Eletrodinâmica dos Corpos em Movimento - Relatividade Restrita

ELETRODINÂMICA DOS CORPOS EM MOVIMENTO Albert Einstein versão de 1955

Tradução Livre de Victor Vizcarra

INTRODUÇÃO

Quando a eletrodinâmica de Maxwell, tal como a conhecemos hoje, é aplicada a corpos em movimento surgem assimetrias que parecem não estar em correspondências com os fenômenos observados. Veja, por exemplo, a interação eletrodinâmica entre un imã e um condutor. O fenômeno que se observa depende apenas do movimento relativo entre o condutor e o imã, enquanto que de acordo com a interpretação comum devemos distinguir rigorosamente dois casos muito diferentes, dependendo de qual dos dois corpos se movimenta, supondo o mesmo movimento relativo para os dois casos. Si é o imã que se move enquanto o condutor permanece en repouso, ao redor do imã é produzido um campo elétrico com certo valor para sua energia. Este campo eléctrico gera uma corrente no lugar onde se encontre o condutor. Se é o imã que permanece em repouso e é o condutor que se move, ao redor do imã não aparece nenhum campo elétrico. Porém, é produzido no condutor, uma força eletromotriz que não corresponde a nenhuma energia, mas que produz correntes eléctricas com as mesma magnitude e direção do primeiro caso.

Exemplos similares, tal como os experimentos realizados para demonstrar o movimento da Terra em relação ao «meio onde a luz se propaga» e cujos resultados foram negativos, permite supor que não só na mecânica, mas também na eletrodinâmica, que nenhuma propriedade dos fenômenos corresponde à noção de movimento absoluto. Devemos supor que para todos os sistemas de coordenadas onde as equações mecânicas são válidas, são igualmente válidas as leis da eletrodinâmica e da ótica, tal como foi demonstrado para grandezas de primeira ordem.

Queremos elevar essa suposição (cujo conteúdo será chamado, de agora em diante, de «Princı́pio da Relatividade») ao nı́vel de hipótese e ainda introduzir mais 1

uma suposição, que aparentemente é incompatı́vel com esse princı́pio, de que a luz no vácuo sempre se propaga com uma certa velocidade e que não depende do estado de movimento da fonte de luz. Com base na teoria de Maxwell, com esses dois pressupostos podemos construir uma eletrodinâmica de corpos em movimento simples e livre de contradições. Veremos que a própria introdução de um «éter luminoso» é desnecessária já que, de acordo ao nosso desenvolvimento, não será necessário introduzir um «espaço absoluto em repouso» dotado de propriedades particulares, e nem associar um vetor de velocidade a nenhum ponto do espaço vazio onde ocorram processos eletromagnéticos.

A teoria que iremos expor está baseada, assim como toda a eletrodinâmica, na cinemática dos corpos rı́gidos porque os enunciados de qualquer teoria envolvem relações entre corpos rı́gidos (isto é, sistemas de coordenadas), relógios e processos eletromagnéticos. Não levar em conta essas circunstâncias é a origem das dificuldades com as que hoje tem que lutar a eletrodinâmica dos corpos em movimento.

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I §1

—

—

CINEMÁTICA

Definição de simultaneidade

Seja dado um sistema de coordenadas no qual as equações mecânicas de Newton são válidas. Para esclarecer seu significado e distingui-lo daqueles que apresentaremos mais adiante, queremos chamá-lo de «sistema em repouso».

Se um ponto material está em repouso em relação a este sistema de coordenadas, sua posição em relação a este último pode ser determinada por meio de regras rı́gidas, fazendo uso dos métodos da geometria euclidiana, e expressa em coordenadas cartesianas.

Se quisermos descrever o movimento de um ponto material, expressamos os valores de suas coordenadas em função do tempo. Agora, devemos ter em mente que uma descrição matemática desse tipo não tem significado fı́sico, a menos que sejamos claros quanto ao que entendemos por «tempo». Temos que levar em conta de que todos os nossos julgamentos em que o tempo desempenha um papel são sempre julgamentos de eventos simultâneos. Quando digo, por exemplo, «o trem chega aqui às 7 horas», isso significa que «a passagem da pequena agulha do meu relógio pelo lugar marcado 7 e a chegada do trem são eventos simultâneos».

Parece que poderı́amos evitar as dificuldades relativas à definição do «tempo» se substituirmos o termo «posição da pequena agulha do relógio». A definição seria suficiente se considerarmos apenas o local onde o relógio está localizado; mas já não é suficiente quando se trata de relacionar o tempo entre uma série de eventos que ocorrem em lugares diferentes ou, o que é equivalente, estabelecer cronologicamente os eventos que ocorrem em lugares distantes do relógio.

Nós certamente poderı́amos ficar satisfeitos se estabelecermos a cronologia dos eventos pelo seguinte processo. Um observador com um relógio se encontra na origem das coordenadas e marca a posição correspondente da agulha a cada sinal de luz que chega através do espaço vazio, sendo este, naturalmente, o indicador de um evento distante. No entanto, como o demonstra a experiência, esse modo de correspondência tem a desvantagem de não ser independente do observador com o relógio. Pela seguinte consideração chegaremos a uma convenção muito mais prática: Coloquemos um relógio no ponto A do espaço. Um observador que se encontra no ponto A pode avaliar a duração dos eventos que ocorrem na vizinhança imediata de A, marcando as posições simultâneas das agulhas nesses eventos. Colocamos agora um relógio desligado no ponto B do espaço – este relógio é exatamente da mesma natureza que o relógio em A. Um observador em B também será capaz de avaliar a duração dos eventos que ocorrem em sua vizinhança imediata. Porém, não é possı́vel comparar, sem prévias especificações, a situação do tempo de um evento em A com o de um evento em B. Ou seja, até agora só temos um «tempo A» e um 3

«tempo B», mas não há «tempo comum para A e B». Este último «tempo» pode ser estabelecida colocando por definição que o «tempo» necessário para a luz ir de A para B é igual ao «tempo» que leva para ir de B para A. Vamos supor que um raio luminoso sai no instante tA de A para B, que é refletido em B no instante tB e voltará a A no instante t0A . Ambos os relógios estão, por definição, sincronizados se tB − tA = t0A − tB .

Vamos supor que possamos formular, sem nenhuma contradição, esta definição de sincronização para um número arbitrário de pontos, de modo que, em geral, as seguintes relações sejam verdadeiras: 1◦ Se o relógio em B está sincronizado com o relógio em A, o relógio em A está sincronizado com o relógio em B. 2◦ Se o relógio em A está sincronizado com o relógio em B, assim como com o relógio em C, os relógios em B e em C estarão sincronizados entre si.

Desse modo, com ajuda de certos experimentos fı́sicos (hipotéticos) conseguimos estabelecer o que se deve entender por relógios sincronizados em repouso em lugares diferentes. E da mesma forma obtivemos uma definição de «simultaneidade» e de «tempo».

O «tempo» de um evento é a indicação simultânea de um relógio que se encontra em repouso no mesmo lugar onde este evento ocorre e que está sincronizado com um relógio em repouso; além do mais, deve manter a sincronização em todas as determinações do tempo.

