UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
CÁLCULO INTEGRAL
SERIE 2
1. − Obtener el domin io,el recorrido y dibujar la gráfica de la función : ⎛ x +1 ⎞ g( x ) = ln ⎜ ⎟ ⎝ e ⎠
2
Solución : Dg = { x x ≠ −1} ; Rg = \
2. − Comprobar que : x 4 + 6 x 3 + 8x 2 − 6 x − 9 e + ln =1 ln 2 x −1 x +3 4
3. − Dibujar la gráfica de cada una de las siguientes funciones : a ) f ( x ) = e−x
c ) h( x ) = e 2 x
b) g( x ) = −e x
d ) F ( x ) = 2e x
4. − Comprobar que : 2
⎛ e 2 x + e −2 x ⎞ ⎛ 2 ⎞ − =1 ⎜ 2x ⎟ ⎜ 2x −2 x −2 x ⎟ ⎝ e −e ⎠ ⎝ e −e ⎠ 5. − Simplificar la expresión : ⎛ 1⎞ a ⎜ ln ⎟ − ln e b ⎝ e⎠
2
Solución : b⎞ ⎛ −⎜ a + ⎟ 2⎠ ⎝
6. − Obtener lo que se pide en cada caso :
( )
a) y = ⎡⎣ sen 2 x 3 ⎤⎦
ln
b) g( x ) = log2 x 2 ,
(
c ) y = e −3 x
)
cosh x
x
, obtener y' .
calcular g'( 2 ).
,
calcular
dy dx
x =0
Soluciones :
( )
( )
( )
a ) y' = 3x 2 ( ln x ) ⎡cot x 3 ⎤ ⎡ sen 2 x 3 ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦ b) g'( x ) = c)
dy dx
x =0
ln x
( ))
(
( )
ln ⎡ sen x 3 ⎤ ⎡ sen 2 x 3 ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ + x
ln x
2 1 ; g'( 2 ) = x ln 2 ln 2
= −3
7. − Obtener la derivada de la función : f ( x ) = x
(xx )
Solución : f '( x ) = x
xx
⎡ xx 2 ⎤ x x + + x ln x x ln x⎥ ⎢ ⎣x ⎦
8. − Determinar el polinomio de tercer grado que representa a la función f ( x ) = e 2 x por medio de la serie de Maclaurin.
Solución : 4 f ( x ) = 1 + 2x + 2x 2 + x 3 3
9. − Comprobar que a)
d ⎡1 2 ⎛ 1 + 2 tanh x ⎞ ⎤ 1 tanh x ln ⎜ + ⎢ ⎟⎥ = 4 dx ⎣⎢ 2 8 ⎝ 1 − 2 tanh x ⎠ ⎦⎥ 1 − senh x
⎡ d ⎢ b) dx ⎢ ⎣
∫
cosh x
1
(
⎤ t − 1 dt ⎥ = senh 3 x ⎥ ⎦
)
2
10. − Deducir la expresión : 1 ⎛ x +1⎞ ang cot h x = ln ⎜ ⎟ 2 ⎝ x −1 ⎠
11. − Efectuar :
∫ ∫( ∫(
a) b) c)
5x
2
( x + 1) dx
+ 2 x +3
ln ( angtan 3x )
)
9 x 2 + 1 ( angtan 3x )
dx
⎛ ( x 2 − 2 )2 ⎞ x − 2x ⎜ 6 ⎟ dx ⎝ ⎠
)
3
Soluciones : 25 ⎛ 5( x +1) a) ⎜ 2 ⎜⎝ ln 5
2
⎞ ⎟+C ⎟ ⎠
ln 2 ( angtan 3x ) +C b) 2 c)
6( x
2
−2 )2
ln ( 6 )
4
+C
12. − Calcular, si existen : a ) limx →0 ( cosh x )
1 1−( cosh x )
1 ⎞ ⎛1 b) limx →0 ⎜ − ⎟ ⎝ x senx ⎠
(
c ) limx →∞ e − x ⎡⎣ln x 2 ⎤⎦
)
Soluciones : 1 a) e b) 0 c) 0
13. − Determinar el valor de k ∈ \ para que se cumpla la igualdad :
∫
∞
4ke − x dx = 1 0
Solución : k =
1 4
14. − Deter min ar si las siguientes int egrales convergen o no.
∫ ∫ ∫ ∫
1
dx 1− x
a)
b)
0
e)
∞
x 2e − x dx 3
∞
e −2 x dx
−ln 2 e
d)
1
dx x ln x
−∞ ∞
f)
1
c)
∫ ∫ ∫
∞
g)
0
dx 1 + 4x 2 x ex
2
dx
0
−∞
10 x dx
Soluciones : a) 2 b)
1 3e
c) 2
d) 2 e)
Ď€
2 1 f) 2
g)
1 ln(10 )