Fundamento fisico de ingenieria

Fundamentos Físicos de la Ingeniería Grado de Ingeniería Forestal

Prof. Manuel R. Ortega Girón

Universidad de Córdoba Departamento de Física Aplicada

Fundamentos Físicos de la Ingeniería Enunciados de Problemas

Prof. Manuel R. Ortega Girón

Escuela Técnica Superior de Ingenieros Agrónomos y de Montes Universidad de Córdoba

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Fundamentos FĂ­sicos de la IngenierĂ­a.

Actualizado el 15 de septiembre de 2011

1- Álgebra Vectorial

1.- Álgebra Vectorial.

1.1.- Decir cuáles son las propiedades de los vectores A y B, tales que: a) A + B = A - B; b) A + B = C y A + B = C; c) A + B = C y A2 + B2 = C 2; d)  A + B=  A - B .

1.2.- Un vector forma ángulos iguales con cada uno de los ejes coordenados. Expresar dicho vector en función de sus componentes cartesianas.

1.3.- Determinar la ecuación de la bisectriz del ángulo formado por los vectores concurrentes A y B. 1.4.- Descomponer el vector A = 3i + 5j + 4k en las direcciones de los vectores u(1,1,0), v(1,0,1), w(0,1,1).

1.5.- Descomponer el vector A = 5i + 10j + 7k en las direcciones del vector unitario e = 0.8i + 0.6j y del normal al vector e.

1.6.- a) Demostrar que los tres vectores: A = 51i + 42j - 26k B = 18i + 19j + 66k C = 46i - 54j + 3k son perpendiculares entre sí y que forman un triedro directo. b) Establecer una base vectorial ortogonal y positiva que tenga las mismas direcciones que los vectores anteriores.

1.7.- Dados los vectores A = 3i + 4j + k y B = i + 2j + 5k, calcular: a) sus módulos; b) su suma; c) su producto escalar; d) el ángulo formado entre ambos; e) la proyección del vector A sobre el B; f) su producto vectorial; g)el versor perpendicular a A y a B. 1.8.- Dados los tres vectores: A = 2i - j + 3k B = xi + 2j + zk C = i + yj + 2k determinar x, y, z, para que los tres vectores sean mutuamente perpendiculares.

1.9.- Ecuaciones vectoriales. Dado el sistema de ecuaciones vectoriales: a + b = 3i - 2j + 5k a - b = i + 6j + 3k determinar a y b.

1.10.- Ec. de la recta I. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2,4,5) y B(3,6,4).

1.11.- Ec. de la recta II. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,5,3) y es paralela al vector u = 2i + j + 3k.

1.12.- Ec. del plano I. Determinar la ecuación del plano determinado por los puntos A(2,3,-1), B(3,5,1) y C(1,-2,3).

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1.13.- Ec. del plano II. Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto P(2,5,3) y es normal al vector N = i + 2j + 3k.

1.14.- Ec. del plano III. Encontrar la ecuación del plano determinado por la recta [2x + y - z + 3 = 0; x - 3y + z + 1 = 0] y el punto (1,2,3).

1.15.- Proyección de una superficie. Determinar la proyección de la superficie representada por el vector S = 3i + 2j + k sobre el plano normal a la dirección del vector N = i + j + k.

1.16.- Consideremos el vector A y la dirección definida por el vector B. Descompongamos el vector A en dos: uno paralelo y otro perpendicular a la dirección del vector B. Demostrar que los vectores componentes de A son A B/B y (B×(A×B)/B2 .

2.- Vectores deslizantes.

2.1.- Determinar el momento del vector F = 2i - j + 3k, aplicado en el punto P(2,5,3): a) con respectoal origen de coordenadas; b) con respecto al punto O (1,2,-1); c) comprobar que MO= MO + O O × F. 2.2.- Dado el vector deslizante F = i + 2j + 3k, aplicado en el punto P(3,4,2), calcular su momento: a) con respecto a cada uno de los ejes coordenados; b) con respecto al eje determinado por el origen de coordenadas y el punto Q(2,3,1); c) con respecto a la recta de ecuación (x-1)/2 =(y+2)/3 =(z-4)/(-5).

2.3.- Dado el vector deslizante F = 2i - 3j + 2k, cuyo momento con respecto al origen de coordenadas es MO = 5i + 6j + Mz k, determinar Mz y la ecuación de la recta de acción del vector F. 2.4.- Un sistema de vectores deslizantes está definido por sus momentos respecto a tres puntos del espacio, en la forma siguiente M1 = i + 2j - k M2 = ai + 4j + 3k M3 = bi - j + ck

respecto a O1(2,0,1) O2(0,0,1) O3 (1,-1,0)

Hallar el vector resultante y completar las expresiones de los momentos.

2.5.- El módulo de la resultante de un sistema de vectores es R = 6, el invariante escalar del sistema es M R=30 y la ecuación del eje central del sistema es 2x = y = 2z. Hallar: a) el momento mínimo; b) la resultante; c) el momento respecto al origen; d) el momento con respecto al punto (2,1,0).

2.6.- Dado un vector deslizante F = -i + 2j + 3k cuya recta de acción pasa por el punto P(2,1,1), y el par de momento M = 4i + 2j, reducir dicho sistema aun vector único (de ser posible) aplicado en un punto del plano xy, cuyas coordenadas deben determinarse.

2.7.- Sobre un cuerpo rígido actúan dos fuerzas, F1 = 3i - 2j + k y F2 = i - j, aplicadas respectivamente en los puntos (0,1,1) y (2,0,1), y

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un par de fuerzas de momento M = 3i - k. Sustituir ese sistema de fuerzas por: a) una fuerza que pase por el punto (1,1,1) y un par; b) por una fuerza y un par de eje paralelo a la fuerza.

2.8.- Determinar el eje central del sistema de vectores deslizantes definidos de la siguiente forma: A = 2i + j + 3k; PA(0,0,1)  B =6; Bx>0; 2(x-1)=y=z  C =3; Cx>0; P C(3,0,0); 2cosα =cosβ=cosγ 2.9.- Dado el sistema de vectores deslizantes: a=i-j b=k

aplicado en A(0,0,1) aplicado en B(1,0,0)

determinar un tercer vector, de módulo 2 y componentes enteras, que junto con los dos anteriores constituya un sistema cuyo eje central sea la recta x = y = z.

2.10.- Sean dos sistemas de vectores deslizantes definidos por sus torsores {R;M} respectivos: T1 = {(1,2,1);(2,4,2)} P1(1,0,0) T2 = {(0,1,1);(0,3,3)} P2(0,1,0) Determinar el torsor resultante del sistema de vectores constituido por los dos dados.

3.- Análisis vectorial.

3.1.- Demostrar que la derivada de un vector de módulo constante es otro vector normal al dado.

3.2.- Demostrar que la dirección del vector A(t) permanecerá constante si se verifica que

3.7.- Si es A = (x + y)i + xyj, calcular Adr sobre los siguientes recorridos: a) y=x desde (0,0) hasta (1,1); b) la línea quebrada determinada por los puntos (0,0), (1,0) y (1,1); c) ídem por los puntos (0,0),(0,1) y (1,1); d) sobre la curva y=x2 entre los puntos (0,0) y (1,1); e) ídem sobre la curva x=y2 ; f) sobre la trayectoria cerrada definida por las curvas y=x2 y x=y2 ; g) ¿Es conservativo este campo?

3.8.- Calcular A dr, donde A = (2x-y+z)i + (x+y-z)j + xyzk sobre la elipse de ecuación x2/9+y2 /4=1. ¿Es conservativo este campo?

3.9.- Calcular el flujo del campo vectorial definido por A = xi + yj + zk, a través de las superficies siguientes: a) la superficie de un cubo de arista unidad delimitado por los planos coordenados y los planos x=1, y=1 y z=1; b) la superficie esférica de radio unidad y centrada en el origen de coordenadas.

3.10.- Hallar los gradientes de los campos escalares siguientes: a) φ= x2 + y2 + z2 b) φ= xy3 + yz 3 + zx3 c) φ= x2 y/z3 d) φ= x sen(yz) + y cos(xz) e) φ= x cos x + xyz 3.11.- a) Calcular la derivada direccional de la función φ= 2xz - y2 en la dirección del vector 2i + j - k en el punto P(1,3,2). b) Determinar, en dicho punto, la dirección del máximo crecimiento de φ, así como el valor de dicho crecimiento por unidad de longitud en la citada dirección.

3.12.- Calcular grad (A r), siendo A un vector constante y r el vector de posición.

3.13.- Dado el campo vectorial definido por A =(x3+yz)i + (y3+xz)j + (z3 +xy)k

3.3.- Dado el vector A = (t+1)i + t j + 2tk, calcular: 2

a)

y b)

3.4.- Consideremos la función definida por el módulo del vector de posición de los puntos del espacio con respecto al origen de coordenadas. a) ¿Define dicha función un campo escalar? b) ¿Cómo son las superficies equiescalares de dicho campo?

3.5.- La función φ= x2 + y2 - z define un campo escalar. ¿Cómo son las superficies equiescalares de dicho campo?

3.6.- Un campo escalar estacionario, φ(r), está definido por la función φ= r2 - 2a r, donde a es un vector constante. a) Demostrar que las superficies equiescalares son esféricas. b) Determinar el menor valor posible que tomará el campo escalar y el punto(s) donde lo toma.

calcular: a) div A; b) SA dS, siendo S la superficie de la esfera x2 + y2 + z2 = R2.

3.14.- a) Demostrar que el campo vectorial A definido en el Problema 3.13 es conservativo. b) Determinar una función escalar φtal que sea A = grad φ. c) Calcular la circulación del campo A entre los puntos (0,0,0) y (1,3,-2).

3.15.- Sea el campo vectorial A = (1+yz)i + (1+xz)j + (1+xy)k a) Calcular la circulación de este campo vectorial entre los puntos (0,0,0) y (1,2,3) a lo largo de la recta que los une. b) Demostrar que este campo es conservativo y determinar la función potencial correspondiente. c) Recalcular el primer apartado mediante la función potencial.

3.16.- Sea el campo vectorial A = (2x+yz)i + (2y+xz)j + (2z+xy)k a) Evaluar su circulación entre los puntos (0,0,0) y (1,1,1) a lo largo de la curva definida por y = x2 ;

3- Análisis vectorial

z = x. b) Demostrar que el campo es conservativo y determinar la función de potencial. c) Reavaluar elprimer apartado utilizandola función potencial.

3.17.- Sea el campo vectorial A = r/r, donde r es el vector de posición. a) Demostrar que el campo es potencial y obtener su función potencial. b) Calcular la circulación del campo entre los puntos (1,0,0) y (0,0,1) a lo largo de un arco de circunferencia que pasa por dichos puntos y cuyo centro es el origen de coordenadas: i) directamente; ii)utilizando la función potencial.

4.- Cinemática de la partícula.

4.1.- El maquinista de un tren expreso que circula con una velocidad v1 observa a una distancia d el furgón de cola de un tren de mercancías que marcha por delante del expreso, sobre la misma vía y en el mismo sentido, con una velocidad v2 , menor que la del expreso. El maquinista del expreso aplica inmediatamente los frenos, produciéndose una desaceleración constante a, mientras que el mercancías continúa su marcha a velocidad constante. Determinar el menor valor de la desaceleración para que pueda evitarse la colisión.

4.2.- Después de parar el motor de una canoa, ésta tiene una aceleración en sentido opuesto a su velocidad y directamente proporcional al cuadrado de ésta. Determinar: a) la velocidad de la canoa en función del tiempo; b) la distancia recorrida en un tiempo t; c) la velocidad de la canoa después de haber recorrido una distancia x; d) Constrúyanse las gráficas del movimiento.

Aplicación numérica: supóngase que cuando se para el motor la velocidad de la canoa es de 20 m/s y que 15 s después dicha velocidad se ha reducido a la mitad. Determinar el valor de la constante de proporcionalidad que aparece en la definición de la aceleración.

4.3.- Vehículo quitanieves. La velocidad de un vehículo quitanieves es inversamente proporcional al tiempo transcurrido desde que comenzó a nevar. Transcurrido un cierto tiempo, t0 , a partir del instante en que empezó a nevar, el vehículo se pone en marcha y recorre 2 km en la primera hora y 1 km en la segunda. a) Determinar la ecuación del movimiento del vehículo, i.e., x(t). b) Calcular el valor de t0. c) ¿Qué distancia recorrerá el vehículo durante la tercera hora de funcionamiento?

4.4.- El movimiento rectilíneo de una partícula está caracterizado por su aceleración a=-9x, siendo x la distancia (en cm) que la separa de un cierto origen sobre la trayectoria. En el instante inicial la partícula se encuentra en el punto x0 =3 cm y tiene una velocidad de 2 cm/s (alejándose del origen). Determinar la posición y la velocidad de la partícula en un instante cualquiera t.

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4.5.- En un cierto instante la celeridad de una partícula es de 20 m/s y el módulo de su aceleración es 3 m/s2 . Los vectores velocidad y aceleración forman, en ese instante, un ángulo de 30 . Determinar la curvatura y el radio de curvatura de la trayectoria de la partícula en ese instante.

4.6.- El movimiento de una partícula queda definido por r = R cos ωt i + R sen ωt j, donde R y ωson constantes. a) Obtener la ecuación f(x,y) de la trayectoria. ¿En qué sentido se recorre dicha trayectoria? b) Demostrar que la velocidad de la partícula es en todo momento perpendicular a su vector de posición. c) Demostrar que la aceleración de la partícula está siempre dirigida hacia el origen y quesu módulo es proporcional al módulo del vector de posición. d) Demostrar que r×v es un vector constante.

4.7.- En el dispo sitivo que se muestra en la figura, las deslizadoras 1 y 2 están unidas por una cuerda flexible, de Prob. 4.7 longitud l, que pasa por una pequeña polea P. Determinar la velocidad y la aceleración de la deslizadora 2 en el instante en que la deslizadora 1 se mueve hacia la derecha con velocidad v1 y aceleración a 1.

4.8.- ¿Cuál debe ser la elevación de disparo de una pieza de artillería para que en el punto más alto de la trayectoria del proyectil se pueda trazar una circunferencia tangente (circunferencia osculatriz) cuyo centro se encuentre situado en la misma horizontal que la pieza?

Prob. 4.9

4.9.- Un esquiador se desliza por una pista de pendiente constante que forma un ángulo θcon la horizontal. Tras haber partido del reposo, recorre una distancia s sobre la pista antes de encontrarse con el borde de un escarpado vertical de altura H, como se indica en la figura. Al pie de la escarpadura la pista continúa con la misma pendiente. Determinar la posición del punto donde cae el esquiador.

4.10.- Una partícula se mueve describiendo la parábola x2 = 2py, donde p es una constante, de modo que la proyección de su velocidad sobre la tangente a la parábola en el vértice de ésta permanece constante e igual ak. Determinar: a) la

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velocidad y la aceleración de la partícula; b) las componentes intrínsecas de la aceleración.

4.11.- Dadas las ecuaciones paramétricas (temporales) del movimiento de una partícula: x = 2t, y = t2, z = t3/3, determinar: a) Las componentes intrínsecas de su aceleración en el instante t=1; b) el radio de curvatura de la trayectoria en dicho instante.

4.12.- Una lancha motora, que navega río arriba, se encontró con una balsa arrastrada por la corriente. Una hora después de este encuentro, el motor de la lancha se averió. La reparación duró 30 min; durante este tiempo la lancha fue arrastrada por la corriente. Reparado el motor, la lancha navegó río abajo con la misma velocidad (respecto del río) que antes de la avería, y alcanzó a la balsa a una distancia de 7.5 km del punto de su primer encuentro. Determinar la velocidad de la corriente del río, considerándola constante.

4.13.- La velocidad de un avión con respecto al aire es de 600 km/h. Si sopla un viento procedente del Oeste, con una velocidad de 100 km/h, determinar el rumbo que debe poner el piloto del avión para dirigirse hacia el Norte y calcular cuál será entonces la velocidad del avión con respecto a tierra.

4.14.- Puente aéreo. Un avión emplea 1 h y 15 min para desplazarse entre dos poblaciones separadas por una distancia de 660 km. En el viaje de vuelta emplea sólo 55 min. Suponiendo que tanto en el viaje de ida como en el de vuelta ha soplado un viento constante en una dirección que forma un ángulo de 30con la trayectoria calcúlense la velocidad del viento y la del avión en aire en calma.

5.- Cinemática del sólido rígido.

5.1.- Un sólido rígido se mueve con respecto a un sistemade ejes de referencia. En un instante dado, el punto del sólido de coordenadas (2,3,1) tiene una velocidad v = (2,1,-1). Decir si es posible que el punto del sólido de coordenadas (5,4,6) tenga en ese instante algunas de las velocidades siguientes: a) v = (1,2,-2); b) v = (1,4,-1); c) v = (2,1,-1).

5.2.- a) Para el movimiento general del sólido rígido, demostrar que todos los puntos del sólido que se encuentran sobre una recta paralela a la dirección de la velocidad angular ωdel sólido tienen la misma velocidad. b) Para el caso del movimiento plano del sólido rígido, demostrar la misma proposición anterior para la aceleración.

5.3.- Consideremos un sólido rígido sometido a dos rotaciones simultáneas con respecto a ejes concurrentes en el origen de coordenadas, dadas por ω1 = (0,0,2) y ω2 = (0,3,4). Determinar la velocidad y la aceleración de un punto del sólido de coordenadas (0,2,1).

5.4.- En un instante dado, el movimiento de un sólido queda definido por las rotaciones

simultáneas siguientes: ω1 = (-3,0,2), ω2 = (1,0,1) y ω3 = (2,1,0), cuyos ejes pasan, respectivamente, por los puntos (0,0,0), (0,-9,6) y (-1,5,0). a) Reducir el movimiento al origen de coordenadas y describir los movimientos elementales correspondientes. b) Determinar el movimiento helicoidal tangente, hallando el eje instantáneo de rotación y deslizamiento y la velocidad de deslizamiento. c) Determinar la velocidad de un punto del sólido de coordenadas (1,1,2).

5.5.- En un instante determinado, el movimiento de un sólido rígido consiste en dos rotaciones simultáneas, ω1 y ω2 , teniendo lugar ω1 alrededor de un eje paralelo al eje z y que pasa por el punto (0,1,0). En ese instante, el movimiento del sólido se reduce a una traslación del punto "perteneciente" al sólido de coordenadas (0,0,0) y a una rotación alrededor de un eje que pasa por dicho punto. Sean vO = 2i + j + k y ω= i + j + k a) Determinar ambas velocidades angulares de rotación. b) Determinar el eje de ω2 .

5.6.- En un instante determinado, las velocidades de tres de los puntos de un sólido rígido, de coordenadas A(0,0,0), B(1,10) y C(0,1,1) son, respectivamente, vA = (6,-2,6), vB = (4,0,5) y vC = (5,-2,6). a) Comprobar que dicho movimiento es posible. b) Determinar la velocidad angular del sólido en dicho instante. c) Determinar la ecuación del eje instantáneo de rotación y deslizamiento. d) ¿Qué tipo de movimiento tiene lugar?

