CURSO DE ENCOFRADOS Departamento de Transportes y Tecnología de Proyectos y Procesos - UNIVERSIDAD DE CANTABRIA -
ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN.....................................................................................3 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.
DEFINICIÓN........................................................................................................ 3 FUNCIONALIDAD............................................................................................... 11 TIPOLOGÍA....................................................................................................... 12 CRITERIOS DE SELECCIÓN................................................................................. 21 NORMATIVA DE APLICACIÓN. ............................................................................. 22 RIESGOS MÁS FRECUENTES Y MEDIDAS PREVENTIVAS. ........................................ 24
2. DISEÑO DE UN ENCOFRADO.............................................................29 2.1.
2.2. 2.3.
ELEMENTOS ESTRUCTURALES DE UN ENCOFRADO............................................... 29 2.1.1. Superficie encofrante. ...................................................................... 29 2.1.2. Costillas. .......................................................................................... 29 2.1.3. Correas. ........................................................................................... 29 2.1.4. Elementos auxiliares. ....................................................................... 31 MATERIALES.................................................................................................... 31 ACCIONES SOBRE EL ENCOFRADO. .................................................................... 33 2.3.1. Empuje del hormigón fresco. ........................................................... 33
2.3.2.
2.4.
2.3.1.1.
Velocidad ascendente del hormigón. ....................................... 34
2.3.1.2.
Temperatura de fraguado......................................................... 34
2.3.1.3.
Dosificación del hormigón. ....................................................... 35
2.3.1.4.
Granulometría de los áridos. .................................................... 35
2.3.1.5.
Aditivos..................................................................................... 35
2.3.1.6.
Consistencia............................................................................. 35
2.3.1.7.
Sistema de compactado........................................................... 36
2.3.1.8.
Altura de vertido. ...................................................................... 36
2.3.1.9.
Inclinación de la superficie encofrante. .................................... 36
2.3.1.10.
Cuantía y distribución de las armaduras. ................................. 37
2.3.1.11.
Peso específico del hormigón. ................................................. 37
2.3.1.12.
Altura de hormigón fresco. ....................................................... 37
2.3.1.13.
Efecto silo................................................................................. 37
2.3.1.14.
Profundidad de vibrado. ........................................................... 38
2.3.1.15.
Potencia del vibrador................................................................ 38
Viento............................................................................................... 38 2.3.2.1.
Presión dinámica del viento. .................................................... 38
2.3.2.2.
Sobrecarga del viento. ............................................................. 39
2.3.2.3.
Sobrecarga del viento sobre elementos de apuntalamiento. ... 41
2.3.3. Vibración. ......................................................................................... 41 CÁLCULO DE LA PRESIÓN DEL HORMIGÓN FRESCO............................................... 41 Página 1
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2.4.1. 2.4.2. 2.4.3.
2.5.
Norma Americana ACI 347/78. ........................................................ 42 Norma Alemana DIN 18218. ............................................................ 46 Société de Difusion des Techniques du Bâtiment et des Travaux Publiques. ........................................................................................ 51 2.4.4. Estudio de N. J. Garner.................................................................... 55 2.4.5. Estudio de J. Martín Palanca (Consejo Superior de Investigaciones Científicas). ............................................................ 57 CÁLCULO RESISTENTE DE LOS ELEMENTOS DE UN ENCOFRADO. ........................... 62 2.5.1. Superficie encofrante. ...................................................................... 62 2.5.2. Costillas. .......................................................................................... 64 2.5.3. Correas. ........................................................................................... 64 2.5.4. Puntales. .......................................................................................... 64 2.5.5. Cimbras y torres de carga. ............................................................... 65
2.5.6.
2.5.5.1.
Fase de montaje....................................................................... 65
2.5.5.2.
Fase de carga. ......................................................................... 65
Celosías. .......................................................................................... 65
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1. INTRODUCCIÓN. 1.1.
DEFINICIÓN.
El hormigón es un material de construcción ampliamente utilizado y difundido por varias razones, entre las que se puede destacar su moldeabilidad recién amasado que permite obtener formas que con otros materiales serían imposibles o muy costosas. Para ello el hormigón debe ser colocado en unos moldes que representen estas formas (Figura 1). Estos moldes se conocen con el nombre de encofrados.
Figura 1. El encofrado permite obtener prácticamente cualquier forma (PERI).
Los encofrados deben cumplir una serie de características que los hagan adecuados para su uso como molde del hormigón recién vertido. Normalmente se atiende a la economía de los encofrados ya que constituyen una partida importante dentro de una obra, pues su coste es superior incluso al del propio hormigón. Deberán diseñarse, en consecuencia, con los materiales y medios auxiliares más económicos. En cuanto a la capacidad soporte de los encofrados, deben ser suficientemente resistentes para soportar las cargas que recibirán del hormigón, vibrado, viento... y no sólo eso, sino que también deben ser concebidos de forma que cuando vayan a ser colocados y retirados no se produzcan entorpecimientos o peligros en la obra. En base a todo esto, podemos definir un encofrado como una estructura auxiliar de la obra destinada a la retención y moldeo del hormigón fresco, capaz de resistir las cargas que actúan sobre él, y que cumpla unas determinadas condiciones de funcionalidad, seguridad y economía. Página 3
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Figura 2. Encofrado para formas curvas (PERI).
Figura 3. Encofrado de bocas de túneles (DOKA).
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Figura 4. Nudo en túnel (ULMA).
A la hora de estudiar los encofrados no se debe considerar únicamente el propio molde, sino también todos los elementos auxiliares que lo componen tales como cimbras, puntales, celosías y tensores, que constituyen, junto con el molde, el encofrado. Entre los principales elementos auxiliares que nos podemos encontrar cabe citar: •
Cimbras: Conjunto de elementos que forman un entramado entre sí, destinados a sustentar el encofrado, consiguiendo su estabilidad y resistiendo las solicitaciones a las que esté sometido durante la ejecución del mismo (Figuras 2 y 4).
Figura 5. Elementos auxiliares: Cimbra (PERI).
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Figura 6. Cimbra en viaducto (ULMA).
•
Puntales: Elementos verticales encargados de transmitir esfuerzos verticales. Se suelen instalar forma aislada, aunque pueden estar arriostrados entre sí para conseguir mayor rigidez y aumentar la capacidad de carga (Figura 7).
Figura 7 . Elementos auxiliares: Puntales (PERI).
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Figura 8. Elementos auxiliares: Puntal encofrados de losas (ULMA).
Figura 9. Puntales sujetando forjado reticular (ULMA).
•
Celosías: Están constituidas por una serie de elementos dispuestos en celosía. Son necesarias cuando no se pueden disponer elementos intermedios de apuntalamiento vertical (Figura 10).
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Figura 10. Elementos auxiliares: Cimbras y celosías (ULMA).
Figura 11. Elementos auxiliares: Celosias (ULMA).
Figura 12. Celosías. Puente sobre el río Bernesga en León. Dragados. (ULMA). Página 8
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•
Tensores: Son el conjunto de elementos dispuestos de forma inclinada capaces de transmitir los empujes laterales que actúan sobre el encofrado (Figura 13).
Figura 13. Elementos auxiliares: Tensores (PERI).
Figura 14. Elementos auxiliares: Puntales S-40 (ULMA). Página 9
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Figura 15. Elementos auxiliares: Torres T-125 (ULMA).
Cada uno de estos elementos se irá tratando a lo largo del desarrollo de este curso, que pretende, sin entrar en grandes desarrollos teóricos, facilitar un documento útil y de aplicación directa para resolver las cuestiones relativas a encofrados que se puedan presentar en obra. Del buen funcionamiento de los encofrados dependen importantes factores, tales como plazos de ejecución, calidad de acabados, seguridad..., por tanto deben ser diseñados y contrastados por técnicos, de forma que no estén sobredimensionados ni constituyan un elemento inestable que pueda poner en peligro la seguridad de los trabajadores o cause la ruina de otros elementos, con la consiguiente pérdida de tiempo y dinero.
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1.2.
FUNCIONALIDAD.
Los encofrados deben cumplir unas ciertas características, de forma que se optimice su uso en la obra. Habrá que destacar las siguientes: •
Resistencia y rigidez. Los elementos del encofrado deben ser capaces de soportar las acciones a las que están sometidos, tanto por límites de fallo como funcionales.
•
Estanqueidad, evitando la pérdida de lechada o finos.
•
Seguridad. El encofrado proyectado debe cumplir unos requisitos mínimos de seguridad, para que no supongan un peligro para los trabajadores durante las diferentes fases: montaje, hormigonado, desencofrado...
•
No adherencia del hormigón. La superficie interior será de un material tal que impida que se adhiera al hormigón, facilitando así el desencofrado y proporcionando un mejor acabado.
•
La cara en contacto con el hormigón tendrá la textura adecuada para conseguir el acabado deseado.
•
Manejabilidad en obra. Teniendo en cuenta los medios de los que se pueda disponer en obra habrá que adecuar el tamaño y peso de los encofrados a utilizar de forma que puedan ser transportados y colocados correctamente.
•
Facilidad de montaje. Se diseñarán de tal forma que sean sencillos de montar para conseguir un ahorro en tiempo.
•
Facilidad de desencofrado, disponiendo tanto los encofrados como los medios auxiliares de forma que no se entorpezca la marcha de la obra.
•
Empleo de materiales reutilizables, de forma que se aprovechen al máximo y su uso resulte económicamente rentable.
