Mate financiera

Matemática financiera y actuarial Wa l t e r

C é s p e d e s

R a m í r e z

Matemática financiera y actuarial

W alt e r C é spe de s R am ír e z

FICHA TÉCNICA Título: Matemática financiera y actuarial Autores: Walter Céspedes Ramírez Categoría: Cuadernos / Ciencias Administrativas y Ciencias Económicas Código: CU/ 274-2011 Edición: Fondo Editorial de la UIGV Formato: 170 mm X 245 mm 382 pp.

Impresión: Offsett y encuadernación en rústica Soporte: Cubierta: folcote calibre 12.

Interiores: Bond alisado de 80 g Publicado: Lima, Perú. Marzo de 2011

Universidad Inca Garcilaso de la Vega Rector: Luis Cervantes Liñán

©

Universidad Inca Garcilaso de la Vega Av. Arequipa 1841 - Lince Teléf.: 471-1919 Página web: www.uigv.edu.pe

Fondo Editorial Correo electrónico: fondoeditorial@uigv.edu.pe Jr. Luis N. Sáenz 557 - Jesús María Teléf.: 461-2745 Anexo: 3712 Correo electrónico: fondo_editorial@uigv.edu.pe Blog: fondouigv.blogspot.com Secretaría Técnica del Consejo Ejecutivo de Educación a Distancia Av. Petit Thouars 421 - Lima Teléf.: 433-5755 / 433-0111 Anexos: 1330, 1331 y 1337

Estos textos de educación a distancia están en proceso de revisión y adecuación a los estándares internacionales de notación y referencia. El contenido del libro es responsabilidad de la Facultad de origen.

Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2011-03999

ÍNDICE

Presentación ..................................................................................... 11 Introducción ..................................................................................... 13 Orientaciones metodológicas....................................................................... 15

PRIMERA UNIDAD Tasas

..................................................................................... 23

Lección 1

1.1 Uso de

1.1.1

1.1.2

1.1.3

las tasas........................................................................ 25 Tasa individual................................................................ 25 Tasa individual agregada.................................................. 27 Tasa individual reducida................................................... 28

Lección 2

1.2 Tasas consecutivas..................................................................... 31

1.2.1 Tasas consecutivas incrementales...................................... 31

1.2.2 Tasas consecutivas decrecientes o reductivas...................... 35

1.2.3 Tasas sobre tasas............................................................ 39 Lección 3

1.3 Otros elementos relacionados con las tasas................................... 43 1.3.1 Interpolación.................................................................. 43 1.3.2 Fechas........................................................................... 46

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M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Autoevaluación Nº 1.................................................................................. 49 Exploración on line.................................................................................... 53 Bibliografía básica ..................................................................................... 53 Bibliografía complementaria........................................................................ 53

SEGUNDA UNIDAD

Operaciones financieras de tipo simple

...................................................... 55

Lección 1

2.1 Operación de tipo simple............................................................. 57

2.1.1 Definición del interés simple.............................................. 57

2.1.2 Definición del descuento simple......................................... 59 Lección 2

2.2 Fórmulas para el interés simple................................................... 61

2.2.1 Cálculo del interés simple comercial u ordinario................... 62

2.2.2 Cálculo del interés simple exacto....................................... 64

2.2.3 Cálculo de las otras variables del interés simple................... 65 Lección 3

2.3 Fórmulas para el descuento simple............................................... 69

2.3.1 Cálculo del descuento simple comercial.............................. 70

2.3.2 Cálculo del descuento simple racional o matemático............. 71

2.3.3 Cálculo de las otras variables del descuento simple.............. 72 Lección 4

2.4 Pagos parciales con interés simple................................................ 77

2.4.1 Regla de saldos insolutos o de Estados Unidos con interés simple 77

2.4.2 Regla Comercial o de la ecuación con interés simple............. 79

2.4.3 Consolidación de deudas con interés simple........................ 82 Lección 5

2.5 Ahorros con interés simple.......................................................... 85 Autoevaluación Nº 2.................................................................................. 89 Exploración on line.................................................................................... 93 Bibliografía básica ..................................................................................... 93 Bibliografía complementaria........................................................................ 93

TERCERA UNIDAD

Operaciones financieras de tipo compuesto

................................................ 95

Lección 1

3.1 Operación de tipo compuesto....................................................... 97

3.1.1 Definición del interés compuesto....................................... 97

3.1.2 Definición del descuento compuesto................................... 99

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Lección 2

3.2 Fórmulas para el interés compuesto............................................. 103

3.2.1 Cálculo del interés compuesto........................................... 104

3.2.2 Cálculo de las otras variables del interés compuesto............. 107

3.2.3 Cálculo de la tasa efectiva del interés compuesto................. 110 Lección 3

3.3 Fórmulas para el descuento compuesto......................................... 113

3.3.1 Cálculo del descuento compuesto...................................... 114

3.3.2 Cálculo de las otras variables del descuento compuesto........ 116

3.3.3 Cálculo de la tasa efectiva del descuento compuesto............ 119 Lección 4

3.4 Pagos y ahorros a interés compuesto............................................ 123

3.4.1 Regla de saldos insolutos o de Estados Unidos

con interés compuesto..................................................... 123

3.4.2 Regla comercial o de la ecuación con interés compuesto....... 131 Lección 5

3.5 Uso de tablas en operaciones de tipo compuesto............................ 135

3.5.1 Uso de tabla de factores de interés compuesto.................... 135

3.5.2 Uso de tabla de factores de descuento compuesto................ 135 Autoevaluación Nº 3.................................................................................. 145 Exploración on line.................................................................................... 149 Bibliografía básica ..................................................................................... 149 Bibliografía complementaria........................................................................ 149

CUARTA UNIDAD Anualidades ordinarias

............................................................................ 151

Lección 1

4.1 Anualidad ordinaria inmediata..................................................... 153

4.1.1 Valor futuro de la anualidad ordinaria inmediata.................. 154

4.1.2 Valor actual de la anualidad ordinaria inmediata.................. 164 Lección 2

4.2 Abualidad diferida ordinaria......................................................... 173

4.2.1 Valor futuro de la anualidad diferida................................... 174

4.2.2 Valor actual de la anualidad diferida................................... 184 Autoevaluación Nº 4.................................................................................. 188 Exploración on line.................................................................................... 192 Bibliografía básica ..................................................................................... 192 Bibliografía complementaria........................................................................ 192

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M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

QUINTA UNIDAD Anualidades anticipadas

.......................................................................... 193

Lección 1

5.1 Anualidad anticipada inmediata.................................................... 195

5.1.1 Valor futuro de la anualidad anticipada inmediata................ 196

5.1.2 Valor actual de la anualidad anticipada inmediata................. 203 Lección 2

5.2 Anualidad anticipada diferida....................................................... 211

5.2.1 Valor futuro de la anualidad anticipada diferida.................... 212

5.2.2 Valor actual de la anualidad anticipada diferida.................... 218 Autoevaluación Nº 5.................................................................................. 225 Exploración on line.................................................................................... 228 Bibliografía básica ..................................................................................... 228 Bibliografía complementaria........................................................................ 228

SEXTA UNIDAD

Actuarial ..................................................................................... 229 Lección 1

6.1 Depreciaciones.......................................................................... 231

6.1.1 Objeto de la depreciación................................................. 231

6.1.2 Métodos para la depreciación............................................ 232 Lección 2

6.2 Bonos

6.2.1

6.2.2

6.2.3

..................................................................................... 243 Características de los bonos.............................................. 243 Tipos de bonos................................................................ 245 Valor actual de un bono.................................................... 248

Lección 3

6.3 Seguros de vida......................................................................... 257

6.3.1 Seguros de vida total....................................................... 258

6.3.2 Seguros de vida temporal................................................. 259

6.3.3 Seguros de vida dotal...................................................... 261 Lección 4

6.4 Rentas ..................................................................................... 265

6.4.1 Clasificación de las rentas................................................. 265

6.4.2 Rentas perpetuas............................................................ 266 Lección 5 6.5 Indicadores actuales para proyectos............................................. 271

6.5.1 Serie de flujo de caja (FC)................................................ 271

6.5.2 Valor actual neto (VAN).................................................... 272

6.5.3 Tasa interna de retorno (TIR)............................................ 278 z8 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Texto seleccionado...................................................................................... 281 Autoevaluación Nº 6.................................................................................. 286 Exploración on line.................................................................................... 289 Bibliografía básica ..................................................................................... 289 Bibliografía complementaria........................................................................ 289 Tablas

Tabla Tabla Tabla Tabla Tabla Tabla

1 2 3 4 5 6

Número de días....................................................................... 293 Cálculo del monto con interés compuesto.................................... 294 Cálculo del valor actual con descuento compuesto........................ 302 Cálculo del valor futuro de la anualidad ordinaria.......................... 310 Cálculo del valor actual de la anualidad ordinaria.......................... 346 Tabla de mortalidad con columnas de conmutación al 2.5%........... 382

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P R E S E N TA C I Ó N

Esta serie, Cuadernos, reúne los trabajos que los docentes han elaborado como parte de un proyecto mayor. Son textos breves con orientaciones y contenidos precisos para el desarrollo de una materia, que, a manera de apuntes de clase, están dirigidos al programa de educación a distancia.

El diseño, elaboración y edición de textos para educación a distancia son tareas apasionantes. Son labores que comprometen a profesionales de diversas áreas empeñados en buscar medios y procedimientos para que la transmisión de contenidos sea eficiente.

En esta perspectiva se plantea la utilización de estos materiales con un sentido práctico, no solo para atender los requerimientos inmediatos de la educación a distancia, sino para iniciar un proceso de seguimiento y control que permita, luego de una rigurosa revisión y actualización, convertirlos en libros concluidos y abiertos a todos los lectores.

La educación a distancia es una experiencia, en la galaxia Internet, de un proyecto universitario globalizado cada vez más competitivo. La universidad que enfrente esta tarea con visión multidisciplinar y con enfoque sistémico tendrá éxito. En este sentido va esta propuesta: interacción permanente e investigación para la docencia y el aprendizaje en un complejo mundo de cambios vertiginosos y retos permanentes.

Jefe del Fondo Editorial

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INTRODUCCIÓN

El objetivo principal de este libro, es el de brindar a todos los estudiantes de Administración y a los de Economía, los conocimientos necesarios para comprender el uso de las matemáticas financieras y actuarial, de tal manera que pueda resolver casos con rapidez y precisión mediante el uso de herramientas o fórmulas financieras.

Para lograr tal objetivo; es conveniente enseñar a los alumnos de esta asignatura que la base de las operaciones financieras se relacionan estrictamente con las tasas, por ello se ha propuesto dentro de este manual, una serie de aplicaciones referentes a las tasas, para que el alumno pueda comprenderlas. Cuando a la tasa se le suma una unidad, el valor principal se incrementa en la misma proporción que la tasa, y cuando se resta de uno, el valor principal se reduce en la misma proporción que la tasa; ello significa que el uno (1) que acompaña a la tasa representa al valor principal.

Una vez conocida la utilidad que tienen las tasas, estos mismos argumentos de incremento y de reducción se utilizan en las operaciones financieras; por que cuando un capital o principal se incrementa en el tiempo, todo el incremento se llama interés, y cuando se reduce, la cantidad reducida se llama descuentos; se dice que tales incrementos o descuentos son de tipo simple por que el valor principal que sirve para generar el interés o el descuento, perz1 3 z

manece constante todo el tiempo que dure la operación, en caso contrario, se dice que es de tipo compuesta y necesitan de periodos de capitalización, en donde el valor principal o capital cambia de valor, periodo tras periodo.

Las operaciones financieras además de las funciones mencionadas, tienen otras funciones que también se verán en este manual, tales como: anualidades inmediatas tanto ordinarias como anticipadas, y las anualidades diferidas vencidas y anticipadas. También se verá el cálculo del valor futuro y del valor actual o presenta de todos los tipos de anualidades.

Finalmente, además se consideran algunos valores actuales, entre los que destacan: Las depreciaciones de bienes productivos que sirven para generar los fondos de reposición del bien, Los seguros que sirven para proteger la existencia de recursos materiales y humanos en una organización, las rentas que permiten el acceso al crédito y los bonos como valores de negociación.

Al término del estudio de este Manual Auto Instructivo, el alumno debe entender que los conocimientos que ha adquirido a través del mismo no es la culminación de todos los elementos financieros y que ya está en condiciones de tomar decisiones de índole empresarial en cualquier nivel de la misma, sino que ha empezado a entender la actividad empresarial en términos cuantitativos y además debe comprender que las matemáticas financieras y actuarial, son solo parte de esta compleja actividad.

El autor

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orientaciones METODOLÓGICAS El Manual Auto-Instructivo, que está al alcance de usted, está compuesto de 6 unidades temáticas, y se ha elaborado con la intención de que al haberse matriculado en esta asignatura pueda auto instruirse.

1. Estructura Se está incluyendo en el MAI de Matemática Financiera y Actuarial, todas las unidades temáticas del sílabo que esta facultad ha considerado como de necesidad para la enseñanza de esta asignatura en todas las modalidades de estudio incluyendo la modalidad a distancia; tales unidades temáticas son: Primera Unidad : Tasas Segunda Unidad : Operaciones Financieras de Tipo Simple Tercera Unidad : Operaciones Financieras de Tipo Compuesto Cuarta Unidad : Anualidades Ordinarias Quinta Unidad : Anualidades Anticipadas Sexta Unidad : Actuarial 2. Sumilla Primera Unidad Se ha creído conveniente empezar este manual de Matemática Financiera y Actuarial, con las tasas que son unos factores que ne-

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cesariamente se utilizarán en todas las lecciones a desarrollarse en adelante y que es conveniente que el estudiante las tenga presente para aprovecharlas mejor.

Pese a que siempre se expresan las tasas en términos porcentuales que representan las fracciones de cada 100 unidades, normalmente se utilizan estos factores en tanto por uno; es decir, el porcentaje dividido entre 100 que representan las fracciones de cada unidad.

El estudiante aprenderá también a utilizar varias tasas en forma consecutiva, sin la necesidad de darle tratamiento individualizado para que luego tenga que ser agregado o disminuido según el caso.

Finalmente se ha incluir en esta unidad temática otros elementos complementarios en las operaciones comerciales y en las financieras, a manera de introducción a las Matemáticas Financieras y Actuariales; es el caso de la interpolación en donde se puede despejar el valor de una variable conociendo algunos valores de ella, esto es muy importante para el estudiante por que muchas veces no puede contar con toda la información que precisa conocer. También se enseña a utilizar la tabla de número de días para conocer la cantidad de días que hay entre dos fechas cualesquiera que forman parte de una operación financiera de interés o de descuentos.

Segunda Unidad Cuando financieramente es invertida o deducida una cantidad de dinero o principal, durante un periodo determinado, con una tasa definida; se está entrando a las primeras operaciones de las finanzas que son el interés y el descuento. Dicho interés y descuento son denominados simples si el dinero ganado o deducido no forman parte del principal para el siguiente periodo.

En el cálculo tanto de interés como en el descuento simple, intervienen además del elemento principal que es el capital o el valor nominal, el tiempo que dura la operación que puede ser dado en: días, meses, trimestres, años, fechas, etc. y la tasa. Por esta razón es conveniente del uso de fórmulas definidas para cada tipo de operación que incluye todos los pasos desde el inicio hasta el término de la misma.

Cuando se adquieren deudas a interés simple, es muy común que en los contratos se incluyan pagos parciales, a fin de cancelar parte de lo adeudado y reducir la deuda misma. En cuanto al tiempo, los pagos parciales se pueden realizar sin ninguna restricción o condición, ya que las aportaciones pueden efectuarse en el momento z1 6 z

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que el cliente lo disponga y en cuanto al aporte, puede ser variado según el efectivo que disponga; según los métodos dispuestos que pueden ser: La regla de saldos insolutos o de EE.UU., la regla comercial o de la ecuación o también en los casos de varias deudas, estas pueden ser consolidadas en una sola.

Aunque en nuestro medio no se utiliza las operaciones financieras en forma simple, ello no exime al estudiante a que aprenda como funciona sobre todo en las operaciones de ahorro, las que son explicadas en esta unidad con ejemplos.

Tercera Unidad Financieramente las inversiones o deducciones de una cantidad de dinero o principal, durante un periodo determinado, con una tasa definida; como se mencionó en el capítulo anterior son operaciones de interés y de descuento. Dicho interés y descuento son denominados compuestos si el dinero ganado o deducido, forman parte del principal para el siguiente periodo. El reunir el interés con el principal o deducir el descuento del mismo, se denomina capitalización que se hace efectiva en cada periodo de tiempo previamente acordado entre ambas partes o aceptado por el cliente En el cálculo tanto de interés como en el descuento compuesto, intervienen además del elemento principal que es el capital o el valor nominal, el tiempo que dura la operación que puede ser dado en: días, meses, trimestres, años, fechas, etc. y la tasa. Por esta razón es conveniente del uso de fórmulas definidas para cada tipo de operación con la obligación de que el tiempo y la tasa ahora se trabajarán únicamente en periodos homogéneos según la capitalización.

Cuando se adquieren deudas a interés compuesto, es muy común que en los contratos se incluyan pagos parciales, a fin de cancelar parte de lo adeudado y reducir la deuda misma. En cuanto al tiempo, los pagos parciales se pueden realizar sin ninguna restricción o condición, ya que las aportaciones pueden efectuarse en el momento que el cliente lo disponga y en cuanto al aporte, puede ser variado según el efectivo que disponga; en cuanto a los métodos para deducir lo abonado o pagado, en las operaciones compuestas puede utilizarse cualquiera de las reglas por que el resultado siempre es el mismo, ya sea con: la regla de saldos insolutos o de EE.UU., la regla comercial o de la ecuación y también en los casos de varias deudas, éstas pueden ser consolidadas en una sola con una misma tasa y con una misma capitalización.

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M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Cuarta Unidad Matemáticamente el término anualidad, se conoce como la expresión que indica un sistema de pago de cantidades fijas en periodos de tiempos iguales para cada pago. Representa los pagos parciales consecutivos a interés compuesto que debe realizar un deudor, hasta cancelar el préstamo adquirido. Anteriormente con el interés compuesto, se vio cuanto se podía generar con una inversión durante un tiempo definido con una tasa determinada; en una anualidad, este concepto se aplica de la misma manera, con un ingrediente adicional que es el aporte o pago en cuotas y periodos iguales; además no se trabajará en días, sino en periodos de tiempo como: quincenas, meses, bimestres, trimestres, etc., por que una anualidad solo trabaja con periodos de tiempo.

En finanzas, la anualidad no significa pagos anuales, sino pagos en intervalos de tiempo iguales; por ejemplo, son anualidades los dividendos sobre las acciones, los fondos de amortización, los pagos de las compañías de seguros, sueldos, etc., en general todo tipo de renta, es una anualidad.

En este manual se tratarán únicamente los casos de las anualidades como una sucesión de pagos periódicos iguales; no se verán los casos de aporte variables de una anualidad, ni otro tipo de pagos. Entre la sucesión de pagos periódicos iguales en tiempo y en cantidad, se verán los tipos de: anualidades ordinarias inmediatas y anualidades ordinarias diferidas.

Con cada uno de los tipos de anualidades, el alumno aprenderá a utilizar las fórmulas definidas apropiadamente para encontrar cualquiera de sus variables, así como también podrá hacer uso de las tablas sobre este tipo de operación; Cuando se adquieren deudas, es muy común que en los contratos se incluyan pagos homogéneos parciales a fin de cancelar parte de lo adeudado y reducir la deuda misma. En cuanto a estos pagos en una anualidad los periodos a pagar pueden ser: iguales, menores o mayores al periodo de capitalización; al término de esta unidad temática, el alumno estará capacitado para resolver cualquiera de estos casos.

Quinta Unidad Las anualidades anticipadas tiene el mismo tratamiento que se da a las anualidades ordinarias, con la única diferencia que este tipo de anualidad el pago o aporte se realiza al inicio del periodo señalado por la entidad financiera. z1 8 z

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En finanzas, la anualidad anticipada no significa pagos por años anticipados, sino pagos o aportes al inicio en intervalos de tiempo iguales que pueden ser meses bimestres, quincenas, etc. ; por ejemplo, son anualidades: los fondos de amortización, los pagos de las compañías de seguros, etc., en general todo tipo de renta anticipada, es una anualidad adelantada.

En este manual se tratarán únicamente los casos de las anualidades anticipadas como una sucesión de pagos periódicos iguales; no se verán los casos de aporte variables de una anualidad, ni otro tipo de pagos.

Con cada uno de los tipos de anualidades anticipadas, el alumno aprenderá a utilizar las fórmulas definidas apropiadamente para encontrar cualquiera de sus variables, así como también podrá hacer uso de las tablas sobre este tipo de operación.

Cuando se adquieren deudas, es muy común que en los contratos se incluyan pagos homogéneos parciales a fin de cancelar parte de lo adeudado en forma anticipadas y reducir la deuda misma. En cuanto a estos pagos en una anualidad los periodos a pagar pueden ser: iguales, menores o mayores al periodo de capitalización; al término de esta unidad temática, el alumno estará capacitado para resolver cualquiera de estos casos.

Sexta Unidad Tiene gran importancia el conocer los valores actuales de nuestras tenencias o propiedades, y la actividad financiera te da las herramientas necesarias para que puedas determinar cuanto vale lo que posees. En esta unidad se conocerán los valores actuales que te permitirá: conocer de cuanto dinero dispones hoy para reponer las maquinarias y equipos de tu empresa, ingresar al mundo de los negocios de los bonos, tener acceso a los préstamos con la tenencia de rentas, hasta podrás determinar el costo de un seguro de vida para ti y si tienes una empresa, para tus trabajadores.

Uno de los valores actuales en la actividad empresarial que no debe pasar desapercibido, es la depreciación de un bien productivo que sirve para generar empresa. El cálculo de la depreciación o desgaste, enseña al alumno a entender que capital invertido en bienes, no se va perdiendo de a pocos y que de sus ahorros o utilidades va a sacar el dinero de recuperación, sino te enseña como el gobierno te exige que de la propia empresa hagas las reservas respectivas ya que tal depreciación o valor de desgaste, forma parte de tus costos de producción.

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M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

El que el Bono es una obligación crediticia emitida con un plazo determinado que devenga intereses pagaderos en periodos regulares de tiempo por un gobierno o por instituciones privadas, el alumno comprenderá que conocer su valor actual, y además el saber que estos documentos están regulados por ley del país de la entidad emisora, que la actividad financiera no es solo interés y descuentos, es negociar documentos de créditos en un mercado de valores.

El tema del seguro de vida no es moderno, sin embargo en la actualidad se sigue utilizando, aunque de manera diferente a la forma del pasado, lo cierto es que la vida de una persona es importante principalmente para su familia y quien conoce de las bondades de un seguro de vida, tiene la necesidad de contar con él sobretodo para dejar protegida su familia en caso de accidente.

El saber que las rentas son pagos periódicos que se realizan a favor de una persona o de una institución por diferentes razones, además conocer el valor actual de una renta, le permite al tenedor de la misma, tener acceso al crédito financiero.

Finalmente en la evaluación de proyectos intervienen algunos indicadores que utilizan valores actuales, que son El VAN y la TIR, con el primero utilizando una tasa de oportunidad de capital (COK), establece la diferencia entre el Valor actual de la Inversión (VAI) con el Valor actual de egresos o costo (VAC), y si la diferencia es positiva se conoce que puede hacer la inversión en dicho proyecto; con la TIR un proyecto es rentable si es mayor o igual a la COK. 3. Estrategias de aprendizaje 1° Para facilitar el entendimiento de esta asignatura, se recomienda tener claro lo aprendido en las asignaturas de Matemáticas.

2° Debe tener siempre a la mano: cuaderno lápiz o lapicero, borrador y una calculadora que tenga más funciones de aquellas que solo manejan las 4 operaciones aritméticas.

3° Leer con detenimiento cada ítem de una unidad temática y una vez entendido lo que se dice allí, resolver los ejercicios propuestos, por cada ítems.

4° Culminada la primera unidad, resolver la prueba auto evaluativa que está al final de la misma, luego comparar las respuestas obtenidas con las claves de respuestas que se dan.

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5° Si ha respondido correctamente al menos 9 de los 15 ejercicios, usted está en condiciones de seguir con la siguiente unidad, en caso contrario, se recomienda hacer un repaso.

Nota importante: Si por alguna razón no logra entender con facilidad cualquier tema de los mencionados, probablemente por haber olvidado algunos conceptos básicos matemáticos que son necesarios tener presente; se recomienda revisar los conceptos olvidados o solicitar asesoría que le sirva de orientación en el aprendizaje de Matemática Financiera y Actuarial.

4. Evaluación Para aprobar la asignatura habrán 2 exámenes obligatorios y uno opcional que son: 1.Examen parcial, que incluye las tres primeras unidades temáticas.

2.Examen final, que incluye las tres últimas unidades temáticas.

3. Examen sustitutorio, es opcional e incluye todas las unidades del curso; este examen solo lo pueden rendir los alumnos desaprobados en promedio de los exámenes: parcial y final.

Se desea a usted mucha suerte y se le felicita por cada unidad aprendida.

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p r i m e r a

UNIDAD Tasas

Sumario Uso de las tasas: tasas individuales, tasa individual agregada, tasa individual reducidad.

Tasas consecutivas: incrementales, reductivas; tasas sobre tasas.

Otras operaciones relacionadas con tasas: interpolaciรณn, fechas.

OBJETIVO(S) GENERAL: • Al término de esta unidad, el alumno ha encontrado la manera más práctica de determinar los valores actuales sobre: rentas, seguros, bonos y depreciaciones; porque conocer los valores actuales es muy importante ya que sirve para: poder negociar bonos, solicitar préstamos con el respaldo de una renta, conocer el costo de una póliza de seguros, si se debe o no invertir en un proyecto y también para saber cuanto valen hoy un elemento productivo después de haberlo utilizado un tiempo determinado generando su valor de reposición.

ESPECÍFICOS: • Mediante el uso de las tasas, el estudiante a aprendido como generar un aumento o una disminución de un precio o capital, y también cómo obtener dicho aumento o disminución incluidos en el precio o capital.

• Saber como se utilizan las tasas en forma consecutiva dentro de escalas que a medida que crecen, las tasas aumentan o disminuyen según su aplicación. También cuando estas se aplican consecutivamente a un mismo precio.

• Conocer para las siguientes unidades, el uso o aplicación que tiene la interpolación cuando la información no es suficiente o completa. También para aprender a determinar el número de días que hay entre una fecha inicial y otra final de una operación financiera.

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L e c c i ó n

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1.1 Uso de las tasas Una tasa es un factor que generalmente se expresa en tanto por ciento, por que de esta manera su interpretación es más sencilla; sin embargo, cuando usted desee aplicarla a una cifra numérica o valor principal requiere dividir el porcentaje entre 100, de esta manera la tasa en tanto por ciento se habrá convertido en tasa en tanto por uno.

El factor en tanto por uno se multiplica por la cifra numérica o valor principal y el resultado puede ser un incremento o una reducción, dependiendo de lo que usted desee encontrar. En el ambiente financiero y en el comercial, al incremento se le denomina interés y a la reducción se le denomina descuento

1.1.1 Tasa individual Es el factor o tasa convertida en tanto por uno, que se aplica una sola vez al valor principal y cuyo resultado es el incremento o la reducción según el caso.

En las siguientes unidades se tratará nuevamente este tipo de tasa individual o única, que al aplicarlas en el tiempo, producirá financieramente tanto interés como descuento en operaciones financieras de tipo simple y de tipo compuesto.

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M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Ejercicios resueltos: 1) ¿Cuántas unidades adicionales se deben producir, si se desea incrementar en 20,5% la producción actual de 7 400 unidades?

Solución: Se tiene una tasa del 20,5% de incremento que al dividirla entre 100, es igual 0,205.

Unidades adicionales = 7 400 x 0,205 = 1 517 unidades.

2) ¿Cuántos trabajadores tendrá que cesar una empresa, si de los 2 600 que tiene piensa reducir el número en 15%?

Solución: Tasa = 15 / 100 = 0,15 Cese = 2 600 x 0,15 = 390 trabajadores.

Resolver los siguientes ejercicios sobre tasa individual: 1) ¿Cuál será la utilidad que obtendría un comerciante, si vende su mercancía que le costó 4 240 nuevos soles, ganando el 19,5%?

Resp.: 826,80.

2) ¿Cuál será la rebaja que obtendría un comerciante, si compra mercancía que vale 850 nuevos soles rebajada en 10,5%?

Resp.: 89,25.

3) ¿Cuánto ganará durante un mes un vendedor a comisión, si vendió mercancía por un valor de 18 580 ganando por comisión el 16% de las ventas?

Resp.: 2 960,00.

4) ¿Cuál será la utilidad que obtendría un inversionista, si le ofrecen el 5% por invertir 21 000 nuevos soles?

Resp.: 1 050,00.

5) ¿Cuál será la pérdida que obtendría un comerciante, si vende su mercancía que le costó 14 580 nuevos soles, rebajada en 2,5%?

Resp.: 364,50.

6) ¿Cuántos estudiantes dejarán de estudiar en el presente ciclo si hay una reducción del 7,2% con relación a la última matrícula de 6 500 estudiantes?

Resp.:

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468.

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

1.1.2 Tasa individual agregada Muchas veces es necesario reunir el valor principal o cifra inicial con el incremento; en este caso, no es necesario sumar el resultado después de haber aplicado la tasa o efectuada la multiplicación. Cuando usted desee conocer el incremento más el valor principal en forma directa, sume uno a la tasa ya convertida en tanto por uno antes de realizar la multiplicación.

Ejercicios resueltos:

1) ¿A Cuánto debe ascender una inversión de 18 945 000 nuevos soles, si debe ser incrementada en 37,4%?

Solución: Tasa = 37,4 / 100 = 0,374 1 + 0,374 = 1,374.

Nueva inversión = 18 945 000 x 1,374 = 26 030 430 nuevos soles.

2) ¿A Cuánto debe ascender una inversión de 1 295 000 nuevos soles, si debe ser incrementada en 6,3%?

Solución: Tasa = 6,3 / 100 = 0,063 1 + 0,063 = 1,063.

Nueva inversión = 1 295 000 x 1,063 = 1 376 585 nuevos soles.

Resolver los siguientes ejercicios sobre tasa individual agregada: 1) ¿Cuánto recibirá un comerciante, si vende su mercancía que le costó 4 240 nuevos soles, ganando el 19,5%?

Resp.: 5 066,80.

2) ¿Cuánto le costará a un inquilino el arrendamiento de un inmueble por el que pagaba 1 500 nuevos soles, si se lo han incrementado en 15,2%?

Resp.: 1 728,00.

3) Un estudiante pagaba por sus estudios 3 230 nuevos soles por ciclo. ¿Cuál será el costo por ciclo, si se ha incrementado en 12,6%?

Resp.: 3 636,98.

4) ¿Cuánto se recibirá por la venta de un inmueble que costó 85 000 U.S. dólares, si en la venta se gana el 8,54%?

Resp.: 92 259,00.

5) ¿A Cuánto debe ascender una inversión de 17 500 nuevos soles, si debe ser incrementada en 26,3%?

Resp.: 22 102,50.

z2 7 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

6) ¿Cuál es el precio de venta de un mercancía que costó 2 250 nuevos soles, si se incrementa en 31,25% al costo?

Resp.: 2 953,13.

7) ¿A cuánto ascenderá el arrendamiento de un inmueble por el que se pagaba 1 100 nuevos soles, si éste se ha incrementado en 16,8%?

Resp.: 1 284,80.

8) ¿Cuál será el costo por ciclo para un estudiante que pagaba por sus estudios 2 750 nuevos soles, si se ha incrementado en 8,5%?

Resp.: 2 983,75.

9) ¿Cuánto se recibirá por la venta de un inmueble que costó 135 000 nuevos soles, si en la venta se gana el 12%?

Resp.: 151 200,00.

1.1.3 Tasa Individual Reducida Otra veces es necesario deducir del valor principal una reducción; en este caso, no es necesario restar el resultado después de haber aplicado la tasa o efectuada la multiplicación. Cuando usted desee conocer el estado del valor principal después de la reducción en forma directa, reste la tasa en tanto por uno de uno antes de realizar la multiplicación.

Ejercicios resueltos:

1) ¿Cuál será la producción de una empresa, si la actual de 15 000 unidades mensuales se debe reducir en 17,6%?

Solución: Tasa = 17,6 / 100 = 0,176 1 – 0,176 = 0,824.

Nueva producción = 15 000 x 0,824 = 12 360 unidades.

2) ¿Cuántos trabajadores quedarán en una empresa, si actualmente cuenta con 6 000 trabajadores, reducir en 7,5%?

Solución: Tasa = 7,5 / 100 = 0,075 1 – 0,075 = 0,925.

Quedarán = 6 000 x 0,925 = 5 550 trabajadores.

Resolver los siguientes ejercicios sobre tasa individual reducida:

1) ¿Cuánto recibirá un comerciante, si vende su mercancía que le costó 14 580 nuevos soles, rebajada en 2,5%?

Resp.: 14 215,50.

z2 8 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

2) ¿Cuánto se pagará por la compra de un artículo personal cuyo precio es 4 840 nuevos soles, rebajado en 15%?

Resp.: 4 114,00.

3) ¿Cuánto recibirá un comerciante, si vende su mercancía que le costó 1 260 nuevos soles, rebajada en 23,2%?

Resp.: 967,68.

4) ¿Cuánto se pagará por la compra de un televisor LCD cuyo precio es 3 040 nuevos soles, rebajado en 10,5%?

Resp.: 2 720,80.

5) ¿Cuánto se pagará por una oferta comercial que rebaja el 8% del precio de 1580 nuevos soles?

Resp.: 1 453,60.

z2 9 z

L e c c i ó n

2

1.2 Tasas consecutivas Son aquellas tasas que atendiendo a una estructura o escala, se aplican de manera variable. Las tasas consecutivas pueden aumentar o disminuir a medida que se incrementan las escalas, por consiguiente llamaremos tasas incrementales a las que aumentan y tasas reductivas a las que disminuyen en la medida que se incrementan las escalas.

1.2.1 Tasas consecutivas incrementales Son aquellas tasas que aumentan a medida de que las escalas o estructuras aumentan. La característica de este tipo de tasas es que el valor que produce una tasa dentro de la estructura, se respeta; es decir que si una determinada cantidad pasa de una escala a otra, se calcula el máximo de la primera escala con su respectiva tasa, luego se resta la cantidad inicial menos el máximo de la primera escala y a la diferencia se le aplica la nueva escala; si la operación incluye varios niveles de la estructura, el proceso descrito con anterioridad se debe repetir hasta llegar al nivel requerido.

z3 1 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Ejercicios resueltos: 1) El costo por consumo de energía eléctrica es de 1,48 nuevos soles por kilo watt hora (kwh), a este costo unitario será incrementado según el consumo de acuerdo con la siguiente escala:

Estructura o escala Incremento porcentual -

De 0 kwh hasta 50 kwh De 51 kwh hasta 100 kwh De 101 kwh hasta 200 kwh De 201 kwh hasta 300 kwh Más de 300 kwh

Hallar el a) 36 b) 76 c) 122 d) 266 e) 368 f) 100

0% 5% 10% 18% 25%

costo de los siguientes consumos de energía eléctrica: kwh, kwh, kwh, kwh, kwh y kwh.

Solución: Primero se corrigen las tasas en tanto por ciento convirtiéndolas en tanto por uno y como se tratan de incrementos, se le suma 1 a cada tasa, quedando la escala de la siguiente manera: Estructura o escala -

Incremento proporcional

De 0 kwh hasta 50 kwh De 51 kwh hasta 100 kwh De 101 kwh hasta 200 kwh De 201 kwh hasta 300 kwh más de 300 kwh

1,00 1,05 1,10 1,18 1,25

Luego se calculan los nuevos consumos máximos tomando el valor hasta de cada escala.

Estructura o escala

Costo máximo por escala incluyendo la anterior

z3 2 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Finalmente se procede a realizar los cálculos individuales; restando a los kwh consumidos el máximo kwh de la escala anterior, para luego sumarle el costo máximo de la escala anterior, de la siguiente manera:

2) El costo por consumo de agua es de 2,76 nuevos soles por metro cúbico (m3), este costo será incrementado según el consumo de acuerdo con la siguiente escala: Estructura o escala

Incremento porcentual

Hallar el costo de los siguientes consumos de agua: a) b) c) d) e) f) g)

16 22 45 76 53 89 60

m3, m3, m3, m3, m3, m3 y m3.

Solución: Primero se corrigen las tasas en tanto por ciento convirtiéndolas en tanto por uno y como se tratan de incrementos, se le suma 1 a cada tasa, quedando la escala de la siguiente manera: Estructura o escala

Incremento proporcional

Luego se calculan los nuevos consumos máximos con el valor hasta, de cada escala. z3 3 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Estructura o escala

Costo máximo por escala incluyendo la anterior

Finalmente se procede a realizar los cálculos individuales; restando a los m3 consumidos el máximo m3 de la escala anterior, para luego sumarle el costo máximo de la escala anterior, de la siguiente manera:

Resolver los siguientes ejercicios sobre tasas consecutivas incrementales: 1) El costo por consumo de gas es de 1,26 nuevos soles por litro, este costo unitario será incrementado según el consumo de acuerdo con la siguiente escala:

Estructura o escala

Incremento porcentual

Hallar el costo de los siguientes consumos de gas: a) 82 lt. b) 176 lt c) 272 lt. d) 426 lt. e) 836 lt. f) 205 lt.

z3 4 z

Resp.: 103,32 Resp.: 225,59 Resp.: 358,65 Resp.: 579,25 Resp.: 1 248,16 Resp.: 264,10

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

2) El impuesto a la renta por categorías de ingreso anual obedece a la siguiente escala:

Estructura o escala impuesto porcentual

Hallar el impuesto de los siguientes ingresos familiares: a) 6 820 nuevos soles. b) 15 760 nuevos soles. c) 25 200 nuevos soles. d) 43 260 nuevos soles.

e) 80 340 nuevos soles.

Resp.: 0,00.

Resp.: 736,00.

Resp.: 1 680,00.

Resp.: 4 772,00.

Resp.: 16 649,00.

1.2.2 Tasas consecutivas decrecientes o reductivas Son aquellas tasas que disminuyen a medida de que las escalas o estructuras aumentan. Las características de este tipo de tasas son dos: La primera es que el valor que produce una tasa dentro de una estructura inferior, puede generar mayor incremento en la escala siguiente por tener menor tasa, por ello se hace necesario corregir las tasas siguientes de manera que este problema no se produzca en la otra escala La segunda que el valor que produce una tasa ya corregida dentro de la estructura, se respeta; es decir que si una determinada cantidad pasa de una escala a otra, se calcula el máximo de la primera escala con su respectiva tasa corregida, luego se resta la cantidad inicial menos el máximo de la primera escala y a la diferencia se le aplica la nueva escala; si la operación incluye varios niveles de la estructura, el proceso descrito con anterioridad se debe repetir hasta llegar al nivel requerido.

Ejercicios resueltos: 1) La estructura de sueldos actuales de una empresa y el incremento para las nuevas remuneraciones, se dan a continuación: Estructura o escala -

De De De De De

1 2 3 5

800 200 200 500 000

hasta hasta hasta hasta hasta

Incremento porcentual

1 200 nuevos soles 2 200 nuevos soles 3 500 nuevos soles 5 000 nuevos soles 8 000 nuevos soles

z3 5 z

15% 10% 7% 5% 4%

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Hallar los nuevos sueldos de los trabajadores cuyos sueldos actuales son: a) 985 nuevos soles, b) 1 648 nuevos soles, c) 3 200 nuevos soles, d) 2 500 nuevos soles, e) 4 809 nuevos soles, y f) 7 416 nuevos soles.

Solución: Primero se corrigen las tasas en tanto por ciento convirtiéndolas en tanto por uno y como se tratan de incrementos, se le suma 1 a cada tasa, quedando la escala de la siguiente manera: Estructura o escala -

De De De De De

1 2 3 5

800 200 200 500 000

hasta hasta hasta hasta hasta

Incremento proporcional

1 200 nuevos soles 2 200 nuevos soles 3 500 nuevos soles 5 000 nuevos soles 8 000 nuevos soles

Luego se calculan los nuevos sueldos máximos tomando el valor hasta de cada escala.

Estructura o escala -

De De De De De

1 2 3 5

800 200 200 500 000

hasta hasta hasta hasta hasta

Nuevos sueldos máximos

1 200 nuevos soles 2 200 nuevos soles 3 500 nuevos soles 5 000 nuevos soles 8 000 nuevos soles

1 200 2 200 3 500 5 000 8 000

x x x x x

1,15 1,10 1,07 1,05 1,04

= = = = =

1 380 2 420 3 745 5 250 8 320

A continuación se calculan las nuevas tasas o tasas corregidas con el objeto de evitar que el sueldo de un trabajador de una escala inferior supere al sueldo de un trabajador de una escala superior, tomando la diferencia entre los máximos sueldos propuestos con los actuales de cada escala, de la siguiente manera.

Estructura o escala

1,15 1,10 1,07 1,05 1,04

Nuevas tasas o tasas corregidas

Finalmente se procede a realizar los cálculos individuales; restando a los sueldos actuales el sueldo actual máximo de la escala anterior, para luego sumarle el nuevo sueldo máximo de la escala anterior, de la siguiente manera:

z3 6 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

a) b) c) d) e) f)

(985 – (1 648 (3 200 (2 500 (4 809 (7 416

0) (1,15) + 0 = 1 132,75 nuevos soles, – 1 200) (1,04) + 1 380 = 1 845,92 nuevos soles, – 2 200) (1,01923) + 2 420 = 3 439,23 nuevos soles, – 2 200) (1,01923) + 2 420 = 2 725,77 nuevos soles, – 3 500) (1,00333) + 3 745 = 5 058,36 nuevos soles y – 5 000) (1,02333) + 5 250 = 7 722,37 nuevos soles.

2) La estructura salarial actual de una empresa y el incremento para los nuevos jornales diarios, se dan a continuación: Estructura o escala

De 20 De 30 De 50 De 80 De 150

Incremento porcentual

hasta 30 nuevos soles hasta 50 nuevos soles hasta 80 nuevos soles hasta 150 nuevos soles hasta 300 nuevos soles

20% 15% 10% 6% 3%

Hallar los nuevos jornales de los obreros cuyos salarios diarios actuales son: a) 25 nuevos soles, b) 48 nuevos soles, c) 72 nuevos soles, d) 105 nuevos soles y e) 182 nuevos soles.

Solución: Primero se convierten las tasas que están en porcentaje a tanto por uno, luego se suma uno a cada tasa porque son de incremento, quedando la escala de la siguiente manera: Estructura o escala

Incremento proporcional

Luego se calculan los nuevos jornales máximos tomando el valor hasta de cada escala.

Estructura o escala

Nuevos sueldos máximos

z3 7 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

A continuación se calculan las nuevas tasas o tasas corregidas con el objeto de evitar que el salario de un trabajador de una escala inferior supere al salario de un trabajador de una escala superior, tomando la diferencia entre los máximos salarios propuestos con los actuales de cada escala, de la siguiente manera.

Estructura o escala

Nuevas tasas o tasas corregidas

Finalmente se procede a realizar los cálculos individuales; restando a los salarios actuales el salario actual máximo de la escala anterior, para luego sumarle el nuevo salario máximo de la escala anterior, de la siguiente manera:

Resolver los siguientes ejercicios sobre tasas consecutivas decrecientes:

1) La estructura de sueldos actuales de una empresa y el incremento para las nuevas remuneraciones, se dan a continuación: Estructura o escala

Incremento porcentual

Hallar los nuevos sueldos de los trabajadores cuyos sueldos actuales son: a) 790 nuevos soles, b) 1 480 nuevos soles, c) 3 000 nuevos soles, d) 5 080 nuevos soles, e) 6 160 nuevos soles. f) 610 nuevos soles, g) 1 080 nuevos soles, h) 2 350 nuevos soles, i) 1 120 nuevos soles, j) 3 850 nuevos soles,

z3 8 z

Resp.: Resp.: Resp.: Resp.: Resp.: Resp.: Resp.: Resp.: Resp.: Resp.:

948,00 1 728,00 3 333,33 5 474,24 6 580,80 732,00 1 288,00 2 661,66 1 332,00 4 209,80

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

2) La estructura salarial actual de una empresa y el incremento para los nuevos jornales diarios, se dan a continuación: Estructura o escala -

Incremento porcentual

De 30 hasta 50 nuevos soles De 50 hasta 70 nuevos soles De 70 hasta 100 nuevos soles De 100 hasta 150 nuevos soles De 150 hasta 300 nuevos soles

18,0% 14,0% 10,5% 7,0% 3,5%

Hallar los nuevos jornales de los obreros cuyos salarios diarios actuales son: a) 38nuevos soles, b) 62 nuevos soles, c) 95 nuevos soles, d) 120 nuevos soles, e) 200 nuevos soles, f) 56 nuevos soles, g) 89 nuevos soles, h) 105 nuevos soles, i) 42 nuevos soles, j) 240 nuevos soles, k) 312 nuevos soles, y l) 135 nuevos soles.

Resp.: Resp.: Resp.: Resp.: Resp.: Resp.: Resp.: Resp.: Resp.: Resp.: Resp.: Resp.:

44,84 71,48 105,38 130,50 210,50 65,24 99,24 115,50 49,56 250,50 322,50 145,50

Recuerde que para resolver los ejercicios sobre tasas reductivas, es necesario hacer las correcciones de las tasas dadas a partir de la segunda escala, para evitar que el sueldo o jornal de una escala superior tenga menor sueldo o jornal que un trabajador de una escala inferior.

1.2.3 Tasas sobre tasas Son aquellas tasas que se aplican a una misma cifra o cantidad y generalmente son utilizadas comercialmente para efectuar descuentos consecutivos a una misma mercancía.

Con este tipo de tasas, al final de la operación se puede determinar: a) ¿Cuál fue la tasa de venta y la tasa descontada? b) ¿Cuál fue el monto descontado y cuál fue el precio de venta?

Ejercicios resueltos: 1) Un artículo electrodoméstico que vale 3 000 nuevos soles fue vendido con el 12%, 16% y 5% de descuento. Con la información determine: a) ¿Cuál fue la tasa de venta y la de descuento? b) ¿Cuál fue el precio de venta y el monto descontado? z3 9 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Solución: a) Tasa de venta = (1 – 0,12)(1 – 0,16)(1 – 0,05) = 0,88 (0,84) (0,95) = 0,70224 0,70224 (100) = 70,22%.

Tasa de descuento = 1 – 0,70224 = 0,29776 (100) = 29,78%. b) Precio de venta = 3 000 (0,70224) = 2 106,72 nuevos soles Monto descontado = 3 000 (0,29776) = 893,28 nuevos soles.

2) Un artículo electrodoméstico que vale 4 800 nuevos soles fue vendido con el 10%, 25% y 8% de descuento. Con la información determine: a) ¿Cuál fue la tasa de venta y la de descuento? b) ¿Cuál fue el precio de venta y el monto descontado?

Solución: a) Tasa de venta = (1 – 0,10)(1 – 0,25)(1 – 0,08) = 0,90 (0,75) (0,92) = 0,621 0,621 (100) = 62,10%.

Tasa de descuento = 1 – 0,621 = 0,379 (100) = 37,90%. b) Precio de venta = 4 800 (0,621) = 2 980,80 nuevos soles Monto descontado = 4 800 (0,379) = 1 819,20 nuevos soles.

Resolver los siguientes ejercicios relacionados con tasas sobre tasas: 1) Un artículo electrodoméstico que vale 1 250 nuevos soles fue vendido con el 10%, 7% y 2% de descuento. Con la información determine: a) ¿Cuál fue la tasa de venta? b) ¿Cuál fue la tasa de descuento? c) ¿Cuál fue el precio de venta? d) ¿Cuánto fue lo descontado?

Resp.: Resp.: Resp.: Resp.:

0,82026 0,17974 1 025,32 224,68

2) Una canasta familiar de oferta en un supermercado que vale 250 nuevos soles, es descontada con el 20% más 20% de descuento. Con la información determine: a) ¿Cuál fue la tasa de venta? b) ¿Cuál fue la tasa de descuento? c) ¿Cuál fue el precio de venta? d) ¿Cuánto fue lo descontado?

Resp.: Resp.: Resp.: Resp.:

0,64 0,36 160 90

3) Una lavadora automática que vale 1 050 nuevos soles fue vendida con el 10% más 15% de descuento. Con la información determine: a) ¿Cuál fue la tasa de venta? b) ¿Cuál fue la tasa de descuento? c) ¿Cuál fue el precio de venta? d) ¿Cuánto fue lo descontado?

z4 0 z

Resp.: Resp.: Resp.: Resp.:

0,765 0,235 803,25 246,75

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

4) Una canasta navideña de oferta en un supermercado que vale 300 nuevos soles, es descontada con el 10% más 10% y más 10% de descuento. Con la información determine: a) ¿Cuál fue la tasa de venta?

Resp.: b) ¿Cuál fue la tasa de descuento?

Resp.: c) ¿Cuál fue el precio de venta? Resp.: d) ¿Cuánto fue lo descontado?

Resp.:

z4 1 z

0,729 0,271 218,70 81,30

L e c c i ó n

3

1.3 Otros elementos relacionados con las tasas Las tasas mayormente son aplicadas como ya se ha dicho, tanto en las operaciones financieras como en las comerciales a un valor principal; sin embargo, en algunas ocasiones, es posible que nos falte información y que esté relacionada ésta con alguna que ya se conoce, en esos caso un proceso interpolatorio nos puede ayudar.

En otras ocasiones las operaciones se pueden concretar con una determinada tasa en una fecha y tener una duración que finaliza en otra fecha, esto nos crea la necesidad de buscar un método apropiado para determinar la cantidad de días utilizado en la operación. En este acápite, el estudiante conocerá los métodos para interpolar y también para calcular los días conociendo las fechas.

1.3.1 Interpolación Son procedimientos matemáticos por el cual dentro de un margen de datos relacionados en parejas, se puede encontrar la pareja de otro dato intermedio. Este procedimiento no es nuevo porque se aplica en forma similar a las razones y proporciones matemáticas. En el presente manual, se utilizará la interpolación para estimar tasas, pero el proceso de interpolación no es exclusivo de este tipo de datos, puede ser utilizado con cualquier otro tipo de datos.

z4 3 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Ejercicios resueltos: 1) En una tabla de factores, al factor 23,5234 le corresponde una tasa del 18% y al factor 20,1597 le corresponde una tasa del 19%. Determine ¿a qué tasa le corresponde 22 como factor?

Solución: Lo primero que se realiza en todo proceso de interpolación, es ordenar la información que se tiene, de la siguiente manera: Factor 23,5234 22,0000 20,1597

Luego se establecen las diferencias de extremos (primero menos el último) y las diferencias con el valor del medio, para colocarlos de la siguiente manera: 23,5234 – 20,1597 = 3,3637 23,5234 – 22,0000 = 1,5234

Tasa 18% X% 19%

(1) (3)

18% – 19% = –1% 18% – X% = X’%

Con la información obtenida de las diferencias, se forma una regla de tres simples comparando (1) con (2) y (3) con (4), de la siguiente manera: Factor 3,3637 1,5234

(2) (4)

Tasa –1% X’%

De donde: X’% = 1,5234 (–1) / 3,3637 = – 0,4529% Reemplazando X’% (– 0,4529) en la ecuación (4), se determina la tasa buscada “X%”.

18% – X% = X’% 18% – X% = – 0,4529% X% = 18% + 0,4529% = 18,4529%

2) En una tabla de factores, al factor 5,2034 le corresponde una tasa del 24% y al factor 6,1976 le corresponde una tasa del 26%. Determine ¿a qué factor le corresponde la tasa 25,35%?

Solución: Lo primero que se realiza en todo proceso de interpolación, es ordenar la información que se tiene, de la siguiente manera: Factor 5,2034 X 6,1976

Tasa 24,00% 25,35% 26,00% z4 4 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Luego se establecen las diferencias de extremos (primero menos el último) y las diferencias con el valor del medio, para colocarlos de la siguiente manera: 5,2034 – 6,1976 = – 0,9942 (1) 5,2034 – X = X’ (3)

24,00% – 26,00% 24,00% – 25,35%

= –2,00% = – 1,35%

(2) (4)

Con la información obtenida de las diferencias, se forma una regla de tres simples comparando (1) con (2) y (3) con (4), de la siguiente manera: Factor – 0,9942 X’

De donde:

Reemplazando X’ “X”.

5,2034 – X 5,2034 – X X = 5,2034

Tasa – 2,00% – 1,35%

X’ = – 0,9942 (– 1,35) / – 2,00 = – 0,6711 (– 0,6711) en la ecuación (3), se determina el factor buscado = X’ = – 0,6711 + 0,6711 = 5,8745

Resolver los siguientes ejercicios sobre interpolación: 1) En una tabla de factores, al factor 13,2534 le corresponde una tasa del 8% y al factor 10,1975 le corresponde una tasa del 9%. ¿A qué tasa le corresponde 12 2042 como factor?

Resp.: 8,34% 2) En una tabla de factores, al factor 1,2308 le corresponde una tasa del 35% y al factor 1,9375 le corresponde una tasa del 40%. Determine ¿a qué factor le corresponde la tasa 38%?

Resp.: 1,6548 3) En una tabla de factores, al factor 5,2752 le corresponde una tasa del 24% y al factor 6,1112 le corresponde una tasa del 20%. ¿A qué tasa le corresponde 5 1246 como factor?

Resp.: 23,28% 4) En una tabla de factores, al factor 21,2708 le corresponde una tasa del 22% y al factor 20,5371 le corresponde una tasa del 21%. Determine ¿a qué factor le corresponde la tasa 21,75%?

Resp.: 21,0874 5) En una tabla de factores, al factor 3,7592 le corresponde una tasa del 12% y al factor 4,0012 le corresponde una tasa del 14%. ¿A qué tasa le corresponde 3 9246 como factor?

Resp.: 13,37% z4 5 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

6) En una tabla de factores, al factor 1,7708 le corresponde una tasa del 5% y al factor 2,6375 le corresponde una tasa del 6%. Determine ¿a qué factor le corresponde la tasa 5,58%?

Resp.: 2,2735 7) En una tabla de factores, al factor 3,5234 le corresponde una tasa del 10% y al factor 3,1926 le corresponde una tasa del 12%. ¿A qué tasa le corresponde 3 2746 como factor?

Resp.: 11,50% 8) En una tabla de factores, al factor 2,5618 le corresponde una tasa del 16% y al factor 2,0531 le corresponde una tasa del 18%. Determine ¿a qué factor le corresponde la tasa 17,5%?

Resp.: 2,1803

1.3.2 Fechas Para calcular las fechas, es preciso utilizar la Tabla 1 (Número de Días) que se da en anexos. El procedimiento para utilizar los datos de la tabla es sencillo, sin embargo es necesario precisar las siguientes situaciones: a) Cuando dos fechas están dentro del mismo año: Días = el número de días de la fecha mayor – el número de días de la fecha menor b) Cuando dos fechas están entre dos años consecutivos: Días = 365 – el número de la fecha Inicial + el número de la fecha final c) Cuando dos fechas están entre dos años que no son consecutivos:

Días = núm. de años por (365) – el núm. de la fecha Inicial + el núm. de la fecha final Nota importante: En los casos de operaciones de descuentos, fecha inicial es la fecha de negociación del documento y la fecha final es la fecha de vencimiento del documento a negociar.

Ejercicios resueltos: 1) Hallar el número de días que hay entre el 25 de mayo y el 14 de septiembre del mismo año.

Solución: Se busca primero en la tabla los días transcurridos en las fechas dadas y como el ejemplo se refiere al caso a), luego se utiliza la fórmula para dicho caso:

14 de septiembre = 257 días; Días = 257 – 145 = 112 días.

25 de mayo = 145 días

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WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

2) Hallar el número de días que hay entre el 25 de mayo y el 14 de septiembre del año siguiente.

Solución: Como las fechas son las mismas que el caso anterior, ya no es necesario recurrir a la tabla, pero el ejemplo esta vez se refiere al caso b), por ello se utilizará la fórmula para dicho caso tomando el número de días del 25 de mayo como fecha inicial y el 14 de septiembre como fecha final: Días = 365 – 145 + 257 = 477 días.

3) Hallar el número de días que hay entre el 14 de septiembre y el 25 de mayo del año siguiente.

Solución: Como las fechas siguen siendo las mismas que el caso anterior, no se utilizará la tabla, pero al estar las fechas invertidas, se usará la misma fórmula considerando al 14 de septiembre como fecha inicial y al 25 de mayo como fecha final: Días = 365 – 257 + 145 = 253 días.

4) Hallar el número de días que hay entre el 21 de agosto y el 9 de marzo del tercer año siguiente.

Solución: Se busca primero en la tabla los días transcurridos en las fechas dadas y como el ejemplo se refiere al caso c), luego se utiliza la fórmula para dicho caso: 21 de agosto = 233 días; 9 de marzo = 68 días Días = 3 (365) – 233 + 68 = 930 días.

Recuerde usted que cuando se afirma que en una operación financiera han pasado el tercer año, se asume que al año de la fecha inicial le debe sumar 3 anos. Por ejemplo si la operación se inició en el 2010, la operación tiene que terminar en el 2013; no sume 3 años a la fecha inicial, por que entonces la fecha final sería otra.

Resolver los siguientes ejercicios sobre fechas: 1) Hallar el número de días que hay entre el 17 de marzo y el 24 de agosto del mismo año.

Resp.: 160 días.

2) Hallar el número de días que hay entre el 13 de junio y el 18 de julio al segundo año siguiente del año inicial.

Resp.: 765 días.

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M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

3) Hallar el número de días que hay entre el 2 de noviembre y el 29 de abril al tercer año siguiente del año inicial.

Resp.: 908 días.

4) 633 días a partir del 22 de enero corresponde al ……………….. del año siguiente.

Resp.: 17 de octubre.

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AUTOEVALUACIÓN Nº 1 1) ¿Cuál será la utilidad que obtendría un inversionista, si le ofrecen el 7,35% por invertir 32 000 nuevos soles?

A) B) C) D) E)

2 532 2 352 2 053 2 235 2 325

2) ¿Cuál será la pérdida que obtendría un comerciante, si vende su mercancía que le costó 8 530 nuevos soles, rebajada en 4,25%?

A) 326,35 B) 235,63 C) 253,62 D) 362,53 E) 332,56.

3) ¿A cuánto ascenderá el arrendamiento de un inmueble por el que se pagaba 3 400 nuevos soles, si este se ha incrementado en 10,4%?

A) B) C) D) E)

3 235,20 2 953,60 3 253,20 3 753,60 3 392,60

4) ¿Cuánto se pagará por una oferta comercial que rebaja el 4,2% del precio de 860 nuevos soles?

A) 823,88 B) 761,60 C) 854,25 D) 329,50 E) 882,58 5) El costo por consumo de gas es de 1,64 nuevos soles por litro, a este costo unitario será incrementado según el consumo de acuerdo con la siguiente escala. ¿Cuál es el costo por 350 lt de gas?

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M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Estructura o escala

-

De 0 lt.

De 101 lt.

De 201 lt. más de 400

Incremento porcentual

hasta 100 lt. hasta 200 lt. hasta 400 lt. lt.

0% 8% 15% 30%

A) 605,05 B) 635,03 C) 660,10 D) 652,30 E) 624,02 6) ¿Cuál es el costo por 135 lt. de gas, considerando los datos del ejercicio 5?

A) 225,99 B) 135,64 C) 260,33 D) 239,11 E) 214,56 7) La estructura salarial actual de una empresa y el incremento para los nuevos jornales diarios, se dan a continuación. ¿Cuál será el nuevo jornal de un obrero que ganaba 83 nuevos soles?

Estructura o escala -

De 30 De 50 De 70 De 100

Incremento porcentual

hasta 50 nuevos soles hasta 70 nuevos soles hasta 100 nuevos soles hasta 150 nuevos soles

18,0% 14,0% 10,5% 7,0%

A) 91,71 B) 93,10 C) 96,10 D) 92,33 E) 90,15 8) ¿Cuál será el nuevo jornal de un obrero que ganaba 128 nuevos soles, considerando los datos del ejercicio 7?

A) 129,15 B) 135,40 C) 138,50 D) 113,10 E) 114,50

z5 0 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

9) Un horno microondas que vale 340 nuevos soles fue vendido con el 10% más 5% de descuento. ¿Por cuánto se vendió?

A) 300,90 B) 235,60 C) 289,00 D) 299,10 E) 290,70 10) Un artículo que vale 810 nuevos soles fue vendido con el 8% más 9% más 2% de descuento. ¿Cuál fue el monto descontado?

A) 163,14 B) 145,43 C) 133,33 D) 153,90 E) 128,70 11) ¿Cuál fue la tasa de descuento de un artículo par el hogar descontado en 15% más 18% de descuento?

A) 33,00% B) 32,60% C) 30,30% D) 29,91% E) 31,73% 12) En una tabla de factores, al factor 1,8257 le corresponde una tasa del 5% y al factor 1,9775 le corresponde una tasa del 6%. Determine ¿a qué factor le corresponde la tasa 5,45%?

A) 1,8940 B) 1,9014 C) 1,8888 D) 1,8549 E) 1,9084 13) En una tabla de factores, al factor 0,7582 le corresponde una tasa del 9% y al factor 0,6112 le corresponde una tasa del 10%. ¿A qué tasa le corresponde 0,7012 como factor?

A) 9,28% B) 9,65% C) 9,39% D) 9,91% E) 9,73%

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M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

14) Hallar el número de días que hay entre el 23 de julio y el 4 de agosto del año siguiente.

A) 358 B) 377 C) 385 D) 391 E) 373 15) Una operación financiera comienza el 13 de septiembre y concluye después de 389 días. Hallar la fecha en que termina la operación habiendo pasado al año siguiente.

A) B) C) D) E)

30 de septiembre 26 de octubre 13 de octubre 25 de septiembre 7 de octubre

Respuestas de control 1. B, 2. D, 3. D, 4. A, 5. E, 6. A 7. B, 8. C, 9. E, 10. B, 11. C, 12. A, 13. C, 14. B, 15. E

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WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

EXPLORACIÓN ON LINE http://www.monografias.com/trabajos29/matematicas-financieras-intro/matematicas-financieras-intro.shtml http://www.matematicasfinancierascag.com/

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA De La Fuente Sánchez, Damián y otros

(2006) Valoración de operaciones financieras. Madrid, Cera.

Martínez, José Luis

(2004) Matemáticas financieras. México D. F., SUAFE-UNAM.

Motoyuki Yasakawa, Alberto

(2000) Matemáticas financieras, Córdova, Editora Despeignes.

Ayres, Frank

(1997) Matemáticas financieras. Bogotá, Serie Schaun, Mc Graw Hill.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA Achong, E.

(1985) Matemáticas financieras. Bogotá, Consejo de Publicaciones. Universidad de Los Andes, Mérida.

Álvarez, A.

(1995) Matemáticas financieras. Bogotá, Mc Graw Hill.

De la Cueva, B.

(1999) Matemáticas financieras. Bogotá, Porrúa S. A.

Díaz Mata, A.

(1998) Matemáticas financieras. Bogotá, Mc Graw Hill.

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s e g u n d a

UNIDAD Operaciones financieras de tipo simple

Sumario Operaciones de tipo simple: definición del interés simple y del descuento simple.

Fórmulas para el interés simple: cálculo del interés simple comercial, del interés simple exacto, cálculo de otras variables del interés simple.

Fórmulas para el descuento simple: cálculo del descuento simple comercial, del descuento simple racional, cálculo de otras variables del descuento simple.

Pagos parciales con interés simple: regla de saldos insolutos o de EE.UU., regla comercial o de la ecuación, consolidación de deudas.

Ahorros con interés simple

OBJETIVO(S) GENERAL: • Al término de esta unidad, el alumno ya puede utilizar las fórmulas para realizar operaciones de tipo simple, tanto de interés como de descuentos y además puede realizar operaciones combinadas para pagos parciales, así como para consolidar varias deudas en una sola. También está en condiciones de realizar las operaciones de ahorros de tipo simple.

ESPECÍFICOS: • Conocer qué es una operación de tipo simple y cómo funciona, tanto para lograr un interés o para realizar un descuento.

• Saber cómo se efectúan los cálculos correspondientes de interés simple, incluyendo todas sus variables además de los tipos de interés simple en el ambiente comercial y en el exacto.

• Conocer cómo se efectúan los cálculos correspondientes de descuento simple, incluyendo todas sus variables además de los tipos de descuentos simples en el ambiente comercial y el matemático.

• Saber utilizar distintos métodos de cálculo para determinar los saldos deudores, cuando se realizan pagos parciales y así determinar cuál es el más conveniente según los casos.

• Saber el manejo de ahorros a interés simple y cómo es su procesamiento. z5 6 z

L e c c i ó n

1

2.1 Operación de tipo simple Cuando una cantidad de dinero ganado o deducido en un periodo determinado, no forma parte del capital o principal para el siguiente periodo, se está haciendo referencia al Interés y al Descuento de tipo simple.

Por esta razón la característica principal de este tipo de operación financiera, es que la tasa utilizada en cada uno de los periodos de tiempo en que dura la operación, genera siempre el mismo interés o el mismo descuento; esto significa que la tasa efectiva o tasa resultante única para toda la operación, es igual a la tasa nominal o tasa inicial multiplicada por todos los periodos de tiempo en años que dura la operación.

2.1.1 Definición del interés simple Se llama así, cuando financieramente es invertida una cantidad de dinero o capital durante un periodo determinado, con una tasa definida antes del inicio de la operación para generar más dinero. El interés simple se caracteriza por que el dinero ganado, no forma parte del capital o principal para el siguiente periodo, por lo que el interés será siempre el mismo en cada uno los periodos que dure la operación.

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M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Ejercicio resuelto: 1) Hallar el interés y el monto de un capital de 1 000 nuevos soles sujeto a Interés Simple al 10% durante 5 años.

Solución: Para que el estudiante observe como se desarrolla el interés simple, se trabajará periodo tras periodo (año por año) previa conversión de la tasa en tanto por uno: Años

Capital

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

Interés

000 000 000 000 000

100 100 100 100 100

Interés total Respuestas:

Interés = 500

Monto 1 1 1 1 1

100 200 300 400 500

500

y Monto = 1 500.

Como el estudiante habrá observado, en todos los periodos de tiempo el capital es el mismo y el interés ganado es el mismo; por consiguiente si la tasa nominal del 10%, se multiplica por los 5 años que dura la operación, la tasa efectiva o resultante para toda la operación es 50% (10 x 5 = 50).

Ahora bien al multiplicar el capital (1 000) por la tasa efectiva del 50% en tanto por uno, se obtiene el interés total de la operación: 1 000 x 0,5 = 500.

Finalmente si se incrementa en uno a la tasa efectiva y se multiplica por el capital, se obtiene el monto; es decir, el capital más el interés: 1 000 x 1,5 = 1 500 Para facilitar el cálculo del interés simple, se identifican cada una de las variables que intervienen en este tipo de operación financiera de la siguiente manera: C = Capital

I = Interés

S = Monto

i = Tasa de interés

t = Tiempo

En líneas arriba se dijo que al multiplicar la tasa por el tiempo se obtenía la tasa efectiva y ésta al multiplicarla por el capital se obtenía el interés; entonces: I = Ct i

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WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Si a la tasa efectiva se le suma 1, para luego multiplicarlo por el capital, se obtenía el monto; por consiguiente S = (t i + 1) C; o también: S = C (1 + t i) También se dijo que el monto era igual al interés más el capital, o también que el interés es igual al monto menos el capital: I = S–C

2.1.2 Definición del descuento simple Se denomina así, cuando financieramente se descuenta una cantidad de dinero de un principal o valor nominal de algún documento negociable durante un periodo determinado, con una tasa definida antes del inicio de la operación. El descuento simple se caracteriza por que el dinero descontado, no forma parte del principal o valor nominal para el siguiente periodo, es decir que siempre se descontará la misma cantidad.

Ejercicio resuelto: 1) Hallar el descuento y lo pagado o efectivo recibido por una letra de 3 000 nuevos soles sujeta a Descuento Simple al 10% durante 5 años.

Solución: Para que el estudiante observe como se desarrolla el descuento simple, se trabajará periodo tras periodo (año por año) previa conversión de la tasa en tanto por uno, de la siguiente manera: Años 1 2 3 4 5

Valor Nominal 3 3 3 3 3

000 000 000 000 000

Descuento total Respuestas:

Descuento

Descuento = 1 500

300 300 300 300 300

Saldo o Efectivo 2 2 2 1 1

700 400 100 800 500

1 500 y Efectivo pagado = 1 500.

Como el estudiante habrá observado, en todos los periodos de tiempo el valor nominal de la letra es el mismo y el descuento es el mismo; por consiguiente si la tasa nominal del 10%, se multiplica por los 5 años que dura la operación, la tasa efectiva o resultante para toda la operación de descuento es 50% (10 x 5 = 50).

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M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Ahora bien al multiplicar el valor nominal (3 000) por la tasa efectiva del 50% en tanto por uno, se obtiene el descuento total de la operación: 3 000 x 0,5 = 1 500.

Finalmente si de uno se resta la tasa efectiva y se multiplica por el valor nominal, se obtiene el efectivo; es decir, el valor nominal menos el descuento: 3 000 x (1 – 0,5) = 1 500

Para facilitar el cálculo del descuento simple, se identifican cada una de las variables que intervienen en este tipo de operación financiera de la siguiente manera:

S = Valor Nominal Tiempo.

D = Descuento

C = Valor Actual

d = Tasa

t =

En líneas arriba se dijo que al multiplicar la tasa por el tiempo se obtenía la tasa efectiva y ésta al multiplicarla por el valor nominal se obtenía el descuento; entonces: D = Std

Si a la tasa efectiva se resta de 1, para luego multiplicarlo por el valor nominal, se obtenía el efectivo o valor actual; por consiguiente: C = S (1 – d t)

También se dijo que el valor actual era igual al valor nominal menos el descuento, por lo que se puede concluir que el descuento es el valor nominal menos el efectivo: D = S – C.

z6 0 z

L e c c i ó n

2

2.2 Fórmulas para el interés simple Las fórmulas para el cálculo del interés simple, se definieron anteriormente como: I = Cti S = C (1 + t i) I = S – C

(1) (2) (3)

Donde: C = Capital

I = Interés

S = Monto

i = Tasa de interés

t = Tiempo

Con estas fórmulas se puede calcular cualquier variable que interviene en el interés simple, con la única obligación es que la tasa (i) y cada periodo que genera interés (t), estén en la misma unidad de tiempo; es decir, que si la operación a interés se realiza cada mes, el tiempo y la tasa deben ser mensuales; si la operación a interés se realiza cada año, el tiempo y la tasa deben ser anuales, y así sucesivamente.

Si usted trabajara cualquier fórmula de interés simple en años, meses o en días, el resultado siempre será el mismo; por lo tanto en adelante, la operación de cálculo se realizará únicamente en años.

z6 1 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

2.2.1 Cálculo del interés simple comercial u ordinario Es aquel interés simple por el cual al convertir en años el tiempo que está en días, lo divide entre 360 días.

Ejercicios resueltos: 1) Hallar el interés simple de un capital de 7 600 nuevos soles al 14% durante 225 días.

Solución: Fórmula a utilizar:

I = ?

I = 7 600 (225 / 360) 0,14 = 665 nuevos soles Obsérvese que no se ha especificado ni el tipo de interés simple ni el tiempo de la tasa; en estos casos, siempre se asume que el interés es comercial u ordinario y la tasa es anual.

I

= Cti

C = 7 600

i = 0,14 anual

t = 225 días

2) Hallar el interés simple de un capital de 4 200 nuevos soles al 8% del 27 de febrero al 22 de octubre del año siguiente.

Solución: Fórmula a utilizar:

I

= Cti

Fechas:

27 de febrero = 58

22 de octubre = 295

I = ?

C = 4 200 i = 0,08 anual t = 365 – 58 + 295 = 602 días I = 4 200 (602 / 360) 0,08 = 561,87 nuevos soles

3) Hallar el interés simple de un capital de 5 800 nuevos soles al 9% del 7 de noviembre al 12 de marzo del segundo año siguiente (se refiere a 2 años más adelante con relación al año que se inicia la operación, no es con relación a la fecha que se inicia la operación).

Solución: Fórmula a utilizar:

Fechas:

I = ?

C = 5 800 i = 0,09 anual t = 2 (365) – 311 + 71 = 490 días I = 5 800 (490 / 360) 0,09 = 710,50 nuevos soles

I

= Cti

7 de noviembre = 311

z6 2 z

12 de marzo = 71

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

4) Hallar el interés simple de un capital de 1 850 nuevos soles al 15% durante 25 meses.

Solución: Fórmula a utilizar: I = Cti I = ?

C = 1 850 i = 0,15 anual t = 25 meses I = 1 850 (25 / 12) 0,15 = 578,13 nuevos soles.

Como el tiempo está en meses, solo se requiere dividir dicho tiempo entre 12 para convertirlo en años por que se entiende que la tasa es anual y en toda operación financiera, el tiempo y la tasa deben ser homogéneos con respecto al periodo de tiempo que en este caso es anual.

Resolver los siguientes ejercicios sobre interés simple comercial: 1) Hallar el interés simple que se puede alcanzar con un capital de 12 000 nuevos soles, invertido el 17 de marzo hasta el 24 de agosto del mismo año al 8%.

Resp.: 426,67.

2) Hallar el interés comercial que se puede alcanzar con un capital de 5 600 nuevos soles, invertido el 11 de agosto hasta el 15 de julio del año siguiente al 15%.

Resp.: 788,67.

3) Hallar el interés comercial simple que se puede alcanzar con un capital de 2 450 nuevos soles, invertido el 7 de febrero hasta el 10 de septiembre del segundo año siguiente al 6%.

Resp.: 385,88.

4) Hallar el interés simple ordinario que se puede alcanzar con un capital de 4 000 nuevos soles, invertido durante 18 meses al 12%.

Resp.: 720,00.

5) Hallar el interés simple comercial u ordinario que se puede alcanzar con un capital de 10 200 nuevos soles, invertido durante 2 años y 4 meses al 16%.

Resp.: 3 808,00.

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2.2.2 Cálculo del interés simple exacto Es aquel interés simple por el cual al convertir en años el tiempo que está en días, lo divide entre 365 días.

Ejercicios resueltos: 1) Hallar el interés simple exacto de un capital de 6 620 nuevos soles al 7% durante 225 días.

Solución: Fórmula a utilizar:

I = ?

C = 6 620 i = 0,07 anual t = 225 días I = 6 620 (225 / 365) 0,07 = 285,66 nuevos soles

I

= Cti

2) Hallar el interés simple exacto de un capital de 10 500 nuevos soles al 12% del 27 de febrero al 22 de octubre del año siguiente.

Solución: Fórmula a utilizar:

Fechas:

I = ?

C = 10 500 i = 0,12 anual t = 365 – 58 + 295 = 602 días I = 10 500 (602 / 365) 0,12 = 2 078,14 nuevos soles

I

= Cti

27 de febrero = 58

22 de octubre = 295

3) Hallar el interés simple exacto de un capital de 800 nuevos soles al 6% del 7 de noviembre al 12 de marzo del segundo año siguiente.

Solución: Fórmula a utilizar: I = Cti Fechas: 7 de noviembre = 311

I = ?

C = 800 i = 0,06 anual t = 2 (365) – 311 + 71 = 490 días I = 800 (490 / 365) 0,06 = 64,44 nuevos soles

12 de marzo = 71

Resolver los siguientes ejercicios sobre interés simple exacto: 1) Hallar el interés simple exacto que se puede alcanzar con un capital de 3 000 nuevos soles, invertido el 5 de marzo hasta el 3 de agosto del mismo año al 8%.

Resp.: 99,29.

2) Hallar el interés simple exacto que se puede alcanzar con un capital de 7 600 nuevos soles, invertido el 19 de agosto hasta el 10 de julio del año siguiente al 15%.

Resp.: 1 015,07. z6 4 z

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3) Hallar el interés simple exacto que se puede alcanzar con un capital de 5 450 nuevos soles, invertido el 27 de febrero hasta el 15 de septiembre del segundo año siguiente al 9%.

Resp.: 1 249,77.

4) Hallar el interés simple exacto que se puede alcanzar con un capital de 9 000 nuevos soles, invertido durante 835 días al 10%.

Resp.: 2 058,90.

5) Hallar el interés simple exacto que se puede alcanzar con un capital de 20 200 nuevos soles, invertido durante 940 días al 14%.

Resp.: 7 283,07.

El número de días que dura la operación se han dividido entre 365 en estos ejercicios.

2.2.3 Cálculo de las otras variables del interés simple Para calcular las otras variables del Interés Simple Comercial, no es necesario alterar ninguna de las fórmulas dadas, por que el estudiante se llenaría de fórmulas al tratar crear una nueva fórmula para cada variable a despejar; lo aconsejable en estos casos es que reemplace los datos conocidos en las fórmulas apropiadas, para luego realizar los cálculos correspondiente despejando la variable que busca.

Ejercicios resueltos 1) Hallar el monto de un capital de 1 250 nuevos soles al 9% sujeto a interés simple durante 212 días.

Solución: Fórmula a utilizar:

S = ?

C = 1 250 i = 0,09 anual t = 212 días S = 1 250 [1 + (212 / 360) 0,09] = 1 316,25 nuevos soles

S

= C (1 + t i)

2) Hallar el monto de un capital de 580 nuevos soles al 12% sujeto a interés simple del 27 de febrero al 22 de octubre del año siguiente.

Solución: Fórmula a utilizar: S = C (1 + t i) Fechas: 27 de febrero = 58 22 de octubre = 295

S = ?

C = 580 i = 0,12 anual t = 365 – 58 + 295 = 602 días S = 580 [1 + (602 / 360) 0,12] = 696,39 nuevos soles

3) ¿Cuál es el capital que al 6% de interés simple del 7 de noviembre al 12 de marzo del segundo año siguiente, produce un monto de 8 452,20 nuevos soles? z6 5 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Solución: Fórmula a utilizar: S = C (1 + t i) Fechas: 7 de noviembre = 311

12 de marzo = 71

C = ?

S = 8 452,20 i = 0,06 anual t = 2 (365) – 311 + 71 = 490 días 8 452,20 = C [1 + (490/ 360) 0,06] ; despejando C, todo el corchete pasa a dividir: C = 8 452,20 / [1 + (490/ 360) 0,06] = 7 814,05 nuevos soles

4) ¿Cuántos días serán necesarios para que un capital de 7 850 soles gane un interés de 763,20 al 9% de interés simple?

Solución: Fórmula a utilizar:

I

= Cti

t = ?

C = 7 850 i = 0,09 anual I = 763,20 763,20 = 7 850 (0,09 ) t; despejando t: t = 763,20 / 7 850 (0,09) = 1,080254777 años (el tiempo está en años por la tasa) Días = 1,080254777 (360) = 389 días.

5) ¿Cuál es la fecha de vencimiento de un capital de 3 105,00 nuevos soles que colocado el 6 de agosto del año actual produce un monto de 3 936,40 nuevos soles al 12% de interés simple?

Solución: Fórmulas a utilizar: I = S -C ; t = ?

I = ?

C = 3 105,00 I = 3 936,40 – 3 105,00 = 831,40

I = Cti S = 3 936,40

i = 0,12 anual

831,40 = 3 105 (0,12) t ; despejando t: t = 831,40 / 3 105 (0,12) = 2,231347289 años (el tiempo está en años por la tasa) Días = 2,231347289 (360) = 803 días.

Respuesta:

vence el 18 de octubre del segundo año siguiente.

6) Hallar la tasa mensual y la tasa anual de interés simple de un capital de 4 150 nuevos soles colocados en ahorros desde el 29 de diciembre hasta el 2 de octubre del año siguiente, produce un monto 4 453,20 nuevos soles.

z6 6 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Solución: Fórmulas a utilizar: I = S -C ; Fechas: 29 de diciembre = 363

i = ?

I = ?

C = 4 150 S = 4 453,20 t = 365 – 363 + 275 = 277 días I = 4 453,20 – 4 150 = 303,20 303,20 = 4 150 (277 / 360) i ; despejando i:

a) Tasa anual b) Tasa mensual

Observe que en el primer caso, los días han sido convertidos en años por ello la tasa final es anual; en el segundo caso, los días se han convertido en meses, por ello la respuesta es tasa mensual; también la tasa anual al dividirla entre 12, se obtiene la tasa mensual (0,095 / 12 = 0,0079).

I

= Cti 2 de octubre = 275

= 303,20 / 4 150 (277 / 360) = 0,095 tasa anual = 303,20 / 4 150 (277 / 30) = 0,0079 tasa mensual

Resolver los siguientes ejercicios sobre el cálculo de las otras variables del interés simple: 1) Hallar el monto a interés simple que se puede lograr con un capital de 3 200 nuevos soles, invertido el 5 de abril hasta el 3 de agosto del mismo año al 10%.

Resp.: 3 306,67.

2) Hallar el capital utilizado para obtener un monto de 5 250 nuevos soles, invertido el 25 de mayo hasta el 14 de junio del tercer año siguiente al 12% a interés simple.

Resp.: 3 827,46.

3) ¿En qué tiempo en días, un capital de 3 200 nuevos soles se convierte 4 000 nuevos soles, invertido al 15% a interés simple?

Resp.: 600 días.

4) ¿A qué tasa a interés simple, con un capital de 1280 nuevos soles se puede lograr un monto de 1 780 nuevos soles, del 5 de abril hasta el 3 de agosto del año siguiente?

Resp.: 28,99%.

5) ¿En qué fecha del año siguiente, un capital de 5 000 nuevos soles invertido el 16 de mayo, se convierte 5 800 nuevos soles, al 15% a interés simple?

Resp.: 4 de junio.

6) ¿En qué tiempo en días, un capital de 4 500 nuevos soles puede gana un interés de 450 nuevos soles, invertido al 15% a interés simple?

Resp.: 240 días.

7) ¿A qué tasa a interés simple, con un capital de 25 000 nuevos soles se puede lograr con un monto de 30 000 nuevos soles, invertido en 30 meses?

Resp.: 8,00%. z6 7 z

L e c c i ó n

3

2.3 Fórmulas para el descuento simple Las fórmulas que fueron definidas anteriormente, son las mismas que se utilizarán en esta lección para el cálculo del descuento simple, tales fórmulas son las siguientes:

D = Std C = S (1 – t d) D = S – C

(1) (2) (3)

Donde: S = Valor Nominal d = Tasa de Descuento

D = Descuento t = Tiempo

C = Efectivo o Valor Actual

Con estas fórmulas se puede calcular cualquier variable que interviene en el descuento simple, con la única obligación es que la tasa (d) y cada periodo que genera descuento (t), estén en la misma unidad de tiempo; porque este es un requisito en todas las fórmulas financieras.

Si usted trabajara cualquier fórmula de descuento simple en años, meses o en días, el resultado siempre es el mismo; por lo tanto en este manual, la operación se realizará únicamente en años como en el interés simple. z6 9 z

2.3.1 Cálculo del descuento simple comercial Es aquel descuento simple que utiliza la fórmula común de descuento y además para convertir en años el tiempo que está en días, lo divide entre 360 días.

Ejercicios resueltos: 1) Hallar el descuento simple de una letra de 2 700 nuevos soles descontados al 9% 154 días antes de su vencimiento.

Solución: Fórmula a utilizar:

D = ?

S = 2 700 d = 0,09 anual t = 154 días.

D = 2 700 (154 / 360) 0,09 = 103,95 nuevos soles.

D

= Std

2) Hallar el descuento simple de un pagaré de 900 nuevos soles, girada con vencimiento del 22 de abril y descontada al 15 % el 5 de noviembre del año anterior.

Solución: Fórmula a utilizar: D = Std Fechas: 5 de noviembre = 309

D = ?

S = 900 d = 0,15 anual t = 365 – 309 + 112 = 168 días.

D = 900 (168 / 360) 0,15 = 63,00 nuevos soles.

22 de abril = 112

3) Hallar el descuento simple de una letra de 9 300 nuevos soles, girada con vencimiento del 13 de diciembre y descontada al 11% el 17 de junio del mismo año.

Solución: Fórmula a utilizar: D = Std Fechas: 17 de junio = 168

D = ?

S = 9 300 d = 0,11 anual t = 347 – 168 = 179 días.

D = 9 300 (179 / 360) 0,11 = 508,66 nuevos soles.

13 de diciembre

= 347

4) Hallar el descuento simple de un pagaré de 1 500 nuevos soles, girada con vencimiento del 10 de septiembre y descontada al 8 % el 12 de febrero 2 años antes del vencimiento.

Solución: Fórmula a utilizar: D = Std Fechas: 12 de febrero = 43 10 de septiembre = 253 D = ?

S = 1 500 d = 0,08 anual t = 2 (365) – 43 + 253 = 940 días.

D = 1 500 (940 / 360) 0,08 = 313,33 nuevos soles.

z7 0 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Resolver los siguientes ejercicios sobre descuento simple comercial: 1) Hallar el descuento simple sobre una letra de 12 000 nuevos soles, descontada el 1 de abril con vencimiento del 2 de noviembre del mismo año al 8%.

Resp.: 573,33.

2) ¿Cuál es el descuento sobre un pagaré de 5 600 nuevos soles, descontado el 6 de agosto con vencimiento del 5 de junio del año siguiente al 15%?

Resp.: 707,00.

3) Hallar el descuento comercial simple que se puede alcanzar con un pagaré de 2 450 nuevos soles, descontado el 27 de febrero con vencimiento del 22 de septiembre del segundo año siguiente al 6%.

Resp.: 382,61.

4) Hallar el descuento comercial simple que se obtuvo de una letra de 4 000 nuevos soles, descontada 18 meses antes de su vencimiento al 12%.

Resp.: 720,00.

5) Hallar el descuento comercial simple de una letra de 10 200 nuevos soles, descotada faltando 2 años y 4 meses para su vencimiento al 16%.

Resp.: 3 808,00.

2.3.2 Cálculo del descuento simple racional o matemático Es aquel descuento simple que utiliza la fórmula común de descuento corregido o dividido por la siguiente expresión: (1 + t d).

DR = S t d / (1 + t d)

Ejercicios resueltos: 1) Hallar el descuento matemático de una letra de 2 200 nuevos soles descontados al 9% 160 días antes de su vencimiento.

Solución: Fórmula a utilizar:

D

= S t d / (1 + t d)

DR = ?

S = 2 200 d = 0,09 anual t = 160 días.

DR = [2 200 (160 / 360) 0,09] / [1 + (160 / 360) 0,09] = 84,62 nuevos soles.

2) Hallar el descuento racional de un pagaré de 1 500 nuevos soles, girada con vencimiento del 10 de septiembre y descontada al 8 % el 12 de febrero 2 años antes del vencimiento.

Solución: Fórmula a utilizar:

D

= S t d / (1 + t d) z7 1 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Fechas:

12 de febrero = 43

10 de septiembre

= 253

DR = ?

S = 1 500 d = 0,08 anual t = 2 (365) – 43 + 253 = 940 días.

DR = [1 500 (940 / 360) 0,08] / [1 + (940 / 360) 0,08] = 259,19 nuevos soles.

Resolver los siguientes ejercicios sobre descuento racional o matemático: 1) Hallar el descuento matemático sobre una letra de 12 000 nuevos soles, descontada el 1 de abril con vencimiento del 2 de noviembre del mismo año al 8%.

Resp.: 547,19.

2) ¿Cuál es el descuento racional sobre un pagaré de 5 600 nuevos soles, descontado el 6 de agosto con vencimiento del 5 de junio del año siguiente al 15%?

Resp.: 627,75.

3) Hallar el descuento racional que se puede alcanzar con un pagaré de 2 450 nuevos soles, descontado el 27 de febrero con vencimiento del 22 de septiembre del segundo año siguiente al 6%.

Resp.: 330,93.

4) Hallar el descuento matemático que se obtuvo de una letra de 4 000 nuevos soles, descontada 18 meses antes de su vencimiento al 12%.

Resp.: 610,17.

5) Hallar el descuento matemático simple de una letra de 10 200 nuevos soles, descotada faltando 2 años y 4 meses para su vencimiento al 16%.

Resp.: 2 772,82.

2.3.3 Cálculo de las otras variables del descuento simple Para calcular las otras variables del Descuento Simple Comercial, no es necesario alterar ninguna de las fórmulas dadas, por que el estudiante se llenaría de fórmulas al tratar crear una nueva fórmula para cada variable a despejar; lo aconsejable en estos casos es que el estudiante reemplace los datos conocidos en las fórmulas comunes, resolver las variables conocidas y luego despejar la variable que busca.

Ejercicios resueltos: 1) Hallar el efectivo o valor actual de una letra de 1 950 nuevos soles que fue descontada en 15% descuento simple durante 186 días.

Solución: Fórmula a utilizar: C = S (1 – d t) C = ?

S = 1 950 d = 0,15 anual t = 186 días C = 1 950 [1 – (186 / 360) 0,15] = 1 798,88 nuevos soles

z7 2 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

2) ¿Cuál es al valor nominal de un pagaré que descontado en 8% de descuento simple, del 27 de febrero al 22 de octubre del año siguiente, se paga un efectivo de 12 456,28 nuevos soles?

Solución: Fórmula a utilizar: C = S (1 – t d) Fechas: 27 de febrero = 58

S = ?

C = 12 456,28 d = 0,08 anual t = 365 – 58 + 295 = 602 días 12 456,28 = S [1 – (602 / 360) 0,08] ; despejando S: S = 12 456,28 / [1 – (602 / 360) 0,08] = 14 380,00 nuevos soles

22 de octubre = 295

3) ¿Cuál es el valor nominal de un pagaré que descontado al 6% de descuento simple del 7 de noviembre al 12 de marzo del segundo año siguiente, se paga un efectivo de 8 452,20 nuevos soles?

Solución: Fórmula a utilizar: C = S (1 – t d) Fechas: 7 de noviembre = 311

12 de marzo = 71

S = ?

C = 8 452,20 d = 0,06 anual t = 2 (365) – 311 + 71 = 490 días 8 452,20 = S / [1 – (490/ 360) 0,06] ; despejando S, todo el corchete pasa a dividir: S = 8 452,20 / [1 – (490/ 360) 0,06] = 9 203,85 nuevos soles

4) ¿Cuántos días serán necesarios para que una letra de 7 850 soles genere un descuento de 763,20, si la tasa de descuento simple fue 9%?

Solución: Fórmula a utilizar: D = Sdt t = ?

S = 7 850 d = 0,09 anual

D = 763,20

763,20 = 7 850 (0,09 ) t ; despejando t: t = 763,20 / 7 850 (0,09) = 1,080254777 años (el tiempo está en años por la tasa) Días = 1,080254777 (360) = 389 días.

5) ¿Cuál es la fecha de vencimiento de un pagaré de 3 936,40 nuevos soles que descontado el 6 de agosto del año actual produce un efectivo de 3 105,00 nuevos soles al 12% de descuento simple?

Solución: Fórmulas a utilizar: D = S -C ; t = ?

D = ?

C = 3 105,00 D = 3 936,40 – 3 105,00 = 831,40

z7 3 z

D = Sdt S = 3 936,40

d = 0,12 anual

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

831,40 = 3 936,40 (0,12) t ; despejando t: t = 831,40 / 3 936,40 (0,12) = 1,760068421 años (el tiempo está en años por la tasa) Días = 1,760068421 (360) = 634 días.

Respuesta:

vence el 2 de mayo del segundo año siguiente

Para convertir años a días o viceversa siempre el estudiante utilizará 360 días, solo tomará en cuenta 365 para hallar el número de días entre dos fechas que pasan al año siguiente o años siguientes.

6) Hallar la tasa mensual y la tasa anual de descuento simple de una letra de 4 453,20 nuevos soles que descontada el 29 de diciembre con vencimiento el 2 de octubre del año siguiente, produce un efectivo de 4 150 nuevos soles.

Solución: Fórmulas a utilizar: D = S -C ; Fechas: 29 de diciembre = 363

D

= Sdt 2 de octubre = 275

d = ?

D = ?

C = 4 150 S = 4 453,20 t = 365 – 363 + 275 = 277 días D = 4 453,20 – 4 150 = 303,20 303,20 = 4 453,20 (277 / 360) d ; despejando d:

a) Tasa anual b) Tasa mensual

Si se divide la tasa anual obtenida en a) entre 12, se obtiene también la tasa mensual.

= 303,20 / 4 453,20(277 / 360) = 0,0885 tasa anual = 303,20 / 4 453,20 (277 / 30) = 0,0074 tasa mensual

Resolver los siguientes ejercicios sobre el cálculo de las otras variables del descuento simple: 1) ¿Cuál es el valor nominal de una letra que al 9% de descuento simple descontada el 17 de agosto con vencimiento del 23 de diciembre del mismo año, produjo un descuento de 125,50 nuevos soles?

Resp.: 3 921,88.

2) ¿Cuál es el valor nominal de una letra que al 14% de descuento simple produce un efectivo de 4 529,73 nuevos soles, descontados el 13 de mayo con vencimiento del 9 de marzo del año siguiente?

Resp.: 5 128,00

z7 4 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

3) ¿A qué tasa de descuento simple, una letra se reduce en 20% descontada faltando 16 meses para su vencimiento?

Resp.: 15,00%.

4) ¿Cuál es el valor nominal de un pagaré que al 6% de descuento simple descontado el 4 de julio con vencimiento del 12 de septiembre del año siguiente, produjo un descuento de 183,25 nuevos soles?

Resp.: 2 527,59 5) ¿En cuántos días el valor actual de un pagaré de 5 000 nuevos soles que fue descontado en 642,50 nuevos soles, al 9%?

Resp.: 514 días 6) ¿A qué tasa de descuento simple, una letra de 8 000 nuevos soles se reduce en 250 nuevos soles, descontada faltando 225 días para su vencimiento?

Resp.: 5,00%.

7) ¿Cuál era la fecha de vencimiento al año siguiente de un pagaré de 3 500 nuevos soles que fue descontado el 16 octubre al 12%, y se recibió un efectivo de 3 276 nuevos soles?

Resp.: 26 de abril.

z7 5 z

L e c c i ó n

4

2.4 Pagos parciales con interés simple Generalmente cuando se adquieren deudas a interés simple, es muy común que en los contratos se incluyan pagos parciales, a fin de cancelar parte de lo adeudado y reducir la deuda misma.

En cuanto al tiempo, los pagos parciales se pueden realizar sin ninguna restricción o condición, ya que las aportaciones pueden efectuarse en el momento que el cliente lo desee y en cuanto al aporte, puede ser variado según el efectivo que disponga.

Existen algunos procedimientos que las entidades crediticias o financieras utilizan en los casos de pagos parciales y en los casos de consolidación o unificación de deudas, tales procedimientos son:

2.4.1 Regla de saldos insolutos o de Estados Unidos Esta regla consiste en que al deudor se le calculan los intereses adeudado hasta el momento de acercarse a cancelar parte de la deuda; después de haber reunido la deuda más los intereses, se resta el aporte siendo el saldo su nueva deuda a partir de ese instante; esta operación se repite en cada una de las aportaciones o pagos, hasta su cancelación utilizando el interés simple.

z7 7 z

Ejercicios resueltos: 1) El 30 de abril se consigue un préstamo de 3 560 nuevos soles al 9% a interés simple hasta el 11 de octubre del año siguiente. El 14 de septiembre del año inicial, se paga 1 700 nuevos soles y el 5 de enero siguiente se abona 1 200 nuevos soles. ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla de saldos insolutos?

Solución: Fórmula a utilizar: S = C (1 + t i) Fechas: 30 de abril = 120 14 de septiembre = 257 5 de enero = 5 C = 3 560 S = ? i = 0,09 anual

Saldo al primer pago: t = 257 – 120 = 137 días S = 3 560 [1 + (137 / 360) 0,09] = 3 681,93 – 1 700 = 1 981,93

Saldo al segundo pago: t = 365 – 257 + 5 = 113 días S = 1 981,93 [1 + (113 / 360) 0,09] = 2 037,92 – 1 200 = 837,92

Saldo final: t = 284 – 5 = 279 días S = 837,92 [1 + (279 / 360) 0,09] = 896,36 nuevos soles

11 de octubre = 284

2) El 17 de junio se consigue un préstamo de 5 000 nuevos soles al 8% a interés simple hasta el 17 de noviembre del año siguiente. El 10 de octubre del año inicial, se paga 2 000 nuevos soles y el 15 de marzo siguiente se abona 1 500 nuevos soles. ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla de Estados Unidos?

Solución: Fórmula a utilizar: S = C (1 + t i) Fechas: 17 de junio = 168 10 de octubre = 283

C = 5 000

Saldo al primer pago: t = 283 – 168 = 115 días S = 5 000 [1 + (115 / 360) 0,08] = 5 127,78 – 2 000 = 3 127,78

S = ?

15 de marzo = 74

17 de noviembre = 321

i = 0,08 anual

z7 8 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Saldo al segundo pago: t = 365 – 283 + 74 = 156 días S = 3 127,78 [1 + (156 / 360) 0,08] = 3 236,21 – 1 500 = 1 736,21

Saldo final: t = 321 – 74 = 247 días S = 1 736,21 [1 + (247 / 360) 0,08] = 1 831,51 nuevos soles

Resolver los siguientes ejercicios sobre la regla de saldos insolutos o de EE. UU con interés simple.

1) El 11 de abril se consigue un préstamo de 5 600 nuevos soles al 12% a interés simple hasta el 30 de octubre del año siguiente. El 10 de julio del año inicial, se paga 1900 nuevos soles y el 25 de febrero siguiente se abona 1 800 nuevos soles. ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla de saldos insolutos?

Resp.: 2 559,23 2) El 19 de enero se consigue un préstamo de 2 000 nuevos soles al 8% a interés simple hasta el 7 de agosto del mismo año. El 19 de abril, se paga 1 000 nuevos soles ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla de Estados Unidos?

Resp.: 1 065,42 3) El 22 de noviembre se consigue un préstamo de 2 800 nuevos soles al 10% a interés simple hasta el 27 de diciembre del año siguiente. El 10 de junio del año siguiente del préstamo se paga 900 nuevos soles y el 8 de septiembre se abona 800 nuevos soles. ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla de saldos insolutos?

Resp.: 1 346,88 4) El 18 de agosto se consigue un préstamo de 3 000 nuevos soles al 14% a interés simple hasta el 21 de diciembre del año siguiente. El 10 de enero del año siguiente se paga 1 000 nuevos soles y 15 de mayo se paga otros 1 000 nuevos soles ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla de Estados Unidos?

Resp.: 1 383,66 5) El 14 de julio se consigue un préstamo de 4 500 nuevos soles al 12% a interés simple hasta el 14 de julio del año siguiente, si el 6 de diciembre se paga 2 000 nuevos soles ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla de Estados Unidos?

Resp.: 2 916,78

2.4.2 Regla comercial o de la ecuación con interés simple Esta regla consiste en que al deudor se le calcula el monto de lo adeudado desde el momento que adquiere la deuda hasta que concluye el préstamo (S), luego en el momento que se acerque a cancelar parte de lo adeudado, se le calcula el monto que genere el aporte que realiza hasta el momento que concluye el préstamo (S1); esta operación se repite tantas veces como aportaciones realice (Si).

z7 9 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

El saldo final de lo adeudado se calculará mediante la ecuación que resulte de restar del monto (S), todas las aportaciones o pagos parciales sobre lo adeudado (Si), por ello a esta operación se le denomina de la ecuación.

Saldo Final = S – S1 – S2 …….

Ejercicios resueltos: 1) El 30 de abril se consigue un préstamo de 3 560 nuevos soles al 9% a interés simple hasta el 11 de octubre del año siguiente. El 14 de septiembre del año inicial, se paga 1 700 nuevos soles y el 5 de enero siguiente se abona 1 200 nuevos soles. ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla de la ecuación?

Solución: Fórmula a utilizar:

Fechas: 30 de abril = 120 14 de septiembre = 257

Cálculo del saldo de todo lo adeudado: t = 365 – 120 + 284 = 529 días C = 3 560 S = ? i = 0,09 anual S = 3 560 [1 + (529 / 360) 0,09] = 4 030,81

S

= C (1 + t i)

5 de enero = 5

11 de octubre = 284

Cálculo del saldo por el primer pago: t = 365 – 257 + 284 = 392 días

C = 1 700 S = ? i = 0,09 anual S1 = 1 700 [1 + (392 / 360) 0,09] = 1 866,60

Cálculo del saldo por el segundo pago: t = 284 – 5 = 279 días

C = 1 200 S = ? i = 0,09 anual S2 = 1 200 [1 + (279 / 360) 0,09] = 1 283,70

Cálculo del saldo final: Saldo final = S – S1 – S2 ………….

Saldo final = 4 030,81 – 1 866,60 – 1 283,70 = 880,51 nuevos soles

z8 0 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

2) El 17 de junio se consigue un préstamo de 5 000 nuevos soles al 8% a interés simple hasta el 17 de noviembre del año siguiente. El 10 de octubre del año inicial, se paga 2 000 nuevos soles y el 15 de marzo siguiente se abona 1 500 nuevos soles. ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla comercial?

Solución: Fórmula a utilizar:

Fechas: 17 de junio = 168 10 de octubre = 283

Cálculo del saldo de todo lo adeudado: t = 365 – 168 + 321 = 518 días C = 5 000 S = ? i = 0,08 anual S = 5 000 [1 + (518 / 360) 0,08] = 5 575,56

S

= C (1 + t i)

15 de marzo = 74

17 de noviembre = 321

Cálculo del saldo por el primer pago: t = 365 – 283 + 321 = 403 días

C = 2 000 S = ? i = 0,08 anual S1 = 2 000 [1 + (403 / 360) 0,08] = 2 179,11

Cálculo del saldo por el segundo pago: t = 321 – 74 = 247 días

C = 1 500 S = ? i = 0,08 anual S2 = 1 500 [1 + (247 / 360) 0,08] = 1 582,33

Cálculo del saldo final: Saldo final = S – S1 – S2 ………….

S = 5 575,56 – 2 179,11 – 1 582,33

= 1 814,12 nuevos soles

Resolver los siguientes ejercicios sobre la regla comercial o de la ecuación con interés simple.

1) El 11 de abril se consigue un préstamo de 5 600 nuevos soles al 12% a interés simple hasta el 30 de octubre del año siguiente. El 10 de julio del año inicial, se paga 1 900 nuevos soles y el 25 de febrero siguiente se abona 1 800 nuevos soles. ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla de la ecuación?

Resp.: 2 508,10 2) El 19 de enero se consigue un préstamo de 2 000 nuevos soles al 8% a interés simple hasta el 7 de agosto del mismo año. El 19 de abril, se paga 1 000 nuevos soles ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla comercial?

Resp.: 1 064,45 3) El 22 de noviembre se consigue un préstamo de 2 800 nuevos soles al 10% a interés simple hasta el 27 de diciembre del año siguiente. El 10 de junio del año siguiente se paga 900 nuevos soles y el 8 de septiembre se abona 800 nuevos soles. ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla de la ecuación?

Resp.: 1 336,67

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M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

4) El 18 de agosto se consigue un préstamo de 3 000 nuevos soles al 14% a interés simple hasta el 21 de diciembre del año siguiente. El 10 de enero del año siguiente se paga 1 000 nuevos soles y 15 de mayo se abona otros 1 000 nuevos soles ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla comercial?

Resp.: 1 351,94 5) El 14 de julio se consigue un préstamo de 4 500 nuevos soles al 12% a interés simple hasta el 14 de julio del año siguiente, si el 6 de diciembre se abona 2 000 nuevos soles ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla de la ecuación?

Resp.: 2 900,83

2.4.3 Consolidación de deudas con interés simple Cuando un cliente de una entidad financiera o crediticia tiene varias deudas contraídas, puede efectuar previo acuerdo con la entidad crediticia la consolidación o unificación de todas las deudas en una sola, pagando una parte y a partir de ese momento, reúne todo lo que debe fijándose una nueva tasa y un nuevo periodo de tiempo para pagar todo lo adeudado. En la consolidación, es conveniente utilizar el método se saldos insolutos, por que genera mejor saldo deudor que otro método conocido y por que no requiere del cálculo de valores actuales de las deudas anteriores.

Ejercicios resueltos: 1) Un inversionista consigue un préstamo de 1 600 nuevos soles el 9 de febrero al 10% a interés simple hasta el 11 de octubre del año siguiente. El 14 de mayo consigue un segundo préstamo por 800 nuevos soles por 15 meses al 8% de interés simple.

Finalmente el 7 de junio del mismo año consigue un nuevo préstamo de 2 000 nuevos soles al 15% por 3 años. En el mismo año que había solicitados los préstamos, una entidad financiera le ofrece consolidar las tres deudas en una sola pagando un adelanto de 1 500 nuevos soles, oferta que fue aceptada por el inversionista el 10 de julio al 9% por 2 años. ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento?

Solución: Fórmula a utilizar:

Fechas: 9 de febrero = 40

Cálculo del saldo de todo lo adeudado a la fecha de consolidación: C = 1 600 S = ? i = 0,10 anual t = 191 – 40 = 151 días S = 1 600 [1 + (151 / 360) 0,1] = 1 667,11

C S C S

= = = =

S

= C (1 + t i)

14 de mayo = 134

7 de junio = 158

10 de julio = 191

800 S = ? i = 0,08 anual t = 191 – 134 = 57 días 800 [1 + (57 / 360) 0,08] = 810,13 2 000 S = ? i = 0,15 anual t = 191 – 158 = 33 días 2 000 [1 + (33 / 360) 0,15] = 2 027,50 z8 2 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Total adeudado al 10 de julio menos lo pagado: Saldo = 1 667,11 + 810,13 + 2 027,50 = 4 504,74 – 1 500 = 3 004,74

Saldo a la fecha de vencimiento: C = 3 004,74 S = ? i = 0,09 anual t = 2 años = 730 días (2 x 365) S = 3 004,74 [1 + (730 / 360) 0,09] = 3 918,68 nuevos soles

En el cálculo del tiempo, cuando se trabaja con fechas lo adecuado es llevar los años transcurridos, a días.

2) Un inversionista consigue un préstamo de 2 200 nuevos soles el 23 de agosto al 12% a interés simple por 15 meses. El 19 de octubre consigue un segundo préstamo por 1 300 nuevos soles por 435 días al 10% de interés simple. Finalmente el 17 de noviembre del mismo año consigue un nuevo préstamo de 1 000 nuevos soles al 8% por 1 año. En el mismo año que había solicitados los préstamos una entidad financiera la ofrece consolidar las tres deudas en una sola pagando un adelanto de 1 800 nuevos soles, oferta que fue aceptada por el inversionista el 20 de diciembre al 10% pagadero hasta el 22 de marzo a los 2 años siguientes del año de la consolidación. ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento?

Solución: Fórmula a utilizar:

S

= C (1 + t i)

Fechas: 23 de agosto = 235 19 de octubre = 292 17 de noviembre = 321 20 de diciembre = 354 22 de marzo = 81

Cálculo del saldo de todo lo adeudado a la fecha de consolidación: C = 2 200 S = ? i = 0,12 anual t = 354 – 235 = 119 días S = 2 200 [1 + (119 / 360) 0,12] = 2 287,27

C = 1 300 S = ? i = 0,10 anual t = 354 – 292 = 62 días S = 1 300 [1 + (62 / 360) 0,10] = 1 322,39

C = 1 000 S = ? i = 0,08 anual t = 354 – 321 = 33 días S = 1 000 [1 + (33 / 360) 0,08] = 1 007,33

Total adeudado al 20 de diciembre menos lo pagado: Saldo = 2 287,27 + 1 322,39 + 1 007,33 = 4 616,99 – 1 800 = 2 816,99

Saldo a la fecha de vencimiento: C = 2 816,99 S = ? i = 0,10 anual t = 2 (365) – 354 + 81 = 457 días S = 2 816,99 [1 + (457 / 360) 0,1] = 3 174,59 nuevos soles

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M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Resolver los siguientes ejercicios de consolidación de deudas con interés simple.

1) Un inversionista consigue un préstamo de 600 nuevos soles el 14 de marzo al 15% a interés simple hasta el 11 de noviembre del año siguiente. El 5 de mayo consigue un segundo préstamo por 900 nuevos soles por 15 meses al 10% de interés simple.

Finalmente el 31 de mayo del mismo año consigue un nuevo préstamo de 1 000 nuevos soles al 14% por 3 años. En el mismo año que había solicitados los préstamos una entidad financiera la ofrece consolidar las tres deudas en una sola pagando un adelanto de 1 000 nuevos soles, oferta que fue aceptada por el inversionista el 15 de agosto al 12% por 2 años. ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento?

Resp.: 1 981,33 2) Un deudor consigue un préstamo de 1 400 nuevos soles el 3 de agosto al 12% a interés simple por 15 meses. El 9 de octubre consigue un segundo préstamo por 800 nuevos soles por 339 días al 10% de interés simple. Finalmente el 8 de noviembre del mismo año consigue un nuevo préstamo de 1 200 nuevos soles al 8% por 1 año.

El 2 de diciembre del mismo año que había solicitados los préstamos consolida las tres deudas en una sola pagando un adelanto de 1 700 nuevos soles, y el saldo pagadero hasta el 22 de marzo a los 2 años siguientes del año de la consolidación al 11% de interés simple. ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento?

Resp.: 2 032,47

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L e c c i ó n

5

2.5 Ahorros con interés simple Consiste en realizar depósitos previa apertura de una cuenta en cualquier entidad financiera sin vencimiento, y por el tiempo que están depositados los ahorros en dicha cuenta, ganarán intereses de tipo simple con la regla de saldos insolutos.

En este tipo de operaciones, los ahorristas tienen la libre disponibilidad de sus depósitos, es decir que en cualquier momento puede retirar parte o todos los ahorros realizados. En estos casos la entidad financiera debe hacer conocer a su cliente cuál es el saldo de sus ahorros en el momento que este último así lo requiera; los aportes o depósitos pueden hacerse en cualquier momento así como los retiros de los mismos.

Cuando una persona abre una cuenta de ahorros, ésta siempre esta disponible para hacer tanto depósitos como retiros por ello no requiere de un contrato especial; esto obliga a las entidades financieras por la Superintendencia de Banca y Seguros (SBS) a no invertir el 100% de los depósitos en ahorros, solo les permiten invertir parte del ahorro mientras que lo restante llamado encaje, servirá para cubrir los eventuales retiros.

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M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

El solo hecho de que una entidad financiera sepa cuando usted va ha realizar un retiro de sus depósitos, le daría la libertad suficiente para invertir el dinero de usted en alguna otra actividad; por esta razón todo depósito a plazo fijo (no tiene libre disponibilidad) gana siempre más intereses que una cuenta de ahorros, porque se puede invertir el 100% de las colocaciones a plazo fijo.

Ejercicios resueltos: 1) Un ahorrista abre una cuenta de ahorros con 1 000 nuevos soles al 6% de interés simple el 16 de julio. El 7 de septiembre y el 9 de octubre del mismo año deposita en su cuenta 800 y 1 540 nuevos soles respectivamente. ¿Cuál será el saldo de su cuenta al 29 de mayo del año siguiente si 25 días antes retira 1 000 nuevos soles?

Solución: Fórmula a utilizar:

Fechas:

Cálculo del saldo después de efectuado el primer depósito: C = 1 000 S = ? i = 0,06 anual t = 250 – 197 = 53 días S = 1 000 [1 + (53 / 360) 0,06] = 1 008,83 + 800 = 1 808,83

Cálculo del saldo después de efectuado el segundo depósito: C = 1 808,83 S = ? i = 0,06 anual t = 281 – 250 = 31 días S = 1 808,83 [1 + (31 / 360) 0,06] = 1 818,18 + 1 540 = 3 358,18

Cálculo del saldo después de efectuado el retiro: C = 3 358,18 S = ? i = 0,06 anual t = 365 – 281 + 149 – 25 = 208 días S = 3 358,18 [1 + (208 / 360) 0,06] = 3 474,60 – 1 000 = 2 474,60

Cálculo del saldo al 29 de mayo: C = 2 474,60 S = ? i = 0,06 anual t = 25 días S = 2 474,60 [1 + (25 / 360) 0,06] = 2 484,91 nuevos soles.

S

= C (1 + t i)

6 de julio = 197 7 de septiembre = 250 29 de mayo = 149

8 de octubre = 281

2) Un ahorrista abre una cuenta de ahorros con 3 000 nuevos soles al 7% de interés simple el 8 de julio. El 17 de septiembre y el 12 de octubre del mismo año retira de su cuenta 800 y 1 540 nuevos soles respectivamente. El 14 de marzo del año siguiente deposita 1 200 nuevos soles ¿Cuál será el saldo de su cuenta al 17 de junio del año que realizó el depósito?

Solución: Fórmula a utilizar:

Fechas: 8 de julio = 189 17 de septiembre = 260 14 de marzo = 73 17 de junio = 168

S

= C (1 + t i)

z8 6 z

12 de octubre = 285

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Cálculo del saldo después de efectuado el primer retiro: C = 3 000 S = ? i = 0,07 anual t = 260 – 189 = 71 días S = 3 000 [1 + (71 / 360) 0,07] = 3 041,42 – 800 = 2 241,42

Cálculo del saldo después de efectuado el segundo retiro: C = 2 241,42 S = ? i = 0,07 anual t = 285 – 260 = 25 días S = 2 241,42 [1 + (25 / 360) 0,07] = 2 252,32 – 1 540 = 712,32

Cálculo del saldo después de efectuado el depósito: C = 712,32 S = ? i = 0,07 anual t = 365 – 285 + 73 = 153 días S = 712,32 [1 + (153 / 360) 0,07] = 733,51 + 1 200 = 1 933,51

Cálculo del saldo al 17 de junio: C = 1 933,51 S = ? i = 0,07 anual t = 168 – 73 = 95 días S = 1 933,51 [1 + (95 / 360) 0,07] = 1 969,23 nuevos soles.

Resolver los siguientes ejercicios sobre ahorros con interés simple.

1) Un ahorrista abre una cuenta de ahorros con 2 500 nuevos soles al 6% de interés simple el 16 de marzo. El 19 de octubre y el 18 de noviembre del mismo año deposita en su cuenta 800 y 450 nuevos soles respectivamente. ¿Cuál será el saldo de su cuenta al 9 de mayo del año siguiente si 25 días antes retira 1 500 nuevos soles?

Resp.: 2 462,09 2) Un trabajador abre una cuenta de ahorros con 2 000 nuevos soles al 7% de interés simple el 28 de junio. El 17 de agosto y el 11 de octubre del mismo año retira de su cuenta 600 y 500 nuevos soles respectivamente. El 14 de mayo del año siguiente deposita 1 000 nuevos soles ¿Cuál será el saldo de su cuenta al 23 de julio del año que realizó el depósito?

Resp.: 2 000,56 3) ¿Cuál será el saldo de su cuenta al 24 de julio de un ahorrista, si 120 días después de apertura una cuenta de ahorros con 1 000 nuevos soles, retira 400 nuevos soles el 16 de marzo de año actual? Se sabe que los ahorros ganan el 8% a interés simple.

Resp.: 644,77 4) Un empleado tiene actualmente una cuenta de ahorros por 3 567,55 nuevos soles al 7% a interés simple. ¿Cuál será el saldo de su cuenta dentro de un año si ha pensado hacer dos depósitos de 500 nuevos soles a 90 y 180 días y un retiro de 1 600 a los 250 días? Considerar el número de días a partir de la fecha actual y recuerde que el año tiene 365 días.

Resp.: 3 237,06

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M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

5) ¿Cuál será el saldo de su cuenta al 7 de septiembre de un ahorrista, si 120 días después de apertura una cuenta de ahorros con 1 500 nuevos soles, retira 500 nuevos soles el 10 de mayo de año actual? Se sabe que los ahorros ganan el 6% a interés simple.

Resp.: 1 050,60 6) Un empleado tiene actualmente una cuenta de ahorros por 1 253,45 nuevos soles al 7% a interés simple. ¿Cuál será el saldo de su cuenta dentro de un año si ha pensado hacer dos retiros de 500 nuevos soles a 90 y 180 días y un depósito de 1 600 a los 250 días? Considerar el número de días a partir de la fecha actual y recuerde que el año tiene 365 días.

Resp.: 1 935,21.

La tasa efectiva en las operaciones financieras de tipo simple, se puede conocer solo multiplicando la tasa inicial o nominal por el tiempo que dura la operación en años. Como esta operación es muy sencilla, no se proponen ejercicios en el manual en este caso.

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WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

AUTOEVALUACIÓN Nº 2 1) Hallar el interés comercial simple que se puede alcanzar con un capital de 5 500 nuevos soles, invertido el 12 de noviembre hasta el 1 de julio del segundo año siguiente al 6%.

A) 532,28 B) 546,33 C) 583,28 D) 560,26 E) 525,26 2) Hallar el interés simple exacto que se puede alcanzar con un capital de 1 400 nuevos soles, invertido el 9 de enero hasta el 13 de julio del año siguiente al 8%.

A) 133,17 B) 146,71 C) 168,77 D) 156,25 E) 125,53 3) Hallar el capital utilizado para obtener un monto de 1 250 nuevos soles, invertido el 5 de mayo hasta el 8 de julio del tercer año siguiente al 10% a interés simple.

A) 945,58 B) 956,25 C) 898,33 D) 918,20 E) 925,62 4) ¿A qué tasa a interés simple, con un capital de 880 nuevos soles se puede lograr con un monto de 1 080 nuevos soles, invertido el 22 de abril hasta el 16 de febrero del año siguiente?

A) 32,28% B) 26,33% C) 27,27% D) 25,26% E) 21,20%.

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M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

5) ¿En qué fecha del año siguiente, un capital de 3 400 nuevos soles invertido el 6 de marzo, se convierte 3 900 nuevos soles, al 15% a interés simple?

A) B) C) D) E)

28 de feb.

20 de ene.

27 de ene.

22 de feb.

21 de mar.

6) Hallar el descuento comercial simple que se obtuvo de una letra de 1 500 nuevos soles, descontada 18 meses antes de su vencimiento al 5%.

A) 103,45 B) 112,50 C) 116,70 D) 126,25 E) 120,50 7) Hallar el descuento racional que se puede alcanzar con un pagaré de 3 000 nuevos soles, descontado el 27 de febrero con vencimiento del 16 de agosto del segundo año siguiente al 8%.

A) 600,00 B) 560,00 C) 650,00 D) 520,00 E) 500,00 8) ¿A qué tasa de descuento simple, una letra se reduce en 18% descontada faltando 20 meses para su vencimiento?

A) 11,10% B) 9,78% C) 16,16% D) 15,20% E) 10,80% 9) ¿Cuál es el valor nominal de un pagaré que al 7% de descuento simple descontado el 4 de julio con vencimiento del 12 de octubre del año siguiente, produjo un descuento de 81,40 nuevos soles?

A) 900,28 B) 980,50 C) 965,00 D) 880,20 E) 890,25

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10) El 23 de abril se consigue un préstamo de 1 500 nuevos soles al 10% a interés simple hasta el 28 de mayo del año siguiente, si el 12 de julio se paga 1 000 nuevos soles ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla de Estados Unidos?

A) 550,50 B) 595,25 C) 605,52 D) 580,74 E) 579,20

11) El 17 de mayo se consigue un préstamo de 1 900 nuevos soles al 10% a interés simple hasta el 21 de junio del año siguiente. El 14 de octubre del año actual se paga 600 nuevos soles y el 22 de enero siguiente se abona otros 600. ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla de la ecuación?

A) 831,26 B) 904,48 C) 844,44 D) 789,19 E) 916,16

12) Un deudor consigue un préstamo de 1 000 nuevos soles el 19 de marzo al 12% a interés simple por 19 meses. El 8 de abril consigue un segundo préstamo por 800 nuevos soles por 193 días al 10% de interés simple. Finalmente el 28 de mayo del mismo año consigue un nuevo préstamo de 900 nuevos soles al 9% por año y medio. El 17 de julio del mismo año que había solicitados los préstamos consolida las tres deudas en una sola pagando un adelanto de 1 100 nuevos soles, y el saldo pagadero a un año de la consolidación al 11% ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento?

A) B) C) D) E)

1 814,57 1 857,55 1 659,37 1 852,22 1 919,19

13) Un inversionista consigue un préstamo de 500 nuevos soles el 23 de junio al 15% a interés simple por 15 meses. El 13 de julio consigue un segundo préstamo por 1 200 nuevos soles por 430 días al 11%. Finalmente el 11 de septiembre del mismo año consigue un nuevo préstamo de 1 400 nuevos soles al 9% por 1 año. Si las tres deudas se consolidan en una sola pagando un adelanto de 1 800 nuevos soles el 20 de diciembre al 10% ¿Cuál es el saldo de lo adeudado al 17 de agosto de año siguiente de la consolidación?

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M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

A) B) C) D) E)

1 610,15 1 420,25 1 655,37 1 507,12 1 526,58

14) ¿Cuánto tendrá en su cuenta al 11 de diciembre un ahorrista, si 144 días después de su apertura con 800 nuevos soles, ahorra 300 nuevos soles que es el 9 de mayo de año actual? Se sabe que los ahorros ganan el 8% a interés simple.

A) 1 200,28 B) 1 067,67 C) 1 050,44 D) 1 179,63 E) 1 020,25

15) ¿Cuál será el saldo al 4 de febrero de la cuenta de un ahorrista, si 216 días después de su apertura con 2 400 nuevos soles, retira 850 nuevos soles que fue el 10 de mayo de año anterior? Se sabe que los ahorros ganan el 7% a interés simple.

A) 1 737,47 B) 1 802,27 C) 1 645,55 D) 1 729,49 E) 1 795,22

Respuestas de control 1. B, 2. C, 3. A, 4. C, 5. D, 6. B 7. E, 8. E, 9. A, 10. D, 11. C, 12. B, 13. E, 14. D, 15. A

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WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

EXPLORACIÓN ON LINE http://www.matematicas-financieras.com/ http://www.aulafacil.com/CursoMatematicasFinancieras/Finanzatemario.htm

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Portus Goviden, Lincoyan

(1998) Matemáticas financieras. Bogotá, Mc Graw Hill.

Pablo López, Andrés de

(2002) Valoración financiera. 3ª edición. Madrid, Cera.

Pablo López, Andrés de

(2002) Manual práctico de matemática comercial y financiera. Madrid, Cera.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA Gómez Rodón, F.

(1989) Matemáticas financieras. Bogotá, Ediciones Fragor.

Haeussler, E. y Paul, H.

(1997) Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y de la vida. Bogotá, Mc Graw Hill.

Terceño, A. y Otros

(1998) Matemática financiera. Madrid, Pirámide.

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t e r c e r a

UNIDAD Operaciones financieras de tipo compuesto Sumario Operación de tipo compuesto: definición de interés compuesto, definición de descuento compuesto.

Fórmulas para el interés compuesto: cálculo del interés compuesto, cálculo de otras variables del I.C., cálculo de la tasa efectiva del I.C. Fórmulas para el descuento compuesto: cálculo del descuento compuesto, cálculo de otras variables deñ D.C., cálculo de la tasa efectiva del D.C. Pagos y ahorros a interés compuesto: regla de saldos insolutos o de EE.UU., pagos parciales, consolidación de deudas, ahorros e interés compuesto, regla comercial o de la ecuación.

Uso de tablas de factores tipo compuesto: uso de tablas con el interés compuesto, uso de tablas con el descuento compuesto.

OBJETIVO(S) GENERAL: • Al término de esta unidad, el alumno debe saber utilizar las fórmulas para realizar operaciones de tipo compuesto, tanto de interés como de descuentos y además puede resolver operaciones combinadas para pagos parciales así como para consolidar varias deudas en una sola. También está en condiciones de realizar las operaciones de ahorros de tipo compuesto.

ESPECÍFICOS: • Conocer qué es una operación de tipo compuesto y cómo funciona el interés o el descuento considerando que son operaciones capitalizables.

• Saber cómo se efectúan los cálculos a interés compuesto incluyendo todas sus variables como: el monto, el capital, las capitalizaciones y la tasa.

• Conocer cómo se efectúan los cálculos de descuento compuesto incluyendo todas sus variables como: valor nominal, valor actual, periodos de capitalizaciones y la tasa.

• Saber que con cualquiera de los métodos conocidos para determinar los saldos deudores, se obtiene el mismo resultado con el interés compuesto. También para conocer los saldos en ahorros.

• Saber el manejo de tablas en operaciones compuestas tanto para el interés como para el descuento. z9 6 z

L e c c i ó n

1

3.1 Operación de tipo compuesto Financieramente cuando una cantidad de dinero ganado o deducido en un periodo determinado, forma parte del capital o principal para el siguiente periodo como lo ordene la capitalización, se puede decir que se está haciendo referencia al Interés y al Descuento de tipo Compuesto.

Por esta razón la característica principal de este tipo de operación financiera, es que la tasa utilizada en cada uno de los periodos de capitalización que dura la operación, genera siempre diferente interés o diferente descuento; esto significa que la tasa efectiva o tasa única para toda la operación, es igual al la tasa utilizada en cada periodo de tiempo incrementada en uno para obtener el interés, o deducida de uno para obtener el descuento; elevada a la potencia que está representada todos los periodos que dura la operación financiera, menos uno o deducida de uno según los casos mencionados.

3.1.1 Definición del interés compuesto El interés compuesto se caracteriza por que el dinero ganado, forma parte del capital o principal para el siguiente periodo; por lo tanto cumplido cada periodo de capitalización, dicho interés se va haciendo cada vez mayor que el interés simple.

z9 7 z

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Ejercicio resuelto: 1) Hallar el interés y el monto de un capital de 1 000 nuevos soles sujeto a Interés Compuesto al 10% durante 5 años.

Solución: Para que el estudiante observe como se desarrolla el interés compuesto, a continuación se trabajará periodo tras periodo (año por año) con la tasa en tanto por uno:

Años 1 2 3 4 5

Capital 1 1 1 1 1

Interés

000,00 100,00 210,00 331,00 464,10

100,00 110,00 121,00 133,10 146,41

Interés total

Respuestas:

Interés = 610,51

Monto 1 1 1 1 1

100,00 210,00 331,00 464,10 610,51

610,51

y Monto = 1 610,51.

Como el estudiante habrá observado, en todos los periodos de tiempo el capital se va incrementando con el interés, y éste es mayor cada vez; por consiguiente si la tasa nominal del 10% (0,10), se incrementa en uno y se multiplica por si misma 5 veces (5 años) que dura la operación, la tasa final o resultante para toda la operación es: (1 + 0,10) (1 + 0,10) (1 + 0,10) (1 + 0,10) (1 + 0,10) = (1 + 0,10)5 Ahora bien como esta tasa ha sido incrementada en uno y al multiplicarla por el capital (1 000), se obtiene el monto total de la operación: 1 000 (1 + 0,10)5 = 1 610,51.

Finalmente si se descuenta uno a esta tasa final, se obtiene la tasa efectiva que al multiplicarla por el capital, se obtiene el interés: 1 000 [(1 + 0,10)5 – 1]

= 610,51

El interés compuesto se puede obtener conociendo el monto que es la reunión del interés más el capital; por lo tanto, si se resta del monto el capital se tiene el interés compuesto: 1 610,51 – 1 000,00 = 610,51

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WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Para facilitar el cálculo del interés compuesto, se identifican cada una de las variables que intervienen en este tipo de operación financiera de la siguiente manera: C = Capital

I = Interés

S = Monto

i = Tasa de interés

n = número de capitalizaciones en el tiempo Lo expresado en líneas arriba nos permite definir el cálculo del interés compuesto ya que al multiplicar la tasa final por el capital se obtenía el monto del interés compuesto; entonces: S = C (1 + i) n Finalmente se dijo que si se descuenta uno de la tasa final, se obtiene la tasa efectiva que al multiplicarla por el capital, se obtiene el interés.

I = C [(1 + i) n – 1] El Interés también puede ser obtenido restando del monto el capital o principal, es decir: I = S–C

3.1.2 Definición del descuento compuesto Se denomina descuento compuesto, cuando financieramente se descuenta una cantidad de dinero de un principal o valor nominal de algún documento negociable durante un periodo determinado, con una tasa definida antes del inicio de la operación y con la característica de que el dinero descontado forme parte del principal o valor nominal para el siguiente periodo según lo ordene la capitalización.

El Descuento Compuesto al ser deducido del valor nominal, va generando cada vez menos descuentos en cada periodo según la capitalización, por que también el principal se va reduciendo, a diferencia del descuento simple que es constante en todos los periodos de descuento.

El estudiante debe recordar que una operación compuesta requiere necesariamente de capitalización, también debe recordar que capitalizar no solo es sumar al capital el interés ganado en cada periodo de capitalización; si no que además en las operaciones compuestas de descuentos, significa deducir o restar del valor nominal o principal los descuentos que se van produciendo en cada periodo de capitalización.

z9 9 z

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Ejercicio resuelto: 1) Hallar el descuento y lo pagado por una letra de 3 000 nuevos soles sujeta a Descuento Compuesto al 10% durante 5 años.

Solución: Para que el estudiante observe como se desarrolla el descuento compuesto, a continuación se trabajará periodo tras periodo (año por año) con la tasa en tanto por uno:

Años 1 2 3 4 5

Valor Nominal 3 2 2 2 1

000,00 700,00 430,00 187,00 968,30

Descuento total Respuestas:

Descuento

Saldo o Efectivo

300,00 270,00 243,00 218,70 196,83

2 2 2 1 1

700,00 430,00 187,00 968,30 771,47

1 228,53

Descuento = 1 228,53

y Efectivo pagado = 1771,47.

Como el estudiante habrá observado, en todos los periodos de tiempo el valor nominal se va reduciendo con el descuento y el nuevo descuento deducido del principal es menor; por consiguiente si la tasa nominal del 10% (0,10), se deduce de uno y se multiplica por si misma 5 veces (5 años) que dura la operación, la tasa final o resultante para toda la operación es: (1 – 0,10) (1 – 0,10) (1 – 0,10) (1 – 0,10) (1 – ­ 0,10) = (1 – 0,10)5

Ahora bien como esta tasa ha sido deducida de uno que al multiplicarla por el capital (3 000), se va ha obtener el saldo total de la operación o efectivo o valor actual: 3 000 (1 – 0,10)5 = 1 771,47.

Finalmente si se vuelve a descontar de uno la tasa final, se obtiene la tasa efectiva que al multiplicarla por el valor nominal, se obtiene el descuento en los 5 años: 3 000 [1 – (1 – 0,10)5]

= 1 228,53

El descuento compuesto se puede obtener conociendo el valor actual que es el valor actual menos el descuento; por lo tanto, si se resta del valor nominal el valor actual o efectivo se tiene el descuento compuesto: 3 000,00 – 1 771,47 = 1 22853

z1 0 0 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Para facilitar el cálculo del descuento compuesto, se identifican cada una de las variables que intervienen en este tipo de operación financiera de la siguiente manera:

S = Valor Nominal

D = Descuento

C = Valor Actual o efectivo

d = Tasa

n = número de capitalizaciones en el tiempo

Lo expresado en líneas arriba nos permite definir el cálculo del descuento compuesto, ya que al multiplicar la tasa final por el valor nominal se obtenía el valor actual o efectivo del descuento compuesto; entonces: C = S (1 – d) n Finalmente se dijo que si se vuelve a descontar de uno la tasa final, se obtiene la tasa efectiva que al multiplicarla por el valor nominal, se obtiene el descuento.

D = S [1 – (1 – d) n]

El descuento también puede ser obtenido restando del valor nominal el valor actual o efectivo, es decir: D = S–C

z1 0 1 z

L e c c i ó n

2

3.2 Fórmulas para el interés compuesto Las fórmulas para el cálculo del interés compuesto que fueron definidas en la lección anterior, son las siguientes: S = C (1 + i) n I = C [(1 + i) n – 1] I = S–C

(1) (2) (3)

Donde: C = Capital

I = Interés

S = Monto

i = Tasa de interés

n = Número de capitalizaciones en el Tiempo Con estas fórmulas se puede calcular cualquier variable que interviene en el interés compuesto, con la única obligación es que la tasa (i) y cada periodo que genera interés (n), estén en la misma unidad de tiempo según como lo ordene la capitalización; es decir, que si la operación a interés se realiza cada mes, el tiempo y la tasa deben ser mensuales; si la operación a interés se realiza cada año, el tiempo y la tasa deben ser anuales, y así sucesivamente. z1 0 3 z

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Tabla para convertir el tiempo en periodos operativos

El año tiene: Periodos en días y meses: 360 días Cuando se desea convertir el número días en años o viceversa.

Para determinar el número de días que hay entre dos fechas que pasan de un año a otro, solo en estos casos el año tiene 365 días.

2 semestres

Un semestre = 180 días (6 meses)

4 trimestres

Un trimestre = 90 días

6 bimestres

Un bimestre = 60 días

12 meses

Un mes = 30 días

24 quincenas

Una quincena = 15 días

52 semanas

Una semana = 7 días

(3 meses) (2 meses)

3.2.1 Cálculo del interés compuesto Para el cálculo del interés compuesto, el único requisito para utilizar las fórmulas definidas con anterioridad, es que se conozca en que periodo de tiempo se produce la capitalización; es decir la reunión del interés más el capital. Conocido el periodo de capitalización todas las variables relacionadas con el tiempo, tales como: la tasa y la duración de la operación, deben ser convertidas al periodo de la capitalización por que como en cualquier operación financiera, la tasa y el tiempo deben ser homogéneos según la capitalización.

Cuando no se especifica el periodo de la capitalización, ni se menciona que tiempo le corresponde a la tasa, en toda operación financiera se asume que es anual. Además cuando se den fechas en el cálculo del interés compuesto, se deben utilizar los días calendarios entre las fechas, y el año tendrá 365 días que serán divididos entre el número de días que dure la capitalización (solo en los casos de fechas).

El estudiante tiene la libertad de utilizar cualquiera de las fórmulas dadas para este caso, siempre y cuando disponga de la información suficiente para utilizarla.

Ejercicios resueltos: 1) Hallar el interés compuesto de un capital de 2 600 nuevos soles al 14% durante 225 días, capitalizable trimestralmente.

Solución: Fórmulas a utilizar:

I = ? C = 2 600 i = 0,14 / 4 = 0,035 trimestral n = 225 / 90 = 2,5 trimestres I = 2 600 [(1 + 0,035)2,5 – 1] = 233,51 nuevos soles.

I = C [(1 + i) n – 1]

z1 0 4 z

;

S = C (1 + i) n

;

I = S–C

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Otra solución: S = 2 600 (1 + 0,035) 2,5 = 2 833,51 nuevos soles.

I = 2 833,51 – 2 600 = 233,51 nuevos soles Obsérvese que la tasa es anual a pesar de que no se menciona y se ha dividido entre 4 por que el año tiene 4 trimestres. El número de días ha sido convertido en trimestres dividiéndolo entre 90 días y por que así lo ordena la capitalización.

2) Hallar el interés compuesto de un capital de 1 800 nuevos soles al 9% del 27 de febrero al 20 de octubre del año siguiente, capitalizable quincenalmente.

Solución: Fórmulas a utilizar:

Fechas: 27 de febrero = 58 20 de octubre = 293 t = 365 – 58 + 293 = 600 días I = ?

C = 1 800 i = 0,09 / 24 = 0,00375 quincenal n = 600 / 15 = 40 quincenas I = 1 800 [(1 + 0,00375) 40 – 1] = 290,72 nuevos soles.

Otra solución: S = 1 800 (1 + 0,00375) 40 = 2 090,72 nuevos soles.

