Tóm tắt lý thuyết thi thpt quốc gia by Vũ Mạnh Sơn

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping

TÓM TẮT GIÁO KHOA ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 1. Phƣơng trình bậc 2: ax2+bx+c = 0 với x1, x2 là nghiệm thì

A  B  0 b.   A.C  B.D C  D  0 1 1 c. Với A.B  0 ta có A>B   A B

 ax2+ bx + c = a(x-x1)(x-x2);  với =b2- 4ac (’=b’2-ac với b’=b/2) b    b' '   x1, 2   x1, 2    2a 2 a    Nếu a+ b+ c=0 thì x1= 1; x2= c/a;  Nếu a – b+ c=0 thì x1= –1; x2= – c/a;  Định lý vi-et: S= x1+ x2 = – b/a; P = x1.x2= c/a

d. Với A, B ≥ 0, n  N : A  B  A 2n  B2n e. Với A, B và n  N : A  B  A 2n 1  B2n 1 f. A > B ≥ 0  A  B g. A > B  3 A  3 B 3. Bất đẳng thức Cô si (Cauchy) cho hai số không âm: ab Cho a ≥ 0 và b ≥ 0, ta có:  ab . 2 Dấu “=” xảy ra  a = b. 4. Bất đẳng thức Cô si cho ba số không âm: Cho ba số a  0 , b  0 , c  0 ta abc 3 có :  abc . 3 Dấu “=” xảy ra  a = b = c. * Các chuyển dạng của bất đẳng thức Cô si : 1 1 (1) (a  b)     4 , a, b  0 a b 1 1 4 1 11 1 hay   hay     a b ab ab 4a b Dấu “=” xảy ra  a = b 1 1 1 (2) (a  b  c)      9 , a, b, c  0 a b c 1 1 1 9 1 11 1 1 hay    hay      a b c abc a bc 9a b c

2. Tam thức bậc hai f(x)= ax +bx+c  <0 thì f(x) cùng dấu a a  0  f ( x)  0     0 a  0 f ( x)  0     0  x1  0  x2  a.c  0



  0   x1  x2  0   S  0 P  0    0   0  x1  x2   S  0 P  0 

3. Phƣơng trình bậc ba: ax3+bx2+cx+d = 0  Nếu a+b+c+d=0 thì x1=1; dùng Hoocner ta có: ax3+ bx2+ cx+ d = (x-1)(ax2 + x + ) = 0 với = a+b; = +c  Nếu a- b+ c- d=0 thì x1= -1

Dấu “=” xảy ra  a = b = c 5. Bất đẳng thức Bunhiacopski: a. Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 4 số: a b Với 4 số thực bất kỳ   ta có: c d 

BẤT ĐẲNG THỨC 1. Tính chất của bất đẳng thức: a. A > B và B > C  A > C b. A > B  A + C > B + C c. Nếu C > 0 thì A > B AC > BC d. Nếu C < 0 thì A > B  AC < BC 2. Các hệ quả: A  B  AC  BD a.  C  D Chú ý: Không được trừ hai bất đẳng thức cùng chiều

(a 2  b2 )(c2  d 2 )  (ac  bd) 2 . a b  c d b. Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 6 số:

Dấu “=” xảy ra 

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping

a b c Với 6 số thực bất kỳ   ta có: x y z (a 2  b2  c2 )(x 2  y2  z 2 )  (ax  by  cz) 2 D a b c ấu “=” xảy ra    x y z

2 tan a 1  tan 2 a cot 2 a  1  cot 2a = 2 cot a

 tan 2a =

d. Công thức hạ bậc: 1  cos 2a  cos2a = 2 1  cos 2a  sin2a = 2 1  cos 2a  tan2a = 1  cos 2a

c. Các chuyển dạng của bất đẳng thức Bunhiacopski

a 2 b2  a  b  (1)   , a, b  R và x, y  0 x y xy 2

a 2 b2 c2  a  b  c     , (2) x y z xyz (a, b,c  R và x, y, z  0) 2

e. Công thức biến đổi tổng thành tích: ab a b  cos a + cos b = 2 cos .cos 2 2 ab a b  cos a–cos b =  2sin . sin 2 2 ab a b  sin a + sin b=2 sin .cos 2 2 ab a b  sin a – sin b = 2 cos .sin 2 2 sin  a  b   tan a  tan b  cos a.cos b sin  b  a   cot a  cot b  sin a.sin b    sinx+cosx= 2 sin  x   = 2 cos(x- ) 4 4     sinx–cosx= 2 sin(x– )= – 2 cos  x   4 4  f. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos a.cos b  cos  a  b   cos  a  b   2 1 sin a.sin b   cos  a  b   cos  a  b   2 1 cos a.sin b  sin  a  b   sin  a  b   2 1 sin a.cos b  sin  a  b   sin  a  b   2

7. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: Với hai số A, B tùy ý, ta có: a. A  B  A  B . b. A  B  A  B . Dấu “=” xảy ra  A.B ≥ 0. CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC: a. Công thức cơ bản :

sin 2 a  cos 2 a  1

tan a.cot a  1

sin a 1  1  tan 2 a 2 cos a cos a cos a 1 cot a   1  cot 2 a 2 sin a sin a b. Công thức cộng:  cos(a+b)=cos a.cos b–sin a.sin b  cos(a-b)=cos a.cos b+sin a.sin b  sin(a+b)=sin a.cos b+cos a.sin b  sin(a-b)=sin a.cos b - cos a.sin b tan a  tan b  tan(a+b) = 1  tan a.tan b tan a  tan b  tan (a - b )= 1  tan a.tan b cot a.cot b  1  cot ( a + b) = cot b  cot a cot a.cot b  1  cot ( a – b )= cot b  cot b tan a 

PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 1. Phƣơng trình LG cơ bản:

c. Công thức nhân đôi:  sin 2a = 2 sin a.cos a  cos 2a = cos2a - sin2a = 2 cos2a-1 = 1-2sin2a

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping

* sin x  sin 

* cos x  cos 

Điều kiện để pt(3) có nghiệm là a 2  b 2  c 2

 x    k2   x      k2 * sin x  m ( m  1)

 x    k2   x    k2 * cos x  m ( m  1)

4. Phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:

 x  arcsin m  k2   x    arcsin m  k2 * sin u(x)  sin v(x)

 x  arccos m  k2   x   arccos m  k2 * cos u(x)  cos v(x)

* Với cosx = 0: ta kiểm tra x 

 u(x)  v(x)  k2   u(x)    v(x)  k2 * sin x  0  x  k

 u(x)  v(x)  k2   u(x)   v(x)  k2  * cos x  0  x   k 2 * cos x  1  x  k2

Lưu ý: Nếu cosx = 0 thì sin 2 x =1

a sin 2 x  bcos2 x  c.sin x.cos x  d  0 (1)   k , k  Z 2 có phải là nghiệm của pt (1) không. * Với cosx  0: chia 2 vế pt (1) cho cos2x ta được pt: a tan 2 x  b  c tan x  d(1  tan 2 x)  0

 5. Phƣơng trình đối xứng đối với sinx và  k2 2 cosx:  * cos x  1  x    k2 a. Dạng của phương trình đối xứng: * sin x  1  x    k2 2 a(sinx+cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (1) * tan x  tan  * cot x  cot  b. Dạng tương tự: a(sinx – cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (2)  x    k  x    k PP: * tan x  m * cot x  m  Giải (1): Đặt t  sin x  cos x  2 sin(x  )  x  arctan m  k  x  arc cot m  k 4 * tan u(x)  tan v(x) (1) * cot u(x)  cot v(x) (1) 2   2  t  2 và t  1  2sin x.cos x ÐK : cos u(x)  0 ÐK : sin u(x)  0  Giải (2): Đặt t = sin x  cos x  2 sin(x  ) (1)  u(x)  v(x)  k (1)  u(x)  v(x)  k 4 2 trong đó k  Z   2  t  2 và t  1  2sin x.cos x * sin x  1  x 

