Matematicas

Trigonometría Introducció La palabra Trigonometría se compone de trigonon que significa triángulo y metria que n:significa medición, es decir; medición de triángulos.

2.1 Ángulos

 Medir ángulos ha sido una actividad desde épocas milenarias.  Tales de Mileto (ca. 630-545 A. C. ) quien se presume era discípulo de Pitágoras calculaba la altura de edificaciones a partir de obtener los ángulos.

Trigonometría Actualmente se utiliza un teodolito para medir ángulos en tierra firme. Este instrumento es indispensable en trabajos topográficos y de la construcción para conocer cotas, desniveles de terreno, etc., así como calcular distancias.

Teodolito

¿Cómo lo hacia Tales de Mileto?

Actualmente se utiliza un teodolito para medir ángulos en tierra firme. Este instrumento es indispensable en trabajos topográficos y de la construcción para conocer cotas, desniveles de terreno, etc., así como calcular distancias.

El sol ilumina el objeto por lo que se produce una sobra y lo que se observa es un triangulo rectángulo (de 90°) aquel que tiene un Angulo recto, es decir El sol ilumina el objeto por lo que se produce una sobra y lo que se observa es un triangulo rectángulo (de 90°)

B

β

χ

α

C

aquel que tiene un Angulo recto, es decir :

A

El triangulo tiene 3 ángulos (a, b y c) y 3 lados ( A, B y C) en donde : C Hipotenusa, A Cateto adyacente, B Cateto opuesto.

Recordar…  La suma de los ángulos debe ser 180°

α + β + χ = 180° β α

χ

α + β = 180° − 90° = 90° α = 90° − β

Triángulos rectángulos.  Si conocemos dos de los lados del triángulo, como el Teorema de Pitágoras afirma que: conocemos el tercer lado.

B

A2 + B2 = C2

A C

Medida de ángulos

 Para medir ángulos se utiliza:

Grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales.

Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').

1º = 60' = 3600'' 1' = 60''

Radianes Un radián (rad) es la medida del ángulo central de una circunferencia cuya longitud de arco coincide con la longitud de su radio.

360º = 2π rad 180º= 1 π rad

Ejemplos:

 Para medir ángulos se utiliza: cambiar 30 ° a radianes

30°

∏ 180° = ∝ 30°

rad

30° ∏ ∝= = rad 180 6 cambiar π/3 rad a grados cambiar π/3 rad °

∏ 180°. ∏ 180 3 180 _______ = ∝= = = 60° ∏ ∝ ∏ 3 3

Ejercicio: Expresa los siguientes รกngulos en los dos sistemas de medida:

Tus resultados se parece a estos?