I = 2 090,72 – 1 800 = 290,72 nuevos soles.

I = C [(1 + i) n – 1]

;

S = C (1 + i) n

;

I = S–C

Obsérvese que la tasa anual se ha dividido entre 24 para obtener la tasa quincenal y el número de días entre 15 para determinar el número de capitalizaciones quincenales.

3) Hallar el interés compuesto de un capital de 5 800 nuevos soles al 9% capitalizable mensualmente del 7 de noviembre al 12 de marzo del segundo año siguiente del año que se inicia la operación.

Solución: Fórmula a utilizar:

Fechas: 7 de noviembre = 311 12 de marzo = 71 t = 2(365) – 311 + 71 = 490 días I = ?

C = 5 800 i = 0,09 / 12 = 0,0075 mensual n = 490 / 30 meses I = 5 800 [(1 + 0,0075) (490 / 30) – 1] = 752,85 nuevos soles.

Cuando alguna división en la conversión según la capitalización no es exacta, es preferible dejarla indicada para evitar pérdida de información con el redondeo.

I = C [(1 + i)n – 1]

4) Hallar el interés compuesto de un capital de 3 500 nuevos soles al 6% durante 25 meses, capitalizable mensualmente.

Solución: Fórmula a utilizar: I = C [(1 + i) n – 1] I = ?

C = 3 500 i = 0,06 / 12 = 0,005 mensual I = 3 500 [(1 + 0,005)25 – 1] = 467,78 nuevos soles. z1 0 5 z

n = 25 meses

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Observe que en todas las operaciones realizadas hasta ahora, las variables relacionadas con el tiempo deben ser convertidas de acuerdo con la capitalización; es el caso de la tasa que es anual, ha sido dividida entre 12 para convertirla en tasa mensual, mientras que el tiempo no necesita conversión por que está en meses.

Resolver los siguientes ejercicios sobre interés compuesto: 1) Hallar el interés compuesto que se puede alcanzar con un capital de 15 000 nuevos soles, invertido el 17 de marzo hasta el 24 de agosto del mismo año al 9%, capitalizable bimestralmente.

Resp.: 607,52.

2) Hallar el interés compuesto que se puede alcanzar con un capital de 6 000 nuevos soles, invertido el 11 de agosto hasta el 15 de julio del año siguiente al 15%, capitalizable trimestralmente.

Resp.: 889,62.

3) Hallar el interés compuesto que se puede alcanzar con un capital de 2 500 nuevos soles, invertido el 7 de febrero hasta el 10 de septiembre del segundo año siguiente al 6%, capitalizable mensualmente.

Resp.: 425,30.

4) Hallar el interés compuesto que se puede alcanzar con un capital de 8 000 nuevos soles, invertido durante 18 meses al 12%, capitalizable bimestralmente.

Resp.: 1 560,74.

5) Hallar el interés compuesto que se puede alcanzar con un capital de 2 000 nuevos soles, invertido el 17 de marzo hasta el 24 de agosto del año siguiente al 8%, capitalizable bimestralmente.

Resp.: 245,76.

6) Hallar el interés compuesto que se puede alcanzar con un capital de 4 500 nuevos soles, invertido el 11 de agosto hasta el 15 de julio del segundo año siguiente al 6%, capitalizable trimestralmente.

Resp.: 554,98.

7) Hallar el interés compuesto que se puede alcanzar con un capital de 7 500 nuevos soles, invertido el 7 de febrero hasta el 10 de septiembre del mismo año al 9%, capitalizable mensualmente.

Resp.: 412,57.

8) Hallar el interés compuesto que se puede alcanzar con un capital de 9 400 nuevos soles, invertido durante 10 meses al 12%, capitalizable quincenalmente.

Resp.: 986,02.

z1 0 6 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

9) Hallar el interés compuesto que se puede alcanzar con un capital de 1 800 nuevos soles, invertido durante 21 meses hasta el 15 de agosto al 8%, capitalizable trimestralmente.

Resp.: 267,63.

10) Hallar el interés compuesto que se puede alcanzar con un capital de 2 400 nuevos soles, invertido el 28 de febrero durante 300 días al 12%, capitalizable quincenalmente.

Resp.: 251,75.

3.2.2 Cálculo de las otras variables del interés compuesto Para calcular las otras variables del Interés Compuesto, no es necesario alterar ninguna de las fórmulas dadas, por que el estudiante se llenaría de fórmulas al tratar crear una nueva fórmula para despejar cada variable; lo aconsejable en estos casos es que reemplace los datos conocidos en las fórmulas apropiadas, luego realizar los cálculos correspondiente con la información conocida de tal manera que se simplifiquen las operaciones y finalmente despejar la variable que busca.

Ejercicios resueltos: 1) Hallar el monto de un capital de 2 250 nuevos soles al 9% sujeto a interés compuesto durante 255 días capitalizable quincenalmente.

Solución: Fórmula a utilizar: S = C (1 + i)n S = ? C = 2 250 i = 0,09 / 24 = 0,00375 quincenal n = 255 /15 = 17 quincenas S = 2 250 [1 + 0,00375]17 = 2 397,82 nuevos soles Obsérvese que la tasa anual se ha dividido entre 24 para obtener la tasa quincenal y el número de días entre 15 para determinar el número de capitalizaciones quincenales.

2) Hallar el monto de un capital de 3 800 nuevos soles al 12% sujeto a interés compuesto del 27 de febrero al 20 de octubre del año siguiente, capitalizable bimestralmente.

Solución: Fórmula a utilizar: S = C (1 + i)n Fechas: 27 de febrero = 58 20 de octubre = 293 Días = 365 – 58 + 293 = 600 S = ?

C = 3 800 i = 0,12 / 6 = 0,02 bimestral n = 600 / 60 = 10 S = 3 800 [1 + 0,02]10 = 3 413,18 nuevos soles

3) ¿Cuál es el capital que al 6% de interés compuesto del 17 de noviembre al 12 de marzo del segundo año siguiente, produce un monto de 3 745,60 nuevos soles capitalizables bimestralmente?

z1 0 7 z

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Solución: Fórmula a utilizar: S = C (1 + i)n Fechas: 17 de noviembre = 321 12 de marzo = 71 Días = 2(365) – 321+71 = 480 C=?

S = 3 745,60 i = 0,06 / 6 = 0,01 bimestral n = 480 / 60 = 8 bimestres

3 745,60 = C [1 + 0,01]8 ; despejando C, todo el corchete pasa a dividir: C = 3 745,60 / [1 + 0,01]8 = 3 459,00 nuevos soles

4) ¿Cuántos trimestres serán necesarios para que un capital de 5 560 soles gane un interés de 800 al 8% de interés compuesto capitalizable trimestralmente?

Solución: Fórmula a utilizar: I = C [(1 + i) n – 1] n = ?

C = 5 560 i = 0,08 / 4 = 0,02 trimestral

800 = 5 560 [(1 + 0,02)n – 1] ; primero se resuelve las cifras conocidas: [(800 / 5 560) +1] = 1,02n ; 1,143884892 = 1,02n n = log 1,143884892 / log 1,02 = 6,7885 trimestres

I = 800

5) ¿Cuál es la fecha de vencimiento de un capital de 5 200 nuevos soles que colocado el 6 de agosto del año actual produce un monto de 5 706,40 nuevos soles al 12% de interés capitalizable bimestralmente?

Solución: Fórmula a utilizar: S = C (1 + i)n Fechas: 6 de agosto = 218 días

C = 5 200 S = 5 706,40 i = 0,12 / 6 = 0,02 bimestral n=?

5 706,40 = 5 200 [1 + 0,02]n ; se resuelven las cifras conocidas posibles de operar.

5 706,40 / 5 200 = [1,02]n ; 1,097384615 = 1,02n n = log 1,097384615 / log 1,02 = 4,69279783 bimestres

Días = 4,69279783 (60) = 282 días.

Respuesta:

vence el 15 de mayo del año siguiente

6) Hallar la tasa anual de un capital de 8 000 nuevos soles colocados en ahorros desde el 29 de diciembre hasta el 2 de octubre del segundo año siguiente, que produce un monto de 9 425 nuevos soles, capitalizable mensualmente.

Solución: Fórmula a utilizar: S = C (1 + i)n Fechas: 29 de diciembre = 363 2 de octubre = 275

z1 0 8 z

Días = 730 – 363 + 275 = 642

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

C = 7 000 S = 9 425 9 425 = 8 000 [1 + i]21,4

i=?

n = 642 / 30 = 21,4 meses

Para despejar “i” se realiza los siguientes pasos: Primero los 8 000 que multiplica, pasa a dividir

Luego la potencia, pasa como raíz

Finalmente 1 que está sumando pasa a restar i = – 1 = 0,007689421878 tasa mensual Tasa anual = 0,007689421878 (12) = 0,092273 (9,2273% anual).

(9 425 / 8 000 = [1 + i]

)

21,4

= [1 + i])

7) Hallar la tasa anual de 3 000 nuevos soles colocados en ahorros desde el 21 de abril hasta el 8 de octubre del segundo año siguiente, que produce un monto de 3 742,50 nuevos soles, capitalizable trimestralmente.

Solución: Fórmula a utilizar: S = C (1 + i)n Fechas: 21 de abril = 111 8 de octubre = 281 Días = 730 – 111 + 281 = 900 C = 3 000 S = 3 742,50 i=? n = 900 / 90 = 10 trimestres 3 742,50 = 3 000 [1 + i] 10

Despejando “i” de la ecuación anterior, se tiene: i = – 1 = 0,02236 tasa mensual Tasa anual = 0,02236 (4) = 0,08944 (8,944% anual).

Resolver los siguientes ejercicios sobre el cálculo de las otras variables del interés compuesto: 1) Hallar el monto a interés compuesto que se puede lograr con un capital de 4 800 nuevos soles, invertido el 5 de abril hasta el 27 de agosto del mismo año al 8%, capitalizable trimestralmente.

Resp.: 4 954,52.

2) Hallar el capital utilizado para obtener un monto de 3 615,32 nuevos soles, invertido el 15 de mayo hasta el 14 de junio del tercer año siguiente al 6%, capitalizable bimestralmente.

Resp.: 3 000,00.

3) ¿En qué tiempo en días, un capital de 8 600 nuevos soles se convierte 9 050 nuevos soles, invertido al 10%, capitalizable trimestralmente?

Resp.: 186 días.

4) ¿A qué tasa anual a interés compuesto, con un capital de 4 500 nuevos soles se puede lograr con un monto de 5 109,50 nuevos soles, invertido el 5 de abril hasta el 28 de agosto del año siguiente, capitalizable mensualmente?

Resp.: 9,00%. z1 0 9 z

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5) ¿En qué fecha del año siguiente, un capital de 18 800 nuevos soles invertido el 16 de febrero, se convierte 20 800 nuevos soles al 9% a interés compuesto capitalizable semestralmente?

Resp.: 5 de abril.

6) ¿En cuántos días, un capital de 7 500 nuevos soles puede gana un interés de 1 050 nuevos soles, invertido al 12%, capitalizable quincenalmente?

Resp.: 394 días.

7) ¿A qué tasa anual a interés compuesto, con un capital de 12 000 nuevos soles se puede lograr con un monto de 14 050 nuevos soles, invertido en 30 meses, capitalizable bimestralmente?

Resp.: 6,34%.

8) Hallar el monto a interés compuesto que se puede lograr con un capital de 14 800 nuevos soles, invertido el 5 de abril hasta el 27 de agosto del mismo año al 9%, capitalizable mensualmente.

Resp.: 15 340,45.

9) Hallar el capital utilizado para obtener un monto de 6 014,54 nuevos soles, invertido el 15 de mayo hasta el 14 de junio del tercer año siguiente al 6%, capitalizable semestralmente.

Resp.: 5 000,00.

10) ¿En cuántos días, un capital de 17 500 nuevos soles puede gana un interés de 1 900 nuevos soles, invertido al 8%, capitalizable trimestralmente?

Resp.: 468 días.

3.2.3 Cálculo de la tasa efectiva del interés compuesto Al definir el interés compuesto, se habló de la tasa efectiva como la tasa resultante de la operación financiera, pues bien ahora se utilizará dicha tasa efectiva, para conocer la utilidad que tiene, sin olvidar que al empezar la operación financiera, utilizó una tasa llamada tasa inicial o tasa nominal.

Cuando se conoce la tasa efectiva de una operación a interés compuesto, el deudor puede saber al término dicha operación ¿cuál es la tasa resultante o tasa final de toda la operación financiera?

Obtenida la tasa efectiva, para determinar el interés compuesto producido, solo se requiere multiplicarla por el capital y si le suma uno a la tasa efectiva, obtendrá el monto.

T.E. = [(1 + i)

z1 1 0 z

n

– 1]

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Ejercicios resueltos: 1) Hallar la tasa efectiva de un capital colocado al 9% sujeto a interés compuesto durante 255 días capitalizable quincenalmente.

Solución: Fórmula a utilizar: T.E. = [(1 + i) n – 1] T. E. = ? i = 0,09 / 24 = 0,00375 quincenal n = 255 /15 = 17 quincenas T. E. = [(1 + 0,00375) 17 – 1] = 0,065698835 (6,57% en las 17 quincenas) Esta tasa efectiva no es quincenal ni es anual, es la tasa efectiva por los 255 días que dura la operación, por que como ya se ha mencionado, la tasa efectiva es la tasa final o tasa resultante.

2) Hallar la tasa efectiva de los ahorros al 10% desde el 21 de abril hasta el 8 de octubre del segundo año siguiente, capitalizable trimestralmente.

Solución: Fórmula a utilizar: T.E. = [(1 + i) n – 1] Fechas: 21 de abril = 111 8 de octubre = 281

T. E. = ? i = 0,10 / 4 = 0,025 quincenal n = 900 / 90 = 10 trimestres T. E. = [(1 + 0,025) 10 – 1] = 0,280084544 (28,01% en los 900 días)

Días = 730 – 111 + 281 = 900

3) Hallar la tasa efectiva de un capital colocado al 8% sujeto a interés compuesto durante 25 meses capitalizable trimestralmente.

Solución: Fórmula a utilizar: T.E. = [(1 + i) n – 1] T. E. = ? i = 0,08 / 4 = 0,02 trimestral n = (25 / 3) quincenas T. E. = [(1 + 0,02)(25 / 3) – 1] = 0,179418941 (17,94% en los 25 meses)

4) Hallar la tasa efectiva anual de un capital colocado al 9,6% sujeto a interés compuesto, capitalizable bimestralmente.

Solución: Fórmula a utilizar: T.E. = [(1 + i) n – 1] T. E. = ? i = 0,096 / 6 = 0,016 bimestral n = 12 / 2 = 6 bimestres T. E. = [(1 + 0,016)6 – 1] = 0,0999222909 (9,99% en los 12 meses del año)

Muchas veces se calcula la tasa efectiva anual como parte de la publicidad de una entidad financiera para realizar préstamos, aunque los préstamos no duren un año; sin embargo suponiendo que el préstamo sea a tres años, la tasa efectiva final no es tres veces la tasa efectiva anual; aplicando la fórmula, se tiene:

T. E. = ? i = 0,096 / 6 = 0,016 bimestral n = 3 x 6 = 18 bimestres T. E. = [(1 + 0,016) 18 – 1] = 0,330720181 (33,07% en los 3 años) z1 1 1 z

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Resolver los siguientes ejercicios sobre el cálculo de la tasa efectiva del interés compuesto: 1) Hallar la tasa efectiva de los ahorros al 8,8% desde el 13 de julio hasta el 8 de julio del año siguiente, capitalizable trimestralmente.

Resp.: 9,09%.

2) Hallar la tasa efectiva anual de un capital colocado al 6,6% sujeto a interés compuesto, capitalizable mensualmente.

Resp.: 6,80%.

3) Hallar la tasa efectiva de un capital colocado al 9,15% sujeto a interés compuesto durante 15 meses capitalizable quincenalmente.

Resp.: 12,09%.

z1 1 2 z

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3

3.3 Fórmulas para el descuento compuesto Las fórmulas que fueron definidas anteriormente, son las mismas que se utilizarán en esta lección para el cálculo del descuento compuesto, tales fórmulas son las siguientes: C = S (1 – d) n D = S [1 – (1 – d) n ] D = S – C

(1) (2) (3)

Donde: S = Valor Nominal d = Tasa de Descuento

D = Descuento C = Efectivo o Valor Actual n = Número de capitalizaciones en el Tiempo

Con estas fórmulas se puede calcular cualquier variable que interviene en el descuento compuesto, con la única obligación es que la tasa (d) y cada periodo de descuento (n), estén en la misma unidad de tiempo ordenado por la capitalización.

Si usted trabajara cualquier fórmula de descuento compuesto en años, meses o en días, el resultado siempre será diferente; por lo tanto el estudiante no puede hacer ninguna operación de tipo compuesta de manera diferente a la capitalización. En los casos de una operación financiera a descuento compuesto no especifique en que términos sarán capitalizados, se asume que la capitalización es anual, lo mismo se asumirá cuando no se especifique en que tiempo está definida la tasa. z1 1 3 z

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3.3.1 Cálculo del descuento compuesto Para el cálculo del descuento compuesto, el único requisito para utilizar las fórmulas definidas con anterioridad, es que se conozca en que periodo de tiempo se produce la capitalización; es decir la deducción del descuento del valor nominal. Conocido el periodo de capitalización todas las variables relacionadas con el tiempo, tales como: la tasa y la duración de la operación, deben ser convertidas al periodo de la capitalización por que como en cualquier operación financiera, la tasa y el tiempo deben ser homogéneos de acuerdo con la capitalización.

En el cálculo del descuento compuesto cuando se den dos fechas, se deben utilizar los días calendarios entre las fechas, y el año tendrá 365 días que serán divididos entre el número de días que dure la capitalización (solo en los casos de fechas).

Ejercicios resueltos: 1) Hallar el descuento compuesto de una letra de 7 000 nuevos soles descontados al 9% 156 días antes de su vencimiento, capitalizable mensualmente.

Solución: Fórmula a utilizar: D = S [1 – (1 – d) n ] D = ? S = 7 000 d = 0,09 / 12 = 0,0075 mensual n = 156 / 30 = 5,2 meses D = 7 000 [1 – (1 – 0,0075)5,2 ] = 268,73 nuevos soles.

2) Hallar el descuento compuesto de un pagaré de 1 900 nuevos soles, girada con vencimiento del 5 de noviembre y descontada al 8% capitalizable trimestralmente el 26 de abril del año anterior.

Solución: Fórmula a utilizar: D = S [1 – (1 – d)n ] Fechas: 26 de abril = 116 5 de noviembre = 309

D=?

S = 900 d = 0,08 / 4 = 0,02 trimestral n = 558 / 90 = 6,2 trimestres D = 1 900 [1 – (1 – 0,02)6,2] = 223,69 nuevos soles.

días = 365 – 116 + 309 = 558

3) Hallar el descuento compuesto de una letra de 4 600 nuevos soles, girada con vencimiento del 13 de diciembre y descontada al 12 % capitalizable quincenalmente el 17 de junio del mismo año.

Solución: Fechas: 17 de junio = 168 14 de diciembre = 348 días = 348 – 168 = 180 D=?

S = 4 600 d = 0,12 / 24 = 0,005 n = 180 / 15 = 12 D = 4 600 [1 – (1 – 0,005)12] = 268,54 nuevos soles.

4) Hallar el descuento compuesto de un pagaré de 5 000 nuevos soles, girada con vencimiento del 30 de septiembre y descontada al 9 % capitalizable bimestralmente el 12 de febrero 2 años antes del vencimiento. z1 1 4 z

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Solución: Fechas: 12 de febrero = 43 30 de septiembre = 273 días = 2(365) – 43 + 273 = 960 D=?

S = 5 000 d = 0,09 / 6 = 0,015 bimestral n = 960 / 60 = 16 bimestres D = 5 000 [1 – (1 – 0,015) 16 ] = 1 074,01 nuevos soles.

Resolver los siguientes ejercicios sobre descuento compuesto: 1) Hallar el descuento compuesto sobre una letra de 3 000 nuevos soles, descontada el 1 de abril con vencimiento del 3 de noviembre del mismo año al 12%, capitalizable mensualmente.

Resp.: 209,42.

2) ¿Cuál es el descuento sobre un pagaré de 8 600 nuevos soles, descontado el 5 de agosto con vencimiento del 1 de junio del año siguiente al 9%, capitalizable bimestralmente.

Resp.: 625,94.

3) Hallar el descuento compuesto que se puede alcanzar con un pagaré de 4 450 nuevos soles, descontado el 28 de febrero con vencimiento del 22 de septiembre del segundo año siguiente al 6%, capitalizable trimestralmente.

Resp.: 647,26.

4) Hallar el descuento compuesto que se obtuvo de una letra de 6 000 nuevos soles, descontada 18 meses antes de su vencimiento al 12%, capitalizable quincenalmente.

Resp.: 990,64.

5) Hallar el descuento compuesto de una letra de 7 200 nuevos soles, descotada faltando 2 años y 6 meses para su vencimiento al 10% capitalizable semestralmente.

Resp.: 1 628,78.

6) Hallar el descuento compuesto sobre una letra de 1 500 nuevos soles, descontada el 30 de marzo con vencimiento del 13 de noviembre del mismo año al 8%, capitalizable mensualmente.

Resp.: 74,35.

7) ¿Cuál es el descuento sobre un pagaré de 2 900 nuevos soles, descontado el 5 de agosto con vencimiento del 1 de junio del año siguiente al 9%, capitalizable bimestralmente.

Resp.: 211,07.

8) Hallar el descuento compuesto que se puede alcanzar con un pagaré de 7 500 nuevos soles, descontado el 28 de febrero con vencimiento del 22 de septiembre del segundo año siguiente al 6%, capitalizable trimestralmente.

Resp.: 1 090,89.

9) Hallar el descuento compuesto que se obtuvo de una letra de 4 600 nuevos soles, descontada 15 meses antes de su vencimiento al 9%, capitalizable quincenalmente.

Resp.: 490,32. z1 1 5 z

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3.3.2 Cálculo de las otras variables del descuento compuesto Para calcular las otras variables del Descuento Compuesto, no es necesario alterar ninguna de las fórmulas dadas, por que el estudiante se llenaría de fórmulas al tratar crear una nueva fórmula para cada variable a despejar; lo aconsejable en estos casos es que el estudiante reemplace los datos conocidos en las fórmulas comunes, para luego realizar los cálculos correspondiente despejando la variable que busca.

Ejercicios resueltos: 1) Hallar el efectivo o valor actual de una letra de 9 500 nuevos soles que fue descontada en 7% de descuento compuesto durante 216 días, capitalizable trimestralmente.

Solución: Fórmula a utilizar: C = S (1 – d)n C = ? S = 9 500 d = 0,07 / 4 = 0,0175 trimestral n = 216 / 90 = 2,4 trimestres C = 9 500 [1 – 0,0175] 2,4 = 9 105,88 nuevos soles.

2) ¿Cuál es al valor nominal de un pagaré que descontado en 6,24% capitalizable mensualmente, del 27 de marzo al 18 de octubre del año siguiente, se paga un efectivo de 2 050,25 nuevos soles?

Solución: Fórmula a utilizar: C = S (1 – d)n Fechas: 27 de marzo = 86 18 de octubre = 291 días = 365 – 86 + 291 = 570

S = ? C = 2 050,25 d = 0,0624 / 12 = 0,0052 mensual 2 050,25 = C [1 – 0,0052]19 ; despejando “C”: C = 2 050,25 / [1 – 0,0052]19 = 2 263,74 nuevos soles

n = 570 / 30 = 19 meses

3) ¿Cuál es el valor nominal de un pagaré que descontado al 9% capitalizable bimestralmente del 7 de noviembre al 14 de marzo del segundo año siguiente, se paga un efectivo de 4 528,20 nuevos soles?

Solución: Fórmula a utilizar: C = S (1 – d)n Fechas: 7 de noviembre = 311 14 de marzo = 73

S = ? C = 4 528,20 d = 0,09 / 6 = 0,015 bimestral n = 492 / 60 = 8,2 bimestres 4 528,20 = S / [1 – 0,015] 8,2 ; despejando “S”, todo el corchete pasa a dividir: S = 4 528,20 / [1 – 0,015] 8,2 = 5 125,64 nuevos soles

días = 2(365) – 311+71 = 492

4) ¿Cuántos días serán necesarios para que una letra de 6 000 nuevos soles genere un descuento de 763,20, si la tasa de descuento compuesta fue el 9%, capitalizable quincenalmente?

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Solución: Fórmula a utilizar: D = S [1 – (1 – d) n ] n = ? S = 6 000 d = 0,09 / 24 = 0,00375 quincenal D = 763,20 763,20 = 6 000 [1 – (1 – 0,00375) n ] ; primero se operan las variables conocidas (763,20 / 6 000) – 1 = – 0,99625n ; – 0,8728 = – 0,99625n 0,8728 = 0,99625n despejando “n” después de cambiar signos:

n = log 0,8728 / log 0,99625 = 36,21162484 (el tiempo está en quincenas por la tasa) Días = 36,21162484 (15) = 543 días.

5) ¿Cuál es la fecha de vencimiento de un pagaré de 2 200 nuevos soles que descontado el 5 de octubre del año actual produce un efectivo de 1 904,98 nuevos soles al 12% de descuento compuesto, capitalizable mensualmente?

Solución: Fórmula a utilizar: C = S (1 – d)n n = ? C = 1 904,98 S = 2 200 d = 0,12 / 12 = 0,01 mensual 1 904,98 = 2 200 (1 – 0,01)n ; primero se operan las variables conocidas

(1 904,98 / 2 200) = 0,99n ;

n = log 0,8659 / log 0,99 = 14,32647154 (el tiempo está en meses por la tasa) Días = 14,32647154 (30) = 430 días.

Respuesta:

despejando “n” después de efectuar la división

vence el 9 de diciembre del año siguiente

6) Hallar la tasa anual de descuento compuesto de una letra de 5 320 nuevos soles que descontada el 29 de diciembre con vencimiento el 1 de octubre del año siguiente, produce un efectivo de 5 000 nuevos soles, capitalizables bimestralmente.

Solución: Fórmula a utilizar: C = S (1 – d) n Fechas: 29 de diciembre = 363 1 de octubre = 274

d = ? C = 5 000 S = 5 320 n = 276 / 60 = 4,6 bimestres 5 000 = 5 320 (1 – d)4,6 ; despejando “d”:

4, 6

(5000 / 5320)

–1 = –d

días = 365 – 363 + 274 = 276

; – 0,013395426 = – d

d = 0,013395426 (bimestral) por que el tiempo esta en bimestres Tasa anual = 0,013395426 (6) = 0,0804 tasa anual

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Se entiende que si usted trabaja con el tiempo en bimestres, la tasa resultante está convertida en bimestres, que al convertirla en tasa anual debe ser multiplicada por 6 bimestres que tiene el año.

7) Hallar la tasa anual de descuento compuesto de una letra de 8 600 nuevos soles que descontada faltando 300 días antes de su vencimiento, produce un descuento de 600 nuevos soles, capitalizables mensualmente.

Solución: Fórmula a utilizar:

d = ? D = 600 S = 8 600 n = 300 / 30 = 10 meses 600 = 8 600 [1 – (1 – d)10 ] (600 / 8 600) – 1 = – (1 – d)10

– 0,930232558 = – (1 – d)10 ; despejando “d” después de cambiar los signos: –1 = d = 0,007205977711 (mensual) por que el tiempo esta en meses

Tasa anual = 0, 0,007205977711 (12) = 0,0865 tasa anual

D = S [1 – (1 – d) n ]

(8,65%)

Resolver los siguientes ejercicios sobre el cálculo de las otras variables del descuento compuesto: 1) ¿Cuál es el valor nominal de una letra que al 9% capitalizable bimestralmente, es descontada el 13 de agosto con vencimiento del 23 de diciembre del mismo año, produciendo un descuento de 215,50 nuevos soles?

Resp.: 6 589,55.

2) ¿Cuál es el valor actual de un pagaré de 2 000 nuevos soles que fue descontado en 412,50 nuevos soles?

Resp.: 1 587,50.

3) ¿Cuál es el valor nominal de una letra que al 9,6% de descuento compuesto produce un efectivo de 1 228,00 nuevos soles, descontados el 13 de mayo con vencimiento del 9 de marzo del año siguiente, capitalizable mensualmente?

Resp.: 1 330,70.

4) ¿A qué tasa anual de descuento compuesto, una letra se reduce en 20% descontada faltando 16 meses para su vencimiento, si se capitalizable quincenalmente?

Resp.: 16,68%.

5) ¿Cuál es el valor nominal de un pagaré que al 6% descontado el 4 de julio con vencimiento del 12 de septiembre del año siguiente, produjo un descuento de 803,25 nuevos soles capitalizables mensualmente?

Resp.: 11 458,08

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6) ¿En cuántos días el valor actual de un pagaré de 10 000 nuevos soles que fue descontado en 642,50 nuevos soles, al 9% capitalizable trimestralmente?

Resp.: 263 días 7) ¿Cuál es el valor actual de una letra de 1 500 nuevos soles descontada al 10% capitalizable semestralmente faltando 252 días antes de su vencimiento?

Resp.: 1 396,06.

8) ¿A qué tasa de descuento compuesto, una letra de 8 000 nuevos soles se reduce en 850 nuevos soles, descontada faltando 426 días para su vencimiento, capitalizable bimestralmente?

Resp.: 9,42%.

9) ¿Cuál era la fecha de vencimiento al año siguiente de un pagaré de 6 500 nuevos soles que fue descontado el 16 octubre al 12%, y se recibió un efectivo de 6 027 nuevos soles, capitalizable semestralmente?

Resp.: 21 de mayo.

10) ¿Cuál era la fecha de negociación de un pagaré de 4 000 nuevos soles con vencimiento del 22 de junio, si se recibe un efectivo de 3 750 nuevos soles, al ser descontado con el 9% capitalizable quincenalmente?

Resp.: 7 de octubre.

3.3.3 Cálculo de la tasa efectiva del descuento compuesto Al definir el descuento compuesto, se habló de la tasa efectiva como la tasa resultante de la operación financiera, pues bien ahora se utilizará dicha tasa efectiva, para conocer la utilidad que tiene en los descuentos. En el descuento compuesto la tasa inicial también se llama tasa nominal.

Cuando se conoce la tasa efectiva de una operación de descuento compuesto, el comprador puede saber al término dicha operación ¿cuál es la tasa resultante o tasa final de toda la operación financiera?

Obtenida la tasa efectiva, para determinar el descuento compuesto producido, solo se requiere multiplicarla por el valor nominal y si de uno le resta la tasa efectiva, obtendrá el efectivo o valor actual.

T.E. = [1 – (1 – d) n]

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Ejercicios resueltos: 1) Hallar la tasa efectiva de descuento compuesto de una letra descontada al 9% sujeto a 255 días capitalizable quincenalmente.

Solución: Fórmula a utilizar: T.E. = [1 – (1 – d)n] T. E. = ? i = 0,09 / 24 = 0,00375 quincenal n = 255 /15 = 17 quincenas T. E. = [1 – (1 – 0,00375)17 ] = 0,061872893 (6,19% en las 17 quincenas) Esta tasa efectiva no es quincenal ni es anual, es la tasa efectiva por los 255 días que dura la operación de descuento, por que como ya se ha mencionado, la tasa efectiva es la tasa final o tasa resultante.

2) Hallar la tasa efectiva de descuento al 10% de una letra descontada el 21 de abril con vencimiento el 8 de octubre del segundo año siguiente, capitalizable trimestralmente.

Solución: Fórmula a utilizar: T.E. = [1 – (1 – d)n] Fechas: 21 de abril = 111 8 de octubre = 281 Días = 730 – 111 + 281 = 900 T. E. = ? i = 0,10 / 4 = 0,025 quincenal n = 900 / 90 = 10 trimestres T. E. = [1 – (1 – 0,025)10] = 0,223670379 (22,37% en los 900 días)

3) Hallar la tasa efectiva de descuento de una letra al 8% faltando 25 meses para su vencimiento, capitalizable trimestralmente.

Solución: Fórmula a utilizar: T.E. = [1 – (1 – d)n] T. E. = ? i = 0,08 / 4 = 0,02 trimestral n = (25 / 3) quincenas T. E. = [1 – ­ (1 – 0,02)(25 / 3)] = 0,154946968 (15,49% en los 25 meses) Cuando se convierten tasas o el tiempo con relación a la capitalización, muchas veces la división no es exacta y el estudiante no sabe con cuantos decimales trabajar; lo recomendable en este caso, es dejar la división indicada entre paréntesis para no utilizar datos redondeados, sino todos los decimales posibles tal como observa usted en el ejercicio 3 que n = (25 / 3). En este manual se han trabajado todos los ejercicios con todos los decimales y se utiliza el redondeo solo en la respuesta final.

4) Hallar la tasa efectiva de descuento de un pagaré al 9,6% 2 años antes de su vencimiento, capitalizable bimestralmente.

Solución: Fórmula a utilizar: T.E. = [1 – (1 – d) n ] T. E. = ? i = 0,096 / 6 = 0,016 bimestral n = 24 / 2 = 12 bimestres T. E. = [1 – (1 – 0,016) 12 ] = 0,175973494 (17,59% en los 2 años)

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Resolver los siguientes ejercicios sobre el cálculo de la tasa efectiva del descuento compuesto: 1) Hallar la tasa efectiva de descuento compuesto de un pagaré al 8,8% descontada el 13 de julio siendo su vencimiento el 8 de julio del año siguiente, capitalizable trimestralmente.

Resp.: 8,51%.

2) Hallar la tasa efectiva de una letra descontada al 6,6% faltando 210 días antes de su vencimiento, capitalizable mensualmente.

Resp.: 3,79%.

3) Hallar la tasa efectiva de descuento de un pagaré al 9,15% faltando 15 meses para su vencimiento, capitalizable quincenalmente.

Resp.: 10,83%.

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3.4 Pagos y ahorros a interés compuesto Cuando se adquieren deudas a interés compuestos, es muy común que en los contratos se incluyan pagos parciales, a fin de cancelar parte de lo adeudado y reducir la deuda misma.

En cuanto al tiempo, los pagos parciales se pueden realizar sin ninguna restricción o condición, ya que las aportaciones pueden efectuarse en el momento que el cliente lo desee y en cuanto al aporte, puede ser variado según el efectivo que disponga.

Existen algunos procedimientos que las entidades crediticias o financieras utilizan en los casos de pagos parciales y en los casos de consolidación o unificación de deudas, tales procedimientos, aunque con el interés compuesto, cualquiera de los procedimientos conocidos, dan el mismo resultado, incluyendo las operaciones de ahorros, en la presente lección se verán tales procedimientos:

3.4.1 Regla de saldos insolutos o de Estados Unidos con interés compuesto Esta regla consiste en que al saldo se le calculan los intereses hasta el momento de acercarse a efectuar alguna operación financiera; después de haber reunido el saldo más los intereses, se suma o resta el aporte según el caso generando un nuevo saldo, a partir de ese instante; esta procedimiento se repite en cada operación financiera, hasta su cancelación. z1 2 3 z

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Este método mayormente se utiliza en nuestro medio en: pagos parciales, consolidación de deudas, ahorros, etc., por que en un memento determinado al realizar una operación financiera, genera un saldo que luego será reducido si es un pago por deuda o retiro de ahorros; dicho saldo también, puede ser incrementado si es un depósito en ahorros o si se adquiere mayor deuda.

3.4.1.1 Pagos parciales con interés compuesto Esta regla consiste en que al deudor se le calculan los intereses adeudado hasta el momento de acercarse a pagar parte de la deuda; después de haber reunido la deuda más los intereses, se resta el aporte siendo el saldo su nueva deuda a partir de ese instante; esta operación se repite en cada una de las aportaciones, hasta su cancelación.

Ejercicios resueltos: 1) El 30 de abril se consigue un préstamo de 3 560 nuevos soles al 9% a interés compuesto hasta el 11 de octubre del año siguiente. El 14 de septiembre del año inicial, se paga 1 700 nuevos soles y el 5 de enero siguiente se abona 1 200 nuevos soles. ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla de saldos insolutos si la capitalización es mensualmente?

Solución: Fórmula a utilizar: S = C (1 + i) n Fechas: 30 de abril = 120 14 de septiembre = 257 5 de enero = 5 11 de octubre = 284

C = 3 560

Saldo al primer pago: t = 257 – 120 = 137 días n = (137 / 30) meses S = 3 560 [1 + 0,0075] (137 / 30) = 3 683,57 – 1 700 = 1 983,57

Saldo al segundo pago: t = 365 – 257 + 5 = 113 días n = (113 / 30) meses S = 1 983,57 [1 + 0,0075] (113 / 30) = 2 040,19 – 1 200 = 840,19

Saldo final: t = 284 – 5 = 279 días n = (279 / 30) meses S = 840,19 [1 + 0,0075] (279 / 30) = 900,65 nuevos soles

S = ?

i = 0,09 / 12 = 0,0075 mensual

2) El 17 de junio se consigue un préstamo de 5 000 nuevos soles al 8% capitalizable trimestralmente hasta el 17 de noviembre del año siguiente. El 10 de octubre del año inicial, se paga 2 000 nuevos soles y el 15 de marzo siguiente se abona 1 500 nuevos soles. ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla de Estados Unidos?

Solución:

Fórmula a utilizar: S = C (1 + i) n

Fechas:

17 de junio = 168 10 de octubre = 283 15 de marzo = 74

C = 5 000 S = ? i = 0,08 / 4 = 0,02 trimestral z1 2 4 z

17 de noviembre = 321

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Saldo al primer pago: t = 283 – 168 = 115 días n = (115 / 90) S = 5 000 [1 + 0,02](115 / 90) = 5 128,13 – 2 000 = 3 128,13

Saldo al segundo pago: t = 365 – 283 + 74 = 156 días n = (156 / 90) S = 3 128,13 [1 + 0,02](156 / 90) = 3 237,37 – 1 500 = 1 737,37

Saldo final: t = 321 – 74 = 247 días n = (247 / 90) S = 1 737,37 [1 + 0,02](247 / 90) = 1 834,40 nuevos soles

Resolver los siguientes ejercicios sobre pagos parciales utilizando la regla de saldos insolutos o de EE. UU con interés compuesto.

1) El 11 de abril se consigue un préstamo de 5 600 nuevos soles al 12% a interés compuesto hasta el 30 de octubre del año siguiente. El 10 de julio del año inicial, se paga 1 900 nuevos soles y el 25 de febrero siguiente se abona 1 800 nuevos soles. ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla de saldos insolutos si la capitalización es mensual?

Resp.: 2 579,33 2) El 19 de enero se consigue un préstamo de 2 000 nuevos soles al 8% a interés compuesto hasta el 7 de agosto del mismo año. El 19 de abril, se paga 1 000 nuevos soles ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla de Estados Unidos si la capitalización es trimestral?

Resp.: 1 065,48 3) El 22 de noviembre se consigue un préstamo de 2 800 nuevos soles al 9% a interés compuesto hasta el 27 de diciembre del año siguiente. El 10 de junio del año siguiente del préstamo se paga 900 nuevos soles y el 8 de septiembre se abona 800 nuevos soles. ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla de saldos insolutos si la capitalización es bimestral?

Resp.: 1 324,25 4) El 18 de agosto se consigue un préstamo de 3 000 nuevos soles al 6% a interés compuesto hasta el 21 de diciembre del año siguiente. El 10 de enero del año siguiente se paga 1 000 nuevos soles y 15 de mayo se paga otros 1 000 nuevos soles ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla de Estados Unidos si la capitalización es quincenal?

Resp.: 1 158,54 5) El 14 de julio se consigue un préstamo de 4 500 nuevos soles al 12% a interés compuesto hasta el 14 de julio del año siguiente. Si el 6 de diciembre se paga 2 000 nuevos soles ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla de Estados Unidos si la capitalización es mensual?

Resp.: 2 927,73

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3.4.1.2 Consolidación de deudas con interés compuesto Cuando un cliente de una entidad financiera o crediticia tiene varias deudas contraídas, puede el deudor efectuar previo acuerdo con la entidad crediticia la consolidación o unificación todas las deudas en una sola, cancelando una parte y a partir de ese momento, reúne todo lo que debe fijándose una nueva tasa y un nuevo periodo de tiempo para pagar todo lo adeudado.

Toda consolidación a interés compuesto, es más sencilla con la regla de saldos insolutos por que al momento de la unificación primero se actualizan los saldos, para determinar a cuanto asciende todo lo adeudado. Este procedimiento de consolidación es el mismo que el utilizado en operaciones de tipo simple, con la diferencia de que los saldos se calculan con la fórmula del interés compuesto.

Ejercicios resueltos: 1) Un inversionista consigue un préstamo de 1 600 nuevos soles el 9 de febrero al 10% capitalizable trimestralmente hasta el 11 de octubre del año siguiente. El 14 de mayo consigue un segundo préstamo por 800 nuevos soles por 15 meses al 8% capitalizable mensualmente. Finalmente el 7 de junio del mismo año consigue un nuevo préstamo de 2 000 nuevos soles al 15% capitalizable quincenalmente por 3 años. En el año que había solicitados los préstamos le ofrecen consolidar las tres deudas en una, pagando 1 500 nuevos soles el 10 de julio al 9% capitalizable bimestralmente por 2 años. ¿Cuál es el nuevo saldo en la fecha de vencimiento, considerando el ofrecimiento de unificación?

Solución: Fórmula a utilizar:

S

Fechas: 9 de febrero = 40

14 de mayo = 134

Cálculo del saldo de todo lo adeudado a la fecha de consolidación: C = 1 600 S=? i = 0,10 / 4 trimestral n = 191 – 40 = (151 / 90) trimestres S = 1 600 [1 + 0,025](151 / 90) = 1 667,68

C = 800 S = ? i = (0,08 / 12) mensual S = 800 [1 + (0,08/12)]1,9 = 810,16

n = 191 – 134 = 57 / 30 = 1,9 meses

C = 2 000 S = ? i = 0,15 / 24 = 0,00625 S = 2 000 [1 + 0,00625]2,2 = 2 027,60

n = 191 – 158 = 33 / 15 = 2,2 quincenas

Total adeudado al 10 de julio menos lo pagado: Saldo = 1 667,68 + 810,16 + 2 027,60 = 4 505,44 – 1 500 = 3 005,44

= C (1 + i)n

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7 de junio = 158

10 de julio = 191

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Saldo a la fecha de vencimiento: C = 3 005,44 S = ? i = 0,09 / 6 = 0,015 bimestral n = 2 x 365 = (730/60) bimestres S = 3 005,44 [1 + 0,015] (730 / 60) = 3 602,29 nuevos soles

En el cálculo del tiempo, cuando se trabaja con fechas lo adecuado es llevar los años transcurridos, a días; por que según calendario éste tiene 365 días. Recuerde que en la fórmula, utilizó una tasa anual dividida entre 6 bimestres que tiene el año y cada bimestre solo tiene 60 días. Según las fecha el año tiene 365 días y eso le conviene a toda entidad financiera por que de esta manera gana más intereses, ya que por un lado con la tasa consideró 360 días para el año, y en los periodos de tiempo consideró 365.

2) Un inversionista consigue un préstamo de 2 200 nuevos soles el 23 de agosto al 12% capitalizable bimestralmente por 15 meses. El 19 de octubre consigue un segundo préstamo por 1 300 nuevos soles por 435 días al 10% capitalizable trimestralmente.

Finalmente el 17 de noviembre del mismo año consigue un nuevo préstamo de 1 000 nuevos soles al 8% capitalizable quincenalmente por 1 año. En el mismo año que había solicitados los préstamos una entidad financiera la ofrece consolidar las tres deudas en una sola pagando un adelanto de 1 800 nuevos soles, oferta que fue aceptada por el inversionista el 20 de diciembre al 10% con interés compuesto capitalizable mensualmente pagadero hasta el 22 de marzo a los 2 años siguientes del año de la consolidación. ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento?

Solución: Fórmula a utilizar: S = C (1 + i) n Fechas: 23 de agosto = 235 19 de octubre = 292 17 de noviembre = 321 20 de diciembre = 354 22 de marzo = 81

Cálculo del saldo de todo lo adeudado a la fecha de consolidación:

C = 2 200 S = ? i = 0,12 / 6 = 0,02 bimestral n = 354 – 235 = (119 / 60) bimestres S = 2 200 [1 + 0,02](119 / 60) = 2 288,12

C = 1 300 S = ? i = 0,10 / 4 = 0,025 trimestral n = 354 – 292 = (62/90) trimestres S = 1 300 [1 + 0,025](62 / 90) = 1 322,30

C = 1 000 S = ? i = (0,08 / 24) quincenal n = 354 – 321 = 33 / 15 = 2.2 quincenas S = 1 000 [1 + (0,08 / 24)]2,2 = 1 007,35

Total adeudado al 20 de diciembre menos lo pagado: Saldo = 2 288,12 + 1 322,30 + 1 007,35 = 4 617,77 – 1 800 = 2 817,77

Saldo a la fecha de vencimiento:

C = 2 817,77 S = ? i = (0,1 / 12) mensual n = 2(365) – 354 + 81 = (457 / 30) meses S = 2 817,77 [1 + (0,1 / 12)] (457 / 30) = 3 197,48 nuevos soles

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Resolver los siguientes ejercicios sobre consolidación de deudas utilizando el método de saldos insolutos con interés compuesto.

1) Un inversionista consigue un préstamo de 600 nuevos soles el 14 de marzo al 15% a interés compuesto hasta el 11 de noviembre del año siguiente. El 5 de mayo consigue un segundo préstamo por 900 nuevos soles por 15 meses al 10%. Finalmente el 31 de mayo del mismo año consigue un nuevo préstamo de 1 000 nuevos soles al 14% por 2 años. En el mismo año que había solicitados los préstamos una entidad financiera la ofrece consolidar las deudas en una sola pagando un adelanto de 1 000 nuevos soles, oferta que fue aceptada por el inversionista el 15 de agosto al 12% compuesto por 3 años. ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento si todas las operaciones son capitalizadas mensualmente?

Resp.: 2 293,59 2) Un deudor consigue un préstamo de 1 400 nuevos soles el 3 de agosto al 12% a interés capitalizable quincenalmente por 15 meses. El 9 de octubre consigue un segundo préstamo por 800 nuevos soles por 339 días al 10% de interés capitalizable trimestralmente. Finalmente el 8 de noviembre del mismo año consigue un nuevo préstamo de 1 200 nuevos soles al 8% por 1 año capitalizable mensualmente. El 2 de diciembre del mismo año que había solicitados los préstamos consolida las tres deudas en una sola pagando un adelanto de 1 700 nuevos soles, y el saldo pagadero hasta el 22 de marzo a los 2 años siguientes del año de la consolidación al 11% de interés capitalizable mensualmente. ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento?

Resp.: 2 051,83

3.4.1.3 Ahorros con interés compuesto Consiste en realizar depósitos previa apertura de una cuenta en cualquier entidad financiera sin vencimiento, y por el tiempo que están depositados los ahorros en dicha cuenta, ganarán intereses de tipo compuesto con la regla de saldos insolutos o de Estados Unidos.

En este tipo de operaciones, los ahorristas tienen la libre disponibilidad de sus depósitos, es decir que en cualquier momento puede retirar parte o todos los ahorros realizados. En estos casos la entidad financiera debe hacer conocer a su cliente cuál es el saldo de sus ahorros en el momento que este último así lo requiera; los aporte de ahorro o depósitos pueden hacerse en cualquier momento así como los retiros de los mismos.

El solo hecho de que una entidad financiera sepa cuando usted va ha realizar un retiro de sus depósitos, le daría la libertad suficiente para invertir el dinero de usted en alguna otra actividad; por esta razón todo depósito a plazo fijo donde se determina hasta cuando el depósito está inmovilizado, gana siempre más intereses, ya que todo ese tiempo el 100% del dinero colocado aplazo fijo puede ser invertido, mientras que el dinero en ahorros no puede ser invertido en otra parte al 100%.

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Ejercicios resueltos: 1) Un ahorrista abre una cuenta de ahorros con 1 000 nuevos soles al 6% de interés capitalizable bimestralmente el 16 de julio. El 7 de septiembre y el 9 de octubre del mismo año deposita en su cuenta 800 y 1 540 nuevos soles respectivamente. ¿Cuál será el saldo de su cuenta al 29 de mayo del año siguiente, si 25 días antes retira 1 000 nuevos soles?

Solución: Fórmula a utilizar:

Fechas:

Cálculo del saldo después de efectuado el primer depósito: C = 1 000 S = ? i = 0,06 / 6 = 0,01 bimestral n = 250 – 197 = (53/60) bimestres S = 1 000 [1 + 0,01](53 / 60) = 1 008,83 + 800 = 1 808,83

Cálculo del saldo después de efectuado el segundo depósito: C = 1 808,83 S = ? i = 0,01 bimestral n = 281 – 250 = (31 / 60) bimestres S = 1 808,83 [1 + 0,01](31 / 60) = 1 818,15 + 1 540 = 3 358,15

Cálculo del saldo después de efectuado el retiro: C = 3 358,15 i = 0,01 bimestral n = 365 – 281+149 – 25 = (208 / 60) bimestres S = 3 358,15 [1 + 0,01](208 / 60) = 3 476,01 – 1 000 = 2 476,01

Cálculo del saldo al 29 de mayo: C = 2 476,01 S=? i = 0,06 / 6 = 0,01 bimestral n = (25 / 60) bimestres S = 2 476,01 [1 + 0,01] (25 / 60) = 2 486,30 nuevos soles.

S = C (1 + i)n

16 de julio = 197 7 de septiembre = 250 29 de mayo = 149

8 de octubre = 281

2) Un ahorrista abre una cuenta de ahorros con 3 000 nuevos soles al 9% de interés capitalizable quincenalmente el 8 de julio. El 17 de septiembre y el 12 de octubre del mismo año retira de su cuenta 800 y 1 540 nuevos soles respectivamente. El 14 de marzo del año siguiente deposita 1 200 nuevos soles ¿Cuál será el saldo de su cuenta al 17 de junio del año que realizó el depósito?

Solución: Fórmula a utilizar:

S

= C (1 + i)n

Fechas:

8 de julio = 189 14 de marzo = 73

17 de septiembre = 260 17 de junio = 168

Cálculo del saldo después de efectuado el primer retiro: C = 3 000 i = 0,09 /24 = 0,00375 quincenal n = 260 – 189 = (71 / 15) quincenas S = 3 000 [1 + 0,00375] (71 /15) = 3 053,62 – 800 = 2 253,62

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12 de octubre = 285

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Cálculo del saldo después de efectuado el segundo retiro: C = 2 253,62 i = 0,00375 quincenal n = 285 – 260 = (25 / 15) quincenas S = 2 253,62 [1 + 0,00375](25 /15) = 2 267,72 – 1 540 = 727,72

Cálculo del saldo después de efectuado el depósito: C = 727,72 i = 0,00375 quincenal n = 365 – 285 + 73 = (153 / 15) = 10,2 quincenas S = 727,72 [1 + 0,00375]10,2 = 756,04 + 1 200 = 1 956,04

Cálculo del saldo al 17 de junio: C = 1 956,04 i = 0,00375 quincenal n = 168 – 73 = (95 / 15) quincenas S = 1956,04 [1 + 0,00375](95 /15) = 2 002,96 nuevos soles.

Resolver los siguientes ejercicios sobre ahorros con interés compuesto utilizando el método de saldos insolutos.

1) Un trabajador abre una cuenta de ahorros con 2 000 nuevos soles al 6% de interés capitalizable bimestralmente el 28 de junio. El 17 de agosto y el 11 de octubre del mismo año retira de su cuenta 600 y 500 nuevos soles respectivamente. El 14 de mayo del año siguiente deposita 1 000 nuevos soles ¿Cuál será el saldo de su cuenta al 23 de julio del año que realizó el depósito?

Resp.: 1 986,30 2) ¿Cuál será el saldo de su cuenta al 24 de julio de un ahorrista, si 120 días después de abrir una cuenta de ahorros con 1 000 nuevos soles, retira 400 nuevos soles el 16 de marzo de año actual? Se sabe que los ahorros ganan el 8% a interés capitalizable trimestralmente.

Resp.: 644,94 3) Un empleado tiene actualmente una cuenta de ahorros por 3 567,55 nuevos soles al 9% a interés compuesto capitalizable quincenalmente. ¿Cuál será el saldo de su cuenta dentro de un año si ha pensado hacer dos depósitos de 500 nuevos soles a 90 y 180 días y un retiro de 1 600 a los 250 días? Recuerde que cuando las operaciones en ahorros son tratadas en días, el año tiene 365 días como en este caso.

Resp.: 3 320,30 4) ¿Cuál será el saldo de su cuenta al 7 de septiembre de un ahorrista, si 120 días después de abrir una cuenta de ahorros con 1 500 nuevos soles, retira 500 nuevos soles el 10 de mayo de año actual? Se sabe que los ahorros ganan el 6% a interés compuesto capitalizable mensualmente.

Resp.: 1 050,99 5) Un empleado tiene actualmente una cuenta de ahorros por 1 253,45 nuevos soles al 12% capitalizable bimestralmente. ¿Cuál será el saldo de su cuenta dentro de un año si ha pensado hacer dos retiros de 500 nuevos soles a 90 y 180 días y un depósito de 1 600 a los 250 días? Considerar que el año tiene 365 días en estos casos.

Resp.: 1 996,83.

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3.4.2 Regla comercial o de la ecuación con interés compuesto Esta regla tiene aplicación principalmente en pagos parciales y consiste en que al deudor se le calcula el monto de lo adeudado desde el momento que adquiere la deuda hasta que concluye el préstamo, luego en el momento que se acerque a cancelar parte de lo adeudado, se le calcula el monto que genere el aporte que realiza hasta el momento que concluye el préstamo; esta operación se repite tantas veces como aportaciones realice. El saldo final de lo adeudado se calculará de la ecuación que resulte de restar el monto de todas las aportaciones del monto adeudado.

Como con este método a interés compuesto, da el mismo resultado que el de saldos insolutos; solo se desarrollarán algunos ejercicios por que usted apreciará los mismos resultados. Con el método de saldos insolutos se desarrollaron algunos ejercicios que se han propuestos ahora para que observe que las respuestas son las mismas. Además este método no es muy práctico en consolidaciones de deudas o en ahorros, por que para aplicarlos en estos casos se requiere de la fecha que concluye la transacción, y como comprenderá en una consolidación de deudas todo lo tratado concluye en el momento de la consolidación y de allí el trato es otro en la unificación de lo adeudado; en los casos de ahorros se desconoce la finalización del mismo hasta que la cuenta sea cancelada.

Ejercicios resueltos: 1) El 30 de abril se consigue un préstamo de 3 560 nuevos soles al 9% a interés compuesto hasta el 11 de octubre del año siguiente. El 14 de septiembre del año inicial, se paga 1 700 nuevos soles y el 5 de enero siguiente se abona 1 200 nuevos soles. ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla comercial si la capitalización es mensualmente?

Solución: Fórmula a utilizar: S = C (1 + i)n Fechas: 30 de abril = 120 14 de septiembre = 257

Cálculo del saldo de todo lo adeudado: t = 365 – 120 + 284 = 529 días C = 3 560 S=? i = 0,09 / 12 = 0,0075 mensual n = (529 / 30) meses S = 3 560 [1 + 0,0075](529 / 30) = 4 061,35

5 de enero = 5 11 de octubre = 284

Cálculo del saldo por el primer pago: t = 365 – 257 + 284 = 392 días

C = 1 700 S1 = ? i = 0,09 / 12 = 0,0075 mensual n = (392 / 30) meses S1 = 1 700 [1 + 0,0075](392 / 30) = 1 874,35

Cálculo del saldo por el segundo pago: t = 284 – 5 = 279 días

C = 1 200 S2 = ? i = 0,09 / 12 = 0,0075 mensual n = (279 / 30) meses S2 = 1 200 [1 + 0,0075](279 / 30) = 1 286,35 nuevos soles

Saldo final: (S – S1 – S2)

Saldo = 4 061,35 – 1 874,35 – 1 286,35 = 900,65 nuevos soles z1 3 1 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

2) El 17 de junio se consigue un préstamo de 5 000 nuevos soles al 8% capitalizable trimestralmente hasta el 17 de noviembre del año siguiente. El 10 de octubre del año inicial, se paga 2 000 nuevos soles y el 15 de marzo siguiente se abona 1 500 nuevos soles. ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla de la ecuación?

Solución: Fórmula a utilizar: S = C (1 + i)n Fechas: 17 de junio = 168 10 de octubre = 283

Cálculo del saldo de todo lo adeudado: t = 365 – 168 + 321 = 518 días C = 5 000 S=? i = 0,08 / 4 = 0,02 trimestral n = (518 / 90) trimestres S = 5 000 [1 + 0,02] (518 / 90) = 5 603,62

15 de marzo = 74

17 de noviembre = 321

Cálculo del saldo por el primer pago: t = 365 – 283 + 321 = 403 días

C = 2 000 S1 = ? i = 0,08 / 4 = 0,02 trimestral n = (403 / 90) trimestres S1 = 2 000 [1 + 0,02](403 / 90) = 2 185,44

Cálculo del saldo por el segundo pago: t = 321 – 74 = 247 días

C = 1 500 S2 = ? i = 0,08 / 4 = 0,02 trimestral n = (247 / 90) trimestres S2 = 1 500 [1 + 0,02](247 / 90) = 1 583,78

Saldo final: (S – S1 – S2)

Saldo = 5 603,62 – 2 185,44 – 1 573,78 = 1 834,40 nuevos soles

Resolver los siguientes ejercicios sobre pagos parciales utilizando la regla comercial o de la ecuación con interés compuesto.

1) El 11 de abril se consigue un préstamo de 5 600 nuevos soles al 12% a interés compuesto hasta el 30 de octubre del año siguiente. El 10 de julio del año inicial, se paga 1 900 nuevos soles y el 25 de febrero siguiente se abona 1 800 nuevos soles. ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla comercial si la capitalización es mensual?

Resp.: 2 579,33 2) El 19 de enero se consigue un préstamo de 2 000 nuevos soles al 8% a interés compuesto hasta el 7 de agosto del mismo año. El 19 de abril, se paga 1 000 nuevos soles ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla de la ecuación si la capitalización es trimestral?

Resp.: 1 065,48 3) El 22 de noviembre se consigue un préstamo de 2 800 nuevos soles al 9% a interés compuesto hasta el 27 de diciembre del año siguiente. El 10 de junio del año siguiente del préstamo se paga 900 nuevos soles y el 8 de septiembre se abona 800 nuevos soles. ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla de la ecuación si la capitalización es bimestral?

Resp.: 1 324,25

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WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

4) El 18 de agosto se consigue un préstamo de 3 000 nuevos soles al 6% a interés compuesto hasta el 21 de diciembre del año siguiente. El 10 de enero del año siguiente se paga 1 000 nuevos soles y 15 de mayo se paga otros 1 000 nuevos soles ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla comercial si la capitalización es quincenal?

Resp.: 1 158,54 5) El 14 de julio se consigue un préstamo de 4 500 nuevos soles al 12% a interés compuesto hasta el 14 de julio del año siguiente. Si el 6 de diciembre se paga 2 000 nuevos soles ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento con la regla de comercial si la capitalización es mensual?

Resp.: 2 927,73

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L e c c i ó n

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3.5 Uso de tablas en operaciones de tipo compuesto En muchas ocasiones las entidades financieras, para realizar operaciones a interés compuesto, sobretodo para préstamos a través de sus plataformas operativas, utilizan unas tablas llamadas numerales, por medio de la cual están los factores compuestos que incluyen: tasa, capitalización y el tiempo que dura la operación; que el operador de la plataforma al multiplicar la cantidad solicitada como préstamo, por el factor compuesto dependiendo del tiempo que demore en pagar lo solicitado, determinará rápidamente el monto a devolver.

Estas tablas de factores no solo están hechas para realizar préstamos, si no que además sirven para: descuentos, intereses, montos, tiempo, etc. o para encontrar cualquier otra variable de tipo compuesto.

3.5.1 Uso de tablas de factores de interés compuesto Con estas tablas, el estudiante puede realizar exactamente las mismas operaciones a interés compuesto como si estuviera utilizando las fórmulas, pero de una manera más sencilla, ya que el factor compuesto: (1 + i)n ya está calculado, por consiguiente solo tiene que realizar los cálculos que faltan para completar la operación; entre las operaciones más simples que se pueden realizar con estos factores de la tabla, se tiene: • • •

Cálculo del monto, con solo multiplicar el capital por el factor de la tabla.

Cálculo del interés, con solo multiplicar el capital por el factor de la tabla menos uno (el factor – 1).

Cálculo del capital, con solo dividir el monto entre el factor de la tabla. z1 3 5 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Con las tablas también se pueden realizar algunas operaciones un poco más trabajadas, como por ejemplo: • •

Cálculo de la tasa, con solo dividir el monto entre el capital y buscar en la tabla dicho resultado, en la columna de la capitalización correspondiente al cruce con “n”.

Cálculo de “n”, con solo dividir el monto entre el capital y buscar dicho resultado en la tabla respectiva al porcentaje anual y en la columna de la capitalización correspondiente.

También se pueden hacer con las tablas, operaciones incluyendo factores faltantes utilizando el procedimiento interpolatorio; aunque en este tipo de operación con una fórmula sencilla de operar como la del interés compuesto, cuando falte algún dato, se recomienda utilizar la fórmula en estos casos.

La siguiente expresión: (S/C, %, PC, n); no es una fórmula para el cálculo de los componentes a interés compuesto, sino es una forma más ordenada de saber donde buscar el factor con los datos que se conocen.

Donde: (S/C, %, PC, n) : Factor de la tabla que intercepta la tasa según capitalización, con el número de capitalizaciones. % : Tasa en tanto porciento anual.

PC : Periodos de capitalización en un año (Ejemplo: Quincenal = 24) n : Número de capitalizaciones en el tiempo que dura la operación.

3.5.1.1 Búsqueda del Factor en Tablas de Interés Compuesto Como habrá usted observado, en los ejercicios de este manual se dan las tasas en términos anuales que luego serán convertidas según la capitalización; pues bien, en anexos se presenta la tabla 2 compuesta por varias páginas, en ellas se proponen las tasas anuales que en cada columna se convierte según la capitalización y el factor buscado lo encontrará usted en el cruce con “n” (número de capitalizaciones). Por ejemplo, si la capitalización es quincenal, el factor estará en la columna 24 por que el año tiene 24 quincenas; si la capitalización es semestral, el factor lo encontrará en la columna 2 por que el año tiene 2 semestres y así sucesivamente.

Supongamos que una operación al 8% capitalizable mensualmente dura 2 años (2 x 12 = 24 meses). El factor lo encontrará en: la tabla del 8%, la columna 12, en la línea 24. El factor buscado en la tabla es: (S/C, %, PC, n) = (S/C, 8%, 12, 24) = 1,17289

3.5.1.2 Operaciones utilizando Tablas de factores de Interés Compuesto Estas operaciones el estudiante las realizará utilizando los factores hallados en la tabla 2 (S/C, %, PC, n), según los datos del ejercicio por resolver con interés compuesto, de la siguiente manera:

z1 3 6 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

a) Para hallar el monto:

S = C (S/C, %, PC, n)

b) Para hallar el interés:

I = C [(S/C, %, PC, n) – 1]

c) Para hallar el Capital:

C = S / (S/C, %, n)

d) Para hallar “n”:

S/C = (S/C, %, PC, n); cociendo la tasa (%)

e) Para hallar “%”:

S/C = (S/C, %, PC, n); cociendo el número de capitalizaciones (n)

Ejercicios resueltos: 1) Hallar el monto compuesto de un capital de 600 nuevos soles al 9% durante 5 bimestres, capitalizable mensualmente.

Solución: S = C (S/C, %, PC, n)

Búsqueda en la tabla del 9%: Columna: 12, (capitalización mensual) Factor correspondiente: (S/C, 9%, 12, 10) = 1,07758

S = 600 (1,07758) = 646,55 nuevos soles.

C = 600

S=?

n = 5 (2) = 10 meses Línea: 10

2) Hallar el interés compuesto de un capital de 1 500 nuevos soles al 7% durante 1,5 años, capitalizable bimestralmente.

Solución: I = C [(S/C, %, PC, n) – 1]

Búsqueda en la tabla del 7%: Columna: 6, (capitalización bimestral) Factor correspondiente: (S/C, 7%, 6, 9) = 1,11004 I = 1 500 [1,11004 – 1] = 165,06 nuevos soles.

C = 1 500

I=?

n = 1,5 (6) = 9 bimestres Línea: 9

3) ¿A qué tasa anual con un capital de 2 400 nuevos soles capitalizable mensualmente, se puede obtener un monto de 2 605,58 en 11 meses?

Solución: S/C = (S/C, %, PC, n) C = 2 400 S = 2 605,58 n = 11 meses Búsqueda en la tabla del %?: Columna: 12, (capitalización mensual) Línea: 11 Factor correspondiente: (S/C, %?, 12, 11) S/C = 2 605,58 / 2 400 = 1,08566 Se busca que tabla tiene el factor 1,08566, en el cruce de la columna 12 con la línea 11.

Dicho valor está en la tabla del 9%, entonces: % = 9% anual.

Recuerde que las tablas utilizadas para este proceso interpolatorio son tasas anuales, que en cada columna se convierten según capitalización.

z1 3 7 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

4) Hallar el capital compuesto de un monto de 1 786 nuevos soles al 8% durante 5 bimestres, capitalizable quincenalmente.

Solución: C = S / (S/C, %, PC, n) C=?

S = 1 786 n = 5 (4) = 20 quincenas Búsqueda en la tabla del 8%: Columna: 24, (capitalización quincenal) Línea: 20 Factor correspondiente: (S/C, 8%, 24, 20) = 1,06882

C = 1 786 / (1,06882) = 1 671,00 nuevos soles.

5) ¿En cuánto tiempo con un capital de 5 800 nuevos soles, al 8% capitalizable trimestralmente, se puede obtener un monto de 6 403,66?

Solución: S/C = (S/C, %, PC, n)

Búsqueda en la tabla del 8%: Columna: 4, (capitalización trimestral) Factor correspondiente: (S/C, 8%, 4, n?)

S/C = 6 403,66 / 5 800 = 1,10408

Se busca el valor de “n” en la tabla del 8%, columna 4 que corresponde a 1,10408.

Dicho valor está en la línea 5, entonces: n = 5 trimestres

C = 5 800

S = 6 403,66

n= ?

Línea: ?

6) ¿A qué tasa anual con un capital de 1 450 nuevos soles capitalizable mensualmente, se puede obtener un monto de 1 752,26 en 14 meses?

Solución: S/C = (S/C, %, PC, n) C = 1 450 S = 1 752,26 n = 14 meses Búsqueda en la tabla del %? Columna: 12, (capitalización mensual) Línea: 14 Factor correspondiente: (S/C, %?, 12, 14) S/C = 1 752,26 / 1 450 = 1,20846 Como no se conoce la tasa, se busca que tabla tiene el factor 1,20846, en el cruce de la columna 12 con la línea 14.

Dicho valor no se encuentra exactamente en ninguna tabla, pero los valores que más se aproximan son: 1,20374 en la tabla del 16% y 1,21767 en la tabla del 17%; con los datos recogidos, se puede interpolar la tasa correspondiente.

Factor Tasa 1,20374 16% 1,20846 X% 1,21767 17% Luego se establecen las diferencias de extremos (primero menos el último) y las diferencias con el valor del medio, para colocarlos de la siguiente manera: 1,20374 – 1,21767 = – 0,01393 1,20374 – 1,20846 = – 0,00472

(1) (3) z1 3 8 z

16% – 17% = –1% (2) 16% – X% = X’% (4)

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Con la información obtenida de las diferencias, se forma una regla de tres simples comparando (1) con (2) y (3) con (4), de la siguiente manera: Factor – 0,01393 – 0,00472

Tasa –1% X’%

De donde: X’% = – 0,00472 (­–1) / – 0,01393 = – 0,3388% Reemplazando X’% (– 0,3388) en la ecuación (4), se determina la tasa buscada “X%”.

16% – X% = – 0,3388% ; % = 16,34 % anual.

X% = 16% + 0,3388%

= 16,3388%

7) ¿En cuánto tiempo con un capital de 5 000 nuevos soles capitalizable bimestralmente, se puede obtener un monto de 5 745,18 al 10%?

Solución: S/C = (S/C, %, PC, n)

C = 5 000

S = 5 745,18

n= ?

Búsqueda en la tabla del 10%: Columna: 6, (capitalización bimestral) Línea: ?

Factor correspondiente: (S/C, 10%, 6, n?) S/C = 5 745,18 / 5 000 = 1,14904 Se busca en la tabla del 10% el factor 1,14904, en la columna 6.

Dicho valor no se encuentra exactamente en la tabla del 10%, pero los valores que más se aproximan son: 1,14138 en la línea 8 y 1,16040 en la línea 9; con los datos recogidos, se puede interpolar el valor correspondiente a “n”.

Factor 1,16040 1,14904 1,14138

Periodos 9 X 8

Luego se establecen las diferencias de extremos (primero menos el último) y las diferencias con el valor del medio, para colocarlos de la siguiente manera:

1,16040 – 1,14138 = 0,01902 1,16040 – 1,14904 = 0,01136

Con la información obtenida de las diferencias, se forma una regla de tres simples comparando (1) con (2) y (3) con (4), de la siguiente manera: Factor 0,01902 0,01136

De donde:

(1) (3)

9 – 8 9 – X

Periodos 1 X’ X’ =

0,01136 (1) / 0,01902 =

z1 3 9 z

0,597266

= =

1 X’

(2) (4)

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Reemplazando X’ (0,597266) en la ecuación (4), se determina la tasa buscada “X”.

9 – X = 0,597266 ; X = 9 – 0 597266 = 8,402734 bimestres Años = 8,402734 / 6 = 1,400455667 años

Resolver los siguientes ejercicios sobre operaciones utilizando tablas de factores de interés compuesto.

1) Hallar el capital compuesto de un monto de 3 860 nuevos soles al 6% durante 7 meses, capitalizable quincenalmente.

Resp.: 3 727,42 2) Hallar el monto compuesto de un capital de 2 000 nuevos soles al 8% durante 10 quincenas, capitalizable mensualmente.

Resp.: 2 067,56

3) Hallar el interés compuesto de un capital de 7 200 nuevos soles al 9% durante 2 años, capitalizable bimestralmente.

Resp.: 1 408,46 4) ¿En cuánto tiempo con un capital de 2 800 nuevos soles capitalizable bimestralmente, se puede obtener un monto de 3 007,12 al 12%?

Resp.: 3,6 bimestres 5) ¿A qué tasa anual con un capital de 4 500 nuevos soles capitalizable mensualmente, se puede obtener un monto de 5 075,68 en 11 meses?

Resp.: 13,20%

3.5.2 Uso de tablas factores de descuento compuesto Con estas tablas, el estudiante puede realizar exactamente las mismas operaciones de descuento compuesto como si estuviera utilizando las fórmulas, pero de una manera más sencilla, ya que el factor compuesto: (1 – i)n ya está calculado, por consiguiente solo tiene que realizar los cálculos que faltan para completar la operación; entre las operaciones más simples que se pueden realizar con estos factores de la tabla, se tiene: • • •

Cálculo del valor actual o efectivo, con solo multiplicar el valor nominal por el factor de la tabla.

Cálculo del descuento, con solo multiplicar el valor nominal por uno menos el factor de la tabla (1 – el factor).

Cálculo del valor nominal, con solo dividir el valor actual o efectivo entre el factor de la tabla.

Con las tablas también se pueden realizar algunas operaciones un poco más trabajadas, como por ejemplo: •

Cálculo de la tasa, con solo dividir el valor actual entre el valor nominal y buscar en la tabla dicho resultado, en la columna de la capitalización correspondiente al cruce con “n”. z1 4 0 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

•

Cálculo de “n”, con solo dividir el valor actual entre el valor nominal y buscar dicho resultado en la tabla respectiva al porcentaje anual y en la columna de la capitalización correspondiente.

También se pueden hacer con las tablas, operaciones incluyendo factores faltantes utilizando el procedimiento interpolatorio; aunque en este tipo de operación con una fórmula sencilla de operar como la del descuento compuesto, cuando falte algún dato, es mejor utilizar la fórmula en estos casos.

La siguiente expresión: (C/S, %, PC, n) no es una fórmula para el cálculo de los componentes de descuento compuesto, sino es una forma más ordenada de saber donde buscar el factor con los datos que se conocen.

Donde: (C/S, % PC, n) % PC n

: Factor de la tabla que intercepta la tasa según capitalización, con el número de capitalizaciones. : Tasa en tanto porciento anual. : Periodos de capitalizaciones en un años (Ejemplo: trimestral = 4) : Número de capitalizaciones en el tiempo que dura la operación.

3.5.2.1 Búsqueda del Factor en Tablas de Descuento Compuesto En Interés como en descuentos los ejercicios de este manual incluyen las tasas en términos anuales que luego serán convertidas según la capitalización; pues bien, en anexos se presenta la tabla 3 compuesta por varias páginas, en ellas se proponen las tasas anuales que en cada columna se convierte según la capitalización y el factor buscado lo encontrará usted en el cruce con “n” (número de capitalizaciones).

Por ejemplo, si la capitalización es mensual, el factor estará en la columna 12 por que el año tiene 12 meses; si la capitalización es trimestral, el factor lo encontrará en la columna 4 por que el año tiene 4 trimestres y así sucesivamente.

Supongamos que una operación de descuento al 7% capitalizable bimestralmente dura 2 años (12 bimestres). El factor lo encontrará en: la tabla del 7%, la columna 6, la línea 12. El factor buscado en la tabla (C/S, 7%, 6, 12) = 0,86864

3.5.2.2 Operaciones utilizando Tablas de Factores de Descuento Compuesto Estas operaciones el estudiante las realizará utilizando los factores hallados en la tabla 3 (C/S, %, PC, n), según los datos del ejercicio por resolver con descuento compuesto, de la siguiente manera:

a) Para hallar el valor actual: b) Para hallar el descuento: c) Para hallar el valor nominal:

C = S (C/S, %, PC, n) D = S [1 – (C/S, %, PC, n)] S = C / (C/S, %, PC, n)

z1 4 1 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Ejercicios resueltos: 1) Hallar el efectivo compuesto de un valor nominal de 800 nuevos soles al 6% capitalizable mensualmente, faltando 20 meses para su vencimiento.

Solución: C = S (C/S, %, PC, n)

Búsqueda en la tabla del 6%: Columna: 12, (capitalización mensual) Factor correspondiente: (C/S, 6%, 12, 20) = 0,90461 S = 800 (0,90461) = 723,69 nuevos soles.

S = 800

C=?

n = 20 meses Línea: 20

2) Hallar el descuento compuesto de un valor nominal de 5 400 nuevos soles al 7% capitalizable bimestralmente, faltando 14 meses para su vencimiento.

Solución: D = S [1 – (C/S, %, PC, n)]

Búsqueda en la tabla del 7%: Columna: 6, (capitalización bimestral) Línea: 7 Factor correspondiente: [1 – (C/S, 7%, 6, 7)] = 1 – 0,92114 = 0,07886 S = 5 400 (0,07886) = 425,84 nuevos soles.

S = 5 400

D=?

n = 14 / 2 = 7 bimestres

3) Hallar el valor nominal de un pagaré que se pagó un efectivo de 2 425 nuevos soles al 10% capitalizable quincenalmente, faltando 4 meses para su vencimiento.

Solución: S = C / (C/S, %, PC, n)

Búsqueda en la tabla del 10%: Columna: 24, (capitalización quincenal) Factor correspondiente: (C/S, 10%, 24, 8) = 0,96715 S = 2 425 / 0,96715 = 2 507,37 nuevos soles.

C = 2 425

S=?

n = 4(2) = 8 quincenas Línea: 8

4) ¿En cuánto tiempo con una letra de 6 000 nuevos soles, se puede obtener un efectivo de 5 698,36 descontada al 10% capitalizable bimestralmente?

Solución: C/S = (C/S, %, PC, n) S = 6 000 C = 5 698,36 n= ?

Búsqueda en la tabla del 10%: Columna: 6, (capitalización bimestral) Línea: ?

Factor correspondiente: (C/S, 10%, 6, n?) C/S = 5 698,36 / 6 000 = 0,94973 Se busca en la tabla del 10% el factor 0,94973, en la columna 6.

Dicho valor no se encuentra exactamente en la tabla del 10%, pero los valores que más se aproximan son: 0,93498 en la línea 4 y 0,95083 en la línea 3; con los datos recogidos, se puede interpolar el valor correspondiente a “n”.

z1 4 2 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Factor Periodos 0,95083 3 0,94973 X 0,93498 4 Luego se establecen las diferencias de extremos (primero menos el último) y las diferencias con el valor del medio, para colocarlos de la siguiente manera:

0,95083 – 0,93498 = 0,01585 0,95083 – 0,94973 = 0,00110

Con la información obtenida de las diferencias, se forma una regla de tres simples comparando (1) con (2) y (3) con (4), de la siguiente manera: Factor 0,01585 0,00110

(1) (3)

3 – 4 3 – X

= –1 (2) = X’ (4)

Periodos –1 X’

De donde: X’ = 0,0011 (–1) / 0,01585 = – 0,0694 Reemplazando X’ (– 0,0694) en la ecuación (4), se determina la tasa buscada “X”.

3 – X = – 0,0694 ; X = 3 – (– 0,0694) = 3,0694 bimestres Años = 3,0694 / 6 = 0,5115667 años.

5) ¿A qué tasa anual con un pagaré de 3 500 nuevos soles capitalizable mensualmente, se puede obtener un efectivo de 3 311,72 en 9 meses?

Solución: C/S = (C/S, %, PC, n)

S = 3 500

C = 3 311,72

n = 9 meses

Búsqueda en la tabla del %?: Columna: 12, (capitalización mensual) Línea: 9 Factor correspondiente: (C/S, %?, 12, 9) C/S = 3 311,72 / 3 500 = 0,94621 Como no se conoce la tasa, se busca que tabla tiene el factor 0,94621, en el cruce de la columna 12 con la línea 9.

Dicho valor no se encuentra exactamente en ninguna tabla, pero los valores que más se aproximan son: 0,94871 en la tabla del 7% y 0,94158 en la tabla del 8%; con los datos recogidos, se puede interpolar la tasa correspondiente.

Factor 0,94871 0,94621 0,94158

Tasa 7% X% 8%

Luego se establecen las diferencias de extremos (primero menos el último) y las diferencias con el valor del medio, para colocarlos de la siguiente manera:

0,94871 – 0,94158 0,94871 – 0,94621

= 0,00713 = 0,00250

(1) (3) z1 4 3 z

7% – 8% 7% – X%

= –1% (2) = X’% (4)

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Con la información obtenida de las diferencias, se forma una regla de tres simples comparando (1) con (2) y (3) con (4), de la siguiente manera: Factor 0,00713 0,00250

Tasa –1% X’%

De donde:

X’% =

0,0025 (­–1) / 0,00713 = – 0,3506%

Reemplazando X’% (–0,3506) en la ecuación (4), se determina la tasa buscada “X%”.

7% – X% = – 0,3506% ; X% = 7% + 0,3506% = 7,3506% % = 7,35 % anual.

Recuerde que las tablas utilizadas para este proceso interpolatorio son tasas anuales, que en cada columna se convierten según capitalización.

Resolver los siguientes ejercicios sobre operaciones utilizando tablas de factores de descuento compuesto.

1) Hallar el valor actual o efectivo de una letra de 6 500 nuevos soles al 6% descontado 7 meses antes de su vencimiento, capitalizable quincenalmente Resp.: 6 276,14 2) ¿Cuál es el valor nominal de un pagaré que descontado al 8% de descuento compuesto, se paga un efectivo de 2 589,56 nuevos soles, faltando 8 meses antes de su vencimiento, si la capitalización es mensualmente?

Resp.: 2 731,92

3) Hallar el descuento compuesto de un pagaré de 2 200 nuevos soles al 9% capitalizable bimestralmente, descontados faltando 2 años para su vencimiento.

Resp.: 364,91 4) ¿En cuánto tiempo con una letra de 8 800 nuevos soles capitalizable bimestralmente, se puede obtener un efectivo de 7 578,00 nuevos soles al 12% de descuento compuesto?

Resp.: 7,4 bimestres 5) ¿A qué tasa anual con un pagaré de 9 600 nuevos soles capitalizable mensualmente, se puede obtener un efectivo de 8 755,78 nuevos soles, faltando 11 meses para su vencimiento?

Resp.: 10,0%.

z1 4 4 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

AUTOEVALUACIÓN Nº 3 1) Hallar el monto compuesto que se puede alcanzar con un capital de 3 500 nuevos soles, invertido el 12 de noviembre hasta el 5 de julio del segundo año siguiente al 6%, capitalizable mensualmente.

A) B) C) D) E)

3 954,24 3 058,57 3 149,28 3 867,13 3 205,14

2) Hallar el interés compuesto que se puede alcanzar con un capital de 4 300 nuevos soles, invertido el 7 de enero hasta el 13 de julio del año siguiente al 8%, capitalizable bimestralmente.

A) 557,24 B) 546,56 C) 568,22 D) 506,28 E) 525,55 3) Hallar el capital utilizado para obtener un monto de 2 250 nuevos soles, invertido por 150 días al 10% capitalizable quincenalmente.

A) B) C) D) E)

2 485,32 2 516,26 2 204,78 2 408,24 2 158,36

4) ¿A qué tasa anual a interés capitalizable mensualmente, un capital de 2 280 nuevos soles puede lograr con un monto de 2 692 nuevos soles, invertido durante 20 meses?

A) 12,64% B) 10,00% C) 14,25% D) 9,28% E) 11,88% 5) ¿En qué fecha del año siguiente, un capital de 3 400 nuevos soles invertido el 6 de marzo, se convierte 3 900 nuevos soles, al 15% capitalizable semestralmente?

z1 4 5 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

A) B) C) D) E)

28 de feb.

15 de feb.

22 de ene.

12 de feb.

21 de ene.

6) Hallar el descuento que se obtuvo de una letra de 1 500 nuevos soles, descontada 18 meses antes de su vencimiento al 8%, capitalizable bimestralmente.

A) 159,45 B) 185,75 C) 170,69 D) 189,57 E) 202,48 7) Hallar el efectivo que se puede alcanzar con un pagaré de 3 000 nuevos soles, descontado el 27 de febrero con vencimiento del 16 de agosto del segundo año siguiente al 9%, capitalizable mensualmente.

A) B) C) D) E)

2 393,52 2 189,56 2 057,00 2 520,32 2 008,37

8) ¿A qué tasa anual de descuento capitalizable quincenalmente, una letra se reduce en 18% descontada faltando 20 meses para su vencimiento?

A) 12,10% B) 14,72% C) 11,88% D) 10,29% E) 9,88% 9) ¿Cuál es el valor nominal de un pagaré que al 7% capitalizable semestralmente, descontado 2 años para su vencimiento, produjo un descuento de 281,40 nuevos soles?

A) B) C) D) E)

2 200,86 2 045,50 1 995,84 2 118,66 1 890,57

10) ¿Cuántos meses faltaba para el vencimiento de un pagaré de 3 970 nuevos soles, que al 9% de descuento capitalizable bimestralmente paga un efectivo de 3 164,71 nuevos soles? z1 4 6 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

A) B) C) D) E)

32 meses 30 meses 15 meses 18 meses 25 meses

11) El 17 de mayo se consigue un préstamo de 1 900 nuevos soles al 10% capitalizable trimestralmente hasta el 21 de junio del año siguiente. El 14 de octubre del año actual se paga 600 nuevos soles y el 22 de enero siguiente se abona otros 600. ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento?

A) 833,29 B) 894,42 C) 884,88 D) 859,62 E) 906,45 12) Un deudor consigue un préstamo de 1 000 nuevos soles el 19 de marzo al 12% por 19 meses. El 8 de abril consigue un segundo préstamo por 800 nuevos soles por 193 días al 10%. Finalmente el 28 de mayo del mismo año consigue un nuevo préstamo de 900 nuevos soles al 9% por año y medio. El 17 de julio del mismo año que había solicitados los préstamos consolida las tres deudas en una sola pagando un adelanto de 1 100 nuevos soles, y el saldo pagadero a 360 días de la consolidación al 11% ¿Cuál es el saldo en la fecha de vencimiento si todas las operaciones eran capitalizadas mensualmente?

A) B) C) D) E)

1 714,51 1 560,64 1 951,30 1 772,27 1 868,07

13) Un inversionista consigue un préstamo de 500 nuevos soles el 23 de junio al 15% por 15 meses. El 13 de julio consigue un segundo préstamo por 1 200 nuevos soles por 430 días al 11%. Finalmente el 11 de septiembre del mismo año consigue un nuevo préstamo de 1 400 nuevos soles al 9% por 1 año. Si las tres deudas se consolidan en una sola pagando un adelanto de 1 800 nuevos soles el 20 de diciembre al 10% ¿Cuál es el saldo de lo adeudado al 17 de agosto de año siguiente de la consolidación, si todas las operaciones eran capitalizadas quincenalmente?

A) B) C) D) E)

1 560,55 1 429,64 1 532,83 1 522,11 1 544,51

z1 4 7 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

14) ¿Cuánto tendrá en su cuenta al 11 de diciembre un ahorrista, si 144 días después de su apertura con 800 nuevos soles, ahorra 300 nuevos soles que es el 9 de mayo de año actual? Se sabe que los ahorros ganan el 8% capitalizable quincenalmente.

A) B) C) D) E)

1 202,20 1 066,67 1 005,87 1 198,60 1 181,24

15) ¿Cuál será el saldo al 4 de febrero de una cuenta de ahorros, si 216 días después de su apertura con 2 400 nuevos soles, retira 850 nuevos soles que fue el 10 de mayo de año anterior? Se sabe que los ahorros ganan el 9% capitalizable mensualmente.

A) B) C) D) E)

1 777,43 1 815,58 1 799,70 1 769,49 1 788,22

Respuestas de control 1. D, 2. A, 3. E, 4. B, 5. B, 6. C 7. A, 8. C, 9. D, 10. B, 11. D, 12. E, 13. C, 14. E, 15. C

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WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

EXPLORACIÓN ON LINE http://www.matematicas-financieras.com/ http://macareo.pucp.edu.pe/~mplaza/001/cursos/matefin/practicas/practicas.html

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Rodríguez Rodríguez, A.

(1994) Matemática de la financiación. Barcelona, Editorial Universidad de Barcelona.

Ruíz Amestoy, J.M.

(1993) Matemática financiera. Madrid, Editorial Centro de Formación del Banco de España.

Vidaurri Aguirre, Héctor Manuel

(2001) Matemáticas financieras. 2ª edición. México D. F., Ediciones Contables, Administrativas y Fiscales-Thomposn Learning.

Pablo López, Andrés de

(2003) Matemática de las operaciones financieras. Madrid, Universidad Nacional de Educación a Distancia.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA Gil Peláez, Lorenzo

(1987) Matemática de las operaciones financieras. Madrid, Editorial A. C.

González Catalá, V. T.

(1991) Enfoque práctico de las operaciones de la matemática financiera. Madrid, Editorial Ciencias Sociales.

González Catalá, V. T.

(1992) Análisis de las operaciones financieras, bancarias y bursátiles. Madrid, Editorial Ciencias Sociales.

Levi, E.

(1973) Curso de matemática financiera y actuarial. Barcelona, Antoni Bosch.

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c u a r t a

UNIDAD Anualidades ordinarias

Sumario Anualidad ordinaria inmediata: valor futuro, cálculo de la anualidad con fórmulas, aplicaciones comerciales, cálculo de la anualidad con factores; valor actual o presente: cálculo de la anualidad con fórmulas, aplicaciones comerciales, cálculo de la anualidad con factores.

Anualidad ordinaria diferida: valor futuro, cálculo de la anualidad con fórmulas, cálculo de la anualidad con factores; valor actual o presente: cálculo de la anualidad con fórmulas, cálculo de la anualidad con factores.

OBJETIVO(S) GENERAL: • Al término de esta unidad, el alumno debe saber utilizar las fórmulas para realizar operaciones sobre las anualidades ordinarias en forma inmediata como en forma diferida. También estará en condiciones de realizar las operaciones sobre cualquier anualidad con periodos de pagos iguales o diferentes al periodo de capitalización. Recuerde que el tiempo diferido en el cálculo del valor futuro debe ir al final y en el valor actual al principio, en caso contrario no tiene objeto hablar de tiempo diferido.

ESPECÍFICOS: • Conocer cómo funciona la anualidad ordinaria inmediata y sus diferentes tipos y usos, aprender a utilizar las fórmulas apropiadas, así como el uso de los factores.

• Es importante que el alumno sepa diferenciar las características del valor futuro de las del valor presente.

• Conocer cómo funciona la anualidad ordinaria diferida y sus diferentes tipos y usos, aprender a utilizar las fórmulas apropiadas, así como el uso de los factores.

• El tiempo diferido en el valor futuro para que sea de utilidad en una anualidad va al final del último aporte y en el valor actual, va al principio.

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L e c c i ó n

1

4.1 Anualidad ordinaria inmediata Es una operación financiera por medio de la cual una deuda contraída o una inversión deben ser aprobadas y pagadas en periodos iguales de tiempo y partes iguales de dinero, en donde tales periodos rigen inmediatamente realizado el contrato.

Este tipo de anualidad es conocida también como anualidad vencida por que el aporte o pago se hace al término de cada período. Esta operación por realizarse a interés compuesto, tiene por lo tanto las mismas variables conocidas con la inclusión de los pagos parciales; es decir, los periodos de pagos y las cantidades homogéneas de pago.

Donde: P : Valor Actual, Valor presente o Deuda Principal A : Abono, Aporte o Pago F : Valor Futuro o Monto

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M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tanto las anualidades ordinarias inmediatas como las demás anualidades pueden desarrollarse dentro de los siguientes casos: 1ª Cuando el periodo de pago (PP) es igual al periodo de capitalización (PC), este caso es conocido como anualidad simple, por que la tasa nominal (j) es igual a la tasa efectiva (i); finalmente el número de capitalizaciones hasta el momento del pago es “r”.

r = PP / PC = 1

i = (1 + j)r – 1

i = (1 + j) – 1

i=j

2ª Cuando el periodo de pago (PP) es mayor al periodo de capitalización (PC), en este caso la tasa nominal (j) es menor a la tasa efectiva (i), finalmente “r” representa al número de capitalizaciones hasta el momento del pago y es mayor de uno.

r = PP / PC > 1

i = (1 + j)r – 1

3ª Cuando el periodo de pago (PP) es menor al periodo de capitalización (PC), en este caso la tasa nominal (j) es mayor a la tasa efectiva (i), finalmente “r” representa al número de capitalizaciones hasta el momento del pago y es menor de uno.

r = PP / PC < 1

i = (1 + j) r – 1

Observe que la tasa efectiva “i”, siempre se calcula con misma fórmula de interés compuesto en cualquiera de los caso.

4.1.1 Valor futuro de la anualidad ordinaria inmediata Si se aportara 1 000 nuevos soles cada fin de año al 10% de intereses compuestos consecutivamente durante 5 años, ¿cuánto se deberá tener al término del quinto año y cuáles son los intereses ganados? (Cuando no se especifica el periodo de capitalización, se asume que es anual).

Solución al ejercicio: A continuación se trabajará periodo por periodo (año por año) con la tasa en tanto por uno, para que el estudiante observe como se desarrolla el interés compuesto para conocer el Valor Futuro de una anualidad ordinaria inmediata:

Años

Capitalizaciones

1 2 3 4 5

0,00 1 000,00 2 100,00 3 310,00 4 641,00 Interés total

Respuestas:

Interés 0,00 100,00 210,00 331,00 464,10 1 105,10

Interés = 1 105,10

Pago o Aporte 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 5 000

Valor Futuro 1 000,00 2 100,00 3 310,00 4 641,00 6 105,10

y Valor Futuro o Monto = 6 105,10. z1 5 4 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Los pagos (A) efectuados al final de cada periodo, tal como se observa en el desarrollo anterior ganan intereses compuesto hasta la fecha final, capitalizando los intereses igualmente al final da cada uno de los periodos que siguen. El primer pago acumula interese durante (n – 1) periodos, el segundo acumulará (n – 2) periodos, y así sucesivamente hasta el último pago que no gana intereses por que se realiza al término de toda la operación.

Ordenando los pagos con sus respectivos intereses para hallar el valor futuro en una anualidad ordinaria inmediata, se tiene: F = A (1 + i)n – 1 + A (1 + i)n – 2 + …. + A (1 + i)2 + A (1 + i) + A O también: F = A + A (1 + i) + A (1 + i)2 +…. + A (1 + i)n – 2 + A (1 + i)n – 1 Los términos del segundo miembro, forman una progresión geométrica de: n términos, razón k = (1 + i) y el primer término es “A”. La suma de los términos de esta progresión geométrica, queda definida como:

F=

A(k n − 1) ; reemplazando “k” por (1 + i), se tiene k −1

F=

1 + i) −1 A( ( 1 + i) −1

[] n

F=

[]

1 + i) −1 A( i n

Donde: A : Abono, Aporte o Pago F : Monto o Valor Futuro i : Tasa de interés efectiva con relación al pago (en tanto por uno) n : Número de aportes.

4.1.1.1 Cálculo con el uso de fórmulas Con la fórmula definida en el ítem anterior, se puede hallar el Valor Futuro y las otras variables relacionadas con dicho valor futuro de una Anualidad Ordinaria Inmediata.

El alumno puede hallar el valor futuro conociendo: el pago (A), la tasa (i) y el tiempo que dura la operación (n); se recomienda utilizar la misma fórmula para hallar cualquier otra variable relacionada con el valor futuro de una anualidad ordinaria inmediata, el alumno reemplazará los valores conocidos y resolverá la operación despejando el valor buscado. No despeje la fórmula cada vez que quiera hallar una variable distinta, por que así el alumno va ha terminar confundido, ya que se llenará de fórmulas para un mismo procedimiento.

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M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

En todos los ejercicios sobre anualidades, se deben señalar los periodos de pagos y los periodos de capitalización, cualquier omisión respecto al periodo de cualquier variable, se asume que el periodo es anual.

Ejercicios resueltos: 1) Si se abona mensualmente 150 nuevos soles al 6% durante año y medio en una cuenta de ahorros, ¿Cuál será el valor futuro si la capitalización es mensual?

Solución: Fórmula: F = A [ (1 + i)n – 1] / i A =150 mensual j = 0,06 / 12 = 0,005 mensual

PP: mensual = PC: mensual (1ª caso: PP = PC; F = 150 [ (1 + 0,005) 18 – 1] / 0,005 = 2 817,87

Como habrá observado, la tasa anual (j) se ha dividido entre 12 para convertirla en tasa nominal mensual, por que así lo ordena la capitalización. También el número de aportes o pagos (n), se ha obtenido multiplicando los años por 12, por que el periodo de pagos es mensual.

n = 1.5 (12) = 18 meses r = 1)

F=?

i = j = 0,005

En una anualidad de cualquier tipo, se debe relacionar el periodo de pago (PP) con “n”; por que ella se define en función al periodo de pago; por otro lado, se debe relacionar el periodo de capitalización (PC) con la tasa dada, por que la tasa anual dada se debe convertir en tasa nominal (j) en razón a la capitalización.

En los casos de que se requiera emplear la tasa efectiva (i): i = (1 + j)

r

–1

;

Donde:

r = PP / PC

2) ¿Cuánto se puede ahorrar si se deposita mensualmente 200 nuevos soles al 9% durante un año, si la capitalización es bimestral?

Solución: Fórmula: F = A [ (1 + i)n – 1] / i A = 200 mensual j = 0,09 / 6 = 0,015 bimestral

PP: mensual < PC: bimestral (3ª caso: PP < PC; r < 1) r = 30 días / 60 días = 0,5 i = (1 + 0,015)0,5 – 1 = 0,007472084 F = 200 [ (1 + 0,007472084)12 – 1] / 0,007472084 = 2 501,13

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n = 12 meses

F=?

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

3) ¿Cuánto se puede ahorrar si se deposita trimestralmente 450 nuevos soles al 8% durante dos años, si la capitalización es mensual?

Solución: Fórmula: F = A [ (1 + i)n – 1] / i A = 450 trimestral j = 0,08 / 12 mensual

n = 2 (4) = 8 trimestres

F = ?

PP: trimestral > PC: mensual (2ª caso: PP > PC; r > 1)

r = 90 días / 30 días = 3 i = (1 + (0,08 / 12)) 3 – 1 = 0,02013363

F = 450 [ (1 + 0,02013363) 8 – 1] / 0,02013363 = 3 864,16

4) ¿Cuánto se puede abonar semestralmente para obtener 5 476,37 nuevos soles al cabo de 5 años al 8% capitalizable bimestralmente?

Solución: Fórmula:

A = ? semestralmente j = 0,08 / 6 bimestral n = 5 (2) =10 semestres F= 5 476,37 PP: semestral > PC: bimestral (2ª caso: PP > PC; r > 1) r = 180 días / 60 días = 3 i = (1 + (0,08 / 6))3 – 1 = 0,0405357 5 476,37 = A [ (1 + 0,0405357)10 – 1] / 0,0405357

F = A [ (1 + i)n – 1] / i

A = 5 476,37 (0,0405357) / [ (1 + 0,0405357) 10 – 1] = 455,00

5) ¿En cuántos bimestres se puede abonar 125 nuevos soles, para obtener finalmente un ahorro de 1 743,78 nuevos soles al 7% capitalizable bimestralmente?

Solución: Fórmula: F = A [ (1 + i)n – 1] / i A = 125 bimestralmente j = 0,07 / 6 bimestral n=?

F = 1 743,78 PP: bimestral = PC: bimestral (1ª caso: PP = PC; r= 1) i = j = (0,07 / 6)

1 743,78 = 125 [ (1 + (0,07 / 6))n – 1] / (0,07 / 6) (1 743,78 (0,07 / 6)) = 125 [ (1 + (0,07 / 6)) n – 1] (20,3441 / 125) + 1 = (1 + (0,07 / 6))n 1,1627528 = 1,011666667n n = log 1,1627528 / log 1,011666667 = 13 bimestres.

6) ¿En cuántos meses se puede abonar 80 nuevos soles, para obtener finalmente ahorro de 2 383,50 nuevos soles al 9% capitalizable bimestralmente?

Solución: Fórmula: F = A [ (1 + i)n – 1] / i A = 80 mensualmente j = 0,09 / 6 = 0,015 bimestral n=?

PP: mensual < PC: bimestral (3ª caso: PP < PC; r < 1) r = 30 días / 60 días = 0,5 i = (1 + 0,015)0,5 – 1 = 0,007472084

z1 5 7 z

un

F = 2 383,50

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

2 383,50 = 80 [ (1 + 0,007472084)n – 1] / 0,007472084 (2 383,50 / 80 (0,007472084)) + 1 = (1 + (0,007472084))n 1,2226189 = 1,007472084n

n = log 1,2226189 / log 1,007472084 = 27 meses.

Resolver los siguientes ejercicios sobre cálculo del valor futuro en anualidades ordinarias inmediatas utilizando fórmulas.

1) Si se abona mensualmente 320 nuevos soles al 12% durante año y medio en una cuenta de ahorros, ¿Cuál será el valor futuro si la capitalización es mensual?

Resp.: 6 276,72

2) ¿Cuánto se puede ahorrar si se deposita mensualmente 150 nuevos soles al 9% durante un año, si la capitalización es trimestral?

Resp.: 1 875,56

3) ¿Cuánto se puede ahorrar si se deposita trimestralmente 50 nuevos soles al 10% durante dos años, si la capitalización es mensual?

Resp.: 437,13 4) ¿Cuánto se puede abonar semestralmente para obtener 3 655,70 nuevos soles al cabo de 3 años al 9% capitalizable bimestralmente?

Resp.: 543,33 5) ¿En cuántos trimestres se debe abonar 1025 nuevos soles, para obtener finalmente un ahorro de 11 357 nuevos soles al 9% capitalizable bimestralmente?

Resp.: 10 6) ¿En cuántos meses se puede abonar 1200 nuevos soles, para obtener finalmente un ahorro de 17 640,85 nuevos soles al 9% capitalizable bimestralmente?

Resp.: 14

4.1.1.2 Aplicaciones Comerciales con Valor Futuro Con la fórmula definida sobre el Valor Futuro de una Anualidad Ordinaria Inmediata, se deben realizar las operaciones comerciales con ventas a plazos.

El alumno puede hallar el valor futuro conociendo: el pago (A), la tasa (i) y el tiempo que dura la operación (n); además, puede determinar el valor de las cuotas, conociendo la cantidad de pagos que debe hacer.

z1 5 8 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Ejercicios resueltos: 1) Para vender a plazos un artefacto electrodoméstico cuyo precio de contado es 2 700 nuevos soles, la casa comercial solicita un adelanto en efectivo de 300 nuevos soles y hace un recargo del 20% por ventas a plazos. ¿Cuál es el valor de cada cuota, si tiene que pagar mensualmente la compra durante un año y medio y además el banco paga el 6% de interés en los depósitos con capitalización es mensual?

Solución:

Fórmula: F = A [ (1 + i)n – 1 ] / i

Precio de contado = 2 700 Adelanto = 300 Recargo 20%

Valor Futuro = (2 700 – 300) x 1.2 = 2 880

A = ? mensual j = 0,06 / 12 = 0,005 mensual n = 1,5 (12) =18 meses F = 2 880

PP: mensual = PC: mensual (1ª caso: PP = PC; r = 1) i = j = 0,005

2 880 = A [(1 + 0,005)18 – 1] / 0,005

A = 2 880 (0,005) / [ (1 + 0,005)18 – 1 ] = 153,31 mensuales

Los comerciantes en la actualidad para determinar el valor de la cuota, lo que hacen es dividir lo que falta pagar (2 880) entre el número de meses que debe pagar el comprador (18); es decir: 2 880 / 18 = 160 nuevos soles mensuales.

Al observar la diferencia entre ambas cuotas, aparentemente no es significativa (160 – 153,31 = 6,69), pero vea que sucede si esa diferencia en vez de donarla la va depositando en una cuenta durante 18 meses: F = 6,69 [(1 + 0,005)18 – 1] / 0,005 = 125,77 (Es un ahorro importante).

2) Determine el valor de la compra de una licuadora a la cual tiene que abonar 25 soles mensuales durante 9 meses, si la tasa es del 12% capitalizable mensualmente.

Solución: Fórmula: F = A [ (1 + i)n – 1 ] / i A = 25 mensual j = 0,12 / 12 = 0,01 mensual PP: mensual = PC: mensual (1ª caso: PP = PC; F = 25 [ (1 + 0,01) 9 – 1 ] / 0,01 = 234,21

n = 9 meses F=? r = 1) i = j = 0,01

Como verá, usted cree que al pagar 25 nuevos soles por 9 meses, ha pagado (25 x 9 = 225); pero en realidad usted ha pagado 234,21, por que al hacer el pago, los intereses correspondientes a su dinero, los transfirió al vendedor.

En nuestro medio es costumbre realizar los pagos mensualmente y por lo general las instituciones bancarias capitalizan los aportes mensualmente; por ello los ejercicios con operaciones comerciales, serán con periodos de pagos y de capitalización mensual. z1 5 9 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Resolver los siguientes ejercicios sobre cálculo del valor futuro en anualidades ordinarias inmediatas sobre operaciones comerciales.

1) Si se paga mensualmente 120 nuevos soles por la compra de un televisor, al 12% durante año y medio, ¿Cuánto se habrá pagado por dicho televisor si la capitalización es mensual?

Resp.: 2 353,77

2) Si se paga mensualmente 250 nuevos soles por la compra de una computadora, al 9% durante 2 años y medio, ¿Cuánto se habrá pagado por dicho computador si la capitalización es mensual?

Resp.: 8 375,73

3) ¿Cuánto se debe pagar mensualmente por una computadora si tienes que cancelar la compra en 18 meses? Se sabe que al precio de contado de 3 500 nuevos soles le recargan el 18% por venta a plazos, la capitalización es mensual y la tasa de interés es del 10%.

Resp.: 213,62 4) ¿Cuánto se debe pagar mensualmente por un equipo de sonidos si tienes que cancelar la compra en 12 meses. Se sabe que al precio de contado de 4 000 nuevos soles le recargan el 16% por venta a plazos, la capitalización es mensual y la tasa de interés es del 12%?

Resp.: 365,86

4.1.1.3 Cálculo con el uso de Tablas de Factores Con la Tabla de factores (Tabla 4), se puede hallar el Valor Futuro y las otras variables relacionadas con dicho valor futuro de una Anualidad Ordinaria Inmediata.

El factor de la tabla realmente es F/A, mientras que los otros componentes son referenciales para poder ubicarlo en la tabla. Con el factor, el alumno puede hallar el valor futuro además de cualquiera de las otras variables conociendo: el pago (A), la tasa (%) y el tiempo que dura la operación (n); además de los periodos de pagos (PP) y los periodos de capitalización (PC). La diferencia de este procedimiento con el uso de fórmulas, es que el factor a utilizar F/A ya está calculado en la tabla.

F = A (F/A, %, PP, PC, n)

z1 6 0 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

¿Cómo usar la tabla de factores del Valor Futuro?

Para hallar el factor del valor futuro, se deben dar los siguientes pasos: 1ª Seleccionar entre las tablas, las del grupo número 4 que ha sido elaborada con tasas anuales para hallar el valor futuro.

2ª Elegir la tabla del % del problema dependiendo del tipo de aporte: La tabla 4 – A (Aporte quincenal), tabla 4 – B (Ap. mensual), hasta la tabla 4 – F (Ap. anual).

3ª Una vez elegida la tabla, tomará la columna dependiendo de la capitalización del problema. La columna 24 contiene la capitalización quincenal, la columna 12 contiene la capitalización mensual, y así sucesivamente hasta la columna 1 que contiene la capitalización anual.

4ª Finalmente el cruce de estas columnas con la línea “n”, determina el factor buscado.

Ejemplo: ¿Cuál es el factor para el valor futuro de un problema con tasa del 15% con 20 aportes trimestrales capitalizables mensualmente?

1ª Ir al grupo de tablas número 5.

2ª Como los aportes son trimestrales se tomará la tabla 4 – D del 15% 3ª Como la capitalización es mensual, tomar la columna 12 (12 capitaliz. al año) 4ª El factor buscado lo encontrará con el cruce de la línea 20.

F = A(F/A, %, PP, PC, n) ;

F = A(F/A, 15%, 4-D, 12, 20)

;

F = A(29,1588)

Ejercicios resueltos: 1) Si se abona mensualmente 700 nuevos soles al 12% durante año y medio en una cuenta de ahorros, ¿Cuál será el valor futuro si la capitalización es mensual?

Solución: Fórmula: F = A(F/A, %, PP, PC, n) A =700 mensual % = 12% n = 1.5 (12) = 18 meses Factor (F/A, 12%, 4–B, 12, 18) = 19,9011 F = 700 (19,9011) = 13 930,77

F=?

El Factor 19,9011, fue hallado en la tabla 4 – B (pagos mensuales) del 12%, en la columna 12 (capitalización mensual) y en la línea 18 (18 aportes mensuales en año y medio).

2) Si se abona semestralmente 1 500 nuevos soles al 9% durante 3 años en una cuenta de ahorros, ¿Cuál será el valor futuro si la capitalización es trimestral?

Solución: Fórmula: F = A(F/A, %, PP, PC, n) A = 1 500 semestral % = 9% n = 3 (2) = 6 semestres Factor (F/A, 9%, 4–E, 4, 6) = 6,72545 F = 1 500 (6,72545) = 10 088,18 z1 6 1 z

F=?

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

3) ¿Cuál debe se al abono mensual por un préstamo de 2 924,84 nuevos soles al 8% durante 14 meses en una cuenta de ahorros, si la capitalización es quincenal?

Solución: Fórmula: F = A(F/A, %, PP, PC, n) A = ? mensual % = 8% n = 14 meses Factor (F/A, 8%, 4–B, 24, 14) = 14,6242 2 924,84 = A (14,6242) A = 2 924,84 / 14,6242 = 200

F = 2 924,84

4) ¿Cuántos aportes quincenales de 48,50 nuevos soles serán necesarios para ahorrar 800,68 nuevos soles al 10%, si la capitalización es mensual?

Solución: Fórmula: F = A(F/A, %, PP, PC, n) A = 48,50 quincenal % = 10% n = ? quincenas F = 800,84 El factor a buscar es: F / A = 800,68 / 48,50 = 16,50886598 En la tabla: Factor (F/A, 10%, 4–A, 12, n) Se busca en la tabla 4 – A del 10%, columna mensual (12) ¿en qué línea está dicho factor?

El factor 16,50886598, se encuentra en la línea 16.

Por lo tanto n = 16 quincenas.

5) ¿A qué tasa anual un monto de 5 012,77 nuevos soles requiere aportes semestrales de 595 nuevos soles, durante 3 años y 6 meses, si la capitalización es bimestral?

Solución: Fórmula: F = A(F/A, %, PP, PC, n) A = 595 semestral %=? n = 7 semestres F = 5 012,77 El factor a buscar es: F / A = 5012,77 / 595 = 8,424823529 En la tabla: Factor (F/A, %, 4–E, 6, 7) Como los aportes son semestrales, el factor se busca en las tablas 4 – E.

Buscará 8,424823529, en los cruces de la columna 6 (capitalización bimestral) con la línea 7, ¿en cuál de las tablas 4 – E está dicho factor?.

El factor se encuentra en la tabla del 12%.

El alumno puede observar, que con las tablas de factores se puede despejar de manera sencilla la tasa anual de una anualidad; en cambio, si usted quisiera hacer lo mismo utilizando las fórmulas, el proceso de solución es muy complicado; por esta razón, se recomienda que en estos casos, utilice las tablas de factores.

6) ¿A qué tasa anual un monto de 3 500 nuevos soles requiere aportes bimestrales de 255 nuevos soles, durante 2 años, si la capitalización es trimestral?

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WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Solución: Fórmula: F = A(F/A, %, PP, PC, n) A = 255 bimestral %=? n = 2(6) = 12 bimestres El factor a buscar es: F / A = 3 500 / 255 = 13,7254902 En la tabla: Factor (F/A, %, 4–C, 4, 12)

F = 3 500

Como los aportes son semestrales, el factor se busca en las tablas 4 – C. Buscará 13,7254902, en los cruces de la columna 4 (capitalización trimestral) con la línea 12, ¿en cuál de las tablas 4 – C está dicho factor?

Como el factor no se encuentra en las tablas, se utilizarán los factores de las tasas más próximos que son: el factor 13,6560 del 14% y el factor 13,7836 del 15%; con los datos recogidos, se puede interpolar la tasa correspondiente.

Factor 13,6560 13,7254902 13,7836

Tasa 14% X% 15%

Luego se establecen las diferencias de extremos (primero menos el último) y las diferencias con el valor del medio, para colocarlos de la siguiente manera:

13,6560 – 13,7836 = – 0,1276 13,6560 – 13,7254902 = – 0,0694902

Con la información obtenida de las diferencias, se forma una regla de tres simples comparando (1) con (2) y (3) con (4), de la siguiente manera: Factor – 0,1276 – 0,0694902

(1) (3)

14% – 15% 14% – X%

= –1% (2) = X’% (4)

Tasa –1% X’%

De donde: X’% = – ­ 0,0694902 (­–1) / – ­ 0,1276 = – 0,5446% Reemplazando X’% (– 0,5446) en la ecuación (4), se determina la tasa buscada “X%”.

14% – X% = – 0,5446% % = 14,54 % anual.

;

X% = 14% + 0,5446%

= 14,5446%

Resolver los siguientes ejercicios sobre cálculo del valor futuro en anualidades ordinarias inmediatas utilizando la tabla de factores.

1) Si se abona trimestralmente 670 nuevos soles al 6% durante 9 trimestres, ¿Cuál será el valor futuro si la capitalización es semestral?

Resp.: 6401,88

z1 6 3 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

2) ¿En cuántas quincenas se debe abonar 260 nuevos soles, para obtener 4 831,92 nuevos soles al 9% capitalizable mensualmente?

Resp.: 18 quincenas 3) ¿A qué tasa anual un monto de 728,33 nuevos soles requiere de 38 nuevos soles mensuales, durante 17 meses, si la capitalización es trimestral?

Resp.: 18 % 4) ¿A qué tasa anual un monto de 6 000 nuevos soles requiere de 636,16 nuevos soles bimestrales, durante año y medio, si la capitalización es bimestral?

Resp.: 7% 5) ¿En cuántos bimestres se debe abonar 90 nuevos soles, para obtener 1 230,91 nuevos soles al 14% capitalizable mensualmente?

Resp.: 12 bimestres 6) ¿A qué tasa anual un monto de 1 849,07 nuevos soles requiere aportes semestrales de 150 nuevos soles, durante 5 años, si la capitalización es bimestral?

Resp.: 9%

4.1.2 Valor actual de la anualidad ordinaria inmediata Si se aportara 1 000 soles al terminar cada año al 10% de intereses compuestos consecutivamente durante 5 años, ¿cuál es el valor actual y el interés deducido de los aportes?

Solución al ejercicio: A continuación se trabajará año por año con la tasa en tanto por uno de manera inversa con relación al valor futuro, ya que se trata del valor presente, para que el estudiante observe como se desarrolla el valor actual en una anualidad: Años 1 2 3 4 5

Pago o Aporte 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000

Capitalización 1 000,00 1 909,09 2 735,54 3 486,85 4 169,86

Factor 1 / (1+i) 1 / 1.1 1 / 1.1 1 / 1.1 1 / 1.1 1 / 1.1

5 000 Respuestas:

Valor Actual 909,09 1 735,54 2 486,85 3 169,86 3 790,78

Interés deducido 90,91 173,55 248,69 316,99 379,08 1 209,22

Interés deducido del aporte = 1 209,22 y Valor Actual = 3 790,78.

z1 6 4 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Nótese que al multiplicar la capitalización por el factor se obtiene el valor actual y la diferencia de la capitalización con el valor actual, se obtiene el interés que es justo el 10% del valor actual.

Los pagos (A) efectuados al final de cada periodo, tal como se observa en el desarrollo anterior para el valor actual generan los intereses compuesto hasta la fecha final, capitalizando los intereses igualmente al final de cada uno de los periodos que siguen. El primer pago deducirá interese durante 1 periodo, el segundo deducirá 2 periodos, y así sucesivamente hasta el último pago que deducirá “n” periodos.

Ordenando los pagos con sus respectivos intereses para hallar el valor presente en una anualidad ordinaria inmediata, se tiene: P = A / (1 + i) 1 + A / (1 + i)

2

+ …. + A / (1 + i)

(n – 1)

+ A / (1 + i)

n

Los términos del segundo miembro, forman una progresión geométrica de: n términos, razón k = (1 + i) y el primer término es (A / k). La suma de los términos de esta progresión geométrica, queda definida como:

1   A1 − n  1 − k − n ; reemplazando “k” por (1 + i), se tiene: k   = P= 1− k 1− k

P=

[ ]

A1− ( 1 + i) 1− ( 1 + i) −n

P=

[ ]

A1− ( 1 + i) i −n

Donde: A P i n

: Abono, Aporte o Pago : Valor Actual o Valor Presente : Tasa de interés efectiva con relación al pago (en tanto por uno) : Número de aportes.

4.1.2.1 Cálculo con el uso de fórmulas

Con la fórmula definida en el ítem anterior, se puede hallar el Valor Presente y las otras variables relacionadas con dicho valor actual de una Anualidad Ordinaria Inmediata.

El alumno puede hallar el valor presente conociendo: el pago (A), la tasa (i) y el tiempo que dura la operación (n); además, recuerde que en todos los ejercicios sobre anualidades, se deben señalar los periodos de pagos y los periodos de capitalización.

Se recomienda no utilizar más fórmulas que las dadas en la presente unidad, para evitar confusiones al utilizarlas. z1 6 5 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Ejercicios resueltos: 1) Si se paga mensualmente 1 300 nuevos soles al 12% durante un año y tres meses por un préstamo, ¿cuál es el valor del préstamo si la capitalización es mensual?

Solución: Fórmula: P = A [1 – (1 + i)– n ] / i A =1 300 mensual j = 0,12 / 12 = 0,01 mensual n = 12 + 3 =15 meses P = ?

PP: mensual = PC: mensual (1ª caso: PP = PC; r = 1) i = j = 0,01 P = 1 300 [1 – (1 + 0,01) – 15 ] / 0,01 = 18 024,57 Como habrá observado, la tasa anual (j) se ha dividido entre 12 para convertirla en tasa nominal mensual, porque así lo ordena la capitalización.

2) Si se paga semestralmente 880 nuevos soles al 10% durante 2 años por un préstamo, ¿cuál es el valor del préstamo si la capitalización es trimestral?

Solución: Fórmula: P = A [1 – (1 + i)– n ] / i A = 880 semestral j = 0,10 / 4 = 0,025 trimestral n = 2 (2) = 4 semestres P = ?

PP: semestral = PC: trimestral (2ª caso: PP > PC; r > 1) r = 180 días / 90 días = 2 i = (1 + 0,025)2 – 1 = 0,050625 P = 880 [1 – (1 + 0,050625)– 4 ] / 0,050625 = 3 115,91

3) ¿Cuánto se tiene que pagar mensualmente por un préstamo de 5 000 nuevos soles, al 9% durante 2 años, si la capitalización es quincenal?

Solución: Fórmula: P = A [1 – (1 + i) – n ] / i A = ? mensual j = 0,09 / 24 = 0,00375 quincenal n = 2 (12) = 24 meses PP: mensual = PC: quincenal (2ª caso: PP > PC; r > 1) r = 30 días / 15 días = 2 i = (1 + 0,00375)2 – 1 = 0,007514063 5 000 = A [1 – (1 + 0,007514063) –2 4 ] / 0,007514063 A = 5 000 (0,007514063) / [1 – (1 + 0,007514063)–2 4] = 228,46

P = 5 000

4) ¿Cuánto se tiene que pagar mensualmente por un préstamo de 3 900 nuevos soles, al 8% durante 3 años, si la capitalización es trimestral?

Solución: Fórmula: P = A [1 – (1 + i)– n ] / i A = ? mensual j = 0,08 / 4 = 0,02 trimestral n = 3 (12) = 36 meses PP: mensual = PC: trimestral (3ª caso: PP < PC; r < 1) r = 30 días / 90 días = (1 / 3) i = (1 + 0,02)(1/3) – 1 = 0,00662261 3 900 = A [1 – (1 + 0,00662261)–36 ] / 0,00662261 A = 3 900 (0,00662261) / [1 – (1 + 0,00662261)–36 ] = 122,12

z1 6 6 z

P = 3 900

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

5) ¿Cuántos pagos bimestrales de 325 nuevos soles se necesitarán para cancelar un préstamo de 4 509,58 nuevos soles, si la capitalización es semestral y la tasa es del 6%?

Solución:

Fórmula: P = A [1 – (1 + i)– n ] / i

A = 325 bimestral j = 0,06 / 2 = 0,03 semestral n=?

P = 4 509,58

PP: bimestral = PC: semestral (3ª caso: PP < PC; r < 1)

r = 60 días / 180 días = (1 / 3) i = (1 + 0,03)(1/3) – 1 = 0,009901634

4 509,58 = 325 [1 – (1 + 0,009901634) – n ] / 0,009901634

[4 509,58 (0,009901634) / 325] – 1 = – (1,009901634)– n

– 0,862608582 = – 1 / 1,009901634n 1,009901634n = 1 / 0,862608582 1,009901634n = 1,159274346

n = log 1,159274346 / log 1,009901634 = 15 bimestres.

Resolver los siguientes ejercicios sobre cálculo del valor actual en anualidades ordinarias inmediatas utilizando fórmulas.

1) Si se paga mensualmente 150 nuevos soles al 12% durante 3 años por un préstamo, ¿cuál es el valor del préstamo si la capitalización es mensual?

Resp.: 4 516,13

2) Si se paga semestralmente 750 nuevos soles al 10% durante 2 años por un préstamo, ¿cuál es el valor del préstamo si la capitalización es trimestral?

Resp.: 2 655,61

3) ¿Cuánto se tiene que pagar mensualmente por un préstamo de 6 565,64 nuevos soles, al 9% durante 2 años, si la capitalización es quincenal?

Resp.: 300,00 4) ¿Cuánto se tiene que pagar mensualmente por un préstamo de 7 664,80 nuevos soles, al 8% durante 3 años, si la capitalización es trimestral?

Resp.: 240,00

5) ¿Cuántos pagos mensuales de 400 nuevos soles se necesitarán para cancelar un préstamo de 3 428,06 nuevos soles, si la capitalización es trimestral y la tasa es del 12%?

Resp.: 9 meses

4.1.2.2 Aplicaciones Comerciales con Valor Presente

Con la fórmula definida sobre el Valor Presente de una Anualidad Ordinaria Inmediata, se deben realizar las operaciones comerciales con ventas a plazos.

El alumno puede hallar el valor presente conociendo: el pago (A), la tasa (i) y el tiempo que dura la operación (n); además, puede determinar el valor de las cuotas, conociendo la cantidad de pagos que debe hacer. z1 6 7 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Ejercicios resueltos: 1) Un artefacto electrodoméstico tiene un precio de contado 1 900 nuevos soles. Para venderlo a plazos, la casa comercial solicita un adelanto en efectivo de 300 nuevos soles y hace un recargo de 200 nuevos soles para gastos de operación. ¿Cuál es el valor de cada cuota mensual, si tiene que hacer pagos durante un año y medio y el banco paga el 9% de interés en los depósitos con capitalización es mensual?

Solución: Fórmula: P = A [1 – (1 + i) – n ] / i Precio de contado = 1 900 Adelanto = 300 Recargo 200 Valor Actual = 1 900 – 300 + 200 = 1 800 A = ? mensual j = 0,09 /12 = 0,0075 mensual n = 1,5 (12) =18 meses P = 1 800 PP: mensual = PC: mensual (1ª caso: PP = PC; r = 1) i = j = 0,01 1 800 = A [1 – (1 + 0,0075) – 12 ] / 0,0075 A = 1 800 (0,0075) / [1 – (1 + 0,0075) – 12 ] = 157,41 Usted se preguntará por qué este mismo ejercicio se ha resuelto primero como Valor Futuro en el ítem anterior y ahora como Valor Presente o Actual, resulta que ahora hay monedas de por medio, por lo tanto es más sencillo hacerlo en tiempo presente.

2) Determine el precio de contado por la compra de un juego de muebles, si se tiene que pagar 225 soles mensuales durante 10 meses, si la tasa es del 12% capitalizable mensualmente y tuvo un recargo de 250 nuevos soles.

Solución: Fórmula: P = A [1 – (1 + i)– n ] / i A = 225 mensual j = 0,12 / 12 = 0,01 mensual n = 10 meses P=?

PP: mensual = PC: mensual (1ª caso: PP = PC; r = 1) i = j = 0,01 P = 225 [ 1 – (1 + 0,01)- 10 ] / 0,01 = 2 131,04 Precio de contados = 2 134,04 – 250 = 1 884,04

Resolver los siguientes ejercicios sobre cálculo del valor Actual en anualidades ordinarias inmediatas sobre operaciones comerciales.

1) Si se paga mensualmente 110 nuevos soles por la compra de un televisor, al 12% durante año y medio, ¿Cuál es su precio de contado si la capitalización es mensual y sufrió un recargo de 235 nuevos soles?

Resp.: 1 568,81

2) Si se paga mensualmente 220 nuevos soles por la compra de una computadora, al 9% durante 2 años y medio, ¿Cuál es su precio de contado si la capitalización es mensual y sufrió un recargo de 200 nuevos soles?

Resp.: 5 690,52

z1 6 8 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

3) ¿Cuánto se debe pagar mensualmente por una computadora si tienes que cancelar la compra en 18 meses? Se sabe que al precio de contado es de 3 500 nuevos soles más 144 nuevos soles de gastos, la capitalización es mensual y la tasa de interés es del 10%.

Resp.: 218,85 4) ¿Cuánto se debe pagar por un equipo de sonidos si tienes que cancelar la compra en 12 meses. Se sabe que al precio de contado de 4 000 nuevos soles más 268 nuevos soles de gastos, la capitalización es mensual y la tasa de interés es del 12%?

Resp.: 379,21

4.1.2.3 Cálculo con el uso de Tablas de Factores Con la Tabla de factores (Tabla 5), se puede hallar el Valor Presente y las otras variables relacionadas con dicho valor presente de una Anualidad Ordinaria Inmediata.

El factor de la tabla realmente es P/A, mientras que los otros componentes son referenciales para poder ubicarlo en la tabla. Con el factor, el alumno puede hallar el valor Presente además de cualquiera de las otras variables conociendo: el pago (A), la tasa (%) y el tiempo que dura la operación (n); además de los periodos de pagos (PP) y los periodos de capitalización (PC). La diferencia de este procedimiento con el uso de fórmulas, es que el factor a utilizar P/A ya está calculado en la tabla.

P = A (P/A, %, PP, PC, n) ¿Cómo usar la tabla de factores del Valor Presente?

Para hallar el factor del valor Presente o Actual, se deben dar los siguientes pasos: 1ª Seleccionar entre las tablas, las del grupo número 5 que ha sido elaborada con tasas anuales para hallar el valor Actual.

2ª Elegir la tabla del % del problema dependiendo del tipo de aporte: La tabla 5 – A (Aporte quincenal), tabla 5 – B (Ap. mensual), hasta la tabla 5 – F (Ap. anual).

3ª Una vez elegida la tabla, tomará la columna dependiendo de la capitalización del problema. La columna 24 contiene la capitalización quincenal, la columna 12 contiene la capitalización mensual, y así sucesivamente hasta la columna 1 que contiene la capitalización anual.

4ª Finalmente el cruce de estas columnas con la línea “n”, determina el factor buscado.

Ejemplo: ¿Cuál es el factor para el valor Actual de un problema con tasa del 10% con 14 aportes bimestrales capitalizables trimestralmente?

1ª Ir al grupo de tablas número 5.

2ª Como los aportes son trimestrales se tomará la tabla 5 – C del 10% 3ª Como la capitalización es trimestral, tomar la columna 4 (4 capitalizac. al año) 4ª El factor buscado lo encontrará con el cruce de la línea 14.

P = A(P/A, %, PP, PC, n) ; P = A(P/A, 10%, 5–C, 4, 14) ; P = A(12,4012)

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M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Ejercicios resueltos: 1) Si se abona mensualmente 700 nuevos soles al 7% durante año y medio en una cuenta, ¿Cuánto se recibirá de préstamo si la capitalización es mensual?

Solución: Fórmula: P = A(P/A, %, PP, PC, n) A =700 mensual % = 7% n = 1.5 (12) = 18 meses Factor (P/A, 7%, 5–B, 12, 18) = 17,0401 P = 700 (17,0401) = 11 928,07

P=?

El Factor 17,0401, fue hallado en la tabla 5 – B (pagos mensuales) del 7%, en la columna 12 (capitalización mensual) y en la línea 18 (18 aportes mensuales en año y medio).

2) ¿Cuánto se tiene que pagar trimestralmente por un préstamo de 2 500 nuevos soles, al 8% si la capitalización es mensual durante 3 años?

Solución: Fórmula: P = A(P/A, %, PP, PC, n) A = ? trimestral % = 8% n = 3 (4) = 12 trimestres Factor (P/A, 8%, 5–D, 4, 12) = 10,5753 2 500 = A (10,5753) = 236,40

P = 2 500

3) ¿Cuántos pagos quincenales serán necesarios, si se paga 120 nuevos soles quincenales por un préstamo de 2 708,77 nuevos soles, al 12% si la capitalización es bimestral?

Solución: Fórmula: P = A(P/A, %, PP, PC, n) A = 120 quincenal % = 12% n = ? quincenales P = 2 708,77 El factor a buscar es: P / A = 2 708,77 / 120 = 22,57308333 En la tabla: Factor (P/A, 12%, 5–A, 6, n) Se busca en la tabla 5–A del 12%, columna bimestral (6) ¿en qué línea está dicho factor?

El factor 22,57308333, se encuentra en la línea 24. Por lo tanto n = 24 quincenas.

4) Si se paga 200 nuevos soles bimestrales por un préstamo de 1 277,30 nuevos soles, durante 14 meses ¿cuál es la tasa anual, si la capitalización es mensual?

Solución: Fórmula: P = A(P/A, %, PP, PC, n) A = 200 bimestral %=? n = 14 / 2 = 7 bimestres P = 1 277,30 El factor a buscar es: P / A = 1 277,30 / 200 = 6,3865 En la tabla: Factor (P/A, %, 5–C, 12, 7) Se busca en las tablas 5–C, en el cruce de la columna mensual (12) con la línea 7 ¿en qué tabla está dicho factor?

El factor 6,3865, se encuentra en la tabla del 14%. z1 7 0 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

5) ¿A qué tasa anual un préstamo de 4 000 nuevos soles requiere aportes mensuales de 235 nuevos soles, durante 18 meses, si la capitalización es quincenal?

Solución: Fórmula: P = A(P/A, %, PP, PC, n) A = 235 mensual %=? n = 18 meses P = 4 000 El factor a buscar es: P / A = 4 000 / 235 = 17,0212766 En la tabla: Factor (P/A, %, 5–B, 24, 18) Como los aportes son mensuales, el factor se busca en las tablas 5 – B. Buscará 17,0212766, en el cruce de la columna 24 (capitalización quincenal) con la línea 18, ¿en cuál de las tablas 5 – B está dicho factor?.

Como el factor no se encuentra en las tablas, se utilizarán los factores de las tasas más próximos que son: el factor 16,9072 del 8% y el factor 17,0388 del 7%; con los datos recogidos, se puede interpolar la tasa correspondiente.

Factor 17,0388 17,0212766 16,9072

Tasa 7% X% 8%

Luego se establecen las diferencias de extremos (primero menos el último) y las diferencias con el valor del medio, para colocarlos de la siguiente manera:

17,0388 17,0388

Con la información obtenida de las diferencias, se forma una regla de tres simples comparando (1) con (2) y (3) con (4), de la siguiente manera:

– –

16,9072 = – 0,1316 17,0212766 = – 0,0175234

Factor – 0,1316 – 0,0175234

(1) (3)

7% – 8% 7% – X%

= –1% = X’%

(2) (4)

Tasa –1% X’%

De donde: X’% = – ­ 0,0175234 (­–1) / – ­ 0,1316 = – 0,1332% Reemplazando X’% (– 0,1332) en la ecuación (4), se determina la tasa buscada “X%”.

7% – X% = – 0,1332% % = 7,13 % anual.

Usted ha podido observar que el proceso interpolatorio, es el mismo siempre que tenga 5 valores conocidos y una incógnita. Es independiente del tipo de operación financiera.

;

X% = 7% + 0,1332%

= 7,1332%

6) ¿Cuántos pagos mensuales de 365 nuevos soles serán necesarios por un préstamo de 6 123,60 nuevos soles, al 9% si la capitalización es quincenal?

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M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Solución: Fórmula: P = A(P/A, %, PP, PC, n) A = 365 mensual % = 9% n = ? meses P = 6 123,60 El factor a buscar es: P / A = 6 123,60 / 365 = 16,7769863 En la tabla: Factor (P/A, 9%, 5–B, 24, n) Se busca en la tabla 5–B del 9% por tener aportes mensuales y columna 24 (quincenal) ¿en qué línea está dicho factor?

El factor 16,7769863, se encuentra en la línea 18. Por lo tanto n = 18 meses.

Resolver los siguientes ejercicios sobre cálculo del valor actual en anualidades ordinarias inmediatas utilizando la tabla de factores.

1) Si se abona trimestralmente 740 nuevos soles al 10% durante 3 años, ¿Cuál será el préstamo si la capitalización es mensual?

Resp.: 7581,15

2) ¿En cuántos semestres se debe abonar 1200 nuevos soles, para obtener un préstamo de 7 609,60 nuevos soles al 18% capitalizable bimestralmente?

Resp.: 10 semestres 3) ¿A qué tasa anual un préstamo de 11 059,52 nuevos soles requiere de 520 nuevos soles mensuales, durante 2 años, si la capitalización es trimestral?

Resp.: 12 % 4) ¿A qué tasa anual un préstamo de 10 000 nuevos soles requiere de 917,34 nuevos soles trimestrales, durante 3 años, si la capitalización es quincenal?

Resp.: 6% 5) ¿En cuántos bimestres se debe abonar 645 nuevos soles, para obtener un préstamo de 7 035,34 nuevos soles al 9% capitalizable bimestralmente?

Resp.: 12 bimestres 6) ¿A qué tasa anual un préstamo de 3 007,92 nuevos soles requiere aportes quincenales de 90 nuevos soles, durante año y medio, si la capitalización es semestral?

Resp.: 10 %

z1 7 2 z

L e c c i ó n

2

4.2 Anualidad diferida ordinaria Es una operación financiera por medio de la cual una deuda contraída o una inversión deben ser aprobadas y pagadas en periodos iguales de tiempo y partes iguales de dinero, en donde tales periodos rigen antes o después de un tiempo convenido o diferido de realizado el contrato.

En esta lección se utilizará el procedimiento de una anualidad vencida, por que el: aporte o pago, se hace al término de cada período. Esta operación por realizarse a interés compuesto, tiene por lo tanto las mismas variables conocidas con la inclusión de los pagos parciales; es decir, los periodos de pagos y las cantidades homogéneas de pago. Por lo general, las anualidades diferidas se analizan como anualidades ordinarias o vencidas; de manera que al hablar en delante de una anualidad diferida, presupone que es vencida.

Los periodos diferidos serán determinados en la misma unidad que los periodos de capitalización ya que si no hay pagos o aportes, no se necesita la tasa efectiva del periodo de pago. El tiempo diferido medido los periodos de capitalización, se consideran para el valor futuro después de realizados los aportes y para el valor presente, antes de empezar a aportar.

z1 7 3 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Donde: P : Valor Actual, Valor presente o Deuda Principal A : Abono, Aporte o Pago F : Valor Futuro o Monto F.de i. : Fecha de inicio del tiempo diferido hasta el punto 0 Este tipo de anualidades, se desarrolla dentro de los siguientes casos: 1ª Cuando el periodo de pago (PP) es igual al periodo de capitalización (PC). r = PP / PC = 1

i = (1 + j)r – 1

i = (1 + j) – 1

i=j

2ª Cuando el periodo de pago (PP) es mayor al periodo de capitalización (PC). r = PP / PC > 1

i = (1 + j)r – 1

3ª Cuando el periodo de pago (PP) es menor al periodo de capitalización (PC).

r = PP / PC < 1

i = (1 + j)r – 1

Observe que la tasa efectiva “i”, también se calcula con la misma fórmula de interés compuesto en cualquiera de los casos.

4.2.1 Valor futuro de la anualidad diferida Si se aportara 1 000 nuevos soles cada fin de año al 10% de intereses compuestos consecutivamente durante 5 años, ¿cuánto se deberá tener al término del octavo año y cuáles son los intereses ganados?

Solución al ejercicio: A continuación se trabajará periodo por periodo (año por año) con la tasa en tanto por uno, para que el estudiante observe como se desarrolla el interés compuesto para conocer el Valor Futuro de una anualidad diferida:

z1 7 4 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Años

Capitalizaciones

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 6 6 7

0,00 000,00 100,00 310,00 641,00 105,10 715,61 387,17

Interés total

Respuestas:

Interés 0,00 100,00 210,00 331,00 464,10 6 10,51 6 71,56 7 38,72 3 125,89

Pago o Aporte 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 0 0 0

Valor Futuro 1 2 3 4 6 6 7 8

000,00 100,00 310,00 641,00 105,10 715,61 387,17 125,89

5 000

Interés = 3 125,89 y Valor Futuro o Monto = 8 125,89.