Ainda, conforme a experiência, admitiremos que a grandeza 2AB =c − tA

t0A

seja uma constante universal (c é a velocidade da luz no espaço vazio).

O importante aqui é que temos definido o tempo por meio de relógios que se encontram em repouso em relação a um sistema em repouso; por causa desta relação estreita com o sistema em repouso, chamaremos o tempo que acabamos de definir de «tempo do sistema em repouso».

§2

—

Sobre a relatividade dos comprimentos e dos tempos

As seguintes reflexões apoiam-se sobre o princı́pio da relatividade e o princı́pio de constância da velocidade da luz, os quais podem ser definidos assim:

4

1◦ São dados dois sistemas de coordenadas em translação uniforme um em relação ao outro, as leis aos quais são submetidos as mudanças de estado dos sistemas fı́sicos permanecem os mesmos, qualquer que seja o sistema de coordenadas aos quais estas mudanças estão relacionadas.

2◦ Cada raio luminoso se move no sistema de coordenadas «em repouso» com a velocidade determinada c, que será emitido por um corpo em repouso ou um corpo em movimento. Temos velocidade =

caminho da luz , duração do tempo

onde a «duração do tempo» deve ser tomado no sentido da definição do parágrafo §1.

Consideremos uma barra em repouso de comprimento l, cuja medida é efetuada com uma régua igualmente em repouso. Imaginemos que o eixo desta barra coincida com o eixo x do sistema de coordenadas em repouso; imaginemos também que essa barra sofra uma translação uniforme (com velocidade v) e paralela ao longo do eixo de coordenada x no sentido crescente. A pergunta é, qual é o comprimento da barra em movimento? A resposta pode ser determinada seguindo as duas operações seguintes: a. O observador munido de uma régua encontra-se em movimento junto com a barra a ser medida. Ele mede o comprimento da barra diretamente com a régua, exatamente como se a barra a ser medida, o observador e a régua estivessem em repouso. b. O observador determina quais são os pontos do sistema em repouso que coincidem, no instante t, com os dois pontos extremos da barra a medir, usando relógios sincronizados, situados, em repouso, no sistema em repouso (conforme o parágrafo §1). A distância entre estes dois pontos, medida com ajuda da régua já utilizada e que neste caso está em repouso, também é um comprimento que podemos chamar de «comprimento da barra».

De acordo com o princı́pio da relatividade, o comprimento a encontrar pela operação a, que chamaremos de «comprimento da barra no sistema de movimento», deve ser igual ao comprimento l da barra em repouso.

Quanto ao comprimento a ser obtido pela operação b, que chamaremos de «comprimento da barra (em movimento) no sistema em repouso», vamos determiná-lo com base nos dois princı́pios e mostraremos que é diferente de l.

A cinemática usual admite tacitamente que os dois comprimentos determinadas pelas duas operações que acabamos de falar, são rigorosamente iguais ou, em outros 5

termos, que um corpo rı́gido em movimento no instante t pode, no ponto de vista geométrico, ser substituı́do pelo mesmo corpo mantido em repouso em um lugar determinado.

Vamos supor, além disso, que os dois pontos extremos da barra (A e B) estão fixados a relógios, e que estes relógios estão sincronizados com os relógios do sistema em repouso, isto é, em algum momento, seja onde elas se encontrem, suas indicações devem coincidir com «o tempo do sistema em repouso». Por tanto, estes relógios estão «sincronizados no sistema em repouso».

Imaginemos ainda que junto de cada relógio se encontre um observador que o acompanhe durante o movimento, e que esses observadores aplicam a ambos relógios o critério da marcha sincronizada de dois relógios estabelecido no parágrafo §1.

No instante tA [1] um raio luminoso parte de A, é refletido em B no instante tB e volta para A no instante t0A . Considerando a constância da velocidade da luz, temos tB − tA =

rAB c−v

e

rAB , c+v onde rAB é o comprimento da barra em movimento, medido no sistema em repouso.

Portanto, os observadores que participam do movimento da barra afirmariam que os dois relógios não estão sincronizados, enquanto que os observadores que se encontram no sistema em repouso argumentariam que eles estão sincronizados.

Nós constatamos assim que não devemos atribuir à noção de simultaneidade um significado absoluto, mas que dois eventos, que, visto de um sistema de coordenadas, são simultâneos, não são mais, quando os observamos de um sistema em movimento em relação ao primeiro. t0A − tB =

§3 — Teoria da transformação das coordenadas e do tempo quando passamos de um sistema de repouso a um sistema animado de uma translação uniforme em relação ao primeiro Considere dois sistemas de coordenadas no espaço, «em repouso», isto é, dois sistemas de três linhas materiais rı́gidas e perpendiculares entre si, e que partem de um ponto em comum. Suponhamos que o eixo x de ambos sistemas coincidem e que os eixos y e z sejam respectivamente paralelos. Imaginemos ainda que cada sistema tenha uma régua rı́gida e um certo número de relógios e que, tanto as réguas e os relógios sejam rigorosamente idênticos.

1

Aqui, «instante» significa «valor instantâneo do tempo do sistema em repouso» e ao mesmo tempo «posição da agulha do relógio em movimento, que se encontra no lugar em questão».

6

Comunicamos ainda a um desses sistemas (k) uma velocidade (constante) v no sentido crescente do eixo x em relação ao outro sistema (K), que se encontra em repouso. Esta velocidade v também é transferida aos eixos de coordenadas, à régua e aos relógios. A cada instante t do sistema em repouso K lhe corresponde então uma posição determinada dos eixos do sistema em movimento, e por razões de simetria, podemos admitir que o movimento de k pode se efetuar de uma maneira tal que os eixos do sistema em movimento no instante t (t significa sempre o tempo do sistema em repouso) são paralelos aos eixos do sistema em repouso.

Agora imaginemos que o espaço do sistema em repouso K também seja medido desde este ponto de vista, em repouso, por meio da régua em repouso, e igualmente, o espaço do sistema em movimento k seja medido usando a régua que se movimenta com ele, desde seu do ponto de vista. Dessa maneira determinamos as coordenadas x, y, z e ξ, η, ζ, respectivamente.

Já o tempo t é determinado no sistema em repouso para todos os pontos desse sistema e onde são colocados os relógios que também se encontram em repouso e com ajuda de sinais luminosos, tal qual indicado no parágrafo §1. De modo similar é determinado o tempo τ do sistema em movimento onde todos os pontos deste sistema se encontram relógios em repouso em relação a este sistema, utilizando o método de sinais luminosos descrito no parágrafo §1.

Para cada sistema de valores x, y, z, t, o qual determina de modo completo a posição e o tempo de um evento no sistema em repouso K, corresponde um sistema de valores ξ, η, ζ, τ que determinam estes eventos em relação ao sistema k.

O problema agora é encontrar o sistema de equações que relaciona estas grandezas.

