Walter Ramos Melo
Fundamento de cálculo
LA RECTA 01. El costo mensual de conducir un automóvil depende el número de kilómetros que se recorren con él. Recorrer 480 kilómetros tiene un costo de 380 dólares, en tanto que recorrer 800 kilómetros cuesta 460 dólares. a) Modele la expresión para el costo mensual, suponiendo que la dependencia es lineal. b) Trace la gráfica e interprete la intersección de la recta con el eje Y. Resolución a) Sea: Costo mensual en dólares: Número de millas en kilómetros: como “recorrer 480 kilómetros tiene un costo de 380 dólares” entonces un punto de la recta es: como “recorrer 800 kilómetros cuesta 460 dólares” entonces el punto de la recta es: v
por los puntos
, pasa la recta:
ˆ
b) De la ecuación: Intersección con el eje Si
;
, entonces el punto es
Cuando el automóvil está detenido el costo es de 260 dólares.
1
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02. Determine las coordenadas del centroide (punto en la figura adjunta) de la placa metálica en forma de letra
, si se sabe que divide al segmento
en la
razón
Resolución Del gráfico
y
como
, entonces , entonces
ˆ
03. En la siguiente gráfica, la longitud del segmento
es 10
unidades. Calcule a) Las coordenadas del punto D. b) La pendiente del segmento obtenido al unir el punto medio del segmento
y el punto medio del segmento
c) Si el punto E divide al segmento
.
en la razón siguiente
, calcule las coordenadas de E
Resolución a) Del gráfico
y
por dato entonces
de donde: del gráfico ˆ b) Del gráfico sea
y
el punto medio entre
y
entonces
Del gráfico sea
, de a)
el punto medio entre
y
entonces
2
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La pendiente entre los puntos
y
es:
ˆ
c)
ˆ
04. Un avión ubicado inicialmente en el punto avión ubicado inicialmente en el punto ubicado inicialmente en el punto
viaja en dirección este a una velocidad de 2 km/h. Un segundo viaja en dirección oeste a una velocidad de 1 km/h y un tercer avión
viaja en dirección sur a una velocidad de 1 km/h. Si los tres aviones parten
en el mismo instante, luego de tres horas de vuelo se pregunta a) ¿Cuál es la distancia que separa al primer avión del segundo? b) ¿Cuál es la pendiente de la recta que contiene a las posiciones finales del primer y tercer avión? (Considere un sistema de coordenadas en el cual cada unidad represente un kilómetro, el semieje positivo de las X señala el ESTE y el semieje positivo de las Y señala en NORTE) Resolución se mueve al este a 2 km/h, en 3 horas recorrió 6 km, entonces se mueve al punto , entonces . se mueve al oeste a 1 km/h, en 3 horas recorrió 3 km, entonces se mueve al punto , entonces
.
se mueve al sur a 1 km/h, en 3 horas recorrió 3 km, entonces se mueve al punto , entonces
.
a) Después de tres horas A se encuentra en B se encuentra en entonces ˆ 3
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b) Después de tres horas se encuentra en se encuentra en La pendiente entre los puntos
y
es:
ˆ
05. El punto
divide al segmento
determine: a) La ecuación de la recta
en dos segmentos cuya relación es
que pase por el punto
b) La medida del ángulo de inclinación de la recta
y por el punto del item a).
Resolución a)
entonces
ˆ
La recta
que pasa por los puntos
y
es:
ˆ
b)
ˆ
4
. Si se sabe que
.
y
,
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06. La figura muestra la vista superior de la ubicación de una pequeña mina respecto a la comunidad más cercana.
De acuerdo a esto: a) Modele la ecuación de la recta que coincida con el canal recto de menor longitud que deberá ser construido para abastecer a la mina con agua del río. b) Calcule las coordenadas del punto del río que está más cerca de la mina. Resolución a) La recta
que coincide con el río, pasa por los puntos
entonces la pendiente de la recta la recta
y
÷
es:
que coincide con el canal
recto de menor longitud que debe construirse para abastecer a la mina con agua del río, es la recta perpendicular a que pase por la mina de
, entonces la pendiente es
.