Todo esto irá encaminado a que el encofrado desempeñe correctamente sus funciones: •
Servir de molde para conseguir las formas proyectadas.
•
Evitar la pérdida de lechada y finos durante el fraguado.
•
Evitar la pérdida del agua contenida en el hormigón.
•
Asegurar la correcta colocación de las armaduras, garantizando que se verifiquen los recubrimientos correspondientes.
•
Proteger al hormigón de las temperaturas externas.
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1.3.
TIPOLOGÍA.
Se pueden establecer diversas clasificaciones de los encofrados, atendiendo al número de usos, el acabado, los materiales con que se construyen, a su disposición y forma de trabajo... Según el número de usos: •
Perdidos: Son aquellos que quedan embebidos dentro de la propia masa de hormigón, teniendo en muchos casos, además de la función de encofrado, una función estructural. Ejemplos de éstos son las bovedillas cerámicas o de hormigón (Figura 16).
•
Recuperables: Se pueden retirar cuando el hormigón ha endurecido, de forma que pueden ser reutilizados (Figura 17).
Figura 16. Encofrado perdido (Según NTE/EAF/73).
Figura 17. Encofrado recuperable (PERI).
Figura 18. Encofrado recuperable (ULMA).
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Por el acabado: •
En paramentos vistos (Figura 19).
•
En paramentos ocultos.
(Esta distinción es importante en obra, ya que los encofrados vistos suelen tener un precio mayor que los ocultos pues el acabado debe ser mejor).
Figura 19. Encofrado en paramentos vistos (ALSINA).
Figura 20. Encofrado en paramentos vistos (ULMA).
En cuanto a los materiales, se pueden distinguir: •
Madera.
•
Metálicos.
•
Plástico.
•
Cartón.
•
Cerámica.
•
Hormigón.
•
Mixtos. Página 13
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Figura 21. Encofrados de madera (ULMA).
Figura 22. Encofrados metálicos (ULMA).
En cuanto a su disposición y forma de trabajo: •
Horizontales: − − −
Para forjados y vigas (Figura 23). Tableros cimbrados: mesas (Figura 24). Prefabricados o mixtos. Página 14
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Figura 23. Encofrado horizontal para forjados (PERI).
Figura 24. Tablero cimbrado (PERI).
Figura 25. Encofrado Rapid (ULMA).
Figura 26. Mesas de encofrado (ULMA).
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Verticales: − Convencionales. − Muros (Figura 27). − Pilares. − Trepantes (Figura 28). − Deslizantes verticales.
Figura 27. Encofrado de muros (PERI).
Figura 28. Encofrados trepantes (PERI).
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Figura 29. Encofrado de pilas (ULMA).
Figura 30. Encofrado BIRA (ULMA).
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Figura 31. Encofrado trepante (ULMA).
•
Para túneles y bóvedas (Figura 32).
Figura 32. Encofrado para túneles (DOKA).
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Figura 33. Encofrado falso túnel (ULMA).
•
Para obras lineales.
•
Especiales (Figura 34).
Figura 34. Carro de encofrado (PERI).
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Figura 35. Encofrados singulares (ULMA).
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1.4.
CRITERIOS DE SELECCIÓN.
A continuación se enumeran una serie de factores a tener en cuenta a la hora de elegir un tipo de encofrado, donde deberán primar la seguridad, rentabilidad y calidad: •
Seguridad: El encofrado debe cumplir sus funciones de una forma segura, sin poner en peligro a los operarios o medios auxiliares.
•
Economía: Pasa por considerar, entre otros, los siguientes factores: − − − −
Precio de adquisición. Número de puestas. Elementos auxiliares incluidos o no. Soluciones estandarizadas.
•
Resistencia: Deberá tener capacidad para soportar las cargas a las que está sometido, sin sufrir deformaciones.
•
Facilidad de montaje y desmontaje: Habrá que tener en cuenta: − − − − −
Número de piezas. Tamaño. Peso. Sistemas de autocierre. Cuñas o pasadores integrados en el propio encofrado.
•
Necesidad de paramentos lisos y acabados perfectos: Cuando se necesite obtener una superficie perfecta se colocarán los paneles adecuados. También habrá que tener en cuenta la posibilidad de que estos paneles se puedan intercambiar.
•
Disponibilidad de materiales y/o distribuidores: A la hora de contratarlos se considerarán los aspectos relativos a plazos de suministro y retirada de materiales, así como el número de piezas que es capaz de suministrar, de forma que no se produzcan retrasos en la obra.
•
Disponibilidad de medios para su transporte y colocación: Grúas, camiones, minidúmperes, etc...
•
Durabilidad: Posibilidad de reutilización del conjunto o de las diferentes partes del encofrado.
No hay que olvidar que cada obra tiene unas características que la hacen única, por tanto hay que elegir el tipo de encofrado según las particularidades de la misma. Aunque las soluciones estandarizadas de las distintas casas comerciales permiten resolver la práctica totalidad de los problemas que se pueden presentar, hay veces que esto no es posible, debiendo recurrir a un diseño particular del encofrado, especialmente cuando las formas proyectadas presentan superficies extrañas.
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1.5.
NORMATIVA DE APLICACIÓN.
Dentro de la normativa española vigente se encuentran referencias a los encofrados en los siguientes documentos: •
Pliego de Prescripciones Técnicas Generales para Obras de Carreteras y Puentes, PG-3 (con las modificaciones en el articulado que incluye el PG-4).
•
Instrucción de Hormigón Estructural, EHE.
•
Norma Tecnológica NTE/EME/1975.
•
Real Decreto 1627/97 por el que se establecen las disposiciones mínimas de seguridad y salud en las obras de construcción.
También se encuentran diferentes referencias en la normativa de otros países, tales como la Norma Alemana DIN 18218 o la Norma Americana ACI 347/78. A continuación se resumen los aspectos más importantes que señala la normativa española respecto a los encofrados: •
Características de los encofrados: − − −
•
Disposiciones constructivas: − − − − −
•
Los encofrados serán estancos y se evitarán las pérdidas de lechada. Se prohíbe el empleo de aluminio en contacto con el hormigón. Los encofrados no deben originar esfuerzos anormales en el hormigón, ni presentar movimientos locales superiores a 5 mm.
Los encofrados de madera se humedecerán a fin de evitar que absorban el agua del hormigón vertido. Las superficies interiores de los encofrados estará limpias. Los encofrados de fondo de elementos rectos o planos de longitud superior a 6 m. se dispondrán con la contraflecha necesaria. Se garantizará que el hormigón es compactado en toda su masa. En el caso de obras de hormigón pretensado se preverá que el encofrado pueda soportar los esfuerzos originados por el reparto de acciones originadas por el pretensado.
Desencofrado: − − −
El empleo de desencofrantes debe ser aprobado por el Director de Obra. Se evitará el empleo de gasóleo o grasa corriente. El desencofrado no se hará hasta que el hormigón haya alcanzado la resistencia adecuada para soportar, sin deformarse excesivamente, las cargas a que vaya a estar sometido. Los costeros verticales de elementos de poco canto pueden desencofrarse a los 3 días del hormigonado, y los de gran canto a los 7 días, siempre que no se den bajas temperaturas durante esos días u otras causas que dificulten el endurecimiento. El Director de Obra puede reducir esos plazos a 2 y 4 días respectivamente cuando se empleen cementos de endurecimiento rápido.
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•
Acabado: − −
•
Las aristas vivas resultarán bien acabadas, pudiendo achaflanarse empleando berenjenos cuando así lo autorice el Director de Obra. Las coqueras y defectos que se aprecien en la superficie del hormigón no se rellenarán sin que lo autorice el Director de Obra.
Medición y abono: −
Se medirán por metros cuadrados de superficie encofrada según Planos.
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1.6.
RIESGOS MÁS FRECUENTES Y MEDIDAS PREVENTIVAS.
Como en cualquier otra actividad de la construcción, durante las operaciones de encofrado y desencofrado se debe prestar especial atención a la prevención de riesgos, actuando de manera que se eliminen los riesgos en su origen, es decir, actuando sobre las posibles causas que hacen que estos riesgos se puedan presentar. Para lograr esto se debe hacer un estudio previo al montaje de los encofrados donde queden recogidos los riesgos y sus medidas preventivas. A continuación se enumeran una serie de riesgos que pueden presentarse durante el encofrado y desencofrado. Esta relación no pretende de ninguna manera ser exhaustiva, sino que trata de enumerar los riesgos que se presentan con más frecuencia, entendiéndose que cada obra tiene unas peculiaridades que motivan la potencialidad o no de unos riesgos u otros.
Figura 36. Medidas de seguridad: barandillas y escaleras con guardacuerpos (PERI) ).
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DURANTE EL ENCOFRADO RIESGOS
MEDIDAS PREVENTIVAS
Caída de personas a distinto nivel.
Utilización de barandillas, andamios y escaleras de mano reglamentarias. Acotación y señalización de las excavaciones.
Caída de personas al mismo nivel.
Uso obligatorio de botas y casco de seguridad. Iluminación adecuada para el trabajo.
Deslizamiento y desprendimiento talud de excavación.
del
Estudio previo de la estabilidad del talud considerando la sobrecarga de materiales y maquinaria en borde de talud
Caídas de objetos a distinto nivel.
Uso obligatorio de botas y casco de seguridad.
Golpes en las manos al clavar puntas o manejar herramientas de mano.
Uso obligatorio de guantes de protección.
Golpes en la cabeza.
Uso obligatorio de casco de seguridad.
Cortes al utilizar la sierra circular de mesa.
