Geometría by Hernan Dario Durango Tobon

Capítulo 1

ELEMENTOS BÁSICOS El significado etimológico de la palabra GEOMETRÍA es medida de la tierra (geo: tierra; metria: medida). Este hecho nos remonta a los inicios de la geometría y con ello a las culturas griega y egipcia, las cuales fundamentan la llamada cultura occidental; cabe anotar que los chinos establecieron sus propios sistemas numéricos a partir de otros conceptos filosóficos (ver Lizcano, Emmánuel. Imaginario colectivo y creación matemática). Se le debe a Euclides (300 a.c.) el compendio de los diferentes conceptos de geometría en lo que fue el primer libro de teoría axiomática: “Los elementos”; dicho libro se basa en cinco postulados (afirmaciones sin demostración) y cinco axiomas (verdades evidentes por sí mismas)1, sobre los cuales se soportan los resultados obtenidos, por ejemplo, el conocido como teorema de Pitágoras, que corresponde al teorema número 47. Una teoría axiomática es aquella conformada por un conjunto de términos no definidos, términos definidos, postulados y axiomas, los cuales por medio de reglas lógicas permiten generar teoremas y corolarios que amplían la teoría (el significado de cada uno de estos términos es presentado más adelante). Los elementos fue el libro de geometría por excelencia durante aproximadamente dos mil años. Las discusiones que generó en la comunidad matemática (años 1890-1930 aproximadamente) el quinto postulado de Euclides y la posibilidad de que fuese un teorema dieron lugar al nacimiento de otras geometrías igualmente válidas. A partir de entonces se habla de geometría euclidiana para referirse a la geometría basada en los cinco postulados de Euclides, y geometrías no-euclidianas para aquellas otras en las que no se cumple el quinto postulado.

Postulados y axiomas presentados por Euclides2 Se postula: P1. Trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta otro punto cualquiera. P2. Prolongar indefinidamente una línea recta limitada en línea recta. 1 Actualmente puede considerarse que no existen verdades evidentes por sí mismas, sino que no son demostrables. Por lo tanto, en el texto se trabaja únicamente con el término postulado. 2 CAMPOS, Alberto. Axiomática y Geometría desde Euclides hasta Hilbert y Bourbaki. Obra presentada para optar a profesor titular del Departamento de Matemática y Estadística de la Universidad Nacional de Colombia. Bogotá, 1994.

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P3. Trazar un círculo con centro y distancia cualesquiera. P4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. P5. Si una línea recta incidente sobre dos líneas rectas hace ángulos internos por un mismo lado, menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, prolongadas indefinidamente, se encuentran por el lado en que están los ángulos menores que dos ángulos rectos. Nótese que el primer postulado garantiza la existencia de por lo menos, dos puntos; el segundo la colinealidad y la infinitud de la recta; el tercero, la construcción de segmentos de cualquier medida y así mismo círculos; el cuarto determina lo que más adelante llamaremos congruencia de ángulos, y el quinto garantiza la existencia de las rectas paralelas. Cada uno de estos postulados aparecerá en el texto aunque expresado de otra manera. Los axiomas presentados por Euclides son los siguientes: A1. Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí. A2. Si iguales se adicionan a iguales, los totales son iguales. A3. Si iguales se sustraen de iguales, los restos son iguales. A4. Cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí. A5. El todo es mayor que la parte. Este capítulo presenta los términos primitivos que serán utilizados, y aquellos importados de otras teorías, tales como la lógica, la teoría de conjuntos y la aritmética, así como los postulados de manera tal que permitan construir la teoría a desarrollar.

1.1 Términos primitivos y figuras geométricas Definir Una teoría en construcción requiere de una serie de objetos a ser definidos y estudiados, sin éstos carecería de sentido. Por lo tanto, lo primero que se hará será encontrar la respuesta a la pregunta ¿Qué es definir?, así como la manera de saber cúando una definición está bien hecha. La intención del texto es dar las herramientas para que sea el mismo estudiante quien responda a las preguntas que le surjan a lo largo de su estudio. Sin olvidar la pregunta que se pretende responder, en el contexto de los seres vivos defina la palabra GATO. Gato:

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Un acercamiento al pensamiento geométrico

Confronte su definición con la de otros compañeros. ¿Qué tienen en común? ¿Cuáles son las diferencias? Común

Diferente

Ahora mejore la definición inicial a partir de lo encontrado en el cuadro anterior y en la discusión que haya tenido lugar. Gato:

Decir que Gato es un animal es nombrar una de sus características, pero no es suficiente para definirlo. Tomemos, como ejemplo, la siguiente definición dada por un estudiante: Gato: Animal cuadrúpedo de la familia de los felinos, se alimenta de leche y es ágil para trepar. Al compararla con las definiciones de otros compañeros obtiene la siguiente tabla: Común

Diferente

Animal

Felino

Mamífero (se alimenta de leche)

Peludo

Cuadrúpedo (tiene cuatro patas)

Ágil para trepar Carnívoro Doméstico ▪ 23

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Ahora bien, ¿cuáles de estas características son necesarias para ser Gato? ¿Bastará con las características comunes? Veamos: Gato es un animal, es mamífero y es cuadrúpedo. Aunque las características son necesarias, no son suficientes ya que, por ejemplo, una vaca tiene estas características, es un animal mamífero y cuadrúpedo. Esto quiere decir que la definición aún no está bien elaborada. Un nuevo intento puede ser: Gato es un animal mamífero, cuadrúpedo y carnívoro. Nuevamente se puede encontrar por lo menos otro animal que cumple con estas características y no es un gato, por ejemplo, el perro. Esto muestra que al buscar las características para poder dar una definición, se debe buscar que las características en su conjunto sean las del término a definir, sin dar lugar a otros conceptos. Para ello se debe tener presente qué otro término puede poseer las características dadas. (Buscar si existe un CONTRAEJEMPLO). En este momento, es posible que el estudiante ya tenga la respuesta a la pregunta inicial. Definir es:

Una definición es precisa cuando:

Definir es enunciar las características de un término o concepto dado. Una definición es precisa cuando las características dadas son las suficientes y necesarias. A partir de esta definición, se ve la necesidad de caracterizar y saber cuándo una característica es suficiente y cuándo es necesaria. Siguiendo con el ejemplo del gato, puede establecerse cuándo una condición es suficiente y cuándo es necesaria: Es suficiente ser gato para ser un animal. Esto se puede decir como: es cierto que si es gato, entonces es un animal; lo cual quiere decir que si la frase (implicación). "Si es gato, entonces es animal" es cierta, la condición ser gato es suficiente para ser animal, mientras que la condición ser animal es necesaria ▪ 24

Un acercamiento al pensamiento geométrico

para ser gato. Esto presenta una manera de saber cuándo una condición es suficiente y cuándo es necesaria. Nótese que es imprescindible que la implicación sea verdadera para que el antecedente sea suficiente para el consecuente y el consecuente necesario para el antecedente (para un acercamiento más profundo en esta temática ver el Apéndice 2). Esto permite afirmar que una definición precisa es una equivalencia entre el término que se define y sus características. (Si se tiene el término, se tienen las características, y si se tienen las características, se tiene el término). Definición ⇔ Características (suficientes y necesarias)3 Se constituye entonces la caracterización como la herramienta fundamental en el desarrollo de cualquier teoría, en la medida que es ésta la que permite definir nuevos objetos que también serán de interés en todo estudio. Al elaborar una definición, se considera que la terminología utilizada está previamente definida. Ahora bien, en algún momento se ha de encontrar con términos que no tienen definición previa y que todo intento por dársela involucra otros términos que, a su vez, no están definidos. Se tiene, entonces, la necesidad de aceptar algunos términos como no definidos o primitivos, cuya comprensión reposa en un consenso intuitivo entre un grupo de individuos, quienes, a su vez, determinan dichos términos. En este texto se tienen como términos primitivos: punto, recta, plano y espacio. El análisis de cada uno de estos términos se hará a través de gráficas y preguntas que serán discutidas en su clase de geometría o al final del capítulo:

• PUNTO Ejercicio de Contexto [1.1]. Según su idea de punto, ¿puede decirse que alguno de los

objetos de la figura 1.1 es un punto?, ¿por qué?

Fig. 1.1

El término primitivo punto se representará por el símbolo • y se denotará por letras latinas mayúsculas, A, B, C, ...

B• A•

C• Fig. 1.2

El símbolo ⇔ representa equivalencia

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• RECTA Los objetos que aparecen catalogados como rectas en la figura de la derecha, son representaciones de éstas en el contexto geométrico euclidiano, en las cuales las flechas en los extremos indican que la figura se prolonga indefinidamente en el sentido indicado. S e d e n ot a n p o r le t r a s l a t i n a s mi núsculas (l, m, n, s, t), como se muestra en el gráfico de la derecha, o simplemente ←→  por AB donde A y B son puntos que pertenecen a la recta. En lo concreto, se puede relacionar la idea que se tiene de recta con un hilo muy delgado, que se ha estirado, y de longitud infinita.

Rectas

no son Rectas

Fig. 1.3

Fig. 1.4

• PLANO

Para la época de los antiguos griegos, la concepción que se tenía de la tierra es que ésta era plana, de tal suerte que la geometría euclidiana se desarrolló sobre esta idea. Sin embargo, el concepto de plano va más allá de su aspecto físico y al igual que punto y recta, sólo existe en nuestra mente ya que se extiende infinitamente. Aproximaciones intuitivas al concepto, así como sus representaciones, se pueden ver en las siguientes gráficas.

