Determinantes Ejercicio nº 1.Halla el valor de los siguientes determinantes. En el apartado b), calcula , además, los posibles valores de t para que el determinante sea cero:
a)
1 3
2
b)
1
1 1 t
1
1
2
1
t
0
1
4
0
2
4
t
Ejercicio nº 2.a) Calcula el valor del determinante:
1
2 1
2
3
1
3
1
1
b) Resuelve la ecuación:
x 1 1
1 3 x 2 0 x 3
Ejercicio nº 3.Calcula el valor de los siguientes determinantes.
a)
4
2
3
2
0
1
3
3
2
b) 1 x
1
0
1
1 x
1
0
1
1 x
Ejercicio nº 4.Calcula cuánto vale el primer determinante y halla los valores de t que anulan el segundo determinante:
a) 2
1
2
0
2
4
2
b)
t
2
2
3
2
t
0
1
1
t
t
1
Ejercicio nº 5.Calcula el valor del determinante propuesto en a) y resuelve la ecuación propuesta en b):
a) 2
1 0
b)
a
a
1
1
a 0
1
0
2
1
1
1
1
0
1 1
Ejercicio nº 6.a
b
c
d
Si
a
3, calcula el v alor de los siguientes determinantes:
2a 2b
c ;
b
b
2c 2d
d
2a
2b
2c
2d
; d
Ejercicio nº 7.a
b
x
y
Sabiendo que
a)
a
b
x a
y b
4, halla el v alor de los siguientes determinates:
b)
x
y
c) 3a
a
b
x
3b y
Ejercicio nº 8.Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:
a)
2
2
x
y
1
1
2x
2y
b)
a
a2
a2
a3
0
Ejercicio nº 9.Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta: a)
x a
2x a b 2
y
2y b 2
b) 3 x
3y
3a
3b
3
x
y
a
b
Ejercicio nº 10.-
Si A y B son dos matrices 2 2, tales que A 2 y B 4, calcula: A2 ; A ; 2A ; AB ; At ; A 1
2
Ejercicio nº 11.Averigua cuál es el rango de la siguiente matriz:
2 M 1 1
3
1
2
3
12
11
5 1 7
Ejercicio nº 12.Estudia el rango de la matriz:
2 1 A 0 5
3 1 3 5
1 1 4 3
Ejercicio nº 13.Calcula el rango de la matriz:
2 A 1 3
1 0 2
4 1 3 1 1 3
Ejercicio nº 14.Halla el rango de la siguiente matriz:
1 1 M 1 2 0 1
2 3 0
0 2 3
Ejercicio nº 15.Obtén el rango de esta matriz:
2 1 2 M 1 2 1 0 1 0
3 1 3
3
Ejercicio nº 16.Determina el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:
1 A 0 4
0
1
a
3
1
a
0 0 0
Ejercicio nº 17.Estudia el rango de esta matriz, según los valores de t:
1 M 0 1
0
4
t
4
3
t
2 0 2
Ejercicio nº 18.Estudia el rango de la matriz M según los valores de t:
M
1
2
3
1
t
3
1
8 3t
3
2 2 1
Ejercicio nº 19.Determina cuál es el rango de la matriz A, según los valores de :
1 A 0
1
1
0
0
2
1 2 0
Ejercicio nº 20.Estudia el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:
a M 1 2
1
3
a
2
2a
5
0 1 a
4
Ejercicio nº 21.a) Encuentra los valores de a para los que la matriz:
a A 1 a 2
1 1 a 1 2 2
no es inversible. b) Calcula A1 para a 2.
Ejercicio nº 22.Halla una matriz, X, tal que AX B 0, siendo:
1 1 0 A 2 0 1 1 1 1
y
2 1 B 4 4 4 1
Ejercicio nº 23.Calcula, si es posible, la inversa de la matriz:
1 1 1 a A 1 1 1 1 1 a a Para los casos en los que a 2 y a 0.
Ejercicio nº 24.Halla X tal que AX B, siendo:
2 1 1 A 0 2 3 1 1 1
y
6 2 1 B 5 0 1 3 1 2
Ejercicio nº 25.a) Calcula para qué valores de existe la inversa de la matriz:
1 2 A 2 1 1 2
b) Calcula A1 para 0.
