A Matemática no Vestibular do IME - Versão ISSUU by Editora VestSeller

A Matemática no Vestibular do IME Editora VestSeller Fortaleza - CE 2a edição - 2020

É proibida a reprodução parcial ou total por quaisquer meios sem autorização prévia do autor. Os transgressores serão punidos nos termos da lei. Denuncie plágio, cópias ilegais ou pirataria pela Internet, anonimamente, através dos endereços de correio eletrônico do autor: sergioln@smt.ufrj.br sergiolimanetto@gmail.com Todos os direitos desta edição reservados a: c 2020 Sergio Lima Netto Editor responsável: Sergio Lima Netto Capa: Juliana Pinheiro de Sousa Esta obra pode ser adquirida diretamente na EDITORA VESTSELLER através de sua página eletrônica www.vestseller.com.br FICHA CATALOGRÁFICA: Preparada por Sergio Lima Netto

N478

Netto, Sergio Lima, 1967– A Matemática no Vestibular do IME / Sergio Lima Netto; 2. ed. – Fortaleza: VestSeller, 2020. XVI, 600p.; 21cm. ISBN: XXX

1. Matemática. 2. Vestibular. 3. IME. I. Título. CDD 510

NOTA INTRODUTÓRIA As soluções propostas para as provas de matemática do vestibular do IME aqui incluídas são de responsabilidade única e exclusivamente do autor deste livro. Desta forma, estas soluções não possuem qualquer caráter oficial nem qualquer tipo de endosso por parte da Comissão Organizadora do Vestibular do IME. Você pode encontrar material complementar para este livro, incluindo novos enunciados e soluções além de um amplo material de Desenho Geométrico e Geometria Projetiva do vestibular do IME, no site do autor: www.smt.ufrj.br/∼sergioln/ime Se desejar, você pode entrar em contato com o autor através dos endereços eletrônicos: sergioln@smt.ufrj.br sergiolimanetto@gmail.com

Índice Prefácio I

Enunciados I.1 Vestibular 2019/2020 . . I.1.1 Prova Objetiva . I.1.2 Prova Discursiva I.2 Vestibular 2018/2019 . . I.2.1 Prova Objetiva . I.2.2 Prova Discursiva I.3 Vestibular 2017/2018 . . I.3.1 Prova Objetiva . I.3.2 Prova Discursiva I.4 Vestibular 2016/2017 . . I.4.1 Prova Objetiva . I.4.2 Prova Discursiva I.5 Vestibular 2015/2016 . . I.5.1 Prova Objetiva . I.5.2 Prova Discursiva I.6 Vestibular 2014/2015 . . I.6.1 Prova Objetiva . I.6.2 Prova Discursiva I.7 Vestibular 2013/2014 . . I.7.1 Prova Objetiva . I.7.2 Prova Discursiva I.8 Vestibular 2012/2013 . . I.8.1 Prova Objetiva . I.8.2 Prova Discursiva I.9 Vestibular 2011/2012 . . I.9.1 Prova Objetiva . I.9.2 Prova Discursiva I.10 Vestibular 2010/2011 . .

13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 3 3 6 8 8 11 14 14 17 19 19 22 24 24 26 29 29 31 33 33 35 37 37 40 42 42 45 47

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I.15 I.16 I.17 I.18 I.19 I.20 I.21 I.22 I.23 I.24 I.25 I.26 I.27 I.28

I.10.1 Prova Objetiva . . . . I.10.2 Prova Discursiva . . . Vestibular 2009/2010 . . . . . I.11.1 Prova Objetiva . . . . I.11.2 Prova Discursiva . . . Vestibular 2008/2009 . . . . . I.12.1 Prova Objetiva . . . . I.12.2 Prova Discursiva . . . Vestibular 2007/2008 . . . . . I.13.1 Prova Objetiva . . . . I.13.2 Prova Discursiva . . . Vestibular 2006/2007 . . . . . I.14.1 Prova Objetiva . . . . I.14.2 Prova Discursiva . . . Vestibular 2005/2006 . . . . . I.15.1 Prova de Matemática Vestibular 2004/2005 . . . . . I.16.1 Prova de Matemática Vestibular 2003/2004 . . . . . I.17.1 Prova de Matemática Vestibular 2002/2003 . . . . . I.18.1 Prova de Matemática Vestibular 2001/2002 . . . . . I.19.1 Prova de Matemática Vestibular 2000/2001 . . . . . I.20.1 Prova de Matemática Vestibular 1999/2000 . . . . . I.21.1 Prova de Matemática Vestibular 1998/1999 . . . . . I.22.1 Prova de Matemática Vestibular 1997/1998 . . . . . I.23.1 Prova de Matemática Vestibular 1996/1997 . . . . . I.24.1 Prova de Matemática Vestibular 1995/1996 . . . . . I.25.1 Prova de Matemática Vestibular 1994/1995 . . . . . I.26.1 Prova de Matemática Vestibular 1993/1994 . . . . . I.27.1 Prova de Matemática Vestibular 1992/1993 . . . . . I.28.1 Prova de Matemática

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47 50 52 52 55 57 57 60 63 63 66 68 68 71 73 73 75 75 78 78 80 80 82 82 85 85 87 87 90 90 92 92 94 94 96 96 98 98 100 100 103 103

I.29 Vestibular 1991/1992 . . . . . I.29.1 Prova de Matemática I.30 Vestibular 1990/1991 . . . . . I.30.1 Prova de Álgebra . . . I.30.2 Prova de Geometria . I.31 Vestibular 1989/1990 . . . . . I.31.1 Prova de Álgebra . . . I.31.2 Prova de Geometria . I.32 Vestibular 1988/1989 . . . . . I.32.1 Prova de Álgebra . . . I.32.2 Prova de Geometria . I.33 Vestibular 1987/1988 . . . . . I.33.1 Prova de Álgebra . . . I.33.2 Prova de Geometria . I.34 Vestibular 1986/1987 . . . . . I.34.1 Prova de Álgebra . . . I.34.2 Prova de Geometria . I.35 Vestibular 1985/1986 . . . . . I.35.1 Prova de Álgebra . . . I.35.2 Prova de Geometria . I.36 Vestibular 1984/1985 . . . . . I.36.1 Prova de Álgebra . . . I.36.2 Prova de Geometria . I.37 Vestibular 1983/1984 . . . . . I.37.1 Prova de Álgebra . . . I.37.2 Prova de Geometria . I.38 Vestibular 1982/1983 . . . . . I.38.1 Prova de Álgebra . . . I.38.2 Prova de Geometria . I.39 Vestibular 1981/1982 . . . . . I.39.1 Prova de Álgebra . . . I.39.2 Prova de Geometria . I.40 Vestibular 1980/1981 . . . . . I.40.1 Prova de Álgebra . . . I.40.2 Prova de Geometria . I.41 Vestibular 1979/1980 . . . . . I.41.1 Prova de Álgebra . . . I.41.2 Prova de Geometria . I.42 Vestibular 1978/1979 . . . . . I.42.1 Prova de Álgebra . . . I.42.2 Prova de Geometria . I.43 Vestibular 1977/1978 . . . . .

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105 105 107 107 109 112 112 114 116 116 117 119 119 120 122 122 123 126 126 127 130 130 131 135 135 136 141 141 143 145 145 147 149 149 151 153 153 154 157 157 158 161

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I.43.1 Prova de Álgebra . . . . I.43.2 Prova de Geometria . . Vestibular 1976/1977 . . . . . . I.44.1 Prova de Álgebra . . . . I.44.2 Prova de Geometria . . Vestibular 1977 - 2o Concurso . I.45.1 Álgebra . . . . . . . . . I.45.2 Geometria . . . . . . . Vestibular 1975/1976 . . . . . . I.46.1 Prova de Álgebra . . . . I.46.2 Prova de Geometria . . Vestibular 1974/1975 . . . . . . I.47.1 Prova de Álgebra . . . . I.47.2 Prova de Geometria . . Vestibular 1973/1974 . . . . . . I.48.1 Prova de Álgebra . . . . I.48.2 Prova de Geometria . . Vestibular 1972/1973 . . . . . . I.49.1 Prova de Álgebra . . . . I.49.2 Prova de Geometria . . Vestibular 1971/1972 . . . . . . I.50.1 Prova de Álgebra . . . . I.50.2 Prova de Geometria . . Vestibular 1970/1971 . . . . . . I.51.1 Prova de Álgebra . . . . I.51.2 Prova de Geometria . . Vestibular 1969/1970 . . . . . . I.52.1 Prova de Álgebra . . . . I.52.2 Prova de Geometria . . Vestibular 1968/1969 . . . . . . I.53.1 Prova de Álgebra . . . . I.53.2 Prova de Geometria . . Vestibular 1967/1968 . . . . . . I.54.1 Prova de Álgebra . . . . I.54.2 Prova de Geometria . . Vestibular 1966/1967 . . . . . . I.55.1 Prova de Álgebra . . . . I.55.2 Prova de Geometria . . Vestibular 1965/1966 . . . . . . I.56.1 Prova de Álgebra . . . . I.56.2 Prova de Geometria . . Vestibular 1964/1965 . . . . . .

