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Facultad de Ciencias de la Tierra U.A.N.L.
% EVALUACIÓN: •
Tareas 10%
•
Laboratorios
•
Por tafolio
•
3 Parciales 60%
•
TOTAL
20% 10%
100%
1. INTRODUCCIÓN: MATEMÁTICAS: Es la ciencia deductiva que se dedica al estudio de las propiedades de los entes abstractos y de sus relaciones . Esto quiere decir que las matemáticas trabajan con números, símbolos, f iguras geométricas, etc. A par tir de axiomas y siguiendo razonamientos lógicos, las matemáticas analizan estructuras, magnitudes y vínculos de los entes abstractos. Esto permite, una vez detectados cier tos patrones, formular conjeturas y establecer definiciones a las que se llegan por deducción.
Tomado de:
http://definicion.de/matematicas/
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1. INTRODUCCIÓN: RAMAS DE LAS MATEMÁTICAS: 1. Teoría de Conjuntos. 2. Lógica Matemática. 3. Aritmética. 4. Álgebra. 5. Geometría Euclidiana. 6. Geometría Analítica. 7. Probabilidad. 8. Estadística. 9. Cálculo. 10.Matemática Aplicada. Tomado de: http://matsolution.espacioblog.com/post/2009/06/12/tema-ramas-las-matematicas
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2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL ÁLGEBRA. 2.1.- Def inición del ÁLGEBRA:
Rama de las matemáticas que estudia las propiedades de conjuntos de elementos, de naturaleza no especificada, entre los que se hayan definido determinadas operaciones.
PRINCIPALES CARACTERÍSTICAS DEL ÁLGEBRA: 1.
En los cálculos debe inter venir un número finito de cantidades y los procesos deben terminar después de un número finito de pasos.
2.
Los cálculos se realizan sobre entes abstractos, representados por letras.
El principal objetivo del álgebra elemental es la resolución de ecuaciones polinómicas. Esto condujo al desarrollo de los números enteros, fracciones, reales y complejos. Como se especifican en la siguiente tabla:
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2.2. CONJUNTOS DE NÚMEROS: N Números naturales (enteros positivos) 1,2,18,72
Cero 0
Números enteros No negativos 0,1,2,17,14 Z Números enteros -45, -17, -4, 0, 1, 2, 74
Números enteros negativos -32, -17, -8, -4 Números racionales No enteros -8/5, -1/2, 7/8
Q Números racionales -17, -5, -2, -8/5, -1/2, 0, 7/8, 1,2, 19/6, 18
Qc Números irracionales Π, , raíz de 17,
R Números reales -17, -6, -3, -raíz cúbica de 11, -8/5, raíz cuadrada de positivos, 19/6
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2.3. propiedades de los números reales. El propósito de este tema es analizar el sistema de los números reales, de tal manera que sea posible comprender muchos de los procedimientos que hemos aprendido en forma intuitiva.
Dados a,b y c Є R, las propiedades de los números reales son: a.
Propiedad de la cerradura:
a+b Є R
a.b Є R
b.
Propiedad conmutativa:
c.
Propiedad asociativa: a + (b+c) = (a+b) + c
d.
Propiedad del neutro:
a+b = b+a
a.b = b.a
Existe 0 Є R tal que:
a. (b.c) = (a.b).c a + 0 = 0+a = a Existe 1 Є R tal que:
i.
Propiedad del inverso: Existe a Є R y (-a) Є R tales que: Para toda a ≠ 0 Є R existe a-1 Є R tal que:
f.
Propiedad distributiva:
a . 1 = 1 . a = a
(a) + (-a) = (-a) + (a) = 0
a . a-1 = a-1 . a = 1
a . (b + c) = a . b + a . c
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2.4.- Ejercicios razonados con números reales. 1. Identifique la propiedad de la operación con números reales que se utiliza en las siguientes igualdades: a.
4(7) = 7(4)
b.
2(2+5) = 2(2) + 2(5)
c.
) =
d.
6(3+5) = (3+5)6
e.
15 + 0 = 0 + 15 = 15
f.
10 + (15+18) = (10+15) + 18
g.
