Caderno de Apoio à Aprendizagem by Vinicius Neves

Cadernos de apoio e aprendizagem

ORIENTAÇÕES

FUN

DA M

A ENT

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PROGRAMA

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O 3O A N

8 ano

8A NOS

I LI

CURRICULARES

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Prefeitura da Cidade de São Paulo

Fundação Padre Anchieta

Prefeito Gilberto Kassab

Presidente João Sayad Vice-Presidentes Ronaldo Bianchi Fernando Vieira de Mello

Secretaria Municipal de Educação Secretário Alexandre Alves Schneider Secretária Adjunta Célia Regina Guidon Falótico Diretora da Assessoria Técnica de Planejamento Fátima Elisabete Pereira Thimoteo Diretora de Orientação Técnica Regina Célia Lico Suzuki (Coordenadora Geral do Programa) Divisão de Orientação Técnica Ensino Fundamental e Médio Suzete de Souza Borelli (Diretora e Coordenadora do Programa DOT/EF) Cristhiane de Souza, Hugo Luiz Montenegro, Humberto Luis de Jesus, Ione Aparecida Cardoso Oliveira, Leika Watabe, Leila de Cássia José Mendes, Margareth Aparecida Ballesteros Buzinaro, Maria Emilia Lima, Regina Célia dos Santos Câmara, Silvia Moretti Rosa Ferrari Divisão de Orientação Técnica Educação Especial Silvana Lucena dos Santos Drago Diretores Regionais de Educação Eliane Seraphim Abrantes, Elizabeth Oliveira Dias, Hatsue Ito, Isaias Pereira de Souza, José Waldir Gregio, Leila Barbosa Oliva, Leila Portella Ferreira, Maria Angela Gianetti, Maria Antonieta Carneiro, Marcelo Rinaldi, Silvana Ribeiro de Faria, Sueli Chaves Eguchi, Waldecir Navarrete Pelissoni Equipe técnica de apoio da SME/DOT Ana Lúcia Dias Baldineti Oliveira, Ana Maria Rodrigues Jordão Massa, Claudia Aparecida Fonseca Costa, Delma Aparecida da Silva, Jarbas Mazzariello, Magda Giacchetto de Ávila, Maria Teresa Yae Kubota Ferrari, Mariana Pereira Rosa Santos, Tania Nardi de Padua, Telma de Oliveira Assessoria Pedagógica SME/DOT Célia Maria Carolino Pires, Maria José Nóbrega

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Diretoria de Educação Diretor Fernando José de Almeida Gerentes Monica Gardelli Franco Júlio Moreno Coordenadora do projeto Maria Helena Soares de Souza

Equipe de autoria Coordenação Célia Maria Carolino Pires Autores Armando Traldi Junior, Célia Maria Carolino Pires, Cíntia Aparecida Bento dos Santos, Danielle Amaral Ambrósio, Dulce Satiko Onaga, Edda Curi, Ivan Cruz Rodrigues, Janaína Pinheiro Vece, Jayme do Carmo Macedo Leme, Leika Watabe, Maria das Graças Bezerra Barreto, Norma Kerches de Oliveira Rogeri, Simone Dias da Silva, Wanderli Cunha de Lima Leitura crítica Eliane Reame, Rosa Monteiro Paulo, Walter Spinelli

Equipe Editorial Gerência editorial Carlos Seabra Secretaria editorial Janaína Chervezan da Costa Cardoso Assessoria de conteúdo Márcia Regina Savioli (Língua Portuguesa) Maria Helena Soares de Souza (Matemática) Controle de iconograﬁa Elisa Rojas Apoio administrativo Acrizia Araújo dos Santos, Ricardo Gomes, Walderci Hipólito Edição de texto Helena Meidani, Maria Carolina de Araujo Revisão Ana Luiza Saad Pereira, Marcia Menin, Maria Carolina de Araujo, Silvia Amancio de Oliveira Direção de arte Eliana Kestenbaum, Marco Irici Arte e diagramação Cristiane Pino, Cristina Izuno, Henrique Ozawa, Mariana Schmidt Ilustrações Beto Uechi, Gil Tokio, Leandro Robles – Estúdio Pingado Tom-B Antonio Robson Fernando Makita Bureau de editoração Mare Magnum Artes Gráﬁcas

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Prezado(a) professor(a), Os Cadernos de apoio e aprendizagem – Matemática, destinados aos estudantes dos nove anos do Ensino Fundamental, têm como ﬁnalidade contribuir para o trabalho docente visando à melhoria das aprendizagens dos alunos. Sua elaboração teve como critérios para seleção das atividades o alcance das expectativas de aprendizagem contidas nos documentos de Orientações curriculares e as diﬁculdades apresentadas pelos alunos na Prova São Paulo e na Prova da Cidade. Na área de Matemática, estes Cadernos foram preparados de modo a contemplar os seguintes blocos de conteúdos: espaço e forma, grandezas e medidas, números, operações, tratamento da informação. Além do material escrito, os estudantes terão acesso também a vídeos produzidos especialmente para desencadear as discussões em sala de aula – por meio de DVD inserido no Livro do Professor. Destacamos que, qualquer que seja o conteúdo abordado nos Cadernos, sua organização possibilita aos alunos usar ativamente seus conhecimentos para resolver os problemas apresentados, valorizando seus procedimentos e estratégias pessoais. É importante ressaltar que esta obra não está proposta como único recurso a ser utilizado para a aprendizagem dos estudantes. Ela deve ser complementada com atividades planejadas pelo professor, em função das características de sua turma, fazendo uso de livros didáticos e de outros materiais já publicados pela SME, disponíveis nas escolas, para trabalho com o Ensino Fundamental (Guias de planejamento e orientações didáticas – Ciclo I, Orientações curriculares e proposição de expectativas de aprendizagem do Ciclo I e das áreas de conhecimento do Ciclo II, Referenciais de expectativas para o desenvolvimento da competência leitora e escritora – Ciclo II). Para cada ano de escolaridade foram produzidas sequências de atividades para os alunos e orientações didáticas para o professor. A proposta é que estes Cadernos sejam utilizados pelos professores e pelos alunos duas vezes por semana. Esperamos que os Cadernos de apoio e aprendizagem – Matemática, com outros recursos e projetos desenvolvidos pelos professores nas Unidades Educacionais e por todos nós na SME, e, em especial, as ações de formação continuada possam colaborar para a melhoria da aprendizagem dos alunos em Matemática. Saudações,

Alexandre Alves Schneider Secretário Municipal de Educação de São Paulo

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Bibliotecária Silvia Marques CRB 8/7377) C122 Cadernos de apoio e aprendizagem: Matemática / Programa de Orientações curriculares. Livro do Professor. São Paulo: Fundação Padre Anchieta, 2010. Oitavo ano, il. (vários autores) ISBN 978-85-8028-037-1 ISBN 978-85-8028-128-9 (aluno) 1. Ensino Fundamental 2. Matemática I. Título. CDD 371.302.813

Esta obra, Cadernos de apoio e aprendizagem – Matemática e Língua Portuguesa, é uma edição que tem a Fundação Padre Anchieta como Organizadora e foi produzida com a supervisão e orientação pedagógica da Divisão de Orientação Técnica da Secretaria Municipal de Educação de São Paulo.

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Sumário Parte I 1. Apresentação

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2. Reﬂexão sobre problemas a enfrentar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3. Orientações metodológicas e didáticas gerais Problematização

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Uso de recursos didáticos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contextualização histórica e cultural

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 12 13 16

17 O trabalho com os campos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 O trabalho com as operações entre números racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 O trabalho com álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 O trabalho com espaço e forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 O trabalho com grandezas e medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 O trabalho com tratamento da informação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

4. Orientações metodológicas e didáticas especíﬁcas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30 Planejar é preciso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 Planejar de acordo com o tempo didático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 Planejar de acordo com a organização da sala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 Planejar de acordo com as diferentes modalidades organizativas . . . . . . . . . . . . . . .32 Acompanhamento e avaliação das aprendizagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 Alguns procedimentos para coletar dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

5. Os Cadernos de apoio e o planejamento do professor

Referências bibliográﬁcas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Parte II Comentários e sugestões página a página Unidade 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Unidade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Unidade 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Unidade 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Unidade 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Unidade 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Unidade 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Unidade 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

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1. Apresentação O Caderno de apoio e aprendizagem – Matemática, dirigido aos estudantes do 8o ano, é composto por oito Unidades, a serem desenvolvidas ao longo do ano letivo. Em cada uma delas são propostas atividades relacionadas a um grupo de expectativas de aprendizagem, retiradas das Orientações curriculares e proposição de expectativas de aprendizagem (da PMSP, Secretaria Municipal de Educação, 2007), articulando diferentes eixos de conteúdos – números, operações, espaço e forma, grandezas e medidas, tratamento da informação – que orientarão o planejamento das aulas. Buscando apoiar o trabalho do professor, este material leva em conta o fato de que sua tarefa tornou-se muito mais complexa do que a de simplesmente transmitir informações, pois é necessário elaborar boas situações de aprendizagem que mobilizem conhecimentos prévios de cada estudante e que lhe permitam construir novos signiﬁcados, novas aprendizagens e socializá-los com os colegas e com o professor. Tal complexidade gerou a propagação de ideias simplistas que ocasionam distorções a respeito do papel do ensino. O que se pretende não é que as atividades aqui propostas sejam “aplicadas mecanicamente”, e sim que provoquem discussões entre os professores sobre as expectativas de aprendizagem para os alunos e as hipóteses e pressupostos considerados em cada uma delas para que sejam enriquecidas e ajustadas a cada turma. Destaca-se a importância do uso de outros recursos disponíveis – livros didáticos, paradidáticos, vídeos, softwares, jogos – que o professor julgue interessantes para ampliar a aprendizagem de seus alunos. Da mesma forma, é fundamental que a Matemática seja compreendida por eles e que não lhes traga medo ou insegurança, cabendo ao professor criar um ambiente favorável para a aprendizagem, cuidando sempre para

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que tenham conﬁança na elaboração de estratégias pessoais diante de situações-problema, assim como interesse e curiosidade por conhecer outras, aprendendo a trocar experiências com seus pares e a cuidar da organização na elaboração e apresentação dos trabalhos.

2. Reflexão sobre problemas a enfrentar Para Pires e Santos (2008), ainda existem (e são fortes) alguns mitos e crenças como o de que Matemática é algo para quem tem dom, para quem é geneticamente dotado de determinadas qualidades, ou o de que é preciso ter certo capital cultural para transitar no universo matemático. Essas crenças se contrapõem às propostas que defendem que todos os alunos podem fazer Matemática em sala de aula, que são capazes de construí-la, produzi-la, engajando-se no processo de produção de seus conhecimentos matemáticos. É frequente também a crença de que os estudantes só podem resolver problemas que conhecem, que já viram resolvidos e que podem tomar como modelo. Tal convicção dificulta a aceitação de que o ponto de partida da atividade matemática não deve ser uma definição, mas um problema. Esse, certamente, não é um exercício em que se aplica de maneira quase mecânica uma fórmula ou um processo operatório, pois só há problema, no sentido estrito do termo, se o aluno é obrigado a trabalhar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada. Segundo os mesmos autores, além desses mitos e crenças, muitas deformações na prática docente foram se consolidando por influência de visões deturpadas das próprias teorias educacionais. Uma ideia bastante comum é a de que, em uma perspectiva construtivista, o percurso de aprendizagem deve ser ditado unicamente por interesses dos alunos, sem definições prévias de objetivos e conteúdos. Construiu-se certa aversão ao planejamento de uma trajetória de aprendizagem a

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ser realizada pelos estudantes, o que leva à improvisação e à não aprendizagem. Pires e Santos (2008) destacam também como inadequada a noção de que contextualizar envolve apenas mostrar as aplicações dos conhecimentos matemáticos no cotidiano e não que os alunos possam atribuir significado às ideias matemáticas em diferentes contextos; além disso, pouco se discute que há momentos de descontextualização, fundamentais para a construção de conhecimentos que poderão ser usados em novos contextos. Existe, ainda, certo receio no que se refere à institucionalização e sistematização dos conhecimentos; deve-se refletir sobre o fato de que, à medida que as ideias e procedimentos matemáticos vão sendo construídos pelos alunos, é fundamental que o professor os ajude a organizá-los, a nomear, a definir, a formular e, também, a exercitar. Finalmente, os autores enfatizam as muitas concepções de que, em geral, o simples uso de “materiais concretos”, como jogos, softwares, entre outros, resolve, por si só, os problemas de aprendizagem dos alunos; esses recursos podem, sem dúvida, apresentar boas situações de aprendizagem, mas tudo depende de como elas são propostas e da intervenção planejada pelo professor. Tal perspectiva traz implicações para a atuação do educador e, consequentemente, a necessidade de que ele se aproprie de conhecimentos relativos aos conteúdos matemáticos, conhecimentos didático-pedagógicos e curriculares. Essa pretende ser uma das contribuições dos Cadernos de apoio e aprendizagem.

3. Orientações metodológicas e didáticas gerais As atividades deste material seguem os pressupostos abaixo explicitados. São eles:  Exploração de uma diversidade de conteúdos, abordando, de maneira equilibrada e articulada, números e operações,

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espaço e forma, grandezas e medidas, além do tratamento da informação, que aparece de modo transversal.  Apresentação contextualizada dos conhecimentos matemáticos, com base nos problemas encontrados no cotidiano do aluno, nas demais áreas de conhecimento e no interior da própria Matemática, ressaltando que as ideias matemáticas sejam sistematizadas e generalizadas para serem transferidas para outros contextos.  Uso de diversos recursos didáticos disponíveis – jogos, materiais manipuláveis, vídeos, calculadoras, computadores, jornais, revistas – deve ser amplamente explorado a serviço da aprendizagem.  A aprendizagem dos estudantes precisa ser acompanhada continuamente, sendo sempre orientada pelas expectativas de aprendizagem que se deseja construir. São eixos metodológicos privilegiados para o ensino de Matemática: a resolução de problemas, as investigações, o recurso à história da Matemática e às novas tecnologias.

Problematização A problematização deve orientar o trabalho do professor, por isso precisa estar sempre inserida no processo de aprendizagem dos estudantes, que serão levados a desenvolver algum tipo de estratégia para resolver as situações apresentadas. Um problema não é traduzido por um enunciado contendo uma pergunta a ser respondida de uma única maneira; é uma situação que demanda a realização de ações ou operações para obter um resultado. Desse modo, a solução não está disponível de início, mas será possível construí-la. A discussão de procedimentos para a resolução de problemas, desde a leitura e análise cuidadosa da situação, até a elaboração de procedimentos que envolvem simulações, tentativas, hipóteses, é fundamental, especialmente quando os estudantes são orientados para comparar seus resul-

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tados com os de colegas e para validar seus procedimentos e resultados. O problema se caracteriza quando é necessário que o aluno interprete o enunciado da questão proposta, estruture a situação apresentada, encontre uma solução e veriﬁque se ela é adequada/correta, ou não. É preciso, portanto, que ele desenvolva habilidades que lhe permitam provar os resultados, testar seus efeitos e comparar diferentes caminhos para obter a solução. Nessa forma de trabalho, a importância da resposta correta cede lugar à importância do processo de resolução e da construção de argumentos matemáticos por parte dos estudantes. O fato de o aluno ser orientado para questionar a própria resposta, questionar o problema, transformar um dado problema em uma fonte de novos problemas, formular outros com base em determinadas informações e analisar problemas abertos – que admitem diferentes respostas em função de certas condições – evidencia uma concepção de ensino e aprendizagem não pela mera reprodução de conhecimentos, mas pela via da ação reﬂetida. Com tais características, a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem. Trata-se de uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se podem construir conceitos, procedimentos e argumentos que ampliem o conhecimento matemático.

Uso de recursos didáticos Uma das propostas de maior consenso na atualidade, entre educadores, é a de que o ensino de Matemática possa aproveitar, ao máximo, os recursos didáticos e tecnológicos disponíveis, para enriquecer o trabalho do professor e potencializar as aprendizagens dos estudantes. Nos últimos anos, a utilização de múltiplos recursos vem sendo implementada pelos professores. Um exemplo é o trabalho

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com a leitura de notícias de jornais e revistas e com livros paradidáticos, que proporcionam contextos signiﬁcativos para a construção de ideias matemáticas e complementam o que foi produzido com o livro didático. Outro exemplo é o uso de calculadoras e computadores que, necessariamente, devem estar presentes nas salas de aula das novas gerações, tanto por sua ampla utilização pela sociedade como para melhorar a linguagem expressiva e comunicativa dos alunos. É interessante destacar que as experiências escolares com o computador também têm mostrado que seu uso efetivo pode levar ao estabelecimento de uma nova relação professor-estudante, marcada por maior proximidade, interação e colaboração. As pesquisas na internet permitem aos estudantes ter informações sobre a história e sobre as personagens da Matemática e revelam que foram uma criação coletiva humana. Eles aprendem que foram necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diversos momentos históricos, que impulsionaram o desenvolvimento dessa área de conhecimento. Quanto ao uso da calculadora, constata-se que é um recurso útil para proposição de problemas, veriﬁcação de resultados e correção de erros, podendo ser um valioso instrumento de autoavaliação. Favorece ainda a busca e a percepção de regularidades matemáticas e o desenvolvimento de estratégias de resolução de situações-problema, pois estimula a descoberta de estratégias e a investigação de hipóteses, uma vez que os alunos ganham tempo na execução dos cálculos. Além disso, ela possibilita trabalhar com valores da vida cotidiana, em que cálculos são mais complexos, como conferir os rendimentos na caderneta de poupança. No mundo atual, saber fazer cálculos com lápis e papel é uma competência de importância relativa, que deve conviver com outras modalidades de cálculo, como o cálculo mental e o produzido pelas calculadoras e as estimativas, portanto, não se podem privar os estudantes de um conhecimento de uso social.

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Outros recursos utilizados em Matemática são aqueles que funcionam como ferramentas de visualização, ou seja, como imagens que por si mesmas possibilitam a compreensão ou a demonstração de uma relação, regularidade ou propriedade. Um exemplo bastante conhecido é a representação do teorema de Pitágoras, mediante figuras que permitem “ver” a relação entre o quadrado da hipotenusa e a soma dos quadrados dos catetos. A visualização e a leitura de informações gráficas em Matemática são aspectos importantes, pois auxiliam a compreensão de conceitos e o desenvolvimento de capacidades de expressão gráficas. O Caderno de apoio e aprendizagem do 8o ano do Ciclo II está acompanhado por um DVD com dois vídeos: Liquidações e promoções – olho aberto e Jogos e números. O primeiro vídeo, Liquidações e promoções – olho aberto, envolve aplicações da ideia de juros, descontos e acréscimos, compras à vista e a prazo etc., tão presentes em nosso dia a dia. No vídeo, dois jovens entrevistam um economista que explica as vantagens e desvantagens de determinados procedimentos no ato das compras. A exploração do vídeo pode ser proposta durante o trabalho da Unidade 4, antes de iniciar a resolução dos problemas sobre cálculo de juros, descontos e acréscimos. Ele mostra que é importante o aluno aprender a calcular e a resolver situações com juros e cálculos de porcentagens, para poder “ficar de olho aberto”, quando se deparar com situações semelhantes às da história. Pode-se, também, orientar os alunos para que tragam panfletos de propaganda para analisar em grupo as situações ilustradas e calcular os juros embutidos. Durante a exibição do vídeo, os estudantes devem anotar as informações que o entrevistado dá sobre promoção e des-

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conto para, posteriormente, checar ou conferir os cálculos e avaliar as propostas de vendas apresentadas. O segundo vídeo, Jogos e números, trata de conteúdos relacionados ao bloco temático tratamento da informação. Ele mostra jovens que estão jogando e analisando as chances de ocorrência de um evento. O vídeo pode ser exibido durante as atividades da Unidade 8, quando o assunto probabilidade está em pauta. É interessante explorá-lo ao iniciar o tema, desencadeando reﬂexões e questionamentos do grupo. Ao preparar a proposta para o uso dos vídeos, é fundamental que o professor planeje e organize momentos de interrupção e de problematizações para que os alunos resolvam as questões apresentadas e socializem suas estratégias. Assim, o grupo vai ampliando o conhecimento sobre os temas matemáticos presentes nos vídeos.

Contextualização histórica e cultural Ao estudar as contribuições matemáticas de algumas culturas antigas, o aluno compreenderá que o avanço tecnológico de hoje não seria possível sem a herança cultural de gerações passadas. Embora a recomendação seja bastante óbvia, vale a pena ressaltar que, ao abordar aspectos históricos, não se tem como objetivo colocar a ênfase em fatos, datas e nomes e, muito menos, que eles sejam memorizados pelos estudantes e cobrados em avaliações. Fatos, datas e nomes aparecem nos textos para contextualizar o próprio processo de construção histórica das ideias e conceitos matemáticos. Também os jogos que fazem parte da cultura infantil e juvenil podem contribuir para um trabalho de formação de atitudes – enfrentar desaﬁos, lançar-se à busca de soluções, desenvolver a crítica, a intuição, a criação de estratégias e a possibilidade de alterá-las quando o resultado não for satisfatório –, necessárias para a aprendizagem da Matemática.

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Além disso, na situação de jogo, muitas vezes, o critério de certo ou errado é decidido pelo grupo. Assim, a prática do debate possibilita o exercício da argumentação e a organização do pensamento.

4. Orientações metodológicas e didáticas especíﬁcas O trabalho com os campos numéricos No 8o ano são propostas atividades que permitem ampliar e relacionar os diferentes campos numéricos, o reconhecimento de relações de pertinência (entre um número e um conjunto numérico) e de inclusão (entre conjuntos numéricos) e evidenciam que a linguagem matemática é uma importante ferramenta de comunicação. É também enfatizada a localização de diferentes números na reta numérica, ao associar ponto referencial como “origem” da contagem das distâncias. Há ainda atividades que tratam da noção de sentido, quando são dados uma direção e um referencial, que ampliam a ideia de oposto (simétrico ou inverso aditivo) envolvendo os números racionais. A partir da Unidade 5, as atividades relacionadas aos campos numéricos têm por objetivo dar continuidade ao trabalho com o conjunto dos números racionais como ampliação do conjunto dos números inteiros, principalmente com a exploração de propriedades das desigualdades e seu uso em resoluções de situações-problema. As representações geométricas dos números racionais constituem elementos fundamentais para a compreensão das desigualdades e, consequentemente, do signiﬁcado de uma inequação do 1o grau. Para isso, é importante que os alunos realizem experiências envolvendo desigualdades numéricas por meio da reta numéri-

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ca e analisem o que acontece com o sentido de uma desigualdade, quando se acrescenta ou se retira a mesma quantidade ou quando se multiplica ou se divide a mesma quantidade dos dois membros. Essas experiências subsidiarão as atividades com as inequações do 1o grau, presentes na Unidade 8, que devem ser realizadas por meio de situações-problema e da articulação com as equações, exploradas na Unidade 4. É indispensável a interpretação geométrica de suas soluções. Além desse trabalho, que envolve relação de ordem entre os números racionais e suas representações geométricas, no Caderno de apoio do 8o ano, aparece a interpretação de número racional como índice comparativo entre duas quantidades ou grandezas, isto é, como razão. Por exemplo, quando se menciona que dos 120 funcionários de uma indústria dos funcionários 6 nasceram na Bahia e se conclui que são baianos. Na Unidade 7, a probabilidade é explorada em diversas situações, como, por exemplo, a chance de jogar dois dados e a soma dos pontos de suas faces superiores serem iguais a 7 é de , ou . Nessa mesma Unidade existem situações que envolvem escalas em plantas e mapas, velocidade, densidade da água e do ferro, densidade demográﬁca. É fundamental também a exploração da porcentagem, que vem sendo abordada desde o início do ano.

O trabalho com as operações entre números racionais No 8o ano, as atividades relacionadas às operações trabalham com análise, interpretação, formulação e resolução de situações-problema, para a compreensão dos diferentes signiﬁcados das operações com números naturais, inteiros e racionais.

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As situações-problema apresentadas, além de terem como objetivos a exploração e a socialização de diferentes estratégias de resolução, possibilitam o trabalho com o cálculo escrito, que favorece a compreensão dos algoritmos e das propriedades. Focalizam, também, estimativas, que permitem estabelecer previsões e tomadas de decisões e o uso da calculadora para validar resultados e, principalmente, desencadear processos investigativos com análise de propriedades e generalizações. Nas Unidades 2 e 4 são propostas situações-problema em que os alunos identificam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, reconhecem as que não são diretamente nem inversamente proporcionais e utilizam estratégias pessoais para sua resolução. Na Unidade 4, a regra de três é proposta e analisada como uma das ferramentas para a resolução de problemas envolvendo variação de grandezas. As operações entre números racionais estão presentes em situações envolvendo desigualdades numéricas (inequações do 1o grau), nas questões sobre frequências absolutas e relativas, no cálculo de descontos e de acréscimos (juros simples) e nas situações-problema que envolvem raciocínio combinatório e probabilístico. Ao resolverem as inequações, presentes na Unidade 8, os estudantes podem perceber que, ao contrário do que ocorre com uma sequência de números naturais, que permite identificar sucessor e antecessor, para os números racionais isso não faz sentido, uma vez que entre dois números racionais quaisquer é sempre possível encontrar outro racional. É fundamental que essas reflexões façam parte do trabalho de sala de aula, e as representações geométricas são imprescindíveis para isso. As atividades com os triângulos mágicos, presentes na Unidade 8, possibilitam aos alunos a resolução de situações por ensaio e erro e, pela socialização das respostas, inferir resultados gerais por meio da indução. Além dos triângulos mági-

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cos, é interessante propor outras situações, como a montagem de quadrados mágicos 3 × 3:  formados pelos algarismos de 1 a 9, com soma nas diagonais, linhas e colunas iguais a 15;  formados pelos algarismos de 0 a 8, com soma 12. Essas propostas costumam aparecer em referências bibliográficas, mas em geral não trazem o aprofundamento de análise contido na Unidade 8. Algumas regularidades presentes no quadrado mágico 3 × 3: quando a soma é ímpar como 15, por exemplo, nas quadrículas da coluna e da linha do meio estão localizados algarismos ímpares e na quadrícula central aparece a terça parte de 15. No quadrado mágico estão os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sendo 5 o elemento central dessa sequência, com quatro números anteriores a ele e quatro posteriores. O uso da calculadora é fundamental nesse processo, pois é uma ferramenta que faz parte de nosso cotidiano, como recurso de cálculo bastante eficaz. Ela deve ser utilizada nas aulas de Matemática, para que os estudantes aprendam a explorá-la da forma mais competente possível, não para substituir outras formas de cálculo como o mental, o escrito, o estimado, mas em situações em que seu uso se justifica, principalmente, como instrumento de realização de tarefas exploratórias e de investigação.

