Trigonometría Introducción: 9 La palabra Trigonometría se compone de trigonon que significa triángulo y metria que significa medición, es decir; medición de triángulos.
2.1 Ángulos 9 Medir ángulos ha sido una actividad desde épocas milenarias. 9 Tales de Mileto (ca. 630‐545 A. C. ) quien se presume era discípulo de Pitágoras calculaba la altura de edificaciones a partir de obtener los ángulos.
Trigonometría Actualmente se utiliza un teodolito para medir ángulos en tierra firme. 9Este instrumento es indispensable en trabajos topográficos y de la construcción para conocer cotas, desniveles de terreno, etc., así como calcular distancias.
Teodolito electrónico
¿Cómo lo hacia Tales de Mileto? Actualmente se utiliza un teodolito para medir ángulos en tierra firme. 9Este instrumento es indispensable en trabajos topográficos y de la construcción para conocer cotas, desniveles de terreno, etc., así como calcular distancias.
9El sol ilumina el objeto por lo que se produce una sobra y lo que se observa es un triangulo rectángulo (de 90°) 9aquel que tiene un Angulo recto, es decir 9El sol ilumina el objeto por lo que se produce una sobra y lo que se observa es un triangulo rectángulo (de 90°)
B
β
χ
α
C
9aquel que tiene un Angulo recto, es decir :
A
9El triangulo tiene 3 ángulos (a, b y c) y 3 lados ( A, B y C) en donde : C Hipotenusa, A Cateto adyacente, B Cateto opuesto.
Recordar… 9 La suma de los ángulos debe ser 180°
α + β + χ = 180° 9 Como c tiene 90 °
β α
χ
α + β = 180° − 90° = 90° α = 90° − β 9Llamado ángulo complementario
Triángulos rectángulos. 9 Si conocemos dos de los lados del triángulo, como el Teorema de Pitágoras afirma que: conocemos el tercer lado.
B A C
A2 + B2 = C2 9Eso sí, debemos saber si los lados que conocemos son catetos
Medida de ángulos 9 Para medir ángulos se utiliza: Grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales. Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos (''). 1º = 60' = 3600'' 1' = 60''
Radianes 9Un radián (rad) es la medida del ángulo central de una circunferencia cuya longitud de arco coincide con la longitud de su radio. 360º = 2π rad 180º= 1 π rad
Ejemplos: 9 Para medir ángulos se utiliza: cambiar 30 ° a radianes
930°
∏ 180° = ∝ 30°
rad
30° ∏ ∝= = rad 180 6 9cambiar π/3 rad a grados cambiar π/3 rad °
∏ 180°. ∏ 180 3 180 _______ = ∝= = = 60° ∏ ∝ ∏ 3 3
Ejercicio: Expresa los siguientes ángulos en los dos sistemas de medida:
G. sexagesimal
60 º
Radianes
210º 2π/3
5π/6
Tus resultados se parece a estos? G. sexagesimal
60 º
120
210º
150°
Radianes
π/3
2π/3
7π/6
5π/6
2.2 Funciones Trigonométricas: cotan α
o
α
tan α
α
sen o
cosecant e
cosec α
α cosen
sen α
secante
sec α
cos α
2.2 Funciones Trigonométricas: Seno de ángulo agudo:
cateto opuesto A sen α = = hipotenusa C B
β χ
α
A
C α
1
BC
AC
2.2 Funciones Trigonométricas: Seno de ángulo agudo: cateto opuesto A sen α = = hipotenusa C
B
χ
α
A
C
Coseno de un ángulo agudo: cateto adyacente B cos α = = hipotenusa C
β
B C
AC
BC β χ
α
α
1
A
α
1
BC
AC
2.2 Funciones Trigonométricas: Tangente y cotangente de un ángulo agudo tan α =
cateto opuesto A = cateto adyacente B
α
1
BC
B
β
χ
α
A
C
AC cotan α = cateto adyacente = B A cateto opuesto
2.3 Gráficas trigonométricas 1 3 2 2 2
1 2
0 −
1 2
−
−
π π 6 4
π 3
a
0
π 2
π
2π 3π 5π 3 4 6
7π 5π 4π 6 4 3
3π 2
2π
5π 7π 11π 3 4 3
2 2
3 2
−1
COS
a
1
π 6 3 2
π 4 2 2
π 3
π 2
2π 3π 5π 3 4 6
π
1 2
0
−
1 2 3 − − 2 2 2
−1
7π 5π 4π 6 4 3 3 2
2 2
1 2
3π 5π 2 3
0
−
7π 11π 4 3
1 2 3 − − 2 2 2
2π
1
Gráficas de la función coseno f(x)=cos x
Gráficas de la función tangente f(x)=cos x
3
1 3 3
0 3 − 3
−1 − 3
π π 6 4
π 3
π 2
2π 3π 5π 3 4 6
π
7π 5π 4π 6 4 3
3π 2
5π 7π 11π 3 4 3
2π
Gráficas de la función Tangente f(x)= tg x
Gráficas de la función cotangente 3
1
f(x)=cotg x 3 3
0 −
3 3
−1 − 3
π π 6 4
π 3
π 2
2π 3π 5π 3 4 6
π
7π 5π 4π 6 4 3
3π 2
5π 7π 11π 3 4 3
2π
Gráficas de la función Tangente 1
f(x)= t x 0
−1
π π 6 4
π 3
π 2
2π 3π 5π 3 4 6
π
7π 5π 4π 6 4 3
3π 2
5π 7π 11π 3 4 3
2π
Gráficas de la función Tangente f(x)= t x 1
0
π π 6 4
π 3
π 2
2π 3π 5π 3 4 6
π
7π 5π 4π 6 4 3
3π 2
5π 7π 11π 3 4 3
2π
