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Anรกlisis en el espacio de estado Valentina Borges

Anรกlisis en el espacio de estado Valentina Borges

Análisis en el espacio de estado 1° Edición Valentina Borges Universidad Fermín Toro

CONTENIDO

PRÓLOGO XI CAPÍTULO 1 Análisis en el espacio de estado 1.1 Introducción 14 1.2 Análisis y Representación en el espacio de estado en tiempo discreto 16 1.3 Problema de ejemplo y solución 22 1.4 Problemas 26

VIII

IX

Contenido

CAPITULO 2 Sistemas lineales 2.1 Introducción

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2.2Controlabilidad

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2.3 Observabilidad

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2.4 Función de transferencia 2.5 Formas Canónicas

40 43

CAPITULO 3 Formas canónicas de representación de estado 3.1 Introducción

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3.2Forma canónica controlable

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3.3 forma canónica observable

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3.4 Forma canónica diagonal 49 3.5 Forma canónica de Jordan

50

3.6 Problemas de ejemplos y soluciones 50

Contenido

X

2.7 Problemas 52 BIBLIOGRAFIA

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PROLOGO En este libro se presenta un entendible tema acerca del análisis y diseño de sistemas de control en tiempo discreto. Este libro se escribió con el fin para utilizarse como texto para los cursos de sistemas de control o de control digital que se imparten para los estudiantes de ingeniería. En este libro se introducen importantes conceptos en el análisis y diseño del mismo. Los lectores encontraran un libro de texto claro y comprensible. Se supone que el lector debe haber completado los siguientes prerrequisitos: curso de carácter introductorio sobre ecuaciones diferencias, transformada de Laplace, análisis vectorial matricial, análisis de circuitos, mecánica y termodinámica.

XI

Prologo

XII

En esta primera edición, encontraremos las características más significativas del tratamiento amplio acerca del diseño mediante ubicación de polos con observaciones de orden reducido a través del enfoque en el espacio de estado y el enfoque de la representación de las formas canoníca en el espacio de estado en tiempo discreto Si este libro se usa como texto para curso semestral se puede cubrir gran parte del material omitiendo ciertas partes. Debido a la abundancia de problemas ejemplos y problemas resueltos que pueden responder a muchas de las posibles preguntas que el lector pueda plantearse, y también este texto puede servir como teto de autoestudio para aquellos ingenieros que ya trabajan y que desean estudiar teoría de control básica.

Valentina Borges

Anรกlisis en el espacio de estado

1

Análisis en el espacio de estado 1.1 INTRODUCCIÓN El análisis de sistemas mediano o grandes puede volverse muy tedioso y propenso a errores debido al tamaño del sistema de ecuaciones que se necesita para describirlo y al número de manipulaciones algebraicas requerido para encontrar una solución a dichas ecuaciones. Por lo tanto, es necesario encontrar otros procedimientos que permitan resolver estos sistemas de una forma más rápida y encontrar soluciones con errores casi nulos, entre estos procedimientos el análisis de sistemas a través de variables de estado. Un conjunto de variables de

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estado es un grupo de seùales en un sistema que junto a una excitación del sistema determina por completo el estado de este mismo en cualquier tiempo futuro. El orden de un sistema es igual que el número de variables de estado necesarias para establecer de manera única su estado, si es sistema se describe mediante una ecuación diferencial o en diferencias, su orden es el mismo que el de la ecuación. Concepto del mÊtodo en el espacio de estado. Se basa en la descripción del sistema en tÊrminos de n ecuaciones en diferencias de primer orden, que pueden combinarse en una ecuación matricial en diferencias o diferencial de primer orden. La utilización de la notación matricial simplifica en gran medida la representación matemåtica de los sistemas de ecuaciones. Estado. El estado de un sistema dinåmico se basa en el conjunto de pequeùas variables tales que el conocimiento de dichas variables en � = �0 junto con el conocimiento de la entrada para t ≼ to, determinan por completo el comportamient del sistema para cualquier tiempo. Variables de estado. Las variables de estado de un sistema dinamico son las que conforman el conjunto mas pequeùo de variables que determinan

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el estado del sistema dinamico. Si para describir en su totalidad el comportamiento de un sistema dinamico se requiero de por lo menos n variales �1 , �2 , ‌ , �� , entonces dichas n variables se consideran un conjuntode variables de estado. Espacio de estado. El espacio de n dimensiones cuyos ejes coordenados estan formados por eleje �1 , ��� �2 , ‌ . , ��� �� se conoce como espacio de estado. Cualquier estadopuede representarse por un punto dentro del espacio de estado.

