TALLER N° 01 NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA B 2017-02 1.
[CM] Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta. a) Sean
,
y
tres magnitudes y
directamente proporcional a
, una constante positiva. Si
, pero inversamente proporcional a
, entonces es cierto que
es
.
b) El número 3,1416 pertenece al conjunto de los números irracionales. c) La diferencia de los conjuntos y (en ese orden), es el conjunto . d) Si el lado de un triángulo equilátero mide
, entonces la medida de su área es un número irracional.
e) La razón aritmética y la razón geométrica de las medidas del largo y el ancho de un rectángulo son 3 cm y 2 cm respectivamente, entonces su perímetro es de 10 cm. f) Si
es impar entonces
también es un número impar.
g) La altura de una persona es directamente proporcional a su edad. h) La razón geométrica de 5 kg y 400 g (en ese orden) es como de 25 a 2. i) Resolución a) Como entonces como
divide a
como
multiplica a
ˆ b) El número ˆ c)
ˆ
, entonces
es directamente proporcional a
, entonces
es inversamente proporcional a
Nivelación en matemática
2
d) El área de un triángulo es:
como
, entonces
es irracional
ˆ e) Sea:
el largo del rectángulo El ancho del rectángulo
como “La razón aritmética y la razón geométrica de las medidas del largo ( ) y el ancho (
son 3 cm y 2 cm”, entonces:
v
sea: de donde:
, reemplazando en la primera ecuación v
, entonces
El perímetro del rectángulo es:
entonces el perímetro del rectángulo es: 18 cm ˆ f)
es impar, entonces entonces entonces
es par
es par es impar
ˆ g) La altura y la edad de una persona, no se puede relacionar ˆ
h) La razón geométrica de 5 kg y 400 g (en ese orden) es: multiplicando por
ˆ i)
ˆ
) de un rectángulo
Nivelación en matemática 2.
3
Julio y María salen a compran caramelos a la tienda de Don Cucho. Por 0,80 céntimos de sol, Julio recibe 8 caramelos, mientras que María pudo comprar 12 caramelos por 1,80 soles. a) [MR] Represente la situación planteada mediante un gráfico o alguna estrategia estudiada. b) [EC] ¿María compró caramelos más caros que Julio? Resolución a) Nº de caramelos
Costo total
Costo unitario
Julio
María
b) Del cuadro se afirma que María compró más caro los caramelos. 3.
En un nido, la relación entre el número de niños y niñas es de 4 a 3. Si después de 2 horas 8 niños son recogidos por su mamá y a la vez llegan 5 niñas, entonces la nueva relación será de 2 a 7. a) [MR] Represente la situación planteada mediante un gráfico o alguna estrategia estudiada. b) [EC] ¿Calcule el número de niñas que quedan en el nido? Resolución a) Como “la relación entre el número de niños y niñas es de 4 a 3", entonces Cantidad inicial
Cantidad después de 2 horas
Niños Niñas como la nueva relación será de 2 a 7, entonces
b) De la ecuación
de donde entonces el número de niñas que quedan en el nido es: ˆ 4.
Groucho, Pepo y Harpo decidieron poner un carrito sanguchero para financiar sus hobbies. Ellos iniciaron el negocio con un capital de S/ 30 000. Groucho aportó S/15 000, Pepo S/ 5000 y Harpo el resto. Harpo trabajó mucho, pero Pepo vagó. Al finalizar el primer año del negocio han obtenido una ganancia de S/ 150 000. a) [MR] Represente la situación planteada mediante un gráfico o alguna estrategia estudiada. b) [EC] ¿Cuánto dinero posee cada uno de ellos? Resolución a) Aportes
Groucho Pepo Harpo
Nivelación en matemática
4
b) Sea el reparto de la siguiente forma:
como han obtenido una ganancia de S/ 150 000, entonces
de donde
ˆ
5.