Si observa detenidamente el ahorro o aportes, puede ver que la operación realizada es exactamente igual a una anualidad ordinaria, pero como no se recogen los resultados hasta el octavo año, es lo mismo como si el depósito hubiera sido diferido en 3 años para su cobro, es decir 3 periodos después.

Con lo observado para calcular el valor futuro de una anualidad diferida, se utilizará la misma fórmula de la anualidad ordinaria inmediata y se multiplicará esta operación por 1 más la tasa nominal elevada a número de periodos diferidos (dif):

F=

[]

A( 1+ i) −1 dif ( 1+ i) i n

Donde:

A F i n dif

: Abono, Aporte o Pago : Monto o Valor Futuro : Tasa de interés efectiva con relación al pago (en tanto por uno) : Número de aportes o pagos : Periodos diferidos con relación al periodo de pagos.

4.2.1.1 Cálculo con el uso de fórmulas Con la fórmula definida en el ítem anterior, se puede hallar el Valor Futuro y las otras variables relacionadas con dicho valor futuro de una Anualidad diferida, excepto con la tasa, ya que ésta se debe conocer obligatoriamente, tal como lo es el periodo de pago y el periodo de capitalización.

z1 7 5 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

El alumno puede hallar el valor futuro conociendo: el pago (A), la tasa (i) y el tiempo que dura la operación (n); se recomienda utilizar la misma fórmula para hallar cualquier otra variable relacionada con el valor futuro de una anualidad diferida ordinaria, el alumno reemplazará los valores conocidos y resolverá la operación despejando el valor buscado. No despeje la fórmula cada vez que quiera hallar una variable distinta, por que así el alumno va ha terminar confundido, ya que se llenará de fórmulas para un mismo procedimiento.

Se recuerda que en todos los ejercicios sobre anualidades, se deben señalar los periodos de pagos y los periodos de capitalización, cualquier omisión respecto al periodo de cualquier variable, se asume que el periodo es anual.

Ejercicios resueltos: 1) Si se abona mensualmente 150 nuevos soles al 6% durante año y medio en una cuenta de ahorros, ¿Cuál será el valor futuro después de 2 años, si la capitalización es mensual?

Solución: Fórmula: F = A [((1 + i)n – 1) / i] (1 + i)dif A =150 mensual j = 0,06 /12 = 0,005 mensual F=? n = 1.5 (12) = 18 meses dif = 6 meses PP: mensual = PC: mensual (1ª caso: PP = PC; r = 1) i = j = 0,005 F = 150 [((1 + 0,005)18 – 1) / 0,005] (1 + 0,005)6 = 2 903,47

2) ¿Cuánto se puede ahorrar en 2 años, si se deposita mensualmente 200 nuevos soles al 9% durante un año, si la capitalización es bimestral?

Solución: Fórmula: F = A [((1 + i)n – 1) / i] (1 + i)dif A = 200 mensual j = 0,09 / 6 = 0,015 bimestral F=? n = 12 meses dif = 12 meses PP: mensual < PC: bimestral (3ª caso: PP < PC; r < 1) r = 30 días / 60 días = 0,5 i = (1 + 0,015)0,5 – 1 = 0,007472084 F = 200 [((1 + 0,007472084)12 – 1) / 0,007472084] (1 + 0,007472084)12 = 2 734,84

3) ¿Cuánto se puede ahorrar en 3 años, si se deposita trimestralmente 450 nuevos soles al 8% durante dos años, si la capitalización es mensual?

Solución:

Fórmula: F = A [((1 + i)n – 1) / i] (1 + i) dif

A = 450 trimestral j = 0,08 / 12 mensual

F = ?

n = 2 (4) = 8 trimestres dif = 1 (4) = 4 trimestres

PP: trimestral > PC: mensual (2ª caso: PP > PC; r > 1)

r = 90 días / 30 días = 3 i = (1 + (0,08 / 12))3 – 1 = 0,02013363

F = 450 [((1 + 0,02013363)8 – 1) / 0,02013363] (1 + 0,02013363)4 = 4 184,88 z1 7 6 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

4) ¿Cuánto se puede abonar semestralmente para obtener 6 000 nuevos soles al cabo de 6 años al 8% capitalizable bimestralmente, si los aportes se realizaron por 5 años?

5)

Solución: Fórmula: F = A [((1 + i)n – 1) / i] (1 + i)dif A = ? semestralmente j = 0,08 / 6 bimestral

F= 6 000 n = 5 (2) =10 semestres dif = 1 (2) semestres PP: semestral > PC: bimestral (2ª caso: PP > PC; r > 1) r = 180 días / 60 días = 3 i = (1 + (0,08 / 6)) 3 – 1 = 0,0405357 6 000 = A [((1 + 0,0405357)10 – 1) / 0,0405357] (1 + 0,0405357) 2 A = 6 000 / (1 + 0,0405357)2 (0,0405357) / [ (1 + 0,0405357)10 – 1] = 460,42 ¿En cuántos bimestres se puede abonar 135 nuevos soles, para obtener finalmente un ahorro de 1 630,50 nuevos soles al 7% capitalizable bimestralmente con 3 bimestres diferidos?

Solución: Fórmula: F = A [((1 + i)n – 1) / i] (1 + i)dif A = 135 bimestralmente j = 0,07 / 6 bimestral n = ? bimestres dif = 3 bimestres

PP: bimestral = PC: bimestral (1ª caso: PP = PC; r = 1) i = j = (0,07 / 6) 1 630,50 = 135 [((1 + (0,07 / 6))n – 1) / (0,07 / 6)] (1 + (0,07 / 6))3

(1 630,50 / (1 + (0,07 / 6))3 (0,07 / 6)) = 135 [ (1 + (0,07 / 6))n – 1] (18,37195067 / 135) + 1 = (1 + (0,07 / 6))n 1,136088524 = 1,011666667n

F = 1 743,78

n = log 1,136088524 / log 1,011666667 = 11 bimestres.

6) ¿En cuántos meses se puede abonar 100 nuevos soles, para obtener finalmente un ahorro de 2 574,90 nuevos soles al 9% capitalizable bimestralmente con 4 meses diferidos?

Solución: Fórmula: F = A [((1 + i)n – 1) / i] (1 + i)dif A = 80 mensualmente j = 0,09 / 6 = 0,015 bimestral n = ? meses dif = 4 meses

PP: mensual < PC: bimestral (3ª caso: PP < PC; r < 1) r = 30 días / 60 días = 0,5 i = (1 + 0,015) 0,5 – 1 = 0,007472084 2 574,90 = 100 [((1 + 0,007472084)n – 1) / 0,007472084] (1 + 0,007472084)4

[2 574,90 (0,007472084) / (100 (1 + 0,007472084)4)] + 1 = (1 + (0,007472084))n 1,18675405 = 1,007472084n

n = log 1,18675405 / log 1,007472084 = 23 meses. z1 7 7 z

F = 2 574,90

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

El periodo diferido se puede trabajar en relación a la capitalización, así como también lo puede hacer en relación al aporte, solo debe tener en cuenta el número de periodos diferidos que corresponde a cada caso. Se recomienda utilizar el periodo diferido con relación al pago, por que de esa manera utiliza la misma tasa de toda la operación, en caso contrario tendría que contar el tiempo diferido y la tasa nominal en términos de la capitalización.

Resolver los siguientes ejercicios sobre cálculo del valor futuro en anualidades diferidas utilizando fórmulas.

1) Si se abona mensualmente 320 nuevos soles al 12% durante año y medio en una cuenta de ahorros, ¿Cuál será el valor futuro a dos años, si la capitalización es mensual?

Resp.: 6 662,86

2) ¿Cuánto se puede ahorrar en año y 3 meses, si se deposita mensualmente 150 nuevos soles al 9% durante un año, con capitalización trimestral?

Resp.: 1 917,76

3) ¿Cuánto se puede ahorrar en 3 años, si se deposita trimestralmente 50 nuevos soles al 10% durante dos años, con capitalización mensual?

Resp.: 482,90 4) ¿Cuánto se puede abonar en 6 semestres, para obtener 4 000 nuevos soles al cabo de 4 años al 9% capitalizable bimestralmente?

Resp.: 543,69 5) ¿En cuántos trimestres se debe abonar 1000 nuevos soles, para obtener finalmente un ahorro de 23 379,40 nuevos soles al 9% capitalizable bimestralmente diferido un año?

Resp.: 17,64 6) ¿En cuántos meses se puede abonar 900 nuevos soles, para obtener finalmente un ahorro de 10 747,80 nuevos soles al 9% capitalizable bimestralmente, diferido 6 meses?

Resp.: 11

4.2.1.2 Cálculo con el uso de Tablas de Factores Como el factor de la tabla número 4 corresponde a las anualidades ordinarias o vencidas inmediatas, usted pude utilizar dichas tablas para calcular el valor futuro de las anualidades diferidas ordinarias, multiplicando el factor hallado con el factor de la tabla 2, donde el valor “n” de dicha tabla representa el número de periodos diferidos.

z1 7 8 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

El alumno puede hallar el valor futuro diferido ordinario conociendo: el pago (A), la tasa (%) y el tiempo que dura la operación (n); además de los periodos de pagos (PP), los periodos de capitalización (PC) y los periodos diferidos.

F = A (F/A, %, PP, PC, n) (S/C, %, PC, dif.)

F = A (Tabla 4) (Tabla 2)

En el caso del uso de tablas, el trabajar los periodos diferidos en términos de la capitalización, nos permite utilizar la tabla 2 de interés compuesto, además de las tablas de anualidades ordinarias inmediatas. Si se hubiera utilizado la tasa del periodo de pago, no se podría utilizar esta tabla si el periodo de pago difiere del periodo de capitalización.

Ejercicios resueltos: 1) Si se abona mensualmente 300 nuevos soles al 12% durante 2 años en una cuenta de ahorros, ¿Cuál será el valor futuro si la capitalización es mensual, y el cobro se difiere 6 meses?

Solución: Fórmula: F = A (F/A, %, PP, PC, n) (S/C, %, PC, dif.)

A = 300 mensual % = 12% n = 2 (12) = 24 meses F=? dif. = 6 meses Factor (F/A, 12%, 4–B, 12, 24) = 26,9735 Factor (S/C, 12%,12, 6) = 1,06152 F = 300 (26,9735) (1,06152) = 8 589,87

2) Si se abona semestralmente 760 nuevos soles al 9% durante 3 años en una cuenta de ahorros, ¿Cuál será el valor futuro si la capitalización es trimestral y se cobra después de un año de último abono?

Solución: Fórmula: F = A (F/A, %, PP, PC, n) (S/C, %, PC, dif.)

A = 760 semestral % = 9% n = 3(2) = 6 semestres F = ? dif =1(4) = 4 trimestres

Factor (F/A, 9%, 4–E, 4, 6) = 6,72545

F = 760 (6,72545) (1,09308) = 5 587,11

Factor (S/C, 9%,4, 4) = 1,09308

3) ¿Cuál debe ser el abono mensual para ahorrar 2 645,84 nuevos soles al 8% durante 14 meses en una cuenta de ahorros, si la capitalización es quincenal y el cobro se realiza 5 meses después del último aporte?

z1 7 9 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Solución: Fórmula: F = A (F/A, %, PP, PC, n) (S/C, %, PC, dif.)

A = ? mensual % = 8% n = 14 meses F = 2 645,84

Factor (F/A, 8%, 4–B, 24, 14) = 14,6242 Factor (S/C, 8%,24, 10) = 1,03384 2 645,84 = A (14,6242) (1,03384) A = 2 645,84 / (14,6242 x 1,03384) = 175

dif = 5 (2) = 10 quincenas

4) ¿Cuántos aportes quincenales de 40 nuevos soles serán necesarios para ahorrar 677 nuevos soles al 10%, si la capitalización es mensual y el cobro se realiza 3 meses después del último aporte?

Solución: Fórmula: F = A (F/A, %, PP, PC, n) (S/C, %, PC, dif.)

A = 40 quincenal % = 10% n=?

F = 677 dif = 3 meses Factor Diferido: Factor (S/C, 10%,12, 3) = 1,02521 F / A = 677 / (40 x 1,02521) = 16,50881283

El factor 16,5088, se encuentra en: la tabla 4–A, del 10%, la columna12 y en la línea 16 Entonces: n = 16 aportes quincenales.

5) ¿Cuántos aportes trimestrales de 480 nuevos soles serán necesarios para ahorrar 4 768,19 nuevos soles al 14%, si la capitalización es bimestral y el cobro se realiza 8 meses después del último aporte?

Solución: Fórmula: F = A (F/A, %, PP, PC, n) (S/C, %, PC, dif.)

A = 480 trimestral % = 14% n=?

F = 4 768,19 dif = 4 bimestres Factor Diferido: Factor (S/C, 14%, 6, 4) = 1,09665 F / A = 4 768,19 / (480 x 1,09665) = 9,058249365 El factor 9,05824, se encuentra en: la tabla 4–D, del 14%, la columna 6 y en la línea 8 Entonces: n = 8 aportes trimestrales.

Resolver los siguientes ejercicios sobre cálculo del valor futuro en anualidades diferidas utilizando tablas de factores.

1) Si se abona mensualmente 110 nuevos soles al 12% durante 2 años en una cuenta de ahorros, ¿Cuál será el valor futuro a 3 años, si la capitalización es mensual?

Resp.: 3 343,40

2) ¿Cuánto se puede ahorrar en año y 6 meses, si se deposita mensualmente 320 nuevos soles al 14% durante un año, con capitalización trimestral?

Resp.: 4 384,74

3) ¿Cuánto se puede ahorrar en 5 años, si se deposita trimestralmente 170 nuevos soles al 10% durante 4 años, con capitalización mensual?

Resp.: 3 645,57 z1 8 0 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

4) ¿Cuánto se puede abonar en 10 semestres, para obtener 11 790,83 nuevos soles al cabo de 7 años al 9% capitalizable bimestralmente?

Resp.: 800,00 5) ¿En cuántos trimestres se debe abonar 400 nuevos soles, para obtener finalmente un ahorro de 8 082,91 nuevos soles al 8% capitalizable mensualmente diferido un año?

Resp.: 16 trimestres.

6) ¿En cuántos meses se puede abonar 190 nuevos soles, para obtener finalmente un ahorro de 2 867,55 nuevos soles al 10% capitalizable bimestralmente, diferido 1 año?

Resp.: 13 meses.

4.2.2 Valor actual de la anualidad diferida Si se aportara 1 000 soles al terminar cada año al 10% de intereses compuestos consecutivamente durante 5 años, ¿cuál es el valor actual y el interés deducido de los aportes en 8 años?

Solución al ejercicio: A continuación se trabajará año por año con la tasa en tanto por uno de manera inversa con relación al valor futuro, por que se trata del valor presente, para que el estudiante observe como se desarrolla el valor actual en una anualidad diferida tendrá que ver cada línea como valor actual, para el periodo a que se refiere dicha línea.

Por lo tanto, la línea 8 representa el periodo actual para una operación que dura 8 años con el tiempo diferido por 3 años adelante, ya que los aportes corresponden a los últimos años (para ver el tiempo diferido adelante, imagínese la tabla colocando la primero la línea 8, luego la 7 hasta la línea 1 al final): Años 1 2 3 4 5 6 7 8

Pago o Aporte 1 1 1 1 1

000 000 000 000 000 0 0 0

Capitalización

Factor 1 / (1+i)

1 000,00 1 909,09 2 735,54 3 486,85 4 169,86 3 790,78 3 446,16 3 132,87

1 1 1 1 1 1 1 1

/ / / / / / / /

1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1

5 000

Valor Actual

Interés deducido

909,09 1 735,54 2 486,85 3 169,86 3 790,78 3 446,16 3 132,87 2 848,07

90,91 173,55 248,69 316,99 379,08 344,62 313,29 284,80 2 151,93

Respuestas: Interés deducido del aporte = 2 151,93

z1 8 1 z

y Valor Actual = 2 848,07.

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Nótese que al multiplicar la capitalización por el factor se obtiene el valor actual y la diferencia de la capitalización con el valor actual, se obtiene el interés que es justo el 10% del valor actual.

Si observa detenidamente el ahorro o aporte, puede ver que la operación realizada es exactamente igual a una anualidad ordinaria, pero como los valores actuales son hasta el octavo año, es lo mismo como si el depósito se hubiera diferido en 3 años, es decir 3 periodos después.

Con lo observado para calcular el valor presente de una anualidad diferida, se utilizará la misma fórmula de la anualidad ordinaria inmediata y se dividirá esta operación por 1 más la misma tasa elevada a número de periodos diferidos (dif):

P=

[ ]

A1− ( 1 + i ) − dif ( 1 + i) i −n

Donde:

A P i n dif

: : : : :

Abono, Aporte o Pago Valor Actual o Valor Presente Tasa de interés efectiva con relación al pago (en tanto por uno) Número de aportes o pagos Periodos diferidos con relación al periodo de aporte.

Observe que el periodo diferido considera la tasa y el número de periodos diferidos con relación con el periodo de pago.

Usted, si desea puede utilizar la tasa diferida en términos de capitalización, pero recuerde que el número de periodos diferidos, también debe estar con relación a la capitalización.

4.2.2.1 Cálculo con el uso de fórmulas Con la fórmula definida en el ítem anterior, se puede hallar el Valor Presente y las otras variables relacionadas con dicho valor actual de una Anualidad Ordinaria Inmediata.

El alumno puede hallar el valor presente conociendo: el pago (A), la tasa (i) y el tiempo que dura la operación (n); además, recuerde que en todos los ejercicios sobre anualidades, se deben señalar los periodos de pagos y los periodos de capitalización.

Se recomienda no utilizar más fórmulas que las dadas en la presente unidad, para evitar confusiones al utilizarlas.

z1 8 2 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Ejercicios resueltos: 1) Si se paga mensualmente 1 300 nuevos soles al 12% durante un año y tres meses por un préstamo, ¿cuál es el valor del préstamo si la capitalización es mensual con 4 meses diferidos?

Solución: Fórmula: P = A [(1 – (1 + i) – n ) / i ] (1 + i)– dif A =1 300 mensual

j = 0,12 / 12 = 0,01 mensual

P=? n = 12 + 3 =15 meses

dif = 4 meses PP: mensual = PC: mensual (1ª caso: PP = PC; r = 1) i = j = 0,01 P = 1 300 [(1 – (1 + 0,01)– 15 ) / 0,01 ] (1 + 0,01)– 4 = 17 321,26

2) Si se paga 1 400 nuevos soles por semestre al 10% durante 2 años por un préstamo, ¿cuál es el valor del préstamo si la capitalización es trimestral y se difieren 4 periodos?

Solución: Fórmula: P = A [(1 – (1 + i) – n ) / i ] (1 + i)– dif A = 880 semestral

j = 0,10 / 4 = 0,025 trimestral

P=? n = 2 (2) = 4 semestres dif = 4 semestres PP: semestral = PC: trimestral (2ª caso: PP > PC; r > 1) r = 180 días / 90 días = 2 i = (1 + 0,025)2 – 1 = 0,050625 P = 1 400 [(1 – (1 + 0,050625)– 4) / 0,050625] (1 + 0,050625)– 4 = 4 068,55

3) ¿Cuánto se tiene que pagar mensualmente y 3 meses diferidos por un préstamo de 5 000 nuevos soles, al 9% durante 2 años, si la capitalización es quincenal?

Solución: Fórmula: P = A [(1 – (1 + i)– n ) / i ] (1 + i)– dif A = ? mensual j = 0,09 / 24 = 0,00375 quincenal P = 5 000 n = 2 (12) = 24 meses dif = 3 meses.

PP: mensual = PC: quincenal (2ª caso: PP > PC; r > 1) r = 30 días / 15 días = 2 i = (1 + 0,00375)2 – 1 = 0,007514063 5 000 = A [(1 – (1 + 0,007514063)–24) / 0,007514063] (1 + 0,007514063)–3 A = 5 000 / (1 + 0,007514063)–3 (0,007514063) / [1 – (1 + 0,007514063)–24 ] = 233,65

4) ¿Cuánto se tiene que pagar mensualmente con 2 periodos diferidos por un préstamo de 3 900 nuevos soles, al 8% durante 3 años, si la capitalización es trimestral?

Solución: Fórmula: P = A [(1 – (1 + i)– n ) / i ] (1 + i)– dif A = ? mensual j = 0,08 / 4 = 0,02 trimestral P = 3 900 n = 3 (12) = 36 meses dif = 2 meses PP: mensual = PC: trimestral (3ª caso: PP < PC; r < 1) r = 30 días / 90 días = (1 / 3) i = (1 + 0,02)(1/3) – 1 = 0,00662261 3 900 = A [(1 – (1 + 0,00662261)–36 ) / 0,00662261] (1 + 0,00662261)–2 A = 3 900 / (1 + 0,00662261)–2 (0,00662261) / [1 – (1 + 0,00662261)–36] = 123,74 z1 8 3 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

5) ¿Cuántos pagos bimestrales de 250 nuevos soles se necesitarán con 2 periodos de gracia, para cancelar un préstamo de 1 966,50 nuevos soles, si la capitalización es semestral y la tasa es del 12%?

Solución: Fórmula: P = A [(1 – (1 + i)– n) / i ] (1 + i)– dif A = 250 bimestral

j = 0,12 / 2 = 0,06 semestral

n = ? bimestres dif = 2 bimestres PP: bimestral = PC: semestral (3ª caso: PP < PC; r < 1)

r = 60 días / 180 días = (1 / 3) i = (1 + 0,06)(1/3) – 1 = 0,019612822 1 966,50 = 250 [1 – (1 + 0, 019612822)– n) / 0,0019612822] (1 + 0, 019612822)– 2 [1 966,50 / (1 + 0, 019612822)– 2 (0, 019612822) / 250] – 1 = – (1, 019612822)– n – 0,839614665 = – 1 / 1, 019612822n 1, 019612822 n = 1 / 0,839614665 1, 019612822n = 1,19102255 n = log 1,19102255 / log 1, 019612822 = 9 bimestres.

P = 1 966,50

Resolver los siguientes ejercicios sobre cálculo del valor actual en anualidades diferidas utilizando fórmulas.

1) Si se paga mensualmente 150 nuevos soles con un mes diferido al 12% durante 3 años por un préstamo, ¿cuál es el valor del préstamo si la capitalización es mensual?

Resp.: 4 471,41

2) Si se paga semestralmente 750 nuevos soles con 2 semestres diferidos al 10% durante 2 años por un préstamo, ¿cuál es el valor del préstamo si la capitalización es trimestral?

Resp.: 2 405,85

3) ¿Cuánto se tiene que pagar mensualmente por un préstamo de 642 nuevos soles, al 9% durante 2 años, si la capitalización es quincenal y se difieren 3 meses?

Resp.: 30,00 4) ¿Cuánto se tiene que pagar mensualmente por un préstamo de 3 940 nuevos soles, al 8% durante 3 años, si la capitalización es trimestral y se difieren 2 meses?

Resp.: 125,01

5) ¿Cuántos pagos mensuales de 95 nuevos soles se necesitarán para cancelar un préstamo de 1 450,80 nuevos soles, si la capitalización es trimestral y la tasa es del 12% con 2 meses diferidos?

Resp.: 17 meses

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4.2.2.2 Cálculo con el uso de Tablas de Factores Como el factor de la tabla número 5 corresponde a las anualidades ordinarias o vencidas inmediatas, usted pude utilizar dichas tablas para calcular el valor actual de las anualidades diferidas ordinarias, dividiendo el factor hallado entre el factor de la tabla 2, donde el valor “n” de dicha tabla representa el número de periodos diferidos.

El alumno puede hallar el valor actual ordinario diferido conociendo: el pago (A), la tasa (%) y el tiempo que dura la operación (n); además de los periodos de pagos (PP), los periodos de capitalización (PC) y los periodos diferidos.

P = A (F/A, %, PP, PC, n) / (S/C, %, PC, dif.)

P = A (Tabla 5) / (Tabla 2)

En el caso del uso de tablas, el trabajar los periodos diferidos en términos de la capitalización, nos permite utilizar la tabla 2 de interés compuesto, además de las tablas de anualidades ordinarias inmediatas. Si se hubiera utilizado la tasa del periodo de pago, no se podría utilizar esta tabla si el periodo de pago difiere del periodo de capitalización.

Ejercicios resueltos: 1) Si se abona mensualmente al término del 6to. mes 140 nuevos soles al 10% durante 2 años, ¿Cuál será el valor actual si la capitalización es mensual?

Solución: Fórmula: P = A (P/A, %, PP, PC, n) / (S/C, %, PC, dif.)

A = 140 mensual % = 10% n = 2 (12) = 24 meses P=? dif. = 6 meses Factor (P/A, 10%, 5–B, 12, 24) = 21,6709 Factor (S/C, 10%,12, 6) = 1,05105 P = 140 (21,6709) / (1,05105) = 2 886,57

2) Si se abona semestralmente al término del 12 avo. mes, 870 nuevos soles al 14% durante 3 años, ¿Cuál será el valor actual si la capitalización es trimestral?

Solución: Fórmula: P = A (P/A, %, PP, PC, n) / (S/C, %, PC, dif.)

A = 870 semestral % = 14% n = 3(2) = 6 semestres P = ? dif =1(4) = 4 trimestres

Factor (P/A, 14%, 5–E, 4, 6) = 4,74857 F = 870 (4,74857) / (1,14752) = 3 600,16

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Factor (S/C, 14%,4, 4) = 1,14752

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3) ¿Cuál debe ser el abono mensual por un préstamo de 3 255,90 nuevos soles al 9% durante 16 meses, si la capitalización es quincenal y el pago comienza a efectuarse después del 5to. mes?

Solución: Fórmula: P = A (P/A, %, PP, PC, n) / (S/C, %, PC, dif.)

A = ? mensual % = 9% n = 16 meses P = 3 255,90 dif = 5 (2) = 10 quincenas Factor (P/A, 9%, 5–B, 24, 16) = 15,0226 Factor (S/C, 9%,24, 10) = 1,03814 3 255,90 = A (15,0226) / (1,03814) A = 3 255,90 (1,03814) / 15,0226 = 225

4) ¿Cuántos aportes quincenales de 100 nuevos soles serán necesarios para adquirir un préstamo de 1 877,90 nuevos soles al 16%, si la capitalización es mensual y el pago comienza a efectuarse después del 3er. mes?

Solución: Fórmula: P = A (P/A, %, PP, PC, n) / (S/C, %, PC, dif.)

A = 100 quincenal % = 16% n=?

P = 1 877,90 dif = 3 meses Factor Diferido: Factor (S/C, 16%,12, 3) = 1,04054 P / A = 1 877,90 (1,04054) / 100 = 19,54030066 El factor 19,5403, se encuentra en: la tabla 5–A, del 16%, la columna12 y en la línea 21 Entonces: n = 21 aportes quincenales.

5) ¿Cuántos aportes trimestrales de 370 nuevos soles serán necesarios para adquirir un préstamo de 5 838,50 nuevos soles al 6%, si la capitalización es bimestral y el pago comienza a efectuarse después del 8vo. mes?

Solución: Fórmula: P = A (P/A, %, PP, PC, n) / (S/C, %, PC, dif.)

A = 370 trimestral % = 6% n=?

F = 4 768,19 dif = 4 bimestres Factor Diferido: Factor (S/C, 6%, 6, 4) = 1,04060 F / A = 5 838,50 (1,04060) / 370 = 16,42038676 El factor 16,4204, se encuentra en la tabla 5–D, del 6%, la columna 6 y en la línea 19 Entonces: n = 19 aportes trimestrales.

6) ¿Calcular al valor actual de una renta de 500 nuevos soles semestrales, si el primer pago debe hacerse dentro de 2 años y el último dentro de 6 años, al 8% capitalizable semestralmente?

Solución: Fórmula: P = A (P/A, %, PP, PC, n) / (S/C, %, PC, dif.)

A = 500 semestral % = 8% n = 9 semestres P = ? dif = 3 semestres Factor (P/A, 8%, 5–E, 2, 9) = 7,43533 Factor (S/C, 8%,2, 3) = 1,12486 F = 500 (7,43533) / (1,12486) = 3 305,00 En estos casos, cuando se paga dentro de 2 años, se considera que el pago es inmediato; por lo tanto, solo se han diferido 3 semestres ya que se trata de una z1 8 6 z

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anualidad diferida ordinaria, y al hacerse un pago al final del 6to año, en el lapso se han realizado 9 aportes semestrales.

Resolver los siguientes ejercicios sobre cálculo del valor presente en anualidades diferidas utilizando tablas de factores.

1) ¿Cuál es el valor actual de una renta, si se paga mensualmente durante 3 años 315 nuevos soles, al 12% capitalizable bimestralmente y 6 meses diferidos?

Resp.: 8 944,47

2) Si se paga semestralmente 1 400 nuevos soles al 8% durante 10 años por un préstamo, ¿cuál es el valor del préstamo si la capitalización es trimestral y 2 semestres diferidos?

Resp.: 17 515,42

3) ¿Cuánto se tiene que pagar mensualmente por un préstamo de 8 543,21 nuevos soles, al 9% durante 3 años, si la capitalización es quincenal y se difieren 4 meses?

Resp.: 280,00 4) ¿Cuánto se tiene que pagar bimestralmente por un préstamo de 6 700 nuevos soles, al 14% durante 3 años, si la capitalización es trimestral y se difieren 12 meses?

Resp.: 527,37

5) ¿Cuántos pagos trimestrales de 495 nuevos soles se necesitarán para cancelar un préstamo de 9 029,64 nuevos soles, si la capitalización es mensual y la tasa es del 7% con 5 meses diferidos?

Resp.: 23 trimestres 6) ¿Calcular al valor actual de una renta de 650 nuevos soles trimestrales, si el primer pago debe hacerse dentro de 2 años y el último dentro de 6 años, al 8% capitalizable semestralmente?

Resp.: 8 272,09

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AUTOEVALUACIÓN Nº 4 1) ¿En cuántas quincenas se debe abonar 165 nuevos soles, para obtener un ahorro de 3 827,08 nuevos soles al 12% capitalizable quincenalmente?

A) 24 B) 22 C) 19 D) 13 E) 35 2) ¿A qué tasa anual un monto de 4 561,80 nuevos soles requiere de 235 nuevos soles trimestrales, durante 16 meses, si la capitalización es mensual?

A) 18% B) 6% C) 12% D) 10% E) 15% 3) ¿Cuánto se debe pagar mensualmente por una computadora si tienes que cancelar la compra en 24 meses? Se sabe que al precio de contado de 4 500 nuevos soles le recargan el 15% por venta a plazos, la capitalización es mensual y la tasa de interés es del 12%.

A) 191,86 B) 216,26 C) 204,78 D) 148,24 E) 158,36 4) Si se abona trimestralmente 1 040 nuevos soles al 8% durante 2 años y 3 meses, ¿Cuál será el préstamo si la capitalización es semestral?

A) 12,64% B) 8 496,68% C) 14,25% D) 9,28% E) 11,88%

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5) ¿En cuántos semestres se debe abonar 600 nuevos soles, para obtener un préstamo de 2 849,14 nuevos soles al 14 % capitalizable trimestralmente?

A) 8 B) 15 C) 6 D) 12 E) 11 6) ¿A qué tasa anual un préstamo de 4 519,40 nuevos soles requiere de 310 nuevos soles bimestrales, durante 3 años, si la capitalización es trimestral?

A) 8% B) 12% C) 10% D) 16% E) 14% 7) Si se paga mensualmente 200 nuevos soles por la compra de muebles para oficina, al 10% durante 2 años, ¿Cuál es su precio de contado si la capitalización es mensual y sufrió un recargo de 400 nuevos soles?

A) 2 390,12 B) 4 191,52 C) 2 057,00 D) 3 934,19 E) 3 008,37 8) ¿Cuánto se puede ahorrar si se deposita trimestralmente 825 nuevos soles, al 14% durante dos años, si la capitalización es bimestral?

A) B) C) D) E)

7 473,04 8 798,89 7 245,57 8 845,22 7 558,78

9) ¿Cuánto se puede abonar por bimestres para obtener un ahorro de 3 950,58 nuevos soles al cabo de 2 años al 10% capitalizable mensualmente?

A) 200,60 B) 245,50 C) 415,00 D) 300,00 E) 890,16

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10) Si se paga semestralmente 468 nuevos soles al 8% durante 8 años y medio por un préstamo, ¿cuál es el valor del préstamo si la capitalización es trimestral?

A) B) C) D) E)

5 675,91 4 560,41 5 051,30 4 772,72 5 868,50

11) ¿Cuánto se tiene que pagar mensualmente por un préstamo de 6 796,32 nuevos soles, al 9% durante un año y 3 meses, si la capitalización es quincenal?

A) 328,28 B) 394,42 C) 480,80 D) 509,62 E) 406,45

12) ¿Cuánto se puede abonar en 12 bimestres, para obtener 8 662,84 nuevos soles al cabo de 3 años al 9% capitalizable bimestralmente?

A) 714,38 B) 670,64 C) 551,30 D) 772,71 E) 607,50 13) ¿En cuántos trimestres se debe abonar 440 nuevos soles, para obtener finalmente un ahorro de 8 248,62 nuevos soles al 8% capitalizable mensualmente diferido un año?

A) 18 B) 15 C) 10 D) 14 E) 17

14) Si se paga semestralmente 950 nuevos soles al 12% durante 10 años por un préstamo, ¿cuál es el valor del préstamo si la capitalización es trimestral y 2 semestres diferidos?

A) 10 992,92 B) 10 866,42 C) 11 005,75 D) 12 198,35 E) 11 847,14

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15) ¿Cuánto se tiene que pagar mensualmente por un préstamo de 8 085,30 nuevos soles, al 14% durante 3 años, si la capitalización es quincenal y se difieren 4 meses?

A) 377,77 B) 315,50 C) 270,00 D) 169,00 E) 188,20

Respuestas de control 1. B, 2. D, 3. A, 4. B, 5. C, 6. E, 7. D, 8. A, 9. D, 10. A, 11. C, 12. E, 13. B, 14. E, 15. C

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M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

EXPLORACIÓN ON LINE http://macareo.pucp.edu.pe/~mplaza/001/cursos/matefin/practicas/practicas.html http://www.aulafacil.com/CursoMatematicasFinancieras/Finanzatemario.htm

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Portus Goviden, Lincoyan

(1998) Matemáticas financieras. Bogotá, Mc Graw Hill.

Ruíz Amestoy, J.M.

(1993) Matemática financiera. Madrid, Editorial Centro de Formación del Banco de España.

Vidaurri Aguirre, Héctor Manuel

(2001) Matemáticas financieras. 2ª edición. México D. F., Ediciones Contables, Administrativas y Fiscales-Thomposn Learning.

Pablo López, Andrés de

(2003) Matemática de las operaciones financieras. Madrid, Universidad Nacional de Educación a Distancia.

Bonilla Musoles, María

(2006) Matemática de las operaciones financieras, teoría y práctica. Madrid, Thomson-Paraninfo.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA González Catalá, V. T.

(1991) Enfoque práctico de las operaciones de la matemática financiera. Madrid, Editorial Ciencias Sociales.

González Catalá, V. T.

(1992) Análisis de las operaciones financieras, bancarias y bursátiles. Madrid, Editorial Ciencias Sociales.

Levi, E.

(1973) Curso de matemática financiera y actuarial. Barcelona, Antoni Bosch.

Memeu Ferrer, V. y otros

(1994) Operaciones financieras en el mercado español. Barcelona, Ariel.

Pablo López, Andrés de

(1996) Matemática de las operaciones financieras. Madrid, UNED.

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Q u i n t a

UNIDAD Anualidades anticipadas

Sumario Anualidad anticipada inmediata: Valor futuro de la anualidad anticipada inmediata: cálculo de la anualidad con fórmulas, cálculo de la anualidad con factores Valor actual de la anualidad anticipada inmediata: cálculo de la anualidad con fórmulas, cálculo de la anualidad con factores.

Anualidad anticipada diferida: Valor futuro de la anualidad anticipada diferida: cálculo de anualidad con fórmulas, cálculo de la anualidad con factores.

OBJETIVO(S) GENERAL: • Al término de esta unidad, el alumno debe saber utilizar las fórmulas para realizar operaciones sobre las anualidades anticipadas en forma inmediata como en forma diferida. También estará en condiciones de realizar las operaciones sobre cualquier anualidad anticipada con períodos de pagos iguales o diferentes al período de capitalización, tanto para el cálculo del valor actual como el cálculo del valor futuro.

ESPECÍFICOS: • Conocer cómo funciona la anualidad anticipada inmediata y sus diferentes tipos y usos, aprender a utilizar las fórmulas apropiadas en las operaciones financieras, tanto con el uso de fórmulas como el uso de la tabla de factores.

• Conocer cómo funciona la anualidad anticipada diferida y sus diferentes tipos y usos, aprender a utilizar las fórmulas apropiadas en las operaciones financieras, tanto con el uso de fórmulas diferidas como el uso de la tabla de factores. Aprenderá el alumno a calcular además el valor futuro y el valor presente de este tipo de anualidad.

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L e c c i ó n

1

5.1 Anualidad anticipada inmediata Es una operación financiera por medio de la cual una deuda contraída debe ser aprobada y pagada en forma adelantada en periodos iguales de tiempo y partes iguales de dinero, en donde tales periodos rigen inmediatamente realizado el contrato.

Este tipo de anualidad es conocida también como anualidad adelantada por que el: aporte, cancelación o pago; se hace al inicio de cada período. Esta operación por realizarse a interés compuesto, tiene las mismas variables conocidas con la inclusión de los pagos parciales; es decir, los periodos de pagos y las cantidades homogéneas de pago.

Donde: P : Valor Actual, Valor presente o Deuda Principal A : Abono, Aporte o Pago F : Valor Futuro o Monto Tanto las anualidades anticipadas inmediatas como las demás pueden desarrollarse dentro de los siguientes casos:

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1ª Cuando el periodo de pago (PP) es igual al periodo de capitalización (PC). i = j;

se utiliza la tasa nominal como tasa efectiva.

2ª Cuando el periodo de pago (PP) es mayor al periodo de capitalización (PC). r = PP / PC > 1

i = (1 + j) r – 1

3ª Cuando el periodo de pago (PP) es menor al periodo de capitalización (PC). r = PP / PC < 1

i = (1 + j) r – 1

Recuerde: Para que una anualidad se resuelva en forma anticipada, el problema o ejercicio debe decirlo, en caso contrario se resuelve de manera ordinaria o vencida.

5.1.1 Valor futuro de la anualidad anticipada inmediata Si se aportara 1 000 soles al iniciar cada año al 10% de intereses compuestos consecutivamente durante 5 años, ¿cuánto se deberá tener al término del quinto año y cuáles son los intereses ganados?

Solución al ejercicio: A continuación se trabajará periodo por periodo (año por año) con la tasa en tanto por uno, para que el estudiante observe cómo se desarrolla el interés compuesto para conocer el Valor Futuro de una anualidad anticipada inmediata: Años

Pago o Aporte

Capitalización

Interés

Valor Futuro

1

1 000

1 000,00

100,00

1 100,00

2

1 000

2 100,00

210,00

2 310,00

3

1 000

3 310,00

331,00

3 641,00

4

1 000

4 641,00

464,10

5 105,10

5

1 000

6 105,10

610,51

6 715,61

5 000

Interés total

Respuestas:

Interés = 1 715,61

1 715,61

y Valor Futuro = 6 715,61.

Los pagos (A) efectuados en una anualidad anticipada al inicio de cada periodo, tal como se observa en el desarrollo anterior ganan intereses compuesto hasta la fecha final, capitalizando los intereses igualmente al final da cada uno de los periodos que siguen. El primer pago acumula intereses durante (n) periodos, el segundo acumulará

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(n – 1) periodos, y así sucesivamente hasta el último pago. En este tipo de anualidad, para hallar el valor futuro, todos los aportes ganan intereses hasta el último.

Ordenando los pagos con sus respectivos intereses para hallar el valor futuro en una anualidad anticipada inmediata, se tiene: F = A (1 + i)n + A (1 + i)n – 1 + …. + A (1 + i)2 + A (1 + i)

(1)

Recuerde que los factores ordenados del valor futuro de una anualidad ordinaria inmediata fueron: F = A (1 + i)n – 1 + A (1 + i)n – 2 +…. + A (1 + i)2 + A (1 + i) + A

(2)

Quedando la suma de los términos de esta progresión geométrica (2) definida así:

F=

A(k n − 1) ; k −1

Donde:

k = (1 + i)

Si se observan los factores sobre el valor futuro de una anualidad ordinaria inmediata (2) y le suma un aporte más con sus respectivos interese, el primer aporte que era (n – 1), se convierte en “n” en la progresión (1), luego le resta este aporte pero al último término de la progresión (2); es decir menos A, observará que esta nueva progresión es igual a la progresión del valor futuro de una anualidad anticipada (1).

Por consiguiente para obtener el valor futuro de una anualidad anticipada, al factor de la progresión del valor futuro de una anualidad ordinaria, se le agrega un aporte a “n” quedando (n + 1), y se le resta 1 al factor antes de multiplicar por A, de la siguiente manera:

 (k ( n +1) − 1)  ; reemplazando “k” por (1 + i), se tiene: − 1 F = A  k −1  ( n +1) (  1 + i) −1 − 1 F = A ( ) i 1 1 + −  

( n +1)  (  1 + i) −1  − 1 F = A  i   

Donde: A F i n

= = = =

Abono, Aporte o Pago Monto o Valor Futuro Tasa de interés efectiva con relación al pago (en tanto por uno) número de aportes z1 9 7 z

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5.1.1.1 Cálculo con el uso de fórmulas Con la fórmula definida en el ítem anterior, se puede hallar el Valor Futuro y las otras variables relacionadas con dicho valor futuro de una Anualidad Adelantada Inmediata.

El alumno puede hallar el valor futuro conociendo: el pago (A), la tasa (i) y el tiempo que dura la operación (n); además, se recomienda no utilizar más fórmulas que las que se dan en el presente manual.

Ejercicios resueltos: 1) Si se abona mensualmente 150 nuevos soles anticipadamente en una cuenta de ahorros, al 6% durante año y medio ¿Cuál será el valor futuro si la capitalización es mensual?

Solución:

Fórmula: F = A [(((1 + i)(n+1) – 1) / i) – 1 ]

A =150 mensual j = 0,06 / 12 = 0,005 mensual n = 1.5 (12) = 18 meses F = ?

PP: mensual = PC: mensual (1ª caso: PP = PC; r = 1) i = j = 0,005

F = 150 [(((1 + 0,005)(18+1) – 1) / 0,005) – 1] = 2 831,20

2) ¿Cuánto se puede ahorrar si se deposita mensualmente 200 nuevos soles en forma adelantada, al 9% durante un año, si la capitalización es bimestral?

Solución:

Fórmula: F = A [(((1 + i)(n+1) – 1) / i) – 1]

A = 200 mensual j = 0,09 / 6 = 0,015 mensual n = 12 / 2 = 6 bimestres F=?

PP: mensual < PC: bimestral (3ª caso: PP < PC; r < 1)

r = 30 días / 60 días = 0,5 i = (1 + 0,015)0,5 – 1 = 0,007472

F = 200 [(((1 + 0,007472)7 – 1) / 0,007472) – 1] = 1 231,78

3) ¿Cuánto se puede ahorrar si se deposita trimestralmente 450 nuevos soles en forma adelantada, al 8% durante dos años, si la capitalización es mensual?

Solución:

Fórmula: F = A [(((1 + i)(n+1) – 1) / i) – 1 ]

A = 450 trimestral j = 0,08 / 12 mensual n = 2 (4) = 8 trimestres F = ?

PP: trimestral > PC: mensual (2ª caso: PP > PC; r > 1)

r = 90 días / 30 días = 3 i = (1 + (0,08 / 12))3 – 1 = 0,02013363

F = 450 [(((1 + 0,02013363) 9 – 1) / 0,02013363) - 1] = 3 941,96

4) ¿Cuanto debo abonar anticipadamente quincenalmente para ahorrar 2 871,70 nuevos soles en 18 meses, si las tasas de interés es del 8% capitalizable trimestralmente?

Solución: Fórmula: F = A [(((1 + i) (n+1) – 1) / i) – 1 ] A = ? quincenal j = 0,08/4 = 0,02 trimestral n = 18(2) = 36 quincenas F = 2 871,70 z1 9 8 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

PP: quincenal = PC: trimestral (3ª caso: PP < PC; r < 1) r = 15 días / 90 días = (1 / 6) i = (1 + 0,02)(1 / 6) – 1 = 0,00330589 2 871,70 = A [(((1 + 0,00330589)37 – 1) / 0,00330589) - 1] = 75,00 A = 2 871,70 / [(((1 + 0,00330589)37 – 1) / 0,00330589) - 1] = 75,00

5) ¿En cuántos bimestres adelantados se puede abonar 118 nuevos soles, para obtener finalmente un ahorro de 1 944,55 nuevos soles al 7% capitalizable bimestralmente?

Solución: Fórmula: F = A [(((1 + i)(n+1) – 1) / i) – 1 ] A = 118 bimestralmente j = 0,07 / 6 bimestral n=?

F = 1 944,55 PP: bimestral = PC: bimestral (1ª caso: PP = PC; r = 1) i = j = (0,07 / 6) 1 944,55 = 118 [(((1 + (0,07 / 6))(n +1) – 1) / (0,07 / 6)) – 1] (1 944,55 / 118) + 1 = (1 + (0,07 / 6))(n +1) – 1 / (0,07 / 6) 17,47923729 (0,07 / 6) + 1 = (1 + (0,07 / 6))(n + 1) 1,203924435 = 1,011666667 (n + 1) (n +1) = log 1,203924435 / log 1,011666667 = 16 n = 16 – 1 = 15 bimestres

6) ¿En cuántos meses anticipados se puede abonar 80 nuevos soles, para obtener finalmente un ahorro de 1 919,45 nuevos soles al 9% capitalizable bimestralmente?

Solución: Fórmula: F = A [(((1 + i)(n+1) – 1) / i) – 1 ] A = 80 mensualmente j = 0,09 / 6 = 0,015 bimestral n=?

PP: mensual < PC: bimestral (3ª caso: PP < PC; r < 1) r = 30 días / 60 días = 0,5 i = (1 + 0,015)0,5 – 1 = 0,007472084 1 919,45 = 80 [(((1 + 0,007472084)(n+1) – 1) / 0,007472084) – 1] 1 919,45 / 80 + 1 = (1 + (0,007472084))(n+1) -1) / 0,007472084 24,993125 (0,007472084) + 1 = (1 + (0,007472084))n + 1 1,186750729 = 1,007472084(n+1) (n + 1) = log 1,186750729 / log 1,007472084 = 23 n = 23 – 1 = 22 meses

F = 1 919,45

Resolver los siguientes ejercicios sobre cálculo del valor futuro en anualidades anticipadas inmediatas utilizando fórmulas.

1) Si se abona mensualmente 320 nuevos soles de manera anticipada, al 12% durante año y medio en una cuenta de ahorros, ¿Cuál será el valor futuro si la capitalización es mensual?

Resp.: 6 339,49 2) ¿Cuánto se puede ahorrar si se deposita mensualmente 150 nuevos soles en forma adelantada, al 9% durante un año, si la capitalización es trimestral?

Resp.: 1 889,52

z1 9 9 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

3) ¿Cuánto se puede ahorrar si se deposita trimestralmente 50 nuevos soles adelantados, al 10% durante dos años, si la capitalización es mensual?

Resp.: 448,15 4) ¿Cuánto se puede abonar por semestres anticipados para obtener 3 655,70 nuevos soles al cabo de 3 años al 9% capitalizable bimestralmente?

Resp.: 519,59 5) ¿En cuántos trimestres adelantados se debe abonar 1025 nuevos soles, para obtener finalmente un ahorro de 14 264 nuevos soles al 9% capitalizable bimestralmente?

Resp.: 12 6) ¿En cuántos meses adelantados se puede abonar 1200 nuevos soles, para obtener finalmente un ahorro de 11 211,70 nuevos soles al 9% capitalizable bimestralmente?

Resp.: 9

5.1.1.2 Cálculo con el uso de Tablas de Factores Con la Tabla de factores (Tabla 4), se puede hallar el Valor Futuro y las otras variables relacionadas con dicho valor futuro de una Anualidad Anticipada Inmediata.

Como el factor de la tabla número 4 corresponde a las anualidades ordinarias o vencidas, usted pude utilizar dichas tablas para calcular el valor futuro de las anualidades anticipadas o adelantadas, restándole uno (1) al factor de la tabla que halló al considerar “n” periodos más 1 (n + 1); en otras palabras, se hace exactamente lo mismo que se hizo con las fórmulas, para convertir un valor futuro ordinario inmediato en anticipado.

El alumno puede hallar el valor futuro anticipado inmediato conociendo: el pago (A), la tasa (%) y el tiempo que dura la operación (n+1); además de los periodos de pagos (PP) y los periodos de capitalización (PC).

F = A ((F/A – 1), %, PP, PC, (n+1))

Ejercicios resueltos: 1) Si se abona mensualmente 190 nuevos soles adelantados al 12% durante año y medio en una cuenta de ahorros, ¿Cuál será el valor futuro si la capitalización es mensual?

Solución: Fórmula: F = A ((F/A – 1), %, PP, PC, (n +1)) A =190 mensual % = 12% n = 1.5 (12) = 18 meses F=?

Factor ((F/A – 1), 12%, 4–B, 12, 19) = 20,8109 – 1 = 19,8109 F = 190 (19,8109) = 3 764,07 El Factor 20,8109, fue hallado en la tabla 4 – B (pagos mensuales) del 12%, en la columna 12 (capitalización mensual) y en la línea 19 (18 + 1) aportes mensuales en año y medio); luego a dicho factor hallado se resta 1. z2 0 0 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

2) Si se abona semestralmente 520 nuevos soles anticipados al 9% durante 3 años en una cuenta de ahorros, ¿Cuál será el valor futuro si la capitalización es trimestral?

3)

Solución: Fórmula: F = A ((F/A – 1), %, PP, PC, (n +1)) A = 520 semestral % = 9% n = 3 (2) = 6 semestres F=?

Factor ((F/A – 1), 9%, 4–E, 4, 7) = 8,03150 – 1 = 7,03150 F = 520 (7,0315) = 3 656,38 ¿Cuál debe ser el abono mensual adelantado por un préstamo de 2 649,94 nuevos soles al 8% durante 14 meses en una cuenta de ahorros, si la capitalización es quincenal?

Solución: Fórmula: F = A ((F/A – 1), %, PP, PC, (n +1)) A = ? mensual % = 8% n = 14 meses F = 2 649,94 Factor (F/A, 8%, 4–B, 24, 15) = 15,7219 – 1 = 14,7219 2 649,94 = A (14,7219) A = 2 649,94 / 14,7219 = 180

4) ¿Cuántos aportes quincenales anticipados de 375 nuevos soles serán necesarios para ahorrar 5 019,26 nuevos soles al 10%, si la capitalización es mensual?

Solución: Fórmula: F = A ((F/A – 1), %, PP, PC, (n +1)) A = 375 quincenal % = 10% n = ? quincenas F = 5 019,26 El factor a buscar es: F / A = 5 019,26 / 375 = 13,38469333 + 1 = 14,3847 En la tabla: Factor (F/A, 10%, 4–A, 12, (n + 1)) Se busca en la tabla 4 – A del 10%, columna mensual (12) ¿en qué línea está dicho factor?

El factor 14,3847 se encuentra en la línea 14. Por lo tanto (n +1) = 14 N = 14 – 1 = 13 quincenas.

5) ¿A qué tasa anual un monto de 4 898,24 nuevos soles requiere aportes semestrales anticipados de 380 nuevos soles, durante 5 años, si la capitalización es bimestral?

Solución: Fórmula: F = A ((F/A – 1), %, PP, PC, (n +1)) A = 380 semestral %=? n = 10 semestres F = 4 898,24 El factor a buscar es: F / A = 4 898,24 / 380 = 12,8901 + 1 = 13,8901 En la tabla: Factor (F/A, %, 4–E, 6, 11) Como los aportes son semestrales, el factor se busca en las tablas 4 – E. Buscará 13,8901, en los cruces de la columna 6 (capitalización bimestral) con la línea 11, ¿en cuál de las tablas 4 – E está dicho factor?

El factor 13,8901 se encuentra en la tabla del 9%.

z2 0 1 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

6) ¿A qué tasa anual un monto de 7 000 nuevos soles requiere aportes bimestrales de 500 nuevos soles adelantados, durante 2 años, si la capitalización es trimestral?

Solución: Fórmula: F = A ((F/A – 1), %, PP, PC, (n +1)) A = 500 bimestral %=? n = 2(6) = 12 bimestres F = 7 000 El factor a buscar es: F / A = 7 000 / 500 = 14 + 1 = 15,0000 En la tabla: Factor (F/A, %, 4–C, 4, 13) Como los aportes son semestrales, el factor se busca en las tablas 4 – C. Buscará 15,0000 en los cruces de la columna 4 (capitalización trimestral) con la línea 13, ¿en cuál de las tablas 4 – C está dicho factor?

Como el factor no se encuentra en las tablas, se utilizarán los factores de las tasas más próximos que son: el factor 14,9728 del 14% y el factor 15,1260 del 15%; con los datos recogidos, se puede interpolar la tasa correspondiente.

Factor 14,9728 15,0000 15,1260

Tasa 14% X% 15%

Luego se establecen las diferencias de extremos (primero menos el último) y las diferencias con el valor del medio, para colocarlos de la siguiente manera:

14,9728 14,9728

Con la información obtenida de las diferencias, se forma una regla de tres simples comparando (1) con (2) y (3) con (4), de la siguiente manera:

– –

15,1260 = – 0,1532 15,0000 = – 0,0272

Factor – 0,1532

Tasa –1%

– 0,0272

X’%

(1) (3)

14% – 15% 14% – X%

= –1% (2) = X’% (4)

De donde: X’% = – 0,0272 (–1) / – 0,1532 = – 0,1775% Reemplazando X’% (– 0,1775) en la ecuación (4), se determina la tasa buscada “X%”.

14% – X% = – 0,1775% ; X% = 14% + 0,1775% = 14,1775% % = 14,18 % anual.

Resolver los siguientes ejercicios sobre cálculo del valor futuro en anualidades anticipadas inmediatas utilizando la tabla de factores.

1) Si se abona mensualmente 370 nuevos soles anticipados al 15% durante 10 meses, ¿Cuál será el valor futuro si la capitalización es bimestral?

Resp.: 3 962,48 z2 0 2 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

2) ¿En cuántas quincenas anticipadas se debe abonar 180 nuevos soles, para obtener 2 423,34 nuevos soles al 12% capitalizable mensualmente?

Resp.: 13 quincenas 3) ¿A qué tasa anual un monto de 7 536,40 nuevos soles requiere de 415 nuevos soles bimestrales anticipados, durante 30 meses, si la capitalización es quincenal?

Resp.: 14 % 4) ¿A qué tasa anual un monto de 4 422,05 nuevos soles requiere de 500 nuevos soles trimestrales anticipados, durante 2 años, si la capitalización es semestral?

Resp.: 9 % 5) ¿En cuántos semestres adelantados se debe abonar 790 nuevos soles, para obtener 7 584,16 nuevos soles al 8% capitalizable trimestralmente?

Resp.: 8 semestres 6) ¿A qué tasa anual un monto de 3 251,27 nuevos soles requiere aportes trimestrales adelantados de 260 nuevos soles, durante 11 trimestres, si la capitalización es bimestral?

Resp.: 16 %

5.1.2 Valor actual de la anualidad anticipada inmediata Si se aportara 1 000 soles al iniciar cada año al 10% de intereses compuestos consecutivamente durante 5 años, ¿cuál es el valor actual y el interés deducido de los aportes?

Solución al ejercicio: Para que el estudiante observe como se desarrolla el valor actual en una anualidad adelantada, a continuación se trabajará año por año con la tasa en tanto por uno de manera inversa con relación al valor futuro, ya que se trata del valor presente:

Año

Capitalización

Factor 1 / (1+i)

Capitaliz. x factor

Interés deducido

Pago o Aporte

Valor Actual

1

0,00

1 / 1.1

0,00

0,00

1 000

1 000,00

2

1 000,00

1 / 1.1

909,09

90,91

1 000

1 909,09

3

1 909,09

1 / 1.1

1 735,54

173,55

1 000

2 735,54

4

2 735,54

1 / 1.1

2 486,85

248,69

1 000

3 486,85

5

3 486,85

1 / 1.1

3 169,86

316,99

1 000

4 169,86

830,14 1|12

5 000

Respuestas:

Interés deducido del aporte = 830,14

z2 0 3 z

y Valor Actual = 4 169,86.

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Nótese que el aporte o pago por ser adelantado, coincide con el valor actual en cada periodo, por lo tanto el último aporte o aporte de dicho periodo no es capitalizado para deducir los intereses. Observe que la capitalización corresponde al valor actual del periodo anterior, (n – 1) periodos, que al multiplicarla por el factor nos da las cifras de donde se aplica el 10% para conocer los intereses deducidos.

Los pagos (A) efectuados al principio de cada periodo, tal como se observa en el desarrollo anterior para el valor actual generan los intereses compuesto recién al periodo siguiente, por ello se capitalizan los intereses antes del pago en cada uno de los periodos que siguen.

El primer pago no deducirá intereses durante el 1ª periodo, el segundo deducirá de 1 periodo, y así sucesivamente hasta el último pago que deducirá (n – 1) periodos.

Ordenando los pagos con sus respectivos intereses, se tiene: P = A + A / (1 + i)1 + A / (1 + i)2 + …. + A / (1 + i)(n – 2) + A / (1 + i)(n – 1)

(1)

Recuerde que los factores ordenados del valor presente de una anualidad ordinaria inmediata fueron: P = A / (1 + i)1 + A / (1 + i)2 + …. + A / (1 + i)(n – 1) + A / (1 + i)n

(2)

Quedando la suma de los términos de esta progresión geométrica (2) definida así:

1   A1 − n  1 − k −n k   P= = 1− k 1− k

;

Donde:

k = (1 + i)

Si se observan los factores sobre el valor presente de una anualidad ordinaria inmediata (2) y los compara con los factores en la progresión de la anualidad anticipada inmediata (1), notará una progresión geométrica de (n – 1) términos, con razón k = (1 + i) y cuyo primer término es “A”.

La suma de los términos de esta progresión geométrica queda definida como:

1   A1 − ( n −1)  − ( n −1) k  +1 = 1− k P=  + 1 ; reemplazando “k” por (1 + i).

1− k 1− k Se tiene:

P=

[

]

A1− ( 1 + i) +1 1− ( 1 + i) − ( n −1)

P=

z2 0 4 z

[

]

1 + i) A1− ( +1 i − ( n −1)

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Donde: A P i n

: : : :

Abono, Aporte o Pago Valor Actual o Valor Presente Tasa de interés efectiva con relación al pago (en tanto por uno) Número de aportes.

5.1.2.1 Cálculo con el uso de fórmulas Con la fórmula definida en el ítem anterior, se puede hallar el Valor Presente y las otras variables relacionadas con dicho valor actual de una Anualidad Anticipada Inmediata.

El alumno puede hallar el valor presente conociendo: el pago (A), la tasa (i) y el tiempo que dura la operación (n); además, recuerde que en todos los ejercicios sobre anualidades, se deben señalar los periodos de pagos y los periodos de capitalización.

Ejercicios resueltos: 1) Si se paga mensualmente 780 nuevos soles adelantados al 12% durante un año y tres meses por un préstamo, ¿cuál es el valor del préstamo si la capitalización es mensual?

Solución: Fórmula: P = A [((1 – (1 + i) – (n – 1) ) / i) + 1 ] A = 780 mensual j = 0,12 / 12 = 0,01 mensual n = 12 + 3 = 15 meses P = ?

PP: mensual = PC: mensual (1ª caso: PP = PC; r = 1) i = j = 0,01

P = 780 [((1 – (1 + 0,01)– 14 ) / 0,01) + 1] = 10 922,89

2) Si se paga semestralmente 1 350 nuevos soles anticipados al 10% durante 2 años por un préstamo, ¿cuál es el valor del préstamo si la capitalización es trimestral?

Solución: Fórmula: P = A [((1 – (1 + i) – (n – 1) ) / i) + 1 ] A = 1 350 semestral j = 0,10 / 4 = 0,025 trimestral n = 2 (2) = 4 semestres P=?

PP: semestral = PC: trimestral (2ª caso: PP > PC; r > 1) r = 180 días / 90 días = 2 i = (1 + 0,025) 2 – 1 = 0,050625 P = 1 350 [((1 – (1 + 0,050625) – 3 ) / 0,050625) + 1] = 5 022,08

3) ¿Cuánto se tiene que pagar mensualmente de manera anticipada por un préstamo de 6 615 nuevos soles, al 9% durante 2 años, si la capitalización es quincenal?

Solución: Fórmula: P = A [((1 – (1 + i)–(n – 1) ) / i) + 1 ] A = ? mensual j = 0,09 / 24 = 0,00375 quincenal n = 2 (12) = 24 meses P = 6 615 PP: mensual = PC: quincenal (2ª caso: PP > PC; r > 1) z2 0 5 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

r = 30 días / 15 días = 2 i = (1 + 0,00375) 2 – 1 = 0,007514063 6 615 = A [((1 – (1 + 0,007514063) –2 3 ) / 0,007514063) + 1] A = 6 615 / [((1 – (1 + 0,007514063) –2 3 ) / 0,007514063) + 1] = 300,00

4) ¿Cuánto se tiene que pagar mensualmente adelantados por un préstamo de 2 893,40 nuevos soles, al 8% durante 3 años, si la capitalización es trimestral?

Solución: Fórmula: P = A [((1 – (1 + i)– (n – 1) ) / i) + 1 ] A = ? mensual j = 0,08 / 4 = 0,02 trimestral n = 3 (12) = 36 meses P = 2 893,40 PP: mensual = PC: trimestral (3ª caso: PP < PC; r < 1) r = 30 días / 90 días = (1 / 3) i = (1 + 0,02)(1/3) – 1 = 0,00662261 2 893,40 = A [((1 – (1 + 0,00662261)–35 ) / 0,00662261) + 1 ] A = 2 893,40 / [((1 – (1 + 0,00662261)–35 ) / 0,00662261) + 1 ] = 90,00

5) ¿Cuántos pagos bimestrales anticipados de 140 nuevos soles se necesitarán para cancelar un préstamo de 2 554 nuevos soles, si la capitalización es semestral y la tasa es del 6%?

Solución: Fórmula: P = A [((1 – (1 + i)– (n – 1) ) / i) + 1 ] A = 140 bimestral j = 0,06 / 2 = 0,03 semestral n=?

P = 2 554 PP: bimestral = PC: semestral (3ª caso: PP < PC; r < 1) r = 60 días / 180 días = (1 / 3) i = (1 + 0,03)(1/3) – 1 = 0,009901634 2 554 = 140 [((1 – (1 + 0,009901634)– (n – 1) ) / 0,009901634) + 1] (2 554/ 140) – 1 = ((1 – (1 + 0,009901634)– (n – 1) ) / 0,009901634) 17,24285714 (0,009901634) – 1 = – (1 + 0,009901634)– (n – 1)

– 0,829267539 = – 1,009901634– (n – 1) 1,009901634(n – 1) = 1 / 0,829267539 1,009901634(n – 1) = 1,205883448

(n – 1) = log 1,205883448 / log 1,009901634 = 19

n = 19 + 1 = 20 bimestres.

Resolver los siguientes ejercicios sobre cálculo del valor actual en anualidades anticipadas inmediatas utilizando fórmulas.

1) Si anticipadamente se paga mensualmente 500 nuevos soles al 12% durante 2 años por un préstamo, ¿cuál es el valor del préstamo si la capitalización es mensual?

Resp.: 10 727.91 2) Si en forma adelantada se paga semestralmente 1200 nuevos soles al 10% durante 2 años y medio por un préstamo, ¿cuál es el valor del préstamo si la capitalización es trimestral?

Resp.: 5 448,97

z2 0 6 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

3) ¿Cuánto se tiene que pagar mensualmente a manera adelantada por un préstamo de 2 419,20 nuevos soles, al 9% durante un año, si la capitalización es quincenal?

Resp.: 210,00 4) ¿Cuánto se tiene que pagar mensualmente en forma anticipada por un préstamo de 7 715,60 nuevos soles, al 8% durante 3 años, si la capitalización es trimestral?

Resp.: 240,00 5) ¿Cuántos pagos mensuales adelantados de 200 nuevos soles se necesitarán para cancelar un préstamo de 3 482,60 nuevos soles, si la capitalización es trimestral y la tasa es del 12%?

Resp.: 19

5.1.2.2 Cálculo con el uso de Tablas de Factores Con la Tabla de factores (Tabla 5), se puede hallar el Valor Actual o Presente y las otras variables relacionadas con dicho valor en una Anualidad Anticipada Inmediata.

Como el factor de la tabla número 5 corresponde a las anualidades ordinarias o vencidas, usted pude utilizar dichas tablas para calcular el valor actual de las anualidades anticipadas o adelantadas, sumándole uno (1) al factor de la tabla que halló al considerar “n” periodos menos 1 (n – 1); en otras palabras, se hace exactamente lo mismo que se hizo con las fórmulas, para convertir un valor actual ordinario inmediato en anticipado.

El alumno puede hallar el valor presente anticipado inmediato conociendo: el pago (A), la tasa (%) y el tiempo que dura la operación (n –1); además de los periodos de pagos (PP) y los periodos de capitalización (PC).

P = A ((P/A + 1), %, PP, PC, (n – 1))

Ejercicios resueltos: 1) Si se paga mensualmente 780 nuevos soles adelantados al 12% durante un año y tres meses por un préstamo, ¿cuál es el valor del préstamo si la capitalización es mensual?

Solución: Fórmula: P = A ((P/A + 1), %, PP, PC, (n –1)) A = 780 mensual % = 12% n = 1.25 (12) = 15 meses P=?

Factor ((P/A + 1), 12%, 5–B, 12, (15 –1)) = 13,0037 + 1 = 14,0037 P = 780 (14,0037) = 10 922,89

z2 0 7 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

2) ¿Cuánto se debe pagar semestralmente en forma anticipada por un préstamo de 8 500 nuevos soles al 10% durante 5 años, si la capitalización es trimestral?

Solución: Fórmula: P = A ((P/A + 1), %, PP, PC, (n –1)) A = ? semestral % = 10% n = 5 (2) = 10 semestres Factor ((P/A + 1), 10%, 5–E, 4, 9) = 7,08808 + 1 = 8,08808 8 500 = A (8,08808) A = 8 500 / 8,08808 = 1 050,93

P = 8 500

3) ¿Cuántos pagos trimestrales anticipados de 475 nuevos soles se necesitarán para cancelar un préstamo de 3 522,75 nuevos soles, si la capitalización es semestral y la tasa es del 9 %?

Solución: Fórmula: P = A ((P/A + 1), %, PP, PC, (n –1)) A = 475 trimestral % = 9% n = ? trimestres P = 3 522,75 El factor a buscar es: P / A = 3 522,75 / 475 = 7,416315789 – 1 = 6,416315789 En la tabla: Factor ((P/A + 1), 9%, 5–D, 2, (n –1) ) Se busca en la tabla 5–D del 9%, columna semestral (2) ¿en qué línea está dicho factor?

El factor 6,41632 se encuentra en la línea 7.

Por lo tanto (n – 1) = 7 n = 7 + 1 = 8 trimestres.

4) ¿A qué tasa anual un monto de 2 150,63 nuevos soles requiere aportes bimestrales anticipados de 210 nuevos soles, durante 2 años, si la capitalización es mensual?

Solución: Fórmula: P = A ((P/A +1), %, PP, PC, (n –1)) A = 210 bimestral %=? n = 2(6) = 12 bimestres P = 2 150,63 El factor a buscar es: P / A = 2 150,63 / 210 = 10,24109524 – 1 = 9,24109524 En la tabla: Factor (P/A, %, 5–C, 12, 11) Como los aportes son semestrales, el factor se busca en las tablas 5 – C. Buscará 9,24109524, en los cruces de la columna 12 (capitalización mensual) con la línea 11, ¿en cuál de las tablas 5 – C está dicho factor?

El factor 9,2411 se encuentra en la tabla del 18%.

5) ¿A qué tasa anual un monto de 5 500 nuevos soles requiere aportes trimestrales de 500 nuevos soles adelantados, durante 3 años, si la capitalización es quincenal?

Solución: Fórmula: P = A ((P/A +1), %, PP, PC, (n –1)) A = 500 trimestral %=? n = 3(4) = 12 trimestres P = 5 500 El factor a buscar es: P / A = 5 500 / 500 = 11 – 1 = 10,0000 En la tabla: Factor (P/A, %, 5–D, 24, 11) Buscará 10,0000 en los cruces de la columna 24 (capitalización quincenal) con la línea 11, ¿en cuál de las tablas 5 – D está dicho factor? z2 0 8 z

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Como el factor no se encuentra en las tablas, se utilizarán los factores de las tasas más próximos que son: el factor 9,92021 del 7% y el factor 10,0657 del 6%; con los datos recogidos, se puede interpolar la tasa correspondiente.

Factor 10,0657 10,0000 9,92021

Tasa 6% X% 7%

Luego se establecen las diferencias de extremos (primero menos el último) y las diferencias con el valor del medio, para colocarlos de la siguiente manera:

10,0657 10,0657

Con la información obtenida de las diferencias, se forma una regla de tres simples comparando (1) con (2) y (3) con (4), de la siguiente manera:

– –

9,92021 = 10,0000 =

Factor 0,14549

Tasa –1%

0,06570

X’%

0,14549 0,06570

(1) (3)

6% – 7% 6% – X%

= –1% (2) = X’% (4)

De donde: X’% = 0,0657 (–1) / 0,14549 = – 0,4516% Reemplazando X’% (– 0,4516) en la ecuación (4), se determina la tasa buscada “X%”.

6% – X% = – 0,4516% ; X% = 6% + 0,4516% = 6,4516% % = 6,45 % anual.

Resolver los siguientes ejercicios sobre cálculo del valor presente en anualidades anticipadas inmediatas utilizando la tabla de factores.

1) Si se abona bimestralmente 224 nuevos soles anticipados al 8% durante bimestres, ¿Cuál será el valor actual si la capitalización es trimestral?

Resp.: 3 252,14

16

2) ¿Cuánto se tiene que pagar semestralmente a manera adelantada por un préstamo de 2 410,95 nuevos soles, al 15% durante 4 años, si la capitalización es bimestral?

Resp.: 385,00 3) ¿Cuántos pagos mensuales adelantados de 120 nuevos soles se necesitarán para cancelar un préstamo de 1 363,93 nuevos soles, si la capitalización es quincenal y la tasa es del 12%?

Resp.: 12

z2 0 9 z

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4) ¿Cuántos pagos quincenales adelantados de 45 nuevos soles se necesitarán para cancelar un préstamo de 1 518,62 nuevos soles, si la capitalización es mensual y la tasa es del 9%?

Resp.: 36 5) ¿A qué tasa anual, se debe pagar 310 nuevos soles trimestrales adelantados, por un préstamo de 4 366,66 nuevos soles, si la capitalización es semestral, durante 4 años?

Resp.: 10%

z2 1 0 z

L e c c i ó n

2

5.2 Anualidad anticipada diferida Es una operación financiera por medio de la cual una deuda contraída debe ser aprobada y pagada en forma adelantada en periodos iguales de tiempo y partes iguales de dinero, en donde tales periodos rigen a partir de la fecha señalada en el contrato.

Este tipo de anualidad es conocida también como anualidad adelantada por que el: aporte, pago; se hace al inicio de cada período. Esta operación por realizarse a interés compuesto, tiene las mismas variables conocidas con la inclusión de los pagos parciales; es decir, los periodos de pagos y las cantidades homogéneas de pago.

Donde: P : Valor Actual, Valor presente o Deuda Principal A : Abono, Aporte o Pago F : Valor Futuro o Monto F.de i. : Fecha de inicio del tiempo diferido hasta el punto 0 z2 1 1 z

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Esta anualidades también pueden desarrollarse dentro de los siguientes casos: 1ª Cuando el periodo de pago (PP) es igual al periodo de capitalización (PC). i = j; se utiliza la tasa nominal como tasa efectiva.

2ª Cuando el periodo de pago (PP) es mayor al periodo de capitalización (PC). r = PP / PC > 1 i = (1 + j) r – 1 3ª Cuando el periodo de pago (PP) es menor al periodo de capitalización (PC). r = PP / PC < 1 i = (1 + j) r – 1 Recuerde: Para que una anualidad se resuelva en forma anticipada, el problema o ejercicio debe decirlo, en caso contrario se resuelve de manera ordinaria o vencida. En este caso se debe especificar el tiempo diferido.

5.2.1 Valor futuro de la anualidad anticipada diferida Si se aportara 1 000 soles al iniciar cada año al 10% de intereses compuestos consecutivamente durante 5 años, ¿cuánto se deberá tener al término del octavo año y cuáles son los intereses ganados?

Solución al ejercicio: A continuación se trabajará periodo por periodo (año por año) con la tasa en tanto por uno, para que el estudiante observe como se desarrolla el interés compuesto para conocer el Valor Futuro de una anualidad anticipada inmediata: Años 1 2 3 4 5 6 7 8

Respuestas:

Pago o Aporte 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000

Capitalización 1 000,00 2 100,00 3 310,00 4 641,00 6 105,10 6 715,61 7 387,17 8 125,89 Interés total

Interés = 3 938,48

Interés 100,00 210,00 331,00 464,10 610,51 671,56 738,72 812,59 3 938,48

y Valor Futuro = 8 938,48.

z2 1 2 z

Valor Futuro 1 100,00 2 310,00 3 641,00 5 105,10 6 715,61 7 387,17 8 125,89 8 938,48

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Los pagos (A) efectuados en una anualidad anticipada al inicio de cada periodo, tal como se observa en el desarrollo anterior ganan intereses compuestos hasta la fecha final, capitalizando los intereses igualmente al final da cada uno de los periodos que siguen. El primer pago acumula intereses durante (n) periodos, el segundo acumulará (n – 1) periodos, y así sucesivamente hasta el último pago. En este tipo de anualidad, para hallar el valor futuro, todos los aportes ganan intereses hasta el último.

Ordenando los pagos con sus respectivos intereses para hallar el valor futuro en una anualidad anticipada inmediata, se tiene: F = A (1 + i)

n

+ A (1 + i)n – 1 + …. + A (1 + i)2 + A (1 + i)

(1)

Recuerde que los factores ordenados del valor futuro de una anualidad ordinaria inmediata fueron: F = A (1 + i)n – 1 + A (1 + i)n – 2 +…. + A (1 + i)

2

+ A (1 + i) + A

(2)

Quedando la suma de los términos de esta progresión geométrica (2) definida así:

A(k n − 1) F= k −1

;

Donde:

k = (1 + i)

 (k ( n +1) − 1)  − 1 F = A k 1 −  

Reemplazando “k” por (1 + i), se tiene: ( n +1) ( 1 + i) −1  − 1 F = A ( ) i 1 1 + −  

( n +1)  ( 1 + i) −1   − 1 F = A  i   

En la lección anterior, se explicó en detalle como se generaba una anualidad anticipada inmediata, lo mismo ha observado el alumno con el desarrollado líneas arriba con el adicional de que los intereses ganados continúan creciendo por el tiempo diferido; por consiguiente para obtener el valor futuro de una anualidad anticipada diferida, la fórmula del valor futuro de una anualidad anticipada se multiplica por el factor diferido que es (1 + i) dif de la siguiente manera: ( n +1)  ( −1   1+ i) dif  − 1[ F = A 1 + i]  i   

Donde: A F i n dif

: : : : :

Abono, Aporte o Pago Monto o Valor Futuro Tasa de interés efectiva con relación al pago (en tanto por uno) Número de aportes.

Periodos diferidos con relación al periodo de aportes. z2 1 3 z

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5.2.1.1 Cálculo con el uso de fórmulas Con la fórmula definida en el ítem anterior, se puede hallar el Valor Futuro y las otras variables relacionadas con dicho valor futuro de una Anualidad Adelantada Diferidas.

El alumno puede hallar el valor futuro conociendo: el pago (A), la tasa (i) y el tiempo que dura la operación (n); además, se recomienda no utilizar más fórmulas que las que se dan en el presente manual.

Ejercicios resueltos: 1) Si se abona mensualmente 270 nuevos soles anticipadamente en una cuenta de ahorros, al 9% durante año y medio ¿Cuál será el valor futuro si la capitalización es mensual y los intereses se recogen después de 7 meses del último aporte?

Solución: Fórmula: F = A [(((1 + i)(n+1) – 1) / i) – 1 ] (1 + i)dif A = 270 j = 0,09 /12 = 0,0075 n = 1,5 (12) = 18 meses F=?

PP: mensual = PC: mensual (1ª caso: PP = PC; r = 1) i = j = 0,0075 dif = 7 meses F = 270 [(((1 + 0,0075)(18+1) – 1) / 0,0075) – 1] (1 + 0,0075)7 = 5 501,81

2) ¿Cuánto se puede ahorrar si se deposita mensualmente 180 nuevos soles en forma adelantada, al 8% durante dos años, si la capitalización es trimestral y los intereses se recogen después de 3 meses del último aporte?

Solución:

Fórmula: F = A [(((1 + i)(n+1) – 1) / i) – 1 ] (1 + i) dif

A = 180 mensual j = 0,08 / 4 = 0,02 trimestral n = 2(12) = 24 meses F=?

PP: mensual < PC: trimestral (3ª caso: PP < PC; r < 1) dif = 3 meses

r = 30 días / 90 días i = (1 + 0,02)(30/90) – 1 = 0,00662271

F = 180 [(((1 + 0,00662271)25 – 1) / 0,00662271) – 1] (1 + 0,00662271)3 = 4 790,39

3) ¿Cuánto se puede ahorrar si se deposita trimestralmente 300 nuevos soles en forma adelantada, al 8% durante dos años, si la capitalización es mensual y los intereses se recogen después de 6 meses del último aporte?

Solución:

Fórmula: F = A [(((1 + i)(n+1) – 1) / i) – 1 ] (1 + i)dif

A = 450 trimestral j = 0,08 / 12 mensual n = 2 (4) = 8 trimestres F = ?

PP: trimestral > PC: mensual (2ª caso: PP > PC; r > 1) dif = 6 / 3 = 2 trimestres

r = 90 días / 30 días = 3 i = (1 + (0,08 /12))3 – 1 = 0,02013363

F = 300 [(((1 + 0,02013363)9 – 1) / 0,02013363) - 1] (1 + 0,02013363)2 = 2 734,86

4) ¿Cuanto debo abonar anticipadamente quincenalmente para ahorrar 2 871,70 nuevos soles en 18 meses, si las tasas de interés es del 8% capitalizable trimestralmente y los intereses se deben recoger después de 2 meses del último aporte?

z2 1 4 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Solución: Fórmula: F = A [(((1 + i)(n+1) – 1) / i) – 1 ] (1 + i)dif A = ? quincenal j = 0,08/4 = 0,02 trimestral n = 18(2) = 36 quincenas F = 2 871,70 PP: quincenal = PC: trimestral (3ª caso: PP < PC; r < 1) dif = 2 / 2 = 4 quinc. r = 15 días / 90 días = (1 / 6) i = (1 + 0,02)(1 / 6) – 1 = 0,00330589 2 871,70 = A [(((1 + 0,00330589)37 – 1) / 0,00330589) - 1] (1 + 0,00330589)4 = 74,02 A = 2 871,70 / [[((1,0033058937 – 1) / 0,00330589) - 1] (1,00330589)4] = 74,02

5) ¿En cuántos bimestres adelantados se puede abonar 125 nuevos soles, para obtener finalmente un ahorro de 2 605,77 nuevos soles al 7% capitalizable bimestralmente y los intereses se recogen después de 6 meses del último aporte?

Solución:

Fórmula: F = A [(((1 + i)(n+1) – 1) / i) – 1 ] (1 + i)dif

A = 125 bimestres j = 0,07 / 6 bimestral dif = 6 / 2 = 3 bim. n = ? F = 2 605,77

PP: bimestral = PC: bimestral (1ª caso: PP = PC; r = 1) i = j = (0,07 / 6)

2 605,77 = 125 [(((1 + (0,07 / 6))(n +1) – 1) / (0,07 / 6)) – 1] (1 + (0,7/ 6))3

(2 605,77 / (125(1 + (0,7/ 6))3) + 1 = (1 + (0,07 / 6))(n +1) – 1 / (0,07 / 6)

21,13324343 (0,07 / 6) + 1 = (1 + (0,07 / 6))(n + 1)

1,246554507 = 1,011666667(n + 1) (n +1) = log 1,246554507 / log 1,011666667 = 19

n = 19 – 1 = 18 bimestres

Resolver los siguientes ejercicios sobre cálculo del valor futuro en anualidades anticipadas inmediatas utilizando fórmulas.

1) Si se abona mensualmente 320 nuevos soles de manera anticipada, al 12% durante año y medio en una cuenta de ahorros, ¿Cuál será el valor futuro si la capitalización es mensual y los intereses se recogen después de 3 meses del último aporte?

Resp.: 6 531,58 2) ¿Cuánto se puede ahorrar si se deposita mensualmente 150 nuevos soles en forma adelantada, al 9% durante un año, si la capitalización es trimestral y los intereses se recogen después de 4 meses del último aporte?

Resp.: 1 946,42 3) ¿Cuánto se puede ahorrar si se deposita trimestralmente 50 nuevos soles adelantados, al 10% durante dos años, si la capitalización es mensual y los intereses se recogen después de 6 meses del último aporte?

Resp.: 471,03 4) ¿Cuánto se puede abonar por semestres anticipados para obtener 3 822,69 nuevos soles al cabo de 3 años al 9% capitalizable bimestralmente y los intereses se recogen después de 6 meses del último aporte?

Resp.: 519,59

z2 1 5 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

5) ¿En cuántos trimestres adelantados se debe abonar 1025 nuevos soles, para obtener finalmente un ahorro de 15 252,41 nuevos soles al 9% capitalizable bimestralmente, si los intereses se recogen después de 9 meses del último aporte?

Resp.: 12 6) ¿En cuántos meses adelantados se puede abonar 1200 nuevos soles, para obtener finalmente un ahorro de 11 379,88 nuevos soles al 9% capitalizable bimestralmente, si los intereses se recogen después de 2 meses del último aporte?

Resp.: 9

5.2.1.2 Cálculo con el uso de Tablas de Factores Con la Tabla de factores (Tabla 4), se puede hallar el Valor Futuro y las otras variables relacionadas con dicho valor futuro de una Anualidad Anticipada Inmediata.

Como el factor de la tabla número 4 corresponde a las anualidades ordinarias o vencidas, usted pude utilizar dichas tablas para calcular el valor futuro de las anualidades anticipadas o adelantadas, restándole uno (1) al factor de la tabla que halló al considerar “n” periodos más 1 (n + 1); luego para convertirlas en diferidas debe multiplicar el factor hallado por el factor de la tabla 2, donde el valor “n” de dicha tabla representa el número de periodos diferidos según la capitalización.

Para encontrar los factores en las tablas 4 y 2, se da la siguiente dirección: F = A (Tabla 4) (Tabla 2) F = A ((F/A – 1), %, PP, PC, (n +1)) (S/C, %, PC, dif.)

En el caso del uso de tablas, el trabajar los periodos diferidos en términos de la capitalización, nos permite utilizar la tabla 2 de interés compuesto, además de las tablas de anualidades ordinarias inmediatas.

Ejercicios resueltos: 1) Si se abona mensualmente 320 nuevos soles adelantados al 12% durante año y medio en una cuenta de ahorros, ¿Cuál será el valor futuro si la capitalización es mensual y los intereses se recogen 4 meses después?

Solución: Fórmula: F = A ((F/A – 1), %, PP, PC, (n +1)) (S/C, %, PC, dif.)

A =320 mensual % = 12% n = 1.5 (12) = 18 meses F=?

Factor ((F/A – 1), 12%, 4–B, 12, 19) = 20,8109 – 1 = 19,8109 Factor (S/C, 12%, 12, 4.) = 1,04060 F = 320 (19,8109) (1,04060) = 6 596,87

z2 1 6 z

dif = 4 meses

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

El Factor 20,8109, fue hallado en la tabla 4 – B (pagos mensuales) del 12%, en la columna 12 (capitalización mensual) y en la línea 19 (18 + 1) aportes mensuales en año y medio); luego a dicho factor hallado se resta 1. El factor 1,04060, está en la tabla 2 del 12%, en la columna 12 (capitalización mensual) y en la línea 4 (4 meses diferidos).

2) Si se abona semestralmente 850 nuevos soles anticipados al 9% durante 3 años en una cuenta de ahorros, ¿Cuál será el valor futuro si la capitalización es trimestral y los intereses se recogen 6 meses después?

3)

Solución: Fórmula: F = A ((F/A – 1), %, PP, PC, (n +1)) (S/C, %, PC, dif.)

A = 850 semestral % = 9% n = 3 (2) = 6 semestres F = ? dif = 2 trimestres Factor ((F/A – 1), 9%, 4–E, 4, 7) = 8,03150 – 1 = 7,03150 Factor (S/C, 9%, 4, 2.) = 1,04550 F = 850 (7,0315) 1,04550 = 6 248,72 ¿Cuál debe ser el abono mensual adelantado por un préstamo de 2 834,64 nuevos soles al 8% durante 14 meses en una cuenta de ahorros, si la capitalización es quincenal y los intereses se recogen 2 meses después?

Solución: Fórmula: F = A ((F/A – 1), %, PP, PC, (n +1)) (S/C, %, PC, dif.)

A = ? mensual % = 8% n = 14 meses F = 2 834,54 dif = 4 quincenas Factor (F/A, 8%, 4–B, 24, 15) = 15,7219 – 1 = 14,7219 Factor (S/C, 8%, 24, 4.) = 1,01340 2 834,64 = A (14,7219) 1,0134 A = 2 834,64 / (14,7219 x 1,0134) = 190

4) ¿Cuántos aportes quincenales anticipados de 375 nuevos soles serán necesarios para ahorrar 5 145,80 nuevos soles al 10%, si la capitalización es mensual y los intereses se recogen 3 meses después?

Solución: Fórmula: F = A ((F/A – 1), %, PP, PC, (n +1)) (S/C, %, PC, dif.)

A = 375 quincenal % = 10% n = ? quincenas F = 5 145,80 dif = 3 meses Factor (S/C, 10%, 12, 3.) = 1,02521 Para reducir el tiempo diferido, se divide el valor futuro entre el factor diferido (1,02521) 5 145,80 / 1,02521 = 5 019,26 El factor a buscar es: F / A = 5 019,26 / 375 = 13,38469333 + 1 = 14,3847 En la tabla: Factor (F/A, 10%, 4 – A, 12, (n + 1)) Se busca en la tabla 4 – A del 10%, columna 12 ¿en qué línea está dicho factor?

El factor 14,3847 se encuentra en la línea 14.

Por lo tanto (n +1) = 14 N = 14 – 1 = 13 quincenas.

z2 1 7 z

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Resolver los siguientes ejercicios sobre cálculo del valor futuro en anualidades anticipadas inmediatas utilizando la tabla de factores.

1) Si se abona mensualmente 370 nuevos soles anticipados al 15% durante 10 meses, ¿Cuál será el valor futuro si la capitalización es bimestral y los intereses se recogen 4 meses después?

Resp.: 4 163,08

2) ¿En cuántas quincenas anticipadas se debe abonar 180 nuevos soles, para obtener un ahorro de 2 472,05 nuevos soles al 12% capitalizable mensualmente y los intereses se recogen 2 meses después?

Resp.: 13 quincenas 3) ¿Cuánto se debe aportar trimestralmente en forma anticipada durante 3 años y medio para ahorrar 9 875,67 nuevos soles al 10%, si la capitalización es mensual y los intereses se recogen 3 meses después?

Resp.: 568,00 4) ¿En cuántos semestres adelantados se debe abonar 790 nuevos soles, para obtener un monto de 8 048,37 nuevos soles al 8% capitalizable trimestralmente y los intereses se recogen 9 meses después?

Resp.: 8 semestres 5) ¿Cuántos aportes quincenales anticipados de 80 nuevos soles serán necesarios para ahorrar 2 860,13 nuevos soles al 10%, si la capitalización es mensual y los intereses se recogen 5 meses después?

Resp.: 32 quincenas

5.2.2 Valor actual de la anualidad anticipada diferida Si se aportara 1 000 soles al iniciar cada año al 10% de intereses compuestos consecutivamente durante 5 años, ¿cuál es el valor actual al octavo año y el interés deducido de los aportes?

Solución al ejercicio: Para que el estudiante observe como se desarrolla el valor actual en una anualidad adelantada, a continuación se trabajará año por año con la tasa en tanto por uno de manera inversa con relación al valor futuro, ya que se trata del valor presente:

z2 1 8 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Años

Capitalización

1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4

0,00 000,00 909,09 735,54 486,85 169,86

7

3 790,78

8

3 446,16

Factor 1 / (1+i)

1 1 1 1 1 1

/ / / / / /

1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1

Capitaliz. x factor

Interés deducido

0,00 90,91 173,55 248,69 316,99 379,08

1 / 1.1

3 446,16

344,62

3 446,16

1 / 1.1

3 132,87

313,29

3 132,87

1 2 3 3

1 1 1 1 1

000 000 000 000 000

Valor Actual

0,00 909,09 735,54 486,85 169,86 790,78

1 867,13

Respuestas:

Pago o Aporte

1 1 2 3 4 3

000,00 909,09 735,54 486,85 169,86 790,78

5 000

Interés deducido del aporte = 1 867,13 y Valor Actual = 3 132,87.

Nótese que el aporte o pago por ser adelantado, coincide con el valor actual en cada periodo, por lo tanto el último aporte o aporte de dicho periodo no es capitalizado para deducir los intereses. Observe que la capitalización corresponde al valor actual del periodo anterior, (n – 1) periodos, que al multiplicarla por el factor nos da las cifras de donde se aplica el 10% para conocer los intereses deducidos.

Recuerde que el tiempo diferido en una anualidad tiene importancia, si: 1º Esta antes de empezar a aportar cuando se desea hallar el Valor Actual 2º Esta después de terminar de aportar cuando se desea hallar el Valor Futuro.

En cualquier otro caso no tiene sentido el tiempo diferido.

Considerando que el tiempo diferido es un factor adicional en una anualidad inmediata, para definir la fórmula diferida, se toma como referencia la fórmula de la anualidad inmediata y se multiplica por el factor diferido (1 + i)-dif

[

]

− ( n −1)  1− ( 1 + i)  − dif P= A + 1 ( 1 + i) i  

Donde: A : Abono, Aporte o Pago.

P : Valor Actual o Valor Presente. i : Tasa de interés efectiva con relación al pago (en tanto por uno). n : Número de aportes.

Dif : Periodos diferidos con relación al pago.

z2 1 9 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

5.2.2.1 Cálculo con el uso de fórmulas Con la fórmula definida en el ítem anterior, se puede hallar el Valor Presente y las otras variables relacionadas con dicho valor actual de una Anualidad Anticipada Diferidas.

El alumno puede hallar el valor presente conociendo: el pago (A), la tasa (i) y el tiempo que dura la operación (n); además, recuerde que en todos los ejercicios sobre anualidades, se deben señalar los periodos de pagos y los periodos de capitalización y el tiempo diferido se puede utilizar en periodos de pagos o en periodos de capitalización.

Ejercicios resueltos: 1) Si se paga mensualmente 220 nuevos soles adelantados al 12% durante un año y tres meses por un préstamo, ¿cuál es el valor del préstamo si la capitalización es mensual y se empieza a aportar al tercer mes?

Solución: Fórmula: P = A [((1 – (1 + i) – (n – 1) ) / i) + 1 ] (1 + i)-dif A = 220 mensual j = 0,12 / 12 = 0,01 mensual n = 12 + 3 =15 meses P = ?

PP: mensual = PC: mensual (1ª caso: PP = PC; r = 1) i = j = 0,01 P = 220 [((1 – (1 + 0,01)– 14) / 0,01) + 1] (1 + 0,01)- 3 = 2 990,21

2) Si se paga semestralmente 2 000 nuevos soles anticipados al 10% durante 2 años por un préstamo, ¿cuál es el valor del préstamo si la capitalización es trimestral y se empieza a aportar al tercer semestre?

Solución: Fórmula: P = A [((1 – (1 + i)–(n – 1)) / i) + 1 ] (1 + i)-dif A = 2 000 semestral j = 0,10 / 4 = 0,025 trimestral n = 2 (2) = 4 semestres P = ?

PP: semestral = PC: trimestral (2ª caso: PP > PC; r > 1) r = 180 días / 90 días = 2 i = (1 + 0,025)2 – 1 = 0,050625 P = 2 000 [((1 – (1 + 0,050625)– 3) / 0,050625) + 1] (1 + 0,050625)-3 = 6 415,59

3) ¿Cuánto se tiene que pagar mensualmente de manera anticipada por un préstamo de 15 449,70 nuevos soles, al 9% durante 2 años, si la capitalización es quincenal y se empieza a aportar al cuarto mes?

Solución: Fórmula: P = A [((1 – (1 + i)–(n – 1)) / i) + 1 ] (1 + i)-dif A=? j = 0,09 / 24 = 0,00375 quincenal n = 2 (12) = 24 meses P = 15 449,70 PP: mensual = PC: quincenal (2ª caso: PP > PC; r > 1) dif = 4 r = 30 días / 15 días = 2 i = (1 + 0,00375)2 – 1 = 0,007514063 15 449,70 = A [((1 – (1 + 0,007514063)–23) / 0,007514063) + 1] (1 + 0,007514063)- 4 A = 15 449,70 (1,007514063)4 / [((1 – (1,007514063)–23) / 0,007514063) + 1] A = 721,97

z2 2 0 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

4) ¿Cuánto se tiene que pagar mensualmente adelantados por un préstamo de 3 577,01 nuevos soles, al 8% durante 3 años, si la capitalización es trimestral y se empieza a aportar al quinto mes?

Solución: Fórmula: P = A [((1 – (1 + i)–(n – 1)) / i) + 1 ] (1 + i)-dif A = ? mensual j = 0,08 / 4 = 0,02 trimestral n = 3 (12) = 36 meses P = 3 577,01 PP: mensual = PC: trimestral (3ª caso: PP < PC; r < 1) dif = 5 meses r = 30 días / 90 días = (1 / 3) i = (1 + 0,02)(1/3) – 1 = 0,00662261 3 577,01 = A [((1 – (1 + 0,00662261)–35) / 0,00662261) + 1 ] (1 + 0,00662261)-5 A = 3 577,01 (1,00662261)5 / [((1 – (1 + 0,00662261)–35) / 0,00662261) + 1] A = 115,00

5) ¿Cuántos pagos bimestrales anticipados de 215 nuevos soles se necesitarán para cancelar un préstamo de 3 074,66 nuevos soles, si la capitalización es semestral, la tasa es del 6% y se empieza a aportar al cuarto bimestre?

Solución: Fórmula: P = A [((1 – (1 + i)–(n – 1)) / i) + 1 ] (1 + i)-dif

A = 215 bimestral j = 0,06 / 2 = 0,03 semestral n=?

P = 3 074,66

PP: bimestral = PC: semestral (3ª caso: PP < PC; r < 1) dif = 4 bimestres

r = 60 días / 180 días = (1 / 3) i = (1 + 0,03)(1/3) – 1 = 0,009901634

3 074,66 = 215 [((1 – (1 + 0,009901634)–(n – 1))/0,009901634) + 1](1+ 0,009901634)-4

3 074,66 x 1,0099016344 / 215 – 1 = ((1 – (1 + 0,009901634)– (n – 1)) / 0,009901634)

13,87561527 (0,009901634) – 1 = – (1 + 0,009901634)–(n – 1)

– 0,862608736 = – 1,009901634–(n – 1) 1,009901634(n – 1) = 1 / 0,862608736 1,009901634(n – 1) = 1,159274139

(n – 1) = log 1,159274139 / log 1,009901634 = 15

n = 15 + 1 = 16 bimestres.

Resolver los siguientes ejercicios sobre cálculo del valor actual en anualidades anticipadas inmediatas utilizando fórmulas.

1) Si anticipadamente se paga mensualmente 500 nuevos soles al 12% durante 2 años por un préstamo, ¿cuál es el valor del préstamo si la capitalización es mensual y se empieza a aportar al cuarto mes?

Resp.: 10 309.31 2) Si en forma adelantada se paga semestralmente 1200 nuevos soles al 10% durante 2 años y medio por un préstamo, ¿cuál es el valor del préstamo si la capitalización es trimestral y se empieza a aportar al tercer semestre?

Resp.: 4 698,63

z2 2 1 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

3) ¿Cuánto se tiene que pagar mensualmente a manera adelantada por un préstamo de 2 459,59 nuevos soles, al 9% durante un año, si la capitalización es quincenal y se empieza a aportar al cuarto mes?

Resp.: 220,00 4) ¿Cuánto se tiene que pagar mensualmente en forma anticipada por un préstamo de 7 773 nuevos soles, al 8% durante 3 años, si la capitalización es trimestral y se empieza a aportar al segundo mes?

Resp.: 245,00 5) ¿Cuántos pagos mensuales adelantados de 200 nuevos soles se necesitarán para cancelar un préstamo de 3665,35 nuevos soles, si la capitalización es trimestral, la tasa es del 12% y se empieza a aportar al cuarto mes?

Resp.: 21

5.2.2.2 Cálculo con el uso de Tablas de Factores Con la Tabla de factores (Tabla 5), se puede hallar el Valor Actual o Presente y las otras variables relacionadas con dicho valor en una Anualidad Anticipada Diferida.

Como el factor de la tabla número 5 corresponde a las anualidades ordinarias o vencidas, usted pude utilizar dichas tablas para calcular el valor actual de las anualidades anticipadas o adelantadas, sumándole uno (1) al factor de la tabla que halló al considerar “n” periodos menos 1 (n – 1); en otras palabras, se hace exactamente lo mismo que se hizo con las fórmulas, para convertir un valor actual ordinario inmediato en anticipado.

Además debe agregar con la tabla 2 el factor diferido.

El alumno puede hallar el valor presente anticipado inmediato conociendo: el pago (A), la tasa (%) y el tiempo que dura la operación (n –1); además de los periodos de pagos (PP) y los periodos de capitalización (PC).

P = A ((P/A + 1), %, PP, PC, (n – 1)) / (S/C, %, PC, dif.)

Ejercicios resueltos: 1) Si se paga mensualmente 1 000 nuevos soles adelantados al 12% durante un año y tres meses por un préstamo, ¿cuál es el valor del préstamo si la capitalización es mensual y se empieza a aportar al sexto mes?

Solución: Fórmula: P = A ((P/A + 1), %, PP, PC, (n –1)) / (S/C, %, PC, dif.)

A = 1 000 mensual % = 12% n = 1.25 (12) = 15 meses P = ? dif = 6 meses Factor ((P/A + 1), 12%, 5–B, 12, (15 –1)) = 13,0037 + 1 = 14,0037 Factor (S/C, 12%, 12, 6) = 1,06152 P = 1 000 (14,0037) / (1,06152) = 13 192,12 z2 2 2 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

2) Si se paga mensualmente 625 nuevos soles adelantados al 10% durante un año por un préstamo, ¿cuál es el valor del préstamo si la capitalización es quincenal y se empieza a aportar al tercer mes?

Solución: Fórmula: P = A ((P/A + 1), %, PP, PC, (n –1)) / (S/C, %, PC, dif.)

A = 625 mensual % = 10% n = 12 meses P=? dif = 6 quincenas Factor ((P/A + 1), 10%, 5–B, 24, (12 –1)) = 10,4682 + 1 = 11,4682 Factor (S/C, 10%, 24, 6) = 1,02526 P = 625 (11,4682) / (1,02526) = 6 991.03.

3) ¿Cuánto se debe pagar semestralmente en forma anticipada por un préstamo de 13 500 nuevos soles al 10% durante 5 años, si la capitalización es trimestral y se empieza a aportar al año?

Solución: Fórmula: P = A ((P/A + 1), %, PP, PC, (n –1)) / (S/C, %, PC, dif.)

A = ? semestral % = 10% n = 5 (2) = 10 semestres P = 13 500 dif = 4 trim.

Factor ((P/A + 1), 10%, 5–E, 4, 9) = 7,08808 + 1 = 8,08808 Factor (S/C, 10%, 4, 4) = 1,10381 13 500 = A (8,08808) / 1,10381 A = 13 500 (1,10381) / 8,08808 = 1 842,39

4) ¿Cuántos pagos trimestrales anticipados de 500 nuevos soles se necesitarán para cancelar un préstamo de 4 342,20 nuevos soles, si la capitalización es semestral, la tasa es del 9 % y se empieza a aportar al sexto mes?

Solución: Fórmula: P = A ((P/A + 1), %, PP, PC, (n –1)) / (S/C, %, PC, dif.)

A = 500 trimestral % = 9% n = ? trimestres P = 4 342,20 dif = 1 semestre Factor (S/C, 9%, 2, 1) = 1,04500 Primero al préstamo se le retira al factor diferido = 4 342,20 (1,045) = 4 537,60 El factor a buscar es: P / A = 4 537,60 / 500 = 9,075198 – 1 = 8,075198 En la tabla: Factor ((P/A + 1), 9%, 5–D, 2, (n –1) ) Se busca en la tabla 5–D del 9%, columna semestral (2) ¿en qué línea está dicho factor?

El factor 8,075198 se encuentra en la línea 9.

Por lo tanto (n – 1) = 9 n = 9 + 1 = 10 trimestres.

5) ¿Cuántos pagos bimestrales anticipados de 750 nuevos soles se necesitarán para cancelar un préstamo de 9 315,05 nuevos soles, si la capitalización es semestral, la tasa es del 9 % y se empieza a aportar al año?

Solución: Fórmula: P = A ((P/A + 1), %, PP, PC, (n –1)) / (S/C, %, PC, dif.)

A = 750 trimestral % = 9% n = ? trimestres P = 9 315,05 dif = 2 semestres Factor (S/C, 9%, 2, 2) = 1,09203 Primero al préstamo se le retira al factor diferido = 9 315,05 (1,09203) = 10 172,31 El factor a buscar es: P / A = 10 172,31 / 750 = 13,56308 – 1 = 12,56308 z2 2 3 z

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En la tabla: Factor ((P/A + 1), 9%, 5–C, 2, (n –1) ) Se busca en la tabla 5–C del 9%, columna semestral (2) ¿en qué línea está dicho factor?

El factor 12,56316 se encuentra en la línea 14.

Por lo tanto (n – 1) = 14 n = 14 + 1 = 15 trimestres.

Resolver los siguientes ejercicios sobre cálculo del valor presente en anualidades anticipadas diferidas utilizando la tabla de factores.

1) Si se abona bimestralmente 224 nuevos soles anticipados al 8% durante 16 bimestres, ¿Cuál será el valor actual si la capitalización es trimestral y se empieza a aportar al sexto mes?

Resp.: 3 125,86 2) ¿Cuánto se tiene que pagar semestralmente a manera adelantada por un préstamo de 2 483,94 nuevos soles, al 15% durante 4 años, si la capitalización es bimestral y se empieza a aportar al año?

Resp.: 460,00 3) ¿Cuántos pagos mensuales adelantados de 120 nuevos soles se necesitarán para cancelar un préstamo de 1 947,82 nuevos soles, si la capitalización es quincenal, la tasa es del 12% y se empieza a aportar al segundo mes?

Resp.: 18 4) ¿Cuántos pagos quincenales adelantados de 415 nuevos soles se necesitarán para cancelar un préstamo de 8 651 nuevos soles, si la capitalización es mensual, la tasa es del 9% y se empieza a aportar al segundo mes?

Resp.: 22 5) Si se abona semestralmente 2 240 nuevos soles anticipados al 8% durante 24 bimestres, ¿Cuál será el valor actual si la capitalización es trimestral y se empieza a aportar al sexto mes?

Resp.: 15 056,47

z2 2 4 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

AUTOEVALUACIÓN Nº 5 1) ¿En cuántas quincenas adelantadas se debe abonar 235 nuevos soles, para obtener un ahorro de 5 119,10 nuevos soles al 8% capitalizable bimestralmente?

A) 24 B) 22 C) 21 D) 13 E) 35 2) ¿A qué tasa anual un monto de 19 303,30 nuevos soles requiere de 875 nuevos soles trimestrales adelantados, durante 4 años, si la capitalización es semestral?

A) 18% B) 6% C) 12% D) 10% E) 15% 3) ¿Cuánto se puede ahorrar si se deposita trimestralmente 525 nuevos soles adelantados, al 14% durante dos años, si la capitalización es bimestral?

A) B) C) D) E)

4 923,00 3 798,89 5 245,57 4 845,22 4 558,78

4) ¿Cuánto se puede abonar por bimestres anticipados para obtener un ahorro de 4 016,70 nuevos soles al cabo de 2 años al 10% capitalizable mensualmente?

A) 200,60 B) 245,50 C) 415,00 D) 300,00 E) 890,16 5) Si en forma adelantada se paga semestralmente 656 nuevos soles al 8% durante 10 años y medio por un préstamo, ¿cuál es el valor del préstamo si la capitalización es trimestral?

A) B) C) D) E)

9 539,75 8 560,41 10 051,30 9 772,72 8 868,50 z2 2 5 z

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6) ¿Cuánto se tiene que pagar mensualmente a manera adelantada por un préstamo de 7 703,65 nuevos soles, al 9% durante un año y 5 meses, si la capitalización es quincenal?

A) 328,28 B) 394,42 C) 480,80 D) 509,62 E) 406,45 7) ¿En cuántos trimestres se debe abonar 940 nuevos soles, para obtener un préstamo de 12 058,98 nuevos soles al 15 % capitalizable mensualmente?

A) 8 B) 17 C) 6 D) 12 E) 11 8) ¿A qué tasa anual un préstamo de 13 171,16 nuevos soles requiere de 860 nuevos soles bimestrales adelantados, durante 2 años y 10 meses, si la capitalización es quincenal?

A) 18% B) 6% C) 12% D) 8% E) 15 % 9) Si se abona mensualmente 120 nuevos soles anticipados al 14% durante 23 meses, ¿Cuál será el valor futuro si la capitalización es bimestral y los intereses se recogen 4 meses después?

A) 377,77 B) 3 329,00 C) 270,00 D) 169,00 E) 188,20 10) ¿En cuántas quincenas anticipadas se debe abonar 65 nuevos soles, para obtener 1 340,15 nuevos soles al 14% capitalizable mensualmente y los intereses se recogen 2 meses después?

A) 18 B) 20 C) 16 D) 12 E) 19 z2 2 6 z

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11) ¿Cuánto se debe aportar trimestralmente en forma anticipada durante 3 años y medio serán necesarios, para ahorrar 6 281,00 nuevos soles al 8%, si la capitalización es mensual y los intereses se recogen 3 meses después?

A) 377,50 B) 315,50 C) 270,00 D) 169,00 E) 188,20 12) ¿En cuántos bimestres adelantados se debe abonar 1 090 nuevos soles, para obtener un monto 16 853,30 nuevos soles al 9% capitalizable mensualmente y los intereses se recogen 9 meses después?

A) 8 B) 20 C) 6 D) 13 E) 11 13) Si se abona mensualmente 315 nuevos soles anticipados al 12% durante 16 meses, ¿Cuál será el valor actual si la capitalización es bimestralmente y se empieza a aportar al sexto mes?

A) B) C) D) E)

4 377,77 3 315,50 4 414,00 3 169,00 4 188,20

14) ¿Cuánto se tiene que pagar quincenalmente a manera adelantada por un préstamo de 5 933,86 nuevos soles, al 7% durante 11 meses y medio, si la capitalización es bimestral y se empieza a aportar al año?

A) 714,38 B) 285,50 C) 551,30 D) 772,71 E) 607,50 15) ¿Cuántos pagos mensuales adelantados de 275 nuevos soles se necesitarán para cancelar un préstamo de 3 617,30 nuevos soles, si la capitalización es trimestral, la tasa es del 8% y se empieza a aportar al tercer mes?

A) 8 B) 14 C) 6 D) 12 E) 11

z2 2 7 z

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Respuestas de control 1. C, 2. E, 3. A, 4. D, 5. A, 6. C, 7. B, 8. D, 9. B, 10. E, 11. A, 12. D, 13. C, 14. B, 15. B

EXPLORACIÓN ON LINE http://www.aulafacil.com/CursoMatematicasFinancieras/Finanzatemario.htm http://libreria.universia.edu.pe/publicacion/matematica-financiera/766

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Ayres, Frank

(1997) Matemáticas financieras. Bogotá, Serie Schaun, Mc Graw Hill.

Portus Goviden, Lincoyan

(1998) Matemáticas financieras. Bogotá, Mc Graw Hill.

Pablo López, Andrés de

(2003) Matemática de las operaciones financieras. Madrid, Universidad Nacional de Educación a Distancia.

Bonilla Musoles, María

(2006) Matemática de las operaciones financieras, teoría y práctica. Madrid, Thomson-Paraninfo.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA Gómez Rodón, F.

(1989) Matemáticas financieras. Bogotá, Ediciones Fragor.

Pablo López, Andrés de

(1996) Matemática de las operaciones financieras. Madrid, UNED.

Yébenes La Fuente, José Ramón

(1996) Manual práctico de matemática de las operaciones financieras. Vol. I. Alicante, Editorial Sociedad General de Estudios Financieros y Bancarios.

Gil Peláez, Lorenzo

(1993) Matemática de las operaciones financieras problemas resueltos. Madrid, A. C.

Baquero López, María José

(2003) Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras.

Madrid, A. C.

z2 2 8 z

s e x t a

UNIDAD Actuarial

Sumario Depreciaciones: Objeto de la depreciación, métodos de depreciación.

Bonos: Características de los bonos, tipos de bonos, valor actual de un bono.

Seguros de vida: Seguro de vida total, seguro de vida temporal, seguro de vida dotal.

Rentas: Clasificación de las rentas, rentas perpetuas.

Indicadores para proyectos: Flujo de caja, VAN, TIR.

OBJETIVO(S) GENERAL: • Al término de esta unidad, el alumno ha encontrado la manera más práctica de determinar los valores actuales sobre: rentas, seguros, bonos y depreciaciones; por que conocer los valores actuales es muy importante ya que sirve para: poder negociar bonos, solicitar préstamos con el respaldo de una renta, conocer el costo de una póliza de seguros, si se debe o no invertir en un proyecto y también para saber cuanto valen hoy un elemento productivo después de haberlo utilizado un tiempo determinado generando su valor de reposición.

ESPECÍFICOS: • Con las depreciaciones que son el desgaste de los bienes productivos, el alumno ha aprendido que dicho desgaste sirve para generar un fondo de reposición.

• Saber que los Bonos son obligaciones crediticias emitidas con un plazo determinado que devengan intereses pagaderos en periodos de tiempo.

• Conocer como intervienen los seguros de vida en la actividad financiera, el alumno tendrá conocimiento de las pólizas y de las primas de seguro. Además conocerá los tipos de seguros y tiempo que dura.

• Entender que las rentas son pagos periódicos que se realizan a favor de una persona o de una institución en forma temporal o perpetua.

• Conocer que estos indicadores sirven para determinar si se debe o no invertir en un determinado proyecto. z2 3 0 z

L e c c i ó n

1

6.1 Depreciaciones Representan las pérdidas del valor de los bienes, que son utilizados por una empresa en sus operaciones o actividades, con el objeto de generar productos o prestar servicios.

Las maquinarias, las instalaciones, los edificios y cualquier activo que una empresa emplea en sus operaciones, sufren desgaste por el tiempo y por el uso, ello hace que pierdan su valor adquisitivo, por consiguiente año tras años valen menos. Puesto que el capital invertido por toda organización tiene que permanecer constante, es conveniente establecer una forma de compensación para evitar la descapitalización; tal compensación es valorizar el valor perdido llamado depreciación, con el objeto de crear un fondo de reserva que sirva para reponer el bien perdido o inutilizado.

Al término de la vida del activo, éste debe ser reemplazado por otro activo adquirido con las reservas del fondo, el valor de este último se denomina costo de reemplazo. Un empresario no esperar que un activo deje de funcionar para reemplazarlo, sino que la entidad tributaria del país le señala una vida útil de operación, que cuando está en cero según los libros, amerita su reposición aún si el bien todavía sirve.

6.1.1 Objeto de la depreciación El único propósito de calcular una depreciación, es para valorizar paulatinamente cada año, a cuanto asciende el desgaste de los bienes productivos o prestadores de servicios; el valor calculado como depreciación, sirve para generar un fondo de reserva z2 3 1 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

para reposición del activo. Tal fondo se genera al considerar que el valor depreciado, es parte de los costo operativos de la empresa, por ello es registrado por la empresa como reserva de reposición que sumado al valor del activo en libros que ya está depreciado, mantiene el valor del activo igual al valor que tuvo cuando empezó a operar.

El cálculo de la depreciación no obedece a ningún criterio particular o del empresario, sino que está regulado por ley y las condiciones las da el ente público responsable del control tributario (SUNAT); quién determina la vida útil de un activo y su reposición cuando éste se agote. Como los activos tienen diferentes características, no se puede utilizar un mismo criterio para depreciarlo; como se sabe, el periodo de vida útil de un mueble no es el mismo que de un vehículo, por lo tanto tienen valores de depreciación diferentes.

6.1.2 Métodos de la depreciación Existen en la actualidad métodos variados de depreciación, los cuales se detallan a continuación:

6.1.2.1 Método Uniforme o de Línea Recta Es el método más sencillo y mayormente utilizado, porque las entidades tributarias se evitan de dar charlas y cursos continuos sobre como depreciar los activos de una empresa. Este método consiste en asignar una cantidad de años de vida útil (n) al activo y definir el costo de salvamento(S), la depreciación anual resulta de la siguiente ecuación: D = (C – S) / n Donde: D C S n

: Depreciación anual. : Costo inicial del activo o del bien. : Costo de salvamento. : Número de años a depreciar hasta alcanzar el valor de salvamento.

El valor de salvamento se determina para evaluar la velocidad de la depreciación, que puede ser muy lenta si este ya no sirve, o muy rápida si él está entero. En ambos casos se hacen los ajustes necesarios, en caso contrario se continúa con periodos determinados.

Ejercicios resueltos: 1) Hallar la depreciación anual y los valores anuales en libros de un activo de 18 000 nuevos soles con un valor de salvamento de 6 000 nuevos soles en 8 años, por el método de línea recta.

Solución: Fórmula a utilizar: D = (C – S) / n D=?

C = 18 000 S = 6 000 D = (18 000 – 6 000) / 8 = 1 500 anual z2 3 2 z

n = 8 años

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Años 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Depreciación anual

1 1 1 1 1 1 1 1

500 500 500 500 500 500 500 500

Depreciación acumulada

1 500 3 000 4 500 6 000 7 500 9 000 10 500 12 000

Valor en libros 18 16 15 13 12 10 9 7 6

000 500 000 500 000 500 000 500 000

Observe que sumando en cada año las columna Depreciación acumulada con la columna Valor en libros, en todas las líneas suman 18 000 que es el costo inicial, ambas columnas forman parte del patrimonio de la empresa, por ello no hay riesgo de descapitalización por este rubro.

2) Hallar la depreciación anual y los valores anuales en libros de un activo de 9 500 nuevos soles, por el método de línea recta si el valor de salvamento es de 4 250 nuevos soles en 7 años.

Solución: Fórmula a utilizar: D = (C – S) / n D=?

C = 9 500 S = 4 250 n = 7 años D = (9 500 – 4 250) / 7 = 750 anual Años

Depreciación anual

Depreciación acumulada

0 1 2 3 4 5 6 7

750 750 750 750 750 750 750

750 1 500 2 250 3 000 3 750 4 500 5 250

Valor en libros 9 8 8 7 6 5 5 4

500 750 000 250 500 750 000 250

Resolver los siguientes ejercicios sobre depreciación por el método de línea recta: 1) Hallar la depreciación anual de un activo de 7 600 nuevos soles con un valor de salvamento de 2 800 nuevos soles en 5 años, por el método de línea recta.

Resp.: 960,00.

z2 3 3 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

2) Hallar la depreciación acumulada al quinto año de depreciación de un activo de 16 400 nuevos soles, por el método de línea recta si el valor de salvamento es de 4 200 nuevos soles en 8 años.

Resp.: 7 625,00.

3) Hallar la depreciación anual de un activo de 32 700 nuevos soles con un valor de salvamento de 14 900 nuevos soles en 10 años, por el método de línea recta.

Resp.: 1 780,00.

4)

Hallar la depreciación acumulada al último año de depreciación de un activo de 7 922 nuevos soles, por el método de línea recta si el valor de salvamento es de 1 820 nuevos soles en 9 años.

Resp.: 6 102,00.

6.1.2.2 Método de la suma de los años de depreciación Es un método que consiste en sumar consecutivamente a partir de 1, los años que van a ser depreciados hasta “n”; luego se determina la proporción a depreciar que es variable en todos los periodos, porque dicha proporción se forma dividiendo el año a depreciar entre la suma, de manera inversa ya que primero se deprecia el factor “n” entre la suma, después “n – 1” y finalmente 1 entre la suma. La depreciación anual resulta de la siguiente ecuación:

Donde:

D C S K n i

: : : : : :

Depreciación anual.

Costo inicial del activo o del bien.

Costo de salvamento.

Depreciación total durante el tiempo de vida útil.

Número de años a depreciar hasta alcanzar el valor de salvamento.

Número de año a depreciar.

Ejercicios resueltos: 1) Hallar la depreciación total y los valores anuales en libros de un activo de 18 000 nuevos soles con un valor de salvamento de 6 000 nuevos soles en 8 años, por el método de la suma de los años de depreciación.

Solución: Fórmulas a utilizar: Σi = n (n+1) / 2 C = 18 000

S = 6 000 K = (18 000 – 6 000) = 12 000

z2 3 4 z

K = (C – S) D = K (i / Σ i) n = 8 años Σi = 8 (9) / 2 = 36

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Años

Factor de Depreciación depreciación anual

0 1 2 3 4 5 6 7 8

8 7 6 5 4 3 2 1

/ / / / / / / /

36 36 36 36 36 36 36 36

K K K K K K K K

2 2 2 1 1 1

Depreciación acumulada

666,67 333,33 000,00 666,67 333,33 000,00 666,67 333,33

2 5 7 8 10 11 11 12

666,67 000,00 000,00 666,67 000,00 000,00 666,67 000,00

Valor en libros 18 15 13 11 9 8 7 6 6

000,00 333,33 000,00 000,00 333,33 000,00 000,00 333,33 000,00

2) Hallar la depreciación total y los valores anuales en libros de un activo de 9 500 nuevos soles con un valor de salvamento de 4 250 nuevos soles en 7 años, por el método de la suma de los años de depreciación.

Solución: Fórmulas a utilizar: Σi = n (n+1) / 2 C = 9 500

S = 4 250 K = (9 500 – 4 250) = 5 250

Años

0 1 2 3 4 5 6 7

Factor de depreciación

7 6 5 4 3 2 1

/ / / / / / /

28 28 28 28 28 28 28

K K K K K K K

Depreciación anual

1 312,50 1 125,00 937,50 750,00 562,50 375,00 187,50

K = (C – S) D = K (i / Σi)

n = 7 años Σi = 7 (8) / 2 = 28 Depreciación acumulada

1 2 3 4 4 5 5

312,50 437,50 375,00 125,00 687,50 062,50 250,00

Valor en libros

9 8 7 6 5 4 4 4

500,00 187,50 062,50 125,00 375,00 812,50 437,50 250,00

Resolver los siguientes ejercicios sobre depreciación por el método de línea recta: 1) Hallar la depreciación anual del cuarto año activo de 15 000 nuevos soles con un valor de salvamento de 8 500 nuevos soles en 5 años, por el método de la suma de los años de depreciación.

Resp.: 866,67.

2) Hallar la depreciación anual del primer año activo de 9 000 nuevos soles con un valor de salvamento de 3 000 nuevos soles en 8 años, por el método de la suma de los años de depreciación.

Resp.: 1 333,33. z2 3 5 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

3) Hallar la depreciación anual del tercer año activo de 48 000 nuevos soles con un valor de salvamento de 16 000 nuevos soles en 6 años, por el método de la suma de los años de depreciación.

Resp.: 6 095,24.

4)

Hallar la depreciación anual del último año activo de 25 000 nuevos soles con un valor de salvamento de 16 000 nuevos soles en 10 años, por el método de la suma de los años de depreciación.

Resp.: 163,64.

5) Hallar la depreciación anual del segundo año activo de 4 000 nuevos soles con un valor de salvamento de 1 200 nuevos soles en 7 años, por el método de la suma de los años de depreciación.

Resp.: 600,00.

6.1.2.3 Método de porcentaje fijo al Valor Decreciente en Libros Es un método que consiste en restar de 1, la raíz “n” de la división del costo de salvamento (S) entre el costo inicial del activo (C); la depreciación anual por este método, varía periodo tras periodo por que el factor a pesar de ser fijo, se aplica al valor del libro que viene disminuyendo cada año: Donde: i C S n

: Factor de depreciación : Costo inicial del activo o del bien. : Costo de salvamento. : Número de años a depreciar hasta alcanzar el valor de salvamento.

Ejercicios resueltos: 1) Hallar la depreciación anual y los valores anuales en libros de un activo de 18 000 nuevos soles con un valor de salvamento de 6 000 nuevos soles en 8 años, por el método del porcentaje fijo al valor decreciente en libros.

Solución: Fórmula a utilizar: i = 1 – n√(S/C) i=?

C = 18 000

S = 6 000 i = 1 – 8√(6 000 / 18 000) = 0,128314457

z2 3 6 z

n = 8 años

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Años 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Depreciación anual

2 2 1 1 1 1 1

Depreciación acumulada

309,66 013,30 754,96 529,78 333,48 162,38 013,23 883,21

2 4 6 7 8 10 11 12

Valor en libros 18 000,00 15 690,34 13 677,04 11 922,08 10 392,30 9 058,82 7 896,44 6 883,21 6 000,00

309,66 322,96 077,92 607,70 941,18 103,56 116,79 000,00

1º Depreciación: 0,128314457 (18 000,00) = 2 309,66 2º Depreciación: 0,128314457 (15 690,34) = 2 013,30 3º Depreciación: 0,128314457 (13 677,04) = 1 754,96; y así sucesivamente.

2) Hallar la depreciación anual y los valores anuales en libros de un activo de 9 500 nuevos soles, por el método del porcentaje fijo al valor decreciente en libros, si el valor de salvamento es de 4 250 nuevos soles en 7 años.

Solución: Fórmula a utilizar: i = 1 – n√(S/C) i=?

C = 9 500 S = 4 250 n = 7 años i = 1 – 7√(4 250 / 9 500) = 0,108553988 Años

Depreciación anual

0 1 2 3 4 5 6 7

1 031,26 919,32 819,52 730,56 651,25 580,56 517,53

Depreciación acumulada

1 1 2 3 4 4 5

031,26 950,58 770,10 500,66 151,91 732,47 250,00

Valor en libros 9 8 7 6 5 5 4 4

500,00 468,74 549,42 729,90 999,34 348,09 767,53 250,00

Resolver los siguientes ejercicios sobre depreciación por el método del porcentaje fijo al valor en libros: 1) Hallar la depreciación anual del primer año de un activo de 10 500 nuevos soles con un valor de salvamento de 4 500 nuevos soles en 7 años, por el método del porcentaje fijo al valor en libros.

Resp.: 1 197,04.

z2 3 7 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

2) Hallar la depreciación anual del segundo año de un activo de 10 500 nuevos soles con un valor de salvamento de 4 500 nuevos soles en 7 años, por el método del porcentaje fijo al valor en libros.

Resp.: 1 060,50.

3) Hallar la depreciación anual del tercer año de un activo de 10 500 nuevos soles con un valor de salvamento de 4 500 nuevos soles en 7 años, por el método del porcentaje fijo al valor en libros.

Resp.: 939,66.

4) Hallar el factor de depreciación de un activo de 35 200 nuevos soles con un valor de salvamento de 14 700 nuevos soles en 10 años, por el método del porcentaje fijo al valor en libros.

Resp.: 0,083616.

5) Hallar la depreciación acumulada al último año de un activo de 7 900 nuevos soles con un valor de salvamento de 3 200 nuevos soles en 6 años, por el método del porcentaje fijo al valor en libros.

Resp.: 4 700,00.

6.1.2.4 Método de porcentaje fijo al fondo de amortización Es un método que se asemeja al de línea recta, consiste en que parte del aporte al fondo de amortización, lo realiza la empresa en cantidades iguales y la otra parte la genera los propios intereses del fondo por el tiempo de vida útil definido por la entidad tributaria. Para determinar cual es el aporte fijo, primero se determina el total a depreciar (K), luego se aplica la fórmula del valor futuro o monto de una anualidad simple, donde el periodo de pago (anual) es igual al periodo da capitalización (tasa efectiva anual).

K = (C – S)

DFA = K / [((1 + i) n – 1 / i]

Donde: DFA C S K n i

: : : : : :

Depreciación fija anual aportada por la empresa.

Costo inicial del activo o del bien.

Costo de salvamento.

Depreciación total durante el tiempo de vida útil.

Número de años a depreciar hasta alcanzar el valor de salvamento.

Tasa de interés del fondo.

Ejercicios resueltos: 1) Hallar la depreciación fija anual y los valores en libros de un activo de 18 000 nuevos soles con salvamento de 6 000 nuevos soles en 8 años, por el método del porcentaje fijo al fondo de amortización, si la tasa efectiva anual al fondo es del 10,4%.

z2 3 8 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Solución: Fórmulas a utilizar: K = (C – S) DFA = K / [((1 + i) n – 1) / i] DFA = ?

C = 18 000 S = 6 000 n = 8 años i = 0,104 K = (18 000 – 6 000) = 12 000 DFA = 12 000 / [((1 + 0,104)8 – 1 / 0,104] = 1 034,19 Años

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Depreciación fija anual

1 1 1 1 1 1 1 1

034,19 034,19 034,19 034,19 034,19 034,19 034,19 034,12

10,4% al fondo

107,56 226,30 357,39 502,11 661,89 838,28 1 033,02

Depreciación anual

1 1 1 1 1 1 1 2

034,19 141,75 260,49 391,58 536,30 696,08 872,47 067,14

Depreciación acumulada

1 034,19 2 175,94 3 436,43 4 828,01 6 364,31 8 060,39 9 932,86 12 000,00

Valor en libros

18 000,00 16 965,81 15 824,06 14 563,57 13 171,99 11 635,69 9 939,61 8 067,14 6 000,00

La depreciación acumulada es el fondo de reserva, al cual se le aplica el 10.4% con relación al periodo anterior.

2) Hallar la depreciación fija anual y los valores en libros de un activo de 9 500 nuevos soles con salvamento de 4 250 nuevos soles en 7 años, por el método del porcentaje fijo al fondo de amortización, si la tasa efectiva anual al fondo es del 9,6%.

Solución: Fórmulas a utilizar: K = (C – S) DFA = K / [((1 + i) n – 1) / i] DFA = ?

C = 9 500 S = 4 250 n = 7 años K = (9 500 – 4 250) = 5 250 DFA = 5 250 / [((1 + 0,096)7 – 1 / 0,096] = 560,22 Años

0 1 2 3 4 5 6 7

Depreciación fija anual

560,22 560,22 560,22 560,22 560,22 560,22 560,21

10,4% al fondo

Depreciación anual

53,78 112,72 177,33 248,13 325,73 410,78

560,22 614,00 672,94 737,55 808,35 885,95 970,99

z2 3 9 z

Depreciación acumulada

1 1 2 3 4 5

560,22 174,22 847,16 584,71 393,06 279,01 250,00

i = 0,096

Valor en libros

9 8 8 7 6 6 5 4

500,00 939,78 325,78 652,84 915,29 106,94 220,99 250,00

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Resolver los siguientes ejercicios sobre depreciación por el método del porcentaje fijo al fondo de amortización: 1) Hallar la depreciación fija anual de un activo de 13 500 nuevos soles con salvamento de 3 500 nuevos soles en 9 años, por el método del porcentaje fijo al fondo de amortización, si la tasa efectiva anual al fondo es del 10,6%.

Resp.: 718,03.

2) Hallar la depreciación fija anual de un activo de 8 200 nuevos soles con salvamento de 4 000 nuevos soles en 5 años, por el método del porcentaje fijo al fondo de amortización, si la tasa efectiva anual al fondo es del 11,5%.

Resp.: 667,72.

3) Hallar la depreciación fija anual de un activo de 12 000 nuevos soles con salvamento de 5 500 nuevos soles en 6 años, por el método del porcentaje fijo al fondo de amortización, si la tasa efectiva anual al fondo es del 9,95%.

Resp.: 843,51.

4) Hallar la depreciación fija anual de un activo de 29 300 nuevos soles con salvamento de 14 300 nuevos soles en 10 años, por el método del porcentaje fijo al fondo de amortización, si la tasa efectiva anual al fondo es del 9,25%.

Resp.: 975,58.

5) Hallar la depreciación fija anual de un activo de 7 500 nuevos soles con salvamento de 3 250 nuevos soles en 5 años, por el método del porcentaje fijo al fondo de amortización, si la tasa efectiva anual al fondo es del 8,58%.

Resp.: 716,11.

6.1.2.5 Método de porcentaje fijo hasta agotar el bien Este método es el que emplea la SUNAT (Superintendencia Nacional de Administración Tributaria), en la depreciación de los activos de las empresas que operan en el país, es igual método de línea recta, con la diferencia que no utiliza valor de salvamento y el bien se deprecia hasta su agotamiento; el porcentaje fijo aprobado por ley para la depreciación de cada tipo de bienes, son: BIENES O ACTIVOS

% Máximo a depreciar

1. Ganado de trabajo y reproducción; redes de pesca.

25 %

2. Vehículos de transporte terrestre (excepto ferrocarriles); hornos en general.

20 %

3. Maquinaria y equipo utilizados por las actividades minera, petrolera y de construcción, excepto muebles, enseres y equipos de oficina.

20 %

4. Equipos de procesamiento de datos.

25 %

5. Maquinaria y equipo adquirido a partir del 1.1.1991.

10 %

6. Otros bienes del activo fijo.

10 %

z2 4 0 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Ejercicios resueltos: 1) Hallar la depreciación anual por el método del porcentaje fijo y los valores en libros de un equipo de computadoras con un costo de 10 000 nuevos soles.

Solución:

Depreciación anual = 10 000 (0,25) = 2 500

Años

Depreciación anual

0 1 2 3 4 2)

2 2 2 2

500 500 500 500

Depreciación acumulada

2 500 5 000 7 500 10 000

Valor en libros 10 7 5 2

000 500 000 500 0

Hallar la depreciación anual por el método del porcentaje fijo y los valores en libros de un equipo de activos fijos con un costo de 28 500 nuevos soles.

Solución:

Depreciación anual = 28 500 (0,1) = 2 850

Años 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Depreciación anual 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Depreciación acumulada

850 850 850 850 850 850 850 850 850 850

2 850 5 700 8 550 11 400 14 250 17 100 19 950 22 800 25 650 28 500

Valor en libros 28 25 22 19 17 14 11 8 5 2

500 650 800 950 100 250 400 550 700 850 0

Resolver los siguientes ejercicios sobre depreciación por el método del porcentaje fijo hasta el agotamiento: 1) Hallar la depreciación anual por el método del porcentaje fijo hasta el agotamiento de un equipo de redes de pesca con un costo de 11 500 nuevos soles.

Resp.: 2 875,00 2)

Hallar la depreciación anual por el método del porcentaje fijo hasta el agotamiento de un vehículo de transporte con un costo de 87 500 nuevos soles.

Resp.: 17 500,00

z2 4 1 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

3) Hallar la depreciación anual por el método del porcentaje fijo hasta el agotamiento de un equipo de minería con un costo de 133 850 nuevos soles.

Resp.: 26 770,00 4) Hallar la depreciación anual por el método del porcentaje fijo hasta el agotamiento de un equipo de procesamiento de datos con un costo de 2 500 nuevos soles.

Resp.: 625,00 5) Hallar la depreciación anual por el método del porcentaje fijo hasta el agotamiento de un equipo de maquinarias con un costo de 280 500 nuevos soles.

Resp.: 28 050,00 6) Hallar la depreciación anual por el método del porcentaje fijo hasta el agotamiento de un equipo de activos fijos con un costo de 412 080 nuevos soles.

Resp.: 41 208,00.

z2 4 2 z

L e c c i ó n

2

6.2 Bonos Son documentos de crédito emitido por: un gobierno (soberano), una entidad pública o una entidad privada; en estos dos últimos casos, para recibir la autorización respectiva para emitir bonos, tienen que reunir ciertos requisitos que la entidad gubernamental que supervisa la Banca y Valores solicite.

El Bono es una obligación crediticia emitida con un plazo determinado que devenga intereses pagaderos en periodos regulares de tiempo; estos documentos están regulados por ley del país de la entidad emisora y aceptados por personas o entidades propietarias o tenedoras de tales Bonos.

Los Bonos pueden ser: no registrados, si son transferidos libremente o pueden cambiar de dueños por simple venta; los Bonos registrados, son aquellos que solo pueden ser transferidos por endoso y con el consentimiento del emisor.

6.2.1 Características de los bonos Los Bonos por ser documentos de crédito, necesariamente deben tener las siguientes características:

z2 4 3 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

a) Valor nominal:

Es el valor del bono y se le conoce también como capital o principal. El valor nominal es la cantidad de dinero que vale cada bono, y quien lo adquiere tiene que pagar como si comprara una mercancía, con la diferencia que esta mercancía genera intereses cada cierto tiempo. Los Bonos son atractivos si paga más intereses que una simple cuenta de ahorro a plazo fijo en una entidad financiera.

El valor nominal de un bono es variable, con un valor mínimo que puede ser 100 nuevos soles hasta 10 000 nuevos soles, dependiendo del mercado.

b) Valor de redención:

Es el valor que se reintegra al tenedor del bono al vencimiento. Cuando se cancela el valor nominal del bono, se dice que el valor es a la par y se supone que los intereses se pagaron por adelantados. El valor de redención puede estar bajo la par cuando este es negociado por debajo del valor nominal por el riesgo que representa de no poder recuperar la inversión.

c) Precio de los bonos:

En el mercado de valores, el precio de un bono se fija antes de su vencimiento, por acuerdo entre el comprador y el vendedor; este valor depende básicamente de los siguientes factores: 1º 2º 3º 4º 5º 6º

Tasa de interés e intervalo de los cupones.

Tasa de interés local para las inversiones.

Tiempo que debe transcurrir hasta el vencimiento.

Precio de redención.

Las condiciones económicas imperantes.

Confiabilidad en las garantías del emisor

d) Pago de intereses:

En la mayoría de los bonos, los intereses se pagan contra la presentación de cupones; en estos cupones están impresos en serie y unidos a una misma obligación con fecha impresa del pago de los intereses. Tanto los cupones como el bono, don documentos negociables; en los caso de los bonos registrados, no necesitan de cupones para cobrar tanto los intereses como la redención.