Uso obligatorio de guantes de protección.
Proyección violenta de utilizar la sierra circular.
Uso de gafas de protección. Personal especialista.
partículas
al
Pisadas sobre objetos punzantes.
Uso de botas de protección. Se colocará la señal: Obligatorio doblar puntas.
Caída de los encofrados por enganche defectuoso de los medios de elevación.
Comprobación periódica de los medios de elevación. Formación e información de los riesgos a los operarios.
Desplome de manipulación.
Formación e información de los riesgos a los operarios.
los
encofrados
en
Desprendimientos originados por apilado incorrecto de la madera o de los tableros.
Uso obligatorio de botas y casco de seguridad.
Contactos eléctricos.
Exigir el cumplimiento del Reglamento electrotécnico de baja tensión. Formación. Medios de protección.
Sobreesfuerzos inadecuadas. Dermatitis por desencofrantes.
por contacto
posturas con
Trabajo en condiciones meteorológicas extremas.
Se formará a los trabajadores en la manipulación de cargas. Guantes de protección. Revisión médica de afectados. Se suministrará la ropa de trabajo adecuada.
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DURANTE EL DESENCOFRADO RIESGOS
MEDIDAS PREVENTIVAS
Caídas de personas a distinto nivel.
Utilización de barandillas, andamios y escaleras de mano reglamentarias. Acotación y señalización de las excavaciones.
Caídas de personas al mismo nivel.
Uso obligatorio de botas y casco de seguridad. Iluminación mínima de 20 lux.
Caídas de objetos a distinto nivel. Golpes en las manos herramientas de mano.
al
Uso obligatorio de botas y casco de seguridad. manejar
Uso obligatorio de guantes de protección.
Golpes en la cabeza.
Uso obligatorio de casco de seguridad.
Caída de los encofrados por enganche defectuoso de los medios de elevación.
Comprobación periódica de los medios de elevación. Formación e información de los riesgos a los operarios.
Desplome de manipulación.
Formación e información de los riesgos a los operarios.
los
encofrados
en
Desprendimientos originados por mal apilado de la madera o de los tableros.
Uso obligatorio de botas y casco de seguridad.
Sobreesfuerzos inadecuadas.
Se formará a los trabajadores en la manipulación de cargas.
por
posturas
Trabajo en condiciones meteorológicas extremas.
Se suministrará la ropa de trabajo adecuada.
Además de estos riesgos habrá que tener en cuenta los inherentes al uso de maquinaria y medios auxiliares necesarios para las operaciones de encofrado y desencofrado. La Normativa vigente sobre prevención de riesgos laborales se refiere a los encofrados en el Real Decreto 1627/97 por el que se establecen las disposiciones mínimas de seguridad y salud en las obras de construcción, que constituye la transposición de la Directiva 92/57/CEE, en los siguientes términos: a) Las estructuras metálicas o de hormigón y sus elementos, los encofrados, las piezas prefabricadas pesadas o los soportes temporales y los apuntalamientos sólo se podrán montar o desmontar bajo vigilancia, control y dirección de una persona competente. b) Los encofrados, los soportes temporales y los apuntalamientos deberán proyectarse, calcularse, montarse y mantenerse de manera que puedan soportar sin riesgo las cargas a que sean sometidos. c) Deberán adoptarse las medidas necesarias para proteger a los trabajadores contra los peligros derivados de la fragilidad o inestabilidad temporal de la obra.
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Figura 37. Elementos de seguridad: plataformas de trabajo (DOKA).
Se deberá tener especial cuidado a la hora de realizar las labores de descimbrado, desencofrado y desmoldeo, de forma que el elemento estructural entre en carga de una forma progresiva y comprobando siempre que el hormigón haya adquirido la resistencia suficiente como para realizar estas operaciones.
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Figura 38. Colapso de estructuras por desencofrado rápido.
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2. DISEÑO DE UN ENCOFRADO. 2.1.
ELEMENTOS ESTRUCTURALES DE UN ENCOFRADO.
Los elementos estructurales de un encofrado son:
2.1.1.
Superficie encofrante.
Es el paramento de los encofrados que está en contacto con el hormigón fresco y, por tanto, la calidad del acabado dependerá de las características de la misma. Los materiales que se emplean en la misma son normalmente: •
Madera.
•
Paneles fenólicos.
•
Paneles metálicos (acero, aluminio).
•
Plástico.
•
Cartón.
2.1.2.
Costillas.
Son elementos transversales que constituyen el soporte de la superficie encofrante y contribuyen a rigidizarla, de forma que no se produzca su abolladura. Generalmente son de madera o metálicos (frecuentemente perfiles laminados).
2.1.3.
Correas.
Son elementos longitudinales que contribuyen a dar rigidez al conjunto, conectando entre sí las costillas. También suelen ser de madera o metálicas.
Figura 39. Partes de un encofrado. Página 29
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Figura 40. Fijación de las costillas a las coreas (DOKA).
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2.1.4.
Elementos auxiliares.
Este punto se refiere a aquellos elementos auxiliares que tienen una clara función estructural, tales como los puntales, cimbras y tensores, ya citados anteriormente. Estos elementos son los encargados de llevar las cargas a una zona estable de apoyo o absorber esfuerzos laterales, como es el caso de los tensores.
2.2.
MATERIALES.
Los materiales que forman el encofrado se deberán elegir en base a los criterios descritos anteriormente, de forma que se emplee el material más adecuado para las necesidades de la obra. Los más empleados son la madera y el acero, aunque también se utilizan plásticos, aglomerados, aluminio, cartón, fibra de vidrio, yeso, cerámica, etc. Normalmente se suelen combinar varios de estos materiales en la confección del molde, aunque también existen encofrados (en especial los prefabricados) constituidos de un único material. Estos materiales tener una serie de propiedades que garanticen la funcionalidad de los encofrados, entre las que cabe destacar: •
Resistencia.
•
Rigidez.
•
Paramentos lisos, cuando sean necesarios.
•
Economía, teniendo en cuenta el coste inicial y su posible reutilización.
A continuación se enumeran una serie de características particulares de algunos de los materiales empleados:
MADERA: Este material es, sin duda, el más utilizado en la técnica de encofrados, ya que presenta unas cualidades que le dan una gran versatilidad para su empleo en obra, entre las que se pueden destacar su facilidad de corte y su clavabilidad. Por el contrario, presenta las desventajas de una degradación mayor que otros materiales y la pérdida de resistencia que sufre por exceso de humedad. Además de las tablas de madera aserrada, también se pueden encontrar tableros contrachapados, formados por planchas de madera encoladas entre sí, con un espesor mínimo en conjunto de 20 mm. Estos tableros se han empleado ampliamente debido a la calidad de las superficies acabadas, así como una mayor economía debido a que los paneles tienen unas dimensiones tales que permiten una colocación y retirada de forma sencilla. Actualmente se ha difundido el uso de bandejas de encofrado, formadas por piezas de madera laminada unidas entre sí por una grapa metálica en los bordes. Normalmente llevan un tratamiento superficial para evitar su degradación, aunque también pueden ir revestidas de un panel fenólico.
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Se pueden encontrar referencias para el diseño, cálculo, ejecución y control de encofrados de madera en la Norma Tecnológica NTE/EME/1975.
ACERO: El acero presenta una serie de ventajas sobre el resto de los materiales, entre las que hay que destacar: •
Resistencia y rigidez suficientes.
•
Montaje y desmontaje rápido.
•
Son económicos si el número de usos es grande.
•
Se consiguen superficies lisas en los paramentos encofrados.
Entre las desventajas del acero hay que citar: •
Si se utilizan pocas veces resultan caros.
•
Ofrecen poca protección y aislamiento para el hormigonado en tiempo frío.
PLÁSTICO: El empleo de este material viene condicionado principalmente por la necesidad de obtener formas complicadas, ya que puede ser moldeado con facilidad. Normalmente se suelen construir sobre un molde con la forma proyectada, sobre el que se extienden una serie de resinas que, al endurecer, formarán el encofrado. Estos encofrados suelen ir reforzados con fibra de vidrio y una serie de elementos metálicos o de madera con el fin de dar rigidez al conjunto.
AGLOMERADO: Los paneles de aglomerado, debido a su rigidez, caras lisas y grandes dimensiones, permiten obtener superficies de hormigón libres de defectos y marcas en las juntas. Además, los paneles de menor espesor presentan la ventaja de poder curvarse con radios pequeños, lo que permite obtener formas complejas sin recurrir a soluciones caras.
ALUMINIO: Los encofrados de aluminio son similares a los de acero, presentando la ventaja sobre éstos de una mayor ligereza, pero necesitan mayores secciones debido a que su resistencia es menor. No hay que olvidar que se prohíbe que el aluminio esté en contacto con la superficie del hormigón (Art. 65º - EHE), por tanto, habrá que forrar estos encofrados con paneles fenólicos u otros que garanticen que no hay contacto entre ambos.
Página 32
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2.3.
ACCIONES SOBRE EL ENCOFRADO.
Los encofrados se encuentran sometidos a una serie de acciones exteriores que se deben tener en cuenta a la hora de dimensionarlos. Entre las principales acciones que nos podemos encontrar se encuentran las siguientes: •
Empuje del hormigón fresco.
•
Viento.
•
Vibración.
•
Peso propio del encofrado y medios auxiliares.
•
Impactos.
