A Matematica no Vestibular do ITA by Editora VestSeller

Sergio Lima Netto

A Matemática no Vestibular do ITA

Editora VestSeller Fortaleza - CE 2a edição - 2020

É proibida a reprodução parcial ou total por quaisquer meios sem autorização prévia do autor. Os transgressores serão punidos nos termos da lei. Denuncie plágio, cópias ilegais ou pirataria pela Internet, anonimamente, através dos endereços de correio eletrônico do autor: sergioln@smt.ufrj.br sergiolimanetto@gmail.com Todos os direitos desta edição reservados a: c 2020 Sergio Lima Netto Editor responsável: Sergio Lima Netto Capa: Juliana Pinheiro de Sousa Esta obra pode ser adquirida diretamente na EDITORA VESTSELLER através de sua página eletrônica www.vestseller.com.br FICHA CATALOGRÁFICA: Preparada por Sergio Lima Netto

N478

Netto, Sergio Lima, 1967– A Matemática no Vestibular do ITA / Sergio Lima Netto; 2. ed. – Fortaleza: VestSeller, 2020. XIV, 523p.; 21cm. ISBN: 978-65-87050-03-4

1. Matemática. 2. Vestibular. 3. ITA. I. Título. CDD 510

NOTA INTRODUTÓRIA As soluções propostas para as provas de matemática do vestibular do ITA aqui incluídas são de responsabilidade única e exclusivamente do autor deste livro. Desta forma, estas soluções não possuem qualquer caráter oficial nem qualquer tipo de endosso por parte da Comissão Organizadora do Vestibular do ITA. Você pode encontrar material complementar para este livro, incluindo novos enunciados e soluções além de um amplo material de Desenho Geométrico do vestibular do ITA, no site do autor: www.smt.ufrj.br/∼sergioln/ita Se desejar, você pode entrar em contato com o autor através dos endereços eletrônicos: sergioln@smt.ufrj.br sergiolimanetto@gmail.com

Índice

Prefácio

vii

Notações

Enunciados I.1 Vestibular 2020 I.2 Vestibular 2019 I.3 Vestibular 2018 I.4 Vestibular 2017 I.5 Vestibular 2016 I.6 Vestibular 2015 I.7 Vestibular 2014 I.8 Vestibular 2013 I.9 Vestibular 2012 I.10 Vestibular 2011 I.11 Vestibular 2010 I.12 Vestibular 2009 I.13 Vestibular 2008 I.14 Vestibular 2007 I.15 Vestibular 2006 I.16 Vestibular 2005 I.17 Vestibular 2004 I.18 Vestibular 2003 I.19 Vestibular 2002 I.20 Vestibular 2001 I.21 Vestibular 2000 I.22 Vestibular 1999 I.23 Vestibular 1998 I.24 Vestibular 1997 I.25 Vestibular 1996 I.26 Vestibular 1995

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 3 8 12 17 22 28 34 40 46 52 57 63 69 74 80 85 90 95 100 106 110 115 120 125 130 136

ÍNDICE I.27 I.28 I.29 I.30 I.31 I.32 I.33 I.34 I.35 I.36 I.37 I.38 I.39 I.40 I.41 I.42 I.43 I.44 I.45 I.46 I.47 I.48 I.49 I.50 I.51 I.52 I.53 I.54 I.55 I.56 I.57 I.58 I.59 I.60 I.61 I.62 I.63 I.64 I.65 I.66 I.67 I.68

Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular Vestibular

1994 1993 1992 1991 1990 1989 1988 1987 1986 1985 1984 1983 1982 1981 1980 1979 1978 1977 1976 1975 1974 1973 1972 1971 1970 1969 1968 1967 1966 1965 1964 1963 1962 1961 1960 1959 1958 1957 1956 1955 1954 1953

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141 146 151 157 162 169 176 183 189 193 197 201 206 210 214 217 220 225 231 237 243 249 254 259 264 269 275 280 284 287 289 291 293 294 295 297 299 300 302 303 304 305

I.69 Vestibular 1952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 I.70 Vestibular 1951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 I.71 Vestibular 1950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 II Soluções Propostas II.1 Vestibular 2020 - Solução II.2 Vestibular 2019 - Solução II.3 Vestibular 2018 - Solução II.4 Vestibular 2017 - Solução II.5 Vestibular 2016 - Solução II.6 Vestibular 2015 - Solução II.7 Vestibular 2014 - Solução II.8 Vestibular 2013 - Solução II.9 Vestibular 2012 - Solução II.10 Vestibular 2011 - Solução II.11 Vestibular 2010 - Solução II.12 Vestibular 2009 - Solução II.13 Vestibular 2008 - Solução II.14 Vestibular 2007 - Solução II.15 Vestibular 2006 - Solução

. . . . . . . . . . . . . . .

311 313 325 336 352 364 382 396 411 426 439 453 466 479 494 508

III Respostas Propostas 521 III.1 Anos 2010-2020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 III.2 Anos 2000-2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 III.3 Anos 1990-1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523

