www.mustafayagci.com, 2004
Geometri Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com
Doğrunun Analitik İncelenmesi Geometri derslerimizden ‘’doğru’’nun ne idüğü hakkında bilginiz vardır. Tanımının olmadığını ve insanların sezgisine bırakıldığını söylemiştik. Ayrıca sonsuz farklı doğrunun varlığından bahsetmiştik. Doğruları birbirlerinden ayırmak için onlara isimler vermiştik. d, l, k gibi. Bazen de üzerinde bulunan noktalarla AB, CD, XY doğrusu gibi. Şimdi de isimlendirdiğimiz bu doğruların birbirlerine göre konumlarını araştıracağız. Acaba birbirlerine paraleller mi, dik mi kesişiyorlar? Yoksa çakışıklar mı, yani aslında aynı doğrular mı? Sadece doğrular değil, noktaların da detaylarına ineceğiz. Daha önce A ve B diye isimlendirdiğimiz iki noktanın birbirlerine veya başka bir noktaya ne kadar uzaklıkta bulunduğunu araştıracağız. Bazen de bu noktaların bir doğruya olan uzaklıklarını hesaplayacağız. Noktalar bazen doğrusal vaziyette bir araya gelecek ve bir doğru belirtecekler. Bu doğruların tüm özelliklerini içeren ve diğer hepsinden ayıracak şekilde isimlendirilmelerini yani denklemlerini yazmayı öğreneceğiz. René Descartes Fransız bir filozoftu. Tabii o zamanın filozofları bugünün matematikçileri gibiydiler. Aslında bu her zaman da böyle olmalıydı ama nedense bu aralar böyle gitmiyor işler. La géométrie isimli eserinde René Descartes, cebirin ünlü problemlerini geometrik yöntemlerle çözerek hak ettiği üne kavuşmuştu. Günümüzde kartezyen geometri olarak bilinen matematik dalının mucididir. 1604 yılının Ocak ayında 8 yaşında Anjou’daki Jesuit college of La Flèche’a kaydını yaptırmış ve 1612’ye kadar burada okumuştur. Bu sıralarda Clavius’un kitaplarından matematik de çalışmıştır. Böylelikle esas yeteneğinin matematikte olduğunu keşfetmiştir. Sayısız eser vermiştir. 1649’da soğuk bir kış sabahı hayata gözlerini yummuştur.
İşte geometrik nesnelerin birbirleriyle olan ilişkilerini ve birbirlerine göre konumlarını araştırdığımız geometrinin bu dalına analitik geometri denir. Eğer masaya yatırılan şey doğru ise dersimiz doğrunun analitiği, çember ise çemberin analitiği, parabol ise parabolün analitiği, … adını alacak. Sayı doğrusu. Doğru ile doğru parçasının farkı sorulsaydı aklınıza ilk gelen cevap ne olurdu? Böyle bir soru karşısında benim aklıma ilk olarak, birinin ilksiz ve sonsuz olduğu ama diğerinin ilkli ve sonlu olduğu geliyor. Yani, doğru parçasının başlangıç ve bitiş noktaları bellidir ama doğrunun ne başlangıç noktası vardır, ne de bitiş. Eminim siz de benim gibi düşünmüşsünüzdür. Rakam ile sayı arasında da benzer bir farktan söz etmek mümkündür. Bakın ediyoruz: Rakamlar sonlu miktardadır ama sayılar sonsuz. Rakamların başı belli, sonu belli ama sayıların değil. Şimdi bu benzetmeden yola çıkarak; doğrular ile sayılar arasında bir ilişki kuracağız, bir eşleme yapacağız. Bir nevi oyun oynuyoruz. Tam olarak öyle olmasa da (teşbihte hata olmaz), doğrunun sonsuz tane noktadan oluştuğunu düşünelim. İşte bu sonsuz nokta ile sonsuz tane sayıyı birebir eşleştireceğiz. Sayı derken reel sayı olduğunu da belirtelim. Çünkü sanal sayıları bu doğru üzerinde göstermek mümkün değil, adı üstünde sanal, gerçek değil yani. Her farklı reel sayıya farklı bir nokta alacağız. İşte, üzerine reel sayıların küçükten büyüğe doğru dizildiğini düşündüğümüz ama gerçekte var olmayan bu doğruya sayı doğrusu diyeceğiz. Aşağıda temsili bir resmi var:
Tabii ki bizim sonsuza kadar çizecek halimiz yok, onun için uçlara ok koyduk. Sıfır sayısı sayı doğ-
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
rusunun tam ortasında bulunur (Orası nereyse?). 0’ın sağında pozitif reel sayılar, solunda ise negatif reel sayılar vardır. Her biri de gerçek büyüklükleri ile orantılı olarak yani boy sırasına göre yerleştirilmişlerdir. Yani 3’ün 0’a olan uzaklığı 3 birim, 4’ün de 4 birimdir. O halde a’nın da a birimdir.
şılık geldiğini verir. Bir noktanın ordinatı ise, o noktadan y eksenine bir dikme indirildiğinde y ekseninde hangi sayıya karşılık geldiğini gösterir. x ve y eksenleri bu yüzden bazen sırasıyla apsis ve ordinat eksenleri olarak da anılır. Apsis ve ordinat eksenlerinin kesiştiği noktaya başlangıç noktası dendiği gibi orijin de denir. Koordinatları (0, 0)’dır. Genelde O ile gösterilir. Eksenleri Ox ve Oy ile göstermek de mümkün.
İşte, bir sayının sayı doğrusu üzerinde sıfıra olan uzaklığına, o sayının mutlak değeri denir.
Analitik düzlemde eksenler, düzlemi 4 bölgeye ayırır. Bunlar üst şekildeki gibi birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü bölgelerdir. Hem apsisi hem de ordinatı pozitif olan noktaların bulunduğu bölgeye birinci bölge, apsisi negatif ama ordinatı pozitif olan noktaların bulunduğu bölgeye ikinci bölge, hem apsisi hem de ordinatı negatif olan noktaların bulunduğu bölgeye üçüncü bölge ve apsisi pozitif olup, ordinatı negatif olan noktaların bulunduğu bölgeye de dördüncü bölge denir. Dikkat edilecek olursa, bölgeler, noktaların koordinatlarının pozitif mi negatif mi olduğuna göre değişiyor, yani sıfırdan bahsedilmiyor. Apsisi veya ordinatı sıfır olan noktalar, kısacası eksen üzerindeki noktalar (tanıma göre) bölgelere girmezler.
Örneğin; a’nın sıfıra olan uzaklığına a’nın mutlak değeri denir ve |a| ile gösterilir. Üst şekilden de görüldüğü üzere |a| = a’dır. Ama aynı zamanda (– a)’nın da sıfıra uzaklığının a olmasından (–a)’nın mutlak değeri de a’dır. O halde |−a| = |a|. Daha genel olarak; Herhangi bir reel sayı ile o sayının ters işaretlisinin mutlak değerleri her zaman aynıdır. Analitik düzlem. Çakışık olmayan iki doğrunun bir düzlem belirttiğini biliyoruz. Şimdi iki tane sayı doğrusu hayal edin. Bu iki sayı doğrusunu, sıfıra denk gelen noktalarında dik kesişecek konuma getirin. Bu iki sayı doğrusunun belirttiği düzleme analitik düzlem deriz. Artık doğruların isimleri de değişerek, eksen adını almışlardır. Hatta koordinat eksenleri. Bunlardan yatay olanına x ekseni, dikey olanına da y ekseni denir. Göreceksiniz ki birçok geometri problemi bile analitik düzleme yatırılarak çok daha kolaylıkla çözülebilir. René Descartes’a sonsuz teşekkürler!
I II III IV Apsis + + Ordinat + +
Alıştırmalar
1. Bir noktanın x eksenine olan uzaklığını, koordinatlarından hangisi daima gösterir?
Eksen adı verilen bu iki sayı doğrusunun üzerin’nin elemanı olduğundan analitik
deki noktalar 2
düzlem 2
=
A) Apsisi B) Ordinatı C) Apsisinin mutlak değeri D) Ordinatının mutlak değeri E) Koordinatları toplamı
ile gösterilir. ×
= {(x, y) | x ∈
ve y ∈
}
Analitik düzlemde yanII I P(x , y ) da gösterildiği üzere (x0, y0 0 0 y0) ile gösterilen sonsuz x tane nokta vardır. (x0, x0 O y0) rastgele bir ikili deIII IV ğil, sıralı ikilidir. Birinci bileşenine apsis, ikinci bileşenine de ordinat denir. İkisine birlikte noktanın koordinatları denir. Bir noktanın apsisi, o noktadan x eksenine indirilen dikmenin x ekseni üzerinde hangi noktaya kar-
y
2. M(x, y) noktasının y eksenine olan uzaklığı kaçtır? A) x
2
B) y
C) |x|
D) |y|
E) x + y
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
3.
8.
x eksenine 2 birim, y eksenine 3 birim uzaklıkta bulunan bir nokta, analitik düzlemin hangi bölge veya bölgelerinde olabilir?
Üstteki soruda B köşesinin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) Birinci D) Dördüncü
B) İkinci E) Hepsi
A) (–8, 12) D) (–6,14)
C) Üçüncü
B) (–8, 14) E) (–14, 6)
4.
9.
A(–a, b – a) noktası analitik düzlemin ikinci bölgesinde ise B(ab, a – b) noktası hangi bölgededir?
Ordinat ekseni üzerinde bulunan A noktasının orijine ve B(6, 2) noktasına uzaklıkları eşittir. Buna göre A noktasının ordinatı kaçtır?
A) Birinci D) Dördüncü
B) İkinci E) Hepsi
C) Üçüncü
A) 6
B) 7
C) (–6, 8)
y A B(6,2)
x
O
C) 8
D) 9
E) 10
5. A(ab, a – b) noktası analitik düzlemin üçüncü bölgesinde ise B(a, b) noktası analitik düzlemin neresinde bulunur? A) Birinci D) Dördüncü
B) İkinci E) Hepsi
10. Yandaki şekilde AOBC bir paralelkenardır. |AD| = |DC| olup, C’nin koordinatları (3, 8) ise paralelkenarın alanı kaç birimkaredir?
C) Üçüncü
6.
m bir reel sayıdır. P(–m2, (–m)2) noktası analitik düzlemin neresinde bulunur?
A) 16
A) İkinci bölge B) İkinci bölge ve orijin C) İkinci bölge ve y ekseninin negatif olmayan tarafı D) İkinci bölge ve x ekseninin negatif tarafı E) İkinci bölge, x ekseninin negatif tarafı, y ekseninin pozitif tarafı ve orijin
7. Yandaki ABCD karesinin A köşesinin koordinatları nelerdir? A) (–12, 6) C) (–16, 6) E) (–14, 6)
B) (–18,6) D) (–16,8)
B) 18
y
x
A O
C) 20
D) 22
E) 24
y (milyar)
Yandaki grafik bir mirasın yıllara göre tükenişini göstermektedir. Buna göre mirasın tamamı başlangıçta kaç milyar liraydı? A) 100
B
D
11.
B y
C
B) 120
C) 140
(3,80) (4,60)
x (yıl)
O
D) 160
E) 180
8
A -6 O
12.
x
Üstteki soruda miras, kaçıncı yılın sonunda biter? A) 6
3
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
13. Yandaki OABC karesinin çevresi kaç birimdir? A) 8 D) 14
B) 10 E) 15
6
C(6, 8) noktasının orijine olan uzaklığı kaç birimdir?
x
C) 12
O
A
10
A) 6
B) 18
C)
A
B x
D)
15.
B) –4 E) –8
81 4
A) 6
E) 32
B
B) 7
O
A) a < b < c D) a < c < b
x
C) 8
D) 10
E) 12
B) a = b > c E) c < a = b
C) a = b < c
19.
C) –6
Bir noktanın orijine olan uzaklığı. Bildiğin Pisagor Teoremi.
E) 14
A(5, 5), B(7, 1) ve C(6, 4) noktalarının orijine olan uzaklıkları sırasıyla a, b ve c olsun. Bu değerlerin küçükten büyüğe doğru, doğru sıralaması aşağıdaki şıkların hangisinde verilmiştir? C(0,4)
A
D) 10
18.
y
Yandaki şekilde CAB ve CAO üçgensel bölgelerinin alanları sırasıyla 4 ve 10 birimkaredir. A’nın ordinatı 4 ise B’nin apsisi kaçtır?
C) 8
a ve b birer tamsayıdır. A(a, b) noktasının orijine uzaklığı 10 birim ise bu şartları sağlayan kaç farklı A noktası vardır?
C(1,5)
O
25 2
B) 7
17.
y
C(1, 5) noktası, AOB ikizkenar üçgeninin hipotenüsü üzerindedir. Buna göre Alan(AOB) kaç birimkaredir?
A) –3 D) –7
16. B
C
14.
A) 8
Alıştırmalar
y
A(10, p) noktasının orijine olan uzaklığı, B(5, 12) noktasının orijine olan uzaklığının 2 katı ise p’nin alabileceği en küçük değer kaçtır? y
A) –24
A(x,y)
B) 7
C) 8
D) 10
E) 24
d
x Herhangi bir A(x, y) ala- O lım. Bu noktayı orijin ile birleştiren doğru parçasını çizelim. Bu doğru parçasının boyuna d diyelim, d’yi arıyoruz. Bu noktadan eksenlere dikmeler indirerek, oluşacak dik üçgende Pisagor Teoremi uygularsak
20. Orijine uzaklığı 5 birim olan tüm noktalar ne belirtir? A) 5 birim çaplı bir daire B) 5 birim yarıçaplı bir daire C) 5 birim çaplı bir çember D) 5 birim yarıçaplı bir çember E) Orijine uzaklığı 5 birim olan iki paralel doğru
d = x2 + y2 buluruz. Dikkat edin, (3, 4), (–3, 4), (3, –4), (–3, – 4), (4, 3), (4, –3), (–4, 3), (–4, –3) noktalarının hepsinin orijine olan uzaklığı 5 birimdir.