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6.2.2 Tipos de bonos Existen diversos tipos de bonos, dependiendo su orientación; estos se pueden dividir en:

6.2.2.1 En función de su estructura a)

Bonos de Tasa Fija:

Son bonos emitidos con una tasa de interés prefijada, por lo tanto es igual para toda la vida del bono.

b)

Bonos de tasa flotante:

Son bonos emitidos con una tasa de interés variable (floating rate); la tasa de interés que paga en cada cupón es distinta ya que está indexada con relación a una tasa de interés de referencia como puede ser la Libor. También pueden ser bonos indexados con relación a un activo financiero determinado (Ejemplo bonos estadounidenses).

c)

Bonos cupón cero:

No existen pagos periódicos, por lo que el capital se paga al vencimiento y no pagan intereses. Se venden con una tasa de descuento.

d)

Bonos con opciones incorporadas:

Son bonos que incluyen opciones especiales como pueden ser: - Bonos rescatables (callable): Incluye la opción para el emisor de solicitar la recompra del bono en una fecha y precios determinados. Algunos bonos pueden ser rescatables si las condiciones macroeconómicas / impositivas en las que fueron emitidos cambiasen, por lo tanto el emisor puede recomprarlos a un precio establecido.

- Bonos con opción de venta (put option): Incluye la opción para el inversor de vender el bono al emisor en una fecha y precios determinados.

- Bonos canjeables: Estos bonos son un producto intermedio entre las acciones y los bonos. Son productos anfibios porque viven dos vidas, una en la renta fija y la otra vida si se desea en la renta variable. La sociedad lanza una emisión de bonos con una rentabilidad fija, y establece la posibilidad de convertir el dinero de esos bonos en acciones. Estos canjes suelen tener descuento respecto al precio de las acciones en el mercado. A diferencia de los bonos convertibles, en los canjeables los bonos se cambian por acciones viejas, es decir ya en circulación y con todos los derechos económicos.

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- Bonos convertibles: Son idénticos a los canjeables, salvo que en este caso la empresa entrega acciones. Es un bono más una opción que le permite al tenedor canjearlo por acciones de la empresa emisora en fecha y precio determinado.

- Bonos con warrants: Es un bono más una opción para comprar una determinada cantidad de acciones nuevas a un precio dado.

- Bonos con garantías: son bonos que tienen algún tipo de garantía sobre el capital y/o intereses. La garantía puede ser: 1º Bonos soberanos: Un bono soberano de un país con mínimo riesgo, como por ejemplo los Bonos Brady Par y Discount que tienen como garantía bonos del tesoro estadounidense, también la garantía puede darla por ejemplo algún organismo internacional como el Banco Mundial.

2º Bonos con hipoteca: es un bono cuyo repago se encuentra garantizado por una cartera de créditos hipotecarios.

3º Bonos corporativos: Son los bonos emitidos por las empresas.

4º Bonos escriturales: Son aquellos bonos en los que no tienen láminas físicas, (no se hace un documento impreso) sino que existen sólo como registros de una entidad especializada, la que se encarga de los distintos pagos. De todas formas aunque la lámina no exista físicamente, igualmente se utiliza la palabra “cupones” para definir los distintos pagos que realiza el bono.

6.2.2.2 En Función del Mercado donde se colocaron a) Mercado Internacional:

Son bonos emitidos en una moneda determinada pero colocados fuera del país emisor. Entre los bonos más importantes tenemos: - Los eurobonos: Son emisiones en euros colocadas en países europeos por gobierno o instituciones que no residen en dicho país.

- Bonos samurai: son títulos emitidos en yenes y colocado en Japón por una institución no residente en dicho país. Son títulos en yenes emitidos en el mercado financiero nipón por los gobiernos o empresas de todos los orígenes excepto de Japón, y que son colocados por un prestatario extranjero (generalmente un banco internacional) entre inversores japoneses.

- Bonos yankees: Son emitidos por los gobiernos y registrados generalmente en la Bolsa de New York y en algunas bolsas de Europa y Asia (Emisión Global).

Todas las emisiones son reguladas por la Securities and Exchange Comission en Estados Unidos. Los Bonos Yankees se emiten bajo la legislación norteamericana z2 4 6 z

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para ser distribuidos entre los inversionistas con operaciones en ese país. A su vez, una emisión global cumple con las legislaciones de los países en los cuales fueron inscritos para ser negociados. La denominación de estos títulos es en dólares, no tienen amortizaciones intermedias, lo que equivale a un pago único del capital al vencimiento del título. Algunos tienen opción de compra PUT. Los intereses son tasa fija, algunos mediante cupones pagaderos por semestre vencido y otros por año vencido. Estas emisiones tienen una calificación de BBB, otorgada por la DUFF & PHELPS. BBB se encuentra entre las calificaciones con grado de inversión e indica una capacidad aceptable de repagar capital e intereses. Otra característica es que no serán redimibles antes de su vencimiento, excepto los que tienen opción de compra PUT. Los bonos son títulos al portador, de libre negociación y su propiedad es transferible mediante entrega del título. b) Mercado Nacional:

Son bonos emitidos en una moneda determinada pero colocados dentro del país emisor. Entre los bonos más importantes tenemos: - Bonos bolsa: Se trata de un producto novedoso en España. Con estos bonos el inversor apuesta por la subida de la bolsa o de un sector concreto. Con estos bonos el inversor no puede perder dinero, su capital está garantizado; si la bolsa sube ganará, pero si baja no pierde el dinero. Esto se consigue con la combinación de la renta fija y los productos derivados.

- Bonos titulizados: Esto bonos son una novedad en nuestro país, y actualmente solo son hipotecarios, su garantía esta en hipotecas. Consisten en que un banco o una caja de ahorros convierten una serie de créditos hipotecarios homogéneos en una emisión de bonos. De este modo el prestatario de la hipoteca esta pagando los intereses a los tenedores de los bonos así como devolviéndoles la inversión.

- Bonos basura: Los bonos de baja calificación son formalmente denominados de alto rendimiento (high yield), pero en la jerga financiera mundial se los conoce menos piadosamente como “bonos basura” (junk bonds).Los bonos basura llevan ese nombre despectivo porque su nivel de riesgo sobrepasa todos los límites de una inversión común y corriente. En contrapartida suelen tener un rendimiento elevado, por encima del promedio del mercado. Por eso la tentación de buenas ganancias hay que temperarla con la capacidad de enfrentar riesgos que le pondrían los pelos de punta a cualquiera. Se trata básicamente de instrumentos emitidos por corporaciones o países que, debido al poco crédito del que gozan entre los inversionistas, tienen que pagar un cupón o interés muy alto para tornarse atractivos, para que la gente quiera comprarlos. Básicamente, los bonos basura son valores que han recibido una baja nota de las calificadoras de riesgo (“BB” o inferior) y no alcanzan la categoría de “grado de inversión” o Investment grade. Más riesgo, más rendimiento. Adquirir esos bonos puede resultar atractivo porque su rendimiento es mucho mayor al de sus hermanos mayores, pero el riesgo de que la empresa se vaya a pique o el país entre en moratoria de pagos z2 4 7 z

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es también alto. Las empresas que caen en este subgrupo son las más nuevas y poco conocidas, o aquellas que tienen una mala reputación en términos de solidez crediticia. También hay una tercera categoría: los “ángeles caídos” o “fallen angels”, bonos de empresas que conocieron mejores tiempos en los que gozaban del grado de inversión, pero que ahora las calificadoras les han bajado la nota y deben pagar más caro el dinero. Han caído del paraíso financiero al cesto de los bonos basura. “Alto rendimiento” suena mejor que “basura”. Desde ya que las calificadoras, como Moody’s y Standard & Poors, por ejemplo, se cuidan mucho de usar el término “bono basura”, cuya connotación peyorativa no escapa a nadie. Como decíamos, oficialmente se habla de bonos de “alto rendimiento”. Buena parte de la deuda de los países emergentes también cae en esa categoría: para financiarse, los países emiten bonos. Si son países con escaso grado de confiabilidad financiera, como ocurre con la gran mayoría de los de América Latina, esos bonos deberán pagar una tasa más alta.

6.2.3 Valor actual de un bono El valor de un bono en periodos actuales, pueden determinarse dependiendo básicamente de algunos factores propios del bono, como:

6.2.3.1 Precio de los bonos en una fecha de pago Se determina el valor que un inversionista debe pagar por ciertos bonos, para ganar una determinada tasa de interés sobre la inversión.

Al comprar un bono, en una fecha en que se pagan los intereses (Fecha cupón), el comprador adquiere el derecho a recibir el pago futuro de los intereses en cada periodo además del valor de redención del bono.

El valor actual del bono debe ser equivalente a la suma de los valores actuales de los derechos de compra; es decir, debe ser igual al valor actual de los intereses más el valor actual del principal.

Valor actual del bono = Valor actual de los interese + Valor actual del principal.

La fórmula que determina el precio de los bonos en una fecha de pago de intereses, se define de la siguiente manera:

P = C + (F r – C i) [(1 – (1 + i)

Donde: P C F r n i

: : : : : :

) / i]

–n

Precio de compra para obtener un rendimiento i.

Precio de redención del bono.

Valor Nominal o valor a la par del bono.

Tasa de interés, por periodo de pago de cupón. número de cupones o periodos de pago hasta la fecha de vencimiento.

Tasa de interés sobre la inversión por cupón (rentabilidad) z2 4 8 z

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Ejercicios resueltos: 1) ¿Cuál es el precio que puede pagarse por un bono de 10 000 nuevos soles al 5% por cupón, redimible por 10 100 el final de 7 años, si se desea un rendimiento del 8%?

Solución: Fórmula a utilizar: P = C + (F r – C i) [(1 – (1 + i)– n) / i] P=?

C = 10 100 F = 10 000 r = 0,05 i = 0,08 n = 7 años P = 10 100 + (10 000 (0,05) – 10 100(0,08) [(1 – (1 + 0,08)– 7) / 0,08] = P = 10 100 + (500 – 808) (5,20637) = 8 496,44 Observe que el problema no menciona el periodo de pago de cada cupón, en este caso se asume que se paga anualmente. También el factor 5,20637 es el factor presente por los 7 años que falta para el vencimiento y lo encuentra en la atabla 5–F (para pagos anuales) del 8% con capitalización anual (cupón) en la línea 7 (7 años).

Otra solución utilizando la tabla de factores: Fórmula a utilizar: P = C + (F r – C i) (P/A, %, PP, PC, n) P=?

C = 10 100 F = 10 000 r = 0,05 i = 0,08 n = 7 años P = 10 100 + (10 000 (0,05) – 10 100(0,08) (P/A, 8%, 5–F, 1, 7) = P = 10 100 + (500 – 808) (5,20637) = 8 496,44

2) ¿Cuál es el precio que puede pagarse por un bono de 5 000 nuevos soles al 7% por cupón, redimible por 5 000 el final de 5 años, si se desea un rendimiento del 10% con pagos de cupones cada semestre?

Solución: Fórmula a utilizar: P = C + (F r – C i) [(1 – (1 + i)– n) / i] P = ? C = 5 000 F = 5 000 r = 0,07 / 2 = 0,035 i = 0,1 / 2 = 0,05 n = 5(2) = 10 P = 5 000 + (5 000 (0,035) – 5 000(0,05) [(1 – (1 + 0,05)– 10) / 0,05] = P = 5 000 + (175 – 250) (7,721734929) = 4 420,87.

El factor 7,72173 lo encuentra en la atabla 5–E (para pagos semestrales) del 10% con capitalización semestral (cupón) en la línea 10 (10 semestres en 5 años).

Resolver los siguientes ejercicios sobre cálculo del valor actual o precio del bono en una fecha de pago.

1) ¿Cuál es el precio que puede pagarse por un bono de 1 000 nuevos soles al 6% por cupón, redimible por 1 050 al final de 4 años, si se desea un rendimiento del 8%?

Resp.: 970,51 2) ¿Cuál es el precio que puede pagarse por un bono de 100 nuevos soles al 4% por cupón, redimible a la par al final de 5 años, si se desea un rendimiento del 6% con pagos de cupones cada semestre?

Resp.: 91,47

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3) ¿Cuál es el precio que puede pagarse por un bono de 5 000 nuevos soles al 6% por cupón, redimible por 5 100 al final de 8 años, si se desea un rendimiento del 7%?

Resp.: 4 759,64 4) ¿Cuál es el precio que puede pagarse por un bono de 3 000 nuevos soles al 7% por cupón, redimible a la par al final de 6 años, si se desea un rendimiento del 9% con pagos de cupones cada semestre?

Resp.: 2 726,44 5) ¿Cuál es el precio que puede pagarse por un bono de 5 000 nuevos soles al 5% por cupón, redimible por 5 050 al final de 3 años, si se desea un rendimiento del 8%?

Resp.: 4 653,13 6) ¿Cuál es el precio que puede pagarse por un bono de 6 000 nuevos soles al 7% por cupón, redimible a la par al final de 5 años, si se desea un rendimiento del 9% con pagos de cupones cada semestre?

Resp.: 5 525,24

6.2.3.2 Precio de los bonos en una fecha diferente a la de pago Cuando se compra un bono en una fecha cualquiera, primero se determina el valor del bono en la fecha cupón inmediatamente anterior a la fecha de negociación, para luego agregarle los intereses a la fecha de negociación. En este tipo de negociación como generalmente se realizan en forma anual o semestral, consideran que todos los meses del año tiene 30 días y el año 360 días con relación a las fechas.

La fórmula que determina el precio de los bonos entre dos fechas, que son: la última fecha cupón (fecha de pago de intereses) antes de la negociación y la otra es la fecha cupón inmediata siguiente a la fecha de negociación, se define de la siguiente manera: P = P0 + k (P1 – P0)

Donde: P : k :

Precio de compra para obtener un rendimiento i. número de días transcurridos a la fecha de negociación, a partir de la fecha del último periodo pagado; entre el número de días de cada periodo.

P0 : Último precio cupón del bono antes de ser negociado.

P0 = C + (F r – C i) [(1 – (1 + i)– n) / i] P1 : Siguiente precio cupón del bono después de ser negociado.

P1 = C + (F r – C i) [(1 – (1 + i)– (n – 1)) / i]

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Ejercicios resueltos: 1) ¿Cuál es el precio que puede pagarse por un bono de 10 000 nuevos soles el 15 de mayo de 2005, al 6% por cupón convertible semestralmente, redimible a la par el 1 de agosto del 2012, si se desea un rendimiento del 8% convertible semestralmente?

Solución: Fórmulas a utilizar: P0 = C + (F r – C i) [(1 – (1 + i)– n) / i] ;

P1 = C + (F r – C i) [(1 – (1 + i)– (n – 1)) / i] ; P = P0 + k (P1 – P0)

P = ? C = 10 000 F = 10 000 r = 0,06 / 2 = 0,03 i = 0,08 / 2 = 0,04

n = 7,5 (2) = 15 semestres Periodos semestrales: 1 de agosto y 1 de febrero.

P0 = 10 000 + (10 000 (0,03) – 10 000(0,04) [(1 – (1 + 0,04)– 15) / 0,04] = P0 = 10 000 + (300 – 400) (11,11838743) = 8 888,16 P1 = 10 000 + (10 000 (0,03) – 10 000(0,04) [(1 – (1 + 0,04)– 14) / 0,04] = P1 = 10 000 + (300 – 400) (10,56312293) = 8 943,69

Del 1 de febrero al 15 de mayo hay 104 días (considerando 30 días para todos los meses). k = 104 / 180 P0 = 8 888,16 P1 = 8 943,69 P = 8 888,16 + (104 / 180) (8 943,69 – 8 888,16) = 8 920,24.

Observe que los periodos semestrales serían el 1 de agosto y 1 de febrero; por consiguiente si se va ha negociar el 15 de mayo, el último pago cupón fue el 1 de febrero. Entonces del 1 de febrero del 2005 hasta el 1 de agosto del 2012, hay 7 años y medio (15 semestres).

2) ¿Cuál es el precio que puede pagarse por un bono de 1 000 nuevos soles el 21 de abril de 2007, al 5% por cupón convertible semestralmente, redimible a 1 050 el 1 de marzo del 2010, si se desea un rendimiento del 7% convertible semestralmente?

Solución:

Fórmulas a utilizar: P0 = C + (F r – C i) [(1 – (1 + i)– n) / i] ;

P1 = C + (F r – C i) [(1 – (1 + i)– (n – 1)) / i] ; P = P0 + k (P1 – P0)

P=?

C = 1 000 F = 1 050 r = 0,05 / 2 = 0,025 i = 0,07 / 2 = 0,035

n = 3 (2) = 6 semestres Periodos semestrales: 1 de marzo y 1 de septiembre.

P0 = 1 050 + (1 000 (0,025) – 1 050(0,035) [(1 – (1 + 0,035)– 6) / 0,035] = P0 = 1 050 + (25 – 36,75) (5,32855302) = 957,39 P1 = 1 050 + (1 000 (0,025) – 1 050(0,035) [(1 – (1 + 0,035)– 5) / 0,035] = P1 = 1 050 + (25 – 36,75) (4,515052375) = 996,95

Del 1 de marzo al 21 de abril hay 50 días (considerando 30 días para todos los meses). k = 50 / 180 P0 = 987,39 P1 = 996,95 P = 987,39 + (50 / 180) (996,95 – 957,39) = 990,05.

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Resolver los siguientes ejercicios sobre cálculo del valor actual o precio del bono en una fecha diferente a la de pago.

1) ¿Cuál es el precio que puede pagarse por un bono de 3 000 nuevos soles el 5 de febrero de 2006, al 6% por cupón convertible semestralmente, redimible a la par el 1 de octubre del 2010, si se desea un rendimiento del 8% convertible semestralmente?

Resp.: 2 770,61 2) ¿Cuál es el precio que puede pagarse por un bono de 4 000 nuevos soles el 19 de agosto de 2009, al 5% por cupón convertible semestralmente, redimible a 4 060 el 1 de marzo del 2014, si se desea un rendimiento del 7% convertible semestralmente?

Resp.: 3 737,73 3) ¿Cuál es el precio que puede pagarse por un bono de 8 000 nuevos soles el 22 de julio de 2008, al 6% por cupón convertible semestralmente, redimible a la par el 1 de agosto del 2012, si se desea un rendimiento del 8% convertible semestralmente?

Resp.: 7 458,56 4) ¿Cuál es el precio que puede pagarse por un bono de 5 000 nuevos soles el 12 de junio de 2006, al 5% por cupón convertible semestralmente, redimible a 5 150 el 1 de marzo del 2011, si se desea un rendimiento del 7% convertible semestralmente?

Resp.: 4 712,48 5) ¿Cuál es el precio que puede pagarse por un bono de 6 000 nuevos soles el 28 de marzo de 2008, al 6% por cupón convertible semestralmente, redimible a la par el 1 de julio del 2013, si se desea un rendimiento del 8% convertible semestralmente?

Resp.: 5 493,21 6) ¿Cuál es el precio que puede pagarse por un bono de 7 000 nuevos soles el 21 de abril de 2009, al 5% por cupón convertible semestralmente, redimible a 7 200 el 1 de septiembre del 2015, si se desea un rendimiento del 7% convertible semestralmente?

Resp.: 6 412,16

6.2.3.3 Valor de un bono en los libros Con el transcurso del tiempo, los bonos comprados con premio o con descuento, varían su valor hasta ser igual al valor de redención, en la fecha de vencimiento. Por ello se hace necesario desarrollar un procedimiento que permita registrar en libros, los cambios de valor de los bonos, el cual se detalla a continuación:

Ejercicios resueltos: 1) Un bono de 5 000 nuevos soles, al 6% por cupón convertible semestralmente, redimible a la par dentro de 3 años, si se desea un rendimiento del 8% convertible semestralmente, detallar el valor en libro del bono.

z2 5 2 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Solución: Fórmula a utilizar: P = C + (F r – C i) [(1 – (1 + i)– n) / i] P = ?, C = 5 000, F = 5 000, r = 0,06 / 2 = 0,03, i = 0,08 / 2 = 0,04, n = 3(2) = 6 sem.

P P P P P P P

= = = = = = =

5 5 5 5 5 5 5

Periodo

000 000 000 000 000 000 000

+ + + + + + +

(5 000 (150 – (150 – (150 – (150 – (150 – (150 –

(0,03) – 5 000(0,04) [(1 200) (5,242136857) = 4 200) (4,451822331) = 4 200) (3,629895224) = 4 200) (2,775091033) = 4 200) (1,886094675) = 4 200) (0,961538461) = 4

Valor en libros al principio del periodo (Inversión)

1 2 3 4 5 6

4 4 4 4 4 4

737,89 777,41 818,51 861,25 905,70 951,92

Totales

– (1 + 0,04)– 6) / 0,04] = 737,89 (1) n= –6 777,41 (2) n= –5 818,51 (3) n= –4 861,25 (4) n= –3 905,70 (5) n= –2 951,92 (6) n= –1

Intereses sobre la inversión 4% sem.

Intereses del bono 3% sem. (de 5 000)

Variación del valor en libros

189,52 191,10 192,74 194,45 196,22 198,08

150,00 150,00 150,00 150,00 150,00 150,00

– 39,52 – 41,10 – 42,74 – 44,45 – 46,22 – 48,08

1 162,11

900,00

– 262,11

Valor en libros al final del periodo

4 4 4 4 4 5

777,41 818,51 861,25 905,70 951,92 000,00

El ejemplo representa que el bono fue comprado con descuento, por ello la utilidad sobre la inversión es mayor que la de los intereses por el bono y la variación del valor en libros es negativa

2) Un bono de 1 000 nuevos soles, al 8% por cupón convertible semestralmente, redimible a la par dentro de 3 años, si se desea un rendimiento del 6% convertible semestralmente, detallar el valor en libro del bono.

Solución: Fórmula a utilizar: P = C + (F r – C i) [(1 – (1 + i)– n) / i] P = ?, C = 5 000, F = 5 000, r = 0,06 / 2 = 0,03, i = 0,08 / 2 = 0,04, n = 3(2) = 6 sem.

P = 1 000 + (1 000 (0,04) – 1 000(0,03) [(1 – (1 + 0,03)– 6) / 0,03] = P P P P P P

= = = = = =

1 1 1 1 1 1

000 000 000 000 000 000

+ + + + + +

(40 (40 (40 (40 (40 (40

– – – – – –

30) 30) 30) 30) 30) 30)

(5,417191444) (4,579707187) (3,717098403) (2,828611355) (1,913469696) (0,970873786)

= = = = = =

1 1 1 1 1 1

z2 5 3 z

054,17 045,80 037,17 028,29 019,13 009,71

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

n n n n n n

= = = = = =

– – – – – –

6 5 4 3 2 1

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Periodo

1 2 3 4 5 6

Valor en libros al principio del periodo (Inversión) 1 1 1 1 1 1

Totales

054,17 045,80 037,17 028,29 019,13 009,71

Intereses sobre la inversión 3% sem.

Intereses del bono 4% sem. (de 1 000)

Variación del valor en libros

31,63 31,37 31,12 30,85 30,58 30,29

40,00 40,00 40,00 40,00 40,00 40,00

8,37 8,63 8,88 9,15 9,42 9,71

240,00

54,16

185,84

Valor en libros al final del periodo 1 1 1 1 1 1

045,80 037,17 028,29 019,13 009,71 000,00

El ejemplo representa que el bono fue comprado con premio, por ello al ser su valor de redención menor que el de compra, se ha tenido que amortizar la diferencia, por lo tanto la variación del valor en libros es positiva y los intereses sobre la inversión, menores que los intereses del bono.

Como el valor del bono en libros es ilustrativo, se ha creído conveniente no proponer más ejercicios para resolver.

6.2.3.4 Cotización de los bonos en los Mercados de Valores El precio de un bono ya fue mencionado a través de una fórmula, que señala lo que un inversionista está dispuesto a pagar por un bono, para obtener una rentabilidad. Sin embargo en la práctica, los bono tienen un precio de oferta en el mercado de valores, y el verdadero problema que se presenta a tales inversionistas, es encontrar la tasa de rendimiento que obtendrían al comprar bonos por el precio de oferta en el mercado de valores.

Al calcular el precio que un bono tiene entre las fechas cupón, se fijan algunos criterios generales sobre los derechos del vendedor a la parte de los intereses que paga el bono, que se suponen acumulados en el tiempo que ha transcurrido desde la última fecha de pago.

Las cotizaciones en el mercado de valores, dan por entendido que al precio de cotización, se debe agregar los derechos del vendedor a los intereses que paga el bono.

En la realidad los intereses que paga el bono o porción acumulada del cupón, se hace proporcionalmente a la fracción del periodo de tiempo transcurrido, desde la última fecha cupón, de la siguiente manera:

Donde:

P = V + kR

P : Precio de compra de un bono en la bolsa de valores.

V : Valor del bono en el mercado. k : número de días transcurridos a la fecha de negociación, a partir de la fecha del último periodo pagado; entre, el número de días de cada periodo.

R : Valor del cupón. z2 5 4 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Ejercicios resueltos: 1) Hallar el precio que debe pagarse el 24 de octubre, por un bono de 2 000 nuevos soles, que se cotiza a 92, si el valor cupón es de 95,00 nuevos soles pagaderos semestralmente el 1 de junio y el 1 de diciembre.

Solución: Fórmula a utilizar: P = V + k R P = ?, V = 0,92 (2 000,00) = 1 840,00 k = 143 / 180 P = 1 840,00 + 143 / 180 (95,00) = 1 915,47

R = 95,00

En el cálculo de los días, se han contado del 1 de junio al 1 de octubre 4 meses de solo 30 días, más 23 días de octubre.

2) Hallar el precio que debe pagarse el 12 de febrero, por un bono de 5 000 nuevos soles, que se cotiza a 96, si el valor cupón es de 150,00 nuevos soles pagaderos semestralmente el 15 de mayo y el 15 de noviembre.

Solución: Fórmula a utilizar: P = V + k R P = ?, V = 0,96 (5 000,00) = 4 800,00 k = 87 / 180 P = 4 800,00 + (87 / 180) (150,00) = 4 872,50

R = 150,00

3) Hallar el precio que debe pagarse el 22 de junio, por un bono de 5 000 nuevos soles, que se cotiza a 90, si el valor cupón es de 320,00 nuevos soles pagaderos anualmente el 1 septiembre.

Solución: Fórmula a utilizar: P = V + k R P = ?, V = 0,90 (5 000,00) = 4 500,00 k = 291 / 360 P = 4 500,00 + (291 / 360) (320,00) = 4 758,67

R = 320,00

Resolver los siguientes ejercicios sobre la cotización de los bonos en los mercados de valores.

1) Hallar el precio que debe pagarse el 1 de diciembre, por un bono de 5 000 nuevos soles, que se cotiza a 94, si el valor cupón es de 80,00 nuevos soles pagaderos semestralmente el 1 de junio y el 1 de diciembre.

Resp.: 4 700,00 2) Hallar el precio que debe pagarse el 25 de febrero, por un bono de 10 000 nuevos soles, que se cotiza a 93, si el valor cupón es de 225,00 nuevos soles pagaderos semestralmente el 15 de marzo y el 15 de septiembre.

Resp.: 9 500,00

z2 5 5 z

M AT E M ร T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

3)

Hallar el precio que debe pagarse el 19 de julio, por un bono de 7000 nuevos soles, que se cotiza a 90, si el valor cupรณn es de 220,00 nuevos soles pagaderos anualmente el 30 septiembre.

Resp.: 6 476,61 4) Hallar el precio que debe pagarse el 16 de octubre, por un bono de 4 000 nuevos soles, que se cotiza a 95, si el valor cupรณn es de 195,00 nuevos soles pagaderos semestralmente el 10 de junio y el 10 de diciembre.

Resp.: 3 936,50 5) Hallar el precio que debe pagarse el 12 de febrero, por un bono de 5 000 nuevos soles, que se cotiza a 94, si el valor cupรณn es de 150,00 nuevos soles pagaderos semestralmente el 15 de mayo y el 15 de noviembre.

Resp.: 4 772,50 6) Hallar el precio que debe pagarse el 16 de agosto, por un bono de 15 000 nuevos soles, que se cotiza a 90, si el valor cupรณn es de 420,00 nuevos soles pagaderos anualmente el 30 mayo.

Resp.: 13 588,67

z2 5 6 z

L e c c i ó n

3

6.3 Seguros de vida En la actualidad hablar sobre el seguro de vida, es realmente amplio y muy variado, por ello en esta unidad sólo se tratará de conocer lo elemental de todo seguro de vida, que son: a)

Las primas: son pagos anticipados o adelantados por la adquisición de un seguro de vida; estas primas son netas, si resulta del cálculo acorde con la edad del asegurado, son brutas, si sufren un recargo por la compañía de seguros para los gastos administrativos y utilidades. Para calcular las primas netas se utilizan las tablas de mortandad universalmente aceptadas por las compañías de seguros que se dan bajo anexo 6.

b) Las pólizas: son contratos entre la compañía de seguro y una persona llamada asegurado, quién se compromete a paga una o más primas a la compañía seguros, mientras que esta última se compromete a pagar una suma fija a los beneficiarios del seguro de vida.

z2 5 7 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

6.3.1 Seguros de vida total Es un tipo de seguro de vida que mantiene su vigencia mientras tenga vida el asegurado.

Al final cuando muere, el o los beneficiarios señalados en la póliza, cobrarán los beneficios estipulados en ella previa presentación de las prueba de fallecimiento del asegurado.

En un seguro de vida total, existen dos tipos de primas netas, que son: Prima Neta Única: Prima Neta Anual:

Px = B Mx / Dx Px = B Mx / Nx

Donde: x : Edad Px : Prima neta para una determinada edad.

B : Beneficio económico según póliza.

Mx : Cociente acumulado de mortandad.

Nx : Número de seres vivos acumulado.

Dx : Número de fallecimientos acumulado.

Los valores acumulados están comprendidos entre la edad del asegurado y 99 años.

Ejercicios resueltos: 1) Hallar la prima neta única que tendría que pagar una persona de 30 años de edad, para obtener un seguro de 200 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Solución:

Fórmula a utilizar: Px = B Mx / Dx P30 = ?, B = 200 000 M30 = 182 403,5 P30 = 200 000 (182 403,5) / 440 801 = 82 760,00

D30 = 440 801

2) Hallar la prima neta anual que tendría que pagar una persona de 35 años de edad, para obtener un seguro de 120 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Solución:

Fórmula a utilizar: Px = B Mx / Nx P35 = ?, B = 120 000 M35 = 174 423,8 P35 = 120 000 (174 423,8) / 8 510 443,1 = 2 459,43

N35 = 8 510 443,1

3) Hallar la prima neta única que tendría que pagar una persona de 60 años de edad, para obtener un seguro de 100 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Solución:

Fórmula a utilizar: Px = B Mx / Dx P60 = ?, B = 100 000 M60 = 108 543,5 P60 = 100 000 (108 543,5) / 154 046 = 70 461,75 z2 5 8 z

D60 = 154 046

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

4) Hallar la prima neta anual que tendría que pagar una persona de 50 años de edad, para obtener un seguro de 50 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Solución:

Fórmula a utilizar: Px = B Mx / Dx P50 = ?, B = 50 000 M50 = 142 035,1 P50 = 50 000 (142 035,1) / 3 849 487,6 = 1 844,86

N50 = 3 849 487,6

Resolver los siguientes ejercicios sobre seguro de vida total.

1) Hallar la prima neta única que tendría que pagar una persona de 10 años de edad, para obtener un seguro de 70 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Resp.: 19 408,06 2) Hallar la prima neta anual que tendría que pagar una persona de 38 años de edad, para obtener un seguro de 150 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Resp.: 3 429,84 3) Hallar la prima neta única que tendría que pagar una persona de 33 años de edad, para obtener un seguro de 100 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Resp.: 43 908,02 4) Hallar la prima neta única que tendría que pagar una persona de 45 años de edad, para obtener un seguro de 250 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Resp.: 137 843,10 5) Hallar la prima neta anual que tendría que pagar una persona de 25 años de edad, para obtener un seguro de 60 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Resp.: 876,04

6.3.2 Seguros de vida temporal Es un tipo de seguro de vida que mantiene su vigencia durante cierto número de años según la póliza que se adquiere para un asegurado. Este tipo de seguros son obligatorios en el país, para los trabajadores dependiente por el tiempo que laboran en una empresa, el pago de las primas lo realiza la empresa y generalmente son contra accidente de trabajo.

En un seguro de vida temporal, existen dos tipos de primas netas, que son:

Prima Neta Única: Prima Neta Anual:

Px = B (Mx – Mx+n) / Dx Px = B (Mx – Mx+n) / (Nx – Nx+n)

Donde: x : Edad n : Años que dura la póliza z2 5 9 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Px : B : Mx : Nx : Dx :

Prima neta para una determinada edad.

Beneficio económico según póliza.

Cociente acumulado de mortandad.

Número de seres vivos acumulado.

Número de fallecimientos acumulado.

Ejercicios resueltos: 1) Hallar la prima neta única que tendría que pagar una persona de 40 años de edad, por 8 años para obtener un seguro de 50 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Solución:

Fórmula a utilizar: Px = B (Mx – Mx+n) / Dx P40 = ?, B = 50 000 M40 = 165 359,9 M48 = 147 389,5 P40 = 50 000 (165 359,9 – 147 389,5) / 328 984 = 2 731,20

D40 = 328 984

2) Hallar la prima neta anual que tendría que pagar una persona de 28 años de edad, por 10 años para obtener un seguro de 90 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Solución:

Fórmula a utilizar: Px = B (Mx – Mx+n) / (Nx – Nx+n)

B = 90 000 M28 = 185 385,3 M38 = 169 144,5 N28 = 11 513 853 N38 = 7 397 318,3 P28 = 90 000 (185 385,3 – 169 144,5) / (11 513 853 – 7 397 318,3) = 355,07 3) Hallar la prima neta única que tendría que pagar una persona de 55 años de edad, por 5 años para obtener un seguro de 100 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Solución:

Fórmula a utilizar: Px = B (Mx – Mx+n) / Dx P55 = ?, B = 100 000 M55 = 126 751,1 M60 = 108 543,5 P55 = 100 000 (126 751,1 – 108 543,5) / 193 941 = 9 388,22

D55 = 193 941

4) Hallar la prima neta anual que tendría que pagar una persona de 18 años de edad, por 10 años para obtener un seguro de 110 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Solución:

Fórmula a utilizar: Px = B (Mx – Mx+n) / (Nx – Nx+n)

B = 110 000 M18 = 199 411,9 M28 = 185 385,3 N18 = 16 953 726 N28 = 11 513 853 P18 = 110 000 (199 411,9 – 185 385,3) / (16 953 726 – 11 513 853) = 283,63

Resolver los siguientes ejercicios sobre seguro de vida temporal.

1) Hallar la prima neta única que tendría que pagar una persona de 55 años de edad, por 5 años para obtener un seguro de 120 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Resp.: 11 265,86

z2 6 0 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

2) Hallar la prima neta anual que tendría que pagar una persona de 27 años de edad, por 10 años para obtener un seguro de 60 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Resp.: 225,02 3) Hallar la prima neta única que tendría que pagar una persona de 40 años de edad, por 6 años para obtener un seguro de 80 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Resp.: 3 156,51 4) Hallar la prima neta anual que tendría que pagar una persona de 20 años de edad, por 12 años para obtener un seguro de 50 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Resp.: 144,08

6.3.3 Seguros de vida dotal Es un tipo de seguro de vida que mantiene su vigencia durante cierto número de años según la póliza que se adquiere para un asegurado, una póliza de seguro dotal, obliga a la compañía a pagar el valor nominal de la póliza a los beneficiarios en caso de que el asegurado muera dentro del plazo especificado; en caso contrario, el asegurado cobrará el beneficio de la póliza.

En un seguro de vida dotal, existen dos tipos de primas netas, que son: Prima Neta Única: Prima Neta Anual:

Px = B (Mx – Mx+n + Dx+n) / Dx Px = B (Mx – Mx+n + Dx+n) / (Nx – Nx+n)

Donde: x : Edad n : Años que dura la póliza Px : Prima neta para una determinada edad B : Beneficio económico según póliza Mx : Cociente acumulado de mortandad Nx : Número de seres vivos acumulado Dx : Número de fallecimientos acumulado

Ejercicios resueltos: 1) Hallar la prima neta única que tendría que pagar una persona de 25 años de edad, por 30 años para obtener un seguro de vida dotal de 50 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Solución:

Fórmula a utilizar: Px = B (Mx – Mx+n + Dx+n) / Dx

B = 50 000 M25 = 189 700,9 M55 = 126 751,1 D25 = 506 594 D55 = 193 941 P25 = 50 000 (189 700,9 – 126 751,1 + 193 941) / 506 594 = 25 354,70

z2 6 1 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

2) Hallar la prima neta anual que tendría que pagar una persona de 22 años de edad, por 28 años para obtener un seguro de vida dotal de 100 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Solución:

Fórmula a utilizar: Px = B (Mx – Mx+n + Dx+n) / (Nx – Nx+n) M22 = 193 897,0 M50 = 142 035,1 N22 = 14 598 430 N50 = 3 849 487,6 P22 = ?

B = 100 000 D50 = 235 925 P22 = 100 000 (193 897,0 –142 035,1 + 235 925) / (14 598 430 – 3 849 487,6) = 2 677,35 3) Hallar la prima neta única que tendría que pagar una persona de 18 años de edad, por 32 años para obtener un seguro de vida dotal de 80 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Solución:

Fórmula a utilizar: Px = B (Mx – Mx+n + Dx+n) / Dx

B = 80 000 M18 = 199 411,9 M50 = 142 035,1 D18 = 612 917 D50 = 235 925 P18 = 80 000 (199 411,9 – 142 035,1 + 235 925) / 612 917 = 38 282,74 4) Hallar la prima neta anual que tendría que pagar una persona de 15 años de edad, por 30 años para obtener un seguro de vida dotal de 60 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Solución:

Fórmula a utilizar: Px = B (Mx – Mx+n + Dx+n) / (Nx – Nx+n) M15 = 203 570,1 M45 = 154 736,6 N15 = 18 894 613 N45 = 5 161 996,0 P15 = ?

B = 60 000 D45 = 280 639 P15 = 60 000 (203 570,1 –154 736,6 + 280 639) / (18 894 613 – 5 161 996,0) = 1 439,52

Resolver los siguientes ejercicios sobre seguro de vida dotal.

1) Hallar la prima neta única que tendría que pagar una persona de 24 años de edad, por 30 años para obtener un seguro de vida dotal de 70 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Resp.: 35 386,86

2) Hallar la prima neta anual que tendría que pagar una persona de 21 años de edad, por 25 años para obtener un seguro de vida dotal de 40 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Resp.: 1 528,56 3) Hallar la prima neta única que tendría que pagar una persona de 18 años de edad, por 25 años para obtener un seguro de vida dotal de 50 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Resp.: 27 711,06

z2 6 2 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

4) Hallar la prima neta anual que tendría que pagar una persona de 25 años de edad, por 20 años para obtener un seguro de vida dotal de 60 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Resp.: 2 418,22 5) Hallar la prima neta única que tendría que pagar una persona de 30 años de edad, por 22 años para obtener un seguro de vida dotal de 80 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Resp.: 48 093,21 6) Hallar la prima neta anual que tendría que pagar una persona de 20 años de edad, por 30 años para obtener un seguro de vida dotal de 60 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

Resp.: 1 465,59

z2 6 3 z

L e c c i ó n

4

6.4 Rentas Son pagos periódicos que se realizan a favor de una persona o de una institución por diferentes razones, tales pagos constituyen una renta para el que lo recibe. Una forma de generar renta es una anualidad con todas sus variantes, también el pago de pensiones, el pago de dividendo de las acciones, etc.

6.4.1 Clasificación de las rentas En una renta intervienen varios aspectos, tales como: el inicio o finalización, la modalidad de pago, su variabilidad, etc. En esta lección se verán algunos tipos de rentas, tales como: a) Atendiendo su valor:

Las rentas pueden ser: constantes cuando los pagos no cambian durante el tiempo que se percibe, y variables, si éstas cambian o no son iguales en todos o algunos momentos.

b) Atendiendo el inicio y / término:

Las rentas pueden ser: Ciertas cuando se conocen las fechas de inicio y de término de la renta, y eventuales o contingentes, cuando la fecha inicial y/o fecha final dependen de algún suceso previsible, por lo tanto las fechas de realización no pueden fijarse en el contrato.

z2 6 5 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

c) Atendiendo su duración:

Las rentas pueden ser: Temporales cuando tienen un plazo de duración, y Perpetuas cuando duran en forma ilimitada, a éste tipo de renta no es posible calcular el monto que le corresponde.

d) Atendiendo la forma de pago:

Las rentas pueden ser: Ordinarias o Vencidas cuando se hacen efectivas al finalizar el periodo de pago, Anticipadas o Adelantadas cuando se hacen efectivas al comienzo del periodo de pago, y Diferidas cuando se requiere de un tiempo para hacerlas efectivas. Tanto las anualidades ordinarias como las anticipadas son inmediatas, por que no tienen ninguna necesidad de espera.

6.4.2 Rentas perpetuas Una renta perpetua es una anualidad, cuyo plazo no tiene fin, pero a pesar de no tener fin, atendiendo a la forma de pago, tienen las mismas características que cualquier renta.

6.4.2.1 Valor actual de las rentas perpetuas simples Estos valores actuales se denominan simples, porque el periodo de pago de la renta y el periodo de capitalización son iguales, y se determinan o calculan de la siguiente manera: Renta perpetua simple ordinaria: Va = R / i Renta perpetua simple anticipada: Va = R + (R / i) Renta perpetua simple ordinaria más una renta única anticipada: Va = W + (R / i) Donde:

Va i R W

: : : :

Valor actual.

Tasa de interés comercial.

Renta Perpetua.

Renta única anticipada.

Ejercicios resueltos: 1) Una renta a perpetuidad cada fin de año de 50 000 nuevos soles, se deja para una institución benéfica. ¿Cuál es el valor actual de dicha renta si la tasa es del 6%?

Solución: Fórmula a utilizar: Va = R / i Va = ?

R = 50 000 Va = 50 000 / 0,06 = 833 333,33

i = 0,06

z2 6 6 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

2) Una renta a perpetuidad al inicio de cada año de 80 000 nuevos soles, se deja para un colegio parroquial de niños especiales. ¿Cuál es el valor actual de dicha renta si la tasa es del 5%?

Solución: Fórmula a utilizar: Va = R + R / i Va = ?

R = 80 000 i = 0,05 Va = 80 000 + (80 000 / 0,05) = 1 680 000

3) Una renta a perpetuidad cada fin de año de 10 000 nuevos soles, se deja para una institución benéfica del área de salud y 50 000 nuevos soles adelantados, para la compra de equipos especializados. ¿Cuál es el valor actual de dicha renta si la tasa es del 8%?

4)

Solución: Fórmula a utilizar: Va = W + (R / i) Va = ?

W = 50 000 R = 10 000 Va = 50 000 + 10 000 / 0,08 = 175 000

i = 0,08

Una renta a perpetuidad cada fin de año de 20 000 nuevos soles, se deja para una institución educativa benéfica. ¿Cuál es el valor actual de dicha renta si la tasa es del 8%?

Solución: Fórmula a utilizar: Va = R / i Va = ?

R = 20 000 Va = 20 000 / 0,08 = 250 000

i = 0,08

5) Una renta a perpetuidad al inicio de cada año de 100 000 nuevos soles, se deja para un solo heredero. ¿Cuál es el valor actual de dicha renta si la tasa es del 5%?

Solución: Fórmula a utilizar: Va = R + R / i Va = ?

R = 100 000 i = 0,05 Va = 100 000 + (100 000 / 0,05) = 2 100 000

6) Una renta a perpetuidad cada fin de año de 60 000 nuevos soles, se deja para una institución benéfica alimentaria y 10 000 nuevos soles adelantados, para la compra de equipos de cocina. ¿Cuál es el valor actual de dicha renta si la tasa es del 6%?

Solución: Fórmula a utilizar: Va = W + (R / i) Va = ?

W = 10 000 R = 60 000 Va = 10 000 + 60 000 / 0,06 = 1 010 000.

z2 6 7 z

i = 0,06

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Resolver los siguientes ejercicios sobre el valor actual de las rentas perpetuas simples ordinarias.

1) Una renta a perpetuidad cada fin de año de 12 000 nuevos soles, se deja para una institución benéfica. ¿Cuál es el valor actual de dicha renta si la tasa es del 7.5%?

Resp.: 160 000 2) Una renta a perpetuidad al inicio de cada año de 30 000 nuevos soles, se deja para un colegio parroquial de niños especiales. ¿Cuál es el valor actual de dicha renta si la tasa es del 6,8%?

Resp.: 471 176,47 3) Una renta a perpetuidad cada fin de año de 25 000 nuevos soles, se deja para una institución benéfica del área de salud y 80 000 nuevos soles adelantados, para la compra de equipos especializados. ¿Cuál es el valor actual de dicha renta si la tasa es del 6,2%?

Resp.: 483 225,81

4) Una renta a perpetuidad cada fin de año de 25 000 nuevos soles, se deja para una institución educativa benéfica. ¿Cuál es el valor actual de dicha renta si la tasa es del 7,6%?

Resp.: 328 947,37 5) Una renta a perpetuidad al inicio de cada año de 15 000 nuevos soles, se deja para un solo heredero. ¿Cuál es el valor actual de dicha renta si la tasa es del 6,5%?

Resp.: 245 769,23 6) Una renta a perpetuidad cada fin de año de 35 000 nuevos soles, se deja para una institución benéfica alimentaria y 15 000 nuevos soles adelantados, para la compra de equipos de cocina. ¿Cuál es el valor actual de dicha renta si la tasa es del 8,6%?

Resp.: 421 976,74

6.4.2.2 Valor actual de las rentas vitalicias personales Estos valores actuales se diferencian de los anteriores, porque son exclusivos para personas, son rentas que se calculan en términos anuales y se utiliza la tabla de conmutación del 2.5% que se utilizó para los seguros de vida. Los valores actuales de las rentas vitalicias personales, se determinan o calculan de la siguiente manera: Renta Renta Renta Renta

Vitalicia Vitalicia Vitalicia Vitalicia

Inmediata Ordinaria: Inmediata Anticipada: Diferida Ordinaria: Diferida Anticipada:

z2 6 8 z

Va Va Va Va

= = = =

R R R R

N(X + 1) / DX NX / DX N(X + n + 1) / DX N(X + n) / DX

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Donde: Va : Valor actual.

R : Renta vitalicia. x : Edad. n : Número de años diferidos.

Nx : Número de seres vivos acumulado.

Dx : Número de fallecimientos acumulado.

Ejercicios resueltos: 1) Hallar el valor actual de una renta vitalicia inmediata ordinaria de 10 000 nuevos soles anuales, para una persona de 27 años de edad.

Solución: Fórmula a utilizar: Va = R N(X + 1) / DX Va = ?

R = 10 000 N28 = 11 513 853 Va = 10 000 (11 513 853) / 479 357 = 240 193,70

D27 = 479 357

2) Hallar el valor actual de una renta vitalicia inmediata anticipada de 5 000 nuevos soles anuales, para una persona de 42 años de edad.

Solución: Fórmula a utilizar: Va = R NX / DX Va = ?

R = 5 000 N42 = 6 060 612,9 Va = 5 000 (6 060 612,9) / 309 146 = 98 021,86

D42 = 309 146

3) Hallar el valor actual de una renta vitalicia diferida ordinaria de 10 000 nuevos soles anuales por 5 años, para una persona de 17 años de edad.

Solución: Fórmula a utilizar: Va = R N(X + n + 1) / DX Va = ?

R = 10 000 n=5 N23 = 14 048 474 Va = 10 000 (14 048 474) / 629 657 = 223 113,12

D17 = 629 657

4) Hallar el valor actual de una renta vitalicia diferida anticipada de 5 000 nuevos soles anuales por 8 años, para una persona de 20 años de edad.

Solución: Fórmula a utilizar: Va = R N(X + n) / DX Va = ?

R = 5 000 n=8 N28 = 11 513 853 Va = 5 000 (11 513 853) / 580 662 = 99 144,19

z2 6 9 z

D20 = 580 662

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Resolver los siguientes ejercicios sobre el valor actual de las rentas vitalicias personales.

1) Hallar el valor actual de una renta vitalicia inmediata ordinaria de 15 000 nuevos soles anuales, para una persona de 22 años de edad.

Resp.: 383170,85 2) Hallar el valor actual de una renta vitalicia inmediata anticipada de 8 400 nuevos soles anuales, para una persona de 59 años de edad.

Resp.: 105 210,20

3) Hallar el valor actual de una renta vitalicia diferida ordinaria de 12 000 nuevos soles anuales por 6 años, para una persona de 47 años de edad.

Resp.: 135 239,60 4) Hallar el valor actual de una renta vitalicia diferida anticipada de 9 200 nuevos soles anuales por 4 años, para una persona de 43 años de edad.

Resp.: 141 613,99 5) Hallar el valor actual de una renta vitalicia inmediata ordinaria de 11 500 nuevos soles anuales, para una persona de 36 años de edad.

Resp.: 240 481,69 6) Hallar el valor actual de una renta vitalicia inmediata anticipada de 5 800 nuevos soles anuales, para una persona de 50 años de edad.

Resp.: 94 636,13 7) Hallar el valor actual de una renta vitalicia diferida ordinaria de 10 800 nuevos soles anuales por 5 años, para una persona de 40 años de edad.

Resp.: 160 246,87 8) Hallar el valor actual de una renta vitalicia diferida anticipada de 9 000 nuevos soles anuales por 6 años, para una persona de 24 años de edad.

Resp.: 183 115,68 9) Hallar el valor actual de una renta vitalicia diferida ordinaria de 13 000 nuevos soles anuales por 9 años, para una persona de 32 años de edad.

Resp.: 189 163,61 10) Hallar el valor actual de una renta vitalicia diferida anticipada de 5 900 nuevos soles anuales por 10 años, para una persona de 10 años de edad.

Resp.: 122 358,14

z2 7 0 z

L e c c i ó n

5

6.5 Indicadores actuales para proyectos Los principales indicadores de proyectos en una serie de flujo de caja, donde se aplica una tasa de oportunidad del capital (COK), son: el valor actual neto (VAN) y la tasa interna de retorno (TIR). Tales indicadores nos enseñan como evaluar un proyecto para reconocer si se puede aceptar la inversión que necesita; ambos indicadores, se verán a continuación.

6.5.1 Serie de flujo de caja (FC) En una serie de flujo de caja, se contemplan ingresos y egresos de efectivo que permite evaluar una inversión, dentro de un modelo de presupuesto que genera una serie de flujos de caja; los cuales toman el nombre de: a) Flujo de caja económico. Cuando no se considera la estructura de financiamiento. b) Flujo de caja financiero. Cuando se considera la estructura de financiamiento.

Todo flujo de caja considera a la inversión con signo negativo, graficando flechas hacia abajo, y al retorno o liquidación con positivo, graficando flechas hacia arriba. Por lo general el flujo de caja puede tener de manera convencional:

z2 7 1 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

1º Un flujo de inversión y un flujo de liquidación.

2º Varios flujos de inversión y un flujo de liquidación.

3º Un flujo de inversión y varios flujos de liquidación.

También pueden ser no convencionales, es decir inversiones y liquidaciones consecutivas.

Para evaluar la rentabilidad de un proyecto sobre la base de los flujos de caja (FC), con una tasa de costo de oportunidad (COK) que es la tasa de retorno mínima atractiva exigida por el inversionista, al considerar el valor del dinero en el tiempo que dura la inversión, se debe tener en cuenta: a) La magnitud de cada uno de los flujos que componen la vida útil del proyecto, ya sean uniformes o variados. b) Los plazos que hay entre dos flujos consecutivos, que pueden ser uniformes (mensuales, bimestrales, etc.) o variables, dependiendo de la planificación realizada. c) El número de cambios en los signos de los flujos de caja, que determinan si es la serie convencional o no.

6.5.2 Valor actual neto (VAN) Se obtiene de la diferencia del Valor actual de ingresos futuros (VAI) y el Valor actual de costos o egresos (VAC), que se realizan mediante la vida útil del proyecto, descontados hacia el momento con una tasa de costo de oportunidad del capital (COK) previamente determinado por el analista de inversiones. Los egresos o costos que todo proyecto considera, son los costos de: inversión, de operación y otros costos que requiera.

El VAN supone que la tasa de reinversión de los flujos de caja netos generados por el proyecto, y que la tasa de costo financiero de las inversiones que demanda el proyecto son iguales a la tasa de costo de oportunidad del capital.

Si el VAN es mayor de cero (0), se acepta el proyecto o la inversión.

6.5.2.1 VAN con FC de importes iguales, plazos uniformes y un solo cambio de signo La fórmula de cálculo del VAN con las características señaladas, es la siguiente: VAN = – I0 + [FC1 / (1 + i)1] + [FC2 / (1 + i)2] + [FC3 / (1 + i)3] + …. + [FCn / (1 + i)n] Simplificando:

VAN = – I0 + FC (((1 + i)n – 1) / ( i (1 + i)n))

También se puede utilizar la formula del valor actual: VAN = – I0 + FC ((1 – (1 + i)-n) / i)

z2 7 2 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Donde: VAN : Valor Actual Neto.

FC : Flujo de Caja.

I0 : Inversión. n : Vida útil del proyecto (años) i : Tasa de costo de oportunidad del capital (COK).

Ejercicios resueltos: 1) Se desea invertir 10 000 nuevos soles en un proyecto con 5 años de vida útil, cuyos flujos de caja anuales, se estiman en 3 000 cada uno; además se conoce que la tasa efectiva anual (TEA) del costo de oportunidad del capital (COK) es del 12,5%. Hallar el VAN.

Solución: Fórmula a utilizar: VAN = – I0 + FC (((1 + i)n – 1) / (i (1 + i)n)) VAN = ? I0 = 10 000 FC = 3 000 n = 5 años i = 0,125 VAN = – 10 000 + 3 000 (((1 + 0,125)5 – 1) / (0,125(1 + 0,125)5) = VAN = – 10 000 + 10 681,71 = 681,71 Interpretación del ejercicio 1: 1º El proyecto genera un COK de 12,5%, sobre el saldo no recuperado de la inversión.

2º El proyecto contribuye a las utilidades con un VAN de 681.71 nuevos soles.

3º La tasa de rentabilidad es superior al 12,5%, cuya magnitud se va a determinar con la TIR del proyecto.

4º Al ubicar el VAN por equivalencia financiera en el momento 0, además de suponer que el proyecto se cumpliera, el excedente final de la vida útil del proyecto generaría un valor futuro neto de: 681,71 (1 + 0,125)5 = 1 228,46.

La comprobación de lo expuesto en la interpretación, donde la tasa de rentabilidad es superior al COK (12,5%) y el excedente alcanza los 1 228,46, se formulará la siguiente tabla de amortización: n 0 1 2 3 4 5

FC

3 3 3 3 3

000 000 000 000 000

15 000

Amortización

1 1 2 2 2

Interés

750,00 968,75 214,85 491,70 803,16

1 250,00 1 031,25 785,15 508,30 196,84

10 000,00

3 771,54

z2 7 3 z

Excedente

1 228,46 1 228,46

Saldo 10 8 6 4 1

000,00 250,00 281,25 066,40 574,70 0,00

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

El interés se ha calculado aplicando la tasa (0,125) al saldo anterior, por ejemplo: 1º Interés: 0,125 (10 000,00) = 1 250,00 Amortización = 3 000 – 1 250,00 = 1 750,00 2º Interés: 0,125 (8 250,00) = 1 031,25 Amortización = 3 000 – 1 031,25 = 1 750,00 3º Interés: 0,125 ( 6 281,25) = 785,15 Amortización = 3 000 – 785,15 = 2 214,84 Así sucesivamente.

2) Se desea invertir 50 000 nuevos soles en un proyecto con 8 años de vida útil, cuyos flujos de caja anuales, se estiman en 11 500 cada uno; además se conoce que la tasa efectiva anual (TEA) del costo de oportunidad del capital (COK) es del 15%.

Hallar el VAN.

Solución: Fórmula a utilizar: VAN = – I0 + FC (((1 + i)n – 1) / (i (1 + i)n)) VAN = ? I0 = 50 000 FC = 11 500 n = 8 años i = 0,15 VAN = – 50 000 + 11 500 (((1 + 0,15)8 – 1) / (0,15(1 + 0,15)8) = VAN = – 50 000 + 51 604,20 = 1 604,20 Interpretación del ejercicio 2: 1º El proyecto genera un COK de 15%, sobre el saldo no recuperado de la inversión.

2º El proyecto contribuye a las utilidades con un VAN de 1 604.20 nuevos soles.

3º La tasa de rentabilidad es superior al 15%, cuya magnitud se va a determinar con la TIR del proyecto.

4º Al ubicar el VAN por equivalencia financiera en el momento 0, además de suponer que el proyecto se cumpliera, el excedente final de la vida útil del proyecto generaría un valor futuro neto de: 1 604,20 (1 + 0,15)8 = 4 907,28.

La comprobación de lo expuesto en la interpretación, donde la tasa de rentabilidad es superior al COK (15%) y el excedente alcanza los 4 907,28, se formulará la siguiente tabla de amortización: n 0 1 2 3 4 5 6 7 8

FC

11 11 11 11 11 11 11 11

Amortización

500 500 500 500 500 500 500 500

4 000,00 4 600,00 5 290,00 6 083,50 6 996,02 8 045,43 9 252,25 5 732,80

92 000

50 000,00

Interés

7 6 6 5 4 3 2

500,00 900,00 210,00 416,50 503,98 454,57 247,75 859,92

37 092,72

z2 7 4 z

Excedente

4 907,28 4 907,28

Saldo 50 46 41 36 30 23 14 5

000,00 000,00 400,00 110,00 026,50 030,48 985,05 732,80 0,00

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Resolver los siguientes ejercicios sobre el VAN con FC de importes iguales, plazos uniformes y un solo cambio de signo:

1) Se desea invertir 20 000 nuevos soles en un proyecto con 6 años de vida útil, cuyos flujos de caja anuales, se estiman en 6 500 cada uno; además se conoce que la tasa efectiva anual (TEA) del costo de oportunidad del capital (COK) es del 18%. Hallar el VAN. Resp.: 2734,42 2) Se desea invertir 3 500 nuevos soles en un proyecto con 9 años de vida útil, cuyos flujos de caja anuales, se estiman en 800 cada uno; además se conoce que la tasa efectiva anual (TEA) del costo de oportunidad del capital (COK) es del 16%. Hallar el excedente final del VAN o valor futuro neto.

Resp.: 704,46 3) Se desea invertir 8 000 nuevos soles en un proyecto con 8 años de vida útil, cuyos flujos de caja anuales, se estiman en 2 000 cada uno; además se conoce que la tasa efectiva anual (TEA) del costo de oportunidad del capital (COK) es del 15%. Hallar el VAN. Resp.: 974,64

4) Se desea invertir 8 500 nuevos soles en un proyecto con 5 años de vida útil, cuyos flujos de caja anuales, se estiman en 3 000 cada uno; además se conoce que la tasa efectiva anual (TEA) del costo de oportunidad del capital (COK) es del 20%. Hallar el excedente final del VAN o valor futuro neto.

Resp.: 1174,09 5) Se desea invertir 4 000 nuevos soles en un proyecto con 4 años de vida útil, cuyos flujos de caja anuales, se estiman en 1 500 cada uno; además se conoce que la tasa efectiva anual (TEA) del costo de oportunidad del capital (COK) es del 17%. Hallar el VAN. Resp.: 114,85

6.5.2.2 VAN con FC de importes diferentes, plazos uniformes y con múltiples cambios de signo: La fórmula de cálculo del VAN con las características señaladas, es la siguiente: VAN = – I0 + [FC1 / (1 + i)1] + [FC2 / (1 + i)2] + [FC3 / (1 + i)3] + …. + [FCn / (1 + i)n] Donde: VAN FC I0 n i

: Valor Actual Neto : Flujo de Caja : Inversión : Vida útil del proyecto (años) : Tasa de costo de oportunidad del capital (COK)

Para el cambio de signo, usted puede utilizar la misma fórmula original del VAN, cambiando el signo al o los periodos correspondientes.

z2 7 5 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Ejercicios resueltos: 1) Se desea invertir 8 000 nuevos soles en un proyecto a 6 años de vida útil, con 5 000 al principio del proyecto y 3 000 al tercer año. Los flujos de caja anuales, se proyectan en: 3 000 al primer año, 2 000 al segundo, 1 000 al cuarto y quinto año y finalmente 4 000 al sexto año, además se conoce que la tasa efectiva anual (TEA) del costo de oportunidad del capital (COK) es del 14,5%. Hallar el VAN.

Solución: Fórmula a utilizar: VAN = – I0 + [FC1 / (1 + i)1] + [FC2 / (1 + i) 2] + …. + [FCn / (1 + i) n] VAN = ? I0 = 5 000 FC = Variable n = 6 años i = 0,145 VAN = – 5 000 + [3 000 / (1 + 0,145)1] + [2 000 / (1 + 0,145)2] – [3 000 / (1 + 0,145)3] + [1 000 / (1 + 0,145)4] + [1 000 / (1 + 0,145)5] + [4 000 / (1 + 0,145)6] VAN = – 5 000 + 2 620,09 + 1 525,52 – 1 998,50 + 581,81 + 508,13 + 1 775,12 = 12,17

2) Se desea invertir 16 000 nuevos soles en un proyecto a 9 años de vida útil, con 7 000 al principio del proyecto y 4 500 al tercer y sexto año. Los flujos de caja anuales, se proyectan en: 4 000 al primer año, 3 000 al segundo, 3 000 al cuarto y quinto año, finalmente 3 500 al séptimo, octavo y noveno año, además se conoce que la tasa efectiva anual (TEA) del costo de oportunidad del capital (COK) es del 15%. Hallar el VAN.

Solución: Fórmula a utilizar: VAN = – I0 + [FC1 / (1 + i)1] + [FC2 / (1 + i) 2] + …. + [FCn / (1 + i) n] VAN = ? I0 = 7 000 FC = Variable n = 9 años i = 0,15 VAN = – 7 000 + [4 000 / (1 + 0,15)1] + [3 000 / (1 + 0,15)2] – [4 500 / (1 + 0,15)3] + [3 000 / (1 + 0,15)4] + [3 000 / (1 + 0,15)5] – [4 500 / (1 + 0,15)6] + [3 500 / (1 + 0,15)7] + [3 500 / (1 + 0,15)8] + [3 500 / (1 + 0,15)9] VAN = – 7 000 + 3 478,26 + 2 268,43 – 2 958,82 + 1 715,26 + 1 491,53 – 1 945,47 + 1 315,78 + 1 144,16 + 994,92 = 504,05 No se proponen nuevos ejercicios por resolver al alumno, por que se trata del mismo caso anteriormente resuelto, con algunas variantes como: cambios de signos y flujos de caja variables.

6.5.2.3 VAN con FC de importes diferentes, plazos diferentes y múltiples cambios de signo La fórmula de cálculo del VAN con las características señaladas, es la siguiente: VAN = – I0 + [FC1 / (1 + i)1] + [FC2 / (1 + i)2] + [FC3 / (1 + i)3] + …. + [FCn / (1 + i)n] Donde: VAN : Valor Actual Neto FC : Flujo de Caja I0 : Inversión. n : Vida útil del proyecto (años de 365 días) i : Tasa de costo de oportunidad del capital (COK) z2 7 6 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Para el cambio de signo, usted puede utilizar la misma fórmula original del VAN, cambiando el signo al o los periodos correspondientes, lo mismo ocurre con los plazos o periodos.

Ejercicio resuelto: 1) Se desea invertir 11 000 nuevos soles en un proyecto de 1 000 días de vida útil, con 8 000 al inicio del proyecto y 3 000 después de 500 días. Cuyos flujos de caja son: 2 000 en 160 días, 2 500 en 230 días, 1 700 en 350 días, 2 500 en 645 días, 1 800 en 740 días y finalmente 3 000 en 1 000 días; además, se conoce que la tasa efectiva anual (TEA) del costo de oportunidad del capital (COK) es del 14%. Hallar el VAN.

Solución: Fórmula a utilizar: VAN = – I0 + [FC1 / (1 + i) 1] + [FC2 / (1 + i)2] + …. + [FCn / (1 + i)n] VAN = ? I0 = 8 000 FC = Variable n = 1 000 días i = 0,14 VAN = –8000+[2000/(1+0,14)(160/365)]+[2500/(1+0,14)(230/365)]+[1700/(1+0,14)(350/365)] – [3 000 / (1 + 0,14)(500/365)] + [2 500 / (1 + 0,14)(645/365)] + [1 800 / (1 + 0,14)(740/365)] + [3 000 / (1 + 0,14)(1000 / 365)] = VAN = – 8 000 + 1 888,36 + 2 301,88 + 1 499,28 – 2 507,09 + 1 983,27 + 1 380,08 + 2 095,16 = 640,94 Como puede observar, el cálculo del VAN en todos los casos, se aplica de alguna manera la misma fórmula, por lo que estos casos por ser muy especiales ya que se presentan raras veces, solo se resolverá un ejercicio para que usted observe su desarrollo.

6.5.2.4 VAN con FC de importes iguales, plazos uniformes, un solo cambio de signo y cambios de COK El denominador de la fórmula no ha variado hasta el momento a pesar que se han introducido múltiples variables, por que el COK se mantenía invariable; en este nuevo caso, se seguirá utilizando la misma fórmula inicial del VAN, agregando apropiadamente la o las variaciones del COK. VAN = – I0 + [FC1 / (1 + i)1] + [FC2 / (1 + i)2] + [FC3 / (1 + i)3] + …. + [FCn / (1 + i) n] Donde:

VAN FC I0 n i j

: Valor Actual Neto. : Flujo de Caja. : Inversión. : Vida útil del proyecto (años) : Primera tasa de costo de oportunidad del capital (COK). : Segunda tasa de costo de oportunidad del capital (COK).

z2 7 7 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Ejercicios resueltos: 1) Se desea invertir 9 500 nuevos soles en un proyecto con 5 años de vida útil, cuyos flujos de caja anuales, se estiman en 3 000 cada uno; además se conoce que la tasa efectiva anual (TEA) del costo de oportunidad del capital (COK) es del 15%, cambiando al 18% al tercer año. Hallar el VAN.

Solución: Fórmula a utilizar: VAN = – I0 + [FC1 / (1 + i)1] + [FC2 / (1 + i) 2] + …. + [FCn / (1 + i) n] VAN = ? I0 = 9 500 FC = 3 000 n = 5 años i = 0,15 j = 0,18 La tasa “j” formará parte de la fórmula al tercer periodo.

VAN = – 9 500 + [3 000 / (1 + 0,15)1] + [3 000 / (1 + 0,15)2] + [3 000 / (1 + 0,15)2 (1 + 0,18)1] + [3 000 / (1 + 0,15)2 (1 + 0,18)2] + [3 000 / (1 + 0,15)2 (1 + 0,18)3] = VAN = – 9 500 + 2 608,70 + 2 268,43 + 1 922,40 + 1 629,15 + 1 380,64 = 309,32

2) Se desea invertir 10 000 nuevos soles en un proyecto con 4 años de vida útil, cuyos flujos de caja anuales, se estiman en 4 000 cada uno; además se conoce que la tasa efectiva anual (TEA) del costo de oportunidad del capital (COK) es del 15%, cambiando al 14% al segundo año. Hallar el VAN.

Solución: Fórmula a utilizar: VAN = – I0 + [FC1 / (1 + i) 1] + [FC2 / (1 + i) 2] + …. + [FCn / (1 + i) n] VAN = ?

I0 = 10 000 FC = 4 000 n = 4 años i = 0,15 j = 0,14 La tasa “j” formará parte de la fórmula al segundo periodo VAN = – 10 000 + [4 000 / (1 + 0,15)1] + [4 000 / (1 + 0,15)1 (1 + 0,14)1] + [4 000 / (1 + 0,15)1 (1 + 0,14)2] + [4 000 / (1 + 0,15)1 (1 + 0,14)3] = VAN = – 10 000 + 3 478,26 + 3 051,11 + 2 676,41 + 2 347,73 = 1 553,51

6.5.3 Tasa interna de retorno (TIR) Es un indicador que supone que los flujos de caja netos que genera el proyecto se reinvierte en la TIR, y las inversiones que demanda el proyecto tienen un costo financiero, del mismo modo igual a la TIR; por lo tanto, con este indicador se acepta la inversión si la TIR es mayor o igual a COK. La TIR es una tasa “r” que aplicada al VAN de un proyecto da como resultado cero (0); es decir: VAN = – I0 + [FC1 / (1 + r)1] + [FC2 / (1 + r)2] + [FC3 / (1 + r)3] + …. + [FCn / (1 + r)n] = 0

Donde: VAN : Valor Actual Neto FC : Flujo de Caja I0 : Inversión n : Vida útil del proyecto (años) r : Tasa interna de retorno (TIR) z2 7 8 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Para encontrar la TIR, se simulan diferentes tasas hasta hallar las 2 tasas que nos de un VAN más cercano a cero, una con VAN positivo y la otra con VAN negativo; luego se toman ambas tasas con sus respectivos valores VAN, para interpolar a que tasa, le corresponde VAN cero.

Ejercicio resuelto: 1) Se desea invertir 10 000 nuevos soles en un proyecto con 4 años de vida útil, cuyos flujos de caja anuales, se estiman en 4 000 cada uno. Hallar la TIR. Solución: Fórmula a utilizar: VAN = – I0 + [FC1 / (1 + i)1] + [FC2 / (1 + i)2] + …. + [FCn / (1 + i)n] = 0 VAN = 0 I0 = 10 000 FC = 4 000 n = 4 años TIR = ?

Simulando que TIR es 0% VAN = – 10 000 + [4 000 / (1 + 0,00)1] + [4 000 / (1 + 0,00)2] + [4 000 / (1 + 0,00)3] + [4 000 / (1 + 0,00)4] = – 10 000 + 4 000 + 4 000 + 4 000 + 4 000 = 6 000

Como el VAN es alto (6 000), se simula que la TIR es 20% VAN = – 10 000 + [4 000 / (1 + 0,20)1] + [4 000 / (1 + 0,20)2] + [4 000 / (1 + 0,20)3] + [4 000 / (1 + 0,20)4]

= – 10 000 + 3 333,33 + 2 777,78 + 2 314.81 + 1 929,01 = 354,93

Como el VAN es pequeño (354,93), se simula que la TIR es 21% VAN = – 10 000 + [4 000 / (1 + 0,21)1] + [4 000 / (1 + 0,21)2] + [4 000 / (1 + 0,21)3] + [4 000 / (1 + 0,21)4]

= – 10 000 + 3 305,79 + 2 732,05 + 2 257.90 + 1 866,03 = 161,77

Simulando que la TIR es 22% VAN = – 10 000 + [4 000 / (1 + 0,22)1] + [4 000 / (1 + 0,22)2] + [4 000 / (1 + 0,22) 3] + [4 000 / (1 + 0,22)4] = – 10 000 + 3 278,69 + 2 687,45 + 2 202.83 + 1 805,60 = – 25,43

El paso siguiente es la interpolación entre ambas tasas para encontrar la TIR.

Proceso de interpolación: VAN

_TIR_ 161,77

21% 0,00

X% – 25,43

22%

Luego se establecen las diferencias de extremos (primero menos el último) y las diferencias con el valor del medio, para colocarlos de la siguiente manera: 161,77 – (-25,43) = 187,20 (1) 161,77 – 0,00 = 161,77 (3) z2 7 9 z

21% – 22% = –1% 21% – X% = X’%

(2) (4)

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Con la información obtenida de las diferencias, se forma una regla de tres simple comparando (1) con (2) y (3) con (4), de la siguiente manera: VAN_

187,20 161,77

_TIR_

–1% X’%

De donde: X’% = 161,77 (–1) / 187,20 = – 0,86416 %; este valor se reemplaza en (4) 21% – X% = X’% ; 21% – X% = – 0,86416% TIR = 21% + 0,86416% = 21,86416%.

Comprobación con la siguiente tabla de amortización aplicando 21,864%: n 0 1 2 3 4

FC

4 4 4 4

000 000 000 000

16 000

Amortización

1 2 2 3

Interés

813,60 210,13 693,35 282,92

2 186,40 1 789,87 1 306,65 717,08

10 000,00

6 000,00

Saldo 10 8 5 3

000,00 186,40 976,27 282,92 0,00

Estas operaciones de simulación pueden hacerse con Excel o con cualquier simulador.

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Texto seleccionado Bienes depreciables* Son depreciables los bienes del activo fijo que sufren "desgaste" o "agotamiento" y que están destinados a la generación de rentas de tercera categoría.

Cuando los bienes solo se afecten parcialmente a la producción de rentas de tercera categoría, las depreciaciones se efectuarán en la proporción correspondiente.

-Artículo 38, último párrafo.

Pueden depreciarse los siguientes bienes: • Los bienes del activo fijo de las empresas.- Artículo 38, primer párrafo.

• Los bienes que se utilicen en el ejercicio de una profesión que genera rentas de tercera categoría.- Artículo 38, primer párrafo.

• Las mejoras introducidas por una empresa en un bien alquilado, en la parte que el propietario no se encuentra obligado a reembolsar. Si a la conclusión del contrato existiera un saldo por depreciar, dicho saldo se deduciría totalmente en el ejercicio en que ocurra la devolución.- Inciso b) del artículo 22 del Reglamento.

• Los bienes que son materia de arrendamiento financiero, que para estos efectos se consideran activos fijos de la entidad financiera y se deprecian durante el plazo del contrato.- D. Leg. 625.

Valor sobre el cual se calculan las depreciaciones Artículo 41, primer y segundo párrafo.

Las depreciaciones se calcularán sobre el valor de adquisición o producción de los bienes o sobre los valores que resulten del ajuste integral por inflación del balance efectuado conforme a las disposiciones legales en vigencia efectuado conforme a las disposiciones legales en vigencia. A dicho valor se agregará, en su caso, el de las mejoras incorporadas con carácter permanente.

El valor computable incluye los gastos incurridos con motivo de su compra tales como: fletes, seguros, gastos de despacho, derechos aduaneros, instalación, montaje, comisiones normales y otros similares que resulten necesarios para colocar a los bienes en condiciones de ser usados, excluidos los intereses. * Andía Valencia, Walter (2007) Matemática financiera y evaluación de proyectos. 2ª ed. Lima, Centro de Investigación y capacitación empresarial, pp. 113-117.

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Para establecer el costo computable se deben considerar los gastos relacionados con la adquisición y puesta en marcha del bien, inclusive los tributos, gastos notariales, gastos legales, etc. Se excluyen los intereses y comisiones de crédito. De acuerdo al D. Leg. 869 también se excluyen los honorarios por servicios técnicos de montaje, que son deducibles. Ver el 14.24.

La R.TF. 12638 de 24.2.77 rechazó como deducción del ejercicio los gastos de demolición indicando que los mismos deberían ser recuperables mediante castigo.

Las mejoras se consideran en el costo computable Por mejora debe entenderse la modificación en la sustancia de una cosa para aumentar su productividad o valor.

No se considera mejora la agregación de carácter provisorio o la que no pierde su individualidad. Tampoco se considera mejora la agregación que puede ser separada fácilmente y en cualquier momento de la cosa a la que accede. La mejora es una inversión en el bien que aumenta el valor del mismo. No son mejoras las simples reparaciones, las cuales son deducibles y no depreciables.

Fecha desde la cual se puede empezar a depreciar Las depreciaciones se empiezan a computar a partir del mes en que el bien sea utilizado en la generación de rentas gravadas.- Inciso e) del artículo 22 del Reglamento.

Tratándose de bienes adquiridos o construidos por etapas, la depreciación de cada etapa se debe computar a partir del mes siguiente en que la misma empieza a producir rentas.- Inciso g) del artículo 22 del Reglamento.

Absolviendo una consulta la Dirección General de Contribuciones ha indicado que procede depreciar un edificio no terminado en caso sea utilizado.

Depreciaciones de otros ejercicios Las depreciaciones se computan anualmente. En ningún caso podrá incidir en un ejercicio depreciaciones que corresponden a ejercicios anteriores. (Artículo 38, segundo párrafo). Si un ejercicio anterior no se depreció o se hizo una depreciación diminuta se podrá solicitar la correspondiente devolución del impuesto de dicho ejercicio anterior (RTF 11810 de 11.08.76), pero no se permite de la depreciación no efectuada en el ejercicio anterior se acumule a la que corresponde el ejercicio en curso.

Tampoco se permite aumentar el número de años en que se puede depreciar por no haberse depreciado en un ejercicio, salvo en el caso de suspensión de labores, la empresa podrá dejar de depreciar, debiendo acreditar la suspensión con un certificado del Ministerio de Trabajo.- Inciso e) del artículo 22 del Reglamento.

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Artículo 22.- Depreciación Para el cálculo de la depreciación se aplicarán las siguientes disposiciones: a. De conformidad con el Artículo 39 de la Ley, los edificios y construcciones solo serán depreciados mediante el método de línea recta, a razón de 3% anual. b. Los demás bienes afectados a la producción de rentas gravadas de la tercera categoría se depreciarán según el mismo método aplicando el porcentaje que resulte de la siguiente tabla.

Bienes 1. Ganado de trabajo y reproducción redes de pesca.

2. Vehiculos de transporte terrestre (excepto ferrocarriles), hornos en general.

3. Maquinaria y equipo utilizado por las actividades minera, petrolera y de construcción, excepto muebles enseres y equipos de oficina.

4. Equpos de procesamiento de datos 5. Maquinarias y equipo adquirido a partir del 1.1.91.

6. Otros bienes del activo fijo

Vida útil

Porcentaje anual de depreciación

cuatro años

25%

cinco años

20%

cuatro años

25%

cinco años

20%

diez años

10%

diez años

10%

c. Las depreciaciones que resulten por aplicación de lo dispuesto en el inciso anterior se computarán a partir del mes en que los bienes sean utilizados en la generación de rentas gravadas. d. La SUNAT podrá autorizar: 1. Porcentajes de depreciación distintos de los que resulten por aplicación de lo dispuesto en el inciso b), a solicitud del interesado y siempre que este demuestre fehacientemente que en virtud de la naturaleza y características de la explotación o del uso dado al bien, la vida útil real del mismo es distinta a la asignada por el inciso b) del presente artículo.

2. Métodos de depreciación distintos al de la línea recta tales como los de "horas máquinas" y "unidades de producción", para el total o parte de los bienes del activo fijo, siempre que no tenga los efectos de una depreciación acelerada.

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La solicitud para la autorización de cambio de porcentajes o de métodos de depreciación debe estar sustentada mediante informe técnico que, a juicio de la SUNAT, sea suficiente para estimar la vida útil de los bienes materia de la depreciación así como la capacidad productiva de los mismos. Dicho informe técnico deberá estar dictaminado por profesional competente y colegiado o por el organismo técnico competente. Sin perjuicio de la anteriormente señalado, la SUNAT queda facultada a requerir la opinión del organismo técnico competente o cualquier información adicional que considere pertinente para evaluar la procedencia o improcedencia de la citada solicitud.

El cambio de porcentajes o de métodos de depreciación regirá a partir del ejercicio gravable siguiente que la SUNAT haya autorizado dicho cambio. Dicha entidad deberá emitir su pronunciamiento en el plazo máximo de 90 días contados a partir de la fecha de recepción de la solicitud. Debe entenderse por método de depreciación acelerada a aquél que origine una aceleración en la recuperación en la recuperación del capital invertido, sea a través de cargo por depreciaciones mayores para los primeros años de utilización de los bienes, sea acortado la vida útil a considerar para establecer el porcentaje de depreciación o por el aumento de este último, sin que ello origine en las causas a que alude el numeral 1) de este inciso.

e. Cuando mediante autorización o certificación del Ministerio de Trabajo o certificación del Ministerio de Trabajo y Promoción Social, la empresa acredite la suspensión de su actividad productiva, podrá dejar de computar la depreciación de los bienes del activo fijo en tanto persista la suspensión temporal de labores. f. Las empresas deberán llevar un control permanente de los bienes del activo fijo en libros auxiliares, tarjetas o cualquier otro sistema de control, en que se registrará la fecha de adquisición, el costo, los incrementos por revaluación, los ajustes por diferencias de cambio, las mejoras de carácter permanente, los retiros, la depreciación los ajustes por efecto de la inflación y el valor neto de los bienes.

Podrá usarse una sola tarjeta para considerar globalmente todas las adquisiciones hechas en un semestre, cuando se trata de bienes del activo repetidos en gran número o que no puedan fácilmente individualizarse, tales como postes de lineas de transmisión de energia eléctrica o de teléfono, cables eléctricos, tuberias fajas de transmisión, medidores de agua, herramientas, troqueles, plantillas y utensilios diversos.

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g.

En los casos de bienes del activo fijo cuya adquisición, construcción o producción se efectúe por etapas, la depreciación de la parte de los bienes del activo que corresponde a cada etapa, se debe computar desde el mes siguiente al que se afecta a la producción de rentas gravadas.

h.

Las mejoras introducidas por el arrendatario en un bien alquilado, en la parte que el propietario no se encuentre obligado a reembolsar, serán depreciadas por el arrendatario con el porcentaje correspondiente a los bienes que constituyen las mejoras, de acuerdo con el inciso a) y con la Tabla a que se refiere el inciso b) del presente articulo.

Si al devolver el bien por terminación del contrato aun existiera un saldo por depreciar, el íntegro de dicho saldo se deducirá en el ejercicio en que ocurra la devolución.

i.

A efecto de los dispuesto por el Articulo 43 de la Ley, en caso que alguno de los bienes depreciables quedará fuera de uso u obsoleto, el contribuyente podrá optar por:

1.

Seguir depreciándolo anualmente hasta la total extinción de su valor aplicable los porcentajes de depreciación previstos en la Tabla a que se refiere el inciso b) de este artículo; o

2.

Dar de baja el bien por el valor aun no depreciado a la fecha en que el contribuyente lo retire de su archivo fijo. La SUNAT dictará las normas para el registro y control contable de los bienes dados de baja.

El desuso o la obsolescencia deberán estar debidamente acreditados y sustentados por informe técnico dictaminado por un profesional competente y colegiado.

En ningún caso la SUNAT aprobará la aplicación de tasas de depreciación mayores en razón de desuso u obsolescencia.

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AUTOEVALUACIÓN Nº 6 1) Hallar la depreciación anual de un activo de 44 900 nuevos soles con un valor de salvamento de 12 410 nuevos soles en 9 años, por el método de línea recta.

A) B) C) D) E)

3 532 3 610 4 015 3 420 3 150

2) Hallar la depreciación anual del segundo año activo de 64 500 nuevos soles con un valor de salvamento de 21 300 nuevos soles en 8 años, por el método de la suma de los años de depreciación.

A) B) C) D) E)

9 600 7 200 9 400 8 600 8 400

3) Hallar la depreciación anual del primer año de un activo de 18 000 nuevos soles con un valor de salvamento de 4 500 nuevos soles en 12 años, por el método del porcentaje fijo al valor en libros.

A) B) C) D) E)

1 963,82 1 845,30 1 722,22 2 560,26 2 025,04

4) Hallar la depreciación fija anual de un activo de 24 800 nuevos soles con salvamento de 11 400 nuevos soles en 7 años, por el método del porcentaje fijo al fondo de amortización, si la tasa efectiva anual al fondo es del 9,38%.

A) B) C) D) E)

1 532,80 1 468,22 1 283,76 1 439,57 1 525,24

5) Hallar la depreciación anual por el método del porcentaje fijo hasta el agotamiento de un equipo de activos fijos con un costo de 79 580 nuevos soles.

A) B) C) D) E)

19 895 7 958 15 916 11 937 15 250

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6) ¿Cuál es el precio que puede pagarse por un bono de 8 000 nuevos soles al 6% por cupón, redimible por 8 200 al final de 8 años, si se desea un rendimiento del 7%?

A) B) C) D) E)

4 817,84 5 025,45 4 916,45 5 120,03 5 125,05

7) ¿Cuál es el precio que puede pagarse por un bono de 6 000 nuevos soles el 10 de junio de 2005, al 5% por cupón convertible semestralmente, redimible a 6 150 el 1 de marzo del 2010, si se desea un rendimiento del 7% convertible semestralmente?

A) B) C) D) E)

5 532,88 5 712,28 5 825,64 5 656,56 5 525,78

8) Hallar la prima neta anual que tendría que pagar una persona de 26 años de edad, para obtener un seguro de 80 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

A) B) C) D) E)

1 082,36 1 724,47 1 206,32 1 109,38 1 501,18

9) Hallar la prima neta anual que tendría que pagar una persona de 25 años de edad, por 15 años para obtener un seguro de 35 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

A) 199,34 B) 248,65 C) 135,57 D) 145,47 E) 133,33.

10) Hallar la prima neta única que tendría que pagar una persona de 34 años de edad, por 20 años para obtener un seguro de vida dotal de 20 000 nuevos soles con una tasa del 2.5%.

A) B) C) D) E)

10 569,92 14 025,43 16 457,02 11 587,35 12 623,48 z2 8 7 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

11) Una renta a perpetuidad al inicio de cada año de 12 000 nuevos soles, se deja para un colegio parroquial de niños especiales. ¿Cuál es el valor actual de dicha renta si la tasa es del 7,5%?

A) B) C) D) E)

190 000 172 000 160 000 110 000 150 000

12) Una renta a perpetuidad cada fin de año de 15 000 nuevos soles, se deja para una institución de ayuda alimentaria y 12 000 nuevos soles adelantados, para la compra de equipos especializados. ¿Cuál es el valor actual de dicha renta si la tasa es del 6,4%?

A) B) C) D) E)

246 375 234 375 244 375 214 375 216 375

13) Hallar el valor actual de una renta vitalicia diferida anticipada de 6 500 nuevos soles anuales por 9 años, para una persona de 31 años de edad.

A) B) C) D) E)

96 769,16 106 904,22 100 593,34 101 759,37 99 457,57

14) Hallar el valor actual de una renta vitalicia inmediata ordinaria de 4 900 nuevos soles anuales, para una persona de 22 años de edad.

A) B) C) D) E)

130 069,15 125 169,14 116 548,84 110 452,52 115 874,23

15) Se desea invertir 16 000 nuevos soles en un proyecto con 5 años de vida útil, cuyos flujos de caja anuales, se estiman en 4 800 cada uno; además se conoce que la tasa efectiva anual (TEA) del costo de oportunidad del capital (COK) es del 16%. Hallar el VAN. A) 737,26 B) 542,75 C) 283,39 D) 172,94 E) 179,52

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Respuestas de control 1. B, 2. E, 3. A, 4. D, 5. B, 6. A 7. D, 8. C, 9. C, 10. E, 11. B, 12. A, 13. D, 14. B, 15. C

EXPLORACIÓN ON LINE http://libreria.universia.edu.pe/publicacion/matematica-financiera/766 http://html.rincondelvago.com/matematicas-financieras_12.html

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Enrique Timor, Ferrando

(2007) Curso práctico de matemática financiera con Excel. Madrid, Inforbooks.

Navarro, Eliseo

(2001) Fundamentos de matemáticas financieras. Barcelona, Antoni Bosch.

Jimeno Moreno, Juan Pablo

(2004) Los mercados financieros y sus matemáticas una guía teórica y práctica para comprender las matemáticas de los mercados. Barcelona, Ariel.

Tovar Jiménez, José

(2001) Operaciones financieras, teoría y problemas resueltos. Madrid, Editorial Centro de Estudios Financieros.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA Baquero López, María José

(2003) Problemas resueltos de matemática de las operaciones financieras.

Madrid, A. C.

Court Monteverde, Eduardo

(2009) Matemática financiera. Lima, Cengage Learning.

Aching Guzmán, César

(2009) Matemática financiera para la toma de decisiones empresariales. Lima, Editorial Cengage Learning.

Valera Moreno, Rafael

(2001) Matemática financiera. Piura, Editorial UDEP

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TABLAS

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Tabla 1 NÚMERO DE DÍAS Instrucciones: La intersección del día y mes corresponde al número de días transcurrido durante el año.

Ejemplo: El 12 de agosto = 224 (Intersección de la línea 12 con el mes Agosto) Mes

Ene

Feb

Mar

Abr

May

Jun

Jul

Ago Sep

Oct

Nov

Dic

Días 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

32 33 34 35 36

60 61 62 63 64

91 92 93 94 95

121 122 123 124 125

152 153 154 155 156

182 183 184 185 186

213 214 215 216 217

244 245 246 247 248

274 275 276 277 278

305 306 307 308 309

335 336 337 338 339

6 7 8 9 10

6 7 8 9 10

37 38 39 40 41

65 66 67 68 69

96 97 98 99 100

126 127 128 129 130

157 158 159 160 161

187 188 189 190 191

218 219 220 221 222

249 250 251 252 253

279 280 281 282 283

310 311 312 313 314

340 341 342 343 344

11 12 13 14 15

11 12 13 14 15

42 43 44 45 46

70 71 72 73 74

101 102 103 104 105

131 132 133 134 135

162 163 164 165 166

192 193 194 195 196

223 224 225 226 227

254 255 256 257 258

284 285 286 287 288

315 316 317 318 319

345 346 347 348 349

16 17 18 19 20

16 17 18 19 20

47 48 49 50 51

75 76 77 78 79

106 107 108 109 110

136 137 138 139 140

167 168 169 170 171

197 198 199 200 201

228 229 230 231 232

259 260 261 262 263

289 290 291 292 293

320 321 322 323 324

350 351 352 353 354

21 22 23 24 25

21 22 23 24 25

52 53 54 55 56

80 81 82 83 84

111 112 113 114 115

141 142 143 144 145

172 173 174 175 176

202 203 204 205 206

233 234 235 236 237

264 265 266 267 268

294 295 296 297 298

325 326 327 328 329

355 356 357 358 359

26 27 28 29 30 31

26 27 28 29 30 31

57 58 59 …. …. ….

85 86 87 88 89 90

116 117 118 119 120 ……

146 177 147 178 148 179 149 180 150 181 151 ……

207 208 209 210 211 212

238 269 239 270 240 271 241 272 242 273 243 ……

299 330 300 331 301 332 302 333 303 334 304 ……

360 361 362 363 364 365

z2 9 3 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 2

Del 5% y 6% anual

CÁLCULO DEL MONTO CON INTERÉS COMPUESTO Factor: (1 + i) n

Instrucciones: Cuando la capitalización es quincenal el estudiante tomará la columna 24; si es trimestral tomará la columna 4, etc. de la tasa anual dada. n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

5 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 1,00208 1,00417 1,00833 1,01250 1,02500 1,05000 1,00417 1,00835 1,01674 1,02516 1,05063 1,10250 1,00626 1,01255 1,02521 1,03797 1,07689 1,15763 1,00836 1,01677 1,03375 1,05095 1,10381 1,21551 1,01046 1,02101 1,04237 1,06408 1,13141 1,27628 1,01257 1,02526 1,05105 1,07738 1,15969 1,34010 1,01467 1,02953 1,05981 1,09085 1,18869 1,40710 1,01679 1,03382 1,06864 1,10449 1,21840 1,47746 1,01891 1,03813 1,07755 1,11829 1,24886 1,55133 1,02103 1,04246 1,08653 1,13227 1,28008 1,62889 1,02316 1,04680 1,09558 1,14642 1,31209 1,71034 1,02529 1,05116 1,10471 1,16075 1,34489 1,79586 1,02742 1,05554 1,11392 1,17526 1,37851 1,88565 1,02956 1,05994 1,12320 1,18995 1,41297 1,97993 1,03171 1,06436 1,13256 1,20483 1,44830 2,07893 1,03386 1,06879 1,14200 1,21989 1,48451 2,18287 1,03601 1,07324 1,15152 1,23514 1,52162 2,29202 1,03817 1,07772 1,16111 1,25058 1,55966 2,40662 1,04033 1,08221 1,17079 1,26621 1,59865 2,52695 1,04250 1,08672 1,18054 1,28204 1,63862 2,65330 1,04467 1,09124 1,19038 1,29806 1,67958 2,78596 1,04685 1,09579 1,20030 1,31429 1,72157 2,92526 1,04903 1,10036 1,21031 1,33072 1,76461 3,07152 1,05122 1,10494 1,22039 1,34735 1,80873 3,22510 1,05341 1,10955 1,23056 1,36419 1,85394 3,38635 1,05560 1,11417 1,24082 1,38125 1,90029 3,55567 1,05780 1,11881 1,25116 1,39851 1,94780 3,73346 1,06000 1,12347 1,26158 1,41599 1,99650 3,92013 1,06221 1,12815 1,27210 1,43369 2,04641 4,11614 1,06443 1,13285 1,28270 1,45161 2,09757 4,32194 1,06664 1,13757 1,29339 1,46976 2,15001 4,53804 1,06886 1,14231 1,30416 1,48813 2,20376 4,76494 1,07109 1,14707 1,31503 1,50673 2,25885 5,00319 1,07332 1,15185 1,32599 1,52557 2,31532 5,25335 1,07556 1,15665 1,33704 1,54464 2,37321 5,51602 1,07780 1,16147 1,34818 1,56394 2,43254 5,79182 1,08005 1,16631 1,35942 1,58349 2,49335 6,08141 1,08230 1,17117 1,37075 1,60329 2,55568 6,38548 1,08455 1,17605 1,38217 1,62333 2,61957 6,70475 1,08681 1,18095 1,39369 1,64362 2,68506 7,03999 1,08907 1,18587 1,40530 1,66416 2,75219 7,39199 1,09134 1,19081 1,41701 1,68497 2,82100 7,76159 1,09362 1,19577 1,42882 1,70603 2,89152 8,14967 1,09589 1,20076 1,44073 1,72735 2,96381 8,55715 1,09818 1,20576 1,45273 1,74895 3,03790 8,98501

z2 9 4 z

6 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 1,00250 1,00500 1,01000 1,01500 1,03000 1,06000 1,00501 1,01003 1,02010 1,03023 1,06090 1,12360 1,00752 1,01508 1,03030 1,04568 1,09273 1,19102 1,01004 1,02015 1,04060 1,06136 1,12551 1,26248 1,01256 1,02525 1,05101 1,07728 1,15927 1,33823 1,01509 1,03038 1,06152 1,09344 1,19405 1,41852 1,01763 1,03553 1,07214 1,10984 1,22987 1,50363 1,02018 1,04071 1,08286 1,12649 1,26677 1,59385 1,02273 1,04591 1,09369 1,14339 1,30477 1,68948 1,02528 1,05114 1,10462 1,16054 1,34392 1,79085 1,02785 1,05640 1,11567 1,17795 1,38423 1,89830 1,03042 1,06168 1,12683 1,19562 1,42576 2,01220 1,03299 1,06699 1,13809 1,21355 1,46853 2,13293 1,03557 1,07232 1,14947 1,23176 1,51259 2,26090 1,03816 1,07768 1,16097 1,25023 1,55797 2,39656 1,04076 1,08307 1,17258 1,26899 1,60471 2,54035 1,04336 1,08849 1,18430 1,28802 1,65285 2,69277 1,04597 1,09393 1,19615 1,30734 1,70243 2,85434 1,04858 1,09940 1,19615 1,32695 1,75351 3,02560 1,05121 1,10490 1,22019 1,34686 1,80611 3,20714 1,05383 1,11042 1,23239 1,36706 1,86029 3,39956 1,05647 1,11597 1,24472 1,38756 1,91610 3,60354 1,05911 1,12155 1,25716 1,40838 1,97359 3,81975 1,06176 1,12716 1,26973 1,42950 2,03279 4,04893 1,06441 1,13280 1,28243 1,45095 2,09378 4,29187 1,06707 1,13846 1,29526 1,47271 2,15659 4,54938 1,06974 1,14415 1,30821 1,49480 2,22129 4,82235 1,07241 1,14987 1,32129 1,51722 2,28793 5,11169 1,07510 1,15562 1,33450 1,53998 2,35657 5,41839 1,07778 1,16140 1,34785 1,56308 2,42726 5,74349 1,08048 1,16721 1,36133 1,58653 2,50008 6,08810 1,08318 1,17304 1,37494 1,61032 2,57508 6,45339 1,08589 1,17891 1,38869 1,63448 2,65234 6,84059 1,08860 1,18480 1,40258 1,65900 2,73191 7,25103 1,09132 1,19073 1,41660 1,68388 2,81386 7,68609 1,09405 1,19668 1,43077 1,70914 2,89828 8,14725 1,09679 1,20266 1,44508 1,73478 2,98523 8,63609 1,09953 1,20868 1,45953 1,76080 3,07478 9,15425 1,10228 1,21472 1,47412 1,78721 3,16703 9,70351 1,10503 1,22079 1,48886 1,81402 3,26204 10,28572 1,10780 1,22690 1,50375 1,84123 3,35990 10,90286 1,11057 1,23303 1,51879 1,86885 3,46070 11,55703 1,11334 1,23920 1,53398 1,89688 3,56452 12,25045 1,11612 1,24539 1,54932 1,92533 3,67145 12,98548 1,11892 1,25162 1,56481 1,95421 3,78160 13,76461

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 2 (Continuación)

Del 7% y 8% anual

CÁLCULO DEL MONTO CON INTERÉS COMPUESTO Factor: (1 + i) n

Instrucciones: Cuando la capitalización es quincenal el estudiante tomará la columna 24 ; si es trimestral tomará la columna 4, etc. de la tasa anual dada. n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

7 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 1,00292 1,00583 1,01167 1,01750 1,03500 1,07000 1,00584 1,01170 1,02347 1,03531 1,07123 1,14490 1,00878 1,01760 1,03541 1,05342 1,10872 1,22504 1,01172 1,02354 1,04749 1,07186 1,14752 1,31080 1,01467 1,02951 1,05971 1,09062 1,18769 1,40255 1,01763 1,03551 1,07207 1,10970 1,22926 1,50073 1,02060 1,04155 1,08458 1,12912 1,27228 1,60578 1,02357 1,04763 1,09723 1,14888 1,31681 1,71819 1,02656 1,05374 1,11004 1,16899 1,36290 1,83846 1,02955 1,05989 1,12299 1,18944 1,41060 1,96715 1,03256 1,06607 1,13609 1,21026 1,45997 2,10485 1,03557 1,07229 1,14934 1,23144 1,51107 2,25219 1,03859 1,07855 1,16275 1,25299 1,56396 2,40985 1,04162 1,08484 1,17632 1,27492 1,61869 2,57853 1,04465 1,09116 1,19004 1,29723 1,67535 2,75903 1,04770 1,09753 1,20392 1,31993 1,73399 2,95216 1,05076 1,10393 1,21797 1,34303 1,79468 3,15882 1,05382 1,11037 1,23218 1,36653 1,85749 3,37993 1,05690 1,11685 1,23218 1,39045 1,92250 3,61653 1,05998 1,12336 1,26110 1,41478 1,98979 3,86968 1,06307 1,12992 1,27581 1,43954 2,05943 4,14056 1,06617 1,13651 1,29070 1,46473 2,13151 4,43040 1,06928 1,14314 1,30575 1,49036 2,20611 4,74053 1,07240 1,14981 1,32099 1,51644 2,28333 5,07237 1,07553 1,15651 1,33640 1,54298 2,36324 5,42743 1,07866 1,16326 1,35199 1,56998 2,44596 5,80735 1,08181 1,17005 1,36776 1,59746 2,53157 6,21387 1,08497 1,17687 1,38372 1,62541 2,62017 6,64884 1,08813 1,18374 1,39986 1,65386 2,71188 7,11426 1,09130 1,19064 1,41620 1,68280 2,80679 7,61226 1,09449 1,19759 1,43272 1,71225 2,90503 8,14511 1,09768 1,20457 1,44943 1,74221 3,00671 8,71527 1,10088 1,21160 1,46634 1,77270 3,11194 9,32534 1,10409 1,21867 1,48345 1,80372 3,22086 9,97811 1,10731 1,22578 1,50076 1,83529 3,33359 10,67658 1,11054 1,23293 1,51827 1,86741 3,45027 11,42394 1,11378 1,24012 1,53598 1,90009 3,57103 12,22362 1,11703 1,24735 1,55390 1,93334 3,69601 13,07927 1,12029 1,25463 1,57203 1,96717 3,82537 13,99482 1,12355 1,26195 1,59037 2,00160 3,95926 14,97446 1,12683 1,26931 1,60892 2,03663 4,09783 16,02267 1,13012 1,27671 1,62769 2,07227 4,24126 17,14426 1,13341 1,28416 1,64668 2,10853 4,38970 18,34435 1,13672 1,29165 1,66589 2,14543 4,54334 19,62846 1,14004 1,29919 1,68533 2,18298 4,70236 21,00245

8 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 1,00333 1,00667 1,01333 1,02000 1,04000 1,08000 1,00668 1,01338 1,02684 1,04040 1,08160 1,16640 1,01003 1,02013 1,04054 1,06121 1,12486 1,25971 1,01340 1,02693 1,05441 1,08243 1,16986 1,36049 1,01678 1,03378 1,06847 1,10408 1,21665 1,46933 1,02017 1,04067 1,08271 1,12616 1,26532 1,58687 1,02357 1,04761 1,09715 1,14869 1,31593 1,71382 1,02698 1,05459 1,11178 1,17166 1,36857 1,85093 1,03040 1,06163 1,12660 1,19509 1,42331 1,99900 1,03384 1,06870 1,14162 1,21899 1,48024 2,15892 1,03728 1,07583 1,15685 1,24337 1,53945 2,33164 1,04074 1,08300 1,17227 1,26824 1,60103 2,51817 1,04421 1,09022 1,18790 1,29361 1,66507 2,71962 1,04769 1,09749 1,20374 1,31948 1,73168 2,93719 1,05118 1,10480 1,21979 1,34587 1,80094 3,17217 1,05469 1,11217 1,23605 1,37279 1,87298 3,42594 1,05820 1,11958 1,25253 1,40024 1,94790 3,70002 1,06173 1,12705 1,26923 1,42825 2,02582 3,99602 1,06527 1,13456 1,28616 1,45681 2,10685 4,31570 1,06882 1,14213 1,30331 1,48595 2,19112 4,66096 1,07238 1,14974 1,32068 1,51567 2,27877 5,03383 1,07596 1,15740 1,33829 1,54598 2,36992 5,43654 1,07954 1,16512 1,35614 1,57690 2,46472 5,87146 1,08314 1,17289 1,37422 1,60844 2,56330 6,34118 1,08675 1,18071 1,39254 1,64061 2,66584 6,84848 1,09038 1,18858 1,41111 1,67342 2,77247 7,39635 1,09401 1,19650 1,42992 1,70689 2,88337 7,98806 1,09766 1,20448 1,44899 1,74102 2,99870 8,62711 1,10132 1,21251 1,46831 1,77584 3,11865 9,31727 1,10499 1,22059 1,48789 1,81136 3,24340 10,06266 1,10867 1,22873 1,50773 1,84759 3,37313 10,86767 1,11237 1,23692 1,52783 1,88454 3,50806 11,73708 1,11607 1,24517 1,54820 1,92223 3,64838 12,67605 1,11979 1,25347 1,56884 1,96068 3,79432 13,69013 1,12353 1,26182 1,58976 1,99989 3,94609 14,78534 1,12727 1,27024 1,61096 2,03989 4,10393 15,96817 1,13103 1,27871 1,63244 2,08069 4,26809 17,24563 1,13480 1,28723 1,65420 2,12230 4,43881 18,62528 1,13858 1,29581 1,67626 2,16474 4,61637 20,11530 1,14238 1,30445 1,69861 2,20804 4,80102 21,72452 1,14619 1,31315 1,72126 2,25220 4,99306 23,46248 1,15001 1,32190 1,74421 2,29724 5,19278 25,33948 1,15384 1,33071 1,76746 2,34319 5,40050 27,36664 1,15769 1,33959 1,79103 2,39005 5,61652 29,55597 1,16154 1,34852 1,81491 2,43785 5,84118 31,92045

z2 9 5 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 2 (Continuación)

Del 9% y 10% anual

CÁLCULO DEL MONTO CON INTERÉS COMPUESTO Factor: (1 + i) n

Instrucciones: Cuando la capitalización es quincenal el estudiante tomará la columna 24; si es trimestral tomará la columna 4, etc. de la tasa anual dada. n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

9 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 1,00375 1,00750 1,01500 1,02250 1,04500 1,09000 1,00751 1,01506 1,03023 1,04551 1,09203 1,18810 1,01129 1,02267 1,04568 1,06903 1,14117 1,29503 1,01508 1,03034 1,06136 1,09308 1,19252 1,41158 1,01889 1,03807 1,07728 1,11768 1,24618 1,53862 1,02271 1,04585 1,09344 1,14283 1,30226 1,67710 1,02655 1,05370 1,10984 1,16854 1,36086 1,82804 1,03040 1,06160 1,12649 1,19483 1,42210 1,99256 1,03426 1,06956 1,14339 1,22171 1,48610 2,17189 1,03814 1,07758 1,16054 1,24920 1,55297 2,36736 1,04203 1,08566 1,17795 1,27731 1,62285 2,58043 1,04594 1,09381 1,19562 1,30605 1,69588 2,81266 1,04986 1,10201 1,21355 1,33544 1,77220 3,06580 1,05380 1,11028 1,23176 1,36548 1,85194 3,34173 1,05775 1,11860 1,25023 1,39621 1,93528 3,64248 1,06172 1,12699 1,26899 1,42762 2,02237 3,97031 1,06570 1,13544 1,28802 1,45974 2,11338 4,32763 1,06970 1,14396 1,30734 1,49259 2,20848 4,71712 1,07371 1,15254 1,30734 1,52617 2,30786 5,14166 1,07773 1,16118 1,34686 1,56051 2,41171 5,60441 1,08177 1,16989 1,36706 1,59562 2,52024 6,10881 1,08583 1,17867 1,38756 1,63152 2,63365 6,65860 1,08990 1,18751 1,40838 1,66823 2,75217 7,25787 1,09399 1,19641 1,42950 1,70577 2,87601 7,91108 1,09809 1,20539 1,45095 1,74415 3,00543 8,62308 1,10221 1,21443 1,47271 1,78339 3,14068 9,39916 1,10634 1,22354 1,49480 1,82352 3,28201 10,24508 1,11049 1,23271 1,51722 1,86454 3,42970 11,16714 1,11466 1,24196 1,53998 1,90650 3,58404 12,17218 1,11884 1,25127 1,56308 1,94939 3,74532 13,26768 1,12303 1,26066 1,58653 1,99325 3,91386 14,46177 1,12724 1,27011 1,61032 2,03810 4,08998 15,76333 1,13147 1,27964 1,63448 2,08396 4,27403 17,18203 1,13571 1,28923 1,65900 2,13085 4,46636 18,72841 1,13997 1,29890 1,68388 2,17879 4,66735 20,41397 1,14425 1,30865 1,70914 2,22782 4,87738 22,25123 1,14854 1,31846 1,73478 2,27794 5,09686 24,25384 1,15285 1,32835 1,76080 2,32920 5,32622 26,43668 1,15717 1,33831 1,78721 2,38160 5,56590 28,81598 1,16151 1,34835 1,81402 2,43519 5,81636 31,40942 1,16586 1,35846 1,84123 2,48998 6,07810 34,23627 1,17024 1,36865 1,86885 2,54601 6,35162 37,31753 1,17462 1,37891 1,89688 2,60329 6,63744 40,67611 1,17903 1,38926 1,92533 2,66186 6,93612 44,33696 1,18345 1,39968 1,95421 2,72176 7,24825 48,32729

10 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 1,00417 1,00833 1,01667 1,02500 1,05000 1,10000 1,00835 1,01674 1,03361 1,05063 1,10250 1,21000 1,01255 1,02521 1,05084 1,07689 1,15763 1,33100 1,01677 1,03375 1,06835 1,10381 1,21551 1,46410 1,02101 1,04237 1,08616 1,13141 1,27628 1,61051 1,02526 1,05105 1,10426 1,15969 1,34010 1,77156 1,02953 1,05981 1,12266 1,18869 1,40710 1,94872 1,03382 1,06864 1,14138 1,21840 1,47746 2,14359 1,03813 1,07755 1,16040 1,24886 1,55133 2,35795 1,04246 1,08653 1,17974 1,28008 1,62889 2,59374 1,04680 1,09558 1,19940 1,31209 1,71034 2,85312 1,05116 1,10471 1,21939 1,34489 1,79586 3,13843 1,05554 1,11392 1,23971 1,37851 1,88565 3,45227 1,05994 1,12320 1,26038 1,41297 1,97993 3,79750 1,06436 1,13256 1,28138 1,44830 2,07893 4,17725 1,06879 1,14200 1,30274 1,48451 2,18287 4,59497 1,07324 1,15152 1,32445 1,52162 2,29202 5,05447 1,07772 1,16111 1,34653 1,55966 2,40662 5,55992 1,08221 1,17079 1,36897 1,59865 2,52695 6,11591 1,08672 1,18054 1,39178 1,63862 2,65330 6,72750 1,09124 1,19038 1,41498 1,67958 2,78596 7,40025 1,09579 1,20030 1,43856 1,72157 2,92526 8,14027 1,10036 1,21031 1,46254 1,76461 3,07152 8,95430 1,10494 1,22039 1,48691 1,80873 3,22510 9,84973 1,10955 1,23056 1,51170 1,85394 3,38635 10,83471 1,11417 1,24082 1,53689 1,90029 3,55567 11,91818 1,11881 1,25116 1,56251 1,94780 3,73346 13,10999 1,12347 1,26158 1,58855 1,99650 3,92013 14,42099 1,12815 1,27210 1,61502 2,04641 4,11614 15,86309 1,13285 1,28270 1,64194 2,09757 4,32194 17,44940 1,13757 1,29339 1,66931 2,15001 4,53804 19,19434 1,14231 1,30416 1,69713 2,20376 4,76494 21,11378 1,14707 1,31503 1,72541 2,25885 5,00319 23,22515 1,15185 1,32599 1,75417 2,31532 5,25335 25,54767 1,15665 1,33704 1,78341 2,37321 5,51602 28,10244 1,16147 1,34818 1,81313 2,43254 5,79182 30,91268 1,16631 1,35942 1,84335 2,49335 6,08141 34,00395 1,17117 1,37075 1,87407 2,55568 6,38548 37,40434 1,17605 1,38217 1,90531 2,61957 6,70475 41,14478 1,18095 1,39369 1,93706 2,68506 7,03999 45,25926 1,18587 1,40530 1,96935 2,75219 7,39199 49,78518 1,19081 1,41701 2,00217 2,82100 7,76159 54,76370 1,19577 1,42882 2,03554 2,89152 8,14967 60,24007 1,20076 1,44073 2,06946 2,96381 8,55715 66,26408 1,20576 1,45273 2,10395 3,03790 8,98501 72,89048

z2 9 6 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 2 (Continuación)

Del 11% y 12% anual

CÁLCULO DEL MONTO CON INTERÉS COMPUESTO Factor: (1 + i) n

Instrucciones: Cuando la capitalización es quincenal el estudiante tomará la columna 24 ; si es trimestral tomará la columna 4, etc. de la tasa anual dada. n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

11 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 1,00458 1,00917 1,01833 1,02750 1,05500 1,11000 1,00919 1,01842 1,03700 1,05576 1,11303 1,23210 1,01381 1,02775 1,05601 1,08479 1,17424 1,36763 1,01846 1,03717 1,07537 1,11462 1,23882 1,51807 1,02313 1,04668 1,09509 1,14527 1,30696 1,68506 1,02782 1,05628 1,11517 1,17677 1,37884 1,87041 1,03253 1,06596 1,13561 1,20913 1,45468 2,07616 1,03726 1,07573 1,15643 1,24238 1,53469 2,30454 1,04201 1,08559 1,17763 1,27655 1,61909 2,55804 1,04679 1,09554 1,19922 1,31165 1,70814 2,83942 1,05159 1,10558 1,22121 1,34772 1,80209 3,15176 1,05641 1,11572 1,24360 1,38478 1,90121 3,49845 1,06125 1,12595 1,26640 1,42287 2,00577 3,88328 1,06611 1,13627 1,28961 1,46199 2,11609 4,31044 1,07100 1,14668 1,31326 1,50220 2,23248 4,78459 1,07591 1,15719 1,33733 1,54351 2,35526 5,31089 1,08084 1,16780 1,36185 1,58596 2,48480 5,89509 1,08579 1,17851 1,38682 1,62957 2,62147 6,54355 1,09077 1,18931 1,38682 1,67438 2,76565 7,26334 1,09577 1,20021 1,43813 1,72043 2,91776 8,06231 1,10079 1,21121 1,46450 1,76774 3,07823 8,94917 1,10584 1,22232 1,49135 1,81635 3,24754 9,93357 1,11091 1,23352 1,51869 1,86630 3,42615 11,02627 1,11600 1,24483 1,54653 1,91763 3,61459 12,23916 1,12111 1,25624 1,57489 1,97036 3,81339 13,58546 1,12625 1,26775 1,60376 2,02455 4,02313 15,07986 1,13141 1,27938 1,63316 2,08022 4,24440 16,73865 1,13660 1,29110 1,66310 2,13743 4,47784 18,57990 1,14181 1,30294 1,69359 2,19621 4,72412 20,62369 1,14704 1,31488 1,72464 2,25660 4,98395 22,89230 1,15230 1,32694 1,75626 2,31866 5,25807 25,41045 1,15758 1,33910 1,78846 2,38242 5,54726 28,20560 1,16289 1,35137 1,82125 2,44794 5,85236 31,30821 1,16822 1,36376 1,85464 2,51526 6,17424 34,75212 1,17357 1,37626 1,88864 2,58443 6,51383 38,57485 1,17895 1,38888 1,92326 2,65550 6,87209 42,81808 1,18435 1,40161 1,95852 2,72852 7,25005 47,52807 1,18978 1,41446 1,99443 2,80356 7,64880 52,75616 1,19523 1,42742 2,03099 2,88066 8,06949 58,55934 1,20071 1,44051 2,06823 2,95987 8,51331 65,00087 1,20621 1,45371 2,10615 3,04127 8,98154 72,15096 1,21174 1,46704 2,14476 3,12491 9,47553 80,08757 1,21730 1,48049 2,18408 3,21084 9,99668 88,89720 1,22288 1,49406 2,22412 3,29914 10,54650 --1,22848 1,50775 2,26490 3,38986 11,12655 ---

12 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 1,00500 1,01000 1,02000 1,03000 1,06000 1,12000 1,01003 1,02010 1,04040 1,06090 1,12360 1,25440 1,01508 1,03030 1,06121 1,09273 1,19102 1,40493 1,02015 1,04060 1,08243 1,12551 1,26248 1,57352 1,02525 1,05101 1,10408 1,15927 1,33823 1,76234 1,03038 1,06152 1,12616 1,19405 1,41852 1,97382 1,03553 1,07214 1,14869 1,22987 1,50363 2,21068 1,04071 1,08286 1,17166 1,26677 1,59385 2,47596 1,04591 1,09369 1,19509 1,30477 1,68948 2,77308 1,05114 1,10462 1,21899 1,34392 1,79085 3,10585 1,05640 1,11567 1,24337 1,38423 1,89830 3,47855 1,06168 1,12683 1,26824 1,42576 2,01220 3,89598 1,06699 1,13809 1,29361 1,46853 2,13293 4,36349 1,07232 1,14947 1,31948 1,51259 2,26090 4,88711 1,07768 1,16097 1,34587 1,55797 2,39656 5,47357 1,08307 1,17258 1,37279 1,60471 2,54035 6,13039 1,08849 1,18430 1,40024 1,65285 2,69277 6,86604 1,09393 1,19615 1,42825 1,70243 2,85434 7,68997 1,09940 1,20811 1,45681 1,75351 3,02560 8,61276 1,10490 1,22019 1,48595 1,80611 3,20714 9,64629 1,11042 1,23239 1,51567 1,86029 3,39956 10,80385 1,11597 1,24472 1,54598 1,91610 3,60354 12,10031 1,12155 1,25716 1,57690 1,97359 3,81975 13,55235 1,12716 1,26973 1,60844 2,03279 4,04893 15,17863 1,13280 1,28243 1,64061 2,09378 4,29187 17,00006 1,13846 1,29526 1,67342 2,15659 4,54938 19,04007 1,14415 1,30821 1,70689 2,22129 4,82235 21,32488 1,14987 1,32129 1,74102 2,28793 5,11169 23,88387 1,15562 1,33450 1,77584 2,35657 5,41839 26,74993 1,16140 1,34785 1,81136 2,42726 5,74349 29,95992 1,16721 1,36133 1,84759 2,50008 6,08810 33,55511 1,17304 1,37494 1,88454 2,57508 6,45339 37,58173 1,17891 1,38869 1,92223 2,65234 6,84059 42,09153 1,18480 1,40258 1,96068 2,73191 7,25103 47,14252 1,19073 1,41660 1,99989 2,81386 7,68609 52,79962 1,19668 1,43077 2,03989 2,89828 8,14725 59,13557 1,20266 1,44508 2,08069 2,98523 8,63609 66,23184 1,20868 1,45953 2,12230 3,07478 9,15425 74,17966 1,21472 1,47412 2,16474 3,16703 9,70351 83,08122 1,22079 1,48886 2,20804 3,26204 10,28572 --1,22690 1,50375 2,25220 3,35990 10,90286 --1,23303 1,51879 2,29724 3,46070 11,55703 --1,23920 1,53398 2,34319 3,56452 12,25045 --1,24539 1,54932 2,39005 3,67145 12,98548 --1,25162 1,56481 2,43785 3,78160 13,76461 ---

z2 9 7 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 2 (Continuación)

Del 13% y 14% anual

CÁLCULO DEL MONTO CON INTERÉS COMPUESTO Factor: (1 + i) n

Instrucciones: Cuando la capitalización es quincenal el estudiante tomará la columna 24 ; si es trimestral tomará la columna 4, etc. de la tasa anual dada. n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

13 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 1,00542 1,01083 1,02167 1,03250 1,06500 1,13000 1,01086 1,02178 1,04380 1,06606 1,13423 1,27690 1,01634 1,03285 1,06642 1,10070 1,20795 1,44290 1,02184 1,04404 1,08952 1,13648 1,28647 1,63047 1,02738 1,05535 1,11313 1,17341 1,37009 1,84244 1,03294 1,06679 1,13725 1,21155 1,45914 2,08195 1,03854 1,07834 1,16189 1,25092 1,55399 2,35261 1,04416 1,09002 1,18706 1,29158 1,65500 2,65844 1,04982 1,10183 1,21278 1,33355 1,76257 3,00404 1,05551 1,11377 1,23906 1,37689 1,87714 3,39457 1,06122 1,12584 1,26591 1,42164 1,99915 3,83586 1,06697 1,13803 1,29333 1,46785 2,12910 4,33452 1,07275 1,15036 1,32136 1,51555 2,26749 4,89801 1,07856 1,16282 1,34999 1,56481 2,41487 5,53475 1,08440 1,17542 1,37924 1,61566 2,57184 6,25427 1,09028 1,18815 1,40912 1,66817 2,73901 7,06733 1,09618 1,20103 1,43965 1,72239 2,91705 7,98608 1,10212 1,21404 1,47084 1,77837 3,10665 9,02427 1,10809 1,22719 1,47084 1,83616 3,30859 10,19742 1,11409 1,24048 1,53527 1,89584 3,52365 11,52309 1,12013 1,25392 1,56853 1,95745 3,75268 13,02109 1,12620 1,26751 1,60252 2,02107 3,99661 14,71383 1,13230 1,28124 1,63724 2,08675 4,25639 16,62663 1,13843 1,29512 1,67271 2,15457 4,53305 18,78809 1,14460 1,30915 1,70895 2,22460 4,82770 21,23054 1,15080 1,32333 1,74598 2,29690 5,14150 23,99051 1,15703 1,33767 1,78381 2,37155 5,47570 27,10928 1,16330 1,35216 1,82246 2,44862 5,83162 30,63349 1,16960 1,36681 1,86195 2,52820 6,21067 34,61584 1,17593 1,38161 1,90229 2,61037 6,61437 39,11590 1,18230 1,39658 1,94351 2,69521 7,04430 44,20096 1,18871 1,41171 1,98562 2,78280 7,50218 49,94709 1,19515 1,42700 2,02864 2,87324 7,98982 56,44021 1,20162 1,44246 2,07259 2,96662 8,50916 63,77744 1,20813 1,45809 2,11750 3,06304 9,06225 72,06851 1,21467 1,47389 2,16338 3,16258 9,65130 81,43741 1,22125 1,48985 2,21025 3,26537 10,27864 --1,22787 1,50599 2,25814 3,37149 10,94675 --1,23452 1,52231 2,30706 3,48107 11,65829 --1,24120 1,53880 2,35705 3,59420 12,41607 --1,24793 1,55547 2,40812 3,71101 13,22312 --1,25469 1,57232 2,46030 3,83162 14,08262 --1,26148 1,58935 2,51360 3,95615 14,99799 --1,26832 1,60657 2,56806 4,08472 15,97286 --1,27519 1,62398 2,62371 4,21748 17,01110 ---

z2 9 8 z

14 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 1,00583 1,01167 1,02333 1,03500 1,07000 1,14000 1,01170 1,02347 1,04721 1,07123 1,14490 1,29960 1,01760 1,03541 1,07165 1,10872 1,22504 1,48154 1,02354 1,04749 1,09665 1,14752 1,31080 1,68896 1,02951 1,05971 1,12224 1,18769 1,40255 1,92541 1,03551 1,07207 1,14843 1,22926 1,50073 2,19497 1,04155 1,08458 1,17522 1,27228 1,60578 2,50227 1,04763 1,09723 1,20264 1,31681 1,71819 2,85259 1,05374 1,11004 1,23071 1,36290 1,83846 3,25195 1,05989 1,12299 1,25942 1,41060 1,96715 3,70722 1,06607 1,13609 1,28881 1,45997 2,10485 4,22623 1,07229 1,14934 1,31888 1,51107 2,25219 4,81790 1,07855 1,16275 1,34965 1,56396 2,40985 5,49241 1,08484 1,17632 1,38115 1,61869 2,57853 6,26135 1,09116 1,19004 1,41337 1,67535 2,75903 7,13794 1,09753 1,20392 1,44635 1,73399 2,95216 8,13725 1,10393 1,21797 1,48010 1,79468 3,15882 9,27646 1,11037 1,23218 1,51464 1,85749 3,37993 10,57517 1,11685 1,24655 1,54998 1,92250 3,61653 12,05569 1,12336 1,26110 1,58614 1,98979 3,86968 13,74349 1,12992 1,27581 1,62315 2,05943 4,14056 15,66758 1,13651 1,29070 1,66103 2,13151 4,43040 17,86104 1,14314 1,30575 1,69978 2,20611 4,74053 20,36158 1,14981 1,32099 1,73945 2,28333 5,07237 23,21221 1,15651 1,33640 1,78003 2,36324 5,42743 26,46192 1,16326 1,35199 1,82157 2,44596 5,80735 30,16658 1,17005 1,36776 1,86407 2,53157 6,21387 34,38991 1,17687 1,38372 1,90757 2,62017 6,64884 39,20449 1,18374 1,39986 1,95208 2,71188 7,11426 44,69312 1,19064 1,41620 1,99762 2,80679 7,61226 50,95016 1,19759 1,43272 2,04423 2,90503 8,14511 58,08318 1,20457 1,44943 2,09193 3,00671 8,71527 66,21483 1,21160 1,46634 2,14075 3,11194 9,32534 75,48490 1,21867 1,48345 2,19070 3,22086 9,97811 86,05279 1,22578 1,50076 2,24181 3,33359 10,67658 --1,23293 1,51827 2,29412 3,45027 11,42394 --1,24012 1,53598 2,34765 3,57103 12,22362 --1,24735 1,55390 2,40243 3,69601 13,07927 --1,25463 1,57203 2,45849 3,82537 13,99482 --1,26195 1,59037 2,51585 3,95926 14,97446 --1,26931 1,60892 2,57455 4,09783 16,02267 --1,27671 1,62769 2,63463 4,24126 17,14426 --1,28416 1,64668 2,69610 4,38970 18,34435 --1,29165 1,66589 2,75901 4,54334 19,62846 --1,29919 1,68533 2,82339 4,70236 21,00245 ---

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 2 (Continuación)

Del 15% y 16% anual

CÁLCULO DEL MONTO CON INTERÉS COMPUESTO Factor: (1 + i) n

Instrucciones: Cuando la capitalización es quincenal el estudiante tomará la columna 24 ; si es trimestral tomará la columna 4, etc. de la tasa anual dada. n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

15 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 1,00625 1,01250 1,02500 1,03750 1,07500 1,15000 1,01254 1,02516 1,05063 1,07641 1,15563 1,32250 1,01887 1,03797 1,07689 1,11677 1,24230 1,52088 1,02524 1,05095 1,10381 1,15865 1,33547 1,74901 1,03164 1,06408 1,13141 1,20210 1,43563 2,01136 1,03809 1,07738 1,15969 1,24718 1,54330 2,31306 1,04458 1,09085 1,18869 1,29395 1,65905 2,66002 1,05111 1,10449 1,21840 1,34247 1,78348 3,05902 1,05768 1,11829 1,24886 1,39281 1,91724 3,51788 1,06429 1,13227 1,28008 1,44504 2,06103 4,04556 1,07094 1,14642 1,31209 1,49923 2,21561 4,65239 1,07763 1,16075 1,34489 1,55545 2,38178 5,35025 1,08437 1,17526 1,37851 1,61378 2,56041 6,15279 1,09115 1,18995 1,41297 1,67430 2,75244 7,07571 1,09796 1,20483 1,44830 1,73709 2,95888 8,13706 1,10483 1,21989 1,48451 1,80223 3,18079 9,35762 1,11173 1,23514 1,52162 1,86981 3,41935 10,76126 1,11868 1,25058 1,55966 1,93993 3,67580 12,37545 1,12567 1,26621 1,55966 2,01268 3,95149 14,23177 1,13271 1,28204 1,63862 2,08815 4,24785 16,36654 1,13979 1,29806 1,67958 2,16646 4,56644 18,82152 1,14691 1,31429 1,72157 2,24770 4,90892 21,64475 1,15408 1,33072 1,76461 2,33199 5,27709 24,89146 1,16129 1,34735 1,80873 2,41944 5,67287 28,62518 1,16855 1,36419 1,85394 2,51017 6,09834 32,91895 1,17585 1,38125 1,90029 2,60430 6,55572 37,85680 1,18320 1,39851 1,94780 2,70196 7,04739 43,53531 1,19060 1,41599 1,99650 2,80328 7,57595 50,06561 1,19804 1,43369 2,04641 2,90841 8,14414 57,57545 1,20553 1,45161 2,09757 3,01747 8,75496 66,21177 1,21306 1,46976 2,15001 3,13063 9,41158 76,14354 1,22064 1,48813 2,20376 3,24803 10,11745 --1,22827 1,50673 2,25885 3,36983 10,87625 --1,23595 1,52557 2,31532 3,49619 11,69197 --1,24367 1,54464 2,37321 3,62730 12,56887 --1,25145 1,56394 2,43254 3,76333 13,51154 --1,25927 1,58349 2,49335 3,90445 14,52490 --1,26714 1,60329 2,55568 4,05087 15,61427 --1,27506 1,62333 2,61957 4,20277 16,78534 --1,28303 1,64362 2,68506 4,36038 18,04424 --1,29105 1,66416 2,75219 4,52389 19,39756 --1,29911 1,68497 2,82100 4,69354 20,85237 --1,30723 1,70603 2,89152 4,86955 22,41630 --1,31540 1,72735 2,96381 5,05215 24,09752 --1,32363 1,74895 3,03790 5,24161 25,90484 ---

z2 9 9 z

16 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 1,00667 1,01333 1,02667 1,04000 1,08000 1,16000 1,01338 1,02684 1,05404 1,08160 1,16640 1,34560 1,02013 1,04054 1,08215 1,12486 1,25971 1,56090 1,02693 1,05441 1,11101 1,16986 1,36049 1,81064 1,03378 1,06847 1,14064 1,21665 1,46933 2,10034 1,04067 1,08271 1,17105 1,26532 1,58687 2,43640 1,04761 1,09715 1,20228 1,31593 1,71382 2,82622 1,05459 1,11178 1,23434 1,36857 1,85093 3,27841 1,06163 1,12660 1,26726 1,42331 1,99900 3,80296 1,06870 1,14162 1,30105 1,48024 2,15892 4,41144 1,07583 1,15685 1,33575 1,53945 2,33164 5,11726 1,08300 1,17227 1,37137 1,60103 2,51817 5,93603 1,09022 1,18790 1,40794 1,66507 2,71962 6,88579 1,09749 1,20374 1,44548 1,73168 2,93719 7,98752 1,10480 1,21979 1,48403 1,80094 3,17217 9,26552 1,11217 1,23605 1,52360 1,87298 3,42594 10,74800 1,11958 1,25253 1,56423 1,94790 3,70002 12,46768 1,12705 1,26923 1,60594 2,02582 3,99602 14,46251 1,13456 1,28616 1,64877 2,10685 4,31570 16,77652 1,14213 1,30331 1,69274 2,19112 4,66096 19,46076 1,14974 1,32068 1,73788 2,27877 5,03383 22,57448 1,15740 1,33829 1,78422 2,36992 5,43654 26,18640 1,16512 1,35614 1,83180 2,46472 5,87146 30,37622 1,17289 1,37422 1,88065 2,56330 6,34118 35,23642 1,18071 1,39254 1,93080 2,66584 6,84848 40,87424 1,18858 1,41111 1,98228 2,77247 7,39635 47,41412 1,19650 1,42992 2,03515 2,88337 7,98806 55,00038 1,20448 1,44899 2,08942 2,99870 8,62711 63,80044 1,21251 1,46831 2,14513 3,11865 9,31727 74,00851 1,22059 1,48789 2,20234 3,24340 10,06266 --1,22873 1,50773 2,26107 3,37313 10,86767 --1,23692 1,52783 2,32136 3,50806 11,73708 --1,24517 1,54820 2,38326 3,64838 12,67605 --1,25347 1,56884 2,44682 3,79432 13,69013 --1,26182 1,58976 2,51207 3,94609 14,78534 --1,27024 1,61096 2,57906 4,10393 15,96817 --1,27871 1,63244 2,64783 4,26809 17,24563 --1,28723 1,65420 2,71844 4,43881 18,62528 --1,29581 1,67626 2,79093 4,61637 20,11530 --1,30445 1,69861 2,86536 4,80102 21,72452 --1,31315 1,72126 2,94176 4,99306 23,46248 --1,32190 1,74421 3,02021 5,19278 25,33948 --1,33071 1,76746 3,10075 5,40050 27,36664 --1,33959 1,79103 3,18344 5,61652 29,55597 --1,34852 1,81491 3,26833 5,84118 31,92045 ---

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 2 (Continuación)

Del 17% y 18% anual

CÁLCULO DEL MONTO CON INTERÉS COMPUESTO Factor: (1 + i) n

Instrucciones: Cuando la capitalización es quincenal el estudiante tomará la columna 24 ; si es trimestral tomará la columna 4, etc. de la tasa anual dada. n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

17 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 1,00708 1,01417 1,02833 1,04250 1,08500 1,17000 1,01422 1,02853 1,05747 1,08681 1,17723 1,36890 1,02140 1,04310 1,08743 1,13300 1,27729 1,60161 1,02864 1,05788 1,11824 1,18115 1,38586 1,87389 1,03592 1,07287 1,14993 1,23135 1,50366 2,19245 1,04326 1,08807 1,18251 1,28368 1,63147 2,56516 1,05065 1,10348 1,21601 1,33824 1,77014 3,00124 1,05809 1,11911 1,25046 1,39511 1,92060 3,51145 1,06559 1,13497 1,28589 1,45440 2,08386 4,10840 1,07313 1,15105 1,32233 1,51621 2,26098 4,80683 1,08074 1,16735 1,35979 1,58065 2,45317 5,62399 1,08839 1,18389 1,39832 1,64783 2,66169 6,58007 1,09610 1,20066 1,43794 1,71786 2,88793 7,69868 1,10386 1,21767 1,47868 1,79087 3,13340 9,00745 1,11168 1,23492 1,52058 1,86699 3,39974 10,53872 1,11956 1,25242 1,56366 1,94633 3,68872 12,33030 1,12749 1,27016 1,60796 2,02905 4,00226 14,42646 1,13547 1,28815 1,65352 2,11529 4,34245 16,87895 1,14352 1,30640 1,65352 2,20519 4,71156 19,74838 1,15162 1,32491 1,74855 2,29891 5,11205 23,10560 1,15977 1,34368 1,79809 2,39661 5,54657 27,03355 1,16799 1,36272 1,84904 2,49847 6,01803 31,62925 1,17626 1,38202 1,90143 2,60465 6,52956 37,00623 1,18459 1,40160 1,95530 2,71535 7,08457 43,29729 1,19299 1,42146 2,01070 2,83075 7,68676 50,65783 1,20144 1,44159 2,06767 2,95106 8,34014 59,26966 1,20995 1,46202 2,12626 3,07648 9,04905 69,34550 1,21852 1,48273 2,18650 3,20723 9,81822 81,13423 1,22715 1,50373 2,24845 3,34353 10,65277 --1,23584 1,52504 2,31216 3,48564 11,55825 --1,24459 1,54664 2,37767 3,63377 12,54070 --1,25341 1,56855 2,44504 3,78821 13,60666 --1,26229 1,59077 2,51431 3,94921 14,76323 --1,27123 1,61331 2,58555 4,11705 16,01810 --1,28023 1,63616 2,65881 4,29202 17,37964 --1,28930 1,65934 2,73414 4,47444 18,85691 --1,29843 1,68285 2,81161 4,66460 20,45975 --1,30763 1,70669 2,89127 4,86284 22,19883 --1,31689 1,73087 2,97319 5,06952 24,08573 --1,32622 1,75539 3,05743 5,28497 26,13302 --1,33562 1,78026 3,14406 5,50958 28,35432 --1,34508 1,80548 3,23314 5,74374 30,76444 --1,35460 1,83105 3,32474 5,98785 33,37942 --1,36420 1,85699 3,41895 6,24233 36,21667 --1,37386 1,88330 3,51582 6,5 0763 39,29508 ---

18 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 1,00750 1,01500 1,03000 1,04500 1,09000 1,18000 1,01506 1,03023 1,06090 1,09203 1,18810 1,39240 1,02267 1,04568 1,09273 1,14117 1,29503 1,64303 1,03034 1,06136 1,12551 1,19252 1,41158 1,93878 1,03807 1,07728 1,15927 1,24618 1,53862 2,28776 1,04585 1,09344 1,19405 1,30226 1,67710 2,69955 1,05370 1,10984 1,22987 1,36086 1,82804 3,18547 1,06160 1,12649 1,26677 1,42210 1,99256 3,75886 1,06956 1,14339 1,30477 1,48610 2,17189 4,43545 1,07758 1,16054 1,34392 1,55297 2,36736 5,23384 1,08566 1,17795 1,38423 1,62285 2,58043 6,17593 1,09381 1,19562 1,42576 1,69588 2,81266 7,28759 1,10201 1,21355 1,46853 1,77220 3,06580 8,59936 1,11028 1,23176 1,51259 1,85194 3,34173 10,14724 1,11860 1,25023 1,55797 1,93528 3,64248 11,97375 1,12699 1,26899 1,60471 2,02237 3,97031 14,12902 1,13544 1,28802 1,65285 2,11338 4,32763 16,67225 1,14396 1,30734 1,70243 2,20848 4,71712 19,67325 1,15254 1,32695 1,75351 2,30786 5,14166 23,21444 1,16118 1,34686 1,80611 2,41171 5,60441 27,39303 1,16989 1,36706 1,86029 2,52024 6,10881 32,32378 1,17867 1,38756 1,91610 2,63365 6,65860 38,14206 1,18751 1,40838 1,97359 2,75217 7,25787 45,00763 1,19641 1,42950 2,03279 2,87601 7,91108 53,10901 1,20539 1,45095 2,09378 3,00543 8,62308 62,66863 1,21443 1,47271 2,15659 3,14068 9,39916 73,94898 1,22354 1,49480 2,22129 3,28201 10,24508 --1,23271 1,51722 2,28793 3,42970 11,16714 --1,24196 1,53998 2,35657 3,58404 12,17218 --1,25127 1,56308 2,42726 3,74532 13,26768 --1,26066 1,58653 2,50008 3,91386 14,46177 --1,27011 1,61032 2,57508 4,08998 15,76333 --1,27964 1,63448 2,65234 4,27403 17,18203 --1,28923 1,65900 2,73191 4,46636 18,72841 --1,29890 1,68388 2,81386 4,66735 20,41397 --1,30865 1,70914 2,89828 4,87738 22,25123 --1,31846 1,73478 2,98523 5,09686 24,25384 --1,32835 1,76080 3,07478 5,32622 26,43668 --1,33831 1,78721 3,16703 5,56590 28,81598 --1,34835 1,81402 3,26204 5,81636 31,40942 --1,35846 1,84123 3,35990 6,07810 34,23627 --1,36865 1,86885 3,46070 6,35162 37,31753 --1,37891 1,89688 3,56452 6,63744 40,67611 --1,38926 1,92533 3,67145 6,93612 44,33696 --1,39968 1,95421 3,78160 7,24825 48,32729 ---

z3 0 0 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 2 (Continuación)