ÍNDICE

Prefácio da 2a Edição Se a 1a edição deste livro foi motivada por Alberto Colins, esta 2a edição foi viabilizada por dois outros colaboradores, João Paulo Batista Botelho e Valdomiro Lima dos Santos, os quais conseguiram obter todas as provas faltantes na versão anterior. Para isso, até onde sei, foi fundamental a ajuda da Sra. Ofélia do Serviço de Informações ao Cidadão do Centro de Comunicação Social da Aeronáutica comandado pelo Cel. Porto. Considerando a fundação do ITA em 1950, podemos estimar 71 provas realizadas até 2020 (inclusive), todas elas aqui apresentadas, 15 das quais (de 2006 a 2020) com soluções por mim propostas. Soluções de provas adicionais são disponibilizadas em www.smt.ufrj.br/∼sergioln/ita. Além dos já citados, agradecimentos devem ser dados a diversos colaboradores que ajudaram a completar o quebra-cabeças tema deste livro: Alex Fernandes (Sassabetudo), Caio Guimarães (e equipe do site rumoaoita), Marcelo Mamede, Alessandro J. S. Dutra, Jéssica Lendaw, Gilmar Pires Novaes, Daniel Lavouras, Sônia Vaz (do site QPV, Química para o Vestibular) e Marcos Vinícius. Por motivos de diagramação, não incluo neste livro o material de Desenho Geométrico. Para os interessados, disponibilizo os enunciados das provas desse tema e algumas soluções em www.smt.ufrj.br/∼sergioln/ita. Quem quiser me contactar para, por exemplo, enviar correções, pode usar os endereços sergioln@smt.ufrj.br ou sergiolimanetto@gmail.com. Como sempre, agradeço a meus pais, de quem herdei a paixão pelos livros, e a Isabela, por preencher minha vida com cada vez mais cor e carinho. Rio de Janeiro, 28 de julho de 2020. Sergio Lima Netto

Aos meus filhos: Bruno, Renata e Manuela.

ÍNDICE

xiii

Notações N: Z: Q: R: R+ : R∗+ : R∗ : C: i: z: |z|: arg z: Re z: Im z: [a, b]: [a, b) = [a, b[: (a, b] = ]a, b]: (a, b) = ]a, b[: ∅: A r B: C ∪ D: C ∩ D: AC : P(A): n(A):

conjunto dos números naturais; N = {1, 2, 3, . . .} conjunto dos números inteiros conjunto dos números racionais conjunto dos números reais conjunto dos números reais não-negativos conjunto dos números reais positivos conjunto dos números reais não-nulos conjunto dos números complexos unidade imaginária; i2 = −1 conjugado do número complexo z módulo do número complexo z argumento principal do número complexo z; arg z ∈ [0, 2π[ parte real do número complexo z parte imaginária do número complexo z {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} {x ∈ R : a ≤ x < b} {x ∈ R : a < x ≤ b} {x ∈ R : a < x < b} conjunto vazio {x : x ∈ A e x 6∈ B} união entre os conjuntos C e D interseção entre os conjuntos C e D complementar do conjunto A conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A número de elementos do conjunto finito A

Obs: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

xiv

ÍNDICE

Mm×n (R): In : det A: At : A−1 : M 2: tr A: AB: m(AB): AB̂C: ⌢

AB: f g: ◦ n : p Am,k : mdc (j, k): n X ak xk k=0

conjunto das matrizes reais m × n matriz identidade de ordem n determinante da matriz A transposta da matriz A inversa da matriz inversível A M M , isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma soma dos elementos da diagonal princial da matriz quadrada A segmento de reta unindo os pontos A e B medida (comprimento) de AB ângulo formado pelos segmentos AB e BC, com vértice no ponto B arco da circunferência de extremidades A e B função composta das funções f e g número de combinações de n elementos tomados p a p número de arranjos simples de m elementos tomados k a l máximo divisor comum dos números inteiros j e k = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn , n ∈ N

Parte I

Enunciados Ano 2020 2019 2018 2017 2016 2015 2014 2013 2012 2011 2010 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 2000

∗

Prova X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

Ano

Prova

Ano

Prova

Ano

Prova

1999 1998 1997 1996 1995 1994 1993 1992 1991 1990 1989 1988 1987 1986 1985 1984 1983 1982 1981 1980

X X X X X X X X X x X X X X X X X X X X

1979 1978 1977 1976 1975 1974 1973 1972 1971 1970 1969 1968 1967 1966 1965 1964 1963 1962 1961 1960

X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

1959 1958 1957 1956 1955 1954 1953 1952 1951 1950

X X X X X X X X X X∗

Foram incluídas duas versões da prova de 1950: uma obtida junta ao ITA e a outra retirada do livro “Vestibulares de Matemática” por M. Silva Filho e G. Magarinos, pela Editora Nacionalista, em 1960.

I.1. VESTIBULAR 2020

I.1

Vestibular 2020

Questão 01: Sejam x1 , x2 , x3 , x4 , x5 e x6 números reais tais que 2x1 = 4; 3x2 = 5; 4x3 = 6; 5x4 = 7; 6x5 = 8 e 7x6 = 9. Então, o produto x1 x2 x3 x4 x5 x6 é igual a (A) 6. (B) 8. (C) 10. (D) 12. (E) 14. Questão 02: Sejam a, b e c números reais, a 6= 0, tais que a2 + b2 = c2 . Se a, b e c formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão k, então o produto P e a soma S de todos os possíveis valores para k são iguais a (A) P = 1 e S = 0. (B) P = −1 e S = 1. (C) P = −1 e S = −1. √ −(1 + 5) (D) P = e S = 0. 2√ (1 + 5)2 (E) P = e S = 0. 4 Questão 03: A parte real da soma infinita da progressão geométrica cujo termo geral an é dado por an =

cos n + i · sen n , 2n

−1 + 2 cos 1 . 5 − 4 cos 1 −2 + 4 cos 1 (B) . 5 − 4 cos 1 (A)

n = 1, 2, 3, . . .

4 − 2 cos 1 . 5 − 4 cos 1 1 + 2 cos 1 (D) . 5 − 4 cos 1 (C)

(E)

2 + 4 cos 1 . 5 − 4 cos 1

Questão 04: Duas curvas planas c1 e c2 são definidas pelas equações c1 : 16x2 + 9y 2 − 224x − 72y + 640 = 0, c2 : x2 + y 2 + 4x − 10y + 13 = 0. Sejam P e Q os pontos de interseção de c1 com o eixo x e R e S os pontos de interseção de c2 com o eixo y. A área do quadrilátero convexo de vértices P , Q, R e S é igual a √ √ √ √ √ (A) 15 + 7 3. (B) 15 − 7 3. (C) 15 + 14 3. (D) 15 − 14 3. (E) 25 + 10 3. Questão 05: A cada aniversário, seu bolo tem uma quantidade de velas igual à sua idade. As velas são vendidas em pacotes com 12 unidades e todo ano é comprado apenas um novo pacote. As velas remanescentes são

PARTE I. ENUNCIADOS

guardadas para os anos seguintes, desde o seu primeiro aniversário. Qual a sua idade, em anos, no primeiro ano em que as velas serão insuficientes? (A) 12.