2. Phƣơng trình bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác. asin2x+bsinx+c = 0 (đặt t= sinx, đk:–1t1) acos2x+bcosx+c = 0 (đặt t=cosx, đk:–1t1) atan2x+btanx+c = 0 (đặt t= tanx) acot2x+bcotx+c = 0 (đặt t= cotx)

QUY TẮC ĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc A có thể được thực hiện theo một trong k phương án A1, A2, …, Ak. Mỗi phương án Ai (i = 1, 2, …, k) có ni cách thực hiện. Khi đó công việc A có thể được thực hiện bởi n1 + n2 +… + nk cách. 2. Quy tắc nhân: Giả sử thực hiện công việc A bao gồm k công đoạn A1, A2, …, Ak. Mỗi công đoạn Ai (i = 1, 2, …, k) có ni cách thực hiện. Khi đó công việc A có thể được thực hiện bởi n1. n2 … nk cách. Lưu ý: * Khi thực hiện một công việc, có nhiều phương án, mỗi phương án ta đều thực hiện được xong công việc. Khi đó ta dùng quy tắc cộng (cộng tất cả số cách thực hiện của từng phương án) ta được số cách thực hiện công việc. * Khi thực hiện một công việc mà phải trải qua nhiều bước mới xong công việc thì ta dùng quy tắc nhân (nhân tất cả số cách thực hiện cho

3. Phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx: asinx + bcosx = c (1) với a 2  b 2  0 * Chia hai vế pt(1) cho a 2  b 2 ta được: a b c sin x  cos x  2 2 2 2 2 a b a b a  b2 (2) * Ta xác định   [0; 2) sao cho: a b sin   , cos   2 2 2 a b a  b2 Khi đó ta được phương trình: c sin  sin x  cos  cos x  2 a  b2 c  cos(x  )  (3) a 2  b2

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping

từng bước) ta được số cách thực hiện công việc. 3. Hoán vị. a) Cho một tập A gồm n phần tử (n ≥ 1). Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A. (Gọi tắt là một hoán vị của A hay một hoán vị của n phần tử) b) Số hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: Pn  n!  n(n  1)(n  2)...2.1 4. Chỉnh hợp. a) Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Khi lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của n). b) Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là: n! A kn  n(n  1)(n  2)...(n  k  1)  (n  k)!

- Trong công thức (1) có n + 1 số hạng. - Số hạng thứ k + 1 là Ckn a n k bk - Các hệ số của nhị thức có tính đối xứng theo tính chất Ckn  Cnn k - Trong mỗi số hạng, tổng số mũ của a và b luôn bằng n. 2) Các dạng đặc biệt của nhị thức Newton: (1  x) n  C0n  C1n x  C2n x 2  ...  C nn x n

(1  x) n  C0n  C1n x  C2n x 2  ...  (1) n C nn x n (x  1) n  C0n x n  C1n x n 1  C2n x n  2  ...  C nn 2n  (1  1) n  C0n  C1n  Cn2  ...  Cnn 0  (1  1) n  C0n  C1n  Cn2  ...  (1) n C nn XÁC SUẤT Một số lưu ý: Cho hai tập hợp A, ký hiệu n(A) hoặc |A| là để chỉ số phần tử của tập A * Nếu A  B =  thì n(AB) = n(A) + n(B) * Nếu A  B ≠  thì: n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)

5. Tổ hợp. a) Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập A (Gọi tắt là tổ hợp chập k của A) b) Số tổ hợp chập k của một tập hợp n phần tử Ak n! là: C kn  n  k! k!(n  k)! Chú ý: Ann  Pn Quy ước: 0!  1 ; A0n  1 ; C0n  1 Với quy ước này ta có: A kn  C kn 

n! (n  k)!

;

n! đúng với 0  k  n (n  k)!k!

Tính chất 1. Ckn  Cnn k (0  k  n) Tính chất 2. (hằng đẳng thức Pascal): Ckn 1  Ckn  Ckn 1 (1  k  n) NHỊ THỨC NEWTON 1) Công thức nhị thức Newton: (a  b) n  C0n a n  C1n a n 1b  C2n a n 2 b 2  ...  C kn a n k b k n 1 n

 ...  C ab

n 1

C b n n

(1)

(a  b) n   Ckn a n k b k k 0

Nhận xét:

1. Phép thử và không gian mẫu. * Phép thử : là một thí nghiệm hay một hành động mà: - Kết quả của nó không thể dự đoán trước được. - Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của hành động đó. * Không gian mẫu: Tập hợp mọi kết quả của một phép thử T được gọi là KGM của T và kí hiệu là  . 2. Biến cố. - Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T. - Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A. * Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T, được mô tả bởi tập . * Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T, được mô tả bởi tập  3. Xác suất. n( A ) n(  ) * Chú ý: 0 ≤ P(A) ≤ 1 , P() = 1, P() = 0

* Xác suất của biến cố A là: P( A ) 

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping

a. Biến cố hợp: Cho hai biến cố A và B. Biến cố: “A hoặc B xảy ra”, ký hiệu AB được gọi là hợp của hai biến cố A và B. Ta có: A  B   b. Biến cố xung khắc. - Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B này được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. Vậy: AB =  c. Biến cố đối. - Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “không A”, kí hiệu là A , được gọi là biến cố đối của biến cố A. Ta nói A và A là hai biến cố đối nhau. - Ta có:  A   \  A  P( A )  1  P( A ) Lưu ý: Nếu hai biến cố đối nhau thì xung khắc. d. Biến cố giao. - Cho hai biến cố A và B. Biến cố: “A và B cùng xảy ra” , kí hiệu AB (hay AB) được gọi là giao của hai biến cố A và B. e. Hai biến cố độc lập. * Hai biến cố được gọi là ĐỘC LẬP với nhau nếu việc xay ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng xác suất xảy ra của biến cố kia. * Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì: A và B ; B và A ; A và B cũng là hai biến cố độc lập. f. Quy tắc cộng xác suất hai biến cố xung khắc. Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì : P(AB) = P(A) + P(B). g. Quy tắc nhân xác suất hai biến cố độc lập : Nếu A và B là hai biến cố độc lập với nhau thì : P(A.B) = P(A).P(B)

(cosx)’ = - sinx 1 (tanx)’ = cos2 x 1 (cotx)’ =  sin2 x x x (e )’ = e (ax)’ = ax.lna 1 (lnx)’ = x 1 (logax)’ = x ln a

II. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM và BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ : 1. Phƣơng trình tiếp tuyến: (pttt) @ Loại 1: Pttt tại M(x0,y0)  (C) : y = f(x) Tính : y’= y’(x0)= pttt: y = f’(x0)(x-x0)+y0 @ Loại 2: Pttt có hệ số góc k cho trước.  Gọi M(xo, yo) là tiếp điểm.  Tính f’(x)  Giải phương trình f’(xo) = k => xo, yo.  Viết pttt: y = k(x-x0) + y0 Chú ý :  pttt // y = ax+ b có hệ số góc k = a  pttt  y = ax+ b có hệ số góc k = -1/a. @ Loại 3: Pttt của đồ thị hàm số (C): y= f(x) biết tt qua M(x0,y0)  Ptđt d qua M có hệ số góc k là: y = k(x-x0)+ y0  Điều kiện tiếp xúc :  f ( x)  k ( x  x0 )  y 0 (1) Hệ pt  có nghiệm  f ' ( x)  k (2) Giải hệ: thay (2) vào (1) Giải pt này tìm được x. Thay vào (2) ta được k thế vào pttt d ở trên.

ĐẠO HÀM : 1. Qui Tắc: 1. (u  v)’ = u’  v’ 2. (u.v)’ = u’v + v’u '

 u  u' v  v' u 3.    v2 v 4. (ku)’ = ku’ (k:const)

2. Giao điểm của 2 đƣờng: Cho y = f(x) (C1) và y = g(x) (C2) + Ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = g(x) . Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của (C1) và (C2) + Bài toán ứng dụng cho việc biện luận nghiệm f(x,m)=0 dựa vào đồ thị:  Biến đổi về dạng f(x)=g(m)  Đặt y = f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //Ox.