2.2 Funciones Trigonométricas:

rad o i

α

sen o

cosecant e

cosec α

co ta cotan α ng en te tan α α ta cosen ng o α ente

sen α

secante

sec α

cos α

2.2 Funciones Trigonométricas: Seno de ángulo agudo:

cateto opuesto A sen α = = hipotenusa C B

β χ

α

A

C α

1

BC

AC

2.2 Funciones Trigonométricas: Seno de ángulo agudo: cateto opuesto

sen α =

hipotenusa

B A = C

Coseno de un ángulo cateto adyacente B agudo: cos α = = hipotenusa

C

α

β χA

C B α

C

α

1

AC

BC β χA

α

1

BC

AC

2.2 Funciones Trigonométricas: Tangente y cotangente de un ángulo agudo cateto opuesto A tan α = = cateto adyacente B

α

1

BC

B α

β χA

C

cateto adyacente B = AC cotan α = cateto opuesto A

2.3 Gráficas trigonométricas 1 3 2 2 2

1 2

0 −

1 2

−

2 2

−

π π 6 4

π 3

π 2

π

2π 3π 5π 3 4 6

7π 5π 4π 6 4 3

3π 2

2π

5π 7π 11π 3 4 3

3 2

−1

0 1

π 6 3 2

π 4 2 2

π 3

π 2

2π 3π 3 4

1 2

0

−

5π 6

1 2 3 − − 2 2 2

π

−1

7π 5π 6 4 3 2

2 2

4π 3

3π 5π 2 3

1 2

0

−

7π 11π 4 3

1 2 3 − − 2 2 2

2π 1

Gráficas de la función coseno f(x)=cos x

Gráficas de la función tangente 3

f(x)=cos x

1 3 3

0 3 − 3

−1 − 3

π π 6 4

π 3

π 2

2π 3π 5π 3 4 6

π

7π 5π 4π 6 4 3

3π 2

5π 7π 11π 3 4 3

2π

Gráficas de la función Tangente f(x)= tg x

Gráficas de la función cotangente 3

1

f(x)=cotg x 3 3

0 −

3 3

−1 − 3

π π 6 4

π 3

π 2

2π 3π 5π 3 4 6

π

7π 5π 4π 6 4 3

3π 2

5π 7π 11π 3 4 3

2π

Gráficas de la función Tangente 1

f(x)= t x 0

−1

π π 6 4

π 3

π 2

2π 3π 5π 3 4 6

π

7π 5π 4π 6 4 3

3π 2

5π 7π 11π 3 4 3

2π

Gráficas de la función Tangente f(x)= t x 1

0

−1

π π 6 4

π 3

π 2

2π 3π 5π 3 4 6

π

7π 5π 4π 6 4 3

3π 2

5π 7π 11π 3 4 3

2π

f(x)=cosec x

Identidades Trigonométricas Relación fundamental de 2 2 sen α + cos trigonometría α =1

f(x)= t x

 Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos:

b2 + c2 = a 2

a

 Expresándolo de otra forma:

αα

c

b

2.4 Identidades Trigonométricas Relación fundamental de trigonometría

sen 2α + cos 2 α =1  1.- Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos:

b +c = a 2

2

2

 2.- Expresándolo de otra forma: 2

 3.- O lo que es lo mismo:

( senα ) 2 + ( cos α ) 2 = 1

 4.-Expresándolo de otra forma:

sen2α + cos 2 α = 1

2

b c   +  =1 a a

a b α

c

2.4 Identidades Trigonométricas Relación fundamental de trigonometría

Si β es el ángulo complementario de α , hay un triángulo rectángulo que los tiene como ángulos agudos y se tiene que:

(

sen β = cos α = cos 90 − β

(

cos β = sen α = sen 90 − β 

)

)

1

α cos

β

α

sen

α

Suma diferencia de dos ángulos

sen ( α + β) = senα ⋅ cos β + cos α ⋅ senβ sen ( α − β) = senα ⋅ cos β − cos α ⋅ senβ cos ( α + β) =

cos α ⋅ cos β − senα ⋅ senβ

cos ( α − β ) =

cos α ⋅ cos β + senα ⋅ senβ

tg( α + β) =

tgα + tgβ 1 − tgα ⋅ tgβ

tgα − tgβ tg( α − β) = 1 + tgα ⋅ tgβ

Ángulo Mitad

(nos basaremos en las fórmulas de las razones trigonométricas del ángulo doble)

sen 2α = sen ( α + α ) = senα ⋅ cos α + cos α ⋅ senα = 2 ⋅ senα ⋅ cos α cos 2α = cos ( α + α ) =

cos α ⋅ cos α − senα ⋅ senα = cos 2 α − sen2 α

tg 2α = tg ( α + α ) =

tgα + tgα = 1 − tgα ⋅ tgα

2tgα 1 − tg2α

sen 2α = 2 ⋅ senα ⋅ cos α 2 2 cos 2α = cos α − sen α tg 2α =

2tgα 1 − tg2α

Ángulo Mitad

(nos basaremos en las fórmulas de las razones trigonométricas del ángulo doble) 2 2 2 2 2 cos 2α = cos α − sen α = 1 − sen α − sen α = 1 − 2sen α