(B) 23.

(D) 36.

(E) 38.

Questão 06: Seja A um ponto externo a uma circunferência λ de centro O e raio r. Considere uma reta passando por A e secante a λ nos pontos C e D tal que o segmento AC é externo a λ e tem comprimento igual a r. Seja B o ponto de λ tal que O pertence ao segmento AB. Se o ângulo B ÂD mede 10o , então a medida do ângulo B ÔD é igual a (A) 25o .

(B) 30o .

(D) 40o .

(E) 45o .

π . Então, a soma 2 de todos os valores de x ∈ [0, 2π] que satisfazem a equação Questão 07: Seja a um número real satisfazendo 0 < a <

cos x sen (a + x) = sen a é igual a (A) 5π + 2a.

(B) 5π + a.

(D) 5π − a.

(E) 5π − 2a.

Questão 08: Considere o polinômio p(x) = x3 − mx2 + x + 5 + n, sendo m, n números reais fixados. Sabe-se que toda raiz z = a + bi, com a, b ∈ R, da equação p(z) = 0 satisfaz a igualdade a = mb2 + nb − 1. Então, a soma dos quadrados das raízes de p(z) = 0 é igual a (A) 6.

(B) 7.

(D) 9.

(E) 10.

Questão 09: A expansão decimal do número 100! = 100 · 99 · · · 2 · 1 possui muitos algarismos iguais a zero. Contando da direita para a esquerda, a partir do dígito das unidades, o número de zeros, que esse número possui antes de um dígito não nulo aparecer, é igual a (A) 20.

(B) 21.

(D) 23.

(E) 24.

Questão 10: Seja p(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e um polinômio com coeficientes reais. Sabendo que: I. p(x) é divisível por x2 − 4; II. a soma das raízes de p(x) é igual a 1; III. o produto das raízes de p(x) é igual a 3; IV. p(−1) = −

15 . 4

então, p(1) é igual a 19 17 (A) − . (B) − . 2 4

3 (C) − . 2

(D)

9 . 4

(E)

9 . 2

I.1. VESTIBULAR 2020

√ √ Questão 11: Os pontos B = (1, 1 + 6 2) e C = (1 + 6 2, 1) são vértices do triângulo isósceles ABC de base BC, contido no primeiro quadrante. Se o raio da circunferência inscrita no triângulo mede 3, então as coordenadas do vértice são √ √ √ √ √ A√ 2, 7 7 2, 1 +√7 2). (E) (1 + 6 2, 1 + 6 2). (A) (7 √ √ 2). (C) (1 + √ (B) ( 2, 2). (D) (1 + 2, 1 + 2). Questão 12: Dado a ∈ R, defina p = a + a2 e q = a + a3 e considere as seguintes afirmações: I. Se p ou q é irracional, então a é irracional; II. Se p ou q são racionais, então a é racional; III. Se q é irracional, então p é irracional. É(são) VERDADEIRA(s) (A) Apenas I. (C) Apenas I e II. (B) Apenas II. (D) Apenas I e III.

(E) Todas.

Questão 13: Considere as seguintes afirmações: I. Todo poliedro formado por 16 faces quadrangulares possui exatamente 18 vértices e 32 arestas; II. Em todo poliedro convexo que possui 10 faces e 16 arestas, a soma dos ângulos de todas as faces é igual a 2160o; III. Existe um poliedro com 15 faces, 22 arestas e 9 vértices. É(são) VERDADEIRA(s) (A) Apenas I. (C) Apenas III. (B) Apenas II. (D) Apenas I e II.

(E) Apenas II e III.

Questão 14: Considere as seguintes afirmações: I. Sejam π1 , π2 e π3 três planos distintos e secantes dois a dois segundo as retas distintas r, s e t. Se r ∩ s 6= ∅ então r ∩ s ∩ t 6= ∅; II. As projeções ortogonais de duas retas paralelas r e s sobre um plano π são duas retas paralelas; III. Para quaisquer retas r, s e t reversas duas a duas, existe uma reta u paralela à r e concorrente com s e com t. É(são) VERDADEIRA(s) (A) Apenas I. (C) Apenas I e II. (B) Apenas II. (D) Apenas I e III.

(E) Nenhuma.

PARTE I. ENUNCIADOS

Questão 15: Considere o conjunto M (n, k) de todas as matrizes quadradas de ordem n×n, com exatamente k elementos iguais a 1, e os demais iguais a 0 (zero). Escolhendo aleatoriamente matrizes L ∈ M (3, 1) e R ∈ M (4, 2), a probabilidade de que L2 = 0 e R2 = 0 é igual a 1 4 13 29 1 (A) . (B) . (C) . (D) . (E) . 3 5 15 30 30 Problema 01: Seja λ a circunferência que passa pelos pontos P = (1, 1), Q = (13, 1) e R = (7, 9). Determine: a) A equação de λ. b) Os vértices do quadrado ABCD circunscrito a λ, sabendo que R é o ponto médio de AB. Problema 02: Lançando três dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, sem ver o resultado, você é informado de que a soma dos números observados na face superior de cada dado é igual a 9. Determine a probabilidade de o número observado em cada uma dessas faces ser um número ímpar. Problema 03: Dizemos que um número natural n é um cubo perfeito se existe um número natural a tal que n = a3 . Determine o subconjunto dos números primos que podem ser escritos como soma de dois cubos perfeitos. Problema 04: Sejam a e b dois números reais. Sabendo que o conjunto dos números reais k para os quais a reta y = kx intersecta a parábola y = x2 + ax + b é igual a (−∞, 2] ∪ [6, +∞), determine os números a e b. Problema 05: Considere a função f : R → R definida por f (x) = x6 −10x4 − 4x3 + 25x2 + 20x + 28. a) Determine dois números reais α e β de modo que f possa ser reescrita como f (x) = (x3 − 5x + α)2 + β. b) Determine o valor mínimo de f . c) Determine o(s) ponto(s) x ∈ R onde f assume seu valor mínimo. 2 Problema h π π06: i Seja z ∈ C uma raiz da equação 4z − 4z sen α + 1 = 0, para α ∈ − , . Determine, em função de α, todos os possíveis valores para: 2 2