En una prueba se proponen 30 preguntas. Por cada pregunta bien contestada se le asignan 4 puntos y recibe un punto si deja la pregunta sin contestar. Un alumno obtuvo 90 puntos y no tuvo error alguno en las preguntas que contestó. a) [MR] Represente la situación planteada. b) [EC] Calcule el número de preguntas que contestó. Resolución a) Primer método Preguntas contestadas
Preguntas no contestadas
Puntaje
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Segundo método Sea “ ” la cantidad de preguntas contestada, como se proponen 30 preguntas, entonces el número de preguntas no contestadas es “
”
Cantidad
Puntaje
Preguntas contestadas Preguntas no contestadas
de donde ˆ b) Tercer método Si las 30 preguntas se contestó correctamente, entonces se tendría como tiene 90 puntos, entonces se tiene
puntos de más
puntos.
Nivelación en matemática
5
si intercambiamos una pregunta contestada por una pregunta no contestada, entonces disminuiríamos puntos como se desea disminuir 30 puntos, entonces debemos de intercambiar
veces
entonces se tendría 10 preguntas no contestadas ˆ 6.
[EC] Determine el valor de
,
,
y
.
a) b) c)
, si
d)
, si
Resolución a) efectuando las potencias
efectuando los paréntesis y las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha
ˆ
b) efectuando las potencias
ˆ
c) Como
ˆ
, entonces
v
, reemplazando en
Nivelación en matemática d) Como
, entonces
6 v
, reemplazando en
ˆ
7.
Un comerciante compra 20 jarrones a
cada uno. Después de vender 15 jarrones, con una ganancia de S/ 10 por
jarrón, se le rompieron tres. a) [MR] Modele una expresión matemática que exprese el precio al que debe vender cada uno de los jarrones restantes para obtener una ganancia total de . b) [EC] Con los mismos datos anteriores, calcule el precio al que debe vender cada uno de los jarrones restantes para obtener una ganancia total de S/ 360, cuando b toma el valor de S/ 90. Resolución a) Compra 20 jarrones a vende 15 jarrones a
cada uno, entonces invierte cada uno, entonces recupera
se rompe 3 jarrones, entonces le queda 2 jarrones Sea en precio de cada jarrón de los dos que le sobran, si desea tener una ganancia de ˆ b) Como desea obtener una ganancia total de S/ 360, entonces entonces reemplazando en la fórmula hallada
de donde ˆ 8.
En cierta ciudad el impuesto en soles ( ) a la tenencia de casas de vivienda que se cobran anualmente a los vecinos, es directamente proporcional al cuadrado del número de casas que poseen ( ) e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de los años ( ) de antigüedad en el vecindario. Un vecino que vive desde hace 9 años y que posee 6 casas, ha pagado S/ 720 soles por impuesto. a) Identifique las magnitudes que intervienen aquí, con sus respectivas unidades. b) Modele una fórmula completa que permita calcular el impuesto ( ), en términos de las otras magnitudes dadas. c) Calcule el impuesto que pagará un vecino, sabiendo que posee 8 casas y vive en el vecindario 16 años. Resolución a)
b) De los datos entonces
Magnitud
Unidades
Variación
Impuesto
soles
continua
Casas
unidades
discreta
Antigüedad
años
continua
Nivelación en matemática
7
como “Un vecino que vive desde hace 9 años y que posee 6 casas, ha pagado S/ 720 soles por impuesto”, entonces
de donde ˆ
c)
Si posee 8 casas y vive en el vecindario 16 años, entonces
v
reemplazando en la fórmula
de donde ˆ 9.
