Curso de matemáticas by Melanie Acosta

Curso: El desarrollo del pensamiento matemรกtico en los alumnos de primer grado de primaria

GUร A DEL PARTICIPANTE

El curso El desarrollo del pensamiento matemático en los alumnos de primer grado de primaria fue elaborado por la Universidad Nacional Autónoma de México, en colaboración con la Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio, de la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública.

SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

Mtro. Alonso Lujambio Irazábal Dr. José Narro Robles

Secretario de Educación Pública

Rector

Mtro. José Fernando González Sánchez

Dr. Sergio Alcocer Martínez de Castro

Subsecretario de Educación Básica

Secretario General

Lic. Leticia Gutiérrez Corona Directora General de Formación Continua de Maestros en Servicio

Dra. Rosaura Ruíz Gutiérrez

Dra. Jessica Baños Poo

Dr. Ramón Peralta y Fabi

Directora de Desarrollo Académico

Director de la Facultad de Ciencias

Secretaria de Desarrollo Institucional

Coordinación General Lic. Leticia Gutiérrez Corona

Dra. Rosaura Ruíz Gutiérrez

Coordinación Académica Dra. Jessica Baños Poo Dr. Jesús Polito Olvera Ing. Alma Lucia Hernández Pérez

Dr. Alfredo Arnaud Bobadilla M. en C. Concepción Ruiz Ruiz-Funes

Autores M. en D. Sara Alejandra Pando Figueroa Revisión Lic. Martha Leticia Hernández Arrieta

M. en C. Concepción Ruiz Ruiz-Funes Diseño de Portada

LDG Ricardo Muciño Mendoza

Este programa es de carácter público, no es patrocinado ni promovido por partido político alguno y sus recursos provienen de los impuestos que pagan los contribuyentes. Está prohibido el uso de este programa con fines políticos, electorales, de lucro y otros distintos a los establecidos. Quien haga uso indebido de los recursos de este programa deberá ser sancionado de acuerdo con la ley aplicable y ante la autoridad competente.

D.R.© Secretaría de Educación Pública, 2009 Argentina 28, Colonia Centro, 06020, México, D.F. ISBN En trámite

EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO EN LOS ALUMNOS DE PRIMER GRADO DE PRIMARIA

GUÍA DEL PARTICIPANTE

Introducción

Las reformas educativas plasmadas en la RIEB, en particular en lo que se refiere a la enseñanza de las matemáticas en la Educación Básica, involucra a los docentes como actores fundamentales en el proceso de reflexión en torno a las técnicas y estrategias didácticas y pedagógicas vinculadas a las matemáticas, al desarrollo del pensamiento lógico, al desarrollo del pensamiento concreto, del pensamiento abstracto y a la adquisición de ciertas habilidades y competencias esenciales para que el pensamiento matemático pueda florecer en nuestros niños.

Sesión 1 INTRODUCCIÓN

En esta primera sesión se busca destacar que el aprendizaje de las matemáticas en primaria debe enfatizar, entre otros aspectos, el desarrollo del pensamiento lógico y formal. Se propone analizar, como un ejemplo, un problema matemático que se centra en el desarrollo del pensamiento lógico y que será trabajado por los docentes en equipos de tres integrantes. Cada docente se enfrentará al diseño y planteamiento de estrategias a través de la construcción e identificación de patrones. Dichas actividades serán comentadas y reflexionadas en los equipos de trabajo organizados previamente. La reflexión que se busca promover, estará orientada a discutir las ventajas y desventajas del tipo de estrategias que utilicen los maestros para plantear y resolver el problema, considerando la relación que existe entre las formas de representar, analizar y comprender ideas matemáticas que se relacionan con el contenido matemático a enseñar. Es importante que los profesores de nivel primaria tengan presente que los estudiantes de los primeros grados están en la etapa de pensamiento concreto, manipulan material que les ayuda a estimular sus habilidades motrices y cognitivas y regularmente responden de manera positiva al reto de aprender identificando formas y patrones sencillos logrando describir cosas sobre lo que observan.

OBJETIVOS •

Indagar sobre las creencias y experiencias de los maestros acerca de lo que son las matemáticas, de lo que se enseña en el aula y de lo que se debe enseñar, considerando mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje a partir de la propuesta que se presenta en la RIEB.

•

Promover un ambiente de trabajo apropiado en el que se de la discusión del tema en grupos pequeños, teniendo así la oportunidad de compartir, debatir, y argumentar sobre las ideas que cada docente tiene al respecto.

•

Fortalecer la experiencia docente de los maestros de primaria al plantear y resolver problemas.

•

Analizar problemas matemáticos desde la perspectiva didáctica.

•

Considerar el contenido matemático que un docente debe conocer sobre el tema.

MATERIALES •

Un par de hojas blancas, lápiz, pluma.

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Siete monedas de distintas denominaciones para cada docente participante al curso que simularán los discos.

Actividad 1“ENCONTRANDO FIGURAS”

Observe el siguiente diseño geométrico y de forma individual conteste las preguntas.

Preguntas: a) ¿Qué figuras geométricas encuentra en el diseño? b) Haga una lista de todas ellas. c) ¿Cuántas figuras hay de cada tipo? d) ¿Qué datos tiene para resolver el problema?

e) ¿Qué tipo de estrategias utilizó para resolver el problema? Explique cada una detalladamente. f) ¿Qué aprendizajes matemáticos se trabajan con esta actividad? g) ¿De qué forma lo usaría con sus estudiantes? h) ¿Cómo sugiere trabajar esta actividad haciendo uso de un geoplano circular? i) Compare resultados y discuta con sus colegas cómo llegó a la solución, para ello se organizarán equipos de trabajo de tres integrantes.

Actividad 2 “La vieja historia del niño Gauss”

Lea el siguiente texto y trabaje el resto de la actividad en equipos de tres integrantes.

Johann Karl Friedrich Gauss fue uno de los más grandes matemáticos de la historia. Su precocidad en relación con las matemáticas se pone de manifiesto en las siguientes anécdotas: Antes de cumplir 3 años se encontraba con su padre que estaba preparando la nómina de los obreros que de él dependían. El joven Gauss que seguía con gran atención los cálculos del padre le dijo al terminar: "Padre has hecho mal la cuenta, el resultado debe ser ... ". El padre al repasar los cálculos comprobó con sorpresa que el hijo tenía razón. La historia es todavía más sorprendente si tenemos en cuenta que nadie le había enseñado a leer. Un día en la escuela cuando tenía 10 años el maestro propuso como ejercicio sumar los primeros 100 números naturales. Hay un método sencillo para hacerlo que el maestro conocía pero sus alumnos no. Era costumbre que el primero en acabar el ejercicio debía dejar su pizarra sobre la mesa del maestro, el siguiente alumno encima de la del primero y así sucesivamente. Nada más terminar el maestro el enunciado del ejercicio Gauss puso su pizarra sobre la mesa del maestro. Cuando al cabo de una hora acabaron sus compañeros,

el maestro comprobó sorprendido como el resultado que aparecía en la pizarra de Gauss era el correcto. A Gauss, ya mayor, le gustaba contar como el resultado de su pizarra era el único correcto. El maestro quedó tan impresionado que de su propio bolsillo compró un libro de aritmética y se lo regaló a Gauss quien rápidamente lo devoró.

Preguntas: a) ¿Qué resultados se obtienen al sumar los primeros números naturales? 1, 1+2, 1+2 +3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5, 1+2+3+4+5+6, 1+2+3+4+5+6+7, … b) ¿Sabe cuál fue la respuesta del niño Gauss al profesor? c) ¿Puede inferir alguna regla o patrón de comportamiento de la serie numérica que se obtiene de los datos obtenidos en el inciso a)? d) ¿Cuál sería la suma de los primeros cincuenta números naturales? e) ¿Podría expresar matemáticamente, cómo encontrar la suma de los primeros n números naturales? f) La serie numérica que se obtiene de sumar los primeros “n números naturales”, recibe el nombre de Números Triangulares, su representación geométrica consiste en formar triángulos colocando un punto por cada número de la serie.

g) ¿Qué nueva serie numérica se obtiene si se suman dos Números Triangulares consecutivos? Escriba en una tabla la suma de los diez primeros. h) Realice la representación geométrica de la serie obtenida en el inciso anterior. i) ¿Qué relación hay entre los números triangulares y los números cuadrados? Complete la tabla.

NĂşmeros triangulares

Suma

consecutivos

Actividad 3 Lea el siguiente problema de manera individual, busque una estrategia resolverlo y complete la tabla con los resultados obtenidos.

El problema de las Torres de Hanoi Se desea mover los discos de la torre A, a la torre B o a la torre C en el menor nĂşmero posible de movimientos siguiendo estas reglas.

1. Mover un solo disco a la vez 2. En cada movimiento, colocar siempre un disco de diámetro menor sobre otro de diámetro mayor sin importar si son o no consecutivos. 3. En la base de la torre debe quedar el disco de mayor diámetro y en orden decreciente, el disco de menor diámetro quedará en la punta de la torre. Es decir, al cambiar todos los discos a otra torre, deberán quedar colocados del mayor al menor. 4. No es válido dejar discos fuera de alguna torre. Completa la siguiente tabla: Número de discos

Número mínimo de movimientos

2 3 4 5 6 7 8 9

n n +1

Preguntas: a) ¿Por qué puede asegurar que los datos que anotó en la tabla son correctos? b) ¿Qué tipo de estrategia usó para resolver el problema? c) ¿Qué movimiento debe hacer para conseguir que todos los discos terminen en la torre C?

d) Explique si encontró un patrón específico o una serie de pasos que le permitieron resolver el problema. e) Si se tiene una cantidad “n” de discos, ¿cuántos movimientos se requieren para cambiar la torre de lugar siguiendo las reglas? f) ¿Qué tipo de conjeturas puede hacer al respecto? g) Argumentar la validez de su conjetura. h) Intercambie opiniones y experiencias con sus colegas.

Sesión 2 INTRODUCCIÓN

En la segunda sesión, se hará énfasis en otra faceta de las matemáticas que adquiere importancia en el ámbito educativo a cualquier nivel, en particular a nivel básico. La parte histórica de las matemáticas es un referente que ayuda a comprender los temas vistos en clase dado que proporciona un contexto que explica cómo a partir de ciertas condiciones y situaciones se da el conocimiento matemático en algunas regiones del mundo en distintas épocas. En particular, hablando de los sistemas de numeración, es importante tener presente que un sistema de numeración es aquel formado por símbolos y reglas que permiten combinar esos símbolos para darle determinado valor. A lo largo de la historia, el hombre, ha empleado distintos sistemas de numeración, por ejemplo entre los más antiguos están el romano, el egipcio, el maya, el babilonio. Si se piensa en algo más actual, tenemos el indo arábigo o los sistemas de numeración con una base dada, por ejemplo, el sistema binario, el hexadecimal, el octal, el decimal, etcétera. Cada sistema de numeración tiene sus propias reglas, en un sistema posicional, se utilizan pocos símbolos y según la posición en la que éstos se encuentren, adquieren un valor único, tal es el caso del sistema decimal que se abordará con más detalle en la siguiente sesión. Esto no sucede de la misma forma en un sistema no posicional, por ejemplo los números romanos que se representan usando letras mayúsculas, siendo las más utilizadas en el aprendizaje para niños de primaria: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000 Podemos observar que si escribimos el número 15 en romano, XV es 10 más 5 pero si cambiamos los símbolos VX, no obtenemos ningún nuevo número. Además este sistema es del tipo aditivo, es sencillo de interpretar, sólo se necesitan sumar los valores de los símbolos utilizados. 324 = CCCXXIV y observamos que 324 = CCC +

XX + IV pero se requiere una gran cantidad de símbolos para representar números mayores. El sistema decimal, al ser posicional, es más económico, con sólo diez símbolos se puede continuar la serie numérica indefinidamente, pero, es menos transparente. El número 324, está formado por 300+ 20+ 4. En esta sesión se trabajarán actividades donde los docentes formarán equipos de tres integrantes y reflexionarán sobre la importancia de conocer dicho tema para trabajarlo apropiadamente con los pequeños de primaria. Dichas actividades serán comentadas en los equipos de trabajo organizados previamente.

OBJETIVOS •

Comentar sobre la importancia de trabajar temas vinculando en la medida de lo posible la parte histórica de la matemática con los temas que se exponen en el aula.

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Indagar sobre las creencias y experiencias de los maestros acerca de lo que ha representado la enseñanza de la historia en el aula.

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Fortalecer la experiencia docente de los maestros de primaria al plantear y resolver problemas con diversos sistemas de numeración.

•

Analizar problemas matemáticos desde la perspectiva histórica.

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Considerar el contenido matemático que un docente debe conocer sobre el tema.

MATERIALES •

Una computadora que tenga acceso a Internet y que cuente con el programa adecuado para ver un video de la red. Cañón para proyectarlo.

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Objetos pequeños que puedan simular los símbolos de cada sistema de numeración.

Actividad 1 “Historia sobre los sistemas de numeración”

Se proporcionará a cada docente la lectura breve referente al tema, misma que será comentada por los docentes en equipos de tres integrantes al haber transcurrido el tiempo asignado para leerla individualmente.

La historia de los sistemas de numeración Desde el principio de los tiempos ha existido la necesidad de contar, cuando los hombres sentían esa necesidad recurrían inevitablemente a los dedos o a pequeños guijarros, pero esto no abarcaba un gran número por lo que cuando se llegaban a cifras altas normalmente se hacía una marca específica y se seguían contando unidades a partir de ahí. Esta marca o número es la base. Así es como surge el concepto de base. El concepto de base. Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico. En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase. Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente. La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es la decimal según todas las apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como son: la numeración babilónica que usaba 10 y 60 como

bases y la numeración maya que usaba la base 20 y la base 5 aunque con alguna irregularidad. Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permita el cálculo. Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de símbolos que los hace poco prácticos. Pero sobre todo no permiten en general, efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De hecho, cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se opusieron con las más insólitas razones, entre ellas la de que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un método diabólico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla. El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes; de ahí el nombre de indo arábigo. Del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los introductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez símbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones. Posteriormente, se verá el video de la historia del número 1, misma que será comentada al finalizar. Tiene una duración total de 60 minutos aproximadamente. La historia del 1en 7 videos:

Parte 1 http://www.youtube.com/watch?v=FCAzdjaHkR4 Parte 2 http://www.youtube.com/watch?v=d65nTrsDxmg&feature=related Parte 3 http://www.youtube.com/watch?v=Mpb3uxFS8zU&feature=related Parte 4 http://www.youtube.com/watch?v=Mpb3uxFS8zU&feature=related Parte 5 http://www.youtube.com/watch?v=649BN_QG8lA&feature=related Parte 6 http://www.youtube.com/watch?v=18KRbi0ktNw&feature=related Parte 7 http://www.youtube.com/watch?v=AgtrTGlf5DE&feature=related

Actividad 2

Se analizarán diversos sistemas de numeración. a) Se le pedirá a cada docente que escriba los siguientes números usando las tablas de los sistemas de numeración que se han dado, de tal manera que se pueda comparar el mismo número en diferentes sistemas de numeración. Será de gran ayuda tener la versión impresa de http://www.educaciencias.gov.ar/archivos/seguirapr/egb2/laminas/mate1.pdf para ser comentada como parte de esta actividad. decimal 28 693 1062 2709 3545 3902 7284

maya

egipcio

romano

babilónico

SISTEMA DE NUMERACIÓN MAYA

SISTEMA DE NUMERACIÓN EGIPCIA

SISTEMA DE NUMERACIÓN BABILÓNICA

SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANO

b) Una vez completada la tabla de manera individual, los docentes se organizarán en equipos de 4 integrantes, cada uno tendrá que trabajar con un sistema de numeración tratando de argumentar al resto del equipo, por qué el sistema que le ha tocado es mejor que otro. Es importante descubrir y ponderar todas las características matemáticas de cada uno, analizar si es un sistema posicional o no, cómo se representará la suma y la resta usando los símbolos de cada sistema, etcétera.

c) Para finalizar esta sesión, se hará una ronda por equipos. Un representante de cada uno, determinará en base a la experiencia docente de cada colega de su equipo, cuál es la importancia de trabajar la historia de los sistemas de numeración con los niños, qué tipo de estrategias utilizan, las ventajas y desventajas de las que se han percatado y cuáles son las propuestas para mejorar el aprendizaje de este tema.

Sesión 3 INTRODUCCIÓN

En esta, la tercera sesión, daremos continuidad al tema de los sistemas de numeración. El sistema de numeración usado habitualmente en casi todo el mundo es el sistema decimal. Sin embargo hay ciertas áreas de la ciencia, como por ejemplo la informática, en donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método de trabajo como el binario o el hexadecimal. También pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeración, como el quinario, el duodecimal y el vigesimal. El sistema decimal es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de diez símbolos diferentes llamados cifras, dígitos o guarismos: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos es de origen hindú y árabe, de ahí que se le conozcan también como números indo arábigos. Según los antropólogos, el origen del sistema decimal está en los diez dedos que tenemos los seres humanos en las manos, los cuales siempre nos han servido de base para contar. Como ya se dijo anteriormente, el sistema decimal es un sistema de numeración posicional, por lo que el valor del dígito depende de su posición dentro del número. Así, podemos expresar que 369 = 300 + 60 + 9 = 3(100) + 6(10) + 9(1) Usando otra notación sabemos que 369 = 3(102) + 6(101) + 9(100), donde 100 = 1, 101 = 10, 102 = 10 x 10 = 100.

El docente, a través de problemas y actividades que plantea en clase a sus alumnos, tendrá que analizar y reflexionar sobre el contenido matemático que el estudiante reafirma, conoce, aprende e interpreta al trabajar con diferentes sistemas de numeración, base 2, base 4, base 8, base 10, base 20, base 60, etcétera.

OBJETIVOS •

Considerar el contenido matemático que un docente debe conocer sobre el tema, es recomendable que el docente tenga un mayor nivel e conocimiento matemático del tema que va a enseñar, siendo también esencial que domine el tema a enseñar.

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Indagar sobre las creencias y experiencias de los maestros acerca de lo que ha representado la enseñanza del tema en el aula, fortalezas y debilidades detectadas en su práctica docente.

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Fortalecer la experiencia docente de los maestros de primaria al plantear y resolver problemas con sistemas de numeración de distinta base, en especial base 2, base 4 y base 10.

MATERIALES •

Fichas de colores, rojas, azules, verdes, blancas, amarillas para trabajar en equipos de tres integrantes.

•

Una computadora que tenga acceso a Internet y que cuente con el programa adecuado para ver un video de la red. Cañón para proyectarlo.

•

Un par de hojas blancas para cada participante, lápiz, pluma.

Actividad 1

Observar el video corto donde se explica de manera breve y clara el Sistema de Numeración Decimal http://www.youtube.com/watch?v=c7f8AlwNEX4

El sistema de numeración que empleamos es el DECIMAL, pues está formado por 10 símbolos. (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) y las reglas que los relacionan: cada unidad está formada por diez unidades del orden inferior, es decir 1 decena está formada por 10

unidades simples; 1 centena por 10 decenas; 1 unidad de mil por 10 centenas; etc. La característica principal del Sistema de Numeración Decimal, es la de ser posicional, es decir cada cifra ocupa una lugar determinado. Ejemplo: en el número 4876, el 6 ocupa el lugar de las unidades simples, el 7 el de las decenas, el 8 el de las centenas y el 4 el de las unidades de mil. Si cambiamos el orden de las cifras cambia el valor del número. Así 6487 será distinto que 4876.

Preguntas: a) En base a la experiencia docente y lo visto en el video, determinar los conocimientos previos que debe tener el niño para comprender este tema, explicar qué conocimientos matemáticos se encuentran involucrados con el tema de sistema de numeración decimal. Enlistar.

b) Organizarse por equipos de tres integrantes para comentar los temas de la lista. Proponer y discutir qué habilidades y destrezas matemáticas se desarrollan con cada tema de la lista.

c) Reflexionar sobre las actitudes de los alumnos al estudiar el tema en clase, así como también sobre los aciertos y errores de aprendizaje. Concluir en cada equipo, qué tipo de acciones se pueden implementar en el aula para lograr que el aprendizaje de los niños sea significativo y se vea reflejado en su desarrollo intelectual, físico y emocional.

Actividad 2

Discutir en equipos de tres integrantes las siguientes preguntas, comentar y argumentar en forma colegiada, posteriormente compartir las respuestas obtenidas.

1.- ¿Aprender a contar es sencillo sin usar el sistema decimal? 2.- ¿Cuáles son las semejanzas y diferencias entre un sistema arbitrario utilizado y el sistema decimal?

3.- ¿Qué importancia adquiere el valor posicional del sistema decimal escrito? 4.- ¿El sistema de numeración, es un tema que representa un problema didáctico? 5.- Emitir puntos de vista de manera individual y por equipos acerca de las siguientes afirmaciones y preguntas:

El sistema de numeración es un producto cultural, objeto de uso social cotidiano, que se ofrece a la indagación infantil desde las páginas de los libros, las listas de precios, los calendarios, las reglas, las direcciones, etcétera.