O trabalho com álgebra É fundamental propor, no 8o ano, situações que levem os alunos a construir noções algébricas pela observação de regularidades em sequências geométricas e tabelas, estabelecendo relações entre seus elementos. Por essa razão, são propostas, na Unidade 3, muitas atividades exploratórias e investigativas que lhes permitem produzir e interpretar escritas algébricas em situações que envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações numéricas e padrões.

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Essas atividades possibilitam o contato com os diferentes significados da álgebra: resolução de problemas, variação de grandezas e generalização da aritmética. Propõe-se, na Unidade 3, um trabalho inicial com uma sequência didática cujo objetivo é fazer com que os estudantes investiguem padrões em sucessões numéricas e geométricas, identifiquem suas estruturas e construam a linguagem algébrica para descrevê-los simbolicamente. Isso é mostrado no exemplo em que se questionam quais serão as próximas figuras se se continuar a desenhá-las seguindo a mesma regra, ou qual expressão se usaria para identificar o número de quadradinhos pintados em uma posição qualquer da sequência ou da tabela.

Posição

Quadradinhos

Com atividades como essas, os estudantes terão oportunidade de trabalhar com os diferentes usos da álgebra, em especial na generalização de padrões, o que vai possibilitar a exploração da noção de função. A construção dessas generalizações e de suas respectivas representações favorece o aprendizado das primeiras noções de álgebra. Na Unidade 3 também são propostas situações que permitem identiﬁcar e generalizar propriedades das operações aritméticas e estabelecer algumas fórmulas. Nessa dimensão, a letra simplesmente substitui um valor numérico como no exemplo: a

a×b

(a × b)2

a2 × b 2

4 × 9 = 36

–2

–10

100

25 × 4 = 100

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Nesse caso, os estudantes comparam os resultados das expressões (a × b)2 e a2 × b2, testam-nas com outros valores para conferir se a ideia continua sendo verdadeira e estabelecem relações numéricas importantes. Com essa atividade, também é possível saber se os alunos compreendem e preenchem corretamente as tabelas propostas e discutem a validade ou não de algumas propriedades da potenciação, como, por exemplo, verificar se: (a + b)2 = a2 + b2 e (a × b)2 = a2 × b2. Esse tipo de atividade possibilita que os alunos construam procedimentos para calcular o valor numérico e efetuem operações com expressões algébricas, utilizando as propriedades conhecidas, em situações-problema. Nas Unidades 3 e 4 são propostas situações que permitem a compreensão e a distinção entre os significados dos termos variável e incógnita. Por intermédio da discussão e da análise de estratégias de resolução de situações-problema surgem a noção de equação de 1o grau e o significado da raiz de uma equação. Para iniciar o estudo de resolução de equações de 1o grau são sugeridas atividades com ênfase nas propriedades da igualdade, por meio de propostas envolvendo balanças e a ideia de equilíbrio. Se necessário, é preciso providenciar uma balança de dois pratos para mostrar como ela funciona e comparar essa situação com uma equação matemática. Existem ainda propostas envolvendo a tradução de uma situação-problema em linguagem algébrica, usando equações e a formulação de problemas com base em dada equação do 1o grau. O caminho inverso também é utilizado por meio de situações em que os estudantes inventam problemas cuja resolução é dada por determinada equação. O professor precisa insistir para que os alunos compreendam com clareza o que significa resolver uma equação, possam

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fazer isso por meio de estratégias pessoais e valorizem a necessidade de validar o resultado obtido. As atividades destacam que as equações permitem solucionar problemas numéricos, métricos e geométricos, mostrando a inter-relação entre os diversos eixos temáticos da Matemática. No desenvolvimento de temas referentes a medidas e espaço e forma, com o cálculo de áreas de figuras planas, os alunos terão oportunidades de identificar regularidades, fazer generalizações, aprimorar a linguagem algébrica e estabelecer fórmulas (Unidade 6); por exemplo, ao determinar áreas de regiões limitadas por paralelogramos, losangos ou trapézios por meio de composições e decomposições de figuras planas. Eles também poderão construir procedimentos que levem à obtenção das fórmulas para calcular o número de diagonais ou determinar a soma dos ângulos internos de um polígono. Nessas situações, ao estabelecer fórmulas, é que aparece a álgebra como o estudo de relações entre grandezas. A partir da Unidade 5, é retomado o trabalho com a concepção de álgebra como o estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas, ao propor atividades com sistemas de equações do 1o grau e inequações. Operações e propriedades envolvendo expressões algébricas podem ser reconhecidas por meio da articulação entre a álgebra e as noções geométricas, quando os alunos calculam a área de determinadas regiões retangulares, com uma das dimensões desconhecidas, e discutem formas distintas para esse cálculo. A utilização desses recursos permite que se atribuam significados às expressões. No entanto, a interpretação geométrica dos cálculos algébricos é limitada, pois nem sempre se consegue um modelo geométrico simples para explicá-lo. Assim, “visualizações” desse tipo podem ser interessantes em alguns

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momentos, dependendo do contexto da situação-problema, mas o trabalho não pode apoiar-se exclusivamente nelas. É interessante que os alunos explorem outras situações em que possam substituir x por alguns números, incluindo os negativos e não inteiros. No trabalho com as operações entre polinômios, presente na Unidade 8, é interessante ressaltar as contribuições das operações entre números naturais e seus algoritmos, além das representações geométricas, no caso da multiplicação. A analogia com as propriedades numéricas, vistas anteriormente, auxilia na compreensão de propriedades das operações entre polinômios, que passam a fazer sentido para os alunos, pois aparecem como generalização de propriedades dos números, que possuem uma ênfase grande em anos anteriores. Por exemplo, para calcular (a + b) ∙ (a + b), podemos, inicialmente, trabalhar comparando com situações numéricas na forma de algoritmo. Depois de explorarmos essas relações com os algoritmos das operações entre números naturais concomitantemente com as representações geométricas, podemos introduzir “regras” para cálculo de produtos notáveis.

O trabalho com espaço e forma Na Unidade 2 deste volume, o trabalho com as figuras tridimensionais é ampliado com o estudo das diferentes vistas (lateral, frontal e superior) de figuras tridimensionais e o reconhecimento de figuras formadas por essas vistas. As atividades em que os estudantes têm de representar uma figura geométrica ou suas vistas por meio de um desenho (Unidade 2) possibilitam estabelecer uma relação entre a imagem mental da figura e suas propriedades, pois o desenho deve ser compatível com essa imagem. A representação de diferentes vistas de um objeto contribui para a resolução de situações-problema que abordam locali-

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zação e movimentação no espaço, já que suscitam mudanças de posição do observador ao identificá-las. Outros aspectos importantes no trabalho com espaço e forma no 8o ano são as atividades que tratam de seções planas em figuras tridimensionais (Unidade 2), com a análise das figuras obtidas e o estudo da posição relativa de duas arestas (paralelas, perpendiculares, reversas). Com relação às figuras planas, as atividades sugerem explorar propriedades referentes às alturas e medianas de um triângulo. O uso de instrumentos como régua, compasso, esquadro e transferidor é ampliado na Unidade 4, por meio da resolução de situações-problema que envolvem a obtenção da mediatriz. A Unidade 6 retoma e aprofunda o trabalho com transformações planas exploradas em anos anteriores: reflexão em uma reta (simetria axial), translação e rotação, destacando que a figura transformada mantém as mesmas características da figura original – medidas de lados e de ângulos, além de outras propriedades. São as chamadas isometrias. Um aspecto explorado quando se compõem duas reflexões em retas paralelas é o fato de a figura resultante ser uma translação da primeira figura. Já quando se compõem duas reflexões em retas concorrentes, a figura resultante é uma rotação da primeira figura. Para abordarmos o tema, optamos por trabalhar as transformações em malhas pontilhadas para que os alunos percebam as propriedades citadas acima e também a congruência de figuras planas. As propriedades decorrentes das reflexões, translações e rotações são ferramentas fundamentais não só na Matemática como também nas artes plásticas, na decoração e na arquitetura. É importante que os estudantes verifiquem que, nessas transformações ou isometrias, há apenas mudanças de posições, não há mudanças nem da forma nem do tamanho.

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As situações que sugerem comparação entre duas figuras, presentes na Unidade 6, em que a segunda é resultante da reflexão da primeira (ou da translação ou da rotação), possibilitam que os alunos descubram o que permanece invariante e o que muda. Tais atividades podem partir da observação e identificação dessas transformações em tapeçarias, vasos, cerâmicas, azulejos, pisos e outros objetos. O estudo das transformações isométricas auxilia na construção da noção de congruência. As transformações que conservam propriedades métricas podem ajudar a desenvolver o conceito de congruência de figuras planas e a compreender as propriedades destas. Em caso particular, dois polígonos são congruentes quando os ângulos e os lados correspondentes são também congruentes. Os casos de congruência de triângulos, presentes na Unidade 8, podem ser analisados experimentalmente, por meio da construção de triângulos com régua, compasso e transferidor, com a reflexão sobre a questão: é necessário conhecer as medidas antecipadamente de todos os três pares de lados correspondentes e de ângulos correspondentes de dois triângulos para afirmar que eles são congruentes? Essa pergunta pode ser respondida ao se analisarem os casos de congruência. Outras noções importantes abordadas neste volume estão relacionadas ao cálculo do número de diagonais e da soma dos ângulos internos de um polígono e às regularidades entre o número de lados de um polígono e o de suas diagonais. Igualmente importante é a relação entre a soma dos ângulos internos de um triângulo e a quantidade de regiões triangulares em que podem ser decompostas as regiões internas dos polígonos. A identificação dos ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal também é tema deste ano.

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O trabalho com grandezas e medidas Na Unidade 2, ao trabalhar com situações-problema sobre variação de grandezas, abordam-se relações entre grandezas, tais como velocidade, tempo, distância. As atividades de medidas de grandezas diversas, por meio de estimativas e aproximações, permitem aos estudantes tomar decisão quanto a resultados razoáveis dependendo da situação-problema. As conversões entre unidades estão articuladas com as situações-problema que sejam significativas e envolvam unidades de medida adequadas à situação proposta. Na Unidade 7, as atividades com cálculo da área de figuras planas retomam conhecimentos prévios que supostamente os alunos tenham sobre as características dessas figuras e, em especial, sobre composição e decomposição de figuras. Nas atividades propostas, são convidados a determinar a área com o uso de fórmulas identificadas pelo grupo. É importante observar que, ao propor aos alunos que determinem uma forma de calcular a área de uma região limitada pelo trapézio, por exemplo, pode-se compor uma nova figura e solicitar que identifiquem a área de uma região limitada por um paralelogramo. A partir daí, estabelecem-se relações entre os domínios matemáticos: álgebra, espaço e forma e grandezas e medidas. Ao trabalhar com áreas de figuras planas, é interessante conversar com os alunos sobre o que entendem por área e superfície. O professor deve orientá-los para pesquisar esses termos no dicionário e explicar-lhes que área é a medida de uma superfície e que no 8o ano são estudadas as superfícies limitadas por um polígono ou por uma curva fechada simples. São propostas atividades em que os alunos trabalham, inicialmente, com áreas de superfícies tendo como referência malhas quadriculadas e/ou pontilhadas, para que possam

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explorar o cálculo de área com medidas não padronizadas e, posteriormente, com medidas padronizadas. Na Unidade 7, espera-se também que os alunos resolvam situações-problema que envolvem o cálculo de medidas de ângulos entre retas paralelas cortadas por transversais. As atividades com medidas são desenvolvidas estabelecendo relações com a proporcionalidade, os conceitos geométricos, os trabalhos numéricos e as representações gráﬁcas, vinculando, assim, medidas com números, com espaço e forma e com tratamento da informação, para que o trabalho com esses quatro eixos ocorra de modo concomitante.

O trabalho com tratamento da informação Nas Unidades 1 e 2, as atividades relacionadas ao bloco temático tratamento da informação dão ênfase à interpretação e à construção de gráficos de setores, sugerindo o uso da planilha Excel, que se constitui, atualmente, em recurso útil e facilitador. Ela permite que o foco das atividades esteja na organização dos dados e em sua análise. Utiliza-se, também, a produção de textos para descrever resultados e análises de gráficos e tabelas, ressaltando-se suas características reflexivas. Assuntos sobre saúde, alimentação, moradia, esportes, educação, pesquisas de opinião, entre outros despertam o interesse dos estudantes por questões sociais. Eles também são contextos significativos para a aprendizagem dos conceitos e procedimentos matemáticos referentes ao tratamento da informação. O estudo desses conteúdos possibilita o desenvolvimento de formas particulares de pensamento e raciocínio que permitem resolver determinadas situações-problema nas quais é necessário coletar, organizar e apresentar dados, interpretar e comunicar resultados por meio da linguagem estatística. O estudo de gráficos e tabelas favorece o aperfeiçoamento de atitudes como posicionar-se criticamente, prever e tomar

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decisões perante informações veiculadas pela mídia, ou por outras fontes. A Unidade 7 amplia o trabalho com porcentagem relacionando-a ao conceito de frequência relativa, ou seja, a incidência de um “acontecimento” em relação ao total de acontecimentos. O estudo da probabilidade tem por objetivo permitir que os alunos percebam que, por meio de experimentos e simulações, podemos destacar a possibilidade de ocorrência de determinado evento e compará-la com a probabilidade prevista por um modelo matemático. Mas, para isso, é necessária uma repetição significativa do experimento, que poderá dar indícios de uma aproximação do resultado da experimentação ao modelo matemático. Com a repetição continuada desses experimentos, sob as mesmas condições, é possível, em alguns casos, perceber algum tipo de regularidade nos resultados que vão surgindo. Essa percepção nos permite, então, estudá-los, apesar da incerteza inerente a esses experimentos, por meio de uma medida chamada probabilidade de ocorrência de um resultado. Experimentos que, ao serem realizados repetidas vezes nas mesmas condições, apresentarem resultados cuja ocorrência não se pode afirmar com certeza são denominados experimentos aleatórios. São propostas atividades em que os alunos constroem espaços amostrais com o uso de simulações, do princípio multiplicativo e da indicação da probabilidade de um evento por meio de uma razão. Ao iniciar o trabalho, pode-se analisar com o grupo o significado das palavras “possibilidades”, “chance” e “probabilidade”. O professsor deve verificar se os alunos sabem dizer qual é a chance, por exemplo, de alguém ganhar em um jogo de loteria. Durante as atividades é fundamental analisar a diferença entre os significados de possibilidades e probabilidades

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para compreender o papel da “árvore das possibilidades” na resolução de problemas que envolvem probabilidade.

5. Os Cadernos de apoio e o planejamento do professor Planejar é preciso Uma das características dos Cadernos de apoio e aprendizagem é a explicitação da relação entre as diferentes atividades e as expectativas de aprendizagem que se pretende alcançar. Essa explicitação é fundamental para que o professor, sabendo aonde quer chegar, planeje o desenvolvimento de cada atividade ou sequência de atividades, buscando coerência entre o que deseja atingir e o que de fato acontece na sala de aula, introduzindo ajustes necessários. O planejamento deve ser sempre ﬂexível, o que não se confunde com improvisações ou falta de organização. É preciso levar em conta as possibilidades de aprendizagem dos estudantes, seus conhecimentos prévios e suas hipóteses sobre os conceitos e procedimentos estudados, bem como as estratégias pessoais. Apenas tendo clareza sobre as expectativas de aprendizagem o professor pode reorientar as atividades sem perder aspectos importantes como a continuidade e o progresso na construção dos conhecimentos. O planejamento faz parte de todo o desenvolvimento das atividades propostas e inclui a elaboração de outras que surgirão em decorrência das necessidades especíﬁcas de aprendizagem dos alunos e de seus interesses. O professor pode enriquecer seu planejamento discutindo com seus pares, em um processo colaborativo de troca de saberes e de experiências.

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Planejar de acordo com o tempo didático A organização do trabalho permite usar melhor o tempo didático e oferecer situações signiﬁcativas que favoreçam a aprendizagem. Por isso, é importante ressaltar que organizar a rotina implica tomar decisões acerca do uso inteligente do tempo de aprendizagem, o que é diferente da distribuição simples e despretensiosa das atividades em determinado período. A organização do tempo é necessária para a aprendizagem não só dos alunos, mas também do professor, especialmente no que se refere à gestão de sala de aula. Essa é uma aprendizagem constante, pois, a cada nova turma, novos desaﬁos são colocados. O que o professor aprendeu sobre gestão de sala de aula com um grupo de estudantes nem sempre é transferível para outro. O tempo dedicado às aulas de Matemática deve ser observado de forma criteriosa. A organização desse trabalho exige levar em conta a natureza das atividades e pensar em tempos maiores (como aulas duplas) para ocasiões em que estão previstas sequências de atividades mais longas, por exemplo. Outro aspecto importante é o planejamento do uso do Caderno e de outros materiais ao longo de uma semana. No 8o ano, é aconselhável que a rotina semanal contemple algumas situações didáticas permanentes e de sistematização, que podem ser desenvolvidas por meio das atividades sequenciais propostas no Caderno de apoio. O intuito é que o uso do material seja articulado ao planejamento e à rotina do professor.

Planejar de acordo com a organização da sala Outro aspecto importante do planejamento do professor diz respeito à organização da classe para o desenvolvimento de cada atividade: diversiﬁcar agrupamentos em duplas, trios,

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realizar trabalhos individuais. Sabe-se da potencialidade das atividades em grupo pela interação que promovem entre os estudantes, que podem aprender uns com os outros, mas é necessário que o professor acompanhe o trabalho de cada agrupamento levando os alunos a expor suas conclusões e a tomar decisões e dando informações/explicações que julgar necessárias. No entanto, em alguns momentos também é importante a realização de atividades individuais para que se analise a autonomia de cada estudante, sua iniciativa para resolver problemas.

Planejar de acordo com as diferentes modalidades organizativas Ainda sobre o planejamento para uso do Caderno, é importante que o professor se organize para explorar várias modalidades organizativas. As sequências de atividades de cada Unidade são um conjunto articulado de situações de aprendizagem, com objetivos e conteúdos bem definidos, que incluem problemas e exercícios orais e escritos, uso de jogos, de materiais, entre outras propostas para as quais é preciso definir os modos de realização. Também é fundamental planejar atividades permanentes, ou seja, aquelas que se repetem de forma sistemática. Elas possibilitam o contato intenso com um tipo específico de atividade em cada ano da escolaridade e são particularmente apropriadas para comunicar certos aspectos atitudinais em relação à Matemática. As atividades permanentes são, ainda, adequadas para cumprir outro objetivo didático: o de favorecer a aproximação dos estudantes com textos que não leriam por si mesmos ou com a resolução de problemas do dia a dia que podem ser trazidos, a princípio, pelo professor e, depois, pelos próprios alunos. As atividades de cálculo mental certamente podem ser incluídas nessa modalidade de organização do trabalho escolar.

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Contudo, também deve ser reservado tempo para atividades ocasionais, que podem ser motivadas por um assunto de repercussão na mídia que tenha interesse para os alunos cuja compreensão exija algum conteúdo matemático. Não há sentido em não tratar do assunto pelo fato de não ter relação com o que se está fazendo no momento, e a organização de uma situação ocasional se justiﬁca.

Acompanhamento e avaliação das aprendizagens Se já são visíveis os avanços de natureza metodológica em parte significativa dos trabalhos realizados durante as aulas de Matemática, é verdade também que é preciso aprofundar as discussões e modificar as práticas de avaliação. Ideias antigas predominam na avaliação em Matemática, valorizando a memorização de regras e procedimentos e deixando de lado, muitas vezes, a compreensão de conceitos, a criatividade nas soluções, as possibilidades de enfrentar situações-problema e resolvê-las. Assim sendo, em uma proposta que contempla uma variedade de situações de aprendizagem – resolução de problemas, recurso à história da Matemática, uso de recursos tecnológicos, desenvolvimento de projetos de trabalho, estabelecimento de conexões com outras áreas de conhecimento –, não faz sentido manter uma concepção de avaliação incoerente com novos objetivos e com novas abordagens do conhecimento matemático. A avaliação tem a função de fornecer aos estudantes e professores informações sobre o desenvolvimento das capacidades e competências exigidas socialmente, bem como auxiliar os professores a identificar os objetivos atingidos, com vistas a reconhecer a capacidade matemática dos alunos, para que possam inserir-se no mercado de trabalho e participar da vida sociocultural. Cabe também à avaliação informar como está ocorrendo a aprendizagem: os conhecimentos adquiridos, os raciocínios

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desenvolvidos, os hábitos e valores incorporados, o domínio de certas estratégias, para que o professor possa propor revisões e reelaborações de conceitos e procedimentos ainda parcialmente consolidados. Se os conteúdos estão dimensionados em conceitos, procedimentos e atitudes, cada uma dessas dimensões pode ser avaliada por diferentes estratégias. A avaliação de conceitos é feita por meio de atividades voltadas à compreensão de definições, ao reconhecimento de hierarquias, ao estabelecimento de relações e de critérios para fazer classificações e também à resolução de situações de aplicação envolvendo conceitos. A avaliação de procedimentos implica reconhecer como eles são construídos e utilizados. A avaliação de atitudes pode ser feita pela observação do professor e pela realização de autoavaliações. Embora a avaliação esteja intimamente relacionada aos objetivos visados, estes nem sempre se realizam plenamente para todos os estudantes. Por isso, critérios de avaliação devem ser elaborados com a função de indicar as expectativas de aprendizagem possíveis de serem desenvolvidas pelos estudantes, ao final de cada ciclo.

Alguns procedimentos para coletar dados Ao ﬁnal de cada Unidade, na seção “Agora, é com você”, são propostas questões para avaliar os conhecimentos matemáticos, considerando o conjunto das atividades desenvolvidas na Unidade. Elas são apresentadas na forma discursiva e como testes. A proposição de testes tem como objetivo principal preparar os alunos para os vários tipos de avaliações externas a que são submetidos, atualmente, nos sistemas educacionais municipais, estaduais e nacionais. Em geral, as atividades têm como parâmetros os descritores que pautam a elaboração de questões de avaliações institucionais como a Prova da Cidade, a Prova Brasil etc.

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Sabemos que não é simples acompanhar as aprendizagens de todos os alunos de uma sala de aula, especialmente se desejamos fazer isso de maneira sistemática. No entanto, é necessário fazer observações com regularidade e registrá-las, tendo como referência, por exemplo: 1) as respostas dos estudantes, quando eles manifestam de forma implícita ou explícita suas certezas, dúvidas e erros; 2) as observações das atitudes, ações e discussões efetuadas durante as tarefas individuais, em duplas, em grupos ou com a classe toda; 3) a análise de tarefas, individuais e em grupo, feitas em classe e em casa, de provas e trabalhos extraclasse. Esses registros devem orientar o planejamento de novas atividades e também subsidiar a avaliação dos resultados de aprendizagem por todos os envolvidos (estudantes e professor). Uma sugestão é que, ao final de cada Unidade, os alunos, individualmente, retomem os tópicos e as anotações desenvolvidos naquela Unidade. Eles podem elaborar comentários orais ou escritos e outras formas de registrar o que puderam constatar sobre o próprio processo de aprendizagem. Com relação aos registros do professor, a organização de fichas de observação de desempenho em Matemática é muito importante. Em seguida, há uma sugestão de ficha de acompanhamento.

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Expectativas de aprendizagem Unidade 1

Alunos 1

8...

Ampliar e relacionar os diferentes campos numéricos reconhecendo relações de pertinência (entre um número e um conjunto numérico) e de inclusão (entre conjuntos numéricos). Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema, compreendendo diferentes significados das operações envolvendo números naturais, inteiros e racionais. Ler e interpretar dados expressos em gráficos de setores. Produzir textos escritos com base na interpretação de dados estatísticos. Unidade 2 Conhecer as regras utilizadas na notação científica e utilizá-las para leitura de informações. Identificar em situações-problema grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais, ou nem diretamente, nem inversamente proporcionais. Resolver situações-problema que incluem grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais por meio de estratégias variadas (incluindo a regra de três). Representar diferentes vistas (lateral, frontal e superior) de figuras tridimensionais e reconhecer figura representada por diferentes vistas. Obter seções de figuras tridimensionais por um plano e analisar as figuras obtidas. Ler e interpretar dados expressos em gráficos de setores. Construir gráficos de setores e utilizá-los em situações-problema. Produzir textos escritos com base na interpretação de dados estatísticos. Legenda: S = sim; P = parcialmente; N = não.

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MATHEMATICAL ASSOCIATION OF AMERICA; NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS. Aplicações da Matemática escolar. Trad. Higino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1997. MIGUEL, A.; MIORIM, M. A. O ensino de Matemática no Primeiro Grau. São Paulo: Atual, 1996. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO/INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA E CIÊNCIAS DA COMPUTAÇÃO DA UNICAMP. Geometria experimental. São Paulo: MEC/IMECC/Premen/SE/CENP, 1980. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO/INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA. Matemática e suas tecnologias: livro do estudante – Ensino Fundamental. Brasília: MEC/ INEP, 2002. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO/SECRETARIA DO ENSINO FUNDAMENTAL. Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática, 1o, 2o (1997); 3o, 4o ciclos (1998). MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO/SECRETARIA DO ENSINO FUNDAMENTAL. Parâmetros Curriculares Nacionais – Introdução. Temas transversais, 3o, 4o ciclos (1998). NASSER, Lílian et al. Geometria segundo a teoria de Van Hiele. 3. ed. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática/UFRJ, 2000 (Projeto Fundão). ONUCHIC, L. R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V. Pesquisa em educação matemática: concepções & perspectivas. São Paulo: Editora da Unesp, 1999, p. 199-218. PAVANELLO, R. M. O abandono do ensino de Geometria no Brasil: causas e consequências. Zetetiké, Campinas, ano I, n. 1, mar. 1993. PIRES, C. M. C.; CURI, E.; CAMPOS, T. M. M. Currículos de Matemática: da organização linear a ideia de rede. São Paulo: FTD, 2000. PIRES, C. M. C.; CURI, E.; CAMPOS, T. M. M. Espaço e forma: a construção de noções geométricas pelas crianças das quatro séries iniciais do Ensino Fundamental. São Paulo: Proem, 2001. PIRES, C. M. C.; SANTOS, V. M. Aprender Matemática no Ensino Fundamental. In: Educação: fazer e aprender na cidade de São Paulo. São Paulo: Secretaria Municipal de Educação de São Paulo, 2008. POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1995. POZZO, J. I. (Org.). A solução de problemas. Aprender a resolver problemas e resolver problemas para aprender. Porto Alegre: Artmed, 1998. SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO (SME)/DIRETORIA DE ORIENTAÇÃO TÉCNICA (DOT). Orientações curriculares e proposição de expectativas de aprendizagem para o Ensino Fundamental: Ciclo II – Matemática. São Paulo: SME/DOT, 2010.