2sen2α = sen α = 2

1 − cos 2α

sen α = ±

1 − cos 2α 2

1 − cos 2α 2

2 2 2 2 2 cos 2α = cos α − sen α = cos α − 1 + cos α = 2 cos α − 1

2 cos 2 α = 1 + cos 2α cos 2 α = 1 + cos 2α 2 α 1 − cos α =± 2 2 α 1 − cos α tg = ± 2 1 + cos α α 1 + cos α cos = ± 2 2

sen

cos α = ± tg α =

±

1 + cos 2α 2 1 − cos 2α 1 + cos 2α

Ángulo Mitad

(nos basaremos en las fórmulas de las razones trigonométricas del ángulo doble)

 1.- Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos:

2.- Si dividimos la expresión anterior por b2 o por c2 2 2 2

b c a + = b2 b2 b2

2

1 + ( tgα ) = ( sec α ) 2

2

1 + tg2α = sec 2 α

3.- Expresándolo de otra forma:

1 + ( cot gα ) = ( cos ec α )

b2 c 2 a2 + = c2 c2 c2

b2 + c 2 = a2

2

1 + cot g2α = cos ec 2 α

a b α

c

Funciones trigonométricas  Para calcular el seno (o el coseno) de un ángulo agudo a , colocamos un triángulo rectángulo como en la figura.

Pα El seno (o coseno) del ángulo es la ordenada (o la abscisa) del punto de intersección

Pα

de la hipotenusa con el círculo.

Pero no es necesario tener todo el rectángulo, basta con tener la recta que unePα con el origen.  DEFINIMOS para un ángulo a , medido a partir de la recta l contra las manecillas del reloj:

sen α

la ordenada de

cos α la abscisa de

Pα

α

Pα

Funciones trigonométricas

1

O

α cos α

l tatannddooeel n e n e m u m a u quueeaal lirir a a OObbseservrvaa q ta 9900ººeel lsesennoovva 1. r . assta ggaar raaseser 1 áánngguulolohha haastsatalle e ll o, , h ccrereccieiennddo o nt to PPoor rlolotatan

P(x,y)

sen α sen α

1

sen α sen α sen α

Y

radio= X 1

= 11 sseenn9900ºº = va

oosesennoo va 0 c l c e l z e e z v r 0 s u ve AAsu aastsatavvaaleler h h o d o n d e n y ddisismmininuuye

==00 º º 0 0 9 9 s s o cco

va ststaa9900ººeel lsesennoo va a h a lo h gu lo n á gu l n e á o l d entatanndo e ir aummen OObbseservrvaaqquueealal ir au r a seser r11. .PPoor rlolotatanntoto llega r a enddoo, ,hhasastata llega crcreecicien

sseenn9900ºº==11

valeler r00 nnddoohhaaststaava ye u in ye u m is in d m is va d o n va coseseno vezzeel lco AAsu suve

ccooss9900ºº==00

Ley del Coseno

El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo correspondiente  Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC:

a 2 = h2 + ( c − m ) = 2

= h2 + c 2 − 2cm + m2 = (en AHC)

= b 2 − m2 + c 2 − 2cm + m2 = = b 2 − m2 + c 2 − 2cm + m2 = = b 2 + c 2 − 2cm (Como en AHC

m = b . cos A)

Análogamente (trazando las otras alturas) obtendríamos:

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos Aˆ b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos Bˆ ˆ c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos C

Ley del Seno

Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.  La ley de seno sirve para relacionar los lados de un triángulo con los ángulos opuestos. Consideremos un triángulo ABC. Trazamos la altura correspondiente al vértice C. Los triángulos AHC y BHC son rectángulos. Entonces:

hC = b ⋅ sen Aˆ   hC = a ⋅ sen Bˆ 

⇒ b ⋅ sen Aˆ = a ⋅ sen Bˆ ⇒

⇒

a b = sen Aˆ sen Bˆ

C

Del mismo modo, si trazamos la altura correspondiente al vértice A:

ˆ  h A = b ⋅ sen C ˆ = c ⋅ sen Bˆ  ⇒ b ⋅ sen C h A = c ⋅ sen Bˆ 

⇒

b

a

hA

b c = ˆ sen Bˆ sen C

A

c

B