Las C贸nicas
Las Cónicas Las cónicas son curvas que se obtienen como intersección de un cono y un plano:
circunfere ncia
elipse
parábola
hipérbola
Las cónicas son curvas En esta sección solo se revisaran las circunferencia y la parábola planas .
Las Circunferencia
Es el lugar geomĂŠtrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo, llamado centro, es constante
centro r = radio ( es la medida de este segmento)
Los Lospuntos puntosde delalacircunferencia circunferenciason sonlos losque queestĂĄn estĂĄnaadistancia distanciar r de deun unpunto puntofijo fijollamado llamadocentro. centro.
P (x, y) r C (a, b)
Si se traza en un eje cartesiano toda circunferencia conviene considerar: C: es el centro de la circunferencia. P: un punto cualquiera de la circunferencia. r: se le conoce como radio y es la distancia del centro de la circunferencia al punto P.
Ecuación analítica de la circunferencia Si se hace coincidir el centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2.
Ecuación analítica de la circunferencia •
•
Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r por lo tendría que: r2 = (x – a)2 + (y – b)2 Al desarrollar resolviendo los cuadrados y obtenemos: x2 + y2 + a2 + b2–2ax –2by – r2 = 0
x2 + y2 + a2 + b2–2ax –2by – r2 = 0 • Si se reemplaza D=–2a E=–2b F = a2 + b2 – r2 • Se tendría que: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Ejemplo1 Si la ecuación es x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0 Entonces : D=6 E=–8
6 = – 2a – 8 = – 2b
a=–3 b=4
El centro de la circunferencia es (–3,4). Se encuentra el radio al calcular F F = (– 3)2 + (4) 2 – r2 – 11 = (– 3)2 + (4) 2 – r2 r 2 = 11+9+16 así que r 2 =36 y r = 6 La ecuación de la circunferencia queda: (x + 3)2 + (y – 4)2 = 36
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 D=–2a E=–2b F = a2 + b2 – r2 (x – a)2 + (y – b)2 =r2
Ejemplo 2 Si la circunferencia tiene el centro en (3,5) y radio de 1.4 ¿cual es la ecuación que define dicha condición?
(x – a)2 + (y – b)2 =r2 r C (a, b)
El centro es : C(a, b) en este caso C (3,5) El radio es 1.4
(x – a)2 + (y – b)2 =r2 a=3 y b=5 Y si es el radio es 1.4
( x − 3) 2 + ( y − 5) 2 = 1.4 ( x − 3) 2 + ( y − 5) 2 = (1.4) 2
( x − 3) 2 + ( y − 5) 2 = 1.96
n de ó i c a u c la e Esta es erencia de nf la circu ,5) y radio (3 centro 1,4
Ejemplo 3 Si la circunferencia tiene el punto (4,6) está en la circunferencia de centro (3,5) y radio 1,4 ¿cual es la ecuación que define dicha condición
( x − 3) 2 + ( y − 5) 2 = 1.96
(4 − 3) 2 + (6 − 5) 2 = 1.96
Esta ecuación no se satisface, ya que el miembro de la izquierda es 2.
Por lo que se puede responder que el punto (4,6) no es un punto de la circunferencia dada. Así, la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (a,b) y de radio r es:
Esta e s están la ecuació d n circun ar de la f centr erencia co o (a,b n ) y ra d io r
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
Ejemplo3 A partir de las siguientes ecuaciones cuadráticas en x y y, ¿como se podría definir si se trata de la ecuación de una circunferencia?
a) x 2 + y 2 − 2 x + 3 y = 0
b) x 2 + y 2 − 2 x + 3 y = − 4
Ejemplo4 a) x 2 + y 2 − 2 x + 3 y = 0 Completando cuadrados, se ve con claridad observa que la ecuación dada es equivalente a las siguientes:
2
13 13 2 2
2
3 3 x − 2 x + (−1) + y + 3 y + = 0 + ( −1) 2 + 2 2 2 3 9 ( x − 1) 2 + y + = 1 + 2 4 YYesta estaesesclaramente claramentelalaecuación ecuaciónestándar estándarde delala 2 circunferencia 3 13 circunferenciacon concentro centro(1, (1,-3/2) -3/2)yyradio radio 13 ( x − 1) 2 + y + = 2 4 2 2
2
2
1. 4x 2 + 72x + 4 2. 4(x 2 + 18x) + 4
¿?
Doble producto = 2ax Entonces
a=9
x 2 + 18x + ....... = x 2 + 2ax + a 2
3. 4(x 2 + 18x + 81 - 81 ) + 4 4. 4(x +9)2 −4 ×81 +4
5. 4(x + 9) − 320 2
Listo!!!