f(x)=cosec x −1
Identidades Trigonométricas Relación fundamental de trigonometría
f(x)= t x
sen 2α + cos 2 α = 1
9 Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos:
b2 + c2 = a2
a
9 Expresándolo de otra forma:
αα
c
b
2.4 Identidades Trigonométricas Relación fundamental de trigonometría
sen 2α + cos 2 α = 1 9 1.‐ Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos:
b +c = a 2
2
2
9 2.‐ Expresándolo de otra forma: 2
9 3.‐ O lo que es lo mismo:
(senα )2 + (cos α )2 = 1
9 4.‐Expresándolo de otra forma:
sen2 α + cos 2 α = 1
2
⎛b⎞ ⎛c⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =1 ⎝a⎠ ⎝a⎠
a b α
c
2.4 Identidades Trigonométricas Relación fundamental de trigonometría
α
Si β es el ángulo complementario de , hay un triángulo rectángulo que los tiene como ángulos agudos y se tiene que:
( cos β = sen α = sen (90
) −β)
sen β = cos α = cos 90o − β o
1
α cos
β
α
sen
α
Suma diferencia de dos ángulos sen (α + β) = senα ⋅ cos β + cos α ⋅ senβ sen (α − β) = senα ⋅ cos β − cos α ⋅ senβ cos (α + β) =
cos α ⋅ cos β − senα ⋅ senβ
cos (α − β) =
cos α ⋅ cos β + senα ⋅ senβ
tg(α + β) =
tg α + tg β 1 − tg α ⋅ tg β
tg α − tg β tg(α − β) = 1 + tg α ⋅ tg β
Ángulo Mitad
(nos basaremos en las fórmulas de las razones trigonométricas del ángulo doble)
sen 2α = sen (α + α ) = senα ⋅ cos α + cos α ⋅ senα = 2 ⋅ senα ⋅ cos α cos 2α = cos (α + α ) =
cos α ⋅ cos α − senα ⋅ senα = cos 2 α − sen 2 α
tg 2α = tg (α + α ) =
tg α + tg α = 1 − tg α ⋅ tg α
2tg α 1 − tg 2α
sen 2α = 2 ⋅ senα ⋅ cos α 2 2 cos 2α = cos α − sen α tg 2α =
2tg α 1 − tg 2α
Ángulo Mitad
(nos basaremos en las fórmulas de las razones trigonométricas del ángulo doble) 2 2 2 2 2 cos 2α = cos α − sen α = 1 − sen α − sen α = 1 − 2sen α
2sen2 α =
sen α = 2
1 − cos 2α
sen α = ±
1 − cos 2α 2
1 − cos 2α 2
2 2 2 2 2 cos 2α = cos α − sen α = cos α − 1 + cos α = 2 cos α − 1
2 cos 2 α = 1 + cos 2α cos 2 α = 1 + cos 2α 2 α 1 − cos α =± 2 2 α 1 − cos α tg = ± 2 1 + cos α α 1 + cos α cos = ± 2 2
sen
cos α = ± tg α =
±
1 + cos 2α 2 1 − cos 2α 1 + cos 2α
Ángulo Mitad
(nos basaremos en las fórmulas de las razones trigonométricas del ángulo doble)
9 1.‐ Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos:
92.‐ Si dividimos la expresión anterior por b2 o por c2 2 2 2
b c a + = b2 b2 b2
b2 c 2 a2 + = c2 c2 c2
b2 + c 2 = a2
1 + (tg α ) = (sec α ) 2
2
1 + tg 2α = sec 2 α
93.‐ Expresándolo de otra forma:
1 + (cot gα ) = (cos ec α ) 2
2
1 + cot g2α = cos ec 2α
a b α
c
Funciones trigonométricas 9 Para calcular el seno (o el coseno) de un ángulo agudo a , colocamos un triángulo rectángulo como en la figura.
Pα
El seno (o coseno) del ángulo es la ordenada (o la abscisa) del punto de intersección de la hipotenusa con el círculo. α
P
9Pero no es necesario tener todo el rectángulo, basta con tener la recta que une con el origen. Pα 9 DEFINIMOS para un ángulo a , medido a partir de la recta l contra las manecillas del reloj:
sen α
la ordenada de
P
α
Pα
cos α la abscisa de α
Funciones trigonomĂŠtricas
Ley del Coseno
El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo correspondiente 9 Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC:
a 2 = h2 + (c − m ) = 2
= h2 + c 2 − 2cm + m 2 = (en AHC)
= b 2 − m 2 + c 2 − 2cm + m 2 =
= b 2 − m 2 + c 2 − 2cm + m 2 = = b 2 + c 2 − 2cm (Como en AHC m = b . cos A)
Análogamente (trazando las otras alturas) obtendríamos:
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos Aˆ b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos Bˆ c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos Cˆ
Ley del Seno
Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. 9 La ley de seno sirve para relacionar los lados de un triángulo con los ángulos opuestos. 9Consideremos un triángulo ABC. 9Trazamos la altura correspondiente al vértice C. 9Los triángulos AHC y BHC son rectángulos. Entonces:
hC = b ⋅ sen Aˆ ⎫ ⎬ hC = a ⋅ sen Bˆ ⎭
⇒ b ⋅ sen Aˆ = a ⋅ sen Bˆ ⇒ ⇒
a b = sen Aˆ sen Bˆ
C
Del mismo modo, si trazamos la altura correspondiente al vértice A:
ˆ ⎫ h A = b ⋅ sen C ⎬ ⇒ b ⋅ sen Cˆ = c ⋅ sen Bˆ h A = c ⋅ sen Bˆ ⎭
b
a
hA
b c ⇒ = ˆ sen Bˆ sen C
A
c
B