Representación de planos

Fig. 1.5

En general, en el desarrollo del texto, el plano será ▪ 26

Fig. 1.6

Un acercamiento al pensamiento geométrico

representado por figuras como la mostrada en gráfico 1.7 de la derecha y se denotan con letras griegas mayúsculas (Π, Ω, Σ, etc.).

Fig. 1.7

• ESPACIO Aunque las caras de la pirámide pueden verse como representaciones de planos, la pirámide en su totalidad no representa un plano ni está contenida en él. Se requiere entonces del concepto de espacio para ubicar tanto las pirámides como una gran cantidad de los objetos que nos rodean. Este espacio es único y no posee una representación gráfica precisa.

Fig. 1.8 EjErcicio dE contExto [1.2] Responda cada una de las siguientes preguntas:

- ¿Cuántos puntos contiene una recta? - ¿Un plano contiene rectas? - Siguiendo este razonamiento, ¿qué puede decir acerca del plano y el espacio?

Algunos conceptos que no pueden considerarse como términos primitivos pero que no serán definidos en el texto son conjunto y elemento. (El apéndice A aborda algunos aspectos relevantes de la teoría de conjuntos). La palabra entre servirá para referirse exclusivamente a la relación de posición de tres puntos que se encuentren sobre una misma recta (uno de los tres estará entre los otros dos), es decir, que si no es en una recta, la relación de posición de los tres puntos no se denominará con entre.

B’

C’

A’

B está entre A y C (así sí)

B no está entre A’ y C’ (así no)

Fig. 1.9

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El objeto de estudio de este texto son las figura geométricas, por lo tanto, lo primero que se hará será definir figura geométrica, es decir, encontrar sus características suficientes y necesarias.

• FIGURA GEOMÉTRICA Características:

- Es un conjunto. - Sus elementos son puntos. - No es vacío.

Definición [1.1.1] Figura Geométrica.

Una figura geométrica es un conjunto no vacío de puntos. Fig. 1.10

Esta definición nos permite afirmar que un punto es un elemento, y, a la vez, una figura geométrica. Ejercicio de Contexto [1.3]. ¿Podemos decir que la afirmación anterior es una definición

de punto? Explique su respuesta.

Ejercicio de Contexto [1.4]. De los términos primitivos que se han enunciado anteriormente, ¿cuáles son figuras geométricas?

Ejercicio de Contexto [1.5]. Con base en la figura 1.3, escriba algunas de las caracte-

rísticas de la recta que la diferencien de las no-rectas.

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Un acercamiento al pensamiento geométrico

Otros conceptos que se requieren en el desarrollo de una teoría formal son: demostración, teorema, corolario y postulado. Demostración.

Características:

- Es una secuencia de afirmaciones.

- Las afirmaciones se obtienen de enunciados válidos pre-establecidos.

- Las afirmaciones se obtienen a través de las reglas de inferencia. (Ver apéndice B)

- La afirmación final es el enunciado a demostrar.

Definición [1.1.2]. Demostración.

Una demostración es una secuencia de afirmaciones que se obtienen por medio de reglas de inferencia, a partir de enunciados válidos pre-establecidos, y de las cuales, la afirmación final es el enunciado a demostrar.

• CONJETURA

Características:

- Es una proposición.

- Sin demostrar.

- Se cree que es verdadera.

Definición [1.1.3]. Conjetura.

Una conjetura es una proposición sin demostrar que se cree verdadera.

• TEOREMA Características:

- Es una proposición.

- Se puede demostrar.

- Es verdadera.

Definición [1.1.4]. Teorema.

Un teorema es una proposición cuya verdad es demostrable. Observación [1.1.1]. Cuando se ha demostrado una conjetura, ésta pasa a ser un teorema.

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• COROLARIO Características:

- Es una proposición. - Es verdadera. - Es consecuencia directa de un teorema.

Definición [1.1.5]. Corolario.

Un corolario es una proposición verdadera, que es consecuencia directa de un teorema. Ejercicio de Contexto 1.6 ¿Es demostrable un corolario?, explique su respuesta.

• POSTULADO Características:

- Es una proposición. - No se puede demostrar. - Es verdadera.

Definición [1.1.6]. Postulado.

Un postulado es una proposición verdadera que no se puede demostrar. Este tipo de proposiciones constituyen el soporte para cualquier teoría; de ellas depende la validez que esta pueda tener, así como su consistencia, completitud e independencia, elementos indispensables en toda teoría matemática. Por ejemplo, las reglas del juego de ajedrez que determinan la forma del tablero, los movimientos de las piezas, etc., constituyen el sistema axiomático de dicho juego. Para que estas expresiones cobren sentido, se requiere de claridad sobre los conceptos que en definitiva se encargarán de velar porque el sistema cumpla las condiciones antes expuestas. Para iniciar el conjunto de postulados se enuncia el primer postulado de Euclides referido al inicio del capítulo: Postulado [1]. Existen por los menos dos puntos.

Se continúa con la construcción de la teoría a través de los siguientes cuatro postulados que establecen la existencia de nuevos puntos y su relación en este estudio. ▪ 30

Un acercamiento al pensamiento geométrico

• Postulados de Orden Postulado [2].

Si A y B son dos puntos distintos, existe por lo menos un punto C entre A y B, (A – C – B)

Postulado [3].

Si C está entre A y B (A – C – B), entonces A y B son diferentes.

Postulado [4].

Si C está entre A y B (A – C – B) entonces C está entre B y A (B – C – A). (Tenga presente que no es lo mismo que B – A – C o A – B – C).

Postulado [5]. Si A – C – B y A – D – C entonces A – D – B. Laboratorio [1.1.1] Para realizar con papel y lápiz

1. En una hoja de papel ubique dos puntos distintos cualesquiera y llámelos A y B. 2. ¿Cuántos puntos hay entre A y B? 3. ¿Qué postulado sirve para una respuesta acertada? 4. ¿Qué sucede cuando aplicamos reiteradamente este postulado? 5. ¿Qué características tiene el objeto formado en el ítem 4? 6. ¿Es el objeto encontrado una figura geométrica?, ¿por qué? Al realizar el ejercicio anterior, se llega a la construcción y definición de uno de los conceptos fundamentales de la geometría euclidiana.

• SEGMENTO Características:

- Figura geométrica. - Determinada por dos puntos extremos. - Los demás puntos que conforman la figura están entre los extremos.

Definición [1.1.7]. Segmento.

Sean A y B dos puntos, la figura geométrica constituida por los puntos A y B y todos los puntos entre ellos es llamada segmento A, B y se denota por AB. Fig. 1.11 AB

Observación [1.1.2]. Los puntos A y B de la definición anterior se llaman extremos del

segmento, y teniendo en cuenta el postulado [4] se puede afirmar que AB = BA.

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Definición [1.18]. Colinealidad.

Se dice que tres puntos A, B, y C son colineales si y solamente si uno de ellos está entre los otros dos.

Postulado [6]. Dados tres puntos colineales, uno y sólo uno se encuentra entre los

otros dos.

Postulado [7]. Dados dos puntos A y B cualesquiera, existe por lo menos un punto

E tal que A – B – E.

Laboratorio [1.1.2] Para realizar con papel y lápiz.

1. Ubique dos puntos distintos A y B sobre una hoja de papel. 2. ¿Cuántas veces se puede aplicar el Postulado [7]?, justifique su respuesta. 3. ¿Qué características tiene el objeto que encontró? 4. ¿Es este objeto una figura geométrica?, ¿por qué? Definición [1.1.9]. Rayo.

Si A y B son puntos, el conjunto de todos los puntos E y F tales que A–F–B y A–B–E, incluidos →  A y B es llamado el rayo A, B y denotado AB. →  AB es el rayo que tiene su punto de inicio en A y pasa por B.

•B

→

•A

Fig. 1.12 AB

LABORATORIO [1.1.3]. Para realizar con papel y lápiz → 

1. Dibuje el rayo AB. → 

2. Dibuje el rayo BA. 3. ¿Qué postulados le permiten realizar el ítem 2? 4. ¿Qué figura geométrica se obtiene en los ítems 1 y 2? 5. ¿Qué conclusiones puede obtener? → 

→ 

6. ¿Es AB = BA? Definición [1.1.10]. Rayos opuestos.

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 →

Se dice que AC y AB son rayos opuestos si y solamente si C – A – B.

Un acercamiento al pensamiento geométrico

Ejercicio de Contexto [1.7]. Escriba las características para que dos rayos sean opuestos Observación [1.1.3]. La unión de dos rayos opuestos es una recta.

 →

←→ 

AB ∪ AP = BP = AB = AP siempre que B – A – P Fig. 1.13

Ejercicio de Contexto [1.8]. En la observación [1.1.3], ¿qué pasaría si A no está entre B

y P?

Ejercicio Taller [1.1]. ¿Cuántas figuras geométricas diferentes se pueden construir →

con tres puntos distintos A, B, C tales que A–B–C? Si a un rayo AB se le quita su punto de origen, ¿la figura geométrica que se obtiene es igual al rayo?, ¿por qué? Definición [1.1.11]. Semirrecta. →

Sean A, B dos puntos, una semirrecta AB es la figura geométrica formada por todos los puntos → del rayo AB salvo el origen. Fig. 1.14

1.2 Planos, semiplanos y rectas El trabajo que se ha desarrollado hasta el momento se ha enmarcado en la construcción y definición de figuras geométricas a partir del punto, tales como la recta, el segmento, el rayo y la semirrecta. La siguiente sección de postulados permite la construcción de nuevas figuras relacionadas con el término primitivo plano. Laboratorio [1.2.1]. Para realizar en Cabri.

1. Trace una recta con la opción recta de la barra de herramientas de Cabri.

a) ¿Cuántos puntos ve?

b) ¿Están todos sobre la recta?

c) ¿Por qué? ▪ 33

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2. Ubique tres puntos cualesquiera en su pantalla. Sin mover los puntos del lugar inicial donde los ubicó, intente trazar una recta que los contenga. 3. ¿La pudo trazar?