-25 +
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2.4.- Ejercicios razonados con números reales enteros. 2. Juan Pérez terminó la preparatoria a los 17 años, se graduó de ingeniero químico cinco años después, obtuvo su doctorado cuatro años después de graduarse de químico, obtuvo el nombramiento de catedrático tres años después de doctorarse y ese mismo año se casó. Si Juan Pérez nació en 1955, ¿en qué año se casó?.
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2.4.- Ejercicios razonados con números reales enteros. 3. Un depósito de agua contiene 23,200 litros y se le añaden 1,560 litros. Si la capacidad del depósito es de 29,610 litros. ¿Cuántos litros faltan para llenarlo?.
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2.4.- Ejercicios razonados con números reales enteros. 4.-Si tres huevos cuestan $2 pesos, ¿Cuánto costará una docena de huevos?
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2.4.- Ejercicios razonados con números reales enteros. 5.- Una pieza de tela tiene una longitud de 12 m. y una anchura de 50 cm. ¿Cuál será la longitud de otra pieza de tela que tiene la misma super ficie (área) si su ancho es de 60 cm.?
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2.4.- Ejercicios razonados con números reales enteros. 6.- Un comerciante adquirió 8 kg. de café por $420 pesos. ¿Cuánto le costarán 6 kg. de café?.
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2.4.- Ejercicios razonados con números reales enteros. 7.- Ricardo compró 84 ovejas a $540 cada una. Se le murieron 20 y vendió el resto a $750 pesos cada una. ¿Qué beneficio obtuvo en la operación?
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2.4.- Ejercicios razonados con números reales enteros. 8.- En una estación de ser vicio se vendieron en un año 72,600 litros de combustible. ¿Cuántos litros se han vendido en promedio por mes?.
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2.4.- Ejercicios razonados con números reales enteros. 9.- Una persona decidió ponerse a dieta después de un periodo vacacional. Durante la primera semana bajó 3.5 kg., en la segunda semana subió 1.5 kg., en la tercera bajó 2 kg. y en la cuar ta bajó 1.5 kg. ¿Cuánto aumentó o bajó durante ese mes, respecto al peso inicial?.
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2.4.- Ejercicios razonados con números reales enteros. 10.- ¿Cuál es la antigüedad aproximada de un fósil, si los científicos afirman que esa especie vivió hacia el año 340 a.C.?.
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2.4.- Ejercicios razonados con números reales enteros. 11.- Un equipo de futbol americano perdió en la primera jugada 15 yardas, pero al finalizar la siguiente se encontraba con 8 yardas a favor, ¿Cuántas yardas avanzó en la segunda jugada?
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2.4.- Ejercicios razonados con números reales enteros. 12.- Durante un mes, la tarjeta de ahorros de un cliente de un banco tuvo los movimientos siguientes: Saldo anterior: $4,200 Movimientos durante el mes: +$2,560, - $325, -$462, -$220, -$742, -$475, -$185, -$672. ¿Cuál era el saldo al finalizar ese mes?
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2.4.- Ejercicios razonados con números reales enteros. 13.- El elevadorista novato de la torre de Rectoría de la UANL realizó los siguientes recorridos durante su primera hora de trabajo: de la planta baja al segundo piso y de ahí al cuar to piso; luego bajó tres pisos, subió seis, bajó dos y volvió a bajar tres. ¿En qué piso se quedó?.
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2.4.- Ejercicios razonados con números reales enteros. 14.- Pitágoras fue un célebre matemático que nació en 580 a.C. y murió en 496 a.C. ¿Qué edad tenía al morir?.
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2.5.- Números reales y desigualdades. La recta numérica:
−∞
-8
-7
. . . .7 −
-2
-1
0
1
2
3
. . . .
8∞
2
Definición de < y > Dados a, b � R, (i) a < b si y sólo si b – a es positivo; (ii) a > b si y sólo si a – b es positivo. Éstas se conocen como desigualdades estrictas.
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2.5.- Números reales y desigualdades. Ejemplos: a. 3 < 5 porque 5 – 3 = 2 y 2 es positivo. b. -10 < -6 porque -6 – (-10) = 4 y 4 es positivo. c. 7 > 2 porque 7 – 2 = 5 y 5 es positivo. d. -2 > -7 porque -2 – (-7) = 5 y 5 es positivo. e. ¾ > 2/3 porque ¾ - 2/3 = 1/12 y 1/12 es positivo.