1.2 REPRESENTACION EN EL ESPACIO DE ESTADO EN TIEMPO DISCRETO Control clĂĄsico. El modelado y control de sistemas basado en la transformada de Laplace, es un enfoque muy sencillo y de fĂĄcil aplicaciĂłn. Permite analizar sistemas utilizando una serie de reglas algebraicas en lugar de trabajar en ecuaciones diferenciales. En este enfoque tiene mĂĄs valor la simplicidad que la exactitud.

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Sin embargo, la descripción de sistemas mediante la función de transferencia tiene las siguientes limitaciones: a) No proporciona información sobre la estructura física del sistema. b) Solo es válida para sistemas lineales con una entrada y una salida e invariantes en el tiempo. c) No proporciona información de lo que pasa dentro del sistema. d) Se necesita que las condiciones iniciales del sistema sean nulas. Ningún sistema dinámico de interés cumple con estos requisitos, es decir: los sistemas reales presentan no linealidades, pueden tener más de una entrada o una salid, sus parámetros cambian en el tiempo y sus condiciones iniciales no siempre tienen un valor cero. Afortunadamente, para muchos sistemas es posible considerar esas limitaciones, trabajar sobre un punto de interés, linealizar y utilizarlas ventajas del análisis Laplace. Sin embargo, otros sistemas son tan complejos que no es posible utilizar este enfoque. Para este tipo de sistema se utiliza la representación en el espacio de estado.

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Con la representación en espacio de estado tenemos la capacidad de conocer y controlar en cierta medid la dinámica interna de un sistema. Este método principal con la selección de las variables de estado, las cuales deben ser capaces en conjunto de determinar las condiciones de la dinámica del sistema para todo tiempo. Pueden existir varias representaciones en variables de estado para un sistema. Un sistema de orden n se caracteriza por tener n variable, estas variables se denominan variables de estado del sistema y son funciones de la variable independiente tiempo. Con la representación en el espacio de estado se puede conocer y controlar de cierto modo la dinámica interna de un sistema y su respuesta. Este método principia con la selección de las variables de estado, las cuales deben de ser capaces del conjunto de determinar las condiciones de la dinámica para todo tipo de tiempo. Pueden existir varias representaciones variables de estado para un sistema.

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en

El sistema necesita p entradas, q salida y n variables de estado. Analizar el sistema consiste en predecir la respuesta y(t) ante una excitación r(t) conocida la energía inicial x(0) del sistema. La salida depende de las entradas y de las variables de estado del sistema: 𝑦(𝑡) = 𝑓(𝑟(𝑡), (𝑡)) Para sistemas lineales se tiene: 𝑦(𝑡) = 𝐶𝑥(𝑡) + 𝐷𝑟(𝑡)) 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒔𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂 Para que la ecuación sea dimensionalmente compatible se requiere que: C debe ser una matriz de q x n D debe ser una matriz de q x p En cuanto al comportamiento dinámico del sistema, la ecuación diferencial que mide la variación del vector de estado con respecto al tiempo, es una ecuación diferencial lineal de la forma: 𝑑 𝑑𝑡

𝑥(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑟 (𝑡) 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 𝑥̇ (𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢 (𝑡) 19

đ?‘Ś(đ?‘Ą) = đ??śđ?‘Ľ(đ?‘Ą) + đ??ˇđ?‘˘(đ?‘Ą)

đ?‘‘ đ?‘Ľđ?‘Ľ(đ?‘Ą) = đ??´đ?‘Ľ(đ?‘Ą) + đ??ľđ?‘&#x;(đ?‘Ą) đ?’†đ?’„đ?’–đ?’‚đ?’„đ?’Šđ?’?đ?’? đ?’…đ?’† đ?’†đ?’”đ?’•đ?’‚đ?’…đ?’? đ?‘‘đ?‘Ą La ecuaciĂłn diferencial vectorial de primer orden se resuelve por analogĂ­a con la ecuaciĂłn diferencial de escalares: đ?œ?