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STRUIK, Dirk J. História concisa das Matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1992. TINOCO, L. A. A. (Coord.). Razões e proporções. Rio de Janeiro. Editora UFRJ, 1996. VELOSO, João; PONTE, João Pedro da. Ensino de Geometria no virar do milênio. Lisboa: Departamento de Educação – Faculdade de Ciências/Universidade de Lisboa, 1999. VERGNAUD, G. La théorie de champs conceptuels. Recherches en Didactique de Mathématiques, Grenoble, La Pensée Sauvage, v. 10, n. 2-3, p. 133-170, 1990. ZUFFI, E. M.; FELICIANO, L. F. Uma sequência didática com uso de história da Matemática: o método de multiplicação e divisão egípcio. Revista de Educação Matemática, São Paulo, ano 9, n. 9-10, p. 55-60, 2005.

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1o semestre

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• M1 Ampliar e relacionar os diferentes campos numéricos reconhecendo relações de pertinência (entre um número e um conjunto numérico) e de inclusão (entre conjuntos numéricos). • M3 Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema compreendendo diferentes signiﬁcados das operações envolvendo números naturais, inteiros e racionais. • M27 Ler e interpretar dados expressos em gráﬁcos de setores. • M30 Produzir textos escritos a partir da interpretação de dados estatísticos. Material necessário para o desenvolvimento da Unidade: calculadora  folhas de cartolina (para a  “régua” dos números inteiros) clipes 

Converse com os alunos sobre a proposta de matemática do 8º ano, a importância dos temas que serão desenvolvidos e a articulação entre as diferentes áreas do conhecimento. Nesta Unidade,

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faremos um levantamento de conceitos matemáticos estudados em anos anteriores, que norteará o planejamento e o foco das ações em sala de aula.

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• Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema compreendendo diferentes signiﬁcados das operações envolvendo números naturais, inteiros e racionais.

28 m

35 equipes de 11 a 13 anos e 26 equipes de 14 a 16 anos ou 70 equipes de 11 a 13 anos e 52 equipes de 14 a 16 anos

Organize os alunos em duplas, converse com eles sobre o tema e veja o que já sabem da relação entre a alimentação e a vida saudável. Um dos objetivos da atividade 1 é o levantamento de conhecimentos prévios sobre área de ﬁguras planas e operações com números racionais na forma decimal.

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Na atividade 2, veriﬁque como os alunos calculam os divisores de um número e como estabelecem divisores comuns a dois números. Se preferir, forme grupos maiores, em que os que compreenderam ajudem os outros. Organize um painel com os diferentes procedimentos de resolução dos dois problemas.

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• Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema compreendendo diferentes signiﬁcados das operações envolvendo números naturais, inteiros e racionais.

28,06 21,67 25,95 21,2

A atividade 1 pode ser resolvida individualmente. Pergunte aos alunos o que sabem sobre kcal e peça-lhes uma pesquisa a respeito. Observe como selecionam informações e como decidem quais interessam.

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Peça a um aluno que leia em voz alta o texto inicial e explique à classe o que entendeu do texto e do cálculo do IMC. Explique a diferença entre peso e massa. Pergunte como escreveriam esse cálculo em linguagem matemática. Essa fórmula envolve divisão e potenciação (o quadrado da

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altura). Veriﬁque o que os alunos já sabem sobre potenciação. Ressalte que a leitura, a análise e o preenchimento de tabelas serão explorados em diversos momentos, e que essa é uma forma de organizar as informações de um texto. Socialize os procedimentos para calcular o IMC.

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A e C, pois estão acima do "peso" adequado.

A: 38,22 kg B: 53,08 kg C: 56,36 kg D: 45,05 kg

75 dias

No item a, discuta com a classe os índices de referência que estão fora do "peso" adequado e o que signiﬁca em termos de saúde. No item b, a ideia é fazer com que os alunos percebam que para encontrar o "peso" será necessário multiplicar o valor 19,5 do IMC pelo quadrado da altura.

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Na atividade 2, é importante que os alunos percebam que para encontrar o número de dias, eles precisam fazer a transformação das unidades de medida. Possivelmente eles optarão por transformar quilômetro em metro.

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• Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema compreendendo diferentes signiﬁcados das operações envolvendo números naturais, inteiros e racionais.

60 maneiras

32 opções; 16 dias

Resposta pessoal. Uma resposta possível: duas fatias de pão integral, um copo de 200 mL de leite, 20 g de manteiga, 3 fatias de queijo de 10 g cada uma e duas bananas.

Na atividade 1, pretende-se veriﬁcar se os alunos resolvem problemas de contagem usando tabelas ou árvores das possibilidades. Se essas estratégias não aparecerem na socialização, exponha-as e peça-lhes que as registrem no caderno.

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No item b, espera-se que os alunos refaçam os cálculos depois da exclusão de dois itens. Acompanhe as resoluções e veja se eles compreendem os enunciados e procuram interpretá-los ou se os abandonam. Discuta estratégias de resolução de problemas, leitura e interpretação dos enunciados.

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Na atividade 2, peça a um aluno para expor a sua sugestão, e aos demais para veriﬁcar se está correta. Faça o mesmo para mais 3 ou 4 alunos.

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• Ampliar e relacionar os diferentes campos numéricos reconhecendo relações de pertinência (entre um número e um conjunto numérico) e de inclusão (entre conjuntos numéricos).

30 copos

18 litros

R$ 132,20

8,8 %

Antes da resolução dos itens a, b e c, faça um levantamento sobre o que os alunos sabem sobre medidas de capacidade e, se for preciso, amplie esse conhecimento. Depois, estipule um tempo para a resolução e discuta-a com a classe. Durante a resolução, veriﬁque se os alunos estabelecem rela-

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ção entre litro e mL e entre os diferentes tamanhos dos copos. Observe se surgem estratégias interessantes como calcular o total de copos no mês (3 copos × 10 dias = 90 copos) e depois pensar que, se 3 copos têm 600 mL, 90 copos terão 18.000 mL. Assim, considerando a multiplicação como proporcionalidade, não

é preciso calcular quantos mL tem um copo. Oriente-os a anotar uma resolução diferente da sua. Antes da resolução do item d, procure saber qual é o conhecimento dos alunos sobre procedimentos para solucionar problemas semelhantes.

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• Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema compreendendo diferentes signiﬁcados das operações envolvendo números naturais, inteiros e racionais.

1,5

−1

0,5

1,4

V F V F

Organize os alunos em duplas e escreva na lousa alguns dos números que apareceram nas atividades anteriores. Promova uma discussão sobre números naturais e racionais (e suas formas fracionária, decimal e percentual). Proponha um debate sobre a questão: um número natural é racional? Por quê?

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Na atividade 1, preencher e observar a tabela ajudará os alunos a compreender as propriedades das operações com números naturais. Isso é sempre mais eﬁcaz do que simplesmente enunciá-las.

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Na atividade 2, espera-se que, para decidir entre V e F, o aluno reﬂita sobre a validade dessas propriedades. Explore com a classe o registro do conjunto dos números naturais, estabeleça relações com a reta numérica e mostre a relação de pertinência usando a simbologia própria.

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• Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema compreendendo diferentes signiﬁcados das operações envolvendo números naturais, inteiros e racionais.

Sim

+14 −8 −17 +21

Pergunte aos alunos, organizados em dupla, o que eles sabem sobre números negativos. Na atividade 1, sugira que incluam números antes do –9 e depois do +9. Acompanhe a movimentação do marcador e explore o que sabem sobre adição e subtração de inteiros. Acompanhe o traba-

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lho das duplas na atividade 2 e veja como estão usando a régua e o marcador. Faça as intervenções pertinentes, de acordo com as dúvidas que surgirem, e depois socialize as respostas. Organize as ideias a partir de um quadro sobre as semelhanças e diferenças entre números naturais e inteiros.

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• Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema compreendendo diferentes signiﬁcados das operações envolvendo números naturais, inteiros e racionais. Estas atividades podem ser resolvidas individualmente.

+12 −4 −16 0

Luciana venceu.

2 pontos

O objetivo das atividades propostas é que os alunos possam fazer cálculos envolvendo números inteiros e percebam que em muitas situações do cotidiano eles facilitam a compreensão da variação de temperaturas, além de descobrir quem é o ganhador de um jogo.

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Na atividade 1, ajude os alunos a perceber a diferença entre esta e a atividade 2 da página anterior, e sua implicação no procedimento de cálculo para completar os dois quadros. Sistematize as ideias.

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Sugestão: completar textos: • Quando é dado o valor do início e do término, a variação da temperatura pode ser determinada assim: • Quando é dado o valor do início e da variação, o valor do término pode ser determinado assim:

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• Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema compreendendo diferentes signiﬁcados das operações envolvendo números naturais, inteiros e racionais.

Na correção das atividades 1 e 2, observe como os alunos fazem adições, subtrações, multiplicações e divisões com números positivos e negativos e retome o que for necessário para a compreensão dessas operações.

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−1

−2

−3

−1

−10

−4

−13

−1

−10

−7

−8

−11

−5

−14

−5

−14

−11

−12

−18

−6

−12

−21

−2

−4

−6

−8

−10

−8

−6

−4

−2

−3

–1

Ao ﬁnal, organize uma síntese do que é importante lembrar na realização de operações com números inteiros, e as semelhanças e diferenças em operar (+, –, × e ÷) com números naturais.

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• Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema compreendendo diferentes signiﬁcados das operações envolvendo números naturais, inteiros e racionais.

−2 −4 +6 8 −6

–8

–6

0 −8 4

Sim

Respostas possíveis: –8 < +8 e –6 < +6, ou –8 e +8 e –6 e +6 são pares de números opostos.

Organize a classe em duplas e, na atividade 1, converse sobre quadrados mágicos; se algum aluno já tiver trabalhado com eles, peça-lhe que conte o que sabe. Destaque a condição para que um quadrado seja mágico – a soma ou produto constantes nas linhas, colunas e diagonais – e o que acontece quando multipli-

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camos todos os termos por um número negativo, que é o objetivo da atividade. Esta proposta é interessante para rever as operações entre inteiros. Na atividade 2, retome as semelhanças e as diferenças entre os conjuntos dos números naturais e inteiros.

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Na atividade 3, destaque sempre o sentido do percurso, o ponto de referência para o começo da contagem e a distância entre números opostos.

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• Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema compreendendo diferentes signiﬁcados das operações envolvendo números naturais, inteiros e racionais.

Resposta possível:

cenoura

alface

Os dois juntos:

brócolis

. Separadamente,

para cada um.

Alface: 600 m2; cenoura: 400 m2; brócolis: 100 m2; beterraba: 100 m2

beterraba

Observe que hipóteses os alunos têm sobre multiplicação entre frações. Explique a eles que uma fração de fração envolve um outro signiﬁcado da multiplicação que não é a soma reiterada de parcelas iguais. Aqui, aparecem partes de partes de um total. O desenho pedido no item a da atividade 1 ajudará a compre-

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ender esse signiﬁcado. Na atividade 2, mostre a relação entre a representação de uma fração de fração e a multiplicação lembrando que, assim como “o dobro de 6 ” se escreve 2×6, “

” se escreve

É importante que os alunos registrem suas descobertas. Converse

com eles sobre a importância de estabelecer alguns critérios para esse registro, como, por exemplo, quais são as semelhanças e diferenças entre nossos procedimentos; que procedimentos a gente quer destacar; que dicas vão ajudar na resolução de problemas semelhantes; o que precisamos retomar etc.

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• Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema compreendendo diferentes signiﬁcados das operações envolvendo números naturais, inteiros e racionais.

de um mês; representam 27 dias.

75 dias

9,9 meses = 297 dias

165 dias

Resposta pessoal; espera-se que os alunos descrevam a transformação do mês em 30 dias e a multiplicação pela fração dada.

Na atividade 1, antes de continuar a leitura, proponha uma reﬂexão sobre o signiﬁcado da parte inteira e da parte decimal de um número racional, explorando outros exemplos, com outras grandezas.

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Faça também um levantamento do conhecimento dos alunos sobre os signiﬁcados da escrita

para a b inteiros e b ≠ 0. Sistematize as ideias a partir das respostas dos alunos na atividade 3.

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• Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema compreendendo diferentes signiﬁcados das operações envolvendo números naturais, inteiros e racionais.

Porque usou a ideia de medida: como 30 dias (o equivalente a 1 mês) cabem uma vez em 42 dias e sobram 12 dias, que correspondem a 4 décimos de 30 dias, ou seja, 1,4.

138 dias = 4,6 meses; 285 dias = 9,5 meses

Peça aos alunos que leiam individualmente a proposta e o registro do pesquisador e pensem. Depois, em duplas, que comparem suas justiﬁcativas para mostrá-las aos demais.

No item a, explore a função dos termos de uma divisão e o que representam nessa situação, sobretudo o signiﬁcado das escritas

e 1,4, feitas pelo

pesquisador. Sistematize as ideias produzindo um texto junto com os alunos. É importante que, no momento de

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produzir o texto, o aluno pense no que foi discutido e escreva com suas palavras as ideias ligadas à divisão. Fazendo isso, ele organiza seu pensamento e o que de fato aprendeu. O registro reﬂexivo permite identiﬁcar aprendizagens e dúvidas e dá indícios ao professor sobre o que precisa ser retomado.

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• Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema compreendendo diferentes signiﬁcados das operações envolvendo números naturais, inteiros e racionais.

180 84 96

20%

Espera-se que os alunos selecionem, analisem e interpretem esses dados. Se perceber diﬁculdades, dê exemplos. Na atividade 4, a ideia de razão é também um dos signiﬁcados da escrita

. Antes de continuar,

converse com os alunos sobre razão entre dois números e em que

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situações isso aparece. Anote na lousa. Peça aos alunos que analisem o texto da atividade 5. Destaque que a porcentagem é uma razão entre dois números. Antes da atividade 6, forneça outros exemplos de cálculo de porcentagens. Sistematize as ideias.

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Sugestão: produção de texto a partir de duas questões: a) Qual é a relação entre razão e porcentagem? b) Como transformar uma razão qualquer em uma razão de denominador 100?

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• Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema compreendendo diferentes signiﬁcados das operações envolvendo números naturais, inteiros e racionais.

Resposta pessoal

14,4%

10,6% 11,1%

7,2%

13,3%

16,1%

18,3%

46,6%

53,3%

Sim. Porque 62 estudantes comem salgados, ou seja, aproximadamente 34,4%.

Salgado (34,4%); fruta (20%)

Nas atividades 1 e 2, espera-se que, individualmente, os alunos, com o uso da calculadora, apliquem o que aprenderam nas atividades da página anterior. Depois da leitura do enunciado do item b, pergunte aos alunos o que entendem por chance e registre o que responderam. Se perceber que a ideia não está

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clara, proponha atividades sobre o pensamento probabilístico: qual é a chance de sair duas coroas, ao jogar uma moeda duas vezes? Qual é a chance de sair um determinado número, ao jogar um dado? Peça-lhe que registrem suas conclusões, reﬂetindo sobre a representação fracionária.

Sugira-lhes que, usando recursos aprendidos nessas aulas, pensem em formas de levar todos os alunos da escola a reﬂetir sobre o papel da alimentação na nossa saúde.

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• Produzir textos escritos a partir da interpretação de dados estatísticos.

Depende da classe.

Texto coletivo

É interessante que os alunos reﬂitam sobre os procedimentos de uma pesquisa, desde a deﬁnição do que se quer ou precisa pesquisar, qual é o público-alvo e a forma da coleta de dados até sua organização, sistematização e apresentação. O registro organizado dessas ideias, pode servir de roteiro na realização de futuras pesquisas.

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• Ler e interpretar dados expressos em gráﬁcos setores. • Produzir textos escritos a partir da interpretação de dados estatísticos.

30%; 60 pessoas; 120 pessoas; 180 pessoas

Não. Porque apenas 30% dos entrevistados ingerem o necessário diariamente.

Antes da atividade 1, proponha aos alunos que levem reportagens em que apareçam diferentes tipos de gráﬁcos. Em quartetos, eles podem montar cartazes destacando o tema da reportagem e o tipo de gráﬁco utilizado. Com isso, eles aprimoram formas de comunicação, constatam a im-

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portância do bom uso da linguagem gráfica para a síntese de informações, apuram seus critérios, ao selecionar o tema que apresentarão, e, principalmente, qualificam a discussão sobre diferentes tipos de gráficos e quando é mais adequado utilizá-los.

Socialize os diferentes procedimentos de resolução. No momento de sistematização, chame a atenção para proporcionalidade existente no item a.

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200; 120 Resposta pessoal; título possível: Frutas consumidas por um grupo de atletas.

30% =

= 0,3; 12% =

50% =

= 0,5; 8% =

= 0,12; = 0,08

Resposta pessoal

No item a da atividade 2, espera-se que os alunos calculem o que se pede observando que 100% é toda a ﬁgura, isto é, 400 atletas.

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No item c da atividade 2, mais uma vez, aparece a relação entre as representações percentual, fracionária e decimal, e a familiaridade dos alunos com essas formas amplia sua compreensão do conceito de número racional. No item d, peça a alguns alunos que leiam seu texto.

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• Ampliar e relacionar os diferentes campos numéricos reconhecendo relações de pertinência (entre um número e um conjunto numérico) e de inclusão (entre conjuntos numéricos).

–2,7

1,3

Inﬁnitos, nos dois casos

Inﬁnitos, nos três casos

Zero não pode ser divisor – não existe divisão por zero.

Resposta pessoal

Na atividade 1, é importante perceber se o aluno localiza corretamente os números na reta, mostrando que compreendeu a que intervalo pertence cada um e a própria sequência numérica, principalmente quando se tratar de números negativos, cuja localização costuma trazer mais diﬁculdades. Oriente-os.

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Na atividade 2, insista na representação geométrica dos racionais, sempre indicando o intervalo numérico. Para isso, os alunos devem situar o número entre dois naturais e, assim, compreenderão que a fração também representa um número, e não apenas um símbolo que identiﬁca as partes de uma ﬁgura.

Aproveite a atividade 5 para organizar as primeiras ideias sobre o conjunto dos números racionais, relacionando-o com os conjuntos dos números naturais e inteiros.

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0,9

5,5

0,12

2,45

1,75

8,3 ou

21,925

6,75

1,25 ou

As atividades 1 e 2 desta página retomam a forma fracionária e decimal do mesmo número racional. Na atividade 3, os resultados das operações podem ser escritos tanto na forma fracionária quanto na decimal. Escolha alguns itens para mostrar as duas possibilidades.

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As três atividades retomam procedimentos estudados em anos anteriores. Escreva o item a de cada atividade na lousa e peça sugestões de resolução, assim você saberá qual é o conhecimento dos alunos. Se notar diﬁculdades, oriente a consulta aos

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livros de matemática. Aproveite esta pesquisa para sistematizar as ideias: • Representação na forma fracionária de números racionais escritos na decimal e vice-versa. • Operando com números racionais.

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Nesta seção, as atividades são individuais, e o aluno relacionará as diferentes representações de um número racional entre si e com a reta numérica.

−1,2

0,75

Joana; –1,74 deve estar à esquerda de –1,7 e –1,59 à direita de –1,6.

180

O objetivo da atividade 1 é veriﬁcar quais são as diﬁculdades que os alunos encontram na localização de números fracionais em suas diferentes representações, fracionária e decimal, e ajudá-los a superá-las. Para isso, você pode sugerir a retomada das atividades 1 e 2 da página anterior, e a consulta ao texto relacionado a elas.

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900

450

234

Na atividade 2, a intenção é aplicar o que foi estudado na atividade 1. Antes da atividade 3, converse com os alunos sobre procedimentos para obter mentalmente 1%, 10%, 20%, 25% e 50% de um número.

Na atividade 3, veriﬁque como os alunos calculam mentalmente 10% (a décima parte), 1% (a centésima parte), 50% (a metade) e 25% (a quarta parte). Veja se para calcular 13% somam os valores de 10% com 1% três vezes.

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• Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema compreendendo diferentes signiﬁcados das operações envolvendo números naturais, inteiros e racionais.

2,0

6,0

10,0

4,5

13,5

22,5

1,4

4,2

7,0

5,0

15,0

25,0

0,4

1,2

2,0

Os resultados da 1ª coluna são a metade de cada número que é multiplicado por 0,5. Na 2ª coluna, o resultado de cada multiplicação é o número adicionado à sua metade. Na 3ª coluna, o resultado de cada multiplicação é o dobro do número somado à sua metade.

0,9

14,7

15,6

Por seu caráter instigante, a investigação matemática motiva o aluno a aprender e descobrir mais. Neste sentido, discuta as percepções dos alunos e solicite que façam o registro das descobertas.

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Na atividade 2, peça a alguns alunos que relatem, em cada item, como ﬁzeram os cálculos, sem a utilização da calculadora. Organize e sistematize as regularidades observadas na atividade 1, utilizando a multiplicação e a relação entre as representações

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decimal e fracionária de um número racional. Por exemplo: 0,5 × 4 =

×4=

1,5 × 4 = 1 × 4 +

=2 ×4=4+

=4+2=6 Depois, peça aos alunos para mostrar por que 4 × 2,5 = 4 × 2 +

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• Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema compreendendo diferentes signiﬁcados das operações envolvendo números naturais, inteiros e racionais.

5; 6; 1; 12

–1

0,66

–7 −15 4 −1 3 −1 4 1,25

1 −17 4 –1 5 4 –0,25

0,75

–1 −2 9 −3 8 0,37

–2 −2 3 0,66

–2,25

4,65

–4,14

–0,34

–16

todos

5; –1; 6; –7; 1; 12; –16; –2 −15 −17 −1 −2 ; ; ; ; 4 4 3 9 −1 5 −3 −2 ; ; ; ; 1,25; –0,25; 4 4 8 3

0,66; 0,75;

0,37; –2,25; 4,65; –4,14, –0,34 F

A atividade 1 permite que o aluno relacione os diferentes campos numéricos e perceba como eles se articulam. Se surgir dúvidas, oriente a consulta do texto produzido após a realização das atividades da página 29.

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• Ampliar e relacionar os diferentes campos numéricos reconhecendo relações de pertinência (entre um número e um conjunto numérico) e de inclusão (entre conjuntos numéricos).

Resposta pessoal

Justiﬁcativas pessoais X

Na atividade 3, converse com os alunos sobre a divisão por zero, o que eles sabem e que hipóteses têm sobre ela. Mostre aos alunos as relações de inclusão entre os conjuntos numéricos estudados até aqui e as formas de representá-las ( ). Depois de as duplas mostrarem

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como resolveram a atividade 3, conte que existe uma forma de fazer essa relação por meio do diagrama de Venn e peça uma pesquisa a respeito. Promova uma discussão sobre o que os alunos aprenderam nesta Unidade a respeito dos números racionais e suas representações fracionária, decimal e porcentual.

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Depois do preenchimento dessa tabela, proponha questões que envolvem a pertinência ou não de um número aos campos numéricos estudados. Ao observar os números grifados, os alunos podem perceber que existem números racionais que não são inteiros, mas, por outro lado, que todos os inteiros são racionais.

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5,5

−10

1,8

9,7

−9,0

0,25

−1,98 −2,5

V V F V V

0,6 0,8

1,2 1,4

Esta seção vai aparecer no ﬁnal de cada Unidade, com propostas que retomam o conteúdo trabalhado. São atividades individuais, e você deve analisá-las para veriﬁcar se as expectativas de aprendizagem foram atingidas, quanto os alunos avançaram e o que precisa ser retomado, antes de passar para a próxima Unidade.

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1,1

0,7

Não é preciso que todas as tarefas sejam feitas no mesmo dia: organize-as como achar melhor. Socialize a resolução de todos os problemas e, enquanto os alunos trabalham sozinhos, acompanhe-os e oriente aqueles que tiverem diﬁculdades, anotando-as para retomá-las.

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24,5 11,25 6,75 30,6

11,4 milhões

275 mil toneladas

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• M2 Conhecer as regras utilizadas na notação científica e utilizá-las para leitura de informações. • M4 Identificar em situações-problema grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou nem diretamente, nem inversamente proporcionais. • M5 Resolver situações-problema que incluem grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais por meio de estratégias variadas (incluindo a regra de três). • M12 Representar diferentes vistas (lateral, frontal e superior) de figuras tridimensionais e reconhecer figura representada por diferentes vistas. • M13 Obter seções de figuras tridimensionais por um plano e analisar as figuras obtidas. • M27 Ler e interpretar dados expressos em gráficos de setores. • M28 Construir gráficos de setores e utilizá-los em situações-problema. • M30 Produzir textos escritos a partir da interpretação de dados estatísticos.

Comente o conteúdo da Unidade e peça aos alunos uma pesquisa a respeito, que devem trazer na aula seguinte, para socializar. O tema continente americano faz parte das Orientações Curriculares do 8º ano, e as questões tratadas aqui podem contribuir para esse estudo. Converse com o professor

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de geograﬁa sobre a possibilidade de articulação entre as duas disciplinas. Nesta introdução, é com esse conjunto de dados numéricos que trabalharemos diferentes escritas numéricas como as potências de base 10 e a notação cientíﬁca.

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Material necessário para o desenvolvimento da Unidade: calculadoras  massa de modelagem ou sabão  recipiente cilíndrico de 4 litros  ou mais um litro para ser usado como  medida régua  papéis para cartazes  malha quadriculada 

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• Construir gráﬁcos de setores e utilizá-los em situações-problema. • Produzir textos escritos a partir da interpretação de dados estatísticos. Agende um horário na sala de informática para que os alunos possam fazer o gráﬁco.

Aproximadamente 16,7%; 22,2%; 27,8%; 33,3%

Estas atividades podem ser resolvidas em duplas na sala de informática. Na Unidade 1, os alunos estudaram gráficos de setores. Nesta, eles construirão gráficos desse tipo, organizando informações de uma pesquisa fictícia, para também aprender a usar a planilha eletrônica.

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Você também pode realizar pesquisa semelhante a esta para que os alunos possam utilizar esta ferramenta. Além disso, pode comparar os dados da atividade 1 com a proposta por você e veriﬁcar quais as semelhanças entre elas.

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Descendência dos alunos

árabe italiana portuguesa africana

Resposta pessoal

Ressalte a importância de os alunos conversarem sobre maneiras de explorar a planilha e elaborar seu próprio roteiro. Converse também sobre o papel de um registro instrucional, que pode ajudar a organizar as ideias. Socialize os roteiros.

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Depois que cada aluno colar seu gráﬁco (se não for possível imprimi-lo, eles podem desenhá-lo), decidam coletivamente o que consideram relevante perguntar. Quanto à pergunta que não pode ser respondida, oriente-os a procurar ultrapassar as informações que se podem obter no gráﬁco.

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• Ler e interpretar dados expressos em gráﬁcos de setores. • Produzir textos escritos a partir da interpretação de dados estatísticos.

Resposta pessoal

Organize os alunos em duplas e, acompanhando a resolução da atividade 1, observe se eles têm clareza do que seja uma situação-problema (muitas vezes, eles criam uma situação-problema em que não há pergunta). Você pode,

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antes da atividade, conversar com eles sobre como pensaram para inventar as perguntas da atividade anterior – algo que se quer saber – e mostrar que é justamente a pergunta que caracteriza uma situação-problema.