2. Công thức: (xn)’ = nxn-1 '

1 1    2 x x 1 ( x )'  2 x (sinx)’ = cosx

(cosu)’ = - u’sinu u' (tanu)’ = cos2 u u' (cotu)’ =  sin2 u u u (e )’ = u’e (au)’ = u’au.lna u' (lnu)’ = u u' (logau)’ = u ln a

(un)’ = nun-1u’ '

u' 1    2 u u u' ' ( u)  2 u (sinu)’ = u’cosu

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping

 Từ đó biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ thị.(chú ý đến giá trị CT và CĐ)  f ( x)  g ( x) + Để f(x) tiếp xúc g(x) ta có:   f ' ( x)  g ' (x) có nghiệm. Giải hệ, tìm hoành độ tiếp điểm xo

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số: Phương pháp: Sử dụng các quy tắc tìm CT : 1/ Quy tắc 1:  B1: Tìm tập xác định D  B2: Tính đạo hàm y' = f ‘(x)  B3: Tìm các điểm xi thoả mãn điều kiện: xi  D và là nghiệm của y' hoặc làm cho y' không xác định.  B4: Lập bảng biến thiên của hàm số trên D và kết luận. 2/ Quy tắc 2:  B1: Tìm tập xác định D  B2: Tính đạo hàm y' = f ‘(x)  B3: Giải phương trình y' = 0 để tìm các nghiệm xi  B4: Tính đạo hàm cấp hai y'' = f ’’(x) ; tính f''(xi) và nhận xét dấu : + Nếu f ’’(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 và yCĐ = f(x0) + Nếu f ’’(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 và yCT = f(x0)

3. Đơn điệu: Dạng 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến (tính đơn điệu hay sự biến thiên) của hàm số PP : Cho hàm số y = f(x) + Tìm TXĐ của hàm số + Tính y’ ( hay f’(x) ) và giải pt: y’ = 0 + Lập BBT + Kết luận Đặc biệt: f(x) = ax2 + bx + c. Ta có a  0 + f ( x)  0 x  R     0 a  0 + f ( x)  0 x  R     0

Dạng 2: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại xo  Tìm y’  ycbt → y’(xo) = 0( 1)  giải (1) = > tìm m = mo  Thöû laïi: Cách 1: (Sử dụng BBT) Với m = mo, ta lập BBT, nhận xét cực trị từ đó kết luận Cách 2: (Sử dụng y”).Tìm y”, với m = mo, ta tính y’’(xo). Nếu y’’(xo) > 0 thì hs ñaït cöïc tieåu Nếu y’’(xo) < 0 thì hs ñaït CÑ Từ đó kết luận (Chú ý: nếu y’’(xo) = 0 thì thử lại bằng cách lập BBT)

Dạng 2: Tìm điều kiện của m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trƣớc PP : + f(x) đồng biến trên D  f ’(x) ≥ 0 , x  D + f(x) nghịch biến trên D  f ’(x) ≤ 0 ,x  D (chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại 1 số hữu hạn điểm trên miền D) Lƣu ý: *** Hàm số y = ax3+bx2+cx+d - Để hs tăng trên R a  0  y '  0, x  R    y '  0 - Để hs giảm trên R a  0  y '  0, x  R    y '  0 ax  b d ***Hàm số y  , D = R\{  } cx  d c - Hàm số đồng biến trên từng khoảng xđ  y '  0, x  D  ad – cb >0

Dạng 3: Tìm m để hàm số có cực trị Một số hàm đặc biệt: Loại 1: hàm bậc 3 có 2 cực trị + Tìm D vaø y’ + ycbt  y’= 0 coù 2 nghieäm vaø y’ ñoåi daáu khi qua nghieäm  ax 2  bx  c  0 có 2 nghiệm pb   0  → giaûi, tìm m a  0 (Chú ý: nếu ycbt là tìm m để hàm số có cực trị thì xét thêm trường hợp a = 0)

- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xđ  y '  0, x  D  ad – cb <0

Loại 2: hàm bậc 4 có 3 cực trị + Tìm D vaø y’ + y’= 0  ( x  x0 )(ax 2  bx  c)  0

4. Cực trị:

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping

 Caùc khảng ñoàng bieán , nghòch bieán , ñieåm cöïc ñaïi , ñieåm cöïc tieåu .  y’’ = . . . . . y’’= 0  x = ?

 x  x0  2 ax  bx  c  0 + ycbt  y’= 0 coù 3 nghieäm vaø y’ ñoåi daáu khi qua nghieäm  ax 2  bx  c  0 coù 2 no pb khác xo   0   a  0 → giaûi, tìm m g( x )  0  0

* Các vấn đề đặc biệt cho hàm bậc 3: y  y '. p( x )  Ax  B . - Đường thẳng y = Ax + B là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị. - Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt thì hai giá trị cực trị trái dấu. - Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm pb cách đều nhau  ax3+bx2+cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành csc  y’=0 có 2 nghiệm pb và điểm uốn I thuộc Ox.

Loại 3: Hàm ax 2  bx  c  số y  x   dx  e dx  e có 2 cực trị + Tập xác định D=R\  e d  + Tính  .d mx 2  nx  p  y’=   dx  e2 dx  e2 + Để hàm số có cực đại và cực tiểu  y/ = 0 có hai nghiệm pb thuộc D  phương trình g(x)= mx2 + nx + p = 0 có hai  y '  0 e  nghiệm phân biệt khác   e d  g ( )  0 d 

* Các vấn đề đặc biệt cho hàm trùng phƣơng: - Đt nhận Oy làm trục đối xứng. - Hàm số có 3 (hoặc 1) cực trị trên D y’=0 có 3 n0 pb (hoặc 1 n0) - Đồ thị cắt Ox tại 4 điểm pb  >0; P>0; S>0. - Đồ thị cắt Ox tại 4 điểm pb lập thành csc  >0; P>0; S>0; t2 = 9t1 ( t = x2 ) sử dụng đlý Vi-et. ax  b 2 . Hàm nhất biến y  cx  d d    Tập xác định D=R\  c ad  bc  Tính y '  cx  d 2  TCĐ x   d c ( lim  y  () lim  y  () )

5. GTLN, GTNN: a. Trên (a,b)  Tính y’  Lập bảng biến thiên trên (a ; b )  KL: max y  yCD , min y  yCT  a ;b 

 

 a ;b 

b. Trên [a;b] Tính y’ Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm x0   a; b 

x 

 Tính y (x0 ) , y(a) , y (b) Chọn số lớn nhất M ,KL: max y  M  a ;b 

Chọn số nhỏ nhất m , KL: min y  m  a ;b 

x 



c d

a ) c

TCN y  a c ( lim y 

 

Bảng biến thiên Điểm đặc biệt (4điểm)- Tìm giao điểm với trục Ox, Oy Đồ thị (nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng)

x 



3. Hàm hữu tỷ ( nâng cao ): ax 2  bx  c  y x   dx  e dx  e e Tập xác định D = R\  d 



Tính y’=  

x 

Bảng biến thiên:

x 



III. KHẢO SÁT HÀM SỐ: 1. Hàm bậc ba y = ax3+bx2+cx+d và Hàm trùng phƣơng y = ax4+bx2+c:  Tập xác định: D = R  Đạo hàm : y’= . . . . . y’= 0  x = ? lim y  ? lim y  ?

c d

 .d

dx  e2



mx 2  nx  p

dx  e2

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping

 

1/ Tập xác định: D = R 2/ Đạo hàm: (a x ) '  a x ln a. , và (e x )'  e x ,

y' = 0 tìm 2 cực trị (hoặc không có.) e TCĐ x   ( lim  y  () , d x e

Hàm hợp: (a u )'  u '.ln a.a u

(e u )'  u '.e u 3/ Tính chất: a > 1: hsố tăng 0 < a < 1: hsố giảm

lim  y  () )

x 

   

e d

TCX y  x   Bảng biến thiên Điểm đặc biệt (4 điểm) Đồ thị

 Hàm số lôgarit: y = loga x

1/ Tập xác định:D = (0; + ∞) 1 1 2/ Đạo hàm: (log a x)'  và (ln x)'  x. ln a x u' Hàm hợp: (log a u )'  u. ln a u' (ln u )'  u 3/ Các tính chất: a > 1: hsố tăng 0 < a < 1: hsố giảm