Ejemplo5 Encontrar la ecuación de la recta tangente al círculo (x-3)2+(y-12)2=100 en el punto P(-5,6). •
Recuerda: Una recta es tangente a un círculo si toca a éste en un solo punto. La recta tangente a un circulo tiene la propiedad de ser perpendicular al radio que une al centro del círculo con el punto de tangencia. Esta propiedad es la que nos permite encontrar la ecuación de la recta tangente. Se debe encontrar la pendiente del radio que une a P con el centro del círculo. El centro tiene coordenadas (3,12). La pendiente buscada es m=3/4. De donde la pendiente de la recta tangente al círculo en P es –4/3; por tanto su ecuación es y-6=-4/3(x-(-5)), o bien 4x+3y+2=0
12 6 -5
3
La Parábola Parábola es el conjunto de todos los puntos que están a igual distancia de un punto fijo, llamado FOCO y a una recta llamada DIRECTRIZ. Elementos distintivos de una parábola: La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz se llama eje de la parábola. El punto medio entre el foco y la directriz se denomina vértice. El vértice es el único punto de la parábola que pertenece a ese eje. Por ejemplo, si tomamos como foco el punto F(0,p) (donde p es un número positivo) y como directriz, la recta y = -p, la parábola es la que aparece a la derecha.
Ecuación de una Parábola con vértice en el origen Caso 1 La ecuación de una Parábola con vértice en el origen, eje focal sobre el eje X y foco en el punto F(a, 0) con a > 0 es:
Abre a la derecha Vértice: V(0, 0) Foco: F(a, 0) Longitud del Lado Recto: Ecuación de la Directriz:
L(a, 2a) V(0, 0)
F(a, 0)
R(a, -2a)
Punto de equilibrio Una pequeña compañía que ofrece tours particulares a la Ciudad e México tiene como personal a una secretaria y un instructor. Mensualmente se tienen los siguientes gastos fijos: renta de oficina $5700, servicios $2000, sueldo de la secretaria $3500 y $800 en materiales (hojas, lápices, gises y borradores). El instructor percibe $200 por cada hora impartida, si la compañía cobra $350 por hora trabajada:
a)¿Cual es la variable independiente? b)Cuál es la fórmula de costo total? c)¿Cual es la función de ingreso? d)¿Cuál es el punto de equilibrio? e)Construya el grafico
ECUACIÓN DE UNA t PARÁBOLA CON VÉRTICE La ecuación de una Parábola conORIGEN vértice en el origen, eje focal sobre el EN EL CASO 3 eje Y y foco en el punto F(0, a) con a > 0 es:
Abre hacia arriba
Vértice: V(0, 0)
Foco: F(0, a)
Longitud del Lado Recto:
Ecuación de la Directriz:
F(0, a) R(2a, a)
L(-2a, a) V(0, 0)
ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN CASO 4 La ecuación de una Parábola con vértice en el origen, eje focal sobre eleje Y y foco en el punto F(0, a) con a < 0 es:
Abre hacia abajo
Vértice: V(0, 0)
Foco: F(0, a)
Longitud del Lado Recto: Ecuación de la Directriz:
V(0, 0)
L(2a, a)
F(0, a) R(-2a, a)
Ecuación de una Parábola con Vértice en el punto distinto al origen. Eje Focal paralelo al eje X
a>0 Abre a la derecha Vértice: Foco: Directriz:
a<0 Abre a la izquierda Vértice: Foco: Directriz:
Ecuación de una Parábola con Vértice en el punto distinto al origen
Eje Focal paralelo al eje X
a>0 Abre a la derecha Vértice: Foco: Directriz:
a<0 Abre a la izquierda Vértice: Foco: Directriz:
Eje Focal paralelo al eje y
a>0 Abre a la derecha VĂŠrtice: Foco: Directriz:
a<0 Abre a la izquierda VĂŠrtice: Foco: Directriz:
Ecuaci贸n de una par谩bola en forma general * Si su eje focal es paralelo al eje X:
* Si su eje focal es paralelo al eje Y:
Ejercicio: Trazar la gráfica y encuentra la ecuación canónica de la parábola con vértice en (– 2, 4) y foco en el punto (– 2, 3). 2 ( x − h) y−k =
4a
Dado que el vértice y el foco tienen igual abscisa el eje de la parábola es vertical y tiene ecuación x = – 2 , Abre hacia abajo ya que a = – 1 , entonces se sabe que la directriz tiene ecuación y = 5. La ecuación normal o canónica de la curva dada es: 2 ( x + 2) y−4=
4