Física 1 CONSTANTES FÍSICAS IMPORTANTES
FORMULÁRIO x = x0 + v 0t +
1 2 at 2
v = v 0 + at 2
2 0
m V
ρ=
PV = nRT
∆x vm = ∆t
P1V1 P2 V2 = T1 T2
∆v am = ∆t
TK = TC + 273
v = ωr
q1q2 r2
Felétrica = k
F elétrica = qE
2π T
E=k
q r2
F = ma
V=k
q r
ω=
Fatrito = µN Fcentrípeta
Mm r2
q = CU
Ecinética =
1 mv 2 2
Epotencial = mgh
W = Fd cosθ
W = ∆Ecinética W = Fv ∆t
P=
F A
P = P0 + ρgh = 0 (1 + α ∆T ) Q = mc∆T Q = mL
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tg
0
0
1
0
30°
1 2
3 2
3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2
3
90°
1
0
—
Ecapacitor
q2 = 2C
Fmagnética = qvBsenθ µ 0i 2πr
B=
n=
g = 10m/s2 cágua = 1 cal/g . °C k = 9,0 x 109 N.m2/C2 µ0 = 4π x 10-7 T.m/A Lvap. água = 540 cal/g
Aula 1
Pot = Ui
Feslástica = −kx
Pot =
U = Ri
mv 2 = R
Fgravit = G
cos
W = P∆V
v = v + 2a∆x
x = x 0 + vt
sen
MU/MUV 01. (UFPR) Em uma partida de futebol, durante um lance normal, um jogador localizado no ponto A chuta uma bola rasteira com velocidade de 90 km/h em direção a um canto inferior da trave, conforme ilustrado na figura abaixo, que não está representada em escala. Suponha que a bola se desloque em linha reta e com velocidade constante.
c v
1 1 1 = + f p p' n1senθ1 = n2 senθ2 a=−
p' i = p o
v = λf f=
1 T
T = 2π
m k
a) Calcule o tempo necessário, em segundos, para a bola atingir o ponto B. b) Supondo que o goleiro esteja com as mãos próximas ao corpo, e que no instante do chute ele esteja parado no centro da linha de gol (ponto C), calcule a velocidade média que suas mãos devem atingir, ao saltar em direção ao ponto B, de modo a desviar a bola, para que não seja marcado o gol. Expresse a velocidade em km/h.
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02. Uma partícula se afasta de um ponto de referência O, a partir de uma posição inicial A, no instante t = 0 s, deslocando-se em movimento retilíneo e uniforme, sempre no mesmo sentido. A distância da partícula em relação ao ponto O, no instante t = 3,0 s, é igual a 28,0 m e, no instante t = 8,0 s, é igual a 58,0 m. Determine a distância, em metros, da posição inicial A em relação ao ponto de referência O. 03. Um avião vai decolar em uma pista retilínea. Ele inicia seu movimento na cabeceira da pista com velocidade nula e corre por ela com aceleração média de 2,0 m/s2 até o instante em que levanta voo, com uma velocidade de 80 m/s, antes de terminar a pista. a) Calcule quanto tempo o avião permanece na pista desde o início do movimento até o instante em que levanta voo. b) Determine o menor comprimento possível dessa pista. 04. As comemorações dos 40 anos da chegada do homem à Lua trouxeram à baila o grande número de céticos que não acreditam nessa conquista humana. Em um programa televisivo, um cientista informou que foram deixados na Lua espelhos refletores para que, da Terra, a medida da distância Terra-Lua pudesse ser realizada periodicamente, e com boa precisão, pela medida do intervalo de tempo ∆t que um feixe de laser percorre o caminho de ida e volta.
a) Calcule a velocidade escalar média do carro de João no percurso dentro da cidade A. b) Calcule a velocidade escalar constante do carro na rodovia. 06. Um consórcio internacional, que reúne dezenas de países, milhares de cientistas e emprega bilhões de dólares, é responsável pelo Large Hadrons Colider (LHC), um túnel circular subterrâneo, de alto vácuo, com 27 km de extensão, no qual eletromagnetos aceleram partículas, como prótons e antiprótons, até que alcancem 11.000 voltas por segundo para, então, colidirem entre si. As experiências realizadas no LHC investigam componentes elementares da matéria e reproduzem condições de energia que teriam existido por ocasião do Big Bang. a) Calcule a velocidade do próton, em km/s, relativamente ao solo, no instante da colisão. b) Calcule o percentual dessa velocidade em relação à velocidade da luz, considerada, para esse cálculo, igual a 300.000 km/s. c) Além do desenvolvimento científico, cite outros dois interesses que as nações envolvidas nesse consórcio teriam nas experiências realizadas no LHC. 07. Pedro atravessa a nado, com velocidade constante, um rio de 60 m de largura e margens paralelas, em 2 minutos. Ana, que boia no rio e está parada em relação à água, observa Pedro, nadando no sentido sul-norte, em uma trajetória retilínea, perpendicular às margens. Marta, sentada na margem do rio, vê que Pedro se move no sentido sudoeste-nordeste, em uma trajetória que forma um ângulo q com a linha perpendicular às margens. As trajetórias, como observadas por Ana e por Marta, estão indicadas nas figuras a seguir, respectivamente por PA e PM.
Um grupo acompanhou uma medida realizada por um cientista, na qual t = 2,5s. Considerando que a velocidade da luz, no vácuo, é igual a 3.108 m/s e desprezando os efeitos da rotação da Terra, calcule a distância Terra-Lua.
05. João fez uma pequena viagem de carro de sua casa, que fica no centro da cidade A, até a casa de seu amigo Pedro, que mora bem na entrada da cidade B. Para sair de sua cidade e entrar na rodovia que conduz à cidade em que Pedro mora, João percorreu uma distância de 10 km em meia hora. Na rodovia, ele manteve uma velocidade escalar constante até chegar à casa de Pedro. No total, João percorreu 330 km e gastou quatro horas e meia.
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Se o ângulo q for tal que cos q = 3/5 e sen q = 4/5, qual o valor do módulo da velocidade a) de Pedro em relação à água? b) de Pedro em relação à margem? c) da água em relação à margem?
08. Duas pessoas pegam simultaneamente escadas rolantes, paralelas, de mesmo comprimento l, em uma loja, sendo que uma delas desce e a outra sobe. A escada que desce tem velocidade
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VA = 1 m/s e a que sobe e VB. Considere o tempo de descida da escada igual a 12 s. Sabendo-se que as pessoas se cruzam a 1/3 do caminho percorrido pela pessoa que sobe, determine: a) a velocidade VB da escada que sobe. b) o comprimento das escadas. c) a razão entre os tempos gastos na descida e na subida das pessoas. 09. A Copa do Mundo é o segundo maior evento desportivo do mundo, ficando atrás apenas dos Jogos Olímpicos. Uma das regras do futebol que gera polêmica com certa frequência é a do impedimento. Para que o atacante A não esteja em impedimento, deve haver ao menos dois jogadores adversários a sua frente, G e Z, no exato instante em que o jogador L lança a bola para A (ver figura). Considere que somente os jogadores G e Z estejam à frente de A e que somente A e Z se deslocam nas situações descritas a seguir.
Determine a distância percorrida entre o instante t = 0, em que os freios foram acionados, e o instante t = 3,0 s, em que o carro ultrapassa a “lombada”. Dê sua resposta em metros.
11. Para melhor compreender um resultado experimental, quase sempre é conveniente a construção de um gráfico com os dados obtidos. A tabela abaixo contém os dados da velocidade v de um carrinho em movimento retilíneo, em diferentes instantes t, obtidos num experimento de mecânica.
a) Suponha que a distância entre A e Z seja de 12 m. Se A parte do repouso em direção ao gol com aceleração de 3,0 m/s2 e Z também parte do repouso com a mesma aceleração no sentido oposto, quanto tempo o jogador L tem para lançar a bola depois da partida de A antes que A encontre Z? b) O árbitro demora 0,1 s entre o momento em que vê o lançamento de L e o momento em que determina as posições dos jogadores A e Z. Considere agora que A e Z movem-se a velocidades constantes de 6,0 m/s, como indica a figura. Qual é a distância mínima entre A e Z no momento do lançamento para que o árbitro decida de forma inequívoca que A não está impedido? 10. Um motorista dirige um carro com velocidade constante de 80 km/h, em linha reta, quando percebe uma “lombada” eletrônica indicando a velocidade máxima permitida de 40 km/h. O motorista aciona os freios, imprimindo uma desaceleração constante, para obedecer à sinalização e passar pela “lombada” com a velocidade máxima permitida. Observando-se a velocidade do carro em função do tempo, desde o instante em que os freios foram acionados até o instante de passagem pela “lombada”, podemos traçar o gráfico a seguir.
