losango qualquer basta inscrevê-lo num retângulo, tomando a diagonal maior do losango como sendo a base, e a diagonal menor, como a altura do retângulo circunscrito a ele.



Observando a figura assim gerada, podemos verificar que ela passa ser composta por oito triângulos todos congruentes entre si (ou, neste caso, de mesma área). Assim sendo, ao calcularmos a área do retângulo de base D e altura d, estaremos calculando a área de dois losangos congruentes ao losango dado. Logo, poderemos calcular a área do retângulo, para em seguida dividí-la por dois, para obtermos a área do losango inicial.

Área do lo sango  Alosango 

diagonal m aior  diagonal menor D  d  2 2

[5] Trapézio: Figura 1:

Figura 2:

Na figura 1: Tomar M1 e M2 respectivamente os pontos médios dos lados não paralelos do trapézio. Na figura 2: Os triângulos cujos vértices são M1 e M2 devem ser recortados e “virados” para cima, formando um retângulo cuja altura é a mesma do trapézio dado, sendo que a sua base é a base média ( M1M 2 ) do trapézio.

Área do trapézio  Atrapézio 

Base Média: Base maior  base menor B  b  = M1M 2 2 2

base maior  base menor B b  altura  h 2 2

Sugestão Metodológica: Outras Formas Triviais de Calcular a área dos Trapézios

b h

Área Trapézio 

1 1 (B  b)h B  b Área Paralelogramo  (B  b)  h   h 2 2 2 2 b 2

h 1

Área Trapézio  Área 1  Área  2 

Bh bh (B  b)h   2 2 2

b h

bh B

ÁreaTrapézio  Árearetângulo Área  bh 

Bb

(B b)h 2bh Bh- bh Bh  bh   2 2 2

151

3.- TEOREMA DE PITÁGORAS “Dado um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede “a” e os catetos medem “b” e “c”, então é válido o seguinte: a2 = b2 + c2”, ou seja: “Num triângulo retângulo qualquer, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos”. (Teorema de Pitágoras)

A seguir são mostradas quatro maneiras de apresentar esta demonstração – duas por dissecção e duas através manipulações algébricas. No site: http://www.cut-the-knot.com/pythagoras/index.shtml você encontrará 43 formas de apresentar esta prova, sendo que algumas delas são animadas (em Java).

3.1.- O Teorema de Pitágoras – Demonstrações por Dissecção Após ter aprendido e aplicado o conceito do cálculo da área de superfícies planas pelo método da dissecção, a partir do axioma da Área do Retângulo, já poderemos demonstrar, também por dissecção, o Teorema de Pitágoras. Veja os dois exemplos a seguir:

b+c

c a

b+c

a c

a 2 = b2 + c 2

[2] Transformar em uma única figura: Área= (b+c) b – (b–c)  c = b2 + c2

[1] Área Total = b2 + c2

b-c

b b

[3] Recortar e montar

b+c

[4] Área Final = a2



b a

[5] Assim, de [1] e [4] podemos concluir que: a2 = b2 + c2

3.2.- Teorema de Pitágoras – Demonstrações Algébricas

Com base na figura ao lado, podemos escrever: b

Área quadradomaior = Área quadrado menor + 4Área triângulo  c a

 (b + c)2 = a2 + 4

bc 2



 b2 + 2bc + c2 = a2 + 2bc de onde, pela lei do cancelamento da adição,

vem: b2 + c2 = a2  a2 = b2 + c2

153 O Teorema de Pitágoras é uma das Relações Métricas no Triângulo Retângulo. Assim, utilizando as propriedades advindas da semelhança de triângulos e algumas poucas manipulações algébricas, podemos provar a validades destas relações, e entre elas o Teorema de Pitágoras. Veja a seguir:

(1o) Verifique que: ABC ~ HBA ~ HAC

(2o) Posicione convenientemente os triângulos ABC, HBA e HAC, que são semelhantes.

h m

H a

(3o) Estabeleça as relações métricas a partir das proporções entre os lados dos triângulos. 1 e 3:

1 e 2:

a b   b 2  ma b m

A b

c 1

a c   c 2  na c n

Teorema de Pitágoras:

Adicionando estas duas relações, membro a membro, obtém-se: 2

b  c  ma  na  b  c  a ( m  n ) de onde, como m + n = a, vem: 2

H n

h 2 A

b  c  a.a  a  b  c . 1 1 1 É fácil provar que 2  2  2 : b c h 1 1 1 1 nm  2     2 b c ma na mna a 1 1    2 mna mn h

H m C

h 3 b

3.2.1.- Relações Métricas no Triângulo Retângulo - Resumo Na figura a seguir: a – hipotenusa b e c – catetos h – altura relativa ao vértice A m – projeção ortogonal de b sobre a n – projeção ortogonal de c sobre a

Relações Métricas: Teorema de Pitágoras 2 2 2

a  b c b2  ma

c2  na c b

h2  mn

bc  ah

1 1 1   b2 c2 h2

3.3.- Aplicações do Teorema de Pitágoras 3.3.1.- Os Triângulos Pitagóricos 

Triângulos Pitagóricos são triângulos retângulos cujos lados são números inteiros. Os mais conhecidos e utilizados são os seguintes: Os de lados 3,4 e 5 e os demais triângulos semelhantes a ele e com lados inteiros.

3

2

15 9

4 8

Os de lados 5, 12 e 13 e 7, 24 e 25 e os demais triângulos semelhantes a eles e com lados inteiros.

155

3.3.2.- Verificando a Natureza de Triângulos Quaisquer

C a

b B

Se a2 = b2 + c2 O  é retângulo

Se a2 > b2 + c2 O  é obtusângulo

Se a2 < b2 + c2 O  é acutângulo

3.3.3.- Cálculo da Diagonal do Quadrado 



d 2   2   2  d 2  2 2  d   2 d



d 2   2   2  d 2  2 2  d   2 



3.3.4.- Cálculo da Altura do Triângulo Eqüilátero

 B



H 

2       h 2  2   h2  4 2 2  4 2   2 2 2 2 h   h   4 4 3 2  3 2 h   h eq  4 2 2

 C

3.3.5.- Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo C a

 B

cateto oposto a  b  hipotenusa a

sen 

tg 

Observe que:

A c

sen 

cos  

cos  

cateto adjacente a  c  hipotenusa a

cateto oposto a α b  cateto adjacente a α c

cateto oposto a  c   cos  hipotenusa a

cateto adjacente a  b   sen hipotenusa a

Cálculo do Seno, Cosseno e Tangente de 30º, 45º e 60º h eq 

30O



 1 sen 30 o  2   cos 60 o  2



h 60O

B H



A 45O



cos 30 

 2



45O B



C o



 3 2

h eq 

 3 

2  3  sen 60 o  2

d 2   2   2  d 2  2 2  d   2 d  2 d 2   2   2  d 2  2 2  d   2 sen45o 

  2



1 2   cos 45o 2 2

157