* Một số kết quả quan trọng: - Đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng - Nếu xi là cực trị thì giá trị cực trị là 2axi  b yi  . Suy ra phương trình đường d thẳng qua 2 điểm cực trị. - Đthị cắt Ox tại 2 điểm pb  ax2+bx+c=0 có e 2 nghiệm pb   d

4. Phƣơng trình mũ – logarit:

 Dạng cơ bản: ax= b ( a> 0 , a  1 )

b  0 : pt vô nghiệm b>0 : a x  b  x  loga b

IV. HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT: 1. Công thức lũy thừa: Với a>0, b>0; m, n  R ta có:

 Một số phƣơng pháp giải:

an  a nm ; a a =a ; m a 1 1 ( n =an ; a0=1; a1= ); a a n m

n+m

1, Đưa về cùng cơ số: af(x) = ag(x)  f(x) = g(x) ( a>0, a  1 ) 2, Đặt ẩn phụ:  A.a 2 x  B.a x  C  0 Đặt t = ax, đk t>0  A.a 2 x  B.(ab) x  C.b 2 x  0 .

a an (an)m =anm ; (ab)n=anbn ;    n ; b  

m n

 n am .

2. Công thức logarit: logab = c  ac = b (0< a1; b>0) Với 0< a1, 0<b1; x, x1, x2>0; R: loga(x1x2) = logax1+logax2 ; loga

x1 = logax1logax2; x2

a loga x  x ;

log a x 

log a x ;

 log x logax= b ; logb a logba.logax=logbx;

logax = logax;

nghịch biến và đồ thị của hàm số.

(logaax=x); (logab=

Đặt t    , đk t>0 b x  A.a  B.b x  C  0 [(ab) x  1] 1 Đặt t = ax, đk t>0, b x  t 3. Phương pháp logarit hóa. 4, Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số: Phương pháp này dựa vào tính đồng biến,  Dạng cơ bản: log a x  b (a> 0 , a  1 ) Điều kiện : x > 0 loga x  b  x  ab

1 ) logb a

alogbx=xlogba.

 Một số phƣơng pháp giải: Đưa về cùng cơ số: loga f(x) = loga g(x)  f(x) = g(x) ( điều kiện f(x) > 0 hay g(x) > 0)

3. Hàm số mũ và hàm số logarit  Hàm số mũ: y = ax

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor

To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping

Các phương pháp còn lại như ptrình mũ

ax 5 /  a dx  C ln a x

6 /  cos xdx  sin x  C

5. Bất PT mũ – logarit:  Dạng ax > b ( a> 0 , a  1 )

7 /  sin xdx   cos x  C

b  0 : Bpt có tập nghiệm R b>0 :  a x  b  x  loga b , khi a>1

1 dx   (1  tan 2 x)dx  tan x  C 2 cos x 1 9 /  2 dx   (1  cot 2 x)dx   cot x  C sin x dx 1 xa  ln  C, a  0 10/  2 2 x a 2a x  a 8/ 

a x  b  x  loga b , khi 0 < a < 1 Dạng logax > b ( a> 0 , a  1 , x>0 ) 





loga x  b  x  ab , khi a >1



loga x  b  x  ab , khi 0 < a < 1

11/  tan xdx   ln cos x  C 12/  cot xdx  ln sin x  C 

Lƣu ý:

1 (ax  b) 1 1/  (ax  b) dx  . C a (  1) dx 1 2/   ln ax  b  C ax  b a 1 3 /  e ax b dx  e ax b  C a 1 4 /  cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C a 1 5 /  sin(ax  b)dx  cos(ax  b)  C a dx 1 6/  C 2 (ax  b) a.(ax  b) 1 7/ dx   (1  tan 2 (ax  b))dx 2 cos (ax  b) 1  tan(ax  b)  C a 1 8/  2 dx   (1  cot 2 (ax  b))dx sin (ax  b) 1   cot(ax  b)  C a 2. Các phƣơng pháp tính tích phân: Tích phân của tích, thương phải đưa về tích phân của một tổng hoặc hiệu bằng cách nhân phân phối hoặc chia đa thức. *******Phƣơng pháp đổi biến số : 

▪ Nếu a > 1 thì: 

a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x)



ìï f ( x) > g ( x) log a f ( x) > log a g ( x) Û ïí ïïî g ( x) > 0

▪ Nếu 0 < a < 1 thì:  af(x) > ag(x)  f(x)<g(x).

ìï f ( x) < g ( x)  log a f ( x) > log a g ( x) Û ïí ï ïî f ( x) > 0

V. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN: 1.Định nghĩa: F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b)  F / x  f x , x  a; b  Nguyên hàm của hàm số sơ cấp: 1 /  dx  x  C 2 /  x  dx  3/ 

1 x  1  C  1

1 dx  ln x  C x

A   f x. / x.dx

4 /  e dx  e  C x

Nguyên hàm các hàm số thƣờng gặp:

 Đặt : t =  x 

 dt   / x.dx

 x  b  t  b  x  a  t  a

 Đổi cận: 

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping

 Do đó: A 

b



( Trong đó P(x) là hàm đa thức )

f t .dt  F t a  b

PP :

a



Các dạng đặc biệt cơ bản:

 ex     dv =  Sinx  .dx  v = ...    Cosx   

dx 2 2 0 a  x

I 

   t    2 2

 Đặt: x= a.tant  

 dx 



a .dt  a.(1  tan 2 t ).dt 2 cos t

 du = P’(x).dx

Đặt u = P(x)

Áp dụng công thức tích phân từng phần b

A = u.va  v.du



 Đổi cận

J   a2  x 2 .dx

Loại 2: B =  P( x).Ln(ax  b).dx



   Đặt x  a sin t  t   2  2

PP:

 dx = a.cost dt



Đổi cận



a .dx ax  b

du 



Đặt u = Ln(ax+b)



Áp dụng công thức tích phân từng phần :

 v = ...

dv = P(x).dx

MỘT SỐ DẠNG ĐỔI BIẾN THƯỜNG GẶP: Dạng nguyên hàm Cách đặt biến số cần tìm

u.v   v.du b a

 f  sin x  cos xdx

t  sin x  t  m sin x  n

3. Diện tích hình phẳng:

 f  cos x  sin xdx

t  cos x  t  m cos x  n

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : y = f(x), trục Ox và hai đường x= a; x= b

t  ln x  t  m ln x  n

PP:



1 f  ln x  dx x



f  tan x 

1 dx cos 2 x 1

 f  cot x  sin  f x  x k

k 1

 f  e  e dx x



t  tan x  t  m tan x  n

S   f ( x) .dx

t  cot x  t  m cot x  n

 Hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox là nghiệm của phương trình: f(x) = 0

t  x k  t  mx k  m

 Nếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm không thuộc đoạn a; b thì:

S

Chú ý : Nếu hàm số dưới dấu nguyên hàm có chứa dấu căn

  n

(a < b)

t  e x  t  me x  n

DTHP cần tìm là:

thì thường ta đặt : t 

 f ( x).dx a

 Nếu p.trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc đoạn a; b . Giả sử x =  , x =  thì

****Phƣơng pháp tính tích phân từng phần









S   f ( x) .dx   f ( x) .dx   f ( x) .dx

Loại 1:

e x  b   A=  P ( x). Sinx .dx a Cosx   

S 10









 f ( x).dx +  f ( x).dx +  f ( x).dx

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping

 Số phức liên hợp của z = a + bi là z  a  bi

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C):

y =f(x) và trục hoành: PP : HĐGĐ của (C) và trục hoành là nghiệm

z  z ; z  z '  z  z ' ; z.z '  z.z ' ;  z  z   z z

x  a của phương trình: f(x) = 0   x  b b

S   f ( x) .dx  a

z  0 với mọi z 

 f ( x).dx

z  z  z  z z là số thực  z  z ; z là số ảo  z   z

= a; x = b:



2. Các phép toán :

DTHP cần tìm là:

a  c  a+ bi = c + di   b  d  (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i  (a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i  (a + bi)(c + di) a  bi  a  bi  c  di   c  di c2  d 2  i1  i, i 2  1, i 3  i, i 4  1 .

