a
o
7 SÉRIE 8 ANO ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS Volume 2
MATEMÁTICA
CADERNO DO ALUNO
GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
MATERIAL DE APOIO AO CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO CADERNO DO ALUNO
MATEMÁTICA ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS 7a SÉRIE/8o ANO VOLUME 2
Nova edição 2014 - 2017
São Paulo
Governo do Estado de São Paulo Governador Geraldo Alckmin Vice-Governador Guilherme Afif Domingos Secretário da Educação Herman Voorwald Secretária-Adjunta Cleide Bauab Eid Bochixio Chefe de Gabinete Fernando Padula Novaes Subsecretária de Articulação Regional Rosania Morales Morroni Coordenadora da Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP Silvia Andrade da Cunha Galletta Coordenadora de Gestão da Educação Básica Maria Elizabete da Costa Coordenadora de Gestão de Recursos Humanos Cleide Bauab Eid Bochixio Coordenadora de Informação, Monitoramento e Avaliação Educacional Ione Cristina Ribeiro de Assunção Coordenadora de Infraestrutura e Serviços Escolares Dione Whitehurst Di Pietro Coordenadora de Orçamento e Finanças Claudia Chiaroni Afuso Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Barjas Negri
Caro(a) aluno(a), Você está recebendo o Caderno de Matemática para o 2o semestre. Ao longo do 1o semestre, você encontrou desafios que exigiram os conhecimentos e as habilidades desenvolvidos durante o curso. Parabéns pelo esforço! Agora, há outros desafios pela frente. Neste Caderno, você estudará de maneira mais aprofundada as equações de 1o grau. Assim, terá a oportunidade de ampliar o repertório de transposição entre linguagens, da língua escrita para a álgebra e vice-versa, e de definir estratégias de resolução para equações mais complexas. Este material ainda aborda alguns problemas que envolvem duas equações e duas incógnitas. São os chamados sistemas de equações lineares, que podem ser representados no plano cartesiano por uma reta. Há outros desafios pela frente. Neste Caderno, o foco de aprendizagem será a Geometria. Você estudará, a princípio, o cálculo da área de figuras planas, e terá contato com diferentes maneiras de calcular a área, tanto de figuras regulares quanto irregulares, representadas em uma malha quadriculada. Esse estudo foi construído em séries/anos anteriores, e agora o objetivo será explorar e ampliar as ideias e os processos aprendidos para esses cálculos. Você vivenciará também a aplicação de dois teoremas que têm diversas aplicações práticas e são muito conhecidos na Matemática: o teorema de Tales e o teorema de Pitágoras. Por fim, ainda no estudo da Geometria, serão tratados temas como reconhecimento, planificação, representação plana e relações métricas dos prismas, em particular dos prismas retos. Esperamos que você participe de todas as atividades propostas pelo professor e, com isso, possa aprender cada vez mais. O objetivo é contribuir para que o estudo da Matemática seja cada vez mais prazeroso. Aproveite bastante!
Equipe Curricular de Matemática Coordenadoria de Gestão da Educação Básica – CGEB Secretaria da Educação do Estado de São Paulo
Matemåtica – 7a sÊrie/8o ano – Volume 2
?
!
SITUAĂ‡ĂƒO DE APRENDIZAGEM 1 EXPANDINDO A LINGUAGEM DAS EQUAÇÕES VOCĂŠ APRENDEU?
1. Escreva uma sentença matemĂĄtica que represente a seguinte frase: “X reais a menos que Y reais ĂŠ igual a 40 reais.â€?
2. Se X operĂĄrios constroem um muro em Y horas, quantas horas serĂŁo necessĂĄrias para que o triplo do nĂşmero de operĂĄrios construa o mesmo muro? (Admita operĂĄrios com mesmo rendimento.)
3. Escreva uma expressão, com as letras indicadas na figura, para a årea do retângulo.
a
b
c
4. Escreva por extenso uma sentença que forneça a mesma informação que a expressão X 5Y fornece.
5
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
5. Ao repartir uma conta de R$ 78,00 no restaurante AL GEBRÁ, três amigos estabeleceram que: 3 do que Gustavo pagou; t Rui pagaria __ 4 t Cláudia pagaria R$ 10,00 a menos que a terça parte do que Gustavo pagou. Que valor da conta coube a cada um dos três amigos?
6
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
Desafio! 6. Se de 220 subtrairmos a idade de uma pessoa, obtemos uma aproximação da frequência cardíaca máxima por minuto que ela tolera em atividade física intensa. Sabe-se 24 da de Bernardo. Se a frequência que a frequência cardíaca máxima de Renê é ___ 23 16 da idade de Bernardo, determine a idade e a cardíaca máxima de Renê é igual a ___ 3 frequência cardíaca máxima dos dois amigos.
LIÇÃO DE CASA
7. Escreva uma expressão com letras que represente corretamente cada um dos enunciados: a) João tem o triplo da idade de Maria, que, por sua vez, tem a metade da idade de Ana.
7
Matemåtica – 7a sÊrie/8o ano – Volume 2
b) O galinheiro de ClĂĄudio tem 20 galinhas a mais do que o de Paula.
c) X laranjas, em quantidade menor que uma dĂşzia, sĂŁo Y laranjas.
8. Escreva uma situação real que poderia ser descrita pelas expressþes: a) Y X 2
b) 2 u X 3 u Y 50
c) X 2 u Y 4 3
9. LĂŠo, MĂĄrio e Norberto vĂŁo repartir 60 figurinhas. Eles decidiram que LĂŠo receberĂĄ 5Â figuri3 do total de figurinhas que Norberto nhas a mais do que Norberto e que MĂĄrio ficarĂĄ com __ 4 vai receber. Calcule quantas figurinhas cada um dos trĂŞs amigos deve receber.
8
Matemåtica – 7a sÊrie/8o ano – Volume 2
VOCĂŠ APRENDEU? 10. As tĂŠcnicas estudadas para resolver equaçþes sĂŁo importantes porque organizam alguns procedimentos algĂŠbricos, mas nunca devemos perder de vista a heurĂsticaa. Todas as equaçþes a seguir podem ser resolvidas sem o uso das tĂŠcnicas algĂŠbricas. Descubra a solução de cada uma usando o mĂŠtodo heurĂstico e registre com palavras o seu raciocĂnio. Lembre-se de que uma equação pode nĂŁo ter solução, pode ter apenas uma solução, pode ter mais de uma solução ou atĂŠ mesmo infinitas soluçþes. a) 3x 1 82
b)
1 _ 1 x 1 5
c) x2 25
d) x2 2 51
e) (x 1)2 9
a
Segundo o DicionĂĄrio Houaiss da lĂngua portuguesa, heurĂstica: arte de inventar, de fazer descobertas; ciĂŞncia que tem por objetivo a descoberta de fatos.
9
Matemåtica – 7a sÊrie/8o ano – Volume 2
f ) x2 –16
9 g) 2x 2 __ 8
h) 2x 1 16
i) 52 – x 25
j) (x 5) u (x – 3) 0
k) x(x 1) u (x 2) u (x 3) 0
l) x 1 x 2
10
Matemåtica – 7a sÊrie/8o ano – Volume 2
5 0 m) _____ x 1
x 2 1 n) _____ 3x
2x – 1 1 o) ______ x 4
p) (2x)3 64
q) (2x 1) u (3x 3) 0
_____ r) ÂŽx + 3 25
11
Matemåtica – 7a sÊrie/8o ano – Volume 2
81 1 s) ___ 3x
29 t) 1 _____ 2x – 3
u) 3x2 5x6 –15
13 2x – 1 v) _____ – ___ 41 41
w) x3 – 8
1 0 x) __ 5x
12
Matemåtica – 7a sÊrie/8o ano – Volume 2
y) 0 u x 0
11. A figura indica uma folha de latão que serå usada na montagem de uma peça (as medidas estão em metros). x 10 x
x x 2x 4
2x 4
x
a) Determine todos os valores possĂveis de x (em metros) para que o perĂmetro da folha seja maior ou igual a 64 m.
b) Determine todos os valores possĂveis de x (em metros) para que a soma dos comprimentos representados em vermelho seja menor que a soma dos demais comprimentos que completam o perĂmetro da folha.
13
Matemåtica – 7a sÊrie/8o ano – Volume 2
12. Para produzir x litros de uma substância, o custo por litro depende da quantidade produzida, ou seja, depende do valor de x. Em dada situação, o custo por litro Ê expresso pela relação C 1 000 – 1,5x. A empresa que fabrica essa substância desenvolveu um novo processo de produção que pode ser feito ao custo (por litro) dado pela fórmula C 940 – 1,4x. Pergunta-se: a) Deseja-se produzir 450 litros da substância. Em qual dos dois processos o custo por litro serå menor? E se a quantidade a ser produzida for 620 litros?
b) Determine todos os valores de x para os quais o custo por litro no novo processo de produção Ê menor do que o custo por litro no processo antigo.
13. Para enviar uma mensagem do Brasil para os Estados Unidos via fax, uma empresa cobra R$ 3,40 pela primeira pĂĄgina e R$ 2,60 por cada pĂĄgina adicional, completa ou nĂŁo. Calcule o maior nĂşmero de pĂĄginas possĂvel de uma dessas mensagens para que seu preço nĂŁo ultrapasse o valor de R$ 136,00.
LIĂ‡ĂƒO DE CASA 14. Em um concurso com 20 questĂľes, para cada questĂŁo respondida corretamente o candidato ganha 3 pontos, e, para cada uma respondida de forma incorreta (ou nĂŁo respondida), perde 1 ponto. Sabendo que para ser aprovado o candidato deve totalizar na prova um mĂnimo 14
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
de 28 pontos, calcule o menor número de questões respondidas corretamente para que o candidato seja aprovado no concurso.
15. Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela a seguir: Plano A B C
Custo fixo mensal R$ 35,00 R$ 20,00 R$ 0,00
Custo adicional por minuto R$ 0,50 R$ 0,80 R$ 1,20
a) Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utiliza 25 minutos por mês?
b) A partir de quantos minutos de uso mensal o plano A se torna mais vantajoso do que os outros dois?
15
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
16
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
?
!
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 COORDENADAS CARTESIANAS E TRANSFORMAÇÕES NO PLANO VOCÊ APRENDEU?
Localização
1
2 R. São C
oro
aetano R. São C
aetano
Est
ado
BOM RETIRO R. Ma
os
Pais
BRÁS
R. d
R. P
a Ca
línio
ntar
eira
Ram
nio ntô R. A
R. Mig
uel Ca
ado
rlos
Est do Av.
er
a reir nta R. d a Ca
o ei r
R.
ra
rei
Mo
mp
Sa
Praça São Vito
Ge
n.
s
Luca
Ca rn
co di
Va
ndrade
R. Po
Maré
aio
ega
o A. lignan
R.
va
s Sil
nde
erna
R. F
ând a Alf
R.
a veir
e Oli
im d
jam Ben
R. do
tro
asôme
R. do G
R.
D
rio
R. d
C
R. Barão de Duprat
cú
a R. Monsenhor A
.M
Agora é sua vez
ldeir
s Ca
nde
e R. M R. Santa Rosa
Av
R. Elisa Whitaker
R. Rodrigues dos Santos
Av.
do
uá
B
4 R. João Teod
R. Monsenhor Andrade
A
3
© Conexão Editorial
1. Se quisermos localizar o endereço de uma pessoa, podemos recorrer a um guia de ruas. O guia funciona com um sistema de coordenadas de linhas e colunas. Para localizar uma rua, basta conhecer suas coordenadas, isto é, a linha e a coluna em que ela se encontra. No caso do guia de ruas, esse cruzamento de informações determina uma região (quadrado) na qual a rua (ou parte dela) está localizada. Além disso, é preciso saber o número da página em que ela se encontra. O mapa a seguir foi extraído da página de um guia de ruas da cidade de São Paulo. Faça o que se pede:
ro
asômet
R. do G
a) As coordenadas da Rua Miguel Carlos são B1. Localize-a no mapa. b) A Rua Vadico está indicada no mapa. Dê a sua localização em termos de coordenadas.