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• Ler e interpretar dados expressos em gráﬁcos de setores. • Produzir textos escritos a partir da interpretação de dados estatísticos. • Construir gráﬁcos de setores e utilizá-los em situações-problema. Agende a sala de informática para realização dessa atividade.

Resposta pessoal

Como a proposta é de pesquisa, a sugestão é que os alunos possam fazê-la na escola e que tenham tempo para discutir e escolher o subtema. Depois dessa escolha, que terá sido subsidiada pela na-

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vegação pelo site, os alunos devem preparar formas de apresentação para a classe: textos, gráﬁcos e sua interpretação, cartazes etc. Se houver a possibilidade de troca de mensagens eletrônicas e um

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trabalho em torno disso, os textos podem circular via internet, e os alunos podem opinar sobre eles. Como se trata de um tema que envolve aspectos sociais, é importante reﬂetir a respeito.

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• Ler e interpretar dados expressos em gráﬁcos de setores. • Construir gráﬁcos de setores e utilizá-los em situações-problema.

Resposta pessoal Distribuição das terras brasileiras

agricultura áreas de preservação outras áreas pastagens ﬂoresta amazônica

Converse com os alunos sobre a porcentagem referente às áreas de preservação. É interessante que, em dupla, eles pesquisem questões ambientais, mas sobretudo que percebam a importância do conhecimento matemático para a análise e o posicionamento diante delas.

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Dadas as informações, o objetivo é transformá-las em linguagem gráﬁca e explorar mais uma vez a planilha eletrônica.

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• Conhecer as regras utilizadas na notação cientíﬁca e utilizá-las para leitura de informações.

Resposta pessoal

Resposta pessoal. Por exemplo: arredondamentos encontrados em publicações da mídia – no lugar de 2.500.000 escrever 2,5 milhões.

Antes da resolução destas atividades, proponha aos alunos uma pesquisa sobre as dimensões territoriais dos países do continente americano. Eles podem utilizar livros didáticos ou sites. Peça sugestões ao professor de geograﬁa.

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Na atividade 1, os alunos podem compartilhar informações com os colegas, identiﬁcar e comparar dados numéricos e reﬂetir sobre as ordens de grandeza e outras formas de escrevê-los.

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Na atividade 2, o fato de terem que avaliar as ideias de Pedro e Marina permite que os alunos façam uma reﬂexão mais livre sobre potências de base 10 do que se as regras lhes fossem dadas. Explore com eles as possibilidades de registro apresentadas por Pedro e Marina, suas semelhanças e diferenças etc.

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• Conhecer as regras utilizadas na notação cientíﬁca e utilizá-las para leitura de informações.

Resposta pessoal

104

105

106

107

O número de zeros é igual ao expoente da potência.

100.000 = 105 150.000.000 = 15 × 107

Espera-se que, depois de observar as diferenças e as semelhanças entre esses procedimentos, os alunos, organizados em dupla, comecem a perceber regularidades, a identiﬁcar propriedades

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2.400.000 = 24 × 105 380.000 = 38 × 104

das potências de base 10 e a aplicá-las em outras situações. Socialize as ideias da classe e peça aos alunos que produzam coletivamente um texto com a síntese das discussões.

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10-4

10-5

10-6

10-7

Como se obtêm as potências de base 10 com expoente negativo e que isso vale para outras potências.

O expoente do denominador é igual ao expoente da potência, mas com sinal negativo.

Com as mesmas duplas da atividade anterior, espera-se que, depois de observar regularidades nos cálculos de potências com expoente positivo, os alunos percebam a analogia com as potências de base 10 com expoente negativo e apliquem essas propriedades em situações-problema.

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A estratégia de apresentar produções de alunos visa a mudar a postura deles frente ao registro escrito. Além das resoluções dos problemas, esses registros devem ter caráter reﬂexivo, com observações sobre o que aprenderam, o que precisam estudar mais, onde tiveram mais diﬁculdade ou facilidade etc.

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É importante que a regra sobre potência de expoente positivo ou negativo surja das descobertas dos alunos e que o registro tenha as características da linguagem da classe, sem perder o rigor matemático.

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• Conhecer as regras utilizadas na notação cientíﬁca e utilizá-las para leitura de informações.

O segundo número, porque o número que multiplica a potência de 10 está entre 1 e 10.

9,6 × 106

4,0 × 106 ; 7 × 106 ; 7 × 103

Antes da realização da atividade 1, escreva na lousa o registro de Marina da atividade 2 da página 43 e sistematize as ideias relativas à notação cientíﬁca. Sugestão: peça que respondam à pergunta: O que eu aprendi sobre notação cientíﬁca?

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Utilize a atividade 2 para auxiliar os alunos que ainda não compreenderam como escrever números em notação cientíﬁca. É importante eles reﬂitam sobre a diferença entre 16,0 × 105 e 1,6 × 106.

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• Conhecer as regras utilizadas na notação cientíﬁca e utilizá-las para leitura de informações.

1,0 × 10-4

1,0 × 107

1,0 × 10-5

3,8 × 105

2,4 × 106

5,02 × 106

91.000 4,5 × 10-3 2,45 × 107 10-4 1,6 × 105 2,43 × 10-4

Resposta pessoal

As atividades 1 e 2 podem ser resolvidas individualmente. Na atividade 2, espera-se que os alunos reﬂitam sobre os cálculos buscando entender o que terá levado Pedro a errar. É interessante fazer isso também em outros momentos.

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Diante das dificuldades, oriente a consulta ao texto produzido na atividade anterior. Peça-lhes sugestões de dicas para Pedro não errar mais escritas em notação científica. Analise-as e registre as eficientes na lousa. Peça aos alunos que façam o mesmo no caderno.

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• Obter seções de ﬁguras tridimensionais por um plano e analisar as ﬁguras obtidas.

- Pirâmide de base triangular, tronco de pirâmide de base triangular; - pirâmide de base quadrada, tronco de pirâmide de base quadrada; - pirâmide de base hexagonal, tronco de pirâmide de base hexagonal. Tronco de pirâmide de base quadrada.

Sim, as ﬁguras têm a mesma forma que a base, mas são menores.

Esta atividade pode ser desenvolvida junto com os professores de história e de artes. Por exemplo, os alunos podem produzir um jornal para ser exposto para toda a escola.

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Na atividade 1, pergunte aos alunos como serão esses sólidos vistos apenas por meio de desenhos. Proponha que eles construam pirâmides com massa de modelagem e retome algumas delas, observando suas propriedades: o número de arestas, de faces e de vértices e a forma das faces.

Depois, diga-lhes que cortem os sólidos como nas ﬁguras. Ver e manipular os sólidos resultantes é fundamental para entender como foram obtidos. Na atividade 2, pergunte se podemos responder a essa pergunta mais facilmente observando a pirâmide construída com massa de modelar e sua seção.

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• Obter seções de ﬁguras tridimensionais por um plano e analisar as ﬁguras obtidas.

Respostas possíveis: os dois sólidos obtidos também são prismas de base triangular; as bases triangulares são congruentes às bases do prisma original.

Pentágono

Prisma de base pentagonal

Estas e todas as atividades de geometria desta Unidade devem ser resolvidas pela mesma dupla da atividade anterior.

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As atividades propostas têm como objetivo discutir com os alunos as representações dessas formas geométricas, através de desenhos, de modo que aprendam, ou revisem, conceitos geométricos como os de pirâmide, prisma e tronco.

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A construção permite perceber a ﬁgura como um todo e comparar seu número de faces, vértices e arestas. A construção em massa (ou sabão) permite que se façam cortes, o que facilita a análise das ﬁguras obtidas pelas secções.

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Pirâmide de base pentagonal e tronco de pirâmide de base pentagonal.

Pentágono

Têm a forma de trapézio.

10 vértices e 15 arestas

No item c, sugira a construção da pirâmide com massa de modelar, e o corte para facilitar a representação. Para auxiliar a sistematização das ideias, que será organizada na próxima atividade, pergunte:

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a) O que ocorre quando fazemos um corte paralelo à base de um prisma? b) E de uma pirâmide? Peça o registro e informe que será retomado posteriormente.

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• Obter seções de ﬁguras tridimensionais por um plano e analisar as ﬁguras obtidas.

quadrado

triângulo

quadrado

triângulo

As formas geométricas obtidas são congruentes.

O objetivo das atividades desta página é que, em dupla, os alunos explorem as seções transversais paralelas à base de prismas e pirâmides e percebam principalmente que: • os sólidos cortados geram outros sólidos, cujas características dependem do original:

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prismas geram outros prismas e pirâmides geram outra pirâmide, menor, e um tronco de pirâmide; • nas seções, aparecem superfícies limitadas por polígonos: no prisma, congruentes à base, e, na pirâmide, menor que a base, cujo tamanho depende da altura em que se corta o sólido.

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Destaque a importância dessa sequência didática e da síntese em forma de texto, que organiza as ideias trabalhadas. Após a produção dos textos dos itens 1b e 2b, oriente a complementação dos textos produzidos na atividade anterior.

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triângulo

quadrado

triângulo

quadrado

As formas geométricas obtidas têm a mesma forma da base, com menor área que ela.

Chame a atenção de seus alunos sobre as diferenças entre as seções paralelas do prisma e da pirâmide. No prisma, as seções são congruentes à base, enquanto nas pirâmides, as seções têm a mesma forma (são semelhantes, mas os alunos ainda não conheçam o conceito), mas são menores.

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As atividades propostas visam retomar as características da pirâmide e do seu tronco. Discuta as características e faça um registro chamando atenção para as modiﬁcações entre a tabela da atividade 1 e a da atividade 2. Se notar diﬁculdades, sugira a manipulação do sólido e a sua cons-

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trução com massa de modelar. Após a correção das atividades, produza, junto com eles, um quadro com as semelhanças e as diferenças entre: • uma pirâmide de base hexagonal; • um tronco de pirâmide de base hexagonal; • um prisma de base hexagonal.

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• Representar diferentes vistas (lateral, frontal e superior) de ﬁguras tridimensionais e reconhecer ﬁgura representada por diferentes vistas.

Na atividade 1, os alunos podem perceber que para resolvê-la eles podem contar o número de quadrados para descobrir quais são as vistas superior, frontal e lateral. Na atividade 2, oriente-os a construir diversos cubos, para reproduzir a pilha de cubos.

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Na atividade 3, pergunte aos alunos como eles pensaram para descobrir as vistas. Aproveite as respostas deles para organizar e sistematizar as ideias. Sugestão: para identiﬁcar a vista frontal de uma pilha de cubos, podemos . O mesmo para as demais vistas.

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• Identiﬁcar em situações-problema grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou nem diretamente, nem inversamente proporcionais.

5,5 horas

8 horas

15 km

33 km

A proporcionalidade faz parte de muitas situações cotidianas: nas compras, na culinária, quando se reduz ou aumenta uma receita, na ampliação ou redução de um desenho etc. Os alunos certamente já usaram raciocínio proporcional para decidir, por exemplo, qual é a melhor opção para uma compra.

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Na atividade 1, os alunos resolverão problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais. A chamada “regra de três” será trabalhada em outra Unidade; aqui, importa fundamentalmente a compreensão do raciocínio proporcional.

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78 km

Sim, porque em um mesmo intervalo de tempo, o ciclista percorre a mesma distância.

R$ 7,50; R$ 30,00

100 mudas; 333 mudas

Sim; sim

Organize na lousa os diferentes procedimentos de resolução das atividades 1 e 2. Oriente os alunos a analisá-los e estabelecer semelhanças e diferenças entre eles. Se entre os procedimentos não surgir este, mostre que é possível determinar as respostas utilizan-

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do valores correspondentes nas tabelas e a ideia de proporcionalidade: Mudas Preço 2 3,00 × 10 × 10 20 30,00

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• Identiﬁcar em situações-problema grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou nem diretamente, nem inversamente proporcionais.

12 quilômetros

36 quilômetros

Estas atividades propõem situações cotidianas em que, em dupla, os alunos compreenderão a relação entre duas grandezas. Pela análise da tabela e pelas perguntas, espera-se que eles desenvolvam a noção de interdependência entre grandezas, fundamental tanto para a ideia de

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proporcionalidade quanto, mais tarde, para o estudo de funções. Após a correção das duas atividades, organize e sistematize as ideias. Sugestão: "o que nós aprendemos ao resolver os problemas das páginas 58 e 59?"

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10 litros

Sim, porque, para determinada distância, o consumo de combustível é sempre o mesmo.

Sim

Sim, porque o perímetro de um quadrado é 4 vezes a medida do lado do quadrado.

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• Identiﬁcar em situações-problema grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou nem diretamente, nem inversamente proporcionais.

18; 12

1,5 xícara de açúcar e 3 ovos

4,5 xícaras de açúcar e 9 ovos

Depois das discussões das atividades anteriores, a proposta da atividade 1 é que, em dupla, os alunos conheçam outra relação entre duas grandezas: se o valor de uma dobra, o valor correspondente da outra reduz-se à metade; se quadruplica, o outro reduz-se a um quarto, e assim

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por diante. As grandezas estão organizadas em tabelas para facilitar a percepção das condições de variação. Por sua vez, a atividade 2 retoma a relação entre duas grandezas presentes nas atividades das páginas 56 a 59.

No item b, para aumentar a receita para 12 pessoas, os alunos podem recorrer à receita original e pensar na proporcionalidade entre 8 e 12 ou se basear na resposta ao item a e relacionar 4 com seu triplo, que é 12. Acompanhe o trabalho das duplas para ver suas diferentes resoluções e depois socialize-as.

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• Identiﬁcar em situações-problema grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou nem diretamente, nem inversamente proporcionais.

Os problemas tratam da ideia de proporcionalidade: quando dobra um valor, o outro também dobra, quando triplica um, o outro também triplica.

Não, porque, quando um valor dobra, o outro se reduz à metade.

8 18

A proposta desta pagina é que os alunos sistematizem o conhecimento que vêm construindo sobre proporcionalidade e grandezas diretamente proporcionais. Amplie o conhecimento dos alunos, oriente a identiﬁcação das grandezas das situações das páginas 56 a 59 e a razão entre elas.

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20 45

Questione porque a atividade 1 da página 60 não é um exemplo de grandeza diretamente proporcional, e que nome dariam a esta relação. Depois, diga que na Unidade 3 saberão mais a respeito.

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• Identiﬁcar em situações-problema grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou nem diretamente, nem inversamente proporcionais. • Resolver situações-problema que incluem grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais por meio de estratégias variadas (incluindo a regra de três).

Resposta pessoal (o correto é sim.)

Resposta pessoal

O volume também aumenta.

Durante a leitura do texto, explique para o aluno o signiﬁcado da palavra cisterna; segundo o dicionário Aurélio é reservatório de água de chuva.

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A atividade 1 permite validar algumas hipóteses dos alunos sobre a relação entre as grandezas altura e volume. Antes de começar, organize os alunos em duplas e pergunte o que eles acham que acontecerá com o volume do cilindro em relação à sua altura. Depois do experimento e das anota-

ções sobre seu desenvolvimento, voltem às conjecturas iniciais e peça-lhes que registrem também o que constataram. Para resolver esse problema, foi preciso identiﬁcar a relação entre as grandezas envolvidas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais.

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2,5

Sim

R$ 25,00

2.000 25

Um dos objetivos desta atividade é que, em dupla, os alunos analisem mais alguns exemplos de proporcionalidade. Espera-se que eles percebam que o valor do desconto é diretamente proporcional ao valor da compra e que o aumento é diretamente proporcional ao valor do salário.

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32,50

Além disso, é fundamental que entendam a porcentagem também nessa perspectiva, que muitas vezes passa despercebida quando se enfatizam os cálculos. Converse com a classe sobre essas ideias, registre-as na lousa e oriente os alunos a copiá-las.

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• Identiﬁcar em situações-problema grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou nem diretamente, nem inversamente proporcionais.

O preço aumentou, mas não dobrou, como o número de goiabas.

R$ 1,20

As grandezas não são diretamente proporcionais. Se fossem, ao dobrar o número de goiabas, teria dobrado o preço.

O objetivo do item a é mostrar aos alunos que, às vezes, as grandezas parecem diretamente proporcional, mas, ao analisá-las, percebemos que não são. Chame atenção para a necessidade de se manter a razão constante. Antes do registro coletivo, converse com os alunos sobre varia-

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ção de grandezas, para anotar somente as novas aprendizagens como, por exemplo, o que são grandezas não proporcionais. Se for preciso, oriente-os a veriﬁcar se as características de grandezas diretamente proporcionais da página 61 aplicam-se à situação desta página.

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4,5 x 109 anos

1,5 x 108 km

7,25 x 103 km

Menos que 10%. A diferença entre o número de habitantes de 2007 e 2000 (141.881.121) é menor que 10% de 169.799.170 habitantes.

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• M7 Produzir e interpretar escritas algébricas em situações que envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações numéricas e padrões. • M9 Traduzir situações-problema por equações do 1º grau utilizando as propriedades da igualdade na construção de procedimentos para resolvê-las e discutindo o signiﬁcado das soluções (raízes) encontradas em confronto com a situação proposta. • M14 Analisar, em poliedros, a posição relativa de duas arestas (paralelas, perpendiculares, reversas) e de duas faces (paralelas, perpendiculares). Material necessário para o desenvolvimento da Unidade: calculadora  folhas de cartolina para  montagem dos moldes dos sólidos canudinhos de refrigerante  ﬁta adesiva 

Diga aos alunos que nesta Unidade estudarão aspectos importantes de álgebra e geometria, por meio de adivinhações e desaﬁos. O trabalho será desenvolvido sobretudo em dupla e sempre discutido coletivamente.

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• Produzir e interpretar escritas algébricas em situações que envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações numéricas e padrões.

30 pontos; 42 pontos O produto entre o número de sua posição e seu sucessor, ou o produto do número de elementos de linha, pelo número de elementos da coluna.

55 pontos

Cada ﬁgura tem na base um número de pontos igual a sua posição, e o total é a soma entre o número de pontos que indica a posição da ﬁgura, e todos os números naturais diferentes de zero, anteriores a ele.

A intenção das primeiras atividades é possibilitar aos alunos a observação e a generalização de padrões, o que concorre para a compreensão de um dos principais signiﬁcados da álgebra – o estudo das relações entre grandezas. Inicialmente, eles perceberão regularidades e escreve-

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rão a respeito, sem usar ainda sentenças matemáticas, isto é, expressando-se em linguagem corrente ou criando outros tipos de registro. Depois da atividade 2, conte aos alunos que os números dessa sequência se chamam números triangulares. Se eles não percebe-

rem a regularidade, procure mostrar que o 1º número é 1, o 2º número é 1 + 2 = 3, o 3º número é 1 + 2 + 3 = 6, o 4º número é 1 + 2 + 3 + 4 = 10. E pergunte: será que essa relação vale para os números seguintes? Explique o que signiﬁca regularidade e generalização.

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• Produzir e interpretar escritas algébricas em situações que envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações numéricas e padrões.

Sim. O total de quadradinhos de cada ﬁgura é igual ao número que indica a sua posição elevado ao quadrado.

10ª ﬁg: 10² = 100; 11ª ﬁg = 11² = 121

Indicando o número de quadradinhos por p, a sentença será p² ou p · p

Organizados em dupla, os alunos observarão padrões para encontrar formas de expressar generalidades e, mais adiante, compreender o papel da letra como recurso para isso. Antes da atividade 2, socialize os argumentos que justificam as respostas às atividades anteriores e peça aos alunos que

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registrem no caderno diferentes resoluções. Antes da atividade 4, pergunte qual é a relação entre a posição e o número de quadradinhos, mas sem que eles escrevam uma sentença matemática. A ideia é que se expressem primeiro em linguagem corrente ou por outros tipos de registro.

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Depois da discussão, introduza a linguagem algébrica, apresentando a letra como variável, e converse com eles sobre o que significa e como podemos ler a expressão p2 relacionando-a com o número de quadradinhos de cada posição. Organize estas ideias na lousa.

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• Produzir e interpretar escritas algébricas em situações que envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações numéricas e padrões.

5ª ﬁgura

6ª ﬁgura

Sim, quadradinhos pretos = 2 × 6 + 6 = 18

Sim. 5ª ﬁg: 5 vermelhos, 16 pretos = 2 × 5 + 6 7ª ﬁg: 7 vermelhos, 20 pretos = 2 × 7 + 6

Depois da resolução de cada atividade, socialize as respostas e os argumentos que as justiﬁcam, pedindo aos alunos que registrem no caderno diferentes soluções. Registre na lousa os diferentes procedimentos utilizados pelos alunos como desenhos ou contagens.

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O número de quadradinhos pretos é o mesmo da posição, e o de vermelhos é o dobro da posição mais 6.

Tem 15 quadradinhos vermelhos e 36 pretos.

41 vermelhos e 88 pretos; portanto, há 129 quadradinhos.

v=p q = 2p + 6

Explique o significado da palavra genericamente na atividade 8. Escreva na lousa, em linguagem corrente, o que eles perceberem sobre a posição da ﬁgura e o número de quadrados vermelhos e pretos. Leia a expressão 2 × p + 6 assim: o dobro do número que indica a posição adicionado a 6, ou 2 vezes o nú-

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mero que indica a posição adicionado a 6, para que fique clara a operação que se faz entre 2 e p. A simplificação 2p sem nenhum símbolo para expressar a multiplicação entre um número e uma variável só se justifica pela economia da escrita. O ideal é que as simplificações simbólicas sejam apresentadas

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no ﬁm, e não no começo de um processo. Ao organizar as ideias dessas atividades e apresentar a expressão algébrica, compare-a com uma expressão numérica explorando exemplos: ﬁg v q 2ª 2 2×2+6 5ª 5 2×5+6 9ª 9 2×9+6

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• Produzir e interpretar escritas algébricas em situações que envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações numéricas e padrões.

Resposta pessoal

Ao número dito adiciona-se 5.

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– 20

Nas atividades 1 e 2, os focos são: a) a compreensão das operações entre os números ditos e os respondidos; b) o conceito de variável. Na sistematização, destaque estas ideias, sem utilizar expressões algébricas.

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Peça aos alunos que registrem a conceituação.

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III

-2

-1

-5

-3

-1

Resposta possível

Na atividade 4, os grupos devem trocar cadernos para um avaliar o que o outro fez. Socialize os quadros e discuta as escolhas dos alunos de modo a veriﬁcar o que eles conseguiram compreender das atividades realizadas.

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Aproveite a atividade 5 para: a) mostrar como se lê expressões algébricas. Evitar leituras do tipo "2n mais 1", que não explicita a operação existente entre a constante 2 e a variável n; b) conversar sobre a diferença entre n² e 2 · n.

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• Produzir e interpretar escritas algébricas em situações que envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações numéricas e padrões.

2 (x + 1) x+1 x2 + 1 3x (x + y)2

Sim. Por exemplo, 3 (t – 2) e 3t – 6

Antes da atividade 1, escreva em tirinhas de papel relações como as desta atividade. Nas duplas, um aluno escolhe uma tirinha e o outro, por meio da brincadeira do número dito e respondido, descobre que relação o colega tirou; depois, invertem-se os papéis. Posteriormente, os próprios alunos inventam as relações para os co-

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legas adivinharem, escrevendo-as em linguagem algébrica. Faça uma coletânea dessas frases na lousa e peça aos alunos que as registrem no caderno. Na atividade 2, incentive a leitura correta das expressões algébricas e retome com os alunos a diferença entre a2 e 2a. Proponha a construção de tabelas, para que

eles percebam a diferença entre a2 + 1, 2a + 1 e (a + 1)2. Socialize as respostas do item b, para a elaboração da redação coletiva, que organiza e sistematiza as ideias e procedimentos matemáticos das atividades desta página.

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• Produzir e interpretar escritas algébricas em situações que envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações numéricas e padrões.

Neste jogo, os alunos devem relacionar a escrita algébrica com a linguagem corrente, para se familiarizar e estabelecer relações entre elas. Depois da atividade, promova uma conversa e incentive os alunos a dizer como inter-

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pretaram as escritas simbólicas e as escritas da linguagem corrente, quais acharam fáceis e em quais tiveram diﬁculdade e como encaminharam o problema. Diga-lhes que registrem essa conversa, para consultas posteriores.

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• Produzir e interpretar escritas algébricas em situações que envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações numéricas e padrões.

O resultado será o dobro do número pensado.

Pense um número. Adicione 2. Dobre o resultado. Subtraia 4.

O número pensado.

Na atividade 1, incentive a exposição das ideias, o registro no caderno e a investigação sobre as respostas que desvendam a relação: o número pensado é a metade do resultado, pois: 2 (x + 2) – 4 = 2x + 4 – 4 = 2x Neste momento, não apresente esta explicação aos alunos.

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Ao explorar mais um esquema para representar procedimentos de resolução ou organizar ideias e informações, a atividade 2 amplia a compreensão do pensamento algébrico: a tradução da linguagem corrente para a linguagem algébrica e a concepção da álgebra como estudo das estruturas.

Para saber mais, leia o texto “Investigações relativas à álgebra” (páginas 110 a 114) da publicação Orientações Curriculares Ensino Fundamental II – Matemática da S.M.E.S.P.

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Resposta pessoal. Por exemplo: (x + 4) ∙ 3 – 5 – 3x + 2 = 3x + 12 – 3 – 3x = 9 ou pode usar valores numéricos e fazer as operações.

+4 + 12 + 12 – 5 +7 7+2=9

Dependendo do conhecimento que possui, o aluno pode resolver o item a fazendo manipulações algébricas, ou atribuir diversos valores e fazer as operações indicadas na charada: número = 2 → 2 + 4 = 6 → 3 × 6 = 18 → 18 – 5 = 13 → 13 – 6 = 7 → 7 + 2 = 9

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Se isto ocorrer, observe se não há erros de registro. Por exemplo, 2 + 4 = 6 × 3 = 18 – 5 = 13 – 6 = 7 + 2 = 9, que implica na igualdade 2 + 4 = 9. Explique o signiﬁcado do símbolo =. Anote as resoluções algébricas e retome-as após as atividades da página seguinte

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• Produzir e interpretar escritas algébricas em situações que envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações numéricas e padrões. Inicialmente, estas atividades podem ser resolvidas individualmente. pensei em um número adicionei 2

multipliquei o resultado por 3

subtraí 6

Os focos da atividade 1 são: a) a manipulação de expressões algébricas; b) a ampliação de estratégias para desvendar as charadas. Converse com os alunos sobre a representação de “multiplicar o resultado por 3”, que pode ser 3∙(x + 2) ou, como mostra o es-

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adicionei 2

x+2

multipliquei o resultado por 2

2 ∙ (x + 2) = 2 ∙ x + 4

subtraí 4

2∙x

subtraí uma vez o número; dividi o resultado por 2

quema, a soma do mesmo número três vezes. Como representar o triplo de um número? Pode-se fazer a adição de parcelas iguais (x + x + x), que é a ideia presente na coluna 2 da tabela. No ﬁm da atividade 2, é importante que os alunos organizem as ideias que foram trabalhadas.