Los niños elaboran criterios propios para producir representaciones numéricas y la construcción de la notación convencional que hacen no sigue el orden de la serie, aunque ésta desempeñe un papel importante en esa construcción.

¿Aprender el concepto de decena ayuda realmente a comprender los números o es más bien el conocimiento de los números y de su escritura lo que ayuda a comprender el concepto de decena y de gruesa?

6.- Hacer una discusión entre colegas del mismo equipo con base en las siguientes afirmaciones y preguntas: o

¿Qué diferencia hay entre las propiedades de los números y las propiedades de la notación numérica?

En muchas de las actividades que se proponen en libros de texto "...paradójicamente, para que los niños comprendan la noción de sistema posicional”, se plantea de forma tal que hace desaparecer la importancia de la posición de una cifra en un número dado, lo cual repercute seriamente en la calidad de la enseñanza de la matemática.

¿Será o no, la noción de agrupamiento, el origen de la comprensión del funcionamiento de los sistemas de numeración posicionales?

7.- En relación con las preguntas anteriores, escuchar los puntos de vista de los demás equipos respecto a proponer algunas actividades para el aprendizaje de la numeración decimal.

8.- Analizar el fichero y el libro de texto de matemáticas, primer grado, para reconocer el tipo de actividades que se proponen acerca de la numeración. Posteriormente, se recomienda elegir una actividad para estudiar sus características. Se analiza inicialmente tal como se propone y, después, lo que pasaría al variar distintos aspectos, por ejemplo si se aumenta el tamaño de las cantidades.

9.- Para concluir este bloque, se sugiere observar en la escuela primaria o en otros ámbitos los conocimientos que tienen los niños de cinco a seis años acerca de los números, cómo los emplean de manera oral, la forma en como los representan y los contextos en que los utilizan. Comentar las observaciones, la relación que encuentra con el método que utiliza para impartir su clase y el tipo de actividades que podría proponer a esos niños para que avancen en sus conocimientos sobre el sistema de numeración.

Sesión 4 INTRODUCCIÓN

En la cuarta sesión, se enfatizará la importancia de trabajar con material concreto cuando se ha de enseñar un contenido abstracto a nivel básico, en nuestro caso, el concepto de número. Dicho concepto no es algo sencillo de definir ya que la matemática trabaja más con ideas, símbolos y representaciones abstractas que con cosas concretas y tangibles. Sin embargo, al número le asociamos las ideas de cantidad y de símbolo, mismas que se trabajan con los pequeños al relacionarlos con los objetos. Comúnmente se piensa que contar es muy fácil pero en realidad no lo es, una cosa es repetir los números sin sentido y otra tomar conciencia de que se le está asignando cierta cantidad a una colección de elementos de la misma clase. Más aún, conceptos como sumar, multiplicar y restar, representan uno de los primeros retos para el niño de primaria, sin embargo, el manipular objetos hace que la asimilación del aprendizaje sea más natural y por lo tanto con mayor significado para el niño.

OBJETIVOS •

Indagar sobre las creencias y experiencias de los maestros acerca de lo que ha representado la enseñanza del uso de material concreto en el aula.

•

Promover un ambiente de trabajo apropiado en el que se dé la discusión del tema en grupos pequeños, teniendo así la oportunidad de compartir, debatir, y argumentar sobre las ideas que cada docente tiene al respecto.

•

Considerar el contenido matemático que un docente debe conocer sobre el tema, en este caso se presenta otro algoritmo para multiplicar que puede convertirse en otra estrategia de enseñanza-aprendizaje tanto para del docente como para el alumno.

•

Fortalecer la experiencia docente de los maestros de primaria al plantear y resolver problemas, de forma tal que se sientan motivados a mejorar su

modelo didáctico para beneficio de la calidad del aprendizaje de la matemática a nivel básico orientado a lo que indica la RIEB.

MATERIALES •

Al menos cinco hojas blancas, lápiz, pluma para cada docente que asista al curso.

•

Regla graduada, colores, compás.

Actividad 1 “El origen de los números” ¿Alguna vez se ha preguntado por qué los números se escriben de la forma actual? La notación numérica usada para el sistema indo arábigo en la actualidad procede de sistemas de numeración hindúes ya existentes hacia el siglo VI d. C. Estos sistemas ofrecían respecto de los utilizados en Europa dos ventajas sustanciales: •

El concepto del número 0, que, aunque probablemente fue importado de las culturas mesopotámicas, se integró por primera vez en un sistema decimal junto con las otras nueve cifras del sistema. (La noción del cero había sido también desarrollada en América por la cultura maya.)

•

La asignación de un valor posicional a cada cifra, de manera que un mismo guarismo tenía un valor diferente según su posición global en la expresión de la cantidad numérica. Este sistema fue adoptado por los árabes antes del siglo IX, y popularizado por los escritos de Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (780 - 850), autor del primer manual de aritmética inspirado en el sistema decimal posicional.

•

En el siglo XIII, las traducciones al latín de las obras de los matemáticos árabes hicieron posible que los sabios escolásticos medievales conocieran los principios del sistema numeral posicional. No obstante, fue el italiano Leonardo de Pisa quien, en su obra Liber abaci (1202), ofreció una exposición de las cifras hindúes en la que se sitúa el origen del sistema moderno de numeración.

•

La grafía de los numerales tomados del sistema de numeración indo-arábigo experimentó ciertos cambios desde su adopción en Europa en el siglo XII hasta su expresión actual.

Nuestros números modernos proceden de los utilizados por los hindúes, luego popularizados y extendidos por los árabes. La forma de los números tiene un sentido matemático. Cada número se dibuja con un número de ángulos igual al número representado. El cero, al no tener ningún ángulo, es circular. a) Se le pedirá a los maestros que encuentren todos los ángulos de cada cifra y que los dibujen en una hoja blanca previamente proporcionada por quien imparta del curso. b) Transcurridos unos cinco minutos, los docentes compararán sus resultados por parejas. Se les pedirá reflexionen sobre la importancia de involucrar la aritmética con la geometría.

Es una teoría muy antigua. Es difícil demostrar qué es real, quizá sea sólo un invento para hacerlo coincidir con la realidad. Pero es una teoría bella y conviene pensar que es cierta, que todo tiene algún sentido matemático.

Actividad 2

“La serie de números de Fibonacci”

a) Se les solicitará a los docentes que lean el siguiente texto que contiene la historia de otro notable matemático. Una vez terminada la lectura tendrán que reconstruir la serie numérica de Fibonacci a partir de la suma de los últimos dos números de la serie, iniciando esta con dos unos.

La serie de números de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci es una sucesión de cifras que ha dado lugar a no pocas teorías, demostrándose que esta sucesión está presente en la naturaleza de forma estable, ya sea en la organización de los panales de las abejas, o incluso en la descendencia de los zánganos. Leonardo Fibonacci, también llamado Leonardo Pisano, fue un calculista que nació y murió en la ciudad de Pisa, en Italia, del 1175 a 1240. Dedicó su vida a recopilar todas las enseñanzas que recogió en sus numerosos viajes al mundo árabe, de quienes difundió sus principios de cálculo en el mundo occidental. A esta presentación agregó una explicación de procedimientos algebraicos y aplicaciones a numerosos problemas.

Leonardo nació en Pisa, era hijo de Bonaccio, de ahí su nombre Fibonacci, que significa "hijo de Bonaccio". De su padre aprendió todo lo referente a los números, ya que era director de una aduana en Argelia. Bonaccio, necesitaba que su hijo supiese de números, por lo que obligó a su hijo a estudiar aritmética posicional hindú.

El aporte de Fibonacci a la matemática es muy grande, pero sin duda por lo que más se le conoce es por crear la sucesión de números que lleva su nombre. Los

conocidos como Números Fibonacci, fueron un intento de describir el crecimiento de una población teniendo en cuenta que cada individuo tendría dos hijos a lo largo de su vida.

Esta sucesión seguía una fórmula sencilla: Fn = Fn-1 + Fn-2 A raíz de esta fórmula, la sucesión que el matemático italiano estableció fue la siguiente: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etcétera, donde cada elemento es la suma de los dos anteriores.

Pero sin duda, lo más interesante de esta fórmula matemática, es que aparece en una gran cantidad de los elementos de la naturaleza. Los números de Fibonacci son utilizados en los estudios sobre el azar, en clasificación de datos e incluso en los mecanismos para recuperar información en las computadoras, así como en los famosos fractales, objeto semi-geométrico cuya estructura básica se repite a diferentes escalas, como por ejemplo un copo de nieve o una nube.

Una de las aplicaciones más conocidas de esta serie es la que rige la estructura de los caparazones espirales de muchos caracoles, así como ciertas proporciones de la anatomía humana, animal y vegetal. Además, también se ha hallado la misma estructura en manifestaciones de artes plásticas, la arquitectura y la poesía, por ejemplo en la obra de Virgilio, la Eneida.

Dentro de las ciencias naturales, encontramos esta misma estructura en la disposición de las semillas de los girasoles, ubicadas en la gran parte central en forma de espiral con funciones logarítmicas. Un grupo gira en sentido horario y otro en el antihorario. Las abejas también tienen relación con las series de Fibonacci, por ejemplo en la colocación de las celdas de una colmena, en las que sólo hay una ruta posible para ir a la siguiente celda, dos hacia la siguiente y así sucesivamente según la serie. Además, los machos o zánganos de la colmena tienen árboles genealógicos que siguen estrictamente la misma distribución, no tienen padre, por lo que sólo hay una madre, dos abuelos... y así siguiendo la serie propuesta por el matemático. Esta

fórmula, la encontramos en la distribución de las falanges de la propia mano del ser humano.

En la disciplina de la física, también se ve reflejada esta sucesión. Si se colocan dos láminas planas de vidrio en contacto y se proyectan rayos de luz sobre ellas que las atraviesen, algunos, dependiendo del ángulo de incidencia, las atravesarán sin reflejarse, pero otros sufrirán una reflexión. El rayo que no sufre reflexión tiene sólo una trayectoria posible de salida; el que sufre una reflexión tiene dos rutas posibles; el que sufre dos reflexiones, tres trayectorias, el que experimenta tres reflexiones, cinco...

Este número ha dado mucho que hablar y ha servido de inspiración también para varias obras literarias y no menos películas. Por ejemplo en la famosa novela de Dan Brown, "El código Da Vinci" aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci que funcionan como una pista dejada por el conservador del museo del Louvre, Jacques Saunière. Esta misma sucesión la podemos encontrar en el álbum Lateralus de la banda estadounidense Tool, en la que los patrones de la batería de la canción Lateralus siguen el mismo patrón de la sucesión de Fibonacci del número 13 (el número de pistas del disco): 1,1,2,3,5,8,13,1,1,2,3,5,8,13,1,1,...

b) Se les solicitará a los docentes que realicen estas actividades propuestas

1.- En todo colmenar hay un tipo especial de abejas llamadas "reina". Hay otro tipo, también hembras, que se llaman "trabajadoras" que a diferencia de las reinas no producen huevos. Hay abejas "machos" que no trabajan y que son engendrados por los huevos no fertilizados de las reinas, por lo tanto tienen madre pero no padre. Todas las hembras son engendradas por la unión de la reina con un macho, de manera que las hembras tienen padre y madre. De acuerdo al relato anterior, le pedimos que: a) Construya el diagrama de árbol genealógico de una abeja macho, colocando al macho en la base del diagrama.

b) ¿Cuántos padres tiene? c) ¿Cuántos abuelos? d) ¿Cuántos bisabuelos? ¿y tatarabuelos? ¿y choznos? e) Escriba una sucesión con los valores obtenidos de las respuestas anteriores. ¿Observa alguna particularidad? f) Construya ahora el árbol genealógico de una abeja hembra, y responda las mismas preguntas anteriores ¿hay alguna similitud? Argumente sus respuestas. g) Construye tu propio árbol genealógico. ¿Se mantienen las mismas relaciones anteriores? ¿Por qué? h) Escribe el término general de cada una de las sucesiones obtenidas. Las dos primeras sucesiones, se conocen con el nombre de SUCESIONES DE FIBONACCI.

2.- Construya dos cuadrados de lado 1, que tengan un lado en común. Sobre ellos, construya uno de lado 2; a continuación otro que tenga por lado la suma de este último con el anterior. Podemos continuar agregando cuadrados de tal forma que cada uno tenga por lado la suma de los lados de los dos últimos cuadrados dibujados (agregue por lo menos cuatro más). b) Este conjunto de rectángulos los llamaremos rectángulos de Fibonacci. ¿Por qué? c) Construya una espiral sobre los cuadrados, dibujando 1/4 de la circunferencia inscrita en cada cuadrado. d) Si bien matemáticamente no es una espiral, es una muy buena aproximación de la espiral que aparece en la naturaleza. Busque no menos de tres ejemplos que presenten esta espiral. Argumente sus respuestas.

3.- En esta actividad vamos a conocer algunas particularidades de los números de Fibonacci. Para ello le pedimos que: a) Escriba por lo menos los treinta primeros términos de la sucesión de Fibonacci. b) ¿Cuáles son pares?, ¿Qué lugar ocupan en la sucesión?, ¿Qué significa que un número ocupe el segundo, tercero, cuarto o enésimo lugar en una sucesión? c) ¿Cuáles son múltiplos de 3?, ¿Qué lugar ocupan en la sucesión? d) Realice el mismo análisis con los múltiplos de 5, 8 y 13 ¿Por qué se eligieron estos números? e) Si descubre alguna regularidad, exprésela en palabras. f) Como resumen de lo obtenido, complete el siguiente cuadro agregando más filas y columnas:

Lugar que ocupan

Términos de la sucesión

13 21 34

¿Múltiplo de 2?

no no sí

¿Múltiplo de 3?

no no no sí

no no sí

no no no sí

Ya sabemos que cada término de la sucesión de Fibonacci es divisor de infinitos números de la sucesión. Pero, ¿Qué sucede con los números que no son términos de la sucesión de Fibonacci?, ¿Hay múltiplos de 4?, ¿y de 6?, ¿y de 7? Observa hasta los múltiplos de 10. ¿Podrá obtener alguna conclusión? La realidad es que hay infinitos números de la sucesión de Fibonacci que son múltiplos de cada número entero elegido. ¿No le parece sorprendente?

Actividad 3

“Otro algoritmo para la multiplicación”

A continuación, se presenta un artículo de Concepción Ruiz Ruiz-Funes y Galo Ruiz Soto en el que nos enseñan una alternativa distinta a la tradicional para realizar multiplicaciones. Se pide que dada docente lo lea cuidadosamente de manera individual y que al terminar la lectura, comente el artículo con dos más de sus colegas formando un equipo de tres integrantes. Se le recuerda que para tener mayor interacción con todos los participantes de este curso, los equipos de trabajo vayan cambiando constantemente. Otro algoritmo para la multiplicación Concepción Ruiz Ruiz-Funes Galo Ruiz Soto En la vida cotidiana es común encontrarse con problemas que tienen que ver con la multiplicación y esta misma situación se presenta dentro de la matemática todos los días. Sin embargo, estos problemas no necesariamente son demasiado difíciles de resolver, más aún, desde los primeros años de la primaria conocemos un algoritmo para multiplicar cualesquiera dos números. Recordemos que multiplicar quiere decir "encontrar a partir de dos números, un tercero que contenga uno de estos números tantas veces como unidades haya en el otro"(1). Esta definición fue formulada en el siglo XV y se publicó en un libro llamado la Aritmética de Treviso. Un algoritmo es un procedimiento matemático compuesto por una serie de pasos que deben seguirse siempre en un orden previamente establecido. Existen algoritmos de muy diversos tipos: los hay para resolver operaciones aritméticas o para hacer cálculos matemáticos más complicados. Nosotros, desde la primaria, aprendemos algoritmos para sumar, restar, multiplicar, dividir, sacar raíz cuadrada, etcétera. El hombre ha creado a lo largo de la historia un sinfín de algoritmos, en particular en Europa durante los siglos XV y XVI varios matemáticos se dieron a la tarea de construir una herramienta matemática que fuera sencilla y útil para que los mercaderes y comerciantes de la época pudieran usarla en sus transacciones. Así surgieron varios libros llamados Aritméticas que servían para que la gente aprendiera

en ellos las operaciones aritméticas básicas. Uno de los más importantes fue la Aritmética escrita por el matemático italiano Luca Pacioli en el siglo XV. En ella aparecieron por primera vez dos algoritmos fundamentales, el de la multiplicación y el de la división; este último ha llegado casi intacto hasta nuestros días y es el que utilizamos actualmente para dividir. El método que propuso Pacioli para multiplicar se conoce como el método de la celosía puesto que el arreglo que propone es muy similar a una celosía. Nuestra intención aquí es mostrar cómo se usa ese método para que los estudiantes de primaria lo conozcan y lo comparen con el método que ellos usan. Nos proponemos también mostrar que los métodos matemáticos no son únicos y que es importante incluir en la enseñanza de la matemática, desde niveles muy básicos, la historia que da vida a los conceptos y a la herramienta que los estudiantes aprenden en el aula.

Método de la celosía Aunque este método también funciona para números decimales, lo explicaremos únicamente para números enteros. Apliquemos el algoritmo para multiplicar 358 por 27. 1) Hacemos una cuadrícula de 3 columnas por 2 renglones puesto que el primer número tiene tres dígitos y el segundo dos.

2) Trazamos en cada casilla las diagonales en la dirección que va de la esquina superior derecha a la esquina inferior izquierda.

3) Colocamos los números que vamos a multiplicar encima y a un lado de la cuadrícula tal y como se muestra en la figura.

4) Multiplicamos dígito por dígito y acomodamos los resultados en la casilla correspondiente, de manera que las decenas queden en la parte superior de la diagonal y las unidades en la parte inferior. El orden en el que se multipliquen los dígitos es irrelevante lo importante es llenar todas las casillas.

En nuestro ejemplo tenemos: 3x2=6

0 decenas y 6 unidades

5 x 2 = 10

1 decena y 0 unidades

8 x 2 = 16

1 decena y 6 unidades

3 x 7 = 21

2 decenas y 1 unidad

5 x 7 = 35

3 decenas y 5 unidades

8 x 7 = 56

5 decenas y 6 unidades

5) Ahora sumamos los números que quedaron en cada una de las diagonales, en caso de que el resultado de alguna diagonal tenga decenas, se escriben las unidades y aquéllas se pasan a la siguiente diagonal. Es indispensable que este procedimiento se haga de derecha a izquierda. Los resultados se colocaran debajo de las respectivas diagonales. •

Primera diagonal: sólo hay un número, el 6, escribimos 6 debajo de ella.

•

Segunda diagonal: 6 + 5 + 5 = 16, escribimos 6 debajo de la diagonal y llevamos 1 a la siguiente.

•

Tercera diagonal: 1 + 1 + 0 + 3 + 1 = 6, escribimos 6 debajo de la diagonal.

•

Cuarta diagonal: 1+ 6 + 2 = 9, escribimos 9 debajo de la diagonal.

•

Quinta diagonal: sólo hay un número, el 0, escribimos 0 debajo de ella.

6) El resultado de la multiplicación se lee de izquierda a derecha siguiendo la flecha que se muestra en la figura. En este caso, el resultado es 9,666.

Resultado: 9,666 Otro ejemplo:

Resultado: 272, 327, 123 Actividad Proponemos que los maestros y estudiantes de primaria realicen varias multiplicaciones utilizando tanto el método de la celosía como el método que conocen. Se sugiere que comparen el grado de dificultad de ambos algoritmos y que discutan sobre ello.

968 x 475 =

39 x 1'263 =

58, 647 x 926 =

Ahora que ya conoce el método de la celosía para realizar multiplicaciones, converse con los colegas de grupo que ha formado previamente para trabajar esta actividad. Se les pedirá contesten las siguientes cuestiones de acuerdo a su experiencia docente y lo comentado en el artículo anterior.

Preguntas: a) ¿Qué ventajas adquiere trabajar el método de la celosía con respecto al método que usamos habitualmente? b) El uso del método de la celosía implica conocimiento previo por parte del estudiante, saber correctamente las tablas de multiplicar, sin embargo promueve un cambio de actitud al recibir de forma dinámica y divertida el conocimiento. Exprese su opinión si está o no de acuerdo con lo que menciona este párrafo, argumente sus respuestas y escuche las de sus colegas.

Sesión 5 INTRODUCCIÓN

Conocer la operación de resta va más allá de saber resolver cuentas de resta. Significa reconocer las situaciones en las que la operación es útil, saber escoger atinadamente el procedimiento más sencillo para resolver una resta, dependiendo de las cantidades involucradas, poder dar resultados aproximados y saber aplicar ciertas propiedades de la resta para facilitar los cálculos. El propósito de esta quinta sesión es analizar estos aspectos, y al mismo tiempo favorecer la reflexión sobre las condiciones didácticas que pueden propiciar un aprendizaje significativo de esta operación. Frente a esto surge una primera pregunta: ¿qué es saber matemáticas? Si por saber matemáticas entendemos sólo conocer el lenguaje convencional y los algoritmos, es decir, los procedimientos usuales para resolver las operaciones, estamos seguros que los alumnos de hoy en día lo comprenden e incluso lo utilizan dentro de las aulas. Pero ¿qué pasa dentro de la enseñanza escolar, si los alumnos demuestran problemas al intentar “saber matemáticas”? Atendiendo a los objetivos señalados como prioritarios en la enseñanza escolar, definimos “saber matemáticas” como tener la capacidad de usar flexiblemente herramientas matemáticas para resolver los problemas que se nos presentan en nuestra vida.

