Métodos de Solución a PPL by Xhane Levine

Métodos de Solución

Introducción: Programación Lineal La programación lineal es una técnica de modelización matemática desarrollada a partir de la década de 1930. Desde entonces, se ha aplicado con frecuencia en los procesos de toma de decisión de ámbitos económicos y productivos, como la planificación de empresa y la ingeniería industrial. Es también utilizada como herramienta de apoyo a la toma de decisiones tanto por sus propiedades que facilitan su resolución. El nombre de programación lineal no procede de la creación de programas de ordenador, sino de un término militar, programar, que significa “realizar planes o propuestas de tiempo para el entrenamiento, la logística o el despliegue de las unidades de combate”.

La importancia de la programación lineal y entera se demostró durante la segunda guerra mundial, pues las estrategias militares de Estados Unidos y otros países tenían que asegurar la máxima eficacia en los ataques, o bien se utilizó la programación lineal para poder transportar armas y equipo a territorio hostil de manera rápida y sin realizar muchos viajes. Al final de la guerra, la programación lineal se comenzó a utilizar en la toma de decisiones empresariales y en muchos aspectos, que trajo consigo el avance exponencial de esta ciencia.

Quizá uno de los más importantes avances que ha habido en la programación lineal es el desarrollo del método simplex por creado por George Dantzig en 1947. La historia de su desarrollo es bastante curiosa, pues un día el profesor de Dantzig expuso un problema sin resolver a sus alumnos sobre programación lineal, pero Dantzig llego tarde a su clase y creyó que el problema era tarea. Al tratar de resolverlo, Dantzig dijo que el problema le pareció un poco más complejo de lo habitual, pero no obstante lo resolvió y al día siguiente, con el asombro del profesor, presentó sus resultados, que posteriormente serian el método simplex

Métodos de solución ● ●

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Método gráfico: Las rectas de nivel dan los puntos del plano en los que la función objetivo toma el mismo valor. Método algebraico: El método algebraico es una forma de trabajar con el método simplex pero sin usar las tablas, utiliza únicamente álgebra y lógica matemática para hallar la solución óptima. Método Simplex: El método simplex es uno de los métodos más famosos que existen y tiene un sin fin de aplicaciones, de este método se derivan muchos de los otros métodos. El método simplex trabaja con un modelo en su forma estándar, además las restricciones del modelo deben de estar expresadas en su forma

estándar solo acepta restricciones con ≤ y las variables de decisión tienen que ser ≥ 0. Si no se cumplen estas condiciones, entonces no es posible aplicar el método. ●

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Método de la M grande: El método de la M grande es una forma derivada del método simplex, usado para resolver problemas donde el origen no forma parte de la región factible de un problema de programación lineal. Para realizar este algoritmo, se siguen los mismos pasos que en el método simplex, pero antes tenemos que cambiar la función objetivo para que incluya a las variables artificiales. Estas variables tendrán que estar multiplicadas por un número suficientemente grande para que no se elimine a través de la operaciones, llamado M y que además deberá irse solamente cuando se sume o reste con otra M. Para el caso de maximización, tenemos que restar las variables artificiales junto con sus coeficientes para que estas variables no entren a la base, pero si minimizamos entonces tendremos que sumar las variables artificiales. Método de las dos fases: Como su nombre lo indica, trabaja por medio de 2 fases o procedimientos, con el objetivo de encontrar primeramente una solución factible inicial y después pasar a resolver el modelo a través del método simplex. Para utilizar este método se deber tener el modelo en su forma ampliada, las variables de decisión deben de ser reales y mayores a cero. Método simplex revisado: El método simplex revisado conserva las mismas características que el método simplex, La diferencia entre el método simplex normal y el revisado es que la mayoría de los números que aparecen en la tabla del método normal no se usan realmente en las iteraciones, por lo cual en el método revisado solo se calculan los valores necesarios para encontrar la solución óptima a través de matrices. Sin embargo, este método requiere muchas operaciones de matrices y deja de estar tan estructurado como el método simplex, por lo cual es muy posible confundirse durante las iteraciones. Antes de aplicar el método es necesario pasar el modelo planteado a su forma estándar matricial

Editorial: Arturo Martínez: La importación de la programación lineal en las matemáticas aplicadas a mi parecer, es que te ayuda a pensar o a ver las cosas de una manera más sistemática, puedes ver todo como un sistema y sus partes, y eso es una gran ayuda.

Contenido: Secciones:

“Si de métodos Hablamos” (Y esta es la parte 8) Método

Características

Ventajas

Desventajas

Gráfico

-Consiste en representar geométricamente las restricciones, condiciones, técnicas y función objetivo. -Solo trabaja con dos o tres variables

Es muy visual Fácil de aplicar

Solo sirve para dos variables

Tipo de planteamiento que resuelve

Algebraico -Es

parecido al método simplex -Se mueve entre puntos extremos empezando en el origen -Se trabaja en la forma estándar. -Encuentra la solución cuando z ya no puede o empeora en una siguiente iteración

Trabaja rápido

Simplex

-Es un proceso de búsqueda muy eficiente para problemas muy grandes. -Tiene como base el álgebra matricial y la eliminación de Gauss - Jordan

Se visualizan El origen debe las variables de pertenecer a de entrada y la región salida Nos da un estándar de cómo funcionan los algoritmos

M grande

-Trabaja con el modelo ampliado -Tiene variables artificiales que están multiplicadas por un valor muy grande denominado por M -Trabaja con modelos donde la solución inicial no tiene que ser el origen. -Si no se puede eliminar a M, entonces no hay solución factible -Se considera primera al factor multiplicativo más negativo para maximización y después al aditivo.

