TALLER EXAMEN PARCIAL NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA A 2017-02
1.
[CM] Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Sustente su respuesta. a) La factorización del polinomio
tiene dos factores primos.
b) La suma de dos fracciones algebraicas, es una fracción algebraica. c) Si un polinomio se anula (resultado cero) para y para
, entonces un factor del polinomio es:
. d) Si
y
, entonces
,
y
son proporcionales a 10; 12 y 15.
e) El volumen de una esfera es directamente proporcional a su radio. f) Si
g)
, entonces
posee dos factores lineales cuya suma es
Resolución a) Por diferencia de cuadrados por diferencia de cuadrados el polinomio posee tres factores primos ˆ
b) Sea las fracciones algebraicas:
de donde
v
no es una fracción algebraica
ˆ c) De los datos
, entonces
ˆ
.
.
Nivelación en matemática
2
e) El volumen de una esfera es:
, por lo que el volumen es directamente proporcional al radio al cubo.
ˆ f) Tanto el numerador como el denominador son polinomios completos, ordenados en forma descendente de una variable, entonces se cumple que el número de términos es igual al grado mas uno, entonces:
de donde ˆ g) Factorizando el factor común
de los dos primeros términos y el factor común
de los dos últimos términos
factorizando el factor común polinomio la suma de sus factores primos es: ˆ 2.
El producto de una multiplicación de dos polinomios, de variable , es de cuarto grado, se sabe además que uno de los multiplicandos es de primer grado. a) [CM] Javier afirma que el otro multiplicando es un polinomio de cuarto grado, ¿Está de acuerdo con esta afirmación?, justifique su respuesta. b) [MR] Modele el polinomio multiplicando que falta. Resolución a) Como el producto de los multiplicandos es igual al producto, entonces
entonces reemplazando datos
entonces el otro multiplicando es de grado 3 ˆ b) 3.
[EC] El año pasado, en la universidad, entre los estudiantes se observó que el número de hombres era 50% más que el número de mujeres, este año el número de estudiantes aumentó en 20%. Se observa que el número de mujeres aumentó en 5%, ¿en qué porcentaje aumentó el número de hombres? Resolución Sea el número de mujeres del año pasado, entonces el número de hombres es cuadro
, representando en un
Nivelación en matemática Sea
3
la cantidad de hombres actualmente
Año pasado
Actual
Mujeres Hombres Total entonces el porcentaje que aumento la cantidad de hombres es: ˆ 4.
[EC] Se deposita US$ 500 en un banco a una tasa de interés del 7,8% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto acumulado en 2 años? Resolución
de donde ˆ 5.
[EC] Para construir su casa Walter necesita S/180 000, él recurre a un prestamista para obtener el dinero y pagarlo en 15 años. El prestamista le ofrece tres opciones: • Opción A: una tasa de interés compuesto anualmente de 6% anual • Opción B: una tasa de interés compuesto trimestral de 5,5% anual a) ¿Qué opción le conviene elegir a Walter? b) ¿Cuál sería el interés que se pagaría en cada una de las dos opciones al final de los 15 años? c) Si Walter eligiese la Opción A para el préstamo, ¿cuánto tiempo deberá transcurrir para que la deuda se duplique? Resolución a) Calculando el monto total a cancelar de cada opción Opción A: Opción B: ˆ b) El interés en la opción A es: El interés en la opción A es: c)
de donde ˆ
Nivelación en matemática 6.
4
El costo de los terrenos es directamente proporcional a su área e inversamente proporcional a la distancia que lo separa de Lima. Un terreno de forma cuadrada ubicado a 28 km al sur de Lima esta valorizada en S/ 60 000. a) [MR] Modele la fórmula que cumpla con las condiciones anteriores. b) [EC] ¿Qué precio tendrá un terreno de forma cuadrada cuyo perímetro es los 3/4 del anterior y está ubicado a 7 km de Lima? Resolución a) Sea: el costo del terreno en soles el área del terreno La distancia en km que lo separa de Lima de los datos
b) Terreno 1 Longitud del lado del cuadrado ( )
Terreno 2 perímetro es
perímetro es Longitud del lado del cuadrado es
Aplicando la fórmula
de donde ˆ 7.
Efectuar: a) b) c) d) Resolución a) Por diferencia de cuadrados
ˆ b) Factorizando 2 en el primer término
sea
ˆ
Nivelación en matemática
5
c) Por diferencia de cuadrados por diferencia de cubos ˆ d) Buscando dos factores cuya suma de términos independientes sean iguales, así
entonces
sea
ˆ 8.
[EC] Factorizar el polinomio:
, si se sabe que
Resolución Como
es divisible por:
•
... (1) •
... (2) efectuando (1) + (2)
de donde entonces
ˆ
, reemplazando en (2)
, entonces
y
es divisible por:
.
Nivelación en matemática 9.
6
[EC] Se sabe que el polinomio
, es divisible por
a) Factorice el polinomio. B) Calcule el cociente y el residuo de dividir
entre
.
.
Resolución Como
, es divisible por
, entonces
entonces Los posibles ceros del segundo factor es
como se anula para
, entonces
, entonces un factor es
y el otro será el cociente
entonces por aspa simple a) b) Se observa que es divisible, por lo que el residuo es cero y el cociente es: 10. [EC] Se sabe que el polinomio
, es divisible por
, y tiene solo factores
lineales de coeficientes enteros. a) Calcule los valores de y . b) Factorice el polinomio
.
C) Calcule el cociente y el residuo de dividir
entre
.
Resolución Como
, es divisible por
•
, entonces:
•
, entonces:
i) de (1): si
, en (2),
por aspa simple
, reemplazando se tiene
, entonces ... (1) ... (2)
y
Nivelación en matemática
7
por divisores binomios
como se anula para
, entonces un factor es
y el otro será el cociente
entonces por aspa simple ii) de (1): si
, en (2),
, reemplazando se tiene
al factorizar
no se obtiene tres factores lineales
a) ˆ b) ˆ c)
por Ruffini
el cociente de dividir
11. [EC] Reducir y simplificar: a)
b)
c)
d)
Resolución a)
es:
y el residuo es:
Nivelación en matemática
ˆ
b)
ˆ
c)
ˆ
8
Nivelaciรณn en matemรกtica
d)
ห
9