Índice Límites
04
Límite de una sucesión
04
Límite de una función
05
Propiedades de los límites
10
Límites conocidos
12
Límites al infinito
15
Límites laterales
16
Continuidad
19
Los tipos de continuidad y las reglas de Mathematica
23
Remarque final de límites y continuidad
30
Diferenciación
33
Derivación Parcial
36
Aplicaciones de la Derivada
37
Integración
40
Aplicaciones de la integral: El área bajo la curva
43
Coordenadas Polares
47
Agregados del Cálculo Diferencial
54
Epílogo: Cálculo Diferencial e Integral en MATLAB
55
Aplicaciones del cálculo diferencial e integral a la odontología
72
1
LÍMITES: En Matemática, se usa el concepto de límite para describir la tendencia de una función y de una sucesión. La idea central es que en una sucesión o una función, al hablar de límite, se dice que dicho ente matemático se puede acercar a un cierto número (o sea, al límite) tanto como se quiera, pudiendo muchas veces ser el mismo valor. Se utiliza el límite en Cálculo para definir convergencia, continuidad, derivación, integración, y otras operaciones afines. Es así que también se usa en el Análisis Real y Matemático. Limite de una sucesión : La definición del límite matemático en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando x va a ∞ . Se dice que la sucesión convergente a
an tiende hasta su límite a , o que converge o es
a y se escribe:
lim ( an ) = a n→∞
si es que se puede encontrar un número N tal que todos los términos de la sucesión tienden a a cuando n crece sin cota:
an → a ⇔ ∀ò > 0, ∃N > 0 : ∀n ≥ N ,| an − a |< ò Ejemplo:
16 an = an −1 2
si n = 0 si n > 0
2
Esto es, por extensión:
( an ) = 16,8, 4, 2,1,
1 1 1 1 1 1 , , , , , ,L 2 4 8 16 32 64
Lo que se aprecia en el gráfico, es claro que dicho límite tiende a cero. En Mathematica se ejecuta: ListPlot[Table[2-n,{n,-4,8}],PlotRange->{{0,15},{0,16}}] Salida:
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Límite de una función: Informalmente, se dice que el límite de la función
f ( x ) es L cuando x tiende a
p , y se escribe:
lim f ( x ) = L x→ p
si se puede encontrar un
x lo suficientemente cerca de p tal que f ( x ) es tal
que se cumple la siguiente definición:
3
f (x) → L– ∀∈> 0, ∃δ > 0:0 <| x − p |< δ ⇒| f (x) − L |< ε _____________________________________________________________
Esta definición se llama frecuentemente la definición épsilon-delta del límite. Indeterminaciones: Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas:
∞ 0 ∞ ∞ − ∞ , ∞ , ∞ ·0 , 0 , ∞0 , 1 , 00 Veamos cómo se observan dichas indeterminaciones cuando se presiona SHIFT+ENTER sobre cada uno de ellos:
4
∞-∞ ∞
_____________________________________________________________
∞/∞ ∞
_____________________________________________________________
∞*0
_____________________________________________________________
0/0
5
_____________________________________________________________
∞^0
_____________________________________________________________
1∞
_____________________________________________________________
00
_____________________________________________________________ Nota: ∞ hace referencia al límite a infinito y 0 al límite a 0, pero jamás al número 0, en sí.
6
Ejemplo:
0 es una indeterminación (no se sabe con exactitud qué es lo que va a 0
salir de resultado), pues el límite de cocientes donde los límites del dividendo y divisor separadamente son cero como se puede apreciar, pueden terminar dando cualquier otra cosa por ejemplo estos tres valores
t 1 lim 2 = lim = ∞ t →0 t t →0 t
,
{∞,1, 0} , como se aprecia:
t t2 lim = 1 lim = t = 0 t→0 t t →0 t ,
Veamos esta indeterminación MATHEMATICA:
y los mismos resultados mostrados en
Limit[t/t2,t→ →0] Salida: ∞ _____________________________________________________________
Limit[t/t,t→ →0] Salida: 1 _____________________________________________________________
Limit[t2/t,t→ →0] Salida: 0 _____________________________________________________________
7
Nota: Pese a que se aprecia en MATHEMATICA esta facilidad de desarrollo con precisión y exactitud existen errores aún no subsanados para esta versión como el que se muestra con el mismo ejemplo, hay que tener especial cuidado con este tipo de funciones:
f[t_]:=t/ t 2 g[t_]:=t/t h[t_]:= t 2 /t Luego: {f[0],g[0],h[0]} Presionando SHIFT+ENTER, se obtiene: {1/t,1,t}
Como se aprecia en el conjunto
{ f [0] , g [0] , h [0]}
los resultados no son los
esperados, se esperaba para cada uno de ellos expresiones como las que se muestran a continuación, tener cuidado entonces.
0/0
_____________________________________________________________ Propiedades de los límites:
8
lim x = p x→ p
lim kf ( x) = k lim f ( x) x→ p
x→ p
lim( f ( x) + g ( x)) = lim f ( x) + lim g ( x) x→ p
x→ p
x→ p
lim( f ( x) − g ( x)) = lim f ( x) − lim g ( x) x→ p
x→ p
x→ p
lim( f ( x).g ( x)) = lim f ( x).lim g ( x) x→ p
x→ p
x→ p
f ( x) f ( x) lim x→ p lim = , si g ( x) ≠ 0 x→ p g ( x) lim g ( x) x→ p
Ya que MATHEMATICA es un software de cálculo simbólico vamos a verificar cada una de estas propiedades:
Limit[x,x→ →p] P _____________________________________________________________
f[x_]:=f[p] g[x_]:=g[p] Limit[k f[x],x→ →p] k f[p] _____________________________________________________________
9
Limit[f[x]+g[x],x→ →p] f[p]+g[p] _____________________________________________________________
Limit[f[x]-g[x],x→ →p] f[p]-g[p] _____________________________________________________________
Limit[f[x] g[x],x→ →p] f[p] g[p] _____________________________________________________________
Limit[f[x]/ g[x],x→ →p] f[p]/g[p] _____________________________________________________________ Como se aprecia son las mismas pero hay que tener cuidado con el mismo error pasado ya que como se aprecia, como propiedades en sí ya no las devuelve con la palabra Limit pero en efecto nos da el resultado directamente, igual es bueno saberlo.