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v(m/s)
2
2
2
1
0
–1
–2
–2
–2
–1
0
t (s)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
a) Com os dados da tabela acima, faça um gráfico com t (s) representado no eixo x e v (m/s) representado no eixo y. b) Com base no gráfico do item (a), descreva o movimento do carrinho. 12. Os avanços tecnológicos nos meios de transporte reduziram de forma significativa o tempo de viagem ao redor do mundo. Em 2008 foram comemorados os 100 anos da chegada em Santos do navio “Kasato Maru”, que, partindo de Tóquio, trouxe ao Brasil os primeiros imigrantes japoneses. A viagem durou cerca de 50 dias. Atualmente, uma viagem de avião entre São Paulo e Tóquio dura em média 24 horas. A velocidade escalar média de um avião comercial no trecho São Paulo Tóquio é de 800 km/h. a) O comprimento da trajetória realizada pelo “Kasato Maru” é igual a aproximadamente duas vezes o comprimento da trajetória do avião no trecho São Paulo-Tóquio. Calcule a velocidade escalar média do navio em sua viagem ao Brasil. b) A conquista espacial possibilitou uma viagem do homem à Lua realizada em poucos dias e proporcionou a máxima velocidade de deslocamento que um ser humano já experimentou. Considere um foguete subindo com uma aceleração resultante constante de módulo aR = 10 m/s2 e calcule o tempo que o foguete leva para percorrer uma distância de 800 km, a partir do repouso.
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13. O movimento de uma bola sobre uma trajetória retilínea é descrito de acordo com a seguinte equação: s = 5 + 16t – 2t2, em que s é medido em metros e t em segundos. a) Faça o esboço do gráfico da posição em função do tempo. b) Calcule a velocidade da bola em t = 4,0 s. c) Calcule a distância percorrida pela bola e o seu deslocamento em t = 5,0 s. 14. Em muitas praças de pedágio de rodovias existe um sistema que permite a abertura automática da cancela. Ao se aproximar, um veículo munido de um dispositivo apropriado é capaz de trocar sinais eletromagnéticos com outro dispositivo na cancela. Ao receber os sinais, a cancela abre-se automaticamente e o veículo é identificado para posterior cobrança. Para as perguntas a seguir, desconsidere o tamanho do veículo. a) Um veículo aproxima-se da praça de pedágio a 40 km/h. A cancela recebe os sinais quando o veículo se encontra a 50 m de distância. Qual é o tempo disponível para a completa abertura da cancela? b) O motorista percebe que a cancela não abriu e aciona os freios exatamente quando o veículo se encontra a 40 m da mesma, imprimindo uma desaceleração de módulo constante. Qual deve ser o valor dessa desaceleração para que o veículo pare exatamente na cancela? 15. Os gráficos a seguir representam a velocidade e a posição de um objeto móvel em função do tempo.
11. a)
b) de t = 0 a t = 4 s o movimento é progressivo e uniforme;
de t = 4 s a t = 8 s o movimento é progressivo e uniformemente retardado;
de t = 8 s a t = 12 s o movimento é retrógrado e uniformemente acelerado;
de t = 12 s a t = 16 s o movimento é retrógrado e uniforme,
de t = 16 s a t = 20 s o movimento é retrógrado e uniformemente retardado.
12. a) 32 Km/h;
b) 6 min e 40 s.
13. a)
b) 0
c) 34 m e 30 m.
14. a) 4,5 s;
b) 1,54 m/s2.
15. 96 m.
Aula 2 Projéteis / MCU
Com base nos gráficos, determine a posição s1 correspondente ao instante t = 6s.
Gabarito 01. a) 2,0 s;
b) 6,6 Km/h.
02. 10 m. 03. a) 40 s
b) 1600 m.
04. 3,75. 105 Km. 05. a) 20 Km/h
b) 80 Km/h.
06. a) 2,97. 105 km/s; b) 99 %;
c) Sabemos da corrida em busca de novas armas envolvendo tecnologias nucleares. Portanto, um primeiro interesse das nações envolvidas é bélico. Além disso, a descoberta de novas tecnologias também pode ser aproveitada no desenvolvimento de novos produtos, ou mesmo na redução dos custos de produção, melhorando o poder aquisitivo e a qualidade de vida das pessoas. Há ainda um outro interesse que é a busca por novas fontes para produção de energia.
07. a) 0,5 m/s;
b) 0,83m/s
c) 0,67m/s.
08. a) 0,5 m/s;
b) 12 m;
c) 1/2.
09. a) 2 a;
b) 1,2 m.
01. Uma bola cai em queda livre a partir do repouso. Quando a distância percorrida for h, a velocidade será v1. Quando a distância percorrida for 16h a velocidade será v2. Calcule a razão v2 / v1. Considere desprezível a resistência do ar. 02. Três bolinhas idênticas, são lançadas na vertical, lado a lado e em sequência, a partir do solo horizontal, com a mesma velocidade inicial, de módulo igual a 15 m/s para cima. Um segundo após o lançamento da primeira, a segunda bolinha é lançada. A terceira bolinha é lançada no instante em que a primeira, ao retornar, toca o solo.
10. 50 m.
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A escolha de quem pensa!
Considerando g = 10 m/s2 e que os efeitos da resistência do ar ao movimento podem ser desprezados, determine a) a altura máxima (hmax) atingida pela primeira bolinha e o instante de lançamento da terceira bolinha. b) o instante e a altura H, indicada na figura, em que a primeira e a segunda bolinha se cruzam.
03. Na cobrança de uma falta durante uma partida de futebol, a bola, antes do chute, está a uma distância horizontal de 27 m da linha do gol. Após o chute, ao cruzar a linha do gol, a bola passou a uma altura de 1,35 m do chão quando estava em movimento descendente, e levou 0,9 s neste movimento. Despreze a resistência do ar e considere g = 10 m/s2. a) Calcule o módulo da velocidade na direção vertical no instante em que a bola foi chutada. b) Calcule o ângulo, em relação ao chão, da força que o jogador imprimiu sobre a bola pelo seu chute. c) Calcule a altura máxima atingida pela bola em relação ao solo. 04. Uma bicicleta possui duas catracas, uma de raio 6,0 cm, e outra de raio 4,5 cm. Um ciclista move-se com velocidade uniforme de 12 km/h usando a catraca de 6,0 cm. Com o objetivo de aumentar a sua velocidade, o ciclista muda para a catraca de 4,5 cm mantendo a mesma velocidade angular dos pedais.
Determine a velocidade final da bicicleta, em km/h.
05. No campeonato paulista de futebol, um famoso jogador nos presenteou com um lindo gol, no qual, ao correr para receber um lançamento de um dos atacantes, o goleador fenomenal parou a bola no peito do pé e a chutou certeira ao gol. Analisando a jogada pela TV, verifica-se que a bola é chutada pelo armador da jogada a partir do chão com uma velocidade inicial de 20,0 m/s, fazendo um ângulo com a horizontal de 45° para cima.
a) Determine a distância horizontal percorrida pela bola entre o seu lançamento até a posição de recebimento pelo artilheiro (goleador fenomenal). b) No instante do lançamento da bola, o artilheiro estava a 16,0 m de distância da posição em que ele estimou que a bola cairia e, ao perceber o início da jogada, corre para receber a bola. A direção do
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movimento do artilheiro é perpendicular à trajetória da bola, como mostra a figura. Qual é a velocidade média, em km/h, do artilheiro, para que ele alcance a bola imediatamente antes de ela tocar o gramado? 06. Dois móveis, A e B, percorrem uma pista circular em movimento uniforme. Os dois móveis partiram do mesmo ponto e no mesmo sentido com as velocidades de 1,5 rad/s e 3,0 rad/s, respectivamente; o móvel B, porém, partiu 4 segundos após o A.
Calcule o intervalo de tempo decorrido, após a partida de A, no qual o móvel B alcançou o móvel A pela primeira vez.
07. No dia 10 de setembro de 2008, foi inaugurado o mais potente acelerador de partículas já construído. O acelerador tem um anel, considerado nesta questão como circular, de 27 km de comprimento, no qual prótons são postos a girar em movimento uniforme.
Supondo que um dos prótons se mova em uma circunferência de 27 km de comprimento, com velocidade de módulo v = 240.000 km/s, calcule o número de voltas que esse próton dá no anel em uma hora.
08. Em uma partida de basquete, um jogador tem direito a realizar dois lances livres. O centro da cesta está situado a uma distância de 4,0 m da linha de lançamento e a uma altura de 3,0 m do solo, conforme a figura. A bola é lançada sempre a uma altura de 2,0 m do solo. No primeiro lançamento, a bola é lançada com velocidade de 5,0 m/s, formando um ângulo de 30° com a horizontal, e não atinge a cesta. No segundo lançamento, a bola é lançada com uma velocidade desconhecida, formando um ângulo de 30° com a horizontal, e atinge a cesta.