Mostre-lhes por que é possível adivinhar o número pensado e aproveite para retomar diﬁculdades ligadas à tradução e à manipulação das expressões algébricas, a partir das respostas dadas nas atividades das páginas 76 e 77.

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x x+1

+ 3 3 ∙ (x + 1) = 3 ∙ x + 3 3∙x+3–3 3 ∙ x = 12 ou x + x + x = 12

A atividade 1 pode ser resolvida tanto por representação algébrica como por meio de um esquema. Antes da atividade 2, sugira e coordene a exposição dos procedimentos e a discussão em torno daqueles que resolveram a situação. Oriente os registros no

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caderno, pois serão retomados. Se surgirem equações do 1o grau, ao explorar os registros do quadro, é imprescindível discutir qual é o número que multiplicado por 3 dá 12, ou qual é número cujo triplo é 12, ou qual é o número tal que x + x + x = 12.

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Neste momento, valorize todas as resoluções que determinam corretamente o valor de x. Retome os procedimentos apoiados na equação do 1º grau após a realização das atividades das páginas 82 e 83.

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• Produzir e interpretar escritas algébricas em situações que envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações numéricas e padrões.

Resposta pessoal

×6

+14

÷6

−14

92 92

Você pensou no número 13.

Resposta pessoal, mas destacar que elas desfazem o que fazem as operações iniciais. A subtração desfaz a adição e vice-versa, e a divisão exata desfaz a multiplicação e vice-versa.

A proposta aqui é dar aos alunos a oportunidade de usar operações inversas para descobrir o número pensado. Além de ser uma excelente estratégia de resolução para esse tipo de problema, o uso das operações inversas contribui para a compreensão dos procedimentos de resolução de uma equação.

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Na atividade 1, espera-se que os alunos indiquem o uso de operações inversas. Socialize as respostas e organize as ideias. Na atividade 3, produza um texto coletivo com as contribuições dos alunos. Complemente-o com exemplos.

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• Produzir e interpretar escritas algébricas em situações que envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações numéricas e padrões.

55 ÷5

65 −10

56 −6

÷2

×4

112

1.000

200

800

×5

200

112

1.000

−1

÷4

800

+25

775

Resposta pessoal

As atividades desta página pretendem que os alunos explorem a ideia das operações inversas e as relacionem com as propostas de “pensei em um número”.

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Na atividade 2, socialize as adivinhações criadas, veriﬁque se estão corretas e aproveite para reforçar as ideias de operação inversa.

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Resposta pessoal, no entanto, espera-se que o aluno responda que ele utilizou operações inversas para encontrar a resposta.

pensei em um número dividi-o por 5 multipliquei o quociente por 4 subtraí 25 do produto o resultado obtido foi 775

x x÷5 (x ÷ 5) ∙ 4 (x ÷ 5) ∙ 4 – 25 (x ÷ 5) ∙ 4 – 25 = 775

(x ÷ 5) ∙ 4 = 775 + 25 (x ÷ 5) ∙ 4 = 800 (x ÷ 5) = 800 ÷ 4 x = 200 ∙ 5 x = 1.000

1.000

Nesta página, os alunos utilizarão as operações inversas na resolução de equações do 1º grau. Na atividade 1, o quadro apresenta uma adivinhação, transporta a linguagem algébrica e sua respectiva resolução utilizando as operações inversas.

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Após a resolução da atividade 2, organize e sistematize as ideias sobre a resolução de equações por meio das operações inversas. Em seguida, retome as resoluções algébricas da página 79.

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pensei em um número adicionei 6 multipliquei a soma por 2 dividi o produto por 4 encontrei 286

x x+6 (x + 6) ∙ 2 (x + 6) ∙ 2 ÷ 4 (x + 6) ∙ 2 ÷ 4 = 286

(x + 6) ∙ 2 = 286 ∙ 4 (x + 6) = 1.144 ÷ 2 x + 6 = 572 x = 572 – 6 x = 566

566

Resposta pessoal

Aproveite a atividade 3 para conversar com os alunos sobre o procedimento conhecido como “passar para o outro lado com o sinal contrário”. A aplicação desse procedimento sem compreensão pode causar alguns erros como, por exemplo, 3x = 12 → x=

Para auxiliá-los, insista nas justiﬁcativas baseadas nas operações inversas. Sem expor os autores, escreva no quadro equações resolvidas incorretamente e peça aos alunos que, além de descobrir os erros, corrijam-nos.

= –4

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4x + 12 = 2x + 12 + 8  4x + 12 – 12 = 2x + 20 – 12  4x = 2x + 8  4x – 2x = 2x – 2x + 8  2x = 8  x = 4

A proposta da atividade desta página é que o aluno produza e interprete diferentes escritas algébricas, identiﬁcando as equações e usando-as na resolução de situações-problema. A atividade também prepara os alunos para a resolução de equações do 1º grau por meio dos princípios da igualdade.

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Antes da atividade 1, veriﬁque se eles sabem o que é equilíbrio, se já viram uma balança de dois pratos e se sabem com funciona. A ideia é que os problemas sobre o equilíbrio de balanças levem os alunos a perceber outro procedimento de resolução de uma equação e a construir a noção de raiz de uma equação.

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Resposta pessoal. Por exemplo, um desenho tirando os objetos da balança ou 3x + 3 = x + 23  3x + 3 – 3 = x + 23 – 3  3x – x = 20  x = 10 quilos

Resposta pessoal. Por exemplo, um desenho tirando os objetos da balança ou 3x + 3 = x + 12 + 13  3x + 3 = x + 25  3x + 3 – 3 = x + 25 - 3  3x = x + 22  3x – x = x – x + 22  2x = 22  x=

 x = 11

Esta sequência de atividades com balanças tem como objetivo explorar a resolução de problemas, utilizando equações, e as resoluções que envolvem o princípio de igualdade.

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Após a correção da atividade 2, produza junto com os alunos um texto cujo título seja: “Os princípios da igualdade e a resolução de equações do 1º grau”.

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Resposta pessoal, mas espera-se que os alunos reconheçam equivalências algébricas, a utilização da igualdade no equilíbrio e também o uso das operações inversas.

A atividade 1 faz uma analogia entre o equilíbrio e a igualdade, com a explicitação do papel dessa igualdade no cálculo de um valor desconhecido. É importante destacar a incógnita e a raiz, nessa situação. Comece também a sistematizar os conceitos e

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procedimentos que envolvem a resolução de equações do 1o grau. Terminada a atividade 2, organize as ideias em torno da resolução de uma equação de 1o grau: o princípio de igualdade e a equivalência entre escritas algébricas.

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0,5 quilo

2,5 quilos

Depois, aproveite as atividades 3 e 4 para avaliar o que os alunos aprenderam e o que deve ser retomado.

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6 kg

Depois do trabalho inicial com balanças, que introduziu a ideia de equilíbrio e desencadeou a compreensão das propriedades da igualdade, as atividades desta página reforçam os procedimen-

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tos de resolução de equações; aproveite-as para retomar as diﬁculdades surgidas na resolução das atividades das páginas anteriores.

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• Produzir e interpretar escritas algébricas em situações que envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações numéricas e padrões. Estas atividades podem ser resolvidas em dupla.

Porque o dobro de qualquer número natural é um número par.

2 ∙ n + 1, existem outras possibilidades

Por exemplo, a ∙ b + a ∙ c = a ∙ (b + c)

Nas atividades desta página, as variáveis generalizam padrões numéricos que foram construídos na aritmética. É importante que os alunos observem padrões e os generalizem como, por exemplo,

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quando se escrevem a propriedade comutativa da multiplicação (a ∙ b = b ∙ a) e outras propriedades. Você também pode explorar a escrita do sucessor de um número (x + 1) ou do antecessor (x − 1).

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• Analisar, em poliedros, a posição relativa de duas arestas (paralelas, perpendiculares, reversas) e de duas faces (paralelas, perpendiculares). Estas atividades devem ser resolvidas em dupla.

Na atividade 1, oriente os alunos quanto ao uso de régua, esquadro, compasso e transferidor para o desenho dos quadrados e dos triângulos equiláteros.

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Alguns sim, outros não, dependendo se estão em arestas paralelas ou que se cruzam (perpendiculares).

Sim

4 pares

Arestas reversas

Nas atividades 3 a 6, os alunos devem reﬂetir sobre esses conceitos geométricos por meio da experimentação. Veriﬁque o que eles sabem sobre retas paralelas, perpendiculares e reversas e peça exemplos. Colados sobre as ares-

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tas de um cubo, os canudinhos ajudarão na visualização das retas perpendiculares, paralelas e reversas. A partir daí, podem se estabelecer relações entre as arestas como segmentos dessas retas. É importante destacar a

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compreensão das posições relativas entre as arestas de um cubo. No ﬁm da atividade 6, organize o que os alunos aprenderam até agora sobre a posição de duas arestas e um cubo.

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• Analisar, em poliedros, a posição relativa de duas arestas (paralelas, perpendiculares, reversas) e de duas faces (paralelas, perpendiculares).

Se cruzam, mas, quando estão em arestas das faces laterais, não são perpendiculares nem paralelos; quando estão em arestas da base, são paralelas duas a duas ou perpendiculares, se forem consecutivas (como nas faces do cubo).

Em cada face, há dois pares de arestas paralelas e quatro pares de arestas perpendiculares.

Na base, há arestas paralelas e perpendiculares. Nas faces laterais, as arestas não são nem perpendiculares, nem paralelas.

Na atividade 2, a proposta da análise comparativa pretende, além de identiﬁcar as relações entre as arestas de cada sólido, que os alunos percebam e reiterem as diferenças entre prismas e pirâmides.

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x x+1 (x + 1) ∙ 2 (x + 1) ∙ 2 + 2 [(x + 1) ∙ 2 + 2] ÷ 2 2

pense em um número adicione 1

multiplique por 4

divida por 4 subtraia o número pensado

+1 1

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x=6

t = 2p

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• M4 Identiﬁcar em situações-problema grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou nem diretamente, nem inversamente proporcionais. • M5 Resolver situações-problema que incluem grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais por meio de estratégias variadas (incluindo a regra de três). • M6 Resolver situações-problema que abrangem o cálculo de juros simples e utilizar porcentagem para cálculo de descontos e de acréscimos simples, fazendo uso da calculadora. • M7 Produzir e interpretar escritas algébricas, em situações que envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações numéricas e padrões. • M8 Construir procedimentos para calcular o valor numérico e efetuar operações com expressões algébricas, utilizando as propriedades conhecidas, em situações-problema. • M9 Traduzir situações-problema por equações do 1º grau utilizando as propriedades da igualdade na construção de procedimentos para resolvê-las e discutindo o signiﬁcado das soluções (raízes) encontradas em confronto com a situação proposta. • M15 Explorar propriedades como as referentes às alturas e medianas de um triângulo. Material necessário para o desenvolvimento da Unidade: calculadora  régua  compasso  papel cartão  barbante  conta de energia elétrica 

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Rogério aplicou operações inversas. Beatriz resolveu uma equação e aplicou o princípio da igualdade.

É importante registrar que o valor da incógnita que torna verdadeira a sentença matemática é chamado raiz da equação.

A proposta da atividade 1 é que, em dupla, os alunos revejam dois procedimentos para resolução de equações do 1º grau, presentes nos itens a e b. Estabeleça, junto com a classe, semelhanças e diferenças entre os procedimentos de Rogério e de Beatriz.

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Sim, porque 3 ∙ 15 + 15 = 45 + 15 = 60

A atividade 2 foi proposta para apresentar aos alunos o conceito de raiz de uma equação. Oportunamente, dê outras equações como exemplo, sempre explicitando o papel da raiz (ou solução).

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Rogério escreveu uma sentença matemática, com um valor desconhecido, que representa o problema. Depois, usou algumas propriedades da igualdade para calcular esse valor, que é resposta para o problema proposto.

Na atividade 3, é importante que os alunos estabeleçam relações entre as explicações de Rogério e o que aprenderam na Unidade anterior com as balanças, para compreender que propriedades da igualdade estão sendo aplicadas. Também convém retomar as propostas de “pense em um núme-

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ro”, para eles terem clareza sobre os modos de resolver equações e principalmente que uma equação é um recurso para a resolução de problemas. Incentive registros reﬂexivos sobre essas questões. A ênfase agora é na resolução de equações pela aplicação de propriedades da igualdade e das

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operações. É importante destacar que, desse modo, obtêm-se equações equivalentes, que têm a mesma raiz. Peça aos alunos que analisem as transformações propostas e veriﬁquem se cada equação é equivalente à inicial.

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Semelhanças e diferenças: resolveram equações com o mesmo procedimento, mas Beatriz fez etapas mentalmente.

Ao ﬁnal, esclareça que Beatriz usou o mesmo procedimento que Rogério (aplicando propriedades da igualdade), mas fez algumas passagens mentalmente. O objetivo aqui é identiﬁcar essas passagens e usá-las para resolver

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outras equações, de uma forma mais rápida e simples, compreendendo o procedimento. Ressalte a importância da socialização das análises dos dois procedimentos e dos registros.

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3x – 1 = 2x x=1

2m +

= 17,5

m = 7,5

3t − 11 = t = 4,4

Nas atividades 1 e 2, os alunos devem, em dupla, explorar as equações como estratégias para resolver problemas e aplicar propriedades da igualdade e das operações. Depois, peça às duplas que comparem seus procedimentos. Na socialização, retome os erros e as diﬁculdades observadas durante a resolução das equações.

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equação: x +

x = 120

meninas: 75 meninos: 45

equação: x + x +

x + 10 = 250

João e Paula: 72 figurinhas cada um Sílvia: 48 figurinhas Guilherme: 58 figurinhas

O objetivo das atividades desta página é a tomada de decisão sobre estratégias de resolução de problemas. Diante de diﬁculdades, organize os alunos em duplas e oriente a consulta aos textos e às atividades resolvidas anteriormente.

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Após a socialização dos procedimentos, organize-os em 2 painéis: • painel I: procedimentos algébricos de resolução; • painel II: procedimentos aritméticos de resolução.

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equação: x + x + 1 + x + 2 = 510 números: 169, 170, 171

equação: 6x + 2x =76 largura: 9,5 cm; comprimento: 28,5 cm; área = 270,75 cm2

Para resolver a atividade 3, os alunos devem recorrer ao que sabem sobre números consecutivos e como escrevê-los, por exemplo: (x – 1, x, x + 1) ou (x, x + 1, x + 2) ou (x – 2, x – 1, x).

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Para a atividade 4, retome na Unidade anterior o que se explorou sobre o conceito de perímetro para calcular a área de um retângulo a partir da medida do perímetro e de informações sobre a medida dos lados.

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Equação: x + 5 ∙ (2x) = 3x – 8. Como a solução da equação é x = – 1 e o enunciado pede um número natural, o problema não tem solução.

Equação: 2x – 10 = 4 ∙

. Impossível.

Equação: 2x – 2 ∙ (x – 1) = 2. Qualquer valor inteiro de x.

Resposta pessoal

Antes de iniciar as atividades, retome os conceitos de raiz de uma equação, variável e incógnita. Na atividade 1, espera-se que eles percebam que a raiz da equação não é a solução do problema. Na atividade 2, a sentença é falsa para qualquer valor de x, por-

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tanto, não há solução. A equação da atividade 3 não possui solução, leve os alunos a perceber que, para qualquer valor atribuído a x, a sentença é verdadeira. É importante que os alunos compartilhem e confrontem o que observaram em cada equação e

suas possíveis soluções. Na atividade 4, eles devem trocar o caderno com o colega de dupla e depois socializar seus procedimentos com a classe. Organize e sistematize as ideias a partir das respostas dos alunos na atividade 4.

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• Traduzir situações-problema por equações do 1º grau utilizando as propriedades da igualdade na construção de procedimentos para resolvê-las e discutindo o signiﬁcado das soluções (raízes) encontradas em confronto com a situação proposta. • Construir procedimentos para calcular o valor numérico e efetuar operações com expressões algébricas, utilizando as propriedades conhecidas, em situações-problema. • Produzir e interpretar escritas algébricas, em situações que envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações numéricas e padrões.

Resposta pessoal

Um dos objetivos da atividade 1 é levar os alunos a reﬂetir sobre o que vêm estudando a partir de seus registros. Saliente que, ao pensar no que devem escrever e no modo de fazê-lo, eles retomam o que aprenderam, organizam suas ideias e percebem o que devem voltar a estudar.

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R$ 272,00

R$ 148,84

Durante a correção da atividade 2, leve os alunos a pensar nas vantagens e desvantagens de se usarem equações em diferentes situações. Por exemplo, os itens a e c podem ser resolvidos mentalmente, sem necessidade de uma equação, e o item d pode ser resolvido por aritmética.

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Os itens b e e, sim, são resolvidos mais rapidamente por equações. É interessante promover um debate em que os alunos comentem suas escolhas (cálculo mental ou escrito ou equação). Ao ﬁnal, registre as conclusões e peça aos alunos para fazerem o mesmo.

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0 °C 212 °F

50 °C 14 °F

Estas atividades podem ser resolvidas em dupla. 10 ºF, porque equivalem a aproximadamente –12,22 ºC.

Resposta depende da temperatura do dia.

–5 °C

As atividades 1, 2, 3 e 4 envolvem a substituição de um valor numérico numa fórmula e a resolução de equações do 1º grau. Na atividade 4, peça aos alunos que observem o que se pede e como se pode calculá-lo com essa fórmula. Socialize as estratégias que surgirem.

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• Construir procedimentos para calcular o valor numérico e efetuar operações com expressões algébricas, utilizando as propriedades conhecidas, em situações-problema. • Produzir e interpretar escritas algébricas, em situações que envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações numéricas e padrões.

Depois de resolver problemas por meio de equações, exploraremos situações que envolvem fórmulas, pois elas concorrem para que os alunos aprimorem sua noção de variável. Na atividade 1, retome a diferença

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entre incógnita e variável e questione os alunos sobre os valores substituídos na fórmula e suas respectivas unidades – por exemplo, 0,3, que representa aproximadamente um terço de hora (ou 20 minutos).

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R$ 11,52; R$ 38,40

24 kWh

R$ 7,68

Resposta pessoal

Aproveite estas atividades para discutir questões importantes sobre energia elétrica. Explique aos alunos que as análises feitas em classe sobre o consumo de determinados aparelhos podem ajudá-los a orientar sua família a economizar energia elétrica. É interessante propor uma pesquisa sobre as diferentes fontes de

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energia utilizadas no Brasil e suas implicações ambientais e como o consumo indiscriminado de energia pode afetar o meio ambiente. Antes de eles resolverem o item c, imaginem juntos uma família hipotética – o número de pessoas, os aparelhos que ela possui e o tempo que cada um deles ﬁca ligado em um mês.

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Para a atividade 2, peça aos alunos da dupla que comparem as medições do mês anterior e do último, sabendo que essa diferença representa o consumo de energia elétrica do mês. Se for o caso, tire cópia de uma conta e oriente o grupo em sua leitura.

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R$ 417,75

Aproximadamente 444 km

As atividades desta e da próxima página exploram o cálculo numér ico de diferentes expressões obtidas pela aplicação de uma fórmula e a resolução de equações do 1º grau.

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R$ 428,00

Na primeira locadora

295 km; 333,33 km

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• Identiﬁcar em situaçõesproblema grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou nem direta, nem inversamente proporcionais. • Resolver situações-problema que incluem grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais por meio de estratégias variadas (incluindo a regra de três).

Sim, porque as grandezas não são diretamente proporcionais.

A continuidade do trabalho com variação de grandezas pretende que os alunos percebam diferentes formas de relacioná-las e discutam a resolução de problemas desse tipo.

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Na atividade 1, socialize as justiﬁcativas, fazendo com que os alunos possam construir argumentos mais consistentes sobre a relação entre grandezas.

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À medida que a velocidade diminui, o tempo aumenta; o produto da velocidade pelo tempo é sempre constante.

Tempo três vezes maior: 9 horas

Depois da atividade 4, discuta com os alunos o resumo lido e peça outros exemplos de grandezas inversamente proporcionais.

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• Identiﬁcar em situações-problema grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou nem direta, nem inversamente proporcionais. • Resolver situações-problema que incluem grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais por meio de estratégias variadas (incluindo a regra de três).

O preço diminui. Não.

Não são inversamente proporcionais; se fossem, 10 camisetas deveriam custar R$ 8,00 cada uma.

Não, porque, quando a idade dobra, a altura não dobra.

Na atividade 1, embora o preço diminua quando se aumenta o número de camisetas, as grandezas envolvidas não são inversamente proporcionais, pois, quando se compra um número de camisetas duas vezes maior, o preço da cada camiseta diminui, mas não à metade.

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A atividade 2 envolve grandezas que aumentam, mas não proporcionalmente: a idade e a altura de uma pessoa, por exemplo. No ﬁm, sistematize com os alunos o que foi aprendido resolvendo estas atividades.

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• Identiﬁcar em situações-problema grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou nem direta, nem inversamente proporcionais.

tabela 1: grandezas inversamente proporcionais; tabela 2: não são direta nem inversamente proporcionais;

A razão é

tabela 3: grandezas diretamente proporcionais.

; sim

Sim

Duas grandezas x e y são inversamente proporcionais quando x ∙ y = k.

Nesta página, analisam-se três tipos diferentes de variação entre duas grandezas x e y. A observação de regularidades em cada uma das tabelas permitirá que os alunos percebam que grandezas são diretamente proporcionais quando = k e inversamente proporcionais quando xy = k, sendo k uma constante.

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Explore essas relações como forma de identiﬁcação e de análise das características da variação de grandezas. É importante que os alunos retomem as propostas anteriores e veriﬁquem se essas relações foram satisfeitas. Ajude-os a fazer uma síntese coletiva e um registro sintético das ideias trabalhadas.

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• Resolver situações-problema que incluem grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais por meio de estratégias variadas (incluindo a regra de três).

Resposta possível: Rogério usou equivalência de frações e Beatriz, regra de três.

Esta atividade veriﬁca se os alunos já conhecem a regra de três. Em caso contrário, será a introdução deste procedimento.

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• Resolver situações-problema que incluem grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais por meio de estratégias variadas (incluindo a regra de três).

Sim, pois

a∙d=b∙c

26 × 21 = 546

182 × 3 = 546

a∙d=b∙c

 1 ∙ 12 = 3 ∙ 4

Na atividade 1, depois da discussão deste quadro, retome o procedimento de Beatriz no problema da página anterior e compare-o com o de Rogério. Nos dois casos, apareceu uma fração com numerador 182 que deveria

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ser equivalente a

, ou seja,

tratava-se de descobrir o valor de y na proporção:

Beatriz usou a propriedade das proporções: 26 ∙ y = 3 ∙ 182.

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Depois da atividade 2, explore outras situações envolvendo a ideia de proporção e a propriedade destacada anteriormente. Em dupla, os alunos podem formular outros problemas e trocá-los com os colegas, que devem veriﬁcar se há proporcionalidade.

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• Resolver situações-problema que incluem grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais por meio de estratégias variadas (incluindo a regra de três).

Resposta pessoal. Por exemplo: usou o fato de que o produto é constante; usou a regra de três...

Para fazer esta previsão, os dois alunos verificaram, primeiramente, se as grandezas eram diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais. É importante destacar esta ação. Depois da análise da atividade 1, faça uma síntese das ideias tratadas: razão, proporção, regra de

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três para grandezas inversamente proporcionais e a diferença quando se trata de grandezas diretamente proporcionais. Socialize os textos dos alunos e forme um texto coletivo enfatizando o uso da regra de três em situações envolvendo grandezas diretamente proporcionais.

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16 horas

7 pacotes e meio; 20 pacotes

Para resolver estes problemas, os alunos, em dupla, podem escolher livremente sua estratégia, fazendo uso da regra de três ou não. Acompanhe as diferentes resoluções e socialize-as, sempre discutindo por que usar cada uma delas, inclusive a regra de três.

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Também é bom que os alunos criem outros problemas envolvendo relações de proporcionalidade ou não entre grandezas, troquem-nos com o colega de dupla e registrem o que aprenderam.

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• Resolver situações-problema que abrangem o cálculo de juros simples e utilizar porcentagem para cálculo de descontos e de acréscimos simples, fazendo uso da calculadora.

R$ 2.140,00

R$ 367,36

Ajude os alunos a perceber que, diferentemente das situações anteriores, na atividade 1, R$ 1.990,20 não representam o total, mas apenas 93% do preço do computador, se ele for pago à vista.

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Pagar sem acréscimo.

R$ 1.168,00

R$ 269,00

Dê outros exemplos de situações que envolvam juros simples.

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• Resolver situações-problema que abrangem o cálculo de juros simples e utilizar porcentagem para cálculo de descontos e de acréscimos simples, fazendo uso da calculadora.

12.360,00

180,00

12.540,00

180,00

12.720,00

R$ 17.720,00

R$ 125,00

R$ 625,00; R$ 5.625,00

É interessante usar calculadora para resolver as atividades desta página. Para explorar o conceito de juros simples e seu cálculo, ainda não há necessidade de fórmulas como j = C∙i∙t. O importante é trabalhar com porcentagem. Como as taxas de juros simples são proporcionais, pode-se divi-

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di-las ou multiplicá-las, conforme o período de tempo considerado. Por exemplo, um capital aplicado por 25 dias a uma taxa de 15% ao trimestre corresponde a uma taxa de 15% ÷ 90 = 0,16% ao dia. Essa resolução se aplica a juros simples. Em problemas de porcentagem envolvendo descon-

tos e acréscimos, é importante questionar os alunos sobre a pertinência da regra de três. Oriente-os a explorar essa estratégia e peça-lhes que perguntem a outras pessoas (da família, por exemplo) como resolveriam esses problemas e tragam as respostas para socializar.

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10 trimestres, ou 30 meses

Adicionou os dois valores: 20% + 20% = 40%

Por exemplo, um funcionário que ganha R$ 1.000,00: Salário

1º aumento

2º aumento

1.000

1.200

1.440

R$ 440 é 44% de R$ 1.000,00

Na atividade 4, os alunos podem utilizar salários imaginários, ou calcular 20% de 120. Socialize e discuta os procedimentos.

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• Resolver situações-problema que abrangem o cálculo de juros simples e utilizar porcentagem para cálculo de descontos e de acréscimos simples, fazendo uso da calculadora.

Suco: R$ 2,45; leite: R$ 1,80; bolacha R$ 1,12; shampoo: R$ 4,79

Suco: R$ 0,75; leite: R$ 0,69; bolacha R$ 0,33; shampoo: R$ 0,71

As atividades 1 e 2 preparam os alunos para o cálculo de taxas percentuais.

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Rogério usa a razão entre quantias e Beatriz usa a regra de três.