21. Orijine uzaklığı 3 birim ile 5 birim arasında olan noktaların oluşturduğu bölgenin alanı kaç π birimkaredir?
Hatta (5, 0), (0, 5), (–5, 0) ve (0, –5) noktalarının da orijine olan uzaklıkları 5 birimdir.
A) 9 4
B) 7
C) 8
D) 16
E) 25
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
22. Yandaki ABC üçgeni eşkenardır. C köşesinin orijine uzaklığı kaç birimdir? A) 3,2 D) 28
B) 3,6 E) 40
C) 4
26.
y
A( 2 + 1, 1 – 3 ) ve B( 2 – 1, 1 + 3 ) noktalarına göre |AB| kaçtır?
A4 C
A) 6
x
O B -2
19 C) 4
A(3,4)
O
17 D) 6
B
A) 6
y2 y1
B A d y2 -y1 x2-x1 C
O
x1
x2 x
E) 3
B) 7
C) 8
D) 10
E) 14
x
28. 13 E) 5
P(2, 3) ve Q(k, –1) noktaları arasındaki uzaklık 5 birim ise k’nın alabileceği değerler çarpımı kaçtır? A) –5
İki nokta arasındaki uzaklık. A(x1, y1) ve B(x2, y2) şeklinde iki farklı nokta verilmiş olsun. Bu noktalar arasındaki uzaklığın kaç birim olduğunu bulmayı öğreneceğiz. y
D) 4
P(2, 3) ve Q(5, x) noktaları arasındaki uzaklık 5 birim ise x’in alabileceği değerler toplamı kaç olur?
y
x ekseni üzerinde, A(3,4) noktasına ve orijine uzaklıkları eşit olan noktanın apsisi kaçtır? 20 B) 7
C) 8
27.
23.
25 A) 6
B) 7
B) –7
C) 8
D) 10
E) 4
29. M(2a, 4) ve N(3a + 2, 12) noktaları veriliyor. |MN| = 10 birim ise a’nın alabileceği en büyük değer kaçtır?
Yan şekildeki gibi, bu noktalardan eksenlere birer dik indirelim.
A) –8
ABC gibi bir dik üçgen oluştuğuna dikkat ediniz.
B) –4
C) 8
D) 4
E) 6
30.
|AC| = x2 – x1 ve |BC| = y2 – y1 olduğundan ABC dik üçgeninde Pisagor bağıntısına göre,
K noktası, A(2, –1) ve B(0, 5) noktalarından eşit uzaklıkta olup, x ekseni üzerindedir. K noktasının apsisi kaçtır?
|AB| = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 A) 6
Alıştırmalar
C) 10
D) 13
A) 2
E) 15
E) −4
B)
5 3
C)
8 3
D)
10 3
E)
14 3
32.
25.
K(3, p) noktası, A(2, –1) ve B(0, 5) noktalarından eşit uzaklıkta olduğuna göre p kaçtır?
A(2 3 , –2) ve B(6 3 , –3) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? A) 6
D) –5
K noktası, A(2, –1) ve B(0, 5) noktalarından eşit uzaklıkta olup, y ekseni üzerindedir. K noktasının orijine uzaklığı kaç birimdir?
A(1, 0) ve B(–4, 12) noktaları veriliyor. |AB| uzaklığı kaç birimdir? B) 9
C) 4
31.
24.
A) 8
B) 5
B) 7
C) 8
D) 10
A) 2
E) 14
5
B)
7 3
C)
8 3
D)
10 3
E) 14
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
y
Orta nokta. Uç noktalarının koordinatları bilinen B y2 bir doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını E y0 bulmayı öğreneceğiz. y2 Doğru parçası [AB], bu A y1 y0 doğru parçasının orta noky1 tası da E(x0, y0) olsun. D F C x O x1 x0 x2 A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalarından x eksenine birer dik indirirsek oluşan ADCB dik yamuğunda orta taban E’nin ordinatını verir. Benzer şekilde y eksenine dikler indirilirse de E’nin apsisi bulunur. ( x0 , y0 ) = (
37.
y
Şekildeki A, B, C noktaları doğrudaş olup, |AB| = |BC|’dir. AOB üçgeninin alanı 1 birimkare ise C’nin koordinatları nelerdir?
B C
C) (1, –1)
B) (
D) (2, –2)
38.
x
O
2 4 , − ) 3 3 E) (2, –3)
A) (3, –3)
x1 + x 2 y1 + y 2 , ) 2 2
2A
y d 8 A C
Yandaki AOB üçgeninde |BC| = 3⋅|CA| olduğuna göre, C noktasının koordinatları çarpımı kaçtır?
O
A) 3
D) 7
B x
6
Alıştırmalar B) 4
C) 6
E) 9
33. A(2, –4) ve B(4, 12) noktalarını uç kabul eden doğru parçasının orta noktasının koordinatları nelerdir?
A) (3, 6) D) (3, 4)
B) (3, 7) E) (6, 8)
y B
y2
C) (3, 8)
C
y0 A
y1
34.
O
B) 70
C) 80
D) 10
y2 – E
x0 – x1 D x1
AB doğru parçasının uçlarının koordinatları toplamı 40 ise orta noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) 60
x2 – x0 y0 – y1
x0
x2
x
Doğrusallık şartı. Bir doğru parçasının orta noktalarını kullanırken kullandığımız bu metot, verilen üç noktanın doğrusal olma şartını da aslında geri planda içermektedir. Şeklimizde BCE ∼ CAD olduğundan
x − x0 | BC | y 2 − y 0 = = 2 | AC | y 0 − y1 x 0 − x1
E) 20
şartını sağlayan A, C, B noktaları doğrusaldır. İlerde tekrar anlatılacak ve başka teknikler gösterilecektir.
35. A(2m, 3m) ve B(4, m – 4) iken [AB]’nin orta noktası dördüncü bölgede ise B hangi bölgededir?
A) Birinci D) Dördüncü
B) İkinci E) Hepsi
C) Üçüncü
Alıştırmalar
39. A(–2, 0), B(0, 3), C(2, 6) noktaları doğrusal ise CA oranı kaçtır? CB
36. A(–4, 1), B(0, –1), C(2, 7) ise ABC üçgeninin A köşesinden geçen kenarortayının uzunluğu kaçtır?
A) 6
B) 5
C) 4
11 D) 2
A) E) 29 6
1 2
B)
2 3
C) 1
D) 2
E) 3
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
40.
Alıştırmalar
A(1, –8), B(5, 0) ve C(m + 3, m) noktaları doğrusal ise m kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
41.
y
Şekildeki ABCD dörtgeni bir kare ise E noktasının koordinatları toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
4
11 A) 2 D) 7
B) 6
13 C) 2
43. A(2, –4), B(4, 12), C(8, 1) noktaları bir ABCD paralelkenarının ardışık üç köşesidir. Buna göre D noktasının koordinatlarını bulunuz.
E) 5
D E
C
A
B
A) (6, –3) D) (6, –15)
x
O 1
Yandaki ABCD bir eşkenar dörtgen ise B noktasının koordinatları toplamıyla n’nin toplamı kaçtır?
E) 8
A) 15
y
Yandaki AOBC dikdörtgeninin alanı 8 birimkare ise C noktasının apsisi aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) –9
B) –8
C) −
15 2
-10 A
D) –7
C) 17
C(3,n) A(4,3)
x
O
D) 18
E) 19
Köşe koordinatları verilen üçgenin ağırlık merkezinin koordinatla-rı. G(x0 , y0 ) A(x1, y1), B(x2, y2) ve C(x3, y3) noktalarının beB(x2 , y2) C(x3 , y3) lirttiği üçgensel bölgenin ağırlık merkezinin kenarortaylarının kesim noktası olduğunu biliyoruz. O halde ağırlık merkezi olan G(x0, y0) noktası bir kenarortay üzerindedir. BC kenarının orta noktası D olsun. [AD] üzerinde |AG| : |GD| = 2 : 1 şartını sağlayan G noktası aranan noktadır. Bunu çözmeyi öğrenmiştik zaten.
B
A(x1 , y1)
x
O
E) –6
Analitik düzlemde paralelkenar olma şartı. Verilen dört P(x0, y0) nokta ne zaman bir paralelkenar belirtir? Paralelkenarın üç A(x1, y1) B(x2, y2) köşesi belliyse dördüncü köşesinin koordinatları nelerdir? D(x4, y4)
B) 16
B
d
5 C
C) (6, 12)
y
44.
-2
42.
B) (6, –9) E) (2, –9)
C(x3, y3)
Ağırlık merkezi G(x0, y0): x + x 2 + x3 y + y2 + y3 x0 = 1 , y0 = 1 3 3
Takip edin, kanıtlayın. x0 = y0=
x1 + x3 x 2 + x 4 = ⇒ x1 + x3 = x2 + x 4 2 2
Alıştırmalar
45.
y1 + y3 y 2 + y 4 = ⇒ y1 + y 3 = y 2 + y 4 2 2
A(–4, 1), B(0, –1), C(13, 6) ise ABC üçgeninin ağırlık merkezinin orijine uzaklığı kaçtır?
Dikdörtgen, kare ve eşkenar dörtgenler de özel birer paralelkenar olduğundan bu şartı sağlarlar.
A) 2
7
B) 3
C)
5 2
D) 13
E) 13
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
üçgenlerinin alanları çıkartılırsa, ABC üçgeninin alanı bulunmuş olur.
46. A(–4, 1), B(0, –1), C(13, 6) ve ABC üçgeninin ağırlık merkezi G olsun. |AG| kaçtır? A) 6
B) 7
C) 8
D) 10
E)
Alan(CDEF) = (x3 – x2)(y1 – y3)
50
47. A(–4, 1), B(0, –1), C(13, p) ve ABC üçgeninin ağırlık merkezi G(m, 2) ise p + m toplamı kaçtır? A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Alan(CDA) =
1 (x3 – x1)(y1 – y3) 2
Alan(AEB) =
1 (x1 – x2)(y1 – y2) 2
Alan(BFC) =
1 (x3 – x2)(y2 – y3) 2
olduğundan gerekli işlemler yapılırsa; Alan(ABC) =
48.
1 1 (x1y2 + x2y3 + x3y1) – (x2y1 + x3y2 + x1y3) 2 2
A(–3, 1), B(0, 7) ve C(a, b + 1) olmak üzere, ABC üçgeninin ağırlık merkezi analitik düzlemin dördüncü bölgesindedir. Buna göre C noktası hangi bölgededir? A) Birinci D) Dördüncü
çıkar. Fakat biz çözümümüzde çizimimize göre x2 < x1 < x3 ve y3 < y2 < y1 aldık, bu böyle olmayabilirdi. Onun için ifadeyi mutlak değer içine alarak, işimizi garanti altına alalım.
B) İkinci C) Üçüncü E) x ekseni üzerinde
Ortaya çıkan bu formülün ezberi pek de kolay görünmediğinden Sarrus Kuralı denen güzel bir metot öğreneceğiz.
49.
Üçgenin üç köşesinin koordinatlarını herhangi bir sırayla alt alta yazıp, en üste yazdığımız koordinatı tekrar en alta yazacağız. Aşağıdaki şekilden takip edin. Sonra aynı yönü gösteren oklarla belirtilen çarpmaları yapıp çıkan sonuçları toplayacağız. Bu iki toplamın pozitif farkının yarısı, bize üçgenin alanını verecektir.
A(p+1, 2p), B(0, p) ve C(2–p, –3p) noktalarını köşe kabul eden üçgenin ağırlık merkezinin apsisi, ordinatından kaç fazladır? A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Köşe koordinatları verilen bir üçgenin alanı. A(x1, y1), B(x2, y2) ve C(x3, y3) noktalarının belirttiği üçgensel bölgenin alanını bulmak için aşağıdaki işlemler yapılır: y y1
y2 y3
E
A
x1 1 x2 Alan( ABC ) = 2 x3 x1
y1 y2 y3 y1
D
1 = |(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (x2y1 + x3y2 + x1y3)| 2
C
Alıştırmalar
B F x2
x1
x3
x
50. A(–1, 3), B(0, 5), C( 1, –7) ise Alan(ABC) kaç birimkaredir?
Analitik düzlemde çizilmiş her üçgeni yukarda gösterdiğim gibi üçgenin köşelerini taşıyan bir dikdörtgen içine hapsetmek mümkündür. CDEF dikdörtgeninin alanından CDA, AEB ve BFC dik
A) 6
8
B) 7
C) 8
D) 10
E) 14
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
tan 45o = 1 tan 60o = 3 tan 90o = Tanımsız
51. A(–4, 1), B(0, –1), C(13, 6) iken ABC üçgeninin ağırlık merkezi G olsun. GBC üçgensel bölgesinin alanı kaçtır? A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
52.
y
Yanda görülen ABCD dörtgeninin alanı kaç birimkaredir? A) 30 C) 40
D -3
B) 36 D) 42
C(4,8)
α x
O d
tan 15o = 2 –
3
o
3
tan 6o =
7 − 2 5 − 2 15 − 6 5
tan 42o =
7 + 2 5 − 2 15 + 6 5
tan 66o =
7 − 2 5 + 2 15 − 6 5
tan 78o =
7 + 2 5 + 2 15 + 6 5
A(1/2,-2)
y
(+)
2–1 2+1
tan 75 = 2 +
B 6 x
O
E) 45
tan 22.5o = tan 67.5o =
E) 10
Doğrunun Eğimi. Bir doğrunun x ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının tanjantına o doğrunun eğimi denir. Hatta o açıya da eğim açısı adı verilir.