Dados: cos 30° = 0,86; sen 30° = 0,50; tan 30° = 0,57; cos2 30° = 0,75.
a) Determine o instante em que a altura máxima é atingida pela bola no primeiro lançamento. b) Demonstre que a bola não atinge a cesta no primeiro lançamento. c) Determine a velocidade inicial da bola no segundo lançamento. 09. Pesquisadores têm observado que a capacidade de fertilização dos espermatozoides é reduzida quando estas células reprodutoras são submetidas a situações
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de intenso campo gravitacional, que podem ser simuladas usando centrífugas. Em geral, uma centrífuga faz girar diversos tubos de ensaio ao mesmo tempo; a figura representa uma centrífuga em alta rotação, vista de cima, com quatro tubos de ensaio praticamente no plano horizontal.
e a velocidade angular do espeto (ωmotor/ωespeto). 11. Satélites de órbita polar giram numa órbita que passa sobre os polos terrestres e que permanece sempre em um plano fixo em relação às estrelas. Pesquisadores de estações oceanográficas, preocupados com os efeitos do aquecimento global, utilizam satélites desse tipo para detectar regularmente pequenas variações de temperatura e medir o espectro da radiação térmica de diferentes regiões do planeta. Considere o satélite a 5 298 km acima da superfície da Terra, deslocando-se com velocidade de 5 849 m/s em uma órbita circular. Estime quantas passagens o satélite fará pela linha do equador em cada período de 24 horas.
As amostras são acomodadas no fundo de cada um dos tubos de ensaio e a distância do eixo da centrífuga até os extremos dos tubos em rotação é 9,0 cm. Considerando g = 10 m/s2, calcule a velocidade angular da centrífuga para gerar o efeito de uma aceleração gravitacional de 8,1 g.
10. Diante da maravilhosa visão, aquele cãozinho observava atentamente o balé galináceo. Na máquina, um motor de rotação constante gira uma rosca sem fim (grande parafuso sem cabeça), que por sua vez se conecta a engrenagens fixas nos espetos, resultando, assim, no giro coletivo de todos os franguinhos.
Utilize a aproximação p = 3,0 e suponha a Terra esférica, com raio de 6400 km.
12. A figura a seguir ilustra um jogador de basquete no momento em que ele faz um arremesso bem sucedido. A bola, ao ser arremessada, está a uma distância horizontal de 6,0 m da cesta e a uma altura de 2,0 m em relação ao piso. Ela sai das mãos do jogador com uma velocidade de módulo 6 m/s fazendo um ângulo de 45° com a horizontal. A cesta está fixada a uma altura de 3,0 m em relação ao piso. Desprezando a resistência do ar, determine:
a) a altura máxima atingida pela bola em relação ao piso. b) o intervalo de tempo entre o instante em que a bola sai da mão do jogador e o instante em que ela atinge a cesta.
a) Sabendo que cada frango dá uma volta completa a cada meio minuto, determine a frequência de rotação de um espeto, em Hz. b) A engrenagem fixa ao espeto e a rosca sem fim ligada ao motor têm diâmetros respectivamente iguais a 8 cm e 2 cm.
13. Considerando a situação em que um garoto joga um objeto verticalmente para cima: a) Faça uma análise qualitativa, explicando, com base nos conceitos da mecânica, o movimento do objeto para os diferentes instantes de tempo. b) Quais hipóteses simplificadoras poderiam ser consideradas numa análise quantitativa do problema? Explique. c) Quais condições iniciais poderiam ser alteradas de modo a produzir diferentes resultados para o movimento? Justifique. 14. Um jogador de futebol chuta uma bola, que está no chão, verticalmente para cima com uma velocidade de 20 m/s. O jogador, imediatamente após chutar a bola, sai correndo para frente com uma velocidade de 8 m/s. Considere g = 10 m/s2.
Determine a relação entre a velocidade angular do motor
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a) Calcule o tempo de voo da bola até voltar a bater no chão. b) Calcule a distância percorrida pelo jogador, na
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horizontal, até a bola bater no chão novamente. c) Calcule qual seria a distância percorrida pelo jogador se o mesmo tivesse partido do ponto inicial (onde ele chutou a bola) com velocidade inicial nula e aceleração de 2,0 m/s2, ao invés de ter uma velocidade constante de 8 m/s. 15. Um jogador de futebol chutou uma bola no solo com velocidade inicial de módulo 15,0 m/s e fazendo um ângulo a com a horizontal. O goleiro, situado a 18,0 m da posição inicial da bola, interceptou-a no ar. Calcule a altura em que estava a bola quando foi interceptada. Despreze a resistência do ar e considere g = 10,0 m/s2, sen a = 0,6 e cos a = 0,8.
02. Com o objetivo de analisar a deformação de uma mola, solta-se, a partir do repouso e de uma certa altura, uma esfera de massa m = 0,1 kg sobre essa mola, de constante elástica k = 200 N/m, posicionada em pé sobre uma superfície. A deformação máxima causada na mola pela queda da esfera foi 10 cm. Considere a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2 e despreze a massa da mola e o atrito com o ar. a) Determine o módulo e a orientação das forças que atuam sobre a esfera no instante de máxima deformação da mola. b) Determine o módulo e a orientação da força resultante sobre a esfera no instante de máxima deformação da mola. c) Determine o módulo e o sentido da máxima aceleração sofrida pela esfera. d) Determine a força normal exercida pelo solo sobre a mola no instante de sua máxima deformação.
Gabarito 01. 4. 02. a) 11,25 m e 3 s;
b) 2 s e 10 m.
03. a) 6,0 m/s;
b) q = arc tg 0,20;
c) 1,8 m.
04. 16 Km/h. 05. a) 40 m;
b) 20,16 Km/h.
06. 8,0 s. 07. 3,2. 107 voltas. 08. a) 0,25 s;
b) 2,3125 m;
c) 9,03 m/s.
09. 30 rad/s. 10. (1/30) Hz;
b) 4.
11. 14,4. 12. a) 308 m.
b) 1,0 s.
13. a) Movimento retardado ascendente e movimento acelerado descendente, ambos devido à ação única da gravidade, na direção vertical e sentido para baixo.
b) O desprezo da influência do ar e das dimensões do objeto em relação à Terra.
c) A velocidade de lançamento e o ângulo de lançamento alterando, entre outros, a altura atingida pelo objeto.
14. a) 4,0 s;
b) 32 m;
Usando a aproximação 3 ≅ 1,7, calcule o módulo e indique a direção e o sentido da força de atrito exercida pelo plano inclinado sobre o bloco.
03. Para medir o coeficiente de atrito cinético, µc, entre um bloco e uma superfície plana, um impulso inicial e dado ao bloco, que se desloca em linha reta sobre a superfície ate parar. O bloco percorre 80 cm desde o instante em que a sua velocidade tem modulo igual a 2 m/s ate o instante em que para. Expressando o coeficiente de atrito cinético na forma µc = A. 10–2, qual o valor de A? 04. Uma pessoa pendurou um fio de prumo no interior de um vagão de trem e percebeu, quando o trem partiu do repouso, que o fio se inclinou em relação à vertical. Com auxílio de um transferidor, a pessoa determinou que o ângulo máximo de inclinação, na partida do trem, foi 14°. (Dados: tg 14° = 0,25, g = 10 m/s2)
c) 16 m.
15. 4,0 m.
Aula 3 Leis de Newton 01. Um bloco de massa 2,0 kg está sobre a superfície de um plano inclinado, que está em movimento retilíneo para a direita, com aceleração de 2,0 m/s2, também para a direita, como indica a figura a seguir. A inclinação do plano é de 30° em relação à horizontal.
Suponha que o bloco não deslize sobre o plano inclinado e que a aceleração da gravidade seja g = 10 m/s2.
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Nessas condições, a) represente, na figura, as forças que agem na massa presa ao fio. b) indique, na figura, o sentido de movimento do trem. c) determine a aceleração máxima do trem.
05. Considere dois blocos empilhados, A e B, de massas mA = 1,0 kg e mB = 2,0 kg. Com a aplicação de uma força horizontal F sobre o bloco A, o conjunto move-se sem ocorrer deslizamento entre os blocos. O coeficiente de atrito estático entre as superfícies dos blocos A e B é igual a 0,60, e não há atrito entre o bloco B e a superfície horizontal. Determine o valor máximo do módulo da força F, em newtons, para que não ocorra deslizamento entre os blocos.
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06. Uma estação espacial é projetada como sendo um cilindro de raio r, que gira em seu eixo com velocidade angular constante ω, de modo a produzir uma sensação de gravidade de 1g = 9,8 m/s2 nos pés de uma pessoa que está no interior da estação.
Admitindo-se que os seus habitantes têm uma altura média de h = 2 m, qual deve ser o raio mínimo r da estação, de modo que a variação da gravidade sentida entre os pés e a cabeça seja inferior a 1% de g?
a) Calcule a elongação x0 da mola supondo que tanto o elevador quanto o balde estejam em repouso, situação ilustrada na figura 1, em função de M, k e do módulo g da aceleração da gravidade. b) Considere, agora, uma situação na qual o elevador se mova com aceleração constante para cima e o balde esteja em repouso relativamente ao elevador. Verifica-se que a elongação da mola é maior do que a anterior por um valor d, como ilustra a figura 2.