Suco: 30,61%; leite: 38,33%; bolacha 29,46%; shampoo: 14,82%

Na atividade 4, os alunos farão os cálculos das taxas percentuais de lucro sobre a venda. Eles podem usar os dois procedimentos, ou outro que julgarem conveniente. Socialize-os e discuta as diferentes soluções.

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Andréa: o valor do juro mensal é o mesmo. Banco: o valor do juro mensal muda de um mês para o outro, pois é calculado sobre o total devido no mês anterior.

Esta atividade amplia o conhecimento dos alunos sobre regimes de juros aplicados em transações ﬁnanceiras e permite discutir com eles como e quando são utilizados. Peça uma pesquisa sobre os signiﬁcados das expressões

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“juros simples” e “juros compostos” e sistematize as ideias a partir das anotações dos alunos. Dê exemplos de outras situações envolvendo o regime de juros compostos.

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• Explorar propriedades como as referentes às medianas de um triângulo.

congruentes

Espera-se que os alunos percebam o que é mediana por experimentação, medindo segmentos com régua. Depois, eles construirão medianas. Embora as medidas empíricas gerem imprecisões,

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elas são importantes para que percebam as relações que estão sendo exploradas. Na atividade 2, se for preciso, explique o signiﬁcado da palavra congruente.

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• Explorar propriedades como as referentes às medianas de um triângulo. Estas atividades podem ser resolvidas em dupla.

O triângulo ﬁca na posição horizontal.

É interessante fazer esse experimento com os alunos para que percebam o que de fato signiﬁca ponto de equilíbrio do triângulo é a importância do baricentro.

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• Explorar propriedades como as referentes às medianas de um triângulo.

F G

1,5

A medida de AG é o dobro da medida de GD: estão na razão 2 para 1. (Vale o mesmo para os outros pares.)

Espera-se que os alunos, em dupla, percebam experimentalmente que o baricentro divide cada mediana em dois segmentos cujas medidas estão na razão de 1 para 2. Explique que, com o uso de réguas, certamente haverá pequenas distorções nessas

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medidas, de modo que as razões calculadas serão próximas de

Existem também programas de geometria dinâmica que podem ser interessantes para este trabalho. (Por exemplo, no site www.edumatec.mat.ufrgs.br).

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O baricentro divide cada uma das medianas do triângulo em dois segmentos cujas medidas estão na razão de 2 para 1.

8,4

4,2

5,2

2,6

6,2

3,1

2,4

1,2

6,8

3,4

3,8

1,9

A mediana ﬁca dividida em dois segmentos, de tal modo que a medida do maior é o dobro da medida do menor.

Na atividade 4, os alunos aplicarão o que aprenderam em relação ao baricentro na atividade anterior.

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R$ 1.020,00

R$ 1.035,00. O preço a prazo é R$ 135,00 a mais do que o preço à vista.

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2.464,28 kg

Aproximadamente 16 dias e meio

10 semanas

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10 operários

Mais novo: R$ 65,00; do meio: R$ 105,00; mais velho: R$ 130,00

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t=5

Por exemplo, com a 1ª equação: o dobro do sucessor de um número menos o triplo do seu antecessor é igual à metade do número; com a 2ª equação: a metade do antecessor de um número é igual à terça parte do seu sucessor.

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2o semestre

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Nesta Unidade, os temas que serão trabalhados se referem à álgebra, às propriedades das diagonais de polígonos e quadriláteros em especial. Nessas atividades, as operações entre polinômios são propostas por meio da articulação com as operações aritméticas.

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A analogia entre essas operações permite que os alunos compreendam as relações algébricas. Além disso, outra articulação essencial que será explorada com a álgebra e a aritmética são as representações geométricas por meio das áreas de ﬁguras retangulares.

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• Construir procedimentos para calcular o número de diagonais de um polígono pela observação de regularidades existentes entre o número de lados e o de diagonais.

Sim, porque unem dois vértices não consecutivos do polígono.

Nenhuma Duas Duas

Resposta pessoal

A atividade 2 poderá ser realizada em dupla e com a utilização de dobraduras. Ao dobrar as ﬁguras, o aluno pode “visualizar” as diagonais de um polígono e perceber que elas ligam dois vértices não consecutivos; e que existem diagonais coincidentes, as quais dividem os polígonos em triângulos. É importante iden-

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tiﬁcar que, além de polígonos convexos, existem os não convexos, isto é, aqueles nos quais o segmento determinado por dois pontos quaisquer de sua região interna não está completamente contido na região interna, como nas ﬁguras A e B. Ao traçar as diagonais dos polígonos não convexos, é interessante obser-

var que, muitas vezes, as diagonais se superpõem ou coincidem com os lados. Vale ressaltar que o aluno, para desenvolver o pensamento geométrico, precisa vivenciar situações em que possa usar sua percepção, conjecturar, prever possíveis soluções e, principalmente, construir conceitos.

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• Construir procedimentos para calcular o número de diagonais de um polígono pela observação de regularidades existentes entre o número de lados e o de diagonais.

O número de diagonais é o número de lados menos três.

17 diagonais

d=n–3

Não, porque, se ﬁzermos assim, teremos o dobro de diagonais; elas começam a se repetir, pois já foram desenhadas a partir de outro vértice.

Essa atividade poderá ser realizada pela mesma dupla, dando continuidade à proposta anterior. Destacar que a observação do que existe em comum nas duas colunas é complementada pela construção das diagonais. As duas propostas juntas permitem que os alunos identiﬁquem as re-

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lações entre o número de lados de um polígono e suas diagonais. Peça que desenhem as diagonais com cores diferentes para perceberem que existem diagonais coincidentes; que, se multiplicarmos o número de diagonais que “saem” de um único vértice pelo número de lados do polígono, o

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resultado será o dobro do total de diagonais, e que, portanto, é preciso dividir por dois para ter esse número. Sugira que analisem o que acontece com os números das colunas do quadro, ou seja, o resultado da terceira coluna é a metade do produto entre as outras duas.

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• Resolver situações-problema que envolvam propriedades dos quadriláteros.

BeC BeD B C A, B, C, D A, B, C, D. Os lados opostos possuem mesma medida. A, B, C e D EeF

Quadrado, retângulo, losango, paralelogramo.

A proposta é que os alunos identiﬁquem por meio das medidas dos lados e dos ângulos algumas propriedades dos quadriláteros, tais como: os retângulos – quadriláteros com quatro ângulos retos; losangos – quatro lados de mesma medida; paralelogramos

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– dois pares de lados paralelos; trapézios – apenas um par de lados paralelos. O uso da malha quadriculada favorece os cálculos das medidas, necessitando apenas da contagem dos quadrinhos para veriﬁcar se as medidas são iguais.

O transferidor para medir os ângulos possibilita aos alunos explorarem seu uso. Acompanhe-os nesse momento, orientando para o uso correto.

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Quadrado, retângulo

Quadrado, losango

EeF

Essa sequência de atividades visa a ajudar os alunos a organizar seus conhecimentos sobre as propriedades de alguns quadriláteros.

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• Resolver situações-problema que envolvam propriedades dos quadriláteros.

Diagonais perpendiculares cortam-se ao meio, mas no quadrado têm a mesma medida e no losango, não. Os quatro triângulos obtidos em cada uma das duas ﬁguras são congruentes.

O retângulo e o quadrado possuem diagonais de mesma medida, por exemplo.

Ao trabalharem com os quadriláteros, é importante os alunos observarem que: • todo quadrilátero tem duas diagonais; • uma diagonal do quadrilátero determina sempre dois triângulos; • nos quadriláteros convexos as diagonais necessariamente se interceptam;

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• podem-se perceber propriedades dos quadriláteros e identiﬁcá-las por meio de suas diagonais; • as diagonais podem se interceptar no ponto médio de ambas; no ponto médio de uma delas; ou fora do ponto médio das duas.

As relações envolvendo os pontos de intersecção entre as diagonais de um quadrilátero possibilitam perceber quais quadriláteros estão sendo trabalhados.

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• Resolver situações-problema que envolvam propriedades dos quadriláteros.

Quadrado

Losango (não quadrado)

Paralelogramo (não retângulo)

Essas atividades estão propostas como forma de veriﬁcar se o aluno compreendeu as propriedades das diagonais dos quadriláteros. Se perceber alguns equívocos, é interessante desenvolver o experimento com os canudinhos/varetas, caso não tenha sido realizada.

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• Resolver situações-problema que envolvam propriedades dos quadriláteros.

Quadriláteros

Essa atividade possibilita ao aluno perceber a articulação entre conceitos geométricos e a arte por meio da análise de algumas obras do pintor Cândido Portinari.

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A ideia é o aluno identiﬁcar um quadrilátero, que no cotidiano é chamado pipa, e veriﬁcar o “papel” das diagonais em sua construção (onde se apoiam as varetas).

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• Resolver situações-problema que envolvam propriedades dos quadriláteros.

Sim Sim Diagonal BD Simétrica

As diagonais

Embora no 8o ano não tenhamos abordado ainda o tema simetria, essa ideia já foi trabalhada em anos anteriores. Pode-se conversar com os alunos sobre o eixo de simetria existente na diagonal maior. A representação feita pelos alunos deve ser de um quadrilátero e suas diagonais (2).

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• Produzir e interpretar escritas algébricas, em situações que envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações numéricas e padrões. • Construir procedimentos para calcular o valor numérico e efetuar operações com expressões algébricas, utilizando as propriedades conhecidas, em situações-problema.

Sim; pela propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

Se A = 72 m2, x = 4,5 m; se A = 56 m2, x = 3,5 m. Então o comprimento pode variar de 3,5 m até 4,5 m.

Nessa sequência de atividades, a proposta é que os alunos estabeleçam relações entre a álgebra e a geometria, percebam que propriedades das expressões algébricas podem ser aprendidas pela articulação dos conceitos geométricos e os de

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medidas, como no caso da área de ﬁguras retangulares. Ao propor “a reforma da escola”, a intenção é que os alunos também “aprendam” a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e a apliquem nas operações entre polinômios.

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Bia calcula a área de uma região quadrangular, depois multiplica por 10 para achar o total. Pedro desenvolve a ideia de multiplicação na forma retangular.

Para área = 62,5 m2, y = 2,5 m. Para área = 22,5 m2, y = 1,5 m. Portanto, as medidas estão entre 1,5 m e 2,5 m.

Nessa atividade, aparece a região quadrangular, possibilitando reﬂexões sobre a multiplicação de monômios, e também a retomada da potenciação e de radiciação.

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39 m ou 41m; 21 m ou 35 m

A atividade apresenta a noção de perímetro e a soma de expressões algébricas.

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A = 3y2 + 8y + 4; 44,25 cm2 P = 8y + 8; 36 cm

A = 6x3; 384 cm2 P = 12x + 2x2; 80 cm

A = 2x2 + x; 36 cm2 P = 6x + 2; 26 cm

As propostas visam, mais uma vez, o estabelecimento de relações entre área de ﬁguras retangulares e expressões algébricas. Essas atividades oferecem um contexto interessante para o aluno efetuar cálculos algébricos, que, sem a articulação com a geometria, seriam apenas manipulações algébricas.

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A = x2 + 3x – 4; 24 cm2 P = 4x + 6; 22 cm

A = xy + 2y; 21 cm2 P = 2x + 2y + 4; 19 cm

A = 2xy + 3y; 38,5 cm2 P = 4x + 2y + 6; 29 cm

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X X

– 4x² e 4x²

5xy e

– 3ax² e 10ax²

As atividades dessa página, embora sejam de formalização e de apresentação de nomenclaturas, propõem “certo grau” de reﬂexão para que o aluno saiba o que são monômios, binômios e polinômios de modo geral.

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Espera-se que os alunos analisem as informações do quadro apresentado, buscando semelhanças nos exemplos para “retirar daí” as informações que precisam ser conhecidas e utilizadas em outros momentos do estudo com a álgebra.

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Para adicionar: repete-se a parte literal e adicionam-se os coeﬁcientes. Para multiplicar: multiplicam-se os coeﬁcientes e multiplicam-se as partes literais.

O procedimento é o mesmo. Subtração: subtraem-se os coeﬁcientes semelhantes, repetindo-se a parte literal. Divisão: dividem-se os coeﬁcientes e aplica-se a propriedade de potência para a divisão (repete-se a base e subtraem-se os expoentes).

10x3

Na atividade 3, retomam-se os cálculos feitos nas atividades anteriores, para que se organize e se sistematize o conhecimento sobre as operações de adição e multiplicação de monômios. No item b procura-se sistematizar os conhecimentos sobre a subtração e a divisão de monômios.

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–a²b²

11ab

6,8y

2x²y

–

A atividade 4 propicia a exercitação dos conceitos sintetizados sobre adição e subtração de monômios.

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– 21x7 18x³y³

2,24x6

81x8y4 32a10b5

7 m3 6

Os alunos, com essas atividades, têm a oportunidade de veriﬁcar se de fato aprenderam as ideias apresentadas até aqui. Acompanhe o trabalho da classe e proponha a socialização para discussão das respostas.

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Nas atividades relativas à multiplicação e divisão de monômios, é importante retomar as propriedades da potenciação.

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Resposta pessoal, mas é importante que o aluno perceba a analogia existente entre operações numéricas e operações entre polinômios quando se decompõe um número em potências de base 10.

A + B = 7x5 + 11x³ + 4x² +16

Um dos objetivos do estudo de polinômios é orientar o aluno para tratar de forma generalizada as operações e propriedades dos números. A proposta é que se faça uma analogia com os algoritmos conhecidos das quatro operações aritméticas, para que o aluno compreenda as operações com polinômios e

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aprenda a manipulá-las com compreensão. Além disso, é interessante que entenda as estruturas algébricas que está estudando. Nessa página, inicia-se o trabalho com a adição. Para isso é importante que o aluno explore a decomposição de um número, principalmente a decomposição em potências de base 10.

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Ela adicionou o polinômio 8x³ + 5x² + 2x + 7 ao oposto do polinômio 5x³ + 2x² + 2x – 3. Usou propriedades dos números inteiros: para calcular a diferença entre dois termos, soma-se o primeiro ao oposto do segundo.

8x³ + 5x² + 2x + 7 – 5x³ – 2x² – 2x + 3 3x³ + 3x² + 0x + 10

13x6 + 2,5x5 + 4x3 – 4x2 – 3x + 10

16y4 + 10y² – 24y + 8

Essa página explora a subtração de polinômios. É fundamental rever as operações com números inteiros, para que os alunos percebam uma analogia entre a subtração de polinômios e a subtração entre números negativos.

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y+3 ×y

y ∙ (y + 3) = y² + 3y

y² + 3y

A atividade 1 mostra o algoritmo da multiplicação em sua forma decomposta, que em geral é trabalhada nos anos iniciais. Essa forma de registrar a multiplicação auxilia na compreensão do algoritmo convencional e aqui contribui também para a articulação com área de ﬁguras retan-

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gulares, favorecendo o entendimento do produto apresentado na atividade 2. Observe que a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição também pode ser analisada ao se reﬂetir sobre o resultado de a∙(b + c) = ab + ac.

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Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, pois: a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c e (y + 5) ∙ (y + 6) = y2 + y ∙ 6 + 5 ∙ y + 30 = y2 + 11 ∙ y + 30

As atividades dessa página usam a multiplicação de números de dois algarismos para a compreensão da multiplicação de binômios. Seria importante retomar com os alunos a análise da área de ﬁgura retangular obtida pela soma das áreas de suas partes.

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3∙t

2∙t

10x2

15x

x∙y

y y∙x

a∙b

3 3∙x

A = x2 + 2xy + y2

A = 10x2 + 19x + 6

b b∙a

A = t2 + 5t + 6

A = a2 + 2ab + b2

b2 3 x∙3

A = x2 + 6x + 9

Essa atividade propõe a retomada dos procedimentos aprendidos na atividade anterior: o uso do algoritmo e o cálculo de área.

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9a² – b²

x² + 7x + 12

y² + 3y – 4

x² – 36

3a² + 16a – 12

a² + 2ab + b²

y² + 6x + 9

Nessa página a proposta é que se aplique a propriedade distributiva, estabelecendo relações entre as três possibilidades de resolução: algoritmo, propriedade distributiva e área de ﬁguras retangulares.

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Observe que o sinal de multiplicação foi excluído. Converse com os alunos sobre isso.

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Nos dois casos, temos o quadrado do 1o termo, mais duas vezes o 1o termo multiplicado pelo 2o, mais o quadrado do 2o termo.

Essa página propõe que o aluno inicie a aprendizagem dos produtos notáveis por meio da comparação e estabelecimento de relações com os cálculos anteriores, mostrando que o modo de obter um produto notável é o mesmo.

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Além disso, é objetivo da atividade a análise de regularidades para que se “perceba” que o resultado (a + b)² = a² + 2ab + b² é válido para todos os casos que envolvem o quadrado de uma soma.

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52 = 25

3² + 2 ∙ 3 ∙ 2 + 2² = 25

–2

(–2)2 = 4

(–6)² + 2 ∙ (–6) ∙ 4 + 4² = 4

122 = 144

52 + 2 ∙ 5 ∙ 7 + 72 = 144

São iguais: (a + b)² = a² + 2ab + b²

a² + 10a + 25

y² + 20y + 100

9x² + 24x + 16

25x² + 70x + 49

Uma resposta possível: O quadrado do 1o, mais 2 vezes o 1o pelo 2o, mais o quadrado do 2o elemento.

As atividades dessa página fazem parte da análise de regularidades e sua aplicação em alguns cálculos.

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Recortar o quadrado de lado a, dobrar formando dois retângulos de lado b e recortar esses dois retângulos. Como a ideia é retirar as duas ﬁguras, é preciso observar que o quadradinho de área b2 é retirado duas vezes. Assim: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Para calcular (a – b)² sugere-se usar o cálculo de área. Para o item b, propõe-se que o aluno recorte um quadrado em uma folha de sulﬁte e reproduza a ﬁgura apresentada no início da página.

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Por meio de recortes, explore as áreas das partes que compõem a ﬁgura quadrangular de lado a – b para veriﬁcar o resultado de: (a – b)² = a² – 2ab + b²

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São, porque a área do quadrado a – b pode ser calculada tomando-se a área da região dada por: a ∙ a – ab – ba + b ∙ b

x2 – 2xy + y2 x2 – 2 · x · 4 + 42 = x2 – 8x + 16 t2 – 2 · t · 3 + 32 = t2 – 6t + 9 (2y)2 – 2 · 2y · 1 + 12 = 4y2 – 4y + 1

a – b ao quadrado é igual ao quadrado do 1o menos 2 vezes o 1o multiplicado pelo 2o mais o quadrado do 2o.

a – b multiplicado por a + b é igual ao quadrado do 1o menos o quadrado do 2o.

Na atividade 2, aparece a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. A proposta é que o aluno compare os diferentes procedimentos e escolha a melhor estratégia para calcular o produto de polinômios. Aqui também pode-se orientar os alunos para fazerem a relação com área de ﬁguras planas.

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A atividade 4 sugere a aplicação do resultado do produto notável: (a – b)² = a² – 2ab + b² Na atividade 5, a proposta de escrever uma regra visa a que o aluno redija com suas palavras uma forma de memorizar esse resultado.

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x2 – 49

u 2 – v2

x2 + 14x + 49

16x2 – 48x + 36

x2 – 14x + 49

x2 + x +

m+5

A atividade 1 organiza os conhecimentos sobre os produtos notáveis. É interessante explicar aos alunos que são chamados notáveis porque são muito utilizados nos cálculos algébricos e que é importante memorizá-los para agilizar os cálculos em que aparecem.

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A atividade 2 visa a aplicação desse resultado e a atividade 3 propõe a articulação da representação geométrica com a representação algébrica.

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3x3

5x3

– 3x5

– 5x2

x2 + x +

3x2 + 5x + 2

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X X X

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• M11 Traduzir situações-problema por sistemas de equações do primeiro grau, utilizando métodos como o da adição e da substituição para resolvê-los, discutindo o significado das soluções (raízes) encontradas, em confronto com a situação proposta. • M15 Explorar propriedades como as referentes à altura e medianas de um triângulo. • M18 Identificar as transformações de uma figura obtidas pela sua translação, identificando características dessa transformação (em relação às medidas dos lados, dos ângulos, da superfície da figura). • M22 Explorar a congruência de figuras planas, em situações-problema, a partir da análise de reflexões em retas, rotações e translações. • M24 Calcular a área de superfícies planas delimitada por um paralelogramo, um triângulo, um losango e um trapézio, por meio da utilização de fórmulas.

Material necessário para o desenvolvimento da Unidade: régua  transferidor  esquadro  compasso 

Nesta Unidade, os alunos aprenderão transformações planas, como as simetrias axial e central, reﬂexão, translação e rotação de ﬁguras. É importante a percepção de que nessas transformações as medidas dos ângulos e dos segmentos são conservadas, preser-

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vando a forma da figura. São as isometrias. Destaca-se também a congruência dessas figuras por sua movimentação. O tema área de figuras planas também está presente nesta Unidade, com a utilização de fórmulas obtidas

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pela composição e decomposição de ﬁguras. Os sistemas de equação do 1o grau serão apresentados como ferramentas para resolver problemas, e serão estudados os métodos da substituição e adição.

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Resposta pessoal. Provavelmente aparecerão respostas que envolvem dobraduras, formas geométricas.

As atividades 1 e 2 têm como proposta levantar os conhecimentos prévios dos alunos a respeito das simetrias. Avalie as respostas para encaminhar o trabalho sobre esse tema. As atividades 3 e 4 possibilitam aos alunos retomar a ideia de ﬁguras simétricas, isto é, aquelas com eixos de simetria sobre elas.

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As atividades dessa página e da anterior têm por objetivo retomar o conceito de simetria axial, para eixos tanto verticais e horizontais como inclinados. O uso de malha pontilhada possibilita ao aluno identificar propriedades características de figuras simétricas, como distância entre pontos da figura e o eixo.

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Acompanhe o trabalho dos alunos, principalmente no traçado de ﬁguras simétricas em relação a um eixo inclinado, pois em geral aparecem algumas diﬁculdades.

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São perpendiculares.

São congruentes, ou seja, AY congruente a PY.

A reta e o eixo são perpendiculares.

Esses segmentos de reta são congruentes, isto é, têm a mesma medida.

Sim

Essa atividade possibilita ao aluno calcular as distâncias dos pontos simétricos e estabelecer a relação entre as retas que passam por dois pontos simétricos e o eixo de simetria.

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B' C'

Uma iria sobrepor-se à outra.

Essas medidas são mantidas.

Sim

Na atividade 1, os alunos poderão construir figuras simétricas e perceber o movimento de reflexão. Caso haja possibilidade, proponha o uso de espelhos feitos com papel espelho e cartolina para que compreendam melhor o significado de reflexão.

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Na atividade 2, aparece a construção de uma nova figura simétrica à segunda em relação ao eixo s. É importante discutir com os alunos que a terceira figura é como se fosse a primeira deslocada no plano. A translação pode ser vista como o deslocamento de uma figura no plano ou como o resultado de uma reflexão.

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É necessário que os alunos percebam que as formas geométricas obtidas seja pela reﬂexão seja pela translação mantêm a forma, com ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes também congruentes.

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Mantêm as mesmas medidas de ângulos e lados.

180º, sentido horário

Na atividade 1, os alunos, usando a malha quadriculada, construirão figuras por meio de rotação. Socialize com o grupo os procedimentos utilizados para obtenção dessas figuras. Espera-se que essa análise coletiva auxilie na resolução da atividade 2, em que é solicitada a identificação

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do movimento do triângulo ABC para que coincida com a posição do triângulo A”B”C”. Caso haja necessidade, sugira que recortem um triângulo e reproduzam o movimento desenhado na atividade, para perceber o giro de 180º utilizado e o sentido horário do movimento.

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Após a realização da atividade que permite a reﬂexão sobre o modo de obter ﬁguras por meio de uma rotação, a atividade 3 mostra como se constrói uma rotação com compasso e transferidor. Na atividade 4, os alunos poderão usar o roteiro de construção explorado na atividade anterior.

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As atividades 1 e 2 dessa página possibilitam que o aluno utilize os instrumentos da atividade anterior para resolvê-las. As figuras estão desenhadas na malha quadriculada para que o aluno empregue também esse recurso para verificar a posição da nova figura, contando os quadradinhos.

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A atividade 3 retoma a questão da simetria axial. O aluno precisa usar as propriedades de ﬁguras simétricas em relação a um eixo x para traçar o segmento simétrico ao segmento AB: retas que passam pelos pontos simétricos e perpendiculares à reta s e as mesmas distâncias entre os pontos simétricos e o eixo de simetria.

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Resposta possível:

• Identificar as transformações de uma figura (reflexão em reta, rotação e translação) e as características dessa transformação (em relação às medidas dos lados, dos ângulos, da superfície da figura). • Explorar a congruência de figuras planas, em situações-problema, a partir da análise de reflexões em retas, rotações e translações.

AC e DF; AB e DE

F E Resposta pessoal

Essas atividades dão continuidade ao trabalho de construção das figuras simétricas. Ressalte a congruência das figuras quando ocorrem reflexões, rotações ou translações.

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Translação

Resposta pessoal

A atividade 1 explora a translação e congruência das figuras. Aqui aparecem duas figuras congruentes, uma delas obtida por meio de translação. É importante que os alunos percebam que a translação não é necessariamente obtida por meio de reflexão.

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Na atividade 2 socialize e discuta as isometrias escolhidas pelos alunos.

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• Traduzir situações-problema por sistemas de equações do primeiro grau, utilizando métodos como o da adição e da substituição para resolvê-los, discutindo o signiﬁcado das soluções (raízes) encontradas, em confronto com a situação proposta.

Bia resolveu por tentativas, escolhendo números cuja soma dá 19, e veriﬁcou qual das duplas de números tem como diferença 3. Pedro adicionou a diferença entre os dois números ao total e depois dividiu por 2, calculando, assim, o número maior, depois subtraiu 3 para calcular o menor. Ana resolveu o problema com duas equações que representam a soma e diferença entre os números.

Nessa página, inicia-se o trabalho com sistema de equação do 1o grau. As primeiras atividades são propostas para que os alunos resolvam os problemas utilizando estratégias pessoais. Na atividade 1, aparecem três estratégias diferentes de resolução.

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Sugira aos alunos que resolvam primeiro o problema, sem ler as resoluções indicadas na atividade. Após essa primeira etapa de discussão, apresente como Bia, Pedro e Ana resolveram. Ressalte os modos diferentes de resolução. Depois da análise, proponha a resolução dos outros dois problemas.

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Tapete: R$ 12,50 Vaso: R$ 25,00

O mais velho tem 11 anos e o mais jovem tem 6 anos.

Após a realização da atividade 2, socialize algumas estratégias utilizadas pelos alunos para resolução desses problemas, permitindo com isso a ampliação do repertório de estratégias de solução de um mesmo problema.