5.7.- Demostrar que cuando un cuerpo parte del reposo y gira alrededor de un eje fijo con aceleración angular constante, la aceleración normal de un punto del cuerpo es directamente proporcional a su desplazamiento angular. ¿Qué ángulo habrá girado el cuerpo cuando su aceleración forme un ángulo de 60N con su aceleración normal?

5.8.- El rotor de un generador eléctrico está girando a 200 r.p.m. cuando el motor se apaga.

Debido a efectos de fricción, la aceleración angular del rotor, en rad/s 2, después de que se apaga el motor viene dada por la expresión α= 0.01ω, donde ωes la velocidad angular en rad/s. ¿Cuántas revoluciones gira el rotor hasta que se detiene?

5.9.- Una escalera AB, de longitud l, está apoyada en una pared vertical OA (vide figura). El pie de la escalera es empujado de modo que se desplaza a velocidad constante v0 alejándose de la pared. a) Demostrar que el punto medio de la escalera describe una circunferencia de Prob. 5.9 radio l/2 y con centro

5.- Cinemática del sólido rígido.

en el punto O. b) Determinar la velocidad y la celeridad de dicho punto medio en el instante en que B dista una distancia x de la pared. c) ¿Cuál sería la función vx(t) del pie de la escalera para que el movimiento del punto medio de la misma sea circular uniforme?

5.10.- El extremo superior de la varilla AB desliza a lo largo de una guía vertical (vide figura), en tanto que la varilla no pierde contacto en C con el apoyo. Determinar el valor del ángulo θal que corresponde una velocidad horizontal para el extremo libre, B, de la varilla.

5.11.- Una varilla, que está apoyada Prob. 5.10 sobre un cilindro de radio r= 1 cm, puede deslizar a lo largo de una guía tangente a dicho cilindro, como se indica en la figura.

La longitud de la varilla es cuatro Prob. 5.11 veces el radio del cilindro. En el instante en que el centro de la varilla se apoya en el cilindro, la velocidad del punto A es 10 cm/s.

Calcular, en dicho instante, las velocidades de los puntos B y C y la velocidad angular de la varilla.

5.12.- En el mecanismo articulado que se muestra en la figura, la varilla DB gira con velocidad angular constante ω alrededor del eje que pasa por D. Determinar la velocidad del extremo C de la varilla AC en el instante en que θ =60.

5.13.- Sobre un plano horizontal rueda sin Prob. 5.12 deslizar un cono recto de sección circular, de 20 cm de generatriz y 30de semiángulo en el vértice.

La rodadura es tal que en 1 segundo el cono pisa 5 veces un punto determinado del plano.

Determinar: a) la velocidad angular del cono con respecto a su eje de simetría; b) el punto del cono cuya velocidad (con respecto al plano fijo) es máxima, así como la velocidad y aceleración de dicho punto.

5.14.- El disco que se muestra en la figura está girando con velocidad angular ω1 y aceleración angular α1 alrededor de su eje de revolución, al tiempo que dicho eje es arrastrado por el movimiento de rotación de la horquilla, con velocidad angular ω2 y aceleración angular α2 .

Determinarla velocidad y aceleración de un punto

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genérico P de la periferia del disco.

5.15.- Un disco de radio r está girando alrededor de su eje de simetría con velocidad angular ω y aceleración angular α.

Simultáneamente, Prob. 5.14 el disco está girando, con velocidad angular constante Ω, alrededor de un eje fijo en el espacio que está contenido en el plano del disco y es tangente al perímetro de éste en un punto Q. Determinar la velocidad y aceleración del punto P del perímetro del disco diametralmente opuesto al punto Q de tangencia.

5.16.- La hélice de un avión gira a razón de 6 000 rpm, en tanto que el avión tiene una velocidad horizontal, en línea recta, de 360 km/h.

Determinar: a) El tipo de movimiento que realiza un punto de la hélice distante 1 m del eje de la misma; b) la velocidad y aceleración de dicho punto.

5.17.- Para que vire un tractor que se mueve con una velocidad v0 = 18 km/h, el tractorista frena una de las orugas de modo que el eje de la rueda motriz de ésta comienza a avanzar con velocidad v1 = 14 km/h. La distancia entre las orugas es D = 1.5 m. a) Determinar el radio de la trayectoria que describe el centro del tractor. b) ¿Cuánto tarda el tractor en dar media vuelta?

Prob. 5.18

5.18.- En el mecanismo de biela y manivela quese muestra en figura la manivela gira con velocidad angular constante de 10 rad/s y son l=90 cm y R=30 cm. Calcular la velocidad del pistón A y la velocidad angular de la biela (AB) para los siguientes valores del ángulo θ : a) 0 ; b) 90; c) 180 .

Prob. 5.19

Fundamentos Físicos de la Ingeniería.

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5.19.- Un cilindro de radio r rueda sin deslizar sobre la superficie de otro cilindro de radio 2r, de modo que se eje de simetría tiene permanentemente una velocidad de módulo constante v0. Determinar las velocidades y aceleraciones de los puntos A y B de la periferia del cilindro en el instante que se indica en la figura.

5.20.- Una moneda, de 1.5 cm de radio, rueda inclinada manteniendo un ángulo de 60º respecto al plano horizontal. En su movimiento, el punto de contacto con el plano horizontal describe sobre éste una circunferencia, de 0.75 cm de radio, cada Prob. 5.20 tercio de segundo.

Determinar las velocidades y aceleraciones del centro de la moneda A y del punto B de la periferia, en el instante en el que se encuentra en una posición diametralmente opuesta al punto de contacto con el plano horizontal.

5.21.- El piñón satélite de radio R que se muestra en la figura engrana con las dos ruedas dentadas coaxiales de radios 2R y 4R que giran con velocidades angulares constantes 3ω y 2ω, respectivamente, en sentidos opuestos, como se indica en la figura. El movimiento del piñón

Prob. 5.21

produce la rotación del brazo OOalrededor del eje O. a) Determinar la rotación θ̇instantánea del piñón (indicando su sentido), así como la velocidad de su eje. b) Encontrar la velocidad angular φ̇del brazo OO . c) Obtener la base y la ruleta del movimiento del piñón. d) Calcular la velocidad de sucesión del CIR del piñón.

6.- Las leyes de la Mecánica.

6.1.- Un péndulo cuelga del techo de un autobús.

Describir y explicar, almenos cualitativamente, el comportamiento de dicho péndulo en cada una de las situaciones siguientes: a) El autobús se mueve en una trayectoria rectilínea con celeridad

constante; b) el autobús acelera; c) el autobús frena; d) el autobús toma una curva.

6.2.- La cinta transportadora de viajeros de un aeropuerto tiene una longitud de 100 m y avanza con una velocidad de 1.2 m/s. Una persona se mueve sobre la cinta con una velocidad relativa a ella de 1.5 m/s. Determinar el tiempo que estará la persona sobre la cinta cuando: a) camina en dirección del movimiento de la cinta y b) cuando camina en sentido opuesto.

6.3.- Una persona sube por una escalera mecánica, que se encuentra parada, en 8.2 s. Cuando la escalera está en funcionamiento, puede subir a la persona en 5.0 s. ¿Cuánto tiempo emplearía la persona en subir caminando por la escalera en movimiento?

6.4.- Dos barcos se aproximan entre sí sobre trayectorias que se interceptan y con velocidades que conducen a una colisión. Examinar la situación desde un sistema de referencia fijo en uno de losbarcos. Explicar cómo losobservadores situados en cualquiera de los barcos pueden advertir el peligro de colisión por medio de mediciones sucesivas de la dirección en que ven al otro barco.

6.5.- Un avión de transporte va a despegar de una pista horizontal arrastrando dos planeadores, uno detrás del otro. Cada uno de los planeadores pesa 500 kg y la fuerza de rozamiento o resistencia sobre cada uno de ellos puede considerarse constante e igual a 200 kg. Si la tensión en los cables de remolque no debe exceder 2000 kg y si se requiere una velocidad de 150 km/h para el despegue; a) ¿qué longitud mínima de recorrido sobre la pista es necesaria para el despegue?; b) ¿cuál será la tensión en el cable entre los dos planeadores mientras son acelerados para el despegue?

6.6.- Una cadena flexible y homogénea, de longitud L, se encuentra inicialmente en reposo sobre una mesa lisa, colgando una longitud b de la cadena por fuera del borde de la mesa. Calcular el tiempo que empleará la cadena en abandonar la mesa y su velocidad en ese instante.

6.7.- Un paquete cuelga de una balanza de resorte sujeta al techo de un ascensor. a) Si el ascensor tiene una aceleración hacia arriba de 1.2 m/s2 y la balanza marca 25 kg, ¿cuál es el verdadero peso del paquete?; b) ¿En qué circunstancias indicará la balanza 15 kg?; c) ¿Qué indicará la balanza si se rompe el cable del ascensor?

6.8.- Una masa m colocada sobre una superficie lisa horizontal está unida a una masa M mediante una cuerda ligera que pasa por un agujero practicado en la superficie. La masa m se mueve describiendo una trayectoria circular de radio r con una celeridad v. Determinar el valor de la masa M para que ese movimiento se mantenga.

6.9.- Una bola de 2 kg de masa está sujeta al extremo de una cuerda y se mueve en una circunferencia de 1 m de radio. a) ¿Cuál ha de ser la velocidad mínima de la bola en el punto más alto de la trayectoria que permita completar la

6.- Las leyes de la Mecánica.

trayectoria circular?. b) Si la velocidad en el punto más alto de la trayectoria fuese el doble de la calculada anteriormente, ¿cuál sería la tensión de la cuerda en dicho punto? ¿Y cuándo la partícula está abajo?

6.10.- Un cazabombardero que está volando en picado a la velocidad de 720 km/h sale del picado cambiando su trayectoria para describir una circunferencia vertical. a) ¿Cuál ha de ser el radio mínimo de ésta si la aceleración en el punto más bajo no debe exceder el valor de 6 g. b) ¿Cuál será, en esas condiciones, el peso aparente del piloto si su peso real es de 80 kg?

6.11.- Una partícula de masa m permanece en reposo en la cima de una semiesfera de radio R que está apoyada por su base sobre una superficie horizontal. Cuando desplazamos ligeramente la partícula de su posición de equilibrio, ésta comienza a deslizar sobre la superficie de la semiesfera. a) ¿En qué posición abandona la partícula la superficie de la semiesfera? b) ¿Cuál es la velocidad de la partícula en ese instante? c) ¿A qué distancia del pie de la semiesfera caerá la partícula sobre el plano horizontal?

6.12.- Un automóvil pesa 1 000 kg y se mueve con una velocidad de 36 km/h cuando choca frontalmente contra un muro muy resistente. ¿Cuál es el cambio en la cantidad de movimiento del automóvil y la fuerza promedio que actúa sobre el mismo si en 0.2 s: a) queda en reposo; b) si rebota con una velocidad de 9 km/h. c) En ambos casos, discutir la conservación de la cantidad de movimiento durante el choque.

6.13.- Una balanza de resorte está ajustada para leer el cero. Dejamos caer desde una altura de 5 m sobre el platillo de la balanza un chorro de perdigones,a razón de 20perdigones por segundo, que chocan contra el platillo, rebotan hacia arriba con la misma velocidad y salen definitivamente del platillo. Si cada perdigón pesa 200 mg, ¿cuál será la lectura de la balanza?

6.14.- Los dos bloques de la figura están unidos por una cuerda homogénea que pesa 2 kg. Las masas de los bloques son m1 = 10 kg y m2 = 5 kg. Calcular la tensión en los extremos y en el punto medio de la cuerda.

Prob. 6.14 6.15.- Las masas de los cuerpos A y B, en la figura son 2 kg y 1 kg respectivamente.

Inicialmente ambas masas se encuentran en reposo sobre el suelo. La cuerda que las une pasa por la garganta de una polea ligera y sin fricción. Determinar la aceleración de cada masa y Prob. 6.15 la tensión de la cuerda

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cuando se aplica una fuerza hacia arriba de: a) 1 kg, b) 2 kg, c) 3 kg y d) 5 kg.

6.16.- Un albañil, que pesa 70 kg, está de pie sobre una plataforma de aluminio de 10 kg de peso. Una cuerda sujeta a la plataforma pasa por una polea fija a la parte alta de la casa, de modo que el albañil puede elevarse a sí mismo tirando del extremo libre de la cuerda (vide figura). a) ¿Qué fuerza debe ejercer el albañil Prob. 6.16 sobre la cuerda para mantenerse en reposo o moverse con velocidadconstante. b) Ídem paraacelerarse hacia arriba a razón de 0.5 m/s2 . c) Ídem para descender con una aceleración de 1 m/s2.

6.17.- En cada uno de los sistemas representados en la figura, calcular las aceleraciones que adquieren cada uno de loscuerpos que intervienen y las tensiones en las cuerdas. En todos los casos, supóngase que las superficies son lisas (sin rozamiento), que las cuerdas son flexibles,

Prob. 6.17

Fundamentos Físicos de la Ingeniería.

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inextensibles y de masas despreciables y que las poleas tienen masas despreciables y fricción nula.

En todos los casos, resolver primero el problema algebraicamente y luego obtener la solución numérica para m1 = 5 kg, m2 = 3 kg, F = 40 N, α= 30y β= 60.

6.18.- El bloque A de la figura pesa 15 kg y el bloque B pesa 5 kg. El coeficiente de rozamiento entre todas las superficies en contacto vale 0.20. Calcular la magnitud de la fuerza F necesaria para arrastrar el bloque B hacia la derecha con velocidad constante, en Prob. 6.18 cada uno de los casos que se muestran en la figura.

6.19.- Un estudiante trata de encontrar experimentalmente el coeficiente de rozamiento entre un ladrillo y un tablón. Para ello coloca el ladrillo sobre el tablón y va aumentando gradualmente el ángulo de inclinación de éste.

Cuando el ángulo es de 30el ladrillo comienza a deslizar, acelerándose hacia abajo. Entonces comienza a reducir progresivamente el ángulo de inclinación y observa que cuando éste es de 25 sedetiene. Obtener los coeficientes de rozamiento a partir de esas observaciones.

Prob. 6.20

6.20.- En el sistema que se muestra en la figura, calcular la aceleración de cada uno de los dos bloques en los siguientes supuestos: a) no existe ningún rozamiento; b) el coeficiente de rozamiento entre todas las superficies en contacto es μ .

6.21.- El bloque de la figura pesa 100 kg y se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie es 0.50. Mediante una cuerda ligera unida al bloque y que forma un ángulo θ con la horizontal tratamos de mover el bloque.

Encontramos que la magnitud de la f uerza míni ma necesari a para Prob. 6.21 mover el bloque depende del valor

del ángulo θ . a) Expresar la magnitud de dicha fuerza mínima en función del ángulo θ . b) ¿Cuál es el valor del ángulo θmás eficaz para mover el bloque?

6.22.- Dos bloques de madera se encuentran sobre u n p l a n o inclinado, unidos entre sí por una cuerda ligera que pasa por una polea de rozamiento e Prob. 6.22 i n e r c i a despreciables, como se indica en la figura. El coeficiente de rozamiento entre todas las superficies en contacto vale 0.30. Determinar: a) El valor crítico del ángulo de inclinación del plano que impide el deslizamiento de los bloques; b) la aceleración de los bloques si el ángulo de inclinación es de 80.

6.23.- Un bloque de masa m resbala por un canal en forma de V, como se muestra en la figura. Si los coeficientes estático y cinético de rozamiento entre el bloque y las paredes del canal valen Prob. 6.23 0.3 y 0.2, respectivamente, obtener: a) El valor mínimo del ángulo θpara el que el bloque comienza a deslizar; b) la aceleración del bloque si el ángulo θvale el doble del calculado en el apartado anterior.

6.24.- En el sistema que se representa en la figura, el coeficiente de rozamiento entre todas las superficies es μ .

Determinar la aceleración de cada una de las cuñas. Aplicación numérica: m1=m2 , μ =0.5.

6.25.- Una bolita está ensartada en un alambre Prob. 6.24 liso (de modo que puede deslizar por él sin rozamiento) cuya forma es la de una parábola de eje vertical y ecuación y = x2 . Supongamos que abandonamos la bolita (en reposo) en el punto de coordenadas (x0,y0). Calcular la velocidad de la bolita y la fuerza de ligadura cuando pasa por el fondo de la parábola.

6.26.- El extremo inferior de la varilla rígida y ligera representada en la figura está articulado a la plataforma de la vagoneta. En el otro extremo de la varilla está Prob. 6.26 sujeta una masa m de pequeñas dimensiones.

6.- Las leyes de la Mecánica.

Expresar el valor del ángulo θque forma la varilla con la horizontal en función de la aceleración de la vagoneta. ¿Cómo describirá la situación un observador que viaje en la vagoneta?

6.27.- a) ¿Qué fuerza horizontaldebeaplicarse constantemente al s i st ema q u e s e muestra en la figura de modo que los cuerpos de masa m1 y Prob. 6.27 m2 no se muevan con respecto al M. b) Si la fuerza aplicada es la mitad de la calculada en el apartado anterior, ¿Cuál será la aceleración de los bloques m1 y m2 respecto del bloque M? 6.28.- Un niño coloca una básculasobre una plataforma que puede deslizar sin fricción sobre un plano inclinado, como se indica Prob. 6.28 en la figura. El niño se sube en la báscula y lee la indicación de su "peso" cuando la plataforma desciende (aceleradamente) por el plano inclinado. Si el peso del niño en condiciones normales es P, ¿cuál será la indicación de la báscula?

6.29.- Dos pequeños cuerpos, cuyas masas se encuentran en la relación de 5/3, están unidos por un hilo inextensible de masa despreciable, de 10 cm de longitud, y se encuentran situados s o b r e u n a circunferencia lisa Prob. 6.29 vertical, de 20 cm de radio, una a cada lado del diámetro vertical. Determinar la posición de equilibrio de las dos masas.

6.30.- Una cadena flexible, que pesa 10 kg, cuelga entre dos ganchos situados a una misma altura (vide Prob. 6.30 figura). En cada extremo la cadena forma un ángulo θcon la horizontal. a) ¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerza ejercida por la cadena sobre cada uno de los ganchos? b) ¿Cuál es la tensión en el punto más bajo de la cadena?

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7.- Sistemas de referencia en rotación.

7.1.- Un referencial xyz está girando con una velocidad angular ω = 2ti + 3t2 j + (1-t)k con respecto a un referencial inercial XYZ que tiene su mismo origen. El vector de posición de una partícula en el referencial xyz es r = (t2-1)i + 3tj 2k. Calcular las velocidades absoluta y relativa de la partícula y las distintas aceleraciones que intervienen (absoluta, relativa, centrífuga, de Coriolis, ...) en el instante t=2 s.