Hay que señalar que la acción más importante en encofrados verticales es el empuje del hormigón fresco, ya que el viento y las otras acciones suelen ser del orden de la décima a la centésima parte de este empuje. En el caso de encofrados horizontales, las sobrecargas pueden resultar importantes, por tanto no se pueden obviar como en el caso anterior, sobre todo en el caso de losas de fuerte espesor.
2.3.1.
Empuje del hormigón fresco.
El hormigón fresco tiene un comportamiento plástico, pasando a ganar solidez a medida que se produce el proceso de fraguado. El paso de estado plástico a sólido hace que la ley de presiones laterales que el hormigón origina sobre el encofrado varíe a lo largo del proceso, comportándose al principio de forma más parecida a los líquidos, con presiones laterales elevadas, que van disminuyendo hasta anularse una vez que ha concluido el periodo de fraguado. Como consecuencia de esto, los encofrados laterales deben dimensionarse para poder soportar dicho empuje y los encofrados de fondo para soportar el peso del hormigón, principalmente. Existen diversos estudios que tratan de evaluar la presión que el hormigón ejerce en los encofrados laterales, aunque los resultados han sido dispares. Entre las diversas variables que influyen en el valor de la presión desarrollada por el hormigón se encuentran: •
Velocidad ascendente del hormigón.
•
Temperatura de fraguado.
•
Dosificación del hormigón.
•
Granulometría de los áridos.
•
Aditivos.
•
Consistencia.
•
Sistema de compactado.
•
Altura de vertido.
•
Inclinación de la superficie encofrante.
•
Cuantía y distribución de las armaduras.
•
Peso específico del hormigón. Página 33
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•
Altura de hormigón fresco.
•
Efecto silo.
•
Profundidad de vibrado.
•
Potencia del vibrador.
A continuación se pasa a hacer un breve estudio de cada una de ellas.
2.3.1.1.
Velocidad ascendente del hormigón.
Si el hormigón asciende de forma rápida, será mayor el espesor de hormigón que aún no ha fraguado, por tanto su ley de presiones será más parecida a la hidrostática. Este hecho se pone de manifiesto en los pilares, donde las velocidades de llenado son altas, pero no se cumple en otros tipos estructurales donde el proceso de hormigonado puede durar varias horas. En resumen, a mayor velocidad de ascensión del hormigón, mayores empujes, y viceversa (Figura 41).
75 70
Presión máxima (kPa
65 60 55 50 45 40 35 30 25 0
1
2
3
4
5
6
7
Velocidad de llenado (m/h)
Figura 41. Influencia de la velocidad ascendente en la presión máxima ejercida por un hormigón vibrado colocado a una temperatura de 21 ºC (Rodin, 1952).
2.3.1.2.
Temperatura de fraguado.
Cuando desciende la temperatura el fraguado se produce de forma más lenta, por tanto, el hormigón permanecerá más tiempo en estado plástico. De esto se deduce que a menor temperatura serán mayores los empujes que se producen sobre el encofrado (Figura 42). Es importante hacer notar en este punto que la temperatura de fraguado del hormigón no tiene por qué coincidir con la temperatura exterior, sino que ésta se medirá directamente en la masa de hormigón vertido. Las variaciones de temperatura exterior pueden variar a su vez la temperatura de fraguado, por lo que en ciertos casos habrá que aislar el hormigón para que su curado se haga a la temperatura adecuada, de forma que alcance unas características resistentes determinadas. Página 34
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65
Presión máxima (kPa
60
55
50
45
40
35
30
25 0
5
10
15
20
25
30
35
40
Temperatura (ºC)
Figura 42.
2.3.1.3.
Influencia de la temperatura en la presión ejercida por un hormigón vibrado colocado a velocidad de 1,5 m/h (American Concrete Institute, 1961).
Dosificación del hormigón.
Un hormigón con una dosificación rica en cemento estará más cercano al estado líquido que otro con una dosificación menor, puesto que el cemento actúa como lubricante, reduciendo la fricción interna de la masa, y, por tanto, ejerciendo mayores empujes sobre la superficie encofrante.
2.3.1.4.
Granulometría de los áridos.
Una granulometría discontinua presenta menor rozamiento interno que una granulometría bien graduada, por tanto la primera tendrá un asentamiento mayor (ver el punto referente a la consistencia), con un comportamiento más cercano al de los líquidos que el segundo, como consecuencia ejercerá una presión mayor.
2.3.1.5.
Aditivos.
En caso de añadirse aditivos a la mezcla se deben tener en cuenta cómo influyen éstos en los factores descritos, ya que, por ejemplo, se observa que los plastificantes producen claros aumentos de presión debido a que retardan el proceso de fraguado.
2.3.1.6.
Consistencia.
Como se ha descrito, los hormigones de consistencia fluida ejercen mayores empujes que los de consistencia seca al estar su ley de presiones más cerca de la hidrostática. Si relacionamos esto con su asentamiento en el cono de Abrams, un hormigón con mayor asentamiento ejercerá más empuje que otro con menor asentamiento. Página 35
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2.3.1.7.
Sistema de compactado.
Dado que la vibración provoca una fluidificación de la zona afectada, es de esperar que los empujes sean mayores que en un hormigón picado o compactado a mano, donde las zonas no llegan a alcanzar el grado de fluidez que se consigue mediante el vibrado del hormigón.
2.3.1.8.
Altura de vertido.
Al verter hormigón desde gran altura éste transmitirá una fuerza a la capa previamente vertida, que permanece todavía en estado semilíquido y, por tanto, incapaz de absorber el impacto por sí misma, con lo cual parte se lo transmitirá a los encofrados. En consecuencia, para hormigones vertidos desde gran altura deberán rigidizarse los encofrados, ya que soportarán mayores incrementos de presión que otros donde el vertido se haga desde menor altura.
2.3.1.9.
Inclinación de la superficie encofrante.
Resulta obvio que el hormigón ejerce mayor presión en los elementos sobre los que gravita que en los que no, esto queda claramente definido si recurrimos al concepto de coeficiente de empuje activo, cuya formulación es la siguiente:
Ka =
1 + sen(ε − β ) 1 + sen(ε + β )
Donde “ε” es la inclinación de la superficie encofrante y “β” el talud natural del hormigón. En los casos en que ε > 0 (el hormigón gravita sobre el encofrado) se obtiene un coeficiente de empuje mayor que en los casos en que ε < 0 (el encofrado gravita sobre el hormigón), por tanto el empuje será mayor cuando tenemos que el hormigón fresco gravita sobre los paramentos encofrantes. Cuando la superficie encofrante se disponga en desplome será necesario tener en cuenta los fenómenos de boyancia. Tal y como se observa en el siguiente esquema (Figura 43), las presiones normales al paramento tienen una componente vertical que puede llegar a levantar el encofrado.
Figura 43. Fenómeno de boyancia. Página 36
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Para solucionar esto se puede recurrir a dotar al encofrado de peso suficiente como para resistir el empuje vertical, aunque esto no suele dar buenos resultados ya que generalmente se dificultan las labores de encofrado y desencofrado. Otra solución consiste en arriostrar los encofrados mediante elementos correctamente anclados al terreno.
2.3.1.10.
Cuantía y distribución de las armaduras.
Las armaduras provocan un incremento del rozamiento en la masa de hormigón fresco, con lo cual se reduce la presión que éste ejerce sobre los paramentos. Si se disponen barras de menor diámetro en igual cuantía que otras de mayor diámetro, ejercerán un efecto más acusado pues el rozamiento en la masa será mayor, disminuyendo en consecuencia la presión que el hormigón ejerce sobre la superficie encofrante.
2.3.1.11.
Peso específico del hormigón.
Si la ley de presiones fuera la hidrostática, los hormigones de mayor peso específico ejercerían mayores empujes que los de menor. Aunque en la realidad la ley de presiones no se corresponde con la hidrostática, esta similitud se sigue cumpliendo, deduciéndose que a mayor peso específico mayores empujes sobre los paramentos.
2.3.1.12.
Altura de hormigón fresco.
La presión del hormigón aumenta linealmente hasta llegar a un cierto valor (función de la velocidad de fraguado y del tipo de hormigón empleado), a partir del cual se mantiene por el comienzo del fraguado. Esto es aplicable a encofrados de muros y otros elementos donde la velocidad de llenado es lenta, no siendo así en pilares, tal y como se ha señalado anteriormente, donde la velocidad ascendente del hormigón es alta.
2.3.1.13.
Efecto silo.
Se suele producir en pilares y muros de pequeño espesor, en los cuales el rozamiento con las paredes, la diferencia de presiones entre las dos caras y la componente vertical de los empujes (si existiese) pueden dar una componente orientada hacia arriba de cierta importancia, con lo cual se reduce la componente total, orientada hacia abajo. Este efecto se ve incrementado si las paredes están inclinadas, como es el caso de revestimientos de túneles o recubrimientos de taludes.
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2.3.1.14.
Profundidad de vibrado.
Las zonas vibradas se encuentran en un estado casi fluido, con ley de presiones hidrostática. Si esta zona es mayor, es decir, si aumentamos la profundidad de vibrado, los empujes del hormigón sobre los paramentos serán mayores.
2.3.1.15.
Potencia del vibrador.
Al igual que ocurría en el caso anterior, si disponemos de un vibrador muy potente, la zona de afección será mayor que en el caso de que utilicemos uno con menor potencia, con lo cual se puede concluir que a mayor potencia del vibrador empleado mayores empujes ejercerá el hormigón contra los paramentos.
2.3.2.
Viento.