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Tem várias soluções, pois existem vários números que adicionados dão 32.

x + y = 32

14 meninas e 18 meninos

y=x+4 Resposta possível: x + y = 32 e y = x + 4 x + x + 4 = 32 2x + 4 = 32 2x = 28 x = 14 e y (= x + 4) = 18

Essa atividade sugere, inicialmente, que o aluno trabalhe com tentativas e erros na busca da solução, como Bia na atividade anterior. A partir do item c, proponha a perspectiva do uso de equações

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para resolver esse problema. Mas é no item d que aparece a necessidade de buscar a intersecção das duas condições retratadas nos itens c e d, isto é, a função de um sistema de equações.

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Meninas: 8 Meninos: 24

x + y = 32

x = 2y

2y + y = 32

2y + y = 32 3y = 32 y= y = 10,66

Não, pois y é o número de meninos e não pode ser 10,66.

Essa atividade apresenta novas condições para a resolução do problema da página anterior. O item e é proposto para que o aluno reﬂita se é possível validar a solução da equação como resposta do problema.

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x + y = 2.500 + 600 x = y + 600

Trocou x por y + 600, para ﬁcar apenas com um valor desconhecido.

O problema retoma a questão da equação vista como “uma situação de equilíbrio”, por meio de balanças. Oriente os alunos para, em duplas, analisarem as ações apresentadas pelos pratos das balanças e elaborarem equações que representam esses equilíbrios.

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Na atividade 2, sugere-se, por meio das trocas, que os alunos percebam “o método da substituição” como estratégia para resolução de um sistema.

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Possível escrita: x + y = 2.500 + 600; x = y + 600; 2y + 600 = 2.500 + 600; 2y = 2.500; y = 1.250 e x = 1.850

Resposta pessoal, mas podem aparecer situações como esta: “A soma de dois números é igual 3.100. Um dos números é resultado do segundo número mais 600. Quais são esses números?”

Resposta pessoal, mas deve ser mencionado o papel da troca feita pelo aluno em uma das ações, com a indicação da substituição feita.

Analise com os alunos os procedimentos de resolução apresentados, com a organização do sis tema de equações e o uso do método da substituição para encontrar o resultado.

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Após a resolução da atividade 3, socialize os problemas elaborados pelos alunos e faça a análise com eles.

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x=6ey=9

m=1en=0

x=0ey=1

ev=0

r=2 e s=1

x = –3 e y = –7

Proponha aos alunos que resolvam os sistemas como forma de exercitar o método da substituição.

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x = 8,90; o preço do lanche.

2x + y = 21

x + y = 12,10

x = 8,90 e y = 3,20

Lanche: R$ 8,90 Suco: R$ 3,20

Nessa atividade aparece outra possibilidade de resolução – o método da adição. Essa possibilidade surge da análise de uma situação do cotidiano, em que se propõe que o aluno calcule a diferença entre dois consumos.

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Bia usou o método da substituição, e Pedro usou o método de Ana, apresentado por ela na atividade da página 173 (livro do aluno).

A atividade 1 propõe a comparação dos dois métodos: da adição e da substituição. Compare a resolução do problema da página anterior com o método desenvolvido por Pedro.

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Em seguida, substitui-se o valor encontrado em qualquer uma das equações originais.

x = 27 e y = 15

x=3ey=

Na atividade 2, analise como se obtém o valor da segunda incógnita por meio de um cálculo mental ou pela substituição do primeiro valor em uma das equações.

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O método da adição

Para somar as duas equações e trabalhar com uma incógnita apenas.

x=3ey=2

x = 10 e y = 12

As atividades propõem a resolução de sistemas pelo método da adição, cuja aplicação, porém, exige “transformar” uma das equações em outra equivalente. Oriente os alunos que apresentarem diﬁculdade.

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Joana: R$ 500,00 Diva: R$ 700,00

320 adultos e 230 menores

Pãozinho: R$ 0,25 Broa: R$ 0,40

Para resolverem esses problemas, os alunos poderão utilizar diferentes estratégias, não necessariamente por meio de um sistema de equações. É fundamental que eles tenham a oportunidade de escolher as melhores estratégias, segundo os próprios critérios, e analisem os procedimentos mais eﬁcazes.

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x = 2 e y = –3

x = –4 e y = 1

x=5ey=2

e y = –1

Resposta pessoal

Na atividade 1, o aluno poderá optar pelo procedimento que achar mais conveniente. Converse com a classe se é possível resolver alguns deles usando cálculo mental. Esclareça que, em muitas situações, o sistema é uma ferramenta interessante para resolver um problema e, em ou-

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tras, o cálculo mental pode ser empregado, como no exemplo: “A soma de dois números é 20 e a diferença é 10. Quais são esses números?” Retome os problemas iniciais abordados para o ensino de sistema de equação e analise essa possibilidade.

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• Calcular a área de superfícies planas delimitada por um paralelogramo, um triângulo, um losango e um trapézio, por meio da utilização de fórmulas.

A: 3 u2; B: 4 u2; C: 6 u2; D: 7,5 u2 E: 4 u2; F: 6 u2; G: 8 u2; H: 10 u2

9 cm2

Essas atividades poderão ser realizadas em dupla. O objetivo da atividade 1 é retomar ideias trabalhadas em anos anteriores sobre área de ﬁguras planas por meio da composição e decomposição de formas poligonais. Isso deve ser feito por meio de ﬁguras desenhadas em malha pontilhada e usan-

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7,5 cm2

do medidas não padronizadas. Na atividade 2, passa-se a usar a malha quadriculada, já com o estabelecimento de que cada quadradinho tem 1 cm de lado. O cálculo da área, porém, ainda é feito por contagem e, caso haja necessidade, por composição dos quadradinhos. A proposta é que os alunos retomem os conceitos

6 cm2

de área (recobrimento de uma superfície) e estimem os possíveis valores para a área antes de efetuarem a contagem de quadradinhos. Caso algum deles faça uso de fórmulas, proponha um confronto de ideias, em que se argumente o porquê dessa forma de raciocinar, e a comparação dos procedimentos.

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• Explorar propriedades dos triângulos como as referentes às alturas.

Um triângulo possui 3 alturas relativas aos 3 lados.

A altura é um segmento de reta que pode coincidir com o lado do triângulo, situar-se na parte interna ou na parte externa do triângulo.

Essas atividades trazem a construção de um dos elementos importantes do triângulo, a altura, que será utilizada nos cálculos de área.

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Há casos em que os alunos precisam prolongar os lados para desenhar as alturas do triângulo. Or iente-os, se houver necessidade.

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• Calcular a área de superfícies planas delimitada por um paralelogramo, um triângulo, um losango e um trapézio, por meio da utilização de fórmulas.

Comprimento × largura, ou lado 1 × lado 2.

A=b∙h

A = 48 cm2

Essas atividades poderão ser realizadas em dupla. As propostas iniciais sobre cálculo de áreas de ﬁguras planas envolvem a experimentação. Ao recortar figuras, ou desenhá-las, para explorar a composição

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e decomposição, o aluno pode perceber relações importantes que envolvem comparação entre áreas. Essas ideias auxiliarão na compreensão da linguagem algébrica e das fórmulas. Mas é preciso ter claro que essa é uma

etapa da aprendizagem e que, posteriormente, os alunos deverão trabalhar com deduções, inferências e induções para chegar às fórmulas, que serão resultados importantes e generalizadores a serem usados.

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• Calcular a área de superfícies planas delimitada por um paralelogramo, um triângulo, um losango e um trapézio, por meio da utilização de fórmulas.

A área do triângulo é a metade da área do retângulo de mesma base e altura: A = b ∙ .

30 m2

150 mm2

160 m2

4,5 cm2

Na atividade 1, os alunos poderão perceber a relação entre a área da região limitada por um paralelogramo e a região triangular cuja base e altura são as mesmas que no paralelogramo. Essa atividade também poderá ser desenvolvida com dobraduras. Peça aos alunos que veriﬁquem o que ocorre com as ﬁguras, que

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relações podem ser estabelecidas entre os triângulos formados, os paralelogramos e suas respectivas alturas. É importante que os alunos percebam a ideia de área de uma ﬁgura plana como recobrimento de uma superfície (a malha quadriculada contribui para isso) e a distinção entre área e perímetro.

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• Calcular a área de superfícies planas delimitada por um paralelogramo, um triângulo, um losango e um trapézio, por meio da utilização de fórmulas.

A1 =

A2 =

A = 20 m2

Nas propostas apresentadas a respeito do cálculo de áreas de algumas ﬁguras planas, o objetivo é a exploração de estratégias “experimentais” para a “dedução” das fórmulas.

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A = 6,875 cm2

São citados três tipos de trapézio e escolhido um deles para ser utilizado na obtenção da fórmula. Sugira que veriﬁquem como calcular a fórmula para os outros trapézios.

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• Calcular a área de superfícies planas delimitada por um paralelogramo, um triângulo, um losango e um trapézio, por meio da utilização de fórmulas.

A região é dividida em 4 outras de áreas iguais; basta calcular a área das regiões triangulares e multiplicar por 4.

Recortar, por exemplo, pela maior diagonal. Área da metade da região: Multiplicar a área por 2:

Essas atividades poderão ser realizadas em dupla. A área de um losango também pode ser obtida da seguinte forma: desenha-se um losango, marcam-se suas diagonais, dobra-se e recorta-se em uma delas, obtendo dois triângulos. Os dois triângulos colocados lado a lado compõem um paralelogramo, cuja

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base é a medida de uma das diagonais do losango (aquela em que foi feito o recorte) e cuja altura é a metade da outra diagonal. Considerando d a medida da diagonal menor e D a medida da diagonal maior, a área do paralelogramo, e consequentemente do losango, será A = d ×

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A atividade 2 propõe essa construção para que os alunos percebam que existem diferentes procedimentos para obter um resultado, e um deles é por meio da composição e decomposição dos quadriláteros, com a utilização das propriedades de suas diagonais.

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• Calcular a área de superfícies planas delimitada por um paralelogramo, um triângulo, um losango e um trapézio, por meio da utilização de fórmulas.

209 m2

1,66 m2 166 m2

A = 36 cm2

20,25 cm2

A sugestão é que os alunos em duplas resolvam esses problemas, por meio de fórmulas ou não. Deve-se valorizar suas estratégias de resolução e socializá-las para o confronto de ideias e validação de respostas. Na atividade 1, é interessante trabalhar com diferença de áreas.

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Na atividade 2, converse com os alunos sobre área da superfície de uma caixa. Analise com eles o formato de um bloco retangular e quais ﬁguras planas compõem sua superfície. Na atividade 3, oriente os alunos para desenharem as ﬁguras, pois isso vai ajudá-los a resolver as questões.

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10 cm

Na seção “Agora, é com você” são propostos alguns problemas para que os alunos veriﬁquem o que aprenderam nesta Unidade. Acompanhe o trabalho dos alunos, propondo outras atividades, posteriormente, caso perceba algumas diﬁculdades.

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Na atividade 2, embora suscite o uso de sistema de equação, os alunos podem usar outro tipo de estratégia. Oriente-os apenas para registrar o procedimento adotado.

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• M19 Identiﬁcar ângulos congruentes, complementares e suplementares em feixes de retas paralelas cortadas por retas transversais, reconhecendo propriedades e utilizando-as para resolver situações-problema. • M23 Determinar a soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer. • M25 Construir procedimentos para medir grandezas que são determinadas pela relação de duas outras (como velocidade, densidade) e utilizá-los para resolver situações-problema. • M26 Resolver situações-problema utilizando noções de escala e analisar plantas e mapas, identiﬁcando as escalas utilizadas. • M29 Compreender termos como frequência, frequência relativa, amostra de uma população para interpretar informações de uma pesquisa. • M31 Resolver situações-problema que incluem contagem, por meio de estratégias variadas, como a construção de diagramas, tabelas e esquemas sem a aplicação de fórmulas. • M32 Resolver situações-problema que abrangem a construção de espaços amostrais e indicação da possibilidade de sucesso de um evento, pelo uso de porcentagens.

Nesta Unidade, o tema perﬁl econômico da cidade de São Paulo gerará o contexto para o trabalho com frequência relativa, escala e relação entre retas paralelas cortadas por uma transversal, por meio da análise de mapas. Explore a foto, mencionando a avenida Luís Carlos Berrini como local

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com predominância de estabelecimentos do setor de serviços. Se quiser aprofundar o tema desta Unidade, oriente os alunos para pesquisarem informações sobre o município de São Paulo no site da Prefeitura (www.prefeitura.sp.gov.br).

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Material necessário para o desenvolvimento da Unidade: mapa da cidade de São Paulo  régua  esquadro  transferidor  calculadora 

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• Identiﬁcar ângulos congruentes, complementares e suplementares em feixes de retas paralelas cortadas por retas transversais, reconhecendo propriedades e utilizando-as para resolver situações-problema.

Duas das seguintes: rua Cincinato Braga, alameda Ribeirão Preto, alameda Santos, alameda Jaú.

Não, porque é paralela à alameda Campinas.

É transversal.

Resposta pessoal

O mapa de uma cidade ou de parte dela oferece o contexto para a aplicação das ideias de retas paralelas, perpendiculares e transversais, como nessa atividade. Converse com os alunos a respeito dos signiﬁcados de retas

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paralela, perpendicular e transversal – reta que corta outras no mesmo plano. Ao falar em rua transversal a outras duas, cite ruas perpendiculares, por exemplo: nesse mapa, as alamedas Joaquim Eugênio de Lima e

Campinas são paralelas, e a alameda Santos, transversal a elas. Diga que, com base na relação entre ruas do mapa aqui discutida, eles estudarão propriedades relativas às retas e aos ângulos formados entre elas.

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y = 37°; x = 37°; z = 143°; w = 143°

São todos iguais a 180º. 180º

Quando a soma entre eles é igual a 90º.

São iguais.

x + z = 180º e z + y = 180º. z = 180º – x e z = 180º – y ⇒ 180º – x = 180º – y ⇒ x = y

Essas atividades propiciam a retomada das relações entre duas retas concorrentes e dos ângulos determinados por elas. Nas atividades 1 e 2, sugira aos alunos que meçam os ângulos com transferidor e explorem a soma entre eles para analisar a questão dos ângulos suplemen-

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tares. Chame a atenção para a imprecisão dos valores obtidos por mensuração. A pesquisa sobre ângulos complementares proposta na atividade 3 pode ser realizada em dicionário. Discuta esse conceito com os alunos.

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Na atividade 4, oriente-os para provar que os ângulos opostos pelo vértice possuem a mesma medida, isto é, são congruentes, por meio da relação com os ângulos suplementares, como descrito na resposta ao item b.

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Como 135º e y são ângulos opostos pelo vértice, possuem a mesma medida, então y = 135º. Como z e 135º são ângulos suplementares, sua soma é 180º, então z = 45º. Como x e z são opostos pelo vértice, possuem a mesma medida, então x = 45º.

x = 44º

x = 157º

O objetivo desses exercícios é aplicar as ideias trabalhadas nas páginas anteriores.

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Coincidirão, isto é, terão a mesma medida.

Não, os ângulos não terão a mesma medida.

Converse com os alunos a respeito da palavra “transversal”, incluindo a consulta ao dicionário, de modo que se estabeleçam relações entre a língua materna e os signiﬁcados matemáticos. Para que eles percebam que os ângulos correspondentes são congruentes, a sugestão é que usem a ideia de deslocamento de uma das retas,

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como ocorre na translação: a reta r vai se movimentando, mantendo-se paralela a sua posição inicial, até se sobrepor à reta s. Com a sobreposição, observa-se que os ângulos a e b “coincidem”, isto é, são congruentes. É fundamental que os alunos possam analisar que essa congruência entre os ângulos ocorre

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apenas quando as retas são paralelas. Se necessário, proponha que trabalhem com palitos de sorvete presos por tachinhas, para que, por meio dos movimentos, percebam as relações das medidas dos ângulos entre retas paralelas e o que muda quando as retas não são paralelas.

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O ângulo c é congruente ao ângulo oposto, que pode ser chamado de x (opostos pelo vértice). Como x e d são correspondentes, também são congruentes. Então, c é congruente a d.

A proposta dessa atividade também é estabelecer relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal. O quadro do item b apresenta a nomenclatura de pares de ângu-

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yeb

ceb

aez

xez

los, mas é importante destacar que o principal objetivo não é que os alunos a memorizem, e sim que identiﬁquem os pares de ângulos de mesma medida para aplicação posterior em situações-problema.

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x = y = 46º

x = y = 58º

x = 47º e y = 43º

x = 105º

Esses exercícios visam a aplicação do que foi visto até aqui. Entretanto nos últimos itens há aspectos não explorados anteriormente: a necessidade de traçar uma reta paralela a m e n, passando pelo ponto x, para que se possa calcular o ângulo x (item e) e ângulos complementares (item f).

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No item e os alunos precisarão prolongar as semirretas para determinar o valor de x.

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O objetivo do primeiro exemplo de problema é revisar a relação entre os ângulos internos de um triângulo, estudada em anos anteriores, para que os alunos compreendam a da soma dos ângulos internos de qualquer po-

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lígono convexo. A demonstração de que essa soma vale 180º exige também o entendimento da congruência entre ângulos formados por retas paralelas cortadas por transversais, assunto explorado nesta Unidade.

O segundo exemplo apresenta a análise de um quadrilátero, levando os alunos, na atividade 1, a reﬂetir sobre “a divisão” do polígono em triângulos e a usar essa propriedade para determinar a soma dos ângulos internos do polígono.

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Dividiram o quadrilátero em triângulos, cuja soma dos ângulos internos é 180º. Como são dois triângulos, a soma será 360º.

Soma = 720º

Nas atividades 2 e 3, amplia-se a análise para o hexágono. Com essas propostas, espera-se desencadear o trabalho de construção e entendimento da fórmula para determinar a soma dos ângulos internos de um polígono convexo.

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• Determinar a soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer.

3 × 180º

4 × 180º

5 × 180º

6 × 180º

No preenchimento do quadro da atividade 1, oriente os alunos para observarem as regularidades nele presentes. A análise dessas regularidades permitirá que obtenham a fórmula, cuja identiﬁcação será feita na sequência de propostas da atividade 2. Socialize as descobertas.

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1.800º

2.340º

(n – 2) × 180º, em que n é o número de lados do polígono.

3.240º

Resposta possível: Não, porque 930° não é múltiplo de 180°; porque n não é um número natural e, portanto, não pode ser o número de lados de um polígono.

Na atividade 3, sugere-se a aplicação dessa fórmula na determinação da soma dos ângulos internos de um polígono de 20 lados. Para responder à atividade 4, os alunos podem usar a ideia

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de múltiplo de 180º ou aplicar a fórmula e perceber que n não é um número natural, não representando, consequentemente, o número de lados de um polígono.

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• Determinar a soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer.

108º 72º 72º 5

360º

Nesses exercícios, a proposta é mais uma vez utilizar a fórmula que está sendo estudada. Entretanto, a atividade 2 trata também de ângulos externos, e isso surge da relação com ângulos suplementares. Com base nessa análise, pode-se identiﬁcar a relação entre ângulos internos e externos de um mesmo polígono.

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• Compreender termos como frequência, frequência relativa, amostra de uma população para interpretar informações de uma pesquisa.

46,26 39,4 12 2,34

Serviços: ≅ 1.430.321 Indústria: ≅ 473.268 Comércio: ≅ 591.585

O objetivo dessas atividades é que os alunos retomem cálculos com porcentagem para posterior trabalho com a ideia de frequência porcentual relativa. Você pode: • explicar os significados dos termos “serviços”, “comércio”, “indústria”, “empregos formais” e conversar sobre eles;

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• orientar os alunos com diﬁculdades para calcular as porcentagens; • organizar os procedimentos após a realização do cálculo de porcentagens para que os alunos possam aplicá-los nas próximas atividades com a mesma expectativa de aprendizagem das atividades dessa página;

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• orientar sobre procedimentos de arredondamentos, estratégia muito importante, sobretudo em cálculo mental. No caso das porcentagens, organize as ideias sobre como calculá-las e, posteriormente, sugira a utilização de calculadora para esse ﬁm.

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• Compreender termos como frequência, frequência relativa, amostra de uma população para interpretar informações de uma pesquisa.

Frequência relativa (%) 3,3 5 13,3 20 7,5 1,7 48,4 0,8

São os números da segunda coluna.

48,33%

Analise com os alunos o que representa frequência, conversando sobre o uso dessa palavra no cotidiano e, então, na matemática. É importante também discutir o que é frequência relativa, ou seja, a razão entre a frequência absoluta de um evento e a

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frequência total. Explicite esse signiﬁcado depois que tiverem respondido ao item b da atividade 1, para realizar corretamente o que é pedido no item c. Observe que a primeira frequência relativa obtida é uma dízima periódica (3,333...), que pode ser

aproximada para 3,3. O mesmo vale para outros valores, o que trará a necessidade de uma aproximação diferente para o maior valor, aﬁm de garantir 100% para a soma das frequências relativas.

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Resposta possível: Porque o Estado do Paraná apareceu 24 vezes em um total de 120, razão

;

é uma fração equivalente a

que corresponde a 20%.

6,7 11,7 16,6 25 40

Na atividade 3, pergunte se sabem o que signiﬁcam as anotações de intervalo de salários na tabela. Explique que os intervalos são deﬁnidos por conveniência de análise e que os funcionários da faixa não recebem o mesmo salário.

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• Compreender termos como frequência, frequência relativa, amostra de uma população para interpretar informações de uma pesquisa.

200 180 424 796

Pode representar o desempenho da totalidade, pois é possível identiﬁcar características de uma população por meio de uma amostra que seja representativa.

Nessas atividades aparece a ideia de população e amostra. Discuta com os alunos a importância da escolha das amostras, para que elas possam representar e dar pistas sobre a população pesquisada.

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• Resolver situações-problema utilizando noções de escala e analisar plantas e mapas, identiﬁcando as escalas utilizadas.

Resposta pessoal: Escala musical, escala de cores

A análise de mapas oferece o interessante contexto para o trabalho com escalas – nesse caso, a escala gráfica. Converse com os alunos sobre o significado da escala gráfica e as condições para sua utilização (mesma proporção na escala e no mapa). Discuta também a diferença entre a escala gráfica e a numérica.

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A escala gráﬁca é muito usada pelos cartógrafos. As distâncias são representadas sobre uma linha reta graduada, na qual se costuma usar como unidade de comprimento o centímetro e, nos pontos nela marcados, os correspondentes valores em quilômetros. Outras unidades também podem ser usadas. Algumas

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escalas trazem, à esquerda do zero, divisões para indicar o grau de precisão da escala e garantir que se chegue a resultados mais próximos das medidas reais. A escala numérica traz as notações do tipo 1 : 100.000, por exemplo. É fundamental que os alunos entendam o signiﬁcado dessa escala: nesse caso, 1 cm no

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10.000 m

30 km

Resposta pessoal

mapa equivale a 500.000 cm na realidade, isto é, uma medida no desenho deve ser multiplicada por 500.000 para conhecer a medida real correspondente. Assim,

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se, ao medirmos com a régua a distância entre dois pontos, encontrarmos 4,5 cm, a distância real entre esses dois pontos será de 4,5 × 500.000 = 2.250.000 = = 22,5 km.

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• Resolver situações-problema utilizando noções de escala e analisar plantas e mapas, identiﬁcando as escalas utilizadas.

Resposta pessoal

39 km

Explique aos alunos que as distâncias solicitadas devem ser calculadas dos pontos que identificam as sedes dos municípios. Analise com eles o significado das escalas gráfica e numérica.

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Explore o mapa e seu signiﬁcado: o que representa uma região metropolitana e o que se considera sede para efeito de cálculo de distâncias.

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• Resolver situações-problema utilizando noções de escala e analisar plantas e mapas, identiﬁcando as escalas utilizadas.

Resposta pessoal

1 : 200

5,6 m

1 : 500.000

A proposta é que os alunos resolvam os problemas aplicando a noção de escala e as diferentes unidades de comprimento. Socialize os diversos procedimentos para encontrar a resposta.

250

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• Construir procedimentos para medir grandezas que são determinadas pela relação de duas outras (como velocidade, densidade) e utilizá-los para resolver situações-problema.

30 km/h; grandeza: velocidade

32 km/h; grandeza: velocidade

5g 1 kg

As situações-problema dessas páginas tratam de grandezas determinadas pela razão de outras duas. Trabalhar com grandezas e medidas permite que os alunos estabeleçam conexões entre concei-

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tos, como os de razão e proporção e o de relações geométricas. Converse com eles sobre o trabalho com escala, visto nesta Unidade, para que também estabeleçam conexões com o tema trabalhado.

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Nascem aproximadamente 15,5 crianças em cada 1.000 pessoas.

Número de habitantes e área da cidade. Resposta pessoal

Para a atividade de pesquisa do item c, indique o site do IBGE: <www.ibge.gov.br>.

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• Resolver situações-problema que envolvem contagem, por meio de estratégias variadas, como a construção de diagramas, tabelas e esquemas sem a aplicação de fórmulas.

8 TIPO DE PÃO francês

fôrma

RECHEIO hambúrguer salsicha hambúrguer salsicha

ACOMPANHAMENTO queijo presunto queijo presunto queijo presunto queijo presunto

As situações propostas nessa página permitem a discussão sobre os problemas de contagem. Socialize as estratégias utilizadas pelos alunos, analisando os procedimentos adotados, como desenhos, diagramas e tabelas.

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Na atividade 1, converse com eles sobre o procedimento identiﬁcado como árvore das possibilidades e o porquê desse nome. Reproduza na lousa o esquema indicado na resposta e mostre que ele “parece” uma árvore.

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Na atividade 2, aparece a composição de letras e números. É importante que os alunos observem a multiplicação entre o total de possibilidades das letras e o total de possibilidades dos números. A organização da árvore permite a compreensão desse cálculo.

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• Resolver situações-problema que abrangem a construção de espaços amostrais e indicação da possibilidade de sucesso de um evento, pelo uso de porcentagens.

Respostas dependem dos lançamentos dos dados.

Na atividade 1, os alunos “brincam” com lançamentos de dados e anotam os resultados. Na atividade 2, surge o registro de todas as possibilidades no lançamento de dois dados em uma situação ideal, em que os alunos podem perceber relações interessantes, como: o número 7 é o que apresenta mais

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somas; o número 12 tem apenas uma. É importante, ao discutirem os itens a e b, que percebam a distinção entre o total de possibilidades, 36, e a chance de sair determinado resultado, representado por uma fração. Retome as relações entre razão e porcentagem (estudadas no volume 1), pois na maioria das vezes,

quando se fala em probabilidade, usa-se porcentagem. As duas propostas são apresentadas articuladamente – a dos lançamentos de dados e a análise do universo de possibilidades –, para que os alunos percebam que, ao lançar dados em uma situação de jogo, os resultados poderão não ser compatíveis

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3+2

3+3

3+4

4+4

4+5

5+5

5+6

2+3

4+2

4+3

5+3

5+4

4+6

6+5

4+1

2+4

5+2

3+5

3+6

6+4

1+4

5+1

2+5

6+2

6+3

1+5

6+1

2+6

6+6

1+6 36

, aproximadamente 16,5%. A soma dá sempre par.