Calcule o módulo da aceleração do balde em termos de k, M e d.
10. Um sistema é constituído por um barco de 100 kg, uma pessoa de 58 kg e um pacote de 2,0 kg que ela carrega consigo. O barco é puxado por uma corda de modo que a força resultante sobre o sistema seja constante, horizontal e de módulo 240 newtons.
Supondo que não haja movimento relativo entre as partes do sistema, calcule o módulo da força horizontal que a pessoa exerce sobre o pacote.
11. Uma carreta, cuja carroceria mede cerca de 12 metros, trafega em uma via retilínea e horizontal, com velocidade escalar constante de 18,0 km/h, em relação ao solo, transportando um caixote, conforme a figura.
07. Calcule a aceleração do sistema abaixo quando o corpo de massa M é puxado por uma força F que forma um ângulo a com horizontal. Sabendo-se que entre a superfície e o corpo existe um coeficiente de atrito cinético µ.
Dados: F = 10 N; M = 2 kg; a = 60; μ = 0,1; cos 60° = 0,5; sen 60° = 0,9 e g = 10 m/s2.
08. Um elevador que se encontra em repouso no andar térreo é acionado e começa a subir em movimento uniformemente acelerado durante 8 segundos, enquanto a tração no cabo que o suspende é igual a 16250 N. Imediatamente após esse intervalo de tempo, ele é freado com aceleração constante de módulo igual a 5 m/s2, até parar. Determine a altura máxima alcançada pelo elevador, sabendo que sua massa é igual a 1300 kg. 09. Uma mola de constante elástica k e comprimento natural L está presa, por uma de suas extremidades, ao teto de um elevador e, pela outra extremidade, a um balde vazio de massa M que pende na vertical. Suponha que a mola seja ideal, isto é, que tenha massa desprezível e satisfaça à lei de Hooke.
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Sabendo-se que o coeficiente de atrito estático entre as superfícies do caixote e do caminhão é igual ao dinâmico e vale 0,10, determine: (Adote g = 10 m/s2 e despreze a resistência do ar) a) a máxima aceleração e desaceleração que o caminhão pode imprimir, sem que o caixote deslize. b) a distância que o caixote deslizará sobre o caminhão, se a velocidade deste diminuir, uniformemente, 2 m/s em cada segundo, até parar.
12. A figura a seguir mostra uma máquina de Atwood formada por dois baldes idênticos e uma polia. Um cabo inextensível acoplado ao teto sustenta o eixo de uma polia, a qual pode girar sem atrito com o eixo. Os dois baldes encontram-se ligados um ao outro por meio de uma corda inextensível que não desliza sobre a polia. Os baldes, a polia, a corda e o cabo têm massas desprezíveis. Considere que tenhamos 10 kg de areia para distribuir entre os dois baldes e despreze a resistência do ar.
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a) Supondo que a areia tenha sido dividida entre os baldes em porções de massas m1 e m2 e usando g para o módulo da aceleração da gravidade local, deduza as fórmulas para a aceleração dos baldes e para a tração na corda. b) Mostre que o módulo da força exercida pelo cabo 4m1.m2 sobre o teto é dado por F = .g m1 + m2 c) Em qual das seguintes situações a força exercida pelo cabo sobre o teto é menor: 5 kg de areia em cada balde (situação 1) ou 4 kg num deles e 6 kg no outro (situação 2)? Justifique sua resposta utilizando o resultado do item anterior. 13. Um bloco de massa m é abaixado e levantado por meio de um fio ideal. Inicialmente, o bloco é abaixado com aceleração constante vertical, para baixo, de módulo a (por hipótese, menor do que o módulo g da aceleração da gravidade), como mostra a figura 1.
Em seguida, o bloco é levantado com aceleração constante vertical, para cima, também de módulo a, como mostra a figura 2. Sejam T a tensão do fio na descida e T’ a tensão do fio na subida.
a) Qual a força horizontal F necessária para empurrar as caixas para a direita, como se fossem uma só, com uma aceleração de 1,20m/s2? b) Ache a força exercida por m2 em m3. 16. Uma caixa de massa igual a 100 kg, suspensa por um cabo de massa desprezível, deve ser baixada, reduzindo sua velocidade inicial com uma desaceleração de módulo 2,00 m/s2. A tração máxima que o cabo pode sofrer, sem se romper, é 1100 N. Fazendo os cálculos pertinentes, responda se este cabo é adequado a essa situação, isto é, se ele não se rompe. Considere g = 10,0 m/s2. 17. Um disco de raio R está em movimento circular uniforme com velocidade angular ω. Sobre esse disco está posicionado um pequeno bloco de madeira de massa m, a uma distância r do eixo de rotação, conforme mostra, em perfil, a figura abaixo. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e o disco é µ. Sabe-se que existe uma velocidade angular máxima ωM a partir da qual o bloco desliza para fora do disco. A aceleração da gravidade é representada por g. Com base nesses dados, responda os itens a seguir.
Determine a razão T’/T em função de a e g. 14. Um pêndulo cônico é formado por um fio de massa desprezível e comprimento L = 1,25 m, que suporta uma massa m = 0,5 kg na sua extremidade inferior. A extremidade superior do fio é presa ao teto, conforme ilustra a figura a seguir. Quando o pêndulo oscila, a massa m executa um movimento circular uniforme num plano horizontal, e o ângulo que o fio forma com a vertical é q = 60°. Dados: sen 60°= 0,87, cos 60°= 0,5.
a) Represente na figura as forças que atuam sobre o bloco durante o movimento e indique os seus nomes. b) Obtenha uma equação para a velocidade angular máxima ωM em função dos dados fornecidos. c) O que acontecerá com a velocidade angular máxima ωM quando a distância r do bloco ao eixo de rotação for duplicada? Justifique. 18. Uma corrente composta por cinco elos está presa ao teto por meio de um barbante, conforme mostra a figura. A massa de cada elo é de 200 g.
a) Qual é a tensão no fio? b) Qual é a velocidade angular da massa? 15. Na figura têm-se três caixas com massas m1 = 45,0 kg, m2 = 21,0 kg, e m3 = 34,0 kg, apoiadas sobre uma superfície horizontal sem atrito. a) Faça um diagrama de forças para o terceiro elo, identificando cada uma das forças que atuam sobre ele. b) Calcule o módulo de todas as forças que estão atuando nesse terceiro elo.
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Gabarito
Aula 4
01. 6,6 N.
Trabalho / Potência / Energia
02. P = 1,0N vertical para baixo, Fe= 20N vertical para baixo;
b) FR = 19N vertical para cima;
c) 190m/s2 vertical para cima;
d) 20N.
01. A humanidade usa a energia dos ventos desde a antiguidade, através do uso de barcos a vela e moinhos de vento para moer grãos ou bombear água. Atualmente, a preocupação com o meio ambiente, a necessidade de energias limpas e renováveis e o desenvolvimento da tecnologia fizeram com que a energia eólica despertasse muito interesse, sendo considerada como parte da matriz energética de muitos países. Nesse caso, a energia cinética dos ventos é convertida em energia de movimentação das pás de uma turbina que está acoplada a um gerador elétrico. A partir da rotação da turbina a conversão de energia é semelhante à das usinas hidroelétricas.
03. 25 04. a)
b)
.
c) 2,5 m/s2.
05. 9N. 06. 2. 102m. 07. 1,95 m/s2. 08. 120 m. 09. a) x0 = Mg/k;
b) a = kd/M.
10. 3,0 N. 11. a) 1,0 m/s2
b) 3,125 m.
m −m
1 2 12. a) a = m + m .g ; 1 2
b) F = 2T =
T=
a) Considerando que cada pá da turbina tem um comprimento de 30 m, calcule o módulo da velocidade tangencial de um ponto na extremidade externa da pá. b) Calcule o módulo de aceleração centrípeta desse ponto. c) Se a energia gerada pela turbina for armazenada numa bateria, determine a energia armazenada em duas horas de funcionamento.
2m1.m2 .g m1 + m2
4m1.m2 .g c) F1 = 100N e F2 = 96N. m1 + m2
13. T’/T = (g + a) / (g – a). 14. a) 10 N;
b) 4,0 rad/s.
15. a) 120 N;
b) 40,8 N.
16. Como a tração vale 1200 N, a corda se rompe. 17. a)
b) ϖ máx =
µ.g r
c) ϖ 'máx =
Considere uma turbina que gera a potência de 2 MW e cujo rotor gira com velocidade constante de 60 rpm.
ϖmáx 2
Isso significa que, para o bloco não escorregar, a velocidade angular máxima do disco deve ser reduzida. 18. a) O diagrama mostra as forças atuantes no terceiro elo.
F 2,3: força do 2° elo no 3°. F 4,3: força do 4° elo no 3°. P peso do 3° elo. b) P = 2N; F43 = 4N; F23 = 6N.