Eğim = md = Tanα Dar veya üstün dar açıların (3. bölgede) tanjantlarının pozitif olduğunu bildiğimizden, 1. ve 3. bölgede sonsuza uzayan doğruların eğimleri pozitiftir. Geniş ve üstün geniş açıların (4. bölgede) tanjantlarının da negatif olduğunu bildiğimizden, 2. ve 4. bölgede sonsuza uzayan doğruların eğimleri de negatiftir. Bu bölümde tanjantlarla haşır neşir olacağa benziyoruz. O halde derhal tanjantın tanımını hatırlayalım ve bazı özel açıların tanjantlarını kaydedelim. Bunların nereden çıktığı bu yazımızın konusu değil. Yeteri kadarını zaten açıklayacağız.
tan 9o = + 1 +
5 –
5+2 5
tan 27o = – 1 +
5 –
5−2 5
tan 63o = – 1 +
5 +
5−2 5
tan 81o = + 1 +
5 +
5+2 5
tan 18o =
1 25 − 10 5 5
tan 54o =
1 25 + 10 5 5
tan 7.5o = – 2 +
2 –
3+ 6
tan 37.5o = – 2 –
2 +
3+ 6
tan 52.5o = + 2 –
2 +
3+ 6
tan 82.5o = + 2 +
2–
3+
6
Alıştırmalar Herhangi bir dik üçgende herhangi bir dar açının karşısındaki dik kenarın, komşusundaki dik kenarın uzunluğuna oranına, o açının tanjantı denir. tan 0
o
A
53.
c
α C
a
BOC üçgeninin hipotenüsü üzerinde A(1, 3) noktası bulunmaktadır. |CA| = 3⋅|AB| ise tanα kaçtır?
B
=0
tan 30o =
1 A)
3 9
3 4
B)
4 3
C) 2
B
y A(1,3)
α O D) 1
C
x
E) –1
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
Şekildeki d1, d2, d3, d4 doğrularının eğimleri sırasıyla m1, m2, m3, m4 ise, bu eğimlerin küçükten büyüğe doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?
y d3
d2
d4
d1 x
O
y
Eğer d doğrusu y eksenine paralel yani x eksenine dik bir doğruysa, x ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açı dik olur ki bu da tanjantının tanımsız olması anlamına gelir.
54.
y
y
a
x
O
b
c
y 7
3
8
-4
x
O
A) m1 < m2 < m3 < m4 B) m2 < m1 < m3 < m4 C) m2 < m1 < m4 < m3 D) m3 < m4 < m1 < m2 E) m4 < m3 < m1 < m2
y
y
y
O
x
O
C) 40o
D) 45o
E) 50o
Doğru grafiklerinden eğimin bulunması. Eğer bir doğrunun eğim açısı bilinmez de sadece eksenleri kestiği noktaları bilinirse, eğimi, eğimin tanımı yardımıyla bulunabilir. Doğrunun x eksenini kestiği nokta –a ve y eksenini kestiği nokta da b olsun. a ile b değerlerini burada pozitif olarak aldık. O halde şekildeki d b doğrusunun eğimi tan α = a olur. Eğer doğrumuzun x eksenini kestiği nokta a ve y eksenini kestiği nokta b ise (yine a ve b değerlerini pozitif olarak aldık), doğrunun eğim açısı geniş olduğundan eğimi negatif olur. Bu b durumda eğim tan α = – olur. a Eğer d doğrusu x eksenine koşut (paralel) yani y eksenine dik ise, x ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açı yoz (0o) olacağından eğimi sıfır olur.
y
d
α x
O
y b
α O
a
x
n
l 45
x
O
x
O
o
x
Sonuç olarak doğru denklemlerinin genel olarak x ve y ile gösterilen iki bilinmeyene sahip olduğunu çıkardık. Ayrıca aralarındaki ilişki de birinci dereceden olmalı ki iki nokta arasındaki farklar sabit olarak artsın. Yoksa y = x2 gibi bir ilişkide x’deki artış hızı y’deki artış hızıyla aynı olmazdı ve doğruya göre çok hızla artan bir fonksiyon ile karşıla-
y d O
y
y
Doğrunun genel denklemi. Öklid anlamında doğrunun, bildiğimiz manada dosdoğru nesneler olduğunu biliyoruz. Yani (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) noktalarından geçen doğrunun elbet (5, 5)’ten de geçeceğini seziyoruz ve biliyoruz. Hatta (6, 6) ve (7, 7)’den de. Örnekleri çoğaltabiliriz. Genel olarak (t, t) şeklindeki tüm noktalardan geçecektir. Hatta bu t’lerin tamsayı olma zorunlulukları da yok. Gerçek birer sayı olsunlar yeter. O halde bu doğrunun özelliği x’i y’sine eşit olan noktalardan geçmesidir. Bu sebeple biz bu doğruya x = y veya y = x doğrusu deriz. Bunu gören de anlar ki bu doğru, x’i y’sine eşit olan noktalardan geçermiş. Benzer şekilde y = 2x eşitliğini görenler de y’nin x’in 2 katı olduğunu ve doğrunun bu özelliği taşıyan tüm noktalardan geçtiğini veya dolayısıyla bunları içerdiğini anlar.
b -a
O
Yukardaki grafiklere göre; 3 7 1 3 , ma = , mb = 1, mc = − , md = − , me = 4 8 2 3 mf = 3 – 2, mk = 0, ml = tanımsız ve mn = 1’dir.
C
B) 35o
x
O
k
B
A
o
x x
-3
ACB ikizkenar üçgeninin tepe noktası y = x doğrusu üzerindedir. m(OCB) = 20o ise m(ACB) kaçtır?
75
O -6
y=x
y
f
e
x
O
60
d
55.
x
1 -1
o
y
A) 30o
O
x
10
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
şırdık ki biz bunlara parabol deriz. Daha daha hızlı büyüyen fonksiyonlarda var elbet.
yorsa, doğrunun eğimini bu noktalar yardımıyla bulmayı öğreneceğiz.
Toparlayalım: Doğru denklemleri birinci dereceden ve iki bilinmeyenli olurlar. Genel olarak ax + by + c = 0 yazılır. Bu tarz bir yazılıma doğrunun kapalı denklemi denir.
Doğrunun üstünden geçtiği bu iki nokta A(x1, y1) ve B(x2, y2) olsun. Şekilden takip edin. AB doğrusunu çizelim. Bu doğrunun x ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının ölçüsü, BAC açısının ölçüsüne eşittir. Bundan dolayı biz BAC açısının ölçüsünün tanjantını alacağız.
Bir doğru, denklemini sağlayan tüm noktalardan ged çiyordur. O halde x ekse-c nini ve y eksenini nerede b -c kestiğini basit bir hesapla a buluruz, bunlar şekilde yax O ax + by + c = 0 zılmıştır. Kısacası denklemde x yerine 0 yazılırsa doğrunun y eksenini kestiği noktayı, y yerine 0 yazılırsa da doğrunun x eksenini kestiği noktayı verir. y
m = tan α =
BC AC
C(a, b)
5
B(4, 5)
3
Doğrunun kapalı denklemi y d olur da açık denklemi olmaz mı? Var elbet! y = mx n -n + n şeklindeki bir yazılıma m da doğrunun açık denkx O lemi denir. Açık denklemler y = mx + n kapalı olanlara nazaran daha elverişlidir. Eksenleri kestiği noktaların veya eğimin çok daha rahat bir şekilde bulunmasına izin verir. Zaten bundan dolayı açık adını almıştır.
y 2 − y1 x 2 − x1
Verilen farklı en az 3 noktanın doğrusal olma şartı da yukarda-ki bu formülle bulunur.
y b
=
(2 nokta zaten daima doğrusaldır.) Bir örnek verelim:
A(2, 3) α
O
2
4
a
x
A, B ve C doğrusal ise
mAB = mAC = tan α =
5−3 b−3 = 4−2 a−2
Paralel doğruların eğimleri. İki doğru paralel iseler yöndeş açıların eşitliği gereği her ikisinin de x ekseniyle yaptıkları pozitif yönlü açılar eşit olacaktır. Eşit açıların tanjantları da eşit olacağından, paralel doğruların eğimleri eşittir. Teoremin tersi de doğrudur. Yani; eğimleri eşit olan iki doğru paraleldir.
x’e 0 verelim, y = b olur. Buradan çıkan sonuç şudur: Açık denklemlerde sabit terim, doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır. ax + b = 0 denkleminin kökü de doğrunun x eksenini kestiği noktanın apsisidir. Ayrıca şekilden görüldüğü üzere de açık doğru denklemlerinde x’in katsayısı bize direkt olarak doğrunun eğimini verir. Ne güzel!
α = 0° ⇔ m1 = m2
Bunu hemen kullanarak ax + by + c = 0 doğrusu−a −c nun eğimini de bulabiliriz. y = x+ halini b b alacağından kapalı halde verilen doğru denklemle−a ’dir. rinde eğim b
d1
d2
Dik doğruların eğimleri. İki doğru birbirine dik ise birinin eğim açısı diğerinden 90o fazla olacaktır. Bunu şekil çizerek rahatlıkla görebilirsiniz. Aralarında fark 90o olan iki açının tanjantlarının çarpımının da ufak bir hesapla her zaman −1’e eşit olduğunu buluruz. O halde iki doğru birbirine dik ise eğimlerinin çarpımı −1’dir. Yani eğimleri birbirlerinin çarpmaya göre terslerinin toplamaya göre tersleridir. Bu teoremin de tersi doğrudur. Yani, iki doğrunun eğimleri çarpımı d1 −1 ise doğrular birbirine diktir.
y
İki noktası bilinen doğrunun eğimi. Analitik B y2 y -y A geometri diye bilinen 2 1 y1 x2-x1 geometrinin bu dalının x1 x2 x iddialı olacak ama belki O d de en önemli teoremine geldi sıra. Bir doğrunun üzerinde bulunan iki noktanın koordinatları biliniyorsa, veya başka bir deyişle, bir doğrunun geçtiği iki farklı nokta bilini-
α = 90° ⇔ m1m2 = –1
11
d2
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
61.
Alıştırmalar
56. 1 A( − , 3) ve B(1, –3) noktalarından geçen doğ2 runun eğimi kaçtır? A) –6
B) –5
C) –4
D) 2
y
Şekildeki OABC bir yamuk ise C noktasının apsisi kaçtır? 23 A) 5
E) 6
D) 2
18 B) 5 8 E) 5
x
O
C) 3
Şekildeki ABCD dörtgeni bir paralelkenar ise C noktasının ordinatı kaçtır?
A) 1
A) 3 D) 6
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
58.
B) 2
C) –1
D)
a b
E) −
a b
A) 5
B) –5 1 5
E)
C)
1 5
C x
B -2
A)
OABC bir dikdörtB(15,3) gen olup, B köşesi- C nin koordinatları (15, 3)’tür. A x O Buna göre AC doğrusunun eğimi aşağıdakilerden hangisidir? C)
1 5
D) –
1 5
13 2
9
E) –
1 3
B)
1 2
C) 1
y=x-3
O
C) 7
Taban köşeleri B(–1, 2) ve C(2, 3) olan ABC ikizkenar üçgeninin tepe köşesi y = x doğrusu üzerindedir. Buna göre A noktasının apsisi kaçtır?
y
B) –5
A -4
x
6
D)
64.
5 2
60.
B)
y
O
C) 5
y
A) 6
A4
B 8 x
-2 O
Şekilde görülen karenin kenarları eksenlere paraleldir. Karenin doğrular üstünde olmayan köşelerinin ordinatı kaçtır?
59. Yandaki ABC üçgeninin alanı 30 birimkare ise BC doğrusunun eğimi kaçtır?
B) 4 E) 7
D
63.
A(2a – b, a – 2b) ve B(2a + b, a + 2b) noktaları için AB doğrusunun eğimi kaçtır? A) 1
C
62.
A(–3, 1), B(0, 4), C(1, 0), D(5, k) noktaları veriliyor. AB doğrusunun eğimi CD doğrusunun eğimine eşitse k kaçtır?
A) 5
A(7,2)
y
57.
D) –
C
y=x B(6,5)
15 2
y C B
E) 8
y=x
A
O
x
D) 2
E) 3
Eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denklemi. Acaba bir doğru, sadece üstündeki bir noktayla belli midir? Tabii ki değil. Mesela aklınızdan bir y d nokta tutun ve o noktadan A(x1, y1) geçen doğruları hayal edin. Bir sürü doğru geçiyor değil α x mi? Yalnız dikkat edin, o O bir sürü doğrunun hepsi x
1 3
12
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
ekseniyle farklı farklı açı ölçüleri oluşturuyorlar. Yani hepsinin eğimleri farklı. O halde mantığın doğal sonucu olarak, bir doğrunun üzerindeki bir noktası ve eğimi biliniyorsa, o doğrunun tek olduğunu dolayısıyla denkleminin yazılabileceğini anlıyoruz. Şu an bilmiyoruz ayrı mesele, ama yazılabileceğini analiz ettik.
Yan şekildeki K noktasının ordinatı kaçtır? A) 6 D) 9
B) 7 E) 10
1
y k doğrusu orijinde geçmekte ve d doğrusu buna dik durumdadır. tan α = –2 ise A noktasının ordinatı kaçtır? A)
3 2
B) 2
5 2
D)
y – y1 = mx – mx1
70.
y – y1 = m(x – x1)
Şekilde d doğrusu AC’yi dik kesmektedir. |BC| = 2⋅|AB| ise D noktasının apsisi kaçtır?
