TALLER EXAMEN PARCIAL NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA B 2017-02 1.
[CM] Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta. a) El
del
de
b) La expresión
dólares es equivalente a
dólares.
tiene dos factores primos.
c) La fracción algebraica
es impropia.
d) Si una herencia de M soles se reparte entre dos personas directamente proporcional a sus edades que son de 15 años y 45 años, entonces el mayor recibirá el triple de lo que recibe el menor. e) Si
es racional y
f) El polinomio
es racional, entonces
es siempre racional.
se factoriza como
g) Si a una cantidad se le aumenta su
.
, y luego al resultado se le disminuye su
, se obtiene nuevamente la
cantidad inicial. h) Si
, entonces se cumple que:
.
Resolución a) Del enunciado
ˆ b) Factorizando por diferencia de cuadrados
ˆ c) Una fracción algebraica es impropia si el grado del numerador es mayor o igual al grado del denominador ˆ
d)
ˆ e) Por contradicción Sea
entonces: ˆ
no es racional
Nivelación en matemática f) Factorizando
2 por diferencia de cuadrados se obtiene
factorizando por suma y diferencia de cubos se obtiene ˆ g) Si a una cantidad se le aumenta su
, y luego al resultado se le disminuye su
que no resulta ser el 100% ˆ h)
, entonces que es igual a:
ˆ 2.
[EC] Se define el Polinomio a) b) c) Resolución Sea: reemplazando en:
a)
ˆ
b) ˆ
c)
ˆ
, entonces
. Calcule:
, entonces se tendría
Nivelación en matemática 3.
3
[EC] Para el procesamiento de papa amarilla primero se selecciona la papa separando aquellas que estén dañadas que representan el 10% del total. De lo que queda, se clasifican en tres tamaños: Grandes, medianas y pequeñas, siendo estas últimas el 20% de la papa seleccionada. Si entre papas grandes y medianas hay 2 700 kg. Calcule la cantidad de papa que se procesa. Resolución Sea kg el total de papas Como las papas dañadas se separan, antes de ser procesada y ellas representan el 10% del total, entonces las papas a procesar son: de éstas el 20% son pequeñas, entonces grandes y medianas representa:
de donde ˆ 4.
[EC] La cantidad de vehículos en un estacionamiento (entre motos lineales y autos) es de 24, se contaron entre todos los vehículos un total de 58 llantas. Además, se sabe que cada auto posee 4 faros y cada moto 1 faro. Calcule la cantidad total de faros que hay entre todos los vehículos del estacionamiento. Resolución Sea la cantidad de autos, entonces la cantidad de motos lineales es Vehículo
Cantida d
N° de llantas
24
58
N° de faros
Auto Moto lineal Total Del cuadro
de donde El número de faros es: ˆ 5.
Omar recibió un préstamo de S/ 12 000 de un banco, para pagarlos en cuotas iguales en tres meses a un interés mensual del 9% capitalizable mensualmente. a) [CM] Describa mediante un gráfico la situación planteada en el enunciado. b) [MR] Modele la ecuación que permita calcular el valor de la cuota mensual que debe pagar Omar. c) [EC] Calcule el valor de la cuota que paga Omar. Resolución a) Sea el pago mensual
Nivelación en matemática
4
b)
de donde ˆ 6.
[MR] Carlos prestó a Felipe US$ 200 a un interés mensual del 4% capitalizable mensualmente, como es su amigo lo dejó en libertad de pagar cuando pudiera. Después de 2 meses Carlos pagó US$ 100 y un mes después canceló toda su deuda. Modele una expresión matemática para el último pago que hizo Carlos. Resolución Sea el pago en el tercer mes ˆ
7.
[MR] De las
personas que participan inicialmente en una fiesta se sabe que a una hora dada se retiran 15 mujeres,
quedando 2 varones para cada mujer. En seguida se retiran 60 varones, quedando 2 mujeres para cada varón. Modele la ecuación que permite calcular el valor de . Resolución Sea la cantidad de mujeres que había inicialmente, entonces había Inicialmente Mujeres Hombres del cuadro A una hora dada
de donde
... (1)
En seguida
de donde de (1) y (2) ˆ
... (2)
A una hora dada
hombres En seguida
Nivelación en matemática 8.
