Sumário Capítulo 01: Potenciação 1.1) Definição............................................................................... 1.2) Produto de Potências de Mesma Base................................. 1.3) Divisão de Potências de Mesma Base.................................. 1.4) Potência Elevada à Potência................................................ 1.5) Produto Elevado à Mesma Potência..................................... 1.6) Potência Elevada à Potência, n vezes .................................. 1.7) Potência de Ordem Superior................................................. 1.8) Potência com Expoente em PG............................................ 1.9) Potência com Expoente Negativo......................................... 1.10) Divisão Composta............................................................... 1.11) Potência com Expoente Fracionário...................................
11 11 12 13 13 17 17 21 26 26 27
Capítulo 02: Radiciação 2.1) Definição............................................................................... 2.2) Produto de Radicais de Mesmo Índice................................. 2.3) Divisão de Radicais de Mesmo Índice.................................. 2.4) Raiz de uma Raiz.................................................................. 2.5) Produto de Radicais de Índices Diferentes........................... 2.6) Raiz de Fração Composta.................................................... 2.7) Séries Finitas de Radicais..................................................... 2.8) Séries Infinitas de Radicais................................................... 2.9) Divisão Composta Infinita..................................................... 2.10) Radicais em Cadeia Infinita................................................ 2.11) Operações com Radicais...................................................
31 32 33 36 43 45 52 61 81 84 90
Capítulo 03: Racionalização 3.1) Quocientes Notáveis............................................................. 93 3.2) Fator Racionalizante............................................................. 94 3.3) Radicais Duplos.................................................................... 105 3.4) Tópicos Avançados em Radicais Duplos.............................. 124 Capítulo 04: Expressões Algébricas 4.1) Tipos de Expressões Algébricas........................................... 125 4.2) Valor Numérico..................................................................... 126 4.3) Operações com Expressões Algébricas............................... 127
Capítulo 05: Produtos Notáveis 5.1) Quadrado da Soma de Dois Termos..................................... 5.2) Quadrado da Diferença Entre Dois Termos.......................... 5.3) Identidade de Legendre para a Soma.................................. 5.4) Identidade de Legendre para a Diferença............................ 5.5) Identidade de Lagrange para a Soma.................................. 5.6) Identidade de Lagrange para a Diferença............................ 5.7) Produto da Soma pela Diferença.......................................... 5.8) Identidades de Stevin........................................................... 5.9) Cubo da Soma de Dois Termos............................................ 5.10) Cubo da Diferença de Dois Termos.................................... 5.11) Identidade de Cauchy......................................................... 5.12) Quarta Potência da Soma e da Diferença.......................... 5.13) Identidades de Legendre.................................................... 5.14) Quinta Potência da Soma................................................... 5.15) Quinta Potência da Diferença............................................. 5.16) Identidades para Termos Recíprocos................................. 5.17) Quadrado da Soma de Três Termos.................................. 5.18) Identidade de Lagrange Para Três Termos......................... 5.19) Produto Dois a Dois Elevado ao Quadrado........................ 5.20) Identidades de Argand....................................................... 5.21) Quadrado da Soma de Quatro Termos............................... 5.22) Cubo da Soma de Três Termos.......................................... 5.23) Identidade de Gauss........................................................... 5.24) Soma de Quatro Termos Elevado ao Cubo........................ 5.25) Quarta Potência de Três Termos........................................ 5.26) Identidades de Stevin para Três Termos............................ 5.27) Identidade de Sophie-Germain......................................... 5.28) Identidade de Chrystal........................................................ 5.29) Identidades Condicionais.................................................... 5.30) Tópicos Avançados em Produtos Notáveis.........................
130 131 132 133 133 134 140 142 149 149 152 157 158 160 161 165 173 175 176 181 182 183 185 186 187 189 191 194 199 211
Capítulo 06: Fatoração 6.1) Critérios de Fatoração.......................................................... 6.2) ................................................. 6.3) Quocientes Notáveis............................................................. 6.4) Completando o Produto Notável........................................... 6.5) Cruzadinha Simples.............................................................. 6.6) Teorema do Fator ou das Raízes Racionais......................... 6.7) Fatorando Polinômios do 3º Grau......................................... 6.8) Cruzadinha Dupla................................................................. 6.9) Cruzadinha Dupla Especial................................................... 6.10) Fatorando Polinômios do 5º Grau.......................................