Alıştırmalar
1 2 4 D) 3
2x + y – 5 = 0 doğrusuna dik olan bir d doğrusu (– 6, 0)’dan geçiyorsa bu doğru y eksenini hangi ordinatlı noktada keser? D) –2
A)
E) –3
α x
O k D) 3
E)
24 5
B) 1
C)
d
A
3 B
O D
C x 6
3 2
E) 2
71.
66.
Yandaki OBA üçgeni dik ise A noktasının apsisi kaçtır?
A(–2, 1) den geçen ve eğimi 2/3 olan doğru x eksenini hangi apsisli noktada keser? A) –1
6
Α
y
65.
C) 1
d
69.
y = mx + y1 – mx1
B) 2
x
45
-2 O
C) 8
-3
Geçtiği nokta A(x1, y1) ve eğimi m olsun. Doğru denklemlerinin birinci dereceden ve iki bilinmeyenli olduğunu biliyoruz. Yani y = ax + b şeklinde. x’in katsayısı zaten eğimdi. O halde y = mx + b oldu. b’yi de bulursak denklemi yazmış olacağız. Bir doğrunun bir noktadan geçtiğini biliyorsak, o noktanın koordinatlarının denklemi sağlaması gerektiğini de biliyoruz. A(x1, y1) denklemi sağlamalı. O halde y1 = mx1 + b olduğundan b = y1 – mx1 olur. Düzenleyelim:
A) 3
y
K
68.
B) –2
67.
7 C) – 2
1 D) – 3
B(3,4)
A) 4
1 E) – 2
D) 27/4
B) 5
C)
25 3
E) 15/2
x O
A
y
d C(–3, p) noktasında k dik kesişen d ve k doğ1 C(3,p) -3 ruları yandaki şekilde x O gösterilmiştir. Buna göre d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + 3y – 11 = 0 C) 2x + 3y – 11 = 0 E) x + 3y – 7 = 0
y
72.
y
Aşağıdaki noktalardan hangisi d doğrusunun üzerindedir? A) (–1, –1) C) (6, 0) E) (5, 2)
B) 3x – y + 11 = 0 D) 3x + y – 11 = 0
13
B) (–1, 2) D) (7, 1)
O C
A(2,7)
d x
-1
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
73.
77.
3y – 2x = 6 doğrusuyla y ekseni üzerinde dik kesişen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
Şekildeki iki doğru dik kesişiyorlarsa, B noktasının apsisi kaçtır?
y d
3y - 2x = 6
7 3 13 D) 3
x
O
A)
A) x + 2y + 1 = 0 B) x + y + 1 = 0 C) 2x – 3y + 7 = 0 D) 3x + 2y – 4 = 0 E) 2x + 2y + 1 = 0
k doğrusu orijinden geçip, d doğrusuna diktir. A(–1, p) noktası k üzerinde ise p kaçtır?
B) –1
2
O
C) –2
x
D) –3
B y = mx + 5
y d A(-2,1)
E) –4
y A
B
x
O
y d
Grafikteki d ve k doğrularından birinin denklemi y = 2x + 4 ise taralı alan kaç birimkaredir?
k
A) 2
D) 16
B) 4
x
O
C) 8
E) 32
C
80. Şekilde A, B, C noktaları doğrusal olup, BDC bir dik üçgendir. D noktasının apsisi – 6 ise C noktasının apsisi kaçtır? A) –9
76.
B) y = 2 – x A) y = x – 2 C) y = – x – 2 D) y = 3x + 1 E) y = – 2x + 1
B(4,0)
y = px + k
B) y = px – k 1 D) y = – x + k p
ABCD bir dikdörtgen olup, A köşesinin apsisi –2, B köşe-sinin ordinatı –4 ise CD kenarının denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
x
O
79.
y = px + k doğrusu ile y ekseni üzerinde dik kesişen AC doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
x
O
A) 2y = 12x – 11 B) x + y – 5 = 0 C) 2y = 12x – 2 D) y = 6x + 10 E) y = 6x + 11
4
A(-1, p)
75.
A) y = –px + k 1 C) y = x + k p 1 E) y = – x – k p
A
11 3
[AB]’nin orta dikmesi olan d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
y
1 2
C)
3y = 2x + 6
C
78.
74.
A) –
10 3 14 E) 3 B)
y
B) –10
y O
D
A
x
C
C) –11
B x + 2y = -16
D) –12
E) –13
y D
81.
-2
A
x
O
y
ABCD karesinin D köşesi y = 2x doğrusu üzerindedir. C köşesinin apsisi 6 ise karenin bir kenarı kaç br.dir?
C B -4
A) 1
14
B) 2
C) 3
y = 2x D
C
A
B
O D) 4
x E) 5
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
İki noktası bilinen doğrunun denklemi. Aynen yukarda yaptığımız analiz gibi, bir doğrunun üzerindeki iki noktasıyla belli olduğu, en azından olması gerektiğini seziyoruz. Çünkü çizimlerimiz o noktadan sadece ve sadece tek bir tane çizebileceğimizi gösteriyor. E iki noktası belliyse, biz bu doğrunun eğimini biliyoruzdur, eğimi ve geçtiği bir noktası bilinen doğru denklemlerini de yazmayı öğrenmiştik. O halde y – y1 = m(x – x1) eşitliy − y1 yazarsak, mutlu sona eriğinde m yerine 2 x 2 − x1 şeceğiz. y – y1 =
P (x, y)
84. 2x – 3(a + 1)y + a – 1 = 0 doğrusunun eğimi 2 ise a kaçtır? A) –
A
A)
2 3
C)
D)
1 2
E)
3 4
5 7
B)
5 8
C)
8 5
D)
12 5
E)
7 12
86. 1 x – 2 doğrusunun A(–1, 0) noktasına en ya2 kın noktasının ordinatı kaçtır? y=
x − x1 y − y1 = x 2 − x1 y 2 − y1
(x1, y1)
1 3
(p + 1)x – 2py + 5 = 0 doğrusu A(1, 1) noktasından geçiyorsa bu doğrunun eğimi kaçtır?
veya
(x2, y2)
B)
85.
y 2 − y1 (x – x1) x 2 − x1
B
2 3
A) –3
Bu eşitliklere şöyle de ulaşabilirdik. Doğru üstündeki herhangi bir nokta (x, y) olarak adlandırıl-sın. Yan şekildeki gibi A, B ve P noktalarının doğrux − x1 y − y1 sallığından = . Tabii bu eşitliği çok x2 − x1 y 2 − y1 fazla tasvip etmiyoruz. Çünkü iki nokta belliyse eğim bulunup, y – y1 = m(x – x1) formülünü kullanmak daha güzel gibi.
B) –2
C) –1
D) 0
E) 1
87. Denklemi (m – 1)x + 2y – m + 1 = 0 olan doğrunun eğimi 1’dir. Bu doğrunun koordinat eksenleriyle oluşturduğu üçgenin alanı nedir? A)
1 4
B)
1 3
C)
1 2
D) 1
E)
3 2
Alıştırmalar
88.
82. A(–4, 1), B(0, –1), C(2, 7) ise ABC üçgeninin A köşesinden geçen kenarortayının denklemi nedir?
A(p + 1, 2p), B(0, p) ve C(2 – p, 3) noktalarını köşe kabul eden üçgenin ağırlık merkezi y = –2x + 1 doğrusu üzerinde ise p kaçtır?
A) 2x – 3y + 11 = 0 C) x + y = 7 E) 3x – 2y + 5 = 0
A) –2
B) x – 3y + 4 = 0 D) 2x – 5y + 13 = 0
A(–2, 7), B(–4, 2) ve C(3, 1) noktalarının belirttiği ABC üçgeninin BD kenarortayının denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
1 , 3) ve B(1, –3) noktalarından geçen doğru2 nun denklemini yazınız?
A(–
B) y = −4x + 2 E) y = −4x + 5
C) 0
D) 1
E) 3
89.
83.
A) y = −4x + 1 D) y = −4x + 4
B) –1
A) 4x – 9y + 34 = 0 C) x – 5y + 11 = 0 E) 5x + 2y – 7 = 0
C) y = −4x + 3
15
A y D B C
O
B) 2x + 3y – 12 = 0 D) 6x + 2y – 1 = 0
x
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
90.
94.
D(0, 3), B(5, 0) olup, C noktasının apsisi A noktasının apsisinden 3 fazladır. ABCD bir paralelkenar olduğuna göre AC köşegeninin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
DEC ikizkenar üçgen olup, CEFB eşkenar dörtgendir. FBCD dörtgeninin çevresi 26 birim ise A’nın ordinatı kaçtır?
A) x – y + 1 = 0 C) x – 3y – 3 = 0 E) 3x – y – 1 = 0
y C
D
B x
O A
A) 12
B) x – y – 1 = 0 D) 3x – 3y – 1 = 0
91.
A) y = 10 – 3x D) y = 9 – 4x
y C
A) –3
C) –2
x
B) 54
C) 59
x
D
E) 20
eşitliği de peydahlanır. Yani, doğrunun y eksenini kestiği noktayı x ile, x eksenini kestiği noktayı y ile çarpıp, bunların toplamını eksenleri kestiği noktaların çarpımlarına eşitleyerek de doğrunun denklemini yazabiliriz.
y
d k
y
2 p
O
y = mx
m
5 x
O 1
3 D) – 2
y(cm)
E) –1
Eksenlere paralel doğruların denklemi. (a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5), (a, 6), (a, 7), … , b (a, n), … noktalarının ortak x O a özelliğini sorsam size ne dersiniz? Tüm noktaların apsisleri yani x’lerinin a olduğunu değil mi? İşte bu noktaların belirttiği bu doğruya biz de bunun için x = a doğrusu deriz. Yani, bu doğru x’i a olan tüm noktaları taşıyor manasına gelir. Yan şekildeki diğer doğru da aynı sebepten dolayı y = b doğrusu adını alır.
A B (7,10)
5 2
O
x(ay)
D) 61
E) 64
x
Orijinden geçen doğrunun denklemi. Orijin dediğimiz şey nam-ı diğer başlangıç noktasıdır. Yani koordinatları (0, 0) olan nokta.
Eğimi m olan ve (0, 0)’dan geçen doğrunun denklemi yazılırsa y = mx denklemine ulaşılır.
93.
A) 52
D) 18
C
bx + ay = ab
C) y = 7 – 2x
y
Yandaki grafik aylara göre A ve B bitkilerinin boylarını cm. üzerinden göstermektedir. Buna göre 28. ayda bu bitkilerin boyları toplamı kaç cm. olur?
9
O
x y + =1 a b
92.
5 B) – 2
E
B
Formülümüz düzenlenirse,
B) y = 9 – 2x E) y = 7 – 4x
Şekilde d ve k doğrularının eksenlerle oluşturdukları dik yamuk görülmektedir. Yamuğun alanı 20 br2 ise k doğrusunun Ox eksenini kestiği noktanın apsisi olan p kaçtır?
C) 16
F
y
B
A
O
B) 14
A
Eksenleri kestiği noktaları bilinen doğrunun denklemi. Artık b bu soruyu yapmak için birkaç yoa x lumuz var. İster önce eğimi bulur O ve geçtiği bir noktayı alırız, istersek geçtiği iki noktası bilinen doğru denklemlerini kullanarak yazabiliriz. c
Yandaki OABC eşkenar dörtgeninin B köşesinin koordinatları (6, 2)’dir. Buna göre AC köşegeninin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
y
16
x=a y=b
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
a1 b1 ≠ ise eğimleri farklı olur. O halde ne çakıa 2 b2 şık ne de paralel olur bu doğrular. Tek bir şans kalıyor: Bir noktada kesişmeleri. Ve bu da gerçekleşir.
Alıştırmalar
95. x = 0, y = 0, x = 3 ve y = –2 doğrularının sınırladığı bölgenin alanı kaç br2dir? A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Alıştırmalar y
96. y = x + 2, y = 3 ve x = 5 doğrularının oluşturduğu taralı üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir? A) 3
y=x+2
B)
7 2
C) 4
97. y = –3x – 1 ve mx + 2y + n – 1 = 0 denklemleri aynı doğrunun ise m + n = ?
y=3
x
O
A) 11
x=5
D)
9 2
B) 9
C) 7
D) 5
E) 3
E) 8
98. 2x + y – 1 = 0 ve ax + 2y – 9 = 0 doğrularının tek noktada kesişebilmeleri için a hangi değeri almamalıdır?
Analitik düzlemde iki doğrunun durumu. Hadi bir hayal kuralım. Herkes aklından bir düzlemde iki doğru düşünsün. Durun tahmin edeyim: Ya ikisini üst üste düşündünüz, çakışık bir vaziyette yani, ya paralel ya da kesişen bir biçimde değil mi? Bu işi bırakıp müneccim mi olsam acaba? ☺ İki doğru her zaman bu üç durumdan birini sağlar. İtirazı olan varsa aksine bir örnek göstersin.
A) 6
B) 7
C) 8
D) 5
E) 4
99. 2x + y – 1 = 0 ve ax + 2y – b = 0 doğrularının paralel oldukları ama çakışık olmadıkları biliniyor. Buna göre a kaç olmalı, b kaç olmamalıdır?
