DOSSIER DE CONSOLIDACIÓ DE LES MATEMÀTIQUES de 4t ESO ESTIU 2015 Els alumnes que heu aprovat l'assignatura al juny i estudiareu matemàtiques el curs que ve, tant si feu el batxillerat tecnològic, el científic o el social hauríeu de fer els exercicis d'aquest dossier per estar més preparats i superar les matemàtiques de 1r de Batxillerat. Alguns heu passat just i heu tingut dificultats en aquesta matèria a 4t d’ESO, a aquest us vindrà especialment bé fer aquest dossier. Els exercicis s'han de fer en fulls i copiant els enunciats. Recordeu que per fer-los podeu consultar el llibre digital i els apunts i exercicis de classe. Haureu d'entregar el dossier, el primer dia de curs, al professor de Matemàtiques de 1r de Batxillerat i serà la primera qualificació del nou curs. Tema 1: POTÈNCIES I RADICALS 1. Expressa com a potència única, si és possible, i calcula: e)
h)
i)
2. Redueix les següents expressions i expressa-les com a producte o quocient de potències de nombres primers i exponents positius: a)
b)
d)
3. Fes aquestes multiplicacions i divisions i dóna el resultat el més simplificat possible:(Recorda que has de reduir a índex comú). a) 4.
b)
c)
d)
Calcula les següents potències i arrels i treu factor fóra del radical si és possible:
b)
a)
d)
c)
5. Suma i resta, primer factoritza i treu factors, si cal: (Recorda que els factors del numerador surten i es queden al numerador i els del denominador surten de l'arrel i es queden al denominador.) a) 4 8 3 2
1 50 3
b) 12 5 3
3 27 5
c)
6. Racionalitza: (Al denominador hi ha arrels d'índex 2 o superior a 2) a)
7 2 7
b)
2 5 10
c)
5 3 5
d)
6 7
23
2 2
e)
2 2
1
f)
10 2 3 2
e)
3 5 54 3
TEMA 2: POLINOMIS I FRACCIONS ALGEBRAIQUES 7.
Fes les següents divisions de polinomis. Recorda que si falta algun terme en el dividend deixem un espai en el seu lloc per poder fer la divisió. a)
b)
8. Què vol dir que un nombre a és arrel de P(x)?
b) Troba el valor numèric del polinomi indica si algun d'aquests valors és arrel del polinomi. 9. Utilitza la regla de Ruffini per decidir si 10. Troba el valor de m perquè
en
i
és o no arrel de
.
sigui arrel del polinomi
11. a) Troba el valor de m perquè el residu de dividir
entre
sigui -5. b) Troba el valor de m perquè el residu de dividir sigui
entre
12. Desenvolupa els següents productes notables:
b) e)
c)
d)
e)
f)
13. Factoritza i troba les arrels dels següents polinomis. Pots utilitzar les tres eines: Treure
factor comú, productes notables i la Regla de Ruffini. a) c) e)
b) d) f)
14. Simplifica les següents expressions algebraiques:
a)
b)
c)
d)
15. Fes aquestes sumes i restes amb fraccions algebraiques:
a)
c)
c)
16. Fes aquestes multiplicacions i divisions amb fraccions algebraiques: (Recorda que has de
factoritzar i simplificar abans d'operar) a)
b)
c)
2
TEMA 3: EQUACIONS I INEQUACIONS 17. Resol les següents equacions amb parèntesis:
a)
b)
c)
d)
–
18. Resol la següents equacions de segon grau completes. Recorda que has de posar tots
els termes en un membre i a l’altre un zero. a) b)
c) d)
19. Resol les següents equacions incompletes:
Falta el terme independent: Es resolen traient x factor comú. a) b) c) Falta el terme en x: Es resolen aïllant i després fent l’arrel quadrada. e) f) g) 20. Resol la següent equació biquadrada:
a) b) c) 21. Resol les següents equacions factoritzades. Recorda que no has de multiplicar, sinó resoldre les equacions de cada factor per separat. a) b) c) d) 22. Resol les següents equacions amb fraccions algebraiques: a)
b)
c)
d)
23. Resol la següents equacions irracionals:
a)
b)
+5
c)
d)
24. Resol les següent inequacions de primer grau:
a)
b)
d)
e)
25. Resol la següent inequació de segon grau: a) b) c)
d)
26. Escriu una equació que tingui per solucions:
a) 0 (doble),
2 i 5
b)
3 i 4
c) -5 (doble) , -1 i 5
3
d) -3,
Tema 4 : SISTEMES D'EQUACIONS 27. Resol els següents sistemes no lineals:
a)
b)
c)
d)
Resol mitjançant equacions de primer grau, de segon grau o sistemes d’equacions els problemes següents: 28. Un inversor ha comprat accions de BBVA i Jazztel per un preu total de 6000 €. Ha venut les accions amb uns guanys 20% i el 30% respectivament i han guanyat en total de 1400€. Quant havia invertit en cada empresa ? 29. Hem comprat 107 pilotes de tennis en pots de 3 pilotes de la marca Head i pots de 4 pilotes de la marca Dunlop. Quants pots hem comprat de cada marca si tenim 33 pots ? 30. El transport en taxi costa 2,50 € de baixada de bandera i 1,50 € per cada quilòmetre recorregut. Si en un trajecte hem pagat 13 €, quina distancia hem fet? 31. Els quadrats de dos nombres consecutius sumen 1.301. Troba els dos nombres. 32. Si augmentem la base d’un quadrat en 25 cm i disminuïm l’altura en 24, obtenim un rectangle que fa la mateixa superfície que el quadrat. Quant fa cada costat del quadrat ? 33. Quants alumnes hi ha en una classe si per l’amic invisible cadascun fa un regal a cada company i entre tots reuneixen 600 regals?