Límites conocidos: Sean los siguientes límites conocidos: 1
lim(1 + x) x = e x →0
10
x
1 lim 1 + = e x →∞ x
2π lim sin x →∞ x
2π cos = 2π x
sin x lim =1 x →0 x (al igual que su recíproca) tan x lim =1 x →0 x (al igual que su recíproca) sin x lim =1 x → 0 tan x (al igual que su recíproca) lim x →0
1 − cos ( x) =0 x
Para los límites conocidos se verifica entonces que no existe problema alguno:
Limit[(1+x)1/x,x→ →0] _____________________________________________________________
Limit[(1+1/x)x,x→∞ →∞] →∞
Limit[Sin[(2 π)/x] Cos[(2 π)/x],x→∞ →∞] →∞ 11
0 _____________________________________________________________
Limit[Sin[x]/x,x→ →0] 1 _____________________________________________________________
Limit[Tan[x]/x,x→ →0] 1 _____________________________________________________________
Limit[Sin[x]/Tan[x],x→ →0] 1 _____________________________________________________________
Limit[(1-Cos[x])/x,x→ →0] 0 _____________________________________________________________ Como se ha podido apreciar calcular límites resulta bastante sencillo. Se va a formalizar paso a paso la resolución de los mismos: Desarrollo de límites en Mathematica 6: - Para desarrollar limites de una función de una sola variable, esto es funciones clásicas del Cálculo Diferencial e Integral (sin tener en cuenta las lateralidades) simplemente se deben seguir estos pasos:
Paso 1: Se debe escribir la palabra “Limit”
12
Paso 2: Se debe escribir un corchete de apertura “[” Paso 3: Se debe escribir la función que se desea evaluar, recordando que si se hace uso de expresiones en dicha función del tipo funciones debería ser definidas como
f [ x ] , g [ x ] , h [5] , esto es, con
corchetes pues así es la nomenclatura para MATHEMATICA. Paso 4: Se debe escribir una coma Paso 5: Se debe colocar la variable deseada de la función, con respecto a la cual se quiere hallar el límite Paso 6: Se crea un tipo flecha utilizando los signos : “–“ y “ >” de esta forma “->” o también simplemente en el Menú Paletas (Palettes) se selecciona la barra de BasicMathInput de donde también podríamos clicar en el ícono
flecha
f ( x ) , g ( x ) , h ( 5 ) , estas
y luego escribir el número al que tiende esa variable.
Paso 7: Se coloca el corchete que encierra todo lo anteriormente descrito ”]” Paso 8: Presionar las teclas SHIFT + ENTER para ejecutar (se obtiene la respuesta deseada de no existir error)
Ejemplo:
Limit[Sin[5 x]/x,x→ →0] 5 _____________________________________________________________ Límites al infinito: Se puede hacer de dos formas: Utilizando el menú Paletas (Palettes), y haciendo clic en BasicMathInput y escogiendo el signo ∞ , o escribiendo la palabra “Infinity”. Se muestra un ejemplo de las dos formas, obteniendo el mismo resultado, a continuación:
13
Limit[1/x,x→∞ →∞] →∞ 0 Limit[1/x,x→ →Infinity] 0 _____________________________________________________________ Límites laterales: De acuerdo a lo explicado anteriormente, lo único que se debe de hacer es agregar antes de cerrar el paréntesis una coma y escribir la dirección del límite lateral: Si calculamos el límite lateral por la derecha la dirección será -1 y si lo deseamos hallar por la izquierda será 1. Paso 1: se debe colocar Limit Paso 2: se debe colocar el corchete
[
Paso 3: se debe colocar la función, con las condiciones explicadas en la decripción del límite, vea unas líneas arriba. Paso 4: Se le coloca una coma , Paso 5: Se debe colocar la variable seguida de la flecha -> (vista en los casos anteriores ) Paso 6: se debe colocar el numero al cual tiende seguido de una coma Paso 7: se debe colocar Direction seguido de la flecha Paso 8: Luego se colocara el 1 o el -1 de acuerdo a la dirección del ejercicio.
14
Ejemplo : Dada la función:
f ( x) = e
−
10 x
, se tomará su gráfico
700 600 500 400 300 200 100 4
2
2
4
Limit[Exp[-10/x],x→ →0,Direction→ →-1] 0 _____________________________________________________________
Limit[Exp[-10/x],x→ →0,Direction→ →1] ∞ _____________________________________________________________ Desarrollo de límites por la regla de L’Hopital
15
Ejemplo: Calcular
Lím x →0
1 − cos x x2
Como se observa es de la forma indeterminada
1 − cos 0 1 − 1 0 = = 02 0 0
Por MATHEMATICA se podría desarrollar directamente de esta forma: 2
Limit[(1-Cos[x])/ x ,x->0], obteniéndose
1 2
Por L’Hopital se tendría que derivar tanto el numerador y el denominador de la siguiente manera:
a=D[1-Cos[x],x]/D[x2,x] Sin[x]/(2 x) Limit[a,x→ →0] 1/2 _____________________________________________________________
16
CONTINUIDAD: Casos de la continuidad:
f ( x0 ) y existe Lim f ( x ) pero son diferentes (discontinuidad
Caso 1: Existe
x → x0
removible) Ejemplo: Averiguar la continuidad de la función en el punto
x0 = −2
f[x_]:=Which[x<-2,x,x==-2,5,x>-2,x] Plot[f[x],{x,-10,10}] 10
5
10
5
5
10
5
10
Caso 2: No existe
f ( x0 ) y existe Lim f ( x ) (discontinuidad removible) x → x0
Ejemplo: Averiguar la continuidad de la función en el punto
x0 = π
f[x_]:=Which[x<Pi,Sin[x],x>Pi,, Sin[x]] Plot[f[x],{x,0,2Pi}]
17
1.0
0.5
1
2
3:
No
3
4
5
6
0.5
1.0
Caso
f ( x0 )
existe
y
tampoco
existe
Lim f ( x ) (discontinuidad irremovible) x â&#x2020;&#x2019; x0
Ejemplo: Averiguar la continuidad de la funciĂłn en el punto
x0 = 1
Plot[{1/(x-1)},{x,-2,4}] 3 2 1 2
1
1
2
3
4
1 2 3
18
Caso 4: Existe
f ( x0 ) y no existe Lim f ( x ) (Límites a izquierda y a derecha x → x0
diferentes) Ejemplo: Averiguar la continuidad de la función en el punto 2
x0 = 2
3
f[x_]:=Which[x<2, x ,x>2, x ] Plot[f[x],{x,-3,3}] 25 20
15 10
5
3
2
Caso 5: No existe
1
1
2
3
f ( x0 ) y existe Lim f ( x ) (discontinuidad no removible) x → x0
Ejemplo: Averiguar la continuidad de la función en el punto x0 =
π 2
f[x_]:=Which[x<Pi/2,Tan[x],x>Pi/2,-Tan[x]] Plot[f[x],{x,0,3}]
19
8
6
4
2
0.5
1.0
Caso 6: Existe
1.5
2.0
2.5
3.0
f ( x0 ) , existe Lim f ( x ) y son iguales (función continua) x → x0
Ejemplo: Averiguar la continuidad de la función en el punto
x0 = 0.5
Plot[ArcSin[x],{x,-1,1}] 1.5 1.0 0.5
1.0
0.5
0.5
1.0
0.5 1.0 1.5
20
LOS TIPOS DE CONTINUIDAD Y LAS REGLAS DE MATHEMATICA
1) Continuidad removible o salvable: Cuando la función es discontinua pero su discontinuidad sólo se encuentra en puntos finitos por ejemplo 1 punto, 2 puntos, 10 puntos, la función Plot de Mathematica graficará como si la función fuese continua pese a dichas singularidades. Se muestra un ejemplo a continuación: Plot[Sin[x]/x,{x, −2π , 2π }] 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