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2.5.- Números reales y desigualdades. Definición de ≤ y ≥ Dados a, b � R, (i) a ≤ b si y sólo si a < b ó a = b. (ii) a ≥ b si y sólo si a > b ó a = b. Éstas se conocen como desigualdades no estrictas.
Ejemplos: En los siguientes ejercicios acomode los elementos del subconjunto dado en R en el mismo orden que sus puntos correspondientes de la recta numérica real de 2 7 3 5 21 3 1 izquierda a derecha. 11 − 2,3,21,5,−7, , 2 ,− ,− 5 ,−10,0, ,− ,−1 , π ,−8,− 2 ,3,− 3 ,4, ,− ,1,26, π 3 4 4 3 3 4 2 2 2. 1.
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3. Fracciones.
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3.1.- Definición de números racionales no enteros. Las fracciones o números racionales son más antiguos que los números negativos. El primer conocimiento acerca de ellas se produce hacia el año 2000 a.C en egipto.
El concepto de fracción aparece ligado a problemas que plantean el peso y la medida en los que, tarde o temprano, hay que enfrentar la necesidad de realizar divisiones no exactas.
La concepción geométrica que los griegos tenían de las matemáticas favoreció que las fracciones fueran concebidas como razón o relación entre magnitudes.
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3.2.- Operaciones con fracciones. Suma de fracciones:
Resta de fracciones:
Multiplicación de fracciones:
División de fracciones:
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3.3.- Ejercicios de operaciones con fracciones.
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3.4.- Ejercicios razonados con fracciones. 1. Luis invita a sus amigos a comer pizza. Pedro come de pizza. Ana come y Tomás Luis se come el resto. ¿Cuánto come Luis?.
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3.4.- Ejercicios razonados con fracciones. 2. Dos ciudades se encuentran a 240 km. de distancia. Un comerciante recorre un día de esa distancia, otro día y un tercer día de la misma. ¿Qué distancia le falta por recorrer?.
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3.4.- Ejercicios razonados con fracciones. 3. Una característica común a los países en desarrollo es la existencia de una deuda hacia otros países. Esto representa, en varios de los casos, una enorme carga para el sector oficial y para el pueblo. Ante tal situación, algunos países han tenido que solicitar a sus acreedores la condonación de la deuda o al menos de una par te de ella. Si suponemos que un país debe 40 millones de dólares y que su acreedor le perdona las dos quintas par tes de la deuda. ¿Cuántos millones de dólares le condonaron? ¿A cuánto asciende ahora su deuda?.
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3.4.- Ejercicios razonados con fracciones. 4. En un pueblo hay 870,000 habitantes. Si par tes del total son menores de edad. ¿Cuántos habitantes son menores de edad?.
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3.4.- Ejercicios razonados con fracciones. 5. Se sabe que cada especie del reino animal duerme diferente cantidad de horas al día. Por ejemplo, la jirafa duerme par te del día; el murciélago par tes, el león par tes, el ratón y el hombre . Digamos que escogemos un miembro de cada especie, que se duermen al mismo tiempo (18:00 horas) y que las horas de sueño son continuas. ¿A qué horas se desper tará cada uno?.
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EJERCICIOS:
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4. Expresiones algebraicas. Una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables) y de números reales (constantes) que usan operaciones de suma, resta, multiplicación, división y exponenciación. Ejemplos:
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4. Expresiones algebraicas. Cada una de las expresiones
se llama término del polinomio y coeficiente formado por el signo y la par te numérica.
Ejemplo:
(al exponente también se le llama potencia)
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es el
4. Expresiones algebraicas. Se dice que un polinomio escrito en forma decreciente de las potencias de una variable tiene forma estándar . Ejemplos:
25 Con base a la cantidad de términos, los polinomios reciben el nombre de: monomios, binomios, trinomios según sean de uno, dos o tres términos, respectivamente. Ejemplos: 5x+7
monomio binomio trinomio
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4.1 Operaciones con polinomios de una sola variable. Suma:
Ejemplo: (+(- 8x+5) = (=
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4.1 Operaciones con polinomios de una sola variable. Ejemplos: 1. (7-6x+2) + (4+3x-6) =
2.