5
[EC] En un partido de fútbol, Martín anotó la mayor cantidad de goles. Enrique anotó
goles. El producto de goles
que anotó Martín por los que anotó Carlos es: a) ¿Cuántos goles más que Enrique anotó Martín? b) ¿Cuántos goles más que Enrique anotó Carlos? c) Si la suma de los goles que anotaron Martín y Carlos es 5. ¿Cuántos goles anotó Carlos? Resolución a) Como el producto de goles que anotó Martín por los que anotó Carlos es: anotó la mayor cantidad de goles, entonces Martín anotó como Enrique anotó
goles y Carlos anotó
y como Martín goles
goles
ˆ b) Como Carlos anotó
goles y Enrique anotó
goles
ˆ c) Como Martín
anotó goles y Carlos
anotó goles, entonces
de donde ˆ
9.
[EC] La ecuación: de:
, se puede expresar en la forma:
; Calcule el valor
.
Resolución
de donde:
;
;
;
ˆ 10. [EC] Calcule el área de un rectángulo sabiendo que aumentando una de sus dimensiones en un 20% y la otra en un 30%, la superficie del rectángulo aumentó en 5 600 metros cuadrados? Resolución Sea ; las dimensiones del rectángulo, entonces el área es: si las dimensiones aumentan en un 20% y la otra en un 30% respectivamente, entonces la nueva área es:
Nivelación en matemática
6
entonces la nueva área aumentó en un 56% del área original entonces:
de donde ˆ
11. [EC] Calcule el valor de
, si la división
es exacta.
Resolución Dividiendo por el método clásico y coeficientes separados
v
como es exacta: de donde
v
entonces ˆ
12. [EC] Halle un polinomio es 4 y que al ser dividido por Resolución Como es divisible por como
se segundo grado divisible por
; sabiendo además que su primer coeficiente
el resto es 5, reconocer el menor coeficiente de
, entonces
es de segundo grado, entonces
como su primer coeficiente es 4, entonces
, de donde
, entonces ... (1)
como
el residuo es 5, entonces por teorema del resto
.
Nivelación en matemática
7
reemplazando en (1) de donde
, entonces de (1)
ˆ
13. [EC] Si al efectuar la división
, deja como residuo
Resolución Por teorema del resto
, de donde
dando forma del dividendo con base
reemplazando
para obtener el residuo
v
entonces de donde
v
ˆ
14. [EC] Si:
, Calcule:
Resolución Efectuando
de donde
ˆ
, reemplazando en
. Calcule el valor de
.
Nivelación en matemática
8
15. [EC] Factorice los siguientes polinomios: a) b) c) d) Resolución a) Factorizando el factor común monomio
factorizando por diferencia de cuadrados factorizando por diferencia de cuadrados ˆ b) Por divisores binomios, los posibles ceros son:
como se anula para
, entonces un factor es
, probando para
y el otro será el cociente
, así:
factorizando por aspa simple ˆ c)
ˆ d) Factorizando de los dos primeros términos el factor común
y de los dos últimos el factor
factorizando el factor común polinomio ˆ
16. [EC] Luego de efectuar y simplificar . Resolución Factorizando el denominador del segundo término de
se obtiene la expresión
, calcule el valor de
Nivelación en matemática
9
entonces de donde
v
ˆ
17. [EC] Luego de simplificar la fracción: Calcule el valor de
que hace que el numerador sea de igual valor numérico que el denominador.
Resolución Factorizando el numerador y denominador por aspa simple
eliminando el factor común del numerador y denominador
como el numerador es igual valor numérico del denominador, entonces
ˆ
18. [EC] Efectúe Resolución Sea
ˆ
, factorizando el denominador de la tercera fracción de
Nivelaciรณn en matemรกtica 19. [EC] Calcule
sabiendo que:
Resoluciรณn
entonces: restando las ecuaciones: ห
10