5
Soluciones Determinantes Ejercicio nº 1.Halla el valor de los siguientes determinantes. En el apartado b), calcula , además, los posibles valores de t para que el determinante sea cero:
a)
1 3
2
b)
1
1 1 t
1
1
2
1
t
0
1
4
0
2
4
t
Solución:
a)
2
1 3
1
1
2 1
1
4
0
b) Calculamos el valor del determinante:
1
1 1 t
1
t
0
2
4
t
t 2 41 t 2t 1 t t t 2 4 4t 2t 2t 2 t 3t 2 7t 4
Veamos para qué valores de t se anula el determinante:
8 4 t 6 3 7 49 48 7 1 2 3t 7t 4 0 t 6 6 6 t 6 1 El determinante vale cero cuando t
4 y cuando t 1. 3
Ejercicio nº 2.a) Calcula el valor del determinante:
1
2 1
2
3
1
3
1
1
b) Resuelve la ecuación:
x 1 1
1 3 x 2 0 x 3
6
Solución:
a) 1 2 1 2 3 1 7 3 1 1 b) Desarrollamos el determinante y lo igualamos a cero: FILAS a
x
1
3
a
1
x
2
x
1
3
1
1
x
2
2
1
x
3
a
3 2
a
0
0
x
1
1
x
x 2 1 0 x 2 1 x 1
1
Hay dos soluciones: x1 1; x 2 1
Ejercicio nº 3.Calcula el valor de los siguientes determinantes.
a)
4
2
3
2
0
1
3
3
2
b) 1 x
1
0
1
1 x
1
0
1
1 x
Solución:
a)
4
2 3
2
0
1 20
3
3
2
b) 1 x 1 0 3 3 2 1 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 21 x 1 x 1 x 2 0 1 1 x
1 x 1 2x x 2 2 1 x x 2 2x 1 x 3 3x 2 x 1 Ejercicio nº 4.Calcula cuánto vale el primer determinante y halla los valores de t que anulan el segundo determinante:
a) 2
1
2
0
2
4
2
b)
t
2
2
3
2
t
0
1
1
t
t
7
Solución:
a) 2
b)
2
1
0
2
4
2
3 12 1
t
2
2
2
t
0 t 3 4t 2t 4t t 3 2t t t 2 2 0
1
t
t
t 0 2 2 t 2 0 t 2 t 2
Hay tres soluciones: t1 0; t 2 2; t 3 2 Ejercicio nº 5.Calcula el valor del determinante propuesto en a) y resuelve la ecuación propuesta en b):
a) 2
1 0
b)
a
a
1
1
a 0
1
0
2
1
1
1
1
0
1 1
Solución:
a) 2
1 0
1
0
2 1
1
1
1
b) Desarrollamos el determinante e igualamos a cero el resultado: COLUMNAS
a
a
a
1
a
0
1
1
1
a 2 1 1
0
a
0
1 1
(1)
1 a
a
3
a
0
1
1 1
a
1
1 a
a 2 1 0 a 1
Desarrollamos por la 2ª columna
Hay dos soluciones: a1 1; a2 1
Ejercicio nº 6.a
b
c
d
Si
a
3, calcula el v alor de los siguientes determinantes:
2a 2b
c ;
b
d
2c 2d
b
2a
2b
2c
2d
; d
8
Solución:
(1) El
a
c
b
d
a
b
c
d
2a 2b
b
2c 2d
d
3
2a
b
2c
d
2b
b
2d
d
1
2
a
b
c
d
0 23 6
segundo determinante es 0, pues tiene dos columnas proporcionales. 2a
2b
2c
2d
22
a
b
c
d
4 3 12
Ejercicio nº 7.a
b
x
y
Sabiendo que
a)
a
b
x a
y b
4, halla el v alor de los siguientes determinates:
b)
x
y
c) 3a
a
b
x
3b y
Solución: a) Sumamos la 2ª fila la 1ª. a
b
x a
y b
b) x
y
a
b
a
b
x
y
c) 3a x
3b
3
y
a
b
x
y
4
4
a
b
x
y
3 4 12
Ejercicio nº 8.Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:
a)
2
2
x
y
1
1
2x
2y
b)
a
a2
a2
a3
0
9
Solución:
x y Son iguales La igualdades cierta. 1 1 2y 2 x 2 x 2y
a) 2
b)
a a2
2
2y 2 x
a2 a4 a4 0 a3
Tambiénes cierta esta igualdad.