(18-48
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4.1 Operaciones con polinomios de una sola variable. Resta:
Ejemplo: ( - (- 8x+5) = (=
-
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4.1 Operaciones con polinomios de una sola variable. Ejemplos: 1. (7-6x+2) - (4+3x-6) =
2.
(18-48
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4.1 Operaciones con polinomios de una sola variable. Multiplicación: Las propiedades de los números reales, las leyes de los signos y la ley de los exponentes: , nos permiten obtener el producto de polinomios.
Ejemplo: =
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4.1 Operaciones con polinomios de una sola variable. Ejemplos: 1. (7-6x+2) (3x-6) =
2.
(18-48
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4.1 Operaciones con polinomios de una sola variable. División: Igual que en la multiplicación, aquí utilizaremos las propiedades de los números reales, las leyes de los signos y la ley de los exponentes: , además del siguiente procedimiento.
Sean P y Q dos polinomios tales que el grado de P es mayor o igual al grado de Q y Q ≠ 0. Entonces existen polinomios C, el cociente, y R el residuo, tales que P = CQ + R Donde R = 0, o bien, el grado de R es menor que el grado de Q. 1.
Expresemos P y Q en forma estándar. Si algún coef iciente de P es cero, dejamos un espacio o inser tamos un cero.
2.
Dividimos el primer término de P entre el primer término de Q para obtener el primer término de C.
3.
Multiplicamos Q por C y restamos el resultado de P.
4.
Dejamos Q sin cambios. Consideramos el residuo obtenido en (3) como el nuevo P y repetimos los pasos (2) y (3).
5.
Continuamos hasta obtener un residuo cuyo grado sea menor que el de Q.
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4.1 Operaciones con polinomios de una sola variable. División:
Ejemplo:
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4.1 Operaciones con polinomios de una sola variable. Ejemplo: 1. (
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4.1 Operaciones con polinomios de una sola variable. Ejercicios: 1.
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4.1 Operaciones con polinomios de una sola variable. Ejercicios: 11.
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5. Ecuaciones.
Una ecuación es una proposición que establece una igualdad expresiones algebraicas, llamadas miembros de la ecuación.
Ejemplos:
1.
7x – 3 = 2x + 2
2.
2x2 – x = 6
3.
3x + 2y = x – 3y + 2
4.
x2 + y2 = 1
5.
entre dos
= x +2
6.
(x+3)(x-3) = x2 -9
7.
(x+y)2 = x2 + 2xy + y2
8.
x2 + 1 = 0
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5. Ecuaciones. Una solución de una ecuación es el valor o valores que al ser sustituidos en la(s) variable(s) correspondiente(s) hacen que la igualdad se cumpla. Obser vemos, en los ejemplos de ecuaciones anteriores que:
a)
X = 1 es solución de la ecuación del ejemplo 1.
b)
(1,0) es solución del ejemplo 4.
c)
X=1, x=3, x=8 son soluciones de la ecuación del ejemplo 6.
d)
La ecuación del ejemplo 8 no tiene solución en los números reales.
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5.1 Ecuaciones lineales de una variable Una ecuación lineal en la variable x es una ecuación que puede escribirse en la forma ax + b = 0, a ≠ 0.
Esta ecuación se resuelve despejando la variable; La solución de esto es: ax = -b x =
;
a ≠ 0
la ecuación también se llama raíz de la ecuación.
Resolver una ecuación significa hallar todos los valores que la satisfacen.
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5.1 Ecuaciones lineales de una variable Ejemplos:
Resuelva las siguientes ecuaciones:
a)
7x = 3x + 9
b)
3(z+2) = -2(z – 1) + 5
c)
6[x – (2x + 3)] = 8 – 5x
d)
(x + 2)2 + 5 = (x + 3)2
e)
(x + 1)2 – 2(x – 2) = (x + 1)(x – 2)
Soluciones:
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5.1 Ecuaciones lineales de una variable Solución de problemas utilizando ecuaciones lineales de una variable: En las aplicaciones de las matemáticas a la vida real, se usan frecuentemente ecuaciones como modelos matemáticos. Para representar datos reales, hay que esforzarse por alcanzar dos objetivos: Precisión y sencillez. A menudo se emplean las ecuaciones para resolver problemas de aplicación; es decir, problemas en que las matemáticas se aplican en otros campos. Debido a la variedad ilimitada de tales problemas, es difícil enunciar reglas específicas para obtener soluciones.
