Programación Lineal: Métodos

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Programación Lineal: Métodos

Benítez Vázquez Tania Denisse Carpio Romero Xhane Martínez Espinosa Arturo Ornelas Alba Israel

ÍNDICE >INTRODUCCIÓN Programación Lineal Métodos de solución Editorial

>Si de métodos hablámos >Métodos Para la solución de Problemas de programación Lineal -Método Gráfico i. Pasos del Método ii. Ventajas y Desventajas del método iii. Enunciado de cada ejercicio iv. Planteamiento: Explicar el modelo v. Método: Explicar paso a paso el método de solución. vi. Interpretación de resultados:

-Método algebráico i. Pasos del Método ii. Ventajas y Desventajas del método iii. Enunciado de cada ejercicio iv. Planteamiento: Explicar el modelo v. Método: Explicar paso a paso el método de solución. vi. Interpretación de resultados:

-Método Simplex i. Pasos del Método ii. Ventajas y Desventajas del método iii. Enunciado de cada ejercicio iv. Planteamiento: Explicar el modelo v. Método: Explicar paso a paso el método de solución. vi. Interpretación de resultados:

-Método de la M Grande i. Pasos del Método ii. Ventajas y Desventajas del método iii. Enunciado de cada ejercicio iv. Planteamiento: Explicar el modelo v. Método: Explicar paso a paso el método de solución. vi. Interpretación de resultados:

-Método de las Dos Fases 1

i. Pasos del Método ii. Ventajas y Desventajas del método iii. Enunciado de cada ejercicio iv. Planteamiento: Explicar el modelo v. Método: Explicar paso a paso el método de solución. vi. Interpretación de resultados:

-Método Simplex Revisado i. Pasos del Método ii. Ventajas y Desventajas del método iii. Enunciado de cada ejercicio iv. Planteamiento: Explicar el modelo v. Método: Explicar paso a paso el método de solución. vi. Interpretación de resultados:

>Sabías qué… >Referencias y Créditos >Forma de Trabajo

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Introducción: Programación Lineal La programación lineal es una técnica de modelización matemática desarrollada a partir de la década de 1930. Desde entonces, se ha aplicado con frecuencia en los procesos de toma de decisión de ámbitos económicos y productivos, como la planificación de empresa y la ingeniería industrial. Es también utilizada como herramienta de apoyo a la toma de decisiones tanto por sus propiedades que facilitan su resolución. El nombre de programación lineal no procede de la creación de programas de ordenador, sino de un término militar, programar, que significa “realizar planes o propuestas de tiempo para el entrenamiento, la logística o el despliegue de las unidades de combate”.

La importancia de la programación lineal y entera se demostró durante la segunda guerra mundial, pues las estrategias militares de Estados Unidos y otros países tenían que asegurar la máxima eficacia en los ataques, o bien se utilizó la programación lineal para poder transportar armas y equipo a territorio hostil de manera rápida y sin realizar muchos viajes. Al final de la guerra, la programación lineal se comenzó a utilizar en la toma de decisiones empresariales y en muchos aspectos, que trajo consigo el avance exponencial de esta ciencia.

Quizá uno de los más importantes avances que ha habido en la programación lineal es el desarrollo del método simplex por creado por George Dantzig en 1947. La historia de su desarrollo es bastante curiosa, pues un día el profesor de Dantzig expuso un problema sin

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resolver a sus alumnos sobre programación lineal, pero Dantzig llego tarde a su clase y creyó que el problema era tarea. Al tratar de resolverlo, Dantzig dijo que el problema le pareció un poco más complejo de lo habitual, pero no obstante lo resolvió y al día siguiente, con el asombro del profesor, presentó sus resultados, que posteriormente serían el método simplex

Métodos de solución ● ●

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Método gráfico: Las rectas de nivel dan los puntos del plano en los que la función objetivo toma el mismo valor. Método algebraico: El método algebraico es una forma de trabajar con el método simplex pero sin usar las tablas, utiliza únicamente álgebra y lógica matemática para hallar la solución óptima. Método Simplex: El método simplex es uno de los métodos más famosos que existen y tiene un sin fin de aplicaciones, de este método se derivan muchos de los otros métodos. El método simplex trabaja con un modelo en su forma estándar, además las restricciones del modelo deben de estar expresadas en su forma estándar solo acepta restricciones con ≤y las variables de decisión tienen que ser ≥ 0. Si no se cumplen estas condiciones, entonces no es posible aplicar el método. Método de la M grande: El método de la M grande es una forma derivada del método simplex, usado para resolver problemas donde el origen no forma parte de la región factible de un problema de programación lineal. Para realizar este algoritmo, se siguen los mismos pasos que en el método simplex, pero antes tenemos que cambiar la función objetivo para que incluya a las variables artificiales. Estas variables tendrán que estar multiplicadas por un número suficientemente grande para que no se elimine a través de la operaciones, llamado M y que además deberá irse solamente cuando se sume o reste con otra M. Para el caso de maximización, tenemos que restar las variables artificiales junto con sus coeficientes para que estas variables no entren a la base, pero si minimizamos entonces tendremos que sumar las variables artificiales. Método de las dos fases: Como su nombre lo indica, trabaja por medio de 2 fases o procedimientos, con el objetivo de encontrar primeramente una solución factible inicial y después pasar a resolver el modelo a través del método simplex. Para utilizar este método se deber tener el modelo en su forma ampliada, las variables de decisión deben de ser reales y mayores a cero. 4

●

Método simplex revisado: El método simplex revisado conserva las mismas características que el método simplex, La diferencia entre el método simplex normal y el revisado es que la mayoría de los números que aparecen en la tabla del método normal no se usan realmente en las iteraciones, por lo cual en el método revisado solo se calculan los valores necesarios para encontrar la solución óptima a través de matrices. Sin embargo, este método requiere muchas operaciones de matrices y deja de estar tan estructurado como el método simplex, por lo cual es muy posible confundirse durante las iteraciones. Antes de aplicar el método es necesario pasar el modelo planteado a su forma estándar matricial.

Editorial: Arturo Martínez: La importación de la programación lineal en las matemáticas aplicadas a mi parecer, es que te ayuda a pensar o a ver las cosas de una manera más sistemática, puedes ver todo como un sistema y sus partes, y eso es una gran ayuda.

Denisse Benítez: Me parece que la importancia de la programación lineal en las matemáticas aplicadas, radica en distintos aspectos, porque nos puede ser útil para plantear problemas y posteriormente resolverlos, estos pueden ser en muchas ocasiones de tipo financiero, o de algún otro. También está muy ligada con la investigación de operaciones, la cual podemos aplicar desde cosas tan necesarias en la vida cotidiana como las rutas del transporte público, hasta otro tipo de problemas de magnitudes mayores.

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Xhane Carpio Romero: La programaciĂłn lineales importante ya que ayuda a resolver problemas reales. Su principal objetivo es optimizar, ya que es un algoritmo con el que se pretende dar soluciones a problemas de la vida real, asĂ­ como aumentar la productividad y los beneficios.

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“Si de métodos Hablamos” Método Gráfico

Características

Ventajas

Desventajas

-Consiste en Es muy visual representar Fácil de aplicar geométricamente las restricciones, condiciones, técnicas y función objetivo. -Solo trabaja con dos o tres variables

Algebraico -Es

Tipo de planteamiento que resuelve

Solo sirve para Planeación dos variables producción

parecido al método simplex -Se mueve entre puntos extremos empezando en el origen -Se trabaja en la forma estándar. -Encuentra la solución cuando z ya no puede o empeora en una siguiente iteración

Trabaja rápido

Simplex

-Es un proceso de búsqueda muy eficiente para problemas muy grandes. -Tiene como base el álgebra matricial y la eliminación de Gauss - Jordan

Se visualizan El origen debe de Planeación las variables pertenecer a la producción de entrada y región salida Nos da un estándar de cómo funcionan los algoritmos

M grande

-Trabaja con el modelo ampliado -Tiene variables artificiales que están multiplicadas por un valor muy grande denominado por M -Trabaja con modelos donde la solución inicial no tiene que ser el origen. -Si no se puede eliminar a M, entonces no hay solución factible -Se considera primera al factor multiplicativo más negativo para

Uso simplex

en modelos sencillos * Describe en cada iteración como se comportan las variables y que valor tiene z *Funciona para modelos de n variables

de

*Requiere revisar constantemente que se está moviendo correctamente. *El álgebra o cómo elegir las variables de entrada puede llegar a ser confuso * Realizar todo el proceso puede ser mucho más tardado que el método simplex

de

de Uso de la M Pre-etapa eliminando la M de las var.artificiales antes de hacer el algoritmo

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maximización y después al aditivo.

De las Dos Fases

-Trabaja con la forma ampliada -Trabaja con cualquier modelo. -Tiene dos fases: en la primera se plantea una función de minimización donde las variables son las v. artificiales y las restricciones son las mismas que en el modelo ampliado para ubicar la solución inicial -En la segunda fase se continua el método quitando las v. artificiales y retomando la función objetivo original pero con los valores ya dados en las restricciones de la anterior fase

Evita los problemas de la M grande Rápido cambio de la forma ampliada o estándar

Simplex Revisado

-Se realiza tomando solamente los cálculos necesarios que se ocupan en toda la tabla del método simplex y expresándolos en forma de matrices -Requiere el uso de matrices inversas y multiplicación de matrices -Puede aplicarse ciertos criterios a este método para hacerlo parecido al método de las dos fases.

Procedimiento Manejo Matricial algebraico Conocimiento de directo Álgebra Lineal fue diseñado para ser programado

Uso de tablas, se complica el cambio de la función objetivo

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Métodos Para la solución de Problemas de programación Lineal ➢

Método Gráfico

Si el modelo de programación lineal se restringe a dos variables de decisión, entonces, es posible representarlo y resolverlo gráficamente.

i. Pasos del método 1.

Graficar las restricciones. 1.1. Se igualan las restricciones. 1.2. Se buscan dos puntos y se trazan.

2.

Buscamos la región factible. 2.1. Se busca la intersección de las restricciones graficadas.

3.

Trazar la función objetivo (se le da un valor a z).

4.