En esta quinta sesión, también daremos continuidad a la anterior donde de algún modo se abordó el concepto de la suma y el de la multiplicación con la sucesión de Fibonacci. Ahora trabajaremos precisamente con las operaciones inversas, es decir, la resta y la división.

OBJETIVOS •

Indagar sobre las creencias y experiencias de los maestros acerca de lo que ha representado la enseñanza del tema en el aula.

•

Considerar el contenido matemático que un docente debe conocer sobre el tema.

•

Fortalecer la experiencia docente de los maestros de primaria al plantear y resolver problemas con el sistema decimal.

MATERIALES •

Al menos tres hojas blancas para cada docente participante, lápiz, goma, pluma.

•

Tres recipientes pequeños, pueden ser vasos desechables transparentes, fichas de colores, (tres colores diferentes).

•

Una cinta métrica por cada dos participantes.

Actividad 1 a) Se le pedirá a cada profesor participante que lea y analice la siguiente información y los problemas que involucran resta, posteriormente realizará de manera colegiada la discusión y conclusión de una serie de preguntas al respecto.

Existen diversas maneras de resolver una resta. El procedimiento que se escoge depende de varios factores: el tamaño y tipo de los números, la estructura del problema que se enfrenta, así como la necesidad o no de dar una respuesta exacta y, por supuesto, los conocimientos de la persona que resuelve los problemas. Pueden ser construidos poco a poco por los niños, a partir de sus conocimientos sobre los principios de base y posición del sistema decimal de numeración.

a) El contexto del problema que involucra el uso de la resta: Un problema resulta más fácil de comprender para los niños si se redacta con elementos cotidianos y concretos. Un problema es más comprensible si se vincula con experiencias cercanas o propias. b) El tamaño de los números empleados para realizar la resta: Es más fácil resolver problemas con números de un solo dígito que con cantidades mayores de diez. Esto se observa, cuando los niños emplean sus dedos para contar. Mientras que con números mayores el niño se ve forzado a buscar otras estrategias y recursos de conteo, c) El orden en que se presentan los datos en el problema: Lo que permite generar una mayor diversidad de problemas, es la cantidad de datos con la que se cuenta, es justo la necesaria, sobra o falta. Dependiendo de la pregunta que se haga, la respuesta puede contestarse con un número o con palabras; puede implicar leer todo el problema y al final encontrar los datos o viceversa. d) La forma como se plantea el problema: La presencia de apoyos visibles o palpables facilita el proceso de representación mental de las relaciones semánticas involucradas en los diferentes problemas, y por lo tanto, su comprensión. b) En esta parte, el docente analizará algunos aspectos de la construcción de procedimientos para restar y posteriormente se hará el análisis colegiado.

RESTANDO CON MATERIAL CONCRETO La realización de restas utilizando material concreto que represente a los distintos agrupamientos permite comprender, e incluso construir poco a poco, el procedimiento usual para restar. La realización de este procedimiento requiere saber desagregar en la base en la cual se está trabajando. Los niños deben hacerlo en base 10. RESTANDO CON LA SERIE NUMÉRICA Las personas en general, y en particular los niños, se apoyan con mucha frecuencia en la serie numérica para realizar restas.

Los primeros procedimientos que los niños pequeños desarrollan para resolver problemas de resta se apoyan en el conteo, a partir de su conocimiento de la serie numérica. ¿MÁS O MENOS CUÁNTO? Tan importante es saber cómo encontrar el resultado exacto de un problema como darse una idea aproximada del mismo. La estimación es una herramienta que favorece la puesta en juego de estrategias de cálculo.

LOS RANGOS NÚMERICOS Y SUS PROCEDIMIENTOS Los procedimientos que los niños utilizan para restar dependen, del rango numérico y de los conocimientos que tienen. A continuación se da una lista de procedimientos posibles y de los rangos numéricos. Rangos numéricos de minuendos y sustraendos. Procedimientos Del 0 al 10 Conteo directo, de uno en uno o de 10 en 10, de los elementos de la colección que resulta (material concreto o dibujos). Procedimientos Del 0 al 100 Conteo de uno en uno, de 10 en 10 ó de 100 en 100 a partir del sustraendo hasta llegar al minuendo (apoyo en la serie numérica). Números mayores que 100 Conteo regresivo de uno en uno o de 10 en 10 a partir del minuendo (apoyo en la serie numérica). Quitar unidades y decenas por separado, con apoyo en material o en dibujos (con o sin transformaciones). Uso de algoritmo convencional. Aunque el procedimiento en el que “se pide prestado y se paga” es más rápido de ejecutar, descansa en un principio difícil de comprender para los niños. Los procedimientos que usamos hoy en día para resolver operaciones se han desarrollado a lo largo de muchos cientos de años debido a la necesidad de hacer cuentas con números grandes de manera rápida: son procedimientos que contienen muchas abreviaturas y por eso, cuando ya se dominan, son rápidos de aplicar pero difíciles de comprender.

En la actualidad, la presencia de las calculadoras permite que el dominio de esos procedimientos sea cada vez más importante. Gracias a ello, ahora se puede dar más importancia en la escuela a la comprensión y al desarrollo de la creatividad de los alumnos en la resolución de problemas y en la construcción de los procedimientos para resolver operaciones. Para que los alumnos logren comprender y usar las operaciones en la resolución de problemas, es necesario invertir ese orden: Los niños deben resolver problemas desde el principio y, poco a poco, mejorar la manera de hacer las operaciones para resolver los problemas con más facilidad. Hay varias maneras de propiciar que los procedimientos de los niños mejoren: a) Resolver problemas con frecuencia, para favorecer que los alumnos abrevien sus procedimientos. b) A partir de cierto momento, aumentar el tamaño de los números para propiciar que los alumnos abandonen los procedimientos que son muy largos. c) Difundir entre el grupo los procedimientos que ellos mismos van creando. d) Sugerirles y enseñarles formas de abreviar sus procedimientos y, al final, enseñarles los procedimientos usuales como una manera más de resolver las operaciones. c) A continuación se presentan cuatro problemas con la finalidad de que sean revisados, analizados y valorados desde el punto de vista didáctico considerando los criterios y observaciones de los incisos anteriores. Se reunirán los docentes por equipos de tres integrantes y se obtendrán conclusiones.

1) Mario tenía $285 ahorrados, pero compró un regalo de $150. ¿Cuánto dinero le queda a Mario de su ahorro inicial? Esta disminución produce cambio o transformación en el conjunto inicial.

2) Pablo y Javier tienen, los dos juntos, 152 años de edad. De esa edad, 83 años son de Pablo y el resto de Javier. ¿Cuántos años tiene Javier? En este problema está implicada un relación entre un conjunto total (el de la edad de Pablo y Javier juntos) y los subconjuntos (el de los años de Pablo y los años de

Javier separados). Aquí ninguno de los dos conjuntos se modifica. Aquí tampoco hay transformación de los conjuntos, sino simplemente una relación comparativa.

3) Alejandro tiene 57 años. Mara tiene 40 menos que Alejandro. ¿Cuántos años tiene Mara?

4) El grupo de 6° “A” tiene $877 pesos ahorrados para la graduación. El grupo de 6° “B” tiene $532 pesos. ¿Cuánto dinero debe ahorrar el grupo de 6° “B” para tener lo mismo que 6° “A”? En este caso, para igualar ambos conjuntos, es necesario quitar pesos del conjunto de los del grupo de 6° “A”, hasta que queden en correspondencia cuantitativa con los de 6° “B”

Actividad 2 Dividir jugando A continuación se dará un ejemplo de cómo utilizar material concreto para que el estudiante aprenda a dividir, para ello es necesario utilizar vasos plásticos y objetos pequeños como fichas de colores o canicas para dividir cantidades con divisor de una cifra. En cuanto a los materiales, se requieren 10 vasos de plástico, canicas, piedras, granos o fichas de colores, tres o cuatro tapas para representar cantidades. El procedimiento a seguir será representar, paso a paso, el algoritmo de la división por medio de material concreto, respetando y aplicando la ley de cambio de base del sistema de numeración decimal. Recordemos que en la división se desagrupa al igual que en la resta. Si se quiere dividir 117 entre 9, primero se representa el número 117 con las fichas de colores, granos de frijol de distintos colores.

Luego se colocan tantos vasos como lo indica el divisor, en este caso nueve vasos.

Al repartir se empieza con las centenas, se dice: 1 decena para 9 no alcanza, entonces debemos cambiarla por 10 decenas (cambiar un frijol rojo por 10 frijoles negros y se colocan en la posición de las decenas, se obtiene así 11 frijoles negros).

Ahora sí alcanza, entonces se reparte 1 frijol negro en cada vaso.

Sobran 2 frijoles negros.

Se aplica nuevamente la ley de cambio, esta vez, los 2 frijoles negros se cambian por 20 frijoles blancos (20 unidades) y 7 que habían da un total de 27 frijoles blancos.

Se reparten los frijoles blancos y alcanza para colocar 3 en cada vaso y no sobra nada.

En cada vaso está representado el cociente, en este caso 13 y como no sobró nada, el residuo es cero.

Se le solicita reflexione sobre esta forma en la que se presenta aprender a dividir jugando, asimismo se pide que responda individualmente las siguientes cuestiones sobre el tema. a) ¿Qué elementos se hacen evidentes? b) ¿Jugando de esta forma, un niño puede entender de manera clara el significado de dividir? c) ¿Qué relación hay entre el aprendizaje basado en una experiencia concreta y otro que se realiza por mera repetición sin sentido? Explique. d) ¿Qué tipo de estrategia sigue usted para que el niño en verdad comprenda el significado de dividir? Argumente su respuesta. e) ¿Qué propone para lograr que un niño adquiera los conocimientos necesarios para ser consciente del significado y del proceso de dividir?

Actividad 3 ¿El aprender a dividir, es un problema didáctico?

Se sabe que un problema didáctico es un ejercicio de raciocinio que se puede resolver utilizando las matemáticas y la lógica. Un problema planteado tiene tres elementos básicos: los datos necesarios para resolverlo (que son siempre explícitos), el método o relación entre los datos (que el estudiante debe averiguar o descubrir) y

el resultado buscado (que se desprende mediante ciertas reglas de razonamiento y supuestos a partir de los datos aplicado el método). Los problemas didácticos, generalmente matemáticos, se utilizan en todos los niveles educativos de matemáticas para enseñar a los alumnos a asociar situaciones del mundo real con el lenguaje abstracto de las matemáticas, es decir, a pensar con lógica. La resolución de un problema matemático implica seguir tres pasos básicos comunes a todos los problemas: 1. Comprender lo que se está preguntando. 2. Abstraer el problema, encontrar una expresión matemática que represente el problema y resolverlo. 3. Entender lo que quiere decir el resultado al que se ha llegado. Normalmente los problemas matemáticos son más difíciles de resolver que los ejercicios de matemáticas habituales incluso aunque el estudiante conozca las herramientas matemáticas necesarias para resolver el problema. Por ejemplo, muchos alumnos de primaria no tendrán problemas para calcular 5 - 3, pero no sabrían resolver el problema "Álvaro tiene cinco manzanas y le da tres a Benito. ¿Cuántas manzanas le quedan?", en parte debido al lenguaje utilizado en los problemas matemáticos y en parte porque el alumno tiene dificultades para visualizar el problema. Aún son más difíciles los problemas en que el alumno tiene que decidir si un determinado texto tiene información suficiente para resolver el problema o no. Muchos alumnos no consideran la posibilidad de que el problema tenga truco. Este problema, por ejemplo, confundiría a muchos alumnos de primaria: "Un pastor tiene 125 ovejas y 5 perros. ¿Cuántos años tiene el pastor?" Es muy probable que intenten calcular una respuesta, a pesar de que el resultado parezca imposible o no exista.

Actividad 4 Pero, ¿qué significa dividir a/b? A un principiante, hay que hacerle entender primero el algoritmo de la división en el caso más simple, a = qb + r, con 0 ≤ r < b, suponer que a y b son enteros positivos y al mismo tiempo suponer que b < a. Hacer que él mismo llegue a los conceptos básicos de "cociente" y "residuo", explicándolo con peras y manzanas, por ejemplo: Juan quiere dividir 11 manzanas entre 3 niños ¿cuántas debe dar a cada uno? El alumno, fácilmente dirá que le tocan 3 a cada uno, pero sobran 2. Usted debe tomar en cuenta esa respuesta y simplemente decirle cómo se llaman las cosas: Su "3" es el cociente y su "2" es el residuo. Preguntarle si es posible que el residuo sea 3 o más cuando se trata de dividir entre 3. El niño rápidamente contestará que "no" porque si así fuera, el cociente podría ser mayor, etc. A través de varios ejemplos bien diseñados, hacerle entender la noción intuitiva de dividir y los pasos que se siguen para hacer la división de a/b. Cuando el niño lo haya entendido con peras y manzanas, es decir, a partir de algo concreto, será posible trabajar ahora con números más grandes. El algoritmo de la división es el mismo en todos los casos. Conteste lo siguiente y coméntelo con sus colegas de equipo. a) Le parce adecuado el modelo didáctico antes descrito para favorecer el aprendizaje significativo de los estudiantes a nivel básico. b) Mencione qué cambiaría, quitaría o propondría implementar para conseguir un modelo didáctico que promueva el aprendizaje de la división.

Actividad 5 Retomando el tema de la serie de Fibonacci, ahora cada docente deberá leer el siguiente texto. Posteriormente responderá algunas preguntas, mismas que comentará con los compañeros de equipo. La serie de Fibonacci y la división Áurea La sucesión de Fibonacci es una sucesión infinita de números naturales

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 donde el primer elemento es 0, el segundo es 1 y cada elemento restante es la suma de los dos anteriores. A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci.

Tiene

numerosas

aplicaciones

ciencias

computación,

matemáticas y teoría de juegos. Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números de Fibonacci había sido descubierta por matemáticos hindúes tales como Gopala (antes de 1135) y Hemachandra (c. 1150), quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o notas de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos) era fn + 1, que produce explícitamente los números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc. La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: “Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par solo en un mes, y en el segundo mes los nacidos son capaces de parir también”. Leonardo halló la respuesta mediante una tabla que le daba los resultados por cada mes,

juntando

sus

números,

formó

Serie,

que

va:

1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377 y así hasta el infinito. Se preguntarán, como me pregunté yo, ¿Y qué tiene de especial eso? Pues aunque Leonardo no se percató, tiempo después otros matemáticos analizaron su serie, y descubrieron que cada término de la serie es la suma de los dos precedentes: 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13 y así... y así... y así. Pero lo verdaderamente interesante de la serie de Fibonacci es que la división de sus términos se aproxima al número de oro, dividiendo cada cifra de la serie entre la cifra que le antecede, obviamente conforme la serie avanza, la aproximación es mayor: •

8/5=1.60

•

13/8=1.625

•

21/13=1.61538

•

34/21=1.61904

•

55/34=1.61764

•

89/55=1.61818

•

144/89=1.61797

•

233/144=1.61805

•

377/233=1.61802

•

610/377=1.61803

El número de oro se encuentra en toda la Serie de Fibonacci, y la Serie de Fibonacci se encuentra en la naturaleza, el universo y el mismo cuerpo humano: La gran mayoría de los árboles parecen crecer siguiendo la Serie de Fibonacci: El tronco (1) se divide en una rama grande (1), esta rama se divide en dos (2), luego, cada una de ellas se divide en 3 (3) ramas más pequeñas, y así sucesivamente. El Sistema Solar pareciera seguir este patrón: Mercurio (1), Venus (1), La Tierra (2, incluyendo La Luna), Marte (3, incluyendo Fobos y Deimos). Hasta aquí la semejanza. En el cuerpo humano podemos decir que la cabeza es 1, el cuello, 1, los brazos (2), brazo, antebrazo y mano (3), luego los cinco dedos (5), es decir, la sucesión de Fibonacci hasta el 5. Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que los zánganos, el macho de la abeja, no tiene padre (1), pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho tataratatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.

Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica. La espiral logarítmica, por ejemplo, es una curva que ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y

naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.

La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que, la forma siempre se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus. En una espiral logarítmica, la distancia entre las espiras aumenta constante y armónicamente hacia afuera, siguiendo la Serie de Fibonacci; y la espiral basada en la sección áurea está también presente en la doble hélice del ADN; base de la vida orgánica. La espiral de la molécula de ADN mide 34 angstroms de largo por 21 angstroms de ancho para cada ciclo de la doble hélice, 34 y 21 son números de la Serie de Fibonacci, y su razón es 34/21=1.6180:

Esta configuración espiral está también presente en muchas galaxias, las llamadas, precisamente, galaxias espirales:

De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Éduard Lucas, quien además es el responsable de haberla denominado de esta manera. También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos fn + 1 / fn se acerca a la relación áurea fi cuanto más se acerque n a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta serie ha tenido popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Bela Bartok u Olivier Messiaen la han utilizado para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.

La sucesión de Fibonacci, el número áureo y la sección áurea en la naturaleza

Para que las hojas o las ramas de una planta, colocadas en hélice ascendente sobre la rama o el tronco, tengan el máximo de insolación con la mínima interferencia entre ellas, éstas deben crecer separadas según un ángulo constante igual a 360º (1 – φ) ≈ 137º 30′ 27,950 580 136 276 726 855 462 662 132 999…” Para el cálculo se

considera iluminación vertical y el criterio matemático es que las proyecciones horizontales de unas sobre otras no se recubran exactamente. Aunque la iluminación del Sol no es, en general, vertical y varía con la latitud y las estaciones, esto garantiza el máximo aprovechamiento de la luz solar. Este hecho fue descubierto empíricamente por Church y confirmado matemáticamente por Weisner en 1875. La letra griega φ representa a la sección áurea como descrita anteriormente. En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de las inflorescencias, como en el caso del girasol, y en otros objetos orgánicos como las piñas de los pinos se encuentran números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci.

La sucesión de Fibonacci en la cultura popular •

En la pág. 61 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el conservador del museo del Louvre, Jacques Saunière.

•

En el álbum Lateralus de la banda estadounidense Tool, los patrones de la batería (Danny Carey) de la canción Lateralus siguen la Sucesión de Fibonacci del

número

(número

pistas

del

disco):

1,1,2,3,5,8,13,1,1,2,3,5,8,13,1,1,… •

En la miniserie Abducidos, la Sucesión de Fibonacci, como la Ecuación de Dios, es descubierta en los planes de los extraterrestres, en ejemplos como que sus naves tienen 5 tripulantes, sus manos 3 dedos y un pulgar, 1597 avistamientos ovnis en año anterior, se siguieron a 55 parejas para descubrir la hibrida humano-extraterrestre Allie, y que finalmente el número de abducidos era de 46368. Incidentalmente se habla de un hombre que fue abducido 13 veces. 1, 3, 5, 13, 55, 1597, 46368, todos números Fibonacci.

•

En el filme de Darren Aronofsky Pi: el orden del caos el judío Rabbi Cohen presenta la teoría en hebreo transcrito en números en la cual el personaje Max Cohen relaciona esta última teoría con la secuencia de Fibonacci llegando en conclusión que todo esta basado en la ley del orden y el caos.

•

Matemáticamente, tenemos que, se dice que dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si:

Para obtener el valor de

a partir de esta razón considere lo siguiente:

Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y que la de a sea x. Para que estos segmentos cumplan con la razón áurea deben cumplir que:

Multiplicando ambos lados por x y reordenando tenemos:

Mediante la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado se obtiene que las dos soluciones de la ecuación son:

La solución positiva es el valor del número áureo. Formando equipos por parejas, un docente medirá al otro y viceversa, anotarán y compararán los datos obtenidos.

a) La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo. b) La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos. c) La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla. d) La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera. e) La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz. f) ¿Qué puede concluir al respecto? g) Explique con sus propias palabras cómo encontrar el valor del número áureo.

Sesión 6 INTRODUCCIÓN

En esta, la sexta sesión del curso de actualización docente para maestros de educación básica en México, nos encontraremos con otra faceta que adquiere fundamental importancia en nuestra vida, precisamente la geometría. El Tangram se puede usar para trabajar con los niños comprendidos entre el primero y el cuarto año de educación básica preferentemente en la reproducción de las sombras como las que se mostrarán posteriormente. A partir de quinto año de educación básica se puede utilizar en la reproducción de figuras geométricas, además de las sombras en las cuales se pueden hacer cálculos y comparaciones de perímetros y áreas. Este tipo de actividades desarrolla en el niño las habilidades de ubicación espacial, motricidad fina, comparación de tamaño, forma, desarrolla la imaginación y creatividad al construir gran cantidad de siluetas con sólo siete piezas.

OBJETIVOS •

Indagar sobre las creencias y experiencias de los maestros acerca de lo que ha representado la enseñanza del tema en el aula.

