Ejercicios de determinantes resueltos.
−1 0 1 1 10 1 0 1.- Calcula el determinante ∆ = 2 -1 0 1 1 1 -1 0 Solución: Lo desarrollamos por los elementos de la 2ª columna que es la que más ceros tiene:
−1 0 1 101 0
-1 1 -1 1
∆ = = −(1) 32 1.AA 42=+− 1 0+ 1 0= −2 = −64 2 -1 0 1 1- 0 2 0 1 1 -1 0 Se determinantes de orden 3 que han resultado se resuelven por la regla de Sarrus.
a+ 1 a+ 2 a+ 3 2.- Calcula aplicando propiedades de los determinantes:
1 1
1
1 2 3 Solución:
a 1 a 2a+++ 3 a a 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 =+= a1 1+ 0= a.+ 0= 1 2 3 123 123 123 Lo hemos descompuesto en suma de dos determinantes por los sumandos de la 1ª fila (7ª propiedad) y después hemos tenido en cuenta que cuando hay dos filas o dos columnas iguales el valor del determinante es cero.
1 a b+ c 3.- Prueba sin desarrollarlo que
1 b c + a =0 1 c a+ b
Solución. Si a la 3ª columna le sumamos la 2ª resulta:
1 a b ++ ac 1 a 1 1 a b+ c 1 b c + a 1 b ac ++ b (a b ++= c)1 b 1 = 0 1 c a+ b 1 c a b++ c 1 c 1 =
2 1 0 4.- Halla la inversa de A = - 1 3 4 0 5 1 Solución: Hallamos el determinante de la matriz dada aplicando la regla de Sarrus y se obtiene
A =− 33
luego existe la matriz inversa porque es distinto de cero.
Calculamos los adjuntos Aij de la matriz dada:
34 -1 4 − 1 3 A1 = −= 17 A12 −= = 1 A13 = −= 5 51 01 05 ;
;
10
20
21
A21 −= −= 1 A2 = = 2 A23 −= −= 10 51 01 05 ;
10 A31 = = 4 34
;
;
20 21 A32 −= −= 8 A3 = = 7 -1 4 -1 3 ;
La inversa se obtiene tomando la traspuesta de los adjuntos obtenidos y dividiendo por el determinante de A:
- 17 - 1 4 33 33 33 −1 1 8 2 A = 33 33 33 − 5 - 10 7 33 33 33
5.- Desarrolla dando el resultado en forma de producto de factores.
1 1 1 a b c a 2 b2 c2
Solución: Es un determinante de Vandermonde de orden 3 y, por tanto, se pueden calcular dando el resultado en forma de producto. Se le resta a cada fila la anterior multiplicada por a:
1 111 1
b a c−− a 1 a b c = 0 b- c-aa = = (b a(c−− a)) = b ( a ) c ( −− a ) b c 222 2 2 a b c 0 b -a c − ac = (b − a )(c − a )(c − b)
1 1 1 6.- Prueba que
1 1 + a 1 = ab 1 1 1+ b
Solución: Sumamos a cada fila la 1ª cambiada de signo y se llega fácilmente:
11 1111 a0 1 1 + a 1 = 0 a 0 = = ab 0b 1 1 1+ b 0 0 b 2 a 5 7.- El determinante
4 a 2 13 vale cero para a = 3. Comprueba que es así sin 8 a 3 35
desarrollarlo. Solución:
Si a = 3, la 3ª columna es suma de la 1ª y la 2ª, luego el determinante vale cero ya que la citada columna es combinación lineal de las otras dos.