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161 163 165 165 167 169 169 171 173 173 174 177 177 179 182 182 185 188 188 190 192 192 196 198 198 204 208 208 214 217 217 219 221 221 224 226 226 229 232 232 235 237

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I.57.1 Prova de Álgebra . . . . I.57.2 Prova de Geometria . . I.57.3 Prova de Trigonometria Vestibular 1963/1964 . . . . . . I.58.1 Prova de Álgebra . . . . I.58.2 Prova de Geometria . . I.58.3 Prova de Trigonometria Vestibular 1960/1961 . . . . . . I.59.1 Prova de Álgebra . . . . I.59.2 Prova de Cálculo . . . . I.59.3 Prova de Geometria . . Vestibular 1959/1960 . . . . . . I.60.1 Prova de Álgebra . . . . I.60.2 Prova de Cálculo . . . . I.60.3 Prova de Geometria . . Vestibular 1958/1959 . . . . . . I.61.1 Prova de Álgebra . . . . I.61.2 Prova de Geometria . . Vestibular 1957/1958 . . . . . . I.62.1 Prova de Álgebra . . . . I.62.2 Prova de Geometria . . Vestibular 1956/1957 . . . . . . I.63.1 Prova de Álgebra . . . . I.63.2 Prova de Cálculo . . . . I.63.3 Prova de Geometria . . Vestibular 1955/1956 . . . . . . I.64.1 Prova de Álgebra . . . . I.64.2 Prova de Geometria . . Vestibular 1954/1955 . . . . . . I.65.1 Prova de Álgebra . . . . I.65.2 Prova de Cálculo . . . . I.65.3 Prova de Geometria . . Vestibular 1953/1954 . . . . . . I.66.1 Prova de Álgebra . . . . I.66.2 Prova de Cálculo . . . . I.66.3 Prova de Geometria . . Vestibular 1952/1953 . . . . . . I.67.1 Prova de Álgebra . . . . I.67.2 Prova de Geometria . . Vestibular 1951/1952 . . . . . . I.68.1 Prova de Álgebra . . . . I.68.2 Prova de Geometria . .

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237 240 242 244 244 245 246 247 247 248 250 251 251 252 253 255 255 255 257 257 258 260 260 261 262 264 264 265 266 266 267 267 269 269 271 273 276 276 278 279 279 280

I.69 Vestibular 1950/1951 . . . . . I.69.1 Prova de Álgebra . . . I.69.2 Prova de Geometria . I.70 Vestibular 1949/1950 . . . . . I.70.1 Prova de Álgebra . . . I.70.2 Prova de Geometria . I.71 Vestibular 1948/1949 . . . . . I.71.1 Prova de Álgebra . . . I.71.2 Prova de Geometria . I.72 Vestibular 1947/1948 . . . . . I.72.1 Prova de Álgebra . . . I.72.2 Prova de Geometria . I.73 Vestibular 1946/1947 . . . . . I.73.1 Prova de Álgebra . . . I.73.2 Prova de Geometria . I.74 Vestibular 1945/1946 . . . . . I.74.1 Prova de Álgebra . . . I.74.2 Prova de Geometria . I.75 Vestibular 1944/1945 . . . . . I.75.1 Prova de Álgebra . . . I.75.2 Prova de Geometria . I.76 Vestibular 1942/1943 . . . . . I.76.1 Prova de Matemática I.77 Vestibular 1937/1938 . . . . . I.77.1 Prova de Matemática

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282 282 283 286 286 287 290 290 291 293 293 294 295 295 296 298 298 299 300 300 301 302 302 303 303

II Soluções Propostas II.1 Vestibular 2019/2020 . . . . . II.1.1 Prova Objetiva . . . . II.1.2 Prova de Matemática II.2 Vestibular 2018/2019 . . . . . II.2.1 Prova Objetiva . . . . II.2.2 Prova de Matemática II.3 Vestibular 2017/2018 . . . . . II.3.1 Prova Objetiva . . . . II.3.2 Prova de Matemática II.4 Vestibular 2016/2017 . . . . . II.4.1 Prova Objetiva . . . . II.4.2 Prova de Matemática II.5 Vestibular 2015/2016 . . . . . II.5.1 Prova Objetiva . . . . II.5.2 Prova de Matemática II.6 Vestibular 2014/2015 . . . . .

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305 307 307 312 319 319 324 330 330 337 345 345 353 362 362 369 380

II.7

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II.6.1 Prova Objetiva . . . . II.6.2 Prova de Matemática Vestibular 2013/2014 . . . . . II.7.1 Prova Objetiva . . . . II.7.2 Prova de Matemática Vestibular 2012/2013 . . . . . II.8.1 Prova Objetiva . . . . II.8.2 Prova de Matemática Vestibular 2011/2012 . . . . . II.9.1 Prova Objetiva . . . . II.9.2 Prova de Matemática Vestibular 2010/2011 . . . . . II.10.1 Prova Objetiva . . . . II.10.2 Prova Discursiva . . . Vestibular 2009/2010 . . . . . II.11.1 Prova Objetiva . . . . II.11.2 Prova Discursiva . . . Vestibular 2008/2009 . . . . . II.12.1 Prova Objetiva . . . . II.12.2 Prova Discursiva . . . Vestibular 2007/2008 . . . . . II.13.1 Prova Objetiva . . . . II.13.2 Prova Discursiva . . . Vestibular 2006/2007 . . . . . II.14.1 Prova Objetiva . . . . II.14.2 Prova de Matemática Vestibular 2005/2006 . . . . . II.15.1 Prova de Matemática Vestibular 2004/2005 . . . . . II.16.1 Prova de Matemática Vestibular 2003/2004 . . . . . II.17.1 Prova de Matemática Vestibular 2002/2003 . . . . . II.18.1 Prova de Matemática Vestibular 2001/2002 . . . . . II.19.1 Prova de Matemática Vestibular 2000/2001 . . . . . II.20.1 Prova de Matemática Vestibular 1999/2000 . . . . . II.21.1 Prova de Matemática Vestibular 1998/1999 . . . . . II.22.1 Prova de Matemática

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380 387 396 396 402 409 409 415 425 425 430 439 439 445 451 451 456 465 465 471 481 481 485 491 491 495 500 500 507 507 517 517 524 524 531 531 539 539 545 545 553 553

II.23 Vestibular 1997/1998 . . . . . II.23.1 Prova de Matemática II.24 Vestibular 1996/1997 . . . . . II.24.1 Prova de Matemática II.25 Vestibular 1995/1996 . . . . . II.25.1 Prova de Matemática II.26 Vestibular 1994/1995 . . . . . II.26.1 Prova de Matemática II.27 Vestibular 1993/1994 . . . . . II.27.1 Prova de Matemática II.28 Vestibular 1992/1993 . . . . . II.28.1 Prova de Matemática II.29 Vestibular 1991/1992 . . . . . II.29.1 Prova de Matemática

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Prefácio da 2a Edição A origem deste livro remonta a 1984/1985, quando fiz o vestibular do IME sem a devida preparação e fui reprovado, como seria de se esperar. Em relação à 1a edição, esta nova edição: (i) atualiza o material até o ano de 2019/2020; (ii) inclui as provas de Álgebra e de Geometria de um segundo concurso de 1976/1977, realizado para completar algumas vagas que sobraram do primeiro exame; (iii) inclui a prova de Álgebra de 1975/1976 (a prova correspondente na 1a edição era na verdade a de 1974/1975); (iv) acrescenta a 10a questão, de forma a completar a prova de Geometria de 1973/1974; (v) acrescenta a prova de 1942/1942; (vi) acrescenta uma versão incompleta da prova de 1937/1938. Com todas essas mudanças, esta segunda edição contém um total de 144 enunciados de provas, 43 dos quais com soluções por mim propostas. Por motivos de diagramação, não incluo neste livro o material de Desenho Geométrico. Para os interessados, disponibilizo os enunciados das provas desse tema e soluções adionais de outras provas no endereço eletrônico www.smt.ufrj.br/∼sergioln/ime. Quem quiser me contactar para, por exemplo, enviar correções, pode usar os endereços sergioln@smt.ufrj.br ou sergiolimanetto@gmail.com. Devo sinceros agradecimentos a todos que colaboraram com a organização deste material. Em especial, a Onan Neves, Claudio Gustavo G. L. Lima, Caio S. Guimarães, Albert Colins Paulo Abreu, Ten. Petrenko (IMERJ), Francisco Claudio Gomes, Cap. Armando Staib (AMAN-RJ), João P. Botelho, Cel. Hélios Malebranche (AMAN-RJ) e Cap. Cunha (IME-RJ), pelo envio de diversos enunciados de provas. Peço licença ao leitor, ainda, para citar algumas pessoas fundamentais para a existência deste livro: o pesquisador e amigo Dr. Alessandro J. S. Dutra, quase um co-autor; os professores do IME, Marcelo Leão, José A. Apolinário Jr., Carla Pagliari e Marcelo Perez, que acreditaram na importância, até mesmo histórica, do material aqui incluído; e o professor Eduardo Wagner, que transforma sonhos em realidade. Acima de tudo, não posso deixar de agradecer aos meus pais, Sergio e Maria Christina; à minha esposa, Isabela, que me faz seguir sonhando, sempre; e à toda minha família. Rio de Janeiro, 25 de agosto de 2020 Sergio Lima Netto