Şimdi doğruların grafiklerine bakarak değil de denklemlerine bakarak, çakışık mı, paralel mi yoksa kesişen mi olduklarını söyleyebilmeyi öğreneceğiz. Doğrularımız aşağıdaki gibi olsunlar:
A) a = 6, b ≠ 4 C) a = 4, b ≠ 2 E) a = −4, b ≠ 2
d1 : a1x + b1y + c1 = 0
B) a = 4, b ≠ −2 D) a = −4, b ≠ −2
Noktanın doğruya olan uzaklığı. Gele gele analitik geometrinin en önemli formüllerinden birine geldik. Koordinatları verilen bir noktanın, denklemi verilen bir doğruya olan uzaklığını hesaplamayı öğreneceğiz. Bilindik ÖSS geometrisi kurallarıyla kanıtlanabilen ama uzun bir kanıtı var, onun için bu kanıtı size alıştırma olarak bırakıyorum. Artık aşağıdaki formülü adınız gibi ezberleyin demekten başka yol da kalmıyor.
d2 : a2x + b2y + c2 = 0
a 1 b1 c1 = = olursa, iki doğrunun hem eğimleri a 2 b2 c 2 hem de eksenleri kestiği noktalar aynı olacağından doğruların aslında aynı doğruyu simgelediklerini anlarız. Böyle doğrulara çakışık doğrular diyeceğiz. a1 b1 c1 olursa, ilk eşitlik gereği doğruların = ≠ a 2 b 2 c2
Noktamız P(x1, y1), doğrumuz da ax + by + c = 0 olsun. Noktanın doğruya olan uzaklığına da h diyelim. Bu arada uzaklık denilince en kısa uzaklık olarak algılamalısınız, onu da belirteyim.
eğimlerinin eşit olduğunu anlarız. Eğimlerinin eşit olması bizi eğim açılarının eşitliğine götürür. Bu da doğruların paralelliği demektir. Sabit terimleri oranı farklı olduğundan çakışık olamayacakları da çıkarılır.
P(x1, y1) h 17
d
h=
| ax1 + by1 + c | a2 + b2
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
Burada diğer bir önemli nokta da, formülün uygulanabilmesi için, denklemi kapalı hale getirmemiz gerektiğidir. Lütfen buna dikkat edin!
vereceğiz. Lütfen bu formülü de adınızı söyleyebildiğiniz hızda söyleyebiliyor olun. Beni kızdırmayın! tan α =
Alıştırmalar
Bu formülün arka planında aslında başka şeyler de yatıyor. Mesela m1 = m2 olduğunu düşünün. tan α formülü sıfıra eşit oluyor. Bu da bize bu iki doğrunun sıfır derecelik bir açı belirttiğini yani doğruların birbirlerine paralel olduklarını anlatıyor. Benzer şekilde m1⋅m2 = –1 olması halinde de formülün paydası sıfır olduğundan yani ifade tanımsız olduğundan, diğer yandan tan 90o’nin de tanımsız olduğunu bildiğimizden doğruların birbirlerini dik kestiğini anlarız.
100. P(1, –2) noktasının 3x – 4y + 9 = 0 doğrusuna olan uzaklığı kaç birimdir? A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
101. Koordinatları A(n, 2) olan noktaların 4x – 3y + 4 = 0 doğrusuna uzaklıkları 4 birimdir. Bu koşula uyan n değerlerinin toplamı kaçtır ? A) 1
B) 2
C) 3
102.
D) 4
E) 5
104.
y
O
1 A) 3
8 D) 15
15 C) 23
Alıştırmalar
y = –x + 3 ve 3 x – y + 1 = 0 doğruları arasındaki dar açı kaç derecedir ?
Yandaki şekle göre, A(3, 4) noktasının y = mx doğrusuna uzaklığı 3 birim ise m kaçtır? 7 B) 24
A(3, 4) 3
A) 15o
B) 3
C)
8 3
D) 60o
E) 75o
2x – 3y + 1 = 0 ve y = 3x – 5 doğruları arasındaki dar açının tanjantı kaçtır ?
3 E) 10
A) 5/4
B) 6/7
C) 7/9
D) 9/11
E) 11/13
106.
A(-5, p)
y = 2x – 3 ve y = –3x + 1 doğruları arasındaki geniş açı kaç derecedir ?
4 -2
O
D)
10 3
E)
x
A) 105o
9 2
107.
B) 120o
C) 135o
y = 3x + 2 ile y = ax + 5 doğruları arasındaki açı 45o ise a aşağıdakilerden hangisi olabilir?
İki doğrunun belirttiği açı. Kesişen iki doğru daima bütünler iki açı çifti belirtir. Yaα ni, şekildeki d1 ile d2 doğrulax O rının belirttiği açının ölçüsüne α diyebileceğimiz gibi 180o – α da diyebilirdik. Bu açıları bulmanın formülü de trigonometri içerdiğinden bunu da kanıtsız olarak y
C) 45o
105.
y
A) 4
B) 30o
y = mx
x
103. Şekildeki iki doğru birbirlerine dik olup A noktasının doğruya olan uzaklığı 20 birimse A noktasının ordinatı olan p kaçtır?
m2 − m1 1 + m1 ⋅ m2
d1 d2
D) 150o E) 165o
45
O
1 2 7 D) 4
A)
18
3 2 5 E) 2 B)
y = 3x + 2
y
x y = ax + 5
C) 2
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
108. A(3, 5), B(–2, 1) ve C(x, 0) noktaları için BAC dik üçgeni yanda çizilmiştir. Buna göre x kaçtır?
A) 6 C) 8 10
y
l1
A (x, y) h
B
h
l2
C x
O
B) 7 D) 9
d1
d2
E)
Açıortay doğrularının denklemleri. İki doğru eğer paralel değillerse kesişirler. Böylelikle iki ters açı çifti oluşur. Bu açıların açıortayları da birer doğru olduğundan denklemleri merak edilebilir.
Merak edenler için verelim: d1 : a1x + b1y + c1 = 0
Paralel iki doğru arasındaki uzaklık. Şimdi de paralel iki doğru arasındaki uzaklığı hesaplamayı öğreneceğiz.
d1 h
h
d2 : a2x + b2y + c2 = 0 olsun.
d2
ℓ1 ve ℓ2 açıortay doğruları olduğundan üzerlerinde alınan herhangi bir (x, y) noktasının d1 ve d2 doğrularına olan uzaklıkları eşittir. Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığı formülünü kullanırsak
d1: ax + by + c1 = 0 ve d2: ax + by + c2 = 0 ise
h=
c1 − c 2 2
a +b
h=
2
| a1 x + b1 y + c1 | 2
a1 + b1
Bunun da başka bir yolu var.
=
| a 2 x + b2 y + c 2 | 2
2
a 2 + b2
2
eşitliğine erişiriz ki çıkan değerler d1 ve d2 doğrularının açıortaylarının denklemlerini verir.
Paralel doğrular arasındaki uzaklık her yerde sabit olduğundan d1 doğrusu üzerinde bir nokta alıp, bu noktanın d2 doğrusuna olan uzaklığını bulmak, aslında paralel iki doğru arasındaki uzaklığı bulmaktır. Siz yine e bu formülü de ezberleyin!
Alıştırmalar
112. x – 2y + 1 = 0 ve 4x + 2y + 5 = 0 doğrularının açıortay denklemlerini bulunuz?
Alıştırmalar A) 2x + 6y + 3 = 0, 6x – 2y + 7 = 0 B) x – y + 1 = 0, x + 2y – 1 = 0 C) 2x + 3y – 5 = 0, 5x + 2y – 1 = 0 D) x + y + 1 = 0, 4x + 2y – 1 = 0 E) 5x + y + 1 = 0, 5x – 2y + 1 = 0
109. y = 2x – 3 ve y = 2x – 8 doğruları üzerinde birer kenarı bulunan bir karenin alanı kaç birimkaredir?
A) 5
B) 7
C) 8
D) 10
113.
E) 25
110.
5x – 5y + 1 = 0 ve x – 7y + 2 = 0 doğrularının açıortaylarının birinin denklemi nedir ?
Tabanı 3x + 4y – 1 = 0 doğrusu üzerinde, tepesi de 3x + 4y + 14 = 0 doğrusu üzerinde bulunan bir eşkenar üçgenin bir kenarının uzunluğu kaç birimdir?
A) 2x + 5y + 1 = 0 C) 3x + 2y = 4 E) 2x – 4y + 1 = 0
A) 3
B) 4
C) 6
D) 10
114.
E) 12
Yandaki OBA bir dik üçgen olup, AN iç açıortaydır. A noktasının koordinatları (4, 3) ise N noktasının apsisi kaçtır?
111. 5x – 12y + 4 = 0 ve –5x + 12y + k = 0 doğrularının arasındaki uzaklığın 1 birim olabilmesi için k’nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A) 9
B) –7
C) –8
D) –10
B) x – 2y + 1 = 0 D) 2x – 4y + 1 = 0
E) –17 19
y A(4,3)
O
N
B
x
Mustafa YAĞCI
A)
19 5
B)
12 5
Doğrunun Analitik İncelenmesi
C) 2
115.
D)
E)
14 5
A) –1
B) 5
B) 7
C) 11
D) 13
E) 14
117. 2mx – 3y + 4m – 6 = 0 doğru demetinin geçtiği ortak sabit noktanın koordinatları nedir?
A(0,8)
AOC dik üçgeninin köşe koordinatları yan şekilde verilmiştir. CB iç açıortay ise a kaçtır?
A) 4
5 2 y
B(0,3)
C) 6
x O
D) 7
A) (1, 0) D) (5, –1)
C(a,0)
B) (–2, –2) E) (4, 4)
C) (0, –1)
E) 8
118. x = 2t – 1 ve y = 3t + 2’dir. t değiştikçe A(x, y) noktasının geometrik yerinin denklemi nedir ?
Doğru demeti. İki veya daha çok doğru noktadaş ise adına doğru demeti denen bir şekil oluştururlar. Doğru demeti denklemleri x ve y dışında bir bilinmeyen içerirler. Bu bilinmeyen değiştikçe doğrular değişir ama hep bir nokta sabit kalır.
A) 3x – 2y + 7 = 0 C) 3x + 4y – 12 = 0 E) 5x + y – 1 = 0
B) 2x + 3y = 6 D) x – 2y + 3 = 0
119. x + y + 1 = 0, y = 3x + 7, x – 2y + m = 0 doğruları aynı noktada kesişiyorlarsa m kaçtır ?
d1 + k ⋅ d2 = 0 (k ∈ ) Bir doğru demetinin geçtiği ortak sabit noktayı bulmak için k değişkenine canımızın istediği 2 farklı değer veririz. Böylelikle demet içinden hangisi olduğunu bilmediğimiz ama kesinlikle bu demet içinde olduğunu bildiğimiz iki doğru denklemi elde ederiz. Bu doğruların kesiştiği noktanın bulunması, bize doğal olarak tüm demetin geçtiği ortak sabit noktanın koordinatlarını verecektir.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
120. Parametrik denklemi; x = 2t + 1, y = t – 2 olan doğrunun eğimi kaçtır ?
Doğruların parametrik denklemi. Doğru denklemlerinde görülen x ve y’leri bir üçüncü değişken cinsinden yani bir parametre kullanarak yazmaya doğrunun parametrik denklemi denir.
A)
1 2
B) −
1 2
C)
1 8
D) 2
E) −2
121.
Örneğin, x = y doğrusu (t, t) olarak, y = 2x doğrusu (t, 2t) olarak gösterilebilir. Parametrik gösterimlerde her zaman ilk bileşen x’i, ikinci bileşen y’yi verir. Bunun için A(2 + t, 3t + 1) noktalarının geometrik yeri demek, parametrik denklemi (2 + t, 3t + 1) olan doğru demektir.
(m – 1)x +(m + 1)y – 2m = 0 doğrularının geçtiği sabit noktanın apsisi kaçtır ? A) –2
B)
1 2
C) –
7 2
D) 1
E) 2
Çözümü şöyle yapacağız: x=2+t⇒t=x–2
122.
y = 3t + 1 ⇒ y = 3(x – 2) + 1.
A(m + 1, –m) ve B(m – 1, 2) noktalarının orta noktası C’dir. m değiştikçe C noktasının geometrik yerinin denklemi ne olur?
Alıştırmalar A) x + 2y – 1 = 0 C) x + 2y – 3 = 0 E) x + 2y – 5 = 0
116. y = 2x – 5 ve y = x + 1 doğrularının kesiştiği noktanın koordinatlarının toplamı kaçtır?
20
B) x + 2y – 2 = 0 D) x + 2y – 4 = 0
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
123.
y
Şekilde d ve k doğrularının eksenleri kestiği noktalar belirtilmiştir. Buna göre taralı dörtgenin alanını bulunuz.
2
127.
d
Şekilde taralı üçgensel bölgenin alanı a cinsinden neye eşittir?
k
A
-4
x
O 1
A) 2a + 6 C) a + 6 E) 3a + 2
-3
A) 2 D)
5 B) 2
7 2
C) 3
y
B) 8 E) 12
Şekildeki k doğrusuna (–3, 0) noktasından bir dik indiriliyor. Doğruların arakesiti olan P noktasının y eksenine olan uzaklığı kaç birimdir? B)
3 2
6
x
B
B) 2a – 3 D) 2a + 3
C
d
O
-3
D)
7 4
y
A) 6 2
E)
k
D) 15
E) 18
C) 9
D) 10
Şekildeki doğrular y ekseni üzerinde kesişiyorlarsa a kaçtır?
y=x+4
B) –4
y+2x = 4a+6 y = 5x + 2a
Yandaki grafikte, üç doğrunun kesişimiyle oluşan üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir?
2x - 9y - 6 = 0
E) 24 21
x
O
C) –3
131. x
E) 12
y
130.
5 2
C
B) 8
x
A
B
C) 14
y y ekseni üzerindeki 2x - 3y = 4m A noktasında kesişen A 10y - 4x = 40 iki doğrunun x ekseniyle oluşturduğu C O B x ABC üçgensel bölgesinin alanı kaç birimkaredir?