Tema 5: SEMBLANÇA 34. a) Calcula la mesura dels costats AC’, B’C’ b) Calcula la mesura dels segments: x, y , z i t
35. Quant fa l’ombra que projecta un arbre de 15 m d’altura si saps que en el mateix moment un arbre de 8 m d’altura projecta una ombra de 10 m? 36. Enuncia els teoremes de Pitàgores, del catet i de l'altura. Utilitza els tres teoremes per calcular a, m, n, i h en el següent triangle. 37. Una antena esta subjectada amb dos calbes que formen entre si un angle de 90° i són de 15 m 10 m de llarg. A quina altura s’enganxen a l’antena? 38. Hem fet una maqueta d’una piscina rectangular a escala 1:50.Si les dimensions reals de la piscina són 4 m d’amplada, 10 m de llargada i 2 m de profunditat. a) Quina es l’amplada, la llargada i la profunditat de la maqueta? b) Quina es el volum de la maqueta?
4
39. Si r és la raó de semblança entre dos cossos. Quina és la raó entre les àrees i entre els volums? 40. Si un dipòsit cilíndric té una àrea total de 75 m2 i una capacitat de 140 m3 . Quina serà l'àrea total i el volum d'un dipòsit semblant si dupliquem el radi i l'altura?
Tema 6: TRIGONOMETRIA 41. Escriu les dues relacions entre les raons trigonomètriques. Utilitza-les per calcular les altres dues raons si sabem que: a) cos α = 0.4 b) sin α = 0.75 c) cos α = d) sin α = a) Si tg α = 4 b) Si tg α = 0.8 42. Resol els següents triangles, és a dir troba les mesures de tots els elements que falten: a) A = 90° a= 38 cm c= 31 cm b) A = 90° b = 12 cm c= 7cm c) A = 90° B= 25° a= 48 cm. 43. Una antena està subjecta al terra amb un cable de 123 m. que forma un angle de 50° amb el terra. A quina està distància està el clau se subjecció de la base de l’antena? Quina és l’altura de l’antena? 44. Una torre de 18 m. projecta una ombra de 15 m., quin angle formen els raigs de sol amb el terra? 45. Les diagonals d’un rombe mesuren 7 cm. i 20 cm., Calcula els angles del rombe. 46. Troba l’àrea d’un pentàgon regular de costat 8 cm. 47. Troba l’àrea d’un heptàgon regular inscrit en una circumferència de 10 cm de radi. 48. Volem mesurar l'altura d'un arbre i des d'un punt del terra veiem el punt més alt sota un angle de 63°. Ens allunyem 10 m de l'arbre i llavors veiem el punt més alt sota un angle de 35°. Quina és l' altura de l'arbre? 49. Des d'un vaixell veiem la llum d'un far amb una inclinació de 20° i, quan avancem 18 km. cap al far la veiem sota un angle de 35° A quina distància ens trobem del far?
