Taller 1 A 2017-02

TALLER N° 01 NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA A 2017-02 1.

[CM] Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Sustente su respuesta. a) La razón aritmética entre la cantidad de números enteros que existen entre números enteros entre v

b) Si

v

c) Si d) Si

y

, entonces

.

, entonces

.

, entonces

. entonces la longitud de su diagonal es un número irracional.

f) Si la razón aritmética de los números y

dos magnitudes y

proporcional a h) Si

y

y

es la misma que su razón geométrica, entonces

una constante positiva. Si

i) La razón geométrica entre

y

es

.

j) Dos más dos por dos es ocho.

Resolución a)

representando en la recta numérica

y

existen 7 números enteros

representando en la recta numérica

entonces, entre

y

existen 11 números enteros

La razón aritmética entre 7 y 11 es 11 - 7 = 4 ˆ

b) Sea: ˆ

, entonces se afirma que

,

, entonces

.

es inversamente

.

representan dos números naturales y tales que

entonces, entre

, y la cantidad de

es 4.

e) Si el lado de un cuadrado mide

g) Sean

y

toma 4 valores.

Nivelación en matemática

2

c) Sea: ˆ d) Sea:

, de donde ,

ˆ e) Sea:

: Diagonal del cuadrado

por el teorema de Pitágoras

como

, entonces

ˆ f) La razón aritmética de los números

y

es

la razón geométrica de los números

y

es

por dato:

entonces

,

ˆ g) Si

, entonces

es inversamente proporcional a

ˆ

h) Como Si:

pertenece a los números naturales, entonces: , entonces , entonces , entonces , entonces

entonces

toma 4 valores

ˆ

i) La razón geométrica entre

ˆ

y

es

Nivelación en matemática

3

j) ˆ 2.

Juan y Jorge están matriculados en el curso de Nivelación en Matemática y son conscientes que deben practicar mucho. Cada hora Juan resuelve 20 problemas y Jorge resuelve 30. Cierto día Juan comienza a resolver problemas a las 08:00 horas y 3 horas después Jorge también comienza a resolver problemas. a) [MR] Represente la situación planteada mediante un gráfico o alguna estrategia estudiada. b) [EC] ¿A qué hora de aquel día, ambos habrán resuelto la misma cantidad de problemas?

Resolución a) Juan

Jorge

Hora

Resuelve

Total

Resuelve

Total

08:00 - 09:00 h

20

20

0

0

09:00 - 10:00 h

20

40

0

0

10:00 - 11:00 h

20

60

0

0

11:00 - 12:00 h

20

80

30

30

12:00 - 13:00 h

20

100

30

60

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

b) Juan en tres horas tiene una ventaja de

preguntas resueltas con respecto a Jorge.

Cuando Jorge resuelve, cada hora resuelve

preguntas más que Juan.

Como Jorge debe tener las misma cantidad de preguntas resueltas que Juan, entonces debe de resolver preguntas más que Juan. Como cada hora, Jorge resuelve

preguntas más entonces le alcanzará en

horas después de 11:00 horas ˆ 3.

En una balanza de 2 platillos se tiene en uno de los platillos 38 esferas que pesan 25 g cada una y en el otro 77 esferas que pesan 10 g cada una. a) [MR] Represente la situación planteada mediante un gráfico o alguna estrategia estudiada. b) [EC] ¿Cuántos intercambios de esferas deben realizarse para que se encuentre en equilibrio, si de ambos platillos se saca la misma cantidad de esferas?

Resolución a) Platillo 1

Platillo 2

Intercambio

Nº de esferas de 25 g

Nº de esferas de 10 g

Total peso

Nº de esferas de 25 g

Nº de esferas de 10 g

Total peso

0

38

0

950

0

77

770

1

37

1

935

1

76

785

2

36

2

920

2

75

800

3

35

3

905

3

74

815

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Nivelación en matemática

4

b) Al inicio el primer platillo tiene primer platillo tiene

gramos y el segundo platillo tiene

gramos, entonces el

gramos más que el segundo platillo.

Si realizamos un intercambio de esfera el primer platillo se reduce en esté en equilibrio debe reducirse en

gramos, entonces se debe intercambiar

gramos, como se desea que veces

ˆ 4.

Se sabe que la suma del doble de lo que tiene Alberto, el triple de lo que tiene Benito y el cuádruple de lo que tiene Carlos es 602 soles, se sabe además que lo que tiene Alberto es las 3 cuartas partes de lo que tiene Benito y éste tiene los 3 medios de lo que tiene Carlos. a) [MR] Represente la situación planteada mediante un gráfico o alguna estrategia estudiada. b) [EC]¿Cuánto dinero posee cada uno de ellos?

Resolución a) Sea: : La cantidad que tiene Alberto : La cantidad que tiene Benito : La cantidad que tiene Carlos

del dato:

b) De los datos:

, homogenizando la proporcionalidad en

entonces la proporcionalidad es:

Sea:

;

;

, reemplazando en , entonces

, de donde

ˆ

5.

Un estudiante rinde un examen de 30 preguntas, siendo la calificación de la siguiente manera: - Cada correcta vale 4 puntos - Cada errada se le quita 1 punto - La pregunta no contestada vale 0 Si su nota fue de 70 puntos y 5 no contesto a) [MR] Represente la situación planteada mediante un gráfico o alguna estrategia estudiada. b) [EC] ¿Cuántas preguntas contestó correctamente? c) [CM] Al finalizar el examen el estudiante afirmó que solo se había equivocado en 5 preguntas. ¿Está de acuerdo con esta afirmación? Justifique su respuesta.