•

Considerar el contenido matemático que un docente debe conocer sobre el tema.

•

Fortalecer la experiencia docente de los maestros de primaria al plantear y resolver problemas con el sistema decimal.

MATERIALES •

Un par de hojas blancas tamaño carta para cada docente participante al curso.

•

Una computadora que tenga acceso a Internet y que cuente con el programa adecuado para ver un video de la red. Cañón para proyectarlo.

Actividad 1

Se le pedirá a los docentes que lean cuidadosamente la siguiente información para que al término de su lectura, formen equipos de tres integrantes (se sugiere que en cada sesión los equipos de trabajo sean distintos para cada participante al curso, según la cantidad de asistentes al curso, serán numerados del 1 al 15 por ejemplo, si se forman quince equipos de tres integrantes cada uno).

Artículo sobre una investigación que propone un modelo didáctico en Cuba para el aprendizaje de los conceptos y procedimientos geométricos

Se presenta el resultado de una investigación que se concreta en un modelo didáctico en Cuba para el aprendizaje de los conceptos y procedimientos geométricos que favorezca el desarrollo del pensamiento geométrico en los escolares del segundo ciclo de la escuela primaria. A tal fin la investigación aporta un modelo didáctico que favorece el desarrollo del pensamiento geométrico basado en las relaciones dialécticas y didácticas existentes entre la determinación de los niveles de pensamiento geométrico, su correspondencia con las habilidades geométricas (visuales, lógicas, para dibujar, para modelar y verbal); los conceptos y procedimientos generalizadores y las alternativas didácticas. Además de esto recoge recomendaciones metodológicas variadas que estructuran la aplicación del modelo en cuatro etapas: orientación, diagnóstico, concepción curricular y concreción metodológica. La validez y fiabilidad del resultado obtenido se comprobó mediante la aplicación de diferentes métodos investigativos que ofrecieron evidencias positivas de la aplicabilidad de este modelo didáctico en la estimulación del Pensamiento Geométrico en los escolares del II ciclo de la escuela primaria.

INTRODUCCIÓN Perfeccionar la Educación es una batalla constante a la que están llamados todos los educadores. Lograr que todos los niños y niñas reciban una adecuada educación en correspondencia con sus niveles de desarrollo y trabajar por alcanzar mejores resultados cada día; saber qué hacer para lograrlo, no solo desde el punto de vista teórico, sino en la práctica, debe ser una meta permanente de todos. En la VIII Conferencia Iberoamericana de Educación, la Declaración de Sintra, plantea "la Educación es el ámbito donde se concreta la transformación de la información en conocimiento y, por ello, debe ocupar un primer plano en las prioridades políticas de los países iberoamericanos"(60, 18). En Cuba, a partir del curso 1975-1976 se puso en marcha el plan de perfeccionamiento del Sistema Nacional de Educación cuyo objetivo fue la búsqueda de solución de los problemas originados por el crecimiento y desarrollo impetuoso de la enseñanza y la educación en su etapa de tránsito hasta el curso 1980–1981. En el decenio siguiente 1981–1990, creadas las bases, se elevaría sustancialmente la calidad de la educación mediante la Investigación Ramal de la Educación que permitió, utilizando una vía científica, aportar elementos que contribuyó a consolidar los logros alcanzados y eliminar las deficiencias. Hoy el Laboratorio Latinoamericano de Evaluación de la Calidad de la Educación (LLECE), al cual se incorpora Cuba en 1995, la constitución del Sistema de Evaluación de la Calidad de la Educación (SECE), y los estudios de tendencias constituyen instrumentos valiosos para medir la calidad del aprendizaje de nuestros escolares y la eficiencia de nuestro sistema educativo. La escuela primaria tiene como fin y objetivo general: contribuir a la formación integral de la personalidad escolar, fomentando desde los primeros grados la interiorización de conocimientos y orientaciones valorativas que reflejen gradualmente en sus sentimientos, formas de pensar y comportamiento acorde con el sistema de valores e ideales de la Revolución Cubana, con énfasis en la formación de un niño patriota, revolucionario, antiimperialista, solidario y laborioso. El Modelo Proyectivo de escuela primaria, derivado de este empeño, incluye entre sus componentes, exigencias psicopedagógicas de un aprendizaje desarrollador que

constituyen para el maestro premisas para organizar y dirigir el proceso de enseñanza aprendizaje e incluye, entre otras: •

La organización y dirección del proceso de enseñanza aprendizaje desde posiciones reflexivas del alumno que estimulen el desarrollo de su pensamiento y su independencia cognoscitiva.

•

La estimulación de la formación de conceptos y el desarrollo de los procesos lógicos del pensamiento y el alcance del nivel teórico, en la medida en que se produce la apropiación de los procedimientos y se eleva la capacidad para resolver problemas.

Dentro del proceso de enseñanza aprendizaje de la escuela primaria, la Matemática escolar ha de realizarse de modo que los alumnos se apropien de los conocimientos esenciales y desarrollen las habilidades que les permitan aplicar de forma independiente sus conocimientos para resolver los problemas del entorno social, e incluye dos grandes bloques de contenidos: los aritméticos y los geométricos. El proceso de enseñanza aprendizaje de los contenidos matemáticos en la escuela primaria, a pesar del reconocido papel que juega en la preparación para la vida en nuestra sociedad socialista de niñas y niños, en nuestro territorio, y con bastante similitud en otras provincias, tiene insuficiencias. Estas se han detectado en el proceso investigativo con la aplicación de instrumentos, los resultados de las pruebas al concluir la enseñanza primaria, las regularidades de los entrenamientos metodológicos conjuntos (EMC), en las visitas especializadas y de control del MINED y de la dirección provincial de Educación. Entre las insuficiencias se señalan: el orden en la estructura de los números; la estimación y conversión en el trabajo con magnitudes; el significado práctico de las operaciones y orden operacional y el reconocimiento de propiedades de figuras y cuerpos geométricos y en argumentar utilizando relaciones geométricas: paralelismo, perpendicularidad, igualdad de figuras geométricas. Además, constituyen elementos a considerar, los monitoreos sistemáticos sobre la calidad de la Educación (LLECE y SECE), aplicados a la provincia desde 1996, los que reflejan que a pesar de los avances obtenidos en este sentido, se mantienen dos

componentes, a juicio de la autora, muy relacionados, que son: los contenidos geométricos y las magnitudes. Una profundización acerca de las causas que generan estas insuficiencias en el aprendizaje de los contenidos geométricos en los escolares primarios a través de la observación de 107 clases, entrevistas a maestros y funcionarios con años de experiencias en la escuela primaria permitió precisar como una de las causas: la insuficiente preparación de los maestros primarios para dirigir el proceso de enseñanza aprendizaje de los contenidos geométricos. Los maestros encuestados en la provincia, expresan que: •

No se consideran preparados eficientemente en los contenidos geométricos que deben abordar.

•

El análisis metodológico de las temáticas relacionadas con los contenidos geométricos no es él más completo, debido a la carencia de conocimientos didácticos para estos contenidos.

•

La concepción de trabajo con estos contenidos no está pensada para su contribución al pensamiento lógico abstracto en los escolares, ya que se trabaja de manera aislada en la mayoría de los casos.

•

La asesoría metodológica por las diferentes estructuras a este contenido ha sido limitada, ya que se ha priorizado el componente aritmético.

•

La poca vinculación entre estos contenidos y los contenidos aritméticos o con los de otras asignaturas no posibilita una sistematización de los mismos.

•

La falta de recursos materiales para la enseñanza de estos contenidos es generalizada.

Acerca de la metodología que utilizan para lograr en sus alumnos un aprendizaje desarrollador de los contenidos geométricos señalan que mayormente utilizan lo propuesto en las orientaciones metodológicas y como medios fundamentalmente el libro de texto, en ocasiones láminas y algunas veces juegos didácticos y argumentan que para ello la bibliografía de carácter metodológico de que disponen es pobre para orientarlos y sugerir modos de actuación en ese sentido. En las clases observadas a los maestros de la muestra, se pudo detectar que no se explotan los conocimientos precedentes asimilados por los alumnos para potenciar

un aprendizaje que desarrolle los nuevos conceptos y procedimientos. Los medios de enseñanza que se emplean, en la mayoría de los casos no son efectivos para lograr un aprendizaje, en el que la información que recibe el alumno se transforme en conocimiento. En esta problemática en el campo de la formación del profesional para la escuela primaria se han realizado en el país tesis doctórales dirigidas a la concepción curricular y de postgrado, y a la elaboración de libros de textos (Rizo 87, Cruz B 00, Camejo 99). Sin embargo, tanto el maestro en ejercicio como en el que está en formación necesitan de recursos metodológicos que les permitan concebir el proceso de enseñanza aprendizaje de manera científica. La existencia de modelos didácticos para los contenidos geométricos promovió la reflexión de su utilización en la didáctica cubana. Los modelos didácticos en la enseñanza aprendizaje de la Geometría son muy usados a partir de la década del 80. El modelo de los niveles de razonamiento de Van Hiele (1957), ha promovido tendencias en la enseñanza de los contenidos geométricos como la de ubicación espacial de Saiz (1997), la del aprendizaje acerca del espacio de Bishop (1997), la de las manipulaciones geométricas de Brenes (1997) y la de los materiales concretos de Castro (1997), concebidas no sólo para la enseñanza primaria, sino para otros niveles. El modelo y las tendencias, están dirigidos a favorecer habilidades geométricas específicas, no a concebir las habilidades geométricas de: vista, representación e imaginación espacial como un proceso en el que intervienen además otras importantes habilidades reconocidas en los objetivos del curso de Geometría (desde preescolar hasta duodécimo grado) como son las de: argumentar, fundamentar y demostrar; por lo que la contribución de estos al pensamiento geométrico en el escolar primario es limitada. Tan controvertida como su historia, la enseñanza de la Matemática ha tenido una diversidad de tendencias que en los últimos 50 años se han manifestado y que hoy se reconocen.

Es indudable que la adhesión a los diferentes paradigmas influyó en algunas de ellas, y otras surgieron dentro de la Matemática y se extrapolaron.

Una breve caracterización atendiendo al predominio de las corrientes mundiales en la enseñanza de la Matemática en general y de la Geometría en particular, a partir de la segunda mitad del pasado siglo y hasta llegar a las tendencias actuales, pudiera resumirse de la forma siguiente: Década del 50 al 60: Enseñanza programada de Skinner. •

Enseñanza heurística de Puig Adam y Polya.

•

Niveles de razonamiento de P.Van Hiele.

Década del 60 al 70: •

Enseñanza dinámica de Gatlegno.

•

Matemática Moderna Diudonné, Choquet, Lichnerowiez, Beth.

•

Psicología Genética de J. Piaget.

Década del 70 al 80: •

Matemática de la realidad (escuela española)

•

Mathematics count, Cockcroft Gales (Inglaterra)

•

Matemática para todos, ICMI 5.

•

Problem solving de A. Schoenfeld (USA)

•

Enseñanza por diagnóstico.

•

Didáctica de la Matemática (escuela francesa)

Década del 90: •

Ingeniería didáctica, G. Brousseou, Vergnoud, Chevallard.(Francia)

•

Didáctica de la matemática, Luis Rico,..(España)

•

Matemática Educativa, R. Cantoral,... (México) (132, 2)

En Cuba, la inserción de estas corrientes en la enseñanza de la Matemática y en particular de la enseñanza de la Geometría ha tenido sus particularidades; pues como se señaló con anterioridad, la Dra. Dulce María Escalona da su "Concepción de la Geometría", la que está vigente hasta la década del 50.

A partir de la década del 80, comienza una etapa superior en cuanto a concepción metodológica de los programas, se producen descargas de contenidos en los programas y se elaboran Orientaciones Metodológicas (Dr. Davidson, Dr. Campistrous y Dra. Rizo) En la Década del 90 hay un compromiso mayor desde el punto de vista de las investigaciones pedagógicas relacionadas con la enseñanza de la Matemática, se incrementan las investigaciones y su impacto en la enseñanza, la introducción de los resultados y la búsqueda de alternativas didácticas. La formación Matemática en Cuba se desarrolla en cuatro direcciones: •

Matemática para todos. En correspondencia con los postulados más actuales en Cuba de la difusión masiva de la cultura.

•

Matemática para matemáticos. Para los futuros científicos e ingenieros del país, que en última instancia son el segmento de la sociedad que se tiene en cuenta para medir el desarrollo científico técnico a nivel mundial de una nación.

•

Matemática para los no matemáticos. Para todos aquellos que necesiten una formación en sus estudios de la Matemática como herramienta para resolver los problemas propios de sus ciencias.

•

Matemática para profesores de Matemática. Para la formación del profesional encargado de dirigir el proceso de enseñanza aprendizaje de esta disciplina escolar en la enseñanza general.

En cuanto a las investigaciones pedagógicas relacionadas con la enseñanza de la Matemática las problemáticas sobre las cuales se investiga, después de un análisis de los diferentes eventos y reuniones nacionales, están relacionadas con: la didáctica de contenidos específicos; la didáctica de la Matemática de manera general; la estructura del conocimiento matemático (invariantes), fundamentalmente por el MES; la formación de valores a través de la Matemática, con énfasis en la resolución de

problemas; así como, en la elaboración de software y en general, en informática educativa. Paralelo a las diferentes concepciones que se asumen en los países y a la propia evolución en la enseñanza de la Matemática, en los diferentes Congresos Internacionales de Instrucción Matemática (ICMI), se han planteado transformaciones que generaron cambios en la concepción de esta ciencia. Miguel de Guzmán en el IX Congreso, dejó tres aristas sobre las cuales reflexionar, a saber: •

Papel de la Matemática en la cultura y en la sociedad.

•

Impacto de la Matemática en la tecnología.

•

Contrarrestar las imágenes incorrectas de la Matemática en el gran público. (107, 5)

Los retos que se tienen para la enseñanza de la Matemática en este tercer milenio y toda la experiencia acumulada en esta enseñanza, a partir de las tesis de I. Lakatos, A. Schoenfeld y el fracaso de las Matemáticas Modernas han permitido considerar que las tendencias actuales de la Matemática, y aplicables a la Geometría, son las siguientes: (107, 6) •

La solución de problemas como núcleo del aprendizaje matemático.

Como la Matemática es una ciencia donde predomina el método por encima del contenido, lo priorizado es, por tanto, el desarrollo de los procesos del pensamiento propio de la actividad matemática y no el puro aprendizaje del contenido. Lo más importante es instruir a los alumnos con "herramientas" heurísticas que le permitan la solución y el planteamiento de problemas en sentido general, que no se convierten en ideas inmóviles, inertes, obsoletas; sino que permitan realizar con ello un entrenamiento efectivo de los procesos del pensamiento. Con esta tendencia la solución de problemas constituye el centro de la enseñanza de la Matemática, por tanto, constituye un fin en sí mismo. •

Presencia de la moderna tecnología en la enseñanza de la Matemática.

La educación ha demostrado ser susceptible a los avances tecnológicos. Aunque algunos no lo comprendan, la comunicación inteligente y la sabia interacción con la nueva tecnología es más que un anhelo, una necesidad impostergable que deben analizar los estudiantes a través de esta asignatura.

Súmase a estos criterios el hecho de que si bien el desarrollo de la Matemática como ciencia influyó en el desarrollo de la tecnología, hoy también el desarrollo tecnológico influye en el desarrollo de la ciencia Matemática. La escuela cubana para dar respuesta a esta necesidad asume el Programa Nacional de Computación como un programa priorizado de la Revolución. La incorporación de la tecnología desde el Círculo Infantil, en nuestro país, es el reto para hacer un trabajo racional y sensato, para su incorporación a las clases en todos los niveles y tipos de enseñanza. •

Fuerte trabajo con el empleo de recursos diversos para conseguir la motivación.

Alcanzar una adecuada disposición de los estudiantes para el estudio favorece indiscutiblemente las condiciones de aprendizaje. El rechazo que ha provocado en los estudiantes la Matemática ahora se ha revelado con más énfasis y, por supuesto, ha aumentado la preocupación de quienes enseñan esta asignatura, por lo que se ha procedido a la búsqueda de nuevos recursos para la motivación desde un "ángulo más abierto", acudiendo no solo a elementos culturales, económicos, históricos, sociales; sino también, a la posición que tuvieron los sabios cuando aportaron los diferentes conceptos, teoremas y teorías matemáticas, lo que propicia el experimentar con ello el placer también de descubrir. Con ello no solo se debe conseguir la aptitud matemática; sino también, la actitud matemática que incide, en el aumento de la primera y viceversa. •

El carácter lúdico en la actividad matemática y el trabajo en grupos.

Esta tendencia ha tenido una aceptación muy positiva en la época contemporánea entre jóvenes y adultos; por lo que con más razón debemos considerar el juego y la actividad lúdica en general en la edad infantil. A pesar de que el estudio ocupa un lugar importante en la vida del escolar desde los primeros grados, de ninguna manera puede ser desestimada la pasión y la entrega que sienten los niños por el juego. La actividad lúdica es por excelencia una actividad libre, creativa, que desarrolla la flexibilidad del pensamiento, la invención, la elaboración, el ensayo y la elección de estrategias, y en este sentido se identifica con la actividad matemática.

El juego está muy relacionado con el trabajo en grupo, con el trabajo cooperativo, donde se comparten armónicamente el ingenio personal y el colectivo. En él se crea un orden con las reglas que para su desarrollo se hace respetar, al mismo tiempo consigue desarrollar relaciones afectivas, especialmente entre los participantes. El juego tiene también una importancia axiológica que en la actualidad no podemos dejar de considerar. •

La presencia cada vez mayor de métodos activos.

La pedagogía contemporánea se ha ido nutriendo de métodos más activos y productivos, los que obviamente la enseñanza de la Matemática no puede ignorar. Actualmente se aprecia con fuerza, en la enseñanza de la Matemática, el hecho de situar al estudiante no como objeto del aprendizaje, sino como sujeto de su propio aprendizaje, pues se parte del principio de que todas cualidades se desarrollan en la actividad (Davídov, Skatkin, Talízina,...). No es posible que el estudiante se ponga en contacto con los métodos de la ciencia sin utilizarlos. Estas tendencias se han particularizado para la enseñanza de la Geometría y difundido en varios países. En la Educación Primaria hay tendencias específicas consideradas modelos didácticos en algunas literaturas, para la enseñanza de los contenidos geométricos, que de manera resumida se pueden expresar de la siguiente manera: •

Utilización del Modelo de Van Hiele (Jaime y Gutiérrez, 1991): Consiste en medir los niveles de razonamiento geométrico en los escolares, con el objetivo de lograr un aprendizaje comprensivo de la Geometría desde los primeros grados.

•

La ubicación espacial (Saiz, 1997): Consiste en mostrar situaciones de utilización del vocabulario espacial, situaciones donde es necesario realizar alguna acción a partir de las informaciones espaciales provistas por el docente o el autor del libro.

•

Aprendizaje acerca del espacio (Bishop 1997): Consiste en mostrar que las ideas geométricas espaciales que se les enseñan en la escuela no son ajenas a lo que aprende en la casa o en el mundo real que los rodea.

•

Las manipulaciones geométricas (Brenes, 1997): Consiste en mostrar que la utilización de figuras geométricas ayuda a desarrollar la percepción espacial en los estudiantes, lo que les permite una mejor comprensión del mundo que los rodea y de las Ciencias Exactas y Naturales.

•

Utilización de materiales concretos (Castro, 1997): Consiste en el uso de objetos geométricos construidos por los maestros con el objetivo de desarrollar destreza y comprensión en la construcción de conceptos básicos elementales de la Geometría.

Actualmente son muy usados los programas profesionales de computación para los contenidos geométricos en los diferentes niveles, que en su esencia está la contribución de estos contenidos al desarrollo del pensamiento geométrico en los alumnos. Su empleo es muy discutido y es punto de análisis en reuniones y talleres, entre ellos se pueden citar: •

The Geometer's–Sketehpad: Permite hacer construcciones dinámicas tanto para la Geometría Plana como para la Analítica (Argueta, 1997).

•

El CABRI–GEOMETRE: Permite manipular los objetos geométricos que en él son construidos, favorece la exploración y el descubrimiento de diversos hechos geométricos (Díaz, 1997).

•

El Autocad: Programa profesional que permite al usuario crear objetos geométricos, manipularlos e interpretarlos.

•

Sistema Inteligente con Tecnología Multimedia Óptima–Geometría: Es una aplicación destinada al apoyo de la docencia en algunos temas de Geometría y se trasmiten al estudiante conocimientos y entrenándolos en la solución de problemas; posee una estructura formada por un conjunto de módulos relacionados entre sí, estos son: tutor, experto, modelo del estudiante, visor de hipermedia, generador de problemas y solucionador (O´Farril, 2000).

Lo primero que debe hacer un maestro que enseñe Geometría es saber cómo se produce la evolución del pensamiento geométrico de los alumnos, y por otra parte,

cómo puede un profesor dirigir a sus alumnos para que mejoren la calidad de su aprendizaje.