Parte I

Enunciados

2019/2020 2018/2019 2017/2018 2016/2017 2015/2016 2014/2015 2013/2014 2012/2013 2011/2012 2010/2011 2009/2010 2008/2009 2007/2008 2006/2007

Objetiva X X X X X X X X X X X X X X

2005/2006 2004/2005 2003/2004 2002/2003 2001/2002 2000/2001 1999/2000 1998/1999 1997/1998 1996/1997 1995/1996 1994/1995 1993/1994 1992/1993 1991/1992

Matemática X X X X X X X X X X X X X X

Matemática X X X X X X X X X X X X X X X

1990/1991 1989/1990 1988/1989 1987/1988 1986/1987 1985/1986 1984/1985 1983/1984 1982/1983 1981/1982 1980/1981 1979/1980 1978/1979 1977/1978 1976/1977 1975/1976 1974/1975 1973/1974 1972/1973 1971/1972 1970/1971 1969/1970 1968/1969 1967/1968 1966/1967 1965/1966 1964/1965 1963/1964 1962/1963 1961/1962 1960/1961 1959/1960 1958/1959 1957/1958 1956/1957 1955/1956 1954/1955 1953/1954 1952/1953 1951/1952 1950/1951 1949/1950 1948/1949 1947/1948 1946/1947 1945/1946 1944/1945

Álgebra Cálculo X X X X X X X X X X X X X X XX1 X X X X X X X X X X X X X XX3 XX3 X X XX3 X XX3 XX3 X X X X X X X X X

Geometria Trigonometria X X X X X X X X X X X X X X XX1 X X X X X X X X X X X XX2 XX2 X X X X X X X X X X X X X X X X X

1943/1944 1942/1943 1941/1942 1940/1941 1939/1940 1938/1939 1937/1938

Matemática X X4

(*1): Houve um segundo concurso nesse ano para preencher algumas vagas disponíveis. (*2): As provas de Geometria e Trigonometria foram realizadas separadamente. (*3): As provas de Álgebra e Cálculo foram realizadas separadamente. (*4): A prova aqui incluída está incompleta.

I.1. VESTIBULAR 2019/2020

I.1 Vestibular 2019/2020 I.1.1 Prova Objetiva Questão 01: Seja U o conjunto dos 1000 primeiros números naturais maiores que zero. Considere que zeros à esquerda são omitidos. Seja A ⊆ U o conjunto de números cuja representação na base 10 tem o algarismo mais significativo igual a 1; e B ⊆ U o conjunto de números cuja representação na base 4 tem o algarismo mais significativo igual a 2. As cardinalidades de A − B e B − A são, respectivamente: (A) 46 e 277 (B) 45 e 275 (C) 44 e 275 (D) 45 e 277 (E) 46 e 275 Obs: Cardinalidade de um conjunto finito é o número de elementos distintos desse conjunto. Questão 02: O menor número natural ímpar que possui o mesmo número de divisores que 1800 está no intervalo: (A) [1, 16000] (B) [16001, 17000] (C) [17001, 18000] (D) [18001, 19000] (E) [19001, ∞) Questão 03: Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6 7, 8, 9, 10}. Seja F o conjunto de funções cujo domínio é A e cujo contradomínio é B. Escolhendo-se ao acaso uma função f de F , a probabilidade de f ser estritamente crescente ou ser injetora é: (A) 0,00252 (B) 0,00462 (C) 0,25200 (D) 0,30240 (E) 0,55440 Questão 04: Sabe-se que S = x + y + z, onde x, y e z são soluções inteiras do sistema abaixo.  p 3  2y 2   x =   2 2 ln(x) y = e      log y + log z = (x + 3) 2 x

O valor de S é: (A) 84 (B) 168

(D) 512

(E) 600

Questão 05: Seja A = {z ∈ C | 2 ≤ |z − 3 − 4i| ≤ 3} onde C é o conjunto dos números complexos. O valor do produto entre o simétrico do complexo de

I.6. VESTIBULAR 2014/2015

I.6 Vestibular 2014/2015 I.6.1 Prova Objetiva Questão 01: Os lados a, b e c de um triângulo estão em PA nesta ordem, sendo opostos os ângulos internos Â, B̂ e Ĉ, respectivamente. Determine o valor da expressão: Â − Ĉ 2 . Â + Ĉ cos 2 cos

(A)

√ 2.

(B) 2.

√ (C) 2 2.

(D) 3.

(E) 4.

Questão 02: Sejam x e y números reais não nulos tais que:  π e   logx y + logy x = a . 1 1   −1 − −1 = b π e logy x logx y xa+b+2e é: y a−b+2π r r π a.e . (C) . (B) e b.π

O valor de (A) 1.

(D) a − b.

(E)

(a + b) π . π

Questão 03: A função f : R → R é definida por: f (x) = ln

8 + 3 sen x − sen 3x . 8 − 4 sen x + 2 sen 2x cos x

Marque a opção verdadeira: (A) f não tem raízes reais. (B) f é uma função ímpar. (C) f é uma função par. (D) |f (x)| ≤ 1. (E) f é sobrejetora. Questão 04: A soma dos termos de uma progressão aritmética é 244. O primeiro termo, a razão e o número de termos formam, nessa ordem, outra

I.7. VESTIBULAR 2013/2014

I.7 Vestibular 2013/2014 I.7.1 Prova Objetiva 1a Questão [Valor 0,25]: Qual é o menor número? 22

(A) 2

(B) 99

(B) 4

(E) 213 .53   a b c 2a Questão [Valor 0,25]: Seja a matriz  b c a , em que a, b e c são c a b números reais positivos satisfazendo abc = 1. Sabe-se que AT A = I, em que AT é a matriz transposta de A e I é a matriz identidade de 3a ordem. O produto dos possíveis valores de a3 + b3 + c3 é (A) π.8!

(D) 33

(D) 8

(E) 10

3a Questão [Valor 0,25]: Sejam W = {y ∈ R|2k + 1 ≤ y ≤ 3k − 5} e S = {y ∈ R|3 ≤ y ≤ 22}. Qual é o conjunto dos valores de k ∈ R para o qual W 6= ∅ e W ⊆ (W ∩ S)? (A) {1 ≤ k ≤ 9}

(B) {k ≤ 9}

(D) {k ≤ 6}

(E) ∅

p √ 4a Questão [Valor 0,25]: Sabe-se y.z. z. x = x.y 3 .z 2 =

x = e, em √ z. y.z que e é a base dos logaritmos naturais. O valor de x + y + z é (A) e3 + e2 + 1 (D) e3 + e−2 + e

(B) e2 + e−1 + e (E) e3 + e−2 + e−1

5a Questão [Valor 0,25]: Uma elipse cujo centro encontra-se na origem e cujos eixos são paralelos ao sistema de eixos cartesianos possui compri√ √ 3 mento da semi-distância focal igual a 3 e excentricidade igual a 2 . Considere que os pontos A, B, C e D representam as interseções da elipse com as retas de equações y = x e y = −x. A área do quadrilátero ABCD é (A) 8

(B) 16

(C)

16 3

(D)

16 5

(E)

16 7

6a Questão [Valor 0,25]: Em um quadrilátero ABCD, os ângulos AB̂C e C D̂A são retos. Considere que sen (B D̂C) e sen (B ĈA) sejam as raízes da equação x2 + bx + c = 0, onde b, c ∈ R. Qual a verdadeira relação satisfeita

PARTE I. ENUNCIADOS

I.8.2 Prova Discursiva 1a Questão [Valor 1,0]: Considere log√b (a)2 = 4, com a e b números reais positivos. Determine o valor de m, número real, para que a equação x3 − 18x2 + [logb (ab)m + 8 − m]x − logb (a)2m = 0 tenha três raízes reais em progressão aritmética. 2a Questão [Valor 1,0]: Considere a, b e c números inteiros e 2 < a < b < c. Determine o(s) valor(es) de x, y e z, que satisfaçam o sistema de equações  ax − 2by + 3cz = 2abc    3ax − 4by = −abc . −by + cz = 0    xyz = 20132 2 1 a 3 Questão [Valor 1,0]: Considere a matriz A = . Seja a matriz 0 2 n X B= Ak , com k e n números inteiros. Determine a soma, em função de k=1

n, dos quatro elementos da matriz B.

