Francy Milena Rodríguez Claudia Milena Cárdenas William Ardila González
Universidad Pedagógica Nacional Licenciatura en Electrónica Bogotá D.C.
Introducción
La serie de Fourier se emplea en muchos campos en la actualidad. En nuestro caso será utilizada en el área de las Comunicaciones, en donde las funciones pueden representarse como la suma de un número infinito de funciones seno y coseno que se relacionan de manera armónica.
Se trabajara con señales periódicas tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia.
Serie Exponencial de Fourier ¿Qué es? Es una de las maneras en que se puede expresar una señal exponenciales en un intervalo determinado. ( )
en términos de componentes
¿De dónde se obtiene la serie exponencial de Fourier?
En donde:
La anterior fórmula se obtuvo a través del trabajo con las siguientes identidades trigonométricas: (1) Sustituyendo ɵ por - ɵ (2) Sumando (1) y (2) (3) Por otra parte, restando las ecuaciones (2) y (1) se tiene el resultado: (4) Suponiendo ahora que es una función periódica con periodo T y la representación en serie trigonométrica de Fourier dada por:
Donde
; Entonces
Si definimos n= -m entonces m=-n
y
Pero, segĂşn las formulas de los coeficientes de Fourier:
De igual forma
Pero
AsĂ
Ahora se define el coeficiente Cn por medio de: y Con esto tenemos que:
Esta es la representación en serie compleja de Fourier de f(t); En otras palabras, podemos expresar f(t) como una suma de exponenciales complejas. Note la forma simple de esta representación en serie. No obstante, si tuviéramos que calcular primero y con el fin de encontrar ya no sería sencillo determinar esta representación. Por fortuna, podemos deducir una fórmula para obtener directamente. Esto se hace como sigue. A partir de la definición de
Por formula de Euler tenemos:
Ejemplos sobre el uso de la serie compleja de Fourier
1. Resolver mediante la serie compleja de Fourier la siguiente se帽al:
Soluci贸n:
Sabemos que:
Si la organizamos queda de la siguiente forma:
Integramos por partes: Hallamos la pendiente:
Ahora, nuestra funci贸n f(t) es la siguiente: La ecuaci贸n de la integral por partes es la siguiente:
Ahora reemplazamos Nuestra integral queda de la siguiente forma:
Reemplazamos los límites en la primera parte de la ecuación (u*v), y también resolvemos la integral que se plantea.
Multiplicamos por “j” en el numerador y el denominador
Sabemos que:
Ahora reemplazamos límites en la integral:
Ahora reemplazamos:
Sabemos que:
Con esto nuestra ecuación queda de la siguiente forma:
Nuestra serie compleja queda de la siguiente forma:
2. Resolver mediante la serie compleja de Fourier la siguiente señal:
Solución:
Tomamos
Ahora, multiplicamos y dividimos por llamamos a este valor x
Reemplazamos los reemplazamos m:
límites,
y
también
Sabemos que sin(nπ) cuando n=1,2,3,4….=0 Entonces:
y
3. Resolver mediante la serie compleja de Fourier la siguiente seĂąal:
Llamaremos
Ahora nuestra integral queda de la siguiente forma:
La “A� la multiplicaremos al final de nuestra integral Ahora integramos por partes:
Integramos nuevamente por partes:
Pasamos la integral al otro lado de la igualdad, y factorizamos:
Multiplicamos de nuevo la “A” que teníamos al principio del ejercicio, y factorizamos:
Reemplazamos la variable “x”
Ahora reemplazamos los límites, y nuestro resultado será: