UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL ESCUELA DE INFORMÁTICA
PROYECTO DE MATEMÁTICA IV
TEMA: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
CURSO: CUARTO QUIMESTRE “B”
INTEGRANTES: EDUARDO ABALO JHONNY MIÑAN
DOCENTE: ING. CARLOS SÁNCHEZ
AÑO LECTIVO: 2010 - 2011
ECUACION LINEAL DE PRIMER ORDEN Realizar las siguientes ecuaciones lineales de primer orden con el mĂŠtodo de: + = Pues bien entonces vamos a resolver el ejercicio propuesto para visualizar el mĂŠtodo de resoluciĂłn de los ejercicios: 1) + = Dividimos para x para eliminar la x que se encuentra multiplicando a +2 = Simplificamos la x y remplazamos por
:
+ 2 = Para llegar a la funciĂłn que queremos decimos que P = 2 formula:
yQ=
por lo tanto utilizando la
+ + =
Remplazando los valores tenemos que:
+ + 2 =
Decimos que y = u.z para la aplicaciĂłn del mĂŠtodo:
+ + 2 =
Sacamos factor comĂşn de z y nos queda el siguiente resultado:
+ + 2 =
Utilizamos la parte entre parĂŠntesis para poder sacar el valor de u: + 2 Ahora solo despejamos las variables para que estĂŠn en funciĂłn de x y en funciĂłn de u
= −2 = −2
El resultado de la integral es:
ln u = - 2 ln x Resolviendo los logaritmos de la resoluciĂłn de la integral nos da que: ln u = ln u= "=
!
!
Ahora procederemos a resolver el ejercicio para obtener el valor de z:
=
Remplazamos el valor de u que ya encontramos en la anterior integral: 1 = ! Pasamos el
$
al otro lado para empezar poder integrar en funciĂłn de x y en
funciĂłn de z:
X
Sen x
= %
1
Cosx
La respuesta de la integral es:
0
- Senx
z = x cosx – senx + c
Ahora procederemos al remplazo en la formula general que es y = u.z =
1 &x cosx – senx c. !
Despejando y este resultado nos queda: /0 / Realizando las graficas en el programa winplot luego de haber realizado el ejercicio:
Segundo Ejercicio de Ecuaciones Lineales de Primer Orden
1) Y’=3x+2y Y’-2y=-3x
y=uz
Ecuación general: dy = udz + zdu dx dx
udx + du - 2u z = -3x dx
du - 2u = 0 dx du = 2u dx Agrupamos las x con dx y las u con du y procedemos a Integrar: du = 2 dx U ln u = 2x
u= e2x Remplazando el valor de u en la siguiente ecuación obtendremos el valor de z: u dz = - 3x dx
3 !
Procedemos a la integración para hallar el valor de z:
=
−3 !
3
!
Integraciรณn 1 0
Derivaciรณn ! 2 ! 4 !
! ! 3 2 45 2 4 3 2
!
3 ! 4 4
Como anteriormente y=uz remplazaremos los valores de u y de z y obtendremos el valor de Y:
! 6
7 8 9$: !
78 9$: ;
4<
4 !
3 3 2 4
Luego de haber realizado el ejercicio podemos realizar la grafica con las soluciones planteadas: Cuando damos valores a c la grafica se nos muestra de la siguiente manera: C= 2 y C=6
C= 2 ; C=4 ; C=6 ; C=8