7.2.- En un tiovivo. Sobre la plataforma de un tiovivo, que gira con una velocidad angular constante ω, se encuentra un cubilete giratorio, de radio r, que está girando alrededor de su eje con una velocidad angular constante Ω, en la misma dirección que ω. Sea Ro la distancia del eje del cubilete al centro de la plataforma. a) Calcular la velocidad y aceleración absolutas de un punto genérico de la periferia del cubilete. b) Determinar la relación que deberá existir entre los módulos de ωy Ω (i.e., el valor del cociente ω/Ω) para que el punto del cubilete que en cada instante se encuentra más próximo al centro de la plataforma tenga una velocidad absoluta nula. En estas condiciones, ¿cuál será la aceleración absoluta de ese punto?

7.3.- El disco que se muestra en la figura está girando con velocidad angular ω1 y aceleración a n g u l a r α1 alrededor de su e j e d e revolución, al Prob. 7.3 tiempo que dicho eje es arrastrado por el movimiento de rotación de la horquilla, con velocidad angular ω2 y aceleración angular α2. Determinar la velocidad y aceleración de un punto genérico P de la periferia del disco.

7.4.- Una corredera P desliza a lo largo de un anillo de radio R con una velocidad v (de módulo constante) respecto del anillo.

Prob. 7.4 A su vez, el anillo está girando con velocidad angular constante, ω, alrededor de un eje tangente al mismo, como se muestra en la figura. a) Determinar la velocidad y la aceleración absolutas de la corredera en una posición genérica, como se indica en la figura.

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Fundamentos Físicos de la Ingeniería.

b) Particularizar los resultados del apartado anterior para θ =0, 90, 180y 270.

7.5.- La hélice de un avión gira con una velocidad angular constante θ , en tanto que el avión se mueve en un plano horizontal, describiendo una trayectoria circular de radio R, con velocidad v de módulo constante. Determinar la velocidad y aceleración absolutas de un punto genérico de la hélice.

7.6.- En el hemisferio Norte, un automóvil circula por una autopista con una velocidad de 144 km/h. En un instante, el automóvil avanza en la dirección Sur-Norte en un lugar de 40de latitud. a) Determinar la velocidad y aceleración absolutas del automóvil en ese instante, considerando tan sólo el movimiento de la Tierra como rotación pura alrededor de su eje polar. b) Calcular el valor (módulo y dirección) de la fuerza de Coriolis en ese instante. c) Repetir los dos apartados anteriores cuando el automóvil avanza hacia el NE, formando un ángulo de 30 con la dirección del meridiano.

7.7.- Peralte. Una carretera está peraltada de modo que un vehículo que circula a 80 km/h pueda tomar una curva de 30 m de radio aún en las condiciones más desfavorables en que el rozamiento entre los neumáticos y el firme sea nulo (carretera helada). Determinar la velocidad máxima a que un vehículo puede tomar esa curva en el caso de que el coeficiente de rozamiento valga 0.25.

7.8.- En bicicleta. a) Calcular el radio mínimo de la curva que puede tomar un ciclista que corre a una velocidad de 25.2 km/h por una carretera no peraltada si el coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y el suelo vale 0.30. b) Bajo esas condiciones, calcular el ángulo que debe inclinarse el ciclista para tomar la curva.

7.9.- Superficie libre de los líquidos en rotación. Demostrar que la superficie libre de un líquido en rotación uniforme en torno a un eje vertical es un paraboloide y escribir su ecuación.

7.10.- Orillas de un río. Un río de anchura D corre a lo largo de un meridiano, en el hemisferio Norte, a una latitud λ . Demostrar que existe un desnivel de agua entre las orillas derecha e izquierda dado por h 2Dωv sen λ /g, donde ωes la velocidad angular de la Tierra y v la velocidad de la corriente. Efectuar los cálculos para D = 1 km, v = 6 km/h y λ45.

7.11.- Desviación de un proyectil. Se dispara un proyectil de 100 kg a lo largo de un meridiano, en dirección Norte, con una velocidad inicial de 1 800 km/h, en un lugar de latitud 40N. a) Calcular el valor de la aceleración y de la fuerza de Coriolis en el momento inicial. b) ¿Hacia dónde se produce la desviación aparente de la trayectoria?

7.12.- Azafata. Un avión comercial vuela sobre el Ecuador, a una altura de 6 000 m, con una velocidad de 900 km/h, en dirección hacia el Este. Una de las azafatas se pesa en una balanza de resorte, precisa y de buena fidelidad. En el

viaje de vuelta, cuando el avión sobrevuela la misma población, la azafata vuelve a pesarse y descubre con horror que la balanza marca casi medio kilogramo más que en el viaje de ida. ¿Ha engordado la azafata o podemos atribuir la diferencia de peso a otras causas? ¿A cuáles?

Hacer unos cálculos indicativos que justifiquen las respuestas anteriores.

8.- Trabajo y energía.

Conservación de la energía.

8.1.- Una partícula de masa m se mueve bajo la influencia de un campo de fuerzas definido por F = A (cos ωt i + sen ωt j) donde A y ωson constantes. Si la partícula se encuentra inicialmente en reposo en el origen de coordenadas, demostrar que el trabajo que se ha realizado sobre la partícula, transcurrido un tiempo t, viene dado por A2(1-cos ωt)/mω2.

8.2.- Un disco que pesa 50 g está colocado sobre un tablero horizontal liso. El disco está sujeto a una cuerda flexible y ligera que pasa por un orificio practicado en el tablero. Inicialmente, el disco describe una trayectoria circular, de 40 cm de radio y con centro en el orificio, con una celeridad angular de 30 rpm, para lo que es necesario que sujetemos con la mano el otro extremo de la cuerda. a) ¿Qué fuerza debemos ejercer sobre la cuerda para mantener ese movimiento circular? b) Tiramos poco a poco del extremo libre de la cuerda hasta reducir a la cuarta parte el radio de la trayectoria circular y observamos que la celeridad angular experimenta un aumento considerable. ¿Qué trabajo hemos realizado sobre el disco? ¿Se conserva la energía cinética del disco?

8.3.- Un automóvil que pesa 750 kg circula por una carretera a nivel (vide figura) con una velocidad 54 km/h cuando su motor desarrolla una potencia de 10 CV. a) ¿Cuánto vale la suma de todas las resistencias (rozamiento, resistencia del aire, ...) que actúan sobre el automóvil? b) ¿Qué potencia deberá desarrollar el motor del automóvil para subir a 54 km/h una cuesta del 10% de pendiente? c) ¿Qué potencia será necesaria Prob. 8.3 para que el automóvil baje a 54 km/h una pendiente del 3%? d) ¿Qué pendiente permitirá que el automóvil baje a una velocidad de 54 km/h sin que funcione el motor? (Nota: supóngase que todas las fuerzas de resistencia permanecen constantes).

8.4.- Una partícula se encuentra en un campo de fuerzas tal que la fuerza que actúa sobre ella es

8.- Trabajo y energía. Conservación de la energía.

F = (2xy+z3 )i + x2 j + 3xz2 k a) Demostrar que dicho campo de fuerza es conservativo. b) Obtener una expresión para la energía potencial de la partícula en dicho campo. c) Calcular el trabajo que tenemos que realizar para llevar la partícula desde el punto (2,1,3) al (0,0,0).

8.5.- Una partícula es atraída por el origen de coordenadas con una fuerza directamente proporcional a su distancia a dicho origen. a) ¿Es conservativa esa fuerza? b) Calcular el trabajo que deberemos realizar sobre la partícula para trasladarla desde el punto (1,0,0) al (3,0,0) a lo largo de la circunferencia de radio unidad y centro en (2,0,0).

8.6.- Una escalera homogénea, de masa m y longitud L, está apoyada sobre una pared vertical lisa y sobre un suelo hor i zontal r ugos o, formando un ángulo θ0 con la horizontal (vide Prob. 8.6 figura). El coeficiente de rozamiento entre el suelo y el pie de la escalera es μ . Calcular el trabajo que debemos realizar para llevar la escalera a la posición vertical, empujándola horizontalmente a una distancia d de su pie.

8.7.- En la figura, se representa un péndulo simple, de longitud l, cuyas oscilaciones están limitadas por la existencia de un clavo horizontal si t uado a una distancia 2l/3 del punto de suspensión y en su misma vertical.Determinar el ángulo Θ desde el que debemos abandonar la masa pendular para que Prob. 8.7 el hilo de suspensión se enrolle en el clavo.

8.8.- Colgamos un cuerpo de masa m del extremo inferior de un muelle vertical que está sujeto del techo por su otro extremo, y lo dejamos descender lentamente, soportándolo con la mano, lo que hace que el muelle se estire una distancia d. ¿Cuál sería el máximo descenso del cuerpo si lo hubiéramos dejado caer bruscamente?

8.9.- Una partícula de masa m está situada en la cima de una semiesfera lisa, de radio R, que está apoyada por su base sobre un plano horizontal.

Cuando desplazamos ligeramente la partícula de su posición de equilibrio comienza a deslizar sobre la superficie de la esfera. La posición de la partícula queda determinada en cada instante por el ángulo θ que forma el radio-vector correspondiente con la vertical. a) Tomando el

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plano de la base como nivel de referencia, expresar las energías potencial y cinética de la partícula en función del ángulo θ. b) Ídem las aceleraciones tangencial y normal. c) Determinar el valor del ángulo para el cuál la partícula se despega de la semiesfera. d) En el caso de que existiese rozamiento, ¿el ángulo correspondiente a la posición de despegue sería mayor o menor que el anteriormente calculado?

8.10.- Un bloque de 5 kg comienza a subir por un plano inclinado de 30con una velocidad inicial de 20 m/s. a) ¿Qué distancia recorrerá sobre el plano, antes de detenerse, si el coeficiente cinético de rozamiento vale 0.25? b) Sea 0.45 el coeficiente estático de rozamiento. ¿Volverá a bajar el bloque, plano hacia abajo, después de haberse detenido? En caso afirmativo, ¿cuál será su velocidad al llegar de nuevo al pie del plano?

8.11.- Una pelota de ping-pong se deja caer sobre un suelo duro y rebota hasta el 90% de su altura original. a) Encontrar una expresión general para la altura máxima de la pelota después del nésimo rebote. b) Ídem para la pérdida de energía y la fracción de pérdida de energía de la pelota después del n-ésimo rebote. c) ¿Cuántos rebotes se necesitarán para que la altura máxima de la pelota se reduzca a un 5% de su valor inicial. d) Hacer una estimación del tiempo máximo durante el cuál estará botando la pelota, cuando se la deja caer desde una altura inicial de 5 m.

8.12.- Una masa puntual, m, está unida al extremo superior de una varilla rígida y ligera, de longitud l, que puede girar alrededor de un eje horizontal que pasa por su extremo inferior. Se abandona el sistema a partir de la posición vertical (equilibrio inestable), en reposo. a) Expresar la tensión en la varilla en función del ángulo que forma ésta con la vertical. b) Calcular el ángulo que formará la varilla con la vertical cuando la tensión en la misma pasa de ser compresora a tensora.

8.13.- Una vagoneta, abierta por su parte superior, que marcha con una velocidad constante de 4 m/s es cargada con 10 Tm de carbón, mientras pasa bajo una tolva de descarga, en un tiempo de 5 segundos. a) ¿Qué fuerza extra habrá que aplicar a la vagoneta para que su velocidad permanezca constante durante el proceso de carga? b) ¿Qué trabajo realizará esa fuerza? c) ¿Qué aumento de energía cinética experimenta el carbón? d) Explicar la discrepancia entre los resultados de los dos apartados anteriores.

8.14.- Una partícula de 2 g de masa se mueve bajo la acción de una fuerza que viene expresada por F = 2(3x+y)i + 2(x+4yz)j + 4y2k con x,y,z en cm y F en dyn. Cuando pasa por el punto de coordenadas (3,2,1) tiene una celeridad de 5 cm/s. a) ¿Cuál será su celeridad cuando pase por el punto (2,3,5)? b) ¿Ídem por el punto (1,-3,0)?

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9.- Momento angular.

Fuerzas centrales.

9.1.- En el instante t = 0, un cuerpo de 2 kg de masa se encuentra en el punto r = 5i m y tiene una velocidad v = 3j m/s. Sobre el cuerpo actúa una fuerza constante F = 4i N. a) Expresar la cantidad de movimiento y el momento angular del cuerpo en función del tiempo. b) Calcular el momento de la fuerza y compararlo con la derivada temporal del momento angular.

9.2.- Un cuerpo de pequeñas dimensiones, de 20 g de masa, está unido a un extremo de una cuerda ligera y flexible que pasa a través de un orificio practicado en un tablero horizontal liso, como se muestra en la f i g u r a .

Sujetamos el extremos inferior de la cuerda y hacemos que se mueva el Prob. 9.2 cuerpo en una trayectoria circular de 40 cm de radio, con una velocidad angular de 2 rad/s. a) Calcular la velocidad lineal del cuerpo, su momento angular y su energía cinética y la fuerza con que debemos tirar hacia abajo para que el movimiento sea posible. b) A continuación, vamos aumentando la tensión de la cuerda hasta que el radio de la trayectoria se reduce a 10 cm. Repetir los cálculos del apartado anterior. ¿Qué magnitudes físicas han permanecido constantes? c) Calcular el trabajo que hemos realizado al tirar de la cuerda y compararlo con el cambio que ha experimentado la energía cinética.

9.3.- Órbita geoestacionaria. Supóngase que se desea establecer en el espacio una base interplanetaria que se mueva en una órbita circular en el plano ecuatorial de la Tierra y a una altura tal que permanezca siempre sobre el mismo punto. ¿Cuál deberá ser el radio de esa órbita?

9.4.- Conocidos los semiejes mayores de las órbitas de la Tierra y de la Luna, 149.6×106 km y 384.0×103 m, respectivamente y los correspondientes periodos de revolución, 1 año y 27.32 días, calcular la masa del Sol en unidades de la masa de la Tierra.

9.5.- Los semiejes mayores de las dos Lunas del planeta Marte, Phobos y Deimos, miden 9 . 4 0 8 × 1 03 k m y 2 3 . 4 5 7 × 1 0 3 k m , respectivamente. El periodo de revolución orbital de Phobos es de 4.65 horas. Con esos datos se deben calcular la masa del planeta Marte y el periodo de revolución de Deimos.

10.- Geometría de masas.

10.1.- Determinar la posición del centro de masa de un bastón hecho con una barra de sección transversal y densidad constante cuyo puño tiene forma semicircular, de radio R, siendo L la longitud del mástil.

10.2.- En una esfera de madera, maciza y de radio R, la carcoma ha hecho un hueco esférico, de radio R/2, tangente a la superficie de la esfera, como se indica en la figura adjunta.

Localizar el centro de masa de la esfera ahuecada.

Prob. 10.2 10.3.- Determinar el momento de inercia de una lámina plana y homogénea, cuya forma es la de un triángulo rectángulo isósceles, con respecto cada uno de los ejes que se indican: a) cada uno de los lados de la lámina; b) cada uno de los ejes definidos por las bisectrices de los ángulos del triángulo; c) un eje perpendicular a la lámina en el vértice del ángulo recto de la misma; d) ídem en otro de los vértices; e) ídem por el centro de la lámina.

10.4.- Determinar el momento de inercia de un cubo homogéneo respecto a cada uno de los ejes siguientes: a) eje que pasa por el centro de dos caras opuestas; b) eje que coincide con una de las aristas; c) una de las diagonales interiores del cubo.

10.5.- La densidad de una varilla recta aumenta en proporción directa a la distancia a uno de sus extremos. Determinar el momento de inercia de la varilla con respecto a un eje perpendicular a ella y que pasa por: a) uno u otro de sus extremos; b) su centro geométrico; c) su centro de masa.

10.6.- La densidad de un esfera aumenta radialmente en proporción directa a la distancia a su centro. Determinar el momento de inercia de la esfera con respeto a: a) un eje diametral; b) un eje tangencial a la esfera.

10.7.- Determinar el momento de inercia de una lámina plana, de masa m, cuya forma es la de una corona circular, de radios R1 y R2 , con respeto a: a) un eje diametral; b) un eje tangencial a su borde y contenido en su mismo plano.

11.- Dinámica de los sistemas de partículas.

11.- Sistemas de partículas.

Leyes de conservación.

11.1.- En la figura adjunta se muestra un sistema constituido por dos bloques de masa m1 y m2 , respectivamente, que reposan sobre una superficie horizontal lisa, entre los que hay un muelle ideal, de constante elástica k y longitud natural l0, inicialmente comprimido hasta una longitud l < l 0. Cuando se abandona el sistema partiendo del reposo, el muelle recupera su longitud natural, empujando a ambos bloques

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sobre un superficie horizontal lisa. En el centro de la superficie enmarcada por el bastidor hay dos bloques, de masas ma = 1 kg y mb = 4 kg, entre los que se mantiene comprimido un muelle.

Inicialmente, el centro de masa del sistema se encuentra situado en el centro geométrico de bastidor. Cuando el muelle se distiende, la masa ma sale despedida con una velocidad de 6 m/s y finalmente queda empotrada en A; la masa mb se empotra en B. Dar una descripción detallada del movimiento del sistema.

11.4.- Una cuña de masa M se encuentra en reposo sobre un tablero horizontal, como se muestra en la figura. En la parte más alta de la

Prob. 11.1

con fuerzas iguales y opuestas, hasta que finalmente se desprende y cae sobre la superficie, mientras los bloques continúan moviéndose. a) Expresar la energía potencial interna de dicho sistema en función de la distancia x entre los dos bloques. b) Encontrar la razón existente entre las energías cinéticas finales de los bloques y explicar porqué el bloque de menor masa recibe la mayor parte de la energía potencial inicial, a pesar de que las fuerzas que actúan sobre cada bloque son de la misma intensidad en todo instante.

11.2.- Se dispara un proyectil en una dirección que forma un ángulo de 45con la horizontal y con una velocidad inicial de 458 m/s. Cuando el proyectil alcanza el punto más alto de su trayectoria, fragmentándose en dos parte de igual masa. Un fragmento, cuya velocidad inicial es cero, cae verticalmente, a) ¿A qué distancia del punto de disparo caerá sobre el terreno el otro fragmento, suponiendo que todo el terreno es plano y horizontal? b) ¿Qué cantidad de energía se liberó en la explosión?

11.3.- Un bastidor, de 5 kg de masa y cuyas dimensiones son las que se indican en la figura adjunta, se encuentra inicialmente en reposo

Prob. 11.3

Prob. 11.4

cuña reposa un pequeño bloque de masa m, a una altura h sobre el tablero horizontal. Todas las superficies son perf e c t amente lisas.

Abandonamos el sistema, de modo que el bloque desciende y la cuña retrocede. Encontrar la velocidad de retroceso de la cuña en el instante en que el bloque toca el tablero horizontal.

11.5.- Un fusil está suspendido mediante dos hilos ligeros, en posición horizontal, como se muestra en la figura. El fusil pesa 5 kg, su ánima mide 80 cm y dispara un proyectil de 10 g de masa con una velocidad (respecto a tierra) Prob. 11.5 de 500 m/s. a) Calcular la velocidad de retroceso del fusil. b) Calcular el tiempo que el proyectil ha empleado en recorrer el ánima del fusil. c) Suponiendo, por simplificar, que la fuerza que ha actuado sobre la bala en el ánima sea constante, determinar el módulo de dicha fuerza.