6
4
2
2
4
6
0.2
Esta función es obviamente discontinua en el punto
x = 0 ya que
Sen ( 0 ) 0 = y 0 0
como lo dicho anteriormente, no se aprecia esta discontinuidad en la figura. Esto es cuando la continuidad es removible o salvable la función Plot la dejará como continua. Así que es bastante sencillo observar todos aquellos denominadores que sean iguales a cero. Basta utilizar para eso el comando Solve. Se muestra con el mismo ejemplo: Solve[x->0,x], donde se obtiene donde es discontinua: {{x->0}}
21
2) Continuidad no removible o no salvable: Cuando este tipo de discontinuidad se presenta pues se presenta en dos casos: 1.-La función en gráfica es claramente discontinua y se aprecia en qué punto es discontinua pues aparece una especie de espacio vacío. Se muestran ejemplos a continuación con la función Máximo Entero. Ejemplo 1:
f ( x ) = [| x |]
Plot[Floor[x],{x,-5,5}] 4
2
4
2
2
4
2
4
Ejemplo 2:
f ( x ) = x + [| x |]
Plot[x+Floor[x],{x,-3,3}]
22
4 2
3
2
1
1
2
3
2 4 6
2.-La función en gráfica es claramente discontinua pero se aprecia una línea vertical la cual nos indica claramente que dicha función no podría ser continua ya que ese gráfico si es que existiera una línea vertical ya no sería ni siquiera una función. Esa línea es un indicador claro de que la función es discontinua y también nos muestra que existe una discontinuidad en dicho punto. Se muestran ejemplos a continuación con las conocidas funciones valor absoluto (en el caso racional o con fracción), signo y tangente. Ejemplo 1:
f ( x) =
x −1 1− x
Plot[Abs[x-1]/(1-x),{x,-3,4}]
23
1.0
0.5
3
2
1
1
2
3
4
0.5
1.0
(
Ejemplo 2: f ( x ) = Sgn x â&#x2C6;&#x2019; 4 2
)
2
Plot[Sign[ x -4],{x,-6,6}] 1.0
0.5
6
4
2
2
4
6
0.5
1.0
24
Ejemplo 3:
f ( x ) = Tg ( x )
Plot[Tan[x],{x,0,2 π }] 6 4 2
1
2
3
4
5
6
2 4 6
Nota: Cuando no existe discontinuidad de ningún tipo la función se presentará sin problemas de trazo continuo, como se ve en los siguientes ejemplos: Ejemplo 1:
f ( x ) = Sen ( x )
Plot[Sin[x],{x, −2π , 2π }]
25
1.0
0.5
6
4
2
2
4
6
0.5
1.0
Ejemplo 2:
f ( x ) = x2 + 1
x 2 + 1 ,{x,-5,5}]
Plot[
5
4
3
2
4
2
2
4
Otro tipo de preguntas acerca de continuidad resueltos por MATHEMATICA:
26
Ejemplo 1: Encuentre el valor de
c para el cual la función f es continua:
cx 2 − 3, si x ≤ 2 f ( x) = cx + 2, si x > 2 Solución: Paso 1: Defina la función 2
f[x_]:=Which[x->2,c x -3,x>2,cx+2] Paso 2: Utilice el comando Solve colocando de argumentos la igualdad entre el límite de la función por la izquierda y por la derecha, finalmente la variable a la cual se está refiriendo, como se muestra: Solve[Limit[f[x],x->2, Direction->-1]=Limit[f[x],x->2, Direction->1],c] Se obtiene: {{c->5/2}} que es la respuesta buscada. Nota: Por separado se pudieron haber calculado los límites laterales: Limit[f[x],x->2, Direction->-1] Limit[f[x],x->2, Direction->1] Cuyas salidas son, respectivamente: 2 (1+c) y -3+4 c Ejemplo
2:
Verificar
f ( x ) = x + 1, x ∈ [ −1, 2]
el
Teorema
del
valor
intermedio
en:
3
Paso 1: Definir la función la cual se desea aplicar dicho teorema 3
f[x_Real]:= x +1 Paso 2: Posible rutina:
27
n=Input["Ingrese limite izquierdo del intervalo"]; m=Input["Ingrese limite derecho del intervalo"]; g[x_Real]:=(f[m]-f[n])/(m-n); d=Reduce[f[c] ==g[c],c, Reals]; Print[d//N]; Paso 3: Presionar Shift+Enter, ingresar por teclado los valores izquierdo y derecho del intervalo, luego aparecerá: c->1.25992 Paso 4: Cotejar si dicho o dichos números se encuentran en el intervalo dado. En este caso sí pertenece por tanto satisface el teorema del valor intermedio.
REMARQUE FINAL DE LÍMITES Y CONTINUIDAD Se puede encontrar los límites de cualquier función, ya sea de una o más variables, o referente a los límites por la derecha o por la izquierda. Su sintaxis es la siguiente: 1. Se escribe la función: Limit[ ]. 2. Se coloca a continuación la función. Limit[f(x),] 3. Por último se define la variable y su tendencia. Cuando se requiera el límite por la izquierda se coloca la expresión Direction →1, y para el límite por la derecha: Direction → -1. Así: Limit[exp,x→a, Direction → 1] Aquí algunos ejemplos en la figura siguiente para ver su sintaxis y los resultados que recibimos (esto hace un contraste con lo que se había puesto como una nota de las fallas de Mathematica en unas hojas abajo). Ejemplo: He aquí la expresión
Sin[ x ] x
t = Sin[x]/x
28
Si sustituye x por 0, la expresión se hace 0/0, y obtiene un resultado indeterminado. t /. x->0 Indeterminate Si encuentra el valor numérico de sin(x) / x para un x próximo a 0, usted consigue un resultado próximo a 1. t /. x->0.01 0.999983 85 Esto encuentra el límite de sin(x) / x cuando x tiende a 0. El resultado es ciertamente 1. Limit[t, x->0] 1 Limit[expr, x->x0] el límite de expr cuando x tiende a x0 Aquí se tiene otro ejemplo:
g:=x2 Cos[1/x]; Limit[g,x→ →0] Limit[g,x→ →0,Direction→ →1] Limit[g,x→ →0,Direction→ →-1] Plot[g,{x,-0.3,0.3}] 0 0 0
29
0.02
0.3
0.2
0.1
0.1
0.2
0.3
0.02 0.04 0.06 0.08
En el ejemplo anterior podemos observar la representación gráfica de los límites, afirmando la respuesta que Mathematica nos da, tanto los límites por la izquierda y por la derecha. Ahora en la figura siguiente se representa la función con los límites en el infinito negativo, comprobado con su gráfica.
h:=(6 x3+3 x2-8)/(7 x4+16 x2+2); Limit[h,x→ →0] Limit[h,x→ →0,Direction→ →1] Limit[h,x→ →0,Direction→ →1] Plot[h,{x,-6,6}] -4 -4 -4
30
0.2 6
4
2
2
4
6
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
DIFERENCIACIÓN: En este tema se verán las opciones que Mathematica 6, posee en todo lo referente a diferenciación: derivadas y derivadas parciales, muy útiles en cualquier área de la Matemática Pura y Aplicada. 1. Se escribe la función representativo de derivación: Dt[ ]. 2. Se escribe la expresión, ya sea una función f(x) o una ecuación en donde impliquen dos o más variables. Mathematica 6 realiza la derivación implícita o la deja expresado como tal: Dt[expr,] 3. Se especifica la variable que se toma como referencia y el número de derivadas que se aplicará a la expresión: Dt[expr, {x,n}]
31
En el siguiente ejemplo realizaremos algunas derivadas y veremos la diferencia que existe cuando se trata de expresiones de una sola o más variables.
Dt[Log[(x+1) (2-x)],{x,1}]
_____________________________________________________________
Dt[x * (2 x-1,{x,1}] 2
_____________________________________________________________
Simplify[%]
En la resolución mostrada a continuación, se observa la derivación implícita con respecto a ecuaciones que poseen dos o más variables y que empleando la herramienta de resolución de ecuaciones, su solución está expresada como su derivada.
r=Dt[x5 y-3 x3 y2+1,{x,1}]; Solve[r 0,Dt[y,x]]
_____________________________________________________________ 3 q=Dt[3 x y*z+2*Cos[2 y],{x,1}];
32
Solve[q 0,Dt[z,x]]
_____________________________________________________________
En el siguiente ejemplo haremos uso de algunos temas anteriores y sus herramientas para crear un algoritmo que nos permita graficar una función y dado un punto en su curva encontrar la recta tangente.
a=x2+x-1; b=1; c=Dt[a,{x,1}]; d=ReplaceAll[c,x→ →b]; e=ReplaceAll[a,x→ →b]; g=d (x-b)+e; Plot[{a,g},{x,-2,2}, PlotStyle→ →{RGBColor[0.2,0.1,0.6],RGBColor[0.3,0.8, 0.1]}]
33
4 2
2
1
1
2
2 4 6 8 Derivación parcial En los estudios posteriores de Análisis Vectorial y de Ecuaciones Diferenciales, se necesita emplear muy a menudo la derivación parcial para encontrar derivadas direccionales, gradientes y divergencia, por citar un par de ejemplos, utilizados en los difíciles estudios de los campos vectoriales. 1. Se escribe la función representativa de las derivadas parciales, que se la encuentra en la paleta de BasicInput; añadiendo la expresión que va a ser objeto de la derivación. ∂x (expr) 2. Se puede realizar la derivación parcial con respecto a más variables como en el subtema pasado o realizar un grado más de derivación, separadas la variables por una coma. ∂x,z (expr) ó ∂x,x (expr) En el siguiente ejemplo se verá la diferencia entre la derivación total y la derivación parcial por lo cual hay que tener cuidado al momento de realizar los algoritmos y verificar resultados.
34
∂x,y(3 x3 y+2 x2 y2) 2
9 x +8 x y _____________________________________________________________
∂x,x,y(Sin[π π*x]+Cos[π π*y])2 2 π3 Sin[π x] Sin[π y] _____________________________________________________________
Aplicaciones de la Derivada: Problemas de Optimización (Optimización básica-Método de Completar Cuadrados) En muchas universidades en precálculo se enseña algunos problemas básicos de optimización, sobre todo el clásico problema del MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS, ya que en cálculo se utiliza para los problemas que tienen que ver con las aplicaciones de la derivada: 1) Minimizar una función de una sola variable: Minimize[2 x^2 - 3 x + 5, x]
Se obtiene:
31 3 , x → 4 8
2) Minimizar una función de varias variables:
35
Minimize[(x y - 3)^2 + 1, {x, y}] Se obtiene:
{1, { x → −1, y → −3}}
3) Minimizar una función objetivo con una restricción: Minimize[{x - 2 y, x^2 + y^2 <= 1}, {x, y}] Se obtiene:
4 2 − 5, y → − 5, x → 5 5
4) Ahora un problema de minimización con símbolos (letras) (Es de esperarse un resultado también simbólico) Minimize[a x^2 + b x + c, x] Se obtiene:
Problema concreto: Calcular el área máxima de un terreno rectangular sabiendo que se tiene que cercar el mismo con exactamente 16 metros de alambre puntiagudo. Solución: 1) Manualmente por el método de completar cuadrados:
2 x + 2 y = 16 → x + y = 8 → y = 8 − x 36
Luego:
(
)
A = xy = x ( 8 − x ) = − x 2 + 8 x = − ( x 2 − 8 x ) = − ( x − 4 ) − 16 = 16 − ( x − 4 ) 2
De donde el área máxima es de 16 metros cuadrados. 2) Utilizando las aplicaciones del precálculo en Mathematica:
Maximize[{xy,2x+2y=16},{x,y}] Aparece la salida:
Maximize[{xy,16},{x,y}] De donde el área máxima es de 16 metros cuadrados. 3) Utilizando las aplicaciones de la derivada:
A = xy = x ( 8 − x ) = 8 x − x 2 A' = 0 En Mathematica: 2
Solve[∂x(8x-x )0] Se obtiene:
{{x→4}} Donde reemplazando: si x metros cuadrados.
= 4, y = 4 entonces el área también coincide con 16
INTEGRACIÓN:
37
2
En esta parte se verá los distintos tipos de integración, tanto en integrales en indefinidas, definidas, como su representación gráfica para mejor visualización de las regiones bajo la curva: Integración indefinida: 1. Se escribe la palabra Integrate[ ], o el símbolo de integración ubicada en la paleta BasicInput: ∫. 2. Se escribe la expresión que se someterá a la integración. Integrate[exp,] ó ∫exp. 3. Y por último se escribe la variable del diferencial de la integral a evaluar. Integrate[ exp, x] ó ∫ exp ,x 3
2
Integrate[(x-1)/(x -x -2 x),x] 1/6 Log[-2+x]+Log[x]/2-2/3 Log[1+x] _____________________________________________________________
∫ 4 x*Sec[x2]*Tan[x2] x 2 Sec[x2] _____________________________________________________________
∫ 1/(x2-1) x 1/2 Log[-1+x]-1/2 Log[1+x] Integración definida: En este tipo de integración o también llamado antiderivada, se definen los límites de la integral tanto superior como inferior. Estos límites pueden ser escalares como funciones, que más adelante se verá que nos sirven para la integración múltiple.
38
1. Se escribe la sintaxis de integrales. Integrate[ ] igual que en la integración indefinida. 2. Se escribe las expresiones que se va a integral seguido de una coma con la variable del diferencial y sus límites, primero el inferior y luego el superior. Como en el caso anterior también existe una herramienta ubicada en la paleta BasicInput que representa la integral definida. xsuperior
Integrate[expr,{x,xinferior,xsuperior}]
ó
∫
exprdx
xinferior
En los siguientes ejemplos se muestran las dos formas en que la integral definida puede ser expresada empleando bien su sintaxis:
N[Integrate[((4 x2)/(x^2+1)2),{x,0,2}]] 1.4143 _____________________________________________________________
π
∫
(x*Sin[x2])x
0
2
Sin[π^2/2]
_____________________________________________________________
N[%] 0.951343 _____________________________________________________________
39
π
∫ π
(4*Cos[x])/(Sin[x]+1)2 x
2
-2 _____________________________________________________________
Ahora se verá el uso de la parte numérica de algunas integrales y se justificará su uso:
Aproximación numérica xmax
NIntegrate[ f , { x, xmin , xmax }] NIntegrate[ f , { x, xmin , xmax } , { y, ymin , ymax }]
de:
∫
f dx
xmin xmax ymax
de:
∫ ∫
dxdyf
xmin ymin
-NIntegrate puede manejar singularidades en los puntos finales de la región de integración: NIntegrate[1/Sqrt[x (1-x)], {x, 0, 1}] 3.14159 _____________________________________________________________
40
-Puede resolver integrales numéricas sobre regiones infinitas. NIntegrate[Exp[-x^2], {x, -Infinity, Infinity}] 1.77245 _____________________________________________________________ He aquí una integral doble sobre un dominio triangular. Note el orden en el cual se ingresan las variables. NIntegrate[ Sin[x y], {x, 0, 1}, {y, 0, x} ] 0.119906 _____________________________________________________________
He aquí una integral doble sobre un dominio limitado por dos parábolas. NIntegrate[ x^2 + y^2, {x, -1, 1}, {y, x^2 - 1,-x^2 + 1}] 1.14286 _____________________________________________________________
Aplicaciones de la Integral: El área bajo la curva Para graficar funciones y sombrear el área bajo la curva, ya sea con respecto al su eje u otra función se siguen los siguientes pasos: (debe actualizarlo por la web su programa hecho en Mathematica 6, ya que esta aplicación de la integral la presentaron en la versión 5) 1. Se hace el llamado a la librería <<Graphics`FilledPlot` 2. Se escribe la función FilledPlot[ ] 3. Se escribe la(s) ecuación(es), con sus respectivos límites de la(s) gráfica(s). FilledPlot[{f(x),g(x),…..},{x,xmin,xmax}]. 4. Si se desea que el sombreado se dibuje con respecto al eje de debe redactar su sintaxis. Aquí algunos ejemplos con distintas modelos de sombreado.