02. Trens de alta velocidade, chamados trens-bala, deverão estar em funcionamento no Brasil nos próximos anos. Características típicas desses trens são: velocidade máxima de 300 km/h, massa total (incluindo 500 passageiros) de 500 t e potência máxima dos motores elétricos igual a 8 MW. Nesses trens, as máquinas elétricas que atuam como motores também podem ser usadas como geradores, freando o movimento (freios regenerativos). Nas ferrovias, as curvas têm raio de curvatura de, no mínimo, 5 km. Considerando um trem e uma ferrovia com essas características, determine: a) O tempo necessário para o trem atingir a velocidade de 288 km/h, a partir do repouso, supondo que os motores forneçam a potência máxima o tempo todo. b) A força máxima na direção horizontal, entre cada roda e o trilho, numa curva horizontal percorrida a 288 km/h, supondo que o trem tenha 80 rodas e que as forças entre cada uma delas e o trilho tenham a mesma intensidade. c) A aceleração do trem quando, na velocidade de 288 km/h, as máquinas elétricas são acionadas como geradores de 8 MW de potência, freando o movimento. 03. Em uma construção civil, os operários usam algumas máquinas simples para facilitar e diminuir sua carga diária de energia gasta na execução de seu trabalho. Uma das máquinas simples mais utilizadas são, por exemplo, as roldanas fixas e móveis. Em um dia comum de trabalho, um operário deve elevar, com velocidade constante, um bloco de pedra de massa m = 100 kg para o segundo andar da obra, que fica a uma altura h = 5,0 m em relação ao solo. Para essa tarefa, o operário utilizou um sistema com duas roldanas, uma fixa e outra móvel, e
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um cabo de massa desprezível, como mostra a figura. Considere g = 10m/s2.
simples, atingindo uma altura máxima de 60 metros e chegando a uma altura mínima do chão de apenas 2 metros. Nessas condições e desprezando a ação de forças de resistências, qual é, aproximadamente, a máxima velocidade, em m/s, dos participantes durante essa oscilação e qual o valor da maior energia cinética, em kJ, a que eles ficam submetidos?
a) Faça um diagrama de forças que atuam sobre o bloco e identifique cada uma das forças. b) Calcule a tração no cabo que está em contato com a mão do operário e o trabalho realizado por ele, para elevar o bloco até o segundo andar da obra. c) Se foi gasto um tempo t =10 s para o operário elevar o bloco até o segundo andar da obra, calcule a potência gasta nessa tarefa. 04. Numa das classes de provas de halterofilismo, conhecida como arranque, o atleta tem que levantar o peso acima da cabeça num ato contínuo. Nos jogos olímpicos, o atleta que ganhou a medalha de ouro levantou um corpo de 165 kg. Considerando que o intervalo de tempo transcorrido para levantar o corpo até a altura de 2,0 m tenha sido de 1,0 s, qual a potência requerida do atleta, em unidades de 102 W? 05. Um corpo de massa M abandonado a partir do repouso desliza sobre um plano inclinado até ser freado por uma mola ideal, conforme a figura.
07. Durante a Segunda Guerra Mundial, era comum o ataque com bombardeiros a alvos inimigos por meio de uma técnica denominada mergulho, cujo esquema pode ser observado a seguir.
Sabendo-se que a constante de força, k, é igual a 400 N/m, que o intervalo de tempo, ∆t, desde o instante em que o corpo toca a mola até o momento que esse para, é igual a 0,05s e que a compressão máxima da mola, x, é igual a 0,3m, identifique as grandezas físicas que são conservadas e calcule, desprezando os efeitos de forças dissipativas, a massa e o módulo da velocidade do corpo ao atingir a mola.
06. O Skycoaster é uma atração existente em grandes parques de diversão, representado nas figuras a seguir. Considere que em um desses brinquedos, três aventureiros são presos a cabos de aço e içados a grande altura. Os jovens, que se movem juntos no brinquedo, têm massas iguais a 50 kg cada um. Depois de solto um dos cabos, passam a oscilar tal como um pêndulo
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O mergulho do avião iniciava-se a 5 000 m de altura, e a bomba era lançada sobre o alvo de uma altura de 500 m.
Considere a energia gravitacional do avião em relação ao solo, no ponto inicial do ataque, igual a E1 e, no ponto de onde a bomba é lançada, igual a E2. Calcule E1/E2.
08. Segundo informação da empresa fabricante, um trator florestal (Trator Florestal de Rodas 545C) é capaz de arrastar toras por meio do seu cabo exercendo sobre elas uma força de módulo 2,0. 105 N, com velocidade constante de módulo 2,0 m/s. Desprezando a massa do cabo e supondo que a força por ele exercida seja horizontal e paralela ao solo, determine a potência útil desenvolvida pelo trator. 09. Uma montanha russa é um brinquedo de parque de diversões que usa a gravidade para mover um carrinho de passageiros sobre um trilho ondulado. Nos modelos antigos, como o da figura, o trem só seguia um caminho único, descendo e subindo, sem os efeitos especiais de hoje em dia, tais como “loops”, em que se viaja de cabeça para baixo. Veja que, nos pontos marcados B e C da figura, é como se o carrinho estivesse realizando instantaneamente um movimento circular de raios iguais a R1 = 10 m e R2 = 5 m, respectivamente. Nesses modelos, o carrinho, de massa M = 150 kg, era arrastado até o ponto mais alto da trajetória (iniciando a corrida a partir do repouso no ponto A), por um trilho especial chamado cremalheira, e daí por diante a gravidade era a única fonte externa de energia para o carrinho. No modelo da figura, as alturas H1, H2 e H3 são, respectivamente, 15 m, 2 m e 10 m. Considere que a aceleração da gravidade g = 10 m/s2 e que os atritos são desprezíveis para esse sistema.
O gerador converte a energia mecânica do corpo em elétrica e alimenta um resistor imerso em um recipiente com água. Suponha que, até que o corpo chegue ao solo, depois de abandonado a partir do repouso, sejam transferidos para a água 24 J de energia térmica. Sabendo que esse valor corresponde a 80% da energia mecânica, de qual altura em relação ao solo o corpo foi abandonado?
11. Uma bolinha de massa m = 200 g é largada do repouso de uma altura h, acima de uma mola ideal, de constante elástica k = 1240 N/m, que está fixada no piso (ver figura). Ela colide com a mola comprimindo-a por ∆x = 10 cm. Calcule, em metros, a altura inicial h. Despreze a resistência do ar.
12. Um pequeno projétil, de massa m = 60 g, é lançado da Terra com velocidade de módulo V0 = 100 m/s, formando um ângulo de 30° com a horizontal. Considere apenas o movimento ascendente do projétil, ou seja, desde o instante do seu lançamento até o instante no qual ele atinge a altura máxima. Calcule o trabalho, em joules, realizado pela gravidade terrestre (força peso) sobre o projétil durante este intervalo de tempo. Despreze a resistência do ar ao longo da trajetória do projétil. a) Calcule a velocidade do carrinho nos pontos B, C e D. b) Encontre o valor da força normal realizada pelo trilho sobre o carrinho no ponto B. c) Se o passageiro não estivesse usando o cinto de segurança no ponto C, ele sairia voando do carrinho? Ou não? Justifique a sua resposta.
13. Um bloco de pedra, de 4,0 toneladas, desce um plano inclinado a partir do repouso, deslizando sobre rolos de madeira. Sabendo-se que o bloco percorre 12 m em 4,0 s, calcule o trabalho total, em kJ, realizado sobre o bloco pela força resultante no intervalo de tempo considerado.
10. A relação entre calor e outras formas de energia foi objeto de intensos estudos durante a Revolução Industrial, e uma experiência realizada por James P. Joule foi imortalizada. Com ela, ficou demonstrado que o trabalho mecânico e o calor são duas formas diferentes de energia e que o trabalho mecânico poderia ser convertido em energia térmica. A figura apresenta uma versão atualizada da máquina de Joule. Um corpo de massa 2 kg é suspenso por um fio cuidadosamente enrolado em um carretel, ligado ao eixo de um gerador.
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Aula 5
14. Como mostra a figura, um bloco de massa m = 3,0kg, inicialmente em repouso, é arrastado horizontalmente, sem atritos, por uma força F = 12,0N, durante um intervalo de tempo t = 5,0s.
Calcule: a) a sua velocidade e a sua energia cinética ao final dos 5,0 s. b) o seu deslocamento e o trabalho realizado pela força F durante os 5,0 s. 15. Uma cama de hospital possui um sistema roscamanivela para elevá-la. A manivela possui um braço de 0,20 m. Em 40,0 s uma enfermeira gira a manivela de 20 voltas completas, com velocidade angular constante, para elevar verticalmente um peso total de 320 N a uma altura de 0,50 m. Desprezando as perdas por atrito, determine: a) b) c) d)
o trabalho realizado pela enfermeira; a potência desenvolvida pela enfermeira; a velocidade angular da manivela; o módulo da força exercida pela enfermeira na extremidade do braço da manivela, supondo-a constante.