đ?‘Ľ(đ?‘Ą) = đ?œ™ −1 (đ?‘Ą)đ?‘Ľ(0) + đ?œ™ −1 (đ?‘Ą) âˆŤ đ?œ™(đ?œ?)đ??ľđ?‘&#x;(đ?œ?)đ?‘‘đ?œ? 0

đ?œ™(đ?‘Ą) = đ?‘’ đ??´đ?‘“ đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘§ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘›đ?‘ đ?‘–đ?‘?đ?‘–đ?‘œđ?‘› đ?‘‘đ?‘’ đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘‘đ?‘œđ?‘ : đ?‘Ą

đ?‘Ľ(đ?‘Ą) = đ?‘’ đ??´đ?‘Ą đ?‘Ľ(0) + âˆŤ đ?‘’ −đ??´(đ?‘Ąâˆ’đ?‘§) đ??ľđ?‘&#x;(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ 0

Si el sistema inicialmente esta en reposo:

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đ?‘Ą

đ?‘Ľ(đ?‘Ą) = âˆŤ đ?‘’ −đ??´(đ?‘Ąâˆ’đ?‘§) đ??ľđ?‘&#x;(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ 0

En el control clĂĄsico de salida se realimenta. Formas canĂłnicas para ecuaciones en el espacio de estado en tiempo discreto. Existen muchas tĂŠcnicas para obtener representaciones en el espacio de estado correspondientes a sistemas en tiempo discreto. Considere el sistema en tiempo discreto descrito por: đ?‘Ś(đ?‘˜) + đ?‘Ž1 đ?‘Ś(đ?‘˜ − 1) + đ?‘Ž2 đ?‘Ś(đ?‘˜ − 2) + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ś(đ?‘˜ − đ?‘›) = đ?‘?0 đ?‘˘(đ?‘˜) + đ?‘?1 đ?‘˘(đ?‘˜ − 1) + â‹Ż + đ?‘?đ?‘› đ?‘˘(đ?‘˜ − đ?‘›) Donde u(k) es la entrada e y(k) es la salida del sistema en el instante de muestreo k. observe que alguno de los coeficientes đ?‘Žđ?‘– (đ?‘– = 1,2, ‌ , đ?‘›) y đ?‘?đ?‘—đ?‘— (đ?‘— = 0,1,2, ‌ , đ?‘›) pueden ser cero. La ecuaciĂłn de la forma canĂłnica tambiĂŠn se puede escribir en la forma de funciĂłn de transferencia pulso como: đ?‘Œ(đ?‘§) đ?‘?0 + đ?‘?1 đ?‘§ −1 + â‹Ż + đ?‘?đ?‘› đ?‘§ −đ?‘› = đ?‘ˆ(đ?‘§) 1 + đ?‘Ž1 đ?‘§ −1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘§ −đ?‘› O bien đ?‘Œ(đ?‘§)

= đ?‘ˆ(đ?‘§)

đ?‘?0 đ?‘§ đ?‘› +đ?‘?đ?‘Ą đ?‘§ đ?‘›âˆ’1 +â‹Ż+đ?‘?đ?‘› đ?‘§ đ?‘› +đ?‘Ž1 đ?‘§ đ?‘›âˆ’1 +â‹Ż+đ?‘Žđ?‘›

Existen muchas formas de llevar a cabo representaciones en el espacio de estado para un

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sistema en tiempo discreto por las ecuaciones escritas anteriormente. AquĂ­ se muestran las siguientes que serĂĄn desarrolladas en el capĂ­tulo 3: 1. 2. 3. 4.

Forma canĂłnica controlable. Forma canĂłnica observable. Forma canĂłnica diagonal. Forma canĂłnica de Jordan.

1.3 PROBLEMA DE EJEMPLO Y SOLUCION Problema A-1-1 (MĂŠtodo de programaciĂłn directa) Considere el sistema en tiempo discreto definido por: đ?‘Œ(đ?‘§) đ?‘?0 đ?‘§ đ?‘› + đ?‘?đ?‘Ą đ?‘§ đ?‘›âˆ’1 + â‹Ż + đ?‘?đ?‘› = đ?‘› đ?‘ˆ(đ?‘§) đ?‘§ + đ?‘Ž1 đ?‘§ đ?‘›âˆ’1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› Muestre que una representaciĂłn en el espacio de estado de este sistema puede estar dada por:

SoluciĂłn:

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El sistema dado puede modificarse a la forma:

Esta Ăşltima ecuaciĂłn se puede escribir como sigue:

Se define

Entonces la ecuaciĂłn Y(Z) se puede escribir como đ?‘Œ(đ?‘§) = đ?‘?0 đ?‘ˆ(đ?‘§) + đ?‘ŒĚ‡(đ?‘§) Al reescribir la ecuaciĂłn anteriormente nos queda:

đ?‘ŒĚ‡(đ?‘§)

definida

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De esta Ăşltima se pueden obtener las dos ecuaciones siguientes: đ?‘„(đ?‘§) = −đ?‘Ž1 đ?‘§ −1 đ?‘„(đ?‘§) − đ?‘Ž2 đ?‘§ −2 đ?‘„(đ?‘§) − â‹Ż − đ?‘Žđ?‘› đ?‘§ −đ?‘› đ?‘„(đ?‘§) + đ?‘ˆ(đ?‘§) Y đ?‘ŒĚ‡(đ?‘§) = (đ?‘?1 − đ?‘Ž1 đ?‘?0 )đ?‘§ −1 đ?‘„(đ?‘§) + (đ?‘?2 − đ?‘Ž2 đ?‘?0 )đ?‘§ −2 đ?‘„(đ?‘§) + â‹Ż + (đ?‘?đ?‘› − đ?‘Žđ?‘› đ?‘?0 )đ?‘§ −đ?‘› đ?‘„(đ?‘§) Ahora se definen las variables de estado como sigue:

Entonces, claramente se tiene

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En tĂŠrminos de ecuaciones en diferencias, las n-1 ecuaciones anteriores se convierten en

Al sustituir la ecuaciĂłn obtenemos đ?‘§đ?‘‹đ?‘›(đ?‘§) = đ?‘Ž1 đ?‘‹đ?‘› (đ?‘§) − đ?‘Ž2 đ?‘‹đ?‘›âˆ’1 (đ?‘§) − â‹Ż − đ?‘Žđ?‘› đ?‘‹1 (đ?‘§) + đ?‘ˆ(đ?‘§) Que puede ser transformada a una ecuaciĂłn de diferencias: đ?‘‹đ?‘›(đ?‘˜ + 1) = −đ?‘Žđ?‘› đ?‘‹1 (đ?‘˜) − đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘‹2 (đ?‘˜) − â‹Ż − đ?‘Ž1 đ?‘‹đ?‘› (đ?‘˜) + đ?‘˘(đ?‘˜) AsĂ­ mismo, la ecuaciĂłn se puede rescribir como sigue: đ?‘ŒĚ‡(đ?‘?) = (đ?‘?1 − đ?‘Ž1 đ?‘?0 )đ?‘‹đ?‘›(đ?‘§) + (đ?‘?2 − đ?‘Ž2 đ?‘?0 )đ?‘‹đ?‘›âˆ’1 (đ?‘§) + â‹Ż + (đ?‘?đ?‘› − đ?‘Žđ?‘› đ?‘?0 )đ?‘‹1(đ?‘§) Al usar esta Ăşltima ecuaciĂłn, puede estar escrita de la manera

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đ?‘Ś(đ?‘˜) = (đ?‘?đ?‘› − đ?‘Žđ?‘› đ?‘?0 )đ?‘‹1 (đ?‘˜) + (đ?‘?đ?‘›âˆ’1 − đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘?0 )đ?‘‹2 (đ?‘˜) + â‹Ż + (đ?‘?1 − đ?‘Ž1 đ?‘?0 )đ?‘‹đ?‘› (đ?‘˜) + đ?‘?0 đ?‘˘(đ?‘˜) 1.4 PROBLEMAS Problema B-1-1 Obtenga una representaciĂłn en el espacio de estado del sistema descrito por la ecuaciĂłn: Y(k+2) + y(k+1)+ 0.16y(k)= u(k+1) + 2u(k) Problema B-1-2 Obtenga la ecuaciĂłn de estado y la ecuaciĂłn de salida correspondiente al sistema mostrado en la figura

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Problema B-1-3 Obtenga una representaciรณn en el espacio de estado del sistema de control en tiempo discreto que se muestra en la figura

Problema B-1-4 Obtenga la funciรณn de transferencia pulso del sistema definido por las ecuaciones X(k+1)=Gx(k) + Hu(k) Y(k)= Cx(k) + Du(k) Dรณnde:

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Sistemas lineales 2.1 INTRODUCCION Un sistema se denomina lineal si se aplica el principio de superposición. Este principio establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones de entradas diferentes es la suma de las dos respuestas individuales. Por tanto, para el sistema lineal, la respuesta a varias entradas se calcula tratando una entrada cada vez y sumando los resultados. Este principio permite desarrollar soluciones complicadas para la ecuación diferencial lineal a partir de soluciones simples. Si en una investigación experimental de un sistema dinámico son proporcionales la causa y el efecto, lo cual implica que se aplica el principio de superposición, el sistema se considera lineal.