<<Graphics`FilledPlot` 41
FilledPlot[Cos[(2x)/3],{x,-2π π,2π π}, Fills→ →{RGBColor[0.1,0.7,0.9]}]
_____________________________________________________________ En el siguiente ejemplo se observa que la gráfica anterior tiene el límite el eje de referencia (Axis), mientras que las dos gráficas siguientes tienen sus límites entre sí. Se utiliza la opción Fills→ en la cual podemos combinar colores y ubicar los límites del sombreado. La segunda opción que utilizamos es Curves→ que nos permite visualizar las líneas dibujadas.
FilledPlot[{x -8x +10, -x,5},{x,-3,3}, Fills→ →{{{1,Axis},RGBColor[0.2,0.7,0.7]},{{2,3},RGB Color[0.2,0.8,0.6]}},Curves→ →Front] 4
2
42
20
15
10
5
3
2
1
1
2
3
5
_____________________________________________________________
FilledPlot[{2 x3-3 x2-9 x,x3-2 x2-3 x},{x,-5,5}]
43
100 50
4
2
2
4
50 100
En muchas de los problemas de áreas entre curvas son limitadas por los puntos de intersección, es decir el interés las áreas sombreadas fuera de dichos puntos. En el ejemplo siguiente (dos figuras siguientes) se ve cómo se puede realizar esta gráfica. La figura siguiente muestra el sombreado que Mathematica 6 realiza normalmente sin tomar en cuenta los puntos de intersección como límites del área comprendida entre las curvas. Con los conocimientos ya aprendidos en los temas anteriores, se graficará únicamente el área buscada y su valor por medio de la integral definida (ultima figura)
a=23 x3-32 x2-9 x; b=x -2 x -3 x; c=Solve[a b,x]; d=x; e=Max[ReplaceAll[d,c]]; f=Min[ReplaceAll[d,c]]; 0
∫
e
(a-b) x+
f
∫
(b-a) x
0
253/12 44
COORDENADAS POLARES Mathematica incluye un lenguaje de programación lleno de gráficos. En este lenguaje, se puede establecer muchas clases diferentes de gráficos. Algunos de los comunes son incluidos en los paquetes estándar de Mathematica 6.
<<Graphics´
Carga un paquete para establecer funciones gráficas adicionales
(no necesario en última versión)
LogPlot[ f ,{x, xmin , xmax }]
Genera un gráfico logarítmico lineal
LogLogPlot[ f ,{x, xmin , xmax }]
Genera un gráfico logarítmico logarítmico
LogListPlot[list ]
Genera un gráfico logarítmico lineal de una lista de datos
45
LogLogListPlot[list ]
Genera un gráfico logarítmico logarítmico de una lista de datos
PolarPlot[r ,{t , tmin , tmax }]
Genera un gráfico polar del radio r como una función del ángulo t
ErrorListPlot[{{x1 , y1 , dy1},...}]
Genera un gráfico de datos con barras de error
TextListPlot[{{x1 , y1 ," s1 "},...}]
Grafica una lista de datos con cada punto representado por la cadena de texto s1
BarChart [list ] PieChart [list ] { f x , f y } , PlotVectorField { x, xmin , xmax } , { y , ymin , ymax }
Grafica una lista de datos como un diagrama de barras Grafica una lista de datos como un diagrama de pastel
Grafica el campo vectorial correspondiente a la función vectorial f
ListPlotVectorField [list ] Grafica el campo vectorial correspondiente al array bidimensional de vectores en list
r , {theta, min, max} , SphericalPlot 3D { phi, min, max} Genera un gráfico esférico tridimensional
46
Estas son algunas funciones especiales para graficar, definidas en los paquetes estándares de Mathematica 6. Esto carga un paquete estándar de Mathematica para establecer funciones gráficas adicionales. Para graficar ecuaciones polares se necesita hacer un llamado a la biblioteca de gráficos: escribiendo en la parte superior: << Graphics`Graphics`. La sintaxis para las gráficas polares es:
PolarPlot[{f},{θ,θmin,θmax}]; En donde: f: Es la función que se desea graficar. θ min, θmax: Es el rango mínimo y máximo en el cual delimitamos la gráfica.
En el siguiente ejemplo veremos como es la sintaxis para las gráficas polares
PolarPlot[{2 Sin[3 x]},{x,0,Pi}]
47
1.0
0.5
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
0.5
1.0
1.5
2.0
Además podrá graficar varias gráficas polares, ya sean estas para encontrar sus puntos de intersección, las áreas comprendidas entre las gráficas o encontrar la longitud de su arco. En la figura siguiente veremos como dos gráficas pueden ser dibujadas una sobrepuesta por otra las dos dentro del mismo rango. Empleando los colores para gráficas, nos ayudaremos para distinguir las distintas líneas en el Plot.
PolarPlot[{1+Cos[x],1-Sin[x]},{x,0,2Pi}, PlotStyle→ →{{RGBColor[0,0,1]},{RGBColor[1,0,0]}}]
48
1.0
0.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Con la ayuda “ticks” nos permitirá visualizar de mejor manera el rango propuesto cambiando los valores numéricos por valores tipo radianes, muy necesario por cierto, sobre todo en investigación de papers y en general de Matemática Aplicada.
PolarPlot[{1+Cos[x],1-Sin[x]},{x,0,2Pi}, PlotStyle→ →{{RGBColor[0,0,1]},{RGBColor[1,0,0]}}, Ticks→ →{{-π π/4,-π π/6,0,π π/6,π π/4,π π/2},Automatic}]
49
1.0
0.5
4
6
6
4
2
0.5
1.0
1.5
2.0
Se puede experimentar con las gráficas polares como el ejemplo a continuación . Haga la prueba dándole valores distintos a su ángulo.
PolarPlot[Cos[(100/3)θ θ],{θ θ,0,6 Pi}, PlotStyle→ →{RGBColor[0.2,0.6,0.8]}]
50
1.0
0.5
1.0
0.5
0.5
1.0
0.5
1.0
51
AGREGADOS DEL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
1) Comandos de visualización clásica de las derivadas:
TraditionalForm[D[f[x,y],{x,2},{y,3}]] (Muy parecido a MatrixForm) (2,3)
Salida: f
(x,y)
2) Integrales que es probable no posean convergencia: Integrate[Exp[-c x^2], {x, - ∞ ,
∞ }]
Matemática retorna lo siguiente, que está definido por condicionales:
If[Re[c]>0, / c ,Integrate[ Assumptions→Re[c]≤0]]
c x2
,{x,∞,∞},
Epílogo:
52
Cálculo Diferencial e Integral, utilizando los mismos pasos en MATLAB
1) Resolución de Límites y continuidad: En este sub-módulo se explica como resolver un límite. Para ello se usa la instrucción: limit (ecuación, h, tiende a) Por consiguiente se pueden resolver funciones del tipo: Más ejemplos:
1.