Dinâmica Impulsiva 01. Num espetáculo de circo, um homem deita-se no chão do picadeiro e sobre seu peito é colocada uma tábua, de 30 cm x 30 cm, na qual foram cravados 400 pregos, de mesmo tamanho, que atravessam a tábua. No clímax do espetáculo, um saco com 20 kg de areia é solto, a partir do repouso, de 5 m de altura em relação à tábua, e cai sobre ela. Suponha que as pontas de todos os pregos estejam igualmente em contato com o peito do homem. Determine: a) A velocidade do saco de areia ao tocar a tábua de pregos. b) A força média total aplicada no peito do homem se o saco de areia parar 0,05 s após seu contato com a tábua. c) A pressão, em N/cm2, exercida no peito do homem por cada prego, cuja ponta tem 4 mm2 de área. 02. A figura a seguir mostra um sistema composto por dois blocos de massas idênticas mA = mB = 3,0 kg e uma mola de constante elástica k = 4,0 N / m. O bloco A está preso a um fio de massa desprezível e suspenso de uma altura h = 0,8 m em relação à superfície S, onde está posicionado o bloco B. Sabendo que a distância entre o bloco B e a mola é d = 3,0 m e que a colisão entre os blocos A e B é elástica, faça o que se pede nos itens seguintes.
Gabarito 01. a) 60p m/s;
b) 120p2 m/s2;
c)1,44. 1010J.
02. a) 200 s;
b) 8 kN;
c) 0,20 m/s2
03. T = 1 kN vertical para cima, P = 1 kN vertical para baixo;
b) 500 N e 5kJ;
c) 500 W.
04. 33. 05. 3 10 m/s. 06. 34 m/s e 87 kJ. 07. 10. 08. 4,0. 105 W. 09. a) 17 m/s, 6,3 m/s e 14m/s;
b) 6kN;
c) N = 300 N, ele não sairá voando.
10. 1,5 m. 11. 3,0 m. 12. –75 J. 13. 72 kJ. 14. a) 600 J;
b) 50 m.
15. a) 160 J;
b) 4,0 W;
d) 6,4 N.
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c) p rad/s;
a) Usando a lei de conservação da quantidade de movimento (momento linear), calcule a velocidade do bloco B imediatamente após a colisão do bloco A. b) Calcule o deslocamento máximo sofrido pela mola se o atrito entre o bloco B e o solo for desprezível. c) Calcule a distância deslocada pelo bloco B em direção à mola, se o atrito cinético entre o bloco B e o solo for igual a c = 0,4. Nesse caso, a mola será comprimida pelo bloco B? Justifique. 03. Uma pequena pedra de 10g é lançada por um dispositivo com velocidade horizontal de módulo igual a 600 m/s, incide sobre um pêndulo em repouso e nele se engasta, caracterizando uma colisão totalmente inelástica. O pêndulo tem 6,0 kg de massa e está pendurado por uma corda de massa desprezível e inextensível, de 1,0 m de comprimento. Ele pode girar sem atrito no plano vertical, em torno da extremidade fixa da corda, de modo que a energia mecânica seja conservada após a colisão.
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a) a velocidade do conjunto flecha-alvo imediatamente após a colisão; b) a distância L, considerando o fato de que a flecha e o alvo chegam solidários ao solo. 06. O lixo espacial é composto por partes de naves espaciais e satélites fora de operação abandonados em órbita ao redor da Terra. Esses objetos podem colidir com satélites, além de pôr em risco astronautas em atividades extraveiculares.
Considerando g = 10,0 m/s2, calcule a) a velocidade do pêndulo com a pedra engastada, imediatamente após a colisão. b) a altura máxima atingida pelo pêndulo com a pedra engastada e a tensão T na corda neste instante.
04. Uma força, cujo módulo F varia com o tempo t conforme o gráfico ao lado, atua sobre um objeto de massa 10 kg. Nesse gráfico, valores negativos para F indicam uma inversão de sentido, em relação àquele dos valores positivos. Com base nesses dados e considerando que em t = 0 o objeto está em repouso, determine a sua velocidade depois de transcorridos 3 s.
05. Um arqueiro está posicionado a determinada distância do ponto P, de onde um alvo é lançado do solo verticalmente e alcança a altura máxima H = 20 m. Flechas são lançadas de uma altura igual a h0 = 2,0 m com velocidade de módulo de 21 m/s. Em uma de suas tentativas, o arqueiro acerta o alvo no instante em que tanto a flecha quanto o alvo encontram-se na posição mais alta de suas trajetórias, conforme ilustra a figura.
Considere que durante um reparo na estação espacial, um astronauta substitui um painel solar, de massa mp = 80 kg, cuja estrutura foi danificada. O astronauta estava inicialmente em repouso em relação à estação e ao abandonar o painel no espaço, lança-o com uma velocidade vp = 0,15 m/s. a) Sabendo que a massa do astronauta é ma = 60 kg, calcule sua velocidade de recuo. b) O gráfico a seguir mostra, de forma simplificada, o módulo da força aplicada pelo astronauta sobre o painel em função do tempo durante o lançamento. Sabendo que a variação de momento linear é igual ao impulso, cujo módulo pode ser obtido pela área do gráfico, calcule a força máxima Fmax.
07. Uma bola de massa 0,40 kg, movendo-se a 6,0 m/s, é rebatida por um jogador, passando a se mover com velocidade de 8,0 m/s, numa direção perpendicular à direção inicial de seu movimento. Determine: a) o módulo da variação da quantidade de movimento da bola ao ser rebatida; b) o módulo da força média que o jogador exerce na bola, se a rebatida durou 0,10 s. 08. Dois blocos A e B, de massas mA = 0,2 kg e mB = 0,8 kg, respectivamente, estão presos por um fio, com uma mola ideal comprimida entre eles. A mola comprimida armazena 32 J de energia potencial elástica. Os blocos estão inicialmente em repouso, sobre uma superfície horizontal e lisa. Em um dado instante, o fio se rompe liberando os blocos. Calcule a velocidade do bloco A, em m/s.
Sabendo que a massa do alvo é cinco vezes a da flecha e desprezando as perdas de energia por atrito, calcule:
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09. Um pequeno bloco, de massa m = 0,5 kg, inicialmente em repouso no ponto A, é largado de uma altura h = 0,8 m. O bloco desliza ao longo de uma superfície sem atrito e colide com um outro bloco, de mesma massa, inicialmente em repouso no ponto B.
a) Determine a velocidade do segundo bloco após a colisão, em m/s, considerando-a perfeitamente elástica. b) Determine a velocidade dos blocos após a colisão, em m/s, considerando-a perfeitamente inelástica. 10. A montagem de um experimento utiliza uma pequena rampa AB para estudar colisões entre corpos. Na primeira etapa da experiência, a bolinha I é solta do ponto A, descrevendo a trajetória AB, escorregando sem sofrer atrito e com velocidade vertical nula no ponto B (figura 1).
Com o auxílio de uma folha carbono, é possível marcar o ponto exato C onde a bolinha I tocou o chão e com isto, conhecer a distância horizontal por ela percorrida (do ponto B’ até o ponto C de queda no chão), finalizando a trajetória ABC.
Na segunda etapa da experiência, a bolinha I é solta da mesma forma que na primeira etapa e colide com a bolinha II, idêntica e de mesma massa, em repouso no ponto B da rampa (figura 2).
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Admita que as bolinhas I e II chegam ao solo nos pontos C1 e C2, percorrendo distâncias horizontais de mesmo valor (d1 = d2), conforme a figura 3.
Sabendo que H = 1 m; h = 0,6 m e g = 10 m/s2, determine as velocidades horizontais da bolinha I ao chegar ao chão na primeira e na segunda etapa da experiência.
11. Um casal de patinadores pesando 80 kg e 60 kg, parados um de frente para o outro, empurram-se bruscamente de modo a se movimentarem em sentidos opostos sobre uma superfície horizontal sem atrito. Num determinado instante, o patinador mais pesado encontrase a 12 m do ponto onde os dois se empurraram. Calcule a distância, em metros, que separa os dois patinadores neste instante. 12. Um bloco de massa m1 = 100 g comprime uma mola de constante elástica k = 360 N/m, por uma distância x = 10,0 cm, como mostra a figura. Em um dado instante, esse bloco é liberado, vindo a colidir em seguida com um outro bloco de massa m2 = 200 g, inicialmente em repouso. Despreze o atrito entre os blocos e o piso. Considerando a colisão perfeitamente inelástica, determine a velocidade final dos blocos, em m/s.