Los encofrados suelen presentar amplias superficies expuestas a la acción del viento, de forma que en muchas ocasiones este factor determina el arriostramiento de las diferentes estructuras. La acción del viento también se considerará en la fase de montaje puesto que se pueden producir movimientos laterales que obligarían a replantear la estructura, problemas de inestabilidad frente al vuelco... Se admite que el viento actúa normalmente en horizontal y en cualquier dirección, por ello, para el cálculo de la presión ejercida por el viento, se considerarán las direcciones que produzcan las acciones más desfavorables. La intensidad del viento varía en función de la situación topográfica. A efectos de cálculo se considerará la Norma NBE-AE-88 (Acciones en la edificación).
2.3.2.1.
Presión dinámica del viento.
Un viento de velocidad “v” (m/s) produce una presión dinámica “w” (kPa) en los puntos donde se anula la velocidad de valor:
w=
v2 1600
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La velocidad del viento se puede obtener en función de la altura de coronación y de la situación topográfica. Altura de coronación. Situación topográfica normal
Situación topográfica expuesta
Velocidad del viento “v” (m/s)
Presión dinámica “w” (kPa)
De 0 a 10
-
28
0,50
De 11 a 30
-
34
0,75
De 31 a 100
De 0 a 30
40
1,00
Mayor de 100
De 31 a 100
45
1,25
-
Mayor de 100
49
1,50
Tabla 2-1. Presión dinámica del viento.
En principio, se considerará siempre situación topográfica expuesta. Para casos especiales de situación muy expuesta se requerirá un estudio especial.
2.3.2.2.
Sobrecarga del viento.
El viento produce sobre cada elemento superficial de un encofrado, tanto orientado a sotavento como a barlovento, una sobrecarga unitaria “p” (kPa) en la dirección normal positiva (presión) o negativa (succión) de valor :
p = c⋅w Siendo “w” la presión dinámica del viento (kPa), que se obtiene de la Tabla 2-1, y “c” el coeficiente eólico, positivo para presión y negativo para succión, que depende de la configuración del encofrado, de la posición del elemento y del ángulo de incidencia del viento en la superficie. Para la obtención del coeficiente eólico hay que distinguir los siguiente tipos de sobrecargas:
Sobrecargas locales. Empleadas en el cálculo de elementos individuales de encofrado. Pueden ser exteriores o interiores. Ambas se combinan de forma que el coeficiente eólico de las sobrecargas locales es la suma de la sobrecarga exterior más el de la interior cambiado de signo. •
Sobrecarga local exterior.
Es aquella que produce el viento sobre los paramentos exteriores de un encofrado. Para obtener el valor del coeficiente eólico se utiliza la Tabla 2-2. En los paneles que estén resguardados se puede reducir el coeficiente eólico en un 25 %.
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Ángulo de incidencia del viento “a”
Superficies planas A barlovento “c1”
A sotavento “c2”
Superficies curvas rugosas
Superficies curvas muy lisas
A barlovento “c3”
A sotavento “c4”
A barlovento “c3”
A sotavento “c4”
-0,4
+0,8
-0,4
En remanso 0º - 90º
+0,8
-0,4
+0,8 En corriente
0º
-0,4
-0,4
-0,4
-0,4
-2,0
-2,0
10º
-0,2
-0,4
-0,8
-0,4
-2,0
-2,0
20º
0
-0,4
-0,8
-0,4
-1,6
-2,0
30º
+0,2
-0,4
-0,8
-0,4
-1,2
-0,4
40º
+0,4
-0,4
-0,4
-0,4
-0,8
-0,4
50º
+0,6
-0,4
0
-0,4
-0,4
-0,4
60º
+0,8
-0,4
+0,4
-0,4
0
-0,4
70º
+0,8
-0,4
+0,8
-0,4
+0,4
-0,4
80º
+0,8
-0,4
+0,8
-0,4
+0,8
-0,4
90º
+0,8
-0,4
+0,8
-0,4
+0,8
-0,4
Tabla 2-2. Coeficiente eólico para sobrecarga local exterior.
•
Sobrecarga local interior.
Es aquella que se produce cuando el encofrado tiene uno o varios huecos en una cara, aunque no se llega a producir corriente en el interior. En este caso el coeficiente eólico se obtiene de la Tabla 2-3. Hueco a barlovento
Hueco a sotavento
Presión interior
Succión interior
Presión interior
Succión interior
+0,8
-0,2
+0,4
-0,4
Tabla 2-3. Coeficiente eólico para sobrecarga local interior.
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Sobrecarga total. Es la resultante de las sobrecargas locales sobre el todos los elementos individuales. Se obtendría componiendo las sobrecargas locales obtenidas anteriormente, aunque como cálculo aproximado se puede admitir que la sobrecarga se reparte uniformemente por toda la superficie del encofrado con un coeficiente eólico ponderado, que se obtiene de la Tabla 2-4.
Geometría de la construcción
Coeficiente eólico “c”
Paneles prismáticos, de planta rectangular o combinación de rectángulos.
1,2
Paneles cilíndricos.
0,8
Esferas o semiesferas.
0,4
Casquetes esféricos de relación altura / diámetro menor o igual a 0,25.
0,2
Tabla 2-4. Coeficiente eólico para sobrecargas totales.
2.3.2.3.
Sobrecarga del viento sobre elementos de apuntalamiento.
Habrá que tener en cuenta la influencia del viento sobre los elementos de apuntalamiento, tanto más cuanto mayor sea la esbeltez de los mismos, como en el caso de las cimbras o torres de carga.
2.3.3.
Vibración.
Al compactar el hormigón hay una zona que se fluidifica perdiendo momentáneamente la consistencia inicial y comportándose como un fluido en dicha zona. La vibración se transmite por ondas de presión hasta el encofrado de tal forma que parte se consume en la compactación del hormigón y el resto se transmite a la estructura encofrante para acabar en los puntos de sustentación de los mismos; pero las amplitudes de estas ondas se extinguen rápidamente al alejarse de su punto de partida debido al aumento del frente de onda y a la absorción de energía por parte del hormigón.
2.4. CÁLCULO DE LA PRESIÓN DEL HORMIGÓN FRESCO. Para determinar la ley de empujes que ejerce el hormigón sobre los paramentos se suelen utilizar las siguientes normativas y estudios: •
Norma Americana ACI 347/78.
•
Norma Alemana DIN 18218.
•
Estudio de la Société de Difusion des Techniques du Bâtiment et des Travaux Publiques.
•
Estudio de N.J. Garner.
•
Estudio de J. Martín Palanca (Consejo Superior de Investigaciones Científicas). Página 41
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2.4.1.
Norma Americana ACI 347/78.
Esta norma establece una ley de empujes hidrostática hasta que alcanza un determinado valor de presión máxima (Pm), a partir del cual considera una ley constante de presiones e igual a dicho valor.
Hipótesis: •
Se utiliza como conglomerante cemento Portland.
•
No se emplean retardadores de fraguado.
•
El asentamiento del hormigón en el cono de Abrams es de 120 mm.
•
El peso específico del hormigón es de 24 kN/m3.
•
Los encofrados no están sometidos a vibración externa.
Metodología de cálculo: La formulación que establece esta normativa es diferente para pilares o muros, ya que la presiones son diferentes, tal y como se ha estudiado anteriormente. Los parámetros de entrada son: Velocidad ascendente del hormigón (v) en m/h. Temperatura de curado del hormigón (t) en ºC. Altura del encofrado (H) en m. Pilares (Figura 44):
Pm = 7,3 +
800 ⋅ v (kPa) 17,7 + t
con
Pm ≤ 150 kPa Pm ≤ 24 ⋅ H (kPa)
Muros (Figura 45): En este caso, existen tres formulaciones distintas, según la velocidad ascensional del hormigón: v ≤ 2,1 m/h:
Pm = 7,3 +
800 ⋅ v (kPa) 17,7 + t
2,1 < v ≤ 3 m/h:
Página 42
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Pm = 7,3 +
1170 + 250 ⋅ v (kPa) 17,7 + t
con
Pm ≤ 100 kPa Pm ≤ 24 ⋅ H (kPa)
v > 3 m/h:
Pm = 24 ⋅ H (kPa) Obsérvese en este último caso que la ley de presiones se corresponde con la hidrostática, ya que la velocidad ascensional del hormigón es elevada. En caso de que se superen los valores máximos indicados, se tomará el menor de ellos. Si representamos gráficamente estas funciones, es fácil obtener el valor de Pm entrando en las gráficas representadas para cada temperatura. PILARES 160
Presión máxima (kPa
140
5 ºC
120
10 ºC
100
15 ºC
80
20 ºC
60
25 ºC 30 ºC
40
35 ºC
20 0 0
1
2
3
4
5
6
7
Velocidad ascendente (m/h)
Figura 44. Presión máxima en pilares (ACI 347/78).
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MUROS 100
Presión máxima (kPa
90 80
5 ºC
70
10 ºC
60
15 ºC
50
20 ºC
40
25 ºC
30
30 ºC
20
35 ºC
10 0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Velocidad ascendente (m/h)
Figura 45. Presión máxima en muros (ACI 347/78).
En la gráfica de muros no se representa la parte correspondiente a velocidades superiores a 3 m/h ya que en ese caso sólo depende de la altura del encofrado (coincide con la hidrostática). Nota: Al utilizar las gráficas no se debe olvidar comprobar los valores máximos de las presiones.