Lim x →0
sen ( x ) x
En Matlab: >> syms x; >> f=sin(x)/x; >> limit(f) ans = 1
2. Lim+ x →0
1 x
>> syms x; >> f=1/x; >> limit(f,x,0,'right') ans =
53
Inf
3. Lim− x →0
1 x
>> syms x; >> f=1/x; >> limit(f,x,0,'left') ans = -Inf
4.
Lim x →1
x2 − x x −1
>> syms x; >> f=(x^2-x^(1/2))/(x^(1/2)-1); >> limit(f,x,1) ans = 3
5. Lim x →∞
1 x
>> syms x; >> f=1/x; >> limit(f,x,Inf)
54
ans = 0
2) Primera, Segunda y Derivadas de Orden Superior: En este sub-módulo se introduce el uso de pretty el cual hace que una ecuación sea entendible o reordenada. Además del syms, la instrucción diff cuenta con algunas variantes que aquí se usaron. Se ejemplificará en este epílogo con la primera, segunda y tercera derivadas. Diff (ecuación, deriva) donde deriva es la derivada a buscar ya sea: primera, segunda, tercera. Y se expresa con 1,2,3 respectivamente. Para determinar la derivada simbólica de una expresión simbólica se usa la función diff , la cual tiene cuatro variantes: DERIVADA ORDINARIA
Devuelve la derivada de la expresión f respecto de la variable independiente por omisión.
DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR
Devuelve la n-ésima derivada de la expresión f respecto de la variable independiente por omisión. Devuelve la derivada de la expresión f respecto a la variable t. Devuelve la n-ésima derivada de la expresión f respecto a la variable t.
DERIVADA PARCIAL ORDINARIA DERIVADA PARCIAL DE ORDEN SUPERIOR
Ejemplos: Derivadas ordinarias
1.
d 6 x 3 − 4 x 2 + bx − 5 dx
>> syms b x;
55
>> f=6*x^3-4*x^2+b*x-5; >> diff(f) ans = 18*x^2-8*x+b
2.
d cos ( a ) dx
>> syms a; >> f=cos(a); >> diff(f) ans = -sin(a)
d 3. cos ( ax ) x dx
>> syms a x; >> f=cos(a*x)*x; >> diff(f) ans = -sin(x*a)*a*x+cos(x*a)
Derivadas de orden superior: 4.
d 6 x 3 − 4 x 2 + bx − 5 d 2x 56
>> syms b x; >> f=6*x^3-4*x^2+b*x-5; >> diff(f,2) ans = 36*x-8
Derivadas parciales ordinarias
(
Sea f ( x, y ) = ln x + 5.
∂f ∂x
x2 + y 2
)
>> syms x y; >> f=log(x+sqrt(x^2+y^2)); >> diff(f,'x') ans = (1+1/(x^2+y^2)^(1/2)*x)/(x+(x^2+y^2)^(1/2))
6.
∂f ∂y
>> syms x y; >> f=log(x+sqrt(x^2+y^2)); >> diff(f,'y') ans =
57
1/(x^2+y^2)^(1/2)*y/(x+(x^2+y^2)^(1/2)) Derivadas parciales de orden superior 7.
∂f ∂2 x
>> syms x y; >> f=log(x+sqrt(x^2+y^2)); >> diff(f,'x',2) ans = (-1/(x^2+y^2)^(3/2)*x^2+1/(x^2+y^2)^(1/2))/(x+(x^2+y^2)^(1/2))(1+1/(x^2+y^2)^(1/2)*x)^2/(x+(x^2+y^2)^(1/2))^2
3) Integrales Definidas y no Definidas Al ejecutar Integrales Definidas y no Definidas, se explora el uso de la instrucción: int (ecuación) Las dos variantes son: int (ecuación, variable) Sólo para no definidas y : int (ecuación, variable, limite superior, limite inferior) cuando son definidas. Para integrar una función simbólica f en MATLAB se utiliza la función int, la cual busca una expresión simbólica F tal que diff(F)=f. Sin embargo, es posible que dicha integral no exista o bien que MATLAB no pueda obtener la integral, en cuyo caso la función devuelve la expresión sin evaluarla.
58
La función int tiene cinco variantes: 1)
int(f) Devuelve la integral de la expresión f respecto a la variable independiente por omisión.
2)
int(f,'t') variable t.
3)
int(f,a,b) Devuelve la integral de la expresión f respecto a la variable independiente por omisión evaluada en el intervalo [a,b], donde a y b son expresiones numéricas.
4)
int(f,'t',a,b) Devuelve la integral de la expresión f respecto a la variable t evaluada en el intervalo [a,b], donde a y b son expresiones numéricas.
5)
int(f,'m','n') Devuelve la integral de la expresión f respecto a la variable independiente por omisión evaluada en el intervalo [m,n], donde m y n son expresiones simbólicas.
Devuelve la integral de la expresión f respecto a la
Ejemplos:
Integral indefinida: 1.
∫x
2
1 dx + x +1
>> syms x; >> f=1/(x^2+x+1); >> int(f) ans = 2/3*3^(1/2)*atan(1/3*(2*x+1)*3^(1/2))
2.
∫ x dx n
59
>> syms x n; >> f=x^n; >> int(f) ans = x^(n+1)/(n+1) Integral definida: π 2
3.
∫ sen ( 2 x ) dx 0
>> syms x; >> f=sin(2*x); >> int(f,0,pi/2) ans = 1
∞
1 dx 4. ∫ 2 x + 6 x + 11 −∞
>> syms x; >> f=1/(x^2+6*x+11); >> int(f,-inf,inf) ans = 1/2*pi*2^(1/2)
b
5.
∫ a
xdx >> syms x;
60
>> f=sqrt(x); >> int(f,'a','b') ans = 2/3*b^(3/2)-2/3*a^(3/2)
Integrales múltiples:
Considerando lo anterior se pueden evaluar integrales dobles en MATLAB a través de integrales iteradas. d b
∫∫ c a
d b f ( x, y ) dxdy = ∫ ∫ f ( x, y ) dx dy c a
∫0 2
Ejemplo: Evalúe en MATLAB la integral doble
2e
∫ e
y dy dx 2 x +y 2
>> syms x y; >> f=y/(x^2+y^2); >> int(int(f,'y',x,sqrt(2)*x),x,0,2) ans = log(3)-log(2)
61
Un método alternativo es el uso de una asignación: >> syms x y; >> f=y/(x^2+y^2); >> F=int(f,'y',x,sqrt(2)*x); >> int(F,0,2) ans = log(3)-log(2) Integrales de superficie: Comando Trapz (Para integrales de superficie): Calcula la integral definida entre dos límites de una funcion (área bajo la curva) representada por uno o dos vectores, como se explica mas adelante. El calculo de la integral se realiza numericamente, por medio de una aproximacion de la funcion a trapecios (En ningun momento calcula la integral simbolica). Debido a que el calculo de la integral es numerico, se deben construir vectores "decentes" para calcular la integral. Por esta razon, es fundamental aclarar las caracteristicas de los vectores, con el fin de tener un criterio para decidir como construir el vector de forma apropiada. Sintaxis: La sintaxis de la orden es: Valor = trapz([Vector,] Matriz); Los simbolos [ ] significan que Vector es opcional.