S   f ( x)  g( x) .dx a



z z ;  z z

z  z ; zz  z z ;

c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường (C1): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) và hai đường x

PP:

, z  0  z  0.

HĐGĐ của hai đường (C1) và (C2) là nghiệm của p.trình: f(x) – g(x) = 0

Lưu ý: + Dạng 2 và dạng 3 lập luận giống dạng 1. + Có thể dùng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng

i 4 n  1, i 4 n 1  i, i 4 n  2  1, i 4 n 3  i .

4. Thể tích vật thể: a) Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = b; trục Ox và y = f(x) liên tục trên đoạn a; b .

1  i 

V  .  f ( x) .dx

+ Đặt w = x + y i.

x 2  y 2  a Vì w = z nên  2 xy  b + Giải hệ, tìm x và y Lƣu ý : Các căn bậc hai của số thực a < 0 là : i a 2

b) Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = b; trục Oy và x = g(x) liên tục trên đoạn a; b . Khi (H) quay quanh trục Oy tạo ra vật thể có thể tích: b

 2i ; 1  i   2i .

3. Căn bậc hai của số phức: z = a + bi (a,bR) ( nâng cao)

Khi (H) quay quanh trục Ox tạo ra vật thể có thể tích: b

V  . g( y) .dy .

4. Giải phƣơng trình bậc hai : a) ax2 + bx + c = 0 ( a  0 ; a, b, c  R )

VI. SỐ PHỨC:

Đặt   b2  4ac

1. Các khái niệm :  Số i : i2 = -1  Số phức dạng : z = a + bi ; a,bR ( a : phần thực, b : phần ảo )

 Nếu  = 0 thì phương trình có một b nghiệm kép (thực) : x = 2a

 Modun của số phức : z  a 2  b2

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor

To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping

 Nếu  > 0 thì phương trình có hai b   2a  Nếu  < 0 thì phương trình có hai

nghiệm thực : x1,2 

nghiệm phức : x1,2 

b  i  2a

 Định lý Viet : Nếu phương trình bậc hai az 2  bz  c  0 ( a, b, c  , a  0 ) có hai nghiệm z1 , z2 thì : b c z1  z2   và z1 z2  . a a  Định lý đảo của định lý Viet : Nếu hai số z1 , z2 có tổng z1  z2  S và z1 z2  P thì z1 , z2 là nghiệm của phương trình : z 2  Sz  P  0 . b) ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0 ; a, b, c  ) ( nâng cao)  Tính ∆  Tìm căn bậc hai của ∆ b   z1, 2  (với  là một căn 2a bậc hai của ∆) 5.

Dạng lƣợng giác của số phức (nâng cao) a/ Argumen: là góc  sao cho:

a  cos  r với r  a 2  b 2  b sin    r b/ Dạng lượng giác: z  r (cos  i. sin  ) c/ Nhân, chia dưới dạng lượng giác: z1 .z 2  r1 .r2 [cos(1   2 )  i. sin( 1   2 )] z1 r1  [cos(1   2 )  i. sin(1   2 )] z 2 r2 d/ Công thức Moivre: [r (cos  i sin  )] n  r n (cos n  i sin n ) e/ Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:     r  cos  i sin  2 2 

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping

TÓM TẮT GIÁO KHOA HÌNH HỌC I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG

AB AC (ĐỐI chia HUYỀN) 2. cos  = (KỀ chia HUYỀN) BC BC A AC AB 3. tan  = (ĐỐI chia KỀ) 4. cot  = (KỀ chia ĐỐI) AB AC 1. sin  =

II. HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG



1. BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago) => AB2 = BC2 - AC2 2. AB2 = BH.BC 3. AC2 = CH.BC 1 1 1 4. AH2 = BH.CH 5. AB.AC = BC.AH 6.   2 2 AH AB AC 2 III. ĐỊNH LÍ CÔSIN 1. a2 = b2 + c2 – 2bccosA IV. ĐỊNH LÍ SIN V. ĐỊNH LÍ TALET a)

AM AN MN ;   AB AC BC

2. b2 = a2 + c2 – 2accosB 3. c2 = a2 + b2 – 2abcosC a b c A    2R sin A sin B sin C

MN // BC AM AN  MB NC

VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG 1. Tam giác thường: 1 a) S = ah b) S = p(p  a)(p  b)(p  c) (Công thức Hê-rông) 2 c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác) 2. Tam giác đều cạnh a:

a 3 a2 3 ; b) S = 2 4 c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực a) Đường cao: h =

3. Tam giác vuông: 1 a) S = ab (a, b là 2 cạnh góc vuông) 2 b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền 4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông): 1 a) S = a2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau) 2 b) Cạnh huyền bằng a 2 A

5. Nửa tam giác đều: a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o B

60 o

30 o

Lý thuyết Hình Học 12

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping

b) BC = 2AB

c) AC =

a 3 2

d) S =

a2 3 8

6. Tam giác cân: 1 a) S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 2 b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước) 1 8. Hình thoi: S = d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo) 2 9. Hình vuông: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 2 10. Hình bình hành:

S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)

11. Đường tròn: a) C = 2  R (R: bán kính đường tròn) b) S =  R2 (R: bán kính đường tròn) VII. CÁC ĐƢỜNG TRONG TAM GIÁC 1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm

2 1 b) BG = BN; BG = 2GN; GN = BN 3 3

M G

2. Đường cao: Giao điểm của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm B P 3. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 4. Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác VIII. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. Hình tứ diện đều: Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau. Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy). Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau 2. Hình chóp đều: Có đáy là đa giác đều . Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy . Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau 3. Đường thẳng d vuông góc với mp (  ): a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp (  ) d  a; d  b  d  () Tức là: a  b a, b   

()  ()  b) ()  ()  a  d  (  ) a  d  ()  14

Lý thuyết Hình Học 12

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping

c) Đt d vuông góc với mp (  ) thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp (  ) 4. Góc  giữa đt d và mp (  ): d cắt (  ) tại O và A  d AH  () ˆ =  Nếu  thì góc giữa d và (  ) là  hay AOH H  (  ) 

d A





5. Góc giữa 2 mp (  ) và mp (  ):

d' H

()  ()  AB  Nếu  FM  AB; EM  AB  EM  ( ), FM  () 



ˆ = thì góc giữa (  ) và (  ) là  hay EMF E

B 

6. Khoảng cách từ điểm A đến mp(  ): Nếu AH  (  ) thì d(A, (  )) = AH IX. KHỐI ĐA DIỆN: 1. Thể tích khối lăng trụ: 2. Thể tích khối chóp: 3. Tỉ số thể tích của khối chóp: 4. Diện tích xq của hình nón tròn xoay: 5. Thể tích của khối nón tròn xoay: 6. Diện tích xq của hình trụ tròn xoay: 7. Thể tích của khối trụ tròn xoay: 8. Diện tích của mặt cầu: 9. Thể tích của khối nón tròn xoay:

(với H  (  ))

 A

V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao) 1 V = Bh (diện tích đáy là đa giác) 3

VS.ABC SA SB SC  . . VS.ABC SA SB SC Sxq = Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) 1 V = Bh (diện tích đáy là đường tròn) 3 Sxq = 2 Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) 2 V = Bh = R h ( h: chiều cao khối trụ) 2 S = 4 R (R: bk mặt cầu ) 4 3 V = R (R: bán kính mặt cầu) 3

PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 15

Lý thuyết Hình Học 12

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping

PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy I. Vectơ chỉ phƣơng, vectơ pháp tuyến của đƣờng thẳng: 1. VTCP: Vectơ u  0 được gọi là VTCP của đường thẳng (d) nếu và giá của u // hoặc trùng (d). NX: - Nếu u là một vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) thì k u (k≠0) cũng là một VTCP của (d) - Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm của đ.thẳng và một VTCP của nó. 2. VTPT: Ta gọi vectơ n là VTPT của đường thẳng (d) nếu n  0 và nó có giá vuông góc với (d). NX: - Nếu vectơ n là 1 VTPT của đường thẳng (d) thì k n (k≠0) cũng là 1 VTPT của (d). - Một đường thẳng được xác định nếu biết một điểm của đường thẳng và một VTPT của nó. - Nếu (d) có VTPT n  (a; b) thì (d) có VTCP u  (b; a ) hay u  (b; a ) II. Phƣơng trình đƣờng thẳng: 1. Phương trình tham số: Trong mpOxy, đường thẳng (d) đi qua điểm M( x o ; yo ) và có VTCP

 x  x o  at (t  R ) u  (a; b) . Phương trình tham số của d:   y  yo  bt  x  x o  at (t  R ) 2. Phương trình chính tắc: Cho đường thẳng (d) có ptts   y  yo  bt x  x 0 y  y0  Nếu a.b  0 thì d có phương trình chính tắc: (2) a b 3. Phương trình tổng quát: Trong mpOxy, đường thẳng (d) đi qua điểm M( x o ; yo ) và có VTPT n  (A; B) , (d) có phương trình tổng quát là: A( x  x o )  B( y  yo )  0  Ax  By  C  0 4. Các trường hợp riêng: Cho đường thẳng (d): ax + by + c = 0 (1) - Nếu a = 0 thì (1)  by +c = 0 y = -c/b (khi đó (d) vuông góc với Oy tại điểm A(0; -c/b) - Nếu b = 0 thì (1)  ax +c = 0 x = -c/a (khi đó (d) vuông góc với Oy tại điểm B(-c/a;0) - Nếu c = 0 thì (1)  ax + by = 0 (khi đó (d) đi qua gốc tọa độ)

III. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng: Cho hai đường thẳng (d) : Ax  By  C  0 và (d ') : A'x  B' y  C'  0 a b  Nếu a’, b’, c’ ≠ 0 thì ta có: a) (d) cắt (d’)  a ' b' a b c   b) (d) // (d’)  a ' b' c' a b c   c) (d) trùng (d’)  a ' b' c' IV. Góc và khoảng cách: 1. Góc: Cho hai đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 và (d’): A’x + B’y + C’ = 0 tạo với nhau góc . n .n ' aa ' bb '  Ta có: cos   2 n n' a  b2 . a '2  b '2 2. Khoảng cách: Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm Mo ( x o ; yo ) . Ta có: d[M o ,(d )] 

ax o  byo  c a 2  b2

3. Dấu của biểu thức: Ax + By + C Cho đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 và hai điểm M( x M ; yM ) , N( x N ; y N ) . Khi đó: * Hai điểm M, N nằm cùng phía đối với (d)  ( Ax M  ByM  C).( Ax N  By N  C)  0 16

Lý thuyết Hình Học 12

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping

* Hai điểm M, N nằm khác phía đối với (d)  ( Ax M  ByM  C).( Ax N  By N  C)  0 4. Điều kiện đường thẳng tiếp xúc đường tròn: Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R. Điều kiện cần và đủ để đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) là d[I,(d)]  R PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG TRÕN. 1. Phƣơng trình đƣờng tròn: a) Phương trình chính tắc: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính R. Khi đó (C) có phương trình: (x  a)2  (y  b)2  R 2 (1). PT(1) gọi là PTCT của (C). b) Phương trình tổng quát: x 2  y 2  2ax  2by  c  0 (ðk : a 2  b 2  c  0) (2). PT(2) là PTTQ 2 2 của đường tròn tâm I(a;b) và bán kính R  a  b  c

2. Vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng và đƣờng tròn: Cho đường tròn (C) tâm I , bán kính R và đường thẳng d. a) d[I,d]  R  d tiếp xúc (C) b) d[I,d]  R  d cắt (C) tại hai điểm phân biệt. c) d[I,d]  R  d và (C) không có điểm chung. 3. Phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng tròn: Cho đường tròn (C) có tâm I và bán kính R a) Tiếp tuyến với (C) tại tiếp điểm M là đường thẳng đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến IM b) Điều kiện để một đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) là: d[I,d]  R PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG ELIP 1. Định nghĩa: Cho F1 , F2 cố định với F1F2 = 2c (c >0) M  (E)  MF1 + MF2 = 2a F1 , F2 : các tiêu điểm, F1F2 = 2c : tiêu cự 2. Phƣơng trình chính tắc của elip: x 2 y2  1 (a  b  0, b 2  a 2  c2 ) a 2 b2

y b -a

a O -b

 Tọa độ các tiêu điểm : F1 (–c ; 0) , F2 (c ; 0)  Với M (x; y)  (E) thì MF1 , MF2 được gọi là các bán kính qua tiêu điểm của M và c c MF1  a  , MF2  a  x a a 3. Hình dạng của elip:  (E) nhận các trục tọa độ làm các trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng.  Tọa độ các đỉnh : A1 (–a ; 0) , A2 (a ; 0), B1 (0; –b) , B2 (0; b)  Độ dài các trục : trục lớn A1A2 = 2a , trục nhỏ B1B2 = 2b c  Tâm sai của (E) : e  (0 < e <1) a  Hình chữ nhật cơ sở : tạo bởi các đường thẳng x =  a , y =  b (ngoại tiếp elip). 4. Đƣờng chuẩn của elip : a Phương trình các đường chuẩn i ứng với các tiêu điểm Fi là : x   0 e 17

Lý thuyết Hình Học 12

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping

Với M  (E) ta có :

MF1 MF2  e d(M, 1 ) d(M,  2 )

(e  1)

PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 3) G là trọng tâm ABC , ta có:

I. CÔNG THỨC VECTƠ: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho  a  a1 ; a2 ; a3 

 b  b1 ; b2 ; b3 

Ta có:



x A  xB  xC   xG  3  y  y  A B  yC  yG  3  zA  zB  zC   zG  3 

và k  R



1) a  b  a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3   2) ka  ka1 ; ka2 ; ka3 



4) G là trọng tâm tứ diện ABCD

3) a.b  a1 b1  a2 b2  a3 b3

  GA GB  GC  GD  0

 4) a  a12  a22  a32

x A  x B  xC  X D   xG  4  y A  yB  yC  yD    yG  4  zA  zB  zC  zD   zG  4 

  5) Tích có hướng của hai vectơ a và b là    a2 a3 a3 a1 a1 a2  a, b   ; ;  b b b b  2 3 3 1 b1 b2        6) a, b  a . b .Sina, b 

 

8) 9) 10)

a1  b1    a  b  a2  b2 a  b 3  3      a cùng phương b  a, b  0       a a, b hay b a, b       a , b , c đồng phẳng  a, b .c  0   ab  a1 b1  a2 b2  a3 b3  0

5) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k. Ta có: x A  kxB  xM  1 k  y A  kyB  yM  1 k  zA  kzB  zM  1  k 

     

 

11) Ứng dụng của vectơ:





1 . AB, AC 2



SABC 



VHoäpABCD. A B C D  AB, AD .AA/



VTöùdieänAB CD 



6) I là trung điểm của đoạn AB thì: x A  xB   xI  2  y  yB  A  yI  2  zA  z2   zI  2 



1 . AB, AC .AD 6

II. TOẠ ĐỘ ĐIỂM: Trog không gian Oxyz cho A x A ; y A ; zA 

III. MẶT PHẲNG: 1) Giả sử mp   có cặp VTCP là :

 a  a1 ; a2 ; a3   b  b1 ; b2 ; b3 

BxB ; yB ; zB 

1) AB  xB  xA ; yB  yA ; zB  zA  2) AB 

, k 1

x B  x A 2  yB  y A 2  zB  zA 2 18

Lý thuyết Hình Học 12

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping

Khi đó (α) có VTPT là:



    a2 a3 a3 a1 a1 a2  ; ; n  a, b     b2 b3 b3 b1 b1 b2  2) Phương trình tổng quát của mp   :