11.6.- Un vagón de carga, abierto por su parte superior, pesa 10 Tn y se mueve libremente, sin rozamientos apreciables, sobre una vía recta a nivel. Comienza a llover intensamente, cayendo la lluvia verticalmente sobre el terreno. El vagón está vacío inicialmente y se mueve con una velocidad de 3.6 km/h. ¿Cuál será la velocidad del vagón después de haber recorrido lo suficiente como para recoger una tonelada de agua? ¿Qué suposiciones ha debido Vd. hacer para llegar a ese resultado?

11.7.- Se coloca un recipiente sobre el plato de una balanza de resorte y se ajusta ésta para que marque cero cuando el recipiente está vacío.

Entonces se vierte agua dentro del recipiente, un

Fundamentos Físicos de la Ingeniería.

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chorro continuo, a razón de 100 cm3 por minuto, desde una altura de 1 m. a) Expresar la lectura de la balanza en función del tiempo desde el instante en que empezamos a verter agua. b) ¿Cuánto marcará la balanza cuando se hayan recogido 500 cm3 de agua?

11.8.- Un hombre, que junto con su rifle pesa 70 kg, lleva patines y dispara su rifle en dirección horizontal. Cada proyectil tiene una masa de 30 g y sale con una velocidad de 800 m/s. Supóngase despreciables los rozamientos. a) ¿Cuál será la velocidad del hombre después de efectuar 10 disparos? b) supongamos que los diez disparos se hayan realizado en 10 s, ¿cuál es el valor de la fuerza media que se ha ejercido sobre el hombre?

11.9.- Una cadena uniforme, de longitud L y masa M, se encuentra inicialmente en reposo, amontonada y enrollada sobre una s u p e r f i c i e horizontal. Tiramos verticalmente y hacia arriba de uno Prob. 11.9 de los extremos de la cadena, de modo que cada eslabón de la cadena permanece en reposo hasta el instante en que comienza a elevarse y que la velocidad del extremo superior sea constante. a) Calcular la potencia que desarrolla la fuerza vertical aplicada. b) ¿Qué cantidad de esa potencia se disipa? ¿Cómo explica Vd. esa disipación de potencia?

11.10.- Dos prismas triangulares, de masas M y m, y anchuras a y b, están en reposo, tal como se indica en la figura adjunta, sobre un tablero horizontal liso. Las superficies de contacto entre los dos prismas son, también, perfectamente lisas. Determinar el retroceso del prisma inferior

12.- Estática del sólido rígido.

12.1.- Una caja de embalaje que contiene un frigorífico pesa 300 kg y tiene forma de paralelepípedo rectangular de 2 m de alto por 80 cm × 80 cm de base. El coeficiente de rozamiento entre la caja y el suelo vale 0.30. Si deseamos arrastrarla sobre el suelo mediante la aplicación de una fuerza horizontal, ¿cuál debe ser la magnitud de esa fuerza? ¿A qué altura sobre el suelo podemos aplicar esa fuerza sin riesgo de vuelco?

12.2.- La caja del Problema 12.1 se encuentra ahora sobre la plataforma de un camión. Cuando el camión frena bruscamente ¿qué riesgo será mayor, el de deslizamiento o el de vuelco de la caja?

12.3.- Deseamos t r a n s p o r t a r e n una carretilla un bloque homogéneo, de masa m, cuyas dimensiones se especifican en la figura.

Sea μel coeficiente de rozamiento entre la base del bloque y la plataforma de la carretilla. Determinar los valores máximos de la aceleración de la carretilla (acelerando y frenando) para que no Prob. 12.3 haya movimiento relativo entre el bloque y la carretilla.

12.4.- Una varilla homogénea de masa m y longitud l apoya sus extremos en dos planos lisos que determinan un diedro recto, como se muestra en la figura.

Determinar la posición Prob. 12.4 de equilibrio y las reacciones en los extremos de la varilla en función del ángulo α.

12.5.- En el mecanismo que se representa en la figura se aplica un par mediante dos fuerzas de

Prob. 11.10

hasta el instante en que la cara vertical del prisma superior alcanza el tablero horizontal. Aplicación numérica: M = 10 kg, m = 2 kg, a = 40 cm y b = 10 cm.

Prob. 12.5

11.- Dinámica de los sistemas de partículas.

100 N, con un brazo de 120 mm, aplicadas en los puntos D y E de la aleta. Todas las cotas indicadas están expresadas en mm. Determinar la fuerza F necesaria para establecer el equilibrio y las reacciones en los apoyos fijos B y C. (Se desprecia el peso de la aleta).

12.6.- Un rodillo homogéneo de 25 cm de radio y 40 kg de peso está situado sobre un plano horizontal. Deseamos hacerlo subir un escalón de 5 cm de altura, y para ello tiramos de él con una fuerza cuya línea de acción pasa por el eje del rodillo. Determinar el módulo de la fuerza necesaria para conseguir nuestro objetivo: a) si la fuerza aplicada es horizontal y b) si la fuerza aplicada forma un ángulo θcon la horizontal. c) ¿Cuál será el valor de θque minimizará la fuerza necesaria y cuánto valdrá ésta?

12.7.- Una placa rectangular y homogénea, de dimensiones 30 cm × 20 cm y que pesa 2 kg, está unida a un eje vertical de modo que en A está articulada con el Prob. 12.7 eje y en B sólo se apoya en él. a) Determinar las reacciones en los apoyos cuando el sistema gira con una velocidad angular de 30 rpm. b) ¿A partir de que velocidad angular no se apoyará la placa en B? 12.8.- Determinar la posición de equilibrio del sistema representado en la figura que se adjunta, en el que no existen rozamientos en los apoyos de la varilla con la Prob. 12.8 pared vertical y con el borde horizontal.

12.9.- Un bastón está formado por un tramo rectilíneo de 100 cm de longitud y un puño semicircular de 8 cm de radio. Lo apoyamos en el borde de una mesa de modo que la parte rectilínea cuelgue por debajo del tablero Prob. 12.9 de la mesa. Determinar la posición de equilibrio del bastón.

12.10.- Un canalón, de masa m cuya forma es la de medio cilindro circular con un radio exterior que es el doble del radio interior, descansa sobre un plano h o r i zo n t a l .

Determinar el módulo de la fuerza Prob. 12.10 vertical F que deberá

17

aplicarse al borde del canalón para que se incline un ángulo θ, como se indica en la figura.

12.11.- La barra homogénea que se muestra en la figura se apoya sin fricción en el interior y en el borde de una semiesfera hueca. La posición de equilibrio del sistema corresponde a la barra en

Prob. 12.11

posición horizontal. a) Determinar las reacciones en los contactos. b) Encontrar la relación existente entre M, m y θ .

12.12.- En el mecanismo que se muestra en la figura, la dos barras homogéneas tienen una masa por unidad de longitud λ . Un tope (C) impide que la corredera se desplace hacia la derecha.

Prob. 12.12

Determinar la reacciones en los apoyos A y B y en el tope C. 12.13.- Dos bolas idén ticas, de masa m y radio r, están colocadas en el interior de un tubo cilíndrico (abierto en sus bases) de diámetro 3r. El conjunto descansa sobre un plano horizontal, como se muestra Prob. 12.13 en la figura. Determinar la masa mínima que deberá tener el tubo cilíndrico para que el sistema no vuelque.

12.14.- Tres rodillos idénticos están apilados en la forma que se muestra en la figura.

Supongamos que el coeficiente de rozamiento estático es el mismo para todos los pares de superficies en contacto. Calcúlese el Prob. 12.14 valor mínimo del coeficiente de

Fundamentos Físicos de la Ingeniería.

18

rozamiento que evite el desmoronamiento del sistema.

b) Determinar la tensión del cable y la reacción en el apoyo.

12.19.- Una varilla lisa, de masa m y longitud l se apoya por uno de sus extremos (A) en un plano horizontal liso y por un punto comprendido entre el A y su centro de gravedad (G) en un borde fijo B, como se muestra en la figura. Determinar la

Prob. 12.15

12.15.- Determinar el valor del ángulo θ correspondiente a la configuración de equilibrio del sistema de dos barras ligeras articuladas como se muestra en la figura adjunta. Expresar el resultado en función de las intensidades de los esfuerzos P y F. 12.16.- Determinar la configuración correspondiente al equilibrio de las tres barras articuladas que se muestran en la figura adjunta, cuando actúa una fuerza horizontal de 1 kg sobre el extremo inferior de la barra que está más abajo. Las tres barras son homogéneas Prob. 12.16 entre sí; cada una de ellas mide 50 cm y pesa 2 kg.

12.17.- El sistema representado en la figura está constituido por dos varillas idénticas, de 100 cm de longitud y 4 kg de masa cada una de ellas, articuladas sin fricción, apoyadas sobre Prob. 12.17 un suelo horizontal liso y unidas por sus centros mediante un muelle constante elástica k = 113.16 N/m y 30 cm de longitud natural. Determinar el valor del ángulo θ para que el sistema se encuentre en equilibrio.

12.18.- Una barra de 4 m de longitud y 100 kg de peso está apoyada por uno de sus extremos en una pared vertical lisa y sostenida por el otro extremo mediante un cable inextensible, de 6 m de longitud y masa despreciable, como se indica en la figura. a) Determinar el valor de los ángulos αy β que forman el cable y la barra con la pared en la posición de equilibrio.

Prob. 12.18

Prob. 12.19

fuerza horizontal que hay que aplicar en A para mantener la varilla en equilibrio con una inclinación θrespecto de la horizontal y evaluar las reacciones en los apoyos.

13.- Dinámica del sólido rígido.

13.1.- Un disco homogéneo, de 15 kg de masa y 10 cm de radio, está montado sobre un eje sostenido horizontalmente por apoyos sin rozamiento. Sobre la periferia del disco se enrolla una cuerda ligera y se aplica una fuerza constante de 5 kg y dirigida hacia abajo en el extremo libre de la cuerda. a) Determinar la aceleración angular del disco. b) En lugar de aplicar la fuerza anterior, colgamos un pesa de 5 kg en el extremo libre de la cuerda. Determinar, entonces, la aceleración angular del disco y la aceleración de caída de la pesa, así como la tensión de la cuerda. c) Comparar los resultados obtenidos para la aceleración angular en los apartados anteriores y explicar por qué son distintos.

Prob. 13.1

Prob. 13.2

13.2.- Dos poleas de radios 8 cm y 5 cm respectivamente, están acopladas la una a la otra formando un bloque que puede girar en torno al eje central horizontal. De la garganta de la polea grande pende un peso de 20 kg y de la garganta de la polea pequeña pende otro peso de 30 kg que

13.- Dinámica del sólido rígido.

tiende a hacer girar las poleas en sentido contrario al anterior. El momento de inercia de las dos poleas en conjunto es 0.006 kg m 2. Al dejar el sistema en libertad se pone en movimiento. a) ¿En qué sentido se mueve el sistema? b) Calcular la aceleración angular de las poleas y la aceleración de cada presa. c) Calcular la tensión en cada cuerda.

13.3.- Determinar el sentido del movimiento del sistema representado en la figura, la aceleración del sistema y la tensión Prob. 13.3 en cada tramo de la cuerda que une los bloques m1 = 8 kg y m2 = 10 kg, considerando la polea como un disco de 1 kg de masa y 10 cm de radio. El coeficiente de rozamiento en el plano inclinado (30) es μ= 0.2.

13.4.- Un cilindro macizo baja rodando sin resbalar por un plano inclinado. a) Calcular la aceleración del centro de masa del cilindro. b) Determinar el valor mínimo de la fuerza de rozamiento (estático) entre el plano y el cilindro a fin de que éste ruede sin resbalar. c) Calcular el valor mínimo del coeficiente de rozamiento para que el cilindro no resbale. d) Estudiar el movimiento del cilindro en función de diversos valores del coeficiente de rozamiento. e) ¿Se conserva la energía total del cilindro cuando éste rueda sin resbalar?

13.5.- Un aro, un cilindro macizo y una esfera bajan rodando sin resbalar por un mismo plano inclinado. Si los tres cuerpos partieron simultáneamente del reposo desde una misma altura en el plano, ordenarlos de acuerdo con el orden de llegada al pie del plano. ¿Intervienen las masas o los radios de los cuerpos en el orden de llegada? ¿Entonces, qué criterio se ha seguido para hacer la clasificación? Explíquese.

13.6.- Dadas dos esferas de la misma masa y del mismo radio, pero una maciza y la otra hueca, describir detalladamente un experimento que, sin dañar las esferas, nos permita averiguar cual es la maciza y cual la hueca. Hacer los cálculos necesarios para justificar los resultados del experimento.

13.7.- Presionamos con el dedo una pelota de ping-pong contra la mesa, de tal modo que al escapársenos sale Prob. 13.7 lanzada hacia adelante con una velocidad de traslación v0 al mismo tiempo que gira con velocidad angular ω0, como se muestra en la figura adjunta. Sea μel coeficiente de rozamiento entre la pelota y la mesa. a) Determinar la relación que debe existir entre v0 y ω0 para que al cabo de cierto trayecto la

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pelota quede en reposo de traslación y de rotación. Calcular dicho trayecto. b) Determinar la relación que debe existir entre v0 y ω0 para que la pelota, después de anularse su velocidad de traslación, regrese hacia el punto inicial de lanzamiento con una velocidad angular ω0 /2.

13.8.- Una esfera maciza y homogénea, de masa m y radio r resbala sin rodar sobre una superficie horizontal rugosa Prob. 13.8 bajo la acción de una fuerza F dirigida horizontalmente y aplicada a una altura h<r, como se indica en la figura. Determinar la aceleración de la esfera y el coeficiente de rozamiento entre esta y el plano.

Prob. 13.9

13.9.- Una esfera maciza y homogénea descansa sobre una plataforma horizontal, como se indica en la figura. El rozamiento entre la plataforma y esfera es suficiente para evitar el deslizamiento de ésta. Aplicamos a la plataforma una fuerza horizontal constante. a) Determinar las aceleraciones (absolutas) que adquirirán la plataforma y en centro de la esfera. b) Encontrar la aceleración angular de la esfera (módulo y dirección).

13.10.- Un yo-yo está formado por dos discos pesados, de radio R y masa total M, unidos por un eje ligero de radio r, alrededor del cual se arrolla el hilo. Un muchacho sostiene el extremo libre del hilo en una posición fija y deja caer el yo-yo verticalmente. el yo-yo se acelera hacia abajo, llega el instante en que se desenrolla todo el hilo y, entonces, comienza a subir enrollándose de nuevo el hilo sobre su eje. a) Explicar detalladamente el movimiento del yoyo. ¿Por qué vuelve a subir? b) Calcular la aceleración del yo-yo y al tensión en el hilo en los movimientos de bajada y de subida?

13.11.- En el giroscopio representado en la figura el disco tiene una masa de 200 g y un radio de giro de 5 cm y está Prob. 13.11

Fundamentos Físicos de la Ingeniería.

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situado a 10 cm del punto de apoyo del eje.

Calcular la velocidad angular de precesión cuando el disco está girando alrededor de su eje con una velocidad angular de 20 rps.

13.12.- En la figura se muestra esquemáticamente el tren de aterrizaje de un avión visto desde atrás. El radio de la rueda es de 40 cm y su momento de inercia es de 2.5 kg m 2. El avión despega a una velocidad de 180 km/h. Después del despegue, se recoge el tren de aterrizaje girándolo lateralmente a razón de 45por segundo.

Determinar la magnitud del par Prob. 13.12 ejercido sobre la rueda por su soporte e indicar las direcciones de las magnitudes vectoriales implicadas.

13.13.- El cuerpo representado en la figura está formado por dos discos pesados, de radio R y masa total M, unidos mediante un eje ligero, de

intervienen. b) Analizar los resultados anteriores para las situaciones límites m0 y m.

13.15.- Los dos discos de la figura adjunta tienen la misma masa m y el mismo radio R. El disco superior puede girar libremente alrededor de un eje horizontal fijo que pasa por su centro.

Un hilo ligero está arrollado alrededor de ambos discos.

Calcular la tensión del hilo y las aceleraciones que Prob. 13.15 intervienen cuando se deja caer el disco inferior.

13.16.- Una varilla homogénea AB está guiada por dos pasadores, A y B, que deslizan libremente por las guías situadas en un plano vertical que se indican en la figura adjunta. Se

Prob. 13.16

Prob. 13.13

radio r, en torno al cual se ha enrollado un hilo.

Supongamos que tiramos horizontalmente del extremo libre del hilo, como se muestra en la figura, con una fuerza constante F. Determinar el sentido del movimiento y la aceleración del cuerpo.

13.14.- Un bloque de masa m desliza sobre un plano horizontal liso y está unido a un cilindro de masa M y radio R mediante un hilo ligero que pasa por la garganta de una polea de masa despreciable. El hilo está arrollado en torno del cilindro con un gran número de vueltas. a) Calcular la tensión del hilo durante el movimiento del sistema y las aceleraciones que

Prob. 13.14

abandona la varilla, partiendo del reposo, en la posición 1 indicada. Determinar las velocidades de los pasadores A y B, así como la velocidad de traslación y la velocidad angular de la varilla, en las posiciones 2 y 3 indicadas.

13.17.- Una varilla de longitud L se sostiene verticalmente apoyada sobre el suelo por un extremo y se la deja caer. Suponiendo que el extremo apoyado no resbala, determinar la velocidad angular de la varilla en función del ángulo que forma con la vertical y la velocidad del extremo libre cuando pega contra el suelo.

13.18.- Las dos varillas homogéneas, de la misma masa m y longitud l, que se muestran en la figura, están articuladas entre sí en el punto A. El extremo O de la varilla superior está articulada a un punto fijo y el extremo B de la inferior lo está a una corredera Prob. 13.18 que puede deslizar sin fricción a lo largo de un eje vertical. Se abandona el sistema, partiendo del reposo, de la posición horizontal (θ =0).

Determinar: (a) la velocidad angular de cada

13.- Dinámica del sólido rígido.

varilla en función del ángulo θ ; (b) la velocidad de la corredera en función de θ.

13.19.- Un cilindro macizo y homogéneo, de radio r y gene r a t r i z 2r, descansa Prob. 13.19 apoyado en una de sus bases sobre un plano horizontal rugoso que no permite el deslizamiento.Le aplicamos una fuerza horizontal, a una altura conveniente sobre el plano, hasta que, apoyado en el borde de su base inferior se desequilibra e inicia la caída. (a) Calcular el momento de inercia del cilindro con respecto al eje AAtangente a la periferia de la base. (b) Determinar la velocidad angular del cilindro en el instante en que su generatriz llega al plano horizontal.

13.20.- Una varilla homogénea de longitud L y masa M puede girar sin rozamiento alrededor de un eje vertical que pasa por su centro y que es perpendicular a la varilla. A lo largo de la varilla pueden moverse dos esferillas idénticas, de masa m cada una, unidas entre sí por un hilo inextensible de longitud d < L. Inicialmente, la varilla está girando con una frecuencia ν 0 y las esferillas se encuentran en posiciones simétricas con respecto al eje de rotación. En un instante determinado, el hilo se rompe y las esferillas se desplazan hacia los extremos de la varilla, que dando detenidas en los topes que existen en dichos extremos. a) Calcular la frecuencia de revolución final del sistema. b) ¿Se conservará la energía cinética en el proceso?

