Высшая математика by x-Uni

ÐÎÑÑÈÉÑÊÀß ÀÊÀÄÅÌÈß ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÍÎÓ ÂÏÎ «ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÏÑÈÕÎËÎÃÎ-ÑÎÖÈÀËÜÍÛÉ ÈÍÑÒÈÒÓÒ»

Ê.Â. Áàëäèí, Â.Í. Áàøëûêîâ, À.Â. Ðóêîñóåâ

ÂÛÑØÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ Ó÷åáíèê Ïîä îáùåé ðåäàêöèåé äîêòîðà ýêîíîìè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîðà Ê.Â. Áàëäèíà Ðåêîìåíäîâàíî Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèì Ñîâåòîì Ðîññèéñêîé àêàäåìèè îáðàçîâàíèÿ ê èñïîëüçîâàíèþ â êà÷åñòâå ó÷åáíèêà

Ìîñêâà Èçäàòåëüñòâî «Ôëèíòà» ÍÎÓ ÂÏÎ «ÌÏÑÈ» 2010

ÓÄÊ 519.6(075.8) ÁÁÊ 22.1ÿ73 Á20 Ã ë à â í û é ð å ä à ê ò î ð ä-ð ïñèõ. í., ïðîô., àêàä. ÐÀÎ Ç à ì. ã ë à â í î ã î ð å ä à ê ò î ð à ä-ð ïñèõ. í., ïðîô., àêàä. ÐÀÎ × ë å í û ð å ä à ê ö è î í í î é ê î ë ë å ã è è: ä-ð ïñèõ. í., ïðîô., àêàä. ÐÀÎ ; ä-ð ïåä. í., ÷ëåí-êîðð. ÐÀÎ ; ä-ð ïñèõ. í., ïðîô., àêàä. ÐÀÎ ; ä-ð ïñèõ. í., ïðîô., àêàä. ÐÀÎ ; ä-ð ïñèõ. í., ïðîô., àêàä. ÐÀÎ ; ä-ð ïñèõ. í., ïðîô. ; ä-ð ôèëîë. í., ïðîô., àêàä. ÐÀÎ ; ä-ð ïåä. í., ïðîô., àêàä. ÐÀÎ ; ä-ð ôèç.-ìàò. í., ïðîô., àêàä. ÐÀÎ ; ä-ð ïåä. í., ïðîô., àêàä. ÐÀÎ ; ä-ð ïñèõ. í., ïðîô., àêàä. ÐÀÎ ; ä-ð ïåä. í., ïðîô., àêàä. ÐÀÎ ; ä-ð èñò. í., ïðîô. Áàëäèí Ê.Â. Ä.È. Ôåëüäøòåéí

Ñ.Ê. Áîíäûðåâà

Ø.À. Àìîíàøâèëè

Â.À. Áîëîòîâ

À.À. Äåðêà÷

À.È. Äîíöîâ

È.Â. Äóáðîâèíà

Â.Ï. Çèí÷åíêî

Â.Ã. Êîñòîìàðîâ

Í.Í. Ìàëîôååâ

Â.Ë. Ìàòðîñîâ

Í.Ä. Íèêàíäðîâ

Â.Â. Ðóáöîâ

Ì.Â. Ðûæàêîâ

Á20

Ý.Â. Ñàéêî

Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà : ó÷åáíèê / Ê.Â. Áàëäèí, Â.Í. Áàøëûêîâ, À.Â. Ðóêîñóåâ. Ì. : Ôëèíòà : ÍÎÓ ÂÏÎ «ÌÏÑÈ», 2010. 360 ñ. ISBN 978-5-9765-0299-4 (Ôëèíòà) ISBN 978-5-9770-0376-6 (ÍÎÓ ÂÏÎ «ÌÏÑÈ»)

Ó÷åáíèê ñîäåðæèò ñèñòåìàòèçèðîâàííîå èçëîæåíèå ìåòîäîëîãè÷åñêèõ îñíîâ ìàòåìàòèêè. Â íåì ðàññìîòðåíû ïðàêòè÷åñêè âñå àñïåêòû äèñöèïëèíû «Ìàòåìàòèêà». Ó÷åáíèê ñîîòâåòñòâóåò ãîñóäàðñòâåííîìó îáðàçîâàòåëüíîìó ñòàíäàðòó âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ è ó÷åáíîé ïðîãðàììû ïî ñïåöèàëüíîñòÿì: «Ïñèõîëîãèÿ», «Ëèíãâèñòèêà è ìåæêóëüòóðíûå êîììóíèêàöèè», «Þðèñïðóäåíöèÿ», «Ôèëîñîôèÿ» è «Ìåíåäæìåíò». Â ó÷åáíèê âêëþ÷åíû ïðèêëàäíûå íàðàáîòêè àâòîðîâ ïî ìàòåìàòèêå, ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ êëàññè÷åñêèõ ìåòîäîâ è çàäàíèé äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû îáó÷àåìûõ. Äëÿ ñòóäåíòîâ ãóìàíèòàðíûõ ñïåöèàëüíîñòåé, àñïèðàíòîâ è ïðåïîäàâàòåëåé, à òàêæå äëÿ íàó÷íûõ ñîòðóäíèêîâ, ïðåäïðèíèìàòåëåé, ìåíåäæåðîâ è ðóêîâîäèòåëåé ôèðì. ÓÄÊ 519.6(075.8) ÁÁÊ 22.1ÿ73 ISBN 978-5-9765-0299-4 (Ôëèíòà) ISBN 978-5-9770-0376-6 (ÍÎÓ ÂÏÎ «ÌÏÑÈ»)

Îãëàâëåíèå Ââåäåíèå .................................................................................................. 5 1. ÎÑÍÎÂÛ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ ................................... 8 1.1. Îñíîâû òåîðèè ìíîæåñòâ ............................................................. 8 1.2. Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðèêè .......................................................... 21 1.3. Îñíîâû òåîðèè ãðàôîâ ............................................................... 25 1.4. Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ èç ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè ...................... 60 Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè ..................................................................... 68 2. ÝËÅÌÅÍÒÛ ËÈÍÅÉÍÎÉ È ÂÅÊÒÎÐÍÎÉ ÀËÃÅÁÐÛ .............. 69 2.1. Ìàòðèöû, îïðåäåëèòåëè è èõ ñâîéñòâà ...................................... 69 2.2. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ........................ 86 2.3. Ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèö, êâàäðàòè÷íûå ôîðìû ................................................................. 95 2.4. Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ î âåêòîðàõ ............................................... 105 Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè .................................................................... 119 3. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÏÐÅÄÅËÛ.............................................................. 121 3.1. Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ î ôóíêöèÿõ ............................................. 121 3.2. Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïðåäåë ôóíêöèè. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ ............................................................... 125 3.3. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà .................................................................. 140 Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè ................................................................... 145 4. ÎÑÍÎÂÛ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÃÎ ÈÑ×ÈÑËÅÍÈß ............. 146 4.1. Ïðîèçâîäíàÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Äèôôåðåíöèàë. Ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ .............................................. 146 4.2. Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ î ôóíêöèÿõ ìíîãèõ ïåðåìåííûõ. Ïîíÿòèå î ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé ............................................. 157 4.3. Íåêîòîðûå ïðèëîæåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ..... 168 4.3.1. Ôîðìóëà Òåéëîðà ............................................................. 168 4.3.2. Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ .......................................................... 171 4.3.3. Àñèìïòîòû ....................................................................... 176 4.3.4. Èññëåäîâàíèå ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ è ïîñòðîåíèå èõ ãðàôèêîâ .. 180 4.3.5. Ýêñòðåìóìû ôóíêöèé äâóõ àðãóìåíòîâ .......................... 192 4.3.6. Ïîíÿòèå î ìåòîäå íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ (ÌÍÊ) ......... 197 Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè .................................................................... 204 3

5. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÈÍÒÅÃÐÀËÜÍÎÃÎ ÈÑ×ÈÑËÅÍÈß ..................... 205 5.1. Ïåðâîîáðàçíàÿ è íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë ........................... 205 5.2. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë ........................................................... 231 5.3. Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ î íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëàõ .................. 241 5.4. Ïðèëîæåíèÿ èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ ................................. 252 5.4.1. Âû÷èñëåíèå ïëîùàäåé ïëîñêèõ ôèãóð ........................... 252 5.4.2. Âû÷èñëåíèå äëèíû äóãè êðèâîé ..................................... 260 5.4.3. Âû÷èñëåíèå îáúåìîâ ôèãóð âðàùåíèÿ ........................... 263 5.5. Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ .......... 267 5.6. Ïîíÿòèå î äâîéíîì èíòåãðàëå .................................................. 274 5.7. Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ î òðîéíîì èíòåãðàëå .............................. 283 Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè.................................................................... 294 6. ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÑÂÅÄÅÍÈß Î ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈßÕ ............................................................................... 296 6.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ ........................................... 296 6.2. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà .................... 297 6.2.1. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè ................................................................... 298 6.2.2. Îäíîðîäíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ................. 303 6.2.3. Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ..................... 306 6.2.4. Óðàâíåíèå Áåðíóëëè ....................................................... 310 6.2.5. Óðàâíåíèå â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ ........................... 312 6.3. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà .................... 316 6.3.1. Ëèíåéíûå îäíîðîäíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè .................................. 319 6.3.2. Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè è ñ ïðàâîé ÷àñòüþ .... 323 6.4. Ïîíÿòèå î ñèñòåìàõ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ................................................................................. 330 Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè ................................................................... 339 7. ÐßÄÛ ............................................................................................... 341 7.1. ×èñëîâûå ðÿäû.......................................................................... 341 7.2. Ôóíêöèîíàëüíûå ðÿäû ............................................................. 346 7.3. Ñòåïåííûå ðÿäû........................................................................ 348 7.4. Ïîíÿòèå î ðÿäàõ Ôóðüå ............................................................. 352 Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè ................................................................... 357 Ëèòåðàòóðà ........................................................................................... 358 4

Ââåäåíèå

Ìàòåìàòèêà ïðîíèêëà ïðàêòè÷åñêè âî âñå ñôåðû ÷åëîâå÷åñêîé äåÿòåëüíîñòè. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ, âî-ïåðâûõ, òåì, ÷òî îíà ñïîñîáíà ñîçäàâàòü ìîäåëè èçó÷àåìûõ ÿâëåíèé (ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ èçó÷àåìîãî ÿâëåíèÿ íàçûâàåòñÿ ëîãè÷åñêàÿ êîíñòðóêöèÿ, êîòîðàÿ îòðàæàåò ãåîìåòðè÷åñêèå ôîðìû ýòîãî ÿâëåíèÿ è êîëè÷åñòâåííûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó åãî ÷èñëîâûìè ïàðàìåòðàìè), à âî-âòîðûõ, ìàòåìàòèêà èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îáðàáîòêè öèôðîâûõ äàííûõ (êàê ñðåäñòâî ðàñ÷åòà). Â íàñòîÿùåå âðåìÿ ðàçëè÷íûå ÷èñëåííûå è àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû èñïîëüçóþòñÿ íå òîëüêî â åñòåñòâåííûõ, íî è â ãóìàíèòàðíûõ íàóêàõ, íàïðèìåð â ñîöèîëîãèè, ëèíãâèñòèêå, þðèñïðóäåíöèè, ýêîíîìèêå. Ñ ïîìîùüþ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ ìîæíî áîëåå ãëóáîêî àíàëèçèðîâàòü ñëîæíûå ýêîíîìè÷åñêèå ÿâëåíèÿ è ïðîöåññû, à ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðîáëåìû ýêîíîìèêè ñòèìóëèðóþò ðàçðàáîòêó íîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé. Íàïðèìåð, íåîáõîäèìîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷ ýêîíîìè÷åñêîãî ïëàíèðîâàíèÿ ïðèâåëà ê ðàçðàáîòêå òåîðèè ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ â 30-õ ãîäàõ XX âåêà [18]. Ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî ãëóáîêîå èçó÷åíèå ýêîíîìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ è óïðàâëåíèå ýòèìè ïðîöåññàìè íåâîçìîæíû áåç çíàíèÿ ñîâðåìåííîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîäãîòîâêà ñîâðåìåííîãî ñïåöèàëèñòà â îáëàñòè ýêîíîìèêè èìååò ñâîè ñïåöèôè÷åñêèå îñîáåííîñòè, ñâÿçàííûå ñî ñëîæíîñòüþ ïðîâåäåíèÿ ôèíàíñîâî-ýêîíîìè÷åñêèõ îïåðàöèé è ïðèíÿòèÿ ðàöèîíàëüíûõ óïðàâëåí÷åñêèõ ðåøåíèé ïî íèì. Êàê íàóêà ìàòåìàòèêà èìååò îïðåäåëåííîå ìàòåìàòè÷åñêîå ìèðîâîççðåíèå, îäíàêî äëÿ ñïåöèàëèñòîâ â îáëàñòè ýêîíîìèêè, ìåíåäæìåíòà, ïñèõîëîãèè è þðèñïðóäåíöèè ìàòåìàòèêà ÿâëÿåòñÿ ïðåæäå âñåãî ìîùíûì èíñòðóìåíòàðèåì ïðè ïðîâåäåíèè íåîáõîäèìûõ ðàñ÷åòîâ è èññëåäîâàíèé, à òàêæå ôóíäàìåíòîì, íà êîòîðîì ñòðîèòñÿ ñîâðåìåííîå çäàíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ. Ìàòåðèàë ó÷åáíèêà ïðåäñòàâëåí â âèäå ñåìè ãëàâ è ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ñòóäåíòîâ 1-ãî è 2-ãî êóðñîâ ãóìàíèòàðíûõ ñïåöèàëüíîñòåé âóçîâ. 5

Â ïåðâîé ãëàâå «Îñíîâû äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè» ïðåäñòàâëåíû îñíîâû òåîðèè ìíîæåñòâ, ââåäåíû ýëåìåíòû êîìáèíàòîðèêè è îñíîâû òåîðèè ãðàôîâ, äàíû íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ î ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå. Âòîðàÿ ãëàâà «Ýëåìåíòû ëèíåéíîé è âåêòîðíîé àëãåáðû» ïîñâÿùåíà ìàòðèöàì, âåêòîðàì, îïðåäåëèòåëÿì è èõ ñâîéñòâàì, à òàêæå äåéñòâèÿì íàä íèìè. Ïðèâåäåíû ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ÑËÀÓ). Â òðåòüåé ãëàâå «Ôóíêöèè è ïðåäåëû» äàíî îïðåäåëåíèå ôóíêöèè, ñïîñîáû åå çàäàíèÿ è îñíîâíûå ñâîéñòâà, à òàêæå ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ïðåäåëà. Ðàññìîòðåíû ïðèçíàêè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà, ïåðâûé è âòîðîé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë, äàíî ïîíÿòèå î êîìïëåêñíûõ ÷èñëàõ. Â ÷åòâåðòîé ãëàâå «Îñíîâû äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ» êðàòêî ðàññìîòðåíû òàêèå ôóíäàìåíòàëüíûå ïîíÿòèÿ, êàê ïðîèçâîäíàÿ, äèôôåðåíöèàë, èõ ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë, äàíî ïîíÿòèå î ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ è î ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, à òàêæå ïðèâåäåíû íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ î ïðèëîæåíèÿõ äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ (ôîðìóëà Òåéëîðà, ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ, èññëåäîâàíèå ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäíîé). Â ïÿòîé ãëàâå «Ýëåìåíòû èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ» ðàñêðûòî ñîäåðæàíèå èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ, ïðèâåäåíû îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâà íåîïðåäåëåííîãî, îïðåäåëåííîãî, íåñîáñòâåííîãî è êðàòíîãî èíòåãðàëîâ, à òàêæå ñïîñîáû èõ âû÷èñëåíèÿ. Ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðèëîæåíèÿ èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Øåñòàÿ ãëàâà «Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ î äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿõ» íàïèñàíà íà îñíîâå çíàíèé, èçëîæåííûõ â ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ. Â íåé ïðåäñòàâëåíû îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêà, à òàêæå ìåòîäû èõ ðåøåíèÿ. Îñîáîå ìåñòî çàíèìàåò ðåøåíèå ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ è íåîäíîðîäíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Äàíî òàêæå ïîíÿòèå î ðåøåíèè ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ñåäüìàÿ ãëàâà «Ðÿäû» ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ ÷èñëîâûõ, ôóíêöèîíàëüíûõ è ñòåïåííûõ ðÿäîâ. Ïðèâåäåíû òàêæå ñâåäåíèÿ ïî ðÿäàì Ôóðüå. Ïðåäñòàâëåííûé êóðñ ìàòåìàòèêè îõâàòûâàåò áîëüøèíñòâî ðàçäåëîâ, èçó÷àåìûõ ñòóäåíòàìè ãóìàíèòàðíûõ ñïåöèàëüíîñòåé âóçîâ. Ïðè íàïèñàíèè êíèãè àâòîðû ïðèäåðæèâàëèñü ñîâðåìåí6

íûõ òî÷åê çðåíèÿ íà ïîíÿòèÿ, î êîòîðûõ èäåò ðå÷ü, è íå îòñòóïàëè îò îáùåïðèíÿòûõ âçãëÿäîâ. Àâòîðû ñòðåìèëèñü èçëîæèòü ìàòåðèàë â äîñòóïíîé äëÿ ñòóäåíòîâ ôîðìå. Ïðè ýòîì ìàòåðèàë ïî äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêå, â ÷àñòíîñòè ïî òåîðèè ãðàôîâ, áóäåò ïîëåçåí ñòóäåíòàì, èçó÷àþùèì ïñèõîëîãèþ, ìåíåäæìåíò è þðèñïðóäåíöèþ. Îäíàêî àâòîðû èçäàíèÿ íå ïðåòåíäóþò íà èñ÷åðïûâàþùóþ øèðîòó îõâàòà ó÷åáíîãî ìàòåðèàëà èç-çà îãðàíè÷åííîãî îáúåìà êíèãè. Âêëàä àâòîðîâ â äàííîå èçäàíèå ðàñïðåäåëèëñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: Ê.Â. Áàëäèí ââåäåíèå, ãë. 1, 2, Â.Í. Áàøëûêîâ ãë. 6, 7, À.Â. Ðóêîñóåâ ãë. 3, 4, 5.

1. ÎÑÍÎÂÛ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ 1.1. Îñíîâû òåîðèè ìíîæåñòâ

Ïîíÿòèå ìíîæåñòâà íå îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç äðóãèå ïîíÿòèÿ ìàòåìàòèêè, ò.å. îíî ÿâëÿåòñÿ ïåðâè÷íûì. Ïîÿâèëîñü îíî â êîíöå XIX âåêà â ðàáîòàõ Ã. Êàíòîðà (î ñðàâíåíèè ìîùíîñòåé ìíîæåñòâ) [7, 10]. Ã. Êàíòîð îïðåäåëèë ìíîæåñòâî êàê «îáúåäèíåíèå â îäíî öåëîå îáúåêòîâ õîðîøî ðàçëè÷èìûõ íàøåé èíòóèöèåé èëè íàøåé ìûñëüþ». Ðàçóìååòñÿ, ýòî îïðåäåëåíèå íå ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ñòðîãîå ìàòåìàòè÷åñêîå, êîòîðîãî, âïðî÷åì, íå ñóùåñòâóåò, òàê êàê ïîíÿòèå ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ èñõîäíûì, íà åãî îñíîâå ñòðîÿòñÿ îñòàëüíûå ïîíÿòèÿ ìàòåìàòèêè. Ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç êàêèõ-òî îáúåêòîâ. Íàïðèìåð, ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë (N), ìíîæåñòâî âñåõ çâåçä íàøåé Ãàëàêòèêè, ìíîæåñòâî âñåõ æèòåëåé ÐÔ è ò.ä. Îáúåêòû, âõîäÿùèå â äàííîå êîíêðåòíîå ìíîæåñòâî, ÿâëÿþòñÿ åãî ýëåìåíòàìè. Ðàçëè÷àþò êîíå÷íûå (ñîñòîÿùåãî èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ) è áåñêîíå÷íûå ìíîæåñòâà. Ìíîæåñòâà áóäåì îáîçíà÷àòü çàãëàâíûìè áóêâàìè A, B, C, ..., X, Y, Z, à èõ ýëåìåíòû ìàëûìè áóêâàìè à, b, ñ, , x, y, z . Òîò ôàêò, ÷òî ýëåìåíò õ ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó X, îáîçíà÷àþò òàê: õ Õ

õ Õ

, à íå ïðèíàäëåæèò

Åñëè âñå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà

ìíîæåñòâà

, òî ìíîæåñòâî

ÿâëÿþòñÿ òàêæå ýëåìåíòàìè

Õ Y

çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì

Y Õ.

èëè

Ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà

Y Y

íàçûâàåòñÿ ñòå-

ïåíüþ ýòîãî ìíîæåñòâà è îáîçíà÷àåòñÿ 2 èëè (

Õ Y Õ = Y Õ Y Y Õ Õ

Ìíîæåñòâà ýëåìåíòîâ)

åñòü ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà . Ýòî

ÿâëÿþòñÿ ðàâíûìè (ñîñòîÿò èç îäíèõ è òåõ æå

, åñëè

÷òî ðàññìàòðèâàåìîå ìíîæåñòâî

. ×òîáû ïîä÷åðêíóòü òîò ôàêò,

ìîæåò ñîâïàäàòü ñ ìíîæåñòâîì

Õ Í Y

(îòíîøåíèå áûòü ïîäìíîæåñòâîì), çàïèñûâàþò Ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ïóñòîãî ìíîæåñòâà (

Y Ê X.

èëè

Æ), êîòîðîå íå ñîäåð-

æèò íè îäíîãî ýëåìåíòà. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî ðåøåíèé óðàâíå-

õ2

íèÿ

+ 4 = 0 åñòü ïóñòîå ìíîæåñòâî.

Ñïîñîáû çàäàíèÿ ìíîæåñòâ [7, 10] à) Ñëîâåñíîå îïèñàíèå.

Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî

äÿùèõ ÷åðåç òî÷êó

åñòü ìíîæåñòâî âñåõ ïðÿìûõ, ïðîõî-

ïëîñêîñòè

á) Ïåðå÷èñëåíèå ýëåìåíòîâ, âõîäÿùèõ â ìíîæåñòâî.

Íàïðèìåð,

= { 7, 0, 12, 123, 700}. Ýëåìåíòû â ïðèâåäåííîì

ñïèñêå ìîãóò ðàñïîëàãàòüñÿ â ëþáîì ïîðÿäêå è äîëæíû áûòü ðàç-

ëè÷íû, ò.å. ìíîæåñòâà

= {5, 5, 7} è

= {5, 7} ðàâíû ìåæäó ñîáîé.

Åñëè âî ìíîæåñòâå åñòü ñîâïàäàþùèå ýëåìåíòû, òî åãî íàçûâàþò ñåìåéñòâîì Z = (5, 9, 9, 12, 12, 23) è çàêëþ÷àþò â êðóãëûå ñêîáêè. â) Îïèñàíèå ñâîéñòâ ýëåìåíòîâ, âõîäÿùèõ â ìíîæåñòâî.

Õ = x õ õ { |(

Õ õ õ

3)( 5) 0}, ò.å. ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà

áóäóò òîëü-

êî òå ÷èñëà, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó ( 3)( 5) 0.

Q(õ)

Åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç

Õ,

ìíîæåñòâî

ñâîéñòâà ýëåìåíòîâ, âõîäÿùèõ âî

òî äëÿ çàäàíèÿ ýòîãî ìíîæåñòâà â îáùåì ñëó÷àå ìîæ-

Õ = õ Q õ

íî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùóþ çàïèñü

{ |

Õ Qõ

( )}, ò.å. ìíîæåñòâî

ñîñòîèò èç òåõ ýëåìåíòîâ , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ñâîéñòâó

( ).

Ìíîæåñòâî, êîòîðîå ñîäåðæèò âñå ðàññìàòðèâàåìûå â íåêîòîðîé

çàäà÷å ìíîæåñòâà, íàçûâàåòñÿ óíèâåðñàëüíûì è îáîçíà÷àåòñÿ

Íàïðèìåð, â êà÷åñòâå

ìîæíî âçÿòü ìíîæåñòâî

(çàìåòèì, ÷òî

â íåêîòîðûõ ìîíîãðàôèÿõ îíî íà÷èíàåòñÿ íå ñ åäèíèöû, à ñ íóëÿ).

Z = zÎN | x < {

6}, ò.å.

= {1, 2, 3, 4, 5}.

Äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè â ìàòåìàòèêå èñïîëüçóþò êâàíòîðû âñåîáùíîñòè, ñóùåñòâîâàíèÿ, ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè [25]:

êâàíòîð âñåîáùíîñòè (ïåðåâåðíóòàÿ ïåðâàÿ áóêâà àíãëèé-

ñêîãî ñëîâà

All

);

$ êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ (ïåðåâåðíóòàÿ ïåðâàÿ áóêâà àíã-

Exists

ëèéñêîãî ñëîâà

);

$! êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè. Íàïðèìåð, çàïèñü ( õÎ Õ) Ð(õ) îçíà÷àåò: äëÿ âñåõ õ èç ìíîæåñòâà Õ ñïðàâåäëèâî Ð(õ); çàïèñü ($ óÎ Y) R(ó) ñóùåñòâóåò ó èç ìíîæåñòâà Y òàêîå, ÷òî ñïðàâåäëèâî R(ó); çàïèñü ($ ! zÎ Z) Ì(z)

ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå èç ìíîæåñòâà

Mz.

ëèâî

òàêîå, ÷òî ñïðàâåä-

( )

Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè [7, 38] Ïóñòü çàäàíî óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî

. Ìíîæåñòâî âñåõ

Õ Y

åãî ïîäìíîæåñòâ åñòü 2 . Çàäàíû òàêæå ìíîæåñòâà

Õ Î

U è Ó Î 2U .

Äîïîëíåíèåì ìíîæåñòâà

òîâ ìíîæåñòâà

, ïðè÷åì

íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî

, êîòîðûå íå ïðèíàäëåæàò

Õ = õ Î U õ Ï Õ . {

ýëåìåí-

}

Ãðàôè÷åñêè îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè ìîæíî èçîáðàæàòü ñ ïîìîùüþ êðóãîâ Ýéëåðà (äèàãðàìì Âåííà):

Õ Õ

èçîáðàæàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì;

êðóã;

çàøòðèõîâàííàÿ îáëàñòü ïðÿìîóãîëüíèêà.

Õ Y

Ïåðåñå÷åíèå (

Õ Y

) äâóõ ìíîæåñòâ

ñîñòîèò èç ýëåìåí-

òîâ, ïðèíàäëåæàùèõ îáîèì ýòèì ìíîæåñòâàì:

Õ Y = õ õÎÕ õÎY { |

Õ Y U

Îáúåäèíåíèå (

Õ * Y

Õ Y

) äâóõ ìíîæåñòâ

ñîñòîèò èç ýëåìåí-

Õ Y

òîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò õîòÿ áû îäíîìó èç ìíîæåñòâ

Õ * Y = õ õ Î Õ { |

õ Î Y Õ * Y

èëè

Ðàçíîñòü (

Õ\Y X

ïðèíàäëåæàùèõ

) äâóõ ìíîæåñòâ

Õ Y è

ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ,

Y Õ\Y õ õ Î Õ õ Ï Y Õ\Y

, íî íå ïðèíàäëåæàùèõ = { |

Y\Õ Y\Õ ó ó Î Y ó Ï Õ

Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ðàçíîñòü ( = { |

Y Õ

) ìíîæåñòâ

Y\Õ U

ÕDÓ

Ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü (

Õ Y

) ìíîæåñòâ

è ñîñòîèò èç ýëå-

Õ Y

ìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò ðîâíî îäíîìó èç ìíîæåñòâ

Õ DY = Õ\Y * Y\Õ = Õ * Y \ Õ Y

(

)

(

)

(

) (

Õ DY U Y

ïðèìåð 1.1

Òåïåðü ðàññìîòðèì êîíêðåòíûé ÷èñëîâîé

Äàíî ìíîæåñòâî:

Y Õ Y Õ * Y Õ\Y Y\Õ Õ DY

= { 5, 0, 3, 17, 28, 33, 100}.

= { 7, 0, 5, 17, 33, 108}. = {0, 17, 33}. = { 7, 5, 0, 3, 5, 17, 28, 33, 100, 108}.

= { 5, 3, 28, 100}. = { 7, 5, 108}. = { 7, 5, 3, 5, 28, 100, 108}.

Ìîùíîñòü ìíîæåñòâ Õ

×èñëî ýëåìåíòîâ â êîíå÷íîì ìíîæåñòâå

½Õ½ èëè #Õ.

íîñòüþ è îáîçíà÷àþò

Íàïðèìåð,

íàçûâàþò åãî ìîù-

½Õ½ = 4.

= {5, 12, 23, 111},

Åñëè èçâåñòíû ìîùíîñòè ìíîæåñòâ

Õ Y è

, òî ìîæíî íàéòè

ìîùíîñòü èõ îáúåäèíåíèÿ ïî ôîðìóëå

½Õ * Y½ = ½Õ½ + ½Y½ ½Õ Y½.

Â îáùåì ñëó÷àå èìååì [7]:

½Õ1 * Õ2 * * Õn½ =

¦ ½Õ ½ ¦ ½X X ½

¦ ½X X X ½ ...

L M N

Äëÿ ïîäñ÷åòà ýëåìåíòîâ â êîíå÷íûõ ìíîæåñòâàõ ìîæíî èñïîëüçîâàòü êîìáèíàòîðèêó. Åñëè ìåæäó äâóìÿ ìíîæåñòâàìè ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå, òî â íèõ îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ. Âçàèìíàÿ îäíîçíà÷íîñòü îçíà÷àåò, ÷òî êàæäîìó ýëåìåíòó ïåðâîãî ìíîæåñòâà ñîîòâåòñòâóåò îäèí ýëåìåíò âòîðîãî è íàîáîðîò. 12

Ðàññìîòðèì ïðèìåð îñóùåñòâëåíèÿ ýòîãî ïðèíöèïà. Êàêèõ ïîäìíîæåñòâ áîëüøå ó 100-ýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà: ìîùíîñòè 60 èëè ìîùíîñòè 40. Èñïîëüçóåì ïîíÿòèå ÷èñëà ñî÷åòàíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî k (îíè îòëè÷àþòñÿ òîëüêî ñîñòàâîì ýëåìåíòîâ) (áîëåå ïîäðîáíî â ï. 1.2). ×èñëî ñî÷åòàíèé íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå

& NQ

´ ´ ´

ãäå ! = 1 2 3

N Q N

´ n (÷èòàåòñÿ: n ôàêòîðèàë).

Â íàøåì ñëó÷àå èìååì

;

Ïîýòîìó ó 100-ýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî ïîäìíîæåñòâ ìîùíîñòè 60 è 40 ýëåìåíòîâ. Äâà ìíîæåñòâà íàçûâàþòñÿ ðàâíîìîùíûìè, åñëè ìåæäó íèìè ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå. Äëÿ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â íèõ îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ. Íî ýòî îïðåäåëåíèå ãîäèòñÿ è äëÿ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ. Íàïðèìåð, îòðåçêè [0, 1] è [0, 10] ðàâíîìîùíû, òàê êàê îòîáðàæåíèå

õ®10õ äàåò íóæíîå ñîîòâåòñòâèå [7, 10].

¥) ðàâ-

Ìîæíî òàêæå äîêàçàòü, ÷òî èíòåðâàë (0, 1) è ëó÷ (0, +

íîìîùíû. Èñêîìîå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå èìååò âèä

1 [7]. Òàêæå äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé öèôð 0, 1, 2, 3 ðàâíîìîùíî ìíîæåñòâó áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé öèôð 0 è 1. Òîò ôàêò, ÷òî ìíîæåñòâî Õ ðàâíîìîùíî (ýêâèâàëåíòíî) ìíîæåñòâó Y, çàïèñûâàåòñÿ òàê: X ~ Y (½X½ = ½Y½). Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ñ÷åòíûì, åñëè îíî ðàâíîìîùíî ìíîæåñòâó íàòóðàëüíûõ ÷èñåë (N). õ®

íî;

Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë (Z) ðàâíîìîùíî N, ò.å. Z ~ N. Äîêàçûâàåòñÿ (ñì. [7]): 1) ÷òî ïîäìíîæåñòâî ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà êîíå÷íî èëè ñ÷åò-

2) âñÿêîå áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ñîäåðæèò ñ÷åòíîå ïîäìíîæåñòâî; 3) îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî èëè ñ÷åòíîãî ÷èñëà êîíå÷íûõ èëè ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ êîíå÷íî èëè ñ÷åòíî. Ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (R) èëè ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé 0 è 1 íåñ÷åòíî. Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà R áîëüøå ìîùíîñòè ëþáîãî ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà è íàçûâàåòñÿ ìîùíîñòüþ êîíòèíóóìà. Ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìó Êàíòîðà Áåðíøòåéíà. Åñëè ìíîæåñòâî Õ ðàâíîìîùíî êàêîìó-òî ïîäìíîæåñòâó ìíîæåñòâà Y, à ìíîæåñòâî Y ðàâíîìîùíî êàêîìó-òî ïîäìíîæåñòâó ìíîæåñòâà Õ, òî ìíîæåñòâà Õ è Y ðàâíîìîùíû. Äàäèì òàêæå îáùóþ ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû Êàíòîðà. Íèêàêîå ìíîæåñòâî Z íå ðàâíîìîùíî ìíîæåñòâó âñåõ ñâîèõ ïîäìíîæåñòâ. Íàãëÿäíûå ïðåäñòàâëåíèÿ î ìíîæåñòâàõ ìîãóò ïðèâîäèòü ê ïðîòèâîðå÷èÿì. Ïðèâåäåì, íàïðèìåð, ïàðàäîêñ Ðàññåëà [7]. Òèïè÷íûå ìíîæåñòâà íå ÿâëÿþòñÿ ñâîèìè ýëåìåíòàìè. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë (Z) ñàìî íå ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì è íå áóäåò ñâîèì ýëåìåíòîì. Íî â ïðèíöèïå ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñåáå ìíîæåñòâî, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ñâîèì ýëåìåíòîì, íàïðèìåð ìíîæåñòâî âñåõ ìíîæåñòâ (U). Òàêèå ìíîæåñòâà íàçîâåì «íåîáû÷íûìè». Òåïåðü ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî âñåõ îáû÷íûõ ìíîæåñòâ. Åñëè îíî îáû÷íîå, òî ÿâëÿåòñÿ ñâîèì ýëåìåíòîì è, ñëåäîâàòåëüíî, îíî íåîáû÷íîå, è íàîáîðîò. Â ïðèíöèïå ïîíÿòèå ìíîæåñòâî íå ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî î÷åâèäíûì: ðàçíûå ëþäè (íàó÷íûå øêîëû) ìîãóò ïîíèìàòü åãî ïî-ðàçíîìó. 14

Ôóíêöèè, ïðÿìûå ïðîèçâåäåíèÿ, îòíîøåíèÿ Ñíà÷àëà äàäèì òðàäèöèîííîå îïðåäåëåíèå ôóíêöèè [26]. Äàíû äâà ìíîæåñòâà Õ è Y. Ôóíêöèåé, êîòîðàÿ îïðåäåëåíà íà ìíîæåñòâå Õ è ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ íà ìíîæåñòâå Y, íàçûâàåòñÿ çàêîí (f), ïî êîòîðîìó êàæäîìó ýëåìåíòó õ èç ìíîæåñòâà Õ (õ ÎÕ) ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå îäèí ýëåìåíò ó èç ìíîæåñòâà Y (óÎ Y). Îáû÷íî ýòî çàïèñûâàþò â âèäå ó = f(õ). Ìíîæåñòâî Õ åñòü îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f, à ìíîæåñòâî Å = {óÎY½$õÎÕ ó = f(õ)}Í Y ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè f. Ôóíêöèþ f, îïðåäåëåííóþ íà ìíîæåñòâå Õ è ïðèíèìàþùóþ çíà÷åíèÿ íà ìíîæåñòâå Y, îáîçíà÷àþò òàê f: Õ®Y. Ýëåìåíò õÎÕ íàçûâàåòñÿ íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé (àðãóìåíòîì), ýëåìåíò f(õ) íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì ôóíêöèè íà ýëåìåíòå õ. Ïóñòü çàäàíà îäíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ f, ò.å. ðàçëè÷íûì çíà÷åíèÿì åå àðãóìåíòîâ ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè, ò.å. ( õ1ÎÕ) ( õ2ÎÕ) (õ1 ¹ õ2) Û (f(õ1) ¹ f(õ2). Çíàê «Û» îçíà÷àåò ýêâèâàëåíòíîñòü, íàïðèìåð ÀÛÂ çíà÷èò À ýêâèâàëåíòíî Â (À òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Â). Òîãäà óÎÅ ìîæåò áûòü ïîñòàâëåí â ñîîòâåòñòâèå åäèíñòâåííûé ýëåìåíò õÎÕ, òàêîé ÷òî ó = f(õ) è êîòîðûé îáîçíà÷àåòñÿ õ = f 1(ó), ýòî çíà÷èò, ÷òî íà ìíîæåñòâå Å îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ f 1, êîòîðàÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ íà ìíîæåñòâå Õ è íàçûâàåòñÿ îáðàòíîé ê ôóíêöèè f. Åñëè çàäàíà ôóíêöèÿ f 1: Å®Õ è Y = Å, ò.å. êîãäà ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè f ñîâïàäàåò ñî âñåì ìíîæåñòâîì Y, ôóíêöèþ f íàçûâàþò âçàèìíî îäíîçíà÷íûì ñîîòâåòñòâèåì ìåæäó ìíîæåñòâàìè Õ è Y. Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì îïðåäåëåíèå ïðÿìîãî, èëè äåêàðòîâà, ïðîèçâåäåíèÿ. Ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ìíîæåñòâ Õ1, Õ2, Õ3 , Õn, n ³ 2 íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ óïîðÿäî÷åííûõ íàáîðîâ (n-ìåðíûõ âåêòîðîâ) (õ1, õ2, õ3 , õn), ãäå õ1ÎÕ1, õ2ÎÕ2, õ3ÎÕ3 , õn ÎÕn, îáîçíà÷àåìîå Õ1 ´ Õ2 ´ Õ3 ´ ´Õn =

Õ = {(õ1, õ2, , õ )½ õ1ÎÕ1, L õ2ÎÕ2, , õ ÎÕ } = {(õ1, õ2, , õ ) ½ õ ÎÕ , L Q }. n

Õ1 ´

´ ´ Õn ¹ Õ

Õ2

Çàìåòèì, ÷òî

Â òîì ñëó÷àå, åñëè Õi = Õ

´ Õ2 ´ Õ1.

Q òî Õ ´ Õ ´ ´ Õ º Õn («º»

òîæäåñòâåííî ðàâíî) è íàçûâàåòñÿ n-é ñòåïåíüþ ìíîæåñòâà Õ [21, 26]. Â ÷àñòíîì ñëó÷àå, åñëè èìåþòñÿ äâà ìíîæåñòâà Õ è Y, èõ ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì áóäåò ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ óïîðÿäî÷åííûõ

ÎÕ, à óÎ Y, îáîçíà÷àå-

íàáîðîâ (äâóìåðíûõ âåêòîðîâ) (õ, ó), ãäå õ

´ Y = {(õ, ó)½ õÎÕ, óÎ Y }.

ìûå Õ

Íàïðèìåð, èìååì äâà ìíîæåñòâà Õ = {5, 6}, Y = {ln3, ln7}.

´ Y = {(5, ln3), (5, ln7), (6, ln3), (6, ln7)}, ´ Õ = {(ln3, 5), (ln7, 5), (ln3, 6), (ln7, 6)}, ò.å. Õ ´ Y ¹ Y ´ Õ.

Õ Y

Òåïåðü äàäèì îïðåäåëåíèå îòíîøåíèÿ. Äàíû ìíîæåñòâà Õ1,

³ 1, n-ìåñòíûì îòíîøåíèåì ìåæäó ýëåìåíòàìè ìíî-

Õ2, , Õ , n

æåñòâ Õ1, Õ2, , Õ íàçûâàåòñÿ ëþáîå ïîäìíîæåñòâî

ïðÿìîãî

U Í Õ1 ´ Õ2 ´ , , ´ Õn. Åñëè (õ1, õ2, , õn) Î r ãîâîðÿò, ÷òî ýëåìåíòû õ1, õ2, , õn ñâÿçàíû îòíîøåïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ ìíîæåñòâ, ò.å

íèåì

Åñëè

i = 1, n

U Í Õn, ãîâîðÿò, ÷òî åñòü n-ìåñòíîå

Õ [21, 26].

îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå

Äëÿ îäíîìåñòíûõ, äâóõìåñòíûõ è òðåõìåñòíûõ îòíîøåíèé ÷àñòî èñïîëüçóþò ñïåöèàëüíûå íàçâàíèÿ: óíàðíûå, áèíàðíûå, òåðíàðíûå ñîîòâåòñòâåííî, ò.å.

n = 1 óíàðíîå îòíîøåíèå U Í Õ1, n = 2 áèíàðíîå îòíîøåíèå U Í Õ1 ´ Õ , n = 3 òåðíàðíîå îòíîøåíèå U Í Õ1 ´ Õ2 ´ Õ3.

Åñëè îòíîøåíèå ñîâïàäàåò ñ ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì, îíî íà-

r = Õ1 ´ Õ2 ´ ´ Õn .

çûâàåòñÿ ïîëíûì, ò.å.

Ïðèìåð 1.2

Ðàññìîòðèì êîíêðåòíûå ïðèìåðû îòíîøåíèé.

= {1, 2, 7, 23, 35, 56},

= {

õ½õÎÕ è õ < 23}, U

= {1, 2, 7},

n = 1 îòíîøåíèå U åñòü ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà Õ.

ò.å. ïðè

Ïðèìåð 1.3

Õ1 = {0, 1, 2}; Õ2 = {5, 6, 7};

r = {(õ1, õ2)½õ1ÎÕ1, õ2ÎÕ2, õ2 < 6}; U = {(0, 5), (1, 5), (2, 5)}.

Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò áèíàðíûå îòíîøåíèÿ, êîòîðûå ìû ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî. Åñëè

åñòü îòíîøåíèå ìåæäó ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâ

Õ Y è

Í Õ ´ Y ìîæíî èñïîëüçîâàòü çàïèñü õ U ó. Îáðàòíûì ê îòíîøåíèþ U Í Õ ´ Y íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå U 1 = {(ó, õ )½(õ, ó)Î U } ÍY ´ Õ.

ò.å.

Ãåîìåòðè÷åñêè ïîíÿòèå áèíàðíîãî îòíîøåíèÿ ïîêàçàíî íà ðèñ. 1.1.

r(õ)

År

Ðèñ.¦1.1 ½õ ÎÕ, (õó) Î U

Dr = { õ

íèÿ

U ÌÕ´

} ìíîæåñòâî îïðåäåëåíèÿ îòíîøå-

½óÎY, (õó)Î U } ìíîæåñòâî çíà÷åíèé îòíîøåíèé

År = {ó

U ÌÕ´

Çàìåòèì, ÷òî äëÿ

U 1ÌY ´

Õ D

òî÷êà ýëåìåíò ìíîæåñòâà

U Å U è

ïîìåíÿþòñÿ ìåñòàìè,

r(õ) åñòü U -îáðàç

, à ìíîæåñòâî

ýëåìåíòà õ, à òî÷êà ó ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì ýëåìåíòîì èç U (õ).

Îòñþäà âèäíî, ÷òî áèíàðíîå îòíîøåíèå ÿâëÿåòñÿ ìíîãîçíà÷íîé ôóíêöèåé [18]. Çàìåòèì, ÷òî ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëü-

R ´ R = R2 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñòåìó êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè õ0ó. Îòíîøåíèå U Í Õ ´ Í 2 U íûõ ÷èñåë ( ) ñàìî íà ñåáÿ

R ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì îòíîøåíèÿ

Òåïåðü ðàññìîòðèì êîíêðåòíûé ïðèìåð áèíàðíîãî îòíîøåíèÿ.

Ïðèìåð 1.4

[2.1].

Õ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Íàéäåì îòíî-

Äàíî ìíîæåñòâî øåíèå

U , åñëè îíî çàäàíî òàê:

= {(

õ1, õ2)½õ1ÎÕ, õ2ÎÕ, õ1 äåëèòåëü õ2, õ1 £ 5}.

Îòíîøåíèå èìååò âèä

= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9),

(1, 10), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8), (5, 5), (5, 10)}. Òåïåðü íàéäåì ìíîæåñòâî îïðåäåëåíèÿ è ìíîæåñòâî çíà÷åíèé îòíîøåíèÿ

D U = {1, 2, 3, 4, 5}, Å U = Õ

Ïðåäñòàâèì ïîëó÷åííîå îòíîøåíèå U

â ãðàôè÷åñêîì âèäå.

Äëÿ ýòîãî çàäàäèì ñèñòåìó êîîðäèíàò. Îñüþ àáñöèññ áóäåò

à îñüþ îðäèíàò

Å U . Ïî ýòèì îñÿì îòëîæèì ýëåìåíòû èñõîä

íîãî ìíîæåñòâà

, çàòåì ñîîòâåòñòâóþùèå ïàðû (

õ1õ2) îòìåòèì

òî÷êàìè è ïîëó÷èì ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå íàøåãî îòíîøåíèÿ (ðèñ. 1.2).

Å U

Ðèñ.¦1.2 18

Áèíàðíûå îòíîøåíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ãðàôà (ìíîæåñòâà âåðøèí è ìíîæåñòâà ðåáåð, ñì. ðàçäåë «Ýëåìåíòû òåîðèè ãðàôîâ»). Âåðøèíàìè áóäóò ýëåìåíòû èñõîäíîãî ìíîæåñòâà Õ, à ðåáðàìè ïàðû (õ1õ2). Â äàííîì ñëó÷àå âàæåí ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ ýëåìåíòîâ, ïîýòîìó ðåáðà áóäóò îðèåíòèðîâàííûìè (îáîçíà÷èì èõ ñòðåëêàìè). Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì (ðèñ.1.3)...

Ðèñ.¦1.3

Â ñëó÷àå õ1 = õ2 ïîëó÷èì ïåòëþ. Íàêîíåö áèíàðíîå îòíîøåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ìàòðèöû, ò.å. ïðÿìîóãîëüíîé òàáëèöû ðàçìåðà n ´ m, ãäå n êîëè÷åñòâî ñòðîê, à m êîëè÷åñòâî ñòîëáöîâ. Íàïðèìåð, åñëè èìååì äâà ìíîæåñòâà Õ = {õ1, õ2, , õn}, Y = {ó1, ó2, , óm} è áèíàðíîå îòíîøåíèå íà ýëåìåíòàõ ýòèõ ìíîæåñòâ U ÍÕ ´ ½ Î

Y = {(õó)

Õ,

ÎY}, òî ýòîìó îòíîøåíèþ ñîîòâåòñòâóåò ìàòðèöà ðàçìåðà n ´ m,

ñîñòîÿùàÿ èç íóëåé è åäèíèö. Åäèíèöàìè îáîçíà÷àþòñÿ ïàðû (õó), âõîäÿùèå â îòíîøåíèå

(áîëåå ïîäðîáíî î ìàòðèöàõ ñì. â

ðàçäåëå «Ýëåìåíòû ëèíåéíîé àëãåáðû»). Â äàííîì ïðèìåðå èìååì îòíîøåíèå

U Í Õ2, ò.å. åìó ñîîò-

âåòñòâóåò ìàòðèöà ðàçìåðà 10 10, ÷èñëî ñòðîê è ñòîëáöîâ êîòî-

Õ.

ðîé ðàâíî ÷èñëó ýëåìåíòîâ â ìíîæåñòâå

Â çàêëþ÷åíèå ðàññìîòðèì ôóíêöèþ êàê îòíîøåíèå. Îòíîøåíèå f ìåæäó ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâ Õ è Y íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé, îïðåäåëåííîé íà ìíîæåñòâå Õ è ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèå íà ìíîæåñòâå Y, åñëè

õÎÕ $! óÎY ½(õ, ó)Îf.

(1.1)

®Ó, à âìåñòî (õ, ó)Îf îáû÷íî ïèøåò-

Â ýòîì ñëó÷àå ïèøóò f: Õ

ñÿ ó = f(õ); ó íàçûâàþò çíà÷åíèåì ôóíêöèè f íà ýëåìåíòå õ, òàê êàê äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ îòíîøåíèé â ñèëó (1.1) f-îáðàçîì îäíîýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà {õ} áóäåò îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî {f(õ)}. Çàìåòèì, ÷òî (1.1) ýêâèâàëåíòíî âûïîëíåíèþ äâóõ óñëîâèé:

1(Ó) = Õ;

(1.2)

Þ ó1 = ó2.

ó = f(õ) è ó = f(õ)

(1.3)

Èíîãäà îòíîøåíèÿ íàçûâàþò ôóíêöèåé, åñëè âûïîëíåíî òîëüêî óñëîâèå (1.3), à åñëè âûïîëíåíî è óñëîâèå (1.2), òî îòîáðàæåíèåì. ×àñòî ñëîâà «ôóíêöèÿ» è «îòîáðàæåíèå» èñïîëüçóþò êàê ñèíîíèìû [26].

1.2. Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðèêè Êîìáèíàòîðèêà ÷àñòü ìàòåìàòèêè, êîòîðàÿ ïîñâÿùåíà ðåøåíèþ çàäà÷ âûáîðà è ðàñïîëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà â ñîîòâåòñòâèè ñ çàäàííûìè ïðàâèëàìè, ò.å. êîìáèíàòîðèêà ðåøàåò çàäà÷è âûáîðà ýëåìåíòîâ èç êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà è ðàçìåùåíèÿ ýòèõ ýëåìåíòîâ â êàêîì-ëèáî ïîðÿäêå [9, 10, 40]. Ïðèâåäåì ïðàâèëà ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ, êîòîðûå ïðèìåíÿþòñÿ â êîìáèíàòîðèêå [9].

Ïðàâèëî ñëîæåíèÿ: åñëè âûáîð êàæäîãî èç îáúåêòîâ Ài (i = ìîæíî ñäåëàòü

n ñïîñîáàìè, òî âûáîð èëè À1, èëè À2, , èëè Àk i

ìîæíî ïðîèçâåñòè

¦Q

L ñïîñîáàìè.

Ïðàâèëî óìíîæåíèÿ: åñëè âûáîð êàæäîãî èç

( =

N )

) ìîæíî ñäåëàòü

ìîæíî îñóùåñòâèòü

Â1 Â2

i ñïîñîáàìè, òî âûáîð è

k îáúåêòîâ Â

, è

Âk i

, , è

L ñïîñîáàìè.

Ïðèâåäåì êîíêðåòíûå ïðèìåðû ïðèìåíåíèÿ ýòèõ ïðàâèë.

Ïðèìåð 1.5.

Èç Ìîñêâû â Ñàíêò-Ïåòåðáóðã ìîæíî äîáðàòüñÿ ñà-

ìîëåòîì, ïîåçäîì, àâòîáóñîì. Åñòü ïÿòü àâòîáóñíûõ ìàðøðóòîâ, äâà àâèàìàðøðóòà, îäèí æåëåçíîäîðîæíûé. Ïîýòîìó îáùåå ÷èñëî ìàð-

øðóòîâ ìåæäó Ìîñêâîé è Ñàíêò-Ïåòåðáóðãîì ðàâíî = 5 + 2 + 1 = 8.

Ïðèìåð 1.6. Â Ñ

ðîãàì, èç

Èç ïóíêòà

â ïóíêò

ìîæíî äîåõàòü ïî ïÿòè äî-

Ñ D

ìîæíî äîåõàòü ïî òðåì äîðîãàì, à èç

ìîæíî

äîåõàòü ïî ÷åòûðåì äîðîãàì. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ïðî-

À D

åõàòü èç

Â Ñ

÷åðåç

Ïî ïðàâèëó ïðîèçâåäåíèÿ ïîëó÷àåì

= 5 3 4 = 60.

Ðàçìåùåíèÿ n

Äàíî ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç

ýëåìåíòîâ ïî

ýëåìåíòîâ. Ðàçìåùåíèåì èç

£ m £ n) íàçûâàåòñÿ ëþáîå óïîðÿ-

ýëåìåíòàì (0

äî÷åííîå ïîäìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå

ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ èñ-

õîäíîãî ìíîæåñòâà. Âñå ýòè ïîäìíîæåñòâà îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà èëè ñîñòàâîì ýëåìåíòîâ, èëè ïîðÿäêîì èõ ðàñïðåäåëåíèÿ [9, 10, 40].

Îáîçíà÷èì ðàçìåùåíèÿ èç

P Q = n(n 1)(n 2) (n (

´ ´

ýëåìåíòîâ ïî

Q Q P

1)) =

´ n: (÷èòàåòñÿ: n ôàêòîðèàë).

ãäå ! = 1 2 3

Ïðèíèìàåòñÿ, ÷òî 0! = 1 è

Ïðèìåð 1.7.

Â ôóòáîëüíîé ïðåìüåð-ëèãå ÐÔ ó÷àñòâóåò 16 êî-

ìàíä. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàñïðåäåëèòü òðè ïåðâûõ ïðèçîâûõ ìåñòà? Òàê êàê â äàííîì ñëó÷àå ïîðÿäîê êîìàíä èìååò çíà÷åíèå, òî èìååì äåëî ñ ðàçìåùåíèÿìè, ò.å.

u u u u u u u u

u u

×èñëî ðàçìåùåíèé ïî m ýëåìåíòîâ ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ ðàâíî nm, ò.å.

Ïðèìåð 1.8.

m $PQ ïîâò n

Ñêîëüêî òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë ìîæíî ñîñòàâèòü èç

öèôð 5, 6, 7, 8?

$ ïîâò = 4 = 64 òðåõçíà÷íûõ ÷èñëà. 3

Ïåðåñòàíîâêè Ïåðåñòàíîâêîé èç n ýëåìåíòîâ íàçûâàåòñÿ ðàçìåùåíèå èç n ýëåìåíòîâ ïî n ýëåìåíòîâ [9, 10]. Òàê êàê êàæäàÿ ïåðåñòàíîâêà 22

ñîäåðæèò âñå n ýëåìåíòîâ èñõîäíîãî ìíîæåñòâà, òî ðàçëè÷íûå ïåðåñòàíîâêè îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà òîëüêî ïîðÿäêîì ñëåäîâàíèÿ ýëåìåíòîâ, ò.å.

Ïðèìåð 1.9.

Q Q Q

$QQ

Ðàññòàâèòü ÷åòûðå êíèãè íà ïîëêè ìîæíî

´ 2 ´ 3 ´ 4 = 24 ñïîñîáàìè. Åñëè ñðåäè

ýëåìåíòîâ åñòü

ýëåìåíòîâ äðóãîãî âèäà, ,

ýëåìåíòîâ îäíîãî âèäà,

ýëåìåíòîâ -ãî âèäà, òî ÷èñëî ïå-

ðåñòàíîâîê ñ ïîâòîðåíèÿìè íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå:

Pn n1 n2 (

, ,

i) =

n1! n2!... n !

Ïðèìåð 1.10.

Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ øåñòèçíà÷íûõ ÷èñåë ìîæ-

íî çàïèñàòü ñ ïîìîùüþ öèôð: 2, 2, 3, 3, 4, 4. Â äàííîì ñëó÷àå = 6,

n1 = 2, n2 = 2, n3 = 2, ò.å.

u u u u u . u u u u u

P6(2, 2, 2) =

Ñî÷åòàíèÿ n

Äàíî ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ýëåìåíòîâ. Ñî÷åòàíèåì èç

ýëåìåíòîâ ïî

ýëåìåíòàì (0

m £ n

) íàçûâàåòñÿ ëþáîå ïîäìíî-

æåñòâî, êîòîðîå ñîäåðæèò m ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ èñõîäíîãî ìíîæåñòâà. Ðàçëè÷íûìè ïîäìíîæåñòâàìè ñ÷èòàþòñÿ òîëüêî òå, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ ïî ñîñòàâó ýëåìåíòîâ [10, 40]. Îáîçíà÷èâ ÷èñëî ñî÷åòàíèé ÷åðåç

P Q

$ P

P Q

Q P Q P

ïîëó÷èì

Ïðèìåð 1.11 Â áðèãàäå 25 ÷åëîâåê. Íàäî íàéòè ÷åòûðåõ ÷åëîâåê äëÿ ðàáîòû â íî÷íóþ ñìåíó. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ýòî ìîæíî ñäåëàòü. Òàê êàê ïîðÿäîê âûáðàííûõ ÷åòûðåõ ðàáî÷èõ íå èìååò çíà÷åíèÿ, òî èìååì

u u u . u u u ×èñëî ñî÷åòàíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ ïî m íàõî-

äÿòñÿ ïî ôîðìóëå

&QP

P Q P

Ïðèìåð 1.12.

Q P P Q

×èñëî ðàçëè÷íûõ áðîñàíèé òðåõ îäèíàêîâûõ

êóáèêîâ ðàâíî

ïîâò =

& PQ

Ñ ÷èñëàìè

u u u u

ñâÿçàíî ôóíêöèîíàëüíîå òîæäåñòâî, êîòîðîå

íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé áèíîìà Íüþòîíà

D E Q &Q DQE &Q DQ E &QPDQ PEP &QQD EQ

Ïðè à = 1 èìååì

E Q &Q &Q E &PQEP &QQ EQ

Ïðèìåð 1.13.

Èñïîëüçóÿ áèíîì Íüþòîíà, íàéòè (1 + ) .

& E & E & E & E & E & E & E E E E E E E E

1.3. Îñíîâû òåîðèè ãðàôîâ

Âïåðâûå òåðìèí «ãðàô» áûë óïîòðåáëåí âåíãåðñêèì ìàòåìàòèêîì Ä. Êåíèãîì â 1936 ãîäó. Íî íà÷àëî òåîðèè ãðàôîâ áûëî ïîëîæåíî Ë. Ýéëåðîì â 1736 ãîäó, êîãäà îí ðåøèë çàäà÷ó î êåíèãñáåðãñêèõ ìîñòàõ è íàøåë êðèòåðèé ñóùåñòâîâàíèÿ â ãðàôå ñïåöèàëüíîãî ìàðøðóòà (ýéëåðîâà öèêëà). Íî êàê ìàòåìàòè÷åñêàÿ äèñöèïëèíà òåîðèÿ ãðàôîâ ñôîðìèðîâàëàñü èìåííî â ïåðâîé òðåòè ÕÕ âåêà. Ýòà òåîðèÿ ðàñïîëàãàåò àïïàðàòîì ðåøåíèÿ ðàçëè÷íûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷ èç ðàçíûõ îáëàñòåé íàóêè è òåõíèêè, íàïðèìåð ñåòåâîå ïëàíèðîâàíèå è óïðàâëåíèå [15, 31]. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ òåîðèÿ ãðàôîâ îäèí èç íàèáîëåå áûñòðî ðàçâèâàþùèõñÿ ðàçäåëîâ ìàòåìàòèêè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî V ýòî íå ïóñòîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, à V ìíîæåñòâî âñåõ åãî äâóõýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâ. Ìíîæåñòâî Å ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíûì ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà V , ò.å. E Í V . Òîãäà ãðàôîì (G) íàçûâàåòñÿ ïàðà ìíîæåñòâ (V, E), ò.å. G = (V, E), ãäå VG ìíîæåñòâî âåðøèí ãðàôà, à EG ìíîæåñòâî åãî ðåáåð [15, 31, 37]. Ëþáîå ðåáðî ãðàôà îïðåäåëÿåòñÿ ïàðîé åãî âåðøèí. Åñëè âñå ïàðû âåðøèí óïîðÿäî÷åííûå, òî ãðàô íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðîâàííûì (åãî ðåáðà îáîçíà÷àþò ñòðåëêàìè), â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îí íåîðèåíòèðîâàííûé. Â òîì ñëó÷àå, åñëè â ãðàôå åñòü îðèåíòèðîâàííûå è íåîðèåíòèðîâàííûå ðåáðà, îí íàçûâàåòñÿ ñìåøàííûì. Îðèåíòèðîâàííûé ãðàô G ìîæíî çàäàòü êàê îòíîøåíèå, ò.å. êàê ïîäìíîæåñòâî ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìíîæåñòâà åãî âåðøèí V ñàìî íà ñåáÿ. (2)

(2)

G Í V ´ V. Â ýòîì ñëó÷àå ìíîæåñòâî âñåõ äâóõýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâ V çàìåíÿåòñÿ äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì V ´ V = V [15]. Ãðàôû îáû÷íî èçîáðàæàþòñÿ â âèäå ðèñóíêîâ, íà êîòîðûõ âåðøèíû èçîáðàæàþòñÿ êðóæêàìè (òî÷êàìè), à ðåáðà îòðåçêàìè (ðèñ. 1.4, 1.5, 1.6). (2)

2 1

Ðèñ.¦1.4¦(íåîðèåíòèðîâàííûé¦ãðàô) Ðèñ.¦1.5¦(îðèåíòèðîâàííûé ãðàô) 4 1 2

3 5

Ðèñ.¦1.6¦(ñìåøàííûé¦ãðàô)

Ïðèâåäåì êîíêðåòíûé ïðèìåð 1.14. Ïóñòü çàäàíî ìíîæåñòâî V = {1, 2, 3}. Òîãäà V = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 2)}. Å = {(1, 2), (1, 3), (3, 2)}. Ïðåäïîëîæèâ, ÷òî ïîðÿäîê âåðøèí èìååò çíà÷åíèå, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé îðèåíòèðîâàííûé ãðàô (ðèñ. 1.7). (2)

1 3 Ðèñ.¦1.7

Äàëåå âåðøèíû ãðàôà áóäåì îáîçíà÷àòü áóêâàìè V , V , V , , Vn, à ðåáðà e , e , em. Âîîáùå ãîâîðÿ, äâå âåðøèíû Vi è Vj îïðåäåëÿþò ðåáðî ek , ò.å. (ðèñ. 1.8). 1

Ðèñ.¦1.8 26

È â ýòîì ñëó÷àå îíè áóäóò êîíöåâûìè âåðøèíàìè ðåáðà ek. Íî êîíöåâûå âåðøèíû ðåáðà íå îáÿçàòåëüíî ðàçëè÷íû, ò.å. íà÷àëüíàÿ è êîíå÷íàÿ âåðøèíû ìîãóò ñîâïàäàòü. Â ýòîì ñëó÷àå ðåáðî ñòàíîâèòñÿ ïåòëåé (ðèñ. 1.9). 9

9 Ðèñ.¦1.9

Ãðàô, èìåþùèé ïåòëè, èíîãäà íàçûâàþò ïñåâäîãðàôîì (ðèñ. 1.10).

Ðèñ.¦1.10

Ìåæäó äâóìÿ âåðøèíàìè ìîæåò ïðîõîäèòü è íåñêîëüêî ðåáåð (îðèåíòèðîâàííûõ è íåîðèåíòèðîâàííûõ), èõ íàçûâàþò ïàðàëëåëüíûìè. À ãðàô, èìåþùèé òàêèå ðåáðà, íàçûâàþò ìóëüòèãðàôîì (ðèñ. 1.11). Ìóëüòèãðàô ýòî ïàðà (V, E), ãäå V ìíîæåñòâî âåðøèí, à Å ñåìåéñòâî ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà V . Óïîòðåáëåíèå òåðìèíà «ñåìåéñòâî» ãîâîðèò î òîì, ÷òî ýëåìåíòû ìíîæåñòâà V ìîãóò ïîâòîðÿòüñÿ (âîçìîæíû ïàðàëëåëüíûå ðåáðà) [15]. (2)

(2)

V1 V3

V2 V4 V5 Ðèñ.¦1.11

Åñëè ãðàô íå èìååò ïåòåëü è ïàðàëëåëüíûõ ðåáåð, åãî íàçûâàþò ïðîñòûì (ðèñ. 1.7). Ãðàô G íàçûâàåòñÿ ãðàôîì ïîðÿäêà n, åñëè îí ñîäåðæèò n âåðøèí (íà ðèñ. 1.12 èìååì ãðàô âîñüìîãî ïîðÿäêà) [31].

V3 V7 V2

V6 V4

V8 V5

Ðèñ.¦1.12

Ãðàô, êîòîðûé íå èìååò ðåáåð (ñîñòîèò òîëüêî èç âåðøèí), íàçûâàåòñÿ ïóñòûì (ðèñ. 1.12). 28

Ðèñ.¦1.13

Ãðàô, íå èìåþùèé âåðøèí, íàçûâàåòñÿ íîëü-ãðàôîì (Æ). Äâå âåðøèíû íàçûâàþòñÿ ñìåæíûìè, åñëè îíè ÿâëÿþòñÿ êîíöåâûìè âåðøèíàìè êàêîãî-òî ðåáðà (íàïðèìåð, âåðøèíû V1 è V3; V2 è V7 íà ðèñ. 1.12). Åñëè äâà ðåáðà èìåþò îáùóþ êîíöåâóþ âåðøèíó, òî îíè ÿâëÿþòñÿ ñìåæíûìè (íàïðèìåð, ðåáðà e1 è e2; e2 è e4 íà ðèñ. 1.14). e1 V1

Ðèñ.¦1.14 Åñëè èìåþò â âèäó ðàçíûå ýëåìåíòû ãðàôà (âåðøèíû è ðåáðà), òî èñïîëüçóþò ïîíÿòèå èíöèäåíòíîñòè, ò.å. ðåáðî èíöèäåíòíî ñâîèì êîíöåâûì âåðøèíàì (íàïðèìåð, ðåáðî e3 èíöèäåíòíî âåðøèíàì V2 è V3, ðèñ. 1.14). ×èñëî èíöèäåíòíûõ âåðøèíå ðåáåð íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþ (âàëåíòíîñòüþ) ýòîé âåðøèíû è îáîçíà÷àåòñÿ d(Vi). Íàïðèìåð, ñòåïåíü âåðøèíû V2 íà ðèñ. 1.14 ðàâíà 3 (d (V2) = 3) [15, 31, 40]. Âåðøèíà ñòåïåíè 1 íàçûâàåòñÿ âèñÿ÷åé, âåðøèíà ñòåïåíè íîëü èçîëèðîâàííîé, à ïåòëÿ ïðè âåðøèíå äîáàâëÿåò â ñòåïåíü ýòîé âåðøèíû äâîéêó. 29

9 9

Ðèñ.¦1.15

Íàïðèìåð, âåðøèíà V4 íà ðèñ. 1.15 ÿâëÿåòñÿ âèñÿ÷åé, âåðøèíà V6 èçîëèðîâàííîé, à ñòåïåíü âåðøèíû V1 ðàâíà 4 (dV1 = 4 äâà ðåáðà è ïåòëÿ). Ãðàô íàçûâàþò ïîëíûì, åñëè äâå ëþáûå åãî âåðøèíû ñìåæíûå (ðèñ. 1.7). Ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà äâå òåîðåìû [15]. ÒÅÎÐÅÌÀ 1.1. Ñóììà ñòåïåíåé âåðøèí ãðàôà ðàâíà óäâîåííîìó ÷èñëó åãî ðåáåð. Ó ãðàôà íà ðèñ. 1.15 èìååòñÿ 7 ðåáåð, à ñóììà ñòåïåíè åãî âåðøèí ðàâíà 14. ÒÅÎÐÅÌÀ 1.2. ×èñëî âåðøèí íå÷åòíîé ñòåïåíè â ëþáîì ãðàôå ÷åòíî. Íàïðèìåð, ó ãðàôà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 1.15, òàêèõ âåðøèí äâå (V4 è V5). Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî îäèí è òîò æå ãðàô èçîáðàæàåòñÿ ðàçíûìè ðèñóíêàìè. Ãîâîðÿò, ÷òî äâà ãðàôà G1 è G2 èçîìîðôíû, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå âçàèìíîîäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ìíîæåñòâàìè èõ âåðøèí è ðåáåð, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå ðåáðà ãðàôîâ èíóèäåíòíû ñîîòâåòñòâóþùèì âåðøèíàì ýòèõ ãðàôîâ [37]. Åñëè ðåáðà îðèåíòèðîâàíû, òî èõ íàïðàâëåíèÿ òàêæå äîëæíû ñîîòâåòñòâîâàòü äðóã äðóãó. Íà ðèñ. 1.16 ïðèâåäåí ïðèìåð èçîìîðôíûõ ãðàôîâ [15].

Ðèñ.¦1.16 30

Â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà íåîáõîäèìî ðàçëè÷àòü èçîìîðôíûå ãðàôû, ïîìå÷àþò èõ âåðøèíû è (èëè) ðåáðà (ðèñ. 1.17). 5

Ðèñ.¦1.17

Ìàðøðóòû, öåïè, ïóòè, öèêëû [15, 31, 37]

Ìàðøðóò â ãðàôå ýòî êîíå÷íàÿ ÷åðåäóþùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåðøèí è ðåáåð, íà÷èíàþùàÿñÿ è îêàí÷èâàþùàÿñÿ íà âåðøèíå, ïðè÷åì îäèíàêîâûå âåðøèíû è ðåáðà â ìàðøðóòå ìîãóò ïîâòîðÿòüñÿ. Íàïðèìåð, ìàðøðóò V1e1 V2e5 V4e6 V1e8 V6e7 V4 íà ðèñ. 1.18. Ìàðøðóò íàçûâàþò îòêðûòûì, åñëè åãî êîíå÷íûå âåðøèíû ðàçëè÷íû, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îí ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì, íàïðèìåð ìàðøðóò V1e1 V2e5 V4e6 V1e8 V6e7 V4e6V1 íà ðèñ. 1.18. e1 V1

e2 e8 e6 e5 e4 e3 e7 e V 7 V 6

Ðèñ.¦1.18

Ìàðøðóò íàçûâàþò öåïüþ, åñëè âñå åãî ðåáðà ðàçëè÷íû. Öåïü ÿâëÿåòñÿ îòêðûòîé, åñëè åå êîíå÷íûå âåðøèíû ðàçëè÷íû, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îíà çàìêíóòàÿ. 31

e1 V2 2 e e9

e3 e4

e8 e7 e6 e5

e10 V4

e13

e11 e12 V6

Ðèñ.¦1.19

Íà ðèñ. 1.19 V2e1 V3e3 V5e13 V1 e5V3 e8V4 îòêðûòàÿ öåïü, à V1e13 V5 e3V3 e2V2 e1V3 e7V1 çàìêíóòàÿ öåïü.

Îòêðûòóþ öåïü íàçûâàþò ïóòåì, åñëè âñå åå âåðøèíû ðàçëè÷íû. Íàïðèìåð, V4e8 V3e6 V1e11 V6 íà ðèñ. 1.19. Çàìêíóòóþ öåïü íàçûâàþò öèêëîì, åñëè âñå åå âåðøèíû çà èñêëþ÷åíèåì êîíöåâûõ ðàçëè÷íû, íàïðèìåð V3e3 V5e13 V1e7 V3 íà ðèñ.1.19. Äâå íåñîâïàäàþùèå âåðøèíû V è V â ãðàôå G íàçûâàåòñÿ ñâÿçíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò ìàðøðóò V V . Ãðàô G íàçûâàþò ñâÿçíûì, åñëè äâå åãî ëþáûå íåñîâïàäàþùèå âåðøèíû ìîãóò áûòü ñîåäèíåíû ìàðøðóòîì. Íàïðèìåð, ñâÿçíûìè ÿâëÿþòñÿ ãðàôû íà ðèñ. 1.18 è ðèñ. 1.19, à íåñâÿçíûì ãðàô, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 1.20. V4 V1 V3 V6 V2 V5 V7 V8 i

V9 Ðèñ.¦1.20 32

V20

Äåðåâüÿ è ëåñ Áîëüøóþ ðîëü â ðàçëè÷íûõ îòðàñëÿõ íàóêè èìåþò ñâÿçíûå àöèêëè÷åñêèå (íå èìåþùèå öèêëîâ) ãðàôû, ÷èñëî ðåáåð êîòîðûõ íà åäèíèöó ìåíüøå êîëè÷åñòâà âåðøèí, ò.å. åñëè |VG| = m |EG| = m 1. Ýòè ãðàôû íîñÿò íàçâàíèå äåðåâüåâ [15, 31]. Çàìåòèì, ÷òî (m 1) ýòî ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ðåáåð äëÿ òîãî, ÷òîáû ãðàô áûë ñâÿçíûì. Ïðèìåðàìè äðåâîâèäíîé ñòðóêòóðû ÿâëÿþòñÿ ãåíåàëîãè÷åñêèé ãðàô, ñõåìà âåðòèêàëè óïðàâëåíèÿ ëþáîé îðãàíèçàöèè, ñîâîêóïíîñòü âñåõ ôàéëîâ, ðàçìåùåííûõ íà äèñêå ÏÝÂÌ. Ïðèìåð äåðåâà ïðèâåäåí íà ðèñ. 1.21. 1

2 5

26 25

15 14

18 17

20 19

22 21

Ðèñ.¦1.21

Íåñâÿçíûé ãðàô, êîìïîíåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ äåðåâüÿ, íàçûâàåòñÿ ëåñîì (ðèñ. 1.22).