entonces la ecuación de la recta de pendiente por
y que pase
es:
ˆ
b) la ecuación de la recta
de pendiente
y que pase por
es:
de donde
además las coordenadas del punto del río que está más cerca de la mina está en la intersección de las rectas
5
y
, que
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se calcula resolviendo el sistema
De donde:
v
ˆ
07. Se tiene un espejo apoyado en la pared como muestra la figura adjunta. En la esquina dispara un rayo que forma 45° con el piso e intersecta al espejo en el punto
y luego se refleja hasta el punto
el piso. Si se considera un sistema de coordenadas cuyo origen coincide con el punto a) Las coordenadas del punto
(ver figura), determine
.
b) La ecuación de la recta “ ” perpendicular al espejo en el punto c) La medida del ángulo
hay una fuente de luz que
que forma el rayo incidente
Resolución a) La recta que contiene al espejo pasa por los puntos
.
y el rayo reflejado
y
.
, entonces su ecuación es:
de donde La recta que contiene al rayo de luz pasa por los puntos
y
de donde es la intersección de
de donde:
y
, entonces debemos resolver el sistema:
v
ˆ
6
, entonces su ecuación es:
en
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b)
tiene pendiente
como
, entonces la pendiente de
de la recta
es
y como pasa por el punto
, entonces la ecuación
es:
ˆ
c) Del gráfico
como
ˆ 08. Dado el segmento
de extremos
y
. Los puntos
es el más cercano al extremo Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto
y
y por el punto
Resolución Como
y
trisecan al segmento
, entonces divide al segmento en
tres partes iguales.
entonces
de donde La ecuación de la recta que pasa por los puntos
y
ˆ 7
trisecan al segmento
es:
.
(el punto
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09. Desde un punto P situado en la parte positiva del eje X puede observarse el segmento donde
y
bajo un ángulo de 45º,
. Calcule las coordenadas de P.
Resolución Como P situado en la parte positiva del eje X, entonces P tiene la forma de
, con
De la gráfica
entonces
de donde ˆ 10. Sea
la recta que pasa por los puntos , si además se cumple que
Resolución Como
y
donde
pertenecen a
Sea la pendiente de como el ángulo entre
y
, determine la ecuación de la recta
que pasa por el punto
es la medida del ángulo (radianes) entre
y
.
, entonces su pendiente es:
, y
es
, entonces
de donde como
pasa por
y tiene pendiente
, entonces
ˆ 11. Considere las rectas de ecuaciones
a) Modele una ecuación que permita calcular el valor de la constante b) Si donde
, determine las coordenadas de un punto C ubicado en la recta y
. 8
de manera que
y
sean paralelas.
de modo que el ángulo ACB sea recto,
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Resolución a) Si es paralela a ˆ b) Si
, entonces
como C pertenece a
, entonces, si
entonces entonces C tiene la forma Como ACB sea recto y entonces
tiene pendiente
, entonces
de donde ˆ
9
,
Walter Ramos Melo Ejercicios propuestos 01. El punto
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equidista de los puntos
y
. Si la pendiente de la recta que pasa por P y el origen de
coordenadas es 3/5, determine los valores de a y b.
02. Sea un trapecio rectángulo 45º. Además
y
recto en
,
y
, la altura del trapecio es 5 y el ángulo interior
son opuestos y los lados paralelos son
y
es
.
Calcular las ecuaciones de los lados que contienen al trapecio 03. Halle las ecuaciones de los lados de un triángulo conociendo uno de sus vértices una de sus alturas
y a la recta que contiene a una de sus medianas
, la recta que contiene trazadas de vértices
distintos. 04. Desde un punto donde
situado en la parte positiva del eje y
puede observarse el segmento
. Calcular las coordenadas de
bajo un ángulo de 45º,
.
05. Se tiene un depósito lleno de agua, el cual se vacía a un ritmo constante por día. Si en el día 12 el depósito tenía 20 3 3 m de agua y en el día 21 tenía 16,4 m de agua. a) Exprese una ecuación lineal que relacione la cantidad de agua presente en el depósito con el tiempo. b) ¿En cuánto días se agotará el agua del depósito? 06. El diseñador de una antena electromagnética quiere colocar el receptor de la antena en el punto figura)
Además se sabe que las coordenadas de los puntos Determine las coordenadas del punto
y
.
10
son
y
, respectivamente.
a 5 m del
(ver