La solución se encuentra sobre un punto extremo de la región factible.

ii. Ventajas y Desventajas del método ●

●

Ventajas: ○ Es relativamente fácil de hacer y entender. ○ Ubica todos los puntos extremos que son una solución factible. ○ No hay que pasar a la forma estándar. Desventajas: ○ Solo funciona con 2 ó 3 variables. ○ Puede ser inexacto al tener muchas restricciones.

Ejercicio 1 iii. Enunciado Una empresa realiza diversos productos y utiliza 3 materias primas. Se tiene la siguiente información: Producto

Materia Prima 1

Materia Prima 2

Materia Prima 3

Utilidad

1

4

0

6

$40

2

5

1

3

$30

Disponibilidad

200

25

210

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iv. Planteamiento 1. Planteamos la funciĂłn objetivo con base en la utilidad. Max đ?‘? = 40đ?‘‹1 + 30đ?‘‹2 2. Establecemos las variables de decisiĂłn. đ?‘‹đ?‘– : # de productos a producir del tipo i. 3. Planteamos las restricciones explĂ­citas (disponibilidad). 4đ?‘‹1 + 5đ?‘‹2 ≤ 200 đ?‘‹2 ≤ 25 6đ?‘‹1 + 3đ?‘‹2 ≤ 210 4. Planteamos las restricciones implĂ­citas. đ?‘‹1 , đ?‘‹2 ≼ 0 đ?‘‹1 , đ?‘‹2 ∈ ℤ

v. Resolvemos por MÊtodo Gråfico 1. Graficamos las restricciones, para lo que las igualamos. a) 4�1 + 5�2 = 200 �1 = 0, �2 = 40 �2 = 0, �1 = 50 b) �2 = 25 c) 6�1 + 3�2 = 210 �1 = 0, �2 = 70 �2 = 0, �1 = 35 2. Buscamos la región factible. La coloreamos en verde. 3. Trazar la función objetivo (se le da un valor a z). � = 1200 1200 = 40�1 + 30�2 �1 = 0, �2 = 40 10

�2 = 0, �1 = 30 4. Hallar la solución óptima. 4�1 + 5�2 = 200 6�1 + 3�2 = 210 �1 = 25 �2 = 20 � = 1600

vi. InterpretaciĂłn de resultados Se termina la Materia Prima 1 y Materia Prima 3, y la Materia Prima 2 no se acaba por 5 unidades.

Ejercicio 2 iii. Enunciado Una empresa tiene solo tres empleados que hacen dos tipos de ventanas a mano: con marco de madera y con marco de aluminio. La ganancia es de $60 por cada ventana con marco de madera y de $30 por cada una con marco de aluminio. Doug hace marcos de madera y puede terminar 6 al dĂ­a. Linda hace 4 marcos de aluminio por dĂ­a. Bob forma y corta el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados por dĂ­a. Cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de vidrio y cada una de aluminio 8 pies cuadrados.

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iv. Planteamiento 5. Planteamos la funciĂłn objetivo con base en la utilidad. Max đ?‘? = 60đ?‘‹1 + 30đ?‘‹2 6. Establecemos las variables de decisiĂłn. đ?‘‹đ?‘– : # de ventanas a producir del tipo i. 7. Planteamos las restricciones explĂ­citas. đ?‘‹1 ≤ 6 (producciĂłn mĂĄxima). đ?‘‹2 ≤ 4 (producciĂłn mĂĄxima). 6đ?‘‹1 + 8đ?‘‹2 ≤ 48(vidrio). 8. Planteamos las restricciones implĂ­citas. đ?‘‹1 , đ?‘‹2 ≼ 0 đ?‘‹1 , đ?‘‹2 ∈ ℤ

v. Resolvemos por MÊtodo Gråfico 5. Graficamos las restricciones, para lo que las igualamos. a) �1 = 6 b) �2 = 4 c) 6�1 + 8�2 = 48 �1 = 0, �2 = 6 �2 = 0, �1 = 8 6. Buscamos la región factible. La coloreamos en verde. 7. Trazar la función objetivo (se le da un valor a z). � = 180 180 = 60�1 + 30�2 �1 = 0, �2 = 6

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�2 = 0, �1 = 3 8. Hallar la solución óptima. �1 = 6 �2 = 1.5 � = 405

vi. InterpretaciĂłn de resultados 6 ventanas de madera, 1.5 ventanas de aluminio. Con una ganancia de 405. Se acaba la capacidad de vidrio. Se acaba el marco de madera. No se acaba el marco de aluminio por 25 unidades.

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➢

Método algebraico

Pasos del Método 1) Hallar una solución básica y factible (Solución inicial) a) Expresar las inecuaciones (desigualdades) como ecuaciones (igualdades) b) Hallar una variable básica para cada ecuación c) Organizar el sistema de ecuaciones lineales 2) Escoger la variable que entra 3) Escoger la variable que sale 4) Reorganizar el sistema de ecuaciones 5) Repetir los pasos 2, 3 y 4 hasta encontrar la solución

Ventajas y Desventajas del método Ventajas: ● ●

Es relativamente fácil de hacer y entender. Ubica todos los puntos extremos que son una solución factible.

Desventajas: ● Solo funciona con 2 ó 3 variables. ● Puede ser inexacto al tener muchas restricciones.

Ejemplo 1 Enunciado > La Ford produce dos tipos de auto: Fiesta y Focus que se deben procesar a través de dos departamentos. El depto. 1 tiene 70 horas disponibles y el departamento 3 tiene 60 horas disponibles. La fabricación de un Fiesta requiere 4 hrs. en Depto 1 y 2 hrs. en depto. 2. Cada Focus requiere 2 hrs en el depto. 1 y 4 hrs en el depto. 2. La utilidad del fiesta es $40,000 y del Focus $60,000 ¿Cuántos autos focus y fiesta se deben producir para obtener la máxima ganancia?

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Planteamiento: Variables de decisiĂłn serĂĄn: đ?‘Ľâ‚ =NĂşmero de autos Fiesta a producir đ?‘Ľâ‚‚ =NĂşmero de autos Focus a producir Planteamos un modelo de maximizaciĂłn: đ?‘€đ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘§ = 40đ?‘Ľâ‚ + 60đ?‘Ľâ‚‚(multiplicando los coeficientes por 1000) 4đ?‘Ľâ‚ + 2đ?‘Ľâ‚‚ + 3đ?‘Ľâ‚ƒ = 70(horas en el depto 1 totales) 4đ?‘Ľâ‚ + 4đ?‘Ľâ‚‚ + đ?‘Ľâ‚„ = 60 (horas en el depto 2 totales) đ?‘Ľâ‚ , đ?‘Ľâ‚‚, đ?‘Ľâ‚ƒ, đ?‘Ľâ‚„ ≼ 0

MĂŠtodo: Forma estĂĄndar: đ?‘€đ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘§ = 40đ?‘Ľâ‚ + 60đ?‘Ľâ‚‚ 4đ?‘Ľâ‚ + 2đ?‘Ľâ‚‚ + 3đ?‘Ľâ‚ƒ = 70 4đ?‘Ľâ‚ + 4đ?‘Ľâ‚‚ + đ?‘Ľâ‚„ = 60 đ?‘Ľâ‚ , đ?‘Ľâ‚‚, đ?‘Ľâ‚ƒ, đ?‘Ľâ‚„ ≼ 0 Variables bĂĄsicas :đ?‘Ľâ‚ƒ, đ?‘Ľâ‚„ No bĂĄsicas:đ?‘Ľâ‚ , đ?‘Ľâ‚‚ Se despejar las restricciones para que queden en funciĂłn a estas variables đ?‘Ľâ‚ƒ = 70 − 4đ?‘Ľâ‚ − 2đ?‘Ľâ‚‚ đ?‘Ľâ‚„ = 60 − 4đ?‘Ľâ‚ − 4đ?‘Ľâ‚‚ Para elegir a la variable de entrada, revisamos la funciĂłn objetivo y elegimos a la variable con el coeficiente mĂĄs grande. En este caso elegimos a đ?‘Ľâ‚‚. Ahora tenemos que buscar a la variable de salida. Para esos hacemos a đ?‘Ľâ‚ = 0 y lo sustituimos en las restricciones despejadas, ademĂĄs igualamos a cero y tenemos: 0 = 70 − đ?‘Ľâ‚‚âž”đ?‘Ľâ‚‚ = 70/2cuando đ?‘Ľâ‚ƒ = 0 0 = 60 − 4đ?‘Ľâ‚‚âž”đ?‘Ľâ‚‚ = 60/4cuando đ?‘Ľâ‚„ = 0 Elegimos a la variable de menor valor, que en este caso serĂĄ đ?‘Ľâ‚„. Se cambia el modelo en funciĂłn de las nuevas variables bĂĄsicas. Despejamos a đ?‘Ľâ‚‚ de la ecuaciĂłn de la variable que entrarĂĄ a la base đ?‘Ľâ‚‚ = 15 − Âź đ?‘Ľâ‚„ − đ?‘Ľâ‚ Se sustituye la nueva ecuaciĂłn en las demĂĄs restricciones y en la funciĂłn objetivo đ?‘€đ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘§ = 900 − 15đ?‘Ľâ‚„ − 20đ?‘Ľâ‚ đ?‘Ľâ‚ƒ = 40 − 4đ?‘Ľâ‚ + ½đ?‘Ľâ‚„ + 2đ?‘Ľâ‚ đ?‘Ľâ‚‚ = 15 − Âźđ?‘Ľâ‚„ − đ?‘Ľâ‚

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đ?‘Ľâ‚ , đ?‘Ľâ‚‚, đ?‘Ľâ‚ƒ, đ?‘Ľâ‚„ ≼ 0 Analizando la f.o, notamos que no hay variables de entrada, esto quiere decir que esta es la soluciĂłn Ăłptima.Ya que las variables đ?‘Ľâ‚ , đ?‘Ľâ‚ƒ, đ?‘Ľâ‚„ fueron variables no bĂĄsicas, tienen el valor de cero y la soluciĂłn es: đ?‘€đ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘§ = 900 đ?‘Ľâ‚ƒ = 40 đ?‘Ľâ‚‚ = 15 đ?‘Ľâ‚ , đ?‘Ľâ‚„ = 0

Entonces podemos decirle al cliente que estarĂĄ ganando como mĂĄximo 900000 produciendo 15 autos Focus. AdemĂĄs, como đ?‘Ľâ‚ƒ = 40, tenemos que estĂĄn sobrando 30 horas en el departamento 1, pero se ocupan todas en el departamento 2

Ejemplo 2 Enunciado >Una compaùía produce dos tipos de artículos, mediante un proceso que se compone de tres actividades. Los datos importantes del proceso se dan en la tabla:

Actividad

Tiempo (minutos / unidad)

ArtĂ­culo 1

ArtĂ­culo 2

Formado Corte Ensamble

4 4 6

8 3 2

Utilidad neta ($/unidad)

10

6

Capacidad (minutos / dĂ­a)

800 600 600

Resuelva el modelo de programaciĂłn lineal para determinar el nĂşmero de unidades de cada tipo de producto que deben fabricarse para maximizar la utilidad neta total.