Ðèñ.¦1.22 33

Ìàòðèöû ãðàôîâ 1) . Ðàññìîòðèì ïðîñòîé ãðàô (áåç ïåòåëü è ïàðàëëåëüíûõ ðåáåð), èìåþùèé âåðøèí è ðåáåð. Åìó ñîîòâåòñòâóåò ìàòðèöà èíöèäåíòíîñòè ðàçìåðà ´ , ò.å. Q ; M P . I = [ ], ãäå L Ìàòðèöà èíöèäåíòíîñòè

aij

Êàæäûé ýëåìåíò ýòîé ìàòðèöû

ai â ñëó÷àå îðèåíòèðîâàííîj

ãî ãðàôà îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì [15, 31]:

1, åñëè ðåáðî èíöèäåíòíî âåðøèíå è èñõîäèò èç íåå;

ài

= j

1, åñëè ðåáðî èíöèäåíòíî âåðøèíå è âõîäèò â íåå;

0, åñëè ðåáðî íå èíöèäåíòíî âåðøèíå

Â ñëó÷àå íåîðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà èìååì

1, åñëè ðåáðî èíöèäåíòíî âåðøèíå ;

= ij

0, åñëè ðåáðî íå èíöèäåíòíî âåðøèíå

Ðàññìîòðèì êîíêðåòíûé ïðèìåð. Èìååì îðèåíòèðîâàííûé ãðàô, èìåþùèé 5 âåðøèí è 7 ðåáåð (ðèñ. 1.23). e1

Ðèñ.¦1.23 34

V4 e7

Åìó ñîîòâåòñòâóåò ìàòðèöà èíöèäåíòíîñòè ðàçìåðà 5 ´ 7 ñëåäóþùåãî âèäà: § ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ©

· ¸ ¸ ¸ . ¸ ¸ ¸¹

Â ñëó÷àå çàäàíèÿ ìóëüòèãðàôà (èìååò ïàðàëëåëüíûå ðåáðà) ìàòðèöà èíöèäåíòíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðèâåäåííûì âûøå ïðàâèëàì. Íàïðèìåð, íàéäåì ìàòðèöó èíöèäåíòíîñòè äëÿ ãðàôà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 1.24.

e1 e2

e4 e7

e6 e9

Ðèñ.¦1.24 Èñêîìàÿ ìàòðèöà èìååò ðàçìåð (4

´ 9) è âûãëÿäèò ñëåäóþ-

ùèì îáðàçîì:

§ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ©

¸ ¸ ¸ ¹

2) Ìàòðèöà ñìåæíîñòè. Ïóñòü çàäàí ïñåâäîãðàô (èìååò ïåòëè), ñîäåðæàùèé n âåðøèí è m ðåáåð. Ìàòðèöåé ñìåæíîñòè ýòîãî ãðàôà As íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà ðàç-

ìåðà n n, ò.å. As = (aij) L

Q , M

Ëþáîé ýëåìåíò ýòîé ìàòðèöû

ai â ñëó÷àå îðèåíòèðîâàííîãî j

ãðàôà îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì [15].

1, åñëè âåðøèíû ( âåðøèíû

V V )Îe i

è ðåáðî èñõîäèò èç

0, â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå.

G íåîðèåíòèðîâàííûé, òî ëþáîé ýëåìåíò

Â ñëó÷àå, åñëè ãðàô

åãî ìàòðèöû ñìåæíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ òàê:

1, åñëè âåðøèíû

V ïðèíàäëåæàò ðåáðó e

;

= 0, â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå.

As â ýòîì ñëó÷àå áóäåò ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî

Ìàòðèöà

ãëàâíîé äèàãîíàëè. Ðàññìîòðèì êîíêðåòíûé ïðèìåð. Íàéäåì ìàòðèöó ñìåæíîñòè äëÿ ãðàôà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 1.25.

9 9

9 Ðèñ.¦1.25

Èñêîìàÿ ìàòðèöà ñìåæíîñòè èìååò ðàçìåð 4 ´ 4 è âûãëÿäèò òàê:

§ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ©

¸ ¸ ¸ ¹

Åñëè ãðàô êðîìå ïåòåëü èìååò ïàðàëëåëüíûå ðåáðà, ìàòðèöà

A íàõîäèòñÿ ïî ñëåäóþùèì ïðàâèëàì [9]. s

Åñëè çàäàí îðèåíòèðîâàííûé ãðàô, òî êàæäûé ýëåìåíò åãî ìàòðèöû ñìåæíîñòè íàõîäèòñÿ òàê:

a =

S ÷èñëà ðåáåð, âûõîäÿùèõ èç âåðøèíû V è i

âõîäÿùèõ â âåðøèíó

0, â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå.

Â ñëó÷àå íåîðèåíòèðîâàííîãî ãðàôà èìååì:

a =

S ÷èñëà ðåáåð ìåæäó ñìåæíûìè âåðøèíàìèV è V ; i

0, â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå.

Íàéäåì ìàòðèöó ñìåæíîñòè äëÿ ãðàôà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 1.26.

9 9

9 Ðèñ.¦1.26 37

Äàííîìó ãðàôó ñîîòâåòñòâóåò ìàòðèöà ñìåæíîñòè ðàçìåðà 4 ´ 4, èìåþùàÿ âèä § ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ©

¸. ¸ ¸

Ðàñêðàñêè Çàäà÷è ðàñêðàñêè âåðøèí èëè ðåáåð ãðàôà çàíèìàþò âàæíîå ìåñòî â òåîðèè ãðàôîâ. Îñîáåííîñòüþ ýòèõ çàäà÷ ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå îáúåêòîâ, êîòîðûå ïî êàêèì-òî ïðè÷èíàì ìîãóò áûòü îáúåäèíåíû â îäíó ãðóïïó.

G VÅ k

Ïóñòü

f VG ® kf V ¹f V :

= (

ïðîñòî

k Î N

) ãðàô,

{1, 2, 3, ,

) (

. Ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ âèäà

ðàñêðàñêîé, èëè

ðàñêðàñêîé. Ðàñêðàñêà íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè

äëÿ ëþáûõ ñìåæíûõ âåðøèí (

} íàçûâàåòñÿ âåðøèíîé

V V i è

âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

kk k

). Ãðàô, äëÿ êîòîðîãî ñóùåñòâóåò ïðàâèëüíàÿ

íàçûâàåòñÿ

ðàñêðàñêà

ðàñêðàøèâàåìûì. Â îïðåäåëåíèè ðàñêðàñêè âìåñ-

òî ìíîæåñòâà {1, 2, 3, , } ìîæíî âçÿòü ïðîèçâîëüíîå -ýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî. Ïðàâèëüíóþ

ðàñêðàñêó ãðàôà ìîæíî òðàêòî-

âàòü êàê îêðàøèâàíèå êàæäîé åãî âåðøèíû â îäèí èç öâåòîâ, ïðè ýòîì ñìåæíûå âåðøèíû äîëæíû áûòü îêðàøåíû â ðàçíûå öâåòà. Ïðè

ðàñêðàñêå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî è ìåíåå öâå-

òîâ. Ïðàâèëüíóþ

ðàñêðàñêó ãðàôà

ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê

ðàçáèåíèå

V1 * V2 * * V VG t £ k VG k

ìíîæåñòâà âåðøèí

íà íå áîëåå ÷åì íåïóñòûõ êëàññîâ, êàæ-

äûé èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ íåçàâèñèìûì ìíîæåñòâîì. Êëàññû ýòîãî ðàçáèåíèÿ íàçûâàþòñÿ öâåòíûìè êëàññàìè. Ìèíèìàëüíîå ÷èñ-

k c G k

ëî , ïðè êîòîðîì ãðàô

ÿâëÿåòñÿ

ðàñêðàøèâàåìûì, íàçûâà-

åòñÿ õðîìàòè÷åñêèì ÷èñëîì ýòîãî ãðàôà è îáîçíà÷àåòñÿ c( (

G k G

) = , òî ãðàô

íàçûâàåòñÿ -õðîìàòè÷åñêèì. Ïðàâèëüíàÿ

ïðè = c (

ðàñêðàñêà

). Åñëè

) íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíîé [15, 40].

Íà ðèñ. 1.27 ïðèâåäåíà îäíà èç ïðàâèëüíûõ 4-ðàñêðàñîê, ïðè÷åì ìåíüøèì ÷èñëîì öâåòîâ ýòîò ãðàô ðàñêðàñèòü íåëüçÿ [15]. Íîìåðàìè íà ðèñ. 1.27 îáîçíà÷åíû öâåòà.

Ðèñ.¦1.27

Ïëîñêèå è ïëàíàðíûå ãðàôû Â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ íåîáõîäèìî çíàòü, ìîæíî ëè èçîáðàçèòü ãðàô íà ïëîñêîñòè òàê, ÷òîáû åãî èçîáðàæåíèå óäîâëåòâîðÿëî íåêîòîðûì óñëîâèÿì, íàïðèìåð, â ðàäèîýëåêòðîíèêå ïðè èçãîòîâëåíèè ìèêðîñõåì ïðîâîäíèêè ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà íå äîëæíû ïåðåñåêàòüñÿ. Òàêàÿ æå çàäà÷à âîçíèêàåò ïðè ïðîåêòèðîâàíèè æåëåçíîäîðîæíûõ òðàññ, êîãäà íåæåëàòåëüíû ïåðååçäû. Ïîýòîìó ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ïëîñêîãî ãðàôà. Ïëîñêèì íàçûâàþò ãðàô, âåðøèíû êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè ïëîñêîñòè, à ðåáðà íåïðåðûâíûìè ïëîñêèìè ëèíèÿìè áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé, ñîåäèíÿþùèìè ñîîòâåòñòâóþùèå âåðøèíû òàê, ÷òî íèêàêèå äâà ðåáðà íå èìåþò îáùèõ òî÷åê, êðîìå èíöèäåíòíîé èì îáîèì âåðøèíû [15]. Ïðèìåðû ïëîñêèõ ãðàôîâ ïîêàçàíû íà ðèñ. 1.28.

Ðèñ.¦1.28

Ëþáîé ãðàô, èçîìîðôíûé ïëîñêîìó ãðàôó, íàçûâàåòñÿ ïëàíàðíûì [15]. Íà ðèñ. 1.29à ïðèâåäåí ïëîñêèé ãðàô, à íà ðèñ 1.29á ïëàíàðíûé ãðàô, èçîìîðôíûé ãðàôó íà ðèñ. 1.29à. à)

á) Ðèñ.¦1.29

Ïðîáëåìà ðàñêðàñêè ïëàíàðíûõ ãðàôîâ ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç ñàìûõ çíàìåíèòûõ â ýòîé òåîðèè. Ïåðâîíà÷àëüíî âîïðîñ ôîðìóëèðîâàëñÿ òàê: äîñòàòî÷íî ëè ÷åòûðåõ êðàñîê äëÿ òàêîé ðàñêðàñêè ïðîèçâîëüíîé ãåîãðàôè÷åñêîé êàðòû, ïðè êîòîðîé ëþáûå äâå ñîñåäíèå ñòðàíû îêðàøåíû â ðàçíûå öâåòà? Ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî òå êàðòû, â êîòîðûõ ãðàíèöà ëþáîé ñòðàíû ñîñòîèò èç îäíîé çàìêíóòîé ëèíèè, à ñîñåäíèìè ñ÷èòàþòñÿ ñòðàíû, èìåþùèå îáùóþ ãðàíèöó íåíóëåâîé äëèíû. Ïîçäíåå ïîíÿòèå êàðòû ñôîðìóëèðîâàëè òàê: êàðòà ýòî ñâÿçíûé ïëîñêèé ìóëüòèãðàô áåç ìîñòîâ (ðåáðî ãðàôà íàçûâàåòñÿ ìîñòîì, åñëè åãî óäàëåíèå óâåëè÷èâàåò ÷èñëî êîìïîíåíò ãðàôà, ìîñòàìè ÿâëÿþòñÿ ðåáðà e è t â ãðàôàõ íà ðèñ. 1.29à è 1.29á). Â 1879 ãîäó àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê À. Êýëè ñôîðìóëèðîâàë ãèïîòåçó 4-õ êðàñîê òàê: âñÿêàÿ êàðòà 4-ðàñêðàøèâàåìà. ×àñòî ïîëüçóþòñÿ äðóãîé ôîðìóëèðîâêîé: âñÿêèé ïëàíàðíûé ãðàô 4-ðàñêðàøèâàåì. Â 1890 ãîäó Ð. Õèâóä ïîêàçàë, ÷òî åñëè 4 çàìåíèòü íà 5, òî ãèïîòåçà ëåãêî äîêàçûâàåòñÿ, ò.å. âåðíà òåîðåìà: âñÿêèé ïëàíàðíûé ãðàô 5-ðàñêðàøèâàåì.

Ýéëåðîâû öåïè

Êàê óæå óïîìèíàëîñü, ñ çàäà÷è î êåíèíãñáåðãñêèõ ìîñòàõ íà÷àëàñü òåîðèÿ ãðàôîâ. Íà ðèñ. 1.30 ïîêàçàí ïëàí ðàñïîëîæåíèÿ ñåìè ìîñòîâ íà ðåêå Ïðåãîëü â ãîðîäå Êåíèíãñáåðãå (íûíå Êàëèíèíãðàä). Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïðîéòè êàæäûé ìîñò ïî îäíîìó ðàçó è âåðíóòñÿ â èñõîäíóþ òî÷êó [15, 31, 37].

Ðèñ.¦1.30

Òàê êàê ñóùåñòâåííû òîëüêî ïåðåõîäû ÷åðåç ìîñòû, ïëàí ãîðîäà ìîæíî ñâåñòè ê èçîáðàæåíèþ ãðàôà, â êîòîðîì ðåáðà ñîîòâåòñòâóþò ìîñòàì, à âåðøèíû ðàçëè÷íûì ðàçäåëåííûì ìîñòàìè ó÷àñòêàì ãîðîäà (ðèñ. 1.31).

a b f

% Ðèñ.¦1.31

Ë. Ýéëåð îáðàòèëñÿ ê îáùåé çàäà÷å, êàñàþùåéñÿ òåîðèè ãðàôîâ: â êàêèõ ñëó÷àÿõ â êîíå÷íîì ãðàôå ìîæíî íàéòè òàêîé öèêë, â êîòîðîì êàæäîå ðåáðî ãðàôà ó÷àñòâîâàëî áû îäèí ðàç? Åñëè òàêîé öèêë (çàìêíóòàÿ öåïü) åñòü, îí íàçûâàåòñÿ ýéëåðîâûì, à ãðàô, ñîäåðæàùèé åãî, ýéëåðîâûì ãðàôîì. Ë. Ýéëåð ñôîðìóëèðîâàë è äîêàçàë òåîðåìó: êîíå÷íûé ãðàô G ÿâëÿåòñÿ ýéëåðîâûì ãðàôîì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà: à) ãðàô ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíûì; á) ñòåïåíè âñåõ åãî âåðøèí ÷åòíûå. Èç òåîðåìû Ýéëåðà ñëåäóåò, ÷òî çàäà÷à î êåíèíãñáåðãñêèõ ìîñòàõ íå èìååò ðåøåíèÿ (ãðàô íà ðèñ. 1.31 íå ýéëåðîâ, òàê êàê ñòåïåíè âñåõ åãî ÷åòûðåõ âåðøèí ÿâëÿþòñÿ íå÷åòíûìè d(A) = 5; d(B) = 3; d(C) = 3; d(D) = 3). Åñëè îáîáùèòü çàäà÷ó Ýéëåðà, òî íàäî èñêàòü íàèìåíüøåå ÷èñëî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïî ðåáðàì öåïåé Ni, êîòîðûå íåîáõîäèìû äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîêðûòü êîíå÷íûé ñâÿçíûé ãðàô G, ò.å. âêëþ÷àþùèé âñå åãî ðåáðà â öåïè N . Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å Ýéëåðà. i

Ãàìèëüòîíîâû ãðàôû Ãàìèëüòîíîâûì íàçûâàåòñÿ ãðàô, åñëè â íåì åñòü öèêë, êîòîðûé ñîäåðæèò êàæäóþ âåðøèíó ýòîãî ãðàôà. Ñàì ýòîò öèêë òîæå íàçûâàåòñÿ ãàìèëüòîíîâûì. Ãàìèëüòîíîâûì íàçûâàþò è ïóòü, ñîäåðæàùèé êàæäóþ âåðøèíó ãðàôà [15, 31]. Íàçâàíèå «ãàìèëüòîíîâ» â ïðèâåäåííîì îïðåäåëåíèè ñâÿçàíî ñ èìåíåì èðëàíäñêîãî ìàòåìàòèêà Ó. Ãàìèëüòîíà, êîòîðûì â 1859 ãîäó áûëà ïðåäëîæåíà èãðà «Êðóãîñâåòíîå ïóòåøåñòâèå». Èãðà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: êàæäîé èç âåðøèí äîäåêàýäðà ïðèïèñûâàåòñÿ íàçâàíèå ãîðîäà, íåîáõîäèìî, ïåðååçæàÿ èç îäíîãî ãîðîäà â äðóãîé ïî ðåáðàì äîäåêàýäðà, ïîñåòèòü êàæäûé ãîðîä îäèí ðàç è âåðíóòüñÿ â èñõîäíûé ïóíêò ìàðøðóòà. Ýòà çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ â èñõîäíîì ãðàôå (ðèñ. 1.32) öèêëà, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç êàæäóþ âåðøèíó ýòîãî ãðàôà.

Ðèñ.¦1.32 43

Â ïðèìåíåíèè ãðàôîâ ê èãðàì âåðøèíû ãðàôà ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûì ïîçèöèÿì. Ïîýòîìó íàëè÷èå ãàìèëüòîíîâà öèêëà ðàâíîñèëüíî ñóùåñòâîâàíèþ öèêëè÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè õîäîâ, êîòîðàÿ ñîäåðæèò êàæäóþ ïîçèöèþ ïî îäíîìó ðàçó. Ïðèìåðîì ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à î øàõìàòíîì êîíå: ìîæíî ëè, íà÷èíàÿ ñ ëþáîãî ïîëÿ íà äîñêå, äâèãàòü êîíÿ â òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ÷òîáû ïðîéòè ÷åðåç êàæäîå èç øåñòèäåñÿòè ÷åòûðåõ ïîëåé è âåðíóòüñÿ â èñõîäíîå? Îäíî èç âîçìîæíûõ ðåøåíèé ïîêàçàíî íà ðèñ. 1.33 [31]. 56

Ðèñ.¦1.33

Â îðèåíòèðîâàííûõ ãðàôàõ ìîæíî èñêàòü îðèåíòèðîâàííûå öèêëû, êîòîðûå ïðîõîäÿò ÷åðåç êàæäóþ âåðøèíó ïî îäíîìó ðàçó. Íåñìîòðÿ íà ñõîäñòâî ñ ýéëåðîâûìè öèêëàìè, òåîðèÿ ãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ èìååò ñ íåé ìàëî îáùåãî. Êðèòåðèé ñóùåñòâîâàíèÿ ýéëåðîâûõ öèêëîâ áûë óñòàíîâëåí äîñòàòî÷íî ïðîñòî. À äëÿ ãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ îáùåå ïðàâèëî íåèçâåñòíî. Èíîãäà äàæå äëÿ êîíêðåòíûõ ãðàôîâ áûâàåò òðóäíî îïðåäåëèòü, èìååòñÿ ëè òàêîé öèêë. Äëÿ èçó÷åíèÿ âîïðîñà î ñóùåñòâîâàíèè ãàìèëüòîíîâûõ öèêëîâ â ñâÿçíîì ãðàôå ïðåäïîëîæåíèå îá îòñóòñòâèè êðàòíûõ ðåáåð èëè ïåòåëü íå ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åíèåì. Áîëåå ïîäðîáíî î ãàìèëüòîíîâûõ ãðàôàõ ñì. [15, 31]. Ïðèâåäåì êîíêðåòíûé ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ ãàìèëüòîíîâûõ ãðàôîâ. 44

Ïðèìåð 1.15 [3, 11].

Ñîáèðàÿñü â îòïóñê, ñëóæàùèé îäíîé èç êîìïàíèé ðåøèë ïîñåòèòü Òîêèî, Äåëè, Îñëî, Ñèäíåé è Ðèì. Îí ïîçâîíèë â ðàçëè÷íûå àâèàêîìïàíèè è óçíàë ñòîèìîñòü ïåðåëåòà ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ ãîðîäàìè è ïðåäîñòàâëÿåìûå ëüãîòû. Ó íåãî ïîëó÷èëàñü ñëåäóþùàÿ òàáëèöà (ìàòðèöà) ñòîèìîñòåé (òàáë. 1.1):

Ìàòðèöà ñòîèìîñòåé ¹

Ãîðîä

Èñõ. ïóíêò

Ìîñêâà

Òàáëèöà 1.1

Òîêèî

Äåëè

Îñëî

Ñèäíåé

Ðèì

***

270

430

160

300

260

Òîêèî

***

160

300

Äåëè

200

130

***

350

Îñëî

210

160

250

***

180

Ñèäíåé

120

460

270

480

***

Ðèì

230

***

Â êàêîì ïîðÿäêå íàäî îáúåõàòü ýòè ãîðîäà è âåðíóòüñÿ íàçàä, ÷òîáû ñòîèìîñòü ïðîåçäà áûëà ìèíèìàëüíîé? Ðåøåíèå. Äëÿ óäîáñòâà âû÷èñëåíèé óìåíüøèì âñå âåëè÷èíû â 10 ðàç è ïðîíóìåðóåì ïóíêòû. Åñëè áû íå áûëî ëüãîò, ïðåäîñòàâëÿåìûõ àâèàêîìïàíèÿìè, ìàòðèöà ñòîèìîñòåé ïîëó÷èëàñü áû ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî ãëàâíîé äèàãîíàëè. Ñèììåòðè÷íûå ìàòðèöû ïîëó÷àþòñÿ, åñëè ðàññìàòðèâàòü ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ãîðîäàìè èëè âðåìÿ â ïóòè. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ñ ñòîèìîñòü ïðîåçäà èç i-ãî ïóíêòà â j-é. Ñëåäîâàòåëüíî, i è j ìîãóò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ îò 1 äî n (è íàøåì ñëó÷àå n = 6). Ïóñòü T íåêîòîðûé ìàðøðóò. Åñëè â ìàðøðóòå ïðåäóñìîòðåí ïåðååçä èç i-ãî ïóíêòà â j-é, òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî â ìàðøðóòå T åñòü äóãà èëè çâåíî (i, j). Ñëåäîâàòåëüíî, âåñü ìàðøðóò ñîâîêóïíîñòü n çâåíüåâ: 7 ^ S S S S SQ SQ SQ S ` Çäåñü S S S Q íîìåðà ãîðîäîâ. Âåëè÷èíó C íàçûij

âàþò åùå äëèíîé çâåíà (i, j) . Áóäåì ñ÷èòàòü C

i, j =

. Îáîçíà÷èì ij

÷åðåç z(T) ñòîèìîñòü ìàðøðóòà T. ßñíî, ÷òî îíà ñêëàäûâàåòñÿ èç ñòîèìîñòåé ïðîåçäà ïî îòäåëüíûì çâåíüÿì è äîëæíà áûòü ñäåëàíà êàê ìîæíî ìåíüøå èëè, êàê ãîâîðÿò, ìèíèìèçèðîâàíà. Ýòîò ôàêò ïðèíÿòî çàïèñûâàòü ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû ] 7 ¦ LM o PLQ

L M 7

Âåëè÷èíà z(

T) îïðåäåëåíà äëÿ ëþáîãî ìàðøðóòà è íå ìîæåò

áûòü ìåíüøå âåëè÷èíû ñòîèìîñòè îïòèìàëüíîãî ìàðøðóòà, ò.å. çíà÷åíèå z(

T) êàêîãî-ëèáî ìàðøðóòà ÿâëÿåòñÿ âåðõíåé ãðàíèöåé

ñòîèìîñòè îïòèìàëüíîãî ìàðøðóòà. Ïóñòü

7 ^ `

òîãäà

] 7

Îáîçíà÷èì ìèíèìàëüíóþ ñòîèìîñòü z*( íèöó

T), åå âåðõíþþ ãðà-

] 7 , íèæíþþ ãðàíèöó ] 7 . Òîãäà

] 7 d ] 7 d ] 7 ] 7 .

Îñòàåòñÿ îòêðûòûì âîïðîñ: êàê âû÷èñëÿòü íèæíþþ ãðàíèöó

] 7 ? Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ] 7 ïðèìåíÿþò ðåäóêöèþ ñòðîê è ñòîë-

áöîâ. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ. Ðåäóêöèÿ ñòðîêè (ñòîëáöà) ïðîöåäóðà âû÷èòàíèÿ èç êàæäîãî ýëåìåíòà ñòðîêè (ñòîëáöà) íàèìåíüøåãî ýëåìåíòà ýòîé æå ñòðîêè (ñòîëáöà). Ïðîâåäåì ðåäóêöèþ ñòðîê èñõîäíîé ìàòðèöû, çàïîìèíàÿ çíà÷åíèå ìèíèìàëüíîãî ýëåìåíòà êàæäîé ñòðîêè â ñïåöèàëüíîì ñòîëáöå C , ãäå L (òàáë. 1.2): i

Òàáëèöà 1.2

Ðåäóêöèÿ ñòðîê Óçëû

Ïðîâåäåì ðåäóêöèþ ñòîëáöîâ ïîëó÷åííîé ìàòðèöû, çàïîìèíàÿ çíà÷åíèå ìèíèìàëüíîãî ýëåìåíòà êàæäîãî ñòîëáöà â ñïåöè-

àëüíîé ñòðîêå i, ãäå L

(òàáë. 1.3):

Òàáëèöà 1.3

Ðåäóêöèÿ ñòîëáöîâ

Óçëû

Ïîñëå ðåäóêöèè ñòðîê è ñòîëáöîâ â êàæäîé ñòðîêå è â êàæäîì ñòîëáöå áóäåò, ïî êðàéíåé ìåðå, îäèí íóëåâîé ýëåìåíò. Òàêóþ ìàò-

ðåäóöèðîâàííîé. Êàæäûé ïóíêò âî âðåìÿ ïó-

ðèöó áóäåì íàçûâàòü

òåøåñòâèÿ ïîñåùàåòñÿ îäèí ðàç, ïîýòîìó â ñòîèìîñòü ëþáîãî ìàðøðóòà âîéäåò îäíî ÷èñëî èç êàæäîé ñòðîêè è îäíî ÷èñëî èç êàæäîãî ñòîëáöà. Åñëè âû÷åñòü èç êàæäîãî ýëåìåíòà íåêîòîðîé ñòðîêè

èëè ñòîëáöà ìàòðèöû ñòîèìîñòåé îäíó è òó æå âåëè÷èíó , òî ñòîèìîñòü ëþáîãî ìàðøðóòà, îïðåäåëÿåìîãî íîâîé ìàòðèöåé, ìåíüøå ñòîèìîñòè òîãî æå ìàðøðóòà, îïðåäåëÿåìîãî ñòàðîé ìàòðèöåé, íà âåëè÷èíó

C. Ïðè ðåäóêöèè ìàòðèöû âñå ìàðøðóòû «äå-

øåâåþò» íà îäíó è òó æå âåëè÷èíó îäíîâðåìåííî, ïîýòîìó

îòíîøåíèÿ <, >, £, ³, = ìåæäó ñòîèìîñòÿìè ìàðøðóòîâ îñòàíóòñÿ òåìè æå. Ýòà âåëè÷èíà ñóììà âñåõ êîíñòàíò, âûíåñåííûõ â ñïåöèàëüíóþ ñòðîêó è ñòîëáåö ïðè ðåäóêöèè. Îáîçíà÷èì åå

& & & T T T

¦& ¦T L

T) ñòîèìîñòü íåêîòîðîãî ìàðøðóòà äî ðåäóêöèè,

Åñëè z(

T) åãî æå ñòîèìîñòü ïîñëå ðåäóêöèè, òî

z1(

] 7 ] 7 +

Ðåäóöèðîâàííàÿ ìàòðèöà ñîäåðæèò â êàæäîé ñòðîêå è â êàæäîì ñòîëáöå, ïî êðàéíåé ìåðå, îäèí íóëåâîé ýëåìåíò. ßñíî, ÷òî åñëè èç ýòèõ ýëåìåíòîâ ìîæíî ñîñòàâèòü ìàðøðóò, òî åãî ñòîèìîñòü z1(T) = 0, ò.å. ìèíèìàëüíàÿ. Åñëè ìàðøðóò ñîñòàâèòü íåëüçÿ, òî ïðèäåòñÿ ïðèâëåêàòü íåíóëåâûå ýëåìåíòû, ïîâûøàÿ òåì ñàìûì ñòîèìîñòü ìàðøðóòà, Ñëåäîâàòåëüíî, âåëè÷èíà H ÿâëÿåòñÿ íèæíåé ãðàíèöåé ] 7 äëÿ äàííîé ìàòðèöû ñòîèìîñòåé. Èòàê,

d ] 7 d .

Åñëè áû â êàæäîé ñòðîêå è â êàæäîì ñòîëáöå áûëî ðîâíî ïî îäíîìó íóëåâîìó ýëåìåíòó, òî ñîîòâåòñòâóþùèå ïóíêòû è îáðà-

çîâûâàëè áû îïòèìàëüíûé ìàðøðóò ñ îïòèìàëüíîé ñòîèìîñòüþ

Íî â íàøåì ñëó÷àå ýòî íå òàê. Ñ ïîìîùüþ ÌÂÃ áóäåì ñòðîèòü îïòèìàëüíûé ìàðøðóò, ïîñòåïåííî âûÿâëÿÿ ïî îäíîìó ïðèíàäëåæàùåìó ýòîìó ìàðøðóòó çâåíó. Åñòåñòâåííî, âíà÷àëå âûáðàòü çâåíî ñ ìèíèìàëüíîé ñòîèìîñòüþ, ò.å. íóëåâîé äëèíû:

= 0, a

ïîòîì äîáàâëÿòü ê íåìó íîâûå çâåíüÿ ñ íóëåâîé äëèíîé, à åñëè

ýòî íåâîçìîæíî, òî ñ ìèíèìàëüíîé. Åñëè çâåíî (

i, j

) âêëþ÷àåòñÿ

â ìàðøðóò, òî ðåøåíèå íå äîëæíî ñîäåðæàòü çâåíüåâ, íà÷èíàþ-

ùèõñÿ -ì è çàêàí÷èâàþùèõñÿ â -ì ïóíêòàõ. Ïîýòîìó -þ ñòðîêó

è -é ñòîëáåö ìîæíî èñêëþ÷èòü èç äàëüíåéøåãî ðàññìîòðåíèÿ. Èòàê, ðàçäåëèì ìíîæåñòâî âñåõ ìàðøðóòîâ íà äâå ÷àñòè: îäíà ÷àñòü ñîäåðæèò çâåíî (

i, j

), à äðóãàÿ íå ñîäåðæèò (ðèñ. 1.34). Ïîñëå

ýòîãî ðåøèì âîïðîñ: ñîäåðæèòñÿ ðàññìàòðèâàåìîå çâåíî â îïòèìàëüíîì ìàðøðóòå èëè íåò? Òàêèì îáðàçîì ìû ðåøèì âîïðîñ î íåïåðñïåêòèâíîñòè âåòâè.

Ìíîæåñòâî âñåõ ìàðøðóòîâ

L M

Ðèñ.¦1.34 Èñïîëüçóåì òàáë. 1.3. Âèäèì, ÷òî â íåêîòîðûõ ñòðîêàõ è ñòîëáöàõ èìååòñÿ ïî 2 è áîëåå ðàâíûõ íóëþ ýëåìåíòîâ. Åñëè ìû íå âêëþ÷àåì çâåíî (

i, j c ) ñ

= 0 â ìàðøðóò, òî â ëþáîì ñëó÷àå èç -ãî

j ij

ïóíêòà íàäî êóäà-òî âûåçæàòü, à â -é íàäî îòêóäà-òî ïðèáûâàòü. Ñëåäîâàòåëüíî, íå âêëþ÷àÿ çâåíî ( , ) â ìàðøðóò, ìû íåñåì èçäåðæêè, êîòîðûå ñòðåìèìñÿ ñäåëàòü êàê ìîæíî ìåíüøå. Ïîýòîìó êàæäûé ìàðøðóò, íå ñîäåðæàùèé çâåíî (

íåêîòîðîå çâåíî ñ (

i, j

), äîëæåí ñîäåðæàòü

, íà÷èíàþùååñÿ â -é ñòðîêå è íå ñîâïàäàþùåå

), ó êîòîðîãî ñòîèìîñòü ìèíèìàëüíàÿ. Îáîçíà÷èì ñòîèìîñòü

òàêèõ çâåíüåâ â êàæäîé ñòðîêå

( L

) è ïîìåñòèì èõ çíà÷åíèÿ

â ñïåöèàëüíûé ñòîëáåö. Äàëåå, ìàðøðóò, íå ñîäåðæàùèé çâåíî (i, j), äîëæåí ñîäåðæàòü íåêîòîðîå çâåíî B, çàêàí÷èâàþùååñÿ â j-ì ñòîëáöå è íå ñîâïàäàþùåå ñ (i, j), ó êîòîðîãî ñòîèìîñòü ìèíè-

ìàëüíàÿ. Îáîçíà÷èì ñòîèìîñòü òàêèõ çâåíüåâ â êàæäîì ñòîëáöå

Bj ( M

) è ïîìåñòèì èõ çíà÷åíèÿ â ñïåöèàëüíóþ ñòðîêó. Âíå-

ñåì â òàáëèöó è çíà÷åíèå

H (òàáë. 1.4). Ïîëó÷èì:

Òàáëèöà 1.4 Óçëû

H = 48

Ïðè íåèñïîëüçîâàíèè çâåíà (i, j) èçäåðæêè ñîñòàâÿò êàê ìè) íàçûâàåòñÿ âòîðè÷íûì íèìóì $ % )

. Âåëè÷èíà

øòðàôîì. Ýòî ìèíèìàëüíûé øòðàô (èçäåðæêè), êîòîðîìó ìû ïîäâåðãàåìñÿ, åñëè íå âêëþ÷àåì çâåíî (i, j) â îïòèìàëüíûé ìàðøðóò. Âû÷èñëèì LM äëÿ âñåõ çâåíüåâ ðåäóöèðîâàííîé ìàòðèöû ñòîèìîñòåé ñ c = 0 è ñðàâíèì èõ: , , ,

)

) PD[ ) )

)

) )

. ßñíî, ÷òî â ïåðâóþ î÷åðåäü íàäî ðåøèòü,

âêëþ÷àòü ëè â îïòèìàëüíûé ìàðøðóò çâåíî (1, 4), âåäü ïðè èñïîëüçîâàíèè åãî áóäóò ñàìûå áîëüøèå èçäåðæêè. Èìåííî ïîýòî-

áàçîâîãî çâåíà äëÿ âåòâëåíèÿ.

ìó (1, 4) âûáèðàåì â êà÷åñòâå

Ìíîæåñòâî âñåõ ìàðøðóòîâ

Ðèñ.¦1.35 50

Îïðåäåëèì íèæíþþ ãðàíèöó ñòîèìîñòåé ìàðøðóòîâ, íå ñîäåðæàùèõ çâåíà (1, 4). ßñíî, ÷òî èõ ñòîèìîñòü íå ìåíüøå 48 òåêóùåé íèæíåé ãðàíèöû. Íå èñïîëüçóÿ çâåíî (1, 4), ìû âûíóæäåíû «ðàñêîøåëèòüñÿ» åùå êàê ìèíèìóì íà 10, ïîýòîìó íèæíÿÿ ãðàíèöà ýòîãî ìíîæåñòâà ìàðøðóòîâ áóäåò 48 + 10 = 58 (ðèñ. 1.35). ×òîáû îïðåäåëèòü íîâóþ íèæíþþ ãðàíèöó äëÿ ìàðøðóòîâ, âêëþ÷àþùèõ çâåíî (1, 4), íåîáõîäèìî ïðåîáðàçîâàòü ìàòðèöó ñòîèìîñòåé. Êàê óæå ãîâîðèëîñü, 1-þ ñòðîêó è 4-é ñòîëáåö ìîæíî èñêëþ÷èòü èç ðàññìîòðåíèÿ. Êðîìå òîãî, çâåíî (4, 1) èñïîëüçîâàòü óæå íåëüçÿ, èíà÷å âîçíèêàåò çàìêíóòûé ïîäìàðøðóò (íåïîëíûé ìàðøðóò) {(1, 4), (4, 1)}, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ñìûñëó çàäà÷è. Èñêëþ÷èòü ýòî çâåíî èç ðàññìîòðåíèÿ ìîæíî, ïîëîæèâ c41 = ¥. Ïîëó÷èì ïðåîáðàçîâàííóþ ìàòðèöó ñòîèìîñòåé (òàáë.1.5): Òàáëèöà 1.5 Óçëû

Ìíîæåñòâî âñåõ ìàðøðóòîâ

Ðèñ.¦1.36 51

Ðåäóöèðóåì åå è ïîäãîòîâèì äëÿ âû÷èñëåíèÿ âòîðè÷íûõ øòðàôîâ (òàáë. 1.6). Ïðîâåäÿ ðåäóêöèþ ñòðîê è ñòîëáöîâ, íàõîäèì H = 1. Îïðåäåëèì òåïåðü äëÿ ìíîæåñòâà ìàðøðóòîâ, âêëþ÷àþùèõ çâåíî (1, 4), íîâóþ íèæíþþ ãðàíèöó. ßñíî, ÷òî îíà íå ìåíüøå ñòàðîé, òàê êàê 48 íèæíÿÿ ãðàíèöà âñåõ ìàðøðóòîâ. Åñëè èç çâåíüåâ ñ íóëåâîé ñòîèìîñòüþ â ïîñëåäíåé ìàòðèöå ìîæíî ñîñòàâèòü ìàðøðóò, òî ìû íà ñàìîì äåëå çàïëàòèì çà íåãî H. Ñëåäîâàòåëüíî, ëþáîé ìàðøðóò, âõîäÿùèé â ðàññìàòðèâàåìîå ìíîæåñòâî, áóäåò ñòîèòü íå ìåíåå 1 = 48 + 1 = 49. Ïîýòîìó 49 íîâàÿ íèæíÿÿ ãðàíèöà äàííîãî ìíîæåñòâà (ðèñ. 1.36). H

Òàáëèöà 1.6

Óçëû

H=1

Îáå ïîëó÷åííûå âåòâè èìåþò ïðàâî íà ñóùåñòâîâàíèå. Ïðîäîëæèì îáõîä ïî âåòâè, ñîäåðæàùåé çâåíî (1, 4), ïîñêîëüêó îíà îáëàäàåò ìåíüøåé íèæíåé ãðàíèöåé è êàæåòñÿ áîëåå ïåðñïåêòèâíîé. Ìíîæåñòâî ìàðøðóòîâ, ñîäåðæàùèõ çâåíî (1, 4), ïðåäñòîèò ðàçáèòü íà äâà ïîäìíîæåñòâà ïî òîìó æå ñàìîìó ïðèíöèïó, ÷òî è èñõîäíîå ìíîæåñòâî, ïîýòîìó íåîáõîäèìî âûáðàòü áàçîâîå çâåíî äëÿ âåòâëåíèÿ. Äëÿ òàáëèöû 1.6 ïîëó÷èì çíà÷åíèÿ âòîðè÷íûõ øòðàôîâ: ) , ) , ) , ) , ) ,

)

PD[ )

)

. Èòàê, (2, 1) áàçîâîå çâå-

íî äëÿ âåòâëåíèÿ. Íîâàÿ íèæíÿÿ ãðàíèöà äëÿ ìàðøðóòîâ, íå ñîäåðæàùèõ çâåíî (2, 1), ðàâíà 49 + 16 = 65. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ íîâîé íèæíåé ãðàíèöû ìàðøðóòîâ, ñîäåðæàùèõ çâåíî (2, 1), âû-

÷åðêíåì èç ïðåäûäóùåé òàáëèöû 2-þ ñòðîêó è 1-é ñòîëáåö è îïðåäåëèì çàïðåùåííûå çâåíüÿ: ÿñíî, ÷òî çàïðåùåíî çâåíî (1, 2), îáðàçóþùåå ïîäìàðøðóò ñ ðàññìàòðèâàåìûì çâåíîì, íî åãî óæå íåò â òàáëèöå; èç îñòàâøèõñÿ çàïðåùåíî çâåíî (4, 2), òàê êàê îíî âõîäèò â ïîäìàðøðóò {(1, 4), (4, 2), (2, 1)}. Ïîëó÷èì òàáë. 1.7.

Òàáëèöà 1.7 Óçëû

Ðåäóöèðóåì åå è ïîäãîòîâèì äëÿ âû÷èñëåíèÿ âòîðè÷íûõ øòðàôîâ (òàáë. 1.8):

Òàáëèöà 1.8 Óçëû

H=2

Ìíîæåñòâî âñåõ

Ðèñ.¦1.37 Åñëè èç çâåíüåâ ñ íóëåâîé äëèíîé â òàáë. 1.8 ìîæíî ñîñòà-

H, íî ïîêà òàêîãî ìàðøH = 2, òî íîâàÿ íèæíÿÿ

âèòü ìàðøðóò, òî åãî ñòîèìîñòü ñîñòàâèò ðóòà ñîñòàâèòü íå óäàåòñÿ. Ïîñêîëüêó

ãðàíèöà ñòîèìîñòåé ìàðøðóòîâ, ñîäåðæàùèõ çâåíî (2, 1), ðàâíà 49 + 2 = 51 (ðèñ. 1.37). Ïðîäîëæèì îáõîä äåðåâà ïî âåòâè, ñîäåðæàùåé çâåíî (2, 1). Äëÿ âûáîðà ñëåäóþùåãî çâåíà äëÿ âåòâëåíèÿ îïðåäåëèì âòîðè÷íûå øòðàôû

)

, )

, PD[ )

, )

)

, )

. Èòàê, (5, 6) áàçîâîå çâåíî äëÿ âåò-

âëåíèÿ. Íîâàÿ íèæíÿÿ ãðàíèöà äëÿ ìàðøðóòîâ, íå ñîäåðæàùèõ çâåíî (5, 6), ðàâíà 51 + 22 = 73. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ íîâîé íèæíåé ãðàíèöû ìàðøðóòîâ, ñîäåðæàùèõ çâåíî (5, 6), âû÷åðêíåì èç ïðåäûäóùåé òàáëèöû 5-þ ñòðîêó è 6-é ñòîëáåö. Ñðåäè îñòàâøèõñÿ çàïðåùåííûì áóäåò çâåíî (6, 5), òàê êàê îíî îáðàçóåò ïîäìàðøðóò ñ ðàññìàòðèâàåìûì çâåíîì (òàáë. 1.9).

Òàáëèöà 1.9

Ìíîæåñòâî âñåõ ìàðøðóòîâ

Óçëû

Ðåäóöèðóåì åå, îïðåäå ëèì H, íèæíþþ ãðàíèöó ñòîèìîñòåé ìàðøðóòîâ, ñî d d äåðæàùèõ çâåíî (5, 6) è âòîðè÷íûå øòðàôû. Íîâàÿ íèæíÿÿ ãðàíèöà ñòîèìîñòåé ìàðøðóòîâ, ñîäåðæà d

ùèõ çâåíî (5, 6), ðàâíà 51 + + 5 = 56 (ðèñ. 1.38). Ô35 = 6, Ô45 = 7, Ô62 = 8, Ô63 = 7, Ðèñ.¦1.38 max Ô = Ô 35 = Ô 62 = 8. Èòàê, (3, 5) èëè (6, 2) áàçîâûå çâåíüÿ äëÿ âåòâëåíèÿ. Ìîæíî îæèäàòü, ÷òî îíè îáà îêàæóòñÿ â ïðåäïîëàãàåìîì îïòèìàëüíîì ìàðøðóòå. Âûáåðåì (3, 5). Íîâàÿ íèæíÿÿ ãðàíèöà äëÿ ìàðøðóòîâ, íå ñîäåðæàùèõ çâåíî (3, 5), ðàâíà 56 + 8 = 64. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ íîâîé íèæíåé ãðàíèöû äëÿ ìàðøðóòîâ, ñîäåðæàùèõ çâåíî (3, 5), óäàëèì èç ïðåäûäóùåé òàáëèöû 3-þ ñòðîêó è 5-é ñòîëáåö (òàáë. 1.10), ðåäóöèðóåì íîâóþ òàáëèöó è ïîäãîòîâèì åå ê âû÷èñëåíèþ âòîðè÷íûõ øòðàôîâ (òàáë. 1.11).

i j

Òàáëèöà 1.11

Òàáëèöà 1.10 Óçëû

Óçëû

Ñi

H=7

Ìíîæåñòâî âñåõ ìàðøðóòîâ

Ðèñ.¦1.39

Ðèñ.¦1.40

Íîâàÿ íèæíÿÿ ãðàíèöà äëÿ ìàðøðóòîâ, ñîäåðæàùèõ çâåíî (3, 5), ðàâíà 56 + 7 = 63 (ðèñ. 1.39). Âòîðè÷íûå øòðàôû äëÿ çâåíüåâ (4, 3) è (6, 2) ðàâíû Ô43 = ¥, Ô62 = ¥, ñëåäîâàòåëüíî, íå èñïîëüçóÿ èõ, ìû íåñåì íåîãðàíè÷åííûå èçäåðæêè è ïîýòîìó äîë56

æíû âêëþ÷èòü èõ â ïðåäïîëàãàåìûé îïòèìàëüíûé ìàðøðóò. Êðîìå òîãî, â òàáë. 1.11 â êàæäîé ñòðîêå è â êàæäîì ñòîëáöå ðîâíî ïî îäíîìó íóëåâîìó ýëåìåíòó, ñîîòâåòñòâóþùåìó êàê ðàç çâåíüÿì (4, 3) è (6, 2). Çíà÷èò, âêëþ÷àÿ èõ â ìàðøðóò, ìû íå ìåíÿåì íèæíþþ ãðàíèöó ñòîèìîñòè. Íîâàÿ íèæíÿÿ ãðàíèöà äëÿ ìàðøðóòîâ, íå ñîäåðæàùèõ çâåíî (4, 3), ðàâíà 56 + ¥ = ¥ (ðèñ. 1.40). Òåïåðü êàê íåïåðñïåêòèâíûå ìîæíî îòñå÷ü âåòâè ñ íèæíèìè ãðàíèöàìè, ïðåâîñõîäÿùèìè ñòîèìîñòü ïîëó÷åííîãî ìàðøðóòà: ] ^ `

. Ïîëó÷èëè çíà÷åíèå áîëüøå 58 íèæíåé ãðàíèöû ìàðøðóòîâ, íå èñïîëüçóþùèõ çâåíî (1, 4). Íàäî ïðîâåðèòü è ýòó âåòâü íà îïòèìàëüíîñòü. Òàêèì îáðàçîì, ìû âûíóæäåíû âåðíóòüñÿ â íà÷àëî. Ïîñêîëüêó ìàðøðóò ñî çâåíîì (1, 4) çàïðåùåí, òî ïîëîæèì â èñõîäíîé òàáëèöå

C14

¥ (òàáë. 1.12).

Òàáëèöà 1.12 Óçëû

Ïîëó÷åííàÿ ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ñòîèìîñòè âîçâðàòà, à ïðîöåäóðà àíàëèçà ïðåäûäóùèõ òî÷åê âåòâëåíèÿ, êîòîðûå

âîçâðà-

ìîãëè áû îïðåäåëèòü áîëåå äåøåâûé ìàðøðóò, íàçûâàåòñÿ

òîì

. Òåïåðü äëÿ ïîëó÷åííîé ìàòðèöû îïðåäåëÿåì âòîðè÷íûå

Ìíîæåñòâî âñåõ

øòðàôû è áàçîâîå çâåíî äëÿ âåòâëåíèÿ. Äîáàâëåíèå íîâûõ çâåíüåâ è îïðåäåëåíèå íîâûõ

íèæíèõ ãðàíèö ïîëó÷àþùèõñÿ âåòâåé âåäåòñÿ äî ïîëó÷åíèÿ íîâîãî ïîëíîãî ìàðøðó-

òà èëè äî òîãî ìîìåíòà, êîãäà íèæíèå ãðàíèöû ñòàíóò áîëü-

øå 63 è ïîëó÷àþùèåñÿ ìíîæå-

ñòâà îêàæóòñÿ íåïåðñïåêòèâ

íûìè. Íå áóäåì ïðèâîäèòü ðàññóæäåíèé è òàáëèö, ïîêàæåì òîëüêî ìîìåíò îñòàíîâêè

ïåðåáîðà (ðèñ. 1.41).

Èòàê, îïòèìàëüíûì îêà-

Ðèñ.¦1.41

çàëñÿ ìàðøðóò ñî ñòîèìîñòüþ z(

) = 63.

7 ^ ` .

Îòïóñêíèê äîëæåí ïîñåòèòü Îñëî, Äåëè, Ñèäíåé, Ðèì, Òîêèî è âåðíóòüñÿ äîìîé. Ñòîèìîñòü áèëåòîâ ïðè ýòîì ñîñòàâèò 630 ó.å.

Óïðàæíåíèå 1.1.

Óïðàæíåíèÿ Ñåëüñêîå ïî÷òîâîå îòäåëåíèå îáñëóæèâàåò

ñåìü íàñåëåííûõ ïóíêòîâ. Ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ èç íèõ åñòü äîðîãà, ïî êîòîðîé ìîæåò ïðîåõàòü ïî÷òàëüîí íà âåëîñèïåäå. Ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ïóíêòàìè â êì óêàçàíû â òàáëèöå 1.13. Êàêèì äîëæåí áûòü ìàðøðóò ïî÷òàëüîíà, ÷òîáû ðàññòîÿíèå, êîòîðîå îí ïðåîäîëåâàåò, ðàçâîçÿ ïî÷òó, áûëî íàèìåíüøèì?

Îòâåò: 7

^ `

] 7

Òàáëèöà 1.13 Ï/ï

1 2 3 4 5 6 7

0 5 9 6 3 5 9

5 0 8 8 5 9 2

9 8 0 1 6 7 3

6 8 1 0 4 2 9

3 5 6 4 0 2 8

5 9 7 2 2 0 3

9 2 3 9 8 3 0

Óïðàæíåíèå 1.2. Èç âñåõ èìåþùèõñÿ ìàðøðóòîâ âûáðàòü ñàìûé äåøåâûé, åñëè èçâåñòíû ñòîèìîñòè áèëåòîâ äëÿ ïðîåçäà ìåæäó ðàçëè÷íûìè íàñåëåííûìè ïóíêòàìè, â êîòîðûõ äîëæåí ïîáûâàòü ïóòåøåñòâåííèê (òàáë. 1.14).

Îòâåò:

7 ^ ` ] 7 .

Òàáëèöà 1.14 Ï/ï

1.4. Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ èç ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè

Ïî îäíîìó èç íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ îïðåäåëåíèé ëîãèêà ýòî àíàëèç ìåòîäîâ ðàññóæäåíèé. Èçó÷àÿ ýòè ìåòîäû, ëîãèêà èíòåðåñóåòñÿ ôîðìîé, à íå ñîäåðæàíèåì äîâîäîâ î òîì èëè èíîì ñóæäåíèè [28]. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé âûâîä: Âñå êîøêè ëþáÿò ðûáó. Åâãåíèÿ êîøêà. Ñëåäîâàòåëüíî, îíà ëþáèò ðûáó. Ýòîò âûâîä èìååò ôîðìó: âñå À ñóòü Â; Ñ åñòü À, ñëåäîâàòåëüíî, Ñ åñòü Â. Ëîãè÷íîñòü èëè èñòèííîñòü îòäåëüíûõ ïîñûëîê èëè âûâîäîâ ëîãèêà íå èíòåðåñóåò. Îí õî÷åò çíàòü, âûòåêàåò ëè èñòèííîñòü âûâîäà èç èñòèííîñòè ïîñûëîê. Ñèñòåìàòè÷åñêàÿ ôîðìàëèçàöèÿ âåðíûõ ìåòîäîâ ðàññóæäåíèé îäíà èç ãëàâíûõ çàäà÷ ëîãèêà. Åñëè ïðè ýòîì îí ïðèìåíÿåò ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò è åãî èññëåäîâàíèÿ ïîñâÿùåíû â îñíîâíîì èçó÷åíèþ ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàññóæäåíèé, òî ïðåäìåò çàíÿòèé ëîãèêà ìîæíî íàçâàòü ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêîé. Ìîæíî ñóçèòü îáëàñòü ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, ñêàçàâ, ÷òî åå îñíîâíàÿ öåëü ýòî äàòü òî÷íîå è àäåêâàòíîå îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ «ìàòåìàòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî». Ëîãèêà ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì ëþáîé íàó÷íîé òåîðèè. Â êîíöå XIX ñòîëåòèÿ èíòåðåñ ê íåé îæèâèëñÿ ïîä âëèÿíèåì îòêðûòèÿ íååâêëèäîâûõ ãåîìåòðèé è ñòðåìëåíèÿ îáåñïå÷èòü ñòðîãîå îáîñíîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Òîãäà æå áûëè îòêðûòû ïàðàäîêñû, ò.å. ðàññóæäåíèÿ, êîòîðûå ïðèâîäÿò ê ïðîòèâîðå÷èÿì. Íàèáîëåå âàæíûìè ïàðàäîêñàìè ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå: ëîãè÷åñêèå ïàðàäîêñû (Ðàññåëà (ñì. ï. 1.1), Êàíòîðà, Áóðàëè Ôîðòè), ñåìàíòè÷åñêèå ïàðàäîêñû (ïàðàäîêñ Ëæåöà, Ðèøàðà, Áåððè, Ãðåëëèíãà). Íàïðèìåð, ïàðàäîêñ Ëæåöà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Æåíÿ ëæåö. Æåíÿ ãîâîðèò: «ß ëãó». Åñëè ïðè ýòîì îí ëæåò, òî ñêàçàííîå èì åñòü ëîæü, è ïîýòîìó îí íå ëæåò. Åñëè ïðè ýòîì îí ãîâîðèò ïðàâäó, òî ñêàçàííîå èì èñòèíà, è ïîýòîìó îí ëæåò. Â ëþáîì ñëó÷àå îêàçûâàåòñÿ, ÷òî îí ëæåò è ãîâîðèò ïðàâäó îäíîâðåìåííî. 60

Âûñêàçûâàíèÿ è îïåðàöèè íàä íèìè [29]. Ïîíÿòèå âûñêàçûâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ èñõîäíûì ïîíÿòèåì ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè. Âûñêàçûâàíèÿìè íàçûâàþòñÿ ïîâåñòâîâàòåëüíûå ïðåäëîæåíèÿ, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ èçâåñòíî èëè ìîæíî îïðåäåëèòü, èñòèííû îíè èëè ëîæíû. Íàïðèìåð, ïðåäëîæåíèå «Êîíãî âïàäàåò â Òèõèé îêåàí» ëîæíîå, à ïðåäëîæåíèå «Àëüòàèð çâåçäà â ñîçâåçäèè Îðëà» èñòèííîå. Íå âñÿêîå ïîâåñòâîâàòåëüíîå ïðåäëîæåíèå áóäåò âûñêàçûâàíèåì. Â ÷àñòíîñòè, ê âûñêàçûâàíèÿì íå îòíîñÿòñÿ âîñêëèöàòåëüíûå è âîïðîñèòåëüíûå ïðåäëîæåíèÿ. Íàïðèìåð, íå ÿâëÿåòñÿ âûñêàçûâàíèåì ïðåäëîæåíèå «Êîòîðûé òåïåðü ÷àñ?» Íå áóäåò âûñêàçûâàíèåì è ïðåäëîæåíèå, ñëóæàùåå îïðåäåëåíèåì. Íàïðèìåð, íå áóäåò âûñêàçûâàíèåì ïðåäëîæåíèå «Ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè ó = f(õ) íàçûâàåòñÿ ïðåäåë îòíîøåíèÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè ê ïðèðàùåíèþ àðãóìåíòà ïðè ïðîèçâîëüíîì ñòðåìëåíèè ïîñëåäíåãî ê íóëþ». Âûñêàçûâàíèÿ áóäåì îáîçíà÷àòü çàãëàâíûìè áóêâàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà A, B, C, D, Èç âñåõ ñâîéñòâ âûñêàçûâàíèÿ íàñ èíòåðåñóåò òîëüêî îäíî: èñòèííî îíî èëè ëîæíî. Êàæäîìó èñòèííîìó âûñêàçûâàíèþ áóäåì ñîïîñòàâëÿòü 1, à ëîæíîìó 0. Òî åñòü íà ìíîæåñòâå âñåõ âûñêàçûâàíèé ââåäåì ôóíêöèþ d(À), êîòîðàÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1 èëè 0, 1, åñëè À èñòèííî, G $ ® ¯ 0, åñëè À ëîæíî.

ò.å.

(À) íàçîâåì çíà÷åíèåì èñòèííîñòè âûñêàçûâàíèÿ À. Íàïðèìåð, äëÿ âûñêàçûâàíèÿ À «Ìèññèñèïè âïàäàåò â Áèñêàéñêèé çàëèâ» d(À) = 0. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû èìååì íà÷àëüíóþ ñîâîêóïíîñòü âûñêàçûâàíèé. Èç íèõ ñ ïîìîùüþ ëîãè÷åñêèé îïåðàöèé ìîæíî ñòðîèòü íîâûå âûñêàçûâàíèÿ. Ïðèâåäåì ýòè îïåðàöèè. Îòðèöàíèåì âûñêàçûâàíèÿ À íàçûâàåòñÿ íîâîå âûñêàçûâàíèå, îáîçíà÷àåìîå $ d

À è

, êîòîðîå ÷èòàåòñÿ «íå À èëè íåâåðíî, ÷òî À».

$ ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñëåäóþùèì îáðàçîì (òàáë. 1.15).

Òàáëèöà 1.15 d( $ )

d(À) 1

Òàáë. 1.15 íàçûâàåòñÿ òàáëèöåé èñòèííîñòè äëÿ îòðèöàíèÿ. Êîíúþíêöèåé âûñêàçûâàíèé À è Â ÿâëÿåòñÿ íîâîå âûñêàçûâàíèå (ÀÙÂ), êîòîðîå ÷èòàåòñÿ «À è Â». Òàáëèöà èñòèííîñòè äëÿ êîíúþíêöèè èìååò âèä òàáë. 1.16. Òàáëèöà 1.16 d(À)

d(Â)

d(ÀÙÂ)

Ïðèìåð 1.16. Âûñêàçûâàíèÿ VLQ OQ è OQ èñòèííû, ò.å.

S VLQ OQ .

Äèçúþíêöèåé âûñêàçûâàíèé À è Â íàçûâàåòñÿ íîâîå âûñêàçûâàíèå (ÀÚÂ), êîòîðîå ÷èòàåòñÿ «À èëè Â». Òàáëèöà èñòèííîñòè äëÿ äèçúþíêöèè èìååò âèä òàáë. 1.17. Òàáëèöà 1.17

d(À)

d(Â)

d(ÀÚÂ)

Ïðèìåð 1.17. Âûñêàçûâàíèå «Â ñóòêàõ 20 ÷àñîâ èëè â ìèíóòå 60 ñåêóíä». Äàííîå âûñêàçûâàíèå èñòèííî (íåñìîòðÿ íà åãî ñòðàííîñòü), òàê êàê èñòèííî îäíî èç ñîñòàâëÿþùèõ åãî âûñêàçûâàíèé. Èìïëèêàöèåé âûñêàçûâàíèé À è Â íàçûâàåòñÿ íîâîå âûñêàçûâàíèå (ÀÞÂ), êîòîðîå ÷èòàåòñÿ «åñëè À, òî Â èëè çà À ñëåäóåò Â». Òàáëèöà èñòèííîñòè äëÿ èìïëèêàöèè èìååò âèä òàáë. 1.18.

Òàáëèöà 1.18 d(À)

d(Â)

d(ÀÞÂ)

Ïðèìåð 1.18. Âûñêàçûâàíèå «Åñëè Çåìëÿ åñòü ýëëèïñîèä âðàùåíèÿ, òî log24 = 2» åñòü èìïëèêàöèÿ âûñêàçûâàíèé «Çåìëÿ åñòü ýëëèïñîèä âðàùåíèÿ» è «log24 = 2». Îíî ÿâëÿåòñÿ èñòèííûì, òàê êàê èñòèííû îáà âõîäÿùèõ â íåãî âûñêàçûâàíèÿ. Ýêâèâàëåíòíîñòüþ âûñêàçûâàíèé À è Â íàçûâàåòñÿ íîâîå âûñêàçûâàíèå (ÀÛÂ), êîòîðîå ÷èòàåòñÿ «À ýêâèâàëåíòíî Â èëè À òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Â». Òàáëèöà èñòèííîñòè äëÿ ýêâèâàëåíòíîñòè èìååò âèä òàáë. 1.19. Òàáëèöà 1.19 d(À)

d(Â)

d(ÀÛÂ)

Ïðèìåð 1.19. Âûñêàçûâàíèå «Âåãà íàõîäèòñÿ â ñîçâåçäèè Ëèðû

òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñêëîíåíèå aÈMi (Ïîëÿðíàÿ) ðàâíî 63

30°» ÿâëÿåòñÿ ýêâèâàëåíòíîñòüþ äâóõ âûñêàçûâàíèé «Âåãà íàõîäèòñÿ â ñîçâåçäèè Ëèðû» è «ñêëîíåíèå aÈMi(Ïîëÿðíàÿ) ðàâíî 30°». Îíî ÿâëÿåòñÿ ëîæíûì, òàê êàê ïåðâîå âûñêàçûâàíèå èñòèííî, à âòîðîå ëîæíî. ×èñëî d(ÀÛÂ) ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ d(À) è d(Â), ïîýòîìó ìîæíî îïåðèðîâàòü íå ñ âûñêàçûâàíèÿìè, à ñ ÷èñëàìè 0 è 1. Íàïðèìåð, ýêâèâàëåíòíîñòü ñ ïîìîùüþ 0 è 1 ìîæíî çàïèñàòü òàê: 1Û1 = 1; 1Û0 = 0; 0Û1 = 0; 0Û0 = 1. Òàêæå ìîæíî ïîñòóïàòü è ïî îòíîøåíèþ ê äðóãèì ëîãè÷åñêèì îïåðàöèÿì. Ñëåäîâàòåëüíî, êàæäîé ëîãè÷åñêîé îïåðàöèè íàä âûñêàçûâàíèÿìè ñîîòâåòñòâóåò ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå {0, 1} è ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ íà íåì æå. Ýòó ôóíêöèþ íàçûâàþò òåì æå òåðìèíîì, ÷òî è ñîîòâåòñòâóþùóþ ëîãè÷åñêóþ îïåðàöèþ. Â ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå ñ ïîìîùüþ ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé ìîæíî ñòðîèòü ôîðìóëû [2]. Íàïðèìåð, ((ÀÙÂ)ÞÑ) áóäåò ôîðìóëîé, êîòîðàÿ ïîñòðîåíà èç âûñêàçûâàíèé À, Â ñ ïîìîùüþ ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé êîíúþíêöèè è èìïëèêàöèè. Áóäåì íàçûâàòü âûñêàçûâàòåëüíûìè ïåðåìåííûìè òàêèå ïåðåìåííûå, êîòîðûå ìîãóò ïðèíèìàòü ñâîèìè çíà÷åíèÿìè ëþáûå êîíêðåòíûå âûñêàçûâàíèÿ. Áóäåì îáîçíà÷àòü òàêèå ïåðåìåííûå çàãëàâíûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè X, Y, Z, U, ... Êðîìå ýòîãî, ââåäåì äâå âûñêàçûâàòåëüíûå ïåðåìåííûå È è Ë; âìåñòî ïåðâîé ìîæíî ïîäñòàâèòü ëþáîå èñòèííîå âûñêàçûâàíèå, âìåñòî âòîðîé ëîæíîå. Ñëåäóþùèå ñîãëàøåíèÿ äàþò îïèñàíèå ïîíÿòèÿ ôîðìóëû. à) Ëþáàÿ îòäåëüíî âçÿòàÿ âûñêàçûâàòåëüíàÿ ïåðåìåííàÿ ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëîé. á) Åñëè Ô1 è Ô2 äâå ôîðìóëû, òî âûðàæåíèå (Ô1ÙÔ2); (Ô1ÞÔ2); Ô$1; Ô$2 òîæå ôîðìóëû. â) Íå ñóùåñòâóåò íèêàêèõ äðóãèõ ôîðìóë êðîìå òåõ, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà ðàç ïóíêòîâ à, á, â. Íàïðèìåð, ôîðìóëàìè áóäóò (YÞX $), ((XÛY)Z), à âûðàæåíèå $ (X Þ)ÚY ôîðìóëîé íå ÿâëÿåòñÿ. 64

Ïðèìåð 1.20. Ðàññìîòðèì ôîðìóëó ((XÚY)ÞZ). Îáîçíà÷èì åå Ô(X, Y, Z). Çíà÷åíèå èñòèííîñòè ýòîé ôîðìóëû ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè èñòèííîñòè ïåðåìåííûõ X, Y, Z. Ïîýòîìó ìîæíî ñîñòàâèòü òàáëèöó, äàþùóþ çíà÷åíèå èñòèííîñòè äëÿ Ô(X, Y, Z) â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé èñòèííîñòè äëÿ X, Y, Z. Òàê êàê êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ ìîæåò ïðèíèìàòü äâà çíà÷åíèÿ (0 è 1), òî äëÿ òðîéêè X, Y, Z èìååì 8 ðàçëè÷íûõ âîçìîæíîñòåé (òàáëèöà áóäåò èìåòü 8 ñòðîê). Äëÿ çàïîëíåíèÿ ïîñëåäíåãî ñòîëáöà òàáëèöû ïîäñòàâëÿåì çíà÷åíèÿ X, Y, Z â ôîðìóëó Ô(X, Y, Z). Íàïðèìåð, ïðè X = Y = Z = 1 èìååì Ô = ((1Ú1)Þ1) = 1. Â ðåçóëüòàòå çàïîëíåíèÿ ïîëó÷èì òàáë. 1.20. Òàáëèöà 1.20 Ú ÞZ)

(X Y)

Äëÿ ëþáîé ôîðìóëû Ô(X, Y, Z, ) àëãåáðû âûñêàçûâàíèé ìîæíî ñîñòàâèòü òàáëèöó, êîòîðàÿ äàåò çíà÷åíèå èñòèííîñòè ôîðìóëû â çàâèñèìîñòè îò ïåðåìåííûõ X, Y, Z, . Ýòà òàáëèöà íàçûâàåòñÿ òàáëèöåé èñòèííîñòè äëÿ ôîðìóëû Ô(X, Y, Z, ). Òàáë. 1.20. áóäåò òàáëèöåé èñòèííîñòè äëÿ ôîðìóëû ((XÚY)ÞZ) â ïðèìåðå 1.19. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ. Ôîðìóëà Ô(X, Y, Z, ) àëãåáðû âûñêàçûâàíèé íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííî èñòèííîé, èëè òàâòîëîãèåé, åñëè åå çíà÷åíèå èñòèííîñòè ðàâíî 1 ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ èñòèííîñòè äëÿ X, Y, Z, 65

Ïðèâåäåì íåêîòîðûå âàæíûå òàâòîëîãèè: 1) Çàêîíû êîììóòàòèâíîñòè êîíúþíêöèè è äèçúþíêöèè: ((XÙY)Û(YÙX)); ((XÚY)Û(YÚX)) 2) Çàêîíû àññîöèàòèâíîñòè êîíúþíêöèè è äèçúþíêöèè: (((XÙY)ÙZ)Û(XÙ(YÙZ))); (((XÚY)ÚZ)Û(XÚ(YÚZ))). 3) Çàêîíû äå Ìîðãàíà: ; < ; <

; ; < ; <

4) Çàêîí èñêëþ÷åíèÿ òðåòüåãî ; ;

5) Çàêîí êîíòðàïîçèöèè ;

< < ;

6) Ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà «îò ïðîòèâíîãî» ;

< ; < ;

Ïðåäèêàòû

Â ìàòåìàòèêå èñïîëüçóþòñÿ âûñêàçûâàíèÿ, çàâèñÿùèå îò îäíîé èëè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Íàïðèìåð, âûñêàçûâàíèå log2x > 3 çàâèñèò îò ïåðåìåííîé õ è ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ õ ìîæåò áûòü èñòèííûì èëè ëîæíûì. Íàïðèìåð ïðè õ = 10 îíî ïðåâðàùàåòñÿ â èñòèííîå âûñêàçûâàíèå, à ïðè õ = 2 â ëîæíîå. Âûñêàçûâàíèå 2õ + ó > 5 çàâèñèò îò äâóõ ïåðåìåííûõ. Íàïðèìåð, ïðè õ = 4 è ó = 2 îíî áóäåò èñòèííûì, à ïðè õ = 3 è ó = 4 ëîæíûì. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ. Âûñêàçûâàíèå, çàâèñÿùåå îò ïåðåìåííûõ x, y, z, è ïðèíèìàþùåå çíà÷åíèÿ èç íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà D, â ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå íàçûâàþò ïðåäèêàòîì íà ìíîæåñòâå D. Åñëè ïðåäèêàò ñîäåðæèò îäíó ïåðåìåííóþ, òî åãî íàçûâàþò îäíîìåñòíûì, à åñëè n ïåðåìåííûõ, òî n-ìåñòíûì. Îáëàñòü D ýòî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ïðåäèêàòà. Ïðåäèêàòû áóäåì îáîçíà÷àòü çàãëàâíûìè áóêâàìè. Íàïðèìåð, B(x) îäíîìåñòíûé ïðåäèêàò, à Ð(õ, ó) äâóõìåñòíûé ïðåäèêàò. 66

ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ. Ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà D, ñîñòîÿùåå èç òåõ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, ïðè êîòîðûõ äàííûé ïðåäèêàò ïðåâðàùàåòñÿ â èñòèííîå âûñêàçûâàíèå, íàçûâàþò îáëàñòüþ èñòèííîñòè ïðåäèêàòà. Ïðèìåð 1.21. Íàéòè îáëàñòü èñòèííîñòè ïðåäèêàòà 3 [ [ .

D: õ ³ 1 îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ïðåäèêàòà. Îáëàñòü èñòèííîñòè ïðåäèêàòà: xÎ[ 1; 8). Ïðåäèêàò íà ìíîæåñòâå D ïðè ïîäñòàíîâêå âìåñòî ïåðåìåííûõ êîíêðåòíûõ çíà÷åíèé ñòàíîâèòñÿ èñòèííûì èëè ëîæíûì âûñêàçûâàíèåì. Ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïðåäèêàò îïðåäåëåí íà ìíîæåñòâå D è ïðèíèìàåò çíà÷åíèå íà ìíîæåñòâå {0, 1}. Ïîýòîìó íà ïðåäèêàòû ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ îïåðàöèè íàä îáû÷íûìè âûñêàçûâàíèÿìè. Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ

1. Äàíî: Õ = { 5, 17, 22, 34, 101}; Y = { 17, 0, 22, 34, 102, 505}. Íàéòè Õ * Y, Õ Y, Õ\Y, Y\Õ, ÕDY. 2. Äàíî: Õ = ( ¥;5]; Y = [ 7;607). Íàéòè Õ * Y, Õ Y, Õ\Y, Y\Õ. 3. Äîêàæèòå, ÷òî îòðåçêè [0, 1] è [0, 5] ðàâíîìîùíû. 4. Äàíî: Õ = {1, 2, 3}; Y = {7, 8} r = {(1, 7), (1, 8), (2, 8), (3, 7)}. Ïîñòðîèòü ìàòðèöó è ãðàô îòíîøåíèÿ r. 5. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè â îòäåëå, ñîñòîÿùåì èç 100 ÷åëîâåê, ìîæíî âûáðàòü íà÷àëüíèêà è åãî çàìåñòèòåëåé? 6. Åñòü øåñòü âèäîâ êîíâåðòîâ áåç ìàðîê è ïÿòü âèäîâ ìàðîê. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âûáðàòü êîíâåðò è ìàðêó äëÿ îòïðàâêè ïèñüìà? 7. Èç äâåíàäöàòè ÷åëîâåê íàäî âûáðàòü ïÿòü è ðàçìåñòèòü èõ íà çàíóìåðîâàííûõ ñòóëüÿõ (ïî îäíîìó ÷åëîâåêó íà ñòóë). Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ýòî ìîæíî ñäåëàòü? *

8. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ïîñàäèòü çà ñòîë ÷åòûðåõ ìóæ÷èí è ÷åòûðåõ æåíùèí òàê, ÷òîáû æåíùèíû è ìóæ÷èíû íå ñèäåëè ðÿäîì? 9. Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ âîñüìèçíà÷íûõ ÷èñåë ìîæíî ñîñòàâèòü, èñïîëüçóÿ öèôðû 3, 4, 5? 10. Íàéòè òàáëèöû èñòèííîñòè äëÿ ôîðìóë $ Y)) 10.1. ((XÙY)Û(X Þ 10.2. ((XÚY)Û(XÚY $)) 11. Äîêàçàòü, ÷òî ôîðìóëà ; < ; < ; ÿâëÿåòñÿ

òàâòîëîãèåé. 12. Íàéòè îáëàñòü èñòèííîñòè ïðåäèêàòà Q(x) = log3(x + 2) < 4.

Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè 1)

Êàêèå ïðåäëîæåíèÿ íàçûâàþòñÿ âûñêàçûâàíèÿìè?

Ïðèâåñòè îïðåäåëåíèÿ ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé.

Êàêèå ôîðìóëû àëãåáðû âûñêàçûâàíèé íàçûâàþòñÿ òàâòîëîãèÿìè?

Êàêèå âûñêàçûâàíèÿ íàçûâàþòñÿ ïðåäèêàòàìè?

×òî íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ èñòèííîñòè ïðåäèêàòà?

Êàêèå ñïîñîáû çàäàíèÿ ìíîæåñòâ âû çíàåòå?

Êàêîå ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ óíèâåðñàëüíûì?

Êàêîå îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ áèíàðíûì?

×òî íàçûâàåòñÿ ÷èñëîì ñî÷åòàíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî m?

10)

×òî íàçûâàåòñÿ ÷èñëîì ðàçìåùåíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî m?

11)

×òî íàçûâàåòñÿ ïåðåñòàíîâêîé èç n ýëåìåíòîâ?

12)

Êàêèå ãðàôû íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè?

13)

Êàêèå ãðàôû íàçûâàþòñÿ ýéëåðîâûìè?

14)

×òî òàêîå ñòåïåíü âåðøèíû ãðàôà?

15)

Êàêèå ãðàôû íàçûâàþò äåðåâüÿìè?

16)

×òî òàêîå k-ðàñêðàñêè ãðàôà?

17)

Êàêèå ãðàôû íàçûâàþòñÿ ïëàíàðíûìè?

18)

Êàêîé ãðàô íàçûâàåòñÿ ãàìèëüòîíîâûì?

19)

Êàêèå èç ãðàôîâ ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ èìåþò ãàìèëüòîíîâû öèêëû?

20)

Êàêèå ïðåäëîæåíèÿ íàçûâàþòñÿ âûñêàçûâàíèÿìè?

21)

Ïðèâåñòè îïðåäåëåíèÿ ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé.

