UNIVERSIDAD DE LOS ANDES NUCLEO UNIVERSITRIO RAFAEL RANGEL
Proyecto de física Experimento del periodo y frecuencia de un movimiento armónico simple por medio de un resorte y de un péndulo
Autores: Yorgelis Paredes. Profesor: Jesus Briceño Asignatura: Fisica 11 Semestre: B-2015
Eliana Sifuentes. José Briceño
Planteamiento del Problema Desde el origen la humanidad se han esforzado para sistematizar el conocimiento y se remonta a los tiempos prehistóricos, como se puede evidenciar mediante los jeroglíficos del paleolítico existentes en las cuevas, los datos numéricos grabados en hueso o piedra o los objetos fabricados por las civilizaciones del neolítico , es importante señalar que esto surge de la necesidades existentes en cada civilización permitiendo el desarrollo de las mismas con ingenio y creación de actividades que pudieran sintetizar varios procesos de la vida cotidiana ; Por otro lado se la curiosidad en el hombre permitió la búsqueda del como , el cuándo, y el por qué, de todo lo que constituía un reto para el. Originalmente empezó hace miles de años con el hombre de neardenthal cuando supo hacer fuego a voluntad y se invento la rueda.
Es importante señalar que la sociedad ha estado expuesta a cambios continuos surgiendo nuevas teorías que permiten comprobar fenómenos ocurridos en diversas áreas, La palabra ciencia según Ramírez J. (2014) expresa que “surge del latín scientia 'conociesiamiento') conjunto de conocimientos sistemáticamente estructurados obtenidos mediante la observación de patrones regulares, de razonamientos y de experimentación en ámbitos específicos, de los cuales se generan preguntas, se construyen hipótesis, se deducen principios y se elaboran leyes generales y esquemas metódicamente organizados.”
Objetivos
Objetivo general Calcular experimentalmente el periodo y frecuencia de un movimiento armónico simple, y reconocer las características de movimiento armonio simple de un resorte comparadas con las de un péndulo surgiendo varias hipótesis
Objetivos específicos Observar los fenómenos ocurridos mediante la realización de los experimentos Registrar los datos de lo ocurrido con los experimentos Establecer diferencias entre LEY DE HOOKE Y MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Describir los posibles errores de esta medición y sus posibles causas.
Justificación Facilitar el proceso de adquisición de ideas abstracta Para las Carreras de Ingeniería, desde su comienzo se viene realizando acciones para s, razonamiento lógico y formal y todas las herramientas necesarias para desempeñarse en el ámbito científico. La mayoría de estudiantes muestran dificultades al momento de incorporar contenidos y metodologías propias de la Ciencia, existe variedad de tópicos en la Física con los cuales se descubren fenómenos ocurridos en el campo de la ciencia .El ejemplo más significativo es el movimiento armónico simple se puede estudiar los cambios, analizar y predecir con un mismo cuerpo de leyes, los sistemas físicos en movimiento. Las investigaciones científicas estaban basadas metodológicamente a partir de la observación y la obtención de leyes descriptivas de los movimientos, El tema se aborda a partir de la observación de distintos dispositivos como péndulos simples, dispositivos conteniendo resortes.
Delimitación Experimento del periodo y frecuencia de un movimiento armónico simple por medio de un resorte y de un péndulo se realizara en el Núcleo Universitario Rafael Rangel en el semestre B2015
Antecedentes
BARREIRA J, FROGONI E. y SANGUINETTI M. (2007) PROYECTO FÍSICA OSCILACIONES ”En este informe presentamos el estudio de un sistema físico relacionado con el tema movimiento armónico simple, también se relaciona con estática pero nos concentraremos más en el primero. A continuación mostramos un fundamento teórico sobre el tema en el cual se pueden encontrar las leyes o ecuaciones que hemos utilizado para resolver el problema planteado. Luego realizamos ciertas variaciones a las magnitudes que intervienen en el problema con el propósito de estudiar cómo esto afecta al sistema, y por lo tanto, al resultado del problema original”