Página 44
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Ejemplo: Se va a hormigonar de forma continua un muro de 3,5 m. de altura a una temperatura de 20 ºC. Se tiene previsto hormigonarlo en 1 hora y media. Dibujar la ley de empujes. La velocidad ascendente del hormigón será de 3,5 / 1,5 = 2,3 m/h. Entrando en las gráficas, para una temperatura de 20 ºC, se obtiene: Pm = 54 kPa (Figura 46). Se puede observar que es menor que los valores máximos.
MUROS 100
Presión máxima (kPa
90 80
5 ºC
70
10 ºC
60
15 ºC
54
50
20 ºC
40
25 ºC
30
30 ºC
20
35 ºC
10 0 0
0.5
1
1.5
2
2.3
2.5
3
Velocidad ascendente (m/h)
Figura 46. Obtención de la presión límite (ACI 347/78).
Este método considera que el peso específico del hormigón es de 24 kN/m3, por tanto la ley de presiones hidrostática será p = 24·h, siendo “h” la profundidad en metros. Cuando “p” llegue al valor de Pm, la ley se tomará constante. Esto se produce para una profundidad h = 54 / 24 = 2,25 m. (Figura 47).
Página 45
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Presión (kPa) 0
10
20
30
40
50
60
0
0.5
Profundidad (m)
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Figura 47. Ley de presiones (ACI 347/78).
2.4.2.
Norma Alemana DIN 18218.
Al igual que la norma ACI también considera una ley de empujes hidrostática hasta alcanzar el valor de la presión máxima (Pm), manteniéndose esta ley hasta una profundidad igual a 5·v, momento en el cual se anula. En caso de que la vibración sea externa se considerará una ley de empujes hidrostática hasta la profundidad donde afecte la vibración.
Hipótesis: •
El tamaño máximo de árido es de 63 mm.
•
Los encofrados serán verticales con una desviación máxima de ± 5 º.
•
La temperatura de hormigonado es de 15 ºC.
•
El peso específico del hormigón es de 25 kN/m3.
•
El tiempo de fraguado máximo son 5 horas.
•
La velocidad ascendente máxima es de 7 m/h.
Esta norma introduce una serie de correcciones en función de la variación de temperatura, peso específico y la utilización de retardadores de fraguado.
Metodología de cálculo: La formulación que establece esta normativa es diferente para pilares o muros, ya que la presiones son diferentes, tal y como se ha estudiado anteriormente. Los parámetros de entrada son: •
Velocidad ascendente del hormigón (v) en m/h. Página 46
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•
Consistencia del hormigón en mm.
Entrando con la consistencia, obtenemos el valor de Pm en función de la velocidad ascensional.
Consistencia Seca Plástica Blanda Fluida
Cono de Abrams (mm). 0 – 20 30 – 50 60 – 90 100 – 150
Pm (kPa) 5·v + 21 10·v + 19 14·v + 18 17·v + 17
Estableciendo los siguientes valores máximos: Pilares (Figura 48):
Pm ≤ 100 kPa Pm ≤ 25 ⋅ H (kPa) Muros (Figura 49):
Pm ≤ 80 kPa Pm ≤ 25 ⋅ H (kPa) En caso de que se superen los valores máximos indicados, se tomará el menor de ellos. Representando estas funciones:
PILARES 120
Presión máxima (kPa
100
Seca
80
Plástica 60
Blanda Fluida
40
20
0 0
1
2
3
4
5
6
7
Velocidad ascendente (m/h)
Figura 48. Presión máxima en pilares (DIN 18218).
Página 47
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MUROS 100
Presión máxima (kPa
90 80 70
Seca
60
Plástica
50
Blanda
40
Fluida
30 20 10 0 0
1
2
3
4
5
6
7
Velocidad ascendente (m/h)
Figura 49. Presión máxima en muros (DIN 18218).
Correcciones: •
Por variación de la temperatura del hormigón:
Si la temperatura del hormigón es mayor de 15 ºC, se puede reducir la presión un 3 % por cada grado de variación, sin exceder el 30 %, siempre que la temperatura del hormigón permanezca más o menos constante. Si la temperatura del hormigón es menor de 15 ºC, se debe aumentar la presión un 3 % por cada grado de variación. Resulta importante hacer notar que la temperatura exterior influye de forma que si ésta es inferior a 15 ºC y no se protege el hormigón habrá que aplicar las correcciones anteriores. En caso de que el hormigón esté protegido no se tendrá en cuenta la corrección siempre que no disminuya la temperatura de curado del hormigón. •
Por variación del peso específico:
En caso de que el hormigón tenga un peso específico diferente de 25 kN/m3, se corregirá el valor de Pm, multiplicándolo por el factor de corrección “α”, que resulta de la siguiente tabla o de la gráfica (Figura 50):
Página 48
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Peso específico (kN/m3)
α
Peso específico (kN/m3)
α
10 12 14 16 18 20 22
0,40 0,48 0,56 0,64 0,72 0,80 0,88
24 25 26 28 30 35 40
0,96 1,00 1,04 1,12 1,20 1,40 1,60
1.6
1.4
1.2
a
1
0.8
0.6
0.4 10
15
20
25
30
35
40
Peso específico (kN/m3)
Figura 50.
•
Factor de corrección por variación del peso específico (DIN 18218).
Influencia de los retardadores:
Al igual que en el caso anterior habrá que multiplicar el valor obtenido de la presión máxima por un coeficiente obtenido de la siguiente tabla. Hay que señalar que esta tabla sólo es válida para altura de hormigonado de 10 m.
Consistencia
Cono de Abrams (mm.)
Retardo de 5 h.
Retardo de 15 h.
Seca Plástica Blanda – Fluida
0 – 20 30 – 50 60 – 150
1,15 1,25 1,40
1,45 1,80 2,15
Ejemplo: Dibujar la ley de empujes del ejemplo planteado anteriormente utilizando el método propuesto por la Norma DIN. No se emplean retardadores. Como las hipótesis del método ACI suponen un cono de 120 mm., se tiene un hormigón de consistencia fluida.
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El valor de la presión máxima se obtiene entrando en las gráficas con una velocidad de ascensión de 2,3 m/h, resultando un valor de 56 kPa (Figura 51). Se comprueba que es menor que los valores máximos. MUROS 100
Presión máxima (kPa
90 80 70
Seca
60
Plástica
56
50
Blanda
40
Fluida
30 20 10 0 0
1
2 2.3
3
4
5
6
7
Velocidad ascendente (m/h)
Figura 51. Obtención de la presión máxima. (DIN 18218).
Como la temperatura de curado es de 20 ºC podemos reducir este valor de la presión (si no se reduce quedamos del lado de la seguridad). Suponiendo que la temperatura permanece más o menos constante, reducimos en un 5 x 3 = 15 %. Como el método ACI supone un peso específico de 24 kN/m3, aplicamos un factor de corrección de 0,96. Con todo esto, resulta: Pm = 56·(1-0,15)·0,96 = 46 kPa. Esta presión se da a una profundidad de h = 46 / 25 = 1,84 m. (Figura 52). La ley de presiones hidrostáticas viene dada por p = 25·h. Esta ley se anula a una profundidad de 5·v = 5·2,3 = 11,5 m., por tanto, en nuestro caso no se anula, ya que el encofrado tiene 3,5 m. de altura.
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Presión (kPa) 0
10
20
30
40
50
0
0.5
Profundidad (m)
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Figura 52. Ley de presiones (DIN 18218).
2.4.3.
Société de Difusion des Techniques du Bâtiment et des Travaux Publiques.
También considera una ley de empujes hidrostática hasta alcanzar el valor de la presión máxima (Pm), manteniéndola constante a partir de este valor. Además de muros y pilares, este estudio considera los encofrados en losas. Hay que destacar de este método que considera el tiempo de fraguado, alcanzándose el valor máximo de la presión en el punto donde ha finalizado el fraguado.
Hipótesis: •
Hormigón de peso específico 24 kN/m3.
•
Dosificación de cemento: 350 kg/m3.
•
Compactación por vibración interna.
•
No se emplean retardadores.
•
Encofrados no vibrantes.
Se introducen correcciones en función del tipo de cemento empleado, la dosificación de cemento, el espesor a encofrar y la docilidad del hormigón.
Metodología de cálculo: Los parámetros de entrada son: •
Velocidad ascendente del hormigón (v) en m/h.
•
Temperatura de curado (t) en ºC.
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•
Consistencia del hormigón (α) en mm.
•
Dosificación de cemento en kg/m3.
•
Altura del hormigón fresco (h) en m.
•
Espesor a encofrar en m.
El tiempo de fin de fraguado (en horas) se obtiene de la expresión:
tf =
70 + 0,3 ⋅ α − 2 ⋅ t 25 + t
Los valores correspondientes a las temperaturas más usuales quedan recogidos en el siguiente gráfico (Figura 53):
4
Fin de fraguado (h)
3.5
5 ºC
3
10 ºC
2.5
15 ºC
2
20 ºC
1.5
25 ºC
1
30 ºC 35 ºC
0.5 0 0
25
50
75
100
125
150
Consistencia (mm)
Figura 53. Tiempos de fin de fraguado (Société de Difusion des Techniques du Bâtiment et des Travaux Publiques).