 



Vấn Đề 5: Viết phƣơng tình mp   đi qua điểm M 0 x 0 ; y0 ; z0  và song song với mặt

Ax + By + Cz + D = 0 2 2 2 (với A  B  C  0 )  trong đó n   A; B; C  là VTPT của  

phẳng   : Ax  By  Cz  D  0 P.pháp:    //   nên phương trình   có

3) Phƣơng trình các mặt phẳng toạ độ:

 (Oxy) : z = 0  (Oyz) : x = 0  (Oxz) : y = 0 4) Chùm mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng cắt nhau:  1  : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0

dạng: Ax + By + Cz + D / = 0  

 2  : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 P.t của chùm mp xác định bởi  1  và  2  là:  A1x  B1y  C1z  D1    A2 x  B2 y  C2z  D2   0

Vấn Đề 2: Viết phƣơng trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C P.Pháp:



Kết luận.





Mp (P) có VTPT là [AB, n Q ] và qua A



Kết luận



Mp () có VTPT là [n P , n Q ] và qua M0



Kết luận.

Vấn đề 9 : Viết phƣơng trình mp () là tiếp diện của mặt cầu (S) tại điểm A. P.Pháp :  Xác định tâm I của mặt cầu (S)  Mp () có VTPT là IA và đi qua A  Kết luận



Trục Oy chứa j  0;1;0



 Trục Oz chứa k  0;0;1  Vấn Đề 4: Viết phƣơng tình mp   là mặt phẳng trung trực của AB. P.Pháp:



Vấn Đề 8: Viết phƣơng trình mp   đi qua điểm M0 và vuông góc với 2 mp (P) và (Q): P.Pháp:  (P) và (Q) lần lượt có VTPT là n P , n Q

 n  AB, AC và qua A

Vấn Đề 3: Viết phƣơng trình mp   đi qua điểm A và vuông góc BC P.Pháp: Mp    BC nên có VTPT là BC và qua A Chú ý:   Trục Ox chứa i  1;0;0 

Kết luận

Vấn Đề 7: Viết phƣơng trình mp () đi qua các điểm là hình chiếu của điểm M(x0 ;y0 ; z0) trên các trục tọa độ P.Pháp:  Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếu của điểm M trên Ox, Oy, Oz. Thì M1(x0;0;0) , M2(0;y0;0) , M3(0;0;z0)  Phương trình mp   là: x y z   1 x0 y0 z0

Ax  x 0   By  y0   Cz  z0   0

Tính AB, AC Mp (ABC) có VTPT là

M 0    D /

Vấn Đề 6: Viết phƣơng trình mp (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mp (Q) P.Pháp:  Mp (Q) có VTPT là n Q

với 2   2  0 5) CÁC DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP Vấn Đề 1: Viết phƣơng trình mặt phẳng P.Pháp:   Tìm VTPT n   A; B; C  và điểm đi qua M 0 x0 ; y 0 ; z 0   dạng:

 

Mp    AB nên có VTPT là AB , và đi qua I là trung điểm của AB Kết luận.

IV. ĐƢỜNG THẲNG: A) Phƣơng trình đƣờng thẳng:

Lý thuyết Hình Học 12

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping

1) Phƣơng trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M 0  x 0 ; y 0 ; z0 

Vấn Đề 4: Tọa độ điểm H là hình chiếu của M lên mặt phẳng   P.Pháp:  Gọi d là đường thẳng đi qua M và  d   . Nên d có VTCP là VTPT n của



và có VTCP aa1 ; a2 ; a3  là:

 x  x 0  a1 t   y  y 0  a2 t z  z  a t 0 3 

t  R

 

2) Phƣơng trình chính tắc của đường thẳng  đi qua điểm M0 có VTCP: aa1 ; a2 ; a3  là

x  x 0 y  y 0 z  z0   a1 a2 a3



Viết phương trình tham số của d



Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

H   d   

d  : => Tọa độ điểm H    : 

phương trình 

với a12  a22  a32  0 Qui ƣớc: Nếu ai = 0 thì x – x0 = 0

Vấn Đề 5: Tọa độ điểm M/ đối xứng của M qua mặt phẳng   P.Pháp:  Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của M lên mặt phẳng   ( vấn đề 4 )  Vì H là trung điểm của MM/ => tọa độ điểm M/

B) CÁC DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP Vấn Đề 1: Tìm VTCP của đƣờng thẳng  : là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q)  A x  B1 y  C1 z  D1  0 ( P) :  1  A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0 (Q) P.Pháp:  BC C A AB   có VTCP là : a   1 1 ; 1 1 ; 1 1   B2 C 2 C 2 A2 A1 B2 

Vấn Đề 6: Tìm tọa độ điểm M/ đối xứng của M0 qua đƣờng thẳng (d) P.Pháp:  Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ )  Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M0 và Pd . Nên (P) nhận VTCP của d làm VTPT  Gọi H   d  P  M/ là điểm đối xứng của M0 qua đường thẳng (d). Nên H là trung điểm của đoạn M0 M/

Vấn Đề 2: Viết ptrình đƣờng thẳng  : P.Pháp:   Cần biết VTCP a  a1 ; a2 ; a3  và điểm

M 0 x 0 ; y0 ; z0   

 Viết ptrình tham số theo công thức (2)  Viết ptrình chính tắc theo công thức (3) Chú ý: Viết phương trình tham số hoặc chính tắc là giao tuyến của 2 mặt phẳng . Ta tìm:  - VTCP u  a1 ; a2 ; a3  bằng vấn đề 1 - Cho một ẩn bằng 0 hoặc bằng một giá trị nào đó. Giải hệ tìm x, y => z - Có điểm thuộc đường thẳng - Kết luận.

 x0  x / xH  2  y0  y /  Ta có:  y H  2   z0  z/ z   H 2 

=> M/

Vấn Đề 7: Viết phƣơng trình hình chiếu của d trên mp   P.Pháp:  Gọi d/ là hình chiếu của d trên mp    Gọi   là mp chứa d và      Nên   có cặp VTCP là : VTCP ud

Vấn Đề 3: Viết ptrình đƣờng thẳng  đi qua điểm M 0 x 0 ; y0 ; z0  và vuông góc với mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  0 P.Pháp:   Mp   có VTPT là n   A; B; C   Đường thẳng   đi qua điểm M0 và có VTCP là n  Viết p.trình chính tắc => Ptrình tổng quát



của d và VTPT n của mp  

 20



Mp   có VTPT n  ud , n  Lý thuyết Hình Học 12

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping

 

Mp   đi qua điểm M0 d Viết phương trình tổng quát của Mp  



  :  Phương trình đường thẳng d :    :



Vấn Đề 8: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua điểm M 0 x 0 ; y0 ; z0  và vuông góc với hai đƣờng  1 và  2 P.Pháp:    1 có VTCP u1    2 có VTCP u2



Vấn Đề 13: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d) vuông góc (P) và cắt hai đƣờng thẳng  1 và  2 P.Pháp:  Gọi   là mp chứa  1 và có một VTCP là

d vuông góc với  1 và  2 . Nên d có    VTCP là ud  u1 ,u2 

nP ( VTPT của mp (P) )  Gọi   là mp chứa  2 và có một VTCP là

Vấn Đề 9: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua điểm A và cắt cả hai đƣờng  1 và  2 P.Pháp:  Thay toạ độ A vào phương trình  1 và  2

nP ( VTPT của mp (P) )  Đường thẳng d      

 A 1 , A  2  

Gọi (P) là mp đi qua điểm A và chứa  1 Gọi (Q) là mp đi qua điểm A và chứa  2



P.tr đường thẳng d: 