Uso simplex

De las Dos -Trabaja con la forma ampliada Fases

en modelos sencillos * Describe en cada iteración como se comportan las variables y que valor tiene z *Funciona para modelos de n variables

de Uso de la M Pre-etapa eliminando la M de las var.artificiales antes de hacer el algoritmo

Evita los problemas de -Trabaja con la M grande cualquier modelo. -Tiene dos fases: en Rápido la primera se plantea cambio de la una función de minimización donde forma o las variables son las ampliada v. artificiales y las estándar restricciones son las mismas que en el modelo ampliado

*Requiere revisar constantemente que se está moviendo correctamente. *El álgebra o cómo elegir las variables de entrada puede llegar a ser confuso * Realizar todo el proceso puede ser mucho más tardado que el método simplex

Uso de tablas, se complica el cambio de la función objetivo

para ubicar la solución inicial -En la segunda fase se continua el método quitando las v. artificiales y retomando la función objetivo original pero con los valores ya dados en las restricciones de la anterior fase

Simplex Revisado

-Se realiza tomando solamente los cálculos necesarios que se ocupan en toda la tabla del método simplex y expresándolos en forma de matrices -Requiere el uso de matrices inversas y multiplicación de matrices -Puede aplicarse ciertos criterios a este método para hacerlo parecido al método de las dos fases.

Procedimiento Manejo Matricial algebraico Conocimiento de directo Álgebra Lineal fue diseñado para ser programado

Métodos Para la solución de Problemas de programación Lineal ➢ Método Gráfico Si el modelo de programación lineal se restringe a dos variables de decisión, entonces, es posible representarlo y resolverlo gráficamente.

i. Pasos del método 1.

Graficar las restricciones. 1.1. Se igualan las restricciones. 1.2. Se buscan dos puntos y se trazan.

Buscamos la región factible.

2.1.

Se busca la intersección de las restricciones graficadas.

Trazar la función objetivo (se le da un valor a z).

La solución se encuentra sobre un punto extremo de la región factible.

ii. Ventajas y Desventajas del método ●

●

Ventajas: ○ Es relativamente fácil de hacer y entender. ○ Ubica todos los puntos extremos que son una solución factible. ○ No hay que pasar a la forma estándar. Desventajas: ○ Solo funciona con 2 ó 3 variables. ○ Puede ser inexacto al tener muchas restricciones.

Ejercicio 1 iii. Enunciado Una empresa realiza diversos productos y utiliza 3 materias primas. Se tiene la siguiente información: Producto

Materia Prima 1

Materia Prima 2

Materia Prima 3

Utilidad

$40

$30

Disponibilidad

200

210

iv. Planteamiento 1. Planteamos la función objetivo con base en la utilidad. Max Z = 40X 1 + 30X 2 2. Establecemos las variables de decisión. X i : # de productos a producir del tipo i. 3. Planteamos las restricciones explícitas (disponibilidad). 4X 1 + 5X 2 ≤ 200 X 2 ≤ 25 6X 1 + 3X 2 ≤ 210 4. Planteamos las restricciones implícitas. X 1, X 2 ≥ 0 X 1, X 2 ∈ ℤ

v. Resolvemos por Método Gráfico 1. Graficamos las restricciones, para lo que las igualamos. a) 4X 1 + 5X 2 = 200 X 1 = 0, X 2 = 40 X 2 = 0, X 1 = 50 b) X 2 = 25 c) 6X 1 + 3X 2 = 210 X 1 = 0, X 2 = 70 X 2 = 0, X 1 = 35 2. Buscamos la región factible. La coloreamos en verde. 3. Trazar la función objetivo (se le da un valor a z). z = 1200 1200 = 40X 1 + 30X 2 X 1 = 0, X 2 = 40 X 2 = 0, X 1 = 30 4. Hallar la solución óptima. 4X 1 + 5X 2 = 200 6X 1 + 3X 2 = 210 X 1 = 25 X 2 = 20 z = 1600

vi. Interpretación de resultados Se termina la Materia Prima 1 y Materia Prima 3, y la Materia Prima 2 no se acaba por 5 unidades.

Ejercicio 2 iii. Enunciado Una empresa tiene solo tres empleados que hacen dos tipos de ventanas a mano: con marco de madera y con marco de aluminio. La ganancia es de $60 por cada ventana con marco de madera y de $30 por cada una con marco de aluminio. Doug hace marcos de madera y puede terminar 6 al día. Linda hace 4 marcos de aluminio por día. Bob forma y corta el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados por día. Cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de vidrio y cada una de aluminio 8 pies cuadrados.

iv. Planteamiento 5. Planteamos la función objetivo con base en la utilidad. Max Z = 60X 1 + 30X 2 6. Establecemos las variables de decisión.

X i : # de ventanas a producir del tipo i. 7. Planteamos las restricciones explícitas. X 1 ≤ 6 (producción máxima). X 2 ≤ 4 (producción máxima). 6X 1 + 8X 2 ≤ 48 (vidrio). 8. Planteamos las restricciones implícitas. X 1, X 2 ≥ 0 X 1, X 2 ∈ ℤ

v. Resolvemos por Método Gráfico 5. Graficamos las restricciones, para lo que las igualamos. a) X 1 = 6 b) X 2 = 4 c) 6X 1 + 8X 2 = 48 X 1 = 0, X 2 = 6 X 2 = 0, X 1 = 8 6. Buscamos la región factible. La coloreamos en verde. 7. Trazar la función objetivo (se le da un valor a z). z = 180 180 = 60X 1 + 30X 2 X 1 = 0, X 2 = 6 X 2 = 0, X 1 = 3 8. Hallar la solución óptima. X1 = 6 X 2 = 1.5 z = 405

vi. Interpretación de resultados 6 ventanas de madera, 1.5 ventanas de aluminio. Con una ganancia de 405. Se acaba la capacidad de vidrio. Se acaba el marco de madera. No se acaba el marco de aluminio por 25 unidades.

➢ Método algebraico i. Pasos del Método

1) Hallar una solución básica y factible (Solución inicial) a) Expresar las inecuaciones (desigualdades) como ecuaciones (igualdades) b) Hallar una variable básica para cada ecuación c) Organizar el sistema de ecuaciones lineales 2) Escoger la variable que entra 3) Escoger la variable que sale 4) Reorganizar el sistema de ecuaciones 5) Repetir los pasos 2, 3 y 4 hasta encontrar la solución

ii. Ventajas y Desventajas del método Ventajas: ● ●

Es relativamente fácil de hacer y entender. Ubica todos los puntos extremos que son una solución factible.

Desventajas: ● Solo funciona con 2 ó 3 variables. ● Puede ser inexacto al tener muchas restricciones.

