Serie2

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS

CÁLCULO INTEGRAL

SERIE 2

1. − Obtener el domin io,el recorrido y dibujar la gráfica de la función : ⎛ x +1 ⎞ g( x ) = ln ⎜ ⎟ ⎝ e ⎠

2

Solución : Dg = { x x ≠ −1} ; Rg = \

2. − Comprobar que : x 4 + 6 x 3 + 8x 2 − 6 x − 9 e + ln =1 ln 2 x −1 x +3 4

3. − Dibujar la gráfica de cada una de las siguientes funciones : a ) f ( x ) = e−x

c ) h( x ) = e 2 x

b) g( x ) = −e x

d ) F ( x ) = 2e x

4. − Comprobar que : 2

⎛ e 2 x + e −2 x ⎞ ⎛ 2 ⎞ − =1 ⎜ 2x ⎟ ⎜ 2x −2 x −2 x ⎟ ⎝ e −e ⎠ ⎝ e −e ⎠ 5. − Simplificar la expresión : ⎛ 1⎞ a ⎜ ln ⎟ − ln e b ⎝ e⎠

2

Solución : b⎞ ⎛ −⎜ a + ⎟ 2⎠ ⎝

6. − Obtener lo que se pide en cada caso :

( )

a) y = ⎡⎣ sen 2 x 3 ⎤⎦

ln

b) g( x ) = log2 x 2 ,

(

c ) y = e −3 x

)

cosh x

x

, obtener y' .

calcular g'( 2 ).

,

calcular

dy dx

x =0

Soluciones :

( )

( )

( )

a ) y' = 3x 2 ( ln x ) ⎡cot x 3 ⎤ ⎡ sen 2 x 3 ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦ b) g'( x ) = c)

dy dx

x =0

ln x

( ))

(

( )

ln ⎡ sen x 3 ⎤ ⎡ sen 2 x 3 ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ + x

ln x

2 1 ; g'( 2 ) = x ln 2 ln 2

= −3

7. − Obtener la derivada de la función : f ( x ) = x

(xx )

Solución : f '( x ) = x

xx

⎡ xx 2 ⎤ x x + + x ln x x ln x⎥ ⎢ ⎣x ⎦

8. − Determinar el polinomio de tercer grado que representa a la función f ( x ) = e 2 x por medio de la serie de Maclaurin.

Solución : 4 f ( x ) = 1 + 2x + 2x 2 + x 3 3

9. − Comprobar que a)

d ⎡1 2 ⎛ 1 + 2 tanh x ⎞ ⎤ 1 tanh x ln ⎜ + ⎢ ⎟⎥ = 4 dx ⎣⎢ 2 8 ⎝ 1 − 2 tanh x ⎠ ⎦⎥ 1 − senh x

⎡ d ⎢ b) dx ⎢ ⎣

∫

cosh x

1

(

⎤ t − 1 dt ⎥ = senh 3 x ⎥ ⎦

)

2

10. − Deducir la expresión : 1 ⎛ x +1⎞ ang cot h x = ln ⎜ ⎟ 2 ⎝ x −1 ⎠

11. − Efectuar :

∫ ∫( ∫(

a) b) c)

5x

2

( x + 1) dx

+ 2 x +3

ln ( angtan 3x )

)

9 x 2 + 1 ( angtan 3x )

dx

⎛ ( x 2 − 2 )2 ⎞ x − 2x ⎜ 6 ⎟ dx ⎝ ⎠

)

3

Soluciones : 25 ⎛ 5( x +1) a) ⎜ 2 ⎜⎝ ln 5

2

⎞ ⎟+C ⎟ ⎠

ln 2 ( angtan 3x ) +C b) 2 c)

6( x

2

−2 )2

ln ( 6 )

4

+C

12. − Calcular, si existen : a ) limx →0 ( cosh x )

1 1−( cosh x )

1 ⎞ ⎛1 b) limx →0 ⎜ − ⎟ ⎝ x senx ⎠

(

c ) limx →∞ e − x ⎡⎣ln x 2 ⎤⎦

)

Soluciones : 1 a) e b) 0 c) 0

13. − Determinar el valor de k ∈ \ para que se cumpla la igualdad :

∫

∞

4ke − x dx = 1 0

Solución : k =

1 4

14. − Deter min ar si las siguientes int egrales convergen o no.

∫ ∫ ∫ ∫

1

dx 1− x

a)

b)

0

e)

∞

x 2e − x dx 3

∞

e −2 x dx

−ln 2 e

d)

1

dx x ln x

−∞ ∞

f)

1

c)

∫ ∫ ∫

∞

g)

0

dx 1 + 4x 2 x ex

2

dx

0

−∞

10 x dx

Soluciones : a) 2 b)

1 3e

c) 2

d) 2 e)

Ď€

2 1 f) 2

g)

1 ln(10 )