Walter Ramos Melo
Cálculo de una variable
Optimización de funciones 01. Se va a construir un campo de atletismo con forma rectangular de por regiones semicirculares de radio
unidades de largo, rematado en ambos extremos
. El campo debe estar acotado por una pista de carreras de 400 m.
a) Exprese el área de la parte rectangular del campo como una función de b) ¿Qué valores de
y
.
dan a la parte rectangular el área máxima posible?
Resolución a) Del gráfico el perímetro del campo es:
de donde: Sea
,
... (1)
el área de la región rectangular, entonces
ˆ
b) Cálculo del punto crítico
de donde
, reemplazando en (1),
, entonces para
, se obtiene la máxima área
ˆ
02. Una fuente de luz
, ubicada en un medio ambiente en el que la luz
viaja a una velocidad
, emite un rayo luminoso hacía otro
ambiente donde se encuentra un observador situado en el punto y en el que la luz viaja a una velocidad
. El principio de
Fermat en óptica afirma que la luz se dirige en línea recta de encontrar un punto
,
hasta
sobre la frontera en el cual la luz se refracta
de manera que llega, en un tiempo más corto, hasta el punto
. (Ver
gráfico adjunto) a) Reproduzca el gráfico adjunto en su cuadernillo y trace la trayectoria que seguirá el rayo de luz de modo que cumpla el principio de Fermat. Indique en su gráfico todas las constantes necesarias para desarrollar el ítem b). b) Valiéndose de su trayectoria trazada en el ítem a), modele la función que exprese el tiempo de luz en ir de la fuente
hasta llegar al observador en el punto
de sobre la frontera entre los dos medios hacía el punto
, en términos de
que le toma el rayo
(distancia de la proyección
). Indique claramente el dominio.
c) Modele la ecuación que permita determinar el valor de la variable si se requiere que la luz se refracte llegando en un tiempo más corto
de a
.
28
Walter Ramos Melo
Cálculo de una variable
Resolución a) Sean las constantes
,
que permite resolver el problema y las constantes
problema, según el gráfico
b)
, entonces
, entonces
ˆ
,
c) Cálculo del punto crítico
... (1)
del gráfico
;
reemplazando en (1) ˆ verificando si es mínimo
entonces el tiempo es mínimo 29
,
y
que nos permite agilizar el
Walter Ramos Melo
Cálculo de una variable
03. Si la fuerza de una viga de sección rectangular varía directamente con el ancho y el cuadrado de la altura, calcule las dimensiones de la viga más fuerte que se puede sacar de un tronco cilíndrico de diámetro Resolución Sea: ancho: altura: Fuerza:
Por dato
entonces
... (1)
del gráfico
, entonces
... (2)
reemplazando en (1)
nótese que la única variable independiente es
, dado que
y
son constantes
Cálculo de la máxima fuerza ... (3) entonces
de donde
, entonces
reemplazando en (2)
de donde
, entonces
Verificación si es máximo, debe cumplir que la segunda derivada en ese punto es menor que cero De (3) entonces es negativo porque la constante ( ) y la variable ( ) son positivas ˆ La dimensiones de la viga mas fuerte es
y
30