2. ÝËÅÌÅÍÒÛ ËÈÍÅÉÍÎÉ È ÂÅÊÒÎÐÍÎÉ ÀËÃÅÁÐÛ Ëèíåéíàÿ àëãåáðà ýòî ÷àñòü ìàòåìàòèêè, ïîñâÿùåííàÿ â îñíîâíîì òåîðèè ìàòðèö è ñâÿçàííîé ñ íåé òåîðèè ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé è âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ. Îíà âêëþ÷àåò òåîðèþ ôîðì, òåîðèþ èíâàðèàíòîâ, òåíçîðíóþ àëãåáðó. Â äàííîì ó÷åáíèêå ìû ðàññìîòðèì ïîíÿòèå ìàòðèöû, à òàêæå åå ïðèìåíåíèå äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ÑËÀÓ), ðàññìîòðèì îïðåäåëèòåëè, âåêòîðû, ñîáñòâåííûå ÷èñëà è âåêòîðû ìàòðèö.

2.1. Ìàòðèöû, îïðåäåëèòåëè è èõ ñâîéñòâà Ìàòðèöåé íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ òàáëèöà ðàçìåðîì P Q (÷èñëî ñòîëáöîâ), çàïîëíåííàÿ íåêîòîðûìè

(÷èñëî ñòðîê) íà

ìàòåìàòè÷åñêèìè îáúåêòàìè [41]. Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìàòðèöû, ýëåìåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. Êàê ïðàâèëî, ìàòðèöû îáîçíà÷àþò áîëüøèìè áóêâàìè

( , , ), à èõ ýëåìåíòû ìàëåíüêèìè áóêâàìè ñ äâóìÿ èíäåêñàìè, óêàçûâàþùèìè íîìåð ñòðîêè è íîìåð ñòîëáöà

Òî åñòü ïðÿìîóãîëüíóþ ìàòðèöó ðàçìåðà P u Q

D E LM

çàïèñûâàþò ñëå-

äóþùèì îáðàçîì:

§ D D D ¨ ¨ D D D $ ¨ ¨¨ © D D D Q

D >D @ LM

ª D D D º « D D D » « » « » » « ¬D D D ¼

· ¸ ¸ ¸ ¸¸ ¹ D

D D D

P M

Åñëè çàìåíèòü ñòðîêè ìàòðèöû åå ñòîëáöàìè (ñòîëáöû ñòðîêàìè), òî ïîëó÷èì òðàíñïîíèðîâàííóþ ìàòðèöó, êîòîðóþ îáîçíà÷àþò çàãëàâíîé áóêâîé ñ èíäåêñîì T íàâåðõó: 69

§ D D DP · ¨ ¸ ¨ D D DP ¸ ¨ ¸ . ¨ ¸ ¨ D D D ¸ © Q Q PQ ¹

Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå òèïû ìàòðèö [27, 42]. Åñëè ÷èñëî ñòðîê ìàòðèöû ðàâíî ÷èñëó åå ñòîëáöîâ, òî ìû èìååì êâàäðàòíóþ ìàòðèöó

 a11 a12 ... a1n     a 21 a 22 ... a 2n  A= . ..................     a a ... a  nn   n1 n 2 Ýëåìåíòû

D D D QQ íàçûâàþòñÿ ãëàâíîé äèàãîíàëüþ, à

èõ ñóììà ýòî ñëåä ìàòðèöû. Ýëåìåíòû D Q D Q D Q

ñîñòàâëÿþò ïîáî÷íóþ äèàãî-

íàëü. Åñëè âñå ýëåìåíòû ìàòðèöû, êðîìå ýëåìåíòîâ, ñòîÿùèõ íà ãëàâíîé äèàãîíàëè, ðàâíû íóëþ, òî ìû èìååì äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöó

§ G ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ©

· ¸ ¸ ¸. ¸ G QQ ¸¹

Åñëè âñå íåíóëåâûå ýëåìåíòû äèàãîíàëüíîé ìàòðèöû ðàâíû 1, òî ìû èìååì åäèíè÷íóþ ìàòðèöó 70

(

§ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ©

¸. ¸ ¸¹

Åñëè íåíóëåâûå ýëåìåíòû ðàñïîëàãàþòñÿ âûøå ãëàâíîé äèàãîíàëè, òî èìååì âåðõíþþ òðåóãîëüíóþ ìàòðèöó, à åñëè íèæå íèæíþþ òðåóãîëüíóþ ìàòðèöó: %

§ E ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ©

E Q ·

¸ E Q ¸ ¸ ¸ EQQ ¸¹

§ F ¨ ¨ ñ 21 ¨ ¨ ¨F © Q

· ¸ ¸ ¸ ¸ F QQ ¸¹

Ìàòðèöà ðàçìåðà P u ýòî ìàòðèöà-ñòîëáåö, à ìàòðèöà

ðàçìåðà u Q ìàòðèöà-ñòðîêà:

§ D · ¨ ¸ ¨ D ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨D ¸ © P¹

Ðàññìîòðèì ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè [19, 27, 42]. Äëÿ ñëîæåíèÿ äâóõ ìàòðèö íåîáõîäèìî, ÷òîáû îíè èìåëè îäèíàêîâûå ðàçìåðû. Ñóììó äâóõ ìàòðèö îáîçíà÷èì $ % ,

à åå ýëåìåíòû ðàâíû

D E LM

, ò.å.

§ D ¨ ¨ D ¨ ¨ ¨D © P

$ %

D D

§ D E ¨ ¨ D E ¨ ¨ ¨D E P © P

D D DP

D Q · ¸ D Q ¸

§ E ¨ ¨ E ¨ ¸ ¸ ¨ DPQ ¸¹ ¨© EP E

· § ¸ ¨ ¸¹ ¨©

Íàïðèìåð, ¨¨©

· ¸ ¸ ¹

E E

E Q · ¸ E Q ¸

¸ ¸ EPQ ¸¹

D Q D Q

E Q · ¸ E Q ¸ ¸ ¸ DPQ EPQ ¸¹ § ¨ ¨ ©

· ¸ ¸¹

Ñëîæåíèå ìàòðèö îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1) $ % % $ 2) $ % & $ % &

3) Äëÿ ëþáûõ äâóõ ìàòðèö îäèíàêîâîãî ðàçìåðà âñåãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ìàòðèöà = , òàêàÿ ÷òî

$ = %.

Òîãäà

Z åñòü ðàçíîñòü ìàòðèö B è A, ò.å. Z = B A. Ýëåìåíòû ìàòðè-

öû Z ðàâíû

ij aij.

Ïðîèçâåäåíèåì ìàòðèöû A = (aij) íà ÷èñëî k ñÿ ìàòðèöà

§ LB LB LB O · ¨ ¸ ¨ LB LB LB O ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ LB ¸ N LB N LB NO ¹ ©

Î R íàçûâàåò-

Íàïðèìåð,

· ¸ ¸ ¹

§ ¨ ©

u ¨

· ¸ ¸ ¹

§ ¨ ¨ ©

Äëÿ óìíîæåíèÿ äâóõ ìàòðèö íåîáõîäèìî, ÷òîáû îíè áûëè ñîãëàñîâàííûìè. Ìàòðèöû A è B íàçûâàþòñÿ ñîãëàñîâàííûìè, åñëè ÷èñëî ñòîëáöîâ ìàòðèöû A ðàâíî ÷èñëó ñòðîê ìàòðèöû B. Ïóñòü çàäàíû ìàòðèöû:

§ B B B O · ¨ ¸ ¨ B B B O ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ B ¸ B B NO ¹ © N N

§ C C C Q · ¨ ¸ ¨ C C C Q ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ CO CO COQ ¸ © ¹

uuu J

u uu K

Òîãäà ïðîèçâåäåíèåì ìàòðèöû A íà ìàòðèöó B íàçûâàåòñÿ ck ìàòðèöà C ðàçìåðà P u S , ýëåìåíòû

êîòîðîé íàõîäÿòñÿ ïî

ôîðìóëå

cik = ∑ aij b jk . j =1

Èç îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö ñëåäóåò, ÷òî $u ( ( u $ $ .

Ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1) $ u % u & $ u % u &

;

$ % u & $& %& . Â îáùåì ñëó÷àå $ u % z % u $ . 2)

Ðàññìîòðèì êîíêðåòíûé ïðèìåð óìíîæåíèÿ äâóõ ìàòðèö. §

¨ ¨ ¨ ©

· § ¸ ¨ ¸ u¨ ¸¹ ¨©

· ¸ ¸ ¸¹

§ ¨ ¨ ¨ ©

· ¸ ¸ ¸¹

Äëÿ êâàäðàòíîé ìàòðèöû ðàçìåðà n ´ ââîäèòñÿ ïîíÿòèå îïðåäåëèòåëÿ. Îïðåäåëèòåëåì êâàäðàòíîé ìàòðèöû ïîðÿäêà (îïðåäåëèòåëåì ïîðÿäêà ) íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà âñåâîçìîæíûõ ïðîèçâåäåíèé ýëåìåíòîâ ìàòðèöû, âçÿòûõ ïî îäíîìó èç êàæäîé ñòðîêè, ïî îäíîìó èç êàæäîãî ñòîëáöà è ñíàáæåííûõ çíàêàìè ïëþñ è ìèíóñ ïî íåêîòîðîìó îïðåäåëåííîìó ïðàâèëó. Ýòî ïðàâèëî ñôîðìóëèðóåì ïîçæå [22, 42]. Îïðåäåëèòåëü ïîðÿäêà ìàòðèöû

§ D D D Q · ¸ ¨ ¨ D D DQ ¸ ¨ ¸ ¸ ¨ ¨ D D D ¸ QQ ¹ © Q Q

îáîçíà÷àåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

GHW

D D D D

D Q D Q

DQ DQ

DQQ

Ïðèâåäåì ëåãêî çàïîìèíàþùèåñÿ ïðàâèëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëåé âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêîâ [5, 27].

D D D D

Íàïðèìåð,

D D D D D D D D D

D D D D D D

u u = 15.

D D D

D D D D D D

D D D

D D D D D D D D D D D D D D D D D D

u u u u u u u u

u u u u

Ñôîðìóëèðóåì ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëåé [5, 27].

1) Ïðè òðàíñïîíèðîâàíèè ìàòðèöû åå îïðåäåëèòåëü íå ìå-

íÿåòñÿ. 2) Ïðè ïåðåñòàíîâêå ñòðîê (ñòîëáöîâ) çíàê îïðåäåëèòåëÿ ìåíÿåòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûé:

D D

DQQ

D Q D Q

D D D D

D Q D Q

DQQ

3) Åñëè âñå ýëåìåíòû ñòðîêè (ñòîëáöà) ìàòðèöû ðàâíû íóëþ, òî åå îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ: § D ¨ ¨ ¨ ¨ ¨D © Q

D Q ·

¸ ¸ ¸ ¸ DQQ ¸¹

D Q

DQQ

4) Îáùèé ìíîæèòåëü âñåõ ýëåìåíòîâ ñòðîêè (ñòîëáöà) îïðåäåëèòåëÿ ìîæíî âûíîñèòü çà åãî çíàê:

N D D N D D

D Q D Q

N DQ DQ

DQQ

D D D D

D Q D Q

DQ DQ

DQQ

N 5

5) Îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ, åñëè âñå ýëåìåíòû ìèíèìóì äâóõ åãî ñòðîê (ñòîëáöîâ) ïðîïîðöèîíàëüíû:

D D ND ND

D Q ND Q

DQQ

N 5

6) Åñëè êàæäûé ýëåìåíò ñòðîêè (ñòîëáöà) îïðåäåëèòåëÿ åñòü ñóììà äâóõ ñëàãàåìûõ, òî òàêîé îïðåäåëèòåëü ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû äâóõ îïðåäåëèòåëåé, ó îäíîãî èç êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñòðîêà (ñòîëáåö) ñîñòàâëåíà èç ïåðâûõ ñëàãàåìûõ ñóììû, à ó äðóãîãî èç âòîðûõ:

D E D E D D

D Q E Q D Q

DQQ

D D D D

D Q D Q

DQ DQ

DQQ

E E D D

E Q D Q

DQ DQ

DQQ

7) Çíà÷åíèå îïðåäåëèòåëÿ íå èçìåíèòñÿ, åñëè ê ýëåìåíòàì åãî ñòðîêè (ñòîëáöà) ïðèáàâèòü ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòû äðóãîé ñòðîêè (ñòîëáöà), óìíîæåííûå íà îäíî è òî æå âåùåñòâåííîå ÷èñëî:

D ND D ND D D

D Q ND Q D Q

D D D D

D Q D Q

N 5

DQQ DQ DQ DQQ Äàäèì ïîíÿòèÿ ìèíîðà è àëãåáðàè÷åñêîãî äîïîëíåíèÿ [5, 27]. Ðàññìîòðèì ìàòðèöó ðàçìåðà m ´ n:

§ B B B O · ¨ ¸ ¨ B B B O ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ B ¸ N B N B NO ¹ ©

Âûäåëèì â íåé k ðàçëè÷íûõ ñòðîê è k ðàçëè÷íûõ ñòîëáöîâ, ïðè÷åì 1 £ k £ ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ èç m è n. Ýëåìåíòû âûäåëåííûõ ñòðîê è ñòîëáöîâ îáðàçóþò êâàäðàòíóþ ìàòðèöó ïîðÿäêà k. Îïðåäåëèòåëü âûäåëåííîé êâàäðàòíîé ìàòðèöû ïîðÿäêà k íàçûâàþò ìèíîðîì k-ãî ïîðÿäêà ìàòðèöû À. Åñëè â âûäåëåííóþ êâàäðàòíóþ ìàòðèöó ïîðÿäêà k âêëþ÷åíû ñòðîêè è ñòîëáöû èñõîäíîé ìàòðèöû, èìåþùèå îäèíàêîâûå íîìåðà, òî òàêîé ìèíîð íàçûâàåòñÿ ãëàâíûì. Ïîëíîå îáîçíà÷åíèå ìèíîðà k-ãî ïîðÿäêà ñëåäóþùåå:

§ L ¨ ¨M ©

· ¸ ¸ MN ¹

ãäå i íîìåðà âûäåëåííûõ ñòðîê; j íîìåðà âûäåëåííûõ ñòîëáöîâ. Îáùåå ÷èñëî ìèíîðîâ ïîðÿäêà k ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöû ðàçìåðà m ´ n ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëå

& u& N P

N Q

& ÷èñëî ñî÷åòàíèé èç m ïî k, & ÷èñëî ñî÷åòàíèé èç n ïî k . ×èñëî ìèíîðîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñîâïàäàåò ñ îáùèì ÷èñëîì ýëåìåíòîâ èñõîäíîé ìàòðèöû N P

ãäå

N Q

1 &P u &Q P u Q

Ðàññìîòðèì êîíêðåòíûé ïðèìåð § ¨ ¨ ©

· ¸. ¸¹

Îáùåå ÷èñëî ìèíîðîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà äàííîé ìàòðèöû À ðàâíî 1 & u &

. Íàïðèìåð,

§ · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹

Ìàêñèìàëüíûé ïîðÿäîê ìèíîðîâ äàííîé ìàòðèöû ðàâåí äâóì. Îáùåå ÷èñëî ìèíîðîâ âòîðîãî ïîðÿäêà ðàâíî 1 & u &

Íàïðèìåð,

0 §¨¨

· ¸ ¸¹

0 §¨¨

· ¸ ¸¹

0 §¨¨ ©

¸ ¸¹

Ðàññìîòðèì òåïåðü êâàäðàòíóþ ìàòðèöó ðàçìåðà n ´

§ D ¨ ¨ D ¨D ¨ ¨ ¨ © DQ

D D D

D Q · ¸ D Q ¸ D Q ¸ ¸ ¸ DQQ ¸¹

Âû÷åðêíåì â íåé âñå ýëåìåíòû i-é ñòðîêè è j-ãî ñòîëáöà. Îñòàâøèåñÿ ýëåìåíòû îáðàçóþò êâàäðàòíóþ ìàòðèöó ðàçìåðà (n 1) ´ (n 1). Îïðåäåëèòåëü ýòîé ìàòðèöû áóäåò ìèíîðîì (n 1) ïîðÿäêà èñõîäíîé ìàòðèöû À. 78

Íàïðèìåð, âû÷åðêíåì â ìàòðèöå À ïåðâóþ ñòðîêó è âòîðîé ñòîëáåö è ïîëó÷èì ñëåäóþùèé ìèíîð (n 1) ïîðÿäêà èñõîäíîé ìàòðèöû

D Q

DQQ

DQ D Q

Ìèíîð îáîçíà÷àåì ïî íîìåðó ýëåìåíòà, êîòîðûé ñòîèò íà ïåðåñå÷åíèè âû÷åðêèâàåìîé ñòðîêè è âû÷åðêèâàåìîãî ñòîëáöà. Â íàøåì ñëó÷àå ýòî ýëåìåíò a . Àëãåáðàè÷åñêèì äîïîëíåíèåì ýëåìåíòà a êâàäðàòíîé ìàòðèöû ïîðÿäêà n íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, âû÷èñëÿåìîå ïî ôîðìóëå A = ( 1) M , ò.å. åñëè ñóììà íîìåðîâ ñòðîêè è ñòîëáöà ÷åòíàÿ, àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå áóäåò ñîâïàäàòü ñ ñîîòâåòñòâóþùèì ìèíîðîì, à åñëè íå÷åòíàÿ, òî àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå è ìèíîð áóäóò èìåòü ðàçíûå çíàêè. Èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå àëãåáðàè÷åñêîãî äîïîëíåíèÿ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü îáùåå ïðàâèëî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëåé n-ãî ïîðÿäêà. Îí âû÷èñëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóë ðàçëîæåíèÿ ïî ýëåìåíòàì êàêîé-ëèáî ñòðîêè èëè êàêîãî-ëèáî ñòîëáöà. Âñåãî ñóùåñòâóåò 2n ôîðìóë ðàçëîæåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ (ïî ýëåìåíòàì n-ñòðîê è n-ñòîëáöîâ) [5, 27, 42]. Íàïðèìåð, ïðèâåäåì ðàçëîæåíèå ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé ñòðîêè è âòîðîãî ñòîëáöà: 12

i + j

D D D D

D Q D Q

DQ DQ

DQQ

D $ D $ D Q $ Q

D $ D $ DQ $Q

Òî åñòü êàæäûé ýëåìåíò ñòðîêè (ñòîëáöà) óìíîæàåòñÿ íà ñîîòâåòñòâóþùåå àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå. 79

Òåîðåòè÷åñêè ñ ïîìîùüþ ôîðìóë ðàçëîæåíèÿ ìîæíî âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëü êâàäðàòíîé ìàòðèöû ëþáîãî ïîðÿäêà, íî ðåàëüíî ýòè ôîðìóëû èñïîëüçóþòñÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ îïðåäåëèòåëåé íå âûøå 4-ãî. Îáúåì âû÷èñëåíèé ìîæíî íåñêîëüêî ñîêðàòèòü, åñëè èñïîëüçîâàòü ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëåé. Èç ôîðìóë ðàçëîæåíèÿ ñëåäóþò ïðèâåäåííûå íàìè âûøå ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëåé âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêîâ. Ðàññìîòðèì êîíêðåòíûå ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëåé.

Â äàííîì ïðèìåðå ìû ðàçëîæèëè îïðåäåëèòåëü ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé ñòðîêè

Ê ýòîìó îïðåäåëèòåëþ ñíà÷àëà ïðèìåíèì ñâîéñòâî íîìåð 7. Ïåðâóþ ñòðîêó îïðåäåëèòåëÿ óìíîæèì ïîñëåäîâàòåëüíî íà ( 4); ( 3); ( 2) è ñëîæèì ñî 2, 3, è 4-é ñòðîêàìè. Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì

Ïîëó÷åííûé îïðåäåëèòåëü ðàçëîæèì ïî ýëåìåíòàì 1-ãî ñòîëáöà:

Ê ïîëó÷åííîìó îïðåäåëèòåëþ âíîâü ïðèìåíèì ñâîéñòâî íîìåð 7. Óìíîæèì ïîñëåäîâàòåëüíî òðåòüþ ñòðîêó íà ( 2) è íà ( 7) è ñëîæèì ñî âòîðîé è ïåðâîé ñòðî÷êàìè. Ïîëó÷èì 0 0

4 −4

−1

−2

36 4 . −7

Ïîñëåäíèé îïðåäåëèòåëü ðàçëîæèì ïî ýëåìåíòàì ïåðâîãî ñòîëáöà, ò.å.

0 0 −1

4 −4 −2

36 4 −7

= ( −1)( −1) 3 +1

4 36 = –(16 − ( −144 )) = −160 . −4 4

Òåïåðü ðàññìîòðèì îáðàòíóþ ìàòðèöó è ïðàâèëî åå âû÷èñëåíèÿ. Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà À íàçûâàåòñÿ âûðîæäåííîé, åñëè åå îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ, ò.å. detA = 0. Â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå (detA ¹ 0) ìàòðèöà À ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé. À ëþáîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöå À ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííàÿ îáðàòíàÿ ìàòðèöà A 1. Ïðè÷åì âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî A 1 ´ A = A ´ A 1 = E. Ïðèâåäåì àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû [19, 27]. 1) Âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû À è óáåäèòüñÿ, ÷òî îí íå ðàâåí íóëþ. 81

2) Ñîñòàâèòü ìàòðèöó A1 èç àëãåáðàè÷åñêèõ äîïîëíåíèé ìàòðèöû À.

§ $ ¨ ¨ $ ¨ ¨ ¨$ © Q

$ $

$ Q · ¸ $ Q ¸

¸ ¸ $QQ ¸¹

3) Ñîñòàâèòü ïðèñîåäèíåííóþ ìàòðèöó (Â), ïîëó÷àåìóþ òðàíñïîíèðîâàíèåì ìàòðèöû A1: § $ ¨ ¨ $ ¨ ¨ ¨$ © Q

% $

$ $

$ Q

$Q · ¸ $Q ¸

¸ ¸ $QQ ¸¹

4) Âû÷èñëèòü îáðàòíóþ ìàòðèöó ïî ôîðìóëå

u% GHW $

$ $Q · ¸ $ GHW $ GHW $ ¸ $Q ¸ $ $ $ GHW $ GHW $ ¸

§ ¨ ¨ GHW ¨ ¨ GHW ¨ ¨ Q ¨ © GHW

$ Q $QQ ¸ ¸ $ GHW $ GHW $ ¹

5) Ïðîâåðêà ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà A ´ A 1 = A 1 ´ A = E. Ðàññìîòðèì êîíêðåòíûå ïðèìåðû íà îáðàùåíèå ìàòðèö. Äàíî:

Ïðèìåð 2.1.

§ ¨ ¨ ©

· ¸ ¸ ¹

Íàéòè A 1. Íàõîäèòü A 1 áóäåì â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèâåäåííûì àëãîðèòìîì. Íàéäåì îïðåäåëèòåëü èñõîäíîé ìàòðèöû 82

GHW

u u

ò.å. detA ¹ 0, ïîýòîìó ó ìàòðèöû À åñòü îáðàòíàÿ A 1. Òåïåðü íàéäåì àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå A11 = 5; A12 = 1; A21 = 2; A22 = 3. Ñîñòàâèì èç íàéäåííûõ àëãåáðàè÷åñêèõ äîïîëíåíèé ìàòðèöó A1:

§ ¨¨ ©

· ¸¸ ¹

· ¸ ¸¹

Íàéäåì ìàòðèöó Â (òðàíñïîíèðóåì ìàòðèöó À1):

§ ¨¨ ©

¸¸ ¹

Âû÷èñëÿåì îáðàòíóþ ìàòðèöó

§ ¨¨ ©

GHW

· ¸¸ ¹

§ ¨¨ ©

· ¸ ¸¹

§ ¨ ¨ ¨ ¨ ©

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

Ïðîâåðèì ïðàâèëüíîñòü âû÷èñëåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû.

$ u $

§ ¨¨ ©

§ ¨ ¸¸ u ¨ ¹ ¨ ¨ © ·

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

· § ¸ ¨ ¨ ¸ ¸ ¨¨ ¸ © ¹

§ ¨¨ ©

· ¸¸ ¹

ò.å. îáðàòíàÿ ìàòðèöà À 1 âû÷èñëåíà âåðíî. Äàíî:

Ïðèìåð 2.2.

§ ¨ ¨ ¨ ©

· ¸ ¸ ¸¹ 83

Íàéòè A 1. Âû÷èñëÿåì îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû À:

GHW $

Óìíîæàåì ïåðâóþ ñòðîêó ïîñëåäîâàòåëüíî íà ( 2) è íà ( 3) è ñêëàäûâàåì ñî âòîðîé è òðåòüåé, çàòåì ïîëó÷åííûé îïðåäåëèòåëü ðàñêëàäûâàåì ïî ýëåìåíòàì ïåðâîãî ñòîëáöà u

50 + 30 = 20;

detA ¹ 0, ò.å. èñõîäíàÿ ìàòðèöà À íåâûðîæäåííàÿ è ó íåå åñòü îáðàòíàÿ ìàòðèöà. Òåïåðü íàéäåì àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ âñåõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû À:

$ A31 =

A32 =

−2 4 = 10; 1 −7

1 2

1 −2 4 = 15; A33 = = 5. 2 1 −7

Èç íàéäåííûõ àëãåáðàè÷åñêèõ äîïîëíåíèé ñîñòàâëÿåì ìàòðèöó A1:

$ 84

§ ¨ ¨ ¨ ©

· ¸ ¸ ¸¹

Íàõîäèì ìàòðèöó % $ 7

§ ¨ ¨ ¨ ©

· ¸ ¸ ¸¹

Âû÷èñëÿåì îáðàòíóþ ìàòðèöó

GHW

§ ¨ ¨ ¨ ©

¸ ¸ ¸ ¹

§ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ©

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

Äåëàåì ïðîâåðêó ïðàâèëüíîñòè âû÷èñëåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû A ´ 1 = :

§ ¨ ¨ ¨ ©

§ ¨ · ¨ ¸ ¸ u ¨ ¨ ¸ ¹ ¨ ¨ ©

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

§ ¨ ¨ ¨ ©

¸ ¸ ¹

Èç ïðîâåðêè ñëåäóåò, ÷òî îáðàòíàÿ ìàòðèöà âû÷èñëåíà âåðíî. Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà: detA 1 = (detA) 1; (A 1)T = (AT) 1; (A ´ ´ ´ ´ ) 1 = 1 ´ ´ 1 ´ 1 ´ 1.

Ðàíã ìàòðèö

Ëþáàÿ ìàòðèöà, êðîìå ñâîåãî ïîðÿäêà äîëæíà õàðàêòåðèçîâàòüñÿ åùå îäíèì ïîêàçàòåëåì, êîòîðûé óñòàíàâëèâàåò êîëè÷å85

ñòâî åå ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòðîê è ñòîëáöîâ. Ýòîò ïîêàçàòåëü è íàçûâàþò ðàíãîì ìàòðèöû. Äàäèì åãî îïðåäåëåíèå [19, 27]. Ðàíãîì ( ( )) ìàòðèöû íàçûâàþò íàèâûñøèé ïîðÿäîê îòëè÷íûõ îò íóëÿ ìèíîðîâ ýòîé ìàòðèöû. Ðàíã èìååò ëþáàÿ ìàòðèöà. Ðàíã ìàòðèöû ñ÷èòàåòñÿ ðàâíûì íóëþ, åñëè âñå ýëåìåíòû ìàòðèöû ðàâíû íóëþ. Äëÿ ìàòðèö âûñîêîãî ïîðÿäêà ðàçðàáîòàíû ñïåöèàëüíûå âû÷èñëèòåëüíûå ìåòîäû îïðåäåëåíèÿ ðàíãà, íàïðèìåð ìåòîäû æîðäàíîâûõ èñêëþ÷åíèé. Èç ïðèâåäåííûõ âûøå ñâîéñòâ îïðåäåëèòåëåé ñëåäóåò, ÷òî ðàíã ìàòðèöû íå èçìåíÿåòñÿ: ïðè åå òðàíñïîíèðîâàíèè, ïðè ïåðåñòàíîâêå êàêèõ-ëèáî ñòðîê èëè ñòîëáöîâ, ïðè óìíîæåíèè êàæäîãî ýëåìåíòà ñòðîêè èëè ñòîëáöà íà îäíî è òî æå ÷èñëî, ïðè ñëîæåíèè ýëåìåíòîâ êàêîé-òî ñòðîêè (ñòîëáöà) ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ýëåìåíòàìè äðóãîé ñòðîêè (ñòîëáöà), óìíîæåííûìè íà äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Áåç äîêàçàòåëüñòâà ïðèâåäåì òåîðåìó è ñëåäñòâèÿ èç íåå [27]. ÒÅÎÐÅÌÀ 2.1. Åñëè ðàíã ìàòðèöû ðàâåí , òî ñóùåñòâóåò ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòðîê, îò êîòîðûõ ëèíåéíî çàâèñÿò âñå îñòàëüíûå ñòðîêè ìàòðèöû. Ñëåäñòâèå 1. Åñëè ðàíã ìàòðèöû ðàâåí , òî îíà èìååò ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòîëáöîâ, îò êîòîðûõ ëèíåéíî çàâèñÿò îñòàëüíûå ñòîëáöû. Ñëåäñòâèå 2. Ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòðîê ìàòðèöû ñîâïàäàåò ñ ìàêñèìàëüíûì ÷èñëîì ëèíåéíî-íåçàâèñèìûõ ñòîëáöîâ è ðàâíî ðàíãó ìàòðèöû. r A

2.2. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé

Ðàññìîòðèì ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ÑËÀÓ). Ëèíåéíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ñ íåèçâåñòíûìè ýòî ñèñòåìà âèäà m

D [ D [ D Q [Q E ° D [ D [ D [ E ° Q Q ® ° °¯DP [ DP [ DPQ [Q EP

P , M Q , à a

Â (2.1)

íåèçâåñòíûå,

b1, b2, , b

(2.1)

ij êîýôôèöèåíòû,

x1, x2, , x

ñâîáîäíûå ÷ëåíû.

Ñèñòåìó (2.1) ìîæíî çàïèñàòü â ìàòðè÷íîì âèäå:

ãäå

;

§ D ¨ ¨ D ¨ ¨ ¨D © P

§ E · ¨ ¸ ¨ E ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨E ¸ © P¹

D D

D Q · ¸ D Q ¸

¸ ¸ DPQ ¸¹

(2.2)

§ [ · ¨ ¸ ¨ [ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨[ ¸ © Q¹

Ðåøåíèåì ÑËÀÓ íàçûâàåòñÿ ëþáàÿ ñîâîêóïíîñòü n ÷èñåë (x1, x2, , xn), êîòîðàÿ îáðàùàåò êàæäîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (2.1) â âåðíîå ðàâåíñòâî. 87

Ëþáàÿ ÑËÀÓ âèäà (2.1) ìîæåò èìåòü îäíî ðåøåíèå, áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé, íè îäíîãî ðåøåíèÿ. Åñëè ÑËÀÓ èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå, òî îíà íàçûâàåòñÿ ñîâìåñòíîé. Åñëè ÑËÀÓ íå èìååò ðåøåíèé, òî îíà íåñîâìåñòíàÿ. Åñëè âñå ñâîáîäíûå ÷ëåíû ÑËÀÓ (2.1) ðàâíû íóëþ, òî ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíîé, à åñëè õîòÿ áû îäèí èç ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ ñèñòåìû íå ðàâåí íóëþ, òî îíà íàçûâàåòñÿ íåîäíîðîäíîé. Ñèñòåìà îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé âñåãäà ñîâìåñòíà, ò.å. îíà èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå (õ = 0). Ïåðåä ðåøåíèåì ÑËÀÓ íàäî óáåäèòüñÿ â åå ñîâìåñòíîñòè. Ïîýòîìó ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìó Êðîíåêåðà Êàïåëëè, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ýòî ñäåëàòü. Äîïîëíèì ìàòðèöó À ñèñòåìû (2.2) ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ. Â ðåçóëüòàòå ýòîãî ïîëó÷èì ìàòðèöó ïîðÿäêà m ´ (n + 1), êîòîðóþ íàçûâàþò ðàñøèðåííîé ìàòðèöåé ñèñòåìû (Ñ): j

§ D ¨ ¨ D ¨ ¨ ¨D © P

D D

D QE · ¸ D QE ¸

¸ ¸ DPQEP ¸¹

×åðåç r(À) è r(Ñ) îáîçíà÷èì ðàíãè ìàòðèö À è Ñ ñîîòâåòñòâåííî. Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì òåîðåìó [27]. ÒÅÎÐÅÌÀ 2.2. Äëÿ òîãî ÷òîáû ÑËÀÓ âèäà (2.2) áûëà ñîâìåñòíà, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ðàíã ìàòðèöû ñèñòåìû (r(À)) áûë ðàâåí ðàíãó ðàñøèðåííîé ìàòðèöû ñèñòåìû (r(Ñ)), ò.å. r(À) = r(Ñ). Çäåñü âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ: 1) åñëè r(À) = r(Ñ) = n, ãäå n ÷èñëî íåèçâåñòíûõ â ñèñòåìå (2.2), òî ÑËÀÓ èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå; 2) åñëè r(À) = r(Ñ) < n, òî ÑËÀÓ èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé. ÑËÀÓ ìîæíî ðåøàòü èëè ïðÿìûìè, èëè èòåðàöèîííûìè ìåòîäàìè. Â ïðÿìûõ (òî÷íûõ) ìåòîäàõ ðåøåíèå ñèñòåìû (2.2) íàõîäèòñÿ çà êîíå÷íîå ÷èñëî àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé. Ê ïðÿìûì 88

ìåòîäàì îòíîñÿòñÿ ìåòîä Ãàóññà è åãî ìîäèôèêàöèè, ìåòîä êâàäðàòíîãî êîðíÿ, ìåòîä Êðàìåðà è äð. Èòåðàöèîííûå ìåòîäû (ìåòîäû ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé) ñîñòîÿò â òîì, ÷òî ðåøåíèå ñèñòåìû (2.2) íàõîäèòñÿ êàê lim (ïðåäåë) ïðè k ®¥ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé õ k , ãäå k íîìåð èòåðàöèè. Îáû÷íî çà êîíå÷íîå ÷èñëî èòåðàöèé ýòîò ïðåäåë íå äîñòèãàåòñÿ. Êàê ïðàâèëî, çàäàåòñÿ íåêîòîðîå ìàëîå ÷èñëî e < 0 (òî÷íîñòü), è âû÷èñëåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà íå áóäåò âûïîëíåíî óñëîâèå ( )

[ M N

[ MN H

Ê èòåðàöèîííûì ìåòîäàì îòíîñÿòñÿ: ìåòîä ßêîáè, ìåòîä Çåéäåëÿ, ìåòîä ðåëàêñàöèè, ìåòîä ìèíèìàëüíûõ íåâÿçîê, ìåòîä ñêîðåéøåãî ñïóñêà è äð. [1, 36]. Â ó÷åáíèêå ðàññìîòðèì ïðÿìûå ìåòîäû: ìåòîä Ãàóññà è ìåòîä Êðàìåðà. Ðàññìîòðèì ìåòîä Ãàóññà ðåøåíèÿ ÑËÀÓ. Îí ñîñòîèò èç äâóõ øàãîâ. Íà ïåðâîì øàãå ìû ïðèâîäèì èñõîäíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ê âåðõíåìó òðåóãîëüíîìó âèäó, à íà âòîðîì øàãå íàõîäèì íåèçâåñòíûå (õ ), íà÷èíàÿ ñ ïîñëåäíåãî [1, 25]. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû èìååì ñèñòåìó n óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìè, è îíà ÿâëÿåòñÿ ñîâìåñòíîé, ò.å. j

D [ D [ D Q [Q E °D [ D [ D [ E ° Q Q ® ° °¯DQ [ DQ [ DQQ [Q EQ

(2.3)

Èñêëþ÷àåì íåèçâåñòíîå x1 èç âñåõ óðàâíåíèé, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî. Äëÿ ýòîãî èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ïî÷ëåííî âû÷òåì ïåðâîå, óìíîæåííîå íà a21 / a11, èç òðåòüåãî ïî÷ëåííî âû÷òåì ïåð-

âîå, óìíîæåííîå íà a31 / a11, è ò.ä., ïðè÷åì a11 ¹ 0, åñëè a11 = 0, òî ïåðåñòàâëÿåì ìåñòàìè óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (2.3). Ïîñëå ýòîãî ñèñòåìà (2.3) ïðèìåò âèä

D [ D [ D Q [Q E ° D [ D Q [Q E ° ® ° °¯ DQ [ DQQ [Q EQ

ãäå DLM

DLM

DL D

D M

(2.4)

L M

Â ñèñòåìå (2.4) èñêëþ÷àåì íåèçâåñòíûå x2 èç âñåõ óðàâíåíèé, íà÷èíàÿ ñ òðåòüåãî, ò.å. âåäóùèì ýëåìåíòîì ñòàíîâèòñÿ

D z , åñëè îí ðàâåí íóëþ, òî ïåðåñòàâëÿåì óðàâíåíèå ìåñòà-

ìè, ò.å. èç òðåòüåãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (2.4) ìû âû÷èòàåì âòî-

ðîå, óìíîæåííîå íà êîýôôèöèåíò

, èç ÷åòâåðòîãî óðàâ-

íåíèÿ ñèñòåìû (2.4) âû÷èòàåì âòîðîå, óìíîæåííîå íà êîýôôè

D D è ò.ä. Â ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ

öèåíò

ñèñòåìó óðàâíåíèé:

D [ D [ D [ D Q [Q E °

D [ D [ D Q [Q E °°

D [ D Q [Q EQ ® ° °

°¯ DQ [ DQQ [Q EQ

ãäå DLM

DLM

D M

(2.5)

L M

Àíàëîãè÷íûé ïðîöåññ ìû ïðîäîëæàåì äàëåå, è íà (n 1)-M øàãå ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé ñèñòåìå óðàâíåíèé.

D [ D [ D [ D Q [Q E ° D [ D [ D Q [Q E °° D [ D Q [Q EQ ® ° ° °¯ DQQQ [Q EQQ

(2.6)

Òî åñòü èñõîäíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé (2.3) ïðèâåëè ê âåðõíåìó òðåóãîëüíîìó âèäó (ïåðâûé øàã ìåòîäà Ãàóññà çàâåðøåí). Âòîðîé øàã (îáðàòíûé õîä) çàêëþ÷àåòñÿ â ðåøåíèè ñèñòåìû óðàâíåíèé (2.6). Îí îñóùåñòâëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (2.6) íàõîäèì xn =

EQ Q , èñD QQ

xn, èç ïðåäïîñëåäíåãî (n 1) óðàâxn 1, çàòåì èç (n 2) óðàâíåíèå ñèñòåìû (2.6) íàõîäèì xn 2 è ò.ä. äî x1.

ïîëüçóÿ íàéäåííîå çíà÷åíèå

íåíèÿ ñèñòåìû (2.6) íàõîäèì

Àëãîðèòì Ãàóññà ñîñòîèò èç îäíîòèïíûõ îïåðàöèé, êîòîðûå ëåãêî ïðîãðàììèðóþòñÿ. Ðåøèì, èñïîëüçóÿ ìåòîä Ãàóññà, ñèñòåìó óðàâíåíèé.

Ïðèìåð 2.3

[ [ [ ° ® [ [ [ ° [ [ [ ¯

Èñêëþ÷èì

(2.7)

èç âòîðîãî è òðåòüåãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû

(2.7). Äëÿ ýòîãî óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå ïî÷ëåííî íà 4 è âû÷òåì èç âòîðîãî, çàòåì óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå íà ( 5) è âû÷òåì èç òðåòüåãî. Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé:

[ [ [ ° [ [ ® ° [ [ ¯

(2.8)

Òåïåðü èñêëþ÷èì èç òðåòüåãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (2.8) íåèçâåñòíîå x2. Äëÿ ýòîãî óìíîæèì ïîýëåìåíòíî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (2.8) íà ( 3) è âû÷òåì èç òðåòüåãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (2.8). Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé:

[ [ ° [ ® ° ¯

[ [ [

(2.9)

Èç ñèñòåìû óðàâíåíèé (2.9) ïîñëåäîâàòåëüíî íàõîäèì íåèçâåñòíûå õ, íà÷èíàÿ ñ ïîñëåäíåãî (x3), ò.å. x3 = 1;

[

; [

[ [

Òåïåðü ðàññìîòðèì ìåòîä Êðàìåðà ðåøåíèÿ ÑËÀÓ. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó óðàâíåíèé (2.3), êîòîðóþ çàïèøåì â ìàòðè÷íîì âèäå (2.10) $; %

ãäå

§ D ¨ ¨ D ¨ ¨ ¨D © Q

§ E · ¨ ¸ ¨ E ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨E ¸ © Q¹

D Q ·

D Q ¸

¸ ¸ DQQ ¸¹

;

§ [ · ¨ ¸ ¨ [ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨[ ¸ © Q¹

Åñëè îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû À (det À) íå ðàâåí íóëþ, òî ñóùåñòâóåò A 1. Äîìíîæèì ñëåâà ñèñòåìó (2.10) íà A 1, ïîëó÷èì A 1 AX = A 1B, òàê êàê A 1A = E, òî èìååì EX = A 1B, à òàê êàê EX = X, òî îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì X = A 1 B (2.11) èëè â ðàçâåðíóòîì âèäå  x1   A11    1  A12  x2   ...  = det A  ...    x  A  n  1n

A21 A22 ... A2n

... An1   ... An 2  ... ...   ... Ann 

 b1     b2   ... .   b   n

(2.12)

Èç (2.12) ñëåäóåò

$ E $ E $Q EQ ½ ° GHW $ ° ¾ $ QE $ QE $QQEQ ° . [Q ° GHW $ ¿

[

(2.13)

×èñëèòåëè ðàâåíñòâ (2.13) åñòü ðàçëîæåíèÿ ïî ýëåìåíòàì 1, 2, ,

n-ãî ñòîëáöîâ îïðåäåëèòåëÿ, ïîëó÷åííîãî èç detÀ çàìåíîé

â íåì 1, 2, ,

ñòîëáöîâ ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ, ò.å.

E E

D D

D Q D Q

DQQ

D D D D

E E

DQ DQ

Òàêèì îáðàçîì, íåèçâåñòíûå x ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëå i

[

GHW $

(2.14)

ãäå i = 1, 2, , n [27]. Ðåøèì ñèñòåìó óðàâíåíèé, èñïîëüçóÿ ìåòîä Êðàìåðà.

Ïðèìåð 2.4

[ ° ® [ ° [ ¯

[ [ [

Âíà÷àëå íàéäåì îïðåäåëèòåëü èñõîäíîé ñèñòåìû

GHW

Çàòåì íàõîäèì

è îïðåäåëÿåì íåèçâåñòíûå x ; i = 1, 2, 3: i

' GHW $

[

GHW

[

GHW $

2.3. Ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèö, êâàäðàòè÷íûå ôîðìû

Ïðîáëåìà ñîáñòâåííûõ ÷èñåë èãðàåò ñóùåñòâåííóþ ðîëü íå òîëüêî â ëèíåéíîé àëãåáðå, íî è â äðóãèõ ðàçäåëàõ ìàòåìàòèêè, à òàêæå âî ìíîãèõ ïðèêëàäíûõ îáëàñòÿõ (â ìåíåäæìåíòå, ïñèõîëîãèè, þðèñïðóäåíöèè) [18]. Ïóñòü çàäàíà êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà À ðàçìåðà (n ´ n), ýëåìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà (R) è âåêòîð íåèçâåñòíûõ Õ ðàçìåðà (n ´ 1):

§ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ©

D D D D

DQ DQ

D Q · ¸ D Q ¸

¸ ¸ ¸ QQ ¹

§ [ · ¨ ¸ ¨ [ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨[ ¸ © Q¹

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî l ýòî íåêîòîðîå íåèçâåñòíîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Åñëè l è íåíóëåâîé âåêòîð Õ óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ A´ l´ , (2.15)

X =

òî l íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì ÷èñëîì èëè ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ìàòðèöû À, à Õ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ýòîé æå ìàòðèöû, ñîîòâåòñòâóþùèì l [18, 22]. Ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå (2.15) ê ñëåäóþùåìó âèäó: l ´ X A ´ X = 0, (lE A) ´ X = 0, (2.16), ãäå Å åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Ìàòðèöà

O( $

§ O D ¨ ¨ D ¨ ¨ ¨ D © Q

O D

D Q

· ¸ D Q ¸ ¸ ¸ O DQQ ¸¹

íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ìàòðèöåé [18]. Òàê êàê ïî óñëîâèþ âåêòîð íåèçâåñòíûõ Õ íå ðàâåí íóëþ, òî ñðåäè åãî êîîðäèíàò x1, x2, , xn äîëæíà áûòü õîòÿ áû îäíà íåíóëåâàÿ. À äëÿ òîãî ÷òîáû ñèñòåìà ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé (2.16) èìåëà íåíóëåâîå ðåøåíèå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îïðåäåëèòåëü ýòîé ñèñòåìû áûë ðàâåí íóëþ (ýòî ñëåäóåò èç òåîðåìû Êðîíåêåðà Êàïåëëè). Ïîýòîìó ïîëó÷àåì

O D D D O D

O( $

GHW

O ON ,

×èñëî

D Q D Q

O DQQ

ãäå

(2.17)

Q áóäåò ñîáñòâåííûì ÷èñëîì òîëü-

êî â òîì ñëó÷àå, åñëè ìàòðèöà ( ON E A) âûðîæäåííàÿ. Óðàâíåíèå (2.17) íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì ìàòðèöû

À è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé àëãåáðàè÷åñêîå óðàâíå-

íèå ñòåïåíè [18]: GHW O(

$ OQ S OQ S OQ SQ

(2.18)

Óðàâíåíèå (2.18) èìååò

n êîðíåé O O OQ . Ìíîæåñòâî

âñåõ ýòèõ êîðíåé íàçûâàåòñÿ ñïåêòðîì ìàòðèöû Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå det (

A O E) = 0 èìååò òå æå êîðíè,

÷òî è óðàâíåíèå (2.17), ò.å. det(

A O E) = ( 1)n det( O E A).

Êàæäîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ ñïåêòðà ìàòðèöû

À ñòà-

âèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ñîáñòâåííûé âåêòîð, îïðåäåëåííûé ñ òî÷-

åñòü êðàòíûé êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, òî äëÿ ïðîèçâîëüíîé êâàäðàòíîé ìàòðèöû ÷èñëî ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìîæåò áûòü íå ðàâíî êðàòíîñòè êîðíÿ. Ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ñîáñòâåííûé âåêòîð îïðåäåëÿåò â ïðîñòðàíñòâå íåêîòîðîå íàïðàâëåíèå (ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò), êîòîðîå â ðåçóëüòàòå ïðåîáðàçîâàíèÿ íå èçìåíÿåòñÿ è âäîëü êîòîðîãî ïðîñòðàíñòâî èñïûòûâàåò ðàñòÿæåíèå èëè ñæàòèå â O ðàç [5, 26].

íîñòüþ äî ñêàëÿðíîãî ìíîæèòåëÿ. Åñëè

Ïîëèíîì OQ S OQ SQ

íàçûâàþò õàðàêòåðèñòè-

÷åñêèì ïîëèíîìîì. Êîýôôèöèåíòû pk ( N Q ) ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ñëåäóþùèì ðåêóððåíòíûì ôîðìóëàì [42]:

S 6S$ ° S 6S$ S 6S$ ° °° S 6S$ S 6S$ S 6S$ ® ° S 6S$ S 6S$ S 6S$ S 6S$ ° ° °¯QSQ 6S$Q S 6S$Q SQ 6S$

(2.19)

4Q" L BLL ñëåä ìàòðèöû (ñóììà ýëåìåíòîâ, ñòîÿùèõ íà ãëàâíîé äèàãîíàëè ìàòðèöû À). Çàìåòèì, ÷òî Çäåñü

Q u GHW $ . Ïðè îòûñêàíèè ñîáñòâåííûõ ÷èñåë äàæå äëÿ

ìàòðèö íåâûñîêîãî ïîðÿäêà íåèçáåæíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî âû÷èñëåíèé. Äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ íåëüçÿ ïðåäëîæèòü îïòèìàëüíûé ñïîñîá íàõîæäåíèÿ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë è ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ñîáñòâåííûå ÷èñëà íàõîäÿòñÿ ñðàçó èñõîäÿ èç âèäà ìàòðèöû (èñõîäíàÿ ìàòðèöà ëèáî äèàãîíàëüíàÿ, ëèáî âåðõíÿÿ èëè íèæíÿÿ òðåóãîëüíàÿ). Â ýòîì ñëó÷àå

O O OQ

ñîáñòâåííûå ÷èñëà

ñîâïàäàþò ñ ýëåìåíòàìè ãëàâ-

íîé äèàãîíàëè èñõîäíîé ìàòðèöû D D DQQ .

Ïóñòü çàäàíà âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà À ðàçìåðà (n ´ n):

§ D ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ©

D D

D Q · ¸ D Q ¸

¸ ¸ DQQ ¸¹

Òîãäà èìååì

(l a11) det(lE A) = 0 ... 0

a12 (l a22) ... 0

... ... ... ...

a1n a2n ... (l ann)

O D u O D u u O DQQ

Îòñþäà âèäíî, ÷òî ñîáñòâåííûå ÷èñëà ðàâíû: O D O

D OQ

DQQ

Ñ ïîÿâëåíèåì ÝÂÌ ïîëó÷èëè ðàñïðîñòðàíåíèå èòåðàöèîííûå ìåòîäû íàõîæäåíèÿ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë, êîòîðûå íå èñïîëüçóþò âû÷èñëåíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà. Ê ýòèì ñïîñîáàì îòíîñÿòñÿ: ñòåïåííîé ìåòîä, ìåòîä îáðàòíûõ èòåðà98

öèé, QR-àëãîðèòì, ìåòîä âðàùåíèé ßêîáè, QL-àëãîðèòì è äðóãèå. Ïðè÷åì ïðèìåíåíèå êîíêðåòíîãî èòåðàöèîííîãî ìåòîäà çàâèñèò îò âèäà èñõîäíîé ìàòðèöû À [1]. Òåïåðü ðàññìîòðèì êîíêðåòíûå ïðèìåðû. Ïðèìåð 2.5. Äàíà ìàòðèöà À ðàçìåðà (3 ´ 3)

§ ¨ ¨ ¨ ©

· ¸ ¸ . ¸¹

Íàéòè ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû À. Èç óñëîâèÿ çàäà÷è âèäíî, ÷òî ìàòðèöà À ÿâëÿåòñÿ âåðõíåé òðåóãîëüíîé ìàòðèöåé. Ïîýòîìó ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè äàííîé ìàòðèöû áóäóò ýëåìåíòû åå ãëàâíîé äèàãîíàëè

O( $ O O O O O O O

GHW

Òåïåðü íàéäåì ñîîòâåòñòâóþùèå íàéäåííûì ñîáñòâåííûì ÷èñëàì ñîáñòâåííûå âåêòîðû. Äëÿ ýòîãî ìû èñïîëüçóåì óðàâíåíèå (2.16). Äëÿ O = 4 ïîëó÷àåì ( $ u ; (2.20)

ãäå

;

§ [ · ¨ ¸ ¨ [ ¸ ¨[ ¸ © ¹

Äàëåå ðàñêðîåì ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå (2.20)

ª § ¨ « ¨ « ¨ « © ¬

§ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¹ © ·

§ [ · ¸» ¨ ¸ ¸ u ¨ [ ¸ » ¸ ¨ ¸ » ¹ ¼ © [ ¹ ·º

§ · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹

Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì § · § [ · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ¨ [ ¸ ¨ ¸¹ ¨© [ ¸¹ ©

§ · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹

[ [ ° ® [ ° [ ¯

Òàê êàê ìàòðèöà ýòîé ñèñòåìû âûðîæäåíà, òî îíà èìååò íåíóëåâûå ðåøåíèÿ, êîòîðûå èìåþò âèä

;

§ [ · ¨ ¸ ¨ ¸ [ z [ 5 ¨ ¸ © ¹

ò.å. ïîëó÷åíû èñêîìûå ñîáñòâåííûå âåêòîðà äëÿ O

Äëÿ O O

ïîëó÷àåì

( $ ;

;

¨ èëè â ïîäðîáíîé çàïèñè ¨ ¨ ©

§ [ · ¨ ¸ ¨ [ ¸ ¨[ ¸ © ¹

· § [ · ¸¨ ¸ ¸ ¨ [ ¸ ¸¹ ¨© [ ¸¹

§ · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹

Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì 5õ1 4õ2 õ3 = 0 èëè õ3 = 5õ1 4õ2, ò.å. ýòî óðàâíåíèå èìååò íåíóëåâûå ðåøåíèÿ, êîòîðûå è áóäóò èñêîìûìè ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè äëÿ O . 100

Ýòè ðåøåíèÿ çàïèøåì â âèäå § [ · ¨ ¸ [ ¸ [ [ z [ [ 5 ¨ ¨ [ [ ¸ ¹ ©

;

Ïðèìåð 2.6. Äàíà ìàòðèöà À ðàçìåðà (2´2). Íàéòè ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå ìàòðèöû À:

§ ¨ ¨ ©

· ¸ ¸ ¹

Çàïèøåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (2.17) äëÿ äàííîãî ñëó÷àÿ

GHW O( $

O u O

O O

Òåïåðü íàéäåì ñîáñòâåííûå âåêòîðû èñõîäíîé ìàòðèöû À, ñîîòâåòñòâóþùèå O è O .

Äëÿ O èìååì

Â ïîäðîáíîé çàïèñè ïîëó÷èì ª§

· § ·º ¸ ¨ ¸» ¸¹ ¨© ¸¹¼

«¨ ¨ ¬©

§ [ · ¨ ¸ ¨[ ¸ © ¹

§ · ¨ ¨ ¸ ¸ © ¹

§ ¨ ¨ ©

· § [ · ¸¨ ¸ ¸¹ ¨© [ ¸¹

§ · ¨ ¨ ¸ ¸ © ¹

101

Òàê êàê îïðåäåëèòåëü ïîëó÷åííîé ìàòðèöû ðàâåí íóëþ, òî îíà èìååò íåíóëåâûå ðåøåíèÿ, êîòîðûå è ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè Õ1, êîòîðûå ìû è íàõîäèì: [ ® ¯ [

[

Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû ïîëó÷àåì õ2 = 2õ1. Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû ïîëó÷àåì õ2 = 2õ1, ò.å. îíà èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé. È èñêîìûé ñîáñòâåííûé âåêòîð Õ1 áóäåò èìåòü âèä § [ ·¸ [ z © [ ¸¹

; ¨¨

[ 5

Àíàëîãè÷íî äëÿ O íàõîäèì

§ ¨¨ Y ·¸¸ Y z Y 3 © Y ¹ Â çàêëþ÷åíèå ïðèâåäåì äâà ïîëåçíûõ ïðàâèëà [26]: 1) ñóììà ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû À ðàâíà ñëåäó ýòîé ìàòðèöû, ò.å. 9

¦O

D D D

2) ïðîèçâåäåíèå ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû À ðàâíî îïðåäåëèòåëþ ýòîé ìàòðèöû

GHW

Ââåäåì ïîíÿòèå êâàäðàòè÷íîé ôîðìû

Êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûé ìíîãî÷ëåí âòîðîé ñòåïåíè îò íåñêîëüêèõ áóêâ. Ýòè áóêâû îáîçíà÷èì õ1 , 2 n.

õ , õ

102

Êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó â îáùåì âèäå ìîæíî çàïèñàòü òàê [18, 41]: n n

f (õ1 , õ2, õn) = S S bij xi xj , ãäå bij ª R. i = 1 j = 1

Â êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó òðåõ ïåðåìåííûõ: 3 3 3 f (õ1 , õ2, õ3) = S S bij xi xj = S (bi1 xi x1 + bi2 xi x2 + bi3 xi x3) = b11 x1 x1 + i = 1 j = 1 i = 1 + b12 x1 x2 + b13 x1 x3 + b21 x2 x1 + b22 x2 x2 + b23 x2 x3 + b31 x3 x1 + b32 x3 x2 + + b33 x3 x3 = b11 x12 + b22 x22 + b33 x32 + x1 x2 (b12 + b21) + x1 x3 (b13 + + b31) + x2 x3 (b23 + b32). Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: + b2132 . bb12 + b bb13 + + b b +b 31 b21 b 23 = b 32 = 23 b 12 = b 21 = 12 2 21 ; b 13 = b 31 = 12 2 ; 2 ,

Òîãäà êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïðèìåò âèä f (õ1, õ2, õ3) = b11x12 +b22x22 + b33x32 + 2b 12x1x2 + 2b 13x1x3 + 2b 23x2x3. ,

Äîïîëíèòåëüíî ââîäèì ñèììåòðè÷íóþ ìàòðèöó Â, âåêòîð Õ® : b11 b 12 b 13 x1 Â = b 21 b22 b 23 ; Õ® = x2 b 31 b 32 b 33 x3

Â ýòîì ñëó÷àå êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïðèìåò âèä f (õ1 , õ2, õ3) = Õ® Ò Â Õ® . 103

Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàòðè÷íî-âåêòîðíûé âèä êâàäðàòè÷íîé ôîðìû. À â îáùåì ñëó÷àå ïîëó÷èì ® ® f (õ1, õ2, , õn) = Õ Ò Â Õ , ãäå

Â =

b11 b12 .. b1n b21 b22 .. b2n ; b31 b32 .. b3n ....................... bn1 bn2 ..... bnn

x 1 Õ = x2 , xn ... xn

ãäå b êîýôôèöèåíòû ïðè õ äëÿ âñåõ i = 1, 2, , n, à b = b ðàâíû ïîëóñóììàì êîýôôèöèåíòîâ ïðè ýëåìåíòàõ, ñîäåðæàùèõ ïðîèçâåäåíèÿ xi · xj è xj · xi ïðè âñåõ i, j = 1, 2 .., n, i ¹ j. 2

Ìàòðèöà Â ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû. Â êà÷åñòâå ïðèìåðà çàïèøåì â ìàòðè÷íî-âåêòîðíîì âèäå êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó f (õ1, õ2, õ3) = 2x12 + 3 x22 + x32 6õ1 õ2 + 8õ1õ3 + 14õ2õ3. Â äàííîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì b11 = 2; b22 = 3; b33 = 1; b12 + b21 = 6; b13 + b31 = 8; b23 + b32 = 14, ò.å. b12 = b21 = 3; b13 = b31 = 4; b23 = b32 = 7. Ìàòðèöà äàííîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ïðèíèìàåò âèä

2 3 Â = 3 3 4 7

4 7 . 1

À åå ìàòðè÷íî-âåêòîðíàÿ çàïèñü òàêîâà:

104

2 3 4 f (õ1, õ2, õ3) = (õ1, õ2, õ3) · 3 3 7 · 4 7 1

x1 x2 x3 .

2.4. Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ î âåêòîðàõ Öèôðîâûå äàííûå, èñïîëüçóåìûå â ýêîíîìèêå, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñïèñêîâ ÷èñåë, êàæäîå èç êîòîðûõ èìååò îïðåäåëåííûé ñìûñë. Íàïðèìåð, ñïèñêè öåí ðàçëè÷íûõ òîâàðîâ â ìàãàçèíàõ, îáúåìû ïðîäóêöèè ðàçíûõ âèäîâ, âûïóùåííûõ êàêèì-ëèáî ïðåäïðèÿòèåì çà ãîä, è ò.ä. Â ìàòåìàòèêå òàêèå óïîðÿäî÷åííûå ñïèñêè ÷èñåë íàçûâàþò âåêòîðàìè. Äàäèì îïðåäåëåíèå n-ìåðíîãî âåêòîðà (n = 1, 2, .). Óïîðÿäî÷åííûé íàáîð n äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë x1, õ2, õ3, , õn íàçûâàåòñÿ n-ìåðíûì âåêòîðîì. Ìû áóäåì îáîçíà÷àòü âåêòîðû çàãëàâíûìè áóêâàìè ñî ñòðåëêàìè íàä íèìè, ò.å. ®

Õ = (x1, õ2, õ3, , õn), ÷èñëà x1, õ2, õ3, , õn åñòü êîîðäèíàòû âåêòîðà, à n åãî ðàçìåðíîñòü [18, 19]. Äâà n-ìåðíûõ âåêòîðà íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè èõ ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû ðàâíû, íàïðèìåð ®

Õ = (2, 3, 7, 12); Y = (2, 3, 7, 12) Þ Õ = Y . Âåêòîð, âñå êîîðäèíàòû êîòîðîãî íóëè, íàçûâàåòñÿ íîëü® . âåêòîðîì è îáîçíà÷àåòñÿ O Àëãåáðàè÷åñêîé ñóììîé äâóõ n-ìåðíûõ âåêòîðîâ ® ® Õ = (x1, õ2, , õn) è Y = (ó1, ó2, , ón) ® ® íàçûâàåòñÿ âåêòîð Õ ± Y , êàæäàÿ êîîðäèíàòà êîòîðîãî ðàâíà àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ñîîòâåòñòâóþùèõ êîîðäèíàò âåê® ® , ò.å.® òîðîâ Õ è Y ® Õ ± Y = (õ1±ó1, õ2±ó2, , õn±ón). (2.21) Ïðîèçâåäåíèåì äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà k íà n -ìåðíûé âåê® ® òîð Õ = (x1, õ2, , õn) íàçûâàåòñÿ n-ìåðíûé âåêòîð kÕ , êàæäàÿ

105

êîîðäèíàòà êîòîðîãî ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ÷èñëà k íà ñîîòâåò® ñòâóþùóþ êîîðäèíàòó âåêòîðà Õ , ò.å. ® kÕ = (kx1, kõ2, , kõn). (2.22) Ìíîæåñòâî n-ìåðíûõ âåêòîðîâ, äëÿ êîòîðûõ îïðåäåëåíû äåéñòâèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî ñëîæåíèÿ (2.21) è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî (2.22), íàçûâàþò n-ìåðíûì âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì è îáîçíà÷àþò Rn (â ñëó÷àå n = 1 îíî ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R). Â ñëó÷àå n = 2 è n = 3 èìååì ñîîòâåòñòâåííî äâóìåðíîå (R2) è òðåõìåðíîå (R3) âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà, à äâóìåðíûå è òðåõìåðíûå âåêòîðû èìåþò ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ: îíè èçîáðàæàþòñÿ íàïðàâëåííûìè îòðåçêàìè íà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâå [5, 18, 19]. Ïóñòü â Rn çàäàíû âåêòîðû ® ® x1, õ2, , õn), Y = ( ó1, ó2, , ón), Õ = (® Z = ( z1, z2, , zn); kÎR; tÎR. Ïðèâåäåì ñâîéñòâà ëèíåéíûõ äåéñòâèé âåêòîðàìè [5, 18]: ®

Y + Õ ; 1) Õ® + Y = ® ® ® ® ® 2) Õ® + ( Y + Z ) = ( Õ + Y ) + Z ; ® ® 3) Õ + 0 = Õ ; ® ® ® ® 4) k(Õ + Y ) = kÕ + kY ; ® ® ® 5) (k + t)Õ = kÕ + tÕ ; ® ® 6) k . t (Õ )= k . (t . X); ® ® 7) 0Õ® = 0 ; ® 8) ® k 0 = 0 ; ® ® ® 9) Õ Y = Õ + ( 1)Y ®

Äëèíà (íîðìà) âåêòîðà Õ = (x1, õ2, , õn) â ïðîñòðàíñòâå Rn íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå

;

¦[ Q

Íàïðèìåð, çàäàí âåêòîð = (5, 3, 2). Èñïîëüçóÿ (2.23) íàéäåì, ÷òî åãî äëèíà ðàâíà

106

(2.23)

;

Ââåäåì ïîíÿòèå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ â äåéñòâèòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå Rn. Ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì äâóõ âåêòîðîâ ® ® Õ = (x1, õ2, , õn) è Y = (ó1, ó2, , ón) â Rn (õ ÎR, ó ÎR, L Q ) íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, ïîëó÷àåìîå ïî

ôîðìóëàì [5, 18, 19]:

; < ¦ [ \ Q

; <

(2.24)

; u < u FRV D

(2.25)

ãäå a åñòü óãîë ìåæäó n-ìåðíûìè âåêòîðàìè è (â ñëó÷àå n = 2 è

n = 3a

áóäåò óãëîì ìåæäó íàïðàâëåííûìè îòðåçêàìè íà ïëîñ-

Õ Y

êîñòè è â ïðîñòðàíñòâå, à ïðè n > 3 âåêòîðû è ÿâëÿþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèìè àáñòðàêöèÿìè).

Èç ôîðìóëû (2.25) ñëåäóåò, ÷òî óãîë ìåæäó -ìåðíûìè âåê-

® ®

Õ Y

òîðàìè è ðàâåí

; <

cosa = ;

u < =

Q Q [Q \ \ \Q

[

Åñëè óãîë ìåæäó âåêòîðàìè

Õ Y è

ðàâåí

. (2.26)

, òî ñêàëÿðíîå

ïðîèçâåäåíèå ýòèõ âåêòîðîâ ðàâíî íóëþ, ò.å.

G G

¦[ \

Ïðèìåð 2.7

[ \ [ \

[Q \ Q

(2.27)

Íàïðèìåð, çàäàíû âåêòîðû

Õ = (2, 3, 7) è

Y = (1, 6, 5) â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå R

Íàéòè óãîë ìåæäó íèìè.

107

ÏÎ ôîðìóëå (2.26) ïîëó÷èì

rÙr cos XY

х1 у 2 + х 2 у 2 + х 3 у 3

( )

x +x +x 2 1

2 2

2 1

2 2

2 3

2 + 18 + 35 4 + 9 + 49 1 + 36 + 25

55 ≈ 0,887097 . 62 rÙr

62 62

y +y +y

2 3

α = ( ХУ ) ≈ 27°29′21,′′5

Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â ïðîñòðàíñòâå Rn îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè [5, 18]: 1) 9 9

ñëó÷àå, åñëè

(ïðè ýòîì ðàâåíñòâî íóëþ áóäåò òîëüêî â òîì G G

);

; < < ;

3) N ; W< = N ; = W < = .

Çäåñü

G G G

= âåêòîðû â Rn, à k è t äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà.

Ïðîñòðàíñòâî Rn, â êîòîðîì ââåäåíî ïîíÿòèå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïî ôîðìóëå (2.24), íàçûâàåòñÿ åâêëèäîâûì n-ìåðíûì ïðîñòðàíñòâîì [5, 18]. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå Ââåäåì íîâîå äåéñòâèå íàä âåêòîðàìè âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå. Ïðè ýòîì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå çàäàíà äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò. Íàïîìíèì, ÷òî äåêàðòîâà ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì ëèíåéíîé åäèíèöû äëÿ èçìåðåíèÿ äëèí è òðåõ ïåðåñåêàþùèõñÿ â îäíîé òî÷êå âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ îñåé, êîòîðûå çàíóìåðîâàíû â íåêîòîðîì ïîðÿäêå. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ îñåé ýòî íà÷àëî êîîðäèíàò, à îñè ýòî êîîðäèíàòíûå îñè, ïðè÷åì ïåðâóþ íàçûâàþò îñüþ àáñöèññ (x), âòîðóþ îñüþ îðäèíàò (y), à òðåòüþ îñüþ àïïëèêàò (z) [17]. 108

® ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ. Âåêòîðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðà Õ íà ® ® ® âåêòîð Y íàçûâàåòñÿ âåêòîð, êîòîðûé îáîçíà÷àåòñÿ [Õ, Y] èëè ® ® Õ ´ Y è îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèÿìè: ® ® ® ® ® ® à) ìîäóëü âåêòîðà Õ ´ Y ðàâåí |Õ | · |Y | · sin a, ò.å. |Õ ´ Y | = ® ® a, ãäå a óãîë ìåæäó âåêòîðàìè Õ è Y; = |Õ®|·|Y®| · sin ® ® á) âåêòîð Õ® ´ Y® ïåðïåíäèêóëÿðåí ê êàæäîìó èç âåêòîðîâ Õ è Y; ® ® ® ® â) åñëè âåêòîðà Õ, Y, Õ ´ Y ïðèâåäåíû ê îáùåìó íà÷àëó, òî âåêòîð Õ® ´ Y® äîëæåí áûòü íàïðàâëåí òàê, ÷òîáû èç åãî êîíöà êðàò÷àéøèé ïîâîðîò âåêòîðà Õ® ê âåêòîðó Y® áûë ñîâåðøàåì ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Òàêàÿ òðîéêà âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ ïðàâîé (ðèñ. 2.1).

® ®

Õ´ Y

Ðèñ.¦2.1 109

Ïðèâåäåì ñâîéñòâà âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. 1) Åñëè Õ® è Y® êîëëèíåàðíûå âåêòîðû, òî èõ âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî íóëþ, ò.å. Õ® ´ Y® = |Õ®|·|Y®| · sin a = 0. Â äàííîì ñëó÷àå a = 0° èëè a = 180°, à ñèíóñ a â îáîèõ ñëó÷àÿõ ðàâåí íóëþ. 2) Åñëè âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ Õ® è Y® ðàâíî íóëþ, òî îíè êîëëèíåàðíû. ® ® 3) Åñëè âåêòîðû Õ è Y ïðèâåäåíû ê îáùåìó íà÷àëó, òî ìîäóëü âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ |Õ® ´ Y® | ðàâåí ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà ýòèõ âåêòîðàõ. Èç ýëåìåíòàðíîé ãåîìåòðèè èçâåñòíî, ÷òî ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà (S) ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ äëèí ñìåæíûõ ñòîðîí íà ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè, ò.å. |Õ®|·|Y®| ·sin a = S, ïîýòîìó èìååì |Õ® ´ Y® | = S. Èç äàííîãî ñâîéñòâà ñëåäóåò, ÷òî âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ® ® Õ ´ Y = S · e® , ® | = 1, à åãî ðàñïîëîæåíèå âèäíî ãäå e® åäèíè÷íûé âåêòîð, ò.å. |e èç ðèñ. 2.2. ® ® Õ´ Y

a ®

Õ 110

Ðèñ.¦2.2

4) Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå Õ íà Y® ®ýòî âåêòîð, îáðàòíûé ® ® ® ® âåêòîðíîìó ïðîèçâåäåíèþ Y íà Õ, ò.å. [Õ, Y ] = [Y , Õ ]. 5) Ñâîéñòâî ñî÷åòàòåëüíîñòè ïî îòíîøåíèþ ê ñêàëÿðíîìó ® ® ®® ® ® ® ® ìíîæèòåëþ k, ò.å. [(kÕ ), Y ] = k[Õ, Y ] , èëè [Õ ,(kY )] = k[Õ , Y ]. 5) Ðàñïðåäåëèòåëüíîå ñâîéñòâî îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ, ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ò.å. [ Õ , (Y + Z )] = [Õ , Y ] + [Õ , Z ], èëè [(Y + Z ), Õ ] = [Y, Õ ] + ® ® [Z, Õ ]. Ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìó, ïîçâîëÿþùóþ íàõîäèòü âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ, åñëè çàäàíû èõ êîîðäèíàòû. ® ®

ÒÅÎÐÅÌÀ 2.3. Åñëè çàäàíû êîîðäèíàòû âåêòîðîâ Õ è Y : ® ® Õ = (x1, y1, z1), Y = (x2, y2, z2), ® ® òî âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðà Õ íà âåêòîð Y îïðåäåëÿåòñÿ

ôîðìóëîé [5, 13, 17]

® ®

Õ ´ Y =

y1 z1 õ1 z1 õ1 y1 ; ; . [2.28] y2 z2 õ2 z2 õ2 y2

Ôîðìóëó (2.28) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå

® ®

Õ ´ Y = ®® ®

® ®

i j k õ1 y1 z1 õ2 y2 z2

[2.29]

ãäå i, j, k îðòû êîîðäèíàòíûõ îñåé, ò.å. |i| = |j| = |k| = 1, à èõ ðàñïîëîæåíèå âèäíî èç ðèñ. 2.3.

111

X Ðèñ.¦2.3

Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå çàäà÷è íà ïðèìåíåíèå âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.

Ïðèìåð 2.8 ®

Äàíî: Õ = (2, 5, 7); Y = (1, 2, 4). Íàäî íàéòè ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, ïîñòðîåííîãî íà ýòèõ âåêòîðàõ. Îáîçíà÷èì èñêîìóþ ïëîùàäü Sòð. è âîñïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâîì òðè. Ïîýòîìó ïîëó® ® ÷èì |Õ ´ Y | = Sïàð., ãäå Sïàð. ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñò® ® ðîåííîãî íà âåêòîðàõ Õ è Y , èç ýëåìåíòàðíîé ãåîìåòðèè èçâåñòSòð. = Sïàð íî, ÷òî .

Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷àåì ïî ôîðìóëå (2.28)

112

5 7 2 7 2 5 ; ; = (6; 1; 1), Õ ´ Y = 2 4 1 4 1 2 ®

Sïàð = |Õ ´ Y | = Ö 62 + ( 1) 2 + (1) 2 = Ö 38 . Sïàð Ö38 Sòð = = 2 2

» 3,08.

Ïðèìåð 2.9

Äàíî: âåðøèíû òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ñ êîîðäèíàòàìè: À (4, 14, 8); Â (2, 18, 12); Ñ (12, 8, 12). Íàäî íàéòè äëèíó åãî âûñîòû, îïóùåííîé èç âåðøèíû Ñ íà ñòîðîíó ÀÂ. Îáîçíà÷èì: ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ÷åðåç Sòð., èñêîìóþ âûñîòó ÷åðåç hc. Èç ýëåìåíòàðíîé ãåîìåòðèè èçâåñòíî, ÷òî ®

| À Â | ® SÒð = _______ hc, ãäå | À Â | äëèíà ñòîðîíû ÀÂ. 2 Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç ñâîéñòâà òðè âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ èìååì ®

| À Â ´ À C | ® ® SÒð = _________ , ãäå | À Â ´ À C | ìîäóëü âåêòîðíîãî 2 ® ® ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ À Â è À C . 113

Ñðàâíèâàÿ îáå ôîðìóëû, ïîëó÷àåì ®

| À Â | | À Â ´ À C | ______ · hc = ____________ èëè 2 2 ®

|_________ À Â ´ À C | , ò.å. ìû ïîëó÷èëè íóæíîå íàì ñîîòíîøåíèå. hc = ® | À Â | ®

Íàõîäèì: À Â = ( 2, 4, 4); ®

| À Â | =

= 6;

| À C | = (8, 6, 4); 4 4 2 4 2 4 À Â ´ À C = , , = 6 4 8 4 8 6;

= ( 40, 40, 20); ®

| À Â ´ À C | =

= 60.

È îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì ___ = 10. hc = 60 6

Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå

ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ. Ñìåøàííûì ïðîèçâåäåíèåì òðåõ âåêòî® ®® ðîâ Õ, Y, Z íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, êîòîðîå ðàâíî âåêòîðíîìó ïðî® ® ® èçâåäåíèþ [Õ , Y ], ñêàëÿðíî óìíîæåííîìó íà âåêòîð Z . 114

® ®® Îáîçíà÷èì ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ Õ , Y, Z ñëå® ®® äóþùèì îáðàçîì: Õ Y Z . ®®® ® ® ® ® Y Z = [ Õ , Y ] Z = Õ Âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà Õ [ Y® , Z® ]. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë âåêòîðíîãî ®ïðîèçâåäåíèÿ âèäåí èç ®® ðàâíî îáúåìó ïàòåîðåìû 2.4: ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå Õ Y Z ® ®® , Y , Z , âçÿòîìó ñî ðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ Õ ® ®® çíàêîì ïëþñ, åñëè òðîéêà Õ, Y, Z ïðàâàÿ è ñî çíàêîì ìèíóñ, åñëè ýòî òðîéêà ëåâàÿ (â ýòîì ñëó÷àå, åñëè ñìîòðåòü èç êîíöà âåêòîðà Z, êðàò÷àéøèé ïîâîðîò âåêòîðà Õ ê âåêòîðó Y îñóùå® ®® ñòâëÿåòñÿ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå). Åñëè æå âåêòîðû Õ, Y, Z êîìïëàíàðíû, ò.å. ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè èëè â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ, òî Õ® Y® Z® = 0. Ïðèâåäåì ñâîéñòâà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ. 1) Õ® Y® Z® = Y® Z® Õ® = Z® Õ® Y® , ò.å. ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå íå ìåíÿåòñÿ ïðè öèêëè÷åñêîé ïåðåñòàíîâêå åãî ñîìíîæèòåëåé. ® ® ® ®® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® Y Z = Õ Z Y ; Õ Y Z = Y Õ Z ; Õ Y Z = 2) Õ ® ® ® Z Y Õ , ò.å. ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå ìåíÿåò ñâîé çíàê ïðè ïåðåñòàíîâêå ìåñòàìè ëþáûõ äâóõ âåêòîðîâ-ñîìíîæèòåëåé. ® ® ® ® ®®® ® ®® ®® ® ® ®®® ( Y + U ) Z = X Y Z + X U Z; X Y(Z + U) = X Y Z + 3) Õ ®® ® ; + X® Y U ® ® ®® ® ® 4) X (kY) Z = X Y (kZ) = k ( X®® U® Z ), ãäå k º R. Â òîì ñëó÷àå, åñëè âåêòîðû X, Y®, Z® çàäàíû ñâîèìè êîîðäèíàòàìè, ò.å. X® = (õ1 y1 z1); Y® = (õ2 y2 z2); Z® = (õ3 y3 z3), èõ ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå

õ1 y1 z1 | Õ Y Z | = õ2 y2 z2 . õ3 y3 z3

® ®®

[2.30]

À îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà, êîòîðûé ïîñòðîåí íà âåêòîðàõ Õ , Y, Z , âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå [5, 17] ® ® ®

115

õ 1 y 1 z1 V = | Õ Y Z | = ± õ2 y2 z2 . õ3 y3 z3

® ®®

[2.31]

Â ôîðìóëå [2.31] çíàê áåðåòñÿ îäèíàêîâûì ñî çíàêîì îïðåäåëèòåëÿ. Òåïåðü ïðèâåäåì êîíêðåòíûé ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ. ® ® ® Äàíî: X = (1, 5, 4); Y = (6, 4, 4); Z = (10, 1, 10). Íàäî äîêàçàòü, ÷òî çàäàííûå âåêòîðû êîìïëàíàðíû. ® ® ® Èç òåîðåìû 2.4 ñëåäóåò, ÷òî åñëè âåêòîðû X , Y , Z êîìïëàíàðíû, òî èõ ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî íóëþ, ò.å. ®® ® Y Z = 0. X Äàëåå èñïîëüçóåì ôîðìóëó (2.30) è ïîëó÷èì

Ïðèìåð 2.10.

1 5 4 1 5 2 1 5 2 1 5 2 X Y Z = 6 4 4 = 2 6 4 2 = 2 ·2 3 2 1 = 4 · 0 17 5 = 10 1 10 10 1 5 10 1 5 0 51 15 ®®®

17 5 17 1 = 4 · = 4 · ( 5) · = 0. 51 15 51 3 Ïðè ðåøåíèè îïðåäåëèòåëÿ ìû âûíåñëè îáùèå ìíîæèòåëè òðåòüåãî ñòîëáöà è âòîðîé ñòðîêè, çàòåì óìíîæèëè ïåðâóþ ñòðîêó íà ( 3) è ñëîæèëè ñî âòîðîé, ïîñëå ýòîãî óìíîæèëè ïåðâóþ ñòðîêó íà ( 10) è ñëîæèëè ñ òðåòüåé, à çàòåì ðàçëîæèëè ïîëó÷èâøèéñÿ îïðåäåëèòåëü ïî ýëåìåíòàì ïåðâîãî ñòîëáöà, à ïîñëå âûíåñëè îáùèé ìíîæèòåëü òðåòüåãî ñòîëáöà. Òàê êàê ïðè ðåøåíèè îïðåäåëèòåëÿ ìû ïîëó÷èëè íîëü, òî äîêàçàíî, ÷òî çà® ® ® äàííûå âåêòîðû X , Y , Z êîìïëàíàðíû.

116

Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ 1. Íàéòè ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö: §

¨ 1.1. ¨ ¨ ©

§ ¨ 1.2. ¨© §

¨ 1.3. ¨ ¨ ©

· § ¸ ¨ ¸ u ¨ ¸ ¨ ¹ ©

· ¸ ¸ ¸ ¹

§ ¨ ¸¸ u ¨ ¹ ¨ © ·

§ ¸ ¨ ¸ u ¨ ¸ ¨ ¹ ©

· ¸ ¸ ¸ ¹

¸ ¹

2. Âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëè:

2.1.

2.2.

2.3. 3. Íàéòè ìàòðèöû, îáðàòíûå äàííûì:

¨ 3.1. ¨ ¨ ©

§ · ¨ ¸ ¸ ¨ 3.2. ¸ ¨ ¹ ©

§ ¨ ¸ ¸ ¨ 3.3. ¨ ¸ ¹ ©

· ¸ ¸ ¸¹

117

4. Íàéòè ðàíãè ìàòðèö: §

¨ 4.1. ¨ ¨ ©

¨ 4.3. ¨ ¨ ©

¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 4.2. ¨ ¸ ¹ ¨ © ·

¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

· ¸ ¸ ¸¹

5. Ðåøèòü ÑËÀÓ ìåòîäàìè Ãàóññà è Êðàìåðà: [ [ [ [ [ [ ° ° [ [ [ ® [ [ [ 5.1. ® 5.2. ° [ [ [ ° [ [ [ ¯ ¯

[ [ [ ° [ [ [ 5.3. ® ° [ [ [ ¯

6. Íàéòè ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèö: §

¨ 6.1. ¨ ¨ © §

§ · ¨ ¸ ¸ ¨ ; 6.2. ¨ ¸ © ¹

§ · · ¨ ¸ ¸ ¸ ¸ ¨ 6.4. ¨ ¸¹ ¸¹ ©

¨ 6.3. ¨ ¨ ©

7. Äàíî: Õ = (1, 5, 6, 7, 10); Y = ( 2, 7, 8, 11, 6). ® ® Íàéòè óãîë ìåæäó âåêòîðàìè Õ è Y.

118

8. Äàíû äâà îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðà ® ® Õ = (3, õ2, 7) è Y = (1, 6, 8). Íàéòè êîîðäèíàòó õ2. 9. Â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå çàäàíû òðè òî÷êè Ì(1; 1; 1); N(2; 2; 2); P(4; 3; 5). Íàäî íàéòè ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà MNP. 10. Â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå çàäàíû ÷åòûðå òî÷êè Ì(1; 1; 1); N(4; 4; 4); P (3; 5; 5); Q(2; 4; 7). Íàäî íàéòè îáúåì òåòðàýäðà MNPQ. ® ® 11. Äàíû âåêòîðû Õ = ( 4; 8; 8), Y = (4; 3; 2). Íàäî íàéòè èõ âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå, ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè, ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, ïîñòðîåííîãî íà ýòèõ âåêòîðàõ. 12. Ïðîâåðèòü, ÷òî òî÷êè Ì(5; 1; 1); N(4; 2; 2); P(5; 3; 1); Q(8; 0; 5) ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè. 13. Çàïèñàòü â ìàòðè÷íî-âåêòîðíîì âèäå êâàäðàòè÷íûå ôîðìû: 13.1. f (õ1, õ2, õ3) = 7x12 3x22 0,5x32 5õ1õ2 + 17õ1õ3 + 22õ2 õ3; 13.2. f (õ1, õ2, õ3) = 32x12 0,5 x22 + 11x32 + 92 õ1 õ2 66õ1 õ3 õ2 õ3 .

Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè 1)

×òî íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé? Òèïû ìàòðèö.

Ïðàâèëî è ñâîéñòâà ñëîæåíèÿ ìàòðèö.

Ïðàâèëî è îñíîâíûå ñâîéñòâà ïåðåìíîæåíèÿ äâóõ ìàòðèö.

Êàê íàéòè ìàòðèöó, îáðàòíóþ çàäàííîé? Ëþáàÿ ëè ìàòðèöà èìååò îáðàòíóþ?

×òî íàçûâàåòñÿ îïðåäåëèòåëåì?

×òî òàêîå ðàíã ìàòðèöû?

Êàê îïðåäåëèòü, ñîâìåñòíà ëè çàäàííàÿ ÑËÀÓ?

Â êàêèõ ñëó÷àÿõ îäíîðîäíûå ÑËÀÓ èìåþò íåíóëåâûå ðåøåíèÿ?

Â ÷åì ñóòü èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ÑËÀÓ?

10)

Â ÷åì ñîñòîèò ìåòîä Ãàóññà ðåøåíèÿ ÑËÀÓ?

11)

Â ÷åì ñîñòîèò ìåòîä Êðàìåðà ðåøåíèÿ ÑËÀÓ?

12)

Êàêèå ÷èñëà íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ìàòðèöû?

13)

×òî òàêîå ñëåä ìàòðèöû?

14)

Êàêîå óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì ìàòðèöû?

15)

Äàòü îïðåäåëåíèå n-ìåðíîãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà.

119

16)

×òî íàçûâàåòñÿ íîðìîé âåêòîðà?

17)

Êàê íàéòè óãîë ìåæäó äâóìÿ âåêòîðàìè â n-ìåðíîì âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå?

n-ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ åâêëèäîâûì?

18)

Êàêîå

19)

×òî íàçûâàåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé?

20)

Ïðèâåäèòå ìàòðè÷íî-âåêòîðíóþ çàïèñü êâàäðàòè÷íîé ôîðìû.

21)

Êàê íàõîäèòñÿ âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå, åñëè çàäàíû êîîðäèíàòû ñîñòàâëÿþùèõ åãî âåêòîðîâ?

22)

Êàêîâ ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ?

3. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÏÐÅÄÅËÛ 3.1. Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ î ôóíêöèÿõ Â ëþáîé îáëàñòè íàóêè ìû âñòðå÷àåìñÿ ñ ðàçëè÷íûìè âåëè÷èíàìè. Ïîä âåëè÷èíîé ïîíèìàþò âñå òî, ÷òî ìîæåò áûòü èçìåðåíî è âûðàæåíî ÷èñëîì èëè ÷èñëàìè [4]. Â åñòåñòâåííûõ, òåõíè÷åñêèõ è ãóìàíèòàðíûõ íàóêàõ èìåþò äåëî ñ ðàçëè÷íûìè âåëè÷èíàìè, íàïðèìåð, ñêîðîñòüþ, ñèëîé, òåìïåðàòóðîé, ñåáåñòîèìîñòüþ, âàëîâûì âíóòðåííèì ïðîäóêòîì êàêîé-ëèáî ñòðàíû, êîëè÷åñòâîì ïðåñòóïëåíèé â êàêîì-òî ðåãèîíå è äð. À â ìàòåìàòèêå êîíêðåòíûå âåëè÷èíû íå ó÷àñòâóþò, ò.å. ðàññìàòðèâàþò âåëè÷èíû âîîáùå, íå ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèe èõ ôèçè÷åñêèé ñìûñë. Âñå âåëè÷èíû ìîæíî ðàçäåëèòü íà ïåðåìåííûå è ïîñòîÿííûå. Ïåðåìåííîé íàçûâàåòñÿ òàêàÿ âåëè÷èíà, êîòîðàÿ ïðèíèìàåò ðàçëè÷íûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ. Âåëè÷èíà, êîòîðàÿ íå ìåíÿåò ñâîå ÷èñëîâîå çíà÷åíèå, íàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííîé. Âñå ïðîöåññû õàðàêòåðèçóþòñÿ âçàèìîèçìåíÿåìîñòüþ íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ âåëè÷èí, à ýòî ïðèâîäèò ê âàæíåéøåìó ïîíÿòèþ ìàòåìàòèêè ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè [4, 32]. ×àñòî îäíè è òå æå âåëè÷èíû ìîãóò â îäíèõ ñëó÷àÿõ áûòü ïåðåìåííûìè, à â äðóãèõ ïîñòîÿííûìè. Íàïðèìåð, â ôîðìóëå ) PD âåëè÷èíû P (ìàññà) è D

(óñêîðåíèå) ìîãóò áûòü êàê ïîñòîÿííûìè, òàê è ïåðåìåííûìè.

Íî ñóùåñòâóþò è ôóíäàìåíòàëüíûå ïîñòîÿííûå, êîòîðûå ñîõðàíÿþò ñâîå çíà÷åíèå, ïî êðàéíåé ìåðå, â íàøåé Måòàãàëàêòèêå. Íàïðèìåð, â çàêîíå âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ )

÷èíà *

P P U

âåëè-

ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.

121

Óñòàíîâëåíèå è îïèñàíèå ñâÿçåé ìåæäó âåëè÷èíàìè îäíà èç îñíîâíûõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, êîòîðûé âêëþ÷àåò â ñåáÿ ðÿä äèñöèïëèí: òåîðèþ ïðåäåëîâ, äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèÿ, òåîðèþ ðÿäîâ è äð. [4]. Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ èç ýòèõ äèñöèïëèí ìû ðàññìîòðèì â ãëàâàõ 3 7. Òåïåðü ïðèâåäåì îïðåäåëåíèå ôóíêöèè îäíîãî íåçàâèñèìîãî àðãóìåíòà. Ïåðåìåííàÿ âåëè÷èíà \ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ïåðåìåííîé

âåëè÷èíû [ íà ìíîæåñòâå îïðåäåëåíèÿ ' , [ ' ïî êàêîìó-òî çàêîíó ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå îäíî (íåñêîëüêî, áåñêîíå÷íî ìíîãî) çíà÷åíèå (çíà÷åíèé) y [4, 30]. Â ïåðâîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ îäíîçíà÷íîé, íàïðèìåð \ [ (ðèñ. 3.1).

åñëè êàæäîìó çíà-

÷åíèþ

Ðèñ.¦3.1 À âî âòîðîì ñëó÷àå ìíîãîçíà÷íîé, íàïðèìåð,

\ $UF VLQ [

(ðèñ. 3.2).

D ìîæíî áðàòü ïðîèçâîëüíî, ïîýòîìó îíà íàçûâàåòñÿ àðãóìåíòîì, èëè íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé. À âåëè÷èíà y áóäåò çàâèñåòü îò âûáðàííîé âåëè÷èíû x, ïîýòîìó Âåëè÷èíó x èç îáëàñòè

åå íàçûâàþò çàâèñèìîé ïåðåìåííîé, èëè ôóíêöèåé.

122

-1

Ðèñ.¦3.2

Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ìîæåò áûòü ëþáîé, íî, êàê ïðàâèëî, èñïîëüçóþòñÿ îáëàñòè äâóõ âèäîâ: ìíîæåñòâî öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë èëè êàêèå-òî ÷àñòè ýòîãî ìíîæåñòâà; îäèí èëè íåñêîëüêî èíòåðâàëîâ (êîíå÷íûõ èëè áåñêîíå÷íûõ) ÷èñëîâîé îñè. Â ïåðâîì ñëó÷àå èìååì ôóíêöèþ öåëî÷èñëåííîãî àðãóìåíòà, à âî âòîðîì íåïðåðûâíîãî. Òîò ôàêò, ÷òî âåëè÷èíà y åñòü ôóíêöèÿ àðãóìåíòà x, îáû÷íî çàïèñûâàþò òàê: \ I [ .

Ìíîæåñòâî âñåõ çíà÷åíèé ôóíêöèè îáîçíà÷èì ÷åðåç E. Ôóíêöèþ ìîæíî çàäàòü ñ ïîìîùüþ òàáëèöû, â âèäå ãðàôèêà (ïðåèìóùåñòâîì ýòîãî ñïîñîáà ÿâëÿåòñÿ åãî íàãëÿäíîñòü) èëè àíàëèòè÷åñêè (ôîðìóëîé). Ïîñëåäíèé ñïîñîá ÿâëÿåòñÿ ñàìûì ðàñïðîñòðàíåííûì. Âñå ôóíêöèè ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâà êëàññà: ýëåìåíòàðíûå è íåýëåìåíòàðíûå. Ê ýëåìåíòàðíûì ôóíêöèÿì îòíîñÿòñÿ îñíîâíûå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè: 123

[ Q Q 5 \

ORJ D [ D ! D z \

WJ[ \

DUFVLQ [ \

D [ D ! D z

FWJ[ \

VLQ [ \

VHF [ \

DUFFRV [ \

FRV [

FRV HF[ DUFWJ[ \

DUFFWJ[

À òàêæå ôóíêöèè, ïîëó÷åííûå èç îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé ïðè ïîìîùè êîíå÷íîãî ÷èñëà àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è êîíå÷íîãî ÷èñëà îïåðàöèé âçÿòèÿ ôóíêöèè îò ôóíêöèè è çàäàííûå îäíîé ôîðìóëîé [32]. Íàïðèìåð,

VLQ [ [ \ FWJ[

[ [

[ [ \ WJ [

[

OQ [ è ò.ä.

Âñå ôóíêöèè, íå ïîäõîäÿùèå ïîä äàííîå îïðåäåëåíèå, ýëåìåíòàðíûìè ôóíêöèÿìè íå ÿâëÿþòñÿ. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ

° I [

® ° ¯

[

íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèåé, òàê êàê çàäàíà òðåìÿ ôîðìóëàìè [8, 32]. Ôóíêöèÿ I Q Q Q íå áóäåò ýëåìåíòàðíîé, òàê êàê êîëè÷åñòâî îïåðàöèé óìíîæåíèÿ, êîòîðîå íóæíî ñîâåðøèòü äëÿ ïîëó÷åíèÿ I Q ,

íå áóäåò ÿâëÿòüñÿ êîíå÷íûì.

124

3.2. Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïðåäåë ôóíêöèè. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà, íàïîìíèì, ÷òî â ìàòåìàòèêå èñïîëüçóþòñÿ òðè âèäà áåñêîíå÷íîñòåé +

¥,

¥, ¥. Áåñêîíå÷íîñòü íå ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîì, îíà ïîêàçûâàåò, êàê

ìåíÿåòñÿ ïåðåìåííàÿ âåëè÷èíà, êîòîðàÿ êîíå÷íà â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè. Òåïåðü îïðåäåëèì ïîíÿòèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è åå ïðåäåëà. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ÷èñåë, êîòîðîå ïåðåíóìåðîâàíî ñ ïîìîùüþ öåëûõ ÷èñåë è ðàñïîëîæåíî â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ íîìåðîâ [4]. Åñëè çàäàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

\ \ \ òî òåì ñàìûì

ëþáîìó öåëîìó íåîòðèöàòåëüíîìó çíà÷åíèþ n ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå çíà÷åíèå \Q

I .

Íàïðèìåð, ÷ëåíû ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè

ëÿþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè I Q

ãäå Q

ÿâ-

Ìîæåò ñëó÷èòüñÿ òàê, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì n çíà÷åíèÿ

Q áóäåò íåîãðàíè÷åííî ïðèáëèæàòüñÿ ê êàêîìó-òî ÷èñëó a. Â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî a ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè I Q öåëî÷èñëåííîãî àðãóìåíòà n èëè ïîñëåäîâàòåëüíîñ-

òè \ \ \Q OLP

Qof

I Q D èëè ïðè Q o f è ïèøóò OLP Qof

×èñëî

ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè H ! ìîæíî íàéòè òàêîå 1 ! ,

\ \ \Q , åñëè äëÿ

÷òî

125

äëÿ âñåõ I

! 1 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî [4, 32] I Q D H . (3.1)

Q ñ íîìåðàìè Q

Èñïîëüçóÿ ïðèâåäåííîå îïðåäåëåíèå, äîêàæåì, ÷òî ïîñëå

äîâàòåëüíîñòü

Q Q

èìååò ïðåäåë, ðàâíûé 1.

Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ èìååì

Q C

Q ! Q ! §¨ ·¸ 1 . H

©H

Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàïåðåä çàäàííîãî H ! ìîæíî íàéòè òàêîå 1

, ÷òî ïðè âñåõ Q ! 1 áó-

äåò âûïîëíÿòüñÿ (3.1), à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî 1 åñòü ïðåäåë èñõîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Òåïåðü ðàññìîòðèì ôóíêöèþ \ I [ íåïðåðûâíîãî àðãó-

ìåíòà x è ïðåäïîëîæèì, ÷òî x íåîãðàíè÷åííî ïðèáëèæàåòñÿ ê ÷èñëó [ [ [ . I [ íåîãðàíè÷åííî ïðèáëèæàåòñÿ ê íåêîòîðîìó ÷èñëó b. Â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî b åñòü ïðåäåë ôóíêöèè I [ ïðè [ [ .

Ïðè ýòîì ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî ñîîòâåòñòâó

þùåå çíà÷åíèå

y=f(x)

b+e

b-e 0

x-d

x0 x+d

Ðèñ.¦3.3 126

Ñôîðìóëèðóåì îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè. ×èñëî

[

íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè

I [

ïðè

H ! ìîæíî íàéòè òàêîå G ! ,

åñëè äëÿ

÷òî äëÿ

[ z [ , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ [ [

âñåõ

âåäëèâî íåðàâåíñòâî

G ,

áóäåò ñïðà-

I [ E H [4, 30]. Çàìåòèì, ÷òî ôóíê-

öèÿ íå îáÿçàòåëüíî äîëæíà áûòü îïðåäåëåíà â ïðåäåëüíîé òî÷êå

õ0, îíà äîëæíà áûòü îïðåäåëåíà ëèøü â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè. Òîò ôàêò, ÷òî b ïðåäåë ôóíêöèè \ ïèñûâàåòñÿ òàê:

ïðè [

, çà-

o[ I [ E .

OLP

[

I [

Äàííîå íàìè îïðåäåëåíèå èëëþ-

ñòðèðóåòñÿ ðèñ. 3.3. Èñïîëüçóÿ ïðèâåäåííîå îïðåäåëåíèå ïðåäåëà, äîêàæåì, ÷òî

. [ o [

OLP

[

Íà îñíîâàíèè îïðåäåëåíèÿ èìååì

[ [

H [ H G [

(3.2)

Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè, ÷òî èñõîäíàÿ ôóíêöèÿ áóäåò

îòëè÷àòüñÿ îò 6 ìåíüøå ÷åì íà , åñëè áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðà-

âåíñòâî (3.2). Â äàííîì ñëó÷àå

Ïðèâåäåííîå îïðåäåëåíèå íå äàåò ñïîñîáà âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëîâ. Íèæå ìû ðàññìîòðèì íåêîòîðûå èç òàêèõ ìåòîäîâ. [

Äàäèì ïîíÿòèå î ëåâûõ è ïðàâûõ ïðåäåëàõ ôóíêöèè \

è òî÷êàõ åå ðàçðûâà.

127

Åñëè I [

çíà÷åíèÿ ìåíüøèå

ïðè [

òàê ÷òî

x0, òî ïèøóò [OLP o[

ëåâûì ïðåäåëîì. Àíàëîãè÷íî, åñëè I [

ìàåò òîëüêî çíà÷åíèÿ áîëüøèå

x ïðèíèìàåò òîëüêî

I [

ïðè [

E è íàçûâàþò b1

, òàê ÷òî x ïðèíè-

x0, òî ïèøóò [OLP o[

I [

E è

íàçûâàþò b2 ïðàâûì ïðåäåëîì [4, 30]. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èëëþñòðàöèÿ ëåâîãî è ïðàâîãî ïðåäåëîâ äàíà íà ðèñ. 3.4.

\ I [ \ I [

Ðèñ.¦3.4

Èç ðèñ. 3.4. ñëåäóåò, ÷òî â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ \ I [ èìååò ðàçðûâ. Îí íîñèò íàçâàíèå ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà (â òî÷êå ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà ëåâûé è ïðàâûé ïðåäåëû íå ðàâíû E z E è êîíå÷íû). Âñå îñòàëüíûå òî÷êè ðàçðûâà íàçûâàþòñÿ òî÷êàìè ðàçðûâà âòîðîãî ðîäà [4, 30]. Ïðèìåðàìè ðàçðûâîâ âòîðîãî ðîäà ÿâëÿþòñÿ áåñêîíå÷íûå ðàçðûâû (ðèñ. 3.5) 128

OLP

[

f OLP

[

Ðèñ.¦3.5

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî àðãóìåíò ôóíêöèè

÷åííî âîçðàñòàåò [ o f ,

I [

íåîãðàíè-

ò.å. ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøèì

àðãóìåíòîì. Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî ïðè ýòîì ôóíêöèÿ I

ñòðåìèòñÿ ê íåêîòîðîìó ïðåäåëó b (ðèñ. 3.6). Ôóíêöèÿ \

I [ ñòðåìèòñÿ ê ïðåäåëó

H ! ìîæíî íàéòè òàêîå 1 ! ,

äëÿ

I [ E H

b ïðè [ o f , åñëè

÷òî äëÿ âñåõ çíà÷åíèé

x, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó óñëîâèå

[

[ !1,

áóäåò âûïîëíÿòüñÿ

[4, 30, 32].

129

b + e b b e N

I [

Ðèñ.¦3.6

Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé ñòðåìëåíèÿ ôóíêöèè \

áåñêîíå÷íîñòè ïðè [

I [

Ôóíêöèÿ [ ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ïðè [ o [ åñëè äëÿ 0 ! ìîæíî íàéòè òàêîå G ! [ [ G [z[ I [ !0 \

íèé

, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ

ñÿ íåðàâåíñòâî

[4, 30].

Ðèñ.¦3.7

, ÷òî äëÿ âñåõ çíà÷å-

Ýòî îïðåäåëåíèå èëëþñòðèðóåòñÿ ðèñ. 3.7.

130

, âûïîëíÿåò-

Íàïîìíèì, ÷òî ôóíêöèÿ

íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé â äàííîé îáëàñòè èçìåíåíèÿ àðãóìåíòà, åñëè ñóùåñòâóåò 1 ! òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ çíà÷åíèé õ, ïðèíàäëåæàùèõ ðàñI [

ñìàòðèâàåìîé

I [ d 1

îáëàñòè,

áóäåò

. Åñëè òàêîãî ÷èñëà

âûïîëíÿòüñÿ

íåò, òî \

I [

íåðàâåíñòâî

ÿâëÿåòñÿ íåî-

ãðàíè÷åííîé â äàííîé îáëàñòè. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ \ VLQ [ ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé íà ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ [ f f (ðèñ. 3.8).

ó 1 -p -p/2

S S

Ðèñ.¦3.8

1 . Äàäèì îïðåäåëåíèå áåñêîíå÷íî ìàëîé âåëè÷èíû. Ôóíêöèÿ a(õ) íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ïðè õ®õ0 èëè D [ . õ®¥, åñëè OLP o D [ èëè OLP of VLQ

[

d ,

ò.å.

Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ \

[

ïðè õ®3 åñòü áåñêîíå÷íî

ìàëàÿ âåëè÷èíà, òàê êàê OLP [ . [ o

Ïîñòîÿííîå î÷åíü ìàëîå ÷èñëî íå ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé âåëè÷èíîé. Åäèíñòâåííîå ÷èñëî, êîòîðîå ðàññìàòðèâàåòñÿ â êà÷åñòâå áåñêîíå÷íî ìàëîé âåëè÷èíû, ýòî íîëü. Ñâÿçü áåñêîíå÷íî ìàëûõ è áåñêîíå÷íî áîëüøèõ âåëè÷èí ìîæíî ïðîñëåäèòü 131

èç òåîðåìû 3.1: åñëè D [ áåñêîíå÷íî ìàëàÿ âåëè÷èíà, òî

D [ áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ âåëè÷èíà, è íàîáîðîò [4].

Ñðàâíåíèå áåñêîíå÷íî ìàëûõ D [

Åñëè [OLP o [ E [ ,

D [

òî

åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ áîëåå

âûñîêîãî ïîðÿäêà, ÷åì E [ .

Íàïðèìåð, o

OLP [

[

D [

Åñëè [OLP o [ E [ f ,

D [

òî

íèçêîãî ïîðÿäêà, ÷åì E [ .

Íàïðèìåð, o

OLP [

[

D [

Åñëè [OLP o [ E [ & ,

D [ è E [ áåñêî-

& 5 ,

òî

ãäå

íå÷íî ìàëûå îäíîãî ïîðÿäêà.

Íàïðèìåð, OLP [o

[ [

D [

Åñëè [OLP o [ E [ ,

D [ è E [

òî

áåñêîíå÷íî ìàëûå.

Íàïðèìåð, OLP [

132

[

åñòü ýêâèâàëåíòíûå

Òåïåðü ïðèâåäåì îñíîâíûå ñâîéñòâà ïðåäåëîâ, êîòîðûå áóäåì èñïîëüçîâàòü ïðè èõ âû÷èñëåíèè [4, 12, 23]. 1) Ïðåäåë àëãåáðàè÷åñêîé ñóììû êîíå÷íîãî ÷èñëà ôóíêöèè ðàâåí àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ïðåäåëîâ îò ýòèõ ôóíêöèé, ò.å. lim [ f1 (x ) ± f 2 (x ) ± ... ± f n (x )] =

x → x0

= lim f1 (x ) ± lim f 2 (x ) ± ... ± lim f n (x ) . x → x0

x → x0

2) Ïðåäåë ïîñòîÿííîé âåëè÷èíû ðàâåí ñàìîé ïîñòîÿííîé âåëè÷èíå, ò.å. OLP

[

& 5 .

& &

ãäå

3) Ïðåäåë ïðîèçâåäåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà ôóíêöèé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïðåäåëîâ îò ýòèõ ôóíêöèé, ò.å. lim[ f1 (x)⋅ f 2 (x)⋅ ... ⋅ f n (x)] =

x→x0

= lim f1 (x)⋅ lim f 2 (x)⋅ ... ⋅ lim f n (x).

Ñëåäñòâèå.

x→x0

Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíîñèòü çà

çíàê ïðåäåëà, ò.å.

OLP &I

[

& 5

ãäå

[

OLP I [ , [

[

4) Ïðåäåë ÷àñòíîãî äâóõ ôóíêöèé ðàâåí ÷àñòíîìó îò èõ ïðåäåëîâ, åñëè ïðåäåë çíàìåíàòåëÿ íå ðàâåí íóëþ, ò.å.

OLP

[

OLP I [

[

I [

[

OLP I [

OLP I [ , [ [

I [

[

z .

5) Ïðåäåë öåëîé ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè ôóíêöèè ðàâåí òîé æå ñòåïåíè ïðåäåëà ýòîé ôóíêöèè, ò.å.

OLP > I [ @

ãäå Q

[

ª OLP «¬ [ o [

I [

º »¼

Q ,

133

6) Ïðåäåë öåëîé ïîëîæèòåëüíîé n-é ñòåïåíè êîðíÿ ôóíêöèè ðàâåí êîðíþ n-é ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè ïðåäåëà ýòîé ôóíêöèè, ò.å.

OLP

[

Q =

ãäå

[

OLP

[

Ïðèâåäåì äâà çàìå÷àòåëüíûõ ïðåäåëà, êîòîðûå ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè ðåøåíèè ïðåäåëîâ. VLQ [ 1) OLP o [

[

§ 2) OLP ¨ [ of ©

[

H (îñíîâàíèå íàòóðàëüíûõ ëîãàðèôìîâ).

[¹

Ñòðåìëåíèå ê áåñêîíå÷íîñòè âñåãäà ìîæíî çàìåíèòü ñòðåìëåíèåì ê íóëþ è íàîáîðîò. Çàìåíèì âî âòîðîì çàìå÷àòåëüíîì ïðåäåëå

[

õ®¥ ó®0 OLP \

[

. Òîãäà ñîãëàñíî òåîðåìå 3.1. ïðè

è âòîðîé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë ïðèíèìàåò âèä

Êðàòêî ðàññìîòðèì ïîíÿòèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè. Äëÿ ýòîãî íàïîìíèì, ÷òî ïðèðàùåíèåì ôóíêöèè [ â òî÷êå \

õ0 íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà '\

'I [

[

'[ I [

ãäå D õ åñòü ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà (ðèñ. 3.9).

[4, 23],

íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå õ0, åñëè îíà îïðåäåëåíà â êàêîé-ëèáî îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè è '\ (3.3). åñëè âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî 'OLP [ o FRV [ íåïðåðûâíà â Äîêàæåì, íàïðèìåð, ÷òî ôóíêöèÿ \ ëþáîé òî÷êå õ0 ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ. Ôóíêöèÿ \

I [

134

I [

[ [

Ðèñ.¦3.9

Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè â òî÷êå õ0 ïîëó÷èì ∆ y = cos( x 0 + ∆ x) − cos x 0 = − 2 sin = − 2 sin

∆x 2

sin

OLP '\

'[ o

2 x0 + ∆ x 2

x0 + ∆ x − x0 2

⋅ sin

x0 + ∆ x + x0 2

; ;

[ '[ · ¸ ¹ VLQ '[ [ '[ 'OLP OLP VLQ [o '[ o

§ '[ o ©

OLP ¨ VLQ

VLQ

Ïîëüçóÿñü âûðàæåíèåì äëÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè, ôîðìóëó (3.3) ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê: OLP > I '[

[

o [ '[

[, Îáîçíà÷èì [ '[ èëè

'[ o

OLP I

òîãäà

[ @

[

x áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê õ0 ïðè

è îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì

OLP

[

[ ,

(3.4) ò.å.

135

íåïðåðûâíà â òî÷êå õ0, åñëè îíà îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè è ïðåäåë ôóíêöèè ïðè ñòðåìëåíèè àðãóìåíòà ê õ0 ñóùåñòâóåò è ðàâåí çíà÷åíèþ ôóíêöèè â ýòîé òî÷êå [4]. Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå, åñëè îíà íåïðåðûâíà â êàæäîé åãî òî÷êå. À âñå îñíîâíûå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè íåïðåðûâíû íà òåõ èíòåðâàëàõ, â êîòîðûõ îíè îïðåäåëåíû. Ïðèâåäåì îñíîâíûå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé [8]. 1) Àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà êîíå÷íîãî ÷èñëà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé åñòü ôóíêöèÿ íåïðåðûâíàÿ. 2) Ïðîèçâåäåíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé åñòü ôóíêöèÿ íåïðåðûâíàÿ. 3) ×àñòíîå äâóõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé åñòü ôóíêöèÿ íåïðåðûâíàÿ â òåõ òî÷êàõ, â êîòîðûõ äåëèòåëü íå ðàâåí íóëþ. 4) Åñëè \ I X è X M [ íåïðåðûâíûå ôóíêöèè ñâîôóíêöèÿ \

I [

èõ àðãóìåíòîâ, òî ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ \

M [

òàêæå íåïðå-

ðûâíà. I [

5) Åñëè ôóíêöèÿ \

íåïðåðûâíà è èìååò îáðàòíóþ

ôóíêöèþ [ M \ ,

òî ïîñëåäíÿÿ òàêæå íåïðåðûâíà.

Åñëè ôóíêöèÿ

y = f(x) íåïðåðûâíà, òî â ôîðìóëå (3.4) ìîæ-

íî ïîìåíÿòü ìåñòàìè çíàêè ôóíêöèè è ïðåäåëà, ò.å. [16, 23].

OLP

[

I [

I OLP [

(3.5)

Ôîðìóëà (3.5) îçíà÷àåò, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà, òî äëÿ îòûñêàíèÿ ïðåäåëà íàäî âìåñòî àðãóìåíòà ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå

ïîäñòàâèòü

õ0. Ýòî ïðàâèëî íåïðèìåíèìî â òîì ñëó-

÷àå, êîãäà ïðè ïîñòàíîâêå ïðåäåëüíîãî çíà÷åíèÿ ìû ïîëó÷àåì íåîïðåäåëåííîñòè âèäà

f f

f f f

f è äð.

Òåïåðü ïðèâåäåì êîíêðåòíûå ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ íåêîòîðûõ ïðåäåëîâ [6, 14, 34]. 136

Ïðèìåð 3.1 OLP [o [ [

Ïðèìåð 3.2

[ [ [

OLP OLP [ [ . [ o [ [ o [ o [

OLP

[

Ïðèìåð 3.3

[ [ [ OLP [ of [ [ [

= Åñëè ïîäñòàâèòü ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå, òî ïîëó÷èì íåîïðåäåëåííîñòü ( ff ). Ïîýòîìó äëÿ ðåøåíèÿ ïîäîáíûõ ïðèìåðîâ èñ

ïîëüçóþò ñëåäóþùèé ïðèåì: äåëÿò ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü íà õ â ìàêñèìàëüíîé ñòåïåíè, â äàííîì ñëó÷àå íà õ5. Òîãäà ïîëó÷èì

OLP [ [

[

Ïðèìåð 3.4

OLP [

[

[ [

OLP ¨¨ [

o ©

[

·§ ¸¨ ¸¨ ¹©

[ [

· ¸ ¸ ¹

º [ [ » [o [ [ [ ¼ ¬

OLP « OLP [

o [ [

137

Ïðèìåð 3.5

OLP¨

of©

[

OLP¨

¸ [¹

of©

[

¸ [¹

[ [

ª «OLP§¨ « [of© ¬

[

º » ¸ [¹ » ¼

H .

(Ïðåäåë â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ ýòî âòîðîé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë).

Ïðèìåð 3.6

OLP [

[

FRV

[

Ïðèìåð 3.7

[

OLP

[

OLP

ª FRV [o « [ ¬

[

FRV

[

OLP

[

FRV

[

VLQ

[

ª VLQ [ º OLP » «¬OLP [ o [ o [ ¼ FRV [

ª ORJ [ º »¼ o «¬ [

FRV FRV

[

FRV

º [ »¼ [

[

ª º ORJ [

« »¼ o ¬[

OLP [

[

ORJ [

ORJ OLP [

ORJ H . oOLP [ o Òàê êàê ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà, òî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (3.5). [

Ïðèìåð 3.8

OLP

VLQ [

o [ . Äàííûé ïðåäåë ìîæíî ñâåñòè ê ïåðâîìó çàìå÷àòåëüíîìó ïðåäåëó ïóòåì çàìåíû ïåðåìåííîé, ò.å. [

[

138

[

®0 ó®0,

, ïðè õ

òîãäà ïîëó÷èì

VLQ [

OLP [

[

Ïðèìåð 3.9

OLP \

VLQ \

§ · OLP¨ ¸ [of [¹ ©

Ïðèìåð 3.10

\ [

[ VLQ [ [ o f [ FRV [

OLP

OLP [

OLP

§ · ¨ ¸ © ¹

VLQ [

VLQ \

[

FRV [

[

Ïðèìåð 3.11

[

§ · ¨ ¸ OLP © ¹[ [ of § · ¨ ¸ © ¹

[ [ [ of [ [

OLP

Ïðèìåð 3.12

OLP [

OQ [ OQ [

[·[ § OLP OQ ¨ ¸ [ o ¹ ©

§ [ · OLP OQ ¨ ¸ [o [ © ¹

[ · [ § OLP OQ ¨ ¸ [ o ¹ ©

ª º [ [ § · « OQ OLP¨ ¸ » « [o © ¹ » ¬ ¼

OQ H

. 139

Ïðèìåð 3.13

OLP [

[ [

ª [ [ o ¬ [

OLP«

[ º

[ ¼

[ [

[ o [

OLP

§ [ [ [ o [ ©

OLP ¨¨

OLP [ [ o

[

·¸ ¸ ¹

Ïðèìåð 3.14

OLP [

DUFVLQ [ [

Íåîáõîäèìî ñâåñòè äàííûé ïðåäåë ê ïåðâîìó çàìå÷àòåëüíîìó ïðåäåëó. Äëÿ ýòîãî äåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé, ò.å. DUFVLQ

[

\ [

VLQ \ , ïðè õ®0 ó®0.

Òîãäà ïîëó÷èì

OLP [

DUFVLQ [ [

OLP \

o VLQ \ .

3.3. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà

Êîìïëåêñíûì ÷èñëîì íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå ñëåäóþùåãî âèäà: W S LJ S 5 J 5 t

ãäå i ìíèìàÿ åäèíèöà L

140

[4].

Åñëè ð = 0, èìååì ÷èñòî ìíèìîå ÷èñëî t = ig.

À åñëè g = 0, òî t = p, ò.å. ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì.

Ïîýòîìó ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ( Ñ), ò.å. RÌC.

Âåëè÷èíà p åñòü äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà t

è îáîçíà÷àåòñÿ p = Ret, à g ìíèìàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà

t è îáîçíà÷àåòñÿ g = Imt [4]. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà t = p + ig è t$ = p ig, îòëè÷àþùèåñÿ òîëüêî çíàêîì ìíèìîé ÷àñòè, íàçûâàþòñÿ êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûìè [4, 23].

Ïðèìåð 3.15

Êîìïëåêñíûå ÷èñëà t = 5 + 7 i; t$ = 5 7i ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûìè.

Äâà êîìïëåêñíûõ ÷èñëà t1 = p1 + ig1 è t2 = p2 + ig2 áóäóò ðàâíû òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ðàâíû èõ äåéñòâèòåëüíûå è ìíèìûå ÷àñòè, ò.å. p1 = p2 è g1 = g2.

Ïðèìåð 3.16

Íàéòè x è ó èç ðàâåíñòâà 7ó + 4 õi = 18 9i. Èñõîäÿ èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, ïîëó÷èì 7y = 18 ® y = 18/7;

4x = 9 ® x = 9/4.

Ëþáîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî t = p + ig ìîæíî èçîáðàçèòü òî÷-

êîé À ( ð, g) íà ïëîñêîñòè 0pg òàêîé, ÷òî ð = Råt, g = Imt, è íà-

îáîðîò, êàæäóþ òî÷êó À ( p, g) êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ìîæíî

ðàññìàòðèâàòü êàê îáðàç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà t (ðèñ. 3.10).

g A

Ðèñ.¦3.10

141

Ïëîñêîñòü 0pg íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòüþ, îñü 0ð äåéñòâèòåëüíîé îñüþ, à 0g ìíèìîé îñüþ. ® Ñ êàæäîé òî÷êîé À ïëîñêîñòè 0pg ñâÿçàí ðàäèóñ-âåêòîð r = ® 0 A . Óãîë, îáðàçîâàííûé ýòèì ðàäèóñîì-âåêòîðîì ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè 0ð, íàçûâàåòñÿ àðãóìåíòîì j = Argt êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Íàèìåíüøåå ïî ìîäóëþ çíà÷åíèå Argt íàçûâàåòñÿ åãî ãëàâíûì çíà÷åíèåì è îáîçíà÷àåòñÿ àrgt. Çàìåòèì, ÷òî p < àrgt £ p. Çíà÷åíèå àðãóìåíòà íàõîäÿò ïî ôîðìóëàì (ðèñ. 3.10) FRV

M S W

ãäå

M J S,

VLQ

J _

S J ìîäóëü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà t [4, 23].

Àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìîé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà íàçûâàåòñÿ çàïèñü âèäà t = p + ig. À ìîäóëü |t| è àðãóìåíò j êîìïëåêñíîãî ÷èñëà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû âåêòîðà 0® À, èçîáðàæàþùåãî êîìïëåêñíîå ÷èñëî t (ðèñ. 3.10). Òîãäà ïîëó÷àåì ð = |t| cosj; g = |t| sinj; è, ñëåäîâàòåëüíî, êîìïëåêñíîå ÷èñëî t = r(cosj + isinj), ãäå r = |t| ìîæíî çàïèñàòü â âèäå, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìóëîé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.

Ïðèìåð 3.17

Çàïèñàòü â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå êîìïëåêñíîå ÷èñëî t = 1 + i.

Ïîýòîìó

FRV M

DUJ W

Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷èì

M S .

S L VLQ S . Èç ôîðìóëû Ýéëåðà FRV M L VLQ M H[S LM ñëåäóåò ïîêà W

VLQ M

FRV

çàòåëüíàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà [16, 23]

142

U H[S LM ,

ãäå U

à j = argt.

Ïðèìåð 3.18

Íàéäåì ïîêàçàòåëüíóþ ôîðìó êîìïëåêñíîãî ÷èñëà W

S .

H[S L

Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ 1. Íàéòè îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé: 1.1. \ \

1.2.

1.3.

[ [ ; ORJ FRV

[

[ ;

[ [ ; [

\ [ [ [ . 2. Íàéòè ïðåäåëû ôóíêöèé:

1.4.

[ [ [ ; [ of [ [ [ [ [ [ [ 2.2. OLP ; [of [ [ [ VLQ [ ; 2.3. OLP [o [ [ [ [ ; 2.4. OLP [ o [ [

2.1. OLP

2.5.

OLP [

DUFVLQ [

[

;

143

[

2.6.

OLP [

[ [

· § ¸ 2.7. OLP¨ [of [¹ ©

2.8.

OLP

[

;

[ [ ;

[ ; [o [ [

2.9.

;

OLP

[

2.10. OLP [ [

[ ;

[ ; [ o [

2.11.

OLP

2.12.

VLQ S [ . [ o WJ [

OLP

3. Íàéòè çíà÷åíèå õ è ó èç ðàâåíñòâ: à) [ L

L\ ; b) [ [ \ L L ; c) L [ L \ L ; d) L [ L \ L . 4. Çàïèñàòü êîìïëåêñíîå ÷èñëî â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé è ïîêàçàòåëüíîé ôîðìàõ. a) W

b) W

c) W

d) W 144

L ; L .

5. Çàïèñàòü êîìïëåêñíûå ÷èñëà â àëãåáðàè÷åñêîé è òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìàõ.

a) W

b) W

c) W

d) W

§ S · L ¸ © ¹

H[S¨

§S · L ¸ © ¹

H[S¨

§ · L ¸ ©S ¹

H[S¨

§S · L ¸ © ¹

H[S¨

Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè 1)

×òî íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé îäíîé íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé?

Ïåðå÷èñëèòü îñíîâíûå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè.

Êàêèå ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû.

×òî òàêîå ïðåäåë ôóíêöèè

y = f(x) ïðè x®x0? Äàéòå îïðåäåëåíèå ïðàâîy = f(x).

ãî è ëåâîãî ïðåäåëîâ ôóíêöèè 5)

Äàéòå îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.

Êàêàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîé âåëè÷èíîé ïðè

õ® + ¥? 7)

x®x0 è

Êàêîâà ñâÿçü ìåæäó áåñêîíå÷íî áîëüøîé è áåñêîíå÷íî ìàëîé âåëè÷èíàìè?

Ñôîðìóëèðîâàòü ïðàâèëà ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà â ñëó÷àå àðèôìåòè÷åñ-

Â ÷åì ñîñòîèò ïðàâèëî ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà äëÿ íåïðåðûâíîé ôóíê-

êèõ äåéñòâèé.

öèè? 10)

Êàêîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíûì?

11)

Êàêèå êîìïëåêñíûå ÷èñëà íàçûâàþòñÿ ÷èñòî ìíèìûìè?

12)

Êàêèå êîìïëåêñíûå ÷èñëà íàçûâàþòñÿ ñîïðÿæåííûìè?

13)

×òî íàçûâàåòñÿ ìîäóëåì è àðãóìåíòîì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà?

14)

Êàê çàïèñûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå?

15)

Êàê çàïèñûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî â ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå?

4. ÎÑÍÎÂÛ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÃÎ ÈÑ×ÈÑËÅÍÈß

Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå ýòî ðàçäåë ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, ñâÿçàííûé â îñíîâíîì ñ ïîíÿòèÿìè ïðîèçâîäíîé è äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè. 4.1. Ïðîèçâîäíàÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Äèôôåðåíöèàë. Ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ

Ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) íàçûâàåòñÿ ïðåäåë îòíîøåíèÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè ê ïðèðàùåíèþ àðãóìåíòà ïðè ïðîèçâîëüíîì ñòðåìëåíèè ïîñëåäíåãî ê íóëþ [4, 30, 32]. G\ I [ '[ I [

'\ \ c I c [

, '[ o '[ '[ G[ '[o OLP

OLP

ò.å. ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè

§ ¨ ©

I [

I c [ \ c

G\ · ¸ G[ ¹

åñòü íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ, ïîëó÷åííàÿ ïî îïðåäåëåííûì ïðàâèëàì èç çàäàííîé ôóíêöèè. I [

Çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè

â êàêîé-òî òî÷êå

x0 îáîçíà÷àþò îáû÷íî òàê: I c

[ èëè \ c[

[ .

Ìåõàíè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé ýòî ïðåäåë ñðåäíåé ñêîðîñòè çà áåñêîíå÷íî ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé âûòåêàåò èç ñëåäóþùåé òåîðåìû. ÒÅÎÐÅÌÀ 4.1

Åñëè çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé îò ôóíêöèè

I [

ïðè

c ðàâíî I [ , òî ïðÿìàÿ, ïðîâåäåííàÿ ÷åðåç òî÷êó 0 [ \ ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì, ðàâíûì I c [ , ÿâëÿåò-

ñÿ êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè â òî÷êå

146

Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé èëëþñòðèðóåò ðèñ. 4.1. ó

ó = f(x)

Dy y0

Dõ

Ðèñ.¦4.1

M M

Ïðîâåäåì ÷åðåç òî÷êè 0 è 1 ñåêóùóþ, óãîë a ìåæäó ñåêóùåé è ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè 0 ðàâåí

'\ . '[ Áóäåì ïåðåìåùàòü òî÷êó M1 ïî êðèâîé â ñòîðîíó òî÷êè M0, ò.å. óñòðåìèì Dx ê íóëþ. Ïðåäåëüíûì çíà÷åíèåì ñåêóùåé áóäåò êàñàòåëüíàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó M0. Òîãäà ïîëó÷èì [4, 23, 33]: '\ \c OLP WJD OLP WJM '[ o '[ o '[

WJD

Óñòàíîâèì ñâÿçü ìåæäó íåïðåðûâíîñòüþ è äèôôåðåíöèðóåìîñòüþ ôóíêöèè. Îíà âèäíà èç ñëåäóþùåé òåîðåìû. ÒÅÎÐÅÌÀ 4.2 Åñëè ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà â íåêîòîðîé òî÷êå, òî â ýòîé òî÷êå îíà íåïðåðûâíà. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî. 147

Â êà÷åñòâå ïðèìåðà âîçüìåì ôóíêöèþ \

[

. Åå ãðàôèê

ïîêàçàí íà ðèñ. 4.2.

[

Ðèñ.¦4.2 Èç ãðàôèêà âèäíî, ÷òî â òî÷êå

õ = 0 äàííàÿ ôóíêöèÿ íå

èìååò îïðåäåëåííîé êàñàòåëüíîé, à çíà÷èò, íå èìååò â ýòîé òî÷êå è ïðîèçâîäíîé. Èç îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîäíîé ñëåäóåò ñïîñîá åå âû÷èñëåíèÿ.

Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè

îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîäíîé:

[ Q , ãäå Q

èñõîäÿ èç

Q Q [ '[ [ '\ \ '[ o '[ '[ o '[ Q Q Q Q Q [ Q[ '[ [ '[ '[ Q [ Q OLP

OLP

'[ o OLP

'[ §¨ Q[ Q Q Q [ Q '[ '[ Q ·¸ © ¹ '[ o '[ Q Q Q Q Q[ Q [ '[ '[

Q[ Q '[ o '[ o '[ o

OLP

148

OLP

Èòàê, [

Q[ Q , íàïðèìåð [

Q c

[ .

Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà âåðíà äëÿ âñåõ [ 5

[32].

Èç ïðèâåäåííîãî ïðèìåðà âèäíî, ÷òî èñïîëüçîâàòü îïðåäå-

ëåíèå ïðîèçâîäíîé äëÿ åå âû÷èñëåíèÿ äåëî äîñòàòî÷íî òðóäîåìêîå. Ïîýòîìó ãîðàçäî ïðîùå, èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé, âûâåñòè ïðîèçâîäíûå îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé è ñôîðìóëèðîâàòü ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ àëãåáðàè÷åñêîé ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ, ÷àñòíîãî ôóíêöèé, ñëîæíîé ôóíêöèè, îáðàòíîé ôóíêöèè. Ïî ïîëó÷åííûì ôîðìóëàì è ïðàâèëàì ìîæíî áóäåò íàõîäèòü ïðîèçâîäíûå ëþáûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé [4].

Ïðîèçâîäíûå îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé

[

Q c

Q[ Q ;

[

ORJ D

[

[ OQ D

[ c

D [ OQ D

[ c

H[ c

VLQ

[

FRV

WJ [

FRV

[

VLQ [ FRV

[

149

FWJ [

VLQ

DUFFRV[ c

[

DUFFWJ [

DUFWJ [

[

DUFVLQ [ c

[

Äîïîëíèì òàáëèöó ïðîèçâîäíûõ ïðîèçâîäíûìè îò ãèïåðáîëè÷åñêèõ è îáðàòíûõ ãèïåðáîëè÷åñêèõ ôóíêöèé, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ îñíîâíûìè ýëåìåíòàðíûìè ôóíêöèÿìè, íî ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ â ðàçëè÷íûõ ïðèëîæåíèÿõ [4, 32]. Ê ãèïåðáîëè÷åñêèì ôóíêöèÿì îòíîñÿòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêèå ñèíóñ (shx), êîñèíóñ (chx) è òàíãåíñ (thx), êîòîðûå íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì

H [

[

H [

. FK[ WK[ VK[ FK[ H [ H [ Âñå ýòè ôóíêöèè îïðåäåëåíû íà ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (R) è ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè: K

[ VK [

[

FK [ VK [ ; VK [

[

WK [

VK[ FK[ ;

[

WK [

Ôóíêöèè, îáðàòíûå ê shx, chx, thx ÿâëÿþòñÿ îáðàòíûìè ãèïåðáîëè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè è îáîçíà÷àþòñÿ Arsh (àðåà-ñèíóñ ãèïåðáîëè÷åñêèé), Arñh (àðåà-êîñèíóñ ãèïåðáîëè÷åñêèé), Arth (àðåà-òàíãåíñ ãèïåðáîëè÷åñêèé): 150

$UVK

[

$UFK

$UWK

[ [ r

[

[ [

;

[

;

Ïðîèçâîäíûå ãèïåðáîëè÷åñêèõ è îáðàòíûõ ãèïåðáîëè÷åñêèõ ôóíêöèé íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì c

VK[

(Arshx )′ =

[

1 2

x +1

FK[

; (Archx)′ = ±

[ WK[

FK [

1 x 2 −1

;

t x

Ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ 1) Àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà ôóíêöèé

[ f1 (x )± f 2 (x )± K ± f n (x )]′ = f1′ (x )±

′ ′ f 2 (x )± K ± f n (x ).

2) Ïðîèçâåäåíèå ôóíêöèé

[ f1 (x )⋅ f 2 (x )] ′ =

′ ′ f1 (x )⋅ f 2 (x )+ f1 (x )⋅ f 2 (x ).

Èñõîäÿ èç ýòîãî ïðàâèëà äëÿ òðåõ ôóíêöèé, ïîëó÷èì, [ f1 (x )⋅ f 2 (x )⋅ f 3 (x )]′ = ′ = [ f1 (x )⋅ f 2 (x )]′ ⋅ f 3 (x )+ f 1 (x )⋅ f 2 (x )⋅ f 3 (x ) = ′ ′ = f 1 (x )⋅ f 2 (x )⋅ f 3 (x )+ f 2 (x )⋅ f 1 (x )⋅ f 3 (x )+ ′ + f 3 (x )⋅ f 1 (x )⋅ f 2 (x ). 3) ×àñòíîå äâóõ ôóíêöèé

§ I [ · ¸ ¨ ¸ ¨ I [ ¹ ©

I [ I [ I [ I [

> I [ @

I [

z 151

4) Ïðîèçâîäíàÿ ñëîæíîé ôóíêöèè

ÒÅÎÐÅÌÀ 4.3

Ñôîðìóëèðóåì òåîðåìó. Ïðîèçâîäíàÿ ñëîæíîé ôóíêöèè ðàâíà ïðîèçâîäíîé çàäàííîé ôóíêöèè ïî ïðîìåæóòî÷íîìó àðãóìåíòó, óìíîæåííîé íà ïðîèçâîäíóþ ýòîãî àðãóìåíòà ïî íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé, ò.å. åñëè \ I X , a X M [ è y = f [ϕ (x )], òî ñîãëàñíî äàííîé òåîðåìå

G\ GX GX G[

I c X X c [

Àíàëîãè÷íî âûâîäèòñÿ ôîðìóëà ïðè ëþáîì ÷èñëå ïðîìåæóòî÷íûõ àðãóìåíòîâ, ò.å. ïðîèçâîäíàÿ ñëîæíîé ôóíêöèè ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïðîèçâîäíûõ îò ôóíêöèé åå ñîñòàâëÿþùèõ. Íàïðèìåð, íàéäåì ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè FRV [ .

FRV [ VLQ [

FRV [ VLQ [ VLQ [ .

5) Ïðîèçâîäíàÿ îáðàòíîé ôóíêöèè íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå

èëè c

ò.å. ïðîèçâîäíûå îò âçàèìíî îáðàòíûõ ôóíêöèé îáðàòíû ïî âåëè÷èíå. Â êà÷åñòâå ïðèìåðà íàéäåì ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè

[ c\

152

DUFVLQ [ FRV \

\ c[

VLQ \

[

FRV \

\ « ¬

». ¼

VLQ

S Sº

[

Ïðèìåðû íàõîæäåíèÿ ïðîèçâîäíûõ

OQ VLQ [ OQ [

Ïðèìåð 4.1. \ ORJ VLQ [ Ïðåæäå ÷åì íàéòè ïðîèçâîäíóþ îò çàäàííîé ôóíêöèè, ïåðåéäåì ê äðóãîìó îñíîâàíèþ è íàéäåì ïðîèçâîäíóþ èñõîäíîé ôóíêöèè ïî ïðàâèëó ïðîèçâîäíîé ÷àñòíîãî. [

VLQ

[

VLQ

[ FRV [ OQ [

[

OQ VLQ

[

OQ [

[ OQ [ [

FWJ

OQ VLQ

[

OQ [

Ïðèìåð 4.2. \

[ VLQ [ .

Äàííàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ñëîæíîé ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèåé. ×òîáû íàéòè ïðîèçâîäíóþ îò òàêîé ôóíêöèè, ïðîëîãàðèôìèðóåì åå ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè, à çàòåì ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ, ïîìíÿ, ÷òî ó åñòü ôóíêöèÿ îò õ [4]. OQ

VLQ

[ OQ [ ;

\¨ FRV [ OQ [ ©

FRV [ OQ [

VLQ [ · ¸ ; \ c [ ¹

[

VLQ [ ;

[ VLQ [ ¨ FRV [ OQ [ ©

Äàäèì ïîíÿòèå î äèôôåðåíöèàëå ôóíêöèè. Åñëè çàäàíà íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ \ I [ ,

VLQ [ · ¸. [ ¹

èìåþùàÿ

ïðîèçâîäíóþ

I c [

'\ o '[ ,

OLP '[

òî

'\ '[

I c [

D [ 153

D áåñêîíå÷íî ìàëàÿ âåëè÷èíà ïðè '[ o . Äàëåå ïîëó÷àåì '\ I c [ '[ D [ '[ .

ãäå [

Äèôôåðåíöèàëîì

(îò ëàò. differentia ðàçíîñòü) ôóíêöèè

íàçûâàåòñÿ ãëàâíàÿ ÷àñòü ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè, ëèíåéíàÿ îòíîñèòåëüíî ïðèðàùåíèÿ àðãóìåíòà õ, ò.å.

c [ '[

Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë äèôôåðåíöèàëà ïîíÿòåí èç ðèñ. 4.3. Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè ãåîìåòðè÷åñêè èçîáðàæàåòñÿ ïðèðàùåíèåì îðäèíàòû êàñàòåëüíîé, ïðîâåäåííîé â òî÷êå ( ) ïðè äàííûõ çíà÷åíèÿõ , D [23, 32]. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ . Äëÿ íåå ïîëó÷èì G\ '[ , à òàê êàê ó ìîæíî çàìåíèòü íà õ

Ì õ, ó

õ õ ó = õ

ïî óñëîâèþ, òî èìååì

'[ .

[

Ì1 Ì

êàñàòåëüíàÿ

Dó

dó

Ðèñ.¦4.3

Ñëåäîâàòåëüíî, äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè ðàâåí G\ Îòñþäà ñëåäóåò ôîðìóëà

154

\ cG[

G\ . G[

Äàäèì ïîíÿòèå î ïðîèçâîäíîé âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì çàäàíà ôóíêöèÿ \ I [ èìåþùàÿ ïðîèçâîäíóþ

[

I c .

Ïðîèçâîäíàÿ îò ôóíêöèè

I c

[ òàêæå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé,

è åñëè îíà äèôôåðåíöèðóåìà, òî îò íåå ìîæíî âçÿòü ïðîèçâîäíóþ. Îíà áóäåò íàçûâàòüñÿ ïðîèçâîäíîé âòîðîãî ïîðÿäêà

cc [

OLP '[

c '[ I c [

. '[

I [

Íàïðèìåð, íàéäåì âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè.

Ïðèìåð 4.3. \

[

VLQ [ . [ VLQ [ FRV [ .

y ′′ = 6 + 3(2 sin x ⋅ cos 2 x − sin 3 x).

Ñ ïîìîùüþ ïåðâîé è âòîðîé ïðîèçâîäíûõ ìîæíî èññëåäîâàòü ôóíêöèþ íà ýêñòðåìóì (max, min), íàõîäèòü òî÷êè ïåðåãèáà è ó÷àñòêè âûïóêëîñòè è âîãíóòîñòè ôóíêöèè. Ïðîèçâîäíàÿ âòîðîãî ïîðÿäêà

G \ òàêæå ÿâëÿåòñÿ G[

ôóíêöèåé, è ïðîèçâîäíàÿ îò íåå áóäåò íàçûâàòüñÿ ïðîèçâîäíîé òðåòüåãî ïîðÿäêà îò èñõîäíîé ôóíêöèè è îáîçíà÷àòüñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

G \ G[

OLP

[

'[ I '[

[

Ïðîèçâîäíàÿ îò ïðîèçâîäíîé òðåòüåãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíîé ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà îò èñõîäíîé ôóíêöèè è îáîçíà÷àåòñÿ òàê: 155

G \

[

OLP

'[ I '[

[

è ò.ä.

Ïðîèçâîäíîé n-ãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ïðîèçâîäíîé (n 1) ïîðÿäêà, ò.å.

G \

'OLP [o

[

'[ I '[

[

Ïðîèçâîäíûå ÷åòâåðòîãî, ïÿòîãî è âûñøèõ ïîðÿäêîâ îáîV V çíà÷àþòñÿ ëèáî y , y , , ëèáî GG[\ GG[\ (4)

(5)

, , ëèáî y

, y , .

Íàïðèìåð, íàéäåì ïðîèçâîäíóþ òðåòüåãî ïîðÿäêà äëÿ ôóí-

[ VLQ [ OQ [ .

êöèè

[ VLQ

[ [ FRV [

[

;

\ VLQ [ [ FRV [ [ FRV [ [

VLQ [

VLQ [ [ FRV [ [ VLQ [

[

[ OQ [ [

OQ [ [

;

FRV [ FRV [ [ VLQ [ [ VLQ [ [ FRV [

[

OQ [ [

[

FRV [ [ VLQ [ [ FRV [ 156

OQ [ [

4.2. Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ î ôóíêöèÿõ ìíîãèõ ïåðåìåííûõ. Ïîíÿòèå î ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé

Ïðîèçâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ. Ãðàäèåíò

Ðàíåå áûëè ðàññìîòðåíû ôóíêöèè, êîòîðûå çàâèñåëè îò îäíîãî íåçàâèñèìîãî àðãóìåíòà. Íî â äåéñòâèòåëüíîñòè ÷àùå ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî ñ ôóíêöèÿìè, êîòîðûå çàâèñÿò îò äâóõ, òðåõ è áîëüøåãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ. Íàïðèìåð, ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè à è b áóäåò ôóíêöèåé äâóõ íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ. Ôóíêöèÿ ýòà èìååò âèä 6 QS D E , a b ãäå

ìîãóò áûòü ëþáûìè äåéñòâèòåëüíû-

ìè ïîëîæèòåëüíûìè ÷èñëàìè, òàê êàê è ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà, è åãî ïëîùàäü íå ìîãóò áûòü îòðèöàòåëüíûìè âåëè÷èíàìè. Ïîëîæåíèå êàêîãî-ëèáî îáúåêòà íà ïîâåðõíîñòè ïëàíåòû îïðåäåëÿåòñÿ òðåìÿ êîîðäèíàòàìè: øèðîòîé, äîëãîòîé è âûñîòîé, ò.å. ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òðåõ íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ. Ïîëîæåíèå êîñìè÷åñêîãî àïïàðàòà (ÊÀ), äâèæóùåãîñÿ ïî íåâîçìóùåííîé ýëëèïòè÷åñêîé îðáèòå âîêðóã Çåìëè, åñòü ôóíêöèÿ øåñòè àðãóìåíòîâ (òðåõ êîîðäèíàò (

x, y, z) è òðåõ ñîñòàâëÿ-

[ \ ] ). Ýòà ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü

þùèõ ñêîðîñòè

èìååò ñëåäóþùèé âèä:

M [ \ ] [ \ ] . Â ãóìàíèòàðíûõ íàóêàõ, íàïðèìåð â þðèñïðóäåíöèè è ýêîíîìèêå, æåñòêî äåòåðìèíèðîâàííûå ôóíêöèîíàëüíûå ñâÿçè âñòðå÷àþòñÿ íå÷àñòî. Òàì èñïîëüçóþòñÿ ìíîãîôàêòîðíûå ñòàòèñòè÷åñêèå âçàèìîñâÿçè âèäà )

I [ [

! [Q 'I

! "[

'[ '[

! '[Q H \ \ ! \P

ó÷òåííûå ïðèçíàêè, ïîä âëèÿíèåì êîòîðûõ ìåíÿåòñÿ ôóíêöèÿ Z, '[ '[ ! '[Q îøèáêè ó÷òåííûõ ïðèçíàêîâ, \ \ ! \P íåó÷òåííûå ïðèçíàêè, êîòîðûå ìîãóò âëèÿòü íà ôóíêöèþ Z. ãäå [ [

157

Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ôóíêöèþ äâóõ íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ õ è ó. Ïåðåìåííàÿ âåëè÷èíà Z íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ïåðåìåííûõ âåëè÷èí õ è ó íà ìíîæåñòâå D, åñëè êàæäîé òî÷êå ýòîãî ìíîæåñòâà ñîîòâåòñòâóåò îäíî îïðåäåëåííîå çíà÷åíèå âåëè÷èíû Z [4, 5, 8, 30]. Ìíîæåñòâî D íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè Z. Îáû÷íî îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòü ïëîñêîñòè õ0ó, îãðàíè÷åííîé îäíîé èëè íåñêîëüêèìè ëèíèÿìè. Òîò ôàêò, ÷òî Z åñòü ôóíêöèÿ íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ õ è ó, çàïèñûâàþò òàê: =

I [ \ .

Ôóíêöèÿ äâóõ àðãóìåíòîâ ìîæåò çàäàâàòüñÿ ñëåäóþùèìè ñïîñîáàìè: 1) àíàëèòè÷åñêèì, ò.å. ïðèâîäèòñÿ ôîðìóëà, ïðè ïîìîùè êîòîðîé ïî çàäàííûì çíà÷åíèÿì àðãóìåíòîâ õ è ó íàõîäÿò çíà÷åíèÿ ôóíêöèè Z. Íàïðèìåð,

[\ =

VLQ

[

\ =

VLQ

[ OQ \ =

[

\ ,

2) òàáëè÷íûì, ò.å. äëÿ íåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà ïàð àðãóìåíòîâ (õ, ó) ïðèâîäÿòñÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè (Z),

! Z " ; ! ; ! ! !! ; ; ! ;

Y = Z Z Z Y ; ; Y ; ;

...

O O O

3) ãðàôè÷åñêîå çàäàíèå. Ãðàôèêîì ôóíêöèè äâóõ íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ â ñèñòåìå ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàò íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê, àáñöèññû è îðäèíàòû êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿìè õ è ó, à àïïëèêàòû ñîîòâåòñòâóþùèìè çíà÷åíèÿìè Z. Ãðàôèêîì ôóíêöèè äâóõ íåïðåðûâíûõ àðãóìåíòîâ îáû÷íî ñëóæèò ïîâåðõíîñòü. Íàïðèìåð, ãðàôèêîì ôóíêöèè = [ \ ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëîèä âðàùåíèÿ (ðèñ. 4.4).

158

0 ó õ Ðèñ.¦4.4 Òåïåðü äàäèì îïðåäåëåíèå ôóíêöèè n íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ [ [

Ïåðåìåííàÿ âåëè÷èíà W íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ïåðåìåííûõ âåëè÷èí [ [ ! [ Q

, åñëè êàæäîé ðàññìàòðèâàåìîé ñî-

âîêóïíîñòè ýòèõ âåëè÷èí ñîîòâåòñòâóåò îäíî îïðåäåëåííîå çíà÷åíèå W.

[ [

Òîò ôàêò, ÷òî W åñòü ôóíêöèÿ àðãóìåíòîâ ïèñûâàþò òàê:

I [ [

Q , çà-

Q .

Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èëëþñòðàöèÿ ôóíêöèé îò n íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ òåðÿåò íàãëÿäíîñòü ïðè Q ! .

Ïðè èññëåäîâàíèè ïîâåðõíîñòåé 2-ãî ïîðÿäêà ÷àñòî ïðèìåíÿþò ìåòîä ñå÷åíèé, êîòîðûé çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îïðåäåëåíèå âèäà ïîâåðõíîñòè ïî åå óðàâíåíèþ ïðîèçâîäèòñÿ ïóòåì èçó÷åíèÿ êðèâûõ, îáðàçîâàííûõ ïðè ïåðåñå÷åíèè ýòîé ïîâåðõíîñòè ïëîñêîñòÿìè, ïàðàëëåëüíûìè êîîðäèíàòíûì ïëîñêîñòÿì. Äàäèì îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè äâóõ íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ.

159

×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè

[

è \

åñëè äëÿ âñåõ çíà÷åíèé

ìàëî îòëè÷àþùèõñÿ îò öèè

õ è ó, äîñòàòî÷íî

x0 è y0, ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ôóíê-

I [ \ êàê óãîäíî ìàëî îòëè÷àþòñÿ îò ÷èñëà b [8, 32].

Òîò ôàêò, ÷òî b åñòü ïðåäåë ôóíêöèè =

[

I [ \ ïðè

è \

I [ \ ïðè

, çàïèñûâàþò òàê:

o [ I [ \ E o\

OLP

[ \

R R

Òåïåðü ââåäåì ïîíÿòèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïî íåçàâèñèìûì àðãóìåíòàì. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ äâóõ íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ õ è ó =

I [ \ .

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî y = const, è ðàññìîòðèì

I [ \ êàê

ôóíêöèþ îäíîãî íåçàâèñèìîãî àðãóìåíòà. Åñëè ýòà ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà, òî ñóùåñòâóåò ïðåäåë

OLP '[

I [ '[ \ I [ \

[

I [c [ \ .

Íèæíèé èíäåêñ (õ) óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ áåðåòñÿ ïî àðãóìåíòó õ. ×àñòíîé ïðîèçâîäíîé ïî õ îò ôóíêöèè = I [ \ íàçûâà

åòñÿ ôóíêöèÿ ïåðåìåííûõ âåëè÷èí õ è ó, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè I [ \ ïî õ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî

FRQVW .

Îíà îáîçíà÷àåòñÿ òàê:

= wI [ \

=c . [ w[ w[

Àðãóìåíò ó ñ÷èòàåòñÿ ïîñòîÿííûì òîëüêî â ïðîöåññå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Ïîñëå íàõîæäåíèÿ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé w= ôóíêöèÿ áóäåò çàâèñåòü îò äâóõ àðãóìåíòîâ õ è ó. w[

160

Àíàëîãè÷íî îïðåäåëèì ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî ó îò ôóíêI [ \ ïðè

öèè =

OLP

FRQVW . Êàê ïðåäåë

I [ \ '

I [ \

I c [ \ .

Îíà îáîçíà÷àåòñÿ òàê:

I [ \

= c . Ïðè íàõîæäåíèè

÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ èñïîëüçóþòñÿ ôîðìóëû è ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ

ôóíêöèè

îäíîãî

íåçàâèñèìîãî

àðãóìåíòà.

Ðàññìîòðèì êîíêðåòíûå ïðèìåðû.

Ïðèìåð 4.4 =

[

FRV \ ;

[ FRV \

Ïðèìåð 4.5 =

[

[ VLQ \

\ [ OQ\ ,

w= w\

[ [ FRV \ \

w= w[

[ WJ\ OQ\ ,

Àíàëîãè÷íî ìîæíî îïðåäåëèòü ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå îò ëþáîãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ. Íàïðèìåð, èìååì ôóíêöèþ n íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ

![ Îïðåäåëèì ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî àðãóìåíòó x ' ! [ [ ![ w :

I [ [

Q .

OLP

I [

[ [ [

. '[ Àíàëîãè÷íî îïðåäåëèì ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî àðãóìåíòó x2

161

w w[

I [ [

OLP

'[ [

I [ [

è òàê äàëåå.