a) 2z +

1 . 2z

b) (2z)15 +

1 . (2z)15

PARTE I. ENUNCIADOS

I.7 Vestibular 2014 Questão 01: Das afirmações: I. Se x, y ∈ R r Q, com y 6= −x, então x + y ∈ R r Q; II. Se x ∈ Q e y ∈ R r Q, então xy ∈ R r Q; III. Sejam a, b, c ∈ R, com a < b < c. Se f : [a, c] → [a, b] é sobrejetora, então f não é injetora, é (são) verdadeira(s) (A) apenas I e II. (D) apenas III.

(B) apenas I e III. (E) nenhuma.

Questão 02: Considere as funções f, g : Z → R, f (x) = ax + m, g(x) = bx + n, em que a, b, m e n são constantes reais. Se A e B são as imagens de f e de g, respectivamente, então, das afirmações abaixo: I. Se A = B, então a = b e m = n; II. Se A = Z, então a = 1; III. Se a, b, m, n ∈ Z, com a = b e m = −n, então A = B, é (são) verdadeira(s) (A) apenas I. (B) apenas II. (C) apenas III. (D) apenas I e II. (E) nenhuma. √ 4 X log1/2 n 32 Questão 03: A soma é igual a log1/2 8n+2 n=1 (A)

8 . 9

(B)

14 . 15

(C)

15 . 16

(D)

17 . 18

(E) 1.

Questão 04: Se z ∈ C, então z 6 − 3 |z|4 (z 2 − z 2 ) − z 6 é igual a

(A) (z 2−z 2 )3 . (B) z 6−z 6 . (C) (z 3−z 3 )2 . (D) (z−z)6 . (E) (z−z)2 (z 4−z 4 ). Questão 05: Sejam z, w ∈ C. Das afirmações: I. |z + w|2 + |z − w|2 = 2(|z|2 + |w|2 ); II. (z + w )2 − (z − w )2 = 4 z w; III. |z + w|2 − |z − w|2 = 4 Re(zw ),

I.11. VESTIBULAR 2010

I.11

Vestibular 2010

Questão 01: Considere as afirmações abaixo relativas a conjuntos A, B e C quaisquer: I. A negação de x ∈ A ∩ B é: x 6∈ A ou x 6∈ B; II. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C); III. (A r B) ∪ (B r A) = (A ∪ B) r (A ∩ B). Destas, é (são) falsa(s) (A) apenas I. (B) apenas II. (C) apenas III. (D) apenas I e III. (E) nenhuma. Questão 02: Considere conjuntos A, B ⊂ R e C ⊂ (A ∪ B). Se A √ ∪ B, A ∩ C e B ∩ C são os domínios das funções reais definidas por ln(x − π), r √ x − π −x2 + 6x − 8 e , respectivamente, pode-se afirmar que 5−x √ (A) C = ] π, 5[ . (B) C = [2, π]. (C) C = [2, 5[ . (D) C = [π, 4]. (E) C não é intervalo. Questão 03: Se z é uma solução da equação em C, " √ z − z + |z| = − 2+i 2

!#12 √ √ 2−1 2+1 −i , 3 3

pode-se afirmar que (A) i(z − z) < 0. (B) i(z − z) > 0. (C) |z| ∈ [5, 6]. (D) |z| ∈ [6,

7]. (E) z + z1 > 8.

Questão 04: Os argumentos principais das soluções da equação em z, iz + 3z + (z + z)2 − i = 0,

PARTE I. ENUNCIADOS

I.15

Vestibular 2006

Questão 01: Seja E um ponto externo a uma cicunferência. Os segmentos EA e ED interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D, respectivamente. A corda AF da circunferência intercepta o segmento ED no ponto G. Se m(EB) = 5, m(BA) = 7, m(EC) = 4, m(GD) = 3 e m(AG) = 6, então m(GF ) vale (A) 1.

(B) 2.

(D) 4.

(E) 5.

Questão 02: Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n ≥ 1. Seja S um subconjunto de P(U ) com a seguinte propriedade: Se A, B ∈ S, então A ⊂ B ou B ⊂ A. Então, o número máximo de elementos que S pode ter é: (A) 2n−1 . (B) n/2, se n for par, e (n + 1)/2, se n for ímpar. (C) n + 1. (D) 2n − 1. (E) 2n−1 + 1.

Questão 03: Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo conjunto X, tais que n(BrA), n(ArB) e n(A∩B) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão r > 0. Sabendo que n(B r A) = 4 e n(A ∪ B) + r = 64, então, n(A r B) é igual a (A) 12.

(B) 17.

(D) 22.

(E) 24.

√ Questão 04: Seja f : R → R definida por f (x) = 77 sen [5(x + π/6)] e seja B o conjunto dado por B = {x ∈ R : f (x) = 0}. Se m é o maior elemento de B ∩ (−∞, 0) e n é o menor elemento de B ∩ (0, +∞), então m + n é igual a 2π π π π 2π (A) . (B) . (C) − . (D) − . (E) − . 15 15 30 15 15 ax − a−x = m, na variável real x, com ax + a−x 0 < a 6= 1. O conjunto de todos os valores de m para os quais esta equação admite solução real é Questão 05: Considere a equação

(A) (−1, 0) ∪ (0, 1). (D) (0, ∞).