A primeira vista já é notório que estas equações devem ser lineares, por causa da propriedade de homogeneidade que nós atribuı́mos ao espaço e ao tempo.

Se fixamos x0 = x − vt, é evidente que um ponto em repouso no sistema k corresponde ao sistema de valores x0 , y, z que é independente do tempo. Determinaremos primeiramente τ em função de x0 , y, z e t. Para este fim devemos expressar como equações o fato de que τ não é nada mais do que conjunto de indicações do relógios em repouso no sistema k, os quais foram sincronizados de acordo à regra do parágrafo §1.

Vamos supor que desde o ponto de origem do sistema k seja enviado um raio luminoso no momento τ0 ao longo do eixo X para x0 e então é refletido no momento τ1 e se direciona para a origem das coordenadas onde chega no momento τ2 ; temos então 1 (τ0 + τ2 ) = τ1 , 2 ou, incluindo os argumentos da função τ e aplicando o princı́pio da constância da

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velocidade da luz no sistema em repouso,

x0 x0 x0 1 0 Ď„ (0, 0, 0, t) + Ď„ 0, 0, 0, t + + = Ď„ x , 0, 0, t + 2 c−v c+v c−v De onde segue, dando a x0 um valor infinitamente pequeno,

1 1 âˆ‚Ď„ 1 âˆ‚Ď„ 1 ∂t + + = 0 2 c − v c + v ∂t ∂x c − v ∂t ou

v âˆ‚Ď„ ∂t + 2 = 0.

0 2 ∂x c − v ∂t Devemos deixar claro que poderÄąĚ amos ter escolhido, no lugar da origem do sistema de coordenadas, qualquer outro ponto como ponto de partida do raio luminoso, e eĚ porque a equaçaĚƒo obtida acima eĚ vaĚ lida para todos os valores de x0 , y, z.

Levando em conta o fato que, do ponto de vista do sistema em repouso, a luz √ sempre se propaga com velocidade c2 − v 2 ao longo dos eixos y e z, uma anaĚ lise similar aplicada a esses eixos nos daĚ âˆ‚Ď„ = 0, ∂y âˆ‚Ď„ = 0. ∂z Como Ď„ eĚ uma funçaĚƒo linear, destas equaçoĚƒes obtemos,

v 0 Ď„ =a t− 2 x , c − v2 onde a eĚ por enquanto uma funçaĚƒo desconhecida Ď•(v) e por brevidade, supomos que na origem de k, t = 0 se Ď„ = 0.

Com ajuda deste resultado fica faĚ cil determinar as grandezas Ξ, Ρ, Îś, expressando pelas equaçoĚƒes que a luz (como exige o princÄąĚ pio da constaĚ‚ncia da velocidade da luz e o princÄąĚ pio da relatividade) tambeĚ m se propaga no sistema em movimento com velocidade c. Para um raio de luz que no momento Ď„ = 0 eĚ emitido no sentido crescente de Ξ, temos Ξ = cĎ„ ou

Ξ = ac t −

v 0 x . c2 − v 2

Agora, em relaçaĚƒo aĚ€ origem de k o raio luminoso se propaga com velocidade c−v, se a medida for efetuada no sistema em repouso, de modo que temos, x0 = t. c−v 8

Substituindo este valor de t na equação de ξ, temos ξ=a

c2 x0 . c2 − v 2

De modo análogo, considerando os raios luminosos propagando-se ao longo dos dois outros eixos, temos

v 0 , η = cτ = ac t − 2 x c − v2 onde √

c2

y = t, − v2

isto é, η=a

c2

e ζ = a√

x0 = 0;

c y − v2

c z, c2 − v 2

Introduzindo o valor de x0 , temos τ

v = ϕ(v)β t − 2 x c

ξ = ϕ(v)β (x − vt) η = ϕ(v)y ζ

= ϕ(v)z

onde β=r

1 v 2 , 1− c

e ϕ uma função de v que por enquanto é desconhecida. Caso não se faça nenhuma suposição sobre a posição inicial do sistema em movimento e nem sobre o ponto zero de τ , devemos agregar uma constante aditiva no inı́cio destas equações.

Agora precisamos demostrar que todo raio luminoso medido no sistema em movimento se propaga com a velocidade c, se, como temos assumido, é o caso no sistema em repouso. Isto se faz necessário porque ainda não fornecemos provas de que a constância da velocidade da luz esteja de acordo com o princı́pio da relatividade.

Seja t = τ = 0 o instante quando os dois sistemas de coordenadas possuem a mesma origem, e nesse instante é emitida uma onda esférica que se propaga no sistema K com a velocidade c. Se (x, y, z) representa o ponto alcançado por esta onda, teremos x2 + y 2 + z 2 = c2 t2 .

9

Aplicando as nossas equações de transformação nesta equação, após um cálculo simples, teremos ξ 2 + η 2 + ζ 2 = c2 τ 2 .

Ou seja, no sistema em movimento a onda em questão também é uma onda esférica cuja velocidade de propagação é c. Isso mostrar que nossos dois princı́pios fundamentais concordam perfeitamente[2] .

Nas equações de transformação que temos desenvolvido aparece uma função desconhecida ϕ de v, que iremos determinar.

Para este propósito introduziremos um terceiro sistema de coordenadas K 0 que, em relação ao sistema k, efetua um movimento de translação paralela ao eixo x de uma maneira tal que a origem destas coordenadas se desloca com velocidade −v sobre o eixo x, ou seja, o movimento de K 0 é contrário ao movimento de k. Supondo que no instante t = 0 a origem dos três sistemas de coordenadas coincidem e que para t = x = y = z = 0 o tempo t0 do sistema K 0 seja zero. Sejam x0 , y 0 , z 0 as coordenadas medidas no sistema K 0 . Aplicando duas vezes nossas equações de transformação, teremos n v o = ϕ(v)ϕ(−v)t, t0 = ϕ(−v)β(−v) τ + 2 ξ c x0 = ϕ(−v)β(−v) {ξ + vτ }

= ϕ(v)ϕ(−v)x,

y 0 = ϕ(−v)η

= ϕ(v)ϕ(−v)y,

z 0 = ϕ(−v)ζ

= ϕ(v)ϕ(−v)z,

Como as relações entre x, y, z e x0 , y 0 , z 0 não contêm o tempo t, os sistemas K e K 0 devem estar em repouso um em relação ao outro, e é evidente que la transformação de K em K 0 deve ser a transformação idêntica. Portanto, ϕ(v)ϕ(−v) = 1.

Mas, qual o significado de ϕ(v)?

Considere a porção do eixo y do sistema k que está situado entre ξ = 0, η = 0, ζ = 0 e ξ = 0, η = l, ζ = 0. Esta porção do eixo y é uma barra que se move 2

As equações da transformação de Lorentz podem ser deduzidos de uma maneira mais direta supondo que, de acordo com elas, a relação ξ 2 + η 2 + ζ 2 − c2 τ 2 = 0 deve ter por consequência x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 = 0 .