Según Godier J (2011) EXPERIMENTOS DE FISICA II CON INTERFACE XPLORER GLX ”Esta investigación logro desarrollar un texto que presenta los conceptos, leyes, principios de Física II de forma sistemática, concreta y que muestra además los procedimientos, configuración y ejecución de experimentos con uso de la interface Xplorer GLX. Este texto se encuentra inmerso en un nivel de investigación científica básica, tanto teórica como práctica; en forma especial se ocupa de los conceptos, leyes, principios de la hidrostática y movimiento ondulatorio; aborda estos tópicos de forma sistemática, concreta; mostrando simultáneamente el manejo y el desarrollo paso a paso de los experimentos con la interface Xplorer GLX y el conjunto de sensores Pasco Scientific. Los experimentos considerados en el presente texto, forman parte de un curso a nivel de pre-grado son los siguientes: Ley de Hooke, torsión en sólidos, presión hidrostática, principio de Arquímedes, cinemática y dinámica de un M.A.S., oscilaciones forzadas, ondas estacionarias, modos de vibración en una columna de ai e y velocidad del sonido. El procedimiento experimental de medición en cada caso y el método de análisis de los datos obtenidos se discuten y comparan con los ugeridos por Yaakov Kraftmakher del laboratorio de física Bar-Ilan y los que se vienen utilizando actualmente en la laboratorio de Física y Química de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la Universidad Nacional del Callao.” Según Gómez R . (2012) CREACIÓN E IMPLEMENTACIÓN DE UNA UNIDAD DIDACTICA SOBRE LA ENSEÑANZA DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE A ESTUDIANTES DE GRADO DECIMO “El presente trabajo propone y aplica una unidad didáctica para la enseñanza del M.A.S. La propuesta se basa en el enfoque de enseñanza por explicación y contrastación de modelos, e incluye talleres didácticos, prácticas de laboratorio y simulaciones con Interactive Physics, Power Point y Excel. La propuesta se pone a prueba con estudiantes de grado décimo del Colegio Unión Europea en un diseño preexperimental con pretest y postest. Los resultados evidencian una mejora estadísticamente significativa en el desempeño, y, de forma cualitativa, un aumento notable en la motivación por aprender y una satisfacción al comprobar que las predicciones funcionan. La propuesta constituye un aporte valioso a la enseñanza de este fenómeno.”
Bases Teóricas Según Gomez (2012) Historia sobre la concepción del movimiento armónico simple. La evolución de la ciencia a través de la historia nos enseña que a partir de cosas simples el hombre ha llegado realizar grandes descubrimientos. De hecho, el fundamento de la modelación física consiste en identificar los elementos más sencillos que reproducen la esencia del fenómeno observado. Al mirar el mundo que nos rodea, vemos que ese mundo oscila: las olas del mar, el movimiento de las ramas en el viento, la música y el sonido e incluso la luz son ejemplos cotidianos de oscilaciones y ondas. De todos esos fenómenos, el modelo más sencillo que conserva la esencia de una oscilación es el movimiento armónico simple (M.A.S.). Tal vez la primera referencia del M.A.S. la hallamos en el ejemplo de Galileo de una bala de cañón que atraviesa la tierra. En su dialogo de dos sistemas del mundo, Galileo nos dice:
“Me parece que, a partir de ahí (razonando con bastante propiedad),se puede creer que si el globo terrestre estuviese perforado por el centro, una bala de cañón que descendiera por tal pozo hasta el centro adquiriría tal grado de velocidad que, una vez atravesado el centro, la impelería hacia arriba por un espacio igual de caída, decreciendo progresivamente la velocidad más allá del centro con disminuciones similares a los incrementos adquiridos al descender. Y creo que el tiempo que tardaría en este segundo movimiento ascendente sería igual al tiempo de caída.” （ GALILEI pág.197） Aquí encontramos ya la fuerza restituida y el cambio en la velocidad que caracterizan a un movimiento armónico simple.
A Galileo se le asigna el descubrimiento de que el periodo del péndulo varía proporcionalmente con el cuadrado su longitud. Se cuenta que, de joven, Galileo observo las oscilaciones de la lámpara del Duomo de Pisa, y que contando el tiempo con su propio pulso observo que todas las oscilaciones tenían siempre el mismo periodo, a pesar de que la amplitud se iba reduciendo paulatinamente. Sin embargo este Descubrimiento se pone en duda según su primer biógrafo Vivani, el cual sitúa este descubrimiento en 1583, cuando galileo aun no tenía 20 años. （GALILEI pág.201） El siguiente gran aporte en la historia de las oscilaciones lo realiza Robert Hooke, al sugerir en 1966 que la fuerza de gravedad se podría determinar mediante el movimiento de un péndulo, lo cual dio para discusión con Sr. Isaac Newton （2004）. Luego Robert Hook, descubrió la famosa Ley de Hooke1, la cual fue publicada en 1678, que propone que la fuerza elástica es directamente proporcional a la elongación del resorte y en sentido contrario. Hooke es también el inventor del volante con resorte espiral, que daría pasó a reemplazar el reloj de péndulo y crear relojes portátiles （tel2012）.