(B) (−∞, −1) ∪ (1, +∞). (E) (−∞, +∞).

Questão 06: Considere uma prova com 10 questões de múltipla escolha, cada questão com 5 alternativas. Sabendo que cada questão admite uma única alternativa correta, então o número de formas possíveis para que um

106

PARTE I. ENUNCIADOS

I.20

Vestibular 2001

Questão 01: Se a ∈ R é tal que 3y 2 − y + a = 0 tem raiz dupla, então a solução da equação 32x+1 − 3x + a = 0 é: (A) log2 6.

(B) − log2 6.

(D) − log3 6.

(E) 1 − log3 6.

Questão 02: O valor da soma a + b para que as raízes do polinômio 4x4 − 20x3 + ax2 − 25x + b estejam em progressão aritmética de razão 1/2 é: (A) 36.

(B) 41.

(D) −27.

(E) −20.

√ Questão 03: Se z = 1 + i 3, z.w = 1 e α ∈ [0, 2π] é um argumento de z.w, então α é igual a: π 2π 5π 3π (A) . (B) π. (C) . (D) . (E) . 3 3 3 2 1 − 2 cos a + 2 sen a 1 − cos a +i , sen a cos a sen 2a a ∈ ]0, π/2[ tem argumento π/4. Neste caso, a é igual a: π π π π π (A) . (B) . (C) . (D) . (E) . 6 3 4 5 9 Questão 04: O número complexo z =

Questão 05: Um triângulo tem lados medindo 3, 4 e 5 centímetros. A partir dele, controi-se uma sequência de triângulos do seguinte modo: os pontos médios dos lados de um triângulo são os vértices do seguinte. Dentre as alternativas abaixo, o valor em centímetros quadrados que está mais próximo da soma das áreas dos 78 primeiros triângulos assim construídos, incluindo o triângulo inicial, é: (A) 8.

(B) 9.

(D) 11.

(E) 12.

Questão 06: Sabendo que é de 1024 a soma dos coeficientes do polinômio em x e y, obtido pelo desenvolvimento do binômio (x + y)m , temos que o número de arranjos sem repetição de m elementos, tomados 2 a 2, é: (A) 80.

(B) 90.

(D) 100.

(E) 60. 2n 2n Questão 07: A respeito das combinações an = e bn = temos n n−1 que, para cada n = 1, 2, 3, . . ., a diferença an − bn é igual a: n! 2n n 2 1 (A) an . (B) an . (C) an . (D) an . (E) an . n+1 n+1 n+1 n+1 n+1

I.27. VESTIBULAR 1994

I.27

141

Vestibular 1994

Questão 01: Sejam x e y números reais, com x 6= 0, satisfazendo (x+iy)2 = (x + y)i. Então: (A) x e y são números irracionais. (B) x > 0 e y < 0. (C) x é uma raiz da equação x3 + 3x2 + 2x − 6 = 0. (D) x < 0 e y = x. 1 (E) x2 + xy + y 2 = . 2 Questão 02: Considere as afirmações: I. (cos θ + i sen θ)10 = cos(10θ) + i sen(10θ), para todo θ ∈ R; (5i) II. = 1 + 2i; (2 + i) III. (1 − i)4 = −4; IV. Se z 2 = (z)2 , então z é real ou imaginário puro; V. O polinômio x4 + x3 − x − 1 possui apenas raízes reais. Podemos concluir que: (A) todas são verdadeiras. (B) apenas quatro são verdadeiras. (C) apenas três são verdadeiras. (D) apenas duas são verdadeiras. (E) apenas uma é verdadeira. Questão 03: Dadas as funções reais de variável real f (x) = mx + 1 e g(x) = x + m, onde m é uma constante real com 0 < m < 1, considere as afirmações: I. (f ◦ g)(x) = (g ◦ f )(x), para algum x ∈ R; II. f (m) = g(m); III. Existe a ∈ R tal que (f ◦ g)(a) = f (a); IV. Existe b ∈ R tal que (g ◦ f )(b) = mb; V. 0 < (g ◦ g)(m) < 3. Podemos concluir que: (A) todas são verdadeiras. (B) apenas quatro são verdadeiras. (C) apenas três são verdadeiras. (D) apenas duas são verdadeiras. (E) apenas uma é verdadeira.

I.34. VESTIBULAR 1987

I.34

183

Vestibular 1987

Questão 01: Considere a função y = f (x) definida por f (x) = x3 − 2x2 + 5x, para cada x real. Sobre esta função, qual das afirmações abaixo é verdadeira. (A) y = f (x) é uma função par. (B) y = f (x) é uma função ímpar. (C) f (x) ≥ 0 para todo x real. (D) f (x) ≤ 0 para todo x real. (E) f (x) tem o mesmo sinal de x, para todo real x 6= 0. Questão 02: Considere x = g(y) a função inversa da seguinte função: y = 1 f (x) = x2 − x + 1, para cada número real x ≥ . Nestas condições, a função 2 g é assim definida: r 1 3 3 (A) g(y) = + y − , para cada y ≥ . 2 r 4 4 1 1 1 (B) g(y) = + y − , para cada y ≥ . 2 4 4 r 3 3 (C) g(y) = y − , para cada y ≥ . 4 4 r 1 1 (D) g(y) = y − , para cada y ≥ . 4 r4 3 1 1 (E) g(y) = + y − , para cada y ≥ . 4 2 2 Questão 03: Seja f : R → R uma função tal que: f (x) 6= 0, para cada x ∈ R e f (x + y) = f (x).f (y), para todos x e y em R. Considere (a1 , a2 , a3 , a4 ) uma P.A. de razão r, tal que a1 = 0. Então (f (a1 ), f (a2 ), f (a3 ), f (a4 )) (A) É uma P.A. de razão igual a f (r) e 1o termo f (a1 ) = f (0). (B) É uma P.A. de razão igual a r. (C) É uma P.G. de razão igual a f (r) e 1o termo f (a1 ) = 1. (D) É uma P.G. de razão igual a r e 1o termo f (a1 ) = f (0). (E) Não é necessariamente uma P.A. ou uma P.G. Questão 04: Sejam F e G dois subconjuntos não vazios de R. Assinale a alternativa correta. (A) Se F ⊂ G e G 6= F , então necessariamente F = F ∪ G. (B) Se F ∩ G é o conjunto vazio, então necessariamente F ∪ G = R. (C) Se F ⊂ G e G ⊂ F , então F ∩ G = F ∪ G. (D) Se F ∩ G = F , então necessariamente G ⊂ F . (E) Se F ⊂ G e G 6= R, então (F ∩ G) ∪ G = R.