213 213 214 216 226 230 231 234 238 243
6.11) Cruzadinha Tripla............................................................... 246 6.12) Tópicos Avançados em Fatoração...................................... 256 Capítulo 07: Polinômios Simétricos 7.1) Forma de um Polinômio Simétrico........................................ 7.2) Propriedades dos Polinômios Simétricos.............................. 7.3) Fatoração por Polinômio Simétrico....................................... 7.4) Polinômio Alternado.............................................................. 7.5) Propriedades dos Polinômios Alternados............................. 7.6) Fatoração por Polinômio Alternado.......................................
259 260 261 263 264 265
Capítulo 08: Somas de Newton 8.1) Somas de Newton para Dois Termos................................... 8.2) A Notação Sigma.................................................................. 8.3) Somas de Newton para Três Termos.................................. 8.4) Generalização para um Polinômio de Grau n......................
272 274 276 280
Capítulo 09: Respostas e Sugestões Capítulo 10: Resoluções Bibliografia
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11
Capítulo 01 - Potenciação Introdução A determinação da potência de um número é feita pela multiplicação de fatores iguais. O expoente possui um papel fundamental na potenciação, pois ele é quem define quantas vezes a base será multiplicada por ela mesma. Vejamos como trabalhar com essa ferramenta importantíssima na resolução de problemas. 1.1) Definição: como um número natural. O à . Consequências da definição: a)
.
b)
c)
.
d)
.
.
Exemplos de Aplicação 01 a) b) c)
.
d) e)
.
f)
.
. . .
1.2) Propriedades das Potências: A seguir, veremos as propriedades mais importantes das potências. Com elas, iremos resolver vários problemas usando o mínimo de cálculo algébrico. Vamos lá! P1. Produto de Potências de Mesma Base: Num produto de potências de mesma base, repete-se a base e somam-se os expoentes. am an
am n
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS
13
P3. Potência Elevada a Potência: Numa potência de uma potência, repete-se a base e multiplicam-se os expoentes.
Demonstração: . Consequência:
Exemplos Resolvidos 03 a) b)
.
p2q
m
p2q m
c)
p2q
m
p2qm . .
P4. Produto Elevado à Mesma Potência: Num produto elevado à potência, eleva-se cada base ao expoente.
Demonstração:
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15
Exemplos Resolvidos 05 a) b) Problemas Propostos Questão 1.1 (AHSME-1952) , quando simplificado, é:
a)
b)
c)
d)
e)
Questão 1.2 Determine
.
Questão 1.3 Determine
.
Questão 1.4 (AHSME-1971) O número a)
é igual a: b)
c)
d) 0
Questão 1.5 Simplifique
.
e) 2
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Exemplo Resolvido 09
Determine
.
Resolução: Podemos escrever:
Exemplo Resolvido 10
Calcule
.
Resolução: Podemos escrever:
.
Exemplo Resolvido 11
Determine
.
23
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS
31
Capítulo 02 - Radiciação Introdução A radiciação nada mais é que a operação inversa à potenciação, ou seja, ela é utilizada para representar, de maneira diferente, uma potência com expoente fracionário. Vamos conhecer essa ferramenta que nos ajudará a resolver vários problemas. 2.1) Definição: Dado um número real não negativo a e um número natural raiz m-ésima de a o número real não negativo b, tal que
, chama-se .
Exemplos de Aplicação: Exemplo 01:
.
Exemplo 02:
.
Exemplo 03:
.
2.2) Como Expoente Fracionário: A raiz m-ésima de um número a poder ser definida como sendo uma potência de a, com expoente sendo o inverso de m, assim:
Consequência: Se tiver expoente, esse fica como numerador. . Exemplo Resolvido 15: Efetue Resolução: Podemos escrever:
. .
38
2
Radiciação
Resolução: Podemos escrever: .
Exemplo Resolvido 28: Efetue
.
Resolução: Podemos escrever:
Exemplo Resolvido 29: Efetue
.
Resolução: Podemos escrever:
Exemplo Resolvido 30: Mostre que
.