¿Por qué?

4. ¿Qué puede concluir? 5. Si la pantalla representa un plano, ¿estarán todos los puntos existentes sobre la pantalla? ¿por qué?

• Postulados de enlace B•

Postulado [8]. Dados dos puntos A y B distintos, ←→

existe una única recta AB que los

A•

contiene.

Fig. 1.15

Observación [1.2.1]. Dos puntos cualesquiera siempre serán colineales. Nótese además ←→

que todo segmento AB está contenido en la recta AB

Postulado [9]. Una recta contiene por lo menos dos

puntos distintos.



Fig. 1.16

EJERCICIO TALLER [1.2]. ¿Qué otras figuras geométricas están contenidas en la recta? Postulado [10]. Dada una recta , existe por lo menos

un punto que no pertenece a ella.

A• 

Posiciones relativas de dos rectas

Fig. 1.17

Los postulados anteriores permiten establecer las relaciones de la recta y el punto. Ahora bien, ¿qué puede suceder cuando se tienen dos rectas en el espacio? Esto es, ¿cuál es su relación según la posición que puedan ocupar en el espacio? Para dar respuesta a estas preguntas se inicia con el siguiente laboratorio: Laboratorio [1.2.2]. Para realizar en Cabri.

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Un acercamiento al pensamiento geométrico

1. En Cabri, trace dos rectas cualesquiera, deje una de ellas fija y mueva la otra. 2. ¿Qué observa? 3. ¿Siempre se cortan las rectas? 4. ¿En cuántos puntos se tocan? 5. ¿Pueden estar dos rectas en planos diferentes? 6. ¿Si las rectas del ítem 5 existen, ¿qué pasará cuando se mueva una de ellas y se deje la otra fija? 7. Escriba sus conclusiones y conjeturas. Como las rectas son conjuntos de puntos, las posiciones que pueden tener la una respecto a la otra pueden estar dadas por la intersección de dichos conjuntos. Sean entonces las rectas 1 y 2 , se tiene: i) Si las rectas se encuentran en un mismo plano, se dice que son paralelas y lo denotaremos por 1 || 2

1 ∩ 2 = φ

ii) Si se encuentran en diferentes planos, se dice que las rectas se cruzan.

2

1 Fig. 1.18

1 2 Fig. 1.19

i) P uede sucede r e n est e ca so que la i ntersección sean todos los puntos del conjunto. Por lo tanto 1 = 2 y en estas circunstancias se dice que las rectas 1 y 2 coinciden

1 ∩ 2 ≠ φ

ii) Una segunda alternativa consiste en que las retas sean diferentes; en este caso su intersección es un solo punto; esto es, 1 ∩ 2 = {P}

1 2 Fig. 1.20

2

1 P Fig. 1.21

Observación [1.2.2]. Es de tener presente que toda recta se considera paralela a sí

misma.

Ejercicio Taller [1.3]. Con base en la clasificación mencionada, responda:

1. Si dos rectas diferentes se cortan, ¿qué se puede afirmar?

¿Por qué?

2. ¿Se pueden cruzar dos rectas coplanares?

¿Por qué? ▪ 35

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3. ¿Dos rectas paralelas pueden estar en planos diferentes y a la vez en un mismo plano? , ¿por qué? De la clasificación antes presentada surge el siguiente teorema: Teorema [1.2.1]. Dos rectas diferentes que se intersectan lo hacen en un punto y

solo en uno.

Demostración. Con el objetivo de tener claridad sobre el enunciado que se requiere demostrar, cada vez que se haga la demostración de un teorema se plasmarán en forma discriminada la hipótesis y la tesis. Tenga en cuenta los siguientes aspectos: – Escriba el enunciado como un condicional (si ..., entonces...). – El punto de partida es el antecedente ( hipótesis) y el de llegada el consecuente (tesis). – En lo posible, realice una gráfica que describa la situación. – Determine un método de demostración (ver apéndice B). – Establezca una estrategia. Para el caso: Si dos rectas diferentes se intersectan, entonces la intersección es un punto y solo uno. – Hipótesis: Dos rectas diferentes se intersectan. – Tesis: La intersección de las dos rectas es un punto y solo uno. HIPÓTESIS

TESIS

1. 1 y 2 rectas diferentes 2. 1 ∩ 2 ≠ φ

Existe un único punto P tal que 1 ∩ 2 = {P} 2

1 P Fig. 1.22

– Dado que la intersección de las rectas no es vacía, se puede afirmar que existen puntos en dicho conjunto. Se demostrará a continuación, que realmente solo hay un punto en dicha intersección, esto es, se realizará una demostración de unicidad, para la que se requiere de un razonamiento por el método indirecto (ver apéndice B).

Unicidad Generalmente, este tipo de demostraciones las realizaremos por el método de demostración indirecto o reducción al absurdo, por lo tanto, se requiere de una hipótesis auxiliar, la cual surge de la negación de la tesis. Como el objetivo es demostrar que el punto P es único, al negar este enunciado quedará que P no es único, esto es, hay ▪ 36

Un acercamiento al pensamiento geométrico

dos o más o no hay ninguno, pero como la intersección es no vacía, sabemos que P sí existe, por lo tanto, la hipótesis auxiliar se reduce a que hay más de uno, así se puede asumir que hay dos puntos diferentes que pertenecen a la intersección. HIPÓTESIS AUXILIAR: Existen dos puntos, P, Q ∈ 1 ∩ 2

AFIRMACIÓN

RAZÓN

1. 1, 2 rectas diferentes

1. Hipótesis.

2. 1 ∩ 2 ≠ φ 3. existe P, Q ∈ 1 ∩ 2

2. Hipótesis. 3. Hipótesis auxiliar.

5. Q ∈ 1 , Q ∈ 2

5. Definición de intersección en 3.

6. PQ = 1

6. Postulado de enlace 8 en 4 y 5.

7. PQ = 2

7. Postulado de enlace 8 en 4 y 5.

4. P ∈ 1 , P ∈ 2 ←→

←→

4. Definición de intersección en 3.

8. 1 = 2

8. Transitividad de la igualdad en 6 y 7.

10. P es único.

10. Aceptación de la tesis.

9. Absurdo 9. La afirmación de 8 contradice la hipótesis en 1. lqqd Observación [1.2.3]. Note que la primera afirmación en ambas demostraciones es la

hipótesis, y la última es la tesis (lo que se quería demostrar lqqd).

Continuamos ahora con los postulados de enlace entre puntos, rectas y planos. Postulado [11]. Dados tres puntos no colineales,

existe un único plano que los contiene.

•

Fig. 1.23

Observación [12]. Tres puntos cualesquiera siempre serán coplanares.

Postulado [12]. En cada plano hay por lo menos tres puntos no colineales. Postulado [13]. Si dos puntos distintos de una recta pertenecen a un mismo plano, la

recta está contenida en dicho plano.

Definición [1.2.1]. Coplanaridad.

Se dice que tres rectas , m y n son coplanares si y solamente si están contenidas en un mismo plano. ▪ 37

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Postulado [14]. Si dos planos distintos se intersec-

tan, su intersección es una recta.

Fig. 1.24

Postulado [15]. Existen por lo menos cuatro puntos

que no pertenecen a un mismo plano.

•P •

•

Fig. 1.25

Posiciones relativas de dos planos

Al igual que se hizo para establecer la relación de posición entre dos rectas, se hará para dos planos, con base en el postulado de enlace [13]. Dados dos planos Π y Λ una y sólo una de las siguientes situaciones se puede presentar: Nuevamente se tienen dos posibilidades:

Π∩Λ≠φ

i) Que Π = Λ, en el primer caso, Π∩Λ=Π=Λ ii) Que Π ≠ Λ.En virtud del post ulado de enlace [14] se tiene que la intersección necesariamente tendrá que ser una recta.

Π∩Λ=φ

Fig. 1.26

Cuando los dos planos no se intersectan, se dice que son paralelos. Fig. 1.27

1.3 Separación del plano Laboratorio [1.3.1]. Para realizar en Paint (separando el plano)

1. En “paint” represente tres planos. 2. En el primer plano trace una recta; en el segundo, dos rayos con el mismo origen; en el tercero, un triángulo. 3. ¿Qué ve? 4. ¿Cuántas regiones hay en el primer plano, en el segundo y en el tercero? ▪ 38

Un acercamiento al pensamiento geométrico

5. ¿Cuántos conjuntos disjuntos de puntos hay en cada plano? 6. Ubique un punto en cada una de las regiones encontradas en los diferentes planos. Para cada plano trace el segmento que une dichos puntos. ¿Qué sucede con el segmento y las figuras inicialmente establecidas? 7. Tome ahora dos puntos en cada uno de los conjuntos y trace el segmento que los une. ¿Qué sucede con el segmento y el conjunto? 8. De los tres casos analizados, ¿cuál es diferente de los otros?, ¿por qué? Tenga presente sus conclusiones y realice el siguiente taller: Ejercicio Taller [1.4]. Escriba las características suficientes y necesarias de las figuras

que están etiquetadas como convexas. Figuras no convexas

Figuras convexas B

B A G B A

F A

B A

A continuación se formalizan, las ideas que han surgido de este ejercicio. Definición [1.3.1]. Conjunto convexo. B

Un conjunto de puntos se dice que es convexo, si y solamente si, para todo par de puntos A y B en el conjunto, se cumple que el segmento AB está contenido en él.