220

PARTE I. ENUNCIADOS

I.43

Vestibular 1978

Questão 01: Quais as sentenças falsas nos itens abaixo? I. Se dois planos são secantes, todas as retas de um deles sempre interceptam o outro plano; II. Se em dois planos, num deles existem duas retas distintas paralelas ao outro plano, os planos são sempre paralelos; III. Em dois planos paralelos, todas as retas de um são paralelas ao outro plano; IV. Se uma reta é paralela a um plano, em tal plano existe uma infinidade de retas paralelas àquela reta; V. Se uma reta é paralela a um plano, será paralela a todas as retas do plano. (A) I; II; III.

(B) I; II; V.

(D) II; III; IV.

(E) n.d.a.

Questão 02: Examinando o sistema abaixo   5x + 4y − 2z = 0 x + 8y + 2z = 0  2x + y − z = 0

podemos concluir que:

(A) o sistema é determinado. (B) o sistema é indeterminado com 2 incógnitas arbitrárias. (C) o sistema é indeterminado com 1 (uma) incógnita arbitrária. (D) o sistema é impossível. (E) n.d.a. Questão 03: O lugar geométrico, no plano complexo, representado pela equação: zz − z0 z − z 0 z + k = 0, onde k é um número real positivo e |z02 | > k, é: (A) uma hipérbole com centro z0 . (B) uma elipse com um dos focos em z0 . (C) uma circunferência com centro em z0 . (D) uma parábola com vértice em z0 . (E) n.d.a. Questão 04: Sejam R o conjunto dos números reais e f uma função de R em R. Se B ⊂ R e o conjunto f −1 (B) = {x ∈ R : f (x) ∈ B}, então:

I.47. VESTIBULAR 1974

243

I.47

Vestibular 1974

Questão 01: Sejam A, B e C conjuntos contidos num mesmo conjunto U . Seja x um elemento de U , define-se ∁ A = {x ∈ U/x ∈ B e x 6∈ A}. Então B

∁ (A ∪ B) é igual a:

(A) ∁ A ∪ ∁ B. C

(B) ∁ A ∩ ∁ B. (C) ∁ B. (D) O conjunto vazio. (E) n.d.a. C

Questão 02: Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do conjunto R dos números reais. Sejam as funções f : A → B (y = f (x)), g : D → A (x = g(t)) e a função composta (g ◦ f ) : E → K (e, portanto Z = (f ◦ g)(t) = f (g(t)). Então os conjuntos E e K são tais que: (A) E ⊂ A e K ⊂ D. (D) E ⊂ D e K ⊂ B.

(B) E ⊂ B e K ⊃ A. (E) n.d.a.

Questão 03: O volume de um tetraedro regular de aresta igual a ℓ é: √ √ √ √ ℓ2 3 ℓ2 2 ℓ3 3 (A) ℓ 2. (B) . (C) . (D) . (E) n.d.a. 2 3 2 Questão 04: Seja a > 0 o 1o termo de uma progressão aritmética de razão √ 2r 3 . A relação r e também de uma progressão geométrica de razão q = 3a entre a e r para que o terceiro termo da progressão geométrica coincida com a soma dos 3 primeiros termos da progressão aritmética é: √ (A) r = 3a. (B) r = 2a. (C) r = a. (D) r = 2a. (E) n.d.a. Questão 05: Sobre a raiz da equação 3x −

afirmar:

(A) não é real. (D) é um número primo.

15 3x−1

(B) é menor que −1. (E) n.d.a.

Questão 06: A condição para que (A) n + 1 seja múltiplo de 3. (C) n − 1 seja par.

+ 3x−3 =

23 3x−2

podemos

n n seja o dobro de é que: k k−1

(B) n seja divisível por 3. (D) n = 2k.

(E) n.d.a.

264

PARTE I. ENUNCIADOS

I.51

Vestibular 1970

Questão 01: Um polinômio P (x) = ax3 + bx2 + cx + d é tal que P (−2) = −2, P (−1) = 3, P (1) = −3 e P (2) = 2. Temos, então, que: (A) b = 0. (B) b = 1. (C) b = 2. (D) b = 3. (E) Nenhuma das afirmações anteriores é válida.

Questão 02: Considere o conjunto C dos polinômios P (x) de grau 3, tais que P (x) = P (−x) para todo x real. Temos, então, que: (A) C tem apenas dois elementos. (B) C é o conjunto de todos os polinômios da forma P (x) = a0 x3 + bx. (C) C tem apenas um elemento. (D) C tem uma infinidade de elementos. (E) Nenhuma das afirmações anteriores é válida. Questão 03: Considere os polinômios P (x) = a0 x4 + a1 x3 + a2 x2 + a3 x + a4 , de grau 4, tais que P (2) = P (3) = P (4) = P (r) = 0, onde r ∈ / {2, 3, 4}. Temos, então, que: (A) a0 > 4. (B) a0 < 0. (C) a0 = 0. (D) a0 > 0. (E) Nenhuma das afirmações anteriores é válida. Questão 04: Seja f uma função real tal que f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, para todo x real, onde a, b, c, d são números reais. Se f (x) = 0 para todo x do conjunto {1, 2, 3, 4, 5}, temos, então, que: (A) f (6) = a + 1. (B) f (6) = a + 2. (C) f (6) = a + 3. (E) Nenhuma das afirmações acima é válida.