Del 19% y 20% anual

CÁLCULO DEL MONTO CON INTERÉS COMPUESTO Factor: (1 + i) n

Instrucciones: Cuando la capitalización es quincenal el estudiante tomará la columna 24 ; si es trimestral tomará la columna 4, etc. de la tasa anual dada. n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

19 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 1,00792 1,01583 1,03167 1,04750 1,09500 1,19000 1,01590 1,03192 1,06434 1,09726 1,19903 1,41610 1,02394 1,04826 1,09804 1,14938 1,31293 1,68516 1,03204 1,06485 1,13281 1,20397 1,43766 2,00534 1,04022 1,08171 1,16868 1,26116 1,57424 2,38635 1,04845 1,09884 1,20569 1,32107 1,72379 2,83976 1,05675 1,11624 1,24387 1,38382 1,88755 3,37932 1,06512 1,13391 1,28326 1,44955 2,06687 4,02139 1,07355 1,15187 1,32390 1,51840 2,26322 4,78545 1,08205 1,17010 1,36582 1,59052 2,47823 5,69468 1,09061 1,18863 1,40907 1,66607 2,71366 6,77667 1,09925 1,20745 1,45369 1,74521 2,97146 8,06424 1,10795 1,22657 1,49973 1,82811 3,25375 9,59645 1,11672 1,24599 1,54722 1,91495 3,56285 11,41977 1,12556 1,26572 1,59621 2,00591 3,90132 13,58953 1,13447 1,28576 1,64676 2,10119 4,27195 16,17154 1,14345 1,30612 1,69891 2,20099 4,67778 19,24413 1,15251 1,32680 1,75271 2,30554 5,12217 22,90052 1,16163 1,34780 1,75271 2,41505 5,60878 27,25162 1,17083 1,36914 1,86547 2,52977 6,14161 32,42942 1,18010 1,39082 1,92454 2,64993 6,72507 38,59101 1,18944 1,41284 1,98549 2,77580 7,36395 45,92331 1,19885 1,43521 2,04836 2,90765 8,06352 54,64873 1,20835 1,45794 2,11322 3,04577 8,82956 65,03199 1,21791 1,48102 2,18014 3,19044 9,66836 77,38807 1,22755 1,50447 2,24918 3,34199 10,58686 --1,23727 1,52829 2,32040 3,50073 11,59261 --1,24707 1,55249 2,39388 3,66702 12,69391 --1,25694 1,57707 2,46969 3,84120 13,89983 --1,26689 1,60204 2,54790 4,02366 15,22031 --1,27692 1,62741 2,62858 4,21478 16,66624 --1,28703 1,65317 2,71182 4,41498 18,24954 --1,29722 1,67935 2,79769 4,62469 19,98324 --1,30749 1,70594 2,88629 4,84437 21,88165 --1,31784 1,73295 2,97769 5,07447 23,96041 --1,32827 1,76039 3,07198 5,31551 26,23664 --1,33879 1,78826 3,16926 5,56800 28,72913 --1,34938 1,81658 3,26962 5,83248 31,45839 --1,36007 1,84534 3,37316 6,10952 34,44694 --1,37083 1,87456 3,47997 6,39972 37,71940 --1,38169 1,90424 3,59017 6,70371 41,30274 --1,39263 1,93439 3,70386 7,02214 45,22650 --1,40365 1,96501 3,82115 7,35569 49,52302 --1,41476 1,99613 3,94215 7,70508 54,22771 --1,42596 2,02773 4,06699 8,07108 59,37934 ---

z3 0 1 z

20 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 1,00833 1,01667 1,03333 1,05000 1,10000 1,20000 1,01674 1,03361 1,06778 1,10250 1,21000 1,44000 1,02521 1,05084 1,10337 1,15763 1,33100 1,72800 1,03375 1,06835 1,14015 1,21551 1,46410 2,07360 1,04237 1,08616 1,17815 1,27628 1,61051 2,48832 1,05105 1,10426 1,21743 1,34010 1,77156 2,98598 1,05981 1,12266 1,25801 1,40710 1,94872 3,58318 1,06864 1,14138 1,29994 1,47746 2,14359 4,29982 1,07755 1,16040 1,34327 1,55133 2,35795 5,15978 1,08653 1,17974 1,38805 1,62889 2,59374 6,19174 1,09558 1,19940 1,43432 1,71034 2,85312 7,43008 1,10471 1,21939 1,48213 1,79586 3,13843 8,91610 1,11392 1,23971 1,53153 1,88565 3,45227 10,69932 1,12320 1,26038 1,58258 1,97993 3,79750 12,83918 1,13256 1,28138 1,63533 2,07893 4,17725 15,40702 1,14200 1,30274 1,68985 2,18287 4,59497 18,48843 1,15152 1,32445 1,74617 2,29202 5,05447 22,18611 1,16111 1,34653 1,80438 2,40662 5,55992 26,62333 1,17079 1,36897 1,86453 2,52695 6,11591 31,94800 1,18054 1,39178 1,92668 2,65330 6,72750 38,33760 1,19038 1,41498 1,99090 2,78596 7,40025 46,00512 1,20030 1,43856 2,05726 2,92526 8,14027 55,20614 1,21031 1,46254 2,12584 3,07152 8,95430 66,24737 1,22039 1,48691 2,19670 3,22510 9,84973 79,49685 1,23056 1,51170 2,26992 3,38635 10,83471 --1,24082 1,53689 2,34559 3,55567 11,91818 --1,25116 1,56251 2,42377 3,73346 13,10999 --1,26158 1,58855 2,50456 3,92013 14,42099 --1,27210 1,61502 2,58805 4,11614 15,86309 --1,28270 1,64194 2,67432 4,32194 17,44940 --1,29339 1,66931 2,76346 4,53804 19,19434 --1,30416 1,69713 2,85558 4,76494 21,11378 --1,31503 1,72541 2,95076 5,00319 23,22515 --1,32599 1,75417 3,04912 5,25335 25,54767 --1,33704 1,78341 3,15076 5,51602 28,10244 --1,34818 1,81313 3,25579 5,79182 30,91268 --1,35942 1,84335 3,36431 6,08141 34,00395 --1,37075 1,87407 3,47646 6,38548 37,40434 --1,38217 1,90531 3,59234 6,70475 41,14478 --1,39369 1,93706 3,71208 7,03999 45,25926 --1,40530 1,96935 3,83582 7,39199 49,78518 --1,41701 2,00217 3,96368 7,76159 54,76370 --1,42882 2,03554 4,09580 8,14967 60,24007 --1,44073 2,06946 4,23233 8,55715 66,26408 --1,45273 2,10395 4,37341 8,98501 72,89048 ---

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 3

Del 5% y 6% anual

CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL CON DESCUENTO COMPUESTO Factor: (1 – d) n

Instrucciones: Cuando la capitalización es quincenal el estudiante tomará la columna 24; si es trimestral tomará la columna 4, etc. de la tasa anual dada. n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

5 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 0,99792 0,99583 0,99167 0,98750 0,97500 0,95000 0,99584 0,99168 0,98340 0,97516 0,95063 0,90250 0,99376 0,98755 0,97521 0,96297 0,92686 0,85738 0,99169 0,98344 0,96708 0,95093 0,90369 0,81451 0,98963 0,97934 0,95902 0,93904 0,88110 0,77378 0,98756 0,97526 0,95103 0,92731 0,85907 0,73509 0,98551 0,97120 0,94310 0,91571 0,83759 0,69834 0,98345 0,96715 0,93525 0,90427 0,81665 0,66342 0,98141 0,96312 0,92745 0,89296 0,79624 0,63025 0,97936 0,95911 0,91972 0,88180 0,77633 0,59874 0,97732 0,95511 0,91206 0,87078 0,75692 0,56880 0,97528 0,95113 0,90446 0,85989 0,73800 0,54036 0,97325 0,94717 0,89692 0,84915 0,71955 0,51334 0,97123 0,94322 0,88945 0,83853 0,70156 0,48767 0,96920 0,93929 0,88203 0,82805 0,68402 0,46329 0,96718 0,93538 0,87468 0,81770 0,66692 0,44013 0,96517 0,93148 0,86740 0,80748 0,65025 0,41812 0,96316 0,92760 0,86017 0,79738 0,63399 0,39721 0,96115 0,92373 0,85300 0,78742 0,61814 0,37735 0,95915 0,91988 0,84589 0,77757 0,60269 0,35849 0,95715 0,91605 0,83884 0,76785 0,58762 0,34056 0,95516 0,91223 0,83185 0,75826 0,57293 0,32353 0,95317 0,90843 0,82492 0,74878 0,55861 0,30736 0,95118 0,90465 0,81804 0,73942 0,54464 0,29199 0,94920 0,90088 0,81123 0,73018 0,53103 0,27739 0,94722 0,89713 0,80447 0,72105 0,51775 0,26352 0,94525 0,89339 0,79776 0,71204 0,50481 0,25034 0,94328 0,88966 0,79112 0,70314 0,49219 0,23783 0,94131 0,88596 0,78452 0,69435 0,47988 0,22594 0,93935 0,88227 0,77799 0,68567 0,46788 0,21464 0,93739 0,87859 0,77150 0,67710 0,45619 0,20391 0,93544 0,87493 0,76507 0,66863 0,44478 0,19371 0,93349 0,87128 0,75870 0,66027 0,43366 0,18403 0,93155 0,86765 0,75237 0,65202 0,42282 0,17482 0,92961 0,86404 0,74611 0,64387 0,41225 0,16608 0,92767 0,86044 0,73989 0,63582 0,40194 0,15778 0,92574 0,85685 0,73372 0,62787 0,39190 0,14989 0,92381 0,85328 0,72761 0,62003 0,38210 0,14240 0,92189 0,84973 0,72154 0,61228 0,37255 0,13528 0,91996 0,84619 0,71553 0,60462 0,36323 0,12851 0,91805 0,84266 0,70957 0,59706 0,35415 0,12209 0,91614 0,83915 0,70366 0,58960 0,34530 0,11598 0,91423 0,83565 0,69779 0,58223 0,33667 0,11018 0,91232 0,83217 0,69198 0,57495 0,32825 0,10467 0,91042 0,82870 0,68621 0,56777 0,32004 0,09944

6 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 0,99750 0,99500 0,99000 0,98500 0,97000 0,94000 0,99501 0,99003 0,98010 0,97023 0,94090 0,88360 0,99252 0,98507 0,97030 0,95567 0,91267 0,83058 0,99004 0,98015 0,96060 0,94134 0,88529 0,78075 0,98756 0,97525 0,95099 0,92722 0,85873 0,73390 0,98509 0,97037 0,94148 0,91331 0,83297 0,68987 0,98263 0,96552 0,93207 0,89961 0,80798 0,64848 0,98017 0,96069 0,92274 0,88611 0,78374 0,60957 0,97772 0,95589 0,91352 0,87282 0,76023 0,57299 0,97528 0,95111 0,90438 0,85973 0,73742 0,53862 0,97284 0,94635 0,89534 0,84683 0,71530 0,50630 0,97041 0,94162 0,88638 0,83413 0,69384 0,47592 0,96798 0,93691 0,87752 0,82162 0,67303 0,44737 0,96556 0,93223 0,86875 0,80930 0,65284 0,42052 0,96315 0,92757 0,86006 0,79716 0,63325 0,39529 0,96074 0,92293 0,85146 0,78520 0,61425 0,37157 0,95834 0,91832 0,84294 0,77342 0,59583 0,34928 0,95594 0,91372 0,83451 0,76182 0,57795 0,32832 0,95355 0,90916 0,82617 0,75039 0,56061 0,30862 0,95117 0,90461 0,81791 0,73914 0,54379 0,29011 0,94879 0,90009 0,80973 0,72805 0,52748 0,27270 0,94642 0,89559 0,80163 0,71713 0,51166 0,25634 0,94405 0,89111 0,79361 0,70637 0,49631 0,24096 0,94169 0,88665 0,78568 0,69578 0,48142 0,22650 0,93934 0,88222 0,77782 0,68534 0,46697 0,21291 0,93699 0,87781 0,77004 0,67506 0,45297 0,20014 0,93465 0,87342 0,76234 0,66493 0,43938 0,18813 0,93231 0,86905 0,75472 0,65496 0,42620 0,17684 0,92998 0,86471 0,74717 0,64514 0,41341 0,16623 0,92766 0,86038 0,73970 0,63546 0,40101 0,15626 0,92534 0,85608 0,73230 0,62593 0,38898 0,14688 0,92302 0,85180 0,72498 0,61654 0,37731 0,13807 0,92072 0,84754 0,71773 0,60729 0,36599 0,12978 0,91841 0,84331 0,71055 0,59818 0,35501 0,12200 0,91612 0,83909 0,70345 0,58921 0,34436 0,11468 0,91383 0,83489 0,69641 0,58037 0,33403 0,10780 0,91154 0,83072 0,68945 0,57166 0,32401 0,10133 0,90926 0,82657 0,68255 0,56309 0,31429 0,09525 0,90699 0,82243 0,67573 0,55464 0,30486 0,08953 0,90472 0,81832 0,66897 0,54632 0,29571 0,08416 0,90246 0,81423 0,66228 0,53813 0,28684 0,07911 0,90021 0,81016 0,65566 0,53006 0,27824 0,07437 0,89796 0,80611 0,64910 0,52211 0,26989 0,06990 0,89571 0,80208 0,64261 0,51427 0,26179 0,06571 0,89347 0,79807 0,63619 0,50656 0,25394 0,06177

z3 0 2 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 3 (Continuación)

Del 7% y 8% anual

CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL CON DESCUENTO COMPUESTO Factor: (1 – d) n

Instrucciones: Cuando la capitalización es quincenal el estudiante tomará la columna 24; si es trimestral tomará la columna 4, etc. de la tasa anual dada. n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

7 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 0,99708 0,99417 0,98833 0,98250 0,96500 0,93000 0,99418 0,98837 0,97680 0,96531 0,93123 0,86490 0,99128 0,98260 0,96541 0,94841 0,89863 0,80436 0,98838 0,97687 0,95414 0,93182 0,86718 0,74805 0,98550 0,97117 0,94301 0,91551 0,83683 0,69569 0,98263 0,96551 0,93201 0,89949 0,80754 0,64699 0,97976 0,95987 0,92114 0,88375 0,77928 0,60170 0,97690 0,95428 0,91039 0,86828 0,75200 0,55958 0,97405 0,94871 0,89977 0,85309 0,72568 0,52041 0,97121 0,94317 0,88927 0,83816 0,70028 0,48398 0,96838 0,93767 0,87890 0,82349 0,67577 0,45010 0,96556 0,93220 0,86864 0,80908 0,65212 0,41860 0,96274 0,92676 0,85851 0,79492 0,62930 0,38929 0,95993 0,92136 0,84849 0,78101 0,60727 0,36204 0,95713 0,91598 0,83859 0,76734 0,58602 0,33670 0,95434 0,91064 0,82881 0,75391 0,56551 0,31313 0,95156 0,90533 0,81914 0,74072 0,54571 0,29121 0,94878 0,90005 0,80958 0,72776 0,52661 0,27083 0,94601 0,89480 0,80014 0,71502 0,50818 0,25187 0,94326 0,88958 0,79080 0,70251 0,49040 0,23424 0,94050 0,88439 0,78158 0,69021 0,47323 0,21784 0,93776 0,87923 0,77246 0,67814 0,45667 0,20259 0,93503 0,87410 0,76345 0,66627 0,44068 0,18841 0,93230 0,86900 0,75454 0,65461 0,42526 0,17522 0,92958 0,86393 0,74574 0,64315 0,41038 0,16296 0,92687 0,85889 0,73704 0,63190 0,39601 0,15155 0,92416 0,85388 0,72844 0,62084 0,38215 0,14094 0,92147 0,84890 0,71994 0,60997 0,36878 0,13108 0,91878 0,84395 0,71154 0,59930 0,35587 0,12190 0,91610 0,83903 0,70324 0,58881 0,34342 0,11337 0,91343 0,83413 0,69504 0,57851 0,33140 0,10543 0,91077 0,82927 0,68693 0,56838 0,31980 0,09805 0,90811 0,82443 0,67891 0,55844 0,30860 0,09119 0,90546 0,81962 0,67099 0,54866 0,29780 0,08480 0,90282 0,81484 0,66316 0,53906 0,28738 0,07887 0,90019 0,81009 0,65543 0,52963 0,27732 0,07335 0,89756 0,80536 0,64778 0,52036 0,26762 0,06821 0,89494 0,80066 0,64022 0,51125 0,25825 0,06344 0,89233 0,79599 0,63275 0,50231 0,24921 0,05900 0,88973 0,79135 0,62537 0,49352 0,24049 0,05487 0,88714 0,78673 0,61807 0,48488 0,23207 0,05103 0,88455 0,78214 0,61086 0,47640 0,22395 0,04746 0,88197 0,77758 0,60374 0,46806 0,21611 0,04413 0,87940 0,77304 0,59669 0,45987 0,20855 0,04104 0,87683 0,76854 0,58973 0,45182 0,20125 0,03817

z3 0 3 z

8 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 0,99667 0,99333 0,98667 0,98000 0,96000 0,92000 0,99334 0,98671 0,97351 0,96040 0,92160 0,84640 0,99003 0,98013 0,96053 0,94119 0,88474 0,77869 0,98673 0,97360 0,94772 0,92237 0,84935 0,71639 0,98344 0,96711 0,93509 0,90392 0,81537 0,65908 0,98017 0,96066 0,92262 0,88584 0,78276 0,60636 0,97690 0,95426 0,91032 0,86813 0,75145 0,55785 0,97364 0,94789 0,89818 0,85076 0,72139 0,51322 0,97040 0,94158 0,88620 0,83375 0,69253 0,47216 0,96716 0,93530 0,87439 0,81707 0,66483 0,43439 0,96394 0,92906 0,86273 0,80073 0,63824 0,39964 0,96073 0,92287 0,85123 0,78472 0,61271 0,36767 0,95752 0,91672 0,83988 0,76902 0,58820 0,33825 0,95433 0,91061 0,82868 0,75364 0,56467 0,31119 0,95115 0,90453 0,81763 0,73857 0,54209 0,28630 0,94798 0,89850 0,80673 0,72380 0,52040 0,26339 0,94482 0,89251 0,79597 0,70932 0,49959 0,24232 0,94167 0,88656 0,78536 0,69514 0,47960 0,22294 0,93853 0,88065 0,77489 0,68123 0,46042 0,20510 0,93540 0,87478 0,76456 0,66761 0,44200 0,18869 0,93228 0,86895 0,75436 0,65426 0,42432 0,17360 0,92918 0,86316 0,74430 0,64117 0,40735 0,15971 0,92608 0,85740 0,73438 0,62835 0,39106 0,14693 0,92299 0,85169 0,72459 0,61578 0,37541 0,13518 0,91992 0,84601 0,71493 0,60346 0,36040 0,12436 0,91685 0,84037 0,70539 0,59140 0,34598 0,11442 0,91379 0,83477 0,69599 0,57957 0,33214 0,10526 0,91075 0,82920 0,68671 0,56798 0,31886 0,09684 0,90771 0,82367 0,67755 0,55662 0,30610 0,08909 0,90469 0,81818 0,66852 0,54548 0,29386 0,08197 0,90167 0,81273 0,65961 0,53457 0,28210 0,07541 0,89867 0,80731 0,65081 0,52388 0,27082 0,06938 0,89567 0,80193 0,64213 0,51341 0,25999 0,06383 0,89268 0,79658 0,63357 0,50314 0,24959 0,05872 0,88971 0,79127 0,62512 0,49307 0,23960 0,05402 0,88674 0,78600 0,61679 0,48321 0,23002 0,04970 0,88379 0,78076 0,60856 0,47355 0,22082 0,04572 0,88084 0,77555 0,60045 0,46408 0,21199 0,04207 0,87790 0,77038 0,59244 0,45480 0,20351 0,03870 0,87498 0,76524 0,58455 0,44570 0,19537 0,03561 0,87206 0,76014 0,57675 0,43679 0,18755 0,03276 0,86915 0,75508 0,56906 0,42805 0,18005 0,03014 0,86626 0,75004 0,56147 0,41949 0,17285 0,02773 0,86337 0,74504 0,55399 0,41110 0,16593 0,02551 0,86049 0,74007 0,54660 0,40288 0,15930 0,02347

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 3 (Continuación)

Del 9% y 10% anual

CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL CON DESCUENTO COMPUESTO Factor: (1 – d) n

Instrucciones: Cuando la capitalización es quincenal el estudiante tomará la columna 24; si es trimestral tomará la columna 4, etc. de la tasa anual dada. n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

9 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 0,99625 0,99250 0,98500 0,97750 0,95500 0,91000 0,99251 0,98506 0,97023 0,95551 0,91203 0,82810 0,98879 0,97767 0,95567 0,93401 0,87098 0,75357 0,98508 0,97034 0,94134 0,91299 0,83179 0,68575 0,98139 0,96306 0,92722 0,89245 0,79436 0,62403 0,97771 0,95584 0,91331 0,87237 0,75861 0,56787 0,97404 0,94867 0,89961 0,85274 0,72448 0,51676 0,97039 0,94155 0,88611 0,83355 0,69187 0,47025 0,96675 0,93449 0,87282 0,81480 0,66074 0,42793 0,96313 0,92748 0,85973 0,79647 0,63101 0,38942 0,95951 0,92053 0,84683 0,77855 0,60261 0,35437 0,95592 0,91362 0,83413 0,76103 0,57549 0,32248 0,95233 0,90677 0,82162 0,74391 0,54960 0,29345 0,94876 0,89997 0,80930 0,72717 0,52486 0,26704 0,94520 0,89322 0,79716 0,71081 0,50125 0,24301 0,94166 0,88652 0,78520 0,69481 0,47869 0,22114 0,93813 0,87987 0,77342 0,67918 0,45715 0,20124 0,93461 0,87327 0,76182 0,66390 0,43658 0,18312 0,93110 0,86672 0,75039 0,64896 0,41693 0,16664 0,92761 0,86022 0,73914 0,63436 0,39817 0,15164 0,92413 0,85377 0,72805 0,62009 0,38025 0,13800 0,92067 0,84737 0,71713 0,60613 0,36314 0,12558 0,91722 0,84101 0,70637 0,59250 0,34680 0,11428 0,91378 0,83470 0,69578 0,57917 0,33119 0,10399 0,91035 0,82844 0,68534 0,56613 0,31629 0,09463 0,90694 0,82223 0,67506 0,55340 0,30206 0,08611 0,90354 0,81606 0,66493 0,54094 0,28846 0,07836 0,90015 0,80994 0,65496 0,52877 0,27548 0,07131 0,89677 0,80387 0,64514 0,51688 0,26309 0,06489 0,89341 0,79784 0,63546 0,50525 0,25125 0,05905 0,89006 0,79186 0,62593 0,49388 0,23994 0,05374 0,88672 0,78592 0,61654 0,48277 0,22914 0,04890 0,88340 0,78002 0,60729 0,47190 0,21883 0,04450 0,88008 0,77417 0,59818 0,46129 0,20898 0,04050 0,87678 0,76837 0,58921 0,45091 0,19958 0,03685 0,87349 0,76260 0,58037 0,44076 0,19060 0,03353 0,87022 0,75688 0,57166 0,43084 0,18202 0,03052 0,86696 0,75121 0,56309 0,42115 0,17383 0,02777 0,86370 0,74557 0,55464 0,41167 0,16601 0,02527 0,86047 0,73998 0,54632 0,40241 0,15854 0,02300 0,85724 0,73443 0,53813 0,39336 0,15140 0,02093 0,85402 0,72892 0,53006 0,38451 0,14459 0,01904 0,85082 0,72346 0,52211 0,37586 0,13808 0,01733 0,84763 0,71803 0,51427 0,36740 0,13187 0,01577 0,84445 0,71264 0,50656 0,35913 0,12594 0,01435

z3 0 4 z

10 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 0,99583 0,99167 0,98333 0,97500 0,95000 0,90000 0,99168 0,98340 0,96694 0,95063 0,90250 0,81000 0,98755 0,97521 0,95083 0,92686 0,85738 0,72900 0,98344 0,96708 0,93498 0,90369 0,81451 0,65610 0,97934 0,95902 0,91940 0,88110 0,77378 0,59049 0,97526 0,95103 0,90408 0,85907 0,73509 0,53144 0,97120 0,94310 0,88901 0,83759 0,69834 0,47830 0,96715 0,93525 0,87419 0,81665 0,66342 0,43047 0,96312 0,92745 0,85962 0,79624 0,63025 0,38742 0,95911 0,91972 0,84529 0,77633 0,59874 0,34868 0,95511 0,91206 0,83121 0,75692 0,56880 0,31381 0,95113 0,90446 0,81735 0,73800 0,54036 0,28243 0,94717 0,89692 0,80373 0,71955 0,51334 0,25419 0,94322 0,88945 0,79033 0,70156 0,48767 0,22877 0,93929 0,88203 0,77716 0,68402 0,46329 0,20589 0,93538 0,87468 0,76421 0,66692 0,44013 0,18530 0,93148 0,86740 0,75147 0,65025 0,41812 0,16677 0,92760 0,86017 0,73895 0,63399 0,39721 0,15009 0,92373 0,85300 0,72663 0,61814 0,37735 0,13509 0,91988 0,84589 0,71452 0,60269 0,35849 0,12158 0,91605 0,83884 0,70261 0,58762 0,34056 0,10942 0,91223 0,83185 0,69090 0,57293 0,32353 0,09848 0,90843 0,82492 0,67939 0,55861 0,30736 0,08863 0,90465 0,81804 0,66806 0,54464 0,29199 0,07977 0,90088 0,81123 0,65693 0,53103 0,27739 0,07179 0,89713 0,80447 0,64598 0,51775 0,26352 0,06461 0,89339 0,79776 0,63521 0,50481 0,25034 0,05815 0,88966 0,79112 0,62463 0,49219 0,23783 0,05233 0,88596 0,78452 0,61422 0,47988 0,22594 0,04710 0,88227 0,77799 0,60398 0,46788 0,21464 0,04239 0,87859 0,77150 0,59391 0,45619 0,20391 0,03815 0,87493 0,76507 0,58402 0,44478 0,19371 0,03434 0,87128 0,75870 0,57428 0,43366 0,18403 0,03090 0,86765 0,75237 0,56471 0,42282 0,17482 0,02781 0,86404 0,74611 0,55530 0,41225 0,16608 0,02503 0,86044 0,73989 0,54604 0,40194 0,15778 0,02253 0,85685 0,73372 0,53694 0,39190 0,14989 0,02028 0,85328 0,72761 0,52799 0,38210 0,14240 0,01825 0,84973 0,72154 0,51919 0,37255 0,13528 0,01642 0,84619 0,71553 0,51054 0,36323 0,12851 0,01478 0,84266 0,70957 0,50203 0,35415 0,12209 0,01330 0,83915 0,70366 0,49366 0,34530 0,11598 0,01197 0,83565 0,69779 0,48544 0,33667 0,11018 0,01078 0,83217 0,69198 0,47735 0,32825 0,10467 0,00970 0,82870 0,68621 0,46939 0,32004 0,09944 0,00873

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 3 (Continuación)

Del 11% y 12% anual

CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL CON DESCUENTO COMPUESTO Factor: (1 – d) n

Instrucciones: Cuando la capitalización es quincenal el estudiante tomará la columna 24; si es trimestral tomará la columna 4, etc. de la tasa anual dada. n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

11 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 0,99542 0,99083 0,98167 0,97250 0,94500 0,89000 0,99085 0,98175 0,96367 0,94576 0,89303 0,79210 0,98631 0,97275 0,94600 0,91975 0,84391 0,70497 0,98179 0,96383 0,92866 0,89445 0,79749 0,62742 0,97729 0,95500 0,91163 0,86986 0,75363 0,55841 0,97281 0,94625 0,89492 0,84594 0,71218 0,49698 0,96835 0,93757 0,87851 0,82267 0,67301 0,44231 0,96392 0,92898 0,86241 0,80005 0,63600 0,39366 0,95950 0,92046 0,84660 0,77805 0,60102 0,35036 0,95510 0,91202 0,83108 0,75665 0,56796 0,31182 0,95072 0,90366 0,81584 0,73584 0,53672 0,27752 0,94637 0,89538 0,80088 0,71561 0,50720 0,24699 0,94203 0,88717 0,78620 0,69593 0,47931 0,21982 0,93771 0,87904 0,77179 0,67679 0,45294 0,19564 0,93341 0,87098 0,75764 0,65818 0,42803 0,17412 0,92913 0,86300 0,74375 0,64008 0,40449 0,15497 0,92488 0,85509 0,73011 0,62248 0,38224 0,13792 0,92064 0,84725 0,71673 0,60536 0,36122 0,12275 0,91642 0,83948 0,70359 0,58871 0,34135 0,10925 0,91222 0,83179 0,69069 0,57252 0,32258 0,09723 0,90804 0,82416 0,67802 0,55678 0,30484 0,08653 0,90387 0,81661 0,66559 0,54147 0,28807 0,07702 0,89973 0,80912 0,65339 0,52658 0,27223 0,06854 0,89561 0,80171 0,64141 0,51210 0,25725 0,06100 0,89150 0,79436 0,62965 0,49801 0,24311 0,05429 0,88742 0,78707 0,61811 0,48432 0,22973 0,04832 0,88335 0,77986 0,60678 0,47100 0,21710 0,04301 0,87930 0,77271 0,59565 0,45805 0,20516 0,03828 0,87527 0,76563 0,58473 0,44545 0,19388 0,03407 0,87126 0,75861 0,57401 0,43320 0,18321 0,03032 0,86727 0,75166 0,56349 0,42129 0,17314 0,02698 0,86329 0,74477 0,55316 0,40970 0,16361 0,02401 0,85933 0,73794 0,54302 0,39843 0,15461 0,02137 0,85540 0,73117 0,53306 0,38748 0,14611 0,01902 0,85147 0,72447 0,52329 0,37682 0,13807 0,01693 0,84757 0,71783 0,51370 0,36646 0,13048 0,01507 0,84369 0,71125 0,50428 0,35638 0,12330 0,01341 0,83982 0,70473 0,49503 0,34658 0,11652 0,01193 0,83597 0,69827 0,48596 0,33705 0,11011 0,01062 0,83214 0,69187 0,47705 0,32778 0,10406 0,00945 0,82833 0,68553 0,46830 0,31877 0,09833 0,00841 0,82453 0,67924 0,45972 0,31000 0,09293 0,00749 0,82075 0,67302 0,45129 0,30148 0,08781 0,00666 0,81699 0,66685 0,44301 0,29319 0,08298 0,00593 0,81324 0,66074 0,43489 0,28512 0,07842 0,00528

z3 0 5 z

12 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 0,99500 0,99000 0,98000 0,97000 0,94000 0,88000 0,99003 0,98010 0,96040 0,94090 0,88360 0,77440 0,98507 0,97030 0,94119 0,91267 0,83058 0,68147 0,98015 0,96060 0,92237 0,88529 0,78075 0,59970 0,97525 0,95099 0,90392 0,85873 0,73390 0,52773 0,97037 0,94148 0,88584 0,83297 0,68987 0,46440 0,96552 0,93207 0,86813 0,80798 0,64848 0,40868 0,96069 0,92274 0,85076 0,78374 0,60957 0,35963 0,95589 0,91352 0,83375 0,76023 0,57299 0,31648 0,95111 0,90438 0,81707 0,73742 0,53862 0,27850 0,94635 0,89534 0,80073 0,71530 0,50630 0,24508 0,94162 0,88638 0,78472 0,69384 0,47592 0,21567 0,93691 0,87752 0,76902 0,67303 0,44737 0,18979 0,93223 0,86875 0,75364 0,65284 0,42052 0,16702 0,92757 0,86006 0,73857 0,63325 0,39529 0,14697 0,92293 0,85146 0,72380 0,61425 0,37157 0,12934 0,91832 0,84294 0,70932 0,59583 0,34928 0,11382 0,91372 0,83451 0,69514 0,57795 0,32832 0,10016 0,90916 0,82617 0,68123 0,56061 0,30862 0,08814 0,90461 0,81791 0,66761 0,54379 0,29011 0,07756 0,90009 0,80973 0,65426 0,52748 0,27270 0,06826 0,89559 0,80163 0,64117 0,51166 0,25634 0,06006 0,89111 0,79361 0,62835 0,49631 0,24096 0,05286 0,88665 0,78568 0,61578 0,48142 0,22650 0,04651 0,88222 0,77782 0,60346 0,46697 0,21291 0,04093 0,87781 0,77004 0,59140 0,45297 0,20014 0,03602 0,87342 0,76234 0,57957 0,43938 0,18813 0,03170 0,86905 0,75472 0,56798 0,42620 0,17684 0,02789 0,86471 0,74717 0,55662 0,41341 0,16623 0,02455 0,86038 0,73970 0,54548 0,40101 0,15626 0,02160 0,85608 0,73230 0,53457 0,38898 0,14688 0,01901 0,85180 0,72498 0,52388 0,37731 0,13807 0,01673 0,84754 0,71773 0,51341 0,36599 0,12978 0,01472 0,84331 0,71055 0,50314 0,35501 0,12200 0,01295 0,83909 0,70345 0,49307 0,34436 0,11468 0,01140 0,83489 0,69641 0,48321 0,33403 0,10780 0,01003 0,83072 0,68945 0,47355 0,32401 0,10133 0,00883 0,82657 0,68255 0,46408 0,31429 0,09525 0,00777 0,82243 0,67573 0,45480 0,30486 0,08953 0,00684 0,81832 0,66897 0,44570 0,29571 0,08416 0,00602 0,81423 0,66228 0,43679 0,28684 0,07911 0,00529 0,81016 0,65566 0,42805 0,27824 0,07437 0,00466 0,80611 0,64910 0,41949 0,26989 0,06990 0,00410 0,80208 0,64261 0,41110 0,26179 0,06571 0,00361 0,79807 0,63619 0,40288 0,25394 0,06177 0,00317

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 3 (Continuación)

Del 13% y 14% anual

CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL CON DESCUENTO COMPUESTO Factor: (1 – d) n

Instrucciones: Cuando la capitalización es quincenal el estudiante tomará la columna 24; si es trimestral tomará la columna 4, etc. de la tasa anual dada. n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

13 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 0,99458 0,98917 0,97833 0,96750 0,93500 0,87000 0,98920 0,97845 0,95714 0,93606 0,87423 0,75690 0,98384 0,96785 0,93640 0,90563 0,81740 0,65850 0,97851 0,95737 0,91611 0,87620 0,76427 0,57290 0,97321 0,94699 0,89626 0,84772 0,71459 0,49842 0,96794 0,93674 0,87684 0,82017 0,66814 0,43363 0,96269 0,92659 0,85784 0,79352 0,62471 0,37725 0,95748 0,91655 0,83926 0,76773 0,58411 0,32821 0,95229 0,90662 0,82107 0,74278 0,54614 0,28554 0,94713 0,89680 0,80328 0,71864 0,51064 0,24842 0,94200 0,88708 0,78588 0,69528 0,47745 0,21613 0,93690 0,87747 0,76885 0,67268 0,44642 0,18803 0,93183 0,86797 0,75219 0,65082 0,41740 0,16359 0,92678 0,85856 0,73590 0,62967 0,39027 0,14232 0,92176 0,84926 0,71995 0,60921 0,36490 0,12382 0,91677 0,84006 0,70435 0,58941 0,34118 0,10772 0,91180 0,83096 0,68909 0,57025 0,31900 0,09372 0,90686 0,82196 0,67416 0,55172 0,29827 0,08154 0,90195 0,81306 0,65955 0,53379 0,27888 0,07094 0,89706 0,80425 0,64526 0,51644 0,26075 0,06171 0,89221 0,79553 0,63128 0,49966 0,24381 0,05369 0,88737 0,78692 0,61760 0,48342 0,22796 0,04671 0,88257 0,77839 0,60422 0,46771 0,21314 0,04064 0,87779 0,76996 0,59113 0,45250 0,19929 0,03536 0,87303 0,76162 0,57832 0,43780 0,18633 0,03076 0,86830 0,75337 0,56579 0,42357 0,17422 0,02676 0,86360 0,74521 0,55353 0,40980 0,16290 0,02328 0,85892 0,73713 0,54154 0,39649 0,15231 0,02026 0,85427 0,72915 0,52981 0,38360 0,14241 0,01762 0,84964 0,72125 0,51833 0,37113 0,13315 0,01533 0,84504 0,71343 0,50710 0,35907 0,12450 0,01334 0,84046 0,70570 0,49611 0,34740 0,11640 0,01160 0,83591 0,69806 0,48536 0,33611 0,10884 0,01010 0,83138 0,69050 0,47485 0,32519 0,10176 0,00878 0,82688 0,68302 0,46456 0,31462 0,09515 0,00764 0,82240 0,67562 0,45449 0,30439 0,08896 0,00665 0,81794 0,66830 0,44465 0,29450 0,08318 0,00578 0,81351 0,66106 0,43501 0,28493 0,07778 0,00503 0,80911 0,65390 0,42559 0,27567 0,07272 0,00438 0,80472 0,64681 0,41636 0,26671 0,06799 0,00381 0,80037 0,63981 0,40734 0,25804 0,06357 0,00331 0,79603 0,63287 0,39852 0,24966 0,05944 0,00288 0,79172 0,62602 0,38988 0,24154 0,05558 0,00251 0,78743 0,61924 0,38144 0,23369 0,05196 0,00218 0,78316 0,61253 0,37317 0,22610 0,04859 0,00190

14 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 0,99417 0,98833 0,97667 0,96500 0,93000 0,86000 0,98837 0,97680 0,95388 0,93123 0,86490 0,73960 0,98260 0,96541 0,93162 0,89863 0,80436 0,63606 0,97687 0,95414 0,90988 0,86718 0,74805 0,54701 0,97117 0,94301 0,88865 0,83683 0,69569 0,47043 0,96551 0,93201 0,86792 0,80754 0,64699 0,40457 0,95987 0,92114 0,84767 0,77928 0,60170 0,34793 0,95428 0,91039 0,82789 0,75200 0,55958 0,29922 0,94871 0,89977 0,80857 0,72568 0,52041 0,25733 0,94317 0,88927 0,78970 0,70028 0,48398 0,22130 0,93767 0,87890 0,77128 0,67577 0,45010 0,19032 0,93220 0,86864 0,75328 0,65212 0,41860 0,16367 0,92676 0,85851 0,73570 0,62930 0,38929 0,14076 0,92136 0,84849 0,71854 0,60727 0,36204 0,12105 0,91598 0,83859 0,70177 0,58602 0,33670 0,10411 0,91064 0,82881 0,68540 0,56551 0,31313 0,08953 0,90533 0,81914 0,66940 0,54571 0,29121 0,07700 0,90005 0,80958 0,65378 0,52661 0,27083 0,06622 0,89480 0,80014 0,63853 0,50818 0,25187 0,05695 0,88958 0,79080 0,62363 0,49040 0,23424 0,04897 0,88439 0,78158 0,60908 0,47323 0,21784 0,04212 0,87923 0,77246 0,59487 0,45667 0,20259 0,03622 0,87410 0,76345 0,58099 0,44068 0,18841 0,03115 0,86900 0,75454 0,56743 0,42526 0,17522 0,02679 0,86393 0,74574 0,55419 0,41038 0,16296 0,02304 0,85889 0,73704 0,54126 0,39601 0,15155 0,01981 0,85388 0,72844 0,52863 0,38215 0,14094 0,01704 0,84890 0,71994 0,51630 0,36878 0,13108 0,01465 0,84395 0,71154 0,50425 0,35587 0,12190 0,01260 0,83903 0,70324 0,49248 0,34342 0,11337 0,01084 0,83413 0,69504 0,48099 0,33140 0,10543 0,00932 0,82927 0,68693 0,46977 0,31980 0,09805 0,00802 0,82443 0,67891 0,45881 0,30860 0,09119 0,00689 0,81962 0,67099 0,44810 0,29780 0,08480 0,00593 0,81484 0,66316 0,43765 0,28738 0,07887 0,00510 0,81009 0,65543 0,42743 0,27732 0,07335 0,00438 0,80536 0,64778 0,41746 0,26762 0,06821 0,00377 0,80066 0,64022 0,40772 0,25825 0,06344 0,00324 0,79599 0,63275 0,39821 0,24921 0,05900 0,00279 0,79135 0,62537 0,38891 0,24049 0,05487 0,00240 0,78673 0,61807 0,37984 0,23207 0,05103 0,00206 0,78214 0,61086 0,37098 0,22395 0,04746 0,00177 0,77758 0,60374 0,36232 0,21611 0,04413 0,00153 0,77304 0,59669 0,35387 0,20855 0,04104 0,00131 0,76854 0,58973 0,34561 0,20125 0,03817 0,00113

z3 0 6 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 3 (Continuación)

Del 15% y 16% anual

CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL CON DESCUENTO COMPUESTO Factor: (1 – d) n

Instrucciones: Cuando la capitalización es quincenal el estudiante tomará la columna 24; si es trimestral tomará la columna 4, etc. de la tasa anual dada. n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

15 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 0,99375 0,98750 0,97500 0,96250 0,92500 0,85000 0,98754 0,97516 0,95063 0,92641 0,85563 0,72250 0,98137 0,96297 0,92686 0,89167 0,79145 0,61413 0,97523 0,95093 0,90369 0,85823 0,73209 0,52201 0,96914 0,93904 0,88110 0,82604 0,67719 0,44371 0,96308 0,92731 0,85907 0,79507 0,62640 0,37715 0,95706 0,91571 0,83759 0,76525 0,57942 0,32058 0,95108 0,90427 0,81665 0,73656 0,53596 0,27249 0,94514 0,89296 0,79624 0,70894 0,49576 0,23162 0,93923 0,88180 0,77633 0,68235 0,45858 0,19687 0,93336 0,87078 0,75692 0,65676 0,42419 0,16734 0,92753 0,85989 0,73800 0,63213 0,39237 0,14224 0,92173 0,84915 0,71955 0,60843 0,36295 0,12091 0,91597 0,83853 0,70156 0,58561 0,33573 0,10277 0,91024 0,82805 0,68402 0,56365 0,31055 0,08735 0,90455 0,81770 0,66692 0,54252 0,28726 0,07425 0,89890 0,80748 0,65025 0,52217 0,26571 0,06311 0,89328 0,79738 0,63399 0,50259 0,24578 0,05365 0,88770 0,78742 0,61814 0,48374 0,22735 0,04560 0,88215 0,77757 0,60269 0,46560 0,21030 0,03876 0,87664 0,76785 0,58762 0,44814 0,19453 0,03295 0,87116 0,75826 0,57293 0,43134 0,17994 0,02800 0,86571 0,74878 0,55861 0,41516 0,16644 0,02380 0,86030 0,73942 0,54464 0,39959 0,15396 0,02023 0,85493 0,73018 0,53103 0,38461 0,14241 0,01720 0,84958 0,72105 0,51775 0,37019 0,13173 0,01462 0,84427 0,71204 0,50481 0,35630 0,12185 0,01243 0,83900 0,70314 0,49219 0,34294 0,11271 0,01056 0,83375 0,69435 0,47988 0,33008 0,10426 0,00898 0,82854 0,68567 0,46788 0,31770 0,09644 0,00763 0,82336 0,67710 0,45619 0,30579 0,08921 0,00649 0,81822 0,66863 0,44478 0,29432 0,08252 0,00551 0,81310 0,66027 0,43366 0,28329 0,07633 0,00469 0,80802 0,65202 0,42282 0,27266 0,07060 0,00398 0,80297 0,64387 0,41225 0,26244 0,06531 0,00339 0,79795 0,63582 0,40194 0,25260 0,06041 0,00288 0,79297 0,62787 0,39190 0,24312 0,05588 0,00245 0,78801 0,62003 0,38210 0,23401 0,05169 0,00208 0,78308 0,61228 0,37255 0,22523 0,04781 0,00177 0,77819 0,60462 0,36323 0,21679 0,04423 0,00150 0,77333 0,59706 0,35415 0,20866 0,04091 0,00128 0,76849 0,58960 0,34530 0,20083 0,03784 0,00109 0,76369 0,58223 0,33667 0,19330 0,03500 0,00092 0,75892 0,57495 0,32825 0,18605 0,03238 0,00078 0,75417 0,56777 0,32004 0,17907 0,02995 0,00067

z3 0 7 z

16 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 0,99333 0,98667 0,97333 0,96000 0,92000 0,84000 0,98671 0,97351 0,94738 0,92160 0,84640 0,70560 0,98013 0,96053 0,92211 0,88474 0,77869 0,59270 0,97360 0,94772 0,89752 0,84935 0,71639 0,49787 0,96711 0,93509 0,87359 0,81537 0,65908 0,41821 0,96066 0,92262 0,85029 0,78276 0,60636 0,35130 0,95426 0,91032 0,82762 0,75145 0,55785 0,29509 0,94789 0,89818 0,80555 0,72139 0,51322 0,24788 0,94158 0,88620 0,78407 0,69253 0,47216 0,20822 0,93530 0,87439 0,76316 0,66483 0,43439 0,17490 0,92906 0,86273 0,74281 0,63824 0,39964 0,14692 0,92287 0,85123 0,72300 0,61271 0,36767 0,12341 0,91672 0,83988 0,70372 0,58820 0,33825 0,10366 0,91061 0,82868 0,68496 0,56467 0,31119 0,08708 0,90453 0,81763 0,66669 0,54209 0,28630 0,07315 0,89850 0,80673 0,64891 0,52040 0,26339 0,06144 0,89251 0,79597 0,63161 0,49959 0,24232 0,05161 0,88656 0,78536 0,61476 0,47960 0,22294 0,04335 0,88065 0,77489 0,59837 0,46042 0,20510 0,03642 0,87478 0,76456 0,58241 0,44200 0,18869 0,03059 0,86895 0,75436 0,56688 0,42432 0,17360 0,02570 0,86316 0,74430 0,55177 0,40735 0,15971 0,02158 0,85740 0,73438 0,53705 0,39106 0,14693 0,01813 0,85169 0,72459 0,52273 0,37541 0,13518 0,01523 0,84601 0,71493 0,50879 0,36040 0,12436 0,01279 0,84037 0,70539 0,49522 0,34598 0,11442 0,01075 0,83477 0,69599 0,48202 0,33214 0,10526 0,00903 0,82920 0,68671 0,46916 0,31886 0,09684 0,00758 0,82367 0,67755 0,45665 0,30610 0,08909 0,00637 0,81818 0,66852 0,44448 0,29386 0,08197 0,00535 0,81273 0,65961 0,43262 0,28210 0,07541 0,00449 0,80731 0,65081 0,42109 0,27082 0,06938 0,00378 0,80193 0,64213 0,40986 0,25999 0,06383 0,00317 0,79658 0,63357 0,39893 0,24959 0,05872 0,00266 0,79127 0,62512 0,38829 0,23960 0,05402 0,00224 0,78600 0,61679 0,37794 0,23002 0,04970 0,00188 0,78076 0,60856 0,36786 0,22082 0,04572 0,00158 0,77555 0,60045 0,35805 0,21199 0,04207 0,00133 0,77038 0,59244 0,34850 0,20351 0,03870 0,00111 0,76524 0,58455 0,33921 0,19537 0,03561 0,00094 0,76014 0,57675 0,33016 0,18755 0,03276 0,00079 0,75508 0,56906 0,32136 0,18005 0,03014 0,00066 0,75004 0,56147 0,31279 0,17285 0,02773 0,00055 0,74504 0,55399 0,30445 0,16593 0,02551 0,00047 0,74007 0,54660 0,29633 0,15930 0,02347 0,00039

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 3 (Continuación)

Del 17% y 18% anual

CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL CON DESCUENTO COMPUESTO Factor: (1 – d) n

Instrucciones: Cuando la capitalización es quincenal el estudiante tomará la columna 24; si es trimestral tomará la columna 4, etc. de la tasa anual dada. n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

17 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 0,99292 0,98583 0,97167 0,95750 0,91500 0,83000 0,98588 0,97187 0,94414 0,91681 0,83723 0,68890 0,97890 0,95810 0,91739 0,87784 0,76606 0,57179 0,97197 0,94453 0,89139 0,84053 0,70095 0,47458 0,96508 0,93115 0,86614 0,80481 0,64137 0,39390 0,95825 0,91795 0,84160 0,77061 0,58685 0,32694 0,95146 0,90495 0,81775 0,73786 0,53697 0,27136 0,94472 0,89213 0,79458 0,70650 0,49132 0,22523 0,93803 0,87949 0,77207 0,67647 0,44956 0,18694 0,93138 0,86703 0,75019 0,64772 0,41135 0,15516 0,92479 0,85475 0,72894 0,62019 0,37638 0,12878 0,91823 0,84264 0,70828 0,59383 0,34439 0,10689 0,91173 0,83070 0,68822 0,56860 0,31512 0,08872 0,90527 0,81893 0,66872 0,54443 0,28833 0,07364 0,89886 0,80733 0,64977 0,52129 0,26383 0,06112 0,89249 0,79590 0,63136 0,49914 0,24140 0,05073 0,88617 0,78462 0,61347 0,47792 0,22088 0,04210 0,87989 0,77350 0,59609 0,45761 0,20211 0,03495 0,87366 0,76255 0,57920 0,43816 0,18493 0,02901 0,86747 0,75174 0,56279 0,41954 0,16921 0,02407 0,86133 0,74109 0,54684 0,40171 0,15483 0,01998 0,85523 0,73060 0,53135 0,38464 0,14167 0,01659 0,84917 0,72025 0,51630 0,36829 0,12962 0,01377 0,84315 0,71004 0,50167 0,35264 0,11861 0,01143 0,83718 0,69998 0,48745 0,33765 0,10852 0,00948 0,83125 0,69007 0,47364 0,32330 0,09930 0,00787 0,82536 0,68029 0,46022 0,30956 0,09086 0,00653 0,81952 0,67065 0,44718 0,29641 0,08314 0,00542 0,81371 0,66115 0,43451 0,28381 0,07607 0,00450 0,80795 0,65179 0,42220 0,27175 0,06960 0,00374 0,80223 0,64255 0,41024 0,26020 0,06369 0,00310 0,79654 0,63345 0,39862 0,24914 0,05827 0,00257 0,79090 0,62448 0,38732 0,23855 0,05332 0,00214 0,78530 0,61563 0,37635 0,22841 0,04879 0,00177 0,77974 0,60691 0,36568 0,21870 0,04464 0,00147 0,77421 0,59831 0,35532 0,20941 0,04085 0,00122 0,76873 0,58983 0,34526 0,20051 0,03737 0,00101 0,76328 0,58148 0,33547 0,19199 0,03420 0,00084 0,75788 0,57324 0,32597 0,18383 0,03129 0,00070 0,75251 0,56512 0,31673 0,17602 0,02863 0,00058 0,74718 0,55711 0,30776 0,16853 0,02620 0,00048 0,74189 0,54922 0,29904 0,16137 0,02397 0,00040 0,73663 0,54144 0,29057 0,15451 0,02193 0,00033 0,73141 0,53377 0,28233 0,14795 0,02007 0,00028 0,72623 0,52621 0,27433 0,14166 0,01836 0,00023

18 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 0,99250 0,98500 0,97000 0,95500 0,91000 0,82000 0,98506 0,97023 0,94090 0,91203 0,82810 0,67240 0,97767 0,95567 0,91267 0,87098 0,75357 0,55137 0,97034 0,94134 0,88529 0,83179 0,68575 0,45212 0,96306 0,92722 0,85873 0,79436 0,62403 0,37074 0,95584 0,91331 0,83297 0,75861 0,56787 0,30401 0,94867 0,89961 0,80798 0,72448 0,51676 0,24929 0,94155 0,88611 0,78374 0,69187 0,47025 0,20441 0,93449 0,87282 0,76023 0,66074 0,42793 0,16762 0,92748 0,85973 0,73742 0,63101 0,38942 0,13745 0,92053 0,84683 0,71530 0,60261 0,35437 0,11271 0,91362 0,83413 0,69384 0,57549 0,32248 0,09242 0,90677 0,82162 0,67303 0,54960 0,29345 0,07578 0,89997 0,80930 0,65284 0,52486 0,26704 0,06214 0,89322 0,79716 0,63325 0,50125 0,24301 0,05096 0,88652 0,78520 0,61425 0,47869 0,22114 0,04179 0,87987 0,77342 0,59583 0,45715 0,20124 0,03426 0,87327 0,76182 0,57795 0,43658 0,18312 0,02810 0,86672 0,75039 0,56061 0,41693 0,16664 0,02304 0,86022 0,73914 0,54379 0,39817 0,15164 0,01889 0,85377 0,72805 0,52748 0,38025 0,13800 0,01549 0,84737 0,71713 0,51166 0,36314 0,12558 0,01270 0,84101 0,70637 0,49631 0,34680 0,11428 0,01042 0,83470 0,69578 0,48142 0,33119 0,10399 0,00854 0,82844 0,68534 0,46697 0,31629 0,09463 0,00700 0,82223 0,67506 0,45297 0,30206 0,08611 0,00574 0,81606 0,66493 0,43938 0,28846 0,07836 0,00471 0,80994 0,65496 0,42620 0,27548 0,07131 0,00386 0,80387 0,64514 0,41341 0,26309 0,06489 0,00317 0,79784 0,63546 0,40101 0,25125 0,05905 0,00260 0,79186 0,62593 0,38898 0,23994 0,05374 0,00213 0,78592 0,61654 0,37731 0,22914 0,04890 0,00175 0,78002 0,60729 0,36599 0,21883 0,04450 0,00143 0,77417 0,59818 0,35501 0,20898 0,04050 0,00117 0,76837 0,58921 0,34436 0,19958 0,03685 0,00096 0,76260 0,58037 0,33403 0,19060 0,03353 0,00079 0,75688 0,57166 0,32401 0,18202 0,03052 0,00065 0,75121 0,56309 0,31429 0,17383 0,02777 0,00053 0,74557 0,55464 0,30486 0,16601 0,02527 0,00044 0,73998 0,54632 0,29571 0,15854 0,02300 0,00036 0,73443 0,53813 0,28684 0,15140 0,02093 0,00029 0,72892 0,53006 0,27824 0,14459 0,01904 0,00024 0,72346 0,52211 0,26989 0,13808 0,01733 0,00020 0,71803 0,51427 0,26179 0,13187 0,01577 0,00016 0,71264 0,50656 0,25394 0,12594 0,01435 0,00013

z3 0 8 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 3 (Continuación)

Del 19% y 20% anual

CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL CON DESCUENTO COMPUESTO Factor: (1 – d) n

Instrucciones: Cuando la capitalización es quincenal el estudiante tomará la columna 24; si es trimestral tomará la columna 4, etc. de la tasa anual dada. n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

19 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 0,99208 0,98417 0,96833 0,95250 0,90500 0,81000 0,98423 0,96858 0,93767 0,90726 0,81903 0,65610 0,97644 0,95325 0,90798 0,86416 0,74122 0,53144 0,96871 0,93816 0,87922 0,82311 0,67080 0,43047 0,96104 0,92330 0,85138 0,78402 0,60708 0,34868 0,95343 0,90868 0,82442 0,74678 0,54940 0,28243 0,94588 0,89429 0,79831 0,71130 0,49721 0,22877 0,93839 0,88013 0,77303 0,67752 0,44998 0,18530 0,93097 0,86620 0,74856 0,64533 0,40723 0,15009 0,92359 0,85248 0,72485 0,61468 0,36854 0,12158 0,91628 0,83899 0,70190 0,58548 0,33353 0,09848 0,90903 0,82570 0,67967 0,55767 0,30184 0,07977 0,90183 0,81263 0,65815 0,53118 0,27317 0,06461 0,89469 0,79976 0,63731 0,50595 0,24722 0,05233 0,88761 0,78710 0,61713 0,48192 0,22373 0,04239 0,88058 0,77464 0,59758 0,45903 0,20248 0,03434 0,87361 0,76237 0,57866 0,43722 0,18324 0,02781 0,86670 0,75030 0,56034 0,41646 0,16583 0,02253 0,85983 0,73842 0,54259 0,39667 0,15008 0,01825 0,85303 0,72673 0,52541 0,37783 0,13582 0,01478 0,84627 0,71522 0,50877 0,35989 0,12292 0,01197 0,83957 0,70390 0,49266 0,34279 0,11124 0,00970 0,83293 0,69275 0,47706 0,32651 0,10067 0,00786 0,82633 0,68179 0,46195 0,31100 0,09111 0,00636 0,81979 0,67099 0,44732 0,29623 0,08245 0,00515 0,81330 0,66037 0,43316 0,28216 0,07462 0,00417 0,80686 0,64991 0,41944 0,26875 0,06753 0,00338 0,80048 0,63962 0,40616 0,25599 0,06112 0,00274 0,79414 0,62949 0,39330 0,24383 0,05531 0,00222 0,78785 0,61953 0,38084 0,23225 0,05006 0,00180 0,78161 0,60972 0,36878 0,22121 0,04530 0,00146 0,77543 0,60006 0,35711 0,21071 0,04100 0,00118 0,76929 0,59056 0,34580 0,20070 0,03710 0,00096 0,76320 0,58121 0,33485 0,19117 0,03358 0,00077 0,75716 0,57201 0,32424 0,18209 0,03039 0,00063 0,75116 0,56295 0,31398 0,17344 0,02750 0,00051 0,74522 0,55404 0,30403 0,16520 0,02489 0,00041 0,73932 0,54527 0,29441 0,15735 0,02252 0,00033 0,73346 0,53663 0,28508 0,14988 0,02038 0,00027 0,72766 0,52814 0,27605 0,14276 0,01845 0,00022 0,72190 0,51977 0,26731 0,13598 0,01670 0,00018 0,71618 0,51154 0,25885 0,12952 0,01511 0,00014 0,71051 0,50344 0,25065 0,12337 0,01367 0,00012 0,70489 0,49547 0,24271 0,11751 0,01237 0,00009 0,69931 0,48763 0,23503 0,11192 0,01120 0,00008

20 % según el número de capitalizaciones por año 24 12 6 4 2 1 0,99167 0,98333 0,96667 0,95000 0,90000 0,80000 0,98340 0,96694 0,93444 0,90250 0,81000 0,64000 0,97521 0,95083 0,90330 0,85738 0,72900 0,51200 0,96708 0,93498 0,87319 0,81451 0,65610 0,40960 0,95902 0,91940 0,84408 0,77378 0,59049 0,32768 0,95103 0,90408 0,81594 0,73509 0,53144 0,26214 0,94310 0,88901 0,78875 0,69834 0,47830 0,20972 0,93525 0,87419 0,76245 0,66342 0,43047 0,16777 0,92745 0,85962 0,73704 0,63025 0,38742 0,13422 0,91972 0,84529 0,71247 0,59874 0,34868 0,10737 0,91206 0,83121 0,68872 0,56880 0,31381 0,08590 0,90446 0,81735 0,66576 0,54036 0,28243 0,06872 0,89692 0,80373 0,64357 0,51334 0,25419 0,05498 0,88945 0,79033 0,62212 0,48767 0,22877 0,04398 0,88203 0,77716 0,60138 0,46329 0,20589 0,03518 0,87468 0,76421 0,58134 0,44013 0,18530 0,02815 0,86740 0,75147 0,56196 0,41812 0,16677 0,02252 0,86017 0,73895 0,54323 0,39721 0,15009 0,01801 0,85300 0,72663 0,52512 0,37735 0,13509 0,01441 0,84589 0,71452 0,50762 0,35849 0,12158 0,01153 0,83884 0,70261 0,49069 0,34056 0,10942 0,00922 0,83185 0,69090 0,47434 0,32353 0,09848 0,00738 0,82492 0,67939 0,45853 0,30736 0,08863 0,00590 0,81804 0,66806 0,44324 0,29199 0,07977 0,00472 0,81123 0,65693 0,42847 0,27739 0,07179 0,00378 0,80447 0,64598 0,41419 0,26352 0,06461 0,00302 0,79776 0,63521 0,40038 0,25034 0,05815 0,00242 0,79112 0,62463 0,38703 0,23783 0,05233 0,00193 0,78452 0,61422 0,37413 0,22594 0,04710 0,00155 0,77799 0,60398 0,36166 0,21464 0,04239 0,00124 0,77150 0,59391 0,34961 0,20391 0,03815 0,00099 0,76507 0,58402 0,33795 0,19371 0,03434 0,00079 0,75870 0,57428 0,32669 0,18403 0,03090 0,00063 0,75237 0,56471 0,31580 0,17482 0,02781 0,00051 0,74611 0,55530 0,30527 0,16608 0,02503 0,00041 0,73989 0,54604 0,29510 0,15778 0,02253 0,00032 0,73372 0,53694 0,28526 0,14989 0,02028 0,00026 0,72761 0,52799 0,27575 0,14240 0,01825 0,00021 0,72154 0,51919 0,26656 0,13528 0,01642 0,00017 0,71553 0,51054 0,25767 0,12851 0,01478 0,00013 0,70957 0,50203 0,24908 0,12209 0,01330 0,00011 0,70366 0,49366 0,24078 0,11598 0,01197 0,00009 0,69779 0,48544 0,23276 0,11018 0,01078 0,00007 0,69198 0,47735 0,22500 0,10467 0,00970 0,00005 0,68621 0,46939 0,21750 0,09944 0,00873 0,00004

z3 0 9 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 4 – A

Del 5% y 6% anual Solo para pagos Quincenales

CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 5 % Anual para Pagos Quincenales, según el Del 6 % Anual para Pagos Quincenales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,00208 2,00208 2,00208 2,00207 2,00206 2,00203 2,00250 2,00250 2,00249 2,00248 2,00247 2,00243 3,00625 3,00625 3,00623 3,00622 3,00618 3,00611 3,00751 3,00750 3,00748 3,00746 3,00740 3,00730 4,01252 4,01250 4,01248 4,01245 4,01238 4,01223 4,01503 4,01501 4,01497 4,01493 4,01482 4,01461 5,02088 5,02086 5,02081 5,02077 5,02064 5,02039 5,02506 5,02503 5,02497 5,02491 5,02472 5,02437 6,03134 6,03130 6,03124 6,03117 6,03098 6,03061 6,03763 6,03758 6,03748 6,03739 6,03712 6,03658 7,04390 7,04386 7,04377 7,04367 7,04341 7,04288 7,05272 7,05265 7,05252 7,05239 7,05201 7,05125 8,05858 8,05852 8,05839 8,05827 8,05791 8,05721 8,07035 8,07026 8,07009 8,06991 8,06940 8,06839 9,07537 9,07529 9,07513 9,07497 9,07451 9,07361 9,09053 9,09041 9,09019 9,08996 9,08930 9,08801 10,0943 10,0942 10,0940 10,0938 10,0932 10,0921 10,1133 10,1131 10,1128 10,1125 10,1117 10,1101 11,1153 11,1152 11,1149 11,1147 11,1140 11,1126 11,1385 11,1384 11,1380 11,1377 11,1367 11,1347 12,1385 12,1383 12,1380 12,1377 12,1369 12,1352 12,1664 12,1662 12,1658 12,1653 12,1641 12,1617 13,1637 13,1636 13,1632 13,1629 13,1619 13,1599 13,1968 13,1966 13,1961 13,1956 13,1941 13,1913 14,1912 14,1910 14,1906 14,1902 14,1890 14,1867 14,2298 14,2295 14,2289 14,2284 14,2267 14,2234 15,2207 15,2205 15,2200 15,2196 15,2182 15,2156 15,2654 15,2650 15,2644 15,2637 15,2617 15,2579 16,2524 16,2522 16,2517 16,2511 16,2496 16,2465 16,3035 16,3031 16,3024 16,3016 16,2994 16,2950 17,2863 17,2860 17,2854 17,2848 17,2830 17,2796 17,3443 17,3439 17,3430 17,3421 17,3396 17,3346 18,3223 18,3220 18,3213 18,3206 18,3186 18,3148 18,3876 18,3872 18,3862 18,3852 18,3823 18,3768 19,3605 19,3601 19,3594 19,3586 19,3564 19,3520 19,4336 19,4331 19,4320 19,4309 19,4277 19,4215 20,4008 20,4004 20,3996 20,3987 20,3962 20,3914 20,4822 20,4816 20,4804 20,4792 20,4756 20,4687 21,4433 21,4429 21,4419 21,4410 21,4383 21,4329 21,5334 21,5327 21,5314 21,5301 21,5261 21,5184 22,4880 22,4875 22,4865 22,4854 22,4824 22,4765 22,5872 22,5865 22,5850 22,5835 22,5792 22,5707 23,5349 23,5343 23,5332 23,5320 23,5287 23,5223 23,6437 23,6429 23,6413 23,6397 23,6349 23,6256 24,5839 24,5833 24,5820 24,5808 24,5772 24,5701 24,7028 24,7019 24,7001 24,6984 24,6932 24,6830 25,6351 25,6344 25,6331 25,6318 25,6278 25,6201 25,7646 25,7636 25,7617 25,7597 25,7541 25,7430 26,6885 26,6878 26,6863 26,6849 26,6806 26,6723 26,8290 26,8279 26,8258 26,8237 26,8176 26,8056 27,7441 27,7433 27,7418 27,7402 27,7356 27,7265 27,8961 27,8949 27,8926 27,8904 27,8837 27,8708 28,8019 28,8011 28,7994 28,7977 28,7927 28,7830 28,9658 28,9646 28,9621 28,9597 28,9525 28,9385 29,8619 29,8610 29,8592 29,8574 29,8520 29,8415 30,0382 30,0369 30,0343 30,0316 30,0239 30,0088 30,9241 30,9231 30,9212 30,9193 30,9135 30,9023 31,1133 31,1119 31,1091 31,1063 31,0979 31,0818 31,9885 31,9875 31,9854 31,9833 31,9772 31,9652 32,1911 32,1896 32,1865 32,1835 32,1746 32,1574 33,0552 33,0541 33,0518 33,0496 33,0430 33,0302 33,2716 33,2699 33,2667 33,2635 33,2540 33,2355 34,1241 34,1229 34,1205 34,1181 34,1111 34,0974 34,3547 34,3530 34,3496 34,3461 34,3360 34,3163 35,1951 35,1939 35,1913 35,1888 35,1814 35,1668 35,4406 35,4388 35,4351 35,4315 35,4207 35,3997 36,2685 36,2671 36,2644 36,2618 36,2538 36,2384 36,5292 36,5273 36,5234 36,5195 36,5080 36,4858 37,3440 37,3426 37,3398 37,3369 37,3285 37,3121 37,6206 37,6185 37,6143 37,6102 37,5981 37,5745 38,4218 38,4203 38,4173 38,4143 38,4054 38,3880 38,7146 38,7124 38,7080 38,7037 38,6908 38,6658 39,5019 39,5003 39,4971 39,4939 39,4845 39,4662 39,8114 39,8091 39,8044 39,7998 39,7862 39,7598 40,5842 40,5825 40,5791 40,5758 40,5658 40,5465 40,9109 40,9085 40,9036 40,8987 40,8843 40,8564 41,6687 41,6669 41,6634 41,6599 41,6494 41,6290 42,0132 42,0106 42,0055 42,0003 41,9852 41,9558 42,7555 42,7537 42,7499 42,7462 42,7352 42,7137 43,1182 43,1155 43,1101 43,1047 43,0887 43,0577 43,8446 43,8426 43,8387 43,8348 43,8232 43,8006 44,2260 44,2232 44,2175 44,2118 44,1950 44,1624 44,9359 44,9339 44,9298 44,9257 44,9135 44,8898 45,3366 45,3336 45,3276 45,3216 45,3040 45,2698 46,0296 46,0274 46,0231 46,0188 46,0060 45,9811 46,4499 46,4468 46,4405 46,4342 46,4157 46,3798 47,1255 47,1232 47,1186 47,1141 47,1008 47,0747 47,5661 47,5627 47,5561 47,5496 47,5302 47,4925

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 1 0 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 4 – A (Continuación) Del 7% y 8% anual Solo para pagos Quincenales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 7 % Anual para Pagos Quincenales, según el Del 8 % Anual para Pagos Quincenales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,00292 2,00291 2,00290 2,00290 2,00287 2,00282 2,00333 2,00333 2,00332 2,00331 2,00327 2,00321 3,00876 3,00875 3,00872 3,00870 3,00862 3,00848 3,01001 3,00999 3,00996 3,00993 3,00983 3,00965 4,01753 4,01751 4,01746 4,01741 4,01726 4,01697 4,02004 4,02001 4,01994 4,01988 4,01969 4,01931 5,02925 5,02921 5,02912 5,02904 5,02879 5,02831 5,03344 5,03339 5,03328 5,03317 5,03284 5,03222 6,04392 6,04386 6,04373 6,04360 6,04323 6,04251 6,05022 6,05014 6,04997 6,04981 6,04932 6,04838 7,06155 7,06146 7,06128 7,06110 7,06058 7,05956 7,07039 7,07027 7,07004 7,06981 7,06912 7,06781 8,08214 8,08202 8,08179 8,08155 8,08085 8,07949 8,09396 8,09380 8,09349 8,09318 8,09227 8,09051 9,10572 9,10556 9,10526 9,10495 9,10405 9,10230 9,12094 9,12074 9,12033 9,11993 9,11876 9,11650 10,1323 10,1321 10,1317 10,1313 10,1302 10,1280 10,1513 10,1511 10,1506 10,1501 10,1486 10,1458 11,1618 11,1616 11,1611 11,1607 11,1593 11,1566 11,1852 11,1849 11,1843 11,1836 11,1818 11,1784 12,1944 12,1941 12,1935 12,1930 12,1913 12,1881 12,2225 12,2221 12,2213 12,2206 12,2184 12,2143 13,2300 13,2296 13,2289 13,2283 13,2263 13,2225 13,2632 13,2628 13,2619 13,2610 13,2584 13,2535 14,2685 14,2681 14,2674 14,2666 14,2643 14,2598 14,3074 14,3069 14,3059 14,3049 14,3018 14,2961 15,3102 15,3097 15,3088 15,3079 15,3052 15,3001 15,3551 15,3545 15,3533 15,3521 15,3487 15,3420 16,3548 16,3543 16,3532 16,3522 16,3492 16,3433 16,4063 16,4056 16,4042 16,4029 16,3989 16,3913 17,4025 17,4019 17,4007 17,3996 17,3961 17,3894 17,4610 17,4602 17,4587 17,4571 17,4526 17,4439 18,4533 18,4526 18,4513 18,4499 18,4460 18,4385 18,5192 18,5183 18,5166 18,5148 18,5097 18,4999 19,5071 19,5063 19,5049 19,5034 19,4990 19,4906 19,5809 19,5799 19,5780 19,5760 19,5703 19,5594 20,5640 20,5632 20,5615 20,5598 20,5550 20,5456 20,6462 20,6451 20,6429 20,6408 20,6344 20,6222 21,6240 21,6230 21,6212 21,6194 21,6140 21,6036 21,7150 21,7138 21,7114 21,7090 21,7020 21,6884 22,6870 22,6860 22,6840 22,6820 22,6760 22,6646 22,7874 22,7860 22,7834 22,7808 22,7730 22,7581 23,7532 23,7521 23,7499 23,7477 23,7411 23,7286 23,8633 23,8619 23,8590 23,8561 23,8476 23,8312 24,8225 24,8213 24,8188 24,8164 24,8093 24,7955 24,9429 24,9413 24,9381 24,9349 24,9256 24,9077 25,8949 25,8936 25,8909 25,8883 25,8805 25,8655 26,0260 26,0243 26,0208 26,0174 26,0072 25,9877 26,9704 26,9690 26,9661 26,9632 26,9548 26,9386 27,1128 27,1109 27,1071 27,1034 27,0924 27,0712 28,0491 28,0475 28,0444 28,0413 28,0322 28,0146 28,2032 28,2011 28,1970 28,1930 28,1811 28,1581 29,1309 29,1292 29,1258 29,1225 29,1127 29,0937 29,2972 29,2950 29,2905 29,2862 29,2733 29,2486 30,2158 30,2140 30,2104 30,2068 30,1963 30,1758 30,3948 30,3924 30,3877 30,3830 30,3691 30,3425 31,3040 31,3020 31,2982 31,2943 31,2830 31,2610 31,4961 31,4936 31,4885 31,4834 31,4686 31,4400 32,3953 32,3932 32,3890 32,3849 32,3728 32,3493 32,6011 32,5984 32,5929 32,5875 32,5716 32,5409 33,4898 33,4875 33,4831 33,4787 33,4657 33,4406 33,7098 33,7069 33,7010 33,6953 33,6782 33,6455 34,5874 34,5851 34,5803 34,5756 34,5618 34,5350 34,8222 34,8190 34,8128 34,8066 34,7885 34,7535 35,6883 35,6858 35,6808 35,6758 35,6610 35,6325 35,9382 35,9349 35,9283 35,9217 35,9024 35,8651 36,7924 36,7897 36,7844 36,7791 36,7634 36,7331 37,0580 37,0545 37,0474 37,0405 37,0199 36,9803 37,8997 37,8969 37,8912 37,8856 37,8689 37,8368 38,1816 38,1778 38,1703 38,1629 38,1411 38,0991 39,0103 39,0072 39,0012 38,9953 38,9777 38,9436 39,3088 39,3048 39,2969 39,2891 39,2660 39,2215 40,1240 40,1209 40,1145 40,1082 40,0896 40,0536 40,4399 40,4356 40,4273 40,4190 40,3945 40,3475 41,2411 41,2377 41,2310 41,2243 41,2046 41,1666 41,5747 41,5702 41,5614 41,5526 41,5267 41,4771 42,3614 42,3578 42,3507 42,3437 42,3229 42,2828 42,7132 42,7085 42,6992 42,6900 42,6627 42,6103 43,4849 43,4812 43,4737 43,4663 43,4444 43,4022 43,8556 43,8507 43,8408 43,8311 43,8024 43,7471 44,6117 44,6078 44,6000 44,5922 44,5692 44,5247 45,0018 44,9966 44,9862 44,9760 44,9458 44,8876 45,7419 45,7377 45,7295 45,7213 45,6971 45,6504 46,1518 46,1463 46,1355 46,1247 46,0929 46,0318 46,8753 46,8709 46,8623 46,8537 46,8283 46,7793 47,3057 47,2999 47,2885 47,2772 47,2438 47,1797 48,0120 48,0074 47,9984 47,9894 47,9628 47,9114 48,4633 48,4573 48,4453 48,4334 48,3985 48,3312

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 1 1 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 4 – A (Continuación) Del 9% y 10% anual Solo para pagos Quincenales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 9 % Anual para Pagos Quincenales, según el Del 10 % Anual para Pagos Quincenales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,00375 2,00374 2,00373 2,00372 2,00367 2,00360 2,00417 2,00416 2,00414 2,00412 2,00407 2,00398 3,01126 3,01124 3,01120 3,01116 3,01104 3,01080 3,01252 3,01249 3,01244 3,01239 3,01224 3,01195 4,02256 4,02251 4,02243 4,02235 4,02210 4,02163 4,02507 4,02502 4,02491 4,02481 4,02451 4,02394 5,03764 5,03757 5,03743 5,03729 5,03688 5,03610 5,04184 5,04175 5,04158 5,04141 5,04091 5,03995 6,05653 6,05643 6,05622 6,05601 6,05539 6,05422 6,06285 6,06272 6,06246 6,06220 6,06144 6,06000 7,07924 7,07910 7,07880 7,07851 7,07765 7,07600 7,08811 7,08793 7,08756 7,08720 7,08614 7,08412 8,10579 8,10559 8,10520 8,10481 8,10365 8,10145 8,11764 8,11740 8,11691 8,11643 8,11501 8,11231 9,13619 9,13593 9,13542 9,13492 9,13343 9,13059 9,15147 9,15115 9,15052 9,14990 9,14807 9,14459 10,1704 10,1701 10,1695 10,1689 10,1670 10,1634 10,1896 10,1892 10,1884 10,1876 10,1853 10,1810 11,2086 11,2082 11,2074 11,2066 11,2044 11,2000 11,2321 11,2316 11,2306 11,2296 11,2268 11,2215 12,2506 12,2501 12,2492 12,2483 12,2455 12,2403 12,2789 12,2783 12,2771 12,2760 12,2726 12,2661 13,2966 13,2960 13,2949 13,2938 13,2905 13,2843 13,3300 13,3293 13,3279 13,3266 13,3226 13,3149 14,3464 14,3458 14,3445 14,3432 14,3394 14,3321 14,3856 14,3847 14,3831 14,3815 14,3769 14,3679 15,4002 15,3995 15,3980 15,3965 15,3921 15,3837 15,4455 15,4446 15,4427 15,4408 15,4354 15,4251 16,4580 16,4571 16,4554 16,4537 16,4486 16,4390 16,5099 16,5088 16,5066 16,5045 16,4983 16,4865 17,5197 17,5187 17,5167 17,5148 17,5091 17,4981 17,5786 17,5774 17,5750 17,5726 17,5655 17,5521 18,5854 18,5843 18,5821 18,5799 18,5734 18,5611 18,6519 18,6505 18,6478 18,6451 18,6371 18,6219 19,6551 19,6538 19,6514 19,6489 19,6417 19,6278 19,7296 19,7281 19,7250 19,7219 19,7130 19,6960 20,7288 20,7274 20,7246 20,7219 20,7139 20,6984 20,8118 20,8101 20,8067 20,8033 20,7933 20,7744 21,8065 21,8050 21,8019 21,7989 21,7900 21,7729 21,8985 21,8966 21,8928 21,8891 21,8781 21,8571 22,8883 22,8866 22,8832 22,8799 22,8700 22,8512 22,9898 22,9877 22,9835 22,9793 22,9672 22,9440 23,9741 23,9723 23,9686 23,9649 23,9541 23,9334 24,0856 24,0832 24,0786 24,0741 24,0608 24,0353 25,0640 25,0620 25,0579 25,0539 25,0421 25,0195 25,1859 25,1834 25,1784 25,1734 25,1588 25,1310 26,1580 26,1558 26,1514 26,1470 26,1341 26,1095 26,2909 26,2881 26,2826 26,2772 26,2613 26,2310 27,2561 27,2537 27,2489 27,2441 27,2302 27,2034 27,4004 27,3974 27,3914 27,3856 27,3683 27,3354 28,3583 28,3557 28,3505 28,3454 28,3302 28,3013 28,5146 28,5113 28,5049 28,4985 28,4798 28,4441 29,4647 29,4618 29,4562 29,4507 29,4344 29,4031 29,6334 29,6299 29,6229 29,6160 29,5958 29,5573 30,5752 30,5721 30,5661 30,5601 30,5425 30,5089 30,7569 30,7531 30,7456 30,7382 30,7164 30,6749 31,6898 31,6865 31,6801 31,6736 31,6548 31,6186 31,8850 31,8809 31,8729 31,8649 31,8415 31,7970 32,8087 32,8052 32,7982 32,7913 32,7711 32,7324 33,0179 33,0135 33,0049 32,9963 32,9713 32,9235 33,9317 33,9279 33,9205 33,9131 33,8915 33,8501 34,1554 34,1508 34,1415 34,1324 34,1056 34,0545 35,0589 35,0549 35,0470 35,0391 35,0161 34,9719 35,2978 35,2928 35,2829 35,2732 35,2445 35,1900 36,1904 36,1861 36,1777 36,1693 36,1447 36,0977 36,4448 36,4395 36,4290 36,4186 36,3881 36,3300 37,3261 37,3216 37,3126 37,3037 37,2776 37,2275 37,5967 37,5910 37,5799 37,5688 37,5364 37,4746 38,4661 38,4613 38,4517 38,4423 38,4145 38,3614 38,7533 38,7473 38,7355 38,7237 38,6893 38,6237 39,6103 39,6052 39,5951 39,5851 39,5557 39,4994 39,9148 39,9085 39,8959 39,8834 39,8469 39,7774 40,7589 40,7535 40,7428 40,7322 40,7011 40,6415 41,0811 41,0744 41,0611 41,0479 41,0093 40,9357 41,9117 41,9060 41,8947 41,8835 41,8506 41,7877 42,2523 42,2452 42,2311 42,2172 42,1763 42,0986 43,0689 43,0629 43,0510 43,0391 43,0044 42,9380 43,4283 43,4208 43,4060 43,3913 43,3482 43,2661 44,2304 44,2241 44,2115 44,1990 44,1625 44,0925 44,6093 44,6014 44,5857 44,5702 44,5248 44,4383 45,3963 45,3896 45,3764 45,3633 45,3248 45,2511 45,7952 45,7868 45,7703 45,7540 45,7062 45,6151 46,5665 46,5595 46,5456 46,5318 46,4913 46,4139 46,9860 46,9772 46,9599 46,9427 46,8924 46,7966 47,7411 47,7338 47,7191 47,7047 47,6622 47,5808 48,1818 48,1726 48,1543 48,1363 48,0834 47,9828 48,9202 48,9124 48,8971 48,8819 48,8373 48,7520 49,3825 49,3729 49,3537 49,3348 49,2793 49,1737

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 1 2 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 4 – A (Continuación) Del 12% y 14% anual Solo para pagos Quincenales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 12 % Anual para Pagos Quincenales, según el Del 14 % Anual para Pagos Quincenales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,00500 2,00499 2,00496 2,00494 2,00487 2,00473 2,00583 2,00582 2,00578 2,00575 2,00565 2,00547 3,01502 3,01499 3,01491 3,01484 3,01463 3,01422 3,01753 3,01748 3,01738 3,01728 3,01699 3,01645 4,03010 4,03002 4,02988 4,02973 4,02930 4,02849 4,03514 4,03503 4,03483 4,03463 4,03405 4,03297 5,05025 5,05012 5,04988 5,04963 5,04891 5,04756 5,05867 5,05850 5,05817 5,05783 5,05686 5,05504 6,07550 6,07531 6,07494 6,07457 6,07349 6,07145 6,08818 6,08793 6,08742 6,08691 6,08545 6,08272 7,10588 7,10561 7,10509 7,10457 7,10305 7,10018 7,12370 7,12334 7,12262 7,12191 7,11986 7,11602 8,14141 8,14105 8,14035 8,13966 8,13763 8,13379 8,16525 8,16477 8,16381 8,16287 8,16012 8,15497 9,18212 9,18166 9,18075 9,17985 9,17724 9,17229 9,21288 9,21226 9,21102 9,20980 9,20626 9,19962 10,2280 10,2275 10,2263 10,2252 10,2219 10,2157 10,2666 10,2658 10,2643 10,2628 10,2583 10,2500 11,2792 11,2785 11,2771 11,2757 11,2717 11,2641 11,3265 11,3256 11,3236 11,3218 11,3163 11,3061 12,3356 12,3347 12,3330 12,3314 12,3265 12,3174 12,3926 12,3914 12,3891 12,3869 12,3803 12,3680 13,3972 13,3962 13,3942 13,3923 13,3865 13,3757 13,4649 13,4635 13,4608 13,4581 13,4503 13,4357 14,4642 14,4630 14,4607 14,4584 14,4517 14,4390 14,5434 14,5418 14,5386 14,5355 14,5263 14,5092 15,5365 15,5352 15,5325 15,5298 15,5220 15,5073 15,6283 15,6264 15,6227 15,6191 15,6085 15,5887 16,6142 16,6127 16,6096 16,6065 16,5976 16,5807 16,7194 16,7173 16,7130 16,7089 16,6967 16,6740 17,6973 17,6955 17,6920 17,6885 17,6784 17,6592 17,8170 17,8145 17,8097 17,8049 17,7911 17,7653 18,7858 18,7838 18,7798 18,7759 18,7644 18,7428 18,9209 18,9181 18,9127 18,9073 18,8917 18,8626 19,8797 19,8775 19,8730 19,8686 19,8558 19,8315 20,0313 20,0282 20,0221 20,0160 19,9985 19,9658 20,9791 20,9766 20,9716 20,9667 20,9524 20,9254 21,1481 21,1447 21,1378 21,1311 21,1116 21,0751 22,0840 22,0812 22,0757 22,0703 22,0544 22,0244 22,2715 22,2676 22,2601 22,2526 22,2310 22,1905 23,1944 23,1914 23,1853 23,1793 23,1618 23,1287 23,4014 23,3972 23,3888 23,3806 23,3567 23,3120 24,3104 24,3070 24,3003 24,2938 24,2745 24,2381 24,5379 24,5332 24,5241 24,5150 24,4888 24,4396 25,4320 25,4283 25,4209 25,4137 25,3926 25,3529 25,6810 25,6759 25,6659 25,6560 25,6272 25,5734 26,5591 26,5551 26,5471 26,5392 26,5162 26,4729 26,8308 26,8253 26,8143 26,8035 26,7721 26,7134 27,6919 27,6875 27,6789 27,6703 27,6453 27,5982 27,9874 27,9813 27,9694 27,9576 27,9235 27,8596 28,8304 28,8256 28,8162 28,8070 28,7799 28,7288 29,1506 29,1441 29,1311 29,1184 29,0814 29,0121 29,9745 29,9694 29,9592 29,9492 29,9200 29,8648 30,3207 30,3136 30,2996 30,2858 30,2458 30,1710 31,1244 31,1189 31,1079 31,0971 31,0656 31,0061 31,4975 31,4899 31,4748 31,4600 31,4168 31,3361 32,2800 32,2741 32,2623 32,2507 32,2168 32,1529 32,6813 32,6731 32,6568 32,6409 32,5945 32,5077 33,4414 33,4350 33,4224 33,4100 33,3736 33,3051 33,8719 33,8631 33,8457 33,8286 33,7787 33,6856 34,6086 34,6018 34,5883 34,5750 34,5361 34,4627 35,0695 35,0601 35,0414 35,0231 34,9697 34,8701 35,7817 35,7744 35,7600 35,7457 35,7042 35,6258 36,2741 36,2640 36,2441 36,2245 36,1675 36,0610 36,9606 36,9528 36,9374 36,9223 36,8780 36,7944 37,4857 37,4749 37,4537 37,4328 37,3720 37,2584 38,1454 38,1371 38,1208 38,1046 38,0575 37,9686 38,7043 38,6929 38,6703 38,6480 38,5833 38,4623 39,3361 39,3273 39,3099 39,2928 39,2427 39,1483 39,9301 39,9179 39,8939 39,8702 39,8014 39,6729 40,5328 40,5235 40,5050 40,4869 40,4338 40,3336 41,1630 41,1501 41,1246 41,0995 41,0265 40,8901 41,7354 41,7256 41,7061 41,6868 41,6306 41,5245 42,4031 42,3895 42,3624 42,3358 42,2584 42,1139 42,9441 42,9337 42,9130 42,8927 42,8332 42,7211 43,6505 43,6360 43,6074 43,5792 43,4974 43,3445 44,1588 44,1478 44,1260 44,1045 44,0417 43,9233 44,9051 44,8898 44,8596 44,8298 44,7433 44,5818 45,3796 45,3680 45,3450 45,3223 45,2561 45,1312 46,1671 46,1509 46,1190 46,0876 45,9963 45,8258 46,6065 46,5943 46,5701 46,5462 46,4764 46,3448 47,4364 47,4193 47,3857 47,3526 47,2564 47,0767 47,8396 47,8267 47,8012 47,7760 47,7026 47,5641 48,7131 48,6952 48,6597 48,6249 48,5236 48,3344 49,0788 49,0652 49,0384 49,0120 48,9348 48,7893 49,9972 49,9784 49,9411 49,9045 49,7979 49,5990 50,3242 50,3099 50,2818 50,2540 50,1730 50,0202 51,2889 51,2691 51,2299 51,1914 51,0795 50,8705

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 1 3 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 4 – A (Continuación) Del 15% y 16% anual Solo para pagos Quincenales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 15 % Anual para Pagos Quincenales, según el Del 16 % Anual para Pagos Quincenales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,00625 2,00623 2,00619 2,00615 2,00604 2,00584 2,00667 2,00664 2,00660 2,00656 2,00643 2,00620 3,01879 3,01873 3,01862 3,01850 3,01817 3,01756 3,02004 3,01998 3,01985 3,01972 3,01934 3,01865 4,03766 4,03754 4,03731 4,03708 4,03642 4,03518 4,04018 4,04004 4,03978 4,03952 4,03877 4,03737 5,06289 5,06270 5,06231 5,06193 5,06082 5,05875 5,06711 5,06689 5,06645 5,06601 5,06476 5,06242 6,09453 6,09424 6,09365 6,09308 6,09141 6,08829 6,10089 6,10056 6,09989 6,09924 6,09734 6,09382 7,13263 7,13221 7,13139 7,13058 7,12823 7,12385 7,14157 7,14109 7,14016 7,13924 7,13657 7,13163 8,17720 8,17665 8,17555 8,17446 8,17132 8,16546 8,18918 8,18854 8,18729 8,18606 8,18249 8,17586 9,22831 9,22759 9,22617 9,22477 9,22071 9,21315 9,24377 9,24295 9,24133 9,23974 9,23514 9,22658 10,2860 10,2851 10,2833 10,2815 10,2765 10,2670 10,3054 10,3044 10,3023 10,3003 10,2946 10,2838 11,3503 11,3492 11,3470 11,3448 11,3386 11,3269 11,3741 11,3728 11,3703 11,3679 11,3608 11,3476 12,4212 12,4199 12,4172 12,4146 12,4071 12,3931 12,4499 12,4484 12,4454 12,4424 12,4339 12,4180 13,4988 13,4973 13,4941 13,4911 13,4821 13,4655 13,5329 13,5311 13,5275 13,5240 13,5139 13,4950 14,5832 14,5814 14,5777 14,5741 14,5636 14,5441 14,6231 14,6210 14,6168 14,6127 14,6008 14,5788 15,6744 15,6722 15,6680 15,6638 15,6516 15,6290 15,7206 15,7182 15,7133 15,7086 15,6948 15,6692 16,7723 16,7699 16,7650 16,7602 16,7463 16,7203 16,8254 16,8226 16,8171 16,8116 16,7958 16,7664 17,8772 17,8743 17,8688 17,8633 17,8475 17,8180 17,9376 17,9344 17,9281 17,9218 17,9038 17,8704 18,9889 18,9857 18,9794 18,9733 18,9554 18,9220 19,0572 19,0536 19,0464 19,0394 19,0190 18,9813 20,1076 20,1040 20,0970 20,0900 20,0700 20,0325 20,1842 20,1802 20,1721 20,1642 20,1414 20,0990 21,2332 21,2293 21,2214 21,2137 21,1913 21,1495 21,3188 21,3143 21,3053 21,2965 21,2710 21,2237 22,3659 22,3615 22,3528 22,3443 22,3194 22,2731 22,4609 22,4559 22,4459 22,4362 22,4078 22,3553 23,5057 23,5009 23,4912 23,4818 23,4543 23,4032 23,6107 23,6051 23,5941 23,5833 23,5520 23,4940 24,6526 24,6473 24,6367 24,6263 24,5961 24,5398 24,7681 24,7619 24,7498 24,7380 24,7035 24,6398 25,8067 25,8009 25,7893 25,7779 25,7448 25,6832 25,9332 25,9265 25,9132 25,9002 25,8625 25,7926 26,9680 26,9616 26,9489 26,9365 26,9004 26,8332 27,1061 27,0987 27,0843 27,0701 27,0289 26,9526 28,1366 28,1296 28,1158 28,1023 28,0630 27,9899 28,2868 28,2788 28,2630 28,2476 28,2028 28,1198 29,3124 29,3049 29,2899 29,2752 29,2326 29,1533 29,4754 29,4667 29,4496 29,4328 29,3842 29,2942 30,4956 30,4874 30,4713 30,4554 30,4093 30,3236 30,6719 30,6625 30,6440 30,6259 30,5733 30,4760 31,6862 31,6774 31,6600 31,6429 31,5932 31,5007 31,8763 31,8662 31,8463 31,8267 31,7700 31,6650 32,8843 32,8748 32,8560 32,8376 32,7841 32,6847 33,0889 33,0780 33,0565 33,0354 32,9744 32,8614 34,0898 34,0796 34,0595 34,0397 33,9823 33,8756 34,3094 34,2978 34,2747 34,2521 34,1866 34,0653 35,3028 35,2919 35,2704 35,2492 35,1877 35,0734 35,5382 35,5257 35,5010 35,4767 35,4065 35,2766 36,5235 36,5118 36,4888 36,4661 36,4004 36,2783 36,7751 36,7617 36,7353 36,7094 36,6343 36,4954 37,7518 37,7393 37,7147 37,6906 37,6205 37,4902 38,0203 38,0060 37,9778 37,9501 37,8701 37,7218 38,9877 38,9744 38,9483 38,9225 38,8479 38,7091 39,2737 39,2585 39,2285 39,1990 39,1137 38,9558 40,2314 40,2173 40,1894 40,1621 40,0827 39,9352 40,5356 40,5194 40,4874 40,4561 40,3654 40,1975 41,4828 41,4679 41,4383 41,4093 41,3250 41,1684 41,8058 41,7886 41,7547 41,7214 41,6251 41,4468 42,7421 42,7262 42,6949 42,6641 42,5748 42,4089 43,0845 43,0663 43,0303 42,9950 42,8929 42,7040 44,0092 43,9924 43,9593 43,9267 43,8322 43,6566 44,3717 44,3524 44,3144 44,2770 44,1689 43,9689 45,2843 45,2665 45,2315 45,1970 45,0972 44,9115 45,6675 45,6471 45,6069 45,5674 45,4531 45,2416 46,5673 46,5486 46,5116 46,4752 46,3698 46,1738 46,9720 46,9504 46,9079 46,8662 46,7455 46,5223 47,8584 47,8386 47,7996 47,7612 47,6501 47,4435 48,2851 48,2624 48,2176 48,1736 48,0463 47,8109 49,1575 49,1367 49,0956 49,0552 48,9381 48,7206 49,6070 49,5831 49,5359 49,4895 49,3554 49,1074 50,4647 50,4428 50,3996 50,3571 50,2339 50,0051 50,9378 50,9125 50,8628 50,8141 50,6729 50,4121 51,7801 51,7571 51,7117 51,6670 51,5376 51,2972 52,2773 52,2508 52,1986 52,1473 51,9990 51,7248

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 1 4 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 4 – A (Continuación) Del 18% y 20% anual Solo para pagos Quincenales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 18 % Anual para Pagos Quincenales, según el Del 20 % Anual para Pagos Quincenales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,00750 2,00747 2,00742 2,00736 2,00721 2,00692 2,00833 2,00830 2,00823 2,00816 2,00797 2,00763 3,02256 3,02247 3,02231 3,02214 3,02167 3,02081 3,02507 3,02497 3,02476 3,02456 3,02399 3,02294 4,04523 4,04506 4,04472 4,04440 4,04345 4,04171 4,05028 4,05007 4,04966 4,04926 4,04810 4,04599 5,07556 5,07528 5,07472 5,07418 5,07259 5,06968 5,08403 5,08368 5,08299 5,08232 5,08038 5,07684 6,11363 6,11320 6,11236 6,11154 6,10915 6,10477 6,12640 6,12587 6,12483 6,12381 6,12089 6,11555 7,15948 7,15888 7,15770 7,15654 7,15319 7,14701 7,17745 7,17671 7,17525 7,17381 7,16970 7,16219 8,21318 8,21237 8,21079 8,20923 8,20474 8,19647 8,23726 8,23627 8,23431 8,23239 8,22687 8,21681 9,27478 9,27374 9,27169 9,26968 9,26387 9,25319 9,30591 9,30462 9,30208 9,29960 9,29247 9,27946 10,3443 10,3430 10,3405 10,3379 10,3306 10,3172 10,3835 10,3818 10,3787 10,3755 10,3666 10,3502 11,4219 11,4203 11,4172 11,4141 11,4051 11,3886 11,4700 11,4680 11,4641 11,4602 11,4492 11,4292 12,5076 12,5056 12,5018 12,4981 12,4873 12,4674 12,5656 12,5632 12,5584 12,5538 12,5405 12,5163 13,6014 13,5991 13,5946 13,5901 13,5773 13,5537 13,6703 13,6674 13,6618 13,6563 13,6405 13,6118 14,7034 14,7007 14,6954 14,6902 14,6752 14,6475 14,7842 14,7809 14,7743 14,7678 14,7493 14,7156 15,8137 15,8106 15,8044 15,7983 15,7809 15,7489 15,9074 15,9035 15,8959 15,8884 15,8669 15,8278 16,9323 16,9287 16,9216 16,9147 16,8947 16,8579 17,0400 17,0355 17,0267 17,0181 16,9934 16,9485 18,0593 18,0552 18,0471 18,0392 18,0164 17,9745 18,1820 18,1769 18,1669 18,1571 18,1290 18,0777 19,1947 19,1901 19,1810 19,1720 19,1463 19,0989 19,3335 19,3277 19,3164 19,3053 19,2735 19,2156 20,3387 20,3335 20,3232 20,3132 20,2843 20,2311 20,4946 20,4881 20,4754 20,4629 20,4272 20,3621 21,4912 21,4854 21,4740 21,4628 21,4305 21,3711 21,6654 21,6581 21,6439 21,6300 21,5901 21,5174 22,6524 22,6460 22,6333 22,6208 22,5849 22,5190 22,8459 22,8379 22,8221 22,8066 22,7623 22,6815 23,8223 23,8152 23,8011 23,7874 23,7477 23,6748 24,0363 24,0274 24,0099 23,9928 23,9438 23,8544 25,0010 24,9931 24,9777 24,9625 24,9189 24,8387 25,2366 25,2268 25,2076 25,1887 25,1347 25,0363 26,1885 26,1799 26,1629 26,1463 26,0985 26,0105 26,4469 26,4362 26,4151 26,3944 26,3351 26,2272 27,3849 27,3755 27,3570 27,3388 27,2866 27,1905 27,6673 27,6556 27,6325 27,6099 27,5451 27,4272 28,5903 28,5800 28,5599 28,5401 28,4832 28,3787 28,8979 28,8851 28,8599 28,8353 28,7648 28,6364 29,8047 29,7936 29,7717 29,7503 29,6885 29,5751 30,1387 30,1248 30,0975 30,0708 29,9941 29,8548 31,0282 31,0162 30,9925 30,9693 30,9025 30,7798 31,3898 31,3748 31,3452 31,3163 31,2333 31,0824 32,2609 32,2480 32,2224 32,1974 32,1252 31,9928 32,6514 32,6352 32,6032 32,5720 32,4824 32,3194 33,5029 33,4889 33,4614 33,4344 33,3567 33,2142 33,9235 33,9060 33,8716 33,8379 33,7414 33,5659 34,7542 34,7392 34,7096 34,6806 34,5972 34,4440 35,2062 35,1874 35,1504 35,1142 35,0105 34,8219 36,0148 35,9987 35,9670 35,9360 35,8465 35,6824 36,4996 36,4794 36,4397 36,4009 36,2896 36,0874 37,2849 37,2677 37,2338 37,2006 37,1049 36,9293 37,8038 37,7821 37,7397 37,6981 37,5790 37,3626 38,5646 38,5462 38,5100 38,4745 38,3723 38,1849 39,1188 39,0957 39,0503 39,0059 38,8787 38,6475 39,8538 39,8342 39,7956 39,7578 39,6489 39,4491 40,4448 40,4201 40,3717 40,3244 40,1887 39,9422 41,1527 41,1318 41,0908 41,0505 40,9346 40,7221 41,7818 41,7556 41,7040 41,6537 41,5092 41,2468 42,4614 42,4392 42,3955 42,3528 42,2296 42,0039 43,1300 43,1021 43,0473 42,9937 42,8402 42,5613 43,7798 43,7563 43,7100 43,6646 43,5340 43,2946 44,4894 44,4598 44,4016 44,3448 44,1818 43,8859 45,1082 45,0833 45,0342 44,9862 44,8478 44,5942 45,8602 45,8288 45,7671 45,7069 45,5341 45,2206 46,4465 46,4201 46,3682 46,3174 46,1710 45,9028 47,2423 47,2091 47,1438 47,0800 46,8972 46,5654 47,7948 47,7670 47,7121 47,6584 47,5038 47,2205 48,6360 48,6009 48,5319 48,4644 48,2712 47,9205 49,1533 49,1239 49,0660 49,0093 48,8461 48,5473 50,0413 50,0042 49,9313 49,8601 49,6561 49,2859 50,5219 50,4909 50,4299 50,3702 50,1982 49,8832 51,4583 51,4192 51,3423 51,2672 51,0520 50,6618 51,9009 51,8682 51,8040 51,7411 51,5600 51,2284 52,8871 52,8459 52,7649 52,6858 52,4591 52,0481 53,2901 53,2558 53,1882 53,1221 52,9316 52,5829 54,3279 54,2845 54,1993 54,1160 53,8775 53,4450

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 1 5 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 4 – B

Solo para pagos Mensuales

Del 5% y 6% anual

CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 5 % Anual para Pagos Mensuales, según el Del 6 % Anual para Pagos Mensuales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,00417 2,00417 2,00416 2,00415 2,00412 2,00407 2,00501 2,00500 2,00499 2,00498 2,00494 2,00487 3,01253 3,01252 3,01249 3,01247 3,01239 3,01224 3,01504 3,01502 3,01499 3,01495 3,01484 3,01463 4,02510 4,02507 4,02502 4,02497 4,02481 4,02451 4,03014 4,03010 4,03002 4,02995 4,02973 4,02930 5,04188 5,04184 5,04175 5,04167 5,04141 5,04091 5,05031 5,05025 5,05012 5,05000 5,04963 5,04891 6,06291 6,06285 6,06272 6,06259 6,06220 6,06144 6,07560 6,07550 6,07531 6,07512 6,07457 6,07349 7,08820 7,08811 7,08793 7,08774 7,08720 7,08614 7,10601 7,10588 7,10561 7,10535 7,10457 7,10305 8,11777 8,11764 8,11740 8,11715 8,11643 8,11501 8,14159 8,14141 8,14105 8,14070 8,13966 8,13763 9,15163 9,15147 9,15115 9,15083 9,14990 9,14807 9,18235 9,18212 9,18166 9,18120 9,17985 9,17724 10,1898 10,1896 10,1892 10,1888 10,1876 10,1853 10,2283 10,2280 10,2275 10,2269 10,2252 10,2219 11,2323 11,2321 11,2316 11,2311 11,2296 11,2268 11,2795 11,2792 11,2785 11,2778 11,2757 11,2717 12,2792 12,2789 12,2783 12,2777 12,2760 12,2726 12,3360 12,3356 12,3347 12,3339 12,3314 12,3265 13,3304 13,3300 13,3293 13,3286 13,3266 13,3226 13,3977 13,3972 13,3962 13,3952 13,3923 13,3865 14,3860 14,3856 14,3847 14,3839 14,3815 14,3769 14,4648 14,4642 14,4630 14,4619 14,4584 14,4517 15,4460 15,4455 15,4446 15,4436 15,4408 15,4354 15,5372 15,5365 15,5352 15,5338 15,5298 15,5220 16,5104 16,5099 16,5088 16,5077 16,5045 16,4983 16,6150 16,6142 16,6127 16,6111 16,6065 16,5976 17,5793 17,5786 17,5774 17,5762 17,5726 17,5655 17,6982 17,6973 17,6955 17,6938 17,6885 17,6784 18,6526 18,6519 18,6505 18,6491 18,6451 18,6371 18,7868 18,7858 18,7838 18,7818 18,7759 18,7644 19,7304 19,7296 19,7281 19,7265 19,7219 19,7130 19,8808 19,8797 19,8775 19,8752 19,8686 19,8558 20,8127 20,8118 20,8101 20,8084 20,8033 20,7933 20,9804 20,9791 20,9766 20,9741 20,9667 20,9524 21,8995 21,8985 21,8966 21,8947 21,8891 21,8781 22,0854 22,0840 22,0812 22,0785 22,0703 22,0544 22,9908 22,9898 22,9877 22,9856 22,9793 22,9672 23,1960 23,1944 23,1914 23,1883 23,1793 23,1618 24,0867 24,0856 24,0832 24,0809 24,0741 24,0608 24,3121 24,3104 24,3070 24,3037 24,2938 24,2745 25,1872 25,1859 25,1834 25,1809 25,1734 25,1588 25,4338 25,4320 25,4283 25,4246 25,4137 25,3926 26,2923 26,2909 26,2881 26,2853 26,2772 26,2613 26,5611 26,5591 26,5551 26,5511 26,5392 26,5162 27,4019 27,4004 27,3974 27,3944 27,3856 27,3683 27,6941 27,6919 27,6875 27,6832 27,6703 27,6453 28,5162 28,5146 28,5113 28,5081 28,4985 28,4798 28,8328 28,8304 28,8256 28,8209 28,8070 28,7799 29,6352 29,6334 29,6299 29,6264 29,6160 29,5958 29,9771 29,9745 29,9694 29,9643 29,9492 29,9200 30,7588 30,7569 30,7531 30,7493 30,7382 30,7164 31,1272 31,1244 31,1189 31,1134 31,0971 31,0656 31,8871 31,8850 31,8809 31,8769 31,8649 31,8415 32,2830 32,2800 32,2741 32,2682 32,2507 32,2168 33,0201 33,0179 33,0135 33,0092 32,9963 32,9713 33,4446 33,4414 33,4350 33,4287 33,4100 33,3736 34,1578 34,1554 34,1508 34,1461 34,1324 34,1056 34,6121 34,6086 34,6018 34,5950 34,5750 34,5361 35,3003 35,2978 35,2928 35,2878 35,2732 35,2445 35,7853 35,7817 35,7744 35,7671 35,7457 35,7042 36,4475 36,4448 36,4395 36,4343 36,4186 36,3881 36,9645 36,9606 36,9528 36,9451 36,9223 36,8780 37,5995 37,5967 37,5910 37,5854 37,5688 37,5364 38,1495 38,1454 38,1371 38,1289 38,1046 38,0575 38,7563 38,7533 38,7473 38,7414 38,7237 38,6893 39,3405 39,3361 39,3273 39,3186 39,2928 39,2427 39,9180 39,9148 39,9085 39,9021 39,8834 39,8469 40,5375 40,5328 40,5235 40,5142 40,4869 40,4338 41,0845 41,0811 41,0744 41,0677 41,0479 41,0093 41,7404 41,7354 41,7256 41,7158 41,6868 41,6306 42,2559 42,2523 42,2452 42,2381 42,2172 42,1763 42,9494 42,9441 42,9337 42,9233 42,8927 42,8332 43,4321 43,4283 43,4208 43,4134 43,3913 43,3482 44,1644 44,1588 44,1478 44,1369 44,1045 44,0417 44,6133 44,6093 44,6014 44,5935 44,5702 44,5248 45,3855 45,3796 45,3680 45,3565 45,3223 45,2561 45,7993 45,7952 45,7868 45,7786 45,7540 45,7062 46,6127 46,6065 46,5943 46,5821 46,5462 46,4764 46,9904 46,9860 46,9772 46,9685 46,9427 46,8924 47,8460 47,8396 47,8267 47,8139 47,7760 47,7026 48,1864 48,1818 48,1726 48,1634 48,1363 48,0834 49,0856 49,0788 49,0652 49,0518 49,0120 48,9348 49,3874 49,3825 49,3729 49,3633 49,3348 49,2793 50,3313 50,3242 50,3099 50,2958 50,2540 50,1730

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 1 6 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 4 – B (Continuación) Del 7% y 8% anual Solo para pagos Mensuales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 7 % Anual para Pagos Mensuales, según el Del 8 % Anual para Pagos Mensuales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,00584 2,00583 2,00582 2,00580 2,00575 2,00565 2,00668 2,00667 2,00664 2,00662 2,00656 2,00643 3,01756 3,01753 3,01748 3,01743 3,01728 3,01699 3,02008 3,02004 3,01998 3,01991 3,01972 3,01934 4,03519 4,03514 4,03503 4,03493 4,03463 4,03405 4,04025 4,04018 4,04004 4,03991 4,03952 4,03877 5,05876 5,05867 5,05850 5,05833 5,05783 5,05686 5,06723 5,06711 5,06689 5,06667 5,06601 5,06476 6,08831 6,08818 6,08793 6,08767 6,08691 6,08545 6,10106 6,10089 6,10056 6,10022 6,09924 6,09734 7,12388 7,12370 7,12334 7,12298 7,12191 7,11986 7,14180 7,14157 7,14109 7,14062 7,13924 7,13657 8,16550 8,16525 8,16477 8,16429 8,16287 8,16012 8,18950 8,18918 8,18854 8,18791 8,18606 8,18249 9,21320 9,21288 9,21226 9,21164 9,20980 9,20626 9,24418 9,24377 9,24295 9,24214 9,23974 9,23514 10,2670 10,2666 10,2658 10,2651 10,2628 10,2583 10,3059 10,3054 10,3044 10,3033 10,3003 10,2946 11,3270 11,3265 11,3256 11,3246 11,3218 11,3163 11,3747 11,3741 11,3728 11,3716 11,3679 11,3608 12,3932 12,3926 12,3914 12,3903 12,3869 12,3803 12,4507 12,4499 12,4484 12,4469 12,4424 12,4339 13,4656 13,4649 13,4635 13,4621 13,4581 13,4503 13,5338 13,5329 13,5311 13,5293 13,5240 13,5139 14,5442 14,5434 14,5418 14,5402 14,5355 14,5263 14,6242 14,6231 14,6210 14,6189 14,6127 14,6008 15,6292 15,6283 15,6264 15,6245 15,6191 15,6085 15,7219 15,7206 15,7182 15,7157 15,7086 15,6948 16,7205 16,7194 16,7173 16,7152 16,7089 16,6967 16,8269 16,8254 16,8226 16,8198 16,8116 16,7958 17,8182 17,8170 17,8145 17,8121 17,8049 17,7911 17,9392 17,9376 17,9344 17,9312 17,9218 17,9038 18,9223 18,9209 18,9181 18,9154 18,9073 18,8917 19,0590 19,0572 19,0536 19,0500 19,0394 19,0190 20,0328 20,0313 20,0282 20,0251 20,0160 19,9985 20,1863 20,1842 20,1802 20,1761 20,1642 20,1414 21,1498 21,1481 21,1447 21,1412 21,1311 21,1116 21,3211 21,3188 21,3143 21,3098 21,2965 21,2710 22,2734 22,2715 22,2676 22,2638 22,2526 22,2310 22,4635 22,4609 22,4559 22,4509 22,4362 22,4078 23,4035 23,4014 23,3972 23,3930 23,3806 23,3567 23,6135 23,6107 23,6051 23,5996 23,5833 23,5520 24,5402 24,5379 24,5332 24,5286 24,5150 24,4888 24,7712 24,7681 24,7619 24,7559 24,7380 24,7035 25,6836 25,6810 25,6759 25,6709 25,6560 25,6272 25,9366 25,9332 25,9265 25,9198 25,9002 25,8625 26,8336 26,8308 26,8253 26,8198 26,8035 26,7721 27,1098 27,1061 27,0987 27,0915 27,0701 27,0289 27,9904 27,9874 27,9813 27,9753 27,9576 27,9235 28,2908 28,2868 28,2788 28,2709 28,2476 28,2028 29,1539 29,1506 29,1441 29,1376 29,1184 29,0814 29,4797 29,4754 29,4667 29,4581 29,4328 29,3842 30,3242 30,3207 30,3136 30,3066 30,2858 30,2458 30,6766 30,6719 30,6625 30,6532 30,6259 30,5733 31,5014 31,4975 31,4899 31,4823 31,4600 31,4168 31,8814 31,8763 31,8662 31,8562 31,8267 31,7700 32,6854 32,6813 32,6731 32,6649 32,6409 32,5945 33,0943 33,0889 33,0780 33,0672 33,0354 32,9744 33,8763 33,8719 33,8631 33,8544 33,8286 33,7787 34,3153 34,3094 34,2978 34,2862 34,2521 34,1866 35,0742 35,0695 35,0601 35,0507 35,0231 34,9697 35,5445 35,5382 35,5257 35,5133 35,4767 35,4065 36,2791 36,2741 36,2640 36,2540 36,2245 36,1675 36,7818 36,7751 36,7617 36,7484 36,7094 36,6343 37,4911 37,4857 37,4749 37,4642 37,4328 37,3720 38,0275 38,0203 38,0060 37,9918 37,9501 37,8701 38,7101 38,7043 38,6929 38,6815 38,6480 38,5833 39,2814 39,2737 39,2585 39,2434 39,1990 39,1137 39,9362 39,9301 39,9179 39,9059 39,8702 39,8014 40,5437 40,5356 40,5194 40,5033 40,4561 40,3654 41,1695 41,1630 41,1501 41,1373 41,0995 41,0265 41,8145 41,8058 41,7886 41,7716 41,7214 41,6251 42,4100 42,4031 42,3895 42,3759 42,3358 42,2584 43,0937 43,0845 43,0663 43,0482 42,9950 42,8929 43,6578 43,6505 43,6360 43,6216 43,5792 43,4974 44,3814 44,3717 44,3524 44,3333 44,2770 44,1689 44,9128 44,9051 44,8898 44,8746 44,8298 44,7433 45,6778 45,6675 45,6471 45,6269 45,5674 45,4531 46,1752 46,1671 46,1509 46,1349 46,0876 45,9963 46,9828 46,9720 46,9504 46,9291 46,8662 46,7455 47,4449 47,4364 47,4193 47,4025 47,3526 47,2564 48,2966 48,2851 48,2624 48,2399 48,1736 48,0463 48,7221 48,7131 48,6952 48,6774 48,6249 48,5236 49,6191 49,6070 49,5831 49,5594 49,4895 49,3554 50,0067 49,9972 49,9784 49,9597 49,9045 49,7979 50,9504 50,9378 50,9125 50,8876 50,8141 50,6729 51,2989 51,2889 51,2691 51,2494 51,1914 51,0795 52,2907 52,2773 52,2508 52,2246 52,1473 51,9990

Factor: F = ⎢

N 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 1 7 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 4 – B (Continuación) Del 9% y 10% anual Solo para pagos Mensuales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 9 % Anual para Pagos Mensuales, según el Del 10 % Anual para Pagos Mensuales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,00751 2,00750 2,00747 2,00744 2,00736 2,00721 2,00835 2,00833 2,00830 2,00826 2,00816 2,00797 3,02260 3,02256 3,02247 3,02239 3,02214 3,02167 3,02512 3,02507 3,02497 3,02486 3,02456 3,02399 4,04531 4,04523 4,04506 4,04489 4,04440 4,04345 4,05038 4,05028 4,05007 4,04986 4,04926 4,04810 5,07571 5,07556 5,07528 5,07500 5,07418 5,07259 5,08421 5,08403 5,08368 5,08333 5,08232 5,08038 6,11385 6,11363 6,11320 6,11278 6,11154 6,10915 6,12666 6,12640 6,12587 6,12535 6,12381 6,12089 7,15979 7,15948 7,15888 7,15829 7,15654 7,15319 7,17783 7,17745 7,17671 7,17597 7,17381 7,16970 8,21359 8,21318 8,21237 8,21158 8,20923 8,20474 8,23777 8,23726 8,23627 8,23528 8,23239 8,22687 9,27530 9,27478 9,27374 9,27271 9,26968 9,26387 9,30656 9,30591 9,30462 9,30334 9,29960 9,29247 10,3450 10,3443 10,3430 10,3417 10,3379 10,3306 10,3843 10,3835 10,3818 10,3802 10,3755 10,3666 11,4227 11,4219 11,4203 11,4187 11,4141 11,4051 11,4710 11,4700 11,4680 11,4660 11,4602 11,4492 12,5086 12,5076 12,5056 12,5037 12,4981 12,4873 12,5668 12,5656 12,5632 12,5608 12,5538 12,5405 13,6026 13,6014 13,5991 13,5968 13,5901 13,5773 13,6717 13,6703 13,6674 13,6646 13,6563 13,6405 14,7048 14,7034 14,7007 14,6980 14,6902 14,6752 14,7859 14,7842 14,7809 14,7775 14,7678 14,7493 15,8153 15,8137 15,8106 15,8075 15,7983 15,7809 15,9094 15,9074 15,9035 15,8997 15,8884 15,8669 16,9341 16,9323 16,9287 16,9251 16,9147 16,8947 17,0422 17,0400 17,0355 17,0311 17,0181 16,9934 18,0613 18,0593 18,0552 18,0511 18,0392 18,0164 18,1845 18,1820 18,1769 18,1718 18,1571 18,1290 19,1970 19,1947 19,1901 19,1855 19,1720 19,1463 19,3364 19,3335 19,3277 19,3220 19,3053 19,2735 20,3413 20,3387 20,3335 20,3283 20,3132 20,2843 20,4979 20,4946 20,4881 20,4817 20,4629 20,4272 21,4941 21,4912 21,4854 21,4797 21,4628 21,4305 21,6690 21,6654 21,6581 21,6510 21,6300 21,5901 22,6557 22,6524 22,6460 22,6396 22,6208 22,5849 22,8500 22,8459 22,8379 22,8299 22,8066 22,7623 23,8259 23,8223 23,8152 23,8081 23,7874 23,7477 24,0408 24,0363 24,0274 24,0186 23,9928 23,9438 25,0049 25,0010 24,9931 24,9854 24,9625 24,9189 25,2415 25,2366 25,2268 25,2171 25,1887 25,1347 26,1928 26,1885 26,1799 26,1714 26,1463 26,0985 26,4523 26,4469 26,4362 26,4256 26,3944 26,3351 27,3896 27,3849 27,3755 27,3662 27,3388 27,2866 27,6732 27,6673 27,6556 27,6440 27,6099 27,5451 28,5954 28,5903 28,5800 28,5699 28,5401 28,4832 28,9043 28,8979 28,8851 28,8724 28,8353 28,7648 29,8103 29,8047 29,7936 29,7826 29,7503 29,6885 30,1457 30,1387 30,1248 30,1111 30,0708 29,9941 31,0343 31,0282 31,0162 31,0043 30,9693 30,9025 31,3974 31,3898 31,3748 31,3599 31,3163 31,2333 32,2675 32,2609 32,2480 32,2351 32,1974 32,1252 32,6596 32,6514 32,6352 32,6191 32,5720 32,4824 33,5099 33,5029 33,4889 33,4751 33,4344 33,3567 33,9323 33,9235 33,9060 33,8887 33,8379 33,7414 34,7617 34,7542 34,7392 34,7243 34,6806 34,5972 35,2157 35,2062 35,1874 35,1688 35,1142 35,0105 36,0229 36,0148 35,9987 35,9828 35,9360 35,8465 36,5098 36,4996 36,4794 36,4594 36,4009 36,2896 37,2936 37,2849 37,2677 37,2507 37,2006 37,1049 37,8147 37,8038 37,7821 37,7608 37,6981 37,5790 38,5738 38,5646 38,5462 38,5280 38,4745 38,3723 39,1304 39,1188 39,0957 39,0729 39,0059 38,8787 39,8637 39,8538 39,8342 39,8148 39,7578 39,6489 40,4572 40,4448 40,4201 40,3958 40,3244 40,1887 41,1632 41,1527 41,1318 41,1112 41,0505 40,9346 41,7951 41,7818 41,7556 41,7297 41,6537 41,5092 42,4725 42,4614 42,4392 42,4173 42,3528 42,2296 43,1441 43,1300 43,1021 43,0745 42,9937 42,8402 43,7917 43,7798 43,7563 43,7330 43,6646 43,5340 44,5044 44,4894 44,4598 44,4305 44,3448 44,1818 45,1207 45,1082 45,0833 45,0586 44,9862 44,8478 45,8760 45,8602 45,8288 45,7978 45,7069 45,5341 46,4598 46,4465 46,4201 46,3940 46,3174 46,1710 47,2591 47,2423 47,2091 47,1763 47,0800 46,8972 47,8089 47,7948 47,7670 47,7394 47,6584 47,5038 48,6537 48,6360 48,6009 48,5662 48,4644 48,2712 49,1681 49,1533 49,1239 49,0948 49,0093 48,8461 50,0600 50,0413 50,0042 49,9676 49,8601 49,6561 50,5376 50,5219 50,4909 50,4603 50,3702 50,1982 51,4781 51,4583 51,4192 51,3805 51,2672 51,0520 51,9173 51,9009 51,8682 51,8359 51,7411 51,5600 52,9079 52,8871 52,8459 52,8052 52,6858 52,4591 53,3074 53,2901 53,2558 53,2218 53,1221 52,9316 54,3498 54,3279 54,2845 54,2416 54,1160 53,8775

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 1 8 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 4 – B (Continuación) Del 12% y 14% anual Solo para pagos Mensuales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 12 % Anual para Pagos Mensuales, según el Del 14 % Anual para Pagos Mensuales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,01002 2,01000 2,00995 2,00990 2,00976 2,00949 2,01170 2,01167 2,01160 2,01153 2,01134 2,01098 3,03018 3,03010 3,02995 3,02980 3,02937 3,02856 3,03524 3,03514 3,03493 3,03473 3,03415 3,03306 4,06055 4,06040 4,06010 4,05980 4,05893 4,05729 4,07075 4,07055 4,07014 4,06973 4,06856 4,06636 5,10126 5,10101 5,10050 5,10000 5,09854 5,09579 5,11838 5,11804 5,11735 5,11667 5,11470 5,11100 6,15240 6,15202 6,15125 6,15050 6,14830 6,14415 6,17827 6,17775 6,17671 6,17568 6,17270 6,16711 7,21408 7,21354 7,21246 7,21140 7,20830 7,20245 7,25056 7,24982 7,24835 7,24691 7,24270 7,23482 8,28640 8,28567 8,28423 8,28280 8,27864 8,27079 8,33540 8,33440 8,33243 8,33049 8,32483 8,31425 9,36947 9,36853 9,36666 9,36482 9,35943 9,34927 9,43293 9,43164 9,42908 9,42656 9,41924 9,40553 10,4634 10,4622 10,4599 10,4575 10,4508 10,4380 10,5433 10,5417 10,5385 10,5353 10,5261 10,5088 11,5683 11,5668 11,5639 11,5611 11,5528 11,5370 11,6667 11,6647 11,6607 11,6568 11,6454 11,6242 12,6843 12,6825 12,6790 12,6756 12,6655 12,6465 12,8032 12,8007 12,7959 12,7912 12,7775 12,7518 13,8114 13,8093 13,8052 13,8011 13,7891 13,7665 13,9530 13,9501 13,9444 13,9387 13,9224 13,8918 14,9499 14,9474 14,9425 14,9377 14,9237 14,8971 15,1162 15,1128 15,1061 15,0995 15,0803 15,0443 16,0998 16,0969 16,0912 16,0856 16,0693 16,0385 16,2931 16,2892 16,2813 16,2736 16,2513 16,2095 17,2612 17,2579 17,2513 17,2449 17,2261 17,1907 17,4837 17,4792 17,4702 17,4613 17,4356 17,3874 18,4342 18,4304 18,4230 18,4157 18,3942 18,3538 18,6883 18,6831 18,6728 18,6627 18,6333 18,5783 19,6190 19,6147 19,6063 19,5980 19,5737 19,5279 19,9070 19,9011 19,8894 19,8780 19,8446 19,7823 20,8157 20,8109 20,8014 20,7921 20,7647 20,7132 21,1399 21,1333 21,1201 21,1072 21,0696 20,9995 22,0244 22,0190 22,0084 21,9979 21,9674 21,9098 22,3873 22,3798 22,3651 22,3506 22,3086 22,2300 23,2452 23,2392 23,2274 23,2158 23,1818 23,1177 23,6492 23,6409 23,6245 23,6084 23,5616 23,4741 24,4782 24,4716 24,4585 24,4456 24,4080 24,3370 24,9259 24,9167 24,8986 24,8807 24,8288 24,7318 25,7236 25,7163 25,7019 25,6877 25,6462 25,5680 26,2176 26,2074 26,1874 26,1677 26,1103 26,0033 26,9815 26,9735 26,9576 26,9420 26,8965 26,8106 27,5243 27,5132 27,4911 27,4694 27,4064 27,2888 28,2520 28,2432 28,2259 28,2088 28,1589 28,0650 28,8464 28,8342 28,8100 28,7863 28,7172 28,5884 29,5352 29,5256 29,5067 29,4881 29,4337 29,3313 30,1839 30,1706 30,1442 30,1183 30,0429 29,9023 30,8313 30,8209 30,8003 30,7801 30,7210 30,6096 31,5371 31,5226 31,4938 31,4656 31,3836 31,2306 32,1404 32,1291 32,1068 32,0849 32,0208 31,9000 32,9061 32,8903 32,8592 32,8285 32,7395 32,5735 33,4626 33,4504 33,4263 33,4026 33,3332 33,2027 34,2911 34,2740 34,2403 34,2071 34,1107 33,9311 34,7980 34,7849 34,7589 34,7333 34,6585 34,5178 35,6923 35,6739 35,6375 35,6016 35,4976 35,3036 36,1469 36,1327 36,1048 36,0772 35,9968 35,8453 37,1100 37,0901 37,0508 37,0122 36,9001 36,6912 37,5092 37,4941 37,4640 37,4344 37,3481 37,1855 38,5442 38,5228 38,4806 38,4391 38,3186 38,0940 38,8853 38,8690 38,8368 38,8051 38,7125 38,5383 39,9952 39,9722 39,9270 39,8824 39,7531 39,5123 40,2751 40,2577 40,2233 40,1893 40,0903 39,9040 41,4632 41,4386 41,3901 41,3424 41,2039 40,9461 41,6789 41,6603 41,6235 41,5873 41,4815 41,2826 42,9483 42,9220 42,8702 42,8192 42,6712 42,3956 43,0967 43,0769 43,0377 42,9991 42,8864 42,6743 44,4508 44,4228 44,3675 44,3130 44,1551 43,8611 44,5287 44,5076 44,4659 44,4248 44,3049 44,0793 45,9709 45,9411 45,8821 45,8241 45,6558 45,3426 45,9751 45,9527 45,9084 45,8647 45,7372 45,4975 47,5088 47,4770 47,4143 47,3526 47,1736 46,8404 47,4360 47,4123 47,3652 47,3188 47,1836 46,9292 49,0647 49,0309 48,9643 48,8987 48,7085 48,3547 48,9116 48,8864 48,8365 48,7874 48,6440 48,3745 50,6388 50,6030 50,5322 50,4627 50,2609 49,8855 50,4019 50,3752 50,3225 50,2704 50,1187 49,8336 52,2313 52,1933 52,1184 52,0447 51,8309 51,4332 51,9072 51,8790 51,8232 51,7682 51,6078 51,3064 53,8424 53,8023 53,7229 53,6449 53,4187 52,9979 53,4276 53,3978 53,3389 53,2808 53,1115 52,7933 55,4724 55,4300 55,3461 55,2636 55,0244 54,5798 54,9632 54,9318 54,8696 54,8084 54,6298 54,2942 57,1215 57,0766 56,9881 56,9010 56,6484 56,1790 56,5142 56,4811 56,4156 56,3510 56,1629 55,8094 58,7899 58,7425 58,6491 58,5572 58,2908 57,7958

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 1 9 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 4 – B (Continuación) Del 15% y 16% anual Solo para pagos Mensuales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 15 % Anual para Pagos Mensuales, según el Del 16 % Anual para Pagos Mensuales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,01254 2,01250 2,01242 2,01235 2,01213 2,01171 2,01338 2,01333 2,01325 2,01316 2,01291 2,01245 3,03777 3,03766 3,03742 3,03719 3,03653 3,03528 3,04031 3,04018 3,03991 3,03965 3,03890 3,03749 4,07587 4,07563 4,07516 4,07469 4,07335 4,07084 4,08098 4,08071 4,08018 4,07965 4,07813 4,07529 5,12697 5,12657 5,12578 5,12500 5,12274 5,11853 5,13558 5,13512 5,13422 5,13334 5,13077 5,12601 6,19126 6,19065 6,18946 6,18828 6,18486 6,17849 6,20428 6,20359 6,20223 6,20089 6,19701 6,18980 7,26889 7,26804 7,26635 7,26469 7,25986 7,25087 7,28728 7,28631 7,28438 7,28249 7,27701 7,26684 8,36004 8,35889 8,35662 8,35438 8,34790 8,33582 8,38477 8,38346 8,38087 8,37832 8,37095 8,35727 9,46486 9,46337 9,46043 9,45753 9,44913 9,43347 9,49694 9,49524 9,49188 9,48858 9,47901 9,46128 10,5835 10,5817 10,5780 10,5743 10,5637 10,5440 10,6240 10,6218 10,6176 10,6134 10,6014 10,5790 11,7163 11,7139 11,7094 11,7049 11,6918 11,6675 11,7661 11,7635 11,7582 11,7531 11,7382 11,7107 12,8632 12,8604 12,8548 12,8494 12,8336 12,8042 12,9235 12,9203 12,9140 12,9078 12,8898 12,8564 14,0245 14,0211 14,0145 14,0080 13,9892 13,9542 14,0964 14,0926 14,0850 14,0776 14,0562 14,0164 15,2003 15,1964 15,1886 15,1810 15,1589 15,1177 15,2850 15,2805 15,2716 15,2629 15,2376 15,1909 16,3909 16,3863 16,3773 16,3684 16,3427 16,2948 16,4895 16,4842 16,4739 16,4637 16,4343 16,3799 17,5964 17,5912 17,5808 17,5705 17,5409 17,4857 17,7101 17,7040 17,6921 17,6804 17,6465 17,5838 18,8171 18,8111 18,7992 18,7875 18,7536 18,6905 18,9470 18,9401 18,9264 18,9130 18,8743 18,8026 20,0530 20,0462 20,0327 20,0194 19,9810 19,9095 20,2004 20,1926 20,1771 20,1619 20,1180 20,0366 21,3045 21,2968 21,2816 21,2666 21,2233 21,1427 21,4707 21,4618 21,4444 21,4273 21,3777 21,2860 22,5716 22,5630 22,5459 22,5292 22,4806 22,3904 22,7579 22,7480 22,7284 22,7092 22,6537 22,5509 23,8546 23,8450 23,8260 23,8074 23,7532 23,6527 24,0624 24,0513 24,0295 24,0081 23,9461 23,8315 25,1538 25,1431 25,1220 25,1013 25,0413 24,9298 25,3843 25,3720 25,3478 25,3240 25,2552 25,1281 26,4692 26,4574 26,4341 26,4112 26,3449 26,2218 26,7238 26,7103 26,6835 26,6572 26,5813 26,4408 27,8011 27,7881 27,7625 27,7373 27,6644 27,5290 28,0814 28,0664 28,0370 28,0080 27,9244 27,7699 29,1497 29,1354 29,1074 29,0798 28,9999 28,8515 29,4570 29,4406 29,4083 29,3766 29,2849 29,1155 30,5152 30,4996 30,4690 30,4388 30,3515 30,1895 30,8511 30,8332 30,7978 30,7632 30,6630 30,4778 31,8978 31,8809 31,8475 31,8147 31,7196 31,5432 32,2638 32,2443 32,2058 32,1680 32,0588 31,8571 33,2978 33,2794 33,2431 33,2075 33,1042 32,9127 33,6954 33,6742 33,6324 33,5913 33,4727 33,2536 34,7153 34,6954 34,6561 34,6175 34,5057 34,2983 35,1462 35,1232 35,0779 35,0334 34,9048 34,6674 36,1506 36,1291 36,0866 36,0449 35,9241 35,7001 36,6164 36,5915 36,5425 36,4944 36,3554 36,0989 37,6039 37,5807 37,5349 37,4900 37,3597 37,1183 38,1062 38,0794 38,0265 37,9746 37,8247 37,5481 39,0754 39,0504 39,0012 38,9528 38,8128 38,5531 39,6160 39,5871 39,5302 39,4743 39,3130 39,0154 40,5654 40,5386 40,4857 40,4338 40,2834 40,0048 41,1460 41,1149 41,0538 40,9938 40,8205 40,5010 42,0740 42,0453 41,9887 41,9330 41,7719 41,4734 42,6964 42,6631 42,5976 42,5333 42,3475 42,0050 43,6016 43,5709 43,5103 43,4508 43,2785 42,9593 44,2676 44,2320 44,1618 44,0930 43,8942 43,5278 45,1483 45,1155 45,0508 44,9873 44,8033 44,4625 45,8598 45,8217 45,7468 45,6732 45,4608 45,0695 46,7144 46,6794 46,6105 46,5427 46,3466 45,9834 47,4733 47,4327 47,3527 47,2742 47,0477 46,6304 48,3002 48,2629 48,1895 48,1174 47,9086 47,5221 49,1084 49,0651 48,9799 48,8963 48,6550 48,2107 49,9058 49,8662 49,7881 49,7115 49,4896 49,0788 50,7653 50,7193 50,6287 50,5398 50,2832 49,8107 51,5316 51,4896 51,4067 51,3253 51,0897 50,6538 52,4445 52,3956 52,2993 52,2049 51,9323 51,4306 53,1777 53,1332 53,0453 52,9590 52,7092 52,2472 54,1461 54,0942 53,9920 53,8918 53,6027 53,0707 54,8445 54,7973 54,7042 54,6128 54,3484 53,8593 55,8704 55,8155 55,7072 55,6010 55,2947 54,7311 56,5322 56,4823 56,3838 56,2871 56,0074 55,4902 57,6178 57,5597 57,4451 57,3327 57,0085 56,4123 58,2411 58,1883 58,0843 57,9821 57,6866 57,1403 59,3886 59,3271 59,2060 59,0872 58,7445 58,1143 59,9714 59,9157 59,8058 59,6980 59,3861 58,8097 61,1831 61,1182 60,9902 60,8647 60,5028 59,8376