A FIG. 1.29

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El laboratorio y el taller anteriores permiten afirmar el siguiente postulado: Postulado [16]. Postulado de separación del plano. Π

Π2 

•A Π1

Una recta  cualquiera, contenida en un plano Π separa a éste en dos regiones disyuntas y convexas que llamaremos semiplanos.

PLANO Π

FIG. 1.30

Los semiplanos determinados por  se denotan Π1 y Π2. La recta , llamada arista o frontera del semiplano, también determina tres conjuntos disjuntos sobre el plano Π, a saber , Π1 y Π2, esto lleva a concluir que la recta genera los semiplanos pero no está contenida en ninguno de ellos. Según la figura anterior, el punto A se encuentra en el semiplano Π1, el cual se denota también por Π A, que se lee como: el semiplano del plano Π determinado por la recta  (arista) y que contiene el punto A. Observación [1.3.1]. La única figura geométrica que separa al plano en dos semiplanos

es la recta (recuerde las conclusiones del laboratorio anterior).

Ejercicio Taller [1.5]. Cuántas regiones determinan en el plano:

• Dos rectas • Tres rectas • Cuatro rectas • n-rectas Cuando las rectas: 1. No se cortan. 2. Se cortan en un único punto. 3. Se intersectan dos a dos, es decir: un punto de intersección pertenece sólo a dos rectas y cada recta intersecta a todas las demás. Ejercicio [1.3.1]. Sean A, B, C puntos en un plano Π,  contenida en Π, tal que A, C ∈ Π1

y B ∈ Π 2 entonces:

1. ¿ AC ⊆ Π1?, ¿por qué? 2. ¿ AC ⊆ Π 2 ?, ¿por qué? 3. ¿ AB ⊆ Π1?, ¿por qué? ▪ 40

Un acercamiento al pensamiento geométrico

4. ¿ AB ⊆ Π 2 ?, ¿por qué? 5. ¿ AB ⊆ Π1 ∪ Π 2 ?, ¿por qué? Teorema [1.3.1]. Una recta y un punto exterior a ella determinan un plano y solo

uno.

Al iniciar esta demostración se sigue cada uno de los pasos establecidos en la demostración del teorema [1.2.1]. Demostración. Recuerde que para tener claridad sobre el enunciado que se requiere demostrar, cada vez que se haga la demostración de un teorema se plasmarán en forma discriminada la hipótesis y la tesis, teniendo en cuenta los siguientes aspectos: -

Escribir el enunciado como un condicional (si...., entonces....). Si existe una recta y un punto exterior a ella, entonces dichos punto y recta determinan un solo plano.

El punto de partida es el antecedente (hipótesis) y el de llegada el consecuente (tesis). Hipótesis: Tesis: HIPÓTESIS

TESIS

1.  una recta

⊂ Π; P ∈ Π, Π es único

2. P ∉ -

En lo posible realice una gráfica que describa la situación.

•P



Fig. 1.31

Determine un método de demostración (ver apéndice B)

▪ 41

Claudia Marcela Polanía Sagra - Carmen Cecilia Sánchez Zuleta

Establezca una estrategia. Utilizar los postulados [9] y [11].

AFIRMACIÓN

RAZÓN

1.  una recta

1. Hipótesis.

2. P ∉

2. Hipótesis.

3. Postulado [9]. (Una recta contiene por 3. Existe C , Q ∈ lo menos dos puntos). 4. C, P, Q no son colineales 4. Por 2. y 3. (P no pertenece a  mientras que C y Q sí). 5. C, P, Q pertenecen a un único 5. Por 4 y Post. [11] (Tres puntos no plano Π colineales determinan un único plano). 6. Por 3, 5. y Post. [13] (Si dos puntos 6. ⊂ Π de una recta, pertenecen a un plano, la recta está contenida en el plano.) 7. ⊂ Π, P ∈ Π, Π es único

7. Por 5 y 6 lqqd

Teorema [1.3.2]. Si dos rectas distintas se intersectan, existe un plano y sólo uno

que las contiene.

Ejercicio Taller [1.6]. ¿Como podría realizar esta demostración?, tenga en cuenta los pasos utilizados para realizar las demostraciones de los teoremas anteriores.

Posiciones relativas de una recta y un plano Hasta el momento se ha hablado de rectas y de planos en contextos aislados. Ahora se tienen las relaciones de posición entre un plano y una recta. Para iniciar, realicemos la siguiente práctica. Laboratorio [1.3.2]. Para realizar con papel y lápiz

Tome una hoja de papel como representación de un plano y un lápiz como representación de una recta. ¿En cúantas y cúales posiciones puede ubicar la recta con relación al plano? Dado un plano Π y una recta  en el espacio, una y sólo una de las siguientes situaciones se puede presentar: ▪ 42

Un acercamiento al pensamiento geométrico

i) Una primera situación es que la intercección sea un punto, Π ∩  = {P}. En este caso la recta cruza al plano. Π∩ ≠φ

Π∩ =φ

•P

Fig. 1.32

ii) Una segunda situación se presenta cuando la intersección tiene dos o más puntos, entonces necesariamente la recta estará contenida en el plano (P. [13]); por lo tanto Π∩=



Fig. 1.33



Si la recta y el plano no se intersectan, entonces necesariamente la recta tendrá que ser exterior al plano, como muestra la figura de la derecha.

Fig. 1.34

1.4 La relación de congruencia Aunque en el lenguaje corriente se dice que dos objetos son iguales si poseen las mismas características, al pensar en los objetos como conjuntos, se dice que son iguales si poseen exactamente los mismos elementos (ver apéndice A). Por ejemplo, dos pocillos pueden verse como iguales, pero si pensamos en un pocillo como un conjunto de átomos, ya no serían iguales, dado que los átomos que conforman a uno no son los mismos que conforman al otro. Dos rectas parecen iguales, pero de hecho sólo lo serán si son coincidentes. La igualdad entre figuras geométricas se entenderá como la igualdad entre conjuntos, es decir, dos figuras geométricas serán iguales sólo si tienen los mismos elementos. Así establecido, ¿son iguales las siguientes figuras?:

FIGURA A

FIGURA B

Fig. 1.35

▪ 43

Claudia Marcela Polanía Sagra - Carmen Cecilia Sánchez Zuleta

Este hecho muestra que para las figuras geométricas, como conjuntos que son, es necesario establecer una relación entre ellas que se aproxime a la idea intuitiva de igualdad arriba mencionada; para ello observe y complete la tabla 1.1. Figuras

Características geométricas comunes

1.75 m

Tabla 1.1

¿Cuál de los recuadros de la tabla representa la relación que buscamos?

¿Qué carácterísticas encontró en dicho recuadro?

Ejercicio Taller [1.7]. Análice cada una de las siguientes situaciones y conteste las

preguntas que se formulan.

1. Patricia y Carlos tienen cada uno un automóvil Mazda 323 coupe color blanco; como fueron comprados 0 km, y en la misma agencia, la silletería y demás accesorios tienen las mismas características. a) ¿Es correcto decir que los carros son iguales? b) ¿Por qué? 2. Si la respuesta a la pregunta uno fue afirmativa, entonces ¿se podrán estacionar ambos automóviles en el lugar 29 del parqueadero H, a las 2:00 p.m.? ¿Sí o No? ¿Por qué? ▪ 44

Un acercamiento al pensamiento geométrico

En efecto, es realmente imposible estacionar los dos carros en el mismo sitio de parqueo a la misma hora. Esto se debe a que los carros, de hecho, no son iguales, ellos tienen la misma apariencia pero ocupan lugares diferentes en el espacio, por lo tanto el conjunto automóvil de Patricia es diferente al conjunto automóvil de Carlos. Note que los carros tienen la misma forma y tamaño, lo cual está garantizado en el diseño de los automóviles. Con el ejercicio anterior y la tabla 1.1 realizados tenemos los elementos para caracterizar la relación que se busca. Definición [1.4.1]. Figuras geométricas congruentes FIGURA M

Se dice que dos figuras geométricas son congruentes si y solamente si tienen la misma forma y el mismo tamaño.

FIGURA M'

Figura 1.36

En la figura 1.36 se tiene que M y M’ son figuras geométricas cong ruentes, y se denota por M ≅ M ′. Observación [1.4.1]. En algunas ocasiones se utilizará la palabra sii como representación

más corta de la expresión si y solamente si, igualmente tq para simbolizar tal que.

Ejercicio Taller [1.8]. Realice el apareamiento correspondiente a las figuras geométricas

congruentes en la siguiente tabla y justifique por qué considera que son congruentes:

i h

j k

m l

▪ 45

Claudia Marcela Polanía Sagra - Carmen Cecilia Sánchez Zuleta

La congruencia es una relación que estará presente durante gran parte del texto, por lo que aconsejamos que si aún hay dudas acerca de la idea de congruencia de figuras geométricas es el momento de volver a leer y realizar de nuevo los ejercicios propuestos. Teorema [1.4.1]. La congruencia es una relación de equivalencia. Es decir que es

una relación:

1. Reflexiva (cada figura se relaciona consigo misma) 2. Simétrica (si una figura se relaciona con una segunda, esta segunda se relaciona con la primera) 3. Transitiva (si una figura se relaciona con una segunda, y esta segunda con una tercera, la primera se relaciona con la tercera). Demostración. De la propiedad reflexiva: Por definición de congruencia, dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño; como cada figura mantiene su forma y tamaño, podemos afirmar que toda figura ℑ es congruente consigo misma, ℑ ≅ ℑ. De la propiedad simétrica: Si una figura es congruente con otra, es porque tienen la misma forma y tamaño, luego la segunda tendrá la misma forma y tamaño de la primera, es decir que la segunda es congruente con la primera. Si ℑ ≅ entonces ≅ ℑ. De la propiedad transitiva: Escriba a continuación la demostración de esta propiedad; si ℑ ≅ y ≅ ℑ entonces

ℑ ≅ £.