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Para ver si un sistema es lineal, tenemos que probar si obedece a ciertas reglas que todos los sistemas lineales obedecen. Las dos pruebas básicas de linealidad son homogeneidad y aditividad. Homogeneidad. A medida que aumenta la fuerza de una entrada simple de un sistema lineal, por ejemplo se duplica, entonces podemos predecir que la función de salida también se duplicará. Por ejemplo, si la voz de una persona se convierte en el doble de fuerte, el oído debe responder el doble que si se trata de un sistema lineal. Esto se conoce como la homogeneidad o, a veces la regla escalar de sistemas lineales. Claramente, los sistemas que obedecen la ley de potencia de Steven no obedecen a la homogeneidad y no son lineales, debido a que muestran la compresión o expansión respuesta.

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Aditividad. Supongamos presentamos un estímulo complejo S1 como el sonido de la voz de una persona en el oído interno, y medir las respuestas eléctricas de varias fibras nerviosas procedentes del oído interno. A continuación, presentamos una segunda S2 estímulo que es un poco diferente: la voz de una persona diferente. El segundo estímulo también genera una serie de respuestas que medimos y anotar. A continuación, se presenta la suma de los dos estímulos S1 + S2: presentamos dos voces juntas y ver qué pasa. Si el sistema es lineal, a continuación, la respuesta medida será simplemente la suma de sus respuestas a cada uno de los dos estímulos presentados por separado.

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Superposición. Los sistemas que satisfacen tanto la homogeneidad y aditividad se consideran sistemas lineales. Estas dos reglas, tomadas en conjunto, se refieren a menudo como el principio de superposición. Shift-invariancia. Supongamos que estimulamos la oreja una vez con un impulso (aplauso) y se mide la respuesta eléctrica. A continuación, se estimula de nuevo con un impulso similar en un punto diferente en el tiempo, y de nuevo se mide la respuesta. Si no hemos dañado el oído con el primer impulso entonces deberíamos esperar que la respuesta a la segunda impulso sea la misma que la respuesta al primer impulso. La única diferencia entre ellos será que el segundo impulso se ha producido más tarde en el tiempo, es decir, que se desplaza en el tiempo. Cuando las respuestas a los estímulos idénticos presentado desplazada en el tiempo son los mismos, excepto por el cambio correspondiente en el tiempo, entonces tenemos un tipo especial de sistema lineal llama un sistema lineal invariante en el turno. Del mismo modo que no todos los sistemas son lineales, no todos los sistemas son lineales invariantes en turno.

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Sistemas lineales invariantes y variantes en el tiempo. Una ecuaciรณn diferencial es lineal si sus coeficientes son constantes o son funciones sรณlo de la variable independiente. Los sistemas dinรกmicos formados por componentes de parรกmetros concentrados lineales invariantes con el tiempo se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo de coeficientes constantes. Tales sistemas se denominan sistemas lineales invariantes en el tiempo (o lineales de coeficientes constantes). Los sistemas que se representan mediante ecuaciones diferenciales cuyos coeficientes son funciones del tiempo, se denominan sistemas lineales variantes en el tiempo. Un ejemplo de un sistema de control variante en el tiempo es un sistema de control de naves espaciales. (La masa de una nave espacial cambia debido al consumo de combustible.) 2.2 CONTROLABILIDAD

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Se dice que un sistema de control es de estado completamente controlable, si es posible transferir el sistema de un estado inicial arbitrario a cualquier estado deseado (también un estado arbitrario), en un periodo finito. Es decir, un sistema de control es controlable si todas las variables de estado pueden ser controladas en un periodo finito, mediante alguna señal de control no restringida. Si cualquiera de las variables de estado es independiente de la señal de control, entonces resulta imposible controlar esa variable de estado y, por lo tanto, el sistema es no controlable. Puede no existir solución a un problema de control óptimo, si el sistema se considera no controlable. A pesar de que la mayor parte de los sistemas físicos son controlables, los modelos matemáticos correspondientes quizás no tengan la propiedad de controlabilidad. Por lo tanto, es necesario saber la condición bajo la cual el sistema es controlable. También se puede decir que un sistema es controlable en el tiempo t0 si se puede transferir desde cualquier estado inicial x(t0) a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito. Se dice que un sistema es observable en el tiempo t0 si, con el sistema en el estado x(t0), es posible determinar este estado a partir de la observación de la salida durante un intervalo de tiempo finito.