62
Matriz puede ser una matriz o un vector. Una matriz si se desea calcular la integral definida para varias funciones en el mismo rango (entre los mismos limites). Un vector si se desea calcular la integral para una sola funcion (su tamaño tiene relacion con el tamaño de Vector, esta relacion se muestra en detalle en la explicacion de Vector). Vector es el vector de los valores para los cuales se desea calcular la integral, tal que si Matriz es: • •
Un vector: Matriz y Vector deben ser de la misma longitud (ya sean vectores fila, o columna). A cada valor almacenado en Vector corresponde el valor almacenado en Matriz (con el mismo subindice). Una matriz: Vector debe ser un vector columna y Matriz tiene almacenadas las funciones por columnas (cada columna=una funcion), Matriz debe tener el mismo numero de filas que vector.
Si Vector se omite, es equivalente a introducir un vector con paso 1 (por ejemplo: [0, 1, 2, 3]), note que la integral no depende de los valores que se introducen en Valor, sino de su paso (ya que los valores de la funcion en cada punto estan almacenados en Matriz), en otras palabras la integral sigue siendo la misma (en valor) si la corro hacia un lado y realizo la integral entre el nuevo par de limites. Valor es donde se almacena el valor de la integral (un real si solo se calcula para una funcion, y un vector fila si se calculo para varias). El siguiente ejemplo ilustra el uso de trapz: %Ejemplo de uso de trapz. for i=1:100, x(i, 1)=1+i/20; % Asina los valores de x entre 1 y 6 en incrementos de 0.05 y(i, 1)=x(i,1)+1; % Define la funcion y=x+1 z(i, 1)=x(i,1)^2+1; % Define la funcion z=x^2+1 end; % Los vectores x, y, z se definieron como vectores columna arriba, con % el fin de demostrar el funcionamiento de trapz con varias funciones. % estos vectores perfectamente hubieran podido ser fila, pero hubiera %sido mas % dificil armar la matriz. Igualmente se requeria contruir un que x fuera columna. A(:, 1)=y;
63
A(:, 2)=z; integral=trapz(x, y) integral=trapz(x, z) % Normalmente se usaria un nombre diferente al de %arriba integral=trapz(x, A) % Normalmente se usaria un nombre diferente al de %arriba % Al escribir una expresion sin punto y coma final MATLAB % muestra en pantalla su valor.
Al correr el programa se obtiene la siguiente salida:
integral = 22.3988 integral = 76.5662 integral = 22.3988 76.5662
4) Coordenadas Polares:
El comando MATLAB que genera una gráfica polar partiendo de los vectores theta y r es polar(theta,r), el cual genera una gráfica usando los índices del vector r como los valores de . Ejemplo: Genere la gráfica polar donde los valores del ángulo van de 0 a 2 radio aumenta de 0 a 1.
y el
>> theta=0:2*pi/100:2*pi; >> r=theta/(2*pi);
64
>> polar(theta,r); >> title('Grรกfica polar')
65
VENTAJAS Y DESVENTAJAS: MATHEMATICA-MATLAB EN EL 2009: MATLABc (MATrix LABoratory) es un lenguaje para la computación científica y un entorno computacional interactivo orientado a matrices. Se distingue de otros lenguajes como Fortran o C++ porque su nivel de ejecución es muy superior, incluyendo cientos de operaciones con un solo comando. En el campo de la Matemática Financiera, MATLABc dispone de un conjunto muy amplio de comandos agrupados en tres Toolboxes o librerías de funciones: Statistics Toolbox. Financial Toolbox. Financial Derivative Toolbox. Los cuales no son poseídos del todo por Mathematica(ahora en versión 7) En algunas de sus referencias se explica porqué el desarrollo de MATLABc ha provocado el nacimiento de una nueva era en la Computación Científica y también en la enseñanza de todo lo relacionado con ella. La Matemática Financiera no puede quedar al margen de este nuevo paradigma y como aquí se ha mostrado, usando un modesto ordenador personal, se pueden resolver problemas que con otras herramientas parecen inalcanzables. Comparado con otros lenguajes usados en la computación científica, como C++ ó Fortran,las cualidades que se destacan de MATLABc fundamentalmente son tres: Sencillez de manejo. Polivalencia. Versatilidad. Es evidente que para la manipulación estadística de datos, otras herramientas o paquetes informáticos son muy competitivos, por ejemplo el ya comentado SPSSc es más específico y extenso en este tema. Sin embargo, la polivalencia y versatilidad que muestra MATLABc en la segunda parte de este artículo, quizá lo hagan más aconsejable en la formación de los alumnos que estudian Matemática Financiera en las escuelas y facultades de Economía. Este nuevo camino, que ahora debe comenzar, está repleto de obstáculos importantes, nada triviales, pero tampoco originales porque cada vez son más numerosos y sofisticados los Modelos Matemáticos que explican otras disciplinas científicas: Biología, Fisiología, Ecología... Quizá está comenzando un nuevo paradigma científico en el que las disciplinas hasta ahora más descriptivas
66
están evolucionando a una mayor cuantificación de los resultados. La enorme información disponible en http://www.mathworks.com/ sobre textos, programas, grupos de noticias, reuniones científicas... relacionados con MATLABc es una buena muestra de lo comentado, aunque no la única porque cada vez son más numerosas las publicaciones interdisciplinarias que se pueden apreciar en catálogos de libros y revistas. Otros programas de manipulación matemática, por ejemplo Mathematica , también tienen paquetes para finanzas que se pueden consultar en http://www.addlink.es/productos.asp?pid=3. Sin embargo, la desventaja de Mathematicac es evidente porque es una En la página http://www.mathworks.es/applications/fin_modeling/segment/why_use_matlab.ht ml, los profesionales financieros pueden encontrar las ventajas de utilizar MATLABc y también se pueden consultar los modelos financieros que resuelve. La Matemática Financiera tradicionalmente ha estado relacionada con la Estadística y los problemas estocásticos, siendo muchos los modelos que utilizan ecuaciones diferenciales Además del vigoroso campo de investigación que es la resolución numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas, en años muy recientes también ha surgido la necesidad de utilizar técnicas numéricas y computacionales para aproximar las soluciones de otros modelos financieros, recuerde el caso de las opciones put americanas. Este nuevo campo de investigación, que se podría denominar Computación Financiera, trataría de aplicar las técnicas numéricas en los modelos financieros. Matlab es absolutamente superior en aplicaciones cortas y sencillas,. reduce la longitud del código y el tiempo de desarrollo significativamente además de ser un lenguaje leíble, escalable3 y sencillo. Todas las herramientas necesarias están dentro de la misma aplicación y la documentación está embebida en el propio programa4. es una opción interesante en el proceso de diseño (cuando existe) y es esencial en el proceso de análisis de datos, mucho menos exigente computacionalmente. La mayoría de los programas que escribe un ingeniero son cortos, y requieren casi siempre las mismas herramientas matemáticas (álgebra lineal, representación de funciones, integración numérica...). se busca efectividad, rapidez y pocos errores. Matlab es el lenguaje de programación y la aplicación que mejor encaja en todos estos requisitos en lo que a ingeniería se refiere.