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perpendicularmente a seu eixo com a velocidade v em relação ao sistema K. As extremidades desta barra no sistema K possuem as coordenadas x1 = vt ,

y1 =

l , ϕ(v)

z1 = 0,

e x2 = vt ,

y2 = 0 ,

z2 = 0,

l ; isso nos fornece ϕ(v) o significado da função ϕ. Por razões de simetria, fica evidente que o comprimento da barra, medido no sistema em repouso, que se move perpendicularmente a seu eixo depende apenas da velocidade, mas não da direção e do sentido do movimento.

Então, o comprimento da barra em movimento, medido no sistema em repouso, não muda se trocarmos v por −v. De onde segue que

Portanto, o comprimento da barra medido no sistema K é

l l = ϕ(v) ϕ(−v) ou ϕ(v) = ϕ(−v).

Desse modo, a partir dessa relação e da encontrada anteriormente, segue que ϕ(v) = 1, de modo que as equações de transformação encontradas assumem a forma

v τ = β t − 2x c ξ = β (x − vt) η = y ζ

= z

onde β=r

§4

—

1 v 2 .

1− c

O significado fı́sico das equações concernentes aos corpos rı́gidos e aos relógios em movimento

Consideremos uma esfera rı́gida[3] de raio R que está em repouso no sistema em movimento k, e cujo centro coincide com a origem das coordenadas deste sistema k.

La equação da superfı́cie desta esfera que se move com a velocidade v em relação ao sistema K é ξ 2 + η 2 + ζ 2 = R2 .

3

isto é, um corpo que, estando em repouso, possui a forma esférica.

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A equação desta superficie, expressa em x, y, z no momento t = 0, é x2 2 2 2 # +y +z =R . v 2 2 1− c

"r

Ou seja, se no sistema em repouso um corpo rı́gido tem a forma de uma esfera, em um sistema em movimento, examinado do ponto de vista do sistema em repouso, terá a forma de um elipsoide de rotação com eixos r v 2 R 1− , R, R. c Assim, enquanto que as dimensões Y e Z da esfera (e de qualquer corpo rı́gido de forma arbitrária) não se modificam pelo movimento, a dimensão X é reduzida na razão de 1 r v 2 .

1− c Esta redução é mais pronunciada quando v é maior. No caso v = c, todos os objetos em movimento, visto do sistema «em repouso», se reduzem na superfı́cie, isto é, se transforma em uma figura plana. Para velocidades superiores à da luz, nossos resultados perde todo sentido fı́sico. Além do mais, como veremos na análise a seguir, fisicamente a velocidade da luz em nossa teoria tem o papel das velocidades infinitamente grandes.

É claro que o mesmo resultado permanece válido para os corpos que estão em repouso no sistema «em repouso», vistos desde o sistema em movimento de translação uniforme.

Imaginemos agora que um relógio indique o tempo t quando se encontra em repouso em relação ao sistema em repouso, e o outro relógio indique o tempo τ quando se encontra em repouso em relação ao sistema k em movimento. Vamos supor que este relógio esteja localizado na origem das coordenadas de k e ajustado de tal maneira para indicar o tempo τ . Quão rápido marcará o tempo este relógio do ponto de vista do sistema em repouso?

Entre as grandezas x, t e τ , que relacionam a posição deste relógio, temos as seguintes relações:

v 1 t − x τ=r v 2 c2 1− c e x = vt.

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Das quais obtemos r τ =t

1−

v 2 c

" =t− 1−

r 1−

v 2 c

# t,

de onde deduzimos que a indicação do relógio (do ponto de vista do sistema em repouso) por segundo retarda " # r v 2 1− 1− segundos c ou

1 v 2 segundos 2 c eliminando, claro, os termos de quarta ordem e de ordens superiores.

Desse resultado desprende-se a seguinte consequência: Se nos pontos A e B de K existem relógios sincronizados, e se encontram em repouso no sistema em repouso, e deslocamos o relógio de A com a velocidade v ao longo da linha que conecta A e B, constatamos que depois da chegada em B os dois relógios não estão mais sincronizados. O relógio que se deslocou de A para B, 1 v 2 quando comparado com o relógio posicionado em B mostrará um retardo de t 2 c segundos (para grandezas de quarta ordem e superiores), sendo t o tempo necessário para o relógio passar de A para B. Este resultado permanece válido mesmo quando o relógio percorre uma linha poligonal arbitrária para ir de A até B ou mesmo quando os dois pontos A e B coincidem.

Supondo que o resultado demostrado para a linha poligonal seja também válida para uma linha de curvatura contı́nua, obtemos a seguinte proposição: Se em A se encontram dois relógios sincronizados e deslocamos um deles com uma velocidade v constante ao longo de uma curva fechada até o seu ponto de partida, o ponto 1 v 2 segundos A, demorando t segundos, então, este relógio terá retardo de t 2 c em relação ao relógio que permaneceu imóvel em A. Concluı́mos daqui que um relógio colocado no equador da terra terá retardo de uma mı́nima fração sobre o tempo marcado por um relógio idêntico e sob as mesmas condições que o primeiro, localizado no polo.

§5

—

Teorema da adição das velocidade

Consideremos no sistema k, que se move ao longo do eixo X do sistema K com velocidade v, um ponto em movimento de acordo com as equações ξ = wξ τ ,

η = wη τ , 13

ζ = 0,

onde wξ e wη são constantes.

Queremos descrever o movimento deste ponto em relação ao sistema K. Com ajuda das equações de transformação desenvolvidas no parágrafo §3, introduzimos as grandezas x, y, z, t nas equações do movimento do ponto e temos x =

y =

wξ + v vwξ t, 1+ 2 c r v 2 1− c vwξ wη t, 1+ 2 c

z = 0.

Consequentemente, segundo nossa teoria, a lei do paralelogramo para as velocidades é válida apenas em primeira aproximação, isto é, para a primeira ordem na aproximação. Seja 2 2 dy dx 2 + , U = dt dt w2 = wξ2 + wη2 e

α = arctan

wη wξ

;

então, α deve ser considerado como o ângulo entre as velocidade v e w. Por um cálculo simples, obtemos s

vw sin α 2 2 2 (v + w + 2vw cos α) − c U= vw cos α 1+ c2 Devemos notar que v e w aparecem de maneira simétrica nas expressões da resultante. Se w tem a mesma direção que o eixo X (eixo Ξ), obtemos U=

v+w vw 1+ 2 c

Dessa equação deriva que da composição das duas velocidades, ambas menores que c, sempre resulta uma velocidade menor que c. Escrevendo v = c − κ , w = c − λ, onde κ e λ são positivos e menores que c, então, temos U =c

2c − κ − λ < c. κλ 2c − κ − λ + c

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Deriva-se ainda que a velocidade da luz c não se altera caso ela esteja composta com uma velocidade menor. Nesse caso, temos U=

c+w w = c.

