GEOMETRร A Cuadrilรกteros
CUADRILÁTEROS
Es un polígono de cuatro lados.
Se clasifican según el número de pares de lados opuestos paralelos.
Cuadrados
Paralelogramos Dos pares de lados paralelos
Rectángulos
Rombos
Romboides
CUADRILÁTEROS
Al menos un par de lados paralelos
Trapecios isósceles Trapecios escalenos Trapecios Rectángulos
Trapecios
Trapezoides Cero par de lados paralelos
Trapezoides simétricos
Trapezoides asimétricos
Caracterización de los Paralelógramos: Cuadrado Es aquel paralelógramo que tiene sus cuatro lados de igual medida y sus ángulos interiores todos rectos.
D
C
ABCD es un cuadrado:
Si mAB = mBC = mCD = mDA A
B
∧
m∠A = m∠B = m∠C = m∠D = 90º
Rectángulo: es aquel paralelógramo que tiene sus lados opuestos de igual medida y sus ángulos interiores todos rectos. D
C
ABCD es un rectángulo Si mAB = mDC ∧ mAD = mBC ∧ m∠A = m∠B = m∠C = m∠D = 90º A
B
Rombo: es aquel paralelógramo cuyas medidas de sus lados son iguales y sus ángulos interiores opuestos son congruentes. D
A
ABCD es un rombo C
B
Si mAB = mBC = mCD = mDA m∠A = m∠C ∧ m∠B = m∠D
Romboide: es aquel paralelógramo que tiene sus pares de lados opuestos de igual medida y sus ángulos interiores opuestos son congruentes.
D
C
ABCD es un romboide Si m AB = m DC ∧ m AD = m BC m∠A = m∠C ∧ m∠B = m∠D
A
B
Características de los Trapecios Trapecio escaleno Es aquel trapecio que tiene sus cuatro lados de distinta medida y sus ángulos Interiores también de distinta medida. D
ABCD es un trapecio escaleno
C
Si mAB ≠ mBC ≠ mCD ≠ mDA ∧ m∠A ≠ m∠C ≠ m∠B ≠ m∠D
A
B
DC // AB (condición de trapecio)
Trapecio isósceles Es aquel trapecio cuyos lados no paralelos tienen la misma medida y los ángulos basales son congruentes. D
ABCD es un trapecio isósceles
C
Si m AD = m BC ; m∠A = m∠B ∧ m∠C = m∠D (ángulos básales)
A
DC
B
║
AB (condición de trapecio)
Trapecio rectángulo Es aquel trapecio en el cual uno de los lados no paralelos forma un ángulo recto con cada lado paralelo. D
ABCD es un trapecio rectángulo
C
m∠A = m∠D = 90º A
B
DC ║ AB (condición de trapecio)
Características de los Trapezoides Los trapezoides son aquellos que carecen de los lados opuestos paralelos y se clasifican en: Trapezoides simétricos Es aquel trapezoide que tiene dos lados consecutivos de igual medida y un par de ángulos interiores congruentes. D
ABCD es un trapezoide simétrico Si mAB = mDA ∧ mBC = mDC A
C
m∠B = m∠D (un par de ángulos interiores congruentes / m ∠ B y ∠ D )
B
Trapezoides asimétricos Son aquellos trapezoides que corresponden a cuadriláteros cualesquiera que no poseen algunas de las características anteriores. D
C
A
B
Suma de ángulos interiores de un cuadrilátero Los cuadriláteros como polígonos de cuatro lados asumen las propiedades de los polígonos, esto es, la suma de los ángulos interiores es 360º. Propiedades generales de los paralelogramos. Propiedad 1:
AB // CD
∧
D
A
AD // BC C
B
Propiedad 2: En todo paralelógramo al trazar una de sus diagonales se forman dos triángulos congruentes. D
C
AC : diagonal ∆ABC ≅ ∆CDA A
B
Propiedad 3: En los paralelógramos, los lados opuestos tienen siempre la misma medida.
D
C
mAB = mDC A
B
∧
mBC = mAD
Propiedad 4: En todo paralelogramo los ángulos interiores opuestos son siempre congruentes D
C
m ∠A = m ∠ C
A
∧
m ∠B = m ∠D
B
Propiedad 5: En un paralelogramo, consecutivos son suplementarios. D
los
ángulos
C
m∠A + m ∠B = 180º
A
B
m∠B + m ∠C = 180º m∠C + m ∠D = 180º m∠D + m ∠A = 180º
interiores
Propiedad 6: En un paralelógramo, al trazar ambas diagonales, éstas se intersectan siempre en un punto (se dimidian). D
C
m AM = m MC
M
A
AC ∩ DB = { M } ∧ m MB = m DM ,
Donde M es punto medio.