Resolução: Podemos escrever:
Exemplo Resolvido 31: Mostre que
.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS
45
P5. Raiz de Fração Composta 01: A raiz de uma fração composta é igual a cada termo da fração composta elevado a expoentes alternados.
Consequências: a)
.
b)
.
c)
.
an
d) m
bn
m m
cn
m an m2 m3
bp cq
a
n m
b
p m2
c
q m3
... .
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS
59
Problemas Propostos Questão 2.30 Efetue
.
Questão 2.31 Qual o valor de
?
Questão 2.32 Qual o valor de
?
Questão 2.33 Qual o valor de
?
Questão 2.34 Efetue
.
Questão 2.35
Se
e n é um número par, determine
a)
b)
d)
e)
.
c)
Questão 2.36 Qual o valor de
?
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS
Exemplo Resolvido 63: Qual o valor de
?
Resolução: Podemos escrever:
Exemplo Resolvido 64: Efetue
.
Resolução: Podemos escrever:
Exemplo Resolvido 65: Efetue
.
Resolução: Podemos escrever:
Exemplo Resolvido 66: Efetue Resolução: Podemos escrever:
67
.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS
73
S3. Radicais Alternados a) Radicais Alternados Simples:
Demonstração: Nesta demonstração usaremos uma técnica de fatoração que será mostrada no capítulo sobre fatoração.
Somando e subtraindo
, temos:
b) Radicais Alternados de Termos Consecutivos:
Demonstração:
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS
Questão 2.72
Qual o valor de x, sabendo que
?
Questão 2.73
Qual o valor de x, sabendo que
?
Questão 2.74
Qual o valor de x, sabendo que Questão 2.75
Qual o valor de
?
Questão 2.76
Qual o valor de
?
?
89
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS
105
3.3) Radicais Duplos Radicais duplos são radicais em soma ou diferença de termos que podem ser transformados em algum produto notável. Veremos alguns radicais duplos: 01) Radicais da forma:
.
Queremos transformar
em uma soma ou diferença de radicais. Então,
vamos desenvolver isso: Demonstração 01: Seja Quando somamos:
e
, temos:
Quando subtraímos:
Queremos m e n, então, elevando (eq1) e (eq2) ao quadrado, temos:
114
3
Racionalização
Assim, substituindo na outra expressão temos: . Logo:
.
(*) Observação: Você aprenderá o teorema do fator no capítulo de Fatoração. Resolução 02: Podemos escrever: . Por comparação, temos:
Logo:
.
Exemplo Resolvido 119: Qual o valor de Resolução 01: Seja
,
? e
, temos
dos produtos notáveis (*):
Note que, pelo teorema do fator, 2 é raiz dessa equação de terceiro grau. Logo: E = 2. (*) Observação: Esses produtos notáveis serão vistos no capítulo 5, com todos os detalhes!
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS
121
Questão 3.52 (Stanford-2008) Simplifique
.
Questão 3.53 (IME-02/03) Demostre que
é um número inteiro múltiplo de 4.
Questão 3.54 Mostre que
é um número inteiro.
Questão 3.55 (Turquia-2007-Modificada) Determine o valor de
.
Questão 3.56 (AHSME-1980) A soma
, é igual a:
a)
b)
d)
e) 1
c)
Questão 3.57 (Turquia-2009-Modificada) Determinando o valor de
, quanto vale
Questão 3.58 Qual o valor de
?
Questão 3.59 (IMO-Longlist-1973) O número
, é racional ou irracional?
Questão 3.60 (Suécia-2001) Mostre que
é irracional.
?
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS
129
d) Divisão de Polinômios Na divisão de monômios, efetuamos a divisão dos coeficientes (quando possível) e efetuamos a divisão da parte literal. Observação: Aqui, irei apenas citar a divisão de monômios, para não fugir dos objetivos deste livro. Exemplo Resolvido 133: Efetue
.
Resolução: Note que temos duas partes literais. Conservamos a parte literal e somamos os coeficientes, o resto se repete. .
Exemplo Resolvido 134: Efetue
.
Resolução: Conservamos a parte literal e somamos os coeficientes, o resto se repete. Coeficiente:
.
Parte Literal:
.
Problemas Propostos Questão 4.1 (CN-1952) Efetue a multiplicação
.