13.21.- Una pequeña esfera de radio r permanece en equilibrio inestable en la cima de una gran esfera fija de radio R. Desplazamos ligeramente la esferilla de su posición de equilibrio, de modo que comience a rodar (sin resbalar) sobre la esfera grande. Determinar la posición en que la esferilla se despega de la esfera grande y la velocidad que lleva en ese instante.

13.22.- Una bolita, de radior, rueda por un carril situado en un plano vertical, de radio interior R>r. ¿Cuál deberá ser el valor mínimo de v0 a fin de que la bolita complete su trayectoria circular sin despegarse del Prob. 13.22 carril?

13.23.- Una varilla homogénea tiene sus extremos apoyados en una pared vertical lisa y en un suelo horizontal liso.

En el instante inicial, la varilla forma un cierto ángulo θ0 con la horizontal; entonces comienza a resbalar. Calcular el ángulo de inclinación de la

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varilla cuando se extremo superior se despega de la pared.

13.24.- Un cilindro macizo y homogéneo, de masa m y radio r, rueda sin deslizar por el interior de otro cilindro hueco, de masa M y radio R, que puede girar alrededor de un eje fijo horizontal (O) que coincide con su eje de Prob. 13.24 simetría. En el instante inicial, se abandona el sistema (partiendo del reposo) en la posición que se indica en la figura. a) Determinar las velocidades angulares de cada uno de los dos cilindros en el instante en que el cilindro interior pasa por su posición más baja. b) Determinar la velocidad de traslación del cilindro interior en dicho instante.

1 3 . 2 5 . - Un rodillo macizo, de masa m y radio r, desciende rodando (sin resbalar) por la cara inclinada de un prisma Prob. 13.25 triangular móvil, de masa m e inclinación θ , como se ilustra en la figura. a) Determinar las aceleraciones (absolutas) del rodillo y del prisma. b) Si el rodillo partió del reposo en la parte superior del prisma, estando también éste inicialmente en reposo, ¿cuál será la velocidad final del prisma?

14.- Colisiones y percusiones.

14.1.- Dejamos caer una pelota, desde una altura de 10 m, sobre un suelo duro y horizontal. Se observa que la pelota remonta hasta una altura de 8.1 m después del primer bote en el suelo.

Supongamos que el coeficiente de restitución permanezca constante en los rebotes sucesivos. a) Calcular el valor del coeficiente de restitución en los rebotes. b) ¿Qué fracción de la energía se pierde en cada rebote? c) ¿Cuántos botes dará la pelota antes de que su altura de remonte se reduzca a 10 cm? d) Calcular el tiempo que deberá transcurrir antes de que la pelota quede en reposo y el espacio total que habrá recorrido hasta ese instante.

14.2.- Dos pequeñas e s f e r a s , d e ma s a s respectivas m y 2m, cuelgan de un punto común mediante sendos Prob. 14.2

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Fundamentos Físicos de la Ingeniería.

hilos de longitud l, como se indica en la figura.

La esfera 2m se encuentra en reposo y la esfera m se abandona a partir de la posición que se indica, de modo que tenga lugar una colisión frontal y perfectamente elástica entre ambas esferas.

Determinar la altura a la que ascenderá cada esfera después del primer choque.

14.3.- Dos péndulos simples, de masa respectivas m1 y m2, ambos de longitud l, están suspendidos de un mismo punto. Se separa uno de ellos de la vertical (manteniéndose el hilo tenso) hasta que se obtiene una diferencia de alturas h entre ambas masas pendulares. Se suelta dicho péndulo de modo que colisione con el otro. Suponiendo que la colisión sea completamente inelástica, ¿a qué altura se elevará el conjunto después de la colisión?

14.4.- a) Un elevador está subiendo por el cubo (hueco de la escalera) con una velocidad constante de 1.83 m/s. En el instante en que el techo del elevador se encuentra a 18.3 m de la parte más alta del cubo, se deja caer desde ese sitio una pelota ligera que rebotará elásticamente en el techo del ascensor. ¿A qué altura subirá la pelota por encima del lugar desde el que se dejó caer? b) Resolver el mismo problema suponiendo que el ascensor esté bajando con una velocidad de 1.83 m/s.

14.5.- Una forma sencilla de determinar la velocidad de un proyectil consiste en la utilización del péndulo balístico. Este péndulo está constituido por un bloque grande de madera, de masa M, suspendido mediante dos hilos verticales, como se ilustra en la figura. El proyectil, de masa m, cuya velocidad v se quiere determinar, se d i s p a r a horizontalmente de modo que choque y quede incrustado en el bloque de madera. Si el tiempo que emplea el Prob. 14.5 p r o ye c t i l e n quedar detenido en el interior del bloque de madera es pequeño en comparación con el periodo de oscilación del péndulo (bastará con que los hilos de suspensión sean suficientemente largos), los hilos de suspensión permanecerán casi verticales durante la colisión. Supongamos que el centro de masa del bloque asciende a una altura h después de la colisión. Calcular: a) La velocidad que lleva el proyectil y b) la fracción de la energía cinética inicial que se disipa. aplicación numérica: M =

3 kg, m = 10 g y b = 4 cm.

14.6.- Un disco desliza sobre una superficie horizontal lisa, con una celeridad de 5 m/s, y colisiona elásticamente con otros discos

Prob. 14.6

idénticos, que se encontraban en reposo, en contacto entre sí y colocados de modo que la línea de sus centros era perpendicular a la trayectoria del disco incidente, como se muestra en el figura adjunta. El disco incidente se apuntó directamente al punto de contacto de los otros dos. Calcular las velocidades (módulos y direcciones) de los tres discos después de la colisión.

14.7.- Una varilla homogénea, de longitud L y masa M, se encuentra en reposo sobre un plano horizontal liso. Un disco de hockey, de masa m, se mueve sobre dicho plano en dirección perpendicular a la varilla y con una velocidad v0.

El disco choca elásticamente con la varilla en un punto P situado a una distancia h del centro de ésta. a) ¿Qué magnitudes se conservan durante el choque? b) ¿Cuál deberá ser la masa del disco para que quede en reposo inmediatamente después del choque? c) En el supuesto anterior, calcular la velocidad del centro de masa de la varilla y la velocidad angular de ésta. d) Determinar la posición del punto Q de la varilla que permanece en reposo después de la colisión. e) Demostrar que si el disco choca en el punto Q, el punto P permanecerá en reposo.

14.8.- Una varilla homogénea, de masa m y longitud l cae desde una cierta altura. En el instante en el que uno de sus extremos toca el Prob. 14.8 suelo, la varilla forma un ángulo de 60con el mismo, su centro de masa tiene una velocidad v y está rotando con una velocidad angular ω, como se ilustra en la figura. Suponiendo que la colisión sea perfectamente elástica, determinar las nuevas velocidades de traslación y de rotación de la varilla después del choque.

14.- Colisiones y percusiones.

14.9.- Una viga uniforme, de longitud 2l y masa m, está sostenida horizontalmente por dos

Prob. 14.9

apoyos, A y B, a una distancia x del centro G de la viga. Determinar la distancia x para que, al suprimirse súbitamente uno de los apoyos, no varíe en ese instante la reacción en el otro.

14.10.- Un bloque homogéneo de forma prismática, de sección cuadrada de lado l, desliza sobre un plano horizontal liso con Prob. 14.10 velocidad v. Cuando choca contra el tope O que se indica en la figura, gira alrededor de él. Calcular: (a) La velocidad angular con que se iniciará el giro; (b) el valor mínimo de la velocidad v del bloque para que se produzca el vuelco de éste, sobrepasando al tope.

14.11.- Jugando al billar I. Una bola de billar, que se encuentra inicialmente en reposo sobre la masa, recibe un golpe de taco de modo que la línea de acción del impulso está contenida en el plano vertical que pasa por el centro de la bola, es paralela a la superficie de la mesa y está situada a una distancia h del centro de la bola.

Como consecuencia de ese impulso, la bola sale lanzada hacia adelante con una velocidad v0 y, debido a su "efecto", posteriormente adquiere una velocidad v. Sea R el radio de la bola. a) Demostrar que

b) Demostrar que si queremos conseguir que la bola ruede sin resbalar sobre el tablero desde el mismo momento en que recibe el nombre el impulso, la línea de acción de éste debe estar situada a una distancia h = 2R/5 por encima del centro de la bola. c) Demostrar que el "efecto" será hacia adelante o hacia atrás según que h sea mayor o menor que 2R/5. d) Demostrar que es imposible, con el "efecto de retroceso", dar a la bola una velocidad de retroceso a menos que el impulso tenga una componente vertical hacia abajo.

14.12.- Una masa puntual, de magnitud m, está unida mediante un hilo ligero, flexible e inextensible, de longitud L, a un punto fijo O.

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Abandonamos la masa puntual, partiendo del reposo, en la posición indicada en la figura.

Determinar la amplitud de las oscilaciones pendulares de dicha masa. ¿Se conserva la energía durante todo el proceso?

14.13.- Dos discos homogéneos están montados sobre e j e s p a r a l e l os .

Inicialmente ambos discos están girando libremente, con velocidades a n g u l a r e s Prob. 14.12 constantes. En un instante dado se aproximan entre sí los ejes de rotación de sendos discos de modo que éstos quedan acoplados por sus bordes. Determinar las velocidades angulares de los discos después del acoplamiento. Expresar los resultados en función de las velocidades angulares iniciales y de las razones de masas y radios de los discos.

14.14.- Una placa rectangular, de masa m uniformemente repartida, puede girar alrededor de un eje fijo horizontal que Prob. 14.14 coincide con uno de sus bordes, como se indica en la figura.

Separamos la placa hasta la posición horizontal y la abandonamos partiendo del reposo. Cuando alcanza la posición vertical, colisiona elásticamente contra el borde de otra placa idéntica que se encontraba en reposo sobre un plano horizontal. a) Determinar las velocidades de cada placa después de la colisión. b) Calcular la percusión en el eje.

14.15.- Un carrete está formado por dos discos homogéneos idénticos, de radio R, unidos por un eje cilíndrico, de radio r, en el que está enrollada una cuerda ligera y flexible. Sea m la masa total del carrete e I su momento de inercia con respecto a s u e j e. Tira mos bruscamente de la Prob. 14.15 c u e r d a , horizontalmente, como se indica en la figura (i.e., aplicamos una impulsión Π). a) Determinar el movimiento del carrete justamente después de la impulsión. b) Suponiendo que el suelo sea rugoso, determinar el movimiento final del carrete.

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Fundamentos Físicos de la Ingeniería.

14.16.- Una esfera homogénea, de masa m y radio R, reposa sobre un bloque, de masa 2m, que se mueve con velocidad constante v0 sobre un tablero horizontal liso, como se ilustra en la figura. El bloque colisiona inelásticamente en B y queda detenido; entonces, la esfera comienza a rodar sobre el bloque. En el supuesto de que el rozamiento entre la esfera y el bloque sea suficiente como para que comience a rodar, sin resProb. 14.16 balar, desde e l p r i me r instante, determinar la velocidad angular de la esfera y las reacciones percusionales.

15.- Movimiento armónico simple.

15.1.- El movimiento de un oscilador armónico simple está descrito por la ecuación x=5 sen (0.2t + 0.5236) donde todas las cantidades están expresadas en el sistema c.g.s.. Determinar: a) la amplitud, el periodo, la frecuencia y la fase inicial del movimiento, b) la velocidad y la aceleración y c) las condiciones iniciales.

15.2.- Las posiciones sucesivas de una partícula que ejecuta un m.a.s. son x=a, b y c; correspondientes a los instantes t=t0, 2t 0, 3t0 , respectivamente. Calcular el periodo del movimiento.

15.3.- Dos partículas realizan sendos movimientos armónicos simples de la misma amplitud, frecuencia y origen a lo largo de una misma línea recta. Cada vez que se cruzan, moviéndose en sentidos opuestos, sus elongaciones son la mitad de la amplitud.

Calcular la diferencia de fase entre ambos m.a.s.

15.4.- Calcular el periodo de las oscilaciones de la columna líquida contenida en un tubo en U de sección transversal constante, colocadoverticalmente, como se muestra en la figura.

15.5.- Una moneda permanece en reposo sobre una plataforma horizontal que realiza un movimiento armónico simple de amplitud A y frecuencia v. a) Si la plataforma oscila verticalmente, ¿cuál será el Prob. 15.4

valor máximo de A que permita a la moneda permanecer en contacto permanente con la plataforma? b) Supongamos ahora que la plataforma oscila horizontalmente y que sea μel coeficiente de rozamiento estático entre la moneda y la plataforma. ¿Cuál será, entonces, el valor máximo de A que permita a la moneda permanecer en reposo respecto a la plataforma, sin deslizar?

15.6.- Una varilla homogénea, de masa m y longitud L, se encuentra inicialmente en reposo sobre un plano horizontal xy. Cada elemento de la varilla es atraído por una fuerza proporcional a su masa y a su distancia al eje x. Estudiar el movimiento de la varilla.

15.7.- La escala de un dinamómetro de muelle, que alcanza de 0 a 500 g, mide 8 cm de longitud.

Del dinamómetro se suspende un pequeño paquete, se le da un tirón hacia abajo y se observa que sus oscilaciones verticales presentan una frecuencia de 3 Hz. ¿Cuánto pesa el paquete?

15.8.- Determinar las frecuencias de oscilación correspondientes a cada uno de los sistemas Prob. 15.8 representados en la figura.

15.9.- Consideremos un pequeño objeto, de masa m, que tan sólo puede moverse a lo largo de una recta, unido a un extremo de un muelle de constante elástica k y de longitud natural l0. El otro extremo del muelle está unido a un punto

Prob. 15.9

fijo A situado a una distancia h > l0 de la recta sobre la que se mueve el pequeño objeto, como se muestra en la figura. Calcular la frecuencia de las pequeñas oscilaciones del sistema.

15.10.- Un reloj de péndulo que ha sido cuidadosamente ajustado para marcar el tiempo correcto en un lugar donde g = 9.823 m/s2 retrasa 40 s por día cuando se lleva a otro lugar geográfico. ¿Cuánto vale g en ese lugar?

15.11.- En el dispositivo que se muestra en la figura, el collarín ligero por el que pasa la varilla y al que están unidos dos muelles idénticos, permite que éstos permanezcan horizontales.

15.- Movimiento armónico simple.

Determinar la frecuencia de las pequeñas oscilaciones de la varilla.

15.12.- a) Calcular la frecuencia de las pequeñas oscilaciones de un aro de radio R colgado de la pared mediante un clavo Prob. 15.11 horizontal. ¿Cuál es la longitud reducida de este péndulo físico? b) Repetir el apartado anterior si se suprime la mitad inferior del aro.

15.13.- a) Calcular el periodo de las oscilaciones de pequeña amplitud de una lámina en forma de triángulo equilátero cuando el eje de suspensión es perpendicular al plano de la lámina y pasa por uno de los vértices del triángulo. b) Ídem, en las mismas condiciones, para una lámina en forma rectangular.

15.14.- Determinar la frecuencia de las pequeñas oscilaciones del sistema que se muestra en la figura adjunta, suponiendo que la polea sea un disco homogéneo de masa M y radio R y que la cuerda sea ligera y no resbale por la garganta de la polea.

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15.17.- Una partícula está sometida simultáneamente a tres m.a.s. de la misma frecuencia y dirección, cuyas amplitudes son 3, 4 y 5 respectivamente. El segundo m.a.s. está adelantado un ángulo de fase de 30respecto al primero, y el tercero lo está 120respecto al segundo. Hallar la amplitud del desplazamiento resultante y su fase relativa al primer m.a.s.

15.18.- Calcular la amplitud y la constante de fase del desplazamiento resultante de la superposición de los m.a.s. x1 y x2 , que se dan a continuación y dibujar los diagramas fasoriales correspondientes: a) x1= 3 sen(ωt+30) x2= 4 sen(ωt+45) b) x1 = 3 sen(ωt+45 ) x2= 4 sen(ωt+135 ) c) x1 = 2 sen(ωt+60) x2= 5 cos(ωt-30) 15.19.- Consideramos la superposición de dos oscilaciones armónicas sobre una misma recta cuyas elongaciones vienen dadas por x1 = A sen 16πt x2 = A cos 12 π t respectivamente. a) Hallar el periodo y la frecuencia del batimiento. b) ¿Cuántos ciclos de la oscilación básica están contenidos en cada módulo del batimiento? c) Dibujar un esquema cuidadoso de la perturbación resultante durante dos periodos del batimiento.

16.- Ondas mecánicas.

Prob. 15.14

Prob. 15.15

15.15.- El cilindro macizo y homogéneo que se muestra en la figura, de masa m y radio R, está suspendido del techo mediante una cuerda. Uno de los extremos de la cuerda está unido directamente al techo; el otro lo está a un muelle de constante elástica k. Determinar la frecuencia de las oscilaciones del sistema.

15.16.- Los extremos de una varilla homogénea están ligados a una circunferencia vertical y pueden deslizar sin rozamiento a lo largo de la misma. Si la varilla subtiende un Prob. 15.16 ángulo central de 120, demostrar que la longitud del péndulo simple equivalente es igual al radio de la circunferencia.

16.1.- La función de onda que describe una onda transversal que se propaga en una cuerda tensa cuya densidad lineal es de 20 g/m viene dada por y = 0.2 cos(1.75x-628.32t) donde x e y se miden en centímetros y t se mide en segundos. a) Determinar la amplitud, la longitud de onda, la frecuencia y la velocidad de propagación de la onda. b) Dibujar la forma de la cuerda en los instantes t=2.5 ms y t=5.0 ms. c) Calcular la tensión de la cuerda.

16.2.- Consideremos una onda plana armónica, cuya velocidad de fase sea 32 m/s, su amplitud 3.2 cm y su frecuencia 60 Hz, que se propaga en la dirección positiva del eje x. Supongamos que en x=0, en el instante t=0, la elongación sea máxima y positiva. a) Escribir la función de onda. ¿Cuál es la longitud de onda? b) Calcular la elongación, velocidad y aceleración de un punto de abscisa x=15.3 m en el instante t=2.6 s.

16.3.- Uno de los extremos de un muelle muy largo, en posición horizontal, esta unido a un vibrador que proporciona una frecuencia de 25 Hz. A lo largo del muelle avanza un tren continuo de ondas longitudinales en el que se observa que la distancia entre dos rarefacciones consecutivas es de 24 cm y que el máximo desplazamiento de cualquiera de las espiras del

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Fundamentos Físicos de la Ingeniería.

muelle es de 5 mm. Supongamos que las ondas avanzan en el sentido positivo del eje x, que el vibrador está en x=0 y que el desplazamiento para x=0 y t=0 sea nulo. a) Determinar la velocidad de las ondas. b) Escribir la función de onda. c) Determinar la elongación en función del tiempo de una espira situada a 10 cm del vibrador.