1.5 Segmentos y ángulos Se da inicio ahora a una nueva etapa en el desarrollo del texto, y cada nueva etapa trae consigo una serie de nuevos postulados y teoremas que van enriqueciendo la teoría. Ejercicio Taller [1.9]. Analice y responda cada una de las siguientes preguntas.

1. ¿Qué cosas son medibles? 2. Mida cinco cosas diferentes, trate de utilizar diferentes instrumentos. ▪ 46

Un acercamiento al pensamiento geométrico

3. A partir de sus respuestas, ¿qué es una medida?, (piense en la característica común de las respuestas dadas en este taller). 4. ¿Cuál será la medida de un punto?, ¿se puede medir? Postulado [17]. Medida de un segmento

A todo AB, le corresponde un número real mayor o igual a cero, al que llamaremos la medida del AB, y que denotaremos por m( AB) o simplemente AB.

En virtud del postulado anterior se tiene medida del segmento AB = m( AB) = AB ≥ 0

Observación [1.5.1]. Cuando la medida del segmento AB es igual a cero, el segmento

es llamado Segmento Nulo, y esto sucede cuando los puntos A y B coinciden.

Postulado [18]. Adición de segmentos.

Dados los puntos A, B, C tales que A – C – B, entonces m( AB ) = m( AC ) + m(CB) .

A C B

m( AB) = m( AC ) + m(CB ) Fig. 1.37

Postulado [19]. Postulado de la situación de un punto. A

 →

B n

Fig. 1.38

En todo rayo AB y para→ todo n ∈ , n ≥ 0, exis te un único punto P ∈ AB tal que m( AP) = n. Al número n lo llamaremos la distancia del punto A hasta el punto P y se denotará por d ( A, P) ≥ 0.

Del postulado anterior se sigue que m( AP) = d ( A, P). Este postulado permite construir segmentos de la medida que se quiera. Laboratorio [1.5.1]. Para realizar con papel y lápiz.

▪ 47

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1. Utilice el postulado anterior y los que requiera para construir la recta numérica, argumente cada uno de los pasos.

En la sección anterior se habló y definió la relación de congruencia entre figuras geométricas en el espacio como aquella que relaciona dos objetos que tienen la misma forma y el mismo tamaño; bastará entonces con establecer estos dos aspectos entre dos G figuras geométricas para garantizar que sean congruentes. Cabe entonces preguntarse ¿cómo se sabe si dos segmentos tienen la misma forma y el mismo tamaño?; para esto observe la figura de la derecha y escriba alguna conclusión acerca de la forma y el tamaño de los segmentos presentados; utilice una regla para medir si lo considera necesario.

Fig. 1.39

2. ¿Cuáles segmentos tienen la misma forma?

3. ¿Cuáles el mismo tamaño?

4. Encontró alguna pareja de segmentos sobre la que pueda garantizar que tienen la misma forma y el mismo tamaño?

Dado que todos los segmentos tienen la misma forma, la congruencia de segmentos está determinada por su tamaño, así: Definición [1.5.1]. Segmentos congruentes.

Dos segmentos AB y CD son congruentes si y solo

B C n n A

Fig. 1.40

▪ 48

si tienen la misma medida (AB = CD), en este caso escribimos AB ≅ CD (que se lee, el segmento AB es congruente con el segmento CD). Simbólicamente: AB ≅ CD ⇔ AB = CD.

Un acercamiento al pensamiento geométrico

El teorema [1.4.1], presenta la congruencia entre figuras geométricas como una relación de equivalencia; a partir de la definición de congruencia de segmentos se demostrará dicho teorema para el caso de segmentos, el cual queda así: Teorema [1.5.1]. La congruencia de segmentos es una relación de equivalencia,

esto es, la congruencia de segmentos cumple con las siguientes tres propiedades:

a) AB ≅ AB

P. Reflexiva

b) AB ≅ CD ⇒ CD ≅ AB

P. Simétrica

c) ( AB ≅ CD ) ∧ (CD ≅ EF ) ⇒ AB ≅ EF

P. Transitiva

Demostración. Demostración de la P. reflexiva. Recordemos que escribir con claridad la hipótesis y la tesis será de gran ayuda para el desarrollo de una demostración; también es conveniente realizar un árbol que permita observar, de forma global, cada una de las consecuencias de la información suministrada u obtenida. Dado

AB m ( AB ) = m ( AB )

AB ≅ AB

Propiedad Reflexiva de la igualdad en los números reales. Definición de congruencia Árbol Propiedad Reflexiva

El conocer el árbol suministra una herramienta para llevar a cabo la demostración que requerimos. Si AB es un segmento, entonces es congruente consigo mismo. HIPÓTESIS 1. AB segmento dado

TESIS 1. AB ≅ AB ▪ 49

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Razonando por el método de demostración directo. La estrategia es la propiedad reflexiva de la igualdad en los números reales y la definición de congruencia de segmentos.

AFIRMACIÓN

RAZÓN

1. AB

1. Hipótesis

2. m( AB ) = m( AB)

2. Propiedad reflexiva en los reales

3. AB ≅ AB

3. Definición de congruencia en 2 lqqd

Demostración de la propiedad transitiva Para este caso el enunciado está presentado en forma de condicional, por lo tanto, sólo nos queda tomar el antecedente como hipótesis y el consecuente como tesis.

HIPÓTESIS

TESIS

AB ≅ CD y CD ≅ EF

AB ≅ EF

Complete la demostración razonando por el método directo.

AFIRMACIÓN

RAZÓN

1. AB ≅ CD

1. Hipótesis

2. CD ≅ EF

2. Hipótesis

3. AB = CD

3. Definición de congruencia en 1

4. CD = EF

6. AB ≅ EF

5. Transitividad en la igualdad en 4 y 3. 6. Definición de congruencia de segm. en 5

lqqd La demostración de la propiedad simétrica se deja al estudiante como ejercicio. ▪ 50

Un acercamiento al pensamiento geométrico

Laboratorio [1.5.2]. Para realizar con Cabri.

1. Marque sobre el escritorio de Cabri dos puntos distintos A y B. 2. Trace el segmento que los une, ubique un punto C tal que A − C − B, ¿qué le garantiza la existencia de este punto? 3. Tome las medidas de los segmentos AC y CB,¿son iguales? 4. Si su respuesta al numeral anterior es no, trate de mover el punto C hasta que las medidas sean iguales, ¿fue posible lograrlo?

, ¿se

podrá lograr en todos los casos? 5. ¿Qué puede concluir? • PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Características:

– Es un punto.

– Está entre los extremos del segmento.

– Está a igual distancia de cada uno de los ext remos del segmento (determina dos segmentos congruentes).

Definición [1.5.2]. Punto medio de un segmento. A

Un punto C es llamado el punto medio de un segmento AB si A – C – B y AC ≅ CB.

C B

AC ≅ CB Fig. 1.41

Observación [1.5.2]. La congruencia de segmentos se

representa gráficamente con una o más rayas pequeñas sobre los segmentos

E K

AB ≅ CD

JL ≅ MK

EG ≅ FN Fig. 1.42

▪ 51

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Ejercicio Taller [1.10]. Conteste cada una de las siguientes preguntas.

1. Siguiendo el protocolo propuesto en la introducción de este libro: B

¿Qué ve?

¿Qué hay de nuevo?

M A

¿Qué hay que hacer?

? A

Para hacerlo cuenta con:

a) Una hoja de papel, lápiz. b) Hoja de papel, lápiz y compás. c) Hoja de papel, lápiz y una regla centimetrada. d) Por medio del Cabri.

¿Cómo lo va a hacer? a)

d) ¡Hágalo! ▪ 52

Un acercamiento al pensamiento geométrico

2. Tres puntos no colineales A, B, C. a) ¿Cuántas rectas determinan? b) ¿Cuántos rayos? c) ¿Cuántas semirrectas? d) ¿Cuántos segmentos? Ejemplo [1.5.1]. Dados A, B y P tales que A – B – P, y M punto medio de AB, establezca

que MP =

AP + BP . 2

Solución [1.5.2]. Como ya se ha mencionado antes, es muy importante en la solución

de cualquier ejercicio, así como en la demostración de un teorema, tener claridad sobre la hipótesis y la tesis; y en la medida de lo posible realizar una representación gráfica de la situación.

Trate de responder las siguientes preguntas que le ayudarán a comprender la solución del ejercicio. 1. ¿Qué elementos ofrece la hipótesis? 2. ¿Qué elementos demanda la tesis? 3. ¿Qué ve en el gráfico? 4. ¿Qué hay que hacer? 5. ¿Cuál es su estrategia? 6. ¿Qué postulados o teoremas pueden ser de interés?

Realice ahora el ejercicio: HIPÓTESIS

TESIS

1. AB segmento dado

MP =

2. M punto medio de AB

BP + AP 2

3. A – B – P P B M A

▪ 53

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Bien, se razonará por el métodos directo, ¿por qué?

AFIRMACIÓN

RAZÓN

1. AB segmento dado

1. Hipótesis.

2. M punto medio de AB

2. Hipótesis.

3. A – B – P

3. Hipótesis.

4. MP = MB + BP

4. Postulado adición de segmentos.

5. AP = MP + AM

5. Postulado adición de segmentos.

6. MP = AP – AM

6. Propiedad de los reales en 5. ¿Cuál?

7. AM ≅ MB

7. Definición de punto medio en 2.

8. AM = MB

8. Definición de congruencia de segm.

9. MP = AP – MB

en 7.