45 n Y Y kπ 4 Questão [Valor 1,0]: Considere P = , com repre1 + tg 180 k=0 k=0 sentando o produto dos termos desde k = 0 até k = n, sendo k e n números inteiros. Determine o(s) valor(es) de m, número real, que satisfaça(m) a equação P = 2m . a

5a Questão [Valor 1,0]: Considere, Z1 e Z2 , complexos que satisfazem a equação x2 + px + q = 0, onde p e q são números reais diferentes de zero. Sabe-se que os módulos de Z1 e Z2 são iguais e que a diferença entre os seus argumentos vale α, onde α é diferente de zero. Determine o valor de cos2 α2 em função de p e q.

6a Questão [Valor 1,0]: Considere um triângulo ABC com lado BC igual a L. São dados um ponto D sobre o lado AB e um ponto E sobre o lado AC, EC DA = = m, com m > 1. Pelo de modo que sejam válidas as relações DB EA ponto médio do segmento DE, denominado M , traça-se uma reta paralela ao lado BC, interceptando o lado AB no ponto F e o lado AC no ponto H. Calcule o comprimento do segmento M H, em função de m e L. 7a Questão [Valor 1,0]: Considere um círculo com centro C, na origem, e raio 2. Esse círculo intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B, sendo a abscissa de A menor do que a abscissa de B. Considere P e Q, dois pontos desse círculo, com ordenadas maiores ou iguais a zero. O ângulo

I.10. VESTIBULAR 2010/2011

I.10

Vestibular 2010/2011

I.10.1 Prova Objetiva 1a Questão [Valor 0,25]: Seja o triângulo retângulo ABC com os catetos medindo 3 cm e 4 cm. Os diâmetros dos três semicírculos, traçados na figura abaixo, coincidem com os lados do triângulo ABC. A soma das áreas hachuradas, em cm2 , é:

C (A) 6

(B) 8

(D) 12

(E) 14

2 Questão [Valor 0,25]: O valor de x que satisfaz a equação sen(arccotg (1+x)) = cos(arctg (x)) : (A)

3 2

(B)

1 2

(C)

1 4

(D) − 21

(E) − 23

3a Questão [Valor 0,25]: A base de uma pirâmide é um retângulo de área S. Sabe-se que duas de suas faces laterais são perpendiculares ao plano da base. As outras duas faces formam ângulos de 30o e 60o com a base. O volume da pirâmide é: (A)

√ S S 3

(B)

√ S S 6

(C)

√ 2S S 3

(D)

√ 2S S 5

(E)

2S 2 3

4a Questão [Valor 0,25]: Sejam x1 , . . . , xn os n primeiros termos de uma progressão aritmética, O primeiro termo e a razão desta progressão são os números reais x1 e r, respectivamente. O determinante

x1 x1 x1 · · · x1

x1 x2 x2 · · · x2

x1 x2 x3 · · · x3

é :

.. .. .. ..

. . . . .

x1 x2 x3 · · · xn

(A) xn1 .rn

(B) xn1 .r

(D) x1 .rn

(E) x1 .rn−1

PARTE I. ENUNCIADOS

I.10.2 Prova Discursiva 1a Questão [Valor 1,0]: A base de um prisma reto ABCA1 B1 C1 é um triângulo com o lado AB igual ao lado AC. O valor do segmento CD vale x, onde D é o ponto médio da aresta lateral AA1 . Sabendo que α é o ângulo ACB e β é o ângulo DCA, determine a área lateral do prisma em função de x, α e β. 2a Questão [Valor 1,0]: √ Determine o valor da excentricidade da cônica dada pela equação x2 − 10 3 xy + 11y 2 + 16 = 0. 3a Questão [Valor 1,0]: Sejam z1 = 10 + 6i e z2 = 4 + 6i, onde i é a unidade z−z1 = π4 , determine o imaginária, e z um número complexo tal que arg z−z 2

módulo do número complexo (z − 7 − 9i). Obs: arg(w) é o argumento do número complexo w.

4a Questão [Valor 1,0]: Os números m, 22.680 e n fazem parte, nessa ordem, de uma progressão geométrica crescente com razão dada por q. Sabe-se que: • existem, pelo menos, dois elementos entre m e 22.680; • n é o sexto termo dessa progressão geométrica; • n ≤ 180.000 .

Determine os possíveis valores de m e n, sabendo que m, n e q são números naturais positivos. 5a Questão [Valor 1,0]: Seja ABC um triângulo onde α, β e γ são os ângulos internos dos vértices A, B e C, respectivamente. Esse triângulo está inscrito em um círculo de raio unitário. As bissetrizes internas desses ângulos interceptam esse círculo nos pontos A1 , B1 e C1 , respectivamente. Determine o valor da expressão AA1 cos α2 + BB1 cos β2 + CC1 cos γ2 . sen α + sen β + sen γ 6a Questão [Valor 1,0]: Resolva a equação z 2 +

9z 2 = −5, onde z (z + 3)2

pertence ao conjunto dos números complexos. 7a Questão [Valor 1,0]: Seja x um número inteiro positivo menor ou igual a 20.000. Sabe-se que 2x − x2 é divisível por 7. Determine o número de possíveis valores de x.

I.12. VESTIBULAR 2008/2009

I.12

Vestibular 2008/2009

I.12.1 Prova Objetiva 1a Questão [Valor 0,25]: Sejam dois conjuntos, X e Y , e a operação ∆, definida por X∆Y = (X − Y ) ∪ (Y − X). Pode-se afirmar que (A) (X∆Y ) ∩ (X ∩ Y ) = ∅ (B) (X∆Y ) ∩ (X − Y ) = ∅ (C) (X∆Y ) ∩ (Y − X) = ∅ (D) (X∆Y ) ∪ (X − Y ) = X (E) (X∆Y ) ∪ (Y − X) = X 2a Questão [Valor 0,25]: Seja z = ρ.eiθ um número complexo onde ρ e θ são, respectivamente, o módulo e o argumento de z e i é a unidade imaginária. Sabe-se que ρ = 2a cos θ, onde a é uma constante real positiva. A representação de z no plano complexo é Eixo Imaginário

Eixo Imaginário

(B)

(A)

a i.a

a a

Eixo Real

Eixo Imaginário

(C)

Eixo Imaginário

(D)

a i.a a

Eixo Real

Eixo Imaginário

(E)

a i.a −a

Eixo Real

a −a

Eixo Real

PARTE I. ENUNCIADOS

12a Questão [Valor 0,25]: A soma dos números inteiros positivos de quatro algarismos que admitem 3, 5 e 7 como fatores primos é: (A) 11025

(B) 90300

(D) 474075

(E) 475105

13 Questão [Valor 0,25]: Seja x um número real ou complexo para o qual x + x1 = 1. O valor de x6 + x16 é:

(A) 1

(B) 2

(D) 4

(E) 5

ex − e−x , g(x) = ex e h(x) = ex + e−x g(f −1 (x)). Se os valores da base e da altura de um triângulo são definidos por h(0,5) e h(0,75), respectivamente, a área desse triângulo é igual a: √ √ √ (A) 2e (B) 27 (C) 221 (D) 10 (E) e

14a Questão [Valor 0,25]: Sejam f (x) =

15a Questão [Valor 0,25]: Seja a i um dos termos da progressão geométrica com oito elementos 2, 1, 21 , 14 , . . . , e S = log2 a1 + log2 a2 + . . . + log2 a8 . Se S e f (x) = |x + 2b| + |2x − b|, o valor de f (1) será: b = −5 (A) −7

(B) 7

(D) −11

(E) 1

I.13.2 Prova Discursiva 1a Questão [Valor 1,0]: Determine o conjunto-solução da equação sen3 x + cos3 x = 1 − sen2 x. cos2 x 2a Questão [Valor 1,0]: Encontre o polinômio P (x) tal que Q(x) + 1 = (x − 1)3 .P (x) e Q(x) + 2 é divisível por x4 , onde Q(x) é um polinômio do 6o grau. 3a Questão [Valor 1,0]: Os elementos da matriz dos coeficientes de um sistema de quatro equações lineares e quatro incógnitas (x, y, z e w) são função de quatro constantes a, b, c e d. Determine as relações entre a, b, c e d para que o referido sistema admita uma solução não trivial, sabendo que CD = −DC, onde a b x y C= eD= . c d z w 4a Questão [Valor 1,0]: Uma sequência de quatro termos forma uma PG. Subtraindo-se 2 do primeiro termo e k do quarto termo, transforma-se a sequência original em uma PA. Uma terceira sequência é obtida somando-se os termos correspondentes da PG e da PA. Finalmente, uma quarta sequência, uma nova PA, é obtida a partir da terceira sequência, subtraindo-se 2 do terceiro termo e sete do quarto. Determine os termos da PG original.