1+ c

Para o caso em que v e w tenham a mesma direção, é possı́vel obter a fórmula para U combinando duas das transformações descritas no parágrafo §3. Se, além dos sistemas K e k utilizados no parágrafo §3, introduzimos um terceiro sistema de coordenadas k 0 , que se desloca paralelamente a k e cuja origem se move com velocidade w sobre o eixo Ξ, obtemos as equações que relacionam as grandezas x, y, z, t com as grandezas correspondentes a k 0 e que se diferenciam apenas pelo fato de que, em vez de v, temos v+w vw ; 1+ 2 c e é daqui que deduzimos que essas transformações paralelas formam um grupo.

Temos deduzido as propriedades fundamentais da cinemática correspondente aos nossos dois princı́pios. Agora iremos mostrar sua aplicação à eletrodinâmica.

15

II

—

PARTE ELETRODINÂMICA

§6 — Transformação das equações de Maxwell-Hertz para o espaço vazio. Sobre a natureza das forças eletromotrizes que ocorrem como resultado do movimento em um campo magnético.

Suponhamos que as equações de Maxwell-Hertz sejam válidas para o sistema em repouso K, de modo que: ∂N ∂M 1 ∂X = − , c ∂t ∂y ∂z

1 ∂L ∂Y ∂Z = − , c ∂t ∂z ∂y

1 ∂Y ∂L ∂N = − , c ∂t ∂z ∂x

1 ∂M ∂Z ∂X = − , c ∂t ∂x ∂z

1 ∂Z ∂M ∂L = − , c ∂t ∂x ∂y

1 ∂N ∂X ∂Y = − , c ∂t ∂y ∂x

onde (X, Y, Z) representa o vector da força eléctrica e (L, M, N ), o vetor da força magnética.

Aplicando a essas equações a transformação desenvolvida no parágrafo §3, relacionando os fenômenos eletromagnéticos ao sistema de coordenadas que se move com a velocidade v, obteremos as seguintes equações:

v v ∂β N − Y ∂β M + Z 1 ∂X c c = − , c ∂τ ∂η ∂ζ

v v ∂β Y − ∂β N − N Y ∂L 1 c c = − , c ∂τ ∂ζ ∂ξ

v v ∂β Z + M ∂β M + Z 1 ∂L c c = − , c ∂τ ∂ξ ∂η

v v ∂β Y − N ∂β Z + M 1 ∂L c c = − , c ∂τ ∂ζ ∂η

v v ∂β M + Z ∂β Z + M 1 ∂X c c = − , c ∂τ ∂ξ ∂ζ

v v ∂β N − Y ∂β Y − N 1 ∂X c c = − , c ∂τ ∂η ∂ξ onde

1 β=r v 2 1− c 16

Agora, o princı́pio da relatividade requer que as equações de Maxwell-Hertz para o espaço vazio sejam tão válidas para o sistema k quanto para o sistema K, ou seja, para os vetores força elétrica e magnética, [(X 0 , Y 0 , Z 0 )

e

(L0 , M 0 , N 0 )]

do sistema em movimento k, definidos por seus efeitos ponderomotrizes sobre massas elétricas ou magnéticas, satisfazem as seguintes equações: ∂N 0 ∂M 0 1 ∂X 0 = − , c ∂τ ∂η ∂ζ

1 ∂L0 ∂Y 0 ∂Z 0 = − , c ∂τ ∂ζ ∂η

1 ∂Y 0 ∂L0 ∂N 0 = − , c ∂τ ∂ζ ∂ξ

1 ∂M 0 ∂Z 0 ∂X 0 = − , c ∂τ ∂ξ ∂ζ

1 ∂Z 0 ∂M 0 ∂L0 = − , c ∂τ ∂ξ ∂η

1 ∂N 0 ∂X 0 ∂Y 0 = − , c ∂τ ∂η ∂ξ

Evidentemente, os dois sistemas de equações encontrados para o sistema k devem expressar exatamente o mesmo já que ambos sistemas de equações são equivalentes às equações de Maxwell-Hertz para o sistema K. E como as equações dos dois sistemas concordam em todos os pontos, com exceção dos sı́mbolos que representam os vetores, deduzimos que as funções correspondentes nos sistemas de equações devem coincidir, com exceção do fator ψ(v) que é comum para todas as funções de um dos sistemas de equações e é independente de ξ, η, ζ e τ , porém, depende de v. Portanto, temos as seguintes relações: X 0 = ψ(v)X,

L0 = ψ(v)L,

v Y 0 = ψ(v)β Y − N , c

v Z 0 = ψ(v)β Z + M , c

v M 0 = ψ(v)β M + Z , c

v N 0 = ψ(v)β N − Y , c

Invertendo este sistema de equações, resolvendo primeiro as equações que acabamos de obter, e então aplicando as equações de transformação inversa (de k para K), caracterizada pela velocidade −v, e considerando que os dois sistemas de equações obtidos dessa maneira devem ser idênticos, obtemos ψ(v)ψ(−v) = 1.

Ademais, por razões de simetria[4] temos ψ(v) = ψ(−v); 4

Para o caso onde X = Y = Z = L = M = 0 e N 6== 0, torna-se claro por razões de simetria que, mudando o sinal de v sem alterar seu valor numérico, Y 0 também deve mudar o sinal sem alterar seu valor numérico.

17

temos, então ψ(v) = 1, e nossas equações assumem a forma X 0 = X,

L0 = L,

v v M0 = β M + Z , Y0 =β Y − N , c c

v v Z0 = β Z + M , N0 = β N − Y , c c Para interpretar essas equações devemos fazer as seguintes observações: Seja dado uma carga elétrica pontual de valor unitário, medida no sistema em repouso K, isto é, estando em repouso no sistema em repouso, exerce uma força de uma dina sobre uma carga elétrica igual e que se encontra a uma distância de 1 cm. De acordo com o princı́pio da relatividade, essa quantidade de carga elétrica também tem um valor unitário quando medido no sistema em movimento. Se esta quantidade de carga elétrica está em repouso em relação ao sistema em repouso, o vetor (X, Y, Z) é, por definição, igual à força que age sobre ela. Se esta quantidade de carga eléctrica está em repouso em relação ao sistema de movimento (pelo menos, no instante em questão), a força que actua sobre ela e que é medido no sistema em movimento é igual ao vetor (X 0 , Y 0 , Z 0 ). As três primeiras equações obtidas acima podem desse modo ser expressas de duas maneiras: 1◦ Se uma carga elétrica pontual e unitária se move em um campo eletromagnético, além da força elétrica, sobre ela é exercida uma «força eletromotriz» c de segunda ordem e superique, desprezando os termos contendo o fator v ores, é igual ao produto vetorial da velocidade da carga pela força magnética, dividida pela velocidade da luz. (Expressão antiga.)

2◦ Se uma carga elétrica pontual e unitária se move em um campo eletromagnético, a força que atua sobre ela é igual à intensidade do campo elétrico relativo a um sistema de coordenadas ligado à partı́cula, isto é, ao campo presente na posição da carga, obtido através de uma transformação do campo a um sistema de coordenadas em repouso em relação à carga elétrica. (Expressão nova.)

A mesma analogia acontece com as «forças eletromotrizes». Vemos que na teoria desenvolvida a força eletromotriz desempenha apenas o papel de conceito auxiliar cuja introdução acontece apenas porque as forças elétricas e magnéticas não existem independentemente do estado de movimento do sistema de coordenadas.