9. Sustitución de 8 en 6.

10. 2MP = MB + BP + AP – MB 10. Propiedad uniforme de los reales en 4 y 9. BP + AP 11. Propiedad uniforme de los reales en 11. MP = 2 10.

AP + BP 12. MP = 12. Propiedad conmutativa de la suma de 2 reales en 11. lqqd Dado que la congruencia de segmentos está definida como la igualdad de medidas, es decir, la igualdad de números, se puede pensar que la no congruencia de segmentos será una relación de desigualdad de medidas. Recuerde que las medidas son números y, por tanto, cumplen el principio de tricotomía, a saber: dados dos números reales m y n se tiene una y sólo una de las siguientes relaciones: m = n, o m < n, o m > n. Siguiendo la propuesta del texto, realice el siguiente ejercicio para luego definir la relación de desigualdad de segmentos. Ejercicio Taller [1.11]. Determine, según la siguiente gráfica, cuáles son las caracterís-

ticas suficientes y necesarias que satisfacen los segmentos desiguales.

▪ 54

Un acercamiento al pensamiento geométrico

Segmentos desiguales

Segmentos congruentes

Características:

Definición [1.5.3]. Desigualdad de segmentos. B m 8,21 c

A F

m 4,72 c

Dos segmentos AB y FK son desiguales si y solo si m( AB ) ≠ m( FK ).

Se dice que AB > FK si existe M tal que A – M – B y AM ≅ FK ; es decir, si se puede construir un segmento AM en AB que sea congruente con FK. ▪ 55

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Desde ahora, la no congruencia de segmentos se entenderá como segmentos desiguales. Ejercicio de Contexto [1.9]. ¿Qué se podría concluir cuando se afirma que AB y CD

no son congruentes?

Definición [1.5.4]. Ángulo.

Un ángulo es la unión de dos rayos que tienen un mismo origen. Los rayos que lo forman se llaman lados del ángulo y el origen común es llamado el vértice del ángulo.

A B O

Fig. 1.43 → 

→

Observación [1.5.3]. Un ángulo formado por la unión de los rayos OA y OB será denotado →

→  con OA y OB por AOB, los lados del ángulo y O el vértice del ángulo.

Definición [1.5.3]. Interior de un ángulo.

AOB un ángulo Sea deteminado por la unión →  →  de los rayos OA y OB . Se llama interior del AOB al conjunto de puntos formado ángulo por la intersección del semiplano determinado →  por OA y que contiene a B y el semi-plano →  determinado por OB y que contiene a A.

A B O

Fig. 1.44

Ejercicio de Contexto [1.10]. ¿Qué sucederá si los puntos A, O, B, que determinan el

AOB son colineales? ángulo Observación [1.5.4]. En el laboratorio [1.3.1]

se separó el plano en dos regiones a través de un ángulo (dos rayos con el mismo origen). Nótese que el interior del ángulo es la región convexa y que el exterior será la otra región.

▪ 56

E x t e r i o r

A B D

Fig. 1.45

Interior

Un acercamiento al pensamiento geométrico

Postulado [20]. Medida de un ángulo.

Todo ángulo AOB tiene asociado un número real no negativo entre 0 y180, llamado medida del ángulo, y que se denota m ( AOB ), así: 0 ≤ m ( AOB ) ≤ 180.

Cada nueva figura geométrica que es definida requiere del respectivo manejo de las relaciones entre los objetos. Resuelva el siguiente ejercicio y establezca las características que determinan la congruencia de ángulos. Ejercicio Taller [1.12]. Dado que la congruencia la determinan la forma y el tamaño:

1. ¿Qué determina la forma de un ángulo? 2. ¿Qué determina el tamaño de un ángulo? 3. En la tabla de abajo, realice un apareamiento entre los ángulos que sean congruentes, si los hay.

158,6°

25,4°

18,9° 25,4°

18,9°

▪ 57

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Definición [1.5.6]. Congruencia de ángulos. E F A

son congruentes sii Dos ángulos ABC y DEF tienen igual medida. Así:

(

)

(

⇔ m ABC = m DEF ABC ≅ DEF

)

Fig. 1.46

Al igual que se hizo para los segmentos, los siguientes postulados permiten construir y adicionar ángulos, herramientas fundamentales en los próximos capítulos. Postulado [21]. Adición de ángulos.

Si D está en el interior del ángulo ABC , en ABC = m ABD + m DBC tonces: m

( ) (

D B

) (

)

Fig. 1.47 ← →

¿Qué sucede si A – B – C y D ∉ AB ? Ejercicio Taller [1.13]. A partir de la siguiente figura de la derecha,

(

)

como una resta escriba una ecuación correcta para expresar m DOB de la medida de ángulos.

A O D

Postulado [22]. Postulado de construcción de ángulos.

P Π 1 Π2

( )

= n. m PAB Fig. 1.48

←→

Dada AB que separa al plano ∏, en dos semiplanos ∏1 y ∏2 , para cada número real n entre 0 y 180 existe un punto P ∈ Π1 que de→  = n. termina al rayo AP y tal que m PAB

( )

Ejercicio de Contexto [1.11]. ¿El punto P mencionado en el postulado de construcción de ángulos es único?, ¿por qué?

▪ 58

Un acercamiento al pensamiento geométrico

El postulado anterior permite construir ángulos de la medida que se quiera. Soportada en este postulado, surge la siguiente definición: Definición [1.5.7]. Bisectriz

Sea ABC un ángulo dado, D un punto en el in-

→ 

terior del ángulo, se dice que BD es la bisectriz

ABD del ángulo ABC si determina los ángulos

(

)

≅ DBC . congruentes ABD y DBC

Fig. 1.49 → 

Se dice que BD biseca al ángulo ABC. Ejercicio Taller [1.14]. Responda las siguientes preguntas:

es a ángulo.

1. Punto medio es a segmento como

2. ¿Cuáles cree que serán las características de los ángulos desiguales?

Se pueden utilizar las características establecidas para escribir una definición para ángulos desiguales. Definición [1.5.8]. Desigualdad de ángulos.

H C

si existe ABC < DEH Decimos que , un punto G en el interior de DEH

. ABC ≅ DEG tal que

β>α

Fig. 1.50

▪ 59

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• CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS Los ángulos se pueden clasificar según la relación de posición o medida con otro ángulo, y según su medida.

1.5.1 Según la relación de posición con otro ángulo Definición [1.5.9]. Ángulos adyacentes. B

Dos ángulos coplanares son adyacentes si y solo si comparten su vértice, tienen un lado común y la intersección de sus interiores es vacía.

Fig. 1.51

Ejercicio Taller [1.15]. Analice y responda.

1. ¿Podrán dos ángulos tener un lado común, mas no el vértice? 2. En la figura el ángulo AOB no son adyacentes, AOC y el ángulo ¿por qué?

C D

Definición [1.5.10]. Ángulos opuestos por el vértice (par vertical). B A O

G F

Fig. 1.52

Los ángulos no adyacentes formados cuando dos rectas se intersectan se denominan ángulos opuestos por el vértice; con lo cual, los lados de los ángulos opuestos por el vértice son y GOF rayos opuestos. En la figura, BOA son opuestos por el vértice, así mismo BOG y AOF .

En el capítulo 3 se ampliará la clasificación de los ángulos según la relación de posición con otro ángulo. Tal clasificación es de gran interés al momento de trabajar las propiedades de las rectas paralelas y perpendiculares.

1.5.2 Según su medida Ejercicio Taller [1.16]. Las siguientes tablas permiten encontrar las características para

clasificar los ángulos según su medida. Al lado de cada tabla escriba su definición.

▪ 60

Un acercamiento al pensamiento geométrico

Ángulos rectos

No son ángulos rectos

Definición:

136,8°

12,7° 90°

38,3°

Ángulos agudos

42 ,5

Ángulos no agudos

Definición:

136,8°

127,9°

32,7°

32,7° 90°

Ángulos nulos

Ángulos no nulos

Definición:

136,8°

42,5°

90°

▪ 61

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Ángulos llanos

Ángulos no llanos

Definición:

136,8°

42°

90°

Ángulos obtusos

Ángulos no obtusos

Definición:

102,8°

143,9°

42°

90°

136,8°

Según la relación de medida con otro ángulo Definición [1.5.11]. Ángulos suplementarios. C

H G

D O

Se dice que dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es igual a 180.

120°

60°

Fig. 1.53

y GOJ son suplementarios, así como HOG ; se En la figura 1.53 los ABC y EDF es suplemento de GOJ y viceversa. y, HOG ABC es suplemento de EDF dice que ▪ 62

Un acercamiento al pensamiento geométrico

Definición [1.5.12]. Par lineal.

Se dice que dos ángulos forman un par lineal si y sólo si son adyacentes y suplementarios. En y DAC forman un par lineal. el gráfico DAB

D C

B A

Fig. 1.54

Definición [1.5.13]. Ángulos complementarios. E B C

G 25°

Se dice que dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es igual a 90.

H 65° K

Fig. 1.55

y CAD son complementarios, así como HJK y GEF ; se dice En la figura 1.55 BAC que BAC es complemento de CAD y, HJK es complemento de GEF y viceversa. Teorema [1.5.4]. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

Demostración. Para determinar con claridad el objetivo de la demostración, se escribe el enunciado del teorema en forma de condicional, de tal manera que se pueda identificar la hipótesis y la tesis del ejercicio. Si dos ángulos son opuestos por el vértice, entonces son congruentes. Se sigue del anterior enunciado que:

HIPÓTESIS

TESIS

y GOF opuestos por el vértice BOA ≅ GOF BOA

B–O–F A–O–G B A

G F

▪ 63

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AFIRMACIÓN 1. BOA y GOF opuestos por el vértice, B – O – F y A – O – G → 

→ 

RAZÓN 1. Hipótesis.