Movimiento periódico Un movimiento es periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables del movimiento (velocidad, aceleración, etc.) toman el mismo valor. Por ej. el giro de la Tierra alrededor del Sol.
Movimiento oscilatorio Es un movimiento periódico en el que la distancia del móvil al centro de oscilación pasa, alternativamente, por un valor Máximo y otro mínimo. Por ej. un péndulo.
Movimiento vibratorio Es un movimiento oscilatorio que tiene su origen en el punto medio y en cada vibración pasa por él. Las separaciones a ambos lados del centro se llaman amplitudes y son iguales. Por ej. una varilla sujeta por un extremo a la que damos un impulso en el otro. La varilla vibra . Movimiento Armónico Simple (MAS) La ecuación que determina la posición es una función matemática seno o coseno, por eso les llamamos funciones armónicas, y el movimiento descrito por estas funciones se llama movimiento armónico. Todas las expresiones del M.A.S, velocidad, aceleración, fuerza, etc., contienen la función matemática senoidal o cosenoidal. No se consideran las atenuaciones producidas por el medio, por lo que al movimiento así simplificado se le llama simple.
Magnitudes que caracterizan un MAS • Elongación(x
o y): distancia entre la posición de equilibrio y la que ocupa el móvil en cada instante • Amplitud(A): elongación máxima o máxima separación de la posición de equilibrio • Período(T): tiempo que tarda en producirse una oscilación completa número de oscilaciones completas en un segundo permite determinar la posición del móvil cuando comenzamos a estudiar su movimiento argumento de la función trigonométrica que nos permite calcular la posición del móvil en cualquier instante • Frecuencia angular o pulsación(w):
Velocidad de un m.a.s. (I) v = dx/dt v = A w cos (wt + )
derivando con respecto al tiempo, obtenemos la ecuación de la velocidad: Esta ecuación es una función del tiempo (A y w son constantes) v alcanza su valor por lo tanto: v(máx) = w •A
Podemos hallar una expresión de la velocidad en función de la posición, v = f(x), modificando ligeramente esta ecuación: Por el teorema fundamental de trigonometría sabemos que: sen2 (wt + ) + cos2 (wt + ) = 1; cos(wt+ )=(1-sen2 (wt + )1/2
Substituyendo este valor del coseno en la fórmula de la velocidad: V = Awcos(wt+ )=Aw)[1-sen2 (wt + ]1/2
valor al cuadrado. Por tanto, la fórmula de la velocidad en función de la elongación será:
Cuando el resorte pasa de la posición de comprimido a la de estirado, y mientras no alcanza el punto de equilibrio O, la fuerza recuperadora del resorte se ejerce hacia la derecha. La compresión _ x es negativa (de la posición de equilibrio hacia la izquierda).
Aplicando la Ley de Hooke:F =- K•_x Vemos que la fuerza recuperadora resulta positiva (hacia la derecha). Mientras estiramos el resorte, la mano ejerce una fuerza de deformación sobre el resorte hacia la derecha, y el resorte ejerce una fuerza recuperadora sobre la masa hacia la izquierda. Mientras la bola oscila pasa por estados de equilibrio en los que sobre ella actúa un F = 0 y le comunica a = 0 Al soltar la bola la fuerza recuperadora del resorte le comunica una aceleración que es proporcional a la elongación:a = - w2 x Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste. F = m a = - m w2 x En la ecuación anterior vemos que la fuerza que origina un movimiento armónico simple es una fuerza del tipo: F = -K x En el caso del resorte, la constante del oscilador armónico coincide con la constante elástica y se cumple: K = m w2
Siempre que sobre una partícula, desplazada una longitud x de su posición de equilibrio, actúe una fuerza que es proporcional al desplazamiento x, y de sentido contrario a éste, tal como se muestra en el ejemplo de la figura, le comunica a la partícula un mas (oscilador armónico) Cada oscilador armónico está caracterizado por los valores de su constante k y Teniendo en cuenta que w = 2π / T podemos deducir el periodo del movimiento armónico simple: T= 2π El período T, ¿es independiente de la amplitud? m/ k
Energía potencial elástica Un oscilador armónico tiene energía potencial, porque la fuerza recuperadora, F = - kx, que lo hace oscilar, es una fuerza conservativa El valor de la energía potencial en una posición x vendrá dado por la expresión Ep = 1/2 k x2 La energía mecánica de una partícula que describe un m.a.s. será: Etotal = ½ K x2 + ½ K (A2-x2) = ½ KA2 E = ½ k A2 En el m.a.s. la energía mecánica permanece constante si no hay rozamiento, por ello su amplitud permanece también constante