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 2 0 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 4 – B (Continuación) Del 18% y 20% anual Solo para pagos Mensuales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 18 % Anual para Pagos Mensuales, según el Del 20 % Anual para Pagos Mensuales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,01506 2,01500 2,01489 2,01478 2,01447 2,01389 2,01674 2,01667 2,01653 2,01640 2,01601 2,01531 3,04540 3,04522 3,04489 3,04456 3,04361 3,04186 3,05049 3,05028 3,04986 3,04946 3,04829 3,04616 4,09125 4,09090 4,09022 4,08956 4,08764 4,08410 4,10154 4,10112 4,10028 4,09946 4,09710 4,09280 5,15285 5,15227 5,15112 5,15001 5,14677 5,14083 5,17019 5,16947 5,16806 5,16667 5,16270 5,15546 6,23043 6,22955 6,22782 6,22612 6,22123 6,21222 6,25671 6,25563 6,25348 6,25139 6,24537 6,23438 7,32424 7,32299 7,32055 7,31815 7,31123 7,29850 7,36143 7,35989 7,35685 7,35389 7,34537 7,32983 8,43451 8,43284 8,42954 8,42632 8,41700 8,39987 8,48463 8,48255 8,47846 8,47447 8,46298 8,44204 9,56150 9,55933 9,55505 9,55086 9,53876 9,51653 9,62663 9,62393 9,61861 9,61342 9,59849 9,57129 10,7055 10,7027 10,6973 10,6920 10,6768 10,6487 10,7877 10,7843 10,7776 10,7710 10,7522 10,7178 11,8666 11,8633 11,8566 11,8501 11,8312 11,7966 11,9683 11,9641 11,9558 11,9476 11,9243 11,8819 13,0453 13,0412 13,0331 13,0252 13,0024 12,9604 13,1686 13,1635 13,1534 13,1435 13,1153 13,0638 14,2417 14,2368 14,2272 14,2177 14,1905 14,1404 14,3890 14,3829 14,3708 14,3591 14,3253 14,2638 15,4562 15,4504 15,4390 15,4279 15,3958 15,3368 15,6298 15,6226 15,6084 15,5945 15,5546 15,4822 16,6889 16,6821 16,6689 16,6559 16,6185 16,5498 16,8914 16,8829 16,8664 16,8502 16,8037 16,7192 17,9401 17,9324 17,9171 17,9021 17,8589 17,7797 18,1741 18,1643 18,1452 18,1265 18,0728 17,9752 19,2103 19,2014 19,1838 19,1667 19,1173 19,0266 19,4782 19,4671 19,4451 19,4237 19,3621 19,2504 20,4995 20,4894 20,4695 20,4500 20,3938 20,2909 20,8042 20,7915 20,7665 20,7421 20,6722 20,5451 21,8081 21,7967 21,7742 21,7522 21,6888 21,5727 22,1524 22,1380 22,1098 22,0822 22,0032 21,8596 23,1365 23,1237 23,0984 23,0737 23,0026 22,8723 23,5232 23,5070 23,4753 23,4443 23,3555 23,1943 24,4848 24,4705 24,4424 24,4148 24,3354 24,1899 24,9168 24,8988 24,8633 24,8287 24,7294 24,5494 25,8535 25,8376 25,8063 25,7756 25,6874 25,5259 26,3339 26,3138 26,2743 26,2358 26,1254 25,9252 27,2427 27,2251 27,1905 27,1566 27,0590 26,8804 27,7746 27,7523 27,7087 27,6660 27,5437 27,3221 28,6529 28,6335 28,5954 28,5580 28,4505 28,2537 29,2394 29,2149 29,1667 29,1196 28,9848 28,7404 30,0843 30,0630 30,0211 29,9801 29,8621 29,6461 30,7288 30,7018 30,6488 30,5971 30,4489 30,1804 31,5373 31,5140 31,4681 31,4232 31,2941 31,0579 32,2430 32,2135 32,1554 32,0987 31,9364 31,6424 33,0121 32,9867 32,9367 32,8877 32,7468 32,4892 33,7827 33,7504 33,6870 33,6250 33,4478 33,1269 34,5091 34,4815 34,4270 34,3738 34,2205 33,9404 35,3481 35,3129 35,2438 35,1764 34,9833 34,6340 36,0287 35,9987 35,9396 35,8818 35,7156 35,4118 36,9397 36,9014 36,8264 36,7531 36,5435 36,1642 37,5712 37,5387 37,4747 37,4122 37,2323 36,9036 38,5579 38,5165 38,4351 38,3558 38,1286 37,7179 39,1369 39,1018 39,0327 38,9652 38,7709 38,4162 40,2032 40,1584 40,0705 39,9846 39,7391 39,2953 40,7261 40,6883 40,6139 40,5411 40,3318 39,9497 41,8760 41,8277 41,7328 41,6403 41,3754 40,8969 42,3393 42,2986 42,2186 42,1403 41,9152 41,5045 43,5769 43,5248 43,4227 43,3230 43,0379 42,5230 43,9768 43,9331 43,8472 43,7632 43,5216 43,0810 45,3062 45,2502 45,1405 45,0333 44,7270 44,1740 45,6389 45,5921 45,5000 45,4100 45,1512 44,6793 47,0644 47,0044 46,8866 46,7717 46,4432 45,8503 47,3260 47,2760 47,1775 47,0812 46,8044 46,2998 48,8521 48,7878 48,6617 48,5386 48,1868 47,5523 49,0386 48,9851 48,8799 48,7771 48,4815 47,9429 50,6697 50,6010 50,4660 50,3345 49,9584 49,2803 50,7769 50,7199 50,6077 50,4980 50,1829 49,6087 52,5177 52,4443 52,3003 52,1598 51,7583 51,0347 52,5414 52,4807 52,3612 52,2444 51,9088 51,2977 54,3967 54,3184 54,1648 54,0150 53,5871 52,8160 54,3325 54,2679 54,1408 54,0166 53,6598 53,0101 56,3070 56,2237 56,0601 55,9006 55,4451 54,6246 56,1506 56,0819 55,9469 55,8150 55,4361 54,7464 58,2494 58,1607 57,9868 57,8172 57,3329 56,4609 57,9960 57,9231 57,7799 57,6399 57,2380 56,5067 60,2243 60,1301 59,9453 59,7652 59,2509 58,3253 59,8692 59,7920 59,6402 59,4919 59,0661 58,2915 62,2322 62,1323 61,9362 61,7451 61,1996 60,2182 61,7706 61,6889 61,5282 61,3712 60,9205 60,1011 64,2737 64,1678 63,9600 63,7575 63,1795 62,1401 63,7006 63,6142 63,4443 63,2783 62,8019 61,9358 66,3494 66,2373 66,0173 65,8029 65,1911 64,0915

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 2 1 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 4 – C

Del 5% y 6% anual Solo para pagos Bimestrales

CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 5 % Anual para Pagos Bimestrales, según el Del 6 % Anual para Pagos Bimestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,00836 2,00835 2,00833 2,00832 2,00826 2,00816 2,01004 2,01002 2,01000 2,00998 2,00990 2,00976 3,02515 3,02512 3,02507 3,02502 3,02486 3,02456 3,03021 3,03018 3,03010 3,03002 3,02980 3,02937 4,05044 4,05038 4,05028 4,05017 4,04986 4,04926 4,06063 4,06055 4,06040 4,06025 4,05980 4,05893 5,08430 5,08421 5,08403 5,08386 5,08333 5,08232 5,10139 5,10126 5,10101 5,10075 5,10000 5,09854 6,12680 6,12666 6,12640 6,12613 6,12535 6,12381 6,15259 6,15240 6,15202 6,15163 6,15050 6,14830 7,17801 7,17783 7,17745 7,17708 7,17597 7,17381 7,21435 7,21408 7,21354 7,21300 7,21140 7,20830 8,23802 8,23777 8,23726 8,23676 8,23528 8,23239 8,28677 8,28640 8,28567 8,28495 8,28280 8,27864 9,30688 9,30656 9,30591 9,30526 9,30334 9,29960 9,36994 9,36947 9,36853 9,36759 9,36482 9,35943 10,3847 10,3843 10,3835 10,3826 10,3802 10,3755 10,4640 10,4634 10,4622 10,4610 10,4575 10,4508 11,4715 11,4710 11,4700 11,4690 11,4660 11,4602 11,5690 11,5683 11,5668 11,5654 11,5611 11,5528 12,5674 12,5668 12,5656 12,5644 12,5608 12,5538 12,6852 12,6843 12,6825 12,6808 12,6756 12,6655 13,6724 13,6717 13,6703 13,6688 13,6646 13,6563 13,8125 13,8114 13,8093 13,8072 13,8011 13,7891 14,7867 14,7859 14,7842 14,7825 14,7775 14,7678 14,9511 14,9499 14,9474 14,9450 14,9377 14,9237 15,9103 15,9094 15,9074 15,9055 15,8997 15,8884 16,1012 16,0998 16,0969 16,0941 16,0856 16,0693 17,0433 17,0422 17,0400 17,0377 17,0311 17,0181 17,2628 17,2612 17,2579 17,2546 17,2449 17,2261 18,1858 18,1845 18,1820 18,1794 18,1718 18,1571 18,4361 18,4342 18,4304 18,4267 18,4157 18,3942 19,3378 19,3364 19,3335 19,3306 19,3220 19,3053 19,6211 19,6190 19,6147 19,6105 19,5980 19,5737 20,4995 20,4979 20,4946 20,4913 20,4817 20,4629 20,8181 20,8157 20,8109 20,8061 20,7921 20,7647 21,6709 21,6690 21,6654 21,6618 21,6510 21,6300 22,0271 22,0244 22,0190 22,0137 21,9979 21,9674 22,8520 22,8500 22,8459 22,8419 22,8299 22,8066 23,2482 23,2452 23,2392 23,2333 23,2158 23,1818 24,0430 24,0408 24,0363 24,0318 24,0186 23,9928 24,4815 24,4782 24,4716 24,4650 24,4456 24,4080 25,2440 25,2415 25,2366 25,2317 25,2171 25,1887 25,7272 25,7236 25,7163 25,7091 25,6877 25,6462 26,4551 26,4523 26,4469 26,4415 26,4256 26,3944 26,9855 26,9815 26,9735 26,9655 26,9420 26,8965 27,6762 27,6732 27,6673 27,6614 27,6440 27,6099 28,2564 28,2520 28,2432 28,2345 28,2088 28,1589 28,9076 28,9043 28,8979 28,8915 28,8724 28,8353 29,5400 29,5352 29,5256 29,5162 29,4881 29,4337 30,1492 30,1457 30,1387 30,1317 30,1111 30,0708 30,8365 30,8313 30,8209 30,8106 30,7801 30,7210 31,4012 31,3974 31,3898 31,3823 31,3599 31,3163 32,1460 32,1404 32,1291 32,1179 32,0849 32,0208 32,6637 32,6596 32,6514 32,6433 32,6191 32,5720 33,4687 33,4626 33,4504 33,4383 33,4026 33,3332 33,9368 33,9323 33,9235 33,9147 33,8887 33,8379 34,8046 34,7980 34,7849 34,7719 34,7333 34,6585 35,2205 35,2157 35,2062 35,1968 35,1688 35,1142 36,1540 36,1469 36,1327 36,1187 36,0772 35,9968 36,5149 36,5098 36,4996 36,4895 36,4594 36,4009 37,5169 37,5092 37,4941 37,4790 37,4344 37,3481 37,8201 37,8147 37,8038 37,7929 37,7608 37,6981 38,8934 38,8853 38,8690 38,8529 38,8051 38,7125 39,1363 39,1304 39,1188 39,1072 39,0729 39,0059 40,2838 40,2751 40,2577 40,2404 40,1893 40,0903 40,4635 40,4572 40,4448 40,4324 40,3958 40,3244 41,6882 41,6789 41,6603 41,6418 41,5873 41,4815 41,8017 41,7951 41,7818 41,7687 41,7297 41,6537 43,1066 43,0967 43,0769 43,0572 42,9991 42,8864 43,1511 43,1441 43,1300 43,1160 43,0745 42,9937 44,5393 44,5287 44,5076 44,4867 44,4248 44,3049 44,5119 44,5044 44,4894 44,4746 44,4305 44,3448 45,9864 45,9751 45,9527 45,9305 45,8647 45,7372 45,8840 45,8760 45,8602 45,8444 45,7978 45,7069 47,4480 47,4360 47,4123 47,3886 47,3188 47,1836 47,2675 47,2591 47,2423 47,2257 47,1763 47,0800 48,9242 48,9116 48,8864 48,8614 48,7874 48,6440 48,6626 48,6537 48,6360 48,6184 48,5662 48,4644 50,4153 50,4019 50,3752 50,3488 50,2704 50,1187 50,0694 50,0600 50,0413 50,0227 49,9676 49,8601 51,9214 51,9072 51,8790 51,8510 51,7682 51,6078 51,4880 51,4781 51,4583 51,4387 51,3805 51,2672 53,4425 53,4276 53,3978 53,3682 53,2808 53,1115 52,9184 52,9079 52,8871 52,8665 52,8052 52,6858 54,9790 54,9632 54,9318 54,9006 54,8084 54,6298 54,3608 54,3498 54,3279 54,3061 54,2416 54,1160 56,5308 56,5142 56,4811 56,4482 56,3510 56,1629

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 2 2 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 4 – C (Continuación) Del 7% y 8% anual Solo para pagos Bimestrales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 7 % Anual para Pagos Bimestrales, según el Del 8 % Anual para Pagos Bimestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,01172 2,01170 2,01167 2,01163 2,01153 2,01134 2,01340 2,01338 2,01333 2,01329 2,01316 2,01291 3,03529 3,03524 3,03514 3,03503 3,03473 3,03415 3,04038 3,04031 3,04018 3,04004 3,03965 3,03890 4,07086 4,07075 4,07055 4,07034 4,06973 4,06856 4,08112 4,08098 4,08071 4,08044 4,07965 4,07813 5,11856 5,11838 5,11804 5,11769 5,11667 5,11470 5,13581 5,13558 5,13512 5,13467 5,13334 5,13077 6,17854 6,17827 6,17775 6,17722 6,17568 6,17270 6,20463 6,20428 6,20359 6,20291 6,20089 6,19701 7,25094 7,25056 7,24982 7,24908 7,24691 7,24270 7,28777 7,28728 7,28631 7,28534 7,28249 7,27701 8,33590 8,33540 8,33440 8,33341 8,33049 8,32483 8,38543 8,38477 8,38346 8,38216 8,37832 8,37095 9,43358 9,43293 9,43164 9,43035 9,42656 9,41924 9,49780 9,49694 9,49524 9,49355 9,48858 9,47901 10,5441 10,5433 10,5417 10,5401 10,5353 10,5261 10,6251 10,6240 10,6218 10,6197 10,6134 10,6014 11,6677 11,6667 11,6647 11,6627 11,6568 11,6454 11,7674 11,7661 11,7635 11,7608 11,7531 11,7382 12,8044 12,8032 12,8007 12,7983 12,7912 12,7775 12,9251 12,9235 12,9203 12,9171 12,9078 12,8898 13,9544 13,9530 13,9501 13,9472 13,9387 13,9224 14,0983 14,0964 14,0926 14,0888 14,0776 14,0562 15,1179 15,1162 15,1128 15,1095 15,0995 15,0803 15,2872 15,2850 15,2805 15,2760 15,2629 15,2376 16,2951 16,2931 16,2892 16,2852 16,2736 16,2513 16,4921 16,4895 16,4842 16,4790 16,4637 16,4343 17,4860 17,4837 17,4792 17,4747 17,4613 17,4356 17,7131 17,7101 17,7040 17,6980 17,6804 17,6465 18,6909 18,6883 18,6831 18,6780 18,6627 18,6333 18,9505 18,9470 18,9401 18,9332 18,9130 18,8743 19,9100 19,9070 19,9011 19,8952 19,8780 19,8446 20,2044 20,2004 20,1926 20,1848 20,1619 20,1180 21,1433 21,1399 21,1333 21,1267 21,1072 21,0696 21,4751 21,4707 21,4618 21,4531 21,4273 21,3777 22,3910 22,3873 22,3798 22,3724 22,3506 22,3086 22,7629 22,7579 22,7480 22,7382 22,7092 22,6537 23,6534 23,6492 23,6409 23,6327 23,6084 23,5616 24,0679 24,0624 24,0513 24,0403 24,0081 23,9461 24,9305 24,9259 24,9167 24,9076 24,8807 24,8288 25,3904 25,3843 25,3720 25,3598 25,3240 25,2552 26,2227 26,2176 26,2074 26,1974 26,1677 26,1103 26,7307 26,7238 26,7103 26,6968 26,6572 26,5813 27,5300 27,5243 27,5132 27,5021 27,4694 27,4064 28,0889 28,0814 28,0664 28,0516 28,0080 27,9244 28,8525 28,8464 28,8342 28,8220 28,7863 28,7172 29,4653 29,4570 29,4406 29,4244 29,3766 29,2849 30,1906 30,1839 30,1706 30,1573 30,1183 30,0429 30,8601 30,8511 30,8332 30,8154 30,7632 30,6630 31,5444 31,5371 31,5226 31,5081 31,4656 31,3836 32,2736 32,2638 32,2443 32,2249 32,1680 32,0588 32,9140 32,9061 32,8903 32,8747 32,8285 32,7395 33,7061 33,6954 33,6742 33,6532 33,5913 33,4727 34,2997 34,2911 34,2740 34,2571 34,2071 34,1107 35,1578 35,1462 35,1232 35,1004 35,0334 34,9048 35,7016 35,6923 35,6739 35,6556 35,6016 35,4976 36,6289 36,6164 36,5915 36,5669 36,4944 36,3554 37,1200 37,1100 37,0901 37,0704 37,0122 36,9001 38,1197 38,1062 38,0794 38,0528 37,9746 37,8247 38,5549 38,5442 38,5228 38,5016 38,4391 38,3186 39,6305 39,6160 39,5871 39,5585 39,4743 39,3130 40,0067 39,9952 39,9722 39,9495 39,8824 39,7531 41,1616 41,1460 41,1149 41,0842 40,9938 40,8205 41,4755 41,4632 41,4386 41,4142 41,3424 41,2039 42,7132 42,6964 42,6631 42,6302 42,5333 42,3475 42,9615 42,9483 42,9220 42,8960 42,8192 42,6712 44,2855 44,2676 44,2320 44,1967 44,0930 43,8942 44,4649 44,4508 44,4228 44,3950 44,3130 44,1551 45,8790 45,8598 45,8217 45,7841 45,6732 45,4608 45,9860 45,9709 45,9411 45,9115 45,8241 45,6558 47,4937 47,4733 47,4327 47,3925 47,2742 47,0477 47,5248 47,5088 47,4770 47,4455 47,3526 47,1736 49,1302 49,1084 49,0651 49,0223 48,8963 48,6550 49,0817 49,0647 49,0309 48,9975 48,8987 48,7085 50,7885 50,7653 50,7193 50,6738 50,5398 50,2832 50,6568 50,6388 50,6030 50,5675 50,4627 50,2609 52,4691 52,4445 52,3956 52,3472 52,2049 51,9323 52,2504 52,2313 52,1933 52,1557 52,0447 51,8309 54,1722 54,1461 54,0942 54,0429 53,8918 53,6027 53,8627 53,8424 53,8023 53,7624 53,6449 53,4187 55,8981 55,8704 55,8155 55,7611 55,6010 55,2947 55,4938 55,4724 55,4300 55,3878 55,2636 55,0244 57,6471 57,6178 57,5597 57,5021 57,3327 57,0085 57,1441 57,1215 57,0766 57,0322 56,9010 56,6484 59,4196 59,3886 59,3271 59,2662 59,0872 58,7445 58,8137 58,7899 58,7425 58,6956 58,5572 58,2908 61,2159 61,1831 61,1182 61,0538 60,8647 60,5028

Factor: F = ⎢

N 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 2 3 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 4 – C (Continuación) Del 9% y 10% anual Solo para pagos Bimestrales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 9 % Anual para Pagos Bimestrales, según el Del 10 % Anual para Pagos Bimestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,01508 2,01506 2,01500 2,01494 2,01478 2,01447 2,01677 2,01674 2,01667 2,01660 2,01640 2,01601 3,04548 3,04540 3,04522 3,04506 3,04456 3,04361 3,05059 3,05049 3,05028 3,05007 3,04946 3,04829 4,09142 4,09125 4,09090 4,09056 4,08956 4,08764 4,10176 4,10154 4,10112 4,10069 4,09946 4,09710 5,15314 5,15285 5,15227 5,15169 5,15001 5,14677 5,17055 5,17019 5,16947 5,16876 5,16667 5,16270 6,23087 6,23043 6,22955 6,22868 6,22612 6,22123 6,25726 6,25671 6,25563 6,25455 6,25139 6,24537 7,32486 7,32424 7,32299 7,32176 7,31815 7,31123 7,36220 7,36143 7,35989 7,35836 7,35389 7,34537 8,43535 8,43451 8,43284 8,43118 8,42632 8,41700 8,48568 8,48463 8,48255 8,48050 8,47447 8,46298 9,56260 9,56150 9,55933 9,55718 9,55086 9,53876 9,62799 9,62663 9,62393 9,62125 9,61342 9,59849 10,7068 10,7055 10,7027 10,7000 10,6920 10,6768 10,7895 10,7877 10,7843 10,7809 10,7710 10,7522 11,8684 11,8666 11,8633 11,8599 11,8501 11,8312 11,9704 11,9683 11,9641 11,9599 11,9476 11,9243 13,0474 13,0453 13,0412 13,0371 13,0252 13,0024 13,1712 13,1686 13,1635 13,1584 13,1435 13,1153 14,2442 14,2417 14,2368 14,2320 14,2177 14,1905 14,3921 14,3890 14,3829 14,3768 14,3591 14,3253 15,4591 15,4562 15,4504 15,4447 15,4279 15,3958 15,6334 15,6298 15,6226 15,6154 15,5945 15,5546 16,6923 16,6889 16,6821 16,6755 16,6559 16,6185 16,8956 16,8914 16,8829 16,8746 16,8502 16,8037 17,9441 17,9401 17,9324 17,9247 17,9021 17,8589 18,1790 18,1741 18,1643 18,1547 18,1265 18,0728 19,2147 19,2103 19,2014 19,1926 19,1667 19,1173 19,4839 19,4782 19,4671 19,4560 19,4237 19,3621 20,5046 20,4995 20,4894 20,4794 20,4500 20,3938 20,8106 20,8042 20,7915 20,7790 20,7421 20,6722 21,8139 21,8081 21,7967 21,7854 21,7522 21,6888 22,1597 22,1524 22,1380 22,1238 22,0822 22,0032 23,1429 23,1365 23,1237 23,1110 23,0737 23,0026 23,5313 23,5232 23,5070 23,4911 23,4443 23,3555 24,4920 24,4848 24,4705 24,4564 24,4148 24,3354 24,9259 24,9168 24,8988 24,8810 24,8287 24,7294 25,8615 25,8535 25,8376 25,8219 25,7756 25,6874 26,3440 26,3339 26,3138 26,2939 26,2358 26,1254 27,2516 27,2427 27,2251 27,2077 27,1566 27,0590 27,7858 27,7746 27,7523 27,7304 27,6660 27,5437 28,6627 28,6529 28,6335 28,6143 28,5580 28,4505 29,2518 29,2394 29,2149 29,1906 29,1196 28,9848 30,0950 30,0843 30,0630 30,0420 29,9801 29,8621 30,7424 30,7288 30,7018 30,6751 30,5971 30,4489 31,5490 31,5373 31,5140 31,4909 31,4232 31,2941 32,2580 32,2430 32,2135 32,1843 32,0987 31,9364 33,0249 33,0121 32,9867 32,9615 32,8877 32,7468 33,7990 33,7827 33,7504 33,7185 33,6250 33,4478 34,5231 34,5091 34,4815 34,4541 34,3738 34,2205 35,3658 35,3481 35,3129 35,2781 35,1764 34,9833 36,0439 36,0287 35,9987 35,9690 35,8818 35,7156 36,9589 36,9397 36,9014 36,8637 36,7531 36,5435 37,5876 37,5712 37,5387 37,5065 37,4122 37,2323 38,5788 38,5579 38,5165 38,4755 38,3558 38,1286 39,1546 39,1369 39,1018 39,0671 38,9652 38,7709 40,2258 40,2032 40,1584 40,1142 39,9846 39,7391 40,7452 40,7261 40,6883 40,6509 40,5411 40,3318 41,9004 41,8760 41,8277 41,7800 41,6403 41,3754 42,3598 42,3393 42,2986 42,2584 42,1403 41,9152 43,6031 43,5769 43,5248 43,4734 43,3230 43,0379 43,9988 43,9768 43,9331 43,8899 43,7632 43,5216 45,3344 45,3062 45,2502 45,1950 45,0333 44,7270 45,6625 45,6389 45,5921 45,5458 45,4100 45,1512 47,0947 47,0644 47,0044 46,9452 46,7717 46,4432 47,3513 47,3260 47,2760 47,2265 47,0812 46,8044 48,8846 48,8521 48,7878 48,7244 48,5386 48,1868 49,0656 49,0386 48,9851 48,9322 48,7771 48,4815 50,7044 50,6697 50,6010 50,5331 50,3345 49,9584 50,8057 50,7769 50,7199 50,6635 50,4980 50,1829 52,5548 52,5177 52,4443 52,3718 52,1598 51,7583 52,5721 52,5414 52,4807 52,4206 52,2444 51,9088 54,4362 54,3967 54,3184 54,2411 54,0150 53,5871 54,3651 54,3325 54,2679 54,2040 54,0166 53,6598 56,3491 56,3070 56,2237 56,1414 55,9006 55,4451 56,1852 56,1506 56,0819 56,0140 55,8150 55,4361 58,2942 58,2494 58,1607 58,0732 57,8172 57,3329 58,0327 57,9960 57,9231 57,8511 57,6399 57,2380 60,2718 60,2243 60,1301 60,0371 59,7652 59,2509 59,9081 59,8692 59,7920 59,7157 59,4919 59,0661 62,2827 62,2322 62,1323 62,0336 61,7451 61,1996 61,8118 61,7706 61,6889 61,6081 61,3712 60,9205 64,3272 64,2737 64,1678 64,0632 63,7575 63,1795 63,7442 63,7006 63,6142 63,5288 63,2783 62,8019 66,4060 66,3494 66,2373 66,1266 65,8029 65,1911

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 2 4 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 4 – C (Continuación) Del 12% y 14% anual Solo para pagos Bimestrales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 12 % Anual para Pagos Bimestrales, según el Del 14 % Anual para Pagos Bimestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,02015 2,02010 2,02000 2,01990 2,01961 2,01907 2,02354 2,02347 2,02333 2,02320 2,02281 2,02208 3,06086 3,06070 3,06040 3,06010 3,05922 3,05757 3,07117 3,07096 3,07054 3,07014 3,06895 3,06672 4,12254 4,12222 4,12161 4,12100 4,11922 4,11587 4,14346 4,14303 4,14219 4,14136 4,13895 4,13443 5,20561 5,20508 5,20404 5,20301 5,20001 5,19435 5,24099 5,24027 5,23884 5,23744 5,23335 5,22571 6,31050 6,30970 6,30812 6,30656 6,30200 6,29339 6,36435 6,36325 6,36108 6,35894 6,35272 6,34109 7,43766 7,43653 7,43428 7,43207 7,42560 7,41339 7,51416 7,51260 7,50951 7,50647 7,49762 7,48109 8,58753 8,58600 8,58297 8,57998 8,57124 8,55475 8,69103 8,68891 8,68473 8,68061 8,66864 8,64625 9,76058 9,75858 9,75463 9,75073 9,73934 9,71787 9,89560 9,89284 9,88737 9,88199 9,86636 9,83715 10,9573 10,9547 10,9497 10,9448 10,9304 10,9032 11,1285 11,1250 11,1181 11,1112 11,0914 11,0543 12,1781 12,1749 12,1687 12,1626 12,1447 12,1111 12,3905 12,3861 12,3775 12,3690 12,3444 12,2984 13,4234 13,4196 13,4121 13,4046 13,3829 13,3420 13,6821 13,6768 13,6663 13,6560 13,6260 13,5699 14,6939 14,6894 14,6803 14,6714 14,6454 14,5964 15,0042 14,9978 14,9852 14,9728 14,9367 14,8695 15,9900 15,9846 15,9739 15,9634 15,9326 15,8747 16,3574 16,3498 16,3348 16,3201 16,2774 16,1978 17,3122 17,3059 17,2934 17,2811 17,2451 17,1774 17,7424 17,7335 17,7160 17,6988 17,6487 17,5554 18,6611 18,6538 18,6393 18,6250 18,5834 18,5049 19,1600 19,1497 19,1294 19,1094 19,0513 18,9430 20,0371 20,0287 20,0121 19,9957 19,9478 19,8578 20,6110 20,5991 20,5757 20,5527 20,4858 20,3613 21,4409 21,4313 21,4123 21,3936 21,3391 21,2364 22,0961 22,0826 22,0558 22,0295 21,9531 21,8108 22,8729 22,8621 22,8406 22,8194 22,7576 22,6413 23,6162 23,6009 23,5704 23,5406 23,4538 23,2923 24,3338 24,3216 24,2974 24,2735 24,2039 24,0731 25,1721 25,1547 25,1204 25,0867 24,9888 24,8066 25,8242 25,8104 25,7833 25,7566 25,6786 25,5321 26,7646 26,7451 26,7066 26,6687 26,5587 26,3543 27,3445 27,3292 27,2990 27,2692 27,1823 27,0189 28,3946 28,3728 28,3297 28,2874 28,1645 27,9361 28,8955 28,8785 28,8450 28,8119 28,7154 28,5341 30,0630 30,0387 29,9907 29,9436 29,8069 29,5529 30,4778 30,4590 30,4219 30,3853 30,2786 30,0782 31,7706 31,7437 31,6905 31,6383 31,4868 31,2054 32,0919 32,0712 32,0303 31,9900 31,8724 31,6517 33,5185 33,4887 33,4300 33,3723 33,2050 32,8944 33,7386 33,7159 33,6709 33,6266 33,4975 33,2552 35,3074 35,2747 35,2100 35,1465 34,9624 34,6206 35,4184 35,3936 35,3443 35,2958 35,1545 34,8893 37,1385 37,1025 37,0316 36,9619 36,7598 36,3850 37,1321 37,1050 37,0512 36,9983 36,8440 36,5546 39,0127 38,9733 38,8956 38,8193 38,5983 38,1883 38,8804 38,8508 38,7922 38,7346 38,5666 38,2516 40,9310 40,8880 40,8032 40,7199 40,4787 40,0314 40,6638 40,6317 40,5681 40,5054 40,3230 39,9809 42,8944 42,8476 42,7553 42,6646 42,4020 41,9152 42,4832 42,4484 42,3794 42,3115 42,1138 41,7433 44,9041 44,8532 44,7529 44,6544 44,3691 43,8406 44,3393 44,3016 44,2270 44,1536 43,9398 43,5392 46,9610 46,9059 46,7971 46,6903 46,3811 45,8086 46,2328 46,1920 46,1116 46,0323 45,8016 45,3694 49,0664 49,0068 48,8891 48,7735 48,4390 47,8199 48,1644 48,1205 48,0338 47,9484 47,6999 47,2345 51,2214 51,1569 51,0298 50,9050 50,5439 49,8757 50,1349 50,0877 49,9945 49,9027 49,6354 49,1352 53,4270 53,3575 53,2205 53,0860 52,6968 51,9769 52,1451 52,0945 51,9944 51,8958 51,6089 51,0721 55,6846 55,6098 55,4623 55,3176 54,8987 54,1245 54,1959 54,1416 54,0343 53,9286 53,6211 53,0459 57,9953 57,9150 57,7565 57,6009 57,1509 56,3194 56,2880 56,2298 56,1149 56,0018 55,6728 55,0573 60,3604 60,2742 60,1041 59,9372 59,4545 58,5629 58,4222 58,3601 58,2372 58,1163 57,7647 57,1071 62,7812 62,6888 62,5065 62,3277 61,8106 60,8558 60,5994 60,5331 60,4020 60,2729 59,8976 59,1960 65,2590 65,1601 64,9650 64,7736 64,2204 63,1994 62,8205 62,7498 62,6100 62,4724 62,0724 61,3248 67,7951 67,6893 67,4809 67,2763 66,6852 65,5947 65,0864 65,0111 64,8622 64,7157 64,2898 63,4941 70,3909 70,2780 70,0554 69,8371 69,2063 68,0430 67,3979 67,3178 67,1595 67,0036 66,5507 65,7048 73,0477 72,9273 72,6901 72,4573 71,7848 70,5452 69,7560 69,6709 69,5027 69,3371 68,8559 67,9576 75,7672 75,6389 75,3862 75,1382 74,4221 73,1027 72,1617 72,0713 71,8927 71,7170 71,2064 70,2534 78,5506 78,4141 78,1452 77,8814 77,1197 75,7167

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 2 5 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 4 – C (Continuación) Del 15% y 16% anual Solo para pagos Bimestrales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del15 % Anual para Pagos Bimestrales, según el Del 16 % Anual para Pagos Bimestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,02524 2,02516 2,02500 2,02485 2,02440 2,02357 2,02693 2,02684 2,02667 2,02649 2,02599 2,02505 3,07634 3,07610 3,07563 3,07516 3,07379 3,07126 3,08153 3,08125 3,08071 3,08018 3,07863 3,07576 4,15398 4,15348 4,15252 4,15156 4,14879 4,14364 4,16453 4,16397 4,16286 4,16178 4,15863 4,15280 5,25880 5,25797 5,25633 5,25471 5,25002 5,24129 5,27670 5,27575 5,27387 5,27203 5,26670 5,25680 6,39151 6,39024 6,38774 6,38527 6,37812 6,36481 6,41882 6,41737 6,41451 6,41170 6,40355 6,38846 7,55280 7,55100 7,54743 7,54392 7,53375 7,51481 7,59171 7,58964 7,58556 7,58156 7,56995 7,54846 8,74340 8,74095 8,73612 8,73136 8,71757 8,69191 8,79619 8,79338 8,78784 8,78241 8,76666 8,73751 9,96404 9,96084 9,95452 9,94830 9,93028 9,89676 10,0331 10,0294 10,0222 10,0151 9,99447 9,95635 11,2155 11,2114 11,2034 11,1955 11,1726 11,1300 11,3033 11,2987 11,2894 11,2804 11,2542 11,2057 12,4985 12,4935 12,4835 12,4736 12,4452 12,3923 12,6078 12,6020 12,5905 12,5792 12,5466 12,4864 13,8139 13,8077 13,7956 13,7836 13,7488 13,6843 13,9474 13,9403 13,9262 13,9125 13,8727 13,7991 15,1625 15,1551 15,1404 15,1260 15,0843 15,0068 15,3231 15,3145 15,2976 15,2810 15,2331 15,1447 16,5452 16,5363 16,5190 16,5019 16,4524 16,3605 16,7358 16,7256 16,7055 16,6859 16,6290 16,5240 17,9627 17,9523 17,9319 17,9119 17,8538 17,7461 18,1865 18,1746 18,1510 18,1279 18,0611 17,9378 19,4160 19,4039 19,3802 19,3569 19,2894 19,1643 19,6764 19,6625 19,6351 19,6082 19,5304 19,3871 20,9059 20,8921 20,8647 20,8379 20,7601 20,6160 21,2064 21,1903 21,1587 21,1276 21,0379 20,8726 22,4335 22,4176 22,3863 22,3556 22,2666 22,1018 22,7775 22,7591 22,7229 22,6873 22,5846 22,3954 23,9996 23,9816 23,9460 23,9111 23,8099 23,6227 24,3910 24,3701 24,3288 24,2884 24,1715 23,9563 25,6053 25,5849 25,5447 25,5052 25,3909 25,1794 26,0480 26,0243 25,9776 25,9318 25,7996 25,5563 27,2514 27,2285 27,1833 27,1389 27,0104 26,7728 27,7496 27,7229 27,6703 27,6188 27,4700 27,1963 28,9391 28,9135 28,8629 28,8132 28,6695 28,4038 29,4970 29,4671 29,4082 29,3505 29,1839 28,8775 30,6694 30,6408 30,5844 30,5291 30,3690 30,0732 31,2915 31,2581 31,1924 31,1280 30,9422 30,6007 32,4434 32,4116 32,3490 32,2876 32,1100 31,7819 33,1343 33,0973 33,0242 32,9527 32,7463 32,3671 34,2621 34,2270 34,1578 34,0898 33,8935 33,5309 35,0268 34,9857 34,9049 34,8256 34,5972 34,1777 36,1267 36,0880 36,0117 35,9369 35,7205 35,3211 36,9702 36,9249 36,8357 36,7482 36,4962 36,0337 38,0384 37,9958 37,9120 37,8298 37,5920 37,1535 38,9660 38,9161 38,8180 38,7218 38,4446 37,9362 39,9983 39,9517 39,8598 39,7697 39,5093 39,0291 41,0155 40,9608 40,8531 40,7476 40,4436 39,8863 42,0076 41,9567 41,8563 41,7578 41,4733 40,9489 43,1203 43,0604 42,9425 42,8271 42,4945 41,8853 44,0677 44,0122 43,9027 43,7953 43,4852 42,9140 45,2817 45,2163 45,0877 44,9617 44,5988 43,9343 46,1798 46,1194 46,0003 45,8835 45,5463 44,9253 47,5013 47,4301 47,2900 47,1528 46,7577 46,0346 48,3452 48,2795 48,1503 48,0235 47,6576 46,9841 49,7807 49,7034 49,5511 49,4019 48,9727 48,1876 50,5652 50,4941 50,3540 50,2167 49,8204 49,0914 52,1216 52,0376 51,8724 51,7107 51,2453 50,3945 52,8412 52,7643 52,6129 52,4644 52,0360 51,2483 54,5254 54,4345 54,2557 54,0806 53,5770 52,6566 55,1747 55,0917 54,9282 54,7680 54,3057 53,4561 56,9940 56,8958 56,7025 56,5133 55,9692 54,9754 57,5670 57,4776 57,3014 57,1288 56,6308 55,7159 59,5292 59,4231 59,2146 59,0105 58,4236 57,3523 60,0197 59,9235 59,7339 59,5482 59,0125 58,0290 62,1325 62,0183 61,7936 61,5738 60,9418 59,7887 62,5344 62,4309 62,2273 62,0277 61,4524 60,3965 64,8061 64,6832 64,4415 64,2050 63,5254 62,2861 65,1124 65,0015 64,7830 64,5689 63,9519 62,8199 67,5516 67,4196 67,1599 66,9059 66,1761 64,8460 67,7556 67,6367 67,4026 67,1732 66,5123 65,3004 70,3710 70,2294 69,9508 69,6784 68,8957 67,4701 70,4654 70,3382 70,0876 69,8422 69,1352 67,8393 73,2665 73,1147 72,8162 72,5243 71,6860 70,1599 73,2436 73,1076 72,8398 72,5775 71,8220 70,4381 76,2399 76,0774 75,7579 75,4456 74,5488 72,9171 76,0919 75,9467 75,6608 75,3808 74,5745 73,0981 79,2933 79,1196 78,7782 78,4443 77,4860 75,7433 79,0122 78,8572 78,5523 78,2537 77,3941 75,8208 82,4291 82,2436 81,8789 81,5225 80,4995 78,6403 82,0061 81,8410 81,5161 81,1981 80,2825 78,6077 85,6492 85,4513 85,0623 84,6821 83,5914 81,6099

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 2 6 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 4 – C (Continuación) Del 18% y 20% anual Solo para pagos Bimestrales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 18 % Anual para Pagos Bimestrales, según el Del 20 % Anual para Pagos Bimestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,03034 2,03023 2,03000 2,02978 2,02914 2,02797 2,03375 2,03361 2,03333 2,03306 2,03228 2,03085 3,09194 3,09159 3,09090 3,09022 3,08828 3,08469 3,10240 3,10196 3,10111 3,10028 3,09788 3,09351 4,18574 4,18503 4,18363 4,18225 4,17828 4,17097 4,20711 4,20622 4,20448 4,20278 4,19788 4,18896 5,31274 5,31152 5,30914 5,30679 5,30004 5,28763 5,34911 5,34760 5,34463 5,34173 5,33339 5,31820 6,47392 6,47207 6,46841 6,46483 6,45450 6,43552 6,52965 6,52734 6,52279 6,51833 6,50555 6,48228 7,67033 7,66768 7,66246 7,65735 7,64260 7,61552 7,75004 7,74673 7,74021 7,73384 7,71555 7,68228 8,90305 8,89944 8,89234 8,88538 8,86532 8,82853 9,01163 9,00711 8,99822 8,98953 8,96461 8,91931 10,1732 10,1684 10,1591 10,1500 10,1237 10,0755 10,3158 10,3098 10,2982 10,2867 10,2540 10,1945 11,4818 11,4758 11,4639 11,4522 11,4187 11,3573 11,6640 11,6564 11,6414 11,6268 11,5850 11,5090 12,8302 12,8226 12,8078 12,7933 12,7515 12,6749 13,0577 13,0482 13,0295 13,0112 12,9590 12,8641 14,2194 14,2102 14,1920 14,1743 14,1231 14,0294 14,4984 14,4867 14,4638 14,4414 14,3773 14,2610 15,6508 15,6397 15,6178 15,5964 15,5347 15,4218 15,9877 15,9736 15,9459 15,9189 15,8414 15,7010 17,1256 17,1124 17,0863 17,0608 16,9874 16,8532 17,5274 17,5105 17,4775 17,4452 17,3527 17,1855 18,6452 18,6296 18,5989 18,5689 18,4824 18,3246 19,1190 19,0991 19,0600 19,0219 18,9129 18,7157 20,2109 20,1927 20,1569 20,1218 20,0211 19,8371 20,7643 20,7410 20,6954 20,6508 20,5234 20,2931 21,8241 21,8030 21,7616 21,7211 21,6045 21,3919 22,4651 22,4381 22,3852 22,3336 22,1859 21,9192 23,4862 23,4620 23,4144 23,3679 23,2341 22,9903 24,2234 24,1923 24,1314 24,0720 23,9021 23,5955 25,1988 25,1712 25,1169 25,0638 24,9112 24,6333 26,0409 26,0054 25,9358 25,8678 25,6736 25,3235 26,9633 26,9320 26,8704 26,8102 26,6372 26,3223 27,9199 27,8795 27,8003 27,7230 27,5024 27,1048 28,7813 28,7460 28,6765 28,6085 28,4135 28,0585 29,8622 29,8166 29,7270 29,6396 29,3901 28,9411 30,6545 30,6148 30,5368 30,4605 30,2415 29,8433 31,8702 31,8187 31,7179 31,6195 31,3389 30,8340 32,5846 32,5402 32,4529 32,3676 32,1228 31,6780 33,9459 33,8882 33,7751 33,6649 33,3505 32,7854 34,5731 34,5237 34,4265 34,3315 34,0590 33,5640 36,0916 36,0272 35,9010 35,7779 35,4270 34,7969 36,6221 36,5672 36,4593 36,3538 36,0515 35,5028 38,3098 38,2381 38,0977 37,9608 37,5706 36,8705 38,7331 38,6724 38,5530 38,4364 38,1022 37,4958 40,6028 40,5234 40,3676 40,2159 39,7834 39,0081 40,9083 40,8413 40,7096 40,5811 40,2126 39,5446 42,9733 42,8854 42,7132 42,5455 42,0676 41,2116 43,1494 43,0757 42,9309 42,7895 42,3845 41,6506 45,4237 45,3268 45,1369 44,9521 44,4256 43,4831 45,4585 45,3777 45,2189 45,0638 44,6196 43,8156 47,9569 47,8503 47,6415 47,4383 46,8596 45,8247 47,8377 47,7492 47,5754 47,4057 46,9200 46,0411 50,5755 50,4586 50,2296 50,0067 49,3723 48,2386 50,2891 50,1924 50,0027 49,8175 49,2873 48,3288 53,2826 53,1546 52,9039 52,6600 51,9660 50,7269 52,8148 52,7095 52,5028 52,3010 51,7237 50,6806 56,0810 55,9412 55,6673 55,4010 54,6435 53,2920 55,4171 55,3026 55,0778 54,8585 54,2310 53,0981 58,9738 58,8214 58,5229 58,2326 57,4074 55,9362 58,0985 57,9742 57,7302 57,4921 56,8115 55,5833 61,9644 61,7985 61,4737 61,1579 60,2605 58,6620 60,8611 60,7264 60,4621 60,2042 59,4671 58,1379 65,0558 64,8756 64,5228 64,1798 63,2057 61,4720 63,7076 63,5619 63,2759 62,9971 62,2001 60,7640 68,2516 68,0561 67,6736 67,3017 66,2460 64,3686 66,6404 66,4830 66,1742 65,8731 65,0128 63,4636 71,5552 71,3436 70,9294 70,5268 69,3844 67,3545 69,6622 69,4925 69,1594 68,8347 67,9074 66,2386 74,9704 74,7415 74,2937 73,8586 72,6242 70,4327 72,7757 72,5929 72,2342 71,8846 70,8864 69,0913 78,5008 78,2536 77,7701 77,3004 75,9685 73,6057 75,9837 75,7870 75,4013 75,0253 73,9522 72,0238 82,1504 81,8838 81,3625 80,8561 79,4207 76,8767 79,2890 79,0777 78,6633 78,2595 77,1074 75,0383 85,9232 85,6360 85,0745 84,5293 82,9845 80,2486 82,6945 82,4678 82,0232 81,5900 80,3545 78,1371 89,8233 89,5144 88,9104 88,3240 86,6632 83,7246 86,2034 85,9604 85,4839 85,0197 83,6962 81,3225 93,8550 93,5230 92,8740 92,2441 90,4607 87,3077 89,8188 89,5586 89,0484 88,5515 87,1353 84,5971 98,0228 97,6665 96,9698 96,2939 94,3808 91,0015 93,5438 93,2655 92,7199 92,1885 90,6746 87,9633 102,331 101,949 101,202 100,478 98,4274 94,8092

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 2 7 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 4 – D

Del 5% y 6% anual Solo para pagos Trimestrales

CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 5 % Anual para Pagos Trimestrales, según el Del 6 % Anual para Pagos Trimestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,01257 2,01255 2,01253 2,01250 2,01242 2,01227 2,01509 2,01508 2,01504 2,01500 2,01489 2,01467 3,03785 3,03781 3,03773 3,03766 3,03742 3,03697 3,04551 3,04545 3,04534 3,04522 3,04489 3,04424 4,07603 4,07595 4,07579 4,07563 4,07516 4,07424 4,09148 4,09136 4,09113 4,09090 4,09022 4,08891 5,12724 5,12711 5,12684 5,12657 5,12578 5,12424 5,15324 5,15304 5,15265 5,15227 5,15112 5,14891 6,19167 6,19146 6,19106 6,19065 6,18946 6,18712 6,23102 6,23072 6,23014 6,22955 6,22782 6,22446 7,26947 7,26918 7,26861 7,26804 7,26635 7,26305 7,32507 7,32465 7,32382 7,32299 7,32055 7,31580 8,36081 8,36042 8,35965 8,35889 8,35662 8,35219 8,43564 8,43507 8,43395 8,43284 8,42954 8,42315 9,46587 9,46536 9,46437 9,46337 9,46043 9,45469 9,56296 9,56223 9,56078 9,55933 9,55505 9,54675 10,5848 10,5842 10,5829 10,5817 10,5780 10,5707 10,7073 10,7064 10,7045 10,7027 10,6973 10,6868 11,7178 11,7170 11,7155 11,7139 11,7094 11,7004 11,8689 11,8678 11,8655 11,8633 11,8566 11,8437 12,8650 12,8641 12,8622 12,8604 12,8548 12,8440 13,0481 13,0467 13,0439 13,0412 13,0331 13,0174 14,0267 14,0256 14,0233 14,0211 14,0145 14,0017 14,2450 14,2434 14,2401 14,2368 14,2272 14,2085 15,2029 15,2016 15,1990 15,1964 15,1886 15,1735 15,4600 15,4581 15,4542 15,4504 15,4390 15,4170 16,3940 16,3924 16,3894 16,3863 16,3773 16,3597 16,6934 16,6911 16,6866 16,6821 16,6689 16,6432 17,6000 17,5982 17,5947 17,5912 17,5808 17,5605 17,9454 17,9427 17,9375 17,9324 17,9171 17,8874 18,8211 18,8191 18,8151 18,8111 18,7992 18,7760 19,2162 19,2132 19,2073 19,2014 19,1838 19,1499 20,0576 20,0553 20,0507 20,0462 20,0327 20,0064 20,5063 20,5029 20,4961 20,4894 20,4695 20,4309 21,3096 21,3071 21,3019 21,2968 21,2816 21,2519 21,8158 21,8120 21,8043 21,7967 21,7742 21,7307 22,5774 22,5745 22,5687 22,5630 22,5459 22,5127 23,1451 23,1408 23,1322 23,1237 23,0984 23,0496 23,8611 23,8579 23,8514 23,8450 23,8260 23,7890 24,4945 24,4896 24,4800 24,4705 24,4424 24,3878 25,1609 25,1573 25,1502 25,1431 25,1220 25,0810 25,8642 25,8588 25,8482 25,8376 25,8063 25,7456 26,4771 26,4731 26,4652 26,4574 26,4341 26,3888 27,2546 27,2486 27,2368 27,2251 27,1905 27,1234 27,8098 27,8054 27,7967 27,7881 27,7625 27,7126 28,6659 28,6594 28,6464 28,6335 28,5954 28,5214 29,1592 29,1544 29,1449 29,1354 29,1074 29,0527 30,0986 30,0915 30,0772 30,0630 30,0211 29,9400 30,5256 30,5204 30,5100 30,4996 30,4690 30,4092 31,5529 31,5451 31,5295 31,5140 31,4681 31,3793 31,9092 31,9035 31,8921 31,8809 31,8475 31,7824 33,0292 33,0206 33,0036 32,9867 32,9367 32,8397 33,3101 33,3039 33,2916 33,2794 33,2431 33,1725 34,5278 34,5184 34,4999 34,4815 34,4270 34,3216 34,7287 34,7220 34,7086 34,6954 34,6561 34,5796 36,0489 36,0388 36,0187 35,9987 35,9396 35,8253 43,6222 43,6119 43,5913 43,5709 43,5103 43,3923 37,5930 37,5821 37,5603 37,5387 37,4747 37,3510 36,1650 36,1578 36,1434 36,1291 36,0866 36,0039 39,1605 39,1486 39,1251 39,1018 39,0327 38,8990 37,6195 37,6117 37,5961 37,5807 37,5349 37,4458 40,7516 40,7388 40,7135 40,6883 40,6139 40,4698 39,0922 39,0838 39,0671 39,0504 39,0012 38,9053 42,3667 42,3530 42,3257 42,2986 42,2186 42,0637 40,5834 40,5743 40,5564 40,5386 40,4857 40,3828 44,0062 43,9914 43,9622 43,9331 43,8472 43,6809 42,0933 42,0836 42,0644 42,0453 41,9887 41,8784 45,6704 45,6546 45,6232 45,5921 45,5000 45,3219 45,1703 45,1593 45,1373 45,1155 45,0508 44,9248 47,3597 47,3429 47,3093 47,2760 47,1775 46,9869 46,7379 46,7262 46,7027 46,6794 46,6105 46,4762 49,0746 49,0566 49,0207 48,9851 48,8799 48,6764 48,3252 48,3127 48,2877 48,2629 48,1895 48,0465 50,8153 50,7961 50,7578 50,7199 50,6077 50,3907 49,9324 49,9191 49,8926 49,8662 49,7881 49,6362 52,5823 52,5618 52,5211 52,4807 52,3612 52,1301 51,5598 51,5457 51,5175 51,4896 51,4067 51,2453 54,3760 54,3542 54,3109 54,2679 54,1408 53,8951 53,2077 53,1927 53,1628 53,1332 53,0453 52,8742 56,1968 56,1736 56,1276 56,0819 55,9469 55,6859 54,8763 54,8604 54,8288 54,7973 54,7042 54,5231 58,0450 58,0204 57,9716 57,9231 57,7799 57,5030 56,5658 56,5490 56,5155 56,4823 56,3838 56,1922 59,9211 59,8951 59,8434 59,7920 59,6402 59,3468 58,2766 58,2588 58,2235 58,1883 58,0843 57,8818 61,8256 61,7980 61,7432 61,6889 61,5282 61,2177 60,0088 59,9901 59,9528 59,9157 59,8058 59,5922 63,7588 63,7297 63,6717 63,6142 63,4443 63,1160

Factor: F = ⎢

N 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 2 8 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 4 – D (Continuación) Del 7% y 8% anual Solo para pagos Trimestrales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 7 % Anual para Pagos Trimestrales, según el Del 8 % Anual para Pagos Trimestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,01763 2,01760 2,01755 2,01750 2,01735 2,01706 2,02017 2,02013 2,02007 2,02000 2,01980 2,01943 3,05320 3,05312 3,05296 3,05281 3,05235 3,05147 3,06091 3,06081 3,06060 3,06040 3,05980 3,05866 4,10702 4,10686 4,10654 4,10623 4,10531 4,10352 4,12264 4,12243 4,12202 4,12161 4,12040 4,11808 5,17942 5,17915 5,17862 5,17809 5,17653 5,17352 5,20578 5,20543 5,20473 5,20404 5,20200 5,19808 6,27072 6,27031 6,26951 6,26871 6,26634 6,26177 6,31077 6,31024 6,30917 6,30812 6,30502 6,29906 7,38126 7,38069 7,37954 7,37841 7,37506 7,36859 7,43804 7,43728 7,43578 7,43428 7,42988 7,42143 8,51138 8,51060 8,50906 8,50753 8,50301 8,49429 8,58805 8,58702 8,58499 8,58297 8,57702 8,56560 9,66142 9,66041 9,65840 9,65641 9,65054 9,63919 9,76125 9,75991 9,75726 9,75463 9,74688 9,73200 10,8317 10,8305 10,8279 10,8254 10,8180 10,8036 10,9581 10,9564 10,9531 10,9497 10,9399 10,9211 12,0227 12,0211 12,0180 12,0148 12,0057 11,9879 12,1791 12,1770 12,1728 12,1687 12,1566 12,1332 13,2346 13,2327 13,2289 13,2251 13,2139 13,1924 13,4247 13,4222 13,4171 13,4121 13,3973 13,3689 14,4679 14,4656 14,4611 14,4565 14,4432 14,4174 14,6955 14,6924 14,6863 14,6803 14,6626 14,6286 15,7230 15,7202 15,7149 15,7095 15,6938 15,6634 15,9918 15,9882 15,9810 15,9739 15,9530 15,9128 17,0001 16,9970 16,9907 16,9844 16,9661 16,9306 17,3143 17,3101 17,3017 17,2934 17,2689 17,2219 18,2998 18,2961 18,2889 18,2817 18,2604 18,2194 18,6635 18,6586 18,6489 18,6393 18,6109 18,5565 19,6224 19,6182 19,6099 19,6016 19,5772 19,5302 20,0399 20,0343 20,0231 20,0121 19,9795 19,9170 20,9683 20,9635 20,9540 20,9446 20,9169 20,8633 21,4441 21,4377 21,4249 21,4123 21,3752 21,3039 22,3379 22,3325 22,3218 22,3112 22,2798 22,2192 22,8766 22,8693 22,8549 22,8406 22,7985 22,7178 23,7317 23,7256 23,7136 23,7016 23,6663 23,5983 24,3379 24,3297 24,3135 24,2974 24,2500 24,1591 25,1500 25,1433 25,1298 25,1164 25,0769 25,0008 25,8287 25,8196 25,8014 25,7833 25,7302 25,6284 26,5934 26,5858 26,5708 26,5559 26,5120 26,4273 27,3496 27,3394 27,3191 27,2990 27,2398 27,1263 28,0622 28,0538 28,0372 28,0207 27,9720 27,8781 28,9012 28,8899 28,8673 28,8450 28,7792 28,6533 29,5569 29,5476 29,5292 29,5110 29,4573 29,3537 30,4841 30,4715 30,4466 30,4219 30,3492 30,2099 31,0779 31,0677 31,0475 31,0275 30,9683 30,8544 32,0989 32,0850 32,0575 32,0303 31,9502 31,7968 32,6257 32,6146 32,5924 32,5704 32,5056 32,3807 33,7462 33,7310 33,7008 33,6709 33,5830 33,4145 34,2009 34,1887 34,1644 34,1404 34,0696 33,9331 35,4268 35,4101 35,3771 35,3443 35,2480 35,0636 35,8038 35,7905 35,7641 35,7379 35,6607 35,5119 37,1413 37,1231 37,0870 37,0512 36,9461 36,7448 37,4349 37,4205 37,3918 37,3633 37,2794 37,1177 38,8903 38,8705 38,8312 38,7922 38,6778 38,4586 39,0948 39,0792 39,0480 39,0172 38,9261 38,7509 40,6746 40,6531 40,6104 40,5681 40,4437 40,2057 40,7840 40,7670 40,7333 40,7000 40,6015 40,4119 42,4949 42,4716 42,4253 42,3794 42,2447 41,9868 42,5029 42,4846 42,4483 42,4122 42,3059 42,1013 44,3519 44,3267 44,2766 44,2270 44,0813 43,8024 44,2522 44,2325 44,1933 44,1544 44,0399 43,8195 46,2464 46,2192 46,1651 46,1116 45,9543 45,6534 46,0323 46,0111 45,9689 45,9271 45,8040 45,5670 48,1791 48,1497 48,0915 48,0338 47,8643 47,5403 47,8437 47,8209 47,7757 47,7308 47,5986 47,3443 50,1507 50,1191 50,0565 49,9945 49,8122 49,4638 49,6871 49,6627 49,6142 49,5661 49,4244 49,1519 52,1621 52,1282 52,0609 51,9944 51,7987 51,4247 51,5630 51,5369 51,4850 51,4335 51,2819 50,9904 54,2141 54,1777 54,1056 54,0343 53,8245 53,4237 53,4720 53,4441 53,3886 53,3336 53,1716 52,8602 56,3075 56,2685 56,1913 56,1149 55,8905 55,4616 55,4146 55,3848 55,3256 55,2670 55,0941 54,7619 58,4430 58,4014 58,3189 58,2372 57,9973 57,5390 57,3914 57,3597 57,2966 57,2341 57,0500 56,6961 60,6217 60,5773 60,4892 60,4020 60,1459 59,6568 59,4031 59,3693 59,3022 59,2357 59,0398 58,6632 62,8443 62,7969 62,7030 62,6100 62,3370 61,8157 61,4503 61,4144 61,3430 61,2724 61,0641 60,6639 65,1117 65,0612 64,9612 64,8622 64,5715 64,0166 63,5336 63,4954 63,4197 63,3446 63,1235 62,6988 67,4248 67,3712 67,2647 67,1595 66,8503 66,2602 65,6535 65,6131 65,5327 65,4532 65,2187 64,7683 69,7846 69,7276 69,6145 69,5027 69,1742 68,5474 67,8109 67,7680 67,6829 67,5986 67,3502 66,8732 72,1920 72,1314 72,0114 71,8927 71,5441 70,8790

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 2 9 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 4 – D (Continuación) Del 9% y 10% anual Solo para pagos Trimestrales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ ⎥ Donde i = (1 + i ⎣ ⎦ Del 9 % Anual para Pagos Trimestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,02271 2,02267 2,02258 2,02250 2,02225 2,02178 3,06865 3,06852 3,06826 3,06801 3,06725 3,06581 4,13835 4,13808 4,13756 4,13704 4,13551 4,13258 5,23234 5,23189 5,23100 5,23012 5,22753 5,22258 6,35117 6,35049 6,34914 6,34780 6,34386 6,33631 7,49542 7,49445 7,49253 7,49062 7,48502 7,47431 8,66566 8,66435 8,66174 8,65916 8,65158 8,63709 9,86247 9,86076 9,85736 9,85399 9,84410 9,82519 11,0865 11,0843 11,0800 11,0757 11,0632 11,0392 12,3383 12,3356 12,3302 12,3249 12,3093 12,2796 13,6185 13,6152 13,6087 13,6022 13,5833 13,5470 14,9278 14,9238 14,9160 14,9083 14,8855 14,8420 16,2668 16,2622 16,2529 16,2437 16,2167 16,1653 17,6363 17,6308 17,6199 17,6092 17,5776 17,5173 19,0368 19,0305 19,0179 19,0054 18,9688 18,8988 20,4692 20,4619 20,4474 20,4330 20,3909 20,3104 21,9341 21,9257 21,9092 21,8928 21,8446 21,7527 23,4323 23,4228 23,4040 23,3853 23,3307 23,2264 24,9645 24,9538 24,9325 24,9115 24,8499 24,7323 26,5315 26,5194 26,4956 26,4720 26,4028 26,2709 28,1340 28,1206 28,0940 28,0676 27,9904 27,8430 29,7730 29,7581 29,7285 29,6992 29,6132 29,4494 31,4492 31,4327 31,3999 31,3674 31,2722 31,0908 33,1635 33,1452 33,1090 33,0732 32,9681 32,7679 34,9167 34,8966 34,8567 34,8173 34,7017 34,4815 36,7097 36,6877 36,6439 36,6007 36,4739 36,2324 38,5435 38,5194 38,4715 38,4242 38,2855 38,0215 40,4189 40,3926 40,3404 40,2888 40,1374 39,8495 42,3369 42,3082 42,2514 42,1953 42,0306 41,7174 44,2984 44,2673 44,2056 44,1447 43,9659 43,6259 46,3045 46,2708 46,2040 46,1379 45,9442 45,5760 48,3562 48,3197 48,2475 48,1760 47,9666 47,5686 50,4545 50,4151 50,3371 50,2600 50,0340 49,6045 52,6004 52,5580 52,4739 52,3908 52,1474 51,6848 54,7951 54,7494 54,6590 54,5696 54,3078 53,8104 57,0396 56,9906 56,8934 56,7974 56,5162 55,9823 59,3350 59,2825 59,1783 59,0754 58,7739 58,2015 61,6827 61,6264 61,5148 61,4046 61,0817 60,4690 64,0836 64,0234 63,9041 63,7862 63,4409 62,7859 66,5391 66,4747 66,3473 66,2214 65,8526 65,1533 69,0503 68,9817 68,8457 68,7113 68,3180 67,5722 71,6186 71,5454 71,4005 71,2574 70,8383 70,0438 74,2452 74,1673 74,0130 73,8606 73,4146 72,5693 76,9314 76,8486 76,6845 76,5225 76,0482 75,1497

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 3 0 z

j)r – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización Del 10 % Anual para Pagos Trimestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,02526 2,02521 2,02510 2,02500 2,02470 2,02411 3,07642 3,07626 3,07594 3,07563 3,07470 3,07292 4,15414 4,15381 4,15316 4,15252 4,15062 4,14702 5,25908 5,25852 5,25742 5,25633 5,25312 5,24702 6,39194 6,39109 6,38940 6,38774 6,38285 6,37355 7,55341 7,55220 7,54980 7,54743 7,54048 7,52724 8,74422 8,74258 8,73933 8,73612 8,72669 8,70875 9,96512 9,96297 9,95872 9,95452 9,94220 9,91875 11,2169 11,2141 11,2087 11,2034 11,1877 11,1579 12,5002 12,4968 12,4901 12,4835 12,4640 12,4270 13,8160 13,8119 13,8037 13,7956 13,7718 13,7266 15,1650 15,1600 15,1502 15,1404 15,1119 15,0576 16,5481 16,5422 16,5305 16,5190 16,4851 16,4207 17,9661 17,9592 17,9455 17,9319 17,8922 17,8167 19,4200 19,4119 19,3960 19,3802 19,3340 19,2463 20,9106 20,9013 20,8829 20,8647 20,8115 20,7104 22,4388 22,4282 22,4071 22,3863 22,3254 22,2098 24,0057 23,9936 23,9697 23,9460 23,8768 23,7454 25,6121 25,5984 25,5714 25,5447 25,4664 25,3180 27,2591 27,2438 27,2133 27,1833 27,0953 26,9285 28,9477 28,9305 28,8965 28,8629 28,7644 28,5778 30,6790 30,6598 30,6219 30,5844 30,4748 30,2670 32,4540 32,4327 32,3906 32,3490 32,2273 31,9968 34,2739 34,2503 34,2038 34,1578 34,0232 33,7684 36,1397 36,1138 36,0624 36,0117 35,8634 35,5826 38,0526 38,0241 37,9677 37,9120 37,7490 37,4407 40,0139 39,9827 39,9208 39,8598 39,6813 39,3435 42,0247 41,9906 41,9230 41,8563 41,6612 41,2922 44,0864 44,0491 43,9754 43,9027 43,6900 43,2879 46,2001 46,1596 46,0794 46,0003 45,7689 45,3318 48,3672 48,3232 48,2362 48,1503 47,8992 47,4249 50,5890 50,5414 50,4471 50,3540 50,0821 49,5685 52,8670 52,8155 52,7135 52,6129 52,3189 51,7637 55,2025 55,1469 55,0368 54,9282 54,6109 54,0120 57,5970 57,5371 57,4185 57,3014 56,9595 56,3144 60,0520 59,9875 59,8599 59,7339 59,3661 58,6723 62,5691 62,4998 62,3626 62,2273 61,8322 61,0871 65,1497 65,0753 64,9281 64,7830 64,3591 63,5602 67,7955 67,7158 67,5581 67,4026 66,9485 66,0929 70,5081 70,4228 70,2541 70,0876 69,6018 68,6866 73,2893 73,1981 73,0177 72,8398 72,3206 71,3429 76,1407 76,0434 75,8507 75,6608 75,1066 74,0632 79,0642 78,9603 78,7549 78,5523 77,9613 76,8492 82,0615 81,9508 81,7319 81,5161 80,8866 79,7023

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 4 – D (Continuación) Del 12% y 14% anual Solo para pagos Trimestrales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 12 % Anual para Pagos Trimestrales, según el Del 14 % Anual para Pagos Trimestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,03038 2,03030 2,03015 2,03000 2,02956 2,02874 2,03551 2,03541 2,03520 2,03500 2,03441 2,03330 3,09206 3,09182 3,09136 3,09090 3,08956 3,08704 3,10780 3,10748 3,10685 3,10623 3,10441 3,10101 4,18598 4,18551 4,18456 4,18363 4,18090 4,17575 4,21818 4,21752 4,21622 4,21494 4,21122 4,20427 5,31314 5,31233 5,31072 5,30914 5,30450 5,29575 5,36798 5,36686 5,36465 5,36247 5,35612 5,34427 6,47454 6,47330 6,47084 6,46841 6,46132 6,44794 6,55862 6,55690 6,55350 6,55015 6,54042 6,52223 7,67122 7,66945 7,66593 7,66246 7,65233 7,63323 7,79155 7,78908 7,78421 7,77941 7,76546 7,73942 8,90426 8,90184 8,89706 8,89234 8,87856 8,85259 9,06826 9,06489 9,05824 9,05169 9,03266 8,99714 10,1747 10,1716 10,1653 10,1591 10,1410 10,1070 10,3903 10,3859 10,3771 10,3685 10,3435 10,2967 11,4838 11,4798 11,4718 11,4639 11,4408 11,3974 11,7593 11,7536 11,7424 11,7314 11,6993 11,6396 12,8327 12,8276 12,8176 12,8078 12,7791 12,7250 13,1769 13,1698 13,1558 13,1420 13,1019 13,0272 14,2225 14,2163 14,2041 14,1920 14,1568 14,0907 14,6449 14,6362 14,6189 14,6020 14,5527 14,4610 15,6545 15,6471 15,6323 15,6178 15,5754 15,4956 16,1650 16,1544 16,1336 16,1130 16,0534 15,9425 17,1301 17,1212 17,1036 17,0863 17,0358 16,9409 17,7391 17,7265 17,7015 17,6770 17,6058 17,4734 18,6505 18,6400 18,6193 18,5989 18,5395 18,4277 19,3691 19,3542 19,3247 19,2957 19,2116 19,0553 20,2170 20,2048 20,1807 20,1569 20,0875 19,9573 21,0570 21,0395 21,0050 20,9710 20,8726 20,6898 21,8312 21,8170 21,7891 21,7616 21,6814 21,5308 22,8048 22,7845 22,7444 22,7050 22,5908 22,3788 23,4943 23,4781 23,4460 23,4144 23,3223 23,1495 24,6147 24,5913 24,5451 24,4997 24,3681 24,1240 25,2080 25,1895 25,1529 25,1169 25,0118 24,8148 26,4889 26,4621 26,4092 26,3572 26,2066 25,9273 26,9738 26,9528 26,9113 26,8704 26,7513 26,5279 28,4296 28,3991 28,3389 28,2797 28,1083 27,7907 28,7932 28,7695 28,7226 28,6765 28,5421 28,2903 30,4393 30,4047 30,3365 30,2695 30,0754 29,7161 30,6679 30,6412 30,5886 30,5368 30,3859 30,1032 32,5203 32,4813 32,4044 32,3289 32,1103 31,7056 32,5995 32,5697 32,5108 32,4529 32,2842 31,9683 34,6753 34,6315 34,5452 34,4604 34,2151 33,7614 34,5898 34,5566 34,4910 34,4265 34,2386 33,8870 36,9067 36,8578 36,7613 36,6665 36,3924 35,8856 36,6405 36,6037 36,5309 36,4593 36,2508 35,8608 39,2175 39,1629 39,0554 38,9499 38,6446 38,0806 38,7536 38,7128 38,6323 38,5530 38,3225 37,8914 41,6102 41,5497 41,4303 41,3131 40,9743 40,3487 40,9308 40,8859 40,7970 40,7096 40,4554 39,9803 44,0880 44,0210 43,8888 43,7591 43,3841 42,6922 43,1742 43,1247 43,0271 42,9309 42,6514 42,1292 46,6538 46,5797 46,4338 46,2906 45,8769 45,1139 45,4857 45,4315 45,3243 45,2189 44,9123 44,3399 49,3106 49,2291 49,0684 48,9108 48,4554 47,6161 47,8674 47,8081 47,6908 47,5754 47,2400 46,6141 52,0619 51,9723 51,7958 51,6227 51,1227 50,2017 50,3215 50,2567 50,1287 50,0027 49,6366 48,9537 54,9108 54,8127 54,6192 54,4295 53,8817 52,8734 52,8502 52,7795 52,6400 52,5028 52,1040 51,3605 57,8610 57,7536 57,5420 57,3345 56,7357 55,6341 55,4556 55,3788 55,2271 55,0778 54,6444 53,8364 60,9159 60,7986 60,5676 60,3412 59,6878 58,4867 58,1402 58,0568 57,8922 57,7302 57,2598 56,3835 64,0792 63,9515 63,6998 63,4532 62,7416 61,4342 60,9064 60,8160 60,6376 60,4621 59,9526 59,0038 67,3550 67,2160 66,9423 66,6740 65,9004 64,4800 63,7566 63,6588 63,4658 63,2759 62,7250 61,6995 70,7471 70,5961 70,2989 70,0076 69,1679 67,6271 66,6933 66,5877 66,3792 66,1742 65,5793 64,4725 74,2596 74,0959 73,7736 73,4579 72,5478 70,8791 69,7193 69,6054 69,3805 69,1594 68,5180 67,3253 77,8969 77,7197 77,3707 77,0289 76,0441 74,2393 72,8372 72,7145 72,4723 72,2342 71,5436 70,2601 81,6633 81,4717 81,0944 80,7249 79,6606 77,7114 76,0498 75,9179 75,6573 75,4013 74,6587 73,2792 85,5636 85,3566 84,9492 84,5503 83,4016 81,2992 79,3600 79,2182 78,9384 78,6633 77,8658 76,3850 89,6023 89,3791 88,9397 88,5095 87,2712 85,0064 82,7708 82,6186 82,3183 82,0232 81,1678 79,5801 93,7845 93,5440 93,0707 92,6074 91,2741 88,8371 86,2852 86,1221 85,8002 85,4839 84,5673 82,8670 98,1152 97,8564 97,3471 96,8486 95,4146 92,7953 89,9063 89,7316 89,3870 89,0484 88,0674 86,2484 102,600 102,321 101,774 101,238 99,6977 96,8854 93,6374 93,4506 93,0820 92,7199 91,6709 89,7269 107,243 106,945 106,357 105,782 104,128 101,112

Factor: F = ⎢

N 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 3 1 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 4 – D (Continuación) Del 15% y 16% anual Solo para pagos Trimestrales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 15 % Anual para Pagos Trimestrales, según el Del 16 % Anual para Pagos Trimestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,03809 2,03797 2,03773 2,03750 2,03682 2,03556 2,04067 2,04054 2,04027 2,04000 2,03923 2,03780 3,11572 3,11535 3,11462 3,11391 3,11182 3,10794 3,12367 3,12325 3,12242 3,12160 3,11923 3,11483 4,23440 4,23365 4,23215 4,23068 4,22641 4,21845 4,25072 4,24985 4,24814 4,24646 4,24160 4,23258 5,39570 5,39440 5,39184 5,38933 5,38203 5,36845 5,42361 5,42212 5,41920 5,41632 5,40800 5,39258 6,60122 6,59923 6,59530 6,59143 6,58021 6,55934 6,64420 6,64191 6,63740 6,63298 6,62016 6,59643 7,85267 7,84981 7,84416 7,83861 7,82251 7,79258 7,91444 7,91115 7,90466 7,89829 7,87987 7,84579 9,15178 9,14787 9,14015 9,13255 9,11055 9,06967 9,23634 9,23183 9,22295 9,21423 9,18900 9,14238 10,5004 10,4952 10,4850 10,4750 10,4460 10,3922 10,6120 10,6061 10,5943 10,5828 10,5495 10,4880 11,9004 11,8937 11,8807 11,8678 11,8307 11,7617 12,0436 12,0360 12,0209 12,0061 11,9634 11,8844 13,3536 13,3453 13,3290 13,3129 13,2663 13,1799 13,5335 13,5239 13,5049 13,4864 13,4327 13,3337 14,8623 14,8521 14,8319 14,8121 14,7548 14,6486 15,0839 15,0721 15,0487 15,0258 14,9597 14,8377 16,4284 16,4160 16,3916 16,3676 16,2981 16,1694 16,6974 16,6830 16,6547 16,6268 16,5465 16,3986 18,0542 18,0393 18,0101 17,9814 17,8982 17,7444 18,3765 18,3593 18,3253 18,2919 18,1957 18,0185 19,7419 19,7243 19,6897 19,6557 19,5573 19,3754 20,1240 20,1035 20,0631 20,0236 19,9095 19,6997 21,4939 21,4733 21,4326 21,3927 21,2774 21,0643 21,9425 21,9184 21,8710 21,8245 21,6905 21,4444 23,3126 23,2886 23,2414 23,1950 23,0609 22,8133 23,8349 23,8069 23,7516 23,6975 23,5415 23,2550 25,2006 25,1729 25,1183 25,0648 24,9100 24,6245 25,8043 25,7719 25,7080 25,6454 25,4650 25,1341 27,1605 27,1287 27,0661 27,0047 26,8273 26,5001 27,8539 27,8166 27,7432 27,6712 27,4640 27,0842 29,1951 29,1588 29,0874 29,0174 28,8151 28,4424 29,9868 29,9441 29,8602 29,7781 29,5414 29,1080 31,3071 31,2660 31,1850 31,1055 30,8761 30,4538 32,2064 32,1579 32,0626 31,9692 31,7004 31,2084 33,4996 33,4532 33,3617 33,2720 33,0131 32,5366 34,5163 34,4615 34,3536 34,2480 33,9440 33,3881 35,7757 35,7234 35,6206 35,5197 35,2287 34,6936 36,9202 36,8584 36,7369 36,6179 36,2756 35,6503 38,1384 38,0799 37,9646 37,8517 37,5259 36,9272 39,4218 39,3525 39,2161 39,0826 38,6987 37,9979 40,5911 40,5258 40,3972 40,2711 39,9076 39,2403 42,0252 41,9477 41,7951 41,6459 41,2169 40,4343 43,1373 43,0646 42,9215 42,7813 42,3771 41,6356 44,7345 44,6481 44,4780 44,3117 43,8339 42,9628 45,7804 45,6998 45,5411 45,3856 44,9375 44,1161 47,5540 47,4579 47,2690 47,0842 46,5535 45,5869 48,5242 48,4351 48,2595 48,0875 47,5922 46,6847 50,4881 50,3816 50,1723 49,9676 49,3798 48,3102 51,3726 51,2742 51,0805 50,8908 50,3447 49,3448 53,5416 53,4239 53,1925 52,9663 52,3170 51,1364 54,3294 54,2211 54,0079 53,7992 53,1985 52,0994 56,7193 56,5895 56,3343 56,0849 55,3694 54,0694 57,3988 57,2799 57,0458 56,8167 56,1573 54,9519 60,0262 59,8834 59,6026 59,3283 58,5416 57,1134 60,5852 60,4549 60,1984 59,9473 59,2252 57,9059 63,4676 63,3108 63,0026 62,7015 61,8382 60,2724 63,8929 63,7504 63,4699 63,1954 62,4060 60,9649 67,0490 66,8771 66,5394 66,2095 65,2641 63,5508 67,3267 67,1710 66,8648 66,5652 65,7039 64,1327 70,7761 70,5880 70,2186 69,8579 68,8245 66,9531 70,8912 70,7215 70,3878 70,0614 69,1232 67,4132 74,6547 74,4494 74,0460 73,6522 72,5245 70,4841 74,5915 74,4069 74,0438 73,6887 72,6685 70,8103 78,6911 78,4672 78,0275 77,5983 76,3697 74,1485 78,4328 78,2322 77,8377 77,4520 76,3443 74,3281 82,8917 82,6480 82,1694 81,7022 80,3657 77,9515 82,4203 82,2027 81,7748 81,3565 80,1554 77,9711 87,2631 86,9981 86,4779 85,9703 84,5185 81,8982 86,5598 86,3240 85,8605 85,4073 84,1069 81,7436 91,8123 91,5247 90,9600 90,4091 88,8342 85,9941 90,8569 90,6018 90,1003 89,6101 88,2039 85,6502 96,5466 96,2347 95,6226 95,0255 93,3192 90,2449 95,3177 95,0420 94,5000 93,9705 92,4518 89,6958 101,473 101,136 100,473 99,8265 97,9801 94,6563 99,9485 99,6508 99,0659 98,4944 96,8560 93,8852 106,601 106,235 105,518 104,820 102,824 99,2345 104,756 104,435 103,804 103,188 101,422 98,2236 111,936 111,542 110,767 110,012 107,858 103,986 109,746 109,400 108,721 108,057 106,157 102,716 117,489 117,063 116,227 115,413 113,089 108,917 114,926 114,554 113,823 113,110 111,066 107,369 123,268 122,808 121,907 121,029 118,526 114,034

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 3 2 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 4 – D (Continuación) Del 18% y 20% anual Solo para pagos Trimestrales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 18 % Anual para Pagos Trimestrales, según el Del 20 % Anual para Pagos Trimestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,04585 2,04568 2,04534 2,04500 2,04403 2,04225 2,05105 2,05084 2,05041 2,05000 2,04881 2,04664 3,13966 3,13912 3,13806 3,13703 3,13403 3,12852 3,15577 3,15510 3,15378 3,15250 3,14881 3,14208 4,28362 4,28251 4,28033 4,27819 4,27202 4,26069 4,31688 4,31550 4,31278 4,31013 4,30250 4,28861 5,48003 5,47813 5,47438 5,47071 5,46012 5,44069 5,53727 5,53489 5,53021 5,52563 5,51250 5,48861 6,73130 6,72836 6,72257 6,71689 6,70054 6,67055 6,81997 6,81627 6,80901 6,80191 6,78156 6,74457 8,03995 8,03570 8,02734 8,01915 7,99557 7,95235 8,16815 8,16280 8,15228 8,14201 8,11256 8,05911 9,40860 9,40276 9,39127 9,38001 9,34762 9,28831 9,58516 9,57778 9,56327 9,54911 9,50852 9,43495 10,8400 10,8323 10,8170 10,8021 10,7592 10,6807 11,0745 11,0647 11,0454 11,0266 10,9726 10,8749 12,3370 12,3271 12,3074 12,2882 12,2329 12,1319 12,6399 12,6272 12,6022 12,5779 12,5082 12,3821 13,9027 13,8901 13,8654 13,8412 13,7716 13,6445 14,2852 14,2691 14,2376 14,2068 14,1187 13,9595 15,5402 15,5246 15,4940 15,4640 15,3779 15,2209 16,0145 15,9946 15,9554 15,9171 15,8078 15,6105 17,2527 17,2338 17,1964 17,1599 17,0550 16,8639 17,8321 17,8077 17,7597 17,7130 17,5794 17,3385 19,0438 19,0210 18,9760 18,9321 18,8060 18,5764 19,7425 19,7130 19,6551 19,5986 19,4374 19,1471 20,9170 20,8898 20,8363 20,7841 20,6340 20,3612 21,7504 21,7152 21,6460 21,5786 21,3861 21,0401 22,8761 22,8440 22,7810 22,7193 22,5425 22,2214 23,8609 23,8191 23,7373 23,6575 23,4299 23,0213 24,9250 24,8875 24,8138 24,7417 24,5351 24,1601 26,0790 26,0300 25,9340 25,8404 25,5735 25,0949 27,0679 27,0243 26,9387 26,8551 26,6154 26,1808 28,4105 28,3533 28,2414 28,1324 27,8218 27,2652 29,3090 29,2588 29,1600 29,0636 28,7873 28,2869 30,8609 30,7948 30,6652 30,5390 30,1797 29,5367 31,6529 31,5953 31,4820 31,3714 31,0548 30,4819 33,4364 33,3603 33,2111 33,0660 32,6527 31,9141 34,1043 34,0385 33,9093 33,7831 33,4222 32,7697 36,1435 36,0563 35,8855 35,7193 35,2465 34,4025 36,6680 36,5933 36,4466 36,3034 35,8938 35,1541 38,9887 38,8893 38,6946 38,5052 37,9668 37,0068 39,3493 39,2648 39,0989 38,9370 38,4742 37,6392 41,9792 41,8664 41,6454 41,4305 40,8199 39,7326 42,1536 42,0584 41,8715 41,6892 41,1682 40,2293 45,1224 44,9948 44,7449 44,5020 43,8123 42,5856 45,0864 44,9795 44,7698 44,5652 43,9809 42,9289 48,4261 48,2822 48,0007 47,7271 46,9507 45,5716 48,1538 48,0341 47,7994 47,5706 46,9174 45,7425 51,8984 51,7368 51,4206 51,1135 50,2423 48,6968 51,3617 51,2282 50,9665 50,7113 49,9832 48,6750 55,5480 55,3670 55,0129 54,6691 53,6946 51,9678 54,7168 54,5683 54,2771 53,9933 53,1840 51,7313 59,3839 59,1817 58,7864 58,4026 57,3154 55,3913 58,2256 58,0609 57,7378 57,4230 56,5257 54,9168 63,4156 63,1904 62,7501 62,3227 61,1129 58,9745 61,8954 61,7130 61,3554 61,0071 60,0146 58,2368 67,6532 67,4029 66,9136 66,4388 65,0957 62,7248 65,7335 65,5319 65,1369 64,7524 63,6571 61,6971 72,1071 71,8295 71,2870 70,7608 69,2730 66,6499 69,7475 69,5253 69,0900 68,6662 67,4600 65,3036 76,7884 76,4811 75,8809 75,2988 73,6541 70,7582 73,9456 73,7011 73,2222 72,7562 71,4303 69,0625 81,7087 81,3693 80,7063 80,0638 78,2491 75,0580 78,3361 78,0677 77,5418 77,0303 75,5754 72,9802 86,8802 86,5059 85,7751 85,0670 83,0683 79,5583 82,9280 82,6337 82,0573 81,4966 79,9030 77,0633 92,3157 91,9037 91,0994 90,3203 88,1228 84,2685 87,7305 87,4082 86,7774 86,1640 84,4212 81,3190 98,0288 97,5759 96,6921 95,8363 93,4240 89,1984 92,7531 92,4009 91,7115 91,0413 89,1383 85,7544 104,033 103,536 102,567 101,628 98,9839 94,3582 98,0060 97,6216 96,8693 96,1382 94,0631 90,3773 110,345 109,800 108,738 107,710 104,815 99,7586 103,500 103,081 102,261 101,464 99,2048 95,1954 116,978 116,382 115,220 114,095 110,931 105,411 109,246 108,789 107,897 107,030 104,573 100,217 123,950 123,299 122,028 120,800 117,346 111,327 115,255 114,759 113,789 112,847 110,177 105,451 131,278 130,567 129,180 127,840 124,073 117,518 121,539 121,001 119,947 118,925 116,028 110,906 138,981 138,205 136,693 135,232 131,129 123,999 128,112 127,528 126,385 125,276 122,137 116,591 147,076 146,231 144,584 142,993 138,529 130,782 134,986 134,353 133,115 131,914 128,515 122,517 155,585 154,665 152,873 151,143 146,291 137,881 142,176 141,490 140,150 138,850 135,174 128,693 164,528 163,528 161,580 159,700 154,431 145,311

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 3 3 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 4 – E

Del 5% y 6% anual Solo para pagos Semestrales

CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 5 % Anual para Pagos Semestrales, según el Del 6 % Anual para Pagos Semestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,02529 2,02526 2,02521 2,02516 2,02500 2,02470 2,03042 2,03038 2,03030 2,03023 2,03000 2,02956 3,07650 3,07642 3,07626 3,07610 3,07563 3,07470 3,09217 3,09206 3,09182 3,09159 3,09090 3,08956 4,15430 4,15414 4,15381 4,15348 4,15252 4,15062 4,18622 4,18598 4,18551 4,18503 4,18363 4,18090 5,25936 5,25908 5,25852 5,25797 5,25633 5,25312 5,31355 5,31314 5,31233 5,31152 5,30914 5,30450 6,39236 6,39194 6,39109 6,39024 6,38774 6,38285 6,47517 6,47454 6,47330 6,47207 6,46841 6,46132 7,55401 7,55341 7,55220 7,55100 7,54743 7,54048 7,67212 7,67122 7,66945 7,66768 7,66246 7,65233 8,74504 8,74422 8,74258 8,74095 8,73612 8,72669 8,90547 8,90426 8,90184 8,89944 8,89234 8,87856 9,96619 9,96512 9,96297 9,96084 9,95452 9,94220 10,1763 10,1747 10,1716 10,1684 10,1591 10,1410 11,2182 11,2169 11,2141 11,2114 11,2034 11,1877 11,4859 11,4838 11,4798 11,4758 11,4639 11,4408 12,5019 12,5002 12,4968 12,4935 12,4835 12,4640 12,8352 12,8327 12,8276 12,8226 12,8078 12,7791 13,8181 13,8160 13,8119 13,8077 13,7956 13,7718 14,2256 14,2225 14,2163 14,2102 14,1920 14,1568 15,1675 15,1650 15,1600 15,1551 15,1404 15,1119 15,6583 15,6545 15,6471 15,6397 15,6178 15,5754 16,5511 16,5481 16,5422 16,5363 16,5190 16,4851 17,1346 17,1301 17,1212 17,1124 17,0863 17,0358 17,9696 17,9661 17,9592 17,9523 17,9319 17,8922 18,6557 18,6505 18,6400 18,6296 18,5989 18,5395 19,4240 19,4200 19,4119 19,4039 19,3802 19,3340 20,2232 20,2170 20,2048 20,1927 20,1569 20,0875 20,9152 20,9106 20,9013 20,8921 20,8647 20,8115 21,8383 21,8312 21,8170 21,8030 21,7616 21,6814 22,4442 22,4388 22,4282 22,4176 22,3863 22,3254 23,5025 23,4943 23,4781 23,4620 23,4144 23,3223 24,0117 24,0057 23,9936 23,9816 23,9460 23,8768 25,2173 25,2080 25,1895 25,1712 25,1169 25,0118 25,6190 25,6121 25,5984 25,5849 25,5447 25,4664 26,9844 26,9738 26,9528 26,9320 26,8704 26,7513 27,2668 27,2591 27,2438 27,2285 27,1833 27,0953 28,8051 28,7932 28,7695 28,7460 28,6765 28,5421 28,9564 28,9477 28,9305 28,9135 28,8629 28,7644 30,6812 30,6679 30,6412 30,6148 30,5368 30,3859 30,6886 30,6790 30,6598 30,6408 30,5844 30,4748 32,6144 32,5995 32,5697 32,5402 32,4529 32,2842 32,4647 32,4540 32,4327 32,4116 32,3490 32,2273 34,6064 34,5898 34,5566 34,5237 34,4265 34,2386 34,2857 34,2739 34,2503 34,2270 34,1578 34,0232 36,6590 36,6405 36,6037 36,5672 36,4593 36,2508 36,1527 36,1397 36,1138 36,0880 36,0117 35,8634 38,7741 38,7536 38,7128 38,6724 38,5530 38,3225 38,0669 38,0526 38,0241 37,9958 37,9120 37,7490 40,9534 40,9308 40,8859 40,8413 40,7096 40,4554 40,0296 40,0139 39,9827 39,9517 39,8598 39,6813 43,1990 43,1742 43,1247 43,0757 42,9309 42,6514 42,0419 42,0247 41,9906 41,9567 41,8563 41,6612 45,5130 45,4857 45,4315 45,3777 45,2189 44,9123 44,1051 44,0864 44,0491 44,0122 43,9027 43,6900 47,8973 47,8674 47,8081 47,7492 47,5754 47,2400 46,2204 46,2001 46,1596 46,1194 46,0003 45,7689 50,3541 50,3215 50,2567 50,1924 50,0027 49,6366 48,3893 48,3672 48,3232 48,2795 48,1503 47,8992 52,8857 52,8502 52,7795 52,7095 52,5028 52,1040 50,6129 50,5890 50,5414 50,4941 50,3540 50,0821 55,4943 55,4556 55,3788 55,3026 55,0778 54,6444 52,8929 52,8670 52,8155 52,7643 52,6129 52,3189 58,1822 58,1402 58,0568 57,9742 57,7302 57,2598 55,2304 55,2025 55,1469 55,0917 54,9282 54,6109 60,9519 60,9064 60,8160 60,7264 60,4621 59,9526 57,6271 57,5970 57,5371 57,4776 57,3014 56,9595 63,8058 63,7566 63,6588 63,5619 63,2759 62,7250 60,0844 60,0520 59,9875 59,9235 59,7339 59,3661 66,7465 66,6933 66,5877 66,4830 66,1742 65,5793 62,6039 62,5691 62,4998 62,4309 62,2273 61,8322 69,7766 69,7193 69,6054 69,4925 69,1594 68,5180 65,1870 65,1497 65,0753 65,0015 64,7830 64,3591 72,8990 72,8372 72,7145 72,5929 72,2342 71,5436 67,8355 67,7955 67,7158 67,6367 67,4026 66,9485 76,1163 76,0498 75,9179 75,7870 75,4013 74,6587 70,5510 70,5081 70,4228 70,3382 70,0876 69,6018 79,4314 79,3600 79,2182 79,0777 78,6633 77,8658 73,3351 73,2893 73,1981 73,1076 72,8398 72,3206 82,8474 82,7708 82,6186 82,4678 82,0232 81,1678 76,1896 76,1407 76,0434 75,9467 75,6608 75,1066 86,3673 86,2852 86,1221 85,9604 85,4839 84,5673 79,1164 79,0642 78,9603 78,8572 78,5523 77,9613 89,9942 89,9063 89,7316 89,5586 89,0484 88,0674 82,1171 82,0615 81,9508 81,8410 81,5161 80,8866 93,7315 93,6374 93,4506 93,2655 92,7199 91,6709

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 3 4 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 4 – E (Continuación) Del 7% y 8% anual Solo para pagos Semestrales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 7 % Anual para Pagos Semestrales, según el Del 8 % Anual para Pagos Semestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,03557 2,03551 2,03541 2,03531 2,03500 2,03441 2,04074 2,04067 2,04054 2,04040 2,04000 2,03923 3,10797 3,10780 3,10748 3,10717 3,10623 3,10441 3,12388 3,12367 3,12325 3,12283 3,12160 3,11923 4,21851 4,21818 4,21752 4,21687 4,21494 4,21122 4,25116 4,25072 4,24985 4,24899 4,24646 4,24160 5,36855 5,36798 5,36686 5,36575 5,36247 5,35612 5,42436 5,42361 5,42212 5,42065 5,41632 5,40800 6,55949 6,55862 6,55690 6,55519 6,55015 6,54042 6,64535 6,64420 6,64191 6,63965 6,63298 6,62016 7,79279 7,79155 7,78908 7,78663 7,77941 7,76546 7,91609 7,91444 7,91115 7,90789 7,89829 7,87987 9,06996 9,06826 9,06489 9,06155 9,05169 9,03266 9,23861 9,23634 9,23183 9,22737 9,21423 9,18900 10,3925 10,3903 10,3859 10,3815 10,3685 10,3435 10,6150 10,6120 10,6061 10,6002 10,5828 10,5495 11,7622 11,7593 11,7536 11,7480 11,7314 11,6993 12,0475 12,0436 12,0360 12,0284 12,0061 11,9634 13,1805 13,1769 13,1698 13,1628 13,1420 13,1019 13,5383 13,5335 13,5239 13,5143 13,4864 13,4327 14,6493 14,6449 14,6362 14,6275 14,6020 14,5527 15,0899 15,0839 15,0721 15,0603 15,0258 14,9597 16,1703 16,1650 16,1544 16,1440 16,1130 16,0534 16,7047 16,6974 16,6830 16,6688 16,6268 16,5465 17,7455 17,7391 17,7265 17,7139 17,6770 17,6058 18,3852 18,3765 18,3593 18,3422 18,2919 18,1957 19,3766 19,3691 19,3542 19,3394 19,2957 19,2116 20,1343 20,1240 20,1035 20,0832 20,0236 19,9095 21,0658 21,0570 21,0395 21,0222 20,9710 20,8726 21,9546 21,9425 21,9184 21,8946 21,8245 21,6905 22,8150 22,8048 22,7845 22,7644 22,7050 22,5908 23,8490 23,8349 23,8069 23,7791 23,6975 23,5415 24,6265 24,6147 24,5913 24,5681 24,4997 24,3681 25,8207 25,8043 25,7719 25,7398 25,6454 25,4650 26,5024 26,4889 26,4621 26,4355 26,3572 26,2066 27,8727 27,8539 27,8166 27,7797 27,6712 27,4640 28,4450 28,4296 28,3991 28,3688 28,2797 28,1083 30,0082 29,9868 29,9441 29,9020 29,7781 29,5414 30,4567 30,4393 30,4047 30,3704 30,2695 30,0754 32,2308 32,2064 32,1579 32,1100 31,9692 31,7004 32,5400 32,5203 32,4813 32,4427 32,3289 32,1103 34,5440 34,5163 34,4615 34,4073 34,2480 33,9440 34,6973 34,6753 34,6315 34,5881 34,4604 34,2151 36,9513 36,9202 36,8584 36,7973 36,6179 36,2756 36,9314 36,9067 36,8578 36,8093 36,6665 36,3924 39,4568 39,4218 39,3525 39,2839 39,0826 38,6987 39,2449 39,2175 39,1629 39,1089 38,9499 38,6446 42,0643 42,0252 41,9477 41,8710 41,6459 41,2169 41,6407 41,6102 41,5497 41,4897 41,3131 40,9743 44,7781 44,7345 44,6481 44,5626 44,3117 43,8339 44,1218 44,0880 44,0210 43,9545 43,7591 43,3841 47,6024 47,5540 47,4579 47,3629 47,0842 46,5535 46,6911 46,6538 46,5797 46,5064 46,2906 45,8769 50,5418 50,4881 50,3816 50,2764 49,9676 49,3798 49,3517 49,3106 49,2291 49,1484 48,9108 48,4554 53,6010 53,5416 53,4239 53,3075 52,9663 52,3170 52,1070 52,0619 51,9723 51,8836 51,6227 51,1227 56,7847 56,7193 56,5895 56,4612 56,0849 55,3694 54,9603 54,9108 54,8127 54,7154 54,4295 53,8817 60,0982 60,0262 59,8834 59,7422 59,3283 58,5416 57,9151 57,8610 57,7536 57,6472 57,3345 56,7357 63,5467 63,4676 63,3108 63,1558 62,7015 61,8382 60,9749 60,9159 60,7986 60,6825 60,3412 59,6878 67,1357 67,0490 66,8771 66,7073 66,2095 65,2641 64,1436 64,0792 63,9515 63,8250 63,4532 62,7416 70,8709 70,7761 70,5880 70,4022 69,8579 68,8245 67,4250 67,3550 67,2160 67,0784 66,6740 65,9004 74,7583 74,6547 74,4494 74,2465 73,6522 72,5245 70,8231 70,7471 70,5961 70,4467 70,0076 69,1679 78,8041 78,6911 78,4672 78,2460 77,5983 76,3697 74,3421 74,2596 74,0959 73,9339 73,4579 72,5478 83,0147 82,8917 82,6480 82,4072 81,7022 80,3657 77,9862 77,8969 77,7197 77,5443 77,0289 76,0441 87,3968 87,2631 86,9981 86,7364 85,9703 84,5185 81,7599 81,6633 81,4717 81,2821 80,7249 79,6606 91,9575 91,8123 91,5247 91,2406 90,4091 88,8342 85,6679 85,5636 85,3566 85,1518 84,5503 83,4016 96,7040 96,5466 96,2347 95,9267 95,0255 93,3192 89,7148 89,6023 89,3791 89,1582 88,5095 87,2712 101,644 101,473 101,136 100,802 99,8265 97,9801 93,9057 93,7845 93,5440 93,3061 92,6074 91,2741 106,785 106,601 106,235 105,875 104,820 102,824 98,2456 98,1152 97,8564 97,6004 96,8486 95,4146 112,136 111,936 111,542 111,152 110,012 107,858 102,740 102,600 102,321 102,046 101,238 99,6977 117,704 117,489 117,063 116,642 115,413 113,089 107,394 107,243 106,945 106,649 105,782 104,128 123,500 123,268 122,808 122,355 121,029 118,526

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 3 5 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 4 – E (Continuación) Del 9% y 10% anual Solo para pagos Semestrales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 9 % Anual para Pagos Semestrales, según el Del 10 % Anual para Pagos Semestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,04594 2,04585 2,04568 2,04551 2,04500 2,04403 2,05116 2,05105 2,05084 2,05063 2,05000 2,04881 3,13993 3,13966 3,13912 3,13859 3,13703 3,13403 3,15610 3,15577 3,15510 3,15444 3,15250 3,14881 4,28418 4,28362 4,28251 4,28142 4,27819 4,27202 4,31758 4,31688 4,31550 4,31413 4,31013 4,30250 5,48099 5,48003 5,47813 5,47625 5,47071 5,46012 5,53847 5,53727 5,53489 5,53253 5,52563 5,51250 6,73279 6,73130 6,72836 6,72545 6,71689 6,70054 6,82183 6,81997 6,81627 6,81262 6,80191 6,78156 8,04209 8,03995 8,03570 8,03150 8,01915 7,99557 8,17085 8,16815 8,16280 8,15751 8,14201 8,11256 9,41154 9,40860 9,40276 9,39698 9,38001 9,34762 9,58888 9,58516 9,57778 9,57048 9,54911 9,50852 10,8439 10,8400 10,8323 10,8246 10,8021 10,7592 11,0795 11,0745 11,0647 11,0550 11,0266 10,9726 12,3421 12,3370 12,3271 12,3172 12,2882 12,2329 12,6463 12,6399 12,6272 12,6146 12,5779 12,5082 13,9091 13,9027 13,8901 13,8777 13,8412 13,7716 14,2933 14,2852 14,2691 14,2533 14,2068 14,1187 15,5480 15,5402 15,5246 15,5092 15,4640 15,3779 16,0246 16,0145 15,9946 15,9748 15,9171 15,8078 17,2623 17,2527 17,2338 17,2150 17,1599 17,0550 17,8444 17,8321 17,8077 17,7836 17,7130 17,5794 19,0554 19,0438 19,0210 18,9984 18,9321 18,8060 19,7574 19,7425 19,7130 19,6839 19,5986 19,4374 20,9308 20,9170 20,8898 20,8629 20,7841 20,6340 21,7682 21,7504 21,7152 21,6803 21,5786 21,3861 22,8923 22,8761 22,8440 22,8123 22,7193 22,5425 23,8819 23,8609 23,8191 23,7779 23,6575 23,4299 24,9440 24,9250 24,8875 24,8504 24,7417 24,5351 26,1038 26,0790 26,0300 25,9817 25,8404 25,5735 27,0899 27,0679 27,0243 26,9813 26,8551 26,6154 28,4393 28,4105 28,3533 28,2970 28,1324 27,8218 29,3344 29,3090 29,2588 29,2091 29,0636 28,7873 30,8943 30,8609 30,7948 30,7295 30,5390 30,1797 31,6820 31,6529 31,5953 31,5383 31,3714 31,0548 33,4749 33,4364 33,3603 33,2852 33,0660 32,6527 34,1375 34,1043 34,0385 33,9735 33,7831 33,4222 36,1876 36,1435 36,0563 35,9703 35,7193 35,2465 36,7058 36,6680 36,5933 36,5195 36,3034 35,8938 39,0390 38,9887 38,8893 38,7913 38,5052 37,9668 39,3920 39,3493 39,2648 39,1813 38,9370 38,4742 42,0363 41,9792 41,8664 41,7551 41,4305 40,8199 42,2017 42,1536 42,0584 41,9643 41,6892 41,1682 45,1869 45,1224 44,9948 44,8689 44,5020 43,8123 45,1404 45,0864 44,9795 44,8740 44,5652 43,9809 48,4988 48,4261 48,2822 48,1404 47,7271 46,9507 48,2142 48,1538 48,0341 47,9160 47,5706 46,9174 51,9801 51,8984 51,7368 51,5775 51,1135 50,2423 51,4291 51,3617 51,2282 51,0965 50,7113 49,9832 55,6395 55,5480 55,3670 55,1886 54,6691 53,6946 54,7917 54,7168 54,5683 54,4217 53,9933 53,1840 59,4861 59,3839 59,1817 58,9826 58,4026 57,3154 58,3089 58,2256 58,0609 57,8982 57,4230 56,5257 63,5295 63,4156 63,1904 62,9686 62,3227 61,1129 61,9876 61,8954 61,7130 61,5330 61,0071 60,0146 67,7798 67,6532 67,4029 67,1563 66,4388 65,0957 65,8353 65,7335 65,5319 65,3331 64,7524 63,6571 72,2476 72,1071 71,8295 71,5561 70,7608 69,2730 69,8597 69,7475 69,5253 69,3062 68,6662 67,4600 76,9439 76,7884 76,4811 76,1787 75,2988 73,6541 74,0691 73,9456 73,7011 73,4600 72,7562 71,4303 81,8805 81,7087 81,3693 81,0352 80,0638 78,2491 78,4718 78,3361 78,0677 77,8029 77,0303 75,5754 87,0696 86,8802 86,5059 86,1376 85,0670 83,0683 83,0768 82,9280 82,6337 82,3434 81,4966 79,9030 92,5243 92,3157 91,9037 91,4983 90,3203 88,1228 87,8933 87,7305 87,4082 87,0906 86,1640 84,4212 98,2580 98,0288 97,5759 97,1304 95,8363 93,4240 92,9311 92,7531 92,4009 92,0538 91,0413 89,1383 104,285 104,033 103,536 103,048 101,628 98,9839 98,2003 98,0060 97,6216 97,2428 96,1382 94,0631 110,621 110,345 109,800 109,264 107,710 104,815 103,712 103,500 103,081 102,668 101,464 99,2048 117,280 116,978 116,382 115,796 114,095 110,931 109,476 109,246 108,789 108,340 107,030 104,573 124,280 123,950 123,299 122,658 120,800 117,346 115,505 115,255 114,759 114,270 112,847 110,177 131,639 131,278 130,567 129,868 127,840 124,073 121,812 121,539 121,001 120,470 118,925 116,028 139,374 138,981 138,205 137,442 135,232 131,129 128,408 128,112 127,528 126,952 125,276 122,137 147,504 147,076 146,231 145,400 142,993 138,529 135,307 134,986 134,353 133,729 131,914 128,515 156,051 155,585 154,665 153,761 151,143 146,291 142,523 142,176 141,490 140,815 138,850 135,174 165,035 164,528 163,528 162,545 159,700 154,431

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 3 6 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 4 – E (Continuación) Del 12% y 14% anual Solo para pagos Semestrales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 12 % Anual para Pagos Semestrales, según el Del 14 % Anual para Pagos Semestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,06168 2,06152 2,06121 2,06090 2,06000 2,05830 2,07229 2,07207 2,07165 2,07123 2,07000 2,06771 3,18884 3,18835 3,18737 3,18641 3,18360 3,17830 3,22210 3,22142 3,22007 3,21875 3,21490 3,20771 4,38552 4,38449 4,38246 4,38046 4,37462 4,36360 4,45502 4,45360 4,45078 4,44800 4,43994 4,42489 5,65601 5,65423 5,65070 5,64723 5,63709 5,61800 5,77708 5,77458 5,76966 5,76481 5,75074 5,72449 7,00486 7,00208 6,99657 6,99115 6,97532 6,94553 7,19470 7,19078 7,18303 7,17541 7,15329 7,11209 8,43690 8,43285 8,42482 8,41691 8,39384 8,35046 8,71481 8,70904 8,69767 8,68648 8,65402 8,59363 9,95727 9,95163 9,94049 9,92950 9,89747 9,83729 10,3448 10,3367 10,3208 10,3052 10,2598 10,1755 11,5714 11,5639 11,5489 11,5342 11,4913 11,4108 12,0926 12,0817 12,0603 12,0392 11,9780 11,8644 13,2851 13,2753 13,2558 13,2366 13,1808 13,0761 13,9668 13,9525 13,9243 13,8966 13,8164 13,6678 15,1045 15,0920 15,0672 15,0427 14,9716 14,8384 15,9765 15,9581 15,9220 15,8864 15,7836 15,5932 17,0361 17,0204 16,9894 16,9589 16,8699 16,7035 18,1314 18,1083 18,0627 18,0179 17,8885 17,6490 19,0869 19,0675 19,0293 18,9916 18,8821 18,6773 20,4421 20,4134 20,3568 20,3013 20,1406 19,8439 21,2641 21,2406 21,1940 21,1482 21,0151 20,7662 22,9199 22,8847 22,8153 22,7472 22,5505 22,1875 23,5756 23,5473 23,4913 23,4362 23,2760 22,9769 25,5768 25,5341 25,4499 25,3674 25,1290 24,6898 26,0297 25,9959 25,9291 25,8634 25,6725 25,3165 28,4257 28,3744 28,2733 28,1742 27,8881 27,3615 28,6352 28,5952 28,5162 28,4385 28,2129 27,7924 31,4806 31,4195 31,2990 31,1809 30,8402 30,2141 31,4013 31,3544 31,2616 31,1704 30,9057 30,4127 34,7563 34,6840 34,5414 34,4018 33,9990 33,2598 34,3381 34,2833 34,1751 34,0687 33,7600 33,1858 38,2689 38,1838 38,0162 37,8520 37,3790 36,5117 37,4560 37,3924 37,2669 37,1435 36,7856 36,1206 42,0353 41,9358 41,7399 41,5480 40,9955 39,9839 40,7662 40,6928 40,5479 40,4055 39,9927 39,2264 46,0741 45,9583 45,7304 45,5073 44,8652 43,6911 44,2806 44,1962 44,0298 43,8662 43,3923 42,5133 50,4048 50,2707 50,0068 49,7486 49,0057 47,6493 48,0117 47,9152 47,7247 47,5377 46,9958 45,9919 55,0486 54,8939 54,5896 54,2919 53,4361 51,8756 51,9730 51,8629 51,6459 51,4327 50,8156 49,6732 60,0280 59,8503 59,5007 59,1588 58,1767 56,3879 56,1785 56,0536 55,8070 55,5650 54,8645 53,5692 65,3674 65,1639 64,7637 64,3724 63,2490 61,2058 87,4550 87,2017 86,7027 86,2135 84,8017 82,2064 71,0929 70,8605 70,4038 69,9574 68,6765 66,3500 93,8491 93,5664 93,0096 92,4639 90,8898 87,9991 77,2322 76,9677 76,4479 75,9401 74,4838 71,8424 100,637 100,323 99,7026 99,0949 97,3432 94,1295 83,8153 83,5151 82,9251 82,3489 80,6977 77,7067 107,845 107,494 106,805 106,130 104,184 100,617 90,8743 90,5343 89,8664 89,2142 87,3465 83,9680 115,496 115,108 114,342 113,593 111,435 107,483 98,4436 98,0594 97,3050 96,5685 94,4608 90,6533 60,6435 60,5020 60,2228 59,9489 59,1564 57,6923 106,560 106,127 105,276 104,447 102,073 97,7912 65,3839 65,2241 64,9090 64,5998 63,7058 62,0558 115,263 114,776 113,819 112,886 110,218 105,412 70,4166 70,2367 69,8819 69,5339 68,5281 66,6737 124,596 124,048 122,974 121,926 118,933 113,550 75,7598 75,5576 75,1592 74,7685 73,6398 71,5608 134,603 133,989 132,784 131,610 128,259 122,238 81,4324 81,2059 80,7596 80,3219 79,0582 76,7329 145,333 144,646 143,298 141,984 138,237 131,514 123,620 123,189 122,341 121,511 119,121 114,750 156,839 156,071 154,565 153,097 148,913 141,419 132,244 131,768 130,829 129,911 127,268 122,440 169,177 168,320 166,639 165,001 160,337 151,994 141,401 140,874 139,837 138,823 135,904 130,578 182,407 181,451 179,578 177,754 172,561 163,285 151,122 150,541 149,396 148,277 145,058 139,191 196,593 195,529 193,444 191,414 185,640 175,341 161,443 160,802 159,541 158,307 154,762 148,306 211,805 210,621 208,303 206,048 199,635 188,213 172,400 171,694 170,306 168,948 165,048 157,952 228,117 226,802 224,227 221,723 214,610 201,956 184,034 183,257 181,730 180,237 175,951 168,161 245,607 244,148 241,292 238,516 230,632 216,630 196,385 195,531 193,853 192,213 187,508 178,964 264,362 262,745 259,580 256,504 247,776 232,298 209,497 208,560 206,719 204,919 199,758 190,398 284,473 282,682 279,178 275,773 266,121 249,026 223,418 222,391 220,371 218,398 212,744 202,498 306,037 304,056 300,180 296,415 285,749 266,887

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 3 7 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 4 – E (Continuación) Del 15% y 16% anual Solo para pagos Semestrales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 15 % Anual para Pagos Semestrales, según el Del 16 % Anual para Pagos Semestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,07763 2,07738 2,07689 2,07641 2,07500 2,07238 2,08300 2,08271 2,08215 2,08160 2,08000 2,07703 3,23892 3,23814 3,23658 3,23506 3,23063 3,22238 3,25589 3,25499 3,25321 3,25146 3,24640 3,23703 4,49037 4,48872 4,48545 4,48224 4,47292 4,45562 4,52612 4,52422 4,52046 4,51678 4,50611 4,48639 5,83897 5,83607 5,83034 5,82471 5,80839 5,77812 5,90179 5,89844 5,89183 5,88535 5,86660 5,83199 7,29226 7,28768 7,27863 7,26975 7,24402 7,19634 7,39164 7,38633 7,37586 7,36559 7,33593 7,28125 8,85838 8,85162 8,83829 8,82520 8,78732 8,71722 9,00514 8,99728 8,98180 8,96662 8,92280 8,84214 10,5461 10,5366 10,5179 10,4995 10,4464 10,3482 10,7526 10,7415 10,7197 10,6983 10,6366 10,5233 12,3648 12,3519 12,3266 12,3017 12,2298 12,0972 12,6450 12,6300 12,6003 12,5713 12,4876 12,3339 14,3247 14,3078 14,2744 14,2417 14,1471 13,9728 14,6945 14,6746 14,6355 14,5971 14,4866 14,2840 16,4368 16,4150 16,3720 16,3298 16,2081 15,9841 16,9142 16,8885 16,8378 16,7882 16,6455 16,3844 18,7128 18,6852 18,6308 18,5775 18,4237 18,1411 19,3181 19,2854 19,2211 19,1581 18,9771 18,6465 21,1655 21,1311 21,0634 20,9970 20,8055 20,4541 21,9214 21,8806 21,8001 21,7214 21,4953 21,0829 23,8087 23,7663 23,6829 23,6013 23,3659 22,9346 24,7409 24,6904 24,5911 24,4939 24,2149 23,7070 26,6570 26,6054 26,5039 26,4045 26,1184 25,5946 27,7944 27,7327 27,6113 27,4926 27,1521 26,5332 29,7264 29,6642 29,5418 29,4220 29,0772 28,4472 31,1013 31,0265 30,8796 30,7360 30,3243 29,5771 33,0342 32,9598 32,8133 32,6700 32,2580 31,5062 34,6827 34,5929 34,4164 34,2441 33,7502 32,8556 36,5987 36,5103 36,3364 36,1662 35,6774 34,7867 38,5614 38,4542 38,2438 38,0384 37,4502 36,3865 40,4400 40,3356 40,1303 39,9296 39,3532 38,3045 42,7619 42,6350 42,3856 42,1423 41,4463 40,1895 44,5794 44,4569 44,2159 43,9804 43,3047 42,0770 47,3112 47,1615 46,8677 46,5811 45,7620 44,2854 49,0402 48,8971 48,6157 48,3408 47,5525 46,1226 52,2380 52,0624 51,7180 51,3822 50,4229 48,6968 53,8474 53,6809 53,3538 53,0343 52,1190 50,4610 57,5737 57,3687 56,9668 56,5749 55,4568 53,4481 59,0277 58,8349 58,4562 58,0865 57,0279 55,1134 63,3523 63,1140 62,6467 62,1915 60,8933 58,5654 64,6102 64,3877 63,9509 63,5247 62,3050 60,1025 69,6105 69,3344 68,7933 68,2663 66,7648 64,0768 70,6260 70,3702 69,8682 69,3783 67,9779 65,4527 76,3881 76,0694 75,4448 74,8368 73,1059 70,0128 77,1089 76,8157 76,2404 75,6793 74,0762 71,1902 83,7283 83,3614 82,6428 81,9435 79,9544 76,4061 84,0951 83,7600 83,1026 82,4617 80,6319 77,3430 91,6777 91,2566 90,4321 89,6301 87,3508 83,2919 91,6236 91,2416 90,4924 89,7622 87,6793 83,9412 100,287 99,8049 98,8613 97,9439 95,3388 90,7082 99,7365 99,3021 98,4504 97,6206 95,2553 91,0169 109,611 109,060 107,983 106,936 103,966 98,6957 108,479 107,986 107,020 106,079 103,399 98,6047 119,708 119,081 117,854 116,662 113,283 107,298 117,901 117,343 116,249 115,185 112,154 106,742 130,644 129,931 128,536 127,182 123,346 116,564 128,054 127,423 126,188 124,985 121,566 115,468 142,487 141,678 140,095 138,560 134,214 126,543 138,995 138,284 136,890 135,535 131,683 124,825 155,314 154,397 152,605 150,866 145,951 137,291 150,786 149,984 148,416 146,891 142,560 134,860 169,205 168,168 166,141 164,177 158,627 148,867 163,491 162,591 160,828 159,114 154,252 145,622 184,249 183,078 180,790 178,574 172,317 161,335 177,184 176,172 174,194 172,272 166,820 157,162 200,541 199,221 196,643 194,145 187,102 174,763 191,939 190,805 188,588 186,434 180,332 169,537 218,186 216,699 213,797 210,988 203,070 189,226 207,840 206,570 204,088 201,679 194,857 182,808 237,295 235,623 232,361 229,204 220,316 204,802 224,975 223,555 220,781 218,088 210,471 197,040 257,991 256,113 252,450 248,907 238,941 221,579 243,440 241,855 238,757 235,752 227,257 212,302 280,404 278,297 274,190 270,218 259,057 239,648 263,339 261,570 258,115 254,765 245,301 228,669 304,677 302,316 297,715 293,268 280,781 259,108 284,783 282,811 278,961 275,230 264,698 246,220 330,965 328,322 323,173 318,199 304,244 280,068 307,891 305,696 301,411 297,260 285,551 265,041 359,435 356,479 350,722 345,164 329,583 302,643 332,793 330,352 325,587 320,972 307,967 285,225 390,268 386,965 380,535 374,329 356,950 326,956 359,629 356,916 351,621 346,496 332,065 306,870 423,660 419,973 412,797 405,874 386,506 353,143

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 3 8 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 4 – E (Continuación) Del 18% y 20% anual Solo para pagos Semestrales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 18 % Anual para Pagos Semestrales, según el Del 20 % Anual para Pagos Semestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,09381 2,09344 2,09273 2,09203 2,09000 2,08628 2,10471 2,10426 2,10337 2,10250 2,10000 2,09545 3,29022 3,28906 3,28678 3,28454 3,27810 3,26628 3,32510 3,32365 3,32080 3,31801 3,31000 3,29545 4,59887 4,59640 4,59155 4,58680 4,57313 4,54809 4,67329 4,67018 4,66407 4,65810 4,64100 4,60998 6,03027 6,02590 6,01731 6,00890 5,98471 5,94049 6,16264 6,15709 6,14620 6,13556 6,10510 6,04998 7,59595 7,58899 7,57528 7,56187 7,52333 7,45302 7,80795 7,79903 7,78153 7,76445 7,71561 7,62742 9,30850 9,29812 9,27771 9,25776 9,20043 9,09605 9,62554 9,61216 9,58591 9,56031 9,48717 9,35542 11,1817 11,1670 11,1380 11,1097 11,0285 10,8808 11,6335 11,6143 11,5768 11,5402 11,4359 11,2483 13,2306 13,2105 13,1708 13,1321 13,0210 12,8196 13,8516 13,8252 13,7735 13,7231 13,5795 13,3219 15,4718 15,4449 15,3921 15,3405 15,1929 14,9257 16,3021 16,2667 16,1973 16,1297 15,9374 15,5935 17,9231 17,8881 17,8194 17,7523 17,5603 17,2134 19,0091 18,9626 18,8716 18,7830 18,5312 18,0818 20,6044 20,5596 20,4717 20,3859 20,1407 19,6986 21,9996 21,9397 21,8224 21,7083 21,3843 20,8076 23,5373 23,4808 23,3700 23,2619 22,9534 22,3981 25,3033 25,2271 25,0781 24,9334 24,5227 23,7936 26,7452 26,6749 26,5370 26,4026 26,0192 25,3306 28,9529 28,8573 28,6705 28,4891 27,9750 27,0646 30,2541 30,1675 29,9977 29,8323 29,3609 28,5161 32,9846 32,8660 32,6342 32,4092 31,7725 30,6477 34,0921 33,9864 33,7793 33,5776 33,0034 31,9764 37,4385 37,2926 37,0076 36,7311 35,9497 34,5729 38,2902 38,1622 37,9115 37,6676 36,9737 35,7352 42,3588 42,1808 41,8331 41,4961 40,5447 38,8727 42,8821 42,7282 42,4270 42,1340 41,3013 39,8184 47,7944 47,5786 47,1574 46,7494 45,5992 43,5830 47,9047 47,7209 47,3611 47,0113 46,0185 44,2539 53,7990 53,5391 53,0320 52,5412 51,1591 48,7427 53,3985 53,1801 52,7527 52,3376 51,1601 49,0720 60,4325 60,1211 59,5140 58,9267 57,2750 54,3950 59,4077 59,1494 58,6443 58,1539 56,7645 54,3058 67,7606 67,3894 66,6659 65,9667 64,0025 60,5867 65,9805 65,6765 65,0823 64,5055 62,8733 59,9912 75,8560 75,4154 74,5572 73,7283 71,4027 67,3694 73,1700 72,8136 72,1171 71,4417 69,5319 66,1672 84,7991 84,2783 83,2642 82,2854 79,5430 74,7995 81,0338 80,6175 79,8043 79,0161 76,7898 72,8759 94,6787 94,0652 92,8713 91,7197 88,4973 82,9388 89,6354 89,1507 88,2044 87,2875 84,7009 80,1635 105,593 104,872 103,471 102,121 98,3471 91,8549 99,0438 98,4812 97,3833 96,3202 93,3240 88,0799 117,650 116,806 115,167 113,588 109,182 101,622 109,335 108,684 107,413 106,184 102,723 96,6792 130,969 129,985 128,072 126,231 121,100 112,321 120,591 119,839 118,373 116,956 112,968 106,021 145,683 144,537 142,311 140,170 134,210 124,042 132,903 132,038 130,350 128,718 124,135 116,168 161,938 160,607 158,022 155,537 148,631 136,881 146,371 145,376 143,437 141,564 136,308 127,190 179,895 178,351 175,357 172,480 164,494 150,946 161,101 159,960 157,737 155,591 149,575 139,164 199,733 197,946 194,483 191,159 181,943 166,353 177,214 175,907 173,364 170,909 164,037 152,171 221,647 219,584 215,587 211,753 201,138 183,230 194,837 193,344 190,439 187,637 179,800 166,300 245,857 243,478 238,872 234,458 222,252 201,719 214,115 212,411 209,098 205,905 196,982 181,648 272,601 269,864 264,565 259,489 245,477 221,972 235,200 233,260 229,487 225,853 215,711 198,320 302,146 299,000 292,913 287,087 271,024 244,158 258,263 256,056 251,767 247,637 236,125 216,431 334,785 331,173 324,191 317,514 299,127 268,461 283,490 280,983 276,112 271,426 258,376 236,104 370,841 366,702 358,703 351,059 330,039 295,085 311,084 308,239 302,716 297,404 282,630 257,475 410,673 405,934 396,782 388,042 364,043 324,249 341,265 338,042 331,785 325,773 309,066 280,689 454,676 449,257 438,798 428,816 401,448 356,197 374,278 370,629 363,551 356,752 337,882 305,907 503,286 497,097 485,157 473,770 442,593 391,194 410,388 406,262 398,262 390,582 369,292 333,300 556,987 549,924 536,308 523,332 487,852 429,532 449,886 445,225 436,192 427,525 403,528 363,056 616,311 608,260 592,746 577,973 537,637 471,529 493,088 487,828 477,638 467,868 440,846 395,380 681,847 672,677 655,018 638,215 592,401 517,534 540,343 534,412 522,928 511,924 481,522 430,493 754,245 743,811 723,728 704,632 652,641 567,930 592,031 585,349 572,418 560,034 525,859 468,635 834,224 822,361 799,540 777,857 718,905 623,136

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 3 9 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 4 – F

Solo para pagos Anuales

Del 5% y 6% anual

CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 5 % Anual para Pagos Anuales, según el Del 6 % Anual para Pagos Anuales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,05122 2,05116 2,05105 2,05095 2,05063 2,05000 2,06176 2,06168 2,06152 2,06136 2,06090 2,06000 3,15627 3,15610 3,15577 3,15543 3,15444 3,15250 3,18909 3,18884 3,18835 3,18786 3,18641 3,18360 4,31793 4,31758 4,31688 4,31619 4,31413 4,31013 4,38603 4,38552 4,38449 4,38347 4,38046 4,37462 5,53907 5,53847 5,53727 5,53608 5,53253 5,52563 5,65690 5,65601 5,65423 5,65246 5,64723 5,63709 6,82277 6,82183 6,81997 6,81811 6,81262 6,80191 7,00626 7,00486 7,00208 6,99931 6,99115 6,97532 8,17220 8,17085 8,16815 8,16546 8,15751 8,14201 8,43894 8,43690 8,43285 8,42882 8,41691 8,39384 9,59075 9,58888 9,58516 9,58146 9,57048 9,54911 9,96011 9,95727 9,95163 9,94604 9,92950 9,89747 11,0820 11,0795 11,0745 11,0696 11,0550 11,0266 11,5752 11,5714 11,5639 11,5564 11,5342 11,4913 12,6495 12,6463 12,6399 12,6335 12,6146 12,5779 13,2901 13,2851 13,2753 13,2655 13,2366 13,1808 14,2974 14,2933 14,2852 14,2771 14,2533 14,2068 15,1108 15,1045 15,0920 15,0795 15,0427 14,9716 16,0297 16,0246 16,0145 16,0045 15,9748 15,9171 17,0440 17,0361 17,0204 17,0049 16,9589 16,8699 17,8506 17,8444 17,8321 17,8199 17,7836 17,7130 19,0966 19,0869 19,0675 19,0483 18,9916 18,8821 19,7649 19,7574 19,7425 19,7277 19,6839 19,5986 21,2760 21,2641 21,2406 21,2172 21,1482 21,0151 21,7772 21,7682 21,7504 21,7327 21,6803 21,5786 23,5899 23,5756 23,5473 23,5192 23,4362 23,2760 23,8925 23,8819 23,8609 23,8399 23,7779 23,6575 26,0467 26,0297 25,9959 25,9624 25,8634 25,6725 26,1162 26,1038 26,0790 26,0544 25,9817 25,8404 28,6553 28,6352 28,5952 28,5555 28,4385 28,2129 28,4538 28,4393 28,4105 28,3818 28,2970 28,1324 31,4250 31,4013 31,3544 31,3078 31,1704 30,9057 30,9111 30,8943 30,8609 30,8277 30,7295 30,5390 34,3657 34,3381 34,2833 34,2290 34,0687 33,7600 33,4943 33,4749 33,4364 33,3982 33,2852 33,0660 37,4880 37,4560 37,3924 37,3294 37,1435 36,7856 36,2097 36,1876 36,1435 36,0997 35,9703 35,7193 40,8032 40,7662 40,6928 40,6200 40,4055 39,9927 39,0642 39,0390 38,9887 38,9388 38,7913 38,5052 44,3230 44,2806 44,1962 44,1126 43,8662 43,3923 42,0650 42,0363 41,9792 41,9226 41,7551 41,4305 48,0603 48,0117 47,9152 47,8195 47,5377 46,9958 45,2194 45,1869 45,1224 45,0584 44,8689 44,5020 52,0284 51,9730 51,8629 51,7539 51,4327 50,8156 48,5354 48,4988 48,4261 48,3539 48,1404 47,7271 56,2415 56,1785 56,0536 55,9297 55,5650 54,8645 52,0212 51,9801 51,8984 51,8173 51,5775 51,1135 60,7148 60,6435 60,5020 60,3618 59,9489 59,1564 55,6855 55,6395 55,5480 55,4571 55,1886 54,6691 65,4644 65,3839 65,2241 65,0658 64,5998 63,7058 59,5375 59,4861 59,3839 59,2824 58,9826 58,4026 70,5072 70,4166 70,2367 70,0584 69,5339 68,5281 63,5868 63,5295 63,4156 63,3026 62,9686 62,3227 75,8616 75,7598 75,5576 75,3575 74,7685 73,6398 67,8435 67,7798 67,6532 67,5275 67,1563 66,4388 81,5465 81,4324 81,2059 80,9817 80,3219 79,0582 72,3182 72,2476 72,1071 71,9678 71,5561 70,7608 87,5826 87,4550 87,2017 86,9510 86,2135 84,8017 77,0221 76,9439 76,7884 76,6342 76,1787 75,2988 93,9915 93,8491 93,5664 93,2866 92,4639 90,8898 81,9669 81,8805 81,7087 81,5383 81,0352 80,0638 100,796 100,637 100,323 100,011 99,0949 97,3432 87,1649 87,0696 86,8802 86,6923 86,1376 85,0670 108,021 107,845 107,494 107,148 106,130 104,184 92,6292 92,5243 92,3157 92,1089 91,4983 90,3203 115,692 115,496 115,108 114,723 113,593 111,435 98,3733 98,2580 98,0288 97,8014 97,1304 95,8363 123,837 123,620 123,189 122,763 121,511 119,121 104,412 104,285 104,033 103,784 103,048 101,628 132,485 132,244 131,768 131,296 129,911 127,268 110,759 110,621 110,345 110,071 109,264 107,710 141,666 141,401 140,874 140,353 138,823 135,904 117,432 117,280 116,978 116,679 115,796 114,095 151,415 151,122 150,541 149,965 148,277 145,058 124,446 124,280 123,950 123,623 122,658 120,800 161,766 161,443 160,802 160,168 158,307 154,762 131,820 131,639 131,278 130,921 129,868 127,840 172,757 172,400 171,694 170,996 168,948 165,048 139,571 139,374 138,981 138,591 137,442 135,232 184,425 184,034 183,257 182,489 180,237 175,951 147,720 147,504 147,076 146,652 145,400 142,993 196,815 196,385 195,531 194,687 192,213 187,508 156,285 156,051 155,585 155,123 153,761 151,143 209,970 209,497 208,560 207,634 204,919 199,758 165,290 165,035 164,528 164,026 162,545 159,700 223,937 223,418 222,391 221,375 218,398 212,744

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 4 0 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 4 – F (Continuación) Del 7% y 8% anual Solo para pagos Anuales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 7 % Anual para Pagos Anuales, según el Del 8 % Anual para Pagos Anuales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,07240 2,07229 2,07207 2,07186 2,07123 2,07000 2,08314 2,08300 2,08271 2,08243 2,08160 2,08000 3,22244 3,22210 3,22142 3,22074 3,21875 3,21490 3,25634 3,25589 3,25499 3,25409 3,25146 3,24640 4,45574 4,45502 4,45360 4,45218 4,44800 4,43994 4,52708 4,52612 4,52422 4,52233 4,51678 4,50611 5,77833 5,77708 5,77458 5,77211 5,76481 5,75074 5,90348 5,90179 5,89844 5,89512 5,88535 5,86660 7,19667 7,19470 7,19078 7,18689 7,17541 7,15329 7,39431 7,39164 7,38633 7,38107 7,36559 7,33593 8,71771 8,71481 8,70904 8,70333 8,68648 8,65402 9,00910 9,00514 8,99728 8,98950 8,96662 8,92280 10,3489 10,3448 10,3367 10,3287 10,3052 10,2598 10,7581 10,7526 10,7415 10,7305 10,6983 10,6366 12,0981 12,0926 12,0817 12,0710 12,0392 11,9780 12,6526 12,6450 12,6300 12,6151 12,5713 12,4876 13,9740 13,9668 13,9525 13,9384 13,8966 13,8164 14,7046 14,6945 14,6746 14,6550 14,5971 14,4866 15,9857 15,9765 15,9581 15,9400 15,8864 15,7836 16,9272 16,9142 16,8885 16,8630 16,7882 16,6455 18,1430 18,1314 18,1083 18,0854 18,0179 17,8885 19,3345 19,3181 19,2854 19,2530 19,1581 18,9771 20,4566 20,4421 20,4134 20,3850 20,3013 20,1406 21,9421 21,9214 21,8806 21,8401 21,7214 21,4953 22,9376 22,9199 22,8847 22,8498 22,7472 22,5505 24,7664 24,7409 24,6904 24,6404 24,4939 24,2149 25,5983 25,5768 25,5341 25,4918 25,3674 25,1290 27,8255 27,7944 27,7327 27,6716 27,4926 27,1521 28,4516 28,4257 28,3744 28,3236 28,1742 27,8881 31,1390 31,1013 31,0265 30,9526 30,7360 30,3243 31,5114 31,4806 31,4195 31,3589 31,1809 30,8402 34,7280 34,6827 34,5929 34,5041 34,2441 33,7502 34,7928 34,7563 34,6840 34,6123 34,4018 33,9990 38,6154 38,5614 38,4542 38,3484 38,0384 37,4502 38,3118 38,2689 38,1838 38,0996 37,8520 37,3790 42,8260 42,7619 42,6350 42,5095 42,1423 41,4463 42,0855 42,0353 41,9358 41,8374 41,5480 40,9955 47,3867 47,3112 47,1615 47,0137 46,5811 45,7620 46,1325 46,0741 45,9583 45,8437 45,5073 44,8652 52,3266 52,2380 52,0624 51,8891 51,3822 50,4229 50,4724 50,4048 50,2707 50,1380 49,7486 49,0057 57,6772 57,5737 57,3687 57,1665 56,5749 55,4568 55,1265 55,0486 54,8939 54,7409 54,2919 53,4361 63,4726 63,3523 63,1140 62,8788 62,1915 60,8933 60,1176 60,0280 59,8503 59,6745 59,1588 58,1767 69,7499 69,6105 69,3344 69,0620 68,2663 66,7648 65,4701 65,3674 65,1639 64,9627 64,3724 63,2490 76,5491 76,3881 76,0694 75,7550 74,8368 73,1059 71,2101 71,0929 70,8605 70,6308 69,9574 68,6765 83,9137 83,7283 83,3614 82,9996 81,9435 79,9544 77,3656 77,2322 76,9677 76,7063 75,9401 74,4838 91,8905 91,6777 91,2566 90,8415 89,6301 87,3508 83,9668 83,8153 83,5151 83,2184 82,3489 80,6977 100,531 100,287 99,8049 99,3297 97,9439 95,3388 91,0459 90,8743 90,5343 90,1983 89,2142 87,3465 109,889 109,611 109,060 108,518 106,936 103,966 98,6375 98,4436 98,0594 97,6799 96,5685 94,4608 120,025 119,708 119,081 118,463 116,662 113,283 106,779 106,560 106,127 105,699 104,447 102,073 131,005 130,644 129,931 129,228 127,182 123,346 115,509 115,263 114,776 114,295 112,886 110,218 142,897 142,487 141,678 140,881 138,560 134,214 124,872 124,596 124,048 123,508 121,926 118,933 155,778 155,314 154,397 153,494 150,866 145,951 134,913 134,603 133,989 133,383 131,610 128,259 169,729 169,205 168,168 167,147 164,177 158,627 145,680 145,333 144,646 143,968 141,984 138,237 184,841 184,249 183,078 181,925 178,574 172,317 157,227 156,839 156,071 155,313 153,097 148,913 201,210 200,541 199,221 197,921 194,145 187,102 169,611 169,177 168,320 167,474 165,001 160,337 218,939 218,186 216,699 215,236 210,988 203,070 182,890 182,407 181,451 180,508 177,754 172,561 238,142 237,295 235,623 233,979 229,204 220,316 197,131 196,593 195,529 194,479 191,414 185,640 258,942 257,991 256,113 254,266 248,907 238,941 212,403 211,805 210,621 209,454 206,048 199,635 281,471 280,404 278,297 276,226 270,218 259,057 228,781 228,117 226,802 225,505 221,723 214,610 305,873 304,677 302,316 299,996 293,268 280,781 246,345 245,607 244,148 242,710 238,516 230,632 332,304 330,965 328,322 325,725 318,199 304,244 265,180 264,362 262,745 261,151 256,504 247,776 360,933 359,435 356,479 353,575 345,164 329,583 285,378 284,473 282,682 280,917 275,773 266,121 391,942 390,268 386,965 383,721 374,329 356,950 307,039 306,037 304,056 302,103 296,415 285,749 425,530 423,660 419,973 416,352 405,874 386,506