Ejercicio nº 9.Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta: a)
x a
2x a b 2
y
2y b 2
b) 3 x
3y
3a
3b
3
x
y
a
b
Solución: a) 2x a 2
2y x b a b 2x 2y xb ya 2 2 a 2
y b
Por tanto, la igualdad es verdadera. b) 3 x
3y
3a
3b
9 xb 9ay 9xb ay 9
x
y
a
b
Luego, es falsa. Ejercicio nº 10.-
Si A y B son dos matrices 2 2, tales que A 2 y B 4, calcula: A2 ; A ; 2A ; AB ; At ; A 1
Solución: Sabemos que, si A y B son dos matrices 22, entonces:
1) A B A B
2) k A k 2 A
3) At A
Por tanto: 2
A2 A A A A A 22 4 A 1 A 1 A 1 A A 2 2
10
2A 2 2 A 4 A 4 2 8
AB A B 2 4 8 At A 2 Para hallar A 1 , vamos a tener en cuenta que A A 1 I y que existe A 1,
puesto que A 2 0. Así:
A A 1 I
A A 1 1
A 1
1 1 A 2
Ejercicio nº 11.Averigua cuál es el rango de la siguiente matriz:
2 M 1 1
3
1
2
3
12
11
5 1 7
Solución: Tomamosun menor de orden 2 no nulo:
2 3 7 0 1 2
Luego, ran (M) 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:
2
1
3
1 2 1
12
3
2 0;
11
3
5
1 2
1 0
1
7
12
Así, la 3ª fila es combinación lineal de las dos primeras. Por tanto, ran (M) 2. Ejercicio nº 12.Estudia el rango de la matriz:
2 1 A 0 5
3 1 3 5
1 1 4 3
11
Solución: Tomamosun menor de orden 2 no nulo:
2 3 50 1 1
Luego, ran (A) 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:
2 3 1 1 0
1 1 17 0
3
Las tres primeras filasson linealmente independientes.
4
Por tanto, ran (A) 3.
Ejercicio nº 13.Calcula el rango de la matriz:
2 A 1 3
1 0 2
4 1 3 1 1 3
Solución: Tomamosun menor de orden 2 no nulo:
2 1 1 0 1 0
Por tanto, ran (A 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:
2 1 3 1 0 1 14 0 Las tres filasson linealmente independientes. 3
2
1
Luego, ran (A) 3
Ejercicio nº 14.Halla el rango de la siguiente matriz:
1 1 M 1 2 0 1
2 3 0
0 2 3
12
Solución:
1 1 M 1 2 0 1
2 0 3 2 0 3
Tomamos un menor de orden 2 no nulo: 2 0 4 0 ran M 2 3 2
Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la 3ª fila depende linealmente de las dos primeras:
1
2 0
1 3
2 3
0
3
0
1
2
1 3
15 0
Las tres primeras filas son linealmente independientes. Por tanto, ran (M) 3.
