Ejercicios de determinantes resueltos.
−1 0
1 1
1 0
1
0
2 -1
0
1
1 1 -1
0
1.- Calcula el determinante Δ =
Solución: Lo desarrollamos por los elementos de la 2ª columna que es la que más ceros tiene:
Δ=
−1 0 1 0 2 -1
1 1 1 0 0
1
1 1 -1
0
-1 1 1
-1 1 1
= −(−1) A32 + 1. A42 = 1 1 0 + 1 1 1 -1 0 2 0
0 = −2 − 4 = −6 1
Se determinantes de orden 3 que han resultado se resuelven por la regla de Sarrus.
a +1 a + 2 a + 3 2.- Calcula aplicando propiedades de los determinantes:
1
1
1
1
2
3
Solución:
a +1 a + 2 a + 3 1
1
1
1
2
3
a a =1 1 1
2
a
1
2
3
1 1 1
1+1 1
1 = a 1 1 1 + 0 = a.0 + 0 = 0
3
3
1
2
1
2 3
Lo hemos descompuesto en suma de dos determinantes por los sumandos de la 1ª fila (7ª propiedad) y después hemos tenido en cuenta que cuando hay dos filas o dos columnas iguales el valor del determinante es cero.
1
a
b+c
3.- Prueba sin desarrollarlo que 1
b
c + a =0
1
c
a+b
Solución. Si a la 3ª columna le sumamos la 2ª resulta:
1
a
a
b+c+a
1
a
1
b
b+c 1 c+a =1
1
b
c + a + b = (a + b + c) 1
b
1 =0
1
c
a+b 1
c
a+b+c
c
1
1
⎛ 2 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ 4.- Halla la inversa de A = ⎜ - 1 3 4 ⎟ ⎜ 0 5 1 ⎟ ⎝ ⎠ Solución: Hallamos el determinante de la matriz dada aplicando la regla de Sarrus y se obtiene A = −33 luego existe la matriz inversa porque es distinto de cero. Calculamos los adjuntos Aij de la matriz dada:
A11 =
3 4 = −17 ; 5 1
A12 = −
1 0 = −1; 5 1
A22 =
A21 = − A31 =
1 0 3 4
= 4;
-1 4 = 1; 0 1
2 0 = 2; 0 1
A32 = −
2 0 = −8 ; -1 4
A13 =
−1 3 = −5 0 5 2 1 = −10 0 5
A23 = − A33 =
2 1 =7 -1 3
La inversa se obtiene tomando la traspuesta de los adjuntos obtenidos y dividiendo por el determinante de A:
-1 4 ⎞ ⎛ - 17 ⎜ 33 33 33 ⎟ ⎜ - 8 ⎟ 2 A −1 = ⎜ 1 33 33 33 ⎟ ⎜ ⎟ - 10 7 ⎟ ⎜ − 5 33 33 ⎠ ⎝ 33
1 5.- Desarrolla dando el resultado en forma de producto de factores. a a2
1 b
1 c
b2
c2
Solución: Es un determinante de Vandermonde de orden 3 y, por tanto, se pueden calcular dando el resultado en forma de producto. Se le resta a cada fila la anterior multiplicada por a:
1 a
1 b
1 1 c = 0
1 b-a
a2
b2
c2
b 2 - ab c 2 − ac
0
1 c-a
=
b−a c−a 1 = (b − a)(c − a) b(b − a) c(c − a) b
1 = c
= (b − a)(c − a)(c − b)
1 6.- Prueba que 1 1
1 1 1 + a 1 = ab 1 1+ b
Solución: Sumamos a cada fila la 1ª cambiada de signo y se llega fácilmente:
1
1
1
1+ a
1
1
1
1
1
1
1 =0
a
0=
0
b
1+ b
0
2 7.- El determinante 4
8
a
a
0
0
b
= ab
5
a
2
13 vale cero para a = 3. Comprueba que es así sin
a
3
35
desarrollarlo. Solución: Si a = 3, la 3ª columna es suma de la 1ª y la 2ª, luego el determinante vale cero ya que la citada columna es combinación lineal de las otras dos.