(D) f (6) = d.

Questão 05: Calculando as raízes simples e múltiplas da equação x6 − 3x5 + 6x3 − 3x2 − 3x + 2 = 0, podemos afirmar que esta equação tem: (A) Uma raiz simples, duas duplas e uma tripla. (B) Uma raiz simples, uma dupla e uma tripla. (C) Duas raízes simples, uma dupla e uma tripla. (D) Duas raízes simples e duas duplas. (E) Duas raízes simples e uma tripla.

I.53. VESTIBULAR 1968

275

I.53

Vestibular 1968

Questão 01: Se a < 0, a expressão aloga x é igual a: (A) 1.

(B) a.

(D) 10.

(E) Nenhuma das respostas anteriores.

Questão 02: Sejam a > 0, b > 0, a 6= 1 e b 6= 1. Então logb x. loga b é igual a

(A) 1. (B) x. (C) b. (D) loga x. (E) Nenhuma das respostas anteriores. Questão 03: Dada a progressão geométrica: 1 : soma dos termos da P.G. é 1 1 (A) 3 . (B) 2. (C) 1 + n . 2 2

(D) 3/2.

1 1 1 : : : . . . o limite da 2 4 8

(E) 3.

Questão 04: Dado um número real m > 0, existem um polígono regular circunscrito e um polígono regular inscrito numa mesma circunferência, tais que a diferença entre seus perímetros é menor do que m. A afirmação acima é verdadeira quando: (A) m > 0 e arbitrário. (B) m > 1. (C) m depende do raio da circunferência. (D) Necessariamente m > 0 e arbitrariamente pequeno. (E) Nenhuma das respostas anteriores. Questão 05: Dado um triângulo de lados a = 3 cm, b = 4 cm e c = 6 cm a projeção do lado a sobre o lado c é: 5 7 29 1 (A) 2 cm. (B) 2 cm. (C) cm. (D) 0. (E) 2 cm. 13 12 12 2 Questão 06: Existe um triângulo ABC tal que a = 10 cm, b = 4 cm, β = 30o , onde β é o ângulo oposto ao lado b? Em caso afirmativo, o lado c vale: (A) 8 cm.

(B) 7 cm.

(D) 11 cm.

(E) Não existe tal triângulo. √ Questão 07: Uma √ esfera é colocada no interior de um vaso cônico com 55 cm de geratriz e 30 cm de altura. Sabendo-se que os pontos de tangência estão a 3 cm do vértice, o raio da esfera vale: √ √ √ 35 30 cm. (C) cm. (D) 3 cm. (A) 2 30 cm. (B) 2 2 (E) Nenhuma das respostas anteriores.

I.62. VESTIBULAR 1959

I.62

297

Vestibular 1959

Problema 01: Das 5 afirmativas seguintes, apenas 3 são verdadeiras. Assinale e demonstre as afirmativas verdadeiras. √ n x−1 p a) lim √ = . x→1 p x − 1 n √ b) Na equação x3 + ax2 + bx − 2 = 0, existem valores para a e b tais que o produto das raízes da equação é um número inteiro. 3 3 c) loga 3 + loga + 1 = loga 3 + , qualquer que seja a > 0, 3a − 1 3a − 1 a 6= 1, a 6= 1/3. d) Se existirem x e y tais que x > y e ax < ay , (a > 0), então existem z e w tais que z > w e az > aw .

e) (1 + x)n ≥ 1 + nx, onde n é um número inteiro positivo e x qualquer número maior ou igual a −1. Problema 02: Das 5 afirmativas seguintes, apenas 3 são verdadeiras. Assinale e demonstre as afirmativas verdadeiras. a) Existe uma progressão geométrica de 10 termos a1 , a2 , . . . , a10 de modo que a1 = 2, a2 = 6 e (a10 )1/8 = 3(21/8 ). b) A equação ax3 + bx2 + bx + a = 0 admite sempre duas raízes cujo produto é 1, quaisquer que sejam a 6= 0 e b. 2n+1 1 c) No desenvolvimento de x + , onde n é inteiro positivo, pela fórx mula do binômio de Newton, existe um termo que não depende de x. d) Para todo x tal que (sen x)(cos x) 6= 1/2, tem-se tg2 (x + π/4) + 1 =

1 . 1/2 − (sen x)(cos x)

e) sen x + sen y < 0 sempre que π/2 < x < π, −π/2 < y < 0 e x − y > π. Problema 03: Das 5 afirmativas seguintes, apenas 3 são verdadeiras. Assinale e demonstre as afirmativas verdadeiras. a) Se m e p são números inteiros positivos tais que o número de combinações de m objetos p a p seja igual ao número de combinações dos m objetos p − 1 a p − 1, então m é necessariamente ímpar.