17
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
PESQUISA INDIVIDUAL
2. Consulte um guia de ruas e localize a rua onde você mora e a rua de sua escola. Procure os seus nomes no índice alfabético e anote suas coordenadas (página, linha e coluna). Casa: Escola:
VOCÊ APRENDEU?
Ponto de referência
© Conexão Editorial
3. Um empreiteiro deve construir um ralo em uma cozinha seguindo as instruções fornecidas pelo arquiteto na planta a seguir, construída em escala. As dimensões dos ladrilhos quadriculados são de 10 cm por 10 cm.
ralo
18
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
a) Como você faria para informar a localização precisa do ralo nessa planta?
b) Tendo como ponto de referência o canto superior esquerdo da planta, quais são as coordenadas horizontais e verticais do ralo?
c) Escolha outro ponto de referência na planta e escreva as coordenadas do ralo.
Leitura e análise de texto Localização e dimensões Para encontrarmos o local de uma casa, precisamos do endereço dela. No caso, precisamos saber o nome da rua e o número da casa. Encontrada a rua, basta nos orientarmos pela numeração até localizarmos a casa. Por convenção, a numeração de uma rua segue um sentido crescente de numeração relacionado à distância em relação ao início dessa rua. Esse início é estabelecido por convenção, e a partir dele numeram-se as residências, com os números pares à direita e os ímpares à esquerda. Assim, a casa de número 250 fica no lado direito da rua, a aproximadamente 250 metros de seu início. Essa situação envolveu a localização de um ponto em determinado espaço de uma dimensão, a saber, da distância da casa até o início da rua. No caso do guia de endereços, para localizar uma rua foram necessárias duas informações: a primeira em relação à direção horizontal (representada por letras), e a segunda, em relação à direção vertical (representada por números). O mesmo ocorre quando queremos informar a localização de um livro em uma estante. A prateleira informa a dimensão vertical e a posição do livro na prateleira, a dimensão horizontal. Tal livro encontra-se na 5a prateleira de baixo para cima, e é o 5o da direita para a esquerda. Um mapa geográfico também envolve a localização de duas direções: a vertical, chamada de latitude, e a horizontal, que é a longitude. O sentido de cada uma dessas direções foi estabelecido por convenção: Norte e Sul a partir da linha do Equador para a latitude, e Leste e Oeste a partir do meridiano de Greenwich para a longitude. A cidade de Santos, por exemplo, 19
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
encontra-se 23° 57’ ao Sul do Equador e 46° 20’ a Oeste do meridiano de Greenwich. As três situações descritas envolveram a localização em um espaço de duas dimensões. Já a posição de um avião em pleno voo envolve a localização em um espaço de três dimensões. Além das coordenadas geográficas (latitude e longitude), precisamos determinar a altura em que o avião está viajando, completando, assim, três informações. Outro exemplo é a localização de um livro em uma biblioteca com várias fileiras de estantes. Precisamos informar a fileira em que se encontra a estante, a prateleira e a posição do livro na prateleira. Para três dimensões, três informações são necessárias. Da reta numerada ao plano O modelo matemático mais usado para localizar pontos em uma dimensão é a reta numerada (veja a figura a seguir). Para localizar um ponto com precisão em uma reta são necessários três elementos. O primeiro é um ponto de referência ou origem, a partir do qual serão feitas as comparações de distância. O segundo é um sentido de crescimento, de forma que seja possível estabelecer uma sequência crescente de numeração. E, por fim, uma unidade de medida, que servirá de parâmetro para a marcação de todos os outros pontos da reta. Sentido
Unidade -3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Origem Parte-se do pressuposto de que é possível associar cada ponto da reta a um único número real e cada número real a um único ponto na reta. Essa afirmação não será justificada neste momento, uma vez que será aprofundada somente no estudo da construção e representação dos números reais, na 8a série/9o ano. Por enquanto, basta que compreenda que é possível localizar e representar números inteiros e racionais na reta numerada. Essa correspondência entre pontos e números define um sistema de coordenadas na reta. O número correspondente a um ponto da reta é chamado de coordenada. A coordenada nada mais é do que o endereço de um ponto na reta numerada. A reta numérica, contudo, não é suficiente para localizar pontos em um espaço de duas dimensões. O modelo matemático mais utilizado para esse fim é o plano. O plano cartesiano consiste na junção de duas retas numeradas (eixos coordenados), uma horizontal e outra vertical, que se cruzam no ponto de origem. Do mesmo modo que um número representava um ponto na reta numerada, um par de números representará um ponto no plano. Cada um desses números corresponderá a um ponto em um dos eixos coordenados. Assim, o endereço de um ponto no plano corresponde a um par ordenado de números. Essa ordenação foi convencionada da seguinte forma: o primeiro número corresponde ao eixo horizontal e o segundo, ao vertical. Por exemplo, o ponto correspondente ao par ordenado (3; 2) encontra-se a 3 unidades de distância da origem na horizontal e a 2 unidades na vertical. O gráfico a seguir mostra a representação de alguns pares ordenados no plano cartesiano. 20
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
y
Vídeo: Um ponto de vista
Vídeo aula
4 3
(-3; 1)
Agora é sua vez
(3; 2)
2 1 (0; 0) -4
-3
-2
0
-1
1
2
3
4
x
-1 -2
(2; -2)
-3 (-1; -4)
-4
Por convenção, o ponto de origem do plano corresponde ao par ordenado (0; 0), que é o ponto de interseção das duas retas numeradas. O sentido de crescimento no eixo horizontal é da esquerda para a direita e no vertical, de baixo para cima. Os números positivos são representados à direita e acima do ponto de origem, e os negativos, à esquerda e abaixo desse ponto. Os pontos do plano são representados pelos pares ordenados (x; y), no qual x representa os valores associados ao eixo horizontal, e y, os valores associados ao eixo vertical. No caso da representação de planos no espaço, acrescenta-se mais um eixo coordenado perpendicular ao plano, passando pela origem. Assim, no espaço, o endereço de um ponto é uma coordenada composta por três pontos ordenados (x; y; z). O nome do sistema de coordenadas cartesianas é uma homenagem ao seu criador, o filósofo e matemático francês René Descartes, que viveu no século XVII. A ideia de localizar pontos no plano por meio de um sistema de coordenadas representou um grande avanço no estudo da Geometria. A partir da criação do sistema de coordenadas cartesianas, a Geometria passou a se apoiar nas técnicas de representação algébrica, permitindo um estudo mais analítico das figuras geométricas. Além disso, a própria Álgebra se transformou, pois os valores de uma função puderam ser representados graficamente, permitindo uma análise geométrica das expressões algébricas. As atividades a seguir têm como objetivo principal apresentar os principais elementos do sistema de coordenadas no plano, por meio da representação de figuras geométricas e das possíveis transformações que podem ser feitas a partir de operações com suas coordenadas: translações, reflexões, ampliações e reduções. Na atividade 5, serão introduzidos os termos abscissa e ordenada para designar as coordenadas dos eixos x e y, respectivamente. 21
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
Representação de figuras geométricas no plano 4. Observe as figuras geométricas representadas no plano a seguir. Podemos localizá-las por meio de coordenadas horizontais e verticais. Por exemplo, os vértices do quadrado ABCD têm as coordenadas: A (6; 5), B (4; 7), C (2; 5) e D (4; 3). y 10
B F
5
C
A D
–10
G –5
E
5
0
L
H
I
J
10 x
K –5 M
N
–10
a) Escreva as coordenadas dos vértices do triângulo EFG, do retângulo HIJK e do triângulo LMN.
b) Quais pontos assinalados possuem a mesma coordenada x (abscissa)?
c) Quais pontos assinalados possuem coordenada y (ordenada) igual a zero?
22
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
d) Qual ponto assinalado encontra-se mais próximo da origem?
e) E o mais afastado?
f ) Quais pontos assinalados possuem todas as coordenadas negativas?
g) Quais pontos assinalados possuem abscissas negativas e ordenadas positivas?
h) Calcule a área de cada uma das figuras.
LIÇÃO DE CASA
Desenhando polígonos 5. Desenhe os seguintes polígonos no plano cartesiano a partir das coordenadas de seus vértices: t Triângulo ABC, sendo A (5; 2), B (7; 7) e C (1; 5). t Quadrado DEFG, sendo D (–3; 2), E (–3; 7), F (–8; 7) e G (–8; 2). t Hexágono HIJKLM, sendo H (–7; 0), I (–10; 0), J (–12; –3), K (–10; –6), L (–7; –6) e M (–5; –3). 23
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
t Quadrilátero NOPQ, sendo N (7; 0), O (0; –3), P (7; –6) e Q (5; –3). y 10
5
–10
0
–5
5
–5
–10
6. Com base nas figuras obtidas na atividade anterior, responda: a) Quais pontos assinalados estão situados no eixo das abscissas?
b) O que eles têm em comum?
c) Quais pontos assinalados possuem ordenadas negativas e abscissas positivas?
24
10
x
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
d) Qual ponto assinalado encontra-se mais próximo da origem?
e) E o mais afastado?
f ) Qual é a distância entre os vértices M e Q?
VOCÊ APRENDEU? 7. Determine o quadrante a que pertencem os seguintes pontos: 5 ; 2), F (–1; – __ 1 ), G (2,5; 0,25). A (2; –3), B (7; 1), C (–1; – 4), D (1,3; –0,5), E (– __ 2 4 1o quadrante:
2o quadrante:
3o quadrante:
4o quadrante:
8. O jogo da batalha-naval matemática. Este jogo é uma espécie de “batalha-naval” cujo tabuleiro é um plano coordenado xy. As regras são similares às do jogo tradicional. A diferença é que, em vez de navios e submarinos, os objetos a serem atingidos são objetos matemáticos. Cada jogador terá uma frota composta por oito deles, como mostra a figura a seguir.
adição
ponto
subtração multiplicação
triângulo quadrado menor
divisão
triângulo maior
Regras do jogo: I. Seu professor vai propor que você forme uma dupla com um colega. Um de vocês será o jogador Norte e o outro, o Sul. II. Usando o tabuleiro fornecido a seguir, posicione os oito símbolos da seguinte forma: Jogador Norte: 1o e 2o quadrantes 25
Jogador Sul: 3o e 4o quadrantes
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
III. As extremidades de cada objeto devem situar-se no cruzamento de uma linha horizontal e vertical. As coordenadas devem ser números inteiros. IV. Não ultrapasse os limites do tabuleiro. Não posicione seus objetos sobre os eixos coordenados. Limites: Norte (abscissas entre –10 e 10, ordenadas entre 1 e 10); Sul (abscissas entre –10 e 10, ordenadas entre –10 e –1). Os símbolos não podem se interceptar. V. Cada jogador, na sua vez de jogar, terá direito a 3 “tiros”, anunciando as coordenadas (x; y) de localização. O adversário deverá dizer se os tiros acertaram algum alvo, indicando qual dos tiros e que objeto foi atingido. Se não houve nenhum acerto, bastará dizer que foi “água”. Exemplo: Norte atira no Sul: (–2; –3), (4; –2), (1; –7); Sul responde: (–2; –3) e (4; –2) deram “água”; (1; –7) acertou o vértice de um triângulo menor. VI. Para afundar um alvo é preciso acertar as coordenadas de todos os seus pontos que estejam no cruzamento de uma linha e uma coluna. Por exemplo: o objeto (adição) possui 5 pontos (as 4 extremidades e o ponto central); o triângulo maior possui 6 pontos (3 vértices e 3 pontos situados no meio de cada lado). VII. O jogador atacado deverá informar se o objeto for “afundado”. VIII. Os jogadores devem marcar (com um x) os tiros dados em seus respectivos tabuleiros para saber quais tiros foram dados e recebidos. IX. Ganha o jogo quem conseguir acertar a esquadra completa do outro jogador. Veja o exemplo de um tabuleiro usado pelo jogador Norte e seus tiros dados (em azul) e recebidos (em vermelho). 10
y
5
x –10
–5
0
–5
–10
26
5
10
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
Observação! É importante que cada jogador dê os tiros com as coordenadas correspondentes ao quadrante do adversário, caso contrário, poderá acertar a própria esquadra.