Ejemplo 1 Enunciado > La Ford produce

dos tipos de auto: Fiesta y Focus que se deben procesar a

través de dos departamentos. El depto. 1 tiene 70 horas disponibles y el departamento 3 tiene 60 horas disponibles. La fabricación de un Fiesta requiere 4 hrs. en Depto 1 y 2 hrs. en depto. 2. Cada Focus requiere 2 hrs en el depto. 1 y 4 hrs en el depto. 2. La utilidad del fiesta es $40,000 y del Focus $60,000 ¿Cuántos autos focus y fiesta se deben producir para obtener la máxima ganancia?

iv. Planteamiento:

Variables de decisión serán: x₁ = Número de autos Fiesta a producir x₂ = Número de autos Focus a producir Planteamos un modelo de maximización: M ax z = 40x₁ + 60x₂ (multiplicando los coeficientes por 1000) 4x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 70 (horas en el depto 1 totales) 4x₁ + 4x₂ + x₄ = 60 (horas en el depto 2 totales) x₁, x₂, x₃, x₄ ≥ 0

v. Método: Forma estándar: M ax z = 40x₁ + 60x₂ 4x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 70 4x₁ + 4x₂ + x₄ = 60 x₁, x₂, x₃, x₄ ≥ 0 Variables básicas : x₃, x₄ No básicas: x₁, x₂ Se despejar las restricciones para que queden en función a estas variables x₃ = 70 − 4x₁ − 2x₂ x₄ = 60 − 4x₁ − 4x₂ Para elegir a la variable de entrada, revisamos la función objetivo y elegimos a la variable con el coeficiente más grande. En este caso elegimos a x₂ .

Ahora tenemos que buscar a la variable de salida. Para esos hacemos a x₁ = 0 y lo sustituimos en las restricciones despejadas, además igualamos a cero y tenemos: 0 = 70 − x₂ ➔ x₂ = 70/2 cuando x₃ = 0 0 = 60 − 4x₂ ➔ x₂ = 60/4 cuando x₄ = 0 Elegimos a la variable de menor valor, que en este caso será x₄ . Se cambia el modelo en función de las nuevas variables básicas. Despejamos a x₂ de la ecuación de la variable que entrará a la base x₂ = 15 − ¼ x₄ − x₁ Se sustituye la nueva ecuación en las demás restricciones y en la función objetivo M ax z = 900 − 15x₄ − 20x₁ x₃ = 40 − 4x₁ + ½x₄ + 2x₁ x₂ = 15 − ¼x₄ − x₁ x₁, x₂, x₃, x₄ ≥ 0 Analizando la f.o, notamos que no hay variables de entrada, esto quiere decir que esta es la solución óptima.Ya que las variables x₁, x₃, x₄ fueron variables no básicas, tienen el valor de cero y la solución es: M ax z = 900 x₃ = 40 x₂ = 15 x₁, x₄ = 0

Entonces podemos decirle al cliente que estará ganando como máximo 900000 produciendo 15 autos Focus. Además, como x₃ = 40 , tenemos que están sobrando 30 horas en el departamento 1, pero se ocupan todas en el departamento 2

Ejemplo 2 Enunciado >Una compañía produce dos tipos de artículos, mediante un proceso que se compone de tres actividades. Los datos importantes del proceso se dan en la tabla:

Actividad

Tiempo (minutos / unidad)

Capacidad (minutos / día)

Artículo 1

Artículo 2

Formado Corte Ensamble

4 4 6

8 3 2

Utilidad neta ($/unidad)

800 600 600

Resuelva el modelo de programación lineal para determinar el número de unidades de cada tipo de producto que deben fabricarse para maximizar la utilidad neta total.

iv. Planteamiento M ax z = 10x₁ + 6x₂ 4x₁ + 8x₂≤800 4x₁ + 3x₂≤600 6x₁ + 2x₂≤800 x₁, x₂≥0

Método

Forma estándar

M ax z = 10x₁ + 6x₂ s.a 4x₁ + 8x₂ + x₃ = 800 4x₁ + 3x₂ + x₄ = 600 6x₁ + 2x₂ + x₅ = 600 x₁, x₂≥0

Tenemos 5 variables y 3 restricciones, por lo tanto tenemos 3 variables básicas y 2 no básicas. La solución inicial del modelo es el origen: x₁ = x₂ = 0 x₃ = 800 x₄ = 600 x₅ = 600 z = 0 x₁, x₂ variables no básicas x₃, x₄ y x₅ variables básicas

Despejamos las variables básicas y las ponemos en función de las variables no básicas. Z=10X1+6X2

X3=800-4X1-8X2 X4=600-4X1-3X2 X5=600-6X1-2X2 La variable de entrada, será X2 ya que tiene el coeficiente más grande de la función objetivo y su coeficiente es 10. Z=10X1+6X2 X1 será variable básica y X2 no básica. Para la variable de salida planteamos el conjunto de restricciones sin la variable no básica (X2). X3=800-4X1 X4=600-4X1 X5=600-6X1

Hacemos cero a las variables básicas y el sistema queda de la siguiente manera: 0=800-4X1 0=600-4X1 0=600-6X1

X1=200 ---> X3=0 X1=150 ---> X4=0 X1=100 ---> X5=0

Elegimos al de valor más pequeño. Ahora X5 y X2 son variables no básicas. X3 , X4 y X1 son variables básicas. El modelo debe quedar en función de las nuevas variables no básicas, para ello despejamos a X1 de la tercera ecuación. X1=100-1/3X2-1/6X5 Sustituimos X1 en las demás ecuaciones El nuevo sistema queda de la siguiente manera: Z=10(100-1/3X2-1/6X5)+6X2 X3=800-4(100-1/3X2-1/6X5)-8X2 X4=600-4(100-1/3X2-1/6X5)-3X2 X1=100-1/3X2-1/6X5 Simplificando:

Z=1000+8/3X2-5/3X5 X3=400-20/3X2+2/3X5 X4=200-5/3X2+2/3X5 X1=100-1/3X2-1/6X5 Determinar la nueva variable no básica a convertir en básica.