Ïðèìåð 4.6 : [ :

FRV

[

FRV

[

[ OQ [

[ FRV [

[

VL Q

[

[ ;

Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñëîæíûõ ôóíêöèé

Ïóñòü èìååì ôóíêöèþ äâóõ íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ =

I X Y , ïðè÷åì àðãóìåíòû ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè íåçàâèñè-

M [ \ Y \ [ \

ìûõ ïåðåìåííûõ è , ò.å.

ñëåäîâàòåëüíî

Z = f [ϕ (x, y ),ψ (x, y )].

Â ýòîì ñëó÷àå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè Z ïî àðãóìåíòàì õ è ó áóäóò âû÷èñëÿòüñÿ ïî ôîðìóëàì [4, 32]. =

[ w=

X w[ w= wX

Ïðèìåð 4.7

= wY

Y w[ w= wY w

wX w\ wY w\

H [\ VLQ [ \ .

∂Z = e 3 xy ⋅ 3 y ⋅ sin (5 x + y )+ e 3 xy ⋅ cos(5 x + y )⋅ 5 = ∂x = e 3 xy ⋅ [3 y ⋅ sin (5 x + y )+ 5 cos(5 x + y )] , 162

∂Z = e 3 xy ⋅ 3x ⋅ sin (5 x + y )+ e 3 xy ⋅ cos(5 x + y )⋅ = ∂y

= e 3 xy ⋅ [3x ⋅ sin (5 x + y )+ cos(5 x + y )].

Ïðèìåð 4.8 = VLQ [ \ OQ \ [

[

FRV [ \ [ \ OQ \ [ FRV [ \ \[ OQ \ [

VLQ [ \

\ [ [

VLQ [ \

\ [

×àñòíûå ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ

Ïóñòü çàäàíà ôóíêöèÿ äâóõ íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ Z = f(x, y), èìåþùàÿ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ww=[

= [ ;

w= w\

= \.

Ýòè

ïðîèçâîäíûå òîæå ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè àðãóìåíòîâ x è y. ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå îò ýòèõ ôóíêöèé íàçûâàþòñÿ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè âòîðîãî ïîðÿäêà îò ôóíêöèè Z = f(x, y). Êàæäàÿ ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà èìååò äâå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå, ïîýòîìó ìû èìååì ÷åòûðå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå âòîðîãî ïîðÿäêà, îáîçíà÷àåìûå ñëåäóþùèì îáðàçîì:

w § w= · ¨ ¸ w[ © w[ ¹

w = w[

w § w= · ¨ ¸ w[ ¨© w\ ¸¹

w = w\w[

w § w= · ¨ ¸ w\ ¨© w\ ¸¹

w = w\

[[ ;

\[ ;

\\ ;

163

w § w= · ¨ ¸ w\ © w[ ¹

w = w[w\

[\ .

w = w = Ïðîèçâîäíûå w\w[ è w[w\ íàçûâàþòñÿ ñìåøàííûìè ÷àñò

íûìè ïðîèçâîäíûìè. Ïåðâàÿ èç íèõ ïîëó÷àåòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì èñõîäíîé ôóíêöèè ñíà÷àëà ïî ó, à ïîòîì ïî õ, à âòîðàÿ íàîáîðîò. Ïðèâåäåì òåîðåìó î âòîðûõ ñìåøàííûõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.

ÒÅÎÐÅÌÀ 4.4. Åñëè âòîðûå ñìåøàííûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè Z = f(x, y) íåïðåðûâíû, òî îíè ðàâíû ìåæäó ñîáîé, ò.å. w = w[w\

w = . w\w[

Ïîýòîìó ôóíêöèÿ Z = f(x, y) èìååò ïðè óñëîâèè âûïîëíåíèÿ òåîðåìû 4.4. íå ÷åòûðå, à òðè ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïðèìåð 4.9. Íàéòè äëÿ ôóíêöèè Z = 5õ4ó3 6õ2ó5 âòîðûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå. Ñíà÷àëà íàõîäèì ïåðâûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå: w= w[

[ \ [\ ;

w= [ \ [ \ . w\

Äàëåå íàõîäèì âòîðûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå: w = w[

164

[ \ \ ;

w = w\

[ \ [ \ ;

w = [ \ [\ ; w[w\

w = [ \ [\ . w\w[

Èç äàííîãî ïðèìåðà âèäíî, ÷òî óñëîâèÿ òåîðåìû 4.4 âûïîëíÿþòñÿ, ïîýòîìó ðàâíû âòîðûå ñìåøàííûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå. ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå îò ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà íàçûâàþòñÿ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè òðåòüåãî ïîðÿäêà è ò.ä. Îïèðàÿñü íà òåîðåìó 4.4, ìîæíî äîêàçàòü îáùåå ïîëîæåíèå: ðåçóëüòàò ïîâòîðíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ íå çàâèñèò îò ïîðÿäêà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, ïðè ýòîì ðàññìàòðèâàåìûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå äîëæíû áûòü íåïðåðûâíû. Íàïðèìåð, áóäóò ðàâíû ñìåøàííûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå òðåòüåãî ïîðÿäêà ww[ =w\ w[ww\=w[

. Ôóíêöèÿ Z = f(x, y) èìååò (n + 1)

n-ãî ïîðÿäêà, êîòîðûå îáîçíà÷àþòñÿ ñëå-

÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ äóþùèì îáðàçîì:

w Q= w[ Q

w Q = w Q= ; w[ Q w\ w[Q w\

;

wQ = w[ w\ Q

; ;

w Q= w[w\ Q

;

w= w\ Q

Åñëè çàäàíà ôóíêöèÿ, èìåþùàÿ n íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ, òî ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ëþáîãî ïîðÿäêà äëÿ íåå îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî. Â ýòîì ñëó÷àå òàêæå èìååò ìåñòî òåîðåìà î íåçàâèñèìîñòè ðåçóëüòàòà îò ïîðÿäêà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.

Ïðîèçâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ è ãðàäèåíò

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â êàæäîé òî÷êå À íåêîòîðîé îáëàñòè D çàäàíî çíà÷åíèå ñêàëÿðíîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû W (òåìïåðà165

òóðà, äàâëåíèå, âëàæíîñòü è ò.ï.). Òîãäà W íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíîé ôóíêöèåé òî÷êè è çàïèñûâàåòñÿ êàê W = W(A). Åñëè â îáëàñòè D çàäàíà ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ òî÷êè W(A), òî ãîâîðÿò, ÷òî â ýòîé îáëàñòè çàäàíî ñêàëÿðíîå ïîëå. Åñëè ñêàëÿðíîå ïîëå íå çàâèñèò îò âðåìåíè, îíî íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì. Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïîëå áóäåò íå ñòàöèîíàðíûì, ò.å. áóäåò çàâèñåòü íå òîëüêî îò òî÷êè À, íî è îò âðåìåíè t.

Ïðîèçâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ

Â ãèïåðïðîñòðàíñòâå, â êîòîðîì çàäàíî ïîëå W = W(x1, x2, , xn), âîçüìåì òî÷êó À(x1, x2, , xn) è íàéäåì ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ôóíêöèè ïðè äâèæåíèè òî÷êè À â íàïðàâëåíèè íåêîòîðîãî âåêòîðà m® . Ýòîò âåêòîð íà÷èíàåòñÿ â òî÷êå À, à êîñèíóñû óãëîâ ìåæäó íèì è êîîðäèíàòíûìè îñÿìè Õ1, Õ2, , Õn (íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû) ðàâíû: cosj1, cosj2, , cosjn. Ïðèðàùåíèå DW, ïîëó÷àåìîå ïðè ïåðåõîäå îò òî÷êè À â òî÷êó À1 ïî íàïðàâëåíèþ m® ðàâíî ': : [ '[ [ '[ [Q '[Q : [ [ [Q Òîãäà 'P $$ '[ '[ '[ Q

Ïðîèçâîäíîé îò ôóíêöèè W(x1, x2, , xn) â òî÷êå À(x1, x2, , xn) ïî íàïðàâëåíèþ m® íàçûâàåòñÿ ïðåäåë

: ·¸

§' ¨ 'P o ¨ 'P © OLP

¸ ¹

Â êóðñàõ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà äîêàçûâàåòñÿ (ñì., íàïðèìåð, [4]), ÷òî ∂W  ∂W   ∂W   ∂W  =  ⋅ cos ϕ1+   ⋅ cos ϕ 2 + ... +   ⋅ cos ϕn . ∂µ  ∂x1   ∂x 2   ∂xn 

Òî åñòü ïðîèçâîäíàÿ õàðàêòåðèçóåò ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ôóíêöèè ïî äàííîìó íàïðàâëåíèþ. Ïðèìåð 4.10. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè

[

[ [ [ [

â òî÷êå À (0, 1, 2, 1) â íàïðàâëåíèè ê òî÷êå À1 (2, 0, 1, 3).

166

Íàõîäèì íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû âåêòîðà ÀÀ1 = (2, 1, 1, 2):

M FRV M FRV M FRV M Äàëåå îïðåäåëÿåì ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå èñõîäíîé ôóíêöèè W è èõ çíà÷åíèÿ â òî÷êå À, ò.å. FRV

[ [

w[ § w: ¨ ¨ w[ ©

w: w[

§ w: ¨ ¨ w[ ©

· ¸ ¸ ¹$

[

w[ § w: ¨ ¨ w[ ©

[

· ¸ ¸ ¹$

[ [

§ w: ¨ ¨ w[ ©

· ¸ ¸ ¹

Çàòåì âû÷èñëÿåì èñêîìóþ ïðîèçâîäíóþ ïî íàïðàâëåíèþ

§ w: · ¨¨ ¸¸ w P © ¹$

Çíàê ìèíóñ ãîâîðèò î òîì, ÷òî ôóíêöèÿ â çàäàííîì íàïðàâëåíèè óáûâàåò. Âåêòîð, êîîðäèíàòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè ( 1, 2, , n) â òî÷êå ( 1, 2, , n), íàçûâàþò ãðàäèåíòîì ôóíêöèè è îáîçíà÷àþò grad , ò.å.

Wx x

: w: [ w[

§w ¨ ¨w ©

JUDG

§ w: ¨ ¨ © w[

JUDG:

Àx x W

: ·¸

èëè w[Q ¸ ¹

· ® § w: ¸H ¨ ¸ ¨ ¹ © w[

·® § w: ¸H ¨ ¸ ¨ w[ Q ¹ ©

·® ¸HQ ¸ ¹

Òåïåðü ôîðìóëó äëÿ ïðîèçâîäíîé ïî íàïðàâëåíèþ ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ grad W íà åäèíè÷íûé âåêòîð ®em = ( cosj1, cosj2, , cosjn), ò.å. w: wP

JUDG: HP èëè

ãäå a óãîë ìåæäó âåêòîðîì grad

w wP

JUDG

FRV

W è íàïðàâëåíèåì m®. 167

wP äîñòèãàåò ñâîåãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ â òîì ñëó÷àå, êîãäà a = 0. Ïîýòîìó íàïðàâëåíèå ãðàäèåíòà ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì m® , âäîëü êîòîðîãî ôóíêöèÿ ìåíÿåòñÿ áûñòðåå âñåãî, ò.å. grad ïîêàçûâàåò íàïðàâëåíèå ñêîðåéøåãî âîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè. À íàèáîëüøàÿ ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ôóíêöèè â òî÷êå À ðàâíà Èç ïîñëåäíåé ôîðìóëû âèäíî, ÷òî w

JUDG

W w: w[ w: w[

w: w[Q

Ïðèìåð 4.11. Íàéòè íàèáîëüøóþ ñêîðîñòü âîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè : [ [ [ [ [ â òî÷êå À(1, 2, 1, 3).

Âíà÷àëå íàõîäèì ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå

w: w: [ w[ w[ Çàòåì ïîëó÷àåì

JUDG:

[

w: w[

[ [

[

w: w[

[ ®

[ H [ [ [ H [ H [ H ®

è âû÷èñëÿåì JUDG: H H H H è, íàêîíåö, íàõîäèì íàèáîëüøóþ ñêîðîñòü âîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè

JUDG

4.3. Íåêîòîðûå ïðèëîæåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ 4.3.1 ÔÎÐÌÓËÀ ÒÅÉËÎÐÀ

Ïóñòü íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ

èìååò âñå ïðîèçâîäíûå äî (n + 1)-ãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå, ñòåïåíè íå âêëþ÷àþùåì òî÷êó x0. Íàéäåì ìíîãî÷ëåí âûøå n, çíà÷åíèå êîòîðîãî â òî÷êå x = x0 ðàâíî çíà÷åíèþ ôóíêöèè \ I [ â ýòîé òî÷êå, à çíà÷åíèå åãî ïðîèçâîäíûõ äî n-ãî \

I [

ïîðÿäêà â òî÷êå x = x0 ðàâíû çíà÷åíèÿì ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîèçâîäíûõ îò ôóíêöèè \ I [ â ýòîé òî÷êå, ò.å.

168

I [ 3Q [

3Q [

I [

cc [

I c [

[

I cc [

I Q [R .

(4.1)

Èñêîìûé ìíîãî÷ëåí (áîëåå ïîäðîáíî ñì., íàïðèìåð, [30, 32]) áóäåò èìåòü âèä

3Q [

[

I [

[

I ccc [

[

I c [

[

Q [

I cc [

[

(4.2)

×åðåç Q [ îáîçíà÷èì ðàçíîñòü çíà÷åíèé äàííîé ôóíêöèè \

è ìíîãî÷ëåíà, íàõîäèìîãî ïî ôîðìóëå (4.2), ò.å.

I [

5Q [ I [ 3Q [ . Îòñþäà I [ 3Q [ 5Q [ èëè

[ [

[ [ c I [ I [ I cc [

I [

[ [

[ [ ccc I [ I Q 3

[ 5Q [

(4.3)

ýòî îñòàòî÷íûé ÷ëåí, êîòîðûé ìîæåò áûòü çàïèñàí â ðàçíûõ ôîðìàõ. Ìû ïðèâåäåì òàê íàçûâàåìóþ ôîðìó Ëàãðàíæà, êîòîðàÿ èìååò âèä 5

ãäå Q [

5Q [

Çäåñü

[

(4.4)

K >[ [ @ è åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

O [ [ , ãäå O . Òîãäà ôîðìóëà äëÿ îñòàòî÷íî-

ãî ÷ëåíà ïðèìåò âèä

169

5Q [

À ôîðìóëà

2 x − x0 ) x − x0 ) ( ( f (x ) = f (x0 )+ f ′(x0 )+ 3 ( x − x0 ) +

(x − x0 )n

f ′′′(x0 )+ K +

3! n! n +1 (x − x0 ) ⋅ f (n+1)[x + λ (x − x )] + 0 0 (n + 1)!

@ .

f ′′(x0 )+

f (n )(x0 )+ (4.5)

íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Òåéëîðà äëÿ ôóíêöèè \

Åñëè â ôîðìóëå (4.5) ïðèíÿòü

, òî îíà ïðèìåò âèä

I [

I c

I cc

I [ .

I ccc

(4.6)

O , à ôîðìóëó (4.6) ÷àñòî íàçûâàþò ôîðìóëîé Ìàêëîðåíà. Òåïåðü íàéäåì ðàçëîæåíèå ôóíêöèè ïî ôîðìóëå (4.6). I [ H [ I I c [ H [ I c I cc [ H [ Çäåñü

I cc

[

Ýòè äàííûå ïîäñòàâëÿåì â ôîðìóëó (4.6) è ïîëó÷àåì

170

[

! [Q Q[

H O[ , ãäå O

Åñëè [ d ,

òî, âçÿâ

íà

, íàéäåì îöåíêó îñòàòî÷íîãî ÷ëå-

5Q .

À åñëè õ = 1, òî ïîëó÷èì ôîðìóëó äëÿ ïðèáëèæåí-

íîãî âû÷èñëåíèÿ ÷èñëà [32], ò.å.

! |

Çäåñü âåðíû ïåðâûå ÷åòûðå çíàêà ïîñëå çàïÿòîé, òàê êàê îøèáêà íå ïðåâîñõîäèò ÷èñëà áû íè áûëî

õ,

èëè . Çàìåòèì, ÷òî êàêîå Rn =

îñòàòî÷íûé ÷ëåí

x n +1 λx e → 0 ïðè (n + 1)!

. Ïîýòîìó ïðè [ , âçÿâ äîñòàòî÷íîå ÷èñ-

5Q Q o f , ò.å. OLP Qof

H [ ñ ëþáîé

ëî ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ, ïî ôîðìóëå (4.6) ïîëó÷èì

íåîáõîäèìîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè. 4.3.2. ÏÐÀÂÈËÎ ËÎÏÈÒÀËß

Äàííîå ïðàâèëî ïîìîãàåò ðàñêðûâàòü íåîïðåäåëåííîñòè âèäà

f f

åãî ñóòü âûðàæàåòñÿ òåîðåìîé [4, 30, 32].

ÒÅÎÐÅÌÀ Ëîïèòàëÿ 4.5. Ïóñòü ôóíêöèè ïðè [

[

è M [

èëè [ o f ñîâìåñòíî ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ èëè ê áåñ-

êîíå÷íîñòè. Åñëè îòíîøåíèå ïðîèçâîäíûõ ýòèõ ôóíêöèé èìååò ïðåäåë, òî îòíîøåíèå ñàìèõ ôóíêöèé òîæå èìååò ïðåäåë, êîòîðûé ðàâåí ïðåäåëó îòíîøåíèÿ ïðîèçâîäíûõ, ò.å.

OLP

[

OLP [

I [

o [ M [

I [

of M [

OLP

[

OLP [

I c [

o[ M c [ ,

(4.7)

I c [

of M c [

(4.8)

171

Òåïåðü ðàññìîòðèì êîíêðåòíûå ïðèìåðû ïðèìåíåíèÿ ýòîãî ïðàâèëà.

Ïðèìåð 4.12.

OLP

OQ [

[

OLP o [ [ o Ðàíåå ñâîäèëè ýòîò ïðåäåë êî âòîðîìó çàìå÷àòåëüíîìó ïðåäåëó è ïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé. Çàìåòèì, ÷òî ïðîñòîòà âçÿòèÿ äàííîãî ïðåäåëà êàæóùàÿñÿ, òàê êàê äèôôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèé ñàìî îïèðàåòñÿ íà çíàíèå ïðåäåëîâ [4]. .

[

Ïðèìåð 4.13

MJN Y

Ïðèìåð 4.14

TJO Y

o TJO Y

DUFVLQ [ [ o [

OLP

DPT Y DPT Y

[

OLP [ [ o

[

. o [ [ OLP [o [

OLP [

Ïðèìåð 4.15

MJN

Çàìåòèì, ÷òî åñëè ïðîèçâîäíûå ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ îäíîâðåìåííî ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ èëè ê áåñêîíå÷íîñòè, ìîæíî ïðèìåíÿòü ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ åùå ðàç, à â ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè è äàëåå.

Ïðèìåð 4.16

[ [ OLP of [ [ [ of [ OLP OLP O LP [ of [ of [ o f

OLP [

172

[

Ïðèìåð 4.17

OLP [

VLQ

· § ·§ ¸¨ ¸ © [ ¹© [ ¹

FRV¨

[

OLP [

· § ¨ ¸ © [ ¹

[

OLP

[

OLP FRV

[

OLP

o f [

[

Ôîðìóëû (4.7) è (4.8) ñïðàâåäëèâû òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ïðåäåë, ñòîÿùèé ñïðàâà (êîíå÷íûé èëè áåñêîíå÷íûé), ñóùåñòâóåò. Ïðèâåäåì ïðèìåð, êîãäà îòíîøåíèå ôóíêöèé èìååò ïðåäåë, à îòíîøåíèå èõ ïðîèçâîäíûõ íå ñòðåìèòñÿ íè ê êàêîìó ïðåäåëó. Ïðèìåð 4.18 §

OLP ¨ [

of ©

VLQ [ · ¸ [ ¹

Ïðåäåë ïðîèçâîäíûõ ðàâåí

OLP

[

VLQ [ ·

of©

[ ¹

OLP¨

VLQ [ c [c

[

OLP [

FRV [

Ïðè ýòîò ïðåäåë êîëåáëåòñÿ ìåæäó 0 è 2 è ïîýòîìó íå èìååò ïðåäåëà. Òî åñòü ê äàííîìó ïðèìåðó ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ ïðèìåíèòü íåëüçÿ, îíî íå ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíûì. Ïðè ïîìîùè ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ ìîæíî ðàñêðûâàòü äðóãèå íåîïðåäåëåííîñòè, íàïðèìåð

f f f

Ýòè ñëó÷àè ñâîäÿòñÿ ê ðàññìîòðåííûì íàìè íåîïðåäåëåí f íîñòÿì f

Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïðèìåðû.

173

Ïðèìåð 4.19 OLP [ OQ [ .

[

Ýòî ñëó÷àé f

Ïðåîáðàçóåì äàííûé ïðåäåë ê âèäó

OQ [

OLP [

o [

f f

ò.å. ïðèâåëè èñõîäíûé ïðåäåë ê ñëó÷àþ

Òåïåðü ìîæíî ïðèìåíèòü ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ OLP [ [ o

OQ [ OLP [ o

Ïðèìåð 4.20

[

OLP ¨

[

ò.å., èìååì ñëó÷àé f

[

o © [

[ ·

o ©

¸ ¸ ¹

· ¸, OQ [ ¹

. Èñõîäíûé ïðåäåë ïðåîáðàçóåì ê âèäó

OLP

[

OLP¨¨

[ OQ [ [ [

OQ [

âèäíî, ÷òî ìû ïðèøëè ê ñëó÷àþ

, ïîýòîìó ïðèìåíÿåì ïðàâè

ëî Ëîïèòàëÿ

[ OQ [ [ OLP [o [ OQ [

174

OQ [

[

OQ [ OLP OLP o o OQ [ OQ [ [

[ [ [

[

Ïðèìåð 4.21

OLP FRV [ [ , ò.å., èìååì ñëó÷àé f .

o Ðàññìîòðèì ïðåäåë [

OLP OQ FRV [ [ [

OQ FRV [

OLP

[

, ïîòîìó ê

à ýòî ñëó÷àé

ïîñëåäíåìó ïðåäåëó ïðèìåíèìî ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ.

VLQ [ OLP FRV [ [ o

OLP [

OQ FRV [ [

OLP WJ [

[

Ïîýòîìó èñõîäíûé ïðåäåë

Ïðèìåð 4.22 Íàéòè o [ OLP

[

OLP FRV [ [ [

[

, ò.å. èìååì ñëó÷àé .

Ðàññìîòðèì ïðåäåë OLP OQ [ [ [ o ò.å. ïðèøëè ê ñëó÷àþ

f f

OLP [ OQ [ [

OQ [o [

OLP

. Òåïåðü ê ïîñëåäíåìó ïðèìåðó ïðèìå-

íÿåì ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ

OQ [ o [

OLP

OLP [

OLP

[

Ïîýòîìó èñõîäíûé ïðåäåë ðàâåí o [

OLP

[

. 175

4.3.3. ÀÑÈÌÏÒÎÒÛ

Ïðÿìàÿ L íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòîé ôóíêöèè

[

I , åñëè

G îò ïåðåìåííîé òî÷êè À ôóíêöèè äî ýòîé ïðÿìîé ïðè óäàëåíèè òî÷êè À â áåñêîíå÷íîñòü ñòðåìèòñÿ ê íóëþ (ðèñ. 4.5) [4, 8, 32]. Ðàçëè÷àþò âåðòèêàëüíûå àñèìïòîòû (ïàðàëëåëüíûå îñè 0ó) è íàêëîííûå. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì âåðòèêàëüíûå àñèìïòîòû. Èç îïðåäåëåíèÿ àñèìïòîòû ñëåäóåò, ÷òî åñëè

ðàññòîÿíèå

OLP I [ [

rf ,

[

èëè

OLP I [ [

[

rf ,

èëè

OLP I [ [

[

[ ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòîé ôóíêöèè \

òî ïðÿìàÿ [

[

I ,

[ [ åñòü àñèìïòîòà êðèâîé \ òî ñóùåñòâóþò óêàçàííûå âûøå ïðåäåëû.

íàîáîðîò, åñëè ïðÿìàÿ

, è

[

I ,

À(õ, ó)

y = f (õ)

Ðèñ.¦4.5 Òî åñòü äëÿ íàõîæäåíèÿ âåðòèêàëüíûõ àñèìïòîò íàäî íàéòè òàêèå çíà÷åíèÿ [ \

[ , ïðè ïðèáëèæåíèè ê êîòîðûì ôóíêöèÿ

I ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ \

[

WJ[

èìååò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî âåðòèêàëüíûõ àñèìïòîò (ðèñ. 4.6) S S S [ r [ r [ r

176

2 S

Ðèñ.¦4.6 Òåïåðü ðàññìîòðèì íàêëîííûå àñèìïòîòû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ

I [

èìååò íàêëîííóþ àñèìïòîòó

(ðèñ. 4.7). ) , ó (õ

À ó = f(x)

Ñ a

Âõ

( , y1)

ó1

Ðèñ.¦4.7 Íàì íóæíî íàéòè êîýôôèöèåíòû a è b. Òî÷êà À(õ, ó) ïðèíàäëåæèò ôóíêöèè \ íà îòðåçêà

[

I , à òî÷êà

Â õ y1 À ( ,

) àñèìïòîòå. Äëè-

ýòî ðàññòîÿíèå îò òî÷êè

äî àñèìïòîòû è ïî

ÀÑ

óñëîâèþ

177

OLP [

o f

(4.9)

a óãîë íàêëîíà àñèìïòîòû ê ïîëîæèòåëüíîìó íàïðàâëåíèþ îñè 0õ è èç DÀÂÑ íàéäåì Îáîçíà÷èì ÷åðåç

òàê êàê D

è D

o f

, FRV D

FRQVW , òî â ñèëó (4.9) èìååì OLP [

òàê êàê

\ \

% ,

(4.10)

I [ D[ E , òî (4.10) ïðèíèìàåò ñëå-

äóþùèé âèä:

OLP [

o f

I [

D[ E

(4.11)

E åñòü àñèìïòîòà, òî âûïîë-

Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè

íÿåòñÿ (4.11), è íàîáîðîò, åñëè ïðè êîýôôèöèåíòàõ a è b âûïîë-

E ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòîé. Òå-

íÿåòñÿ (4.11), òî ïðÿìàÿ

ïåðü íàéäåì êîýôôèöèåíòû a è b. Èç (4.11) ïîëó÷àåì

§ ¨

OLP

[

I [

o f ©

Òàê êàê o f ,

E·

¸ ¹

òî

o f©

à òàê êàê b åñòü ÷èñëî, òî

178

OLP [o f

§ I [

o f© OLP [ o f

E·

¸ ¹

, ïîýòîìó ïîëó÷àåì

[

OLP ¨

[

èëè

I [

OLP ¨

[

· D¸ ¹

I [

(4.12)

Ïîëó÷èâ èç (4.11), íàõîäèì b ïî ôîðìóëå

OLP o f

[

I [ D[ .

(4.13)

E ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòîé, òî a è

Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè

b íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì (4.12) è (4.13). Åñëè õîòÿ áû îäèí èç ïðåäåëîâ (4.12) èëè (4.13) íå ñóùåñòâóåò, òî ôóíêöèÿ \ I [

íàêëîííîé àñèìïòîòû íå èìååò [32]. Âñå ïðèâåäåííûå ðàññóæäåíèÿ ñïðàâåäëèâû è ïðè

o f . Òàê êàê àñèìïòîòè÷åñêîå èçìåíåíèå ôóíêöèè ìîæåò áûòü ðàçëè÷íûì ïðè ñòðåìëåíèè õ ê ïîëîæèòåëüíîé è îòðèöàòåëüíîé áåñêîíå÷íîñòè, òî íàäî ðàçäåëüíî ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àè o f è

o f

. Åñëè ñóùåñòâóåò àñèìïòîòà â ïåðâîì ñëó÷àå, òî åå íà-

çûâàþò ëåâîñòîðîííåé, à âî âòîðîì ñëó÷àå ïðàâîñòîðîííåé. Åñëè ïðè

o f è o f ïðåäåëû (4.12) è (4.13) ñîâïà

äàþò, òî ëåâîñòîðîííÿÿ è ïðàâîñòîðîííÿÿ àñèìïòîòû ÿâëÿþòñÿ ÷àñòÿìè îäíîé è òîé æå ïðÿìîé. Çàìåòèì, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ äðîáíî-ðàöèîíàëüíàÿ, òî ïðè íàõîæäåíèè a è b ñðàçó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ïðîèçâîëüíîå ñòðåìëåíèå ê áåñêîíå÷íîñòè. Ðàññìîòðèì ïðèìåðû íàõîæäåíèÿ íàêëîííûõ àñèìïòîò.

Ïðèìåð 4.23

Òàê êàê äàííàÿ ôóíêöèÿ äðîáíî-ðàöèîíàëüíàÿ, òî ñðàçó ðàññìàòðèâàåì ïðîèçâîëüíîå ñòðåìëåíèå õ ê ¥:

OLP [

[

of [

[

OLP [

[ [ [ [

OLP

[ [

§ [ · OLP ¨¨ [ ¸¸ [ of [ ¹ ©

[

[ [ [ OLP [ of [

OLP [

[

179

Ïîýòîìó ïîëó÷àåì \ Ïðèìåð 4.24

[ OQ [ .

OLP

[

o f

[ OQ [ [

(ïî ïðàâèëó Ëîïèòàëÿ).

OLP

[

o f

[

o f

[

OLP [ [o f

[

OQ [

o f [

OLP OLP

[

OLP OQ

[

o f

Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî èñõîäíàÿ ôóíêöèÿ íàêëîííîé àñèìïòîòû íå èìååò. 4.3.4. ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÔÓÍÊÖÈÉ Ñ ÏÎÌÎÙÜÞ ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÛÕ ÏÅÐÂÎÃÎ È ÂÒÎÐÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÎÂ È ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÎÂ

Ïðèâåäåì ðÿä òåîðåì, ïîçâîëÿþùèõ íàõîäèòü: ó÷àñòêè ìîíîòîííîñòè (âîçðàñòàíèÿ, óáûâàíèÿ) ôóíêöèè, ýêñòðåìóìû ôóíêöèè, ó÷àñòêè âûïóêëîñòè è âîãíóòîñòè ôóíêöèè è òî÷êè ïåðåãèáà. Âíà÷àëå ñôîðìóëèðóåì äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ìîíîòîííîñòè [4, 23]: 1) åñëè c [ ! íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå, òî [ íà ýòîì I

èíòåðâàëå âîçðàñòàåò; 2) åñëè I c [ íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå, òî I [ íà ýòîì èíòåðâàëå óáûâàåò; 3) åñëè I c [ íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå, òî I [ íà ýòîì èíòåðâàëå ïîñòîÿííà. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ýòîãî ïðèçíàêà ïîêàçàíà íà ðèñ. 4.8. 180

[

y1 y2

x1 x3 x2 õ

Ðèñ.¦4.8

Èç ðèñ. 4.8. âèäíî, ÷òî WJD \ c [

[ ! ; \ c [

\c [ [

[ ;

Âàæíóþ ðîëü â èññëåäîâàíèè ôóíêöèé èãðàþò òî÷êè, îòäåëÿþùèå èíòåðâàëû åå âîçðàñòàíèÿ îò èíòåðâàëîâ åå óáûâàíèÿ. Ýòè òî÷êè íîñÿò íàçâàíèå ýêñòðåìóìîâ ôóíêöèè èëè åå ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìîâ è ìèíèìóìîâ. Ñëîâî «ëîêàëüíûé» îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êà áóäåò ìàêñèìàëüíîé (ìèíèìàëüíîé) ëèøü íà êàêîìòî èíòåðâàëå. Òåïåðü ïðèâåäåì îïðåäåëåíèå: 1) òî÷êà åñòü òî÷êà ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà ôóíê

[

öèè

I ,

åñëè I

íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè

[ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè

2) òî÷êà 1

;

åñòü òî÷êà ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà ôóíê

íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè I [ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè 1

[

öèè \ \

[

I ,

åñëè I

[

181

Ôóíêöèÿ íà ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ìîæåò èìåòü íåñêîëüêî ýêñòðåìóìîâ. Íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè åå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ îáû÷íî íàçûâàþò àáñîëþòíûì ìàêñèìóìîì è àáñîëþòíûì ìèíèìóìîì. Ïîíÿòèå ýêñòðåìóìà ôóíêöèè èëëþñòðèðóåòñÿ ðèñ. 4.9.

ó3

I [

ó1

ó4

ó2

õ 0

PD[

PLQ PD[ PLQ

Ðèñ.¦4.9

Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ýêñòðåìóìà [4, 23]: åñëè â òî÷êå (ò. À, ò. Â, ò. Ñ, ò. D íà ðèñ. 4.9) ôóíêöèÿ

I [ äîñòèãàåò ýêñòðåìóìà, òî åå ïðîèçâîäíàÿ â ýòîé òî÷êå ëèáî ðàâíà íóëþ (ò. À, ò. Â, ò. D íà ðèñ. 4.9), ëèáî íå ñóùåñòâóåò (ò. Ñ íà ðèñ. 4.9). Ïðèâåäåííûé ïðèçíàê íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì, ò.å. èç òîãî ôàêòà, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ â äàííîé òî÷êå ðàâíà íóëþ èëè íå ñóùåñòâóåò, åùå íå ñëåäóåò, ÷òî ýòà òî÷êà åñòü ýêñòðåìóì ôóíêöèè. Íåäîñòàòî÷íîñòü äàííîãî ïðèçíàêà ïðîèëëþñòðèðóåì ïðè è íàéäåì åå ýêñòðåìåðîì 4.25: ðàññìîòðèì ôóíêöèþ

ìóì, èñïîëüçóÿ ïðèâåäåííûé ïðèçíàê (íàéäåì ïðîèçâîäíóþ äàííîé ôóíêöèè, ïðèðàâíÿåì åå ê íóëþ è íàéäåì êîîðäèíàòû ýêñòðåìóìà, åñëè îí ñóùåñòâóåò). 182

;

½ ¾ ýêñòðåìóì äàííîé ôóíêöèè â ¿

ñîîòâåòñòâèè ñ íåîáõîäèìûì ïðèçíàêîì. (ðèñ. 4.10) ñëåäóåò, ÷òî ýêÍî èç ãðàôèêà ôóíêöèè

ñòðåìóìà â òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè õ = 0, ó = 0 ó äàííîé ôóíêöèè íåò.

0 õ

Ðèñ.¦4.10 Ñôîðìóëèðóåì òåïåðü

äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ýêñòðåìóìà:

òî÷êà (ò. À, ò. Â, ò. Ñ, ò. D íà ðèñ. 4.9) åñòü òî÷êà ýêñòðåìóìà ôóí-

c I c [ ïðè ïåðåõîäå õ ÷åðåç êðèòè÷åñêóþ òî÷êó (òî÷êó, ãäå ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà íóëþ èëè íå ñóùåñòâóåò) ìåíÿåò çíàê. Åñëè çíàê ìåíÿåòñÿ ñ ïëþñà íà ìèíóñ (ò. À, ò. Ñ íà ðèñ. 4.9), òî èìååì ëîêàëüíûé ìàêñèìóì, à åñëè çíàê ìåíÿåòñÿ ñ ìèíóñà íà ïëþñ (ò. Â, ò. D íà ðèñ. 4.9), òî èìååì ëîêàëüíûé ìèíèìóì. Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ \ I [ äîëæíà áûòü íåïðåðûâíà êöèè \

[

I , åñëè ïðîèçâîäíàÿ ýòîé ôóíêöèè \

íà èíòåðâàëå, ñîäåðæàùåì êðèòè÷åñêóþ òî÷êó. Íàïðèìåð, ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè

183

ìåíÿåò çíàê ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó õ = 0, íî ýêñòðåìóìà â íåé íå èìååò, òàê êàê â ýòîé òî÷êå îíà ðàçðûâíà [4]. Âåðíåìñÿ ê ïðèìåðó 4.25 è ïðîâåðèì, óäîâëåòâîðÿåòñÿ ëè òàì äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ýêñòðåìóìà.

+ + \

0 ó õ

Ðèñ.¦4.11

Âèäíî (ðèñ. 4.11), ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè íå ìåíÿåò çíàêà ïðè ïåðåõîäå õ ÷åðåç òî÷êó õ = 0, ïîýòîìó äàííàÿ ôóíêöèÿ íå èìååò ýêñòðåìóìà â òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè õ = 0, ó = 0. Â êà÷åñòâå åùå îäíîãî ïðèìåðà (ïðèìåð 4.26) ðàññìîòðèì ôóíêöèþ

| |

c + + \ c

1, 4 0, 06 max min

ó õ

Ðèñ.¦4.12

Ïðèìåíÿÿ äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ýêñòðåìóìà, íàõîäèì, ÷òî â òî÷êå õ = 1, 4 ìàêñèìóì, à â òî÷êå õ = 0, 06 ìèíèìóì (ðèñ. 4.12). Òî÷êè ýêñòðåìóìà ìîæíî íàõîäèòü è ñ ïîìîùüþ âòîðîé ïðîèçâîäíîé. Äëÿ ýòîãî ñôîðìóëèðóåì âòîðîé äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê 184

ýêñòðåìóìà: íåêîòîðàÿ òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè áóäåò òî÷êîé ýêñòðåìóìà ôóíêöèè \ I [ , åñëè I c [ , à I cc [ z , ïðè ýòîì, åñëè I cc [ ! , òî äàííàÿ òî÷êà áóäåò òî÷êîé ìèíèìóìà ôóíêöèè \ I [ , à åñëè I cc [ òî÷êîé ìàêñèìóìà; åñëè I cc [ äàííûé ïðèçíàê íåïðèìåíèì [4, 23].

Èñïîëüçóÿ ïðèâåäåííûé ïðèçíàê, íàéäåì ýêñòðåìóìû ôóíêöèè èç ïðèìåðà 4.26.

Ñëåäîâàòåëüíî, â òî÷êå õ = 0, 06 èñõîäíàÿ ôóíêöèÿ áóäåò èìåòü ìèíèìóì, à â òî÷êå õ = 1, 4 ìàêñèìóì. Òåïåðü ïîêàæåì, êàê ïðèìåíÿòü âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ äëÿ íàõîæäåíèÿ ó÷àñòêîâ âûïóêëîñòè è âîãíóòîñòè ôóíêöèè è òî÷åê ïåðåãèáà. Ñíà÷àëà ïðèâåäåì ñîîòâåòñòâóþùèå îïðåäåëåíèÿ. Ãðàôèê äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè \ I [ íàçûâàåòñÿ

âîãíóòûì ââåðõ (â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè îðäèíàò) íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå, åñëè íà ýòîì èíòåðâàëå îí ðàñïîëîæåí âûøå êàñàòåëüíîé, ïðîâåäåííîé ê ëþáîé òî÷êå ãðàôèêà â ýòîì èíòåðâàëå (ðèñ. 4.13).

y \

I [

À 0 x1 xa x2 õ

Ðèñ.¦4.13 185

Ãðàôèê äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè \ I [ íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì ââåðõ (â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè îðäèíàò) íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå, åñëè íà ýòîì èíòåðâàëå îí ðàñïîëîæåí íèæå êàñàòåëüíîé, ïðîâåäåííîé ê ëþáîé òî÷êå ãðàôèêà â ýòîì èíòåðâàëå (ðèñ. 4.14).

[

0 x1 xb x2 õ

Ðèñ.¦4.14

Òî÷êè, îòäåëÿþùèå ó÷àñòêè âûïóêëîñòè ôóíêöèè îò ó÷àñòêîâ åå âîãíóòîñòè (è íàîáîðîò), íàçûâàþòñÿ òî÷êàìè ïåðåãèáà. Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì òåîðåìó. ÒÅÎÐÅÌÀ 4.6. Åñëè âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè \ I [

âñþäó íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå ìåíüøå íóëÿ, òî ôóíêöèÿ \ I [ íà ýòîì èíòåðâàëå âûïóêëàÿ; åñëè âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè \ I [ âñþäó íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå áîëüøå íóëÿ, òî ôóíêöèÿ \ I [ íà ýòîì èíòåðâàëå âîãíóòàÿ [4, 23, 30].

Ïðèâåäåì òàêæå íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ñóùåñòâîâàíèÿ òî÷êè ïåðåãèáà: åñëè òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé

ïåðåãèáà ôóíêöèè

[

I , òî âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ äàííîé ôóí-

êöèè â ýòîé òî÷êå ëèáî ðàâíà íóëþ, ëèáî íå ñóùåñòâóåò [4, 23]. Íåäîñòàòî÷íîñòü äàííîãî ïðèçíàêà ìû ïðîèëëþñòðèðóåì

ïðèìåð 4.27

ïðèìåðîì (

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ

. Âîñïîëüçîâàâøèñü ïðèâå-

äåííûì âûøå ïðèçíàêîì, ïðîâåðèì, åñòü ëè ó ýòîé ôóíêöèè òî÷êè ïåðåãèáà.

186

; cc

½ ¾ äîëæíà áûòü òî÷êîé ïåðåãèáà ïî íåîá ¿

õîäèìîìó ïðèçíàêó, íî åñëè âçãëÿíóòü íà ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè (ðèñ. 4.15), âèäíî, ÷òî â äàííîé òî÷êå ïåðåãèáà íåò. ó

Ðèñ.¦4.15 Ïîýòîìó ñôîðìóëèðóåì äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ñóùåñòâîâàíèÿ òî÷êè ïåðåãèáà: òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè

êîé ïåðåãèáà ôóíêöèè \ ïåðåõîäå

õ ÷åðåç

[

I , åñëè I cc

ÿâëÿåòñÿ òî÷-

[ , ìåíÿåò çíàê ïðè

; åñëè çíàê ìåíÿåòñÿ ñ ìèíóñà íà ïëþñ, òî

ñëåâà îò äàííîé òî÷êè ëåæèò ó÷àñòîê âûïóêëîñòè, à ñïðàâà ó÷àñòîê âîãíóòîñòè, à åñëè çíàê ìåíÿåòñÿ ñ ïëþñà íà ìèíóñ, òî íàîáîðîò [4, 23]. Ïðèìåíèì äàííûé ïðèçíàê ê ôóíêöèè èç ïðèìåðà 4.27.

+ +

ó õ

Ðèñ.¦4.16 187

Ïî ðèñ. 4.16 âèäíî, ÷òî äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê íå âûïîëíÿåòñÿ, ïîýòîìó â òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè õ = 0, ó = 0 ïåðåãèáà íåò. Òåïåðü ïðèìåíèì äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ñóùåñòâîâàíèÿ òî÷êè ïåðåãèáà ê ôóíêöèè èç ïðèìåðà 4.26. +

ó õ

Ðèñ.¦4.17

cc ; ;

Â äàííîì ñëó÷àå äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ñâèäåòåëüñòâóåò î §

òîì, ÷òî òî÷êà ñ àáñöèññîé ¨ ¸ ôóíêöèè

ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïåðåãèáà

(ðèñ. 4.17).

Òåïåðü ïðèâåäåì ñõåìó, ïî êîòîðîé óäîáíî ïðîâîäèòü èññëåäîâàíèå ôóíêöèé [4]: 1) Íàõîæäåíèå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, òî÷åê åå ðàçðûâà, èíòåðâàëîâ åå íåïðåðûâíîñòè è âåðòèêàëüíûõ àñèìïòîò. 2) Ïðîâåðêà ôóíêöèè íà ÷åòíîñòü, íå÷åòíîñòü, ïåðèîäè÷íîñòü. 3) Íàõîæäåíèå òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè ñ îñÿìè êîîðäèíàò (åñëè ýòî íå òðåáóåò áîëüøèõ âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàò). 4) Íàõîæäåíèå èíòåðâàëîâ ìîíîòîííîñòè è òî÷åê ýêñòðåìóìà ôóíêöèè. 5) Íàõîæäåíèå ó÷àñòêîâ âûïóêëîñòè, âîãíóòîñòè ôóíêöèè è òî÷åê åå ïåðåãèáà. 6) Íàõîæäåíèå íàêëîííûõ àñèìïòîò. 7) Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèè ïî ðåçóëüòàòàì ïðîâåäåííîãî èññëåäîâàíèÿ.

188

Ïðèìåð 4.28

Òåïåðü â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèâåäåííîé ñõåìîé èññëåäóåì ôóíêöèþ

Äàííàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà íà âñåé îñè 0õ çà èñêëþ÷åíèåì òî÷êè õ = 2, ò.å. f f . õ Ïðÿìàÿ

= 2 ÿâëÿåòñÿ

âåðòèêàëüíîé àñèìïòîòîé äàííîé ôóíêöèè, òàê êàê

OLP

[

f ; OLP

[

f .

Ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé, íè ïåðèîäè÷åñêîé, òàê êàê z [ z [ z [ I

[

I , I

[

I , I [

I ,

ãäå Ò ïåðèîä, à ãðàôèê äàííîé ôóíêöèè ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. Òåïåðü íàéäåì ïåðâóþ ïðîèçâîäíóþ èñõîäíîé ôóíêöèè è íàéäåì ó÷àñòêè ìîíîòîííîñòè è ýêñòðåìóìû.

;

Òî÷êó õ = 2, ãäå íå ñóùåñòâóåò ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ èñõîäíîé ôóíêöèè, íà ýêñòðåìóì ìîæíî íå ïðîâåðÿòü, òàê êàê â ýòîé òî÷êå ñàìà ôóíêöèÿ èìååò áåñêîíå÷íûé ðàçðûâ. + +

0 4 ó

Ðèñ.¦4.18

Ñëåäîâàòåëüíî (ðèñ. 4.18), â ñîîòâåòñòâèè ñ äîñòàòî÷íûì ïðèçíàêîì ýêñòðåìóìà äàííàÿ ôóíêöèÿ èìååò ìàêñèìóì â òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè õ = 0, ó = 0 è ìèíèìóì â òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè õ = 4, ó = 8. 189

Òåïåðü íàéäåì âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ è îïðåäåëèì ó÷àñòêè âîãíóòîñòè, âûïóêëîñòè è òî÷êè ïåðåãèáà, èñïîëüçóÿ òåîðåìó 4.6 è äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ñóùåñòâîâàíèÿ òî÷êè ïåðåãèáà:

@ >

Âèäíî, ÷òî âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ íèãäå íå îáðàùàåòñÿ â íîëü, ñëåäîâàòåëüíî, äàííàÿ ôóíêöèÿ íå èìååò òî÷åê ïåðåãèáà. Íàäî òîëüêî ïðîâåðèòü, ìåíÿåò ëè âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ èñõîäíîé ôóíêöèè çíàê ïðè ïåðåõîäå õ ÷åðåç òî÷êó áåñêîíå÷íîãî ðàçðûâà õ = 2 (âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ çàäàííîé ôóíêöèè òàêæå íå ñóùåñòâóåò â òî÷êå õ = + 2). +

ó õ

Ðèñ.¦4.19

Ïîýòîìó (ðèñ. 4.19) ñëåâà îò òî÷êè õ = 2 èñõîäíàÿ ôóíêöèÿ áóäåò âûïóêëîé, à ñïðàâà îò òî÷êè õ = 2 âîãíóòîé. Òåïåðü ïðîâåðèì, èìååò ëè èñõîäíàÿ ôóíêöèÿ íàêëîííûå àñèìïòîòû, äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëàìè (4.12) è (4.13) (òàê êàê çàäàííàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ïðîèçâîëüíîå ñòðåìëåíèå õ ê áåñêîíå÷íîñòè). 190

Ïîýòîìó ïðÿìàÿ ó = õ + 2 ÿâëÿåòñÿ íàêëîííîé àñèìïòîòîé èñõîäíîé ôóíêöèè. Òåïåðü ïî ðåçóëüòàòàì ïðîâåäåííîãî èññëåäîâàíèÿ ïîñòðîèì ãðàôèê çàäàííîé ôóíêöèè (ðèñ. 4.20).

10 9 ó = õ + 2 8 7 6 5 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 õ 1 2 3 4 õ = 2 5 6 7 8 Ðèñ.¦4.20

191

4.3.5. ÝÊÑÒÐÅÌÓÌÛ ÔÓÍÊÖÈÉ ÄÂÓÕ ÀÐÃÓÌÅÍÒÎÂ

Ïîíÿòèå ýêñòðåìóìà ôóíêöèè äâóõ àðãóìåíòîâ àíàëîãè÷íî ñîîòâåòñòâóþùåìó ïîíÿòèþ ôóíêöèè îäíîãî àðãóìåíòà. Ïóñòü ôóíêöèÿ Z = f (õ, y) îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îáëàñòè Ä ïëîñêîñòè ÕÎY, à òî÷êè À(õ1, y1) è Â (õ2, y2) ïðèíàäëåæàò Ä. Îïðåäåëåíèÿ. Òî÷êà À (õ1, y1) åñòü òî÷êà ìàêñèìóìà ôóíêöèè Z = f (õ, y), åñëè f (õ1, y1) ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøèì çíà÷åíèåì ôóíêöèè Z = f (õ, y) â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè À (õ1, y1). Àíàëîãè÷íî, òî÷êà Â (õ2, y2) åñòü òî÷êà ìèíèìóìà ôóíêöèè Z = f (õ, y), åñëè f (õ2, y2) ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì çíà÷åíèåì ôóíêöèè Z = f (õ, y) â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè Â (õ2, y2) [4, 25]. ×àñòî ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ Z = f (õ, y) äîñòèãàåò â òî÷êàõ À (õ1, y1) è Â (õ2, y2) ýêñòðåìóìà. Çàìåòèì, ÷òî ýêñòðåìóì ôóíêöèè äâóõ àðãóìåíòîâ âñåãäà ëåæèò âíóòðè îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè (ýòî ñëåäóåò èç îïðåäåëíèÿ). Òî÷êè ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà ôóíêöèè äâóõ àðãóìåíòîâ ïîêàçàíû íà ðèñ. 4.21.

0 f (õ1, y1) f (õ2, y2)

Ðèñ.¦4.21 192

Ïðèâåäåì íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà ôóíêöèè äâóõ íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ. ÒÅÎÐÅÌÀ 4.7. Åñëè â òî÷êå Ñ (õ0, y0) äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ Z = f (õ, y) èìååò ýêñòðåìóì, òî åå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå â ýòîé òî÷êå ðàâíû íóëþ, ò.å.

(

wz wx

) = 0; ( ww zy ) = 0. [4]

õ = õ0 y = y0

Òî÷êà Ñ (õ0, y0) â êîòîðîé ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè Z = f (õ, y) îáðàùàþòñÿ â íîëü, íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé ôóíêöèè Z = f (õ, y). Ãåîìåòðè÷åñêè íåîáõîäèìûé ïðèçíàê îçíà÷àåò, ÷òî â ýêñòðåìàëüíîé òî÷êå êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü ê ïîâåðõíîñòè ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè ÕÆÓ. Òî÷êàìè ýêñòðåìóìà íåïðåðûâíîé ôóíêöèè äâóõ àðãóìåíòîâ ìîãóò áûòü òî÷êè, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ íåäèôôåðåíöèðóåìà. Ýòèì òî÷êàì ñîîòâåòñòâóþò îñòðèÿ ïîâåðõíîñòè ãðàôèêà ôóíêöèè Z = f (õ, y) (ðèñ. 4.22). Z

0 Õ

Y maõ

Ðèñ.¦4.22 193

\ èìååò ìèíèìóì â íà÷àëå êîîðäèíàò, íî â ýòîé òî÷êå ôóíêöèÿ íåäèôôåðåíöèðóåìà. Äàííàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êðóãëûé êîíóñ ñ âåðøèíîé â íà÷àëå êîîðäèíàò. Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êàìè ýêñòðåìóìà ôóíêöèè äâóõ àðãóìåíòîâ ìîãóò áûòü òî÷êè, ãäå ëèáî îäíîâðåìåííî f õ (õ, y) = 0, f y (õ, y) = 0, ëèáî õîòÿ áû îäíà èç ýòèõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ íå ñóùåñòâóåò. Òî÷êè ýòèõ äâóõ òèïîâ íàçûâàþò êðèòè÷åñêèìè. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ýêñòðåìóì ôóíêöèè ëþáîãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ W = f (õ1, õ2 .. õn) è ââîäÿòñÿ íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà. ÒÅÎÐÅÌÀ 4.8. Äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ W = f (õ1, õ2, ..., õn) èìååò ýêñòðåìóìû òîëüêî ïðè òåõ çíà÷åíèÿõ õ1, õ2 .. õn, ïðè êîòîðûõ ðàâíû íóëþ âñå åå n ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà [4], ò.å. Íàïðèìåð, [4] ôóíêöèÿ Z =

[

f õ 1 (õ1, õ2, .., õn) = 0 f õ 2 (õ1, õ2, .., õn) = 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ f õ n (õ1, õ2, .., õn) = 0 Ïîýòîìó äëÿ íàõîæäåíèÿ ýêñòðåìóìîâ ìû èìååì ñèñòåìó n óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìè. Îäíàêî íå ëþáàÿ êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ýêñòðåìóìà. Ïðèìåð 4.29 [25]. Äëÿ ôóíêöèè Z = õ y òî÷êà À (0, 0) áóäåò êðèòè÷åñêîé, òàê wz wz êàê = y è = õ, wy wx è ïî íåîáõîäèìîìó ïðèçíàêó ýêñòðåìóìà õ = 0, ó = 0. Íî ýêñòðåìóìà â ýòîé òî÷êå íåò. Äåéñòâèòåëüíî, Z (0, 0) = 0 à â ëþáîé îêðåñòíîñòè òî÷êè À (0, 0) ìîæíî íàéòè è ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè. Äàííàÿ ôóíêöèÿ Z = õó íàçûâàåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêèì ïàðàáîëîèäîì è èìååò âèä ñåäëà. 194

Ïðèâåäåì äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ýêñòðåìóìà äëÿ ôóíêöèè äâóõ àðãóìåíòîâ. Îí èìååò ãîðàçäî áîëåå ñëîæíûé âèä, ÷åì äëÿ ôóíêöèè îäíîãî àðãóìåíòà. ÒÅÎÐÅÌÀ 4.9 Ïóñòü â ñòàöèîíàðíîé òî÷êå Ê (õ0, y0) è â íåêîòîðîé åå îêðåñòíîñòè ôóíêöèÿ Z = f (õ, y) èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå äî âòîðîãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî. Íàéäåì â òî÷êå Ê (õ0, y0) çíà÷åíèÿ: w 2z À = ; 2 w x Ê

wz B = ; wxwy Ê 2

wz C = . w y2 Ê Â À Îáîçíà÷èì D = = Â2 ÀÑ . Ñ Â Òîãäà: à) åñëè D < 0, òî ôóíêöèÿ Z = f (õ, y) èìååò â òî÷êå Ê(õ0, y0) ýêñòðåìóì: ìàêñèìóì ïðè À < 0, Ñ < 0 è ìèíèìóì ïðè À > 0, Ñ > 0 (èç óñëîâèÿ D < 0 ñëåäóåò, ÷òî À è Ñ âñåãäà èìåþò îäèíàêîâûå çíàêè); á) åñëè D > 0, òî òî÷êà Ê(õ0, y0) íå ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ýêñòðåìóìà ôóíêöèè Z = f(õ, y); â) åñëè D = 0, òî ýêñòðåìóì â òî÷êå Ê(õ0, y0) ìîæåò áûòü, à ìîæåò è íå áûòü, è äëÿ îïðåäåëåíèÿ åãî íóæíû äîïîëíèòåëüíûå èññëåäîâàíèÿ [4]. Ïðèìåð 4.30. Íàéòè ýêñòðåìóìû ôóíêöèè Z = 7 x3 ó3 + 3 õó 5. Èñïîëüçóåì íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ýêñòðåìóìà è ïîëó÷èì:

195

wz wx

= 3 x2 + 3 ó;

w 2 + 3 õ; = 3 ó y

3 x2 + 3 ó = 0 3 ó2 + 3 õ = 0

x2 + ó = 0 ó2 + õ = 0

Äàëåå íàõîäèì õ = ó2, ïîýòîìó ó4 + ó = 0 èëè ó (ó3 + 1) = 0 èç ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ íàõîäèì ó = 0 èëè ó = 1 (êîìïëåêñíûå êîðíè íå ó÷èòûâàåì). Ïîýòîìó ïîëó÷àåì äâå ñòàöèîíàðíûå òî÷êè: N (0, 0) è Ê (1, 1). Äëÿ òîãî ÷òîáû îïðåäåëèòü, áóäóò ëè íàéäåííûå òî÷êè ýêñòðåìóìàìè èñõîäíîé ôóíêöèè, ïðèìåíèì äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ýêñòðåìóìà. Òîãäà ïîëó÷èì: w 2z = 6 x ; w x2

w2z = 3; wxwy w 2z = 6ó; w y2

Ðàññìîòðèì òî÷êó N (0, 0). Íàéäåì: wz À = = 0; w x2 N 2

w B = = 3; N wxwy

196

wz C = = 0; w y2 N 2

Òîãäà D = B2 ÀÑ = 9 > 0, ò.å. òî÷êà N(0, 0) íå ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ýêñòðåìóìà èñõîäíîé ôóíêöèè. Ðàññìîòðèì òî÷êó Ê (1, 1). Íàéäåì:

wz À = = 6; w x2 Ê 2

wz B = = 3; Ê wxwy

w 2z C = = 6; w y2

òîãäà D = Â ÀÑ = 27 < 0, ò.å. òî÷êà Ê ( 1, 1) áóäåò òî÷êîé ýêñòðåìóìà èñõîäíîé ôóíêöèè, à òàê êàê À > 0 è Ñ > 0, òî ýòî òî÷êà ìèíèìóìà, è çíà÷åíèå ôóíêöèè â ýòîé òî÷êå ðàâíî 6 (Z = 6). 2

min

4.3.6. ÏÎÍßÒÈÅ Î ÌÅÒÎÄÅ ÍÀÈÌÅÍÜØÈÕ ÊÂÀÄÐÀÒÎÂ (ÌÍÊ)

Ïðè îáðàáîòêå ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèé â åñòåñòâåííûõ, òåõíè÷åñêèõ è ãóìàíèòàðíûõ íàóêàõ ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ ïîëüçîâàòüñÿ ýìïèðè÷åñêèìè ôîðìóëàìè, ñîñòàâëåííûìè íà îñíîâàíèè íàáëþäåíèé. Îäèí èç ñïîñîáîâ ïîëó÷åíèÿ òàêèõ ôîðìóë ýòî ÌÍÊ [20]. Â 1806 ãîäó ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê Ëåæàíäð ïðåäëîæèë ñïîñîá ðåøåíèÿ íåîïðåäåëåííûõ ÑËÀÓ, íåèçâåñòíûìè â êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ïîïðàâêè â ðåçóëüòàòû íàáëþäåíèé. Ýòîò ñïîñîá ïîëó÷èë íàçâàíèå ÌÍÊ. 197

Â äàííîì ñïîñîáå óðàâíåíèÿ ïîä÷èíÿþòñÿ äîïîëíèòåëüíîìó óñëîâèþ ñóììà êâàäðàòîâ ïîïðàâîê (V), ââîäèìûõ â ðàâíîòî÷íûå íàáëþäåíèÿ, äîëæíà áûòü ìèíèìàëüíîé, ò.å. ìåíüøå ñóììû êâàäðàòîâ ëþáîé äðóãîé ñèñòåìû ïîïðàâîê, óäîâëåòâîðÿþùåé èñõîäíûì óðàâíåíèÿì, ò.å. n

S V i = 1

2 i

= min.

(4.14)

Óñëîâèå (4.14) ýòî ìàòåìàòè÷åñêîå âûðàæåíèå ïðèíöèïà ÌÍÊ [39]. Íàïðèìåð, ìû õîòèì óñòàíîâèòü çàâèñèìîñòü ìåæäó äâóìÿ âåëè÷èíàìè õ è ó, ãäå õ ýòî àäìèíèñòðàòèâíûå ïðàâîíàðóøåíèÿ, à ó ïðåñòóïëåíèÿ. Äàííûå, ñîáðàííûå þðèäè÷åñêîé ñòàòèñòèêîé, ñâèäåòåëüñòâóþò î íàëè÷èè íåïîëíîé ïðÿìîé ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ìåæäó àäìèíèñòðàòèâíûìè ïðàâîíàðóøåíèÿìè è ïðåñòóïëåíèÿìè [24]. Òî åñòü â ýòîì ñëó÷àå åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü, ÷òî ó ýòî ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ îò õ, çàïèñûâàåìàÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ó$ = àõ + b (4.15), ãäå à è b íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû, õ èçìåðåíèÿ, à ó$ òåîðåòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ïîêàçàòåëÿ, ëåæàùèå òî÷íî íà ïðÿìîé ëèíèè. Èñõîäíûå äàííûå íàáëþäåíèé óäîáíî ïðåäñòàâèòü â âèäå òàáë. 4.1. Òàáëèöà 4.1

Õ Ó

x1 ó1

õ2 ó2

.. ..

õn ón

Ïðè÷åì çíà÷åíèÿ ói, ãäå i = 1, n íåîáÿçàòåëüíî òî÷íî ëåæàò íà ïðÿìîé ëèíèè. Íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû à è b â óðàâíåíèè (4.15) ìîæíî íàéòè, èñïîëüçóÿ ÌÍÊ. Â äàííîì ñëó÷àå óñëîâèå ÌÍÊ (4.14) áóäåò èìåòü âèä 198

÷èì

F = S (ói ói$ )2 = min. i=1 Ïîäñòàâëÿåì â íåãî âìåñòî ó$i åãî çíà÷åíèå èç (4.15) è ïîëó n

F = S (ói àõi b)2 = min. i=1

Äàííóþ ôóíêöèþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ äâóõ àðãóìåíòîâ à è b. Íåîáõîäèìûìè óñëîâèÿìè ìèíèìóìà ýòîé ôóíêöèè áóäóò ðàâåíñòâà wF = 0;

wF = 0 (áîëåå ïîäðîáíî ñìîòðè ýêñòðåìóì ôóíêöèè äâóõ wb àðãóìåíòîâ)

Äàëåå èìååì: n

2 S (ói àõi b) ( õ) = 0 i=1 n

2 S (ói àõi b) ( 1) = 0 i=1 è ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì òàê íàçûâàåìóþ ñèñòåìó íîðìàëüíûõ óðàâíåíèé n n

S ói = a S õi + b·n i = 1 i = 1 n n n

S ói õi = a S õ2 i + b· S õi . i = 1 i = 1 i = 1 199

Ðåøàÿ äàííóþ ñèñòåìó, íàõîäèì èñêîìûå êîýôôèöèåíòû: n n S ói a S õi i = 1 i = 1 b = . (4.16) n

n n n S i ´ i S i S i i = 1 i = 1 i = 1

n ó õ y õ à = . n n n S õ2i (S õi)2 i = 1 i = 1

(4.17)

Ðàññìîòðèì êîíêðåòíûé ïðèìåð 4.31 [24]. Ïóñòü íàì çàäàíû äâà ðÿäà íàáëþäåíèé, õàðàêòåðèçóþùèõ çà øåñòü ëåò êîëè÷åñòâî õèùåíèé îðóæèÿ (õ) è âîîðóæåííûå ïðåñòóïëåíèÿ (ó). Ýòè äåÿíèÿ ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ïîòîìó, ÷òî ó íèõ ïî÷òè îäíè è òå æå ïðè÷èíû. Èñõîäíûå äàííûå ïîìåñòèì â òàáë. 4.2, ïðè÷åì çàïîëíÿòü åå áóäåì ïî âîçðàñòàíèþ ðÿäà õ. Òàáëèöà 4.2

Õèùåíèå îðóæèÿ (õ) Âîîðóæåííûå ïðåñòóïëåíèÿ (ó) Âûðàâíåííûå çíà÷åíèÿ ó$ Ïîïðàâêè V = ó ó$

773 1130 4481 9549 3010 10 864 1471 1315

1138 8873 11 040 2167

1336 12 160 15 396 3236

1352 18 059 15 748 2311

1396 19 154 16 716 2438

Â äàííîì ñëó÷àå ñâÿçü ìåæäó ó è õ áóäåì èñêàòü â âèäå ó~ = àõ + b. Ïî ôîðìóëàì (4.16) è (4.17) íàõîäèì èñêîìûå êîýôôèöèåíòû b = 13 996; à = 22. 200

È òîãäà ïîëó÷èì ó$ = 22õ 13 996. (14.18) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (14.18), íàéäåì âûðàâíåííûå çíà÷åíèÿ ðÿäà ó. Îíè ïðèâåäåíû â òðåòüåé ãðàôå òàáë. 4.2, â ÷åòâåðòîé ãðàôå ïîêàçàíû ïîïðàâêè. Èñïîëüçóÿ ÌÍÊ, ìîæíî íàõîäèòü êîýôôèöèåíòû è äëÿ ñëó÷àÿ ëþáîé íåëèíåéíîé çàâèñèìîñòè äâóõ âåëè÷èí, à òàêæå äëÿ ñëó÷àÿ ìíîãîôàêòîðíîé çàâèñèìîñòè, ò.å. èñõîäíàÿ ôóíêöèÿ áóäåò çàâèñåòü îò íåñêîëüêèõ àðãóìåíòîâ, ïðè÷åì îíà ìîæåò áûòü è ëèíåéíîé, è êðèâîëèíåéíîé. Íàïðèìåð, åñëè ñâÿçü ìåæäó õ1, x2 è y èùåòñÿ â âèäå ó$ = à1 õ2 + à2 õ + b, òî êîýôôèöèåíòû à1, à2, b íàõîäÿòñÿ â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ ñèñòåìû íîðìàëüíûõ óðàâíåíèé:

n n n n S i 2i à1 S 4i à2 S 3i b S 2i i = 1 i = 1 i = 1 i = 1

ó õ = õ + õ + õ n n n n

S ói õi = à1 S õ3i + à2 S õ2i + b S õi i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 n n n

S ói = à1 S õ2i + à2 S õi + b ·n i = 1 i = 1 i = 1 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ

1. Íàéòè ïðîèçâîäíûå ñëåäóþùèõ ôóíêöèé: 1.1. ORJ FRV [ VLQ [ H [ ;

1.2. \

WJ [

1.3. \

1.4. \ 1.5. \

FRV [

WJ [

;

OQ [ [

FRV [ [ WJ [

FWJ

[

;

OQ [ ; 201

1.6. \

WJ [

FRV

[

2. Íàéòè âòîðûå ïðîèçâîäíûå ñëåäóþùèõ ôóíêöèé: 2.1. \

[ VLQ [ ;

2.2. \

H [ WJ [ ;

2.3. \

OQ [ ; [

2.4 \ [ [ VLQ [ . 3. Èññëåäîâàòü ôóíêöèè è ïîñòðîèòü èõ ãðàôèêè. 3.1. \

[ [ ;

3.2. \

[ [ ;

3.3. \

[ ;

3.4. \

[ [ ;

3.5. \

[ [ ;

[

3.6. \

[

4. Íàéòè

w] w] è , åñëè ôóíêöèÿ Z èìååò âèä: w\ w[

4.1.

[ VLQ \ ;

4.2. =

[\ ;

4.3. = 4.4. = 4.5. = 4.6. =

202

[ \

;

WJ [ \ [

DUFWJ [ \ ; WJ

[

OQ \

5. Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ, íàéòè ïðåäåëû ôóíêöèé:

5.1. OLP [

[

o [

;

[ [ [ ; [ o f [ [

5.2. OLP

5.3. OLP FRV [ [ ; [

5.4. OLP [o

5.5. OLP [o

WJ [ WJ [ OQ

[

[ §

¨ 5.6. OLP [ o

©[

;

· ¸. H ¹ [

6. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè

[ [ [ [ [ [ â òî÷êå À (0, 1, 2, 4, 3) ïî íà-

[ [ [ [ [ [ [ â òî÷êå À ( 2, 1, 3, 0, 4).

ïðàâëåíèþ ê òî÷êå B (0, 0, 3, 1, 6). 7. Íàéòè íàèáîëüøóþ ñêîðîñòü âîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè

8. Íàéòè âòîðûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèé: à) Z = 5õ3ó8 7ln2y · sin x á) Z = 16 tg y · õ5 + 2õ7ó6. 9. Íàéòè ïðîèçâîäíûå òðåòüåãî ïîðÿäêà äëÿ ôóíêöèé:

à) \

[ FRV [

[ ; á) \ [

OQ [ [

VLQ

[

10. Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèÿ âåëè÷èí õ è ó çàäàíû â òàáëèöå

Õ Ó

149

0, 1

203

Ïîëàãàÿ, ÷òî ìåæäó õ è ó ñóùåñòâóåò ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü âèäà ó = àõ + b, ñ ïîìîùüþ ÌÍÊ íàéòè êîýôôèöèåíòû à è b. 11. Íàéòè ýêñòðåìóìû ôóíêöèè äâóõ àðãóìåíòîâ: 11.1. Z = 6 x2 (ó2 5)2 11.2. Z = 7(õ ó) 2x2 3ó2 11.3. Z = ó õ x2 + 2ó + 7õ + 8

Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24)

Äàòü îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè. Êàêîâû ãåîìåòðè÷åñêèé è ìåõàíè÷åñêèé ñìûñëû ïðîèçâîäíîé? Êàê íàéòè ïðîèçâîäíóþ ñëîæíîé ôóíêöèè? Äàòü îïðåäåëåíèå äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè. Êàêîé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë èìååò äèôôåðåíöèàë? ×òî íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíîé âòîðîãî ïîðÿäêà îò ôóíêöèè? Â ÷åì ñîñòîèò äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ýêñòðåìóìà? Êàêèå òî÷êè íàçûâàþòñÿ òî÷êàìè ïåðåãèáà ôóíêöèè? ×òî íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòîé ôóíêöèè? Ñôîðìóëèðîâàòü ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ è ïðèâåñòè ïðèìåðû åãî ïðèìåíåíèÿ. ×òî íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ? ×òî íàçûâàåòñÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ? ×òî íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè f(x) ïðè x ® xo? Äàòü îïðåäåëåíèå ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè äâóõ íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ. Äàòü îïðåäåëåíèå ãðàäèåíòà. Êàê ìîæíî âûðàçèòü ïðîèçâîäíóþ ïî íàïðàâëåíèþ ÷åðåç ãðàäèåíò? ×òî íàçûâàåòñÿ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé âòîðîãî ïîðÿäêà îò ôóíêöèè äâóõ íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ? Äàòü ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû î ðàâåíñòâå âòîðûõ ñìåøàííûõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. ×òî íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíîé n-ãî ïîðÿäêà îò çàäàííîé ôóíêöèè? Â ÷åì ñîñòîèò ñóòü ÌÍÊ? Êàê ñ ïîìîùüþ ÌÍÊ íàõîäèòü êîýôôèöèåíòû ýìïèðè÷åñêèõ ôîðìóë? Äàòü îïðåäåëåíèå òî÷êè ýêñòðåìóìà ôóíêöèè äâóõ àðãóìåíòîâ. Â ÷åì ñîñòîèò íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ýêñòðåìóìà ôóíêöèè äâóõ àðãóìåíòîâ? Â ÷åì ñîñòîÿò äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà ôóíêöèè äâóõ àðãóìåíòîâ?

5. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÈÍÒÅÃÐÀËÜÍÎÃÎ ÈÑ×ÈÑËÅÍÈß Èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå ýòî ðàçäåë ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, â êîòîðîì èçó÷àþòñÿ ñâîéñòâà è ñïîñîáû âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ è èõ ïðèìåíåíèå. Èíòåãðèðîâàíèå ýòî äåéñòâèå, îáðàòíîå äèôôåðåíöèðîâàíèþ, íàïðèìåð, ñ åãî ïîìîùüþ íàõîäèòñÿ ñêîðîñòü òåëà ïî çàäàííîìó óñêîðåíèþ.

5.1. Ïåðâîîáðàçíàÿ è íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë Ïåðâîîáðàçíîé îò ôóíêöèè y = f(x) íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ F(x), ïðîèçâîäíàÿ êîòîðîé ðàâíà èñõîäíîé ôóíêöèè, ò.å. F (x) = f(x). Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ ïî îòíîøåíèþ ê ñâîåé ïðîèçâîäíîé ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé [4, 23]. Ðàññìîòðèì ïðèìåð y = x5. Äàííàÿ ôóíêöèÿ ñëóæèò ïðîèçâîäíîé äëÿ ôóíêöèè y § ¨ ¨ ©

[

c · ¸ ¸ ¹

[

[ , èëè â îáùåì âèäå ¨¨ ©

òàê êàê

[

c · ¸ ¸ ¹

§ ¨ ¨ ©

[

· ¸ ¸ ¹

[ , ãäå

Èç äàííîãî ïðèìåðà âèäíî, ÷òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ

áóäåò ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè y = x5.

[ è = const.

§ ¨ ¨ ©

[ & ·¸

¸ ¹

Òåïåðü ïðèâåäåì ôîðìóëèðîâêó îñíîâíîé òåîðåìû î ïåðâîîáðàçíûõ. ÒÅÎÐÅÌÀ 5.1. Ëþáàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ïåðâîîáðàçíûõ, ïðè÷åì ëþáûå äâå èç íèõ äðóã îò äðóãà îòëè÷àþòñÿ ïîñòîÿííûì ñëàãàåìûì [4, 32]. Ôîðìóëà F(x) + C èñ÷åðïûâàåò ìíîæåñòâî âñåõ ïåðâîîáðàçíûõ èñõîäíîé ôóíêöèè. Ãåîìåòðè÷åñêè âûðàæåíèå F(x) + C åñòü ñåìåéñòâî êðèâûõ (ðèñ. 5.1), êàæäàÿ èç êîòîðûõ ïîëó÷àåòñÿ ïóòåì ñäâèãà îäíîé èç êðèâûõ âäîëü îñè 0ó. 205

ó Ñ

0 õ

Ðèñ.¦5.1 Çàìåòèì, ÷òî ïåðâîîáðàçíóþ ìîæíî íàõîäèòü íå òîëüêî ïî ïðîèçâîäíîé, íî è ïî äèôôåðåíöèàëó. Òåïåðü äàäèì îïðåäåëåíèå íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Îòûñêàíèå ïåðâîîáðàçíûõ íàçûâàåòñÿ íåîïðåäåëåííûì èíòåãðèðîâàíèåì, à âûðàæåíèå, îõâàòûâàþùåå ñîâîêóïíîñòü âñåõ ïåðâîîáðàçíûõ îò äàííîé ôóíêöèè f(x), íàçûâàåòñÿ íåîïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì è îáîçíà÷àåòñÿ òàê:

³ I [ G[

ãäå f(x) ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ; f(x)dx ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå; õ ïåðåìåííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ;

çíàê èíòåãðàëà.