[EC] Resuelva los siguientes problemas de dos maneras distintas: a) Juana le dice a su hijita María: Si con el dinero que tengo te compro 4 blusas, me sobrarían S/ 30; pero si quisiera comprarte 12 blusas me faltarían S/ 210. ¿Cuál es el precio de una blusa? b) Para comprar 5 kilogramos de carne me sobraron 8 soles, pero si hubiese querido comprar 2 kilogramos más me faltarían 33 soles. Calcule el precio del kilogramo de carne. Resolución a) Primer método Como: “compro 4 blusas, me sobrarían S/ 30”, entonces tiene de dinero para cuatro blusas más S/ 30. Como: “si quisiera comprarte 12 blusas me faltarían S/ 210”, entonces tiene de dinero para 12 blusas menos S/ 210 En el gráfico, en el grupo de 12 blusas, para utilizar el dato de 4 blusas, sumamos y restamos S/ 30, entonces la parte del rectángulo 8 blusas debe costar S/ 210 + S/ 30 = S/ 240 por lo que cada blusa cuesta ˆ Segundo método Sea: “ ” el costo de cada blusa entonces la cantidad de dinero que tiene es
entonces ˆ b) Primer método Como “Para comprar 5 kilogramos de carne me sobraron 8 soles”, entonces tiene de dinero para 5 kilos de carne más S/ 8. Como “si hubiese querido comprar 2 kilogramos más me faltarían 33 soles”, entonces tiene de dinero para comprar 7 kilos de carne menos S/ 33.
Nivelación en matemática
8
En el gráfico, en el grupo de 7 kilos de carne, para utilizar el dato de 5 kilos de carne, sumamos y restamos S/ 8, entonces en la parte del rectángulo, 2 kilos de carne cuesta S/ 33 + S/ 8 = S/ 41 por lo que cada kilo de carne cuesta ˆ Segundo método Sea: “ ” el costo de cada kilo de carne entonces la cantidad de dinero que tiene es
entonces ˆ 10. [MR] El diagrama muestra la distribución de asistentes a un evento. Complete las siguientes expresiones.
a) b) c) d)
La razón entre el número de hombres y mujeres es de _____ La razón entre el número de hombres que usan lentes y los que no lo usan es de _____ Por cada 6 personas que usan lentes hay _____ que no lo usan. La razón entre el número de mujeres que usan lentes y los hombres que no lo usan es de _____
Resolución a) Hombres: 15 + 35 = 50 Mujeres: 25 + 45 = 70 La razón entre el número de hombres (50) y mujeres (70) es: ˆ b) Hombres que usan lentes: 35 Hombres que no usan lentes: 15 La razón entre el número de hombres que usan lentes (35) y los que no lo usan (15) es: ˆ
c) Usan lentes: 35 + 25 = 60 No usan lentes: 15 + 45 = 60 La razón entre personas que usan lentes (60) y las que no lo usan (60) es: ˆ d) Mujeres que usan lentes: 25 Hombres que no usan lentes: 15 La razón entre el número de mujeres que usan lentes (25) y los hombres que no lo usan (15) es de: ˆ
Nivelación en matemática
9
11. Jorge tiene tres hijos José, Raúl y Carlos que son destacados deportistas. Les deja una herencia de US$ 520 000, que será repartida de manera directamente proporcional al número de medallas que ganaron e inversamente proporcional a las veces que perdieron una final en alguna de las disciplinas que compitieron. El siguiente cuadro muestra las medallas que cada uno obtuvo y el número de finales que perdieron: José
Raúl
Carlos
Medallas que ganaron
12
16
25
Finales que perdieron
3
4
5
a) [MR] Modele una ecuación que permita determinar el monto que le corresponde a cada uno de los hijos de Jorge. b) [EC] Calcule la cantidad que le correspondió a Carlos. c) [CM] Raúl afirma que la razón entre las cantidades que le correspondieron a José y Carlos es de 1 a 4. ¿Está de acuerdo con esta afirmación? Justifique su respuesta. Resolución a) Sea: : herencia a repartir : número de medallas que ganaron : número de finales perdidas como: “La herencia (
) será repartida directamente proporcional al número de medallas (
inversamente proporcional a las veces que perdieron una final ( )” entonces ˆ b) Reparto proporcional a: José
Raúl
Carlos
Sea el reparto
Como se desea repartir una herencia de US$ 520 000, entonces:
de donde entonces Carlos recibe ˆ
c) Del cuadro la razón entre las cantidades que le correspondieron a José y Carlos es: ˆ
) que ganaron e