EXAMEN DE LA SEGUNDA UNIDAD DE MATEMÁTICA PARA INGENIEROS I - INGENIERÍA INDUSTRIAL USAT 2010-I APELLIDOS Y NOMBRES:__________________________________________ Código:________________________ Pregunta 01) En el siguiente ejercicio obtener la segunda derivada de las funciones dada. Simplificar al máximo sus resultados.
1 1 f ( x ) = ln arcsen ( x ) + x 1 − x 2 2 2
x
ex b) Calcular la segunda derivada de f ( x ) = 1+ x
Pregunta 02) 3
a) Encuentre la derivada implícita de : e xy + y 2 x 2 = y y 2 + xy + 3x 2
(
b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva x 2 + y
)
3
= y 2 + x en el punto ( 0,1)
2
1 ex −1 xn − an x x Pregunta 03) Mediante la regla de H’opital calcular: i) lim ii) lim m iii) lim+ ( e ) x → 0 1 − cos x x →0 x − a m x →0
Pregunta 04) Haga un análisis general de la función f ( x ) =
8 y determine: x +4 2
i) intervalos de concavidad ii) puntos de inflexión iii) Máximos, mínimos relativos utilizando el criterio de la segunda derivada. iv) Realizar el bosquejo de la gráfica. Pregunta 05) Para el producto de un monopolista, la función de demanda (también llamado precio de venta unitario) es p = 72 − 0.04q y la función de costo (total) es c = 500 + 30q ¿En qué nivel de producción se maximiza la utilidad? ¿En qué precio ocurre esto y cuál es la utilidad? EN LAS SIGUIENTES PREGUNTAS ESCOJA SÓLO UNA DE LAS SIGUIENTES DOS PREGUNTAS: Pregunta 06) A) Una empresa de televisión por cable tiene 4800 suscriptores que pagan cada uno $18 mensuales, pero puede conseguir 150 suscriptores más por cada $0.50 menos en la renta mensual. ¿Cuál será la renta que maximice el ingreso y cuál será este ingreso? B) Hallar la derivada mediante definición de f ( x ) = −5cos ( 3 x ) + 7 x3 − 5 x 2 − 4 x + 1 Pregunta 07) A) Hallar la serie de Taylor de f ( x ) = x.cos x B) Hallar la derivada (paramétrica) de x = cos t , y = senx, z = ln ( y )