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iv. Planteamiento ��� � = 10�₠+ 6�₂

4�₠+ 8�₂ ≤ 800 4�₠+ 3�₂ ≤ 600 6�₠+ 2�₂ ≤ 800 �₠, �₂ ≼ 0

MĂŠtodo Forma estĂĄndar

s.a

đ?‘€đ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘§ = 10đ?‘Ľâ‚ + 6đ?‘Ľâ‚‚ 4đ?‘Ľâ‚ + 8đ?‘Ľâ‚‚ + đ?‘Ľâ‚ƒ = 800 4đ?‘Ľâ‚ + 3đ?‘Ľâ‚‚ + đ?‘Ľâ‚„ = 600 6đ?‘Ľâ‚ + 2đ?‘Ľâ‚‚ + đ?‘Ľâ‚… = 600 đ?‘Ľâ‚ , đ?‘Ľâ‚‚ ≼ 0

Tenemos 5 variables y 3 restricciones, por lo tanto tenemos 3 variables bĂĄsicas y 2 no bĂĄsicas. La soluciĂłn inicial del modelo es el origen: đ?‘Ľâ‚ = đ?‘Ľâ‚‚ = 0 đ?‘Ľâ‚ƒ = 800 đ?‘Ľâ‚„ = 600 đ?‘Ľâ‚… = 600 đ?‘§=0 đ?‘Ľâ‚ , đ?‘Ľâ‚‚variables no bĂĄsicas đ?‘Ľâ‚ƒ, đ?‘Ľâ‚„ đ?‘Ś đ?‘Ľâ‚… variables bĂĄsicas Despejamos las variables bĂĄsicas y las ponemos en funciĂłn de las variables no bĂĄsicas. Z=10X1+6X2 X3=800-4X1-8X2

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X4=600-4X1-3X2 X5=600-6X1-2X2 La variable de entrada, será X2 ya que tiene el coeficiente más grande de la función objetivo y su coeficiente es 10. Z=10X1+6X2 X1 será variable básica y X2 no básica. Para la variable de salida planteamos el conjunto de restricciones sin la variable no básica (X2). X3=800-4X1 X4=600-4X1 X5=600-6X1

Hacemos cero a las variables básicas y el sistema queda de la siguiente manera: 0=800-4X1 0=600-4X1 0=600-6X1

X1=200 ---> X3=0 X1=150 ---> X4=0 X1=100 ---> X5=0

Elegimos al de valor más pequeño. Ahora X5 y X2 son variables no básicas. X3 , X4 y X1 son variables básicas. El modelo debe quedar en función de las nuevas variables no básicas, para ello despejamos a X1 de la tercera ecuación. X1=100-1/3X2-1/6X5 Sustituimos X1 en las demás ecuaciones El nuevo sistema queda de la siguiente manera: Z=10(100-1/3X2-1/6X5)+6X2 X3=800-4(100-1/3X2-1/6X5)-8X2 X4=600-4(100-1/3X2-1/6X5)-3X2 X1=100-1/3X2-1/6X5 Simplificando:

Z=1000+8/3X2-5/3X5 X3=400-20/3X2+2/3X5 18

X4=200-5/3X2+2/3X5 X1=100-1/3X2-1/6X5 Determinar la nueva variable no básica a convertir en básica.

Z=1000+8/3X2-5/3X5 X2 variable básica y X5 variable no básica. Planteamos el conjunto de restricciones sin la variable no básica(X 5). X3=400-20/3X2 X4=200-5/3X2 X1=100-1/3X2 Hacemos cero a las variables básicas y el sistema queda de la siguiente manera: 0=400-20/3X2 X2=60 ---> X3=0 0=200-5/3X2 X2=120 ---> X4=0 0=100-1/3X2 X2=300 ---> X1=0 Elegimos el valor más pequeño. Ahora X3 y X5 son variables no básicas. Reescribimos el modelo en función a las nuevas variables no básicas, para ello despejamos X 2 de la primera ecuación y sustituimos en las demás: X2=60+1/10X5-3/20X3 El nuevo sistema queda de la siguiente manera: Z=1000+8/3(60+1/10X5-3/20X3)-5/3X5 X2=60+1/10X5-3/20X3 X4=200-5/3(60+1/10X5-3/20X3)+2/3X5 X1=100-1/3(60+1/10X5-3/20X3)-1/6X5 Reduciendo términos: Z=1160-7/5X5-2/5X3 X2=60+1/10X5-3/20X3 X4=100+5/6X5-1/4X3 X1=80-2/15X5+1/20X3 Observamos que en la función objetivo los coeficientes de las variables son negativos, esto nos indica que ya no se puede elegir otra variable de entrada, es por ello que hemos llegado a la solución óptima: Z=1160 X2=60 19

X4=100 X1=80 X3=0 X5=0 Sustituimos los valores obtenidos en la función objetivo y restricciones: max Z= 10(80)+6(60)=1160 Para maximizar la utilidad neta se deben producir 80 artículos de tipo 1 y 60 de tipo 2, con esto se obtiene una ganancia de $1160 Sujeto a: 4(80)+8(60)<=800 Para la primera actividad(formado) podemos observar que la capacidad de minutos diarios es utilizada totalmente por los artículos producidos. 4(80)+3(60)<=600 Para la segunda actividad(corte) nos quedan aún 100 minutos para poder terminar los artículos, a diferencia de la primera actividad, no se cubre en su totalidad la capacidad que se tiene disponible. 6(80)+2(60)<=600 Para la tercera actividad(ensamble), también es alcanzada la capacidad máxima en minutos para poder terminar los artículos, es decir, no sobran minutos.

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➢

MĂŠtodo Simplex

El mĂŠtodo Simplex es un mĂŠtodo iterativo que trabaja con soluciones bĂĄsicas factibles, la soluciĂłn inicial del mĂŠtodo siempre serĂĄ el origen y sistemĂĄticamente, se mueve hacia un punto extremo adyacente hasta llegar a la soluciĂłn Ăłptima. Existen dos reglas que nos permiten determinar el siguiente punto extremo adyacente. 1. El siguiente punto debe ser adyacente al actual. 2. La soluciĂłn nunca puede ser una que ya se analizĂł con anterioridad. El desarrollo del mĂŠtodo, estĂĄ basado en la forma estĂĄndar del modelo: Max o MIn đ?‘§ = ∑đ?‘›đ??˝=1 đ??śđ??˝ đ?‘‹đ??˝ đ?‘›

∑

đ?‘Žđ?‘–đ??˝ đ?‘‹đ??˝ + đ?‘Œđ?‘– = đ?‘?đ?‘–

đ?‘– = 1, đ?‘˜

đ??˝=1 đ?‘›

∑

đ?‘Žđ?‘Ąđ??˝ đ?‘‹đ??˝ − đ?‘Šđ?‘Ą = đ?‘?đ?‘Ą

đ?‘Ą = đ?‘˜ + 1, đ?‘š

đ??˝=1

Para aplicar el mĂŠtodo Simplex, se requiere: â—? La forma estĂĄndar. â—? Que las variables sean ≼ 0. â—? El origen debe pertenecer regiĂłn â—‹ restricciones ≤ (variables de holgura) â—‹ đ?‘?đ?‘– ≼ 0. Criterios del mĂŠtodo â—? En caso Max, la variable de entrada es aquella que tenga el đ?‘?đ??˝ − đ??śđ??˝ mĂĄs negativo. â—? En caso Min, la variable de entrada es aquella que tenga el đ?‘?đ??˝ − đ??śđ??˝ mĂĄs positivo. Criterio de optimalidad â—? En caso de Max: cuando el đ?‘?đ??˝ − đ??śđ??˝ sea ≼ 0, entonces se tiene la soluciĂłn Ăłptima. â—? En caso de Min: cuando el đ?‘?đ??˝ − đ??śđ??˝ sea ≤ 0, entonces se tiene la soluciĂłn Ăłptima. Criterio de variable de salida Dados las đ?‘Śđ?‘– ’s (columna pivote) para la variable de entrada, la variable de salida es aquella: đ?‘Łđ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Ł. đ?‘?ĂĄđ?‘ đ?‘–đ?‘?đ?‘Ž đ?‘‹đ?‘– đ?œƒ={ |đ?‘Œđ?‘– > 0} đ?‘Œđ?‘– Tabla de Simplex Los cĂĄlculos del mĂŠtodo Simplex se realizan en una forma mĂĄs sencilla en una tabla. Para poder expresar el problema en una tabla es necesario: 1. La funciĂłn objetivo debe estar en forma đ?‘?đ??˝ − đ??śđ??˝ . 2. Las restricciones deben ser igualdades. 3. Cada tabla representa una soluciĂłn bĂĄsica factible.

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i. Pasos del Método 1. Utilizando la forma estándar, determinar una solución inicial (origen). 2. Seleccionar la variable de entrada de las variables no básicas que al incrementar su valor, aumenta la función objetivo (valor de z). Cuando no existe dicha variable la solución es la óptima. 3. Seleccionar la variable de salida. 4. Actualizar la solución. Ir al paso 2.

ii. Ventajas y Desventajas del método ●

●

Ventajas: ○ Trabaja muy rápido para encontrar la solución óptima. ○ Funciona para modelos de n variables. Desventajas: ○ Requiere un cuidado muy grande del álgebra. ○ No funciona si el origen no es parte del conjunto de soluciones factibles. ○ Puede caer en un ciclo si no se tienen consideraciones, pero es muy raro.