I.14. VESTIBULAR 2006/2007

I.14.2 Prova Discursiva "

3 4 1 4

1 4 3 4

e B = 1a Questão [Valor 1,0]: Considere as matrizes A = 1 0 , e seja P uma matriz inversível tal que B = P −1 AP . Sendo n 0 21 um número natural, calcule o determinante da matriz An . 2a Questão [Valor 1,0]: Considere uma sequência de triângulos retângulos cuja lei de formação é dada por 2 aK 3 4 = bK 5

aK+1 = bK+1

onde aK e bK , para K ≥ 1, são os comprimentos dos catetos do K-ésimo triângulo retângulo. Se a1 = 30 cm e b1 = 42 cm, determine o valor da soma das áreas de todos os triângulos quando K → ∞. 3a Questão [Valor 1,0]: Considere o sistema de equações dado por 3 log3 α + log9 β = 10 log9 α − 2 log3 β = 10

onde α e β são números reais positivos. Determine o valor de P = αβ. 4a Questão [Valor 1,0]: Sejam C e C ∗ dois círculos tangentes exteriores de raios r e r∗ e centros O e O∗ , respectivamente, e seja t uma reta tangente comum a C e C ∗ nos pontos não coincidentes A e A∗ . Considere o sólido de revolução gerado a partir da rotação do segmento AA∗ em torno do eixo OO∗ , e seja S a sua correspondente área lateral. Determine S em função de r e r∗ . 5a Questão [Valor 1,0]: Resolva a equação π π log(sen x+cos x) (1 + sen 2x) = 2, x ∈ [− , ]. 2 2 6a Questão [Valor 1,0]: O quadrilátero BRAS, de coordenadas A(1, 0), B(−2, 0), R(x1 , y1 ) e S(x2 , y2 ) é construído tal que RÂS = RB̂S = 90o . Sabendo que o ponto R pertence à reta t de equação y = x + 1, determine a equação algébrica do lugar geométrico descrito pelo ponto S ao se deslocar R sobre t. 7a Questão [Valor 1,0]: Sejam x1 e x2 as raízes da equação x2 +(m−15)x+ m = 0. Sabendo que x1 e x2 são números inteiros, determine o conjunto de valores possíveis para m.

I.15. VESTIBULAR 2005/2006

I.15

Vestibular 2005/2006

I.15.1 Prova de Matemática 1a Questão [Valor 1,0]: Sejam a1 = 1−i, an = r+si e an+1 = (r−s)+(r+s)i (n > 1) termos de uma sequência. Determine, em função de n, os valores de r e s que tornam esta sequência √ uma progressão aritmética, sabendo que r e s são números reais e i = −1. 2a Questão [Valor 1,0]: Considere o polinômio p(x) = x5 − 3x4 − 3x3 + 27x2 − 44x + 30 Sabendo que o produto de duas de suas raízes complexas é igual a 3 − i e que as partes reais e imaginárias de todas as suas raízes complexas são inteiras e não-nulas, calcule todas as raízes do polinômio. 3a Questão [Valor 1,0]: Um trapézio ABCD, de base menor AB e base maior CD, possui base média M N . Os pontos M ′ e N ′ dividem a base média em três segmentos iguais, na ordem M M ′ N ′ N . Ao se traçar as retas AM ′ e BN ′ , verificou-se que as mesmas se encontraram sobre o lado CD no ponto P . Calcule a área do trapézio M ′ N ′ CD em função da área de ABCD. 4a Questão [Valor 1,0]: Seja Dn  2 −1 0 0  −1 2 −1 0   0 −1 2 −1 An =   ... ... ... ...   0 0 0 0 0 0 0 0

= det(An ), onde  ... 0 0 ... 0 0   ... 0 0   ... ... ...   ... 2 −1  . . . −1 2 n×n

Determine Dn em função de n (n ∈ N, n ≥ 1).

5a Questão [Valor 1,0]: Determine os valores de x, y, z e r que satisfazem o sistema r = logy x Cr+y

logy z = 4 + logx z y Cr+y = logx z + logz z

PARTE I. ENUNCIADOS

6a Questão [Valor 1,0]: Considere um triângulo ABC de área S. Marca-se o ponto P sobre o lado AC tal que P A/P C = q, e o ponto Q sobre o lado BC de maneira que QB/QC = r. As cevianas AQ e BP encontram-se em T , conforme ilustrado na figura. Determine a área do triângulo AT P em função de S, q e r. A P T

7a Questão [Valor 1,0]: Considere uma elipse de focos F e F ′ , e M um ponto qualquer dessa curva. Traça-se por M duas secantes M F e M F ′ , que interceptam a elipse em P e P ′ , respectivamente. Demonstre que a soma (M F /F P ) + (M F ′ /F ′ P ′ ) é constante. Obs: Calcule inicialmente a soma (1/M F )+(1/F P ). 8a Questão [Valor 1,0]: Sejam a, b, e c as raízes do polinômio p(x) = x3 + rx − t, onde r e t são números reais não nulos. a) Determine o valor da expressão a3 + b3 + c3 em função de r e t. b) Demonstre que S n+1 + rS n−1 − tS n−2 = 0 para todo número natural n ≥ 2, onde S k = ak + bk + ck para qualquer número natural k. 9a Questão [Valor 1,0]: Calcule o determinante da matrix n × n em função de b, onde b é um número real tal que b2 6= 1. 



b +1 b

 0 0 . . . 0 0 

 

b b2 +1 b

 0 . . . 0 0  

2 

 b b +1 b . . . 0 0  

0 b b +1 . . . 0 0

n linhas

.. .. .. .. .. ..  .. 

. . . . . . .

  

2 

 0 0 0 . . . b +1 b 

  2

0 0 0 ... b b +1   {z } | n colunas

PARTE I. ENUNCIADOS

I.18

Vestibular 2002/2003

I.18.1 Prova de Matemática 1a Questão [Valor 1,0]: Seja z um número complexo de módulo unitário que satisfaz a condição z 2n 6= −1, onde n é um número inteiro positivo. zn é um número real. Demonstre que 1 + z 2n 2a Questão [Valor 1,0]: Determine todos os valores reais de x que satisfazem a equação:

log 12x3 − 19x2 + 8x = log 12x3 − 19x2 + 8x ,

onde log(y) e |y| representam, respectivamente, o logaritmo na base 10 e o módulo de y. 3a Questão [Valor 1,0]: Dada numa circunferência de raio R, inscreve-se nela um quadrado. A seguir, inscreve-se uma circunferência neste quadrado. Este processo se repete indefinidamente para o interior da figura de maneira que cada quadrado estará sempre inscrito em uma circunferência e simultaneamente circunscrito por outra. Calcule, em função de R, a soma das áreas delimitadas pelos lados dos quadrados e pelas circunferências que os circunscrevem, conforme mostra a figura.