II.1. VESTIBULAR 2020 - SOLUÇÃO

II.1

313

Vestibular 2020 - Solução

Questão 01 (A): Do enunciado, têm-se x1 = log2 4; x2 = log3 5; x3 = log4 6; x4 = log5 7; x5 = log6 8; x6 = log7 9. Usando a fórmula de mudança de base de logaritmos, tem-se loga b logb c = loga c, de modo que o o produto P desejado é igual a P = log2 4 log3 5 log4 6 log5 7 log6 8 log7 9 = (log2 4 log4 6 log6 8)(log3 5 log5 7 log7 9) = log2 8 log3 9 = 3×2 = 6. Questão 02 (D): Do enunciado, têm-se ( 2 √ a + b 2 = c2 1± 1+4 2 2 2 ⇒ c − ac − a = 0 ⇒ c = k a = a, 2 b2 = ac de modo que, já descartando a solução negativa para k 2 , tem-se que s √ 1+ 5 k=± . 2 Com isso, S = 0 e s  s  √ √ √ 1+ 5 1 + 5 1 + 5     =− . P =− 2 2 2 Questão 03 (A): Do enunciado, an =

i n e 2 ei 2.

progressão geométrica é dada por q = termos da progressão geométrica é igual a i

e a1 2 = S= 1−q 1−

2 cos 1 − 1 . 5 − 4 cos 1

Logo, a soma infinita S dos

ei (2 − e−i ) 2ei − 1 2ei − 1 = = , (2 − ei )(2 − e−i ) 4 − 2(ei + e−i ) + 1 5 − 4 cos 1

cuja parte real R é, então, dada por R=

, de modo que a razão q da

II.7. VESTIBULAR 2014 - SOLUÇÃO

409

Problema 09:

C1 C2 r1

r2 θ

r2 r3

h r1 r3 C3

Sejam r1 , r2 e r3 os respectivos raios de C1 , C2 e C3 , de modo que ( r3 = r32 = r91 ⇒ r1 = 9, r2 = 3 e r3 = 1. 2π(r1 + r2 + r3 ) = 26π a) Logo, se 2p = (2r1 + 2r2 + 2r3 ), a área S desejada é igual a S=

p √ √ p(p−r2 −r3 )(p−r1 −r3 )(p−r1 −r2 ) = pr1 r2 r3 = 3 39 cm2 .

b) Pela lei dos cossenos aplicada no triângulo formado pelos centros de C1 , C2 e C3 , têm-se (r1 + r3 )2 = (r1 + r2 )2 + (r2 + r3 )2 − 2(r1 + r2 )(r2 + r3 ) cos θ r √ 122 + 42 − 102 5 25 39 ⇒ cos θ = = ; sen θ = 1 − = 2.12.4 8 64 8 √ 39 ⇒ h = (r2 + r3 ) sen θ = . 2 O volume V desejado é dado pela soma dos volumes de dois cones de raio da base h e respectivas alturas r2 e r1 . Logo, V =

π. 39 πh2 r1 πh2 r2 4 .12 + = = 39π cm3 . 3 3 3

426

PARTE II. SOLUÇÕES PROPOSTAS

II.9 Vestibular 2012 - Solução Questão 01 (D): As possibilidades são  2 × 10 + 1 × 5     2 × 10 + 5 × 1     1 × 10 + 3 × 5     1 × 10 + 2 × 5 + 5 × 1     1 × 10 + 1 × 5 + 10 × 1    1 × 10 + 15 × 1 . 5×5     4×5+5×1     3 × 5 + 10 × 1     2 × 5 + 15 × 1     1 × 5 + 20 × 1    25 × 1

Questão 02 (D): A probabilidade do alvo não ser atingido é (2/3)2 . Logo a probabilidade do alvo ser atingido pelo menos uma vez é [1 − (2/3)2 ] = 5/9. Questão 03 (B): O menor inteiro positivo n tal que (1 + i)n é real é n = 4. Assim, π √ π π π z z = 16ei 4 π ⇒ = 4ei( 4 − 12 ) = 4ei 6 = 4(cos 30o + i sen 30o ) = 2( 3 + i). i 12 w = 4e w π

Questão 04 (E): Se z = |z|ei 4 , então (−2iz) = 2|z|ei(π+ 2 + 4 ) = 2|z|ei π

de modo que arg(−2iz) =

7π 4

7π 4 .

Questão 05 (E): I. Se r1 ou r2 é racional, o outro também deve ser racional, pois r1 − r2 é racional. Com isto, r3 é necessariamente racional, pois r1 + r2 + r3 é racional. Logo, a afirmação I é verdadeira; II. Se r3 é racional, então r1 + r2 é racional, pois r1 + r2 + r3 é racional, de modo que a afirmação II é verdadeira; III. Se r3 é racional, então r1 + r2 é racional (ver item acima). Além disto, como r1 − r2 também é racional, então r1 e r2 necessariamente são racionais, e a afirmação III é verdadeira.

Parte III

Respostas Propostas III.1 Questão 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Anos 2010-2020 2020 2019 2018 2017 2016 2015 2014 2013 2012 2011 2010 (A) (C) (A) (A) (B) (D) (E) (C) (D) (B) (E) (D) (A) (C) (A) (D) (C) (E) (C) (D) (C) (C) (A) (A) (B) (D) (X) (D) (D) (B) (B) (E) (E) (C) (D) (A) (B) (B) (E) (A) (D) (E) (X) (C) (C) (B) (B) (C) (D) (D) (E) (A) (E) (A) (D) (B) (E) (E) (C) (D) (E) (C) (E) (C) (B) (D) (E) (C) (C) (C) (B) (B) (D) (A) (A) (E) (B) (B) (B) (D) (E) (A) (B) (C) (C) (C) (C) (C) (E) (A) (E) (A) (A) (C) (B) (D) (A) (A) (A) (D) (B) (C) (C) (D) (A) (A) (B) (B) (A) (E) (C) (B) (D) (A) (C) (B) (B) (E) (D) (D) (B) (C) (E) (B) (E) (B) (E) (A) (D) (E) (E) (A) (B) – (E) (A) (E) (C) (E) (C) (C) (D) (D) (A) – (B) (B) (D) (D) (C) (E) (A) (C) (C) (B) – (D) (D) (C) (E) (D) (A) (C) (D) (A) – – (D) (A) (A) (A) (A) (B) (B) (C) (B) – – (A) (D) (B) (E) (B) (B) (B) (B) (A) – – (A) (B) (E) (A) (C) (D) (E) (A) (D) – – (E) (E) (E) (A) (D) (A) (D) (E) (E) – – (E) (E) (D) (C) (C) (B) (A) (C) (B)