A) –6
B) 18 D) 21
x
O
129.
1
Yandaki taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
y=6
k
-3
P
126.
B) 12
3y - 2x = 12
x
O 1 4
d y
C) 2
y
Şekilde kesişen doğruların denklemleri verilmiştir. Taranan üçgensel bölgelerin alanları toplamı kaç br2.dir? A) 10
C) 9
125.
A) 16 C) 20
A
128.
Şekilde d ve k doğrularının eksenleri kestiği noktalar belirtilmiştir. Buna göre taralı dörtgenin alanını bulunuz.
A) 1
4x - ay = 4a
O
E) 4
124.
A) 6 D) 10
y 4x + 3y = -12
D) –1
y
E) 1
y = 2x
y=6
y = x/2
O
x
Mustafa YAĞCI
A) 18
B) 23
Doğrunun Analitik İncelenmesi
C) 24
D) 27
E) 30 A) 4
Grafikteki iki doğru x ekseni üzerinde aynı noktada kesişmektedirler. ABC üçgensel bölgesinin alanı kaç birimkaredir? 15 2
B) 8
y
D) 8
E) 9
A(0, 2), B(6, 4) ve C(2, 8) noktalarını köşe kabul eden üçgenin çevrel çember merkezinin koordinatları toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
y=x+5 C 2x - 5y = -10 B
A
x
O
C) 9
D) 10
A) 7
B)
36 5
C)
38 5
D)
39 5
E)
41 5
E) 12
DOĞRUNUN DÜZLEMDE AYIRDIĞI BÖLGELER
133. Şekildeki iki doğrunun x ekseniyle oluşturdukları taralı üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir? A) 9 D) 15
C) 6
137.
132.
A)
B) 5
B) 12 E) 18
y
Birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlikler. y = mx + n denklemini nasıl yorumlamamız gerektiğine değinmiştik. Tekrar hatırlatalım.
y - 2x = 4
Öyle bir (x, y) noktası düşünün ki; y’si x’inin m katının n fazlası olsun. Eğer bu şartları sağlayan bir nokta bulursak, bu noktanın doğrunun üzerinde olduğunu söylüyorduk. Peki, bu şartları sağlayan kaç farklı nokta bulunabilir? İstediğimiz kadar çok. İşte bu y = mx + n doğrusu, y’si x’inin m katından n fazla olan tüm noktaları üzerinde taşıyan bir doğrudur. Peki, sağlamayan noktalar nerede o zaman? Bu doğrunun üzerinde olmadığı kesin. O halde ya üstünde ya altında, veya ya sağında ya solunda. Peki üstünde olmayan kaç nokta var? Onlar da istediğimiz kadar çok, hatta istemediğimiz kadar çok! Peki bu doğrunun üzerinde olmayan noktalar doğrusal mı? Hayır, dağınık bir şekildeler. Yani bir bölge oluştururlar. İşte bu doğrunun üst bölgesi analitikte y > mx + n, alt bölgesi de y > mx + n olarak gösterilir.
x O
C) 14
134.
3x + y = 9
y
Yandaki şekilde |CD| = 2⋅|OC| = 2⋅|OB| = 2⋅|OA| olup, (ECD) üçgeninin alanı 2 ise E noktasının apsisi kaçtır?
O
A) 3
D) 6
B) 4
A
E
x D
C B
C) 5
135.
E) 7
y
d ve k doğrularının eksenleri kestiği noktalar grafikte gösterilmiştir. Taralı dörtgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir?
d k
1 -4
O
2
Bir doğrunun üst bölgesini denklemle anlatmak isteyen, önce doğrunun açık denklemini yazacak, sonra da ‘’=’’ işaretini ‘’>’’, alt bölge için de ‘’<’’ yapacak. Eğer üst bölgeye doğru üzerindeki nokta-
x
-3
lar da dahilse ‘’ ’’, alt bölgeye doğru üzerindeki 17 A) 5
136.
19 B) 5
C) 4
D) 5
27 E) 5
noktalar da dahilse ‘’ ’’ işaretini kullanacağız.
Yok eğer böyle yapmak istemiyorsanız, şunu yapın: Önce doğrunun denklemini çizin. Eşitlik varsa düz çizgi, eşitlik yoksa kesik kesik çizin. Sonra doğrunun üstünde olmayan bir nokta seçin. Eşitsizliği sağlıyorsa, doğru bölgeden seçmişsinizdir, sağlamıyorsa yanlış bölgeden.
y
C B OABC bir ikizkenar yamuky=2 tur. Üst tabanının denklemi y = 2 ve AB kenarının A x O denklemi 2x + y = 8 ise yamuğun alanı kaç birimkaredir?
22
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
y
140.
y
y
Grafikteki taralı bölgeyi bey > mx + n
y > mx + n
3, x 3 lirtmek için y koşullarına ek olarak aşağıdakilerden hangisi verilmelidir?
x
O
x
O
y
y
A) x + y y < mx + n
y < mx + n
O
x
D) x
O
3
B) x + y
0
y
C) x
0
E) x + y + 3
0
y
Yandaki taralı bölgeyi ifade eden eşitsizlik sistemi aşağıdakilerden hangisidir?
Uyarı. ax + by + c = 0 doğrusu ve A(x1, y1) ile B(x2, y2) noktaları verilsin.
3 -1
1 4
O
Eğer (ax1 + by1 + c1)⋅(ax2 + by2 + c2) < 0 ise A ile B noktaları doğrunun farklı taraflarındadır.
A) y > x + 1, x – 3y B) y
Eğer (ax1 + by1 + c1)⋅(ax2 + by2 + c2) > 0 ise A ile B noktaları doğrunun aynı taraflarındadır.
C) y
12
x + 2, x + 2y – 6 > 0
D) x + y + 1
Alıştırmalar
0, x – 2y – 6
0
0, 2x – y + 1 < 0
142. Şekildeki taralı düzlem parçası aşağıdaki eşitsizlik sistemlerinin hangisinin çözüm kümesidir?
138. y x, y ≥ 1,
y 1 1
x 3 eşitsizlik sisteminin belirttiği bölgenin alanı kaç birimkaredir ?
O
C) 3
D) 4
A) (y – x – 1)y B) (y – x – 1)y
0
C) (y – x – 1)x
E) 6
0
0
E) (y – x – 1)xy
139.
0
y
143.
4 3
Şekildeki taralı düzlem parçası aşağıdaki eşitsizlik sistemlerinin hangisinin çözüm kümesidir?
-2
O
4
x
y 2
O
2 -2
A) 2x – 3y + 6 B) x – 2y + 6
0, x + y + 4 0, x + y – 4
C) 3x – 2y + 6
0, x + y – 4
D) 3x – 2y + 6
0, x + y + 4
E) x – y + 1
0
0, x – y + 4
0 0
A) (x + y – 2)⋅(x – y + 2)
0
B) (x + y – 2)⋅(x – y – 2)
0
C) (x + y – 2)⋅(x – y – 2)
0
D) (x + y – 2)⋅(x – y – 2)
0
E) x + y > 2, x – y 23
x
0
D) (y – x – 1)x
Yanda taranan bölge hangi eşitsizlik sisteminin çözümüdür?
x
0
x + 1, 3x + 4y
E) x + y
B) 2
y
x
141.
A) 1
x
O
-3
0
0 0
x
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
Mesela A, H, I, M, O, T, U, V, Y, X harfleri birer simetri eksenlerine sahiptir. Hepsini tam ortalarından boyuna dik kesen bir doğru çizdiğimizde, o doğrunun solunda ve sağında kalan parçalar birbirlerinin simetrikleriler. Bazı harflerin de yatay simetri eksenleri vardır. Mesela B, C, D, E, H, I, K, O, X harfleri. Bu harfleri enine tam ortadan kesen bir doğru çizersek, doğrunun üstünde ve altında kalan parçalar birbirlerinin simetrikleri olacaktır. Dikkat ettiyseniz bazı harflerin hem dikey hem de yatay simetrikleri var. H, I, O, X gibi… Bazen de eğik simetri eksenleri olur. Mesela O harfi eğik simetri eksenine de sahip, hem de çok fazla… O harfini hatasız bir çember gibi farzedin, tüm çapların çemberi simetrik iki yaya böldüğünü hatırlayın… Yani çember ve dairenin istediğimiz kadar çok, farklı simetri ekseni vardır. Değinmişken diğer geometrik cisimlere de el atalım. Acaba hangisinin simetri ekseni var, hangi-sinin yok? Size bir ipucu vereyim: Düzgen ngenlerin her zaman n tane simetri ekseni olur. Çember zaten çok çok büyük n’ler için düzgün ngen gibi düşünülebileceğinden, kim ne kadar isterse o kadar sayıda farklı simetri ekseni vardır.
144. A(2, 4), B(3, 10) noktaları y = 2x + m doğrusunun farklı bölgelerinde ise m yerine yazılabilecek tamsayıların toplamı kaçtır?
A) 3
B) 6
C) 9
D) 10
E) 15
145. A(2, 0), B(–2, –1) noktaları x + y + m = 0 doğrusunun aynı bölgelerinde ise m yerine yazılabilecek tamsayıların toplamı kaçtır?
A) –3
B) –6
C) 1
D) 2
E) 3
146. A(1, 1), B(–1, –1) noktaları x + y – m = 0 doğrusunun farklı bölgelerinde ise m yerine yazılabilecek tamsayıların adedi kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Simetri. Tam olarak tanımı nedir, bilmiyorum, hatta tanımı var mıdır, onu dahi bilmiyorum. Bildiğim bir şey var ki, A nesnesinin B nesnesine göre simetriğinin C nesnesi olabilmesi için kabaca 3 şart var: i. A, B, C doğrusal olmalılar. ii. |AB| = |BC| olmalı. iii. A ile C aynı nesne olmalı. Yorumlamaya üçüncüden başlayalım. Demek ki bir şeyin herhangi bir şeye göre simetriği hep kendi cinsindendir. Yani bir ‘’nokta’’nın bir şeye göre simetriği yine bir ‘’nokta’’, bir ‘’doğru’’nun da herhangi bir şeye göre simetriği yine bir ‘’doğru’’dur. İkinci şartın anlatmak istediği de noktalar veya doğrular neye göre simetriklerse, ona eşit uzaklıkta ve zıt taraflarında olmalılar. Bu zıt tarafta olmak yani B’nin ortada kalması da birinci şartın anlatmak istediği şeylerden biri. Diğeri de doğrusal olma mecburiyetleri. Bunun ne demek istediği zaten ayan beyan ortada.
Yukarda görüldüğü üzere düzgün üçgenin (eşkenar üçgen) 3, düzgün dörtgenin (karenin) 4, düzgün beşgenin 5 farklı simetri ekseni vardır. Düzgün olmayan hiçbir n-genin n tane simetri ekseni olamaz. Ayrıca hiçbir n-genin de n’den fazla simetri ekseni olamaz.
Yazılanlara bakınca ayna görüntüsü gibi bir şey olsa gerek simetri. Veya bir şeyi bir doğru boyunca katlayınca, katlama ekseninin her iki tarafında kalan parçalar tam olarak birbirlerini karşılıyorlarsa(örtüyorlarsa), bu şekillere simetrik şekiller katlama eksenine de simetri ekseni denir. 24
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
Eşkenar üçgenden başka düzgün üçgen olmadığından, eşkenar üçgenden başka 3 farklı simetri ekseni olan üçgen yoktur. İkizkenar üçgende 1 tane (tepeden tabana inen yükseklik) simetri ekseni vardır. Çeşitkenar üçgenlerin ise simetri ekseni yoktur. Kareden başka düzgün dörtgen olmadığından kareden başka hiçbir dörtgende 4 farklı simetri ekseni yoktur. Dikdörtgen ve eşkenar dörtgenin 2 tane, deltoit ve ikizkenar yamuğun da 1 tane simetri ekseni vardır. Paralelkenarın ise hiç yoktur. Peki, insanın kendisinin simetri ekseni var mıdır? Fazla eşelemezsen, vardır diyebiliriz. Boydan tam ikiye bölen bir doğru çizdiğinizi hayal edin, tam o. Ama enden yani göbekten geçen doğru simetrik bölmez, hataya düşmeyin. Başka ne örnekler verebiliriz günlük hayattan, bir düşünelim bakalım… Mesela, acaba açık du-ran bir tavla kutusunun simetri ekseni var mıdır, varsa kaç tanedir? Ayrıca, yazdığınız defterde, okuduğunuz kağıtta, tuttuğunuz kalemde durum ne, bunları da düşünün, sonra gelin bir bir bana sorun… Örneğin, harfleri incelediğimiz gibi siz de rakamları inceleyebilirsiniz... Artık az çok simetrik olmak ne demek, simetri ekseni ne demek anlamış olmalısınız… Hayattaki, harflerdeki, geometrideki simetri derken, geldik analitik geometrideki simetriye… Şimdi ufak ufak noktanın noktaya, noktanın doğruya, doğrunun noktaya, doğrunun doğruya fi-lan simetriklerini bulmayı öğreneceğiz. Tabi önce güzel doğrularla başlayacağız. Güzelden kastımız, koordinat eksenleri ve bunlara paralel doğrular.
Alıştırmalar
147. A(1, –4) noktasının B(2, 2) noktasına göre simetriği C’dir. C noktasının koordinatlarının toplamı kaçtır?
A) 7
B(a, b)
C) 9
D) 10
E) 11
148. A(2, –3) noktasının B(4, 1) noktasına göre simetriği olan noktanın Ox eksenine olan uzaklığı kaç birimdir?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
149. A(3 – m, m) noktasının C’ye göre simetriği B(2, 1 – 3m)’dir. C’nin 4x – 2y + 3m = 0 doğrusu üzerinde olması için m kaç olmalıdır?