Tabuleiro y 10 8 6 4 2 x –10
–8
–6
–4
0
–2
2
4
6
8
10
–2 –4 –6 –8 –10
Leitura e análise de texto Chamamos translação o movimento de uma figura no plano em que todos os seus pontos são igualmente deslocados em uma determinada direção. A translação está associada a uma figura matemática denominada vetor, que indica a direção e a magnitude de um movimento. Nesta atividade, vamos distinguir três tipos de translação. A translação horizontal, tanto no sentido da esquerda para a direita (x a), quanto no sentido da direita para a esquerda (x – a). A translação vertical, de cima para baixo (y – b) ou de baixo para cima (y b). E, finalmente, a translação combinada, que mescla movimentos na horizontal ou na vertical (x ± a; y ± b). 27
Matemåtica – 7a sÊrie/8o ano – Volume 2
VOCĂŠ APRENDEU?
Agora Ê sua vez 9. Relacione as figuras com as seguintes translaçþes. t Translação horizontal: x t 5SBOTMBÎ�P IPSJ[POUBM Y o t 5SBOTMBÎ�P IPSJ[POUBM YΉo t Translação vertical: y t 5SBOTMBÎ�P WFSUJDBM Z o t 5SBOTMBÎ�P WFSUJDBM Z 5 t Translação combinada: (x Z o t 5SBOTMBÎ�P DPNCJOBEB Y o Z 3) II.
I.
Š Conexão Editorial
y y
A
A’
A B
B
B’ v
v x x A’
Š Conexão Editorial
III.
B’
IV. y
y
A B A’
v
x
B’
A
A’
x B’
B v
28
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
10. Desenhe, no plano cartesiano, um triângulo ABC cujos vértices têm coordenadas A (3; 2), B (7; 3) e C (4; 5). a) A partir do triângulo ABC, aplique, sucessivamente, as seguintes translações: I. Translação horizontal (x – 6), obtendo o triângulo A’B’C’.
Agora é sua vez
II. Translação vertical (y – 10), obtendo o triângulo A’’B’’C’’. III. Translação combinada (x 8; y 2), obtendo o triângulo A’’’B’’’C’’’. y 10
5
–10
–5
0
5
10
x
–5
–10
b) Registre na tabela a seguir as novas coordenadas obtidas após cada translação. ΔABC (x; y)
Translação horizontal Translação vertical Translação combinada ΔA’B’C’ ΔA’’B’’C’’ ΔA”’B’”C’” (x – 6; y) (x; y – 10) (x 8; y 2)
A
(3; 2)
A’
A’’
A’’’
B
(7; 3)
B’
B’’
B’’’
C
(4; 5)
C’
C’’
C’’’
29
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
c) O que acontece com as coordenadas dos vértices na translação horizontal?
d) E na translação vertical?
LIÇÃO DE CASA 11. Agora é sua vez. Invente um polígono qualquer e desenhe-o no plano cartesiano. Indique os vértices por letras e anote suas coordenadas. Em seguida, aplique duas translações diferentes no polígono original. Preste atenção nas coordenadas e nas translações escolhidas. O polígono não pode sair do espaço definido pelo plano cartesiano da atividade. y 10
5
–10
0
–5
–5
–10
30
5
10
x
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
Leitura e análise de texto Reflexão é o movimento que transforma um objeto na sua imagem espelhada em relação a um determinado eixo de simetria. O ponto refletido mantém a mesma distância em relação ao eixo de simetria que o ponto original.
m A
A’
B
© Conexão Editorial
Veja o exemplo a seguir:
B’
A imagem anterior foi refletida em relação à reta m. Portanto, a distância do ponto A até m é a mesma do ponto A’ até m. O mesmo acontece em relação aos pontos B e B’ e a todos os pontos da cabeça do cavalo e sua imagem. Nas próximas atividades, distinguiremos dois tipos de reflexão. A reflexão horizontal, quando a imagem do objeto é refletida tendo y como eixo de simetria, e a reflexão vertical, quando o eixo de simetria é x.
VOCÊ APRENDEU?
12. Desenhe, no plano cartesiano, um quadrilátero ABCD cujos vértices têm coordenadas A (2; 2), B (6; 3), C (2; 4) e D (4; 3). a) A partir da figura obtida, realize as seguintes transformações: I. Reflexão horizontal do quadrilátero ABCD, obtendo o quadrilátero A’B’C’D’. II. Reflexão vertical do quadrilátero A’B’C’D’, obtendo o quadrilátero A’’B’’C’’D’’. III. Reflexão horizontal do quadrilátero A’’B’’C’’D’’, obtendo o quadrilátero A’’’B’’’C’’’D’’’.
31
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
y 10
5
–10
0
–5
5
10
x
–5
–10
b) Registre na tabela a seguir as novas coordenadas obtidas após cada reflexão. ABCD (x; y)
A’B’C’D’ ( ; )
A’’B’’C’’D’’ ( ; )
A”’B”’C’”D’’’ ( ; )
A
(2; 2)
A’
A’’
A’’’
B
(6; 3)
B’
B’’
B’’’
C
(2; 4)
C’
C’’
C’’’
D
(4; 3)
D’
D’’
D’’’
32
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
c) O que acontece com as coordenadas dos vértices na reflexão horizontal?
d) E na vertical?
e) Com base nessas conclusões, e observando a tabela de coordenadas, qual será a posição do quadrilátero A’’’B’’’C’’’D’’’ depois de uma reflexão vertical?
LIÇÃO DE CASA 13. Nesta atividade, você vai proceder de maneira diferente das anteriores. Considere o triângulo MNO de coordenadas M (– 4; 5), N (2; 1) e O (–2; 7). a) Antes de representá-lo no plano, e tendo como base os resultados obtidos nas atividades 10 e 12 da seção Você aprendeu?, preencha a tabela com as coordenadas dos triângulos obtidos depois das seguintes transformações: I. Reflexão horizontal do triângulo MNO, obtendo o triângulo M’N’O’. II. Reflexão vertical do triângulo M’N’O’, obtendo o triângulo M’’N’’O’’. III. Translação (x – 6; y 4) do triângulo M’’N’’O’’, obtendo o triângulo M’’’N’’’O’’’.
ΔMNO (x; y)
ΔM’N’O’ ( ; )
ΔM’’N’’O’’ ( ; )
M
M’
M’’
M’’’
N
N’
N’’
N’’’
O
O’
O’’
O”’
33
ΔM”’N”’O’” ( ; )
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
b) Agora, desenhe o triângulo MNO no plano e aplique as transformações I, II e III. Em seguida, verifique se as coordenadas das figuras obtidas são as mesmas da tabela que você preencheu. Se forem, você já é capaz de fazer translações e reflexões sem o auxílio de um gráfico. y 10
5
–10
0
–5
5
10
x
–5
–10
14. Você já aprendeu que quando somamos ou subtraímos um mesmo número das coordenadas x e/ou y dos pontos de uma figura, o movimento decorrente é uma
.
Quando trocamos o sinal da coordenada x de determinado ponto, o movimento é chamado de
. E, quando trocamos o sinal da coordenada y, o .
movimento decorrente é uma 34
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
35
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
?
!
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Guia de profissões: Agrimensor e Geólogo
VOCÊ APRENDEU?
1. Considere o seguinte problema: A soma das idades de João e Maria é 28 anos. Qual é a idade de cada um deles? a) Esse problema tem mais de uma solução? Explique.
b) Chamando a idade de João de x e a de Maria de y, escreva uma equação para esse problema.
c) Considerando apenas as idades completas de João e Maria, quais são as soluções possíveis para o problema? Construa uma tabela contendo todas as soluções possíveis.
36
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
d) Considere agora a seguinte informação: João é 4 anos mais velho que Maria. Como ficaria a solução do problema?
e) Escreva a nova informação na forma de uma equação.
f) Substitua os valores de x e y encontrados nas duas equações do problema. O que acontece?
2. Ainda com base no problema inicial apresentado na atividade 1, responda: a) Se o problema nos informasse que a idade de João é o triplo da idade de Maria, qual seria a solução?
b) E se a idade de Maria fosse o dobro da idade de João, qual seria a solução do problema?
Equações e incógnitas 3. Escreva as equações do problema apresentado na atividade 1 a partir da informação obtida no item b da atividade 2. t A soma das idades de João e Maria é 28: t A idade de Maria é o dobro da de João: a) Escreva apenas uma equação, com uma incógnita, que contenha as duas informações do problema.
37
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
b) Resolva a equação resultante e encontre os valores de x e y.
c) Os valores encontrados atendem às condições iniciais do problema?
d) Se o problema aceitar como resposta idades não inteiras, qual será a solução?
Resposta: 38
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
LIÇÃO DE CASA
4. Dois amigos foram a uma lanchonete e gastaram R$ 18,00. Eles comeram 2 sanduíches e tomaram 3 sucos. Sabendo que o preço do sanduíche era o triplo do preço do suco, descubra qual era o preço de cada um.
Resposta:
5. A diferença entre dois números é 42. Sabendo que o maior vale o dobro do menor, acrescido de 5, descubra quais números são esses.
Resposta: 39
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
6. Quando você tinha a metade da minha idade, nossas idades juntas somavam 72 anos. Quais eram as nossas idades?
Resposta:
VOCÊ APRENDEU?
7. Precisamos descobrir o peso de dois objetos denominados x e y. Para isso, foram realizadas as seguintes medidas em uma balança de pratos. a) Escreva as equações que correspondem às medidas ilustradas nas figuras.
© Conexão Editorial
© Conexão Editorial
2 000 g x
y
500 g
x
y
40
500 g
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
b) O objeto x foi trocado pelo seu equivalente y mais 500 gramas. Em seguida, tiramos 500 gramas de cada lado mantendo o equilíbrio da balança. Escreva as equações que representam as alterações feitas.
2 000 g x
y
2 000 g y
500 g
y 500 g
500 g
2 000 g y
y
© Conexão Editorial
c) Escreva a equação resultante e encontre os valores de x e y procurados.
8. Escreva um enunciado para o problema resolvido na atividade anterior.
9. O método para resolver o sistema de equações descrito na atividade 7 é chamado substituição. Explique, com suas palavras, por que ele recebe esse nome.
41
© Conexão Editorial
500 g
y
Matemåtica – 7a sÊrie/8o ano – Volume 2
LIĂ‡ĂƒO DE CASA
VĂdeo: A voz do interior
10. Resolva os sistemas a seguir usando o mÊtodo da substituição. a)
{
x 2y 5 x – y –1
b)
{
3x – 2y 8 5x y 9
Aprenda fazendo I
Aprenda fazendo III
Aprenda fazendo II
Aprenda fazendo IV
VOCĂŠ APRENDEU?
11. Considere o seguinte problema: AndrÊ e Júlia foram a uma lanchonete. AndrÊ comeu dois mistos, tomou um refrigerante e gastou R$ 6,60. Júlia comeu um misto e tambÊm tomou um refrigerante, gastando R$ 4,10. Qual Ê o preço do misto e do refrigerante nessa lanchonete? a) Escreva a equação que representa o consumo e o gasto de AndrÊ.
b) Escreva a equação que representa o consumo e o gasto de Júlia.
c) Calcule a diferença de gasto e de consumo entre AndrÊ e Júlia. O que se obteve com essa operação?
Resposta: 42
Matemåtica – 7a sÊrie/8o ano – Volume 2
d) Qual foi o preço pago pelo refrigerante? Resposta: e) Resolva o problema algebricamente, subtraindo, membro a membro, as equaçþes do problema.
{
2x y 6,60 – x y 4,10
__ __ ____
12. Resolva os sistemas a seguir pelo mÊtodo da adição. a)
{ 2xx – y y 45
b)
{
3x 5y – 6 x – 2y – 2
c)
{
3x 2y – 4 4x – 3y 23
43
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
LIÇÃO DE CASA
13. A soma de dois números é 78 e a diferença entre eles é 16. Quais são esses números?
Resposta: 14. Em uma prova com 50 questões, para cada resposta correta o aluno ganha 4 pontos, e para cada incorreta, ele perde 1 ponto. a) Se um aluno acertar 40 questões, qual será a sua pontuação?