DESARROLLO PREMISAS QUE SUSTENTAN EL MODELO DIDÁCTICO PARA EL APRENDIZAJE DE LOS CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS GEOMÉTRICOS. La palabra modelo proviene del latín modelus, significa medida, magnitud, y está relacionado con la palabra modus (copia, imagen). Por modelo se entiende (García,1992), un sistema figurativo que reproduce la realidad bajo una forma esquemática, haciéndola de este modo más comprensible. Es una sistematización de ideas, una estructura conceptual que facilita la comprensión de la naturaleza de ciertos fenómenos y permite interpretar el comportamiento de ciertos sucesos que se investigan. El modelo científico posee una función heurística porque sugiere nuevas hipótesis, problemas y experimentos que orientan nuevas investigaciones, permiten la expresión de un complejo hipotético en conexiones teóricas (López–Barajas, 1988). Los modelos se emplean extensamente en los experimentos, su investigación permite obtener nuevos datos sobre el objeto. Estos son una forma de abstracción científica en la que las relaciones esenciales del objeto están destacados en nexos y relaciones gráficas perceptuales (Davýdov, 1979). El Modelo didáctico, para la autora, es una abstracción del proceso de enseñanza aprendizaje, en el cual se precisan relaciones y nexos presentes para un determinado objeto de dicho proceso. Para el trabajo de tesis el modelo didáctico de P. Van Hiele, al que se ha hecho referencia como una de las tendencias para la enseñanza de los contenidos geométricos en la escuela primaria, ha constituido el punto de partida. El modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele, como se reconoce mundialmente, está centrado en las insuficiencias que observaban todos los años los esposos holandeses Pierre y Dina Van Hiele en sus clases de Geometría en la secundaria básica. Constituyó tesis doctoral en 1957; sin embargo, es en 1976 que, en Estados Unidos, Izaak Wirzup reconoce su interés por el modelo y desde entonces este ha sido tan difundido que "en la actualidad, casi todas las

investigaciones sobre geometría, incluidas las de diseño curricular, lo tienen en cuenta" (104, 27).

El modelo de Van Hiele incluye dos aspectos: •

Descriptivo: intenta explicar cómo razonan los estudiantes y plantea cinco "niveles de razonamiento".

•

Prescriptivo: da pautas a seguir en la organización de la enseñanza para lograr el progreso en la forma de razonar de los estudiantes y plantea cinco "fases de aprendizaje".

En la literatura consultada sobre el modelo, la numeración y la clasificación de los niveles varían y hay que notar que en el original de Van Hiele, los niveles comienzan por el nivel básico 0 hasta el nivel 4. "The model consists of five levels of understanding. The levels labeled "visualization", "analysis",

"informal

deduction",

"formal

deduction",

and

"rigor"

describe

characteristics of the thinking process" (180, 420). Para A. Jaime (1990) estos niveles lo expresa como de: reconocimiento, análisis, clasificación y deducción formal; Fuys y Usiski (1988) lo analizan como identificación, definición, clasificación y prueba y, Galindo (1996) los considera como de reconocimiento, análisis, ordenamiento, deducción y rigor. Independientemente de la terminología estos niveles son reconocidos y se plantean como: Nivel 1. Visualización: El estudiante aprende algo de vocabulario y reconoce una figura como un todo. Nivel 2. Análisis: El alumno analiza las propiedades de las figuras. Nivel 3. Deducción informal: El estudiante ordena lógicamente figuras y comprende la interrelación entre figuras y la importancia de la definición exacta. Nivel 4. Deducción formal: El estudiante comprende el significado de la deducción y el papel de los términos indefinidos, postulados, teoremas y demostraciones. Nivel 5. Rigor: El estudiante comprende la importancia de la precisión cuando trata con las bases y las interrelaciones estructurales. Las fases declaradas en el modelo de Van Hiele son las siguientes:

•

Información: su finalidad es la obtención de información recíproca profesor alumno (precisa lo que saben los alumnos y los alumnos conocen el objetivo del nivel para el concepto que van a estudiar).

•

Orientación dirigida: el profesor dirige a los alumnos para que estos vayan descubriendo lo que va a constituir la esencia del nivel. El alumno construye los elementos fundamentales del nivel.

•

Explicitación: su objetivo es que el alumno sea consciente de las características y propiedades aprendidas anteriormente.

•

Orientación libre: orientada a consolidar los aspectos básicos del nivel.

•

Integración: tiene como objetivo establecer y completar la red de relaciones objeto de ese nivel para el concepto que se trabaja.

Un análisis crítico del modelo permite considerar tres elementos, por las concepciones psicopedagógicas a las que se adscribe la autora y el nivel en que se aplica, que son limitantes: •

El establecimiento de los niveles de razonamiento geométrico por los que pasa la comprensión geométrica, queda muy amplio, pues la ubicación de los alumnos en cada nivel se dificulta, por cuanto la comprensión geométrica no se da necesariamente en un grado. La precisión de las habilidades en cada nivel queda muy abierta a lo que el alumno construye.

•

La abstracción del modelo está basada en estudiantes de secundaria básica, os que poseen características psicológicas y sociales diferentes del niño cubano del nivel primario.

•

La base epistemológica sobre la que se erige el modelo es el constructivismo, por cuanto considera que es el alumno quien construye todo su conocimiento; sin embargo si bien se considera que el uso racional de esta corriente no es nociva para la enseñanza de la Matemática, su absolutización no es positiva.

La autora considera además que, en su aplicación internacional el modelo es fragmentado al empleo casi absoluto de los niveles de razonamiento y no a sus fases, y se tiene el criterio de que el propio conocimiento de otras teorías de aprendizaje con énfasis en los trabajos de la escuela histórico cultural, en muchos países iberoamericanos ha debilitado la parte prescriptiva.

Estructura y análisis del modelo didáctico para el aprendizaje de los conceptos y procedimientos geométricos del II ciclo de la escuela primaria.

El modelo didáctico propuesto tiene una estructura sistémica, considerándose como núcleo el pensamiento geométrico y como elementos que lo integran: la determinación de los niveles de pensamiento geométrico, los conceptos y procedimientos generalizadores y las alternativas didácticas. Deben estar presentes los tres en una relación que sigue la siguiente lógica, primero: sobre la base de un diagnóstico (determinación de los niveles de razonamiento geométrico), segundo: con la concepción científica del proceso de enseñanza aprendizaje de los conceptos y procedimientos geométricos (conceptos y procedimientos generalizadores) y tercero: con el empleo de alternativas didácticas (juegos, preguntas abiertas, ejercicios de nuevo tipo, actividades para conceptos, medios de enseñanza y software educativos) contribuir a favorecer el pensamiento geométrico. El primer elemento precisa con quién voy a trabajar, al diagnosticar los niveles de pensamiento geométrico que posee cada alumno; el segundo con qué, el proceso de enseñanza aprendizaje de las figuras geométricas, cuerpos geométricos y de los

movimientos; y el tercero el cómo, a proponer alternativas didácticas para abordar las figuras y cuerpos geométricos; así como los movimientos. De ellos hay que señalar que el tercer elemento puede cambiar su naturaleza, pero no puede eliminarse de la estructura. En un análisis de estos tres elementos se puede plantear que la determinación de las formas de pensamiento a través de un diagnóstico de los niveles de razonamiento en que se encuentran, con toda su estructura, es un elemento clave para la precisión de la diversidad en los estudiantes; es decir, al determinar las potencialidades de cada estudiante (entiéndase esta como una forma de diagnóstico detallado o fino del conocimiento; tanto en habilidades, capacidades como en formas de pensar, en la dimensión académica para la asignatura Matemática), se precisa de un conocimiento que le permitirá al maestro planificar el proceso de enseñanza aprendizaje de los contenidos geométricos con mayor cientificidad sobre la base de las condiciones reales de cada estudiante de su grupo. Esto redundará en un proceso personalizado de la enseñanza que conjuntamente con el empleo de técnicas grupales permitirá la socialización. La precisión de los conceptos y procedimientos generalizadores constituye otro elemento que le va a ofrecer al maestro una guía para el análisis de las posibilidades que brinda el actual currículo de geometría para la escuela primaria. La esencia de este aspecto está en que los maestros reconozcan los tres conceptos generadores de procedimientos en los contenidos geométricos de la escuela primaria y pueda hacer, en función de las posibilidades reales de sus estudiantes, las adecuaciones curriculares correspondientes siguiendo de cerca el objetivo central de las temáticas abordadas. Y por último, el modelo prevé el empleo de alternativas didácticas, acorde a las particularidades individuales, sin perder de vista los objetivos, pero que responden a las exigencias de la escuela contemporánea. Se han previsto seis grupos de alternativas que son aplicables a todos los grados de escuela primaria, que no son excluyentes y que en esencia asumen las nuevas tendencias y prioridades del sistema educativo cubano. A modo de resumen, el modelo didáctico abarca:

•

La precisión de los niveles de pensamiento geométrico de los escolares del grupo de trabajo, haciendo énfasis en el comportamiento por niveles para planificar la atención a las diferencias individuales, desde el alumno que se encuentra en un primer nivel hasta el posible alumno talento.

•

La organización de la dosificación del contenido a impartir en el grado, que tiene como conceptos generalizadores los de: figura geométrica, cuerpo geométrico y movimiento, para potenciar la asimilación de estos conceptos y los procedimientos que se generan en cada grado.

•

La selección de los grupos de alternativas didácticas, las que tienen como premisa los objetivos a lograr y el diagnóstico de los niveles y presupone la puesta en práctica de la creatividad de cada docente, tanto para combinarlas como para enriquecerlas.

Integración de las Etapas y el Modelo Didáctico

CONSIDERACIONES FINALES.

Los presupuestos teóricos del modelo de Van Hiele contienen, con aproximación a la práctica escolar cubana, las condiciones generales sobre las cuales debe desarrollarse el proceso de enseñanza aprendizaje de los contenidos geométricos en la escuela primaria; sin embargo, los niveles de razonamiento geométricos que propone, no posibilitan un trabajo diferenciado y desarrollador con los niños y las niñas holguineros. Un modelo didáctico para el aprendizaje de los conceptos y procedimientos geométricos del II ciclo de la escuela primaria sustentado en la escuela histórico cultural, que declare nuestras tradiciones pedagógicas y las condiciones biológicas y sociales de nuestros niños, constituye una variante para la concepción científica del proceso de enseñanza aprendizaje de esos contenidos por parte de los maestros. La concepción de un modelo didáctico para el aprendizaje de los conceptos y procedimientos geométricos sobre la base de los niveles de manipulación, reconocimiento y elaboración, su correspondencia con las habilidades geométricas (visuales, lógicas, para dibujar, para modelar, verbal), la determinación de los conceptos y procedimientos generalizadores: figura geométrica, cuerpo geométrico y movimiento, y el empleo de alternativas didácticas (juegos didácticos, medios de enseñanza, preguntas abiertas, software educativo, ejercicios de nuevo tipo y actividades para conceptos), permite al maestro dirigir el proceso pedagógico sobre la base de un diagnóstico real del estudiante para potenciar el logro de su pensamiento geométrico y el lógico abstracto en general.

Una vez leída esta investigación de lo que se ha llevado a cabo en Cuba, se le pedirá a los docentes que por equipos de tres integrantes rescaten del texto aquello que les parezca pertinente implementar o no en el contexto de nuestro país, argumentando en cada caso si es posible o no, considerando la RIEB.

Conteste y comente con sus compañeros docentes estas cuestiones.

a) ¿Por qué es importante trabajar el desarrollo de la ubicación espacial en preescolar y en los primeros años de la escuela primaria?

b) ¿Cuáles son las principales dificultades que se observan en las escuelas para fortalecer las relaciones espaciales? c) ¿En que beneficia a los niños pequeños aprender la ubicación espacial y lateralidad? d) A partir de lo que menciona el artículo anterior, ¿Qué modelo didáctico propone utilizar o ha utilizado para trabajar aspectos geométricos con los niños pequeños? e) Haga una lista de las habilidades matemáticas que promueve el desarrollo geométrico en los niños al trabajar temas como la ubicación espacial y los sistemas de referencia.

Actividad 2

a) Lea atentamente el siguiente texto, posteriormente escriba una breve reflexión acerca de lo que menciona, haciendo hincapié en el modelo didáctico que usted emplea para enseñar geometría. b) Comparta su reflexión con los maestros que forman parte de su grupo de trabaja, organícelo con un máximo de tres integrantes por equipo. c) Diseñe al menos tres actividades de manera conjunta con su equipo de trabajo donde mencione objetivo de enseñanza, aprendizajes esperados por el niño, modelo didáctico utilizado, enuncie qué va a realizar el niño con un lenguaje dirigido al mismo, muestre la solución del problema. El espacio y las formas geométricas En la actualidad la geometría es la gran “ausente” en las aulas escolares. ¿Por qué afirmamos esto? No se tiene en claro para qué enseñarla. Se repiten año con año los mismos contenidos sin saber a que conducen. Han quedado fuera contenidos como construcciones, definiciones, tratados, terminología, etc. La idea de que todo conocimiento matemático debe vincularse con la vida cotidiana fue poco a poco “desplazando” a la geometría sin importar que desde la antigüedad esta área de la matemática pretendiera resolver problemas de orden práctico como el territorio de un

terreno luego de las inundaciones del río Nilo, fijar límites de terrenos, construcción de viviendas, etc. Esta idea de geometría en uso no es la misma que tiene el geómetra. No es la misma que tiene Euclides, el siglo III a.c. Con Euclides aparece un espacio que se razona, se deduce, se representa. Deja de ser real para convertirse en un espacio imaginado. La geometría pasa a ser un modelo reflexivo. Tanto del espacio físico como del espacio geométrico. El espacio físico, es el que nos contiene y contiene los objetos concretos. Lo conocemos por medio de la percepción y los distintos sentidos. El espacio geométrico es el que está conformado por conjuntos de puntos y sus propiedades. Es la modelización del espacio físico. Lo conocemos a través de la representación. ¿Qué es una Figura? Un objeto ideal. Las figuras geométricas no existen. Lo que nosotros “vemos” son representaciones de ideas concebidas en ese espacio imaginado. ¿Qué es un dibujo? La representación del objeto ideal. Puede hacerse con trazos en el pizarrón, cuaderno, en una computadora, etc. No debemos confundir el objeto ideal con su representación. ¿Cómo construye un niño la idea de espacio? “Los niños ingresan al jardín con conocimientos diferentes acerca del espacio según las experiencias en las que han podido participar.”, “Los niños utilizan sus conocimientos en la resolución de nuevos problemas espaciales. Estos nuevos problemas les permiten incrementar los aprendizajes realizados hasta el momento ampliando los sistemas de referencia involucrados.” No es suficiente “vivir” un espacio

para

lograr

dominarlo.

necesario

apoyarse

ciertas

conceptualizaciones, en ciertas representaciones, para resolver los distintos problemas que se presenten. Si bien es cierto que el sujeto construye sus conocimientos espaciales desde que nace. También es cierto que es necesaria la acción

pedagogía

para

que

estos

conocimientos

estructuren

adecuadamente. En los últimos años, el trabajo realizado teniendo en cuenta situaciones problemáticas, el estudio de series numéricas, las funciones del mismo, los distintos

contextos en los cuales se trabajan los números, entre otras cosas, han transformado el enfoque en la enseñanza de la aritmética. Pero no ha ocurrido lo mismo con la enseñanza de la geometría y especialmente con la enseñanza del espacio. Y es en este último donde persisten las confusiones. ¿Cómo cuáles? - Confundir el conocimiento espontáneo con una enseñanza sistemática. - Considerar como tema a enseñar “La construcción del espacio”. - Creer que los niños, para aprender en la escuela, deben atravesar ciertas etapas que van desde lo concreto a lo gráfico y desde lo gráfico a lo abstracto. Esto produjo la organización de etapas en la enseñanza: primero la vivencia, luego la representación y por último la abstracción. Es necesario hacer una distinción entre el espacio real y los aspectos matemáticos que están vinculados. El simple hecho de desplazarse, arrojar objetos o jugar con una pelota, no permite, a los niños, realizar conceptualizaciones de conceptos matemáticos. No hay actividad matemática en el desplazamiento físico. Una cosa es el uso del espacio real (desplazarse, recorrer, moverse) y otro los aspectos matemáticos que podrían estar vinculados a cada una de dichas situaciones. Psicología y nociones espaciales Distintos psicólogos han tratado de explicar el desarrollo de los conocimientos espaciales. La abundancia de situaciones y la diversidad de los modos de tratamiento dejaron al descubierto la imposibilidad que tiene la psicología para clasificar las situaciones de manera de considerar simultáneamente, la diversidad de conocimientos de los alumnos y la pluralidad potencial de los modos de tratamiento de los objetos por un mismo sujeto. Brousseau y Gálvez, son los que toman a su cargo la articulación entre el dominio de la psicología y el de la didáctica y proponen tener en cuenta el “tamaño del espacio”. Las acciones de los sujetos en el espacio dependen del “tamaño” de éste. Alsina, Burgues y Fortuny distinguen cuatro tamaños del espacio donde se realizan las acciones geométricas. El microespacio es el que corresponde a la manipulación de los pequeños objetos. Próximo al sujeto. . El mesoespacio, es el espacio de los desplazamientos del sujeto, en un dominio controlados por la vista. Los objetos que

están fijos funcionan como puntos de referencia perceptibles sólo desde ciertas perspectivas El sujeto está en el interior del espacio. El macroespacio, espacio de las grandes dimensiones entre los cuales se destaca el espacio urbano, el rural y el marítimo Los objetos están fijos, funcionan como puntos de referencia, pero sólo una parte está bajo el control de la vista. El sujeto está en el interior del espacio. El cosmoespacio, poner en juego los problemas de referencia y orientación. Su ámbito de estudio corresponde a los fenómenos ecológicos, geográficos, topográficos y astronómicos. Las distintas geometrías que se trabajan en el nivel inicial y en primaria. Geometría topológica. También llamada la geometría de la lámina de hule. En este enfoque las figuras son sometidas a transformaciones que pierden sus propiedades métricas y proyectivas. Geometría proyectiva. Se definen transformaciones que deforman los elementos conservando la alineación de los puntos. Es la geometría de las sombras. Geometría euclidiana: estudia las propiedades y problemáticas de las figuras de naturaleza ideal. Se refiere a las transformaciones que sólo cambian la posición de los objetos y por lo tanto conservan el tamaño, las distancias y las direcciones, es decir los aspectos relacionados con la medida. Se mantienen los ángulos, la relaciones de incidencia, longitud, etc. Figuras geométricas Los cuerpos geométricos son entes geométricos, es decir no tienen existencia real. Cuando hablamos del espacio geométrico, hablamos de un espacio puntual, no de un espacio físico. Ninguna figura geométrica tiene existencia real, lo que hacemos al dibujar un cuadrado, un triángulo, etcétera, son representaciones de dichas figuras. Veamos algunas definiciones importantes. Figura: todo conjunto de puntos. Cuerpo, también llamado sólido; figura tridimensional, posee alto, largo y espesor, (ancho, largo y alto), pueden diferir los términos para nombrar sus distintas dimensiones, pero su característica es la tridimensionalidad.

Reflexionando sobre nuestra práctica docente En los últimos años se ha hecho hincapié en la necesidad de la indagación de saberes previos para la construcción de conocimientos. Es probable que usted tenga este aspecto lo suficientemente claro en la elaboración de las clases. Pero, creemos que es importante hacer alguna referencia al tema, pues algunos consideran que los niños, no pueden tener ideas previas sobre contenidos matemáticos o bien creen que, tienen ideas previas relacionadas con los números y no respecto a las figuras. Sabemos que los niños tienen ideas previas con respecto a las figuras geométricas, saben que algunas “tienen puntas” otras tienen lados “derechos”, observan que una pelota rueda. ¿Qué hace el docente frente a estas ideas previas?, ¿Qué tiempo y espacio dedica cada docente en recuperarlas?, y si lo hace, ¿para qué las emplea? Los niños tienen ideas perceptivas de las figuras, pero, ¿por qué terminan el ciclo de la escuela primaria sin haberla enriquecido? Es cierto que la enseñanza de la Matemática básica no ha sabido capitalizar demasiado la riqueza del conocimiento informal y esto ha hecho que se enseñe desconectada de la realidad y en forma mecanicista y repetitiva. Piense cómo ha recibido Usted los conocimientos matemáticos durante su etapa de escolaridad. Los niños hacen dibujos en los que representan su entorno, su familia, su casa, etc., juegan con objetos de diferente forma. Si queremos dar a los niños una oportunidad de poder construir sus conocimientos debemos escucharlos y entender cómo piensan. Los adultos, también tenemos ideas previas, y se aprende a partir de ellas. Por lo tanto podemos enseñar a partir de ideas previas y enriquecer nuestro trabajo docente con los más pequeños, los niños. Las figuras y los dibujos Mencionamos que la figura es un objeto ideal y el dibujo es la representación de ese objeto. Los dibujos deben ser empleados para reconocer las figuras, identificar sus características y establecer relaciones entre sus elementos. Es común que, frente a la necesidad de solucionar algún problema recurramos al dibujo para clarificar dicha

situación. Muchas veces los docentes cometemos muchos errores al emplear los dibujos. •

Los rectángulos tienen siempre lados desiguales.