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 4 1 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 4 – F (Continuación) Del 9% y 10% anual Solo para pagos Anuales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 9 % Anual para Pagos Anuales, según el Del 10 % Anual para Pagos Anuales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,09399 2,09381 2,09344 2,09308 2,09203 2,09000 2,10494 2,10471 2,10426 2,10381 2,10250 2,10000 3,29080 3,29022 3,28906 3,28791 3,28454 3,27810 3,32584 3,32510 3,32365 3,32222 3,31801 3,31000 4,60011 4,59887 4,59640 4,59396 4,58680 4,57313 4,67485 4,67329 4,67018 4,66710 4,65810 4,64100 6,03247 6,03027 6,02590 6,02159 6,00890 5,98471 6,16544 6,16264 6,15709 6,15161 6,13556 6,10510 7,59947 7,59595 7,58899 7,58210 7,56187 7,52333 7,81245 7,80795 7,79903 7,79023 7,76445 7,71561 9,31374 9,30850 9,29812 9,28786 9,25776 9,20043 9,63230 9,62554 9,61216 9,59895 9,56031 9,48717 11,1891 11,1817 11,1670 11,1524 11,1097 11,0285 11,6431 11,6335 11,6143 11,5954 11,5402 11,4359 13,2408 13,2306 13,2105 13,1905 13,1321 13,0210 13,8650 13,8516 13,8252 13,7992 13,7231 13,5795 15,4853 15,4718 15,4449 15,4183 15,3405 15,1929 16,3200 16,3021 16,2667 16,2317 16,1297 15,9374 17,9408 17,9231 17,8881 17,8535 17,7523 17,5603 19,0326 19,0091 18,9626 18,9168 18,7830 18,5312 20,6270 20,6044 20,5596 20,5154 20,3859 20,1407 22,0299 21,9996 21,9397 21,8806 21,7083 21,3843 23,5658 23,5373 23,4808 23,4250 23,2619 22,9534 25,3418 25,3033 25,2271 25,1521 24,9334 24,5227 26,7807 26,7452 26,6749 26,6055 26,4026 26,0192 29,0012 28,9529 28,8573 28,7632 28,4891 27,9750 30,2978 30,2541 30,1675 30,0820 29,8323 29,3609 33,0446 32,9846 32,8660 32,7492 32,4092 31,7725 34,1455 34,0921 33,9864 33,8822 33,5776 33,0034 37,5123 37,4385 37,2926 37,1490 36,7311 35,9497 38,3549 38,2902 38,1622 38,0360 37,6676 36,9737 42,4489 42,3588 42,1808 42,0055 41,4961 40,5447 42,9599 42,8821 42,7282 42,5765 42,1340 41,3013 47,9036 47,7944 47,5786 47,3663 46,7494 45,5992 47,9977 47,9047 47,7209 47,5397 47,0113 46,0185 53,9307 53,7990 53,5391 53,2835 52,5412 51,1591 53,5090 53,3985 53,1801 52,9649 52,3376 51,1601 60,5902 60,4325 60,1211 59,8150 58,9267 57,2750 59,5383 59,4077 59,1494 58,8950 58,1539 56,7645 67,9486 67,7606 67,3894 67,0246 65,9667 64,0025 66,1343 65,9805 65,6765 65,3772 64,5055 62,8733 76,0792 75,8560 75,4154 74,9826 73,7283 71,4027 73,3503 73,1700 72,8136 72,4627 71,4417 69,5319 85,0631 84,7991 84,2783 83,7667 82,2854 79,5430 81,2445 81,0338 80,6175 80,2077 79,0161 76,7898 94,9897 94,6787 94,0652 93,4628 91,7197 88,4973 89,8807 89,6354 89,1507 88,6737 87,2875 84,7009 105,958 105,593 104,872 104,165 102,121 98,3471 99,3285 99,0438 98,4812 97,9278 96,3202 93,3240 118,077 117,650 116,806 115,979 113,588 109,182 109,664 109,335 108,684 108,043 106,184 102,723 131,469 130,969 129,985 129,019 126,231 121,100 120,972 120,591 119,839 119,100 116,956 112,968 146,265 145,683 144,537 143,413 140,170 134,210 133,342 132,903 132,038 131,187 128,718 124,135 162,614 161,938 160,607 159,301 155,537 148,631 146,875 146,371 145,376 144,398 141,564 136,308 180,679 179,895 178,351 176,839 172,480 164,494 161,680 161,101 159,960 158,839 155,591 149,575 200,640 199,733 197,946 196,197 191,159 181,943 177,876 177,214 175,907 174,624 170,909 164,037 222,696 221,647 219,584 217,565 211,753 201,138 195,594 194,837 193,344 191,879 187,637 179,800 247,066 245,857 243,478 241,151 234,458 222,252 214,978 214,115 212,411 210,739 205,905 196,982 273,993 272,601 269,864 267,185 259,489 245,477 236,184 235,200 233,260 231,356 225,853 215,711 303,746 302,146 299,000 295,923 287,087 271,024 259,383 258,263 256,056 253,891 247,637 236,125 336,622 334,785 331,173 327,643 317,514 299,127 284,763 283,490 280,983 278,524 271,426 258,376 372,947 370,841 366,702 362,657 351,059 330,039 312,528 311,084 308,239 305,450 297,404 282,630 413,085 410,673 405,934 401,305 388,042 364,043 342,902 341,265 338,042 334,882 325,773 309,066 457,434 454,676 449,257 443,966 428,816 401,448 376,131 374,278 370,629 367,054 356,752 337,882 506,438 503,286 497,097 491,055 473,770 442,593 412,484 410,388 406,262 402,221 390,582 369,292 560,585 556,987 549,924 543,033 523,332 487,852 452,254 449,886 445,225 440,661 427,525 403,528 620,413 616,311 608,260 600,407 577,973 537,637 495,761 493,088 487,828 482,679 467,868 440,846 686,520 681,847 672,677 663,737 638,215 592,401 543,358 540,343 534,412 528,608 511,924 481,522 759,564 754,245 743,811 733,641 704,632 652,641 595,428 592,031 585,349 578,813 560,034 525,859 840,274 834,224 822,361 810,803 777,857 718,905

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 4 2 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 4 – F (Continuación) Del 12% y 14% anual Solo para pagos Anuales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 12 % Anual para Pagos Anuales, según el Del 14 % Anual para Pagos Anuales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,12716 2,12683 2,12616 2,12551 2,12360 2,12000 2,14981 2,14934 2,14843 2,14752 2,14490 2,14000 3,39765 3,39656 3,39440 3,39228 3,38608 3,37440 3,47186 3,47033 3,46731 3,46433 3,45570 3,43960 4,82969 4,82733 4,82265 4,81804 4,80460 4,77933 4,99197 4,98860 4,98194 4,97540 4,95643 4,92114 6,44384 6,43955 6,43109 6,42275 6,39844 6,35285 6,73979 6,73360 6,72139 6,70939 6,67461 6,61010 8,26323 8,25625 8,24245 8,22886 8,18929 8,11519 8,74945 8,73921 8,71901 8,69918 8,64176 8,53552 10,3140 10,3034 10,2823 10,2617 10,2015 10,0890 11,0602 11,0443 11,0131 10,9825 10,8940 10,7305 12,6255 12,6101 12,5796 12,5496 12,4624 12,2997 13,7171 13,6937 13,6478 13,6027 13,4725 13,2328 15,2310 15,2093 15,1667 15,1247 15,0027 14,7757 16,7720 16,7388 16,6734 16,6094 16,4247 16,0853 18,1677 18,1383 18,0801 18,0229 17,8571 17,5487 20,2845 20,2386 20,1482 20,0596 19,8046 19,3373 21,4779 21,4387 21,3611 21,2850 21,0642 20,6546 24,3232 24,2611 24,1387 24,0189 23,6743 23,0445 25,2091 25,1576 25,0561 24,9564 24,6678 24,1331 28,9670 28,8842 28,7215 28,5623 28,1047 27,2707 29,4146 29,3482 29,2173 29,0887 28,7167 28,0291 34,3064 34,1979 33,9845 33,7758 33,1770 32,0887 34,1550 34,0703 33,9034 33,7396 33,2661 32,3926 40,4457 40,3051 40,0286 39,7586 38,9844 37,5811 39,4981 39,3913 39,1807 38,9742 38,3778 37,2797 47,5048 47,3243 46,9699 46,6239 45,6332 43,8424 45,5207 45,3871 45,1238 44,8658 44,1213 42,7533 55,6212 55,3918 54,9414 54,5019 53,2455 50,9804 52,3091 52,1433 51,8168 51,4968 50,5746 48,8837 64,9536 64,6641 64,0961 63,5422 61,9608 59,1176 59,9607 59,7564 59,3541 58,9601 57,8257 55,7497 75,6841 75,3212 74,6096 73,9162 71,9389 68,3941 68,5853 68,3350 67,8424 67,3602 65,9729 63,4397 88,0220 87,5698 86,6835 85,8205 83,3628 78,9692 78,3066 78,0016 77,4015 76,8145 75,1272 72,0524 102,208 101,648 100,550 99,4810 96,4421 91,0249 89,2641 88,8941 88,1667 87,4553 85,4129 81,6987 118,520 117,828 116,474 115,157 111,417 104,768 101,615 101,168 100,290 99,4318 96,9699 92,5026 137,275 136,425 134,761 133,145 128,561 120,436 115,536 114,999 113,943 112,911 109,955 104,603 158,839 157,799 155,763 153,787 148,189 138,297 131,228 130,584 129,318 128,083 124,546 118,155 183,634 182,364 179,882 177,474 170,662 158,659 148,915 148,145 146,633 145,158 140,940 133,334 212,144 210,599 207,581 204,656 196,391 181,871 168,851 167,933 166,133 164,377 159,360 150,334 244,924 243,050 239,392 235,847 225,848 208,333 191,322 190,231 188,093 186,008 180,057 169,374 282,615 280,348 275,924 271,640 259,573 238,499 216,650 215,357 212,823 210,353 203,312 190,699 325,953 323,216 317,878 312,713 298,185 272,889 245,199 243,670 240,673 237,754 229,441 214,583 375,782 372,486 366,059 359,845 342,392 312,094 277,379 275,574 272,037 268,595 258,800 241,333 433,077 429,113 421,391 413,931 393,005 356,787 313,650 311,523 307,358 303,306 291,788 271,293 498,954 494,198 484,936 475,995 450,951 407,737 354,534 352,032 347,135 342,373 328,853 304,848 574,701 569,003 557,913 547,215 517,294 465,820 400,616 397,679 391,930 386,344 370,499 342,429 661,794 654,979 641,721 628,942 593,250 532,035 452,558 449,114 442,377 435,834 417,293 384,521 761,935 753,794 737,969 722,726 680,212 607,520 511,106 507,073 499,188 491,534 469,870 431,663 877,078 867,368 848,502 830,344 779,775 693,573 577,098 572,383 563,167 554,226 528,946 484,463 1009,47 997,902 975,441 953,839 893,764 791,673 651,481 645,975 635,218 624,787 595,324 543,599 1161,69 1147,93 1121,22 1095,55 1024,27 903,507 735,324 728,901 716,358 704,203 669,906 609,831 1336,72 1320,37 1288,64 1258,17 1173,69 1031,00 829,827 822,344 807,736 793,587 753,706 684,010 1537,97 1518,55 1480,90 1444,78 1344,75 1176,34 936,348 927,638 910,642 894,189 847,864 767,091 1769,37 1746,33 1701,71 1658,92 1540,61 1342,03 1056,41 1046,29 1026,53 1007,42 953,660 860,142 2035,43 2008,14 1955,29 1904,65 1764,84 1530,91 1191,75 1179,98 1157,04 1134,86 1072,53 964,359 2341,35 2309,03 2246,50 2186,63 2021,57 1746,24 1344,29 1330,63 1304,01 1278,29 1206,10 1081,08 2693,10 2654,87 2580,94 2510,21 2315,50 1991,71 1516,23 1500,39 1469,53 1439,73 1356,17 1211,81 3097,54 3052,35 2965,01 2881,52 2652,01 2271,55 1710,03 1691,68 1655,93 1621,43 1524,79 1358,23 3562,57 3509,20 3406,09 3307,61 3037,29 2590,56

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 4 3 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 4 – F (Continuación) Del 15% y 16% anual Solo para pagos Anuales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 15 % Anual para Pagos Anuales, según el Del 16 % Anual para Pagos Anuales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,16129 2,16075 2,15969 2,15865 2,15563 2,15000 2,17289 2,17227 2,17105 2,16986 2,16640 2,16000 3,50989 3,50811 3,50458 3,50112 3,49109 3,47250 3,54855 3,54649 3,54242 3,53843 3,52689 3,50560 5,07601 5,07205 5,06424 5,05658 5,03440 4,99338 5,16206 5,15745 5,14836 5,13946 5,11376 5,06650 6,89473 6,88740 6,87297 6,85880 6,81787 6,74238 7,05451 7,04592 7,02901 7,01244 6,96469 6,87714 9,00679 8,99459 8,97053 8,94696 8,87891 8,75374 9,27415 9,25973 9,23135 9,20356 9,12362 8,97748 11,4595 11,4405 11,4031 11,3664 11,2607 11,0668 11,8775 11,8549 11,8104 11,7669 11,6418 11,4139 14,3078 14,2796 14,2241 14,1697 14,0131 13,7268 14,9310 14,8972 14,8306 14,7656 14,5790 14,2401 17,6156 17,5751 17,4956 17,4177 17,1939 16,7858 18,5124 18,4635 18,3674 18,2736 18,0049 17,5185 21,4568 21,4004 21,2895 21,1810 20,8697 20,3037 22,7130 22,6442 22,5093 22,3776 22,0009 21,3215 25,9177 25,8406 25,6893 25,5414 25,1176 24,3493 27,6398 27,5452 27,3596 27,1786 26,6619 25,7329 31,0980 30,9946 30,7917 30,5936 30,0265 29,0017 33,4184 33,2904 33,0395 32,7951 32,0984 30,8502 37,1138 36,9772 36,7089 36,4472 35,6994 34,3519 40,1960 40,0254 39,6910 39,3656 38,4396 36,7862 44,1000 43,9214 43,5711 43,2296 42,2551 40,5047 48,1454 47,9206 47,4803 47,0522 45,8360 43,6720 52,2130 51,9820 51,5291 51,0880 49,8310 47,5804 57,4692 57,1759 56,6020 56,0444 54,4631 51,6595 61,6345 61,3383 60,7579 60,1931 58,5860 55,7175 68,4049 68,0256 67,2840 66,5641 64,5257 60,9250 72,5756 72,1987 71,4606 70,7428 68,7034 65,0751 81,2313 80,7445 79,7931 78,8705 76,2628 71,6730 85,2815 84,8050 83,8724 82,9662 80,3954 75,8364 96,2752 95,6544 94,4420 93,2674 89,9530 84,1407 100,037 99,4377 98,2662 97,1288 93,9069 88,2118 113,920 113,133 111,597 110,110 105,921 98,6032 117,172 116,423 114,959 113,538 109,521 102,444 134,615 133,622 131,686 129,813 124,546 115,380 137,071 136,138 134,317 132,551 127,565 118,810 158,889 157,642 155,211 152,863 146,271 134,841 160,179 159,023 156,766 154,581 148,418 137,632 187,359 185,799 182,760 179,828 171,610 157,415 187,015 185,587 182,801 180,105 172,515 159,276 220,751 218,806 215,022 211,373 201,166 183,601 218,179 216,421 212,993 209,679 200,363 184,168 259,916 257,500 252,803 248,276 235,640 213,978 254,369 252,211 248,007 243,944 232,545 212,793 305,852 302,860 297,045 291,448 275,851 249,214 296,397 293,756 288,612 283,646 269,734 245,712 359,731 356,034 348,856 341,953 322,753 290,088 345,204 341,978 335,701 329,646 312,712 283,569 422,924 418,368 409,529 401,037 377,459 337,502 401,882 397,953 390,310 382,945 362,377 327,104 497,042 491,441 480,581 470,156 441,268 392,503 467,702 462,925 453,640 444,699 419,772 377,170 583,975 577,102 563,786 551,016 515,695 456,303 544,139 538,343 527,084 516,251 486,100 434,745 685,937 677,519 661,223 645,611 602,506 530,312 632,904 625,884 612,255 599,155 562,749 500,957 805,527 795,236 775,328 756,274 703,763 616,162 735,987 727,497 711,029 695,211 651,327 577,100 945,793 933,232 908,950 885,733 821,870 715,747 855,696 845,446 825,575 806,506 753,689 664,666 1110,31 1095,00 1065,43 1037,18 959,629 831,267 994,713 982,355 958,414 935,459 871,982 765,365 1303,27 1284,64 1248,68 1214,36 1120,31 965,270 1156,15 1141,27 1112,47 1084,87 1008,68 881,170 1529,59 1506,94 1463,27 1421,63 1307,73 1120,71 1343,63 1325,74 1291,12 1257,98 1166,66 1014,35 1795,03 1767,55 1714,56 1664,10 1526,34 1301,03 1561,35 1539,86 1498,30 1458,56 1349,22 1167,50 2106,37 2073,04 2008,84 1947,76 1781,32 1510,19 1814,18 1788,39 1738,57 1690,97 1560,20 1343,62 2471,54 2431,17 2353,46 2279,61 2078,73 1752,82 2107,79 2076,89 2017,21 1960,24 1804,00 1546,17 2899,84 2850,98 2757,03 2667,82 2425,63 2034,27 2448,76 2411,76 2340,35 2272,23 2085,75 1779,09 3402,19 3343,13 3229,63 3121,97 2830,26 2360,76 2844,73 2800,46 2715,08 2633,72 2411,34 2046,95 3991,39 3920,05 3783,07 3653,26 3302,21 2739,48 3304,56 3251,64 3149,67 3052,56 2787,61 2355,00 4682,45 4596,36 4431,18 4274,80 3852,70 3178,79 3838,56 3775,36 3653,65 3537,85 3222,43 2709,25 5492,99 5389,18 5190,15 5001,91 4494,79 3688,40 4458,69 4383,27 4238,11 4100,14 3724,92 3116,63 6443,66 6318,58 6078,95 5852,53 5243,72 4279,55 5178,84 5088,89 4915,91 4751,62 4305,61 3585,13 7558,69 7408,08 7119,77 6847,63 6117,28 4965,27

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 4 4 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 4 – F (Continuación) Del 18% y 20% anual Solo para pagos Anuales CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ ((1 + i ) n − 1) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 18 % Anual para Pagos Anuales, según el Del 20 % Anual para Pagos Anuales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 2,19641 2,19562 2,19405 2,19252 2,18810 2,18000 2,22039 2,21939 2,21743 2,21551 2,21000 2,20000 3,62782 3,62512 3,61981 3,61462 3,59968 3,57240 3,70975 3,70631 3,69955 3,69296 3,67410 3,64000 5,34037 5,33426 5,32225 5,31050 5,27678 5,21543 5,52734 5,51944 5,50393 5,48882 5,44566 5,36800 7,38929 7,37774 7,35504 7,33287 7,26934 7,15421 7,74551 7,73035 7,70063 7,67169 7,58925 7,44160 9,84065 9,82096 9,78230 9,74458 9,63671 9,44197 10,4526 10,4263 10,3749 10,3250 10,1830 9,92992 12,7735 12,7421 12,6806 12,6206 12,4494 12,1415 13,7562 13,7138 13,6307 13,5501 13,3214 12,9159 16,2824 16,2347 16,1413 16,0503 15,7911 15,3270 17,7879 17,7224 17,5944 17,4702 17,1189 16,4991 20,4805 20,4105 20,2735 20,1403 19,7614 19,0859 22,7083 22,6106 22,4199 22,2352 21,7139 20,7989 25,5031 25,4032 25,2077 25,0177 24,4785 23,5213 28,7129 28,5711 28,2946 28,0270 27,2738 25,9587 31,5122 31,3725 31,0993 30,8340 30,0829 28,7551 36,0410 35,8394 35,4466 35,0670 34,0013 32,1504 38,7017 38,5095 38,1341 37,7701 36,7415 34,9311 44,9841 44,7022 44,1536 43,6241 42,1416 39,5805 47,3032 47,0427 46,5342 46,0416 44,6526 42,2187 55,8982 55,5095 54,7537 54,0254 51,9913 48,4966 57,5942 57,2451 56,5642 55,9055 54,0518 50,8180 69,2177 68,6878 67,6586 66,6682 63,9095 59,1959 69,9065 69,4433 68,5406 67,6683 65,2189 60,9653 85,4726 84,7573 83,3693 82,0356 78,3305 72,0351 84,6370 84,0276 82,8411 81,6957 78,4866 72,9390 105,310 104,352 102,496 100,715 95,7799 87,4421 102,261 101,465 99,9166 98,4237 94,2499 87,0680 129,519 128,246 125,781 123,419 116,894 105,931 123,346 122,313 120,306 118,372 112,978 103,740 159,064 157,382 154,129 151,017 142,441 128,117 148,573 147,240 144,651 142,161 135,230 123,414 195,121 192,911 188,641 184,562 173,354 154,740 178,755 177,043 173,721 170,529 161,666 146,628 239,124 236,234 230,657 225,337 210,758 186,688 214,865 212,676 208,432 204,360 193,076 174,021 292,824 289,061 281,808 274,898 256,018 225,026 258,067 255,279 249,879 244,703 230,393 206,345 358,360 353,478 344,080 335,140 310,781 271,031 309,755 306,216 299,368 292,812 274,730 244,487 438,339 432,029 419,892 408,365 377,045 326,237 371,595 367,118 358,462 350,184 327,407 289,494 535,945 527,812 512,188 497,370 457,225 392,484 445,582 439,933 429,022 418,601 389,992 342,603 655,063 644,609 624,551 605,557 554,242 471,981 534,100 526,991 513,275 500,190 464,350 405,272 800,433 787,030 761,344 737,058 671,633 567,377 640,004 631,080 613,877 597,486 552,694 479,221 977,841 960,698 927,880 896,899 813,676 681,853 766,710 755,531 734,001 713,513 657,656 566,481 1194,35 1172,47 1130,63 1091,19 985,548 819,223 918,302 904,327 877,435 851,877 782,361 669,447 1458,57 1430,69 1377,45 1327,34 1193,51 984,068 1099,67 1082,23 1048,70 1016,88 930,523 790,948 1781,03 1745,58 1677,95 1614,39 1445,15 1181,88 1316,66 1294,93 1253,21 1213,65 1106,55 934,319 2174,55 2129,54 2043,78 1963,31 1749,63 1419,26 1576,27 1549,25 1497,39 1448,30 1315,70 1103,50 2654,80 2597,74 2489,15 2387,41 2118,06 1704,11 1886,87 1853,31 1788,97 1728,12 1564,18 1303,13 3240,90 3168,66 3031,35 2902,91 2563,85 2045,93 2258,48 2216,85 2137,12 2061,82 1859,40 1538,69 3956,16 3864,84 3691,45 3529,51 3103,25 2456,12 2703,07 2651,50 2552,83 2459,75 2210,15 1816,65 4829,06 4713,75 4495,07 4291,14 3755,94 2948,34 3234,99 3171,18 3049,22 2934,30 2626,88 2144,65 5894,34 5748,91 5473,41 5216,91 4545,68 3539,01 3871,39 3792,53 3641,93 3500,21 3122,00 2531,69 7194,40 7011,17 6664,48 6342,18 5501,28 4247,81 4632,78 4535,41 4349,65 4175,07 3710,25 2988,39 8780,98 8550,36 8114,51 7709,96 6657,55 5098,37 5543,72 5423,62 5194,71 4979,85 4409,15 3527,30 10717,2 10427,2 9879,81 9372,51 8056,63 6119,05 6633,58 6485,58 6203,75 5939,56 5239,51 4163,21 13080,2 12715,9 12028,9 11393,3 9749,52 7343,86 7937,51 7755,28 7408,61 7084,03 6226,06 4913,59 15964,0 15506,6 14645,4 13849,7 11797,9 8813,63 9497,54 9273,35 8847,26 8448,84 7398,18 5799,04 19483,3 18909,6 17830,6 16835,4 14276,5 10577,4 11364,0 11088,4 10565,1 10076,4 8790,78 6843,86 23778,2 23059,2 21708,5 20464,5 17275,6 12693,8 13597,0 13258,5 12616,3 12017,3 10445,3 8076,76 29019,7 28119,2 26429,5 24875,7 20904,4 15233,6 16268,7 15853,1 15065,5 14331,9 12411,1 9531,58 35416,4 34289,3 32176,9 30237,6 25295,3 18281,3

Factor: F = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 4 5 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 5 – A

Del 5% y 6% anual Solo para pagos Quincenales

CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ ⎥ Donde i = (1 + i ⎣ ⎦ Del 5 % Anual para Pagos Quincenales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 0,99792 0,99792 0,99793 0,99793 0,99794 0,99797 1,99377 1,99377 1,99379 1,99380 1,99384 1,99391 2,98754 2,98756 2,98758 2,98761 2,98768 2,98783 3,97925 3,97927 3,97932 3,97936 3,97949 3,97973 4,96890 4,96893 4,96900 4,96906 4,96925 4,96962 5,95649 5,95654 5,95663 5,95672 5,95698 5,95750 6,94203 6,94209 6,94221 6,94233 6,94268 6,94337 7,92552 7,92559 7,92575 7,92590 7,92635 7,92723 8,90696 8,90706 8,90725 8,90744 8,90800 8,90910 9,88637 9,88648 9,88672 9,88695 9,88764 9,88898 10,8637 10,8639 10,8642 10,8644 10,8653 10,8669 11,8391 11,8392 11,8396 11,8399 11,8409 11,8428 12,8124 12,8126 12,8130 12,8133 12,8145 12,8167 13,7837 13,7839 13,7843 13,7848 13,7861 13,7886 14,7529 14,7532 14,7537 14,7542 14,7557 14,7586 15,7202 15,7205 15,7210 15,7216 15,7233 15,7266 16,6854 16,6857 16,6864 16,6870 16,6889 16,6926 17,6486 17,6490 17,6497 17,6504 17,6526 17,6567 18,6099 18,6103 18,6111 18,6119 18,6142 18,6188 19,5691 19,5696 19,5704 19,5713 19,5739 19,5790 20,5263 20,5268 20,5278 20,5288 20,5316 20,5372 21,4816 21,4821 21,4832 21,4842 21,4873 21,4934 22,4349 22,4354 22,4366 22,4377 22,4411 22,4477 23,3861 23,3868 23,3880 23,3892 23,3929 23,4001 24,3354 24,3361 24,3375 24,3388 24,3428 24,3506 25,2828 25,2835 25,2849 25,2864 25,2907 25,2991 26,2281 26,2289 26,2305 26,2320 26,2367 26,2457 27,1715 27,1724 27,1740 27,1757 27,1807 27,1904 28,1129 28,1138 28,1156 28,1174 28,1227 28,1331 29,0524 29,0534 29,0553 29,0572 29,0629 29,0739 29,9899 29,9910 29,9930 29,9950 30,0011 30,0129 30,9255 30,9266 30,9288 30,9309 30,9374 30,9499 31,8591 31,8603 31,8626 31,8649 31,8717 31,8850 32,7908 32,7920 32,7945 32,7969 32,8041 32,8182 33,7206 33,7219 33,7245 33,7270 33,7346 33,7495 34,6484 34,6498 34,6525 34,6552 34,6632 34,6790 35,5743 35,5757 35,5786 35,5814 35,5899 35,6065 36,4982 36,4998 36,5028 36,5058 36,5147 36,5322 37,4203 37,4219 37,4251 37,4282 37,4376 37,4559 38,3404 38,3421 38,3454 38,3487 38,3586 38,3778 39,2586 39,2604 39,2639 39,2674 39,2777 39,2979 40,1749 40,1768 40,1804 40,1841 40,1949 40,2160 41,0893 41,0912 41,0951 41,0989 41,1102 41,1323 42,0018 42,0038 42,0078 42,0118 42,0236 42,0468 42,9124 42,9145 42,9187 42,9229 42,9352 42,9593

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 4 6 z

j)r – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización Del 6 % Anual para Pagos Quincenales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 0,99751 0,99751 0,99752 0,99752 0,99754 0,99758 1,99252 1,99253 1,99255 1,99257 1,99263 1,99273 2,98506 2,98508 2,98512 2,98515 2,98526 2,98547 3,97512 3,97516 3,97522 3,97528 3,97546 3,97581 4,96272 4,96276 4,96286 4,96295 4,96322 4,96374 5,94785 5,94791 5,94804 5,94817 5,94855 5,94928 6,93052 6,93061 6,93078 6,93095 6,93145 6,93243 7,91074 7,91086 7,91107 7,91129 7,91194 7,91319 8,88852 8,88866 8,88894 8,88921 8,89001 8,89158 9,86386 9,86403 9,86437 9,86470 9,86568 9,86759 10,8368 10,8370 10,8374 10,8378 10,8390 10,8412 11,8073 11,8075 11,8080 11,8084 11,8098 11,8125 12,7753 12,7756 12,7761 12,7767 12,7783 12,7815 13,7410 13,7413 13,7419 13,7426 13,7444 13,7480 14,7042 14,7046 14,7053 14,7060 14,7081 14,7123 15,6650 15,6655 15,6663 15,6671 15,6695 15,6742 16,6235 16,6239 16,6249 16,6258 16,6285 16,6337 17,5795 17,5801 17,5811 17,5821 17,5851 17,5910 18,5332 18,5338 18,5349 18,5360 18,5394 18,5459 19,4845 19,4851 19,4864 19,4876 19,4913 19,4985 20,4334 20,4341 20,4355 20,4369 20,4409 20,4488 21,3800 21,3807 21,3822 21,3837 21,3882 21,3968 22,3241 22,3250 22,3266 22,3282 22,3331 22,3425 23,2660 23,2669 23,2687 23,2704 23,2757 23,2859 24,2055 24,2064 24,2084 24,2103 24,2160 24,2270 25,1426 25,1437 25,1457 25,1478 25,1539 25,1658 26,0774 26,0785 26,0808 26,0830 26,0896 26,1024 27,0099 27,0111 27,0135 27,0159 27,0229 27,0366 27,9400 27,9413 27,9439 27,9464 27,9540 27,9687 28,8679 28,8693 28,8720 28,8747 28,8828 28,8984 29,7934 29,7949 29,7978 29,8007 29,8092 29,8259 30,7166 30,7182 30,7213 30,7243 30,7334 30,7512 31,6375 31,6392 31,6424 31,6457 31,6554 31,6742 32,5561 32,5579 32,5613 32,5648 32,5750 32,5949 33,4724 33,4743 33,4780 33,4816 33,4924 33,5135 34,3865 34,3884 34,3923 34,3962 34,4076 34,4298 35,2982 35,3003 35,3044 35,3084 35,3205 35,3439 36,2077 36,2099 36,2142 36,2184 36,2311 36,2557 37,1149 37,1172 37,1217 37,1262 37,1395 37,1654 38,0199 38,0223 38,0270 38,0317 38,0457 38,0728 34,3865 34,3884 34,3923 34,3962 34,4076 34,4298 35,2982 35,3003 35,3044 35,3084 35,3205 35,3439 36,2077 36,2099 36,2142 36,2184 36,2311 36,2557 37,1149 37,1172 37,1217 37,1262 37,1395 37,1654 38,0199 38,0223 38,0270 38,0317 38,0457 38,0728

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 5 – A (Continuación) Del 7% y 8% anual Solo para pagos Quincenales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ ⎥ Donde i = (1 + i ⎣ ⎦ Del 7 % Anual para Pagos Quincenales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 0,99709 0,99710 0,99710 0,99711 0,99714 0,99718 1,99128 1,99130 1,99132 1,99135 1,99142 1,99156 2,98258 2,98261 2,98266 2,98271 2,98286 2,98314 3,97100 3,97104 3,97113 3,97121 3,97146 3,97193 4,95655 4,95661 4,95673 4,95686 4,95722 4,95793 5,93922 5,93931 5,93949 5,93966 5,94017 5,94116 6,91904 6,91916 6,91939 6,91962 6,92030 6,92162 7,89601 7,89616 7,89646 7,89676 7,89763 7,89932 8,87014 8,87033 8,87070 8,87107 8,87216 8,87427 9,84144 9,84167 9,84212 9,84257 9,84390 9,84647 10,8099 10,8102 10,8107 10,8113 10,8129 10,8159 11,7756 11,7759 11,7765 11,7772 11,7790 11,7827 12,7384 12,7388 12,7395 12,7403 12,7425 12,7467 13,6985 13,6989 13,6997 13,7006 13,7031 13,7080 14,6557 14,6562 14,6572 14,6582 14,6610 14,6666 15,6102 15,6107 15,6118 15,6129 15,6162 15,6225 16,5619 16,5625 16,5637 16,5650 16,5686 16,5757 17,5108 17,5115 17,5129 17,5143 17,5183 17,5262 18,4570 18,4577 18,4593 18,4608 18,4653 18,4741 19,4004 19,4012 19,4029 19,4046 19,4096 19,4192 20,3411 20,3420 20,3439 20,3457 20,3512 20,3617 21,2790 21,2800 21,2821 21,2841 21,2900 21,3016 22,2142 22,2153 22,2175 22,2197 22,2262 22,2388 23,1467 23,1479 23,1503 23,1527 23,1598 23,1734 24,0765 24,0778 24,0804 24,0830 24,0906 24,1054 25,0035 25,0049 25,0078 25,0105 25,0188 25,0347 25,9279 25,9294 25,9324 25,9354 25,9443 25,9614 26,8496 26,8512 26,8545 26,8577 26,8671 26,8855 27,7686 27,7704 27,7738 27,7772 27,7874 27,8070 28,6849 28,6868 28,6905 28,6941 28,7050 28,7259 29,5986 29,6006 29,6045 29,6084 29,6199 29,6422 30,5096 30,5117 30,5159 30,5200 30,5323 30,5559 31,4180 31,4202 31,4246 31,4290 31,4420 31,4671 32,3237 32,3261 32,3308 32,3354 32,3491 32,3757 33,2268 33,2293 33,2342 33,2392 33,2537 33,2818 34,1273 34,1299 34,1351 34,1403 34,1556 34,1852 35,0251 35,0279 35,0334 35,0388 35,0550 35,0862 35,9203 35,9233 35,9290 35,9348 35,9518 35,9846 36,8130 36,8160 36,8221 36,8281 36,8460 36,8805 37,7030 37,7062 37,7126 37,7189 37,7376 37,7739 38,5905 38,5938 38,6005 38,6071 38,6267 38,6647 39,4753 39,4788 39,4858 39,4928 39,5133 39,5530 40,3576 40,3613 40,3686 40,3759 40,3973 40,4389 41,2373 41,2412 41,2488 41,2564 41,2788 41,3222 42,1145 42,1185 42,1265 42,1344 42,1578 42,2031

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 4 7 z

j)r – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización Del 8 % Anual para Pagos Quincenales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 0,99668 0,99668 0,99669 0,99671 0,99674 0,99680 1,99004 1,99006 1,99009 1,99013 1,99022 1,99041 2,98011 2,98014 2,98021 2,98027 2,98046 2,98083 3,96689 3,96694 3,96705 3,96716 3,96748 3,96809 4,95039 4,95047 4,95063 4,95079 4,95127 4,95218 5,93062 5,93073 5,93096 5,93118 5,93185 5,93312 6,90759 6,90774 6,90805 6,90835 6,90923 6,91093 7,88132 7,88152 7,88190 7,88229 7,88342 7,88560 8,85182 8,85206 8,85254 8,85302 8,85443 8,85715 9,81908 9,81938 9,81997 9,82055 9,82228 9,82559 10,7831 10,7835 10,7842 10,7849 10,7870 10,7909 11,7440 11,7444 11,7452 11,7461 11,7485 11,7532 12,7017 12,7021 12,7031 12,7041 12,7069 12,7124 13,6561 13,6567 13,6578 13,6589 13,6622 13,6685 14,6074 14,6081 14,6094 14,6106 14,6143 14,6215 15,5556 15,5563 15,5578 15,5592 15,5634 15,5715 16,5006 16,5014 16,5030 16,5046 16,5093 16,5184 17,4424 17,4434 17,4452 17,4469 17,4522 17,4623 18,3812 18,3822 18,3842 18,3862 18,3920 18,4032 19,3168 19,3179 19,3201 19,3223 19,3287 19,3411 20,2493 20,2505 20,2529 20,2553 20,2624 20,2760 21,1787 21,1800 21,1827 21,1853 21,1930 21,2079 22,1050 22,1065 22,1093 22,1122 22,1206 22,1368 23,0283 23,0298 23,0329 23,0360 23,0451 23,0627 23,9484 23,9501 23,9535 23,9568 23,9667 23,9857 24,8655 24,8674 24,8710 24,8746 24,8852 24,9057 25,7796 25,7816 25,7855 25,7893 25,8007 25,8227 26,6906 26,6927 26,6969 26,7011 26,7133 26,7368 27,5986 27,6009 27,6054 27,6098 27,6229 27,6480 32,9837 32,9869 32,9933 32,9996 33,0183 33,0543 28,5036 28,5060 28,5108 28,5155 28,5295 28,5563 29,4056 29,4082 29,4132 29,4183 29,4331 29,4617 30,3046 30,3073 30,3127 30,3180 30,3338 30,3642 31,2006 31,2035 31,2092 31,2148 31,2316 31,2638 32,0936 32,0967 32,1027 32,1087 32,1264 32,1605 33,8708 33,8742 33,8809 33,8876 33,9073 33,9453 34,7549 34,7585 34,7656 34,7726 34,7934 34,8334 35,6361 35,6399 35,6474 35,6548 35,6766 35,7187 36,5144 36,5184 36,5262 36,5340 36,5569 36,6011 37,3898 37,3939 37,4021 37,4103 37,4344 37,4807 38,2622 38,2666 38,2752 38,2837 38,3089 38,3575 39,1318 39,1363 39,1454 39,1543 39,1807 39,2315 39,9985 40,0032 40,0126 40,0220 40,0496 40,1027 40,8623 40,8672 40,8771 40,8868 40,9156 40,9711 41,7232 41,7284 41,7386 41,7488 41,7788 41,8368

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 5 – A (Continuación) Del 9% y 10% anual Solo para pagos Quincenales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 9 % Anual para Pagos Quincenales, según el Del 10 % Anual para Pagos Quincenales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,99626 0,99627 0,99628 0,99630 0,99634 0,99642 0,99585 0,99586 0,99588 0,99589 0,99594 0,99604 1,98881 1,98883 1,98887 1,98891 1,98903 1,98926 1,98757 1,98759 1,98765 1,98770 1,98784 1,98813 2,97764 2,97768 2,97776 2,97785 2,97809 2,97855 2,97517 2,97522 2,97533 2,97543 2,97572 2,97628 3,96278 3,96285 3,96299 3,96312 3,96352 3,96429 3,95868 3,95876 3,95893 3,95910 3,95959 3,96052 4,94424 4,94434 4,94455 4,94475 4,94535 4,94649 4,93810 4,93823 4,93848 4,93873 4,93946 4,94086 5,92203 5,92218 5,92246 5,92274 5,92358 5,92518 5,91346 5,91364 5,91399 5,91434 5,91536 5,91732 6,89617 6,89636 6,89674 6,89712 6,89823 6,90036 6,88478 6,88501 6,88548 6,88594 6,88730 6,88990 7,86667 7,86692 7,86740 7,86789 7,86931 7,87204 7,85206 7,85236 7,85296 7,85356 7,85530 7,85863 8,83354 8,83385 8,83446 8,83506 8,83684 8,84024 8,81533 8,81571 8,81646 8,81720 8,81937 8,82352 9,79681 9,79718 9,79792 9,79866 9,80082 9,80497 9,77460 9,77506 9,77597 9,77688 9,77953 9,78459 10,7565 10,7569 10,7578 10,7587 10,7613 10,7662 10,7299 10,7304 10,7315 10,7326 10,7358 10,7418 11,7125 11,7131 11,7141 11,7152 11,7182 11,7241 11,6812 11,6819 11,6832 11,6844 11,6882 11,6953 12,6651 12,6657 12,6669 12,6681 12,6716 12,6785 12,6286 12,6294 12,6309 12,6323 12,6367 12,6450 13,6140 13,6147 13,6161 13,6175 13,6216 13,6294 13,5721 13,5729 13,5746 13,5763 13,5814 13,5909 14,5594 14,5602 14,5618 14,5634 14,5681 14,5770 14,5116 14,5126 14,5145 14,5165 14,5222 14,5331 15,5013 15,5022 15,5040 15,5058 15,5111 15,5212 15,4472 15,4483 15,4506 15,4528 15,4592 15,4715 16,4396 16,4406 16,4427 16,4447 16,4506 16,4619 16,3790 16,3802 16,3827 16,3852 16,3924 16,4062 17,3745 17,3756 17,3779 17,3801 17,3867 17,3994 17,3069 17,3083 17,3110 17,3138 17,3218 17,3372 18,3058 18,3071 18,3096 18,3121 18,3194 18,3334 18,2309 18,2325 18,2355 18,2386 18,2475 18,2646 19,2337 19,2351 19,2379 19,2406 19,2487 19,2641 19,1511 19,1528 19,1562 19,1596 19,1694 19,1882 20,1581 20,1596 20,1627 20,1657 20,1745 20,1915 20,0675 20,0694 20,0731 20,0768 20,0876 20,1082 21,0791 21,0807 21,0840 21,0873 21,0970 21,1155 20,9801 20,9821 20,9862 20,9902 21,0020 21,0245 21,9966 21,9984 22,0020 22,0056 22,0161 22,0363 21,8889 21,8911 21,8955 21,8999 21,9127 21,9372 22,9107 22,9126 22,9165 22,9204 22,9318 22,9537 22,7939 22,7963 22,8011 22,8058 22,8198 22,8463 23,8213 23,8235 23,8277 23,8319 23,8442 23,8678 23,6952 23,6978 23,7030 23,7081 23,7231 23,7518 24,7286 24,7309 24,7354 24,7400 24,7532 24,7787 24,5927 24,5955 24,6011 24,6066 24,6228 24,6537 25,6325 25,6349 25,6398 25,6447 25,6589 25,6863 25,4865 25,4895 25,4955 25,5014 25,5188 25,5521 26,5330 26,5356 26,5409 26,5460 26,5613 26,5906 26,3766 26,3798 26,3862 26,3926 26,4112 26,4468 27,4301 27,4329 27,4385 27,4441 27,4604 27,4918 27,2630 27,2665 27,2733 27,2801 27,3000 27,3380 28,3239 28,3269 28,3329 28,3388 28,3562 28,3896 28,1457 28,1494 28,1567 28,1639 28,1852 28,2257 29,2143 29,2175 29,2239 29,2302 29,2487 29,2843 29,0248 29,0287 29,0365 29,0442 29,0667 29,1099 30,1015 30,1049 30,1116 30,1183 30,1380 30,1757 29,9002 29,9044 29,9126 29,9208 29,9447 29,9905 30,9853 30,9889 30,9960 31,0031 31,0240 31,0640 30,7720 30,7764 30,7851 30,7938 30,8192 30,8677 31,8658 31,8696 31,8772 31,8846 31,9067 31,9491 31,6402 31,6448 31,6541 31,6632 31,6901 31,7414 32,7430 32,7470 32,7550 32,7629 32,7862 32,8310 32,5047 32,5096 32,5194 32,5291 32,5574 32,6117 33,6169 33,6212 33,6296 33,6379 33,6625 33,7097 33,3657 33,3709 33,3812 33,3914 33,4213 33,4784 34,4876 34,4921 34,5009 34,5097 34,5356 34,5853 34,2231 34,2286 34,2394 34,2501 34,2816 34,3418 35,3550 35,3597 35,3690 35,3783 35,4055 35,4578 35,0770 35,0827 35,0941 35,1053 35,1384 35,2017 36,2192 36,2241 36,2339 36,2436 36,2722 36,3271 35,9273 35,9333 35,9452 35,9571 35,9918 36,0582 37,0801 37,0853 37,0956 37,1058 37,1358 37,1933 36,7740 36,7803 36,7929 36,8053 36,8417 36,9114 37,9379 37,9433 37,9541 37,9647 37,9961 38,0564 37,6173 37,6239 37,6370 37,6500 37,6882 37,7611 38,7924 38,7981 38,8093 38,8205 38,8533 38,9164 38,4571 38,4640 38,4777 38,4913 38,5312 38,6075 39,6437 39,6497 39,6614 39,6731 39,7074 39,7733 39,2933 39,3006 39,3149 39,3291 39,3708 39,4505 40,4919 40,4981 40,5104 40,5225 40,5584 40,6272 40,1261 40,1337 40,1486 40,1635 40,2070 40,2902 41,3369 41,3433 41,3561 41,3688 41,4062 41,4780 40,9555 40,9634 40,9790 40,9944 41,0398 41,1265

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 4 8 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 5 – A (Continuación) Del 12% y 14% anual Solo para pagos Quincenales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 12 % Anual para Pagos Quincenales, según el Del 14 % Anual para Pagos Quincenales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,99502 0,99504 0,99506 0,99509 0,99516 0,99529 0,99420 0,99422 0,99425 0,99428 0,99438 0,99456 1,98510 1,98514 1,98521 1,98528 1,98549 1,98589 1,98264 1,98269 1,98278 1,98288 1,98316 1,98370 2,97025 2,97032 2,97047 2,97061 2,97103 2,97182 2,96534 2,96544 2,96563 2,96583 2,96639 2,96745 3,95050 3,95062 3,95086 3,95110 3,95179 3,95311 3,94234 3,94251 3,94283 3,94315 3,94409 3,94585 4,92587 4,92605 4,92641 4,92677 4,92781 4,92978 4,91368 4,91392 4,91441 4,91489 4,91629 4,91892 5,89638 5,89664 5,89714 5,89764 5,89909 5,90184 5,87938 5,87973 5,88041 5,88108 5,88303 5,88669 6,86207 6,86241 6,86308 6,86374 6,86567 6,86933 6,83948 6,83994 6,84085 6,84174 6,84433 6,84920 7,82296 7,82339 7,82425 7,82510 7,82757 7,83226 7,79402 7,79460 7,79576 7,79690 7,80023 7,80646 8,77906 8,77960 8,78067 8,78173 8,78481 8,79065 8,74302 8,74375 8,74519 8,74661 8,75075 8,75852 9,73041 9,73107 9,73237 9,73366 9,73742 9,74453 9,68651 9,68740 9,68916 9,69089 9,69593 9,70538 10,6770 10,6778 10,6794 10,6809 10,6854 10,6939 10,6245 10,6256 10,6277 10,6298 10,6358 10,6471 11,6189 11,6199 11,6217 11,6235 11,6288 11,6388 11,5571 11,5584 11,5608 11,5633 11,5704 11,5837 12,5562 12,5572 12,5594 12,5615 12,5676 12,5793 12,4843 12,4857 12,4886 12,4915 12,4997 12,5152 13,4887 13,4899 13,4924 13,4948 13,5019 13,5153 13,4061 13,4078 13,4111 13,4143 13,4238 13,4416 14,4166 14,4180 14,4208 14,4236 14,4317 14,4469 14,3225 14,3244 14,3282 14,3319 14,3427 14,3630 15,3399 15,3415 15,3447 15,3478 15,3569 15,3742 15,2337 15,2358 15,2401 15,2443 15,2564 15,2793 16,2586 16,2604 16,2640 16,2675 16,2777 16,2970 16,1395 16,1419 16,1467 16,1514 16,1650 16,1907 17,1728 17,1748 17,1787 17,1826 17,1940 17,2155 17,0401 17,0428 17,0481 17,0533 17,0685 17,0971 18,0824 18,0846 18,0889 18,0932 18,1059 18,1297 17,9355 17,9385 17,9443 17,9501 17,9669 17,9985 18,9874 18,9898 18,9947 18,9994 19,0133 19,0396 18,8257 18,8290 18,8354 18,8418 18,8603 18,8951 19,8880 19,8906 19,8959 19,9011 19,9164 19,9452 19,7107 19,7143 19,7214 19,7283 19,7486 19,7868 20,7841 20,7870 20,7927 20,7984 20,8150 20,8465 20,5906 20,5945 20,6022 20,6098 20,6320 20,6736 21,6757 21,6788 21,6851 21,6913 21,7094 21,7436 21,4654 21,4696 21,4780 21,4863 21,5104 21,5556 22,5629 22,5663 22,5731 22,5798 22,5994 22,6365 22,3351 22,3397 22,3488 22,3577 22,3838 22,4328 23,4456 23,4493 23,4567 23,4639 23,4851 23,5251 23,1998 23,2047 23,2145 23,2242 23,2523 23,3052 24,3240 24,3280 24,3359 24,3437 24,3664 24,4096 24,0594 24,0648 24,0753 24,0857 24,1160 24,1729 25,1980 25,2023 25,2108 25,2191 25,2436 25,2899 24,9141 24,9198 24,9311 24,9423 24,9748 25,0358 26,0677 26,0723 26,0813 26,0903 26,1164 26,1660 25,7638 25,7699 25,7820 25,7940 25,8287 25,8941 26,9330 26,9379 26,9476 26,9571 26,9851 27,0381 26,6086 26,6151 26,6280 26,6408 26,6779 26,7476 27,7941 27,7993 27,8096 27,8197 27,8495 27,9060 27,4485 27,4554 27,4692 27,4827 27,5223 27,5966 28,6508 28,6563 28,6673 28,6781 28,7098 28,7698 28,2835 28,2909 28,3055 28,3199 28,3619 28,4409 29,5033 29,5092 29,5208 29,5323 29,5659 29,6296 29,1137 29,1215 29,1370 29,1523 29,1968 29,2806 30,3515 30,3577 30,3701 30,3822 30,4178 30,4853 29,9390 29,9473 29,9637 29,9799 30,0270 30,1157 31,1955 31,2021 31,2151 31,2280 31,2656 31,3369 30,7596 30,7683 30,7857 30,8028 30,8526 30,9463 32,0354 32,0423 32,0560 32,0696 32,1093 32,1846 31,5754 31,5846 31,6029 31,6209 31,6735 31,7724 32,8710 32,8783 32,8928 32,9071 32,9490 33,0283 32,3865 32,3962 32,4155 32,4344 32,4898 32,5939 33,7025 33,7102 33,7254 33,7405 33,7845 33,8680 33,1928 33,2031 33,2233 33,2433 33,3015 33,4110 34,5299 34,5379 34,5539 34,5697 34,6160 34,7037 33,9945 34,0053 34,0266 34,0475 34,1087 34,2237 35,3531 35,3616 35,3784 35,3949 35,4435 35,5355 34,7916 34,8029 34,8252 34,8472 34,9113 35,0319 36,1722 36,1811 36,1987 36,2161 36,2670 36,3634 35,5840 35,5958 35,6192 35,6422 35,7094 35,8357 36,9873 36,9966 37,0150 37,0332 37,0864 37,1874 36,3718 36,3842 36,4086 36,4327 36,5030 36,6351 37,7983 37,8080 37,8273 37,8463 37,9020 38,0075 37,1551 37,1680 37,1935 37,2187 37,2921 37,4302 38,6053 38,6154 38,6355 38,6554 38,7135 38,8237 37,9338 37,9473 37,9739 38,0002 38,0768 38,2210 39,4082 39,4188 39,4398 39,4605 39,5211 39,6361 38,7080 38,7221 38,7498 38,7772 38,8571 39,0074 40,2072 40,2182 40,2401 40,2617 40,3249 40,4447 39,4777 39,4924 39,5213 39,5498 39,6330 39,7896

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 4 9 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 5 – A (Continuación) Del 15% y 16% anual Solo para pagos Quincenales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 15 % Anual para Pagos Quincenales, según el Del 16 % Anual para Pagos Quincenales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,99379 0,99381 0,99385 0,99388 0,99399 0,99419 0,99338 0,99340 0,99344 0,99348 0,99361 0,99383 1,98141 1,98146 1,98158 1,98169 1,98201 1,98261 1,98018 1,98024 1,98037 1,98050 1,98086 1,98154 2,96289 2,96300 2,96323 2,96345 2,96409 2,96530 2,96044 2,96057 2,96083 2,96108 2,96181 2,96316 3,93827 3,93846 3,93884 3,93920 3,94027 3,94227 3,93421 3,93443 3,93485 3,93527 3,93648 3,93873 4,90760 4,90788 4,90844 4,90899 4,91059 4,91357 4,90154 4,90186 4,90249 4,90311 4,90492 4,90828 5,87091 5,87130 5,87208 5,87285 5,87508 5,87924 5,86245 5,86290 5,86378 5,86465 5,86717 5,87186 6,82823 6,82875 6,82979 6,83081 6,83377 6,83929 6,81701 6,81760 6,81877 6,81992 6,82327 6,82949 7,77961 7,78028 7,78160 7,78291 7,78670 7,79377 7,76524 7,76600 7,76750 7,76897 7,77326 7,78122 8,72508 8,72591 8,72756 8,72918 8,73390 8,74271 8,70719 8,70814 8,71000 8,71184 8,71717 8,72708 9,66467 9,66569 9,66770 9,66967 9,67541 9,68614 9,64290 9,64405 9,64633 9,64856 9,65505 9,66712 10,5984 10,5996 10,6020 10,6044 10,6113 10,6241 10,5724 10,5738 10,5765 10,5792 10,5869 10,6014 11,5264 11,5278 11,5306 11,5334 11,5415 11,5566 11,4958 11,4974 11,5006 11,5037 11,5129 11,5298 12,4486 12,4502 12,4535 12,4568 12,4661 12,4837 12,4130 12,4149 12,4186 12,4223 12,4329 12,4526 13,3651 13,3670 13,3707 13,3744 13,3852 13,4054 13,3242 13,3264 13,3306 13,3348 13,3470 13,3696 14,2758 14,2780 14,2823 14,2865 14,2988 14,3218 14,2293 14,2318 14,2366 14,2414 14,2553 14,2811 15,1810 15,1834 15,1882 15,1930 15,2069 15,2328 15,1285 15,1313 15,1367 15,1421 15,1577 15,1868 16,0804 16,0832 16,0886 16,0940 16,1095 16,1385 16,0217 16,0248 16,0309 16,0369 16,0545 16,0871 16,9744 16,9774 16,9835 16,9894 17,0067 17,0390 16,9089 16,9124 16,9192 16,9259 16,9454 16,9817 17,8627 17,8661 17,8728 17,8794 17,8985 17,9343 17,7903 17,7942 17,8017 17,8091 17,8307 17,8709 18,7456 18,7493 18,7566 18,7639 18,7849 18,8243 18,6659 18,6701 18,6784 18,6866 18,7103 18,7545 19,6229 19,6270 19,6351 19,6430 19,6661 19,7092 19,5357 19,5403 19,5494 19,5583 19,5843 19,6327 20,4948 20,4993 20,5081 20,5167 20,5419 20,5890 20,3997 20,4047 20,4146 20,4244 20,4527 20,5055 21,3613 21,3661 21,3757 21,3851 21,4124 21,4636 21,2579 21,2634 21,2742 21,2848 21,3156 21,3729 22,2224 22,2277 22,2380 22,2482 22,2778 22,3332 22,1105 22,1165 22,1281 22,1396 22,1729 22,2350 23,0782 23,0838 23,0950 23,1060 23,1379 23,1977 22,9575 22,9639 22,9765 22,9888 23,0248 23,0918 23,9286 23,9347 23,9467 23,9585 23,9929 24,0572 23,7988 23,8057 23,8192 23,8325 23,8712 23,9432 24,7738 24,7803 24,7932 24,8058 24,8427 24,9117 24,6346 24,6420 24,6565 24,6707 24,7122 24,7895 25,6137 25,6207 25,6344 25,6480 25,6874 25,7612 25,4648 25,4727 25,4882 25,5035 25,5478 25,6305 26,4484 26,4558 26,4705 26,4850 26,5271 26,6059 26,2896 26,2980 26,3145 26,3308 26,3781 26,4663 27,2779 27,2858 27,3015 27,3169 27,3617 27,4456 27,1088 27,1178 27,1354 27,1527 27,2031 27,2969 28,1023 28,1107 28,1273 28,1437 28,1913 28,2804 27,9227 27,9322 27,9509 27,9693 28,0228 28,1225 28,9215 28,9304 28,9480 28,9654 29,0159 29,1104 28,7312 28,7412 28,7610 28,7805 28,8372 28,9430 29,7357 29,7451 29,7637 29,7821 29,8355 29,9355 29,5343 29,5449 29,5659 29,5865 29,6465 29,7584 30,5448 30,5547 30,5744 30,5938 30,6502 30,7559 30,3320 30,3433 30,3654 30,3872 30,4506 30,5687 31,3488 31,3593 31,3801 31,4005 31,4601 31,5715 31,1246 31,1364 31,1597 31,1827 31,2495 31,3741 32,1479 32,1590 32,1808 32,2024 32,2650 32,3824 31,9118 31,9243 31,9488 31,9730 32,0433 32,1745 32,9420 32,9537 32,9766 32,9993 33,0651 33,1886 32,6938 32,7069 32,7328 32,7582 32,8321 32,9700 33,7312 33,7434 33,7675 33,7913 33,8605 33,9900 33,4707 33,4844 33,5116 33,5383 33,6158 33,7606 34,5155 34,5283 34,5536 34,5785 34,6510 34,7869 34,2424 34,2568 34,2852 34,3132 34,3945 34,5463 35,2949 35,3083 35,3348 35,3609 35,4368 35,5791 35,0090 35,0241 35,0539 35,0831 35,1682 35,3271 36,0695 36,0835 36,1112 36,1384 36,2179 36,3667 35,7706 35,7863 35,8174 35,8480 35,9370 36,1032 36,8392 36,8538 36,8828 36,9113 36,9942 37,1497 36,5270 36,5435 36,5760 36,6080 36,7009 36,8744 37,6042 37,6195 37,6496 37,6794 37,7659 37,9282 37,2785 37,2957 37,3296 37,3629 37,4599 37,6409 38,3644 38,3803 38,4118 38,4428 38,5330 38,7022 38,0250 38,0429 38,0782 38,1130 38,2140 38,4027 39,1199 39,1365 39,1692 39,2015 39,2955 39,4716 38,7666 38,7852 38,8220 38,8581 38,9633 39,1598

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 5 0 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 5 – A (Continuación) Del 18% y 20% anual Solo para pagos Quincenales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 18 % Anual para Pagos Quincenales, según el Del 20 % Anual para Pagos Quincenales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,99256 0,99258 0,99264 0,99269 0,99284 0,99313 0,99174 0,99177 0,99184 0,99190 0,99209 0,99243 1,97772 1,97781 1,97797 1,97813 1,97858 1,97943 1,97527 1,97538 1,97557 1,97577 1,97633 1,97735 2,95556 2,95572 2,95604 2,95636 2,95727 2,95895 2,95069 2,95089 2,95128 2,95167 2,95278 2,95482 3,92611 3,92638 3,92692 3,92744 3,92895 3,93174 3,91804 3,91837 3,91902 3,91967 3,92151 3,92489 4,88944 4,88984 4,89064 4,89142 4,89368 4,89785 4,87739 4,87789 4,87887 4,87982 4,88258 4,88762 5,84560 5,84616 5,84727 5,84836 5,85151 5,85731 5,82882 5,82951 5,83087 5,83220 5,83604 5,84306 6,79464 6,79539 6,79686 6,79830 6,80248 6,81019 6,77238 6,77330 6,77510 6,77687 6,78196 6,79127 7,73661 7,73757 7,73945 7,74130 7,74665 7,75651 7,70815 7,70932 7,71163 7,71389 7,72040 7,73231 8,67158 8,67277 8,67511 8,67741 8,68406 8,69633 8,63618 8,63764 8,64051 8,64332 8,65141 8,66622 9,59958 9,60103 9,60388 9,60668 9,61476 9,62969 9,55654 9,55831 9,56180 9,56522 9,57506 9,59307 10,5207 10,5224 10,5258 10,5291 10,5388 10,5566 10,4693 10,4714 10,4756 10,4797 10,4914 10,5129 11,4349 11,4369 11,4409 11,4449 11,4562 11,4772 11,3745 11,3770 11,3819 11,3867 11,4005 11,4258 12,3423 12,3447 12,3494 12,3539 12,3671 12,3915 12,2722 12,2751 12,2808 12,2864 12,3024 12,3317 13,2430 13,2457 13,2511 13,2563 13,2715 13,2994 13,1626 13,1659 13,1724 13,1788 13,1972 13,2308 14,1370 14,1401 14,1461 14,1521 14,1693 14,2011 14,0455 14,0493 14,0567 14,0639 14,0848 14,1231 15,0243 15,0278 15,0346 15,0414 15,0608 15,0967 14,9212 14,9254 14,9338 14,9419 14,9655 15,0087 15,9050 15,9089 15,9166 15,9241 15,9459 15,9860 15,7896 15,7943 15,8037 15,8128 15,8392 15,8875 16,7792 16,7835 16,7920 16,8004 16,8246 16,8693 16,6508 16,6561 16,6665 16,6767 16,7060 16,7597 17,6468 17,6516 17,6610 17,6703 17,6970 17,7465 17,5050 17,5108 17,5223 17,5335 17,5659 17,6253 18,5080 18,5133 18,5236 18,5338 18,5633 18,6177 18,3520 18,3584 18,3710 18,3834 18,4190 18,4844 19,3628 19,3686 19,3799 19,3910 19,4233 19,4828 19,1921 19,1991 19,2129 19,2264 19,2654 19,3369 20,2112 20,2175 20,2299 20,2420 20,2771 20,3421 20,0252 20,0328 20,0479 20,0626 20,1051 20,1830 21,0533 21,0601 21,0736 21,0867 21,1249 21,1954 20,8514 20,8597 20,8761 20,8920 20,9381 21,0227 21,8891 21,8965 21,9110 21,9253 21,9665 22,0428 21,6709 21,6798 21,6975 21,7147 21,7646 21,8560 22,7188 22,7267 22,7424 22,7577 22,8022 22,8845 22,4835 22,4931 22,5122 22,5308 22,5845 22,6831 23,5422 23,5507 23,5676 23,5841 23,6319 23,7203 23,2894 23,2998 23,3202 23,3402 23,3979 23,5038 24,3595 24,3686 24,3867 24,4044 24,4556 24,5504 24,0887 24,0998 24,1217 24,1431 24,2049 24,3184 25,1707 25,1805 25,1998 25,2187 25,2735 25,3748 24,8813 24,8932 24,9166 24,9395 25,0055 25,1268 25,9759 25,9863 26,0069 26,0271 26,0855 26,1936 25,6674 25,6801 25,7050 25,7294 25,7998 25,9290 26,7751 26,7862 26,8080 26,8295 26,8916 27,0067 30,2495 30,2672 30,3021 30,3364 30,4351 30,6168 27,5683 27,5801 27,6033 27,6261 27,6921 27,8142 26,4470 26,4605 26,4870 26,5129 26,5877 26,7253 28,3557 28,3681 28,3927 28,4169 28,4867 28,6161 27,2202 27,2345 27,2626 27,2901 27,3695 27,5154 29,1371 29,1503 29,1763 29,2018 29,2757 29,4126 27,9870 28,0021 28,0318 28,0610 28,1451 28,2996 29,9128 29,9267 29,9541 29,9811 30,0591 30,2036 28,7474 28,7634 28,7948 28,8256 28,9145 29,0779 30,6827 30,6973 30,7262 30,7546 30,8368 30,9891 29,5016 29,5184 29,5516 29,5841 29,6778 29,8503 31,4468 31,4622 31,4927 31,5225 31,6090 31,7693 30,9912 31,0099 31,0466 31,0826 31,1865 31,3775 32,2053 32,2215 32,2534 32,2848 32,3757 32,5441 31,7268 31,7464 31,7850 31,8228 31,9318 32,1325 32,9581 32,9751 33,0086 33,0415 33,1369 33,3135 32,4564 32,4769 32,5173 32,5569 32,6713 32,8817 33,7053 33,7231 33,7582 33,7927 33,8926 34,0777 33,1799 33,2014 33,2437 33,2852 33,4049 33,6253 34,4469 34,4656 34,5023 34,5384 34,6429 34,8366 33,8974 33,9199 33,9641 34,0075 34,1327 34,3633 35,1831 35,2025 35,2409 35,2786 35,3879 35,5903 34,6090 34,6325 34,6787 34,7240 34,8548 35,0956 35,9137 35,9340 35,9741 36,0135 36,1275 36,3389 35,3147 35,3392 35,3874 35,4347 35,5712 35,8225 36,6389 36,6601 36,7019 36,7429 36,8618 37,0822 36,0146 36,0401 36,0903 36,1396 36,2818 36,5438 37,3587 37,3808 37,4243 37,4670 37,5909 37,8205 36,7087 36,7352 36,7875 36,8388 36,9869 37,2597 38,0732 38,0961 38,1414 38,1859 38,3147 38,5537 37,3970 37,4246 37,4790 37,5324 37,6864 37,9701

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 5 1 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 5 – B

Solo para pagos Mensuales

Del 5% y 6% anual

CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 5 % Anual para Pagos Mensuales, según el Del 6 % Anual para Pagos Mensuales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,99585 0,99585 0,99586 0,99587 0,99589 0,99594 0,99502 0,99502 0,99504 0,99505 0,99509 0,99516 1,98756 1,98757 1,98759 1,98762 1,98770 1,98784 1,98508 1,98510 1,98514 1,98517 1,98528 1,98549 2,97515 2,97517 2,97522 2,97527 2,97543 2,97572 2,97021 2,97025 2,97032 2,97039 2,97061 2,97103 3,95864 3,95868 3,95876 3,95885 3,95910 3,95959 3,95043 3,95050 3,95062 3,95074 3,95110 3,95179 4,93804 4,93810 4,93823 4,93836 4,93873 4,93946 4,92577 4,92587 4,92605 4,92623 4,92677 4,92781 5,91337 5,91346 5,91364 5,91382 5,91434 5,91536 5,89626 5,89638 5,89664 5,89689 5,89764 5,89909 6,88466 6,88478 6,88501 6,88525 6,88594 6,88730 6,86190 6,86207 6,86241 6,86275 6,86374 6,86567 7,85191 7,85206 7,85236 7,85266 7,85356 7,85530 7,82274 7,82296 7,82339 7,82382 7,82510 7,82757 8,81514 8,81533 8,81571 8,81608 8,81720 8,81937 8,77879 8,77906 8,77960 8,78014 8,78173 8,78481 9,77437 9,77460 9,77506 9,77552 9,77688 9,77953 9,73008 9,73041 9,73107 9,73172 9,73366 9,73742 10,7296 10,7299 10,7304 10,7310 10,7326 10,7358 10,6766 10,6770 10,6778 10,6786 10,6809 10,6854 11,6809 11,6812 11,6819 11,6825 11,6844 11,6882 11,6185 11,6189 11,6199 11,6208 11,6235 11,6288 12,6282 12,6286 12,6294 12,6301 12,6323 12,6367 12,5556 12,5562 12,5572 12,5583 12,5615 12,5676 13,5716 13,5721 13,5729 13,5738 13,5763 13,5814 13,4881 13,4887 13,4899 13,4912 13,4948 13,5019 14,5111 14,5116 14,5126 14,5136 14,5165 14,5222 14,4159 14,4166 14,4180 14,4194 14,4236 14,4317 15,4467 15,4472 15,4483 15,4495 15,4528 15,4592 15,3391 15,3399 15,3415 15,3431 15,3478 15,3569 16,3783 16,3790 16,3802 16,3815 16,3852 16,3924 16,2577 16,2586 16,2604 16,2622 16,2675 16,2777 17,3062 17,3069 17,3083 17,3097 17,3138 17,3218 17,1718 17,1728 17,1748 17,1767 17,1826 17,1940 18,2301 18,2309 18,2325 18,2340 18,2386 18,2475 18,0812 18,0824 18,0846 18,0868 18,0932 18,1059 19,1503 19,1511 19,1528 19,1545 19,1596 19,1694 18,9862 18,9874 18,9898 18,9923 18,9994 19,0133 20,0666 20,0675 20,0694 20,0712 20,0768 20,0876 19,8866 19,8880 19,8906 19,8933 19,9011 19,9164 20,9790 20,9801 20,9821 20,9842 20,9902 21,0020 20,7826 20,7841 20,7870 20,7899 20,7984 20,8150 21,8878 21,8889 21,8911 21,8933 21,8999 21,9127 21,6741 21,6757 21,6788 21,6820 21,6913 21,7094 22,7927 22,7939 22,7963 22,7987 22,8058 22,8198 22,5611 22,5629 22,5663 22,5697 22,5798 22,5994 23,6939 23,6952 23,6978 23,7004 23,7081 23,7231 23,4438 23,4456 23,4493 23,4530 23,4639 23,4851 24,5913 24,5927 24,5955 24,5983 24,6066 24,6228 24,3220 24,3240 24,3280 24,3320 24,3437 24,3664 25,4850 25,4865 25,4895 25,4925 25,5014 25,5188 25,1959 25,1980 25,2023 25,2065 25,2191 25,2436 26,3750 26,3766 26,3798 26,3830 26,3926 26,4112 26,0654 26,0677 26,0723 26,0768 26,0903 26,1164 27,2613 27,2630 27,2665 27,2699 27,2801 27,3000 26,9306 26,9330 26,9379 26,9428 26,9571 26,9851 28,1439 28,1457 28,1494 28,1531 28,1639 28,1852 32,0319 32,0354 32,0423 32,0492 32,0696 32,1093 29,0228 29,0248 29,0287 29,0326 29,0442 29,0667 27,7914 27,7941 27,7993 27,8044 27,8197 27,8495 29,8981 29,9002 29,9044 29,9085 29,9208 29,9447 28,6480 28,6508 28,6563 28,6618 28,6781 28,7098 30,7698 30,7720 30,7764 30,7808 30,7938 30,8192 29,5003 29,5033 29,5092 29,5150 29,5323 29,5659 31,6378 31,6402 31,6448 31,6495 31,6632 31,6901 30,3484 30,3515 30,3577 30,3639 30,3822 30,4178 32,5023 32,5047 32,5096 32,5145 32,5291 32,5574 31,1922 31,1955 31,2021 31,2087 31,2280 31,2656 33,3631 33,3657 33,3709 33,3760 33,3914 33,4213 32,8673 32,8710 32,8783 32,8856 32,9071 32,9490 34,2204 34,2231 34,2286 34,2340 34,2501 34,2816 33,6986 33,7025 33,7102 33,7178 33,7405 33,7845 35,0741 35,0770 35,0827 35,0884 35,1053 35,1384 34,5258 34,5299 34,5379 34,5460 34,5697 34,6160 35,9242 35,9273 35,9333 35,9393 35,9571 35,9918 35,3488 35,3531 35,3616 35,3700 35,3949 35,4435 36,7709 36,7740 36,7803 36,7866 36,8053 36,8417 36,1678 36,1722 36,1811 36,1899 36,2161 36,2670 37,6140 37,6173 37,6239 37,6305 37,6500 37,6882 36,9826 36,9873 36,9966 37,0058 37,0332 37,0864 38,4536 38,4571 38,4640 38,4708 38,4913 38,5312 37,7934 37,7983 37,8080 37,8177 37,8463 37,9020 39,2897 39,2933 39,3006 39,3077 39,3291 39,3708 38,6002 38,6053 38,6154 38,6255 38,6554 38,7135 40,1224 40,1261 40,1337 40,1412 40,1635 40,2070 39,4029 39,4082 39,4188 39,4293 39,4605 39,5211 40,9515 40,9555 40,9634 40,9712 40,9944 41,0398 40,2017 40,2072 40,2182 40,2292 40,2617 40,3249

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 5 2 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 5 – B (Continuación) Del 7% y 8% anual Solo para pagos Mensuales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 7 % Anual para Pagos Mensuales, según el Del 8 % Anual para Pagos Mensuales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,99419 0,99420 0,99422 0,99423 0,99428 0,99438 0,99337 0,99338 0,99340 0,99342 0,99348 0,99361 1,98261 1,98264 1,98269 1,98273 1,98288 1,98316 1,98014 1,98018 1,98024 1,98031 1,98050 1,98086 2,96529 2,96534 2,96544 2,96554 2,96583 2,96639 2,96037 2,96044 2,96057 2,96070 2,96108 2,96181 3,94226 3,94234 3,94251 3,94267 3,94315 3,94409 3,93410 3,93421 3,93443 3,93464 3,93527 3,93648 4,91355 4,91368 4,91392 4,91417 4,91489 4,91629 4,90137 4,90154 4,90186 4,90217 4,90311 4,90492 5,87921 5,87938 5,87973 5,88007 5,88108 5,88303 5,86223 5,86245 5,86290 5,86334 5,86465 5,86717 6,83925 6,83948 6,83994 6,84040 6,84174 6,84433 6,81671 6,81701 6,81760 6,81819 6,81992 6,82327 7,79372 7,79402 7,79460 7,79519 7,79690 7,80023 7,76485 7,76524 7,76600 7,76675 7,76897 7,77326 8,74265 8,74302 8,74375 8,74447 8,74661 8,75075 8,70671 8,70719 8,70814 8,70907 8,71184 8,71717 9,68607 9,68651 9,68740 9,68828 9,69089 9,69593 9,64232 9,64290 9,64405 9,64520 9,64856 9,65505 10,6240 10,6245 10,6256 10,6267 10,6298 10,6358 10,5717 10,5724 10,5738 10,5752 10,5792 10,5869 11,5565 11,5571 11,5584 11,5596 11,5633 11,5704 11,4950 11,4958 11,4974 11,4990 11,5037 11,5129 12,4836 12,4843 12,4857 12,4872 12,4915 12,4997 12,4121 12,4130 12,4149 12,4168 12,4223 12,4329 13,4053 13,4061 13,4078 13,4094 13,4143 13,4238 13,3231 13,3242 13,3264 13,3285 13,3348 13,3470 14,3216 14,3225 14,3244 14,3263 14,3319 14,3427 14,2281 14,2293 14,2318 14,2342 14,2414 14,2553 15,2326 15,2337 15,2358 15,2380 15,2443 15,2564 15,1271 15,1285 15,1313 15,1340 15,1421 15,1577 16,1383 16,1395 16,1419 16,1443 16,1514 16,1650 16,0201 16,0217 16,0248 16,0279 16,0369 16,0545 17,0388 17,0401 17,0428 17,0455 17,0533 17,0685 16,9072 16,9089 16,9124 16,9158 16,9259 16,9454 17,9340 17,9355 17,9385 17,9414 17,9501 17,9669 17,7884 17,7903 17,7942 17,7980 17,8091 17,8307 18,8241 18,8257 18,8290 18,8322 18,8418 18,8603 18,6638 18,6659 18,6701 18,6743 18,6866 18,7103 19,7089 19,7107 19,7143 19,7178 19,7283 19,7486 19,5333 19,5357 19,5403 19,5448 19,5583 19,5843 20,5886 20,5906 20,5945 20,5984 20,6098 20,6320 20,3971 20,3997 20,4047 20,4097 20,4244 20,4527 21,4633 21,4654 21,4696 21,4738 21,4863 21,5104 21,2552 21,2579 21,2634 21,2688 21,2848 21,3156 22,3328 22,3351 22,3397 22,3442 22,3577 22,3838 22,1076 22,1105 22,1165 22,1223 22,1396 22,1729 23,1973 23,1998 23,2047 23,2096 23,2242 23,2523 22,9543 22,9575 22,9639 22,9702 22,9888 23,0248 24,0567 24,0594 24,0648 24,0700 24,0857 24,1160 23,7954 23,7988 23,8057 23,8125 23,8325 23,8712 24,9112 24,9141 24,9198 24,9255 24,9423 24,9748 24,6309 24,6346 24,6420 24,6492 24,6707 24,7122 25,7607 25,7638 25,7699 25,7760 25,7940 25,8287 25,4609 25,4648 25,4727 25,4805 25,5035 25,5478 26,6053 26,6086 26,6151 26,6216 26,6408 26,6779 26,2854 26,2896 26,2980 26,3063 26,3308 26,3781 27,4450 27,4485 27,4554 27,4623 27,4827 27,5223 31,1186 31,1246 31,1364 31,1481 31,1827 31,2495 28,2798 28,2835 28,2909 28,2982 28,3199 28,3619 27,1044 27,1088 27,1178 27,1266 27,1527 27,2031 29,1097 29,1137 29,1215 29,1293 29,1523 29,1968 27,9179 27,9227 27,9322 27,9416 27,9693 28,0228 29,9348 29,9390 29,9473 29,9555 29,9799 30,0270 28,7261 28,7312 28,7412 28,7512 28,7805 28,8372 30,7552 30,7596 30,7683 30,7770 30,8028 30,8526 29,5289 29,5343 29,5449 29,5554 29,5865 29,6465 31,5707 31,5754 31,5846 31,5938 31,6209 31,6735 30,3264 30,3320 30,3433 30,3544 30,3872 30,4506 32,3816 32,3865 32,3962 32,4059 32,4344 32,4898 31,9055 31,9118 31,9243 31,9366 31,9730 32,0433 33,1877 33,1928 33,2031 33,2132 33,2433 33,3015 32,6873 32,6938 32,7069 32,7199 32,7582 32,8321 33,9891 33,9945 34,0053 34,0160 34,0475 34,1087 33,4638 33,4707 33,4844 33,4981 33,5383 33,6158 34,7859 34,7916 34,8029 34,8141 34,8472 34,9113 34,2352 34,2424 34,2568 34,2711 34,3132 34,3945 35,5781 35,5840 35,5958 35,6075 35,6422 35,7094 35,0015 35,0090 35,0241 35,0390 35,0831 35,1682 36,3656 36,3718 36,3842 36,3965 36,4327 36,5030 35,7626 35,7706 35,7863 35,8019 35,8480 35,9370 37,1486 37,1551 37,1680 37,1808 37,2187 37,2921 36,5188 36,5270 36,5435 36,5598 36,6080 36,7009 37,9271 37,9338 37,9473 37,9607 38,0002 38,0768 37,2699 37,2785 37,2957 37,3127 37,3629 37,4599 38,7010 38,7080 38,7221 38,7360 38,7772 38,8571 38,0160 38,0250 38,0429 38,0606 38,1130 38,2140 39,4704 39,4777 39,4924 39,5069 39,5498 39,6330 38,7572 38,7666 38,7852 38,8036 38,8581 38,9633

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 5 3 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 5 – B (Continuación) Del 9% y 10% anual Solo para pagos Mensuales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 9 % Anual para Pagos Mensuales, según el Del 10 % Anual para Pagos Mensuales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,99254 0,99256 0,99258 0,99261 0,99269 0,99284 0,99172 0,99174 0,99177 0,99180 0,99190 0,99209 1,97768 1,97772 1,97781 1,97789 1,97813 1,97858 1,97522 1,97527 1,97538 1,97548 1,97577 1,97633 2,95547 2,95556 2,95572 2,95588 2,95636 2,95727 2,95058 2,95069 2,95089 2,95109 2,95167 2,95278 3,92597 3,92611 3,92638 3,92665 3,92744 3,92895 3,91787 3,91804 3,91837 3,91870 3,91967 3,92151 4,88924 4,88944 4,88984 4,89024 4,89142 4,89368 4,87714 4,87739 4,87789 4,87838 4,87982 4,88258 5,84531 5,84560 5,84616 5,84672 5,84836 5,85151 5,82847 5,82882 5,82951 5,83019 5,83220 5,83604 6,79426 6,79464 6,79539 6,79613 6,79830 6,80248 6,77192 6,77238 6,77330 6,77421 6,77687 6,78196 7,73613 7,73661 7,73757 7,73852 7,74130 7,74665 7,70755 7,70815 7,70932 7,71048 7,71389 7,72040 8,67098 8,67158 8,67277 8,67394 8,67741 8,68406 8,63544 8,63618 8,63764 8,63908 8,64332 8,65141 9,59885 9,59958 9,60103 9,60246 9,60668 9,61476 9,55565 9,55654 9,55831 9,56007 9,56522 9,57506 10,5198 10,5207 10,5224 10,5241 10,5291 10,5388 10,4682 10,4693 10,4714 10,4735 10,4797 10,4914 11,4339 11,4349 11,4369 11,4390 11,4449 11,4562 11,3733 11,3745 11,3770 11,3795 11,3867 11,4005 12,3412 12,3423 12,3447 12,3470 12,3539 12,3671 12,2708 12,2722 12,2751 12,2780 12,2864 12,3024 13,2417 13,2430 13,2457 13,2484 13,2563 13,2715 13,1609 13,1626 13,1659 13,1691 13,1788 13,1972 14,1354 14,1370 14,1401 14,1431 14,1521 14,1693 14,0436 14,0455 14,0493 14,0530 14,0639 14,0848 15,0226 15,0243 15,0278 15,0312 15,0414 15,0608 14,9190 14,9212 14,9254 14,9296 14,9419 14,9655 15,9031 15,9050 15,9089 15,9128 15,9241 15,9459 15,7872 15,7896 15,7943 15,7990 15,8128 15,8392 16,7770 16,7792 16,7835 16,7878 16,8004 16,8246 16,6482 16,6508 16,6561 16,6613 16,6767 16,7060 17,6444 17,6468 17,6516 17,6563 17,6703 17,6970 17,5020 17,5050 17,5108 17,5166 17,5335 17,5659 18,5054 18,5080 18,5133 18,5185 18,5338 18,5633 18,3488 18,3520 18,3584 18,3648 18,3834 18,4190 19,3599 19,3628 19,3686 19,3743 19,3910 19,4233 19,1886 19,1921 19,1991 19,2060 19,2264 19,2654 20,2081 20,2112 20,2175 20,2237 20,2420 20,2771 20,0214 20,0252 20,0328 20,0404 20,0626 20,1051 21,0499 21,0533 21,0601 21,0669 21,0867 21,1249 20,8473 20,8514 20,8597 20,8679 20,8920 20,9381 21,8854 21,8891 21,8965 21,9038 21,9253 21,9665 21,6663 21,6709 21,6798 21,6887 21,7147 21,7646 22,7148 22,7188 22,7267 22,7346 22,7577 22,8022 22,4786 22,4835 22,4931 22,5027 22,5308 22,5845 23,5379 23,5422 23,5507 23,5592 23,5841 23,6319 23,2842 23,2894 23,2998 23,3100 23,3402 23,3979 24,3549 24,3595 24,3686 24,3777 24,4044 24,4556 24,0831 24,0887 24,0998 24,1108 24,1431 24,2049 25,1658 25,1707 25,1805 25,1902 25,2187 25,2735 24,8754 24,8813 24,8932 24,9049 24,9395 25,0055 25,9706 25,9759 25,9863 25,9966 26,0271 26,0855 25,6611 25,6674 25,6801 25,6926 25,7294 25,7998 30,6753 30,6827 30,6973 30,7118 30,7546 30,8368 30,2406 30,2495 30,2672 30,2848 30,3364 30,4351 26,7695 26,7751 26,7862 26,7972 26,8295 26,8916 26,4403 26,4470 26,4605 26,4738 26,5129 26,5877 27,5624 27,5683 27,5801 27,5917 27,6261 27,6921 27,2130 27,2202 27,2345 27,2486 27,2901 27,3695 28,3494 28,3557 28,3681 28,3805 28,4169 28,4867 27,9794 27,9870 28,0021 28,0170 28,0610 28,1451 29,1305 29,1371 29,1503 29,1634 29,2018 29,2757 28,7394 28,7474 28,7634 28,7792 28,8256 28,9145 29,9058 29,9128 29,9267 29,9405 29,9811 30,0591 29,4931 29,5016 29,5184 29,5351 29,5841 29,6778 31,4390 31,4468 31,4622 31,4775 31,5225 31,6090 30,9818 30,9912 31,0099 31,0283 31,0826 31,1865 32,1971 32,2053 32,2215 32,2375 32,2848 32,3757 31,7170 31,7268 31,7464 31,7658 31,8228 31,9318 32,9495 32,9581 32,9751 32,9919 33,0415 33,1369 32,4460 32,4564 32,4769 32,4972 32,5569 32,6713 33,6963 33,7053 33,7231 33,7407 33,7927 33,8926 33,1691 33,1799 33,2014 33,2226 33,2852 33,4049 34,4376 34,4469 34,4656 34,4840 34,5384 34,6429 33,8861 33,8974 33,9199 33,9421 34,0075 34,1327 35,1733 35,1831 35,2025 35,2218 35,2786 35,3879 34,5972 34,6090 34,6325 34,6557 34,7240 34,8548 35,9035 35,9137 35,9340 35,9542 36,0135 36,1275 35,3024 35,3147 35,3392 35,3634 35,4347 35,5712 36,6283 36,6389 36,6601 36,6811 36,7429 36,8618 36,0017 36,0146 36,0401 36,0653 36,1396 36,2818 37,3476 37,3587 37,3808 37,4026 37,4670 37,5909 36,6953 36,7087 36,7352 36,7615 36,8388 36,9869 38,0616 38,0732 38,0961 38,1189 38,1859 38,3147 37,3831 37,3970 37,4246 37,4520 37,5324 37,6864

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 5 4 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 5 – B (Continuación) Del 12% y 14% anual Solo para pagos Mensuales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 12 % Anual para Pagos Mensuales, según el Del 14 % Anual para Pagos Mensuales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,99007 0,99010 0,99015 0,99020 0,99034 0,99060 0,98843 0,98847 0,98853 0,98860 0,98879 0,98914 1,97032 1,97040 1,97054 1,97068 1,97110 1,97189 1,96544 1,96554 1,96573 1,96593 1,96649 1,96754 2,94084 2,94099 2,94127 2,94156 2,94239 2,94395 2,93114 2,93134 2,93173 2,93211 2,93322 2,93531 3,90173 3,90197 3,90244 3,90291 3,90428 3,90688 3,88568 3,88600 3,88664 3,88728 3,88912 3,89258 4,85307 4,85343 4,85414 4,85484 4,85689 4,86076 4,82917 4,82966 4,83061 4,83155 4,83430 4,83945 5,79498 5,79548 5,79646 5,79744 5,80028 5,80567 5,76175 5,76243 5,76376 5,76506 5,76888 5,77603 6,72754 6,72819 6,72950 6,73079 6,73456 6,74170 6,68355 6,68444 6,68620 6,68793 6,69298 6,70245 7,65084 7,65168 7,65335 7,65499 7,65981 7,66893 7,59469 7,59582 7,59807 7,60028 7,60671 7,61880 8,56497 8,56602 8,56809 8,57014 8,57612 8,58745 8,49529 8,49670 8,49948 8,50222 8,51021 8,52520 9,47003 9,47130 9,47382 9,47630 9,48357 9,49733 9,38547 9,38718 9,39055 9,39388 9,40357 9,42176 10,3661 10,3676 10,3706 10,3736 10,3823 10,3987 10,2654 10,2674 10,2714 10,2754 10,2869 10,3086 11,2533 11,2551 11,2586 11,2621 11,2722 11,2915 11,1351 11,1375 11,1422 11,1468 11,1603 11,1858 12,1317 12,1337 12,1378 12,1419 12,1536 12,1760 11,9947 11,9975 12,0029 12,0083 12,0240 12,0534 13,0013 13,0037 13,0084 13,0130 13,0265 13,0521 12,8444 12,8476 12,8538 12,8600 12,8780 12,9117 13,8624 13,8651 13,8704 13,8756 13,8910 13,9200 13,6843 13,6879 13,6950 13,7020 13,7223 13,7606 14,7149 14,7179 14,7239 14,7298 14,7470 14,7798 14,5145 14,5185 14,5265 14,5343 14,5573 14,6003 15,5589 15,5623 15,5689 15,5755 15,5949 15,6315 15,3351 15,3396 15,3485 15,3572 15,3828 15,4309 16,3945 16,3983 16,4057 16,4130 16,4345 16,4752 16,1461 16,1511 16,1610 16,1707 16,1991 16,2525 17,2219 17,2260 17,2342 17,2423 17,2660 17,3109 16,9478 16,9533 16,9642 16,9750 17,0063 17,0651 18,0410 18,0456 18,0546 18,0634 18,0895 18,1388 17,7403 17,7463 17,7582 17,7700 17,8043 17,8689 18,8520 18,8570 18,8668 18,8765 18,9050 18,9589 18,5235 18,5301 18,5432 18,5560 18,5935 18,6640 19,6550 19,6604 19,6711 19,6816 19,7126 19,7713 19,2977 19,3049 19,3191 19,3330 19,3738 19,4505 20,4500 20,4558 20,4674 20,4789 20,5124 20,5760 20,0630 20,0707 20,0861 20,1012 20,1453 20,2284 21,2371 21,2434 21,2559 21,2683 21,3045 21,3732 20,8194 20,8277 20,8443 20,8606 20,9082 20,9979 22,0164 22,0232 22,0366 22,0500 22,0889 22,1629 21,5670 21,5760 21,5938 21,6114 21,6626 21,7590 22,7879 22,7952 22,8097 22,8240 22,8658 22,9452 22,3060 22,3157 22,3348 22,3536 22,4085 22,5118 23,5518 23,5596 23,5751 23,5904 23,6352 23,7201 23,0365 23,0468 23,0672 23,0873 23,1460 23,2565 24,3081 24,3164 24,3330 24,3493 24,3971 24,4878 23,7585 23,7695 23,7912 23,8127 23,8752 23,9931 25,0569 25,0658 25,0834 25,1007 25,1516 25,2482 24,4722 24,4838 24,5070 24,5298 24,5963 24,7217 25,7983 25,8077 25,8264 25,8448 25,8989 26,0015 25,1776 25,1900 25,2145 25,2387 25,3093 25,4423 26,5323 26,5423 26,5621 26,5816 26,6389 26,7477 25,8748 25,8879 25,9139 25,9395 26,0143 26,1552 27,2590 27,2696 27,2905 27,3112 27,3718 27,4869 26,5640 26,5779 26,6053 26,6324 26,7114 26,8603 27,9785 27,9897 28,0118 28,0336 28,0976 28,2191 27,2452 27,2598 27,2888 27,3173 27,4006 27,5577 28,6909 28,7027 28,7260 28,7490 28,8164 28,9444 27,9185 27,9339 27,9644 27,9944 28,0822 28,2476 29,3962 29,4086 29,4331 29,4573 29,5282 29,6630 28,5841 28,6003 28,6323 28,6639 28,7561 28,9300 30,0945 30,1075 30,1332 30,1587 30,2332 30,3748 29,2419 29,2589 29,2925 29,3256 29,4224 29,6050 30,7859 30,7995 30,8265 30,8532 30,9313 31,0798 29,8922 29,9100 29,9452 29,9799 30,0813 30,2726 31,4704 31,4847 31,5129 31,5409 31,6227 31,7783 30,5349 30,5535 30,5903 30,6267 30,7328 30,9330 32,1481 32,1630 32,1926 32,2218 32,3075 32,4702 31,1702 31,1896 31,2281 31,2661 31,3769 31,5862 32,8191 32,8347 32,8656 32,8961 32,9856 33,1556 31,7981 31,8184 31,8586 31,8982 32,0139 32,2323 34,1412 34,1581 34,1917 34,2249 34,3222 34,5071 32,4188 32,4399 32,4818 32,5231 32,6437 32,8714 34,7924 34,8100 34,8450 34,8795 34,9808 35,1734 33,0323 33,0543 33,0979 33,1409 33,2665 33,5036 35,4371 35,4555 35,4918 35,5277 35,6331 35,8333 33,6387 33,6616 33,7069 33,7516 33,8822 34,1289 36,0755 36,0945 36,1323 36,1696 36,2790 36,4871 34,2381 34,2619 34,3089 34,3554 34,4911 34,7474 33,4834 33,4997 33,5319 33,5638 33,6571 33,8345 34,8306 34,8552 34,9041 34,9523 35,0931 35,3592

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 5 5 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 5 – B (Continuación) Del 15% y 16% anual Solo para pagos Mensuales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 15 % Anual para Pagos Mensuales, según el Del 16 % Anual para Pagos Mensuales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,98762 0,98765 0,98773 0,98780 0,98802 0,98842 0,98680 0,98684 0,98693 0,98701 0,98726 0,98771 1,96300 1,96312 1,96334 1,96356 1,96420 1,96540 1,96057 1,96070 1,96095 1,96120 1,96193 1,96327 2,92631 2,92653 2,92698 2,92742 2,92869 2,93106 2,92149 2,92174 2,92225 2,92274 2,92418 2,92685 3,87769 3,87806 3,87879 3,87952 3,88162 3,88554 3,86972 3,87014 3,87097 3,87179 3,87416 3,87858 4,81728 4,81784 4,81893 4,82000 4,82313 4,82897 4,80543 4,80606 4,80730 4,80851 4,81204 4,81861 5,74524 5,74601 5,74753 5,74902 5,75336 5,76147 5,72879 5,72966 5,73138 5,73307 5,73797 5,74709 6,66171 6,66273 6,66473 6,66671 6,67245 6,68318 6,63997 6,64112 6,64339 6,64562 6,65209 6,66415 7,56683 7,56812 7,57068 7,57320 7,58052 7,59422 7,53911 7,54058 7,54347 7,54631 7,55457 7,56994 8,46074 8,46234 8,46552 8,46864 8,47772 8,49470 8,42638 8,42820 8,43178 8,43531 8,44554 8,46460 9,34358 9,34553 9,34937 9,35316 9,36417 9,38476 9,30194 9,30414 9,30849 9,31276 9,32516 9,34826 10,2155 10,2178 10,2224 10,2269 10,2400 10,2645 10,1659 10,1686 10,1737 10,1788 10,1936 10,2211 11,0766 11,0793 11,0847 11,0900 11,1053 11,1341 11,0185 11,0216 11,0277 11,0336 11,0509 11,0831 11,9270 11,9302 11,9364 11,9425 11,9603 11,9936 11,8599 11,8634 11,8704 11,8773 11,8973 11,9346 12,7670 12,7706 12,7777 12,7847 12,8050 12,8431 12,6901 12,6942 12,7022 12,7101 12,7329 12,7756 13,5965 13,6005 13,6086 13,6165 13,6396 13,6828 13,5094 13,5140 13,5231 13,5320 13,5579 13,6063 14,4157 14,4203 14,4293 14,4383 14,4642 14,5128 14,3179 14,3230 14,3332 14,3432 14,3724 14,4267 15,2248 15,2299 15,2400 15,2500 15,2789 15,3332 15,1156 15,1214 15,1328 15,1440 15,1765 15,2371 16,0239 16,0295 16,0408 16,0518 16,0839 16,1441 15,9029 15,9093 15,9219 15,9343 15,9703 16,0375 16,8131 16,8193 16,8317 16,8438 16,8792 16,9455 16,6798 16,6868 16,7007 16,7143 16,7540 16,8281 17,5925 17,5993 17,6129 17,6262 17,6650 17,7377 17,4464 17,4541 17,4693 17,4842 17,5277 17,6089 18,3622 18,3697 18,3845 18,3990 18,4414 18,5208 18,2028 18,2112 18,2278 18,2442 18,2916 18,3802 19,1224 19,1306 19,1466 19,1624 19,2084 19,2947 18,9493 18,9585 18,9765 18,9942 19,0457 19,1420 19,8733 19,8820 19,8994 19,9165 19,9663 20,0597 19,6860 19,6959 19,7153 19,7345 19,7902 19,8944 20,6148 20,6242 20,6430 20,6614 20,7151 20,8159 20,4129 20,4235 20,4445 20,4652 20,5253 20,6375 21,3471 21,3573 21,3774 21,3972 21,4550 21,5633 21,1302 21,1417 21,1642 21,1864 21,2509 21,3716 22,0704 22,0813 22,1028 22,1241 22,1859 22,3020 21,8381 21,8503 21,8745 21,8982 21,9673 22,0966 22,7847 22,7963 22,8193 22,8420 22,9081 23,0322 22,5366 22,5497 22,5754 22,6008 22,6746 22,8127 23,4901 23,5025 23,5271 23,5512 23,6217 23,7539 23,2259 23,2398 23,2672 23,2943 23,3729 23,5200 24,1868 24,2000 24,2261 24,2518 24,3267 24,4673 23,9061 23,9208 23,9500 23,9787 24,0623 24,2186 24,8749 24,8889 24,9166 24,9438 25,0232 25,1724 27,8027 27,8231 27,8632 27,9028 28,0178 28,2335 25,5545 25,5693 25,5986 25,6274 25,7115 25,8693 24,5773 24,5929 24,6239 24,6543 24,7429 24,9086 26,2256 26,2413 26,2722 26,3026 26,3914 26,5582 25,2396 25,2562 25,2889 25,3211 25,4148 25,5901 26,8885 26,9050 26,9375 26,9697 27,0632 27,2391 25,8932 25,9107 25,9452 25,9792 26,0781 26,2632 27,5431 27,5605 27,5947 27,6285 27,7270 27,9121 26,5382 26,5566 26,5930 26,6288 26,7330 26,9281 28,1897 28,2079 28,2439 28,2794 28,3828 28,5773 27,1747 27,1940 27,2323 27,2699 27,3795 27,5848 28,8282 28,8473 28,8850 28,9223 29,0308 29,2348 28,4225 28,4438 28,4859 28,5274 28,6480 28,8741 29,4588 29,4788 29,5183 29,5573 29,6710 29,8847 29,0341 29,0564 29,1004 29,1438 29,2702 29,5069 30,0816 30,1025 30,1439 30,1846 30,3035 30,5271 29,6376 29,6609 29,7070 29,7523 29,8844 30,1319 30,6967 30,7185 30,7617 30,8043 30,9285 31,1621 30,2332 30,2575 30,3055 30,3529 30,4907 30,7492 31,3042 31,3269 31,3720 31,4164 31,5459 31,7896 30,8209 30,8462 30,8963 30,9457 31,0894 31,3590 31,9041 31,9278 31,9748 32,0210 32,1560 32,4100 31,4008 31,4272 31,4793 31,5307 31,6804 31,9612 32,4966 32,5213 32,5702 32,6183 32,7588 33,0231 31,9731 32,0005 32,0548 32,1082 32,2639 32,5560 33,0818 33,1075 33,1582 33,2083 33,3543 33,6291 32,5378 32,5663 32,6227 32,6782 32,8400 33,1436 33,6598 33,6864 33,7391 33,7911 33,9427 34,2282 33,0950 33,1246 33,1831 33,2408 33,4087 33,7239 34,2305 34,2582 34,3128 34,3667 34,5240 34,8202 33,6449 33,6756 33,7363 33,7960 33,9701 34,2970

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 5 6 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 5 – B (Continuación) Del 18% y 20% anual Solo para pagos Mensuales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 18 % Anual para Pagos Mensuales, según el Del 20 % Anual para Pagos Mensuales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,98517 0,98522 0,98533 0,98543 0,98574 0,98630 0,98354 0,98361 0,98374 0,98387 0,98424 0,98492 1,95572 1,95588 1,95620 1,95652 1,95742 1,95909 1,95089 1,95109 1,95148 1,95186 1,95297 1,95499 2,91188 2,91220 2,91283 2,91345 2,91525 2,91856 2,90232 2,90271 2,90349 2,90425 2,90643 2,91043 3,85385 3,85438 3,85543 3,85645 3,85942 3,86488 3,83808 3,83873 3,84001 3,84126 3,84487 3,85147 4,78186 4,78264 4,78420 4,78572 4,79012 4,79824 4,75844 4,75941 4,76131 4,76316 4,76852 4,77832 5,69610 5,69719 5,69934 5,70145 5,70755 5,71882 5,66366 5,66499 5,66762 5,67019 5,67761 5,69119 6,59677 6,59821 6,60105 6,60384 6,61190 6,62678 6,55397 6,55573 6,55920 6,56259 6,57237 6,59029 7,48409 7,48593 7,48954 7,49309 7,50335 7,52231 7,42962 7,43186 7,43627 7,44059 7,45303 7,47584 8,35825 8,36052 8,36499 8,36939 8,38209 8,40557 8,29087 8,29364 8,29909 8,30443 8,31982 8,34804 9,21944 9,22218 9,22760 9,23292 9,24830 9,27673 9,13793 9,14128 9,14787 9,15433 9,17294 9,20708 10,0679 10,0711 10,0776 10,0839 10,1022 10,1360 9,97106 9,97503 9,98286 9,99052 10,0126 10,0532 10,9037 10,9075 10,9150 10,9224 10,9438 10,9834 10,7905 10,7951 10,8043 10,8132 10,8391 10,8865 11,7271 11,7315 11,7402 11,7488 11,7735 11,8193 11,5964 11,6018 11,6123 11,6227 11,6525 11,7073 12,5383 12,5434 12,5533 12,5631 12,5914 12,6437 12,3890 12,3952 12,4072 12,4190 12,4531 12,5157 13,3375 13,3432 13,3545 13,3655 13,3975 13,4568 13,1687 13,1756 13,1892 13,2026 13,2411 13,3119 14,1249 14,1313 14,1439 14,1563 14,1922 14,2587 13,9354 13,9432 13,9585 13,9734 14,0166 14,0961 14,9005 14,9076 14,9217 14,9356 14,9756 15,0497 14,6896 14,6982 14,7152 14,7319 14,7800 14,8684 15,6647 15,6726 15,6881 15,7035 15,7478 15,8299 15,4313 15,4409 15,4597 15,4781 15,5313 15,6292 16,4175 16,4262 16,4433 16,4602 16,5089 16,5993 16,1609 16,1713 16,1920 16,2123 16,2708 16,3784 17,1591 17,1686 17,1874 17,2059 17,2593 17,3583 16,8784 16,8898 16,9125 16,9346 16,9986 17,1164 17,8898 17,9001 17,9206 17,9407 17,9989 18,1068 17,5841 17,5966 17,6212 17,6453 17,7150 17,8432 18,6096 18,6208 18,6430 18,6648 18,7279 18,8450 18,2782 18,2917 18,3184 18,3445 18,4200 18,5591 19,3187 19,3309 19,3548 19,3784 19,4466 19,5732 18,9608 18,9755 19,0042 19,0325 19,1140 19,2642 20,0173 20,0304 20,0562 20,0816 20,1550 20,2914 19,6323 19,6480 19,6789 19,7093 19,7970 19,9586 20,7056 20,7196 20,7473 20,7745 20,8534 20,9997 20,2927 20,3095 20,3427 20,3752 20,4692 20,6426 21,3836 21,3986 21,4283 21,4574 21,5417 21,6984 20,9422 20,9602 20,9956 21,0304 21,1309 21,3162 22,0516 22,0676 22,0992 22,1303 22,2203 22,3875 21,5810 21,6002 21,6379 21,6750 21,7821 21,9797 22,7097 22,7267 22,7603 22,7934 22,8892 23,0671 22,2093 22,2297 22,2698 22,3092 22,4231 22,6332 23,3580 23,3761 23,4118 23,4468 23,5485 23,7374 22,8272 22,8488 22,8914 22,9332 23,0539 23,2769 23,9967 24,0158 24,0536 24,0907 24,1984 24,3986 23,4350 23,4579 23,5029 23,5471 23,6749 23,9108 24,6259 24,6461 24,6861 24,7253 24,8391 25,0506 24,0328 24,0569 24,1045 24,1511 24,2860 24,5352 25,2458 25,2671 25,3092 25,3506 25,4706 25,6938 24,6208 24,6462 24,6962 24,7454 24,8875 25,1502 25,8565 25,8790 25,9233 25,9668 26,0931 26,3281 25,1990 25,2257 25,2784 25,3301 25,4795 25,7558 26,4582 26,4817 26,5283 26,5740 26,7068 26,9538 25,7678 25,7958 25,8511 25,9053 26,0622 26,3524 27,0509 27,0756 27,1244 27,1724 27,3117 27,5709 26,3272 26,3565 26,4144 26,4713 26,6357 26,9400 27,6348 27,6607 27,7118 27,7621 27,9079 28,1795 26,8773 26,9081 26,9686 27,0281 27,2002 27,5187 28,2101 28,2371 28,2906 28,3431 28,4957 28,7798 27,4185 27,4506 27,5138 27,5760 27,7558 28,0886 28,7768 28,8051 28,8609 28,9158 29,0751 29,3719 27,9507 27,9842 28,0502 28,1150 28,3026 28,6500 29,3351 29,3646 29,4228 29,4800 29,6462 29,9558 28,4741 28,5090 28,5778 28,6453 28,8408 29,2030 29,8852 29,9158 29,9765 30,0361 30,2092 30,5318 28,9890 29,0252 29,0968 29,1671 29,3705 29,7475 30,4270 30,4590 30,5220 30,5840 30,7641 31,0999 29,4953 29,5330 29,6074 29,6804 29,8919 30,2839 30,9609 30,9941 31,0596 31,1240 31,3112 31,6602 29,9934 30,0325 30,1097 30,1855 30,4051 30,8122 31,4868 31,5212 31,5892 31,6561 31,8504 32,2128 30,4832 30,5238 30,6038 30,6824 30,9101 31,3325 32,0049 32,0406 32,1111 32,1805 32,3819 32,7578 30,9650 31,0070 31,0899 31,1713 31,4072 31,8450 32,5154 32,5523 32,6254 32,6972 32,9059 33,2954 31,4388 31,4823 31,5681 31,6523 31,8965 32,3497

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 5 7 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 5 – C

Del 5% y 6% anual Solo para pagos Bimestrales

CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 5 % Anual para Pagos Bimestrales, según el Del 6 % Anual para Pagos Bimestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,99171 0,99172 0,99174 0,99175 0,99180 0,99190 0,99006 0,99007 0,99010 0,99012 0,99020 0,99034 1,97520 1,97522 1,97527 1,97533 1,97548 1,97577 1,97029 1,97032 1,97040 1,97047 1,97068 1,97110 2,95053 2,95058 2,95069 2,95079 2,95109 2,95167 2,94077 2,94084 2,94099 2,94113 2,94156 2,94239 3,91778 3,91787 3,91804 3,91820 3,91870 3,91967 3,90160 3,90173 3,90197 3,90220 3,90291 3,90428 4,87701 4,87714 4,87739 4,87764 4,87838 4,87982 4,85289 4,85307 4,85343 4,85379 4,85484 4,85689 5,82829 5,82847 5,82882 5,82916 5,83019 5,83220 5,79473 5,79498 5,79548 5,79597 5,79744 5,80028 6,77169 6,77192 6,77238 6,77284 6,77421 6,77687 6,72720 6,72754 6,72819 6,72885 6,73079 6,73456 7,70726 7,70755 7,70815 7,70873 7,71048 7,71389 7,65041 7,65084 7,65168 7,65251 7,65499 7,65981 8,63507 8,63544 8,63618 8,63691 8,63908 8,64332 8,56445 8,56497 8,56602 8,56706 8,57014 8,57612 9,55520 9,55565 9,55654 9,55743 9,56007 9,56522 9,46940 9,47003 9,47130 9,47257 9,47630 9,48357 10,4677 10,4682 10,4693 10,4704 10,4735 10,4797 10,3654 10,3661 10,3676 10,3691 10,3736 10,3823 11,3726 11,3733 11,3745 11,3758 11,3795 11,3867 11,2524 11,2533 11,2551 11,2568 11,2621 11,2722 12,2701 12,2708 12,2722 12,2737 12,2780 12,2864 12,1306 12,1317 12,1337 12,1358 12,1419 12,1536 13,1600 13,1609 13,1626 13,1642 13,1691 13,1788 13,0002 13,0013 13,0037 13,0060 13,0130 13,0265 14,0427 14,0436 14,0455 14,0474 14,0530 14,0639 13,8610 13,8624 13,8651 13,8677 13,8756 13,8910 14,9180 14,9190 14,9212 14,9233 14,9296 14,9419 14,7133 14,7149 14,7179 14,7209 14,7298 14,7470 15,7860 15,7872 15,7896 15,7920 15,7990 15,8128 15,5572 15,5589 15,5623 15,5656 15,5755 15,5949 16,6468 16,6482 16,6508 16,6535 16,6613 16,6767 16,3926 16,3945 16,3983 16,4020 16,4130 16,4345 17,5005 17,5020 17,5050 17,5079 17,5166 17,5335 17,2198 17,2219 17,2260 17,2301 17,2423 17,2660 18,3472 18,3488 18,3520 18,3552 18,3648 18,3834 18,0387 18,0410 18,0456 18,0501 18,0634 18,0895 19,1868 19,1886 19,1921 19,1956 19,2060 19,2264 18,8495 18,8520 18,8570 18,8619 18,8765 18,9050 20,0194 20,0214 20,0252 20,0290 20,0404 20,0626 19,6523 19,6550 19,6604 19,6657 19,6816 19,7126 20,8452 20,8473 20,8514 20,8556 20,8679 20,8920 20,4470 20,4500 20,4558 20,4616 20,4789 20,5124 21,6641 21,6663 21,6709 21,6753 21,6887 21,7147 21,2339 21,2371 21,2434 21,2497 21,2683 21,3045 22,4762 22,4786 22,4835 22,4883 22,5027 22,5308 22,0129 22,0164 22,0232 22,0299 22,0500 22,0889 23,2816 23,2842 23,2894 23,2946 23,3100 23,3402 22,7842 22,7879 22,7952 22,8025 22,8240 22,8658 24,0803 24,0831 24,0887 24,0942 24,1108 24,1431 23,5479 23,5518 23,5596 23,5674 23,5904 23,6352 24,8724 24,8754 24,8813 24,8873 24,9049 24,9395 24,3039 24,3081 24,3164 24,3247 24,3493 24,3971 25,6579 25,6611 25,6674 25,6738 25,6926 25,7294 25,0525 25,0569 25,0658 25,0746 25,1007 25,1516 26,4369 26,4403 26,4470 26,4538 26,4738 26,5129 25,7936 25,7983 25,8077 25,8171 25,8448 25,8989 27,2094 27,2130 27,2202 27,2274 27,2486 27,2901 26,5273 26,5323 26,5423 26,5522 26,5816 26,6389 27,9756 27,9794 27,9870 27,9946 28,0170 28,0610 27,2537 27,2590 27,2696 27,2801 27,3112 27,3718 28,7353 28,7394 28,7474 28,7554 28,7792 28,8256 27,9729 27,9785 27,9897 28,0008 28,0336 28,0976 29,4888 29,4931 29,5016 29,5100 29,5351 29,5841 28,6850 28,6909 28,7027 28,7143 28,7490 28,8164 30,2361 30,2406 30,2495 30,2584 30,2848 30,3364 29,3900 29,3962 29,4086 29,4209 29,4573 29,5282 30,9771 30,9818 30,9912 31,0006 31,0283 31,0826 30,0880 30,0945 30,1075 30,1204 30,1587 30,2332 31,7120 31,7170 31,7268 31,7367 31,7658 31,8228 30,7791 30,7859 30,7995 30,8130 30,8532 30,9313 32,4408 32,4460 32,4564 32,4667 32,4972 32,5569 31,4632 31,4704 31,4847 31,4988 31,5409 31,6227 33,1636 33,1691 33,1799 33,1906 33,2226 33,2852 32,1406 32,1481 32,1630 32,1779 32,2218 32,3075 33,8804 33,8861 33,8974 33,9087 33,9421 34,0075 32,8113 32,8191 32,8347 32,8502 32,8961 32,9856 34,5912 34,5972 34,6090 34,6208 34,6557 34,7240 33,4753 33,4834 33,4997 33,5158 33,5638 33,6571 35,2962 35,3024 35,3147 35,3270 35,3634 35,4347 34,1327 34,1412 34,1581 34,1749 34,2249 34,3222 35,9953 36,0017 36,0146 36,0274 36,0653 36,1396 34,7835 34,7924 34,8100 34,8275 34,8795 34,9808 36,6886 36,6953 36,7087 36,7220 36,7615 36,8388 35,4279 35,4371 35,4555 35,4737 35,5277 35,6331 37,3761 37,3831 37,3970 37,4109 37,4520 37,5324 36,0659 36,0755 36,0945 36,1134 36,1696 36,2790

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 5 8 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 5 – C (Continuación) Del 7% y 8% anual Solo para pagos Bimestrales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 7 % Anual para Pagos Bimestrales, según el Del 8 % Anual para Pagos Bimestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,98842 0,98843 0,98847 0,98850 0,98860 0,98879 0,98678 0,98680 0,98684 0,98689 0,98701 0,98726 1,96539 1,96544 1,96554 1,96563 1,96593 1,96649 1,96051 1,96057 1,96070 1,96083 1,96120 1,96193 2,93104 2,93114 2,93134 2,93153 2,93211 2,93322 2,92136 2,92149 2,92174 2,92200 2,92274 2,92418 3,88551 3,88568 3,88600 3,88632 3,88728 3,88912 3,86951 3,86972 3,87014 3,87056 3,87179 3,87416 4,82893 4,82917 4,82966 4,83013 4,83155 4,83430 4,80512 4,80543 4,80606 4,80668 4,80851 4,81204 5,76142 5,76175 5,76243 5,76309 5,76506 5,76888 5,72836 5,72879 5,72966 5,73053 5,73307 5,73797 6,68311 6,68355 6,68444 6,68532 6,68793 6,69298 6,63939 6,63997 6,64112 6,64226 6,64562 6,65209 7,59412 7,59469 7,59582 7,59695 7,60028 7,60671 7,53837 7,53911 7,54058 7,54203 7,54631 7,55457 8,49458 8,49529 8,49670 8,49809 8,50222 8,51021 8,42547 8,42638 8,42820 8,43000 8,43531 8,44554 9,38461 9,38547 9,38718 9,38887 9,39388 9,40357 9,30084 9,30194 9,30414 9,30633 9,31276 9,32516 10,2643 10,2654 10,2674 10,2694 10,2754 10,2869 10,1646 10,1659 10,1686 10,1712 10,1788 10,1936 11,1339 11,1351 11,1375 11,1398 11,1468 11,1603 11,0170 11,0185 11,0216 11,0246 11,0336 11,0509 11,9933 11,9947 11,9975 12,0002 12,0083 12,0240 11,8581 11,8599 11,8634 11,8669 11,8773 11,8973 12,8428 12,8444 12,8476 12,8507 12,8600 12,8780 12,6881 12,6901 12,6942 12,6982 12,7101 12,7329 13,6825 13,6843 13,6879 13,6915 13,7020 13,7223 13,5071 13,5094 13,5140 13,5185 13,5320 13,5579 14,5125 14,5145 14,5185 14,5225 14,5343 14,5573 14,3153 14,3179 14,3230 14,3281 14,3432 14,3724 15,3328 15,3351 15,3396 15,3440 15,3572 15,3828 15,1127 15,1156 15,1214 15,1271 15,1440 15,1765 16,1436 16,1461 16,1511 16,1561 16,1707 16,1991 15,8997 15,9029 15,9093 15,9156 15,9343 15,9703 16,9451 16,9478 16,9533 16,9588 16,9750 17,0063 16,6762 16,6798 16,6868 16,6937 16,7143 16,7540 17,7372 17,7403 17,7463 17,7523 17,7700 17,8043 17,4425 17,4464 17,4541 17,4617 17,4842 17,5277 18,5202 18,5235 18,5301 18,5367 18,5560 18,5935 18,1986 18,2028 18,2112 18,2196 18,2442 18,2916 19,2941 19,2977 19,3049 19,3120 19,3330 19,3738 18,9448 18,9493 18,9585 18,9675 18,9942 19,0457 20,0591 20,0630 20,0707 20,0784 20,1012 20,1453 19,6810 19,6860 19,6959 19,7056 19,7345 19,7902 20,8152 20,8194 20,8277 20,8360 20,8606 20,9082 20,4076 20,4129 20,4235 20,4341 20,4652 20,5253 21,5625 21,5670 21,5760 21,5850 21,6114 21,6626 21,1245 21,1302 21,1417 21,1530 21,1864 21,2509 22,3012 22,3060 22,3157 22,3252 22,3536 22,4085 21,8319 21,8381 21,8503 21,8624 21,8982 21,9673 23,0313 23,0365 23,0468 23,0570 23,0873 23,1460 22,5300 22,5366 22,5497 22,5626 22,6008 22,6746 23,7530 23,7585 23,7695 23,7804 23,8127 23,8752 23,2189 23,2259 23,2398 23,2536 23,2943 23,3729 24,4663 24,4722 24,4838 24,4954 24,5298 24,5963 23,8987 23,9061 23,9208 23,9355 23,9787 24,0623 28,5760 28,5841 28,6003 28,6163 28,6639 28,7561 24,5694 24,5773 24,5929 24,6085 24,6543 24,7429 25,1713 25,1776 25,1900 25,2023 25,2387 25,3093 25,2313 25,2396 25,2562 25,2726 25,3211 25,4148 25,8682 25,8748 25,8879 25,9010 25,9395 26,0143 25,8845 25,8932 25,9107 25,9280 25,9792 26,0781 26,5570 26,5640 26,5779 26,5916 26,6324 26,7114 26,5290 26,5382 26,5566 26,5749 26,6288 26,7330 27,2379 27,2452 27,2598 27,2743 27,3173 27,4006 27,1650 27,1747 27,1940 27,2132 27,2699 27,3795 27,9108 27,9185 27,9339 27,9492 27,9944 28,0822 27,7925 27,8027 27,8231 27,8432 27,9028 28,0178 29,2334 29,2419 29,2589 29,2758 29,3256 29,4224 28,4118 28,4225 28,4438 28,4649 28,5274 28,6480 29,8832 29,8922 29,9100 29,9276 29,9799 30,0813 29,0229 29,0341 29,0564 29,0785 29,1438 29,2702 30,5255 30,5349 30,5535 30,5720 30,6267 30,7328 29,6259 29,6376 29,6609 29,6840 29,7523 29,8844 31,1604 31,1702 31,1896 31,2089 31,2661 31,3769 30,2209 30,2332 30,2575 30,2816 30,3529 30,4907 31,7879 31,7981 31,8184 31,8385 31,8982 32,0139 30,8081 30,8209 30,8462 30,8713 30,9457 31,0894 32,4082 32,4188 32,4399 32,4609 32,5231 32,6437 31,3875 31,4008 31,4272 31,4534 31,5307 31,6804 33,0212 33,0323 33,0543 33,0762 33,1409 33,2665 31,9593 31,9731 32,0005 32,0277 32,1082 32,2639 33,6272 33,6387 33,6616 33,6843 33,7516 33,8822 32,5234 32,5378 32,5663 32,5946 32,6782 32,8400 34,2261 34,2381 34,2619 34,2855 34,3554 34,4911 33,0802 33,0950 33,1246 33,1540 33,2408 33,4087 34,8182 34,8306 34,8552 34,8797 34,9523 35,0931 33,6295 33,6449 33,6756 33,7060 33,7960 33,9701

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 5 9 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 5 – C (Continuación) Del 9% y 10% anual Solo para pagos Bimestrales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 9 % Anual para Pagos Bimestrales, según el Del 10 % Anual para Pagos Bimestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,98514 0,98517 0,98522 0,98528 0,98543 0,98574 0,98351 0,98354 0,98361 0,98367 0,98387 0,98424 1,95564 1,95572 1,95588 1,95604 1,95652 1,95742 1,95079 1,95089 1,95109 1,95129 1,95186 1,95297 2,91172 2,91188 2,91220 2,91252 2,91345 2,91525 2,90212 2,90232 2,90271 2,90310 2,90425 2,90643 3,85359 3,85385 3,85438 3,85491 3,85645 3,85942 3,83775 3,83808 3,83873 3,83937 3,84126 3,84487 4,78146 4,78186 4,78264 4,78342 4,78572 4,79012 4,75796 4,75844 4,75941 4,76036 4,76316 4,76852 5,69555 5,69610 5,69719 5,69827 5,70145 5,70755 5,66298 5,66366 5,66499 5,66631 5,67019 5,67761 6,59605 6,59677 6,59821 6,59964 6,60384 6,61190 6,55308 6,55397 6,55573 6,55747 6,56259 6,57237 7,48317 7,48409 7,48593 7,48774 7,49309 7,50335 7,42850 7,42962 7,43186 7,43408 7,44059 7,45303 8,35710 8,35825 8,36052 8,36277 8,36939 8,38209 8,28947 8,29087 8,29364 8,29638 8,30443 8,31982 9,21805 9,21944 9,22218 9,22491 9,23292 9,24830 9,13625 9,13793 9,14128 9,14460 9,15433 9,17294 10,0662 10,0679 10,0711 10,0744 10,0839 10,1022 9,96905 9,97106 9,97503 9,97897 9,99052 10,0126 10,9018 10,9037 10,9075 10,9113 10,9224 10,9438 10,7881 10,7905 10,7951 10,7997 10,8132 10,8391 11,7249 11,7271 11,7315 11,7359 11,7488 11,7735 11,5937 11,5964 11,6018 11,6071 11,6227 11,6525 12,5358 12,5383 12,5434 12,5484 12,5631 12,5914 12,3860 12,3890 12,3952 12,4012 12,4190 12,4531 13,3346 13,3375 13,3432 13,3489 13,3655 13,3975 13,1652 13,1687 13,1756 13,1824 13,2026 13,2411 14,1216 14,1249 14,1313 14,1376 14,1563 14,1922 13,9315 13,9354 13,9432 13,9509 13,9734 14,0166 14,8969 14,9005 14,9076 14,9147 14,9356 14,9756 14,6852 14,6896 14,6982 14,7068 14,7319 14,7800 15,6607 15,6647 15,6726 15,6804 15,7035 15,7478 15,4265 15,4313 15,4409 15,4503 15,4781 15,5313 16,4131 16,4175 16,4262 16,4348 16,4602 16,5089 16,1556 16,1609 16,1713 16,1817 16,2123 16,2708 17,1543 17,1591 17,1686 17,1781 17,2059 17,2593 16,8726 16,8784 16,8898 16,9012 16,9346 16,9986 17,8846 17,8898 17,9001 17,9104 17,9407 17,9989 17,5778 17,5841 17,5966 17,6089 17,6453 17,7150 18,6039 18,6096 18,6208 18,6320 18,6648 18,7279 18,2714 18,2782 18,2917 18,3051 18,3445 18,4200 19,3126 19,3187 19,3309 19,3429 19,3784 19,4466 18,9535 18,9608 18,9755 18,9899 19,0325 19,1140 20,0107 20,0173 20,0304 20,0434 20,0816 20,1550 19,6244 19,6323 19,6480 19,6635 19,7093 19,7970 20,6985 20,7056 20,7196 20,7335 20,7745 20,8534 20,2842 20,2927 20,3095 20,3262 20,3752 20,4692 21,3761 21,3836 21,3986 21,4135 21,4574 21,5417 20,9331 20,9422 20,9602 20,9780 21,0304 21,1309 22,0435 22,0516 22,0676 22,0835 22,1303 22,2203 21,5713 21,5810 21,6002 21,6191 21,6750 21,7821 22,7011 22,7097 22,7267 22,7436 22,7934 22,8892 22,1990 22,2093 22,2297 22,2498 22,3092 22,4231 23,3489 23,3580 23,3761 23,3940 23,4468 23,5485 22,8164 22,8272 22,8488 22,8702 22,9332 23,0539 23,9871 23,9967 24,0158 24,0348 24,0907 24,1984 23,4235 23,4350 23,4579 23,4805 23,5471 23,6749 24,6157 24,6259 24,6461 24,6662 24,7253 24,8391 24,0207 24,0328 24,0569 24,0808 24,1511 24,2860 25,2351 25,2458 25,2671 25,2883 25,3506 25,4706 24,6080 24,6208 24,6462 24,6713 24,7454 24,8875 25,8452 25,8565 25,8790 25,9012 25,9668 26,0931 25,1856 25,1990 25,2257 25,2522 25,3301 25,4795 26,4463 26,4582 26,4817 26,5051 26,5740 26,7068 25,7537 25,7678 25,7958 25,8236 25,9053 26,0622 27,0384 27,0509 27,0756 27,1001 27,1724 27,3117 26,3124 26,3272 26,3565 26,3856 26,4713 26,6357 27,6218 27,6348 27,6607 27,6864 27,7621 27,9079 26,8619 26,8773 26,9081 26,9385 27,0281 27,2002 28,1964 28,2101 28,2371 28,2640 28,3431 28,4957 27,4023 27,4185 27,4506 27,4823 27,5760 27,7558 28,7626 28,7768 28,8051 28,8331 28,9158 29,0751 27,9338 27,9507 27,9842 28,0173 28,1150 28,3026 29,3203 29,3351 29,3646 29,3938 29,4800 29,6462 28,4566 28,4741 28,5090 28,5435 28,6453 28,8408 29,8697 29,8852 29,9158 29,9463 30,0361 30,2092 28,9707 28,9890 29,0252 29,0612 29,1671 29,3705 30,4110 30,4270 30,4590 30,4906 30,5840 30,7641 29,4764 29,4953 29,5330 29,5704 29,6804 29,8919 30,9442 30,9609 30,9941 31,0269 31,1240 31,3112 29,9737 29,9934 30,0325 30,0713 30,1855 30,4051 31,4695 31,4868 31,5212 31,5554 31,6561 31,8504 30,4628 30,4832 30,5238 30,5640 30,6824 30,9101 31,9870 32,0049 32,0406 32,0760 32,1805 32,3819 30,9438 30,9650 31,0070 31,0486 31,1713 31,4072 32,4968 32,5154 32,5523 32,5890 32,6972 32,9059 31,4169 31,4388 31,4823 31,5254 31,6523 31,8965

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 6 0 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 5 – C (Continuación) Del 12% y 14% anual Solo para pagos Bimestrales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 12 % Anual para Pagos Bimestrales, según el Del 14 % Anual para Pagos Bimestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,98025 0,98030 0,98039 0,98049 0,98076 0,98129 0,97700 0,97707 0,97720 0,97733 0,97770 0,97840 1,94113 1,94128 1,94156 1,94184 1,94266 1,94422 1,93154 1,93173 1,93212 1,93249 1,93360 1,93566 2,88304 2,88332 2,88388 2,88444 2,88606 2,88913 2,86412 2,86450 2,86526 2,86600 2,86818 2,87225 3,80634 3,80680 3,80773 3,80864 3,81131 3,81636 3,77526 3,77589 3,77713 3,77835 3,78191 3,78860 4,71140 4,71209 4,71346 4,71481 4,71876 4,72624 4,66544 4,66637 4,66820 4,67001 4,67527 4,68516 5,59859 5,59954 5,60143 5,60330 5,60876 5,61910 5,53515 5,53643 5,53896 5,54145 5,54871 5,56236 6,46825 6,46950 6,47199 6,47445 6,48163 6,49525 6,38486 6,38654 6,38986 6,39313 6,40267 6,42060 7,32073 7,32233 7,32548 7,32860 7,33772 7,35501 7,21504 7,21716 7,22136 7,22551 7,23759 7,26031 8,15638 8,15834 8,16224 8,16608 8,17734 8,19868 8,02611 8,02873 8,03391 8,03901 8,05389 8,08187 8,97552 8,97789 8,98259 8,98722 9,00081 9,02656 8,81854 8,82169 8,82792 8,83406 8,85198 8,88569 9,77847 9,78128 9,78685 9,79234 9,80844 9,83896 9,59274 9,59647 9,60383 9,61109 9,63228 9,67215 10,5656 10,5688 10,5753 10,5818 10,6005 10,6362 10,3491 10,3535 10,3621 10,3705 10,3952 10,4416 11,3371 11,3409 11,3484 11,3558 11,3774 11,4184 11,0881 11,0931 11,1030 11,1127 11,1411 11,1945 12,0934 12,0977 12,1062 12,1147 12,1393 12,1861 11,8102 11,8158 11,8270 11,8381 11,8703 11,9310 12,8348 12,8397 12,8493 12,8588 12,8866 12,9393 12,5156 12,5219 12,5345 12,5470 12,5833 12,6517 13,5615 13,5670 13,5777 13,5883 13,6194 13,6785 13,2047 13,2119 13,2259 13,2398 13,2804 13,3568 14,2739 14,2799 14,2919 14,3037 14,3382 14,4039 13,8781 13,8860 13,9016 13,9170 13,9619 14,0467 14,9722 14,9789 14,9920 15,0050 15,0432 15,1157 14,5359 14,5446 14,5618 14,5787 14,6283 14,7217 15,6567 15,6640 15,6785 15,6927 15,7346 15,8141 15,1786 15,1882 15,2070 15,2255 15,2797 15,3821 16,3277 16,3357 16,3514 16,3670 16,4127 16,4995 15,8066 15,8169 15,8374 15,8576 15,9167 16,0282 16,9854 16,9941 17,0112 17,0281 17,0778 17,1721 16,4201 16,4313 16,4535 16,4754 16,5394 16,6604 17,6302 17,6395 17,6580 17,6764 17,7300 17,8321 17,0195 17,0316 17,0555 17,0792 17,1483 17,2789 18,2622 18,2723 18,2922 18,3119 18,3697 18,4797 17,6051 17,6181 17,6439 17,6693 17,7436 17,8840 18,8817 18,8925 18,9139 18,9351 18,9971 19,1152 18,1772 18,1912 18,2188 18,2460 18,3256 18,4761 19,4890 19,5006 19,5235 19,5461 19,6125 19,7389 18,7362 18,7511 18,7805 18,8096 18,8946 19,0554 20,0843 20,0966 20,1210 20,1452 20,2160 20,3508 19,2823 19,2982 19,3295 19,3605 19,4510 19,6222 20,6678 20,6809 20,7069 20,7326 20,8079 20,9513 19,8159 19,8327 19,8660 19,8988 19,9949 20,1767 21,2398 21,2537 21,2813 21,3085 21,3884 21,5406 20,3372 20,3550 20,3902 20,4250 20,5267 20,7193 21,8005 21,8152 21,8444 21,8732 21,9578 22,1188 20,8465 20,8653 20,9025 20,9392 21,0467 21,2501 22,3502 22,3657 22,3965 22,4269 22,5161 22,6863 21,3441 21,3639 21,4031 21,4418 21,5550 21,7695 22,8890 22,9053 22,9377 22,9697 23,0638 23,2431 21,8303 21,8511 21,8923 21,9329 22,0520 22,2776 23,4171 23,4343 23,4683 23,5020 23,6009 23,7895 22,3052 22,3271 22,3703 22,4130 22,5379 22,7748 23,9348 23,9528 23,9886 24,0239 24,1277 24,3256 22,7693 22,7921 22,8374 22,8821 23,0130 23,2612 24,4423 24,4611 24,4986 24,5356 24,6444 24,8518 23,2227 23,2465 23,2939 23,3406 23,4775 23,7371 24,9397 24,9595 24,9986 25,0374 25,1511 25,3681 23,6656 23,6905 23,7400 23,7888 23,9317 24,2028 25,4273 25,4480 25,4888 25,5293 25,6480 25,8747 24,0984 24,1244 24,1759 24,2267 24,3757 24,6584 25,9053 25,9268 25,9695 26,0116 26,1355 26,3718 24,5212 24,5482 24,6018 24,6547 24,8098 25,1041 26,3739 26,3963 26,4406 26,4845 26,6135 26,8597 24,9343 24,9624 25,0181 25,0731 25,2342 25,5402 26,8332 26,8564 26,9026 26,9482 27,0823 27,3384 25,3379 25,3670 25,4248 25,4819 25,6492 25,9669 27,2834 27,3076 27,3555 27,4029 27,5422 27,8082 25,7322 25,7624 25,8223 25,8815 26,0549 26,3844 27,7247 27,7498 27,7995 27,8487 27,9931 28,2692 26,1174 26,1487 26,2107 26,2720 26,4516 26,7929 28,1574 28,1833 28,2348 28,2857 28,4354 28,7215 26,4938 26,5261 26,5903 26,6536 26,8394 27,1925 28,5814 28,6083 28,6616 28,7143 28,8692 29,1654 26,8615 26,8949 26,9612 27,0266 27,2186 27,5835 28,9971 29,0249 29,0800 29,1345 29,2947 29,6010 27,2208 27,2553 27,3236 27,3912 27,5893 27,9661 29,4046 29,4333 29,4902 29,5465 29,7119 30,0284 27,5718 27,6073 27,6778 27,7475 27,9517 28,3404

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 6 1 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 5 – C (Continuación) Del 15% y 16% anual Solo para pagos Bimestrales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 15 % Anual para Pagos Bimestrales, según el Del 16 % Anual para Pagos Bimestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,97539 0,97546 0,97561 0,97576 0,97618 0,97698 0,97377 0,97386 0,97403 0,97419 0,97467 0,97557 1,92676 1,92699 1,92742 1,92786 1,92911 1,93146 1,92200 1,92226 1,92275 1,92324 1,92466 1,92730 2,85472 2,85516 2,85602 2,85687 2,85934 2,86396 2,84537 2,84586 2,84684 2,84780 2,85059 2,85577 3,75984 3,76056 3,76197 3,76337 3,76742 3,77500 3,74451 3,74532 3,74692 3,74849 3,75306 3,76157 4,64268 4,64374 4,64583 4,64788 4,65387 4,66505 4,62007 4,62126 4,62362 4,62594 4,63268 4,64522 5,50379 5,50525 5,50813 5,51096 5,51920 5,53462 5,47267 5,47431 5,47755 5,48075 5,49002 5,50729 6,34371 6,34562 6,34939 6,35311 6,36392 6,38416 6,30290 6,30505 6,30931 6,31349 6,32564 6,34830 7,16295 7,16536 7,17014 7,17484 7,18852 7,21415 7,11136 7,11408 7,11945 7,12474 7,14010 7,16876 7,96202 7,96499 7,97087 7,97665 7,99348 8,02502 7,89861 7,90196 7,90856 7,91506 7,93393 7,96917 8,74143 8,74500 8,75206 8,75902 8,77927 8,81722 8,66522 8,66924 8,67717 8,68497 8,70766 8,75002 9,50165 9,50587 9,51421 9,52242 9,54634 9,59119 9,41172 9,41646 9,42581 9,43502 9,46179 9,51180 10,2432 10,2481 10,2578 10,2673 10,2951 10,3473 10,1386 10,1441 10,1550 10,1657 10,1968 10,2550 10,9664 10,9721 10,9832 10,9942 11,0261 11,0861 10,8465 10,8528 10,8653 10,8775 10,9132 10,9800 11,6719 11,6783 11,6909 11,7034 11,7397 11,8078 11,5358 11,5429 11,5571 11,5710 11,6115 11,6873 12,3600 12,3672 12,3814 12,3954 12,4362 12,5129 12,2070 12,2150 12,2309 12,2466 12,2921 12,3773 13,0311 13,0391 13,0550 13,0706 13,1162 13,2018 12,8606 12,8696 12,8873 12,9047 12,9554 13,0504 13,6858 13,6946 13,7122 13,7295 13,7800 13,8748 13,4971 13,5070 13,5266 13,5458 13,6020 13,7071 14,3243 14,3340 14,3534 14,3724 14,4279 14,5323 14,1168 14,1277 14,1492 14,1704 14,2321 14,3478 14,9471 14,9578 14,9789 14,9997 15,0604 15,1747 14,7203 14,7322 14,7558 14,7789 14,8464 14,9728 15,5546 15,5662 15,5892 15,6118 15,6779 15,8023 15,3080 15,3210 15,3465 15,3717 15,4450 15,5825 16,1471 16,1597 16,1845 16,2091 16,2807 16,4154 15,8803 15,8943 15,9219 15,9492 16,0285 16,1774 16,7250 16,7386 16,7654 16,7919 16,8691 17,0144 16,4376 16,4526 16,4824 16,5117 16,5972 16,7577 17,2887 17,3033 17,3321 17,3605 17,4434 17,5996 16,9802 16,9964 17,0283 17,0598 17,1515 17,3238 17,8386 17,8542 17,8850 17,9154 18,0041 18,1714 17,5086 17,5259 17,5600 17,5937 17,6918 17,8761 18,3749 18,3915 18,4244 18,4568 18,5515 18,7300 18,0232 18,0416 18,0780 18,1138 18,2184 18,4149 18,8980 18,9156 18,9506 18,9851 19,0858 19,2757 18,5242 18,5438 18,5824 18,6205 18,7316 18,9405 19,4082 19,4269 19,4640 19,5006 19,6074 19,8089 19,0122 19,0329 19,0738 19,1142 19,2319 19,4533 19,9059 19,9257 19,9649 20,0036 20,1165 20,3298 19,4873 19,5091 19,5524 19,5950 19,7194 19,9535 20,3913 20,4122 20,4535 20,4944 20,6136 20,8387 19,9499 19,9730 20,0186 20,0635 20,1947 20,4416 20,8648 20,8868 20,9303 20,9733 21,0988 21,3358 22,4819 22,5122 22,5721 22,6311 22,8037 23,1293 21,3266 21,3497 21,3954 21,4405 21,5724 21,8216 20,4005 20,4247 20,4726 20,5199 20,6579 20,9177 21,7770 21,8012 21,8492 21,8965 22,0348 22,2961 20,8392 20,8646 20,9149 20,9645 21,1093 21,3822 22,2164 22,2417 22,2919 22,3414 22,4861 22,7597 21,2664 21,2930 21,3457 21,3977 21,5494 21,8353 22,6449 22,6714 22,7238 22,7755 22,9267 23,2127 21,6824 21,7102 21,7653 21,8196 21,9782 22,2774 23,0629 23,0905 23,1452 23,1991 23,3568 23,6552 22,0874 22,1165 22,1740 22,2307 22,3963 22,7086 23,4706 23,4994 23,5563 23,6124 23,7767 24,0875 22,8660 22,8975 22,9598 23,0213 23,2008 23,5398 23,8683 23,8982 23,9573 24,0157 24,1865 24,5099 23,2401 23,2727 23,3375 23,4013 23,5879 23,9402 24,2562 24,2872 24,3486 24,4092 24,5866 24,9225 23,6043 23,6382 23,7053 23,7716 23,9651 24,3308 24,6345 24,6667 24,7303 24,7932 24,9772 25,3257 23,9590 23,9941 24,0636 24,1322 24,3328 24,7119 25,0036 25,0368 25,1028 25,1679 25,3584 25,7196 24,3043 24,3407 24,4126 24,4836 24,6912 25,0837 25,3635 25,3979 25,4661 25,5335 25,7306 26,1044 24,6407 24,6782 24,7525 24,8259 25,0405 25,4464 25,7146 25,7502 25,8206 25,8902 26,0939 26,4803 24,9682 25,0069 25,0837 25,1594 25,3810 25,8002 26,0570 26,0937 26,1664 26,2383 26,4486 26,8476 25,2871 25,3270 25,4062 25,4843 25,7128 26,1454 26,3910 26,4289 26,5038 26,5779 26,7948 27,2064 25,5976 25,6388 25,7203 25,8008 26,0362 26,4822 26,7168 26,7558 26,8330 26,9093 27,1328 27,5570 25,9000 25,9423 26,0262 26,1091 26,3515 26,8107