Resposta: b) Escreva uma equação que relaciona o número de acertos (x) e o número de erros (y) com o total de questões.
c) Escreva uma equação que relaciona o número de acertos (x) e o número de erros (y) com o total de pontos obtidos (p).
d) Um aluno fez 110 pontos. Descubra quantas questões ele acertou e quantas ele errou.
Resposta: 44
Matemåtica – 7a sÊrie/8o ano – Volume 2
VOCĂŠ APRENDEU?
15. Resolva os sistemas usando o mĂŠtodo que julgar mais apropriado. a)
{
2x – y 7 x 3y –7
c)
{
2x 3y 0 6x – 4y 13
b)
d)
45
{
{
x 5y 1 3x – y –13
x 3y – 1 2x y 12
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
Equações, tabelas e gráficos 16. Considere o seguinte problema: A soma de dois números inteiros e positivos é 12 e a diferença entre eles é 4. a) Escreva as informações do problema na forma de um sistema de equações.
b) Preencha as tabelas com as possíveis soluções para cada uma das equações: Tabela I: soluções para a primeira equação.
x y x y
Tabela II: soluções para a segunda equação. x y x–y c) Há algum par de valores para x e para y que satisfaz as duas equações?
46
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
d) Localize no gráfico os pares ordenados (x; y) que correspondem aos valores encontrados nas tabelas I e II. y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
x
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
x
y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
47
Matemåtica – 7a sÊrie/8o ano – Volume 2
e) Localize no gråfico o ponto comum às duas tabelas. Os valores de x e y correspondem à solução do problema?
f ) VocĂŞ deve ter notado que cada equação gerou um conjunto alinhado de pontos no grĂĄfico. Considerando as condiçþes iniciais do problema, poderĂamos ligar esses pontos por meio de uma reta? Justifique sua resposta.
17. Considere agora o seguinte problema: A soma de dois números Ê 6 e a diferença entre eles Ê 1. a) Preencha a tabela de cada equação para os valores indicados de x. x y 6 x y
x–y 1 x y
1 2 3
2 3 4
b) Represente no grĂĄfico os pares ordenados (x; y) que correspondem aos valores encontrados nas tabelas. y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1
2
3
4
5
6
7
8
48
9
10 11 12 13 14 15
x
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
c) As condições do problema permitem que tracemos uma reta interligando os pontos de cada equação? Justifique sua resposta.
d) Ligue os pontos correspondentes a cada uma das equações. Localize o ponto de interseção entre as duas retas e escreva suas coordenadas. Elas correspondem à solução do problema?
e) Escreva o sistema de equações que corresponde aos dados do problema e resolva-o pelo método que preferir. Verifique se a solução encontrada corresponde às coordenadas do ponto de interseção.
LIÇÃO DE CASA
18. Construa os gráficos e as tabelas que representam os sistemas de equações a seguir. Dê as coordenadas do ponto de interseção entre as retas que representam cada equação. Em seguida, resolva o sistema pelo método que preferir. (Observação: são necessários apenas dois pontos para representar uma reta no plano.) 49
Matemåtica – 7a sÊrie/8o ano – Volume 2
a)
{
2x y 6 x – y –3 y 10
5
–10
0
–5
5
10
–5
–10
2x y 6 x
x – y –3
y
x
50
y
x
Matemåtica – 7a sÊrie/8o ano – Volume 2
b)
{
x – 2y –2 x y –5 y 10
5
–10
0
–5
5
10
–5
–10
x – 2y –2 x
x y –5
y
x
51
y
x
Matemåtica – 7a sÊrie/8o ano – Volume 2
VOCĂŠ APRENDEU?
19. Resolva os sistemas pelo mÊtodo da adição. Em seguida, construa a tabela e o gråfico das equaçþes de cada sistema e classifique o sistema de acordo com o tipo de solução resultante: a)
{
2x y 3 x–y 6 y 10
5
–10
0
–5
5
–5
–10
2x y 3 x
x–y 6
y
x
52
y
10
x
Matemåtica – 7a sÊrie/8o ano – Volume 2
b)
{
2x y 3 4x 2y 6 y 10
5
–10
0
–5
5
–5
–10
2x y 3 x
4x 2y 6
y
x
53
y
10
x
Matemåtica – 7a sÊrie/8o ano – Volume 2
c)
{
2x y 3 4x 2y 10 y 10
5
–10
0
–5
5
10
–5
–10
2x y 3 x
4x 2y 10
y
x
54
y
x
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
20. Nos gráficos a seguir, as retas representam as equações de um sistema linear. Classifique os sistemas de acordo com o tipo de solução resultante: Determinada Possível Indeterminada
Solução de um sistema linear Impossível
a) Sistema
b) Sistema s
s
y
y
r
x
r
x
r e s são concorrentes
r e s são paralelas
c) Sistema
d) Sistema
y
y
s
r
r s x
x
r e s são coincidentes
r e s são concorrentes
55
Matemåtica – 7a sÊrie/8o ano – Volume 2
?
!
SITUAĂ‡ĂƒO DE APRENDIZAGEM 4 EQUAÇÕES COM SOLUÇÕES INTEIRAS E SUAS APLICAÇÕES Leitura e anĂĄlise de texto
Em algumas situaçþes pråticas temos de resolver sistemas com mais incógnitas do que equaçþes e, ainda, para complicar (ou facilitar), alguns desses sistemas requerem apenas soluçþes inteiras positivas. Vejamos alguns exemplos de problemas adaptados de artigos da Revista do Professor de Matemåtica 1 que, se equacionados, resultam em situaçþes assim. Exemplo 1 – Para agrupar 13 ônibus em filas de 3 ou 5 em uma garagem, quantas filas de cada tipo serão formadas? Exemplo 2 – Quantas quadras de vôlei e quantas quadras de basquete são necessårias para que 80 alunos joguem simultaneamente? E se forem 77 alunos? (Dado: um time de basquete Ê formado por 5 jogadores; um de vôlei, por 6.) Exemplo 3 – Um laboratório dispþe de duas måquinas para examinar amostras de sangue. Uma delas examina 15 amostras de cada vez, enquanto a outra examina 25. Quantas vezes essas måquinas devem ser acionadas para examinar 2 000 amostras? Exemplo 4 – Um caixa eletrônico disponibiliza para saque apenas notas de R$ 20,00, R$ 50,00 e R$ 100,00. Se um cliente deseja sacar R$ 250,00, de quantas maneiras diferentes ele poderå receber suas notas? Exemplo 5 – Deseja-se adquirir peças dos tipos A, B e C cujos preços unitårios são R$ 1,00, R$ 10,00 e R$ 20,00, respectivamente. Se dispomos de R$ 200,00 para a compra, quantas e quais são as possibilidades de compras que podemos fazer? Escrevendo cada um desses problemas em linguagem algÊbrica, encontraremos equaçþes do tipo ax by c ou ax by cz d, em que nos interessam apenas as soluçþes inteiras e positivas do tipo (x; y) ou (x; y; z). Veja como você poderia transcrever cada um desses problemas para a linguagem algÊbrica: Exemplo 1: t: número de filas com 3 ônibus c: número de filas com 5 ônibus 3t 5c 13 Exemplo 2: v: número de pares de times de vôlei b: número de pares de times de basquete 2 u 6 u v + 2 u 5 u b = 80 ou 2 u 6v + 2 u 5b = 77 1
A Revista do Professor de MatemĂĄtica ĂŠ editada pela Sociedade Brasileira de MatemĂĄtica. DisponĂvel em: <http://www.rpm.org.br/cms>. Acesso em: 27 nov. 2013.
56
MatemĂĄtica â&#x20AC;&#x201C; 7a sĂŠrie/8o ano â&#x20AC;&#x201C; Volume 2
(Lembrete: usamos 2 u 6v, e nĂŁo 6v, pois, para haver uma partida de vĂ´lei, precisamos de dois times completos de 6 jogadores; o mesmo raciocĂnio se aplica a 2 u 5b no lugar de 5b). Exemplo 3: x: nĂşmero de amostras examinadas pela mĂĄquina X y: nĂşmero de amostras examinadas pela mĂĄquina Y 15x 25y 2 000 Exemplo 4: x: total de notas de R$ 20,00 y: total de notas de R$ 50,00 z: total de notas de R$ 100,00 20x 50y 100z 250 Exemplo 5: a: nĂşmero de peças adquiridas do tipo A b: nĂşmero de peças adquiridas do tipo B c: nĂşmero de peças adquiridas do tipo C a 10b 20c 200 Problemas em que apenas nos interessam as soluçþes inteiras positivas de uma equação com mais de uma incĂłgnita, normalmente, recebem o nome de equaçþes diofantinas, em homenagem ao matemĂĄtico Diofanto de Alexandria, que viveu por volta do ano 250 d.C. e se interessou por problemas dessa natureza. Quanto ao nĂşmero de soluçþes, uma equação diofantina, como acabamos de descrever, pode apresentar uma, mais de uma ou nenhuma solução. O estudo aprofundado das equaçþes diofantinas permite-nos encaminhar a discussĂŁo para: I. estabelecer um critĂŠrio para a existĂŞncia de soluçþes que envolvam diretamente a noção de mĂĄximo divisor comum; II. estabelecer um algoritmo para encontrar as soluçþes, quando elas existirem. Em classe, seu professor vai orientĂĄ-lo a resolver algumas equaçþes diofantinas com o auxĂlio de tabelas. Depois dessa orientação, vocĂŞ estarĂĄ apto a resolver as atividades a seguir.
57
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
VOCÊ APRENDEU?
1. Complete a tabela a seguir tendo em vista a interpretação do Exemplo 1, apresentado na seção Leitura e análise de texto.
Linha
Número de filas com 3 ônibus (t)
Número de filas com 5 ônibus (c)
Total de ônibus (3t 5c)
1
0
0
0
2
0
1
5
1
0
3
3 4 5 6 7 8 9 10
2. Analise os valores tabelados na atividade anterior e responda qual é a única linha da tabela que apresenta números compatíveis com o problema. Justifique sua resposta.
58
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
3. Complete a tabela a seguir tendo em vista a interpretação do Exemplo 2, apresentado na seção Leitura e análise de texto.
Linha
Número de pares de times de vôlei (v)
Número de pares de times de basquete (b)
Total de alunos (12v + 10b)
1
0
0
0
2
0
1
10
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4. Analise os valores tabelados na atividade anterior e responda qual é a única linha da tabela que apresenta números compatíveis com o problema. Justifique sua resposta.
59
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
LIÇÃO DE CASA
5. Determine as soluções do Exemplo 3 apresentado na seção Leitura e análise de texto.
6. Determine as soluções do Exemplo 4 apresentado na seção Leitura e análise de texto.
60
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
Desafio! 7. Determine algumas das soluções do Exemplo 5 apresentado na seção Leitura e Análise de Texto.