Çàìåòèì, ÷òî f(x) íà ó÷àñòêå èíòåãðèðîâàíèÿ äîëæíà áûòü íåïðåðûâíà. Òàêèì îáðàçîì, íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë åñòü ñåìåéñòâî ôóíêöèé F(x) + C, ò.å.

206

I [ G[ = F(x) + C [4, 8].

Íàõîæäåíèå âñåõ ïåðâîîáðàçíûõ äëÿ äàííîé ôóíêöèè f(x) è íàçûâàåòñÿ íåîïðåäåëåííûì èíòåãðèðîâàíèåì. Òåðìèí «íåîïðåäåëåííîå èíòåãðèðîâàíèå» ïîÿâèëñÿ ïîòîìó, ÷òî íå óêàçûâàåòñÿ, êàêàÿ ïåðâîîáðàçíàÿ èìååòñÿ â âèäó. Ñðàçó ñêàæåì, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Äèôôåðåíöèðîâàíèå ëþáûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé ïðîèçâîäèòñÿ ïî îïðåäåëåííûì ïðàâèëàì, à èíòåãðèðîâàíèå òðåáóåò â êàæäîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå èíäèâèäóàëüíîãî ïîäõîäà. Ðàçóìååòñÿ, åñòü îáùèå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ, íåêîòîðûå ìû ðàññìîòðèì äàëåå. Çàìåòèì, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ îò ëþáîé ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèè åñòü ôóíêöèÿ ýëåìåíòàðíàÿ, à ïðî íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë îò ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèè ýòîãî ñêàçàòü íåëüçÿ. Òî åñòü ïåðâîîáðàçíàÿ îò ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèè ìîæåò îêàçàòüñÿ è íå ïðåäñòàâèìîé ñ ïîìîùüþ êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé. Ïðî òàêèå ôóíêöèè ãîâîðÿò, ÷òî îíè íå èíòåãðèðóåìû â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ. Ïðèìåðàìè «íåáåðóùèõñÿ èíòåãðàëîâ» ÿâëÿþòñÿ: G[

³ ³

[

DPT YEY Y

; ³

H[G[ [

[ ;

VLQ [G[

; ³

[ [

³H

;

G[ è äð.

Èç îïðåäåëåíèÿ íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ñëåäóåò, ÷òî

[ G[

[ ;

I c [ G[

GI [ I [ & .

³ I

[ G[

I [ G[ . (5.1)

Íàéäåì íåîïðåäåëåííûå èíòåãðàëû îò îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, èñïîëüçóÿ äëÿ ýòîãî òàáëèöó ïðîèçâîäíûõ îò 207

îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé (ñì. ãëàâó «Îñíîâû äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ»). Íàïðèìåð, (sin x) = cos x. Ïåðåïèøåì ýòî ðàâåíñòâî â âèäå G VLQ [ FRV [ G VLQ [ FRV [G[ . Ïðîèíòåãðèðóåì îáå G[

÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà è ñ ó÷åòîì òðåòüåé ôîðìóëû (5.1) ïîëó÷èì

³ G VLQ [ ³ FRV[G[ VLQ [ & ³ FRV[G[

Ýòî è åñòü òàáëè÷íûé èíòåãðàë. Òî÷íî òàê æå ïîëó÷àþò è äðóãèå òàáëè÷íûå èíòåãðàëû îò îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé. Ïðèâåäåì òàáëèöó èíòåãðàëîâ îò îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé. Ñïðàâåäëèâîñòü ïðèâåäåííûõ ôîðìóë ëåãêî ïðîâåðèòü äèôôåðåíöèðîâàíèåì. Òàáëèöà èíòåãðàëîâ [ Q & Q z Q

1) ³ [ Q G[ 2)

³[

[ &

;

D & 3) ³ D G[ OQ D

[

;

³ H G[ H & 5) ³ FRV [G[ VLQ [ & 4)

[

208

³ VLQ [G[

[

;

FRV [ & ;

7)Â

Â³

FRV

8)Â

[

Â³[

10)Â

Â³

11)Â

[

Â³ [ r

;

DUFWJ [ & ;

[ &

FWJ[ & ;

Â³ VLQ [

9)Â

DUFVLQ [ & ;

[ [ r &

Â³

13)Â VK[G[

14)Â

Â³

G[ FK

[

FK[ & WK[

;

& ;

x Â³ VK [ FWK[ & x EY "SUIY $ MO Y $ Y Y EY "STIY $ MO Y Y $ 17)Â Â³ Y

15)Â

;Â Ã£Ã¤Ã¥Â cth

Â =Â Â Â Â&#x2014;

Â Â Â Â Â Â Â h Â Â t

16)Â

Â³

;

209

EY "SDI Y $ MO Y Y $ Y Îáúåäèíåíèå ôîðìóë 17 è 18 è äàåò ôîðìóëó 11. Çàìåòèì, ÷òî ñóùåñòâóþò òàáëèöû èíòåãðàëîâ îò ýëåìåíòàðíûõ è ñïåöèàëüíûõ ôóíêöèé, íàïðèìåð [Áðû÷êîâ Þ.À., Ìàðè÷åâ Î.È., Ïðóäíèêîâ À.Ï. Òàáëèöû íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ. Ì.: Íàóêà, 1986; Èíòåãðàëû è ðÿäû: Â 3 ò. Ì.: Íàóêà, 1986]. Çàäà÷à «âçÿòèÿ» íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà è ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïðåîáðàçîâàòü åãî ê òàáëè÷íîìó. Ïðèâåäåì ñâîéñòâà íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. 1) Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë îò àëãåáðàè÷åñêîé ñóììû êîíå÷íîãî ÷èñëà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ðàâåí àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ îò ýòèõ ôóíêöèé, ò.å.

18) ³

∫ [ f ( x) ± f (x )± ... ± f (x )] dx = = ∫ f (x)dx ± ∫ f (x)dx ± ... ± ∫ f (x ) dx. 1

Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè

ìîæíî âûíîñèòü çà çíàê íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà, ò.å.

³ NI [ G[

N ³ I [ G[ ,

N 5

ãäå

3) Ëþáàÿ ôîðìóëà èíòåãðèðîâàíèÿ ñîõðàíÿåò ñâîé âèä ïðè ïîäñòàíîâêå âìåñòî íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé ëþáîé äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè îò íåå, ò.å. åñëè

³ I [ G[

ãäå X

) X & ,

³ I X GX

òî è

) [ &

X [ ëþáàÿ äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ îò x.

Â ñèëó ïðàâèëà 3) òàáëèöà èíòåãðàëîâ áóäåò ñïðàâåäëèâîé íåçàâèñèìî îò òîãî, ÿâëÿåòñÿ ëè ïåðåìåííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé èëè ëþáîé äèôôåðåíöèðóåìîé ôóí210

êöèè îò íåå, ò.å. òàáëèöà, òàêèì îáðàçîì, ñðàçó çíà÷èòåëüíî ðàñøèðÿåòñÿ [4, 32].

Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ

1) Íåïîñðåäñòâåííîå èíòåãðèðîâàíèå. Èñïîëüçóþòñÿ òàáëèöà èíòåãðàëîâ, ñâîéñòâà íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ è ðàçëè÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ.

Ïðèìåð 5.1

³ ¨©

VLQ

[ [

FRV[

Ïðèìåð 5.2

FRV

G[ ³ [G[ ³ [ G[ ³ [

· ¸G[ [¹

VLQ

FRV

[ WJ[ &

[ [ [ G[ ³ [ [ G[ ³ [G[ ³ G[ ³

Ïðèìåð 5.3 VLQ [

³ FRV [ G[ ³ Ïðèìåð 5.4 ³ VLQ [G[

VLQ [ FRV [ FRV [

[ [ [ & VLQ [G[

[Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëàìè FRV [

FRV [

FRV [ & .

VLQ [ , VLQ [

FRV [ VLQ [ ,

FRV [ . Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå

ïîäñòàâëÿåì âìåñòî ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè

211

FRV [ G[

= [

G[ ³ FRV [G[ ³

FRV [G [ ³

G [

G[ ,

[Çàìåòèì, ÷òî

çàìåíÿåì 2 íà

[ ³ FRV \G\ ùàåìñÿ ê ïðåæíåìó àðãóìåíòó]

äà ïîëó÷èì] =

[ VLQ \ & = [Âîçâðà

= [ VLQ [ &

y, ò.å. 2õ = y, òîã-

Òàêèì îáðàçîì, â ïðèìåðå 5.4. èñïîëüçîâàëè åùå îäèí ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ (çàìåíà ïåðåìåííîé), êîòîðûé áîëåå ïîäðîáíî ðàññìîòðèì íèæå. 2) Èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì. Ýòîò ìåòîä ñëåäóåò èç ôîðìóëû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíêöèé. Ïóñòü X [ è Y [ äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè àðãó

ìåíòà õ, òîãäà èìååì

G XY

XGY

XcY YcX èëè

YGX XGY G XY YGX .

Èíòåãðèðóåì îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà è ïîëó÷èì ³ XGY XY ³ YGX

(5.2)

Ýòî è åñòü ôîðìóëà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì. Ýòîò ñïîñîá ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ìíîæèòåëåé çàìåíÿåòñÿ äâóìÿ èíòåãðèðîâàíèÿìè: 1) îòûñêàíèå

212

n èç âûðàæåíèÿ äëÿ dn;

u è dn è

2) îòûñêàíèå èíòåãðàëà îò

ndu.

Ñìûñë ñïîñîáà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ýòè äâà èíòåãðèðîâàíèÿ âûïîëíèòü ëåã÷å, ÷åì «âçÿòü» èñõîäíûé èíòåãðàë [4, 8, 32]. Ðàññìîòðèì êîíêðåòíûå ïðèìåðû è ïðèìåíåíèÿ äàííîãî ìåòîäà.

Ïðèìåð 5.5

[ GY G[ Y [ GX G[º» [ [ ³ [ G[ [ [ [ & [¼ [ ¬ Â äàííîì ïðèìåðå âûáîð u è dn ïðîèçâîäèòñÿ îäíîçíà÷íî, íî òàê áûâàåò íå âñåãäà.

³ OQ

[G[ ª«X

Ïðèìåð 5.6 ∫ xe

[

]

dx = u = x; du = dx ; dv = e x dx ; v = ∫ e x dx = e x =

= xe x − ∫ ex dx = xe x − e x + C ,

íî åñëè ïðèíÿòü

H GX [

³ [H G[

òî

[

H G[ GY [

[G[ Y

[

[ [ [ H ³ [ H G[ ,

ò.å. ïîëó÷èì áîëåå ñëîæíûé èíòåãðàë, ÷åì èñõîäíûé. Áûâàåò ñëó÷àè, êîãäà ôîðìóëó (5.2) íàäî ïðèìåíÿòü íåñêîëüêî ðàç.

Ïðèìåð 5.7 ³ H VLQ [G[

[

VLQ [ GX FRV [G[ GY H [ G[ Y ³ H [ G[ H [

H [ VLQ [ ³ H [ FRV [G[ 213

[Ê èíòåãðàëó

ïîëó÷èì X

FRV

³H

[

[ GX

[

FRV [G[ îïÿòü ïðèìåíèì ôîðìóëó (5.2),

VLQ [G[ GY

VLQ [

[

H G[ Y

H FRV [ ³ H VLQ [G[

[

Ïåðåíîñèì ³ H

³ H [ VLQ [G[

[

] =

[

= H [ VLQ [ H [ FRV [ ³ H [ VLQ [G[

[

VLQ [G[ â ëåâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà è ïîëó÷èì:

[

VLQ

[ FRV [ & ,

(ïîñòîÿííàÿ ìîæåò áûòü ëþáîé, âîçüìåì åå ðàâíîé 2 ), [ H ³ H VLQ [G[ VLQ [ FRV [ &

[

Ïðèìåð 5.8 ³

ª «X ¬

[ GY G[ Y

[ [

= [

[ G[

[

Ïåðåíîñèì ³

214

[ G[ [ [ [

[ GX

[ G[

[ [ G[

[ G[ º

[

[ ³ [ G[

G[ [

³ [ G[ DUFVLQ [. [ G[ â ëåâóþ ÷àñòü è ïîëó÷àåì

[ ¼

[ G[

[ [

[

DUFVLQ [ & ,

[ DUFVLQ [ &

3) Ìåòîä çàìåíû ïåðåìåííîé. Åãî ïðèìåíÿþò â òîì ñëó÷àå, åñëè èñõîäíûé èíòåãðàë ñëîæíî èëè íåâîçìîæíî ñ ïîìîùüþ àëãåáðàè÷åñêèõ è èíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñâåñòè ê îäíîìó èëè íåñêîëüêèì òàáëè÷íûì èíòåãðàëàì [4, 23]. Ñïîñîá çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: çàìåíÿåòñÿ íîâîé ïåðåìåííîé òàêàÿ ÷àñòü ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè, ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè êîòîðîé ïîëó÷àåòñÿ îñòàâøàÿñÿ ÷àñòü ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ (íå ñ÷èòàÿ ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ, íà êîòîðûé âñåãäà ìîæíî óìíîæèòü èëè ðàçäåëèòü ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå). Ìåòîä çàìåíû ïåðåìåííîé îñíîâàí íà ñëåäóþùåé òåîðåìå: ïóñòü íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ j(t) = x îïðåäåëåíà è äèôôåðåíöèðóåìà íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå [a, b], ïóñòü X ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ýòîé ôóíêöèè, íà êîòîðîì îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ f(x). Òîãäà, åñëè íà ìíîæåñòâå Õ ôóíêöèÿ f(x) èìååò ïåðâîîáðàçíóþ, òî íà îòðåçêå [a, b] ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà

I [ G[

[

I M W

M c W GW .

(5.3)

Â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ëó÷øå èñïîëüçîâàòü çàìåíó ïåðåìåííîé íå â âèäå [

M W , W \ [

[4, 23, 32].

Ïðèâåäåì êîíêðåòíûå ïðèìåðû.

Ïðèìåð 5.9 Íàéòè [ G[ ³ ³ [ G[ = [Ìîæíî ðàçëîæèòü ïîäûíòåãðàëüíóþ

ôóíêöèþ, èñïîëüçóÿ áèíîì Íüþòîíà, íî ýòî áóäåò ñëèøêîì 215

äëèííî, ïîýòîìó äåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé:

W G[

[ [

³ [

, ïîýòîìó ïîëó÷èì] =

W W GW & = ³

= [Èëè, âîçâðàùàÿñü ê ïåðâîíà÷àëüíîé ïåðåìåííîé õ, [ & èìååì] = ³ [ G[

Ïðèìåð 5.10 G[

G[ ³ [

³ [ ³ [

[Òåïåðü äåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé

[

] =

DUFWJ\ & = \ [Âîçâðàùàåì ïåðåìåííóþ õ è ïîëó÷àåì] § [· = DUFWJ ¨ ¸ &

Ïðèìåð 5.11

G[ [ [

216

G[ [

G[ § [ ¨ ©

· ¸ ¹

G[ [

= [Òåïåðü äåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé

W [ G[

[

GW ] =

GW W

= DUFWJW &

[Âîçâðàùàåì ïåðåìåííóþ õ è ïîëó÷àåì]

§ [ · DUFWJ¨ ¸ & . © ¹

Ïðèìåð 5.12

[ G[ [

[Çàìåòèì, ÷òî

G [

[ G[ ] = ³ [

= [Äåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé \

[ ]

= [Âîçâðàùàåì ïåðåìåííóþ õ è ïîëó÷àåì]

= OQ [ &

Ïðèìåð 5.13

[

G[ [ 217

[Çàìåòèì, ÷òî

[

G[ ] =

³ [ G [ =

[Òåïåðü äåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé [

= ³

\ OQ

[Âîçâðàùàåì ïåðåìåííóþ õ]

[ = OQ

Ïðèìåð 5.14 ³H

VLQ

[

VLQ [G[

³ HVLQ

[Çàìåòèì, ÷òî G VLQ

VLQ [ FRV [G[

[

VLQ [ FRV [ ]

= ³ H

VLQ [

G VLQ [ =

[Òåïåðü äåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé W

³ H GW

H & W

[Âîçâðàùàåì ïåðåìåííóþ õ] =

218

VLQ

[

& .

VLQ [ ]

Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé Ëþáàÿ ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ R(x) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëå3 [

íà â âèäå äðîáè, ò.å. 5 [

÷ëåíû.

m Px P2 x

Åñëè ñòåïåíü ÷èñëèòåëÿ ( ìåíàòåëÿ (

P1 x

), òî, ðàçäåëèâ

( ) è

( ) ìíîãî-

) áîëüøå èëè ðàâíà ñòåïåíè çíà-

( ) íà

( ) è â îñòàòêå ìíîãî÷ëåí

3 [ 3 [ 3 [

4 [ 4 [

, ãäå

4 [

( ), ïîëó÷èì ìíîãî÷ëåí

( ) íå âûøå (

. Èíòåãðèðîâàíèå

1) ñòåïåíè, ò.å.

P1 x

( )

ïðîõîäèò

áåç

ïðîáëåì. Íàäî ïðîèíòåãðèðîâàòü ïðàâèëüíóþ ðàöèîíàëüíóþ äðîáü, ñòåïåíü

§ ¨ ¨ ©

3 [ ·¸ 4 [ ¸¹

÷èñëèòåëÿ

êîòîðîé

ñòåïåíè

çíàìåíàòåëÿ

3 [

4 [

ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû ïðîñòåéøèõ äðî

áåé äâóõ âèäîâ [ D

ãäå

ìåíüøå

[

% [ & L

S[ T

A , B , C ïîñòîÿííûå [4, 30, 32]. i

Êàæäîìó ìíîæèòåëþ

[ D N

â ïðåäñòàâëåíèè çíàìåíà-

òåëÿ Q(x) ñîîòâåòñòâóåò â ðàçëîæåíèè äðîáè

ìûå, ñóììà k ïðîñòåéøèõ äðîáåé âèäà

3 [

4 [

íà ñëàãàå-

$N $N $ . N + N + + [ D

[ D

219

Êàæäîìó ìíîæèòåëþ [ S[ T

ñîîòâåòñòâóåò ñóì-

ìà t ïðîñòåéøèõ äðîáåé âèäà

%[ &

[

S[ T

[

% [ & W

% [ & + + [ S[ T .

S[ T

3 [

Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå ðàçëîæåíèå äðîáè 4 [

íà ñëàãà-

åìûå [4, 32]:

$ $ 3 [

= + 4 [ [ D [ D

%[ &

+ + [ D + +

% [ &

+ [ S[ T + [ S[ T + + [ S[ T

. (5.4)

Ïðèìåð 5.15

G[ H

[

[Äåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé, îáîçíà÷èâ H [

òîã-

äà ïîëó÷èì

[

\ H[

OQ \

[

\G\

= ³ \ \

OQ \

OQ H [ G[

³ \

\G\

³ \ \

Äðîáü \ \ ïðàâèëüíàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü; ðàçëîæèì åå íà ïðîñòåéøèå äðîáè (ñì. 5.4)

220

= \ \ ,

ãäå è íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû, êîòîðûå íåîáõîäèìî íàéòè. Îñâîáîæäàÿñü îò çíàìåíàòåëÿ, èìååì: 1 = ( + 1) + ( 1) 1 = + . Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè è 0, ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ è . 0 = = > .

Ay By Ay + A By B

y y

À Â À = Â

À + Â

À Â 1 = 2Â = > Â = è À = . Òîãäà ïîëó÷èì 1 =

= \ \ , \ \

è èñêîìûé èíòåãðàë ïðèìåò âèä:

³ \ \

§ G\ G\ · ¨¨ ³ ¸¸ ³ © \ \ ¹

= [Çàìåòèì, ÷òî G \

[Âîçâðàòèì ïåðåìåííóþ ex] =

G \

OQ \ OQ \ &

G \

G\ è G \ G\ ]

\ & = \

H[ H[

& .

221

Èíòåãðèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé Èíòåãðàë âèäà ³ I VLQ [ FRV [ G[ ñ ïîìîùüþ ïîäñòà

[

ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â èíòåãðàë îò ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè [4, 32]. Èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôîðìóëû:

íîâêè

VLQ [

[

Èç ðàâåíñòâà [

[ X X FRV [ [ X X ; WJ GX G[ èìååì . DUFWJ X X

Â ðåçóëü-

òàòå óêàçàííîé ïîäñòàíîâêè èñõîäíûé èíòåãðàë ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó

³ I VLQ [ FRV [ G[ ³

§ X I ¨¨ © X

X · GX ¸ X ¸¹ X

ò.å. ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàöèîíàëüíà îòíîñèòåëüíî u.

Ïðèìåð 5.16

³ FRV [

Ïðèìåíèì ïîäñòàíîâêó X

G[ FRV [

GX X X

[

è ïîëó÷àåì

GX X

[Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé 16) èç òàáëèöû èíòåãðàëîâ.]

222

X & X

WJ WJ

[

Ñ ïîìîùüþ óêàçàííîé ïîäñòàíîâêè õîðîøî áåðóòñÿ G[ èíòåãðàëû âèäà ³ D FRV [ E VLQ [ &

Èíòåãðèðîâàíèå ôóíêöèé ³ I VLQ [ FRV [ G[

ñ ïîìîùüþ

[

âñåãäà ïðèâîäèò ê óñïåõó, íî â ñèëó ñâîåé îáùíîñòè îíà íå âñåãäà ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíîé. Èíòåãðàëû âèäà cosn õ · sinm xdx íàõîäÿòñÿ ñëåäóþùèì îá-

ïîäñòàíîâêè

ðàçîì [4, 12; 32]: à) åñëè m öåëîå ïîëîæèòåëüíîå íå÷åòíîå ÷èñëî, òî ïðèìåíÿåòñÿ ïîäñòàíîâêà cos õ = U.

Ïðèìåð 5.17 ³ cos2 õ · sin3 x dx = ³ cos2 õ · sin2 x · sin x dx = = ³ cos2 õ (1 cos2 õ) d cos õ = [äåëàåì ïîäñòàíîâêó cos õ = U] = ³ U2 (1 U ) dU = = ³ U2 dU + ³ U4 dU = ___ 5 cos3 õ cos5 õ 3 U ________ + ________ + C; = U3 5 3 5 + ___ + C = b) åñëè n öåëîå ïîëîæèòåëüíîå íå÷åòíîå ÷èñëî, òî ïðèìåíÿåòñÿ ïîäñòàíîâêà sin x = U. Ïðèìåð 5.18 ³ cos5 õ · sin2 x dx = ³ cos4 õ · sin2 x · cos õ dx =

223

³ (1 sin2 x)2 · sin2 x d sin x =

³ (1 2 sin2 x + sin4 x) · sin2 x d sin x = [äåëàåì çàìåíó ïå

ðåìåííîé sin x = U] =

³ (1 2 U2 + U4) U2 dU = ³ (U2 2 U4 + U6) dU = = ³ U2 dU 2 ³ U4 dU + ³ U6 dU =

7 sin3 x sin5 x sin7 x U U ___3 2 ___5 + U _____ _____ 2 _____ + _____ + C; = 3 5 7 + C = 3 5 7

ñ) åñëè (n + m) ÷åòíîå îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, òî ïðèìåíÿåòñÿ ïîäñòàíîâêà tg x = U 2 dU 1 U _____ ______ 2 2 cos õ = 2 ; sin 1 + U x = ; dx = _______ . 2 1 + U2 1 + U

Ïðèìåð 5.19 dx dU = [äåëàåì çàìåíó tg x = U] = ³ ________________ = ³ _______ 2

4 sin x

(1 + U ) (4 U /1 + U )

dU dU dU 1 dU _______ = ________ = __________ = = ³ ________ = ³ ³ ³ 2 2

4 (1 + U ) U

4 + 3U

3(3U + 4) 3 U + 4/3

dU dU U 1 1 3 = ³4 _______ = · ³ _______ = [ äåëàåì çàìåíó ____ = t; 4 2 3 4 8 + 1 2 3 3 (U + ) 3 4 3 224

GW ] =

1 2 dt 1 ______ = ____ arctg t + C = = · 4 t2 + 1

U 1

1 _____

____

arctg (

) + C =

tg x ____ _______ arctg ( ) + C;

2 2

m n

d) åñëè è öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå ÷åòíûå ÷èñëà, òî èñïîëüçóþòñÿ ôîðìóëû 1 + cos 2 õ 1 cos2õ __________ ___________ ; sin2 x = cos2 õ = 2 2

Ïðèìåð 5.20

2 1 4 1 + cos2õ cos õ dx = ________ dx =

1 = (

³ (1 + 2 cos 2 õ + cos2 2õ) dx =

³ dx + 2 ³ cos 2õ dx + ³ cos2 2õ dx) =

1 1 1 + cos4õ _________ dx = = (õ + 2 · sin2x +

4 2 2

1 1 1 = (õ + sin2x + ³ dx + ³ cos4õ dx) =

4 2 2

1 1 1 1 = (õ + sin2x + õ + · sin 4x) + Ñ = 4 2 2 4

225

1 1 1 1 = õ + sin2x + õ + sin 4x + Ñ. 4 4 8 32

Èíòåãðàëû îò èððàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé à) Ðàññìîòðèì èíòåãðàë

³ R (õ, õm/n, . õ k/t) dx, ãäå R ðà

öèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ ñâîèõ àðãóìåíòîâ, ò.å. íàä âåëè÷èíàìè õ, õm/n, .õ k/t ïðîâîäÿòñÿ òîëüêî ðàöèîíàëüíûå îïåðàöèè [32]. m k Ïóñòü ð îáùèé çíàìåíàòåëü äðîáåé , . n t Òåïåðü äåëàåì ïîäñòàíîâêó õ = óð; dx = ðóð-1dy, òîãäà êàæäàÿ äðîáíàÿ ñòåïåíü õ âûðàçèòñÿ ÷åðåç öåëóþ ñòåïåíü, ò.å. ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ïðåîáðàçóåòñÿ â ðàöèîíàëüíóþ ôóíêöèþ îò ó.

Ïðèìåð 5.21

[ dx __________ ³ 4 [ 6

1 1 Òàê êàê îáùèé çíàìåíàòåëü äðîáåé è ýòî 4, òî ïîýòîìó 2 4 äåëàåì çàìåíó

4 , dx = 4 ó 3 dó,

õ = ó

[ = ó

;

2 4

Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì

[ = ó.

2 · 4ó dó ó dó [ dx ó __________ _________ ______

226

= ³

= 4 ³

[ 6 ó 6 ó 6

äåëèì ÷èñëèòåëü íà çíàìåíàòåëü è ïîëó÷àåì

ó 5 4 ó 6ó

6ó

ó 6

ó + 6ó + 36 ó + 216ó + 1296

4 4

6ó 36ó

3 3

36 ó 3 2 36ó 216ó

216 ó 2 216 ó 1296ó

1296 ó 1296ó 7776

7776

dó 7776 _____ = 4 ( ó4 + 6 ó3 + 36 ó2 + 216ó + 1296 + _____) dó =

ó 4

ó 6 ó 6

ó4 ó 3 ó2 dó ó5 6 ___ ______) = = 4 ( + + 36 + 216 + 1296ó + 7776

³ 5 4 3 2 ó 6

\ \ OQ _ _

Y Y Y Y MO Y v $

á) Òåïåðü ðàññìîòðèì èíòåãðàë âèäà 227

àõ + b ñõ + d

àõ + b N W P Q ««

@ G

5 >

ñõ + d

Îí ñâîäèòñÿ ê èíòåãðàëó îò ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè ïîäñòàíîâêîé [32]. àõ + b m k ______ = Z , ãäå S îáùèé çíàìåíàòåëü äðîáåé , , . ñõ + d n t s

Ïðèìåð 5.22

_____________ [ + 4 àõ + b ________

³ (õ + 1)2

dõ . Â äàííîì ïðèìåðå

[ ñõ + d

= õ + 1,

1 òàê êàê îáùèé çíàìåíàòåëü äðîáåé è 2 ðàâåí 2, òî ïîëó÷àåì 2 õ + 1 = Z2 , ïîýòîìó dõ = 2ZdZ, è èñõîäíûé èíòåãðàë ïðèìåò âèä. [ + 4 (Z + 4) 2 ZdZ Z(Z + 4) dZ ______________ ____________ ___________

dõ = ³ = 2 ³ ³ (õ + 1)2 [ Z4 Z Z (Z3-1)

Z + 4 = 2 ³ _____ d Z =

Z3-1

Z + 4 = 2 ³ ________________ d Z. (Z 1) (Z2 + Z + 1) Ðàçëàãàåì ïîäûíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ íà ýëåìåíòàðíûå äðîáè è ïîëó÷àåì: Z + 4 À ÂZ + Ñ ________________ = _____ + _____________ . (Z 1) (Z2 + Z + 1) Z 1 (Z2 + Z + 1) 228

Îòáðàñûâàåì çíàìåíàòåëü è èìååì Z + 4 = À (Z2 + Z + 1) + (Z 1) (Â Z + Ñ); Z + 4 = À Z2 + À Z + À + ÂZ2 + ÑZ ÂZ Ñ); 0 = À + Â 1 = À + Ñ Â 4 = À Ñ Ðåøàÿ ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó, íàõîäèì èñêîìûå êîýôôèöèåíòû À, Â, Ñ. Ñêëàäûâàåì âòîðîå è òðåòüå óðàâíåíèÿ ïîëó÷åííîé ñèñòåìû è ïîëó÷àåì 0 = À + Â 5 = 2À Â

À = Â 5 = 3Â

5 5 5 5 12 7 Â = ; À = ; Ñ = À-4 = 4 = _____ = . 3 3 3 3 3 Ïîýòîìó ïîëó÷àåì

5 7 Z + 4 5 dZ Z ______________ ___ ___ __________ 3 2 ³ dZ = 2( ³ + ³ 2 + Z + 13 dZ) = (Z 1) (Z2 + Z + 1) 3 Z 1 Z

5 5 1 2 Z + 7/5 · 2 dZ) = 2( ln | Z 1| · . ³ _________ 2 3 3 2 Z + Z + 1 2Z + 14/5 9/5 + 9/5 5 5 ___________________ = 2 ( ln| 1| dZ) = [ 2

³ 3 6 Z + Z + 1

5 5 2Z + 1 5 9 dZ __________dZ · __________ = = 2( ln | 1| [ ³ 2 + Z + 1 6 5 Z ³ 2 + Z + 1 3 6 Z

229

+ Z + 1) 3 dZ ___________ ³ d (Z ) = ) ³ ___________ 2 2 2

5 .

6 Z + Z + 1 2 Z + Z + 1

dZ _____________ 5 2 + Z + 1| 5 [ -1| ln |Z 3 2( ln | = ³ 3 2 (Z + 1/2)2 + 3/4 6 dZ 5 5 3 __________ = [ + 1| = 2( ln | [ -1| ln |(õ + 1) + 2 2 ³ 6 3

3/4 [(Z + 1/2) + 3/4]

3/4

dZ 5 5 3 4 ____________ [ +2| · = 2( ln | = [ 1| ln|õ + ³ 3 2 3 6 2(Z + 1/2) 2

+ 1

2(Z + 1/2) [äåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé _________ = t è ïîñëå ïðåîáðàçîâà íèé ïîëó÷àåì] =

5 õ + 1| ln | 6 . arctg 2 [ + 1 ) + C ) (

= 2 ln | (5 3

230

[

+ 2 |

[

5.2. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë

Ê ïîíÿòèþ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ìîæíî ïðèéòè, ðàññìàòðèâàÿ ðàçëè÷íûå çàäà÷è, íàïðèìåð íàõîæäåíèå ïëîùàäè ïëîñêîé ôèãóðû, âû÷èñëåíèå ðàáîòû ïåðåìåííîé ñèëû, îïðåäåëåíèå ïóòè ïî çàäàííîé ïåðåìåííîé ñêîðîñòè. Íàéäåì ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, ò.å. ôèãóðû, êîòîðàÿ îãðàíè÷åíà îñüþ 0õ, ãðàôèêîì íåïðåðûâíîé ôóíêöèè y = f(x) è äâóìÿ ïðÿìûìè x = a è x = b (ðèñ. 5.2). Ïîêà áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êðèâîëèíåéíàÿ òðàïåöèÿ ðàñïîëîæåíà íàä îñüþ îõ, ò.å. f(x) > 0. B y = f(x)

(

fM (

a=x 0

(

M x M 1

2 2

n 1

b=x x n

Ðèñ.¦5.2

Ðàçäåëèì îòðåçîê [a, b] íà n ÷àñòè÷íûõ èíòåðâàëîâ: [x0, x1], [x1, x2], , [xn-1, xn]. Â òî÷êàõ äåëåíèÿ îòðåçêà [a, b] ïðîâåäåì ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå îñè 0y, è ðàçîáüåì êðèâîëèíåéíóþ òðàïåöèþ aABb íà n 231

÷àñòè÷íûõ òðàïåöèé. Â êàæäîì èç ÷àñòè÷íûõ èíòåðâàëîâ âîçüìåì ïî ïðîèçâîëüíîé òî÷êå 1, 2, , n (íåêîòîðûå èç ýòèõ òî÷åê ìîãóò ñîâïàäàòü ñ òî÷êàìè äåëåíèÿ îòðåçêà [ ]). ×åðåç òî÷êè 1, 2, , n ïðîâåäåì ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå îñè 0 äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ôóíêöèåé ( ). Îòðåçêè ýòèõ ïðÿ-

Ì Ì

ìûõ

I 0 I 0 ,

, ,

Ì Ì

a, b

y = f x

Q åñòü îðäèíàòû ãðàôèêà ôóíê-

öèè y = f(x). Âçÿâ ÷àñòè÷íûå èíòåðâàëû çà îñíîâàíèÿ, ïîñòðîèì íà íèõ

ïðÿìîóãîëüíèêîâ ñ âûñîòàìè, ðàâíûìè

, , I

I 0

Q . Â ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì ñòóïåí÷àòóþ ôè-

ãóðó, ñîñòîÿùóþ èõ

n ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Òàê êàê ïëîùàäü ëþáî

ãî èç ïðÿìîóãîëüíèêîâ áóäåò ðàâíà

I 0 [ [ L Q , L

òî ïëîùàäü ñòóïåí÷àòîé ôèãóðû ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëå

I 0 [ [ I 0 [ [ I 0 [ [ ¦I 0 [ [

(5.3)

Ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè êîëè÷åñòâî ÷àñòè÷íûõ

èíòåðâàëîâ

o f è ïðè ñòðåìëåíèè äëèíû íàèáîëüøåãî

èç íèõ ê íóëþ ñòóïåí÷àòàÿ ôèãóðà áóäåò íåîãðàíè÷åííî ïðèáëèæàòüñÿ ê êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè aABb, ò.å. ïîëó÷èì Q

OLP

PD[ [L [L o

¦ I 0 [ [

(5.4)

Çíàÿ ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, ìû ìîæåì íàõîäèòü ïëîùàäè ëþáûõ ïëîñêèõ ôèãóð (ýòîò âîïðîñ ìû ïîäðîáíåå ðàññìîòðèì íèæå). Ê âûðàæåíèþ âèäà (5.4) ïðèâîäÿò è äðóãèå çàäà÷è (íàõîæäåíèå ðàáîòû ïåðåìåííîé ñèëû, âû÷èñëåíèå ïóòè ïî çàäàííîé ïåðåìåííîé ñêîðîñòè). Òåïåðü ïðèâåäåì ñòðîãîå îïðåäåëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.

232

Âïåðâûå äëÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè îíî áûëî äàíî â 1823 ãîäó ôðàíöóçñêèì ìàòåìàòèêîì Êîøè, à ïîçäíåå íåìåöêèé ìàòåìàòèê Ðèìàí ïîêàçàë, ÷òî îïðåäåëåíèå Êîøè ïðèìåíèìî ê áîëåå øèðîêîìó êëàññó ôóíêöèé [4, 32]. Ýòî ïîçâîëèëî åìó âïåðâûå äàòü â îáùåé ôîðìå îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà è îïðåäåëèòü óñëîâèå åãî ñóùåñòâîâàíèÿ. Ðàññìîòðèì íåïðåðûâíóþ íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèþ y = f(x), ( f(x) íå îáÿçàòåëüíî ïîëîæèòåëüíà íà [ a, b]). Îòðåçîê [a, b ]

ðàçáèâàåòñÿ íà n ÷àñòè÷íûõ èíòåðâàëîâ òî÷êàìè a = x0, x1, x2, , xn = b ïðè÷åì x0 < x1 < x2 < < xn.

Âî âñåõ ÷àñòè÷íûõ èíòåðâàëàõ [x0, x1], [x1, x2], , [xn 1, xn] áåðóòñÿ ïðîèçâîëüíî òî÷êè Ì1, Ì2, , Ìn, íàõîäÿòñÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèé y = f(x) â ýòèõ òî÷êàõ f(M1), f(M2), , f(Mn). Ñîñòàâëÿåì ñóììó âèäà

ãäå

I 0 L [L [L ¦ I 0 L '[L ¦ L L

[

[ L

(5.5)

Çàòåì íàõîäèì ïðåäåë èíòåãðàëüíîé ñóììû (5.5) ïðè ñòðåìëåíèè ê íóëþ äëèíû íàèáîëüøåãî ÷àñòè÷íîãî èíòåðâàëà, ò.å. ïðè PD[ [ .

' o L

OLP PD[ ' [ o L

¦ I 0 ' [ L

(5.6)

Â ðàññìîòðåííîé íàìè çàäà÷å î êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè ïðåäåë (5.6) îïðåäåëÿåò åå ïëîùàäü. Â îáùåì ñëó÷àå îí íàçûâàåòñÿ îïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè f(x) â ïðåäåëàõ îò a äî b è ÷èòàåòñÿ: èíòåãðàë îò a äî b f(x) ïî dx. Òî åñòü ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ìû ïîëó÷àåì

OLP

PD[ ' [L o

¦ I 0 '[ ³ I [ G[ L

(5.7)

233

Ñóììà â âûðàæåíèè (5.5) íàçûâàåòñÿ

n-é

èíòåãðàëüíîé

ñóììîé [4, 30, 32]. Êàê è â íåîïðåäåëåííîì èíòåãðàëå, f(x) åñòü ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ, f(x)dx ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå, ïåðåìåííàÿ õ ïåðåìåííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ, îòðåçîê [a, b] íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëîì èíòåãðèðîâàíèÿ, à ÷èñëà à è b íèæíèì è âåðõíèì ïðåäåëàìè ñîîòâåòñòâåííî. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë åñòü íåêîòîðîå ÷èñëî, à âåëè÷èíà åãî çàâèñèò òîëüêî îò âèäà ôóíêöèè f(x) è îò ÷èñåë à è b. Çàìåòèì, ÷òî ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè ýòî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Âû÷èñëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ñ ïîìîùüþ ñîñòàâëåíèÿ èíòåãðàëüíûõ ñóìì âèäà (5.5) âûçûâàåò ñåðüåçíûå ïðîáëåìû äàæå â ñàìûõ ïðîñòûõ ñëó÷àÿõ, ïîýòîìó äëÿ èõ íàõîæäåíèÿ èñïîëüçóþò äðóãîé ñïîñîá, êîòîðûé ìû ðàññìîòðèì íèæå. Òåïåðü ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìó ñóùåñòâîâàíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.

ÒÅÎÐÅÌÀ 5.2. Åñëè ôóíêöèÿ f(x) íåïðåðûâíà â îòðåçêå [a, b],

òî åå n-ÿ èíòåãðàëüíàÿ ñóììà ñòðåìèòñÿ ê ïðåäåëó ïðè ñòðåìëåíèè ê íóëþ äëèíû íàèáîëüøåãî ÷àñòè÷íîãî èíòåðâàëà. Ýòîò ïðåäåë, ò.å. îïðåäåëåííûé èíòåãðàë E

³D

I [ G[ ,

íå çàâèñèò íè îò ñïîñîáà ðàçáèåíèÿ [a, b ] íà ÷àñòè÷íûå èíòåðâàëû, íè îò âûáîðà â ýòèõ èíòåðâàëàõ ïðîìåæóòî÷íûõ òî÷åê [4].

Ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà 1. Èíòåãðàë îò àëãåáðàè÷åñêîé ñóììû êîíå÷íîãî ÷èñëà ôóíêöèé ðàâåí àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå èíòåãðàëîâ îò ýòèõ ôóíêöèé, ò.å. 234

³D I [ r I [ r r I Q [

G[ E

³D I [ G[ r ³D I [ G[ r r ³D I Q [ G[

Ïîñòîÿííûé

ìíîæèòåëü

ïîäûíòåãðàëüíîé

ôóíêöèè

ìîæíî âûíîñèòü çà çíàê èíòåãðàëà, ò.å. E

³ NI [ G[ N ³ I [ G[ N 5

3. Åñëè ïåðåñòàâèòü ìåñòàìè ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ, òî èíòåãðàë èçìåíèò òîëüêî çíàê, ò.å. E

³ I [ G[ D

³ I [ G[ . E

4. Åñëè èíòåðâàë èíòåãðèðîâàíèÿ [a, b] ðàçáèò íà äâå ÷àñòè [a, c] è [c, b], òî

³D

I [ G[

I [ G[ ³ I [ G[ . F

5. Åñëè ôóíêöèÿ f(x) â èíòåðâàëå èíòåãðèðîâàíèÿ íå ìåíÿåò çíàêà, òî èíòåãðàë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷èñëî òîãî æå çíàêà, ÷òî è ôóíêöèÿ. 6. Çíà÷åíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà çàêëþ÷åíî ìåæäó ïðîèçâåäåíèÿìè íàèìåíüøåãî è íàèáîëüøåãî çíà÷åíèé ôóíêöèè f(x) íà äëèíó èíòåðâàëà èíòåãðèðîâàíèÿ, ò.å.

P E D <

³D I [ G[ < M(b a), a < b,

ãäå M è m íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå ñîîòâåòñòâåííî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f(x) íà îòðåçêå [a, b] (ðèñ. 5.3) [32]. 235

I [

M 0

a b x

Ðèñ.¦5.3

7. Åñëè â êàæäîé òî÷êå õ îòðåçêà [a, b] \ [ d

[

d M [ ,

òî

³D \ [ G[ d ³D I [ G[ d ³D M [ G[

8. Âíóòðè èíòåðâàëà èíòåãðèðîâàíèÿ [

, a < b.

åñòü õîòÿ áû

îäíî çíà÷åíèå õ = À, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî:

³ I [ G[ D

E D

I $ .

Ôîðìóëà Íüþòîíà Ëåéáíèöà

Ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû. ÒÅÎÐÅÌÀ 5.3. Çíà÷åíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ðàâíî ðàçíîñòè çíà÷åíèé ëþáîé ïåðâîîáðàçíîé îò ïîäûíòåãðàëüíîé 236

ôóíêöèè, âçÿòûõ ïðè âåðõíåì è íèæíåì ïðåäåëàõ èíòåãðèðîâàíèÿ [4, 32], ò.å. E

E ³ I [ G[ ) [ D ) E ) D

(5.8)

Èëè èíà÷å: çíà÷åíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ðàâíî ïðèðàùåíèþ ëþáîé ïåðâîîáðàçíîé îò ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè â èíòåðâàëå èíòåãðèðîâàíèÿ. Ôîðìóëà (5.8) äàåò óäîáíûé ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ, åñëè èçâåñòíà ïåðâîîáðàçíàÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè, ò.å. íåîáõîäèìî íàéòè ëþáóþ ïåðâîîáðàçíóþ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè è ïîäñòàâèòü â íåå ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïðèâåäåì êîíêðåòíûå ïðèìåðû.

Ïðèìåð 5.23

³ ³ Ïðèìåð 5.24 H

[

H G[

³ VLQ [G[ S

Ïðèìåð 5.25

FRV [ S

[

S S FRV FRV

³ [ =

[çàìåòèì, ÷òî d(x + 5) = dx] = 237

G [

ln|x+5| OQ OQ

OQ OQ ³ [

Ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì â îïðåäåëåííîì èíòåãðàëå

Ôîðìóëà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì â ýòîì ñëó÷àå áóäåò èìåòü âèä E

³ XGY

E D

³ YGX

(5.9)

Ðàññìîòðèì êîíêðåòíûå ïðèìåðû.

Ïðèìåð 5.26 S

³ VLQ

[G[ VLQ [ GX

RV[G[ GY VLQ [G[ Y

³ VLQ [G[

FRV [

VLQ [FRV [ ³ FRV [G[ VLQ

³ VLQ [ G[

³ G[ ³ VLQ

FRV

VLQ FRV

[G[

Ïåðåíåñÿ ³ VLQ [G[

íî ïîëó÷èì

238

â ëåâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà, îêîí÷àòåëü-

2 VLQ [G[ = [

³ Ïðèìåð 5.27

³ VLQ

[G[ =

S .

2 2  dx x x = = = = = = = ln ln ; ; ; ln x − x xdx u x du dv xdx v xdx   ∫1 ∫ 2 2 x   1 2

1 x2 1  1 1 x2dx  4 = − ∫ = ln2− ln1 − ∫ xdx = 2ln2−0− ⋅ 2 21 2  21 2 1 x 2

Ìåòîä çàìåíû ïåðåìåííîé â îïðåäåëåííîì èíòåãðàëå Âû÷èñëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ìåòîäîì çàìåíû ïåðåìåííîé ïðîâîäèòñÿ òàê æå, êàê è ïðè íàõîæäåíèè íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà, çà èñêëþ÷åíèåì òîãî, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå íåò íåîáõîäèìîñòè âîçâðàùàòüñÿ ê ïåðâîíà÷àëüíîé ïåðåìåííîé. Íî íàäî ïîìíèòü, ÷òî, çàìåíÿÿ ïåðåìåííóþ ïîä çíàêîì èíòåãðàëà, íàäî ìåíÿòü è ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ. Ðåøèì êîíêðåòíûå ïðèìåðû.

Ïðèìåð 5.28

[G[ ³ [

G [

[G[ . ³ [

[G[ ]

[Çàìåòèì, ÷òî

G [ . = ³ [

239

2 + 8. Äåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé, îáîçíà÷èì y Òåïåðü íåîáõîäèìî ïîìåíÿòü ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ: \ \ [ Y = x

è îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì

G [

³ [

Ïðèìåð 5.29

³ [

G\ ³ \

OQ \

[ G[

[ [ G[ ³

G [

[G[ ]

[Çàìåòèì, ÷òî

OQ OQ

[ G [ .

Òåïåðü çàìåíÿåì ïåðåìåííóþ è ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ [ ;

U Y

è îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì

[ G[ [ ³ \ G\ \ ³

240

Ïðèìåð 5.30 S

FRV [

[Çàìåòèì, ÷òî

WJ [

GWJ[

FRV [

]

WJ [

WJ [ .

Òåïåðü äåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé è ìåíÿåì ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ WJ[

W ; WJ

â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì S

WJ[

W W

WJ[

W GW

³ GW ³ W

5.3. Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ î íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëàõ

Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà

Ðàñïðîñòðàíèì ïîíÿòèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà íà ñëó÷àé áåñêîíå÷íîãî èíòåðâàëà èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ y = f(x) íåïðåðûâíà íà èíòåðâàëå [a; + ¥). Òîãäà ìîæíî íàéòè èíòåãðàë îò ôóíêöèè f(x), êîòîðûé âçÿò ïî ëþáîìó èíòåðâàëó [a, b], ãäå b > a. 241

Èíòåãðàë

³ I [ G[

òåì ëó÷øå âûðàæàåò çíà÷åíèå, êî-

òîðîå íàäî ïðèíÿòü â êà÷åñòâå èíòåãðàëà îò ôóíêöèè f(x) â èíòåðâàëå [a, + ¥), ÷åì áîëüøå b. Ïóñòü b íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò, òîãäà åñòü äâå âîçìîæíî E

ñòè: èëè

³D I [ G[ ïðè b ® + ¥ èìååò ïðåäåë, èëè äàííûé èí

òåãðàë ïðåäåëà íå èìååò, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îí èëè ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, èëè êîëåáëåòñÿ, ò.å. íå ñòðåìèòñÿ íè ê êàêîìó ïðåäåëó. Òåïåðü äàäèì îïðåäåëåíèå íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà. Íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè f(x) â èíòåðâàëå [a, + ¥) íàçûâàåòñÿ ïðåäåë èíòåãðàëà çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: f

³D I

[ G[

OLP

Eof

[ G[

ïðè b®¥. Ýòî

³D I [ G[

(5.10)

Åñëè ïðåäåë (5.10) ñóùåñòâóåò, òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ, à åñëè íå ñóùåñòâóåò, òî ðàñõîäÿùèìñÿ [4, 32]. Åñëè ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèÿ

( ) äëÿ ïîäûíòåãðàëüíîé

ôóíêöèè ( ) èçâåñòíà, òî ìîæíî îïðåäåëèòü, ñõîäèòñÿ íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë èëè íåò. Èñïîëüçóåì ôîðìóëó Íüþòîíà Ëåéáíèöà è ïîëó÷èì

) E ) D

) f ) D

³ I [ G[ OLP o f Ïîýòîìó åñëè ïðåäåë ïåðâîîáðàçíîé F(x) ïðè b®¥ ñóùåñòâóåò, òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ, à åñëè ïðåäåë íå ñóùåñòâóåò, òî èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë â èíòåðâàëå ( ¥;b): D

242

³I

[ G[

OLP

Do f

³D

I [ G[

) E ) f .

Åñëè ôóíêöèÿ f(x) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà â èíòåðâàëå ( ¥; + ¥), òî ïîëó÷èì

³ f I [ G[ = ³ I [ G[ + ³ I [ G[

Åñëè îáà èíòåãðàëà â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ ñõîäÿòñÿ, òî èíòåãðàë

I [ G[ ñõîäèòñÿ, à åñëè õîòÿ áû îäèí

èç íèõ ðàñõîäèòñÿ, òî è ³ I f

[ G[ ðàñõîäèòñÿ [4, 32].

Åñëè èçâåñòíà ïåðâîîáðàçíàÿ F(x), òî

) f ) f

Ñõîäÿùèåñÿ íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû èìåþò îïðåäåëåííûé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë. Íàïðèìåð, ãðàôèê ôóíêöèè y îãðàíè÷èâàåò êðèâîëèíåéíóþ òðàïåöèþ ñ áåñêîíå÷íûì îñíîâàíèåì (ðèñ. 5.4).

³ f I [ G[

f(x)

Ðèñ.¦5.4 243

I [ G[ ñõîäèòñÿ, òî f çàøòðèõîâàííàÿ ôèãóðà èìååò ïëîùàäü, êîòîðàÿ ðàâíà ýòîìó èíòåãðàëó. À åñëè èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ, òî ãîâîðèòü î ïëîùàäè ôèãóðû íåëüçÿ. Òåïåðü ïðèâåäåì êîíêðåòíûå ïðèìåðû ðåøåíèÿ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ.

Åñëè íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë

Ïðèìåð 5.31 f

Âû÷èñëèì

³H

[

G[ =

[Äåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé 2x

= y = > x =

. Çàòåì ìåíÿåì ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ

= > dx =

y(0) = 0; y(¥) =

¥. Òîãäà ïîëó÷èì] f

H [ G[

³ H

\ ³ H G\

[

\ ³ H G\ f

\ H

§ ¨H ©

f ¸ ¹

, ò.å.

G[ íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ è ðàâåí .

Ïðèìåð 5.32 f

[

G[ [

íûé èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ.

244

[

f OQ f

ò.å. äàí-

Ïðèìåð 5.33 f

³ VLQ [G[ OLP of S³ VLQ [G[ OLP of FRV [ S S E

OLP FRV E E

Âåëè÷èíà > EOLP of FRV E

@ íå ñòðåìèòñÿ ê îïðåäåëåí-

íîìó ïðåäåëó ïðè b®¥ (êîëåáëåòñÿ).

Ïðèìåð 5.34 f

³ H f

[

ò.å. äàííûé èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ. ×àñòî âàæíî çíàòü íå êîíêðåòíîå çíà÷åíèå íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà, à ñõîäèòñÿ îí èëè ðàñõîäèòñÿ. Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóþòñÿ ïðèçíàêè ñðàâíåíèÿ, êîòîðûå ìû è ïðèâîäèì. 1.

Åñëè

[ [ t D

äëÿ

âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

I [

d M [ è åñëè ³ M [ G[

ñõîäèòñÿ, òî ñõîäèòñÿ è

I [ G[ , ïðè ýòîì âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

³D I [ G[ £ ³D M [ G[ Íàïðèìåð, ïðîâåðèì, ñõîäèòñÿ ëè èíòåãðàë

245

³ [ H

[

Ïðè õ ³ 1,

. H

[ Òåïåðü ðàññìîòðèì, ñõîäèòñÿ ëè íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë:

[

³ [

[

, f

ò.å. äàííûé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ. Ïîýòîìó ïî ïðèçíàêó 1 ñõîäèò-

ñÿ

³ [ H

[

è åãî çíà÷åíèÿ ìåíüøå 1.

2. Åñëè äëÿ [ [ t D âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

d M [ d

[ ,

ïðè÷åì ³ M [ G[ ðàñõîäèòñÿ, òî ðàñõîäèòñÿ è D

³ I [ G[ Íàïðèìåð, ïðîâåðèì ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà .

[

Î÷åâèäíî, ÷òî

[

[ [

> . [ [ [ Òåïåðü ðàññìîòðèì ñõîäèòñÿ ëè íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë f

246

G[ [

OLP

E of

³ [ G[

OLP

E of

[

OLP E of

ò.å. äàííûé èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ. Ïîýòîìó ïî ïðèçíàêó 2 ðàñõîäèòñÿ

[

3. Åñëè íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë f

³D

I [ G[ ñõîäèòñÿ, òî

ñõîäèòñÿ è èíòåãðàë ³ I [ G[ . Ïîñëåäíèé èíòåãðàë â ýòîì D

ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ. Â êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðîâåðèì ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà

VLQ [

[

G[ .

Íà èíòåðâàëå [1;¥) ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ çíàêîïåðåìåííàÿ.

Âèäíî, ÷òî

VLQ [

[

VLQ [

[

. Òåïåðü ðàññìîòðèì, ñõîäèòñÿ ëè

íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë

³ [

[

§ · ¸ ¨ © f ¹

ò.å. äàííûé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ. Ïîýòîìó ïî ïðèçíàêó 1 ñõîäèòñÿ f

[

VLQ

[

à ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðèçíàêó 3 ñõîäèòñÿ è èíòåãðàë f VLQ [

³ [ G[ Ïðè èñïîëüçîâàíèè ïðèçíàêîâ ñðàâíåíèÿ íàäî èìåòü çàïàñ ôóíêöèé, íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû îò êîòîðûõ èëè ñõîäÿòñÿ, èëè ðàñõîäÿòñÿ è ðåçóëüòàò ýòîò íàì èçâåñòåí çàðàíåå. Ýòè ôóíêöèè ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå j(õ). .

247

Èíòåãðàëû îò ðàçðûâíûõ ôóíêöèé (íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû âòîðîãî ðîäà) Åñëè íà îòðåçêå [à, b] ôóíêöèÿ ó = f(õ) èìååò êîíå÷íîå êîëè÷åñòâî òî÷åê ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà, òî äàòü îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà äëÿ òàêîé ôóíêöèè ëåãêî. Â ýòîì ñëó÷àå èñêîìûé èíòåãðàë åñòü ñóììà îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ, âçÿòûõ ïî ÷àñòè÷íûì èíòåðâàëàì, íà êîòîðûå ðàçáèâàåòñÿ îòðåçîê [à, b] âñåìè òî÷êàìè ðàçðûâà ôóíêöèè à < ñ < ñ .. ñ < b , ãäå ñ ñ .. ñ òî÷êè ðàçðûâà. Òîãäà áóäåì èìåòü 1

³ D

I G

³ D

I G

I G ««

I G [4].

Òàêèì îáðàçîì ìû äàëè îïðåäåëåíèå ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíêöèè ó = f(õ) ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì òî÷åê ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà íà îòðåçêå [à, b ] (ðèñ. 5.5). Ïëîùàäü ýòîé òðàïåöèè åñòü ñóììà ïëîùàäåé òðàïåöèé, îïèðàþùèõñÿ íà ÷àñòè÷íûå èíòåðâàëû [à1, ñ1], [ñ1, ñ2], .[ñn, b].

0 à ñ1 ñ2 ñ3 ñn b õ

Ðèñ.¦5.5 248

Ðàñïðîñòðàíèì îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà íà ôóíêöèè ñ áåñêîíå÷íûìè ðàçðûâàìè. Ïóñòü ôóíêöèÿ ó = f(õ) íåïðåðûâíà äëÿ âñåõ çíà÷åíèé à £ õ < b, íî â òî÷êå b èìååò áåñêîíå÷íûé ðàçðûâ (ðèñ. 5.6). ó

ó = f(õ)

0 à b õ

Ðèñ.¦5.6 Ïîýòîìó îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà â òî÷êå b òåðÿåò ñâîé ñìûñë. Íî åñëè âçÿòü îáû÷íûé èíòåãðàë E H

I =

³ I [ G[ H ! D

òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ôóíêöèÿ

ó = f(õ)

ñ óìåíüøåíèåì e áóäåò âñå ëó÷øå âûðàæàòü òó âåëè÷èíó, êîòîðóþ íóæíî âçÿòü â êà÷åñòâå èíòåãðàëà îò ôóíêöèè ó = f(õ) íà îòðåçêå [à, b]. Óñòðåìèì e ê íóëþ, òîãäà I ëèáî èìååò ïðåäåë, ëèáî íå èìååò (ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, ëèáî íå ñòðåìèòñÿ íè ê êàêîìó ïðåäåëó, êîëåáëåòñÿ).

249

ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ. Íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè ó = f(õ), íåïðåðûâíîé ïðè à £ õ < b è íåîãðàíè÷åííîé ïðè õ®b, íàçûâàåòñÿ ïðåäåë èíòåãðàëà

çàïèñûâàåòñÿ ýòî ñëåäóþùèì îáðàçîì: E

I G OLP

e®0

E H

³D I [ G[ H

I G H ! .

Åñëè äàííûé ïðåäåë ñóùåñòâóåò, òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ, à åñëè íå ñóùåñòâóåò, òî ðàñõîäèòñÿ [4]. Àíàëîãè÷íî äàåòñÿ îïðåäåëåíèå íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà

ó = f(õ) òåðïèò áåñêîíå÷íûé ðàçðûâ â ëåâîì êîíöå îòðåçêà èíòåãðèðîâàíèÿ [à, b] (ðèñ. 5.7). ó â òîì ñëó÷àå, åñëè ôóíêöèÿ

ó = f(õ)

0 à b õ

Ðèñ.¦5.7 Â ýòîì ñëó÷àå èìååì

³ D

250

I G OLP

e®0

D H

I G H ! .

Åñëè ïåðâîîáðàçíóþ îò ôóíêöèè ó = f(õ) ìîæíî íàéòè, òî òîãäà èñêîìûé èíòåãðàë â îáîèõ ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àÿõ íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå E

I G ) _

) E ± ) .

Â òîì ñëó÷àå, åñëè ôóíêöèÿ ó = f(õ) òåðïèò áåñêîíå÷íûé ðàçðûâ â êàêîé-òî ïðîìåæóòî÷íîé òî÷êå õ = ñ îòðåçêà èíòåãðèðîâàíèÿ [à, b], à < ñ < b (ðèñ. 5.8), òî ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ èìååì

³ D

I G OLP

F H

e®0

I G OLP

e®0

I G .

F H

ó ó = f(õ)

( )

ó = f õ

0 à C b õ

Ðèñ.¦5.8 251

Åñëè îáà èíòåãðàëà â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñõîäÿòñÿ, òî ñõîäèòñÿ è èíòåãðàë E

I G

³ D

Åñëè õîòÿ áû îäèí èç èíòåãðàëîâ â ïðàâîé ÷àñòè ðàñõîäèòñÿ, òî ðàñõîäèòñÿ è èñõîäíûé èíòåãðàë. Òåïåðü ðàññìîòðèì êîíêðåòíûå ïðèìåðû.

Ïðèìåð 5.35

dõ

OLP

[

e®0

G OLP

e®0

[ _

èíòåãðàë

ñõîäèòñÿ.

Ïðèìåð 5.36

dõ

2 x

OLP

e®0

dõ

OLP ±

2 x

e®0

d(2 x) 2 x

OLP ± OQ_ ± _

e®0

H 1 = lim ln | ____ | = ¥ èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ. 2 õ e® 0

5.4. Ïðèëîæåíèÿ èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ 5.4.1. ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÅ ÏËÎÙÀÄÅÉ ÏËÎÑÊÈÕ ÔÈÃÓÐ

Òàê êàê îïðåäåëåííûé èíòåãðàë îò íåïðåðûâíîé íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè ðàâåí ïëîùàäè ñîîòâåòñòâóþùåé êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, à ïëîùàäü ëþáîé ïëîñêîé ôèãóðû ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó è (èëè) ðàçíîñòü ïëîùàäåé êðèâîëèíåéíûõ òðàïåöèé, òî, ñëåäîâàòåëüíî, îïðåäåëåííûé èíòåãðàë ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäåé ïëîñêèõ ôèãóð [4, 23].

252

Åñëè ôóíêöèÿ y ( ) èëè ïëîñêàÿ ôèãóðà íàõîäÿòñÿ âûøå îñè 0 (ðèñ. 5.9 è ðèñ. 5.10), òî ìû èìååì = f x

ABCD

³ D

I [ G[ è 6

³ I [

I [ G[ .

I [ S1

0 a b x

Ðèñ.¦5.9

y=f1(x)

S2 A

y=f2(x)

B 0 a b x

Ðèñ.¦5.10 253

Åñëè ôóíêöèÿ

y = f(x) íàõîäèòñÿ ïîëíîñòüþ èëè ÷àñ-

òè÷íî ïîä îñüþ 0 (ðèñ.5.11 è ðèñ. 5.12), òî ìû ïîëó÷àåì

³D

I [ G[

;

I [ G[

I [ G[ .

y a b

y=f(x)

Ðèñ.¦5.11 y

I [

0 x b

y=f(x)

Ðèñ.¦5.12

Åñëè ôóíêöèÿ x = j(y) èëè ïëîñêàÿ ôèãóðà ABCD ïðèëåãàþò ê îñè 0y, òî (ðèñ. 5.13 è ðèñ. 5.14)

254

³ M \ G\ ; S 6 = ∫ (ϕ2 ( y) − ϕ 1 ( y)) dy. a

S5 õ=j(y)

0 x

Ðèñ.¦5.13

õ1=j1(y)

C õ2=j2(y)

A D

0 x

Ðèñ.¦5.14 Çàäà÷è íà âû÷èñëåíèå ïëîùàäåé ïëîñêèõ ôèãóð ìîæíî ðåøàòü ïî ñëåäóþùåé ñõåìå: 255

1) Â ñîîòâåòñòâèè ñ óñëîâèÿìè çàäà÷è äåëàþò ñõåìàòè÷åñêèé ÷åðòåæ. 2) Èñêîìóþ ïëîùàäü ïðåäñòàâëÿþò êàê ñóììó è (èëè) ðàçíîñòü ïëîùàäåé êðèâîëèíåéíûõ òðàïåöèé. 3) Íàõîäÿò ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ. 4) Âû÷èñëÿþò ïëîùàäè êàæäîé êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè è èñêîìóþ ïëîùàäü ôèãóðû. Òåïåðü ðàññìîòðèì êîíêðåòíûå ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäåé ïëîñêèõ ôèãóð.

Ïðèìåð 5.37

Âû÷èñëèòå ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ëèíèÿìè: õ = 4 ó2 , õ = 0. Ñíà÷àëà ïî óñëîâèÿì çàäà÷è ñòðîèì ñõåìàòè÷åñêèé ÷åðòåæ (ðèñ. 5.15). õ = 4 ó ïàðàáîëà. Íàéäåì åå âåðøèíó õ = 2ó. ó = 0, õ = 4 (max) è òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñ îñüþ 0ó. 4 ó = 0, ó = 2, ó = 2.

õ=4 ó2

Ðèñ.¦5.15 y = 2 è y = 2 ÿâëÿþòñÿ ïðåäåëàìè èíòåãðèðîâàíèÿ. Òåïåðü íàéäåì èñêîìóþ ïëîùàäü. Òàê êàê ïàðàáîëà ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ, òî ìîæíî çàïèñàòü: 1

256

³ \ G\

¨ ©

· ¸ ¹

Ïðèìåð 5.38

³ \ G\

§ \ ¨ \ ¨ ©

· ¸ ¸ ¹

Âû÷èñëèì ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ëèíèÿìè: 2 6 + 8; = 0. y Ïîñòðîèì ñõåìàòè÷åñêèé ÷åðòåæ èñêîìîé ôèãóðû (ðèñ. 5.16). 2 6 + 8 åñòü ïàðàáîëà, âåòâè êîòîðîé íàïðàâÊðèâàÿ ëåíû ââåðõ. Íàéäåì åå õàðàêòåðíûå òî÷êè. = 2 6; = 0; 2 6 = 0; = 3, y = 1 (min); 2 6 + 8 = 0; = 36 4*1*8 = 4; = 4; x2 = = 2 (ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ). 1 = = x

y = x

x x

y 2

y=x2 6x+8

1 0 1

1 2 3 4 x

Ðèñ.¦5.16 257

Òåïåðü íàõîäèì èñêîìóþ ïëîùàäü (çíàê ìîäóëÿ ñòàâèòñÿ, òàê êàê ôèãóðà íàõîäèòñÿ ïîä îñüþ 0õ). 4

S= ∫

(

)

x3 x2 4 x − 6 x + 8 dx = − 6 + 8x 2 = 32 22 2

 64 8 =  −  −3(16 − 4)+ 8 (4 − 2) =  3 3 =

56 56 4 − 36 +16 = − 20 = êâ. åä. 3 3 3

Ïðèìåð 5.39

Âû÷èñëèòå ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ëèíèÿìè: xy = 6,

x + y 7 = 0.

Ïîñòðîèì ñõåìàòè÷åñêèé ÷åðòåæ (ñì. 5.17) è íàéäåì ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ

[

[ ® ¯ [

[

(ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ).

258

[z '

9 8 7 6 5 4 3 2 1

x+y 7=0 xy=6

0 1 2 3 4 5 6 7

Ðèñ.¦5.17 Òåïåðü íàõîäèì èñêîìóþ ïëîùàäü

· § 6 ³ ¨ [ ¸G[ [¹ ©

[

OQ OQ

OQ êâ. åä.

259

5.4.2. ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÅ ÄËÈÍÛ ÄÓÃÈ ÊÐÈÂÎÉ Ïóñòü â ïëîñêîñòè

õ0ó óðàâíåíèåì y = f(x) çàäàíà êðèâàÿ

ëèíèÿ. Âû÷èñëèì äëèíó äóãè ÀÂ ýòîé êðèâîé, çàêëþ÷åííîé ìåæäó ïðÿìûìè

õ = à è õ = b (ðèñ. 5.18).

Ai-1

An-1

B y=f(x)

x0=a x1 x2 xi-1 xi xn-1 b=xn

Ðèñ.¦5.18 ÀÂ âîçüìåì òî÷êè À, À1, À2, , Ài, , Â ñ àáñöèññàìè õ0 = à, õ1, õ2, , õi, , b = õn. Ïðîâåäåì õîðäû ÀÀ1, À1À2, , Àn 1, Â, äëèíû êîòîðûõ ñîîòâåòñòâåííî îáîçíà÷èì l 1, l 2, , l n. Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ëîìàíóþ ëèíèþ ÀÀ 1À2, , Àn 1 Â, êîòîðàÿ âïèñàíà â äóãó ÀÂ . Äëèíà ýòîé ëîìàííîé áóäåò ðàâíà Íà äóãå

¦ '

O L . Äëèíîé (l) äóãè ÀÂ íàçûâàåòñÿ ïðåäåë, ê êîòîðî-

ìó

ñòðåìèòñÿ

äëèíà

âïèñàííîé

ëîìàíîé,

êîãäà

äëèíà

åå

íàèáîëüøåãî çâåíà ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, ò.å.

¦ ' PD[ ' o OLP OL

OL .

Â êóðñàõ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà äîêàçûâàåòñÿ (ñì. íàïðèìåð, [4, 30]), ÷òî åñëè íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèÿ f(x) è åå 260

ïðîèçâîäíàÿ

f (x)

íåïðåðûâíû, òî ýòîò ïðåäåë ñóùåñòâóåò,

è äëèíà äóãè ÀÂ íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå

I [ @ G[

§ G\ · ¨ ¸ © G[ ¹

G[ .

(5.11)

Ðàññìîòðèì êîíêðåòíûé ïðèìåð.

Ïðèìåð 5.40 [

, îòñå÷åííîé îñüþ 0õ. Ñíà÷àëà ïîñòðîèì ãðàôèê èñõîäíîé ôóíêöèè è íàéäåì à è

Íàéäèòå äëèíó äóãè êðèâîé \

b (ðèñ. 5.19):

y = x.

PLQ [

Íàõîäèì à è b.

[

r y

Ðèñ.¦5.19 261

Òåïåðü ïî ôîðìóëå (5.11.) íàõîäèì èñêîìóþ äëèíó äóãè.

[ G[

[Òàê êàê èñõîäíàÿ ïàðàáîëà ñèììåò-

ðè÷íà îòíîñèòåëüíî îñè 0ó, òî ïîëó÷àåì] =

[ G[

Íàéäåì ³ Ïîëó÷èâøèéñÿ îïðåäåëåííûé èíòåãðàë ìîæíî áðàòü íåñêîëüêèìè ñïîñîáàìè, íàïðèìåð ïîäñòàíîâêîé x = shy, ãäå O

[

H\ H \

ãèïåðáîëè÷åñêèé ñèíóñ èëè ìåòîäîì èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, êîòîðûì ìû è âîñïîëüçóåìñÿ. Íàïîìíèì, ÷òî ôîðìóëà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì èìååò âèä VK \

³D XGY

XY D

³ YGX . D

Â íàøåì ñëó÷àå èìååì X

[ GY G[ Y [

[

Òîãäà ïîëó÷èì

§ ¨ ¨ ©

262

§ ¨ ¨ ©

Y EY

Y Y

§ ¨Y ¨ ©

[ [

Y EY

· ¸ ¸ Y ¹

EY ¸ ¸ ¹

G[ [

· ¸ ¸ ¹

[ G[

(Èíòåãðàë

[

ÿâëÿåòñÿ òàáëè÷íûì (ñì. ôîðìóëó

17 òàáëèöû èíòåãðàëîâ). Îí ðàâåí

G[ $UVK[ & [

OQ [

[ & .

Â íàøåì ñëó÷àå ïîëó÷àåì

[

Ïîýòîìó

[

ïðèìåò âèä

Ïåðåíîñèì ÷àåì l = 2l 1 = 2

[

§ ¨ ¨ ©

EY MO

[ G[ ¸ íàëåâî è îêîí÷àòåëüíî ïîëó¸ ¹

2 ∫ 1 + x dx = 2 3 + ln( 3 + 2) .

5.4.3 ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÅ ÎÁÚÅÌÎÂ ÔÈÃÓÐ ÂÐÀÙÅÍÈß

Ðàññìîòðèì òåëî, êîòîðîå îáðàçîâàíî âðàùåíèåì âîêðóã îñè 0õ êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè aABb, îãðàíè÷åííîé ôóíêöèåé y = f(x), îñüþ 0õ è ïðÿìûìè x = a è x = b (ðèñ. 5.20). 263

y B y=f(x)

Dxn

Dx1

x0 = a x1 xn 1 b = xn x

Ðèñ.¦5.20

Ðàçîáüåì ïîëó÷åííîå òåëî íà ñëîè ñ ïîìîùüþ ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ê îñè 0õ è ïåðåñåêàþùèõ åå â òî÷êàõ x0 = a, x1, , xn 1, xn = b. Êàæäûé ñëîé çàìåíèì ïðÿìûì öèëèíäðîì. Îáúåì êàæäîãî èç ýòèõ öèëèíäðîâ áóäåò ðàâåí Vi = py2i 1 Dxi ; J O [â äàííîì ñëó÷àå ïîïå

ðå÷íûå ñå÷åíèÿ ñ àáñöèññàìè

a, x1,

xn 1, xn = b

åñòü îêðóæíîñòè]. Ïîýòîìó îáúåì n-ñòóïåí÷àòîãî òåëà áóäåò ðàâåí

S \ '[ S\ '[

S \ ' [ Q

S ¦ \ '[ L

264

Ïåðåõîäèì ê ïðåäåëó ïðè n®¥ è ïðè ñòðåìëåíèè Dxi®0 è ïîëó÷àåì èñêîìûé îáúåì òåëà âðàùåíèÿ [4].

OLP

PD[ ' [ L o

¦\ Q

'[L S ³ \ G[ S ³ I [ G[ .

max

(5.12)

Â òîì ñëó÷àå, åñëè òåëî îáðàçîâàíî âðàùåíèåì âîêðóã îñè 0ó êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè cCDd, îãðàíè÷åííîé ôóíêöèåé õ =

j(ó) è ïðÿìûìè ó = ñ, ó = d (ðèñ. 5.21), òî åãî îáúåì íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå

S ³ [ G\ S ³ M \ G\ .

(5.13)

õ=j(ó) C

Ðèñ.¦5.21 Òåïåðü ðàññìîòðèì êîíêðåòíûé ïðèìåð.

Ïðèìåð 5.41

Íàéäåì îáúåì äâóõîñíîãî ýëëèïñîèäà âðàùåíèÿ, êàíîíè

÷åñêîå óðàâíåíèå êîòîðîãî èìååò âèä

[ \ ] D E

, ãäå à è b

áîëüøàÿ è ìàëàÿ ïîëóîñè ñîîòâåòñòâåííî (îäíîé èç ìîäå-

265

ëåé Çåìëè êàê ðàç è ÿâëÿåòñÿ äâóõîñíûé ýëëèïñîèä âðàùåíèÿ, â ÐÔ ïðèíÿò ðåôåíö-ýëëèïñîèä ñ ïàðàìåòðàìè

D E D

= 6 378 245ì,

õ0z áóäåò ýëëèïñ:

[

]

Åãî ñå÷åíèåì, â ïëîñêîñòè

(ðèñ. 5.22).

