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2016 POLINOMIO Y ALGEBRAICA

WIULFER JESUS SUAREZ LEAL CI: 27.008.160 AÑO:5T° Sección AF

Polinomio Una expresión matemática constituida por un

conjunto

finito

determinadas o

de variables (no desconocidas)

y constantes (números

fijos

llamados

coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: Tiempo polinómico

Algebraica un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (llamadas coeficientes), con las operaciones aritméticas de

suma,

resta

y

multiplicación,

así

como

también

exponentes enteros positivos. Pueden ser de una o de varias variables.

Polinomios especiales Polinomios completos: es aquel polinomio que tienes todos sus grados en forma consecutiva desde la mayor hasta el cero o viceversa o en forma desordenada.

Polinomios homogéneos: son aquellos que constan de términos monomios tienen igual grado.

Polinomios heterogéneos: es aquel polinomio que consta de una variable llamada ordenatriz la cual los exponentes de dicha variable van aumentando o disminuyendo según sus grados.

Polinomios idénticos: son aquellos polinomios que tienen igual coeficiente y parte literal.

Polinomios idénticamente nulos: es aquel polinomio que tiene como coeficientes de todos sus términos el 0.

Polinomios de una variable Para a0, …, an constantes

en

algún anillo A (en

podemos tomar un cuerpo, como

o

particular

, en cuyo caso los

coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y

, entonces un polinomio

de grado n en la

variable x es un objeto de la forma

Un polinomio matemática finita

no es más que una sucesión tal que

.

Representado como:

el polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como:

Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a an, el coeficiente principal.

Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.

Polinomios de varias variables Como ejemplo de polinomios de dos variables, desarrollando los binomios: (2)

Estos

polinomios

son

mónicos, homogéneos, simétricos y

sus

coeficientes

son coeficientes binomiales Para obtener la expansión de las potencias de una resta (véase productos notables), basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:

En detalle el último de ellos

es un monomio de tres variables (ya

que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y zrespectivamente.

Grado de un polinomio Se define el grado de un monomio como el exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.

Ejemplos

P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).

P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.

P(x) = 3x² + 2x, polinomio de grado dos.

P(x) = 2x3+ 3x + 2, polinomio de grado tres.

P(x) = 4x4+ 4x + 2, polinomio de grado cuatro.

P(x) = 2x5+ 3x + 1, polinomio de grado cinco.

Operaciones con polinomio Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes.

Ejemplo

Sean los polinomios:

y

, entonces

el producto es:

Para poder realizar eficazmente la operación se tiene que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:

Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:

Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios

y

y el polinomio producto

:

(*) Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que

(junto con la operación

) por lo que la expresión puede extenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulo.

Funciones polinómicas Una función polinómica es una función matemática expresada mediante un polinomio.

Dado un polinomio P[x] se puede definir una función polinómica asociada al polinomio dado substituyendo la variable x por un elemento del anillo: Ejemplo

Factorización de polinomio En un anillo conmutativo

una condición necesaria para que un monomio sea un factor

de un polinomio de grado n > 1, es que el término independiente del polinomio sea divisible por la raíz del monomio:

Necesariamente

divide a

En caso de que el polinomio no tenga término independiente se sacará la incógnita como factor común y ya está factorizado. También se puede factorizar usando las igualdades notables.

Un polinomio factoriza dependiendo del anillo sobre el cual se considere la factorización, por ejemplo el binomio

no factoriza sobre

pero sí factoriza

no factoriza ni sobre , ni tampoco sobre

aunque factoriza

sobre :

Por otra parte sobre :

Un cuerpo en el que todo polinomio no constante factoriza en monomios es un cuerpo algebraicamente cerrado

Grado relativo

es el exponente que tiene una variable.

Ejemplo 4a3b2 --> a con exponente 3 y b con exponente 2 El grado relativo será el exponente que afecta a cada letra.

GR(a) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3) y el GR(b) = 2 (el Grado Relativo con respecto a la letra b es 2) Otros ejemplo para poder entender: x5y3z --> (x) con exponente 5, (y) con exponente 3, (z) con exponente 1.

GR(x) = 5 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 5) GR(y) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3) GR(z) = 1 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 1)

Grado absoluto: es la suma de todos los grados relativos, exponentes o letras de cada variable.

Ejemplo:

4a3b2 --> a con exponente 3; y b con exponente 2. Entonces: GA = 3 +2 = 5 (el Grado Absoluto es 5) Qué es la Regla de Ruffini Es una regla para hacer la división entre polinomios, usando solamente los coeficientes del dividendo y el término independiente del divisor. El divisor debe ser un polinomio de grado 1, con coeficiente principal igual a 1 y con término independiente distinto de cero, por ejemplo: (x + 3), (x - 2/3), (x + 1), etc. Se obtienen los coeficientes del cociente (resultado) de la división, y el resto.

Para aplicar correctamente la regla se deben usar los coeficientes del dividendo completo y ordenado de mayor a menor grado). Y al término independiente del divisor se le debe cambiar el signo (se usa el opuesto). Por ejemplo: A = 2x - 4x3 + 5 B=x+1 A:B = El dividendo es el polinomio A. Lo completo y ordeno de mayor a menor grado: -4x3 + 0x2 - 2x + 5 Los coeficientes que hay que usar en la Regla de Ruffini son: -4 0 -2 5 El divisor es el polinomio B: (x + 1). El término independiente es 1. En la Regla de Ruffini hay que usar el opuesto de 1, que es: -1 Y se ubican así:

-4

0

-2

5

-1 |______________________ En la EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1, y demás explicaciones se puede ver el procedimiento paso por paso para encontrar el cociente y el resto de la división. ¿Se puede aplicar la Regla de Ruffini si el divisor tiene coeficiente principal distinto de 1?

Si el divisor tiene un número multiplicando a la "x" (coeficiente principal distinto de 1), por ejemplo: (2x + 5) Se puede aplicar la regla de Ruffini si se previamente se multiplica al divisor por un número para quitarle el coeficiente, y al dividendo se lo multiplica por el mismo número.

Luego se dividen los dos nuevos polinomios y el cociente que se obtiene es el mismo, y al resto al que dividirlo por ese número.

Se puede aplicar la Regla de Ruffini si el divisor tiene la "x" negativa?

Si la "x" ó la indeterminada del divisor es negativa, por ejemplo en: (3 - x) El coeficiente principal es -1, ya que (3 - x) es igual a: (-1x + 3) Entonces estamos ante un caso como el que mostré en la pregunta anterior: hay un número multiplicando a la "x". Por lo tanto se puede usar el mismo procedimiento que allí comenté: multiplicar al divisor por un número que haga desaparecer al -1 (que será -1), y al dividendo por ese mismo número.

Raíces de un polinomio

Son números tales que hacen que un polinomio valga cero. Podemos decir también que las raíces enteras de un polinomio de coeficientes enteros serán divisores del término independiente. Cuando resolvemos un polinomio igualándolo a cero obtenemos como soluciones las raíces del polinomio. Como propiedades de las raíces y factores de los polinomios podemos decir que los ceros o raíces de un polinomio son por los divisores del término independiente pertenecientes al polinomio. Entonces a cada raíz por ejemplo del tipo x = a le correspondería un binomio del tipo (x-a). Se puede expresar un polinomio en factores si lo escribimos como producto de todos los binomios que tengamos del tipo (xa) que sean correspondientes a las raíces, x=a, que obtengamos.

Ejemplo:

Inecuaciones

Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales. Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

Ejemplo: Resolver la inecuación: x – 2 < 3x – 6 Método 1: Primero sumemos –3x a ambos lados x – 3x – 2 < – 6 sumemos 2 en ambos lados x – 3x < 2 – 6 multipliquemos por -1/2 a ambos lados. La desigualdad cambia en virtud de la propiedad 3 -2x < -4 x>2

Observa que el signo cambió pues se multiplicó por un número negativo.

Método 2: x – 2 < 3x – 6 Conviene dejar la incógnita positiva, por tanto restaremos x a ambos lados -2 < 3x – x – 6 Sumamos 6 en ambos lados -2 < 2x – 6 Intervalos e inecuaciones lineales Los intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden representar gráficamente en la recta numérica por un trazo o una semirrecta.

Existen intervalos abiertos, en los que no se incluyen los extremos; cerrados en los que se incluyen los extremos, y por último aquellos en que se combinan ambos.

Para representarlos se utiliza una circunferencia vacía en el extremo, si este no se incluye, o rellena si se incluye.

La simbología que se utiliza en los casos abiertos (que no incluyen al extremo) son el signo < o >; y para los casos cerrados (que incluyen al extremo) son el signo igual).

(mayor o igual, o menor o

Por otra parte, los intervalos se pueden representar en forma de conjunto o con corchetes: Ejemplo: Todos los reales comprendidos entre a y b, sin incluir a, ni b.

Todos los reales mayores que a, sin incluir a.

Todos los reales entre m y n, incluyendo a m y no incluyendo a n.

Propiedades de las desigualdades 1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados: a<b

/±c

a±c<b±c Ejemplo /–2

2 + x > 16 x > 14

2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:

/ • c (c > 0)

a<b a•c<b•c

a>b

/ • c (c > 0)

a•c>b•c Ejemplo 3

5 • x / :5

3/5

x

esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5

Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:

a<b a•c>b•c

a > b / • c (c < 0) a•c<b•c

/ • c (c < 0)

Ejemplo 15 – 3• x - 3• x

39

/ -15

39 – 15

/: -3

x

24: (-3)

x

- 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que -8.

BibliografĂ­as

http://matematicasmodernas.com/polinomios-de-una-variable/