Z=1000+8/3X2-5/3X5 X2 variable básica y X5 variable no básica. Planteamos el conjunto de restricciones sin la variable no básica(X5). X3=400-20/3X2 X4=200-5/3X2 X1=100-1/3X2 Hacemos cero a las variables básicas y el sistema queda de la siguiente manera: 0=400-20/3X2 0=200-5/3X2 0=100-1/3X2

X2=60 ---> X3=0 X2=120 ---> X4=0 X2=300 ---> X1=0

Elegimos el valor más pequeño. Ahora X3 y X5 son variables no básicas. Reescribimos el modelo en función a las nuevas variables no básicas, para ello despejamos X2 de la primera ecuación y sustituimos en las demás: X2=60+1/10X5-3/20X3 El nuevo sistema queda de la siguiente manera: Z=1000+8/3(60+1/10X5-3/20X3)-5/3X5 X2=60+1/10X5-3/20X3 X4=200-5/3(60+1/10X5-3/20X3)+2/3X5 X1=100-1/3(60+1/10X5-3/20X3)-1/6X5 Reduciendo términos:

Z=1160-7/5X5-2/5X3 X2=60+1/10X5-3/20X3 X4=100+5/6X5-1/4X3 X1=80-2/15X5+1/20X3 Observamos que en la función objetivo los coeficientes de las variables son negativos, esto nos indica que ya no se puede elegir otra variable de entrada, es por ello que hemos llegado a la solución óptima: Z=1160 X2=60 X4=100 X1=80 X3=0 X5=0 Sustituimos los valores obtenidos en la función objetivo y restricciones: max Z= 10(80)+6(60)=1160 Para maximizar la utilidad neta se deben producir 80 artículos de tipo 1 y 60 de tipo 2, con esto se obtiene una ganancia de $1160 Sujeto a: 4(80)+8(60)<=800 Para la primera actividad(formado) podemos observar que la capacidad de minutos diarios es utilizada totalmente por los artículos producidos. 4(80)+3(60)<=600 Para la segunda actividad(corte) nos quedan aún 100 minutos para poder terminar los artículos, a diferencia de la primera actividad, no se cubre en su totalidad la capacidad que se tiene disponible. 6(80)+2(60)<=600 Para la tercera actividad(ensamble), también es alcanzada la capacidad máxima en minutos para poder terminar los artículos, es decir, no sobran minutos.

➢ Método Simplex

El método Simplex es un método iterativo que trabaja con soluciones básicas factibles, la solución inicial del método siempre será el origen y sistemáticamente, se mueve hacia un punto extremo adyacente hasta llegar a la solución óptima. Existen dos reglas que nos permiten determinar el siguiente punto extremo adyacente. 1. El siguiente punto debe ser adyacente al actual. 2. La solución nunca puede ser una que ya se analizó con anterioridad. El desarrollo del método, está basado en la forma estándar del modelo: n

Max o MIn z = ∑ C J X J J=1

∑ aiJ X J + Y i = bi

i = 1, k

J=1 n

∑ atJ X J − W t = bt

t = k + 1, m

J=1

Para aplicar el método Simplex, se requiere: ● La forma estándar. ● Que las variables sean ≥ 0. ●

El origen debe pertenecer región ○ restricciones ≤ (variables de holgura) ○

bi ≥ 0.

Criterios del método ● En caso Max, la variable de entrada es aquella que tenga el Z J − C J más negativo. ●

En caso Min, la variable de entrada es aquella que tenga el Z J − C J más positivo.

Criterio de optimalidad ● En caso de Max: cuando el Z J − C J sea ≥ 0 , entonces se tiene la solución óptima. ●

En caso de Min: cuando el Z J − C J sea ≤ 0 , entonces se tiene la solución óptima.

Criterio de variable de salida Dados las y i ’s (columna pivote) para la variable de entrada, la variable de salida es aquella: θ={

valor de v.básica X i Yi

|Y i > 0}

Tabla de Simplex Los cálculos del método Simplex se realizan en una forma más sencilla en una tabla. Para poder expresar el problema en una tabla es necesario: 1. La función objetivo debe estar en forma Z J − C J . 2. Las restricciones deben ser igualdades. 3. Cada tabla representa una solución básica factible.

i. Pasos del Método 1. Utilizando la forma estándar, determinar una solución inicial (origen). 2. Seleccionar la variable de entrada de las variables no básicas que al incrementar su valor, aumenta la función objetivo (valor de z). Cuando no existe dicha variable la solución es la óptima. 3. Seleccionar la variable de salida. 4. Actualizar la solución. Ir al paso 2.

ii. Ventajas y Desventajas del método ●

●

Ventajas: ○ Trabaja muy rápido para encontrar la solución óptima. ○ Funciona para modelos de n variables. Desventajas: ○ Requiere un cuidado muy grande del álgebra. ○ No funciona si el origen no es parte del conjunto de soluciones factibles. ○ Puede caer en un ciclo si no se tienen consideraciones, pero es muy raro.

Ejercicio 1 iii. Enunciado Pedrito es un pequeño fabricante de camisas para caballero y blusas de dama para las tiendas de descuento Waldos, corporación que aceptará toda la producción surtida por Pedrito, El proceso de producción incluye el corte, la costura, y el empaque. Se ha empleado a 25 trabajadores en el departamento de corte, 35 en el de costura y 5 en empaque. La fábrica trabaja un turno de 8 horas, 5 días a la semana. La siguiente tabla muestra los requerimientos de tiempo y utilidad por unidad para las dos prendas: Tiempo de producción (minutos x unidad) Producto

Corte

Costura

Empaque

Utilidad unitaria

Camisas

Blusas

$12

iv. Planteamiento: Explicar el modelo 1. Planteamos la función objetivo con base en la utilidad unitaria. Max Z = 8X 1 + 12X 2

2. Establecemos las variables de decisión. X i : # de prendas a producir del tipo i. 3. Planteamos las restricciones explícitas (nutrientes). 20X 1 + 60X 2 ≤ 60000 70X 1 + 60 X 2 ≤ 84000 12X 1 + 4X 2 ≤ 12000