2. Definición de ángulos opuestos por el 2. OB y OF rayos opuesto vértice. 3. Definición de ángulos opuestos por el 3. OA y OG rayos opuesto vértice. y AOF par lineal 4. BOA

4. Definición de par lineal en 2 y 3.

par lineal AOF y FOG 5.

5. Definición de par lineal en 2 y 3.

(

) ( )

(

) (

=180 6. m AOF + m BOA 6. Ángulos suplementarios en par lineal en 4.

)

=180 7. m AOF + m FOG 7. Ángulos suplementarios en par lineal en 5.

(

8. Propiedad transitiva de la igualdad en ) ( ) 6 y 7. AOF )+ m (FOG = m ( ) ) = m ( FOG ) 9. m ( BOA 9. P. uniforme de los reales en 8. 8. m AOF + m BOA

≅ FOG 10. Definición de congruencia de ángulos 10. BOA en 9. lqqd Teorema [1.5.4]. La bisectriz de un ángulo es única.

La demostración se deja para el lector. Teorema [1.5.5]. Los suplementos de ángulos congruentes son congruentes.

Demostración. Recuerde de nuevo la importancia que tiene hacer claridad sobre la hipótesis y la tesis. En este caso concreto, el teorema habla de ángulos congruentes cualesquiera y de sus suplementos. Para simbolizar la hipótesis se tomarán dos ángulos arbitrarios en representación de todo par de ángulos congruentes, y otro par de ángulos que representen los suplementos de los ángulos iniciales. Es importante que no se agreguen ni quiten características a las establecidas en la hipótesis, dado que esto podría provocar que ya no representaran la generalidad de la hipótesis y fueran un caso particular. ▪ 64

Un acercamiento al pensamiento geométrico

HIPÓTESIS

TESIS ≅ LMN XYZ

≅ FCB 1. ABD y LMN Suplementarios 2. FCE

ABD y XYZ Suplementarios 3. L

A C B

Z D X

lqqd y LMN Suplementarios ABD y XYZ Suplementarios FCE

( ) ( )

m ABD + m XYZ =180

≅ FCE ABD

( ) ( )

+ m LMN =180 m FCE

( ) ( )

m ABD = m FCE

Dado Definición de ángulo suplementario Definición de congruencia

( ) ( ) ( ) ( )

Igualación

( ) ( ) ( ) ( )

Sustitución

+ m LMN m ABD + m XYZ = m FCE

+m + m LMN m FCE XYZ = m FCE

( ) ( )

m XYZ = m LMN

Propiedad de los reales

≅ LMN XYZ

Definición de congruencia lqqd ▪ 65

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Teorema [1.5.6]. Ángulos complementarios de ángulos congruentes son congruentes.

La demostración de este teorema se deja como ejercicio al lector; se sugiere apoyarse en el árbol del teorema anterior. Definición [1.5.14]. Rectas perpendiculares. A B

← →

←→ 

Dos rectas AB y CD son perpendiculares si se cortan de modo que forman ángulos adyacentes congruentes. Se denota por:

C O D

←→

AD ⊥ CB

Fig. 1.56

Teorema [1.5.7]. Si dos rectas son perpendiculares, se cortan formando ángulos de

90.

Observación [1.5.5]. A partir de este teorema, podrá utilizarse dicho resultado como

definición de perpendicular y viceversa. Al hablar de un segmento o un rayo perpendicular a otro segmento, rayo o recta se estará hablando de la perpendicularidad entre las rectas que los contienen.

Las siguientes dos definiciones son aplicaciones de la perpendicularidad. Definición [1.5.15]. Distancia de un punto a una recta. D æ ¬¾® ö d çD, AB ÷ ø è

La distancia de un punto D a una recta ←→   → AB es la medida del segmento DC , ←→ ←→ con C ∈ AB y AB ⊥ DC. Se denota por ←→ d ( D, AB )

Fig. 1.57

 →

De la definición anterior se puede concluir que la distancia de D a AB es ← →

d ( D, AB) = m( DC ).

▪ 66

Un acercamiento al pensamiento geométrico

Definición [1.5.16]. Mediatriz de un segmento. A

La perpendicular que corta por el punto medio a un segmento es llamada la mediatriz del segmento.

Fig. 1.58

Laboratorio [1.5.3]. Para realizar con Cabri.

Trace en Cabri un segmento y su mediatriz, ubique varios puntos sobre la mediatriz y mida la distancia de éstos a cada uno de los extremos del segmento dado. ¿Puede conjeturar algo?, escríbalo.

1.6 Polígonos A partir de los segmentos y los ángulos se puede continuar con la construcción de nuevas figuras geométricas para este estudio. Se da inicio a una de las estructuras más importantes en un curso de geometría euclidiana; se hablará a continuación de los polígonos, a partir de dos ejercicios de caracterización. Ejercicio Taller [1.17]. Escriba las características de una figura cerrada a partir de la

gráfica.

Figura cerrada

Figura abierta

Características:

▪ 67

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Ejercicio Taller [1.18]. Escriba las características de los objetos que se denominan

polígonos en la siguiente gráfica. Polígonos

No son polígonos

Características:

Observación [1.6.1]. Se dice que una figura geométrica es plana si está contenida en un

solo plano.

Con las características halladas en el ejercicio taller anterior, surge la siguiente definición. Definición [1.6.1]. Polígono. D

C E

Un polígono de n lados es una figura geométrica cerrada, formada por la unión de n segmentos consecutivos coplanares, los cuales:

Fig. 1.59

– Se intersectan únicamente en sus puntos extremos. – Cada extremo es intersección de sólo dos segmentos. – Dos segmentos consecutivos no son colineales. En la figura 1.59 se tiene: Lados AB; BC ; CD; DE; EA Vértices Los puntos A, B, C, D y E ▪ 68

Un acercamiento al pensamiento geométrico

¿Puede describir los ángulos del polígono? Al igual que se hizo con los segmentos y los ángulos, se clasificarán ahora los polígonos.

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS Es posible clasificar los polígonos teniendo en cuenta su forma o su número de lados, como se expresa a continuación: Regulares

Todos sus lados y todos sus ángulos son respectivamente congruentes.

Irregulares

Tiene al menos un lado o un ángulo no congruente con los demás.

Según su forma

N◦ de Lados

Según el número de lados

Polígono 3 Triángulo 4 Cuadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octágono 9 10 Decágono 11 12 20

Complete la tabla anterior.

1.7 Análisis de los ejercicios de contexto [1.1] En realidad ninguno de ellos es un punto; de hecho, todos ellos no son más que representaciones gráficas de la idea abstracta que se maneja de punto. Se utilizan para representar gráficamente la idea de lo que puede ser un punto, pero lo cierto es que un punto sólo se puede manejar de forma real en nuestra mente. [1.2] Una recta contiene infinitos puntos; un plano contiene infinitas rectas, y el espacio contiene infinitos planos. ▪ 69

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[1.3] No sirve como definición ya que al ser un elemento de una figura geométrica se necesita primero saber qué es una figura geométrica, y ésta está definida en función de punto (se formaría un círculo vicioso). [1.4] A partir de lo dicho en el ejercicio 2, tanto el punto, la recta, el plano como el espacio están constituidos por puntos, luego son figuras geométricas. [1.5] Una recta contiene infinitos puntos que satisfacen la relación estar entre. [1.6] Dado que una de las características de un corolario es ser consecuencia de un teorema, todo corolario es demostrable. [1.7] Dos rayos opuestos tienen: 1) Punto de inicio común. 2) Los dos puntos que determinan uno de los rayos son colineales con los que determinan al otro rayo. 3) El punto de inicio está entre los otros dos puntos que determinan a los rayos.  →

 →

[1.8] Si A no está entre B y P, no se cumple que el rayo AB sea opuesto al rayo AP ,  →  → y la unión de estos rayos puede ser nuevamente un rayo llamado AP o AB , o . un ángulo PAB [1.9]

Si los segmentos no son congruentes, entonces sus medidas no son iguales; por lo tanto, en virtud de la propiedad de tricotomía de los números reales, una de las medidas de los dos segmentos tendrá que ser mayor que la del otro segmento.

AOB son colineales, necesariamente A – O – B [1.10] Si los puntos que forman el ángulo y su gráfico es como el de una recta con tres puntos conocidos; entonces las rectas ←→  ←→  OA y OB son iguales y determinan los mismos semiplanos, los cuales no contienen AOB no tiene interior tal como está definido. ni a A ni a B con lo cual el ángulo [1.11] Un ángulo es determinado por dos rayos, un rayo es determinado por dos puntos, uno de ellos establecido como el origen; por lo tanto, el origen del rayo será único pero para denotar el rayo se tienen infinitas posibilidades, por lo tanto, el punto P del postulado no tiene que ser único.

▪ 70

Un acercamiento al pensamiento geométrico

1.8 Ejercicios propuestos 1. Escriba el conjunto de características del cuadrado. Con base en lo visto en el capítulo y las características encontradas dé una definición precisa de cuadrado.

Escriba el conjunto de características del triángulo. Con base en lo visto en el capítulo y las características encontradas dé una definición precisa de triángulo.

En las siguientes expresiones, identifique el antecedente y el consecuente como hipótesis y tesis. a) Los puentes se cayeron debido a los cálculos erróneos de los ingenieros. b) La suma de las medidas de dos de los lados de un triángulo es mayor que la medida del tercer lado. c) La percepción clara y precisa es necesaria en el desarrollo del pensamiento. d) Un número es suficiente para describir una medida. e) La suma de las medidas de ángulos suplementarios es 180.

