Geometría Analítica
Geometría analítica Ecuación de la recta La forma general de la ecuación de una recta contempla tanto a las rectas verticales como los que no son. Dicha forma general se obtiene pasando todos los términos de la ecuación de un miembro, de manera que éste quede igualado a cero.
Ax + By + C = 0 Donde a,b,c ∈ R, representa una ecuación lineal con dos incógnitas llamada ecuación General de la Recta o forma general, las soluciones son pares ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano
Ejemplo:
a) De la ecuación : trazar la gráfica.
Primero, igualar de acuerdo a la formula general Posteriormente, sustituir los valores de x =0 y en y=0 y
2(0) − y = −6
X
Y coordenada
-3
0 (-3,0)
2 x − 0 = −6
1
8 (1,8)
6 x=− 2 x = −3
0
6 (0,6)
-2
2 (-2,2)
y = −6
1 0 8
• 6 • 4
• -2
2
-2
2
4
-4 -6 -8
Observaciones: 1.
A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una recta.
•
Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto que es solución de la ecuación dada, es decir satisface esta ecuación.
6
10
x
Pendiente: Definici Sea l una recta que no es paralela al eje “y”, y sea P1 (X1,Y1) y P2 (X2,Y2) dos puntos ón: distintos en l. La pendiente de m en l es Si l es paralela al eje, entonces su pendiente no está definida
m=
Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que:
y2 − y1 x2 − x1
y1 y2 y3 = = = const = tan θ = m x1 x2 x3
y 10 8
•
P1
6
10
6
•
4 2 -2
•
P3
Esto es:
P2
• -2 -4 -6 -8
2
4
x
y =m x
Es decir, y = mx
Ejemplo:
Sea L2 una recta en el plano cuya ecuación es: Despejemos ”y” en la ecuación, para darle la forma principal.
4 x − y −1 = 0
Nota: La ecuación se conoce como ecuación de la recta, donde m es la pendiente de la recta ( ángulo de inclinación de la recta respecto el eje x) y b es el intercepto con el eje y eje de las ordenadas o el punto donde la recta corta al eje y (ordenada al origen).
Tipos de pendientes m>0
m<0
y
y
x
Si b= 0 entonces m y n no existen y
x
si a= 0 entonces m=o
y
x
x
Ejemplo: para la ecuación : 4x - 2y - 4 = 0 despejamos la variable “y” en función de la variable “x” así:
4x − 2 y − 4 = 0
− 2 y = 4x + 4 2 y = 4x − 4
y
4 x −4 y = 2 y =2 x −2 m =2 b =− 2
x
La pendiente es positiva por lo tanto la recta forma un ángulo agudo . La recta corta al eje y en -2 , en el punto (0,-2)
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Sean P(x1, y1) y Q(x2, y2) dos puntos de una recta. En base a estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación. Para ello tomemos un tercer punto R(x, y), también perteneciente a la recta. Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea
y 2 - y1 m PQ = x2 - x 1
mPR =
Igualando ambas ecuaciones :
y - y1 x - x1 y 2 - y1 y - y1 = x2 - x 1 x - x1 y - y1
que también se puede expresar como y: - y1 = ( x2 - x1 ) x - x1
Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos Los puntos (1,2) y (3,3) pertenecen a la recta Usaremos la ecuación y
y - y m = 2 1 x2 - x1
5 4
•
3
Si lo sustituimos en la ecuación tenemos:
2
•
1
m=
3 -1 2 = =2 3-2 1
Por Portanto tantolalapendiente pendientemm==22
-2
-1
-1
1
2
3
4
x
Para determinar la ecuación, se sustituye una de las “x” y “Y”
y -1 =2 x-2 y −1 = 2 x − 4
y − 2x + 3 = 0
Posiciones de dos rectas en el plano Dos rectas L1 y L2 en el plano pueden adoptar 3 posiciones: a)Que sean Paralelas b) Que se intercepten
•
y 5
•
4
3
•
2
•
2
1
1 1
-1
5 4
3
-1
y
2
3
x
4
1
-1
L
-1
•
y 5 4 3
•
2 1
c) Que sean Coincidentes
1
-1 -1
2
3
x
4 L
2
3
x
4 L
Rectas paralelas Dos rectas L1 y L2 son paralelas si sus pendientes son iguales: Es decir: Sea L1: recta de ecuación y = m1x + b L2: recta de ecuación y = m2 x + b
L1 // L 2 si m1 = m2
y L
•y
y2
2
L2
–
y1
•
y1 α
x1
x2 – x1