Além do mais, é evidente que a assimetria mencionada na introdução deste trabalho, quando tratamos sobre as correntes geradas pelo movimento relativo de 18

um imã e de um condutor, desaparece. Então, qualquer questão relacionada ao «sitio»d́as forças de indução eletromotriz (máquinas unipolares) torna-se completamente supérflua, sem sentido.

§7

—

Teoria do princı́pio Doppler e da aberração.

Consideremos uma fonte de onda eletromagnética no sistema K, muito longe da origem das coordenadas e que a porção do espaço que contem a origem das coordenadas seja representado com um grau suficiente de aproximação pelas seguintes equações: X = X0 sin Φ L = L0 sin Φ, Y = Y0 sin Φ

M = M0 sin Φ,

Z = Z0 sin Φ

N = N0 sin Φ,

Ax + By + Cz ; Φ=ω t− c onde (X0 , Y0 , Z0 ) e (L0 , M0 , N0 ) são os vetores que determinam a amplitude da onda e A, B, C, os cosenos diretores das normais à onda. Queremos saber qual é a natureza dessas ondas quando examinado por um observador em repouso no sistema em movimento k.

Aplicando as equações de transformação do parágrafo §6 para as forças elétricas e magnéticas e as do parágrafo $3 para as coordenadas e o tempo, obtemos de uma maneira imediata as relações: X 0 = X0 sin Φ0

v Y 0 = β Y0 − N0 sin Φ c

v Z 0 = β Z0 − M0 sin Φ c

L0 = L0 sin Φ0 ,

v M 0 = β M0 − Z0 sin Φ0 , c

v N 0 = β N0 − Y0 sin Φ0 , c

A0 ξ + B 0 η + C 0 ζ Φ =ω τ− , c 0

onde

0

v ω 0 = ωβ 1 − A , c v A− c , A0 = v 1−A c B B0 = v , β 1−A c 19

C

C0 =

v c 0 Da equação para ω obtemos o seguinte: Se um observador se move com velocidade v, em relação a uma fonte luminosa de frequência ν e distanciado infinitamente, de modo que a linha que conecta a «fonte luminosa-observador» faça um ângulo ϕ com a tal velocidade v, o qual está associado a um sistema de coordenadas que está em repouso em relação à fonte de luz, a frequência ν 0 da luz observada pelo observador é dado pela equação

β 1−A

v 1 − cos ϕ c ν0 = ν r v 2 .

1− c Este é o princı́pio de Doppler para velocidades arbitrárias. Para ϕ = 0, a equação assume a forma mais simples v u u1 − v u c ν0 = ν · u . t v 1+ c Vemos que, diferentemente do pensamento habitual, para v = −c corresponde ν 0 = ∞.

Denominando ϕ0 o ângulo formado pela normal da onda (direção radial) no sistema em movimento e a linha que conecta «fonte luminosa-observador», a equação para A0 toma a forma v cos ϕ − c cos ϕ0 = . v 1 − cos ϕ c π Esta equação representa a lei da aberração em sua forma mais geral. Se ϕ = , a 2 equação toma a forma simples v cos ϕ0 = − . c Resta agora determinar a amplitude das ondas tal como aparecem no sistema em movimento. Denominando Λ e Λ0 a amplitude da força elétrica ou magnética medida no sistema em repouso e movimento, respectivamente, obtemos a equação,

Λ02 = Λ2

2 v cos ϕ c v 2 , 1− c

1−

20

que, para ϕ = 0, a equação toma a forma simples v c Λ02 = Λ2 . v 1+ c 1−

Das equações que temos desenvolvido se deriva que se um observador se aproxima com a velocidade da luz c de uma fonte luminosa, aquela fonte deveria mostrar uma intensidade infinita.

§8

— Transformação da energia dos raios luminosos. Teoria da pressão da radiação exercida sobre um espelho perfeito.

Λ2 é a energia da luz por unidade de volume, de acordo com o princı́pio 8π Λ02 da relatividade, consideramos como a energia da luz no sistema em movimento.

8π 02 Λ Portanto, 2 seria a relação entre a energia de um certo complexo de luz medido Λ «no estado de movimento» e no estado de repouso, se o volume de um complexo de luz, medido em K fosse o mesmo medido em k. Porém, não é assim. Se A, B, C são os cossenos diretores da normal da onda luminosa no sistema em repouso, então, nenhuma energia irá atravessar os elementos da superfı́cie esférica Como

(x − cAt)2 + (y − cBt)2 + (z − cCt)2 = R2 , que se desloca com a velocidade da luz. Por conseguinte, podemos dizer que esta superfı́cie envolve permanentemente o mesmo complexo de luz. Então, a pergunta é, qual é a quantidade de energia que envolve esta superfı́cie desde o ponto de vista do sistema k, quer dizer, qual a energia do complexo de luz em relação ao sistema k?

Desde o ponto de vista do sistema em movimento a superfı́cie esférica é uma superfı́cie elipsoidal cuja equação no instante τ = 0 é

v 2 v 2 v 2 βξ − Aβ ξ + η − Bβ ξ + ζ − Cβ ξ = R2 . c c c

Nominando S como o volume da esfera e S 0 o volume do elipsoide, um cálculo simples mostra que, r v 2 1 − S0 c = v S 1 − cos ϕ c

21

Então, sendo E a energia de luz envolvida pela superfı́cie, quando medido no sentido em repouso, e E 0 , quando medido no sistema em movimento, teremos Λ02 0 v S 1 − cos ϕ 0 E 8π c = 2 =r v 2 , E Λ S 1− 8π c relação que para ϕ = 0 toma a forma simples v u u1 − v 0 u E c , =u t v E 1+ c Devemos notar que a energia e a frequência de um complexo de luz se modificam com o estado de movimento do observador de acordo com a mesma lei.

Suponhamos que o plano de coordenadas ξ = 0 seja uma superfı́cie perfeitamente refletora, sobre a qual refletem as ondas planas consideradas no parágrafo precedente.

Queremos saber qual é a pressão exercida pela luz sobre a superfı́cie plana, assim como sua direção, a frequência e a intensidade da luz após a reflexão.

Seja uma luz incidente definido pelas grandezas Λ, cos ϕ, ν (em relação ao sistema K). Desde o ponto de vista de k as grandezas correspondentes são:

Λ0

cos ϕ0

ν0

v 1 − cos ϕ = Λr c , v 2 1− c v cos ϕ − c , = v 1 − cos ϕ c v 1 − cos ϕ = νs c . v 2 1− c

Em relação ao fenômeno no sistema k, para a luz refletida temos, Λ00

= Λ0 ,

cos ϕ00 = − cos ϕ0 , ν 00

= ν 0.