13. No brinquedo ilustrado na figura, o bloco de massa m encontra-se em repouso sobre uma superfície horizontal e deve ser impulsionado para tentar atingir a caçapa, situada a uma distância x = 1,5 m do bloco. Para impulsioná-lo, utiliza-se um pêndulo de mesma massa m. O pêndulo é abandonado de uma altura h = 20 cm em relação a sua posição de equilíbrio e colide elasticamente com o bloco no instante em que passa pela posição vertical. Considerando a aceleração da gravidade g = 10 m/s2, calcule:
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a) a velocidade da massa m do pêndulo imediatamente antes da colisão; b) a velocidade do bloco imediatamente após a colisão; c) a distância percorrida pelo bloco, sobre a superfície horizontal, supondo que o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e essa superfície seja µ = 0,20 e verifique se o bloco atinge a caçapa. 14. A existência do neutrino e do antineutrino foi proposta em 1930 por Wolfgang Pauli, que aplicou as leis de conservação de quantidade de movimento e energia ao processo de desintegração β. O esquema a seguir ilustra esse processo para um núcleo de trítio, H3 (um isótopo do hidrogênio), que se transforma em um núcleo de hélio, He3, mais um elétron, e–, e um antineutrino, ν . O núcleo de trítio encontra-se inicialmente em repouso. Após a desintegração, o núcleo de hélio possui uma quantidade de movimento com módulo de 12×10–24 kgm/s e o elétron sai em uma trajetória fazendo um ângulo de 60° com o eixo horizontal e uma quantidade de movimento de módulo 6,0×10–24 kgm/s.
Gabarito 01. a) 10 m/s.
b) 4,2 kN;
c) 262,5 N/cm2.
02. a) 4 m/s; b) 2 3 m; c) 2m, Como D < d, a mola não será comprimida pelo bloco B. 03. a) ≈ 1,0 m/s;
b) 5,0 cm, 57,1 N.
04. 10 m/s. 05. a) 1,5 m/s;
b) 3,0 m.
06. a) 0,20 m/s; b) 20 N. 07. a) 4 Kgm/s
b) 40 N.
08. 16 m/s. 09. 4,0 m/s; 10. 2,8 m/s e
b) 2,0 m/s.
2 sec q m/s.
11. 28 m. 12. 2,0 m/s. 13. a) 2,0 m/s;
b) 2,0 m/s;
c) 1,0 m, não.
14. 6 3 . 1024 kgm/s; b) 2,4. 103 m/s. 15. a) 2,4 m/s; b) 30 N; energia vem da combustão.
c) Sim. A variação de
Aula 6 Estática / Gravitação / Hidrostática 01. Uma barra homogênea, articulada no pino O, é mantida na posição horizontal por um fio fixado a uma distância x de O. Como mostra a figura, o fio passa por um conjunto de três polias que também sustentam um bloco de peso P. Desprezando efeitos de atrito e o peso das polias, determine a forca de ação do pino O sobre a barra. a) O ângulo a que a trajetória do antineutrino faz com o eixo horizontal é de 30°. Determine o módulo da quantidade de movimento do anti-neutrino. b) Qual é a velocidade do núcleo de hélio após a desintegração? A massa do núcleo de hélio é 5,0×10–27 kg. 15. Um foguete demonstrativo, inicialmente em repouso, é constituído por um corpo cilíndrico e propelido por um combustível à base de pólvora. Durante a combustão é ejetada horizontalmente uma massa total de 4,0 g com velocidade média de módulo 30 m/s em relação ao solo. A combustão dura 4,0 s, ao final da qual a massa do foguete vale 50 g. Considere que o foguete apresenta um movimento retilíneo horizontal e despreze as perdas por atrito e resistência do ar. a) Determine a velocidade do foguete ao final da combustão. b) Determine a força média horizontal que atua sobre o foguete durante a combustão. c) Nota-se que a energia cinética do foguete varia durante a combustão. Isto está de acordo com o princípio da conservação da energia? Justifique.
02. Descobre-se que uma estrela de massa igual a quatro vezes a massa do Sol, localizada na Via Láctea, possui um planeta orbitando ao seu redor, em movimento circular uniforme (MCU) de raio R. O tempo necessário para que esse exoplaneta percorra uma circunferência completa ao redor da estrela é a metade de um ano terrestre. Considere que a Terra realiza um MCU ao redor do Sol de raio RTS e despreze a influência gravitacional de outros corpos do sistema solar. Quanto vale a razão R/RTS? 03. Uma estrela de nêutrons tem massa igual a quatro vezes a massa do Sol e volume esférico de raio 20 km. Considere a massa do Sol igual a 2. 1030 kg e as
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densidades da estrela de nêutrons e da água denotadas, respectivamente, por ρest e ρágua. Se a ordem de grandeza da razão ρest/ ρágua é 10N, qual o valor de N?
No experimento, o iceberg foi representado por um cone de gelo, conforme esquematizado na figura. Considere a densidade do gelo 0,920 g/cm3 e a densidade da água do mar, a 0 °C, igual a 1,025 g/cm3.
04. Uma ventosa comercial é constituída por uma câmara rígida que fica totalmente vedada em contato com uma placa, mantendo o ar em seu interior a uma pressão Pint = 0,95 x 105 N/m2. A placa está suspensa na horizontal pela ventosa e ambas estão no ambiente à pressão atmosférica usual, Patm = 1,00 x 105 N/m2, como indicado nas figuras a seguir. A área de contato A entre o ar dentro da câmara e a placa é de 0,10 m2. A parede da câmara tem espessura desprezível, o peso da placa é 40N e o sistema está em repouso. a) Que fração do volume do cone de gelo fica submersa na água do mar? O valor dessa fração seria alterado se o cone fosse invertido? b) Se o mesmo experimento fosse realizado no alto de uma montanha, a fração do volume submerso seria afetada pela variação da aceleração da gravidade e pela variação da pressão atmosférica? Justifique sua resposta. a) Calcule o módulo da força vertical de contato entre a placa e as paredes da câmara da ventosa. b) Calcule o peso máximo que a placa poderia ter para que a ventosa ainda conseguisse sustentá-la. 05. Um objeto esférico de massa 1,8 kg e densidade 4,0 g/cm3, ao ser completamente imerso em um líquido, apresenta um peso aparente de 9,0 N. Considerando a aceleração da gravidade com módulo igual a g, faça o que se pede: a) Determine o valor da densidade desse líquido. b) Indique qual princípio físico teve que ser utilizado, necessariamente, na resolução desse problema. 06. Pelo Princípio de Arquimedes explica-se a expressão popular “isto é apenas a ponta do iceberg”, frequentemente usada quando surgem os primeiros sinais de um grande problema. Com este objetivo realizou-se um experimento, ao nível do mar, no qual uma solução de água do mar e gelo (água doce) é contida em um béquer de vidro, sobre uma bacia com gelo, de modo que as temperaturas do béquer e da solução mantenham-se constantes a 0 °C.
07. Derive a 3ª Lei de Kepler do movimento planetário a partir da Lei da Gravitação Universal de Newton considerando órbitas circulares. 08. Entre outras propriedades físicas, um líquido é identificado pela sua densidade. Para se determinar a densidade de um líquido em um laboratório de pesquisa, foi utilizado um método que consiste de um tubo cilíndrico fechado nas extremidades, com um orifício lateral muito estreito, que impede a entrada de ar. Inicialmente, o tubo, na horizontal, é preenchido com o líquido. Em seguida, o tubo é posicionado verticalmente com o orifício tampado. Nesta situação, ao liberar a abertura, o líquido escoa até atingir o equilíbrio a uma altura h, conforme esboçado na figura. Qual é a densidade do líquido?
Dados: Pressão atmosférica: p0 = 1,0 x 105 N/m2; Aceleração da gravidade g = 10 m/s2; h = 4,0 m
09. A figura mostra, em corte, um trator florestal “derrubador - amontoador” de massa 13000 kg; x é a abscissa de seu centro de gravidade (CG). A distância entre seus eixos, traseiro e dianteiro, é DE = 2,5 m.
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Admita que 55% do peso total do trator são exercidos sobre os pontos de contato dos pneus dianteiros com o solo (2) e o restante sobre os pontos de contato dos pneus traseiros com o solo (1). Determine a abscissa x do centro de gravidade desse trator, em relação ao ponto 1. Adote g = 10 m/s2 e dê a resposta com dois algarismos significativos.
10. O valor da energia potencial, Ep, de uma partícula de massa m sob a ação do campo gravitacional de um corpo celeste de massa M é dado pela seguinte expressão: Ep = GmM/r
Nessa expressão, G é a constante de gravitação universal e r é a distância entre a partícula e o centro de massa do corpo celeste.
A menor velocidade inicial necessária para que uma partícula livre-se da ação do campo gravitacional de um corpo celeste, ao ser lançada da superfície deste, é denominada velocidade de escape. A essa velocidade, a energia cinética inicial da partícula é igual ao valor de sua energia potencial gravitacional na superfície desse corpo celeste.
Buracos negros são corpos celestes, em geral, extremamente densos. Em qualquer instante, o raio de um buraco negro é menor que o raio R de um outro corpo celeste de mesma massa, para o qual a velocidade de escape de uma partícula corresponde à velocidade c da luz no vácuo. Determine a densidade mínima de um buraco negro, em função de R, de c e da constante G.
