TALLER N° 03 NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA B 2017-02 1.
[CM] Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta.
a) El sistema de ecuaciones b) Si el conjunto solución de
; tiene como conjunto solución , es
entonces
c) Si el discriminante en la ecuación
.
.
es 15, entonces necesariamente
.
d) Si el discriminante en una ecuación cuadrática es menor que cero, entonces podemos afirmar que la ecuación admite dos raíces reales. Resolución a) Reemplazando el conjunto solución en el sistema de ecuaciones
ˆ b) Reemplazando el conjunto solución en la ecuación
ˆ c)
ˆ d) En toda ecuación cuadrática, si su discriminate es negativa, entonces no tiene soluciones reales ˆ 2.
Hace 8 años la edad del padre era siete veces la edad de su hijo y dentro de 12 años, la edad del padre será el doble de la de su hijo. a) [MR] Modele un sistema de ecuaciones para la situación planteada, sabiendo que las edades actuales del padre e hijo son y respectivamente. b) [EC] Calcule la edad actual del padre. c) [EC] Calcule la edad del hijo dentro de 2 años. Resolución a) Representando los datos en un cuadro
Nivelación en matemática
2 Hace 8 años
Presente
Dentro de 12 años
Padre Hijo De los datos
b)
de donde entonces:
, reemplazando en la primera ecuación
ˆ c) ˆ 3.
Un fabricante de repuestos puede vender todas las unidades producidas al precio de US$ 0,5 cada uno. Tiene costos fijos a la semana de US$ 400 y costos por unidad de US$ 0,24 en materiales y mano de obra. a) [MR] Modele una expresión polinomial en , para el ingreso, el costo total y la utilidad, siendo el número de unidades producidas y vendidas. b) [MR] Modele una inecuación que determine el número de repuestos que deberá fabricar y vender semanalmente con el propósito de obtener utilidades semanales de al menos US$ 237. c) [EC] ¿Cuántos repuestos debe vender semanalmente para obtener utilidades semanales de US$ 237? Resolución a) ˆ
ˆ
ˆ b) ˆ c)
ˆ 4.
Un fabricante de polos deportivos Mike puede vender todo lo que produce al precio de 60 soles cada polo; gasta 40 soles en materia prima y mano de obra al fabricar cada uno y tiene costos fijos de 3 000 soles a la semana. a) [MR] Modele una expresión matemática en términos de , para conocer el ingreso, costo total y utilidad, cuando se fabrican y venden
polos durante la semana.
Nivelación en matemática
3
b) [EC] Calcule el número de polos que se deben producir y vender para generar utilidades de 4 500 soles semanales. c) [EC] Calcule la cantidad de polos que se deben producir y vender para generar utilidades semanales de 4 000 soles d) [CM] Interprete la situación económica del fabricante cuando produce y vende 125 polos. Resolución a) ˆ
ˆ
ˆ b)
ˆ c)
ˆ d) ˆ
5.
Descomponga en fracciones parciales la siguiente fracción
.
Resolución
como son polinomios idénticos se puede evaluar para valores convenientes para: se obtiene
de donde: para: de donde: ˆ
se obtiene
Nivelación en matemática 6.
4
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: a)
b)
c)
Resolución a) De la primera ecuación:
... (1)
reemplazando en la segunda ecuación
de donde: reemplazando en (1):
ˆ
b) Multiplicando por 4 a la primera ecuación y por 21 a la segunda ecuación
v
v v
ˆ
v
c)
v
ˆ
Nivelación en matemática 7.
5
TAITA PERU es una empresa que se dedica actualmente a procesar puré de papa, en el mercado europeo. El departamento de logística informa lo siguiente: • Las ventas mensuales de toneladas de puré, cuando su precio es dólares se relacionan por la ecuación de demanda
.
• El costo (en dólares) de producir
toneladas de puré es
.
a) [MR] Modele el ingreso y la utilidad mensual del fabricante en términos de
.
b) [EC] Calcule la cantidad de toneladas que se debe producir y vender para obtener una utilidad de 135 000 dólares mensuales. c) [CM] Redacte un comentario sobre la situación económica de la empresa al vender 500 toneladas de puré y al vender solo 300 toneladas. Resolución a)
ˆ
ˆ b)
de donde:
w
ˆ c) De la resolución de b) se observa que si vende 300 o 500 tonelada obtiene la misma utilidad de US$ 135 000, eso ocurre porque la función utilidad es una función cuadrática donde se abre hacia abajo
8.
En un teatro las entradas valen S/ 65 y S/ 25, si al vender un total de 740 entradas se obtiene S/ 38 500. a) [MR] Modele una ecuación de primer grado que permita calcular la cantidad de entradas de S/ 65 que se vendió. b) [MR] Modele un sistema de ecuaciones lineales que permita calcular la cantidad de entradas que se vendieron de cada tipo. Resolución a) Sea: la cantidad de entradas de S/ 65 como se vendieron 740 entradas, entonces se vendieron como el ingreso es de S/ 38 500 ˆ b) Sea:
la cantidad de entradas de S/ 65 la cantidad de entradas de S/ 25
como se vendieron 740 entradas y el ingreso es de S/ 38 500 ˆ
entradas de S/ 25
Nivelación en matemática 9.
6
Un cine tiene 900 asientos y cobra US$ 2 por niño, US$ 3 por estudiante y US$ 4 por adulto. En cierta función, con el cine lleno, el número de adultos es la mitad del número de niños y estudiantes juntos. Los ingresos totales fueron de US$ 2 800. a) [MR] Modele un sistema de ecuaciones lineales que permita calcular la cantidad de niños, estudiantes y adultos que asistieron a la función. b) [EC] Resuelva el sistema de ecuaciones lineales y determine la cantidad de adultos que asistieron. Resolución a) Sea: la cantidad de niños la cantidad de estudiantes la cantidad de adultos
ˆ
b)
reemplazando la segunda ecuación en la primera
de donde ˆ
10. Si el
, es de la ecuación:
Resolución
de donde:
como: ; ˆ
entonces: ;
. Calcular el valor de
.
Nivelación en matemática 11. Dado
de la ecuación
7 . Calcule el valor de
.
Resolución , con elevando al cuadrado
de donde como ˆ
12. Un comerciante empleó S/ 6 720 en comprar trajes a S/ 375 y sombreros a S/ 45. Si la suma del número de trajes y el de sombreros que compró es 54. a) [MR] Modele un sistema de ecuaciones que permita determinar el número de trajes y sombreros que compró. b) [EC] Calcule el número de trajes y sombreros que el comerciante compró. c) [CM] Froilán afirma: "el comerciante compró 30 sombreros más que trajes". ¿Está de acuerdo con la afirmación de Froilán? Justifique su respuesta. Resolución a) Sea: el número de trajes el número de sombreros ˆ
b) Dividiendo entre 15 la segunda ecuación
la primera ecuación por - 3
sumando las dos ecuaciones de donde:
, reemplazando en la primera ecuación:
ˆ c) 41 - 13 = 28 compró 28 sombreros más que trajes ˆ