Ejercicio nº 15.Obtén el rango de esta matriz:
2 1 2 M 1 2 1 0 1 0
3 1 3
Solución:
Observamos que la 1ª y la 3ª columna son iguales. Luego podemos prescindir de la 3ª columna para calcular el rango de M. Tomamos un menor de orden 2 no nulo: 2
1
1
2
30
Por tanto, ran (M) 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes (y las dos primeras columnas). Veamos si la 4ª columna depende linealmente de las dos primeras:
13
2 1 3 1 2 1 14 0 ran M 3 0 1 3
Ejercicio nº 16.Determina el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:
1 A 0 4
0
1
a
3
1
a
0 0 0
Solución: Podemos prescindir de la 3ª columna, pues no influye en el rango. 1 0 Tomemosun menor de orden 2 distinto de cero: 4
1 0
1
Luego, ran (A) 2. Buscamos los valores de a que hacen cero el determinante formado por las tres primeras columnas:
1 0
1
0
a
3 a 2 4a 3 0 a
4
1
4 16 12 4 2 2 2
a
a 1 a 3
Si a 1 y a 3 ran(A) 3 Si a 1 o a 3 La 2ª fila depende linealmente de las otras dos ran(A) 2
Ejercicio nº 17.Estudia el rango de esta matriz, según los valores de t:
1 M 0 1
0
4
t
4
3
t
2 0 2
Solución:
14
Observamos que la 4ª columna es el doble de la 1ª. Luego, podemos prescindir de ella para obtener el rango. 1 4 Tomamosun menor de orden 2 distinto de cero : 0
40
4
Así, ran (M) 2. Buscamos los valores de t que hacen cero el determinante formado por las tres primeras columnas:
1
0
4
0
t
4 t 2 4t 12 0 t
1 3
4 16 48 4 8 2 2
t
t 2 t 6
Si t 2 y t 6 ran(M) 3 Si t 2 o t 6 La 2ª columna depende linealmente de la 1ª y 3ª. Por tanto, ran (M) 2. Ejercicio nº 18.Estudia el rango de la matriz M según los valores de t:
M
1
2
3
1
t
3
1
8 3t
3
2 2 1
Solución:
Observamos que la 3ª columna es proporcional a la 1ª (es su triple); por tanto, podemos prescindir de ella para calcular el rango. 1 1 Tomamosun menor de orden 2 distintode cero:
1 0
1 2
Luego, ran (M) 2. Buscamos los valores de t que hacen que el determinante formado por las columnas 1a, 2a y 4a sea cero:
1
2
1
1
t
2
1 8 3t
2t 8 3t 4 t 28 3t 4 0 para cualquiervalor de t.
2
Por tanto, la 3ª fila depende linealmente de las dos primeras para cualquier valor de t. Así, ran (M) 2.
15
Ejercicio nº 19.Determina cuál es el rango de la matriz A, según los valores de :
1 A 0
1
1
0
0
2
1 2 0
Solución:
1 A 0
1
1
0
0
2
1 2 0 1
1
0
2
Tomamosun menor de orden 2 distinto de cero :
20
Luego, ran (A) 2. Buscamos los valores de que hacen cero el determinante formado por las columnas 2a, 3a y 4a:
1 1 1 0
0
2
2 2
1 1
22 1 2 2 2
2
0
2 2 2 0
Si 1 y 2
1 1 8 1 3 2 2
1 2
ran A 3
Si 1 La 3ª columna depende linealmente de la 2ª y 4ª. Veamos qué ocurre con la 1ª columna:
1
1
1 0 0
1 2 1 0 ran A 3
1 0
Si 2 La 3ª columna depende linealmente de la 2ª y 4ª. Veamos qué ocurre con la 1ª columna:
1
1
1
2
0
2 8 0 ran A 3
0
2 0
Por tanto, ran (A) 3 para cualquier valor de .
16
Ejercicio nº 20.Estudia el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:
a M 1 2
1
3
a
2
2a
5
0 1 a
Solución: 3
0
2
1
Tomamosun menor de orden 2 distinto de cero :
30
Luego, ran (M) 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes para cualquier valor de a. Buscamos los valores de a que hacen que el determinante formado por las columnas 1a, 3a y 4a sea igual a cero:
a 3 0 1
2 2 2 2 2 1 2a 6 5a 3a 2a 8a 6 2 a 4a 3 0 a 4a 3 0
2 5 a
a
4 16 12 4 2 2 2
a 3 a 1
Si a 1 Sabemos que la 1ª columna depende linealmente de las dos últimas. Veamos que ocurre con la 2ª columna:
1 3 0 1
a 2 1 0 La 2 columnadependelinealmente de las dos últimas.
2
5 1
Por tanto, ran (M) 2. Si a 3 Sabemos que la 1ª columna depede linealmente de las dos últimas. Veamos que ocurre con la 2ª columna:
1
3 0
3
2 1 8 0. Por tanto, ran M 3
6
5 3
Ejercicio nº 21.a) Encuentra los valores de a para los que la matriz:
a A 1 a 2
1 1 a 1 2 2
17
no es inversible. b) Calcula A1 para a 2.