Lea con atención y determine si la proposición es verdadera o falsa; justifique su respuesta. a) (

) Al separar el plano en dos regiones, éstas son convexas.

b) (

) La unión de dos semiplanos es un plano.

c) (

) La suma de ángulos solo es posible cuando los ángulos son adyacentes.

d) (

) Sumar segmentos es equivalente a sumar sus medidas.

e) (

) La medida de una recta es la suma de las medidas de los segmentos que la conforman.

f) (

) Un rayo es una figura geométrica que tiene asociada una medida.

g) (

) Ángulos complementarios son aquellos cuyas medidas suman 90.

h) (

) Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

i) (

) Dos ángulos congruentes son opuestos por el vértice.

j) (

) Todo ángulo posee a lo sumo una bisectriz.

k) (

) Si A y B están en la recta CD entonces la recta AC coincide con la ←→  recta BD .

l) (

) Si A, B y C determinan sólo un plano, entonces C puede estar sobre la ← → recta AB .

m) (

) Si A, B y C son no colineales, y F está sobre el plano determinado por los puntos A, B y C, entonces el plano determinado por los puntos A, B y C coincide con el plano determinado por los puntos A, B y F.

← →

←→ 

▪ 71

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n) (

) Dado un plano determinado por los puntos A, B y C, y D un punto en ←→ ←→ dicho plano, si E es exterior al plano entonces las rectas AB y DE son ← → cruzadas sólo si D es exterior a la recta AB .

ñ) (

) La medida de un ángulo depende de la longitud de sus lados.

o) (

) Si se biseca un ángulo obtuso se formarán dos ángulos agudos.

p) (

) Si dos ángulos son suplementarios y congruentes entonces son rectos.

q) (

) Si se construye un ángulo de medida igual al doble de la medida de un ángulo agudo, éste será obtuso.

r) (

) Los lados de un ángulo llano forman una línea recta.

s) (

) Los ángulos suplementarios siempre son adyacentes.

t) (

) La suma de las medidas de dos ángulos agudos puede ser un ángulo llano.

u) (

) Un postulado es una proposición que se ha demostrado.

v) (

) Los ángulos opuestos por el vértice no pueden ser suplementarios.

w) (

) Todo polígono equilátero es regular.

5. En un piso uniforme, a veces cojeará una mesa de cuatro patas, mientras que una de tres patas siempre estará firme. ¿Por qué? 6. A partir de la siguiente figura, escriba una ecuación correcta para expresar BD como:

a. Una resta de segmentos.

b. Una suma de segmentos.

7. La intersección de figuras geométricas convexas, ¿es convexa? Demuestre su respuesta o dé un contraejemplo. 8. La unión de figuras geométricas convexas, ¿es convexa? Demuestre su respuesta o dé un contraejemplo. 9. ¿Cuántos segmentos diferentes pueden construirse uniendo dos puntos diferentes de un conjunto de cuatro puntos no colineales? 10. ¿Cuántos segmentos pueden determinarse en un conjunto de n puntos coplanares no colíneales 3 a 3? 11. El postulado de separación del plano permite separar el plano en dos conjuntos disjuntos y convexos. Manteniendo estas mismas características, ¿cómo sería la separación de la recta? ▪ 72

Un acercamiento al pensamiento geométrico

12. Caracterice cada uno de los conjuntos de segmentos representados en la siguiente tabla, y utilice su caracterización para escribir una definición precisa de cada uno de las figuras geométricas presentadas. Segmentos abiertos A

Segmentos semiabiertos

Segmentos cerrados

A B

D T S

G E

M P

13. Dados A – B – C – D, utilice la caracterización realizada en el ejercicio anterior para hallar:  →

 →

→

 →

a) CA ∩ BD =

b) BA ∩ BD =

c) AB ∪ BC =

d) CB ∩ AD =

e) BA ∩ CD =

14. ¿Qué clase de ángulo es el suplemento de:

a) un ángulo agudo?

b) un ángulo recto?

c) un ángulo obtuso?

15. Dos lados de un marco se encolan para formar una esquina. Cada lado se corta a un ángulo de 45º ¿cuál es la medida de la esquina exterior?, ¿Qué postulado o definición utilizó para llegar a dicha conclusión? ▪ 73

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16. Los segmentos AB y CD se cortan en el punto O (O, A, B, C y D todos distintos). son opuestos por el vértice. Demostrar que AOC y BOD 17. Dados cuatro rayos coplanares con origen común en O y que pasan por los puntos  →  →  →  → A, B, C y D respectivamente, demuestre que tanto OA y OC como OB y OD son  →  →  →  → ≅ y BOC rayos opuestos, siempre que AOD y, OA, OB , OC y OD son AOB ≅ COD consecutivos. 18. Según la tabla de abajo, escriba las características de una diagonal, posteriormente escriba una definición precisa de esta figura geométrica.

Diagonales

No diagonales

19. Enuncie todos los ángulos que puede identificar en cada una de las siguientes figuras.

D C

C D

H G

F E

20. Dada la gráfica, considere las hipótesis establecidas para demostrar la tesis:

HIPÓTESIS

TESIS

AB ≅ CD

AC ≅ BD A

▪ 74

Un acercamiento al pensamiento geométrico

HIPÓTESIS  →

TESIS

 →

AGB y EGC complementarios

1. GA y GE rayos opuestos  →

 →

2. GB ⊥ GC

HIPÓTESIS

TESIS

AOC ≅ BOD 1.

AOB ≅ COD

OE bisectriz de 2. OE bisectriz de BOC AOD

 →

HIPÓTESIS

TESIS

≅ BCE CBD

ABC ≅ ACB

HIPÓTESIS

(

)

(

= 3m AFB 1. m BFC

)

( ) ( ) − 240 3. m ( AFD) = m ( AFB ) = 4m AFB 2. m CFD

C A

TESIS Hallar

(

m AFB

)

HIPÓTESIS

(

)

(

= 3m AFB 1. m AFC

)

TESIS Hallar

(

2. FC biseca al AFD

(

m AFD

 →

)

= 20 3. m AFB

HIPÓTESIS

BC ≅ CD; A–B–C–D–E AB = DE

TESIS C es punto medio de AE.

D E

▪ 75

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HIPÓTESIS

(

)

(

= 3m m BOD AOD

TESIS

)

 →

OC ⊥ OD

O B

≅ BOC AOD

D C

21. Encontrar las medidas de dos ángulos suplementarios sabiendo que la medida de uno es tres veces la medida de su suplemento. 22. Encontrar la medida de un ángulo sabiendo que cuatro veces su medida es igual a cinco veces la medida de su suplemento. 23. Si la medida del complemento de un ángulo es 1/3 de la medida del suplemento del ángulo, ¿cual es la medida del ángulo? 24. Demostrar que si el rayo OC que parte del vértice del ángulo AOB pasa entre sus lados, entonces la medida de AOC es menor que la de AOB.  →

25. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son colineales.

(

)

(

)

= 45 y m BOD = 85, cuál es la medida del DOC si: 26. Si m COB

. C está en el interior de BOD . Si C está en el exterior de DOB

se cortan 27. Si las bisectrices de dos ángulos adyacentes AOB y BOC perpendicularmente, entonces A, O y C son colineales. 28. Cuatro rayos con origen común forman ángulos tales que

(

)

(

)

) (

(

)

(

)

= m COB = 2m BOA y m COD = 3m m DOA AOB . Determine las medidas de todos los ángulos que se forman y demuestre que las están en línea recta. bisectrices de AOB y COD

 →  → AOC y AOB de interior disyunto, OE bisectriz de AOB y OD 29. Dados los ángulos = 45. bisectriz de AOC , si m AOC + m AOB = 90. Probar que m EOD

(

)

(

)

(

)

CD 30. Dados cuatro puntos A, B, C y D colineales, tales que BC = . Probar que 2 2 AB + AD . AC = 3

En los siguientes ejercicios realice cada uno de los pasos a, b y c:

a) Realizar un gráfico.

▪ 76

Un acercamiento al pensamiento geométrico

b) Escribir la hipótesis y la tesis.

c) Realizar una demostración formal del enunciado.

31. Demuestre que la distancia del punto medio de un segmento a un punto exterior K a éste, pero colineal con él, es igual a la semi-suma de las distancias de los extremos del segmento al punto K. 32. Si dos ángulos forman un par lineal, entonces sus bisectrices son perpendiculares. 33. Sobre una recta se tienen A – B – C – D – E, tales que el segmento determinado por A y B es congruente con el segmento determinado C y D, además es BD ≅ DE , demuestre que AC ≅ DE. 34. Sean A, B, C, y D cuatro puntos coplanares y  una recta en el mismo plano y que no contiene a ninguno de ellos. Los segmentos AB y CD cortan a la recta  y el segmento BC no lo hace, ¿corta la recta  al segmento AD ?  →

35. Desde un punto O sobre la recta XY (que separa al plano) se trazan los rayos  →  → . XOA, AOB y BOY OA y OB en un mismo semi-plano, además las bisectrices de Calcular las medidas de los ángulos, sabiendo que la bisectriz del ángulo AOB es  → perpendicular a XY y que las bisectrices de los ángulos extremos forman un ángulo de medida 100. con el mismo vértice, y COB contenido en el 36. Dos ángulos congruentes AOB y COD interior de AOD. Demostrar:

a) AOC ≅ BOD

, demostrar que también es bisectriz de b) Si OM es la bisectriz de BOC AOD.

 →

37. Si AB ≅ CD y A – B – C – D, entonces AC ≅ BD. 38. Dados cuatro puntos A, B, C, y D tales que A – B – C – D, demuestre que la medida del segmento que une los puntos medios de AB y CD es igual a la semi-suma de las medidas de los segmentos AC y BD.

▪ 77