A) –3
B) –2
C) 1
D) 2
A(4, 0) noktasının B noktasına göre simetriği şekildeki C noktasıdır. C’nin orijine uzaklığı 5 birim ise AOC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 4
E) 3
y
150.
Noktanın Noktaya Göre Simetriği. En kolaylarından biri. Simetrinin tanımı gereği A noktasının B noktasına göre simetriği de bir noktadır. O noktaya C diyelim. Yine simetrinin tanımı gereği |AB| = |BC| ve A, B, C noktaları doğrusal olmalı. Yahu bu B noktası, o zaman, düpedüz AB doğru parçasının orta noktası!. A(x , y )
B) 8
B) 6
C) 8
A4 B
O
x
5
C D) 9
E) 10
Özel doğrulara göre simetri. Aşağıda verilen bağıntıları tek tek kanıtlayınız. y E(y1, x1)
A'(x, y)
A(x1, y1) noktasının B(a, b) noktasına göre simety +y x +x riği C(x, y) ise 1 =a, 1 = b ’dir. 2 2
D(–x1, y1)
y=x
A(x1, y1)
x O
Bildiğin orta nokta koordinatlarını bulmakla aynı şey. Fazla söze gerek yok. C(–x1, –y1)
25
B(x1, –y1)
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
A(x1, y1) noktasının;
156.
Ox eksenine göre simetriği:
B(x1, –y1)
Oy eksenine göre simetriği:
D(–x1, y1)
Orijine göre simetriği:
C(–x1, –y1)
A(5, –2) noktasının y = –7 doğrusuna göre simetriği olan B noktasının orijine olan uzaklığı kaç birimdir? A) 5
B) 8
C) 10
C) 12
E) 13
y = x doğrusuna göre simetriği: E(y1, x1) y = –x doğrusuna göre simetriği: F(–y1, –x1)
157.
x = a doğrusuna göre simetriği : A′(2a – x1, y1) y = b doğrusuna göre simetriği : A′(x1, 2b – y1)
A(5, 2) noktasının x = 1 doğrusuna göre simetriği B noktasıdır. A, B ve orijinden oluşan üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir? A) 5
Alıştırmalar
151.
B) (2, 1) E) (1, –2)
C) (–1, –2)
A) (3, –2) D) (3, 4)
M(–3, 4) noktasının Oy eksenine göre simetriği analitik düzlemin hangi bölgesindedir? B) 2.
C) 3.
D) 4.
A) (3, 2) D) (3, 4)
A) x + 2y + 5 = 0 C) 4x – 5y + 9 = 0 E) x + y + 4 = 0
C) (–1, 3)
C) (3, 3)
B) 2x + 3y – 6 = 0 D) x – y + 1 = 0
161.
155.
(2 – m)x + (m – 1)y + 6 = 0 doğruları sabit bir P noktasından geçmektedirler. P noktasının orijine göre simetriğinin koordinatlarını bulunuz.
A(m + 1, 1 – 3m) noktasının ikinci açıortay doğrusuna göre simetriği analitik düzlemin üçüncü bölgesindedir. Buna göre m kaç olabilir? A) 0
B) (4, 1) E) (4, 5)
A(–3, 1) noktasının Ox eksenine göre simetriği B, y = x doğrusuna göre simetriği ise C’dir. Buna göre BC doğrusunun denklemini yazınız.
A(1, –3) noktasının birinci açıortay doğrusuna göre simetriği olan noktanın koordinatlarını bulunuz. B) (3, –1) E) (1, 3)
C) (–2, 3)
160.
E) (–4, 2)
154.
A) (–1, –3) D) (–3, 1)
B) (5, –2) E) (4, 5)
A(–2, 1) noktasının x = 1 doğrusuna göre simetriğinin koordinatları nelerdir?
E) 2. veya 3.
A(4, –2) noktasının orijine göre simetriği olan noktanın koordinatlarını bulunuz. B) (−4, −2) D) (2, –4)
E) 11
159.
153.
A) (−2, 4) C) (4, 2)
C) 10
A(x, y) noktasının Oy eksenine göre simetriği B ve B’nin Ox eksenine göre simetriği C(–5, 2) noktasıdır. A noktasının koordinatlarını bulunuz.
152.
A) 1.
C) 8
158.
A(–1, 2) noktasının Ox eksenine göre simetriğinin koordinatlarını bulunuz. A) (1, 2) D) (–2, –1)
B) 6
B) 1
C) 2
D) 3
A) (4, 4) D) (–4, –4)
E) 4 26
B) (2, 2) E) (6, 6)
C) (–2, –2)
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
162.
168.
A(–2, 3) noktasının Ox eksenine göre simetriği B, B’nin orijine göre simetriği ise C’dir. BC doğrusunun denklemini bulunuz.
x y − = 1 doğrusunun ikinci açıortay doğrusuna a b göre simetriğinin kapalı denklemini yazınız.
A) 3x + 2y = 0 D) x + 2y + 1 = 0
A) ax – by + ab = 0 B) ax + by – ab = 0 C) bx – ay + ab = 0 D) bx – ay – ab = 0 E) ax – by – ab = 0
B) y = 2x C) 3x = 2y E) 2x + 3y – 2 = 0
163. –3x + 2y – 5 = 0 doğrusunun orijine göre simetriği olan doğru 3(n – 1)x + 2(m – 2)y + 5 = 0 doğrusu ise m⋅n çarpımı kaçtır? A) –2
B) 0
C) –1
D) 1
Birinci ve ikinci açıortay B A C doğruları yanda çizilmiştir. x M(3, –2) noktasının orijine D M(3, -2) göre simetriğinin x ekseniE ne göre simetriği, analitik düzlemin yanda gösterilen hangi bölgesindedir?
E) 2
164. A(2, –3) noktasının y + 1 = 0 doğrusuna göre simetriği B’dir. B noktasının x + y = 0 doğrusuna göre simetriğinin 3x – y – a = 0 doğrusu üzerinde olması için a kaç olmalıdır? A) –1
B) –5
C) –2
D) 5
A) A
E) 2
166. 2
C) C
D) D
E) E
y d1 ve d2 doğrularının ikisi d1 de x ekseni üzerindeki A B A x noktasından geçmektedirler. d1 doğrusunun denkd2 C lemi y = ax + 2a ise d2 doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
m bir reel sayıdır. (m + 2)x + (2m – 1)y + 5 = 0 doğrularının geçtiği sabit nokta A’dır. A’nın x + y = 0 doğrusuna göre simetriği olan noktanın koordinatları nelerdir? B) (2, 1) E) (–2, 1)
B) B
170.
165.
A) (–2, –1) D) (–1, 2)
y
169.
C) (1, –2)
A) y = ax – 2a C) y = –ax – 2a E) y = x/a – 2a
B) y = –ax + 2a D) y = x/a + 2a
171.
2
a b < 0 ve y x < 0 olmak üzere A(ax, y) noktası analitik düzlemin üçüncü bölgesinde ise B(a, by) noktasının ikinci açıortay doğrusuna göre simetriği hangi bölgededir?
Analitik düzlemde simetri eksenleri x – y + 2 = 0 ile x + y = 0 doğruları olan dikdörtgenin bir köşesinin koordinatı (2, 0) olduğuna göre diğer üç köşesinin apsisler toplamı kaçtır?
A) 1.
A) –6
B) 2.
C) 3.
D) 4.
E) Orijinde
C) –4
D) –3
E) –2
172.
167.
A(–1, 4) noktasının x + y = 0 doğrusuna göre simetriği B noktasıdır. B’nin x = 3 doğrusuna göre simetriği 2y = x + a doğrusu üzerinde ise a kaçtır?
A(3, 1) noktasının y = 2 doğrusuna göre simetriği B’dir. B’nin orijine olan uzaklığı kaç birimdir? A)
B) –5
3
B)
5
C)
10
D) 12
E)
18
A) 8 27
B) 12
C) –10
D) –8
E) –12
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
Bir noktanın bir doğruya göre simetriği. Bir A noktasının bir d doğrusuna göre simetriği alt şekildeki şartları sağlayan A′ noktasıdır. Yani, d doğrusu [AA′]’nın orta dikmesi olmalıdır. k
A(x1 , y1) P
174. A(2, −4) noktasının 2x + y – 5 = 0 doğrusuna göre simetriği olan noktanın koordinatları nelerdir? A) (–6, –1) D) (5, –2)
d: ax + by + c = 0
B) (6, –2) E) (3, –2)
C) (3, –1)
A'
175. A′ noktasının koordinatlarını aradığımızı unutmayın. Peki neyi bilseydik A′ noktasının koordinatlarını bulabilirdik? |AP| = |PA′| olduğundan P noktasının koordinatlarını. Peki, P noktasının koordinatlarını nasıl bulabiliriz? P noktası rastgele bir nokta değil ki, d ve k doğrularının kesim noktası! Peki, bu kesim noktasını bulabilmek için neye ihtiyaç var? d ve k doğrularının denklemlerine. d doğrusunun denklemi zaten belli, o zaman k doğrusunun denklemini bulalım. Şimdi neye ihtiyaç var? Üstünde bir nokta bilindiğinden eğimine. Peki, k doğrusunun eğimini nasıl buluruz? d doğrusuyla dik kesiştiğinden d’nin eğiminin tersinin ters işaretlisidir. Peki, d’nin eğimini bulabilir miyiz? Pek tabii ki…
A(1, –2) noktasının y = mx + n doğrusuna göre simetriği B(5, 4) ise m⋅n çarpımı kaçtır? A) –1
B) –5/2
C) –2
D) –3
E) 2
176. A(−1, 1) noktasının y = 3x – 1 doğrusuna göre simetriği olan noktanın apsisi kaçtır? A) 2
B) 11/3
C) 13/6
D) 15/4
E) 20/3
177. Dik koordinat sisteminde A(−2, 3) noktasının x = 1 doğrusuna göre simetriği ile B noktasının x + y + 4 = 0 doğrusuna göre simetriği çakışık ise B’nin koordinatları nelerdir?
O halde soru çözüldü. Şimdi bu dediklerimizi tersten yapalım:
1) Verilen d doğrusunun eğimini bul. A) (–2, 3) D) (–7, –8)
2) Buradan k doğrusunun eğimini bul. 3) k doğrusunun denklemini yaz.
B) (3, –2) E) (–8, –6)
C) (–6, –8)
4) d ve k doğru denklemlerini ortak çöz, P’yi bul. Bir doğrunun bir noktaya göre simetriği. Bir nesnenin bir şeye göre simetriğini aynı nesneden olduğunu ama farklı pozisyonda bulunabileceğine değinmiştik. Bir doğrunun bir şeye göre simetriği de yine bu sebeple bir doğrudur. Şimdi bir doğrunun verilen bir noktaya göre simetriğini bulmayı öğreneceğiz. 3 farklı yol göstereceğiz.
5) Orta nokta formülünden veya noktanın noktaya göre simetriğinden, A′ noktasını bul. Noktanın doğruya göre simetriğinin hesapları, nerdeyse analitik geometrinin tüm önemli noktalarına dem vurmakta. ‘’Herhangi bir anda herhangi bir noktanın herhangi bir doğruya göre simetriğini hesaplamayı unutmamaya gayret edin ki, analitik geometriyi de unutmamış olun!’’ derim ben, bilmem dinler misiniz?
Birinci yol. Bir d doğrusu-nun bir A noktasına göre simetriği, A(x1 , y1) bu doğru üzerinde alınabilecek l tüm noktaların A’ya göre simetriklerinin üzerinde bulundukları l doğrusudur. O halde bize verilen d doğrusunun üzerinde olan iki nokta alacağız ve noktanın noktaya göre simetriği kurallarından l doğrusunun üzerinde bulunan iki noktanın koordinatlarını bulmuş olacağız. İki noktası bid
Alıştırmalar
173. A(1, 2) noktasının 3x + 4y – 1 = 0 doğrusuna göre simetriği B’dir. Buna göre |AB| kaçtır? A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
28
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
lindiğinden, l’nin denklemini yazmak hiç de zor olmayacak. Üst şekilden bunu görebilirsiniz.
Alıştırmalar
178.
İkinci yol. Oluşan kelebekten dolayı d ile l doğrularının daima birbirlerine paralel olduğunu anlarız. Bu da bize farklı bir çözüm yapabileceğimizi anlatır. Paralellikten dolayı l doğrusunun eğimini biliyoruz sayılır. Dolayısıyla d üzerinde 2 değil sadece 1 nokta alsak da yeter.
x – y + 5 = 0 doğrusunun A(1, 4) noktasına göre simetriği olan doğrunun denklemini bulunuz. A) x – y + 1 = 0 C) x – y = 0 E) x – y + 5 = 0
B) x – y + 9 = 0 D) x – y + 3 = 0
Üçüncü yol. Bu yol en güzeli ve kullanmanızı istediğim tek yol.
179.
ax + by + c = 0
x – 2y + 5 = 0 doğrusunun A(1, 2) noktasına göre simetriği olan doğrunun denklemini bulunuz.
ax + by + ??? = 0 A(x1 , y1)
ax + by + d = 0
A) x – 2y + 1 = 0 C) x – 2y + 10 = 0 E) 2x – y + 5 = 0
Bir kere bir doğrunun bir şeye göre simetriğinin bir doğru çıkacağını biliyoruz. Hatta bu şey, bir nokta ise ilk doğruya paralel bir doğru, o halde cevap olarak bulacağımız doğrunun eğimi, verilen doğrunun eğimi ile eşit olmalı. Verilen nokta, yani A, verilen doğru ile cevap olan doğrunun tam ortasında bulunduğundan, A’dan geçen ve bu iki doğruya da paralel olan bir doğru çizilebilir ve sabit terimi yani ??? yazan yer bulunur. Şimdi doğrular arasındaki uzaklıklar eşit olduğundan ??? ile c arasındaki fark kadar ???’ine ekler ve cevabı bulmuş oluruz.