EJEMPLOS de PROBLEMAS REALES SOLUCIONADOS MEDIANTE Ecuaciones lineales de una variable: 1. Una alumna de álgebra tiene calificaciones parciales de 75, 82, 71 y 84. ¿Qué calificación debe obtener en la siguiente prueba para elevar su promedio a 80?.
EJEMPLOS de PROBLEMAS REALES SOLUCIONADOS MEDIANTE Ecuaciones lineales de una variable: 2. Una pareja no desea gastar más de 200 pesos por cenar en un restaurante. A la cuenta se le agrega un impuesto del 15% y piensan dejar 10% del consumo de propina. ¿Cuánto pueden gastar en alimentos de acuerdo con su presupuesto?
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EJEMPLOS de PROBLEMAS REALES SOLUCIONADOS MEDIANTE Ecuaciones lineales de una variable: 3.- Un estudiante desea saber la calificación mínima que debe obtener en el examen final en la materia de computación para acreditar. Para la calificación final el primer y segundo examen parcial valen 30%, respectivamente, y 40% el examen final. Sus primeras dos calificaciones son 70 y 50. ¿Cuál debe ser su tercer calificación? (cal. Para acreditar = 70).
EJEMPLOS de PROBLEMAS REALES SOLUCIONADOS MEDIANTE Ecuaciones lineales de una variable: 4.- Una alberca rectangular de una finca mide el doble de largo que de ancho; si su perímetro es de 27 m, encuentre estas dimensiones.
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5.2. Ecuaciones cuadráticas de una variable. Una ecuación cuadrática en la variable x es una ecuación que puede escribirse en la forma: ax2 + bx + c = 0
Donde a ≠ 0
(1)
Para la solución de esta ecuación trabajaremos solamente dos métodos:
1. Fórmula General. 2.
Factorización.
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Fórmula general: Dada la ecuación cuadrática : ax2 + bx + c = 0
Las soluciones (o raíces) de ella están dadas por la fórmula:
− b ± b 2 − 4ac x= 2a Donde a ≠ 0
Es llamada fórmula general porque mediante ella es posible resolver toda ecuación cuadrática al identificar y sustituir en ella los coeficientes a, b y c.
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Fórmula general: EJEMPLOS: Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas, utilizando la fórmula general: 1.
2x2 + 3x – 4 = 0
2.
Z2 – 3z = 4
3.
(x-3)(x+2) = 6
4.
(x-2)2 + 2 = x
5.
4u2 – 4u = -1
6.
2x2 – x + 6 = 0
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Factorización: Recordemos que el proceso de reescribir un polinomio como un producto de otros polinomios llamados factores, recibe el nombre de factorización. Utilizaremos ésta herramienta para resolver ecuaciones cuadráticas.
El método de factorización se basa en la propiedad:
Si a .b = 0 entonces: a = 0
ó
b = 0.
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Factorización: El método consiste en: 1.
Escribir la ecuación cuadrática en forma de la ecuación (1).
2.
Factorizar el miembro izquierdo de la ecuación.
3.
Aplicar la propiedad (anterior), con lo cual el problema se reduce a la solución de dos ecuaciones lineales.
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Factorización: Ejemplos: Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas mediante el método de factorización. 1.
4x2 – 2x = 0
2.
9x2 – 16 = 0
3.
x2 – 5x – 6 = 0
4.
9x2 = 6x -1
5.
2x2 + 9x + 8 = 4
6.
6x2 – x = 15
7.
12x2 – 25x + 12 = 0
8.
x2 – 5 = 0
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Factorización: Obser vemos que, por lo general, al resolver factorización, obtenemos raíces racionales.
por el método de
El discriminante, D, nos sugiere el método que debemos utilizar. Si
D es un cuadrado per fecto empleamos la fórmula general.
utilizamos
factorización,
si
no,
A continuación resolveremos algunos ejemplos que pueden formularse en términos de una ecuación cuadrática de una variable.
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Ejercicios: I.- Resuelva las siguientes ecuaciones: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
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Ejercicios: I.- Resuelva las siguientes ecuaciones: 10. 11. 12. 13. 14. 15.