Nivelación en matemática

5

Resolución a) Como 5 preguntas no contesto de las 30, entonces contestó 30 - 5 = 25 preguntas Nº de respuestas correctas

Nº de respuestas erradas

Puntaje

25

0

25 . 4 = 100

24

1

24 . 4 - 1 = 95

23

2

23 . 4 - 2 . 1 = 90

.

.

.

.

.

.

.

.

.

b) Si hubiera respondido las 25 preguntas correctas tendría un puntaje de puntos entonces debemos de quitarle

puntos.

Si intercambiamos 1 respuesta correcta por una respuesta errada disminuiría intercambiar

veces

ˆ c)

6.

[EC] Si:

, si:

, si: determine el valor de: Resolución

v

puntos, como obtuvo 70 puntos, entonces debemos

Nivelación en matemática

Sea:

;

6

;

reemplazando en:

v

entonces

, homogenizando la proporcionalidad en

entonces la proporcionalidad es:

Sea:

;

;

, reemplazando en

ˆ 7.

La potencia ( ) de un motor es directamente proporcional a la capacidad ( ) del motor e inversamente proporcional a los años (

) de trabajo. Si un motor de 2,5 litros de capacidad y 5 años de uso tiene una potencia de 10 HP.

a) [CM] Identifique las magnitudes que intervienen aquí, con sus respectivas unidades. b) [MR] Modele una fórmula completa que permita calcular la potencia ( ), en términos de las otras magnitudes dadas. c) [EC] Calcule la capacidad de otro motor que tiene 6 años de antigüedad y 15 HP de potencia.

Resolución a) Magnitud

Unidades

Potencia

H.P:

Capacidad

litros

Tiempo en el trabajo

años

Nivelación en matemática

7

b) por dato:

;

;

, reemplazando en la fórmula

, de donde

entonces la fórmula es ˆ c) Por dato:

;

, reemplazando en la fórmula

, de donde ˆ 8.

Sean

,

,

y

cuatro magnitudes tales que:

es directamente proporcional con y si

entonces

y

es inversamente proporcional con

entonces

.

a) [CM] Modele una fórmula completa que permita calcular b) [EC] Si

, además, si

, calcule el valor de

, en términos de la magnitud

solamente.

.

Resolución

a) De los datos:

, reemplazando en

... (1) reemplazando los datos (

;

)y(

;

) se obtiene

, multiplicando la primera ecuación por 6 y la segunda por 9

entonces

, efectuando la segunda ecuación menos la primera ecuación , de donde

, reemplazando en la primera ecuación

, reemplazando en (1)

ˆ b) Como

, entonces

ˆ 9.

[EC] Resuelva los siguientes problemas de dos maneras distintas: a) Los Paredes van al teatro con sus hijos, si compran entradas de 24 soles le sobra 58 soles, pero si compran entradas de 50 soles les falta 150 soles, ¿cuántos hijos tiene el Señor Paredes? b) Si con el dinero que tengo compro 8 polos me sobra S/ 12; pero si comprara una docena de polos me faltaría S/ 32, ¿Cuánto cuesta cada polo?

Nivelación en matemática

8

Resolución a) Primer método “Si compran entrada de S/ 24 soles le sobra S/58", entonces gasta el dinero que tiene menos S/ 58 “Si compran entradas de S/ 50, les falta S/ 150”, entonces debe gastar el total de su dinero más S/ 150

en el cuarto gráfico, si compra entrada de S/ 24 ingresan todos, entonces la parte superior no debe de existir, de tal manera que S/ 150 +S/ 58 = S/ 208 se gastaría para comprar entradas de S/ 50 - S/ 24 = S/ 26 e ingresarían todos, por lo que en número de personas que ingresan al teatro es ˆ Segundo Método Sea: en número de hijos entonces la cantidad de dinero que tiene es: , de donde ˆ b) Primer método Como “con el dinero que tengo compro 8 polos me sobra S/ 12”, entonces tiene de dinero para 8 polos más S/ 12.

Como “si comprara una docena de polos me faltaría S/ 32”, entonces tiene de dinero para 12 polos menos S/ 32 En el gráfico, en el grupo de 12 polos, para utilizar el dato de 8 polos, sumamos y restamos S/ 12, entonces la parte del rectángulo, 4 polos cuesta S/ 32 + S/ 12 = S/ 44 por lo que cada polo cuesta ˆ Segundo método Sea: el costo de cada polo entonces la cantidad de dinero que tiene es: , de donde ˆ

Nivelación en matemática

9

10. [MR] Determine si existe relación de proporcionalidad entre las magnitudes presentadas. Si existe describa el tipo de proporcionalidad y represente la relación de proporcionalidad. a) En dos engranajes unidos por sus dientes: El número de dientes y el número de vueltas. b) Para terminar un trabajo: Días y horas. c) Al repartir una herencia: Número de herederos y edad de los herederos. d) Al imprimir un trabajo: Número de hojas y tiempo e) Al cambiar monedas en un banco: peso y valor de la moneda.

Resolución a) Si existe; a mayor número de dientes menor el número de vueltas El número de dientes ( ) es inversamente proporcional al número de vueltas ( ): b) Si existe; a más días menos hora El número de días ( ) es inversamente proporcional al número de horas (

):

c) No existe relación entre el número de herederos y la edades de cada uno de ellos. d) Si existe; a más hojas más tiempo El número de hojas (

) es directamente proporcional al tiempo ( ):

e) No existe relación entre el peso de todas las monedas y el valor de cada moneda.