Òàêèì îáðàçîì, ýëëèïñîèä îáðàçîâàí âðàùåíèåì âîê

ðóã îñè 0õ ôóíêöèè ìè

]

õ = à è õ = à, è îñüþ 0õ.

[

îãðàíè÷åííîé ïðÿìû-

a a 0

Ðèñ.¦5.22 Òîãäà ïî ôîðìóëå (5.12) ïîëó÷àåì:

9 S ³ E ¨¨ D

266

D [ · [ · § ¸G[ S E ¨ ¸G[ ³¨ D ¸¹ D ¸¹ D©

§D D · ¨ G[ [ G[¸¸ ³ ¨³ D D ¹ © D

§ D

[ S E [ D ¨ D © ¨

· ¸ ¸ D ¹

S E « D D

D º D

»¼ D

§ D S E ¨¨ D D ©

· ¸ ¸ ¹

S E ¨ D ©

D · S E D ¸ ¹

5.5. Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ

Â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ èìååò ñëîæíûé âèä è íåÿñíî, êàê åå ïðåîáðàçîâàòü ê òàáëè÷íîé, èëè æå ïåðâîîáðàçíàÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè íå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè, ïðèìåíÿþò ïðèáëèæåííûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ. Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ñïîñîáîâ ïðèáëèæåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ, èñõîäÿ èç îïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëà êàê ïðåäåëà ñóììû. à) Ôîðìóëà ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Ïóñòü íà [a, b] çàäàíà íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ y = f(x). Íàäî E

âû÷èñëèòü ³ õ1, õ2,

[ G[ . Îòðåçîê [a, b] ðàçäåëèì òî÷êàìè à = õ0,

D õn 1, õn = b íà n îäèíàêîâûõ ÷àñòåé äëèíû

E D (ðèñ. 5.23). Q y

Dõ, ãäå

y = f(x) n-1

y2 y0

a=x0 x1 x2 xn-1 xn=b x

Ðèñ.¦5.23 267

Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè y = f(x) â òî÷êàõ õ0, õ1, õ2, , õn 1, îáîçíà÷èì ÷åðåç ó0, ó1, ó2, , ón 1, ón. n Òåïåðü ñîñòàâèì äâå ñóììû: S1 = y0 Dx + y1 Dx + y2 Dx + + yn 1 Dx . (5.14) S1 åñòü ñóììàðíàÿ ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêîâ, ëåæàùèõ íèæå y = f(x). S2 = y1 Dx + y2 Dx + + yn Dx. (5.15) S2 åñòü ñóììàðíàÿ ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêîâ, ëåæàùèõ âûøå y = f(x). Èñòèííàÿ ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííàÿ y = f(x), óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ S1 < Sèñò < S2. Ïîýòîìó ìîæíî çàïèñàòü ïðèáëèæåííûå ðàâåíñòâà [1, 23]: õ

I [ G[

E D

I [ G[ |

\ \ \Q ,

E D \ \ \ \ Q . Q

(5.16)

(5.17)

Ïðèáëèæåííûå ðàâåíñòâà (5.16) è (5.17) è åñòü ôîðìóëû ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Îøèáêà, êîòîðóþ ìû ñîâåðøàåì ïðè âû÷èñëåíèè èíòåãðàëîâ ïî ôîðìóëàì (5.16) è (5.17), áóäåò òåì ìåíüøå, ÷åì áîëüøå

Äëÿ òîãî ÷òîáû îïðåäåëèòü, ñêîëüêî

òî÷åê äåëåíèÿ íàäî âçÿòü, ÷òîáû âû÷èñëèòü èíòåãðàë ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ, íàäî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó îöåíêè ïîãðåøíîñòè, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ ïðè ïðèáëèæåííîì âû÷èñëåíèè èíòåãðàëà. Äëÿ ìåòîäà ïðÿìîóãîëüíèêîâ îíà èìååò âèä

DQ d

ãäå 0

PD[ D

d [dE

E D 0

[

[12].

Ïðèâåäåì êîíêðåòíûé ïðèìåð.

268

Ïðèìåð 5.42

Èñïîëüçóÿ ìåòîä ïðÿìîóãîëüíèêîâ, âû÷èñëèì ïðèáëèæåííî èíòåãðàë

[

n = 10.

, âçÿâ

Çàìåòèì, ÷òî ýòîò èíòåãðàë îòíîñèòñÿ ê ÷èñëó íåáåðóùèõñÿ, ò.å. îí íå âûðàæàåòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ.

E D Q

OQ [

I [

Èñïîëüçóåì äëÿ ðàñ÷åòà ôîðìóëó (5.16) \

OQC

Òåïåðü ïî ôîðìóëå (5.16) èìååì

G[ | OQ [ D

á)

Ôîðìóëà òðàïåöèé.

Áîëåå òî÷íîå çíà÷åíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà, ÷åì ïî (5.16) è (5.17), ìû ïîëó÷èì, çàìåíèâ èñõîäíóþ ôóíêöèþ ( ) ëîìàíîé ëèíèåé (ðèñ. 5.24).

y = 269

y=f(x)

An-1

A1 A

y1 y2

yn-1 yn

a=x0 x1 x2 xn-1 xn=b

Ðèñ.¦5.24

aABb

Òî åñòü ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè ìû çàìåíèì ïëîùàäüþ ôèãóðû, ñîñòîÿùåé èç ïðÿìîóãîëüíûõ òðàïåöèé: . Èõ ïëîùàäè áóäóò ðàâíû: 1 1, 1 1 2 2, , n 1 n 1

aAA x x A A x

\ \

'[ ;

x A Bb

'[ ; ;

\ Q

'[ .

Ïîýòîìó îïðåäåëåí-

íûé èíòåãðàë ïðèáëèæåííî áóäåò ðàâåí [1, 23] E

\ \ \ \Q · § \ \ '[ '[ Q '[¸ ¹

³D I [ G[ | ¨©

èëè E

³D

I [ G[ |

· '[ \ \ \Q ¸ . ¹

(5.18)

Âûðàæåíèå (5.18) íîñèò íàçâàíèå ôîðìóëû òðàïåöèé. Ôîðìóëà îöåíêè ïîãðåøíîñòè, ïîëó÷àþùåéñÿ ïðè ïðèáëèæåííîì âû÷èñëåíèè èíòåãðàëà, â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèä [12]

270

DQ d

D 0 Q

PD[ I [

Dd [dE

1 , ãäå 0

Ïðèâåäåì êîíêðåòíûé ïðèìåð âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ïî ôîðìóëå (5.18). Ïðèìåð 5.43 Èñïîëüçóÿ ìåòîä òðàïåöèé, ïðèáëèæåííî âû÷èñëèì èíòåã

H[ ðàë ³ [ G[ , ïðèíÿâ n = 10. Ýòîò èíòåãðàë, êàê è èíòåãðàë ïðå

äûäóùåãî ïðèìåðà, ÿâëÿåòñÿ íåáåðóùèìñÿ. Â äàííîì ñëó÷àå

I [

[

| ; \

| ;

| ; \

E D Q

;

| ; \

| ;

| ; \

| ;

| .

Òåïåðü ïî ôîðìóëå (5.18) ïîëó÷àåì

Ôîðìóëà ïàðàáîë (ôîðìóëà Ñèìïñîíà) a, b fx a, b n

â) . Ïóñòü íà îòðåçêå [ ] çàäàíà íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ = ( ). Ðàçäåëèì [ ] íà ÷åòíîå ÷èñëî ÷àñòåé = 2 . Ñóùíîñòü ñïîñîáà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îòðåçêè ïðÿìûõ, îãðàíè÷èâàþùèõ ýëåìåíòàðíûå òðàïåöèè ñâåðõó, çàìåíÿþò äóãàìè ïàðàáîë, îñè êîòîðûõ ïàðàëëåëüíû îñè 0 (ðèñ. 5.25).

271

y=f(xy) B

A A1 A2

a=x0 x1 x2 xn=b x

Ðèñ.¦5.25

y = cx dx + p

2 + Óðàâíåíèÿ òàêèõ ïàðàáîë èìåþò âèä . Êîýôôèöèåíòû ìîæíî îäíîçíà÷íî íàéòè ïî òðåì òî÷êàì, åñëè àáñöèññû èõ ðàçëè÷íû. Äóãè ïàðàáîë ïðîâîäÿò ÷åðåç êàæäóþ òðîéêó òî÷åê. Êðèâîëèíåéíóþ òðàïåöèþ çàìåíÿþò ñóììîé ïëîùàäåé êðèâîëèíåéíûõ òðàïåöèé, îãðàíè÷åííûõ äóãàìè ïàðàáîë. Ïëîùàäü ïåðâîé èç òàêèõ ïàðàáîëè÷åñêèõ òðàïåöèé ðàâíà

c, d, p

aABb

ïëîùàäü âòîðîé ðàâíà S2 =

\ \ ,

(y2 + 4y3 + y4) è ò.ä.

Èñêîìàÿ ôîðìóëà Ñèìïñîíà èìååò âèä [1, 23] b

∫ f ( x)d x ≈ a

b−a [ y0 + yn + 2( y2 + y4 + ⋅ ⋅ ⋅ yn − 2) + 4( y1 + y3 + ⋅ ⋅ ⋅ + yn −1 )]. (5.19) 3n

Ôîðìóëà îöåíêè ïîãðåøíîñòè, ïîëó÷àþùåéñÿ ïðè ïðèáëèæåííîì âû÷èñëåíèè èíòåãðàëà, â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèä [12]

DQ d

272

E D 0

, ãäå 0

PD[ I Dd [dE

[

Ïðèìåíåíèå

ôîðìóëû

(5.19)

çíà÷èòåëüíî

ïîâûøàåò

òî÷íîñòü âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Ìåòîä ïðÿìîóãîëüíèêîâ ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå ïðîñòûì è íàèìåíåå òî÷íûì ñïîñîáîì. Âûáîð ñïîñîáà ïðèáëèæåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ çàâèñèò îò ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè è òðåáóåìîé òî÷íîñòè ðàñ÷åòà. Ïðèâåäåì êîíêðåòíûé ïðèìåð âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ïî ôîðìóëå (5.19).

Ïðèìåð 5.44

Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Ñèìïñîíà, ïðèáëèæåííî âû÷èñëèì S

èíòåãðàë ³

FRV [

[

, ïðèíÿâ

n = 10. Çàìåòèì, ÷òî ýòîò èíòåã-

ðàë, êàê è èíòåãðàëû èç äâóõ ïðåäøåñòâóþùèõ ïðèìåðîâ, ÿâëÿ

åòñÿ íåáåðóùèìñÿ. Â äàííîì ñëó÷àå

E D Q

S S

S ;

E D Q

[

S S

S S FRV | ; \ | ; \ S S

FRV

S FRV | ; \ S

FRV [ [

;

S ; S FRV | ; S

S FRV | ; S

273

S FRV | ; \ S

S S FRV FRV | ; \ | ; S S

S FRV | ; \ S

FRV

Ïî ôîðìóëå (5.19) ïîëó÷èì S

S FRV [ G[ | > [

@ | .

5.6. Ïîíÿòèå î äâîéíîì èíòåãðàëå

Ïîíÿòèå äâîéíîãî èíòåãðàëà ÿâëÿåòñÿ ðàñøèðåíèåì ïîíÿòèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà íà ñëó÷àé ôóíêöèè äâóõ àðãóìåíòîâ. Íà ïëîñêîñòè õ0ó ðàññìîòðèì çàìêíóòóþ îáëàñòü Â (îáëàñòü Â íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé, åñëè îíà îãðàíè÷åíà ëèíèåé, è òî÷êè, êîòîðûå ëåæàò íà ãðàíèöå, ñ÷èòàþòñÿ ïðèíàäëåæàùèìè îáëàñòè Â), îãðàíè÷åííóþ ëèíèåé L. Â ýòîé îáëàñòè çàäàäèì íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ z = f(x, y). Îáëàñòü Â ïðîèçâîëüíî ðàçîáüåì íà n ÷àñòåé (ïëîùàäîê): b1, b2, b3, , bn. Ïëîùàäè ýòèõ ÷àñòåé (ïëîùàäîê) îáîçíà÷èì DS1, DS2, , DSn. Â êàæäîé ïëîùàäêå

bi L Q âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó i (ýòà òî÷êà ìîæåò ëåæàòü è íà ãðàíèöå ïëîùàäêè). Òàêèì îáðàçîì, áóäåì èìåòü òî÷åê: , , , n (ðèñ. 5.26).

Ì Ì 1

274

L B âñÿ

îáëàñòü

Ðèñ.¦5.26 ×åðåç f(M ), f(M ), , f(M ) îáîçíà÷èì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè z = f(x, y) â âûáðàííûõ íàìè òî÷êàõ. Çàòåì ñîñòàâèì ñóììó ïðîèçâåäåíèé f(M )DS , êîòîðóþ îáîçíà÷èì V : 1

I 0 '6 I 0 '6 I 0

¦ I 0 '6 . L

(5.20)

Ñóììà (5.20) íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíîé ñóììîé äëÿ ôóíêöèè z = f(x, y) â îáëàñòè Â [32].

Â ñëó÷àå, åñëè z = f(x, y) ³ 0, â îáëàñòè Â êàæäîå ñëàãàåìîå

f(Mi)DSi åñòü îáúåì öèëèíäðà, ïëîùàäü îñíîâàíèÿ êîòîðîãî DSi ,

à âûñîòà f(Mi). À ñóììà Vs ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáúåì íåêîòîðîãî ñòóïåí÷àòîãî òåëà (ðèñ. 5.27).

275

Ðèñ.¦5.27 Òåïåðü ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðàëüíûõ ñóìì, êîòîðûå ñîñòàâëåíû ñ èñïîëüçîâàíèåì ôóíêöèè z = f(x, y) ³ 0 äëÿ îáëàñòè Â: Vs1, Vs2, , Vsk (5.21) ïðè ðàçëè÷íûõ ñïîñîáàõ ðàçáèåíèÿ îáëàñòè Â íà ïëîùàäêè bi. Ïîòðåáóåì, ÷òîáû ìàêñèìàëüíûé äèàìåòð ïëîùàäîê bi ñòðåìèëñÿ ê íóëþ (max diam bi®0) ïðè ñòðåìëåíèè ê áåñêîíå÷íîñòè êîëè÷åñòâà ýòèõ ïëîùàäîê (nk®¥). Òîãäà áóäåò ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, êîòîðóþ ìû ïðèâîäèì áåç äîêàçàòåëüñòâà. ÒÅÎÐÅÌÀ 5.4. Åñëè ôóíêöèÿ z = f(x, y) íåïðåðûâíà â çàìêíóòîé îáëàñòè Â, òî ñóùåñòâóåò ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (5.21) èíòåãðàëüíûõ ñóìì (5.20), åñëè ìàêñèìàëüíûé äèàìåòð ïëîùàäîê bi ®0, à n®¥. Ýòîò ïðåäåë áóäåò îäèíàêîâ äëÿ ëþáîé

276

ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âèäà (5.21), ò.å. îí íå çàâèñèò íè îò ñïîñîáà ðàçäåëåíèÿ îáëàñòè Â íà ïëîùàäêè b , íè îò âûáîðà â ýòèõ ïëîùàäêàõ òî÷åê M . Ýòîò ïðåäåë íàçûâàåòñÿ äâîéíûì èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè z = f(x, y) ïî îáëàñòè Â è îáîçíà÷àåòñÿ i

³³% I [ GV ³³% I [\ G[G\

ò.å.

OLP

PD[ GLDPEL

o ¦

I 0 '6

³³ I [\ G[G\

Îáëàñòü Â íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ èíòåãðèðîâàíèÿ. Â ñëó÷àå, åñëè z = f(x, y) ³ 0, äâîéíîé èíòåãðàë îò ýòîé ôóíêöèè ïî îáëàñòè Â ðàâåí îáúåìó òåëà, îãðàíè÷åííîãî ïîâåðõíîñòüþ z = f(x, y), ïëîñêîñòüþ õ0ó è öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ, îáðàçóþùèå êîòîðîé ïàðàëëåëüíû îñè 0z, à íàïðàâëÿþùåé ñëóæèò ëèíèÿ L. L

Íåêîòîðûå ñâîéñòâà äâîéíîãî èíòåãðàëà

1. Åñëè îáëàñòü Â ðàçáèòü íà äâå ÷àñòè Â1 è Â2, òî

³³% I [\ G[G\ ³³% I [\ G[G\ ³³% I [\ G[G\

Àíàëîãè÷íî ïðè ðàçáèåíèè îáëàñòè Â íà ÷èñëî ÷àñòåé áîëüøå äâóõ. 2. Äâîéíîé èíòåãðàë îò àëãåáðàè÷åñêîé ñóììû êîíå÷íîãî ÷èñëà ôóíêöèé ðàâåí àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå äâîéíûõ èíòåãðàëîâ îò ýòèõ ôóíêöèé, ò.å.

³³% > I [\ r

³³%

I [\ r r I Q [\ @G[G\

I [\ G[G\ r

r ³³ I [\ G[G\ r r ³³ I Q [\ G[G\ %

277

3. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíîñèòü çà çíàê äâîéíîãî èíòåãðàëà, ò.å.

³³% FI [\ G[G\ F ³³% I [\ G[G\

ãäå ñ ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà.

Âû÷èñëåíèå äâîéíîãî èíòåãðàëà

Ïðîñòåéøèé ñëó÷àé. Â

1) Îáëàñòü çàäàíà íåðàâåíñòâàìè îíà ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì

a £ x £ b, c £ y £ d, ò.å. ABCD (ðèñ. 5.28).

ó d

D B

A C

Ðèñ.¦5.28

Â ýòîì ñëó÷àå äâîéíîé èíòåãðàë âû÷èñëÿåòñÿ ïî îäíîé èç ïðèâîäèìûõ íèæå ôîðìóë [4, 32]:

³³

I [\ G[G\

³³ %

278

³ F

I [\ G[G\

I [\ G[ ;

(5.22)

³ G[ ³

I [\ G\ .

(5.23)

Â ïðàâûõ ÷àñòÿõ ôîðìóë (5.22) è (5.23) ñòîÿò ïîâòîðíûå

èíòåãðàëû.

Ïðè âû÷èñëåíèè ïî ôîðìóëå (5.22) ñíà÷àëà íàõîäèòñÿ E

îïðåäåëåííûé

âàåòñÿ

êàê

³D I [\ G[

èíòåãðàë

ïîñòîÿííàÿ,

íî

ðåçóëüòàò

ó.

ñìàòðèâàåòñÿ êàê ôóíêöèÿ îò ïðåäåëàõ îò

äî

ïðè÷åì

ðàññìàòðè-

èíòåãðèðîâàíèÿ

ðàñ-

Âòîðîå èíòåãðèðîâàíèå â

âûïîëíÿåòñÿ ïî àðãóìåíòó

ó.

Ïðè èñ-

ïîëüçîâàíèè ôîðìóëû (5.23) ïîðÿäîê äåéñòâèé îáðàòíûé. Äâîéíîé

∫∫ )f ( xy ) dxdy

èíòåãðàë

åñòü îáúåì ïðè-

( ABCD

çìàòè÷åñêîãî òåëà ñ îñíîâàíèåì ABCD. Çàìåòèì, ÷òî âíåøíèå çíàêè èíòåãðàëà ñîîòâåòñòâóþò âíåøíèì äèôôåðåíöèàëàì. Ðàññìîòðèì êîíêðåòíûå ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ äâîéíûõ èíòåãðàëîâ.

Ïðèìåð 5.45

§ [ · ¨ \ [ ¸¸ [ \ G[G\ G\ [ \ G[ G\

³³ ³ ³ ³ ¨ © ¹

ª º ³ G\« \ \ » ¬ ¼

Ïðèìåð 5.46

G\G [ ³³ [ \

ª ³ G [« ¬

G\ ³ G [³ [ \

º [ [ »¼

G [ \

³ G [³ [ \

³ G\ ³ \ G\ ³ G\ ³ \ G\

\ \ \ \

§ ¨ ³ G [¨ ©

· ¸ [ \ ¸¹

G[ >

[ [

279

$ [

$ [ % [

Þ [ [

[

$ % %

[

OQ[

: ïîëó÷àåì

$ [ $ % [ % $ [

% [

G[ G[ ³ [ [

OQ[

O Q

2) Îáùèé ñëó÷àé.

à) Åñëè êîíòóð îáëàñòè

O Q O Q O Q

· ¸ © ¹ §

O Q¨

Â âñòðå÷àåòñÿ ñ ëþáîé ïåðåñåêàþ-

ùåéñÿ åãî âåðòèêàëüíîé ïðÿìîé íå áîëåå ÷åì â äâóõ òî÷êàõ

N1 è ò. N2 íà ðèñ. 5.29), òî îáëàñòü Â çàäàåòñÿ íåðàâåíñòâàìè a £ x £ b è j1(õ) £ y £ j2(õ).

(ò.

y=j2(x) N2

B2 B

B1 y = j1(x)

N 0 a b x

Ðèñ.¦5.29

a è b êðàéíèå àáñöèññû îáëàñòè Â, j1(õ) è j2(õ) ôóíêöèè, âûðàæàþùèå îðäèíàòû íèæíåé è âåðõíåé ãðàíè÷íûõ ëèíèé AN1B1 è AN2B2. Â ýòîì ñëó÷àå äâîéíîé èíòåãðàë íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå

[4, 32]:

280

M [

[

³³ I [\ G[G\ ³ G[M ³ I [\ G\ %

á) Åñëè êîíòóð îáëàñòè

(5.24)

Â âñòðå÷àåòñÿ íå áîëåå ÷åì â äâóõ

òî÷êàõ ñ ëþáîé ïåðåñåêàþùåé åãî ãîðèçîíòàëüíîé ïðÿìîé, òî àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ à) ïîëó÷àåì (ðèñ. 5.30)...

y d

x=y2(y) K1 K2 x=y1(y)

x ¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦Ðèñ.¦5.30

\ \

[

³³ I [\ G[G\ ³ G\ \ ³ I [\ G[ %

(5.25)

Åñëè êîíòóð îáëàñòè Â íå ïîäõîäèò íè ïîä ñëó÷àé à, íè ïîä ñëó÷àé á, òî åå ðàçáèâàþò íà íåñêîëüêî ÷àñòåé òàê, ÷òîáû ê êàæäîé ÷àñòè áûëè ïðèìåíèìû èëè ôîðìóëà (5.24), èëè (5.25). Ðàññìîòðèì êîíêðåòíûé ïðèìåð.

281

Ïðèìåð 5.47 Âû÷èñëèì èíòåãðàë ³³ \ [ G[G\,

åñëè îáëàñòü

ðàíè÷åíà ëèíèÿìè

îã-

ó = õ2, ó2 = õ (ðèñ. 5.31). Äàííàÿ çàäà÷à

ïîäõîäèò ïîä ñëó÷àè à è á.

ó 1

ó2=õ Â ó=õ2

0 1 õ

Ðèñ.¦5.31 Èñïîëüçóåì, íàïðèìåð, ôîðìóëó (5.24), (ñëó÷àé à). Â äàí-

íîì ñëó÷àå = 0,

b = 1, j1(õ) = õ2 , j2(õ) = [ . Ïîýòîìó ïîëó÷èì

[

ª§

¬«©

·º ¹»¼

· § ¹ ©

¸ ¨ ³ G[«¨ [ [ ¸ ¨ [ [ ¸»

282

[

5.7. Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ î òðîéíîì èíòåãðàëå Òðîéíîé èíòåãðàë ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà íà ñëó÷àé ôóíêöèè òðåõ íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ. Ê ïîíÿòèþ òðîéíîãî èíòåãðàëà ìîæíî ïðèéòè, ðàññìàòðèâàÿ, íàïðèìåð, çàäà÷ó î íàõîæäåíèè ìàññû íåîäíîðîäíîãî òåëà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìååòñÿ íåêîòîðîå òåëî, êîòîðîå çàíèìàåò ïðîñòðàíñòâåííóþ îáëàñòü G (ðèñ. 5.32), à ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ìàññû â ýòîì òåëå åñòü íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò òî÷åê ýòîãî òåëà, ò.å.

r = r(x, y, z) [4, 35].

Ci(xi,yi,zi)

Ðèñ.¦5.32 n ÷àñòåé g1, g2, , gn, DV1, V2, .. , DVn, âûáåðåì â ýòèõ ÷àñòÿõ òî÷êè C1(x1, y1, z1), C2(x2, y2 , z2), , C n(xn, yn, zn). Äàëåå, ïðåäïîÏðîèçâîëüíî ðàçîáüåì äàííîå òåëî íà

èõ îáúåìû îáîçíà÷èì

ëàãàÿ, ÷òî â êàæäîé èç ÷àñòåé ïëîòíîñòü ïîñòîÿííà è ðàâíà åå

& L

çíà÷åíèþ â òî÷êå

Q , çàïèøåì ïðèáëèæåííóþ ôîðìóëó

äëÿ ìàññû âñåãî òåëà:

283

¦U [ Q

\ ] '9 L

[4, 35].

(5.26)

Ïðåäåë ñóììû (5.26) â òîì ñëó÷àå, åñëè n®¥ è ìàêñèìàëüíûé äèàìåòð êàæäîé ÷àñòè ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, è åñòü ìàññà èñõîäíîãî òåëà, ò.å. Q

of o ¦ U [ \ ] '9

OLP

PD[ GLDP J

(5.27)

Ñóììà (5.26) íàçûâàåòñÿ n-é èíòåãðàëüíîé ñóììîé, à åå ïðå-

äåë òðîéíûì èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè r(x, y, z) ïî îáëàñòè G.

Ê âû÷èñëåíèþ òðîéíîãî èíòåãðàëà ïðèâîäèò, êðîìå ðàññìàòðèâàåìîé íàìè, è ðÿä äðóãèõ çàäà÷. Òåïåðü ðàññìîòðèì íåïðåðûâíóþ â îáëàñòè G ôóíêöèþ W = f(x, y, z). Ðàçîáüåì îá-

G íà n ÷àñòåé gi ñ îáúåìàìè '9L L

ëàñòü ñòè

âûáåðåì

ïðîèçâîëüíóþ

èíòåãðàëüíóþ

Q ,

& L

òî÷êó

â êàæäîé ÷à-

Q .

Ñîñòàâèì

ñóììó

¦I [

Q L

\ ] '9 L

(5.28)

è íàéäåì åå ïðåäåë ïðè ñòðåìëåíèè n ®¥ è ìàêñèìàëüíîãî äèàìåòðà êàæäîé ÷àñòè ê íóëþ. Ýòîò ïðåäåë è íàçûâàþò òðîéíûì èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè W = f(x, y, z) ïî îáëàñòè G è îáîçíà÷àþò ñëåäóþùèì îáðàçîì:

¦I [ Q

OLP

Q of

PD[ GLDP J o L

L \L ]L '9L

³³³

I [ \ ] G9 ,

(5.29)

çäåñü f(x, y, z) ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ, à dV ýëåìåíò îáúåìà. Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì òåîðåìó î ñóùåñòâîâàíèè òðîéíîãî èíòåãðàëà.

ÒÅÎÐÅÌÀ 5.5. [4, 33, 35] Åñëè ôóíêöèÿ W = f(x, y, z) íåïðåðûâíà â îãðàíè÷åííîé çàìêíóòîé îáëàñòè G, òî ñóùåñòâóåò ïðåäåë èíòåãðàëüíîé ñóì-

ìû (5.28) ïðè n®¥ è max diam gi®0 è ýòîò ïðåäåë (òðîéíîé èí-

284

òåãðàë) íå çàâèñèò îò ìåòîäà ðàçáèåíèÿ îáëàñòè G íà ÷àñòè gi è îò âûáîðà òî÷åê Ci(xi, yi, zi) â íèõ. Ñâîéñòâà òðîéíûõ èíòåãðàëîâ ïîëíîñòüþ ñîâïàäàþò ñî ñâîéñòâàìè äâîéíûõ èíòåãðàëîâ, íåêîòîðûå èç êîòîðûõ ïåðå÷èñëåíû íàìè â ïóíêòå 5.6. Áîëåå ïîäðîáíî ñ íèìè ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ, íàïðèìåð, â [4, 33, 35].

Âû÷èñëåíèå òðîéíûõ èíòåãðàëîâ â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò Åñëè çàäàí òðîéíîé èíòåãðàë îò ôóíêöèè f(x, y, z), ò.å.

³³³ I [ \ ] G9 è îáëàñòü ðàñïîëîæåíà â ñèñòåìå äåêàðòîâûõ

êîîðäèíàò OXYZ, òî, ðàçáèâ îáëàñòü G ïëîñêîñòÿìè, ïàðàëëåëüíûìè êîîðäèíàòíûì ïëîñêîñòÿì, ïîëó÷èì ÷àñòè÷íûå îáëàñòè, êîòîðûå áóäóò ïàðàëëåëåïèïåäàìè ñ ãðàíÿìè, ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿì OXY, OYZ, OXZ. Ýëåìåíò îáúåìà â ýòîì ñëó÷àå áóäåò ðàâåí G9 G[ G\ G] , è ïîýòîìó áóäåì èìåòü

³³³

I [ \ ] G9

Ïðîñòåéøèé ñëó÷àé.

³³³

I [ \ ] G[G\G] .

1) Åñëè ïðîñòðàíñòâåííàÿ îáëàñòü G çàäàíà íåðàâåíñòâàìè

D d [ d E ; F d \ d G ; N d ] d S , ò.å. ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïàðàë-

ëåëåïèïåä, ðåáðà êîòîðîãî ïàðàëëåëüíû îñÿì êîîðäèíàò, òî òðîéíîé

èíòåãðàë

³³³ *

I [ \ ] G[G\G]

íàõîäèòñÿ

³ G] ³ G\ ³ N

ïî

ôîðìóëå

[8,

35]

I [ \ ] G[ (5.30) èëè ïî îäíîé èç

àíàëîãè÷íûõ, òàê êàê àðãóìåíòû x, y, z ìîãóò ìåíÿòüñÿ ìåñòàìè, òàê æå êàê â äâîéíîì èíòåãðàëå (ñì. ï.5.6.). Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (5.30), íàçûâàåòñÿ ïîâòîðíûì èíòåãðàëîì. Çàìåòèì, ÷òî âíåøíèé èíòåãðàë ñîîòâåòñòâóåò âíåøíåìó äèôôåðåíöèàëó, à âíóòðåííèé âíóòðåííåìó. Â ôîðìóëå (5.30) ñíà÷àëà íàõîäèòñÿ âíóòðåííèé èíòåãðàë ïî ïåðåìåííîé õ ïðè ïîñòîÿííûõ z è ó, çàòåì âû÷èñëÿåòñÿ ñðåäíèé èíòåãðàë ïî ïåðåìåííîé ó ïðè ïîñòîÿííîé z è, íàêîíåö, îïðåäåëÿåòñÿ âíåøíèé èíòåãðàë ïî ïåðåìåííîé z.

285

Ïðèâåäåì êîíêðåòíûé ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ ôîðìóëû (5.30).

Ïðèìåð 5.48. Íàéòè èíòåãðàë ³³³

Y Z [ EYEZE[

E[ ³ EZ ³ Y Z [ EY

ª Z º E[« Z [ Z» « ¬ ¼»

ª Y

º Z Y [ Y » ¬« ¼»

E[ ³ EZ «

2) Îáùèé ñëó÷àé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îáëàñòüþ èíòåãðèðîâàíèÿ G ÿâëÿåòñÿ òåëî, îãðàíè÷åííîå ñíèçó ïîâåðõíîñòüþ y1(õ, ó), à ñâåðõó ïîâåðõíîñòüþ y2(õ, ó), ïðè÷åì y1(õ, ó)£y2(õ, ó) è äàííûå ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè â çàìêíóòîé îáëàñòè Å, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèåé òåëà íà ïëîñêîñòü ÎÕÓ (ðèñ. 5.33).

Z N

y2 (x,y)

M 0

X Ðèñ.¦5.33 286

y1 (x,y)

Ïóñòü îáëàñòü G áóäåò ïðàâèëüíîé â íàïðàâëåíèè îñè OZ, ò.å. ëþáàÿ ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ îñè OZ, ïåðåñåêàåò îáëàñòü íå áîëåå, ÷åì â äâóõ òî÷êàõ. Â ýòîì ñëó÷àå äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé â îáëàñòè G ôóíêöèè f(x, y, z) áóäåò âåðíà ôîðìóëà [4, 32, 8, 33, 35]

³³³ I [ \ ] G[G\G] *

³³ G[G\

< [ \

(

I [ \ ] G] .

(5.31)

< [ \

Ôîðìóëà (5.31) ñâîäèò âû÷èñëåíèå òðîéíîãî èíòåãðàëà ê âû÷èñëåíèþ äâîéíîãî èíòåãðàëà. Ñíà÷àëà íàõîäèòñÿ âíóòðåííèé èíòåãðàë ïî ïåðåìåííîé z ïðè ïîñòîÿííûõ õ è ó. Íèæíåé ãðàíèöåé èíòåãðèðîâàíèÿ áóäåò àïïëèêàòà òî÷êè

Ì òî÷êè âõîäà ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé îñè OZ â îáëàñòü G, ò.å. y1(õ, ó), à âåðõíåé àïïëèêàòà òî÷êè N òî÷êè âûõîäà ïðÿìîé èç îáëàñòè G, ò.å. y2(õ, ó). Ðåçóëüòàò íàõîæäåíèÿ ýòîãî èíòåãðàëà ôóíêöèÿ äâóõ àðãóìåíòîâ õ è ó.

j2 (x)

E j1 (x) 0 a b X

Ðèñ.¦5.34 Â òîì ñëó÷àå, åñëè îáëàñòü Å îãðàíè÷åíà ëèíèÿìè õ = à, õ = b (à<b), y = j1(õ), y = j2(õ) (j2(õ)>j1(õ)) è äàííûå ôóíêöèè íåïðåðûâíû íà îòðåçêå [a, b] (ñì. ðèñ. 5.34), òî òîãäà, ïåðåõîäÿ îò äâîéíîãî èíòåãðàëà ê ïîâòîðíîìó, ïîëó÷èì ôîðìóëó

M [

< [ \

[

[ \

³³³ I [ \ ] G[G\G] ³ G[M ³ G\ < ³ I [ \ ] G] *

(5.32)

287

a2 (y) E

a1 (y)

0 X

Ðèñ.¦5.35

Â òîì ñëó÷àå, åñëè îáëàñòü Å îãðàíè÷åííà ëèíèÿìè ó

= ñ, ó = d (c<d), x = a1(y), x = a2(y) (a2(y)> a1(y)) è äàííûå ôóíêöèè íåïðåðûâíû íà îòðåçêå [c, d] (ðèñ. 5.35), òî

òîãäà, ïåðåõîäÿ îò äâîéíîãî èíòåãðàëà ê ïîâòîðíîìó, ïîëó÷àåì ôîðìóëó

³³³

I [ \ ] G[G\G]

D \

< [ \

³ G\ ³ G[ ³ I [ \ ] G] . F D \ < [ \

(5.33)

Åñëè îáëàñòü G ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé, òî åå íàäî ðàçáèòü íà êîíå÷íîå ÷èñëî ïðàâèëüíûõ îáëàñòåé, ê êîòîðûì ìîæíî ïðèìåíèòü ôîðìóëû (5.32) è (5.33). Àíàëîãè÷íûå ôîðìóëû ìîæíî ïîëó÷èòü è äëÿ ñëó÷àåâ, êîãäà îáëàñòü G áóäåò ïðàâèëüíîé â íàïðàâëåíèè îñåé ÎÕ è ÎÓ. Ðàññìîòðèì êîíêðåòíûé ïðèìåð.

Ïðèìåð 5.49. Íàéòè òðîéíîé èíòåãðàë [4]. ³³³ [ \ G[G\G]

åñëè îáëàñòü G îãðàíè÷åíà êîîðäè-

íàòíûìè ïëîñêîñòÿìè õ = 0, ó = 0, z = 0 è ïëîñêîñòüþ õ+ó+z = 1 (ðèñ. 5.36).

288

z=1-x-y 1

0 y=1-x

Ðèñ.¦5.36

Â ýòîì ñëó÷àå èíòåãðèðîâàíèå ïî z ñîâåðøàåòñÿ îò z = 0 äî z = 1 x y. Ïîýòîìó, îáîçíà÷èâ ïðîåêöèþ îáëàñòè G íà ïëîñêîñòü ÎÕÓ ÷åðåç Å, ïîëó÷èì ïî ôîðìóëå (5.32)

[ \

[

[ \

³³ G[G\ ³ [ \ G] ³ G[ ³ G\ ³ [ \ G] (

[

G\> [ \ ] @

³ G[ ³ [ [

[\ \ \ G\

§ [ ¨ [ ¨ ©

[ \

³ G\> [ \ [ \ @

³ G[¨

[ · ¸ G[ ¸¹

[

§ [ ¨ ¨ ©

[

[·

¸ ¸¹

289

Àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçîâàâ ôîðìóëó (5.33), ò.å. [ \

[ \

³³ G[G\ ³ [ \ G]

³ G\ ³ G[ ³ [ \ G]

[ \

(

³ G\ ³ G[> [ \ ] @

³ G\ ³ [ [

³ G\ ³ G[> [ \ [ \ @

[\ \ \

§ [

G\¨¨

[

\ [ \ · [\ \ [ ¸¸ ¹

Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ 1. Ìåòîäîì íåïîñðåäñòâåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ íàéòè èíòåãðàëû:

[ [ G[; 1.1. ³ [

1.3. ³ [ VLQ[ G[;

· [¹

1.2. ³ ¨ [ ¸G[ ;

[ G[ . 1.4. ³ [ [

2. Íàéòè èíòåãðàëû, èñïîëüçîâàâ ìåòîä çàìåíû ïåðåìåííîé: 2.1.

³ [ [

2.3. ³

290

[G[ [

G[ ;

2.2.

;

2.4. ³

WJ[G[ ;

G[ [

[

3. Íàéòè èíòåãðàëû, èñïîëüçîâàâ ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì:

³ 3.4. ³ [ H G[

3.2. DUFVLQ [ G[;

3.1. DUFWJ[G[ ;

3.3. [ VLQ [G[ ;

[

4. Âû÷èñëèòü îïðåäåëåííûå èíòåãðàëû: S

4.1.

³ [

G[ ; 4.2.

WJ[

4.4. VLQ [ FRV [G[ ;

4.5.

[

³ FRV

; 4.3.

4.6.

[G[ ;

[ G[ ; [

G[ ; 4.7. H [ VLQ [G[ ; 4.8. ³ ³

[G[ VLQ

[

5. Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû:

5.1.

5.3.

[

G[ ;

5.2.

f [

;

5.4.

[

;

[G[ ³ . f [

6. Íàéòè îáúåì òåëà, ïîëó÷åííîãî âðàùåíèåì âîêðóã îñè 0õ êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé ôóíêöèåé õó = 4 è ïðÿìûìè õ = 1, õ = 4 è îñüþ 0õ.

291

7. Íàéòè îáúåì òåëà, ïîëó÷åííîãî âðàùåíèåì âîêðóã îñè 0ó êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé ôóíêöèåé

[

è ïðÿìûìè ó = ±2b.

8. Íàéòè îáúåì òåëà, ïîëó÷åííîãî âðàùåíèåì âîêðóã îñè 0õ êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé ëèíèÿìè 2ó2 = õ3, õ = 4. 9. Íàéòè îáúåì òåëà, ïîëó÷åííîãî âðàùåíèåì âîêðóã îñè 0õ êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé ëèíèÿìè ó = õ3, õ = 0, ó = 8. 10. Ôèãóðà, îãðàíè÷åííàÿ îäíîé äóãîé ñèíóñîèäû ó = sinx è îñüþ 0õ, âðàùàåòñÿ âîêðóã îñè 0õ. Íàéòè îáúåì òåëà âðàùåíèÿ. 11. Íàéòè ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé êðèâîé ó = õ3, ïðÿìîé ó = 10 è îñüþ 0ó. 12. Âû÷èñëèòü ïëîùàäè ôèãóð, îãðàíè÷åííûõ ëèíèÿìè: 12.1. ó = õ2, ó2 = õ; 12.2. ó = lnx, x = e, y = 0; 12.3. y3 = x2, y = 1; 12.4. y = x2, y = 2x2 1. 13. Âû÷èñëèòü äëèíó äóãè ïîëóêóáè÷åñêîé ïàðàáîëû ó2 = õ3, îòñåêàåìîé ïðÿìîé õ = 5. 14. Íàéòè äëèíó äóãè êðèâîé \

[ îò õ = 0 äî õ = 1.

\ îò ó = 0 äî ó = 3. 15. Íàéòè äëèíó äóãè êðèâîé [ 16. Îïðåäåëèòå äëèíó îêðóæíîñòè õ2 + ó2 = 25.

17. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó ïðÿìîóãîëüíèêîâ, âû÷èñëèòü èí

òåãðàë 18.

G[ [

ïðèíÿâ

Èñïîëüçóÿ

ôîðìóëó

[ ³ H G[, ïðèíÿâ n = 10.

292

n = 10. òðàïåöèè,

âû÷èñëèòü

èíòåãðàë

19. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Ñèìïñîíà, âû÷èñëèòü èíòåãðàë

VLQ [

[

G[ , ïðèíÿâ n = 10.

20. Âû÷èñëèòü äâîéíûå èíòåãðàëû:

³ ³ [\G[G\

20.1.

;

[

[G\G[

20.2. ³ ³ [ [

³³% [ \ G[G\

21. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë òåãðèðîâàíèÿ

õ õ

, åñëè îáëàñòü èí-

îãðàíè÷åíà ëèíèÿìè:

õ ó ó õ = 5, ó = 2, ó = 2.

21.1. = 2, = 3, = 1, = 5; 21.2. = 0,

22. Íàéòè íåîïðåäåëåííûå èíòåãðàëû:

22.1.

22.3.

sin

7 x cos4 õ dõ; 22.2.

(cos

dõ / (6 + 3 sin x); 22.4. ³ sin3 x · cos3 õ · dõ;

22.5.

3 õ / sin 2 x) · dõ;

(

[ / 2õ) · dõ; 22.6.

õ +

[

_______________ dõ.

õ(õ + [

)

23. Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû.

293

2õ dõ 2 ln õ dõ ; 23.2. ³ _______ ; 2 õ 4

23.1.

23.3. ³

dõ ____ ; 23.4.

dõ (õ 5)

24. Âû÷èñëèòü òðîéíûå èíòåãðàëû:

24.1.

³ ³ ³ [

24.2.

OQ \ = G[G\G] ;

³ ³ ³ [\ \

] [ ] G[G\G] .

25. Íàéòè òðîéíîé èíòåãðàë

G[G\G]

³³³ * [ \ ]

, åñëè îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ îãðàíè-

÷åíà êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè è ïëîñêîñòüþ x + y + z = 1.

Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè 1)

Êàêàÿ

Â ÷åì ñîñòîèò ñóòü ìåòîäà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì?

ôóíêöèÿ

íàçûâàåòñÿ

ïåðâîîáðàçíîé?

Â ÷åì ñîñòîèò ñóòü ìåòîäà çàìåíû ïåðåìåííîé?

Êàêîâ ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà?

Â ÷åì ñîñòîèò ñóòü ìåòîäà çàìåíû ïåðåìåííîé â îïðåäåëåííîì èíòåãðàëå?

Âûâåñòè ôîðìóëó äëÿ îáúåìà òåëà âðàùåíèÿ.

Â êàêèõ ñëó÷àÿõ ïðèìåíÿþò ïðèáëèæåííûå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ?

Â ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ ñóòü ïðèçíàêîâ ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ ñ áåñêîíå÷íûìè ïðåäåëàìè?

294

9) 10)

Â ÷åì ñîñòîèò òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ äâîéíîãî èíòåãðàëà? Ñ ïîìîùüþ êàêèõ ïîäñòàíîâîê ðåøàþòñÿ èíòåãðàëû âèäà

³ cos

n õ ·sinm

x·dõ?

11) Êàê «áåðóòñÿ» èíòåãðàëû îò èððàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé? 12) Äàéòå îïðåäåëåíèå íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà îò ðàçðûâíîé ôóíêöèè íà êîíå÷íîì ó÷àñòêå èíòåãðèðîâàíèÿ. 13) Êàê íàõîäèòñÿ ìàññà íåîäíîðîäíîãî òåëà ïî çàäàííîé ïëîòíîñòè? 14) Ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó ñóùåñòâîâàíèÿ òðîéíîãî èíòåãðàëà. 15) Êàê íàõîäÿòñÿ òðîéíûå èíòåãðàëû â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò?

6. ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÑÂÅÄÅÍÈß Î ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈßÕ 6.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ

Äèôôåðåíöèàëüíûìè íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿ, êîòîðûå ñîäåðæàò èñêîìûå ôóíêöèè, èõ ïðîèçâîäíûå è (èëè) äèôôåðåíöèàëû ðàçëè÷íûõ ïîðÿäêîâ, íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå[20, 32, 43]. Òåîðèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïîÿâèëàñü â êîíöå XVIII âåêà â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ çàäà÷ ìåõàíèêè è ôèçèêè. Òåðìèí «äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ» ââåë Ã. Ëåéáíèö. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äåëÿòñÿ íà äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ â êîòîðûõ çàâèñèò îò äâóõ è áîëüøåãî êîëè÷åñòâà íåèçâåñòíûõ, è íà îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ â êîòîðûõ çàâèñèò îò îäíîãî àðãóìåíòà. Â äàííîì ó÷åáíèêå êðàòêî ðàññìîòðèì îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Îáùèé âèä îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóþùèé [14, 32, 43]: ) [ \ \ \ \ Q

èëè

) [ \

G\ G \ GQ\ Q . G[ G[ G[

Íàèâûñøèé ïîðÿäîê ïðîèçâîäíûõ, âõîäÿùèõ â äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, íàçûâàåòñÿ åãî ïîðÿäêîì. Íàïðèìåð, [\ [\ \ ýòî äèôôåðåíöèàëüíîå

óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà. Ðåøèòü äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ýòî çíà÷èò íàéòè òàêóþ ôóíêöèþ, ïîäñòàíîâêà êîòîðîé â ýòî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïðåâðàùàåò åãî â òîæäåñòâî [23, 43]. Ëþáîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé. Ãåîìåòðè÷åñêè îíè èçîáðàæàþòñÿ ñåìåé-

296

ñòâîì èíòåãðàëüíûõ êðèâûõ. Ýòó ñîâîêóïíîñòü ðåøåíèé íàçûâàþò îáùèì ðåøåíèåì äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ è çàïèñûâàþò òàê: \ M [ & & & Q [4, 32]. Ðåøåíèÿ, ñîäåðæàùèå êîíêðåòíûå çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííûõ, íàçûâàþòñÿ ÷àñòíûìè ðåøåíèÿìè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.

6.2. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà

Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà ýòî óðàâíåíèå, ñâÿçûâàþùåå íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ, íåèçâåñòíóþ ôóíêöèþ, åå ïðîèçâîäíóþ è (èëè) äèôôåðåíöèàë [4, 43]. Åãî îáùèé âèä ñëåäóþùèé:

èëè ) [ \

) [ \ \

Åñëè ýòî óðàâíåíèå ìîæíî ðàçäåëèòü îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíîé \ , òî îíî ïðèìåò âèä

I [ \ .

Îáùåå ðåøåíèå ýòîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ èìååò ñëåäóþùèé âèä:

\ M [ &

Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü êîíêðåòíûå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ, íàäî çàäàòü íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, ò.å. óêàçàòü ïàðó ñîîòâåòñòâóþùèõ äðóã äðóãó çíà÷åíèé àðãóìåíòà (õ0) è ôóíêöèè (ó0). Îáû÷íî ýòî çàïèñûâàåòñÿ òàê: \ [ [ \ [4, 32]. .

Çàäàâàÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, ìû èç ñåìåéñòâà èíòåãðàëüíûõ êðèâûõ âûäåëÿåì êàêóþ-òî êîíêðåòíóþ êðèâóþ. Âîïðîñ î òîì, â êàêîì ñëó÷àå ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ÷àñòíîå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùåå çàäàííîìó íà÷àëüíîìó óñëîâèþ ñóùåñòâóåò, à òàêæå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì, ñòàíîâèòñÿ ÿñíûì èç òåîðåìû:

297

åñëè â äèôôåðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè \

I [ \

I [ \ è åå ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî y ¨¨

ôóíêöèÿ

íåïðåðûâíû â

íåêîòîðîé îáëàñòè D íà ïëîñêîñòè õ0ó, ñîäåðæàùåé òî÷êó

[ \ , òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ýòîãî äèôôåðåí-

öèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

õ = õ0 è ó = ó0 [32].

M [ ,

óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ ïðè

Ïðèâåäåííàÿ òåîðåìà áûëà âïåðâûå ñôîðìóëèðîâàíà è äîêàçàíà Êîøè. Ïîýòîìó çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ ïî çàäàííûì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì íàçûâàþò çàäà÷åé Êîøè.

6.2.1. ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß Ñ ÐÀÇÄÅËßÞÙÈÌÈÑß ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÌÈ Â îáùåì ñëó÷àå îíè èìåþò âèä f1(x)f2(y)dx + f3(x)f4(y)dy = 0. Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè ýòîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ íà ïðîèçâåäåíèå f2(y)f 3(x), ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî îíî íå ðàâíî íóëþ:

I [ I \ G[

I \ I [

Äàëåå ïîëó÷àåì

I [

G[ I [

I [ I \ G\ I \ I [

I \

G\ I \ .

Â ïîëó÷åííîì äèôôåðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè ïðè dx ñòîèò òîëüêî ôóíêöèÿ îò õ, à ïðè dy ñòîèò òîëüêî ôóíêöèÿ îò ó, ò.å. ïåðåìåííûå ðàçäåëåíû. Èíòåãðèðóåì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà è ïîëó÷àåì

I [

I \ G\ & I \

Ýòî è åñòü îáùèé èíòåãðàë èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ[4, 8].

³ I [ G[

298

Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî êîíêðåòíûõ çàäà÷. Ïðèìåð 6.1. Íàéäåì ÷àñòíîå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ xdx + ydy = 0, åñëè íà÷àëüíîå óñëîâèå òàêîâî:

. Y \ [ & , ó2 ydy = xdx, ³ \G\ ³ [G[

õ2 = 2Ñ1.

Ïîñêîëüêó ïîñòîÿííàÿ ìîæåò áûòü ëþáîé, òî ïðèìåì 2Ñ1 = Ñ2. Òîãäà ïîëó÷èì îáùåå ðåøåíèå èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëü2 2 2 íîãî óðàâíåíèÿ ó + õ = Ñ . Ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ýòî ðåøåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñåìåéñòâî êîíöåíòðè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò è ðàäèóñîì

Ñ (ðèñ. 6.1).

Ðèñ.¦6.1 Íàéäåì òåïåðü ÷àñòíîå ðåøåíèå äëÿ çàäàííûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé, ò.å. âûäåëèì èç ñåìåéñòâà îêðóæíîñòåé îäíó. Ïîëó÷èì

10 + 2 =

Ñ2 = > Ñ2 = 104, &

Ïîýòîìó ÷àñòíîå ðåøåíèå èìååò âèä ó2 + õ2 = 104. 299

Ïðèìåð 6.2. Íàéäåì îáùåå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

\ \ [\ .

Ïåðåïèøåì åãî â âèäå

G\ G\ \ [ G[ G[ G\ \ [ G[

Ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòü äîìíîæèì íà dx:

\ G[ G\ [ .

Ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè äåëèì íà (1 + õ)¹0: \ G[ G\ [

Ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè äåëèì íà \ z

G[ G\ [ \

, G[

\ [ . Òåïåðü èíòåãðèðóåì ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè:

300

[

G \ G [ ³ \ [

[

Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì \

[

Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå è åñòü îáùåå ðåøåíèå èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Ïðèìåð 6.3. Íàéäåì îáùåå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ Ïåðåïèøåì åãî â âèäå

[\\

Äîìíîæèì ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòü íà dx: 2xydy = (y2 1)dx. Ðàçäåëèì ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè íà õ¹0:

\G\

[

Ðàçäåëèì ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè íà ó2 1 ¹ 0:

\G\ \

G[ [

Òåïåðü ïðîèíòåãðèðóåì ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ:

\G\ \

OQ \

[

G \ ³ \

OQ [&

\ [& \

[ &, OQ

\ [& [&

Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå è åñòü îáùåå ðåøåíèå èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. 301

Ïðèìåð 6.4. Íàéòè ÷àñòíîå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ [ \ [\

íîå óñëîâèå:

, åñëè çàäàíî ñëåäóþùåå íà÷àëü-

[

Ïåðåïèøåì èñõîäíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå òàê:

[

G\ G[

[\ .

Äîìíîæèì ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè íà dx: [ G\ [\G[ . Ðàçäåëèì ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè íà õ2 + 4:

[\G[ [

Ðàçäåëèì ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè íà ó¹0: G\ [G[ \ [

G\ \

[G[ . [

Òåïåðü èíòåãðèðóåì îáå ÷àñòè ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ: dy 2 xdx ∫ y = ∫ x2 + 4,

d ( x 2 + 4) ln y = ∫ , x2 + 4

ln y = ln x 2 + 4 + ln C ,

(

)

ln y = ln C x 2 + 4 ,

y = C ( x 2 + 4).

Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå è åñòü îáùåå ðåøåíèå èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Ãåîìåòðè÷åñêè îíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñåìåéñòâî ïàðàáîë. Ïî çàäàííûì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì íàéäåì ÷àñòíîå ðåøåíèå, ò.å. âûäåëèì êîíêðåòíóþ ïàðàáîëó èç ïîëó÷åííîãî ñåìåéñòâà. 5 = Ñ(12 + 4) = > 5 = 5Ñ = > Ñ = 1. 302

Ïîýòîìó ÷àñòíîå ðåøåíèå èìååò âèä ó = õ2 + 4. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå êëàññû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, êîòîðûå ñâîäÿòñÿ ê äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè. 6.2.2. ÎÄÍÎÐÎÄÍÛÅ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß

Ôóíêöèÿ f(x, y) íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíîé ôóíêöèåé n-ãî èçìåðåíèÿ îòíîñèòåëüíî àðãóìåíòîâ õ è ó, åñëè ïðè ëþáîì k ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî [32] f(kx, ky) = kn f(x, y). Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ f(x, y) = 2õó 3ó2 ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé ôóíêöèåé âòîðîãî èçìåðåíèÿ, òàê êàê 2(kx)(ky) 3(ky)2 = k2(2xy y2). À ôóíêöèÿ I

[ \

âîãî èçìåðåíèÿ, òàê êàê

åñòü îäíîðîäíàÿ ôóíêöèÿ íóëå-

[

N[ N\

\ [\

ò.å. f(kx, ky) = f(x, y). Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà

G\ G[

I [ \

(6.1)

íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì îòíîñèòåëüíî õ è ó, åñëè ôóíêöèÿ f(x, y) ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé ôóíêöèåé íóëåâîãî èçìåðåíèÿ îòíîñèòåëüíî õ è ó.

Ïî óñëîâèþ èìååì f(kx, ky) = f(x, y), ïîëîæèì N ïîëó÷èì

I [ \

[

, òîãäà

, ò.å. îäíîðîäíàÿ ôóíêöèÿ íóëåâîãî èç-

ìåðåíèÿ çàâèñèò òîëüêî îò îòíîøåíèÿ àðãóìåíòîâ. Òîãäà äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (6.1) ïðèìåò âèä

G\ G[

\·

[¹

I ¨

¸.

(6.2)

303

Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ, îáîçíà÷èì

òîãäà

, ò.å. y = ux,

GX [ X. G[

X [ X

[

Ïîñëå ïîäñòàíîâêè äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (6.2) ïðèìåò âèä: GX [ G[

I X X ,

(6.3)

ò.å. ïðèøëè ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè. Ïðåîáðàçóÿ (6.3.), ïîëó÷èì

GX I X X

G[ .

[

(6.4)

Èíòåãðèðóÿ îáå ÷àñòè (6.4.), ïîëó÷àåì

³ I X X

òàê êàê ïîñòîÿííàÿ

âèäå

³ I X X

íó

\ [

(6.5)

ìîæåò áûòü ëþáîé, ìîæíî çàïèñàòü (6.5) â

[ & OQ

Èíòåãðèðóÿ (6.5), ïîëó÷àåì

[ &,

u, çàòåì äåëàåì îáðàòíóþ çàìå-

, ïîëó÷àåì èñêîìîå îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî äèô-

ôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Ïðè íàëè÷èè íà÷àëüíûõ óñëîâèé ìîæíî íàéòè è ÷àñòíîå ðåøåíèå.

Ïðèìåð 6.5.

Íàéäåì îáùåå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî

óðàâíåíèÿ

[\ \

304

\ OQ \ OQ [

G\ G[

[ \

\ OQ

\ [

÷èì

Îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ðàçäåëèì íà õ, òîãäà ïîëóG\

[

\§

ò.å. èñõîäíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì. Äëÿ åãî ðåøåíèÿ èñïîëüçóåì çàìåíó

\ \ [

X[ \

X [ X.

Ïîñëå çàìåíû äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä

X [ X GX [ G[

GX [ G[ G[

X OQ X

[

X OQ X X OQ X

X OQ X X

Èíòåãðèðóåì îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà

³X

GX OQ

OQ OQ

X X

³ OQ

G[ [

OQ OQ

Äåëàåì îáðàòíóþ çàìåíó X

X \

X &[

[

è ïîëó÷àåì

H &[ \

H &[ èëè ó =

[ [ Ñõ õå ýòî è åñòü îáùåå ðåøåíèå èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî

óðàâíåíèÿ.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàäàíû íà÷àëüíûå óñëîâèÿ \ [

. Òîãäà

íàõîäèì ÷àñòíîå ðåøåíèå çàäàííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

305

H &

OQ OQ H &

ò.å. ÷àñòíîå ðåøåíèå èìååò âèä

[

OQ & OQ H

6.2.3. ËÈÍÅÉÍÛÅ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß

Ê ëèíåéíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì îòíîñÿòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âèäà \ S [ \

T [ ,

(6.6)

ò.å. ëèíåéíîå îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîé ôóíêöèè è åå ïðîèçâîäíîé. Â (6.6)

p(x) è q(õ) èçâåñòíûå ôóíêöèè àðãóìåíòà õ [4, 32].

Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (6.6) ñâîäèòñÿ ê äâóì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåãî ïðèåìà. Ïðåäñòàâèì ôóíêöèþ ó â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíêöèé y = uv. Îäíîé èç ýòèõ ôóíêöèé ìîæíî ðàñïîðÿäèòüñÿ ïðîèçâîëüíî, à âòîðàÿ ïðè ýòîì äîëæíà áûòü îïðåäåëåíà â çàâèñèìîñòè îò ïåðâîé òàê, ÷òîáû èõ ïðîèçâåäåíèå óäîâëåòâîðÿëî èñõîäíîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ. Ñâîáîäîé âûáîðà îäíîé èç ôóíêöèé

u è v íàäî âîñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ óïðîùåíèÿ äèôôå-

ðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, ïîëó÷àþùåãîñÿ ïîñëå çàìåíû. Èç ðàâåíñòâà

y = uv ïîëó÷èì y = u v + v u. Ýòî âûðàæåíèå

ïîäñòàâèì â (6.6) è ïîëó÷èì:

X Y Y X S [ XY

T [

X Y X Y S [ Y

T [

Â êà÷åñòâå v âûáåðåì êàêîå-íèáóäü ÷àñòíîå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ 306

Y S [ Y

Òîãäà äëÿ íàõîæäåíèÿ

(6.7)

u ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâ-

íåíèå

X Y

T [ .

(6.8)

Èç äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6.7) íàõîäèì v.

GQ G[

S [ Q

GQ Q

S [ G[ .

Èíòåãðèðóåì îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ: ³

³ Q Y EY

FYQ ³ Q Y EY

(6.9)

Ïîä íåîïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì â (6.9) ïîíèìàåòñÿ êàêàÿòî îäíà ïåðâîîáðàçíàÿ îò ôóíêöèè p(x), ò.å. v åñòü âïîëíå îïðåäåëåííàÿ ôóíêöèÿ îò õ. Òåïåðü, èñïîëüçóÿ íàéäåííîå çíà÷åíèå ôóíêöèè v, èç (6.8) íàõîäèì ôóíêöèþ u: p ( x ) dx du q ( x) du = ⇒ = q ( x )e ∫ ⇒ ν dx dx

⇒ du = q ( x) exp(− ∫ p ( x)dx).

Èíòåãðèðóåì îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ è ïîëó÷àåì X ³ T [ H

S [ G[

G[ &

(6.10)

u áåðóòñÿ âñå ïåðâîîáðàçíûå. u è v, íàõîäèì èñêîìóþ ôóíêöèþ ó.

Â (6.10) äëÿ ôóíêöèè Çíàÿ ôóíêöèè

\ XQ

³ S [ G[

³ ³ T [ H

S [ G[

G[ & .

(6.11)

Âûðàæåíèå (6.11) ÿâëÿåòñÿ îáùèì ðåøåíèåì ëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà.

307

Ïðèìåð 6.6.

Íàéäåì îáùåå ðåøåíèå ëèíåéíîãî äèôôåðåí-

öèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

[ .

[

Èñïîëüçóåì ïîäñòàíîâêó y = u ν ⇒

ëó÷èì

y ' = u ' ν + ν ' u è ïî

X Q Q X XQ [

[ X Q X Q Q

[

Â êà÷åñòâå v âûáåðåì êàêîå-òî ÷àñòíîå ðåøåíèå äèôôå ðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ Q [ Q , u

òîãäà

äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

ìîæíî íàéòè èç

u v = x3 .

Íàõîäèì ôóíêöèþ v

GQ GQ GQ Q Q G[ [ G[ [ Y G[ GQ G[ ³Y ³ [ O QQ OQ [ [ Çíàÿ v, íàõîäèì ôóíêöèþ u:

EV Q Y EV Y Y EV EY EY EY

[

EY V Y $

Çíàÿ ôóíêöèè u è v, íàõîäèì èñõîäíóþ ôóíêöèþ ó:

[ [ & .

(6.12)

Âûðàæåíèå (6.12) åñòü îáùåå ðåøåíèå èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Îáùèé âèä òàêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñëåäóþùèé:

D E 5 [23].

ãäå

308

\ D\ E

(6.13)

Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âèäà (6.13) ðåøàåòñÿ ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, ò.å.

G\ G[

E D\

G\ E D\

G[ .

Èíòåãðèðóåì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ è ïîëó÷àåì

G\ E D\

³ G[

G E D\

D ³ E D\

[ & OQ E D\ D

[ &

D[ D& E D\ H D[ H D&

OQ E D\

D\ H D[ H D& E \ H D[ H D&

E D

Òàê êàê ïîñòîÿííàÿ ìîæåò áûòü ëþáàÿ, îáîçíà÷èì

H D& è ïîëó÷àåì îáùåå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî D óðàâíåíèÿ (6.13) E \ &H D[ . (6.14) D &

Ïðèìåð 6.7.

Íàéäåì îáùåå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî

óðàâíåíèÿ

EZ EY

EZ Z

EY EZ E Z Y $ ³ ³ ³ EY Z Z Z Y $ Z Y $ Z Y $ Z Y Y $ Z

FYQ FYQ

309

6.2.4. ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ ÁÅÐÍÓËËÈ

Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âèäà \ S [ \

T [ \ Q , ãäå

ÎR, íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Áåðíóëëè. Çàìåòèì, ÷òî åãî î÷å-

n = 0 äàííîå óðàâíåíèå áóäåò ëèn = 1 ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè, à ïðè

âèäíîå ðåøåíèå ó = 0. Ïðè íåéíûì, ïðè

ëþáûõ äðóãèõ n îíî ñâîäèòñÿ ê ëèíåéíîìó ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè

w = ó1 n [32, 33, 43].

Äåëèì âñå ýëåìåíòû èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ íà y è ïîëó÷àåì

\ Q

G\ G\ 3 [ \ Q G[ G[

T [ .

Q Y Z

èëè

R Y

O Q Y Z

O Z

sO EZ

O R Y .

Ïîñëåäíåå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì, è ðåøåíèå òàêèõ óðàâíåíèé ìû ðàññìàòðèâàëè. Íàõîäèì îáùèé èíòåãðàë ïîëó÷åííîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ è, ïîäñòàâëÿÿ âìåñòî w âûðàæåíèå ó1 n, íàõîäèì îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Áåðíóëëè. Òåïåðü ïðèâåäåì êîíêðåòíûé ïðèìåð. Íàéäåì îáùåå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ xy' − 4 y = x y 2

Äàííîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì Áåðíóëëè ñ n = 1/2. Ïîýòîìó èñïîëüçóåì ïîäñòàíîâêó Z \ . Äåëèì âñå ýëåìåíòû

èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ íà

äåëèì îáå ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ íà õ

310

[

[ .

çàìå÷àÿ, ÷òî

Òåïåðü

GZ G[

è ïîëó÷àåì \ [\ \

0. Òîãäà ïîëó÷èì

îñóùåñòâëÿåì

[ . Ðàç-

ïîäñòàíîâêó

G\ . Ïîñëå ýòîãî óðàâíåíèå G[

ïðèíèìàåò âèä

GZ Z G[ [

[ èëè

GZ Z G[ [

[

, ò.å. ìû ïîëó-

÷èëè ëèíåéíîå óðàâíåíèå, èç ðåøåíèÿ êîòîðîãî è íàéäåì íåèçâåñòíóþ ôóíêöèþ

V W

w . Ïðèìåíèì ïîäñòàíîâêó

V W

è íàøå ëèíåéíîå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä:

òîãäà

EV EW W V VW EY EY Y

;

Â êà÷åñòâå v âûáåðåì êàêîå-ëèáî ÷àñòíîå ðåøåíèå äèôôåEW ðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ EY

W Y

, òîãäà u ìîæíî íàéòè èç

EV W EY

äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

Îïðåäåëÿåì ôóíêöèþ v: EW

EY Y

EW W

EY Y

MO W

èëè v = x2.

MO Y

Çíàÿ v, íàõîäèì ôóíêöèþ u: EV Y Y EV EY V ³ EY EY Y Y Çíàÿ u è v, âû÷èñëÿåì w : Z

V W

Y $

Òåïåðü íàõîäèì èñêîìóþ ôóíêöèþ:

\ Z

[ &

MO Y $

[ .

Ýòî è åñòü îáùåå ðåøåíèå èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ Áåðíóëëè. Åãî ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ è íîëü, ò.å. ó = 0. 311

6.2.5. ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ Â ÏÎËÍÛÕ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÀÕ

Ñíà÷àëà ïîÿñíèì ïîíÿòèå ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè äâóõ íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ. Ïîëíûé äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè äâóõ íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ W(x, y) ðàâåí ñóììå ïðîèçâåäåíèé ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ íà äèôôåðåíöèàëû ñîîòâåòñòâóþùèõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ [4, 32, 33], ò.å.

w: [ \

G[ G\ . w[ w\

Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ, åñëè åãî ëåâàÿ ÷àñòü åñòü ïîëíûé äèôôåðåíöèàë íåêîòîðîé ôóíêöèè W(x, y), ò.å. äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå [4, 32, 43, 6]: w3 [ \

w4 [ \

. w[

Ïîýòîìó èñõîäíîå óðàâíåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå dW = 0, ò.å. ðåøåíèå óðàâíåíèÿ â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ èìååò âèä W(x, y) = Ñ, ãäå Ñ = const. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ íàäî ïðîèíòåãðèðîâàòü åãî ëåâóþ ÷àñòü, ò.å. íàéòè èíòåãðàë îò ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà. Ìû ïðèâåäåì îêîí÷àòåëüíûå ôîðìóëû, íå êàñàÿñü èõ âûâîäà, êîòîðûé âûõîäèò çà ðàìêè ýòîé êíèãè, à èíòåðåñóþùèõñÿ èì íàïðàâëÿåì, íàïðèìåð, ê [4]. Èòàê, îáùåå ðåøåíèå èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

: [ \

èëè

: [ \

[

³ 3 [ \ G[ ³ 4 [ \ G\ &

[

312

3 [ \ G[ ³ 4 [ \ G\ & . \

Òî÷êó (õ0, ó0) îáû÷íî âûáèðàþò òàê, ÷òîáû ïîäûíòåãðàëüíûå ôóíêöèè áûëè áîëåå ïðîñòûìè. Ìîæíî ïîëó÷èòü îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ è äðóãèì ìåòîäîì. Èìåÿ â âèäó, ÷òî : [ \

îò

w: w[

3 [ \ G[ & \ ,

3 [ \

ãäå

è w\

4 [ \ ,

ïîëó÷èì

Ñó

( ) ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ

ó. Äèôôåðåíöèðóåì íàéäåííóþ ôóíêöèþ W(x, y) ïî ó è ïî-

w 3 [ \ G[ w\ ³

ëó÷àåì

íèÿ íàõîäèì

& \ 4 [ \ . Èç ïîñëåäíåãî óðàâíå-

( ) è, èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷àåì

Ñ(ó).

Ðàññìîòðèì êîíêðåòíûé ïðèìåð. Íàéäåì îáùåå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

[ [\ G[ [ \ G\

3 [ \

w3 w\

[ [\ ; 4 [ \

w3 [ \ ; w\

äàííîì

[ ;

w4 w[

ñëó÷àå

[ ,

ò.å.

w4 , è äàííîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì â ïîëíûõ w[

äèôôåðåíöèàëàõ. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèâåäåííûìè ôîðìóëàìè áóäåì èñêàòü îáùåå ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ, ïðèíÿâ â êà÷åñòâå òî÷êè (

õ0, ó0) íà÷àëî êîîðäèíàò (õ0 = 0, ó0 = 0):

: [ \

[

[ [\ G[ ³ \ G\ &

èëè : [ \ [ [ \ [ \ \ & .

Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå è åñòü îáùåå ðåøåíèå èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Åñëè ëåâàÿ ÷àñòü äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

1 Y Z EY 2 Y Z EZ íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì, òî èíîãäà óäàåòñÿ ïîäîáðàòü òàêóþ ôóíêöèþ l(õ, ó), ïîñëå óìíî

313

æåíèÿ íà êîòîðóþ âñåõ ýëåìåíòîâ óðàâíåíèÿ åãî ëåâàÿ ÷àñòü ñòàíîâèòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì. Îáùåå ðåøåíèå ïîëó÷åííîãî òàêèì îáðàçîì óðàâíåíèÿ ñîâïàäàåò ñ îáùèì ðåøåíèåì ïåðâîíà÷àëüíîãî óðàâíåíèÿ, à ôóíêöèÿ l(õ, ó) íîñèò íàçâàíèå èíòåãðèðóþùåãî ìíîæèòåëÿ çàäàííîãî óðàâíåíèÿ. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ l(õ, ó) óìíîæàåì íà íåãî îáå ÷àñòè èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ è òîãäà ïîëó÷àåì O1EY O2 EZ .

×òîáû ýòî óðàâíåíèå áûëî óðàâíåíèåì â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèå óñëîâèé w O 3 w O 4

w3 wO w4 wO O 3 O 4 , w[ w[ w\ w\ w\ w[

ò.å.

èëè

wO w\

wO w[

§ w4

O ¨¨

w3 · ¸. ¸ w\ ¹

Îòñþäà âèäíî, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè l(õ, ó) íàäî ïðîèíòåãðèðîâàòü äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, à ýòî î÷åíü íåïðîñòàÿ çàäà÷à, åå ìîæíî óïðîñòèòü, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî l-ôóíêöèÿ òîëüêî îäíîãî àðãóìåíòà èëè õ, èëè ó.

Íàïðèìåð, ïóñòü l = l(õ), òîãäà èìååì 4 G[

èëè EO O

w1 w2 wZ wY

§ w4

O ¨¨

w3 · ¸ ¸ w\ ¹

è îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì

O [

Çàìåòèì, ÷òî â ýòîì âûðàæåíèè ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ çàâèñèò îò õ. 314

Àíàëîãè÷íî â ñëó÷àå, åñëè l =

O \

l(ó), ïîëó÷àåì:

âèñèò òîëüêî îò . Ðàññìîòðèì êîíêðåòíûé ïðèìåð. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå

\ [\ G[ [ [ \ G\

äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

w3 Çäåñü 3 [ \ \ [\ ; 4 [ \ [ [ \ ; w\ [\ ; w3 w4 w4 [\ , ò.å óñëîâèå w\ w[ íå âûïîëíÿåòñÿ. Ïîïðîáów[

åì íàéòè èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü l. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îí çàâèñèò òîëüêî îò àðãóìåíòà õ, ò.å. l = l(õ). Òîãäà ïîëó÷àåì EO O

YZ YZ EY Y Y Z

YZ EY Y YZ

EY , Y

O OQ [ èëè l = õ. Óìíîæàåì îáå ÷àñòè èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ íà íàéäåííûé èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü è ïîëó÷àåì [\ [ \ G[ [ [ \ G\ . OQ

Íàõîäèì w\

[ [ \ ;

w4 w[

[ [ \ , ò.å

w3 w\

w4 , è ìû ïîw[

ëó÷èëè äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ. Ïðèìåì â êà÷åñòâå òî÷êè (õ0, ó0) íà÷àëî êîîðäèíàò, ò.å. õ0 = 0; ó0 = 0. Òîãäà ïîëó÷èì

: [ \

èëè

[

³ [\

[ \ G[

[

& Ýòî è åñòü îáùåå ðåøåíèå çàäàííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. : [ \

[ \

315

6.3. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà

Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà èìåþò ñëåäóþùèé âèä: ) [ \ \ \

èëè ) [ \

(6.15)

G\ G \

. G[ G[

Åñëè (6.15) ìîæíî ðàçðåøèòü îòíîñèòåëüíî âòîðîé ïðîèçâîäíîé, òî îíî ïðèìåò âèä [4, 32]

I [ \ \ .

(6.16)

Ïðîñòåéøèì ñëó÷àåì äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âèäà

[ ,

(6.17)

êîòîðîå ðåøàþò äâóêðàòíûì èíòåãðèðîâàíèåì, ò.å.

G\ I [ G\ I [ G[ G[ ³ G\ ³ I [ G[ \ ) [ & G\ ) [ & G\ ) [ & G[ G[ ³ G\ ³ ) [ & G[ \ ) [ & [ &

Â êà÷åñòâå ïðèìåðà íàéäåì îáùåå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

\ [ \ [ & \ [ & [ &

Çàìåòèì, ÷òî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âèäà (6.16) èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé, êîòîðûå çàäàþòñÿ ôîðìóëîé \ M [ F F (6.18), ñîäåðæàùåé äâå ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Âûðàæåíèå âèäà (6.18) íàçûâàåòñÿ îáùèì ðåøåíèåì äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6.16).