Ejercicio 1 iii. Enunciado Pedrito es un pequeño fabricante de camisas para caballero y blusas de dama para las tiendas de descuento Waldos, corporación que aceptará toda la producción surtida por Pedrito, El proceso de producción incluye el corte, la costura, y el empaque. Se ha empleado a 25 trabajadores en el departamento de corte, 35 en el de costura y 5 en empaque. La fábrica trabaja un turno de 8 horas, 5 días a la semana. La siguiente tabla muestra los requerimientos de tiempo y utilidad por unidad para las dos prendas: Tiempo de producción (minutos x unidad) Producto

Corte

Costura

Empaque

Utilidad unitaria

Camisas

20

70

12

$8

Blusas

60

60

4

$12

22

iv. Planteamiento: Explicar el modelo 1. Planteamos la funciĂłn objetivo con base en la utilidad unitaria. Max đ?‘? = 8đ?‘‹1 + 12đ?‘‹2 2. Establecemos las variables de decisiĂłn. đ?‘‹đ?‘– : # de prendas a producir del tipo i. 3. Planteamos las restricciones explĂ­citas (nutrientes). 20đ?‘‹1 + 60đ?‘‹2 ≤ 60000 70đ?‘‹1 + 60 đ?‘‹2 ≤ 84000 12đ?‘‹1 + 4đ?‘‹2 ≤ 12000

4. Planteamos las restricciones implĂ­citas. đ?‘‹1 , đ?‘‹2 ≼ 0 đ?‘‹1 , đ?‘‹2 ∈ ℤ

v. Resolvemos por MĂŠtodo Simplex 1. Utilizando la forma estĂĄndar, determinar una soluciĂłn inicial (origen). Forma estĂĄndar Max đ?‘? = 8đ?‘‹1 + 12đ?‘‹2 20đ?‘‹1 + 60đ?‘‹2 + đ?‘‹3 = 60000 70đ?‘‹1 + 60 đ?‘‹2 + đ?‘‹4 = 84000 12đ?‘‹1 + 4đ?‘‹2 + đ?‘‹5 = 12000 đ?‘‹1 , đ?‘‹2 ≼ 0 SoluciĂłn inicial đ?‘‹1 = đ?‘‹2 = 0 đ?‘‹3 = 60000 đ?‘‹4 = 84000 23

đ?‘‹5 = 12000 2. Escribir las tablas Simplex đ?‘? đ?‘?đ??˝

đ?‘‹1

đ?‘‹2

đ?‘‹3

đ?‘‹4

đ?‘‹5

-8

-12

0

0

0

đ?‘†đ?‘œđ?‘™

− đ??śđ??˝ đ?‘‹3

0

20

60

1

0

0

60000

đ?‘‹4

0

70

60

0

1

0

84000

đ?‘‹5

0

12

4

0

0

1

12000

La variable de salida de la base es đ?‘‹3 y la de entrada es đ?‘‹2 . đ?‘? đ?‘?đ??˝

đ?‘‹1

đ?‘‹2

đ?‘‹3

đ?‘‹4

đ?‘‹5

đ?‘†đ?‘œđ?‘™

-4

0

1/5

0

0

12000

− đ??śđ??˝ đ?‘‹2

12

1/3

1

1/60

0

0

1000

đ?‘‹4

0

50

0

-1

1

0

24000

đ?‘‹5

0

32/3

0

-1/15

0

1

8000

La variable de salida de la base es đ?‘‹4 y la de entrada es đ?‘‹1 . đ?‘?

đ?‘‹1

đ?‘‹2

đ?‘‹3

đ?‘‹4

đ?‘‹5

đ?‘†đ?‘œđ?‘™

0

0

0

3/25

2/25

0

13920

đ?‘‹2

12

0

1

7/300

-1/150

0

840

đ?‘‹1

8

1

0

-1/50

1/50

0

480

đ?‘‹5

0

0

0

11/75

-16/75

1

2880

đ?‘?đ??˝ − đ??śđ??˝

vi. Interpretación de resultados Como ya no quedan variables de entrada, concluimos que llegamos a la solución óptima : � = 13920. Concluimos que la ganancia måxima de pedrito serå de 13920, produciendo 480 playeras y 840 blusas, ademås, estån sobrando 2880 en minutos de empaque.

Ejercicio 2

24

iii. Enunciado Ane es dueĂąa de una granja de 45 acres. En ellos va sembrar trigo y maĂ­z. Cada acre sembrado con trigo rinde 200 dĂłlares de utilidad, cada acre sembrado con maĂ­z proporciona 300 dĂłlares de utilidad. La mano de obra y el fertilizante que se utiliza para cada acre, aparece en la siguiente tabla: Se dispone de 100 trabajadores y 120 toneladas de fertilizante.

Trigo

MaĂ­z

Mano de Obra

3 trabajadores

2 toneladas

Fertilizante

2 trabajadores

4 toneladas

iv. Planteamiento: Explicar el modelo 1. Planteamos la funciĂłn objetivo con base en la utilidad unitaria. Max đ?‘? = 200đ?‘‹1 + 300đ?‘‹2 2. Establecemos las variables de decisiĂłn. đ?‘‹đ?‘– : # de acres a plantar con semillas del tipo i. 3. Planteamos las restricciones explĂ­citas (nutrientes). đ?‘‹1 + đ?‘‹2 ≤ 45 3đ?‘‹1 + 2đ?‘‹2 ≤ 100 2đ?‘‹1 + 4đ?‘‹2 ≤ 120 4. Planteamos las restricciones implĂ­citas. đ?‘‹1 , đ?‘‹2 ≼ 0 đ?‘‹1 , đ?‘‹2 ∈ ℤ

v. Resolvemos por MĂŠtodo Simplex

25

1. Utilizando la forma estĂĄndar, determinar una soluciĂłn inicial (origen). Forma estĂĄndar Max đ?‘? = 200đ?‘‹1 + 300đ?‘‹2 đ?‘‹1 + đ?‘‹2 + đ?‘‹3 = 45 3đ?‘‹1 + 2 đ?‘‹2 + đ?‘‹4 = 100 2đ?‘‹1 + 4đ?‘‹2 + đ?‘‹5 = 120 đ?‘‹1 , đ?‘‹2 ≼ 0 SoluciĂłn inicial đ?‘‹1 = đ?‘‹2 = 0 đ?‘‹3 = 45 đ?‘‹4 = 100 đ?‘‹5 = 120 2. Escribir las tablas Simplex đ?‘?

đ?‘‹1

đ?‘‹2

đ?‘‹3

đ?‘‹4

đ?‘‹5

đ?‘†đ?‘œđ?‘™

1

-200

-300

0

0

0

0

đ?‘‹3

0

1

1

1

0

0

45

đ?‘‹4

0

3

2

0

1

0

100

đ?‘‹5

0

2

4

0

0

1

120

đ?‘?đ??˝ − đ??śđ??˝

La variable de salida de la base es đ?‘‹5 y la de entrada es đ?‘‹1 .

đ?‘?

đ?‘‹1

đ?‘‹2

đ?‘‹3

đ?‘‹4

đ?‘‹5

đ?‘†đ?‘œđ?‘™

1

-50

0

0

0

75

9000

đ?‘‹3

0

1/2

0

1

0

-1/4

15

đ?‘‹4

0

2

0

0

1

-1/2

40

đ?‘‹5

0

1/2

1

0

0

1/4

30

đ?‘‹4

đ?‘‹5

đ?‘†đ?‘œđ?‘™

đ?‘?đ??˝ − đ??śđ??˝

La variable de salida de la base es đ?‘‹4 y la de entrada es đ?‘‹2 . đ?‘?

đ?‘‹1

đ?‘‹2

đ?‘‹3

26

đ?‘?đ??˝

1

0

0

0

25

62.5

10000

đ?‘‹3

0

0

0

1

-1/4

-1/8

5

đ?‘‹4

0

1

0

0

1/2

-1/4

20

đ?‘‹5

0

0

1

0

-1/4

3/5

20

− đ??śđ??˝

vi. InterpretaciĂłn de resultados Como ya no quedan variables de entrada, concluimos que llegamos a la soluciĂłn Ăłptima = 10000. Jane ganarĂĄ como mĂĄximo 10000 dĂłlares sembrando 20 acres con trigo y 20 acres con maĂ­z. Se estĂĄ ocupando toda la mano de obra y ademĂĄs se estĂĄ ocupando en su totalidad el fertilizante. Por otro lado, estĂĄn sobrando 5 acres sin sembrar.

�

27

➢

MĂŠtodo de la M Grande i. Pasos del MĂŠtodo 1. 2. 3. 4.

Pasarlo a la forma estĂĄndar. Pasarlo a su forma ampliada Hacer la modificaciĂłn de la funciĂłn objetivo. Realizar las tablas del mĂŠtodo de la M grande. Para saber cuĂĄl serĂĄ la nueva columna pivote: a. Se revisa el factor multiplicativo a. b. Se revisa el elemento aditivo.

ii. Ventajas y Desventajas del mĂŠtodo Ventajas: â—? Funciona con cualquier tipo de modelo lineal donde las variables son reales. â—? Facilita distinguir a las variables duales en el anĂĄlisis de decisiones. Desventajas: â—? El ĂĄlgebra llega a complicarse demasiado con las M. â—? Es difĂ­cil de introducir en una computadora.