Leitura e análise de texto
Diofanto viveu por volta do ano 250 d.C. e foi um matemático de trabalhos extremamente originais para sua época. A principal obra de Diofanto, chamada Arithmetica, consta ter sido escrita em 13 livros, dos quais apenas os seis primeiros chegaram até nós. Alguns consideram Diofanto o “pai da Álgebra”, uma vez que ele introduziu em seu trabalho a ideia de equação algébrica expressa por símbolos. Na solução de sistemas de equações, Diofanto manipulava um único símbolo para representar as incógnitas e chegava às respostas, comumente, pelo método de tentativa, que consiste em assumir para alguma das incógnitas um valor preliminar que satisfaça algumas condições. Esses valores preliminares conduziam a expressões erradas, mas que geralmente sugeriam alguma estratégia pela qual valores podiam ser obtidos de forma a atender a todas as condições do problema. Na coleção de 150 problemas que compõem sua obra, fica claro que o tratamento dado por Diofanto não é o da axiomatização, e raramente ele apresenta generalizações. Não há uma distinção clara no tratado de Diofanto entre equações determinadas e indeterminadas, e, quando ele se ocupava desse segundo grupo, geralmente contentava-se em encontrar uma solução, e não todo o conjunto de soluções. Muitos dos problemas resolvidos por Diofanto eram da determinação de soluções inteiras (ou racionais) em equações com mais de uma incógnita, fato pelo qual esse tipo de assunto, investigado na Situação de Aprendizagem 4, é conhecido por muitos na Matemática como equações diofantinas. Veremos a seguir (em notação moderna) um problema resolvido por Diofanto para ilustrar sua forma de pensar a Matemática. 61
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
“Determine dois números tais que, cada um somado com o quadrado do outro, forneça um quadrado perfeito.” Como Diofanto tentava sempre escrever os problemas usando apenas uma incógnita, em vez de chamar os números de x e y, chamou-os de x e 2x + 1. Note que, nesse caso, ao somar o segundo com o quadrado do primeiro, necessariamente teremos um quadrado perfeito, porque 2x + 1 + x² é igual a (x + 1)². Na sequência, exige-se que o primeiro somado com o quadrado do segundo seja um quadrado perfeito, ou seja, que x + (2x + 1)² seja um quadrado perfeito. Diofanto escolhe um quadrado perfeito particular, que é (2x – 2)², para igualar à expressão x + (2x + 1)², da qual decorrerá uma equação linear em x, como veremos a seguir: x + (2x + 1)2 = (2x – 2)2 x + 4x2 + 4x + 1 = 4x2 – 8x + 4 A x =
3 13
19 3 e o outro, dado por 2x + 1, é 13 13 Note que no lugar de (2x − 2)² poderíamos ter usado (2x − 3)² ou (2x − 4)² ou outras expressões semelhantes, o que resultaria em outros pares de respostas que atendem à condição do enunciado do problema, mas Diofanto se contentava em encontrar uma única solução para o problema. Segue, portanto, que um dos números é
Como curiosidade final, citamos um trecho (adaptado para a linguagem moderna) de uma obra datada do século V ou VI d.C., chamada Antologia grega, em que, supostamente, revela-se com quantos anos Diofanto morreu: 1 1 1 da sua vida na infância, na juventude, como solteiro; 6 12 7 5 anos depois de casado nasceu o seu filho, que morreu com metade da idade que Diofanto viveu, 4 anos antes da sua própria morte.” “Diofanto passou
© Bibliotéque Publique et Universitaire
Equacionando o problema, descobriremos a suposta idade em que Diofanto morreu: x x x x + + +5+ +4=x 6 12 7 2 x = 84 anos
Frontispício de livro de Aritmética de Diofanto, Toulouse, França, 1620. 62
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
63
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5 ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Leitura e análise de texto Equivalência de figuras planas Dois polígonos iguais têm, evidentemente, a mesma área. Dois polígonos diferentes, entretanto, podem ter a mesma área. Quando dois polígonos têm a mesma área, dizemos que eles são equivalentes. Naturalmente, se dois polígonos são formados pelas mesmas partes, ou seja, se são equicompostos, então, são equivalentes. Embora menos evidente, a recíproca desse teorema, isto é, que dois polígonos com a mesma área são equidecomponíveis, foi demonstrada por dois matemáticos – o húngaro Farkas Bolyai e o alemão Paul Gerwien – e recebeu o nome de teorema de Bolyai-Gerwien. 4m
8m 2m
4m
Um quadrado, por exemplo, pode ser decomposto formando um retângulo a partir de um corte retilíneo feito pela metade de seus lados. O quadrado e o retângulo têm áreas equivalentes.
VOCÊ APRENDEU?
1. Considere o hexágono regular ABCDEF. Com apenas um corte retilíneo, construa um paralelogramo que seja equivalente a ele. Se desejar, com o auxílio de régua e compasso, construa um hexágono regular de papel e encontre um corte que o transforme em um paralelogramo. Depois, desenhe as fases dessa transformação no espaço.
A
F
C
E
64
B
D
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
2. Dois retângulos são equivalentes. No primeiro, a base mede 125 cm e a altura, 80 cm. No segundo, a base mede 50 cm e a altura não é conhecida. a) Descreva uma forma para encontrar a altura do segundo retângulo e determine seu valor.
b) Compare o perímetro dos dois retângulos. O que você observa?
3. Um retângulo tem base de 16 cm e altura de 4 cm. Encontre as medidas de um retângulo equivalente a este que possua o menor perímetro possível.
4 cm
16 cm
65
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
Leitura e análise de texto Fórmula de Pick: calculando áreas por contagem Em 1899, o matemático tcheco Georg Alexander Pick publicou um artigo que apresentava uma fórmula para cálculo de áreas de polígonos cujos vértices eram pontos de uma malha quadriculada. Observando a composição e a decomposição de figuras planas na malha, Pick percebeu um padrão que associava a área de um polígono à quantidade de pontos da malha que se situavam no seu interior e sobre seu perímetro. A fórmula de Pick, para um polígono cujos vértices são pontos de uma malha quadriB + I – 1, em que A é a área do polígono, B é a quantidade de pontos da culada, é: A = __ 2 malha situados sobre a fronteira do polígono e I, o número de pontos da malha existentes no interior do polígono.
VOCÊ APRENDEU?
4. A seguir, apresentamos três figuras – um quadrado, um paralelogramo e um triângulo retângulo. Preencha a tabela apresentada e aplique a fórmula de Pick para encontrar a área das três figuras.Em seguida, conclua se há equivalência entre esses polígonos.
Figura
Valor de B
Valor de I
Quadrado Paralelogramo Triângulo retângulo
66
Cálculo
Área
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
5. Em uma tábua foram fixados, à mesma distância, alguns pregos, formando um geoplano. Com um elástico, o professor formou a figura a seguir. Aplique a fórmula de Pick para encontrar a área do polígono ABCD. D C
A B
Leitura e análise de texto Calculando áreas de figuras irregulares Aerofotogrametria é um conjunto de técnicas que permite a elaboração de mapeamentos com base em fotografias tiradas por câmeras instaladas em aviões ou satélites. Fotogrametristas são os profissionais que analisam as formas e as dimensões dos objetos a partir dessas fotografias métricas. Esses profissionais têm recursos para determinar áreas de regiões como cidades, países ou parques ambientais. A seguir, propomos um método para determinar, de forma aproximada, áreas de regiões irregulares em um mapa. Nesse caso, consideramos que os mapas foram construídos por meio de um sistema de projeção que preserva a proporcionalidade entre as áreas representadas e as áreas reais (existem mapas que são construídos tendo em vista outras finalidades, como as relacionadas à navegação, e que não preservam tais proporções).
67
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
VOCÊ APRENDEU?
6. Para calcular o valor aproximado da área de uma região irregular, podemos desenhá-la sobre uma malha quadrangular, em que cada quadradinho da malha indica uma unidade de área (1 u).
A
Em seguida, adotam-se os processos: I. Conta-se o número de unidades da malha totalmente contidas na região indicada por A1. II. Conta-se o menor número de unidades da malha que envolve totalmente a região indicada por A2.
A1 = 12 u
A2 = 33 u
III. Calcula-se a média aritmética entre as duas quantidades de unidades da malha contadas nos processos I e II.
A=
A1 + A2 12 + 33 = = 22,5 u 2 2 68
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
IV. Se a figura estiver em escala, devemos conhecer a área da unidade da malha para multiplicá-la pelo valor encontrado anteriormente.
RORAIMA
© Wagner Barbosa Batella adaptado por Conexão Editorial
Utilize o procedimento que acabamos de descrever para calcular a área aproximada do Estado de Minas Gerais, destacado no mapa a seguir.
AMAPÁ
AMAZONAS
RIO GRANDE CEARÁ DO NORTE
MARANHÃO
PARÁ
PARAÍBA PERNAMBUCO
PIAUÍ ACRE
ALAGOAS SERGIPE
TOCANTINS
RONDÔNIA
BAHIA
MATO GROSSO DF
2
53 000 km
GOIÁS MINAS GERAIS
MATO GROSSO DO SUL
ESPÍRITO SANTO SÃO PAULO
PARANÁ SANTA CATARINA RIO GRANDE DO SUL
69
RIO DE JANEIRO
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
PESQUISA INDIVIDUAL
Faça uma pesquisa em livros de Geografia, em atlas ou na internet sobre a “área real” que o Estado de Minas Gerais ocupa. Compare o valor real com o valor encontrado na atividade 6 apresentada na seção Você aprendeu?.
Leitura e análise de texto As fórmulas das áreas de figuras planas A
Vamos acompanhar o desenvolvimento das expressões que permitem o cálculo da área de alguns polígonos importantes.
B
Área do paralelogramo A área do paralelogramo é obtida a partir da equivalência com a área de um retângulo de base e altura, respectivamente, congruentes à base e à altura do paralelogramo considerado. Vamos mostrar isso a partir do paralelogramo ABCD:
D
C
Do vértice A, baixamos um segmento AE, perpendicular às paralelas AB e CD. Nesse caso, AE será a altura relativa às bases AB e CD. B
A
h
D
C
E
70
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
Vamos destacar o triângulo ADE e transportá-lo para o outro lado do paralelogramo, que, desse modo, vai transformar-se em um retângulo equivalente ABE’E. A
B
A
B
h
D
E
h
C
E
C
E’
b
Observando a composição, percebemos que ambos os quadriláteros possuem a mesma altura, AE, e a mesma base AB. Logo, o mesmo produto da medida AE · AB, que determina a área do retângulo, determina também a área do paralelogramo. Denotando cada dimensão por h (altura) e b (base), temos que a área do paralelogramo e: A = b · h. Área do losango Primeiramente, lembre-se de que chamamos de losango um paralelogramo equilátero, isto é, com lados congruentes. Como o losango é um paralelogramo, sua área pode ser obtida pelo produto da base (lado do losango) pela altura (distância entre a base e o lado paralelo a essa base). B C
B
A
C
A=b·h
h b A
D
D B
Outra possibilidade é mostrar que o losango ABCD equivale a um retângulo ACFE em que um lado é igual a uma das diagonais do losango e o outro é metade da outra diagonal.
A
M
C
d 2
A = D · d ou A = D · d 2 2 E
D D
71
F
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
Área do triângulo A área do triângulo pode ser deduzida a partir da área do paralelogramo. Dado um triângulo qualquer ABC, acrescentamos a ele o triângulo AB’C, idêntico a ele, formando um paralelogramo. A
A
B’
h
B
B
C
C b
A área do triângulo é, portanto, igual à metade da área do paralelogramo, que é determinada pelo produto da medida da base b pela altura h. Logo, a área A do triângulo é igual a: b·h 1 b · h ou A = ____ A = __ 2 2
Desafio! Área do trapézio Trapézio é todo quadrilátero convexo que tem apenas dois lados paralelos. No trapézio GALO, dado a seguir, B é a medida da base GA (base maior) e b, a medida da base LO (base menor). A altura do trapézio é indicada por h e representa a distância (B + b) u h entre as bases. A área do trapézio é representada pela expressão: A = _________ . 2 b
O
L
base menor h altura base maior A
G B
Encontre uma maneira de demonstrá-la, tomando a figura anterior como referência.
72
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
LIÇÃO DE CASA 7. A figura a seguir indica uma folha de latão que será usada na montagem de uma peça (as medidas estão em metros). x + 10 x
x x 2x + 4
2x + 4
x
a) Se calcularmos a área da superfície da folha de latão necessária à construção da peça, ela será uma expressão que depende do valor de x. Escreva essa expressão.
b) Encontre o valor da área dessa superfície quando x = 4 metros.
73
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
8. Separe duas folhas de papel sulfite. Disponha uma sobre a outra como mostra a figura a seguir. Discuta com seu colega se a folha que está por cima cobriu a metade, mais da metade ou menos da metade da folha que está por baixo.
74
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6 TEOREMA DE TALES: A PROPORCIONALIDADE NA GEOMETRIA VOCÊ APRENDEU?
1. Sílvio é um jardineiro que está trabalhando no projeto de um canteiro triangular, em uma esquina da praça de seu bairro. Inicialmente, ele propõe que o canteiro seja composto por dois tipos diferentes de folhagens rasteiras, e que a divisão entre elas seja feita por uma faixa paralela à base BC, indicada na figura pelo segmento DE. Desse modo, Sílvio fez as seguintes medições no canteiro: AD = 4 m, DB = 4 m e AE = 3 m. Qual deve ser a medida de EC? A
A 4m
D
3m
E
4m
B
B
C
75
C
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
2. Para fazer um ajuste em seu projeto, Sílvio posicionou o ponto D a 2 m do ponto A, conforme indicado na figura a seguir. Encontre a nova medida de EC. A 2m
1,5 m
D
E
6m
B
C
Atenção! Vamos aproveitar o mesmo enunciado para explorar outras proporções possíveis no projeto do canteiro.