La altura de hormigón fresco será:
h = v ⋅ tf Pilares:
P ≤ 150 kPa P ≤ 24 ⋅ h (kPa ) Muros (Figura 54):
P ≤ 24 ⋅ h (kPa)
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Velocidad ascendente del hormigón fresco v < 2 m/h v > 2 m/h
Temperatura (ºC)
5 15 25
20 + 12,5·v 20 + 10·v 20 + 8,5·v
41 + 2·v 36 + 2·v 33 + 2·v
En caso de que tengamos un valor intermedio de la temperatura, se podrá interpolar linealmente entre los valores superior e inferior. MUROS 60
Presión (kPa)
50
40
5 ºC 15 ºC
30
25 ºC 20
10
0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Velocidad ascendente (m/h)
Figura 54. Presiones en muros (Société de Difusion des Techniques du Bâtiment et des Travaux Publiques).
Nos quedaremos con el valor menor de ellos. Losas:
P = 24 ⋅ h + sobrecarga (kPa ) A estos valores de presión se les afecta de los siguientes parámetros correctores:
Tipo de cemento
c1
Portland normal Portland con 15 % de escorias Portland con cenizas de hulla o lignito
1,0 1,1 1,2
Dosificación de cemento
c2
200 kg/m3 300 kg/m3 400 kg/m3 500 kg/m3 600 kg/m3
0,80 1,00 1,37 1,62 1,80 Página 53
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Espesor a encofrar
c3
0,10 m 0,20 m 0,30 m 0,40 m 0,50 m > 0,60 m
0,80 0,93 1,05 1,08 1,10 1,15
Cono de Abrams
c4
< 80 mm 90 mm 100 mm 110 mm 120 mm 130 mm 140 mm 150 mm
1,00 1,17 1,34 1,51 1,69 1,86 2,03 2,20
El valor definitivo de la presión máxima vendrá dado por la expresión:
Pm = P ⋅ c 1 ⋅ c 2 ⋅ c 3 ⋅ c 4 Ejemplo: Dibujar la ley de empujes del ejemplo planteado anteriormente utilizando el método propuesto por la Société de Difusion des Techniques de Bâtiment et des Travaux Publiques. El cemento empleado es Portland con un 15 % de escorias, con una dosificación de 300 kg/m3. El espesor a encofrar son 30 cm. Como la velocidad ascensional es de 2.3 m/h > 2 m/h y la temperatura es de 20 ºC, interpolamos entre las siguientes funciones: P = 36 + 2·v = 36 + 2·2,3 = 40,6 kPa. P = 33 + 2·v = 33 + 2·2,3 = 37,6 kPa . Obteniéndose un valor de: P = 39,1 kPa . El tiempo de fin de fraguado es, teniendo en cuenta que el asiento es de 120 mm. y la temperatura 20 ºC:
tf =
70 + 0,3 ⋅ α − 2 ⋅ t 70 + 0,3·120 − 2·20 = = 1,47 h. 25 + t 25 + 20
Y la altura de hormigón fresco:
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h = v ⋅ t f = 2,3 ⋅ 1,47 = 3,37 m. Resultando un valor de P = 24·3,37 = 81 kPa. Nos quedamos con el menor de los dos, por tanto: P = 39,1 kPa. Ahora aplicamos los factores correctores: Cemento Portland con un 15 % de escorias: c1 = 1,1. Dosificación de cemento 300 kg/m3: c2 = 1,00. Espesor a encofrar 0,30 m.: c3 = 1,05. Consistencia 120 mm.: c4 = 1,69. Resultando un valor de:
Pm = 39,1⋅ 1,1⋅ 1,00 ⋅ 1,05 ⋅ 1,69 = 76,3 kPa (Figura 55)
Presión (kPa) 0
20
40
60
80
0
0.5
Profundidad (m)
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Figura 55.
2.4.4.
Ley de presiones (Société de Difusion des Techniques du Bâtiment et des Travaux Publiques).
Estudio de N. J. Garner.
Hay que destacar de este método que tiene en cuenta la potencia del vibrador, cosa que los anteriores obviaban. También considera un valor límite de la presión a partir de la cual la ley de presiones hidrostática pasa a ser constante. Este valor viene dado por la expresión:
Pm = 24 ⋅ h i +
3 ⋅N S 500 ⋅ v α − 75 + + + 736 ⋅ S 0,04 18 + t 10
Donde: Página 55
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•
hi: profundidad de vibrado en m.
•
N: potencia mecánica del vibrador en W.
•
S: espesor a encofrar en m.
•
v: velocidad ascensional en m/h.
•
t: temperatura de curado del hormigón en ºC.
•
α: cono de Abrams en mm.
Como valor orientativo de la potencia del vibrador se puede tomar 1250 W, y para la profundidad de vibrado 0,5 m. con vibración interna y 1 m. con vibración externa. Ejemplo: Dibujar la ley de empujes del ejemplo planteado anteriormente utilizando el método propuesto por N.J. Garner. Aplicando directamente la fórmula, considerando una profundidad de vibrado de 0,5 m. y una potencia del vibrador de 1250 W, se tiene:
3 ⋅ 1250 0,30 500 ⋅ 2,3 120 − 75 + + + = 61 kPa (Figura 56) 736 ⋅ 0,30 0,04 18 + 20 10
Presión (kPa) 0
20
40
60
80
0
0.5
1
Profundidad (m)
Pm = 24 ⋅ 0,5 +
1.5
2
2.5
3
3.5
Figura 56. Ley de presiones (N.J. Garner).
Página 56
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2.4.5.
Estudio de J. Martín Palanca Investigaciones Científicas).
(Consejo
Superior
de
Se trata de un completo estudio presentado en la serie de monografías del Instituto Eduardo Torroja. A diferencia de los otros estudios, además de la ley de presiones hidrostática, establece una ley granulostática, donde el hormigón se comporta como un árido que ejerce un empuje activo sobre la superficie encofrante. Se suaviza de esta forma el quiebro que establecían los otros métodos entre la ley de presiones hidrostática y la ley constante de presiones. La ley de presiones hidrostática actúa en la zona afectada por la vibración, que varía de cero (en los casos que no haya vibración) a un metro aproximadamente (en los casos en que la vibración sea externa). Para vibración interna se suele tomar un valor de medio metro. Tras esta ley hidrostática se sitúa una zona de transición, con ley de presiones constante desde el valor máximo de presión hidrostática hasta que corte a la ley de presiones granulostática. La ley de presiones granulostáticas viene dada por una ley de presiones que tiene en cuenta el coeficiente de empuje activo del hormigón, alcanzando un valor máximo a partir del cual la ley de presiones se considera constante. Esta profundidad límite puede venir dada por el efecto silo o por endurecimiento del hormigón. Lo normal es que esta profundidad límite sea por endurecimiento en muros, ya que las velocidades ascensionales son pequeñas, y por efecto silo en pilares; aunque se recomienda comprobar ambas y escoger la que dé menor profundidad de cálculo. La ley de presiones propuesta queda reflejada en el siguiente gráfico (Figura 57): Superficie libre Hv
Presiones hidrostáticas Zona de transición
HL Presiones granulostáticas
e
Superficie encofrante
Presión límite
Profundidad
Hv: Profundidad de vibrado HL: Profundidad límite e: Ángulo de la superficie encofrante
Figura 57. Ley de presiones (J. Martín Palanca).
Página 57
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Metodología de cálculo: Los parámetros de entrada son: •
Velocidad ascendente del hormigón (v) en m/h.
•
Temperatura de curado (t) en ºC.
•
Consistencia del hormigón (α) en mm.
•
Anchura de la zona a encofrar (S) en m.
•
Longitud de la zona a encofrar (L) en m.
•
Inclinación de la superficie encofrante (ε).
Para la determinación de cada una de estas zonas se siguen los siguientes pasos: •
Zona de presiones hidrostáticas:
En esta zona la ley de presiones es del tipo:
P = γ ⋅H siendo: P: Presión normal al encofrado en kPa. γ: Peso específico del hormigón, para los cuales el autor señala que se tomen los valores: 23 kN/m3 en paramentos con una inclinación menor de 45º respecto a la vertical. 25 kN/m3 en el resto de los casos. H: Profundidad desde la superficie en m. Esta zona llega hasta una profundidad marcada por la profundidad afectada por el vibrado, que suele ser de medio metro si el vibrado es interno y un metro si es externo. •
Zona de transición:
A partir del valor máximo correspondiente a la zona de presiones hidrostáticas (para la profundidad de vibrado), se considera una zona de transición constante, que llega hasta cortar a la ley de presiones granulostática que se señala a continuación. •
Zona de presiones granulostáticas:
En esta zona el hormigón no está influido por la vibración, comportándose como un árido, es decir, su ley de presiones no es constante en cualquier dirección, sino que la componente normal al paramento encofrante está afectada de un coeficiente de empuje activo. Página 58
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La ley de presiones vendrá dada por:
P = Ka ⋅ γ ⋅ H Siendo Ka el coeficiente de empuje activo, que viene dado por la expresión:
Ka =
1 + sen(ε − β ) 1 + sen(ε + β )
Donde “ε” es la inclinación de la superficie encofrante, tomando valores positivos cuando el hormigón gravita sobre ella y negativos cuando es al revés, y “β” es el talud natural del hormigón, que se puede obtener conociendo el asiento del cono de Abrams (α) en mm. de la expresión:
tan β =
260 − α 1400
Esta ley se extiende hasta la profundidad límite, momento en el cual pasa a tener un valor constante. Esta profundidad límite puede venir dada por el efecto silo o por endurecimiento del hormigón. •
Profundidad límite:
1. Por efecto silo: Se obtiene de la siguiente ecuación:
Hes = 21000 ⋅
( 43 − t ) ⋅ S (165 − α ) ⋅ (303 + α ) ⋅ (1 + S / L )
Donde: Hes: Profundidad límite por efecto silo en m. t: Temperatura de fraguado en ºC. α: Cono de Abrams en mm. L: Longitud del elemento encofrado en m. S: Espesor en m. (deberá ser L > S)
2. Por endurecimiento del hormigón:
Hen = H v + v ⋅ t f Donde: Hen: Profundidad límite por endurecimiento en m. Hv: Profundidad de vibrado en m. v: Velocidad ascensional en m/h. tf: Tiempo de fin de fraguado, dado por la expresión: Página 59
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tf =
70 + 0,3 ⋅ α − 2 ⋅ t 25 + t
El gráfico de la tiempos de fin de fraguado queda recogido en el método propuesto por la Société de Difusion des Techniques du Bâtiment et des Travaux Publiques (Figura 53). Ejemplo: Dibujar la ley de empujes del ejemplo planteado anteriormente utilizando el método propuesto por J. Martín Palanca. La anchura a encofrar son 0,30 m. y la longitud 10 m. Los paramentos son verticales. La ley de presiones hidrostática viene dada por la fórmula:
Ph = 24 ⋅ H Llegando hasta una profundidad de 0,5 m., considerando vibración interna.