1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 111111111 000000000 0 1 0000000 1111111 0 1 0 1 0000000 1111111 00 11 000 111 0 1 0 1 0000000 1111111 00 11 000 111 000000 111111 0 1 0 1 00000 11111 00 11 000 111 000000 111111 0 1 R 0 1 0 1 00000 11111 00 11 00 11 000 111 0 1 0 1 0 1 0 1 00000 11111 00 11 00 11 000 111 0 1 00 11 1111 0000 0 1 0 1 0 1 00 11 0 1 0 1 00 11 00 11 000 111 0 1 00 11 00 11 00 11 0 1 11 00 0 1 0 1 0 1 00 11 0 1 00 11 00 11 000 111 0 1 00 11 00 11 00 11 00 11 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 00 11 0 1 00 11 00 11 000 111 0 1 00 11 00 11 00 11 00 11 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 000 111 0 1 0 1 00 11 0 1 00 11 00 11 000 111 0 1 00 11 1 0 00 11 00 11 0000 1111 0 1 0 1 000 111 0 1 00 11 00 11 000 111 0 1 00 11 0000 1111 00 11 00 11 0000 1111 0 1 0 1 0 1 00 11 00 11 000 111 0 1 0000 1111 00 11 0 1 0 1 0 1 00 11 00 11 000 111 0000 1111 R 0 1 0 1 00000 11111 00 11 000 111 0 1 0 1 00000 11111 00 11 000 111 0 1 0 1 0000000 1111111 0 1 0 1 0000000 1111111 0 1 0 1 0000000 1111111 11111111 00000000 0 1 0 1

PARTE I. ENUNCIADOS

I.22

Vestibular 1998/1999

I.22.1 Prova de Matemática 1a Questão [Valor 1,0]: Determine as raízes de z 2 + 2iz + 2 − 4i = 0 e √ localize-as no plano complexo, sendo i = −1. 2a Questão [Valor 1,0]: Sejam as funções g(x) e h(x) assim definidas: g(x) = 3x − 4; h(x) = f (g(x)) = 9x2 − 6x + 1. Determine a função f (x) e faça seu gráfico. 3a Questão [Valor 1,0]: Calcule o valor de (1,02)−10 , com dois algarismos significativos, empregando a expansão do binômio de Newton. 4a Questão [Valor 1,0]: Determine θ sabendo-se que: 2 1 − cos4 θ 1 + cotg2 θ . = ; i) 1 − sen4 θ 1 + tg2 θ 3 ii) 0 < θ ≤ 2π radianos. 5a Questão [Valor 1,0]: Determine α para que seja impossível o sistema:  3z =4  x + 2y − 3x − y + 5z =2  4x + y + (α2 − 14)z = α + 2

6a Questão [Valor 1,0]: Determine as possíveis progressões aritméticas para as quais o resultado da divisão da soma dos seus n primeiros termos pela soma dos seus 2n primeiros termos seja independente do valor de n.

7a Questão [Valor 1,0]: Determine uma matriz não singular P que satisfaça 6 0 1 2 a equação matricial P −1 A = , onde A = . 0 −1 5 4 8a Questão [Valor 1,0]: Seja o polinômio P (x) de grau (2n + 1) com todos os seus coeficientes positivos e unitários. Dividindo-se P (x) por D(x), de grau 3, obtém-se o resto R(x). Determine R(x), sabendo-se que as raízes de D(x) são raízes de A(x) = x4 − 1 e que D(1) 6= 0. 9a Questão [Valor 1,0]: Uma piscina de base retangular tem, em metros, as seguintes dimensões: base, 5×6 e altura, 3. Dois terços do volume da piscina são ocupados por água. Na superfície superior da água, forma-se uma pequena bolha de ar. A bolha de ar está equidistante das paredes de

I.29. VESTIBULAR 1991/1992

I.29

105

Vestibular 1991/1992

I.29.1 Prova de Matemática 1a Questão [Valor 1,0]: Prove que Z1 + Z2 = Z1 + Z2 , onde Z1 e Z2 ∈ C. 2a Questão [Valor 1,0]: Encontre todas as soluções de sec x − 2 cos x = 1 em [0, 2π]. 3a Questão [Valor 1,0]: Dado o quadrilátero ABCD, inscrito num círculo de raio r, conforme a figura abaixo, prove que: AB.AD + BC.CD AC = BD AB.BC + CD.AD

C M

4a Questão [Valor 1,0]: Calcule quantos números naturais de 3 algarismos distintos existem no sistema de base 7. 5a Questão [Valor 1,0]: Determine a equação da reta que passa por um dos vértices da curva definida por 4y 2 + 8y − x2 = 4, formando um ângulo de 45o com o eixo horizontal. 6a Questão [Valor 1,0]: Dados: (1) Um cone de revolução com vértice S e cuja base circular está situada num plano π. (2) Um ponto P exterior ao cone e não pertencente a π. Pede-se: determinar, pelo ponto P , os planos tangentes ao cone. 7a Questão [Valor 1,0]: A partir da função R(t) = e−At +

A e−At − e−Bt B−A

I.30. VESTIBULAR 1990/1991

I.30

107

Vestibular 1990/1991

I.30.1 Prova de Álgebra 1a Questão [Valor 1,0]: Determine todas as matrizes X reais, de dimensões 2 × 2, tais que AX = XA, para toda matriz A real 2 × 2. 2a Questão [Valor 1,0]: Dado o conjunto A = {1, 2, 3, . . . , 102}, pede-se o número de subconjuntos de A, com três elementos, tais que a soma destes seja um múltiplo de três. 3a Questão [Valor 1,0]: A coleção de selos de Roberto está dividida em três volumes. Dois décimos do total de selos estão no primeiro volume, alguns sétimos do total estão no segundo volume e 303 selos estão no terceiro volume. Quantos selos Roberto tem? 4a Questão [Valor 1,0]: Mostre que o número s s r r 125 125 3 3 3+ 9+ − −3 + 9 + 27 27 é racional. 5a Questão [Valor 1,0]: a) Sendo dada a equação x3 + px + q = 0, p, q ∈ R, que relação deverá existir entre p e q para que uma das raízes seja igual ao produto das outras duas? b) Mostre que a equação x3 − 6x − 4 satisfaz a relação encontrada e, em seguida, encontre suas raízes. 6a Questão [Valor 1,0]: Seja D = {(x, y) ∈ R2 | 0 < x < 1 e 0 < y < 1} e F : D → R2 uma função tal que ∀(x, y) ∈ D associa (x, y) ∈ R2 onde x=y y = (1 − y)x a) Sendo T = {(x, y)| x > 0, y > 0, x + y < 1}, mostre que F é uma bijeção de D sobre T . b) Esboce a imagem dos conjuntos da forma {(x, y) ∈ D| y = λx} para os 1 1 seguintes valores de λ : λ0 = ; λ1 = ; λ2 = 1. 4 2

I.30. VESTIBULAR 1990/1991

109

b) Sendo n ∈ Z+ , seja P (n) = (1 +

1 2 n−1 )(1 + 2 ) . . . (1 + ) n2 n n2

Mostre que se n → ∞, P (n) admite um limite e calcule esse limite.

I.30.2 Prova de Geometria 1a Questão [Valor 1,0]: Sejam um círculo, com centro O e raio R, e um ponto P tal que OP = 3R. a) Determine o diâmetro M N de modo que o triângulo P M N seja retângulo com ângulo reto em M . b) Calcule, em função de R, os lados e a área do triângulo P M N . c) P N intercepta a circunferência em um segundo ponto K. Calcule P K. d) O diâmetro M N gira em torno de O. Qual o lugar geométrico dos pés das perpendiculares traçadas de P sobre M N ? e) Determine a posição do diâmetro M N para que a área do triângulo P M N seja máxima. 2a Questão [Valor 1,0]: Considere um círculo e uma reta que não se interceptam, ambos contidos num plano. Determine o lugar geométrico dos centros dos círculos que são tangentes ao círculo dado (exteriormente) e à reta dada. 3a Questão [Valor 1,0]: Sejam dois quadrados ABCD e ABEF , tendo um lado comum AB, mas não situados num mesmo plano. Sejam M e N perAM BN 1 = = . tencentes, respectivamente, às diagonais AC e BF tais que AC BF 3 Mostre que M N é paralelo a DE. 4a Questão [Valor 1,0]: Sejam A, B e C os ângulos de um triângulo. Mostre que sen 2A + sen 2B + sen 2C = 4 sen A. sen B. sen C 5a Questão [Valor 1,0]: Mostre que se num triângulo ABC vale a relação cos (B − C) = tg B sen A + sen(C − B)

então o triângulo é retângulo com ângulo reto em A. 6a Questão [Valor 1,0]: Seja um cone reto de base circular, vértice V , altura h e raio de base r e seja ABC um triângulo equilátero circunscrito à base do cone. Peded-se:

I.33. VESTIBULAR 1987/1988

I.33

119

Vestibular 1987/1988

I.33.1 Prova de Álgebra Determine o valor de a para que o sistema abaixo tenha mais de uma solução e resolva-o neste caso:   x+y−z =1 2x + 3y + az = 3  x + ay + 3z = 2 2a Questão [Valor 1,0]: Para que valores de x a função 1

f (x) = |x| ln x4 . ln x2 1

assume o valor e 4 ? Obs: ln denota logaritmo neperiano. 3a Questão [Valor 1,0]: a) Mostre que se p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a1 x3 + a0 x4 , então existe um polinômio g(x) do 2o grau, tal que p(x) = x2 g(x + x−1 ). b) Determine todas as raízes do polinômio p(x) = 1 + 4x + 5x2 + 4x3 + x4 . 4a Questão [Valor 1,0]: Seja a função 1 1 − f (x) = 6 x2 x a) Determine os pontos de máximo, mínimo e de inflexão de f (x), caso existam. b) Trace o gráfico desta função. 5a Questão [Valor 1,0]: Considere a sequência cujos primeiros termos são: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . . Seja an seu n-ésimo termo. Mostre que √ !n 1+ 5 an < 2 para todo n ≥ 2. 6a Questão [Valor 1,0]: Determine a equação e o raio do círculo de menor diâmetro, que possui com o círculo x2 + y 2 − 8x − 25 = 0, eixo radical y − 2x − 5 = 0. 7a Questão [Valor 1,0]: Considere um torneio de xadrez com 10 participantes. Na primeira rodada cada participante joga somente uma vez, de modo