Solución:
a) La condición necesaria y suficiente para que exista A1 es que A 0 . Calculamos el determinante de A:
A
a
1 1
1
a
1 2a 2 2 a 2 a a 2 2a 2 3a 2 5a 2 0
a2
2
2
a
5 25 24 5 1 6 6
a 1 2 a 3
Por tanto,la matrizno es inversiblepara a 1 y para a
2 . 3
b) Para a 2 , tenemosque A 4 . La matriz A queda: 2 1 1 2 2 2 A 1 2 1 Adj A 0 4 4 0 2 2 1 1 3
A 1
Adj A
t
0 1 2 2 4 1 2 4 3
0 1 2 1 Adj At 1 2 4 1 4 A 2 4 3
Ejercicio nº 22.Halla una matriz, X, tal que AX B 0, siendo:
1 1 0 A 2 0 1 1 1 1
y
2 1 B 4 4 4 1
Solución:
Calculamos A para ver si existe A 1 : 1 A 2 1
1
0
0
1 2 0 Existe A 1
1
1
Despejamos X en la ecuación dada:
AX B 0 AX B A 1AX A 1B X A 1B
18
Hallamos la matriz inversa de A:
1 1 2 Adj A 1 1 0 1 1 2
A 1
Adj A
t
1 1 1 1 1 1 2 0 2
1 1 1 1 1 1 1 Adj At 1 1 1 1 1 1 1 1 2 A 2 2 0 2 2 0 2
Obtenemos la matriz X:
1 1 1 2 1 2 4 1 1 1 X A B 1 1 1 4 4 2 2 1 2 2 1 2 0 2 4 4 0 2 1
2 1 0
Ejercicio nº 23.Calcula, si es posible, la inversa de la matriz:
1 1 1 a A 1 1 1 1 1 a a Para los casos en los que a 2 y a 0.
Solución: Para a 2, queda:
3 1 1 A 1 1 1 1 3 2 Entonces, A 2. En este caso, sí existe A 1. La calculamos:
1 1 2 Adj A 1 5 8 0 2 2
A 1
1 Adj At A
Adj A
t
0 1 1 1 5 2 2 8 2
1 1 0 2 2 1 5 1 2 2 1 4 1
Para a 0, queda:
19
1 1 1 A 1 1 1 1 1 0
Como las dos primerasfilasson iguales, A 0 . Por tanto,en este caso, no existe A 1.
Ejercicio nº 24.Halla X tal que AX B, siendo:
2 1 1 A 0 2 3 1 1 1
y
6 2 1 B 5 0 1 3 1 2
Solución:
Calculamos A para ver si existe A1: 2 A 0 1
1 1 3 5 0 Existe A 1
2
1 1
Despejamos X de la ecuación dada:
AX B A 1AX A 1B X A 1B Hallamos la matriz inversa de A:
5 3 2 Adj A 0 1 1 5 6 4
A 1
Adj A
t
5 5 0 3 1 6 2 1 4
5 5 0 1 Adj At 1 3 1 6 5 A 2 1 4
Obtenemos la matriz X:
5 1 X 3 5 2
5 6 1 6 5 1 4 3 0
1 15 5 1 0 1 5 0 5 5 1 2 0 2
5 3 1 1 10 1 0 2 5 1 0 1
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Ejercicio nº 25.a) Calcula para qué valores de existe la inversa de la matriz:
1 2 A 2 1 1 2
b) Calcula A1 para 0.
Solución:
a) La condición necesaria y suficiente para que exista A1 es que A 0 . Calculamos el determinante de A:
1 2 2 A 2 1 22 4 1 2 2 4 32 6 3 3 1 1 2 A 0
3 1 0 2
1 0
1
Por tanto,existe A 1 para 1. b) Para 0, la matriz es:
0 1 2 0 3 0 A 2 0 1 Adj A 2 2 1 1 0 2 1 4 2
Adj A
t
0 2 1 3 2 4 0 1 2
A 3
A
1
0 2 1 1 1 t Adj A 3 2 4 3 A 0 1 2
21