Tv = 0,5 m En ese punto la presión toma el valor:
Phmáx = 24 ⋅ 0,5 = 12 kPa A partir de aquí la ley de presiones se mantiene constante (zona de transición), hasta cortar a la ley de presiones granulostáticas, que viene dada por:
Pg = 24 ⋅ K a ⋅ H El valor del coeficiente de empuje activo será (considerando el encofrado vertical):
tan β =
260 − 120 = 0,1 1400
Ka =
β = 5,7º
1 + sen(0 − 5,7 ) = 0,82 1 + sen(0 + 5,7 )
Entonces la ley de presiones granulostáticas será:
Pg = 24 ⋅ 0,82 ⋅ H = 19,7 ⋅ H La intersección con la zona de transición se dará a una profundidad:
H=
12 = 0,61 m 19,7 Página 60
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A partir de esa profundidad la ley de presiones es la granulostática y se mantiene hasta la profundidad límite, que viene dada por el efecto silo y el límite por endurecimiento. Por efecto silo:
Hes = 21000 ⋅
( 43 − 20) ⋅ 0,30 = 7,4 m. (165 − 120 ) ⋅ (303 + 120 ) ⋅ (1 + 0,30 /10)
Por endurecimiento del hormigón: Teniendo en cuenta que el tiempo de fin del fraguado son 1,47 h. tal y como se vio anteriormente:
Hen = 0,5 + 2,3 ⋅ 1,47 = 3,9 m. Nos quedamos con el menor de ellos, estando limitada en este caso la profundidad límite por endurecimiento del hormigón. Como la altura del encofrado son 3,5 m., este valor no se llega a alcanzar, siendo el valor máximo de la presión:
Pmáx = 19,7 ⋅ 3,5 = 69 kPa La ley de presiones sobre el paramento encofrante resulta ser (Figura 58):
Presión (kPa) 0
10
20
30
40
50
60
70
80
0
0.5
Profundidad (m)
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Figura 58. Ley de presiones (J. Martín Palanca).
Se han descrito hasta el momento algunos de los métodos existentes de cálculo de las leyes de empujes que origina el hormigón fresco. Habrá que juzgar qué método es el más adecuado para cada caso que se plantee, teniendo en cuenta las limitaciones de cada uno de ellos.
Página 61
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2.5.
CÁLCULO RESISTENTE DE LOS ELEMENTOS DE UN ENCOFRADO.
Conocidas las acciones que actúan en el encofrado se pueden calcular los elementos que conforman el encofrado. En el proceso de cálculo habrá que tener presente que la seguridad en el encofrado viene dada por los límites funcional y estructural. •
Seguridad funcional:
Para el correcto funcionamiento del encofrado las deformaciones que se produzcan deben ser limitadas, para ello se establece una limitación de flechas en los encofrados, de forma que la calidad visual del paramento sea adecuada. •
Seguridad estructural:
El encofrado debe soportar las cargas a las que está sometido de forma que no se produzca la rotura de ninguna de las fibras del material. Habrá que imponer, por tanto, que en ningún punto del encofrado se supera la tensión admisible del material.
A continuación se presentan una serie de modelos para el cálculo de los distintos elementos de los encofrados.
2.5.1.
Superficie encofrante.
Se considera como una viga multiapoyada, por tanto:
e 1m
a Figura 59. Modelo estructural del panel y las costillas de un encofrado. Página 62
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Habrá que comprobar que se cumplen las condiciones de seguridad funcional y estructural. Para operar más cómodamente, se trabaja por unidad de anchura de tablero (en dirección paralela a las costillas). •
Seguridad funcional:
La flecha máxima viene dada por:
δ máx =
5,4 ⋅ p ⋅ a 4 ≤ δ adm E ⋅I
Siendo: δmáx: Flecha máxima en mm. δadm: Flecha admisible en mm. Los valores normales a los que se limita oscilan entre 10·a y 2·a, siendo “a” la separación entre costillas en m. p: Carga que actúa sobre un elemento de tablero de un metro de ancho (incluyendo el peso propio del tablero), en kN/m. a: Separación entre costillas en m. E: Módulo de elasticidad del tablero en kPa. I: Momento de inercia de un elemento de tablero de anchura un metro, en m4. En función del tipo de material a emplear, mediante tanteos con diferentes espesores de panel encofrante y separaciones de las costillas, se obtienen los que resulten más adecuados. •
Seguridad estructural:
El momento máximo, en kN·m, vale:
Mmáx = p ⋅
a2 8
Por tanto, la condición de seguridad funcional viene expresada por:
σ e Mmáx = γ Wx Siendo: p: Carga que actúa sobre un elemento de tablero de un metro de ancho (incluyendo el peso propio del tablero), en kN/m. Wx: Momento estático del elemento de tablero de un metro de ancho, en m3. a: Separación entre costillas en m. σe: Límite elástico del material en kPa.
Página 63
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γ: Coeficiente de seguridad. Normalmente se emplea un coeficiente de seguridad de 1,5.
2.5.2.
Costillas.
Normalmente trabajan como una viga biapoyada en las correas con voladizos simétricos. Habrá que comprobar también que no se superan los límites de seguridad estructural y funcional, que vienen dados por:
σ máx <
σe γ
Seguridad estructural.
σmáx: Máxima tensión en el material, en kPa. σe: Límite elástico del material en kPa. γ: Coeficiente de seguridad. Normalmente se emplea un coeficiente de seguridad de 1,5.
δ máx < δ adm
Seguridad funcional.
δmáx: Flecha máxima en mm. δadm: Flecha admisible en mm. Los valores normales a los que se limita oscilan entre 10·L y 2·L, siendo “L” la luz libre en m.
2.5.3.
Correas.
Se calculan de forma idéntica a las costillas, teniendo en cuenta las condiciones de apoyo, que pueden ser como viga simple biapoyada, con voladizos...
2.5.4.
Puntales.
Como se trata de un elemento muy esbelto, se debe garantizar que no se produce el pandeo de los puntales. Durante la fase de montaje se debe prever su arriostramiento, pensando siempre en la seguridad en fase de carga. Puesto que en la mayoría de los casos se trata de un elemento metálico para su cálculo se utiliza la formulación de la Norma EA-95.
Nmáx = σ e ⋅
A γ⋅ω
Siendo: Nmáx: Carga máxima por puntal en kN. σe: Límite elástico del material en kPa. A: Área de la sección pésima del puntal en m2. Página 64
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γ: Coeficiente de seguridad. Normalmente se emplea un coeficiente de seguridad de 2, por tratarse de un elemento cuyo fallo produciría el fallo global de la estructura. ω: Coeficiente de pandeo, dado por la Norma EA-95.
2.5.5.
Cimbras y torres de carga.
Hay que analizar el comportamiento de estos elementos durante las fases de montaje y puesta en carga, puesto que las acciones a las que van a estar sometidos son diferentes.
2.5.5.1.
Fase de montaje.
Durante la fase de montaje la acción predominante es el viento. Al tratarse de una acción horizontal, puede desestabilizar las estructuras ya que están diseñadas para soportar acciones verticales. Al ser elementos con un peso reducido el viento puede generar unos empujes capaces de desestabilizar la estructura. Este problema se soluciona arriostrando varias torres entre sí en planos horizontales, de forma que se evite el vuelco aislado de las mismas.
2.5.5.2.
Fase de carga.
Durante la fase de carga estos elementos se encuentran sometidos a la acción del viento y del peso propio y del encofrado. Habrá que comprobar que no se produce la el fallo del material por resistencia y por problemas de inestabilidad. Fundamentalmente, la seguridad de estos elementos está condicionada por fenómenos de inestabilidad, abordándose su estudio de forma idéntica a la estudiada para los puntales, pero teniendo en cuenta que el elemento que puede pandear es el poste puesto que es el elemento que transmite las cargas.
2.5.6.
Celosías.
Se calculan como una estructura metálica de forma que se cumplan simultáneamente las condiciones de seguridad estructural y funcional. En el estado límite estructural habrá que comprobar que no se produce la rotura de ninguno de los elementos, así como el pandeo de los elementos a compresión. Se suele adoptar un coeficiente de seguridad de 1,5 para ambos casos. Para el estado límite funcional se garantizará que la flecha máxima no sobrepasa en ningún momento el límite fijado, que oscilará entre 2·L y 10·L, siendo “L” la longitud del elemento considerado, tal y como se ha visto antes.
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