winluckybk2@gmail.com
Tell: 0938.171.920
NO PAIN NO GAIN
TABLE OF CONTENTS 1. Numbers 1.1. Place Value 1.2. Decimal Numbers 1.3. Estimating and Rounding 1.4. Adding and Subtracting Decimals 1.5. Multiplying Decimals 1.6. Dividing Decimals 1.7. Percent 1.8. Exponents 1.9. Square Roots 1.10. Signed Integers 1.11. Adding and Subtracting Integers 1.12. Multiplying and Dividing Integers 1.13. Properties of Integers 2. Ratios and Proportions 2.1. Ratios 2.2. Proportions 2.3. Distance, Rates, and Time 2.4. Similar Figures 3. Factoring 3.1. Factors and Multiples 3.2. Greatest Common Factor (GCF) 3.3.Least Common Multiple (LCM) 4. Fractions 4.1. Definitions 4.2. Reducing Fractions 4.3. Adding and Subtracting 4.4. Multiplying 4.5. Dividing 5. Tables and Formulas 5.1. Number Notation 5.2. Interest 5.3. Constants 5.4. Fraction – Decimal Conversion 5.5. Units and Measurements 5.6. Conversion
Page 1
winluckybk2@gmail.com
Tell: 0938.171.920
NO PAIN NO GAIN
Chapter 1: Numbers 1.1.
millions (hàng triệu)
hundred thousands (hàng trăm nghìn)
ten thousands (hàng chục nghìn)
thousands (hàng nghìn)
hundreds (hàng trăm)
tens (hàng chục)
ones (hàng đơn vị)
ten millions (hàng chục triệu)
hundred millions (hàng trăm triệu)
In our decimal number system, the value of a digit depends on its place, or position, in the number. Each place has a value of 10 times the place to its right. Trong hệ thập phân, giá trị của một chữ số tùy vào phần thập phân hay vị trí của nó trong số đó. Mỗi phần thập phân có giá trị gấp 10 lần phần thập phân phía bên phải nó. A number in standard form is separated into groups of three digits using commas. Each of these groups is called a period. Theo chuẩn, một số sẽ được chia thành từng nhóm gồm 3 chữ số ngăn cách nhau bởi dấu phẩy. Mỗi nhóm được gọi là một chu kỳ.
Billions (hàng tỷ)
Place Value: Hàng giá trị
0,
0
0
0,
0
0
0,
0
0
0
The idea of place value is at the heart of our number system. First, however, a symbol for nothing--our zero--had to be invented. Zero "holds the place" for a particular value, when no other digit goes in that position. For example, the number "100" in words means one hundred, no tens, and no ones. Without a symbol for nothing, our decimal number system wouldn't work. Khái niệm về hàng giá trị nằm ở trung tâm hệ thống các con số. Tuy nhiên, một ký hiệu đại diện cho giá trị không là con số 0 phải được tìm ra trước. Số 0 “nằm ở vị trí” có giá trị đặc thù mà không một chữ số nào chen vào vị trí đó được. Ví dụ: Nếu số “100” đọc bằng lời sẽ là một trăm, không chục, không đơn vị. Nếu không có ký hiệu đại diện cho giá trị không thì hệ thống số thập phân sẽ vô hiệu. Beginning with the ones place at the right, each place value is multiplied by increasing powers of 10. For example, the value of the first place on the right is "one", the value of the place to the left of it is "ten," which is 10 times 1. The place to the left of the tens place is hundreds, which is 10 times 10, and so forth. Bắt đầu bằng hàng đơn vị phía bên phải, mỗi hàng giá trị sẽ nhân với lũy tiến của lũy thừa 10. Ví dụ: Giá trị hàng đầu tiên bên phải là “1”, thì giá trị của hàng bên trái của nó là “10,” nghĩa là 10 nhân 1. Giá trị hàng bên trái của hàng chục là hàng trăm, nghĩa là 10 nhân 10, vân vân… For easier readability, commas are used to separate each group of three digits, which is called a period. When a number is written in this form, it is said to be in "standard form." Để cho dễ đọc hơn, người ta dùng dấu phẩy để tách riêng một nhóm ba chữ số, mỗi nhóm được gọi là một chu kỳ. Số được viết như thế gọi là “dạng chuẩn.” Page 2
winluckybk2@gmail.com
NO PAIN NO GAIN
Numbers can be represented in many ways, but standard form is usually the easiest and shortest way. Here are some numbers expressed in different forms, with their standard form shown alongside. Which form do you think is the best? Một số có thể được diễn đạt dưới nhiều cách khác nhau, nhưng dạng chuẩn vẫn là cách nhanh và ngắn nhất. Sau đây là vài ví dụ mà một số có thể được diễn đạt theo nhiều dạng khác nhau trong đó có dạng chuẩn. Theo bạn thì dạng nào hay nhất? Example 1: One billion, sixty million, five hundred twenty thousand: 1,060,520,000 Một tỷ, sáu mươi triệu, năm trăm hai mươi nghìn. Example 2: Four hundred sixteen thousand, seven hundred thirty-one: 416,731 Bốn trăm mười sáu nghìn, bảy trăm ba mươi mốt. Example 3: 6,000,000 + 70,000 + 20 + 1 = 6,070,021 Example 4: In each of these numbers, what value does the digit 5 have? Trong những số sau, chữ số 5 có giá trị như thế nào? In 17,526,010 the 5 represents "five hundred thousand" Trong số 17.526.010 thì số 5 đại diện cho “năm trăm nghìn.” In 2,110,735,000 the 5 represents "five thousand" Trong số 2.110.735.000 thì số 5 đại diện cho “năm nghìn.”
1.2.
Tell: 0938.171.920
Decimal Numbers: Số Thập Phân
The zero and the counting numbers (1, 2, 3,...) make up the set of whole numbers. But not every number is a whole number. Our decimal system lets us write numbers of all types and sizes, using a clever symbol called the decimal point. Số 0 và các số đếm (1, 2, 3,…) tạo nên một tập hợp các số nguyên. Nhưng, không phải số nào cũng là số nguyên. Hệ số thập phân cho phép ta viết các con số ở những dạng khác nhau bằng một ký hiệu thông minh gọi là dấu thập phân. As you move right from the decimal point, each place value is divided by 10. Khi bạn bạn di chuyển sang phải từ dấu thập phân thì hàng giá trị sẽ được chia cho 10. Decimal Point (Dấu thập phân) ↓ 2013.2012 Our decimal system of numbers lets us write numbers as large or small as we want, using a secret weapon called the decimal point. In our number system, digits can be placed to the left and right of a decimal point, to indicate numbers greater than one or less than one. The decimal point helps us to keep track of where the "ones" place is. Hệ số thập phân cho phép ta viết các con số lớn, nhỏ tùy ý bằng cách dùng “vũ khí đặc biệt” đó là dấu thập phân. Trong hệ số học, các chữ số có thể được đặt phía bên trái và phải của dấu thập phân để cho biết số đó lớn hay bé hơn 1. Dấu thập phân giúp ta biết được vị trí của “hàng đơn vị” nằm ở đâu. We can read the decimal number 127.578 as "one hundred twenty seven and five hundred seventy-eight thousandths". But in daily life, we'd usually read it as "one hundred twenty seven point five seven eight." 127
578 1000 Page 3
winluckybk2@gmail.com
1.3.
NO PAIN NO GAIN
Chúng ta có thể đọc số thập phân 127.578 như sau “một trăm hai mươi bảy và năm trăm bảy mươi tám phần nghìn.” Nhưng trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta thường đọc số này như sau “một trăm hai mươi bảy phẩy năm bảy tám.” Notice that the part to the right of the decimal point, five hundred seventy-eight thousandths, can be written as a fraction: 578 over 1000. However, you will hardly ever see a decimal number written like this. Lưu ý rằng, phần nằm bên phải dấu thập phân là năm trăm bảy mươi tám phần nghìn có thể được viết dưới dạng phân số: 578 trên 1000. Tuy nhiên, cách viết này hiếm gặp trong thực tế. You can see that our decimal code is a very handy and quick way to write a number of any sizes. Bạn có thể thấy rằng dấu thập phân rất thuận lợi và là cách nhanh để viết một số bất kỳ. Examples: Here's how to write these numbers in decimal form: Ví dụ: Sau đây là cách viết các số dưới dạng thập phân:
Tell: 0938.171.920
321.7: Three hundred twenty-one and seven tenths. 321.7: Ba trăm hai mươi mốt và bảy phần mười. 63.15 = (6 x 10) + (3 x 1) + (1 x 1/10) + (5 x 1/100): Sixty three and fifteen hundreds 63.15: Sáu mươi ba và mười lăm phần trăm 0.548: Five hundred forty-eight thousandths 0.548: Năm trăm bốn mươi tám phần nghìn 500.048: Five hundred and forty-eight thousandths 500.048: Năm trăm và bốn mươi tám phần nghìn Hint #1: Remember to read the decimal point as "and" -- notice in the last two problems what a difference that makes. Chú ý #1: Nhớ đọc dấu thập phân là “và” – hai ví dụ cuối 0.548 và 500.048 minh chứng cho sự khác biệt đó. Hint #2: When writing a decimal number that is less than 1, a zero is or is not normally used in the ones place: 0.526 or .526 Chú ý #2: Khi viết số thập phân nhỏ hơn một, bạn có thể dùng hoặc không dùng số 0 để đại diện cho hàng đơn vị: có thể viết 0.526 hoặc .526 đều được.
Estimating and Rounding Decimals:
Estimating is an important part of mathematics and a very handy tool for everyday life. Get in the habit of estimating amounts of money, lengths of time, distances, and many other physical quantities. Ước lượng là một phần quan trọng trong toán học và là công cụ thuận tiện trong cuộc sống hàng ngày. Chúng ta có thói quen ước tính số tiền, thời gian, khoảng cách, và một số đại lượng vật chất khác. Rounding off is a kind of estimating: Làm tròn số là một hình thức của ước lượng. To round off decimals: Cách làm tròn số thập phân: Find the place value you want (the "rounding digit") and look at the digit just to the right of it. Tìm hàng giá trị mà bạn muốn (chữ số cần làm tròn) và nhìn bên phải chữ số đó. Page 4
winluckybk2@gmail.com
Tell: 0938.171.920
NO PAIN NO GAIN
If that digit is less than 5, do not change the rounding digit but drop all digits to the right of it. Nếu chữ số đó nhỏ hơn 5 thì giữ nguyên chữ số cần làm tròn nhưng bỏ hết tất cả các chữ số bên phải nó. If that digit is greater than or equal to five, add one to the rounding digit and drop all digits to the right of it. Nếu chữ số đó lớn hơn hoặc bằng 5 thì cộng thêm 1 vào chữ số cần làm tròn và bỏ hết tất cả các chữ số bên phải nó. Example: Round the number 16,745.2583 to the nearest thousandth (làm tròn số 16.745,2583 lên đến hàng phần ngàn) First find the rounding digit. This is the "8". You are trying to get rid of the all the digits to the right of the 8, but you want the result to be as accurate as possible. Trước tiên tìm chữ số cần làm tròn. Đó là số 8. Bạn phải loại bỏ tất cả các chữ số nằm bên phải chữ số 8, nhưng phải đảm bảo kết quả càng chính xác càng tốt. Now look one digit to the right, at the digit in the ten-thousandths place which is "3". See that 3 is less than 5, so leave the number "8" as is, and drop the digits to the right of 8. This gives 16,745.258. Bây giờ, bạn hãy nhìn vào một chữ số bên phải số 8, đó là số 3 và vị trí của nó ở hàng chục nghìn. Nhận thấy 3 nhỏ hơn 5, vì vậy giữ nguyên số 8, và bỏ toàn bộ các chữ số bên phải số 8. Kết quả là 16.745,258. To round off whole numbers: Làm tròn số nguyên: Find the place value you want (the "rounding digit") and look to the digit just to the right of it. Tìm hàng giá trị mà bạn muốn (chữ số cần làm tròn) và nhìn vào chữ số nằm bên phải chữ số đó. If that digit is less than 5, do not change the "rounding digit" but change all digits to the right of the "rounding digit" to zero. Nếu chữ số đó nhỏ hơn 5 thì giữ nguyên chữ số cần làm tròn nhưng biến toàn bộ các chữ số bên phải của chữ số cần làm tròn thành 0. If that digit is greater than or equal to 5, add one to the rounding digit and change all digits to the right of the rounding digit to zero. Nếu chữ số đó lớn hơn hoặc bằng 5 thì cộng thêm 1 vào chữ số cần làm tròn và biến toàn bộ các chữ số bên phải của chữ số cần làm tròn thành 0. Example 1: Round 14,769.3352 to the nearest hundred (làm tròn số 14.769,3352 đến hàng trăm) Find the rounding digit, "7". Look at the digit one place to right, "6". Six is more than 5, so this number needs to be rounded up. Add one to the rounding digit and change all the rest of the digits to the right of it to zero. You can remove the decimal part of the number too. The result is 14,800. Tìm chữ số cần làm tròn, đó là số 7. Nhìn vào một chữ số bên phải của nó, đó là chữ số 6 lớn hơn 5, vì thế số 7 cần phải được làm tròn lên. Cộng thêm 1 vào số cần làm tròn và biến toàn bộ các chữ số nằm bên phải số 7 thành 0 và bỏ toàn bộ phần thập phân. Kết quả là 14.800. Example 2: Round 365 to the nearest ten (làm tròn 365 lên đến hàng chục)
Page 5
winluckybk2@gmail.com
Tell: 0938.171.920
NO PAIN NO GAIN
Find the rounding digit, "6". Look at the digit to the right of the six, "5". Since 365 is exactly halfway between 360 and 370, the two nearest multiples of ten, we need the rule to decide which way to round. The rule says you round up, so the answer is 370. Tìm chữ số cần làm tròn, đó là số 6. Nhìn vào chữ số bên phải của số 6, đó là số 5. Vì 365 là số chính giữa của 360 và 370, đó là hai bội số của 10 gần với 365 nhất, do vậy chúng ta cần tìm hiểu luật làm tròn cho trường hợp này. Theo luật thì chúng ta sẽ làm tròn lên, vậy số cần làm tròn đó là 370.
Practice: Round each number to the place that’s asked for (làm tròn các số sau theo yêu cầu đề bài.) Round 7,298 to hundreds place (Answer: 7,300) Round 345 to the tens place ( Answer: 350) Round 31,299 to the thousands place (Answer: 31,000)
1.4.
Adding and subtracting decimals: Cộng và trừ số thập phân
If you know how to add and subtract whole numbers, then you can add and subtract decimals! Just be sure to line up the terms so that all the decimal points are in a vertical line. Nếu bạn biết cách cộng trừ các số nguyên thì việc cộng trừ các số thập phân cũng tương tự, chỉ có điều hãy sắp xếp các con số và dấu thập phân thẳng hàng theo chiều dọc. Example: 356.428 +25.420 381.848 Adding decimal numbers: (Cộng số thập phân) Put the numbers in a vertical column, aligning the decimal points Sắp xếp các số theo cột dọc, nhớ canh dấu thập phân cho thẳng hàng. Add each column of digits, starting on the right and working left. If the sum of a column is more than ten, "carry" digits to the next column on the left. Cộng các chữ số từng cột lại với nhau, từ phải sang trái. Nếu tổng của một cột lớn hơn 10, thì hãy “nhớ” chữ số đó để cộng vào cột bên trái kế tiếp. Place the decimal point in the answer directly below the decimal points in the terms. Đặt dấu thập phân vào kết quả ngay bên dưới dấu thập phân của các số hạng. Subtracting decimal numbers: (trừ số thập phân) Put the numbers in a vertical column, aligning the decimal points. Sắp xếp các số theo cột dọc, nhớ canh dấu thập phân. Subtract each column, starting on the right and working left. If the digit being subtracted in a column is larger than the digit above it, "borrow" a digit from the next column to the left. Trừ theo cột từ phải sang trái. Trong từng cột, nếu chữ số bị trừ lớn hơn chữ số nằm phía trên nó, thì “mượn” thêm một từ cột bên trái kế nó. Place the decimal point in the answer directly below the decimal points in the terms. Đặt dấu thập phân vào kết quả ngay bên dưới dấu thập phân của các số hạng. Check your answer by adding the result to the number subtracted. The sum should equal the first number. Page 6
winluckybk2@gmail.com
Tell: 0938.171.920
NO PAIN NO GAIN
Kiểm tra hiệu bằng cách cộng kết quả với số bị trừ lại với nhau. Tổng phải bằng số trừ (số đầu tiên) Example: 269.702 359.123 +22.450 - 296.456 292.152 62.667
1.5. Multiplying Decimal Numbers: Nhân số thập phân
Multiply the numbers just as if they were whole numbers: Nhân số thập phân giống như nhân các số nguyên. Line up the numbers on the right - do not align the decimal points. Sắp xếp theo cột các số theo thứ tự từ bên phải – không cần canh thẳng hàng dấu thập phân. Starting on the right, multiply each digit in the top number by each digit in the bottom number, just as with whole numbers. Bắt đầu từ bên phải, nhân mỗi chữ số trên và dưới lại với nhau giống như nhân các số nguyên. Add the products. Cộng các tích lại với nhau. Place the decimal point in the answer by starting at the right and moving a number of places equal to the sum of the decimal places in both numbers multiplied. Đặt dấu thập phân vào kết quả vừa tìm được bắt đầu phía bên phải và di chuyển số phần thập phân bằng với tổng số phần thập phân của hai thừa số. Example: 25.378 (3 decimal places) x 2.12 (2 decimal places) 50756 +25378 50756 53.80136 (5 decimal places)
1.6. Dividing Decimal Numbers: Chia số thập phân
If the divisor is not a whole number: Nếu số chia không phải là số nguyên Move the decimal point in the divisor all the way to the right (to make it a whole number). Di chuyển dấu thập phân trong số chia sang bên phải (để nó trở thành số nguyên). Move the decimal point in the dividend the same number of places. Di chuyển dấu thập phân trong số bị chia cùng số phần thập phân giống số chia. Divide as usual. If the divisor doesn't go into the dividend evenly, add zeroes to the right of the last digit in the dividend and keep dividing until it comes out evenly or a repeating pattern shows up. Làm tính chia bình thường. Nếu số bị chia không chia hết cho số chia, ta thêm số 0 bên phải chữ số cuối cùng trong số bị chia và tiếp tục chia cho đến khi nó chia hết, nếu không ta vẫn lập lại bước này. Page 7
winluckybk2@gmail.com
Tell: 0938.171.920
NO PAIN NO GAIN
Position the decimal point in the result directly above the decimal point in the dividend. Đặt dấu thập phân vào kết quả vừa tìm được Check your answer by multiplying the quotient by the divisor to see if it equals the dividend. Kiểm tra lại kết quả bằng cách nhân thương với số chia xem nó có bằng số bị chia không. Example: 16.9 6.5 First show the division like this: 6.5 16.9 Trước tiên, đặt phép tính chia như
sau:
Now move the decimal point one place to the right, which makes the divisor a whole number. Also move the decimal point in the dividend one place to the right: Bắt đầu di chuyển dấu thập phân sang bên phải một chữ số để số chia trở thành số nguyên. Cũng vậy, di chuyển dấu thập phân sang bên phải một chữ số trong số bị chia. 65 169.
Divide as whole numbers. 65 goes into 169 two times with 39 left over: Làm phép chia giống như chia hai số nguyên. 169 chia cho 65 được 2 dư 39: To continue dividing, add a zero to the right of the decimal point in the dividend. Then bring down the zero, and add it to the end of 39, making it 390 Để chia tiếp, ta thêm số 0 vào bên phải dấu thập phân của số bị chia, sau đó hạ 0 xuống ngay sau số 39 để nó thành 390.
65 goes into 390 six times. We write a 6 above the zero in the quotient and put the decimal point just above the decimal point in the dividend: Lấy 390 chia 65 được 6. Viết 6 nằm trên số 0 ở trong thương số và đặt dấu thập phân ngay phía bên trên dấu thập phân trong số bị chia:
Page 8
winluckybk2@gmail.com
Tell: 0938.171.920
NO PAIN NO GAIN
To check our answer, we multiply the quotient by the divisor and make sure it equals the dividend: Để kiểm tra kết quả, ta nhân thương với số chia sao cho nó bằng số bị chia thì mới chính xác.
1.7. Percent: Phần trăm
We use the percent symbol (%) to express percent. Percents are used everywhere in real life, so you'll need to understand them well. Here are three ways to write the same thing: Chúng ta dùng ký hiệu (%) để diễn đạt phần trăm. Phần trăm được dùng ở bất cứ nơi đâu trong cuộc sống đời thường, vì thế bạn cần phải hiểu nó cho rõ. Bên dưới là 3 cách viết khác nhau nhưng cùng ý nghĩa: 15% = 15/100 = 0.15
Fifteen percent is the same as the fraction 15/100 and the decimal 0.15. They all simply mean "fifteen out of a hundred." A percent can always be written as a decimal, and a decimal can be written as a percent, like this: 15% cũng giống như 15/100 và số thập phân 0.15. Tất cả đều được hiểu đơn giản là “15 trong 100.” Phần trăm có thể được viết dưới dạng số thập phân và ngược lại: 0.85 = 85%
We can find any percent of a given number by changing the percent to a decimal and multiplying. One hundred percent of a number is just the number itself. Two hundred percent of a number is twice that number. Ta có thể tìm phần trăm của bất kì một số nào bằng cách chuyển phần trăm đó thành số thập phân rồi nhân lại với nhau. 100% của một số bất kì bằng chính số đó. 200% của một số bất kì thì gấp đôi chính số đó. 100% of 50 -> 50 200% of 50 -> 2 x 50 = 100
Example: Let's find 30 percent of 400: Tìm 30% of 400 First change 30% to a decimal by moving the decimal point 2 places to the left. Page 9
winluckybk2@gmail.com
Tell: 0938.171.920
NO PAIN NO GAIN
Trước tiên hãy chuyển 30% sang số thập phân bằng cách di chuyển dấu thập phân sang trái 2 chữ số. 30% = 0.30 Then multiply. Sau đó nhân lại với nhau 0.30 x 400 = 120
Mental Math: There's an easy way to find 10% of a number without multiplying. Just move the decimal point in the number left by one place. Let's try it with these numbers: Tính nhanh: Có 1 cách dễ để tìm 10% của một số mà không cần làm phép nhân. Chỉ cần di chuyển dấu thập phân trong số đó sang trái một chữ số. Hãy làm thử ví dụ sau: 10% of 895 = 89.5 10% of 27 = 2.7 10% of 10,411 = 1,041.1
1.8. Exponent: Lũy thừa
An exponent tells us how many times the base number is used as a factor. Một lũy thừa cho ta biết có bao nhiêu cơ số được viết dưới dạng thừa số. A base of five raised to the second power is called "five squared" and means "five times five." Một cơ số 5 có lũy thừa là 2 được gọi là 5 bình phương hay 5x5. Five raised to the third power is called "five cubed" and means "five times five times five." Một cơ số 5 có lũy thừa là 3 được gọi là 5 lập phương hay 5x5x5. The base can be any sort of number which means that a whole number, a decimal number, or a fraction can all be raised to a power. Cơ số có thể là số nguyên, số thập phân, hoặc là phân số đều lấy được lũy thừa. Here are some simple rules to use with exponents. Bên dưới là một số quy tắc khi dùng lũy thừa. a1 = a: Any number raised to the power of one equals the number itself. Bất cứ số nào có lũy thừa 1 đều bằng chính số đó. For any number a, except 0, a0 = 1: Any number raised to the power of zero, except zero, equals one. Bất cứ số nào có lũy thừa 0, ngoại trừ 0, đều bằng 1. For any numbers a, b, and c, ab x ac = ab+c: This multiplication rule tells us that we can simply add the exponents when multiplying two powers with the same base. Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số ta chỉ việc cộng các lũy thừa lại với nhau và giữ nguyên cơ số. Page 10
winluckybk2@gmail.com
Tell: 0938.171.920
NO PAIN NO GAIN
Alert: These are mistakes that students often make when dealing with exponents. Chú ý: Đây là một số lỗi học sinh thường mắc phải khi làm toán lũy thừa. Do not multiply the base and the exponent. (26 is not equal to 12, it is 64!) Không được lấy cơ số nhân với lũy thừa. (như 26 không bằng 12 mà là 64) The multiplication rule only applies to expressions with the same base. (Four squared times two cubed is not the same as 8 raised to the power two plus three.) Qui tắc nhân này chỉ áp dụng đối với lũy thừa cùng cơ số. (4 bình phương nhân 2 lập phương không bằng 8 lũy thừa của 2 cộng 3)
42 23 823 4 4 4 2 2 2 128 8 8 8 8 8 32, 768 The multiplication rule applies just to the product, not to the sum of two numbers. Qui tắc nhân này chỉ áp dụng cho tích, không áp dụng cho tổng hai số 2 2 23 2 2 3 2 2 2 2 2 12 2 2 2 2 2 32
Scientific Notation: Số khoa học What happens when you're using a calculator and your answer is too long to fit in the window? Use a calculator to multiply these 2 numbers: Chuyện gì xảy ra nếu bạn dùng máy tính để tính mà kết quả quá dài đến nỗi màn hình máy tính không chứa hết? Thử dùng máy tính bấm phép nhân 2 số sau xem: 60,000,000,000,000 x 20,000,000,000 You'll discover a short way of writing very long numbers. This is called scientific notation or E notation on a calculator ("E" stands for "Exponent"). A number written in scientific notation is written as a product of a number between 1 and 10 and a power of 10. Hãy tìm hiểu cách ngắn gọn để viết các con số dài. Cách này gọi là số khoa học hay kí hiệu E trên máy tính (“E” nghĩa là “lũy thừa”). Một số khi được viết dưới dạng số khoa học sẽ có dạng tích của một số từ 1 đến 10 với một lũy thừa 10. For example, to write 127,680,000 in scientific notation, change the number to a number between 1 and 10 by moving the decimal point 8 places to the left. Then multiply by 10 raised to the power of the number of places you had to move the decimal point. That is 108. Ví dụ: để viết 127.680.000 dưới dạng số khoa học, chuyển số đó thành một số nằm trong phạm vi từ 1 đến 10 bằng cách di chuyển dấu thập phân sang trái 8 chữ số. Sau đó nhân với 10 lũy thừa số lần bạn di chuyển dấu thập phân, trường hợp này là 108 . 127,680,000 = 1.2768 x 108
Page 11
winluckybk2@gmail.com
Tell: 0938.171.920
NO PAIN NO GAIN
On your calculator window, the base of 10 is not shown; the E means "10 raised to the following power." Trên màn hình máy tính của bạn, cơ số 10 không thể hiện; thay vào đó là E nghĩa là “10 lũy thừa.” Examples 7 x 7 x 7 x 7 = 74 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26 110 = 1 53 = 5 x 5 x 5 = 125 565,000 = 5.65 x 105 7,325,000 = 7.325 x 106 91,247,000,000 = 9.1247 x 1010
1.9. Square roots: Căn bậc hai
Many mathematical operations have an inverse, or opposite, operation. Subtraction is the opposite of addition. Division is the inverse of multiplication, and so on. Squaring, which we learned about in a previous part (exponents), has an inverse too, called "finding the square root." Remember, the square of a number is that number times itself. The perfect squares are the squares of the whole numbers: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 …are the perfect squares. Mỗi thuật toán đều có phần nghịch và đối của nó: Đối nghịch với phép trừ là phép cộng. Đối nghịch với phép chia là phép nhân, vân vân… Bình phương mà chúng ta tìm hiểu ở phần trước (lũy thừa) cũng có phần nghịch của nó gọi là “tìm căn bậc hai.” Nên nhớ, bình phương của một số bằng chính số đó nhân với nó. Số chính phương là bình phương của những số nguyên: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…là những số chính phương.
The square root of a number, n, written n is the number that gives n when multiplied by itself. For example, 100 10 since 10 x 10 = 100. Căn bậc hai của một số, n, được viết thành n là một số nào đó mà khi nhân với chính nó ra n.
Ví dụ, 100 10 vì 10 x 10 = 100. Finding square roots of numbers that aren't perfect squares without a calculator. Cách tìm căn bậc hai của một số không phải là số chính phương mà không cần dùng máy tính. Step1: Estimate, get as close as you can by finding two perfect square roots your number is between. Page 12
winluckybk2@gmail.com
Tell: 0938.171.920
NO PAIN NO GAIN
Trước tiên đoán xem số bạn cần tìm nó nằm giữa căn bậc hai của hai số chính phương nào. Step 2: divide your number by one of those perfect square roots. Chia số đó cho một trong hai căn bậc hai của hai số chính phương. Step 3: take the average of the result of step 2 and the perfect square root of the step 2. Lấy trung bình cộng của kết quả vừa tìm được ở bước 2 với căn bậc hai của số chính phương đã dùng trong bước 2. Step 4: Use the result of step 3 to repeat steps 2 and 3 until you have a number that is accurate enough for you. Dùng kết quả ở bước 3 để lập lại bước 2 và 3 cho đến khi đạt được một kết quả thật chính xác.
Example: Calculate the square root of 10 ( 10 ) to 2 decimal places.
Ví dụ: Tìm căn bậc hai của 10 ( 10 ), làm tròn đến hai chữ số thập phân. Find the two perfect square numbers it lies between. Tìm hai số chính phương mà số 10 nằm giữa. Solution: 32 = 9 and 42 = 16, so 10 lies between 3 and 4.
Giải: 32 = 9 và 42 = 16, vì thế 10 nằm giữa 3 và 4. Divide 10 by 3, we get 10/3 = 3.33 (you can round off your answer) Chia 10 cho 3, ta được 10/3 = 3,33 (làm tròn số) Average 3.33 and 3, we get (3.33 + 3)/2 = 3.1667 Lấy trung bình của 3,33 và 3, ta được (3,33 + 3)/2 = 3,1667 Repeat step 2: we get, 10/3.1667 = 3.1579. Lập lại bước 2: Ta có 10/3,1667 = 3,1579. Repeat step 3: Average 3.1579 and 3.1667, we get (3.1579 + 3.1667)/2 = 3.1623. Lập lại bước 3: lấy trung bình của 3,1579 và 3,1667, ta được (3,1579 + 3,1667)/2 = 3,1623.
Try the answer to see if 3.1623 squared equal to 10? 3.1623 x 3.1623 = 10.0001 Thử kết quả xem 3,1623 bình phương lên có bằng 10 hay không? 3,1623 x 3,1623 = 10,0001 If this is accurate enough for you, you can stop! Otherwise, you can repeat steps 2 and 3. Nếu bạn cảm thấy kết quả này khá chính xác thì bạn có thể dừng tính toán. Còn không, bạn có thể lập lại hai bước 2 và 3.
1.10. Signed Integer: Số nguyên (âm & dương)
An integer (âm & dương) is a whole number that can be either greater than 0, called positive, or less than 0, called negative. Zero is neither positive nor negative. Số nguyên là những số lớn hơn 0, gọi là số nguyên dương, hoặc bé hơn 0, gọi là số nguyên âm. Số 0 không phải là số nguyên dương, cũng không là số nguyên âm. Two integers that are the same distance from zero in opposite directions are called opposites. Page 13
winluckybk2@gmail.com
Tell: 0938.171.920
NO PAIN NO GAIN
Hai số nguyên có cùng khoảng cách tính từ số 0 mà ở vị trí đối nhau được gọi là hai số đối nhau. Every integer on the number line has an absolute value, which is its distance from zero. Mỗi số nguyên trên trục số đều có giá trị tuyệt đối bằng với khoảng cách từ nó đến số 0. You can visualize positive and negative integers using the number line. Bạn có thể nhận rõ số nguyên dương và số nguyên âm bằng cách dùng trục số.
The arrows on each end of the number line show us that the line stretches to infinity in both the negative and positive direction. We don't have to include a positive sign (+) when we write positive numbers. However, we do have to include the negative sign (-) when we write negative numbers. Zero is called the origin, and it's neither negative nor positive. Mũi tên ở hai đầu trục số cho ta biết rằng trục số có thể kéo dài vô tận ở hai chiều âm lẫn dương. Chúng ta không phải thêm dấu (+) khi viết một số nguyên dương. Tuy nhiên, chúng ta buộc phải thêm dấu trừ khi viết một số nguyên âm. Số 0 được gọi là gốc và nó không là số nguyên dương cũng không là số nguyên âm. For every positive integer, there's a negative integer an equal distance from the origin. Two integers that lie the same distance from the origin in opposite directions are called opposites. For example, "negative 5" is the opposite of "positive 5." Đối với mỗi số nguyên dương, có một số nguyên âm tương ứng cách đều số 0. Hai số nguyên có cùng khoảng cách với số 0 nhưng nằm ngược hướng được gọi là hai số đối nhau. Ví dụ: “âm 5” là số đối của “dương 5.” Every number on the number line also has an absolute value, which simply means how far that number is from zero. The symbol for absolute value is two vertical lines. Since opposites are the same distance from the origin, they have the same absolute value. For example, the absolute value of "negative 10" is ten and the absolute value of "positive 10" is also 10. The absolute value of zero is zero. Mọi số nằm trên trục số đều có giá trị tuyệt đối, hiểu đơn giản là nó cách số 0 bao xa. Kí hiệu của giá trị tuyệt đối là hai gạch đứng (| |). Vì hai số đối nhau có cùng khoảng cách với số 0, nên giá trị tuyệt đối của chúng bằng nhau. Ví dụ, giá trị tuyệt đối của “dương 10” là 10 và của “âm 10” cũng là 10.
|10 || 10 | 10
Examples
2 is less than 5 because 2 lies to the left of 5 2 bé hơn 5 vì 2 nằm bên trái của 5 -1 is greater than -3 because -1 lies to the right of -3 -1 lớn hơn -3 vì -1 nằm bên phải của -3 -4 is less than 1 because -4 lies to the left of 1 -4 nhỏ hơn 1 vì -4 nằm bên trái của 1 6 is greater than -2 becaus 6 lies to the right of -2 Page 14
winluckybk2@gmail.com
Tell: 0938.171.920
NO PAIN NO GAIN
6 lớn hơn -2 vì 6 nằm bên phải của -2
Which is greater: | 31| or |13 | ? Số nào lớn hơn: | 31| or |13 | ?
| 31| 31 because the absolute value of a negative number is its opposite. | 31| 31 vì trị tuyệt đối của một số âm là số đối của nó. |13 | 13 because the absolute value of a positive number is itself. |13 | 13 vì trị tuyệt đối của một số dương là chính nó.
31 is greater than 13 Vậy 31 lớn hơn 13
1.11. Adding and Substracting Integers: Cộng trừ số nguyên
We can use the number line as a model to help us visualize adding and subtracting of signed integers. Just think of addition and subtraction as directions on the number line. There are also several rules and properties that define how to perform these basic operations. Ta có thể dùng trục số để hình dung ra phép cộng và trừ các số nguyên. Hãy tưởng tượng phép cộng và trừ là hướng đi trên trục số. Có một số qui tắc và tính chất nêu cách thực hiện phép những tính này. To add integers having the same sign, keep the same sign and add the absolute value of each number. Để cộng hai số cùng dấu, ta giữ nguyên dấu rồi cộng các giá trị tuyệt đối lại với nhau. To add integers with different signs, keep the sign of the number with the largest absolute value and subtract the smallest absolute value from the largest. Để cộng hai số trái dấu, ta giữ nguyên dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn rồi lấy giá trị tuyệt đối của số lớn trừ cho giá trị tuyệt đối của số bé. Subtract an integer by adding its opposite. Trừ một số nguyên bằng cách cộng số đối của nó. Watch out! The negative of a negative is the opposite positive number. That is, for real numbers: -(-a) = +a Chú ý! Số đối của một số nguyên âm là một số đối nguyên dương. Với mọi số thực ta có: -(-a)=+a
Here's how to add two positive integers: Đây là cách cộng hai số nguyên dương: 4 + 7 =?
Page 15
winluckybk2@gmail.com
Tell: 0938.171.920
NO PAIN NO GAIN
If you start at positive four on the number line and move seven units to the right, you end up at positive eleven. Nếu bạn bắt đầu từ số nguyên dương 4 trên trục số và di chuyển 7 đơn vị sang bên phải, bạn sẽ dừng ở vị trí số nguyên dương 11. Also, these integers have the same sign, so you can just keep the sign and add their absolute values, to get the same answer, positive eleven. Cách khác, vì hai số nguyên này có cùng dấu, do vậy bạn có thể giữ nguyên dấu và cộng các giá trị tuyệt đối lại với nhau để có cùng kết quả là +11.
Here's how to add two negative integers: Đây là cách cộng hai số nguyên âm: -4 + (-8) =? If you start at negative four on the number line and move eight units to the left, you end up at negative twelve. Nếu bạn bắt đầu từ số -4 trên trục số và di chuyển sang trái 8 đơn vị, bạn sẽ dừng ở vị trí (-12.) Also, these integers have the same sign, so you can just keep the negative sign and add their absolute values, to get the same answer, negative twelve. Cách khác, hai số nguyên này có cùng dấu, vì thế bạn chỉ việc giữ nguyên dấu âm và cộng các giá trị tuyệt đối lại với nhau để có cùng kết quả là -12.
Here's how to add a positive integer to a negative integer: Đây là cách cộng một số nguyên dương với một số nguyên âm: -3 + 6 =? If you start at negative three on the real number line and move six units to the right, you end up at positive three. Nếu bạn bắt đầu bằng -3 trên trục số thực và di chuyển sang phải 6 đơn vị, bạn sẽ dừng ở vị trí +3. Also, these integers have different signs, so keep the sign from the integer having the greatest absolute value and subtract the smallest absolute value from the largest. Subtract three from six and keep the positive sign, again giving positive three. Cách khác, vì các số nguyên này trái dấu, nên bạn hãy giữ nguyên dấu của số có trị tuyệt đối lớn hơn sau đó lấy số có giá trị tuyệt đối lớn trừ cho số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn. Lấy 6 trừ cho 3 và giữ nguyên dấu dương, kết quả là +3.
Here's how to add a negative integer to a positive integer: Đây là cách cộng một số nguyên âm với một số nguyên dương: 5 + (-8) =? If you start at positive five on the real number line and move eight units to the left, you end up at negative three. Nếu bạn bắt đầu bằng số +5 trên trục số thực và di chuyển sang trái 8 đơn vị, bạn sẽ dừng ở vị trí -3. Also, these integers have different signs, so keep the sign from the integer having the greatest absolute value and subtract the smallest absolute value from the largest, or subtract five from eight and keep the negative sign, again giving negative three.
Page 16
winluckybk2@gmail.com
Tell: 0938.171.920
NO PAIN NO GAIN
Cách khác, vì hai số nguyên này trái dấu, do vậy bạn hãy giữ nguyên dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn sau đó lấy số có giá trị tuyệt đối lớn hơn trừ cho số có giá trị tuyệt đối bé hơn, hay nói cách khác, lấy 8-5 và giữ nguyên dấu âm, kết quả là -3.
1.12. Multiplying and Dividing Integers: Nhân chia số nguyên
You multiply or divide integers just as you do whole numbers, except you must keep track of the signs. To multiply or divide signed integers, always multiply or divide the absolute values and use these rules to determine the sign of the answer. Nhân chia số nguyên (âm & dương) cũng giống nhân chia số nguyên, chỉ khác là bạn phải chú ý đến dấu. Để nhân chia số nguyên, luôn luôn nhân chia giá trị tuyệt đối của chúng với nhau và áp dụng luật lấy dấu. When you multiply two integers with the same signs, the result is always positive. Just multiply the absolute values and make the answer positive. Khi nhân hai số nguyên cùng dấu, kết quả luôn là số nguyên dương. Ta chỉ nhân hai giá trị tuyệt đối của chúng lại với nhau và lấy kết quả dương. Positive x positive = positive Negative x negative = positive
When you multiply two integers with different signs, the result is always negative. Just multiply the absolute values and make the answer negative. Khi nhân hai số nguyên khác dấu, kết quả luôn là số nguyên âm. Ta chỉ nhân hai giá trị tuyệt đối của chúng lại với nhau và lấy kết quả âm. Positive x negative = negative Negative x positive = negative
When you divide two integers with the same sign, the result is always positive. Just divide the absolute values and make the answer positive. Khi chia hai số nguyên cùng dấu, kết quả luôn là số nguyên dương. Ta chỉ chia hai giá trị tuyệt đối của chúng cho nhau và lấy kết quả dương. Positive ÷ positive = positive Negative ÷ negative = positive
When you divide two integers with different signs, the result is always negative. Just divide the absolute values and make the answer negative. Khi chia hai số nguyên khác dấu, kết quả luôn là số nguyên âm. Ta chỉ chia hai giá trị tuyệt đối của chúng cho nhau và lấy kết quả âm. Positive ÷ negative = negative Negative ÷ positive = negative
Examples Page 17
winluckybk2@gmail.com
Tell: 0938.171.920
NO PAIN NO GAIN
6 2 (| 6 | | 2 |) (6 2) 12 12 6 2 (| 6 | | 2 |) (6 2) 12 6 2 (| 6 | | 2 |) (6 2) 3 3 6 2 (| 6 | | 2 |) (6 2) 3
1.13. Properties of Integers: Tính chất của số nguyên
The same familiar properties of whole numbers also apply to integers. Tính chất của số nguyên cũng giống như tính chất của số tự nhiên. Commutative property of addition: A+B=B+A Tính chất giao hoán của phép cộng Commutative property of multiplication AB=BA Tính chất giao hoán của phép nhân Associative property of addition A+(B+C)=(A+B)+C Tính chất kết hợp của phép cộng Associative property of muliplication A.(B.C)=(A.B).C Tính chất kết hợp của phép nhân Distributive property A(B+C)=AB+AC Tính chất phân phối
Commutative property of addition: we can add numbers in any order. You can remember the commutative property by thinking of the numbers "commuting," or changing places. The example shows us that "negative two plus positive four" is the same as "positive four plus negative two." Tính chất giao hoán của phép cộng: Chúng ta có thể cộng các con số không cần theo trật tự. Bạn chỉ cần nhớ tính chất giao hoán là thay đổi vị trí các con số. Ví dụ sau cho ta thấy “âm hai cộng bốn” cũng giống như “bốn cộng âm hai” -2 + 4 = 4 + (-2) = 2
Commutative property of multiplication is very similar. It says that we can multiply numbers in any order we want without changing the result. The example shows us that "negative two times positive four" is the same as "positive four times negative two." Tính chất giao hoán của phép nhân cũng tương tự. Chúng ta cũng nhân các con số lại với nhau không cần theo trật tự mà vẫn không thay đổi kết quả. Ví dụ sau cho ta thấy “âm hai nhân dương bốn” cũng giống như “dương bốn nhân âm hai.” -2(4) = 4(-2) = -8 Page 18
winluckybk2@gmail.com
Tell: 0938.171.920
NO PAIN NO GAIN
The associative property of addition tells us that we can group numbers in a sum in any way we want and still get the same answer. The example shows us that we can either add "negative two and positive four" together and then add that sum to positive three to get the final answer, or we can add "positive four and positive three" together first and then add that sum to negative two to get the final answer. The answer will be the same no matter which way we do. Tính chất kết hợp của phép cộng: chúng ta có nhiều cách để nhóm các số lại thành một tổng nhưng vẫn tính ra cùng kết quả. Ví dụ sau cho ta thấy chúng ta có thể cộng “âm hai và dương bốn” với nhau sau đó lấy tổng đó cộng với dương ba để ra kết quả cuối cùng, hoặc chúng ta có thể cộng “dương bốn và dương ba” với nhau trước sau đó lấy tổng đó cộng với âm hai để ra kết quả cuối cùng. Kết quả luôn bằng nhau cho dù chúng ta làm theo hai cách khác nhau. (-2 + 4) + 3 = -2 + (4 + 3) = 5
The associative property of multiplication tells us that we can group numbers in a product in any way we want and still get the same answer. The example shows us that we can either multiply "negative two and positive four" together and then multiply that product by positive three to get the final answer, or we can multiply "positive four and positive three" together first and then multiply that product by negative two to get the final answer. The answer will be the same no matter which way we do. Tính chất kết hợp của phép nhân nói rằng chúng ta có thể nhóm các số trong một tích bằng nhiều cách nhưng vẫn ra chung một đáp án. Ví dụ sau cho ta thấy chúng ta có thể nhân “âm hai và dương bốn” lại với nhau sau đó lấy tích vừa tìm được nhân với dương ba để ra kết quả cuối cùng, hoặc có thể nhân “dương bốn và dương ba” lại với nhau trước sau đó lấy kết quả vừ tim được nhân với âm hai để ra kết quả cuối cùng. Kết quả luôn giống nhau cho dù chúng ta làm bằng cách nào đi nữa. -2(4) x 3 = -2(4 x 3) = -24
The distributive property comes into play when an expression involving addition is then multiplied by something. It tells us that we can add first and then multiply, or multiply first and then add. Either way, the multiplication is "distributed" over all the terms inside the parentheses. In the example, we can either add the numbers inside the parentheses first (4+3) and then multiply the result by -2; or, we can multiply the -2 by each term separately and then add the two products together. The answer is the same in both cases. Tính chất phân phối được áp dụng khi có một biểu thức cộng nhân với một số nào đó. Chúng ta có thể cộng trước và nhân sau, hoặc nhân trước cộng sau. Bằng hai cách, phép nhân được phân phối cho toàn biểu thức trong dấu ngoặc. Trong ví dụ sau, chúng ta có thể cộng các số trong dấu ngoặc trước rồi nhân kết quả với -2; hoặc, chúng ta có thể nhân -2 với từng số hạng sau đó cộng các tích lại với nhau. Cả hai cách đều cho kết quả giống nhau. -2(4 + 3) = (-2 x 4) + (-2 x 3) = -14
---The End--Page 19
1. Logic ∃
there exists
p⇒q
p implies q / if p, then q
∀
p⇔q
for all p if and only if q /p is equivalent to q / p and q are equivalent
2. Sets x∈A
x belongs to A / x is an element (or a member) of A
x∈ /A
x does not belong to A / x is not an element (or a member) of A
A⊃B
A contains B / B is a subset of A
A⊂B
A is contained in B / A is a subset of B
A∩B
A cap B / A meet B / A intersection B
A\B
A minus B / the difference between A and B
A∪B
A cup B / A join B / A union B
A×B
A cross B / the cartesian product of A and B
3. Real numbers
x4
x to the fourth / x to the power four
x+1
x plus one
xn
x to the nth / x to the power n
x−1
x minus one
x−n √ x √ 3 x √ 4 x √ n x
x to the (power) minus n
x±1
x plus or minus one
xy
xy / x multiplied by y
(x − y)(x + y) x y
x minus y, x plus y
=
the equals sign
x=5
x equals 5 / x is equal to 5
x 6= 5
x (is) not equal to 5
x≡y
x over y
(x + y)2 ³ x ´2 y
n!
(square) root x / the square root of x cube root (of) x fourth root (of) x nth root (of) x x plus y all squared x over y all squared n factorial
x is equivalent to (or identical with) y
x 6≡ y
x is not equivalent to (or identical with) y
x>y
x is greater than y
x≥y
x is greater than or equal to y
x<y
x is less than y
x≤y
x is less than or equal to y
0<x<1
zero is less than x is less than 1
0≤x≤1
zero is less than or equal to x is less than or equal to 1
|x|
mod x / modulus x
x2
x squared / x (raised) to the power 2
x3
x cubed