316

×àñòíîå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6.15) íàõîäèòñÿ ïðè ïîìîùè çàäàíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé

[

è \

[ [

Íàéäåì ÷àñòíûå ðåøåíèÿ ðàññìîòðåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ y = x2 ïðè ñëåäóþùèõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ:

\ [ è \ [ . Òîãäà ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîñòîÿííûõ Ñ1 è Ñ2.

°° ® ° °¯

& °& ® °& & & ¯

Ïîýòîìó ÷àñòíîå ðåøåíèå èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ áóäåò èìåòü âèä

[

[ .

Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë íà÷àëüíûõ óñëîâèé çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïîìèìî òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè (õ0, ó0), ÷åðåç êîòîðóþ äîëæíà ïðîõîäèòü èíòåãðàëüíàÿ êðèâàÿ, çàäàþò åùå óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé (y 0) ê ýòîé êðèâîé. Òàê êàê îáùåå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà çàâèñèò îò äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ, òî ÷åðåç äàííóþ òî÷êó ïðîõîäèò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî èíòåãðàëüíûõ êðèâûõ, íî îäíà èç íèõ èìååò çàäàííûé óãëîâîé êîýôôèöèåíò (y 0). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6.16) f(x, y, y ) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òðåõ íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ, òàê êàê ïðè çàäàíèè íà÷àëüíûõ óñëîâèé êîîðäèíàòû õ0, ó0 è óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé y 0 íè÷åì ìåæäó ñîáîé íå ñâÿçàíû. 317

Òîãäà ñôîðìóëèðóåì òåîðåìó ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âèäà (6.16). Åñëè ôóíêöèÿ f(x, y, y ) íåïðåðûâíà â îêðåñòíîñòè çíà÷åíèé õ0, ó0, y 0, òî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âèäà (6.16) èìååò ðåøåíèå y = y(x) òàêîå, ÷òî y(x0) = y0 è y (x0) = y 0. Åñëè êðîìå ýòîãî íåïðåðûâíû è ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå wI [ \ \ wI [ \ \

è w\ w\

òî ýòî ðåøåíèå åäèíñòâåííîå [4, 32]. Êàê è äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà, çàäà÷à îòûñêàíèÿ ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ ïî íà÷àëüíûì óñëîâèÿì íàçûâàåòñÿ çàäà÷åé Êîøè. Äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà âûäåëåíèå ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ ìîæíî ïðîâîäèòü ïóòåì çàäàíèÿ òàê íàçûâàåìûõ êðàåâûõ óñëîâèé. Â ýòîì ñëó÷àå çàäàþòñÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ó â äâóõ ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ

\ [

è \ [

[

Â êà÷åñòâå ïðèìåðà íàéäåì ÷àñòíîå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ y = x2 ïðè ñëåäóþùèõ êðàåâûõ óñëîâèÿõ:

è \ [

Ïîäñòàâëÿÿ ýòè çíà÷åíèÿ â îáùåå ðåøåíèå èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ, ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ íàõîæäåíèÿ íåèçâåñòíûõ ïîñòîÿííûõ Ñ1 è Ñ2. °° ® ° °¯

& & °° & ® °& & & °¯

Òàêèì îáðàçîì, èñêîìîå ÷àñòíîå ðåøåíèå èìååò âèä

318

[

Â ðàññìîòðåííîì ñëó÷àå ïîëó÷èëîñü îäíî ÷àñòíîå ðåøåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå çàäàííûì êðàåâûì óñëîâèÿì, íî òàê áûâàåò íå âñåãäà. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âèäà (6.16) ìîæåò íå èìåòü ðåøåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùåãî çàäàííûì êðàåâûì óñëîâèÿì èëè èìåòü áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî òàêèõ ðåøåíèé. Â ýòîì ñîñòîèò êîðåííîå îòëè÷èå çàäàíèÿ êðàåâûõ óñëîâèé îò çàäàíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé [4, 8, 32]. 6.3.1. ËÈÍÅÉÍÛÅ ÎÄÍÎÐÎÄÍÛÅ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß Ñ ÏÎÑÒÎßÍÍÛÌÈ ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÀÌÈ

Ê íèì îòíîñÿòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âèäà y + ay + by = 0, (6.19) ãäå D 5 , E 5 .

Ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû, ïîìîãàþùèå íàõîäèòü îáùåå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âèäà (6.19). ÒÅÎÐÅÌÀ 6.1. Åñëè ôóíêöèÿ y 1 ýòî ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6.19), òî è ôóíêöèÿ 1 ( = const) òàêæå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6.19). ÒÅÎÐÅÌÀ 6.2. Åñëè ôóíêöèè 1 è 2 åñòü ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6.19), òî è ôóíêöèÿ 1 + 2 òàêæå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6.19). Ïðè ýòîì 1 è 2 íàçûâàþòñÿ ÷àñòíûìè ðåøåíèÿìè (6.19). Äâà ÷àñòíûõ ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6.19) íàçûâàþò ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè, åñëè îäíî èç íèõ íå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî êàê äðóãîå, óìíîæåííîå íà íåêîòîðûé ïîñòîÿííûé êîýôôèöèåíò , ò.å. 2 ¹ 1. ÒÅÎÐÅÌÀ 6.3. Åñëè 1 è 2 ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ (6.19), òî åãî îáùåå ðåøåíèå èìååò âèä (6.20) 1 1 + 2 2, ãäå ( 1 è 2 ïîñòîÿííûå). Äëÿ òîãî ÷òîáû íàéòè îáùåå ðåøåíèå (6.19), èìåþùåå âèä (6.20), íàäî íàéòè äâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ÷àñòíûõ ðåøåíèÿ 1 è 2. = y

y = Ñy

y = y

y = Ñ y

Ñy

Ñ ó

319

Ýéëåð ïðåäëîæèë èñêàòü ÷àñòíîå ðåøåíèå (6.19) âèäà , ãäå = const, è íåîáõîäèìî ïîäîáðàòü [4, 32]. ×òîáû íàéòè çíà÷åíèå , ïðè êîòîðîì áóäåò ðåøåíèåì äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6.19), ïîäñòàâèì è åå ïðîèçâîäíûå ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêà â ýòî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå. Ïîëó÷èì

y =

y = e

\ NH N[ \ N H N[

N H N[ DNH N[ EH N[ H

DN E

H N[

çíà÷èò,

z äëÿ [ ,

N DN E

(6.21)

Óðàâíåíèå (6.21) íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6.19). Ðåøàÿ åãî, ìîæíî íàéòè íåèçâåñòíûå ïîñòîÿííûå

k1 è k2.

Ïðè ðåøåíèè (6.21) âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ: 1. D > 0, k1

¹ k2, îáùåå ðåøåíèå (6.19) èìååò âèä

= 0,

k1 k2 k =

N [

. Â ýòîì ñëó÷àå

çàòü (ñì., íàïðèìåð, [4, 32]), ÷òî \

(6.22)

H N[ è ìîæíî äîêà-

[H N[ , à îáùåå ðåøåíèå

(6.19) èìååò âèä

u F

< 0,

k1 k2 è

Yu F

(6.23)

êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå êîðíè âèäà

F LS N

F LS , ãäå L

×àñòíûå ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6.19) â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèä

320

F LS [

LS [

Êàê ïðàâèëî, ÷òîáû íå èìåòü ìíèìûõ âåëè÷èí â ïîêàçàòåëå ñòåïåíè, ýòè ðåøåíèÿ ïðåîáðàçóþò, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû Ýéëåðà. L[

FRV

[

L VLQ [

FRV

[

L VLQ [ .

Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ñëó÷àÿ ïîëó÷àåì:

H F LS

H F[ FRV S[ L VLQ S[

H F[ HLS[

[

H F[ H LS[

[

H F[ FRV S[ L VLQ S[

Ïîýòîìó îáùåå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6.19) èìååò âèä

L VLQ S[ & H FRVS[ L VLQ S[

& H FRVS[ L& H VLQ S[ & H FRVS[ L& H VLQ S[ H FRVS[ & & LH VLQ S[ & &

\ &H

FRVS[

Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: Ñ1 = ÑI + ÑII è C2 = i(CI CII) è îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì \ H F[ & FRVS[ & VLQ S[ .

(6.24)

Òåïåðü ðàññìîòðèì êîíêðåòíûå ïðèìåðû.

Ïðèìåð 6.8 Íàéäåì ÷àñòíîå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

y 2y 3y = 0 ïðè ñëåäóþùèõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ

;

[

Ñíà÷àëà áóäåì èñêàòü îáùåå ðåøåíèå èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. NH N[ H N[ H N[ N N H N[ z N N ' N H N[

321

Ïîýòîìó îáùåå ðåøåíèå èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä \ & H & H [

[

Òåïåðü íàõîäèì ÷àñòíîå ðåøåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå çàäàííûì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì. Âíà÷àëå íàõîäèì \ & H [

& H [ ,

çàòåì ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ íàõîæäåíèÿ

° & H & H & & & ® ® ® °¯ & H & H ¯ & & ¯&

Ïîýòîìó ÷àñòíîå ðåøåíèå èìååò âèä

Ñ1 è Ñ2.

H [ H [ .

Ïðèìåð 6.9 Íàéäåì îáùåå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. y 6y + 9y = 0. Ïåðåïèøåì èñõîäíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â âèäå:

N H N[

H N H

' N

NH N[

H N[

N N N N

×àñòíûìè ðåøåíèÿìè äàííîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ

HN[

H [ è \

Îáùåå ðåøåíèå èìååò âèä

[H N[

[H [ .

\ & H [ [& H [ H [ & & [

Ïðèìåð 6.10 Íàéäåì îáùåå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ 322

4y + 13y = 0.

NH N[ H N[ N[ N N H N[ H z N N ' L L

N N

L N

Ïîýòîìó îáùåå ðåøåíèå èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä

\ H & FRV [ & VLQ [

[

6.3.2. ËÈÍÅÉÍÛÅ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß Ñ ÏÎÑÒÎßÍÍÛÌÈ ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÀÌÈ È Ñ ÏÐÀÂÎÉ ×ÀÑÒÜÞ

Îáùèé âèä òàêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñëåäóþùèé: y + ay + by = f(x). (6.25) Îáùåå ðåøåíèå òàêîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïîëó÷àåòñÿ ñóììèðîâàíèåì îáùåãî ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè y + ay + by = 0 è êàêîãî-òî ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6.25) [4, 32]. Òàê êàê íàõîæäåíèå îáùåãî ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âèäà (6.19) ìû ðàññìîòðåëè ðàíüøå, òî îñòàåòñÿ íàéòè ëþáîå ÷àñòíîå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6.25). Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè, â êîòîðûõ ðåøåíèå ìîæíî íàéòè ìåòîäîì íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ. 1) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6.25) èìååò âèä f(x) = P1(x)enx (6.26), ãäå P1(x) ìíî323

ãî÷ëåí. Òîãäà äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (6.25) èìååò ÷àñòíîå ðåøåíèå âèäà ó = õmP2(x)enx, ãäå P2(x) ìíîãî÷ëåí òîé æå ñòåïåíè, ÷òî è P1(x), ïðè÷åì åñëè ÷èñëî n íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, òî m = 0, à åñëè ÿâëÿåòñÿ, òî m êðàòíîñòü ýòîãî êîðíÿ. Âçÿâ ðåøåíèå â óêàçàííîé ôîðìå, íàõîäèì íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà P2(x) ïî ñïîñîáó íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ. Ïðàâèëî ñîõðàíÿåòñÿ è â òîì ñëó÷àå, êîãäà n = 0, ò.å. â ïðàâîé ÷àñòè ñòîèò òîëüêî ìíîãî÷ëåí P1(x) (â ýòîì ñëó÷àå íàäî ïðîâåðèòü, íå ÿâëÿåòñÿ ëè íîëü êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, â ÷àñòíîì ñëó÷àå ìíîãî÷ëåí P1(x) ìîæåò áûòü íóëåâîé ñòåïåíè, ò.å. ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé). Ðàññìîòðèì êîíêðåòíûé ïðèìåð.

Ïðèìåð 6.11

Íàéäåì îáùåå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ: y + 3y 4y = 4 + x. Ñíà÷àëà íàéäåì îáùåå ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ y + 3y 4y = 0. Åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò âèä N N

' N

Çíà÷èò, îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ áóäåò \ & H [ & H [ .

Ïðàâàÿ ÷àñòü ðàññìàòðèâàåìîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä P1(x)en , ïðè÷åì n = 0, à P1(x) = 4 + õ. Òàê êàê íîëü íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ N N x

òî ÷àñòíîå ðåøåíèå çàäàííîãî äèôôå-

ðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ èùåì â âèäå

y2 = Ax + B, ãäå À è Â

ïîñòîÿííûå, êîòîðûå íóæíî íàéòè. Íàõîäèì

y2 A y =

;

2 = 0 è

ïîäñòàâëÿåì â èñõîäíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå. Òîãäà ïîëó÷àåì

324

$ $[ %

$ ® ¯ $ %

[;

$ ° ° ® ° % ° ¯

$ ° ° ® °% ° ¯

Ïîýòîìó ÷àñòíûì ðåøåíèåì çàäàííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ áóäåò ôóíêöèÿ

[

À åãî îáùèì ðåøåíèåì ôóíêöèÿ

\ \

& H [

& H [ [

2) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6.25) èìååò âèä f(x) = a . cos n x + b sin n x. (6.27) Åñëè ÷èñëà ±in íå ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, òî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (6.25) èìååò ÷àñòíîå ðåøåíèå âèäà y = A cosnx + B sinnx. Åñëè ÷èñëà ±in åñòü êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, òî ÷àñòíîå ðåøåíèå (6.25) èìååò âèä y = õ(A cosnx + B sinnx). Â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà èëè à = 0, èëè b = 0, ðåøåíèå íóæíî èñêàòü â óêàçàííîì âèäå.

Ïðèìåð 6.12.

Â êà÷åñòâå ïðèìåðà íàéäåì îáùåå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ y + 4y + 13y = 3 cos2x. Ñíà÷àëà íàõîäèì îáùåå ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ y + 4y + 13y = 0. Åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò âèä:

N ' N L N L

325

À åãî îáùåå ðåøåíèå òàêîâî: Z

$ DP T Y

$ TJO Y .

Òåïåðü íàõîäèì ÷àñòíîå ðåøåíèå èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Åãî ïðàâàÿ ÷àñòü èìååò âèä (6.27), ïðè÷åì a = 3; b = 0; n = 2. ×èñëà ±2i íå ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, ïîýòîìó ÷àñòíîå ðåøåíèå çàäàííîãî íåîäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ èùåì â âèäå y2 = A cos 2x + B sin 2x, ãäå À è Â íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû, êîòîðûå íàäî íàéòè. Äâàæäû äèôôåðåíöèðóåì ó2 è ðåçóëüòàòû ïîäñòàâëÿåì â èñõîäíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå. Òîãäà ïîëó÷àåì: \ $ VLQ [ % F R V [ \ $ F R V [ % VLQ [ $ F R V [ % VLQ [ $ VLQ [ % F R V [ $ F R V [ % VLQ [ F R V [ $ F R V [ % VLQ [ $ VLQ [ % F R V [ $ F R V [ % VLQ [ F R V [

Òåïåðü ïðèðàâíèâàåì äðóã ê äðóãó îäíîèìåííûå êîýôôèöèåíòû ïðè sin2x è cos2x è ïîëó÷àåì $ $ °$ $ % $ $ % ° ° ° ® ® ® ® ¯ % $ % ¯ % $ °% $ °% . ° ° ¯ ¯

È ÷àñòíîå ðåøåíèå èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ áóäåò ñëåäóþùèì: FRV [ VLQ [ .

Ïîýòîìó îáùåå ðåøåíèå çàäàííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ áóäåò ñëåäóþùèì:

326

\ \

H [

FRV [

VLQ [

FRV [ VLQ [

Òåïåðü ïðèâåäåì ìåòîä Ëàãðàíæà (ñïîñîá âàðèàöèè ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ), êîòîðûé ïîçâîëÿåò íàõîäèòü îáùåå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ y + ay + by = f(x), ãäå f(x) ëþáàÿ ôóíêöèÿ [4]. ×òîáû ïðèìåíèòü îïèñûâàåìûé ìåòîä, íàäî çíàòü îáùåå ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ y + ay + by = 0, (6.28) ãäå à è b ìîãóò áûòü êàê ÷èñëàìè, òàê è íåêîòîðûìè ôóíêöèÿìè îò õ. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî à è b ÷èñëà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (6.28), ñîîòâåòñòâóþùåå äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ (6.25), èìååò îáùåå ðåøåíèå , \ \ \ ãäå 1 è 2 ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Áóäåì èñêàòü îáùåå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6.25) â âèäå

Ñ Ñ

(6.29) \ N [ \ N [ \ . Çäåñü k1(x) è k2(x) íåèçâåñòíûå ôóíêöèè, êîòîðûå íàäî îïðåäåëèòü, à ó1 è ó2 èçâåñòíûå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ äèôôåðåí

öèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6.28). Ïðîäèôôåðåíöèðóåì (6.29) è ïîëó÷èì

N [ \ N [ \ N [ \ N [ \ . Òàê êàê íàäî íàéòè äâå ôóíêöèè k1(x) è k2(x), òî îäíèì èç

ñîîòíîøåíèé ìåæäó íèìè ìîæíî ðàñïîðÿäèòüñÿ ïðîèçâîëüíî. Ïîýòîìó ïîëîæèì N [ \ N [ \ .

(6.30)

N [ \ N [ \ .

N [ \ N [ \

Òîãäà

Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ïðîäèôôåðåíöèðóåì âòîðîé ðàç è ïîëó÷èì

N [ \ N [ \

327

Òåïåðü ïîäñòàâèì â ëåâóþ ÷àñòü äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6.25) y, y , y è ïîëó÷èì: k '1 ( x ) y '1 + k1 ( x ) y '1' + k '2 ( x ) y ' 2 + k 2 ( x ) y ' '2 + a k1( x ) y '1 + a k2( x ) y ' 2 + b k1( x ) y1 + + b k 2 ( x ) y 2 = k '1 ( x ) y '1 + k ' 2 ( x ) y ' 2 + k1 ( x ) (y ' ' 1 + a y 1' + b y1) + + k 2 (x ) ( y ' ' 2 + a y '2 + b y2) = f ( x ) ; y ' ' 1 + a y 1' + b y1 = 0; y ' ' 2 + a y '2 + b y2 = 0. òàê êàê ó1 è ó2 åñòü ÷àñòíûå ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6.28). Ïîýòîìó äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ (6.29) áûëà îáùèì ðåøåíèåì (6.25), íåîáõîäèìî âûïîëíåíèÿ äâóõ óñëîâèé:

[ \ N [ \ ® ¯N [ \ N [ \

(6.31)

I [

Äëÿ òîãî ÷òîáû ñèñòåìà (6.31) èìåëà ðåøåíèÿ, íåîáõîäèìî, ÷òîáû åå îïðåäåëèòåëü íå áûë ðàâåí íóëþ, ò.å.

\ \ \ \

z .

Ïîýòîìó èç ñèñòåìû (6.31) ñíà÷àëà íàõîäèì k 1(x) è k 2(x), à çàòåì èíòåãðèðîâàíèåì îïðåäåëÿåì ñàìè ôóíêöèè k1(x) è k2(x). Åñëè ïðè èíòåãðèðîâàíèè k 1(x) è k 2(x) ââåñòè ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, òî ñðàçó ïîëó÷èì îáùåå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6.25). Ðàññìîòðèì êîíêðåòíûé ïðèìåð. Ïðèìåð 6.13

\ \

FWJ [ .

Èñõîäíîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ ñîîòâåòñòâóåò îäíîðîäíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå \ \

, õàðàêòå-

ðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå êîòîðîãî èìååò âèä

328

FRV

[ \

VLQ

[

Ïîýòîìó çàïèøåì îáùåå ðåøåíèå èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ â âèäå N FRV [ N VLQ [ , ãäå k1 è k2 ôóíêöèè îò x.

À çàòåì ñîñòàâèì ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ íàõîæäåíèÿ

°N FRV [ N VLQ [ ® °¯ N VLQ [ N FRV [

k 1 è k 2

FWJ [

Ðåøàåì ñèñòåìó è ïîëó÷àåì

FWJ

[ VLQ

[

N ³

, N

[ N

[ VLQ [ FWJ

FRV

[ FWJ

FRV

FRV VLQ

[ [

[ [ [

è íàõîäèì

FRV [G[ FRV WGW ³

çäåñü

[

FWJ

Èíòåãðèðóåì N

[

FRV

VLQ

[

FRV

[

FRV

[

FWJ

[

VLQ

FRV

[

VLQ

[

VLQ

FRV

[

FRV

ª « [ W [ ¬

W G[ GW º » ¼

VLQ W & VLQ [ &

;

ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.

329

FRV [ G[ ³ VLQ [

ª « ¬

[ W [

· ³ VLQWGW¸ ¹

º X »¼

· FR VW ¸ ¹

§¨ [ OQ WJ ¨©

· FRVW ¸¸ & ¹

FRV W GW ³ VLQ W

GW º

OQ X

FR VW

[ ¸ &

FRV

¸ ¹

ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Òåïåðü îáùåå ðåøåíèå èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ìû çàïèøåì â âèäå

Çäåñü

ª§ «¨ ¨ «© ¬

§ ¨ ©

· VLQ [ & ¸ FRV [ ¹

[ OQ WJ

º · . FRV [ ¸ & » VLQ [ ¸ » ¹ ¼

6.4. Ïîíÿòèå î ñèñòåìàõ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé

Ïðè ðåøåíèè íåêîòîðûõ çàäà÷ ôèçèêè, ìåõàíèêè, ýêîíîìèêè ÷àñòî íàäî íàõîäèòü ôóíêöèè \ \ [ \ \ [

, ,

\ Q [ , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ñîäåðæàùèõ èñêîìûå ôóíêöèè \ \ \ , Q

íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ è ïðîèçâîäíûå è (èëè) äèôôåðåíöèàëû èñêîìûõ ôóíêöèé [32]. Â íàñòîÿùåì ó÷åáíèêå êðàòêî ðàññìîòðèì ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà. Îíè èìåþò âèä

330

G Y Z Z

EY EZ

Z O °

G Y Z Z Z O ° ¾

° ° Z O ° ¿

(6.32)

EZ O

G O Y Z Z

Ñèñòåìà âèäà (6.32), ïðàâûå ÷àñòè êîòîðîé íå ñîäåðæàò ïðîèçâîäíûõ èñêîìûõ ôóíêöèé, íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíîé. Ïðîèíòåãðèðîâàòü ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé çíà÷èò íàéòè ôóíêöèè \ \ \ Q , óäîâëåòâîðÿþùèå (6.32) è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì

\ [

\ \ Q [

\ [

\ Q

(6.33)

åñëè îíè çàäàíû. Èíòåãðèðîâàíèå ñèñòåìû (6.32) ïðîâîäÿò ñëåäóþùèì îáðàçîì. Äèôôåðåíöèðóåì ïî õ ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (6.32) è ïîëó÷àåì

G \ G[

I w[

I G\ w\ G[ w

I G\ Q w\ Q G[ w Q

Çàìåíÿÿ â ýòîì óðàâíåíèè ïðîèçâîäíûå

EZ EZO EY EY

èõ âû-

ðàæåíèÿìè èç (6.32), ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå G \

) [ \ \

Q .

Äèôôåðåíöèðóåì åãî ïî õ è, ïîñòóïàÿ àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó, íàéäåì G \

) [ \ \

Q .

Ïðîäîëæàÿ äàëåå òàê æå, ïðèäåì ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ 331

G Q \

G[ Q

) [ \ \ Q

Q .

Ïîýòîìó èñõîäíàÿ ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (6.32) ïðèìåò âèä EZ EY E Z

½ ° ° ° )

Y Z Z O ° ¾ EY ° ° E O Z )O Y Z ZO ° O ° EY ¿

Y Z ZO

(6.34)

Èç ïåðâûõ (n 1) óðàâíåíèé ñèñòåìû (6.34) ïîëó÷àåì

\ \ \ Q , âûðàçèâ èõ ÷åðåç Y Z

M M

[

EZ E Z E O Z EY EY EY O

\ \ \

, ò.å.

° ¾ ° \ Q M Q [ \ \ \ Q ° ¿ \

[

\ \ \

° (6.35)

\ \ Q èç (6.35) â ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ñèñòåìû (6.34) è ïîëó÷àåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå n-ãî ïîðÿäêà äëÿ îïðåäåëåíèÿ y1, ò.å. Ïîäñòàâëÿåì âûðàæåíèÿ äëÿ \

G\ Q

) [ \ \ \ Q .

(6.36)

ó1

Ðåøàåì óðàâíåíèå (6.36) è íàõîäèì

\ [ & & & Q

(6.37)

Äàëåå äèôôåðåíöèðóåì óðàâíåíèå (6.37)

äèì 332

Z O ,

[

êàê ôóíêöèè îò

Q ðàç è íàõî-

& &

&Q .

Çàòåì

ïîäñòàâëÿåì

èõ

(6.35)

íàõîäèì

èñêîìûå

ôóíêöèè

\ \ \ Q , ò.å.

\ \ [ & & & Q ½ \ \ [ & & &Q °° ¾ ° \ Q [ & & &Q °¿

(6.38)

Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷åííîå ðåøåíèå óäîâëåòâîðÿëî çàäàííûì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì (6.33), íàäî íàéòè èç (6.37) è (6.38)

& &

ñîîòâåòñòâóþùèå ïîñòîÿííûå

[32].

Òåïåðü ïðèâåäåì êîíêðåòíûé ïðèìåð ðåøåíèÿ ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.

Ïðèìåð 6.14. Ïðîèíòåãðèðóåì ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ

óðàâíåíèé

G[ GW G[ GW

G\ GW

½ [ VLQ W ° ¾. ° FRV W ¿

(6.39)

Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû íàõîäèì G[

FRV W \

è, ïîäñòàâèâ â ïåðâîå óðàâíåíèå ýòîé ñèñòåìû, ïîëó÷èì

FRV W \

èëè

G\ GW

[

VLQ W

FRV W \ [ VLQ W .

(6.40)

Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî t óðàâíåíèå (6.40)

G[ GW

G\ GW

VLQ W FRV W . 333

Ïîäñòàâèì â ýòî óðàâíåíèå âìåñòî (6.40), à âìåñòî G \

G[ åãî çíà÷åíèå èç (6.39): GW

FRV W

G\ åãî çíà÷åíèå èç GW

\ FRV W \ [ VLQ W VLQ W FRV W

Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì G \

FRV W \ [ .

(6.41)

Íàéäåì èç äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6.40):

§ G\

¨ ©

[

· FRV W \ VLQ W ¸ ¹

è ïîäñòàâèì åãî çíà÷åíèå â (6.41). Òîãäà ïîëó÷èì G

G\ GW

FRV W

VLQ W .

(6.42)

Óðàâíåíèå (6.42) ýòî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè è ïðàâîé ÷àñòüþ, êîòîðûå ðàññìàòðèâàëèñü â ïóíêòå 6.3.2. Ðåøèâ (6.42),

íàéäåì íåèçâåñòíóþ ôóíêöèþ . Âíà÷àëå íàéäåì îáùåå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâ-

\ \ \

íåíèÿ áåç ïðàâîé ÷àñòè, ò.å.

Åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò âèä N

N N N

À îáùåå ðåøåíèå ñëåäóþùåå: \

Ñ Ñ

& H & H W

ãäå 1 è 2 ïîñòîÿííûå. Òåïåðü íàéäåì ëþáîå ÷àñòíîå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6.42) I

[

FRV W

VLQ W .

Òàê êàê ÷èñëà r L íå ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, òî ÷àñòíîå ðåøåíèå (6.42) ìû èùåì â âèäå

334

$ FRV W

% VLQ W

À Â

ãäå è íåèçâåñòíûå ïîñòîÿííûå, êîòîðûå íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü. Íàõîäèì \ è \ : \

$ VLQ W % FRV W $ FRV W % VLQ W

Ïîñòàâëÿåì y2; y2 ; 2 â (6.42) è ïîëó÷àåì:

$ FR VW % VLQ W $ VLQ W % FR VW $ FR VW % VLQ W

èëè

2 $ FRV W % FRV W % VLQ W $ VLQ W

èëè

# TJO U # "

D P T U "

$ % $ %

Ñëåäîâàòåëüíî,

o$ o %

FR VW VLQ W

FRV W VLQ W ,

DPT U

TJO U

FRV W

À îáùåå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6.42) èìååò âèä Z

$ F

$ F U DP T U

(6.43)

Òåïåðü îïðåäåëèì íåèçâåñòíóþ ôóíêöèþ õ ïî ôîðìóëå

§ G\ ¨ ©

[

· FRV W \ VLQ W ¸ ¹

(6.44)

Äèôôåðåíöèðóÿ ïî t óðàâíåíèå (6.43), íàõîäèì EZ

$ F U $ F U TJO U

Ïîäñòàâëÿÿ â (6.44) íàéäåííûå çíà÷åíèÿ dy/dt è çíà÷åíèå ó èç ôîðìóëû (6.43), ïîëó÷àåì èñêîìóþ ôóíêöèþ õ, ò.å.

$ F

TJO U

$ F

D P TU

$ F

TJO U

$ F

DP TU

335

Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ 1. Íàéòè îáùèå ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé: 1.1 [ G\ \ G[ ; 1.2. [\ [ G[ \ [ \ G\ 1.3. \

[

1.4. VLQ [G[

;

G\ \

1.5. \ FRV [G[ VLQ [G\

2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òåìï èçìåíåíèÿ ïðîèçâîäèòåëüíîñòè òðóäà õàðàêòåðèçóåòñÿ ôóíêöèåé I W . Íàéòè ôóíêöèþ ïðîèç\ W , åñëè

âîäèòåëüíîñòè òðóäà \

2.1.

2.2. G U

MO U U

;

3. Íàéòè îáùèå ðåøåíèÿ îäíîðîäíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé 3.1. \ [ G[ \ [ G\ ; 3.2. [G\ \G[

[ \ G[ ;

3.3. \ [ G[ \ [ G\

3.4. [ FRV

\ \G[ [G\

[

\ VLQ

; \ [G\ \G[ . [

4. Íàéòè îáùèå ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è ÷àñòíûå ðåøåíèÿ òàì, ãäå çàäàíû íà÷àëüíûå óñëîâèÿ.

336

4.1. \

[

;

[

4.2. \ \WJ[

FRV [

[\ [ \

4.3.

4.4. [\

[

;

[

;

[

H H

5. Íàéòè îáùèå ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. 5.1. \ \ 5.2. \ \ 6. Íàéòè îáùèå ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé: 6.1. \ [ 6.2. \

FRV

6.3. \

[

6.4. \ [ [ 7. Ðåøèòü çàäà÷ó Êîøè äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:

7.1. \

[

ïðè \

7.2. \ VLQ [ ïðè

[

8. Íàéòè îáùèå ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé: 8.1. \ \ 8.2. \ \

337

8.3. \ \ \

8.4. \ \ 9. Íàéòè ÷àñòíûå ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, óäîâëåòâîðÿþùèå çàäàííûì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì:

, åñëè \ [

9.1. \ \ 9.2. \ \

, åñëè \ [

[

10. Íàéòè îáùèå ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé: 10.1. \ \ \ 10.2. \ \ \ 10.3. \ \ \

H [

[

[ 10.4. \ \ \ VLQ [ FRV [ 10.5. \ \ \ VLQ [ 10.6. \ \ \ FRV [

[

11. Ðåøèòü ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé

G\ ° GW 11.1. ® G\ ° ¯ GW

G[ ° GW °° G\ ® 11.2. ° GW ° G\ °¯ GW

\ [

338

[ \ ]

12. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèé Áåðíóëëè.

12.1. \ [

12.2. \ [\ [ \ 13. Ïðîèíòåãðèðîâàòü óðàâíåíèå â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ.

13.1. [ \ [ G[ [\G\

13.2. [ \ G[ [ \ G\ 14. Ðåøèòü óðàâíåíèÿ, äîïóñêàþùèå èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü âèäà l = l(õ) èëè l = l(ó). 14.1. [ \ G[ [\G\ 14.2. \ [\ G[ [G\

Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè 1) Êàêîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà? 2) ×òî òàêîå îáùåå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà? 3) ×òî òàêîå ÷àñòíîå ðåøåíèå è â ÷åì ñóòü íà÷àëüíûõ óñëîâèé äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà? 4) Äàòü ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. 5) ×òî ÿâëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé èëëþñòðàöèåé îáùåãî è ÷àñòíîãî ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà? 6) ×òî òàêîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè è êàêèì ìåòîäîì åãî ìîæíî ðåøèòü? 7) Êàêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà íàçûâàþòñÿ îäíîðîäíûìè, êàêîâ ìåòîä èõ ðåøåíèÿ? 8) Êàêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà íàçûâàþòñÿ ëèíåéíûìè, êàêîâ ìåòîä èõ ðåøåíèÿ? 9) Êàêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà íàçûâàþòñÿ îáûêíîâåííûìè? Êàêîâ èõ îáùèé âèä? 10) Êàêèå ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ îäíîðîäíûìè ôóíêöèÿìè n-ãî èçìåðåíèÿ? 11) Êàê íàéòè îáùåå ðåøåíèå ëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè?

339

12) ×åì îòëè÷àåòñÿ çàäàíèå êðàåâûõ óñëîâèé îò çàäàíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé â äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿõ âòîðîãî ïîðÿäêà? 13) Êàêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè íàçûâàþòñÿ îäíîðîäíûìè? 14) Êàê íàéòè îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè? 15) Êàê íàéòè îáùåå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè è ïðàâîé ÷àñòüþ? 16) ×òî íàçûâàåòñÿ ñèñòåìîé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è åå ðåøåíèåì? 17) Êàê ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñâîäèòñÿ ê îäíîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ âûñøåãî ïîðÿäêà. 18) Êàêîå óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Áåðíóëëè è êàêîâ ìåòîä åãî ðåøåíèÿ? 19) Êàêîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ? 20) Êàêîâû ìåòîäû ðåøåíèÿ óðàâíåíèé â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ? 21) ×òî òàêîå èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü è êàêîâ ìåòîä åãî íàõîæäåíèÿ?

7. ÐßÄÛ 7.1. ×èñëîâûå ðÿäû

Âûðàæåíèå Z Z ZQ ãäå

! ! ! !

! ¦Z f

(7.1)

Q ,

Z Z Z Q Z Z ZQ ýòî ÷ëåíû ðÿäà.

íåêîòîðûå ÷èñëà, íàçûâàþò ÷èñëîâûì

ðÿäîì,

Äëÿ ëþáîãî ÷èñëîâîãî ðÿäà ¦ Z ìîæíî ïîñòðîèòü ïîñëå

äîâàòåëüíîñòü åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì : 6 Z ; 6 Z Z ; 6 Z Z Z ;

...

6 Q Z Z Z Z Q Q Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë 6 Qof 6 Q ,

OLP

òî åãî íàçûâà-

þò ñóììîé ðÿäà è ãîâîðÿò, ÷òî ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ. Åñëè ýòîò ïðåäåë íå ñóùåñòâóåò, òî ãîâîðÿò, ÷òî ðÿä (7.1) ðàñõîäèòñÿ è ñóììû íå èìååò [5,16, 32]. Ïðèâåäåì êîíêðåòíûå ïðèìåðû.

Ïðèìåð 7.1

Ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä

Ïðèìåð 7.2

! ! ðàñõîäèòñÿ.

Ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ Z ZT ZT ZT Q

Z z ,

ñõîäèòñÿ ïðè T è ðàñõîäèòñÿ ïðè T t .

341

Åñëè T ,

òî

Z ZT ZT

! ZT ! Q

Ïðèìåð 7.3

Îáîáùåííî ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä

äèòñÿ ïðè ! è ðàñõîäèòñÿ ïðè d .

! !

ñõî-

Ïðèìåð 7.4

! !

H , ò.å. äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ è åãî

ñóììà ðàâíà (e 1). Ïðè èññëåäîâàíèè ðÿäîâ îäíèì èç âàæíåéøèõ âîïðîñîâ ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ î òîì, ñõîäèòñÿ èçó÷àåìûé ðÿä èëè ðàñõîäèòñÿ. Äàëåå ðàññìîòðèì äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè, íà îñíîâàíèè êîòîðûõ ìîæíî ðåøèòü ýòîò âîïðîñ. Ñåé÷àñ æå ïðèâåäåì íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè ðÿäîâ, òî åñòü óñëîâèå, ïðè íåâûïîëíåíèè êîòîðîãî ðÿäû ðàñõîäÿòñÿ.

ÒÅÎÐÅÌÀ 7.1.

Ñëåäñòâèå. Åñëè

n-é ÷ëåí ñòðåìèòn [4, 32].

Åñëè ðÿä ñõîäèòñÿ, òî åãî

ñÿ ê íóëþ ïðè íåîãðàíè÷åííîì âîçðàñòàíèè

n-é ÷ëåí ðÿäà íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè

, òî ðÿä ðàñõîäèòñÿ. Äàííûé ïðèçíàê íå ÿâëÿåòñÿ äîñòà-

òî÷íûì, ò.å. îí ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ, à ðÿä áóäåò ðàñõîäèòüñÿ. Íàïðèìåð, ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä èç ïðèìåðà (7.1) ðàñõîäèòñÿ, íå-

OLP Q .

ñìîòðÿ íà òî ÷òî

Îñíîâíûå ñâîéñòâà ñõîäÿùèõñÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ [16]. 1) Ñõîäèìîñòü ÷èñëîâîãî ðÿäà íå íàðóøèòñÿ, åñëè ïðèïèñàòü èëè îòáðîñèòü êîíå÷íîå ÷èñëî åãî ÷ëåíîâ. 2) Åñëè ÷ëåíû ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà óìíîæèòü íà îäíî è òî æå

÷èñëî , òî åãî ñõîäèìîñòü íå íàðóøèòñÿ. 3)

Äâà

ñõîäÿùèõñÿ

! Y ! Q

ðÿäà

X X

! X ! Q

6 ;

6 ìîæíî ïî÷ëåííî ñêëàäûâàòü (èëè âû÷è-

òàòü), òàê ÷òî ðÿä X r Y X r Y X Q r Y Q áóäåò ñõîäèòñÿ, à åãî ñóììà áóäåò ðàâíà S1 ± S2. Ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ [4, 16, 32]. 342

Ïðèçíàêè ñðàâíåíèÿ Åñëè âñå ÷ëåíû ðÿäîâ X X XQ Y Y

íåîòðèöàòåëüíû è

! ! ! Y ! Q

X Q d YQ Q

(7.2)

(7.3) ,

òî èç ñõîäèìîñòè ðÿäà

(7.3) ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ðÿäà (7.2). Èç ðàñõîäèìîñòè ðÿäà (7.2) ñëåäóåò ðàñõîäèìîñòü ðÿäà (7.3). Åñëè âñå ÷ëåíû ðÿäîâ (7.2) è (7.3) ïîëîæèòåëüíû è ñóùå-

XQ &

ñòâóåò

OLP Q

of Y Q

& f , òî ýòè ðÿäû ñõîäÿòñÿ èëè ðàñõî-

äÿòñÿ îäíîâðåìåííî.

Ïðèìåð 7.5

! ! ! !

Ðÿä

Ïðèìåð 7.6

ðàñõîäèòñÿ, òàê êàê åãî ÷ëåíû Q (íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî) áîëüøå ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷ëåíîâ ãàðìîíè ÷åñêîãî ðÿäà , êîòîðûé ðàñõîäèòñÿ.

Ðÿä

Ïðèçíàê Êîøè

Z Z ZQ

Åñëè âñå ÷ëåíû ðÿäà

! íå îòðèöàòåëüíû,

è ñóùåñòâóåò Qof Z Q E , E ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ, à ïðè E ! ðàñõîäèòñÿ (ïðè b = 1 äàííûé ïðèçíàê íå äàåò âîç OLP Q

òî ïðè

ìîæíîñòè ñóäèòü î ïîâåäåíèè ðÿäà). 343

Ïðèìåð 7.7

Èññëåäóåì ñõîäèìîñòü ðÿäà

§ · ¨ ¸ © ¹

· § ¨ ¸ © ¹

Ïðèìåíÿåì ê äàííîìó ðÿäó ïðèçíàê Êîøè

§ Q · ¸ © Q ¹

ZQ Q of

OLP Q ¨ Q of

OLP Q

Q Q of Q OLP

è âèäèì, ÷òî îí ñõîäèòñÿ.

Ïðèçíàê Äàëàìáåðà

Åñëè âñå ÷ëåíû ðÿäà Z Z ZQ ïîëîæèòåëüíû è ZQ O , òî ïðè ñóùåñòâóåò QOLP O ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ, à ïðè of Z Q

! ýòîò ðÿä ðàñõîäèòñÿ (ïðè O äàííûé ïðèçíàê íå äàåò âîç-

ìîæíîñòè ñóäèòü î ïîâåäåíèè ðÿäà).

Ïðèìåð 7.8. Èññëåäóåì ñõîäèìîñòü ðÿäà

! !

Ïðèìåíÿåì ê äàííîìó ðÿäó ïðèçíàê Äàëàìáåðà wn +1   1 1 = = lim : n →∞ w n → ∞ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ K ⋅ п (п + 1) 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ K ⋅ п    n

lim

1 п! = lim =0 n → ∞ (п + 1)! n →∞ п + 1

= lim

è âèäèì, ÷òî îí ñõîäèòñÿ.

344

Èíòåãðàëüíûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè Êîøè Åñëè :Q

ãäå I Q

çíà÷åíèå ïðè x =

n íåêîòîðîé ôóíêöèè I [ , íåïðåðûâíîé, ïîëîæèòåëüíîé è íå t , òî ðÿä Z Z

! Z !

ñõîäèòñÿ èëè ðàñõîäèòñÿ â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ñóùåñòâóåò èëè íåò êî[

âîçðàñòàþùåé ïðè

íå÷íûé Eof ³ I [ G[ . OLP

Ïðèìåð 7.9 Èññëåäóåì ñõîäèìîñòü ðÿäà

! !

Ïðèìåíÿåì ê äàííîìó ðÿäó èíòåãðàëüíûé ïðèçíàê Êîøè, ïîëîæèâ [ [

OLP

I [ G[

OLP

o f ³ Eo f ³ [ è âèäèì, ÷òî îí ñõîäèòñÿ. E

OLP ¨

o f©

·E ¸ [¹

OLP ¨

of© E

· ¸ ¹

Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòü ðÿäîâ ×èñëîâîé ðÿä

Z Z Z Q

(7.4)

íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ, åñëè ñõîäèòñÿ ðÿä, ñîñòàâëåííûé èç àáñîëþòíûõ âåëè÷èí åãî ÷ëåíîâ:

Z Z ZQ

(7.5)

Àáñîëþòíî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä âñåãäà ñõîäèòñÿ. Åñëè ðÿä (7.4) ñõîäèòñÿ, à ðÿä (7.5) ðàñõîäèòñÿ, òî ãîâîðÿò, ÷òî ðÿä (7.4) ñõîäèòñÿ óñëîâíî [16, 32].

345

Òåïåðü ïðèâåäåì

ÒÅÎÐÅÌÓ 7.2 Ëåéáíèöà, êîòîðàÿ ïðèìå-

íÿåòñÿ äëÿ çíàêî÷åðåäóþùèõñÿ ðÿäîâ: ðÿä

Z Z Z Z ! Q Z Q !

ZQ ! , ZQ , Z ! Z ! Z ! ! ! Z Q ! ! è OLP Eof

ãäå âñå

ñõîäèòñÿ, åñëè âñå åãî ÷ëåíû òàêîâû, ÷òî

à åãî ñóììà ïîëîæèòåëü-

íà è íå ïðåâîñõîäèò ïåðâîãî ÷ëåíà [4, 16, 32].

Ñâîéñòâà àáñîëþòíî è óñëîâíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ 1) Åñëè ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, òî íîâûé ðÿä, ïîëó÷åííûé èç íåãî ïåðåñòàíîâêîé ÷ëåíîâ, òàêæå ñõîäèòñÿ è èìååò òó æå ñóììó, ÷òî è èñõîäíûé ðÿä. 2) Åñëè ðÿä ñõîäèòñÿ óñëîâíî, òî êàêîå áû ÷èñëî

S íè âçÿòü,

ìîæíî òàê ïåðåñòàâèòü ÷ëåíû â ýòîì ðÿäå, ÷òîáû ñóììà ïðåîá-

ðàçîâàííîãî ðÿäà áûëà ðàâíà èìåííî

3) Åñëè ðÿä ñõîäèòñÿ óñëîâíî, òî ìîæíî òàê ïåðåñòàâèòü ÷ëåíû â ýòîì ðÿäå, ÷òî íîâûé ðÿä áóäåò ðàñõîäèòüñÿ.

7.2. Ôóíêöèîíàëüíûå ðÿäû Âûðàæåíèå âèäà

8 Y 8 Y

! 8

O Y

! ¦f 8 O

O Y ,

(7.6)

: [ : [ ! : [ ! íåêîòîðûå ôóíêöèè, îïðåäåëåííûå íà îäíîì è òîì æå ìíîæåñòâå D, íàçûâàåòñÿ ôóíêöèîíàëüíûì ðÿäîì [4, 16]. Ìíîæåñòâî ' âñåõ çíà÷åíèé x, ïðè êîòîðûõ ôóíêöèî-

ãäå

íàëüíûé ðÿä (7.6) ñõîäèòñÿ (êàê ÷èñëîâîé ðÿä), íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ ñõîäèìîñòè ýòîãî ðÿäà. Ôóíêöèÿ 6 [ [ ( ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ðÿäà (7.6), åñëè

346

of 6 Q [ , ãäå 6 Q [ : [ : [ :Q [ . Åñëè ôóíêöèÿ 6 [ [ 3 3 ( ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ðÿäà 6 [

OLP

(7.6), òî ãîâîðÿò, ÷òî ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå Ð ê ôóíêöèè 6 [ .

Ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèìñÿ íà ìíîæåñòâå P ê ôóíêöèè 6 [ ÷èñëà H ! ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð N, ÷òî ïðè Q t 1 ñðàçó äëÿ âñåõ [ 3 âû

, åñëè äëÿ

ïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî [16]

6 [ 6 Q [ H

Åñëè ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå P, òî íà ýòîì ìíîæåñòâå ñõîäèìîñòü íå îáÿçàíà áûòü ðàâíîìåðíîé, íî íà íåêîòîðîì ïîäìíîæåñòâå ìíîæåñòâà P ñõîäèìîñòü ìîæåò îêàçàòüñÿ ðàâíîìåðíîé. Ïðèâåäåì ïðèçíàê ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè Âåéåð-Øòðàññà. Åñëè ÷ëåíû ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà

: [ : [ ! : [ !

óäîâëåòâîðÿþò íà ìíîæåñòâå P íåðàâåíñòâàì : [ d : Q

, Q Q

: ÷ëåíû ñõîäÿùåãîñÿ ÷èñëîâîãî ðÿäà : : ! : !

ãäå

òî ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå ðàâíîìåðíî [16].

Ïðèìåð 7.10 VLQ [

VLQ [

VLQ Q[

ñõîäèòñÿ íà 3 f f

Q f VLQ Q[ d ðàâíîìåðíî, òàê êàê âñåãäà , è ðÿä ñõîäèòñÿ. Q Q Q Q

Ðÿä

Åñëè ôóíêöèè

íåïðåðûâíû íà >D E@ ,

à ñîñòàâëåííûé

: [ : [ ! : [ ! ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà

èç íèõ ðÿä

ýòîì îòðåçêå ê ôóíêöèè 6 [ , òî:

347

6 [ íà >D E@ íåïðåðûâíà.

1) Ôóíêöèÿ E

³ : [ G[ ³ : [ G[

2) ³ 6 [ G[ D

Ïðèìåð 7.11

³ :Q [ G[ D

Ðÿä [ [ ! [ Q !

íà îòðåçêå « » ¼

ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ê ôóíêöèè

, ïî-

ýòîìó

³ G[

èëè

! Q !

G[ [

OQ .

Åñëè ôóíêöèè :Q èìåþò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå íà

îòðåçêå >D E @ è íà ýòîì îòðåçêå: 1) ðÿä : [ : [ :Q [

ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè 6 [ ;

2) ðÿä : c [ : c [

Q [

! ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî, òî

6 [ èìååò íà >D E@ íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ è

6 [ : [ : [

Q [

[16, 30, 32].

7.3. Ñòåïåííûå ðÿäû Ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä.

D D

D 348

! ¦D f

(7.7)

íåêîòîðûå ÷èñëà, íàçûâàþò ñòåïåííûì ðÿäîì ñ öåíòðîì â òî÷êå D

ãäå

Âîçìîæíû ñëåäóþùèå òðè ñëó÷àÿ: 1) ñòåïåííîé ðÿä (7.7) ñõîäèòñÿ òîëüêî ïðè

(âåçäå

ðàñõîäÿùèéñÿ ðÿä);

2) ñòåïåííîé ðÿä (7.7) ñõîäèòñÿ (ïðè÷åì àáñîëþòíî) ïðè

çíà÷åíèÿõ õ (âñþäó ñõîäÿùèéñÿ ðÿä); 3) ñóùåñòâóåò ÷èñëî 5 ! òàêîå, ÷òî ðÿä (7.7) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî ïðè [ [ 5 è ðàñõîäèòñÿ ïðè [ [ ! 5 (ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà).

R = 0 äëÿ âñþäó ðàñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà è 5 f

äëÿ âñþäó ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà. Èíòåðâàë 5 [ 5 íàçûâàþò èíòåðâàëîì ñõîäèìîñòè

ñòåïåííîãî ðÿäà (7.7). Ïðè ýòîì íà êîíöàõ èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè ñòåïåííîé ðÿä ìîæåò êàê ñõîäèòüñÿ, òàê è ðàñõîäèòüñÿ.

Ïðèìåð 7.12

Íàéäåì îáëàñòü ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà

Ïîëîæèì :

[

Q Q

[

; :Q

Q Q

Òîãäà ïî ïðèçíàêó Äàëàìáåðà èìååì

Q Q OLP Q Q Qof Q [ [

: OLP Q Qof : Q

[ Q OLP Q o f Q

[

ñëåäîâàòåëüíî, äàííûé ñòåïåííîé ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî ïðè

[ è ðàñõîäèòñÿ ïðè [ ! , à ðàäèóñ åãî ñõîäèìîñòè ðàâåí

5 ).

Èññëåäóåì ñõîäèìîñòü ðÿäà íà êîíöàõ èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè: ïðè x = 2 ðÿä

! Q ! ðàñõîäèòñÿ, à ïðè x = 2

349

ñõîäèòñÿ. Ïîýòîìó îáëàñòü ñõî Q äèìîñòè èñõîäíîãî ñòåïåííîãî ðÿäà > .

ðÿä

Îñíîâíûå ñâîéñòâà ñòåïåííûõ ðÿäîâ [4, 16] 1) Åñëè ñòåïåííîé ðÿä íå ÿâëÿåòñÿ âñþäó ðàñõîäÿùèìñÿ, òî åãî ñóììà íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå îáëàñòè ñõîäèìîñòè. 2) Ñòåïåííîé ðÿä âíóòðè åãî îáëàñòè ñõîäèìîñòè ìîæíî èíòåãðèðîâàòü ïî÷ëåííî, òàê ÷òî åñëè

D D

òî

D [ [ D D

! D

[

6 [ [ (

6 [ G[

3) Ñòåïåííîé ðÿä âíóòðè åãî èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè ìîæíî äèôôåðåíöèðîâàòü ïî÷ëåííî, òàê ÷òî åñëè

D D

D [ 5 [ 5 5 !

òî

D D

D [ 5 [ 5 .

! D

6 [

6 c [

Ýòî ñâîéñòâî ñîõðàíÿåò ñèëó è äëÿ êîíöà èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè, åñëè òîëüêî ïîñëåäíèé ðÿä íà ýòîì êîíöå ñõîäèòñÿ. 4) Åñëè ñòåïåííîé ðÿä

D D D D íå ÿâëÿåòñÿ âñþäó ðàñõîäÿùèìñÿ, òî åãî ñóììà èìååò âíóòðè èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè ïðîèçâîäíûå âñåõ ïîðÿäêîâ. Ïðè ýòîì

350

6 cc [

D 6 [ D 6 [ , D

6 Q [

Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé â ñòåïåííûå ðÿäû

Åñëè ôóíêöèÿ [

[

èìååò ïðîèçâîäíûå âñåõ ïîðÿäêîâ ïðè

[ , òî ñòåïåííîé ðÿä

I [

I c [

[

I cc [

[

[ Q

[

! (7.8)

ïîëó÷à-

íàçûâàþò ðÿäîì Òåéëîðà äëÿ ôóíêöèè I [ . Ïðè [

þò ÷àñòíûé ñëó÷àé ðÿäà Òåéëîðà

I c

[

I cc

[

! I Q

(7.9)

êîòîðûé ÷àñòî íàçûâàþò ðÿäîì Ìàêëîðåíà [4, 16, 32]. Äëÿ òîãî ÷òîáû ðÿä (7.8) ñõîäèëñÿ ê ôóíêöèè I

[ , íåîáõî-

OLP 5Q [ , ãäå 5Q [ îñòàòî÷íûé

äèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû

÷ëåí ðÿäà Òåéëîðà. Ïðèâåäåì òåîðåìó, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò óñòàíàâëèâàòü, ñòðåìèòñÿ ëè 5 [ ê íóëþ ïðè íåîãðàíè÷åííîì âîçðàñòàíèè n èëè

íåò, ò.å. ðàçëàãàåòñÿ ëè ôóíêöèÿ I [ â ðÿä Òåéëîðà èëè íåò.

ÒÅÎÐÅÌÀ 7.3. Åñëè ôóíêöèÿ

[ âî âñåõ òî÷êàõ íåêîòî-

ðîãî èíòåðâàëà, ñîäåðæàùåãî òî÷êó , èìååò -þ ïðîèç

âîäíóþ I [ , òî îñòàòî÷íûé ÷ëåí 5Q [ äëÿ ëþáîé òî÷êè ýòîãî èíòåðâàëà èìååò âèä

5Q [

ãäå K çàêëþ÷åíî ìåæäó

[ Q Q

[

è x [4] (ñì. òàêæå ãëàâó 4).

351

Ïðèâåäåì ðàçëîæåíèÿ â ñòåïåííîé ðÿä íåêîòîðûõ ôóíêöèé:

[

! !

Q Q

VLQ

FRV

! ! Q

f f ;

[ !

f f ;

[

f f ;

DUFWJ[

OQ [

[

d ;

[ @ .

7.4. Ïîíÿòèå î ðÿäàõ Ôóðüå

Ñíà÷àëà íàïîìíèì, ÷òî ôóíêöèÿ f(õ), êîòîðàÿ îïðåäåëåíà ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ õ, íàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé, åñëè åñòü òàêîå ÷èñëî Ò ¹ 0, ÷òî ïðè ëþáîì çíà÷åíèè õ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f(õ + Ò) = f(õ) [35]. Â ýòîì ñëó÷àå Ò íàçûâàåòñÿ ïåðèîäîì ôóíêöèè. Ïðèâåäåì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé: 1. Ñóììà, ðàçíîñòü, ïðîèçâåäåíèå, ÷àñòíîå ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé ñ ïåðèîäîì Ò åñòü ïåðèîäè÷åñêèå ôóíêöèè ïåðèîäà Ò. 2. Åñëè ôóíêöèÿ f(õ) èìååò ïåðèîä Ò, òî ôóíêöèÿ f(bõ) èìååò ïåðèîä Ò/b. 3. Åñëè f(õ) åñòü ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ ïåðèîäîì Ò, òî ðàâíû äâà ëþáûå èíòåãðàëà îò ýòîé ôóíêöèè, âçÿòûå ïî ïðîìåæóòêó äëèíû Ò (ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýòè èíòåãðàëû ñóùåñòâóþò), ò.å.

D 7

³ D

352

F 7

I G

³ F

I G .

Äàäèì òàêæå ïîíÿòèÿ î ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿõ. Ïðîñòîå ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåé ó = À·sin (w t + a0), ãäå ó îòêëîíåíèå êîëåáëþùåéñÿ òî÷êè îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ; À àìïëèòóäà êîëåáàíèÿ; w = 2p/Ò êðóãîâàÿ ÷àñòîòà; aî íà÷àëüíàÿ ôàçà [4, 33]. Ôóíêöèÿ Àsin(w t + a0) è åå ãðàôèê íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé ãàðìîíèêîé. Åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå À·(sin w t·cos a î + cos w t · sin aî). Òî åñòü ïðîñòîå ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå îïèñûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè sin w t è cos w t. Êîëåáàíèÿ, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ â ðåçóëüòàòå ñëîæåíèÿ íåñêîëüêèõ èëè áåñêîíå÷íî ìíîãèõ ïðîñòûõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé, òîæå áóäóò îïèñûâàòüñÿ ôóíêöèÿìè âèäà sin w t è cos w t. Ñ ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìîãî òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà ïðàêòè÷åñêè ëþáóþ ïåðèîäè÷åñêóþ ôóíêöèþ ìîæíî ðàçëîæèòü íà ïðîñòûå ãàðìîíèêè. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ðÿäîì íàçûâàåòñÿ ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä âèäà [4, 32, 33] àî/2 + à1cosõ + b1sin x + à2cos2x + b2sin 2x + ..+ àn cosnx + bn sinnx + =

= à0/2 + S (àn cos nx + bn sin nx),

(7.10)

ãäå a0, a1, b1, a2, b2, , an, bn êîýôôèöèåíòû òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà. Åñëè ðÿä (7.10) ñõîäèòñÿ, òî åãî ñóììà åñòü ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ ïåðèîäîì 2p, òàê êàê òàêîé ïåðèîä èìåþò ôóíêöèè sin nx è cos nx. Ïîýòîìó f(õ) = f(õ+2p). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ f(õ) ñ ïåðèîäîì 2p òàêîâà, ÷òî îíà ïðåäñòàâëÿåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ðÿäîì, ñõîäÿùèìñÿ ê äàííîé ôóíêöèè â èíòåðâàëå ( p, p), ò.å. ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ýòîãî ðÿäà è çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: n = 1

f (õ) = à0/2 + S (àn cos nx + bn sin nx). n = 1

(7.11) 353

Åñëè êîýôôèöèåíòû a0, an, bn âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì a0 = 1/p S

an = 1/

p ³

bn = 1/

p ³

f(õ) dõ,

(7.12)

f(õ) cos nx dõ,

(7.13)

f(õ) sin nx dõ,

(7.14)

òî îíè íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè Ôóðüå, à òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä (7.10) ñ òàêèìè êîýôôèöèåíòàìè íàçûâàåòñÿ ðÿäîì Ôóðüå ôóíêöèè f(õ) (áîëåå ïîäðîáíî ñì. [4, 32, 33, 35]). Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì òåîðåìó, êîòîðàÿ äàåò äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ïðåäñòàâèìîñòè ôóíêöèè f(õ) ðÿäîì Ôóðüå [4, 32, 33, 35].

ÒÅÎÐÅÌÀ 7.4 (òåîðåìà Äèðèõëå). Ïóñòü ôóíêöèÿ f(õ) ñ ïåðèîäîì 2

íà îòðåçêå [

p, p]

óäîâ-

ëåòâîðÿåò óñëîâèÿì: 1) f(õ) êóñî÷íî-ìîíîòîííà, ò.å. ìîíîòîííà íà âñåì îòðåçêå, èëè ýòîò îòðåçîê ìîæíî ðàçáèòü íà êîíå÷íîå ÷èñëî èíòåðâàëîâ òàêèì îáðàçîì, ÷òî íà êàæäîì èç íèõ ôóíêöèÿ áóäåò ìîíîòîííà; 2) f(õ) êóñî÷íî-íåïðåðûâíà, ò.å. íåïðåðûâíà èëè èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà. Â ýòîì ñëó÷àå ñîîòâåòñòâóþùèé ôóíêöèè f(õ) ðÿä Ôóðüå ñõîäèòñÿ íà äàííîì îòðåçêå è ïðè ýòîì: à) â òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè ñóììà ðÿäà S(x) ñîâïàäàåò ñ ñàìîé ôóíêöèåé, ò.å. S(x)=f(x), á) â êàæäîé òî÷êå ðàçðûâà (õî) ôóíêöèè f(õ) ñóììà ðÿäà ðàâíà

f(x0 0) + f(x0+0) ________________

S(x0) =

354

ò.å. îíà ðàâíà ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó îò ïðàâîãî è ëåâîãî ïðåäåëîâ â ýòîé òî÷êå, â) íà êîíöàõ îòðåçêà â òî÷êàõ õ =

p è õ = p ñóììà ðÿäà ðàâíà

f( +0) + f( +0) _________________ . S( ) = S ( ) =

2 Òåîðåìå Äèðèõëå óäîâëåòâîðÿþò áîëüøèíñòâî ôóíêöèé, âñòðå÷àþùèõñÿ â ìàòåìàòèêå. Åñòü ôóíêöèè, êîòîðûå íå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì Äèðèõëå, íî ðàçëàãàþòñÿ â ðÿä Ôóðüå, òàê êàê òåîðåìà 7.4 äàåò òîëüêî äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ðàçëîæèìîñòè. Ïðèâåäåì êîíêðåòíûé ïðèìåð ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè â ðÿä Ôóðüå.

Ïðèìåð 7.13 [32] Ïóñòü ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ f(õ) ñ ïåðèîäîì 2 íà ñëåäóþùèì îáðàçîì: f(õ) = õ, õº(

p; p].

p îïðåäåëå-

Äàííàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ìîíîòîííîé è îãðàíè÷åííîé, ò.å. îíà ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà â ðÿä Ôóðüå. Ïðèìåíÿåì ôîðìóëû (7.12) (7.14) è íàõîäèì: S

a0 = 1/

p ³

õ dõ = 1/p ·

x2/2

S S

= 0

S u = x; du = dx S an = 1/p ³ õ cos nx dõ = dv = cos nx dõ = 1/p ( x · (sin nx)/n

S v = 1/n sin nx

1/n ³

sin nx dx) = 0

u = x; du = dx S

x · cos nx

__________ õ sin nx dõ = dv = sin nx dõ = 1/p ( + S n S v = -1/n cos nx

bn = 1/p ³

+ 1/n ³ cos nx dx) = ( 1)n+1 2/n S

355

Ïîýòîìó ïîëó÷àåì ðÿä n+1 ( ). Äàííîå ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî âî âñåõ òî÷êàõ, çà èñêëþ÷åíèåì òî÷åê ðàçðûâà. Â êàæäîé òî÷êå ðàçðûâà ñóììà ðÿäà åñòü ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå îò åå ïðåäåëîâ ñëåâà è ñïðàâà, ò.å. íóëþ. sin õ

f(õ) = 2 .

sin2õ

sin3õ

+ ( 1)

sin(nõ) n

Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ

1. Ñ ïîìîùüþ ïðèçíàêîâ ñðàâíåíèÿ èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäîâ: f

1.1. ¦

; 1.2.

¦ FRV Q

1.3.

;

; 1.4.

2. Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäîâ ñ ïîìîùüþ ïðèçíàêà Äàëàìáåðà:

2.1.

;

OQ OQ

2.2.

3. Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäîâ ñ ïîìîùüþ ïðèçíàêà Êîøè: 3.1.

; 3.2.

§ ¨ ©

· ¸ ¹

4. Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäîâ ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëüíîãî ïðèçíàêà Êîøè:

4.1.

356

f ; 4.2. .

5. Èññëåäîâàòü àáñîëþòíóþ èëè óñëîâíóþ ñõîäèìîñòü ðÿäîâ:

¦ FRVQ Q 5.3. ¦ Q Q

5.1.

; 5.4.

¦ Q ¦ Q

; 5.2.

; Q

Q .

6. Íàéòè îáëàñòè ñõîäèìîñòè ñòåïåííûõ ðÿäîâ: 6.1.

6.3.

¦ [ Q

; 6.2.

;

[ [ [ [ Q 7. Ðàçëîæèòü â ðÿä Ôóðüå ïåðèîäè÷åñêóþ ôóíêöèþ ñ ïåðèîäîì 2p. 7.1. f(õ) = |õ|, ãäå õ º ( p, p).

; 6.4.

2x, ãäå xº ( p; 0]

7.2. f(x) = 4x, ãäå xº (0; p)

Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè 1) ×òî íàçûâàåòñÿ ÷èñëîâûì ðÿäîì? 2) ×òî òàêîå ñóììà ðÿäà? Äàòü îïðåäåëåíèå ñõîäÿùåãîñÿ è ðàñõîäÿùåãîñÿ ðÿäîâ. 3) Â ÷åì ñîñòîèò íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè ðÿäà? 4) Â ÷åì ñóòü ïðèçíàêîâ Äàëàìáåðà è Êîøè? 5) Â ÷åì ñóòü èíòåãðàëüíîãî ïðèçíàêà Êîøè? 6) Êàêîé ðÿä íàçûâàåòñÿ çíàêî÷åðåäóþùèìñÿ? 7) Â ÷åì ñóùíîñòü ïðèçíàêà Ëåéáíèöà? 8) ×òî íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíîé è óñëîâíîé ñõîäèìîñòüþ ðÿäà? 9) Êàêîé ðÿä íàçûâàåòñÿ ôóíêöèîíàëüíûì? 10) ×òî íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà? 11) Êàêîé ðÿä íàçûâàåòñÿ ñòåïåííûì? 12) Êàêîâû îñíîâíûå ñâîéñòâà ñòåïåííûõ ðÿäîâ? 13) Êàêîé ðÿä íàçûâàåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèì? 14) Ñôîðìóëèðóéòå äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè â ðÿä Ôóðüå.

357

ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ 1. Àìîñîâ À.À., Äóáèíñêèé Þ.À., Êîï÷åíîâà Í.Â. Âû÷èñëèòåëüíûå ìåòîäû äëÿ èíæåíåðîâ. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1994. 2. Àñååâ Ã.Ã., Àáðàìîâ Î.Ì., Ñèòíèêîâ Ä.Ý. Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà. Ðîñòîâ í/Ä: Ôåíèêñ, 2003. 3. Áàëäèí Ê.Â., Áàøëûêîâ Â.Í., Ðóêîñóåâ À.Â. Ìàòåìàòèêà. Ì.: ÞÍÈÒÈ, 2006. 4. Áåðìàíò À.Ô., Àðàìàíîâè÷ È.Ã. Êðàòêèé êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ì.: Íàóêà, 1969. 5. Áóãðîâ ß.Ñ., Íèêîëüñêèé Ñ.Ì. Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà: Â 3 ò. Ì.: Äðîôà, 2003. 6. Áóëäûê Ã.Ì. Ñáîðíèê çàäà÷ è óïðàæíåíèé ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå. Ìèíñê: Þíèïðåññ, 2002. 7. Âåðåùàãèí Í.Ê., Øåíü À. Íà÷àëà òåîðèè ìíîæåñòâ. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 1999. 8. Âûãîäñêèé Ì.ß. Ñïðàâî÷íèê ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå. Ì.: ÄÆÀÍÃÀÐ-Áîëüøàÿ ìåäâåäèöà, 2001. 9. Ãîí÷àðîâà Ã.À., Ìî÷àëèí À.À. Ýëåìåíòû äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè. Ì.: ÔÎÐÓÌ-ÈÍÔÐÀ-Ì, 2003. 10. Ãðåñ Ï.Â. Ìàòåìàòèêà äëÿ ãóìàíèòàðèåâ. Ì.: ÞÐÀÉÒ, 2000. 11. Ãðåøèëîâ À.À. Ïðèêëàäíûå çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ì.: ÌÃÒÓ, 1990. 12. Ãóñàê À.À. Ñïðàâî÷íîå ïîñîáèå ê ðåøåíèþ çàäà÷: ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç è äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Ìèíñê: ÒåòðàÑèñòåìñ, 1998. 13. Ãóñàê À.À. Ñïðàâî÷íîå ïîñîáèå ê ðåøåíèþ çàäà÷: àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ è ëèíåéíàÿ àëãåáðà. Ìèíñê: ÒåòðàÑèñòåìñ, 2003. 14. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó äëÿ ÂÒÓÇîâ / Ïîä ðåä. Á.Ï. Äåìèäîâè÷à. Ì.: Àñòðåëü-Àñò, 2006. 15. Åìåëè÷åâ Â.À., Ìåëüíèêîâ Î.È., Ñàðâàíîâ Â.È., Òûøêåâè÷ Ð.È. Ëåêöèè ïî òåîðèè ãðàôîâ. Ì.: Íàóêà, 1989. 16. Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå äëÿ ýêîíîìèñòîâ / Ïîä ðåä. Â.È. Åðìàêîâà. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1987. 17. Åôèìîâ Í.Â. Êðàòêèé êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Ì.: Íàóêà, 1969. 18. Èäåëüñîí À.Â., Áëþìêèíà È.À. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà. Ì.: ÈÍÔÐÀ-Ì, 2000. 19. Êëèîò-Äàøèíñêèé Ì.È. Àëãåáðà ìàòðèö è âåêòîðîâ. ÑÏá.: Ëàíü, 2001.

358

20. Êóäðÿâöåâ Â.À., Äåìèäîâè÷ Á.Ï. Êðàòêèé êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè. Ì.: Íàóêà, 1989. 21. Êóê Ä., Áåéç Ã. Êîìïüþòåðíàÿ ìàòåìàòèêà. Ì.: Íàóêà, 1990. 22. Êóðîø À.Ã. Êóðñ âûñøåé àëãåáðû. Ì.: ÃÈÔÌË, 1962. 23. Ëèñè÷êèí Â.Ò., Ñîëîâåé÷èê È.Ë. Ìàòåìàòèêà. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1991. 24. Ëóíååâ Â.Â. Þðèäè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. Ì.: Þðèñòú, 1999. 25. Ìàêñèìîâ Þ.Ä. è äð. Êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè äëÿ ãóìàíèòàðíûõ ñïåöèàëüíîñòåé. ÑÏá.: Ñïåöèàëüíàÿ ëèòåðàòóðà, 1999. 26. Ìàòåìàòèêà äëÿ áàêàëàâðîâ òåõíè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé. Ò. 1. Îáùèå ðàçäåëû / Ïîä îáù. ðåä. Þ.Ä. Ìàêñèìîâà. ÑÏá.: Ñïåöèàëüíàÿ ëèòåðàòóðà, 1999. 27. Ìàðêîâ Ë.Í., Ðàçìûñëîâè÷ Ã.Ï. Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà. ×. 1. Ýëåìåíòû ëèíåéíîé è âåêòîðíîé àëãåáðû. Îñíîâû àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Ìèíñê: Àìàëôåÿ, 1999. 28. Ìåíäåëüñîí Ý. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó. Ì.: Íàóêà, 1976. 29. Ìîðäêîâè÷ À.Ã., Ñîëîäîâíèêîâ À.Ñ. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1990. 30. Íåìûöêèé Â.Â. è äð. Êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà: Â 2 ò. Ì.: ÃÈÒÒË, 1957. 31. Îðå Î. Òåîðèÿ ãðàôîâ. Ì.: Íàóêà, 1968. 32. Ïèñêóíîâ Í.Ñ. Äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèÿ: Â 2 ò. Ì.: Íàóêà, 1964. 33. Ïèñüìåííûé Ä.Ò. Êîíñïåêò ëåêöèé ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå. Ì.: ÀÉÐÈÑ ÏÐÅÑÑ, 2005. 34. Ïîäîëüñêèé Â.À., Ñóõîäñêèé À.Ì. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1974. 35. Êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè / Ïîä ðåä. Ï.È. Ðîìàíîâñêîãî. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1964. 36. Ñàìàðñêèé À.À., Ãóëèí À.Â. ×èñëåííûå ìåòîäû. Ì.: Íàóêà, 1989. 37. Ñâàìè Ì., Òõóëàñèðàìàí Ê. Ãðàôû, ñåòè è àëãîðèòìû. Ì.: Ìèð, 1984. 38. Îáùàÿ àëãåáðà: Ò. 1 / Ïîä îáù. ðåä. Ë.À. Ñêîðíÿêîâà. Ì.: Íàóêà, 1990. 39. Ñìîëè÷ Á.À. Óðàâíèòåëüíûå âû÷èñëåíèÿ. Ì.: Íåäðà, 1989. 40. Ñóäîïëàòîâ Ñ.Â., Îâ÷èííèêîâà Å.Â. Ýëåìåíòû äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè. Ì.: ÈÍÔÐÀ-Ì, 2002. 41. Ôàääååâ Ä.Ê. Ëåêöèè ïî àëãåáðå. Ì.: Íàóêà, 1984. 42. Ôàääååâ Ä.Ê., Ôàääååâà Â.Í. Âû÷èñëèòåëüíûå ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû. Ì.; Ë.: Ôèçìàòãèç, 1963. 43. Ýëüñãîëüö Ë.Ý. Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. ÑÏá.: Ëàíü, 2002.

359

Ó÷åáíîå èçäàíèå

Áàëäèí Êîíñòàíòèí Âàñèëüåâè÷ Áàøëûêîâ Âèêòîð Íèêîëàåâè÷ Ðóêîñóåâ Àíäðåé Âàäèìîâè÷

ÂÛÑØÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ Ó÷åáíèê

Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 24.09.2008. Ôîðìàò 60´ 88/16. Ïå÷àòü îôñåòíàÿ. Óñë. ïå÷. ë. 22,0. Ó÷.-èçä. ë. 15,8. Òèðàæ 2000 ýêç. Çàêàç . Èçä. 1786. ÎÎÎ «Ôëèíòà», 117342, Ìîñêâà, óë. Áóòëåðîâà, ä. 17-Á, êîìí. 324. Òåë./ôàêñ: (495)334-82-65; òåë. (495)336-03-11. E-mail: flinta@mail.ru; WebSite: www.flinta.ru ÍÎÓ ÂÏÎ «ÌÏÑÈ», 115191, Ìîñêâà, 4-é Ðîùèíñêèé ïð., 9à. Òåë.: (495)234-43-15, (495)958-19-00 (äîá. 111). E-mail: publish@col.ru