130

PARTE I. ENUNCIADOS

I.36

Vestibular 1984/1985

I.36.1 Prova de Álgebra 1a Questão [Valor 1,0]: Sejam as funções √ √ p 1 + x2 + 1 − x2 √ √ e y = 1 − x4 z= 1 + x2 − 1 − x2 Mostre que no subconjunto dos reais onde as funções são definidas dz z = 4 dy x 2a Questão [Valor 1,0]: Encontre o valor de k para que a reta determinada k para x 6= pelos pontos A(0, 3) e B(5, −2) seja tangente à curva y = x+1 −1. 3a Questão [Valor 1,0]: Determine o valor de b tal que lim

n→∞

n X

logp 5t+1 = 4

t=0

onde p = b(t+1)2 . 4a Questão [Valor 1,0]: Seja A uma relação definida sobre os reais, contendo os pontos pertencentes às retas y = 21 x e y = 2x. Determine os pontos que necessariamente devem pertencer à A para que A seja transitiva. 5a Questão [Valor 1,0]: Sejam z1 e z2 complexos de raios vetores OP1 e OP2 , respectivamente. Mostre que OP1 e OP2 são perpendiculares se e somente se z1 z2 é um imaginário puro. Obs: z é o conjugado complexo de z. 6a Questão [Valor 1,0]: Sabe-se que as raízes do polinômio abaixo são todas reais e distintas f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 ;

I.37. VESTIBULAR 1983/1984

137

2a Questão [Valor 1,4] a) [Valor 0,8] São dados dois círculos C(O, r) e C ′ (O′ , r′ ), um ponto fixo A sobre C e um ponto fixo A′ sobre C ′ . Traçam-se cordas paralelas AB e A′ B ′ nos círculos C e C ′ , respectivamente. Determine a direção destas cordas para que o produto AB.A′ B ′ seja máximo. A

O’

A’

b) [Valor 0,6] Dá-se um triângulo ABC. De um ponto P variável (e não pertencente às retas suportes dos lados do triângulo) traçam-se retas P B e P C. Sejam L e M os pés das perpendiculares de A a estas retas. Com a variação de P , o comprimento LM também varia. Qual o comprimento máximo de LM ? Obs: Para resolver este item não é necessário determinar a posição de P , correspondente a este máximo de LM . 3a Questão [Valor 0,5]: Sejam ℓ o lado de um polígono regular de n lados, r e R, respectivamente, os raios dos círculos inscrito e circunscrito a este polígono. Prove que r+R=

π ℓ cotg 2 2n

4a Questão [Valor 0,8]: Um paralelepípedo tem a base ABCD sobre um plano horizontal e as arestas verticais são AA′ , BB ′ , CC ′ e DD′ . As três arestas concorrentes AB = a, AD = b e AA′ = c formam um triedro triretângulo, sendo a > b > c. Um plano secante corta a aresta AB em seu B′ 1 ′ ′ ponto médio M , a aresta BB ′ no ponto N , tal que N N B = 3 e a aresta B C ′ em P , tal que B P = x, com 0 < x ≤ b. Pede-se estudar a forma das seções obtidas pelo plano secante M N P no paralelepípedo, quando a distância x varia nas condições dadas.

150

PARTE I. ENUNCIADOS

7a Questão [Valor 1,0]: A população de um país, no ano t, t ≥ 1860, é dada, aproximadamente, por: N (t′ ) =

L 1+e

λ−t′ α

; onde t′ = t − 1860

L, λ, α são constantes reais e 106 × N (t′ ) é o número de habitantes. a) [Valor 0,7] Calcule a população do país no ano 2000, sabendo-se que em 1860, ele tinha 15 milhões de habitantes, em 1895, 18 milhões de habitantes e em 1930, 20 milhões de habitantes. Obs: e é a base do sistema de logaritmos neperianos. b) [Valor 0,3] Ao longo do tempo, a população tenderá a um número finito de habitantes? Justifique sua resposta. 8a Questão [Valor 1,0]: Seja C o conjunto dos números complexos e seja h ∈ C. Diz-se que um ponto h é um ponto de Hurwitz se |h| = 1 e, para todo 2−i é um ponto de número natural n, hn+1 6= 1. Prove que o ponto z = 2+i Hurwitz. Obs: i2 = −1. 9a Questão [Valor 1,0]: Prove a seguinte identidade: X n n+1 n−k k = , 2m + 1 m m k=0

onde n e m são inteiros positivos e n! n , para n ≥ m = m (n − m)!m! n e = 0, para n < m m

10a Questão [Valor 1,0]: Seja M = (mij ) uma matriz quadrada real n × n de termos positivos. Define-se o “permanente de M ” como X perm M = m1t(1) m2t(2) . . . mnt(n) S

onde Sé o conjunto  das permutações (t(1), t(2), . . . , t(n)) de {1, 2, . . . , n}. A 1 2 3 matriz  4 5 6  tem, por exemplo, como permanente 7 8 9 1×5×9 + 4×8×3 + 2×6×7 + 3×5×7 + 2×4×9 + 1×6×8.

Seja a matriz n × n, H = (hij ) onde hij = i(j + 1). Calcule o permanente de H.

I.44. VESTIBULAR 1976/1977

I.44

165

Vestibular 1976/1977

I.44.1 Prova de Álgebra 1a Questão [Valor 1,0]: a) [Valor 0,5] Seja x ∈ R. Determine o conjunto A, onde A ⊂ R, domínio de definição da função f , onde f : x −→ log2 (x2 − x − 1) b) [Valor 0,5] Seja f : R −→ R x −→ det

sen x ex

cos x x

Desenvolva a função f dada, em torno da origem, com uso da fórmula de Taylor até o termo de segundo grau em x. 2a Questão [Valor 1,0]: Sejam x1 e x2 raízes da equação x2 − (a + d)x + ad − bc = 0

onde a, b, c, d ∈ R. Determine A de modo que x31 e x32 sejam raízes da equação: y 2 − (a3 + d3 + 3abc + 3bcd)y + A = 0 3a Questão [Valor 1,0]: Sejam A, B ∈ R2 de coordenadas cartesianas (2, 5) e (1, 3), vértices fixos de um conjunto de triângulos de área 12. Determine a equação do lugar geométrico do conjunto de pontos C, terceiro vértice destes triângulos. Obs: A área é considerada positiva qualquer que seja a orientação do triângulo, de acordo com a definição axiomática. 4a Questão [Valor 1,0]: Seja f : C −→ C

z −→ iz + 2 + 3i

Seja o conjunto

x y2 + = 1} A = {x + iy ∈ C

9 4

Determine o conjunto B imagem de A pela função f .

I.53. VESTIBULAR 1968/1969

I.53

217

Vestibular 1968/1969

I.53.1 Prova de Álgebra 1a Questão, Item 1 [Valor 0,7]: Em um triângulo são dados dois lados a e b. Determinar a expressão do lado c em função de a e b, para que a área do triângulo seja máxima. 1a Questão, Item 2 [Valor 0,7]: Seja n um número inteiro positivo, tal que os coeficientes dos 5o , 6o e 7o termos, em relação a x, do desenvolvimento de !n √ n logn 2 , √ e +x loge n. logn 2 segundo as potências decrescentes de x, estão em progressão aritmética. Determinar n. Obs: e é a base do sistema de logaritmos neperianos. 1a Questão, Item 3 [Valor 0,7]: Seja E uma elipse de semi-eixos a e b conforme ilustra a figura. Considere-se uma tangente variável P P ′ em um ponto M de E, compreendido entre duas tangentes fixas às extremidades do eixo focal de E. Calcular o produto AP .A′ P ′ . P’ A’

M b

P A x

1a Questão, Item 4 [Valor 0,7]: Calcular o determinante de 4a ordem:

1 −1 0 4

1 0 −1 1

D =

1 0 3

1 6 5 0

completando os quadros abaixo, de forma que o 6o quadro indique imediatamente a resposta, sem recurso necessário à operação de adição.

I.55. VESTIBULAR 1966/1967

229

I.55.2 Prova de Geometria 1a Questão [Valor 1,0]: Determinar a condição que deve ser imposta a b para que seja possível o sistema: ( tg z + tg y = 2 sec2 z + sec2 y = b

2a Questão [Valor 0,5]: Um prisma A, um prisma B e uma pirâmide C têm ao todo 32 arestas. Sabendo-se que A tem mais arestas que B, dizer o número de lados da base de cada sólido. 3a Questão [Valor 1,0]: Na figura abaixo, AB e AC são tangentes ao círculo menor. Determinar, em função de r, a área da parte hachurada.

11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 A 11111111 C 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 r r 00000000 11111111 O 00000000 11111111 00000000 11111111 B

4a Questão [Valor 0,5]: Determinar, justificando sucintamente, o número de polígonos convexos ou estrelados, não semelhantes, que se pode construir com 15 lados. 5a Questão [Valor 1,5]: Um trapézio de vértices ABCD está inscrito em um círculo, de raio R, sendo AB = R e CD = 2R e sendo BC e AD lados não paralelos. Traçam-se as bissetrizes dos ângulos internos do trapézio, de modo que a bissetriz de Â intercepta a de D̂ no ponto Q, a de B̂ intercepta a de Ĉ no ponto N e a de Ĉ intercepta a de D̂ no ponto M . Sabendo que os pontos M , N e Q são interiores ao trapézio ABCD e que o ponto P é a interseção das bissetrizes de Â e B̂, determine: a) [Valor 1,0]: A relação entre as áreas dos polígonos M N P Q e ABCD. b) [Valor 0,5]: O volume gerado pela revolução do polígono M N P Q em torno de um eixo que contém BC.

312

PARTE II. SOLUÇÕES PROPOSTAS

II.1.2 Prova de Matemática 1a Questão [Valor 1,0]: Seja q > 1 a razão da progressão geométrica a, b, c, d, de modo que b = aq, c = aq 2 e d = aq 3 . Das relações de Girard, têm-se   a+b=4 a(1 + q) = 4       2   ab = M a q=M ⇒ ⇒ q = 3 e a = 1. 2    c + d = 36  aq (1 + q) = 36     2 5 cd = N a q =N Logo, (M + N ) = (a2 q + a2 q 5 ) = (3 + 243) = 246.

2a Questão [Valor 1,0]: Seja Z = reiθ = r(cos θ + i sen θ) ≡ a + bi, com a e √ 2 b reais e r = a + b2 , de modo que ( Z a b 20 = 20 + 20 i . 20 20reiθ 20a 20b = = 2 2 + r2 i r r Z Assim, devemos ter   a ≤1 0 ≤ 20           b   0≤ ≤ 1 20 ⇒   0 ≤ a220a   +b2 ≤ 1         20b 0 ≤ a2 +b2 ≤ 1

0 ≤ a ≤ 20 0 ≤ b ≤ 20

0 ≤ 20a ≤ a2 + b2 0 ≤ 20b ≤ a2 + b2

⇒

 0 ≤ a ≤ 20       0 ≤ b ≤ 20

 100 ≤ (a − 10)2 + b2      100 ≤ a2 + (b − 10)2

que corresponde à região indicada na figura abaixo, cuja área S é dada por 2 102 π 10 π 100 S = 400−2× = 400−100π+50π−100 = 50(6−π). +2× − 2 4 2

b 20

316

PARTE II. SOLUÇÕES PROPOSTAS

7a Questão [Valor 1,0]: Multiplicando em cima e embaixo o lado direito D π da expressão do enunciado por cos 14 e usando a fórmula do seno do arco dobro, têm-se D=

π π 5π 3π 5π sen 2π cos 14 sen 14 sen 3π 14 sen 14 14 sen 14 sen 14 = . π π cos 14 2 cos 14

Dado que sen θ = cos( π2 − θ), têm-se então que π 3π 5π π 4π 2π sen 2π sen 2π 14 cos 2 − 14 cos 2 − 14 14 cos 14 cos 14 D= = , π π 2 cos 14 2 cos 14 de modo que, usando novamente as simplificações acima, têm-se π 4π sen 8π cos π2 − 8π cos − 14 sen 4π 1 14 14 cos 14 14 = = = , D= π π = π π 4 cos 14 8 cos 14 8 cos 14 8 cos 14 8 de tal modo que b = 8. 8a Questão [Valor 1,0]: y

B x

Seja r : 14x − 2y + k = 0 a equação da bissetriz r do triângulo ∆ABC a partir do vértice C ≡ (xc , yc ), tal que k = (2yc − 14xc ). Essa reta intercepta o k lado AB sobre o eixo x no ponto M ≡ (− 14 , 0) ≡ (xc − y7c , 0). Pelo Teorema das Bissetrizes, têm-se então que

AC AM

BC MB

⇒

(xc − 5)2 + yc2 (xc + 5)2 + yc2 = 2 . 2 xc − y7c + 5 xc − y7c − 5

Expandindo essa equação, têm-se (x2c + 25 + yc2 )(

10yc y2 2xc yc − 10xc ) + 10xc (x2c + c + 25 − )=0 7 49 7

⇒ 7x2c − 7yc2 + 48xc yc = 175, que √ corresponde √ a uma hipérbole equilátera. Logo, a = b, c = a 2 e e = ac = 2.

√

a2 + b 2 =

322

PARTE II. SOLUÇÕES PROPOSTAS

Questão 10: (D) 3. A função f (x) = (cos x)2018 vale f (x) = 1 em x = kπ, com k inteiro, e vale f (x) = 0 em x = kπ + π2 . Nos demais valores de x, f (x) se aproxima muito de f (x) = 0, já que ela corresponde a um valor menor do 1 elevado a expoente muito alto (2018). 2 Já a função g(x) = 2 − 2(x/π) vale g(x) = 1 em x = 0 e vale g(x) = 0 em x = ±π. Além disso, a função decresce à medida de x se afasta de x = 0 nas duas direções x → ±∞.

−π

A partir dessas informações, podemos fazer um esboço grosseiro dos gráficos de f (x) e g(x) e concluir que há 3 soluções para a equação f (x) = g(x). Questão 11: (A) 2 sen (Â + Ĉ) = sen (Â) + sen (Ĉ). Do enunciado (a + c) = 2b e B̂ = [180o − (Â + Ĉ)], de modo que, da Lei dos Senos, têm-se b sen Â sen B̂

b sen Ĉ sen B̂

= 2b ⇒ sen Â + sen Ĉ = 2 sen B̂ = 2 sen(Â + Ĉ).

Questão 12: (A) xy = 2.

A hipérbole original tem equação x2 − y 2 = 4. Após a rotação, a hipérbole tem equação xy = k. Além disso, com a rotação, o vértice (2, 0) da hipérbole √ √ original se move para ( 2, 2), de modo que k = 2.

II.4. VESTIBULAR 2016/2017 Questão 07: (A)

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1 . 3 1

Denotando x = y 2 log3 3y , a equação do enunciado torna-se √ 1 ± 1 + 24 1±5 x = x2 − 6 ⇒ x = = = −2 ou 3. 2 2 1

Como y > 0, a solução x = −2 é espúria, de modo que x = y 2 log3 3y = 3 e assim, tomando o logaritmo na base 3 dessa expressão, têm-se 1 1 log3 3y (log3 y) = log3 3 ⇒ (1 + log3 y)(log3 y) = 1 2 2 ⇒ log23 y + log3 y − 2 = 0 √ −1 ± 3 −1 ± 1 + 8 = = −2 ou 1. ⇒ log3 y = 2 2 Logo, o produto P das raízes reais da equação do enunciado é dado por P = 3−2 .31 = 13 . Questão 08: (B) (1008, 1009]. Por uma análise gráfica, é simples perceber que o mínimo de uma função da forma (|x − a| + |x − b|), com a < b, ocorre para todo intervalo a ≤ x ≤ b. Escrevendo f (x) da forma v u 1008 X u [|x − i| + |x − (i + 1009)|], f (x) = t|x − 1009| + i=1

é simples constatar que x = 1009 minimiza todas as parcelas de f (x), de modo que o mínimo dessa função é dado por v r u 1008 u X (1008 + 1)1008 √ t f (1009) = 0 + 2 = 1009×1008, (1009 − i) = 2 2 i=1 e assim 1008 < min[f (x)] < 1009.

Questão 09: (B) 235. Da terceira equação do sistema, tem-se 4(xy +yz +xz) = xyz. Assim, (x+y +z)2 = (x2 +y 2 +z 2 )+2(xy +yz +xz) ⇒ 72 = 25 +

xyz ⇒ xyz = 48, 2