Ejemplo 1 iii. Enunciado de cada ejercicio a) Se desea invertir en bonos y acciones. Cada inversiĂłn en bonos aportarĂĄ un ingreso estimado de $3000 y cada inversiĂłn en acciones aportarĂĄ $1000. Se sabe quĂŠ (restricciones) : 1. La suma de ambas inversiones debe de ser mayor o igual a 3000 2. El doble de bonos mĂĄs las acciones debe ser menor o igual a 4000 3. La suma de ambos debe de ser igual a 3000 ÂżCuĂĄntas inversiones se deben hacer para tener las mĂĄximas ganancias?

iv. Planteamiento: Explicar el modelo a) Cómo trabajamos en miles, para que sea mås fåcil haremos todo dividido entre 1000 y ya al final volvemos a multiplicar. xi= # número de inversiones en el tipo i (bonos, acciones) Max z = 3�1+�2 (inversión en bonos) s.a �1+ �2 ≼ 3 (restricción 1) 2�1+ �2 ≤ 4 (restricción 2) �1+ �2= 3 (restricción 3) �� ≼ 0

v. MĂŠtodo: Explicar paso a paso el mĂŠtodo de soluciĂłn. a) Primero: Planteamos el modelo en su forma estĂĄndar y posteriormente en la ampliada, quedando: Max z = 3đ?‘Ľ1+đ?‘Ľ2 s.a

28

đ?‘Ľ1+ đ?‘Ľ2 - đ?‘Ľ3+đ?‘Ž1 = 3 2đ?‘Ľ1+ đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ4= 4 đ?‘Ľ1+ đ?‘Ľ2 +đ?‘Ž2 = 3 đ?‘Ľ đ?‘– ≼ 0 đ?‘Žđ?‘– ≼ 0 Segundo: Modificamos la f.o. Max z = 3đ?‘Ľ1+đ?‘Ľ2- Mđ?‘Ž1 −Mđ?‘Ž2 Tercero: Lo pasamos a una tabla y comenzamos a trabajar: z

x1

x2

x3

x4

a1

a2

Sol

Zj-Cj

1

-3

-1

0

0

M

M

0

a1

0

1

1

-1

0

1

0

3

x4

0

2

1

0

1

0

0

4

a2

0

1

1

0

0

0

1

3

Comenzamos quitando las M de las columna a1 y a2 usando Gauss Jordan, quedando asĂ­ la tabla de la siguiente forma: z

x1

x2

x3

x4

a1

a2

Sol

Zj-Cj

1

-2M-3

-2M-1

M

0

0

0

6M

a1

0

1

1

-1

0

1

0

3

x4

0

2

1

0

1

0

0

4

a2

0

1

1

0

0

0

1

3

En la tabla anterior elegimos a x1 como variable de entrada porque su Zj-Cj correspondiente es el mĂĄs negativo, pero al chocar tambiĂŠn con la de x2 nos fijamos en el siguiente elemento, siendo asĂ­ que -3 es mĂĄs negativo que -1, entonces 3 4 3

elegimos a x1 como la columna pivote, para ver el renglĂłn pivote Min ={1 , 2 , 1} el cual gana x4 al ser 2 el mĂ­nimo de los resultados, asĂ­ que procedemos a hacer esa columna 0 exceptuando el elemento pivote al cual hacemos 1, quedando la tabla :

29

z

x1

x2

x3

x4

a1

a2

Sol

Zj-Cj

1

0

-M-1/2

M

M+3/2

0

0

-2M+3/2

a1

0

0

1/2

-1/2

1

1

0

1

x1

0

1

1/2

0

1/2

0

0

2

a2

0

0

1/2

0

-1/2

0

1

1

Todavía existen variables de entrada y M todavía existe en la solución, por lo cual realizamos otra iteración, pero esta vez seleccionamos a x2 como la columna pivote al tener la M más negativa y a a1 como fila por tener el coeficiente más chico(Min = 1

2

1

{1/2 , 1/2 , 1/2} siendo 2 ), aplicamos gauss jordan y la tabla queda así: z

x1

x2

x3

x4

a1

a2

Sol

Zj-Cj

1

0

0

3M+1

1

2M+1

0

5

x2

0

0

1

-1

2

2

0

2

x1

0

1

0

1

1/2

-1

0

1

a2

0

0

0

1

1/2

-1

1

1/2

Ya no existe variable de entrada, y la solución actual ya no tiene a M como coeficiente, por lo cual decimos que ya estamos en la solución óptima, aunque a2 todavía tiene un valor diferente de cero. Donde la solución es: x2 = 2, x1 = 1.

vi. Interpretación de resultados:considerando los resultados interpretar las variables, función objetivo y restricciones. a) El cliente tendrá que invertir 2 veces en acciones y una vez en fondos para obtener en total 5000 en ganancia esperada. Las variables de holgura y exceso valen cero, por lo cual decimos que está cumpliendo exactamente con todos sus requerimientos.

Ejemplo 2 iii. Enunciado de cada ejercicio

30

b) A una persona le asignan la siguiente dieta: Ingrediente

Gramos de res

Gramos de verdura

Requerido diario

Grasas

3/10

1/10

27/10(a lo mĂĄs)

ProteĂ­nas

1/2

1/2

6 (exactos)

Carbohidratos

3/5

2/5

6( por lo menos)

Costo

$ 2/5

$ 1/2

iv. Planteamiento: Explicar el modelo b) Cómo trabajamos en miles, para que sea mås fåcil haremos todo dividido entre 1000 y ya al final volvemos a multiplicar. xi= # número de inversiones en el tipo i (bonos, acciones) Max z = 3�1+�2 (inversión en bonos) s.a �1+ �2 ≼ 3 (restricción 1) 2�1+ �2 ≤ 4 (restricción 2) �1+ �2= 3 (restricción 3) �� ≼ 0 c) xi= # porción del alimento del tipo i (res,verduras) min z = 2/5�1+ 1/2�2 (costos) s.a 3/10�1+ 1/10�2 ≤ 27/10 (grasas) 01/2�1+ 1/2�2 = 6 (Proteínas) 3/5�1+ 2/5�2 ≼ 6 (Carbohidratos) �� ≼ 0

v. MĂŠtodo: Explicar paso a paso el mĂŠtodo de soluciĂłn. b) Primero: Planteamos el modelo en su forma estĂĄndar y posteriormente en la ampliada, quedando: Max z = 3đ?‘Ľ1+đ?‘Ľ2 s.a đ?‘Ľ1+ đ?‘Ľ2 - đ?‘Ľ3+đ?‘Ž1 = 3 2đ?‘Ľ1+ đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ4= 4 đ?‘Ľ1+ đ?‘Ľ2 +đ?‘Ž2 = 3 đ?‘Ľ đ?‘– ≼ 0 đ?‘Žđ?‘– ≼ 0 Segundo: Modificamos la f.o. Max z = 3đ?‘Ľ1+đ?‘Ľ2- Mđ?‘Ž1 −Mđ?‘Ž2 Tercero: Lo pasamos a una tabla y comenzamos a trabajar:

31

z

x1

x2

x3

x4

a1

a2

Sol

Zj-Cj

1

-3

-1

0

0

M

M

0

a1

0

1

1

-1

0

1

0

3

x4

0

2

1

0

1

0

0

4

a2

0

1

1

0

0

0

1

3

Comenzamos quitando las M de las columna a1 y a2 usando Gauss Jordan, quedando así la tabla de la siguiente forma: z

x1

x2

x3

x4

a1

a2

Sol

Zj-Cj

1

-2M-3

-2M-1

M

0

0

0

6M

a1

0

1

1

-1

0

1

0

3

x4

0

2

1

0

1

0

0

4

a2

0

1

1

0

0

0

1

3

En la tabla anterior elegimos a x1 como variable de entrada porque su Zj-Cj correspondiente es el más negativo, pero al chocar también con la de x2 nos fijamos en el siguiente elemento, siendo así que -3 es más negativo que -1, entonces 3 4 3

elegimos a x1 como la columna pivote, para ver el renglón pivote Min ={1 , 2 , 1} el cual gana x4 al ser 2 el mínimo de los resultados, así que procedemos a hacer esa columna 0 exceptuando el elemento pivote al cual hacemos 1, quedando la tabla : z

x1

x2

x3

x4

a1

a2

Sol

Zj-Cj

1

0

-M-1/2

M

M+3/2

0

0

-2M+3/2

a1

0

0

1/2

-1/2

1

1

0

1

32

x1

0

1

1/2

0

1/2

0

0

2

a2

0

0

1/2

0

-1/2

0

1

1

TodavĂ­a existen variables de entrada y M todavĂ­a existe en la soluciĂłn, por lo cual realizamos otra iteraciĂłn, pero esta vez seleccionamos a x2 como la columna pivote al tener la M mĂĄs negativa y a a1 como fila por tener el coeficiente mĂĄs chico(Min = 1

2

1

{1/2 , 1/2 , 1/2} siendo 2 ), aplicamos gauss jordan y la tabla queda asĂ­: z

x1

x2

x3

x4

a1

a2

Sol

Zj-Cj

1

0

0

3M+1

1

2M+1

0

5

x2

0

0

1

-1

2

2

0

2

x1

0

1

0

1

1/2

-1

0

1

a2

0

0

0

1

1/2

-1

1

1/2

Ya no existe variable de entrada, y la soluciĂłn actual ya no tiene a M como coeficiente, por lo cual decimos que ya estamos en la soluciĂłn Ăłptima, aunque a2 todavĂ­a tiene un valor diferente de cero. Donde la soluciĂłn es: x2 = 2, x1 = 1.

c) Primero: lo ponemos en su forma eståndar y posteriormente la ampliada (para ahorrar tiempo lo pondremos de una vez en la ampliada) agregando las variables de holgura y exceso correspondientes aparte de las auxiliares: Min z = 2/5�1+ 1/2 �2 s.a 3/10�1+ 1/10 �2 + �3= 27/10 1/2�1+1/2 �2 + �1 = 6 3/5�1+2/5 �2 - �4 + �2 = 6 �� ≼ 0 Segundo: modificamos la f.o: min z = 0.4�1+ 0.5 �2+ ��1 + ��2 Tercer: Lo pasamos a una tabla para comenzar a trabajar :

zj-cj đ?‘Ľ3

đ?‘Ž1

đ?‘Ž2

x1

x2

x3

x4

sol

2/5

1/2

0

0

M

M

0

3/10

1/10

1

0

0

0

27/10

33

đ?‘Ž1

1/2

1/2

0

0

1

0

6

đ?‘Ž2

3/5

2/5

0

-1

0

1

6

A esa tabla se le aplica Gauss Jordan para quitar “Mâ€?, por lo cual multiplicamos por -M la fila 3 y 4, luego la sumamos a la primera, obteniendo: đ?‘Ž1

đ?‘Ž2

x1

x2

x3

x4

-1.1M + 0.4

-0.9M + 0.5

0

0

0

0

-12M

đ?‘Ľ3

3/10

1/10

1

0

0

0

27/10

đ?‘Ž1

1/2

1/2

0

0

1

0

6

đ?‘Ž2

3/5

2/5

0

-1

0

1

6

zj-cj

sol

Ahora debemos seleccionarla el nuevo elemento pivote. La M menor corresponde a la variable x1 en consecuencia dicha variable ingresa a la base. Luego calculamos el mĂ­nimo en dicha columna: 27/10 6 6 , , }, 3/10 1/2 3/5

Min{

el cual se alcanza en la fila 2 siendo 9, por lo tanto la variable x3 se vuelve de

salida. Hacemos Gauss Jordan para que toda la columna de x1 se haga cero menos el elemento pivote, ese se busca hacer 1. Quedando la tabla de la siguiente manera: đ?‘Ž1

đ?‘Ž2

x1

x2

x3

x4

0

-8/15M+11/30

11/3M+4/3

0

M

0

-2.1M-3.6

đ?‘Ľ1

1

1/3

10/3

0

0

0

9

đ?‘Ž1

0

1/3

-5/3

1

0

0

3/2

đ?‘Ž2

0

1/5

-2

0

-1

1

3/5

zj-cj

sol

Ahora la variable con la M mĂĄs negativa se encuentra en x2 haciendo que esta sea la variable de entrada, y checando Min{

9

,

3/2 3/5

,

} tenemos que a2 es la mĂĄs pequeĂąa siendo 3.