•

Los triángulos siempre están “apoyados” sobre uno de sus lados.

•

Si se presenta un triángulo rectángulo se “apoya” sobre uno de sus catetos, de manera que la hipotenusa siempre tendrá una posición diagonal.

•

Los cuerpos siempre se “apoyan” sobre las caras llamadas bases.

De esta forma, los niños creen que las figuras cambian al desplazarse, que la característica del rectángulo está en relación con los lados, tienen dificultades para reconocer figuras ubicadas en distintas posiciones, convirtiéndose en verdaderos obstáculos para el aprendizaje.

Actividad 3

HISTORIA DEL TANGRAM El tangram es un rompecabezas de origen chino que probablemente apareció hace tan sólo 200 ó 300 años. Los chinos lo llamaron "tabla de sabiduría" y "tabla de sagacidad" haciendo referencia a las cualidades que el juego requiere.

La misma palabra "tangram" es un invento occidental: Se supone que fue creada por un norteamericano aficionado a los rompecabezas, quien habría combinado tang, una palabra cantonesa que significa "chino", con el sufijo inglés gram (-grama) que significa "escrito" o "gráfico".

Los primeros libros sobre el tangram aparecieron en Europa a principios del siglo XIX y presentaban tanto figuras como soluciones. Se trataba de unos cuantos cientos de imágenes en su mayor parte figurativas como animales, casas y flores... junto a una escasa representación de formas abstractas. A lo largo del siglo XIX aparecieron diversos libros de tangram chinos, que fueron copiados por las editoriales europeas, buena prueba de la popularidad que había

adquirido el juego. A partir de 1818 se publicaron libros de tangram en EE. UU., Inglaterra, Francia, Alemania, Austria e Italia. En la introducción al libro publicado en Italia se hacía notar que el tangram se jugaba "en todas partes con verdadera pasión". En efecto, aunque una antigua enciclopedia china lo describía como "un juego de mujeres y niños", el tangram se había convertido en una diversión universal.

El tangram es un cuadrado formado por siete piezas, llamado también juego de los siete elementos o tabla de la sabiduría, este juego es muy antiguo, consiste en formar siluetas de figuras utilizando las siete piezas sin encimarlas, consta de

cinco

triángulos no todos de mismo tamaño, un cuadrado y un romboide, con los cuales se pueden hacer figuras geométricas, siluetas de personas, de animales, de objetos, de flores con la única condición de que todas las figuras estén colocadas en un mismo plano.

Las reglas son muy sencillas: siempre hay que utilizar las siete piezas, sin dejar ninguna por colocar y todas tienen que estar en contacto, aunque sólo sea por una esquina.

Algunas siluetas para jugar con el tangram

Cada docente participante podrรก construir su propio tangram, puede ser de gran utilidad ver el video que aparece en: http://www.youtube.com/watch?v=1CkYadNqzkI En el cuadrado ABCD se traza la diagonal AC y al dividirse en 4 partes iguales se obtienen los puntos I, H y J. Se determinan los puntos medios E y F de los

segmentos AB y BC y el segmento EF se divide por la mitad en el punto G. Finalmente se trazan los segmentos IG, DG y FJ y se obtienen los 7 polígonos que forman el tangram chino.

Realice lo que se le

solicita a continuación:

a) Indique los nombres de los polígonos que forman el cuadrado ABCD. b) Si el lado del cuadrado ABCD mide 10 cm por lado, determina: el perímetro y el área de cada figura. c) Determina qué fracción y qué porcentaje del cuadrado ABCD corresponde a cada figura. d) ¿Qué piezas del tangram se pueden recubrir utilizando los dos triángulos pequeños? Dibújelas. e) ¿Con qué piezas del tangram se pueden recubrir los triángulos grandes?

f) En el siguiente ejemplo resuelto encontramos la respuesta a esta paradoja: La figura de la derecha, a la que aparentemente le "falta alguna pieza", realmente es un poco más grande y tiene las piezas que la componen dispuestas en otra posición.

g) Proponga una actividad con las piezas del tangram de tal manera que quede completa y clara la actividad del inciso anterior. h) ¿Qué tipo de habilidades matemáticas se desarrollan al construir diversas siluetas de animales, personas y cosas con el tangram? i) Trabaje con otro colega y por parejas compruebe con las piezas del tangram el teorema de Pitágoras. [Nota: se van a necesitar las piezas de dos juegos de tangrams, por ello se solicita trabajar por parejas]. j) ¿Qué estrategias de aprendizaje se hicieron evidentes al responder los incisos anteriores? k) Proponga otra actividad de manera que se trabajen temas matemáticos como los que se presentan a continuación:

Problemas de geometría combinatoria 1.- ¿Cuántos cuadrados diferentes se pueden construir con las piezas del tangram? 2.- ¿Cuántos pentágonos diferentes pueden construirse con las 7 piezas del tangram? 3.- ¿Cuántos cuadriláteros diferentes puede construir con las 7 piezas del tangram? ¿Encuentra alguno no convexo? 4.- Construir todos los rectángulos posibles utilizando solamente tres piezas del tangram. 5.- ¿Se puede hacer un rectángulo utilizando dos piezas del tangram?

6.- ¿Es posible hacer un triángulo utilizando seis piezas del tangram? 7.- Construir cuadriláteros utilizando cuatro piezas del tangram.

Un juego para estimular la discusión matemática

El tangram puede utilizarse en clase como material para estimular la discusión matemática. Oldfield (1991) propone el siguiente juego para dos personas: Cada jugador dispone de un tangram. El jugador A, tras construir una figura matemática con todas o algunas de las piezas del tangram (por ejemplo, un triángulo o un paralelogramo), tiene que explicar a su compañero cómo lo ha hecho sin mostrarle en ningún momento la figura construida. El jugador B, tendrá que formar la figura con las instrucciones del compañero.

Ligas de interés sobre el tangram http://www.docente.mendoza.edu.ar/matematica/tangram.htm http://www.youtube.com/watch?v=1CkYadNqzkI http://www.juegosdiarios.com/juegos/Tangram.html http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/lugares/tangram.htm http://www.mallorcaweb.net/tangrampeces/index.htm

Sesión 7 INTRODUCCIÓN

En la séptima sesión, se retomará la necesidad de que los estudiantes de educación primaria, logren comprender y asimilar como parte de su formación en matemáticas, el entorno que nos rodea y su geometría. Si se habla de estrategias adecuadas para enseñar geometría en primaria según las características y el nivel cognitivo de los alumnos, es muy útil seguir un modelo didáctico, ya que un plan estructurado para diseñar materiales que apoyen la enseñanza de la geometría, es una buena alternativa que invita a que los docentes, en grupos de trabajo, puedan compartir estrategias, experiencias y sugerencias para lograr mejores resultados. El modelo didáctico tradicional pretende formar a los alumnos dándoles la información fundamental, a través de un modelo de enseñanza verbal repetitivo que con mucha frecuencia no otorga un aprendizaje significativo en los alumnos. Un modelo didáctico basado en la tecnología requiere una combinación entre la exposición por parte del docente incorporando ejercicios prácticos específicos a través de una secuencia de actividades que involucre a los estudiantes a partir de sus conocimientos previos usando una metodología centrada en la actividad realizada por los alumnos. Ahora, si se piensa en un modelo espontáneo y activo, éste consiste en preparar al estudiante para aprender geometría inculcándole en el entorno que le rodea por medio de actividades de carácter abierto, flexibles a sus capacidades y habilidades, siendo lo más importante el que el alumno observe, busque información encontrando conjeturas y vaya más allá del puro aprendizaje de contenidos, estimulando siempre el trabajo en equipo de manera crítica y constructiva. Por otra parte, ¿por qué enseñar geometría en primaria? Aunque los números son los protagonistas indiscutibles de nuestras vidas, las matemáticas no sólo son sumar, restar, multiplicar y dividir, son todo un conjunto de elementos que permiten discernir lo particular de lo general. El alumno debe conocer, observar a través de la percepción, manipular, identificar, trabajar con elementos nuevos hasta lograr

clasificarlos según sus características. Enseñar geometría es un proceso complejo y por ende debe ser un proceso continuo, no deben utilizarse métodos memorísticos porque no son parte de un aprendizaje significativo, más bien, debe adecuarse a las habilidades y destrezas que el alumno desarrolle mientras aprende a través de sus sentidos, dado que el pensamiento geométrico de los niños depende mucho de sus experiencias, de lo que perciben y de lo que conciben, piensan e imaginan.

OBJETIVOS •

Indagar sobre las creencias y experiencias de los maestros acerca de lo que ha representado la enseñanza de la geometría en el aula.

•

Considerar el contenido matemático que un docente debe conocer sobre el tema.

•

Fortalecer la experiencia docente de los maestros de primaria al plantear y resolver problemas con el sistema decimal.

MATERIALES •

Un par de hojas blancas para cada maestro participante, lápiz.

Actividad 1 Observe como el ratón ha recorrido el triángulo, estaba adentro, ha cruzado todos los lados de la figura una sola vez y al final ha quedado afuera del triángulo.

Después de pasar por todos los lados del triángulo una sola vez el ratón inicia adentro y termina afuera.

Realice lo mismo con las siguientes figuras empezando el recorrido siempre desde el interior de cada una y cruzando cada lado una sola vez.

a) ¿Dónde queda el ratón? _____________

b) ¿Dónde queda el ratón? _____________

c) ¿Dónde queda el ratón? _____________ d) Explique lo que ha observado.

Ahora inicia siempre desde afuera de la figura y observa que pasa con el ratón. e) ¿Dónde queda el ratón? _____________

f) ¿Dónde queda el ratón? _____________

g) ¿Dónde queda el ratón? _____________

h) ¿En qué casos el ratón queda adentro?

i) ¿En qué casos el ratón queda afuera?

En la actividad anterior se ve cómo, a partir de una breve explicación previa y preguntas concretas, se le brinda la oportunidad al alumno la posibilidad de identificar y clasificar algunas figuras cerradas irregulares.

a) ¿Bajo qué modelo didáctico se obtienen mejores resultados de aprendizaje significativo al trabajar la actividad del ratón? b) ¿Por qué adquiere relevancia utilizar material concreto al trabajar este tipo de actividades con los niños? Explique cómo lo trabajaría con ellos y mencione todos los aprendizajes esperados por los estudiantes. c) ¿Qué tipo de estrategia tendría que seguir el estudiante para determinar en qué casos el ratón quedará afuera y cuándo quedará adentro de la figura? d) Proponga una actividad parecida donde no utilice el método tradicional de enseñanza. e) Comparta resultados con los colegas de equipo, para ello deben reunirse en grupos de trabajo de tres integrantes. Cada integrante debe explicar a los otros dos docentes en qué consiste la actividad, aprendizajes esperados y estrategia de enseñanza-aprendizaje que debe implementar para lograrlo.

Actividad 2

Para promover la identificación y clasificación de figuras rompiendo un poco el esquema tradicional de dibujar las figuras en el pizarrón y que los niños lo copien en el cuaderno, se sugiere uso de material didáctico como fichas y palillos de colores, de esta forma, el alumno construye las figuras, observa, identifica, compara, razona, deduce y concluye haciendo comentarios y conjeturas al respecto. Construya con fichas y palillos las figuras que verá a continuación y siga las instrucciones  Encuentre en cada una de estas gráficas un camino que pase por todos los puntos. El camino deberá terminar en el mismo punto en el que empezó.

 No se vale pasar dos veces por el mismo punto.

 Encuentre en cada una de estas gráficas un camino que pase por todas las líneas. El camino deberá terminar en el mismo punto en el que empezó.  No se vale pasar dos veces por una misma línea.

 Invente una gráfica como estas usando las fichas y los palillos, dibújela en una hoja blanca, encuentre en la gráfica un camino que pase por todas las líneas y márquelo con flechas numeradas. El camino deberá terminar en el mismo punto en el que empezó.  No se vale pasar dos veces por una misma línea.

Preguntas: a) ¿Qué habilidades matemáticas se trabajan cuando el niño reproduce y construye figuras con fichas y palillos? b) Realice una lista de las preguntas que haría dirigidas al niño de forma tal que se logre la identificación y clasificación de las figuras que reprodujo con fichas y palillos.

c) Usando ese mismo material didáctico, palillos para las aristas y bolitas de plastilina para los vértices, construya al menos tres de los cinco sólidos platónicos de manera tridimensional, a saber: •

El tetraedro tiene 4 vértices y 4 caras (triángulo equilátero).

•

El octaedro tiene 6 vértices y 8 caras (triángulo equilátero).

•

El hexaedro tiene 8 vértices y 6 caras (cuadrado).

•

El dodecaedro tiene 20 vértices y 12 caras (pentágono regular).

•

El icosaedro tiene 12 vértices y 20 caras (triángulo equilátero).

Los sólidos platónicos, también conocidos como cuerpos platónicos, sólidos pitagóricos o sólidos perfectos, son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras.

A la izquierda se ve un cuerpo geométrico que ocupa un lugar en el especio tridimensional y del lado derecho puede observar la plantilla o representación plana de los cinco sólidos platónicos, mismas que puede reproducir para obtener los únicos poliedros regulares. d) Complete la siguiente tabla identificando geométrico.

y clasificando cada contenido

POLIEDRO

Número de

Calcule

vértices (p)

aristas (q)

caras (r)

p–q+r

20 Dodecaedro 6 6 4

d) Posteriormente enliste los contenidos geométricos que puede explicar acerca de estos cuerpos geométricos y su geometría. Mencione además los aprendizajes esperados por el estudiante de primaria desde primer año hasta sexto año. e) Comparta respuestas y discuta con los compañeros de equipo, cada uno deberá tener presente el modelo didáctico que utiliza para enseñar geometría y a partir del mismo, sugerir aspectos lúdico-didácticos para lograr un mejor acercamiento a la geometría desde nivel básico.

Actividad 3 Lea cuidadosamente el texto y siga las instrucciones.  Si usted tiene distintos colores, entonces puede iluminar el mapa que sea, de forma que dos regiones vecinas no queden iluminados del mismo color.  Dos regiones son vecinas cuando comparten sus fronteras.

 Ilumine este mapa, usando la menor cantidad posible de colores distintos de forma que siempre, dos regiones vecinas queden iluminados de diferente color.  Recuerde usar únicamente el mínimo número de colores, no más.

 Cuando una región con otra comparten solamente un vértice, pueden iluminarse del mismo color.

a) ¿Cuál es el mínimo número de colores que utilizó? b) ¿Qué estrategia le permite asegurar que ese número es el mínimo? c) Ahora suponga que ya no tenemos colores… ¿qué podemos hacer? d) Para concluir esta actividad, lea el siguiente texto y coméntelo con sus compañeros de equipo. Trate de destacar contenidos y aprendizajes matemáticos del mismo según las edades de sus estudiantes. El teorema de los cuatro colores y la coloración de mapas Una pregunta que suele plantearse a los estudiantes es ¿Cuántos colores se deben de usar para colorear bien un mapa plano sin importar la forma o número de países que este tenga? Debemos entender que un mapa estará bien coloreado si para cada país se emplea un color determinado con la particularidad de que cualesquiera dos países que tengan frontera en común estén siempre pintados de color distinto. Este resultado fue establecido por el matemático alemán A.F. Möbius en una conferencia que dictó en 1840, sin embargo no pudo dar una demostración válida.

Estuvo sin resolver por más de cien años y no fue sino hasta la década de los años setenta del siglo pasado en que utilizando dos supercomputadoras y doscientas horas de proceso se demostró que bastan solamente cuatro colores para poder colorear correctamente un mapa plano. Es obvio que no es posible hacer una demostración formal a los estudiantes, pero el resultado se puede utilizar para atraer la atención de ellos en actividades extracurriculares.

Como actividad complementaria se les puede pedir que dibujen un mapa de cualquier forma y tamaño y que usen solamente 4 colores para colorearlo. A través de la historia muchos matemáticos trataron de demostrar este resultado infructuosamente pero se lograron demostrar resultados para un diferente número de colores imponiendo ciertas restricciones. Algunos de estos son los siguientes: (Teorema de los dos colores) Para que dos colores basten para la coloración buena de un mapa es necesario y suficiente que en todo vértice converja un número par de fronteras. (Teorema de los tres colores) Para que tres colores alcancen para la coloración buena de un mapa normal es necesario y suficiente que cada uno de los países tenga un número par de fronteras. (Teorema de los cinco colores) Cinco colores alcanzan para colorear bien cualquier mapa normal.

Nótese que estos resultados permiten desarrollar actividades con el estudiante en los cuales puedan emplear la capacidad tanto para que coloreen bien un mapa con cierto

nĂşmero de colores como para que encuentren casos de mapas donde no se pudieran colorear adecuadamente usando una cantidad limitada, dos o tres colores.

Sesión 8 INTRODUCCIÓN

En la octava sesión analizaremos un concepto realmente importante tanto en la matemática como en la vida misma, el concepto de medida. Las dificultades que algunos estudiantes, de cualquier nivel, tienen para trabajar con magnitudes en lo que se refiere a encontrar equivalencias, efectuar simplificaciones y operar en general con estrategias para medir, es punto de reflexión para nosotros como docentes dado que el concepto de medida se encuentra en cualquier lugar.

Para describir los fenómenos físicos no basta sólo con la descripción cualitativa sino que es necesario recurrir a un concepto cuantitativo, esto es expresarlos como una magnitud. Recordemos que se denomina magnitud a todo fenómeno capaz de ser medido, es decir expresarlo como una cantidad numérica. Lord Kelvin, un científico inglés, decía con mucha convicción refiriéndose a los fenómenos físicos: "solo se puede hablar con propiedad, de aquello que se mide". Medir es comparar cantidades de la misma magnitud. Por ejemplo cuando medimos una longitud comparamos la distancia desconocida con otra que ya conocemos, y que ha surgido de una cantidad convenida de longitud denominada patrón. Un patrón se adopta por convención, esto significa que un grupo de personas con conocimientos y experiencia resuelve que una cierta cantidad a la que llamamos patrón y cuyo nombre (por ejemplo el "metro") origina la unidad de referencia, será comparada con cualquier otra de igual magnitud, siempre que queramos cuantificarla. En el caso de la longitud, el patrón es una cantidad que todos conocemos denominada metro.

Una vez establecida la unidad patrón se acuerdan los submúltiplos y múltiplos, es decir cantidades menores y mayores de la unidad en cuestión. Internacionalmente se emplea el sistema métrico decimal el cual como todos sabemos "va de diez en diez".

Esto significa que se van tomado sucesivamente porciones de unidad 10 veces más chica en el caso de los submúltiplos, o 10 veces más grandes en el caso de los múltiplos. De ahí que si dividimos el metro en diez partes, cada parte se llame decímetro (simbolizado con dm), en consecuencia un metro contendrá diez decímetros, lo cual en símbolos se escribe: 1 m = 10 dm. Si el decímetro se divide en diez partes esto significa que el metro queda dividido "diez veces diez" es decir que el metro se divide en cien partes y cada parte se llama centímetro, luego, un metro contiene cien centímetros es decir: 1 m = 100 cm. La milésima parte del metro se denomina milímetro y entonces un metro contiene mil milímetros o sea: 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm

Un razonamiento similar conduce a los múltiplos de la unidad patrón: diez metros corresponden a un decámetro es decir 10 m = 1 dam. Cien metros corresponden a un hectómetro y mil metros a un kilómetro 10 m = 1dam, 100 m = 1 hm, 1000 m = 1 km Podemos observar que se utilizan prefijos para denotar las proporciones de submúltiplos y múltiplos y estos prefijos se generalizan para cualquier unidad. De ahí que, por ejemplo, a la milésima parte del segundo se le llame milisegundo, luego, un segundo contiene mil milisegundos es decir: 1 s = 1000 ms. Cuando hablamos de un microsegundo nos referimos a una millonésima parte de segundo. Ya conocemos la necesidad de adoptar unidades para realizar una medición pero ¿cuál es el sentido de emplear submúltiplos y múltiplos de dichas unidades? Supongamos que queremos indicar el espesor de un alambre cuyo diámetro es de 0,002 m , es decir "cero coma, cero, cero, dos metros" ¿no es mas sencillo decir 2 mm o sea "dos milímetros"?