16.4.- Uno de los extremos de una cuerda horizontal está firmemente unido a un vibrador accionado eléctricamente a una frecuencia de 110 Hz. La cuerda pasa por una polea y lleva colgado de su extremo libre una pesa de 2 kg. La cuerda mide 1.20 m y pesa 24 g. a) Determinar la velocidad de las ondas transversales en la cuerda. b) ¿Cuál es la longitud de onda? c) Si la amplitud de las vibraciones del vibrador es de 2 mm, calcular la potencia instantánea y la potencia media que suministra el vibrador.

16.5.- Chillidos del albatros. Un náufrago que se encuentra en un bote salvavidas apenas alcanza a oír los chillidos de un ídem que vuela a gran altura sobre el océano, a una distancia de 3 km en línea recta del náufrago. Como veremos en una lección posterior, el umbral de audición del oído humano es 1012 W/m2 , aproximadamente. a) Suponiendo que el albatros emitiese los sonidos en forma isotrópica, calcular la potencia de sus chillidos. b) Supongamos que el ave emita sus chillidos 1000 veces al día, con una duración de 1 s cada uno, ¿cuánta energía emite diariamente en forma de ondas sonoras?

16.6.- Tren AVE. Un observador, que se encuentra cerca de las vías del tren de alta velocidad (AVE), en campo abierto, percibe el sonido del silbato de la locomotora, que circula con velocidad constante alejándose del observador, con una intensidad de 10 μW/m2, en el instante en que ésta se encuentra a una distancia de 40 m del observador. Transcurridos 6 s, el observador percibe el mismo sonido con una intensidad de 100 nW/m 2. ¿Cuál es la velocidad del tren? NOTA: Despreciar la absorción del sonido en el aire.

16.7.- Caída de tono. Un tren hace sonar su silbato al acercarse y alejarse de un paso a nivel con barreras. Un músico, que está esperando que pase el tren, apoyado en la barrera, escucha el sonido del silbato en el tono de La2 (220 Hz) mientras el tren se acerca y en el de Sol2 (198 Hz) cuando ya se aleja. Calcular la velocidad del tren y la frecuencia del sonido emitido por su silbato.

16.8.- Patrullero. Un coche de policía, provisto de una sirena que emite un sonido puro de 440 Hz, se mueve con una velocidad de 36 km/h en dirección a un acantilado que refleja las ondas sonoras. a) Calcular la frecuencia de las pulsaciones que percibe un observador en reposo que ve alejarse el coche hacia el acantilado. b) Calcular la frecuencia de las pulsaciones que percibe el conductor del automóvil. c) ¿Cuál

debería ser la velocidad del automóvil para que el sonido percibido por el conductor, tras la reflexión, corresponda a una octava más alta que el emitido por la sirena?

16.9.- Bang supersónico. Un avión supersónico vuela a una altura de 3000 m con una velocidad de 1.7 Mach. a) Determinar el ángulo de Mach. b) Calcular el tiempo que transcurrirá desde que el avión sobrevuela directamente encima de un observador situado en tierra hasta que éste escucha el bang supersónico.

16.10.- Función de onda estacionaria. La función de onda estacionaria en una cuerda fija por sus dos extremos es

a) Determinar la amplitud, frecuencia, longitud de onda y velocidad de fase de las ondas progresivas cuya superposición dan lugar a esta onda estacionaria. a) Escribir las funciones de onda correspondientes a dichas ondas progresivas. b) Hallar la distancia internodal. c) Si la expresión dada corresponde al tercer modo de oscilación de la cuerda, ¿cuál es la longitud de ésta?

16.11.- Un hilo de acero, de 1 m de longitud y 1 mm de diámetro, está tensado entre soportes fijos, sometido a una tensión de 100 kg. a) Determinar su frecuencia fundamental y los dos primeros armónicos, así como las longitudes de onda correspondientes. b) Hacer un esquema del estado de vibración del hilo en cada caso. c) Escribir las funciones de onda estacionarias para esas frecuencias.

16.12.- Cuerdas gemelas. Dos cuerdas gemelas de un instrumento musical (v.g., de un piano) vibran en su modo fundamental de 440 Hz cuando están sometidas a la misma tensión. a) Calcular la frecuencia de las pulsaciones entre los modos fundamentales de ambas cuerdas cuando incrementamos la tensión de una de ellas en un 3%. b) Ídem de los segundos armónicos.

16.13.- Tubo acústico. En el dispositivo experimental descrito en esta lección, se observan las dos primeras resonancias para L igual a 14.2 cm y 46.7 cm. a) Calcular la frecuencia del diapasón y la corrección del extremo del tubo. b) ¿En que posición se presentará la siguiente resonancia?

16.14.- ¿Abierto o cerrado? En un tubo acústico se observan dos resonancias sucesivas cuando se le excita a las frecuencias de 2 200 Hz y 3 080 Hz. a) Averiguar si se trata de un tubo abierto o cerrado. b) Determinar la longitud del tubo.

16.15.- En el extremo izquierdo de un tubo (x=0), de longitud L, tenemos una fuente sonora que envía hacia el interior del tubo la siguiente onda sonora:

Ondas mecánicas.

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En el otro extremo del tubo (x=L), otra fuente sonora envía hacia el interior del tubo la onda

Encontrar la expresión de la onda estacionaria en el tubo y mostrar que la intensidad del sonido siempre es máxima en el centro del tubo.

Prob. 17.4

17.- Estática de los fluidos.

17.1.- Un tubo en se coloca verticalmente y se llena parcialmente de mercurio. a) En una de las ramas del tubo se vierte una columna de 10 cm de agua. ¿Cuál será el desnivel entre las superficies libres del mercurio en ambas ramas? b) A continuación, se vierte aceite en la otra rama del tubo hasta conseguir nivelar las superficies libres del mercurio, para lo que se precisa una columna de 12 cm de aceite. ¿Cuál es la densidad del aceite?

17.2.- Un manómetro diferencial está conectado en dos secciones, A y B, de una tubería horizontal por la que circula agua. El desnivel del

Prob. 17.2

mercurio en ambas ramas del manómetro es de 40 cm, como se muestra en la figura. Calcular la diferencia de presiones entre los puntos A y B, expresando el resultado en Torr y en mmH2O. 17.3.- Calcular la posición del centro de presión y la fuerza resultante debida a la presión sobre una compuerta semicircular, de radio R, contenida en un plano vertical, cuyo borde diametral coincide en la superficie libre de un líquido de densidad ρ .

17.4.- a) Determinar la fuerza total debida a la presión del agua sobre la compuerta inclinada, de 3 m de anchura, que se muestra en la figura. b) Calcular el momento de dicha fuerza respecto a la bisagra. c) Localizar la línea de acción de dicha fuerza resultante. d) Determinar la reacción de la solera sobre el borde inferior de la compuerta.

17.5.- Una viga de madera,deseccióncuadrada de lado a, apoyada sobre una de sus aristas, bloquea el extremo de un canal de fondo plano y h o r i z o n t a l , alcanzando la Prob. 17.5 superficie libre del agua la arista superior de la viga. Calcular el empuje que el agua ejerce sobre la viga y ángulo que éste forma con la horizontal.

17.6.- El recipiente que se muestra en la figura contiene agua hasta una altura H. Determinar la fuerza de empuje que actúa sobre la cara ABCD (módulo, dirección Prob. 17.6 y línea de acción).

17.7.- Determinar la fuerza resultante que actúa sobre la compuerta AB, cuya sección recta es la de un cuarto de circunferencia. La a nc h u r a d e l a compuerta es 1.20 m. Determinar la posición del centro de presión.

Prob. 17.7 17.8.Una compuerta, de forma semicilíndrica, hueca, de radio R y longitud L, está articulada en su borde inferior AA , como se ilustra en la figura, retiene a un líquido, de densidad ρ , que la cubre Prob. 17.8 justamente hasta su

Fundamentos Físicos de la Ingeniería.

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borde superior BB . a) Determinar la fuerza (módulo y dirección) que ejerce el líquido sobre la compuerta. b) Determinar el peso de la compuerta para que se mantenga en equilibrio en la posición indicada en la figura.

17.9.- En una de las paredes verticales de un acuario hay un mirador de vidrio, de forma semisférica, de radio R = 50 cm, cuyo centro está situado a una profundidad 3R . a) Determinar el módulo (en newtons) y la dirección (en grados) de la fuerza que ejerce el agua sobre el mirador, así como el punto de aplicación de dicha fuerza. b) Ídem en el caso de que el mirador fuese plano, de forma circular de radio R, Prob. 17.9 contenido en el plano de la pared.

17.10.- Determinar el peso mínimo que deberá tener el semicascarón esférico, sin tapa en su base, de radio R, cuyo borde se apoya sobre una superficie horizontal, como se ilustra en la figura, para que no deje escapar el líquido Prob. 17.10 que contiene.

17.11.- Un cubo metálico flota en mercurio, con una quinta parte de su volumen sumergida. Añadimos agua encima del mercurio hasta cubrir exactamente el cubo. a) ¿Qué fracción del volumen del cubo permanecerá sumergida en el mercurio? b) ¿Depende la respuesta anterior de la forma del objeto?

17.12.- Una varilla homogénea, de longitud l y densidad ρ, puede girar alrededor de un eje horizontal que pasa por uno de sus extremos, situado a una altura h sobre la superficie libre de un líquido de densidad ρ 0 , como se muestra en la figura. Determinar el ángulo θcorrespondiente al equilibrio.

Prob. 17.12

18.- Dinámica de los fluidos ideales.

18.1.- Un grifo, de sección recta circular de radio r0 , deja salir un chorro de agua, verticalmente hacia abajo, con una velocidad inicial v0. Puesto que v0 es pequeña, el agua fluye en régimen laminar durante un cierto tramo de su caída vertical. Expresar el radio r del chorro de agua, en ese tramo, en función de la distancia h a la boca del grifo.

18.2.- Para medir la velocidad del agua que circula por un arroyo, se dispone de un tubo en L, como se muestra en la figura adjunta. ¿Cuál será la velocidad de la corriente si el agua asciende por el tubo Prob. 18.2 vertical hasta una altura de 40 cm por encima de la superficie libre del agua?

18.3.- Por un canal abierto, de sección transversal rectangular, circula agua con una profundidad de 3 m y una velocidad de 2 m/s. En un cierto lugar, el fondo del canal presenta una elevación transversal. Se observa que el nivel del agua en el canal desciende 15 cm en la vertical del obstáculo. Determinar la altura del obstáculo transversal.

18.4.- Para medir el caudal de agua que circula por una tubería, se intercala en ésta un venturímetro cuyos diámetros en el tramo principal y en el estrechamiento son 5 cm y 1 cm, respectivamente. La diferencia de presión entre el tramo principal y el estrechamiento resulta ser de 0.35 atm. ¿Cuál es el caudal?

18.5.- Un depósito abierto, de grandes dimensiones, que desagua a través de una tubería de 10 cm de diámetro interior, recibe un aporte de agua de 50 litros/s, como se muestra en la figura.

El diámetro del depósito es mucho mayor que el de la Prob. 18.5 tubería de desagüe.

Algún tiempo después de abrir la llave de la tubería de desagüe, se alcanza un estado estacionario en el que el nivel del agua en el depósito permanece constante. ¿Cuál es ese nivel? Nota: El coeficiente de descarga para una tubería larga puede tomarse igual a 0.5.

Dinámica de los fluidos ideales.

18.6.- Dos depósitos de gran tamaño, A y B, como se ilustra en la figura, contienen un mismo líquido. El depósito A descarga por medio de una tubería horizontal que pr esenta un estrechamiento en el que se acopla un tubo cuyo

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18.9.- Salto de agua. Calcular la potencia máxima que podrá suministrar un salto de agua en el que la turbina está situada a 50 m por debajo del nivel del agua en el embalse, sabiendo que el caudal que la alimenta es de 5 m3 /s y que la velocidad del agua en el desagüe es de 10 m/s.

19.- Termodinámica.

Prob. 18.6

extremo inferior se sumerge en el líquido del depósito B. La relación entre las áreas de las secciones rectas del tramo principal y del estrechamiento de la tubería es 2:1. Supondremos que el régimen de flujo sea ideal. Expresar la altura de ascenso h 2 del líquido por el tubo en función de la altura h1 del líquido en el depósito A. 18.7.- Sifón (I). Un sifón es un dispositivo que se utiliza para extraer líquido de un depósito.

Su forma de operar se muestra en la figura adjunta. El extremo del tubo que está sumergido en el líquido puede estarlo a cualquier profundidad.

Naturalmente, para que el sifón funcione deberá estar inicialmente lleno de agua; pero una vez que está lleno, el sifón succionará líquido del depósito hasta que el nivel en éste descienda por debajo del nivel Prob. 18.7 del extremo del tubo abierto al aire libre. Supongamos que el líquido sea agua a 15.5  C (p s13 tor) y despreciemos totalmente la fricción. a) Determinar la velocidad de salida del líquido por el extremo C del tubo del sifón. b) ¿Cuánto vale la presión absoluta en el punto B? c) ¿A qué altura máxima sobre el punto C puede estar el punto B sin que el sifón falle por cavitación?

18.8.- Trasvasando aceite. Dos depósitos de grandes dimensiones, abiertos a la atmósfera, contiene aceite de oliva (0.918 g/cm3), existiendo un desnivel entre las superficies libres del aceite en ellos de 10 m. Los depósitos está intercomunicados mediante una tubería horizontal, de 12 cm de diámetro, con entradas bien perfiladas por debajo de los niveles de aceite en cada depósito. a) Determinar el caudal que circula por la tubería. b) Calcular la potencia nominal de la bomba que se necesitará (70% de rendimiento) para conseguir el mismo caudal en sentido inverso.

19.1.- Se dispone de una varilla de hierro de 6 mm de diámetro que se encuentra a una temperatura de 250 C, y se trata de impedir que se contraiga al enfriarse hasta 10  C. Calcular la fuerza que hay que ejercer en los extremos de la varilla, sabiendo que el coeficiente de dilatación lineal del hierro es 119×10-7 K-1 y su módulo de Young vale 104 kg/mm2 .

19.2.- Un matraz de 2 l de capacidad, provisto de una llave de paso, contiene oxígeno a 300 K y a la presión atmosférica. Con la llave abierta a la atmósfera, se calienta el sistema hasta una temperatura de 400 K; a continuación, se cierra la llave y se enfría el matraz hasta la temperatura inicial. a) ¿Cuál es la presión del oxígeno en el matraz? b) ¿Cuántos gramos de oxígeno quedarán en el matraz?

19.3.- En un sistema de calefacción por circulación de agua caliente, esta llega a los radiadores a una temperatura de 60 C y sale de ellos a 38  C. Se desea reemplazar el sistema de calefacción por otro de vapor, en el que el vapor a la presión atmosférica se condensa en los radiadores, saliendo de ellos a 82  C. ¿Cuántos kilogramos de vapor suministrarán la misma cantidad de calor que 1 kg de agua caliente en la primera instalación?

19.4.- Un calentador doméstico de agua tiene una capacidad de 40 l y equivale, a efectos térmicos de calentamiento, a 5 kg de agua (equivalente en agua del calentador). Cuando el agua tiene una temperatura de 60  C, y se desconecta el calentador, el agua se enfría a razón de 2  C/min. a) Calcular la potencia que debe proporcionar la resistencia eléctrica del calentador para mantener el agua a 60  C. b) Si la tensión de red es de 220 V, calcular el valor de la resistencia eléctrica del calentador.

19.5.- En un recipiente abierto, a la presión atmosférica, calentamos 1 kg de hielo, inicialmente a 0  C (ρ =0.9 g/cm3 ), hasta alcanzar la fase líquida a 100  C. Calcular la cantidad de calor suministrada, el trabajo realizado y los incrementos de entalpía y de entropía.

19.6.- Fundimos 1 kg de hielo a 0 C con exceso de vapor de agua a 100  C, teniendo lugar el proceso a presión atmosférica constante. a) Determinar la masa del vapor de agua necesaria. b) Calcular las variaciones de entalpía y de entropía de cada componente y del sistema total.

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Fundamentos Físicos de la Ingeniería.

19.7.- Calentamos 10 kg de una sustancia sólida desde 0  C a 100  C, a presión atmosférica constante. Calcular el calor absorbido, el trabajo realizado y las variaciones de energía interna, de entalpía y de entropía. Datos: calor específico, 0.2 cal/g K; coeficiente de dilatación, 10-4 K-1; densidad a 0  C, 2.5 g/cm3 .

19.8.- Un mol de un gas perfecto biatómico está contenido en un recipiente de paredes rígidas y adiabáticas, a una presión de 1 atm y una temperatura de 300 K. Una resistencia eléctrica le aporta 100 cal. a) Determinar la presión y temperatura finales. b) Calcular las variaciones que experimentan las Prob. 19.8 funciones termodinámicas.

19.9.- Un mol de hidrógeno a 1 atm de presión ocupa 22.4 l y evoluciona según las transformaciones reversibles siguientes: 1º. Un calentamiento isóbaro hasta triplicar su volumen.

2º. Un enfriamiento isócoro hasta volver a la temperatura inicial. 3º. Una transformación que cierra el ciclo cuya representación en el diagrama p-V es una línea recta. Calcular los intercambios caloríficos y el trabajo realizado, así como las variaciones de la energía interna, de la entalpía y de la entropía, en cada uno de los procesos y en el ciclo completo.

19.10.- Tres moles de nitrógeno, inicialmente a presión atmosférica y 27 C, se someten a las transformaciones reversibles siguientes. 1º Una calentamiento isócoro hasta duplicar la presión.

2º Una expansión adiabática hasta enfriarlo a la temperatura inicial. 3º una compresión isotérmica hasta el estado inicial. Determinar los calores absorbidos, los trabajos realizados y las variaciones de las funciones termodinámicas en cada proceso y en el ciclo completo.

19.11.- Dos litros de helio, que se encuentran inicialmente a la presión de 16 atm y temperatura de 600 K, se expansionan isotérmicamente hasta que ocupan un volumen de 8 l. A continuación se comprimen a presión constante hasta que su volumen y temperatura son tales que una nueva compresión adiabática devuelve el gas a su estado inicial. a) Dibujar el ciclo termodinámico reversible en un diagrama p-V. b) Determinar las presiones, volúmenes y temperaturas desconocidas. c) Calcular los calores absorbidos, los trabajos realizados y las variaciones de las funciones termodinámicas en cada uno de los procesos y en el ciclo termodinámico.

19.12.- Un mol de un i.e., gas perfecto biatómico evoluciona reversiblemente desde el estado 1 al 2, según indica el segmento rectilíneo que se indica en el diagrama p-V que se adjunta. a) En este proceso termodinámico, calcular el trabajo realizado, el calor absorbido y los incrementos de energía interna, de entalpía y de entropía. b) Determinar el estado para el cual es máxima la energía interna del gas.

19.13.- Disponemos de 5 moles de N2 a la temperatura de 0 C y la presión de 1 atm a los que sometemos a un proceso reversible q u e p u e d e describirse mediante Prob. 19.12 la función p = aV 2, donde a es una constante, hasta que alcanza un volumen doble del inicial. a) Determinar el estado final de sistema. b) Calcular el calor absorbido y el trabajo realizado por el gas. c) Evaluar las variaciones de todas las func i ones termodinámicas.

