Capítulo 1
ELEMENTOS BÁSICOS El significado etimológico de la palabra GEOMETRÍA es medida de la tierra (geo: tierra; metria: medida). Este hecho nos remonta a los inicios de la geometría y con ello a las culturas griega y egipcia, las cuales fundamentan la llamada cultura occidental; cabe anotar que los chinos establecieron sus propios sistemas numéricos a partir de otros conceptos filosóficos (ver Lizcano, Emmánuel. Imaginario colectivo y creación matemática). Se le debe a Euclides (300 a.c.) el compendio de los diferentes conceptos de geometría en lo que fue el primer libro de teoría axiomática: “Los elementos”; dicho libro se basa en cinco postulados (afirmaciones sin demostración) y cinco axiomas (verdades evidentes por sí mismas)1, sobre los cuales se soportan los resultados obtenidos, por ejemplo, el conocido como teorema de Pitágoras, que corresponde al teorema número 47. Una teoría axiomática es aquella conformada por un conjunto de términos no definidos, términos definidos, postulados y axiomas, los cuales por medio de reglas lógicas permiten generar teoremas y corolarios que amplían la teoría (el significado de cada uno de estos términos es presentado más adelante). Los elementos fue el libro de geometría por excelencia durante aproximadamente dos mil años. Las discusiones que generó en la comunidad matemática (años 1890-1930 aproximadamente) el quinto postulado de Euclides y la posibilidad de que fuese un teorema dieron lugar al nacimiento de otras geometrías igualmente válidas. A partir de entonces se habla de geometría euclidiana para referirse a la geometría basada en los cinco postulados de Euclides, y geometrías no-euclidianas para aquellas otras en las que no se cumple el quinto postulado.
Postulados y axiomas presentados por Euclides2 Se postula: P1. Trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta otro punto cualquiera. P2. Prolongar indefinidamente una línea recta limitada en línea recta. 1 Actualmente puede considerarse que no existen verdades evidentes por sí mismas, sino que no son demostrables. Por lo tanto, en el texto se trabaja únicamente con el término postulado. 2 CAMPOS, Alberto. Axiomática y Geometría desde Euclides hasta Hilbert y Bourbaki. Obra presentada para optar a profesor titular del Departamento de Matemática y Estadística de la Universidad Nacional de Colombia. Bogotá, 1994.
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