4. Planteamos las restricciones implícitas. X 1, X 2 ≥ 0 X 1, X 2 ∈ ℤ

v. Resolvemos por Método Simplex 1. Utilizando la forma estándar, determinar una solución inicial (origen). Forma estándar Max Z = 8X 1 + 12X 2 20X 1 + 60X 2 + X 3 = 60000 70X 1 + 60 X 2 + X 4 = 84000 12X 1 + 4X 2 + X 5 = 12000 X 1, X 2 ≥ 0 Solución inicial X1 = X2 = 0 X 3 = 60000 X 4 = 84000 X 5 = 12000 2. Escribir las tablas Simplex La variable que sale de la base es P3 y la que entra es P2. Z ZJ − CJ

-8

-12

S ol

60000

84000

12000

La variable que sale de la base es P4 y la que entra es P1. Z ZJ − CJ

S ol

-4

1/5

12000

1/3

1/60

1000

-1

24000

32/3

-1/15

8000

S ol

ZJ − CJ

3/25

2/25

13920

7/300

-1/150

840

-1/50

1/50

480

11/75

-16/75

2880

vi. Interpretación de resultados La solución óptima es Z = 13920 X1 = 480 X2 = 840

➢ Método de la M Grande i. Pasos del Método 1. 2. 3. 4.

Pasarlo a la forma estándar. Pasarlo a su forma ampliada Hacer la modificación de la función objetivo. Realizar las tablas del método de la M grande. Para saber cuál será la nueva columna pivote: a. Se revisa el factor multiplicativo a. b. Se revisa el elemento aditivo.

ii. Ventajas y Desventajas del método Ventajas: ● Funciona con cualquier tipo de modelo lineal donde las variables son reales.

● Facilita distinguir a las variables duales en el análisis de decisiones. Desventajas: ● El álgebra llega a complicarse demasiado con las M. ● Es difícil de introducir en una computadora. iii. Enunciado de cada ejercicio a) Se desea invertir en bonos y acciones. Cada inversión en bonos aportará un ingreso estimado de $3000 y cada inversión en acciones aportará $1000. Se sabe qué (restricciones) : 1. La suma de ambas inversiones debe de ser mayor o igual a 3000 2. El doble de bonos más las acciones debe ser menor o igual a 4000 3. La suma de ambos debe de ser igual a 3000 ¿Cuántas inversiones se deben hacer para tener las máximas ganancias?

b) A una persona le asignan la siguiente dieta: Ingrediente

Gramos de res

Gramos de verdura

Requerido diario

Grasas

3/10

1/10

27/10(a lo más)

Proteínas

1/2

6 (exactos)

Carbohidratos

3/5

2/5

6( por lo menos)

Costo

$ 2/5

$ 1/2

iv. Planteamiento: Explicar el modelo a) Cómo trabajamos en miles, para que sea más fácil haremos todo dividido entre 1000 y ya al final volvemos a multiplicar. xi= # número de inversiones en el tipo i (bonos, acciones)

Max z = 3 x1 + x2 (inversión en bonos) s.a

x1 + x2 ≥ 3 (restricción 1) 2 x1 + x2 ≤ 4 (restricción 2) x1 + x2 = 3 (restricción 3) xi ≥ 0 b) xi= # porción del alimento del tipo i (res,verduras) min z = 2/5 x1 + 1/2 x2 (costos) s.a 3/10 x1 + 1/10 x2 ≤ 27/10 (grasas) 01/2 x1 + 1/2 x2 = 6 (Proteínas) 3/5 x1 + 2/5 x2 ≥ 6 (Carbohidratos) xi ≥ 0

v. Método: Explicar paso a paso el método de solución.

a) Primero: Planteamos el modelo en su forma estándar y posteriormente en la ampliada, quedando: Max z = 3 x1 + x2 s.a x1 + x2 - x3 + a1 = 3 2 x1 + x2 + x4 = 4 x1 + x2 + a2 = 3 xi ≥ 0 ai ≥ 0 Segundo: Modificamos la f.o. Max z = 3 x1 + x2 - M a1 − M a2 Tercero: Lo pasamos a una tabla y comenzamos a trabajar: z

Sol

Zj-Cj

-3

-1

Comenzamos quitando las M de las columna a1 y a2 usando Gauss Jordan, quedando así la tabla de la siguiente forma: z

Sol

Zj-Cj

-2M-3

-2M-1

-1

En la tabla anterior elegimos a x1 como variable de entrada porque su Zj-Cj correspondiente es el más negativo, pero al chocar también con la de x2 nos fijamos en el siguiente elemento, siendo así que -3 es más negativo que -1, entonces elegimos a x1 como la columna pivote, para ver el renglón pivote Min ={ 31 , 42 , 31 } el cual gana x4 al ser 2 el mínimo de los resultados, así que procedemos a hacer esa columna 0 exceptuando el elemento pivote al cual hacemos 1, quedando la tabla : z

Sol

Zj-Cj

-M-1/2

M+3/2

-2M+3/2

1/2

-1/2

1/2

-1/2

Todavía existen variables de entrada y M todavía existe en la solución, por lo cual realizamos otra iteración, pero esta vez seleccionamos a x2 como la columna pivote al tener la M más negativa y a a1 como fila por tener el coeficiente más chico(Min = { 1 2 1 1/2 , 1/2 , 1/2 } siendo 2 ), aplicamos gauss jordan y la tabla queda así: z

Sol

Zj-Cj

3M+1

2M+1

-1

1/2

-1

1/2

-1

1/2

Ya no existe variable de entrada, y la solución actual ya no tiene a M como coeficiente, por lo cual decimos que ya estamos en la solución óptima, aunque a2 todavía tiene un valor diferente de cero. Donde la solución es: x2 = 2, x1 = 1.