Finalmente, aplicando a transformação inversa referente ao sistema em repouso K

22

para a luz refletida, obtemos:

Λ000

v 1 + cos ϕ00 = Λ00 r c v 2 1− c cos ϕ00 +

cos ϕ000 = 1+

v c

v cos ϕ00 c

v cos ϕ00 c 00 = ν s v 2 1− c 1+

ν 000

v 2 v 1 − 2 cos ϕ + c c , r = Λ v 2 1− c

v 2 v 1+ cos ϕ00 − 2 c c = − ,

2 v v 1 − 2 cos ϕ + c c v 2 v 1 − 2 cos ϕ + c c . = ν

2 v 1− c

A energia (medida no sistema em repouso) que incide no espelho em uma unidade Λ2 de área por unidade de tempo é dado evidentemente por (c cos ϕ − v). A energia 8π que é refletida (a que sai do espelho) por unidade de área por unidade de tempo é Λ0002 (−c cos ϕ000 + v). De acordo com o princı́pio da relatividade, a diferença dessas 8π duas expressões corresponde ao trabalho efetuado pela pressão da luz por unidade de tempo. Igualando esse trabalho a P v, sendo P a pressão da luz, temos

P =2

Λ2 8π

cos ϕ − 1−

v 2 c

v 2 c

A primeira ordem de uma expansão está de acordo com a experiência e outras teorias; temos Λ2 P =2 cos2 ϕ.

8π Todos os problemas da ótica dos corpos em movimento podem ser resolvidos aplicando o método aqui utilizado. O essencial é efetuar a passagem da força elétrica e magnética da luz, que é influenciada por um corpo em movimento, para um sistema de coordenadas que está em repouso em relação a este último. Por isto, qualquer problema da ótica de corpos em movimento é reduzido a uma série de problemas da ótica de corpos em repouso.

§9

—

Transformação das equações de Maxwell-Hertz levando em consideração as correntes de convecção.

23

Partimos das equaçoĚ&#x192;es

â&#x2C6;&#x201A;X â&#x2C6;&#x201A;N â&#x2C6;&#x201A;M 1 ux Ď + = â&#x2C6;&#x2019; , c â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x201A;y â&#x2C6;&#x201A;z

1 â&#x2C6;&#x201A;Y â&#x2C6;&#x201A;L â&#x2C6;&#x201A;N uy Ď + = â&#x2C6;&#x2019; , c â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x201A;z â&#x2C6;&#x201A;x

â&#x2C6;&#x201A;Z â&#x2C6;&#x201A;M â&#x2C6;&#x201A;L 1 uz Ď + = â&#x2C6;&#x2019; , c â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A;y onde Ď =

1 â&#x2C6;&#x201A;L â&#x2C6;&#x201A;Y â&#x2C6;&#x201A;Z = â&#x2C6;&#x2019; , c â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x201A;z â&#x2C6;&#x201A;y 1 â&#x2C6;&#x201A;M â&#x2C6;&#x201A;Z â&#x2C6;&#x201A;X = â&#x2C6;&#x2019; , c â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A;z 1 â&#x2C6;&#x201A;N â&#x2C6;&#x201A;X â&#x2C6;&#x201A;Y = â&#x2C6;&#x2019; , c â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x201A;y â&#x2C6;&#x201A;x

â&#x2C6;&#x201A;X â&#x2C6;&#x201A;Y â&#x2C6;&#x201A;Z + + â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A;y â&#x2C6;&#x201A;z

representa 4Ď&#x20AC; vezes a densidade eleĚ trica e (ux , uy , uz ) o vetor velocidade da carga eleĚ trica. Imaginando as cargas eleĚ tricas como estando acoplados de modo invariaĚ vel a pequenos corpos rÄąĚ gidos (ÄąĚ ons, eleĚ trons), essas equaçoĚ&#x192;es formam a base eletromagneĚ tica da eletrodinaĚ&#x201A;mica e da oĚ tica dos corpos em movimento de Lorentz.

Sendo vaĚ lidas essas equaçoĚ&#x192;es no sistema K e as transformamos para o sistema k usando as equaçoĚ&#x192;es de transformaçaĚ&#x192;o dos paraĚ grafos §3 e §6, obtemos as equaçoĚ&#x192;es

â&#x2C6;&#x201A;N 0 â&#x2C6;&#x201A;M 0 1 â&#x2C6;&#x201A;L0 â&#x2C6;&#x201A;Y 0 â&#x2C6;&#x201A;Z 0 â&#x2C6;&#x201A;X 0 1 0 uΞ Ď + = â&#x2C6;&#x2019; , = â&#x2C6;&#x2019; , c â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x201E; â&#x2C6;&#x201A;Ρ â&#x2C6;&#x201A;Îś c â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x201E; â&#x2C6;&#x201A;Îś â&#x2C6;&#x201A;Ρ

1 â&#x2C6;&#x201A;Y 0 â&#x2C6;&#x201A;L0 â&#x2C6;&#x201A;N 0 1 â&#x2C6;&#x201A;M 0 â&#x2C6;&#x201A;Z 0 â&#x2C6;&#x201A;X 0 0 uΡ Ď + = â&#x2C6;&#x2019; , = â&#x2C6;&#x2019; , c â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x201E; â&#x2C6;&#x201A;Îś â&#x2C6;&#x201A;Ξ c â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x201E; â&#x2C6;&#x201A;Ξ â&#x2C6;&#x201A;Îś

1 â&#x2C6;&#x201A;Z 0 â&#x2C6;&#x201A;M 0 â&#x2C6;&#x201A;L0 1 â&#x2C6;&#x201A;N 0 â&#x2C6;&#x201A;X 0 â&#x2C6;&#x201A;Y 0 uÎś Ď 0 + = â&#x2C6;&#x2019; , = â&#x2C6;&#x2019; , c â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x201E; â&#x2C6;&#x201A;Ξ â&#x2C6;&#x201A;Ρ c â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x201E; â&#x2C6;&#x201A;Ρ â&#x2C6;&#x201A;Ξ onde uΞ

=

uΡ =

uÎś

Ď 0 =

=

â&#x2C6;&#x201A;X 0 â&#x2C6;&#x201A;Y 0 + â&#x2C6;&#x201A;Ξ â&#x2C6;&#x201A;Ρ

ux â&#x2C6;&#x2019; v ux v , 1â&#x2C6;&#x2019; 2 c uy

ux v , β 1â&#x2C6;&#x2019; 2 c uz

ux v , β 1â&#x2C6;&#x2019; 2 c

0 â&#x2C6;&#x201A;Z ux v + = β 1 â&#x2C6;&#x2019; 2 Ď . â&#x2C6;&#x201A;Îś c

Conforme deduzimos no paraĚ grafo §5 sobre o teorema da adiçaĚ&#x192;o das velocidades, o vetor (uΞ , uΡ , uÎś ) naĚ&#x192;o eĚ nada mais do que a velocidade das cargas eleĚ tricas medido no sistema k. EĚ dessa forma que demostramos que, com base em nossos princÄąĚ pios cinemaĚ ticos, o fundamento da teoria da eletrodinaĚ&#x201A;mica dos corpos em movimento de Lorentz estaĚ em conformidade com o princÄąĚ pio da relatividade.