1/3 1/3 1/5

Realizamos Gauss jordan para que toda la columna sea 0 menos el elemento pivote que tiene que quedar 1 y la tabla queda: x1

x2

x3

x4

đ?‘Ž1

đ?‘Ž2

0

0

-5/3M+7/3

0

-5/3M+11/6

8/3M-11/6

-0.5M-4.7

đ?‘Ľ1

1

0

20/3

0

5/3

-5/3

8

đ?‘Ž1

0

0

5/3

1

5/3

-5/3

1/2

đ?‘Ľ2

0

1

-10

0

-5

5

3

zj-cj

sol

8

1/2

Ahora tomamos como columna pivote a1 y checamos para ver cuĂĄl serĂĄ el renglĂłn Min= { 5/3 , 5/3} = siendo el menor a1 con 3/10, se actualiza la tabla:

34

𝑎1

𝑎2

x1

x2

x3

x4

0

0

1/2

M-1.1

0

M

-5.25

𝑥1

1

0

5

-1

0

0

15/2

𝑎1

0

0

1

3/5

1

-1

3/10

𝑥2

0

1

-5

3

0

0

9/2

zj-cj

sol

Y así hemos llegado a la solución óptima, donde x1 = 15/2 y x2 = 9/2. Las variables auxiliares ya no se toman en cuenta.

vi. Interpretación de resultados:considerando los resultados interpretar las variables, función objetivo y restricciones. b) El cliente tendrá que invertir 2 veces en acciones y una vez en fondos para obtener en total 5000 en ganancia esperada. Las variables de holgura y exceso valen cero, por lo cual decimos que está cumpliendo exactamente con todos sus requerimientos. c) Así la persona tendrá que comer 15/2 de res y 9/2 de verduras diario.

35

➢

Método de las Dos Fases

Pasos del método 1. Se pasa el modelo original a su forma ampliada se le introduce variables artificiales, de holgura y exceso para obtener una solución Básica factible del modelo ampliado ■ Las variables artificiales solo se agregan cuando las restricciones son >= o = 2. FASE I: Haciendo uso de simplex se resuelve el siguiente modelo min w= sumatoria de las variables artificiales Una vez que se llega a la solución óptima (cuando las variables artificiales pasan a ser no básicas) de la fase I se pueden llegar a las siguientes soluciones: ■ w>0 ---> al menos una variable artificial es mayor a 0 por lo tanto es una solución no factible ■ w<0 ---> existen variables artificiales en la base esto es solución degenerada, en este caso se forza a la variable artificial a salir de la base, es decir, será variable de salida si su valor yi es (+) o (-) si es cero se toma hasta la segunda fase ■ w=0 ---> las variables artificiales no están en la base y se puede pasar a la la fase II 3.FASE II: Se eliminan las variables artificiales y se utiliza la función objetivo original se aplica simplex para llegar a la solución óptima

Ventajas y Desventajas El método de la dos fases tiene las ventajas de los métodos anteriores: ■ Se puede trabajar con más de dos variables ■ Se puede trabajar con modelos en los que no pertenece el origen ■ Da la solución óptima

En cuanto a las desventajas no se encuentra ninguna en el método ya que cubre todos los aspectos de los otros método

36

Ejemplos EJEMPLO 1 ENUNCIADO Una empresa fabrica y vende dos tipos de bombas hidráulicas 1 normales y 2 extra grandes. El proceso de manufactura asociado en la fabricación de las bombas: ensamblado, pintura y prueba. La contribución a las utilidades por la venta de una bomba normal es de $50 y la utilidad de una bomba extra grande es de $75. Existen disponibles por semana 4800 hrs. de tiempo de ensamblaje, 1980 de tiempo de pintura y 900 hrs. de tiempo de prueba. Se espera vender cuando menos 300 bombas normales y a lo más 180 de las grandes por semana.

TIPO

TIEMPO ENSAMBLAJE

TIEMPO PINTADO

TIEMPO PRUEBA

NORMAL

3.6

1.6

0.6

EXTRA GRANDE

4.8

1.8

0.6

PLANTEAMIENTO Las variables de decisión serán: x1= bombas normales a fabricar x2= bombas extra grandes a fabricar El modelo queda de la siguiente forma: max z=50x1+75x2 3.6x1+4.8x2<=4800 (tiempo en ensamblaje) 1.6x1+1.8x2<=1980 (tiempo en pintado) 0.6x1+0.6x2<=900 (tiempo en prueba) x1>=300

(al menos 300 bombas normales)

x2<=180

(como máximo 180 bombas extra grandes)

37

x1,x2>=0 z representa el máximo ingreso que se puede alcanzar con estas restricciones.

Para aplicar el método es necesario plantearlo en su forma ampliada, agregando variables de holgura, exceso y artificiales: max z=50x1+75x2 3.6x1+4.8x2+x3=4800 1.6x1+1.8x2+x4=1980 0.6x1+0.6x2+x5=900 x1-x6+a1=300 x2+x7=180 x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, a1>=0

Ahora tendremos que cambiar la función objetivo a una función de minimización, donde las variables de decisión son las variables artificiales, quedando de esta manera: min w=a1 3.6x1+4.8x2+x3=4800 1.6x1+1.8x2+x4=1980 0.6x1+0.6x2+x5=900 x1-x6+a1=300 x2+x7=180

Hacemos nuestra primer tabla con las dos funciones objetivo.

WjCj

z

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

a1

sol

0

0

0

0

0

0

0

0

-1

0

38

Zj-Cj 1

-50

-75

0

0

0

0

0

0

0

x3

0

3.6

4.8

1

0

0

0

0

0

4800

x4

0

1.6

1.8

0

1

0

0

0

0

1980

x5

0

.6

.6

0

0

1

0

0

0

900

a1

0

1

0

0

0

0

-1

0

1

300

x6

0

0

1

0

0

0

0

1

0

180

z

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

a1

sol

0

0

0

0

0

0

-1

0

-1

300

Zj-Cj 1

-50

-75

0

0

0

0

0

0

0

x3

0

18/5

24/5

1

0

0

0

0

0

4800

x4

0

8/5

9/5

0

1

0

0

0

0

1980

x5

0

3/5

3/5

0

0

1

0

0

0

900

a1

0

1

0

0

0

0

-1

0

1

300

x6

0

0

1

0

0

0

0

1

0

180

z

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

a1

sol

0

1

0

0

0

0

-1

0

1

300

Zj-Cj 1

0

-75

0

0

0

-50

0

50

0

x3

0

0

24/5

1

0

0

24/5

0

-24/5 4800

x4

0

0

13/5

0

1

0

8/5

0

-8/5

1980

x5

0

0

3/5

0

0

1

3/5

0

-3/5

900

WjCj

WjCj

39

x1

0

1

0

0

0

0

-1

0

1

300

x6

0

0

1

0

0

0

0

1

0

180

z

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

sol

Zj-Cj 1

0

-75

0

0

0

-50

0

0

x3

0

0

24/5

1

0

0

24/5

0

4800

x4

0

0

13/5

0

1

0

8/5

0

1980

x5

0

0

3/5

0

0

1

3/5

0

900

x1

0

1

0

0

0

0

-1

0

300

x6

0

0

1

0

0

0

0

1

180

Procedemos a resolver el modelo, pero ahora tenemos una funciรณn de maximizacion y tenemos que elegir a la variable mas negativa de la fila Zj-Cj para que entre a al base, en este caso es x2 con un valor de -75. Elegimos a x7 como variable de salida y volvemos a realizar el procedimiento para normalizar a la columna de x2

z

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

sol

Zj-Cj 1

0

0

0

0

0

-50

0

28500

x3

0

0

0

0

0

0

18/5

-24/5

2856

x4

0

0

0

0

1

0

8/5

-9/5

1176

x5

0

0

0

0

0

1

3/5

-3/5

612

x1

0

1

0

0

0

0

-1

0

300

40

x6

0

0

0

0

0

0

0

1

180

Como en la columna de Zj-Cj todavía existe un valor negativo, realizamos el procedimiento de elección otra vez, pero elegimos esta vez como variable de entrada a x6 porque es la única que queda y a x4 como variable de salida. z

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

sol

Zj-Cj 1

0

0

0

125/ 4

0

0

75/4

65250

x3

0

0

0

0

-9/4

0

0

-3/4

210

x4

0

0

0

0

5/8

0

1

-9/8

735

x5

0

0

0

0

-3/8

1

0

3/40

171

x1

0

1

0

0

0

0

0

-9/8

1035

x6

0

0

0

0

0

0

0

1

180

Ya no hay variables de entrada porque no hay ninguna variable cuyo valor en la fila de Zj-Cj es negativo, por lo cual tenemos la solución optima. La compañia ganara 65250 pesos por vender 1035 bombas normales y 180 extra grandes. La variable de holgura x3 nos dice que quedan 210 minutos en tiempo de ensamblaje que no se estan usando La variable de exceso x6 nos dice que nos pasamos por 735 bombas a lo mínimo que teníamos planeado La variable x5 de holgura nos dice que quedan 171 horas en el tiempo de prueba Como x4, x3=0, entonces usamos todo el tiempo de pintado y ensamblaje