b) Primero: lo ponemos en su forma estándar y posteriormente la ampliada (para ahorrar tiempo lo pondremos de una vez en la ampliada) agregando las variables de holgura y exceso correspondientes aparte de las auxiliares: Min z = 2/5 x1 + 1/2 x2 s.a 3/10 x1 + 1/10 x2 + x3 = 27/10 1/2 x1 +1/2 x2 + a1 = 6 3/5 x1 +2/5 x2 - x4 + a2 = 6 xi ≥ 0 Segundo: modificamos la f.o: min z = 0.4 x1 + 0.5 x2 + M a1 + M a2 Tercer: Lo pasamos a una tabla para comenzar a trabajar : x1

sol

zj-cj

2/5

1/2

3/10

1/10

27/10

1/2

3/5

2/5

-1

A esa tabla se le aplica Gauss Jordan para quitar “M”, por lo cual multiplicamos por -M la fila 3 y 4, luego la sumamos a la primera, obteniendo: x1

sol

zj-cj

-1.1M + 0.4

-0.9M + 0.5

-12M

3/10

1/10

27/10

1/2

3/5

2/5

-1

Ahora debemos seleccionarla el nuevo elemento pivote. La M menor corresponde a la variable x1 en consecuencia dicha variable ingresa a la base. Luego calculamos el mínimo en dicha columna: Min{ 27/10 6 6 3/10 , 1/2 , 3/5 }, el cual se alcanza en la fila 2 siendo 9, por lo tanto la variable x3 se vuelve de salida. Hacemos Gauss Jordan para que toda la columna de x1 se haga cero menos el elemento pivote, ese se busca hacer 1. Quedando la tabla de la siguiente manera: x1

sol

zj-cj

-8/15M+11/30

11/3M+4/3

-2.1M-3.6

1/3

10/3

1/3

-5/3

3/2

1/5

-2

-1

3/5

Ahora la variable con la M más negativa se encuentra en x2 haciendo que esta sea la variable de 9 3/2 3/5 entrada, y checando Min{ 1/3 , 1/3 , 1/5 } tenemos que a2 es la más pequeña siendo 3.

Realizamos Gauss jordan para que toda la columna sea 0 menos el elemento pivote que tiene que quedar 1 y la tabla queda: x1

sol

zj-cj

-5/3M+7/3

-5/3M+11/6

8/3M-11/6

-0.5M-4.7

20/3

5/3

-5/3

5/3

-5/3

1/2

-10

-5

8 1/2 Ahora tomamos como columna pivote a1 y checamos para ver cuál será el renglón Min= { 5/3 , 5/3 } =

siendo el menor a1 con 3/10, se actualiza la tabla:

sol

zj-cj

1/2

M-1.1

-5.25

-1

15/2

3/5

-1

3/10

-5

9/2

Y así hemos llegado a la solución óptima, donde x1 = 15/2 y x2 = 9/2. Las variables auxiliares ya no se toman en cuenta.

vi. Interpretación de resultados:considerando los resultados interpretar las variables, función objetivo y restricciones. a) El cliente tendrá que invertir 2 veces en acciones y una vez en fondos para obtener en total 5000 en ganancia esperada. Las variables de holgura y exceso valen cero, por lo cual decimos que está cumpliendo exactamente con todos sus requerimientos. b) Así la persona tendrá que comer 15/2 de res y 9/2 de verduras diario.

➢ Método de las Dos Fases

Pasos del método 1. Se pasa el modelo original a su forma ampliada se le introduce variables artificiales, de holgura y exceso para obtener una solución Básica factible del modelo ampliado ■ Las variables artificiales solo se agregan cuando las restricciones son >= o = 2. FASE I: Haciendo uso de simplex se resuelve el siguiente modelo min w= sumatoria de las variables artificiales Una vez que se llega a la solución óptima (cuando las variables artificiales pasan a ser no básicas) de la fase I se pueden llegar a las siguientes soluciones: ■ w>0 ---> al menos una variable artificial es mayor a 0 por lo tanto es una solución no factible ■ w<0 ---> existen variables artificiales en la base esto es solución degenerada, en este caso se forza a la variable artificial a salir de la base, es decir, sera variable de

salida si su valor yi es (+) o (-) si es cero se toma hasta la segunda fase ■ w=0 ---> las variables artificiales no están en la base y se puede pasar a la la fase II 3.FASE II: Se eliminan las variables artificiales y se utiliza la función objetivo original se aplica simplex para llegar a la solución óptima ii. Ventajas y Desventajas del método iii. Enunciado de cada ejercicio iv. Planteamiento: Explicar el modelo v. Método: Explicar paso a paso el método de solución. vi. Interpretación de resultados:considerando los resultados interpretar las variables, función objetivo y restricciones.

➢ Método Simplex Revisado i. Pasos del Método

1-Pasar el modelo a la forma matricial estandar y encontrar una primera solución básica factible. MAX z=(C,0)(x ; xs) (A,I)(x ; xs)=b (x ; xs)>=0 donde: ■ ■ ■ ■ ■ ■

A: Matriz de coeficientes tecnológicos I: Matriz identidad de m*m C: Vector renglón de n coeficientes de costo x: Vector columna de n variables de decisión xs: Vector columna de m variables de holgura b: Vector columna de m recursos

2.- Calculamos la variable de entrada con lo que sería la fila Zj-Cj, utilizando Zj-Cj=(CB)(B^-1)(aj)-Cj donde: ■ XB: Vector de variables de decisión básicas

■ Cb: Vector de los coeficientes de la función objetivo de las variables XB ■ aj: Es una matriz de valores en las restricciones que corresponden a las variables no básicas ■ Cj: Son los valores de las variables no básica que en la función objetivo, se utiliza el mismo criterio que en el método simplex: elegimos al valor mas pequeño si tenemos que maximizar la función o bien el mas grande si hay que minimizar. 3.- Calculamos la variable de salida con: Yi=(B^-1)(ai) donde: ■ B: Matriz base ■ ai: Vector que corresponde a los valores de las restricciones de la variable de entrada Entonces hay que utilizar el mismo criterio para elegir a la variable de salida que ene le método simplex (Criterio de la razón): ■ θ=(XB/Yi)*yi>=0 4.Por ultimo hay que calcular el nuevo valor de las variables básicas, para eso hay que cambiar la matriz B, pues el vector de las variables básicas cambio, por lo tanto hay que cambiar los elementos de la matriz B para que correspondan a los valores de las restricciones en su correspondiente variable básica. Tenemos que calcular el nuevo valor de Xb con: Xb=B^-1(b) Donde b tiene que ser el valor que tenía el vector Xb anterior. Se regresa al paso 2 hasta que ya no exista un variable de entrada.