3. A partir dos ajustes e dimensões do projeto (atividade 2), Sílvio percebeu que poderia explorar melhor o canteiro, dividindo-o mais uma vez por outra faixa paralela à base BC, indicada na figura pelo segmento FG. Isso permitiria plantar outro tipo de folhagem, deixando o canteiro ainda mais bonito. A 2m D
1,5 m E
5m F
G
1m B
C
Com base nessas dimensões, encontre as medidas de EG e GC e utilize o espaço a seguir para realizar os cálculos. 76
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
4. Lucas queria estimar a medida mais extensa do pequeno lago que havia perto de sua casa. Pensando sobre o problema, ele inicialmente fez um esquema da situação, indicando essa extensão por AB e imaginando dois triângulos ABD e BCE, sendo as bases AD e EC paralelas (Figura 1). Depois, foi ao local e fincou 5 estacas, cada uma correspondente a um vértice dos triângulos de seu esquema. Contou com passos as medidas correspondentes aos lados AE, BD e DC, e completou seu esquema como na Figura 2.
A
E
4 passos A E
B
B
9 passos
D Figura 1
D 3 passos
Figura 2 C
C
O procedimento criado por Lucas permite a resolução do problema? Se sua resposta foi afirmativa, expresse os cálculos efetuados e o valor, em passos, encontrado por ele para a extensão AB.
77
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
5. De uma praça em formato retangular saem 4 avenidas, _, `, e e, uma de cada vértice do retângulo. Ligando cada par de avenidas há três ruas, 1, 2 e 3, sempre paralelas em cada caso. Os pontos de encontro entre as ruas de mesmo número são nomeados pelas letras do alfabeto, A, B, C, D etc. Observe na figura os pontos M e P. O ponto M está na rua “2 Leste”, enquanto o ponto P está na rua “3 Norte”. C NORTE
B
3 P
Avenida e
Avenida _
2
L
A K
M
1 J
OESTE 3
G
D 1 E
H Avenida
LESTE
Praça
1
2
3
2
1
2 F
I 3 SUL
Avenida `
a) Considere apenas a parte Sul e as distâncias entre os pontos apresentadas a seguir e verifique DE . GH = ____ se é válida a proporção ____ EF HI GH = 50 m
HI = 40 m
DE = 60 m
78
EF = 48 m
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
b) A proporção verificada no item anterior é a expressão matemática do teorema de Tales, segundo o qual: se uma reta paralela a um lado de um triângulo intersecta os outros dois lados em pontos distintos, então ela determina segmentos que são proporcionais a esses lados. Considere agora o lado Leste da praça da figura e escreva a expressão matemática do teorema de Tales.
c) A partir da distância AB = 36 m, calcule a medida BC.
d) Na figura, a distância entre os pontos J e K é igual a 32 m. Sendo assim, calcule as medidas de KL baseando-se na proporcionalidade entre os segmentos do lado Norte e de KL com base na proporcionalidade entre os segmentos do lado Oeste.
6. Se a praça da figura da atividade anterior for retirada do mapa, observa-se que as avenidas e e encontram-se no ponto X, enquanto as avenidas _ e ` encontram-se no ponto Y, como mostra a figura a seguir. 79
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
C NORTE
B
3 P
Avenida e
Avenida _
2
L
A K
M
1 J
OESTE 3
1
2
3
2
1
X
LESTE
Y D
G
1 E
H
2 F
I 3
Avenida
SUL Avenida `
Adotando as medidas fornecidas ou calculadas na atividade anterior, e dados JX = 10 m e AY = 8 m, calcule: L
a) GX
K 32 m
J 10 m
OESTE
1
2
3
G 50 m H I
80
X
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
b) DY
C
B 36 m M
A
3 LESTE
8m
2 1
Y
D E
60 m
F
PESQUISA INDIVIDUAL
7. Pesquise em livros de História, Filosofia ou Matemática e, também, em alguns sites, fatos relativos à vida do matemático e filósofo grego Tales de Mileto. Nessa pesquisa, você deve buscar as contribuições de Tales à Matemática. Anote em uma folha avulsa os principais dados encontrados.
81
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
Leitura e análise de texto Tales A forma empírica, do “ensaio e erro”, que caracteriza a matemática dos egípcios e dos babilônios, tornou-se o fundamento da forma dedutiva empregada pelos gregos. É impossível omitir uma ou outra na construção do conhecimento geométrico. Tales é o personagem que circula entre as riquezas culturais de ambas as civilizações e que, criando seus próprios nexos, forma a base do que seria a tradição grega de fazer Matemática. Com Tales, a Geometria transformou-se de conhecimento empírico, cujos resultados são deduzidos diretamente da prática, em conhecimento dedutivo, baseado na aplicação das leis da lógica. Contudo, os trabalhos de Tales e Pitágoras ainda careciam de uma organização, e essa tarefa coube a outro geômetra grego, Euclides, em meados do século III a.C. Tales viveu por volta de 585 a.C. e aprendeu muito com a matemática egípcia. À sua vida estão associadas grandes façanhas, como prever um eclipse e medir a altura da pirâmide de Quéops observando sua sombra. Pelo que se sabe, é o primeiro personagem da história a quem se atribuem descobertas na Matemática independentes da Geometria do mundo real. A noção de teorema A atividade prática dos povos egípcios e babilônios levou à descoberta de um grande número de fatos geométricos. Esses eram apreendidos indutivamente por meio de processos experimentais. No contato com essa produção, os geômetras gregos perceberam que alguns desses fatos podiam ser obtidos a partir de outros, por deduções lógicas. Isso lhes sugeriu que algumas verdades geométricas, tomadas como mais simples e gerais, serviriam de base para a dedução de outras propriedades geométricas. Tendo por base um pequeno número de afirmações tomadas como verdadeiras, denominadas axiomas ou postulados (do grego digno de confiança), demonstrava-se um conjunto de proposições geométricas, ao qual se deu o nome de teorema. Essa foi uma das maiores contribuições gregas ao conhecimento matemático e científico: o método dedutivo. Tales é considerado um dos fundadores da geometria dedutiva. Em um processo de demonstração, o destaque fica por conta das argumentações que devem ter por base conhecimentos já adquiridos. A demonstração do teorema de Tales Acompanhe, atentamente, as argumentações que o professor de Matemática vai construir para demonstrar o teorema de Tales, que afirma que: se uma reta paralela a um lado de um triângulo (considerado por base) intersecta os outros dois lados em pontos distintos, então ela determina segmentos que são proporcionais a esses lados. Como você verá, esse teorema também garante que: se um feixe de retas paralelas é intersectado por duas retas transversais, então os segmentos determinados pelas paralelas sobre as transversais são proporcionais. 82
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
VOCÊ APRENDEU?
Determinação da distância entre dois pontos inacessíveis 8. Como alternativa à crise energética, uma cidade resolveu construir uma pequena hidrelétrica aproveitando a correnteza de um rio situado nas suas proximidades. A figura a seguir representa parte do projeto da construção da barragem da hidrelétrica. Considerando DE paralelo a BC, qual deve ser o comprimento da barragem a ser construída? A 24 m D
18 m E 60 m
x
B
C
83
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
9. Informações sobre temperaturas são muito úteis e frequentes no nosso cotidiano. Nas previsões do tempo são comuns as informações das temperaturas máxima e mínima no decorrer de um período. Quando nos sentimos doentes, uma das primeiras providências a ser tomada é a de medir a temperatura do corpo com o auxílio de um termômetro. A escala térmica mais utilizada no Brasil é a Celsius (ºC). Seu nome é uma homenagem ao astrônomo sueco Anders Celsius (1701-1744), que a propôs em 1742. A escala térmica considera como referências o ponto de congelamento e o ponto de ebulição da água. Na escala Celsius, o ponto de congelamento é 0 ºC e o de ebulição, 100 ºC. Contudo, existem diversas escalas térmicas. Nos Estados Unidos e na Inglaterra, por exemplo, a escala utilizada é a Fahrenheit (ºF), que considera 32 ºF o ponto de fusão (congelamento) e 212 ºF o ponto de ebulição. Para pensar sobre a conversão de ºC para ºF, construímos o diagrama a seguir, colocando em correspondência as temperaturas da fusão do gelo e da ebulição da água: o
C
o
100
212
Tc
Tf
0
32
F ebulição da água
fusão do gelo
a) Encontre a expressão que determina a conversão da temperatura na escala Fahrenheit para a escala Celsius.
84
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
b) O noticiário informa que em Londres a temperatura é de 46 ºF. Converta essa temperatura em grau Celsius e responda: Está frio em Londres?
c) Em contato com um cidadão estadunidense que deseja passar as férias de janeiro no Brasil, uma agente informa que, nesse período, a temperatura média em certa cidade no Nordeste brasileiro é de 32 ºC. Sem saber julgar a temperatura pela escala Celsius, o turista pede que a agente informe a temperatura na escala Fahrenheit. Qual é a medida encontrada pela agente nessa escala?
LIÇÃO DE CASA
10. Para apoiar uma planta trepadeira, um jardineiro constrói, com algumas varas de bambu, uma treliça. Tomando duas varas transversais, ele fixou, com corda, outras três varas, a fim de que elas ficassem paralelas umas às outras. Terminada a construção, ele efetuou algumas medidas que estão expressas na figura a seguir. Com base nas medidas apresentadas, é possível afirmar que ele conseguiu o paralelismo desejado? Em caso negativo, o que ele deverá fazer para consegui-lo? 85
20 cm
26 cm
30 cm
36 cm
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
86
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7 O TEOREMA DE PITÁGORAS: PADRÕES NUMÉRICOS E GEOMÉTRICOS
Leitura e análise de texto Uma perspectiva histórica Pitágoras de Samos (Samos é uma ilha do mar Egeu) foi um filósofo que exerceu forte influência na civilização grega, no século VI a.C. Em seus trabalhos, identificamos a originalidade de construção de um sistema formal de reconhecimento, a classificação e a exploração de padrões numéricos e geométricos. O centro da motivação das pesquisas de Pitágoras e de seus discípulos encontra-se na ideia de conceber uma ordenação matemática do cosmos. Os pitagóricos acreditavam que os segredos espirituais do Universo poderiam ser desvendados por relações numéricas e, para eles, os números deixaram de ser utilizados somente para contagem e revelaram outras propriedades. Embora a motivação possa ser alvo de críticas, deve-se admitir, contudo, que ela gerou uma contribuição fantástica ao conhecimento matemático.
VOCÊ APRENDEU?
1. É muito difícil estudar Geometria sem o apoio de desenhos. Os gregos, em muitas de suas demonstrações geométricas, apoiavam-se na observação de figuras. A figura é um importante veículo para a imaginação matemática. Para ilustrar o valor da figura no processo demonstrativo, pode-se recorrer à história da morte de Arquimedes. Uma das várias versões narra que Arquimedes encontrava-se diante de uma figura quando sua cidade, Siracusa, foi invadida pelo exército romano. Um soldado, inclinando-se sobre uma figura desenhada na areia, ordenou a Arquimedes que o acompanhasse, ao que este teria respondido: “Não perturbe meus círculos”. Sentindo-se desafiado, o soldado desembainhou a espada e o matou. Um dos problemas clássicos da Antiguidade grega era o da duplicação da área do quadrado. Imagina-se que Tales tenha sido o primeiro a demonstrá-lo. No entanto, esse problema não escapou também das anotações de Pitágoras. O problema consiste em, dado um quadrado, encontrar outro que tenha o dobro de sua área.
87
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
Na malha a seguir construiu-se um quadrado. Encontre outro quadrado cuja área seja o dobro da dele.
2. Na investigação de padrões em sequências numéricas, Pitágoras apoiava-se na representação figurativa desses padrões. Números figurados são aqueles representados por determinada configuração geométrica. A forma figurada permite observar a “anatomia” da sequência. A seguir, cada termo da sequência está representado por certa disposição de quadradinhos.