En general todos sabemos que la distancia aproximada entre Canadá y México se da en kilómetros, no es común escuchar esa distancia expresada en metros. Ahora ¿no han escuchado expresar cantidades de magnitud en unidades diferentes a las cuales

estamos acostumbrados como por ejemplo: 100 millas; 5 yardas; 120 Fahrenheit; 3 pulgadas; 8 onzas; 20 nudos, etc.? Si bien nosotros utilizamos el sistema internacional de unidades todavía hay países que aún emplean sistemas basados en otros patrones de medida, en consecuencia tenemos que encontrar el modo de traducir esas unidades a las nuestras para poder saber de qué medida estamos hablando. •

Equivalencias

La traducción a la cual nos referimos son las equivalencias de unidades. Por ejemplo en el sistema de medida inglés la unidad es la pulgada, cantidad de longitud que corresponde a 0,0254 m o 2,54 cm o 25,4 mm etc. En otro ejemplo una onza equivale a 28,34 gramos. Además este sistema no tiene múltiplos decimales, veamos: en el caso de la longitud, un múltiplo inmediato de la pulgada es el "pie" que corresponde a 12 pulgadas, después sigue la yarda que corresponde a 3 pies, etc. como vemos la proporción no va de diez en diez. En el caso de la onza, un múltiplo inmediato es la libra que corresponde a 16 onzas. •

Conversión

Una conversión de unidades consiste en expresar una cierta cantidad de magnitud que está dada en una cierta unidad, en otra ya sea del mismo sistema de medida o en otro. Para ello es necesario conocer las equivalencias entre las unidades en cuestión. Por ejemplo; sea una cierta cantidad de longitud, digamos 58 cm y se desea expresarla en metros, expresarla en pulgadas.

Veamos otros ejemplos. Sabemos que una hora tiene 60 minutos, a su vez un minuto contiene 60 segundos, por lo que podemos afirmar que 1 hora contiene 60 veces 60 segundos , es decir 60 x 60 segundos lo que da un total de 3600 segundos.

Hablando matemáticamente de un espacio de varias dimensiones, se define el punto como el espacio de dimensión cero, no tiene medida, la recta es el espacio unidimensional o de dimensión uno y se mide la longitud en unidades lineales, el plano es el espacio llamado bidimensional o de dimensión dos y se mide la superficie en unidades cuadradas, para el espacio de tres dimensiones es posible calcular el volumen y éste se calcula en unidades cúbicas.

OBJETIVOS •

Indagar sobre las creencias y experiencias de los maestros acerca de lo que ha representado la enseñanza del tema en el aula.

•

Utilizar herramientas matemáticas en contextos significativos de uso, como medidas, escalas, tablas o representaciones gráficas.

•

Considerar el contenido matemático que un docente debe conocer sobre el tema.

•

Fortalecer la experiencia docente de los maestros de primaria al plantear y resolver problemas con el sistema decimal.

En esta sesión no se requieren materiales especiales

Actividad 1 MEDIDAS DE CAPACIDAD Y VOLUMEN

Cuando se desea realizar una medición, es necesario elegir las unidades de medida adecuadas y también los instrumentos que permitan obtener la precisión requerida. Por ejemplo, usted no podría decidir cuánto mide de largo el aula usando como unidad un kilogramo ni cuánto pesa una res si lo quiere medir en litros o en metros. Del mismo modo, si un joyero quiere saber el peso de un anillo de oro necesita una aproximación mucho más fina que la del vendedor que pesa una bolsa de papas. La

forma de algunos objetos les permite contener sustancias; esos objetos se llaman recipientes y de ellos se puede medir tanto su capacidad como su volumen. También se puede conocer el volumen de su contenido. Por ejemplo, una taza vacía tiene un volumen, ocupa un lugar en el espacio y, como es un recipiente, también se puede medir su capacidad y el volumen del líquido que contenga. En cambio, de otros objetos, por ejemplo una piedra, sólo se puede medir su volumen. La piedra no es un recipiente. Tanto las unidades de capacidad como las de volumen, indican de manera diferente cuál es el tamaño de un recipiente. Es importante que sepas que todos los objetos tienen un volumen ya que todos ocupan un lugar en el espacio.

Preguntas: a) ¿Qué significa “capacidad”, “volumen” y magnitud”? Compare las definiciones de capacidad, volumen y magnitud. Escriba como conclusión un breve comentario sobre el significado de las tres palabras; comparta sus comentarios con sus compañeros docentes. b) ¿Es lo mismo medir capacidades que medir volúmenes? Explique. c) En la mayoría de los envases aparece información sobre su capacidad o el volumen de su contenido y las unidades en que se han medido. Para descubrir cuáles son estas unidades, basta observar los envases de los distintos productos que se encuentran en el mercado. Escriba al menos cinco productos y cuáles son las unidades con las que se indica su contenido en el envase. d) ¿Puede ser que un recipiente con menor volumen exterior tenga más capacidad que otro que tiene más volumen exterior?; ¿por qué? e) Compare las expresiones “volumen del contenido de un recipiente” y “capacidad del recipiente”. Escriba que piensa y luego consúltelo con sus colegas de equipo. f) A partir de su experiencia, explique a qué dificultades de aprendizaje se enfrentan los niños en el aula cuando les presenta este tema. Indique qué modelo didáctico utiliza para trabajar estos conceptos matemáticos.

Actividad 2

De los treinta problemas que se presentan a continuación, elija siete de ellos para trabajarlos en equipos de tres integrantes. Deberán resolver los siete problemas y responder las siguientes preguntas

a) ¿Qué conceptos y conocimientos matemáticos requiere para resolver los problemas que eligió su equipo? Haga una lista que vaya de lo fácil a lo difícil. b) ¿En qué grado escolar de nivel básico trabajaría cada problema? Explique por qué en cada caso. c) Explique qué tipo de conocimiento previo requiere un estudiante de primaria para entender el problema y resolverlo. d)) Explique brevemente el tema dando la información clave para resolver este tipo de problemas. e) Proponer una actividad didáctica para reforzar ese tema en clase, suponiendo que dispone de media hora. f)) Indicar qué tipo de estrategias utiliza en la actividad didáctica del inciso anterior que permitan motivar a los alumnos a aprender el tema, y explique de qué otros recursos se apoya para trabajarlo en clase. g) Agregar una opinión y reflexión acerca de cómo se aprende ese tema en nivel básico, cuáles son los errores más frecuentes del profesor al presentar el tema y del alumno al aprenderlo. ¿Qué propone cómo alternativa para que la enseñanza de ese tema sea más práctica, efectiva y provechosa para ambos?

Problemas propuestos. 1.-Calcule el volumen de un depósito en forma de prisma pentagonal regular cuya altura mide 2.5 cm y el área de la base 80 c m2. 2.-El volumen de un cubo mide 2197 cm3. Calcule el lado del cubo y la diagonal principal. 3.-La carpa de un circo tiene forma de prisma octagonal regular. Su techo es una pirámide de altura igual a la tercera parte de la altura del prisma. Si la arista básica

del prisma es 5 m y la altura total (prisma y pirámide incluidos) es de 24 m, calcule la cantidad de lona necesaria para construir la carpa. 4.-Calcular

volumen

edificio

formado

por

hexaedro

dimensiones10x10x6 m y una pirámide cuadrangular de altura 9 m. 5.-Calcular el área total y volumen de un cilindro de diámetro 10 cm y altura 12 cm. 6.-Si se pegan los bordes menores de una hoja de papel (mídelos), se obtiene un cilindro ¿cuánto mide su radio? 7.-Hemos pintado un recipiente cilíndrico de 20 m de diámetro y 15 m de altura, y se ha pagado a 750 pesos el metro cuadrado, ¿cuánto se pagó? 8.-Calcular la altura, volumen y superficie de un cono de radio 3 m y generatriz 5m. 9.-Calcule el área lateral de un paquete cónico de palomitas de generatriz 12 cm y radio igual 10 cm. 10.-La cúpula de San Pedro del Vaticano mide 42 m de diámetro, ¿cuál es su superficie si suponemos que es semiesférica? 11.-Las pelotas de tenis se venden en latas de forma cilíndrica que contienen 3 pelotas cada una. Si el diámetro de la lata es de 6.5 cm, calcular el volumen que queda libre en el interior de una lata. 12.-El área lateral de un cilindro de altura 5 cm es 188’4 cm2, calcule su radio y volumen. 13.-Un reloj de arena está formado por dos conos rectos unidos por su cúspide. La altura del reloj es de 10 cm y su diámetro 5 cm. Calcular el volumen de arena que hay en el interior de uno de los conos. sabiendo que cae 0.1 cm3 de arena por segundo, ¿cuánto tiempo tarda en pasar la arena de un cono al otro?. 14.-Calcular el área total de un tetraedro regular de arista 5 cm. 15.-Calcular el volumen de una pirámide cuadrada de 6 cm de lado y altura de una cara de 73 cm. 16.-Hallar el área y el volumen de una superficie esférica de radio 12 cm. 17.- ¿Cuántos litros de agua hay que sacar de un depósito cilíndrico de 8 m de altura y 3.5 metros del radio de la base para que el nivel de agua descienda 3 m.

18.-Con una plancha rectangular de 6 cm por 8 cm se pueden construir dos cilindros según se unan los bordes mayores o menores. ¿Cuál tiene mayor área?, ¿Y mayor volumen? 19.-Una caja tiene forma de hexaedro de dimensiones 8x6x5 cm. ¿Cabe en dicha caja un lápiz de 13 cm? 20.-Las bases de un prisma recto son triángulos rectángulos isósceles de área 8 cm2, y la arista lateral mide 7 cm. Encontrar el área lateral del prisma. 21.-¿Qué volumen tiene un cubo de superficie total 1 m2? 22.-La pirámide de Keops, ubicada en Egipto, tiene base cuadrada de arista 230 m y altura 146 m, calcule su volumen y la altura de una cara. 23.-Calcule el volumen de una esfera de superficie 1256 cm2. 24.-Calcule el volumen engendrado por un triángulo equilátero de 2 dm de altura al girar alrededor de ésta. 25.-En el interior de un vaso cilíndrico hay una gota de miel a 3 cm del borde superior, y en el exterior del vaso hay una mosca, en el punto diametralmente opuesto al de la gota de miel. Indica, razonadamente, cuál es el camino más corto de la mosca para llegar a la gota de miel. 26.- Representa los siguientes puntos en el espacio, utilizando diferentes ejes: A=(2,1,0), B=(-2,1,-2), C=(0,-2,2), D=(-4,-1,-1), E =(1,0,5), F=(0,2,0), G=(-2,-3,-1), H=(-3,0,6), I=(3,-1,1). 27.- Calcula las áreas de las caras de los poliedros regulares (excepto del dodecaedro) si su arista es 10 m. (Voluntario: Intenta calcular el área del dodecaedro). 28.- La diagonal de una de las caras de un cubo es 6 m. Calcula el área y el volumen del cubo, de forma exacta y luego aproxima las centésimas. 29.- Una pirámide regular hexagonal mide 60 cm de perímetro básico y 26 cm de arista lateral. Calcula la altura de la pirámide, su área total y su volumen. 30.- Calcula el volumen de una pirámide cuadrada de altura 20 cm y cuyo perímetro de la base igual a 32 cm.

Volumen del Tetraedro

Volumen del prisma

Volumen del cubo

Volumen del hexaedro no regular

Volumen del octaedro

Volumen de la pirámide

Volumen del dodecaedro

Volumen del tronco de pirámide

Volumen del icosaedro

A = Área de la base mayor A’ = Área de la base menor

Volumen del cilindro

Volumen de la semiesfera

Volumen de la cuña esférica Volumen del cono

Volumen del tronco de cono

Volumen de la esfera

Volumen del casquete esférico

Volumen de la zona esférica

Sesión 9 INTRODUCCIÓN

En la novena sesión trabajaremos con el tema de manejo de información, analizaremos las diferentes técnicas para obtener, organizar, presentar e interpretar la información de una situación dada, tal es el caso de las tablas, las listas, los diagramas y las imágenes, así como sus gráficas correspondientes. Sobre la representación de datos debemos considerar procesos que nos permitan identificar información relevante, misma que nos servirá para resolver un problema dado. Una gráfica es una representación de datos, generalmente numéricos, mediante líneas, superficies o símbolos, para ver la relación que guardan entre sí los datos que han sido analizados. También puede ser un conjunto de puntos, que se plasman en coordenadas cartesianas, y sirven para analizar el comportamiento de un proceso, o un conjunto de elementos o signos que permiten la interpretación de un fenómeno. La representación gráfica permite establecer valores que no han sido obtenidos experimentalmente, es decir, mediante la interpolación (lectura entre puntos) y la extrapolación (valores fuera del intervalo experimental). La estadística gráfica es una parte importante y diferenciada de una aplicación de técnicas gráficas, a la descripción e interpretación de datos e inferencias sobre éstos. Forma parte de los programas estadísticos usados con las computadoras. Se han desarrollado nuevas soluciones de análisis gráficos. Existen diferentes tipos de gráficas, que se pueden clasificar en: •

Numéricas:

con

imágenes

visuales

que

sirven

para

representar

comportamiento o la distribución de los datos cuantitativos de una población. •

Lineales: se representan los valores en dos ejes cartesianos ortogonales entre sí. Las gráficas lineales se recomiendan para representar series en el tiempo, y es donde se muestran valores máximos y mínimos; también se utilizan para varias muestras en un diagrama.

•

De barras: se usan cuando se pretende resaltar la representación de porcentajes de datos que componen un total. Una gráfica de barras contiene

barras verticales que representan valores numéricos, generalmente usando una hoja de cálculo. Las gráficas de barras son una manera de representar frecuencias; las frecuencias están asociadas con categorías. Una gráfica de barras se presenta de dos maneras: horizontal o vertical. El objetivo es poner una barra de largo (alto si es horizontal) igual a la frecuencia. La gráfica de barras sirve para comparar y tener una representación gráfica de la diferencia de frecuencias o de intensidad de la característica numérica de interés. •

Histogramas: Se emplean para ilustrar muestras agrupadas en intervalos. Está formado por rectángulos unidos a otros, cuyos vértices de la base coinciden con los límites de los intervalos y el centro de cada intervalo es la marca de clase que representamos en el eje de las abscisas. La altura de cada rectángulo es proporcional a la frecuencia del intervalo respectivo.

•

Circulares: gráficas que nos permiten ver la distribución interna de los datos que representan un hecho, en forma de porcentajes sobre un total. Se suele separar el sector correspondiente al mayor o menor valor, según lo que se desee destacar.

El ejemplo que sigue pertenece al comportamiento de las calificaciones parciales de tres alumnos de primaria. Las series (cada una de las calificaciones parciales) están coloreadas con diferente color para mostrar el comportamiento tanto individual, como de cada uno de los alumnos con respecto a los demás. Es interesante observar que la escala horizontal no es continua (es nominal).

También es posible realizar gráficas de barras horizontales, los cuales se parecen mucho a las gráficas de columnas, con la excepción importante de que la función de

los ejes se intercambia, así el eje horizontal queda destinado a las frecuencias y el eje vertical a las clases. Es muy común que este tipo de gráficas se utilicen para ilustrar el tamaño de una población dividida en estratos, por ejemplo, sus edades. A continuación se presenta el ejemplo de una población de un país ficticio llamado "Timbuctulandia":

A este tipo de gráficos en particular se le llama pirámide de edades por su forma. Incluso, cuando se compara la población masculina y femenina por estratos de edades, se estila utiliza el lado izquierdo para la población de un sexo y el lado derecho para el otro, el resultado es una "pirámide" casi simétrica (dependerá de la población en particular). Cuando los datos se relacionan entre sí, es decir, cuando podemos decir que existe cierta continuidad entre las observaciones, como por ejemplo el crecimiento de una población, la evolución del peso o estatura de una persona a través del tiempo, el desempeño académico de un estudiante a lo largo de un semestre escolar, las variaciones presentadas en la medición realizada en algún experimento cada segundo o minuto, se pueden utilizar las gráficas de líneas, que consisten en una serie de puntos trazados en las intersecciones de las marcas de clase y las frecuencias de cada una, uniéndose consecutivamente con líneas.

Este ejemplo muestra el comportamiento del peso corporal (en kilogramos) de dos hombres a lo largo de cinco observaciones anuales. Al igual que en el caso de las gráficas de columnas (y de otras más) es posible presentar varias series de observaciones (en este caso cada serie de observaciones son los pesos de un individuo).

Otra forma de representación que tiene un uso menos común pero también muy útil y muy parecido a las gráficas de líneas, es el polígono de frecuencias. La diferencia fundamental entre ambas es que en el polígono de frecuencias se añaden dos clases con frecuencias cero: una antes de la primera clase con datos y otra después de la última. El resultado es que se "sujeta" la línea por ambos extremos al eje horizontal y lo que podría ser una línea separada del eje se convierte, junto con éste, en un polígono. El siguiente ejemplo corresponde al porcentaje del PIB gastado en docencia e investigación durante el año de 1990 en cinco países (fuente: Revista "Ciencia y Desarrollo", 1994, XIX(114):12):

Cuando lo que se desea es resaltar las proporciones que representan algunos subconjuntos con respecto al total, es decir, cuando se está usando una escala categórica, conviene utilizar una gráfica llamada de pastel o circular. Por ejemplo, para ilustrar la matrícula en licenciatura (en México) por áreas de conocimiento en el año de 1992 se puede usar algo así como esta representación. (Fuente: ANUIES, 1995):

De hecho, si se desea resaltar una de las categorías que se presentan, es válido tomar esa "rebanada" de la gráfica y separarla de las demás. Es importante tomar algunas precauciones al utilizar este tipo de gráficos. Por un lado, comparar dos gráficos circulares (por ejemplo, si se quisieran comparar las proporciones de matrículas en licenciatura por áreas de conocimiento en licenciatura para dos años distintos) resulta muy difícil y, por tanto, no es muy aconsejable.

Por otro lado, en ocasiones existen categorías con pocas frecuencias (por ejemplo, dos o tres con frecuencias relativas menores al 1% cada una), haciendo que la gráfica resulte "pesada" y las etiquetas se encimen. Una posible solución es juntarlas en una sola categoría (por ejemplo, la típica "otras" o "varias"), pero entonces habría que ponderar si se hace una gráfica extra con dichas observaciones únicamente, haciendo la anotación pertinente, o simplemente se ignoran por no resultar significativas. Actualmente, y mucho más en los medios masivos de comunicación, se utilizan gráficas para ilustrar los datos o los resultados de alguna investigación. Regularmente se utilizan dibujos para representar dicha información, y el tamaño o el número de estos dibujos dentro de una gráfica queda determinado por la frecuencia correspondiente. A este tipo de gráfica se le llama pictograma y éstos son dos ejemplos.

El de la izquierda representa cómo va creciendo la población de un país (cada hombrecito representa a dos millones de habitantes), el de la derecha representa la masa de tres planetas de nuestro sistema solar tomando como unidad a la masa de la Tierra (cada masa de nuestro planeta representa la proporción del tamaño de los otros). Venus tiene menor masa que la Tierra y Neptuno tiene 17 veces más masa que la Tierra.

OBJETIVOS •

La intención es conocer y profundizar un poco más en el manejo de información, análisis e interpretación de datos, considerando el contenido matemático que un docente debe dominar sobre el tema.

•

Fortalecer la experiencia docente de los maestros de primaria al plantear y resolver problemas haciendo un análisis previo de la información y su gráfica correspondiente.

•

Resaltar la importancia que tiene para cualquier ser humano, el dominar este tipo de habilidades matemáticas, ya que de ellas depende su desenvolvimiento en la sociedad. El tener la capacidad de analizar e interpretar situaciones de todo tipo es de gran utilidad.

•

Indagar sobre las creencias y experiencias de los maestros acerca de lo que ha representado la enseñanza del tema en el aula.

MATERIALES •

Al menos, tres hojas blancas por cada docente participante, regla graduada, compás, lápices de colores.

Actividad 1 A continuación, usted podrá apreciar varias gráficas que modelan un problema específico. Para cada una de ellas, tendrá que realizar la tabla de los datos correspondientes y un posible enunciado que represente la situación dada.

GRÁFICA 1

GRÁFICA 2

GRÁFICA 3

GRÁFICA 4

Conteste de manera individual las siguientes preguntas: a) ¿Qué se requiere para interpretar la información de una gráfica? b) ¿Qué tipo de gráfica, representa mejor los datos de una muestra dada? c) ¿Qué pasos se deben seguir para obtener, organizar, presentar e interpretar los datos de alguna investigación? d) Al analizar las diferentes técnicas para obtener, organizar, presentar e interpretar información, ¿Qué tipo de estrategias considera adecuadas para su enseñanza a nivel básico? Explique y argumente su respuesta.

e) Proponga y diseñe un problema siguiendo cada uno de los pasos siguientes: obtener datos, organizar información, presentarla por medio de tablas, listas, plantear preguntas cuya respuesta se pueda interpretar en diagramas o gráficas de líneas, de barras, circulares, histogramas, etc. f) Comparta sus respuestas con sus compañeros de equipo y obtenga conclusiones.

Actividad 2

Lea cuidadosamente cada uno de los siguientes ejercicios, analice el tipo de respuesta que se proporciona y haga lo que se le pide en cada caso.

Ejemplo 1

Las cifras decimales del número π

A continuación usted tiene las 100 primeras cifras decimales del número π (3,1415926535897932384626433.....):

14159265358979323846 26433832795026641971 69399375105820974944 59230781640628620899 86280348253421170679

Confeccione una tabla en la que se registre la cantidad de apariciones de cada dígito. a) ¿Cuál es la frecuencia con que aparece una cifra par? b) ¿Cuál es la frecuencia con que aparece una cifra impar?