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 6 2 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 5 – C (Continuación) Del 18% y 20% anual Solo para pagos Bimestrales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 18 % Anual para Pagos Bimestrales, según el Del 20 % Anual para Pagos Bimestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,97055 0,97066 0,97087 0,97108 0,97168 0,97279 0,96735 0,96748 0,96774 0,96800 0,96873 0,97007 1,91253 1,91285 1,91347 1,91408 1,91585 1,91911 1,90312 1,90350 1,90427 1,90501 1,90717 1,91111 2,82677 2,82739 2,82861 2,82981 2,83328 2,83969 2,80833 2,80909 2,81058 2,81204 2,81626 2,82398 3,71409 3,71510 3,71710 3,71906 3,72473 3,73522 3,68398 3,68522 3,68766 3,69004 3,69692 3,70953 4,57528 4,57677 4,57971 4,58259 4,59094 4,60638 4,53105 4,53287 4,53644 4,53995 4,55004 4,56857 5,41111 5,41315 5,41719 5,42115 5,43262 5,45383 5,35046 5,35295 5,35785 5,36265 5,37649 5,40190 6,22233 6,22500 6,23028 6,23547 6,25047 6,27823 6,14312 6,14636 6,15276 6,15902 6,17709 6,21030 7,00966 7,01303 7,01969 7,02623 7,04515 7,08020 6,90989 6,91398 6,92202 6,92991 6,95266 6,99449 7,77381 7,77795 7,78611 7,79413 7,81734 7,86035 7,65163 7,65663 7,66647 7,67612 7,70397 7,75522 8,51546 8,52042 8,53020 8,53981 8,56766 8,61927 8,36915 8,37513 8,38691 8,39846 8,43180 8,49318 9,23527 9,24110 9,25262 9,26394 9,29673 9,35754 9,06325 9,07027 9,08411 9,09768 9,13686 9,20905 9,93388 9,94065 9,95400 9,96713 10,0052 10,0757 9,73468 9,74280 9,75881 9,77451 9,81987 9,90349 10,6119 10,6197 10,6350 10,6500 10,6935 10,7744 10,3842 10,3935 10,4118 10,4297 10,4815 10,5771 11,2700 11,2788 11,2961 11,3131 11,3624 11,4540 11,0125 11,0230 11,0436 11,0639 11,1225 11,2306 11,9087 11,9185 11,9379 11,9570 12,0123 12,1151 11,6203 11,6320 11,6551 11,6778 11,7434 11,8646 12,5286 12,5395 12,5611 12,5823 12,6438 12,7583 12,2082 12,2212 12,2469 12,2721 12,3449 12,4795 13,1302 13,1423 13,1661 13,1895 13,2575 13,3840 12,7770 12,7913 12,8196 12,8473 12,9276 13,0761 13,7142 13,7274 13,7535 13,7792 13,8538 13,9926 13,3271 13,3428 13,3738 13,4042 13,4921 13,6548 14,2809 14,2953 14,3238 14,3518 14,4331 14,5847 13,8594 13,8764 13,9101 13,9432 14,0389 14,2162 14,8309 14,8466 14,8775 14,9079 14,9961 15,1606 14,3742 14,3927 14,4291 14,4649 14,5686 14,7608 15,3648 15,3817 15,4150 15,4478 15,5432 15,7209 14,8722 14,8921 14,9314 14,9700 15,0818 15,2891 15,8829 15,9011 15,9369 15,9722 16,0747 16,2660 15,3540 15,3754 15,4175 15,4589 15,5789 15,8015 16,3858 16,4052 16,4436 16,4814 16,5912 16,7962 15,8200 15,8429 15,8879 15,9322 16,0605 16,2987 16,8738 16,8946 16,9355 16,9759 17,0931 17,3120 16,2709 16,2952 16,3431 16,3903 16,5270 16,7809 17,3475 17,3696 17,4131 17,4560 17,5807 17,8137 16,7070 16,7328 16,7837 16,8337 16,9789 17,2487 17,8073 17,8306 17,8768 17,9223 18,0546 18,3018 17,1288 17,1561 17,2100 17,2630 17,4167 17,7026 18,2535 18,2782 18,3270 18,3751 18,5150 18,7766 17,5369 17,5657 17,6226 17,6785 17,8408 18,1428 18,6865 18,7126 18,7641 18,8148 18,9624 19,2385 17,9317 17,9620 18,0219 18,0807 18,2516 18,5698 19,1068 19,1343 19,1885 19,2418 19,3971 19,6879 18,3135 18,3454 18,4083 18,4701 18,6496 18,9841 19,5148 19,5436 19,6004 19,6565 19,8195 20,1250 20,3568 20,3977 20,4785 20,5580 20,7894 21,2220 19,9107 19,9408 20,0004 20,0591 20,2300 20,5502 18,6830 18,7163 18,7822 18,8470 19,0351 19,3860 20,2950 20,3265 20,3888 20,4501 20,6288 20,9638 19,0403 19,0752 19,1441 19,2118 19,4086 19,7758 20,6679 20,7008 20,7658 20,8298 21,0163 21,3662 19,3860 19,4224 19,4942 19,5650 19,7704 20,1540 21,0299 21,0641 21,1318 21,1985 21,3929 21,7577 19,7204 19,7583 19,8331 19,9068 20,1209 20,5209 21,3812 21,4168 21,4872 21,5566 21,7588 22,1385 20,0438 20,0832 20,1611 20,2377 20,4605 20,8768 21,7222 21,7591 21,8323 21,9043 22,1143 22,5089 20,6595 20,7018 20,7856 20,8681 21,1080 21,5569 22,0531 22,0914 22,1672 22,2419 22,4598 22,8693 20,9523 20,9961 21,0829 21,1683 21,4167 21,8818 22,3743 22,4140 22,4925 22,5698 22,7955 23,2198 21,2355 21,2809 21,3705 21,4588 21,7157 22,1969 22,6860 22,7270 22,8082 22,8882 23,1216 23,5608 21,5095 21,5563 21,6489 21,7400 22,0054 22,5026 22,9886 23,0309 23,1148 23,1974 23,4386 23,8925 21,7746 21,8228 21,9183 22,0123 22,2860 22,7992 23,2822 23,3259 23,4124 23,4977 23,7465 24,2153 22,0310 22,0807 22,1790 22,2758 22,5578 23,0869 23,5672 23,6122 23,7014 23,7893 24,0458 24,5292 22,2790 22,3302 22,4313 22,5309 22,8211 23,3660 23,8438 23,8901 23,9819 24,0724 24,3366 24,8346 22,5189 22,5715 22,6754 22,7778 23,0762 23,6367 24,1122 24,1599 24,2543 24,3473 24,6191 25,1316 22,7510 22,8050 22,9117 23,0169 23,3233 23,8993 24,3728 24,4218 24,5187 24,6143 24,8936 25,4206 22,9756 23,0309 23,1404 23,2482 23,5627 24,1541

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 6 3 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 5 – D

Del 5% y 6% anual Solo para pagos Trimestrales

CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 5 % Anual para Pagos Trimestrales, según el Del 6 % Anual para Pagos Trimestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,98759 0,98760 0,98763 0,98765 0,98773 0,98788 0,98513 0,98515 0,98519 0,98522 0,98533 0,98554 1,96293 1,96296 1,96304 1,96312 1,96334 1,96378 1,95561 1,95567 1,95578 1,95588 1,95620 1,95682 2,92616 2,92623 2,92638 2,92653 2,92698 2,92785 2,91166 2,91177 2,91199 2,91220 2,91283 2,91406 3,87744 3,87756 3,87781 3,87806 3,87879 3,88023 3,85350 3,85368 3,85403 3,85438 3,85543 3,85746 4,81691 4,81710 4,81747 4,81784 4,81893 4,82106 4,78133 4,78159 4,78212 4,78264 4,78420 4,78721 5,74473 5,74498 5,74550 5,74601 5,74753 5,75049 5,69536 5,69573 5,69646 5,69719 5,69934 5,70352 6,66103 6,66137 6,66205 6,66273 6,66473 6,66865 6,59581 6,59629 6,59726 6,59821 6,60105 6,60658 7,56596 7,56640 7,56726 7,56812 7,57068 7,57568 7,48286 7,48348 7,48470 7,48593 7,48954 7,49657 8,45966 8,46020 8,46128 8,46234 8,46552 8,47171 8,35672 8,35749 8,35901 8,36052 8,36499 8,37370 9,34227 9,34293 9,34423 9,34553 9,34937 9,35688 9,21759 9,21852 9,22036 9,22218 9,22760 9,23814 10,2139 10,2147 10,2163 10,2178 10,2224 10,2313 10,0657 10,0668 10,0689 10,0711 10,0776 10,0901 11,0748 11,0757 11,0775 11,0793 11,0847 11,0952 10,9011 10,9024 10,9050 10,9075 10,9150 10,9297 11,9249 11,9260 11,9281 11,9302 11,9364 11,9485 11,7242 11,7256 11,7286 11,7315 11,7402 11,7572 12,7645 12,7658 12,7682 12,7706 12,7777 12,7915 12,5349 12,5366 12,5400 12,5434 12,5533 12,5727 13,5937 13,5951 13,5978 13,6005 13,6086 13,6243 13,3337 13,3356 13,3394 13,3432 13,3545 13,3764 14,4126 14,4142 14,4172 14,4203 14,4293 14,4470 14,1206 14,1227 14,1270 14,1313 14,1439 14,1685 15,2214 15,2231 15,2265 15,2299 15,2400 15,2598 14,8957 14,8981 14,9029 14,9076 14,9217 14,9491 16,0201 16,0220 16,0258 16,0295 16,0408 16,0626 15,6594 15,6620 15,6673 15,6726 15,6881 15,7185 16,8089 16,8110 16,8151 16,8193 16,8317 16,8558 16,4116 16,4146 16,4204 16,4262 16,4433 16,4767 17,5879 17,5902 17,5948 17,5993 17,6129 17,6393 17,1527 17,1559 17,1623 17,1686 17,1874 17,2240 18,3572 18,3597 18,3647 18,3697 18,3845 18,4133 17,8828 17,8863 17,8932 17,9001 17,9206 17,9604 19,1170 19,1197 19,1252 19,1306 19,1466 19,1780 18,6020 18,6058 18,6133 18,6208 18,6430 18,6862 19,8674 19,8703 19,8762 19,8820 19,8994 19,9334 19,3106 19,3146 19,3228 19,3309 19,3548 19,4015 20,6084 20,6116 20,6179 20,6242 20,6430 20,6796 20,0085 20,0129 20,0217 20,0304 20,0562 20,1065 21,3403 21,3437 21,3505 21,3573 21,3774 21,4167 20,6962 20,7009 20,7103 20,7196 20,7473 20,8013 22,0630 22,0667 22,0740 22,0813 22,1028 22,1450 21,3735 21,3786 21,3886 21,3986 21,4283 21,4860 22,7768 22,7808 22,7885 22,7963 22,8193 22,8644 22,0409 22,0462 22,0570 22,0676 22,0992 22,1608 23,4818 23,4860 23,4943 23,5025 23,5271 23,5751 22,6982 22,7040 22,7154 22,7267 22,7603 22,8258 24,1780 24,1824 24,1912 24,2000 24,2261 24,2771 23,3459 23,3519 23,3640 23,3761 23,4118 23,4813 24,8655 24,8702 24,8796 24,8889 24,9166 24,9707 23,9838 23,9903 24,0031 24,0158 24,0536 24,1272 25,5446 25,5495 25,5594 25,5693 25,5986 25,6558 24,6123 24,6191 24,6327 24,6461 24,6861 24,7639 26,2152 26,2204 26,2309 26,2413 26,2722 26,3327 25,2315 25,2387 25,2529 25,2671 25,3092 25,3913 26,8774 26,8830 26,8940 26,9050 26,9375 27,0013 25,8414 25,8490 25,8640 25,8790 25,9233 26,0096 27,5315 27,5373 27,5489 27,5605 27,5947 27,6618 26,4423 26,4503 26,4660 26,4817 26,5283 26,6190 28,1774 28,1836 28,1957 28,2079 28,2439 28,3143 27,0343 27,0426 27,0591 27,0756 27,1244 27,2196 28,8154 28,8218 28,8346 28,8473 28,8850 28,9590 27,6174 27,6261 27,6434 27,6607 27,7118 27,8115 29,4454 29,4521 29,4655 29,4788 29,5183 29,5957 28,1919 28,2010 28,2191 28,2371 28,2906 28,3948 30,0676 30,0746 30,0886 30,1025 30,1439 30,2248 28,7578 28,7673 28,7862 28,8051 28,8609 28,9697 30,6820 30,6894 30,7040 30,7185 30,7617 30,8463 29,3153 29,3252 29,3450 29,3646 29,4228 29,5363 31,2889 31,2965 31,3118 31,3269 31,3720 31,4602 29,8645 29,8749 29,8954 29,9158 29,9765 30,0947 31,8882 31,8962 31,9120 31,9278 31,9748 32,0667 30,4056 30,4163 30,4377 30,4590 30,5220 30,6450 32,4801 32,4884 32,5049 32,5213 32,5702 32,6658 30,9386 30,9498 30,9720 30,9941 31,0596 31,1874 33,0646 33,0732 33,0904 33,1075 33,1582 33,2576 31,4637 31,4753 31,4983 31,5212 31,5892 31,7219 33,6419 33,6508 33,6687 33,6864 33,7391 33,8423 31,9810 31,9930 32,0169 32,0406 32,1111 32,2487 34,2120 34,2213 34,2398 34,2582 34,3128 34,4199 32,4906 32,5030 32,5277 32,5523 32,6254 32,7679

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 6 4 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 5 – D (Continuación) Del 7% y 8% anual Solo para pagos Trimestrales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 7 % Anual para Pagos Trimestrales, según el Del 8 % Anual para Pagos Trimestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,98268 0,98270 0,98275 0,98280 0,98295 0,98323 0,98023 0,98026 0,98033 0,98039 0,98058 0,98094 1,94833 1,94841 1,94855 1,94870 1,94913 1,94996 1,94108 1,94118 1,94137 1,94156 1,94212 1,94319 2,89726 2,89740 2,89770 2,89798 2,89884 2,90049 2,88294 2,88313 2,88351 2,88388 2,88499 2,88711 3,82975 3,82999 3,83047 3,83094 3,83235 3,83507 3,80618 3,80649 3,80711 3,80773 3,80954 3,81303 4,74608 4,74644 4,74715 4,74786 4,74994 4,75397 4,71117 4,71163 4,71255 4,71346 4,71614 4,72131 5,64655 5,64704 5,64802 5,64900 5,65188 5,65746 5,59827 5,59891 5,60017 5,60143 5,60514 5,61229 6,53141 6,53206 6,53336 6,53464 6,53844 6,54580 6,46783 6,46867 6,47034 6,47199 6,47687 6,48628 7,40094 7,40177 7,40342 7,40505 7,40988 7,41924 7,32020 7,32126 7,32338 7,32548 7,33168 7,34362 8,25542 8,25644 8,25847 8,26049 8,26647 8,27803 8,15572 8,15703 8,15965 8,16224 8,16988 8,18462 9,09509 9,09632 9,09878 9,10122 9,10844 9,12241 8,97472 8,97631 8,97946 8,98259 8,99181 9,00960 9,92021 9,92168 9,92460 9,92749 9,93605 9,95264 9,77753 9,77941 9,78315 9,78685 9,79777 9,81885 10,7310 10,7328 10,7362 10,7395 10,7496 10,7689 10,5645 10,5667 10,5710 10,5753 10,5881 10,6127 11,5278 11,5298 11,5337 11,5376 11,5492 11,5715 11,3359 11,3384 11,3434 11,3484 11,3631 11,3914 12,3108 12,3131 12,3176 12,3220 12,3352 12,3607 12,0920 12,0949 12,1006 12,1062 12,1230 12,1553 13,0802 13,0828 13,0878 13,0929 13,1078 13,1366 12,8332 12,8364 12,8429 12,8493 12,8681 12,9046 13,8363 13,8392 13,8449 13,8505 13,8672 13,8995 13,5597 13,5633 13,5706 13,5777 13,5988 13,6396 14,5793 14,5825 14,5888 14,5951 14,6136 14,6496 14,2719 14,2759 14,2839 14,2919 14,3153 14,3606 15,3094 15,3130 15,3199 15,3269 15,3474 15,3871 14,9700 14,9744 14,9833 14,9920 15,0179 15,0679 16,0269 16,0308 16,0384 16,0461 16,0686 16,1123 15,6543 15,6592 15,6688 15,6785 15,7069 15,7617 16,7320 16,7362 16,7446 16,7529 16,7775 16,8252 16,3250 16,3304 16,3409 16,3514 16,3824 16,4423 17,4248 17,4294 17,4385 17,4475 17,4743 17,5263 16,9826 16,9883 16,9998 17,0112 17,0449 17,1099 18,1056 18,1106 18,1205 18,1303 18,1593 18,2155 17,6271 17,6333 17,6457 17,6580 17,6944 17,7648 18,7747 18,7800 18,7907 18,8012 18,8325 18,8932 18,2588 18,2656 18,2789 18,2922 18,3314 18,4072 19,4321 19,4379 19,4493 19,4607 19,4943 19,5596 18,8781 18,8853 18,8997 18,9139 18,9560 19,0374 20,0782 20,0843 20,0966 20,1088 20,1448 20,2148 19,4851 19,4929 19,5082 19,5235 19,5685 19,6555 20,7130 20,7196 20,7327 20,7457 20,7842 20,8589 20,0802 20,0884 20,1048 20,1210 20,1691 20,2619 21,3369 21,3439 21,3579 21,3717 21,4127 21,4923 20,6634 20,6722 20,6896 20,7069 20,7580 20,8567 21,9500 21,9574 21,9722 21,9870 22,0305 22,1151 21,2352 21,2445 21,2629 21,2813 21,3354 21,4402 22,5524 22,5603 22,5760 22,5916 22,6378 22,7274 21,7956 21,8055 21,8250 21,8444 21,9017 22,0126 23,1444 23,1528 23,1694 23,1858 23,2346 23,3294 22,3450 22,3554 22,3760 22,3965 22,4570 22,5741 23,7262 23,7350 23,7525 23,7699 23,8214 23,9213 22,8835 22,8944 22,9161 22,9377 23,0014 23,1248 24,2979 24,3071 24,3256 24,3439 24,3981 24,5033 23,4113 23,4228 23,4457 23,4683 23,5354 23,6651 24,8596 24,8694 24,8887 24,9080 24,9649 25,0756 23,9288 23,9408 23,9648 23,9886 24,0589 24,1951 25,4117 25,4219 25,4422 25,4624 25,5221 25,6382 24,4359 24,4486 24,4737 24,4986 24,5723 24,7149 25,9542 25,9648 25,9861 26,0073 26,0698 26,1915 24,9331 24,9463 24,9726 24,9986 25,0757 25,2249 26,4872 26,4984 26,5207 26,5428 26,6082 26,7354 25,4204 25,4342 25,4616 25,4888 25,5693 25,7252 27,0111 27,0227 27,0460 27,0690 27,1374 27,2702 25,8981 25,9125 25,9411 25,9695 26,0533 26,2159 27,5258 27,5380 27,5622 27,5863 27,6575 27,7960 26,3664 26,3814 26,4111 26,4406 26,5280 26,6972 28,0317 28,0444 28,0696 28,0946 28,1688 28,3131 26,8254 26,8410 26,8719 26,9026 26,9934 27,1694 28,5288 28,5420 28,5682 28,5942 28,6714 28,8214 27,2753 27,2915 27,3236 27,3555 27,4498 27,6326 29,0173 29,0310 29,0582 29,0852 29,1654 29,3212 27,7164 27,7331 27,7664 27,7995 27,8973 28,0870 29,4973 29,5115 29,5397 29,5678 29,6510 29,8127 28,1487 28,1660 28,2005 28,2348 28,3362 28,5327 29,9690 29,9837 30,0130 30,0421 30,1282 30,2959 28,5725 28,5904 28,6261 28,6616 28,7665 28,9699 30,4325 30,4478 30,4781 30,5082 30,5974 30,7710 28,9878 29,0064 29,0433 29,0800 29,1884 29,3988 30,8880 30,9038 30,9351 30,9663 31,0585 31,2381 29,3950 29,4142 29,4523 29,4902 29,6022 29,8195

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 6 5 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 5 – D (Continuación) Del 9% y 10% anual Solo para pagos Trimestrales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 9 % Anual para Pagos Trimestrales, según el Del 10 % Anual para Pagos Trimestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,97779 0,97783 0,97791 0,97800 0,97823 0,97869 0,97536 0,97541 0,97551 0,97561 0,97590 0,97645 1,93387 1,93399 1,93423 1,93447 1,93517 1,93651 1,92669 1,92684 1,92713 1,92742 1,92828 1,92992 2,86872 2,86895 2,86943 2,86990 2,87128 2,87392 2,85458 2,85487 2,85545 2,85602 2,85771 2,86093 3,78280 3,78319 3,78397 3,78474 3,78701 3,79135 3,75960 3,76008 3,76103 3,76197 3,76474 3,77002 4,67659 4,67717 4,67831 4,67945 4,68280 4,68923 4,64233 4,64304 4,64444 4,64583 4,64991 4,65771 5,55052 5,55132 5,55291 5,55448 5,55910 5,56797 5,50330 5,50428 5,50621 5,50813 5,51375 5,52449 6,40505 6,40610 6,40818 6,41025 6,41632 6,42798 6,34307 6,34434 6,34688 6,34939 6,35677 6,37086 7,24060 7,24193 7,24457 7,24718 7,25488 7,26966 7,16214 7,16375 7,16696 7,17014 7,17947 7,19731 8,05760 8,05924 8,06249 8,06571 8,07519 8,09340 7,96103 7,96302 7,96696 7,97087 7,98234 8,00430 8,85645 8,85842 8,86234 8,86622 8,87764 8,89959 8,74023 8,74262 8,74737 8,75206 8,76587 8,79228 9,63756 9,63989 9,64452 9,64911 9,66262 9,68859 9,50024 9,50306 9,50866 9,51421 9,53051 9,56172 10,4013 10,4040 10,4094 10,4148 10,4305 10,4608 10,2415 10,2448 10,2513 10,2578 10,2767 10,3130 11,1481 11,1513 11,1575 11,1636 11,1817 11,2165 10,9645 10,9683 10,9758 10,9832 11,0050 11,0467 11,8784 11,8819 11,8890 11,8959 11,9165 11,9561 11,6697 11,6740 11,6825 11,6909 11,7156 11,7630 12,5924 12,5964 12,6043 12,6122 12,6354 12,6800 12,3576 12,3624 12,3719 12,3814 12,4092 12,4625 13,2905 13,2950 13,3038 13,3126 13,3385 13,3884 13,0284 13,0338 13,0445 13,0550 13,0860 13,1455 13,9731 13,9781 13,9879 13,9977 14,0264 14,0817 13,6828 13,6887 13,7005 13,7122 13,7466 13,8124 14,6406 14,6461 14,6569 14,6677 14,6993 14,7603 14,3210 14,3275 14,3405 14,3534 14,3912 14,4637 15,2933 15,2993 15,3111 15,3229 15,3576 15,4244 14,9435 14,9507 14,9648 14,9789 15,0202 15,0996 15,9314 15,9380 15,9509 15,9637 16,0015 16,0743 15,5507 15,5584 15,5739 15,5892 15,6342 15,7205 16,5554 16,5625 16,5765 16,5904 16,6314 16,7104 16,1429 16,1513 16,1680 16,1845 16,2333 16,3268 17,1656 17,1732 17,1883 17,2034 17,2476 17,3329 16,7205 16,7296 16,7476 16,7654 16,8180 16,9188 17,7622 17,7704 17,7866 17,8028 17,8504 17,9421 17,2839 17,2936 17,3129 17,3321 17,3885 17,4969 18,3455 18,3543 18,3717 18,3890 18,4401 18,5384 17,8334 17,8438 17,8645 17,8850 17,9454 18,0614 18,9159 18,9253 18,9439 18,9624 19,0169 19,1220 18,3693 18,3804 18,4025 18,4244 18,4888 18,6125 19,4736 19,4836 19,5034 19,5231 19,5812 19,6931 18,8921 18,9039 18,9274 18,9506 19,0191 19,1507 20,0189 20,0295 20,0506 20,0715 20,1332 20,2520 19,4019 19,4145 19,4394 19,4640 19,5367 19,6763 20,5521 20,5634 20,5857 20,6078 20,6731 20,7991 19,8992 19,9125 19,9388 19,9649 20,0417 20,1894 21,0735 21,0854 21,1090 21,1323 21,2014 21,3344 20,3843 20,3983 20,4260 20,4535 20,5346 20,6905 21,5833 21,5958 21,6207 21,6453 21,7181 21,8584 20,8574 20,8721 20,9013 20,9303 21,0156 21,1798 22,0818 22,0950 22,1211 22,1470 22,2235 22,3712 21,3188 21,3343 21,3650 21,3954 21,4851 21,6575 22,5692 22,5830 22,6105 22,6377 22,7180 22,8731 21,7689 21,7851 21,8173 21,8492 21,9432 22,1241 23,0458 23,0603 23,0890 23,1175 23,2017 23,3642 22,2079 22,2249 22,2585 22,2919 22,3902 22,5796 23,5118 23,5269 23,5570 23,5868 23,6749 23,8449 22,6361 22,6538 22,6889 22,7238 22,8265 23,0244 23,9674 23,9832 24,0146 24,0458 24,1378 24,3154 23,0537 23,0722 23,1088 23,1452 23,2523 23,4587 24,4130 24,4294 24,4622 24,4947 24,5906 24,7758 23,4610 23,4802 23,5184 23,5563 23,6678 23,8828 24,8486 24,8658 24,8998 24,9337 25,0335 25,2264 23,8583 23,8783 23,9180 23,9573 24,0734 24,2969 25,2746 25,2924 25,3278 25,3630 25,4668 25,6674 24,2458 24,2666 24,3078 24,3486 24,4691 24,7013 25,6911 25,7096 25,7464 25,7829 25,8907 26,0991 24,6238 24,6453 24,6880 24,7303 24,8553 25,0961 26,0983 26,1175 26,1557 26,1935 26,3053 26,5215 24,9924 25,0147 25,0589 25,1028 25,2322 25,4817 26,4966 26,5164 26,5559 26,5951 26,7109 26,9349 25,3520 25,3750 25,4208 25,4661 25,6000 25,8581 26,8859 26,9065 26,9473 26,9879 27,1077 27,3395 25,7027 25,7265 25,7737 25,8206 25,9589 26,2257 27,2666 27,2879 27,3301 27,3720 27,4959 27,7354 26,0448 26,0693 26,1181 26,1664 26,3092 26,5847 27,6389 27,6608 27,7044 27,7477 27,8756 28,1230 26,3784 26,4037 26,4540 26,5038 26,6511 26,9352 28,0029 28,0255 28,0705 28,1151 28,2470 28,5022 26,7038 26,7299 26,7817 26,8330 26,9847 27,2774

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 6 6 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 5 – D (Continuación) Del 12% y 14% anual Solo para pagos Trimestrales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 12 % Anual para Pagos Trimestrales, según el Del 14 % Anual para Pagos Trimestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,97052 0,97059 0,97073 0,97087 0,97129 0,97207 0,96570 0,96580 0,96599 0,96618 0,96674 0,96777 1,91242 1,91264 1,91306 1,91347 1,91468 1,91698 1,89829 1,89857 1,89914 1,89969 1,90132 1,90436 2,82656 2,82698 2,82780 2,82861 2,83099 2,83549 2,79889 2,79944 2,80055 2,80164 2,80481 2,81076 3,71375 3,71442 3,71577 3,71710 3,72099 3,72835 3,66860 3,66951 3,67131 3,67308 3,67825 3,68796 4,57477 4,57577 4,57775 4,57971 4,58543 4,59626 4,50848 4,50982 4,51245 4,51505 4,52263 4,53688 5,41042 5,41179 5,41451 5,41719 5,42505 5,43994 5,31956 5,32139 5,32500 5,32855 5,33893 5,35845 6,22143 6,22322 6,22677 6,23028 6,24056 6,26004 6,10282 6,10520 6,10991 6,11454 6,12807 6,15354 7,00853 7,01079 7,01527 7,01969 7,03265 7,05723 6,85922 6,86221 6,86812 6,87396 6,89097 6,92300 7,77242 7,77519 7,78068 7,78611 7,80200 7,83216 7,58968 7,59333 7,60056 7,60769 7,62849 7,66767 8,51379 8,51711 8,52370 8,53020 8,54926 8,58543 8,29508 8,29945 8,30809 8,31661 8,34147 8,38835 9,23331 9,23722 9,24497 9,25262 9,27506 9,31767 8,97630 8,98142 8,99155 9,00155 9,03074 9,08579 9,93161 9,93614 9,94513 9,95400 9,98002 10,0294 9,63415 9,64006 9,65178 9,66333 9,69709 9,76077 10,6093 10,6145 10,6248 10,6350 10,6647 10,7213 10,2694 10,2762 10,2896 10,3027 10,3413 10,4140 11,2671 11,2729 11,2846 11,2961 11,3298 11,3939 10,8829 10,8906 10,9056 10,9205 10,9640 11,0462 11,9054 11,9120 11,9250 11,9379 11,9758 12,0477 11,4754 11,4839 11,5008 11,5174 11,5660 11,6580 12,5249 12,5322 12,5468 12,5611 12,6032 12,6832 12,0475 12,0570 12,0757 12,0941 12,1481 12,2500 13,1262 13,1343 13,1503 13,1661 13,2126 13,3010 12,6000 12,6104 12,6310 12,6513 12,7107 12,8230 13,7097 13,7186 13,7361 13,7535 13,8045 13,9015 13,1336 13,1450 13,1675 13,1897 13,2546 13,3776 14,2760 14,2857 14,3049 14,3238 14,3794 14,4852 13,6489 13,6612 13,6857 13,7098 13,7805 13,9142 14,8257 14,8362 14,8569 14,8775 14,9378 15,0526 14,1465 14,1598 14,1863 14,2124 14,2888 14,4336 15,3591 15,3704 15,3928 15,4150 15,4801 15,6042 14,6270 14,6414 14,6699 14,6980 14,7803 14,9362 15,8768 15,8890 15,9131 15,9369 16,0069 16,1404 15,0911 15,1065 15,1370 15,1671 15,2554 15,4227 16,3793 16,3923 16,4181 16,4436 16,5186 16,6616 15,5392 15,5556 15,5882 15,6204 15,7147 15,8934 16,8669 16,8808 16,9083 16,9355 17,0155 17,1682 15,9720 15,9895 16,0241 16,0584 16,1587 16,3490 17,3401 17,3549 17,3842 17,4131 17,4982 17,6607 16,3899 16,4084 16,4452 16,4815 16,5879 16,7899 17,7994 17,8151 17,8461 17,8768 17,9671 18,1394 16,7935 16,8131 16,8519 16,8904 17,0029 17,2166 18,2452 18,2617 18,2946 18,3270 18,4225 18,6048 17,1832 17,2039 17,2449 17,2854 17,4040 17,6296 18,6778 18,6952 18,7299 18,7641 18,8648 19,0571 17,5596 17,5813 17,6244 17,6670 17,7919 18,0292 19,0977 19,1160 19,1524 19,1885 19,2944 19,4968 17,9231 17,9459 17,9911 18,0358 18,1668 18,4159 19,5051 19,5244 19,5626 19,6004 19,7116 19,9243 18,2741 18,2979 18,3453 18,3920 18,5292 18,7902 19,9006 19,9208 19,9608 20,0004 20,1169 20,3397 18,6130 18,6380 18,6874 18,7363 18,8796 19,1525 20,2844 20,3055 20,3473 20,3888 20,5106 20,7436 18,9404 18,9664 19,0179 19,0689 19,2183 19,5030 20,6569 20,6789 20,7226 20,7658 20,8929 21,1362 19,2565 19,2836 19,3372 19,3902 19,5458 19,8423 21,0184 21,0413 21,0868 21,1318 21,2643 21,5179 19,5618 19,5899 19,6456 19,7007 19,8624 20,1706 21,3693 21,3931 21,4404 21,4872 21,6250 21,8888 19,8566 19,8857 19,9435 20,0007 20,1684 20,4884 21,7098 21,7345 21,7836 21,8323 21,9753 22,2494 20,1413 20,1715 20,2313 20,2905 20,4643 20,7959 22,0403 22,0659 22,1168 22,1672 22,3156 22,6000 20,4162 20,4474 20,5093 20,5705 20,7503 21,0935 22,3610 22,3875 22,4403 22,4925 22,6461 22,9407 20,6817 20,7139 20,7779 20,8411 21,0268 21,3815 22,6723 22,6997 22,7542 22,8082 22,9671 23,2720 20,9381 20,9713 21,0373 21,1025 21,2941 21,6602 22,9744 23,0027 23,0590 23,1148 23,2789 23,5939 21,1857 21,2199 21,2879 21,3551 21,5525 21,9300 23,2676 23,2968 23,3549 23,4124 23,5818 23,9069 21,4248 21,4600 21,5299 21,5991 21,8024 22,1910 23,5521 23,5822 23,6421 23,7014 23,8759 24,2111 21,6557 21,6919 21,7638 21,8349 22,0439 22,4436 23,8283 23,8593 23,9209 23,9819 24,1616 24,5069 21,8787 21,9159 21,9897 22,0627 22,2774 22,6881 24,0963 24,1282 24,1915 24,2543 24,4391 24,7944 22,0941 22,1322 22,2079 22,2828 22,5031 22,9248 24,3564 24,3891 24,4542 24,5187 24,7087 25,0738 22,3020 22,3411 22,4187 22,4955 22,7213 23,1537

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 6 7 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 5 – D (Continuación) Del 15% y 16% anual Solo para pagos Trimestrales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 15 % Anual para Pagos Trimestrales, según el Del 16 % Anual para Pagos Trimestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,96331 0,96342 0,96364 0,96386 0,96449 0,96566 0,96092 0,96104 0,96129 0,96154 0,96225 0,96357 1,89127 1,89159 1,89224 1,89287 1,89472 1,89817 1,88428 1,88465 1,88538 1,88609 1,88818 1,89205 2,78518 2,78581 2,78707 2,78831 2,79191 2,79865 2,77155 2,77227 2,77369 2,77509 2,77915 2,78671 3,64629 3,64732 3,64937 3,65138 3,65725 3,66822 3,62415 3,62532 3,62763 3,62990 3,63649 3,64878 4,47580 4,47732 4,48031 4,48326 4,49185 4,50793 4,44342 4,44513 4,44850 4,45182 4,46146 4,47945 5,27488 5,27695 5,28104 5,28507 5,29681 5,31880 5,23068 5,23301 5,23761 5,24214 5,25529 5,27986 6,04463 6,04733 6,05265 6,05790 6,07318 6,10183 5,98716 5,99019 5,99617 6,00205 6,01916 6,05111 6,78614 6,78952 6,79621 6,80280 6,82198 6,85797 6,71408 6,71788 6,72537 6,73274 6,75419 6,79428 7,50044 7,50457 7,51273 7,52077 7,54419 7,58815 7,41259 7,41721 7,42634 7,43533 7,46147 7,51037 8,18853 8,19346 8,20319 8,21279 8,24075 8,29326 8,08381 8,08931 8,10019 8,11090 8,14206 8,20038 8,85138 8,85715 8,86855 8,87979 8,91257 8,97416 8,72878 8,73522 8,74795 8,76048 8,79695 8,86525 9,48990 9,49655 9,50972 9,52269 9,56053 9,63167 9,34855 9,35597 9,37063 9,38507 9,42712 9,50591 10,1050 10,1126 10,1276 10,1424 10,1855 10,2666 9,94410 9,95254 9,96922 9,98565 10,0335 10,1232 10,6975 10,7061 10,7230 10,7396 10,7882 10,8797 10,5164 10,5259 10,5446 10,5631 10,6170 10,7181 11,2683 11,2778 11,2967 11,3153 11,3696 11,4718 11,0663 11,0769 11,0978 11,1184 11,1785 11,2912 11,8181 11,8287 11,8496 11,8702 11,9303 12,0436 11,5947 11,6064 11,6295 11,6523 11,7187 11,8435 12,3478 12,3594 12,3823 12,4050 12,4711 12,5957 12,1025 12,1153 12,1407 12,1657 12,2386 12,3757 12,8580 12,8707 12,8957 12,9205 12,9927 13,1289 12,5904 12,6044 12,6320 12,6593 12,7388 12,8885 13,3495 13,3633 13,3905 13,4173 13,4957 13,6437 13,0592 13,0744 13,1044 13,1339 13,2202 13,3826 13,8230 13,8378 13,8672 13,8962 13,9809 14,1409 13,5097 13,5261 13,5584 13,5903 13,6834 13,8587 14,2791 14,2950 14,3266 14,3578 14,4489 14,6210 13,9427 13,9602 13,9949 14,0292 14,1291 14,3175 14,7185 14,7355 14,7693 14,8027 14,9002 15,0846 14,3587 14,3774 14,4145 14,4511 14,5580 14,7595 15,1417 15,1599 15,1959 15,2315 15,3355 15,5323 14,7584 14,7784 14,8179 14,8568 14,9707 15,1855 15,5494 15,5687 15,6070 15,6448 15,7554 15,9647 15,1425 15,1637 15,2056 15,2470 15,3678 15,5959 15,9422 15,9626 16,0032 16,0432 16,1603 16,3821 15,5116 15,5340 15,5783 15,6221 15,7499 15,9914 16,3205 16,3421 16,3849 16,4272 16,5509 16,7853 15,8663 15,8899 15,9366 15,9828 16,1176 16,3725 16,6850 16,7077 16,7528 16,7973 16,9276 17,1746 16,2071 16,2319 16,2811 16,3296 16,4714 16,7397 17,0360 17,0599 17,1073 17,1540 17,2909 17,5505 16,5346 16,5606 16,6122 16,6631 16,8119 17,0936 17,3742 17,3993 17,4489 17,4978 17,6413 17,9136 16,8493 16,8765 16,9305 16,9837 17,1395 17,4345 17,7000 17,7262 17,7780 17,8292 17,9793 18,2641 17,1517 17,1801 17,2364 17,2920 17,4547 17,7630 18,0139 18,0412 18,0952 18,1487 18,3052 18,6026 17,4423 17,4719 17,5306 17,5885 17,7581 18,0796 18,3162 18,3446 18,4009 18,4565 18,6196 18,9295 17,7215 17,7523 17,8133 17,8736 18,0500 18,3846 18,6074 18,6369 18,6955 18,7533 18,9228 19,2452 17,9898 18,0218 18,0851 18,1476 18,3309 18,6785 18,8880 18,9186 18,9793 19,0393 19,2153 19,5501 18,2476 18,2807 18,3464 18,4112 18,6011 18,9617 19,1582 19,1899 19,2528 19,3150 19,4974 19,8444 18,4954 18,5296 18,5975 18,6646 18,8612 19,2346 19,4185 19,4513 19,5164 19,5807 19,7694 20,1287 18,7334 18,7688 18,8390 18,9083 19,1114 19,4976 19,6693 19,7032 19,7704 19,8369 20,0318 20,4032 18,9622 18,9987 19,0711 19,1426 19,3522 19,7509 19,9109 19,9458 20,0152 20,0837 20,2849 20,6683 19,1820 19,2196 19,2942 19,3679 19,5840 19,9951 20,1436 20,1796 20,2510 20,3217 20,5290 20,9242 19,3932 19,4319 19,5086 19,5845 19,8069 20,2303 20,3678 20,4048 20,4783 20,5510 20,7644 21,1714 19,5962 19,6360 19,7148 19,7928 20,0215 20,4570 20,5837 20,6218 20,6973 20,7720 20,9914 21,4101 19,7912 19,8321 19,9130 19,9931 20,2279 20,6755 20,7918 20,8308 20,9084 20,9851 21,2104 21,6406 19,9786 20,0205 20,1035 20,1856 20,4266 20,8859 20,9921 21,0322 21,1118 21,1905 21,4216 21,8632 20,1587 20,2016 20,2867 20,3708 20,6177 21,0887 21,1852 21,2263 21,3078 21,3884 21,6253 22,0782 20,3318 20,3757 20,4627 20,5488 20,8017 21,2841 21,3711 21,4132 21,4966 21,5792 21,8218 22,2857 20,4981 20,5430 20,6320 20,7200 20,9787 21,4724

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 6 8 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 5 – D (Continuación) Del 18% y 20% anual Solo para pagos Trimestrales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 18 % Anual para Pagos Trimestrales, según el Del 20 % Anual para Pagos Trimestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,95616 0,95632 0,95663 0,95694 0,95783 0,95947 0,95143 0,95162 0,95201 0,95238 0,95346 0,95544 1,87040 1,87086 1,87177 1,87267 1,87526 1,88004 1,85664 1,85720 1,85832 1,85941 1,86255 1,86831 2,74455 2,74545 2,74722 2,74896 2,75400 2,76330 2,71788 2,71898 2,72113 2,72325 2,72934 2,74051 3,58038 3,58184 3,58471 3,58753 3,59568 3,61076 3,53729 3,53906 3,54254 3,54595 3,55578 3,57384 4,37957 4,38169 4,38587 4,38998 4,40186 4,42386 4,31690 4,31947 4,32452 4,32948 4,34377 4,37005 5,14372 5,14660 5,15229 5,15787 5,17404 5,20401 5,05864 5,06212 5,06897 5,07569 5,09508 5,13077 5,87437 5,87810 5,88547 5,89270 5,91366 5,95254 5,76435 5,76884 5,77769 5,78637 5,81143 5,85760 6,57298 6,57764 6,58685 6,59589 6,62209 6,67072 6,43578 6,44138 6,45240 6,46321 6,49445 6,55205 7,24097 7,24663 7,25781 7,26879 7,30064 7,35980 7,07460 7,08137 7,09472 7,10782 7,14568 7,21555 7,87967 7,88639 7,89967 7,91272 7,95057 8,02094 7,68239 7,69041 7,70622 7,72173 7,76660 7,84949 8,49036 8,49821 8,51369 8,52892 8,57309 8,65528 8,26066 8,26998 8,28837 8,30641 8,35862 8,45518 9,07429 9,08330 9,10109 9,11858 9,16936 9,26391 8,81083 8,82151 8,84257 8,86325 8,92310 9,03388 9,63261 9,64283 9,66301 9,68285 9,74048 9,84787 9,33429 9,34636 9,37018 9,39357 9,46130 9,58680 10,1665 10,1779 10,2006 10,2228 10,2875 10,4082 9,83231 9,84582 9,87247 9,89864 9,97446 10,1151 10,6769 10,6896 10,7148 10,7395 10,8115 10,9457 10,3062 10,3211 10,3506 10,3797 10,4637 10,6198 11,1650 11,1790 11,2067 11,2340 11,3133 11,4615 10,7570 10,7734 10,8059 10,8378 10,9302 11,1021 11,6316 11,6470 11,6773 11,7072 11,7940 11,9564 11,1859 11,2038 11,2393 11,2741 11,3750 11,5628 12,0778 12,0945 12,1275 12,1600 12,2545 12,4312 11,5940 11,6134 11,6518 11,6896 11,7991 12,0031 12,5045 12,5225 12,5582 12,5933 12,6955 12,8868 11,9823 12,0032 12,0446 12,0853 12,2035 12,4237 12,9124 12,9318 12,9702 13,0079 13,1179 13,3239 12,3517 12,3741 12,4185 12,4622 12,5890 12,8256 13,3025 13,3232 13,3643 13,4047 13,5225 13,7433 12,7031 12,7271 12,7745 12,8212 12,9566 13,2095 13,6754 13,6975 13,7413 13,7844 13,9100 14,1457 13,0375 13,0630 13,1134 13,1630 13,3071 13,5764 14,0320 14,0555 14,1020 14,1478 14,2812 14,5318 13,3557 13,3827 13,4360 13,4886 13,6413 13,9269 14,3730 14,3978 14,4470 14,4955 14,6367 14,9022 13,6584 13,6869 13,7432 13,7986 13,9600 14,2618 14,6990 14,7252 14,7771 14,8282 14,9773 15,2576 13,9464 13,9763 14,0356 14,0939 14,2638 14,5818 15,0107 15,0383 15,0928 15,1466 15,3035 15,5986 14,2204 14,2518 14,3140 14,3752 14,5534 14,8875 15,3088 15,3377 15,3949 15,4513 15,6159 15,9258 14,4810 14,5139 14,5790 14,6430 14,8296 15,1796 15,5938 15,6240 15,6839 15,7429 15,9151 16,2398 14,7291 14,7634 14,8313 14,8981 15,0929 15,4587 15,8663 15,8978 15,9603 16,0219 16,2018 16,5410 14,9651 15,0008 15,0714 15,1411 15,3440 15,7253 16,1268 16,1597 16,2247 16,2889 16,4763 16,8299 15,1896 15,2267 15,3001 15,3725 15,5834 15,9801 16,3759 16,4101 16,4777 16,5444 16,7393 17,1072 15,4032 15,4417 15,5178 15,5928 15,8117 16,2235 16,6141 16,6496 16,7197 16,7889 16,9911 17,3733 15,6064 15,6462 15,7250 15,8027 16,0293 16,4561 16,8419 16,8786 16,9512 17,0229 17,2324 17,6285 15,7998 15,8409 15,9223 16,0025 16,2368 16,6783 17,0597 17,0976 17,1727 17,2468 17,4634 17,8734 15,9838 16,0262 16,1101 16,1929 16,4346 16,8906 17,2679 17,3070 17,3845 17,4610 17,6848 18,1084 16,1588 16,2025 16,2889 16,3742 16,6233 17,0934 17,4670 17,5073 17,5872 17,6660 17,8968 18,3339 16,3254 16,3703 16,4591 16,5469 16,8031 17,2872 17,6574 17,6989 17,7811 17,8622 18,0998 18,5502 16,4838 16,5299 16,6212 16,7113 16,9746 17,4724 17,8394 17,8820 17,9665 18,0500 18,2943 18,7577 16,6346 16,6818 16,7755 16,8679 17,1381 17,6493 18,0134 18,0572 18,1440 18,2297 18,4806 18,9569 16,7780 16,8264 16,9223 17,0170 17,2940 17,8184 18,1799 18,2247 18,3137 18,4016 18,6590 19,1479 16,9144 16,9640 17,0622 17,1591 17,4427 17,9799 18,3390 18,3850 18,4761 18,5661 18,8299 19,3312 17,0443 17,0949 17,1953 17,2944 17,5844 18,1342 18,4911 18,5382 18,6314 18,7235 18,9936 19,5071 17,1678 17,2195 17,3220 17,4232 17,7195 18,2816 18,6366 18,6847 18,7800 18,8742 19,1504 19,6759 17,2853 17,3381 17,4426 17,5459 17,8484 18,4225 18,7757 18,8248 18,9221 19,0184 19,3006 19,8378 17,3971 17,4509 17,5575 17,6628 17,9712 18,5571 18,9087 18,9588 19,0581 19,1563 19,4445 19,9932 17,5035 17,5583 17,6668 17,7741 18,0883 18,6857

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 6 9 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 5 – E

Del 5% y 6% anual Solo para pagos Semestrales

CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 5 % Anual para Pagos Semestrales, según el Del 6 % Anual para Pagos Semestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,97534 0,97536 0,97541 0,97546 0,97561 0,97590 0,97048 0,97052 0,97059 0,97066 0,97087 0,97129 1,92661 1,92669 1,92684 1,92699 1,92742 1,92828 1,91232 1,91242 1,91264 1,91285 1,91347 1,91468 2,85443 2,85458 2,85487 2,85516 2,85602 2,85771 2,82635 2,82656 2,82698 2,82739 2,82861 2,83099 3,75936 3,75960 3,76008 3,76056 3,76197 3,76474 3,71340 3,71375 3,71442 3,71510 3,71710 3,72099 4,64197 4,64233 4,64304 4,64374 4,64583 4,64991 4,57427 4,57477 4,57577 4,57677 4,57971 4,58543 5,50282 5,50330 5,50428 5,50525 5,50813 5,51375 5,40973 5,41042 5,41179 5,41315 5,41719 5,42505 6,34243 6,34307 6,34434 6,34562 6,34939 6,35677 6,22053 6,22143 6,22322 6,22500 6,23028 6,24056 7,16133 7,16214 7,16375 7,16536 7,17014 7,17947 7,00739 7,00853 7,01079 7,01303 7,01969 7,03265 7,96003 7,96103 7,96302 7,96499 7,97087 7,98234 7,77103 7,77242 7,77519 7,77795 7,78611 7,80200 8,73903 8,74023 8,74262 8,74500 8,75206 8,76587 8,51212 8,51379 8,51711 8,52042 8,53020 8,54926 9,49882 9,50024 9,50306 9,50587 9,51421 9,53051 9,23134 9,23331 9,23722 9,24110 9,25262 9,27506 10,2399 10,2415 10,2448 10,2481 10,2578 10,2767 9,92933 9,93161 9,93614 9,94065 9,95400 9,98002 10,9626 10,9645 10,9683 10,9721 10,9832 11,0050 10,6067 10,6093 10,6145 10,6197 10,6350 10,6647 11,6676 11,6697 11,6740 11,6783 11,6909 11,7156 11,2641 11,2671 11,2729 11,2788 11,2961 11,3298 12,3551 12,3576 12,3624 12,3672 12,3814 12,4092 11,9021 11,9054 11,9120 11,9185 11,9379 11,9758 13,0257 13,0284 13,0338 13,0391 13,0550 13,0860 12,5213 12,5249 12,5322 12,5395 12,5611 12,6032 13,6798 13,6828 13,6887 13,6946 13,7122 13,7466 13,1221 13,1262 13,1343 13,1423 13,1661 13,2126 14,3177 14,3210 14,3275 14,3340 14,3534 14,3912 13,7053 13,7097 13,7186 13,7274 13,7535 13,8045 14,9399 14,9435 14,9507 14,9578 14,9789 15,0202 14,2712 14,2760 14,2857 14,2953 14,3238 14,3794 15,5468 15,5507 15,5584 15,5662 15,5892 15,6342 14,8204 14,8257 14,8362 14,8466 14,8775 14,9378 16,1386 16,1429 16,1513 16,1597 16,1845 16,2333 15,3534 15,3591 15,3704 15,3817 15,4150 15,4801 16,7159 16,7205 16,7296 16,7386 16,7654 16,8180 15,8707 15,8768 15,8890 15,9011 15,9369 16,0069 17,2790 17,2839 17,2936 17,3033 17,3321 17,3885 16,3727 16,3793 16,3923 16,4052 16,4436 16,5186 17,8281 17,8334 17,8438 17,8542 17,8850 17,9454 16,8599 16,8669 16,8808 16,8946 16,9355 17,0155 18,3637 18,3693 18,3804 18,3915 18,4244 18,4888 17,3327 17,3401 17,3549 17,3696 17,4131 17,4982 18,8861 18,8921 18,9039 18,9156 18,9506 19,0191 17,7916 17,7994 17,8151 17,8306 17,8768 17,9671 19,3956 19,4019 19,4145 19,4269 19,4640 19,5367 18,2369 18,2452 18,2617 18,2782 18,3270 18,4225 19,8926 19,8992 19,9125 19,9257 19,9649 20,0417 18,6690 18,6778 18,6952 18,7126 18,7641 18,8648 20,3773 20,3843 20,3983 20,4122 20,4535 20,5346 19,0884 19,0977 19,1160 19,1343 19,1885 19,2944 20,8500 20,8574 20,8721 20,8868 20,9303 21,0156 19,4955 19,5051 19,5244 19,5436 19,6004 19,7116 21,3111 21,3188 21,3343 21,3497 21,3954 21,4851 19,8905 19,9006 19,9208 19,9408 20,0004 20,1169 21,7608 21,7689 21,7851 21,8012 21,8492 21,9432 20,2738 20,2844 20,3055 20,3265 20,3888 20,5106 22,1994 22,2079 22,2249 22,2417 22,2919 22,3902 20,6459 20,6569 20,6789 20,7008 20,7658 20,8929 22,6272 22,6361 22,6538 22,6714 22,7238 22,8265 21,0069 21,0184 21,0413 21,0641 21,1318 21,2643 23,0444 23,0537 23,0722 23,0905 23,1452 23,2523 21,3573 21,3693 21,3931 21,4168 21,4872 21,6250 23,4514 23,4610 23,4802 23,4994 23,5563 23,6678 21,6974 21,7098 21,7345 21,7591 21,8323 21,9753 23,8483 23,8583 23,8783 23,8982 23,9573 24,0734 22,0274 22,0403 22,0659 22,0914 22,1672 22,3156 24,2354 24,2458 24,2666 24,2872 24,3486 24,4691 22,3477 22,3610 22,3875 22,4140 22,4925 22,6461 24,6130 24,6238 24,6453 24,6667 24,7303 24,8553 22,6585 22,6723 22,6997 22,7270 22,8082 22,9671 24,9813 24,9924 25,0147 25,0368 25,1028 25,2322 22,9601 22,9744 23,0027 23,0309 23,1148 23,2789 25,3404 25,3520 25,3750 25,3979 25,4661 25,6000 23,2529 23,2676 23,2968 23,3259 23,4124 23,5818 25,6908 25,7027 25,7265 25,7502 25,8206 25,9589 23,5370 23,5521 23,5822 23,6122 23,7014 23,8759 26,0324 26,0448 26,0693 26,0937 26,1664 26,3092 23,8127 23,8283 23,8593 23,8901 23,9819 24,1616 26,3657 26,3784 26,4037 26,4289 26,5038 26,6511 24,0803 24,0963 24,1282 24,1599 24,2543 24,4391 26,6907 26,7038 26,7299 26,7558 26,8330 26,9847 24,3399 24,3564 24,3891 24,4218 24,5187 24,7087

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 7 0 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 5 – E (Continuación) Del 7% y 8% anual Solo para pagos Semestrales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 7 % Anual para Pagos Semestrales, según el Del 8 % Anual para Pagos Semestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,96565 0,96570 0,96580 0,96590 0,96618 0,96674 0,96085 0,96092 0,96104 0,96117 0,96154 0,96225 1,89814 1,89829 1,89857 1,89886 1,89969 1,90132 1,88409 1,88428 1,88465 1,88501 1,88609 1,88818 2,79861 2,79889 2,79944 2,80000 2,80164 2,80481 2,77119 2,77155 2,77227 2,77299 2,77509 2,77915 3,66814 3,66860 3,66951 3,67041 3,67308 3,67825 3,62356 3,62415 3,62532 3,62648 3,62990 3,63649 4,50781 4,50848 4,50982 4,51114 4,51505 4,52263 4,44256 4,44342 4,44513 4,44682 4,45182 4,46146 5,31864 5,31956 5,32139 5,32320 5,32855 5,33893 5,22951 5,23068 5,23301 5,23532 5,24214 5,25529 6,10163 6,10282 6,10520 6,10756 6,11454 6,12807 5,98564 5,98716 5,99019 5,99319 6,00205 6,01916 6,85772 6,85922 6,86221 6,86518 6,87396 6,89097 6,71218 6,71408 6,71788 6,72164 6,73274 6,75419 7,58784 7,58968 7,59333 7,59696 7,60769 7,62849 7,41027 7,41259 7,41721 7,42180 7,43533 7,46147 8,29289 8,29508 8,29945 8,30378 8,31661 8,34147 8,08104 8,08381 8,08931 8,09477 8,11090 8,14206 8,97372 8,97630 8,98142 8,98650 9,00155 9,03074 8,72554 8,72878 8,73522 8,74161 8,76048 8,79695 9,63117 9,63415 9,64006 9,64594 9,66333 9,69709 9,34482 9,34855 9,35597 9,36333 9,38507 9,42712 10,2660 10,2694 10,2762 10,2829 10,3027 10,3413 9,93986 9,94410 9,95254 9,96091 9,98565 10,0335 10,8791 10,8829 10,8906 10,8981 10,9205 10,9640 10,5116 10,5164 10,5259 10,5353 10,5631 10,6170 11,4711 11,4754 11,4839 11,4924 11,5174 11,5660 11,0610 11,0663 11,0769 11,0874 11,1184 11,1785 12,0428 12,0475 12,0570 12,0663 12,0941 12,1481 11,5888 11,5947 11,6064 11,6180 11,6523 11,7187 12,5948 12,6000 12,6104 12,6208 12,6513 12,7107 12,0960 12,1025 12,1153 12,1280 12,1657 12,2386 13,1279 13,1336 13,1450 13,1563 13,1897 13,2546 12,5833 12,5904 12,6044 12,6182 12,6593 12,7388 13,6427 13,6489 13,6612 13,6735 13,7098 13,7805 13,0516 13,0592 13,0744 13,0894 13,1339 13,2202 14,1398 14,1465 14,1598 14,1731 14,2124 14,2888 13,5015 13,5097 13,5261 13,5423 13,5903 13,6834 14,6198 14,6270 14,6414 14,6557 14,6980 14,7803 13,9338 13,9427 13,9602 13,9776 14,0292 14,1291 15,0833 15,0911 15,1065 15,1218 15,1671 15,2554 14,3492 14,3587 14,3774 14,3960 14,4511 14,5580 15,5309 15,5392 15,5556 15,5720 15,6204 15,7147 14,7484 14,7584 14,7784 14,7982 14,8568 14,9707 15,9632 15,9720 15,9895 16,0068 16,0584 16,1587 15,1319 15,1425 15,1637 15,1847 15,2470 15,3678 16,3806 16,3899 16,4084 16,4269 16,4815 16,5879 15,5004 15,5116 15,5340 15,5562 15,6221 15,7499 16,7836 16,7935 16,8131 16,8326 16,8904 17,0029 15,8544 15,8663 15,8899 15,9133 15,9828 16,1176 17,1728 17,1832 17,2039 17,2244 17,2854 17,4040 16,1946 16,2071 16,2319 16,2566 16,3296 16,4714 17,5487 17,5596 17,5813 17,6029 17,6670 17,7919 16,5215 16,5346 16,5606 16,5865 16,6631 16,8119 17,9116 17,9231 17,9459 17,9685 18,0358 18,1668 16,8356 16,8493 16,8765 16,9036 16,9837 17,1395 18,2621 18,2741 18,2979 18,3217 18,3920 18,5292 17,1374 17,1517 17,1801 17,2084 17,2920 17,4547 18,6005 18,6130 18,6380 18,6628 18,7363 18,8796 17,4274 17,4423 17,4719 17,5013 17,5885 17,7581 18,9273 18,9404 18,9664 18,9922 19,0689 19,2183 17,7060 17,7215 17,7523 17,7829 17,8736 18,0500 19,2429 19,2565 19,2836 19,3104 19,3902 19,5458 17,9737 17,9898 18,0218 18,0535 18,1476 18,3309 19,5477 19,5618 19,5899 19,6178 19,7007 19,8624 18,2310 18,2476 18,2807 18,3136 18,4112 18,6011 19,8420 19,8566 19,8857 19,9147 20,0007 20,1684 18,4781 18,4954 18,5296 18,5637 18,6646 18,8612 20,1261 20,1413 20,1715 20,2015 20,2905 20,4643 18,7156 18,7334 18,7688 18,8040 18,9083 19,1114 20,4005 20,4162 20,4474 20,4784 20,5705 20,7503 18,9438 18,9622 18,9987 19,0350 19,1426 19,3522 20,6655 20,6817 20,7139 20,7460 20,8411 21,0268 19,1631 19,1820 19,2196 19,2570 19,3679 19,5840 20,9214 20,9381 20,9713 21,0044 21,1025 21,2941 19,3738 19,3932 19,4319 19,4704 19,5845 19,8069 21,1685 21,1857 21,2199 21,2540 21,3551 21,5525 19,5762 19,5962 19,6360 19,6755 19,7928 20,0215 21,4071 21,4248 21,4600 21,4951 21,5991 21,8024 19,7707 19,7912 19,8321 19,8726 19,9931 20,2279 21,6376 21,6557 21,6919 21,7280 21,8349 22,0439 19,9576 19,9786 20,0205 20,0621 20,1856 20,4266 21,8601 21,8787 21,9159 21,9529 22,0627 22,2774 20,1372 20,1587 20,2016 20,2443 20,3708 20,6177 22,0749 22,0941 22,1322 22,1701 22,2828 22,5031 20,3098 20,3318 20,3757 20,4193 20,5488 20,8017 22,2824 22,3020 22,3411 22,3800 22,4955 22,7213 20,4756 20,4981 20,5430 20,5876 20,7200 20,9787

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 7 1 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 5 – E (Continuación) Del 9% y 10% anual Solo para pagos Semestrales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 9 % Anual para Pagos Semestrales, según el Del 10 % Anual para Pagos Semestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,95608 0,95616 0,95632 0,95647 0,95694 0,95783 0,95133 0,95143 0,95162 0,95181 0,95238 0,95346 1,87016 1,87040 1,87086 1,87132 1,87267 1,87526 1,85635 1,85664 1,85720 1,85777 1,85941 1,86255 2,74410 2,74455 2,74545 2,74634 2,74896 2,75400 2,71733 2,71788 2,71898 2,72006 2,72325 2,72934 3,57965 3,58038 3,58184 3,58328 3,58753 3,59568 3,53640 3,53729 3,53906 3,54081 3,54595 3,55578 4,37850 4,37957 4,38169 4,38379 4,38998 4,40186 4,31561 4,31690 4,31947 4,32201 4,32948 4,34377 5,14227 5,14372 5,14660 5,14946 5,15787 5,17404 5,05689 5,05864 5,06212 5,06556 5,07569 5,09508 5,87249 5,87437 5,87810 5,88180 5,89270 5,91366 5,76209 5,76435 5,76884 5,77329 5,78637 5,81143 6,57063 6,57298 6,57764 6,58227 6,59589 6,62209 6,43296 6,43578 6,44138 6,44691 6,46321 6,49445 7,23812 7,24097 7,24663 7,25224 7,26879 7,30064 7,07119 7,07460 7,08137 7,08808 7,10782 7,14568 7,87628 7,87967 7,88639 7,89306 7,91272 7,95057 7,67835 7,68239 7,69041 7,69835 7,72173 7,76660 8,48642 8,49036 8,49821 8,50598 8,52892 8,57309 8,25596 8,26066 8,26998 8,27922 8,30641 8,35862 9,06975 9,07429 9,08330 9,09223 9,11858 9,16936 8,80546 8,81083 8,82151 8,83209 8,86325 8,92310 9,62747 9,63261 9,64283 9,65296 9,68285 9,74048 9,32821 9,33429 9,34636 9,35833 9,39357 9,46130 10,1607 10,1665 10,1779 10,1893 10,2228 10,2875 9,82551 9,83231 9,84582 9,85920 9,89864 9,97446 10,6705 10,6769 10,6896 10,7023 10,7395 10,8115 10,2986 10,3062 10,3211 10,3359 10,3797 10,4637 11,1579 11,1650 11,1790 11,1929 11,2340 11,3133 10,7487 10,7570 10,7734 10,7897 10,8378 10,9302 11,6239 11,6316 11,6470 11,6622 11,7072 11,7940 11,1769 11,1859 11,2038 11,2216 11,2741 11,3750 12,0694 12,0778 12,0945 12,1111 12,1600 12,2545 11,5842 11,5940 11,6134 11,6327 11,6896 11,7991 12,4954 12,5045 12,5225 12,5404 12,5933 12,6955 11,9717 11,9823 12,0032 12,0240 12,0853 12,2035 12,9026 12,9124 12,9318 12,9511 13,0079 13,1179 12,3403 12,3517 12,3741 12,3964 12,4622 12,5890 13,2920 13,3025 13,3232 13,3438 13,4047 13,5225 12,6910 12,7031 12,7271 12,7509 12,8212 12,9566 13,6643 13,6754 13,6975 13,7195 13,7844 13,9100 13,0247 13,0375 13,0630 13,0883 13,1630 13,3071 14,0202 14,0320 14,0555 14,0788 14,1478 14,2812 13,3421 13,3557 13,3827 13,4095 13,4886 13,6413 14,3605 14,3730 14,3978 14,4225 14,4955 14,6367 13,6440 13,6584 13,6869 13,7151 13,7986 13,9600 14,6858 14,6990 14,7252 14,7512 14,8282 14,9773 13,9313 13,9464 13,9763 14,0061 14,0939 14,2638 14,9969 15,0107 15,0383 15,0657 15,1466 15,3035 14,2045 14,2204 14,2518 14,2830 14,3752 14,5534 15,2942 15,3088 15,3377 15,3664 15,4513 15,6159 14,4645 14,4810 14,5139 14,5466 14,6430 14,8296 15,5786 15,5938 15,6240 15,6540 15,7429 15,9151 14,7118 14,7291 14,7634 14,7975 14,8981 15,0929 15,8504 15,8663 15,8978 15,9292 16,0219 16,2018 14,9471 14,9651 15,0008 15,0363 15,1411 15,3440 16,1103 16,1268 16,1597 16,1923 16,2889 16,4763 16,1369 16,1588 16,2025 16,2459 16,3742 16,6233 16,3588 16,3759 16,4101 16,4440 16,5444 16,7393 15,1709 15,1896 15,2267 15,2635 15,3725 15,5834 16,5963 16,6141 16,6496 16,6847 16,7889 16,9911 15,3839 15,4032 15,4417 15,4799 15,5928 15,8117 16,8235 16,8419 16,8786 16,9150 17,0229 17,2324 15,5864 15,6064 15,6462 15,6858 15,8027 16,0293 17,0406 17,0597 17,0976 17,1352 17,2468 17,4634 15,7791 15,7998 15,8409 15,8818 16,0025 16,2368 17,2483 17,2679 17,3070 17,3459 17,4610 17,6848 15,9625 15,9838 16,0262 16,0683 16,1929 16,4346 17,4468 17,4670 17,5073 17,5474 17,6660 17,8968 16,3028 16,3254 16,3703 16,4149 16,5469 16,8031 17,6365 17,6574 17,6989 17,7401 17,8622 18,0998 16,4606 16,4838 16,5299 16,5757 16,7113 16,9746 17,8180 17,8394 17,8820 17,9244 18,0500 18,2943 16,6108 16,6346 16,6818 16,7288 16,8679 17,1381 17,9915 18,0134 18,0572 18,1007 18,2297 18,4806 16,7536 16,7780 16,8264 16,8745 17,0170 17,2940 18,1573 18,1799 18,2247 18,2694 18,4016 18,6590 16,8895 16,9144 16,9640 17,0132 17,1591 17,4427 18,3159 18,3390 18,3850 18,4307 18,5661 18,8299 17,0188 17,0443 17,0949 17,1453 17,2944 17,5844 18,4675 18,4911 18,5382 18,5849 18,7235 18,9936 17,1418 17,1678 17,2195 17,2709 17,4232 17,7195 18,6124 18,6366 18,6847 18,7325 18,8742 19,1504 17,2588 17,2853 17,3381 17,3905 17,5459 17,8484 18,7510 18,7757 18,8248 18,8736 19,0184 19,3006 17,3701 17,3971 17,4509 17,5044 17,6628 17,9712 18,8835 18,9087 18,9588 19,0086 19,1563 19,4445 17,4760 17,5035 17,5583 17,6127 17,7741 18,0883

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 7 2 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 5 – E (Continuación) Del 12% y 14% anual Solo para pagos Semestrales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 12 % Anual para Pagos Semestrales, según el Del 14 % Anual para Pagos Semestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,94191 0,94205 0,94232 0,94260 0,94340 0,94491 0,93258 0,93277 0,93314 0,93351 0,93458 0,93659 1,82909 1,82949 1,83029 1,83108 1,83339 1,83777 1,80230 1,80283 1,80390 1,80495 1,80802 1,81378 2,66474 2,66551 2,66705 2,66857 2,67301 2,68144 2,61337 2,61440 2,61644 2,61845 2,62432 2,63535 3,45183 3,45308 3,45554 3,45798 3,46511 3,47863 3,36977 3,37141 3,37466 3,37787 3,38721 3,40481 4,19321 4,19500 4,19856 4,20207 4,21236 4,23191 4,07518 4,07753 4,08219 4,08678 4,10020 4,12549 4,89151 4,89393 4,89872 4,90345 4,91732 4,94369 4,73303 4,73618 4,74241 4,74857 4,76654 4,80046 5,54924 5,55234 5,55849 5,56457 5,58238 5,61626 5,34653 5,35054 5,35850 5,36635 5,38929 5,43263 6,16877 6,17261 6,18021 6,18773 6,20979 6,25178 5,91867 5,92361 5,93340 5,94305 5,97130 6,02471 6,75230 6,75692 6,76608 6,77513 6,80169 6,85229 6,45223 6,45815 6,46986 6,48142 6,51523 6,57924 7,30193 7,30737 7,31815 7,32881 7,36009 7,41971 6,94983 6,95675 6,97045 6,98398 7,02358 7,09861 7,81964 7,82592 7,83838 7,85070 7,88687 7,95588 7,41388 7,42183 7,43758 7,45313 7,49867 7,58504 8,30726 8,31441 8,32860 8,34263 8,38384 8,46251 7,84664 7,85564 7,87347 7,89109 7,94269 8,04063 8,76656 8,77460 8,79055 8,80633 8,85268 8,94123 8,25023 8,26029 8,28023 8,29993 8,35765 8,46732 9,19917 9,20811 9,22585 9,24340 9,29498 9,39358 8,62662 8,63774 8,65979 8,68158 8,74547 8,86696 9,60666 9,61650 9,63605 9,65539 9,71225 9,82101 8,97762 8,98981 9,01397 9,03786 9,10791 9,24126 9,99047 10,0012 10,0226 10,0437 10,1059 10,2249 9,30497 9,31821 9,34448 9,37045 9,44665 9,59182 10,3520 10,3637 10,3868 10,4098 10,4773 10,6065 9,61024 9,62454 9,65289 9,68093 9,76322 9,92014 10,6925 10,7051 10,7301 10,7548 10,8276 10,9671 9,89494 9,91027 9,94068 9,97076 10,0591 10,2277 11,0132 11,0267 11,0535 11,0800 11,1581 11,3079 10,1604 10,1768 10,2092 10,2413 10,3356 10,5157 11,3153 11,3297 11,3583 11,3866 11,4699 11,6299 10,4080 10,4254 10,4598 10,4939 10,5940 10,7854 11,5999 11,6151 11,6455 11,6755 11,7641 11,9341 10,6389 10,6573 10,6937 10,7297 10,8355 11,0380 11,8679 11,8840 11,9161 11,9479 12,0416 12,2216 10,8543 10,8736 10,9119 10,9498 11,0612 11,2747 12,1203 12,1373 12,1712 12,2047 12,3034 12,4932 11,0551 11,0753 11,1155 11,1552 11,2722 11,4963 12,3581 12,3760 12,4115 12,4467 12,5504 12,7499 11,2424 11,2635 11,3055 11,3470 11,4693 11,7038 12,5821 12,6008 12,6379 12,6748 12,7834 12,9924 11,4171 11,4391 11,4828 11,5261 11,6536 11,8982 12,7930 12,8125 12,8513 12,8898 13,0032 13,2216 11,5799 11,6028 11,6482 11,6933 11,8258 12,0803 12,9917 13,0120 13,0524 13,0924 13,2105 13,4381 11,7318 11,7556 11,8026 11,8493 11,9867 12,2508 13,1789 13,2000 13,2419 13,2835 13,4062 13,6428 11,8735 11,8980 11,9467 11,9949 12,1371 12,4105 13,3552 13,3770 13,4205 13,4635 13,5907 13,8361 12,0056 12,0309 12,0811 12,1309 12,2777 12,5601 13,5212 13,5438 13,5887 13,6333 13,7648 14,0188 12,1288 12,1549 12,2066 12,2579 12,4090 12,7002 13,6776 13,7009 13,7473 13,7933 13,9291 14,1914 12,2437 12,2705 12,3236 12,3763 12,5318 12,8314 13,8249 13,8489 13,8967 13,9441 14,0840 14,3546 12,3509 12,3783 12,4329 12,4870 12,6466 12,9543 13,9637 13,9884 14,0375 14,0862 14,2302 14,5087 12,4508 12,4789 12,5348 12,5902 12,7538 13,0694 14,0943 14,1197 14,1702 14,2202 14,3681 14,6543 12,5440 12,5728 12,6299 12,6866 12,8540 13,1772 14,2174 14,2435 14,2952 14,3465 14,4982 14,7920 12,6309 12,6603 12,7187 12,7766 12,9477 13,2782 14,3334 14,3600 14,4130 14,4656 14,6210 14,9220 12,7120 12,7419 12,8015 12,8606 13,0352 13,3727 14,4426 14,4698 14,5240 14,5778 14,7368 15,0449 12,7876 12,8181 12,8788 12,9390 13,1170 13,4613 14,5455 14,5733 14,6286 14,6835 14,8460 15,1610 12,8580 12,8891 12,9509 13,0122 13,1935 13,5442 14,6424 14,6707 14,7272 14,7832 14,9491 15,2707 12,9238 12,9554 13,0182 13,0806 13,2649 13,6219 14,7336 14,7625 14,8201 14,8772 15,0463 15,3744 12,9851 13,0172 13,0810 13,1444 13,3317 13,6947 14,8196 14,8490 14,9076 14,9658 15,1380 15,4723 13,0423 13,0748 13,1396 13,2039 13,3941 13,7628 14,9006 14,9305 14,9901 15,0493 15,2245 15,5649 13,0956 13,1286 13,1943 13,2595 13,4524 13,8267 14,9768 15,0073 15,0678 15,1280 15,3062 15,6523 13,1453 13,1788 13,2453 13,3114 13,5070 13,8865 15,0486 15,0796 15,1411 15,2022 15,3832 15,7350 13,1917 13,2255 13,2929 13,3598 13,5579 13,9424 15,1163 15,1477 15,2101 15,2721 15,4558 15,8131 13,2349 13,2692 13,3374 13,4051 13,6055 13,9949

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 7 3 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 5 – E (Continuación) Del 15% y 16% anual Solo para pagos Semestrales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 15 % Anual para Pagos Semestrales, según el Del 16 % Anual para Pagos Semestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,92796 0,92817 0,92860 0,92902 0,93023 0,93250 0,92336 0,92360 0,92408 0,92456 0,92593 0,92848 1,78907 1,78968 1,79090 1,79209 1,79557 1,80207 1,77596 1,77665 1,77802 1,77936 1,78326 1,79055 2,58815 2,58931 2,59162 2,59390 2,60053 2,61294 2,56321 2,56453 2,56712 2,56967 2,57710 2,59096 3,32966 3,33151 3,33518 3,33880 3,34933 3,36909 3,29013 3,29221 3,29632 3,30037 3,31213 3,33412 4,01775 4,02040 4,02565 4,03082 4,04588 4,07420 3,96134 3,96431 3,97016 3,97593 3,99271 4,02413 4,65627 4,65981 4,66681 4,67371 4,69385 4,73171 4,58111 4,58506 4,59285 4,60053 4,62288 4,66479 5,24879 5,25329 5,26220 5,27098 5,29660 5,34485 5,15338 5,15838 5,16826 5,17800 5,20637 5,25962 5,79863 5,80415 5,81507 5,82585 5,85730 5,91660 5,68180 5,68791 5,70000 5,71191 5,74664 5,81191 6,30886 6,31544 6,32847 6,34133 6,37889 6,44976 6,16972 6,17698 6,19136 6,20554 6,24689 6,32470 6,78233 6,79001 6,80522 6,82022 6,86408 6,94694 6,62024 6,62869 6,64543 6,66192 6,71008 6,80082 7,22169 7,23049 7,24792 7,26512 7,31542 7,41056 7,03623 7,04590 7,06502 7,08388 7,13896 7,24288 7,62940 7,63933 7,65901 7,67844 7,73528 7,84289 7,42035 7,43123 7,45276 7,47400 7,53608 7,65332 8,00774 8,01881 8,04075 8,06242 8,12584 8,24604 7,77503 7,78712 7,81106 7,83469 7,90378 8,03440 8,35882 8,37104 8,39524 8,41915 8,48915 8,62197 8,10252 8,11582 8,14216 8,16817 8,24424 8,38823 8,68461 8,69796 8,72441 8,75055 8,82712 8,97254 8,40492 8,41941 8,44813 8,47649 8,55948 8,71676 8,98693 9,00140 9,03008 9,05843 9,14151 9,29944 8,68414 8,69981 8,73087 8,76154 8,85137 9,02178 9,26747 9,28305 9,31393 9,34445 9,43396 9,60428 8,94196 8,95879 8,99214 9,02510 9,12164 9,30499 9,52781 9,54447 9,57751 9,61018 9,70601 9,88854 9,18002 9,19798 9,23358 9,26877 9,37189 9,56794 9,76938 9,78711 9,82227 9,85704 9,95908 10,1536 9,39984 9,41890 9,45669 9,49405 9,60360 9,81209 9,99356 10,0123 10,0496 10,0864 10,1945 10,4008 9,60281 9,62294 9,66287 9,70234 9,81815 10,0388 10,2016 10,2214 10,2606 10,2994 10,4135 10,6313 9,79023 9,81140 9,85339 9,89492 10,0168 10,2492 10,3946 10,4154 10,4566 10,4974 10,6172 10,8462 9,96328 9,98546 10,0294 10,0730 10,2007 10,4447 10,5738 10,5955 10,6386 10,6813 10,8067 11,0467 10,1231 10,1462 10,1921 10,2376 10,3711 10,6261 10,7400 10,7626 10,8076 10,8521 10,9830 11,2336 10,2706 10,2947 10,3425 10,3898 10,5288 10,7946 10,8942 10,9178 10,9645 11,0108 11,1469 11,4079 10,4069 10,4318 10,4814 10,5305 10,6748 10,9510 11,0374 11,0618 11,1102 11,1582 11,2995 11,5704 10,5326 10,5585 10,6098 10,6606 10,8100 11,0962 11,1702 11,1954 11,2456 11,2952 11,4414 11,7220 10,6488 10,6755 10,7284 10,7809 10,9352 11,2310 11,2935 11,3195 11,3712 11,4225 11,5734 11,8633 10,7561 10,7835 10,8381 10,8921 11,0511 11,3562 11,4078 11,4347 11,4879 11,5407 11,6962 11,9951 10,8551 10,8833 10,9394 10,9949 11,1584 11,4725 11,5140 11,5415 11,5963 11,6505 11,8104 12,1180 10,9465 10,9755 11,0330 11,0899 11,2578 11,5804 11,6125 11,6407 11,6969 11,7525 11,9166 12,2326 11,0310 11,0606 11,1195 11,1778 11,3498 11,6806 11,7039 11,7328 11,7903 11,8473 12,0155 12,3394 11,1089 11,1392 11,1994 11,2591 11,4350 11,7737 11,7887 11,8183 11,8771 11,9354 12,1074 12,4391 11,1809 11,2118 11,2733 11,3342 11,5139 11,8600 11,8674 11,8976 11,9577 12,0172 12,1929 12,5320 11,2474 11,2789 11,3416 11,4037 11,5869 11,9402 11,9404 11,9712 12,0325 12,0932 12,2725 12,6187 11,3088 11,3409 11,4046 11,4679 11,6546 12,0147 12,0082 12,0396 12,1019 12,1638 12,3465 12,6995 11,3654 11,3981 11,4629 11,5273 11,7172 12,0839 12,0711 12,1030 12,1665 12,2294 12,4154 12,7748 11,4178 11,4509 11,5168 11,5822 11,7752 12,1481 12,1294 12,1619 12,2264 12,2904 12,4794 12,8451 11,4661 11,4997 11,5666 11,6329 11,8289 12,2077 12,1836 12,2165 12,2820 12,3470 12,5390 12,9106 11,5107 11,5448 11,6126 11,6798 11,8786 12,2630 12,2339 12,2672 12,3337 12,3996 12,5944 12,9717 11,5519 11,5864 11,6551 11,7232 11,9246 12,3144 12,2805 12,3143 12,3816 12,4484 12,6460 13,0287 11,5899 11,6249 11,6944 11,7633 11,9672 12,3621 12,3238 12,3580 12,4262 12,4938 12,6939 13,0818 11,6251 11,6604 11,7307 11,8004 12,0067 12,4064 12,3639 12,3986 12,4675 12,5360 12,7385 13,1314 11,6575 11,6932 11,7642 11,8347 12,0432 12,4475 12,4012 12,4362 12,5059 12,5752 12,7800 13,1776 11,6875 11,7235 11,7952 11,8664 12,0771 12,4857 12,4358 12,4712 12,5416 12,6116 12,8186 13,2207 11,7151 11,7515 11,8239 11,8957 12,1084 12,5212

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 7 4 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 5 – E (Continuación) Del 18% y 20% anual Solo para pagos Semestrales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 18 % Anual para Pagos Semestrales, según el Del 20 % Anual para Pagos Semestrales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,91424 0,91454 0,91514 0,91573 0,91743 0,92057 0,90521 0,90558 0,90631 0,90703 0,90909 0,91287 1,75007 1,75093 1,75263 1,75429 1,75911 1,76803 1,72462 1,72566 1,72772 1,72973 1,73554 1,74620 2,51422 2,51584 2,51904 2,52219 2,53129 2,54818 2,46636 2,46832 2,47217 2,47595 2,48685 2,50693 3,21283 3,21539 3,22042 3,22537 3,23972 3,26636 3,13779 3,14085 3,14688 3,15279 3,16987 3,20137 3,85153 3,85515 3,86228 3,86930 3,88965 3,92751 3,74558 3,74989 3,75837 3,76670 3,79079 3,83531 4,43546 4,44024 4,44968 4,45896 4,48592 4,53614 4,29576 4,30142 4,31258 4,32354 4,35526 4,41402 4,96930 4,97533 4,98723 4,99894 5,03295 5,09643 4,79379 4,80088 4,81486 4,82861 4,86842 4,94230 5,45736 5,46469 5,47916 5,49341 5,53482 5,61222 5,24461 5,25318 5,27009 5,28672 5,33493 5,42455 5,90357 5,91223 5,92935 5,94621 5,99525 6,08704 5,65270 5,66277 5,68267 5,70224 5,75902 5,86479 6,31150 6,32153 6,34134 6,36085 6,41766 6,52415 6,02210 6,03370 6,05660 6,07913 6,14457 6,26666 6,68446 6,69584 6,71836 6,74055 6,80519 6,92654 6,35650 6,36960 6,39550 6,42098 6,49506 6,63353 7,02542 7,03817 7,06340 7,08825 7,16073 7,29697 6,65919 6,67379 6,70264 6,73104 6,81369 6,96842 7,33715 7,35125 7,37915 7,40666 7,48690 7,63798 6,93320 6,94926 6,98101 7,01229 7,10336 7,27414 7,62214 7,63757 7,66811 7,69823 7,78615 7,95191 7,18123 7,19872 7,23330 7,26738 7,36669 7,55322 7,88269 7,89942 7,93255 7,96523 8,06069 8,24090 7,40575 7,42462 7,46196 7,49876 7,60608 7,80799 8,12089 8,13890 8,17455 8,20973 8,31256 8,50694 7,60899 7,62920 7,66919 7,70862 7,82371 8,04056 8,33867 8,35791 8,39601 8,43362 8,54363 8,75184 7,79296 7,81446 7,85701 7,89898 8,02155 8,25286 8,53777 8,55820 8,59868 8,63865 8,75563 8,97730 7,95950 7,98223 8,02723 8,07163 8,20141 8,44667 8,71979 8,74138 8,78415 8,82640 8,95011 9,18485 8,11025 8,13416 8,18151 8,22824 8,36492 8,62359 8,88620 8,90890 8,95389 8,99833 9,12855 9,37591 8,24671 8,27174 8,32133 8,37029 8,51356 8,78510 9,03834 9,06211 9,10921 9,15577 9,29224 9,55180 8,37024 8,39634 8,44805 8,49913 8,64869 8,93253 9,17744 9,20222 9,25136 9,29994 9,44243 9,71372 8,48206 8,50917 8,56290 8,61599 8,77154 9,06712 9,30460 9,33036 9,38145 9,43197 9,58021 9,86278 8,58328 8,61135 8,66699 8,72198 8,88322 9,18998 9,42086 9,44755 9,50050 9,55286 9,70661 10,0000 8,67490 8,70388 8,76133 8,81813 8,98474 9,30214 9,52715 9,55473 9,60944 9,66357 9,82258 10,1263 8,75784 8,78767 8,84683 8,90533 9,07704 9,40452 9,62432 9,65274 9,70914 9,76495 9,92897 10,2426 8,83292 8,86355 8,92432 8,98443 9,16095 9,49798 9,71316 9,74238 9,80038 9,85779 10,0266 10,3497 8,90088 8,93227 8,99455 9,05617 9,23722 9,58330 9,79438 9,82436 9,88388 9,94280 10,1161 10,4482 8,96240 8,99450 9,05820 9,12124 9,30657 9,66119 9,86863 9,89934 9,96029 10,0207 10,1983 10,5389 9,01809 9,05085 9,11589 9,18026 9,36961 9,73229 9,93652 9,96790 10,0302 10,0919 10,2737 10,6224 9,06850 9,10189 9,16817 9,23380 9,42691 9,79720 9,99858 10,0306 10,0942 10,1572 10,3428 10,6993 9,11413 9,14810 9,21555 9,28236 9,47901 9,85645 10,0553 10,0880 10,1528 10,2170 10,4062 10,7701 9,15544 9,18995 9,25850 9,32640 9,52638 9,91053 10,1072 10,1404 10,2064 10,2717 10,4644 10,8353 9,19283 9,22785 9,29742 9,36635 9,56943 9,95991 10,1546 10,1884 10,2554 10,3219 10,5178 10,8952 9,22667 9,26218 9,33270 9,40259 9,60857 10,0050 10,1980 10,2322 10,3003 10,3678 10,5668 10,9505 9,25731 9,29326 9,36467 9,43545 9,64416 10,0461 10,2376 10,2724 10,3414 10,4098 10,6118 11,0013 9,28505 9,32140 9,39364 9,46526 9,67651 10,0837 10,2739 10,3090 10,3790 10,4483 10,6530 11,0481 9,31015 9,34689 9,41990 9,49230 9,70592 10,1180 10,3070 10,3426 10,4134 10,4836 10,6908 11,0912 9,33288 9,36997 9,44371 9,51683 9,73265 10,1493 10,3373 10,3733 10,4448 10,5158 10,7255 11,1308 9,35345 9,39088 9,46528 9,53907 9,75696 10,1779 10,3650 10,4013 10,4737 10,5454 10,7574 11,1673 9,37207 9,40981 9,48483 9,55925 9,77905 10,2039 10,3903 10,4270 10,5000 10,5725 10,7866 11,2009 9,38893 9,42695 9,50254 9,57755 9,79914 10,2277 10,4134 10,4505 10,5241 10,5973 10,8134 11,2319 9,40419 9,44247 9,51860 9,59415 9,81740 10,2495 10,4346 10,4720 10,5462 10,6200 10,8380 11,2603 9,41800 9,45653 9,53316 9,60921 9,83400 10,2693 10,4540 10,4916 10,5664 10,6407 10,8605 11,2866 9,43050 9,46926 9,54635 9,62286 9,84909 10,2874 10,4716 10,5095 10,5849 10,6598 10,8812 11,3107 9,44182 9,48079 9,55830 9,63525 9,86281 10,3040

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 7 5 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 5 – F

Solo para pagos Anuales

Del 5% y 6% anual

CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 5 % Anual para Pagos Anuales, según el Del 6 % Anual para Pagos Anuales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,95128 0,95133 0,95143 0,95152 0,95181 0,95238 0,94184 0,94191 0,94205 0,94218 0,94260 0,94340 1,85621 1,85635 1,85664 1,85692 1,85777 1,85941 1,82889 1,82909 1,82949 1,82990 1,83108 1,83339 2,71705 2,71733 2,71788 2,71843 2,72006 2,72325 2,66435 2,66474 2,66551 2,66628 2,66857 2,67301 3,53595 3,53640 3,53729 3,53818 3,54081 3,54595 3,45121 3,45183 3,45308 3,45431 3,45798 3,46511 4,31496 4,31561 4,31690 4,31819 4,32201 4,32948 4,19231 4,19321 4,19500 4,19678 4,20207 4,21236 5,05601 5,05689 5,05864 5,06038 5,06556 5,07569 4,89030 4,89151 4,89393 4,89633 4,90345 4,91732 5,76095 5,76209 5,76435 5,76660 5,77329 5,78637 5,54769 5,54924 5,55234 5,55543 5,56457 5,58238 6,43155 6,43296 6,43578 6,43859 6,44691 6,46321 6,16684 6,16877 6,17261 6,17642 6,18773 6,20979 7,06948 7,07119 7,07460 7,07800 7,08808 7,10782 6,74998 6,75230 6,75692 6,76151 6,77513 6,80169 7,67632 7,67835 7,68239 7,68641 7,69835 7,72173 7,29920 7,30193 7,30737 7,31277 7,32881 7,36009 8,25360 8,25596 8,26066 8,26533 8,27922 8,30641 7,81648 7,81964 7,82592 7,83216 7,85070 7,88687 8,80276 8,80546 8,81083 8,81618 8,83209 8,86325 8,30367 8,30726 8,31441 8,32152 8,34263 8,38384 9,32516 9,32821 9,33429 9,34034 9,35833 9,39357 8,76252 8,76656 8,77460 8,78259 8,80633 8,85268 9,82210 9,82551 9,83231 9,83908 9,85920 9,89864 9,19469 9,19917 9,20811 9,21701 9,24340 9,29498 10,2948 10,2986 10,3062 10,3137 10,3360 10,3797 9,60171 9,60666 9,61650 9,62630 9,65539 9,71225 10,7445 10,7487 10,7570 10,7652 10,7897 10,8378 9,98507 9,99047 10,0012 10,0119 10,0437 10,1059 11,1723 11,1769 11,1859 11,1949 11,2216 11,2741 10,3461 10,3520 10,3637 10,3753 10,4098 10,4773 11,5793 11,5842 11,5940 11,6037 11,6327 11,6896 10,6862 10,6925 10,7051 10,7176 10,7548 10,8276 11,9664 11,9717 11,9823 11,9926 12,0240 12,0853 11,0065 11,0132 11,0267 11,0401 11,0800 11,1581 12,3347 12,3404 12,3517 12,3629 12,3964 12,4622 11,3081 11,3153 11,3297 11,3440 11,3866 11,4699 12,6850 12,6911 12,7031 12,7151 12,7509 12,8212 11,5922 11,5999 11,6151 11,6304 11,6756 11,7641 13,0182 13,0247 13,0375 13,0503 13,0883 13,1630 11,8598 11,8679 11,8840 11,9001 11,9479 12,0416 13,3353 13,3421 13,3557 13,3692 13,4095 13,4886 12,1118 12,1203 12,1373 12,1543 12,2047 12,3034 13,6368 13,6440 13,6584 13,6726 13,7151 13,7986 12,3491 12,3581 12,3760 12,3938 12,4467 12,5504 13,9237 13,9313 13,9464 13,9614 14,0061 14,0939 12,5727 12,5821 12,6008 12,6194 12,6748 12,7834 14,1966 14,2045 14,2204 14,2361 14,2830 14,3752 12,7832 12,7930 12,8125 12,8320 12,8898 13,0032 14,4562 14,4645 14,4811 14,4975 14,5466 14,6430 12,9815 12,9917 13,0120 13,0323 13,0924 13,2105 14,7032 14,7118 14,7291 14,7463 14,7975 14,8981 13,1683 13,1789 13,2000 13,2210 13,2835 13,4062 14,9381 14,9471 14,9651 14,9830 15,0363 15,1411 13,3442 13,3552 13,3770 13,3988 13,4636 13,5907 15,1616 15,1709 15,1896 15,2082 15,2635 15,3725 13,5099 13,5212 13,5438 13,5663 13,6333 13,7648 15,3742 15,3839 15,4032 15,4225 15,4799 15,5928 13,6659 13,6776 13,7009 13,7242 13,7933 13,9291 15,5764 15,5864 15,6064 15,6264 15,6858 15,8027 13,8129 13,8249 13,8489 13,8729 13,9441 14,0840 15,7688 15,7791 15,7998 15,8204 15,8818 16,0026 13,9513 13,9637 13,9884 14,0130 14,0862 14,2302 15,9518 15,9625 15,9838 16,0050 16,0683 16,1929 14,0816 14,0944 14,1197 14,1450 14,2202 14,3681 16,1259 16,1369 16,1588 16,1807 16,2459 16,3742 14,2044 14,2175 14,2435 14,2694 14,3465 14,4983 16,2915 16,3028 16,3254 16,3479 16,4149 16,5469 14,3200 14,3334 14,3600 14,3866 14,4656 14,6210 16,4490 16,4606 16,4838 16,5069 16,5757 16,7113 14,4290 14,4426 14,4698 14,4970 14,5778 14,7368 16,5989 16,6108 16,6346 16,6582 16,7288 16,8679 14,5315 14,5455 14,5733 14,6010 14,6836 14,8460 16,7415 16,7537 16,7780 16,8022 16,8745 17,0170 14,6281 14,6424 14,6707 14,6990 14,7833 14,9491 16,8771 16,8896 16,9145 16,9393 17,0132 17,1591 14,7191 14,7336 14,7626 14,7914 14,8772 15,0463 17,0061 17,0188 17,0443 17,0697 17,1453 17,2944 14,8048 14,8196 14,8490 14,8784 14,9658 15,1380 17,1288 17,1418 17,1678 17,1937 17,2709 17,4232 14,8855 14,9006 14,9305 14,9604 15,0493 15,2245 17,2455 17,2588 17,2853 17,3118 17,3905 17,5459 14,9616 14,9768 15,0073 15,0376 15,1280 15,3062 17,3566 17,3701 17,3972 17,4241 17,5044 17,6628 15,0332 15,0487 15,0796 15,1104 15,2022 15,3832 17,4623 17,4760 17,5035 17,5310 17,6127 17,7741 15,1006 15,1163 15,1477 15,1789 15,2721 15,4558

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 7 6 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 5 – F (Continuación) Del 7% y 8% anual Solo para pagos Anuales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 7 % Anual para Pagos Anuales, según el Del 8 % Anual para Pagos Anuales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,93249 0,93258 0,93277 0,93296 0,93351 0,93458 0,92324 0,92336 0,92360 0,92385 0,92456 0,92593 1,80202 1,80230 1,80283 1,80337 1,80495 1,80802 1,77561 1,77596 1,77665 1,77734 1,77936 1,78326 2,61286 2,61337 2,61440 2,61543 2,61845 2,62432 2,56255 2,56321 2,56453 2,56583 2,56967 2,57710 3,36895 3,36977 3,37141 3,37304 3,37787 3,38721 3,28909 3,29013 3,29221 3,29427 3,30037 3,31213 4,07400 4,07518 4,07753 4,07987 4,08678 4,10020 3,95985 3,96134 3,96431 3,96725 3,97593 3,99271 4,73144 4,73303 4,73618 4,73931 4,74857 4,76654 4,57913 4,58111 4,58506 4,58897 4,60053 4,62288 5,34451 5,34653 5,35054 5,35454 5,36635 5,38929 5,15087 5,15338 5,15838 5,16334 5,17800 5,20637 5,91618 5,91867 5,92361 5,92852 5,94305 5,97130 5,67873 5,68180 5,68791 5,69398 5,71191 5,74664 6,44926 6,45223 6,45815 6,46402 6,48142 6,51523 6,16606 6,16972 6,17698 6,18420 6,20554 6,24689 6,94635 6,94983 6,95675 6,96362 6,98398 7,02358 6,61599 6,62024 6,62869 6,63709 6,66192 6,71008 7,40989 7,41388 7,42183 7,42973 7,45313 7,49867 7,03138 7,03623 7,04590 7,05549 7,08388 7,13896 7,84213 7,84664 7,85564 7,86459 7,89109 7,94269 7,41488 7,42035 7,43123 7,44203 7,47400 7,53608 8,24518 8,25023 8,26029 8,27029 8,29993 8,35765 7,76895 7,77503 7,78712 7,79913 7,83469 7,90378 8,62103 8,62662 8,63774 8,64880 8,68158 8,74547 8,09584 8,10252 8,11582 8,12903 8,16817 8,24424 8,97150 8,97762 8,98981 9,00193 9,03786 9,10791 8,39763 8,40492 8,41941 8,43382 8,47649 8,55948 9,29831 9,30497 9,31821 9,33138 9,37045 9,44665 8,67626 8,68414 8,69981 8,71539 8,76154 8,85137 9,60306 9,61024 9,62454 9,63875 9,68093 9,76322 8,93351 8,94196 8,95879 8,97552 9,02510 9,12164 9,88724 9,89494 9,91027 9,92551 9,97076 10,0591 9,17100 9,18002 9,19798 9,21584 9,26877 9,37189 10,1522 10,1604 10,1768 10,1931 10,2413 10,3356 9,39027 9,39984 9,41890 9,43785 9,49405 9,60360 10,3993 10,4080 10,4254 10,4427 10,4939 10,5940 9,59270 9,60281 9,62294 9,64296 9,70234 9,81815 10,6298 10,6390 10,6573 10,6755 10,7297 10,8355 9,77960 9,79023 9,81140 9,83245 9,89492 10,0168 10,8446 10,8543 10,8736 10,8928 10,9498 11,0612 9,95215 9,96328 9,98546 10,0075 10,0730 10,2007 11,0450 11,0551 11,0753 11,0955 11,1552 11,2722 10,1115 10,1231 10,1462 10,1692 10,2376 10,3711 11,2318 11,2424 11,2635 11,2846 11,3471 11,4693 10,2585 10,2706 10,2947 10,3187 10,3898 10,5288 11,4060 11,4171 11,4391 11,4610 11,5261 11,6536 10,3943 10,4069 10,4318 10,4567 10,5305 10,6748 11,5685 11,5800 11,6028 11,6256 11,6933 11,8258 10,5197 10,5327 10,5585 10,5842 10,6606 10,8100 11,7200 11,7319 11,7556 11,7792 11,8493 11,9867 10,6354 10,6488 10,6755 10,7020 10,7809 10,9352 11,8612 11,8735 11,8980 11,9224 11,9950 12,1371 10,7423 10,7561 10,7835 10,8109 10,8921 11,0511 11,9929 12,0056 12,0309 12,0561 12,1309 12,2777 10,8409 10,8551 10,8833 10,9114 10,9949 11,1584 12,1158 12,1288 12,1549 12,1808 12,2579 12,4090 10,9320 10,9465 10,9755 11,0043 11,0900 11,2578 12,2303 12,2437 12,2705 12,2971 12,3764 12,5318 11,0161 11,0310 11,0606 11,0901 11,1778 11,3498 12,3371 12,3509 12,3783 12,4057 12,4870 12,6466 11,0937 11,1089 11,1392 11,1694 11,2591 11,4350 12,4367 12,4508 12,4789 12,5069 12,5902 12,7538 11,1654 11,1809 11,2119 11,2426 11,3342 11,5139 12,5296 12,5440 12,5728 12,6014 12,6866 12,8540 11,2316 11,2474 11,2789 11,3103 11,4037 11,5869 12,6162 12,6309 12,6603 12,6895 12,7766 12,9477 11,2927 11,3088 11,3409 11,3728 11,4679 11,6546 12,6969 12,7120 12,7419 12,7718 12,8606 13,0352 11,3491 11,3654 11,3981 11,4306 11,5273 11,7172 12,7722 12,7876 12,8181 12,8485 12,9390 13,1170 11,4012 11,4178 11,4509 11,4839 11,5822 11,7752 12,8425 12,8580 12,8891 12,9201 13,0122 13,1935 11,4492 11,4661 11,4997 11,5332 11,6329 11,8289 12,9079 12,9238 12,9554 12,9869 13,0806 13,2649 11,4936 11,5107 11,5448 11,5788 11,6799 11,8786 12,9690 12,9851 13,0172 13,0492 13,1444 13,3317 11,5346 11,5519 11,5864 11,6208 11,7232 11,9246 13,0259 13,0423 13,0748 13,1073 13,2039 13,3941 11,5724 11,5900 11,6249 11,6597 11,7633 11,9672 13,0790 13,0956 13,1286 13,1615 13,2595 13,4525 11,6074 11,6251 11,6604 11,6956 11,8004 12,0067 13,1285 13,1453 13,1788 13,2121 13,3114 13,5070 11,6396 11,6575 11,6932 11,7288 11,8347 12,0432 13,1747 13,1917 13,2255 13,2593 13,3599 13,5579 11,6694 11,6875 11,7235 11,7594 11,8664 12,0771 13,2178 13,2349 13,2692 13,3033 13,4051 13,6055 11,6969 11,7151 11,7515 11,7877 11,8957 12,1084

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 7 7 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 5 – F (Continuación) Del 9% y 10% anual Solo para pagos Anuales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 9 % Anual para Pagos Anuales, según el Del 10 % Anual para Pagos Anuales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,91409 0,91424 0,91454 0,91484 0,91573 0,91743 0,90503 0,90521 0,90558 0,90595 0,90703 0,90909 1,74964 1,75007 1,75093 1,75178 1,75429 1,75911 1,72410 1,72462 1,72566 1,72670 1,72973 1,73554 2,51340 2,51422 2,51584 2,51745 2,52219 2,53129 2,46538 2,46636 2,46832 2,47025 2,47595 2,48685 3,21155 3,21283 3,21539 3,21791 3,22537 3,23972 3,13625 3,13779 3,14085 3,14388 3,15279 3,16987 3,84971 3,85153 3,85515 3,85873 3,86930 3,88965 3,74341 3,74558 3,74989 3,75415 3,76670 3,79079 4,43305 4,43546 4,44024 4,44498 4,45896 4,48592 4,29291 4,29576 4,30142 4,30702 4,32354 4,35526 4,96627 4,96930 4,97533 4,98130 4,99894 5,03295 4,79022 4,79379 4,80088 4,80790 4,82861 4,86842 5,45368 5,45736 5,46469 5,47195 5,49341 5,53482 5,24030 5,24461 5,25318 5,26167 5,28672 5,33493 5,89921 5,90357 5,91223 5,92082 5,94621 5,99525 5,64763 5,65270 5,66277 5,67277 5,70224 5,75902 6,30647 6,31150 6,32153 6,33147 6,36085 6,41766 6,01627 6,02210 6,03370 6,04520 6,07913 6,14457 6,67873 6,68446 6,69584 6,70715 6,74055 6,80519 6,34990 6,35650 6,36960 6,38260 6,42098 6,49506 7,01901 7,02542 7,03817 7,05083 7,08825 7,16073 6,65185 6,65919 6,67379 6,68827 6,73104 6,81369 7,33006 7,33715 7,35125 7,36525 7,40666 7,48690 6,92512 6,93320 6,94926 6,96519 7,01229 7,10336 7,61438 7,62214 7,63757 7,65289 7,69823 7,78615 7,17243 7,18123 7,19872 7,21607 7,26738 7,36669 7,87428 7,88269 7,89942 7,91604 7,96523 8,06069 7,39626 7,40575 7,42462 7,44336 7,49876 7,60608 8,11185 8,12089 8,13890 8,15678 8,20973 8,31256 7,59883 7,60899 7,62920 7,64926 7,70862 7,82371 8,32900 8,33867 8,35791 8,37702 8,43362 8,54363 7,78216 7,79296 7,81446 7,83581 7,89898 8,02155 8,52750 8,53777 8,55820 8,57850 8,63865 8,75563 7,94808 7,95950 7,98223 8,00481 8,07163 8,20141 8,70895 8,71979 8,74138 8,76283 8,82640 8,95011 8,09824 8,11025 8,13416 8,15791 8,22824 8,36492 8,87480 8,88620 8,90890 8,93146 8,99833 9,12855 8,23414 8,24671 8,27174 8,29661 8,37029 8,51356 9,02641 9,03834 9,06211 9,08573 9,15577 9,29224 8,35713 8,37024 8,39634 8,42227 8,49913 8,64869 9,16499 9,17744 9,20222 9,22686 9,29994 9,44243 8,46844 8,48206 8,50917 8,53611 8,61599 8,77154 9,29167 9,30460 9,33036 9,35598 9,43197 9,58021 8,56918 8,58328 8,61135 8,63925 8,72198 8,88322 9,40746 9,42086 9,44755 9,47410 9,55286 9,70661 8,66035 8,67490 8,70388 8,73268 8,81813 8,98474 9,51330 9,52715 9,55473 9,58216 9,66357 9,82258 8,74286 8,75784 8,78767 8,81733 8,90533 9,07704 9,61005 9,62432 9,65274 9,68102 9,76495 9,92897 8,81754 8,83292 8,86355 8,89402 8,98443 9,16095 9,69849 9,71316 9,74238 9,77146 9,85779 10,0266 8,88512 8,90088 8,93227 8,96349 9,05617 9,23722 9,77933 9,79438 9,82436 9,85420 9,94280 10,1161 8,94629 8,96240 8,99450 9,02643 9,12124 9,30657 9,85322 9,86863 9,89934 9,92989 10,0207 10,1983 9,00164 9,01809 9,05085 9,08345 9,18026 9,36961 9,92077 9,93652 9,96790 9,99914 10,0919 10,2737 9,05174 9,06850 9,10189 9,13511 9,23380 9,42691 9,98251 9,99858 10,0306 10,0625 10,1572 10,3428 9,09708 9,11413 9,14810 9,18191 9,28236 9,47901 10,0390 10,0553 10,0880 10,1204 10,2170 10,4062 9,13811 9,15544 9,18995 9,22431 9,32640 9,52638 10,0905 10,1072 10,1404 10,1735 10,2718 10,4644 9,17525 9,19283 9,22785 9,26272 9,36635 9,56943 10,1377 10,1546 10,1884 10,2220 10,3219 10,5178 9,20886 9,22667 9,26218 9,29752 9,40259 9,60857 10,1808 10,1980 10,2322 10,2663 10,3678 10,5668 9,23928 9,25731 9,29326 9,32904 9,43545 9,64416 10,2202 10,2376 10,2724 10,3069 10,4098 10,6118 9,26681 9,28505 9,32140 9,35760 9,46526 9,67651 10,2562 10,2739 10,3090 10,3441 10,4483 10,6530 9,29172 9,31015 9,34689 9,38348 9,49230 9,70592 10,2891 10,3070 10,3426 10,3781 10,4836 10,6908 9,31427 9,33288 9,36997 9,40692 9,51683 9,73265 10,3192 10,3373 10,3733 10,4091 10,5158 10,7255 9,33468 9,35345 9,39088 9,42815 9,53907 9,75696 10,3467 10,3650 10,4014 10,4376 10,5454 10,7574 9,35314 9,37207 9,40981 9,44739 9,55925 9,77905 10,3719 10,3903 10,4270 10,4636 10,5725 10,7866 9,36986 9,38893 9,42695 9,46482 9,57755 9,79914 10,3949 10,4135 10,4505 10,4874 10,5973 10,8134 9,38499 9,40419 9,44247 9,48061 9,59415 9,81740 10,4159 10,4346 10,4720 10,5092 10,6200 10,8380 9,39868 9,41800 9,45653 9,49492 9,60921 9,83400 10,4351 10,4540 10,4916 10,5291 10,6408 10,8605 9,41107 9,43050 9,46926 9,50788 9,62286 9,84909 10,4526 10,4716 10,5095 10,5473 10,6598 10,8812 9,42228 9,44182 9,48079 9,51962 9,63525 9,86281

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 7 8 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 5 – F (Continuación) Del 12% y 14% anual Solo para pagos Anuales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 12 % Anual para Pagos Anuales, según el Del 14 % Anual para Pagos Anuales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,88719 0,88745 0,88797 0,88849 0,89000 0,89286 0,86971 0,87006 0,87076 0,87144 0,87344 0,87719 1,67428 1,67502 1,67646 1,67790 1,68209 1,69005 1,62611 1,62707 1,62898 1,63085 1,63633 1,64666 2,37259 2,37394 2,37662 2,37928 2,38705 2,40183 2,28396 2,28572 2,28920 2,29264 2,30268 2,32163 2,99211 2,99420 2,99835 3,00244 3,01446 3,03735 2,85610 2,85878 2,86410 2,86934 2,88469 2,91371 3,54174 3,54465 3,55042 3,55612 3,57286 3,60478 3,35370 3,35738 3,36469 3,37191 3,39303 3,43308 4,02937 4,03315 4,04064 4,04805 4,06983 4,11141 3,78646 3,79120 3,80059 3,80987 3,83705 3,88867 4,46198 4,46666 4,47594 4,48513 4,51213 4,56376 4,16284 4,16864 4,18015 4,19152 4,22486 4,28830 4,84579 4,85138 4,86248 4,87347 4,90577 4,96764 4,49019 4,49705 4,51065 4,52411 4,56360 4,63886 5,18630 5,19281 5,20572 5,21850 5,25612 5,32825 4,77488 4,78278 4,79844 4,81394 4,85946 4,94637 5,48840 5,49580 5,51050 5,52506 5,56792 5,65022 5,02248 5,03138 5,04904 5,06652 5,11788 5,21612 5,75642 5,76469 5,78114 5,79743 5,84543 5,93770 5,23782 5,24768 5,26725 5,28662 5,34359 5,45273 5,99420 6,00332 6,02145 6,03943 6,09241 6,19437 5,42511 5,43588 5,45725 5,47842 5,54074 5,66029 6,20515 6,21509 6,23485 6,25444 6,31222 6,42355 5,58799 5,59962 5,62270 5,64557 5,71294 5,84236 6,39231 6,40303 6,42434 6,44548 6,50785 6,62817 5,72966 5,74208 5,76677 5,79123 5,86334 6,00207 6,55835 6,56981 6,59260 6,61521 6,68196 6,81086 5,85286 5,86604 5,89221 5,91817 5,99471 6,14217 6,70566 6,71782 6,74201 6,76601 6,83691 6,97399 5,96002 5,97389 6,00145 6,02878 6,10945 6,26506 6,83635 6,84918 6,87469 6,90000 6,97483 7,11963 6,05321 6,06772 6,09656 6,12518 6,20967 6,37286 6,95230 6,96575 6,99250 7,01905 7,09757 7,24967 6,13426 6,14936 6,17939 6,20918 6,29720 6,46742 7,05516 7,06920 7,09711 7,12482 7,20681 7,36578 6,20475 6,22040 6,25151 6,28238 6,37366 6,55037 7,14643 7,16100 7,19000 7,21880 7,30403 7,46944 6,26606 6,28220 6,31430 6,34618 6,44044 6,62313 7,22739 7,24247 7,27249 7,30230 7,39056 7,56200 6,31938 6,33597 6,36899 6,40177 6,49877 6,68696 7,29922 7,31478 7,34573 7,37648 7,46756 7,64465 6,36575 6,38276 6,41660 6,45021 6,54971 6,74294 7,36295 7,37894 7,41077 7,44240 7,53610 7,71843 6,40608 6,42346 6,45806 6,49243 6,59421 6,79206 7,41949 7,43589 7,46852 7,50096 7,59710 7,78432 6,44116 6,45888 6,49416 6,52922 6,63308 6,83514 7,46965 7,48642 7,51981 7,55299 7,65139 7,84314 6,47166 6,48970 6,52560 6,56128 6,66703 6,87293 7,51415 7,53127 7,56534 7,59922 7,69971 7,89566 6,49819 6,51651 6,55297 6,58922 6,69668 6,90608 7,55364 7,57107 7,60578 7,64030 7,74271 7,94255 6,52127 6,53984 6,57681 6,61357 6,72258 6,93515 7,58866 7,60639 7,64169 7,67679 7,78098 7,98442 6,54134 6,56013 6,59756 6,63478 6,74520 6,96066 7,61974 7,63773 7,67357 7,70922 7,81504 8,02181 6,55879 6,57779 6,61564 6,65327 6,76496 6,98304 7,74495 7,76415 7,80240 7,84048 7,95366 8,17550 6,57397 6,59316 6,63137 6,66938 6,78221 7,00266 7,64731 7,66555 7,70188 7,73803 7,84535 8,05518 6,58717 6,60652 6,64508 6,68343 6,79729 7,01988 7,67177 7,69023 7,72702 7,76362 7,87233 8,08499 6,59865 6,61816 6,65701 6,69566 6,81045 7,03498 7,69347 7,71214 7,74935 7,78637 7,89634 8,11159 6,60864 6,62828 6,66740 6,70632 6,82195 7,04823 7,71272 7,73158 7,76917 7,80657 7,91772 8,13535 6,61733 6,63708 6,67645 6,71562 6,83200 7,05985 7,72980 7,74884 7,78677 7,82453 7,93673 8,15656 6,62488 6,64474 6,68432 6,72371 6,84077 7,07005 7,75840 7,77774 7,81628 7,85465 7,96873 8,19241 6,63145 6,65141 6,69118 6,73077 6,84843 7,07899 7,77033 7,78980 7,82860 7,86724 7,98214 8,20751 6,63716 6,65721 6,69716 6,73692 6,85512 7,08683 7,78091 7,80050 7,83955 7,87843 7,99407 8,22099 6,64213 6,66225 6,70236 6,74228 6,86097 7,09371 7,79029 7,80999 7,84927 7,88837 8,00469 8,23303 6,64645 6,66664 6,70689 6,74695 6,86607 7,09975 7,79862 7,81842 7,85789 7,89720 8,01414 8,24378 6,65021 6,67046 6,71083 6,75102 6,87053 7,10504 7,80601 7,82590 7,86556 7,90505 8,02255 8,25337 6,65348 6,67379 6,71426 6,75456 6,87443 7,10969 7,81257 7,83254 7,87236 7,91202 8,03004 8,26194 6,65632 6,67668 6,71725 6,75766 6,87783 7,11376 7,81838 7,83843 7,87840 7,91821 8,03670 8,26959 6,65879 6,67919 6,71986 6,76035 6,88080 7,11733 7,82354 7,84366 7,88377 7,92372 8,04263 8,27642 6,66094 6,68138 6,72212 6,76270 6,88340 7,12047 7,82812 7,84830 7,88853 7,92861 8,04791 8,28252 6,66281 6,68329 6,72410 6,76474 6,88567 7,12322

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 7 9 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 5 – F (Continuación) Del 15% y 16% anual Solo para pagos Anuales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 15 % Anual para Pagos Anuales, según el Del 16 % Anual para Pagos Anuales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,86111 0,86151 0,86230 0,86307 0,86533 0,86957 0,85260 0,85305 0,85393 0,85480 0,85734 0,86207 1,60262 1,60371 1,60585 1,60797 1,61413 1,62571 1,57952 1,58073 1,58313 1,58549 1,59237 1,60523 2,24114 2,24311 2,24702 2,25087 2,26209 2,28323 2,19929 2,20148 2,20582 2,21009 2,22254 2,24589 2,79098 2,79397 2,79989 2,80574 2,82280 2,85498 2,72770 2,73101 2,73755 2,74400 2,76281 2,79818 3,26445 3,26854 3,27664 3,28463 3,30799 3,35216 3,17822 3,18272 3,19161 3,20039 3,22600 3,27429 3,67216 3,67738 3,68773 3,69795 3,72784 3,78448 3,56234 3,56805 3,57935 3,59051 3,62311 3,68474 4,02324 4,02961 4,04222 4,05467 4,09116 4,16042 3,88983 3,89675 3,91046 3,92399 3,96358 4,03857 4,32556 4,33305 4,34789 4,36255 4,40555 4,48732 4,16905 4,17715 4,19319 4,20904 4,25547 4,34359 4,58590 4,59447 4,61147 4,62827 4,67759 4,77158 4,40712 4,41634 4,43463 4,45271 4,50571 4,60654 4,81007 4,81968 4,83875 4,85761 4,91301 5,01877 4,61009 4,62039 4,64081 4,66100 4,72026 4,83323 5,00311 5,01371 5,03474 5,05555 5,11672 5,23371 4,78314 4,79444 4,81687 4,83905 4,90420 5,02864 5,16934 5,18086 5,20373 5,22638 5,29300 5,42062 4,93068 4,94292 4,96721 4,99124 5,06190 5,19711 5,31248 5,32486 5,34946 5,37382 5,44553 5,58315 5,05648 5,06958 5,09559 5,12134 5,19710 5,34233 5,43573 5,44892 5,47512 5,50107 5,57753 5,72448 5,16373 5,17763 5,20522 5,23255 5,31302 5,46753 5,54187 5,55580 5,58348 5,61090 5,69175 5,84737 5,25518 5,26980 5,29883 5,32761 5,41240 5,57546 5,63327 5,64788 5,67691 5,70569 5,79059 5,95423 5,33314 5,34842 5,37877 5,40886 5,49760 5,66850 5,71198 5,72721 5,75748 5,78750 5,87612 6,04716 5,39961 5,41549 5,44704 5,47832 5,57064 5,74870 5,77975 5,79555 5,82695 5,85811 5,95013 6,12797 5,45629 5,47270 5,50533 5,53770 5,63327 5,81785 5,83811 5,85442 5,88686 5,91905 6,01418 6,19823 5,50461 5,52151 5,55511 5,58845 5,68696 5,87746 5,88836 5,90514 5,93852 5,97165 6,06959 6,25933 5,54580 5,56314 5,59762 5,63184 5,73299 5,92884 5,93164 5,94884 5,98306 6,01704 6,11755 6,31246 5,58093 5,59866 5,63392 5,66892 5,77245 5,97314 5,96890 5,98649 6,02147 6,05622 6,15905 6,35866 5,61088 5,62895 5,66491 5,70062 5,80629 6,01133 6,00099 6,01892 6,05459 6,09003 6,19496 6,39884 5,63641 5,65480 5,69138 5,72772 5,83529 6,04425 6,02862 6,04686 6,08315 6,11922 6,22603 6,43377 5,65818 5,67684 5,71398 5,75088 5,86016 6,07263 6,05241 6,07093 6,10778 6,14440 6,25292 6,46415 5,67674 5,69565 5,73328 5,77068 5,88148 6,09709 6,07290 6,09167 6,12902 6,16614 6,27619 6,49056 5,69256 5,71169 5,74977 5,78761 5,89976 6,11818 6,09055 6,10953 6,14733 6,18491 6,29632 6,51353 5,70606 5,72538 5,76384 5,80208 5,91543 6,13636 6,10574 6,12492 6,16312 6,20110 6,31375 6,53351 5,71756 5,73705 5,77586 5,81444 5,92887 6,15204 6,11882 6,13818 6,17674 6,21507 6,32882 6,55088 5,72737 5,74701 5,78612 5,82501 5,94039 6,16555 6,13009 6,14960 6,18848 6,22714 6,34187 6,56598 5,73573 5,75550 5,79489 5,83405 5,95027 6,17720 6,13979 6,15945 6,19860 6,23755 6,35316 6,57911 5,74286 5,76275 5,80237 5,84178 5,95873 6,18724 6,14814 6,16792 6,20733 6,24653 6,36293 6,59053 5,74894 5,76893 5,80876 5,84838 5,96599 6,19590 6,15534 6,17523 6,21486 6,25429 6,37138 6,60046 5,75412 5,77420 5,81422 5,85402 5,97221 6,20336 6,16153 6,18152 6,22135 6,26098 6,37870 6,60910 5,75854 5,77870 5,81888 5,85885 5,97755 6,20979 6,16686 6,18694 6,22695 6,26676 6,38503 6,61661 5,76230 5,78254 5,82286 5,86297 5,98212 6,21534 6,17146 6,19161 6,23177 6,27174 6,39051 6,62314 5,76552 5,78581 5,82626 5,86650 5,98605 6,22012 6,17541 6,19564 6,23594 6,27604 6,39525 6,62881 5,76825 5,78861 5,82916 5,86951 5,98941 6,22424 6,17882 6,19910 6,23953 6,27976 6,39935 6,63375 5,77059 5,79099 5,83163 5,87209 5,99229 6,22779 6,18175 6,20209 6,24262 6,28296 6,40290 6,63805 5,77258 5,79302 5,83375 5,87429 5,99476 6,23086 6,18428 6,20466 6,24529 6,28573 6,40597 6,64178 5,77428 5,79475 5,83556 5,87617 5,99688 6,23350 6,18645 6,20688 6,24759 6,28812 6,40863 6,64502 5,77572 5,79623 5,83710 5,87778 5,99870 6,23577 6,18832 6,20879 6,24957 6,29018 6,41093 6,64785 5,77696 5,79749 5,83842 5,87915 6,00026 6,23774 6,18994 6,21043 6,25128 6,29196 6,41292 6,65030 5,77801 5,79857 5,83954 5,88033 6,00159 6,23943 6,19133 6,21185 6,25276 6,29349 6,41464 6,65244 5,77891 5,79949 5,84050 5,88133 6,00274 6,24089 6,19252 6,21307 6,25403 6,29482 6,41613 6,65429 5,77967 5,80027 5,84132 5,88219 6,00372 6,24214

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 8 0 z

WA LT E R C É S P E D E S R A M Í R E Z

Tabla 5 – F (Continuación) Del 18% y 20% anual Solo para pagos Anuales CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL DE ANUALIDAD ORDINARIA ⎡ (1 − (1 + i ) − n ) ⎤ r ⎥ Donde i = (1 + j) – 1 ; j = Tasa anual / Capitalización i ⎣ ⎦ Del 18 % Anual para Pagos Anuales, según el Del 20 % Anual para Pagos Anuales, según el número capitalizaciones por año (ver columna) número capitalizaciones por año (ver columna) 24 12 6 4 2 1 24 12 6 4 2 1 0,83583 0,83639 0,83748 0,83856 0,84168 0,84746 0,81941 0,82008 0,82141 0,82270 0,82645 0,83333 1,53445 1,53593 1,53886 1,54175 1,55011 1,56564 1,49084 1,49262 1,49611 1,49954 1,50946 1,52778 2,11837 2,12102 2,12626 2,13141 2,14637 2,17427 2,04102 2,04415 2,05032 2,05638 2,07393 2,10648 2,60643 2,61038 2,61819 2,62588 2,64824 2,69006 2,49184 2,49645 2,50555 2,51449 2,54044 2,58873 3,01437 3,01968 3,03018 3,04052 3,07065 3,12717 2,86125 2,86737 2,87947 2,89138 2,92598 2,99061 3,35534 3,36201 3,37521 3,38823 3,42618 3,49760 3,16394 3,17156 3,18662 3,20145 3,24462 3,32551 3,64033 3,64833 3,66417 3,67980 3,72543 3,81153 3,41197 3,42102 3,43891 3,45654 3,50795 3,60459 3,87853 3,88780 3,90617 3,92430 3,97730 4,07757 3,61521 3,62560 3,64614 3,66641 3,72558 3,83716 4,07763 4,08810 4,10884 4,12932 4,18929 4,30302 3,78175 3,79337 3,81637 3,83907 3,90543 4,03097 4,24404 4,25562 4,27857 4,30125 4,36773 4,49409 3,91821 3,93095 3,95619 3,98111 4,05408 4,19247 4,38313 4,39574 4,42072 4,44543 4,51791 4,65601 4,03003 4,04378 4,07104 4,09797 4,17692 4,32706 4,49939 4,51293 4,53977 4,56632 4,64431 4,79322 4,12165 4,13631 4,16538 4,19411 4,27845 4,43922 4,59657 4,61094 4,63947 4,66770 4,75070 4,90951 4,19673 4,21219 4,24287 4,27321 4,36235 4,53268 4,67779 4,69292 4,72297 4,75272 4,84025 5,00806 4,25825 4,27442 4,30652 4,33828 4,43170 4,61057 4,74567 4,76149 4,79289 4,82401 4,91562 5,09158 4,30866 4,32546 4,35880 4,39182 4,48901 4,67547 4,80241 4,81884 4,85146 4,88379 4,97906 5,16235 4,34997 4,36731 4,40174 4,43586 4,53637 4,72956 4,84984 4,86680 4,90050 4,93392 5,03246 5,22233 4,38382 4,40163 4,43702 4,47210 4,57551 4,77463 4,88948 4,90692 4,94158 4,97595 5,07740 5,27316 4,41155 4,42978 4,46600 4,50191 4,60786 4,81219 4,92261 4,94047 4,97598 5,01120 5,11522 5,31624 4,43428 4,45286 4,48980 4,52643 4,63460 4,84350 4,95030 4,96854 5,00479 5,04076 5,14706 5,35275 4,45290 4,47179 4,50935 4,54661 4,65669 4,86958 4,97345 4,99201 5,02892 5,06555 5,17386 5,38368 4,46816 4,48731 4,52541 4,56321 4,67495 4,89132 4,99280 5,01164 5,04912 5,08634 5,19641 5,40990 4,48066 4,50004 4,53860 4,57687 4,69004 4,90943 5,00897 5,02806 5,06604 5,10377 5,21540 5,43212 4,49090 4,51048 4,54943 4,58810 4,70251 4,92453 5,02248 5,04179 5,08022 5,11838 5,23138 5,45095 4,49930 4,51904 4,55833 4,59735 4,71282 4,93710 5,03378 5,05328 5,09209 5,13064 5,24482 5,46691 4,50618 4,52607 4,56564 4,60495 4,72134 4,94759 5,04322 5,06289 5,10203 5,14092 5,25614 5,48043 4,51182 4,53182 4,57165 4,61121 4,72838 4,95632 5,05112 5,07092 5,11035 5,14954 5,26567 5,49189 4,51643 4,53655 4,57658 4,61635 4,73420 4,96360 5,05771 5,07764 5,11732 5,15676 5,27369 5,50160 4,52022 4,54042 4,58063 4,62059 4,73901 4,96967 5,06323 5,08326 5,12316 5,16282 5,28044 5,50983 4,52332 4,54359 4,58396 4,62407 4,74298 4,97472 5,06784 5,08797 5,12805 5,16791 5,28612 5,51681 4,52586 4,54620 4,58669 4,62694 4,74627 4,97894 5,07169 5,09190 5,13215 5,17217 5,29090 5,52272 4,52794 4,54834 4,58894 4,62930 4,74898 4,98245 5,07491 5,09519 5,13558 5,17574 5,29493 5,52773 4,52965 4,55009 4,59078 4,63124 4,75122 4,98537 5,07760 5,09794 5,13845 5,17874 5,29831 5,53197 4,53105 4,55152 4,59229 4,63283 4,75308 4,98781 5,07985 5,10024 5,14085 5,18125 5,30116 5,53557 4,53219 4,55270 4,59354 4,63414 4,75461 4,98984 5,08173 5,10216 5,14287 5,18336 5,30356 5,53862 4,53313 4,55367 4,59456 4,63522 4,75588 4,99154 5,08330 5,10377 5,14456 5,18512 5,30558 5,54120 4,53390 4,55446 4,59540 4,63611 4,75692 4,99295 5,08461 5,10512 5,14597 5,18661 5,30728 5,54339 4,53453 4,55511 4,59609 4,63684 4,75779 4,99412 5,08571 5,10624 5,14715 5,18785 5,30871 5,54525 4,53505 4,55564 4,59666 4,63745 4,75850 4,99510 5,08663 5,10719 5,14814 5,18889 5,30992 5,54682 4,53547 4,55608 4,59712 4,63794 4,75909 4,99592 5,08739 5,10797 5,14897 5,18976 5,31093 5,54815 4,53582 4,55644 4,59750 4,63835 4,75958 4,99660 5,08804 5,10863 5,14967 5,19050 5,31179 5,54928 4,53610 4,55673 4,59782 4,63868 4,75998 4,99717 5,08857 5,10918 5,15025 5,19111 5,31250 5,55024 4,53633 4,55697 4,59808 4,63896 4,76032 4,99764 5,08902 5,10964 5,15074 5,19163 5,31311 5,55105 4,53653 4,55717 4,59829 4,63918 4,76059 4,99803 5,08939 5,11003 5,15115 5,19206 5,31362 5,55174 4,53668 4,55733 4,59846 4,63937 4,76082 4,99836 5,08971 5,11035 5,15149 5,19242 5,31404 5,55232 4,53681 4,55746 4,59860 4,63952 4,76101 4,99863

Factor: P = ⎢

n 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

z3 8 1 z

M AT E M Á T I C A F I N A N C I E R A Y A C T U A R I A L

Tabla 6 TABLA DE MORTALIDAD CON COLUMNAS DE CONMUTACIÓN AL 2.5% Ed. 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Ix 1000 000 994 230 990 114 986 767 983 817 981 102 978 541 976 124 973 869 971 804 969 890 968 038 966 179 964 266 962 270 960 201 958 098 955 942 953 743 951 483 949 171 946 789 944 337 941 806 939 197 936 492 933 692 930 788 927 763 924 609 921 317 917 880 914 282 910 515 906 554 902 393 898 007 893 382 888 504 883 342 877 883 872 098 865 967 859 464 852 554 845 214 837 413 829 114 820 292 810 900

dx 5 770 4 116 3 347 2 950 2 715 2 561 2 417 2 255 2 065 1 914 1 852 1 859 1 913 1 996 2 069 2 103 2 156 2 199 2 260 2 312 2 382 2 452 2 531 2 609 2 705 2 800 2 904 3 025 3 154 3 292 3 437 3 598 3 767 3 961 4 161 4 386 4 625 4 878 5 162 5 459 5 785 6 131 6 503 6 910 7 340 7 801 8 299 8 822 9 391 9 990

Dx 975 610 946 322 919 419 893 962 859 551 846 001 823 213 801 150 779 805 759 172 739 197 719 790 700 886 682 437 664 414 646 815 629 657 612 917 596 593 580 662 565 123 549 956 835 153 520 701 506 594 492 815 479 375 466 211 453 362 440 801 428 518 416 507 404 755 393 256 381 996 370 968 360 161 349 567 339 179 328 984 318 976 309 146 299 485 289 986 280 639 271 437 262 372 253 436 244 624 235 925

Nx 30 351 128 29 375 518 28 429 196 27 509 776 26 615 814 25 746 263 24 900 262 24 077 050 23 275 899 22 496 095 21 736 923 20 997 726 20 277 936 19 277 050 18 894 613 18 230 198 17 583 383 16 593 726 16 340 808 15 744 216 15 163 553 14 598 430 14 048 474 13 513 320 12 992 619 12 486 025 11 993 210 11 513 853 11 047 642 10 594 280 10 153 480 9724 961,6 9308 454,7 9903 699,4 8510 443,1 8128 447,4 7757 479,3 7397 318,3 7047 751,4 6708 572,7 6379 589,0 6060 612,9 5751 467,4 5451 982,4 5161 996,0 4881 357,0 4609 920,2 4347 547,8 4094 111,6 3849 487,6

Mx 235 338,3 229 846,4 226 024,3 222 992.0 220 384,7 218 043,5 215 889,1 213 905,3 212 099,7 210 486,5 209 027,8 207 650,7 206 302,1 204 948,2 203 570,1 202 176,3 200 794,3 199 411,9 198 036,4 196 657,2 195 280,6 193 897,0 192 507,5 191 108,1 189 700,9 188 277,4 186 839,9 185 385,3 183 907,1 182,403,5 180 872,3 179 312,7 177 719,9 176 092,9 174 423,8 172 713,3 170 954,2 169 144,5 167 282,4 165 359,9 163 376,4 161 325,7 159 205,3 157 011,2 154 736,6 152 379,4 149 935,2 147 389,5 144 767,6 142 035,1

Ed 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

z3 8 2 z

Ix 800 910 790 282 778 981 766 961 754 191 740 631 726 241 710 990 649 843 677 771 659 749 640 761 620 782 599 824 577 882 554 975 531 133 506 403 480 850 454 548 427 593 400 112 372 240 344 136 315 982 287 973 260 322 233 251 206 989 181 765 157 799 135 297 114 440 95 378 78 221 63 036 49 838 38 593 29 215 21 577 15 514 10 833 7 327 4 787 3 011 1 818 1 005 454 125

dx 10 628 10 628 11 301 12 020 13 560 14 390 15 251 16 147 17 072 18 022 18 988 19 979 20 958 21 942 22 907 23 842 24 730 25 553 26 302 26 955 27 481 27 872 28 104 28 154 28 009 27 651 27 071 26 262 25 224 23 966 22 502 20 857 19 062 17 157 15 185 13 198 11 245 9 378 7 638 6 063 4 681 3 506 2 540 1 776 1 193 813 551 329 125

Dx 227 335 218 487 210 456 202 155 193 941 185 808 177 754 169 777 161 875 154 046 146 293 138 617 131 019 123 508 116 088 108 767 101 556 94 465,5 87 511,0 80 706,6 74 068,9 67 618,1 61 373,5 55 355,9 49 587,5 44 089,8 38 884,2 33 990,9 29 428,1 25 211,6 21 353,6 17 862,0 14 740,0 11 985,2 9 589,47 7 539,39 5 815,46 4 393,48 3 244,75 2 337,99 1 640,03 1 117,26 737,236 469,916 288,366 169,865 91,6117 40,3754 10,8454

Nx 2 613 562,6 3 386 227,4 3 167 380,2 2 956 923,8 2 754 768,8 2 560 828,2 2 375 019,8 2 197 265,3 2 027 488,2 1 865,613,6 1 711 567,4 1 565 274,6 1 426 657,6 1 295 638,2 1 172 129,8 1 056 041,6 947 274,35 845 718,65 751 253,11 663 742,06 583 035,43 508 966,49 441 348,34 379 974,84 324 618,92 275 031,40 230 941,61 192 057,40 158 066,55 128 638,48 103 426,84 82 073,238 64 211,191 49 471,207 37 146,056 27 896,582 20 357,191 14 541,728 10 148,250 6 903,4959 4 565,5030 2 925,4721 1 808,2150 1 070,9787 601,06285 312,69718 142,83260 51,220863 10,845444

Mx 139 199,5 136 256,3 133 203,2 130 034,9 126 751,1 123 349,2 119 827,1 116 185,3 112 423,6 108 543,5 104 547,3 100 439,5 96 222,87 91 907,46 87 499,63 83 010,18 78 451,45 73 838,26 69 187,81 64 517,79 59 848,57 55 204,33 50 608,90 16 088,24 41 669,99 37 381,70 33 251,48 29 306,52 25 572,80 22 074,11 18 831,00 15 860,26 13 173,86 10 778,54 8 675,180 6 858,986 5 318,946 4 038,801 2 997,236 2 169,615 1 528,677 1 045,904 693,1335 443,7944 273,7056 162,2378 88,12801 39,12613 10,58092