11. Observações astronômicas indicam que as velocidades de rotação das estrelas em torno de galáxias são incompatíveis com a distribuição de massa visível das galáxias, sugerindo que grande parte da matéria do Universo é escura, isto é, matéria que não interage com a luz. O movimento de rotação das estrelas resulta da força de atração gravitacional que as galáxias exercem sobre elas.
a) Determine a massa M da galáxia. b) Calcule a velocidade de uma estrela em órbita circular a uma distância r = 1,6 × 1020 m do centro da galáxia. 12. Uma haste de comprimento L e massa m uniformemente distribuída repousa sobre dois apoios localizados em suas extremidades. Um bloco de massa m uniformemente distribuída encontra-se sobre a barra em uma posição tal que a reação em uma das extremidades é o dobro da reação na outra extremidade. Considere a aceleração da gravidade com módulo igual a g. a) Determine as reações nas duas extremidades da haste. b) Determine a distância x entre o ponto em que o bloco foi posicionado e a extremidade em que a reação é maior. 13. Em agosto de 2006, Plutão foi reclassificado pela União Astronômica Internacional, passando a ser considerado um planeta-anão. A terceira Lei de Kepler diz que T2 = K a3, onde T é o tempo para um planeta completar uma volta em torno do Sol, e 'a' é a média entre a maior e a menor distância do planeta ao Sol. No caso da Terra, essa média é aT = 1,5 × 1011 m, enquanto que para Plutão ap = 60 × 1011 m. A constante K é a mesma para todos os objetos em órbita em torno do Sol. A velocidade da luz no vácuo é igual a 3,0 × 108 m/s. Dado: 10 = 3,2. a) Considerando-se as distâncias médias, quanto tempo leva a luz do Sol para atingir a Terra? E para atingir Plutão? b) Quantos anos terrestres Plutão leva para dar uma volta em torno do Sol? Expresse o resultado de forma aproximada como um número inteiro. 14. Uma força vertical de intensidade F, atuando sobre o êmbolo menor de uma prensa hidráulica, mantém elevado um peso P = 400 N, como mostra a figura. Sabendo que a área do êmbolo maior é 8 vezes a área menor, determine o valor de F, em newtons.
A curva no gráfico a seguir mostra como a força gravitacional FG = (GMm)/r2, que uma galáxia de massa M exerce sobre uma estrela externa à galáxia, deve variar em função da distância r da estrela em relação ao centro da galáxia, considerando-se m = 1,0 × 1030 kg para a massa da estrela. A constante de gravitação G vale 6,7 × 10–11 m3kg–1 s2.
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15. A figura a seguir mostra um homem de massa igual a 100 kg, próximo a um trilho de ferro AB, de comprimento e massa respectivamente iguais a 10m e 350 kg. O trilho encontra-se em equilíbrio estático, com 60% do seu comprimento total apoiados sobre a laje de uma construção.
Estime a distância máxima que o homem pode se deslocar sobre o trilho, a partir do ponto P, no sentido da extremidade B, mantendo-o em equilíbrio.
19. Um cilindro maciço de volume 1,0 L e densidade 0,60 kg/L é preso por um fio ao fundo de um tanque com água.
16. Ao se usar um saca-rolhas, a força mínima que deve ser aplicada para que a rolha de uma garrafa comece a sair é igual a 360N. a) Sendo µe = 0,2 o coeficiente de atrito estático entre a rolha e o bocal da garrafa, encontre a força normal que a rolha exerce no bocal da garrafa. Despreze o peso da rolha. b) Calcule a pressão da rolha sobre o bocal da garrafa. Considere o raio interno do bocal da garrafa igual a 0,75 cm e o comprimento da rolha igual a 4,0 cm. 17. Uma pessoa, com o objetivo de medir a pressão interna de um botijão de gás contendo butano, conecta à válvula do botijão um manômetro em forma de U, contendo mercúrio. Ao abrir o registro R, a pressão do gás provoca um desnível de mercúrio no tubo, como ilustrado na figura.
Adote g = 10 m/s2 e da água = 1,0 kg/L. Determine: a) a intensidade da força de tração no fio; b) a aceleração que o cilindro adquire no instante em que o fio é cortado. 20. As comunicações entre o transatlântico e a Terra são realizadas por meio de satélites que se encontram em órbitas geoestacionárias a 29.600km de altitude em relação à superfície terrestre, como ilustra a figura a seguir.
Considere a pressão atmosférica dada por 105 Pa, o desnível h = 104 cm de Hg e a secção do tubo 2 cm2.
Adotando a massa específica do mercúrio igual a 13,6 g/cm3 e g = 10 m/s2, calcule a) a pressão do gás, em pascal. b) a força que o gás aplica na superfície do mercúrio em A.
18. Na reprodução da experiência de Torricelli em um determinado dia, em Curitiba, o líquido manométrico utilizado foi o mercúrio, cuja densidade é 13,6 g/cm3, tendo-se obtido uma coluna com altura igual a 70 cm, conforme a figura. Se tivesse sido utilizado como líquido manométrico um óleo com densidade de 0,85 g/cm3, qual teria sido a altura da coluna de óleo? Justifique sua resposta.
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Para essa altitude, determine: a) a aceleração da gravidade; b) a velocidade linear do satélite.
21. Um quadro de massa m = 6,0 kg se encontra em equilíbrio pendurado ao teto pelos fios 1 e 2, que fazem com a horizontal os ângulos q1 = 60° e q2 = 30°, conforme a figura.
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Gabarito 01. F0 = P(x – y) / 4(x + y). 02. 1. 03. 14. 04. a) 460 N;
b) 50 N.
05. a) 2 g/cm ;
b) Príncípio de Arquimedes.
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06. a) 89,8 %, Se o cone fosse invertido, essa fração continuaria a mesma, pois o empuxo seria o mesmo, resultando na mesma equação do item anterior;
Adotando g = 10m/s2, calcule as trações nos fios 1 e 2. 22. Para demonstrar que a aceleração da gravidade na superfície de Marte é menor do que na superfície terrestre, um jipe-robô lança um pequeno corpo verticalmente para cima, a partir do solo marciano. Em experimento idêntico na Terra, onde g = 10,0 m/s2, utilizando o mesmo corpo e a mesma velocidade de lançamento, a altura atingida foi 12,0 m. A aceleração da gravidade na superfície de um planeta de raio R e massa M é dada por g = GM/R2, sendo G a constante de gravitação universal. Adotando o raio de Marte igual à metade do raio da Terra e sua massa dez vezes menor que a da Terra, calcule, desprezando a atmosfera e a rotação dos planetas, a) a aceleração da gravidade na superfície de Marte. b) a altura máxima atingida pelo corpo no experimento em Marte. 23. Os astrônomos têm anunciado com frequência a descoberta de novos sistemas planetários. Observações preliminares em um desses sistemas constataram a existência de um planeta com massa 50 vezes maior que a massa da Terra e com diâmetro 5 vezes maior que o da Terra. Sabendo que o peso de uma pessoa é igual à força gravitacional exercida sobre ela, determine o valor da aceleração da gravidade g(p) a que uma pessoa estaria sujeita na superfície desse planeta, em m/s2. Dado: A aceleração da gravidade na superfície da Terra é 10 m/s2.
b) Os fatores mencionados (variações da aceleração da gravidade e da pressão atmosférica) em nada afetam o experimento. A justificativa está na própria expressão encontrada no item anterior: f = dg/da, mostrando que a fração imersa do volume depende apenas das densidades do gelo e da água que não se alteram com os fatores mencionados.
07. T2 = (4p2 / GM) r3. 08. 2,5 g / cm3. 09. 1,4 m. 10. ρ = 3c2 / 8pGR2. 11. a) 1,5. 1040 Kg;
b) 8. 104 m/s.
12. a) 4mg/3, 2mg/3;
b) L/6.
13. 5. 102s e 2. 104s;
b) 256 anos.
14. 50 N. 15. 3,5 m. 16. a) 1,8 kN;
b) 1. 106 Pa.
17. a) 2,4. 10 Pa;
b) 48 N.
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18. 11,2 m. 19. a) 4 N;
b) 6,7 m/s2.
20. a) g = 0,3 m/s ; 2
b) 2500 m/s.
21. 30 3 N e 30 N. 22. a) 4,0 m/s2;
B) 30 m.
23. 20 m/s . 2
24. 95 s.
24. Uma balança de braços iguais tem em um dos pratos um peso de 0,38 N e no outro prato um recipiente de peso desprezível. Sobre o recipiente existe uma torneira pingando 2 gotas de água por segundo, cada gota com um volume de 2,0 × 10–7 m3. Considerando a densidade da água 1,0 × 103 kg/m3 e g = 10 m/s2, determine o tempo necessário, em segundos, para que os pratos da balança fiquem nivelados.
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