s Machala – El Oro – Ecuador
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Introducción Una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se denomina Ecuación Diferencial.
EJERCICIOS Primer Ejercicio: + 2y = 2 Encontramos los valores de P y Q P= 2
Q= 2
Y= uz Sacamos la derivada de y =u
+ z
u
+ z
= 2 - 2y
u
+ z
+ 2uz= 2
u
+ z[
+2u]= 2
Determinando u +2u= 0 =2u ∫
=2∫
Ln u = 2x U=
Determinando el valor de z
Universidad Técnica de Machala
=2 = =2 ∫
=2∫
Z=
+c
Determinar y para llegar a la respuesta y=uz y=
(
+ c)
y=2+ GRAFICACION DE LA CURVA Luego de Haber obtenido la respuesta de la ecuación, procedemos a graficar las curvas, aplicando el programa WINPLOTS. Aplicando los siguientes pasos: 1.- Abrimos el programa, en donde nos mostrara la siguiente ventana:
2.-Damos clic en la pestaña Archivo, escogemos la opción 2-DIM Universidad Técnica de Machala
3. Luego nos mostrara el siguiente plano cartesiano, en donde se mostrara el grafico realizado por la ecuación, para ello se procede a ingresar la respuesta de la ecuación.
4. Para ingresar la ecuación, debemos dar clic en la pestaña ECUA , y escogemos la opción EXPLICITA.
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5.-Luego nos aparecerá la siguiente ventana en donde se procede a ingresar el resultado de la ecuación en el primer campo.
6. También se puede modificar el ancho de la línea, asi como su densidad y su color que se mostrara en el plano. Universidad Técnica de Machala
7. Una ves realizado los pasos, y dando clic en la opciĂłn OK, nos aparecerĂĄ el siguiente grafico en el plano, una vez ingresado varios valores de C.
8. Una vez ingresado 5 valores positivos y 5 negativos en el valor de C, nos aparecerĂĄ el grafico final. Universidad TĂŠcnica de Machala
Universidad TĂŠcnica de Machala
Segundo Ejercicio: (2y + 3x)
+x
=0
Primero en este ejercicio tenemos que llegar a la forma de la ecuación lineal de Primer Orden + P y= Q
Pasamos el primer término al segundo miembro de la ecuación = (2y + 3x)
x
=-
-
+
=-3
P=
Llegando a la forma
Q= - 3
Y= u z =u u
+ z
+ z
+
=-3
Sacar factor común para despejar z u
+ z
+
=-3
u
+ z[
+2u]=-3
Determinando u +
=0
=Despejamos para que se dé la igualdad entre funciones y dejamos expresado la integral ∫
=- 2 ∫
Integrando
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ln u = - 2lnx Según las propiedades de los logaritmos -2lnx = ln ln u =ln Eliminando los logaritmos u= u=
Determinando el valor de z = -3 = -3 = -3 ∫
= -3∫
z = -3
+c
Z= Determinar y para llegar a la respuesta y=uz y=
(
)
y= y=
+
y = -x +
GRAFICACION DE LA CURVA
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Luego de Haber obtenido la respuesta de la ecuación, procedemos a graficar las curvas, aplicando el programa WINPLOTS. Aplicamos los mismos pasos realizados en el ejercicio anterior: 1.- Abrimos el programa, en donde nos mostrara la siguiente ventana:
2.-Damos clic en la pestaña Archivo, escogemos la opción 2-DIM
3. Luego nos mostrara el siguiente plano cartesiano, en donde se mostrara el grafico realizado por la ecuación, para ello se procede a ingresar la respuesta de la ecuación. Universidad Técnica de Machala
4. Para ingresar la ecuaci贸n, debemos dar clic en la pesta帽a ECUA , y escogemos la opci贸n EXPLICITA.
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5.-Luego nos aparecerá la siguiente ventana en donde se procede a ingresar el resultado de la ecuación en el primer campo, donde nos aparecerá la línea de la ecuación ingresada.
6. Procedemos a ingresar los valores positivos de la curva, mostrándonos los siguientes resultados.
7. Una vez ingresado todos los valores positivos y negativos, nos mostrara el siguiente cuadro final. Universidad Técnica de Machala
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