B
Propiedad 7: Al trazar una diagonal en un paralelógramo, se forman ángulos alternos internos. D
C
AC = diagonal m∠CAB = m∠DCA ∧ A
B
ángulos alternos internos
m∠DAC = m∠ACB
El conjunto de los paralelógramos considera al cuadrado, al rectángulo, al rombo y al romboide; cada uno de estos cuadriláteros cumple las siete propiedades señaladas anteriormente y a su vez, cada uno de ellos, cumple además otras propiedades que le son propias.
Propiedades del Cuadrado Propiedad 1: El cuadrado es equiángulo, cada ángulo interior mide 90º (todos los ángulos interiores son congruentes) Propiedad 2: El cuadrado es equilátero, esto es sus cuatro lados tienen la misma medida.
Propiedad 3: Sus diagonales se intersectan en el punto medio formando ángulos rectos, es decir, en un cuadrado las diagonales se bisecan perpendicularmente. Propiedad 4: Al trazar las diagonales, se forman cuatro triángulos rectángulos congruentes. Propiedad 5: Cada una de las diagonales del cuadrado es bisectriz de los ángulos interiores opuestos, esto es al trazar ambas diagonales se forman 8 ángulos congruentes de 45º. Propiedad 6:La medida de la diagonal de un cuadrado es igual al lado del cuadrado por raíz de dos.
Propiedades del Rectángulo. Propiedad 1: El rectángulo es equiángulo, esto es, tiene sus ángulos interiores congruentes, cada uno de ellos es recto. Propiedad 2: Las diagonales de un rectángulo son siempre congruentes. Esto es, tienen siempre la misma medida. Propiedad 3: Cada una de las diagonales de un rectángulo forman, en la región interior, dos triángulos congruentes. Propiedad 4: La diagonal de un rectángulo se establece a través de la aplicación del teorema de Pitágoras.
Propiedades del Rombo Propiedad 1: El rombo es un paralelรณgramo equilรกtero, es decir sus lados son congruentes. Propiedad 2: Las diagonales en un rombo se dimidian perpendicularmente, esto es que se intersectan en el punto medio de cada una. Propiedad 3: Las diagonales de un rombo forman cuatro triรกngulos congruentes Propiedad 4: Las diagonales de un rombo son bisectrices de los รกngulos interiores.
Propiedades del Romboide El romboide es el único paralelógramo que no tiene propiedades especiales, sino que sólo las comunes de todo paralelógramo, por esta razón el romboide es la figura que representa a un paralelógramo.
Cuadro de resumen de las propiedades de los paralelogramos:
CUADRADO
RECTÁNGULO
ROMBO
ROMBOIDE
Lados opuestos paralelos
X
X
X
X
Lados opuestos de igual medida (≅) Ángulos opuestos de igual medida (≅) Ángulos consecutivos suplementarios
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Diagonales forman 2 triángulos congruentes (≅) Diagonales se dimidian
X
X
X
X
X
X
X
X
Ángulos alternos congruentes
X
X
X
X
4 ángulos interiores rectos
X
X
4 lados congruentes
X
Diagonales congruentes
X
Diagonales perpendiculares
X
X
Diagonales son bisectrices
X
X
Forman 4 triángulos congruentes
X
X
PROPIEDADES
internos
X X
Trapecios: son aquellos cuadrilĂĄteros que tienen solo un par de lados paralelos D
C
M
ABCD es trapecio, AB // CD
N h
A
E
B
- En un trapecio los lados paralelos son llamados bases del trapecio. En la figura AB ∧ CD son las bases del trapecio. -
La altura de un trapecio corresponde a la perpendicular bajada desde un punto de una base a la otra base. En la figura el trazo DE corresponde a la altura del trapecio.
- Mediana de un trapecio estĂĄ definida como el trazo que une los puntos medios de los lados no paralelos del trapecio. En la figura M y N son los puntos medios de los lados no paralelos, el trazo MN corresponde a la mediana.
La medida de una mediana en el trapecio queda determinada por la semisuma de las bases. En la figura m MN : medida de la mediana.
mMN =
mAB + mDC 2
Los ángulos formados en una base son llamados ángulos D C básales. M
En la figura son ángulos básales: ∠DAB ∧ ∠ABC
N h
A
E
B
∠ADC ∧ ∠DCB
Por otra parte es posible señalar que los ángulos interiores, que tienen un lado común no paralelo del trapecio son suplementarios, esto es: m∠DAB + m∠ADC = 180º m∠DCB + m∠ABC = 180º
CUADRADO
RECTÁNGULO
S=L
2
S = b.a
ROMBOIDE
TRAPECIO
S = b.h
a + b) h ( S= 2
ROMBO
b.a S = 2
S = p.r
S=
( p − a) ( p − b) ( p − c) ( p − d )