Questão 4.2 (CN-1952) Simplifique a expressão
.
130
5
Produtos
Notáveis
Capítulo 05 - Produtos Notáveis Introdução No cálculo algébrico, existem várias expressões algébricas (ou polinômios) cujo uso é bastante frequente em fatorações e simplificações, essas expressões são chamadas de produtos notáveis. Neste capítulo, vamos estudar essas ferramentas importantíssimas e muito eficazes nas simplificações de expressões algébricas. 5.1) Quadrado da Soma de Dois Termos O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o dobro do produtos dos dois termos, mais o quadrado do segundo termo.
Demonstração:
Exemplo Resolvido 135: Efetue
.
Resolução: Podemos escrever:
Exemplo Resolvido 136: Efetue Resolução: Podemos escrever:
.
142
5
Produtos
Notáveis
Veremos agora os produtos notáveis que tem relação com as equações do 2º grau. São chamados de identidades de Stevin. São pouco usadas devido à sua simplicidade, mas são identidades importantes numa prova que exija rapidez! 5.10) Identidades de Stevin para Dois Termos: a) Produto entre dois binômios soma, com termo comum:
Demonstração:
b) Produto entre um binômio soma e um binômio diferença, com termo comum:
Demonstração:
c) Produto entre dois binômios diferença, com termo comum:
Demonstração:
Exemplo Resolvido 160: Efetue
.
Resolução: Podemos escrever: . Exemplo Resolvido 161: Efetue Resolução: Podemos escrever:
.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS
Exemplo Resolvido 192: Desenvolva
.
Resolução: Podemos escrever:
5.23) A Soma das Quintas Potências da Soma e da Diferença: A soma dos dois produtos notáveis anteriores é dada por
Demonstração:
Exemplo Resolvido 193: Determine
.
Resolução: Podemos escrever:
Exemplo Resolvido 194: Determine Resolução: Podemos escrever:
.
161
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS
Exemplo Resolvido 201: Sabendo que
173
, determine o valor de
.
Resolução: Podemos escrever:
Exemplo Resolvido 202: Se
, qual o valor de
?
Resolução: Podemos escrever:
Agora veremos as identidades para três variáveis, identidades muito úteis no desenvolvimento das relações de Girard (polinômios) e também em fatorações. 5.27) Quadrado da Soma de Três Termos: O quadrado da soma de três termos é igual ao quadrado de cada um dos três termos mais o dobro do produtos tomados dois a dois.
Demonstração:
178
5
Produtos
Notáveis
Questão 5.53 (Stanford-2010) Se
, determine o valor de
.
Questão 5.54 Se
, determine o valor de
.
Questão 5.55 (Singapura)
Se
, determine o valor de
.
Questão 5.56 Se
, determine o valor de
.
Questão 5.57 Seja r um número real, tal que
. Calcule o valor de
.
Questão 5.58 Seja r um número real positivo, tal que
. Prove que
.
Questão 5.59 (CN-1984) Se a) 192
, o produto xyz é: b) 48
c) 32
d) 108
e) 96
Questão 5.60 (CN-1999) Se
, podemos dizer que o valor de é:
a) 1
b) 3
c) 7
d) 18
e) 22
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS
199
Agora chegou o momento das identidades condicionais, identidades importantíssimas e muito frequentes em olimpíadas. Veremos as identidades mais importantes nas competições, elas aparecem como exercícios para proválas, então preste bastante atenção nas demonstrações! 5.39) Identidades Condicionais: Se , então temos: a) Soma de Quadrados:
Demonstração:
b) Quadrado da Soma Dois a Dois:
Demonstração:
c) Soma de Cubos Simples:
Demonstração:
206
5
Produtos
Exemplo Resolvido 223: Se
Notáveis
, determine o valor de
.
Resolução: Podemos escrever:
Problemas Propostos Questão 5.92 (IME-06/07) Sejam a, b e c números reais não nulos. Sabendo que determine o valor numérico de
,
.
Questão 5.93 Seja a, b e c, números reais tais que Determine o valor de
e
.
.
Questão 5.94 Se
, determine o valor de
.