EJEMPLO 2

41

Yapetto manufactura dos tipos de juguetes de madera: soldados y trenes. Un soldado se vende en $27 y requiere $10 de materia prima. Cada soldado que se fabrica incrementa la mano de obra variable y los costos globales de Yapetto en $14. Un tren se vende en $21 y utiliza $9 de su valor en materia prima. Todos los trenes fabricados aumentan la mano de obra variable y los costos globales en $10. Se requiere de dos tipos de mano de obra especializada: carpintería y acabados. un soldado necesita dos horas de trabajo y una hora de carpintería. Un tren requiere una hora de acabado y una hora de carpintería Se consigue todo el material, pero solo tiene 100 horas de trabajo de acabado y 8 de carpintería Se vende cuando menos 40 trenes por semana. Se desea maximizar las utilidades semanales. Nuestras variables de decisión son: x1=Soldados de madera a fabricar x2=Trenes de madera a fabricar Planteamos el modelo: max z= x1(27-11-14)+x2(21-9-10)

s.a 2x1+x2<=100 (total de tiempo en acabado a la semana) x1+x2<=80 x2>=40

(total de tiempo en carpintería a la semana) (mínimo que se vende en soldados por semana)

x1,x2>=0

z representa el máximo ingreso que se puede alcanzar semanalmente

Ahora lo planteamos en su forma ampliada: max z=3x1+2x2 2x1+x2+x3=100 x1+x2+x4=80 x2-x5+a1=40

42

x1,x2,x3,x4,a1>=0 Ahora la cambiamos a una funciรณn de minimizaciรณn, tal como lo hicimos en el ejemplo anterior: min w=a1 2x1+x2+x3=100 x1+x2+x4=80 x1-x5+a1=40 x1,x2,x3,x4,a1>=0 Hacemos nuestra tabla 1 como en el ejemplo anterior.

43

➢

Método Simplex Revisado i. Pasos del Método

1-Pasar el modelo a la forma matricial estándar y encontrar una primera solución básica factible. MAX z=(C,0)(x ; xs) (A,I)(x ; xs)=b (x ; xs)>=0 donde: ■ ■ ■ ■ ■ ■

A: Matriz de coeficientes tecnológicos I: Matriz identidad de m*m C: Vector renglón de n coeficientes de costo x: Vector columna de n variables de decisión xs: Vector columna de m variables de holgura b: Vector columna de m recursos

2.- Calculamos la variable de entrada con lo que sería la fila Zj-Cj, utilizando Zj-Cj=(CB)(B^-1)(aj)-Cj donde: ■ XB: Vector de variables de decisión básicas ■ Cb: Vector de los coeficientes de la función objetivo de las variables XB ■ aj: Es una matriz de valores en las restricciones que corresponden a las variables no básicas ■ Cj: Son los valores de las variables no básica que en la función objetivo, se utiliza el mismo criterio que en el método simplex: elegimos al valor más pequeño si tenemos que maximizar la función o bien el más grande si hay que minimizar. 3.- Calculamos la variable de salida con: Yi=(B^-1)(ai) donde: ■ B: Matriz base

44

■ ai: Vector que corresponde a los valores de las restricciones de la variable de entrada Entonces hay que utilizar el mismo criterio para elegir a la variable de salida que en el método simplex (Criterio de la razón): ■ θ=(XB/Yi)*yi>=0 4.-Por último hay que calcular el nuevo valor de las variables básicas, para eso hay que cambiar la matriz B, pues el vector de las variables básicas cambio, por lo tanto hay que cambiar los elementos de la matriz B para que correspondan a los valores de las restricciones en su correspondiente variable básica. Tenemos que calcular el nuevo valor de Xb con: Xb=B^-1(b) Donde b tiene que ser el valor que tenía el vector Xb anterior. Se regresa al paso 2 hasta que ya no exista un variable de entrada.

Ventajas y Desventajas del método VENTAJAS ● Encuentra soluciones más rápido porque no requiere tantos cálculos ● Es un proceso algebraico directo ● Permite una abstracción mayor y más general de los datos DESVENTAJAS ● No es el más eficiente cuando se intenta programar ● Se calculan y almacenan muchos números innecesarios cuando se programa ● Puede complicarse debido al cálculo de matrices inversas que requiere el método

Ejemplo 1 de Productos su acabado y ensamblado ENUNCIADO: Una compañía fabrica dos productos, X y Y. cada uno de estos productos requiere cierto tiempo en la línea de ensamblado y otro tiempo más en el departamento de acabado. Cada artículo del tipo X requiere 5 horas de ensamblado y 2 horas de acabado, mientras que cada artículo del

45

tipo Y requiere 3 horas de ensamblado y 4 horas de acabado. En cualquier semana, la empresa dispone de 105 horas en la línea de ensamblado y 70 horas en el departamento de acabado. La empresa puede vender todos los artículos que produce y obtener una utilidad de $200 por cada artículo de X y $160 por cada artículo de Y. calcule el número de artículos de cada tipo que deberían fabricarse a la semana con objeto de maximizar la utilidad total.

PLANTEAMIENTO: ● Podemos apreciar que es un problema de maximizar tipo, planeación de producción, donde el modelo quedaría como:

Pasando al modelo estándar:

Escribiéndolo en la forma Matricial Estándar:

46

SOLUCIÓN:

47

INTERPRETACIÓN:

48

La solución del modelo nos dice que se deben producir 15 productos de tipo X y 10 productos de tipo Y con la finalidad de obtener una máxima ganancia de $4600, todo esto cumpliendo los estándares de tiempo establecidos para el ensamblado y acabado

Planteamiento 2: fábrica de ropa Pedrito es un pequeño fabricante de camisas para caballero y blusas de dama para las tiendas de descuento Waldos, corporación que aceptara toda la producción surtida por Pedrito. El proceso de producción incluye el corte, la costura y el empaque. Se ha empleado a 25 trabajadores en el departamento de corte, 35 en el de costura y en empaque. La fábrica trabaja un turno de 8 horas, 5 días a la semana, la siguiente tabla muestra los requerimientos: Tiempo de producción (minutos*unidad) Corte

Cost ura

Empaqu e

Unidad unitaria

20

70

12

$8

60

60

4

$12

Produ cto

Camis as

Blusas

Tenemos que dar a Pedrito el número de camisas y blusas que darán el mejor ingreso, para eso utilizaremos un modelo de maximización, pero primero plantearemos las variables de

decisión x1=Número de camisas por producir x2=Número de Blusas para producir

Ahora planteamos la función objetivo y las restricciones:

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Sabías qué… Un modelo de Programación Entera es aquel cuya solución óptima tiene sentido solamente si una parte o todas las variables de decisión toman valores restringidos a números enteros, permitiendo incorporar en el modelamiento matemático algunos aspectos que quedan fuera del alcance de los modelos de Programación Lineal. Los modelos de Programación Entera se pueden clasificar en 2 grandes áreas: Programación Entera Mixta (PEM) y Programación Entera Pura (PEP).

Programación Entera Mixta (PEM) A esta categoría pertenecen aquellos problemas de optimización que consideran variables de decisión enteras o binarias pero no de forma exclusiva. De esta forma un problema de PEM puede considerarse como un híbrido entre distintas categorías de modelamiento, siendo un caso típico aquel que considera la mezcla de variables enteras y variables continuas (estas últimas características de los modelos de Programación Lineal). A modo de ejemplo los siguientes artículos que hemos abordado en el Blog dan cuenta de modelos de Programación Entera Mixta: 1. Incorporación de Costos Fijos 2. Problemas de Localización y Transporte 3. Problema de Generación Eléctrica

Programación Entera Pura (PEP) En esta categoría encontramos aquellos modelos de Programación Entera que consideran exclusivamente variables de decisión que adoptan valores enteros o binarios. Un ejemplo de ello son las siguientes aplicaciones: 1. 2. 3. 4. 5.

Problema de Asignación Problema de Corte de Rollos Selección de Invitados a una Boda Programación de la Explotación Forestal Problema de la Mochila

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Conoce más de los creadores George Dantzig

George Bernard Dantzig (8 de noviembre de 1914 – 13 de mayo de 2004), físico y matemático, considerado como uno de los precursores de la Ingeniería Industrial. Nació en Pórtland, Oregón, EEUU. Su padre, Tobías Dantzig, fue un matemático de origen ruso que estudió con Henri Poincaré en París. Luego en la universidad de la Sorbona fue profesor de Matemáticas, y allí se relacionó con su estudiante Anja Ourisson. Luego de un tiempo se casaron y emigraron a los Estados Unidos. De esta unión nació George Dantzig, en su juventud su padre se desempeñaba como director del Departamento de Matemáticas en la Universidad de Maryland, pero al terminar la Segunda Guerra Mundial, renunció a este puesto. Por su parte, su madre era una lingüista especializada en idiomas eslavos. George Dantzig ingresó a la Universidad de Maryland, para estudiar matemáticas, pero nunca estuvo conforme con la enseñanza de este centro académico. De todos modos, culminó su proceso. En 1937 Dantzig comenzó a trabajar como empleado en Estadística en el Bureau of Labor Statistics. Motivado y convencido inició un Doctorado en Estadística en la Universidad de Berkeley. Igualmente, sintió que los cursos eran demasiado sencillos y hasta sin sentidos. Situación que lo llevó a pensar en abandonar el estudio. Mientras estaba en una clase en 1939, el profesor Jerzy Neyman escribió en la pizarra dos complejos problemas estadísticos aún no resueltos. Según Dantzig, los problemas eran complejos, pero no imposibles de resolver. Pocos días después obtuvo los resultados. Dantzig recibió la visita del profesor Jerzy Neyman, quien pretendía, admirado por su inteligencia, publicar las soluciones de Dantzig a los problemas en una revista matemática. Efectivamente fue así, años después otro investigador, Abraham Wald, complemento y publicó el último artículo sobre esta hazaña en el que explicaba la conclusión del segundo problema, Dantzig fue incluido como coautor. Las soluciones de estos problemas fueron su tesis doctoral, a sugerencia del profesor Neyman. No obstante, Dantzig interrumpió su doctorado poco después del comienzo de la Segunda Guerra Mundial para unirse a la Fuerza Aérea de Estados Unidos y trabajar con el Combat Analysis Branch of Statistical Control. Regresó para culminar la última etapa de su doctorado; luego de lograrlo, volvió a la Fuerza Aérea para tomar el cargo de asesor de Matemáticas del U. S. Air Force Controller.