88
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
a) Faça a representação figurativa dos próximos dois números da sequência na malha a seguir.
b) Associando cada figura ao número de quadradinhos que a compõem, escreva a sequência numérica que corresponde à sequência figurativa. Você reconhece os termos dessa sequência?
89
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
c) Observando a sequência figurativa, percebemos que o primeiro elemento é um quadrado de uma unidade de lado. Quando encaixamos o segundo termo no primeiro, completamos um quadrado cujo lado tem uma unidade a mais que o primeiro termo. Numericamente, encontramos a seguinte relação: 1 + 3 = 4.
1
1+3=4
1+3+5=9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Quando encaixamos o terceiro termo nesse quadrado, completamos um novo quadrado que tem por lado, novamente, uma unidade a mais que o anterior. Numericamente, temos: 1 + 3 + 5 = 9. Em cada encaixe em um quadrado de lado x obtemos um quadrado maior, de lado x + 1. Repita essa operação com os outros termos da sequência. Organize suas anotações e, refletindo um pouco mais sobre as condições oferecidas no problema, expresse, em palavras, uma conclusão que relacione o quadrado dos números naturais com os números ímpares.
90
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
3. A propriedade encontrada na atividade anterior foi uma das que mais fascinaram Pitágoras. a) Aplique-a para encontrar o quadrado do número 13.
b) Como podemos aplicar esse método para determinar a raiz quadrada de um número? Aplique-o para o número 64.
c) Verifique que a raiz quadrada de 72 não é um número inteiro.
PESQUISA DE CAMPO A civilização egípcia é notável quando o assunto é construção. Apoiada em uma matemática experimental, essa civilização construiu um conjunto arquitetônico cujo destaque são as enormes pirâmides. Grande parte do processo de construção civil se apoia na formação de ângulos retos. Para se ter uma ideia, a base da pirâmide de Quéops, construída há mais de 4 500 anos, é composta de pedras esquadrejadas e tem por base um quadrilátero muito próximo de um quadrado. O problema de traçar ângulos retos foi resolvido pelos egípcios de modo tão engenhoso quanto simples. Como descobriram que todo triângulo de lados 3, 4 e 5 unidades de comprimento era necessariamente um triângulo retângulo, os arquitetos e construtores egípcios usavam uma corda 91
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
© Conexão Editorial
com 13 nós distribuídos em intervalos iguais. Dobrando a corda de modo que formasse um triângulo de lados 3, 4 e 5, e emendando-a pelas extremidades (1o e 13o nós), obtinham um ângulo reto, oposto ao lado 5.
4
3
5
Vamos fazer como os agrimensores egípcios e criar um esquadro de barbante. Tomando um pedaço de barbante, distribua 13 nós de modo que suas distâncias sejam iguais. Atenção: use do bom senso para definir essa distância. Essa etapa deve ser feita com muito capricho! Uma vez construído o esquadro de barbante, verifique se as paredes da casa em que você mora estão no esquadro. Relate suas conclusões no espaço a seguir.
92
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
VOCÊ APRENDEU?
4. Pitágoras, em sua viagem pelo Egito, tomou conhecimento da propriedade do triângulo 3, 4 e 5. Seu espírito crítico logo o levaria a estabelecer outra relação entre esses números. Vamos acompanhar, nesta atividade, um suposto caminho percorrido por Pitágoras. Dado um segmento, o quadrado que tem esse segmento por lado será chamado quadrado geométrico, como se vê nas figuras.
Com o segmento
construímos seu quadrado geométrico
Vamos chamar de quadrado aritmético o cálculo em potência de expoente quadrado (2) do número que representa a medida daquele lado. Com o número 3, encontramos o quadrado aritmético 32 = 9. a) Em uma folha avulsa, construa os quadrados geométricos dos segmentos de medidas: 3, 4 e 5. Pinte de cores diferentes o interior de cada um deles. Calcule os quadrados aritméticos dos números 3, 4 e 5, e escreva seus resultados sobre os quadrados geométricos. b) Analisando os valores dos quadrados aritméticos, podemos concluir uma relação entre eles. Tente descobri-la, relatando-a no espaço a seguir.
93
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
c) Recorte os quadrados geométricos dos segmentos 3, 4 e 5. Construa, na malha quadriculada a seguir, um triângulo de lados 3, 4 e 5. Acomode, sem sobrepor as figuras, sobre cada lado do triângulo, o quadrado geométrico do segmento que corresponde à sua medida. O lado maior do triângulo retângulo chama-se hipotenusa (do grego hypoteinousa – “esticado abaixo”) e os outros lados são denominados catetos (do grego kathetos – “coisa perpendicular”). Formule uma sentença que combine esses termos com as descobertas feitas sobre os quadrados geométricos e aritméticos associados ao triângulo 3, 4 e 5.
5. Com base nos conhecimentos adquiridos até agora, vamos nos tornar discípulos de Pitágoras e buscar outros triângulos que possuam a mesma propriedade do triângulo 3, 4 e 5, isto é, que formem um triângulo retângulo com lados de medidas inteiras e cuja área do quadrado sobre a hipotenusa seja igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.
94
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
a) Desenhe um retângulo qualquer. Corte o retângulo pela diagonal. Qual foi a figura criada? Meça seus lados com o auxílio de uma régua. Essa medida resultou em um número inteiro?
b) Vamos construir o esquadro dos egípcios no plano cartesiano. O vértice do triângulo 3, 4 e 5, que corresponde ao ângulo de 90º, será posto na origem do sistema. Portanto, as coordenadas dos vértices serão A(0; 0), B(0; 3) e C(4; 0). Para ampliar as dimensões do triângulo ABC em duas vezes, multiplicamos suas coordenadas por 2, obtendo o triângulo A’B’C’, de coordenadas (2x; 2y), isto é, A’(0; 0), B’(0; 6) e C’(8; 0). Se quisermos triplicar suas dimensões, multiplicamos suas coordenadas por 3, obtendo o triângulo de vértices A’’(0; 0), B’’(0; 9) e C’’(12; 0). I. Localize esses pontos em um plano cartesiano construído na malha quadriculada a seguir. Construa os triângulos ABC, A’B’C’ e A’’B’’C’’.
95
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
II. Verifique se, para esses triângulos, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
III. Escreva a medida de três lados de um triângulo de modo que este seja um triângulo retângulo.
LIÇÃO DE CASA
6. Em Matemática, como em muitas outras atividades humanas, depois que se toma gosto é difícil parar. Embora satisfeitos por nossas façanhas matemáticas no encontro de outros ternos pitagóricos, reconhecemos sua limitação por todos serem relacionados a um único triângulo, o de lados 3, 4 e 5. Como Pitágoras, lancemo-nos em mais um desafio: Como encontrar outros ternos de números inteiros que sejam lados de um triângulo retângulo, sem que estejam diretamente relacionados a ampliações do triângulo 3, 4 e 5? Para dar continuidade a esse estudo, vamos fazer como os pitagóricos e aplicar alguns conceitos aprendidos nas atividades anteriores. Retomando as ideias da atividade 2, apresentada na seção Você aprendeu?, identificaremos os números figurados no formato de um L por gnômon, termo antigo que os gregos usavam para se referir ao esquadro de carpinteiro. 96
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
Naquela atividade, chegamos à conclusão de que, em cada encaixe de um gnômon em um quadrado de lado x, obtemos um quadrado maior, de lado x + 1. Essa constatação relaciona, portanto, a área de dois quadrados. Nas atividades anteriores, observamos que, em um terno pitagórico, a soma de dois quadrados resulta em um terceiro. Combinando essas ideias, podemos criar outra fonte de ternos pitagóricos. Para compreender isso, vamos analisar mais uma vez o triângulo 3, 4 e 5. Partindo de um quadrado de 4 unidades de lado, precisamos, para que haja encaixe, que o gnômon seja composto por 9 quadradinhos, isto é, uma unidade a mais que a soma de dois lados do quadrado dado (quadradinho que fica no “cotovelo” do gnômon).
Encaixando o gnômon no quadrado, produzimos um novo quadrado, cujo lado mede 5 unidades (uma unidade a mais que o lado do quadrado dado) e cuja área é a soma das áreas do quadrado de lado 4 com a área do gnômon.
Geometricamente, construímos um quadrado de lado 5. Como, nesse caso, a quantidade de quadradinhos no gnômon é igual a 9, que é o quadrado de um número inteiro, conseguimos a relação esperada: a área de um quadrado foi gerada pela soma da área de dois outros quadrados, o que aritmeticamente é assim representado: 42 + 32 = 52. 97
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
Aplicando o método do encaixe de um gnômon, encontre o terno primitivo tomando por base um quadrado de lado 12. Construa uma figura que represente essa situação.
98
MatemĂĄtica â&#x20AC;&#x201C; 7a sĂŠrie/8o ano â&#x20AC;&#x201C; Volume 2
7. Encontre o terno pitagĂłrico formado pelo gnĂ´mon composto por 49 quadradinhos.
8. O terno (7, 20, 21) ĂŠ pitagĂłrico? Justifique sua resposta aritmeticamente.
Leitura e anĂĄlise de texto Embora o mĂŠtodo do encaixe represente uma sofisticação por permitir encontrar ternos pitagĂłricos para alĂŠm dos gerados pelo terno primitivo 3, 4 e 5, ele ainda ĂŠ muito empĂrico e sĂł vale para triângulos retângulos em que os dois lados maiores diferem em apenas uma unidade. Uma pergunta que PitĂĄgoras se colocou, e que provamos agora, ĂŠ: Em todo triângulo retângulo, a ĂĄrea do quadrado construĂdo sobre a hipotenusa ĂŠ igual Ă soma das ĂĄreas dos quadrados construĂdos sobre os catetos?
9. Para esta atividade, vocĂŞ precisarĂĄ de 8 peças de papel nos seguintes formatos: t SFUĂ&#x2030;OHVMPT DPOHSVFOUFT RVBJTRVFS 3FDPSUF FTTFT SFUĂ&#x2030;OHVMPT QPS VNB EJBHPOBM F PCUFOIB 4 triângulos retângulos congruentes. 2
4
1
3
t RVBESBEPT 6N EFMFT EFWF UFS MBEP JHVBM Ă&#x2039; IJQPUFOVTB EP USJĂ&#x2030;OHVMP SFUĂ&#x2030;OHVMP BOUFSJPSNFOUF formado; os outros dois devem ter como lados cada um dos catetos do triângulo jĂĄ referido. 99
MatemĂĄtica â&#x20AC;&#x201C; 7a sĂŠrie/8o ano â&#x20AC;&#x201C; Volume 2
5
6
7
t RVBESBEP EF MBEP JHVBM Ă&#x2039; TPNB EBT NFEJEBT EPT DBUFUPT
8
De posse dessas peças, sobreponha sobre o quadrado maior (o que tem lado igual à soma dos catetos, indicado pelo número 8) cada uma das configuraçþes representadas na figura a seguir. Construa uma argumentação que prove que a årea do quadrado da hipotenusa Ê igual à soma das åreas dos quadrados dos catetos. Escreva-a no espaço a seguir.
1
2
1
2
3
4
3
4
100
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
VOCÊ APRENDEU?
Brincando de Pitágoras 10. Embora ainda seja um caso particular, Pitágoras provou que seu teorema também era válido para triângulos retângulos isósceles. Construa 9 triângulos retângulos isósceles congruentes de papel. Tomando por base a ideia da duplicação de área de um quadrado por meio da construção de um quadrado sobre a hipotenusa do triângulo retângulo isósceles, disponha os 9 triângulos, sem os sobrepor, a fim de constatar que a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. Depois, lembrando que se trata de uma demonstração, você deve elaborar argumentos que justifiquem sua hipótese. Escreva sua argumentação no espaço a seguir e, se quiser, cole a figura em seu caderno.
O limite da demonstração por figuração 11. Para esta atividade, serão necessários papel quadriculado e tesoura. Inicialmente, vamos construir um quadrado de 64 casas no papel quadriculado (Figura 1). Depois, vamos decompor o quadrado em 4 figuras: dois triângulos retângulos (ACE e CEF) e dois trapézios retângulos (BEGH e DFGH), conforme a Figura 2.