Comentarios pedagógicos. Esta actividad se puede naturalmente conectar con geometría: p desde una perspectiva histórica en la matemática, su relación con el perímetro y área de un círculo, etc. Aparición de cada dígito: Dígito

0 1 2

5 6

7 8

Frecuencia

8 8 12 11 10 8 11 8 10 14

Aquí se podrá observar que en la secuencia dada de cifras de p ningún dígito se destaca por su ocurrencia o aparición (frecuencia). Por lo tanto, la moda es irrelevante. Paridad de las cifras: En la siguiente tabla se podrá observar que las frecuencias de cifras pares y de cifras impares son prácticamente equiparables.

Cifra par Frecuencia

Ejemplo 2

Cifra impar

Concentración de ozono.

Uno de los indicadores más importante de la contaminación en grandes ciudades es la concentración, medida en ppb, de ozono en la atmósfera. En cierto sector de una ciudad se obtuvo información sobre ese contaminante, por medio de una medición efectuada diariamente a las 13:00 hrs. Ésta se resumió en la siguiente tabla. Concentración de Ozono Frecuencias Intervalos

Absolutas

[ 0, 2[

[ 2, 4[

[ 4, 6[

[ 6, 8[

[ 8, 10[

[10, 12[

Compare las frecuencias por medio de un histograma.

Comentarios pedagógicos. Antes de abordar la actividad, se puede solicitar a los(as) docentes que se informen sobre el rol ecológico de la capa de ozono a nivel mundial y su papel en la contaminación ambiental, así como también del significado de la unidad de medida (ppb) usada para medir la concentración de ozono. Así se obtiene la tabla:

Frecuencias

Marcas de

Frecuencias Frecuencias

Intervalos Absolutas

Clase

Acumuladas Relativas

[0,2[

0,05

[2,4[

0,14375

[4 , 6 [

0,33125

[6,8[

126

0,2625

[ 8 ,10 [

148

0,1375

160

0,075

[10 ,12 ] 12

Se obtendrá el siguiente histograma, en el cual se observará, por ejemplo, que los niveles registrados con mayor frecuencia se encuentran entre 4 y 8 ppb.

Concentración de ozono.

Ejemplo 3

Prueba de Aptitud Académica.

En la tabla siguiente se tiene los puntajes obtenidos en la Prueba de Aptitud Académica realizada a 30 jóvenes, provenientes de un mismo plantel educativo:

Aptitud

Aptitud Verbal

Aptitud Matemática

Verbal

Matemática

685

664

16 730

642

490

548

17 618

533

580

567

18 690

654

705

665

19 680

542

470

452

20 690

678

620

506

21 710

732

650

618

22 742

749

702

718

23 685

570

643

621

24 595

574

540

555

25 674

657

575

502

26 722

747

600

531

27 585

620

500

478

28 505

482

680

558

29 600

643

587

600

30 543

500

La Dirección del Colegio solicitó hacer un estudio de estos resultados. En particular, le interesa: •

Describir los puntajes obtenidos por los jóvenes en la prueba de aptitud verbal.

•

Describir los puntajes obtenidos por los jóvenes en la prueba de aptitud matemática.

•

Comparar los puntajes obtenidos en cada prueba.

Desarrollo del estudio. Estudio de los puntajes obtenidos en las pruebas de Aptitud Verbal y Matemática. a) Para cada prueba, complete una tabla con el siguiente formato usando intervalos de 50 puntos de longitud:

Clase

Frecuencia

Frecuencia relativa

[450,500[ [500,550[

b) Haga una representación gráfica de las frecuencias por medio de histogramas. c) Compare los puntajes obtenidos en ambas pruebas. d) Calcule los promedios y las desviaciones estándar correspondientes a partir de los datos originales y de los datos tabulados.

e) ¿Qué observa al comparar sus resultados? Comparta los resultados obtenidos con sus compañeros de equipo.

Ejemplo 4

Postulación a Ingeniería.

En cierta Universidad, para poder ingresar a la carrera de Ingeniería sólo se considera la Prueba de Aptitud Académica ponderada como sigue: 40% la P. A. V. y 60% la P. A. M. Se sabe que el puntaje mínimo de ingreso es de 620 puntos. ¿Qué porcentaje de los 30 jóvenes podría ingresar a esa carrera?

Comentarios pedagógicos. Sobre el estudio de los puntajes obtenidos en la Prueba de Aptitud Verbal y los puntajes obtenidos en la Prueba de Aptitud Matemática, el alumno podría considerar razonable elegir intervalos de igual longitud (50) y que, por lo tanto, en ambos casos el puntaje máximo se encontraría en el intervalo [700,750[.

Tabla de frecuencias de la P.A.V. Clase

Frecuencia

Frecuencia relativa

Tabla de frecuencias de la P.A.M. Clase

Frecuencia

Frecuencia relativa

[450,500[ 2

0,0666

[450,500[

0,1000

[500,550[ 4

0,1333

[500,550[

0,2333

[550,600[ 5

0,1666

[550,600[

0,1666

[600,650[ 5

0,1666

[600,650

0,2000

[650,700[ 8

0,2666

[650,700[

0,1666

[700,750[ 6

0,2000

[700,750[

0,1333

Histogramas en que se describe la distribución de puntajes:

En cuanto a promedio y desviación estándar de los puntajes en cada prueba, se tiene:

Promedio

P. A. V.

P. A. M.

626,533

596,866

Desviación estándar 77,609

83,280

Jóvenes que podrían ingresar a Ingeniería. Aplicando la fórmula: Promedio ponderado = 0,4P.A.V. + 0,6 P.A.M. se obtiene la siguiente tabla.

P.A.V. P.A.M. Promedio ponderado

685

664

672,4

730

642

677,2

490

548

524,8

618

533

567,0

580

567

572,2

690

654

668,4

705

665

681,0

680

542

597,2

470

452

459,2

690

678

682,8

620

506

551,6

710

732

723,2

650

618

630,8

742

749

746,2

702

718

711,6

685

570

616,0

643

621

629,8

595

574

582,4

540

555

549,0

674

657

663,8

575

502

531,2

722

747

737,0

600

531

558,6

585

620

606,0

500

478

486,8

505

482

491,2

680

558

606,8

600

643

625,8

587

600

594,8

543

500

517,2

De la observación directa de los valores obtenidos, se puede ver que 13 jóvenes podrían ingresar a Ingeniería. Este valor equivale al 43,33% de la muestra. Indique en la tabla anterior, cuáles son esos trece jóvenes.

Para finalizar esta sesión, discuta con sus compañeros de equipo sobre qué tan fácil o difícil fue analizar estos ejemplos, qué propone para mejorar el diseño de problemas de este tipo donde tanto el profesor y el estudiante interactúen constantemente al resolverlos, indique qué modelo didáctico utiliza para trabajar estos temas con estudiantes de nivel básico.

Sesión 10 INTRODUCCIÓN

Resolver un problema es encontrar un camino allí donde no se conocía previamente camino alguno, encontrar la forma de salir de una dificultad, de sortear un obstáculo, conseguir el fin deseado, que no se consigue de forma inmediata, utilizando los medios adecuados. George Polya Lo que se puede enseñar es la actitud correcta ante los problemas, y enseñar a resolver problemas es el camino para resolverlos (...). El mejor método no es contarles cosas a los alumnos, sino preguntárselas y, mejor todavía, exhortarles a que se pregunten ellos mismos. P. Halmos En la última sesión hablaremos acerca de la importancia que tiene para el aprendizaje significativo de las matemáticas, la resolución de problemas pero especialmente de aquellos que no tienen por qué seguir un algoritmo para encontrar su solución. La resolución de problemas es una cuestión de gran importancia para el avance de las matemáticas y también para su comprensión y aprendizaje. El saber hacer, en matemáticas, tiene mucho que ver con la habilidad de resolver problemas, de encontrar pruebas, de criticar argumentos, de usar el lenguaje matemático con cierta fluidez, de reconocer conceptos matemáticos en situaciones concretas, de saber aguantar una determinada dosis de ansiedad,...pero también de estar dispuesto a disfrutar con el camino emprendido. Lo importante no es obtener la solución, sino el camino que lleva hacia ella. La habilidad para resolver problemas es una de las habilidades básicas que los estudiantes deben tener a lo largo de sus vidas, y deben usarla frecuentemente cuando dejen la escuela. Es una habilidad que se puede enseñar.

La resolución de problemas es una actividad primordial en la clase de matemáticas, no es únicamente un objetivo general a conseguir sino que además es un instrumento pedagógico de primer orden. Un problema matemático es una situación que supone alcanzar una meta, hay obstáculos en el camino, se requiere deliberación, y se parte de un desconocimiento algorítmico. En términos generales, para afrontar la resolución de problemas hemos de tener en cuenta:

a) Existencia de un interés. Significa enfrentarnos a problemas con un cierto atractivo. b) La no existencia de un camino inmediato. Significa no utilizar un algoritmo o procedimiento que da la respuesta de inmediato. c) Tener deseos de resolver el problema. Significa estar dispuestos a aceptar el reto.

En definitiva, aprender a resolver problemas, y aceptar que con frecuencia hay más de una respuesta a una pregunta y más de una forma de tratarla, constituye una parte fundamental tanto en la educación como en el proceso de aprendizaje de las matemáticas. Las ventajas del enfoque basado en la resolución de problemas en cuanto al proceso de enseñanza y aprendizaje son significativas por diversas razones: i) Los alumnos tienen la posibilidad de pensar las cuestiones con detenimiento, hacer pruebas, equivocarse, “perder el tiempo” investigar, conjeturar, imaginar, suponer... ii) Existe una mayor participación y un mayor grado de comprensión por parte del estudiante. iii) Es un tipo de conocimiento basado en la experiencia (es decir, el conocimiento obtenido mediante la experiencia de hacer algo), siendo más duradero y significativo para el alumno que el conocimiento transmitido por el profesor o el libro. iv) Los alumnos se ven inmersos en la construcción de sus propios sistemas individuales de aprendizaje y de comprensión. v) Incide directamente en el llamado aspecto formativo, creando así estructuras mentales que trascienden a las propias matemáticas.

vi) La resolución de problemas es el núcleo central de las matemáticas, hacer matemáticas no es otra cosa que resolver problemas. vii) Hay que tener presente que el único camino que existe para aprender a resolver problemas, es enfrentarse a los problemas.

OBJETIVOS •

Indagar sobre las creencias y experiencias de los maestros acerca de lo que implica enseñar y aprender matemáticas a través de la resolución de problemas.

•

Promover un ambiente de trabajo apropiado en el que se dé la discusión de las estrategias heurísticas para resolver problemas, teniendo así la oportunidad de compartir, debatir, y argumentar sobre las ideas que cada docente tiene al respecto.

•

Considerar que en muchas ocasiones se pueden plantear retos mentales que sirven como motivación para desarrollar el contenido matemático que un docente debe enseñar sobre el tema.

•

Fortalecer la experiencia docente de los maestros de primaria al plantear y resolver problemas, retos mentales, acertijos, trucos y otras actividades de interés para interactuar con el contenido matemático de manera entretenida.

MATERIALES •

Al menos, cinco hojas blancas por cada docente participante, lápiz.

Actividad 1

Para el desarrollo de esta actividad, se sugiere trabajarla por rondas, primero de manera individual y después por equipos, es decir, cada uno de los maestros resuelven el primer problema individualmente y lo comentan con los docentes de su equipo, indicando qué

tipo de estrategia siguieron para resolverlo, posteriormente en la siguiente ronda se analiza el segundo problema, después el tercero y así sucesivamente.

1.-Adivinar la edad Puede adivinar fácilmente la edad de una persona y el mes en que nació. Para eso, pídale que piense en el número del mes de nacimiento (enero = 1, febrero = 2, ...) pero que no lo diga, que lo multiplique mentalmente por 2 y al resultado le sume 5. Después debe multiplicar el resultado obtenido por 50 y sumarle su edad. Pídale que te diga el resultado final de todos estos cálculos y, mentalmente, réstele 250. El número obtenido tendrá 3 o 4 cifras. Las dos cifras de la derecha son las de la edad, y las de la izquierda son el número del mes de nacimiento. Haga la prueba. ¿Por qué no puede fallar?

2. El abuelo Ramón El médico que atiende al abuelo Ramón le recetó dos tipos de pastillas: un frasco de 20 pastillas (A) y un frasco de 20 pastillas (B) y le recomendó que hiciera el siguiente tratamiento durante 30 días: •

En los primeros 10 días debe tomar cada noche una pastilla de cada frasco.

•

En los 20 días siguientes debe bajar la dosis y tomar cada noche media pastilla de cada frasco.

Las pastillas A y B son idénticas a la vista y el médico le aconsejó al abuelo que para que el tratamiento resultara efectivo tuviera mucho cuidado y no las confundiera. La primera noche, el abuelo pensó sacar una pastilla de cada frasco y dejarlas preparadas sobre la mesita de luz para tomarlas luego con un vaso de agua. Cuando volvió para tomarlas vio que se había equivocado y sobre la mesita había 3 pastillas.

Contando las pastillas que quedaban en cada frasco, el abuelo descubrió que se trataba de 2 pastillas A y una B, pero no sabía cuál era cuál. Sin embargo, luego de pensar un poco, ideó una manera de seguir las instrucciones del médico sin riesgo de errores, como efectivamente hizo, y al cabo de los 30 días no tuvo más dolores. ¿Cómo hizo el abuelo Ramón?

3.- Ubicar números Hay que ubicar dentro de las figuras los números del 4 al 10 de tal manera que la suma de los números adentro de cualquier figura sea 30, y la suma de todos los que están afuera de una figura dada sea 25.

4.- El juego de las ranas En un lago hay 7 piedras en línea y 6 ranas: 3 ranas macho en las 3 piedras de un lado, 3 ranas hembra en las 3 piedras del otro lado, y una piedra vacía central. Debes hacer que las ranas macho pasen a ocupar las piedras de las ranas hembra y viceversa.

5.- La fuga del preso En una cárcel hay 32 presos repartidos en ocho celdas. En cada celda de las esquinas hay un preso y en cada una de las centrales hay siete presos.

El carcelero cuenta cada noche los presos que hay en cada hilera y se asegura de que sean nueve. Una vez hecho esto se retira a su oficina. Cierto día se fugan cuatro internos, quedando un total de 28 presos de los 32 que había inicialmente. Cuando el carcelero hace su recuento nocturno no se percata de nada, pues los presos siguen sumando nueve por hilera. ¿Cómo se situaron en las celdas para burlar al carcelero? Escriba la respuesta de la siguiente manera: Primera fuga: Hilera 1: ? – ? – ? Hilera 2: ? – ? – ? Hilera 3: ? – ? – ? Hilera 4: ? – ? – ? (Donde el signo de interrogación indica el número de presos que hay en cada una de las celdas de la hilera después de la fuga) Si consigue resolver esta primera parte del problema habrá superado el reto, pero puede intentar resolver la segunda parte que dice así: Tres días más tarde se fugan otros cuatro presos, quedando ahora 24 presos. Esta vez tampoco el carcelero se dio cuenta de nada al contar. ¿Cómo volvieron a situarse para burlar al carcelero?

Segunda fuga: Hilera 1: ? – ? – ? Hilera 2: ? – ? – ? Hilera 3: ? – ? – ? Hilera 4: ? – ? – ? Una semana después, el carcelero realizó su habitual recuento, le salieron las cuentas y volvió tranquilo a su oficina. A la mañana siguiente una inspección del alcaide descubrió que sólo quedaban 20 presos. ¿Qué hicieron los reclusos para burlar por tercera vez al ingenuo carcelero? Tercera fuga: Hilera 1: ? – ? – ? Hilera 2: ? – ? – ? Hilera 3: ? – ? – ? Hilera 4: ? – ? – ? 6.- El agua embotellada En el balneario Fuente buena envasan el agua en botellas de 1, 2 y 5 litros. ¿Cómo envasarán 48 litros de agua si quieren utilizar el menor número de botellas posible, y teniendo en cuenta que no se pueden dejar ninguna a medias?

7.- Los dígitos con cuatro cuatros Combina cuatro cuatros con operaciones matemáticas (+, -, X, /) para formar los números del 0 al 10. Por ejemplo, para formar el cinco:

5=(4 x 4 + 4) / 4

8.- ¿Cuánto pesa una manzana? Tengo una manzana verde, una roja y una naranja. Quiero averiguar cuánto pesan, pero sólo puedo pesarlas de a dos. La manzana verde y la roja juntas pesan 430 g. La manzana verde y la naranja juntas pesan 370 g. La manzana roja y la naranja juntas pesan 360 g. ¿Cuánto pesa cada fruta?

9.- Contando cuántos hay Un libro tiene 100 páginas. Para numerar todas las páginas ¿cuántas veces aparece escrito el número 2?

10.- La misma bebida de siempre Arturo, Brandon y Carlos salen a comer frecuentemente. Cada uno de ellos ordena té o café después de la comida. Si Arturo pide café, entonces Brandon ordena la misma bebida que Carlos. Si Brandon ordena café, entonces Arturo pide la bebida que Carlos no pidió. Si Carlos pide té, entonces Arturo ordena la misma bebida que Brandon. ¿Cuál de ellos ordena siempre la misma bebida después de comer?

Actividad 2

Didáctica matemática a nivel primaria

Leer y escribir son habilidades importantes y desafiantes para que su niño de primer año de Primaria aprenda, pero las matemáticas les siguen de cerca. Las matemáticas de primer año de Primaria están generalmente compuestas de habilidades que pueden dividirse en grupos como sentido numérico, geometría, operaciones y resolución de problemas. Sentido numérico, un conjunto de habilidades matemáticas que describen el entendimiento que tiene el niño de que los números representan cantidades y que se pueden usar números para contar “cuantos”. Para avanzar en las matemáticas, el niño debe adquirir varios bloques conceptuales que construyen esta área, incluyendo números y contar hasta 100. El lenguaje usado en las matemáticas, desde conceptos como medida y dinero hasta vocabulario técnico matemático, como mas que, menos que, agregar, restar y sumar. El alcance para trabajar con relaciones y proporciones. El reconocimiento de los colores, formas, tamaños y patrones. Los programas varían de región en región. Pero alumnos que trabajan a un nivel estándar al comienzo del primer año de Primaria:

1. Entienden que los números son símbolos que te dicen cuánto hay. 2. Saben sobre la hora y pueden decir las horas. 3. Recitan números del 1 al 20 correspondientes a tarjetas con imágenes. 4. Combinan y separan conjuntos, usando objetos concretos. 5. Clasifican e identifican formas, tamaños y colores. 6. Resuelven factores de suma hasta 10. 7. Comparan mas, menos e igual. 8. Reconocen la mitad de un objeto entero.

Alumnos que trabajan a un nivel estándar al final del primer año de Primaria:

1. Trabajan con patrones y secuencias. 2. Suman y restan números de una cifra. 3. Saben la hora con horas y minutos. 4. Estiman y predicen resultados simples. 5. Cuentan dinero. 6. Identifican valores a centenas. 7. Practican medidas de longitud, capacidad y peso 8. Trabajan con formas geométricas. 9. Se familiarizan con el concepto de simetría. 10. Cuentan hasta más de 100. 11. Identifican las fracciones: 1/2, 1/3, 1/4. 12. Resuelven problemas de palabras simples.

a) Diseñe al menos tres actividades donde involucre conocimientos previos de algún tema, explique qué habilidades matemáticas se promueven en cada caso. b) Intercambie actividades realizadas por sus compañeros docentes, de forma tal que cada uno argumente y proponga modificaciones para mejorarlas. c) ¿Qué tipo de actividades son más recomendables para enseñar matemáticas en primer año de primaria? d) ¿A qué dificultades se ha enfrentado cuando enseña matemáticas a este nivel escolar? e) ¿Qué elementos son fundamentales para aprender matemáticas? f) ¿Qué papel representan los errores de los estudiantes en el aprendizaje de las matemáticas en la educación primaria? Referencias Paquete de libros de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria, SEP, programa nacional de Actualización permanente, 1995.

Ligas importantes en Internet http://www.youtube.com/watch?v=H5tOVFDlXPc&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=XEfxnHDh-QY&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=1CkYadNqzkI http://www.docente.mendoza.edu.ar/matematica/tangram.htm http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/lugares/tangram.htm http://www.mallorcaweb.net/tangrampeces/index.htm http://www.bbc.co.uk/wales/snapdragon/yesflash/menu.shtml http://www.bbc.co.uk/wales/snapdragon/yesflash/how-many-1.htm http://www.juegos.com/juegos/matematicas/matematicas.html?gclid=CPumxLr5hKICFRYBiQ odE3PZFQ http://www.arcytech.org/java/integers/integers.html http://recursostic-cole.blogspot.com/2007/02/matemticas-1-ciclo.html http://aulavirtual.inaeba.edu.mx/ejercicios_practicos/paginas/ejercicios_prim_mate.html http://www.elhuevodechocolate.com/mates.htm http://www.vedoque.com/ http://www.vedoque.com/juegos/juego.php?j=escondite http://www.portalplanetasedna.com.ar/escuelita.htm http://www.pipoclub.com/webonline/webonline.htm http://www.cuadernosdigitalesvindel.com/juegos/juego_tabla_multiplicar_1.php http://www.pekegifs.com/pekemundo/sumas/sumas.swf