B) x – 2y + 9 = 0 D) 2x – y + 1 = 0
180. 3x – 2y + 5 = 0 doğrusunun A(-1, 2) noktasına göre simetriği olan doğrunun denklemini bulunuz. A) 3x – 2y + 1 = 0 C) 3x – 2y = 0 E) 3x – 2y + 9 = 0
B) 3x – 2y + 3 = 0 D) 3x – 2y + 7 = 0
Doğrunun doğruya göre simetriği. d doğrusunun l doğrusuna göre simetriği d ′ doğrusu ise, l doğrusu d ve d ′ doğrularının belirttiği açıların açıortayı olmak zorundadır. Düşünüş yöntemi çok kısa olmasına rağmen, çözümleri bir o kadar uzun ve sıkıcıdır. İki doğrunun arasındaki açıların eşitliğinden de gidilebilir. Ki tavsiyemiz budur. Bazı sorularda bazı pratik yöntemler mevcut ama hepsinde sağlamadıklarından onları burada yazmayalım. Derste dinlediklerinizle yetinin…
Örnek. x – y + 6 = 0 doğrusunun A(3, 2) noktasına göre simetriği olan doğrunun denklemini bulunuz. Çözüm: Verilen doğruyu ve cevap olan doğx-y-1=0 ruyu çizelim. Bir de (3, x - y - 8 = 0 2) noktasından geçen (3, 2) bunlara paralel doğruyu. Üç doğru birbirlerine paralel olduğundan eğimleri eşit olmalı yani üçünün de denklemi x – y ile başlamalı. Neyle bitmeli, onu arıyoruz zaten. Ortadaki doğru (3, 2) noktasını taşıdığından, (3, 2) noktası ortadaki doğrunun denklemini sağlamalı, o halde ortadaki doğru x – y – 1 = 0 doğrusudur. Doğruların aralarındaki uzaklık eşit olduğundan ilk iki doğru arasında sabit terim 7 azaldığından, son iki doğru arasında da sabit terim 7 azalacaktır. Bundan dolayı cevabımız x – y – 8 = 0. x-y+6=0
Alıştırmalar
181. y = 2x + 6 doğrusunun Oy eksenine göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = 2x – 6 C) y = 2x + 6 E) 2y = x + 6
29
B) y = –2x – 6 D) y = –2x + 6
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
182. 187.
y = 2x + 6 doğrusunun Ox eksenine göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = 2x – 6 C) y = 2x + 6 E) 2y = x + 6
y = 3x + 1 doğrusunun x + y = 1 doğrusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
B) y = –2x – 6 D) y = –2x + 6
A) 3y – x – 3 = 0 C) 3x – y + 3 = 0 E) 3x + y + 3 = 0
B) 3x – y – 3 = 0 D) 3y – x + 3 = 0
183. y = 2x + 6 doğrusunun birinci açıortay doğrusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = 2x – 6 C) y = 2x + 6 E) 2y = x – 6
188. 3x + 4y + 5 = 0 doğrusunun 3y – 4x + 1 = 0 doğrusuna göre simetriği olan doğrunun denklemini bulunuz.
B) y = –2x – 6 D) y = –2x + 6
A) 3x + 4y + 1 = 0 C) 3y – 4x + 5= 0 E) 3x – 4y + 5 = 0
B) 4x + 3y + 1 = 0 D) 3x + 4y + 5 = 0
184. y = 2x + 6 doğrusunun ikinci açıortay doğrusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = 2x – 6 C) y = 2x + 6 E) 4y = x + 32
189. Dik koordinat sisteminde 5x – 5y + 1 = 0 ve 7x + y + 1 = 0 doğruları d doğrusuna göre simetrik olduklarına göre, d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
B) y = –2x – 6 D) 2y = x + 6
A) x = –3y D) y = –2x
B) x = –2y E) x – y = –1
C) y = 2x
185. y = 4x + 1 doğrusunun x = 3 doğrusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = 4x + 5 C) y = –4x + 25 E) 2y = x – 6
190. Dik koordinat sisteminde y = x doğrusunun ve y = 2x doğrusuna göre simetriği olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
B) y = –4x + 5 D) y = x – 5
A) y = 3x D) 2y – 11x = 0
C) y = 7x
Simetrinin başka marifetleri. Simetrinin günlük hayatta da bir sürü derdimize derman olduğu yerler vardır. Simetri bilen biri bir çok şeyden tasarruf sağlayabilir. Örnekleri derslerimizde bolca verdik. Ama tavsiye etmem. Benim gibi kilo alırsınız. Mesela aşağıda bir yerden bir yere gitmek için kullanmamız gereken en kısa yol ile ilgili bir örnek var:
186. 2x + 3y – 1 = 0 doğrusunun y = –1 doğrusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 3x – 2y – 8 = 0 C) 3x + 2y = 4 E) 3x – 2y – 7 = 0
B) y = 2x E) 3y – 13x = 0
B) 3y – 2x + 7 = 0 D) 3x – 2y + 8 = 0
30
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
Koordinatları verilmiş A ve B B(c, d) noktalarını birer köy, x eksenini de bir ırmak gibi düşünün. A A(a, b) köyündesiniz. Köyünüzde bir yarışma yapılıyor. Kim ırmakP(n, 0) x tan su içtikten sonra en erken B O köyüne varacak? Herkes, eğer A'(a, -b) hızlarında değişiklik olmazsa ırmağa ilk varanın, B’ye de ilk varacağını düşünür. Ama bu köyde kazların ayağı öyle değil! Tavşan kaplumbağadan hızlıdır ama her zaman tavşan kaplumbağayı geçemez değil mi? Daha hızlı olmaktansa daha kısa yolu tercih etmek daha faydalıdır çoğu zaman. Şimdi dediklerimi iyi dinleyin.
y
x ekseni üzerindeki bir P noktası için |PA| – |PB| farkı en büyük oluyorsa, bu P noktasının apsisi kaç olur? A) –1
A) 6
A) 1
|AP| – |BP| en çok ise A, B ve P doğrusal olur.
195.
E) 6
y
D(5, p)
A(0, 1)
C) 8
B) 2
C) 3
P noktası y = x + 2 doğrusu üzerinde hareket etmektedir. |AP| uzunluğu en kısa olduğunda P noktasının apsisi kaç olur?
y A B x
A) 1
O
B
x
C
D) 9
E) 10
B) 3/2
C) 2
B
x
D) 4
y
P
E) 5
y=x+2 A(4, 3)
x
O D) 5/2
E) 3
196.
Alıştırmalar
A(1, 3) ve B(8, 4) noktaları veriliyor. x ekseni üzerindeki bir C noktası için |AC| + |CB| toplamı en küçük oluyorsa, C noktasının apsisi kaç olmalıdır? A) 1 B) 2 C) 3
D) 4
y Dik koordinat sisteminde A(4, 2) ve B(6, 4) noktaları ile A Ox ekseni üzerinde değişken O P bir P noktası alınıyor. ||PB| – |PA|| farkı en büyük olduğunda P noktasının apsisi kaç olur?
Toplamın en küçük olduğu durum gibi, farkın en büyük olduğu durum da var. Şimdi bunu öğrenelim:
191.
B) 7
x
O
194.
|AP| + |PB| en az ise A′, P ve B doğrusaldır.
P
B(2, 1)
C) 1
B noktası x ekseni üzerinde olup ABD dik üçgendir. |BC| + |CD| toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Hikayenin analitikçesi:
O
B) 0
A(-2, 3)
193.
A köyünün ırmağa göre simetriğine şekildeki gibi A′ köyü diyelim. Simetrik nesnelerin simetri eksenine eşit uzaklıklarda olduğuna değinmiştik, hatırlayın. Demek ki ha A köyünden B’ye gitmişsin, ha A′ köyünden. Peki, A′ köyünden B köyüne en kısa yol ne? Bu iki köyü birleştiren doğru parçası. O halde ırmaktan su içeceğin yer, tam bu A′B doğru parçasının x eksenini kestiği yer yani P noktası olmalıdır. Her zamanki gibi hızlı o-lan değil, zeki olan kazandı!
Bunun sebebi de P noktasının A ve B ile aynı doğru üzerinde bulunmamaları halinde ABP di-ye bir üçgen oluşturacakları ve üçgen eşitsizliğinden |AP| – |PB| farkının her halükarda |AB|’den küçük olacağıdır.
y
192.
A noktasının koorinatları (6, 4), B noktasının koordinatları ise (6, −3) ise x – 2y = 2 doğrusu üzerinde |AP| + |PB| toplamını en küçük yapan P noktasının ordinatı kaç olur?
y A(1, 3)
O
D) 4
C
B(8, 4)
x
A) –2
E) 5 31
B) –1
C) 2
y
A(6, 4)
O
P
x - 2y = 2
D) 3
x B
E) 5
Mustafa YAĞCI
Doğrunun Analitik İncelenmesi
197.
202.
A noktasının koordinatları (1, 3), B noktasının koordinatları ise (4, 6) ise x ekseni üzerinde |AP| + |PB| toplamını en küçük yapan P noktasının apsisi kaç olur?
Dik koordinat sisteminde y A(–6, 5) ve B(3, –3) noktala- A Q rı ile Ox ekseni üzerinde değişken bir P noktası ve y = 2 P O doğrusu üzerinde değişken B bir Q noktası alınıyor. |AP| + |PQ| + |QB| toplamının alabileceği en küçük değer kaç br.dir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
198.
y
y = 2x + 4 doğrusu üzerindeki değişken bir P noktası ||PB| – |PA|| farkını en büyük yapmaktadır. A(2, 4) ve B(3, 2) ise P noktasının koordinatları toplamı kaçtır? A) 1
B) 4
C) 7
C) 2
B
A) 12
A
C) 7
D) 10
E) 13
y A
x=3 B P
O
A) 15
D) 3
D) 8
C) 1
D) 2
A(3, 10)
P x D(4, -3)
B) 18
C) 20
D) 21
E) 23
204.
E) 4
Köşeleri A(–2, 5) B(–4, 2) ve C(x, 0) olan ABC ücgeninin cevresinin minimum olması için x kaç olmalıdır? A) 3
E) 10
y y = 2x + 4 A noktasının koorinatları (1, B 1), B noktasının koordinatlaP A rı ise (5, 4)’tür. x O y = 2x + 4 doğrusu üzerinde hareket eden bir P noktası için |AP| + |PB| toplamı en küçük olduğunda |PB| uzunluğu, |PA| uzunluğunun kaç katı olur?
B) 1/2
E) 16
x
201.
A) 1/5
D) 15
y Dik koordinat sisteminB(-1, 9) de şekildeki gibi A, B, C, D noktaları ile değişken bir P noktası C(-3, 2) alınıyor. O |PA| + |PB| + |PC| + |PD| toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
y y=x+4 A noktasının koordinatları A P (1, 3), B noktasının koordinatları ise (5, –3)’tür. x O B y = x + 4 doğrusu üzerinde hareket eden bir P noktası için |AP| + |PB| toplamı en küçük kaç olur? B) 6
C) 14
203.
200.
A) 5
B) 13
x
x
O
x = 3 doğrusu üzerindeki değişken bir P noktası ||PB| – |PA|| farkını en büyük yapmaktadır. A(1, 3) ve B(9, 7) ise P noktasının koordinatları toplamı kaçtır? B) 1
y = 2x + 4
P
199.
A) 0
E) 6
y=2
E) 5 32
B) 4
C) 5
D) 16/3
E)
Cevap Anahtar覺 1.D 2.C 3.E 4.C 5.B 6.B 7.E 8.B 9.E 10.E 11.C 12.B 13.E 14.B 15.A 16.D 17.C 18.C 19.A 20.D
21.D 22.D 23.A 24.D 25.B 26.D 27.A 28.A 29.D 30.D 31.B 32.C 33.D 34.E 35.D 36.E 37.D 38.E 39.D 40.D
41.D 42.B 43.D 44.D 45.E 46.E 47.D 48.D 49.A 50.B 51.D 52.E 53.E 54.D 55.E 56.C 57.D 58.B 59.C 60.D
61.A 62.C 63.C 64.C 65.A 66.C 67.D 68.D 69.E 70.B 71.C 72.E 73.D 74.C 75.D 76.E 77.B 78.A 79.D 80.B
81.D 82.D 83.A 84.A 85.E 86.B 87.C 88.A 89.A 90.A 91.A 92.B 93.C 94.A 95.A 96.E 97.B 98.E 99.C 100.A
101.A 102.B 103.A 104.E 105.C 106.C 107.A 108.B 109.A 110.E 111.C 112.A 113.E 114.D 115.C 116.D 117.B 118.A 119.D 120.A
121.D 122.B 123.D 124.C 125.C 126.E 127.A 128.D 129.B 130.C 131.D 132.A 133.D 134.A 135.A 136.C 137.B 138.C 139.D 140.B
141.B 142.C 143.D 144.B 145.A 146.B 147.E 148.C 149.A 150.B 151.C 152.A 153.E 154.D 155.A 156.E 157.C 158.B 159.B 160.E
161.E 162.C 163.B 164.A 165.D 166.C 167.E 168.E 169.D 170.C 171.C 172.D 173.B 174.B 175.C 176.A 177.D 178.A 179.A 180.E
181.D 182.B 183.E 184.D 185.C 186.B 187.A 188.D 189.A 190.C 191.D 192.D 193.D 194.B 195.D 196.C 197.A 198.C 199.E 200.E