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Factorización: Ejemplos: 1. Un terreno rectangular mide 3 m más de largo que de ancho. Si su super ficie es de 180 m2, determine sus dimensiones.
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Factorización: Ejemplos: 2. Un jardín cuadrado se va a cercar. Si la cerca cuesta $10 pesos por metro y el costo de preparar el terreno es de $5 pesos por metro cuadrado, calcule el tamaño del jardín que se puede cercar con $1,200 pesos.
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Factorización: Ejemplos: 3. El área de un triángulo rectángulo es 42 m2. Los catetos difieren 17 m. ¿Cuáles son sus dimensiones?
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6.- Manejo de fórmulas de algebra. Vimos las de la página 1259 del libro Cálculo de Leithold 7ª Edición.
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7.- Funciones trigonométricas. En geometría un ángulo se define como la unión de dos rayos, denominados lados, que tienen un origen o extremo común, llamado vér tice.
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7.- Funciones trigonométricas. Definición de medida en radianes : Sea AOB un ángulo en posición estándar y . Si S unidades es la longitud de un arco de la circunferencia recorrido por un punto A conforme el lado inicial se rota hasta el lado terminal OB, la medida en radianes, t, del ángulo AOB está dada por: t = s si la rotación se efectúa en sentido contrario al giro de las manecillas del y reloj. t = -s si la rotación se efectúa en el mismo B sentido del giro de las manecillas del reloj.
O
A
x
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7.- Funciones trigonométricas. Ejemplo ilustrativo 1: Del hecho de que la medida de la longitud de la circunferencia unitaria es 2π, puede determinarse la medida en radianes de los ángulos de las figuras 2(a)-(f):
y
O (a)
y
x
y
O (b)
y
x
O (c)
y
x
y B
O (d)
x
O (e)
x
O (f)
x
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7.- Funciones trigonométricas.
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7.- Funciones trigonométricas.
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7.- Funciones trigonométricas. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES:
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8. Operaciones con funciones y tipos de funciones. Definición de la suma, diferencia, producto y cociente de dos funciones. Dadas las funciones f y g: (f+g)(x) = f(x) + g(x)
(f-g)(x) = f(x) – g(x)
(f.g)(x) = f(x).g(x)
(f/g)(x) = f(x)/g(x)
siempre y cuando g(x) ≠ 0.
En cada caso, el dominio de la función resultante consta de aquellos valores de x comunes a los dominios de f y g.
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8. Operaciones con funciones y tipos de funciones. Ejemplo: Dado que f y g son las funciones definidas por: y Defina las siguientes funciones y determine el dominio de las funciones resultantes: a) f+g
b) f-g
c) f.g
d) f/g
NOTA: Explicar los dominios. SOLUCIÓN: b) (f+g)(x)= + c) (f-g)(x)= d) (f.g)(x)= . e) (f/g)(x) =
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8. Operaciones con funciones y tipos de funciones. Definición de función compuesta. Dadas las dos funciones f y g, la función compuesta, denotada por f está definida por:
(f
o
o
g,
g)(x) = f(g(x))
Y el dominio de f o g es el conjunto de todos los números x del dominio de g tales que g(x) está en el dominio de f.
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8. Operaciones con funciones y tipos de funciones. Ejemplo: Si f y g están definidas por: y Entonces:
(f o g) (x) = f(g(x)) = f(2x-3) = El dominio de g es (-∞, + ∞) y el dominio de f es Por tanto, el dominio de f o g es el conjunto de números reales x para los cuales 2x-3 ≥ 0 , equivalentemente, .
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EJERCICIOS: En los siguientes ejercicios defina las siguientes funcion es y determine el dominio de la función resultante: a) f + g
b) f – g
1. f(x) = x-5;
c) f.g
d) f/g
e) g/f
g(x) = x2-1
2.
3. ;
4. f(x) =
g(x)= x2 - 1
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EJERCICIOS:
En los siguientes ejercicios para las funciones f y g así como el número c, obtenga (f o g)(c) mediante dos métodos:
a) Calcule g(c) y utilice este número para determinar f(g(c)); b) Determine (f o g)(x) y emplee ese valor para calcular (f o g)(c).
1. f(x) = 3x2 – 4x;
g(x)=2x – 5; c=4.
2. .
3. .
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