ii. Ventajas y Desventajas del método

Ejemplo de Productos su acabado y ensamblado ENUNCIADO: Una compañía fabrica dos productos, X y Y. cada uno de estos productos requiere cierto tiempo en la línea de ensamblado y otro tiempo más en el departamento de acabado. Cada artículo del tipo X requiere 5 horas de ensamblado y 2 horas de acabado, mientras que cada artículo del tipo Y requiere 3 horas de ensamblado y 4 horas de acabado. En cualquier semana, la empresa dispone de 105 horas en la línea de ensamblado y 70 horas en el departamento de acabado. La empresa puede vender todos los artículos que produce y obtener una utilidad de $200 por cada artículo de X y $160 por cada artículo de Y. calcule el número de artículos de cada tipo que deberían fabricarse a la semana con objeto de maximizar la utilidad total. PLANTEAMIENTO: ● Podemos apreciar que es un problema de maximizar tipo, planeación de producción, donde el modelo quedaría como:

Pasando al modelo estándar:

Escribiéndolo en la forma Matricial Estándar:

SOLUCIÓN:

INTERPRETACIÓN: La solución del modelo nos dice que se deben producir 15 productos de tipo X y 10 productos de tipo Y con la finalidad de obtener una máxima ganancia de $4600, todo esto cumpliendo los estándares de tiempo establecidos para el ensamblado y acabado

Planteamiento 1: fábrica de bombas hidráulicas Una empresa fabrica y vende dos tipos de bombas hidráulicas 1 normales y 2 extra grandes. El proceso de manufactura asociado en la fabricación de las bombas: ensamblado, pintura y prueba. La contribución a las utilidades por la venta de una bomba normal es de $50 y la utilidad de una bomba extra grande es de $75. Existen disponibles por semana 4800 hrs. de tiempo de ensamblaje, 1980 de tiempo de pintura y 900 hrs. de tiempo de prueba. Se espera vender cuando menos 300 bombas normales y a lo más 180 de las grandes por semana.

Tipo

Tiempo de ensamblaje

Tiempo de pintado

Tiempo de prueba

Normal

3.6

1.6

0.6

Extra grande 4.8

1.8

0.6

Definimos nuestra variables de decisiรณn:

x1=Numero de bombas normales a fabricar x2=Numero de bombas extra grandes a fabricar

Comenzamos por plantear el modelo:

max z=50x1+75x2 s.a 3.6x1+4.8x2<=4800 (tiempo en ensamblaje) 1.6x1+1.8x2<=1980 (tiempo en pintado) 0.6x1+0.6x2<=900

(tiempo en prueba)

x1>=300

(al menos 300 bombas

x2<=180

(como máximo 180 bombas

normales) extra grandes) x1,x2>=0

Donde z representa el máximo ingreso que se puede alcanzar con estas restricciones. Antes de aplicar el método, es necesario plantearlo en su forma ampliada, agregando variables de holgura, exceso y artificiales:

max z=50x1+75x2 3.6x1+4.8x2+x3=4800 1.6x1+1.8x2+x4=1980

0.6x1+0.6x2+x5=900

x1-x6+a1=300

x2+x7=180 x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, a1>=0

Ahora tendremos que cambiar la función objetivo a una función de minimizacion, donde las variables de decisión son las variables artificiales, quedando de esta manera:

min w=a1 3.6x1+4.8x2+x3=4800 1.6x1+1.8x2+x4=1980

0.6x1+0.6x2+x5=900 x1-x6+a1=300 x2+x7=180

Ahora pasamos la información de las restricciones y las dos funciones objetivo a una tabla.

Sol

-1

-50

-75

3.6

4.8

4800

1.6

1.8

1980

0.6

900

-1

300

180

Sol/yi

Wj-C j

Zj-Cj

La columna de a1 corresponde a una variable básica, por lo cual debería de aparecer como una columna unitaria, por lo cual hay que normalizar su columna antes de proceder.

Sol

Wj-Cj

-1

300

Zj-Cj

-50

-75

18/5

24/5

480 0

Sol/y i

8/5

9/5

198 0

3/5

900

-1

300

180

Ahora hay que encontrar la primera variable de entrada y de salida.

Sol

Sol/yi

Wj-Cj

-1

300

Zj-Cj

-50

-75

18/5

24/5

4800

4800/3.6

8/5

9/5

1980

1980/1.6

3/5

900

900/0.6

-1

300

300/1

180

Elegimos a la variable x1 como variable de entrada, pues es la mas positiva y tomamos a la variable a1 como de salida, pues es la menor en la fila Sol/yi. Realizamos el cambio y a continuaciรณn realizamos las operaciones para llegar para normalizar nuestro nueva variable bรกsica en su columna correspondiente

Wj-Cj

Sol

-1

Sol/yi

Zj-Cj

-75

-50

1500 0

24/5

24/ 5

-23/ 5

3720

13/5

8/5

-8/5

1500

3/5

-3/5

192

-1

300

180

Como w=0, entonces hemos terminado la primera fase, por lo cual eliminamos la funciรณn objetivo cambiada y las variables artificiales, quedando el siguiente modelo

Sol

Sol/yi

Zj-Cj

-75

-50

15000

24/5

18/ 5

3720

3720/4.8

14/5

8/5

1500

1500/1.8

3/5

192

192/.6

-1

300

180

180/1

Procedemos a resolver el modelo, pero ahora tenemos una función de maximizacion y tenemos que elegir a la variable mas negativa de la fila Zj-Cj para que entre a al base, en este caso es x2 con un valor de -75. Elegimos a x7 como variable de salida y volvemos a realizar el procedimiento para normalizar a la columna de x2

Sol

Zj-Cj

-50

2850 0

18/ 5

-24/5

Sol/yi

2856 2856/3.6

8/5

-9/5

1176

1176/1.6

3/5

-3/5

612

612/.6

-1

300

180

Como en la columna de Zj-Cj todavía existe un valor negativo, realizamos el procedimiento de elección otra vez, pero elegimos esta vez como variable de entrada a x6 porque es la única que queda y a x4 como variable de salida, pues es el menor en la columna de Sol/yi, realizamos el cambio y queda una tabla como la que sigue

Sol

Zj-Cj

125/4

75/4

6525 0

-9/4

-3/4

210

5/8

-9/8

735

-3/8

3/40

171

-9/8

1035

180

Sol/yi

Ya no hay variables de entrada porque no hay ninguna variable cuyo valor en la fila de Zj-Cj es negativo, por lo cual tenemos la solución optima.