A
B
A
E
A1
A4 G H A2
Vamos recortar as peças e tentar montar um retângulo. 101
B
C
D Figura 1
C
A3
F
D Figura 2
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
Você conseguiu? Agora, conte a quantidade de quadradinhos que compõem esse retângulo. À qual número você chegou? Ele corresponde à quantidade de quadradinhos iniciais? O que será que aconteceu?
Ternos pitagóricos com diferença de uma unidade 12. No volume 1 da 7a série/8o ano, aprendemos o produto notável: a2 – b2 = (a + b) ∙ (a – b). Tomando-se o terno pitagórico (a, b, c), c será a medida da hipotenusa. Logo, c é o maior lado e, portanto: c > a e c > b. Podemos concluir, pela aplicação do teorema de Pitágoras, que a2 = c2 – b2 = (c + b) ∙ (c – b). Logo, se c – b = 1, teremos a2 = c + b. Esse fato pode ser percebido em vários ternos encontrados pelo método descrito na atividade 6. Terno (3, 4, 5)
32 = 4 + 5
Terno (5, 12, 13)
52 = 12 + 13
Terno (7, 24, 25)
72 = 24 + 25
Mantendo-se o padrão geométrico-numérico, percebemos o seguinte diagrama: 3
4 (+1)
5
12 (+1)
13
24 (+1)
25
40 (+1)
41
+2 5 +2 7 +2 9 +2 11
Complete o terno pitagórico em que um dos elementos é 11.
102
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
Uma demonstração algébrica do teorema de Pitágoras 13. Retome a demonstração do teorema de Pitágoras com base na figura a seguir. Com o auxílio da Álgebra, prove que: a2 = b2 + c2. c a
b
c–b
LIÇÃO DE CASA
14. Thiago quer descobrir a medida aproximada da parte mais extensa de uma lagoa (BC). Como não sabe nadar, viu uma forma de resolver seu problema com o uso de seus conhecimentos em Geometria. Lembrando-se dos egípcios, fixou três estacas na margem da lagoa e esticou cordas de A até B e de A até C. Como lhe interessa uma medida aproximada, fez o máximo para formar, no encontro das cordas em A, um ângulo reto. 103
B C
24 m
7m A
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
Medindo o comprimento dessas cordas obteve AB = 7 m e AC = 24 m. Construiu, então, em seu caderno, um esboço da situação e a resolveu. Qual é o valor encontrado por Thiago?
15. Aqui, temos o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura. Um marceneiro foi contratado para construir o corrimão dessa escada. Quantos metros lineares de madeira serão utilizados no corrimão? 30 cm
90 cm
corrimão 30 cm 24 cm 24 cm 90 cm
24 cm 24 cm 24 cm
33 cm
16. Esta figura representa a “pipa” construída por Cadu. Ele possui 1 metro de linha para reforçar a pipa, contornando sua estrutura. Encontre o comprimento da linha que contorna a estrutura da pipa e verifique se a quantidade de fio é suficiente.
24 cm 12 cm
16 cm
104
12 cm
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
17. A figura representa a planta de um terreno que tem a forma de um trapézio retângulo ABCD. No momento de colocá-lo à venda, o proprietário resolveu dividi-lo em duas partes, de modo que ambas tivessem a mesma área. A divisão entre os dois terrenos foi feita com uma cerca, indicada na figura por PQ, paralela ao lado AB. Encontre o perímetro do terreno ABPQ. 20 m A
Q
D
15 m
B
C
P 29 m
105
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
106
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 8 PRISMAS
Leitura e análise de texto Prismas: identificação e elementos O prisma é um formato presente em muitas situações de nosso cotidiano. A palavra “prisma” deriva do grego pris, que significa “serrar”, e do sufixo -ma, que indica “resultado”. Os antigos gregos utilizavam esse termo para se referir aos pedaços de madeira que eram cortados. Nos dias de hoje, a maioria das embalagens e objetos com que temos contato tem essa forma.
PESQUISA DE CAMPO
Recolha, em casa ou na rua, algumas embalagens que possam ser levadas para sala de aula. Identifique se suas faces são polígonos e quantos lados elas têm. Conte o número de faces, vértices e arestas de cada embalagem. Faça, no espaço a seguir, um desenho de 3 embalagens que você observou.
107
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
VOCÊ APRENDEU? A
Diagonais de um prisma 1. Uma caixa tem o formato de um paralelepípedo reto-retângulo com 4 cm de comprimento, 3 cm de profundidade e 12 cm de altura, conforme a figura a seguir. Encontre a medida do segmento AB, também chamado diagonal do prisma.
12
3 B
4
Volume de um prisma 2. Dizemos que dois prismas são equivalentes quando têm o mesmo volume. A seguir, são dados dois prismas com diferentes formatos que compõem o projeto de uma caixa.
8 cm 4 cm
8 cm
8 cm 8 cm
(x + 10) cm
Sabendo que eles são equivalentes, determine: a) a capacidade das caixas;
108
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
b) a caixa cuja superfície tem a menor área.
3. O uso de urnas eletrônicas nas eleições no Brasil é considerado um dos processos eleitorais mais modernos do mundo. Na figura a seguir, temos representada uma dessas urnas. Vamos considerá-la um prisma cujas bases são trapézios retângulos. Na figura, estão dadas as medidas de AB, AC, CD e DE. Considere, também, a diferença entre o perímetro do retângulo BDEF e o perímetro do trapézio ABDC igual a 34 cm. F A
17 cm B
21 cm E 40 cm
C 37 cm
D
a) Desejando-se produzir uma capa de material plástico para cobrir a urna, necessita-se calcular a área da urna a ser coberta. Determine esta área. (Dica: no caso, ignore a área da face apoiada sobre a mesa.)
109
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 2
b) Calcule a capacidade ocupada por uma urna.
110
CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERAL NOVA EDIÇÃO 2014-2017 COORDENADORIA DE GESTÃO DA EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB Coordenadora Maria Elizabete da Costa Diretor do Departamento de Desenvolvimento Curricular de Gestão da Educação Básica João Freitas da Silva Diretora do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação Profissional – CEFAF Valéria Tarantello de Georgel Coordenadora Geral do Programa São Paulo faz escola Valéria Tarantello de Georgel Coordenação Técnica Roberto Canossa Roberto Liberato Smelq Cristina de 9lbmimerime :oeÅe EQUIPES CURRICULARES Área de Linguagens Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno e Roseli Ventrella. Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt, Rosângela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto Silveira. Língua Estrangeira Moderna (Inglês e Espanhol): Ana Beatriz Pereira Franco, Ana Paula de Oliveira Lopes, Marina Tsunokawa Shimabukuro e Neide Ferreira Gaspar. Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa, Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves. Área de Matemática Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros, Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio Yoshio Yamanaka, Rosana Jorge Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias e Vanderley Aparecido Cornatione. Área de Ciências da Natureza Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e Rodrigo Ponce. Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli, Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e Maria da Graça de Jesus Mendes. Física: Anderson Jacomini Brandão, Carolina dos Santos Batista, Fábio Bresighello Beig, Renata Cristina de Andrade Oliveira e Tatiana Souza da Luz Stroeymeyte.
Química: Ana Joaquina Simões S. de Mattos Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João Batista Santos Junior, Natalina de Fátima Mateus e Roseli Gomes de Araujo da Silva. Área de Ciências Humanas Filosofia: Emerson Costa, Tânia Gonçalves e Teônia de Abreu Ferreira. Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso, Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati. História: Cynthia Moreira Marcucci, Maria Margarete dos Santos Benedicto e Walter Nicolas Otheguy Fernandez. Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de Almeida e Tony Shigueki Nakatani. PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO PEDAGÓGICO Área de Linguagens Educação Física: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine Budiski de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da Silva, Patrícia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes, Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz. Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva, Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos, Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista BomÅm, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza, Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de Campos e Silmara Santade Masiero. Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letícia M. de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz, Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso, Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar Alexandre Formici, Selma Rodrigues e Sílvia Regina Peres. Área de Matemática Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi, Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia, Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima, Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello, Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro,
Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda Meira de Aguiar Gomes. Área de Ciências da Natureza Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Evandro Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Rosimara Santana da Silva Alves. Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson Luís Prati. Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula Vieira Costa, André Henrique GhelÅ RuÅno, Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael Plana Simões e Rui Buosi. Química: Armenak Bolean, Cátia Lunardi, Cirila Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S. Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M. Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus. Área de Ciências Humanas Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal. Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza, Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez, Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos, Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório, Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato e Sonia Maria M. Romano. História: Aparecida de Fátima dos Santos Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo, Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas. Sociologia: Anselmo Luis Fernandes Gonçalves, Celso Francisco do Ó, Lucila Conceição Pereira e Tânia Fetchir. Apoio: Fundação para o Desenvolvimento da Educação - FDE CTP, Impressão e acabamento IBEP GráÅca
GESTÃO DO PROCESSO DE PRODUÇÃO EDITORIAL 2014-2017
CONCEPÇÃO DO PROGRAMA E ELABORAÇÃO DOS CONTEÚDOS ORIGINAIS
FUNDAÇÃO CARLOS ALBERTO VANZOLINI
COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS CADERNOS DOS ALUNOS Ghisleine Trigo Silveira
Presidente da Diretoria Executiva Mauro de Mesquita Spínola GESTÃO DE TECNOLOGIAS APLICADAS À EDUCAÇÃO Direção da Área Guilherme Ary Plonski Coordenação Executiva do Projeto Angela Sprenger e Beatriz Scavazza Gestão Editorial Denise Blanes Equipe de Produção Editorial: Amarilis L. Maciel, Ana Paula S. Bezerra, Angélica dos Santos Angelo, Bóris Fatigati da Silva, Bruno Reis, Carina Carvalho, Carolina H. Mestriner, Carolina Pedro Soares, Cíntia Leitão, Eloiza Lopes, Érika Domingues do Nascimento, Flávia Medeiros, Giovanna Petrólio Marcondes, Gisele Manoel, Jean Xavier, Karinna Alessandra Carvalho Taddeo, Leslie Sandes, Mainã Greeb Vicente, Maíra de Freitas Bechtold, Marina Murphy, Michelangelo Russo, Natália S. Moreira, Olivia Frade Zambone, Paula Felix Palma, Pietro Ferrari, Priscila Risso, Regiane Monteiro Pimentel Barboza, Renata Regina Buset, Rodolfo Marinho, Stella Assumpção Mendes Mesquita, Tatiana F. Souza e Tiago Jonas de Almeida. Direitos autorais e iconografia: Beatriz Fonseca Micsik, Dayse de Castro Novaes Bueno, Érica Marques, José Carlos Augusto, Juliana Prado da Silva, Marcus Ecclissi, Maria Aparecida Acunzo Forli, Maria Magalhães de Alencastro, Vanessa Bianco e Vanessa Leite Rios. Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza Design GráÅco e Occy Design projeto gráÅco!.
CONCEPÇÃO Guiomar Namo de Mello, Lino de Macedo, Luis Carlos de Menezes, Maria Inês Fini coordenadora! e Ruy Berger em memória!. AUTORES Linguagens Coordenador de área: Alice Vieira. Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira. Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira. LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo. LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia González. Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos. Matemática Coordenador de área: Nílson José Machado. Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli.
Ciências Humanas Coordenador de área: Paulo Miceli. Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira. Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e Sérgio Adas. História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari. Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers. Ciências da Natureza Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes. Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo. Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume. Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da PuriÅcação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume. Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião. Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie.
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei no 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
* Nos Cadernos do Programa São Paulo faz escola são indicados sites para o aprofundamento de conhecimentos, como fonte de consulta dos conteúdos apresentados e como referências bibliográficas. Todos esses endereços eletrônicos foram checados. No entanto, como a internet é um meio dinâmico e sujeito a mudanças, a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo não garante que os sites indicados permaneçam acessíveis ou inalterados. * Os mapas reproduzidos no material são de autoria de terceiros e mantêm as características dos originais, no que diz respeito à grafia adotada e à inclusão e composição dos elementos cartográficos (escala, legenda e rosa dos ventos).