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Asumió la dirección de la Rama de Análisis de Combate de los Cuarteles Centrales Estadísticos de Fuerza Aérea de los Estados Unidos. Fue este trabajo que lo motivó a realizar sus grandes hazañas matemáticas, debido a que la Fuerza Aérea necesitaba calcular el tiempo de duración de las etapas de un programa de despliegue, entrenamiento y suministro logístico de un modo más óptimo y eficaz. Aunque pasó mucho tiempo para hallar esto, realizó un gran aporte en 1947 cuando propuso el Método Simplex para resolver un problema de programación lineal. En 1952 fue investigador matemático en la Corporación RAND, donde implementó la programación lineal, ya estudiada, en los computadores de la corporación. El éxito fue total, luego realizó trabajos similares en las universidades de Berkeley y Stanford en California, también en centros como el IIASA en Viena. En este último trabajo, realizó mejoras en lo concerniente a los problemas de programación lineal. El 3 de octubre de 1947 George Dantzig conoció a John von Neumann, considerado por muchos como el mejor Matemático del mundo, en el Institute for Advanced Study. Neumann le habló sobre la teoría de juegos un trabajo que aún estaba en construcción, llevado a cabo en conjunto con Óscar Morgenstern. Esto fue muy importante porque con el conocimiento adquirido desarrolló la teoría de la dualidad, desarrollado con Fulkerson y Johnson en 1954. Por otro lado, George Dantzig trabajó en métodos de bifurcación y corte, utilizados en programación para resolver grandes problemas. Fue el responsable de la programación estocástica que se enfoca en los problemas de programación matemática que contienen variables aleatorias, de esta programación han surgido diversos modelos. Su conocimiento y aporte quedó plasmado en sus dos libros: Linear Programming and Extensions (1963), y libro de dos tomos: Linear Programming (1997 y 2003), escrito con N. Thapa. Obtuvo varios reconocimientos por su gran labor y su aporte a las fuerzas militares de su país. En 1976 el presidente Gerald Ford concedió a George Dantzig la Medalla Nacional de Ciencias, su trabajo fue reconocido durante una importante ceremonia en la Casa Blanca donde se reconoció su invención de la Programación Lineal, que permitió un empleo eficiente de la teoría matemática. También recibió el premio Von Neumann Theory en 1975, Premio en Matemáticas Aplicadas y Análisis Numérico de la National Academy of Sciences en 1977, en Israel se le otorgó el Harvey Prize en Ciencia y Tecnología de Technion, en 1985. La Academia de Ciencias y de la Academia Nacional de Ingeniería de EEUU reconoció su aporte como miembro. En su honor se creó un premio dado por Las Sociedades de Programación Matemática y SIAM. Los últimos años de su vida tuvo diversas complicaciones en su salud, relacionadas con la diabetes y los problemas cardiovasculares. Debido a esto el 13 de mayo de 2004, George Bernard Dantzig, murió a la edad de 90 años acompañado por su familia en su residencia ubicada en Stanford.

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Russel L. Ackoff

Russell L. Ackoff nació en 1919 en Filadelfia de Jack y Fannie (Weitz) Ackoff. Recibió su licenciatura en Arquitectura en la Universidad de Pensilvania en 1941. Permaneció en esta universidad durante un año como instructor asistente en filosofía. De 1942 a 1946 se unió al ejército de los EE. UU. Regresó para estudiar en la Universidad de Pensilvania, donde recibió su doctorado en filosofía de la ciencia en 1947 como el primer estudiante de doctorado de C. West Churchman. También recibió un doctorado en ciencias de la Universidad de Lancaster en 1967. Russell Ackoff comenzó su carrera en Investigación de Operaciones a fines de la década de 1940. Su libro Introducción a la investigación de operaciones de 1957, en coautoría con C. West Churchman y Leonard Arnoff, fue una de las primeras publicaciones que ayudó a definir el campo. La influencia de este trabajo, según Kirby y Rosenhead (2005), "en el desarrollo temprano de la disciplina en los Estados Unidos y Gran Bretaña en los años 1950 y 1960 es difícil de sobreestimar". En la década de 1970 se convirtió en uno de los críticos más importantes de la llamada "Investigación de Operaciones dominada por la técnica", y comenzó a proponer enfoques más participativos. Sus críticos, según Kirby y Rosenhead (2005), tenían "resonancia dentro de los Estados Unidos, pero fueron recogidos tanto en Gran Bretaña, donde ayudaron a estimular el crecimiento de los Métodos de Estructuración de Problemas, como en la comunidad de sistemas en todo el mundo", como la metodología de sistemas Soft de Peter Checkland. En 1972 Ackoff escribió un libro con Frederick Edmund Emery sobre sistemas con propósito, que se centró en la pregunta de cómo se relaciona el pensamiento sistémico con el comportamiento humano. "Los sistemas individuales son intencionales", dijeron, "el conocimiento y la comprensión de sus objetivos solo se pueden obtener teniendo en cuenta los mecanismos de los sistemas sociales, culturales y psicológicos".

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Ludwig Von Bertalanffy

Nacido en Atzgersdorf, Austria, recibió una formación familiar muy amplia y estudió historia del arte, filosofía y ciencias en la universidades de Innsbruk y Viena, siendo en esta última discípulo de Robert Reininger y Moritz Schlick, fundadores del Círculo de Viena. En 1926, leyó su tesis doctoral, bajo la dirección de Schlick, sobre la el pionero de la psicofísica Gustav Fechner (1801-1887). Dos años después, publicó su primer libro sobre biología teórica, Kritische Theorie der Formbildung [Teorías Modernas del Crecimiento] (1928). En 1937 se trasladó a Estados Unidos con una beca de la Fundación Rockefeller, permaneciendo dos años en la Universidad de Chicago, donde hace las primeras exposiciones conceptuales sobre su futura teoría general de los sistemas en un seminario dirigido por el Charles Morris, que trabajaba en la teoría de los signos y la unidad de la ciencia y era el valedor en Estados Unidos del exilio intelectual de origen germánico. Bertalanffy no no puede continuar en Estados Unidos por no aceptar el subterfugio legal de declararse víctima del nazismo y regresa a Europa. En 1939, se incorpora como profesor de la Universidad de Viena, donde permaneció hasta 1948. Después de una breve estancia como profesor de la Medical School del londinense Middlessex Hospital, en 1949 emigró a Canadá, prosiguiendo sus investigaciones en la Universidad de Ottawa (1950-54) y en el Mount Sinai Hospital de Los Ángeles, en Estados Unidos (1955-58). Profesor de biología teórica en la canadiense Universidad de Alberta en Edmonton (1961-69), período en el que publica los libros Robots, Men and Minds (1967), General System Theory. 54

Foundations, Development, Applications(1968) y The Organismic Psychology and Systems Theory(1968). Su actividad académica concluyó como profesor de la Facultad de Ciencias Sociales de la State University de Nueva York en Búfalo (1969-72). Pese a ser uno de los pensadores más influyentes del siglo XX, la propuesta para premio Nobel no prosperó. Desde el campo de la biología, donde planteó una teoría de los sistemas abiertos en física y biología (1950), concibió una explicación de la vida y la naturaleza como la de un complejo sistema, sujeto a interacciones y dinámicas, que más tarde trasladó al análisis de la realidad social y a las estructuras organizadas bajo una descripción de amplio espectro que denominará teoría general de los sistemas, cuya expresión definitiva, después de tres décadas de desarrollo, apareció en el libro General System Theory(1969).

En 1954, logró reunir a científicos de otras disciplinas que trazaban visiones sistémicas en torno a la Society for General Systems Research (hoy, International Society for the Systems Sciences), entre los que se contaban el economista Kenneth Boulding, el psicólogo James Grier Miller, el matemático Anatol Rapoport y el filósofo Ralph Gerard, a los que se irían uniendo muchas de las figuras relevantes de la ciencia del siglo XX. En lengua española, han sido editados los libros: Robots, hombres y mentes, Guadarrama, Madrid, 1971; Teoría general de los sistemas, Fondo de Cultura Económica, México, 1976; Perspectivas en la teoría general de sistemas, Alianza Universidad, Madrid, 1979.

Referencias Características Método Simplex Y Gráfico. (s.f.). Recuperado 19 octubre, 2019, de https://es.calameo.com/read/0045191192c7e523018ff Clasificación de los métodos - Métodos de programación lineal. (s.f.). Recuperado 19 octubre, 2019, de https://sites.google.com/site/metodosdeprogramacionlinealdan/clasificacion-de-los-metodos 0.1.4 Insight 3: Analysis and Synthesis - Russell L. (Sin fecha). Russell L. Ackoff. 18/08/19. Recuperada de: https://thewaythetruthandthelife.net/index/0_content/0-1_preface/0-14_analysis-synthesis_russell-ackoff.htm#2.1 pg Ludwig von Bertalanffy (1901-1972). (Sin fecha). Ludwig V. Bertalanffy 13/09/19. Recuperada de: https://www.infoamerica.org/teoria/bertalanffy1.htm. George Dantzig(Sin fecha). George B. Dantzig. 25/08/19. Recuperada de:https://historiabiografia.com/george-bernard-dantzig/

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Forma de trabajo Alumno

Página

Actividades desarrolladas en la Página

Benitez Denisse

Métodos Gráfico y Simplex

Método de la programación lineal que busca resolver por medio de gráficos. Método de la programación lineal que resuelve haciendo uso de tablas iterando cuantas veces sea necesario.

Carpio Romero Xhane

Métodos Algebraico y Simplex Explicación, ejemplos e Revisado interpretaciones. Si de métodos hablamos Parte de la Tabla de ventajas y desventajas

Martínez Espinosa Arturo

Método de la M Grande

Todo lo referente al método de la M grande.

Ornelas Alba Israel

Método de las dos fases

Aspectos importantes de la teoría y el desarrollo del método de las dos fases.

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