La compañia ganara 65250 pesos por vender 1035 bombas normales y 180 extra grandes.

La variable de holgura x3 nos dice que quedan 210 minutos en tiempo de ensamblaje que no se estan usando

La variable de exceso x6 nos dice que nos pasamos por 735 bombas a lo mínimo que teníamos planeado

La variable x5 de holgura nos dice que quedan 171 horas en el tiempo de prueba

Como x4, x3=0, entonces usamos todo el tiempo de pintado y ensamblaje

Planteamiento 1: fabrica de bombas hidraulicas Una empresa fabrica y vende dos tipos de bombas hidrรกulicas 1 normales y 2 extra grandes. El proceso de manufactura asociado en la fabricaciรณn de las bombas: ensamblado, pintura y prueba. La contribuciรณn a las utilidades por la venta de una bomba normal es de $50 y la utilidad de una bomba extra grande es de $75. Existen disponibles por semana 4800 hrs. de tiempo de ensamblaje, 1980 de tiempo de pintura y 900 hrs. de tiempo de prueba. Se espera vender cuando menos 300 bombas normales y a lo mรกs 180 de las grandes por semana.

Tipo Tiempo de ensamblaje Normal

3.6

1.6

0.6

Extra grande 4.8

1.8

0.6

Tiempo de pintado

Definimos nuestra variables de decisiรณn:

x1=Numero de bombas normales a fabricar x2=Numero de bombas extra grandes a fabricar

Comenzamos por plantear el modelo:

max z=50x1+75x2 s.a

Tiempo de prueba

3.6x1+4.8x2<=4800 (tiempo en ensamblaje) 1.6x1+1.8x2<=1980 (tiempo en pintado) 0.6x1+0.6x2<=900 x1>=300

(tiempo en prueba) (al menos 300 bombas

normales) x2<=180

(como máximo 180 bombas

extra grandes) x1,x2>=0

Donde z representa el máximo ingreso que se puede alcanzar con estas restricciones.

Antes de aplicar el método, es necesario plantearlo en su forma ampliada, agregando variables de holgura, exceso y artificiales:

max z=50x1+75x2 3.6x1+4.8x2+x3=4800 1.6x1+1.8x2+x4=1980 0.6x1+0.6x2+x5=900 x1-x6+a1=300 x2+x7=180 x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, a1>=0

Ahora tendremos que cambiar la función objetivo a una función de minimizacion, donde las variables de decisión son las variables artificiales, quedando de esta manera:

min w=a1

3.6x1+4.8x2+x3=4800 1.6x1+1.8x2+x4=1980 0.6x1+0.6x2+x5=900 x1-x6+a1=300 x2+x7=180

Ahora pasamos la información de las restricciones y las dos funciones objetivo a una tabla.

Sol

Wj-Cj 0

-1

Zj-Cj 1

-50

-75

3.6

4.8

4800

1.6

1.8

1980

0.6

900

-1

300

180

Sol/yi

La columna de a1 corresponde a una variable básica, por lo cual debería de aparecer como una columna unitaria, por lo cual hay que normalizar su columna antes de proceder.

Sol

Wj-Cj 0

-1

300

Zj-Cj 1

-50

-75

18/5

24/5

4800

Sol/yi

8/5

9/5

1980

3/5

900

-1

300

180

Ahora hay que encontrar la primera variable de entrada y de salida.

Sol

Sol/yi

Wj-Cj 0

-1

300

Zj-Cj 1

-50

-75

18/5

24/5

4800

4800/3.6

8/5

9/5

1980

1980/1.6

3/5

900

900/0.6

-1

300

300/1

180

Sol

Wj-Cj 0

-1

Zj-Cj 1

-75

-50

15000

Sol/yi

24/5

-23/5 3720

13/5

8/5

-8/5

1500

3/5

-3/5

192

-1

300

180

Como w=0, entonces hemos terminado la primera fase, por lo cual eliminamos la funciรณn objetivo cambiada y las variables artificiales, quedando el siguiente modelo

Sol

Sol/yi

Zj-Cj 1

-75

-50

15000

24/5

18/5

3720

3720/4.8

14/5

8/5

1500

1500/1.8

3/5

192

192/.6

-1

300

180

180/1

Procedemos a resolver el modelo, pero ahora tenemos una funciรณn de maximizacion y tenemos que elegir a la variable mas negativa de la fila Zj-Cj para que entre a al base, en este caso es x2 con un valor de -75. Elegimos a x7 como variable de salida y volvemos a realizar el procedimiento para normalizar a la columna de x2

Sol

Zj-Cj 1

-50

28500

18/5

-24/5 2856

Sol/yi

2856/3.6

8/5

-9/5

1176

1176/1.6

3/5

-3/5

612

612/.6

-1

300

180

Zj-Cj 1

x1 x2

Sol

125/4 0

75/4 65250

-9/4

-3/4

210

5/8

-9/8

735

-3/8

3/40 171

-9/8

1035

180

Sol/yi

Ya no hay variables de entrada porque no hay ninguna variable cuyo valor en la fila de Zj-Cj es negativo, por lo cual tenemos la solución óptima. La compañía ganara 65250 pesos por vender 1035 bombas normales y 180 extra grandes. La variable de holgura x3 nos dice que quedan 210 minutos en tiempo de ensamblaje que no se están usando La variable de exceso x6 nos dice que nos pasamos por 735 bombas a lo mínimo que teníamos planeado La variable x5 de holgura nos dice que quedan 171 horas en el tiempo de prueba Cómo x4, x3=0, entonces usamos todo el tiempo de pintado y ensamblaje

Sabías qué…

Conoce más de los creadores Referencias Características Método Simplex Y Gráfico. (s.f.). Recuperado 19 octubre, 2019, de https://es.calameo.com/read/0045191192c7e523018ff Clasificación de los métodos - Métodos de programación lineal. (s.f.). Recuperado 19 octubre, 2019, de https://sites.google.com/site/metodosdeprogramacionlinealdan/clasificacion-de-los-metodos

Forma de trabajo Alumno

Página

Actividades desarrolladas en la Página

Benitez Denisse

Carpio Romero Xhane

Martínez Espinosa Arturo

Todo lo referente al método de la M grande

Ornelas Alba Israel