19.14.- Dos moles de un gas perfecto, que inicialmente ocupan 44.8 l a 1 atm, se someten a una transformación isoterma reversible en la que su entropía disminuye 2.75 kcal/K. Determinar el estado final del gas (i.e., p, V y T) así como el trabajo realizado y el calor absorbido durante el proceso.

19.15.- En un recipiente abierto, calentamos 100 g de mercurio desde 20 C a 30 C. a) Calcular el calor absorbido y el trabajo asociado a la expansión. b) Evaluar las variaciones que experimentan todas las funciones termodinámicas.

Datos (a 20  C): densidad, 13.5462 g/cm3 ; calor específico, 0.033240 cal/g K; coeficiente de dilatación, 1.84×10-5K -1.

19.16.- Un gas perfecto experimenta un proceso termodinámico reversible cuya representación en el diagrama T-S es una línea recta, tal como se ilustra en la figura, en la que n es el número de moles del Prob. 19.16 sistema y λes un parámetro.

Encontrar la relación existente entre el volumen del sistema y su temperatura; i.e., V=V(T).

19.17.- Disponemos de 100 g de nitrógeno (N2) a 25ºC y 30 atm. Los sometemos a una expansión adiabática brusca contra una presión exterior constante de 10 atm, hasta que el gas alcanza esta presión. Admítase que el gas tiene un comportamiento ideal. a) Determinar la temperatura final del gas. b) Calcular los cambios que experimentan la energía interna y la entropía del gas en el proceso de expansión.

19.18.- En el interior de un cilindro cerrado, de paredes rígidas y adiabáticas, un é m b o l o diatérmano separa dos zonas que contienen, Prob. 19.18

19.- Termodinámica.

cada una de ellas, 2 moles de un mismo gas, en equilibrio térmico (vide figura). Cuando se suprimen los topes que retienen al émbolo, el sistema evoluciona hasta que se alcanza un nuevo equilibrio. Determinar la temperatura final y los cambios parciales y totales de la energía interna y de la entropía.

19.19.- Disponemos de un cilindro cerrado, de paredes rígidas y adiabáticas en cuyo interior puede moverse sin fricción un émbolo diatérmano, que l o divide en dos compartimientos. En uno de los compartimientos se introducen 3 moles de hidrógeno a una temperatura desconocida y en el otro 2 moles de helio a 0  C. Inicialmente, ambos gases tienen una misma presión y cada uno de ellos ocupa un volumen de 5  . a) Determinar la temperatura inicial del hidrógeno. b) Determinar la presión, volumen y temperatura en cada compartimento cuando finalmente se alcanza el equilibrio termodinámico. c) Evaluar los cambios de energía interna, entalpía y entropía que experimentan cada uno de los gases y los del sistema global.

19.20.- En un recipiente adiabático se mezclan 1 mol de oxígeno a 300 K con 2 moles de nitrógeno a 400 K. a) Determinar la temperatura y el volumen final de la mezcla. b) Evaluar las variaciones de las funciones termodinámicas para cada uno de los componentes y para el sistema total.

19.21.- Una mezcla de gases constituida por 1 mol de helio y dos moles de oxígeno se encuentra en un recinto de 67.2 L a 1 atm de presión. Si la mezcla se calienta isobáricamente hasta duplicar su volumen, determínense los balances de calor y trabajo y las variaciones de energía interna, entalpía y entropía de la mezcla.

19.22.- Un acondicionador de aire funciona según un ciclo reversible de Carnot. Su potencia frigorífica es de 10 kilofrigorías/hora cuando extrae calor de un local a 24 C y lo cede al exterior a 35  C. a) Calcular la potencia que debe suministrar el motor. b) Con esa misma potencia, calcular la potencia frigorífica cuando el local se encuentra a 21  C y el exterior a 40 C. 19.23.- Una máquina térmicareversibletrabaja según el ciclo que se representa el diagrama T-S que se adjunta. Sabiendo que T1=300 K, T 2=200 K, S2-S1 =100 cal/K y ν =200 ciclos/minuto, determinar: a) El rendimiento del ciclo; b) La

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potencia calorífica suministrada a la máquina y la potencia mecánica de la misma.

19.24.- Una máquina térmica reversible funciona intercambiando calor con tres focos térmicos cuyas temperaturas son: T1= 500 K, T2 = 400 K y T3= 300 K. La máquina toma una cantidad de calor Q1= 700 kcal del foco 1 y realiza un trabajo de 1 kWh. a) Calcular las cantidades de calor intercambiadas con los otros focos. b) Determinar el rendimiento de la máquina. c) Calcular los cambios de entropía en los distintos niveles térmicos y el total.

19.25.- Dos máquinas térmicas reversibles funcionan una como máquina térmica y la otra como máquina frigorífica. La primera máquina absorbe 30 kcal de un foco a 600 K y cede calor a otro foco a 200 K. El trabajo producido por la máquina térmica se le suministra a la máquina frigorífica, que intercambia calor con dos focos a 200 K y 300 K. Determinar todos los intercambios de calor de las máquinas con sus focos caloríficos.

20.- Campo eléctrico.

20.1.- a) Averiguar cual de los dos campos vectoriales que siguen puede ser un campo electrostático: E 1 = (y-1)i +(x-1)j +(z-1)k E 2 = (y-1)i +(z-1)j +(x-1)k b) Determinar el campo de potencial del campo electrostático.

20.2.- Se tiene una distribución de potencial dada por V = 6x2y + 5z (mks). Determinar la expresión del campo eléctrico en todos los puntos del espacio y el trabajo necesario para transportar una carga de 1 μC desde el punto de coordenadas (0,0,0) hasta el de coordenadas (1,2,3).

20.3.- Determinar el campo eléctrico y el potencial en los puntos de la mediatriz de una varilla de longitud l uniformemente cargada.

20.4.- Una carga eléctrica puntual, +q, está situada a una distancia D del centro de una esfera conductora de radio R. a) Determinar el potencial eléctrico al que se encuentra la esfera. b) Unimos la esfera a tierra mediante un hilo conductor largo y delgado (de influencia despreciable).

Calcular la magnitud de la carga eléctrica inducida sobre la esfera. (Explicar y hacer los esquemas gráficos oportunos para cada apartado, indicando la posición de las cargas inducidas sobre la esfera.)

20.5.- Un disco de material dieléctrico, plano y circular, de radio R, tiene una carga Q uniformemente repartida sobre una de sus caras.

Determinar el campo eléctrico y el potencial en un punto situado sobre el eje del disco a una distancia z del centro del mismo.

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Fundamentos Físicos de la Ingeniería.

20.6.- Una capa semiesférica de radio R, de material dieléctrico, posee una carga neta Q uniformemente repartida. Determinar el campo eléctrico y el potencial en los puntos del espacio situados sobre el eje de simetría de la distribución de carga.

20.7.- Una esfera conductora, de 4 cm de radio, se carga a un potencial de 1000 V. Determinar la fuerza electrostática que actuará sobre una carga puntual de 1 μC al acercarla a las inmediaciones de la superficie de la esfera, en el supuesto de que la proximidad de dicha carga no modifique la distribución de carga eléctrica en la esfera conductora.

20.8.- Una esfera sólida, no conductora, de radio R, tiene una cavidad de radio R/2 como se indica en la figura. La esfera posee una carga eléctrica Q, uniformemente repartida en todo su volumen, con una Prob. 20.8 densi d a d ρ. a) Determinar el vector campo eléctrico en el centro de la cavidad. b) Ídem en el punto P que se indica en la figura.

20.9.- Dos hilos conductores, rectilíneos y paralelos entre sí, separados por una distancia a, poseen una carga eléctrica, del mismo signo, uniformemente repartidas, con densidades λ 1 yλ 2, respectivamente. Determinar el lugar geométrico de los puntos en los que el campo eléctrico se anula.

20.10.- Un cilindro dieléctrico muy largo, de 10 cm de radio, está cargado uniformemente con una densidad de carga ρ(volúmica) tal que el potencial sobre la superficie del mismo es de 200 V y a una distancia de 1 m de su eje es de 100 V. a) Determinar el campo eléctrico y el potencial a una distancia r del eje del cilindro. b) Calcular E y V a una distancia de 10 m del eje del cilindro. c) ¿Qué trabajo habrá que realizar para transportar una carga puntual de 1 mC desde un punto situado a 10 m del eje a otro situado a 1 m del mismo eje? ¿Dependerá dicho trabajo del camino que sigamos?

20.11.- Calcular la velocidad que debe llevar un ión, de masa m y carga +q para que pueda pasar entre las armaduras de un condensador cilíndrico, de radio r y separación despreciable, cargadas Prob. 20.11 uniformemente con d e n s i d a d e s superficiales de carga +σy -σ, respectivamente.

20.12.- Sobre dos esferas conductoras, de radios 0.10 cm y 0.15 cm, se depositan cargas eléctricas

de +100 nC y +200 nC, respectivamente.

Ponemos las esferas en contacto y luego las separamos de nuevo. Calcular la carga final y el potencial de cada esfera.

20.13.- Las armaduras de un condensador plano, de aire como dieléctrico, tienen una superficie S y están separadas por una distancia l. Cargamos el condensador hasta que adquiere una carga Q y lo desconectamos de la fuente de carga. a) Calcular la fuerza de atracción entre las armaduras. b) Calcular el trabajo necesario para separar la placas una distancia Δl. c) Determinar la variación de energía almacenada en el condensador al separa las armaduras una distancia Δl.

20.14.- Deseamos construir un condensador plano utilizando goma como dieléctrico. Esta goma tiene una permitividad relativa igual a 3 y una rigidez dieléctrica de 20 kV/mm. El condensador debe tener una capacidad de 150 pF y debe soportar una tensión máxima de 6 kV. ¿Cuál será la superficie mínima que pueden tener las armaduras del condensador?

20.15.- Las armaduras de un condensador plano tienen una superficie S y están separadas una distancia l. Entre ellas existe un dieléctrico cuya permitividad relativa es 1.5. Se conectan las armaduras a una diferencia de potencial V. a) ¿Cuál será la carga del condensador? b) ¿Cuál será la carga de polarización del dieléctrico?

20.16.- Un condensador plano, cuyas armaduras tienen una superficie S y están separadas por una distancia 6h, separadas por aire, se conecta a una diferencia de potencial V0. Una vez cargado el Prob. 20.16 c o n d e n s a d o r, s e desconecta de la fuente de alimentación y se introducen entre sus armaduras tres dieléctricos, de espesores h , 2h y 3h, y constantes dieléctricas 1, 2 y 3, respectivamente, como se muestra en la figura. a) Determinar la d.d.p. entre las armaduras del condensador después de introducir los dieléctricos. b) Determinar el valor del campo eléctrico en cada uno de los dieléctricos.

20.17.- Calcular la capacidad de un condensador plano con tres dieléctricos entre sus armaduras, distribuidos en la forma que se indica en la figura, sabiendo que su permitiviProb. 20.17 dades relativas son iguales a 1, 2 y 3, respectivamen te, que la superficie eficaz del primero es la mitad de total y que los otros dos tienen el mismo espesor.

20.18.- Un esfera conductora, de radio R, está envuelta por una capa dieléctrica de espesor 3R y

20.- Campo eléctrico.

permitividad relativa igual a 2. Calcular la capacidad eléctrica del conductor.

20.19.- Mediante el dispositivo que se ilustra en la figura, cargamos el condensador C1 (= 8 μ F) manteniendo el interruptor S en la posición A. En el instante en el que el voltímetro indica 1000 V, pasamos el interruptor S a la posición B, conectando el condensador C 2 (= 2 μF). a) Calcular la energía almacenada en C1 j ustament e ant es de conmutar el interruptor.b) Determinar la carga final de cada condensador y la indicación final del voltímetro. c) Calcular la energía almacenada, finalmente, en cada uno de los condensadores.

Prob. 20.19

20.20.- En la asociación serie-paralelo de condensadores que se muestra en la figura, determinar la capacidad y la tensión de ruptura del condensador equivalente entre los bornes A y B.

Prob. 20.20

20.21.- Disponemos de un "condensador de aire" constituido por cuatro láminas metálicas idénticas conectadas entre sí como se indica en la figura. Calcular la capacidad de este condensador.

Prob. 20.21

Prob. 20.22

20.22.- En el circuito que se representa en la figura, los dos condensadores están inicialmente descargados. Pasamos el interruptor S a la posición A y lo mantenemos así hasta que se

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carga el condensador de 10 μF; a continuación, lo pasamos a la posición B. Determinar la carga final de cada condensador y las tensiones que soportan.

20.23.- Asociación mixta de condensadores. Entre los bornes de la asociación de condensadores que se muestra en la figura se aplica una d.d.p. de 10 V. Determinar la carga y la tensión que soporta cada uno de los condensadores y la capacidad del condensador equivalente en cada Prob. 20.23 uno de los s i g u i e n t e s supuestos: a) Todos ellos tiene la misma capacidad de 1 μF. b) Las capacidades respectivas son 1 μF, 1 μF, 2 μF, 2 μF y 5 μF. c) Ídem 1 μF, 2 μF, 3 μF, 4 μF y 5 μF.

21.- Corriente eléctrica.

21.1.- En el esquema de la figura, el amperímetro marca 10 mA y el voltímetro 10 V. Determinar las resistencias internas del amperímetro y del voltímetro.

Prob. 21.1

21.2.- En el montaje que se representa en la figura, el amperímetro marca 20 mA y el voltímetro 16 V. La resistencia interna del amperímetro es 20 Ω.

Determinar: a) La resistencia interna del voltímetro; b) Ídem de la Prob. 21.2 pila; c) La d.d.p. entre los bornes de la pila; d) La potencia suministrada por la pila, la potencia utilizable y la potencia disipada en la resistencia de carga.

21.3.- En el circuito que se representa en la figura, el galvanómetro acusa el mismo paso de corriente cualquiera que sea la posición del c o n mu t a d o r.

D e t e r mi n a r l a Prob. 21.3 resistencia interna de la batería.

Fundamentos Físicos de la Ingeniería.

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21.4.- En el circuito que se representa en la figura adjunta: a) Determinar las intensidades en cada una de las ramas; b) Calcular las d.d.p. entre AB, BC y CA, así como los potenciales en los puntos A, B y C. c) Ídem en los puntos a, b y c.

21.5.- Las aristas de un tetraedro están formadas por Prob. 21.4 resistencias. Las seis aristas tienen la misma resistencia R. Hállese el valor de la resistencia equivalente entre dos vértices cualesquiera.

21.6.- En el circuito quesemuestraenlafigura, determinar la intensidad de corriente en cada una de las ramas y la d.d.p. entre los puntos A y B. 21.7.- En el circuito que se representa en Prob. 21.6 la figura, el voltímetro marca

una de las resistencias si entre A y B se conecta un generador de f.e.m. de 12 V y 3 Ω de resistencia interna.

21.9.- En el circuito de la figura: a) Determinar la resistencia equivalente entre los bornes A y B. b) Calcular las intensidades de corriente en cada una de las ramas cuando se conecta el circuito al de la batería, como se indica en la figura.

Prob. 21.9

21.10.- En la figura adjunta, cada dos vértices están unidos por ramas de resistencia eléctrica R. Calcular la resistencia eléctrica equivalente entre los nodos A y B en cada uno de los casos siguientes: a) existiendo la rama AB; b) eliminando la rama AB.

Prob. 21.11

Prob. 21.7

2 V y el amperímetro 3 A. Considerando el voltímetro y el amperímetro como "perfectos", determinar la f.e.m. del generador y el valor de la resistencia R. 21.8.- a) Determinar la resistencia equivalente entre A y B en el esquema de la figura. b) Calcular la intensidad de la corriente en cada

Prob. 21.8

21.11.- Determinar la f.e.m. y la resistencia interna del generador equivalente al circuito de se representa en la figura, entre los bornes A y B. 21.12.- Disponemos de tres baterías eléctricas, cuyas f.e.m. y resistencias internas respectivas son: (8V; 4 Ω), (10V; 5Ω) y (12V; 6Ω). Determinar la f.e.m. y la resistencia interna de la batería equivalente cuando las tres baterías dadas las agrupamos: a) en serie; b) en paralelo. En cada una de las dos agrupaciones consideradas, calcular la intensidad y la potencia máximas que puede entregar la agrupación.

21.13.- En el circuito que se muestra en la figura, los condensadores están inicialmente descargados, cuando el interruptor Prob. 21.13

21.- Corriente eléctrica.

está abierto. a) Determinar el valor de la corriente que suministra el generador de f.e.m. en el instante en que cerramos el interruptor. b) Ídem una vez que los condensadores se han cargado completamente. c) Calcular la carga final de cada condensador.

21.14.- Considere mos el circuito que se representa en la figura una vez que los condensadores se h a n c a rg a d o Prob. 21.14 completamente. a) Calcular la carga y la tensión que soporta cada condensador. b) Determinar el valor máximo aplicable de la f.e.m. del generador si las tensiones de ruptura de los condensadores son 100 V, 200 V y 300 V, respectivamente.

21.15.- Disponemos de un galvanómetro, cuya resistencia interna es de 50 Ω, que requiere una corriente de 1 μA para que su aguja se desvíe al final de su escala. A partir de este galvanómetro, deseamos construir: a) un amperímetro que mida 1 mA a fondo de escala y b) un voltímetro que mida 5 V a fondo de escala. Determinar, en cada caso, el valor de la resistencia que deberemos añadir y como hay que colocarla, así como la resistencia interna del instrumento resultante.

2 1 . 1 6 . - C o n ve r t i r u n ga l va nóme t r o (100 μA/100 Ω) en un polímetro con los fondos de escala que se especifican: a) Voltímetro: 1 V, 10 V y 100 V. b) Amperímetro: 100 mA, 1 A y 10 A. En cada caso, hacer un esquema de los circuitos.

21.17.-Consideremos el circuito que se esquematiza en la figura, inicialmente con el interruptor S abierto. a) Determinar las características del generador Prob. 21.17 equivalente (f.e.m. y resistencia interna) entre A y B cuando cerremos el interruptor S. b) Desde el instante en que cerremos el interruptor, calcular el tiempo que necesitará el condensador, inicialmente descargado, para adquirir la mitad de su carga final. c) Una vez cargado el condensador, abrimos el interruptor S. Calcular el tiempo que deberá transcurrir hasta que su carga se reduzca hasta la mitad.

21.18.- El circuito que se muestra en la figura está constituido por cinco generadores de f.e.m. asociados “en puente”. a) Determinar la f.e.m. y la resistencia del generador equivalente entre A y B. b) Calcular la intensidad que suministra cada generador cuando cortocircuitamos A y B.

35

Prob. 21.18

21.19.- Una línea de tranvía, de 10 km de longitud, está alimentada por dos generadores de corriente continua, de (1100 V, 10 Ω) y (1000 V, 10 Ω) respectivamente, conectados cada uno en un extremo de la línea, como se muestra en la figura. La resistencia eléctrica del cable y de las vías son de 0.1 Ω/km. El tranvía requiere una intensidad de corriente de 100 A para su funcionamiento. Para una posición genérica, x

Prob. 21.19

(km), del tranvía, determinar las intensidades y potencias que suministran al tranvía cada uno de los generadores y la tensión de alimentación del mismo.