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Kalman introdujo los conceptos de controlabilidad y Observabilidad, que juegan un papel importante en el diseño de los sistemas de control en el espacio de estados. De hecho, las condiciones de controlabilidad y Observabilidad determinan la existencia de una solución completa para un problema de diseño de un sistema de control. La solución a este problema puede no existir si el sistema considerado no es controlable. Aunque la mayor parte de los sistemas físicos son controlables y observables, los modelos matemáticos correspondientes tal vez no posean la propiedad de controlabilidad y observabilidad. En este caso, es necesario conocer las condiciones en las cuales un sistema es controlable y observable. Esta sección aborda la controlabilidad y la siguiente analiza la observabilidad. En lo que sigue, se deducirá en primer lugar la condición para garantizar controlabilidad completa del estado. A continuación, se obtendrán formas alternativas de dicha condición y un análisis análogo de la controlabilidad completa de salida. Finalmente se presenta el concepto de estabilizabilidad. Controlabilidad completa del estado de sistemas en tiempo continuo. Sea el sistema en tiempo continuo. 𝑋̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 Donde x es un vector de estado (vector de dimensión n).

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U es una señal de control (escalar). A es una matriz de n x n. B es una matriz de n x 1. Se dice que el sistema descrito mediante la Ecuación es de estado controlable en t =t0, si es posible construir una señal de control sin restricciones que transfiera un estado inicial a cualquier estado final en un intervalo de tiempo finito t0mt mt1. Si todos los estados son controlables, se dice que el sistema es de estado completamente controlable. Condición para controlabilidad completa del estado en el plano s. La condición para controlabilidad completa del estado se puede plantear en términos de funciones de transferencia o matrices de transferencia. Se puede demostrar que una condición necesaria y suficiente para controlabilidad completa del estado es que no ocurra una cancelación en la función de transferencia o en la matriz de transferencia. Si ocurre una cancelación, el sistema no puede controlarse en la dirección del modo cancelado. Controlabilidad de la salida. En el diseño práctico de un sistema de control, se puede necesitar controlar la salida en lugar del estado del sistema. Una controlabilidad completa del estado no es 35

condición necesaria ni suficiente para controlar la salida del sistema. Por esta razón, es conveniente definir de forma independiente la controlabilidad completa de la salida. Sea el sistema descrito mediante: 𝑋̇ = 𝐴𝑥 𝑌 = 𝐶𝑥 Donde x es el vector de estado. Donde y es el vector de salida. A es la matriz n x n. C es la matriz m x n 2.3 OBSERVABILIDAD Se dice que el sistema es completamente observable si el estado x(t0) se determina a partir de la observación de y(t) durante un intervalo de tiempo finito, t0<t< t1. Por tanto, el sistema es completamente observable si todas las transiciones del estado afectan eventualmente a todos los elementos del vector de salida. El concepto de observabilidad es útil al resolver el problema de reconstruir variables de estado no medibles a partir de variables que sí lo son en el tiempo mínimo posible. En esta sección, se tratan sólo sistemas lineales e invariantes en el tiempo. Por tanto, sin pérdida de generalidad, se supone que t0=0.

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El concepto de observabilidad es muy importante porque, en la práctica, la dificultad que se encuentra con el control mediante realimentación del estado es que algunas de las variables de estado no son accesibles para una medición directa, por lo que se hace necesario estimar las variables de estado no medibles para construir las señales de control. En la Sección 10-5 se demostrará que tales estimaciones de las variables de estado son posibles si y sólo si el sistema es completamente observable. Al analizar las condiciones de observabilidad, se considera el sistema sin excitación como el que se obtiene mediante las Ecuaciones anteriores. La razón de esto es la siguiente. Si el sistema se describe mediante:

y(t) es

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Como las matrices A, B, C y D se conocen al igual que u(t), los dos Ăşltimos tĂŠrminos del segundo miembro de esta Ăşltima ecuaciĂłn son cantidades conocidas. Por tanto, se pueden restar del valor observado de y(t). AsĂ­, a fin de investigar una condiciĂłn necesaria y suficiente para observabilidad completa, basta con considerar el sistema descrito mediante las Ecuaciones (9-63) y (9-64). Observabilidad completa de sistemas en tiempo continuo. Sea el sistema descrito mediante las Ecuaciones el vector de salida y(t) es

RefiriĂŠndose a la EcuaciĂłn se tiene:

Donde n es el grado del polinomio caracterĂ­stico. [ObsĂŠrvese que las Ecuaciones con m sustituido por n se pueden obtener a partir del polinomio caracterĂ­stico.] Por tanto, se obtiene đ?‘›âˆ’1

đ?’š(đ?’•) = ∑ đ?›źđ?‘˜ (đ?‘Ą)đ??śđ??´đ?‘˜ đ?‘Ľ(0) đ?‘˜=0

38

O bien, đ?‘Ś(đ?‘Ą) = đ?›ź0 (đ?‘Ą)đ??śđ?‘Ľ(0) + đ?›ź1 (đ?‘Ą)đ??śđ??´(0) + â‹Ż + đ?›źđ?‘›âˆ’1 (đ?‘Ą)đ??śđ??´đ?‘›âˆ’1 đ?‘Ľ(0) AsĂ­, si el sistema es completamente observable, dada la salida y(t) durante un intervalo de tiempo<t <t1, x(0) se determina Ăşnicamente a partir de la EcuaciĂłn (9-65). Se demuestra que esto requiere que el rango de la matriz NM x N.