Vấn Đề 14: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua điểm M0 vuông góc với đƣờng thẳng  1 và cắt đƣờng thẳng  2 P.Pháp:  Gọi   là mp đi qua M0 và vuông góc  1

P : Q :

Vấn Đề 10: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d  P cắt cả hai đƣờng  1 và  2 . P.Pháp:  Gọi A   1  P  

 

Gọi B   2  P Đường thẳng chính là đường thẳng AB

Gọi (Q) là mp chứa  2 và (Q) // d1



d  P  Q



Phương trình đường thẳng d 

Gọi   là mp đi qua điểm M0 và chứa  2 Đường thẳng d      

Vấn Đề 15: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua giao điểm của đƣờng thẳng  và mặt phẳng   và d   , d P.Pháp:  Gọi A       Gọi   là mp đi qua A và vuông góc với  . Nên   có VTPT là VTCP của   Đường thẳng d      

Vấn Đề 11: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d // d1 và cắt cả hai đƣờng  1 và  2 . P.Pháp  Gọi (P) là mp chứa  1 và (P) // d1 

Laáy điểm B  d2  toïa ñoä ñieåm B theo t2 AB laø ñöôøng vuoâng goùc chung  AB  a  AB.a  0     AB  b  AB.b  0 Giaûi heä treân ta tìm ñöôïc t1 vaø t2  toïa ñoä A vaø B Vieát phöông trình ñöôøng thaúng AB.

V. MẶT CẦU:

P : Q :

1. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R là: (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2

Vấn Đề 12: Viết phƣơng trình đƣờng vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau (d1) và (d2) P.Pháp:  d1 coù vtcp a , d2 coù vtcp b  Laáy điểm A  d1  toïa ñoä ñieåm A theo t1

2. Mặt cầu (S) có phương trình : x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (với điều kiện a2 +b2 +c2 – d > 0) thì (S) có tâm I( a; b; c) và bán kính R 

a2  b2  c2  d

Lý thuyết Hình Học 12

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping

CÁC DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP

VI. KHOẢNG CÁCH:

Vấn Đề 1: Viết phƣơng trình mặt cầu P.Pháp:  Xác định tâm I(a ; b ; c) của mặt cầu  Bán kính R  Viết phương trình mặt cầu (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2

1. Khoảng cách giữa hai điểm AB

AB 

2. Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0 ; z0) đến mặt phẳng   : Ax + By + Cz + D = 0

dM 0 ,   

Vấn Đề 2: Viết phƣơng trình mặt cầu đƣờng kính AB P.Pháp:  Gọi I là trung điểm của AB. Tính toạ độ I => I là tâm mặt cầu Bán kính R 



Viết phương trình mặt cầu

dM 1 , d  

Vấn Đề 3: Viết phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm I(a ; b ; c) và tiếp xúc với   : Ax + By + Cz + D = 0 P.Pháp:  Mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với   . nên có bán kính

R  d I ,   

A  B C 2

 

 u



Gọi u và u / lần lượt là VTCP của  và /  đi qua điểm M0 , M 0/  /

u, u .M M d,    u, u  0

/ 0

Vấn Đề 4: Viết phƣơng trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD P.Pháp:  Phương trình mặt cầu (S) có dạng

VII. GÓC:   1. Góc giữa hai vectơ a và b   Gọi  là góc giữa hai vectơ a và b

 a1 b1  a2 b2  a3 b3 a.b Cos     a.b a12  a22  a32 . b12  b22  b32

x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 A, B, C, D thuộc (S).Ta có hệ phương trình Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d Kết luận

2. Góc giữa hai đƣờng thẳng (a) và (b) Gọi  là góc giữa hai đường thẳng (a) và (b)

Vấn Đề 5: Lập phƣơng trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy P.Pháp:  Gọi I(xI ; yI ; 0) là tâm của mặt cầu, I  Oxy  Ta có AI2 = BI2 = CI2

0    90  0

Đường thẳng (a) và (b) có VTCP lần lượt là :

  a  a1 , a2 , a3  , b  b1 , b2 , b3   a.b a1 b1  a2 b2  a3 b3 Cos     a.b a12  a22  a32 . b12  b22  b32   Đặc biệt: ab  a.b  0

 AI 2  BI 2 Ta có Hpt  2 2  AI  CI  Giải Hpt  I  IA = R 

M M , u

 Viết phương trình mặt cầu

  

A2  B 2  C 2

4. Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau  và /

AxI  ByI  CzI  D 2

Ax0  By0  Cz0  D

3. Khoảng cách từ điểm M1 đến đƣờng thẳng d  Lấy M0 d   Tìm VTCP của đường thẳng d là u

1 AB 2



x B  x A 2  yB  y A 2  zB  zA 2

 

3. Góc giữa hai mp   và  /   : Ax + By + Cz + D = 0

Kết luận.

Lý thuyết Hình Học 12

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping

 : A/x + B/y + C/z + D/ = 0 Gọi  là góc giữa hai mp   và   /

+ d/ coù vtcp u / vaø ñi qua ñieåm /

Cos 

+ Tính MM /

AA/  BB/  CC / A2  B 2  C 2 . A / 2  B / 2  C / 2

a/. d vaø d/ truøng nhau  u , u / vaø MM / cùng phương.  u vaøu/ cuø ng phöông / b/. d // d   ng cuø ng phöông  u vaøMM / khoâ  u vaøu/ khoâ ng cuø ng phöông  / c/. d caét d   /  /   u,u  . MM  0 d/. d vaø d/ cheùo nhau   u,u/  . MM /  0  

 Đặc biệt: ( )  ( ')  n .n '  0 4. Góc giữa đƣờng thẳng (d) và mp    (d): có VTCP là u = (a, b, c)   : Ax + By + Cz + D = 0 Gọi  là góc nhọn giữa (d) và  

Sin 

Aa  Bb  Cc A2  B 2  C 2 . a 2  b 2  c 2

* Chuù yù : d  d /  u  u /

VIII. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI

5. Vị trí tƣơng đối giữa mp   và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R P.Pháp:  Tính d(I,   )  Nếu d(I,   ) > R =>   không cắt (S)  Nếu d(I,   ) = R =>   tiếp xúc (S)  Nếu d(I,   ) < R =>   cắt (S) theo một đường tròn giao tuyến có bán kính

1. Vị trí tƣơng đối giữa 2mp  : A x  B1 y  C1 z  D1  0 Cho 2 mp : 1 1  2 : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0  1 caét  2  A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 A B C D  1 //  2  1  1  1  1 A2 B2 C2 D2 A B C D  1   2  1  1  1  1 A2 B2 C2 D2

r  R2  dI ,  

Gọi d/ là đường thẳng đi qua tâm I và d /  

2. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng (d) và mp  

Gọi H  d /    H là tâm đường tròn giao tuyến

a/. Neáu a . n  0  d caét  

6. Tọa độ giao điểm của đƣờng thẳng  và mặt cầu (S) P.Pháp:

Caùch 1: d coù vtcp a ,   coù vtpt n

b/. Neáu a . n =0  d//   hay d     M  ( )  d / /( ) Tìm M  d:   M  ( )  d  ( )

* Viết phương trình đường  về dạng phương trình tham số * Thay vào phương trình mặt cầu (S) ta được phương trình () theo t  Nếu ptr () vô nghiệm =>  không cắt mặt cầu (S)  Nếu ptr () có nghiệm kép =>  cắt (S) tại một điểm  Nếu ptr () có hai nghiệm =>  cắt (S) tại hai điểm. Thế t = ... vào p.tr tham số của  => Tọa độ giao điểm

Caùch 2: Giaûi heä pt cuûa d vaø    Heä coù 1 nghieäm  d caét    Heä voâ nghieäm  d //    Heä voâ soá nghieäm  d    3. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng (d) và đƣờng thẳng (d’) P.Pháp: + d coù vtcp u vaø ñi qua ñieåm M 23

Lý thuyết Hình Học 12

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping

Đề Ôn Tập Tốt Nghiệp Lớp 12