21.20.- En una línea de transporte de corriente continua, que tiene 400 m de longitud y 1 mΩde resistencia, se ha producido una derivación a tierra por un mal aislamiento. La corriente de entrada en la línea es de 50 A a 125 V y la de salida de 45 A a 106.5 V. Determinar el punto de la línea en el que se ha producido la derivación y la resistencia eléctrica de la misma (i.e., la resistencia de fuga).

22.- Campo magnético.

22.1.- Cuando una carga eléctrica de 2×10-9 C se mueve sobre la bisectriz del ángulo definido por los ejes cartesianos Oyz, con una velocidad de 10 4 m/s, experimenta una fuerza dirigida en la dirección negativa del eje Ox. Cuando la misma partícula se mueve con la misma velocidad en la dirección positiva del eje Ox, actúa sobre ella una fuerza de 2×10-5 N en la dirección positiva del eje Oy. a) Determinar la intensidad y dirección del campo magnético uniforme que produce esas

Fundamentos Físicos de la Ingeniería.

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fuerzas. b) Calcular el módulo de la fuerza en el primer caso.

22.2.- Un electrón penetra con una velocidad de 105 m/s en una región del espacio en la que existe un campo magnético uniforme, describiendo en ella una trayectoria helicoidal de 4.93×10 -8 m de radio y 1.8×10-7 m de paso. a) Determinar el ángulo que formaba la trayectoria inicial del electrón con la dirección del vector B . b) Calcular la intensidad del campo magnético.

22.3.- Una partícula cargada, de masa m y carga eléctrica q, se mueve con una velocidad v en el vacío. En estas condiciones, la partícula penetra en una zona, de anchura h, en la que existe un campo magnético uniforme B, en dirección perpendicular a dicho campo. a) Determinar el valor mínimo de B para que la partícula no pueda

Prob. 22.3

atravesar la zona. b) ¿Qué desviación experimentará la partícula, tras atravesar la zona, si el campo magnético tiene un intensidad que es la mitad de la calculada en el apartado anterior?

22.4.- Una varilla de longitud l posee una carga eléctrica Q uniformemente distribuida. La varilla gira, con velocidad angular constante ω alrededor de un eje perpendicular a ella y que pasa por un punto O s i t u a d o a una distancia l del extremo más próximo de la varilla, en la Prob. 22.4 dirección longitudinal de la misma.

Calcular el valor del campo magnético de inducción (B) en el punto O. 22.5.- Una varilla dieléctrica, de longitud l, posee una carga eléctrica neta +Q repartida de tal modo que la densidad lineal de carga es Prob. 22.5 directamente proporcional a la distancia a uno de sus extremos. La varilla gira con velocidad angular ω alrededor de un eje perpendicular a ella y que pasa por el extremo en el que la densidad de carga es menor, como se muestra en la figura. Determinar el campo

magnético de inducción B en dicho extremo de la varilla.

22.6.- Determinar el valor del campo magnético (B ) en el punto O cuando la espira representada en la figura está recorrida por una corriente de intensidad I. 22.7.- Determinar el campo Prob. 22.6 magnético de inducción en el centro de una espira de hilo conductor, de forma hexagonal de lado a, recorrida por una intensidad de corriente I. 22.8.- En la figura se representa una sección de un largo conductor rectilíneo, de sección circular de radio 2R, c on una c a vida d cilíndrica de radio R. Como aplicación del Prob. 22.8 teorema de Ampère, determinar el campo magnético B en el punto P (que se indica en la figura), sabiendo que el conductor está recorrido por una densidad de corriente J (A/m2) constante.

22.9.- Una varilla metálica gira con velocidad angular ω constante alrededor de un eje perpendicular a ella y que pasa por uno de sus e x t r e m o s , deslizando sobre un anillo conductor de radio l, como se esquematiza en la figura. El eje de la varilla está conectado al borne positivo de un generador de f.e.m., cuyo borne negativo está Prob. 22.9 conectado al anillo. Si existe un campo magnético uniforme perpendicular al plano del anillo, determinar la velocidad angular que adquirirá la varilla.

22.10.- Una varilla metálica gira con velocidad angular ω constante alrededor de un eje perpendicular a ella y que pasa por uno de sus extremos, deslizando sobre un anillo conductor de radio l, como se esquematiza en la f i g u r a .

Perpendicularmente al plano del anillo tenemos un campo Prob. 22.10 magnético uniforme.

Campo magnético.

a) Determinar la intensidad de la corriente que circula por la resistencia R. b) Calcular el momento mecánico y la potencia que debemos aplicar a la varilla para mantenerla en movimiento.

22.11.- Determinar el campo magnético creado en el centro de un aro circular, de radio R, que posee una carga eléctrica Q uniformemente repartida, cuando gira con una velocidad angular ωalrededor de uno de sus diámetros.

22.12.- Una esfera conductora hueca, de radio R, posee una carga neta Q uniformemente repartida sobre su superficie. Determinar el campo magnético de inducción (B) en el centro de la esfera cuando ésta gira con velocidad angular ω alrededor de uno de sus diámetros.

22.13.- Por un conductor rectilíneo muy largo circula una corriente eléctrica de intensidad constante I. Una espira cuadrada, de lado a, coplanaria con el conductor, se aleja de éste con una velocidad v consProb. 22.13 tante, como se indica en la figura. Sea R la resistencia eléctrica de la espira. a) Calcular la f.e.m. inducida en la espira y la intensidad de la corriente inducida en ella en función de la distancia x que se indica en la figura. b) Determinar, en función de x, la fuerza que hay que aplicar sobre la espira y la potencia desarrollada por dicha fuerza, para mantener la espira en movimiento con velocidad constante.

22.14.- Un cuadro formado por N espiras muy apretadas, de resistencia eléctrica total R y lado a, se encuentra situado en una posición fija del espacio (i.e., no puede trasladarse ni girar) como se indica en la figura. Consideremos la existencia Prob. 22.14 de una campo magnético de inducción B uniforme, en la dirección del eje y, aunque no estacionario, ya que su intensidad varía de acuerdo con la expresión B = Bmáx sen ωt. a) Determinar la intensidad de la corriente que circula por las espiras del cuadro. b) El momento mecánico que actúa sobre el cuadro.

22.15.- Los radios de las dos espiras coaxiales que se representan en la figura son a y b, respectivamente, siendo a b, y están separadas por una distancia rb. Por la espira grande

37

Prob. 22.15

circula una corriente alterna i = I sen ωt.

Determinar la f.e.m. inducida en la espira pequeña, suponiendo que el campo magnético en toda la superficie de la misma sea igual al que existe en su centro.

22.16.- Una espira de hilo c onductor, de forma cuadrada de lado l, está situada a una distancia l de u n l a rg o c o n d u c t o r rectilíneo contenido en el mismo plano que la espira, como se muestra en la figura. El conductor rectilíneo está recorrido por una intensidad de corriente alterna i = I sen ωt.

Prob. 22.16 a) Determinar el flujo magnético que atraviesa a la espira. b) Encontrar el coeficiente de inducción mutua entre el conductor rectilíneo y la espira. c) Hallar la f.e.m. inducida en la espira.

22.17.- Sobre el núcleo de un toro de revolución de sección cuadrada se enrollan 100 espiras de hilo conductor. El lado de la sección cuadrada del toro es 1 cm, el radio medio del toro es 5 cm y la permeabilidad magnética relativa del material del toro es μr=1000. Cuando por el embobinado circula una corriente de 2 A, determinar: a) El valor medio del campo magnético en el toro; b) El flujo magnético en el toro y el flujo ligado en el embobinado; c) el coeficiente de autoinducción.

22.18.- En el interior de un solenoide muy largo, de radio R1 y n1 espiras por unidad de longitud, tenemos otro solenoide muy corto, de radio R2 y n2 espiras por unidad de longitud, compartiendo el mismo eje longitudinal. a) Determinar el coeficiente de inducción mutua entre ambos solenoides. b) Si por el solenoide exterior circula una corriente alterna

determinar

la diferencia de potencial entre los bornes de solenoide interior.

22.19.- Dos bobinas tiene coeficientes de autoinducción de 5 mH y 4 mH, respectivamente, y un coeficiente de inducción mutua de 1 mH. La agrupación en serie de ambas bobinas Prob. 22.19

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se puede hacer de tal forma que sus flujos magnéticos se adicionen o se opongan. a) Determinar el coeficiente de inducción de la agrupación en serie de las bobinas cuando se suman sus flujos. b) Ídem cuando se oponen sus flujos.

22.20.- Una bobina tiene una resistencia interna de 3 Ω y un coeficiente de autoinducción de 200 mH. a) ¿Qué diferencia de potencial existirá entre los bornes de la bobina cuando circula por ella una corriente de 5 A aumentando razón de 12 A/s? b) ¿Ídem cuando disminuye a razón de 12 A/s?

22.21.- Se observa que cuando por una bobina pasa una corriente de 6 A, creciente a razón de 10 A/s, la diferencia de potencial entre los bornes de la misma es de 130 V. Además, se observa que cuando la corriente es de 7.5 A y decrece a razón de 20 A/s, la d.d.p. entre bornes es la misma que en el caso anterior. Con estos datos, determinar la autoinducción (L) y la resistencia óhmica (R) de la bobina.

22.22.- Consideremos el circuito de la figura, en el que cerramos el interruptor. Transcurrido Prob. 22.22 un intervalo de tiempo suficientemente largo, calcular la intensidad en cada rama del circuito, las tensiones entre bornes de cada elemento y la carga del condensador.

22.23.- a) Cuando en interruptor S está en la posición A, en el circuito RL de la figura circula una intensidad I. Determinar la energía almacenada en la Prob. 22.23 bobina. b) Pasamos el interruptor a la posición B. Calcular el tiempo que deberá transcurrir para que la intensidad en la resistencia se reduzca al 37% de su valor inicial, así como la energía disipada en la resistencia en ese tiempo.

23.- Corriente alterna.

23.1.- Para determinar las constantes R y L de una bobina se la coloca en serie con una resistencia pura y calibrada de 1 kΩ y se miden las caídas de tensión en esta resistencia, en la bobina y en el circuito serie completo, obteniéndose los siguientes resultados a 50 Hz: 180 V, 50 V y 220 V, respectivamente.

a) Dibujar el diagrama fasorial de tensiones. b) Determinar R y L. 23.2.- Un circuito RLC-serie está conectado a una línea de 120 V/60 Hz y consume una intensidad de 11 A adelantada 45respecto de la tensión de alimentación. a) Determinar la potencia suministrada al circuito y la resistencia óhmica del mismo. b) Si la autoinducción del circuito es 50 mH, ¿cuál es la capacidad presente en el mismo? c) ¿Qué capacidad o autoinducción deberá añadirse, en paralelo, para corregir completamente el factor de potencia?

23.3.- En el circuito representado en la figura, la intensidad que circula por la bobina L es el doble de la que circula por el condensador Prob. 23.3 C 1.

Las tensiones que se indican son las medidas con un voltímetro entre los bornes de los correspondientes componentes. Determinar: a) Los valores de L, C1 y C2 . b) La impedancia total del circuito y su factor de potencia. c) La tensión entre bornes en el generador y las intensidades en cada componente del circuito. d) La capacidad del condensador que deberá conectarse en paralelo con el circuito completo para reducir el factor de potencia a 0.95. e) Dibujar los diagramas fasoriales de intensidades y de tensiones.

23.4.- En el circuito representado en la figura, determinar: a) La intensidad de corriente en cada rama. b) La diferencia de potencial entre los puntos A y B. a) La potencia y el factor de potencia. b) El valor de la capacidad del

Prob. 23.4

condensador que deberemos colocar en paralelo para corregir completamente el factor de potencia.

23.5.- En una red de 220 V y 50 Hz, deseamos instalar una lámpara de incandescencia especificada para consumir 60 W a una tensión máxima de 120 V. Para hacer posible la instalación, colocamos un condensador en serie

Corriente alterna.

con la lámpara. a) Calcular las características de dicho condensador (capacidad y tensión de trabajo). b) Si la frecuencia real fuese de 60 Hz, ¿qué potencia consumiría la lámpara antes y después de colocar el condensador calculado en el apartado anterior?

Prob. 23.6

23.6.- La potencia total disipada en los elementos decircuito que se muestran en la figura es 1100 W. Determinar la potencia disipada en cada elemento y la lectura del amperímetro.

23.7.- En el puente de Wheatstone, con condensadores, que se muestra en la figura, determinar la relación que debe existir entre los valores de las capacidades para que el puente esté en equilibrio (i.e.

Prob. 23.7 para que el amperímetro no acuse paso de corriente) para cualquier frecuencia de la corriente alterna.

23.8.- En el puente de Wheatstone, con condensadores y inductores, que se muestra en la figura, determinar la relación que debe existir entre los valores de las Prob. 23.8 capacidades y de las inductancias para que el puente esté en equilibrio (i.e. para que el amperímetro no acuse paso de corriente) para cualquier frecuencia de la corriente alterna.

23.9.- En el circuito que se representa en la figura, determinar las frecuencias de la corriente alterna para las que el circuito a) deja pasar libremente y b) no deja pasar Prob. 23.9

39

(corta) en absoluto la corriente.

23.10.- a) En el circuito paralelo de dos r a ma s q u e s e esquematiza en la figura, determinar la frecuencia de Prob. 23.10 resonancia en función de los valores de RL, L, RC y C. b) Aplicación numérica: RL = 100 Ω, RC = 50 Ω, L = 200 mH y C = 5 μF. c) Si la tensión de alimentación es de 25 V, calcular, en la resonancia, la intensidad que circula por cada rama y la intensidad que suministra el generador de c.a.

23.11.- En el circuito que se representa en la figura: a) Determinar la intensidad que circula por cada una de las ramas; b) Determinar la tensión que soporta cada elemento; c) Dibujar el

Prob. 23.11

diagrama fasorial de intensidades y de tensiones. d) Calcular el valor de la capacidad que debemos colocar en paralelo con el generador para corregir completamente el factor de potencia.

23.12.- En el circuito que se representa en la figura: a) Determinar la intensidad que circula por cada una de las ramas; b) Determinar la tensión que soporta cada elemento; c) Calcular la potencia y el factor de potencia; d) Dibujar los

Prob. 23.12

diagramas fasoriales de intensidades, de tensiones y potencia. e) Calcular el valor de la capacidad que debemos colocar en paralelo con el generador para corregir completamente el factor de potencia.

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23.13.- En el c i r cui t o d e corriente alterna que se representa en la figura, el interruptor está a b i e r t o .

Prob. 23.13 a) Determinar la intensidad que circula por cada rama. b) Calcular la d.d.p. entre bornes en cada elemento. c) Calcular la d.d.p. entre los puntos AB; d) Dibujar los diagramas fasoriales de intensidades y de tensiones. e) Repetir los apartados anteriores cuando el interruptor está cerrado.

23.14.- En el circuito que se muestra en la figura, el alternador suministra una tensión alterna de 50 Hz y en la resistencia de 4 Ω se disipa una Prob. 23.14 potencia de 16 W. a) Calcular la intensidad en cada rama y la tensión entre bornes del generador, así como la intensidad de la corriente suministrada por éste. b) Determinar el factor de potencia de toda la carga. c) Evaluar la potencia consumida y la potencia reactiva de la carga y de cada uno de los elementos.

Prob. 23.15

23.15.- En el circuito de la figura, la tensión entre bornes de la bobina es el doble que la tensión que soporta el condensador C1 . a) Calcular la d.d.p. entre los bornes del generador y la intensidad que éste proporciona al circuito. b) Determinar los valores de L, C1 y C2 . c) Evaluar la impedancia total del circuito y su factor de potencia.

23.16.- Disponemos de dos cargas inductivas, cuyos valores a 50 Hz son Z1=22 /60 Ω y Z2=10/30 Ω, que se pueden conectar: a) en serie o b) en paralelo a la red de corriente alterna (220 V/50 Hz). En cada uno de los casos, calcular la intensidad total que consumen, el factor de potencia y el la capacidad del condensador necesario para corregirlo totalmente al colocarlo en paralelo con el resto del circuito.

23.17.- Conectamos a la red de 220 V/50 Hz dos cargas en paralelo, de 10 Ω cada una y factores de potencia respectivos iguales a 0.8 (inductivo)

y 0.6 (capacitativo). a) Determinar la intensidad total demandada a la red. b) Calcular la potencia consumida en cada carga. c) Determinar el f.d.p. de la carga total. d) Evaluar el elemento que hay que colocar en paralelo con toda la carga para corregir totalmente el factor de potencia. ¿Cuál será entonces la intensidad demandada a la red?

23.18.- A una red de corriente alterna (220 V/50 Hz) se conectan, en paralelo, tres cargas cuyas impedancias y factores de potencia son: 30 Ω/0.8 (ind), 40 Ω/0.7 (ind) y 50 Ω/0.6 (ind). a) Determinar la intensidad de la corriente suministrada por la red. b) Calcular el factor de potencia del conjunto. c) Evaluar las potencias activas y reactivas del conjunto. d) Encontrar la capacidad del condensador que hay que conectar en paralelo para corregir totalmente el factor de potencia.

23.19.- Se conectan a la red de corriente alterna (220 V / 50 Hz) los siguientes elementos: * 250 lámparas fluorescentes de 40 W cada una y un factor de potencia de 0.45 (inductivo). * 21 motores de 5 kW de consumo, cada uno, y un factor de potencia 0.85 (inductivo). * un conjunto de pequeña maquinaria, con un consumo total de 20 kW y un factor de potencia de 0.8 (inductivo). * 50 bombillas de incandescencia de 100 W cada una.

Determinar: a) La intensidad total que se suministra. b) El factor de potencia del conjunto. c) La capacidad del condensador necesario para corregir el factor de potencia a 0.95.

23.20.- Se realiza la iluminación de una sala de trabajo con 200 lámparas fluorescentes de 220 V/40 W y un factor de potencia de 0.4 (inductivo). a) Determinar la intensidad total que las alimenta. b) La capacidad de condensador que deberá colocarse en paralelo a la entrada de la instalación para corregir totalmente el factor de potencia. c) La capacidad de los condensadores que deberían colocarse en paralelo con cada uno de las lámpara fluorescentes para corregir totalmente el factor de potencia. N OTA: Esta es una alternativa a la solución del apartado anterior.

23.21.- A una red monofásica de corriente alterna de 220 V / 50 Hz se conecta un motor que consume 4.5 kW, cuyo factor de potencia es tal que se necesita colocar en paralelo con el motor un condensador de 0.1 mF para aumentarlo hasta un valor de 0.95. a) Determinar el factor de potencia no corregido del motor. b) Determinar la capacidad del condensador de corrección que deberá añadirse (en paralelo) para corregir totalmente el factor de potencia de la instalación cuando se añade a la misma otro motor de 7 kW y factor de potencia 0.85.