A partir de este anĂĄlisis, se puede expresar la condiciĂłn para observabilidad completa del modo siguiente. El sistema descrito por las Ecuaciones es completamente observable si y sĂłlo si la matriz N x NM.

Es de rango n, o tiene n vectores columna linealmente independientes. Esta matriz se denomina matriz de observabilidad. Condiciones para observabilidad completa en el plano s. Las condiciones para observabilidad 39

completa también se pueden expresar en términos de funciones de transferencia o matrices de transferencia. La condición necesaria y suficiente para observabilidad completa es que no ocurra una cancelación en la función de transferencia o en la matriz de transferencia. Si ocurre una cancelación, el modo cancelado no se puede observar en la salida

2.4 FUNCION DE TRANFERENCIA En la teoría de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada-salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo. Se comenzará por definir la función de transferencia, para proseguir con el cálculo de la función de transferencia de un sistema de ecuaciones diferenciales. A continuación se analiza la función de respuesta-impulso. Función de transferencia. La función de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial lineal e invariante en el tiempo se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida (función de respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (función de excitación) bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales

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son cero. Considérese el sistema lineal e invariante en el tiempo descrito mediante la siguiente ecuación diferencial:

Donde Y es la salida del sistema y x es la entrada. La función de transferencia de este sistema es el cociente de la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada cuando todas las condiciones iniciales son cero, o

A partir del concepto de función de transferencia, es posible representar la dinámica de un sistema mediante ecuaciones algebraicas en s. Si la potencia más alta de s en el denominador de la función de transferencia es igual a n, el sistema se denomina sistema de orden n-ésimo.

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La aplicación del concepto de función de transferencia está limitada a los sistemas descritos mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo; sin embargo, el enfoque de la función de transferencia se usa extensamente en el análisis y diseño de dichos sistemas. A continuación se presentan algunos comentarios importantes relacionados con la función de transferencia. (Obsérvese que en la lista, los sistemas a los que se hace referencia son aquellos que se describen mediante una ecuación diferencial lineal e invariante en el tiempo). -La función de transferencia de un sistema es un modelo matemático porque es un método operacional para expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada. - La función de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función de excitación. -La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida; sin embargo, no proporciona información acerca de la estructura física del sistema. (Las funciones de

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transferencia de muchos sistemas físicamente diferentes pueden ser idénticas.) -Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se estudia la salida o respuesta para varias formas de entrada, con la intención de comprender la naturaleza del sistema. -Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, puede establecerse experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salida del sistema. Una vez establecida una función de transferencia, proporciona una descripción completa de las características dinámicas del sistema, a diferencia de su descripción física. 2.5 FORMAS CANONICAS El hecho de disponer de diferentes representaciones de estado para un mismo sistema, dado que el vector de estado no es único (ver no unicidad del conjunto de variables de estado en tema 3), es una ventaja sustancial de la representación de estado pues permite utilizar formas particulares de la misma, denominadas formas canónicas, cada una de las cuales presentan ciertas ventajas.

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Representación en el espacio de estados en formas canónicas. Considérese un sistema definido mediante:

Donde u es la entrada e y es la salida. Esta ecuación también puede escribirse como:

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3

Formas canónicas de representación de estado 3.1 INTRODUCCION Cualquier función transferencia que es estrictamente propia puede ser escrita como un espacio de estados con la siguiente aproximación: Dada una función transferencia, expandirla para revelar todos los coeficientes en el numerador y en el denominador. Resultando en la siguiente forma: 𝐺(𝑠) =

𝑛1 𝑠 3 + 𝑛2 𝑠 2 + 𝑛3 𝑠 + 𝑛4 𝑠 4 + 𝑑1 𝑠 3 + 𝑑2 𝑠 2 + 𝑑3 𝑠 + 𝑑4

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Los coeficientes pueden ser ahora insertados directamente en el modelo de espacio de estados mediante la siguiente aproximación:

Esta realización del espacio de estado se denomina forma canónica controlable porque garantiza que el modelo resultante es controlable (es decir, dado que el control entra en una cadena de integradores, puede modificar todos y cada uno de los estados). Si un sistema no es controlable, entonces no es posible expresarlo en esta forma canónica. Los coeficientes de la función transferencia pueden ser usados también para construir otro tipo de forma canónica.