24

De maneira breve, queremos registrar que das equações desenvolvidas podemos derivar facilmente a seguinte lei: Se um corpo carregado eletricamente, observado desde o sistema de coordenadas que se desloca junto com o corpo, se move de forma arbitrária no espaço sem alterar sua carga, então sua carga também permanecerá constante do ponto de vista do sistema K «em repouso».

§10

—

Dinâmica do elétron (acelerado lentamente).

Vejamos que em um campo eletromagnético de movimenta uma partı́cula pontual com carga elétrica ε. Chamaremos essa partı́cula de «elétron» e sobre seu movimento suporemos o seguinte: Em certo momento o elétron se encontra em repouso. Nos instantes seguintes de tempo seu movimento se desenvolve segundo as equações µ

d2 x dt2

= εX,

µ

d2 y dt2

=

µ

d2 z dt2

= εZ,

εY,

onde x, y, z representam as coordenadas do elétron e µ, sua massa (desde que o movimento seja lento).

Suponhamos agora que em certo momento o elétron adquira a velocidade v.

Queremos saber a lei que governa o movimento nesses tempos subsequentes.

Sem alterar a generalidade da nossa questão, podemos supor que o elétron se encontre, no instante em que o observamos, na origem das coordenadas para logo então se movimentar ao longo do eixo X do sistema K, cuja velocidade é v. É claro que nesse instante (t = 0) o elétron se encontra em repouso em relação ao sistema de coordenadas k que se desloca paralelamente ao longo do eixo X com a velocidade constante v.

Da suposição feita acima e do princı́pio da relatividade resulta que, desde o ponto de vista d sistema k, o elétron se move nos instantes subsequentes (quando os valores de t são pequenos) conforme às equações µ

d2 ξ dτ 2

= εX 0 ,

µ

d2 η dτ 2

= εY 0 ,

µ

d2 ζ dτ 2

= εZ 0 ,

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onde as grandezas ξ, η, ζ, τ , X 0 , Y 0 , Z 0 correspondem ao sistema k. Admitindo ainda que, para t = x = y = z = 0,

teremos

τ = ξ = η = ζ = 0,

então, as equações de transformação dadas nos parágrafos §3 e §6 são válidas de modo a termos

v τ = β t − 2x , c X 0 = X,

v Y0 =β Y − N , c

v Z0 = β Z + M . c

ξ = β (x − vt) , η = y, ζ = z,

Com ajuda destas equações podemos transformar as equações do movimento já tratadas antes para passar do sistema k para o sistema K, obtendo assim  2 ε 1 d x    = X,  2  µ β3  dt    2 d y v ε1 (A) Y − = N , 2  dt µ β c      ε1 v d2 z    = Z + M . dt2 µβ c Agora, olhando desde o ponto de vista comum, queremos saber qual é a massa «longitudinal» e «transversal» do elétron em movimento. Escrevemos a equação (A) na forma d2 x µβ 3 2 = εX = εX 0 , dt

d2 y v µβ 2 2 = εβ Y − N = εY, dt c

2 v d z µβ 2 2 = εβ Z + M = εZ; dt c 0 0 0 e notamos que εX , εY , εZ são as componentes da força ponderomotriz que atua sobre o elétron, visto desde um sistema que se move junto com o elétron e com a mesma velocidade. Esta força poderia, por exemplo, ser medido com uma balança de molas que se encontra nesse sistema. Chamando essa força de «força que atua sobre o elétron»[5] e mantendo a equação massa × aceleração = força 5

M. Planck foi o primeiro em mostrar que a força definida dessa maneira não é mais vantajoso.

É mais útil definir a força de modo que o princı́pio do impulso e da energia sejam enunciadas sob a forma mais simples.

26

e, ainda estipulando que a aceleração seja medido no sistema em repouso K, obtemos as equações já tratadas em linhas acima: µ # , v 2 3 1− c

massa longitudinal = "r

massa transversal = 1−

µ v 2 .

c Certamente, utilizando outra definições de força e aceleração, obterı́amos outros valores para as massas. Daqui vemos que devemos ter muito cuidado quando comparamos diferentes teorias concernentes ao movimento do elétron.

Uma nota importante aqui. Estes resultados concernentes à massa também são válidas para qualquer ponto material ponderável, pois se associarmos a este ponto uma carga elétrica, por muito pequeno que seja ou que queiramos, tornar-se-a um elétron (em nosso sentido).

Passemos agora a determinar a energia cinética do elétron. Se um elétron se move a partir do repouso desde a origem das coordenadas do sistema K ao longo do eixo X e sob a ação de uma Z força eletrostática X, evidentemente a energia subtraı́da do campo eletrostático é

εXdx. Como o elétron deve acelerar lentamente, não perde

energia em forma de radiação; portanto, a energia subtraı́da do campo eletrostático deve ser igual à energia cinética W do elétron. Obtemos assim, Tendo em conta que durante todo o processo de movimento que está sendo considerado, podemos aplicar a primeira das equações de (A),       Z Z v   1 3 2 r W = εXdx = β vdv = µc − 1 . v 2   0     1− c Para v = c, W cresce infinitamente. Como nos resultados anteriores, velocidades superiores à da luz não têm nenhuma possibilidade de existência.

De acordo com o argumento apresentado acima, a expressão para a energia cinética também deve ser válida para as massas ponderáveis.

Agora vamos enumerar as propriedades do movimento do elétron que derivam do sistema de equações (A) e que podem ser submetidas à experimentação.

1. Da segunda equação do sistema (A) deduzimos que uma força elétrica Y e uma força magnética N produzem a mesma deflexão no elétron em movimento v com velocidade v, caso aconteça a relação Y = N . Então, vemos que é c possı́vel determinar a velocidade do elétron a partir da relação entre a deflexão

27

magnética (força de desvio magnético) Λm e a deflexão elétrica (força de desvio elétrico) Λe , aplicando a lei v Λm = . Λe c Esta relação pode ser verificada pela experiência, já que a velocidade do elétron pode ser medido diretamente, por exemplo, através dos campos elétricos e magnéticos que oscilam rapidamente.

2. Segue da dedução da energia cinética do elétron que entre a diferença do potencial percorrida pelo elétron e sua velocidade adquirida deve existir a relação       Z  µ 2 1 r P = Xdx = c 2 − 1  . ε     1− v  c 3. Podemos calcular o raio de curvatura R da trajetória caso exista uma força magnética N (como única força de deflexão) agindo perpendicularmente à velocidade do elétron.

Da segunda das equações de (A) obtemos v2 εv d2 y = N − 2 = dt R µc ou

r 1−

v 2 c

,

v c µ 1 R = c2 N r v 2 N . ε 1− c

Essas três relações são expressões completas das leis segundo as quais, de acordo a nossa teoria, o elétron deve executar seu movimento.

Para finalizar quero dizer que enquanto eu estava trabalhando nos problemas aqui apresentados, contei com a fiel e valiosa assistência do meu amigo e colega M. Besso. Sou grato a ele pela suas muitas sugestões interessantes.

Berna, junho 1905

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