67
Sin embargo, el software utilizado, como se ha dicho anteriormente, fue Mathematica , el cual tiene amplias posibilidades didácticas. Para cada tema se prepara un "Notebook" (documento de trabajo del programa), para la introducción de las funciones a utilizar en cada tema, estos notebooks se utilizaron en las conferencias donde, eventualmente, también se emplearon como medio de enseñanza. Para los laboratorios se prepararon notebooks para el trabajo de los estudiantes las cuales incluían algunas orientaciones además de las actividades a realizar. Es significativo el hecho de que este software permite crear "paletas" (en el sentido de la paleta de un pintor) desde donde el estudiante puede tomar los comandos necesarios lo que evita su memorización. Algunos ejemplos: (Resolución numérica de ecuaciones diferenciales) Para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales, a los estudiantes se les enseñan los métodos de Runge Kutta, los cuales tienen que ser capaces de aplicar en el cálculo manual, con el Mathematica, los alumnos analizarán programas de estos algoritmos (uno de los objetivos del Plan de Estudio) y podrán ejecutarlos de manera que les servirán para corroborar sus resultados manuales y para verificar su efectividad, comparando los resultados. * Realización de cálculos y simulaciones de cualquier nivel de complejidad mediante el uso de la amplia librería de funciones matemáticas y computacionales. * Rápida y fácil importación y exportación de datos, que incluye imágenes y sonido, en más de veinte formatos. * Generación de documentos interactivos, independientes de la plataforma, con textos, imágenes, expresiones matemáticas, botones e hyperlinks. * Entrada de expresiones a través del teclado o de la paleta (programable) más adecuada. * Construcción de complejas expresiones y fórmulas con formato automático y ruptura de líneas. * Exportación de los "notebooks" a formato HTML para presentaciones web o LaTeX para publicaciones especiales. Para esta parte asignada de Cálculo Diferencial e Integral, sin duda por lo referido anteriormente y su contraste con el epílogo mostrado, la funcionalidad de
68
Mathematica 6.0 es claramente mucho mejor en comparación a Matlab, con menús y barras más amigables y respuestas que no dependen de aproximaciones de matrices sino tal y como uno lo espera en un curso de Cálculo de Pregrado.
69
APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A LA ODONTOLOGÍA UTILIZANDO MATHEMATICA
CASO 1: Hallar la velocidad de las bacterias en una gingivitis si es que estuviese modelado por:
f ( t ) = 3t 3 − 2t 2 + 4t − 1 + 4 sen ( t + 1) donde t es el parámetro
de tiempo. Solución: Utilizando Mathematica tiene varias posibilidades de acuerdo a lo estudiado anteriormente. Basta considerar lo siguiente en su tipeo:
Que es la velocidad de las bacterias que ocasionan la gingivitis. Dado que el tiempo es mayor que cero, ahora se procede a graficar tanto la función bacteriana como la función de su velocidad. Para ello, digite lo siguiente y observe lo que aparece:
70
Luego, repita lo mismo pero para la velocidad:
71
Comparación de función bacteriana y su velocidad de propagación en Gingivitis:
Observe como decae la velocidad de crecimiento a medida que pasa el tiempo, probablemente debido al tratamiento de dicha enfermedad en un consultorio médico. CASO 2: El doctor Elmer Acevedo analiza si es que una mancha blanca en uno de sus pacientes debe de ser considerada como caries para una tercera molar para lo cual se estudia el área de la misma. Por ello se va a hacer uso de dos mediciones, una parabólica a medida de diente medida del avance de la mancha
g ( x ) = x 2 + 3x − 9 mm y la otra lineal a
f ( x ) = 2 x + 3 mm a fin de capturar el área
dañada. El doctor Paredes sugiere que si el área dañada supera los 58 mancha deberá ser considerada como caries.
mm 2 esta
¿Qué decisión deberá tomar el doctor Acevedo? Fundamente su respuesta.
72
Solución: En Mathematica, basta considerar, en primer momento la obtención de los puntos críticos igualando las dos ecuaciones que aparecen allí y solucionando dicha ecuación. Para esto tenemos el comando:
Como vemos los puntos críticos son -4 y 3. Estos van a ser los límites de integración de la integral definida. Para esto, digitar y presionar shift + enter en:
Para obtener este valor de la integral obtenido de manera decimal basta utilizar el comando N, de la siguiente forma:
73
2
Por tanto el área que recubre esta mancha blanca es de menos de 58 mm , y de este modo de acuerdo al diagnóstico del doctor Paredes esta mancha NO DEBE de ser considerada como CARIES.
CASO 3: El doctor Gustavo Huertas analiza si es posible hacer una operculectomía a un paciente en el CIS sobre un absceso cercano a la encía, la cual posee una forma parabólica parecida a la curva
y = 3 − x2
mm., y se pretende hacer el corte lineal con un bisturí a modo del comportamiento de la recta y = − x + 1 mm. De acuerdo a los estudios odontológicos realizados en el laboratorio se observa que 2
si el área a cortar es de 0 a 2 mm no se debe hacer una operculectomía y si supera a esta cantidad se debería hacer la misma. ¿Debe hacer o no la operculectomía el doctor Gustavo?
74
Solución: En Mathematica, basta considerar, en primer momento la obtención de los puntos críticos igualando las dos ecuaciones que aparecen allí y solucionando dicha ecuación. Para esto tenemos el comando:
Como vemos los puntos críticos son -1 y 2. Estos van a ser los límites de integración de la integral definida. Para esto, digitar y presionar shift + enter en:
75
Para obtener este valor de la integral obtenido de manera decimal basta utilizar el comando N, de la siguiente forma:
Por tanto el absceso en milímetros cuadrados de tejido formado ha sido de 4.5 unidades, razón por la cual este número ha superado el máximo límite esperado que era de 2, de modo que ya no se puede medicar, simplemente se debe de proceder al corte en la encía esto es, se debe de proceder a realizar la operculectomía. CASO 4: El doctor Paredes desea establecer un área dónde establecer un cartucho de anestesia. Para ello examina la zona apropiada dentro de la mucosa, sobre la cual se encuentran venas y arterias, definidas aproximadamente como:
f ( x ) = 4 x 2 − 3x + 6 mm y g ( x ) = −2 x 2 + 7 x + 5 mm. 2
Si el área entre estas es muy pequeña (inferior a 3 mm ) no se podrá aplicarle la anestesia en esa zona. Determinar si es que se debe anestesia en un punto de esa zona capilar.
100
50
4
2
2
4
50
Solución:
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En Mathematica, basta considerar, en primer momento la obtención de los puntos críticos igualando las dos ecuaciones que aparecen allí y solucionando dicha ecuación. Para esto tenemos el comando:
Dados estos puntos críticos, estos van a ser los límites de integración de la integral definida. Para esto, digitar y presionar shift + enter en:
Como se observa, se ha superado el límite de 3 milímetros cuadrados de la región donde se podría aplicar la anestesia, por tanto de acuerdo a las condiciones dadas sí se podrá aplicar la misma, pues los canales de venas han sido despejados para el inyector.
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
[1] Gutiérrez Segura, Flabio, “Mathematica6.0” , UNP, Perú 2004. [2] Laskaris, G: “Atlas de las Enfermedades Orales”. España, 2000. [3] Wolfram Researches: “Mathematica 6.0-Manual del estudiante”. Mexico. 2006.
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