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS
213
Capítulo 06 - Fatoração Introdução Fatorar é colocar em produto de fatores primos. Por exemplo, fatorar 15 é colocá-lo como um produto de fatores primos, no caso o 3 e o 5. Vamos fazer isso com polinômios agora, divirta-se! Veremos os critérios de fatoração, vamos lá! 6.1) Critérios de Fatoração Veremos os critérios mais interessantes para se fatorar polinômios, aprenderemos essas técnicas maravilhosas que ajudam o leitor a encontrar raízes de polinômios rapidamente. Divirtam-se! O primeiro critério que estudaremos será a fatoração por agrupamento ou semelhantes buscando colocar a expressão em forma de produto. 6.2) Esse critério consiste em agrupar termos semelhantes até termos um produto. Exemplo Resolvido 224: Fatore
.
Resolução: Agrupando os termos semelhantes:
Exemplo Resolvido 225: Fatore . Resolução: Podemos fazer quantos agrupamentos forem necessários:
Nosso segundo critério tem ligação com os produtos notáveis, são os chamados quocientes notáveis, são muitas as aplicações desse critério principalmente em simplificações.
222
6
Fatoração
Questão 6.36 (CN-1998) A expressão a)
é equivalente a: b)
c)
d)
e)
Questão 6.37 (CN - 1981-Modificada) Fatore e simplifique a expressão
a)
b)
c)
.
d)
e) 1
Questão 6.38 (CN-1983) Fatorando e simplificando a expressão a)
b)
d)
e)
, tem-se: c)
Questão 6.39 (Harvard-MIT-2012) Sejam a e b números complexos, tais que determine o valor de ab.
e
,
Questão 6.40 (Harvard-MIT-2014) Sejam a, b, c e x, números reais com
que satisfaz , qual o valor de x?
Questão 6.41 (Kürschár-1959) Se a, b e c são três números inteiros distintos e n é um inteiro positivo, mostre que
, é um número inteiro.
268
7
Polinômios
Simétricos
Problemas Propostos Questão 7.1 Fatore
.
Questão 7.2 (CN-1995-Modificada) Se é: a) 1 c) 3 e) 5
, então o valor de k b) 2 d) 4
Questão 7.3 (Rússia) Sejam a, b e c números reais distintos dois a dois. Mostre que é diferente de zero. Questão 7.4 (CMO-2009-Modificada) Fatore
.
Questão 7.5 Determine o valor das expressões abaixo: a) b) c)
d)
e)
272
8
Somas
de Newton
Capítulo 08 - Somas de Newton Introdução As famosas somas de Newton são importantíssimas para polinômios, quando queremos encontrar as somas das n-ésimas potências. É incrível como elas facilitam as contas e tornam a resolução concisa e elegante! Vamos aprender com todos os detalhes essa maravilha que pode ser usada nos mais diversos problemas, vamos lá! 8.1) Somas de Newton Para Dois Termos Considere o polinômio
, cujas raízes são
e
se substituirmos na equação, o resultado será zero, visto que . Então, temos:
Note também que, se substituirmos que é raiz de . Então, temos:
. Note que, é raiz de
na equação, o resultado será zero, visto
Somando (eq1) com (eq2): Conclusões: 1) Como
tem grau 2, chamaremos de S2 .
2) Como
tem grau 1, chamaremos de
sim
. 3) Como 2 tem grau 0, chamaremos de . Então, podemos escrever:
.
284
8
Somas
de Newton
Exemplo Resolvido 265: Sabendo que as raízes de são a, b e c, determine
.
Resolução: Do enunciado, temos:
Assim, podemos escrever, para n = 3:
Resposta:
.
Exemplo Resolvido 266: Se Resolução:
Sejam
a,
b
, prove que e
c
as
raízes
, então temos:
da
equação
polinomial
Os Segredos da Álgebra para IME/ITA/OLIMPÍADAS
Capítulo 10 - Resoluções Capítulo 01
Potenciação
Questão 1.1 (AHSME-1952) - Resposta: Alternativa D Resolução: Chamando a expressão de E, temos:
Questão 1.2 Resolução: Chamando a expressão de E, temos:
Questão 1.3 Resolução: Chamando a expressão de E, temos:
Questão 1.4 (AHSME-1971) - Resposta: Alternativa C Resolução: Seja
e chamando a expressão de E, então:
305