, 25%

com os da tabela (apresentada na atividade 2). Essa análise é fundamental, pois, como se trata de jogos aleatórios, nem sempre os resultados coincidem com as “situações ideais”. É por essa razão que se propõe a organização do registro dos lançamentos da classe toda, para

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que, com o total de lançamentos maior, os resultados sejam mais compatíveis com o ideal. Não deixe de fazer essa reﬂexão com eles, ou seja, o que é provável acontecer ou não. Matematicamente, é possível ter essa “previsão” diante de uma situação ideal, o total de possibilidades.

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No ﬁnal, reveja com os alunos o item c da atividade 1, que pede o cálculo de frequência relativa, analisando o signiﬁcado dessa palavra, visto anteriormente, com a ideia de probabilidade (razão entre o número de vezes que um evento ocorre e o total de eventos).

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• Resolver situações-problema que envolvem contagem, por meio de estratégias variadas, como a construção de diagramas, tabelas e esquemas sem a aplicação de fórmulas. • Resolver situações-problema que abrangem a construção de espaços amostrais e indicação da possibilidade de sucesso de um evento, pelo uso de porcentagens. (0, 2)

(0, 3)

(0, 4)

(0, 5)

(1, 3)

(1, 4)

(1, 5)

(2, 0)

(2, 1)

(2, 2)

(2, 3)

(2, 4)

(2, 5)

(3, 0)

(3, 1)

(3, 2)

(3, 3)

(3, 4)

(3, 5)

(4, 0)

(4, 1)

(4, 2)

(4, 3)

(4, 4)

(4, 5)

(5, 0)

(5, 1)

(5, 2)

(5, 3)

(5, 4)

(5, 5)

36 18 ou

, 50%

9 25%

A atividade 1 pode suscitar reﬂexão interessante por ser uma situação signiﬁcativa para muitos: o jogo de par ou ímpar. O quadro mostra todas as possibilidades de resultados.

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Existem quatro possibilidades de resultados e apenas um deles apresenta par e par: ou 25%.

Nenhuma, 0%

O quadro nomeia todos os pares de números e o esquema indica apenas se os números são pares ou não.

A atividade 2 não apresenta o total de possibilidades, e sim o tipo de resultado no esquema (par ou ímpar), forma de resolução por meio da árvore de possibilidades. Analise com os alunos a conveniência na escolha do quadro ou do esquema (árvore das possibi-

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lidades) para resolver uma proposta como essa. Para saber o total de possibilidades e quais são elas, o uso do quadro é conveniente, mas, para determinar o tipo de resultado, ou seja, se é soma par ou ímpar, a árvore é o melhor procedimento.

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Também é preciso, nessas propostas, retomar relações entre razão e porcentagem, vistas no volume 1.

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2a moeda 25% cara

cara coroa cara coroa

25%

coroa

1a moeda 2a moeda 3a moeda cara cara coroa cara coroa coroa

A proposta é que os alunos explorem a árvore das possibilidades como recurso para resolver esses tipos de situação-problema, identiﬁcando o universo de possibilidades de ocorrência de um evento (o espaço amostral) e estabelecendo relações com informações que se queira tirar desse universo, expressas pela razão

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cara coroa cara coroa cara coroa cara coroa

entre elas e o espaço amostral. É interessante analisar, observando as etapas da árvore das possibilidades, os signiﬁcados de expressões como “ocorram três caras”, “apenas uma cara”, “pelo menos uma cara” e o que elas representam na resolução dos problemas. Os alunos precisam ter clareza da diferença entre as palavras “possi-

bilidade” e “probabilidade”. Por essa razão, retome problemas de contagem, em que eles têm de, primeiramente, analisar o conjunto dos resultados possíveis (espaço amostral) e, depois, determinar a razão entre o número de resultados favoráveis e o número de elementos do espaço amostral, determinando a probabilidade de um evento ocorrer.

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12 números: 340; 345; 370; 375; 640; 645; 670; 675; 940; 945; 970; 975

1o ﬁlho

2o ﬁlho menino

menino menina

3o ﬁlho menino menina menino menina

menino menina menina

menino menina menino menina

12,5%

25%

Ao resolverem os problemas, os alunos poderão: • explorar procedimentos, como quadros, árvore das possibilidades ou outras estratégias que apareçam no grupo; • retomar as dúvidas na resolução dos problemas anteriores;

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• rever as anotações que organizaram e sistematizar as aprendizagens realizadas com esse tema; • diferenciar os conceitos de possibilidade e probabilidade, mencionados anteriormente.

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50%

15%

10%

Nessa página, outras situações-problema são apresentadas para que os alunos conversem sobre as ideias trabalhadas. Para resolver o item c da atividade 2, é necessário rever o tema múltiplos de dois números.

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Ambos 110º. 3x + 20 = 5x – 40 (ângulos correspondentes) x = 30º 3x + 20º = 110º; 5x – 40º = 110º

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1.440º

1.800º

Ângulo interno: 60º Ângulo externo: 120º

390 g 565 g 680 g

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• M7 Produzir e interpretar escritas algébricas, em situações que envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas, relações numéricas e padrões. • M8 Construir procedimentos para calcular o valor numérico e efetuar operações com expressões algébricas, utilizando as propriedades conhecidas, em situações-problema. • M10 Traduzir situações-problema por inequações do primeiro grau, utilizando as propriedades da desigualdade, na construção de procedimentos para resolvê-las, discutindo o significado das soluções (raízes) encontradas em confronto com a situação proposta. • M20 Resolver situações-problema que incluem a obtenção da bissetriz de um ângulo e a construção de alguns ângulos (90º, 45º, 60º e 30º), fazendo uso de instrumentos como régua, compasso, esquadro e transferidor. • M22 Explorar a congruência de figuras planas, em situações-problema, a partir da análise de reflexões em retas, rotações e translações. • M31 Resolver situações-problema que incluem contagem, por meio de estratégias variadas, como a construção de diagramas, tabelas e esquemas sem a aplicação de fórmulas.

Nesta Unidade, os alunos vão explorar alguns casos de fatoração de expressões algébricas, analisar propriedades das desigualdades e aplicá-las na resolução de inequações, assim como identiﬁcar os casos de congruência de triângulos e utilizá-los em situações-problema.

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Material necessário para o desenvolvimento da Unidade: régua  transferidor  compasso  papel para dobradura 

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Resposta pessoal. Exemplos: 12 = 3 × 4 30 = 2 × 3 × 5 8=2×4

Multiplicação

A proposta dessas atividades é que os alunos estabeleçam relações entre fatores de um número e fatores de expressões algébricas. Proponha inicialmente que retomem a multiplicação entre números naturais e os termos fatores. Solicite que escrevam e analisem diferentes fatorações de

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2x3(x + 1)

4(2x + y)

11(a + 3)

(a – 2)(a + 2)

(x + 7)(x + 7)

(x + 3)(x + 3)

3a(a + b)

5m(n – 2)

um mesmo número. Em seguida, é interessante também retomar a decomposição de um número em fatores primos, tema trabalhado em anos anteriores. A leitura do quadro tem por objetivo a reﬂexão sobre as propriedades das igualdades que envolvem fatoração de expressões algébricas.

Na atividade 2, os alunos poderão aplicar o que perceberam anteriormente. Acompanhe-os em suas descobertas e socialize os procedimentos das duplas, organizando e sistematizando o conhecimento. É importante que eles encontrem caminhos próprios para a fatoração.

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As situações I e II trazem a perspectiva de articular as representações geométricas que auxiliam na compreensão do caso de fatoração que está em foco: a colocação de um termo em evidência. Deve-se destacar, porém, que associar expressão algébrica à representação geométrica nem sempre é possível e que é impor-

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6 ∙ (x – y)

x ∙ (1 + 4)

7∙x

7x ∙ (2y – 3z)

3 ∙ (x + 10xy + 25y)

tante que os alunos aprendam os procedimentos algébricos que substituem essas representações. Oriente-os para que estabeleçam relações com a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, explicando que isso é fundamental para compreender, por exemplo, como obter a escrita x ∙ (x + 2) a partir da expressão

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x2 + 2 ∙ x ou 3x ∙ (3y – 2) a partir de 9xy – 6x. No preenchimento do quadro, os alunos provavelmente não terão diﬁculdade em perceber, nos dois primeiros itens, quais são os termos que se repetem e que serão colocados em evidência, enquanto nos dois últimos é preciso analisar com eles quais são os fatores comuns.

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Essas situações também têm por objetivo a articulação com a geometria para que se aprenda o caso de fatoração agrupamento. Analise a situação I com os alunos. Peça que observem que, para calcular a área da ﬁgura, pode-se encontrar a área de cada uma de suas partes e somá-las, indicando por am + an + bm + bn,

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ou calcular a área da região retangular de lados a + b e m + n, obtendo (a + b) (m + n). Explique que, embora a expressão (a + b) (m + n) tenha duas adições, ela representa a forma fatorada da expressão am + an + bm + bn, que também tem produtos parciais, mas não está escrita na forma fatorada.

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Elas colocaram em evidência termos comuns em parte da expressão, identiﬁcando, após esse procedimento, outro termo comum na expressão toda (caso de fatoração da página 275).

(a + b)(a + 2) (a + 5)(b – 2) (x + 2)(2x + 3y) (x + 3)(y – 7) (m – n)(m – 1)

A atividade 1 propõe a observação e análise do quadro para que se organize o que foi analisado na página anterior e se aprenda a “manipular” os cálculos algébricos. É importante organizar e sistematizar as ideias ligadas à

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fatoração de expressões algébricas, destacando a relação com a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. Na atividade 2, os alunos aplicarão o que estão aprendendo sobre o método de agrupamento.

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Os dois procedimentos remetem às representações geométricas e ao cálculo de áreas. Ana lembrou-se de que x² – 16 é a expressão que representa a área de parte da região quadrangular identiﬁcada por A1 e a escreveu como a diferença entre duas áreas. Bia calculou essa área decompondo a ﬁgura em duas partes, calculou a área de cada uma e somou-as. Em seguida, aplicou o caso de fatoração aprendido anteriormente.

A atividade 1 permite que os alunos reﬂitam sobre outro caso de fatoração, que é a diferença de dois quadrados. Novamente a área de ﬁguras planas oferece o contexto para facilitar e garantir a compreensão. Analise com eles o que representa a diferença de dois quadrados,

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relacionando-a com a área de ﬁguras quadrangulares. Depois, discuta como a área dessa mesma região pode ser calculada pela decomposição da ﬁgura e sua área calculada pela soma das áreas dessas partes, analisando as medidas de seus lados.

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A1 = y ∙ (y – 7) A2 = 7 ∙ (y – 7) Atotal = A1 + A2 = y ∙ (y – 7) + 7 ∙ (y – 7) = (y + 7) ∙ (y – 7)

y–7

7 A2

y–7

(a + 6)(a – 6) (x + y)(x – y) 4m² – 1

Espera-se que os alunos percebam que, no item a – uma diferença de dois quadrados –, o primeiro termo ao quadrado é (a + b) e o segundo 3. Seguindo o modelo do quadro: forma fatorada é o produto entre a soma do primeiro termo com segundo e a diferença entre eles. No item b, utiliza-se o mesmo processo: o primeiro termo é x – 2 e o segundo 5.

[(5x + 2) + 2] [(5x + 2) – 2] = 5x(5x + 4) [(3ab – 2) + 1] [(3ab – 2) – 1] = (3ab – 1) (3ab – 3)

Na atividade 2, o objetivo é que os alunos percebam regularidades ao relacionar a forma fatorada e a respectiva expressão, para sistematizar algumas ideias de como fatorar qualquer expressão do tipo “diferença de dois quadrados”. Organize tais conclusões

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e peça que registrem no caderno essas “regras” para aplicá-las em futuros exercícios. Na atividade 3, espera-se que a análise das regularidades e a “elaboração das regras” realizadas na atividade anterior permitam que percebam “gene-

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ralizações” nessas novas situações. É importante destacar que tanto na atividade 3 como na 4, é possível identificar os resultados finais, além dos apresentados pelas alunas, operando e simplificando as expressões algébricas.

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Resposta pessoal, mas é importante analisar que o procedimento de Ana pode ser bastante interessante dependendo dos números propostos.

(21 + 20) ∙ (21 – 20) = = 41 ∙ 1 = = 41

A proposta dessas atividades é que os alunos trabalhem com investigação e relacionem resultados algébricos com numéricos. Além disso, a ideia é que conheçam e se apropriem de outras estratégias de cálculo e percebam que os resultados algébricos não são “estanques”, especíﬁcos do tema, mas se relacionam com os

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campos numérico e geométrico, como está sendo estudado. Nas atividades 2 e 3, é interessante discutir com os alunos que, para calcularmos o quadrado de um número, como o de 21, não precisamos fazer a “conta” 21 × 21. Se soubermos o quadrado de 20 (podemos usar o cálculo mental

(52 + 50) ∙ (52 – 50) = = 102 ∙ 2 = = 204

para isso) e a diferença entre os dois quadrados [212 – 202 = = (21 – 20) × (21 + 20) = 41], é simples determinar 212: basta somar 400 + 41 = 441. Portanto, é possível calcular o quadrado de qualquer número obtendo o quadrado da “dezena inteira”, “centena inteira”, “milhar inteiro” mais próximo do número em

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Ela usou a diferença de dois quadrados. Encontrou o quadrado de um número simples de calcular, 300, e, para calcular o quadrado de 310, somou ao quadrado de 300 a diferença entre os quadrados de 310 e 300, obtendo 3102.

Ana utilizou o produto notável: o quadrado da soma de dois números.

Resposta da dupla

questão e subtrair os quadrados. A atividade 4 apresenta outra forma de calcular o quadrado de um número: por meio dos produtos notáveis. É fundamental, durante as aulas de Matemática, a discussão sobre diferentes estratégias de

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cálculo, sinalizando a riqueza de recursos que essa área do conhecimento oferece para nos ajudar no cotidiano, e a importância do estudo, da investigação e principalmente da troca de ideias para ampliar nosso universo de ferramentas de cálculo.

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• Traduzir situações-problema por inequações do primeiro grau, utilizando as propriedades da desigualdade, na construção de procedimentos para resolvê-las, discutindo o signiﬁcado das soluções (raízes) encontradas em confronto com a situação proposta.

Não, porque 5 kg é menor que 6 kg e a balança ﬁcaria mais leve do lado esquerdo. A massa da bolinha precisa ter mais de 1 kg para que a balança se mantenha nessa posição.

Sim, pois 10 kg é maior que 7 kg.

5x > 5 + x

O objetivo dessas atividades é permitir que o aluno estabeleça relações entre propriedades das igualdades, exploradas na resolução de equações, e propriedades das desigualdades, presentes na resolução de inequações do primeiro grau, mas por meio

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5x > 5 + x ⇒ x >

ou x > 1,25 kg

5x = 5 + x ⇒ x =

ou x = 1,25 kg

da analogia com o equilíbrio das balanças. Os procedimentos de resolução de inequações serão vistos posteriormente. Nesse momento, portanto, os alunos poderão resolvê-las usando estratégias pessoais. Em razão disso, é fundamental a socialização das estratégias.

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Não, porque 8 kg é menor que 11 kg e a balança ﬁcaria mais leve do lado esquerdo. A massa da bolinha precisa ter mais de 2 kg para que a balança se mantenha nessa posição.

Não, pois 12 kg é menor que 13 kg e não se manteria esse desequilíbrio.

4x > 7 + 2x

4x > 7 + 2x ⇒ x >

ou x > 3,5 kg

3,5 kg

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5 m < largura do portão < 6,30 m

AD > 378,75 m

A proposta é que os alunos identiﬁquem a inequação do primeiro grau como bom recurso para resolver problemas. Analise com eles as estratégias de resolução e se, de fato, a

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inequação apareceu como ferramenta interessante para solucionar os problemas. Além disso, é muito importante veriﬁcar se a solução da inequação também é a solução do problema.

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–2 < 1 –2 –2 –4

1 > –2 1

–2

0 +2

–1 0

–2 < 1

–2

–2 – 2 < 1 – 2 –4 < –1

–2

+2 3

1 + 2 > –2 + 2 3>0

–4

–2 –1 0 1 – 2 > –2 – 2 –1 > –4

Sim

As relações numéricas discutidas nessas atividades utilizam propriedades das desigualdades e podem auxiliar os alunos na compreensão dos procedimentos utilizados na resolução de inequações do primeiro grau. A ideia é que eles possam reﬂetir,

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por meio da análise da localização de números na reta numérica e da relação de ordem entre eles, se, somando um mesmo número aos membros da desigualdade ou o subtraindo deles, a relação de ordem se mantém ou não.

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–1

4 –2, –1, 0,

–4

2 –4,

, 0, 1, 2

Os números são opostos aos anteriores em relação ao zero.

< >

> >

A desigualdade permanece a mesma.

A desigualdade muda.

A atividade 1 permite a discussão a respeito da multiplicação de um número qualquer por –1 e o que ocorre com sua localização na reta numérica. Explore o fato de que, ao efetuarmos essa multiplicação, obtemos o oposto na reta numérica.

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Na atividade 2, os alunos podem perceber o que acontece com o sinal de uma desigualdade quando multiplicamos por um número qualquer seus dois membros, seja ele positivo ou não. O objetivo é que eles apliquem essas ideias na resolução de problemas e de inequações.

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a:c>b:c

a:c<b:c

a:c>b:c

A classe pode ser dividida em pequenos grupos para analisar questões como: • O que acontece com o sentido de uma desigualdade quando dividimos os dois membros por um número positivo? • O que acontece com o sentido de uma desigualdade quando

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dividimos os dois membros por um número negativo? É importante organizar a discussão e registrar aﬁrmações com diferentes números, como no quadro relativo à multiplicação da página anterior. Explore essas propostas com números racionais também.

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O jogo tem por objetivo realizar operações numéricas explorando propriedades das desigualdades e relações de ordem. Além disso, contribui para que os alunos tomem decisões, veriﬁquem se as escolhas foram as mais adequadas, confrontem ideias e as justiﬁquem, mantendo-as ou refutando-as.

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É importante que você os ajude a compreender as regras com perguntas como: o que cada jogador deve fazer depois de uma cartela ser desvirada? Peça que façam registros após o jogo: • O que eu aprendi com o jogo? • Quais as dicas para ganhar o máximo de pontos?

Proponha também problemas com base no jogo. Por exemplo: • Pedro desv irou a car tela 5 – x < 2 e localizou o número . Ele fez uma boa jogada. Por quê?

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y–6+6>8+6

y > 14

∙ 3 < 12 ∙ 3

x < 36

(–x) ∙ (–1) < 4,5 ∙ (–1)

x < –4,5

2 – 4x – 2 < –14 – 2

–4x < –16 ⇒ (–4)x : (–4) > –16 : (–4) ⇒ x>4

(–3x) : (–3) < 10 : (–3)

6 + 2t – 6 ≤ 20 – 6

2t ≤ 14 => t ≤ 7

{1}

{0, 1, 2, 3}

{–2, –1, 0, 1, 2}

Peça aos alunos que leiam o título dessa página e explique que inequações são as sentenças matemáticas que contêm uma incógnita e indicam desigualdades. O objetivo da atividade 1 é que eles utilizem as propriedades das desigualdades discutidas anteriormente na resolução de inequações.

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Na atividade 2, a proposta é que explorem as notações de intervalo, relacionando-as com os conjuntos numéricos e com as relações de pertinência.

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Sim, porque ambos aplicaram propriedades das desigualdades. Bia dividiu os dois membros por um número positivo e depois trabalhou com soma e subtração de um mesmo termo aos dois membros. Vítor explorou a subtração de um mesmo termo aos dois membros.

Bia colocou o número 3 em evidência no segundo membro e, em seguida, dividiu os dois membros por 3; depois, somou 7 aos membros e também subtraiu x dos dois. Vítor manteve o segundo membro sem colocar termo em evidência, subtraiu 6 e 6x dos dois membros e os dividiu por –3, invertendo o sinal da desigualdade.

x > –3

Na atividade 1, os alunos, ao analisarem as duas maneiras de resolver a inequação, poderão reﬂetir sobre as propriedades das desigualdades e compreender o que, de fato, é possível utilizar na resolução de inequações. Além disso, é interessante que possam também usar outras formas de resolução.

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x ≥ –21

Na atividade 2, peça que registrem suas justiﬁcativas pela escolha realizada e socializem seus procedimentos, para que reﬂitam sobre diferentes formas de resolução e defendam suas escolhas.

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6 páginas

R$ 1.800,00

Plano C; custo de R$ 30,00

A partir de 50 minutos.

As reﬂexões sobre os procedimentos de resolução de inequações continuam com essas atividades. É interessante que os alunos as realizem em duplas, validando suas respostas para posterior socialização com a classe toda.

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Acompanhe e auxilie os grupos na tradução dos dados de cada problema para a linguagem algébrica; informe-os de que podem utilizar a calculadora, para que se concentrem nos procedimentos de resolução.

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Sugira a utilização das anotações das sistematizações das ideias feitas anteriormente.

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• Resolver situações-problema que incluem a obtenção da bissetriz de um ângulo e a construção de alguns ângulos (90º, 45º, 60º e 30º).

Desenho de um círculo dividido pela metade, depois a metade em 3 partes iguais e depois a metade em 6 partes iguais.

Essa atividade permite que os alunos retomem, por meio de dobraduras, alguns ângulos muito utilizados na resolução de problemas. A ideia é que tenham a “visão” de quanto medem esses ângulos e estimem, por exemplo, se um ângulo é menor ou não que 90º quando em um problema se pede tal veriﬁcação.

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Utilize essas propostas para explorar a nomenclatura de ângulos agudos e obtusos.

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• Explorar a congruência de ﬁguras planas, em situações-problema, a partir da análise de reﬂexões em retas, rotações e translações.

45º

60º

F 120º

Sim

Na Unidade 6, os alunos analisaram figuras obtidas de outra figura utilizando a reflexão em reta, a translação e a rotação e puderam observar que as medidas dos lados e dos ângulos da figura dada e da transformada se mantiveram as mesmas. Essas ideias são importantes para o desenvolvimento da noção de

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congruência de figuras planas, de que trata esta Unidade. As atividades iniciais de construção de triângulos por recorte possibilitam que os alunos confrontem suas figuras entre si, estabelecendo relações entre elas e percebendo as condições para congruência de figuras planas.

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• Explorar a congruência de ﬁguras planas, em situações-problema, a partir da análise de reﬂexões em retas, rotações e translações.

Sim, IJKL e QRST, pois possuem as mesmas medidas de ângulos e lados.

Sim, UVXW e MNOP, pois apresentam ângulos correspondentes e lados com a mesma medida.

Não são congruentes, pois, embora os lados tenham medidas respectivamente iguais, os ângulos não têm respectivamente as mesmas medidas.

Essas atividades com quadriláteros possibilitam a reﬂexão sobre congruência de outros polígonos que não sejam triângulos. Oriente os alunos para que usem régua e transferidor na veriﬁcação dos itens solicitados.

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• Explorar a congruência de ﬁguras planas, em situações-problema, a partir da análise de reﬂexões em retas, rotações e translações.

Os casos de congruência de triângulos são apresentados para que os alunos possam explorá-los na resolução de problemas. Proponha que façam essa análise em duplas. Se necessário, solicite que reproduzam as ﬁguras em folhas de papel e explorem por sobreposição a ideia de congruência.

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• Explorar a congruência de ﬁguras planas, em situações-problema, a partir da análise de reﬂexões em retas, rotações e translações.

Sim, LAL

Não

x = 4,5 cm; y = 3,2 cm; z = 5,2 cm; Â = 60°; caso de congruência LAL

Proponha a resolução desses exercícios para veriﬁcar se os alunos compreendem os casos de congruência.

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• Resolver situações-problema que envolvem contagem, por meio de estratégias variadas, como a construção de diagramas, tabelas e esquemas sem a aplicação de fórmulas.

Resposta pessoal, por exemplo: (1, 5, 3), (3, 4, 2), (2, 6, 1) Não

É importante trabalhar com os alunos situações em que eles tenham de resolver problemas por tentativa e erro. Isso traz a possibilidade de inferência de resultados por indução, tão importante na aprendizagem da Matemática. O raciocínio combinatório também é fundamental na resolução de diversos problemas.

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Esse tipo de proposta suscita “postura” investigativa, uma vez que é necessário analisar as diferentes respostas e buscar padrões que permitam generalizações. Discuta com os alunos quais são as condições para formar um triângulo mágico: as ternas de números cuja soma tenha o mesmo resultado. Sugira a cons-

trução de um quadro com os números de 1 a 6, como mostra o modelo da página seguinte, para que percebam quais ternas podem representar um triângulo mágico com esses números: aquelas que apresentam a mesma soma três vezes e os números que aparecem duas vezes dentro dessas ternas estarão nos vértices.

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Regularidades: os três números menores nos vértices do triângulo e os três maiores no meio.

1 Resposta pessoal, por exemplo: (1, 4, 5), (5, 2, 3), (3, 6, 1)

6 3

4 2

Os números ímpares nos vértices e os pares no meio.

2 Os números pares nos vértices e os ímpares no meio.

3 6

5 1

Os números maiores nos vértices e os menores no meio.

Terna

Soma

1, 2, 5

1, 2, 6

1, 3, 6

2, 3, 4

2, 3, 5

1, 3, 5

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• Resolver situações-problema que envolvem contagem, por meio de estratégias variadas, como a construção de diagramas, tabelas e esquemas sem a aplicação de fórmulas.

Sim. (4, 7, 2), (4, 3, 6), (6, 5, 2), soma 13

Resposta do grupo. Pode ser, por exemplo, um quadro, como mostrado na orientação ao professor anterior.

Resposta pessoal

As propostas dessa página permitem a busca da generalização dos padrões que se supõem válidos. Na atividade 1, oriente os alunos para que organizem um quadro com possíveis ternas obtidas pela variação desses seis números e suas respectivas somas.

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Lembre-os de que, para veriﬁcar a possibilidade de esses números formarem um triângulo mágico, as somas têm de aparecer pelo menos três vezes e um mesmo número deve aparecer duas vezes, pois será um dos vértices do triângulo.

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x > –22

Sim. Como os triângulos são retângulos, eles têm ângulos de 30°, 60° e 90°. Os ângulos ABC e FGE medem 60°, os ângulos BAE e GFE medem 90°. Como os lados BA e FG são congruentes, então os dois triângulos são congruentes pelo caso ALA.

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(3x + 1) (7y – 4)

x(x – 4)

3xy(2xy – 3x + 5y)

(a – 5) (a + 1)

(10 + x) (10 –x)

(100 – 2)2 = 10.000 – 2 ∙ 100 ∙ 2 + 22 = 9.604

(102 – 100) ∙ (102 + 100) = 404

(1.000 + 1)2 = 1.000.000 + 2 ∙ 1.000 + 1 = 1.002.001

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