x2
x
Ejemplo:
Grafique las rectas de ecuaciones en el mismo plano cartesiano y=x
y=x–2 y=x–3
y=x+1
y 5 4 3 2 1 -2
-1
-1
1
2
3
4
x
Intersección de dos rectas Rectas Dos rectas que se cortan en un punto cualquiera se llaman rectas secantes, pero si además Perpendiculares: de cortarse en un punto, ambas rectas forman un ángulo recto ( de 90º), se dice que son perpendiculares. Si L1 es una recta de ecuación y
L
y
•y
2
2
L2 es una recta de ecuación: y= m2x +n
– • x2 – x 1 y
y 1
y=m1 x + n
α | |
1
x
x
1
2
x
L1 ┴ L2 si m1 • m2 = -1
Punto de equilibrio Una pequeña compañía que ofrece tours particulares a la Ciudad e México tiene como personal a una secretaria y un instructor. Mensualmente se tienen los siguientes gastos fijos: renta de oficina $5700, servicios $2000, sueldo de la secretaria $3500 y $800 en materiales (hojas, lápices, gises y borradores). El instructor percibe $200 por cada hora impartida, si la compañía cobra $350 por hora trabajada:
a)¿Cual es la variable independiente? b)Cuál es la fórmula de costo total? c)¿Cual es la función de ingreso? d)¿Cuál es el punto de equilibrio? e)Construya el grafico
a) La variable independiente son las horas X que sería el número de horas b) CT = 5700+2000+3500+800+ 200x CT= 12,000 + 200x
t
c) I= 350 x d) Punto de equilibrio CT=I 12,000 + 200 x = 350 x Despejas x 12,000 = 350 x – 200 x X= 12,000 150 X= 80 Para verificar que se cumple el punto, es decir que no se pierde o gana dinero, sustituyo la x en ambas ecuaciones:
CT= 12,000 + 200 (80) CT= 28,000 I= 350 (80) I= 28,000
Por lo tanto el costo total es igual al ingreso (CT=I)
Rectas coincidentes Rectas coincidentes: Si L1 y L2 son coincidentes entonces sus pendientes m1 y m2 son iguales y su intercepto con el eje de ordenadas “n” en ambas rectas son iguales es decir las rectas coinciden punto a punto. Si L1: y = m1 x + n1 L2: y = m2 x + n2 L1 y L2 son coincidentes entonces m1 = m2 y n1 = n2 L1 y L2 son la misma recta.
y
L1
•
y2
•
y1 α
x1
x2
x
Ecuación de la recta forma simétrica
A partir de la ecuación de la recta
Podemos escribirla como
Si C≠ 0, podemos dividir entre –C
Ax + By + C = 0
Ax + By = −C
Ax + By =1 −C
Si además A y B son distintos de cero, podemos escribir la ecuación como
C
Llamemos a= − A
C
y b= − B quedando
x y + =1 C C − − A B
x y + =1 a b
La ecuación se llama forma simétrica de la ecuación de una recta y tiene la ventaja de que en ella se puede ver que la recta corta a los dos ejes como se muestra en la siguiente figura La figura ilustra una recta que pasa por los puntos A(a,0) y B(0,b). Al calcular la pendiente obtendríamos:
m=
b−0 −b ⇒m= 0−a a
OBSERVACIONES: OBSERVACIONES: SiSiX= X=0,0,obtenemos obtenemosy=b y=b SiSiY=0, Y=0,obtenemos obtenemosx=a x=a
Ejemplo:
A) A)Encuentre Encuentrelalaecuación ecuaciónde delalarecta rectaque quecorta cortaaalos los ejes (5,0) y (0,-3) ejes (5,0) y (0,-3) Sustituimos en la ecuación
1)
x y + =1 a b
B)B)Encuentre Encuentrelos los puntos puntosen enlos losque que lalarecta corta a recta corta alos los ejes ejes: :
Donde a= 5 y b= -3
5x + 8 y − 6 = 0
x y + =1 5 −3 2)
Despejando se obtiene
− 3 x + 5 y + 15 = 0
1) Sustituimos en la ecuación: Ax + By =1 −C 2) Obtenemos:
5x + 8 y =1 6 3) Se puede escribir como:
4) Así que la recta corta a los ejes:
x y + =1 6 6 5 8
6 3 ,0 y 0, 5 4
Bibliografía:
Goldman A, Lirsch L. 1996. Algebra y trigonometría con geometría analítica. Edit. Prentince Hall. México. 89-94 pp. Oteyza E. 2005. Geometría analítica. Edit. Pearson. México. 41-57 pp Swokowski E. 1989. Calculo con geometría analítica. 2ª Ed. Edit. Grupo editorial Iberoamericana. México, 20-29 pp http://www.comunidadxbox.com/foroxbox360/general/