Tema 7: FUNCIONS 50. Estudia aquestes característiques de les següents funcions: 1. Domini 2. Recorregut 3. Discontinuïtats 4. Creixement i decreixement 5. Màxims i mínims. a) b)
5
51. Troba el domini de les següents funcions: a) b) g)
c)
d)
h)
52. Representa les següents funcions definides a trossos:
a)
b)
c)
Tema 8: MODELS DE FUNCIONS 53. Donades les rectes: a) + b) c) Troba les interseccions de cada recta amb els eixos coordenats i represénta-les. 54. Determina l’equació de les següents rectes: a) Té pendent -3 i passa pel punt (1,6) b) Té ordenada a l’origen 2 i passa per (-1,4) c) Passa per l’origen i pel punt (-2,5) d) Passa pels punts (1,5) (-3, 15) e) Passa per (-1,2) i és paral·lela a 55. En dues empreses A i B hi ha una plaça de comercial. L’empresa A li paguen un sou fix de 600€ al mes, més 90€ per cada venda efectuada. A l’empresa B paguen 150 € per cada venda, sense un sou fix. a) Quina empresa interessa més segons el nombre de vendes que es fan? Raona la resposta. b) Representa gràficament en un mateix sistema d’eixos coordinats les funcions sou - nombre de vendes de les dues empreses. 56. Donades les paràboles: a) b) c) 1)Representa-les buscant el vèrtex i els punts de tall de la paràbola amb els eixos coordenats. 57. Les despeses anuals d’una empresa per la fabricació de x ordinadors són en euros i els ingressos obtinguts per les ventes són en euros. Quants ordinadors han de fabricar-se per què el benefici (ingressos menys despeses) sigui màxim? Quant és aquest benefici màxim? 58. Els beneficis mensuals d’un artesà, expressats en euros , quan fabrica i ven x objectes, s’ajusten a la funció a) Trobeu el nombre d’objectes que ha de fabricar i vendre per a obtenir benefici màxim. Calcula també quant és aquest benefici màxim. (Et demanem que trobis Vx i la seva imatge) b) Quants objectes ha de fabricar per no perdre ni guanyar diners? (Et demanem que trobis els punts de tall de la paràbola amb l’eix x). c) Fes una taula de valors i representa la gràfica dels beneficis mensuals. 59.Les següents paràboles són translacions de a) , b) , c)
, d)
, troba el vèrtex i la translació que les ha originat: , e)
6
60.Representa la funció: a) Fes la taula de valors (Dóna els valors - 4, - 2, - 1, - 0.5, - 0.25, 0 , 0.25 , 0.5 , 1 , 2 , 4). b) Representa la funció. Quin nom té aquesta corba? c) Troba el domini i la imatge. Estudia el creixement i decreixent. d) Es contínua? Escriu l'equació de les asímptotes. 61.a)Representa la funció: b) Troba el domini i la imatge. Estudia el creixement i decreixement i la continuïtat.
Tema 9: COMBINATÒRIA 62. Com que s'acosta Tots Sants, a la pastisseria han fet panellets de pinyons, d'ametlles, de xocolata, de taronja, de cafè, de llimona, d'avellanes, de maduixa i de coco. Volen preparar bosses petites variades i posar a cada una 3 panellets diferents. Quantes bosses diferents podrien fer-se? 63. A un concurs de relats breus s'han presentat 25 persones, de quantes maneres podrien repartir-se el primer, segon i tercer premi? 64. Un grup de 15 amic queden per sopar i a mesura que van arribant, se saluden amb dos petons. a) Quantes salutacions han intercanviat? b) Després sopar 3 amic han d'anar a buscar un pastís. Quantes possibilitats hi ha? 65. Decideix si aquesta igualtat es certa o no: n! +m! = (n + m)!. (Pots donar valors a m i n i calcular els resultats. 66.Un entrenador de futbol vol presentar una alineació amb 3 defenses, 4 migcampistes i 3 davanters. Quantes possibilitats te de fer-ho si disposa de 3 porters, 7 defenses, 8 migcampistes i 7 davanters ? 67.La clau d'accés a una alarma és de 4 dígits numèrics. Troba els nombre de codis diferents que podem posar . 68.A la loteria 6/49 el premi màxim és encertar 6 nombres de 49. Quantes butlletes hauríem d’omplir per assegurar-nos un premi amb 6 encerts?
Tema 10: PROBABILITAT 69. Tenim una bossa amb boles numerades del 1 al 10. Considerem els esdeveniments: A: Treure nombre primer B: treure nombre parell C= treure nombre més gran que 7 a) Descriu els següents esdeveniments: E, A, B, C, , , , , b) Indica si A i B, A i C i B i C són compatibles o incompatibles. 70.És possible que en un experiment aleatori es compleixi que P(A) = 0,4, P(B)= 0,6 i P( Quant valdria en aquest cas
,
?
71. Quant val la suma de les probabilitat de tots els esdeveniment elementals? Sigui E= {A , B , C , D} l'espai mostral d'un esdeveniment. Si P(B) = 2·P(A), P(C) = 3·P(A), i P(D) =0,4. Calcula les probabilitats d'A, de B i de C. 72. Tirem dos daus perfectes un vermell i l'altre blau. Calcula la probabilitat de :
7
a) Suma dels punts igual a 7 c) El vermell surti 5 i el blau 3
b) Suma dels punts més gran que 10 d) Surti un 5 i un 3.
73. En una urna hi ha 6 boles blanques i 4 boles negres. S’extreuen dues boles a l’atzar sense devolució i s’anota el color. a) Calcula la probabilitat de que surti blanca i després negra. b) Calcula la probabilitat de que totes dues siguin iguales. c) Calcula la probabilitat de que totes dues siguin diferents. 74.En un dau trucat, la probabilitat de sortir 5 es el triple que la de sortir qualsevol dels altres nombres. Quina probabilitat hi ha que, quan llencem el dau, surti 2? 75.En una capsa de bombons hi ha 5 bombons de xocolata blanca i 15 de xocolata negra. Si 2 bombons de xocolata blanca i 10 de xocolata negra porten licor, i escollim un bombo a l’atzar, calcula la probabilitat dels esdeveniments: a) Sigui de xocolata negra i porti licor b) No porti licor i sigui de xocolata blanca c) Sigui de xocolata blanca si sabem que porta licor d) Porti licor si sabem que es de xocolata negra
8
9