Esta disposición se denomina forma canónica observable y, análogamente al caso anterior, el modelo resultante es necesariamente

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observable (esto es, al proceder la salida de una cadena de integradores, su valor se ve afectado por todos y cada uno de los estados). Un sistema no observable no puede ponerse en esta forma. 3.2 FORMA CANONICA CONTROLABLE Las ecuaciones del capítulo 1 de las formas canónicas de representación de espacio en el estado en tiempo discreto se pueden expresar en la forma dada por las ecuaciones siguientes:

Estas ecuaciones son las ecuaciones de estado y salida, respectivamente. La representación en el espacio de estado dada por las ecuaciones se conoce comúnmente como forma canónica controlable. Observe que si se invierte el orden de las variables de estado, es decir, si se define nuevas variables de estado, de acuerdo con la forma

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Entonces la ecuación de estado se puede escribir como sigue:

Entonces la ecuación de salida se puede dar de la forma

Estas ecuaciones también son la forma canónica controlable. 3.3 FORMA CANONICA OBSERVABLE La representación en el espacio de estado del sistema en tiempo discreto dada por las ecuaciones se puede expresar en la forma siguiente:

La representación en el espacio de estado dada por las ecuaciones se conoce como forma canónica observable.

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Observe que la matriz de estado de n x n de la ecuación de estado dada por la ecuación es la transpuesta de la matriz correspondiente de la ecuación de estado definida por la ecuación. Observe que si se invierte el orden de las variables de estado, es decir, si se definen

Entonces la ecuación de estado y la ecuación de salida se convierten en:

Estas también se encuentran en la forma canónica observable. 3.4 FORMA CANONICA DIAGONAL Si los polos de la función de transferencia pulso dados por las ecuaciones mencionadas al

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principio son todos distintos, entonces la representación en el espacio de estado se puede expresar en la forma canónica diagonal como sigue:

3.5 FORMA CANONICA DE JORDAN Si la función de transferencia pulso dada por las ecuaciones incluye un polo múltiple del orden m en z = p, y todos los demás polos son distintos, entonces la ecuación de estado y la ecuación de salida se pueden expresar como sigue:

3.6 PROBLEMA DE EJEMPLO Y SOLUCION Considere el siguiente sistema

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đ?‘Œ(đ?‘§) đ?‘§+1 = 2 đ?‘ˆ(đ?‘§) đ?‘§ + 1.3đ?‘§ + 0.4 Las representaciones en el espacio de estado en la forma canĂłnica controlable, canĂłnica observable y CanĂłnica diagonal, se convierten en: FORMA CANONICA CONTROLABLE:

FORA CANONICA OBSERVABLE:

FORMA CANONICA DIAGONAL: La funciĂłn de transferencia pulso Y’(z)/U(z) obtenida se puede expandir como sigue: đ?‘Œ(đ?‘?) 5/3 −2/3 = = đ?‘ˆ(đ?‘?) đ?‘§ + 0.5 đ?‘§ + 0.8 Y, por tanto

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3.7PROBLEMAS Problema B-3-1 Obtenga una representaciĂłn en el espacio de estado en la forma canĂłnica controlable del siguiente sistema con funciĂłn de transferencia pulso. đ?‘Œ(đ?‘§) đ?‘§ −1 + 2đ?‘§ −1 = đ?‘ˆ(đ?‘§) 1 + 4đ?‘§ −1 + 3đ?‘§ −1 Problema B-3-2 Obtenga una representaciĂłn en el espacio de estado en la forma canĂłnica observable del sistema con funciĂłn de transferencia pulso siguiente. đ?‘Œ(đ?‘§) đ?‘§ −2 + 4đ?‘§ −3 = đ?‘ˆ(đ?‘§) 1 + 6đ?‘§ −1 + 11đ?‘§ −2 + 6đ?‘§ −3

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BIBLIOGRAFIA *LIIBRO DE SISTEMA DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO, AUTOR OGATA K *LIBRO DE INGENIERIA DE MODERNA, AUTOR OGATA K

CONTROL

*https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_estados# Formas_can.C3.B3nicas *http://euclides.us.es/da/apuntes/fisica/notas-6.pdf

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