Péndulo simple Llamamos péndulo simple a un ente ideal constituido por una masa puntual suspendida de un hilo inextensible y sin peso, capaz de oscilar libremente en el vacío y sin rozamiento. Cuando el hilo está vertical el cuerpo permanece en equilibrio: T = P Cuando desplazamos el cuerpo de la posición de equilibrio, la T solo contrarresta a Pn y la fuerza resultante sobre el cuerpo es la componente tangencial del peso F=Pt= aceleración? El péndulo experimenta un movimiento de vaivén, oscilando alrededor de la posición de equilibrio. Para oscilaciones de poca amplitud, son válidas las siguientes aproximaciones:
• La trayectoria es horizontal y su posición viene dada por la separación x de la vertical de equilibrio En este caso, el movimiento del péndulo puede considerarse como un MAS: la aceleración es proporcional al desplazamiento y de signo contrario)
La Ley de Hooke Hay muchos casos en los cuales el trabajo es realizado por fuerzas que actúan sobre el cuerpo y cuyo valor cambia durante el desplazamiento; por ejemplo, para estirar un resorte ha de aplicarse una fuerza cada vez mayor conforme aumenta el alargamiento, dicha fuerza es directamente proporcional a la deformación, siempre que esta última no sea demasiado grande. Esta propiedad de la materia fue una de las primeras estudiadas cuantitativamente, y el enunciado, publicado por Robert Hooke en 1678, el cual es conocido hoy como La Ley de Hooke , que en términos matemáticos predice la relación directa entre la fuerza aplicada al cuerpo y la deformación producida F =-kx Dónde: k, es la constante elástica del resorte .x, es la elongación del resorte. El signo negativo en el lado derecho de la ecuación se debe a que la fuerza tiene sentido contrario al desplazamiento. Sistema Masa –Resorte Consideremos un cuerpo de masa m suspendido de un resorte vertical de masa despreciable, fija en su extremo superior como se ve en la figura Si se le aplica una fuerza al cuerpo desplazándolo una pequeña distancia y luego se le deja en libertad, oscilara a ambos lados d la posición de equilibrio entre las posiciones +A y –A debido a la acción de la fuerza elástica. (Sears,et.al. 2004).Este movimiento se puede denominar armónico, pero cuando se realiza en ausencia de fuerzas de rozamiento, entonces se define movimiento (MAS
Donde: A, es la amplitud de oscilación. La amplitud representa el desplazamiento maximo medido a partir de la posición de equilibrio, siendo las posiciones –A y +A los limites del desplazamiento de la masa. ( t+ ) es el angulo fase y representa el argumento de la función armónica. La variable es la frecuencia angular y nos proporciona la rapidez con que el ángulo de fase cambia en la unidad de tiempo. La cantidad se denomina constante de fase ó fase inicial del movimiento , este valor se determina usando las condiciones iniciales del movimiento, es decir el desplazamiento y la velocidad inicial, seleccionando el punto del ciclo a partir del cual se inicia la cuenta el tiempo (t =0). También puede evaluarse cuando se conozca otra información equivalente. (Sears, et.al.2004) Como el movimiento se repite a intervalos de tiempo iguales, se llama periódico debido a esto se pueden definir algunas cantidades de nterés que facilitarán la descripción del fenómeno. Resorte ideal: la fuerza que el resorte ejerce sobre la masa es restauradora (está dirigida hacia la posición natural o de equilibrio del resorte) y proporcional a la elongación (distancia hasta el punto de equilibrio), de manera que podemos modelar a un resorte ideal a través de la ley de Hooke: F = −κ x ˆex Ya hemos estudiado la cinemática del movimiento armónico simple. Estudiemos ahora sus aspectos energéticos, para ello comencemos por establecer un modelo de mecanismo que produzca la fuerza F = −k x ˆex, el modelo físico mas sencillo posible se conoce como resorte ideal, un resorte ideal no es otra cosa que un resorte sin masa de longitud ℓ0 y que para ser estirado o encogido por un agente externo, este debe ejercer sobre los extremos del resorte una fuerza de magnitud proporcional a la elongación.
Es fácil ver que, definiendo la referencia de energía potencial como U(0) = 0, la fuerza F = −k x ˆex se deriva del potencial debido a este hecho, la energía mecánica total de una partícula sometida a la acción de la fuerza 2 está dada por
Cuando se alcanza la máxima elongación, esto es, cada vez que la partícula alcanza las posiciones
su velocidad es nula (x˙ = 0),
sustituyendo esto en la expresión general para la energía se obtiene sin esfuerzo alguno
que por supuesto es el resultado que habríamos encontrado anteriormente.